Embed Size (px)
Citation preview
Conjecture H:Topologie, algèbre et géométrie.
Hassan AAYA
UNIVERSITÉ HASSAN IIFACULTE DES SCIENCESCASABLANCA
Sommaire Introduction
Formes différentielles
Algèbres différentielles graduées
Lemme de Poincaré et cohomologie de de Rham
Lien avec la topologie : et groupes d'homotopie supérieurs
La théorie de Quillen-Sullivan et Le théorème de Quillen-Sullivan
sur
Passer des réels aux rationnels :Triangulation, modèle de Sullivan
La conjecture H.
Introduction
Ce résultat a été démontré par M. Hilali pour le cas des espaces pures en 1990, et puis par MM. Hilali et Mamouni en 2008 pour le cas hyper-elliptique sous des conditions spécifiques et d’autres types d’espaces topologiques, avant d’être démontré en 2012 par des espagnoles dans le cas hyper-elliptique.
Introduction
Historique:
Le calcul des groupes d’homotopie d’ordre supérieur est un problème fondamental de la topologie algébrique. Mais, curieusement, on ne sait même pas calculer les groupes d'homotopie des sphères:
Introduction
A part quelques cas:
Introduction
Formes différentiellesUne forme différentielle de degré 1 sur un
ouvert de est une expression de la forme
Où sont des fonctions sur cet ouvert.
Formes différentiellesUne forme différentielle de degré n ≥1, sur
une variété X consiste en la donnée en chaque point x d'une forme n-linéaire alternée sur l'espace tangent en x. En coordonnées :
Formes différentiellesOn note l'ensemble des formes
différentielles de degré n≥1, l'anneau des fonctions .
On note la somme directe des .
Algèbres différentielles graduées
Algèbres différentielles graduéesSi on a
Alors
Exemple ADG de Koszul
On vérifie par le calcul que soit Donc
Lemme de Poincaré et cohomologie de De Rham.
Lemme de Poincaré et cohomologie de De Rham.
Autrement dit, le nième groupe de cohomologie matérialise l'obstruction pour qu'une forme régulière fermée sur X soit exacte
Lemme de Poincaré et cohomologie de De Rham.
Lemme de Poincaré et cohomologie de De Rham.
Lien avec la topologie et groupes d'homotopie supérieurs
Lien avec la topologie et groupes d'homotopie supérieurs
Lien avec la topologie et groupes d'homotopie supérieurs
Groupes d’homotopie des sphères :
Lien avec la topologie et groupes d'homotopie supérieurs
La théorie de Quillen-Sullivan
La théorie de Quillen-Sullivan
La théorie de Quillen-Sullivan
La théorie de Quillen-Sullivan
La théorie de Quillen-Sullivan
Passer des réels aux rationnels :Triangulation
Passer des réels aux rationnels :Triangulation
Passer des réels aux rationnels :Triangulation
Passer des réels aux rationnels :Triangulation
Comment?
Comment?
Passer des réels aux rationnels :Triangulation
Passer des réels aux rationnels :Triangulation
Comment?
Passer des réels aux rationnels :Triangulation
Comment?
Passer des réels aux rationnels :Triangulation
Conjecture H
