ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

-----------------------------------------------------

PHẠM QUANG HỪNG

PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP CHO HỌC SINH

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG BAN NÂNG CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 01 11

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. LÊ ANH VINH

HÀ NỘI – 2015

v

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ...................................................... Error! Bookmark not defined.

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮTError! Bookmark not defined.

DANH MỤC CÁC BẢNG .................................. Error! Bookmark not defined.

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ ............................. Error! Bookmark not defined.

MỤC LỤC .............................................................................................................. v

MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................... 6

1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán ................................................................... 6

1.1.1. Khái niệm kỹ năng ................................................................................. 6

1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng .......................... Error! Bookmark not defined.

1.1.3. Sự hình thành kỹ năng ......................... Error! Bookmark not defined.

1.2. Rèn luyện kỹ năng giải toán ..................... Error! Bookmark not defined.

1.2.1. Vị trí, chức năng của bài tập toán trong trường phổ thôngError! Bookmark not defined.

1.2.2. Khái niệm kỹ năng giải toán ................. Error! Bookmark not defined.

1.2.3. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinhError! Bookmark not defined.

1.2.4. Những kỹ năng cần thiết khi giải toán .. Error! Bookmark not defined.

1.2.5. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh theo quy trình bốn bước của

Polya................................................................ Error! Bookmark not defined.

1.3. Vận dụng các phƣơng pháp dạy học hiện đại trong phát triển kỹ năng

giải toán tổ hợp ................................................. Error! Bookmark not defined.

1.3.1. Bồi dưỡng kỹ năng giải Toán cho học sinh cần kết hợp với các hoạt

động trí tuệ khác ................................................. Error! Bookmark not defined.

1.3.2. Bồi dưỡng kỹ năng giải Toán cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc

rèn khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng mớiError! Bookmark not defined.

1.3.3. Bồi dưỡng kỹ năng giải Toán cho học sinh là một quá trình lâu dài cần

tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy họcError! Bookmark not defined.

1.3.4. Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của kỹ năng giải Toán qua việc

xây dựng và dạy học hệ thống bài tập ................ Error! Bookmark not defined.

vi

1.3.5. Một số sai lầm điển hình của học sinh khi giải toán tổ hợpError! Bookmark not defined.

Kết luận Chương 1. ............................................... Error! Bookmark not defined.

CHƢƠNG 2. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC RÈN LUYỆN KỸ

NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ

THÔNG ................................................................ Error! Bookmark not defined.

2.1. Rèn luyện khả năng phân tích bài toán, hình thành kỹ năng nhận dạng

bài toán cho học sinh dƣới mọi góc độ .............. Error! Bookmark not defined.

2.1.1. Thiết kế chuỗi bài tập ............................ Error! Bookmark not defined.

2.1.2. Tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toánError! Bookmark not defined.

2.1.3. Sáng tạo bài toán mới ........................... Error! Bookmark not defined.

2.1.4. Bài toán gắn liền thực tế ....................... Error! Bookmark not defined.

2.2. Rèn kỹ năng cơ bản với các dạng toán thƣờng gặpError! Bookmark not defined.

2.2.1. Các bài toán liên quan đến k k

n n nP ; A ; C . Error! Bookmark not defined.

2.2.2. Các bài toán về nhị thức Newton ............ Error! Bookmark not defined.

2.2.3. Các bài toán đếm ..................................... Error! Bookmark not defined.

2.3. Những kỹ năng nâng cao .......................... Error! Bookmark not defined.

2.3.1. Sử dụng nguyên lý bao gồm và loại trừ Error! Bookmark not defined.

2.3.2. Kỹ năng đánh số .................................... Error! Bookmark not defined.

Bài tập luyện tập ............................................. Error! Bookmark not defined.

2.3.3. Đếm bằng hai cách ................................ Error! Bookmark not defined.

2.3.4. Sử dụng phương pháp truy hồi.............. Error! Bookmark not defined.

Bài tập luyện tập ............................................. Error! Bookmark not defined.

Kết luận Chương 2 ................................................ Error! Bookmark not defined.

THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ............................. Error! Bookmark not defined.

3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ..................... Error! Bookmark not defined.

3.2. Nội dung thực nghiệm .................................... Error! Bookmark not defined.

3.2.1. Lớp thực nghiệm ...................................... Error! Bookmark not defined.

3.2.2. Tiến hành thực nghiệm ............................ Error! Bookmark not defined.

vii

3.2.2.1. Các nội dung dạy thực nghiệm .......... Error! Bookmark not defined.

3.2.2.2. Phương pháp dạy thực nghiệm .......... Error! Bookmark not defined.

3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ....................... Error! Bookmark not defined.

3.3.1. Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm ... Error! Bookmark not defined.

3.3.2. Kết quả của thực nghiệm sư phạm ........... Error! Bookmark not defined.

Kết luận Chương 3 ................................................ Error! Bookmark not defined.

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ..................... Error! Bookmark not defined.

TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 8

PHỤ LỤC ............................................................. Error! Bookmark not defined.

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong kỷ nguyên thông tin, cùng với xu thế quốc tế hóa, toàn cầu hóa, mỗi

người không chỉ là công dân của một quốc gia mà còn có thể là công dân toàn

cầu. Điều đó đòi hỏi con người phải có tính năng động và có khả năng thích nghi

cao với sự phát triển mạnh mẽ về mọi mặt văn hóa, khoa học kĩ thuật, đời sống.

Vì vậy để tránh nguy cơ tụt hậu, Nghị quyết trung ương Đảng đã chỉ rõ chúng ta

phải đổi mới giáo dục và đào tạo, đổi mới phương pháp giáo dục. Việc rèn luyện

kỹ năng làm việc, học tập cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của nhà

trường phổ thông.

Toán học là môn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập và nghiên cứu

các môn học khác. Toán học có vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành

khoa học kĩ thuật; liên quan chặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh

vực khoa học, công nghệ, kĩ thuật và đời sống. Vì thế, dạy học môn Toán ở nhà

trường phổ thông giữ vai trò quan trọng trong nghiên cứu và đời sống thực tế.

Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán

nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện

nay. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội

dung và phương pháp dạy học. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã

được chỉ rõ trong Luật Giáo dục (2005): “Phương pháp giáo dục phổ thông

phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù

hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học,

rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn”.

2

Nghị quyết hội nghị trung ương Đảng 8 khóa XI (2013) cũng nhấn mạnh “Tiếp

tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy

tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học;

khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách

học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi

mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang

tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa,

nghiên cứu khoa học. Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông

trong dạy và học”

Dạy toán là dạy kiến thức, tư duy và tính cách (Nguyễn Cảnh Toàn), trong

đó dạy kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không có kỹ năng thì

sẽ không phát triển được tư duy và cũng không đáp ứng được nhu cầu giải quyết

vấn đề.

Nhiều công trình nghiên cứu về tâm lý học, phương pháp dạy học, … đã

khẳng định sự cần thiết phải rèn luyện kỹ năng trong dạy học Đại số nói chung

và Đại số tổ hợp nói riêng cho học sinh. Tác giả Lê Văn Hồng cho rằng: “Kỹ

năng là một trong những yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ giữa học và

hành. Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc các định

nghĩa, định lý mà không biết vận dụng vào việc giải các bài tập”, còn tác giả

Nguyễn Bá Kim viết: “Nó là cơ sở để thực hiện các phương diện mục đích khác”

[7, tr 46]. Như vậy có thể khẳng định rằng cần thiết phải rèn luyện cho học sinh

các kỹ năng trong dạy học Toán.

Trong môn toán ở trường trung học phổ thông, nội dung các bài toán Tổ

hợp là một trong những phần khó. Với chương trình toán cho học sinh chuyên thì

đây là bài tập mang tính phân loại học sinh. Bài toán Tổ hợp có thể không đòi

hỏi nhiều về kiến thức, nhưng yêu cầu sự quan sát tinh tế, tư duy sáng tạo trong

3

mỗi bài toán cụ thể. Vì vậy, rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải toán tổ hợp là

hết sức quan trọng và cần thiết. Vì lý do đó, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu của

luận văn này là: “Phát triển kỹ năng giải toán tổ hợp cho học sinh trung học phổ

thông ban nâng cao”.

2. Lịch sử nghiên cứu

Ở nước ta đã có nhiều tác giả nghiên cứu về tổ hợp như: thầy Phan Huy

Khải, thầy Vũ Đình Hòa, thầy Đặng Huy Ruận, thầy Trần Nam Dũng, thầy Nguyễn

Vũ Lương, thầy Lê Anh Vinh ..., và nhiều tác giả như thầy Hoàng Chúng, thầy

Nguyễn Cảnh Toàn, thầy Nguyễn Bá Kim ... có rất nhiều công trình nghiên cứu về

lý luận và thực tiễn rèn luyện kỹ năng cho học sinh trong học môn Toán.

Trên cơ sở lí thuyết mà các nhà toán học, các nhà sư phạm đã đưa ra, căn

cứ vào thực trạng dạy học “Tổ hợp” ở một số trường trung học phổ thông trong

giai đoạn hiện nay thì với luận văn này, xin được trình bày một vấn đề rất hẹp và

cụ thể là: vận dụng lý luận về phương pháp giảng dạy vào rèn luyện kỹ năng giải

toán tổ hợp nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT.

3. Mục đích nghiên cứu

Giúp cho bản thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao kỹ năng nghề nghiệp tạo

điều kiện thuận lợi cho công tác dạy học.

Giúp cho học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp dạng toán về

chuyên đề Tổ hợp. Từ đó phát triển tư duy lôgic, khái quát hoá vấn đề.

Tìm kiếm biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán Tổ hợp, phát triển một số

kỹ năng nâng cao cho học sinh trường Chuyên.

Rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động trí tuệ và tính sáng tạo của

người lao động nhằm phát triển toàn diện trong tương lai.

4

4. Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các bài toán tổ hợp trong chương trình toán 11 ở sách giáo

khoa và sách bài tập Đại số và Giải tích lớp 11; trong các đề thi Đại học Cao

đẳng; đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh; đề thi học sinh giỏi Quốc gia.

5. Mẫu khảo sát

Học sinh các lớp 11 toán 1, 11 toán 2 trường Trung học phổ thông Chuyên

Thái Bình, Tỉnh Thái Bình.

6. Vấn đề nghiên cứu

Dạy các bài toán Tổ hợp cho học sinh trung học phổ thông ban nâng cao

như thế nào thì rèn luyện, phát triển được kỹ năng giải toán cho học sinh?

7. Giả thuyết khoa học

Nếu rèn luyện cho học sinh trung học phổ thông theo các phương pháp đề

xuất trong luận văn này thì sẽ tạo được kỹ năng giải toán nhanh và chính xác cho

người học, hình thành được những kỹ năng nâng cao trong giải toán Tổ hợp.

8. Phƣơng pháp chứng minh luận điểm

Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu và phân tích các tài liệu về

lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu tham khảo liên

quan đến môn học.

Phương pháp điều tra: Điều tra khả năng rèn luyện các kỹ năng giải toán

cho học sinh khi dạy học về chuyên đề Tổ hợp; chất lượng của học sinh

trước và sau thực nghiệm.

Phương pháp quan sát: Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp trong tổ chuyên

môn về phương pháp dạy học môn Toán; phân tích kết quả học tập của

5

học sinh nhằm tìm hiểu thực trạng về rèn luyện kỹ năng giải toán cho học

sinh trong quá trình giảng dạy của các giáo viên. Ngoài ra còn trao đổi

trực tiếp với học sinh để nắm được khả năng tiếp thu và vận dụng các

phương pháp mới.

Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm tại

Trường THPT Chuyên Thái Bình, kiểm tra kết quả sau thực nghiệm.

Phương pháp thống kê toán học: Xử lí các số liệu thu được.

9. Những đóng góp của Luận văn

Giúp nhận thức sâu sắc hơn khái niệm kỹ năng, kỹ năng giải toán.

Giúp học sinh nắm vững hai quy tắc chọn, khái niệm hoán vị, chỉnh hợp,

tổ hợp, các kiến thức căn bản trong toán Tổ hợp.

Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập phù hợp với nhận thức và phát

triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi, học sinh trường Chuyên.

Đề xuất các biện pháp dạy học bài tập tổ hợp nhằm rèn luyện kỹ năng.

10. Câu truc luân văn

Ngoài phần mở đầu, phần kêt luân và khuyên nghi , danh muc tai liêu tham

khảo, luân văn đươc trinh bay trong ba chương.

Chương 1: Cơ sơ ly luân va thưc tiên.

Chương 2: Môt sô phương phap day hoc ren luyên k ỹ năng giai toan tô hơp cho

học sinh THPT.

Chương 3: Thưc nghiêm sư phạm.

6

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán

1.1.1. Khái niệm kỹ năng:

Trong thực tiễn lao động sản xuất, học tập, con người luôn luôn phải đối

mặt với những nhiệm vụ nhận thức hay thực hành nhất định. Muốn giải quyết

được công việc, đòi hỏi con người phải sử dụng kinh nghiệm đã có, vận dụng

vốn hiểu biết, tìm hiểu những quy luật bản chất đối với nhiệm vụ, biết đề ra một

chiến lược thực hiện và thực hiện các biến đổi hợp quy luật. Quá trình lao động

nghiêm túc, quá trình “thử sai” liên tục đó dần dần con người đã hình thành cho

bản thân cách thức (kỹ năng) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra.

Theo Từ điển Tiếng việt: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức

thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [19, tr 426].

Theo Tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khả

năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết

một nhiệm vụ mới” [6, tr 131].

Có nhiều định nghĩa khác nhau về kỹ năng, nhưng chúng đều có điểm

chung là, kỹ năng được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn.

Kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại một hay một nhóm hành động nhất

định nào đó. Kỹ năng luôn có chủ đích và định hướng rõ rệt, nghĩa là luôn gắn

chặt với ý thức của chủ thể.

Như vậy, kỹ năng là năng lực hay khả năng của chủ thể thực hiện thuần

thục một hay một chuỗi hành động trên cơ sở hiểu biết (kiến thức hoặc kinh

nghiệm) nhằm tạo ra kết quả đặt ra.

Cần phân biệt kỹ năng và phản xạ, thói quen, kiến thức:

7

Kỹ năng khác với phản xạ. Phản xạ là phản ứng của cơ thể với môi

trường, phản xạ mang tính thụ động. Nhưng kỹ năng là phản ứng có tính

tích cực, có ý thức, hoàn toàn chủ động .

Kỹ năng khác với thói quen. Thói quen hầu hết được hình thành vô thức,

khó kiểm soát. Trong khi đó kỹ năng được hình thành do ý thức, chủ động

rèn luyện, gian khổ mà thành tài.

Kỹ năng cũng khác với kiến thức. Kiến thức là hiểu, là biết, nhưng chưa

phải là làm, thậm chí không bao giờ làm. Vì không tác động vào thực tế

khách quan nên kiến thức thường ít tạo ra thành quả cụ thể cho chủ thể.

Trong khi đó, kỹ năng lại là hành động, việc làm thành thục dựa trên nền

tảng kiến thức ngày càng sâu sắc hơn.

Nhiều chuyên gia cho rằng, chỉ kiến thức chưa phải là sức mạnh mà vận

dụng kiến thức hay chính kỹ năng mới là sức mạnh.

Có nhiều cách phân loại kỹ năng khác nhau. Nếu quan sát tổng thể thì có

ba loại: kỹ năng chuyên môn, kỹ năng sống, kỹ năng làm việc. Nếu quan sát liên

đới chuyên môn thì có: kỹ năng cứng, kỹ năng mềm, kỹ năng hỗn hợp. Nếu quan

sát tính hữu ích cộng đồng xã hội thì có kỹ năng hữu ích và kỹ năng phản lợi ích.

Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến

thức vào giải quyết các bài tập cụ thể. Mỗi sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản

chất khác nhau, mỗi thuộc tính bản chất đó tương ứng với những hoạt động, mục

đích nhất định. Do đó phải biết lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu

đặt ra trước khi hành động. Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức,

quá trình hình thành kỹ năng, tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán,

phát hiện, nhìn thấy trong các giả thiết đã cho của bài toán, có những thuộc tính

và những quan hệ nào là bản chất để thực hiện giải quyết bài toán đã cho.

8

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TÁC GIẢ TRONG NƯỚC

1. Hoàng Chúng. (1969) Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường

phổ thông. Nxb Giáo dục.

2. Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang. (2004) Sai

lầm phổ biến khi giải toán. Nxb Giáo dục.

3. Trần Nam Dũng. (2004) Vai trò của các bài toán tổ hợp trong việc rèn

luyện tư duy toán học và kỹ năng giải toán. Nxb ĐHSPHN.

4. Vũ Đình Hòa. (2004) Toán rời rạc. Nxb ĐHSPHN.

5. Vũ Đình Hòa. (2002) Lý thuyết tổ hợp và bài tập ứng dụng. Nxb Giáo dục.

6. Lê Văn Hồng. (2001) (chủ biên). Tâm lý học lứa tuổi và tâm lý sư phạm.

Nxb ĐHQGHN.

7. Nguyễn Bá Kim. (2007) Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb ĐHSPHN.

8. Phan Huy Khải. (2002) Các phương pháp giải toán sơ cấp Giải tích tổ hợp

12. Nxb Hà nội.

9. Nguyễn Văn Mậu, Vũ Đình Hòa. (2008) Chuyên đề chọn lọc Tổ Hợp và

Toán Rời Rạc. Nxb Giáo dục.

10. Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành. (2003) Toán rời rạc dành cho

CNTT. Nxb ĐHQGHN.

11. Phạm Minh Phƣơng. (2010) Một số chuyên đề toán tổ hợp. Nhà xuất bản

Giáo dục.

12. Đoàn Quỳnh. (2013) Tài liệu chuyên toán đại số giải tích 11. Nhà xuất bản

Giáo dục.

9

13. Nguyễn Cảnh Toàn. (1997) Phương pháp luận duy vật biện chứng với

việc dạy học, nghiên cứu toán học, tập 1. Nxb ĐHQGHN.

14. Ban Tổ Chức Kì Thi. Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4. Nxb

ĐHSPHN các năm 2011, 2012, 2013, 2014.

15. Bộ giáo dục và đào tạo. (2010) Phân phối chương trình môn Toán

trung học phổ thông.

16. Bộ giáo dục và đào tạo. (2007) Tài liệu bồi dưỡng sách giáo khoa lớp

11. Nxb Giáo dục.

17. Dự án đào tạo giáo viên trung học phổ thông. (2005) Đổi mới phương

pháp dạy học môn Toán THPT nhằm hình thành và phát triển năng lực

sáng tạo cho học sinh. Nxb Giáo dục.

18. Tạp chí “Toán học và tuổi trẻ”.

19. Viện ngôn ngữ học. (2005) Từ điển Tiếng Việt. Nhà xuất bản Thành phố

Hồ Chí Minh.

20. Vụ Giáo dục trung học. (2012) Tài liệu tập huấn phát triển chuyên môn

giáo viên trường THPT Chuyên môn toán.

TÁC GIẢ NƯỚC NGOÀI

21. G. Polya. (1995) Toán học và những suy luận có lí. Nxb Giáo dục.

22. G. Polya. (1997) Giải bài toán như thế nào?. Nxb Giáo dục.

TRANG MẠNG INTERNET

www.diendantoanhoc.net,

www.mathlinks.ro,

www. Mathscope.