heidar alievi · 2018. 5. 3. · kompleqsuri ricxvebi მარტივი ... luwi funqcia da kenti funqcia nawil-nawil mocemuli funqciebi y= nx (n

heidar alieviazerbaijaneli xalxis saerTo erovnuli lideri

ali

RadiusBakı - 2017

maTematika10zogadsaganmanaTleblo skolebis

me-10 klasisaTvis maTematikis sagnis

saxelmZRvaneloAA

naima kehremanovamehemmed qerimoviilham huseinovi

gTxovT saxelmZRvanelosTan dakavSirebuli Tqveni gamoxmaureba SeniSvnebi da winadadebebi gamoagzavnoT radius_nhotmailcom da derslikedugovaz eleqtronul misamarTebze winaswar madlobas mogaxsenebT CvenTan

TanamSromlobisaTvis

sarCevi1 funqciebi

2 wertili wrfe da sibrtye sivrceSi

3 kuTxis trigonometriuli funqciebi

4 sinusebisa da kosinusebis Teorema

5 trigonometriuli funqciebi

ფუნქცია და მისი მოცემის ხერხები7ზოგიერთი ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე12ფუნქციების თვისებები 14ლუწი ფუნქცია და კენტი ფუნქცია 18ნაწილ-ნაწილ მოცემული ფუნქციები 20y= xn (nN) მაჩვენებლიანი ფუნქციები 22ფუნქციების კლასიფიკაცია23გრაფიკების გარდაქმნა25მოქმედებები ფუნქციებზე 32რთული ფუნქცია34შექცეული ფუნქცია 37განმაზოგადებელი დავალებები 41

წერტილი წრფე და სიბრტყე სივრცეში44წრფისა და სიბრტყის პარალელურობა48წრფისა და სიბრტყის მართობულობა 49სამი მართობის თეორემა52ორ სიბრტყეს შორის კუთხე ორწახნაგა

კუთხეები 54მართობული სიბრტყეები 56პარალელური სიბრტყეები 59გეგმილები და ამოცანების ამოხსნა63განმაზოგადებელი დავალებები 65

მობრუნების კუთხეები 67კუთხის რადიანული და გრადუსულიზომები 69რკალის სიგრძე სექტორის ფართობი 72ტრიგონომეტრიული ფუნქციები76ნებისმიერი კუთხის ტრიგონომეტრიულიფუნქციები80ერთეულოვანი წრეწირი და ნებისმიერიკუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები83დაყვანის ფორმულები86ტრიგონომეტრიული იგივეობები90შეკრების ფორმულები93შეკრების ფორმულებიდან მიღებულიშედეგები 97ტრიგონომეტრიული გამოსახულებებისგამარტივება 102განმაზოგადებელი დავალებები 104

სინუსების თეორემა 107კოსინუსების თეორემა 114განმაზოგადებელი დავალებები119

პერიოდული ფუნქციები 122y = sin x და y = cos x ფუნქციებისგრაფიკები 124y = sin x და y = cos x ფუნქციებისგრაფიკების გარდაქმნები128სინუსოიდის აგება ხუთი ძირითადიწერტილის მიხედვით136ტრიგონომეტრიული ფუნქციები დაპერიოდული მოვლენები141y = tg x და y = ctg x ფუნქციებისგრაფიკები 144შექცეული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები150განმაზოგადებელი დავალებები 155

7 trigonometriuli gantolebebi da utolobebi

8 figurebis moculoba

9 maCvenebliani da logariTmulifunqciebi

11 informaciebi da prognozebi

10 kompleqsuri ricxvebi

მარტივი ტრიგონომეტრიულიგანტოლებები 185ტრიგონომეტრიული განტოლებებისამოხსნის ხერხები193ამოცანების ამოხსნა ტრიგონომეტრიულიგანტოლებების გამოყენებით 198ტრიგონომეტრიული უტოლობები200განმაზოგადებელი დავალებები 209

ნამდვილმაჩვენებლიანი ხარისხი234მაჩვენებლიანი ფუნქცია 237მაჩვენებლიანი ფუნქციის გრაფიკისგარდაქმნები 243მაჩვენებლიანი ფუნქცია e რიცხვი 246რიცხვის ლოგარითმი248ლოგარითმული ფუნქცია 250ლოგარითმული სკალა და ამოცანებისამოხსნა252ლოგარითმის თვისებები 254მაჩვენებლიანი განტოლებები 258ლოგარითმული განტოლებები 261მაჩვენებლიანი უტოლებები265ლოგარითმული უტოლებები267განმაზოგადებელი დავალებები270

კომპლექსური რიცხვები273მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე 274კომპლექსური რიცხვის გეომეტრიულიგამოსახვა277კომპლექსური რიცხვის მოდული დაარგუმენტი კომპლექსური რიცხვისტრიგონომეტრიული სახე278მოქმედებები ტრიგონომეტრიული სახითმოცემულ კომპლექსურ რიცხვებზე 280n-ური ხარისხის ფესვი კომპლექსურირიცხვიდან 282განმაზოგადებელი დავალებები 284

ერთობლიობა და შერჩევა შემთხვევითიშერჩევა და სახეები 286

ბინომიალური დანაშალი 297ბერნულის ცდები 301განმაზოგადებელი დავალებები 306

ინფორმაციის წარდგენა 290

პრიზმის მოცულობა211პირამიდის მოცულობა 218სივრცითი ფიგურების მსგავსება 222მსგავსი სივრცითი ფიგურების ზედაპირები და მოცულობები223წაკვეთილი პირამიდის მოცულობა 226ამოცანები სიბრტყითი კვეთების შესახებ 228სიმეტრია სივრცეში 229განმაზოგადებელი დავალებები 232

6 mravalwaxnagebi

მრავალწახნაგები158პრიზმები160მრავალწახნაგები და მათი ხედებისხვადასხვა მხრიდან163პრიზმის ზედაპირის ფართობი 166პრიზმის სიბრტყითი კვეთები 171პირამიდა პირამიდის გვერდითიზედაპირისა და სრული ზედაპირისფართობი 174პირამიდის კვეთები წაკვეთილი პირამიდა180განმაზოგადებელი დავალებები 183

6

funqcia da misi mocemis xerxebi

zogierTi funqciis gansazRvris are

da mniSvnelobaTa simravle

funqciebis Tvisebebi

luwi funqcia da kenti funqcia

nawil-nawil mocemuli funqciebi

y= xn (nN) maCvenebliani funqciebi

funqciebis klasifikacia

grafikebis gardaqmna

moqmedebebi funqciebze

rTuli funqcia

Seqceuli funqcia

funqciebi1

7


ჩვენს გარშემო მიმდინარე სხვადასხვა პროცესში ზოგიერთი რაოდენობები სხვებზედამოკიდებულებით იცვლება და ერთის მნიშვნელობა მეორის მნიშვნელობითგანისაზღვრება მაგალითად ქვეითის მიერ გავლილი მანძილი დროზე დამოკიდებულებითიცვლება სურსათში გადახდილი ფული მისი მასისაგან დამოკიდებულებითიცვლება გზა და დრო მასა და ღირებულება დამოკიდებული ცვლადი სიდიდეებიაამ სიდიდეებიდან ერთი დამოუკიდებლად მეორე კი მასზე დამოკიდებულებითიცვლება მაგალითად დრო დამოუკიდებელი ცვლადია ხოლო გავლილი გზა კიდროზე დამოკიდებული ცვლადი სიდიდეა სურსათის მასა დამოუკიდებელი მისიღირებულება კი დამოკიდებული ცვლადი სიდიდეა

123

152025

X Yf hndash101

102

X Y

სადაც f და g დამოკიდებულებებიდან თითოეული ფუნქციაა რადგან X სიმრავლიდანაღებულ თითოეულ რიცხვს Y სიმრავლიდან ერთადერთი რიცხვი შეუპირისპირდებაh დამოკიდებულება კი ფუნქცია არაა (რატომ)შეპირისპირების წესის თანახმად შეგვიძლია დავწეროთ f(1) = 15 f(2) = 20 f(3) = 25g(0) = 0 g(ndash1) = 1 g(1) = 1 g(ndash2) = 4 g(2) = 4

ნაჩვენები ფუნქციების არგუმენტისა და ფუნქციის Sesabamisi mniSvnelobaTawyvilebis CamoTvliT მოცემაც შეიძლებაf ფუნქცია (1 15) (2 20) (3 25)g ფუნქცია (0 0) (ndash1 1) (1 1) (ndash2 4) (2 4)

ndash2

ndash10 0

14

X Yg

1

2

არგუმენტის დასაშვებ მნიშვნელობათა სიმრავლეს ფუნქციის განსაზღვრის არეეწოდება და როგორც წესი D(f)-ით დამოკიდებული ცვლადის დასაშვებ მნიშ-ვნელობათა სიმრავლეს კი ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე (ან მნიშვნელობათაარე) ეწოდება და როგორც წესი E(f)-ით აღინიშნება

funqciis mocema sxvadasxva xerxiT SeiZlebaცხრილით შესაბამისი მნიშ-ვნელობების წყვილით დამოკიდებულების რუკით გრაფიკით ფორმულით და აშ

თუ განსაზღვრის არე სასრული სიმრავლეა არგუმენტის თითოეულ მნიშ-ვნელობაზე დამოკიდებული ცვლადის შესაბამისი მნიშვნელობის შეპირისპირებისწესის ისრების დახმარებით ჩვენება შეიძლება ასეთ ასახვას damokidebulebisruka ეწოდება

თუ x ცვლადის თითოეული მნიშვნელობას განსაზღვრული წესით y ცვლადისერთადერთი მნიშვნელობა შეესაბამება მაშინ y და x ცვლადებს შორის დამოკი-დებულებას ფუნქცია ეწოდებააქ x დამოუკიდებელი ცვლადი ანუ არგუმენტი ხოლო y-ს კი დამოკიდებულიცვლადი ან ფუნქცია ეწოდება ფუნქცია როგორც წესი f-ით (ან g და სხვ)არგუმენტის მოცემული მნიშვნელობისათვის შესაბამისი ფუნქცია კი f(x)-ით (ანg(x) (x) და სხვა) აღინიშნება y = f(x)

nimuSi 1

8


0

(x1 f1)) (x3 x3))

(x2 x2))

f(x1) f(x3)

x

y

f(x2)

x1 x2 x3

funqciis grafikiT mocemac SeiZleba ორ ცვლად სიდიდეს შორის დამოკიდებულების საკოორდინატო სიბრტყეზე გეომეტრიული ასახვა ხელსაყრელია

nimuSi 4 სურათზე f(x) = x + 2 წრფივი ფუნქციაა 4 le x le 4 ინტერვალშიგრაფიკითაა მოცემული

mniSvnelobaTa simravle (მიღებული მოსავლის ოდენობა) 2 3 4 5

gansazRvris are (წლები) 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

(2009 3) (2010 4) (2011 2) (2012 3) (20013 5) (2014 3) (2015 2) კოორდინატებიგვიჩვენებენ 1 ჰექტარიდან მიღებული მოსავლის ცვლილებას წლების მიხედვით

nimuSi 2

funqciis formuliT - analitikuri xerxiT mocemac SeiZleba

nimuSi 3 f(x) = x2 1 le x le 3ეს ჩანაწერი უჩვენებს იმას რომ [1 3] მონაკვეთიდან აღებულ თითოეულ რიცხვს ამავერიცხვის კვადრატი შეუპირისპირდება მაგალითად f(1) = 12 = 1 f(12) = 122 = 144f(2) = 22 = 4 f(3) = 32 = 9 და სხვა ამ შემთხვევაში f(4) ჩანაწერი უაზროა ვინაიდანრიცხვი 4 მოცემული ფუნქციის განსაზღვრის არეში [1 3] მონაკვეთში არ შედისარგუმენტის თითოეული x D მნიშვნელობისათვის ფუნქციის შესაბამისი y = f(x)მნიშვნელობის გაანგარიშება კოორდინატების (x y) მქონე წერტილების საკოორ-დინატო სიბრტყეზე აგება შეიძლება ყველა ასეთი წერტილის სიმრავლე ფუნქციისგრაფიკს შეადგენს

წვეროს წერტილების კოორდინატები (4 f(4)) ეი(4 1) და (4 f(4)) ეი (4 5) მქონე მონაკვეთი ამფუნქციის მოცემული შუალედის გრაფიკია წვეროსწერტილები გრაფიკს ეკუთვნის ეს ნახაზზე შიგნითგამუქებული პატარა წრეებითაა აღნიშნულიmniSvnelobaTa are[ 1 5] SeniSvna თუ ფუნქციის გრაფიკის მრუდის (ანკიდევ წრფის მონაკვეთის) ბოლოები სპეციალურიპატარა ბურთულებით არ არის აღნიშნული ეს იმასუჩვენებს რომ ხაზის უსასრულოდ გაგრძელება შეიძლება (როგორც წესი ამასწვეროებში მყოფი ისრებით უჩვენებენ)

34

x

y

0ndash2 42ndash4

4

2

funqcia SeiZleba cxriliT iyos mocemuliასეთ შემთხვევებში ცხრილის ერთ სტრიქონში დამოუკიდებელი ცვლადის მეორე სტრიქონში კი დამოკიდებული ცვლადის მნიშვნელობები მოიცემა

ფუნქციის გრაფიკი საკოორდინატო სისტემაში აბსცისა არგუმენტების ორდინატი კი ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობების მქონე წერტილთა სიმრავლეა

ერთი ჰექტარიდან მიღებული მოსავალი (ტონობით)წლები 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

1 ჰექტარიდანმიღებული მოსავალი

(ტონობით)3 4 2 3 5 3 4

9


saswavlo davalebebi

2 grafikis asaxvis mixedviTთუ Oy ღერძის პარალელურად გავ-ლებული ნებისმიერ ვერტიკალურწრფეზე აღმოჩნდება გრაფიკის არა-უმეტეს ერთი წერტილისა ეს დამო-კიდებულება ფუნქციაა თუ Oy ღერძისპარალელურად გავლებული ვერტიკალური წრფე გრაფიკის ორ ან უფრო მეტ წერტილსგადაკვეთს ეს დამოკიდებულება ფუნქცია არაა ეს იმას უჩვენებს რომ არგუმენტის (x-ის) ერთსა და იმავე მნიშვნელობის ფუნქციის რამდენიმე მნიშვნელობა შეესაბამებაეს კი ფუნქციის განსაზღვრებას ეწინააღმდეგება

x

y

0 x

y

0ndash3 ndash2 ndash1 31 2ndash2ndash1

12

1 wertilebis koordinatebis mixedviT არგუმენტის მნიშვნელობებს შორის(პირველი მნიშვნელობა) თუ არსებობს განმეორებადი მნიშვნელობები ეს დამო-კიდებულება ფუნქცია არაა(1 A) (1 B) (2 C) (3 D) წერტილთა სიმრავლით მოცემული დამოკიდებულებაფუნქცია არაა(1 A) (2 B) (3 C) (4 C) (5 D) დამოკიდებულება ფუნქციაა

or raodenobas Soris damokidebuleba aris Tu ara funqcia მათი გა-მომსახველი მოწესრიგებული წყვილების-წერტილთა სიმრავლის კოორდინატებისმიხედვით ან მოცემული გრაფიკის ასახვის მიხედვით განსაზღვრა შეიძლება

ვერტიკალური წრფის გავლებით შეამოწმეთ მოცემული დამოკიდებულება არისთუ არა რაიმე ფუნქციის გრაფიკი

ცხრილში მოცემულ რომელ (x y) დამოკიდებულებას შეიძლება ეწოდოს ფუნქცია

წერტილთა სიმრავლითა და მოცემული დამოკიდებულებით განსაზღვრეთ არისთუ არა ფუნქცია

განსაზღვრეთ მოცემული დამოკიდებულება არის თუ არა ფუნქცია

ა) (5 1) (3 2) (1 3) (1 2) ბ) (0 4) (3 5) (5 2) (0 1)

4

3

2

ა) ბ) გ)

ბ) ა) 1

135

31

02

22

45

11

62

1

ბ) ა) x 7 6 5 4 3y ndash1 2 ndash1 2 3

x 3 0 0 ndash1 ndash3y ndash4 ndash3 ndash1 ndash2 0

დ)

x

y

0ndash2

1

2ndash2

ndash4

x

y

0ndash3 ndash2 ndash1 1

ndash3ndash2ndash1

12

x

y

0ndash2 2

2

x

y

0ndash2 2ndash1

1

3

10

funqcia da misi mocemis xerxebiქვემოთ მოცემული დამოკიდებულებებიდან რომელს შეიძლება ეწოდოს ფუნქცია

ქვემოთ მოცემული მონაცემების მიხედვით x = 0 და x = 3 მნიშვნელობებისათვისგამოთვალეთ y-ის მნიშვნელობა განსაზღვრეთ რომელი დამოკიდებულება არისფუნქცია

y = x2 3y = 5 2x

ა) დამოკიდებულება რამიზის კვირეულ ხელფასსა და გაყიდვიდან მიღებულშემოსავალს შორის რამიზი კვირეულად იღებს 50 მანეთ მუდმივ ხელფასს და პლუსგაყიდვიდან 2 დამატებითბ) ესმერი თუ 5 კმსთ-ით მოძრაობს მისი გავლილი გზის დროზე დამოკიდებულებაგ) ბავშვების ასაკზე დამოკიდებულებით კომპიუტერის თამაშში ქულების მოპოვება

ბ) ა)

5

6

7გ) y2 + x2 = 25

თითოეული დამოკიდებულება ნიმუშის შესაბამისად წარმოადგინეთ ორიენ-ტირებული გრაფით რომელი დამოკიდებულება არ არის ფუნქცია

505

50

5nimuSi (5 0) (0 5) (5 0) (0 5)

(1 3) (0 0) (4 2) (2 3) (1 1)(2 2) (1 2) (0 0) (1 2) (22)

(5 4) (3 6) (1 0) (3 2)ა) (5 0) (0 5) (5 0) (0 5)ბ)

გ) დ)

8 მოცემულია ფუნქცია f(x) = 1 ndash 2xიპოვეთ f(ndash2) f(0) f(05) f(a + 1) მნიშვნელობები

9 g(x) = 4x3 ndash x ფუნქციისათვის გამოთვალეთ g(2) + g(ndash2) ჯამი

10 მოცემულია ფუნქციაf(x) = არგუმენტის რა მნიშვნელობისათვის ფუნქციის

მნიშვნელობა ა) 1 ბ) 0 გ) ndash2 იქნება

x + 13 ndash x

11 მოცემულია ფუნქცია f(x) = x2 ndash 2x + q იპოვეთ f(ndash1) თუ f(0) = ndash3

ფუნქცია ანალიტიკური ხერხითა და გრაფიკითაა მოცემული თითოეულიშემთხვევისათვის იპოვეთ f(0) f(15) f(ndash1) მნიშვნელობები

f(x) = 5x 2 f(x) = x2 + x f(x) = 2x3 + 1ა)

დ) ე) ვ)

ბ) გ)

12

მოცემულ განსაზღვრის არეში ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი იპოვეთ მნიშვნელო-ბათა არე და გამოსახეთ შესაბამისი ჩანაწერით

გ) ƒ(x) = x 2x | x gt 3

ა) ƒ(x) = x + 2 6 le x lt 2 ბ) f(x) = x 1 (minusinfin 3]12

12

13

დ) f(x) = 2x +1 (minus3 2]

x

y

0 2ndash2

2

ndash2

x

y

0 2ndash2

2

ndash2x

y

0 2ndash2

2

ndash2

11


ქვემოთ მოცემული სიტუაციების შესაბამისი ფუნქციები დაწერეთ ალგებრულისახით სიტუაციის მიხედვით განსაზღვრეთ ფუნქციის განსაზღვრის არე და ააგეთგრაფიკი გრაფიკის მიხედვით იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობათა არე

1) დილარე 40 წუთის განმავლობაში ყოველ 10 წუთში 1 კმ-ს დარბოდა (სიტუაციისშესაბამისად დაწერეთ ინტერვალებით ფუნქციის განსაზღვრისა და მნიშვნელობათა არე)2) ერთი ფოტოსურათის დაბეჭვდის ფასი 25 კაპიკია n რაოდენობის ფოტოსურათისდაბეჭვდის ფასი3) სანთელი რომლის სიმაღლეც იყო 20 სმ და ყოველ 2 საათში წვის დროს 5 სმ-ითიკლებდა 6 საათში დაიწვა 4) n რაოდენობის ცხენის დაჭედებისათვის საჭირო ნალების რაოდენობა5) ერთი ლიტრი ბენზინის ფასი 90 კაპიკია ავტომობილის ავზი 40 ლიტრ ბენზინს იტევს

17

14 y = 2x + b ფუნქციის გრაფიკი A(1 ndash1) წერტილზე გადის იპოვეთ b და ააგეთფუნქციის გრაფიკი

15 c-ს რა მნიშვნელობისათვის გადის f(x) = x2 + x + c ფუნქციის გრაფიკი A(ndash1 2)წერტილზე

16 N(ndash1 1) წერტილი f(x) = x3 + mx ფუნქციის გრაფიკზეა იპოვეთ f(2)

ააგეთ მოცემული ფუნქციის გრაფიკი და გრაფიკის საკოორდინატო ღერძებითუჩვენეთ გადაკვეთის წერტილები

18

12ა) y = x ndash 1 1

2ბ) y = ndash x ndash 1

სურათზე y = 2x y = 2 + x y = y = x2 ფუნქციების გრაფიკებია მოცემულიუჩვენეთ თითოეული ფუნქციის შესაბამისი გრაფიკი

2x

x

y

Ox

y

O x

y

Ox

y

O19 მოცემული ფუნქციის ldquo1rdquo ბიჯით შეადგინეთ მნიშვნელობათა ცხრილი ააგეთ

გრაფიკი უჩვენეთ მნიშვნელობათა სიმრავლე

x + 6xა) y = 1 le x le 6 ბ) y = x2 ndash 2x ndash4 le x le 4

20 გრაფიკზე გამოსახულიწრფივი ფუნქცია ჩაწერეთფორმულით f(x) = kx + bსახით იპოვეთ f(ndash2) f(6)მნიშვნელობები

f(x) ფუნქციის მოცემული გრაფიკის მიხედვითიპოვეთ ა) f(ndash3) f(ndash1) f(0) f(1) მნიშვნელობებიბ) x-ის f(x) = 1 და x-ის f(x) = 3 ტოლობისდამაკმაყოფილებელი მნიშვნელობები

x

y

O 4

2

2

21

x

y

Ondash2ndash4 2

2

4

4

22

zogierTi funqciis gansazRvris are da mniSvnelobaTa simravle

3 kvadratuli fesvis Semcvel funqciebSi ფესვქვეშა გამოსახულებამ არ

შეიძლება მიიღოს უარყოფითი მნიშვნელობა განვიხილოთ ორ მაგალითზე

1 ფუნქციის განსაზღვრის არე x-ის 2x 6 ge 0 x ge 3 პირობის დამაკ-

მაყოფილებელი მნიშვნელობებია ეი ფუნქციის განსაზღვრის არე [3 +) შუალედია

მეორე მხრივ იმისათვის რომ კვადრატულ ფესვს აზრი გააჩნდეს უნდა იყოს 2x 6 ge 0და ამ შემთხვევაში radic2x 6 ge 0 ეი მიიღება y ge 0 ეს კი იმას ნიშნავს რომ y = radic2x 6ფუნქციის მნიშვნელობათა არე [0 +) შუალედია

ანალიტიკური ხერხით მოცემული ფუნქციის განსაზღვრის არე თუ არ არის ნაჩვენებიგანსაზღვრის არედ არგუმენტის ყველა ისეთი მნიშვნელობა მოიაზრება რომ ამმნიშვნელობებისათვის ფუნქციის გამომსახველ ფორმულას აზრი ჰქონდეს (x-ის ამმნიშვნელობებს ზოგჯერ ფუნქციის ბუნებრივ განსაზღვრის არესაც უწოდებენ) ამშემთხვევაში საჭირო ხდება გავარკვიოთ რომელ მნიშვნელობებს ვერ მიიღებსარგუმენტი ზოგიერთი ფუნქციის ალგებრული ჩანაწერის მიხედვით განვსაზღვროთმისი განსაზღვრის არე

1 ფუნქცია დამოუკიდებელი ცვლადის მიხედვით mravalwevris saxiT თუ არისმოცემული მისი განსაზღვრის არე მთელი ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა მაგალითადf(x) = x3 2x2 + 4x 1 ფუნქციის განსაზღვრის არეა (minus +)2 racionaluri funqciebis მნიშვნელში მოცემული გამოსახულების მნიშვნელობა

არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი მაგალითად რაციონალურ ფუნქცი-

აში არგუმენტის x2 4 = 0 პირობის დამაკმაყოფილებელი მნიშვნელობები არ შეიძლება

შედიოდნენ მისი განსაზღვრის არეში ეს მნიშვნელობებია x = 2 და x = 2 g(x)ფუნქცია განსაზღვრულია ( 2) (2 2) (2 +) სიმრავლეზე

2x 1x2 4g(x) =

y = radic2x 6

2 იპოვეთ y = radic4 x2 ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე ამოხსნა უნდა იყოს 4 x2 ge 0 ამ უტოლობის ამონახსენთა სიმრავლე [ndash2 2]შუალედია მაშასადამე მოცემული ფუნქციის განსაზღვრის არე [ndash2 2]-ია მეორე მხრივ4 x2 le 4 - სათვის y = radic4 x2 le radic4 = 2 და 4 ndash x2 ge 0 - სათვის y = radic4 x2 ge 0 ამრიგად y ge 0 და y le 2 ეი 0 le y le 2 სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ მნიშვნელობათა სიმრავლე [0 2] მონაკვეთია

4 grafikiT mocemuli funqciis gansaz-Rvrisa da mniSvnelobaTa aris moZebnaსურათზე y = x + 2 წრფივი ფუნქციის განსაზ-ღვრულ ინტერვალში აგებული გრაფიკია მოცემულიგრაფიკის მიხედვით დაწერეთ ფუნქციის განსაზ-ღვრის არე და მნიშვნელობათა არე უტოლობებისსახითგრაფიკის წვეროებზე შიგნით გამუქებული დაგაუმუქებელი წრეების აღნიშვნით განსაზღვრეთშესაბამისი წერტილების აბცისის განსაზღვრის არისათვის და ორდინატისამნიშვნელობათა სიმრავლისათვის მიკუთვნება-მიუკუთვნებლობა ვინაიდან (2 1)წერტილში პატარა წრე გაუმუქებელია x = 2 წერტილი განსაზღვრის არეში y = 1მნიშვნელობა კი მნიშვნელობათა არეში არ შედისგანსაზღვრის არე 6 le x lt 2 მნიშვნელობათა არე 1 lt y le 5

12

x

y

0ndash4 2ndash2ndash6

4

ndash2

2

განსაზღვრის არე

მნიშ

ვნელ

ობა

თა ა

რე

12


13

saswavlo davalebebi

უჩვენეთ თითოეული ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა არე

ა) ბ) გ) დ) ე)f(x) = x2 f(x) = x3f(x) = |x| f(x) = radicxf(x) = 1x

იპოვეთ (შესაძლებლობის ფარგლებში) ფუნქციების f (ndash2) f (ndash1) f (0) f (1) f (2)მნიშვნელობები შესაბამისი მნიშვნელობის მოძებნის შეუძლებლობისას კიგანმარტეთ ამის მიზეზი

ƒ(x) = 4 2x

y = 4x x2

f(x) = 4 ndash radicx 2

f(x) = (x ndash 2)(x + 3) f(x) = x ndash 3x + 1

f(x) = x ndash 2x + 2

f(x) = radicx ndash 1x + 2

4

1

ა) ბ) გ)

დ) ე) ვ)

იპოვეთ ფუნქციის განსაზღვრის არე

2

y = 3x + 2ა) ბ) y = x3 1გ)

დ) x 2x2y = y = x ndash 3

x2 ndash x ndash 2ვ)

ზ)

y = radicxx 2ე)

y = radicx ndash 1x ndash 3თ)

იპოვეთ ფუნქციების განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა არე

3

ƒ(x) = 2x 3ა) g(x) = 3(x + 1)2 + 6ბ) h(x) = radic2 xგ)

(x) = radicx2 + 9დ) u(x) = radic9 ndash x2ე) v(x) = radic4 ndash (x ndash 1)2ვ)

იპოვეთ ფუნქციების განსაზღვრის არე5f(x) = radic2x ndash x2

x ndash 1ა) f(x) =ბ) 2x ndash x2

x ndash 1radic f(x) =გ) radic2x ndash x2

radicx ndash 16 y = radicx2 ndash mx + 8 ფუნქციის გრაფიკი M(2 2) წერტილზე გადის იპოვეთ ფუნქციის

უმცირესი მნიშვნელობა და უჩვენეთ მნიშვნელობათა სიმრავლე

7 ფუნქციების გრაფიკის მიხედვით დაწერეთ მისი ფორმულა გრაფიკზე უჩვენეთგანსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა არე დაწერეთ იგი ორმაგი უტოლობის სახით

x

y

0ndash2 2

4

2

t

h

0 4 6

5

32

52

6

1

1

3

4

x

y


4

2

8 Ria tipis SekiTxva დაწერეთ რაიმე ფუნქცია რომლის განსაზღვრის არე მოცე-მულ რიცხვთა სიმრავლეაა) ყველა ნამდვილი რიცხვი ბ) 2-ის გარდა ყველა ნამდვილი რიცხვი გ) 4- ზე არანაკლები ყველა ნამდვილი რიცხვიდ) ყველა ნამდვილი რიცხვი არაუმეტეს 3-სა

ა) ბ) გ)

y = radic1 x2 y = radicx + 4x 4ი)


14

funqciisnulebi

x

y

= 0

gt 0 gt 0lt 0funqciis zrdadoba da klebadoba განსაზღვრის არის გარკვეული შუალე-დიდან აღებული ნებისმიერი x1 და x2-სათვის თუ x2 gt x1 პირობის დამაკმაყოფი-ლებელი f(x2) gt f(x1) ანუ თუ არგუმენტის მეტ მნიშვნელობას ფუნქციის მეტიმნიშვნელობა შეესაბამება ამ SualedSi f(x)-s zrdadi ხოლო თუ f(x2) lt f(x1)ანუ არგუმენტის მეტ მნიშვნელობას ფუნქციის ნაკლები მნიშვნელობა შეესაბამებაf(x)-s am SualedSi klebadi funqcia ეწოდება ფუნქციის მოცემულ შუალედ-ში ზრდადობას -ით კლებადობას კი -ით ავღნიშნავთ

funqciis nulebi ფუნქციის გრაფიკზე წერტილების აბსცისის განსაზღვრით ხდებამისი განსაზღვრის არის პოვნა ფუნქციის გრაფიკის აბსცისთა ღერძის გადაკვეთისწერტილებში f(x) = 0 ხდება არგუმენტის იმ მნიშვნელობებს რომლებიც ფუნქციასნულად აქცევენ funqciis nulebi ეწოდება f(x) ფუნქციის ნულები f(x) = 0 გან-ტოლების ფესვებია

ნული არ აქვს სამი ნული აქვს x1 x2 x3 ორი ნული აქვს x1 x2

ფუნქციის თვისებების ჩვენებისათვის ხელსაყრელია მისი გრაფიკით წარდგენა

თუ f(x) ფუნქცია განსაზღვრულ შუალედში ზრდადია (კლებადია) ndashf(x) ფუნქცია ამშუალედში კლებადია (ზრდადია)მაგალითად f(x) = x2 ფუნქცია [0 +) შუალედში ზრდადია g(x) = ndashx2 ფუნქცია კიიმავე შუალედში კლებადიათუ f(x) ფუნქცია განსაზღვრულ შუალედში ნულისაგან განსხვავებული ზრდადი(კლებადი) ნიშანმუდმივი ფუნქციაა მაშინ ფუნქცია ამ შუალედში კლებადია(ზრდადია)

ფუნქციის ნულები მის განსაზღვრის არეს რამდენიმეშუალედად ყოფენ და ამ შუალედებიდან თითოეულშიფუნქცია მუდმივი ნიშნის შენარჩუნების პირობებშიდადებით ან უარყოფით მნიშვნელობებს იღებს სურათზემოცემულ გრაფიკზე ფუნქციის ნიშანმუდმივობის შუა-ლედები სქემატურადაა ნაჩვენები

x2 gt x1 f(x2) gt f(x1) x2 gt x1 f(x2) lt f(x1)

x

y

y = f(x)

(0 f(0))(x1 0) (x2 0) (x3 0) x

y y = f(x)

(x2 0)(x1 0) x

y

(0 f(0))

y = f(x)

+ ndash

++

y y

f (x2) f (x1)

f (x2)

f (x)

f (x)f (x1)

x xx1 x2 x1 x2

klebadizrdadi

1f(x)


15

მაქსიმუმისა და მინიმუმის წერტილებს (xmin xmax) ექსტრემუმის წერტილები ხოლოფუნქციის მნიშვნელობებს ამ წერტილებში ექსტრემუმები ეწოდებაგრაფიკის მიხედვით ფუნქცია x = c წერტილში აღწევს მინიმუმს x = d წერტილში კიმაქსიმუმს ეს ასე იწერება xmin = c fmin = f(c) xmax = d fmax = f(d)

გრაფიკზე ზრდის კლებით შეცვლისა და კლების ზრდით შეცვლის წერტილებიშესაბამისად ფუნქციის მაქსიმუმსა და მინიმუმს უჩვენებსx0 წერტილის მომცველ ნებისმიერ მიდამოს ამ wertilis midamo ეწოდებაx0-ის განსაზღვრულ მიდამოში თუ ყველა x-ისათვის f(x) ge f(x0) მაშინ x0-ს f(x)-ისminimumis wertili f(x0)-ს კი minimumis mniSvneloba ეწოდებაx0-ის განსაზღვრულ მიდამოში თუ ყველა x-ისათვის f(x) le f(x0) მაშინ x0-ს f(x)-ისmaqsimumis wertili f(x0)-ს კი maqsimumis mniSvneloba ეწოდება

კუთხური კოეფიციენტის ნიშნის მიხედვით შეიძლება განვსაზღვროთ წრფივიფუნქცია ზრდადია თუ კლებადია

ანალიტიკური ხერხით ვუჩვენოთ რომ f(x) = kx + b ფუნქცია როცა k gt 0 მთელრიცხვით ღერძზე ზრდადია ხოლო როცა k lt 0 მაშინ კლებადიაარგუმენტის (ndash +) შუალედიდან აღებული და x2 gt x1 პირობის დამაკმა-ყოფილებელი ორი მნიშვნელობისათვის განვიხილოთ f(x2) ndash f(x1) სხვაობა

f(x2) ndash f(x1) = (kx2 + b) ndash (kx1 + b) = k middot (x2 ndash x1)პირობის თანახმად რადგან x2 gt x1 ამიტომ f(x2) ndash f(x1) სხვაობის ნიშანი k-ს ნიშანსემთხვევა მაშასადამე როცა k gt 0 მაშინ f(x2) gt f(x1) ანუ ფუნქცია ზრდადია ხოლოროცა k lt 0 მაშინ კი f(x2) lt f(x1) ანუ ფუნქცია კლებადიაზრდად და კლებად ფუნქციებს მონოტონური ფუნქციები ეწოდება

მთელ განსაზღვრის არეზე ფუნქციისმნიშვნელობებს შორის უდიდესი udm-ით და ყველაზე პატარა კი umm-ით (თუარსებობს) შეიძლება აღინიშნოს თუფუნქცია უწყვეტია udm-სა და umm-სშორის ყველა მნიშვნელობას იღებს

wrfivi funqciebi romelTa kuTxurikoeficienti dadebiTia zrdadia

y = ndash2x + 3 funqciaklebadia

y = 2x + 1 funqcia zrdadia

wrfivi funqciebi romelTa kuTxurikoeficienti uaryofiTia klebadia

y

11

3

3

ndash1ndash3ndash5 x

y

11

3

3


მაგალითად f(x) = x2 + 4 ფუნქცია [0 +) შუალედში ზრდადია g(x) =ფუნქცია კი იგივე შუალედში კლებადია

1x2 + 4

0

მაქსიმუმი

მინიმუმი

y

x

udm

umm

მნიშვნელობათა არე

abc

d

16


saswavlo davalebebi

1 იპოვეთ ფუნქციის ნულები

15ა) y = x ndash 4 ბ) y = 2x(x ndash 3) გ) y = radicx ndash 2 დ) y = radicx ndash 2

2

3 ა) გამოსახეთ რომელიმე ზრდადი ფუნქციის გრაფიკი რომლის განსაზღვრის არეა [1 4]ბ) გამოსახეთ რომელიმე კლებადი ფუნქციის გრაფიკი რომლის განსაზღვრის არეა [1 4]

გამოსახეთ რაიმე ფუნქციის გრაფიკი რომლის ნულები მოცემული რიცხვებიაა) ndash1 3 ბ) ndash2 1 4

4 დაწერეთ დამოკიდებულების რუკით მოცემული ფუნქციების ა) განსაზღვრის არედა მნიშვნელობათა სიმრავლე ბ) ზრდისა და კლების შესახებ

X Y

ა)1

02

21

35917

ბ)02143

53412

გ)16

941

4321

დ)ndash2

2ndash1

10

410

X Y X Y X Y

amoxsna 1 ფუნქციის gansazRvris are [-1 5]შუალედია ფუნქციის mniSvnelobaTa simravle

[-3 3] შუალედია (5 2) წერტილი კი გრაფიკს არეკუთვნის (შიგნიდან გაუქმებული წრითააააღნიშნული)

2 funqciis nulebi გრაფიკის x ღერძთან გადა-კვეთის წერტილების აბსცისებია x = 1 და x = 4 მაშა-

სადამე x = 1 და x = 4 წერტილები ფუნქციის ნულებია

f(1) = 0 და f(4) = 03 funqciis zrdadoba da klebadoba ფუნქციის ნულები მისი განსაზღვრისარეს ფუნქციის ნიშანმუდმივობის შენარჩუნებით სამ შუალედად ყოფს (-1 1) (1 4)და (4 5) ფუნქცია (1 4) შუალედში უარყოფით ხოლო (ndash1 1) და (4 5) შუალედებიდანთითოეულში დადებით მნიშვნელობას იღებსგრაფიკიდან ჩანს რომ x-ის -1 დან 1-მდე ზრდისას y-ის მნიშვნელობა 1-დან 3-მდეიზრდება x-ის 0-დან 2-მდე ზრდისას y-ის მნიშვნელობა 3-დან ndash3-მდე მცირდება x-ის 2-დან 5-მდე ზრდისას კი y-ის მნიშვნელობა ndash3-დან 2-მდე იზრდებაფუნქცია [-1 0] და [2 5] შუალედებიდან თითოეულში ზრდადია [0 2] შუალედშიკლებადია4 funqciis eqstremumebi-maqsimumebi da minimumebi გრაფიკზე (0 3) და (2 ndash3) წერტილები ექსტრემუმის წერტილებია ეს წერტილები შესაბამისად ფუნქციისმაქსიმუმსა და მინიმუმს უჩვენებს xmax = 0 fmax = 3 xmin = 2 fmin = ndash3

x

y

0ndash3

მნიშ

ვნელ

ობა

თა

განსაზღვის არე

(ndash1 1) (0 3)(5 2)

(2 ndash3)

y= f(x)4

432

1

ndash2

nimuSi ჩამოთვალეთ გრაფიკზე მოცემული ფუნქციის თვისებები

17


y = f(x) ფუნქცია (ndash +) შუალედში განსაზღვრული კლებადი ფუნქციაადაალაგეთ ქვემოთ მოცემული მნიშვნელობები ზრდის რიგის მიხედვით

ა) f(0) f(ndash4) f(2) ბ) f(1) f(ndash1) f(3) გ) f(ndashradic3) f(ndash2) f(radic2)

6

ndash2

5 სურათზე მოცემული გრაფიკისათვის იპოვეთა) განსაზღვრის არე ბ) ნულები გ) დადებითნიშნიანი შუალედები დ) უარყოფითნიშნიანი შუალედები ე) ზრდის შუალედები ვ) კლების შუალედები ზ) ექსტრემუმები თ) მნიშვნელობათა არე

x

y

2 43 650ndash2

2

1

ndash3

ndash1

1

ndash3

3

ndash2

x

y

2 43 50ndash2

2

1

ndash3

ndash1

1

ndash3

34

ndash4ndash5

1) 2)

8

7 ცხრილში A და B კომპანიების კვირეული რეალიზაციის მოცულობებია მოცემულია) თითოეული კომპანიისათვის განსაზღვრეთ გაიზარდა თუ შემცირდარეალიზაციის მოცულობაბ) თითოეული კომპანიისათვის მოცემული ცხრილი გამოსახეთ გრაფიკულად

ააგეთ მოცემული ფუნქციის გრაფიკი უჩვენეთ ზრდადია თუ კლებადი იპოვეთფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა

ა) f(x) = x ndash 3 ndash2 le x le 4 ბ) f(x) = 3 ndash x ndash1 le x le 412

9 იპოვეთ ფუნქციის ნულები გამოსახეთ გრაფიკი სქემატურად გამოიკვლიეთ ნიშან-მუდმივობა უჩვენეთ ზრდისა და კლების შუალედები დაწერეთ ექსტრემუმებია) y = x2 ndash 4 ბ) y = x ndash 1 გ) y = ndashx2 + 2x + 3

კვირა 1 2 3 4 გაყიდვა 5 71 87 12

A კომპანია (ათი ათას მანეთობით)

კვირა 1 2 3 4 გაყიდვა 56 42 38 3

B კომპანია (ათი ათას მანეთობით)

10დაწერეთ f(x) = kx + b ფუნქციის ფორმულა რომლის გრაფიკი A(1 ndash1) და B(2 1)წერტილებზე გადის დაალაგეთ ზრდის რიგის მიხედვით f(ndash3) f(ndash4) f(2)მნიშვნელობები განსაზღვრეთ არგუმენტის რა მნიშვნელობისათვის f(x) ge f(1)

11იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა (თუ გააჩნია)

ბ) f(x) = 2 ndash x ndash 1ა) f(x) = 2 + radicx ndash 4 გ) f(x) = 2x2 + 1

12ააგეთ მოცემული ფუნქციის გრაფიკი მოცემულ შუალედში უჩვენეთ ექსტრე-მუსმები იპოვეთ უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები

ა) y = 2x ndash x2 [ndash1 2] ბ) y = x2 + 4x [ndash2 1]

18


ლუწი ფუნქციის გრაფიკი ორდინატთაღერძის მიმართ სიმეტრიულია

კენტი ფუნქციის გრაფიკი კოორდინატთასათავის მიმართ სიმეტრიულია თუ f(x)კენტი ფუნქციაა x = 0 წერტილში განსაზ-ღვრულია მაშინ f(0) = 0

x

y

0ndash2

4

2

4

(x y)

6

ndash4 2

(ndashx y)x

y


2

ყველა ფუნქცია კენტი ან ლუწი არაა თუ ფუნქციის განსაზღვრის არე x = 0 წერტილისმიმართ არ არის სიმეტრიული მაშინ ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი განსაზ-ღვრის არის 0-ის მიმართ სიმეტრიული ფუნქციისათვის f(ndashx) = f(x) და f(ndashx) = ndashf(x)პირობების დარღვევის შემთხვევაშიც ამბობენ რომ ფუნქცია არც კენტია და არც ლუწი

nimuSi 1 f(x) = x2 + x ფუნქციისათვის გამოიკვლიეთ ლუწ-კენტობაamoxsna ფუნქციის განსაზღვრის არე-ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე x = 0წერტილის მიმართ სიმეტრიულია თუმცა რადგან f(ndashx) = (ndashx)2 + (ndashx) = x2 ndash xამიტომ f(ndashx) f(x) და f(ndashx) ndashf(x) მაშასადამე მოცემული ფუნქცია არც კენტია დაარც ლუწი

nimuSi 2 ფუნქციისათვის გამოიკვლიეთ ლუწ-კენტობა

amoxsna ფუნქციის განსაზღვრის არე ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა და

f(x) = = f(x)

f(x) =x3 xx2 + 2

(x)3 (x)(x)2 + 2

x3 + xx2 + 2

(x3 x)x2 + 2

(x3 x)x2 + 2===

რადგან f(x) = f(x) მოცემული ფუნქცია კენტი ფუნქციაა

ფუნქციის გრაფიკი yღერძის მიმართ სიმეტ-რიულია ეს ფუნქციალუწი ფუნქციაა

ფუნქციის გრაფიკი არცy ღერძის მიმართაა სი-მეტრიული არც კოორ-დინატთა სათავის მი-მართ ფუნქცია არც კენ-ტია და არც ლუწი

xndashx

xndashx

(x y)

(ndashx ndashy)

ა) f(x) = x2 4 ბ) f(x) = x2 minus 4x + 3nimuSi 3 გამოიკვლიეთ ლუწ-კენტობა ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით

განვიხილოთ ფუნქციები რომელთა განსაზღვრის არე x = 0 წერტილის მიმართარის სიმეტრიული

108642

-2-2-4-4-6

2 4

10864

4

2

2-22 xx

yy

თუ განსაზღვრის არიდან აღებული ნე-ბისმიერი x-სათვის f(x) = f(x) მაშინf(x) ფუნქციას ლუწი ფუნქცია ეწოდება

თუ განსაზღვრის არიდან აღებული ნების-მიერი x-სათვის f(x) = f(x) მაშინ f(x)ფუნქციას კენტი ფუნქცია ეწოდება

19


გამოიკვლიეთ მოცემული ფუნქციის ლუწ-კენტობა

მოცემული გრაფიკების მიხედვით განსაზღვრეთ ფუნქციები კენტია თუ ლუწი

გამოიკვლიეთ მოცემული ფუნქციების ლუწ-კენტობა

f(x) = 5x3+ x

f(x) = x2+ 6

f(x) = x2 + 1

f(x) = x5

f(x) = x3+ x f(x) = x + 4

f(x) = x3

f(x) = x2

f(x) = 3x2 5f(x) = x(x2 + 5)f(x) = 0

f(x) = 5x3+ x2+ 4f(x) = 2x3 3x f(x) = 1

x2 + 2

|x|x2 + 1|x|

x3 1

f(x) =

f(x) =

1

2

3

4 მოცემულია მთელ რიცხვთა ღერძზე განსაზღვრული f(x) ფუნქცია იპოვეთა) f(4) -ის მნიშვნელობა თუ f(x) ლუწი ფუნქციაა და f(ndash4) = 7ბ) f(4) -ის მნიშვნელობა თუ f(x) კენტი ფუნქციაა და f(ndash4) = 7გ) f(3) + f(ndash5) თუ f(x) ლუწი ფუნქციაა და f(ndash3) = 8 f(5) = ndash2 დ) f(2) + f(0) + f(ndash4) თუ f(x) კენტი ფუნქციაა და f(ndash2) = 3 f(4) = ndash7

5 მოცემულია იმ f(x) ფუნქციის გრაფიკის ერთი ნაწილირომლის განსაზღვრის არეა [ndash2 2] დაასრულეთ გრაფიკითუ ცნობილია რომ ფუნქცია არის ა) ლუწი ბ) კენტი x

y

0ndash2

ndash2

2

saswavlo davalebebi

6 თუ ფუნქციის განსაზღვრის არე მოცემულ შუალედშია მაშინ შეიძლება მოცემული ფუნქცია იყოს კენტი ან ლუწი

ა) [ndash6 6] ბ) (ndash6 6) გ) (ndash6 6] დ) [ndash9 10) ე) (ndash 1) (1 +)7 f(x) ფუნქცია მთელ რიცხვით ღერძზეა განსაზღვრული და [0+) შუალედში

ზრდადია 1) თუ f(x) ლუწი ფუნქციაა შეადარეთა) f(2) და f(3) ბ) f(5) და f(7) გ) f(ndash2) და f(ndash3) დ) f(ndash5) და f(ndash7) 2) ზრდადია თუ კლებადია f(x) ფუნქცია (ndash 0] შუალედში

8 სქემატურად გამოსახეთ რაიმე ლუწი ფუნქციის გრაფიკი რომლის განსაზღვრისარეც არის [ndash6 6] მონაკვეთი ზრდადია [ndash6 0] შუალედში და x = ndash4 წერტილშინულის ტოლი ხდება x-ის რა მნიშვნელობებისთვისაა f(x) gt 0

y

x0 2 4

05

1

ndash2ndash4ndash05

ndash1

y

x2

02

1ndash2

ndash5ndash10

yy

x

x

0 2 4

0204

5 10

ndash2ndash4ndash02ndash04

ndash1ndash5ndash10

510

0

0

ა) ბ) გ) დ)

ა) ბ) გ) დ)

20


amoxsna ფუნქციის გრაფიკი x = 1 წერტილის მარცხნივ

y = ndash x ndash წრფის x = 1-ის მარჯვნივ კი y = x 2

წრფეზეა ვინაიდან f(1) = ndash1 მოცემული ფუნქციის გრაფიკი

წვერო (1 -1) წერტილში მქონე ტეხილია თუ გრაფიკის

ასახვა ხდება კალმის ldquoფურცლიდან აუღებლადrdquo შეიძლება

ითქვას რომ ფუნქცია უწყვეტია ნიმუშში მოცემული ფუნ-

ქცია უწყვეტია

ხშირ შემთხვევაში რეალური ცხოვრებისეული სიტუაციების ასახვისათვის გამოიყენებაარა ერთი არამედ რამდენიმე ფუნქცია და მათი განსაზღვრის არეამოცანა საბითუმო მაღაზიაში მინიმუმ 10 და მაქსიმუმ 20 სპორტული პერანგისშემძენისათვის ერთი პერანგის ფასი 3 მანეთია 20-ზე მეტი სპორტული პერანგისშემძენისათვის ფასი 2 მანეთია დაწერეთ ამ ორ სიდიდეს შორის დამოკიდებულებაგაყიდვიდან შემოსული ფული აღნიშნეთ C- თი პერანგების რაოდენობა n-ით

C (n) = 3 n2 n

10 le n le 20 n gt 20

ამ სიტუაციის ორი ფუნქციის C(n) = 3 n 10 le n le 20 და C(n) = 2 n n gt 20 საერთოსახით ქვემოთ მოცემული ჩანაწერით გამოსახვა შეიძლება

ამ ფუნქციის გრაფიკი საფეხურიანი ნაწილებისაგან შედგება ვინაიდან გრაფიკიწყვეტილი ხაზებისაგან შემდგარი ფუნქცია წყვეტადიამსგავსი ფუნქციები როგორც მთელი ნაწილის ფუნქციები ზოგადად f (x) = [x] სახითიწერება აგებული გრაფიკი მთელი - ნაწილი ფუნქციის [0 4) შუალედში არსებულიგრაფიკია

1 თუ 0 le x lt 12 თუ 1 le x lt 23 თუ2 le x lt 34 თუ 3 le x lt 4

ƒ(x) =

nimuSi 2 ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი

x

y

0ndash1 1ndash1

1

(1ndash1)

ndash x ndash როცა x lt 1 x 2 როცა x ge 1

12

12

12

12

n = 15 n = 20 n = 30 n = 40 იპოვეთ C(n) ფუნქციის მნიშვნელობები n = 15 და n = 20 მნიშვნელობებისათვის10 le n le 20 პირობის დამაკმაყოფილებელი რიცხვისათვის ფული 3 n ფორმულით უნდაგამოვთვალოთC (15) = 3 n = 3 15 = 45 C (20) = 3 n = 3 20 = 60 n = 30 და n = 40 მნიშვნელობები n gt 20 პირობას შეესაბამება

ƒ(x) =

C(30) = 2 30 = 60 C(40) = 2 40 = 80ისეთ ფუნქციებს რომლებშიც განსაზღვრის არე სხვადასხვა შუალედში სხვადასხვაფორმულითაა მოცემული ნაწილ-ნაწილ მოცემული ფუნქცია ეწოდება

მუქი (23)წერტილიუჩვენებს რომ f(2) = 3

გაუმუქე-ბელი(22)წერტილიუჩვენებს რომ f(1)ne2

x

y

0

1

1

nimuSi 1 ააგეთ ნაწილ-ნაწილ მოცემული ფუნქციის გრაფიკი

21


x = 15

დაწერეთ განტოლება ნაწილ-ნაწილ ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით

ა) ბ) გ) დ)

გამოთვალეთ ნაწილ-ნაწილ მოცემული ფუნქციის მნიშვნელობები არგუმენტისმოცემული მნიშვნელობისათვის

ააგეთ ნაწილ-ნაწილ მოცემული ფუნქციის გრაფიკი გრაფიკის მიხედვითგამოიკვლიეთ ფუნქციის უკვეთობა

f(x) =

ავტოსადგომზე გადახდის წესიyoveli naxevari saaTi 050 M

naxevari saaTisaTvis gadasaxadi Tu 2 maneTs miaRwevs avtomobils sadgomze 12 saaTi SeuZlia idges

ა) გადახდის პირობა გამოსახეთ ნაწილ-ნაწილ ფუნქციით ბ) ააგეთ ფუნქციისგრაფიკი გ) დაწერეთ განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა არეmiTiTeba მოთხოვნილი ფუნქცია აღნიშნეთ f(t)-თი და დაწერეთ 050 1 15 2მანეთის თანხის შესაბამისი დროის ინტერვალები კომპანია თანამშრომლებს ხელფასს სამუშაო საათების მიხედვით ქვემოთ მოცემულიწესით უხდის თუ თანამშრომელი კვირის განმავლობაში 40 სთ-ის იმუშავებს ყოველსამუშაო საათში 8 მანეთი 40 საათის ზევით თითოეული სამუშაო საათისათვისნორმალური ტარიფიდან 15-ჯერ მეტს იღებს დაწერეთ ამ კომპანიაში ანაზღაურებისწესი ნაწილ-ნაწილი ფუნქციის სახით რამდენ მანეთს მიიღებს თანამშრომელირომელმაც კვირაში 48 საათი იმუშავა

015x 0 lt x le 25010x 26 le x le 100007x 101 le x le 500005x 501 le x

2x 3 x le 4 3x + 5 x gt 4

x = 4 x = 2 x = 12

M(x) = მოცემული ფუნქცია ფოტოსურათების გამრავ-ლების კომპანიაში ფოტოსურათის x რაოდენობაზედამოკიდებულებით M(x)-ის დამაკმაყოფილებელთანხას (მანეთობით) უჩვენებს

1) იპოვეთ 20 ფოტოსურათის დაბეჭდვისათვის გადახდილი თანხა2) სწორია მოსაზრება იმის შესახებ რომ 150 სურათის დაბეჭდვისათვის 10 მანეთზენაკლების გადახდაა საჭირო3) რამდენი ფოტოსურათის დაბეჭდვა შეიძლება 40 მანეთად

saswavlo davalebebi

1

2

3

4

5

6

f(x) = x + 1 ndash3 le x lt 13x ndash 1 1 le x le 3 f(x) =

4 0 le x lt 25 2 le x lt 46 4 le x lt 6

ა) ბ)

ა) ბ) გ)

f(x) = 2x x le 0 radicx x gt 0

მოცემულია ფუნქცია იპოვეთ

ა) f(ndash2) ბ) f(ndash1) გ) f(0) დ) f(1) ე) f(4)

f(x) = 1 ndash x x lt 1x ndash 1 x ge 1გ)

7

x

y

0 7

3

5

1

3

(32)

(15)

(70)x

y

0

1

1

x

y

0 42ndash2

2

ndash1

22

3

5

მოცემულია ფუნქციები f(x) = x3 და g(x) = x4 შეადარეთ ა) f(01) და g(01) ბ) f( ) და g( ) გ) f(2) და g(2) 1

212

4

y = xn (n N) maCvenebliani funqciebi

ნებისმიერი n ნატურალური რიცხვისათვის y = xn სახის ფუნქციასნატურალურმაჩვენებლიანი ფუნქცია ეწოდება ქვემოთ მოცემულია მაჩვენებლიანი ფუნქციების გრაფიკები როცა n = 1 n = 2 და n = 3

y = xn ფუნქციის გრაფიკი n-ის ნებისმიერი ლუწი მნიშვნელობისათვის y ღერძის მიმართსიმეტრიულია და y = x2 ფუნქციის მსგავსია n-ის ნებისმიერი კენტი მნიშვნელობისათვისy = xn ფუნქციის გრაფიკი კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულია და n-ის 1-ზემეტი კენტი მნიშვნელობისათვის y = x3 ფუნქციის გრაფიკის - კუბური პარაბოლისმსგავსია

როცა n gt 1 n N მაშინ xn ფუნქციის გრაფიკს n რიგის პარაბოლა ეწოდება როგორცგრაფიკებიდან ჩანს როცა n gt m (0 1) შუალედში xn ფუნქციის გრაფიკი xm

ფუნქციის გრაფიკზე ქვევით (1 +) შუალედში კი ზევით მდებარეობს

saswavlo davalebebi

1

2

x

y

0

1

1 x

y

0

1

1 x

y

0

1

1

ა) y = x ბ) y = x2 გ) y = x3

x

y

0(1 1)(ndash1 1)

y = x2

y = x6

y = x4

x

y

0

(1 1)

(ndash1 ndash1)

y = x3

y = x5

მოცემულ წერტილებში ფუნქციის მნიშვნელობები შეადარეთ ნულს x = 0 x = ndash3 x = 5

ა) f(x) = x7 ბ) f(x) = x6

y = x funqciis grafikiwrfea

y = x2 funqciis grafikiparabolaa

y = x3 funqciis grafikikuburi parabolaa

ერთი და იგივე საკოორდინატო სიბრტყეში ააგეთ y = x4 და y = 16 ფუნქციისგრაფიკები და უჩვენეთ გადაკვეთის წერტილები გრაფიკული გამოსახულებისმიხედვით ამოხსენით უტოლობები x4 lt 16 და x4 gt 16

მოცემული ფუნქციის გრაფიკი გადის თუ არა მოცემულ წერტილზეა) y = x4 A(ndash2 16) ბ) y = x5 B(ndash2 32) გ) y = x5 C(ndash ndash )1

2132

იკვეთება თუ არა მოცემული ფუნქციის გრაფიკი მოცემულ წრფესთანა) y = x8 y = 2 ბ) y = x6 y = ndash3 გ) y = x5 y = 2 დ) y = x7 y = ndash3

D(x2k+1)= (minusinfin +infin) E(x2k+1)= (minusinfin +infin)ნულები x = 0(minusinfin +infin) eqstremumiar aqvs

D(x2k)= (minusinfin +infin) E(x2k)= [0 +infin)ნულები x = 0(minusinfin 0] [0+) xmin=0fmin=0

23


მუდმივიფუნქცია

იგივური ფუნქცია

კვადრატული ფუნქცია კუბური ფუნქცია

მოდულიანი ფუნქცია

კვადრატული ფესვის ფუნქცია

რაციონალური ფუნქცია

f(x) = c f(x) = x

f(x) = x2 f(x) = x3

f(x) = |x|

f(x) = radicx

f(x) = 1x

D(f) = (minusinfin +infin)E(f) = c

D(f)= [0 +infin)E(f)= [0 +infin)ნულია x = 0[0 +) ექსტრემუმი არა აქვს

D(f)= (minusinfin +infin) E(f)= [0 +infin)ნულია x = 0(minusinfin 0] [0 +)(0 0) წერტილში მინიმუმია

D(f)=(minusinfin 0) (0 +infin)E(f)=(minusinfin 0) (0 +infin)

D(f) = (minusinfin +infin)E(f) = (minusinfin +infin)

D(f) = (minusinfin +infin)E(f) = [0 +infin)

D(f)= (minusinfin +infin)E(f)= (minusinfin +infin) ნულია x = 0ზრდადი ფუნქციააექსტრემუმი არა აქვს

ცვლადი სიდიდეები ძალიან სხვადასხვაგვარია თუმცა ერთი შეხედვით ერთმანეთთანკავშირის უხილავ პროცესებში სიდიდეების ცვლილებები ერთიდაიგივე დამო-კიდებულებით შეიძლება იქნეს მოცემული ამიტომ ყველაზე ხშირად შემხვედრიდამოკიდებულებების შესაბამისად საწყისი ფუნქციის საფუძვლად მიჩნევითფუნქციები ერთ ოჯახში ერთიანდებიან მაგალითად y = 2x2 + 1 y = ( x ndash 1 )2 +2 y = ndash3x2 ფუნქციების გრაფიკები y = x2

პარაბოლაზე ჩატარებული გარდაქმნებით მიიღება ამიტომაც ეს ფუნქციები ასევე y = a( x ndash m )2 +n ფორმულით მოცემული ყველა ფუნქცია ერთ ოჯახში შეიყვანება დაამ ოჯახის მთავარ ფუნქციად y =x2 ითვლებაქვემოთ მოცემულ ცხრილში ზოგიერთი ძირითადი ფუნქციის გრაფიკები და მათშესახებ გარკვეული ინფორმაციებია მოცემული

ნულია x = 0ზრდადი ფუნქციააექსტრემუმი არა აქვს

ნულია x = 0(minusinfin 0] [0 +)(0 0) წერტილშიმინიმუმია

ნული არა აქვს(minusinfin 0) (0 +)ექსტრემუმი არა აქვს

x

y

O x

y

O x

y

O x

y

O

x

y

O x

y

O x

y

O

24

2) განსაზღვრეთ მოცემულიგრაფიკებიდან თითოეულიზემოთ მოცემულ რომელ სი-ტუაციას შეესაბამება


ა) ცხრილში 2002 წლიდანდაწყებული ბიზნესმენის წლი-ური შემოსავალია (მანეთო-ბით) ნაჩვენები x = 3 მნიშვნელობა 2002 წელს შეესაბამება რამდენი შემოსავალიექნება ბიზნესმენს 2018 წელსბ) ცხრილში ნაჩვენებია 1500-დან დაწყებუ-ლი ყოველი მორიგი საათის განმავლობაშიმაღა-ზიაში გაყიდული პურის რაოდენობაx = 3 მნიშვნელობა 1500 საათს შეესაბამება ივარაუდეთ 17 30 საათისათვის გაყი-დული პურის რაოდენობა

რომელი ფუნქციით გამოსახავდით (1 1) (0 0) (1 1) წერტილთა სიმრავლეს

1

2

x 3 4 5 6 7 8 9 10y 7931 8306 8800 9206 9588 10076 10444 10876

x 3 4 5 6 7 8 9 10y 15 30 40 50 45 42 31 18

ა) თუ მოცემულ წერტილებს (2 8) და (2 8) წერტილებსაც დავამატებთ ამწერტილთა სიმრავლის რომელი ფუნქციით გამოსახვა იქნებოდა უფრო სწორიბ) თუ (1 1) წერტილი (1 1) წერტილით შეიცვლება ამ წერტილთა სიმრავლისრომელი ფუნქციით გამოსახვა შეიძლებაგ) თუ (1 1) წერტილი (9 3) წერტილით შეიცვლება ამ წერტილთა სიმრავლისრომელი ფუნქციით გამოსახვა შეიძლება

saswavlo davalebebi

3 = const (იდეალური აირის მდგომარეობის განტოლება) ფორმულაში p V და Tსიდიდეებიდან რომელიმე ერთ-ერთი ჩათვალეთ მუდმივ სიდიდედ და განსაზღვრეთდამოკიდებულების ხასიათი დანარჩენ ორს შორის განიხილეთ ყველა შემთხვევათითოეული შემთხვევისათვის უჩვენეთ მთავარი ფუნქცია

4

5

ცნობილია რომ y და x ცვლადებს შორის დამოკიდებულება პირდაპირპრო-პორციული ან უკუპროპორციულია დაწერეთ y = f(x) ფუნქციის ფორმულა დაააგეთ გრაფიკი თუ ცნობილია რომ f(2) = 2 და f(4) = 1

3 მ სიგრძის კიბე კედელზეა მიყუდებული კიბის ქვედა წვეროკედლიდან d მეტრ მანძილზეა ზედა წვერო კი მიწიდან h მეტრსიმაღლეზეაა) დაწერეთ h სიმაღლის d მანძილზე h(d) დამოკიდებულებისფორმულა ბ) განსაზღვრეთ ფუნქციის განსაზღვრისა დამნიშვნელობათა არე ააგეთ გრაფიკი გ) გამოსახეთ კიბისმდებარეობა როცა d = 0 და d = 3 მ

ა) ბ)

dh

pVT

1) ააგეთ ცხრილში მოცემული ფუნქციების გრაფიკები დაწერეთ თითოეული ფუნქციისათვის შესაბამისი კლასის ძირითადი ფუნქცია

25

იმ შემთხვევაში როცა m = 0 გრაფიკი მხოლოდ ვერტიკალური მიმართულებით პარა-ლელურად გადაიტანება და ახალი ფუნქცია y = f(x) + n ხდება

x

y

y = f(x)

y = f(x) + 3

3 erTeuliTzeviT

x

y

y = f(x)

y = f(x) ndash 3

3 erTeuliTqveviT

პარალელური გადატანისას გრაფიკის ყველა წერტილი მოცემული მიმართულებითერთი და იგივე მანძილით იცვლის ადგილს გრაფიკის ფორმა კი არ იცვლება

y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის თითოეული წერტილი ltm ngt ვექტორით პარალელურადგადავიტანოთ A(a b) rarr A1(a + m b + n)თუ A წერტილის კოორდინატები b = f(a) ტოლობას აკმა-ყოფილებენ A1 წერტილის კოორდინატები y ndash n = f(x ndash m)ტოლობას აკმაყოფილებენ ანუ y = f(x) ფუნქციისგრაფიკის ltm ngt ვექტორით პარალელური გადატანისასy = f(x ndash m) + n ფუნქციის გრაფიკი მიიღება მოცემულიგრაფიკი ჰორიზონტალური მიმართულებით m ერთე-ულით (როცა m gt 0 მარჯვნივ როცა m lt 0 მარცხნივ)ვერტიკალური მიმართულებით n ერთეულით (როცა n gt 0 ზევით როცა n lt 0ქვევით) მოცურდება

x

y

y = f(x)y = f(x ndash 3)nimuSi

3 erTeuliT marjvnivx

y y = f(x)

y = f(x + 3)

3 erTeuliT marcxnivO

O

O

O


თითოეული ფუნქციისათვის განსაზღვრეთ m-ისა და n-ის მნიშვნელობა დაწერეთმოცურება ჰორიზონტალური იქნება თუ ვერტიკალური

ა) y 4 = f (x) ბ) y = f (x) 4 გ) y = f (x + 1) დ) y + 3 = f (x 7)

1

2 სამწევრის სრული კვადრატის გამოყოფით განმარტეთ მოცემული ფუნქციებისგრაფიკები y = x2 ფუნქციის გრაფიკიდან რომელი გარდაქმნებითაა მიღებულია) f (x) = x2 + 2x + 1 ბ) g(x) = x2 4x + 3

praqtikuli mecadineoba 1) y = x2 პარაბოლაზე აღნიშნეთწერტილები (0 0) (ndash1 1) (2 4)2) ეს წერტილები lt4 1gt ვექტორით პარალელურადგადაიტანეთ (0 0) rarr (4 1) (ndash1 1) rarr (3 2) (2 4) rarr (6 5)3) პარალელური გადატანიდან მიღებული წერტილებიშეამოწმეთ y = (x ndash 4)2 + 1 პარაბოლაზე მდებარეობენ თუ არა

x

y

y = x2

y = (x ndash 4)2 + 1

O

(4 1)

(3 2)(2 4)(6 5)

(ndash1 1)

x

y

y = f(x)A(a b)

A1(a + m b + n)

O

იმ შემთხვევაში როცა n = 0 გრაფიკი მხოლოდ ჰორიზონტალური მიმართულებითპარალელურად გადაიტანება და ახალი ფუნქცია y = f(x ndash m) ხდება

3 ndash3

ndash3

nimuSi

paraleluri gadatana

26


nimuSi f(x) = radicx ფუნქციის გრაფიკის გამოყენებით ააგეთ მოცემული ფუნქციებისგრაფიკები

ა) g(x) = radicx 1 ბ) h(x) = radicx 1 გ) s(x) = radicx + 3 2

f(x) = radicx ფუნქციის გრაფიკის გამოყენებით ააგეთ მოცემული ფუნქციებისგრაფიკები თიტოეული გარდაქმნა დაწერეთ სიტყვიერად

ა) g(x) = radicx 3 ბ) h(x) = radicx 2 გ) s(x) = radicx 1 + 2

amoxsna

გრაფიკი 3 ერთეულითმარცხნივ მოცურდება

გრაფიკი 2 ერთეულითქვევით მოცურდება

f(x) = radicx ფუნქციის გრა-ფიკი 1 ერთეულით ქვე-ვით მოცურდება გრა-ფიკზე მდებარე თითო-ეული წერტილის ორდი-ნატს 1 გამოაკლდება

m1(x) = f(x+3) m(x) = f(x+3) 2

f(x) = radicx ფუნქციის გრაფიკი 1 ერ-თეულით მარჯვნივ მოცურდება

g(x) = f(x) 1

h(x) = f(x 1)

ავაგოთ f(x) = radicx ფუნქციის გრაფიკი ფუნქციის განსაზ-ღვრის არე [0 infin) ამ არიდან სრულკვადრატიანი 3მნიშვნელობის (0 1 4) შერჩევით შევადგინოთ ცხრილი

x f(x) (x f(x))0 0 (0 0)1 1 (1 1)4 2 (4 2)

ა)

ბ)

გ)

f(x) =radicx

x

y

0

2

4

(4 1)1

2 31(0 ndash1)

(1 0)

y= g(x)= radicx ndash 1

x

y

0

2

4

(5 2)

1

2 3

(2 1)

(1 0)y= h(x)= radicx ndash 1

5

x

y(1 0)1

21

(ndash3 ndash2)(ndash2 ndash1)

y= m(x)= m1(x) ndash 2= = radicx + 3 ndash 2

ndash2ndash1ndash2ndash3 ndash1

x

y

0

2

4

(4 2)

1

2 31

(1 1)

(0 0)

y= f(x)= radicx

x

y

0

2

4

(4 2)

1

2 31

(1 1)

(0 0)

y= f(x)= radicx

x

y

0

2

4

(4 2)

1

2 31

(1 1)

(0 0)

y= f(x)= radicx

x

y

2(1 2)

1

1

(ndash2 1)(ndash3 0)

y= m1(x)= f(x + 3) = radicx + 3

ndash1ndash3 ndash1 0

4

3

y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის ჰორიზონტალური და ვერტიკალური მიმართულებითპარალელური გადატანით y = f (x m) + n მიიღებაა) უჩვენეთ რომ გადატანის მიმდევრობა აქვს მნიშვნელობა უჩვენეთ ნიმუშზებ) m და n პარამეტრების მნიშვნელობები რა გავლენას ახდენენ ფუნქციისგანსაზღვრის არესა და მნიშვნელობათა სიმრავლეზე

27


y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით თითოეულიგარდაქმნისათვისbull განსაზღვრეთ Aprime Bprime Cprime Dprime და Eprime წერტილებისკოორდინატებიbull დახაზეთ გარდაქმნის შედეგად მიღებული ფუნ-ქციების გრაფიკებია) g(x) = f (x) + 2 ბ) g(x) = f (x 3)გ) g(x) = f (x + 1) დ) g(x) = f (x) 4

6

7

8

9

10

თითოეული პარალელური გადატანისათვის განსაზღვრეთ m-ისა და n-ის მნიშ-ვნელობა და დაწერეთ გარდაქმნის შედეგად მიღებული ფუნქცია y = f(x m) + nსახით გამოთქვით მოსაზრებები თითოეული ფუნქციის განსაზღვრის არის დამნიშვნელობათა არის შესახებ

ა) f (x) = |x| 4 ერთეულით მარცხნივ და 2 ერთეულით ქვევით

ბ) f(x) = x2 6 ერთეულით მარჯვნივ და 4 ერთეულით ზევით

გ) 5 ერთეულით მარცხნივ 3 ერთეულით ქვევით

ულქერი სახლიდან გამოვიდა ველოსიპე-დით ქალაქგარეთ ტბაზე წავიდა და უკანდაბრუნდა მან გავლილი გზა და დახარ-ჯული დრო A გრაფიკით გამოსახაა) როგორ შეიცვლებოდა ეს გრაფიკი თუულქერი სახლიდან 2 საათის შემდეგ გამო-ვიდოდაბ) სურათზე მოცემულ B გრაფიკს სიტუაცი-ის შესაბამისად როგორ წარმოადგენდით

შეუღებავი სახლის s ფართობის მქონე კედლების შეღებვისათვის საჭიროსაღებავების ოდენობა (n ლიტრი) n = f(s) ფუნქციით შეიძლება განისაზღვროს სიტუაციის შესაბამისად წარმოადგინეთ n = f (s) + 10 და n = f (s + 10)ცვლილებები

f(x) = 1x

x

y

0ndash2 42ndash4

ndash2

2y= f(x)

A

B C

D E

f(x) = ფუნქცია x = 0 წერტილში არ არის განსაზღვრული რომელ წერტილში არარის განსაზღვრული f(x ndash 3) ფუნქცია ერთი და იმავე საკოორდინატო სიბრტყეშიააგეთ ერთი და იგივე კოორდინატთა სისტემაში f(x) და f(xndash3) ფუნქციების გრაფიკები

1x

გრაფიკების მიხედვით წარმოადგინეთ f(x) ფუნქციის g (x) ფუნქციად გარდაქმნაა) f(x) და g(x) ფუნქციების შესახებ დაწერეთ 5 წერტილის კოორდინატების შესაბამისობა ბ) გარდაქმნით მიღებული g (x) ფუნქცია დაწერეთ y = f(x m) + n სახით

5

x

y

0ndash2 42ndash4

ndash2

4

2

ndash4

6

g(x)

f(x)= x21)

x

y

0ndash2 42ndash4

ndash2

4

2

ndash4g(x)

f(x)2)

ndash6

A

B CD E

A

B C

D E

6

t

s

0 842

30

10

10

20

სახლ

იდან

მიმა

-ვა

ლი

გზა

(კმ)

დრო (საათი)

A B

6

28

ordinatTa RerZis mi-marT გრაფიკის თითო-ეული წერტილი y ღერძისმიმართ სიმეტრიულ წერ-ტილად გარდაიქმნება

abscisTa RerZis mi-marT გრაფიკის თითო-ეული წერტილი x ღერ-ძის მიმართ სიმეტრიულწერტილად გადაიქცევა

wertilis ordinatiisev ise rCeba abscisaki niSans icvlis

koordinatTa saTavismimarT გრაფიკის თითო-ეული წერტილი კოორდი-ნატთა სათავის მიმართსიმეტრიულ წერტილადიქცევა

(x y) rarr (x y)wertilis abscisa isevise rCeba ordinati kiniSans icvlis

wertilis orive koor-dinatis niSani icvleba

(x y) rarr (x y)

(x y) rarr (x y)(x y) rarr (x y)

(1 2) rarr (1 2)

(x y) rarr (x y)

(x y) rarr (x y)

(1 2) rarr (1 2) (1 2) rarr (1 2)

asaxva


მოცემული წერტილების ა) x ღერძის ბ) y ღერძის მიმართ ასახვით გარდაქ-მნილი წერტილები ასახეთ საკოორდინატო სიბრტყეზე დაწერეთ ახალიკოორდინატები

თითოეული ფუნქციისათვის დაწერეთ საწყისი ფუნქცია დაგარდაქმნები

A(5 3) B(5 5) C(0 3) D(6 2) F(9 0)

ა) y = x2 + 2 ბ) y = radicx + 1 გ) y = 1x 1 დ) y = 1 1

x

1x

11

13

(11)

(1 1)

(11)

(11)

y = radicx

y = radicx

y = radicxy = radicxy = radicx

y = radicx

x ღერძის მიმართ y ღერძის მიმართკოორდინატთა სათავისმიმართ

(1 2)

x

y

(1 2)

(1 2)

x

y(1 2) (1 2)

y

(12)

f(x) rarr f(x)

funqciis grafikebis asaxva

f(x) rarr f(x) f(x) rarr f(x)

xO O O

0 0 0

(1 1)(1 1)

გამოიკვლიეთ ნიმუში გამოსახეთ გრაფიკებისსაკოორდინატო ღერძის მიმართ ასახვით f(x) დაf(x) ფუნქციების გრაფიკები

nimuSi f(x) = x + 1

ბ) f(x) = x + 3

დ) f(x) = ბ) f(x) = x3

f(x) = x + 1

f(-x)

f(x)

12

(1 2)

(1 2)

(1 2)

O

y

xა) f(x) = x + 1

29

მოცემული წერტილთა სიმრავლის მიხედვით ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი

განსაზღვრეთ გრაფიკი y = x y = x2 y = radicx y = x3 ფუნქციებიდან რომლის

გარდაქმნის შესაბამისია

ააგეთ ცხრილში მოცემული ფუნქციის გრაფიკი უჩვენეთ მოცემული ფუნქციარომელ ძირითადი ფუნქციისაგან და რომელი გარდაქმნებითაა მიღებული

ნაბიჯ-ნაბიჯ დაწერეთ y = x2 პარაბოლის რომელი გარდაქმნებით არი მიღებული y = ndash (x+1)2 + 3 ფუნქციის გრაფიკი თითოეული ნაბიჯი გამოსახეთ გრაფიკულად

ძირითადი ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით ააგეთ მოთხოვნილი ფუნქციების გრაფიკები

გრაფიკების მიხედვით შეასრულეთ დავალებები1) ფორმულით ჩაწერეთ x ღერძის მიმართ ასახვით მიღებული ფუნქციები2) დაწერეთ თითოეული ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე

ძირითადი ფუნქცია f(x) = radicx

ა) g(x) = 3radicx + 2ბ) g(x) = radicx 4გ) g(x) = radicxდ) g(x) = 3radicxე) g(x) = 3radicx 3

14

15

16

17

18

3

3

3

3

3ძირითდი ფუნქცია f(x) = x31) 2)

3

ა) f(x) = (x + 1)3

ბ) f(x) = x3 4გ) f(x) = x3

დ) f(x) = (x 2)3

ე) f(x) = x3 + 3


f(x) = 3x

y

x

2

0ndash2

ndash2

2

y

x20ndash2

2

4

g(x) = x2 + 1

ა) ბ)

ა)

ბ)

გ)

დ)

(2 8) (1 1) (0 0) (1 1) (2 8)

(ndash 2 ndash 4) (ndash 1 ndash 1) (0 0) (1 ndash 1) (2 ndash 4)

(0 0) (1 1) (4 2) (9 3) (16 4)

(4 3) (2 1) (0 1) (2 3) (4 5)

x 0 1 4 9 16y 0 ndash 1 ndash 2 ndash 3 ndash 4

x ndash 4 ndash2 0 2 4y ndash 4 ndash2 0 ndash2 ndash 4

ა) ბ)

f(x) = x3

y

x2o 4ndash2ndash4ndash2ndash4

24

f(x) = radicx

y

x2o 4ndash2

ndash4 ndash2

ndash4

2

43

h(x) =

y

x

2

ondash2ndash2

2 4

4

ndash4

ndash4

1x

გ)

30

grafikebis moWera da SekumSva


x ღერძიდან 2-ჯერ მოჭერა x ღერძისაკენ 2-ჯერ შეკუმშვა

(1 1)

(1 1) rarr (1 2)

O

y

x

y = x2

y = 2x2

(1 2)(ndash1 1)

(ndash1 2)

grafikze arsebuli TiToeuli wer-tili abscisTa RerZidan 2-jerSordeba

(2 4)

O

y

x

y = x2 y = x2

(2 2)

(ndash2 4)

(ndash2 2)

12

(2 4) rarr (2 2)

grafikze arsebuli TiToeuli wertiliabscisTa RerZs 2-jer uaxlovdeba

აბსცისთა ღერძიდან მოჭერისას და შეკუმშვისას წერტილების აბსცისები იგივე რჩებაორდინატი იცვლება (a b) rarr (a lmiddotb)თუ A(a b) წერტილი y = f(x) ფუნქციის გრაფიკზეა b = f(a)მაშინ A1(a lmiddotb) წერტილი y = lmiddotf(x) ფუნქციის გრაფიკზე მდებარეობს

y = lmiddotf(x) ფუნქციის გრაფიკი f(x)-ის გრაფიკის როცა l gt 1 აბსცისთა ღერძიდან l-ჯერ მოჭ-

რით ხოლო როცა 0 lt l lt 1 მაშინ კი აბსცისთა ღერძისაკენ ndashჯერ შეკუმშვით მიიღება1l

y ღერძიდან 2-ჯერ მოჭერა y ღერძიდან 2-ჯერ შეკუმშვა

(1 1)

(1 1) rarr (2 1)

O

y

x

y = x2

y = ( x)2

(2 1)(ndash1 1)

(ndash2 1)

grafikze arsebuli TiToeuli wertiliordinatTa RerZidan 2-jer Sordeba

(2 4)

O

y

x

y = x2y = (2x)2

(1 4)

(ndash2 4)

(ndash1 4)

(2 4) rarr (1 4)

grafikze arsebuli TiToeuli wertiliordinatTa RerZs 2-jer miuaxlovda

ორდინატთა ღერძიდან მოჭერისა და შეკუმშვისას წერტილის ორდინატი რჩება იგივეაბსცისა იცვლება

(a b) rarr (kmiddota b)თუ A(a b) წერტილი y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის ზედაპირზეა b = f(a)მაშინ A1(kmiddota b) წერტილი y = f( ) ფუნქციის გრაფიკზე მდებარეობს

y = f( ) ფუნქციის გრაფიკი f(x)-ის გრაფიკის როცა k gt 1 ორდინატთა ღერძიდან k-ჯერ

მოჭერით როცა 0 lt k lt 1 მაშინ კი ორდინატთა ღერძიდან -ჯერ შეკუმშვით მიიღება

xk

12

1k

xk

y = x ძირითადი ფუნქციის მიხედვით ა) y = 2x ბ) y = x ფუნქციის გრაფიკები ააგეთერთსა და იმავე კოორდინატთა სისტემაში Oy და Ox ღერძების მიმართ განმარტეთმიახლოება და დაშორება

1219

31


რვეულში ჩაიხაზეთ გრაფიკები თითოეულ გრაფიკზე ძირითადი ფუნქციისგამოყენებით განსაზღვრეთ სხვა ფუნქციების შესაბამისი ალგებრული ჩანაწერებიდა გრაფიკზე დაწერეთ

Ria tipis SekiTxva მოცემული f(x) ძირითადი ფუნქციის მიხედვით დაწე-რეთ მოთხოვნილი გარდაქმნებით მიღებული ფუნქციები

ა) პარალელურად გადატანილი bullმარცხნივ bullმარჯვნივ bullზევით bullქვევითბ) შექცეული bull x ღერძის მიმართ bully ღერძის მიმართ გ) მოჭერილი bull x ღერძიდან bully ღერძიდანდ) შეკუმშული bull x ღერძისაკენ bully ღერძისაკენ

დაწერეთ თითოეული ფუნქცია მოცემული ძირითადი ფუნქციიდან რომელიგარდაქმნებითაა მიღებული

1) f(x) = x3 2) f(x) = x 3) f(x) = radicx 4) f(x) = 1x

22

23

24

26

x y= f(x) y= g(x)ndash6 6 18ndash4 4 12ndash2 2 60 0 02 2 64 4 126 6 18

რომელი ფუნქციის გრაფიკი მიიღება f(x) = radicx ფუნქციის გრაფიკისა) აბსცისთა ღერძიდან 2-ჯერ მოჭერისასბ) ორდინატთა ღერძისაკენ 4-ჯერ შეკუმშვისას

gamoyenebiTi xeloba xaliCebze სხვადასხვა გრა-ფიკების გარდაქმნებით შექმნილი მოხატულობებისშემჩნევა შეიძლებასურათზე მოცემულ namuSevarze რომელი ფუნქ-ციების გარდაქმნების წარდგენაა შესაძლებელი

25

1) y = x ა) y = 3x ბ) y = 2x გ) y = x + 12) y = x2 ა) y = x2 + 3 ბ) y = (x 3)2 გ) y = 2(x 1)2 + 33) y = radicx ა) y = 2radicx ბ) y = radic2x გ) y = 2radicx ndash 1 + 14) y = ა) y = ბ) y = გ) y = 1

12

1x

12x

2x

1x

ფუნქციები ერთმანეთისაგან განსაზღვრული გარდაქმნებითაა მიღებული გამო-სახეთ ეს გარდაქმნები

f(x) = radicx rarr g(x) = 2radicx 2 rarr h(x) =2radicx 2 + 3 rarr k(x) = 2radicx 2 3

21

ააგეთ ფუნქციების გრაფიკები ძირითადი ფუნქციის მიხედვით

ა) ბ) გ) დ)y = 2x2 y = 2(x1)2 y = 3|x| y = |3x|20

დაწერეთ ამ გარდაქმნებიდან y = f(x m) სახის შესაბამისი

x

y

0 4

12

16g(x)

f(x) = x

ndash8 8ndash4

4

84

h(x)

f(x) = x

ndash4 2ndash2

ndash4

ndash2

4

2

x

y

0

32


მოქმედება მათემატიკური ჩანაწერი ნიმუში

x + 5 3x

შეკრება (f + g)(x) = f(x) + g(x) (x + 5) + 3x = 4x + 5

გამოკლება (f g)(x) = f(x) g(x) (x + 5) 3x = 2x + 5

გამრავლება (f g)(x) = f(x) g(x) (x + 5) 3x = 3x2 + 15x

გაყოფა ( ) (x) =f g

f(x) g(x) g(x) ne 0

f(x) = x + 5 და g(x) = 3x

მოცემულ ფუნქციებზე გამოთვლითი მოქმედებების ჩატარებით შეიძლება ახალიფუნქციის მიღება f(x) და g(x) ფუნქციებზე ჩატარებული გამოთვლითი ოპერაციებისშედეგად მიღებული ფუნქციის განსაზღვრის არე ამ ორივე ფუნქციის განსაზღვრის არისნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ ახალი ფუნქციისგანსაზღვრის არე f(x) და g(x) ფუნქციების განსაზღვრის არეების თანაკვეთაა D = D(f) D(g) ფუნქციების შეფარდება არგუმენტის D სიმრავლიდანმნიშვნელში არსებულიფუნქციის ნულისაგან განსხვავებული მნიშვნელობებისთვისაა განსაზღვრული თუ f(x)და g(x) ფუნქციები გარკვეულ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეზე განსაზღვრულიამათზე შეკრების გამოკლების გამრავლებისა და გაყოფის მოქმედებები ქვემოთმოცემული წესით შესრულდება

1) ორი ლუწი ფუნქციის ჯამი ლუწია ორი კენტი ფუნქციის ჯამი კენტი ფუნქციაა2) ორი ლუწი ფუნქციისა და ორი კენტი ფუქნციის ნამრავლი (განაყოფი) ლუწიფუნქციაა ლუწი ფუნქციისა და კენტი ფუნქციის ნამრავლი (განაყოფი) კენტიფუნქციაა

nimuSi 1 იპოვეთ (f + g)(2) თუ f(x) = x2 + 1 და g(x) = x + 2 amoxsna f(2) = 22 + 1 = 5 g(2) = 2 + 2 = 4 (f + g)(2) = f (2) + g(2) = 5 + 4 = 9

f g

f(x) g(x)

nimuSi 2 იპოვეთ თუ f(x) = x2 1 და g(x) = x ndash 1

amoxsna

(x)

(x) = = =

( )f g( ) x2 1

x ndash 1x + 1

x

y

0 1

2

მნიშვნელში მყოფი ფუნქციის g(x) 0 პირობის თანახმად x 1 ამ ფუნქციის გრაფიკიy = x + 1 წრფიდან (1 2) წერტილის გადაწევით მიიღება

f g

f g

1 2 1

2

1 2

1 2

ნიმუში 3 იპოვეთ ა) f + g f g f g

ბ) ფუნქციების განსაზღვრის არე როცა f(x) = 3x2 1 და g(x) = radic2x 1ამოხსნა ა) f(x) = 3x2 1 ფუნქციის განსაზღვრის არე მთელი ნამდვილი რიცხვთა( +) სიმრავლეა g(x) = radic2x 1 ფუნქციის განსაზღვრის არე 2x 1 ge 0უტოლობიდან მოიძებნება [ +)

f + g f g f g ფუნქციების განსაზღვრის არეა ( +) [ +) = [ +)

ბ) ფუნქციის განსაზღვრის არე 2x 1 gt 0 უტოლობის ამონახსენთა

სიმრავლე ( +) შუალედია

33

მოცემული f(x) და g(x) ფუნქციებისათვის დაწერეთ f + g f g f g ფუნ-ქციების გამოსახულებები და უჩვენეთ განსაზღვრის არე

ა) f (x) = x2 2x და g(x) = 2x 4 ბ) f (x) =x2 + x და g(x) = x + 1გ) f(x) = x2 + 6x + 9 და g(x) = 2x + 6 დ) f(x) = x2 1 და g(x) =

მოცემული f(x) = radic3x ndash 2 და g(x) = x +1 ფუნქციებისათვის გამოთვალეთ (f + g)(1)(f g)(2) (f g)(6)

f(x) და g(x) ფუნქციების გრაფიკების მიხედვით ააგეთ h(x) = (f + g)(x) ფუნქციის გრაფიკი ამოხსენით ამოცანა ორიხერხით 1) f(x) და g(x) ფუნქციების გრაფიკების მიხედვით განსაზ-ღვრული მნიშვნელობათა ცხრილიდან h(x)-ის მნიშვნელობათაცხრილის აგებით2) f(x) და g(x) ფუნქციების გრაფიკების მიხედვით განსაზ-ღვრული ფორმულების მიხედვით f(x) + g(x) ფუნქციის ფორ-მულის განსაზღვრითა და მნიშვნელობათა ცხრილის შედგენით

f g

saswavlo davalebebi

1

2

3

4

x 1x + 1

f(x) = x x [ndash1 9] და g(x) = radicx x [0 16] ფუნქციებია მოცემული h(x) = (f + g)(x) იპოვეთ ფუნქციის განსაზღვრის არე დამნიშვნელობათა ცხრილის შედგენით ააგეთ გრაფიკი

y

ndash2 0 2

g(x)

f(x)

xndash2

2

ndash4

4

ndash4


ა) შეადგინეთ (f g)(x) ფუნქციისმნიშვნელობათა ცხრილი

ბ) ააგეთ h(x) = (f g)(x) ფუნქციისგრაფიკი

გ) განსაზღვრეთ h(x) ფუნქციის განსაზღვრის არე დამნიშვნელობათა სიმრავლე

მოცემული f(x) = 2x და g(x) = x2

x

y

0 1 3 4ndash1

6

4

2

x (f g)(x)ndash4ndash2ndash1124

ndash2ndash3ndash2

f(x)g(x)

2

5

gamoyenebiTi davalebebi

6 ქალბატონი სამაიას მიერ შეკერილი მოხატული სუფრები ldquoხელმარჯვეობა თვალისსინათლეrdquo მაღაზიაში იყიდება მან ამ სუფრების გამზადებისათვის ერთდროულად40 მანეთის საჭირო მასალები შეიძინა თითოეული სუფრის ქსოვილზე 5 მანეთსხარჯავს და ერთ სუფრას 10 მანეთად ყიდისა) ფორმულით დაწერეთ n რაოდენობის სუფრის გაყიდვიდან მიღებული ფულისშესაბამისი s(n) ფუნქცია და n რაოდენობის სუფრის თვითღირებულების შესა-ბამისი m(n) ფუნქციაბ) ერთი და იმავე კოორდინატთა სისტემაში ააგეთ ამ ფუნქციების გრაფიკებირეალური ცხოვრებისეული სიტუაციის შესაბამისად წარმოადგინეთ ამ გრაფიკებისსაერთო წერტილიგ) მოგება საქონლის რეალიზაციიდან მიღებულ ფულსა და თვითღირებულებასშორის სხვაობაა დაწერეთ სუფრების გაყიდვიდან მიღებული მოგების ფუნქციისფორმულა

34

rTuli funqcia

ხშირ შემთხვევაში ფუნქციის არგუმენტის შესაძლომისაღები მნიშვნელობები სხვა ფუნქციის მნიშვნე-ლობებით განისაზღვრება დავუშვათ რომ f და gფუნქციებია მოცემული სქემატურ გამოსახულე-ბებზე განვიხილოთ ორი სიტუაცია

1 x რიცხვები g ფუნქციის განსაზღვრის არეში g(x)-ები კი f ფუნქციის განსაზღვრის არეშიშედის ამ შემთხვევაში თითოეულ x D(g) რიცხვს f(g(x)) რიცხვი შეუპირისპირდებაფუნქციას f და g ფუნქციების რთული ფუნქცია(კომპოზიცია) ეწოდება და (f g)(x) სახით იწერება(f g)(x) = f(g(x))

2 x რიცხვები შედიან f ფუნქციის განსაზღვრისარეში f(x)-ები კი g ფუნქციის განსაზღვრის არეში ამ შემთხვევაში f და g ფუნქციებისკომპოზიცია (g f)(x) სახის იქნება (g f)(x) = g(f(x))

მიაქციეთ ყურადღება (f g)(x) და (g f)(x) ჩანაწერები (ამასთან f (g(x)) და g(f (x))ჩანაწერები) ორ განსხვავებულ რთულ ფუნქციას გამოსახავენ f(g(x)) კომპოზიცია როცაE(g) D(f) ხოლო g(f (x)) კომპოზიცია კი როცა E(f) D(g) მაშინ შეიძლება აიგოს

როგორც სქემატური გამოსახვიდანაც ჩანს f g კომპოზიცია f(x) ფუნქციაში x არგუმენტისნაცვლად g(x)-ის ჩაწერით მიიღება ანალოგიური წესით g f კომპოზიცია g(x) ფუნქციაში xარგუმენტის ნაცვლად f(x)-ის ჩაწერით მიიღებაnimuSi 1 თუ f(x) = x + 2 g(x) = x2 2x 3 მაშინ დაწერეთ ა) (f g)(x) და (g f)(x)კომპოზიციების ფორმულები ბ) x = 3 მნიშვნელობისათვის გამოთვალეთ (f g)(x) და(g f)(x) კომპოზიციების მნიშვნელობები

gamokvleva 1 ლ ბენზინის ფასი 095 მანეთია ფერიდის ავტომობილი ყოველ კილო-მეტრზე 008 ლ ბენზინს ხარჯავსა) როგორ შეგიძლიათ გამოთვალოთ 50 კმ მანძილზე მოხმარებული ბენზინისათვისფერიდის მიერ დახარჯული ფული რამდენ ნაბიჯად შეიძლება ამ გამოთვლისშესრულებაბ) დაწერეთ მოხმარებული ბენზინის გავლილ მანძილზე დამოკიდებულებისმაჩვენებელი V(d) ფუნქციაგ) დაწერეთ ბენზინზე დახარჯული ფულის მის მოცულობაზე დამოკიდებულებისM(V) ფუნქციად) დაწერეთ ფერიდის გავლილ მანძილზე ბენზინის დახარჯული ფულის მაჩვენებელიM(d) ფუნქცია ბ) და გ) პუნქტებში მოცემულ ფუნქციებთან შეერთებით აქ რომელიცვლადის მნიშვნელობები შეადგენს არგუმენტის მნიშვნელობებს

g(x) -ის განსაზღვრის არიდან

f(x)-ის განსაზღვრის არიდან

f [g(x)]-ის მნიშვნელობათაარიდან


f(x) -ის განსაზღვრის არიდან

g[f(x)]-ის მნიშვნელობათაარიდან

x

g(x)

f [g(x)]

f g = (30) (44) (03)

x

f(x)

g [f(x)]

g f = (33) (2ndash5) (ndash5 2)

f g g f3 4 0

0 4 3

ndash5 3 2 4 3 0

3

3 2 ndash5

ndash52

g f

x

g(x) f(g(x))

gf(x) g(f(x))f

35

rTuli funqcia

მოცემული f(x) და g(x) ფუნქციების მიხედვით განსაზღვრეთ f (g(x)) და g(f (x))ფუნქციებია) f (x) = 1 x2 და g(x) = 2x + 5 ბ) f(x) = 2x და g(x) = radicx2 + 1გ) f (x) =radicx 1 და g(x) = x2 + 2 დ) f (x) = x3 + 1 და g(x) = ე) f (x) = x3 4 და g(x) = radicx + 4 ვ) f (x) = x2 + 3x + 1 და g(x) = x + 1

nimuSi 2 თუ h(x) = f (g(x)) მონაცემების მიხედვით f (x) ფუნქცია დაწერეთფორმულით ა) h(x) = (x 2)2 + (x 2) + 1 g(x) = x 2

ბ) h(x) = radic x3 + 1 g(x) = x3 + 1amoxsnaა) f(g(x)) = (g(x))2 + g(x) + 1 f(x) = x2 + x + 1 ბ) f (g(x)) = radicg(x) f (x) = radicxsaswavlo davalebebi

(fg)(x) და (g f)(x) კომპოზიციებისათვის განსაზღვრეთ არგუმენტისა და ფუნქცი-ის შესაბამის მნიშვნელობათა წყვილები (თუ არსებობს)

f(x) = 2x + 1 და g(x) = x2 3 ფუნქციების მიხედვით ფორმულით დაწერეთ რთულიფუნქციებია) f(g(a)) ბ) g(f (a)) გ) f(g(x)) დ) g(f (x)) ე) f(f (x)) ვ) g(g(x))

2x3

ჩაიხაზეთ ცხრილი რვეულში და შეავსეთ

f(x) = 4x g(x) = 2x2 1 და h(x) = x2 + 1 ფუნქციების მიხედვით გამოთვალეთ

1

2 3

5

6

f = (2 8) (4 0) (6 3) (5 1) f = (4 5) (1 3) (ndash2 12) (2 7)g = (8 4) (0 6) (3 5) (1 2) g = (3 4) (5 2) (7 ndash2) (14 1)

ა) f(g(1)) ბ) h(g(2)) გ) g(f(3))დ) f(h(4)) ე) g(g(7)) ვ) f(f(3))ზ) (f (h g))(1) თ) (h (g f))( ) ი) (f (g h))(2)1

2

4

მოცემულია f(x) = x2 დაg(x) = radicx 1 ფუნქციებიიპოვეთა) f(g(4)) ბ) g(g(25)) გ) g(f(3)) დ) g(g(4)) ე) f(f(ndash3))

7 ა) ამოხსენით f (g(x)) lt 0 უტოლობა თუ f (x) = x2 5 g (x) =radicx2 + 1 ბ) ამოხსენით f (g(x)) gt 0 უტოლობა თუ f (x) = x2 4 g (x) = x + 1

amoxsna (f g)(x) = f(g(x)) = f(x2 2x 3) = x2 2x 3 + 2 = x2 2x 1(g f)(x) = g(f(x)) = g(x + 2) = (x + 2)2 2(x + 2) 3 = x2 + 2x ndash 3მაშასადამე f(g(x)) = x2 2x 1 და g(f(x)) = x2 + 2x ndash 3(f g)(3) = 32 2 3 1 = 2(g f)(3) = 32 + 2 3 ndash 3 = 12

g- ისწერტილები

f- ისწერტილები

f g-ისწერტილები

(3 2) (3 5)(2 1) (1 3)(1 ) (0 1) ( 1)

( ndash1) ( ndash1) (0 ndash1)( 3) (3 ) (4 7)

36

rTuli funqcia

მოცემულია f(x) და g(x) ფუნქციების გრაფიკები 1) მნიშვნელობათა ცხრილის აგებით2) ფუნქციის ფორმულების დაწერით ააგეთ ა) f(g(x)) ბ) g(f(x)) რთული ფუნქციისგრაფიკი უჩვენეთ განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე

მოცემულია ფუნქციები f(x) = |x| და g(x) = x 1 ააგეთ ამ ფუნქციების ა) y = f(g (x)) ბ) y = g(f(x)) კომპოზიციების გრაფიკები უჩვენეთ განსაზღვრისარე და მნიშვნე-ლობათა სიმრავლე

ა) f(x) = 2x 1 და g(x) = x2 ფუნქციების მიხედვით განსაზღვრეთ f(g(x)) ფუნქციისფორმულაბ) ერთი და იმავე კოორდინატთა სისტემაში ააგეთ f(x) g(x) და f(g (x)) ფუნქცი-ების გრაფიკებიგ) წარმოადგინეთ f(g (x)) ფუნქციის გრაფიკი როგორც g(x) ფუნქციის გრაფიკისგარდაქმნაwarmoeba ავეჯის მწარმოებელი კომპანიის 2012 წლიდან დაწყებული კვირეულიწარმოებული სკამების რაოდენობის N(t) = 120 + 25t ფორმულით მოდელირებაშეიძლება სადაც t არის დრო წლობით (t = 0 მნიშვნელობა შეესაბამება 2012 წელს)N უჩვენებს სკამების რაოდენობას სამუშაო ძალის მოცულობა ამ შემთხვევაში გან-საზღვრული იყო როგორც W(N) = 3 radicN ა) დაწერეთ სამუშაო ძალაზე მოთხოვნილების დროზე დამოკიდებულებისფუნქციაბ) ამ ფუნქციის განსაზღვრისა და მნიშვნელობათა არე წარმოადგინეთ რეალურიცხოვრებისეული სიტუაციის შესაბამისადთუ h(x) = f(g (x)) მონაცემების მიხედვით დაწერეთ f(x) ფუნქციის გრაფიკი

8

9

10

11

12

13 ა) თუ f(x ndash 1) = x + 3 იპოვეთ f(1) f(4) f(ndash1) f(0) მნიშვნელობები დაწერეთ f(x) ფუნქციის გამოსახულებაბ) თუ f(x + 1) = 2x + 3 იპოვეთ f(ndash1) f(2) f(3) f(0) მნიშვნელობები დაწერეთ f(x) ფუნქციის გამოსახულება

14

15

მოცემულია ფუნქცია f(x) = radic25 ndash x2 ა) იპოვეთ f(x) ფუნქციის განსაზღვრის არე შეადგინეთ მნიშვნელობათა ცხრილიდა ააგეთ გრაფიკიბ) დაწერეთ f(2x) ფუნქციის გამოსახულება იპოვეთ განსაზღვრის არე

f(x) ფუნქციის განსაზღვრის არეა [ndash1 3] იპოვეთ ქვემოთ მოცემული ფუნქციისგანსაზღვრის არე ა) f(2x) ბ) f( x) გ) f(ndashx) დ) f(x ndash 1)1

2

y = f(x) y = g(x)y

x0 2 4ndash2ndash4

y

x0 2 4ndash2

ა) h(x) = (x + 1)2 5(x + 1) + 1 g(x) = x + 1 ბ) h(x) = x2 + 4x + 3 g(x) = x + 2გ) h(x) = radic2x + 3 g(x) = x + 1 დ) h(x) = x + radicx 1 g(x) = radicx 1

ndash2

2

4

2

4

37

აქ y-ის თითოეულ მნიშვნელობას x-ის მხოლოდ ერთი მნიშვნელობა შეესაბამება y =x2 ფუნქციაში კი y-ის ერთ მნიშვნელობას მაგალითად y = 9 მნიშვნელობას რადგანარგუმენტის x = 3 და x = 3 სახის ორიმნიშვნელობა შეესაბამება ამიტომ (ndash +)შუალედში ამ ფუნქციას შექცეული ფუნქციაარა აქვს ფუნქცია მაშინ და მხოლოდ მაშინშეიძლება იყოს შექცეული როცა მისთითოეულ მნიშვნელობას არგუმენტისმხოლოდ ერთი მნიშვნელობისათვის იღებსთუ ნებისმიერი ჰორიზონტალური წრფეფუნქციის გრაფიკზე გადაკვეთს არაუმეტესერთი წერტილისა მაშინ ამ ფუნქციას შექცეული ფუნქცია გააჩნია

Seqceuli funqciagamokvleva 1) დაწერეთ იმ კვადრატის ფართობის ფორმულა რომლის გვერდისსიგრძე a-ს ტოლია S = a2 2) მოცემული ფართობის მიხედვით იპოვეთ კვადრატისგვერდის სიგრძე 3) მიწის ზედაპირიდან v0 საწყისი სიჩქარით ასროლილი სხეულისმიწიდან დაშორება მოიძებნება h = v0 t ndash ფორმულით h-ის მოცემული მნიშ-ვნელობის მიხედვით t-ს ერთმნიშვნელოვნად პოვნა შეიძლება

g t2

2

268

379

X Yf gX Y268

379

nimuSi 1 სურათზე X სიმრავლესა და Y სიმრავლეს შორის f შესაძლებლობა ისრე-ბითაა მოცემული თუ ისრების მიმართულებას შევცვლით სხვა შესაბამისობა - Yსიმრავლესა და X სიმრავლეს შორის g შესაბამისობას მივიღებთ g შესაბამისობა f-ისშექცეული შესაბამისობაა მოცემული f ფუნქციისათვის თუ შექცეული შესაბამისობაიქნება ფუნქცია f-ის შექცეული ფუნქცია ეწოდება

nimuSi 2 f (x) = x + 4 ფუნქციით A = 1 2 3 4 სიმრავლიდან B = 5 6 7 8სიმრავლის მიღება ქვემოთ მოცემულივითშეიძლება გამოისახოსf (x) = x + 4 (1 5) (2 6) (3 7) (4 8)

x f(x)f ndash1-is mniSvnelobaTa

simravlef ndash1-is gansazRvris

are

f-is mniSvnelobaTasimravle

f -is gansazRvrisare

ამ ფუნქციის შებრუნებული და f ndash1-ით აღნიშნული ფუნქცია კი B სიმრავლიდან Aსიმრავლის ელემენტების მიღებას გამოსახავს და იგი f ndash1(x) = x ndash 4 (5 1) (6 2) (7 3) (8 4) სახით შეიძლება აღინიშნოს f (x) და f ndash1(x) ურთიერთშექცეულიფუნქციებია

როგორც სქემატური გამოსახვიდან და კოორდინატთა წყვილებიდან ჩანს მოცემულიფუნქციის განსაზღვრის არე შექცეული ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლემოცემული ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე კი განსაზღვრის არეა და პირიქითანუ D(f ) = E(f ndash1) E(f ) = D(f ndash1) აქედან მიიღება რომ f(f ndash1(x)) = x და f ndash1(f(x)) = xნიმუშის მონაცემების თანახმად f (f ndash1(x)) = f (x ndash 4) = (x ndash 4) + 4 = x

f ndash1(f (x)) = f ndash1(x + 4) = (x + 4) ndash 4 = xნებისმიერი ფუნქციის შებრუნებული ფუნქციის არსებობა ყოველთვის შესაძლე-ბელია მაგალითად y = 2x + 5 დამოკიდებულებიდან x-ის y-ის საშუალებითცალსახად გამოსახვა შესაძლებელია და ამ შემთხვევაში შებრუნებული ფუნქცია

არსებობს x =

1

ndash1ndash2

ndash2

y

x2 3

2

f(x) = x2 ndash 1Seqceuli ara aqvs

1

ndash1ndash2

ndash2 f(x) = x3 ndash 1

y

x2 3

Seqceuli aqvs

y ndash 52

38

Seqceuli funqcia

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ თუ x-ის სხვადასხვა მნიშნელობებს y-ის სხვადასხვამნიშვნელობები შეესაბამება მაშინ y = f(x) ფუნქციას შექცეული ფუნქცია გააჩნიამონოტონური ფუნქციებისათვის როცა x1nex2 მაშინ f(x1) ne f(x2) მივიღებთ1) განსაზღვრის არეზე ზრდად ფუნქციას შექცეული ფუნქცია გააჩნია2) განსაზღვრის არეზე კლებად ფუნქციას შექცეული ფუნქცია გააჩნიადავუშვათ რომ y = f(x) არის ფუნქცია რომელსაც შექცეული ფუნქცია აქვს ანუ თუ y = f(x) დამოკიდებულებიდან x-ს y-ის საშუალებით ერთმნიშვნელოვნად გამოვსახავთშესაძლებელია x= fndash1(y) სახით ჩაწერა მაშინ x= fndash1(y) ფუნქციას y = f(x) ფუნქციისშექცეული ფუნქცია ეწოდება როგორც წესი არგუმენტი x-ით ხოლო ფუნქცია y -ით აღინიშნება ამიტომაც y = f(x)-ის შექცეული ფუნქცია y= fndash1(x) სახით იწერება თუ fndash1 ფუნქცია f -ის შექცეული ფუნქ-ციაა მაშინ f ფუნქციაც fndash1 -ის შექცეული ფუნქციაა ანუ f და fndash1 ურთიერთშექცეულიფუნქციებია

თუ (a b) წერტილი მოცემული ფუნქციის გრაფიკზეა მაშინ (b a) წერტილი ამფუნქციის შექცეული ფუნქციის გრაფიკზე იქნება

urTierTSeqceuli funqciis grafikebi y = x wrfis mimarT simetriulebiaფორმულით მოცემული ფუნქციის შექცეული ფუნქციის მოძებნისათვის1) მოცემული ტოლობიდან x ცვლადი გამოისახება y -ით2) მიღებულ ტოლობაში x-ის ნაცვლად y ხოლო y-ის ნაცლად x იწერება

მოცემული ფუნქცია

მოცემული ფუნქციისგრაფიკი

შექცეული ფუნქციისგრაფიკი

y = x ღერძის მიმართასახვის ნიმუშები

შექცეული ფუნქციაა

x 4 2 0 ndash2 ndash4y ndash2 ndash1 0 1 2

x ndash2 ndash1 0 1 2y 4 2 0 ndash2 ndash4

1

y

x11

y

x1

y

x

nimuSi 3 დაწერეთ y = 2x 3 ფუნქციისშექცეული ფუნქციის ფორმულაamoxsna იწერება მოცემული ფუნქცია y = 2x 3x დამოუკიდებელი ცვლადი გამოისახება y-ზე

დამოკიდებულებით x = x-ისა და y-ის ადგილები იცვლება

y = + 12 x 3

2

12 y

32+

x

y

0ndash2 42ndash4

ndash2

4

2

ndash4

(2 1)

fndash1(x)= (x + 3)

(ndash1 ndash5)

(0 ndash3)

(1 2)

(ndash1 1)

(ndash3 0)

(ndash5 ndash1) (1 ndash1)

(3 3)

y= x

f(x)= 2x ndash 312

urTierTSeqceuli funqciebis grafikebi

39

y = x2 ფუნქციას მთელ რიცხვით ღერძზე შექცეული ფუნქცია არა აქვს თუმცაზრდისა და კლების შუალედებში ამ ფუნქციებს შექცეული ფუნქცია აქვთnimuSi 4 განსაზღვრეთ y = x2 x ge 0 ფუნქციის შექცეულიფუნქცია და ააგეთ გრაფიკები ერთი და იგივე კოორდინატთასიბრტყეზე დაწერეთ ამ გრაფიკებზე მდებარე რამდენიმეწერტილის კოორდინატებიamoxsna მოცემულია ფუნქცია y = x2 x ge 0 შექცეულიფუნქცია x = y2 y = radicx (2 4) წერტილი y = x2 ფუნქციის (4 2) წერტილი კი [0 +infin) შუალედში მისი შექცეული y = radicxფუნქციის გრაფიკზე მდებარეობს შექცეული ფუნქციის შესახემართებულია შემდეგი თეორემა თუ X განსაზღვრის არისა დაY მნიშვნელობათა სიმრავლის შუალედების მქონე ფუნქციაზრდადია (კლებადია) შექცეული ფუნქცია გააჩნია და Y შუალედში განსაზღვრულიfndash1 შექცეული ფუნქციაც ზრდადია (კლებადია)

დაწერეთ მოცემული ფუნქციების შექცეული ფუნქციები მოცემული ფუნქციადა მისი შექცეული ფუნქცია ზრდადია თუ კლებადია

4

5

f ფუნქცია წყვილების დახმარებითაა მოცემული თანაც ცნობილია რომწყვილების მეორე ელემენტები ერთი და იგივეა (მაგალითად (6 5) და (7 5) სახით)იმისათვის რომ გავიგოთ შექცევადია თუ არა ფუნქცია ეს საკმარისია

7

Seqceuli funqcia

saswavlo davalebebi

1 ფუნქცია წყვილთა სიმრავლითაა მოცემული (8 2) (1 1) ( ) (ndash8 ndash2)

მოცემული შესაბამისობა და მისი შექცეული შესაბამისობა უჩვენეთ ღერძებისდახმარებით

ცხრილში მოცემული ფუნქციის მიხედვითააგეთ შექცეული ფუნქციის შესაბამისმნიშვნელობათა ცხრილი

f(x) და g(x) ურთიერთშექცეული ფუნქციებია როცა x = 10 მაშინ f(x) ფუნქციის მნიშ-ვნელობა 85 იქნება როგორ შეიძლება მივაკუთვნოთ ეს მნიშვნელობები g(x) ფუნქციას

2 x 1 2 3 4 5y 1 2 3 4 5

3

ერთი და იმავე საკოორდინატო სიბრტყეში ააგეთ მოცემული თითოეული ფუნ-ქციისა და მისი შექცეული ფუნქციის გრაფიკები

ა) f(x) = 4x ბ) f(x) = 2x 3 გ) f(x) = x2 x ge 0 დ) f(x) = x gt 0 1x

6

18

12

y = 4x y = 2x 8 y = 3x 14y = 2x + 5 y = 3x 3 y = 12x + 6

y = x y = x + y = x + 634

23

58

38

ა) ბ) გ)დ) ე) ვ)

ზ) თ) ი)

თუ f(x) ფუნქციას გააჩნია შექცეული ფუნქცია და f(1) = 7 f(3) = 9 f(6) = 2იპოვეთ შექცეული ფუნქციის f1(9) f1(7) და f1(2) მნიშვნელობები

yy = x2

y = radicx

xO

y = x(2 4)

(4 2)

40

Seqceuli funqcia

ƒ(x) = 8x3 g(x) =

ƒ(x) = x + 7 g(x) = x 7 ƒ(x) = 3x 1 g(x) = x +

ƒ(x) = x + 1 g(x) = 2x 2 ƒ(x) = 2x + 4 g(x) = x + 2

ƒ(x) = ndash 3 g(x) = ƒ(x) = g(x) =

ƒ(x) = 256x4 x ge 0 g(x) = radicx2

13

13

12

12

4radicx4

შეამოწმეთ არის თუ არა მოცემული ფუნქციები შექცეული ფუნქციები

8

ა) ბ)

გ) დ)2xე)

2x +3 ვ) 1

x ndash31 + 3x

x

ზ) თ)3

ა) ƒ(x) = 2x + 3 ბ) ƒ(x) = x + 3 გ) ƒ(x) = x2 + 1დ) ƒ(x) = 3x2 ვ) ƒ(x) = x3 + 3 ზ) ƒ(x) = 2x3

თ) ƒ(x) = |x| + 2 ი) ƒ(x) = (x + 1)(x 3) კ) ƒ(x) = 9x2 6x + 1

მოცემულ თითოეულ მაჩვენებლიან ფუნქციას დაუწერეთ შექცეული ფუნქციისფორმულა

ააგეთ მოცემული ფუნქციის გრაფიკი თითოეული ფუნქციის გრაფიკის მიხედვითგანსაზღვრეთ აქვს თუ არა მას შექცეული ფუნაცია

C = (F 32) ფორმულა უჩვენებს ტემპერატურის ფარენჰეიტისა და ცელ-სიუსის საზომებს შორის დამოკიდებულებას ამ დამოკიდებულების მიხედვითდაწერეთ შექცეული დამოკიდებულების ტემპერატურის ფარენჰეიტის საზომისცელსიუსის საზომზე დამოკიდებულების მაჩვენებელი ფორმულა იპოვეთცელსიუსით 15 20 0 ტემპერატურის ზომა ფარენჰეიტით

ჰეკი თევზის სახეობაა ამ თევზების მასასა (კგ) და სიგრძეს (სმ) შორის ქვემოთმოცემული დამოკიდებულებაა m = (937 106)l3 ასეთი დამოკიდებულებისმიხედვით დაწერეთ შექცეული ფუნქცია დაახლოებით რამდენი სანტიმეტრიიქნება თევზის სიგრძე რომლის მასა 0875 კგndashია

ფუნქციების გრაფიკების მიხედვით ააგეთ შექცეული ფუნქციის გრაფიკი იპოვეთგანსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე

59

9

10

11

12

13

14

x

y

5

5ა) ბ) გ)

ndash5

ndash5

y = f(x)

y = x

x

y

5

5

ndash5

ndash5y = f(x)

y = x

x

y

5

5

ndash5

ndash5 y = f(x)

y = x

უჩვენეთ რომ მოცემულ ფუნქციას აქვს შექცეული ფუნქცია იპოვეთ შექცეულიფუნქცია უჩვენეთ მისი განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე ააგეთგრაფიკი

ა) f(x) = x3 ბ) f(x) = x4 x ge 0

ა) ƒ(x) = x7 გ) ƒ(x) = x6 x ge 0 ე) ƒ(x) = 16x4 x le 0ბ) ƒ(x) = x5 დ) ƒ(x) = 8x3 ვ) ƒ(x) = x2 x ge 0

132

49

41

ა) დაწერეთ f(x) = x3 1ფუნქციის g(x)შექცეული ფუნქცია

ბ) ფუნქციის გრაფიკისმიხედვით დახაზეთმისი შექცეულიფუნქციის გრაფიკი x0

y

1

2

3

ganmazogadebeli davalebebi

f(x) = radicx ძირითადი ფუნქციის მიხედვით განსაზღვრეთ g(x)= radicx k(x) = radicxh(x) = radicx + 2 ფუნქციების გარდაქმნები როგორ იცვლება ამ გარდაქმნის დროსფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლეა) f(x) = x2 ფუნქციის გრაფიკის ჰორიზონტალური მიმართულებით რამდენიერთეულით პარალელური გადატანისას გაივლის მიღებული გრაფიკი (5 16)წერტილზე ბ) f(x) = radicx ფუნქციის გრაფიკის y ღერძის გასწვრივ რამდენი ერთეულით პარალე-ლური გადატანისას გაივლის მიღებული გრაფიკი (4 -1) წერტილზე


იპოვეთ ფუნქციის ნულები

6

7

1) გამოიკვლიეთ ფუნქციის ლუწ-კენტობა

ა) f(x) = (x ndash 2)2 + (x + 2)2 ბ) f(x) = (x ndash 4)2 ndash (x + 4)2

ცნობილია რომ f(x) = xmiddotf(x ndash 1) + 2 იპოვეთ f(2)

8 მოცემულია f(x) ფუნქციის ერთი ნაწილი რომლის განსაზ-ღვრის არეა [ndash3 3] გრაფიკის მიხედვით შეასრულეთდავალებებია) დაასრულეთ გრაფიკი თუ ცნობილია რომ f(x) კენტიფუნქციაა უჩვენეთ ფუნქციის ზრდისა და კლების შუა-ლედები დაწერეთ ფუნქციის ექსტრემუმებიბ) დაასრულეთ გრაფიკი თუ ცნობილია რომ f(x) ლუწიფუნქციაა უჩვენეთ ფუნქციის ზრდისა და კლების შუა-ლედები დაწერეთ ფუნქციის ექსტრემუმები x

y

1 2 3

123

0

5

4

ა) f(x) = radic4x ndash 2

ბ) f(x) = radic12 ndash 3x

4radic4 ndash x

გ) f(x) =

დ) f(x) = xradicx + 1

radicxx2 ndash 2x ndash 3

radic4 ndash x2

x ndash 1

ე) f(x) =

ვ) f(x) =

ა) f(x) = 4x + 6

ბ) f(x) = x2 ndash x ndash 6

გ) f(x) = x3 ndash x2 ndash 2x ე) f(x) = 3 ndash radic5 + x2

ვ) f(x) = radicx ndash 1 ndash 2დ) f(x) = x4 ndash 1

2) გამოიკვლიეთ ფუნქციის ლუწ-კენტობა y= x2 + (m ndash 1) x + 3

ა) როცა m= 1 ბ) როცა m=0

42

ა) f(x) = x2 ndash 6x ბ) f(x) = |x + 10|

ქანქარას ერთი სრული ბრუნი-სათვის დათმობილი დრო (რხე-ვის პერიოდი) თვით ქანქარასღერძის სიგრძეზე არის დამოკი-დებული რაც უფრო გრძელიაქანქარას ღერძი საჭირო დრო მითუფრო იზრდება

ა) მოცემული ინფორმაციის მი-ხედვით ააგეთ გრაფიკი

ბ) განსაზღვრეთ რომელი ფუნქ-ციების კლასს მიეკუთვნება იგი

13

9

11

12

ქანქარას ღერძისსიგრძე (მ)

დრო (წმ)

2 284 46 498 5710 63

2x როცა x ge 1 x + 3 როცა x lt 1 f(x) = f(x) =

მოცემულია f (0 1) (1 3) (2 5) (3 7) და g(x) = 2x + 1გამოთვალეთ რთული ფუნქციის მნიშვნელობა ცვლადის მოცემული მნიშვნე-ლობისათვის

ააგეთ ნაწილ-ნაწილ მოცემული ფუნქციების გრაფიკები

დახრილობისკუთხე

გ) გრაფიკის მიხედვით განსაზღვრეთ ერთი სრული ბრუნისათვის საჭირო დროთუ ქანქარას ღერძის სიგრძეა 5 მ 12 მ

ა) ბ)ndash1 x lt ndash1x ndash1 le x le 11 x gt 1

10

f(x) = 2x + 6

არგუმენტის რა მნიშვნელობისათვის არის

1) უჩვენეთ რომ მოცემულ ფუნქციებს (ndash +) შუალედში შექცეული ფუნქციაარ გააჩნიათ

2) მოცემული ფუნქციები ბრუნვითი ფუნქციებია დაწერეთ ამ ფუნქციებისშესაბამისი შექცეული ფუნქციები

ა)

12

ა) f(x) =1

2x ndash 1ბ) f(x) =

1 ndash xx ndash 2

ფუნქციის მნიშვნელობა 3-ის ტოლი

ფუნქციის მნიშვნელობა -ის ტოლიf(x) = ბ) 3x

x2 ndash 7

ა) (g f )(0) ბ) (g f )(1) გ) (g f )(2) დ) (g f )(3)ე) (f g )(ndash05) ვ) (f g)(0) ზ) (f g)(1) თ) (f g)(05)

ა) მოცემულია ფუნქცია f(x) = იპოვეთ ამ ფუნქციის განსაზღვრის არებ) ამოხსენით უტოლობა f(x ndash 4) lt 0

x + 2x ndash 1

14


43

wertili wrfe da sibrtyesivrceSi2

wertili wrfe da sibrtye sivrceSi

wrfisa da sibrtyis paraleluroba

wrfisa da sibrtyis marTobuloba

sami marTobis Teorema

or sibrtyes Soris kuTxe

orwaxnaga kuTxeebi

sibrtyeTa marTobuloba

sibrtyeTa paraleluroba

gegmilebi da amocanebis amoxsna

44

aqsioma 3 erT wrfeze aramdebare sam wertilze SeiZleba sibrtyisgavleba da masTan mxolod erTis

ვუჩვენოთ რომ თუ წრფის ორი წერტილი სიბრტყეზე ძევსმაშინ ამ წრფის ყველა წერტილი სიბრტყეზე ძევს

წრფე ორი წერტილით განისაზღვრება ანუ ორ წერტილზე ერთი და მხოლოდ ერთიწრფის გავლებაა შესაძლებელი (ერთ წერტილზე - რამდენის) რამდენი წერტილითშეიძლება სიბრტყის დადგენა ორი წერტილით სიბრტყე არ განისაზღვრება როგორცსურათიდან ჩანს A და B წერტილებზე უამრავი სიბრტყისგავლება შეიძლება თუმცა მათ შორის ისეთი სიბრტყე არსე-ბობს რომ C წერტილის მხოლოდ მასზეა მაშასადამე სიბრტყეერთ წრფეზე არამდებარე 3 წერტილით განისაზღვრება ერთწრფეზე მდებარე წერტი-ლებს კოლინეარული წერტილებიეწოდება C წერტილი A და B წერტილების კოლინეარული არარის


A

Bα

β

C

praqtikuli mecadineoba ქაღალდის ფურცელზე სურათზე მოცემულის მსგავ-სად აღნიშნეთ A B C D და E წერტილები ქაღალდი A წერტილ-ზე გამავალი წრფის გასწვრივ სურათზე ნაჩვენებივით გადაკე-ცეთ შემდეგ ქაღალდი გარკვეულად გაშალეთ ორად დაკეცილიქაღალდის თითოეული ნაწილი ერთი სიბრტყის მოდელია1) რომელი წერტილი ეკუთვნის ამ სიბრტყეებიდან ორივეს2) ამ სიბრტყეებიდან თითოეულისათვის უჩვენეთ წერტილებირომლებიც მას ეკუთვნის და წერტილები რომლებიც არეკუთვნის

E

D C

BA

E

D C

B

A

გეომეტრიის პლანიმეტრიის ნაწილში შეისწავლება ფიგურები რომლის ყველაწერტილი ერთ სიბრტყეში მდებარეობს ასეთ ფიგურებს სიბრტყითი ფიგურებიეწოდება თუმცა ჩვენ რეალობაში გვხვდება სამგანზომილებიანი საგნები ობიექტებიმათ სამი განზომილება სიგრძე სიგანე და სიმაღლე (სიღრმე) გააჩნიათ ასეთფიგურებს სივრცითი ფიგურები ეწოდება გეომეტრიის იმ ნაწილს რომელიცსივრცით ფიგურებს შეისწავლის სტერეომეტრია ეწოდება წერტილი წრფე დასიბრტყე მიღებულია ჩაითვალოს ასევე სივრცით ფიგურებადაცსიბრტყე უსასრულოა პირობითად როგორც წესი პარალე-ლოგრამის ფორმით გამოისახება ერთი პატარა ასოთი ან(ერთ წრფეზე არამდებარე სამი წერტილის მაჩვენებელი)სამი წერტილით აღინიშნება მაგალითად α სიბრტყე ან ABC სიბრტყესივრცის თითოეულ სიბრტყეზე პლანიმეტრიიდან ცნობილი აქსიომები და თეო-რემები მართებულია სივრცეში მიღებულია დამატებითი ქვემოთ მოცემულიაქსიომები

A BC

aqsioma 1 nebismieri sibrtyisaTvis arsebobs wertilebi romlebic am sibr-tyes ekuTvnis da wertilebi romlebic am sibrtyes ar ekuTvnis

aqsioma 2 Tu or sxvadasxva sibrtyes saerTo wertili aqvs maSinisini am wertilze gamaval wrfeze ikveTebian

NA

მართლაც l წრფის A და B ორი წერტილი სიბრტყეზეაავიღოთ l წრფე და α სიბრტყეზე არამდებარე P წერტილი P A და B წერტილებზე გავავლოთ სიბრტყე

l B

βA

P

A wertili α sibrtyesekuTvnisAα

N wertili α sibrtyesar ekuTvnis Nα

45

amoxsna A B და C წერტილებზე გავავლოთ α სიბრტყე დაავღნიშნოთ ამ სიბრტყეზე არამდებარე P წერტილი ამ წერ-ტილებზე შეიძლება გავავლოთ ABP BPC ABC და APC - ოთხისიბრტყე

ერთსა და იმავე სიბრტყეში მდებარე წერტილებს კომპლანური წერტილებიეწოდება ნიმუშში მოცემული A B C და P წერტილები კომპლანური არ არის


nimuSi ერთ წრფეზე არამდებარე A B C წერტილები და მათთან ერთ სიბტყეზეარამდებარე P წერტილია მოცემული ჩამოთვალეთ ყველასიბრტყე რომელიც ამ წერტილებიდან სამ წერტილზე გადის

თუ α სიბრტყის სამი ასოთი გამოსახვას მოისურვებთრომელ სამ ასოს ვერ აირჩევთ ა) ABE ბ) ACE გ) BDE დ) DACB C და D წერტილები ერთ წრფეზე მდებარეობენ(კოლინეარულებია) A B C და D წერტილები ერთსიბრტყეში მდებარეობენ (კომპლანურებია) E წერტილიამ სიბრტყის გარეთ მდებარეობს რამდენი სიბრტყეგადის ამ წერტილებზეა) A B და C ბ) B C და D გ) A B C და D დ) A B C და E

1

2

P

A C

B

E

AD C

B

ED

BAC

α

ვინაიდან და სიბრტყეების გადაკვეთის წრფე A და B წერტილებზე გაივლისამიტომ l წრფეს ემთხვევა ვინაიდან გადაკვეთის წრფის თითოეული წერტილი αსიბრტყის წერტილია l წრფის თითოეული წერტილიც α სიბრტყეზეა სტერეო-მეტრიის აქსიომებიდან ქვემოთ მოცემული შედეგები მიიღება

2 ორ ურთიერთგადამკვეთ წრფეზე შეიძლება სიბრტყის გავ-ლება და მასთან მხოლოდ ერთის

ამრიგად სიბრტყე შეიძლება განისაზღვროს 1) წრფითა და მასზე არამდებარე ერთიწერტილით 2) ორი ურთიერთგადამკვეთი წრფით 3) ორი პარალელური წრფით

3 ორ პარალელურ წრფეზე შეიძლება სიბრტყის გავლება და მასთან მხოლოდ ერთის

BC

lA

BC

A

B

Cl1

l1

l2

l2A

B

C

l1 l2

A

1) 2) 3)

1 წრფეზე და იმ წერტილზე რომელიც ამ წრფეზე არ ძევს შეიძლება სიბრტყის გავლება და მასთან მხოლოდ ერთის

saswavlo davalebebi

დაწერეთ ფიგურის წახნაგებისმომცველი სიბრტყეები

M

N

P

R

3

A

EDF

BC

სამფეხა მაგიდა ადგილზე ყოველთვისმყარად იდგმება განმარტეთ მიზეზი

4

ა) რამდენი სიბრტყის გავლება შეიძ-ლება წყვილ-წყვილად გადამკვეთ სამწრფეზე ბ) რამდენი სიბრტყის გავლება შეიძ-ლება ხუთ სხვადასხვა წერტილზეგანიხილეთ ყველა შემთხვევა

5

46


wrfeTa urTierTmdebareoba sivrceSi

lk

l

k

r s

tსივრცეში ორი წრფე შეიძლება იყოს პარალელური (კერძოშემთხვევაში შეიძლება ემთხვევოდეს ერთმანეთს) სივრცეში ორიწრფე შეიძლება კვეთდეს ერთმანეთს

ცნობილია რომ თუ l და k წრფეები იკვეთებიან ან პარალე-ლურები არიან მაშინ ისინი ერთ სიბრტყეში მდებარეობენ

თუ სივრცეში ორი ურთიერთგადამკვეთი წრფე მესამე წრფესსხვადასხვა წერტილებში გადაკვეთს მაშინ ეს წრფეები ერთსიბრტყეში მდებარეობენ თუ სივრცეში ორი წრფე მესამეწრფეს ერთ წერტილში კვეთენ ეს წრფეები შეიძლება ერთსიბრტყეში მდებარეობდნენ ან არ მდებარეობდნენ

l k

n

l k

n

l k

nwrfeebi erT sibr-tyeze Zevs aseTwrfeebs komplanuriwrfeebi ewodeba

wrfeebi erT sibr-tyeze mdebareoben

wrfeebi sxvada-sxva sibrtyeebSiZevs es wrfeebiar arian komla-nurebi

სივრცეში არაპარალელური ორი წრფე შეიძლება არ კვეთდესერთმანეთს წრფეებს რომლებიც ერთმანეთს არ კვეთს და პარა-ლელური არ არის აცდენილი წრფეები ეწოდებაa და b წრფეების აცდენილობა a b სახით იწერება ორი აც-დენილი წრფიდან ორივეზე ერთი სიბრტყის გავლება შეუძ-ლებელია ორ აცდენილ წრფეს შორის კუთხე შესაბამისად მათპარალელურ ორ მკვეთ წრფეს შორის შექმნილ კუთხესეწოდება

a

bbull

bull

wrfisa da sibrtyis urTierTmdebareoba

თუ წრფესა და სიბრტყესმხოლოდ ერთი საერთოწერტილი აქვს მაშინ ესწრფე და სიბრტყეიკვეთებიან

თუ წრფის ორი წერტილისიბრტყეს ეკუთვნისმაშინ ეს წრფე მთლიანადამ სიბრტყეს ეკუთვნის

საერთო წერტილის არა-მქონე წრფესა და სიბრ-ტყეს პარალელური წრფედა სიბრტყე ეწოდება

ll

l

bთუ ორი წრფიდან ერთი მეორის მდებარე სიბრტყეს ამ წრფეზეარამდებარე წერტილში გადაკვეთს მაშინ ეს წრფეები აცდენილია

Aa

nimuSi კუბის მოდელზე A1 D1 B B1 რადგანA1D1 B1C1 ამიტომ A1 D1 და B B1 აცდენილ წრფეებსშორის კუთხე B1C1 და B B1 წრფეებს შორის კუთხის ტოლიაანუ 90deg-ია

A1

D1

B1

C1

BCD

A

47


7

8

6 კუბის მაგალითზე შეასრულეთ დავალებები მკვეთი პარალელური და აცდენილიწრფეების შესახება) დაწერეთ AB წრფის პარალელური წრფეები ბ) დაწერეთ BC წრფის მკვეთი წრფეები გ) დაწერეთ EF წრფის აცდენილი წრფეები დ) უჩვენეთ B წერტილის კომპლანური სამი წერტილი ე) უჩვენეთ B წერტილის არაკომპლანური სამი წერტილივ) უჩვენეთ ABC სიბრტყის მკვეთი წრფეები ზ) უჩვენეთ CDF სიბრტყეში მდებარე წრფეები თ) იპოვეთ კუთხე და წრფეებს შორის ი) იპოვეთ კუთხე და წრფეებს შორის

A

B C

D

E

H G

F

მონაცემების მიხედვით დახაზეთ ფიგურა AC წრფე სიბრტყეში ძევს BE წრფეAC წრფის კომპლანურია Z წერტილი A და C წერტილების X წერტილი კი B დაE წერტილების კოლინეარულია

მონაკვეთების მომცველი წრფეების სურათზე მოცე-მული გამოსახულების მიხედვით შეასრულეთ დავა-ლებებია) ჩამოთვალეთ პარალელური წრფეები ბ) უჩვენეთ აცდენილი წრფეები გ) უჩვენეთ მონაკვეთი რომელიც ორ მკვეთ წრფესკვეთს და მათთან ერთ სიბრტყეში მდებარეობს

B

C

D

K GJ

A

F

E

H

9 ოთხფეხა მაგიდა როგორც წესი მიწაზე მყარად არ იდგმება განმარტეთ მიზეზი

AB მონაკვეთის A წვერო სიბრტყეშია მონა-კვეთის B წვეროდან და C წერტილიდან სიბრტყისშესაბამისად B1 და C1 წერტილებში მკვეთი პარა-ლელური წრფეებია გავლებული იპოვეთ CC1

მონაკვეთის სიგრძე თუ AC CB = 3 2 დაBB1 = 10 სმ

11

C

A

B

C1B1

სიბრტყის არამკვეთი AB მონაკვეთის წვეროებიდანდა M წერტილიდან გავლებულია სიბრტყის A1 B1

და M1 წერტილებში მკვეთი პარალელური წრფეებიიპოვეთ MM1 მონაკვეთის სიგრძე თუა) AA1 = 12 სმ BB1 = 4 სმ ბ) AA1 = a BB1 = b

10

A

BMM

M1A1 B1

მოცემულია ABCD პარალელოგრამი და მისი არამკვეთი სიბრტყე პარალე-ლოგრამის წვეროებიდან გავლებული პარალელური წფრეები სიბრტყეს A1 B1C1 და D1 წერტილებში კვეთს იპოვეთ DD1 მონაკვეთის სიგრძე თუ AA1 = 3 სმBB1 = 4 სმ და CC1 = 7 სმ

12

13 დაამტკიცეთ რომ წრფეზე არამდებარე წერტილზე ამ წრფის პარალელურიმხოლოდ ერთი წრფის გავლება შეიძლება

48

damtkiceba როცა წრფეები ერთ სიბრტყეში ძევს მაშინპირობა სწორია დავუშვათ რომ a b და c წრფეები ერთსიბრტყეში არ ძევს და a c b c a და c წრფეებზე გავავლოთ სიბრტყე რადგან b c ამიტომ b იქნება a წრფეზე ავიღოთM წერტილი ამ წერტილზე და b წრფეზე გავავლოთ სიბრტყე და სიბრტყეების გადაკვეთის წრფე MN არის b და cწრფეების პარალელური M წერტილზე c წრფის პარალელური მხოლოდ ერთი წრფის გავლება შეიძლებაამიტომაც MN და a წრფეები ემთხვევა რადგან MN b ამიტომ a b


Teorema 1 (წრფისა და სიბრტყის პარალელურობის ნიშანი) თუ სიბრტყეში არა-მდებარე წრფე ამ სიბრტყეში მდებარე რაიმე წრფის პარალელურია მაშინ ის თვით ამსიბრტყის პარალელურიცაა

Sedegi თუ ერთი სიბრტყე მეორე სიბრტყის პარალელურ წრფეზე გადის და მასგადაკვეთს მაშინ ამ სიბრტყეების გადაკვეთის წრფე მოცემული წრფის პარ-ალელურია

Teorema 2 თუ ორი პარალელური წრფიდან თითოეულზე გამავალი სიბრტყეებიიკვეთებიან მაშინ მათი გადაკვეთის წრფე ამ წრფეების პარალელურია

Teorema 3 თუ ორი წრფე მესამე წრფის პარალელურია მაშინ ეს წრფეებიურთიერთპარალელურია

ა) მოცემული წერტილიდან გაავლეთ მოცემული სიბრტყის პარალელური წრფერამდენი ასეთი წრფის გავლება შეიძლებაბ) მოცემული წერტილიდან გაავლეთ მოცემული წრფის პარალელური სიბრტყერამდენი ასეთი სიბრტყის გავლება შეიძლება

პარალელოგრამის ერთ-ერთი გვერდი სიბრტყეზეა რა მდებარეობა უკავია სიბრტყესთან მიმართებაში მის დანარჩენ გვერდებს

Sedegi ურთიერთგადამკვეთი ორი სიბრტყიდან თითოეულის პარალელური წრფეამ სიბრტყეების გადაკვეთის წრფის პარალელურია

damtkiceba სიბრტყეში არამდებარე a წრფე ამსიბრტყეში მდებარე b წრფის პარალელურია a დაbწრფეებზე გავავლოთ სიბრტყე და სიბრტყეები bწრფეზე გადაიკვეთებიან თუ a წრფე სიბრტყესგადაკვეთს გადაკვეთის წერტილი b წრფეზე უნდა იყოსეს კი შეუძლებელია რადგან a b მაშასადამე a

damtkiceba დავუშვათ რომ a b a წრფეზე გავავლოთ სიბრტყე ხოლო b წრფეზე - სიბრტყე ამ სიბრტყეებისგადაკვეთის წრფე ავღნიშნოთ c ასოთი წრფისა და სიბრტყისპარალელურობის ნიშნის თანახმად a აქედან a c ასევერადგან b ამიტომ b c

a

b

ab

c

a

c

bN

M

3

1

2

ABC სამკუთხედის AB გვერდის პარალელური სიბრტყე ამ სამკუთხედის ACგვერდს A1 წერტილში BC გვერდს B1 წერტილში გადაკვეთს იპოვეთ A1B1მონაკვეთის სიგრძე თუა) AB = 18 სმ და AA1 A1C = 2 1 ბ) B1C = 6 სმ და AB BC = 3 4 გ) AA1 = a AB = b და A1C = c

49


gansazRvreba თუ სიბრტყის () გადამკვეთი წრფე (l)სიბრტყეში მდებარე და გადაკვეთის წერტილზე გამავალინებისმიერი წრფის მართობულია მაშინ ეს წრფე მოცემულისიბრტყისადმი მართობულია და ეს l სახით იწერება

Teorema 1 (წრფის სიბრტყისადმი მართობულობის ნიშანი) თუ სიბრტყის გადამ-კვეთი წრფე ამ სიბრტყეში მდებარე და გადაკვეთის წერტილზე გამავალი ორი წრფისმართობულია მაშინ იგი თვით ამ სიბრტყის მართობულიცაა

mocemulia a და b ურთიერთგადამკვეთი წრფეები სიბრტყეში ძევს l a l b

daamtkiceT l

ვთქვათ l წრფე სიბრტყეში მდებარე P წერტილში გადამკვეთი a და b წრფეებისმართობულია გავავლოთ სიბრტყეში P წერტილში გადამკვეთი ნებისმიერი m წრფედა a b და m წრფეების შესაბამისად A B და Q წერტილებში მკვეთი წრფე გამოვყოთP წერტილიდან დაწყებული l წრფეზე PR და PS კონგრუენტული მონაკვეთები

A

a

b

l

l

BP

S

RQ

m

∆RQS ტოლფერდა სამკუთხედში PQ მედიანა სიმაღლეცაა აქედან m lგანსაზღვრების თანახმად მივიღებთ რომ l თეორემა დამტკიცებულია

Q

BP

l

bA R

m

a

1) ∆RPA ∆SPATBT TBT

AR AS

2) ∆RPB ∆SPB

BR BS

3) ∆RBA ∆SBATTT

RAB SAB

S

4) ∆RAQ ∆SAQ5) ∆RPQ ∆SPQ

RPQ SPQTTT

TBTRQ SQ

Q

BP

l

bA R

m

aS

Q

BP

l

bA R

m

aS

Q

BP

l

bA R

m

aS

Q

BP

l

bA R

m

aS

Teorema 2 წრფეზე მდებარე წერტილზე შეიძლება ამ წრფის მართობული სიბრ-ტყის გავლება და მასთან მხოლოდ ერთისTeorema 3 სიბრტყის მოცემულ წერტილზე შეიძლება ამ სიბრტყის მართობულიწრფის გავლება და მასთან მხოლოდ ერთის

daamtkiceT l წრფე P წერტილში სიბრტყის მართობული ერთადერთი წრფეა

davamtkicoT Teorema 3mocemulia l წრფე P წერტილში სიბრტყის მართობულია

50

AP მონაკვეთს - სიბრტყის მართობი AB მონაკვეთს - დახრილი P წერტილს - მართობის ფუძე B წერტილს - დახრილის ფუძე BP მონაკვეთს - სიბრტყეზე დახრილის გეგმილი(პროექცია) ეწოდება


damtkiceba დავამტკიცოთ თეორემა საწინააღმდეგოს დაშვებით დავუშვათ რომ სიბრტყეში P წერტილის მართობული l წრფის გარდა არსებობს სხვა z წრფეც l დაz წრფეები სიბრტყის b წრფეზე მკვეთ სიბრტყეში ძევს l დაz წრფეების გადაკვეთიდან წარმოიქმნება კუთხე წრფისა დასიბრტყის მართობულობის განსაზღრების თანახმად l წრფე(ასევე z წრფე) სიბრტყეში არსებული ნებისმიერი წრფის მათშორის b წრფის მართობულიცაამაშინ თან l თანაც z წრფეც სიბრტყის მართობული უნდა იყოსთუმცა რადგან θ + 90deg + 90deg gt 180deg ეს შეუძლებელია მაშასადამე სიბრტყეში Pწერტილში მართობული მხოლოდ და მხოლოდ ერთი წრფე არსებობს თეორემადამტკიცებულიასივრცის A წერტილზე გამავალი და P წერტილში სიბრტყის მართობული წრფისAP მონაკვეთს A წერტილიდან სიბრტყისადმი გავლებული მართობი ეწოდება A წერტილსა და სიბრტყის დანარჩენი წერტილების შემაეთებელ მონაკვეთებსდახრილი ეწოდება

θP

zl

b

თუ სიბრტყის გარეთ მდებარე წერტილიდან გავლებულია მართობი და დახრილი1) მართობი დახრილზე ნაკლებია2) ტოლი გეგმილების მქონე დახრილები ტოლია3) მეტი გეგმილის მქონე დახრილი მეტია

kuTxes wrfesa da sibrtyeze mis gegmils Soriswrfesa da sibrtyes Soris kuTxe ewodeba

კუთხე წრფესა და სიბრტყეს შორის წრფის მიერ სიბრ-ტყეში მდებარე სხვა წრფეებთან შექმნილი კუთხეებიდანარც ერთზე მეტი არ არისროცა წრფე სიბრტყის მართობულია კუთხე წრფესა და სიბრტყეს შორის 90deg-ისტოლია

kuTxe wrfesa da sibrtyis Soris

nimuSi სივრცის ერთი წერტილიდან სიბრტყისადმი გავლებულია 20 სმ და 13 სმ სიგრძის ორი დახრილი დიდი დახრილის გეგმილი 16 სმ-ია იპოვეთ მცირე დახრილის გეგმილიamoxsna დავუშვათ AD მართობია AB და AC დახრილებია BD და CD კი მათი გეგმილებია ∆ ABD-დან პითაგორას თეორემის თანახმადBD = radicAB2 ndash AD2 = radic202 ndash 162 = radic144 = 12 (სმ)∆ ADC-დან პითაგორას თეორემის თანახმად DC = radicBC2 ndash BD2 = radic132 ndash 122 = (5სმ)

P

A

B

gegmili

daxrilimarTobi

C

A

20 13

D16x

B

l

51

სიბრტყიდან a მანძილით დაშორებული A წერ-ტილიდან სიბრტყისადმი გავლებულია ორი ABდა AC დახრილი რომლებიც სიბრტყესთანადგენენ 30ordm-იან და 45ordm-იან კუთხეს ურთი-ერთშორის კი მართ კუთხეს იპოვეთ მანძილიდახრილის ფუძეებს შორის


ABCD კვადრატის AD გვერდი სიბრტყეზეძევს AC დიაგონალი სიბრტყესთან 30ordm-იანკუთხეს ქმნის იპოვეთ CD გვერდის მიერსიბრტყესთან შექმნილი კუთხე

სურათის მონაცემებით იპოვეთ x სივრცის ერთი წერტილიდან მოცე-მულ სიბრტყეზე 8 სმ სიგრძის მარ-თობი და 16 სმ სიგრძის დახრილიაგავლებული იპოვეთა) დახრილის გეგმილიბ) გეგმილების დახრილზეგეგმილები

3 4

7 მართკუთხა პარალელეპიპედის ფუძის გვერდები 4 სმ და 3სმ-ია პარალელეპიპედის სიმაღლე 5 სმ-ია იპოვეთ პარალე-ლეპიპედის დიაგონალი და კუთხე დიაგონალსა და ფუძისსიბრტყეს შორის

8

9

10 სმ სიგრძის მონაკვეთი სიბრტყეს გადაკვეთს მონაკვეთის ბოლოები სიბრ-ტყიდან 5 სმ და 3 სმ მანძილზეა იპოვეთ მონაკვეთის გეგმილი სიბრტყეზე

ხელოსანმა ახალი სატელეფონო ბოძის დაყენებისას აღნიშნა რომ ვინაიდან ბოძისმიწის ზედაპირზე აღებული ორი მკვეთი წრფის მართობულობაშიდარწმუნებულია იგი ბოძის მართობულობაშიც დარწმუნებულია დაამტკიცეთრომ ხელოსანი მართალიათუ სამკუთხედის წვეროზე გამავალი წრფე სამკუთხედის ამ წვეროებიდანგამოსული გვერდების მართობულია მაშინ ის მესამე გვერდის მართობულიციქნება

წერტილიდან სიბრტყისადმი გავლებულია ორი დახრილი იპოვეთ ამ დახ-რილების სიგრძე თუა) დახრილებიდან ერთი მეორეზე 8 სმ-ით მეტია და გეგმილები კი 8 სმ და 20 სმ-იაბ) დახრილების სიგრძეები ისე შეეფარდება ერთმანეთს როგორც 2 3 და გეგ-მილები კი 2 სმ და 7 სმ-ია

10

5

ერთი წერტილიდან მოცემული სიბრტყისადმი გავლებულია ორი ტოლი დახრი-ლი დახრილებს შორის კუთხე 60ordm-ია გეგმილებს შორის კუთხე კი მართი კუთხეაიპოვეთ კუთხე თითოეულ დახრილს და მის გეგმილებს შორის

6

11

8 სმ სიგრძის მონაკვეთი სიბრტყეს კვეთს მონაკვეთის ბოლოები სიბრტყიდან 1 სმდა 3 სმ მანძილზეა იპოვეთ კუთხე მოცემულ მონაკვეთსა და სიბრტყეს შორის

2

1

B

A

C

D

a30deg

45deg

C

A

17 10

O15 xB

5

43

d

C

A

B

C1

D30ordm

52

დავამტკიცოთ თეორემაmocemuliaAB AC სიბრტყისადმი გავლებული დახრილია BC მონაკვეთი AC დახრილის გეგმილიაCD CD BCdaamtkiceT CD AC


Teorema თუ სიბრტყეზე მდებარე წრფე დახრი-ლის ფუძეზე გადის და ამ დახრილის გეგმილისმართობულია მაშინ იგი თვით ამ დახრილისმართობულიც არის ანუ თუ სიბრტყეში C წერტილზე გამავალი a წრფეBC-ს მართობულია მაშინ AC-ს მართობულიცაა

ამ თეორემის შებრუნებული თეორემაც ჭეშმარიტიაSebrunebuli Teorema თუ სიბრტყეზე მდებარე წრფე სიბრტყისადმი გავლე-ბული დახრილის მართობულია მაშინ ის ამ დახრილის გეგმილის მართობულიცარის ანუ თუ α სიბრტყეში C წერტილზე გამავალი a წრფე AC-ს მართობულია BC-ს მართობულიცაამოკლე ჩანაწერი თუ a AC და BC BA მაშინ a BC

შებრუნებული თეორემა დამოუკიდებლად დაამტკიცეთ

CD BC მოცემულიაABCD წრფისა და სიბრტყის მართობულობა

CD AC CD ABC სიბრტყის (წრფის სიბრტყისადმი მართობულობა)

CD ABC სიბრტყის

piroba safuZveli

AB და BC ABC სიბრტყეზე ორი მკვეთი წრფეადა CDAB CD BC

A

BD

C

nimuSi 1 მართკუთხა ABC სამკუთხედის მართი კუთ-ხის წვეროდან სამკუთხედის სიბრტყისადმი გავლებუ-ლი CM მართობის სიგრძე 72 ერთეული სამკუთხედისმართი კუთხის წვეროდან ჰიპოტენუზაზე გავლებულისიმაღლის სიგრძე კი 96 ერთეულია იპოვეთ მანძილი Mწერტილიდან სამკუთხედის ჰიპოტენუზამდე

amoxsna სამი მართობის თეორემის თანახმად CH AB ხოლო MH ABM წერტილიდან ჰიპოტენუზამდე მანძილი MH მონაკვეთის სიგრძის ტოლია∆MCH-დან პითაგორას თეორემის თანახმად მივიღებთ

MH = radic 722 + 962 = 12 ერთეული

მოკლე ჩანაწერი თუ a BC და BC BA მაშინ a AC

A

CBa

დახრილიდახრილისგეგმილი

AM

CB

H96

72

53

S = radicp(p ndash a)(p ndash b)(p ndash c) = radic24middot(24 ndash 10)(24 ndash 17)(24 ndash 21) = radic24middot14middot7middot3 = radic3middot8middot2middot7middot7middot3 = radic32middot72middot42 = 84


nimuSi 2 სამკუთხედის გვერდები 10 17 და 21 ერთეულია ამსამკუთხედის უდიდესი კუთხის წვეროდან სამკუთხედის სიბრ-ტყისადმი 15 ერთეულის სიგრძის მქონე მართობია აღმართულიიპოვეთ მანძილი მართობის წვეროს წერტილიდან დიდ გვერდამდე

amoxsna თუ BF AC მაშინ KF AC მაშასადამე უნდა ვიპოვოთKF მონაკვეთის სიგრძეჰერონის ფორმულის მიხედვით ვიპოვოთ ΔABC-ის ფართობი

სურათზე მონაცემების მიხედვით დაამტკიცეთ მოთხოვნილი პირობა

12

D

B

C

300

600

A

M

DB(ABС) MA(ABС)AB = AC CD = DBDCAС

MDBС

BD

C

A

BE

CD

AF

K

KB(ABС)AE CF - სიმაღლეები

KDAC

S = AC BF აქედან BF = = = 8

რადგან KB მონაკვეთი BF-ის მართობულია ΔKBF მართკუთხა სამკუთხედია

KF = radicKB2 +BF2 = radic152 + 82 = radic289 = 17

2middotSAC

2middot8421

1

2 10 სმ 10 სმ და 12 სმ გვერდებიან სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის სიბრ-ტყისადმი h = 4 სმ სიგრძის მართობია აღმართული იპოვეთ მანძილი მართობისწვეროდან შესაბამისი სამკუთხედის გვერდებამდე

სივრცის M წერტილი 6 სმ და 8 სმ კათეტების მქონე ABC მართკუთხა სამკ-უთხედის წვეროებიდან ტოლ მანძილზეა იპოვეთ მანძილი M წერტილიდანსამკუთხედის სიბრტყემდე თუ MA = MB = MC = 13 სმ

3

სივრცის M წერტილი ტოლგვერდა სამკუთხედის სიბრტყიდან radic3 სმ მანძილზეაიპოვეთ მანძილი M წერტილიდან სამკუთხედის გვერდებამდე თუ სამკუთხედისგვერდები 3 სმ-ია

(a + b + c)2

(10 + 17 + 21)2p = = = 24

მეორე მხრივ

4

სივრცის M წერტილი 5 სმ მანძილზეა იმ სამკუთხედის გვერდებიდან რომლისგვერდებიც 13 სმ 14 სმ და 15 სმ-ია იპოვეთ მანძილი M წერტილიდან სამ-კუთხედის სიბრტყემდე

5

BC

K

FA

17

21

15

10

54

or sibrtyes Soris kuTxe orwaxnaga kuTxeebi

praqtikuli mecadineoba qaRaldis dakecvaაიღეთ ორი ქაღალდის ფურცელი ერთზე აღნიშნეთ M ასო ხოლომეორეზე N ასო ორივე ფურცელი შუამდე გაჭერით ფურცლებიერთმანეთზე წებოვანი ლენტით (სკოჩი) დაამაგრეთ შეასრულეთდავალებები1 აღნიშნეთ ისეთი ორი D და E წერტილი რომ ორივე სიბრტყესეკუთვნოდეს2 გაავლეთ D და E წერტილებზე გამავალი წრფე3 გამოთქვით მოსაზრებები სიბრტყეების გადაკვეთის შესახებ

M

NM

საერთო საზღვრების მქონე ორი ნახევარსიბრტყით შედგენილ ფიგუ-რას orwaxnaga kuTxe ეწოდება ნახევარსიბრტყეებს ორწახნაგა კუთ-ხის წახნაგები მათ საერთო საზღვარს კი ორწახნაგა კუთხის წიბოეწოდება ორი სიბრტყის გადაკვეთისას 4 ორწახნაგა კუთხე მიიღება

orwaxnaga kuTxe misive wrfivi kuTxiT izomeba wrfivikuTxis gradusuli zoma orwaxnaga kuTxis gradusulzomas uCvenebsორწახნაგა კუთხის ყველა წრფივი კუთხე პარალელური გადატანითერთმანეთს შეუთავსდება მაშასადამე გრადუსული ზომები ტოლია(ერთი და იმავე წრფის მართობული წრფეები პარალელურია)

Or

O

A

B

xy

xryr

sibrtyeebis urTierTmdebareoba

paralelurisibrtyeebi

Tanxvedrilisibrtyeebi

ორი სიბრტყე ერთ წრფეზეიკვეთება და სიბერტყე-ები AB წრფეზე იკვეთება

პარალელურ სიბრტყე-ებს არცერთი საერთოწერტილი არა აქვთ

ორ სიბრტყეს ერთ წრფეზეარამდებარე სამი საერთოწერტილი აქვს

urTierTgadamkveTisibrtyeebi

A

A

B

B

β

wrfivi kuTxis mniSvneloba misi wveros wertilis mdebareobaze araris damokidebuli ორწახნაგა კუთხის ზომები 0ordm-დან 180ordm-მდეა

nimuSi 30deg-იანი ორწახნაგა კუთხის ერთ წახნაგზე აღებული წერტილიდან მეორეწახნაგამდე მანძილი a-ს ტოლია იპოვეთ მანძილი ამ წერტილიდან ორწახნაგაკუთხის წიბომდეamoxsna A α ჩავთვალოთ მოცემულ წერტილად გავავლოთAB l AC სამი მართობის თეორემის თანახმად BC lმაშასადამე ABC წრფივი კუთხეა და ABC = 30deg 30deg-იანი კუთხის მოპირდაპირე კათეტი ჰიპოტენუზის

ნახევრის ტოლია ამიტომ AC = აქედან AB = 2a

თუ ორწახნაგა კუთხის წიბოზე ავიღებთ რაიმე ერთ წერტილს ამ წერ-ტილიდან თითოეულ ნახევარსიბრტყეში გავავლებთ მართობულსხივებს მიღებულ კუთხეს ორწახნაგა კუთხის წრფივი კუთხე ეწოდება

AB2 B

A

C

α

βl

55


არამართობული ორი სიბრტყის გადაკვეთის დროს მიღე-ბული ორწახნაგა კუთხეებიდან მნიშვნელობით ნაკლებიმიღებულია ორ სიბრტყეს შორის კუთხედ სურათზე მო-ცემულ და სიბრტყეებს შორის მდებარე კუთხე არის ამსიბრტყეების გადაკვეთის წრფის მართობული გვერდებისმქონე კუთხე

AB

C

Tსიბრტყეზე ავიღოთ ABC სამკუთხედი და მისი სიბრტყისგარეთ მდებარე T წერტილი გავავლოთ TA TB TC სხივებიT საერთო წვეროსა და საერთო გვერდების მქონე ერთ სიბრ-ტყეზე არამდებარე ATC ATB და BTC სამი სიბრტყითიკუთხისაგან შემდგარ ფიგურას სამწახნაგა კუთხე ეწოდებასიბრტყით კუთხეებს სამწახნაგა კუთხის წახნაგები მათგვერდებს სამწახნაგა კუთხეების წიბოები საერთო წვეროსსამწახნაგა კუთხის წვერო ეწოდება თითოეული წიბოიმავდროულად ერთი ორწახნაგა კუთხის წიბოაTeorema 1 სამწახნაგა კუთხის სიბრტყითი კუთხეების ჯამი 360ordm-ზე ნაკლებიაTeorema 2 სამწახნაგა კუთხის თითოეული სიბრტყითი კუთხე დანარჩენი ორისიბრტყითი კუთხის ჯამზე ნაკლებია

2

1 საკლასო ოთახში უჩვენეთ სამწახნაგა კუთხის ნიმუშები ივარაუდეთ ამ სამწახ-ნაგა კუთხის სიბრტყითი კუთხეებისა და ორწახნაგა კუთხეების მნიშვნელობები

არსებობს თუ არა სამწახნაგა კუთხე რომლის სიბრტყითი კუთხეების გრადუ-სული ზომებიც არისა) 30ordm 70ordm 50ordm ბ) 120ordm 150ordm 100ordm გ) 60ordm 100ordm 170ordm

3

5

4

45ordm-იანი ორწახნაგა კუთხის ერთ წახნაგზე მეორე წახნაგიდან a მანძილზე ერთიწერტილია აღნიშნული იპოვეთ მანძილი ამ წერტილიდან წიბომდე

მართკუთხა სამკუთხედის კათეტები 6 სმ და 8 სმ-ია იპოვეთ მანძილი მართიკუთხის წვეროდან სამკუთხედის სიბრტყესთან 30ordm-იანი კუთხის შემდგენჰიპოტენუზაზე გამავალ სიბრტყემდე

სამწახნაგა კუთხის ორი სიბრტყითი კუთხიდან თითოეული 45ordm-ია მესამე კი 60ordm-ია იპოვეთ მესამე სიბრტყითი კუთხის მოპირდაპირე ორწახნაგა კუთხე

6 მოცემულია ABC სამკუთხედი რომლის გვერდებია AB = 18 BC = 12 AC = 10გაავლეთ სიბრტყე რომელიც AC გვერდიდან სამკუთხედის სიბრტყესთანადგენს 45ordm-იან კუთეს იპოვეთ მანძილი B წვეროდან სიბრტყემდე

nimuSi 2 არსებობს თუ არა ისეთი სამწახნაგა კუთხე რომლის სიბრტყითი კუთხისზომებია ა) 130ordm 100ordm 140ordm ბ) 70ordm 80ordm 100ordm amoxsna ა) არ არსებობს რადგან 130ordm+100ordm+140ordm= 370ordm gt 360ordmბ) არსებობს რადგან 70ordm+80ordm+100ordm lt 360ordm და მოცემული სიბრტყითი კუთხეებიდანთითოეული დანარჩენი ორის ჯამზე ნაკლებია

56

mocemulia AB წრფე სიბრტყესთან A წერტილშია მართობული C კი სიბრ-ტყეზე არამდებარე რაიმე წერტილიაdaamtkiceT A B და C წერტილებზე გამავალი სიბრტყე სიბრტყისმართობულიაdamtkiceba და სიბრტყეების გადაკვეთა ავღნიშნოთ AD სახით AD ამსიბრტყეებით შექმნილი ორწახნაგა კუთხის წიბოა გავავლოთ სიბრტყეზე მდებარე AD-ს მართობული AE წრფე რადგან AB ამიტომ AB წრფე A წერტილზე გამავალი ნებისმიერი წრფისმართობულია ანუ AB AD AB AE BAE ორწახნაგა კუთხისწრფივი კუთხეა რადგან AB AE ორწახნაგა კუთხე მართი კუთხეამაშასადამე თეორემა დამტკიცებულია


gamoyenebis nimuSi სასტუმროების სავაჭ-რო ცენტრების შესასვლელ კარებში მბრუნავიკარები მართობული სიბრტყეების ნიმუშადგამოდგება კარების სქემატური გამოსახვიდანჩანს რომ ST წრფე იატაკის მართობულია დაკარების ამ წრფის გარშემო ბრუნვის კვალობაზეSTU STR სიბრტყეებიც RTU იატაკის სიბრტყისმართობულები რჩებიან

წრფეზე გამავალი ნებისმიერი სიბრტყის სიბრტყის lწრფის გარშემო ბრუნვის შედეგად მიღებულ სიბრტყესავითმოდელირება შეიძლება

VSQ

T UR

B C

EA

D

Teorema (სიბრტყეთა მართობულობის ნიშანი) თუ სიბრტყეგადის მეორე სიბრტყის მართობულ წრფეზე მაშინ ეს სიბრ-ტყეები ურთიერთმართობულები არიან

სიბრტყეზე SQ SR და სიბრტყეზე TS SR წახნაგები და სიბრტყეები წიბო კი RS მქონე ორწახნაგა კუთხის ზომაQST- წრფივი კუთხის ზომის ტოლია თუ QST მართიკუთხეა მაშინ

B

AD

gansazRvreba თუ ორი სიბრტყის გადაკვეთისას მიღებულიორწახნაგა კუთხე მართი კუთხე იქნება ამ სიბრტყეებს მარ-თობული სიბრტყეები ეწოდება

Q

R S

T

l

praqtikuli mecadineobaქაღალდის ფურცელი მიამაგრეთ ფანქარზე წებოვანი ლენ-ტით ფანქარი წრფის ხოლო ფურცელი კი სიბრტყის მო-დელია ფანქრის მაგიდის სიბრტყის მიმართ სხვადასხვამდგომარეობაში მოთავსებით გამოთქვით მოსაზრებები ქა-ღალდის ფურცელსა და მაგიდის სიბრტყეს შორის ორწახნაგაკუთხეების მნიშვნელობების შესახებ

57


რომელი მოსაზრება არის ჭეშმარიტი და რომელია მცდარი

ა) წრფეზე აღებული რომელიმე წერტილიდან ამ წრფეზე მხოლოდ ერთიმართობის გავლება შეიძლება

ბ) თუ A წერტილი სიბრტყეზე ხოლო B წერტილი სიბრტყეზე იქნება ABწრფის არც ერთი სხვა წერტილი არ შეიძლება იყოს სიბრტყეზე

გ) თუ ორი მკვეთი სიბრტყიდან თითოეული იქნება მესამე სიბრტყის მარ-თობული ეს სიბრტყეები ერთმანეთის მართობულებიც იქნებიან

დ) თუ AB წრფე A წერტილში სიბრტყის მართობულია და AB წრფე სიბრტყეში ძევს მაშინ ე) წრფეზე მოცემული წერტილიდან ამ წრფეზე მხოლოდ ერთი მართობულისიბრტყის გავლება შეიძლება

ვ) თუ სიბრტყე ორი მკვეთი წრფიდან მართობული იქნება მაშინ მეორისმართობულიცაა

12

წარმოიდგინეთ რომ თქვენ საკლასო ოთახი გადასა-ტიხრი დაფებით სურათზე ნაჩვენებივით ორ ნაწილადუნდა გაყოთ ოსტატმა რომელიც თქვენ გეხმარებოდათგადატიხრულზე ცარცით DF ხოლო იატაკზე კი FHწრფეები გაავლოა) ამ ორი წრფისა და კუთხედის დახმარებით როგორგანსაზღვრავდით ტიხარის მოდელის - EFD სიბრტყისიატაკის მაჩვენებელი EFH სიბრტყის მიმართ მართობულობასბ) რომელი შემოწმებებით შეიძლება იმაში დაწრმუნება რომ ტიხარი კედლის(KGJ) მართობულია

D

K

GF

E H

J

10

ბ) რომელი სიბრტყის მართობულია AE წიბო გან-მარტეთ თქვენი პასუხი წრფისა და სიბრტყისმართობულობის შესახებ თეორემის დაწერით

გ) დაწერეთ მართობული სიბრტყეების სამი წყვი-ლის სახელი განმარტეთ მათი მართობულობაშესწავლილი თეორემების დაწერით

9

A

B C

D

E

H G

F

ა) დაწერეთ კუბის ADC სიბრტყის მართობული წიბოები

ა) გაავლეთ NML სიბრტყე და ამ სიბრტყის მართობული AM წრფებ) გაავლეთ AM წრფეზე გამავალი და NML სიბრტყის მართობული სამი სიბრტყე

11

სახლში და სკოლაში თქვენს გარშემო უჩვენეთ ნიმუშები მართობული სიბრ-ტყეების შესახებ და დაასაბუთეთ მათი მართობულობა

7

წერტილი მართობული ორი სიბრტყიდან a და bმანძილზეა იპოვეთ მანძილი ამ წერტილიდანსიბრტყეების გადაკვეთის წერტილამდე

8 Aab

58


ა) PN-ის MNL სიბრტყისადმი მართობულობა კიდევ რომელისიბრტყისა და MNL სიბრტყის მართობულობას უჩვენებს

ბ) იმისათვის რომ როგორც RSL ისე PNL სიბრტყე იყოს MNLსიბრტყის მართობული რომელი წრფე უნდა იყოს MNLსიბრტყის მართობული

13P

RQ

SL

NM

AB არის B წერტილში სიბრტყის მართობული სიბრტყეზე მოცემული BC და BD მონაკვეთებიკონგრუენტულებია BC BD ორსვეტიანი ცხრილისშევსებით დაამტკიცეთ რომ AC AD დამტკიცებარვეულში ჩაიწერეთ

14

mocemulia AB BC BD C və D daamtkiceT AC AD

A

BDC

1 AB BC BD C და D 1 მოცემულია2 AB BC AB BD 2 3ABC და ABD მართი კუთხეებია 3 პერპენდიკულარის განსაზღვრების

თანახმად4 ABC ABD 4 ორივე მართი კუთხეა5 ΔABC ΔABD 5 6 AC AD 6

piroba safuZveli

ტოლგვერდა ABC სამკუთხედი სიბრტყეზე მდებარეობს AD მონაკვეთი სიბრტყის მართობულია დაამტკიცეთ რომ BD CD

AB საერთო ფუძის მქონე ABC და ABD ტოლფერდა სამკუთხედების სიბრ-ტყეები მართობულია AB = 16 სმ AC = BC = 17სმ AD CD იპოვეთ CDმანძილი

16

15

AB მონაკვეთი სიბრტყეზე C წერტილში მართობულიადა AC CB დაამტკიცეთ რომ სიბრტყეზე ნებისმიერიწერტილი A და B წერტილებიდან ტოლ მანძილზეა

A

D C

B

17

ორ მართობულ სიბრტყეზე არსებული A და B წერტილებიდან სიბრტყეებისგადაკვეთის წრფის მიმართ AC და BD მართობებია გავლებული იპოვეთ ABმონაკვეთის სიგრძე თუა) AC = 8 სმ BD = 9 სმ CD = 12 სმ ბ) AD = 6 მ BC = 7 მ CD = 8 მ გ) AC = a BD = b CD = c

18

59

Teoremis damtkicebamocemulia || სიბრტყის სიბრტყესთან გადაკვეთა l სიბრტყესთანგადაკვეთა კი m წრფეაdaamtkiceT m || ldamtkiceba ვინაიდან m და l წრფეები სიბრტყეზე მდებარეობენ აცდენილებივერ იქნებიან ისინი არც შეიძლება იკვეთებოდნენ წინააღმდეგ შემთხვევაში და სიბრტყეებს საერთო წერტილი ექნებოდათ მართლაც l და m წრფეები თუ რაიმეწერტილში გადაიკვეთებიან ეს წერტილი l წრფეზე ანუ სიბრტყეზე უნდა იყოსთანაც m წრფეზე ანუ სიბრტყეზე უნდა იყოს თუმცა და სიბრტყეები პარალელურია არცერთი საერთო წერტილი არააქვთ მაშასადამე m || l თეორემა დამტკიცებულიაTeorema 3 პარალელურ სიბრტყეებს შორის მოთავსებულიპარალელური წრფეების მონაკვეთები ტოლიათეორემა დამოუკიდებლად დაამტკიცეთ


Teorema 2 თუ ორი პარალელური სიბრტყე გადაკვეთილიამესამე სიბრტყით მაშინ გადაკვეთის წრფეები პარალელურიაანუ თუ პარალელურ და სიბრტყეებს სიბრტყე გადაკვეთსმათი გადაკვეთის l და m წრფეები პარალელურიამოკლე ჩანაწერი თუ || სიბრტყე გადაკვეთს და სიბრტყეებს l || mgamoyenebiTi nimuSi მართკუთხა პარალელეპიპედში ABGდა DCF სიბრტყეები პარალელურია რომელი სიბრტყეები წარ-მოქმნიან პარალელურ წიბოებს ამ სიბრტყეების გადაკვეთისასamoxsna 1 ABC სიბრტყე ABG და DCF პარალელური სიბრ-ტყეების გადაკვეთისას AB და CD პარალელურ წიბოებს წარ-მოქმნის AB || CD2 HGF სიბრტყე ABG და DCF პარალელური სიბრტყეებისგადაკვეთისას GH და FE პარალელურ წიბოებს წარმოქმნისGH FE

m

l

A DH

E

CFG

B

A B

D

C

Teorema 1 (სიბრტყეთა პარალელურობის ნიშანი) თუ ერთ სიბრტყეში მდებარეორი ურთიერთგადამკვეთი წრფე შესაბამისად მეორე სიბრტყეში მდებარე ორიურთიერთგადამკვეთი წრფის პარალელურია მაშინ ეს სიბრტყეები ერთმანეთისპარალელურია

ab

ca1

b1

damtkiceba დავუშვათ რომ ურთიერთ-გადამკვეთი a და b წრფეები სიბრტყეშიხოლო a1 და b1 წრფეები კი სიბრტყეშიმდებარეობენ და a a1 b b1 ვუჩვენოთ რომ

დავუშვათ საპირისპირო ვთქვათ რომ და სიბრტყეები c წრფეზე იკვეთებიანწრფისა და სიბრტყის პარალელურობის ნიშნის თანახმად a c და b c ასე გამოდისრომ c წრფე მკვეთი a და b წრფეებიდან თითოეულის პარალელურია ეს კიშესაძლებელი არაა მკვეთით წინააღმდეგობამდე თეორემა დამტკიცებულია

60

Teoremis damtkicebamocemulia სიბრტყე AB სიბრტყე ABdaamtkiceT || damtkiceba წარმოვიდგინოთ საწინააღმდეგო დავუშ-ვათ რომ და სიბრტყეები იკვეთებიან და R წერტილი ამსიბრტყეების გადაკვეთის წრფეზე მდებარე წერტილია AB და R წერტილებზე კი სიბრტყე გადის γ სიბრტყეზე RB AB RA AB თუმცა სიბრტყეზე ერთი და იმავეწრფის მიმართ მართობული წრფეები პარალელური უნდაიყოს მაშასადამე და სიბრტყეების გადაკვეთის შესახებგამოთქმული მოსაზრება არ არის ჭეშმარიტი ეს სიბრტყეები პარალელურია || თეორემა დამტკიცებულია

Teorema 5 ერთი და იმავე წრფის მართობული ორი სიბრტყე პარალელურია

gamoyenebiTi nimuSi ქერიმმა მუყაოსაგან ავტო-მობილის მოდელი დაამზადა საბურავების შემაერ-თებელი DG ღერძი საბურავების მართობული უნდაიყოს რომელი წრფეების მართობული უნდა იყოსღერძი რომ ის დარწმუნებული იყოს საბურავებისპარალელურობაში


F

E D

G

HJ

A

B

R

Teorema 4 ერთი და იმავე სიბრტყის მართობული ორი წრფე პარალელურია

mocemulia სიბრტყე LA MB daamtkiceT LA || MBთეორემის დამტკიცებისათვის გაავლეთ LA -ს პარალელურიBN წრფე უნდა ვუჩვენოთ რომ BN და BM წრფეები ემთხვევაერთმანეთს თეორემა ქვემოთმოცემული ნაბიჯებითდაამტკიცეთ1 უჩვენეთ რომ LAC არის და სიბრტყეებით შექმნილიმართი ორწახნაგა კუთხის წრფივი კუთხე2 თუ ორი პარალელური წრფიდან ერთი მესამე წრფისმართობულია მეორეც ამ წრფის მართობულია LAAB პირობის თანახმად უჩვენეთრომ NB AB3 სიბრტყეზე გაავლეთ BD AB და სიბრტყეების მართი ორწახნაგა კუთხისგამოყენებით უჩვენეთ რომ BD NB4 უჩვენეთ რომ MB არის სიბრტყის B წერტილში გავლებული ერთადერთიმართობი

С DA B

MNL

amoxsna თუ DG ღერძი EFD სიბრტყეზე არსებული ED და FD ურთიერთგადამკვეთიწრფეებისა და HGJ სიბრტყეზე HG და GJ ურთიერთგადამკვეთი წრფეების მარ-თობული იქნება მაშინ ქერიმს შეუძლია დარწმუნებული იყოს საბურავების პარა-ლელურობაში

61

დურგლები ხელოსნები დეტალების დამუშავები-სათვის მათ ორ პარალელურ დაფას (გირაგი) შორისამაგრებენ მოუჭერენ და მასზე საჭირო სამუშაოებსასრულებენ სურათზე ნაჩვენები ორი დაფის პარა-ლელურობისათვის რომელი წრფეები უნდა იყოსმართობული


manZili or acdenil wrfes Soris ორი აცდენილიწრფიდან თითოეულზე მეორის პარალელური სიბრტყისგავლება შეიძლება მაგალითად b წრფეზე გავავლოთ aწრფის პარალელური სიბრტყე ამისათვის გავავლოთ bწრფის გადამკვეთი და a-ს პარალელური a1 წრფე a1 და bურთიერთგადამკვეთ წრფეებზე თუ გავავლებთ სიბრტყესეს სიბრტყე a წრფის პარალელური იქნება a წრფისნებისმიერი წერტილიდან ამ სიბრტყემდე მანძილი a და b

Teorema 6 ორი პარალელური სიბრტყიდან ერთის მართობულიწრფე მეორე სიბრტყის მართობულიცაა

damtkiceba ვთქვათ a a წრფეზე გამავალი 1

და 1 სიბრტყეები მოცემულ და სიბრტყეებს პარალელურწრფეებზე კვეთენ AC BM AD BNრადგან a AC a AD ამიტომ a BM და a BN წრფისადა სიბრტყის მართობულობის ნიშნის თანახმად მიიღებარომ a თეორემა დამტკიცებულია

manZili or paralelur sibrtyes Soris ორ პარალელურსიბრტყეს შორის მანძილი ამ სიბრტყეებიდან ერთ-ერთის ნების-მიერი წერტილიდან მეორის მიმართ გავლებული მართობის სიგრძისტოლია

M

N

aA

Bb

a1

1 AB

C

DE

F

AB წრფე სიბრტყის პარალელური და სიბრტყის მართობულია CD წრფე სიბრტყეზე მდებარეობსა) დახაზეთ პირობის შესაბამისი სურათი ბ) რომელი პირობაა მართებული

ა) || ბ) გ) AB || CD დ) CD

2

1

AD

B

a

1

C

M

N

აცდენილ წრფეებს შორის მანძილის ტოლია თუ b a1 = B მაშინ სიბრტყისმართობული AB მონაკვეთი იქნება a და b აცდენილი წრფეების საერთო მართობი

მოცემული პირობები ასახეთ სურათზე და სიბრტყეები იკვეთებიან CD წრფეზე AB წრფე CD-ს E წერტილში კვეთსA B C D და E წერტილები ერთსა და იმავე სიბრტყეში მდებარეობენ

3

62

ორ პარალელურ სიბრტყეს შორის 4 მ სიგრძის მართობი და 6 მ სიგრძისდახრილია გავლებული თითოეულ სიბრტყეზე მათ წვეროებს შორის მანძილი 3 მ-ია იპოვეთ მანძილი მართობისა და დახრილის შუაწერტილებს შორის


ABC ტოლფერდა სამკუთხედის BC ფუძე სიბრტყეში ძევს სიბრტყის პარა-ლელური სიბრტყე AB გვერდს D წერტილში და AC გვერდს E წერტილში კვეთსდაამტკიცეთ რომ ADE სამკუთხედიც ტოლფერდა სამკუთხედია

მოცემულია მართკუთხა პარალელეპიპედიAB = AD = 15 სმ AA1 = 20 სმიპოვეთ მანძილი A1C წრფესა და AD-ს თავი-სთავში მომცველ წრფეს შორისmiTiTeba A1C დიაგონალზე გაავლეთ AD-სპარალელური სიბრტყე

6

7

რადგან MNO და PQR სიბრტყეები პარალელურისიბრტყეებია და MP NQ QR შეიძლება ითქვას რომNO = QR პასუხი განმარტეთ

სურათზე ნიმუშის ჩვენებით განმარტეთ მოცემული პირობაჭეშმარიტია თუ მცდარი

ა) თუ ორი სიბრტყე მართობულია ამ სიბრტყეებიდან ერთისპარალელური წრფე მეორის მართობულიც იქნება

ბ) თუ ორი სიბრტყე ერთი და იგივე წრფის პარალელურიამაშინ ეს სიბრტყეები ერთიერთპარალელურია

გ) ერთი და იმავე მართობული წრფეები პარალელურებიარიან

დ) ერთი და იგივე სიბრტყის მართობული ორი სიბრტყეერთმანეთის პარალელურია

ე) ორი პარალელური წრფიდან ერთის აცდენილი წრფემეორისთვისაც აცდენილია

4

5

M

P R

N

Q

O

E

FG

D C

JH

A B

ორ პარალელურ და სიბრტყეებს შორის AC და BD მონაკვეთებია გავლებული(ABα CDβ) AC = 17 სმ BD = 10 სმ AC და BD-ს სიბრტყეებიდან ერთ-ერთზე გეგმილების ჯამი 21 სმ-ია იპოვეთ ამ გეგმილების სიგრძეები და მანძილისიბრტყეებს შორის

8

ორ პარალელურ სიბრტყეს შორის მანძილი 8 სმ-ია 10 სმ სიგრძის მონაკვეთისბოლოები ამ სიბრტყეებშია იპოვეთ მონაკვეთის ორივე სიბრტყეზე არსებულიგეგმილი

9

10

მონაკვეთის ბოლოები სიბრტყიდან a და b მანძილზეა (a gt b) იპოვეთ მანძილიმონაკვეთის შუაწერტილიდან სიბრტყემდეა) თუ მონაკვეთი სიბრტყეს არ კვეთს ბ) თუ მონაკვეთი სიბრტყეს კვეთს

11

სიბრტყის არამკვეთი მონაკვეთის წვეროები სიბრტყიდან 15 სმ და 25 სმ მან-ძილზეა იპოვეთ მანძილი მონაკვეთის 3 7 შეფარდებით გამყოფი წერტილიდანსიბრტყემდე (განიხილეთ ორი შემთხვევა)

12

C

C1B1

A1 D1

B

A D

63

საყოფაცხოვრებო საგნების სამრეწველო მოწყობილობების მანქანებისა და მექა-ნიზმების წარმოების უფრო ზუსტი ორგანიზებისათვის სხვადასხვა მხრიდანსურათების გადაღებით მიმდინარეობს ფორმების დაზუსტების სამუშაო ამისათვისსაგნებისა და მოწყობილობების სხვადასხვა გვერდებიდან ხედების სურათებისგადაღება ხდებასივრცითი ფიგურების სიბრტყეზე ასახვისათვის დაგეგმილებაგამოიყენება ავიღოთ სიბრტყის მკვეთი ნებისმიერი l წრფეფიგურის A წერტილიდან l წრფის პარალელური სიბრ-ტყესთან Aprime გადაკვეთის წერტილი A წერტილის ასახვა იქნებაამ წესით თითოეული წერტილის ასახვის აგებით ფიგურისასახვა მიიღება ამ შემთხვევაში ფიგურის პარალელურიმონაკვეთები პარალელური მონაკვეთებით გამოისახება დაპარალელური წრფეთა მონაკვეთების შეფარდება შენარ-ჩუნდება კერძო შემთხვევაში როცა l წრფე სიბრტყისმართობულია მიღებული გამოსახულება ფიგურის or-Toginaluri gegmili იქნებასურათზე სხვადასხვა მდებარეობაში მყოფი მონაკვეთის ჰორიზონტალურ და ვერ-ტიკალურ სიბრტყეზე ორთოგინალური გეგმილის შესახებ ნიმუშებია მოცემული


A

Aprime Kprime Lprime

KL

BY

A

AA

B

BBA

Bprime

BprimeprimeBprimeprimeBprimeprimeBprimeprime

BprimeBprimeAprimeAprime

Aprime(Bprime)Aprime

AprimeprimeAprimeprime


A

Aprime

l

მონაკვეთის გეგმილის სიგრძის პოვნისათვის გამოიყენებაAprimeBprime = AB cosα დამოკიდებულება KA

Aprime

B

Bprime

α

∆ABC-ს AC გვერდზე გამავალ სიბრტყესა და სამკუთხედისსიბრტყეს შორის არსებული კუთხე თუ იქნება ვიპოვოთ სიბრტყეზე ამ სამკუთხედის ორთოგინალური გეგმილისფართობი

თუ BD AC და BB1 სამი მართობის თეორემისთანახმად B1D AC იქნება

SABC = AC middot BD რადგან

S = AC middot B1D = ACmiddotBDmiddotcos = S middot cos

12

∆BB1D-დან cos = 12

B1DBD12

B1D C

A

B

ამიტომ B1D = BDmiddotcos

AB1C

საერთოდ თუ მრავალკუთხედის სიბრტყესა და გეგმილის სიბრტყეს შორის კუთხეიქნება Sp = Sf middotcos ფორმულა მართებულია სადაც Sf -მრავალკუთხედისფართობი Sp-ორთოგინალური გეგმილის ფართობია

ABC

64


nimuSi მართკუთხა პრიზმა ზემოდან შუქდება დახაზეთმოთხოვნილი მონაკვეთების გეგმილები ფუძის სიბრტყეზე

ა) BD ბ) NB გ) BE დ) BX

გაფერადებით უჩვენეთ ფერადი ნაწილების გეგმილი ფუძისსიბრტყეზე

ABC ტოლფერდა სამკუთხედის სიბრტყეზე ორთო-გინალური გეგმილი ტოლგვერდა სამკუთხედია იპოვეთ ∆BCD-ს ფართობი თუ AD BD AE BC∆ABC = 48 სმ2 AE = 16 სმ

ABC ტოლგვერდა სამკუთხედის სიბრტყეზე ორთოგი-ნალური გეგმილი BDC მართკუთხა სამკუთხედიაიპოვეთ CD თუ AC = 8 სმ

ABC სამკუთხედის სიბრტყისა და სიბრტყეს შორისკუთხე 30deg-ია იპოვეთ ABC სამკუთხედის α სიბრტყეზეორთოგინალური გეგმილის ფართობი თუ BC = 12 სმAA1 და AA1 = 8 სმ

ა) BD-ს გეგმილი არის SD

ბ) NB-ს გეგმილი არის NS

გ) BE-ს გეგმილი არის SE

დ) BX-ს გეგმილი არის SX

გეგმილები ფუძის სიბრტყეზე

AB C

DEXN

SR

AB C

DX EN

S

X

B C

DN

A

E

M MS

DA B

FH

E M C

G N R

S

TF

E

M D

N

C

P

AM

B

1

2

3

4

A

D

CEB

მოცემულია ტოლგვერდა სამკუთხედი რომლის გვერდიაa იპოვეთ ამ სამკუთხედის იმ სიბრტყეზე ორთოგინალური გეგმილი რომელ-თანაც მისი სიბრტყე ადგენსა) 30deg-იან ბ) 45deg-იან გ) 60deg-იან კუთხეს

5

A

D

C

B

B

A

C DA1

65

ტოლგვერდა სამკუთხედის თითოეული გვერდისსიგრძეა a ამ სამკუთხედოს O ცენტრიდან სამკუთ-ხედის სიბრტყისადმი აღმართულ მართობზე გამო-ყოფილი OM მონაკვეთის სიგრძეა x

ა) უჩვენეთ რომ MA BC

ბ) რისი ტოლი უნდა იყოს OM = x რომ ABM და ABCსიბრტყეებს შორის ორწახნაგა კუთხე იყოს 60degგ) რისი ტოლი უნდ აიყოს OM = x რომ MA MB და MC მონაკვეთები წყვილ-წყვილად ურთიერთმართობულები იყვნენ


მოცემული სურათების მიხედვით განსაზღვრეთ ქვემოთ მოცემული მოსაზ-რებებიდან რომელია ჭეშმარიტი და რომელია მცდარი სურათები ჩაიხაზეთრვეულში და პასუხები დაწერეთ

ა) უჩვენეთ რომ ABC და BCD სამკუთხედებიმართკუთხა სამკუთხედებიაბ) სურათზე მოცემული ზომები ისე შეცვალეთრომ BCD სამკუთხედი კვლავ მართკუთხა სამკუთხედი იყოს ABC სამკუთხედი კიაღარ იყოს მართკუთხა სამკუთხედი

ტოლგვერდა სამკუთხედის გვერდების სიგრძე 6 სმ-ია სამკუთხედის ცენტრიდანსამკუთხედის სიბრტყეზე 3 სმ სიგრძის მართობია აღმართული იპოვეთ მანძილიმართობის წვეროდან სამკუთხედის გვერდებამდე

A და B წერტილებსა და სიბრტყეს შორის მანძილი შესაბამისად a და b-ს ამწერტილებიდან სიბრტყისადმი გავლებული მართობების ფუძეებს შორისმანძილი c-ს ტოლია გაითვალისწინეთ რომ A და B წერტილები შეიძლებასიბრტყის ერთსა და იმავე ან სხვადასხვა მხარეს მდებარეობდნენ და იპოვეთ ABმანძილი თუ a = 7 სმ b = 2 სმ და c = 12 სმ

იპოვეთ x სურათის მონაცემების მიხედვით კიბის სახელური ჭერისპარალელურია იპოვეთ yკუთხე თუ x = 122deg

1 თუ ორი სიბრტყე ერთი და იმავეწრფის მართობულია მაშინ ეს სიბრ-ტყეები პარალელურია

2 თუ ორი სიბრტყიდან თითოეულიმესამე სიბრტყის მართობულია მაშინეს სიბრტყეები პარალელურია

P1 P2

P2

P1

P3

სურათის მიხედვით შეასრულეთ1

2 3

4

5

6

7

DO

A

M

CF

Ba a

ax

პარალელური

წრფეებიydeg

xdeg

BD

CA4

3 1213

12 მ

x15 მ

kuTxis trigonometriulifunqciebi3

mobrunebis kuTxeebikuTxis radianuli da gradusuli zomebirkalis sigrZe seqtoris farTobitrigonometriuli funqciebinebismieri kuTxis trigonometriuli funqciebierTeulovani wrewiri da nebismieri kuTxistrigonometriuli funqciebidayvanis formulebitrigonometriuli igiveobebiSekrebis formulebiSekrebis formulebidan miRebuli Sedegebitrigonometriuli gamosaxulebebis gamartiveba

67

მობრუნების კუთხეების საწყისი გვერდები ერთი და იგივეა და აბსცისთა ღერძისდადებით მიმართულებას ემთხვევა კოორდინატთა სათავის (კუთხის წვერო)გარშემო მბრუნავ გვერდს კი დამამთავრებელი (ბოლო) გვერდი ეწოდება როცამობრუნება საათის ისრის მოძრაობის საპირისპირო მიმართულებით ხდება კუთხისზომა დადებითად ხოლო როცა საათის ისრის მოძრაობის მიმართულებით ხდებამაშინ უარყოფითად არის მიღებული

mobrunebis kuTxeebi

ჩვენ აქამდე კუთხეზე საუბრისას ორ უძრავ გვერდს შორის დარჩენილკუთხეებს ვგულისხმობდით კუთხე ასევე შეიძლება განხილულ იქნასროგორც მობრუნების საზომი მაგალითად უძრავი Ox ღერძისგარშემო მბრუნავი ბორბლის თავიდან ჰორიზონტალურ მდგო-მარეობაში მდებარე რადიუსი გარკვეული დროის შემდეგ თავ-დაპირველ მდგომარეობასთან გარკვეულ კუთხეს შექმნის თანაც ამკუთხის მნიშვნელობა დამოკიდებული იქნება იმაზე თუ რომელი მიმართულებითმოხდა მობრუნება ნებისმიერი კუთხე შეიძლება განვიხილოთ როგორც სხივისსაკუთარი სათავის წერტილის გარშემო ბრუნვით მიღებული ფიგურა

სხივის საწყისი მდგომარეობა კუთხის ერთ გვერდსსხივის ბოლო მდგომარეობა კი კუთხის მეორეგვერდს შეესაბამება საკოორდინატო სიბრტყეზესხივის კოორდინატთა სათავის მიმართ საათისისრის მოძრაობის მიმართულებით ან საპირისპირომიმართულებით მობრუნებით სხვადასხვა ზომისკუთხეების შექმნა შეიძლება

საწყისიგვერდი

O x

y

დამამთავრებელიგვერდი

ndash210ordmx

y

O

225ordm

x

y

O

უარყოფითი კუთხედადებითი კუთხე

III

III

90ordm lt lt 180ordm 0ordm lt lt 90ordm


y

x0 IV

mobrunebis kuTxe

საკოორდინატო ღერძები საკოორდინატო სიბრტყეს ოთხმეოთხედად ყოფს იმაზე დამოკიდებულებით თუ კუთ-ხის დამამთავრებელი გვერდი რომელ მეოთხედშია მისიმნიშვნელობა განსაზღვრულ ინტერვალში იცვლებადამამთავრებელმა გვერდმა კოორდინატთა სათავისგარშემო შეიძლება მოახდინოს ერთი ან მრავალჯერადი მობრუნება ერთი სრული მობრუნებით იქმნება 360-იანიკუთხე საწყისი და დამამთავრებელი გვერდების თანხვედ-რაში მყოფი უსასრულო რაოდენობის მობრუნების კუთხეებიარსებობს მაგალითად 30deg-იანი კუთხისა და 390deg-იანიკუთხის დამამთავრებელი გვერდები ერთმანეთს ემთხვევასხვა სიტყვებით ordm და ordm + 360ordm middot n (სადაც n ნებისმიერიმთელი რიცხვია) მობრუნების კუთხეების დამამთავრებელგვერდებს ერთი და იგივე მდებარეობა უკავიათ ერთმანეთსემთხვევიან

30ordmx

y

O390ordm

68

კუთხის ნიშანი უარყოფითიაკუთხის დამამთავრებელი გვერ-დი საწყისი მდგომარეობიდან სა-ათის ისრის მოძრაობის მიმარ-თულებით მობრუნებით აბსცისთაღერძთან 45-იანი კუთხის შექ-მნით გაივლება კუთხის დამამ-თავრებელი გვერდი IV მეოთ-ხედშია

კუთხის დამამთავრებელიგვერდი საწყისი გვერდი-დან საათის ისრის მო-ძრაობის საპირისპირო მი-მართულებით საწყის გვერ-დთან 150-იანი კუთხისშექმნით გაივლება დამამ-თავრებელი გვერდი II მე-ოთხედშია

კუთხის ნიშანი დადებითიაკუთხის ბოლო გვერდი საათისისრის მოძრაობის საპირის-პირო მიმართულებით საწყისიგვერდიდან 180 + 60 მობრუ-ნებით გაივლება დამამთავ-რებელი გვერდი III მეოთ-ხედშია

kuTxis radianuli da gradusuli zomebi

nimuSi 2 საკოორდინატო სიბრტყეზე უჩვენეთ 60deg-იან კუთხესთან დამამთავრებელიგვერდის თანხვედრაში მყოფი დადებითი და უარყოფითი მობრუნების კუთხეები დადაწერეთ მათი გრადუსული ზომები60 + 360 = 420 60 360 = 30060 + 2 360 = 780

y

x

60ordm

420ordm ndash300ordm

y

x

60ordm

y

x

60ordm

780ordm

nimuSi 1 გაავლეთ მოცემული ზომის მობრუნების კუთხეები და განსაზღვრეთდამამთავრებელი გვერდი რომელ მეოთხედშია

1

2

3

4

0ordmndash360ordm შუალედში უჩვენეთ ისეთი მობრუნების შუალედში უჩვენეთ ისეთიმობრუნებისა) 420ordm ბ) ndash210ordm გ) ndash330ordm დ) 700ordm ე) 200

რომელი მეოთხედის კუთხეა კუთხე დახაზეთ უჩვენეთა) = 170 ბ) = 290 გ) = 100 დ) = 320 ე) = 10

რომელი ზომა რომელ კუთხეს შეესაბამება

დაწერეთ და დახაზეთ ერთი დადებითი და ერთი უარყოფითი კუთხის გრადუსულიზომები რომლის დამამთავრებელი გვერდი მოცემულ კუთხეს ემთხვევაა) 200ordm ბ) 80ordm გ) ndash 100ordm დ) 130ordm ე) 70

1) ndash210ordm 2) 420ordm 3) ndash 780ordm

ა) გ)ბ)

x

y

x

y

x

y

saswavlo davalebebi

240 = 180 + 60 510 = 360 + 150

გ) 510yy

xx

O ndash45ordm60

ა) ბ)y

x

150

510

240

O

240 45

69


გრადუსის რადიანებში გადაყვანა

სიგრძით რადიუსის ტოლი რკალის შესსაბამისი ცენტრულიკუთხის ზომას 1 radiani ეწოდება რკალის სიგრძისწრეწირის რადიუსთან შეფარდება შესაბამისი ცენტრულიკუთხის რადიანულ ზომას უჩვენებს კუთხის რა-დიანული ზომა რადიანის სიგრძეზე არ არის დამოკი-დებული (განმარტეთ სურათზე მოცემული ფიგურებისმსგავსების მიხედვით)

წრეწირის სიგრძე 2r-ია თუ რადიუსის (r) ტოლი რკალის შესაბამისი ცენტრული კუთხე1 რადიანია 2r-ის ტოლი რკალის შესაბამისი ცენტრული კუთხე 2 იქნება ქვემოთნაჩვენებია განსაზღვრული მობრუნებების შესაბამისი კუთხეების რადიანული ზომები

3602

1801 რადიანი = =

1 რადიანი 57

2 რადიანი = 360

რადიანის გრადუსებში გადაყვანა

2360

180

180

1 = =


სრული ბრუნი2 რადიანი 2 = 3

432

34 ბრუნი

2 = 12

2

12 ბრუნი

2 = 14

14 ბრუნი

ერთი სრული ბრუნით შექმნილი კუთხის რადიანული ზომაა 2 გრადუსული ზომა კი360-ია ანუ 2 რადიანი = 360 აქედან შეიძლება განისაზღვროს დამოკიდებულებაკუთხის რადიანულ და გრადუსულ ზომებს შორის

პირველ მეოთხედში მდებარე ზოგიერთი კუთხის რა-დიანული და გრადუსული ზომების ურთიერთმნიშ-ვნელობების მიხედვით ამ კუთხეების ჯერადი კუთხეებისრადიანული ზომების პოვნა შეიძლება

მაგალითად რადგან 30 = ამიტომ 150 = 6

56

y

x

y

x

y

x

y

x

nimuSi 1 რამდენი რადიანია 4 სმ-იანი რადიუსის მქონეწრეწირის 12 სმ სიგრძის რკალის შესაბამისი ცენტრული კუთხე

120ordm135ordm

150ordm

180ordm

210ordm225ordm

240ordm270ordm300ordm


0ordm30ordm

45ordm60ordm90ordm

რადიანულიზომა

გრადუსული ზომა

23

43

6

2

32

76

34

116

53

54

56

74

4

3

2 x

y

0

1 = 00175 რადიანი

მაშასადამე რად = 180ordm მაშინ გასაგებია რომ

= 90ordm = 60ordm = 45ordm = 30ordm

2

3

4

6

amoxsna 1 რადიანი 4 სმ სიგრძის რკალს შეესაბამება12 სმ რკალის შესაბამისი კუთხე 12 4 = 3 რადიანი იქნება

kuTxis radianuli zoma

= lr x

y

O

rr 1 radiani

lrα rad

R L

70

9


იპოვეთ რადიანულ ზომებში მოცემული კუთხეების გრადუსული ზომები

ა) ბ) გ) ndash დ) ndash ე) 1 ვ) 2 ზ) 36

23

38

52

7

8

saswavlo davalebebi

საკოორდინატო სიბრტყეზე გამოსახეთ მოცემული ზომის მობრუნების კუთხე

იპოვეთ r რადიუსიანი წრეწირის l სიგრძის რკალის შესაბამისი კუთხის რადიანულიზომა

ა) r = 4 სმ l = 16 სმ ბ) r = 5 მ l = 4 მ გ) r = 32 სმ l = 72 სმ

ა) 40 ბ) 310 გ) 150 დ) 150 ე) 780

ვ) ზ) თ) ი) 40023

52

6

5

გრადუსულ ზომებში მოცემული კუთხეები გამოსახეთ რადიანებში მეასედებამდედამრგვალებით იპოვეთ მიახლოებითი მნიშვნელობა

ა) 60 ბ) 120 გ) ndash 45 დ) 450 ე) 270 ვ) 155

დაწერეთ მოცემულ კუთხესთან დამამთავრებელი გვერდის თანხვედრაში მყოფი დამოცემულ შუალედში მდებარე მობრუნების კუთხეები

ა) 65deg 90deg le θ lt 720deg ბ) 40deg 180deg le θ lt 360deg გ) 140deg 720deg le θ lt 720degდ) 2π le θ lt 2π ე) 4π le θ lt 4π ვ) 2π le θ lt 4ππ

42π 3

3π 4

კ) 32

45იანი კუთხისა და 405იანი და 315-იანი კუთხეების დამამთავრებელი გვერდებიერთმანეთს ემთხვევა405 = 45 + 360 315 = 45 360 45+ 2360 45 2360 45+ 3360 45 3360 კუთხეები ან 45 plusmn 360 45 plusmn 2360 45 plusmn 3360 და ა შ უსასრულორაოდენობის კუთხეების დამამთავრებელი გვერ-დები 45-იანი კუთხის დამამთავრებელ გვერდსემთხვევაეს რადიანებში შეიძლება ქვემოთ მოცემული სახით ჩაიწეროს plusmn 2 plusmn 4 და აშზოგადი სახით კი plusmn 2n (nN) სახის კუთხეების დამამთავრებელი გვერდები დარადიანული კუთხის დამამთავრებელი გვერდები ერთმანეთს ემთხვევა

nimuSi 3 გრადუსებში და რადიანებში გამოსახეთ კუთხეები რომელთა დამამთავრებელიგვერდი ემთხვევა 45deg-იან კუთხეს

4

4

4

4

4O O x

y

x

y

4545

405

315

nimuSi 2 გრადუსულ ზომებში გამოსახული კუთხე გამოსახეთ რადიანებში ხოლო

რადიანებში გამოსახული კუთხე კი გრადუსულ ზომაში ა) 60 ბ) 53

53

53

180

360 = 60 რადიანი = რადიანი 1047 რადიანი

რადიანი = = 560 = 300180

amoxsna ა)

ბ)

71

1) წრეწირის 2) წრეწირის 3) წრეწირის


ndash4π le θ lt 4π ინტერვალში

კუთხესთან დამამთავრე-

ბელი გვერდის თანხვედრაშიმყოფი კუთხეები


nimuSi e) 4π le θ lt 4π მოცემულ კუთხესთან დამამთავრებელი

გვერდის თანხვედრაში მყოფი მობრუნების კუთხეები + 2n და

2n (nN) ფორმულებით შეგვიძლია ვიპოვოთ3π 4

3π 4

3π 4

11

12

13

n 1 2 3

+ 2n

2n 13π 4

3π 43π 4

27π 4

11π 4

19π 4

5π 4 21π

4

3π 4

nimuSi ა) 65deg 90deg le θ lt 720deg65deg-იან კუთხესთან თანხვედრაში მყოფი მობრუნების კუთხეები65 + 360 n და 65 360 n (nN) ფორმულებით შეგვიძლია ვიპოვოთn = 1 65 + 360 1 = 425 65 360 1 = 295n = 2 65 + 360 2 = 785 65 360 2 = 655როგორც ხედავთ მოცემულ ინტერვალში შემავალი მხოლოდ 425იანი კუთხეა

10 გრადუსულ ზომებში მოცემული კუთხე გამოსახეთ რადიანებში ხოლო რადიანებშიმოცემული კუთხე გამოსახეთ გრადუსულ ზომებში

76

54

23

1) 225ordm 2) ndash15ordm 3) 4) 5) ndash 6) ndash

მოცემულ კუთხეებთან დამამთავრებელი გვერდების თანხვედრაში მყოფი და (0 2)ინტერვალში მდებარე კუთხე გამოსახეთ რადიანებში

1) ndash 2) ndash 3) ndash 4)

5) ndash 6) 7) 8 8) 12

34

75

194

3

163

458

დაწერეთ კუთხის დამამთავრებელი გვერდის მოცემული ბრუნვით შექმნილი კუთ-ხეების გრადუსული და რადიანული ზომები

19

118

124712

45

23

ა) განსაზღვრეთ ოთხი კუთხე რომელთა დამამთავრებელი გვერდები ემთხვევა მოცე-მულ კუთხეებს

ბ) მოცემული მობრუნების კუთხეებიდან რომელი ორის დამამთავრებელი გვერდებიემთხვევა ერთმანეთს

1) 2) 3) ndash 4) ndash 43

75

4

6

1) 2) ndash 3) 410ordm ndash410ordm 4) 227ordm ndash493 ordm56

92

52

176

გ) ზოგადი სახით დაწერეთ კუთხეები რომელთა დამამთავრებელი გვერდები ემთხვევამოცემულ კუთხეებს

1) 60 2) 5

3) 2 4) 100

13π 4

5π 4

11π 4

135deg

რადიანის განსაზღვრების თანახმად რადგან = ამიტომ

რკალის სიგრძე კუთხის რადიანული ზომისა და რადიუსის

ნამრავლის ტოლია l = middot rრკალის სიგრძე წრეწირის რადიუსის პირდაპირპროპორციულია

nimuSi 1 საათის წამების ისრის სიგრძე 12 სმ-ია განსაზღვრეთ წამებისისრის წვეროს წერტილების 15 წამში შემოხაზული რკალის სიგრძეamoxsna წამების ისარი 60 წამში ერთ სრულ ბრუნს ასრულებს ეს კი 2რადიანია

15 წამს სრული ბრუნის = ნაწილი შეესაბამება

რადიანიმაშასადამე წამების ისარი 15 წამის განმავლობაში რადიანის ცენტრული კუთხის შესაბა-მის რკალს შემოხაზავს ამ რკალის სიგრძე l = r = 12 = 6 6314= 1884 (სმ)იქნება

rkalis sigrZe seqtoris farTobi

72

nimuSi 2 იპოვეთ 8 სმ რადიუსიანი წრის ფერადი სექტორის ფართობი დაამ სექტორის პერიმეტრიფერადი ნაწილის შესაბამისი ცენტრული კუთხე 2 = სექტორის ფართობი S = r2 = 82 = 40 (სმ2)სექტორის პერიმეტრი = ორი რადიუსის სიგრძე + სექტორის რკალის სიგრძე

P = 28 + 8 = 32 + 20 95 (სმ)

rkalis sigrZe r რადიუსიან წრეწირში mordm-იანი ცენტრული კუთხის შესაბამისი

რკალის სიგრძის ფორმულაა l = middotr რკალის სიგრძის კუთხის რადიანული ზომის გამოყენებით უფრო მარტივი სახით დაწერაშეიძლება

seqtoris farTobi mordm-იანი ცენტრული კუთხის შესაბამისი სექტორის ფართობია

S = r2 თუ გავითავლისწინებთ რომ არის mordm-იანი ცენტრული კუთხის

რადიანული ზომა და ავღნიშნავთ სახით ამ სექტორის ფართობის ფორმულა S = r2

იქნება

m360 1

2

12

1560

14

2 =


34

2

21

3

4567

8

9

1011 12

14

2

2 2

მონაცემების მიხედვით იპოვეთ მოთხოვნილი სიდიდეები აქ r- წრეწირის რადიუსია - ცენტრული კუთხე l- რკალის სიგრძე

ა) r = 85 სმ = 75deg l = სმ ბ) r = 5 მ l = 13 მ = რადიანიგ) r = მმ = 18 რადიანი l = 45 მმ

saswavlo davalebebi

1

იპოვეთ მოცემული ცენტრული კუთხის შესაბამისი რკალის სიგრძე და სექტორისფართობი

3

5 3ა) r = 30 სმ = ბ) r = 125 მ გ) r = 28 დმ = 90 =

2

l

3π 4

5π 45π

412

5π 4

O

A

B Dr

C

1

m180

lr

m180

73

20 სმ რადიუსიანი წრეწირის l რკა-ლის სიგრძე 85 სმ-ია იპოვეთ შე-საბამისი ცენტრული კუთხის რადი-ანული ზომა

სურათზე ნაჩვენები წრის სექტორის პე-რიმეტრი 16 სმ-ია იპოვეთ A ცენტრულიკუთხის რადიანული ზომა თუ შესაბამისიწრის რადიუსი 5 სმ-ია

წრეწირის გარშემო მოძრაობისას მაგალითად ბორბლის Oწერტილის გარშემო ბრუნვის დროს მასზე აღებული რომელიმეP წერტილის სიჩქარე ორნაირად შეიძლება შეფასდეს მათ შორისერთ წერტილის ბორბლის ბრუნვის დროს გავლილი მანძილისმიხედვით განსაზღვრული სიჩქარეა მას წრფივი სიჩქარე ეწო-დება მეორე კი ბრუნვის კუთხის (ცენტრული კუთხის) მიხედ-ვით არსებული სიჩქარეა და მას კუთხური სიჩქარე ეწოდებათუ სხეული წრეწირის გარშემო მოძრაობს წრფივი სიჩქარეგავლილი მანძილის (შესაბამისი წრეწირის რკალის სიგრძის)დროსთან შეფარდების ტოლია

წრფივი სიჩქარე =

წრფივი სიჩქარე = r კუთხური სიჩქარე vx = r

vx =

wrfivi siCqare da kuTxuri siCqare

გავლილი მანძილიდრო

თუ სხეული წრეწი-რის გარშემო მოძრა-ობს კუთხური სიჩ-ქარე მობრუნებისკუთხის დროსთანშეფარდების ტოლია

კუთხურ სიჩქარესა და წრფივ სიჩქარეს შორის კავშირის შემდეგი სახით გამოსახვა შეიძლება

rt

კუთხური სიჩქარე =

=

ბრუნვის კუთხედრო

t

სადაც (რადიანებში) t დროში ბრუნვის კუთხეა

3 4

A5 სმ

x

y

l

nimuSi 3 კარუსელი წუთი 8 სრულ ბრუნს ასრულებსა) რამდენი რადიანია კარუსელის ერთ წუთში არსებული კუთხური სიჩქარებ) რამდენ მეტრ მანძილს გაივლის ერთ წუთში ცენტრიდან 3 მ მანძილზე მყოფიცხენიგ) რამდენ მეტრ მანძილს გაივლის ერთ წუთში ცენტრიდან 2 მ მანძილზე მყოფი ცხენიamoxsna ა) ერთი სრული ბრუნვის შესაბამისი ბრუნვის (ცენტრული) კუთხეა 2 8 ბრუნის დროსეს კუთხე 8 2 = 16 იქნება ერთ წუთში კუთხური სიჩქარე იქნება = = 16 რა-დიანიწუთიბ) ცენტრიდან 3 მ მანძილზე მყოფი ცხენი 3 მ რადიუსით მოძრაობს წრეწირის გარშემო

წრფივი სიჩქარე vx = r = 316 = 48 151 მწთგ) ცენტრიდან 2 მ მანძილზე მყოფი ცხენი 2 მ რადიუსით მოძრაობს წრეწირის გარშემო

წრფივი სიჩქარე vx = r = 216 = 32 100 მწთროგორც ხედავთ იმ შემთხვევაში როცა კუთხური სიჩქარე ტოლია ცენტრიდან უფრო შორსმყოფი სხეული უფრო სწრაფად მოძრაობს ანუ მისი წრფივი სიჩქარე უფრო მეტია

= t

161


Ps

r O x

y

O

74

საათის ისრის სიგრძე 10 სმ-ია

ა) იპოვეთ წამების ისრის კუთხური სიჩქარე ( -ობით)ბ) რა მანძილს გაივლის ისრის წვეროს წერტილი 2 წუთისა და 15 წამის განმავლობაშიგ) იპოვეთ წამების ისრის წრფივი სიჩქარე ( -ობით)

ავტომობილის საბურავის რადიუსი 40 სმ-ია რამდენი რადიანია მოცემული მანძილებისგავლამდე საბურავების ბრუნვით მიღებული კუთხე

ა) 100 მ ბ) 15 მ გ) 1 კმ დ) 300 მ

5

6

7

8

9

10

სურათზე მოცემულია კონცენტრული (საერთო ცენტრის მქონე) წრეწირებიმცირე წრეწირის რადიუსი 4 სმ-ია დიდი წრეწირის რადიუსი კი 6 სმ-იაიპოვეთ ფერადი ნაწილის ფართობი

წყალმფრქვევი ყოველ 15 წამში ერთ ბრუნს ასრულებს იგიმაქსიმუმ 16 მ მანძილზე აფრქვევს წყალს

ა) იპოვეთ წყალმფრქვევის მობრუნებისას მორწყულისექტორის ფართობი

ბ) რადიანებში და გრადუსებში გამოსახეთ წყალმფრქვევისმიერ 2 წუთის განმავლობაში ბრუნვით მიღებული კუთხე

კარუსელი წუთში 15 ბრუნს აკეთებს იპოვეთა) კარუსელის კუთხური სიჩქარე

ბ) კარუსელის ღერძთან 15 მ მანძილზე მყოფი წერტილის

წრფივი სიჩქარე ( )

65 სმ დიამეტრიანი ველოსიპედის საბურავი 005 წამში 45ordm-ით ბრუნავს რა მანძილსგადის ველოსიპედი 30 წამში

6

32

10 სმ

11 თითოეულ სურათზე მონაცემების მიხედვით ისეთი გამოთვლები აწარმოეთ რომ ყველაწრისათვის განსაზღვრული იქნას რადიუსი ცენტრული კუთხე რკალის სიგრძე დასექტორის ფართობი


რადწმ

y

x5 სმ15

y

x

2392 სმ

r

y

xr

S = 864 მმ2

3

y

xrS = 1

12

74

y

x

43 მ

10

16 მ

15 მმ

წთ

2 მ რადიუსის მქონე წრეწირზე მოძრავი სხეული ყოველ 20 წამში 5 მ მანძილს გადისიპოვეთ სხეულის წრფივი და კუთხური სიჩქარეები

12

სმწმ

75

არუსელის კაბინები 1-დან 40-მდე არის დანომრილი წარ-მოიდგინეთ რომ თქვენ ხართ ნომერ 3 კაბინაში რომელინომერი კაბინა იქნება თქვენი ამჟამინდელი კაბინის ადგი-

ლას თუ კარუსელი -ით მობრუნდება

განიხილეთ ორივე მიმართულებით მობრუნების შემთხვევა

65 სმ დიამეტრიანი საბურავების მქონე ველოსიპედის სიჩქარე 30 კმსთ-ია რამდენ სრულ ბრუნს აკეთებენ ველოსიპედის საბურავები წუთში

3710

21 სმ სიგრძის ქანქარასა მოძრაობის დროს წვეროს შემოხაზული უდიდესი რკალისსიგრძე 105 სმ-ია რამდენ გრადუსიან კუთხეს შემოხაზავს ამ დროს ქანქარა

14

15

16

ა) ბაქო ჩრდილოეთი განედის 40ordm-იან წრეზე მდებარეობს იპოვეთმერიდიანის მიხედვით მანძილი ბაქოდან ეკვატორამდე დედამიწისრადიუსი მიახლოებით 6400 კმ-ია

13

დედამიწიდან მზემდე მანძილი დაახლოებით 15 108 კმ-ია განსაზღვრეთ წრფივი

სიჩქარე ( ) თუ წარმოვიდგენთ რომ დედამიწის მზის გარშემო წრიული მოძრა-

ობისას ერთ სრულ ბრუნს სჭირდება 365 დღე

2 სმ და 8 სმ რადიუსიანი 2 დისკი ღვედის საშუალებითსურათზე ნაჩვენები წესითაა შეერთებული იპოვეთრამდენ ბრუნს აკეთებს წუთში დიდი დისკი თუ პატარადისკი 3 ბრუნს ასრულებს miTiTeba ორივე დისკისწრეწირზე მყოფი წერტილები ერთი და იგივე წრფივისიჩქარით მოძრაობენ

17

18

იპოვეთ სხეულის t დროში r რადიუსიან წრეწირზე კუთხური სიჩქარით გავლილი მანძილი

19

ა) r = 6 დმ = t = 10 წთ

ბ) r = 12 მ = t = 100 წმ

გ) r = 30 სმ = t = 25 წმ რად10 წმ

რად15 წმ

3 რად2 წმ


კმსთ

წყალმფრქვევს დამაგრებულიადგილიდან 400 მ მანძილზეწრიულად წყლის მიწოდებაშეუძლია თუმცა ფერმერიმხოლოდ 120000 მ2 ფართო-ბის მორწყვას გეგმავს წყალ-მფრქვევის რამდენ გრადუ-სიანი კუთხით მობრუნებითშეიძლება ამ ფართობის მორ-წყვა

20

8 სმ 2 სმ

10 8 64

24038

36

323028

3426

2422

201816

1412

200

400

ეკვატორი


θ

P

ბ) იპოვეთ მანძილი მერიდიანის მიხედვით 40ordm ჩრდილოეთი განე-დის წრეზე მდებარე პუნქტსა და 20ordm სამხრეთით განედის წრეზემდებარე პუნქტს შორის

76

praqtikuli mecadineoba

1) დახაზეთ α ბრუნვითი კუთხე რომლის დამამთავრებელი გვერდი P(4 3) წერტილზე გა-დის იპოვეთ მანძილი P წერტილიდან კოორდინატთა სათავემდე

OP = radic42 + 32 = 52) დაწერეთ ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები OPK მართკუთ-ხა სამკუთხედის მახვილი კუთხისათვის

sin = 35

34

45cos = tg =

3) დაწერეთ OP სხივის მომცველი წრფის განტოლება

r1 = OP1 = radic82 + 62 = 10 sin = 610

68cos = tg =

trigonometriuli funqciebi

მე-2 და მე-4 ნაბიჯზე ჩანაწერებში ძირითადად განმარტეთ მობრუნების კუთხის ტრიგონომეტრიული თანაფარდობების მნიშვნელობები არის თუარა დამოკიდებული იმაზე თუ კუთხის გვერდზე რომელ წერტილს ავღნიშნავთ

კუთხის ტრიგონომეტრიული თანაფარდობების მნიშვნელობებიმხოლოდ კუთხის მნიშვნელობებზეა დამოკიდებულიკოორდინატთა სათავეში ცენტრის მქონე r რადიუსიანი წრეწირისადა მობრუნების კუთხის დამამთავრებელი გვერდის გადაკვე-თის წერტილი იყოს P(x y)

r

x

y

0

P(xy)

x

y

P წერტილის ორდინატის რადიუსის სიგრძესთან შეფარდებას კუთხის სინუსი ეწოდება sin = y

r

xrcos =

P წერტილის აბსცისის რადიუსის სიგრძესთან შეფარდებას კუთხის კოსინუსი ეწოდება

yxtg =

P წერტილის ორდინატის აბსცისთან შეფარდებას კუთხის ტანგენსი ეწოდება

(სადაც x 0 ანუ P წერტილი ორდინატთა ღერძზე არ მდებარეობს)

xyctg =

P წერტილის აბსცისის ორდინატთან შეფარდებას კუთხის კოტანგენსი ეწოდება

(სადაც y 0 ანუ P წერტილი აბსცისთა ღერძზე არ მდებარეობს)

4) შეამოწმეთ რომ P1(8 6) წერტილიც OP სხივზე მდებარეობს და ∆OP1K1-დან დაწერეთტრიგონომეტრიული თანაფარდობები კუთხისათვის

k = y = x34

34

810

5

x

y

10

8

6

0

P1(8 6)

P(4 3)

K K1

4

3

კუთხის კოსეკანსი ამ კუთხის სინუსის შებრუნებულიაrycosec = =1

sin (სადაც y 0) კუთხის სეკანსი ამ კუთხის კოსინუსის შებრუნებული

rxsec = =1

cos (სადაც x 0)

77

35

43

nimuSi 1 A ( 3 4) წერტილი α მობრუნებული კუთხის დამამთავრებელ გვერდზე ძევსა) დახაზეთ ამოცანის პირობის ამსახველი სურათიბ) განსაზღვრეთ α კუთხისათვის ტრიგონომეტრიული თანაფარდობების მნიშვნელობებიწრეწირზე მდებარე წერტილის კოორდინატებიamoxsna

yr

45sin α = =

xrcos α = =

yxtg α = = 3

4xyctg α = = O x

y

αA(34)

34

ბ) r = radicx2 + y2 = radic(3)2 + 42 = 5


ა)

53

rxsec α = = cosec α = =r

y54

ზოგჯერ კუთხის დამამთავრებელი გვერდი ერთ-ერთ საკოორდი-

ნატო ღერძზე ძევს ამ შემთხვევაში შექმნილი მობრუნების

კუთხეების ზომა = 0 ან = 0 რადიანი = 90 ან

= რადიანი = 180 ან = რადიანი = 270

ან რადიანი შეიძლება იყოს ამ შემთხვევაში x და y კოორდი-

2

3 2

(0 ndashr)(ndashr 0) (r 0)

(0 r) 90ordm0ordm180ordm

270ordm

= 0ordm ან0 რადიანს

= 180ordm ან რადიანს = 90ordm ან რადიანს = 270ordm ანრადიანს

2 3

2

y

y y y

x x x xO O O O(r 0)

(0 r)

(ndash r 0)(0 ndash r)

nimuSi 2 სურათზე მონაცემების მიხედვით იპოვეთ P წერტი-ლის კოორდინატებიP წერტილი II მეოთხედში მდებარეობს და კოსინუსი უარყოფითია

cos 150deg = xr

ndashcos 30deg = x = ndash6 cos30deg = ndash3radic3

x6

sin 150deg = yr

sin 30deg = y6

y = 6 sin30deg = 3

x0

P(xy)150ordm

x

y

y 6

თუ წრეწირზე მოცემული P წერტილი მობრუნების კუთხისდამამთავრებელ გვერდზე მდებარეობს მისი კოორდინატებია

P(r cos α r sin α)

r

x0



ywrewirze mdebare wertilis koordinatebi

ნატები ან ნულია ან კიდევ აბსოლუტური მნიშვნელობით წრეწირის რადიუსის ტოლია

78

cos 180ordm = = = 1 xr

rr

yx

0rtg 180ordm = = = 0

xyctg 180ordm = =

r0

ar aris gansazRvruli

(ndashr 0)

y

x

= 180ordm = 270ordm


0r

yxtg 270ordm = = ndashr

0ar aris gansazRvruli

(0 ndashr)

y

x

-ს დასაშვებ თითოეულ მნიშვნელობას sin cos tg ctg sec cosec -ს ერთადერთიმნიშვნელობა შეესაბამება ამიტომ ეს ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები კუთხისფუნქციებია მათ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ეწოდება


რადგან კოსინუსის ნიშანი x-ის ნიშანს ემთხვევა

რადგან სინუსის ნიშანი y-ის ნიშანს ემთხვევაsin = yr

cos = xr

sin α cosec αcos α sec α tg α ctg α

+ndashndash


ndashndash+


ndash+ndash


+++

II მეოთხედი

III მეოთხედი IV მეოთხედი

I მეოთხედი

x gt 0y gt 0

x lt 0y gt 0

x lt 0y lt 0

x gt 0y lt 0

x

yx

y

270ordm lt α lt 360ordmlt α lt 2

180ordm lt α lt 270ordm lt α lt

2

32

32

90ordm lt α lt 180ordmlt α lt

2

0 lt α lt 90ordm0 lt α lt

ა)

sin 90ordm = = = 1 yr

rr


yx

0r

tg 90ordm = = r0


(0 r)y

xO O O

nimuSi 3 იპოვეთ ტრიგონომეტრიული თანაფარდობების მნიშვნელობები თუა) = 90 ბ) = 180 გ) = 270

ctg 90ordm = = = 0 xy

0r

= 90ordm


0r

ბ) გ)


rr

xy

0r

ctg 270ordm = = = 0

79


დამამთავრებელი გვერდების მოცემულ წერტილზე გამავალი კუთხეებისათვის გამოთ-ვალეთ ტრიგონომეტრიული თანაფარდობების მნიშვნელობები

5

ა) (12 9) ბ) (1 1) გ) (8 6) დ) (1 0) ე) (4 3) ვ) (1 1) ზ) (3 4) თ) (15 20)

2)

1) ( ndash9 12)

მონაცემების მიხედვით იპოვეთ რომელი მეოთხედის კუთხეა

ა) sin gt 0 და cos lt 0 ბ) sin lt 0 და cos lt 0 გ) cos lt 0 და tg gt 0 დ) ctg lt 0 და sin gt 0

7

6

ა) გამოსახეთ ორი სხვადასხვა მობრუნების კუთხე რომელთა სინუსი -ის ტოლია

ბ) გამოსახეთ მობრუნების კუთხეები რომელთა კოსინუსი -ის ტოლია

გ) გამოსახეთ მობრუნების კუთხეები რომელთა სინუსი -ის ტოლია

დ) გამოსახეთ მობრუნების კუთხეები რომელთა კოსინუსი -ის ტოლია

3 5

4 5

3 5

უჯრიან ფურცელზე 1 უჯრის ერთეულად ჩათვლით დახაზეთ 5 ერთეულიანი რადიუსისმქონე წრეწირი რომლის ცენტრიც კოორდინატთა სათავეში მდებარეობს

(ndash125)

x

y

2

4 5

ა) სურათზე მონაცემების მიხედვით განსაზღვრეთ რომ თუსამკუთხედის კუთხეებია 45ordm 45ordm 90ordm და 30ordm60ordm90ordm მათიგვერდების შეფარდება შესაბამისად იქნება 11radic2 1radic32

ბ) სურათზე მოცემული სამკუთხედე-ბიდან განსაზღვრეთ 30ordm 45ordm 60ordm-იანიკუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნ-ქციების მნიშვნელობები

განსაზღვრეთ თითოეული კუთხის შესაბამისი ტრიგონომეტრიული თანაფარდობის ნიშანი

გ) cos 100degდ) tg 140deg

ე) tg 250degვ) sin 310deg

ზ) sin 200degთ) cos 280deg

ა) sin 20degბ) cos 50deg

3

4 განსაზღვრეთ გამოსახულების ნიშანი

ა) sin ბ) cos გ) tg დ) ctg54

116

34

56

1) განსაზღვრეთ დამამთავრებელი გვერდის მოცემულ წერტილზე გამავალი α მობრუნებისკუთხის სინუსი კოსინუსი და ტანგენსი

1

2) შეადარეთ მიღებული შედეგები

saswavlo davalebebi

ა) A(1 2) ბ) B(2 4) გ) C(4 8)

45deg45deg

45deg45deg

a

a

a

a

a a

2a2ac

30deg 30deg

60deg 60degc

2ay

P (radic3 1)

x x

P (1 radic3)P (1 1)

radic22 1

1 1

21

radic330deg

y

45deg 60degx

y

radic3

y

x

P(3 4)

0

(ndash6 ndash8)

y y

xx

80

nimuSi 1 ა) განსაზღვრეთ მოცემული კუთხეების შესაბამისი მახვილი კუთხეები

amoxsna ა) 300-იანი კუთხის დამამთავრებელი გვერდი IV მეოთხედშია შესაბამისი მახვილი კუთხეა 360deg 300 = 60deg

ბ) კუთხის დამამთავრებელი გვერდი III მეოთხედშია შესაბამისი მახვილი კუთხეა

=

7 6 7

6

7 6ა) α = 300 ბ) α =

6

90-ზე მეტი კუთხეების შესაბამისი ტრიგონომეტრიული თანაფარდობე-ბის გამოთვლებისათვის ხელსაყრელი ხდება მათი შესაბამისი მახვილიკუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციებით გამოსახვა ნებისმიერი αკუთხის შესაბამისი მახვილი კუთხე α კუთხის დამამთავრებელი გვერდისმიერ აბსცისთა ღერძთან შექმნილი αprime მახვილი კუთხე

შესაბამისი მახვილი კუთხის გამოყენებით ნებისმიერი კუთხის ტრიგონომეტრიულითანაფარდობების განსაზღვრა შეიძლება ეს მნიშვნელობები 30deg 45deg და 60deg-სათვისზუსტად შეიძლება მოიძებნოს მახვილი კუთხეების ყველა დანარჩენი მნიშვნელობისათვისკი კალკულატორის გამოყენებით მიახლოებით გამოითვლება

y

x

α

Oαprime

x

y

αprimeα

x

y

αprime

α

x

y

αprime

α

90ordm lt α lt 180ordm 180ordm lt α lt 270ordm 270ordm lt α lt 360ordmlt α lt lt α lt lt α lt 2

232

32

gamokvleva 1) გაავლეთ r რადიუსიანი წრეწირი და დამამთავრებელი გვერდის სხვადასხვამეოთხედებში მოთავსებით სხვადასხვა მობრუნების კუთხეები გამოსახეთ ისე როგორც სურათზეანაჩვენები

2) თითოეული შემთხვევისათვის მობრუნების კუთხის ძირითადი ტრიგონომეტრიულიფუნქციები განსაზღვრების თანახმად გამოსახეთ P(x y) წერტილის კოორდინატებით

3) ∆OPK-ში კათეტების სიგრძეები გამოსახეთ P(x y) წერტილის კოორდინატებითPK = y OK = x

4) დაწერეთ ∆OPK-ში ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები prime მახვილი კუთხისათვის

5) შეადარეთ მე-2 და მე-4 ნაბიჯებზე მოცემული შედეგები

sin = xr

yx

yrcos = tg = x

yctg =

sin prime = yr

yx

yrcos prime = tg prime = x

yctg prime =

x

P(x y)

y

O prime

K x

P(x y)

y

O primeK

x

P(x y)

y

O primeK

nebismieri kuTxis trigonometriuli funqciebi

αprime = 180ordm ndash αprime = 360ordm ndash αprime = ndash 180ordm

nebismieri kuTxis trigonometriuli funqciebis mniSvnelobisSesabamisi maxvili kuTxis mixedviT povna

81

ნებისმიერი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები შეიძლება განი-საზღვროს ქვემოთ მოცემული გზითbull განსაზღვრეთ შესაბამისი მახვილი კუთხეbull იპოვეთ მახვილი კუთხის შესაბამისი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებიbull განსაზღვრეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნიშნები იმის მიხედვით თუ რომელმეოთხედში მდებარეობს მოცემული კუთხე


sin(α + 360degk) = sinαsin(α + 2k) = sinα

cos(α + 360degk) = cosαcos(α + 2k) = cosα

თუ კუთხე მთელი რაოდენობის პერიოდებით იცვლება მაშინ ტრიგონომეტრიულიფუნქციების მნიშვნელობები არ იცვლებანებისმიერი α (0deg le α lt 360deg) კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობა დამამ-თავრებელი გვერდების α კუთხესთან თანხვედრაში მყოფი α + 360deg k (k Z) კუთხეებისტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ტოლია

tgα = და tg(α + ) = = ab

ab

ab tgα = tg(α + )

tg(α + 180degk) = tg α tg(α + k) = tg αctg(α + 180degk) = ctg α ctg(α + k) = ctg α

ავღნიშნოთ რომ კუთხის მთელი პერიოდის ნახევრით შეცვლის დროსაც ტანგენსისა დაკოტანგენსის მნიშვნელობები არ იცვლებამართლაც მობრუნების კუთხის შესაბამისი წერტილი თუ იქნება P(a b) რადგან მაშინ + 180ordm (ან + ) მობრუნების კუთხის შესაბამისი წერტილი Pprime(ndasha ndashb) იქნება ამიტომ

nimuSi 2 გამოთვალეთ α = ndash135deg-იანი კუთხის ძირითადი ტრიგონომეტ-რიული ფუნქციების მნიშვნელობები ამოხსნის ნაბიჯები

1 მოიძებნება დამამთვარებელი გვერდის მოცემულ კუთხესთან თანხვედ-რაში მყოფი და მისი 360deg-მდე შემაერთებელი უმცირესი დადებითი კუთხე ndash135deg + 360deg = 225deg

2მოიძებნება 225deg-ის შესაბამისი მახვილი კუთხე 225deg ndash 180deg = 45deg 3განისაზღვრება მოცემული კუთხის მეოთხედი ndash135deg-იანი კუთხე III მეოთხედის კუთხეა4 45deg-იანი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობისა და III მეოთედის ნიშნებისგათვალისწინებით ჩაიწერება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები

radic22

radic22sin α = ndash cos α = tg α = 1 ctg α = 1

x

y

45ordm135ordm

1

ზოგადად მართებულია ქვემოთ მოცემული ტოლობები

nimuSi 3 იპოვეთ cosα-ს შესაძლო მნიშვნელობები თუ sin α = რადგან სინუსი დადებითია კუთხე ან I ან კიდევ II მეოთხედის კუთხეა

sin α = მაშასადამე თუ r = 5 მაშინ y = 1

შესაბამისი წერტილის აბსცისა x = plusmn radicr2 ndash y2 = plusmnradic24 = plusmn2radic6 მაშინ cos α = ან cos α =

15

15

2radic65

551 1

2radic6ndash2radic6

y

x2radic6

5

α

α + P(a b)

Pprime(ndasha ndashb)

x

y

O

82

7

ბ) ცნობილია რომ cos = და კუთხე IV მეოთხედის კუთხეა იპოვეთ sin tg და ctg -ს მნიშვნელობები

კალკულატორის გამოუყენებლად გამოთვალეთ

რობოტმა რომლის მკლავის სიგრძე 2 მ-ია საგანი A წერტილიდან B წერ-ტილში გადაიტანა ამ დროს რობოტისმკლავი 140deg-ით იყო მობრუნებულირობოტის მოძრაობის მობრუნებისკუთხის სახით ასახვის მიხედვით იპო-ვეთ B წერტილის კოორდინატები

ა) sin 400ordm ndash sin 40ordm ბ) გ)cos 410ordmcos 50ordm

tg 200ordmtg 20ordm

radic22

რადგან sin 25deg 042 და cos 25deg 091კალკულატორის გამოუყენებლად გამოთვალეთ

ა) sin 155deg გ) cos 335deg ე) sin 205deg minus cos 155deg ბ) cos 205deg დ) sin 335deg ვ) cos 385deg minus sin 515deg

6

რამდენი გრადუსია ndash60ordm-იანი კუთხის შესაბამისი მახვილი კუთხე იპოვეთ cos(ndash60ordm)sin(ndash60ordm) tg(ndash60ordm) ctg(ndash60ordm) შეადარეთ ndash60ordm-იანი და 60ordm-იანი კუთხეების ტრიგონო-

მეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები

ა) ცნობილია რომ sin = და კუთხე II მეოთხედის კუთხეა გამოთვალეთ cos

tg და ctg -ს მნიშვნელობები

4

8

9

35

მოცემული კუთხეების მიხედვით გაავლეთ შესაბამისი მახვილი კუთხეები11) 240ordm 2) ndash515ordm 3) ndash170ordm 4) 315ordm 5) 6) ndash 7) ndash 3

411

325

4მოცემული კუთხეებისათვის გამოთვალეთ sinα cosα tgα და ctgα-ს მნიშვნელობები2

yა) ბ) გ) დ)

x060ordm 225ordm

150ordm 300ordmy

x0

y

x0

y

x0

კალკულატორის გამოუყენებლად გამოთვალეთ მოცემული კუთხეების შესაბამისიტრიგონომეტრიული თანაფარდობები

3

5 იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა კალკულატორის გამოყენების გარეშე

გ) sin(minus315deg)დ) tg(minus210deg)

ე) sin 495degვ) cos(minus225deg)

ზ) cos 600degთ) tg 420deg

ა) cos(minus60deg)ბ) sin(minus120deg)

1) sin 405ordm 2) cos 420ordm 3) tg 405ordm 4) sin 390ordm 5) cosec 450ordm 6) ctg 390ordm 7) sec 420ordm 8) cos 9) sin 10) tg 33

492

43


saswavlo davalebebi

B(rmiddotcos rmiddotsin )

B

O

A

140ordm

2 მ

1) α = 0 მობრუნების კუთხეების შესა-ბამისი წერტილები ავღნიშნოთ ერთეულოვან წრეწირზე და ამწერტილების კოორდინატები x = sin y = cos ფორ-მულების მიხედვით გამოვთვალოთ

83

erTeulovani wrewiri da trigonometriuli funqciebi

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები მხოლოდ კუთხის მნიშვნელობაზე არის დამოკიდებული და არ არის და-მოკიდებული წრეწირის რადიუსზე ამიტომაც საერთო წესისდაურღვევლად შეგვიძლია მივიღოთ რომ R = 1 წრეწირს რომლისრადიუსია 1 და ცენტრი კოორდინატთა სათავეშია ერთეულოვანიწრეწირი ეწოდება ერთეულოვან წრეწირზე მდებარე წერტილებისკოორდინატები x2 + y2 = 1 განტოლებას აკმაყოფილებენ თუ P() = (x y) წერტილი კუთხის დამამთავრებელი გვერდისერთეულოვან წრეწირთან გადაკვეთის წერტილი იქნება მაშინტრიგონომეტრიული ფუნქციებისა და წერტილის კოორდინატებს შორის არსებულიურთიერთკავშირი შეიძლება გამოისახოს შემდეგნაირად

მაშასადამე ერთეულოვან წრეწირზე ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებიP() = (cos sin) სახით შეიძლება ჩაიწეროს

ამასთან მოცემული კოორდინატების მიხედვით შეიძლება tg ctg sec და cosecტრიგონომეტრიული ფუნქციების პოვნა

cos = = x

tg = = sincos

sin = = yy1

xy

x1

ctg = = cossin

yx sec = 1

xcosec = 1

y

erTeulovani wrewiri da nebismieri kuTxis trigonometriuli funqciebi

=1

cos =1

sin

2) განვსაზღვროთ ერთეულოვან რადიუსიან წრეწირზე რო-

მელიმე წერტილის მაგალითად A( ) წერტილის

შესაბამისი სიმეტრიული წერტილების კოორდინატები რო-

გორც სურათიდან ჩანს A წერტილის სიმეტრიული და II III

და IV მეოთხედებში მდებარე კიდევ 3 წერტილი არსებობს

12

radic32

B წერტილი A წერტილის y ღერძის მიმართ C წერტილიკოორდინატთა სათავის მიმართ D წერტილი კი x ღერძისმიმართ არის სიმეტრიული ამ ოთხი წერტილის შესაბამისიკოორდინატების აბსოლუტური მნიშვნელობები ტოლიაისინი მხოლოდ ნიშნებით განსხვავდებიან3) I მეოთხედში განსაზღვრული სხვა წერტილების კოორდინატებიდან ამ წესის გამოყენებითახალი წერტილების კოორდინატების განსაზღვრა შეგვიძლია შედეგად მობრუნებითიკუთხეების და შესაბამისი წერტილების კოორდინატების აღნიშნული ერთეულოვანი წრეწირიმიიღება

რადგან y = sin x = cos ამიტომ ერთეულოვან წრეწირზე განსაზღვრული მობრუნებისშესაბამისი წერტილების კოორდინატების განსაზღვრა შეიძლება ამისათვის შევასრულოთქვემოთ მოცემული მოქმედებები

6

4

3

2

( )

radic32

( ) 12

radic32( )

12

radic32 ( ) 1

2radic32

12

1

AB

O

O

C D

y

y

x

x

y

xA

P() = (x y)

B(1 0)1

O

12

radic3 2

(ndash1 0)

(ndash1 0)

(0 1)

(1 0)

600900

450

300

36001800

2700

( )12

radic3 2

( )radic2 2

radic2 2

( )

84

nimuSi 3 იპოვეთ 3 + 2 sin გამოსახულების უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობებიamoxsna ndash1 le sin le 1 orive mxare gavamravloT 2-ze

ndash2 le 2 sin le 2 orive mxares mivumatoT 3 ndash2 + 3 le 3 + 2 sin le 2 + 3 1 le 3 + 2 sin le 5

მაშასადამე 3 + 2 sin გამოსახულების umm 1-ის და udm 5-ის ტოლია

nimuSi 1

amoxsna რადიანის შესაბამისი მობრუნებისას კუთხის გვერდიIII მეოთხედშია ამ კუთხის შესაბამისი მახვილი კუთხე ndash =იქნება კუთხის დამამთავრებელი გვერდი III მეოთხედშიმდებარე და მისი დამამთავრებელი გვერდის ერთეულოვანწრეწირთან გადაკვეთის წერტილი კუთხის შესაბამისი

( ) წერტილის სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის მიმართ

მაშასადამე კუთხის მარცხენა გვერდი ერთეულოვან წრეწირს ( ) წერტილში

54

54

4

4

მობრუნების კუთხისათვის იპოვეთ ძირითადიტრიგონომეტრიული ფუნქციები

radic2 2

radic2 2

radic2 2

radic2 2

radic2 2

radic2 2

54

54

54


54

54

54

54

23

43

6

2

32

34

116

53

54

56

74

4

3

x

y

76

(0 1)

(1 0)0 2

(ndash1 0)

(0 ndash1)

(ndash )12

radic32

(ndash )radic22

radic22

(ndash )12

radic32

(ndash ndash )radic32

12


radic22

(ndash ndash )12

radic32

( )12

radic32( )radic2

2radic22

( )12

radic32

( ndash )radic32

12

( ndash )radic22

radic22

( ndash )12

radic32

ერთეულოვან წრეწირზე ნებისმიერიწერტილის კოორდინატებიndash1 le x le 1 ndash1 le y le 1

პირობას აკმაყოფილებენ მიიღება რომ

ndash1 le cos le 1 ndash1 le sin le 1ანუ sin და cos -ს უდიდესი მნიშ-ვნელობა 1-ის ხოლო უმცირესი მნიშ-ვნელობა -1-ის ტოლია

nimuSi 2 აბსცისი ndash მქონე და III მეოთხედში მდებარე A წერტილიერთეულოვან წრეწირთან კუთხის გვერდის გადაკვეთის წერტილიაა) იპოვეთ A წერტილის ორდინატიბ) დახაზეთ ამოცანის პირობის ამსახველი სურათი და კუთხისათვისგანსაზღვრეთ ექვსი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობა

ctg = =

35

353

4

454

31

tg

b) sin = cos =

tg = 53sec = 5

4cosec =

radic22( ) radic2

2 32

54θr = 2

54θ =

2

ndash ndash

x

y

radic22( )radic2

2

a) 35( )2 + y2 = 1 y2 = 1 = y = plusmn 9

251625

ვინაიდან წერტილი III მეოთხედში მდებარეობს y = ndash

45

45

(1 0)

35ndashA( ) ndash

0 x

y

45

amoxsna

კვეთს აქედან sin = ndash cos = ndash tg = 1 ctg = 1

85

ა) ერთეულოვან წრეწირზე აბსცისი -ის მქონე რამდენი წერტილი არსებობს იპოვეთ ამ

წერტილების ორდინატები მიუთითეთ თითოეული წერტილის შესაბამისი მობრუნების კუთხე

ბ) ერთეულოვან წრეწირზე ორდინატი -ის მქონე რამდენი წერტილი არსებობს იპოვეთ ამ

წერტილების აბსცისები მიუთითეთ თითოეული წერტილის შესაბამისი მობრუნების კუთხე

1

2

3

იპოვეთ ndash კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები ერთეულოვანწრეწირის გამოყენებით

იპოვეთ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

12

76

136

5

6

4

7

გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა თუ = 30ordmა) 3 sin ბ) sin 3 გ) 2 cos დ) cos 2იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა sin ndash cos 2 ndash cos 3 + sin 2ა) როცა = 30ordm ბ) როცა = იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა როცა = 15ordmა) 2 sin(3 + 15ordm) + 3 ctg(90ordm ndash 2) ბ) tg(4 ndash 15ordm) ndash 2 cos(2 + 30ordm)

2

სწორია უტოლობაა) sin 45ordm + cos 60ordm gt 1 ბ) cos + sin gt 1

34

A(ndash ) ერთეულოვანი წრეწირისა და კუთხის გვერდის გადაკვეთის წერტილიადახაზეთ შესაბამისი სურათი იპოვეთ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისმნიშვნელობები

45

35

8

იპოვეთ გამოსახულების udm და ummა) 2 + sin ბ) 2 ndash cos გ) 1 + sin2 დ) 4 + cos2 შესაძლებელია ტოლობა

ა) sin = ბ) cos = გ) sin = radic5 ndash 1 დ) cos = radic2 ndash 1

იპოვეთ გამოსახულების udm და ummა) 2 + 3sin ბ) 1 ndash sin გ) 1 + cos დ) 3 ndash 2cos

11

10

9

712

43

saswavlo davalebebi

13

12ერთეულოვან წრეწირზე უჩვენეთ მოცემული პირობის დამაკმაყოფილებელი მობრუ-ნების კუთხის შესაბამისი წერტილები

ერთეულოვან წრეწირზე sin = პირობის დამაკმაყოფილებელი მობრუნების კუთ-ხის შესაბამისი რამდენი წერტილი არსებობს დაწერეთ ამ წერტილის შესაბამისიმობრუნების კუთხეების ზოგადი გამოსახულება

radic32

12ა) sin = ბ) cos = ndash გ) sin = ndash1

2radic22


12

15

14ცნობილია რომ ერთეულოვან წრეწირზე P( ndash ) წერტილის შესაბამისი მობრუ-ნების კუთხეა უჩვენეთ დამამთავრებელი გვერდის ამ კუთხესთან თანხვედრაში მყო-ფი უარყოფითი კუთხე და იპოვეთ ამ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისმნიშვნელობაერთეულოვანი წრეწირის გამოყენებით [0 2] შუალედში უჩვენეთ sin =ტოლობის დამაკმაყოფილებელი მობრუნების კუთხეები

74

radic2 2

radic3 2

radic2 2

x ღერძის მიმართ კუთხის დამამთავრებელი გვერდის ასახვა კიმასზე მდებარე წერტილებისკოორდინატებს სურათზე ნა-ჩვენებივით ცვლის ანუ xღერძის მიმართ ასახვის დროსმხოლოდ y კოორდინატისნიშანი იცვლება მაშასადამეკოსინუსი x კოორდინატზედამოკიდებულებით არ იცვლება სინუსი კი ნიშანს იცვლის ამრიგად და ndash კუთხეებისტრიგონომეტრიული ფუნქციებს შორის კავშირი ქვემოთ მოცემული სახისაა

86

საკოორდინატო სიბრტყეზე I მეოთხედში არსებული ობიექტის yღერძის მიმართ ასახვით ობიექტი II მეოთხედში მოთავსდება IIმეოთხედში მოთავსებული ობიექტის x ღერძის მიმართ ასახვით კიეს ობიექტი III მეოთხედში მოთავსდება ის კი I მეოთხედში არ-სებული საწყისი ობიექტის კოორდინატთა სათავის მიმართ ასახვასემთხვევა ამასთან გაითვალისწინეთ რომ y ღერძის მიმართ ასახვაx ღერძის მიმართ ასახვის 180ordm მობრუნებით ერთმანეთს ემთხვევა

dayvanis formulebi

sin (minusα) = minussinαcos (minusα) = cosα


1) წრეწირზე რომლის რადიუსი 5-ის ტოლია აღნიშნეთ P(3 4) წერტილი2) x ღერძის მიმართ ასახვაში უჩვენეთ P წერტილის გარდაქმნით მიღებული

Pprime წერტილის კოორდინატები3) Pprime წერტილი y ღერძის მიმართ ასახვისას რომელ წერტილად გარდაიქმნება4) შეადარეთ P და Pprimeprime წერტილების კოორდინატები5) Pprimeprime და P წერტილები კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულებია6) თუ P წერტილი მობრუნების კუთხეს შეესაბამება Pprime წერტილი და Pprimeprimeწერტილი რომელი მობრუნების კუთხეს შეესაბამებიან

x

P(3 4)

y

O

PprimePprimeprime

nimuSi sin(ndash30ordm) = ndash sin 30ordm = ndash cos(ndash45ordm) = cos 45ordm =tg(ndash45ordm) = ndash tg 45ordm = ndash 1 ctg(ndash45ordm) = ndash ctg 45ordm = ndash 1

12

radic22

და 360ordm ndash მობრუნებით კუთხეების დამამთავრებელი გვერდებიx ღერძის მიმართ სიმეტრიულია ანუ (x y) rarr (x ndashy) აქედან მივიღებთ

sin(360ordm ndash ) = ndash sin cos(360ordm ndash ) = cos tg(360ordm ndash ) = ndash tg ctg(360ordm ndash ) = ndash ctg

მაშასადამე sinusi tangensi da kotangensi kenti funqciebia kosinusiki luwi funqciaa

tg (minusα) = minustgαctg (minusα) = minusctgα

y

x0

(x y)

(x ndashy)

360ordm ndash

x

y

x xminusαminusα

αα

y yr r

(x y) (x y)

(x ndashy) (x ndashy)rr

87

sin (180ordm + ) = minussin cos (180ordm + ) = minuscos tg (180ordm + ) = tg ctg (180ordm + ) = ctg

როგორც სურათიდან ჩანს კუთხის დამამთავრებელი გვერდი 180deg-ით მობრუნებისასმოპირდაპირე პოლუსზე ყოფნით იგივე წრფეზე მდებარეობს

მახვილი კუთხის მქონე მართკუთხა სამკუთხედში და 90ordm ndash მახვილი კუთხე-ებისათვის დავწეროთ ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები

sin = sin(90ordm ndash =cos = cos(90ordm ndash ) =tg = tg(90ordm ndash ) =ctg = ctg(90ordm ndash ) =

yr

yx

xr

xy

yr

yx

xr

xy

ტოლობების წყვილ-წყვილად შედარებით და 90ordm ndash კუთხეების ტრიგონომეტრიულფუნქციებს შორის არის შემდეგი ურთიერთკავშირი

sin ( 90deg minus α) = cosα cos ( 90deg minus α) = sinα

tg (90ordm minus ) = ctg ctg (90ordm minus ) = tg

α მობრუნების კუთხის დამამთავრებელი გვერდი კიდევ 90deg-ით მოვაბრუნოთ ამ დროსმათზე არსებული P(x y) წერტილი Pprime(ndashy x) წერტილად გარდაიქმნებატრიგონომეტრიული ფუნქციების განსაზღვრების თანახმად

sin ( + 90ordm) = = cos cos ( + 90ordm) = = minussin

tg ( + 90ordm) = = minusctg

ctg ( + 90ordm) = = minustg

xr y

rxy

dayvanis formulebi

α α

α

P

Pprime

x

x

rr

y

y x

y

(ndashy x)

(x y)

+ 900

900

α

P

x

r y

x

y (x y)

900 ndash α

+1800

r

r

ndash1800

ndash1800

1800

(ndashx ndashy)

(x y)

sin (90deg + α) = cosα cos (90deg + α) = minus sinα tg (90deg + α) = minus ctgα ctg (90deg + α) = minus tgα

ეს ფორმულები დავწეროთ ქვემოთ მოცემულის სახით

როგორც სურათიდან ჩანს y ღერძის მიმართ ასახვა xღერძის მიმართ ასახვის 180deg-იანი მობრუნების ეკ-ვივალენტურია კოორდინატების ცვლილება შეიძლებაგამოისახოს ქვემოთ მოცემული სახით

sin (180ordm minus α) = sin α cos (180ordm minus α) = minuscos α tg (180ordm minus α) = minustg α ctg (180ordm minus α) = minusctg α

ndash x

y

r

1800ndash αr

r

(ndashx y) (x y)

(x ndashy)

yx

12nimuSi 2 sin 210deg = sin (180deg + 30deg) = ndash sin 30deg = ndash

88

x

y

0

360ordm ndash

180ordm ndash

180ordm + x

y

0

270ordm ndash

90ordm ndash 90ordm +

270ordm +

1) თუ არგუმენტი 90ordm plusmn და 270ordm plusmn სახისაა მაშინ ამ არგუმენტის ტრიგონომეტრიულიფუნქცია არგუმენტის bdquoშეწყვილებულldquo ტრიგონომეტრიულ ფუნქციად იქცევა(სინუსი კოსინუსად და პირიქით ტანგენსი კოტანგენსად და პირიქით)2) თუ არგუმენტი 180ordm plusmn 360ordm plusmn იქნება მაშინ ამ არგუმენტის ტრიგონომეტრიულიფუნქცია არგუმენტის იგივე დასახელების ფუნქციად გარდაიქმნებაორივე შემთხვევაში მიღებული ფუნქციის ნიშანი კუთხის მახვილ კუთხედ მიღებისგარდაქმნილი ფუნქციის მოცემულ მეოთხედში არსებულ ნიშანს ემთხვევა

270deg + α მობრუნების კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისათვისაც მსგავსიფორმულების მისაღებად 270deg + α = 90deg + (180deg + α) სახით ჩაწერა და შესაბამისიფორმულების მიმდევრობითი გამოყენება საკმარისია მაგალითადsin(270ordm + ) = sin(90deg + (180deg + α)) = cos(180deg + α) = ndash coscos(270ordm + ) = cos(90deg + (180deg + α)) = ndash sin(180deg + α) = ndash (ndash sin) = sinახლა კი 270deg ndash α მობრუნების კუთხეებისათვის დავწეროთ შესაბამისი ფორმულებიმაგალითადsin(270ordm ndash ) = sin(270deg + (ndash α)) = ndash cos(ndash ) = ndash coscos(270ordm ndash ) = cos(270deg + (ndash α)) = sin(ndash ) = ndash sinმიღებული ფორმულების გამოყენებით ნებისმიერი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნ-ქციების მოძებნა მახვილი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მოძებნაზე დაიყვანებაამ ფორმულებს დაყვანის ფორმულები ეწოდება დაყვანის ფორმულებისათვის გან-საზღვრული კანონზომიერებების არსებობა ადვილად შეიმჩნევა

გამოთვალეთ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები ორი ხერხით1) იმ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის გამოთვლით რომელიც [0ordm 360ordm] შუა-ლედში მდებარეობს და მისი დამამთავრებელი გვერდი მოცემულ კუთხეს ემთხვევა2) ndash და კუთხეების ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის არსებული ურთიერთ-კავშირის გამოყენებითა) = ndash30ordm ბ) = ndash120ordm გ) = ndash60ordm

saswavlo davalebebi

1) იპოვეთ α = 32deg-იანი კუთხის დამამთავრებელი გვერდის ა) x ღერძის მიმართ ბ) y ღერძის მიმართგ) კოორდინატთა სათავის მიმართ ასახვით მიღებული უმცირესი დადდებითი კუთხე

2) შეასრულეთ იგივე დავალებები თუ α = 220deg

1

2

dayvanis formulebi

89

5

[0ordm 360ordm] შუალედში იპოვეთ ყველა კუთხე რომლის სინუსიც მოცემული რიცხვის

ტოლია ა) sin = ბ) sin = გ) sin =

6 დაყვანის ფორმულების გამოყენებით მოცემული გამოსახულებები გამოსახეთ მახვილიკუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებით და გამოთვალეთ მნიშვნელობებია) cos 210ordm ბ) cos 120ordm გ) sin 150ordm დ) tg 300ordm ე) cos ვ) tg ზ) ctg თ) sin

7

54

23

53

76

8

sin (90deg + α) = cos α იგივეობის ჭეშმარიტება α კუთხის I მეოთხედში მდებარეობისშემთხვევისათვის დავამტკიცეთ დაამტკიცეთ იგივეობა კუთხის II მეოთხედში მოთავსებით

sin (90deg + α) = cos α იგივეობა უჩვენეთ რომ 0deg 90deg 180deg 270deg კუთხეებისათვისაცჭეშმარიტია

3

4

12

radic32

radic22

[0ordm 360ordm] შუალედში იპოვეთ ყველა კუთხე რომლის სინუსიც მოცემული რიცხვისტოლია ა) sin = 06 ბ) sin = 03 გ) sin = 08

გაამარტივეთ გამოსახულება

ა) sin (α ndash 180deg) ბ) cos (α ndash 270deg) გ) tg (α ndash 90deg)დ) sin (α ndash ) ე) cos (α ndash ) ვ) tg (α ndash )

9

გაამარტივეთ

ა) sin2 ( + α) ბ) cos2 (180ordm ndash α) გ) ctg2 ( 90ordm + α )10

დაიყვანეთ 0ordm-დან 90ordm-მდე კუთხის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციაზე

ა) sin (ndash170deg) ბ) cos (ndash160deg) გ) tg 130deg დ) ctg 320deg

nimuSi 0 le α le 360 ინტერვალში იპოვეთ ყველა კუთხე რომელთა sin α = 06 კალკულატორზე asin ღილაკზე დაჭერით (06) აკრიფეთ ეკრანზეგამოჩნდება 37deg ვინაიდან სინუსი II მეოთხედშიც დადებითია180deg 37deg = 143deg კუთხის სინუსიც 06 იქნება რადგან sin (180ordm minus α) = sin α 37deg

143deg

32

32

უჩვენეთ რომ მოსაზღვრე კუთხეების სინუსები ტოლია კოსინუსები კი ურთიერთ-მოპირდაპირე რიცხვებია

დაამტკიცეთ რომ სამკუთხედის კუთხეებიაა) sin( + ) = sin ბ) cos( + ) = ndash cos


13

ა) ბ) გ) tg 40ordm middot ctg 50ordm დ) sin 72ordm ndash cos 18ordmsin 72ordmcos 10ordm

cos 70ordmsin 20ordm

გაამარტივეთა) sin(90ordm ndash ) ndash cos(180ordm ndash ) + tg(180ordm ndash ) ndash ctg(270ordm ndash )ბ) cos(20ordm ndash ) + sin(250ordm + )

12

11

14

15


ა) sin (180ordm + α) ბ) cos( ndash α) გ) cos (180ordm + α)დ) tg (180ordm ndash α) ე) ctg(90ordm + α) ვ) cos (180ordm ndash α)

32

dayvanis formulebi

90


ძირითადი ტრიგონომეტრიული იგივეობების დახმარებით მოცემული ტრიგონომეტრიულიგამოსახულების გამარტივება და ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიდან ერთის მნიშვნელობისმიხედვით მეორის მნიშვნელობის გამოთვლა ხდება

trigonometriuli igiveobebi

მართკუთხა სამკუთხედში α მახვილი კუთხისათვის cos2 + sin2 = 1უჩვენეთ ეს ქვემოთ მოცემული ნაბიჯებით1) დაწერეთ პითაგორას თეორემა a2 + b2 = c2

2) ტოლობის ორივე მხარე გაყავით c2-ზე

3) გამოიყენეთ ხარისხის თვისებები

4) იმის გათვალისწინებით რომ და მივიღებთ

a2

c2b2

c2c2

c2=+

ac =+

2( ) b

ccc

2 2

b

a

c

ac = cos b

c = sin cos2 + sin2 = 1

P(cos sin)ნებისმიერი α კუთხისათვის cos2 + sin2 = 1 იგივეობისმართებულობა ერთეულოვან წრეწირზე აღებული წერტილებისკოორდინატების მიხედვითაც ადვილად შეიძლება განიმარტოსx2 + y2 = 1cos2 + sin2 = 1

1

0 x

y

erTeulovan radiusiani wrewiris gantoleba

x=sin da y=cos Canacvleba

sin2 + cos2 = 1 ტოლობის ორივე მხარეს თუ გავყოფთ cos2 -ზე მივიღებთ

sin cos tg =cos sin ctg =

sin2 + cos2 = 1 ტოლობის ორივე მხარეს თუ გავყოფთ sin2 -ზე მივიღებთ

sin2 cos2 + 1 = 1

cos2 1 + tg2 =

1 + ctg2 = 1sin2

ეი 1cos2

cos 0 პირობის დამაკმაყოფილებელი ნებისმიერი კუთხისათვის

sin 0 პირობის დამაკმაყოფილებელი ნებისმიერი კუთხისათვის

ამ ტოლობიდან მიიღება რომ ერთდროულად cos 0 და sin 0 პირობისდამაკმაყოფილებელი კუთხისათვის tg middot ctg = 1 იგივეობა მართებულია

sin2 + cos2 = 1 sin2 = 1 ndash cos2

cos2 = 1 ndash sin2

tg =

ctg =

1ctg

1tg

ამ ტოლობებს ძირითადი ტრიგონომეტრიული იგივეობები ეწოდება ძირითადი ტრიგო-ნომეტრიული იგივეობების მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ

tg middot ctg = 1

( ) ( )

დამოკიდებულებები ერთი და იმავე არგუმენტის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის

ერთეულოვან წრეწირზე არსებული წერტილის კოორდინატებისა და ტრიგონომეტრიულიფუნქციების განსაზღვრების თანახმად მივიღებთ

91

(1 + sin x)2 + cos2 xcos x (1 + sin x)

nimuSi 1 ძირითადი ტრიგონომეტრიული იგივეობების გამოყენებით დაამტკიცეთ

1 + sin xcos x

cos x1 + sin x

2 cos x+

1 + sin xcos x

cos x1 + sin x

1 + 2sin x + sin2 x + cos2 xcos x (1 + sin x)

1 + 2sin x + 1cos x (1 + sin x)

2 + 2sin xcos x (1 + sin x)

+ = = =

= = 2(1 + sin x) cos x (1 + sin x)

2cos x = =

=

nimuSi 2 sin = ndash და კუთხე III მეოთხედის კუთხეა გამოთვალეთ დანარჩენიტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები

amoxsna sin2 + cos2 = 1 ფორმულიდან მივიღებთ რომ cos2 = 1 ndash sin2

ვინაიდან III მეოთხედის კუთხეა cos = ndashradic1 ndash sin2 = ndashradic1 ndash (ndash )2 = ndash

მაშინ tg = = = და ctg = =

45

35

sin cos

1tg

4535

ndash

ndash43

34

45


თუ sin = 06 და lt lt იპოვეთ cos და tg

თუ cos = 08 და 0 lt lt იპოვეთ sin და ctg

მონაცემების მიხედვით იპოვეთ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშ-ვნელობები

1a) 1 ndash sin2 b) 1 ndash cos2 c) sin2 ndash 1 d) cos2 ndash 1e) 1 ndash sin2 ndash cos2 f) sin2 + cos2 + ctg2 g) tg middot ctg ndash cos2 h) cos4 + cos2 middot sin2 + sin2

4

3

2 2

2

ა) sin = ndash და lt lt ბ) cos = ndash და lt lt

გ) tg = 1 და lt lt დ) ctg = ndashradic3 და lt lt 2

45

32

1213

32

2

გაამარტივეთა) (1 ndash cos2 )middot(1 + tg2 )

5

damtkiceba

saswavlo davalebebi

ბ) (sin + cos )2 + (sin ndash cos )2

32

ე) (1 + ( )2 )1 + cos sin2

1 + cos sin

ვ) (1 + ( )2 )1 ndash cos sin

1 ndash cos sin2

დ) +sin 1 + cos

1 + cos sin გ) ndashcos

1 + sin cos

1 ndash sin


92

გაამარტივეთ გამოსახულება radic4 4 sin2 ა) თუ 0 le le ბ) თუ le le

sin + 3 cos cos

3 sin ndash 5 cos 4 sin + cos

იპოვეთ მოცემული გამოსახულებების მნიშვნელობა თუ tg = 2

ა)

ა)

გ)

ბ)

ბ)

დ)

7

6

2

2

დაამტკიცეთ იგივეობები

განათება უჩვენებს რაიმე წყაროდან ზედაპირზე დაცემული

სინათლის ნაკადის რაოდენობას და ფორმულით

განისაზღვრება სადაც İ არის სინათლის ძალა R კი მანძილი

სინათლის წყაროდან დაამტკიცეთ რომ ეს ფორმულა

ფორმულის ეკვივალენტურია

8

9E = I

R2cos

E = I ∙ tg

R2sin

1110 იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა sin2 + cos2 + ctg2 თუ cos = ndash 3

5

+cos 1 + sin

1 + sin cos +sin

1 + cos sin

1 ndash cos 18

R

I

E

გაამარტივეთ გამოსახულება და მონაცემების მიხედვით იპოვეთ მისი მნიშვნელობა

ა) ბ)

თუ cos = 01 თუ sin = ndash

13 იპოვეთ tg2 + ctg2 გამოსახულების მნიშვნელობა თუ tg + ctg =

არსებობს თუ არა ისეთი მობრუნების კუთხე რომელიც აკმაყოფილებს მოცემულ ტოლობას

ა) sin = და cos = ndash ბ) sin = და cos = გ) tg = და ctg = დ) tg = და ctg =

54

1435

45

43

34

23

13

12 იპოვეთ sin middot cos ნამრავლი თუ ცნობილია რომ sin + cos = 06

34

23

გაამარტივეთ გამოსახულება15ა) (1 ndash sin(ndash))middot(1 ndash sin ) ბ) cos(ndash) + cos middottg2(ndash)გ) დ) sin2(ndash) + tg middotctg(ndash)1 ndash sin(ndash)

cos(ndash) ndash tg(ndash)

17 იპოვეთ გამოსახულების უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობებია) 3 cos2 ndash 4 sin2 ბ) sin ndash 2 sin2 ndash 2 cos2

დაამტკიცეთ რომ -ს დასაშვებ მნიშვნელობებში გამოსახულების მნიშვნელობა არ არის-ზე დამოკიდებული

16

ა) (sin + cos )2 + (sin ndash cos )2 ბ) (tg + ctg )2 ndash (tg ndash ctg )2


1 ndash cos2x(1 ndash sinx)(1 + sinx) = tg2 x

1 ndash (sinx ndash cosx)2

2 = cos xmiddotsinx 1 + sec xsin x + tg x = cosec x

1 + tg xsin x + cos x = sec x

93

1) როცა α = β = მაშინ sin (α β) = sinα cosβ cosα sinβ ტოლობის მართებუ-

ლობა უჩვენეთ ქვემოთ მოცემული ნაბიჯებითა) ტოლობის მარცხენა მხარეში გამოსახულების მნიშვნელობა გამოთვალეთ და -სმოცემული მნიშვნელობისათვის


2

3

6

12

2

2

3

3

12

12

radic32


sin (α β ) = sin( ) = sin =

ბ) იპოვეთ ტოლობის მარჯვენა მხარის გამოსახულების მნიშვნელობა

sinα cosβ cosα sinβ = sin cos cos sin = 1 0 =

2) 45deg-იანი და 30deg-იანი კუთხის ტრიგონომეტრიული მნიშვნელობების მიხედვით როგორშეიძლება გამოვთვალოთ 45deg ndash 30ordm = 15ordm-იანი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

P1P2 = radic(cosα minus cosβ)2 + (sinα minus sinβ)2

P3A = radic(cos(α minus β) 1)2 + (sin(α minus β) 0)2

(cosα minus cosβ)2 + (sinα minus sinβ)2 = (cos(α minus β) 1)2 + (sin(α minus β) 0)2

cos2α minus 2 cosα cosβ + cos2β + sin2α minus 2sinα sinβ + sin2β = = cos2(α minusβ ) minus 2 cos(α minus β) + 1 + sin2(α minus β)

(cos2α + sin2α) minus 2 (cosα cosβ + sinα sinβ) + (cos2β + sin2β) = = (cos2(α minusβ ) + sin2(α minus β)) minus 2 cos(α minus β) + 12 minus 2 (cosα cosβ + sinα sinβ) = 2 minus 2 cos(α minus β)

2 (cosα cosβ + sinα sinβ) = 2 cos(α minus β)cos(α minus β) = cosα cosβ + sinα sinβ igiveobebis marTebuloba damtkicebulia

sin (α + β ) = sinα cosβ + cosα sinβsin (α β ) = sinα cosβ cosα sinβ

cos (α + β ) = cosα cosβ sinα sinβcos (α β ) = cosα cosβ + sinα sinβ

ჯერ დავამტკიცოთ იგივეობა cos (α β ) = cosα cosβ + sinα sinβ ერთეულოვან წრეწირში ა) სურათ-ზე ნაჩვენები α კუთხის გვერდზემდებარე P1 წერტილის კოორდი-ნატები არის (cosα და sinα) და βკუთხის დამამთავრებელ გვერდზემდებარე P2 წერტილის კოორ-დინატები არის (cosβ და sinβ) α β კუთხე განვათავსოთ როგორც ბ)სურათზე α β კუთხის დამამ-თავრებელ გვერდზე მდებარე P3 წერტილის კოორდინატები იქნება (cos(αβ) sin(αβ))gkg ნიშნის თანახმად ∆P1OP2 ∆P3OA ამიტომ P1P2 P3A

ori kuTxis jamisa da sxvaobis trigonometriuli funqciebi

tolobisTviseba

or wertils Soris manZilisformula

tolobis Tviseba

sxvadasxva gamravlebisformulebis gamoyeneba

Sekrebis moqmedebis Tvisebe-bisa da trigonometriuliigiveobebis gamoyeneba

2

3

a) b)

P1 = (cos α sin α) P3 = (cos(α ndash β) sin(α ndash β)

A = (1 0)

P2 = (cos β sin β)1

1ndash1

ndash1 ndash1

y

x x

y1

1ndash1

x2 + y2 = 1 x2 + y2 = 1

βα ndash β α ndash βα

o o

nimuSi 1 გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა cos

sin (α + β ) = sinα cosβ + cosα sinβ იგივეობის დამტკიცება

Sekrebis formulebi

2

2

2

2

cos (α + β ) = cosα cosβ ndash sinα sinβ იგივეობის დამტკიცებაcos(α + β) = cos(α minus (minus β)) = cosα cos(minus β) + sinα sin(minus β)gaviTvaliswinoT rom cos(β) = cosβ sin( β) = sinβcos(α + β) = cosα cosβ sinα sinβ tolobis marTebuloba damtkicebulia

sin (α β ) = sinα cosβ cosα sinβ იგივეობის დამტკიცებაsin (α β ) = sin (α + (β)) = sinα cos(minus β) + cos α sin(minus β) =

= sin α cos β ndash cos α sin β

sin (α + β ) = cos ( (α + β)) = cos(( ndash ) ndash ) =dayvanis formulis Tanaxmad

dayvanis formulebis gaTvaliswinebiTsxvaobis kosinusis formulis Tanaxmad

dajgufeba

cos( ndash )middotcos + sin( ndash )middotsin = sin middotcos + cos middotsin

cos = cos ( + ) = cos cos ndash sin sin =

= ndash =

nimuSi 2 sinα = π lt α lt და cos β = 0 lt β lt იპოვეთsin (α β)-ს მნიშვნელობა amoxsna sin (α β) = sinα cosβ cosα sinβ თუ α-ს შესაბამისი მახვილი კუთხე αიქნება sinα = როცა მოპირდაპირე კათეტი 3-ია ჰიპოტენუზა 5

მიმდებარე კათეტი x = radic25 9 = 4 და მეოთხედის

კუთხეა ამიტომ cosα = რადგან cos β = ანალოგიური წესით მივიღებთ sin β =

sin (α β) = sinα cosβ cosα sinβ = + =

2

712

712

3

3

3

4

4

4

35

35

45

35

45

1213

513

1213

1665

1213

513

32

12

radic32

radic22

radic2 ndashradic64

radic22

amoxsna

35

x13

12

ტანგენსისა და კოტანგენსისათვის შეკრების ფორმულები ასე შეიძლება ჩავწეროთ

tg (α + β ) = = =sin (α + β )cos (α + β )

sinα cosβ + cosα sinβcosα cosβ sinα sinβSekrebis formulebis Tanaxmad

mricxvelisa da mniSvnelis

cos middot cos namravlze gayofiT

gansazRvrebis Tanaxmad

= =

sin αmiddotcos βcos αmiddotcos β

cos αmiddotsin βcos αmiddotcos β

cos αmiddotcos βcos αmiddotcos β

sin αmiddotsin βcos αmiddotcos β

+

tg α + tg β1 ndash tg αmiddottg βgamartiveba

94

მაშასადამე

tg (α + β ) =tg α + tg β

1 ndash tg αmiddottg β

ანალოგიური წესით შეიძლება ჩვენება რომ tg (α ndash β ) =tg α ndash tg β

1 + tg αmiddottg β

95

4

3 შეკრების ფორმულების გამოყენებით შეამოწმეთ ტოლობების მართებულობა

ა) sin(90ordm ndash ) = cos ბ) cos( + ) = ndashcos გ) sin( + ) = ndashsin დ) cos(270ordm ndash ) = ndashsin

6

9

8

7

5


ა) sin 12ordm middot cos 18ordm + cos 12ordm middot sin 18ordm ბ) cos 17ordm middot cos 43ordm ndash sin 17ordm middot sin 43ordmგ) cos 68ordm middot cos 8ordm + cos 82ordm middot cos 22ordm დ) sin 23ordm middot cos 7ordm + cos 157ordm middot cos 97ordm


ა) cos(36ordm + )middotcos(24ordm ndash ) ndash sin(36ordm + )middotsin(24ordm ndash )ბ) sin( ndash )middotcos( + ) + cos( ndash )middotsin( + )

44

4

4

იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა

ა) იპოვეთ sin( + ) თუ cos = ndash და lt lt

ბ) იპოვეთ cos( + ) თუ sin = ndash და lt lt

2

radic32

12

63

2

sin = ndash cos = III მეოთხედის კი IV მეოთხედის კუთხეა იპოვეთ

ა) sin( + ) ბ) cos( ndash )

radic32

12

და III მეოთხედის კუთხეებია და sin = ndash cos = ndash იპოვეთ

ა) sin( ndash ) ბ) cos( + )

35

513

Sekrebis formulebi

saswavlo davalebebi

გაამარტივეთ გამოთვალეთ მნიშვნელობა

გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა

cos 105deg1

2

sin (ndash15deg)cos 75degsin 75deg

12

sin cos( 712

cos

12

cos 4

cos 1) + 2) +

3) ndash 4) ndash

4

sin 12

sin 35

sin 15

cos 35

cos 15

sin75

sin 75

cos12

cos 4

sin 4

cos 12

sin 15

cos 15

sin

10 სამკუთხედის ორი მახვილი კუთხის სინუსები შესაბამისად და ტოლია იპოვეთსამკუთხედის მესამე კუთხის კოსინუსი

725

45

ა) ბ) გ)

ზ) თ)

დ)

ე) 4

3

ndash ) sin( ვ) 4

3

+ )

ა) ბ)sin 20ordm middot cos 10ordm + cos 20ordm middot sin 10ordmsin 21ordm middot cos 9ordm + cos 21ordm middot sin 9ordm

cos 66ordm middot cos 6ordm + sin 6ordm middot cos 24ordmcos 65ordm middot cos 5ordm + sin 65ordm middot sin 5ordm

96

cos 72ordm sin 48ordm + cos 18ordm sin 42ordm გამოსახულების მნიშვნელობა გამოთვალეთ დაყვანისფორმულებისა და შეკრების ფორმულების გამოყენებით


ორი წრფის კუთხური კოეფიციენტებია k1 და k2 მათიგადაკვეთისას მიღებული 21 მახვილი კუთხე შეიძლებაგანისაზღვროს ქვემოთ მოცემული ფორმულით

იპოვეთ წრფეთა გადაკვეთიდან მიღებული მახვილი კუთხე თუ ეს წრფეებია

ა) y = 2x 1 და y = x 1 ბ) y = x + 2 და y = 3x 1

15

17

12

k2 k1

1 + k1 k2tg (2 1) =

Sekrebis formulebi

16

14

13

12


tg =

tg = tg = იპოვეთ

ა) tg( + ) ბ) tg( ndash )გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობაა) tg 15ordm ბ) tg 75ordm გ) ctg 105ordm

იპოვეთ tg 2 თუ tg( + ) = ndash1 tg( ndash ) =

ა) ბ)tg 13ordm + tg 47ordm

1 ndash tg 13ordm middot tg 47ordmtg 46ordm ndash tg 1ordm

1 + tg 46ordm middot tg 1ordm23

12

13

12


20

18

sin (α + β ) cosα sinβsin (α β ) + cosα sinβა) ბ)

cos(α + β ) + sinα sinβcos(α β ) sinα sinβ


ა)

ა)

ბ)

ბ)

tg(45ordm + α) ndash tg 1 + tg(45ordm + α)middottg

tg( + α) + tg( ndash α)1 ndash tg( + α)middottg( ndash α)

8

8

88

იპოვეთ tg 2 თუ ctg( + ) = 2 ctg( ndash ) = 1

11

თოკზე მოსიარულის მოწყობილობის A თოკი 9 მ სი-მაღლის საყრდენზეა დაბმული თოკზე მოსიარულე Bთოკზე 5 მ სიმაღლეზე იმყოფება A და B თოკებისაყრდენიდან 12 მ-ის დაშორებით მიწაშია დამაგ-რებული იპოვეთ მათ შორის დარჩენილი კუთხე

19A

B

12 მ

5 მ

იპოვეთ tg(45ordm + ) თუ

x

y

k1 = tg θ1

k2 = tg θ2

2 ndash 1

21

97

jamis (sxvaobis) namravlad gardaqmna

= x + y = x ndash yთუ მაშინ x = y =

+ 2

ndash 2

sin + sin = sin(x + y) + sin(x ndash y) = sin x cos y + cos x sin y + sin x cos y ndash cos x sin y == 2 sin x cos y = 2 sin cos ანალოგიური წესით მივიღებთ

+ 2

ndash 2

sin ndash sin = 2 sin cos

cos + cos = 2 cos cos

+ 2

ndash 2

+ 2

ndash 2

+ 2

ndash 2

Sekrebis formulebidan miRebuli Sedegebi

6


sin 70ordm + sin 10ordm ჯამი ქვემოთ მოცემული ნაბიჯებით გადააქციეთ ნამრავლად

1) განტოლებათა სისტემის ამოხსნით იპოვეთ ორი ისეთი კუთხე რომ ჯამი იყოს 70ordm-ის ხოლო სხვაობა 10ordm-ის ტოლი x = 40ordm y = 30ordm

2) 70ordm = 40ordm + 30ordm 10ordm = 40ordm ndash 30ordm ჩაწერით გაამარტივეთ მოცემული გამოსახულება

x + y = 70degx ndash y = 10deg

sin 70ordm + sin 10ordm = sin(40ordm + 30ordm) + sin(40ordm ndash 30ordm) = sin 40ordmmiddotcos 30ordm + cos 40ordmmiddot

middotsin 30ordm + + sin 40ordmmiddotcos 30ordm ndash cos 40ordmmiddotsin 30ordm = 2 sin 40ordmmiddotcos 30ordm = radic3 sin 40ordm

cos ndash cos = ndash2 sin sin

2

1

4

გადააქციეთ ნამრავლად ა) sin 52ordm + sin 32ordm ბ) sin 72ordm ndash sin 32ordm გ) cos 32ordm + cos 2ordm დ) cos 42ordm ndash cos 22ordm



ა) sin 8 + sin 2cos 8 + cos 2

ბ) cos 7 + cos 2cos 6 + cos 2

გ) sin 3 + sin cos 3 + cos

ჯამი (სხვაობა) გარდაქმენით ნამრავლად

sin6x + sin2x cos4x ndash cos2x sin ndash sin cos + cos512

12

12

512

3

წარმოადგინეთ ნამრავლის სახით ა) + sin ბ) + cos გ) 2 cos ndash radic312

12

ქვემოთ მოცემული ტოლობები დააკავშირეთ სურათთან და უჩვენეთ რომ ისინიმართებულია

5

= + 2

= ndash 2

= t = cos coscos + cos 2

+ 2

ndash 2

= s = cos sinsin + sin 2

+ 2

ndash 2

(cos α sin α)(cos β sin β)

(t s)

ndash1 1

θα β

ა) cos 130ordm + sin 80ordm ndash sin 20ordm ბ) sin 40ordm + sin 20ordm ndash cos 10ordm

98

გამოსახეთ ნამრავლები ჯამის ან სხვაობის სახით

ქვემოთ მოცემული იგივეობა დაამტკიცეთ ანალოგიური წესით

გამოთვალეთ ნამრავლის ჯამად გარდაქმნის იგივეობების გამოყენებით

+

ამ იგივეობის მართებულობა ვუჩვენოთ შეკრების ფორმულების გამოყენებით

nawil-nawil ikribeba nawil-nawil ikribeba

sin(x + y) = sinxcosy + cosx sinysin(x ndash y) = sinxcosy ndash cosxsiny

sin(x + y) + sin(x ndash y) = 2sinxcosy

sinx cosy = (sin(x + y) + sin(x ndash y))

sinx cosy = (sin(x + y) + sin(x ndash y))12

12

sinx siny = (cos(x ndash y) ndash cos(x + y))

cosx cosy = (cos(x + y) + cos(x ndash y))

1212

sinx siny = (cos(x ndash y) ndash cos(x + y))12

+cos(x + y) = cosxcosy ndash sinx sinycos(x ndash y) = cosxcosy + sinxsiny

cos(x + y) + cos(x ndash y) = 2cosxcosy

cosx cosy = (cos(x + y) ndash cos(x ndash y))12

ა) sin 15deg cos 15deg ბ) sin 105deg sin 15deg გ) cos 75deg cos 75deg

namravlis jamad gardaqmnis formulebi

7

8

9

10

დაამტკიცეთ რომ 2 sincos = sin( + ) + sin( ndash )

sin6x sin2x sinx cos2x cos9x cos2x cos sin

cos7x cos3x sin8x sin4x sin2x cos3x cos sin

3x2

x2x2

5x2


11

გამოთვალეთ

ა) 2 cos 40ordm middot cos 20ordm ndash cos 20ordm ბ) 2 sin 40ordm middot sin 10ordm + cos 50ordm

12


ა) sin 15ordm middot cos 7ordm ndash cos 79ordm middot cos 11ordm ndash sin 86ordm middot sin 4ordmბ) cos 73ordm middot cos 17ordm ndash sin 13ordm middot cos 21ordm ndash cos 86ordm middot cos 4ordmდაშალეთ მამრავლებად

ა) sin 2xmiddotcos 4x ndash sin 6xmiddotcos 8x ბ) cos 5xmiddotcos x ndash cos 4xmiddotcos 2x

99


ormagi argumentis trigonometriuli funqciebi

sin 2 = sin( + ) = sin middot cos + cos middot sin = 2 sin middot cos cos 2 = cos( + ) = cos middot cos ndash sin middot sin = cos2 ndash sin2

sin 2 = 2 sin middot cos cos 2 = cos2 ndash sin2 tg 2 =

tg 2 = tg( + ) = =tg + tg

1 ndash tg middot tg 2 tg

1 ndash tg2

naxevari argumentis formulebi

cos 2 = cos2 ndash sin2 = cos2 ndash (1 ndash cos2 ) = 2 cos2 ndash 1cos 2 = cos2 ndash sin2 = 1 ndash sin2 ndash sin2 = 1 ndash 2 sin2 აქედან

cos2 = 1 + cos 22

1 ndash cos 22sin2 =

ამ ფორმულებში -ს ნაცვლად -ის ჩაწერით მივიღებთ2

cos2 = 1 + cos 2

1 ndash cos 2sin2 =

22

ნახევარი კუთხისათვის ტრიგონომეტრიული იგივეობები

ამ ტოლობებში მარჯვენა მხარის ნიშანი დამოკიდებულია იმაზე თუ რომელ მეოთხედში

მდებარეობს კუთხეα2

nimuSi 2 კალკულატორის გამოუყენებლად იპოვეთ sin 2α და cos 2α გამოსახულების

მნიშვნელობა თუ ცნობილია რომ α IV მეოთხედის კუთხეა და tg α = 34

amoxsna4

r ndash3sin 2α = 2 sin α cos α = 2(ndash )( ) = ndash

cos 2α = 2 cos2 α ndash 1 = 2( )2 ndash 1 =

35

45

24257

2545

r = radic(ndash3)2 + 42 = 5sin α = ndashcos α =

354

5

sin = plusmn cos = plusmn2

2

1 + cos 2

1 ndash cos 2radic radic

nimuSi 1 გაამარტივეთ გამოსახულება sin middotcos3 ndash sin3middotcos amoxsna sin middotcos3 ndash sin3middotcos = sin middotcos (cos2 ndash sin2) =

= middot 2 sin middotcos middot(cos2 ndash sin2) = sin 2middotcos 2 = sin 412

12

14

შეკრების ფორმულები sin 2 cos 2 tg 2 გამოსახულებების კუთხის ტრიგო-ნომეტრიული ფუნქციით გამოსახვის შესაძლებლობას იძლევა

ამრიგად მივიღებთ ორმაგი კუთხის ფორმულებად წოდებულ იგივეობებს2 tg

1 ndash tg2

1 ndash cos 21 + cos 2

tg2 =

1 ndash cos 1 + cos tg2 =

2

tg = plusmn2

1 ndash cos 1 + cos radic

100

nimuSi 3 გამოთვალეთ cos გამოსახულების მნიშვნელობა8

8

8

4

12

α2cos = plusmn 1 + cosα

2radic

1 + cos(4)2radic

1 + (radic22)2radic

2 + radic24radic= =cos = cos ( ) =

amoxsna გამოვიყენოთ ნახევარი კუთხის იგივეობები

კუთხე I მეოთხედში მდებარეობს და ამ მეოთხედში კოსინუსის ფუნქციები დადებითია

16

15

14

13

17

გაამარტივეთა) cos 2

cos + sin sin 2

cos2 middot tg2 ndash cos ბ)

გ) (tg + ctg )middot sin 2 1 + cos 2sin 2დ)

ცნობილია რომ cos = ndash08 90ordm lt lt 180ordm იპოვეთ

ა) sin 2 ბ) cos 2 გ) tg 2ცნობილია რომ sin = ndash და III მეოთხედის კუთხეა იპოვეთ

ა) sin 2 ბ) cos 2 გ) tg 2გაამარტივეთsin 3sin

sin 3cos

cos 3cos

cos 3sin ა) ndash ბ) +

1213

იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობაა) 2 sin 15ordm cos 15ordm ბ) 2 sin cos

გ) cos2 ndash sin2 დ) cos2 ndash sin2

ე) ვ)2 tg 22ordm 30prime1 ndash tg2 22ordm 30prime

8

12

8

12

8

8

4 tg 75ordm1 ndash tg2 75ordm

18 იპოვეთა) sin 22ordm 30prime ბ) cos 22ordm 30prime გ) tg 22ordm 30prime დ) tg 15ordm ე) cos 675ordm

saswavlo davalebebi

19 ცნობილია რომ cos = 270ordm lt lt 360ordm იპოვეთ

ა) sin ბ) cos გ) tg2

45

მონაცემების მიხედვით იპოვეთ sin2 cos2 tg2

sin cos tg

sin = radic32

2

lt lt

2

2

2

tg = 34

lt lt 32 cos = 4

5 lt lt 2

0

20

21

ა) cos = 0 lt lt ბ) sin = ndash lt x lt 235

2

32

radic32

2

2


მონაცემების მიხედვით იპოვეთ

101

ა) უჩვენეთ რომ სეგმენტის ფართობისათვის Sსეგ = r2(α sinα) ფორ-მულა მართებულიაბ) წრეეში რომლის რადიუსი 2 სმ-ია იპოვეთ იმ სეგმენტის ფართობირომელიც 3 სმ-იანი ქორდით არის გამოყოფილი

1228

29 სამი წრეწირი რომელთა რადიუსებია 1 2 და 3 სურათზენაჩვენები სახით გარედან ეხებიან ერთმანეთს გამოთვალეთფერადი ფართობი

1

23

ორი კუთხის ჯამისა და სხვაობის ტრიგონომეტრიული იგივეობის გამოყენებითდაამტკიცეთ ქვემოთ მოცემული იგივეობების მართებულობა

ა) sin 2θ = 2 sin θ cos θ ბ) cos 2x = cos2x ndash sin2x

ცნობილია რომ 90deg lt α lt 180deg და sin α =

ა) იპოვეთ sin 2α-ს მნიშვნელობა ბ) იპოვეთ cos 2α-ს მნიშვნელობაგ) კალკულატორის დახმარებით გამოთვალეთ α კუთხის რადიანული ზომად) კალკულატორით შეამოწმეთ a და b პუნქტებში წარმოებული გამოთვლებისმართებულობა

22

23 817

geometria O ცენტრიან ერთეულოვან წრეწირზე მონაცემების

მიხედვით დაამტკიცეთ იგივეობის მართე-

ბულობა

მთის სიმაღლის გამოთვლისათვის გეგმაზეარჩეულ ორ A და B წერტილს შორის მანძილი175 მ-ია და გაზომილია ამ წერტილებიდანმთის წვეროზე მიმართული კუთხე

tg = sin1 + cos

B

O

D

A

P


დაამტკიცეთ რომ ნებისმიერ ∆ABC-ში რომლის კუთხეებია A B და C მართებულიაქვემოთ მოცემული იგივეობები (გაითვალისწინეთ რომ A + B + C = 180deg) ა) sin (A + B) = sin Cგ) cos C = sin A sin B cos A cos B

24

25

26

27

კუთხეების ზომებია A = 36deg40prime B = 21deg10prime რამდენი მეტრია გეგმის მიხედვითამ მთის სიმაღლე

BA

h

21ordm 10prime 36ordm 40prime

175 მ


ა) = tg1 ndash cos sin

2

ბ) = tgsin 1 + cos

2

α

A

Bo

r

r

2


102

gamravlebis ganrigebadobis kanoni

tg x = da sec x = Casma gamartiveba

trigonometriuli gamosaxulebebis gamartiveba


გაამარტივეთ მამრავლებად დაშლით sin2 x cos2 x + cos4 x

გაამარტივეთ გამოსახულება cos x (tg x ndash sec x)

nimuSi 3

nimuSi 1

nimuSi 2

amoxsna cos x (tg x ndash sec x) == cos x middot tg x ndash cos x middot sec x == cos x middot ndash cos x middot == sin x ndash 1

sin xcos x

1cos x

sin xcos x

1cos x

amoxsna sin2 x cos2 x + cos4 x == cos2 x(sin2 x + cos2 x) == cos2 x middot 1 = cos2 x

saerTo mamravlis frCxilebs gareT gatana

sin2 x + cos2 x = 1 formulis gamoyeneba

cos x1 + sin x + tg x = + =cos x

1 + sin xsin xcos x

cos x1 + sin x

cos xcos x

sin xcos x

1 + sin x1 + sin x= middot + middot =

cos2 x + sin x + sin2 xcos x(1 + sin x)= =

1 + sin xcos x(1 + sin x)= =

= 1cos x = sec x

tg x = Casmasin xcos x

gaerTmniSvnelianeba


gamartiveba

mricxvelisa da mniSvnelis erTsada imave ricxvze gamravleba-gayofa

nimuSi 4 გაანთავისუფლეთ მნიშვნელი ფესვის ნიშნისაგან

2tg xradic = middot = =2

tg xradic tg xtg x

2tg xtg2 xradic radic2tg x

tg x

2tg xradic სადაც tg x gt 0

1 გაამარტივეთ ფრჩხილებისაგან განთავისუფლებით1) (sin x ndash cos x)(sin x + cos x) 3) (sin ndash cos )2 + sin 22) tg x (cos x + ctg x)(1 ndash sin x) 4) (1 + tg )2 ndash sec2

saswavlo davalebebi

2 დაშალეთ მამრავლებად

1) sin2 x cos x + cos3 x 3) sin3x + 272) sin4 x ndash cos4 x4) 4sin2 y + 8sin y + 4 6) 2cos2 x + cos x ndash 35) 3ctg2 + 6ctg + 3

cos x1 + sin x + tg x

amoxsna

amoxsna

103

დაწერეთ გამოსახულებები ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქციით გამოსახულიმამრავლების ნამრავლის ( მაგალითად (sinx 3) (1 + 2sinx)) სახით

9

1) cos2 x + 2cos x + 1 2) cos x ndash 2sin2 x + 1 3) sin x ndash cos2x ndash 1

4

გაამარტივეთ გამოსახულება თუ 0 lt lt 1 ndash sin 1 + sin radic 1 + sin

1 ndash sin radic+

დაამტკიცეთ იგივეობა

cos 1 ndash tg

sin 1 ndash ctg 1) + = sin + cos 1 ndash tg2

1 + tg2 2) + 1 = 2cos2

tg ndash ctg tg + ctg 3) + 1 = 2sin2

cos 1 + sin 4) tg + = sec

7

6) = 2 cos4 1ndash cos4 ndash sin4 tg2

იპოვეთ გამოსახულების udm და umma) sin ndash radic3 cos b) radic3 sin + cos c) sin + cos

8

nimuSi sin + radic3 cos = 2( sin + cos ) = = 2(cos 60ordm middot sin + sin 60ordm middot cos ) = 2sin( + 60ordm) udm = 2 umm = ndash2

12

radic32

გაათავისუფლეთ მნიშვნელი ფესვის ნიშნისაგან

cos2 y2sin2 yradic1 ndash cos x

1 + cos xradic cos xtg xradic

5

ა) ბ) გ)

6 გაამარტივეთsin

1 + cos ა) ( + )middotsin 2sin

1 ndash cos (sin + cos)2 ndash sin 2

cos 2 + 2 sin2 ბ)

1 + cos 2 + sin 21 ndash cos 2 + sin 2გ) sin + sin 3 + sin 5

cos + cos 3 + cos 5დ)


1) 2) ndash 3)

4) middot 5) middot 6) middot

cos2 ndash 1cos + 1

sin xcos x

1cos2 x( )2 sin4 ndash cos4

sin2 ndash cos24cos3 xsin2 x

sin x4cos x( )2 sin2 ndash sin ndash 2

2 sin ndash 410cos + 53sin + 9

sin2 ndash 92cos + 1

3

2

10 გაამარტივეთ გამოსახულება radic1 ndash sin2 cos

ა) თუ 90ordm lt lt 180ordm ბ) თუ 270ordm lt lt 360ordm

11 გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა sin 18ordmmiddotcos 36ordm


miTiTeba a sin x + b cos x გამოსახულება დაწერეთ cmiddot( middot sin x + middot cos x) სახით

და = cos = sin აღნიშვნით შემოიტანეთ დამხმარე კუთხე სადაც c = radica2 +b2

ac

bca

cbc

5) = 2 tg2 (sin + cos )2 ndash 1ctg ndash sin middotcos

104


2

4

5

3

აქვს თუ არა გამოსახულებას აზრი

ა) radicsin 170ordm ბ) radiccos 150ordm გ) radictg 200ordmრომელი მეოთხედის კუთხეა თუ sin = sin cos = ndash cos

დაამტკიცეთ რომ tg 1ordm middot tg 2ordm middot tg 3ordm middot middot tg 87ordm middot tg 88ordm middot tg 89ordm = 1

ცნობილია რომ sin 10ordm = a a-ს საშუალებით გამოსახეთა) cos 80ordm ბ) cos 100ordm გ) sin 170ordm დ) sin 190ordm

სამკუთხედის კუთხეები ისე შეეფარდება ერთმანეთს როგორც 2 3 5 იპოვეთ სამ-კუთხედის კუთხეების რადიანული ზომები

1

6

4sin cos23

23

8

8

გამოთვალეთ კალკულატორის გამოუყენებლად

ა) ბ)2tg

1 tg2

ა) sin 151deg = sin 29deg ბ) cos 135deg = sin 225deg გ) tg 135deg = tg 225degდ) sin 60deg = cos 330deg ე) sin 270deg = cos 180deg ვ) cos (ndash60deg) = ndashsin 330deg

რომელი ტოლობაა ჭეშმარიტი და რომელია მცდარი7

ა) წყალმფრქვევი სისტემა მაქსიმუმ 140-იანი კუთხით მობრუნებით 35 მეტრ მანძილზეაფრქვევს წყალს სქემატურად გამოსახეთ მორწყვა შესაძლებელი ნაწილი და გამოთვალეთფართობიბ) 70 მ მანძილზე წყლის მიმწვდენი წყალმფრქვევით 3000 მ2 ფართობის მორწყვისათვისრამდენი გრადუსით უნდა მობრუნდეს წყალმფრქვევი

9

ორი კბილანებიანი ჩარხიდან ერთის რადიუსია 64 სმმეორისა კი 3 სმ რამდენი გრადუსით უნდა მობრუნდესდიდი ჩარხი თუ პატარა ჩარხი მობრუნდება 170ordm-ით

8

64 სმ3 სმ

10

sinx + sin3xcosx + cos3x = tg2x

sin3x ndash sinxcos3x ndash cosx = ndashctg2x sin2x + sin4x

cos2x + cos4x = tg3xcos4x ndash cos2xsin2x ndash sin4x = tg3x

დაამტკიცეთ

11 ცნობილია რომ ndash = 90ordm იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა sin ndash sincos + cos

12 დაამტკიცეთ რომ ა) cos(60ordm ndash ) = sin(30ordm + ) ბ) ctg(80ordm ndash ) = tg(10ordm + )

13 უჩვენეთ რომ cos 20ordm ndash cos 50ordm cos 31ordm + sin 11ordm = sin 80ordm ndash sin 70ordm

sin 29ordm ndash sin 19ordm

105

გაამარტივეთ tg( + x)middot18 1 ndash sin 2xcos 2x

4

იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა თუ sin middotcos = 04 sin + cossin ndash cos

14

15 იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა

ა) 4 sin 15ordm cos 15ordm(cos2 15ordm ndash sin2 15ordm)

ბ) sin middot cos3 ndash sin3 middot cos16

16

16

16

იპოვეთ y = 4x ndash 1 და y = ndash2x + 5წრფეებს შორის შექმნილი მახვილიკუთხე

16

20 გაამარტივეთ

ა) ბ)6 cos 64ordmradic3 cos 34ordm ndash sin 34ordm

cos 36ordm + radic3 sin 36ordm4 cos 24ordm

6

4

2

ondash2

2 4 6 x

y

y = 4x ndash 1

y = ndash2x + 58

θგამოთვალეთ 17

ა) ndash 2 sin 70ordm

ბ) 8 sin 10ordmmiddotcos 20ordmmiddotcos 40ordm

12 sin 10ordm

სითხისმფრქვევით α კუთხით d მანძილზე ობიექტს თუ სითხე ეფრქვევა უჩვენეთ

რომ სითხის შეფრქვევის ფართობის

ა) S = d2tg2 ამასთან S = ფორმულებით გამოთვლა

შესაძლებელიაბ) რა ფართობზე მოეფრქვევა სითხე თუსითხემფრქვევი d = 30 სმ მანძილზეα = 45deg კუთხით აფრქვევს სითხეს

α2

21

d 2 (1 cosα)1 + cosα

d

r

1) დაამტკიცეთ იგივეობები 22 ა) sin 2 =

ა) sin 2 tg =

ბ) cos 2 =

ბ) cos 2

2 tg 1 + tg2

1 ndash tg2 1 + tg2

13


2cosα = 0 lt α lt და sin β = π lt β lt

ა) sin (α + β) ბ) cos (α + β) გ) tg (α + β)დ) sin (α β) ე) cos (α β) ვ) tg (α β)

radic32

12

32

19 იპოვეთ გამოსახულებების მნიშვნელობები თუ

2) იპოვეთ თუ

106

XII saukuneSi mcxovrebma da kacobriobismecnierebis istoriaSi gansakuTrebuli ad-gilis mqone genialurma azerbaijanelmamecnierma nasredin Tusim didi wvliliSeitana astronomiis maTematikisa da fi-losofiis mecnierebebis ganviTarebaSi na-sredin Tusim pirvelma gamoyo trigo-nometria astronomiisagan da mogvca si-nusebis Teoremis damtkiceba

sinusebisa da kosinusebis Teorema4sinusebis Teorema

kosinusebis Teorema

107

praqtikuli mecadineoba1) სურათის მონაცემების მიხედვით h-ით გამოსახეთ ∆ABC-ს ABდა BC გვერდები

2) ტოლობის სისწორე შეამოწმეთ

3) h-ით გამოსახეთ AC გვერდის სიგრძე და რადგან B = 180ordm ndash (30ordm + 45ordm) = 105ordmგამოთვალეთ sin B

4) იპოვეთ შეფარდება და იგი მე-2 პუნქტში არსებულ შეფარდებებთან შეადარეთ

5) რა კავშირი არის ∆ABC-ს გვერდებსა და მოპირდაპირე კუთხეების სინუსებს შორის

sinusebis Teorema

ABsin C

BCsin A=

ACsin B

h45ordm30ordm

A

B

CD

ანალოგიური წესით A წვეროდან BC გვერდზე სიმაღლის გავლებით შეიძლება იმის ჩვენება

რომ ტოლობის თვისების თანახმად შეგვიძლია ჩავწეროთ

damtkiceba მართკუთხა სამკუთხედისათვის თეორემის სისწორეთქვენ უჩვენეთდავამტკიცოთ თეორემა მახვილკუთხა და ბლაგვკუთხა სამკუთხედე-ბისათვის სამკუთხედის C წვეროდან AB გვერდზე გავავლოთ hc სიმაღლემიღებული ორივე მართკუთხა სამკუთხედიდან შეგვიძლია დავწეროთ

და

sinusebis Teorema

ნებისმიერ ∆ABC-ში თუ a b c გვერდების შესაბამისადმოპირდაპირე კუთხეებია A B C მაშინ

სამკუთხედის გვერდები მათი მოპირდაპირე კუთხეების სინუსების პროპორციულია

hc

b = sinA hc

a = sinB

asinA

bsinB

csinC

= =

bsinB

csinB=

ბლაგვკუთხა სამკუთხედიდანაც ჩანს რომhc

a = sin(180 B) = sin B

ამ თანაფარდობებიდან ვიპოვოთ hc ცვლადი hc = b sinA hc = a sinBაქედან b sinA = a sinB ან

თეორემა დამტკიცებულია

A

C

Bc

b a

A

C

Bc

b a

hc

მახვილკუთხასამკუთხედი

ბლაგვკუთხასამკუთხედი

A

C

Bc

b

180ordm ndash B

hc

a

asinA

bsinB=

miaqcieT yuradReba rom es Se-

fardebebi samkuTxedze Semoxazuli

wrewiris diametris tolia

daskvna 1) სამკუთხედში ტოლი კუთხეების პირდაპირ მდებარე გვერდების სიგრძეებიტოლია2) სამკუთხედში მეტი კუთხის პირდაპირ მეტი გვერდი ძევს და მეტი გვერდის პირდაპირმეტი კუთხე ძევს

asinA

bsinB

csinC= =

რადგან სამკუთხედის შიგა კუთხეების ჯამი 180deg-იაამიტომ მოცემული ორი კუთხის მიხედვით შეგვიძლიავიპოვოთ მესამე კუთხე ხოლო სინუსების თეორემისმიხედვით კი ვიპოვოთ დანარჩენი ორი გვერდი

მართლაც თუ და კუთხეები მახვილია მაშინ როცა gt მაშინ sin gt sin რადგან

ამიტომ მიიღება რომ a gt b თუ ბლაგვი კუთხეა მაშინ (180ordmndash) მახ-

ვილი კუთხეა თანაც(180ordm ndash ) კუთხე სამკუთხედის კუთხის არამოსაზღვრე გარე კუთხე

-ზე მეტია ამიტომაც sin = sin(180ordm ndash ) gt sin აქედან მიიღება რომ a gt b

sinusebis Teorema

108

როდესაც მოცემულია სამკუთხედის ორი კუთხე და ერთი გვერდიან ორი გვერდი და ამგვერდებიდან ერთ-ერთის მოპირდაპირე კუთხე მაშინ სინუსების თეორემის გამოყენებითშესაძლებელია დანარჩენი კუთხეებისა და გვერდების პოვნა

I SemTxvevamocemulia samkuTxedis ori kuTxe da erTi gverdi

nimuSi 1 ∆ABC-ში a = 10 A = 41deg C = 75deg

II SemTxveva mocemulia samkuTxedis ori gverdi daerTi kuTxenimuSi 2 1) ∆ABC-ში a = 18 A = 25deg b = 30

amoxsna

amoxsna

B = 180 (A +C) = 180 (41deg + 75deg) = 64deg

=

asinA

asinA

bsinB

asinBsinA

10sin64degsin41deg

30sin25deg18

1008990656

csinC

= b =

asinA

bsinB

bsinAa

=

sinB = 07044

07044 რიცხვს შევიყვანთ კალკულატორში ღილაკს ავღნიშნავთ და დავინახავთრომ B კუთხე 448deg-ია B 448degრადგან sin B = sin (180 B) ამიტომ აქ B კუთხეს მეორე მნიშვნელობაც აქვსB 180deg 448deg = 1352deg

137

asinCsinA

10sin75degsin41deg

1009660656

c = 147=

sin-1

A

C

Bc

b = 30 a = 18

sin a

sin b=

25ordm

40

asinCsinA

18sin1102degsin25deg

1009380423

c =

c =

asinA

csinC=

როცა B = 448deg მაშინ

C = 180deg (25deg + 448deg) = 1102deg

144

asinCsinA

18sin198degsin25deg

1009380423

c =

c =

asinA

csinC=


C = 180deg (25deg + 1352deg) = 198deg

A

C

Bc

b a = 1075ordm41ordm

sinusebis Teorema

109

II SemTxvevisaTvis qvemoT mocemuli mdgomareobac gaviTvaliswinoT

1) ABC-ში a = 5 A = 30deg b = 12სინუსების თეორემის თანახმად

asinA

bsinB= = = 12

12sin30deg5

bsinAasinB =

რადგან ნებისმიერი კუთხისათვის sinB| le 1 ამიტომ არ შეიძლება რომ sinB = 12მაშასადამე ასეთი სამკუთხედის აგება შეუძლებელიასამკუთხედის ორი გვერდისა და ერთი კუთხის მოცემისას შესაძლო შემთხვევების -სამკუთხედების რაოდენობა გვერდების სიგრძის რიცხვით მნიშვნელობებზე და კუთხისსახეებზე (გრადუსულ ზომებზე) დამოკიდებულებით იცვლება

როცა A le 90deg-ზე

როცა A gt 90deg-ზე

მაშასადამე მოცემული მნიშვნელობების შესაბამისი ორი სამკუთხედი არსებობს

1 B = 448deg C = 1102deg c = 40 2 B = 1352deg C =198deg c = 144

A = 25ordm

C = 1102ordm

B = 448ordmc = 40

b = 30 a = 18

A = 25ordm

C = 198ordm

B = 1352ordmc = 144

b = 30 a = 18

ა) a lt hc lt b ამონახსენი არა

აქვს

ა) a lt b ამონახსენიარა აქვს

ბ) a = hc lt b ერთიამონახსენი აქვს

ა) a gt b ერთიამონახსენი აქვს

გ) hc lt a lt b ორიამონახსენი აქვს

A

C

B

b ahc

A

C

Bc

b ahc

A

C

B1

b ahc

B2

a

A

C

B

ba

A

C

B

b a

ვ) a gt b ერთიამონახსენი აქვს

A

C

Bc

b ab

დ) a = b ერთიამონახსენი აქვს A

C

Bc

b ab

ბ) a = b ამონახსენიარა აქვს

A

C

B

ba

saswavlo davalebebi

იპოვეთ უცნობი კუთხე ან გვერდი

ა) = ბ) =asin 35ordm

sinA25

sin 62ordm32

sin 60ordm3radic3

sin B12

10sin 40ordm

გ) = დ) =

16radic2

sin 30ordmb

sin 45ordm

sinusebis Teorema

110

ა) ABC- ში AC = 7 სმ AB = 11 სმ B = 25deg- ია იპოვეთ C

ტოლობის მიხედვით დახაზეთ სამკუთხედი იპოვეთ x-ისმნიშვნელობა

ბ) KLM-ში LM = 168 სმ KM = 135 სმ იპოვეთ L თუ K= 56deg ორივე ამოცანაში საძიებელი კუთხის შესახებ ldquoერთი მახვილიაrdquo ldquoერთი კუთხე ბლაგვიაrdquoორი კუთხის შესაბამისად მოსაზრება მართებულია

xsin60deg

10sin80deg=

დაწერეთ სინუსების თეორემა სამკუთხედისათვის რომლისწვეროები აღნიშნულია წერტილებით M N და P

იპოვეთ უცნობი გვერდები და კუთხეები

სურათის მონაცემების მიხედვით იპოვეთ კუთხის გრადუსული ზომები 3

2

4

5

M

N

P

1) a = 10 A = 35deg B = 25deg 2) b = 40 B = 75deg c = 35 3) A = 40deg B = 45deg c = 15 4) a = 5 A = 42deg b = 7 5) a = 40 A = 25deg c = 30 6) a = 5 A = 47deg b = 97) a = 12 A = 94deg b = 15 8) a = 15 A = 94deg b = 12 9) a = 22 A = 50deg c = 27 10) a = 11 A = 50deg c = 20

მონაცემების მიხედვით რომელ შემთხვევაში ერთი რომელ შემთხვევაში ორი სამ-კუთხედის აგებაა შესაძლებელი რომელ შემთხვევაში ამოცანას არა აქვს ამონახსენიგამოთვლებით უჩვენეთ

მონაცემების მიხედვით დახაზეთ ABC და იპოვეთ მოთხოვნილი გვერდი

ა) mocemuliaABC A = 57degB = 73deg AB = 24 სმ AC =

ბ) mocemulia ABC B = 38deg C = 56deg BC = 63 სმAB =

გ) mocemulia ABC A = 50deg B = 50deg AC = 27 მ AB =

დ) mocemulia ABC A = 23deg C = 78deg AB = 15 სმ BC =

7

6

8

A

C

B

A

C

B A

C

B

AC

B

A C

B

c

aa

b

a

14

12 4radic6 84radic3

19

25

595ordm 64ordm

70ordm

45ordm

34ordm110ordm

120ordm

ა)

ა)

ბ)

ბ) გ)

111

sinusebis Teorema

სამკუთხედის გვერდებიდან ერთის სიგრძე 43 მ-ია მეორისა კი 11 მ ამ გვერდებიდანერთის მოპირდაპირე კუთხე 35deg-ია იპოვეთ სამკუთხედის უცნობი გვერდი დაკუთხეები

9

10 დაამტკიცეთ სინუსების თეორემა წრეწირშიჩახაზული სამკუთხედის გამოყენებით

damtkicebis gegma ჯერ უჩვენეთ რომ = 2R შემდეგ ანალოგიური წესით

= 2R და = 2R ტოლობა უჩვენეთ

asinAb

sinBc

sinC

A

C D

OB

cb

a2 a2r r

A

CO

D Bcb

a2 a2r r

სამკუთხედის ფართობის ფორმულების თანახმად

მონაცემების მიხედვით იპოვეთ სამკუთხედების ფართობები

დაამტკიცეთ რომ ამოზნექილი ოთხკუთხედის ფართობიდიაგონალებისა და მათ შორის კუთხის სინუსის ნამრავლისნახევრის ტოლია

კუთხეების უფრო ზუსტად გაზომვისათვის გრადუსულ საზომ ერთეულთან ერთადუფრო მცირე ერთეულები წუთი (prime) და წამი (primeprime) გამოიყენება 1deg = 60prime და 1prime = 60Primeგათვალისწინებით კუთხეების ზომები გამოსახეთ გრადუსებში ათწილადების სახით

a) 20deg15prime36primeprime b) 45deg12prime18primeprime c) 34deg20prime54primeprime

12S = absin C12S = bcsin A12S = acsin B

1) B = 42ordm a = 6 მ c = 8 მ 2) A = 17ordm 12prime b = 10 სმ c = 13 სმ3) C = 82ordm 54prime a = 4 დმ b = 6 დმ 4) C = 7516ordm a = 15 მ b = 21 მ

A

B Ca

bc ha180ordm ndash C

D

A

B Ca

bc ha

D

A

CB65ordm12

14 B

AC

3618

B

A

C

4 5

cba

d

12

5) 6) 7)

30ordm 100ordm

11

13

ა) პარალელოგრამის დიაგონალები 10 სმ და 12 სმ-ია მათ შორის კუთხე 60deg-ია იპოვეთპარალელოგრამის ფართობიბ) ტოლფერდა ტრაპეციის დიაგონალები 12radic2 სმ-ია მათ შორის კუთხე 45deg-ია იპოვეთამ ტრაპეციის ფართობი

14S = d1middotd2middotsin 1

2

sinusebis Teorema

112

სინუსების თეორემის ორსვეტიანი ცხრილით დამტკიცება რვეულში დაასრულეთ

piroba safuZveli

bcsin A = acsin B = absin C

bcsin A acsin B absin Cabc abc abc

16

15

თითოეული შესაძლო შემთხვევისათვის გაავლეთ შესაბამისი ერთი სამკუთხედია) როცა ∆ABC-ში A = 30deg AC = 50 სმ იმისათვის რომ ამოცანას ორი ამონახსენიჰქონდეს რომელ ინტერვალში უნდა იცვლებოდეს BC გვერდის სიგრძებ) A = 60deg და AC = 12radic3 სმ BC გვერდის სიგრძის რომელ ინტერვალში ყოფნისასიქნება შეუძლებელი სამკუთხედის აგებაგ) თუ A = 45deg და AC = 18radic2 სმ BC გვერდის სიგრძის რომელი მნიშვნელობებისათვისმხოლოდ ერთი სამკუთხედის ამოხსნაა შესაძლებელი

12

12 bcsin A= acsin B = absin C1

2

= =sin A sin B sin C

a b c= =a b c= =sin A sin B sin C

nimuSi

amoxsna


წყალსაცავი მე-4 თეფე საცხოვრებელი პუნქტიდან25deg- ჩრდილოეთ - აღმოსავლეთი მიმართულებით 15 კმ საცხოვრებელი პუნქტი გენჯლიქი კი საც-ხოვრებელი პუნქტი მე-4 თეფედან ჩრდილო-აღმოსავლეთი მიმართულებით 75 კმ მანძილზემდებარეობს წყალსაცავიდან რა მანძილზე მდე-ბარეობს საცხოვრებელი პუნქტი გენჯლიქი

წყალსაცავიგენჯლიქი

ჩ დ ა

სმე-4 თეფე

75 კმ15 კმ25ordm

ssinS

gsinG=

ssinS

tsinT

75sin97degsin25deg

750992504226=

15sin25deg75

75sin25deg

15sinG

150422675=

75sin25deg

tsin97deg=

sinG =

G 58deg T 180deg 25deg 58deg 97deg

=08452

176 კმ

სინუსების თეორემის თანახმად

t

გეგმის შესაბამისად ხელახლა დავხაზოთ სამკუთხედი დაწვეროები ობიექტების სახელების შესაბამისად ავღნიშ-ნოთ წყალსაცავი S-ით მე-4 თეფე - T გენჯლიქი - Gასოთი მანძილების შესაბამისად იყოს s t და g

T

S G

15 კმ75 კმ

25deg

sg

t

sinusebis Teorema

113

navigacia-მოიცავს საზღვაო და საჰაერო გზებზეტრანსპორტის ადგილისა და მოძრაობის კურსისგანსაზღვრის სამუშაოებსნავიგაციაში მიმართულება როგორც წესი აზიმუტითგანისაზღვრება აზიმუტი საათის ისრის მოძრაობისმიმართულებით და ჩრდილოეთ მიმართულებასა დამოცემულ მიმართულებას შორის დარჩენილი კუთხეამაგალითად სურათზე 140deg აზიმუტია ასახული

xidmSenebloba სურათის მონაცემებისმიხედვით რამდენი მეტრი იქნება ასაგებიხიდის სიგრძე

ჭაღი ფიცრის ჭერზე 18 მ და 24 მ ჯაჭვითაა და-მაგრებული 18 მ სიგრძის ჯაჭვი ჭერთან 62ordm-იანკუთხეს ქმნის იპოვეთ კუთხე მეორე ჯაჭვსა და ჭერსშორის

konstruqcia სურათზე მოცე-მული მოწყობილობის კონსტრუქ-ციის მიხედვით იპოვეთ კუთხე

ულქერის იალქნიანი ნავი აითენის ნავიდან აღმოსავლეთმიმართულებით 52 მ მანძილზეა აითენი ზღვაში მყოფ ცოცხალორგანიზმებზე დამკვირვებელ კვლევით სადგურს 30deg აზი-მუტით ულქერი კი 320ordm აზიმუტით ხედავენ რამდენ მეტრმანძილზე იმყოფება ულქერის ნავი კვლევითი სადგურიდან

22

2120

19

ჭაღი

62deg

18 მ24 მ

ჭერი

N

S

E

W

S S

B

sr

აითენიულქერი

30ordm

52 მ

Nჩ

ს

ად

C

B5 მ

A

r = 28 სმ

r = 22 სმ

r ndash 36 სმ

40deg

73deg

60deg

140ordm

დაკვირვების მწარმოებელი თვითმფრინავიდან ტბის ორსხვადასხვა ნაპირზე მყოფი A და B წერტილებისადმი დახრისკუთხე შესაბამისად 32deg და 45deg-ია სურათზე მონაცემებისმიხედვით დაახლოებით რამდენი მეტრია ამ ორ წერტილსშორის სიგანე

8 სმ სიგრძის ფიცრის ნაჭერი კონსტრუქციის ფუძეზე 70ordm-იანიკუთხით იყო დაწებებული 7 სმ სიგრძის ნაჭერი მეორებოლოზე და კონსტრუქციის ბოლოზე იყო დამაგრებულიიპოვეთ ამისათვის სურათზე ნაჩვენები კუთხის შესაძლოგრადუსული ზომა

18

17

კონსტრუქციის ფუძე

7სმθ

8სმ

70deg

32deg45deg9750 მ

A B

kosinusebis Teorema

114

2) ამ სამკუთხედებისათვის შეავსეთ ქვემოთ მოცემული ცხრილი

3) შეადარეთ a2 + b2 ndash 2abcos C და c2 გამოსახულებების მნიშვნელობები

a b და c გვერდებიან ნებისმიერ ABC სამკუთხედშიa2 = b2 + c2 2bc cos Ab2 = a2 + c2 2ac cos Bc2 = a2 + b2 2ab cos Cსამკუთხედის ნებისმიერ გვერდის კვადრატი ტოლია

kosinusebis Teorema

ab

cA B

C

სამკუთხედის გვერდები (სმ-ობით) c2 a2 + b2 2abcos Ca = 3 b = 4 c = 5a = 3 b = 4 c = a = 3 b = 4 c =

gamokvleva 1 მოცემული ზომების მიხედვით თითოეული სამკუთხედისათვის შეას-რულეთ დავალებები 1) დაწერეთ სამკუთხედის კუთხეები ზრდის რიგის მიხედვით2) შესაძლებელია თუ არა სინუსების თეორიის გამოყენებით უცნობი გვერდებისა დაკუთხეების პოვნა

gamokvleva 2 1) რვეულში ჩაიხაზეთ სამკუთხედები მოცემული ორი გვერდისა და მათშორის მდებარე კუთხის მიხედვით და გაზომეთ მესამე გვერდის სიგრძე1 a = 3 სმ b = 4 სმ C = 90ordm2 a = 3 სმ b = 4 სმ C = 60ordm3 a = 3 სმ b = 4 სმ C = 120ordm

CA

B

CA

B

CA

B

დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს გამოკლებული ამ გვერდებისა და მათშორის მდებარე კუთხის კოსინუსის გაორკეცებული ნამრავლი

A E J

K

L

36

30

88deg30

34

22D

F

57deg45deg

BC

damtkiceba კოსინუსების თეორემის დამტკიცები-სათვის ABC სამკუთხედი საკოორდინატო სისტემაში ისემოვათავსოთ რომ A წვერო კოორდინატთა სათავეშიაღმოჩნდეს ამ შემთხვევაში წვეროს წერტილებისკოორდინატებიაA(0 0) B(c 0) C(bmiddotcosA bmiddotsinA) ორ წერტილს

შორის მანძილის ფორმულის თანახმად შეგვიძლიაჩავწეროთ

a2 = (c b cosA)2 + (b sinA 0)2 == c2 2bcmiddotcosA + b2 cos2 A + b2 sin2 A == c2 2bcmiddotcosA + b2(cos2A + sin2A) = b2 + c2 2bcmiddotcosA

b

A(0 0) B(c 0)

C(b cos A b sinA)

a

c

115

კალკულატორზე sin-1 ღილაკისა და 07485 რიცხვის შეყვანით შეიძლება გამოთვლა რომA = sin-1(07485) 485deg უკვე ცნობილია ABC სამკუთხედის სამი გვერდი და ორიკუთხე მესამე კუთხე კი სამკუთხედის შიგა კუთხეების ჯამის ფორმულით შეგვიძლიავიპოვოთ

180deg (38deg + 485deg) = 935deg C 935deg

nimuSi 1

kosinusebis Teorema

ამოხსენით სამკუთხედი თუ ∆ABC-ში a = 12 სმ c = 16 სმ და B = 38deg

სამკუთხედის ამოხსნა მოცემული ორი გვერდისა და მათ შორის მდებარეკუთხის მიხედვით

როდესაც ცნობილია სამკუთხედის სამი გვერდი და ერთი კუთხე შეიძლება სინუსებისთეორემის გამოყენება ვიპოვოთ A კუთხე მონაცემების თანახმად რადგან a გვერდი cგვერდზე ნაკლებია მისი წინამდებარე კუთხეც ნაკლები უნდა იყოს ანუ A არ შეიძლებაიყოს ბლაგვი კუთხე

b2 = a2 + c2 2ac cos B kosinusebis Teorema

b2 = 144 + 256 2middot12middot16middotcos 38deg b2 asymp 400 ndash 384middot0788 asymp 974 b asymp radic974 asymp 987 (სმ)

Seitaneba a c da B-smniSvnelobebi

martivdeba

amoiReba kvadratuli fesvi

asinA

bsinB= 12

sinA987

sin38deg= 12sin38deg987= 07485sinA

a = 12 სმ b = 987 სმ c = 16 სმ A 485deg B = 38deg C 935deg

C

A

B12 სმ

16 სმb

ამრიგად დამტკიცდა რომ a2 = b2 + c2 2bcmiddotcos A სამკუთხედის დანარჩენი გვერდებისათვის ფორმულების მართებულობა სამკუთხედისდანარჩენი კუთხეების (B და C კუთხეების) კოორდინატთა სათავეში მოთავსებითდამტკიცება შეიძლებაSeniSvna დავუშვათ რომ C = 90deg რადგან cos 90deg= 0 ამიტომ მოცემულიc2 = a2 + b2 2abmiddotcos C ფორმულა c2 = a2 + b2 სახეს მიიღებს ეს კი პითაგორასთეორემას გამოსახავს ამიტომაც კოსინუსების თეორემას ზოგჯერ განზოგადოებულპითაგორას თეორემასაც უწოდებენ

38deg

nimuSi 2 ∆ABC-ში a = 5 სმ b = 8 სმ c = 12 სმ ამოხსენითსამკუთხედი

a2 = b2 + c2 2bc cos A

სამკუთხედის ამოხსნა სამი გვერდის მიხედვით

cos A = b2 + c2 a2

2bccos A = = 0953182 + 122 52

2812183192

A cos-1(09531) 18deg

მსგავსი წესით მოიძებნება სამკუთხედის B და C წვეროს კუთხეები

A

C

B

b = 8

c = 12

a = 5

116

kosinusebis Teorema

იპოვეთ სამკუთხედის კუთხეები მისი სამიგვერდის მიხედვით დაამრგვალეთ პასუ-ხები მეათედებამდე

saswavlo davalebebi

1 სამკუთხედის ორი გვერდისა დამათ შორის მდებარე კუთხის მი-ხედვით იპოვეთ უცნობი გვერდიდა კუთხეები

2

CA

B4 5

6C

5

860ordm

A

B

ამოხსენით სამკუთხედები მონაცემების მიხედვით პასუხები დაამრგვალეთ მეასე-დებამდე

ა) ბ) გ) დ)

3

ΔABC-ს ამოხსნისათვის გამოიყენეთ სინუსების კოსინუსებისა და პითაგორას თეო-რემები პასუხები დაამრგვალეთ მეასედებამდე

ა) A = 96deg B = 39deg b = 13 ბ) A = 34deg b = 17 c = 48გ) A = 48deg B = 51deg c = 36

დ C = 104deg b = 11 c = 32ე) a = 48 b = 51 c = 36 ვ) C = 90deg a = 4 b = 11

მონაცემების მიხედვით იპოვეთ მოთხოვნილები პასუხი დაამრგვალეთ მეასე-დებამდე

1) mocemuliaΔABC-შიa = 27 b = 22 C = 40O ipoveT c გვერდი

2) mocemulia ΔABC a = 18 c = 15 B = 110OipoveT b გვერდი

3) mocemuliaΔABC a = 9 b = 10 c = 11 ipoveT A

4) mocemulia Δ ABC a = 120 b = 90 c = 105ipoveT სამკუთხედის უდიდესიკუთხე

5) mocemulia Δ ABC a = 16 b = 21 c = 19ipoveT სამკუთხედისუმცირესი კუთხე

4

5

6

ა) იპოვეთ სამკუთხედის უდიდესი სიმაღლე თუ მისი გვერდებია 5 მ 6 მ და 7 მბ) იპოვეთ სამკუთხედის უმცირესი სიმაღლე თუ მისი გვერდებია 13 სმ 14 სმ და 15 სმგ) იპოვეთ სამკუთხედის მედიანები თუ მისი გვერდებია 10 სმ 12 სმ და 14 სმ

A

A A

18 სმ7 სმ

8 სმ

12 სმ

8 სმ C

C

CB

BB

120deg

32deg5

8

A

CB

20

1540deg

117

kosinusebis Teorema

nimuSi A პუნქტიდან მოძრაობის დამწყებმა მატარებელმა 60 კმ გაიარა და C პუნქტშიმოსვლის შემდეგ მოძრაობის მიმართულების 15ordm-იანი შეცვლის შემდეგ კიდევ 80 კმ გაიარარამდენი კილომეტრით არის დაშორებული მატარებელი A პუნქტიდან

amoxsna ამოცანის პირობის შესაბამისად დავხაზოთ სურათი

A

BC

c

15ordm

60 კმ

80 კმ

165ordmსურათიდან ჩანს რომ სამკუთხედის ორი გვერდიდა მათ შორის მდებარე კუთხე ცნობილიაკოსინუსების თეორემის გამოყენებით შეგვიძლიავიპოვოთ c წვერო

c2 = a2 + b2 2ab cos Cc2 = 802 + 602 28060 cos 165deg 19273 c 139 კმ

ა) იპოვეთ პარალელოგრამის დიაგონალები თუ მისი გვერდებია 6 სმ და 8 სმ მახვილიკუთხე კი 60ordm-იაბ) პარალელოგრამის გვერდებია a და b ხოლო დიაგონალებია d1 და d2 დაამტკიცეთრომ d12 + d22 = 2(a2 + b2)

7

მთის A და B წერტილებს შორის ნაწილში გვირაბისმშენებლობა იგეგმება სურათის მონაცემების მიხედვითგანსაზღვრეთ რამდენი მეტრი იქნება გვირაბის სიგრძე

AD მონაკვეთი ∆BCD სიბრტყის მართობულია მონაცემების მიხედვით იპოვეთცვლადი


9

8

120 მ 824ordmA B

C

70 მ

B

A

C

გ)

D15 სმ

6 სმ

8 სმ

B

A

C

ბ)

D9 სმ

5 სმ

12 სმB

A

C

ა)

D9 სმ

x 5 სმ

12 სმ60ordm

გემმა 60 კმ აღმოსავლეთითმოძრაობის შემდეგ მიმარ-თულება სურათზე ნაჩვენე-ბივით ჩრდილოეთის მიმარ-თულებით შეიცვალა და კიდევ100 კმ გაიარა

10

აზიმუტი არის კუთხე რომელიც იქმნება ჩრდილოეთისა და საათის ისრის მოძრაობისმიმართულებით ნაჩვენებ გადაადგილების მიმართულებას შორის

სურათის მონაცემების მიხედვით განსაზღვრეთ აზიმუტის კუთხე

100 კმ

60 კმ

N

b = 139 კმ C

B

EWS

kosinusebis Teorema

118

A პუნქტიდან მოძრაობის დამწყები ორი გემიდანერთმა B მეორემ კი C პუნქტს მიაღწია ამ მოძ-რაობების ამსახველი სურათის გამოყენებით

ა) იპოვეთ კუთხე გემების მოძრაობის მიმართუ-ლებებს შორის

ბ) იპოვეთ მანძილი B და C პუნქტებს შორის

12

13

შენობის ეზოდან ერთდროულად მოძრაობის დამწყები ორიავტომობილის მოძრაობის მიმართულებები 70deg-იან კუთხესქმნიან მათ შორის ერთის საშუალო სიჩქარე 35კმსთ-ია მეორისაკი 45 კმსთ ავტომობილებმა 45 წუთის შემდეგ სამუშაო ადგილებსმიაღწიეს დაახლოებით რამდენი კილომეტრია მანძილი ამ ორსამუშაო ადგილს შორის

ლეილა დგას ხიდზე და მდინარეში მოძრავნავებს აკვირდება A გემი 230ordm B გემი კი120ordm აზიმუტით მოძრაობს ლეილა ვარა-უდობს რომ A ნავს 38ordm-ით B ნავს კი 35ordmდახრის კუთხით აკვირდება მოცემულიინფორმაციების თანახმად იპოვეთ მან-ძილი ნავებს შორის

11

A

N B

a =

27 კმ

49 კმ C

A40deg

80deg

70deg

E

50 მ120deg

230deg

N E

AAB

Q

q

50 მ38deg 35deg

110degb aq B

Q

astronomia წელიწადის გან-საზღვრულ დროებში დილაობითშესაძლებელია პლანეტა ვენერასცაზე დანახვა პლანეტა ვენერასადა მზეს შორის მანძილი დაახ-ლოებით 67 მილიონი მილი დე-დამიწასა და მზეს შორის მანძილი93 მილიონი მილია უჩვენეთ რომთუ მზე და ვენერა 34ordm-იან კუთხეს ქმნიან დედამიწასა და ვენარას შორის მანძილი 35 მილიონი მილი ან 119 მილიონი მილი იქნება

14

მზე

დედამიწა E დედამიწა Eვენერა V

GმზეG

sse = 67

e = 67

34deg 34degv = 93 v = 93

ვენერა V

ერთმანეთისაგან 105 მ მანძილზე მყოფი A და B წერ-ტილებიდან h სიმაღლის ობიექტის ზედა წვეროსთანკუთხე შესაბამისად 40ordm და 32ordm-ია რას უდრის ობიექტისსიმაღლე

15

BA

h40deg

105 მ

32deg


119

სურათის მონაცემების მიხედვით იპოვეთ ცვლადით აღნიშნული კუთხე ან გვერდიპასუხები დაამრგვალეთ მეათედებამდე

ამოხსენით ამოცანები ორი მოთხილამურის M წერტილიდან დაწყებული მოძრაობისშესახებ ინფორმაციის ამსახველი სურათების მიხედვით

განსაზღვრეთ აღმართზე გაზრდილი ხის სიმაღლე თუაღმართი ჰორიზონტთან ადგენს 15deg-იან კუთხეს მზისსხივები ჰორიზონტის ხაზთან ქმნის 57deg-იან კუთხეს დახის ჩრდილის სიგრძე 7 მ-ია

ა) იპოვეთ მანძილი მოთხილამურეთაშორის

ბ) იპოვეთ თითოეული მოთხილამურისგავლილი მანძილი

1

2

3

ჩ

ა6 კმ

5 კმ60deg

48deg 12 კმ 44deg

MM

ა) შენობის მშენებლობაზე გამოყენებული ამწის უმაღლესიწერტილისა და შენობის უმაღლეს წერტილთან მიწაზემყოფი დამკვირვებლის გაზომვების თანახმად ამაღლებისკუთხეები შესაბამისად 43deg და 32deg-ია შენობის სიმაღლე 27 მ-ია რამდენი მეტრია მანძილი ამწის უმაღლეს წერ-ტილსა და დამკვირვებელს შორის

4

A A Aθ 27 სმ

18 სმ

30 სმ

20 სმ

29 სმ

31 სმ60deg

B BC

c

C47deg

C

θ

15deg

57deg

7 მ

27 მ43deg32deg

ა) ბ) გ)

ბ) ელდარს უნდა რომ განსაზღვროს პარკში დროშისსიმაღლე მან ჯერ Q შემდეგ კი P წერტილიდან გაზომაამაღლების კუთხე იცოდა რა რომ ამ ორ წერტილს შორისმანძილი 20 მ-ია გამოთვალა დროშის სიმაღლე თქვენცგამოთვალეთ დროშის სიმაღლე თუ ცნობილია რომQ = 28deg და P = 53deg 28deg 53degPQ

20 მ

ეჰმედმა და რეშადმა ერთი და იგივე წერტილიდან დაიწყეს სირბილი ისეთი მი-მართულებით რომ მათ შორის კუთხე 120deg-ია ეჰმედის სიჩქარე იყო 8 კმსთ ხოლორეშადის სიჩქარე კი 7 კმსთ რა მანძილი იქნება მათ შორის 30 წუთის შემდეგ ამოხსენითამოცანა შესაბამისი სურათის დახატვით

5

120

იბრაჰიმი P წერტილიდან R წერტილში ჯერ Qწერტილში იქიდან კი R წერტილში წასასვლელიგახდა სურათის მონაცემების მიხედვით იპოვეთმანძილი P და R წერტილებს შორის

6

7

სურათზე მოცემული სამკუთხედების გამოყენებით დაამტკიცეთ კოსიმუსებისთეორემა

2) გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა დაcos (180 A) = cosA იგივეობა

damtkicebis gegma 1) სამკუთხედისსიმაღლის ორი მართკუთხა სამკუთხედის(∆ADB და ∆BDC) მიხედვით დაწერეთსხვადასხვა გამოსახულებები და მათიტოლობები

8

პარალელოგრამის გვერდები 10 სმ და 12 სმ-ია ცნობილია რომ მცირე დიაგონალი 15 სმ-ია იპოვეთ პარალელოგრამის მახვილი კუთხის გრადუსული ზომა

9

მოცემულია ∆ABC AB=15 BC=21 AC=24BM-მედიანაა BL-ბისექტრისააიპოვეთ 1) A 2) AM და BM 3) AL და BL

10

პოლიციის ვერტმფრენი 400 მ სიმაღლეზე მიფრინავს პოლიციის მოხელე ჩრდილოეთითგახედვისას 60ordm დახრის კუთხით მოვლენის მომხდარ ავტომობილს ხოლო სამხრეთითგახედვისას 45ordm-იანი დახრის კუთხით შემთხვევის ადგილისაკენ მიმავალ სასწრაფოდახმარების მანქანას ხედავსა) შემთხვევის ადგილიდან რამდენ კილომეტრ მანძილზე იმყოფება სასწრაფოდახმარების მანქანაბ) რამდენი წუთის შემდეგ იქნება სასწრაფო დახმარების მანქანა შემთხვევის ადგილასთუ მისი სიჩქარე 100 კმსთ-ია

მახვილკუთხა სამკუთხედის ამოხსნის შესახებ რეალური ცხოვრებისეული სიტუაციისამსახველი ერთი ამოცანაც თქვენ შეადგინეთ ამოცანა წარმოადგინეთ საერთო საკლასოგანხილვისათვის

11

12

175 მ 36 მ112degQ

P R

C

B

D A

ch

bx

aB

CA D

a a

x xbb

h


A L

B

15 21

M C24

სურათის მონაცემების მიხედვითგანსაზღვრეთ მანძილი ხანძრისადგილიდან თითოეულ სადგუ-რამდე

N

80deg 70deg

65deg30 კმ

EW

trigonometriuli funqciebi5perioduli funqciebiy = sin x da y = cos x funqciebis grafikebiy = sin x da y = cos x funqciebis grafikebis gardaqmnebisinusoidis ageba xuTi ZiriTadi wertilismixedviTtrigonometriuli funqciebi da periodulimovlenebiy = tg x da y = ctg x funqciebis grafikebiSeqceuli trigonometriuli funqciebi

1 დანა არაუმეტეს 05 სმ-ის სიმაღლეზე იწევს2 დანა 3 წამით ჩერდება 0-3 4-7 წამებში და აშ3 მე-3 წამიდან 35 წამამდე დანა დაბლა იხრება ლენტი იჭრება

35 ndash 4 წამით დანა ზევით იწევს4 ერთ სრულ პერიოდს 4 წამი ეთმობა

საზომი ლენტის მომჭრელი მოწყობილობის მუშაობა პერიოდულად მეორდება ერთიპერიოდი 4 წამი გრძელდება მოწყობილობის დანის ზედაპირიდან სიმაღლეზე ყოფნისდროის დამოკიდებულების მაჩვენებელი გრაფიკიც როგორც პერიოდის შესაბამისიგრაფიკის გამეორება არის ნაჩვენები მორიგ ჯერზე დანა ლენტს გაჭრის 115 წამზეამ სახის თვისების მატარებელ ფუნქციებს პერიოდული ფუნქციები ეწოდება პერიოდულიფუნქციების მნიშვნელობები განსაზღვრულ ინტერვალებში მეორდებადავუშვათ რომ არსებობს ისეთი T 0 რიცხვი რომ ფუნქციის არიდან აღებული ნებისმიერიx-ისათვის x T-ც შედის განსაზღვრის არეში და f(x ndash T) = f(x) = f(x + T) პირობასაკმაყოფილებს მაშინ f(x) ფუნქციას T პერიოდიანი პერიოდული ფუნქცია ეწოდება თუ Tპერიოდია მაშინ n middotT-ც (n Z) პერიოდია მართლაც მაგალითად f(x 2T) = f((x T) T) = f((x T) = f(x) ფუნქციის უმცირეს დადებით პერიოდს მისი ძირითადი პერიოდი ეწოდება

გრაფიკების მიხედვით უჩვენეთ ფუნქცია არის თუ არა პერიოდული

ბუნებაში ბევრი მოვლენა - მზის ამოსვლა და ჩასვლა კომეტის დანახვა სეზონისშესაბამისად ტემპერატურის ცვლილება ოკეანის ტალღების მიმოქცევა და სხვბუნებრივი მოვლენები პერიოდულად მეორდება ამასთან საწარმოო სფეროებშიმოწყობილობების მუშაობის ავტომობილების ნაწილების მოძრაობის პერიოდულიფუნქციებით მოდელირება შეიძლებაქვემოთ მოცემულ მაგალითებზე გამოიკვლიეთ პერიოდული ცვლილებებიlentis mWreli mowyobilobis muSaoba გაზომვისათვის მეტრის მოწყობილობისმწარმოებელ კომპანიაში მჭრელი ინსტრუმენტი 3 მ სიგრძის წვრილ ლენტს ჭრის დალენტების დამრგვალებით მეტრის საზომი ინსტრუმენტი გასაყიდად მზადდებამოწყობილობის მუშაობის მაჩვენებელი გრაფიკი და განმარტებითი ჩანაწერი კედელზეუნდა ჩამოიკიდოს

122

perioduli funqciebi

თქვენი აზრით მორიგ ჯერზე მერამდენე წამზე გაიჭრება ლენტი

1

perioduli funqciebi

დანის მუშაობის გრაფიკიმუშაობა ერთ პერიოდში

სიმა

ღლ

ე (ს

მ)

სიმა

ღლ

ე (ს

მ)

დრო (წმ) დრო (წმ)

405 05

10 10

2

0ndash2 ndash4

2 4 6 8 x

x

x

y y y

2 4 46 8 10

20 40 60

12

0

ndash20

trigonometriuli funqciebis perioduloba

123

karuselis moZraoba 50 მ დიამეტრიანი მოძრავი კარუსელი ერთ სრულ პერიოდს4 წუთში ასრულებს ცხრილის მიხედვით h = 0 სიმაღლეზე კაბინაში მყოფი პიროვნებადედამიწიდან რა სიმაღლეზე იქნება პირველ მე-5 მე-9 წუთზეკარუსელზე მყოფი პიროვნების დედამიწიდან სიმაღლის დროზე დამოკიდებულებისცხრილი და საკოორდინატო სიბრტყეზე გაბნევა დიაგრამითაა ნაჩვენები ცხრილი დადიაგრამა ჩაიხაზეთ რვეულში შესაბამისი წერტილები ფერადი ფანქრებით კარუსელისთითოეული მთელი ბრუნის ცალკე ჩვენების პირობით შეაერთეთ

t = 0 4h = 0

t = 1h = 25

t = 2h = 50

t = 3h = 25

t = 05

t = 15t = 25

t = 35

დონედედამიწიდან

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8h 0 25 50 25 0 25 50 25 0

h (მ)

t (წთ)

50

40

30

20

10

4 8 1612

გაბნევის დიაგრამა

0

თუ დავაკვირდებით მობრუნების კუთხეებს რომელთა დამამთავრებელი გვერდებიემთხვევა ერთმანეთს დავინახავთ რომ მათი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ემთხვევაერთმანეთს მაგალითად x-ის ყველა მნიშვნელობისათვის sin(x + 2) = sin x მაშასადამეტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობები მეორდება სინუსისა და კოსინუსისფუნქციების მნიშვნელობა 2 ტანგესის ფუნქციის მნიშვნელობები კი პერიოდითმეორდება x რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია x რადიანი კუთხისერთსახელა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას ეწოდება კუთხის ტრიგონომეტრიულიფუნქციების ყველა თვისება (ლუწ-კენტობა პერიოდულობა და სხვ) რიცხვითიარგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციისათვისაც იგივეა ამ ფუნქციების გრაფიკებისაგებისათვის სიგრძით პერიოდის ტოლი მონაკვეთის აგება და ამ ნაწილის გამეორებასაკმარისია

2

ავზიდან წყალი განსაზღვრული დროის განმავლობაში ჩამოდის შემდეგთავდაპირველ დონემდე ივსება და ისევგანსაზღვრული დროის განმავლობაშიჩამოდის და აშ1) რა დრო სჭირდება ავზის ერთხელ ავსებასადა დაცლას2) იპოვეთ ამ ფუნქციის მნიშვნელობათა არე3) რას უდრის წყლის სიღრმე ავზში მე-60წუთზე4) მომდევნო ჯერზე როდის იქნება წყლისსიღრმე ავზში 1 მეტრი

3

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

20406080

100

t ( წუთობით)

h(ს

მ-ობ

ით)

წყლის დონე ავზში

perioduli funqciebi

124

პერიოდული ფუნქცია წრეწირზე მოძრაობისას θ კუთხემდე მობრუნებისას წერტილის xღერძიდან სიმაღლეს (ჰორიზონტალურ მანძილს) უჩვენებს ერთეულოვან წრეწირზეთითოეული წერტილის კოორდინატები x2 + y2 = 1 განტოლების დამაკმაყოფილებელი(x y) = (cos sin )-ია სადაც θ კუთხე ერთეულოვანი რადიუსის x ღერძის დადებითმიმართულებასთან შექმნილი კუთხეა მაშასადამე (x y) წერტილი წრეწირის გარშემოიცვლება და მის y კოორდინატს sin θ განსაზღვრავსწერტილის წრეწირის რკალის გასწვრივ ცვლილებასადა f() = sin ფუნქციის მნიშვნელობებს შორისერთმნიშვნელოვანი დამოკიდებულება არსებობსერთეულოვანი წრეწირის I მეოთხედში მდებარერკალი დავყოთ სამ ტოლ რკალად და თუ დაყოფის

წერტილებიდან (0 ) აბცისთა ღერძის

პარალელურ წრფეებს გავავლებთ ამ წრფეების

შესაბამისად x = 0 x = x = x =წრფეებთან გადაკვეთის წერტილებს ავღნიშ-ნავთ შესაბამის წერტილებს შევაერთებთ მი-ვიღებთ სურათზე მოცემულ გრაფიკსცნობილია რომ ერთეულოვან წრეწირზე სრული მობრუნება 360deg ან 2 რადიანია f() = sin ფუნქციის გრაფიკი [0 2 შუალედში ავაგოთ ანალოგიური წესით

y = sin x da y = cos x funqciebis grafikebiy = sin x funqciis grafiki

ვინაიდან სინუსი პერიოდული ფუნქციაა 2 სიგრძის შუალედში f() = sin ფუნქციისგრაფიკი მეორდება არგუმენტისათვის x-ის ფუნქციისათვის y აღნიშვნის გამოყენებითფუნქცია ჩავწეროთ y = sin x სახით y = sin x ფუნქციის გრაფიკი [ndash2 2 ინტერვალშიქვემოთ მოცემული სახისა იქნება

x

y

10

x = r =

(x y) = (cos sin )x2 + y2 = 1

1

0x2 + y2 = 1

1

6

f()

1

1 0 3

2

6

3

2

x 0

f() = sin

x2 + y2 = 1

1

ndash1

2

74

32

f()

1

6

3

2

23

56

3

6

2

3

6

2

y

xndash1

0ndash2 ndash 2

1

2

32

32ndash ndash

2

y = sin x

y = sinx ფუნქციის გრაფიკს (რომლის ამპლიტუდა არის 1 პერიოდი კი 2) სინუსოიდაეწოდება

54

periodi

amplituda

მნიშვნელობათა ცხრილი ამასთან გრაფიკი უჩვენებს რომ y = sin x ფუნქციის გრაფიკიკოორდინატთა სათავეზე (0 0) წერტილზე გადის x-ის მნიშვნელობის 0-დან -დანგაზრდისას y-ის მნიშვნელობა 0-დან 1-მდე იზრდება x-ის მნიშვნელობის -დან -მდეზრდისას y-ის მნიშვნელობა 1-დან 0-მდე მცირდება x-ის მნიშვნელობის -დან -მდეზრდისას y-ის მნიშვნელობა 0-დან ndash1-მდე მცირდება x-ის მნიშვნელობა -დან 2-მდეზრდისას y-ის მნიშვნელობა ndash1 -დან 0-მდე იზრდებაy = sin x ფუნქციის მნიშვნელობათა ცხრილისა და გრაფიკის საფუძველზე ჩამოვაყალიბოთმისი თვისებები1 განსაზღვრის არე არის ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე2 მნიშვნელობათა არეა [ndash1 1] მონაკვეთი3 sin x ფუნქცია კენტი ფუნქციაა sin (ndashx) = ndashsin x ანუ სინუსოიდა სიმეტრიულიაკოორდინატთა სათავის მიმართ4 2 პერიოდიანი პერიოდული ფუნქციაა sin(x + 2) = sin x5 სინუსოიდა აბცისთა ღერძს ndash2 ndash 0 2 3 და აშ წერტილებში გადაკვეთსანუ როცა x = n მაშინ y = sin x ფუნქცია 0-ად იქცევა

2

2

32

32

125

y

xndash10

ndash2

ndash 2

1

2

ndash 2

x 0 2

y = sin x 0 1 0 ndash ndash1 ndash 0

(x y) (0 0) ( ) ( 1) ( ) ( 0) ( ndash ) ( ndash1) ( ndash ) (2 0)6

12

56

116

2

32

76

12

12

12

11612

612

2

5612

12

76

32

y

x

ndash1

(0 0) 2

1

2

( 0) (2 0)

( 1)( )

( ndash )

6

12

2 5

6( )12

( ndash )76

12

( ndash1)32

32 11

612

y = sin x ფუნქციის გრაფიკის აგება მნიშვნელობათა ცხრილის დახმარებითაც შეიძლებავინაიდან სინუსი პერიოდული ფუნქციაა გრაფიკის 2 სიგრძის [0 2] მონაკვეთზე აგებასაკმარისია ცხრილში მოცემული წერტილები განვათავსოთ საკოორდინატო სიბრტყეზეგლუვი მრუდით შევაერთოთ მიღებული გრაფიკი y = sin x ფუნქციის გრაფიკია დასინუსოიდა ეწოდება

სინუსოიდა კოორდინატთა სათავეზე გადის

6 ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა 1-ია და ამ მნიშვნელობას x-ის ndash ანუ x = + 2n (n Z) მნიშველობებში იღებს

7 ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა ndash1-ია და ამ მნიშვნელობას x-ის ndash ანუ x = ndash + 2n (n Z) მნიშვნელობებში იღებს

32

32

52

72

112

92

2

2

2

2

y = sin x da y = cos x funqciebis grafikebi

126

y = cos x funqciis grafiki

y = cos x ფუნქციის გრაფიკი [0 2] მონაკვეთზე y = sin x ფუნქციის ანალოგიური წესით

ერთეულოვანი წრეწირის გამოყენებით გეომეტრიული ხერხით ასევე მნიშვნელობათა

ცხრილის მიხედვით აგება შეიძლება რადგან cos x = sin(x + ) ამიტომ y = sin xფუნქციის გრაფიკის -ით მარცხნივ მოცურებით y = cos x ფუნქციის გრაფიკი მიიღება

y

xndash1

0ndash 2

1

2

52

32

ndash 2

(2 1)

(ndash ndash1) ( ndash1)

2

2

y = cos x ფუნქციის გრაფიკის საფუძველზე ჩამოვაყალიბოთ მისი თვისებები1 განსაზღვრის არე არის ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე x R2 მნიშვნელობათა არეა [ndash1 1] მონაკვეთი 3 y = cos x ლუწი ფუნქციაა (გრაფიკი სიმეტრიულია y ღერძის მიმართ)4 პერიოდული ფუნქციაა რომლის ძირითადი პერიოდია 2 cos(x + 2) = cos x5 გრაფიკი აბსცისთა ღერძის და ა შ წერტილებზე გადის

ანუ როცა x = + n (n Z) მაშინ y = cos x ფუნქცია ნულად იქცევაგრაფიკი ორდინატთა ღერძს (0 1) წერტილში კვეთს

6 ფუნქციის მაქსიმუმის მნიშვნელობა 1-ია და ამ მნიშვნელობას x-ის ndash2 0 2 4 6 ანუ x = 2n (n Z) მნიშვნელობებში იღებს

7 ფუნქციის მინიმუმის მნიშვნელობა ndash1-ია და ამ მნიშვნელობას x-ის ndash 3 5 ანუ x = + 2n (n Z) მნიშვნელობებში იღებს

32

2

2

52

2

ndash

ხუთი ძირითადი წერტილი y = sin x ფუნქციისათვის [0 2 შუალედში შემდეგი მიმდევ-რობით იცვლება

y = sin x და y = cos x გრაფიკების აგება ხელსაყრელია ხუთი ძირითადი წერტილის(აბსცისთა ღერძთან გადაკვეთის წერტილები და ექსტრემუმის წერტილები) მიხედვით

ხუთი ძირითადი წერტილი y = cos x ფუნქციისათვის [0 2 შუალედში შემდეგი მიმდევრობითიცვლება

nuli maqsimumis wertili nuli minimumis wertili nuli

maqsimumis wertili nuli minimumis wertili nuli maqsimumis wertili

მაქსიმუმი მინიმუმიგადაკვეთა გადაკვეთაგადაკვეთა

პერიოდისერთი

მეოთხედი

სამი მეოთხედიპერიოდი

ნახევარიპერიოდი სრული

პერიოდიპერიოდი 2

(0 0)

( 1)

( ndash1)( 0)

(2 0) ( ndash1)

(2 1)

x

y

y = sin x2

32

x

yგადაკვეთა გადაკვეთა

სრულიპერიოდი

სამიმეოთხედიპერიოდი

მინიმუმიმაქსიმუმი


y = cos x

ნახევარიპერიოდი



პერიოდი 2

(0 1)

( 0)2 ( 0)3

2


y = sin xy = cos x

127

4

5

6

7

2 მ დიამეტრიანი დისკის მოძრაობის რეგულირებისათვისდისკზე გაკეთდა აღნიშვნა და დროის განსაზღვრულ მო-მენტებში მოწმდება ამ ნიშნის სიმაღლე წყლის ზედაპირიდანდახაზეთ ამ შემოწმების სურათები და თქვენც აწარმოეთმათემატიკური გამოთვლები ამისათვის ერთეულოვანი წრე-წირი 15deg-იანი ნაბიჯით დაყავით მობრუნების კუთხეებად დაგანსაზღვრეთ თითოეული ნაბიჯის შესაბამისი წრეწირზე მყოფიწერტილის მანძილი x ღერძიდან ეს სამუშაო შეასრულეთ ორიპერიოდისათვის (720deg) არსებობს თუ არა აუცილებლობა იმისარომ კიდევ ერთი პერიოდისათვის ამ გზით განისაზღვროსშესაბამისი მნიშვნელობები თუ აუცილებლობა არ არსებობს მაშინეს მნიშვნელობები ერთბაშად ჩაწერეთ თუ არსებობს მაშინგამოთვალეთ

მოცემულ ინტერვალებში ააგეთ ფუნქციის გრაფიკები

დაწერეთ არგუმენტის სამი მნიშვნელობა y = sin x ფუნქციის მაქსიმუმის წერტილებისშესაბამისად

ერთი და იმავე კოორდინატთა სიბრტყეზე ააგეთ y = cos x და y = sin x ფუნქციებისგრაფიკები დაწერეთ მსგავსი და განსხვავებული ნიშნები

ა) წყლის ზედაპირიდან რამდენ მეტრ სიმაღლეზე იქნება ეს ნიშანი დისკის 15deg 375deg735deg-ით მობრუნების დროს

ბ) ერთეულოვან წრეწირზე არსებული მნიშვნელობების საკოორდინატო სიბრტყეზეაღნიშვნით ააგეთ გრაფიკი რომელი ფუნქციის გრაფიკს ჰგავს ეს გრაფიკი

y = sinx 2 le x le 4

y = sinx ndash 2 le x le 0 y = cosx ndash 2 le x le 0

y = cosx 2 le x le 4

15deg

1 მO x

y

3

saswavlo davalebebi

1

2

ა) ააგეთ y = sin x ფუნქციის გრაფიკი [0 2] მონაკვეთზე ხუთი ძირითადი წერტილისმიხედვით

ა) ააგეთ y = cos x ფუნქციის გრაფიკი [0 2] მონაკვეთზე ხუთი ძირითადი წერტილისმიხედვით

ბ) [0 2] მონაკვეთზე sin x = ტოლობის დამაკმაყოფილებელი რამდენი x რიცხვიარსებობს

ბ) [0 2] მონაკვეთზე cos x = 06 ტოლობის დამაკმაყოფილებელი რამდენი x რიცხვიარსებობს

13

y = sin x და y = cos x ფუნქციების გრაფიკებზე ერთი წერტილის კოორდინატები იქნააღნიშნული დაწერეთ კიდევ 4 წერტილის კოორდინატები რომელთა ორდინატიმოცემული წერტილის ორდინატის ტოლია

y

x

1

2ndash1

0 2ndash

32

32

ndash

2

ndash2 ( )3

4radic22

y

x

1

2ndash1

232

ndash

ა) ბ)

ndash 32

0

ndash 2

( )radic32

6


nimuSi 2 y = sin 2x ფუნქცია y = sin x ფუნქციას 2-ჯერ ldquoწინ უსწრებსrdquo y = sin xფუნქცია 0-დან 1-მდე მნიშვნელობებს [0 ] ინტერვალში y = sin 2x ფუნქცია კი ამ

მნიშვნელობებს [0 ] ინტერვალში იღებს თუ y = sin x ფუნქციის გრაფიკზე წერტილის

ორდინატის შეუცვლელად აბსცისას -ზე გავამრავლებთ y = sin 2x ფუნქციის გრა-

ფიკზე არსებული წერტილი მიიღება

y = sin 2x ფუნქციის გრაფიკი y = sin x ფუნქციის გრაფიკთან შედარებით 2-ჯერ იკუმ-

შება სრულ ბრუნს [0 ] მონაკვეთზე ასრულებს

y = sin x ფუნქციის გრაფიკი კი y = sin x ფუნქციის გრაფიკის ორდინატთა ღერძიდან

2-ჯერ მოჭერით მიიღება სრულ პერიოდს [0 4] მონაკვეთზე ასრულებს

128

SekumSva da moWera

05 sin x

2 sin x

sin x

2 3ndash ndash2 2

2

1

O

ndash2

ndash1

12

y = sin x

y = sin 2x

y = sin x2

nimuSi 1 თუ y = sinx ფუნქციის გრაფიკზე წერტილის აბსცისას არსებულივითშევინარჩუნებთ ორდინატს 2-ზე გავამრავლებთ y = 2 sin x ფუნქციის გრაფიკზეარსებული წერტილი მიიღება ეს იმას ნიშნავს რომ y = 2 sin x ფუნქციის გრაფიკი y = sinxფუნქციის გრაფიკის აბსცისთა ღერძიდან 2-ჯერ მოჭერით შეიძლება აიგოს y = 05 sin xფუნქციის გრაფიკი კი y = sin x ფუნქციის გრაფიკის აბსცისთა ღერძისკენ 2-ჯერ შეკუმშვითმიიღება

y = sin x da y = cos x funqciebis grafikebis gardaqmnebi

y

x

y = a sin x და y = a cos x ფუნქციების გრაფიკები შესაბამისად y = sin x და y = cos xფუნქციების გრაფიკების როცა |a| gt 1 აბსცისთა ღერძიდან მოჭერით ხოლო როცა |a| lt 1მაშინ კი აბსცისთა ღერძისაკენ შეკუმშვით მიიღებაროცა a lt 0 ფუნქციის გრაფიკი x ღერძის მიმართ სიმეტრიულად გარდაიქმნება

2

4

12

2 42

1

Ondash1

y

x

y = sin bx და y = cos bx ფუნქციების გრაფიკები შესაბამისად y = sin x და y = cos xფუნქციების გრაფიკების როცა b gt 1 ორდინატთა ღერძისაკენ შეკუმშვით როცა 0 lt b lt 1კი ორდინატთა ღერძიდან მოჭერით მიიღებაb lt 0 შემთხვევა კი სინუსის ფუნქციის კენტებისა და კოსინუსის ფუნქციის ლუწობისგათვალისწინებით ზემოთ მოცემულ შემთხვევაზე დაიყვანება

129

by = a sin bx (y = a cos bx) funqciis grafiki y = sin x (y = cos x) funqciisgrafikis sakoordinato RerZebis gaswvriv mimdevrobiTi moWeriTada SekumSviT miRebuli sinusoida iqneba a-ის მნიშვნელობის ზრდისკვალობაზე ამპლიტუდა იზრდება შემცირების კვალობაზე ამპლიტუდა მცირდება b-ისმნიშვნელობის ზრდის კვალობაზე ფუნქციის პერიოდი მცირდება შემცირებისას კიპერიოდი იზრდებაgnimuSi 3 ავაგოთ y = 2 cos x ფუნქციის გრაფიკი1 y = cos x ფუნქციის გრაფიკის ორდინატთა ღერძიდან 2-ჯერ მოჭერითy = cos x ფუნქციის გრაფიკი აიგება2 მოხდება მიღებული გრაფიკის აბსცისთა ღერძიდან ორჯერ მოჭერა

12

12

2 432

1

2

Ondash1ndash2

y

x

y = cos x

y = cos x2

y = 2 cos x2

saswavlo davalebebi

1

სიტყვიერად დაწერეთ თითოეული ფუნქციის y = sin x ფუნქციის გრაფიკის მიმართგარდაქმნა

a) y = 5 sin x b) y = sin x c) y = sin 3x d) y = ndash3 sin 4x

2

ააგეთ y = sin x ფუნქციის გრაფიკი [0 2] მონაკვეთზე ხუთი ძირითადი წერტილისმიხედვით კოორდინატთა ღერძებიდან მოჭერით (შეკუმშვით) ამ ხუთი წერტილისგარდაქმნილი წერტილების მიხედვით გამოსახეთ შესაბამისი ფუნქციების გრაფიკები

25

სიტყვიერად დაწერეთ თითოეული ფუნქციის y = cos x ფუნქციის გრაფიკის მიმართგარდაქმნა

ა) y = 4 cos x ბ) y = cos x გ) y = cos 4x დ) y = ndash4 cos 3x13

3

ა) y = 3 sin x ბ) y = sin x12 გ) y = sin 2x დ) y = 4 sin 2x

ააგეთ y = cos x ფუნქციის გრაფიკი [0 2] მონაკვეთზე ხუთი ძირითადი წერტილისმიხედვით კოორდინატთა ღერძებიდან მოჭერით (შეკუმშვით) ამ ხუთი წერტილისგარდაქმნილი წერტილების მიხედვით გამოსახეთ შესაბამისი ფუნქციების გრაფიკები

4

ა) y = 2 cos x ბ) y = cos x12 გ) y = cos 2x დ) y = 4 cos 2x

რომელი ფუნქციის გრაფიკი მიიღება y = sin x ფუნქციის გრაფიკის

ა) აბცისთა ღერძიდან 4-ჯერ მოჭერისას ბ) აბსცისთა ღერძისაკენ 3-ჯერ შეკუმშვისას

გ) ორდინატთა ღერძიდან 2-ჯერ მოჭერისას

5


130

a amplitudas უჩვენებს ამპლიტუდა მაქსიმუმისა და მინიმუმის მნიშვნელობებისსხვაობის ნახევრის ტოლია

nimuSi y = ndash3sin 4x ფუნქციის ამპლიტუდა |ndash3| ანუ 3 ძირითადი პერიოდი = -ია

y = asin bx da y = acos bx funqciebis periodi da amplituda

24

2

2bf(x) = a sin bx = a sin(bx + 2) = a sin b(x + ) = f(x + )

2b

2|b|

gamokvleva საწყის მომენტში A(a 0) წერტილში მყოფიმატერიალური წერტილი a რადიუსიან წრეწირზე კუთხურისიჩქარით მოძრაობს 1) გამოსახეთ ამ წერტილის კოორდინატები t დროზე დამო-კიდებულებით2) იპოვეთ წერტილის ორდინატისა და აბსცისის უდიდესი დაუმცირესი მნიშვნელობები

y

xA(a 0)

N(x y)

= middott

2

3) დაასაბუთეთ რომ დროის ერთმანეთისაგან განსხვავებულ მომენტებში წერტილი

ერთი და იგივე მდგომარეობაში იმყოფება

თეორემა თუ y = f(x) ფუნქცია არის პერიოდული ფუნქცია რომლის ძირითადი

პერიოდია T მაშინ y = amiddotf(bx) ფუნქცია არის პერიოდული ფუნქცია რომლის ძირითადი

პერიოდია (სადაც a და b ნულისაგან განსხვავებული ნამდვილი რიცხვებია)აქედან მიიღება რომ y = a sin bx (და y = a cosbx) ფუნქციების

ZiriTadi periodi იქნება მართლაც

T|b|

2bg(x) = a cos bx = a cos(bx + 2) = a cos b(x + ) = g(x + )2

b

იპოვეთ მოცემული ფუნქციების ამპლიტუდა და პერიოდი 6

d) y = cos x e) y = sin 2x f) y = 3 cos xg) y = 5 cos x h) y = 2 sin x i) y = sin 4x

12 1

2

14

13

12

ა) ბ) გ)y

x

1

y

x1 2

05y

x

2

ndash2

1) დაწერეთ y = a sin bx (სადაც a gt 0 b gt 0) ფუნქციის ფორმულა მოცემული ამპლი-ტუდისა და პერიოდის მიხედვით

7

ამპლიტუდა ამპლიტუდა 4 ამპლიტუდა 2 პერიოდი 3π პერიოდი π პერიოდი 2π

12

ა) ბ) გ)


131

fizika სურათზე ასახულია ჩამოკიდებული სხეულის მოძრაობა ჩამოკიდებულისხეული უძრავ მდგომარეობაში ყოფნისას სისტემურ წონასწორობაშია სხეულის უძრაობისმდგომარეობა მოძრაობის საწყისად მიიღება a მოძ-რაობის სათავიდან გადაადგილებას უჩვენებს დროისერთეულში ბრუნთა რაოდენობას სიხშირე () ხოლოსხეულის ერთ სრულ ბრუნზე დახარჯულ დროსპერიოდი (T) ეწოდება სიხშირე და პერიოდი ურთი-ერთშებრუნებული სიდიდეებია = ჩამოკიდე-

gamoyenebiTi davalebebi y = sin xda y = cos xfunqciebiT modelireba

1T

t

yandasha

11

ბული სხეულის რხევითი მოძრაობის y = a cos kt ფუნქციით მოდელირება შეიძლებასადაც y წონასწორობის მდგომარეობიდან ვერტიკალურ გადაადგილებას (სმ-ობით) aსათავის გადაადგილებას k მუდმივი გაშლის ელასტიურობის კოეფიციენტს t კი დროს(წამობით) გვიჩვენებს იპოვეთ რხევითი მოძრაობის ამპლიტუდა პერიოდი და სიხშირეთუ a = 05 სმ და k = 5

2) დაწერეთ y = a cos bx (სადაც a gt 0 b gt 0) ფუნქციის ფორმულა მოცემული ამპლი-ტუდისა და პერიოდის მიხედვით

ამპლიტუდა ამპლიტუდა 2 ამპლიტუდა 5

პერიოდი 5π პერიოდი π პერიოდი

13

ა) ბ) გ)2

10 განსაზღვრეთ f(x) და g(x) ფუნქციების ძირითადი პერიოდები იპოვეთ მათი საშუალოპერიოდი

miTiTeba თუ მოცემული ფუნქციების პერიოდები იქნება T1 და T2 საშუალო პერიოდიკი T იპოვეთ T = nT1 = nT2 ტოლობის დამაკმაყოფილებელი უმცირესი ნატურალური mდა n რიცხვები

ა) f(x) = 2 sin

g(x) = 3 cos x

2x312

ბ) f(x) = sin 2x

g(x) = 4 cos 3x

12 გ) f(x) = 3 sin x

g(x) = cos x

13

23

25

დაწერეთ მოცემული გრაფიკის შესაბამისი ფუნქციის ფორმულა y = a cos bx სახით9

დაწერეთ მოცემული გრაფიკის შესაბამისი ფუნქციის ფორმულა y = a sin bx სახით8

ა) ბ)


ა) ბ)

გ)

გ)

8

12 2 08

1 2ndash1

ndash08ndash2

ndash22 4ndash4

ndash9

04

ndash2

2

ndash04

9

ndash4

8

8

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

4

4

ndash12

ndash 4

ndash8

4

2

4

132

karuselis moZraoba კარუსელის რომელ კაბინაშიც არ უნდა იჯდეთ თქვენიმიწიდან დაშორების მანძილი დროზე დამოკიდებულებით პერიოდულად შეიცვლებადავუშვათ მოძრაობას იწყებთ კარუსელის ღერძის დონაზე კარუსელის დიამეტრი 20 მ-ია და 3 წუთში 4 ბრუნს ასრულებს

ა) აბსცისთა ღერძზე დროის ორდინატთა ღერძზე საწყისი წერტილიდან მანძილისაღნიშვნით დახაზეთ კარუსელის მოძრაობის გრაფიკი

ბ) იპოვეთ კარუსელის მოძრაობის შესაბამისი ფუნქციის ძირითადი პერიოდი დადაწერეთ ფორმულა

10

1045 180

t13590

h

ქანქარას მოძრაობის d = 4 cos 8t ფორმულით მოდელირებაშეიძლება სადაც d არის ქანქარის საწყისი მდგომარეობიდანმოძრაობის მანძილი (სმ-ობით) t - დრო (წამობით) მაქსიმუმ რამანძილით დაშორდება ქანქარა საწყის მდგომარეობას იპოვეთქანქარას რხევის პერიოდი და სიხშირე

13

amoxsna სიხშირე ანუ ერთ წუთში პერიოდების რაოდენობა -ია რადგან პერიოდიარის სიხშირის შებრუნებული ამიტომ პერიოდი წუთის -ის ანუ 45 წამის ან 075 წუ-თის ტოლია

34

43

კარუსელის კაბინა საწყისი მდგომარეობიდან 20 2 = 10 ზევით (10) და ქვევით (ndash10)იქნება თუ გავითვალისწინებთ რომ ერთი პერიოდი 45 წამია დავინახავთ რომ ამმოძრაობის გრაფიკი სინუსოიდაა

დავწეროთ ფუნქციის ფორმულაy = a sin bx სახით

ფუნქციის ფორმულა h = 10 sin t სახის იქნება

T = 2b = 45 b = ამპლიტუდა 10 2

b245

245

dადამიანის ყოველი გულისცემის დროსსისხლის წნევა ყველაზე მაღალ და ყველაზედაბალ მნიშვნელობებს შორის იცვლებანორმალური სისხლის წნევის ზედა დონედმედიცინაში სისტოლად წოდებული და 120მმ ვერცხლისწყლის სვეტის ქვედა დონედკი დიასტოლად წოდებული და 80 მმვერცხლისწყლის სვეტის დონეა მიღებულისურათზე მოცემულია ერთი პიროვნებისსისხლის წნევის გრაფიკი

1) გრაფიკის მიხედვით განსაზღვრეთ პერიოდი (ერთი გულისცემისათვის საჭირო დრო)და ამპლიტუდა2) გამოთვალეთ ამ პიროვნების გულისცემის რაოდენობა ერთ წუთში

14

წნევ

ა

დრო (წამობით)

160

120

80

40

08 16 24 320

12y = sin x da y = cos x funqciebis grafikebis gardaqmnebi

133

y = 2 sin x 1 ფუნქციის გრაფიკადგარდაქმნის ნაბიჯები შემდეგია

1 ამპლიტუდა 2-ჯერ იზრდებაy = 2 sin x ფუნქციის გრაფიკი მიიღება

2 ერთი ერთეულით ქვევით მოცურდებადა y = 2 sin x 1 ფუნქციის გრაფიკიმიიღება ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლეიქნება 3 le y le 1

y = a sin bx + d და y = a cos bx + d ფუნქციებში d წევრი ვერტიკალური მიმართულებითმოცურებას გვიჩვენებს როცა d gt 0 მაშინ ფუნქციის გრაფიკი ზევით აცურდება როცაd lt 0 მაშინ ქვევით ჩამოცურდება

nimuSi ააგეთ y = 2 sin x 1 ფუნქციის გრაფიკიamoxsna y = sin x ფუნქციის გრაფიკის

2

2

2

x

y

ndash2

ndash

y = 2 sin x

y = 2 sin x 1

y = 1orta xətt

vertikaluri mocureba

მაქსიმუმი + მინიმუმი2შუახაზი =

მაქსიმუმი = შუახაზი + ამპლიტუდამინიმუმი = შუახაზი ამპლიტუდა

შუახაზი

ამპლ

იტუ

და

ამპლ

იტუ

და

y=2 sin x1 ფუნქციის გრაფიკის y = 1 წრფის მიმართ 2 ერთეულით ზევით და ქვევითცვლილება შესამჩნევია ამ წრფეს შუახაზი ეწოდება

32

2


nimuSi ააგეთ y = cos( x ndash ) ფუნქციის გრაფიკი

y = cos x ფუნქციის გრაფიკის ორდინატთა ღერძთან 2-ჯერ მოჭერისას

y = cos x ფუნქციის გრაფიკი აიგება y = cos x ფუნქციის გრაფიკის

ერთეულით მარჯვნივ მოცურებისას y = cos (x ndash ) ანუ y = cos( x ndash )

ფუნქციის გრაფიკი მიიღება

horizontaluri mocureba - faza

y

x2

0ndash

y = a sinb(x c) y = a cosb(x c) ფუნქციაში c წევრი გრაფიკის ჰორიზონტალურ

მოცურებას უჩვენებს და ფაზური მოცურება ეწოდება12

4

12

1212

2

12

4

2 3 4

y = cos xy = cos x

y = cos( x ndash )

1212

4

1

ndash1

2

134

y = a sin b(x c) + d amplitudazeaxdens gavlenas ZiriTad peri-

odze axdensgavlenas

vertikalur gadaadgilebazeaxdens gavlenas

horizontalur gadaadgilebazeaxdens gavlenas

nimuSi ააგეთ y = 3 cos(2x + ) + 1 ფუნქციის გრაფიკი3

1) y = cos x ფუნქციის გრაფიკისორდინატთა ღერძისაკენ 2-ჯერმოჭერით y = cos 2x ფუნქციისგრაფიკი მიიღება

y3

2

2

y = cos 2x

y = cos x2 3 4

1

ndash10

x

x

y321

2 3 42ndash1

ndash2ndash3

0

52

52

72

32

52

72

3) y = cos(2x + ) ფუნქციის

გრაფიკის ორდინატთა ღერძის

გასწვრივ 3-ჯერ მოჭერით

y = 3 cos(2x + ) ფუნქციის

გრაფიკი აიგება

3

3

y = 3 cos (2x + )3

4) y = 3 cos(2x + )ფუნქციის გრაფიკის

ვერტიკალური მიმართულებით 1

ერთეულით ზევით აცურებით

y = 3 cos(2x + ) + 1ფუნქციის გრაფიკი აიგება

3

3

x

y321

2 3 42ndash1

ndash2ndash3

0 32

52

72


2) y = cos 2x ფუნქციის გრაფიკის

ერთეულით მარცხნივ მოცურე-

ბით y = cos 2(x + ) ანუ

y = cos(2x + ) ფუნქციის


6

6

3

y3

2

2

y = cos 2x

y = cos (2x + )

2 3 4

1

ndash10

x52

52

72

3

135

განსაზღვრეთ რომელი გრაფიკი რომელ ფუნქციას ეკუთვნის18

2) y = ndash3 + cos x 4) y = 1 + 2 cos ( x + ) 6) y = 1 + sin x

1) y = ndash2 + sin(2x + ) 3) y = cos(x + ) 5) y = ndashsin(x + ) 2

2

12

12

მონაცემების მიხედვით ჩაწერეთ ფუნქცია y = a sin b(x c) + d სახით ა) ამპლიტუდა 4 პერიოდი π ფაზური მოცურება ერთეულით მარჯვნივ

ვერტიკალური გადაადგილება 6 ერთეულით ქვევით

ბ) ამპლიტუდა 05 პერიოდი 3 π ფაზური მოცურება ერთეულით მარცხნივ

ვერტიკალური გადაადგილება 2 ერთეულით ზევით

π 4

π 3

19

nargizi karuselze გრაფიკი ნარ-გიზის კარუსელზე ყოფნისას ადგილი-დან სიმაღლის (მეტრობით) დროზე(წამობით) დამოკიდებულებას ასახავს1) იპოვეთ გამოსახული ფუნქციის პერი-ოდი რას გამოსახავს ის2) დაწერეთ ამ ფუნქციის მნიშვნელობათასიმრავლე 3) ნარგიზი 24-30 წამების ინტერვალის რომელ წამზე იქნება 4 მ-ის სიმაღლეზე

დრო (წმ)

სიმა

ღლ

ე (მ

)

642

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220

21

ა) y = 3 cos(x ndash ) + 52

13

16

1 2

17 იპოვეთ ფუნქციების მაქსიმუმები და მინიმუმები დაწერეთ მნიშვნელობათა სიმრავლე

გ) y = cos(x + 50ordm) +

20 სქემატურად გამოსახეთ ფუნქციის გრაფიკი


ბ) y = sin 3x ndash 3

სიტყვიერად დაწერეთ თითოეული ფუნქციის გრაფიკის y = sin x ფუნქციის გრაფიკიმიმართ გარდაქმნა

15

ა) y = sin(x + ) გ) y = 2 sin(x + 60ordm) ndash 4 23

12

4

სიტყვიერად დაწერეთ თითოეული ფუნქციის გრაფიკის y = cos x ფუნქციის გრაფიკისმიმართ გარდაქმნა

16

გ) y = 4 cos(x ndash 15ordm) + 356

6

ბ) y = 3 sin (x ndash )

ა) y = cos(x ndash ) ბ) y = 3 cos(2x + )

a) y = 3 sin(x ndash ) b) y = cos(x + ) + 2 c) y = 2 sin(x + ) + 3π 3

π 4

π 6

y

2ndash

x

y y y

x x

y

x

y

x1

-13

ndash3

21

-1

2

4

ა) ბ) გ)

დ) ე) ვ)

136

x ღერძზე ერთი სრული პერიოდის სიგრძის მონაკვეთი გავყოთ ოთხ ტოლ ნაწილად

რადგან მთელი პერიოდის არის = ამიტომ x1 = 0 წერტილიდან

დაწყებული -მდე მარჯვნივ პერიოდის -ის შესაბამისი x2 = წერტილი შემდეგ

პერიოდის -ის შესაბამისი x3 = წერტილი შემდეგ კიდევ პერიოდის -ის შესა-

ბამისი x4 = და ბოლოს მთელი პერიოდის შესაბამისი x5 = წერტილი ავღნიშნოთ

y = asin bx და y = acosbx ფუნქციების [0 ] ინტერვალში გრაფიკის x-ის 5 მნიშ-

ვნელოვან წერტილში მნიშვნელობის მიხედვით ქვემოთ მოცემულ ნაბიჯებად აგება

შეიძლება1 განისაზღვრება გრაფიკის ამპლიტუდა2 განისაზღვრება ფუნქციის ძირითადი პერიოდი = T

3 [0 T] მონაკვეთი იყოფა 4 ტოლ ნაწილად 0 T4 ხუთი მნიშვნელოვანი წერტილი - x ღერძთან გადაკვეთის წერტილები მაქსიმუმისა დამინიმუმის წერტილებია x-ის აღნიშნული მნიშვნელობებისათვის y-ის მნიშვნელობები

გამოითვლება

5 (x y) წერტილები (5 წერტილი) აღინიშნება საკოორდინატო სიბრტყეზე6 ეს წერტილები შეერთდება მიღებული სინუსოიდის მრუდი შესაბამისი ფუნქციისერთი სრული პერიოდის გრაფიკია ამ გრაფიკის გამეორებით ნებისმიერ მონაკვეთზემოცემული ფუნქციის გრაფიკის აგება შეიძლება

T4

T2

3T4

2|b|

2|b|

მოძრაობისა და მსგავსების გარდაქმნისას მრუდი bdquoფორმასldquo ინარჩუნებს ამიტომაც არა

მხოლოდ სინუსის გრაფიკს არამედ ღერძების გასწვრივ მოჭერის (შეკუმშვის) და

მიმდევრობითი მოძრაობის დახმარებით მიღებულ მრუდსაც ასევე სინუსოიდა ეწოდება

y = asin bx და y = acosbx სახის ფუნქციების თვისებების სინუსის (ან კოსინუსის)

თვისებების ანალოგიურობა ამარტივებს ასეთი ფუნქციების გამოკვლევას პირველ რიგში

მათი პერიოდისა და მნიშვნელობის 0-ის ან plusmna -ს ტოლი წერტილების პოვნაა საჭირო

nimuSi 1 y = cos ფუნქციის გრაფიკი ააგეთ 5 ძირითადი წერტილის მიხედვით

amoxsna ამპლიტუდა a = 1ძირითადი პერიოდი b = T = 2 =

3x2

32

32

14

14

2|b|

43

43

3

3

23

23

3

43x1 = 0

0 + 3

3 +

3+

3+

3

x2 = x5 =x4 =x3 =

14

3

12

23

344

3

sinusoidis ageba xuTi ZiriTadi wertilis mixedviT

137

x-ის აღნიშნულ მნიშვნელობების შესაბამისად გამოვთვალოთ y = cos ფუნქციისმნიშვნელობები1 x = 0 y = 1 (01)2 x = y = cos = cos = 0 ( 0)

3x2

32323232

23

23

23

3

3

3

2

3 x =

4 x =

y = cos = cos = ndash1

43

43

435 x = y = cos = cos2 = 1

y = cos = 0

( ndash1)

( 0)

( 1)

minimumis wertili

maqsimumis wertili

maqsimumis wertili

abscisTa RerZTangadakveTis wertili


თუ ამ წერტილებს ავღნიშნავთ საკოორდინატო სიბრტყეზე შევაერთებთ მათ გლუვი

წირით აიგება y = cos ფუნქციის გრაფიკი [0 ] მონაკვეთზე ამ გრაფიკის

აბსცისთა ღერძის გასწვრივ n (n Z) მოცურებით მიიღება y = cos ფუნქციის

გრაფიკი მთელ რიცხვით ღერძზე (სურათზე პუნქტირითაა ნაჩვენები)

43

23

3

3

0

1

ndash1ndash x

y

4

54

4

2

2

34

34

32

2y

x

ndash2

ndashndashndashndash

x-ის [0 ] მონაკვეთის (ერთი პერიოდი) ოთხ ტოლ ნაწილად გამყოფი მნიშვნელო-ბებისათვის ვიპოვოთ ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები და ამის საფუძველზე ავაგოთგრაფიკი

nimuSi 2 ააგეთ y = 2 sin 2x ფუნქციის გრაფიკი amoxsna amplituda a = 2 y-ის მნიშვნელობა ndash2 და 2 შორის შეიცვლება

ZiriTadi periodi T = b = 2 T = 2b

x y = 2 sin 2x

გადაკვეთა 0 0

მაქსიმუმი 2

გადაკვეთა 0

მინიმუმი ndash2


42

34

3x2

434

33x2

253


138

x-ის ამ მნიშვნელობების y = 3 sin 2(x ) + 2 ფორმულაში გათვალისწინებით ( 2)

( 5) ( 0) ( 1) ( 2) წერტილები განისაზღვრება და

ფუნქციის გრაფიკი აიგება

[ ] ინტერვალის 4 ტოლ ნაწილად დაყოფით საჭიროა

5 ძირითადი წერტილის განსაზღვრა მოცემული ფუნქციის

5 ძირითადი წერტილისათვის x-ის მნიშვნელობები იქნება

y = 3 sin 2(x ) + 2 ფუნქციისათვის

ამპლიტუდა a = 2 პერიოდი მოცურების ფაზა შუახაზი d = 2 მაქსიმუმის მნიშვნელობა d + a = 2 + 3=5 მინიმუმის მნიშვნელობა d a = 2 3 = 1 გან-

საზღვრის არე ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე (x isin R) მნიშვნელობათა სიმრავლე 1 le y le 5

π 3

π 3 π

3

7π 12

7π 12

5π 6

5π 6

13π 12

4π 3

13π 12

4π 3

4π 3

π 3

π 3

π 3

π 3

სადაც საწყისი წერტილსა და ფაზას უჩვენებს yy = 3 sin 2(x ndash ) + 2

x

2

4

6

3

2 30

nimuSi 3 y = 3 sin 2(x ) + 2 ფუნქციის სრული ბრუნის შესაბამისი საწყისი და

ბოლო წერტილების მოძებნისათვის 0 le 2(x ) le 2 უტოლობა ამოიხსნება

0 le x le le x le

π 3 π

3π 3

4π 3

π 3

saswavlo davalebebi


1 ერთი და იგივე კოორდინატთა სისტემაში ააგეთ f(x) და g(x) ფუნქციების გრაფიკებინიმუშის შესაბამისი მნიშვნელობათა ცხრილის შედგენით

a) f(x) = sinx და g(x) = sinx b) f (x) = sin x g(x) = minus3 sin x

c) f (x) = cos x g(x) = 4 cos x

d) f (x) = cos x g(x) = cos x

12

12

ფუნქციები f(x) = sin x g(x) = sin xx ღერძთანგადაკვეთა (0 0) (0 0)

მაქსიმუმი ( 1) ( )x ღერძთანგადაკვეთა ( 0) ( 0)

მინიმუმი ( ndash 1) ( ndash )x ღერძთანგადაკვეთა (2 0) (2 0)

2

2

12

32

32

12

12

f(x) = sin x g(x) = sin x12

x

y1

ndash1 2 3 4

139

5

6

დაწერეთ მოცემული ფუნქციის პერიოდი რადიანებში და გრადუსებში ააგეთგრაფიკები ერთ პერიოდში 5 ძირითადი წერტილის მიხედვით

5 ძირითადი წერტილის მიხედვით ერთი და იმავე კოორდინატთა სისტემაში ააგეთ f(x) და g(x) ფუნქციის გრაფიკები

ა) y = sin 4x ბ) y = sin x გ) y = cos x დ) y = cos 2x12

23

1) f(x) = ndash 2 sin x 2) f(x) = sin x 3) f(x) = 2 cos xg(x) = 4 sin x g(x) = sin g(x) = ndash cos 4xx

3

Ria tipis SekiTxva დაწერეთ ერთი სინუსისა და ერთი კოსინუსის ფორმულარომელთა პერიოდია და ამპლიტუდა 15

1) მოცემული ამპლიტუდისა და პერიოდის მიხედვით დაწერეთ ფუნქციის ფორმულაy = a sin bx სახით და ააგეთ გრაფიკი 5 ძირითადი წერტილის მიხედვით

2) მოცემული ამპლიტუდისა და პერიოდის მიხედვით დაწერეთ ფუნქციის ფორმულაy = a cos bx სახით და ააგეთ გრაფიკი 5 ძირითადი წერტილის მიხედვით

7

82

ამპლიტუდა = 5 პერიოდი = 2 ამპლიტუდა = პერიოდი =

ამპლიტუდა = 25 პერიოდი = 6 ამპლიტუდა = 4 პერიოდი =

32

3

6

ბ)ა)

ბ)ა)

9 განსაზღვრეთ ფუნქციის პერიოდი და ამპლიტუდა ააგეთ გრაფიკი პერიოდის სიგრძისტოლ მონაკვეთზე 5 ძირითადი წერტილის მიხედვით

ა) y = 3 sin( x + ) ndash 2 ბ) y = 2 cos(2x ndash ) + 34

3


12

ა) დაწერეთ y = sin x ფუნქციის [0 2] ინტერვალში მდებარე 5 ძირითადი წერტილისკოორდინატებიბ) ააგეთ y = sin 2x ფუნქციის [0 ] მონაკვეთში გრაფიკი 5 ძირითადი წერტილისმიხედვით უჩვენეთ ზრდისა და კლების შუალედები

3

4 ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი სიგრძით ერთი პერიოდის ტოლ მონაკვეთზე 5 ძირითადიწერტილის განსაზღვრით

გ) y = 3 cos 4xბ) y = 5 sin 2xა) y = sin x14 გ) y = sin 2x1

4

იპოვეთ y = sin bx ფუნქციისათვის b-ს მნიშვნელობა თუ ძირითადი პერიოდი T

ა) ბ) გ) დ) 4 პერიოდის ტოლი სიგრძის [0 T] მონაკვეთი

დაყავით 4 ტოლ ინტერვალად და გამოთვალეთ x-ის ამ მნიშვნელობების შესაბამისი

y-ის მნიშვნელობები

223

43

2

140

1) y = 2 + sin x 2) y = 5 ndash cos x 3) y = ndash2 + cos x4) y = cos(x + ) 5) y = ndashsin(x + ) 6) y = sin(x ndash )7) y = 5 ndash cos(x ndash ) 8) y = ndash2 ndash sin(x ndash ) 9) y = 3 + cos(x + )

ააგეთ ფუნქციების გრაფიკები11

2

4

2

4

B grafiki ანალოგიური წესით ვპოულობთ a = 05

ძირითადი პერიოდია და = ტოლობიდან b = 2

გრაფიკი კოსინუსის ფუნქციის გრაფიკის შესაბამისია ფუნქციის

ფორმულა იქნება y = 05 cos 2x

2|b|

ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით ძირითადი პერიოდისა და ამპლიტუდის განსაზღვრითდაწერეთ ფორმულა y = a sin bx და y = a cos bx სახით

10

A grafiki ჯერ განვსაზღვროთ ამპლიტუდა

რადგან უდიდესი მნიშვნელობა არის 2 უმცირესი

მნიშვნელობა 2 ამიტომ a = = 2პერიოდია 4 რადგან

T = ამიტომ 4 = b = 12

2 (2)2

2|b|

2|b|

A გრაფიკი შეესაბამება სინუსის ფუნქციის გრაფიკს სადაც თუ გავითვალისწინებთ

რომ ამპლიტუდა a = 2 და b = მივიღებთ y = 2 sin x 12

12

y

x

1

ndash2

2 3 4

2

ndash1 0

A

B

დაწერეთ მოცემული გრაფიკის შესაბამისი ფუნქციისფორმულა y = a cos(bx + c) სახით დაწერეთ ფუნქციისგრაფიკის x ღერძის დადებით მიმართულებით კიდევერთი პერიოდით გაგრძელების შესაძლებლობის მომცემი5 წერტილის კოორდინატები

12

x

y12

12

23

53

83

2


nimuSi

-

ა) ბ)

გ) დ)

3

5

ndash3 ndash6

6

ndash2

ndash2

ndash5

2

ndash2

ndash2

2

ndash4

4

ndash

ndash4

ndash4

ndash 2 2 4

4

141

trigonometriuli funqciebi da perioduli movlenebi

ბუნებაში რეალურ ცხოვრებისეულ სიტუაციებში მრავალი პერი-ოდულად ცვალებადი მოვლენა გვხვდება დედამიწის ბრუნვასეზონების ცვლილება ადამიანის სუნთქვა გულისცემა და სხვამასთან ბევრი ფიზიკური მოვლენის მაგალითად ელექტრულიოპტიკური რხევითი მოძრაობების გამოკვლევაში გამოიყენებაპერიოდული ფუნქციები უმარტივესი რხევითი მოძრაობებიჰარმონიული რხევები y = a sin(bx + c) და y = a cos(bx + c) სახისტრიგონომეტრიული ფუნქციებით გამოისახება

nimuSi 1 biologia ბიოლოგები ცხოველების ფრინველების გამრავლების გა-მოკვლევასა და პროგნოზირებას ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დახმარებითამოდელირებენ განსაზღვრულ პროგნოზებს იძლევიანმეცნიერებმა ერთი და იგივე რეგიონში ბუებისა და თაგვების გამრავლება გამოიკვლიესმათი გამოკვლევის თანახმად ბუების დროზე (თვეობით) დამოკიდებულებით რაოდენობის

B(t) = 1000 + 100 sin ( ) თაგვების რაოდენობის S(t) = 20000 + 4000cos ( )ფუნქციით მოდელირება შეიძლება

ამ გრაფიკებში მოცემული ინფორმაციების თანახმად ბუებისა და მათი საკვებისთაგვების რაოდენობის ცვლილების შესახებ შესაძლებელია მოსაზრების გამოთქმა

ა) ააგეთ ორივე ფუნქციის გრაფიკი

ბ) გამოთქვით მოსაზრება ბუებისა და თაგვების რაოდენობის ცვლილების შესახებ

გ) გამოიკვლიეთ ბუების რაოდენობის თაგვების რაოდენობასთან თანაფარდობისცვლილება დროის მიხედვით

დ) თაგვების სიცოცხლისათვის რომელი დროა ყველაზე ნაკლებად საშიში

t12

t12

amoxsna B(t) = 1000 + 100 sin ( )

ბუების რაოდენობის შესაბამისი ფუნქციის მაქსიმუმი 1100 მინიმუმი 900-ია

ამპლიტუდა 100 ვერტიკალური მოცურება c = 1000 (პირველადი რაოდენობა)შუახაზი = 1000 პერიოდი რადგან b = ამიტომ

S(t) = 20000 + 4000 cos ( )

12

12

2|b|

2 = 24

მაშასადამე ძირითადი პერიოდი 24 თვეა

t12

t12

თაგვების რაოდენობის შესაბამისი ფუნქციის მაქსიმუმია 24 000 მინიმუმია- 16 000

ამპლიტუდა 4000 ვერტიკალური მოცურება c = 20000 (პირველადი რაოდენობა)შუახაზი= 20000 ძირითადი პერიოდი რადგან b = ამიტომ

1212

2|b|

2 = 24

მაშასადამე ამ ფუნქციის ძირითადი პერიოდიც 24 თვეა

142


გ) ცხრილში მოცემულია ყოველ 6 თვეში ბუების რაოდენობისთაგვების რაოდენობასთან არსებული თანაფარდობა

გრაფიკების ერთი და იგივე მასშტაბით აგების შემდეგ მათიშედარება შეიძლება ეს შედარება უჩვენებს რომ ბუებისრაოდენობის გაზრდისას თაგვების რაოდენობა მცირდება დაბუების საკვები-თაგვების რაოდენობა მინიმალური მნიშ-ვნელობას უახლოვდება ბუების რაოდენობის შემცირებისასთაგვების რაოდენობა იწყებს გაზრდას და მაქსიმალურდონეს მათი ყველაზე მცირე რაოდენობით ყოფნისას აღწევენ

დრო ბუ თაგვი შეფარდება

0 1000 24000 0041

6 1100 20000 0055

12 1000 16000 0062

18 900 20000 0045

24 1000 24000 0041

ეს შეფარდება გარკვეული კანონზომიერებით უნდა იცვლებოდეს კანონზომიერებისდანახვისათვის გრაფკალკულატორში შეფარდების შესაბამისი ფუნქციის გრაფიკი ავაგოთქვემოთ მოცემული წესით

გრაფკალკულატორში ფუნქცია y1-ითფუნქცია y2-ით შევიტანოთ დაS(t) = 20000 + 4000 cos ( )t

12

B(t) = 1000 + 100 sin ( )t12

y1

y2y =

Tagvebis gamravleba

B(t)

დრო (თვეები)


buebis raodenoba

Tagvebis raodenoba

buebis gamravleba

t

120011001000

900800

6 3018 420

26000240002200020000

1800016000

14000

m(t)

t0

y3 = y1y2

x = 21 702128 y = 24 695395ავაგოთ ფუნქციის გრაფიკი როგორც ხედავთ ამ შემთხვევაში ორი პერიოდული ფუნქციის შეფარდებაც პერიოდულიფუნქცია ხდება

amindis prognozi ცხრილში მოცემული ინფორმაცია უჩვენებს თვეების მიხედ-ვით საშუალო ტემპერატურას იანვარი t=1 თებერვალი t=2 და ა შ აღნიშვნითცხრილის შესაბამისად ააგეთ გრაფიკი ტემპერატურის ცვლილება დაამოდელირეთტრიგონომეტრიული ფუნქციით

1

თვეები იან-ვარი

თებერ-ვალი

მარ-ტი

აპრი-ლი მაისი ივ-

ნისიივ-ლისი

აგვის-ტო

სექტემ-ბერი

ოქტომ-ბერი

ნოემ-ბერი

დეკემ-ბერი

საშუალო ტემ-პერატურა (ordmC) ndash148 ndash127 ndash68 12 92 151 172 151 91 13 ndash67 ndash126

6 3018 42


143

2 janmrTeloba P = 100 ndash 20 cos ფუნქციით წყნარ მდგომარეობაში მყოფიპიროვნების t (წამი) დროის შუალედში არტერიული წნევის განსაზღვრა შეიძლებაა) განსაზღვრეთ ფუნქციის პერიოდიბ) განსაზღვრეთ პიროვნების გულისცემის რაოდენობა 1 წუთში

5t2


კარუსელი მიწის ზედაპირიდან 10 მ სიმაღლეზე მყოფი ღერძის გარშემო ყოველ 3

მოძრაობის დაწყებისას ყველაზე დაბლა მყოფი კაბინის ნებისმიერ წამში მიწისზედაპირიდან სიმაღლის განმსაზღვრელი ფუნქციის ფორმულა

ბ) გუნელი კარუსელის მოძრაობის დაწყებისას ყველაზე ქვედა კაბინაში იყო გან-საზღვრეთ მოძრაობის დაწყებიდამ 25 წუთის შემდეგ გუნელი დედამიწისზედაპირიდან დაახლოებით რა სიმაღლეზე იქნება

სიმაღლე

დრო0

4 biologia კურდღლების K(t) და ტურების T(t)რაოდენობის მაჩვენებელი მათემატიკური მოდელებია

K(t) = 30000 + 15000 cos და

T(t) = 4000 + 2000 sin ააგეთ ორივე ფუნქცია ერთსა და იმავე საკოორდინატოსისტემაში და სურათზე ნაჩვენები პირობითი დიაგრამაგრაფიკებზე წარმოადგინეთ

t12t

12

ველოსიპედის ღამით სწორ გზაზე მოძრაობის ვიდეოა გადა-ღებული ველოსიპედის საბურავზე მყოფი სინათლის სხვადასხვადროში დედამიწის ზედაპირიდან მანძილი (სიმაღლე) ვიდეოზეგაიზომა და ცხრილი იქნა შედგენილი

ა) ააგეთ ფუნქციის ერთი პერიოდის შესაბამისი გრაფიკიბ) ცხრილის მიხედვით დაამოდელირეთ H-ის t-ზე დამოკიდებულება ტრიგონო-მეტრიული ფუნქციით გ) იპოვეთ ველოსიპედის საბურავის დიამეტრიდ) რა სიჩქარით მოძრაობს ველოსიპედი

5

დრო (t წმ) 01 02 03 04 05 06 07 08 09

სიმაღლე (H სმ) 27 45 54 45 27 18 27 45 54

60 წამში ერთ პერიოდსასრულებს მგზავრებიკარუსელის კაბინებში 2 მსიმაღლეზე ყოფნისასსხდებიან სურათზემოცემული გრაფიკიკარუსელის პირველ 150წამში მოძრაობას ასახავსა) დაწერეთ კარუსელის

2) მობრუნების კუთხის დამამთავრებელი გვერდის ამ მხებთანგადაკვეთის წერტილი აღნიშნეთ K-თი

∆OAK-დან tg = = = AKმახვილი მობრუნების კუთხისათვის tg მნიშვნელობით AKმონაკვეთის სიგრძის ტოლია3) 45ordm-იანი კუთხის დამამთავრებელი გვერდი მხებთან რომელწერტილში იკვეთება

144

რადგან tg 0 = 0 ამიტომ y = tg x ფუნქციის გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე

როცა x ცვლადი -ზე ნაკლებია რაც უფრო უახლოვდება მას tg x იზრდება და +infin-ს

უახლოვდება x = ვერტიკალურ წრფეს ასევე წრფეებს x = ∙(2k + 1) (k Z) წრფე-

ებს y = tg x ფუნქციის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტები ეწოდება

კუთხის ტანგენსის მნიშვნელობა კოორდინატთა სათავისადა ერთეულოვან წრეწირზე მდებარე (cos sin )წერტილებზე გამავალი წრფის კუთხური კოეფიციენტისმნიშვნელობააროგორც სურათიდან ჩანს მხების AQ მონაკვეთის სიგრძე Qწერტილის ორდინატის მნიშვნელობის ტოლია Q წერტილისკოორდინატებია (1 tg ) AQ წრფეს ტანგენსების ღერძიეწოდება

22

2

gamokvleva kuTxis tangensis cvlileba 1) უჯრიან ფურცელზე გაავლეთსაკოორდინატო სიბრტყე და კოორდინატთა სათავეში ცენტრის მქონე ერთეულრადიუსიანი წრეწირი წრეწირზე (10) წერტილში გაავლეთ მხები

5) თუ კუთხე 90ordm-ს უახლოვდება როგორ იცვლება K წერტილის ორდინატი როცა = 90ordm კუთხის დამამთავრებელი გვერდი მხებთან იკვეთება

6) T პერიოდიანი ფუნქციის გამოკვლევისათვის T სიგრძის ინტერვალში მისი ცვლილებისშესწავლა საკმარისია

tg ის ცვლილების რომელ შუალედში შესწავლა იქნებოდა მიზანშეწონილი

7) tg როცა = 90ordm და = ndash90ordm არ არის განსაზღვრული (ndash90ordm 90ordm) შუალედშიგანსაზღვრულია

კუთხის ზომა ndash70deg ndash60deg ndash45deg ndash30deg 0deg 30deg 45deg 60deg 70degმხებზე მყოფი წერტილის

ორდინატი

AKOA

AK1

შეავსეთ ცხრილი და ააგეთ ტანგენსის ფუნქციის გრაფიკი

O

K

x

y

A

4) ტრანსპორტირის დახმარებით გაავლეთ სხვადასხვა ზომის კიდევ რამდენიმე კუთხე დაიპოვეთ მათი მხებთან გადაკვეთის წერტილის ორდინატი

8) y = tg ფუნქციის გრაფიკი ააგეთ გრაფკალკულატორითაც

0A(1 0)

Q(1 tg )P(cos sin)

1 x

y

y = tg x da y = ctg x funqciebis grafikebi

y = tg x funqcia

145


ერთეულოვანი წრეწირის I მეოთხედი და [0 ) შუალედი დავყოთ 4 ტოლ ნაწილად და

ტანგენსების ღერძზე არსებული მნიშვნელობები შესაბამისი კუთხეების ტანგენსის ტოლი

მონაკვეთები ავაგოთ ტანგენსების წრფეზე მიღებული თითოეული წერტილიდან Oxღერძზე იმ წერტილიდან რომლის აბსცისა შესაბამისი კუთხის მნიშვნელობის ტოლია

აღმართული მართობი მკვეთამდე Ox ღერძის პარალელურად გავავლოთ მიღებული

წერტილები მიმდევრობით გლუვი წირით შევაერთოთ [0 ) შუალედში y = tg xფუნქციის გრაფიკი მიიღება tg(ndashx) = ndash tg x რადგან მიღებული გრაფიკი კოორდინატთა

სათავის მიმართ სიმეტრიული გარდაქმნით (ndash ) ინტერვალში tg x-ის გრაფიკი აიგება

y = tg x არის პერიოდიანი პერიოდული ფუნქციაამიტომაც აგებული გრაფიკის -მდე მარჯვნივ დამარცხნივ გაგრძელებით მიიღება მრუდი რომელსაცტანგენსოიდა ეწოდება

2

2

2

2

0 x

y

8

4

2

38

0 x

y

2

2ndash

ფუნქციის გრაფიკი უწყვეტი მრუდი არაა x-ის -ისა დამისი კენტი ჯერადების შესაბამისი მნიშვნელობებში წყდება ფუნქციას მაქსიმუმი და მინიმუმი არ გააჩნია ფუნქციის მნიშვნელობათა არეა ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე ფუნქციის უმცირესი პერიოდია ფუნქციის გრაფიკი x ღერძს x = n (n Z) წერტილები კვეთს

ფუნქცია + n (n Z) წერტილებში არ არის განსაზღვრული ამ წერტილებში

გამავალი და პუნქტირით გავლებული ხაზები გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტებია

y = tg x ფუნქციის განსაზღვრის არეა x ne + n (n Z) ფუნქცია ორ მეზობელ ასიმპტოტს შორის ზრდადია კენტი ფუნქცია tg (ndashx) = ndash tg x

2

2

4

2

გამოთვალეთ ტანგენსის ფუნქციის თვისებების გამოყენებით

ააგეთ y = tg x ფუნქციის გრაფიკი [ndash2 2] მონაკვეთზე

tg( ndash ) 54tg( ) 11

3tg(ndash )

2

1

ა) ბ) გ)

saswavlo davalebebi

y

x

8642

ndash20

ndash4ndash6ndash8

ndash2 ndash 232

2

2

32

ndash

146

იპოვეთ tg და კუთხის გრადუსული ზომა

saswavlo davalebebi

4

3


y = ctg x ფუნქციის გრაფიკის აგებისათვის გამოვიყენოთctg x = ndash tg(x + ) იგივეობა

1) y = tg x ტანგენსიოდა აბსცისთა ღერძის გასწვრივ -ით მარცხნივ მოცურდება2) მიღებული მრუდი აბსცისთა ღერძის მიმართ სიმეტრიულად აისახება

როგორც გრაფიკიდან ჩანს ტანგენსისა და კო-ტანგენსის ფუნქციების გრაფიკების x ღერძთანგადაკვეთის წერტილებსა (ნულები) და ასიმპ-ტოტებს ადგილები შეუცვლიათ

ZiriTadi Tvisebebi ძირითადი პერიოდია განსაზღვრის არე n-დან (n ნებისმიერი მთელირიცხვია) განსხვავებული ყველა ნამდვილ რიცხვთასიმრავლეა მნიშვნელობათა არე ყველა ნამდვილ რიცხვთასიმრავლეა ორ ასიმპტოტს შორის კლებადი ფუნქციაა კენტი ფუნქციაა ctg (ndashx) = ndash ctg x

1tgx

cos xsin x

2

2

ჩატარებული გამოკვლევების მიხედვით ქვემოთ მოცემულ კითხვებზე გაეცით პასუხი

ა) როცა α = 90deg და α = ndash90deg ტანგენსის ფუნქცია არ არის განსაზღვრული როგორაისახება ეს გრაფიკზებ) ტანგენსის ფუნქციის პერიოდი რამდენი რადიანი ან რამდენი გრადუსია

Q(1 ndashradic3) Q(1 ndashradic3)

y = ctg x

y

x

y =ctg x

ndash

ndash2 2 31

ndash1

2ndash1

1

0ndash 2

y =ctg x

y =ctg x

y =

tg x

y =

tg x

y =

tg x

2

32

32

32

52

2

2

ndash ndash

y

x

x

y

x

y

x

y

x

yQ(11) Q(11)

O 1 1 11

θ θ θθ

ა) ბ) გ) დ)

O OO

ტანგენსის მნიშვნელობა როცა x = n ნულისტოლია კოტანგენსის ფუნქცია კი x-ის ამ მნიშ-ნელობისათვის არ არის განსაზღვრული

ctg x = =

y = ctg x funqcia

147


ააგეთ ფუნქციების გრაფიკები მოთხოვნილ ინტერვალში y = tg x 90deg lt x lt 90deg

y = tg x lt x lt

y = tg x 90deg lt x lt 270degა)

ბ)

გ)

დ)2

y = tg x le x le

6

ა) ცნობილია რომ როცა α = მაშინ tg α 76 ტანგენსის ფუნქციის ძირითადიპერიოდის გამოყენებით დაწერეთ ამ მნიშვნელობის შესაბამისი კუთხის კიდევ 3მნიშვნელობა

1124

ბ) ცნობილია რომ როცა α = 125 მაშინ tg α 3 ტანგენსის ფუნქციის ძირითადიპერიოდის გამოყენებით დაწერეთ ამ მნიშვნელობის შესაბამისი კუთხის კიდევ 3მნიშვნელობა

გ) le x le შუალედში დაწერეთ x-ის ორი ისეთი მნიშვნელობა რომ ამ მნიშვნე-ლობებისათვის y = tg x ფუნქცია არ იყოს განსაზღვრული

7

tg ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით იპოვეთ მისიმოთხოვნილი მნიშვნელობები

5

ა) tg ბ) tg გ) tg(ndash )

დ) tg 0 ე) tg ვ) tg

34

4

74

54

y = tg x ფუნქციის გრაფიკი x-ის 90ordm-თან მიახლოების ნაწილში თითქმის ვერ-ტიკალური წრფის ფორმას იღებს კალკულატორით გამოთვალეთ ქვემოთ მოცემულცხრილებში ტანგენსის მოცემული კუთხეების შესაბამისი მნიშვნელობები კუთხე რაცუფრო უახლოვდება 90ordm-ს როგორ იცვლება ტანგენსის მნიშვნელობა 90ordm-დანდაშორების კვალობაზე როგორ იცვლება

8

tg 895ordm899ordm

89999ordm89999999ordm

tg 905ordm9001ordm

900001ordm90000001ordm

9 თითოეული ფუნქციისათვის ndash2 le x le 2 ინტერვალში იპოვეთ ა) ნულები ბ) ვერტიკალური ასიმპტოტები1) y = tg x 2) y = ctg x

ndash2 le x le 2 შუალედში დაწერეთ x-ის ისეთი სამი მნიშვნელობა რომ ამმნიშვნელობებისათვის არ იყოს განსაზღვრულია) კოტანგენსის ფუნქცია ბ) ტანგენსის ფუნქცია

ააგეთ y = tg x და y = ctg x ფუნქციების გრაფიკები და ამ გრაფიკების მიხედვითგანმარტეთ მათი ლუწ-კენტობა და მოსაზრება უჩვენეთ ალგებრული ჩანაწერებითაც

10

11

32

y

θ

8642

ndash20

ndash4ndash6ndash8

ndash2 ndash 232

2

2

32

ndash

148

tg (x ndash ) ფუნქციის ერთი პერიოდის შესაბამისი შუალედი

ვიპოვოთ ndash lt (x ndash ) lt უტოლობის ამოხსნით

nimuSi 1 ააგეთ y = 3 tg 2x ფუნქციის გრაფიკი

პერიოდი T=

კოორდინატთა სათავესთან უახლოესი ასიმპტოტები

შუა წერტილები

2= b =2 ამიტომ T

b

x = middot ანუ x =

აბსცისთა ღერძთან გადაკვეთის წერტილი (0 0)

12

2

4

x = ndash middot ანუ x = ndash12

2

4

14

2

8

14

2

8

როცა a და b ნულისაგან განსხვავებული ნამდვილი რიცხვებია y = a tg bx ფუნქცი-ის გრაფიკის აგებისათვის საჭიროა ქვემოთ მოცემული ძირითადი მაჩვენებლებისგანსაზღვრა

1 პერიოდი

2 ვერტიკალური ასიმპტოტები x = middot(2n + 1) n Z წრფეებია3 განისაზღვრება x ღერძთან გადაკვეთის წერტილთან ასიმპტოტს შორის მონაკვეთისშუა წერტილი ამ წერტილში y-ის მნიშვნელობა ან a-ს ან კიდევ a-ს ტოლი ხდება მაგალითად y = 4 tg3x ფუნქციის პერიოდია

ასიმპტოტები x = (2n+1) = + n Z წრფეებია

|b|

3

6

2|b|

23

n3

y = a tg bx funqciis grafiki


და

x = middot = x = middot (ndash ) = ndash და გრაფიკზე მათი

შესაბამისი წერტილები ( 3) (ndash 3)8

8

tg x ფუნქციის ერთი პერიოდის x-ის მნიშვნელობებია

ndash lt x lt

4

4

4

2

2

2

2

ააგეთ y = tg (x ndash ) ფუნქციის ერთი პერიოდის გრაფიკი

nimuSi 2

4

4

4

34

2

4

2

2

2ndash + lt x lt ndash + lt x lt

ndash lt (x ndash ) lt

ასიმპტოტები ndash და წერტილებზე გამავალი ვერტიკალური წრფეებია (0 ndash1) და

( 1) მნიშვნელობების გათვალისწინებით სქემატურად ავაგოთ გრაფიკი

4

34

2

x

y

4

4

2

34ndash

მონაკვეთისშუა

წერტილი

პერიოდი

24

4

8

4

y

x

149

ააგეთ ფუნქციების გრაფიკი4

13y = tg (x ndash )

2y = tg (x + )

3y = tg (x ndash )

6y = tg (x + )

შემოღობვის დამცავი უსაფრთხოების კამერა შე-მოღობვის ნახევარზე აღებული წერტილიდან 5მეტრ მანძილზეა დაყენებული კამერა დაკვირვებისერთ სრულ ბრუნს 60 წამში ასრულებსა) ტანგენსის ფუნქციით გამოსახეთ კამერის შემო-ღობვის შუაწერტილიდან დაწყებული შემოღობვისგასწვრივ დაკვირვების d სიგრძის დროზე დამო-კიდებულების ფუნქცია კამერის შემოღობვის შუაწერტილის დაკვირვების დროის დასაწყისად t = 0ჩათვალეთ

16

miTiTeba კამერა ერთი სრული ბრუნისას 360deg-ით ბრუნავს იპოვეთ რამდენიგრადუსით მობრუნდება ერთ წამშიბ) ააგეთ ამ ფუნქციის გრაფიკი ndash15 le t le 15 ინტერვალშიგ) შემოღობილის რა ნაწილზე იქნება განხორციელებული დაკვირვება როცა t = 10წამსდ) რა მოხდება როცა t = 15 წამს

იპოვეთ ფუნქციების ასიმპტოტები ნულები და შუაწერტილები

y = 2tg x y = tg 2 xy = 3 tg x 13

12ა) ბ) გ)

ა) ბ) გ)y = ctg x y = ndashctg xy = ctg (x + )2

რომელი გრაფიკი რომელ ფუნქციას შეესაბამება14

კიბე კედლიდან 3 მ-ის მოშორებით იატაკთან α კუთხისშექმნით კედელზეა მიყუდებული კიბე კედლის h მეტრსიმაღლემდე აღწევს

ა) ტანგენსის ფუნქციის დახმარებით დაწერეთ დამოკი-დებულება h-სა და α კუთხეს შორის

ბ) ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი 0deg le α le 70deg ინტერვალში

გ) როგორ იცვლება h სიმაღლე α კუთხის ზრდისას

დ) რა ხდება მაშინ როცა α = 90deg

15

kedeliSemoRobvis nax-evris maCvenebeli

wertili

usafrTxoebiskamera

d

5 m


1) 2) 3)y

x

y

x

y

ndash ndash

150

არკსინუსის დახმარებით [ndash1 1] მონაკვეთზე განსაზღვრული მნიშვნელობათა სიმრავლის

[ndash ] მქონე ფუნქციის განსაზღვრა შეიძლება ეს ფუნქცია აღინიშნება როგორც y = arcsin x2

2

თუმცა [ndash ] მონაკვეთზე y = sin x ზრდადია და იღებს ndash1-დან 1-მდე ყველა

მნიშვნელობას თანაც თითოეულ მნიშვნელობას არგუმენტის მხოლოდ ერთი მნიშ-

ვნელობისათვის იღებს მაშასადამე [ndash ] მონაკვეთზე sin x ფუნქცია შექცევადია და

როცა a le 1 მაშინ sin x = a განტოლებას [ndash ] მონაკვეთზე ერთადერთი ფესვი აქვს

[ndash ] შუალედიდან აღებულ ისეთ კუთხეს რომ-

ლის სინუსი a-ს ტოლია a რიცხვის არკსინუსი ეწო-

დება და ასე აღინიშნება arcsin a x = arcsin a ტოლობა ორი პირობის ეკვივალენტურია

1) ndash le x le 2) sin x = a

nimuSebi arcsin = რადგან sin = და [ndash ]arcsin(ndash ) = ndash რადგან sin(ndash ) = ndash და ndash [ndash ]

განსაზღვრების თანახმად sin(arcsin a) = aშეიძლება იმის ჩვენება რომ arcsin(ndasha) = ndash arcsin a

0 y = sin x

y = a

x

y

2

2

2

22

2

2

2

12

121

212

6

6

6

2

2

66

6

2

2

2

2

x

ndash1

1

2

ndash 2

y = sin x

0 arcsin a

a

y

Seqceuli trigonometriuli funqciebiაბსცისთა ღერძის პარალელური წრფესინუსოიდას უსასრულო რაოდენობისწერტილში გადაკვეთს ეს იმას ნიშნავსრომ რიცხვით ღერძზე y = sin x ფუნქციასშექცეული ფუნქცია არა აქვს

ანალოგიური წესით შეიძლება იმის ჩვენება რომ მთელ რიცხვით ღერძზე y = cos xფუნქციას შექცეული ფუნქცია არა აქვს თუმცა [0 ] მონაკვეთზე y = cos x მცირდება და[ndash1 1] მონაკვეთში შემავალ ყველა მნიშვნელობას იღებს ანუ [0 ] მონაკვეთზე y = cosx ფუნქცია შექცევადია და როცა a le 1 მაშინ cos x = a განტოლებას [0 ] მონაკვეთზეერთადერთი ფესვი აქვს

[0 ] Sualedidan aRebul iseT kuTxes romlis

kosinusi a-s tolia a ricxvis arkkosinusi

ewodeba da ase aRiniSneba arccos ax = arccos a ტოლობა ორი პირობის ეკვივალენტურია

1) 0 le x le 2) cos x = ax

ndash1

1 y = cos x

0 arccos a

a

y

y = sin x ფუნქციის [ndash ] შუალედში მოცემული

გრაფიკის y = x წრფის მიმართ სიმეტრიული გარდაქმნით

y = arcsin x ფუნქციის გრაფიკი მიიღება y = arcsin xფუნქციის განსაზღვრის არე [ndash 1 1] მნიშვნელობათა

სიმრავლე [ndash ] იქნება

2

2

2

ndash 2

xy = sin x

0

1

ndash1

y

1ndash1

y = arcsin xy = x

2

ndash 2

y = arcsin x ფუნქცია y = sinndash1x სახითაც აღინიშნება

2

2

151

Seqceuli trigonometriuli funqciebi

(ndash ) შუალედიდან აღებულ ისეთ კუთხეს რომლის ტანგენსიa-ს ტოლია a-ს არკტანგენსი ეწოდება და ასე აღინიშნება arctg a arctg a = x ტოლობა ორი პირობის ეკვივალენტურია

1) ndash lt x lt 2) tg x = a x0 arctg a

a

y

2ndash

2

2

2

2

2

nimuSebi arctg radic3 = რადგან tg = radic3 და ndash lt lt 3

3

3

2

2

arctg(ndash1) = ndash რადგან tg(ndash ) = ndash1 და ndash lt ndash lt განსაზღვრების თანახმად tg(arctg a) = aშეიძლება იმის ჩვენება რომ arctg(ndasha) = ndash arctg a

4

4

4

2

2

[ndash1 1] მონაკვეთზე განსაზღვრული y = arccos x ფუნქცია [0 ] მონაკვეთზე განსაზღვრულიy = cos x ფუნქციის შექცეული ფუნქციაა

y = arccos x ფუნქცია y = cosndash1x სახითაც იწერება

y = cos x ფუნქციის [0 ] მონაკვეთზე მოცემული გრაფიკის

y = x წრფის მიმართ სიმეტრიული გარდაქმნით

y = arccos x ფუნქციის გრაფიკი მიიღება2

y = cos x

x

1

ndash1

y

1ndash1

y=

arcc

os x

y = x2

y = tg x ფუნქცია (ndash ) შუალედში ზრდადია და (ndash +) შუალედიდან ყველა

მნიშვნელობას იღებს ამიტომაც ნებისმიერი a რიცხვისათვის tg x = a განტოლებას

(ndash ) შუალედში ერთადერთი ფესვი აქვს

2

2

2

2

y = arctg x ფუნქცია (ndash ) შუალედში

y = tg x ფუნქციის შექცეულია

2

2

y = tg x ფუნქციის (ndash ) შუალედში მოცემული

გრაფიკის y = x წრფის მიმართ სიმეტრიული

გარდაქმნისას y = arctg x ფუნქციის გრაფიკი მიიღება

y = arctg x

x

2

ndash 2

y2

2

O

y = და y = ndash წრფეები y = arctg xფუნქციის ჰორიზონტალური ასიმპტოტებია

2

2

nimuSebi arccos = რადგან cos = და [0 ]arccos(ndash ) = რადგან cos = cos( ndash ) = ndash cos = ndash და [0 ]განსაზღვრების თანახმად cos(arccos a) = aშეიძლება იმის ჩვენება რომ arccos(ndasha) = ndash arccos a

32

3

12

3

12

31

223

12

23

3

3

y = arccos x ფუნქციის განსაზღვრის არე [ndash 1 1]მნიშვნელობათა სიმრავლე [0 ] იქნება

152


saswavlo davalebebi

იპოვეთ t კუთხე რომელიც მოცემულ ტოლობას აკმაყოფილებს და მოცემულ შუა-ლედში მდებარეობს

1

ა) sin t = [ndash ] ბ) sin t = ndash [ndash ]

გ) cos t = [0 ] დ) cos t = ndash [0 ]

ე) tg t = (ndash ) ვ) ctg t = ndash1 (0 )

2

radic32

radic22

2

2

2

radic32

radic22

radic33

2

2

x0

arcctg aa

yმსგავსი წესით ხდება არკკოტანგენსის ცნების შემოტანა

(0 ) შუალედიდან აღებულ ისეთ რიცხვს რომლისკოტანგენსი a-ს ტოლია a-ს არკკოტანგენსი ეწოდება და ასეაღინიშნება arcctg a arcctg a = x ტოლობა ორი პირობის ეკვივალენტურია

1) 0 lt x lt 2) ctg x = a

nimuSebi arcctg 1 = რადგან ctg = 1 და (0 )arcctg(ndash1) = რადგან ctg = ctg( ndash ) = ndashcos = ndash1 და (0 )განსაზღვრების თანახმად ctg(arcctg a) = aშეიძლება იმის ჩვენება რომ arcctg(ndasha) = ndash arcctg a

34

4

4

43

434

4

4

y = arcctg x ფუნქცია (0 ) შუალედში y = ctg x ფუნქციის შექცეულია

y = arcctg x

x

2

y

0y = arctg x ფუნქცია y = tgndash1x სახით y = arcctg x ფუნქცია კი y = ctgndash1x სახითაცაღინიშნება

y = ctg x ფუნქციის (0 ) შუალედში მოცემულიგრაფიკის y = x წრფის მიმართ სიმეტრიული გარდაქ-მნით y = arcctg x ფუნქციის გრაფიკი მიიღება აბს-ცისთა ღერძი და y = წრფე y = arcctg x ფუნქციისჰორიზონტალური ასიმპტოტებია

კალკულატორებზე არ არის გათვალისწინებული ctg-1x sec-1x და cosec-1x ღილაკები

რადგან ამ ფუნქციების tg-1x cos-1x და sin-1x ფუნქციების დახმარებით გამოსახვა

შესაძლებელია მაგალითად y = sec-1x კი მაშასადამე secy = x და ეს ფუნქცია კოსინუსით

შეიძლება გამოვსახოთ = x სადაც

მაშასადამე ჩვენ y = sec-1xის გამოთვლისათვის - უნდა გამოვთვალოთ

1cos y

1xcosy = y = cos-1

y = cos-1

miaqcieT yuradReba sin1x 1sinx

ar niSnavs

1x

1x

153

მონაცემების მიხედვით იპოვეთ კუთხე

3 კალკულატორის დახმარებით გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა შედეგებიდაამრგვალეთ მეასედებამდე

4

9

24

3 3

4

4 7 2 radic3

ა) ბ) გ) დ)

ა) tgndash1 39 ბ) cosndash1 024 გ) sinndash1 024 დ) sinndash1 075 ე) sinndash1 (ndash04) ვ) cosndash1 (ndash06) ზ) tgndash1 (ndash02) თ) tgndash1 225

α კუთხის რა მნიშვნელობისათვის არის მოცემული ტოლობა მართებული გამოთ-ვალეთ კალკულატორის დახმარებით

ა) sin = ndash035 180ordm lt lt 270ordm გ) tg = 24 180ordm lt lt 270ordmბ) cos = 043 270ordm lt lt 360ordm დ) sin = 08 90ordm lt lt 180ordm

8 მოცემული დამოკიდებულების მიხედვით იპოვეთ კუთხე

ა) sin = 90ordm lt lt 180ordm დ) tg = 1 180ordm lt lt 270ordm

ბ) sin = ndash 180ordm lt lt 270ordm ე) tg = ndashradic3 270ordm lt lt 360ordm

გ) cos = ndash 180ordm lt lt 270ordm ვ) ctg = 1 180ordm lt lt 270ordm

radic22

12

12

2 გამოთვალეთ და წარმოადგინეთ პასუხი რადიანებში და გრადუსებში

arcsin

arcsin

arcsin(ndash )

arccos

arccos 0

arccos(ndash )

arctg radic3arctg 1arctg(ndashradic3)arctg(ndash1)

arcctg radic3arcctgarcctg(ndashradic3)arcctg 0

radic22radic3212

radic32

radic32

radic33


7 გამოთვალეთა) cos(arcsin ) ბ) sin(arccos(ndash )) გ) tg(2middotarctg radic3)

დ) ctg(2middotarcsin ) ე) sin(2middotarcsin ) ვ) cos(3middotarccos )

12

radic22

radic22

12

radic22


ა) arcsin 0 + arcsin 1 ბ) arccos(ndash1) ndash arccos 0გ) arcsin(ndash ) + arcsin დ) arctg(ndash1) + arcctg(ndash1)

6

radic32

radic22

შეამოწმეთ ამოხსნის სისწორე

ა) arcsin + arccos = ბ) arctg radic3 + arcctg radic3 = 2

radic32

radic32

2

154

ძრავიანი სათამაშო თვითმფრინავი 4 მ სიმაღლეზე დაფრინავსა) დაწერეთ დამკვირვებლიდან თვითმფრინავამდე არსებული მან-ძილი ამაღლების კუთხეზე დამოკიდებულების მაჩვენებელიფუნქციაბ) რამდენი გრადუსი იქნება კუთხე როცა დამკვირვებელსა დათვითმფრინავს შორის მანძილი 25 მ-ია

11

დამკვირვებელი

4 მ

x


დიდ მდინარეებზე ხიდების მშენებლობის დროს გემების გავლის უზრუნველსაყოფადგამოიყენება მათი ისეთი კონსტრუქცია რომ მოხდესმათი გახსნა და დახურვა მდინარეზე გადებულიასეთი ხიდის თითოეული ფრთის სიგრძე 40 მ-ია 20 მ სიგრძის მქონე გემის შეუფერხებლად გავ-ლისათვის ხიდის ფრთები სულ მცირე რამდენგრადუსიანი კუთხით უნდა აიწიოს 20 მ

40 მ 40 მ

12

13 გამოთვალეთ

ა) arcsin(sin ) ბ) arccos(cos ) გ) arctg(tg )3

6

6

nimuSi იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა sin(2middotarcsin )

დავუშვათ arcsin = მაშასადამე sin = და [ndash ] მართკუთხა

სამკუთხედში რომლის მახვილი კუთხის სინუსი არის ვიპოვოთ კუთხის მიმდებარე კათეტი

b = radic 52 ndash 32 = 4 აქედან მიიღება cos = აღნიშვნების

გათვალისწინებით შეგვიძლია ჩავწეროთ

sin(2middotarcsin ) = sin 2 = 2 sin middot cos = 2 middot middot =

5 3

b

353

535

2

23

5 45

35

35

45

2425


ა) sin(arccos ) ბ) cos(arcsin( ))

გ) sin(2middotarccos ) დ) cos(2middotarccos )

ე) cos(arcsin ndash arccos ) ვ) sin(arccos + arcsin )

35

45

35

1213

513

35

513

35

10

14 arcsin(sin ) გამოსახულების მნიშვნელობა ენვერმა და ლალემ ქვემოთ მოცემულისახით გამოთვალეს

ენვერი arcsin(sin ) =

ლალე arcsin(sin ) = arcsin(sin( ndash )) = arcsin(sin ) =ვინ სწორად იპოვა მოცემული გამოსახულების მნიშვნელობა პასუხი დაასაბუთეთ

23

23

23

23

3

3

3

15ა) arcsin(sin ) ბ) arccos(cos ) გ) arctg(tg )

იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა76

43

23


ა) sin(arcsin + arccos ) ბ) ctg(arcsin + arccos )

155

6


ა) გრაფიკი შეუსაბამეთ y = 2sin 3x ფუნქციის გრაფიკს თუ Aწერტილის კოორდინატები იქნება (0 0) იპოვეთ B C D E და Fწერტილების კოორდინატებიბ) გრაფიკი შეუსაბამეთ y = 3cos 2x ფუნქციის გრაფიკს თუ Aწერტილის კოორდინატები იქნება (0 3) იპოვეთ B C D E და Fწერტილების კოორდინატები

გ) გრაფიკი შეუსაბამეთ y = sin x ფუნქციის გრაფიკს თუ Aწერტილის კოორდინატები იქნება (2 0)იპოვეთ B C D E და F წერტილებისკოორდინატები

12

C

B F

EA

D

x

1 გრაფიკზე აღნიშნული წერტილები უჩვენებს x ღერძთან გადაკვეთის წერტილებსმაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს

დაწერეთ ორი სხვადასხვა სინუსისა და კოსინუსის ფუნქცია ისე რომ განსაზღვრის არეიყოს ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე x | x isin R ხოლო მნიშვნელობათა სიმრავლე[ndash3 3] მონაკვეთი

იპოვეთ ფუნქციის პერიოდი და ააგეთ გრაფიკი

2

3

1) y = 6 sin x 2) y = 3 cos x12

23

12

5

დ) თუ 0 le θ le მაშინ წყარო დაფის რა უდიდეს ნაწილს აშუქებს49

10 მ მანძილზე დაყენებული წყაროდან შენობაზემიკრული სარეკლამო ბანერის გაშუქება ხდებაა) ტრიგონომეტრიული ფუნქციით გამოსახეთ a მან-ძილის θ კუთხეზე დამოკიდებულებაბ) შეიტანეთ ცხრილში a-ს მნიშვნელობები მეათე-დებამდე დამრგვალებითგ) როგორც ცხრილიდან ჩანს θ-ს მნიშვნელობებიტოლი ნაბიჯებით იზრდებაშეიძლება თუ არა ითქვას იგივე a-ს მნიშვნელობებისშესახებ

4

a

29

18

9

6

10 მ

a

45

45

12

12

3) y = ctg 2x 4) 2y = tg x

ა) სინუსოიდის მინიმუმი (18 44) მაქსიმუმი (30 68) წერტილში მდებარეობს იპოვეთამ ფუნქციის ამპლიტუდა

ბ) ერთი პერიოდის განმავლობაში სინუსოიდა მაქსიმუმს (4 12) წერტილში მინიმუმსკი (12 ndash2) წერტილში იღებს იპოვეთ ამ ფუნქციის პერიოდი

გ) პერიოდის სიგრძის ტოლ მონაკვეთზე სინუსოიდის მაქსიმუმი (π7) მინიმუმი კი

( 3) წერტილში მდებარეობს დაწერეთ ამ ფუნქციის ფორმულა y = a sin bx სახითπ 2

156

7 კარუსელზე მყოფი მწვანე შუქის ბრუნის ცენტრის მიმართნებისმიერ მომენტში მიწის ზედაპირიდან მანძილი დაამო-დელირეთ სინუსის ფუნქციით ჩათვალეთ რომ როცა t = 0მწვანე შუქი ყველაზე დაბალ წერტილში იმყოფება კარუ-სელი ერთ სრულ ბრუნს 100 წამში ასრულებს

მწვანეშუქი

10 მ

2 მ

9

ტალღის აწევა-დაწევის შედეგად გემის ადგილმონაც-ვლეობის (მეტრობით) d = 06 sin πt ფუნქციით მოდე-ლირება შეიძლება სადაც t არის დრო (წამობით) უჩვენეთამ ფუნქციის პერიოდი და ამპლიტუდადახაზეთ ამფუნქციის გრაფიკი

temperaturis cvlileba სამხრეთ აფრიკის ქვეყნების კლიმატი ტროპიკულიდა სუბტროპიკული კლიმატია დედამიწის ამ ნაწილში იანვარ-მარტი ზაფხულისხოლო ივლის-აგვისტო ზამთრის თვეებია ცხრილში სამხრეთ აფრიკაში მდებარე ქალაქკეიპ ტაუნის (Cape Town) ერთი წლის განმავლობაში თვეების მიხედვით მაქსიმალურიტემპერატურაა მოცემული

ჰორიზონტალურ ღერძზე იანვარი t = 1 თებერვალი t = 2 და ა შ თვეების აღნიშვნითვერტიკალურ ღერძზე კი ტემპერატურის აღნიშვნით გრაფიკია აგებული ცხრილი და გრაფიკი გადაი-ტანეთ რვეულში კიდევ 12 თვისათვის განაგრძეთ ეს ცხრილი თუ ცნობილია რომ იანვრის თვიდან დაწყებული თვიური საშუალო ტემპერატურა სა-ვარაუდოდ კვლავ 12 თვეში ერთხელ მეორდება

თვეები იანვ თებ მარტ აპრ მაისი ივნ ივლ აგვის სექტ ოქტ ნოემბ დეკემბტემპერა-ტურა (ordmC) 28 27 25 22 18 16 15 16 18 21 24 261

212

t ( თვეები)

302010

3 96 12

T (ordmC)

(10 21 )12

იანვარი იანვარი

8

Ria tipis SekiTxva დაწერეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქცია რომლის

ამპლიტუდაა პერიოდია და ააგეთ მისი გრაფიკი12

11

10


wylis siRrme ცხრილში მოცემული ინფორმაციაშუაღამიდან შუადღემდე ზღვის საბანაო ნაწილშიწყლის სიღრმის ცვლილების შესახებ

ა) დაამოდელირეთ წყლის სიღრმის ცვლილება y = d + a cos(bt + c) ფორმულის გამოყენებით

ბ) როგორ შეიცვალა სიღრმე დილის 7 საათიდან 9საათამდე

დრო t სიღრმე yშუაღამე 320200 90400 1190600 90800 321000 03

შუადღე 32

157

mravalwaxnagebi6mravalwaxnagebiprizmebimravalwaxnagebi da maTi xedebi sxvadasxvamxridanprizmis zedapiris farTobiprizmis sibrtyiTi kveTebipiramida piramidis gverdiTi zedapirisada sruli zedapiris farTobipiramidis kveTebi wakveTili piramida

158

mravalwaxnagebi

ცნობილია რომ სიბრტყეებს სივრცეში სხვადასხვა ურთიერთმდებარეობა უკავიათ

სიბრტყეთა სხვადასხვა ურთიერთმდებარეობა მრავალწახნაგებად წოდებულ სივრცითფიგურებს (სხეულებს ) ქმნის

მკვეთი სიბრტყეები სამ და უფრო მეტ სიბრტყეს შეიძლებამხოლოდ ერთი საერთო წერტილიჰქონდეს

არამკვეთისიბრტყეები

l

A

= l = A

მრავალწახნაგა არის სხეული რომლის ზედაპირი სასრული რაოდენობის სიბრტყითიფიგურებისაგან- მრავალკუთხედებისაგან არის შემდგარი მრავალწახნაგას შემომსაზღვრელმრავალკუთხედებს მისი წახნაგები ეწოდება მრავალწახნაგას აქვს არანაკლებ 4 წახნაგისაწახნაგების გადაკვეთის წრფეთა მონაკვეთებს წიბოები ხოლო წიბოების გადაკვეთისწერტილებს წვეროები ეწოდება მრავალწახნაგას ზედაპირის შემდგენი მეზობელი მრა-ვალკუთხედები ერთ სიბრტყეზე არ მდებარეობენ სამი და უფრო მეტი წახნაგის საერთოწერტილი წვეროს წერტილი იქნება პრიზმა არის მრავალწახნაგა რომელსაც ფუძეებად წოდებუ-ლი ორი წახნაგი აქვს პარალელური და კონგრუენტული მრა-ვალკუთხედი დანარჩენი წახნაგები კი პარალელოგრამებია პირამიდა არის მრავალწახნაგა რომლის ფუძე არის მრა-ვალკუთხედი ხოლო გვერდითი წახნაგები კი საერთო წვეროსმქონე სამკუთხედებია

პრიზმისა და პირამიდის სახელს ფუძეში მყოფი მრავალკუთხედის სახელი განსაზღვრავს

samkuTxaprizma

marTkuTxaparalelepipedi

xuTkuTxaprizma

eqvskuTxaprizma

samkuTxapiramida

oTxkuTxapiramida

xuTkuTxapiramida

eqvskuTxapiramida

მრავალწახნაგები ორ სახედ იყოფა ამოზნექილი და ჩაზნექილი მრავალწახნაგას ამოზნექილიეწოდება თუ იგი მისი შემომსაზღვრელი თითოეული სიბრტყის ერთ მხარეზე ძევს ამოზ-ნექილი მრავალწახნაგას ნებისმიერი ორი წერტილის შემაერთებელი მონაკვეთი მის შიგა არესეკუთვნის A და B ამოზნექილი C და D ფიგურები ჩაზნექილი მრავალწახნაგებია

ფუძე

ფუძე

A B C D

159

mravalwaxnagebi

წესიერი მრავალწახნაგა ეწოდება მრავალწახნაგას რომლის ყველა წახნაგი კონგრუენტულიწესიერი მრავალკუთხედია და თითოეული წვეროდან ერთი და იგივე რაოდენობის წიბოგამოდის ამ ფიგურებს პლატონურ ფიგურებსაც უწოდებენ მაგალითად კუბი წესიერიმრავალწახნაგაა პლატონური ფიგურები ხუთი სახისაა ტეტრაედრი ოქტაედრიდოდეკაედრი კუბი იკოსაედრი

აქვს 4 წახნა-გი თითო-ეული ტოლ-გვერდა სამ-კუთხედია

აქვს 8 წახნაგითითოეულიტოლგვერდასამკუთხედია

აქვს 12 წახნაგითითოეული წე-სიერი ხუთ-კუთხედია

აქვს 6 წახნაგითითოეულიკვადრატია


წესიერი დოდეკაედრიწესიერი ტეტრაედრი წესიერი ოქტაედრიკუბი

რომელ ფიგურებს შეიძლება ეწოდოს მრავალწახნაგა1

განსაზღვრეთ თითოეული მრავალწახნაგას წახნაგები წვეროები და წიბოები2ა)

ა)

ბ)

ბ)

გ)

გ)

დ)

დ) ე) ვ) ზ)

მრავალწახნაგა წახნაგისფორმა

წახნაგი(F)

წვერო(V)

წიბო(E)

ტეტრაედრიკუბიოქტაედრიდოდეკაედრიიკოსაედრი

3

4

a0

a0

a0

რატომ არსებობს პლატონური ფიგურების მხოლოდ 5 სახე ამ კითხვაზეპასუხის გასაცემად მიაქციეთ ყურადღება იმას თუ ერთ წვეროში მკვეთისამი მრავალკუთხედის ამ წვეროში მდებარე კუთხეების ჯამი მრავალ-წახნაგას შემდგენი ფიგურების სახეზე დამოკიდებულებით როგორიცვლება ეს ჯამი მაქსიმუმ რამდენი გრადუსი შეიძლება იყოს თუმრავალწახნაგის შემდგენი მრავალკუთხედები იქნება ექვსკუთხა რამდენიგრადუსი იქნება საერთო წვეროს მქონე კუთხეების ჯამი

შეავსეთ ცხრილი რვეულში ნების-მიერი მრავალწახნაგას წახნაგებსწიბოებსა და წვეროებს შორის კავ-შირი გამოისახება ეილერის ფორ-მულით F + V ndash E = 2 სადაც F (fase) წახნაგების V (vertex) წვე-როების E (edges) წიბოების რაო-დენობას გვიჩვენებს შეამოწმეთ ეილერის ფორმულა

წესიერი იკოსაედრი

160

prizmebi

მართი პრიზმის ყველა გვერდითი წახნაგი მართკუთხედიამართ პრიზმას რომლის ფუძეც წესიერი მრავალკუთხედია წესიერი პრიზმა ეწოდება

პარალელურ სიბრტყეებში მდებარე და პარალელური გადატანისას ერთმანეთთანთავსებადი ორი კონგრუენტული მრავალკუთხედისა და ამ მრავალკუთხედებისშესაბამისი წერტილების შემაერთებელი ყველა პარალელური მონაკვეთისაგან შემდგარფიგურას პრიზმა ეწოდება მრავალკუთხედებს prizmis fuZeebi ფუძეების შესაბამისიწვეროების შემაერთებელ მონაკვეთებს gverdiTi wiboebi ეწოდებაგვერდით წიბოებზე გამავალი სიბრტყის ნაწილებს prizmis gverdiTi waxnagebiეწოდება პრიზმის გვერდითი წახნაგები პარალელოგრამებია ამ პარალელოგრამებიდანთითოეულის ორი გვერდი ფუძეების შესაბამისი გვერდებია ხოლო დანარჩენი ორიგვერდი კი შესაბამისი გვერდითი წიბოებიაისეთ პრიზმას რომლის გვერდითი წიბოები ფუძის სიბრტყის მართობულია marTiprizma ეწოდება ხოლო არამართობულს კი daxrili prizma ეწოდება

prizmis ZiriTadi elementebi

გვერდითიწახნაგები

გვერდითიწიბოები

ფუძე

ფუძე

marTi prizma daxrili prizma

ფუძე

ფუძე



ბ) DEFG DEFGა) ∆ ABC ∆ ABC

A

A1

B1

C1

D1

D1 C1

A1 B1

E1

G1

F1

P1

BC P E

D

D

A B

C

FG

h

თუ პრიზმის ფუძეები n-კუთხედია მაშინ მას n-კუთხა პრიზმა ეწოდება პრიზმას რომლის ფუძეც პარალელოგრამია პარალელეპიპედი ეწოდება პარალელე-პიპედის მოპირდაპირე წახნაგები პარალელურია დაკონგრუენტულია მართ პარალელეპიპედს რომლის ფუძეცმართკუთხედია მართკუთხა პარალელეპიპედი ეწოდებასურათზე ABCDAprimeBprimeCprimeDprime მართკუთხა პარალელეპიპედიამართკუთხა პარალელეპიპედის ერთი წვეროდან გამოსულიწიბოს სიგრძეებს მისი განზომილებები ეწოდება

A ab

c B C

D

A1

B1 C1

D1

მართი სამკუთხაფუძეებიანი პრიზმა

ოთხკუთხა ფუძეებიანიდახრილი პრიზმა

იზომეტრიულ წერტილოვან ფურცელზე მოცემულ ნაბიჯებად ააგეთ 532 ზომისმართკუთხა პარალელეპიპედი

პრიზმის წვერო - შეარჩიეთერთი წერტილი ამ წერტი-ლიდან გაავლეთ მონაკვე-თები 2 ერთეულით ქვევით 5 ერთეულით მარცხნივ 3ერთეულით მარჯვნივ

დახაზეთ პარალელო-გრამი რომელიც პრიზ-მის ზედა ფუძეს უჩვე-ნებს

მონაკვეთის ბოლოებიმიმდევრობით შეაერ-თეთ არ დაგავიწყდეთწიბოები რომლებიც არჩანს დახაზეთ წყვეტი-ლი ხაზებით

პარალელოგრამის თითოეულიწვეროდან გაავლეთ 2 ერთე-ულის სიგრძის მონაკვეთი

სიმაღლე სიმაღლე

161

prizmebi

ა) 343 ზომის მართკუთხაპარალელეპიპედი

ბ) კუბი რომლის წიბო 5 ერთეულია

დახაზეთ მოცემული ზომების პარალელეპიპედი

გაეცით პასუხი კითხვებზე მართი ექვსკუთხა პრიზმის შესახებ

ა) რომელია CDE სიბრტყის პარალელური სიბრტყებ) რომელი სიბრტყეები არ არის AprimeAB სიბრტყისპარალელურიგ) რომელი მონაკვეთებია ABC სიბრტყის მართობულიდ) რატომ არის AAprime და DDprime მონაკვეთების სიგრძეებიერთმანეთის ტოლიე) დაწერეთ მრავალწახნაგას წახნაგების სახელები

3

2

1

პრიზმის ერთი და იგივე წახნაგზე არა-მდებარე წვეროების შემაერთებელ მონა-კვეთს მისი diagonali ეწოდება

პრიზმის ფუძის სიბრტყეებს შორის მან-ძილს მისი simaRle ეწოდება მართიპრიზმის გვერდითი წიბო მისი სიმაღლისტოლია

სურათზე მოცემული პრიზმის ორი პარალელური და კონგრუენტული წახნაგებისამკუთხედებია და მას 5 წახნაგი 9 წიბო 6 წვერო აქვს სამკუთხა პრიზმა სხვადასხვამდებარეობაში შეიძლება მოთავსდეს მიაქციეთ ყურადღება რომ ამ პრიზმებს 2სამკუთხა და 3 ოთხკუთხა წახნაგი აქვთ იზომეტრიულ ფურცელზე გაავლეთ ნაჩვენებმდგომარეობაში მყოფი სამკუთხა პრიზმები

Fprime

Aprime

Bprime Cprime

A

B C

D

EF

Eprime

Dprime

სურათზე წესიერი ექვსკუთხა პრიზმის შლილია მოცემული დაგვერდითი წახნაგები ასოებითაა აღნიშნული ამ პრიზმისრომელი წახნაგია F წახნაგის პარალელური

162

prizmebi

შეასრულეთ დავალებები სურათზე ნაჩვენები მართკუთხაპარალელეპიპედის მიხედვით

ა) ABC და EHG წახნაგებზე B და H წვეროების შემაერთებელიდიაგონალია გავლებული გაავლეთ სხვა შესაძლო დიაგონალებიდა დაწერეთ რომელ წახნაგებზე მდებარე წერტილები შეაერთეთ

ბ) უჩვენეთ პრიზმის რომელიმე ორი მართობული წახნაგი და თქვენი პასუხი სხვადასხვათეორემებით ან განსაზღვრებებით დაასაბუთეთ

8

F

B C

GHE

A

მართკუთხა პარალელეპიპედის განზო-მილებებია 3412 იპოვეთ ფუძის ACდიაგონალი და პარალელეპიპედის ACprimeდიაგონალი

4

A

Aprime

B

Bprime

C

Cprime

D

Dprime

34

12

6 7 სურათზე მოცემული მართკუთხა პა-რალელეპიპედის ორი მოპირდაპირეგვერდითი წახნაგის გვერდები 5 სმ-იანიკვადრატებია AE წიბო 12 სმ-ია იპოვეთDF-ის სიგრძე

D C

H G

FE

BA

9 დაწერეთ თითოეული პრიზმის სახელი წიბოების წვეროებისა და წახნაგების რაოდენობა

პრიზმებისათვის შეამოწმეთ ეილერის ფორმულა

5

თუ მრავალწახნაგებს წიბოების გასწვრივ გადავკვეთთ და სიბრტყეზე გავშლითმივიღებთ მრავალწახნაგას შლილს განსაზღვრეთ რომელი პრიზმას მიეკუთვნებათითოეული შლილი იპოვეთ წახნაგების წიბოებისა და წვეროების რაოდენობა

ა) ბ) გ) დ) ე) ვ)

ა) ბ) გ) დ) ე) ვ) ზ)

A C D E FB

163

mravalwaxnagebi da maTi xedebi sxvadasxva mxridan

კუბებით სხვადასხვა კონსტრუქციების აგება შეიძლება ასეთ კონსტრუქციებსკუბიოდებიც ეწოდება კუბოიდების სხვადასხვა მხრიდან ხედების (გეგმების) დახაზვა ანპირიქით სხვადასხვა ხედების გეგმის მიხედვით კუბოიდების აგება დიდ პრაქტიკულმნიშვნელობას ატარებს

praqtikuli mecadineoba ქვემოთ კონსტრუქციის ზედხედიდან გვერდხედიდანდა წინხედიდან ფიგურის აგებულება იზომეტრიულ ქაღალდზე არის ნაჩვენები ნიმუშადკუბის კონსტრუქციის ზედხედი გვერდხედი და წინხედია მოცემული თქვენ კუბებისაგანშეადგინეთ სხვადასხვა კონსტრუქციები დახაზეთ კონსტრუქციით შექმნილი ფიგურისსხვადასხვა ხედები და მათი გამოსახულებები იზომეტრიულ ფურცელზე

ფუძეს ზომებით 2times3ერთეულის (კუბობით)მქონე მართკუთხედისფორმისაა

სამგანზომილებიანი ფიგურების ასახვისათვის ხელსაყ-რელია იზომეტრიული წერტილოვანი ფურცლებიმაგალითად კუბის ერთეულის ტოლი წიბოები წერ-ტილებს შორის ერთეული მანძილის ტოლია კუბისწვეროების აღნიშვნითა და მიმდევრობითი შეერთებითმისი სამგანზომილებიანი ხედის მიღება შეიძლებაანალოგიური წესით იხაზება კუბოიდის შემდგენიყველა კუბი

ზედხედის გამოყენებითავაგოთ ფიგურის ფუძე

ზედხედი გვერდხედი წინხედი

გვერდხედის გამოყენებითდავასრულოთ აგება

წინხედით შევამოწმოთკონსტრუქციის სისწორე

1-ლი და მე-2 მწკრივისსიმაღლე 1 კუბია

კონსტრუქციის სიგანე2 ერთეულია

მე-3 მწკრივი 2კუბის სიმაღლისაა

კონსტრუქციის სიმაღლე2 ერთეულია

სხვადასხვა მხრიდან ხედების მიხედვით ააგეთ კუბებისაგან კონსტრუქციები დაგამოსახეთ ისინი იზომეტრიულ წერტილოვან ფურცელზე

1

ა) ბ)

164

კუბის სამი სხვადასხვა ხედისმიხედვით განსაზღვრეთ რომე-პლი ასოებია მოპირდაპირე წახ-ნაგზე

T TI

A HM MO O


სურათზე ახალი ასაშენებელი ბინის გამოსახულებაამოცემული დახაზეთ ბინის ზედხედი გვერდხედი დაწინხედი სურათზე მოცემული თითოეული ერთეულირეალურად 15 მ-ის ტოლია ზედხედით განსაზღვრეთრამდენი კვადრატული მეტრი ფართობი უკავია შენობას

თითოეული კონსტრუქციის მიხედვით შეასრულეთ დავალებები

ა) დახაზეთ ხედები სხვადასხვა მხრიდან

ბ) იპოვეთ გაფერადებული ნაწილის ფართობიგ) რამდენი სანტიმეტრია კონსტრუქციის უმაღლესი ნაწილის სიგრძე

2

3

4

5 დახაზეთ თითოეული კონსტრუქცია იზომეტრიულ წერტილოვან ფურცელზე დახა-ზეთ კონსტრუქციების ზედხედები წინხედები და გვერდხედები

სურათზე მოცემული კონსტრუქციებიდან რომელი ხედიზედხედი გვერდხედი თუ წინხედი გაძლევთ იმისგანსაზღვრის შესაძლებლობას რომ კონსტრუქცია ერთიდა იგივე სიმაღლისაა დახაზეთ უჩვენეთ

წინ წინ

წინ

წინ

გვერდი გვერდი

გვერდით


საპატიო კვარცხლბეკი საფეხური

1 ერთეული = 02 მ 1 ერთეული = 025 მ

ა) ბ) გ) დ)

6 7რომელ ფიგურას მიეკუთვნებამოცემული შლილი

ა) ბ)

გ) დ)

165


8 იზომეტრიულ წერტილოვან ფურცელზე დახაზეთ შემდეგი სახის პრიზმებიnimuSi ა) მართი სამკუთხა პრიზმა რომ-ლის სიმაღლე 2 ერთეულია ფუძეში მყოფიმართკუთხა სამკუთხედის კათეტები კი 4ერთეული და 5 ერთეული

გ) მართი სამკუთხა პრიზმა რომლისსიმაღლეა 2 ერთეული ფუძეში მყოფიმართკუთხა სამკუთხედის კათეტებია 3ერთეული და 5 ერთეული

ბ) მართკუთხა პარალელეპიპედი რომ-ლის სიმაღლეა 2 ერთეული სიგანე 3ერთეული სიგრძე 5 ერთეული

9 ბუნებაში მინერალები სხვადასხვა ფორმის კრისტალების სახით გვხვდება არსებობსმინერალის არაძვირფას სახეებთან ამეტისი კვარცი ემირალდი ფლორიდი და სხვებთანერთად ძვირფასი სახეებიც ალმასი ფირუზი საფირი და სხვ სურათზე კრისტალები დამათ ფორმებში გეომეტრიული ფიგურებია მოცემული დახატეთ კრისტალების ზედ-ხედები და გვერდხედები

ა) დახაზეთ სახლის ხედები ზემოდან წინიდან და გვერდიდანბ) იპოვეთ სახლის სახურავის ზომები

10 მ

5 მ

6 მ

11

12 მოცემული სამი ზომის მიხედვით იპოვეთ მართკუთხა პარა-ლელეპიპედის დიაგონალია) 6 8 24 ბ) 12 16 21

ერთი პარალელეპიპედის გვერდითი წიბო 5 სმ-ია ფუძე არის პარალელოგრამი რომლისგვერდებია 6 სმ და 8 სმ ხოლო დიაგონალებიდან ერთი 12 სმ-ია იპოვეთპარალელეპიპედის დიაგონალები

13

14 იპოვეთ მართი პარალელეპიპედის დიაგონალები თუ თითოეული მისი წიბოა a დაფუძის მახვილი კუთხე 60ordm-ია

დახაზეთ მრავალწახნაგების გვერდხედები წინხედები და ზედხედები

nimuSi

წინიდან ზემოდან გვერდიდან

10

166

prizmis zedapiris farTobi

gamokvleva 1 იპოვეთ იმ მართკუთხა პარალელეპიპედისსრული ზედაპირის ფართობი რომლის განზომილებებია a b და c

პარალელეპიპედის მოპირდაპირე წახნაგები წყვილ-წყვილად კონგრუენტული 6 მართკუთხედისაგან შედ-გება პარალელეპიპედის სრული ზედაპირის გამოთ-ვლისათვის გამოვთვალოთ მისი წახნაგების ფართობები

gamokvleva 2 გამოთვალეთ მართი სამკუთხა პრიზმის გვერდითი ზედაპირისა დასრული ზედაპირის ფართობი თუ მისი სიმაღლეა h ხოლო ფუძეში მყოფი სამკუთხედისგვერდებია a b და c

a სიგრძის b სიგანისა და c სიმაღლის მართკუთხა პარალელეპიპედის სრული ზედაპირისფართობი S = 2(ab + ac + bc) ფორმულით გამოითვლება

1 მარცხენა და მარჯვენა ac + ac = 2ac2 ზედა და ქვედა ab + ab = 2ab3 წინა და უკანა bc + bc = 2bcყველა წახნაგის ფართობების ჯამი S = 2ab + 2bc +2ac

წინა

უკანა

ზედა

ქვედა

მარჯვენამა

რცხე

ნა

b

b

b

b

aa

a

a

c

cc

c

წახნაგები ფართობები

a

aa

ab

bb

b

c

c

ch h h

დავხაზოთ პრიზმის შლილიპრიზმის გვერდითი ზედაპირი შედგება სამი მართკუთხედისაგან ამ სამკუთხედებისფართობების ჯამი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ტოლიაგვერდითი ზედაპირის ფართობის შემდგენი მართკუთხედების ფართობების ჯამიah + bh + ch = (a + b + c)h = Ph სადაც P ფუძეში მყოფი სამკუთხედის პერიმეტრია

პრიზმის სრული ზედაპირის მოძებნისათვის უნდა ვიპოვოთ ფუძეების ფართობებიპრიზმის ფუძეები ამ შემთხვევაში სამკუთხედის სახისაა მაშასადამე მოცემული პრიზმისსრული ზედაპირის ფართობი ფუძეების შემდგენი ორი სამკუთხედისა და გვერდითიზედაპირის ფართობების ჯამის ტოლია ამ შემთხვევაში ფუძის ფართობი ჰერონისფორმულით შეიძლება გამოთვლილი იქნას

167


gamokvleva 3 დახრილი პრიზმის ფუძეები 10 20 გვერ-დებიანი ორი მართკუთხედია ორი გვერდითი წახნაგის (მარ-ჯვენა და მარცხენა) ზომებიდან ერთი 10 მეორე კი 18 მქონეკონგრუენტული მართკუთხედებია დანარჩენი ორი გვერდითიწახნაგის (წინა და უკანა) ზომებია 20 და 18 მახვილი კუთხე 30ordm-ია მოცემული ზომების მიხედვით გამოთვალეთ პრიზმის სრულიზედაპირის ფართობი

პრიზმის პარალელოგრამის სახის წინა და უკანა წახნაგების ფართობის გაანგარიშებისათვისვიპოვოთ პრიზმის სიმაღლე

წინა და უკანა წახნაგების ფართობების ჯამი 2 20 9 = 360 (კვ ერთ)მარჯვენა და მარცხენა წახნაგების ფართობების ჯამი 2 10 18 = 360 (კვ ერთ)ფუძეების ფართობების ჯამი 2 20 10 = 400 (კვ ერთ)პრიზმის სრული ზედაპირი 360 + 360 + 400 = 1120 (კვ ერთ)

sin 30deg = h18

2030deg 10

18h

h = 9

მართი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი ფუძისმრავალკუთხედის პერიმეტრისა და სიმაღლის (გვერდითიწიბოს) ნამრავლის ტოლია

სადაც P ფუძის პერიმეტრს ხოლო h პრიზმის სიმაღლე უჩვენებს

პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი ფუძეებისა და გვერდითი ზედაპირის ფარ-თობების ჯამის ტოლია

მართი პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი S = 2Sფძ + Ph ფორმულითგამოითვლება

Sსრ = 2Sფძ + Sგვ

Sგვ = Ph

marTi prizmis gverdiTi zedapiris farTobi

prizmis sruli zedapiris farTobi

P

h

ა) გამოვთვალოთ მართი პრიზმის სრული ზედაპირისფართობი რომლის ფუძეებიც მართკუთხა სამკუთხედებია

2Sფძ = 2 6 8 = 48 (სმ2)S გვ= Ph = (10 + 8 + 6) 15 = 360 (სმ2)Sსრ = 48 სმ2 + 360 სმ2 = 408 (სმ2)

Sსრ = 2Sფძ + S გვ = 2Sფძ + Ph

nimuSi გამოთვალეთ მართი პრიზმის სრული ზედა-პირის ფართობი

6 სმ8 სმ

10 სმ

15სმ

12

168


ვიპოვოთ მართი პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი რომლის ფუძეებიც ტრაპეციებია

2Sფძ = 2 ( (10 + 4) 4) = 56 ( სმ2)Sგვ = Ph = (10 + 5 + 5 + 4) 15 = 360 (სმ2)Sსრ = 56 + 360 = 416 (სმ2)

გამოთვალეთ მართი პრიზმის გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობები

b)

5 სმ5 სმ

10 სმ4 სმ

4 სმ

15 სმ

Sსრ = 2Sფძ + Sგვ = 2Sფძ + Ph12

1

3 მ25 მ

5 სმ

24 მ8 სმ 75 სმ

2 სმ

18 მ5 მ

10 სმ

3 სმ124 მ

4 მ5 მ

9 მ85 მ

105 მ

ა) ჰიქმეთი გეგმავს ცხენისათვის წყლის დასალევიმართი პრიზმის ფორმის ჭურჭლის დამზადებასრომლის ფუძეც ტრაპეციის ფორმისაა მოცემულიზომის ჭურჭლის დამზადებისათვის სულ მცირერამდენი მასალა დასჭირდებათ

ბ) 6 მ სიმაღლის პრიზმის ფუძეები ტოლგვერდა ტრაპეციებია ტრაპეციის ფუძეები 2 მდა 8 მ-ია გვერდები 5 მ-ია იპოვეთ პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი დახაზეთშესაბამისი პრიზმა და მოცემული ზომები ზედ დააწერეთ

2

100 სმ50 სმ40 სმ 50 სმ

2 მ

სულ მცირე რამდენი კვადრატული მეტრი ქსოვილიაგამოყენებული მოცემულ კარავზე

3120 სმ

152 სმ 200 სმ

142 სმ

მართკუთხა პარალელეპიპედის წიბოები ისე შეეფარდება ერთმანეთს როგორც 3 7 8 მისი ზედაპირი 808 სმ2-ია იპოვეთ წიბოები

მართი პარალელეპიპედის ფუძის 6 სმ და 8 სმ გვერდები 30ordm-იან კუთხეს ქმნიან იპოვეთამ პარალელეპიპედის სრული ზედაპირის ფართობი თუ ცნობილია რომ გვერდითიწიბო 5 სმ-ია

იპოვეთ მართი ოთხკუთხა პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი თუ დიაგონალი 14 სმ-ია ხოლო გვერდითი წახნაგის დიაგონალი 10 სმ-ია

6

5

4

10 სმ20 სმ24 სმ

169


სურათზე მოცემული ზომების მიხედვითიპოვეთ წესიერი პრიზმის სრული ზედა-პირის ფართობი

იპოვეთ სურათზე მოცემული პრიზმების სრული ზედაპირის ფართობი

წესიერირვაკუთხედი

წესიერი ხუთკუთხედი წესიერი ექვსკუთხედი

7

9

125 სმ

12 სმ10 სმ

6 სმ

6 სმ

4 სმ

4 სმ

10 სმ

8 სმ15 სმ

წესიერი პრიზმები და შლილის სურათები რვეულში ჩაიხაზეთ შესაბამისი ზომებიდააწერეთ შლილის სურათებზე გამოთვალეთ პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი

8

8

6

ჩაიხაზეთ ფიგურებისა და შლილის სურათები გამოთვალეთ მართი პრიზმებისსრული ზედაპირის ფართობები

მართი პრიზმის მოცემული ზომების მიხედვითიპოვეთა) ფუძეების ფართობი ბ) გვერდითი ზედაპირის ფართობი გ) სრული ზედაპირის ფართობი

10

11

8 სმ

6 სმ

3 სმ

2 სმ

4 მ

5 მ

25 მ25 მ

4 მ

25 მ

128

89ბ) გ)ა)

8 სმ6 სმ

10 სმ4 სმ

6მ8მ

45მ

170


მონაცემების მიხედვით დახაზეთ მართი პრიზმების სურათი და გამოთვალეთ სრულიზედაპირის ფართობი

12

სურათზე მოცემული ზამთრის ბაღის კედლები დასახურავი გამჭვირვალე დაფებით უნდა დაიფაროსცნობილია რომ კარების ფართობი 18 მ2-ია მოცე-მული ზომების მიხედვით გამოთვალეთ რამდენიკვადრატული მეტრი დაფა იქნება საჭირო მისიდაფარვისათვის

1309 მ 15 მ

24 მ

3 მ24 მ

30 მ2 ფართობის შეღებვისათვის დაახლოებით 4 ლსაღებავია საჭირო სურათზე ნაჩვენები ავტო-ფარეხის 2-ჯერ შეღებვისათვის რამდენი ლიტრისაღებავი იქნება საჭირო ზომები მეტრებშიამოცემული

14

მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის ფიც-რისგან სურათზე ნაჩვენები ნაწილი ამოჭრილ-ამოღებული იქნა როგორ შეიცვალა დარ-ჩენილი ფიცრის ნაწილის სრული ზედაპირისფართობი პასუხი გამოთვლებით დაასა-ბუთეთ

იპოვეთ მართკუთხა პარალელეპიპედისაგან ამოჭრით მიღებული ფიგურების სრულიზედაპირის ფართობი

15

16

40 სმ16 სმ

20 სმ

16 სმ 10 სმ8 სმ

8 სმ

20 სმ

24 მ

09 მ06 მ

23 მ

18 მ 4 მ5 მ

5 მ

4 მ3 მ

3 მ

5 სმ

5 სმ

22 სმ

25 სმ

15 სმ

10 სმ

პრიზმის ფუძე პრიზმისსიმაღლე

ა) ტოლგვერდა სამკუთხედი რომლის გვერდი 8 ერთეულიაბ) სამკუთხედი რომლის გვერდებია 13 14 15 ერთეულიგ) ტოლფერდა სამკუთხედია რომლის გვერდები 12 10 10ერთეულიად) ტოლფერდა ტრაპეცია რომლის გვერდები 10 5 4 5ერთეულიაე) რომბი რომლის დიაგონალებია 8 და 6 ერთეულივ) წესიერი ექვსკუთხედი რომლის გვერდია 8 ერთეული

10 ერთეული12 ერთეული7 ერთეული

20 ერთეული



15

241

22

64

171

prizmis sibrtyiTi kveTebi


gamokvleva ყველი მართი სამკუთხა პრიზმის ფორმისაა როგორ უნდა დაჭრათ ყველირომ მოჭრილი კვთები მოთხოვნილი ფორმისა იყოს

ა) მართკუთხედი ბ) სამკუთხედი გ) ტრაპეცია

პრიზმის სიბრტყესთან გადაკვეთის შედეგად მასზე დარჩენილი კვალი განსაზღვრავსსიბრტყითი კვეთის ფორმას სურათზე მართკუთხა პარალელეპიპედის სიბრტყითიკვეთებია ასახული

ფუძის სიბრტყის პა-რალელური სიბრ-ტყით გადაკვეთამიიღება მართკუთ-ხედი

ფუძის მართობულისიბრტყით გადაკვე-თა მიიღება მართკუთ-ხედი

ფუძის სიბრტყესთანგანსაზღვრული კუთ-ხის შემქმნელი მოპირ-დაპირე წახნაგებისმკვეთი სიბრტყემიიღება პარალელო-გრამი

ფუძის სიბრტყესთანგანსაზღვრული კუთ-ხის შემქმნელი ერთიწვეროდან გამოსულიწიბოების მკვეთისიბრტყე მიიღება სამკუთხედი

ა) გვერდხედი და წინხედიმართკუთხა ფორმისაა თუყველს დავჭრით ვერტიკა-ლურად კვეთებში მართ-კუთხედები წარმოიქმნება

ბ) ყველის ზედხედი სამ-კუთხა ფორმისაა თუ ყველსჰორიზონტალურად დავ-ჭრით კვეთა სამკუთხა სა-ხისა იქნება

გ) ყველის გვერდხედი სამ-კუთხა ფორმისაა თუ ყველსგანსაზღვრული კუთხითდავჭრით კვეთა ტრაპეციისსახისა იქნება

მიაქციეთ ყურადღება როცა ვამბობთ სიბრტყითი კვეთა ვგულისხმობთ არა გამოყოფილნაწილს არამედ ფიგურაზე დარჩენილ კვეთის სახეს

პრიზმის გვერდითი წიბოების მართობული სიბრტყით გადაკვეთისასმიღებულ მრავალკუთხედს მისი მართობული კვეთა ეწოდებაპრიზმის ფუძის სიბრტყის პარალელური სიბრტყითი კვეთა კი ფუძისკონგრუენტული მრავალკუთხედია

პრიზმის ერთ წახნაგზე არამდებარე ორ გვერდით წიბოზე გამავალ მკვეთს დიაგონალური კვეთა ეწოდება

n-კუთხა პრიზმის დიაგონალური კვეთების რაოდენობა -ის ტოლია

ვინაიდან დიაგონალური კვეთებიდან თითოეული პარალელოგრამია მიიღება რომ

n-კუთხა პრიზმას n(n ndash 3) რაოდენობის დიაგონალი აქვს

n(n ndash 3)2

172


დახაზვით წარმოადგინეთ თითოეული პრიზმის შესაბამის სიბრტყესთან კვეთაგანსაზღვრეთ გადაკვეთისას მიღებული მრავალკუთხედის სახე

ფუძის სიბრტყის პარა-ლელური სიბრტყით


ფუძის სიბრტყის მართობულისიბრტყით

ფუძის სიბრტყის მარ-თობული სიბრტყით

ფუძის სიბრტყესთან განსა-ზღვრული კუთხის შექმნითწინა და უკანა წახნაგებისმკვეთი სიბრტყით

ფუძის სიბრტყესთან განსაზ-ღვრულ კუთხის შექმნით ერ-თი წვეროდან გამოსული სამიწიბოს მკვეთი

რომელი მრავალკუთხედი მიიღება კუბის სახით ნაჩვენებ სიბრტყესთან გადაკვეთისას1

2

3 1) იპოვეთ 6 სმ წიბოს მქონე კუბის სურათზე ნაჩვენები სიბრტყითიკვეთის პერიმეტრი

2) კუბი ერთი წვეროდან გამოსული სამი წიბოს წვეროებზე გამავალისიბრტყითაა გადაკვეთილი რა ფიგურა მიიღება კვეთაშია) იპოვეთ d მონაკვეთის სიგრძე თუ კუბის წიბო 1 სმ-იაბ) იპოვეთ სიბრტყითი კვეთის პერიმეტრი თუ კუბის წიბო 3radic2 სმ-ია

4 მართკუთხა პარალელეპიპედის განზომილებებია 9 სმ 12 სმ 20 სმ გამოთვალეთთითოეული სიბრტყითი კვეთიდან მიღებული ფიგურების პერიმეტრი და ფართობი

a a a ab

c

b b b

c c c

6 წესიერი ექვსკუთხა პრიზმის უდიდესი დიაგონალური კვეთის ფართობი 2 სმ2-იაიპოვეთ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

5 მართკუთხა პარალელეპიპედის ფუძის გვერდები 7 სმ და 24 სმ-ია პარალელეპიპედისსიმაღლე კი 8 სმ-ია იპოვეთ დიაგონალური კვეთის ფართობი

d

nimuSi დახრილი პრიზმის ფუძეებიტოლგვერდა სამკუთხედებია ACCprimeAprimeწახნაგი ოთხკუთხედია იპოვეთ პრიზმისგვერდითი ზედაპირის ფართობი თუAAprime = 12 სმ AB = BC = 8 სმ AC = 6 სმდა α = 30deg amoxsna პრიზმის გვერდითი ზედაპირიSგვ = P კვl

პრიზმის მართობულ კვეთაში მიიღებასამკუთხედი DEF ამოცანის ამოხსნისათ-ვის პრიზმის ღია სურათზე უფრო თვალნათლივ დანახვა შეიძლება

173

სურათზე მოცემული დახრილი პრიზმის ფუძეები ტოლგვერდა სამ-კუთხედებია ACCprimeAprime წახნაგი ოთხკუთხედია იპოვეთ პრიზმის გვერ-დითი ზედაპირის ფართობი თუ AAprime = 10 სმ AB = 4 სმ α = 45deg

10 დახრილი სამკუთხა პრიზმის გვერდით წიბოებს შორის მანძილები 4 სმ6 სმ და 8 სმ-ია პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი 90 სმ2-იაიპოვეთ პრიზმის გვერდითი წიბო

11


მართი პრიზმის ფუძე რომბია პრიზმის დიაგონალები 8 სმ და 5 სმ-ია ხოლო სიმაღლე2 სმ იპოვეთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი

7

8

მართი პრიზმის ფუძე რომბია მისი დიაგონალური კვეთის ფართობებია 42 სმ2 და 56 სმ2 იპოვეთ ამ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობის მისი მართობული კვეთის გამოყენებით ზო-გადი სახით გამოხატვა შეიძლებაპრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი მისი მართობული კვეთის პერიმეტრისა დაგვერდითი წიბოს სიგრძის ნამრავლის ტოლიაSგვ = P კვl

მართი პრიზმის ფუძეებთან მართობული კვეთები კონგრუენტული მრავალკუთხედებიაამიტომაც მართ პრიზმაში მართობული კვეთის პერიმეტრის ნაცვლად ფუძის პერიმეტრისგამოსახულება გამოიყენება მართობული კვეთის პერიმეტრიდან დახრილი პრიზმისგვერდითი ზედაპირის ფართობის პოვნისას გამოყენება შეიძლება დახრილი პრიზმისგვერდითი ზედაპირი მისი წახნაგების ფართობების ცალ-ცალკე პოვნითა და შეჯამებითაცშეიძლება გამოითვალოს (მე-3 გამოკვლევის მსგავსად)

DE და FE ვინაიდან 30deg-იანი კუთხის მოპირდაპირე კათეტებია 4 სმ იქნება DEFმართობული კვეთის პერიმეტრი DE + DF + FE = 4 + 6 + 4 = 14 (სმ)Sგვ = P კვ AAprime = 14 12 = 168 (სმ2)

დახრილი პრიზმის ფუძე არის მართკუთხედი რომლის გვერდებია 6 სმ და 4 სმგვერდითი წახნაგებიდან ორის ზომა 6 სმ times 8 სმ მართკუთხედებია დანარჩენი ორიგვერდითი წახნაგი კი ზომები 4 სმ times 8 სმ 30deg-იანი მახვილი კუთხის მქონეპარალელოგრამია იპოვეთ დახრილი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობითითოეული წახნაგის ფართობის გამოთვლით

9

A1C1

CA

B

Ba a

A

D

E

F

E D F E

Aprime

Aprime

A

Bprime

B

C

Cprime

Cprime

C

B

Bprimeαα

α α 886

6 44

174

piramida piramidis gverdiTi zedapirisa da srulizedapiris farTobi

პირამიდა არის მრავალწახნაგა რომლის ერთი წახნაგი არის მრავალკუთხედი ხოლოდანარჩენი წახნაგები საერთო წვეროს მქონე სამკუთხედებია საერთო წვეროს მქონესამკუთხედები პირამიდის გვერდითი წახნაგებია ხოლო მრავალკუთხედი კი ფუძეგვერდითი წახნაგების საერთო გვერდებს გვერდითიწიბოები ეწოდებაგვერდით წახნაგებზე არსებულ სამკუთხე-დების საერთო წვეროს პირამიდის წვეროეწოდებაპირამიდის წვეროდან ფუძის სიბრტყეზედაშვებულ მართობს პირამიდის სიმაღლეეწოდება

თუ ფუძე წესიერი მრავალკუთხედია და სიმაღლისფუძე ამ მრავალკუთხედის ცენტრს ემთხვევა მაშინპირამიდას წესიერი პირამიდა ეწოდება

გვერდითიწიბო

გვერდითიწახნაგი


ფუძე

აპოთემასიმაღლე

ფუძე (წესიერიმრავალკუთხედი)

წვერო

oTxkuTxapiramida

wesieri oTxkuTxa piramida

წესიერი პირამიდის გვერდითი წახნაგისსიმაღლეს რომელიც გავლებულია პირა-მიდის წვეროდან პირამიდის აპოთემაეწოდება

პირამიდის დასახელება განისაზღვრება ფუძეში არსებული მრავალკუთხედის სახელითმაგალითად სამკუთხა პირამიდა ოთხკუთხა პირამიდა და აშ

samkuTxa piramidaxuTkuTxa piramidaoTxkuTxa piramida

წესიერი პირამიდის გვერდითი წიბოები კონგრუენტულიაწესიერი პირამიდის გვერდითი წახნაგები კონგრუენტული ტოლფერდა სამკუთხედებიაწესიერი სამკუთხა პირამიდას ტეტრაედრიც ეწოდება ტეტრა ბერძნულად ოთხს ნიშნავსანუ 4 წახნაგის (თითოეული სამკუთხა ფორმისაა) მქონე მრავალწახნაგა

კერძო შემთხვევაში პირამიდის ქვემოთ მოცემულ ნაბიჯებად გავლება შეიძლება

1 გაავლეთ პარალელო-გრამი და მისი დიაგონა-ლები

2 დიაგონალების გადა-კვეთის წერტილისადმიდაუშვით მართობი

3 შეაერთეთ მართობის წვე-როსა და პარალელოგრამისწვეროების წერტილები

S = ahაპ + ahაპ + ahაპ + ahაპ + ahაპ + ahაპ =

= hაპ (a + a + a + a + a + a) = Phაპ S = Phაპ

175

Sგვ = Phაპ = 6 a hაპ = 6 6 9 = 162 (სმ2)ფუძის ფართობის პოვნისათვის ჯერ წესიერი ექვსკუთხა

აპოთემა (r) უნდა მოვძებნოთ Sფძ= Prწესიერი ექვსკუთხა ცენტრული კუთხე 360deg 6 = 60degმაშინ AOK = 30degr = 3 tg60deg = 3radic3 Sფძ= 36 3radic3 935 (სმ2)S სრ = Sგვ + Sფძ 162 სმ2 + 935 სმ2 = 2555 სმ2

nimuSi 1 წესიერი ექვსკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდი6 სმ-ია იპოვეთ პირამიდის სრული ზედაპირის ფართობითუ აპოთემა 9 სმ-იაamoxsna

mocemulia a = 6 სმ hაპ = 9 სმ

ipoveT Sსრ =

12

12

12

12

12

6 სმ

3 სმ

r

9 სმ

30deg

წესიერი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობიფუძეში მდებარე მრავალკუთხედის პერიმეტრისა დაპირამიდის აპოთემის ნამრავლის ნახევრის ტოლია

სადაც P არის ფუძის პერიმეტრი hაპ - პირამიდის აპოთემააპირამიდის სრული ზედაპირის ფართობი მისი ფუძისა და გვერდითი ზედაპირის ფარ-თობის ჯამის ტოლია S სრ = Sგვ + Sფძ

Sგვ = Phაპ

wesieri piramidis gverdiTi zedapiris farTobi

12

hაპ

h

წესიერი პირამიდის გვერდითი ზედაპირისფართობი შეიძლება ვიპოვოთ როგორც გვერ-დითი წახნაგების შემდგენი კონგრუენტულისამკუთხედების ფართობების ჯამიმაგალითად სურათზე მოცემული ექვსკუთხაპირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობიმისი გვერდითი ზედაპირის შემდგენი 6 კონ-გრუენტული სამკუთხედის ფართობების ჯა-მის ტოლია

12

12

12

12

12

12

12

12

12

a

la a aa a

aaaa a a

ha ha ha ha ha ha

A

O

BK


176

∆ADO- დან AO = radicAD2 DO2 = radic102 62 = radic64 = 8 (სმ)ცნობილია რომ AO = AE (განმარტეთ) AE = 8 (სმ) AE = 12 სმ რადგან∆AEB-ს კუთხეები 30deg 60deg 90deg -ია (განმარტეთ)

BE = = = 4radic3 BC = 2BE = 8radic3 P = 3BC = 24radic3∆DOE-დან ვიპოვოთ აპოთემა OE = 12 8 = 4 ( სმ)DE = radicOD2 + OE2 = radic62 + 42 = radic52 = 2radic13

Sგვ = Phაპ = 24radic3 2radic13 = 24radic39 (სმ 2)Sფძ = BC AE = 8radic3 12 = 48radic3 (სმ2)

S სრ = Sგვ + Sფძ = 24radic39 + 24radic3 150 + 42 = 192 (სმ2)

nimuSi 2 წესიერი სამკუთხა პირამიდის გვერდითი წიბოები 10 სმსიმაღლე 6 სმ-ია იპოვეთ პირამიდის სრული ზედაპირის ფართობიamoxsnamocemulia AD = 10 სმ DO = 6 სმipoveT Sსრ =

12

12 1

212

10

A

B E

A

C

B

D

O E

6

23

23

AEradic3

12radic3

30deg

60deg

სურათის მონაცემების მიხედვით გამოთვალეთ წესიერი პირამიდების გვერდითიზედაპირების ფართობები

saswavlo davalebebi

სურათის მონაცემების მიხედვით გამოთვალეთ წესიერი პირამიდების გვერდითიზედაპირების ფართობები პასუხები მთელ რიცხვებამდე დაამრგვალეთ

1

2

28 სმ

30 სმ

8 სმ

20 სმ

182 სმ

4 სმ

8 მ

12 მ

5 სმ

10 სმ10 მ

12 მ

3

4

პირამიდის ფუძეა მართკუთხედი რომლის ერთი გვერდი 6 სმ-ია ხოლო მეორე გვერდი8 სმ პირამიდის გვერდითი წიბოების სიგრძე 13 სმ-ია იპოვეთ სიმაღლე

წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის სიმაღლე 7 სმ-ია ფუძის გვერდი 8 სმ იპოვეთ გვერ-დითი წიბო

პირამიდის გვერდითი ზედაპირის გამოთვლისათვის უნდა ვიპოვოთ ფუძის პერიმეტრი დააპოთემა პერიმეტრის პოვნისათვის კი წესიერი სამკუთხედის ერთი გვერდის მოძებნასაკმარისია


177

მართკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდებია 10 და 18 ერთეულიO მართკუთხედის ცენტრია პირამიდის სიმაღლე FO = 12 სმ

ა) იპოვეთ FH და FE

ბ) იპოვეთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

S გვ = Pha ფორმულის გამოყენება შეიძლება

7

h ha

10

18

12

A

B C

DHE

F

O12

8 იპოვეთ წესიერი პირამიდების გვერდითი ზედაპირების ფართობები

5 სმ3 სმ

15 სმ

3 მ

24 მ

11სმ

65 სმ 25 მ

14 მ5 სმ

10 სმ

12 სმ

12 სმ12 სმ

10 სმ

15 სმ

8 სმ

6 სმ

სამკუთხა პირამიდის გვერდითი წიბოები 4 სმ 6 სმ და 8 სმ-ია და წყვილ-წყვილადმართობულია იპოვეთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

პირამიდის ფუძე არის მართკუთხედი რომლის გვერდებია 9 სმ და 5 სმ ერთ-ერთიგვერდითი წიბო რომელიც 12 სმ-ია ფუძის სიბრტყის მართობულია იპოვეთ ამპირამიდის გვერდითი ზედაპირი

10

9

მოცემული ზომების მიხედვით დახაზეთ წესიერი პირამიდები და იპოვეთ გვერდითიზედაპირის ფართობია) წესიერი ოთხკუთხა პირამიდა რომლის ფუძის გვერდია 8 ერთეული გვერდითი წიბოკი 5 ერთეულიბ) წესიერი სამკუთხა პირამიდა რომლის ფუძის გვერდია 4 ერთეული აპოთემა 6ერთეულიგ) წესიერი ექვსკუთხა პირამიდა რომლის ფუძის გვერდია 10 ერთეული გვერდითიწიბო კი 13 ერთეული

ცხრილის მონაცემების მიხედვით იპოვეთ წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის მოთხოვნილიზომები

5

6

სიმაღლე 6 12 24 6აპოთემა 10 15 13 5

ფუძის გვერდი 10 8

გვერდითი ზედაპირი 156 320

h ha


178

11 სახლის სახურავი წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის ფორმისაა პირამიდის ფუძის გვერდი12 მ-ია სახურავის სიმაღლე 25 მ-ია რამდენი კვადრატული მეტრი მასალა არისგამოყენებული სახლის სახურავზე

12

13 მსოფლიოს დიდი ქვეყნების არქიტექტურაში პირამიდის სახის ნაგებობებს მნიშ-ვნელოვანი ადგილი უკავიათ ამ ნაგებობებს შორის არის უძველესი ძეგლებიც (ეგვიპტისპირამიდები რომის სესტის პირამიდა) და არის ქალაქებისათვის თანამედროვეობისმიმნიჭებელი ახლებიც (პარიზში ლუვრის მუზეუმი ბაქოში იჩერიშაჰარის მეტროსშესასვლელი და სხვ) ა) ჰეოპსისა და ლუვრის პირამიდები ოთხკუთხა პირამიდებიამოცემული ზომების მიხედვით გამოთვალეთ თითოეულის გვერდითი ზედაპირისფართობი

წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის მონაცემების მიხედვითა) OM ბ) ha გ) NCდ) S∆NBC ე) Sგვ ვ) Sსრ

luvris piramida pariziheopsis piramida egvipte

iCeriSaharis metros piramida

ფუძის გვერდი 35 მ აპოთემა 28 მ

ბ) სურათზე იჩერიშაჰარის მეტროს სადგურის პირამიდისებრი შესასვლელის გეგმაამოცემული გეგმაზე მოცემული ზომების მიხედვით გამოთვალეთ პირამიდისგვერდითი ზედაპირის ფართობი


N

66

12

ha

DO M

C

BA

8

haწესიერ ტეტრაედრში მონაცემების მიხედვით იპოვეთმოთხოვნილებია) OM ბ) ha გ) NCდ) S ∆NBC ე) Sგვ ვ) Sსრ

14B

3სმ

3სმ

hl

M

N

A

C

O

49 მ

49 მ

47 მ47 მ

66 მ

14 მ


179

პირამიდის ფუძე ტოლფერდა სამკუთხედია რომლის გვერდებია 6 სმ 6 სმ და 8 სმთითოეული გვერდითი წიბო 5 სმ-ია იპოვეთ ამ პირამიდის გვერდითი ზედაპირისფართობი

წესიერი ექვსკუთხა პირამიდის ერთი გვერდითი წახნაგისფართობი 8radic3 ფუძის ფართობი კი 24radic3 კვადრატულიერთეულია გამოთვალეთ პირამიდის ა) ფუძის გვერდის სიგრძე ბ) აპოთემა გ) გვერდითი წიბოს სიგრძე დ) სიმაღლე

gamokvleva wesier oTxkuTxa piramidaze ა) იზომეტრიულ წერტილოვან ფურცელზე სურათზე მოცემულისმსგავსად დახაზეთ წესიერი ოთხკუთხა პირამიდა რომლის ფუძისგვერდი 3 ერთეულიაბ) გამოთვალეთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი იმ შემ-თხვევებისათვის როცა აპოთემა ტოლია 3-ის 9-ისა და შეადგინეთცხრილიგ) დაწერეთ ფუძის ზომების შეუცვლელად აპოთემის ზომის 3-ჯერგაზრდით როგორ შეიცვალა გვერდითი ზედაპირის ფართობიდ) თან ფუძის გვერდი და თან აპოთემა 3-ჯერ თუ გაიზრდება როგორშეიცვლება გვერდითი ზედაპირი

გამოთვალეთ სურათზე მოცე-მული ფიგურის (წესიერი ოქტა-ედრის) გვერდითი ზედაპირისფართობი

წესიერი სამკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდი 6 სმ-ია გვერდითი ზედაპირის ფუძის სიბრ-ტყესთან შექმნილი კუთხე 45deg-ია იპოვეთ პი-რამიდის გვერდითი ზედაპირისა და სრულიზედაპირის ფართობიპირამიდის ფუძე არის ტოლფერდასამკუთხედი რომლის ფერდები 10 სმ-ია ფუძეკი 12 სმ-ია გვერდითი წახნაგებით ფუძისსიბრტყესთან შექმნილი ორწახნაგა კუთხისგრადუსული ზომა კი 60deg-ია იპოვეთპირამიდის აპოთემა და სიმაღლე

16

18

19 20

21

17

6 სმ

6 სმ

15 ა) პირამიდის აპოთემა სიმაღლეზე ნაკლები არაა დაასაბუთეთ ეს მოსაზრება

ბ) წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდი 10 სმ-ია გვერდითი წიბო 13 სმიპოვეთ პირამიდის სიმაღლე და აპოთემა

გ) პირამიდის ფუძე არის რომბირომლის დიაგონალებია 12 სმ და 16 სმ იპოვეთ ამპირამიდის სრული ზედაპირის ფართობი თუ გვერდითი წახნაგები ფუძის სიბრ-ტყესთან 60deg-იან კუთხეს ადგენენ


დაამტკიცეთ რომ ქვემოთ მოცემული მოსაზრებები მართებულიაპირამიდის ფუძის პარალელური სიბრტყით გადაკვეთისას1) ეს სიბრტყე პირამიდის გვერდით წიბოებსა და სიმაღლეს პრო-პორციულ ნაწილებად ყოფს2) გადაკვეთისას მიღებული მრავალკუთხედი ფუძის მსგავსია3) კვეთისა და ფუძის ფართობების თანაფარდობა მათი წვერო-დან დაშორების მანძილების კვადრატების თანაფარდობისტოლიაdamtkicebis gegma ისარგებლეთ პირამიდის პარალელური სიბრტყითი კვეთითგვერდით წახნაგებზე წარმოქმნილი ABT და AprimeBprimeT სამკუთხედების მსგავსებით

180

piramidis kveTebi wakveTili piramida

სიტყვიერად აღწერეთ პრიზმისა და სიბრ-ტყის გადაკვეთა

სიტყვიერად აღწერეთ სამკუთხაპირამიდისა და სიბრტყის სურათ-ზე ნაჩვენები კვეთები

ა) ბ)

წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის სიბრტყესთან გადაკვეთისას სხვადასხვა ფორმის მრა-ვალკუთხედები მიიღება გამოიკვლიეთ ქვემოთ მოცემული შემთხვევები სურათითა დასიტყვიერად დაწერით წარმოადგინეთ

ფუძის პარალელურ სიბრტყეს-თან გადაკვეთა გადაკვეთაშიკვადრატი მიიღება

ფუძის სიბრტყესთან განსაზ-ღვრული კუთხით ყოფნისასერთ წვეროში შეერთებულიმეზობელი წახნაგების მკვეთსიბრტყესთან გადაკვეთა გა-დაკვეთისას სამკუთხედი მი-იღება

ფუძის სიბრტყესთან განსაზ-ღვრული კუთხით ყოფნის-ას მოპირდაპირე წახნაგებისმკვეთ სიბრტყესთან გადა-კვეთა გადაკვეთისას ტრაპე-ცია მიიღება

წვეროზე გავლით ფუძი-სადმი მართობული სიბრ-ტყით გადაკვეთა გადაკვე-თაში ტოლფერდა სამკუთ-ხედი მიიღება

32

1

ა) წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდი 14 სმ-ია გვერდითი წიბოსსიგრძე-10 სმ იპოვეთ დიაგონალური კვეთის (პირამიდის წვეროს წერტილზედა ფუძის დიაგონალზე გამავალი სიბრტყით) ფართობიბ) იპოვეთ წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის (რომლის სიმაღლეც 12 ერთეული ფუ-ძის გვერდი კი 8 ერთეულია) ორი მოპირდაპირე გვერდითი წახნაგის აპოთე-მებზე გამავალ სიბრტყით კვეთაში მიღებული მრავალკუთხედის ფართობი

4

6

A

Aprime

B

Bprime

T

C

Cprime

D

Dprime

პირამიდის სიმაღლე 4 ტოლ ნაწილად დაიყო და დაყოფის წერტილებზე ფუძისპარალელური სიბრტყეებით გადაიკვეთა იპოვეთ მიღებული კვეთების ფართობები თუცნობილი რომ ფუძის ფართობი 400 მ2-ია

5

ა) ბ)

181

წაკვეთილი პირამიდის აგების ნაბიჯები

1) დახაზეთ პირა-მიდის ფუძეში არ-სებული მრავალ-კუთხედი

2) მრავალკუთხედის ცენტრ-ში გაავლეთ განსაზღვრულისიგრძის მართობი და მისიწვერო ფუძის წვეროებთანშეაერთეთ

3) პირამიდის ნებისმიერ გვერდით წიბოზეერთი წერტილიდან დაწყებით ფუძისგვერდების პარალელური მონაკვეთებითდახაზეთ პირამიდის მეორე ფუძე გვერ-დითი წიბოების წვეროდან მცირე ფუძემდეარსებული ნაწილები წაშალეთ

b

hh

წაკვეთილი პირამიდის ერთ წახნაგზე არამდებარე ორგვერდით წიბოზე გამავალ სიბრტყეს მისი დიაგონალურიმკვეთი ეწოდება A

Aprime

B

Bprime

C

Cprime

D

Dprime


პირამიდის სიმაღლე 16 სმ-ია ფუძის ფართობი კი 512 სმ2-ია იპოვეთ ფუძის პარა-ლელური მკვეთის ფუძის სიბრტყიდან მანძილი თუ მისი ფართობი 50 სმ2-ია

7

პირამიდის ფუძის პარალელური სიბრტყით გადაკვეთისას ამსიბრტყესა და პირამიდის ფუძეს შორის დარჩენილ მრავალწახნაგსწაკვეთილი პირამიდა ეწოდებაწაკვეთილი პირამიდის პარალელური წახნაგები მისი ფუძეებიდანარჩენი წახნაგები კი გვერდითი წახნაგებია ფუძეებისსიბტყეების მართობული წრფის ამ სიბრტყეებს შორის დარჩენილმონაკვეთს წაკვეთილი პირამიდის სიმაღლე ეწოდებაწესიერი პირამიდის ფუძის პარალელური სიბრტყით გადა-კვეთისას მიღებული წაკვეთილი პირამიდაც წესიერი წაკვეთილიპირამიდაა წესიერი წაკვეთილი პირამიდის გვერდითი წახნაგებიკონგრუენტული ტრაპეციაებია ამ ტრაპეციების სიმაღლე წესიერიწაკვეთილი პირამიდის აპოთემაა

h

O

O1

წესიერი წაკვეთილი პირამიდის გვერდითი

ზედაპირის ფართობი Sგვ = (P1 + P2)ha

ფორმულით გამოითვლება სადაც P1 და P2 წესიერი წაკვეთილი პირამიდისფუძეების პერიმეტრებია ha - აპოთემააწაკვეთილი პირამიდის სრული ზედაპირისფართობი კი გვედითი ზედაპირისა და ქვედა დაზედა ფუძეების ფართობების ჯამის ტოლია

heee

b

a

ha

b

h

b

aaa

ha

12

Sსრ = Sგვ + Sქვ + Sზედ

182


წესიერი წაკვეთილი პირამიდის გვერ-დითი ზედაპირის ფართობისათვის

Sგვ = (P1 + P2)ha ფორმულის

მართებულობა უჩვენეთ სურათზე მო-

ცემულ წესიერ პირამიდაზე

წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის AB გვერდი 12 სმ-ია SO სიმაღლე 8 სმ-იაპირამიდა ფუძიდან 2 სმ-ის მანძილზე ფუძის პარალელური სიბრტყითაა გადაკვეთილიიპოვეთ მიღებული წაკვეთილი პირამიდის სრული ზედაპირის ფართობი

12

B

B

B

CA

c

aa

a

c

ha

ha

CprimeAprimeBprime BprimeBprime

b

a

9

8 ა) დახაზეთ წესიერი ოთხკუთხა წაკვეთილი პირამიდა რომლის სიმაღლე 6 სმ ხოლოფუძეების გვერდების სიგრძე შესაბამისად 4 სმ და 6 სმ-ია

ბ) დახაზეთ წესიერი ექვსკუთხა წაკვეთილი პირამიდა რომლის სიმაღლეა 8 სმ ხოლოფუძეების გვერდების სიგრძე შესაბამისად 2 სმ და 3 სმ-ია

გ) წესიერი ოთხკუთხა წაკვეთილი პირამიდის ფუძეების ფართობები 36 სმ2 და 64 სმ2-ია პირამიდის გვერდითი წიბო ქვედა ფუძესთან ადგენს 45deg-იან კუთხეს იპო-ვეთ დიაგონალური კვეთის ფართობი

10 გამოთვალეთ წესიერი ოთხკუთხაწაკვეთილი პირამიდების გვერდითიდა სრული ზედაპირის ფართობები

11

6 სმ

5 სმ

4 სმ

20 მ

22მ

12 მ

წესიერი ოთხკუთხა პირამიდა რომლის სიმაღლეა 8 სმ ფუძის გვერდი კი 12 სმ-იასიმაღლის შუაწერტილზე ფუძის პარალელური სიბრტყითაა გადაკვეტილიგანსაზღვრეთ მოცემული წაკვეთილი პირამიდის ზომები ააგეთ ნახაზი დაგამოთვალეთ სრული ზედაპირის ფართობი

წესიერი ოთხკუთხა წაკვეთილი პირამიდის სიმაღლე 28 სმ-ია აპოთემა 35 სმ-ია ფუძისგვერდები ისე შეეფარდება ერთმანეთს როგორც 52 იპოვეთ პირამიდის სრულიზედაპირის ფართობი

12

13

წესიერი ოთხკუთხა პირამიდა რომლის ფუძის გვერდია 30 სმსიმაღლე კი 36 სმ-ია ფუძის პარალელური სიბრტყეებით(წვეროდან დაწყებული ყოველ 12 სმ-ში სიმაღლის გასწვრივ)ნაწილებად დაიყო მინის დაფები მეტალის ჩხირებით დამაგრდადა სამკაულების ყუთი დამზადდა თუ ეს კონსტრუქციამთლიანად მინით დაიფარებაა) სულ მცირე რამდენი კვადრატული მეტრი მინის დაფა იქნებასაჭირობ) სულ მცირე რამდენი მეტრი მეტალის ჩხირები იქნება საჭირო

14

AprimeBprime

A CB

a a

c cc

ha

Cprime

183


წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის ძირითადი ზომებია ფუძის გვერდი აპოთემის სიგრძესიმაღლე გვერდითი ზედაპირის ფართობი და სრული ზედაპირის ფართობიმოცემული ორი ზომის მიხედვით იპოვეთ დანარჩენები

გამოთვალეთ სურათის მონაცემების მიხედვით წესიერი პრიზმისა და პირამიდისაგანშემდგარი რთული ფიგურების ზედაპირის ფართობი

დახაზეთ მართი პრიზმებისა და წესიერი პირამიდების შლილის სურათები გამოთ-ვალეთ სრული ზედაპირის ფართობი

მოცემულია ABCDA1B1C1D1 კუბი რომლის წიბოა a იპოვეთBD დიაგონალიდან B1C1 და C1D1 წიბოების შუაწერტილებზე(M და N) გამავალი სიბრტყითი კვეთის ფართობი

ა) a = 3 სმ Sგვ = 15 სმ2 ბ) h = 12 მ a = 10 მგ) ha = 5 მ Sგვ = 60 მ2 დ) Sგვ = 80 სმ2 Sსრ= 144 სმ2

კუბის გვერდი 6 სმ-ია იპოვეთ Aprime B Cprime წვეროებზე გამავალი სიბრტყითჩამოკვეთილი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

Aprime

Dprime Cprime

CBA

13

10

24

5

8

845

3

2

4

5

6

მოცემული შლილის სურათებისა და ზომების მიხედვით დახაზეთ წესიერი პრიზმებიდა პირამიდები ფიგურების ზოგიერთი გვერდები დასახელებულია დანარჩენებითქვენ დაასახელეთ და გამოთვალეთ სრული ზედაპირის ფართობი

5 654

6 17

16

21

3

1

H

C

G

B

R

UM R RV

A

B

M

N

C

D

A1

B1 C1

D1

Bprime

2

10მ

8მ

8მ8სმ

8სმ 2 სმ

12სმ

5სმ

5მ

9მ

15მ

34

6

184

trigonometriuli gantolebebida utolobebi7

martivi trigonometriuli gantolebebi

trigonometriuli gantolebebis amoxsnisxerxebi

amocanebis amoxsna trigonometriuligantolebebis gamoyenebiT

trigonometriuli utolobebi

nimuSi 1 sin x = განტოლებას რამდენი ფესვი აქვს [03] მონაკვეთზე

amoxsna განტოლების ამოხსნას x = (ndash1)kmiddot + k (k Z) სახით ვწერთ k = 0 1 23

მნიშვნელობების შესაბამის ოთხ ფესვს ვპოულობთ x0 = x0 = x0 = x0 = k პარამეტრების სხვა მნიშვნელობების შესაბამისი ფესვები მოცემულ მონაკვეთს არ შეესაბამება

185


sin x = a cos x = a tg x = a ctg x = a განტოლებები მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებებია sin x = a განტოლებასინუსის ცვლილების არე [ndash1 1] მონაკვეთია ამიტომაც როცა a gt 1 მაშინsin x = a განტოლებას ამონახსენი არა აქვს განვიხილოთ a le 1 შემთხვევებიერთი და იგივე საკოორდინატო სიბრტყეზე ავაგოთ y = sin x და y = a ფუნქციებისგრაფიკები

როგორც ხედავთ y = a წრფე სინუსოიდას უსასრულო რაოდენობის წერტილში კვეთს ეს იმასნიშნავს რომ როცა a le 1 მაშინ sin x = a განტოლებას უსასრულო რაოდენობის ფესვი აქვსვინაიდან სინუსი არის პერიოდული ფუნქციაპერიოდის ტოლი სიგრძის ანუ 2 რომელიმე შუალედში ფესვებისპოვნა საკმარისია გრაფიკიდან ჩანს რომ როცა a lt 1 მაშინ sin x = aგანტოლებას [0 2] მონაკვეთზე ორი ფესვი აქვსწერტილის წრეწირის გარშემო ბრუნვითი მოძრაობის განხილვისასიგივე დასკვნის გაკეთება შეიძლება სრული პერიოდის განმავლობაშისინუსის ერთი და იგივე მნიშვნელობის მიმღები ორი კუთხის მოძებნააშესაძლებელიბრუნვითი კუთხეებიდან თუ ერთი იქნება მეორე ndash იქნება sin x = a (a lt 1) განტოლების დანარჩენი ამონახსნები კი ამ ორიამონახსნისათვის პერიოდის ჯერადი სიდიდეების მიმატებით მიიღება მაშასადამე თუ არის sin x = a განტოლების რაიმე ამონახსენი ამ განტოლების ყველა ამონახსენიx = + 2n x = ndash + 2n (n Z) სახით იწერება ამ ორ ამონახსენთა ოჯახს ზოგჯერერთი ფორმულით იძლევიან x = (ndash1)k + k (k Z) როცა k = 2n (ლუწია) მიიღებაამონახსენთა I ოჯახი როცა k = 2n + 1 (კენტია) ამონახსენთა II ოჯახი მიიღება

0

y = sin xy = a

x

y

ndash 2

x

ndash y

0

a

როცა a le 1 მაშინ რადგან sin x = a განტოლების ფესვი [ndash ] მონაკვეთზე არისx = arcsin a ამიტომ ამ განტოლებას ყველა ამონახსენი x = arcsin a + 2n x = ndash arcsin a + 2n (n Z) ფორმულებით გამოითვლება ამ ფორმულების შეერთება და

x = (ndash1)kmiddotarcsin a + k (k Z) სახით დაწერა შეიძლება

2

2

nimuSi 2 ამონახსენით განტოლება sin x = ndash

amoxsna რადგან arcsin(ndash ) = ndash ამიტომ x = (ndash1)kmiddot(ndash ) + k = = (ndash1)k + 1middot + k (k Z)

radic22

6

656

136

176

radic22

4

12

4

4

186

sin t = 1 ამ განტოლების ამონახსენი t = + 2k (k Z) იქნება თუ გავითვალის-წინებთ პირობით აღნიშვნას x + = + 2k (k Z)

აქედან x = ndash + 2k x = + 2k (k Z)6

2

32

2

3


ndash 2

0

y = 1

y = ndash1x

y

ndash 2 32

2

2

ეს შეიძლება დავინახოთ ერთეულოვან წრეწირზე გამოსახვითაც

წერტილი რომლის ორდი-ნატია 0 A(0) და C()

წერტილი რომლის ორდინა-ტია 1 B( )

წერტილის რომლისორდინატია ndash1 D(ndash )

x

y

0A(0)C()

x

y

0

2B( )

x

y

0

D(ndash )2

2

2

sin t = 0 t = k (k Z)

sin t = 1 t = + 2k (k Z)

sin t = ndash1 t = ndash + 2k (k Z)

როცა a = 0 a = 1 და a = ndash1 მაშინ sin x = a განტოლების ამონახსნები შეიძლება წარმო-ვადგინოთ უფრო მარტივი სახით

nimuSi 3 ამოხსენით განტოლება sin (x + ) = 1amoxsna თუ ავღნიშნავთ x + = t-თი მივიღებთ განტოლებას

3

3

nimuSi 4 ამოხსენით განტოლება sin (x ndash 30ordm) = 0amoxsna აქ ცხადია x არის გრადუსებში გამოსახული კუთხე ამიტომაც განტოლებისამონახსენი ასე შეიძლება ჩაიწეროს

x ndash 30ordm = 180ordmmiddotk x = 30ordm + 180ordmmiddotk (k Z)saswavlo davalebebi

2

1

განტოლებებისათვის 1) იპოვეთ ფესვები [ndash ] მონაკვეთზე

2) დაწერეთ საერთო ამონახსენი 3) ამონახსენი გამოსახეთ გრაფიკულად

ა) sin x = ბ) sin x = ndash გ) 2 sin x = ndashradic3 დ) 2 sin x + radic2 = 0 ე) sin x = 1 ვ) 1 + sin x = 0 ზ) 2 sin x ndash 1 = 0 თ) sin x = 0

radic22

12

2

2

3ა) 2 sin(x + ) = radic3 ბ) sin(2x ndash ) = 0 გ) 2 sin(2x ndash ) = 1

46

3

ამოხსენით განტოლებები

x-ის მოცემული მნიშვნელობებიდან რომელია მოცემული განტოლების ფესვიპერიოდულობის საფუძველზე დაწერეთ და შეამოწმეთ განტოლების კიდევ ორი ფესვიერთი დადებითი და ერთი უარყოფითი

ა) 2 sinx = 1 x = x = ბ) radic8 sinx = radic6 x = x =3

4

6

56

187


თუ არის cos x = a განტოლების ფესვი მაშინ ndash ასევე ფესვია რადგან cos(ndash) = cos ამრიგად თუ ცნობილია რომ cos x = a განტოლების ერთი ფესვია ამ განტოლებისფესვების x = + 2n და x = ndash + 2n (n Z) ფორმულებით პოვნა შეიძლება ამ ორფორმულას ზოგჯერ აერთიანებენ და x = plusmn + 2n (n Z) სახით წარმოადგენენროცა a le 1 მაშინ cos x = a განტოლებას [0 ] მონაკვეთზე აქვს ფესვი რადგანx = arccos a ამ განტოლების ყველა ამონახსენი x = plusmn arccos a + 2n (n Z) სახითჩაიწერება

nimuSi 5 ამოხსენით განტოლება cos x = amoxsna x = არის განტოლების ერთ-ერთი ფესვი მაშინ ყველა ამონახსენი x = + 2n და x = ndash + 2n (n Z) იქნება ამოხსნა x = plusmn + 2n (n Z) სახით შეიძლება ჩავწეროთ

4

radic22

4

4

x

y

0 a

M()

M(ndash)

4

cos x = a განტოლებაანალოგიური წესით მივიღებთ რომ როცა a gt 1 მაშინ cos x = a განტოლებასამონახსენი არა აქვს ხოლო როცა a le 1 მაშინ კი უსასრულო რაოდენობის ფესვი აქვსგრაფიკიდან (ასევე ერთეულოვანი წრეწირიდან) ჩანს რომ პერიოდის სიგრძის (ანუ 2-ს) ტოლ მონაკვეთზე cos x = a (a lt 1) განტოლებას ორი ფესვი აქვს

0 x

y

ndash ndash

y = cos x y = a

0 x

y

ndashy = 1

2ndash

232 2

როცა a = 0 a = 1 და a = ndash1 მაშინ cos x = a განტოლების ამონახსნები შეიძლება რომუფრო მარტივად გადმოიცეს

nimuSi 6 ამოხსენით განტოლება cos x = ndash amoxsna x = plusmn arccos(ndash ) + 2n (n Z) რადგან

arccos(ndash ) = ndash arccos = ndash = მივიღებთ x = plusmn + 2n (n Z)

121

212

12

3

23

23

ამის დანახვა ერთეულოვან წრეწირზე გამოსახვითაც არის შესაძლებელი

წერტილები რომლის აბსცისაა 0 C( )D( )

წერტილი რომლისაბსცისაა 1

წერტილი რომლისაბსცისაა ndash1

x

y

0 x

y

0

2C( )

x

y

0D( )3

2

A(0) C()

2

cos t = 0 t = + n (n Z)

cos t = 1 t = 2n (n Z)

cos t = ndash1 t = + 2n (n Z)

2

32

A(0) C()

188


nimuSi 7 ამოხსენით განტოლება cos (x + ) = ndash1 შემოვიტანოთ აღნიშვნა x + = t მაშინ cos t = ndash1 t = + 2k (k Z)თუ გავითვალისწინებთ აღნიშვნას x + = + 2k (k Z)x = ndash + + 2k x = + 2k (k Z)

4

44

434

4 x-ის მოცემული მნიშვნელობებიდან რომელია მოცემული განტოლების ფესვიპერიოდულობის საფუძველზე დაწერეთ და შეამოწმეთ განტოლების კიდევ ორი ფესვიერთი დადებითი და ერთი უარყოფითი

ა) cosx + 1 = 0 x = x = ბ) radic8 cosx = 2 x = x =2

4

6

5

ა) cos x = ბ) cos x = ndash გ) 2 cos x = radic2 დ) 2 cos x = radic3 ე) 2 cos x ndash radic3 = 0 ვ) 2 cos x + 1= 0 ზ) cos x ndash 1 = 0 თ) cos 2x = 0

12

radic22

განტოლებებისათვის 1) იპოვეთ ფესვები [0 ] მონაკვეთზე 2) დაწერეთ საერთოამონახსენი 3) ამონახსენი გამოსახეთ გრაფიკულად

განვიხილოთ ორივე განტოლებისათვის საერთო sin = განტოლების ამონახსენი ერთეულოვან წრეწირზე ორდი-

ნატიანი ორი წერტილი არსებობს ეს წერტილები და

მობრუნებებს შეესაბამება

განტოლების ამონახსენია + 2k და + 2k (k Z)

12

ა) ამ შემთხვევაში = x და 0 le x le 3 ამ ინტერვალში განტოლებას x-ის მხოლოდ

და მნიშვნელობები აკმაყოფილებს

76

76

76

116

116

116

12

x =

76

116

12

ნიმუში გამოიკვლიეთ ამოხსნა რვეულში ჩაიწერეთ მე-2 დავალება შეასრულეთ

sin x =

6

12

sin 2x =

1) დაწერეთ განტოლების ამონახსნები [0 3 ინტერვალში

ბ)ა)

116

76

y

x

ბ) ამ შემთხვევაში = 2x თუ x 0 le x le 3 პირობას აკმაყოფილებს 0 le 2x le 6 იქნებადა განტოლების მოცემულ ინტერვალში ამონახსნები იქნება შემდეგი

12cosx =

12cos 2x =

312

cos (x ) =

2) დაწერეთ განტოლებების ამონახსნები 0 le x le 3 ინტერვალში ბ) გ)ა)

76

712

116

1112

196

1912

12

sin 2x = 2x =

x =

236

2312

316

3112

356

3512

+2

+2

+2

+2

189


nimuSi 10 ამოხსენით განტოლება tg x = 075ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნისას ისარგებლეთ კალკულატორზე გამოთვლითკალკულატორის tan1 ღილაკით შეიტანება რიცხვი 075 Degree ღილაკის აქტიურმდგომარეობაში 3687deg მნიშვნელობა გამოთვლილი იქნება ვინაიდან ტანგენსი პერი-ოდული ფუნქციაა 3687deg + 180deg 3687deg 180deg 3687deg + 360deg 3687deg 360deg 3687deg + 540deg 3687deg 540deg მნიშვნელობებშიც ტანგენსის მნიშვნელობა 075-ის ტოლიაგანტოლების ამოხსნა გრადუსობით ზოგადი x = 3687deg + 180degk (k = 0 plusmn1 plusmn2plusmn3 )სახით იწერებაRadian ღილაკის დახმარებით განტოლების ამოხსნა A = 06435 + πk k Z იქნება

nimuSi 8 ამოხსენით განტოლება tg (x ndash ) = radic3 amoxsna შემოვიტანოთ აღნიშვნა x ndash = t მივიღებთ განტოლებას

tg t = radic3 ამ განტოლების ამონახსნები t = + n (n Z) იქნებათუ გავითვალისწინებთ პირობით აღნიშვნას

x ndash = + n (n Z)

x = + + n x = + n (n Z)

nimuSi 9 ამოხსენით განტოლება ctg 3x = ndash1amoxsna შემოვიტანოთ აღნიშვნა 3x = t მივიღებთ განტოლებას ctg t = ndash1 რადგან

arcctg(ndash1) = ამიტომ t = + nაღნიშვნის გამო 3x = + n ორივე მხარის 3-ზე გაყოფით მივიღებთ

ctg 3x = ndash1 განტოლების ყველა ამონახსენი x = + (n Z) სახისაა

6

6 3

6

3

3

6

2

34

343

4 4

n3

ანალოგიური წესით შეიძლება იმის ჩვენება რომ ctg x = a განტოლების ყველა ამონახსენიx = arcctg a + n (n Z) სახისაა

tg x = a და ctg x = a განტოლებების ამოხსნა

(ndash ) შუალედში tg x = a განტოლების ამონახსენი x = arctg a იქნებათუ გავითვალისწინებთ რომ tg x ფუნქციის ძირითადი პერი-

ოდია მაშინ tg x = a განტოლების ყველა ამონახსენისx = arctg a + n (n Z)

ფორმულით ჩაწერა შეიძლება

2

2

y = tg x და y = a ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთისწერტილებიც უჩვენებენ ამოხსნის სისწორეს

x

y

0ndashndash2 2

y = tg x

2ndash

232

ndash 32


8

9ა) tg x = radic3 ბ) tg x = ndash1 გ) tg x = 1 დ) tg x =

ა) ctg x = radic3 ბ) ctg x = ndash1 გ) ctg x = ndashradic3 დ) ctg x = radic33

radic33

განტოლებებისათვის 1) იპოვეთ ფესვი 1) (0 ) მონაკვეთზე 2) დაწერეთ საერთოამონახსენი

განტოლებებისათვის 1) იპოვეთ ფესვი (ndash ) მონაკვეთზე 2) დაწერეთ საერთოამონახსენი

2

2

2cosx = 1 tg x + 1 = 02sinx radic3 = 0

განტოლებებისათვის 1) დაწერეთ ამონახსენი [0 2 შუალედში2) დაწერეთ ამონახსენის ზოგადი სახე 3) დაწერეთ ამოხსნა გრაფიკულად

11

ბ) გ)ა)

sinx = 0 tg x + radic3 = 02cosx radic3 = 0 ე) ვ)დ)

nimuSi 11 ამოხსენით განტოლება sec x + 1 = 0 x [0 2] შუალედში amoxsna secx = 1

32

1sin x

2= 1 sinx = 1 განტოლების ზოგადი სახის ამონახსენი x = + 2n (nZ)

იქნება sinx = 1 განტოლების [0 2] შუალედში ამონახსენია x =

ამოხსენით განტოლება tg x = radic3 ისარგებლეთ ამონახსენით და დაწერეთ ქვემოთმოცემული განტოლებების ზოგადი ამონახსენი

10

ა) tg(x ndash ) = radic3 ბ) tg 4x = radic3 c) ctg 2x =6

radic33

12 ამოხსენით განტოლებები კალკულატორის დახმარებით და უჩვენეთ თითოეულისსამი ფესვი

ა) tg θ = 3 ბ) sin θ = 085 გ) cos θ = 047

190

1tgx

1sin x

1cos xctg x = sec x = cosec x =

ტოლობების გამოყენებით ამოხსნა შეიძლება

ctg x = a sec x = a cosec x = a სახის განტოლებების


ა) tgx ndash radic3 = 0 x = x = ბ) radic6 ctgx = radic2 x = x =4

3

3

6


191

191


y = cos x ფუნქციის გრაფიკის გამოყენებით იპოვეთ მოცემულ შუალედებში განტო-ლებების მიახლოებითი ამონახსნები

0 le x le 450degა) cos x = 04გ) cos x + 1 = 1 დ) 2cos x = 2

ბ) cos x = 05 0 le x le 630deg0 le x le 910deg 0 le x le 630deg

14

x

1

ndash1

05

ndash05

yy = cos x

90ordm 270ordm 450ordm 630ordm 910ordm

მაშასადამე tg x = radic3 განტოლების 0 le x le 4 ინტერვალში არსებული ამონახსნებიშეგვიძლია ვიპოვოთ ქვემოთ მოცემული წესით

+ = 23

23

53 + = 5

383 + = 8

311

3

0 le x le 40 4

ა) 2tg x = 2 ბ) 2sin x = 1 გ) 2 cos x = radic3ნიმუშის შესაბამისად იპოვეთ განტოლებების ამონახსნები 0 le x le 4 ინტერვალში 13

amoxsna ერთეულოვან წრეწირზე ტანგენსი ფუნქციის radic3-ის ტოლი

მობრუნების კუთხის შესაბამისი ორი წერტილია აღნიშნული თუმცა ვინაიდან პერიოდი არის ტანგენსი radic3-ის ტოლ

მნიშვნელობებს დაშორებით მდებარე წერტილებში იღებს

ანუ tg( + ) = tg

23

53

nimuSi tg x = radic323

53

A

B

0 4

y

x

16ა) sin 2xsin x ndash cos 2xcos x = ბ) cos2x ndash sin2x =გ) sin 3xcos x = 1+ sin xcos 3x დ) sin xcos x = 0

12

radic22

15ა) 2 sin(x + ) = radic2 ბ) sin(2x + ) = 0 გ) cos(2x + ) = 0

43

6

4


დ) 2 cos(x ndash ) = radic2 ე) tg(2x ndash ) = 1 ვ) ctg(2x ndash ) = 03

4

ამოხსენით განტოლებებია) sin( + x) = ndash 1 ბ) cos( ndash x) = 1 გ) sin x =0

დ) cos( ndash ) = 0 ე) tg( + x) = 1 ვ) ctg( + ) = radic3

192


ა) cos2x ndash sin2x = 1 (0 3]ბ) cos2(x + 30ordm) ndash sin2(x + 30ordm) = ndash1 (180ordm 270ordm)გ) sin xcos x = [ndash 2]

17

19

20

21

22

23

იპოვეთ განტოლების ფესვები მოცემულ შუალედებში

12

nimuSi ა) cos2x ndash sin2x = 1 (0 3]amoxsna ჩავწეროთ განტოლება cos 2x = 1 სახით რადგან cos = 1 განტოლების

ზოგადი ამონახსენია = 2k (k Z) მივიღებთ 2x = 2k x = k (k Z)პირობის თანახმად 0 lt x le 3 აქედან თუ 0 lt k le 3 უტოლობის ორივე მხარეს

გავყოფთ -ზე მივიღებთ 0 lt k le 3 (k Z)k = 1 2 3 მნიშვნელობების მიმდევრობით x = k (k Z) ამონახსენში ჩაწერით

ვპოულობთ განტოლების ფესვებს მოცემულ შუალედში 2 3იპოვეთ ფუნქციის ნულები მოცემულ ინტერვალში18ა) y = sin 2x 0ordm le x le 180ordm ბ) y = sin(x ndash ) 0 le x le 3

4

2

32

sin xx ndash 1

2

x2

x2

3

ა) 4 tg 3x + 5 = 1 0 le x le π

ბ) 2 sin 2x + radic3 = 0 0 le x le 2 π

გ) 2 cos 2x + 3 = 2 0 le x le 360deg

დ) radic2 sin 2x + 3 = 2 0 le x le 360deg

ამოხსენით განტოლებები მოცემულ ინტერვალში

4

725

იპოვეთ სამკუთხედის პერიმეტრი თუ cos 2 =

იპოვეთ y = 3 cos(x + ) ფუნქციის გრაფიკისა და y = 15 წრფის გადაკვეთის

წერტილების აბსცისები

= 0რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას [02 π] მონაკვეთზე

193

trigonometriuli gantolebebis amoxsnis xerxebi

nimuSi ამოხსენით განტოლება sin 2x ndash sin x = 0amoxsna2 sin xcosx ndash sin x = 0 ორმაგი კუთხის ფორმულის თანახმად sin2x = 2 sin xcosxsin x(2 cos x ndash 1) = 0 საერთო მამრავლის ფრჩხილებს გარეთ გატანაsin x = 0 ან 2 cos x ndash 1 = 0 ნამრავლის ldquo0rdquo-ის ტოლად ყოფნის პირობაx = n n Z cos x = x = plusmn + 2k k Zპასუხი n plusmn + 2k k Zსხვადასხვა ამონახსენთა ოჯახებში პარამეტრების სხვადასხვა ასოებით აღნიშვნას მიაქციეთყურადღება

3

12

3

nimuSi ამოხსენით განტოლება sinx cos2 x = 4 sin x და იპოვეთ ფესვები [0 2] მონა-კვეთზე

sinx cos2 x = 4 sin x მოცემული განტოლებაsinx cos2 x 4 sin x = 0 თითოეულ მხარეს 4 sin x გამოაკლდებაsin x (cos2x 4) = 0 sin x ფრჩხილებს გარეთ გაიტანებაsin x(cosx 2)(cosx +2)= 0 დაიშლება მამრავლებად კვადრატების სხვაობის ფორმულითთითოეული მამრავლის 0-თან გატოლებით ვპოულობთ x-ს (თუ შესაძლებელია)

მოცემული ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა განსაზღვრული ხერხებით მარტივიტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნაზე დაიყვანება

1) mamravlebad daSlis xerxi

amoxsna

2) axali cvladis SemotaniT

nimuSi ამოხსენით განტოლება 2sin2 x ndash cos x + 1 = 02(1 ndash cos2 x) ndash cos x + 1 = 0 sin2 x = 1 ndash cos2 x იგივეობის თანახმადndash2 cos2 x ndash cos x + 3 = 02 cos2 x + cos x ndash 3 = 0 გამარტივება2 a2 + a ndash 3 = 0 cos x = a ახალი ცვლადის შემოტანა (2a + 3)(a ndash 1) = 0a = ndash15 a = 1 კვადრატული განტოლების ამოხსნაcos x = ndash15 cos x = 1 cos x = a ჩასმის თანახმადფესვი არა აქვს x = 2k k Zპასუხი x = 2k (k Z)

3) erTgvarovani gantolebebis amoxsnaთუ sin x = a cos x = b განტოლების ყველა წევრი a-სა და b-ს მიხედვით ერთი და იგივეხარისხის ერთწევრები იქნება ასეთ განტოლებას ერთგვაროვანი განტოლება ეწოდება

sin x = 0 cos x 2 = 0 cos x + 2 = 0x = k k Z cos x = 2 cosx = 2

ამონახსენი არა აქვს ამონახსენი არა აქვსgantolebis amonaxsenis zogadi saxe x = n (n Z) იქნებაgantolebis fesvebi [0 2 monakveTze x1 = 0 x2 = x3 = 2

194

cos(x ndash ) =

cos t =


nimuSi sin x + cos x = 0აქ არ შეიძლება cos x = 0 რადგან თუ cos x = 0 მაშინ განტოლებიდან მიიღება რომ sin x= 0 ეს კი ეწინააღმდეგება sin2 x + cos2 x = 1 იგივეობას მაშასადამე cos x 0 განტოლების ორივე მხარე შეიძლება გავყოთ cos x-ზე

tg x + 1 = 0აქედან tg x = ndash1 x = ndash + n n Z

nimuSi ამოხსენით განტოლება cos2 x = აქ ხარისხის დაწევისათის ( cos2 = )ფორმულის გამოყენება ხელსაყრელი ხდება

a sin x plusmn b cos x = d ტიპის განტოლებების როცა ab ne 0 ორივე მხარის c = radica2 + b2 რიცხვზეგაყოფით დამხმარე კუთხის შემოტანით ამოხსნაა ხელსაყრელი

ორივე მხარე გავამრავლოთ 2-ზე

ორივე მხარეს გამოვაკლოთ 1

შემოვიტანოთ აღნიშვნა 2x = t

1 + cos 2x =

cos 2x = ndash

cos t = ndash

t = plusmn + 2n n Z

2x = plusmn + 2n hər iki tərəfi 2-yə boumllək

x = plusmn + n n Z

nimuSi radic3 cos x + sin x = radic3სადაც რადგან a = radic3 b = 1 ორივე მხარე c = radica2 + b2 = radic3 + 1 = 2-ზე გავყოთ

middotcos x + sin x =

4

141 + cos 2

2

1 + cos 2x2 = 1

412

12

12

12

2323

3

radic32

12

radic32

cos sin6

6

nimuSebi 2 sin x ndash cos x = 0sin2 x ndash 3 sin xmiddotcos x + 2 cos2 x = 0

თუ საერთო მამრავლი არ არის პირველი განტოლების ორივე მხარის cos x-ის მაღალხარისხზე გაყოფით იხსნება

4) xarisxis damwevi formulebis gamoyeneba

5) damxmare kuTxis Semotana

შემოიტანება დამხმარე კუთხე6

6

radic32

6

radic32

arccos(ndash ) = ამიტომაც23

t = x ndash ჩავანაცვლოთ

შეკრების ფორმულის თანახმად

195


nimuSi რამდენი ფესვი აქვს cos x = sin განტოლებას [0 2] მონაკვეთზე

amoxsna cos2 ndash sin2 = sin ორმაგი კუთხის ფორმულის თანახმად

1 ndash 2 sin2 ndash sin = 0

2a2 + a ndash 1 = 0

a = ndash1 და a = კვადრატული განტოლების ამოხსნა

sin = ndash1 sin = 6

12

56

3

x2

53

x2

x2

x2

x2

x2

x2

12

x2

x2

x2

x2

y = cos x და y = sin ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების მიხედვითაცშეიძლება ამოხსნის სისწორის შემოწმება ამ გრაფიკების გრაფკალკულატორით(httpswwwdesmoscomcalculator) აგებით შევამოწმოთ ამოხსნა

x2

t = + 2n ან t = ndash + 2n

x ndash = + 2n x ndash = ndash + 2n

x = + + 2n x = 2n n Z

x = + 2n n Z

პასუხი + 2 n 2 n n Z

6

6

6

6

6

6

3

3

6

6

3 23 5343 2ndash3ndash ndash23ndash53 ndash43ndash2

(3 05) (53 05)

(ndash ndash1)

(0 1)1

ndash1

0

როცა k = 0 მოძებნილი და მოცემული განტოლების [0 2] მონაკვეთზე არსებუ-ლი ფესვებია k პარამეტრის სხვა მნიშვნელობების შესაბამისი ფესვები ამ მონაკვეთზე არ მდებარეობენპასუხი ორი ფესვი აქვს

3

53

sin = a შემოვიტანოთ აღნიშვნა

y

x

= + 2k = + 2k

x = ndash + 4k

= ndash + 2kx2

2

x = + 4k

და

x = + 4k k Zდა

n პარამეტრის არცერთი მნიშვნელობისათვის მოძებნილი ფესვები მოცემულ მონაკვეთზე არძევს

196


3

7

5

4

ამოხსენით განტოლებები მამრავლებად დაშლის ხერხით

ა) 2 sin2 x ndash sin x = 0 ბ) sin2 x + 2 sin x = 0 გ) cos2 x ndash 3 cos x = 0 დ) 2 cos2 x ndash radic3 cos x = 0

ა) sin2 x ndash 2 sin x ndash 3 = 0 ბ) 2 sin2 x ndash 5 sin x + 2 = 0 გ) cos2 x ndash 4 cos x ndash 5 = 0 დ) 4 cos2 x ndash 4 cos x + 1 = 0ე) 2 sin2 x ndash cos x + 1 = 0 ვ) 2 cos2 x + sin x ndash 1 = 0 ზ) tg2 x ndash tg x + 2 = 0 თ) ctg x + 3 tg x = 2radic3

ა) sin x + cos x = 0 ბ) radic3 sin x ndash cos x = 0 გ) sin2 x ndash 2 sin 2x + 3 cos2 x = 0

ა) 4 sin2 ndash 3 = 0 ბ) 4 cos2 ndash 1 = 0 x2

x2

1) 2 cos x ndash 1 = 0ა) x = ბ) x =2) cosec x ndash 2 = 0ა) x = ბ) x =3) 3 tg2 2x ndash 1 = 0ა) x = ბ) x =

x-ის მოცემული მნიშვნელობებიდან რომელია განტოლების ამონახსენი1

2

53

3

12

4) 2 cos2 4x ndash 1 = 0ა) x = ბ) x =5) 2 sin2 x ndash sin x ndash 1 = 0ა) x = ბ) x =6) sec4 x ndash 4 sec2 x = 0ა) x = ბ) x =

56

6

512

16

316

2

76

23

53

saswavlo davalebebi

ამოხსენით განტოლებები ახალი ცვლადის შემოტანით

ამოხსენით ერთგვაროვანი განტოლებები

ამოხსენით განტოლებები ხარისხების დაწევის ფორმულების გამოყენებით

ი) sin x + 15 sin 2x = sin3 x კ) cos x + sin 2x = cos3 x

ნ) sin 3x ndash 2 cos 2x = 3 ო) cos 4x + sin x = 2

ლ) cos4 x ndash sin4 x = მ) sin 3x = 3 sin xradic32

ა) cos 3x ndash cos x = 0 ბ) sin 3x + sin x = 0 გ) sin x ndash radic3 cos x = 2 დ) sin x + cos x = radic2 ე) sin 2x ndash 2radic3 sin2 x = 0 ვ) sin 2x = 2 cos2 xზ) (1 + tg x)middotcos x = 0 თ) (1 ndash tg x)middotsin 2x = 0

ამოხსენით განტოლებები სხვადასხვა ხერხის გამოყენებით

ა) 3 tg2 x ndash 1 = 0 0 le x le 360ordm ბ) 6 sin2 x + 5 = 8 0 le x le 2π გ) 4 cos2 x ndash 1 = 2 0 le x le 2 π დ) 2 cos 2x + 3 = 2 0 le x le 360ordm

6 იპოვეთ განტოლების მოცემულ შუალედში მდებარე ფესვები

197



1) (ctg x ndash radic3)(2 sin x + radic3) = 0 2) 2 sin x ndash 1 = cosec x3) tg x ndash ctg x = 0 4) cosec2 x ndash 2 ctg x = 05) 2 tg2 x sin x ndash tg2 x = 06) sec2 x tg x = 2 tg x7) 9 sin2 x ndash 6 sin x + 1 = 0

8) (tg x ndash 1)(cos x ndash 1) = 0 9) tg x + 1 = radic3 + radic3 ctg x10) cos2 x = sin2 x + 1 11) sin2 x cos x = cos x12) sin2 x cos2 x = 013) cos2 x ndash sin2 x = 014) 4 cos2 x ndash 4 cos x + 1 = 0

11

12

10

9

13

1) sin(2x ndash ) = ndash განტოლებისათვის იპოვეთ

ა) უმცირესი დადებითი მნიშვნელობა ბ) უდიდესი უარყოფითი მნიშვნელობაგ) [ndash ] შუალედში მდებარე ფესვები

2) იპოვეთ sin 3xcos x = 1 + sin xcos 3x განტოლების (ndash ) შუალედში მდებარე

ფესვები

12

2

6

2

denis Zabva სინათლის წყაროდ გამო-ყენებული გენერატორის ელექტრო ძა-ლის I = 20sin80t ფორმულით გამო-სახვა შეიძლება სადაც t არის დრო წა-მობით I-დენის ძალას ამპერით უჩ-ვენებს იპოვეთ t-ს ისეთი უმცირესიდადებითი მნიშვნელობა რომ

ა) I = ndash10 A ბ) I = 20 A გახდეს

სურათზე მოცემული გრაფიკებისმიხედვით დაწერეთ4 cos (2(x ndash 60deg)) + 6 = 3 განტო-ლების ამონახსენი (მიახლოებით)

y

x0

2

4

6

8

10

60ordm

y = 3

y = 4 cos(2(x ndash 60ordm)) +6

120ordm 360ordm300ordm240ordm180ordm

ააგეთ ფუნქციის გრაფიკები დაწერეთ გრაფიკების 0 le x lt 2π ინტერვალში x ღერძთანგადაკვეთის წერტილები

ა) y = 2 sin x + 1 ბ) y = 2 cos x ndash 1

ჩამოკიდებული სხეულის რხევის მოძრაობისd = 4 sin t ფორმულით მოდელირება შეიძ-ლება მერამდენე წამზე შეიძლება იყოსადგილმონაცვლეობა 2 სმ-ის ტოლი

145 სმ

ndash5 სმ

0 სმ

5 სმ

ndash5 სმ

0 სმ

8 კალკულატორის გამოყენებით იპოვეთ განტოლებების ამონახსნების მიახლოებითიმნიშვნელობა 0 le x lt 2π ინტერვალში

ა) 3 tg x + 1 = 13 ბ) 8 cos x + 3 = 4გ) 4 sin x = ndash2 sin x ndash 5 დ) 3 sin x + 4 cos x = 5

198

amocanebis amoxsna trigonometriuli gantolebebis gamoyenebiT6

18

15

17

16

ა) კოორდინატთა სათავის გარშემო საათის ისრის მოძრაობის საპირისპირო მიმართუ-ლებით ზომით მობრუნებისას რომელ წერტილად გარდაიქმნება (radic31) წერტილი

ბ) წერტილი რომლის კოორდინატებია (2 2) კოორდინატთასათავის გარშემო რამდენი გრადუსით მობრუნებისას გარ-დაიქმნება წერტილად რომლის კოორდინატებია (ndashradic2 radic6)

3

x

(x y)(xprime yprime)

y

ბეისბოლის ბურთის დარტყმის ძალასა და ბურთის

გავლილი მანძილის v0 საწყის სიჩქარეზე და θ დახ-

რის კუთხეზე დამოკიდებულება d =

სახისაა სადაც g თავისუფალი ვარდნის სიჩქარეა

ბეისბოლის ბურთზე დარტყმით v0 = 30 მწმ

საწყისი სიჩქარით მოძრავი ბურთი 70 მ მანძილზე

მდგომმა მოწინააღმდეგე მოთამაშემ დაიჭირა

იპოვეთ დახრის კუთხე

მაჰირს ველოსიპედის საბურავის ბალანსირების შემოწმება სურს ის საბურავისზონარზე აღნიშვნას აკეთებს და მას აბრუნებს საბურავზე გაკეთებული აღნიშვნისმოძრაობა h(t) = 59 + 24 sin 125t-ით შეიძლება გამოისახოს სადაც h არის სიმაღლე(სმ-ობით) t დრო (წამობით) ა) რა სიმაღლეზე იქნება აღნიშვნა როცა t = 15 წმ ბ) მერამდენე წამებზე იქნება ნიშანი 60 მ-ის სიმაღლეზე

kosmosi კომუნიკაციური მიზნებისათვის გათვა-ლისწინებული ახალი ხელოვნური თანამგზავრისორბიტა დედამიწის ზედაპირიდან t მილისმანძილზეა დედამიწის რადიუსი 3960 მილიაწარმოიდგინეთ რომ დედამიწის განსაზღვრულინაწილი თანამგზავრის ხედვის არეშია სურათზეჰორიზონტის წრით შემოსაზღვრული ეს ნაწილიშავი ფერითაა აღნიშნული ჰორიზონტზე წრე-წირის ზოგიერთი ზომების განსაზღვრისათვისსურათით ისარგებლეთა) დაწერეთ t-ს α-ზე დამოკიდებულების ფორმულა

ბ) იპოვეთ t როცა α = 10O-ს

გ) იპოვეთ α-ს მნიშნელობა თუ t = 30 000 მილს გამოთვალეთ AB მინორული რკალისსიგრძე სულ მცირე რამდენი ასეთი თანამგზავრია საჭირო დედამიწის ეკვატორისგასწვრივ სრული დანახვისათვის

v02 sin2θg

θ

αα

t

ჰორიზონტალურიწრეწირი A

B

literatura ესპანელი მწერლის მიგელ დე სერვანტესისცნობილი რომანის გმირს დონ კიხოტს თავი ძალიანძლიერად მიაჩნდა და ერთ დღეს ქარის წისქვილის გაჩერებაგადაწყვიტა დონ კიხოტმა რომელმაც ეს ვერ შეძლოწისქვილის ერთ-ერთ ფარს ჩაეჭიდა და ჰაერში ტრიალიდაიწყოტრიგონომერიული ფუნქციების დახმარებით შეიძლება იმისმოდელირება თუ რა მდგომარეობაში იყო დონ კიხოტი სურათზემოცემული გრაფიკი ფართან ერთად მოტრიალე დონ კიხოტისდედამიწის ზედაპირიდან სიმაღლის დროზე დამოკიდებულებასუჩვენებს1) მოთხოვნილი მაჩვენებლები იპოვეთ გრაფიკის მიხედვით და რე-ალური სიტუაციის შესაბამისად დაწერეთ განმარტებაა) ამპლიტუდა ბ) პერიოდი3) რომელ წამებზე იქნება დონ კიხოტი დედამიწიდან 10 მ სიმაღლეზე4) როგორ გვალენას მოახდენს ფარის სიჩქარის შესუსტება სინუსოიდის გრაფიკისფორმაზე

199

amocanebis amoxsna trigonometriuli gantolebebis gamoyenebiT

20

21

19

harmoniuli rxeva ზამბარაზე ჩამოკიდებული სხეულის

სიმძიმესა და წინასწორობის მდგომარეობით ადგილმო-

ნაცვლეობის y = (sin t ndash 3 cos t) ფორმულით გამოსახვაახვა

შეიძლება სადაც t არის დრო წამობით y ადგილმონაცვლეობა

მეტრობით იპოვეთ ზამბარის 0 le t le 1 დროის ინტერვალში

წონასწორობის წერტილში ყოფნის ვადები

112

წყლის ბორბალი წყლის მოძრაობის ენერგიის სასარგებლო ენერგიადგარდაქმნისათვის გამოიყენება

ჩარხის ბალანსის შემოწმებისათვის ზედ ლურსმანი დამაგრდა დადატრიალებულ იქნა ლურსმანის უმაღლეს წერტილში ყოფნისასწყლის ზედაპირიდან 35 მ მანძილზე ჩარხის მოძრაობით 12 წამისშემდეგ ყველაზე დაბალ წერტილში - წყლის ზედაპირიდან 05 მ -ითქვევით მდებარეობს

ა) დაწერეთ ლურსმანის წყლის ზედაპირიდან h სიმაღლის დროზედამოკიდებულების მაჩვენებელი ფუნქციის ფორმულა

ბ) რა სიმაღლეზე იქნება ლურსმანი მოძრაობის დაწყებიდან 15 წამისშემდეგ

გ) ჩარხის მოძრაობის დაწყებიდან რამდენი წამის შემდეგ იქნება ლურსმანი წყლისზედაპირიდან 15 მეტრ სიმაღლეზე

დრო (წმ)

სიმა

ღლ

ე (მ

) 16

20 40 60

1284

0

f(t)

t

y

200


მოცემული უტოლობის დამაკმაყოფილებელი ყველა სხვა

ინტერვალები ( ) ინტერვალის 2-ის ჯერადის ტოლი

მანძილით მარჯვნივ და მარცხნივ მოცურებით მიიღება

ამიტომაც sin x gt უტოლობის ამონახსენი

+ 2n lt x lt + 2n (n Z) იქნება

ტრიგონომეტრიული უტოლობის ამონახსენი თვალნათლივშეიძლება დავინახოთ ერთეულოვან წრეწირზე გამოსახვითაც

amoxsna მოცემული უტოლობის ამოხსნა y = sin x ფუნქციის გრაფიკის -ზე

მეტი ორდინატის მქონე წერტილების სიმრავლის აბსცისების განსაზღვრას ნიშნავს

1 ავაგოთ y = sin x ფუნქციის გრაფიკი

2 იმავე კოორდინატთა სისტემაში ავაგოთ y = ფუნქციის გრაფიკი

3 ავღნიშნოთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები

4 როგორც ხედავთ y = წრფე y = sin x ფუნქციის გრაფიკს ორ ნაწილად ყოფს გრა-

ფიკის y = წრფის ზევით დარჩენილი ნაწილის წერტილების აბსცისები მოცემული

უტოლობების ამონახსნებია ეს წერტილები 0 lt x lt 2 ინტერვალში აბსცისა x gt და

x lt მქონე წერტილებია მაშასადამე უტოლობის 0 lt x lt 2 ინტერვალში არსებული

ამონახსნები lt x lt პირობის დამაკმაყოფილებელ წერტილთა ერთობლიობაა

nimuSi 1 sin x gt უტოლობა 0lt xlt2 ინტერვალში ამოხსენით გრაფიკული ხერხითდაწერეთ უტოლობის ამონახსენთა ზოგადი სახე

12

12

56 5

6

56 52326

6

6

12

12

12

მარტივი ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნა ერთეულოვანი წრეწირის ან ტრიგო-ნომეტრიული ფუნქციების დახმარებით ხდება

6

56

12

656

2ndash2ndash32 2ndash

nimuSi 2 ამოხსენით უტოლობა sin x lt amoxsna sin x = განტოლების ფესვები y = sin x და y = ფუნქციების

გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსცისებია რადგან განტოლების ერთი ამონახსნია

x1 = ამიტომ 2 სიგრძის შუალედში მეორე ამონახსენი ndash = იქნება

გრაფიკზე ავღნიშნოთ გადაკვეთის წერტილები რომელთა აბსცისებია და

radic32

23

3

3

radic32

radic32

3

23

x

y y = sin xy =

12

6

56

12

201

nimuSi 3 ამოხსენით უტოლობა cos x gt

amoxsna y = cos x და y = ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების

აბსცისები ვიპოვოთ cos x = განტოლებიდან

x = + 2n და x = ndash + 2n (n Z)როცა n = 0 გადაკვეთის წერტილების აბსცისები და ndash იქნება ავღნიშნოთ ეს

წერტილები გრაფიკზე ამ წერტილებიდან ორივე მხარეს ვუჩვენოთ კიდევ ორი წერტილი


ამ წერტილებიდან ორივე მხარეს კიდევ ორი წერტილი ვუჩვენოთ წერტილიდან 2

მანძილით მარჯვნივ + 2 = და წერტილიდან 2-ით მარცხნივ

ndash 2 = ndash წერტილებიც ამ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსცისებია

3

73

3

23

23

43

0 x

y

73

23

3

83ndash 5

3 ndash 43

radic32y =

43(ndash ) შუალედში y = sin x ფუნქციის გრაფიკზე არსებული წერტილების ორდინატი

-ზე ნაკლებია პერიოდულობის მხედველობაში მიღებით sin x lt უტოლობის ამო-

ნახსენი ndash + 2n lt x lt + 2n (n Z) სახით შეიძლება ჩავწეროთ

3

radic32

radic324

33

როგორც გრაფიკული გამოსახულებიდან ჩანს ( ) შუალედი sin x gt უტოლობას

აკმაყოფილებს sin x gt უტოლობის დამაკმაყოფილებელი დანარჩენი ინტერვალები

( ) ინტერვალის 2-ის ჯერადის ტოლ მანძილზე მარჯვნივ და მარცხნივ მოძრა-

ობით მიიღება მაშასადამე sin x gt უტოლობის ამონახსენთა სიმრავლე

+ 2n lt x lt + 2n (n Z) სახისა იქნება

3

23

radic32

radic32

3

23

radic32

3

23

2

2

radic22

4

radic22radic22

4

2

2

4

4

0 x

y

74

4 9

4ndash 7

4

radic22y =

ndash 4

202


მოცემული უტოლობის დამაკმაყოფილებელი ინტერვალებიდან ერთი შესაბამისი გან-ტოლების აბსოლუტური მნიშვნელობით უმცირესი ფესვების ანუ ndash და წერტილებს

შორისაა პერიოდულობის მხედველობაში მიღებით cos x gt უტოლობის ამონახსენს

ndash + 2n lt x lt + 2n (n Z) სახით მივიღებთ

4

4

radic22

4

4

nimuSi 4 ამონახსენით უტოლობები tg x gt 1 და tg x lt 1 amoxsna ერთსა და იმავე საკოორდინატო სიბრტყეზეგამოვსახოთ y = tg x და y = 1 ფუნქციების გრაფიკები

tg x = 1 განტოლებიდან ვიპოვოთ გრაფიკების (ndash )შუალედში მდებარე გადაკვეთის წერტილის აბსცისა x =(ndash ) შუალედში tg x ზრდადი ფუნქციაა როცა

x = რადგან tg x = 1 ამიტომ როცა

ndash lt x lt მაშინ tg x lt 1 როცა

x0

1

y

4ndash

2

y = 1

2

2

2

42

2

42

4

4

74ndash წერტილიდან 2-ით მარჯვნივ ndash + 2 = და წერტილიდან 2-ით მარცხნივ

ndash 2 = ndash წერტილებიც ავღნიშნოთ გრაფიკზე

4

4

74

4

გრაფიკის გამოსახულების თანახმად cos x lt უტოლობის ამონახსენი

+ 2n lt x lt + 2n (n Z) იქნება4

74

tg x არის პერიოდიანი ფუნქციაtg x lt 1 უტოლობის ამონახსენიაndash + n lt x lt + n (n Z)tg x gt 1 უტოლობის ამონახსენი კი

+ n lt x lt + n (n Z) იქნება

4

2

2

4

4

2

nimuSi 5 ამოხსენით უტოლობები ctg x gt radic3 და ctg x lt radic3 amoxsna ერთსა და იმავე საკოორდინატო სიბრტყეზეგამოვსახოთ y = ctg x და y = radic3 ფუნქციების გრაფიკები(0 ) შუალედში გრაფიკების გადაკვეთის წერტილის აბსცისასვპოულობთ ctg x = radic3 განტოლებიდან x =(0 ) შუალედში ctg x კლებადი ფუნქციაა

რადგან ctg x = radic3 როცა x = ამიტომ როცა

0 lt x lt მაშინ ctg x gt radic3 ხოლო როცა

6

6

6

x0

y

y = radic3

6

radic22

lt x lt მაშინ tg x gt 1 -ზე რადგან

lt x lt მაშინ კი ctg x lt radic3 იქნებაეს იმას ნიშნავს რომ ctg x gt radic3 უტოლობა 0 + n lt x lt + n (n Z) პირობას

ctg x lt radic3 უტოლობა კი + n lt x lt + n (n Z) პირობას აკმაყოფილებს

6

6

6

nimuSi 7 ამოხსენით radic2 sin (x ) + 3 ge 2 უტოლობა 0lt x lt 2 ინტერვალში

203


ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნისათვის1) ერთსა და იმავე კოორდინატთა სისტემაში ააგეთ უტოლობის მარჯვენა და მარცხენამხარეების მომცველი გრაფიკები2) ამოხსენით შესაბამისი განტოლება გრაფიკების კოორდინატთა სათავის სიახლოვესრამდენიმე ადგილას იპოვეთ და აღნიშნეთ გადაკვეთის წერტილების აბსცისები3) განსაზღვრეთ მოცემული უტოლობის დამაკმაყოფილებელი რაიმე შუალედი4) პერიოდულობის გათვალისწინებით დაწერეთ უტოლობის ამონახსენი

როგორც გრაფიკიდან ჩანს cos3x-ის 0-ზე ნაკლებ ან 0-ის ტოლ მნიშვნელობებს გრაფიკის

აბსცისათა ღერძზე (y = 0 წრფე) და მის ქვევით მდებარე წერტილები შეესაბამება

0lt xlt 2 ინტერვალში უტოლობის ამონახსნები lt xlt lt xlt lt x lt შუალედები იქნება

nimuSi 6 ამოხსენით cos 3x le 0 უტო-ლობა 0lt xlt2 ინტერვალშიamoxsna

6

2

56

763

211

6

გრაფიკის y = 2 წრფეზე და მის ზემოთ დარჩენილი ნაწილის წერტილების აბსცისები არის

უტოლობის ამონახსენი ეს 0lt xlt 2 ინტერვალში 0 le xle წერტილებია

უტოლობის ამონახსნების ზოგადი სახე 2k le x le + 2k იქნება

Semowmeba ამოხსნის ინტერვალიდან ერთი წერტილი მაგალითად x = წერტილიშევარჩიოთ როგორც საცდელი წერტილი და შევამოწმოთ ამოხსნის სისწორე

radic2sin ( ) + 5 ge 2

radic2sin + 3 ge 2 1 + 3 ge 2

1 გრაფკალკულატორით ავაგოთ

y = radic2sin(x ) + 3 და y = 2

4

4

4

4

2

2

323

2

ფუნქციების გრაფიკები

1 ავაგოთ y = cos 3x ფუნქციის გრაფიკი -23 -3 3 23 43 53 30

(ndash20) (ndash60) (60) (20) (560) (760) (320) (1160)

y = radic2 sin x ndash +34

y = 26

-3 -2 2 3-

42

0

204


2

1

ამოხსენით უტოლობები

ა) sin x gt ბ) sin x gt ndash გ) sin x lt დ) sin x lt

ე) cos x ge ვ) cos x gt ndash ზ) cos x lt თ) cos x le

ა) 2 sin 2x ndash radic3 gt 0 ბ) 2 cos 2x ndash radic2 le 0

გ) 2 sin(x + ) ndash 1 gt 0 დ) 2 cos(x ndash ) + 1 lt 0

ი) tg x gt radic3 კ) tg x gt ndash1 ლ) tg x le 1 მ) tg x lt ნ) ctg x gt 1 ო) ctg x gt ndash1 პ) ctg x le radic3 ჟ) ctg x lt ndashradic3

12

radic32

radic22

radic33

6

3

12

12

radic22

radic32

12

nimuSi 2 sin(x + ) ndash 1 gt 0sin(x + ) gt

x + = t

sin t gt

+ 2n lt t lt + 2n n Z + 2n lt x + lt + 2n

2n lt x lt + 2n n Z

0 x

y

6

56

23

56

6

612

6

12

66

56

6

გამოიკვლიეთ ნიმუში ამოხსენით უტოლობები

3

4

5

იპოვეთ უტოლობის [ndash ] მონაკვეთზე მდებარე ამონახსნები


ა) sin x gt ბ) sin x gt ndash გ) sin x gt 0

ა) sin x lt ბ) sin x lt ndash გ) sin x lt 0

12

2

32

12

2

32

12

12

იპოვეთ უტოლობის [0 2] მონაკვეთზე მდებარე ამონახსნები

ა) cos x lt ბ) cos x le ndash გ) cos x lt 012

12


ა) cos x gt 0 ბ) cos x gt ndash გ) cos x gt12

radic32

იპოვეთ უტოლობის (ndash ) შუალედში მდებარე ამონახსნები2

2

ა) tg x gt ndash1 ბ) tg x lt ndash1 გ) tg x ge radic3

ა) ctg x lt 1 ბ) ctg x gt radic3 გ) ctg x le 06

7

იპოვეთ უტოლობის (0 ) შუალედში მდებარე ამონახსნები

8

saswavlo davalebebi

შემოვიტანოთ აღნიშვნა

205


ერთეულოვან წრეწირზე რომელი მეოთხედი აკმაყოფილებს ქვემოთ მოცემულ პირობებს

ა) sin x gt 0 cos x lt 0 ბ) cos x lt 0 tg x lt 0

დ) tg x lt 0 sin x gt 0გ) sec x gt 0 tg x gt 0

Ria tipis davalebebi დაწერეთერთეულოვანი წრეწირის წითელფერიანინაწილით გამოსახული ტრიგონომეტრიულიუტოლობა

74

54

radic22

radic22

radic22

radic22

( ( ))

9

10

11 უტოლობის ამოხსნის გრაფიკის გა-მოსახულების მიხედვით დაწერეთუტოლობა და ამოხსნის ინტერვალი

radic22სურათზე sin t ge და sin t le უტოლობების ამოხსნის ზოგადი ჩანაწერი

და ერთეულოვან წრეწირზე ასახვა სხვადასხვა ფერებით ნიმუშადაა მოცემული

radic22

sin t ge 12 sin t ge radic3

2radic32sin t lt

12

12

12

sin t ge sin t le radic22

radic22

4

34+ 2k le t le + 2k k Z

454

ndash + 2k le t le + 2k k Z

ქვემოთ მოცემული უტოლობების ამონახსნები წარმოადგინეთ ნიმუშის შესაბამისად

6

2

900 1800 2700 2600

76

y = cos 2x56

32 2

116y = 1

212

x

x1

-1

x

4

34

y

x

y ndash =ndash ndash = ndash

454

4

4

sin t ge sin t le

ა) ბ) გ)

დ) ე)

206


ნიმუშზე cos t ge და cos t le უტოლობების ზოგადი ამონახსენი და ერთეულო-

ვან წრეწირზე ასახვაა მოცემული

წარმოადგინეთ ქვემოთ მოცემული უტოლობების ამონახსნები ნიმუშის მსგავსი ხერხით

ა) cos t ge ბ) cos t le გ) cos t ge ndash

12

radic22

12

radic22

12

cos t ge

ndash + 2n le t le + 2n

12

3

3

y

x

3

3

12

13

ა) sin 3xsin x ndash cos 3xcos x ge ndashბ) sin xcos x gt ndash გ) sin 3xcos x + cos 3xsin x lt

ა) (2 sin x ndash 1)middot(sin x ndash 3) lt 0ბ) (2 cos x ndash radic3)middot(cos x + 2) gt 0გ) 2 cos2 x + 3 cos x ndash 2 lt 0

ა) radic3 sin x + cos x gt 1 ბ) sin x ndash cos x lt 1

14

radic22

12

უტოლობები გაამარტივეთ ტრიგონომეტრიული იგივეობების მიხედვით და ამოხ-სენით

უტოლობის ორივე მხარე გაყავით განსაზღვრულ რიცხვზე გაამარტივეთ დამხმარეკუთხის შემოტანით და ამოხსენით

ამოხსენით უტოლობა

14

15

16

ამოხსენით უტოლობები (0 2) ინტერვალში

cos 3x gt

sin(x + ) ge

cos lt

tg 2x ge radic3

cos(2x ndash ) le ndash

sin(2x ndash ) le 0

ctg(x ndash ) gt ndash1

sin( ndash x) lt

12

radic32

3

x2

radic22

12

6

4

3

4

12

17

ndash

ა) ბ)

გ) დ)

ე) ვ)

ზ) თ)

cos t le

+ 2n le t le + 2n

12

3

53

53

y

x

2 ndash =

3

12

3

207


amoxsna ა) ამოცანის მონაცემების მი-ხედვით ავაგოთ სქემატური გამოსახულე-ბა კარუსელის წრეწირის გარშემო მოძ-რაობისას ყოველი მეოთხედი ბრუნისშესაბამისი წერტილებითუ შევაერთებთ ამ წერტილებს მივიღებთკარუსელის ერთი ბრუნის შესაბამის (360deg)გრაფიკს- სინუსოიდასბ) როგორც გრაფიკიდან ჩანს ეს პიროვნებამე-10 წამიდან 30-ე წამამდე დროისგანმავლობაში დედამიწიდან 21 მ და მეტ სიმაღლეზე იქნებაგ) ამოცანის მონაცემებისა და გრაფიკის მიხედვით დავწეროთ ფუნქციის ფორმულა

ა) დახაზეთ ამოცანის შესაბამისი გრაფიკული გამოსახულება

ბ) მოძრაობის დაწყებისას ყველაზე დაბლა მყოფი კაბინაკარუსელის ერთი სრული ბრუნის განმავლობაში რომელწამებზე იქნება დედამიწიდან 21 მ და უფრო მეტ სიმაღლეზე

გ) დაწერეთ ამ სკამზე მჯდომი პიროვნების კარუსელზებრუნვისას დედამიწიდან არსებული სიმაღლის დროზე დამო-კიდებულების მაჩვენებელი ფუნქცია h(t) = asinb(t c) + dსახით

41 მ

10 20 30 40

21 მ

1 მ

ვიპოვოთ b სიხშირე პერიოდის მიხედვით T = 2

b360

b36040

T = 40 წმ = 40 b = = 9

განვსაზღვროთ სივრცითი მოცურება - c სინუსის ფუნქცია მაქსიმუმს იღებს პერიოდისერთ მეოთხედზე თუმცა ამ ფუნქციის მაქსიმუმი 10 წამით გვიან (მე-20 წამზე) მიიღწევასივრცითი მოცურება c = 10 მაშასადამე

h(t) = 20 sin 9(t ndash 10) + 21

ამოცანაში მოცემული მაქსიმუმისა და მინიმუმის მიხედვით ვიპოვოთ ამპლიტუდა დაშუახაზი

a = = = 20

= 21

მაქსიმუმი მინიმუმი2

41 12

= 41 + 1

2 d = მაქსიმუმი + მინიმუმი2

amocanis amoxsnis nimuSi 20 მ რადიუსიანი კარუსელი ყოველ 40 წამში ერთსრულ ბრუნს ასრულებს ყველაზე დაბლა მყოფი სკამი 1 მ სიმაღლეზეა

208

1

2

3

ა) cosndash1 (ndash08) ბ) sinndash1 099 გ) tgndash1 12 დ) cosndash1 055კალკულატორით გამოთვალეთ

იპოვეთ განტოლებების [0 2π) ( ანუ [0 360deg)) შუალედში არსებული ფესვები

ა) sin(x + 60ordm) = ბ) cos(x ndash 30ordm) = ndashგ) tg(x + 45ordm) = ndash1 დ) sin(x ndash 20ordm) =ე) cos(2x ndash ) = ვ) tg( ndash x) = 1

1radic2

radic32

12

2

12

4

ამოხსენით უტოლობები 0lt xlt 2 ინტერვალში

ა) cos x le ndash ბ) cos x ndash gt 0 გ) radic2 sin x ndash 1 lt 0დ) sin x le 0 ე) tg x ge radic3 ვ) sec2 x le 4ზ) cos2 x gt თ) cos 2x le 0 ი) sin(x + ) gtკ) cos2 x ge ლ) 2 cos x ge 1 მ) sin 5x ge 5ნ) cos 2x le 1 ო) sec x le radic2 პ) ctg x le 4

12

radic32

13

12

12

3

ამოხსენით განტოლებებია) 2 ctg x + 1 = ndash1ბ) 5 sec2 x = 6 sec xგ) 4 sin2 x ndash 4 sin x + 1 = 0დ) tg x ndash ctg x = 0

ე) sin x + 2 = 3ვ) 2 cos2 x ndash cos x = 1ზ) tg2 x ndash 4 tg x + 4 = 0თ) cos2 x = sin2 x + 1

4

5 თურალი და ჰუსეინი სურათზე აღნიშნული წესით 100 მ რადიუსიანი წრეწირის გარშემოდარბიან თურალი სურათზე აღნიშნულიწერტილიდან დაწყებით საათის ისრისმოძრაობის საწინააღმდეგო მიმართულებით003 რადწმ ჰუსეინი კი აღნიშნული წერ-ტილიდან საათის ისრის მოძრაობის საწი-ნააღმდეგო მიმართულებით 0025 რადწმსიჩქარით დარბისა) განსაზღვრეთ 6 წამის შემდეგ მათი ადგილმდებარეობის წერტილების კოორდინატებიბ) რა მანძილს გაივლიან ისინი 8 წამის განმავლობაშიგ) გამოსახეთ თურალის მიერ t წამის შემდეგ მოძრაობით შემოხაზული მობრუნებისკუთხედ) თურალი პირველად მერამდენე წამზე იქნება იმ წერტილში რომლის აბსცისაც არის 50ე) ჰუსეინი პირველად მერამდენე წამზე იქნება იმ წერტილში რომლის აბსცისაც არის 50ვ) თურალი პირველად მერამდენე წამზე დაეწევა და გაასწრებს ჰუსეინს

r = 100 მ

თურალი აქედანიწყებს სირბილს

ჰუსეინი აქედანიწყებს სირბილს003 რადწამი

0025 რადწამი


კუთხის რა უმცირესი დადებითი მნიშვნელო-

ბისათვის იქნება პლანეტა მერკურსა და მზეს შორის მანძილი 5107 კმ-ის ტოლი

209

astronomia პლანეტა მერკური მზის გარ-შემო ელიფსის ფორმით მოძრაობს მისი მოძ-რაობა შეიძლება გამოისახოს ქვემოთ მოცე-მული ფორმულით

r = 344 107

1 ndash 0206 cos

მერკური

ორბიტა

r

შერჩეულ ტერიტორიაზე მინდვრის კურდღლების რაოდენობის გამრავლების (მათ-თან ერთად მტაცებლების გამრავლების მიხედვით) დროზე დამოკიდებულების D(t) = 400cos(72t) + 800 სახით მოდელირება შეიძლება D არის კურდღლებისრაოდენობა t კი 2000 წლიდან დაწყებული უჩვენებს დროს (წლობით)ა) რამდენია კურდღლების მაქსიმალური და მინიმალური რაოდენობაბ) რამდენი იქნება კურდღლების რაოდენობა მიმდინარე წელსგ) რომელ წელს იყო დაახლოებით 1000 კურდღელიდ) დახაზეთ ფუნქციის გრაფიკი 2 წლიანი პერიოდისათვის

6

7

მზე

ერთი წლის განმავლობაში შეგროვებული ინფორმაციების გამოკვლევის შედეგადქალაქში დღის ხანგრძლივობის (საათობით) ქვემოთ მოცემული დამოკიდებულებითცვლილება განისაზღვრა

D(x) = sin x+ 353

2π365

73

ა) რამდენი საათი იყო დღის ხანგრძლივობა 1 იანვარს 22 მარტს და 5 ნოემბერსბ) რომელ თარიღებშია დღის ხანგრძლივობა 11საათზე მეტი

სადაც x-ით აღინიშნება დღის წლის დასაწყისიდან გამოთვლილი ნომერი

8

9 სურათზე მოცემულია y = a sin bx ფუნ-ქციის გრაფიკია) გრაფიკის მიხედვით იპოვეთ a და bმნიშვნელობებიბ) იპოვეთ y = 2 წრფესთან გადაკვეთის P დაQ წერტილების კოორდინატები

y

321

-1-2-3

y = 2P

90deg 180deg 270degx

Q

10იპოვეთ განტოლებების ფესვები [0 2π) შუალედში

ა) 2 cos2 x = sin x ბ) sin3 x ndash 5 sin x = 0გ) radic3 sin x + cos x = 1 დ) cos x middot cos 2x = cos 3xე) tg(2x ndash ) = radic3 ვ) sin 3x ndash cos 2x = 2

8


210

sivrciTi figurebis moculoba8prizmis moculoba

piramidis moculoba

sivrciTi figurebis msgavseba

msgavsi sivrciTi figurebis zedapirebi

da moculobebi

wakveTili piramidis moculoba

amocanebi sibrtyiTi kveTebis Sesaxeb

simetria sivrceSi

როცა ზომები ნატურალური რიცხვებიამართკუთხა პარალელეპიპედის მოცუ-ლობა რიცხვითი მნიშვნელობით მისიშემდგენი ერთეულოვანი კუბების რაო-დენობის ტოლია იმ შემთხვევაში როცაზომები ნებისმიერი ნამდვილი რიცხვებია მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა მისისამი განზომილების ნამრავლის ტოლია V= a∙bmiddotc ვინაიდან მოცულობის ფორმულაში amiddotbნამრავლი ფუძის ფართობია c კი სიმაღლეა ის შეიძლება ასეც ჩამოვაყალიბოთ

მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა მისი ფუძის ფართობისა დასიმაღლის ნამრავლის ტოლია V = Sფhიმ კუბის მოცულობა რომლის წიბოს სიგრძეა a იქნება V = a3ნებისმიერი პრიზმის მოცულობა ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლისტოლია ამ მოსაზრების მართებულობა ვუჩვენოთ მართ პრიზმაზე რომლის ფუძეცმართკუთხა სამკუთხედია

prizmis moculoba

211

gamokvleva კუბებით ააგეთ სხვადასხვა ზომის პრიზმები და დახაზეთ მათი სურათებიააგეთ სულ მცირე ოთხი პრიზმა

1 წარმოადგინეთ რომ პრიზმის შემდგენი თითოეული კუბის გვერდის სიგრძე 1ერთეულია ყოველი წახნაგი კვადრატული ერთეულია მოცულობა 1 კუბური ერთეულია

2 პრიზმების მიხედვით განსაზღვრეთ ცხრილში მოცემული ინფორმაციები და შეავსეთიგი

3 რა კავშირი აღმოაჩინეთ პრიზმის ფუძის ფართობს სიმაღლესა და მოცულობას შორის

4 კონსტრუქციების კუთხიდან აიღეთ ერთი კუბი დახაზეთ მიღებული კუბოიდებისზედხედის წინხედისა და გვერდხედის სურათები

პრიზმა ფუძისფართობი სიმაღლე მოცულობა

1234 4 2

31

a b

თუ სხეულის სასრული რაოდენობის სამკუთხა სხეულებად დაყოფა შესაძლებელია მასმარტივი სხეული ეწოდება მარტივი სხეულებისათვის მოცულობა - რიცხვითი მნიშვნელობაქვემოთ მოცემული თვისებების დამაკმაყოფილებელი დადებითი სიდიდეა1) კონგრუენტული სხეულების მოცულობები ტოლია2) იმ კუბის მოცულობა რომლის წიბო სიგრძის ერთეულის ტოლია კუბური ერთეულისტოლია3) თუ სხეული მარტივ სხეულებად ნაწილებად იყოფა მაშინ ამ სხეულის მოცულობა მისინაწილების მოცულობების ჯამის ტოლიასხეულებს რომელთა მოცულობები ერთმანეთის ტოლია ტოლდიდი სხეულები ეწოდება

1 გავავლოთ პრიზმის გვერდითი წიბოს მართობული სიბრტყითი მკვეთი2 გამოვყოთ სიბრტყითი კვეთის ზევით დარჩენილი ნაწილი3 გამოყოფილი ნაწილის გარდაქმნით პრიზმის სიბრტყითი კვეთისქვევით დარჩენილი ნაწილი დავაწებოთ4 მიღებული მარტი პრიზმის სიმაღლე დახრილი პრიზმის გვერდითიწიბოა ანუ h = l ფუძე კი დახრილი პრიზმის პერპენდიკულარული კვეთაა

სურათზე მოცემული ABCAprimeBprimeCprime დახრილი პრიზმა გარდავქმნათ მისიტოლი მოცულობის მქონე მართ პრიზმად ამისათვის

prizmis moculoba

212

AAprime წიბოზე გავლით BC წიბოს მართობული სიბრტყე ამ პრიზმას ერთიდა იმავე სიმაღლის მქონე ორ პრიზმად ყოფს რომელთა ფუძეებიცმართკუთხა სამკუთხედებია მოცემული პრიზმის მოცულობა ამპრიზმების მოცულობების ჯამის ტოლიამაშასადამე მართი პრიზმის მოცულობა რომლის ფუძეც ნებისმიერისამკუთხედია ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლის ტოლიათუ მართი პრიზმის ფუძეები ნებისმიერი მრავალკუთხედი იქნება ამპრიზმის ფუძის სამკუთხედებად დაყოფით მართ პრიზმებად დაიყოფადა მათი მოცულობების შეკრებით მოცემული პრიზმის მოცულობისგამოთვლა შეიძლება

მართობულ მკვეთის სიბრტყესა და ფუძის სიბრტყეს შორის კუთხე დახრილი პრიზმისგვერდითი წიბოსა და სიმაღლეს შორის არსებულ კუთხესთან ტოლობიდან გამომდინარე

V = Smiddotl=Sფძcos l =Sფძ Hამრიგად პრიზმის მოცულობა ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლის ტოლია

V = Sფძ H

A

Aprime

Mprime

MB

Bprime

Eprime

E

A

B

C

D

Dprime

CprimeAprime

C

Cprime

Bprime

თუ პრიზმის ფუძე ნებისმიერი ABC სამკუთხედია ამ სამკუთხედებისსიმაღლეებიდან ისეთი გავავლოთ რომ მოპირდაპირე გვერდი მის შიდაწერტილში გადაკვეთოს AM BC

ფუძეში მოცემული მართკუთხა სამკუთ-ხედების მართკუთხედებამდე შევსებითპრიზმაც მართკუთხა პარალელეპიპედამდეშევავსოთ მიღებული მართი პრიზმისმოცულობა V = ABACAAprime იქნებაპრიზმის ფუძის დიაგონალზე გამავალიBBprimeCprimeC სიბრტყე პრიზმას ორ კონგრუ-ენტულ სამკუთხა პრიზმად ყოფს მაშა-

სადამე მართი პრიზმის მოცულობა რომლის ფუძეც მართკუთხა სამკუთხედია შეიძლებაჩაიწეროს ქვემოთ მოცემული სახით

A A

Aprime

BB

BprimeBprime

CC

Cprime

A

θ Hl

A1 B1

M1N1

BM

N

C

Cprime

Aprime

Dprime

D

AB AC2

AAprime = SothV =

ამ მართი პრიზმის მოცულობა იგივე დახრილი პრიზმის მოცულობაა

დასკვნა დახრილი პრიზმის მოცულობა მართობული კვეთის ფართობისა და გვერდითიწიბოს ნამრავლის ტოლია V = Smiddotl

prizmis moculoba

213

nimuSi იპოვეთ წესიერი ხუთკუთხა პრიზმის მოცულობა თუ ფუძის გვერდის სიგრძე 4 სმ-ია გვერდითი წიბოს სიგრძე კი 9 სმ-ია

წესიერი ხუთკუთხედის ცენტრული კუთხეა 360 5 = 72degამიტომ აპოთემა

პრიზმის მოცულობა ფუძის ფართობისა დასიმაღლის ნამრავლის ტოლია

V = Sფძh

prizmis moculoba

h

2tg36deg

2tg36deg

r =

h

marTi prizma

daxriliprizma

12

20tg36deg

180tg36deg

kavalieris principi moculobebis Sesaxeb თუ ფუძეების ერთსა და იმავესიბრტყეში მქონე თანაბარსიმაღლიანი ორი სხეულის ფუძეებზე პარალელური ნებისმიერისიბრტყითი კვეთის ფართობები ტოლია მაშინ მოცულობებიც ტოლია

ეს პრინციპი აღმოაჩინა იტალიელმა მათემატიკოსმა ბონავენტურა კავალიერმა (1598-1647)

hS S

წესიერი ხუთკუთხედის ფართობი პერიმეტრისა და აპოთემისნამრავლის ნახევრის ტოლია

Sფძ = Pr = middot 5 4 = V = S0 middot h = asymp 248 (სმ3)

1მართკუთხა პარალე-ლეპიპედის ზომები მნიშვნელობები

სიგრძე a 6 20 2 3 8სიგანე b 4 30 5 8 2

სიმაღლე c 3 15 4 2 Sგვ 40 40 60Sსრ V 60

ცხრილის მონაცემების მიხედვით იპოვეთ კითხვის ნიშნების ადგილას საჭირო ზომები

8 სმ times 15 სმ times 40 სმ ზომის მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის მეტალის ბლოკიმთლიანად 1 სმ times 15 სმ times 2 სმ ზომის მეტალის ფილებისაგან შედგება რამდენი ასეთიფილაა მეტალის ბლოკში

2

12

r9 სმ

4 სმ

4 4

4 4

2 2

ა) დაამტკიცეთ რომ მართკუთხა პარალელეპიპედის ნებისმიერი დიაგონალისკვადრატი მისი სამივე განზომილების კვადრატის ჯამის ტოლია d2 = a2 + b2 + c2

ბ) იპოვეთ მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა თუ a = 3 b = 4 d=13

18 მ

12 მ

3 მ

6 მ

prizmis moculoba

214

სურათზე ნაჩვენები ზომების ყუთში ჩაგდებულიქვით წყლის დონე 05 სმ აიწია იპოვეთ ქვისმოცულობა 35 სმ 50 სმ

25 სმ

10

11

რძის პროდუქციის წარმოებით დასაქმებული კომპანია ახალი სავაჭროკამპანიისათვის ფასების შენარჩუნების პირობებში რძის ყუთებისტევადობის 25-ით გაზრდას გეგმავს როგორ შეიძლება ამის მიღწევამხოლოდ ყუთების სიმაღლის შეცვლით

7

როგორ შეიცვლება პარალელეპიპედის მოცულობაა) თუ ზომებიდან ერთი ორჯერ გაიზრდება ბ) ორი ზომიდან თითოეულიორჯერ გაიზრდება გ) სამივე ზომა ორჯერ გაიზრდება

6

rZe100-iTbunebrivi

სურათის მონაცემების მიხედვით გამოთვალეთ მართი პრიზმის მოცულობა

გამოთვალეთ შედგენილი ფიგურებისმოცულობა

3

5

7სმ

20მმ

34 მმ

23სმ

15სმ

4სმ

33მმ

4 სმ

3სმ

5სმ

11სმ

10 სმ

4მ

4მ6მ

2მ

4მ

იპოვეთ დახრილი პრიზმის მოცუ-ლობა რომლის ფუძეც კვადრატია

4

10 მ სიგრძის აუზის განივი კვეთის სურათზე მოცე-მული ზომების მიხედვით იპოვეთა) რამდენ ტონა წყალს იტევს აუზი (1მ3 =1 ტონას)ბ) სავსე აუზი ორი ერთნაირი მილით 4 საათშიდაიცლება რამდენ კუბურ მეტრ წყალს ატარებსთითოეული მილი ერთ წუთში

8

სურათზე მოცემული ხორბლის საწყობი (ამბარი)რომელი სივრცითი ფიგურის ფორმისაა რამდენიწახნაგი და რამდენი წიბო აქვს მას მოცემულიზომების მიხედვით გამოთვალეთ მისი მოცულობა

9

15 მ

6 მ

7 მ

25მ

48მ3მ

5 სმ

4 სმ

ა) სურათზე მოცემული ზომების მიხედვით გამოთვალეთკონსტრუქციის სრული ზედაპირის ფართობი

ბ) 1 სმ3-ის ფასი 2 კაპიკი ალუმინისგან დამზადებული ესკონსტრუქცია 1 სმ3-ის ფასი 10 კაპიკიანი გამძლე მეტა-ლისაგან დამზადებული კონსტრუქციასთან შედარებითრამდენი მანეთით იაფი იქნება

prizmis moculoba

215

სურათზე მოცემული მეტალის ბლოკისსიმკვრივე 7860 კგმ3-ია გამოთვალეთ მისისაერთო მასა 10 კგ-ის სიზუსტით

წესიერი სამკუთხა პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი 48 სმ2-ია სიმაღლე კი 8 სმ-იაა) იპოვეთ ფუძის გვერდის სიგრძე ბ) იპოვეთ პრიზმის მოცულობა

12

13

ა) მართკუთხა პარალელეპიპედის სამი წახნაგის ფართობი 2 სმ2 3 სმ2 6 სმ2-ია იპოვეთამ პარალელეპიპედის მოცულობაბ) მართკუთხა პარალელეპიპედის განზომილებებია 3 სმ 4 სმ და 5 სმ თუ მის თი-თოეულ წიბოს x სმ-ით გავზრდით ფართობი 54 სმ2-ით გაიზრდება იპოვეთ რამდე-ნით გაიზრდება მოცულობა

14

15

18

125სმ

5სმ

5სმ20სმ

30სმ100 სმ

50მმ

40მმ 80მმ

60მმ

170მმ110მმ

120მ

მ

40 სმ

6სმ

50 მმ

12 მმ

იპოვეთ წესიერი ექვსკუთხა პრიზ-მის მოცულობა

ა) ბ)

წესიერი ექვსკუთხა პრიზმის ფუძის გვერდი 6radic3 სმ-ია სიმაღლე - 4 სმ იპოვეთ პრიზმისგვერდითი ზედაპირი და მოცულობა

დახრილი პრიზმის ფუძე ტოლგვერდა სამკუთხედია რომლის გვერდი4 სმ-ია პრიზმის გვერდითი წიბო 10 სმ-ია და ფუძის სიბრტყესთან60ordm-იან კუთხეს ადგენს იპოვეთ ამ პრიზმის მოცულობა

16

17

სურათზე მოცემული ABCD მართკუთხედის ფორმისდახრილი ფართობიდან მიწის ამოღების შემდეგ CDEFმართკუთხედის სახის სწორი ფართობი მიიღეს რამდენიკუბური მეტრი მიწა იქნა გატანილი ამ ფართობიდან თუAB = 10 მ ED = 24 მ და ფართობი 10 მ2-ითაა შემცი-რებული

19B

C

DE

A F10

24

სურათზე მოცემული მართი პრიზმის ფუძეკვარდატია იპოვეთ პრიზმის მოცულობა თუSABCD=24 სმ2 და BEG = 60deg

20

K

D

E

F G

C

BA

AprimeCprime

Bprime

A HB

hC

10სმ

4 სმ600

ბ) სხვა მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის ყუთის ზომები

8 6-ია თუმცა მისი დიაგონალი ფუძის დიაგონალთან 60deg-იან კუთხეს ქმნის უჩვე-

ნეთ რომ ამ ორი პარალელეპიპედის მოცულობების შეფარდება -ის ტოლია

ა) მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალი ფუძის დიაგონალ-თან 30deg-იან კუთხეს ადგენს იპოვეთ მისი მოცულობა სურათზემოცემული ზომების მიხედვით

მართი პრიზმის ფუძე კვადრატია მისი გვერდითი წიბოს სიგრძე ფუძის გვერდზე3-ჯერ მეტია სრული ზედაპირის ფართობი კი 350 მ2-ია იპოვეთ პრიზმის მოცულობა

მართი სამკუთხა პრიზმის ფუძის გვერდები 4 სმ 5 სმ და 7 სმ-ია გვერდითი წიბო კიფუძის დიდი სიმაღლის ტოლია იპოვეთ პრიზმის მოცულობა

წესიერი სამკუთხა პრიზმის ყველა წიბოს სიგრძე x-ის ტოლია უჩვენეთ რომ მისი

მოცულობა V = x3-ის ტოლია

prizmis moculoba

216

tg60degtg30deg

radic34

წესიერი ექვსკუთხა პრიზმის სიმაღლეა h ფუძის გვერდი კი a-ს ტოლია უჩვენეთ რომ

მისი მოცულობა V = a2h-ის ტოლია

წესიერი სამკუთხა პრიზმის ყველა 9 წიბო ერთი და იგივე სიგრძისაა რამდენი

სანტიმეტრია ერთი წიბოს სიგრძე თუ პრიზმის მოცულობა 16radic3 სმ3-ია

თუ პარალელეპიპედის სიგრძე და სიგანე 20-ით შემცირდება რამდენი პროცენტითუნდა გაიზარდოს სიმაღლე რომ მოცულობა არ შეიცვალოს

3radic32

24

25

26

27

დახრილი სამკუთხა პრიზმის გვერდითი წიბოები 20 სმ-ია მართობული კვეთისგვერდები 13 სმ 14 სმ და 15 სმ-ია იპოვეთ პრიზმის მოცულობა

28

29

30

31

300

86

ა) დახრილი პრიზმის ფუძეა კვადრატირომლის გვერდი 2 ერთეულია 15 ერ-თეული სიგრძის გვერდითი წიბო ფუძისსიბრტყესთან 60deg-იან კუთხეს ადგენსიპოვეთ პრიზმის მოცულობა

ბ) წესიერი ექვსკუთხა დახრილი პრიზმისმოცულობა 36radic3 კუბური ერთეულიამისი 12 ერთეული სიგრძის გვერდითიწიბო ფუძის სიბრტყესთან 30-იან კუთ-ხეს ადგენს იპოვეთ ფუძის გვერდი

23

2 დმ2 ფართობის მქონე რომბი მართი პარალელეპიპედის ფუძეა დიაგონალურიკვეთის ფართობები 9 დმ2 და 16 დმ2-ია იპოვეთ პარალელეპიპედის მოცულობა

21

იპოვეთ წესიერი ოთხკუთხა პრიზმის მოცულობა თუ გვერდითი წახნაგის დიაგო-ნალი 5 მ-ია ხოლო თვით მისი დიაგონალი 7 მ

22

300

12 15

2600

prizmis moculoba

217

სურათზე ასახულია ყუთი რომლის სახურავი შიგნითაა ჩავარ-დნილი სახურავის ფართობი 15 სმ2-იაა) იპოვეთ ყუთის მე-3 ზომაბ) იპოვეთ ყუთის სახურავის მიერ ყუთიდან გამოყოფილი მცირედაფარული ნაწილის მოცულობაგ) იპოვეთ ყუთის პირღია დიდი ნაწილის მოცულობა

33 5 სმ 3 სმ

3 სმ3 სმ

32informatika 9 სმ 12 სმ მუყაოს კუთხეებიდან კვადრატებიჩამოაჭრეს წყვეტილი ხაზების გასწვრივ მუყაოს გადაკეცვითყუთის ფორმა მიიღება რა ზომისა უნდა იყვნენ ისინი რომ ყუთიგახდეს მაქსიმალური მოცულობის გამოვსახოთ ყუთისმოცულობა x ცვლადით

V = (12 2x) (9 2x) xმოცემული მუყაოდან ყუთის დამზადებისათვის x-ის მნიშ-

ვნელობა შეიძლება შეიცვალოს 0 და შორის 0 lt x lt 45

ქვემოთ მოცემულ კომპიუტერულ პროგრამას x-ის 10 მნიშვნე-

ლობისათვის მოცულობა გაუანგარიშებია

92

mcire saproeqto samuSao

9

12x

xx x

12 ndash 2x9 ndash 2x

x

10 PRİNT ldquoXrdquo ldquomoculobardquo15 PRİNT20 FOR X = 0 TO 45 STEP 0530 LET V = (12 2X) (9 2X) X40 PRİNT X V50 NEXT X60 END

X moculoba

0 005 441 7015 812 8025 703 5435 354 1645 0

მარჯვენა მხარეს დაბეჭდილი ინფორმაცია x-ის 1 და 2-ს შორისმნიშვნელობებისათვის მოცულობის მაქსიმუმს უჩვენებსამასთან მოძებნილი რომ მოცულობის მაქსიმუმს უჩვენებსამასთან მოძებნილია რომ მოცულობის მაქსიმალურიმნიშვნელობა 81-ის ტოლიაპროგრამის შესრულებული ნაწილის მიხედვით შეასრულეთ ქვემოთ მოცემულიგამოთვლებია) უფრო ზუსტი გამოთვლების წარმოებისათვის პროგრამის x-ის მნიშვნელობებისშეცვლის ბრძანება ისე შეარჩიეთ რომ x-ის მნიშვნელობები 1-დან 2-მდე 01 ბიჯითშეიცვალოსბ) მე-20 ბრძანება ისე შეცვალეთ რომ მოცულობის მნიშვენლობა 01 სმ3 სიზუსტითგამოთვალოსგ) მოცულობის მაქსიმალური მნიშვნელობის შესაბამისად დაწერეთ ყუთის ზომები(სიგრძე სიგანე და სიმაღლე)დ) დაწერეთ კომპიუტერის პროგრამა მიყაოს 8 სმ 20 სმ ზომებისათვის და კომ-პიუტერში სამუშაოები შეასრულეთე) მოცემული პროგრამის (შეგიძლიათ შეცვალოთ დაპროგრამების ენა) კომპიუტერშიმუშაობის უზრუნველყოფისათვის შეასრულეთ საჭირო სამუშაოები

დავუშვათ რომ TABC არის T წვეროსა და ABC ფუძის მქონე სამკუთხა პირამიდა შევავსოთეს პირამიდა სამკუთხა პრიზმამდე მიღებული პრიზმა სამი პირამიდისაგან შედგება

1) მოცემული TABC პირამიდა 2) TCNM და 3) TMBC

პირამიდებისაგან მე-2 და მე-3 პირამიდების ფუძეები

კონგრუენტულია ∆CNM ∆MBC და T წვეროდან გავლებული

სიმაღლეები საერთოა ამიტომაც მათი მოცულობები ტოლია 1-ლი

და მე-3 პირამიდების ფუძეებიც კონგრუენტულია ∆TAB ∆BMTდა C წვეროდან გავლებული სიმაღლეები საერთოა ამიტომაც მათი

მოცულობებიც ტოლია მაშინ მოცემული პირამიდის მოცულობა

Soth-ის ტოლია

ნებისმიერი პირამიდის ფუძის სამკუთხედებად დაყოფა მიღებული სამკუთხა პირამიდების

მოცულობების პოვნა შეჯამებით მოცემული პირამიდის მოცულობის გამოთვლა შეიძლება

ამრიგად ნებისმიერი პირამიდის მოცულობა ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლის

ერთი მესამედის ტოლია V = Sფძh

პირამიდის მოცულობა ფუძის ფართობისა და სიმაღლისნამრავლის ერთი მესამედის ტოლია

V = Sფძh

piramidis moculoba

218

gamokvleva 1 კუბის დიაგონალები მას ექვს კონგრუენტულ

პირამიდად ყოფს თითოეული პირამიდის ფუძე კუბის წახნაგია

თითოეული პირამიდის სიმაღლე კი a-ს ტოლია

ა) განმარტეთ რომ თითოეული პირამიდის მოცულობა V = a3-ის ტოლია

ბ) განმარტეთ რომ თითოეული პირამიდის მოცულობა V = S ფძ h-ის ტოლია

aa

a12

1613

13

13

13

piramidis moculoba

h

B

h

B

4 მ სიგრძის 18 სმ სიგანის და 24 სმ სისქისსურათზე ნაჩვენები ხის მასალა ნაჩვენებიწესით 6 ნაწილად დაიყო იპოვეთ თითო-ეული ნაწილის მოცულობა

34 35ფიგურების მოცულობები და სი-მაღლეები ტოლია განსაზღვრეთპრიზმების x-ით აღნიშნული ნაწი-ლები

8სმ8სმ8სმ 8სმ

8სმ8სმ

4 მ

6სმ

6სმ

6სმ

x

3სმ

6სმ

x

3სმ3სმ

T

A

B

C

MN

piramidis moculoba

219

ა) სურათზე მონაცემების მიხედვით იპოვეთ წესიერი პირამიდის მოცულობა

ბ) სურათზე მონაცემებისმიხედვით იპოვეთ პირა-მიდების მოცულობა

18 სმ

15მ

14 მsფძ= 56მ2

118მ54მ

48სმ

13 მ 85მ

22 მSფძ= 6მ2

8 მ10 მ48სმ

პრიზმისა და პირამიდის ფუძეები კონგრუენტულიფიგურებია პრიზმის სიმაღლე 5 ერთეულია პირამიდისსიმაღლე 7 ერთეულია იპოვეთ ამ ფიგურების მო-ცულობების შეფარდება

მონაცემების მიხედვით იპოვეთ წესიერი პირამიდების მოცულობა2

3

პირამიდის თითოეული გვერდითი წიბო 25 მმ-ია ხოლო პირამიდის ფუძე მართ-კუთხედია ამ მართკუთხედის გვერდები 18 მმ და 24 მმ-ია იპოვეთ პირამიდისმოცულობა

4

პირამიდის თითოეული გვერდითი წიბო 13 სმ-ია ხოლო პირამიდის ფუძე 6 სმ 8სმ და10 სმ გვერდებიანი სამკუთხედია იპოვეთ პირამიდის მოცულობა

5

18

5

12

1513

7

სურათზე მინერალური კრისტალებია მოცემული გამოთვალეთ მოცულობა612 10

10

536

TABC წესიერი სამკუთხა პირამიდაა შეასრულეთ დავალებები სუ-რათის მიხედვით

ა) იპოვეთ h და l თუ AM = 9 და TM = 5ბ) იპოვეთ AO და AM თუ BC = 6გ) იპოვეთ BC OM და AM თუ h = 4 l = 5იპოვეთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი და მოცულობად) იპოვეთ მოცულობა გვერდითი ზედაპირის ფართობი და აპოთემათუ AB = 12 TA = 10

7

A

T

Ch hal

B

MO

9

8

220

ა) რომელი პირამიდის მოცულობა არის უფრო მეტი

ბ) რომელი პირამიდის სრული ზედაპირის ფართობი არის უფრო მეტი

კონგრუენტულ კუბებში ორი სხვადასხვა პირამიდა F-ABCD და M-ABCD არისჩახაზული M-ABCD პირამიდის M წვერო EFGH კვადრატის ცენტრშია

14

piramidis moculoba

შვეულად წოდებული ინსტრუმენტი სამშენებლო საქმეშივერტიკალური ხაზების სისწორის შემოწმებისათვის გამო-იყენება სურათზე წარმოდგენილი შვეული წესიერი ექვსკუთხაპრიზმისა და პირამიდისაგან შედგება იპოვეთ ინსტრუმენტისმოცულობა

8

6 სმ

2 სმ

3 სმპირამიდის ფუძე ტოლგვერდა სამკუთხედია აპითემა 10 სმ-ია ფუძის გვერდი 6 სმ-იაიპოვეთ პირამიდის მოცულობა

9

სურათის მონაცემების მიხედვით გამოთვალეთ წესიერი პირამიდისმოცულობა პასუხი დაამრგვალეთ მეათედებამდე

1010

420

იპოვეთ წესიერი პირამიდების მოცულობა პასუხი დაამრგვალეთმეათედებამდე

11

პირამიდის ფუძეა რომბი რომლის გვერდი 3 სმ-ია თითოეული გვერდითი წიბო ფუძისსიბრტყესთან 45-იან კუთხეს ქმნის იპოვეთ პირამიდის მოცულობა თუ S გვ=12 სმ2

12

სამკუთხა პირამიდის ერთი წიბო 6-ის დანარჩენი წიბოები კი 5-ის ტოლია იპოვეთპირამიდის მოცულობა

13

სამკუთხა პირამიდის ურთიერთმართობული გვერდითი წახნაგების ფართობებია 24 დმ2 16 სმ2 და 12 დმ2 იპოვეთ პირამიდის მოცულობა

15

44

4 1010

400

1010

800500

H H

EM FE

A B

G G

C CD D

F 1 1

11

11 A B

სურათზე მოცემული წესიერი ოქტაედრის წიბოებისსიგრძეთა ჯამი 18 ერთეულია იპოვეთ ოქტაედრის ა) სიმაღლე ბ) მოცულობა

221

piramidis moculoba

სურათის მონაცემების მიხედვით გამოთვალეთ ფიგურების მოცულობები16

G წერტილი წესიერი ტეტრაედრის ფუძის სიმძიმის ცენტრია(მედიანების გადაკვეთის წერტილი) იპოვეთ პირამიდისმოცულობა თუ GH = 3 სმ

ორ კონგრუენტულ კუბში ჩახაზული პირამიდებისფუძეები კუბის წახნაგებია დაწერეთ ბ სურათზემოცემული პირამიდის მოცულობის ა სურათზემოცემული პირამიდის მოცულობასთან შეფარდება

17

18

ბა

20

19

პირამიდაში სურათზე ნაჩვენები წესით მოთავსებულიაკუბი კუბის ქვედა ფუძე პირამიდის ფუძესთან ერთსიბრტყეზე ზედა ფუძის წვეროები კი პირამიდისწიბოებზეა იმ პატარა პირამიდის მოცულობა რომლისფუძეც კუბის ზედა წახნაგია 36 სმ3-ია სიმაღლე 3 სმ-იაიპოვეთ

ა) კუბის წიბოს სიგრძე

ბ) დიდი პირამიდის ფუძის გვერდი

გ) დიდი პირამიდის მოცულობა

დ) დიდი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

25მ 18 სმ

20 სმ

15 სმ34 სმ

2 მ4 მ

3 მ

12

12

6 53

9

3

T

BA

C

G H3

T

D

P

BA

C

222


მსგავსი ფიგურები ფორმით ერთნაირია შესაბამისი ზომები პრო-პორციული აქვთ

მაგალითად სურათზე მოცემული სამკუთხედები მსგავსია რადგანშესაბამისი გვერდების შეფარდებები ტოლია

სურათზე მოცემული მართკუთხა პარალელეპიპედებიცმსგავსია რადგან შესაბამისი წრფივი ზომები პრო-პორციულია და შესაბამისი წახნაგები მსგავსი მართ-კუთხედებია

შესაბამისი წრფივიზომების თანაფარ-დობის მაჩვენებელრიცხვს მსგავსებისკოეფიციენტი ეწო-დება

= k

36

36

48

510= =

48

24= =

34

5 6

8

10

48

643 2

msgavsi figurebi

EF

G

J

h2

l2

ABEF = = =BC

FGCAGE

ADEJ = BD

FJ = CDGJ = h1

h2= l1

l2

∆ABC ~ ∆EFG ∆ABD ~∆EFJ∆BCD ~ ∆FGJ ∆ACD ~ ∆EGJ

nimuSi უჩვენეთ მსგავსია თუ არა მოცემული ფიგურები

მსგავსი ფიგურებიამსგავსი ფიგურები არ არიან

46

812= = 2

3

1015 = ne10

151214

8მ12მ

6მ4მ

3მ2მ12სმ 14სმ


წესიერი მრავალწახნაგები მსგავსია კერძოდ ყველა კუბი მსგავსიაწესიერი ტეტრაედრები მსგავსია და ა შ

თუ გარდაქმნის დროს ნებისმიერ ორ წერტილს შორის მანძილი ერთი და იგივე რიცხვჯერიცვლება ასეთ გარდაქმნას მსგავსების გარდაქმნა ეწოდება მსგავსების გარდაქმნით რაიმეფიგურისა და მისი მსგავსების გარდაქმნით მიღებულ ფიგურას მსგავსი ფიგურა ეწოდებამსგავსების კოეფიციენტი ნებისმიერი ორ შესაბამის წერტილთა წყვილს შორის მანძილებისთანაფარდობის ტოლია

D

C

B

A

h1

l1

223

gamokvleva ვუჩვენოთ მსგავსია თუ არა მოცემული ფიგურები A და B პრიზმები (მართკუთხა პარალელეპი-პედები) მსგავსი პრიზმებია რომელთა მსგავ-სების კოეფიციენტი -ის ტოლია

იპოვეთ ამ პრიზმებისა) სრული ზედაპირის ფართობების შეფარდებაბ) მოცულობების შეფარდება

ა) A პრიზმის სრული ზედაპირი

Sსრ = Ph + 2Sფძ == 122 + 28 = 40 (სმ2)

V = Sფძh = 8 2 = 16 (სმ3) V = Sფძh = 18 3 = 54 (სმ3)

B პრიზმის სრული ზედაპირი

ბ) A პრიზმის მოცულობა B პრიზმის მოცულობა

Sსრ = Ph + 2Sფძ = = 183 + 218 = 90 (სმ2)

A prizma B prizma

23

A პრიზმის სრული ზედაპირის B პრიზმის სრულ ზედაპირთან შეფარდება

4090

49

22

32= =

A პრიზმის მოცულობის B პრიზმის მოცულობასთან შეფარდება 1654

827= =

2სმ2სმ

4სმ 6სმ3სმ

3სმ

A figura B figura

თუ ორი სივრცითი ფიგურის მსგავსების კოეფიციენტებია ამ ფიგურების ზედაპირე-

ბის (გვერდითი სრული ფუძის) თანაფარდობაა მოცულობის თანაფარდობა კი

მსგავსების კოეფიციენტი

SსრA

SსრB

ab

ab

a2

b2a3

b3

a2

b2a3

b3

=VA

VB=

msgavsi figurebi

a b

პირამიდის ფუძის პარალელური სიბრტყით გადაკვეთისას მიღებული მცირე პირამიდა

მოცემული პირამიდის მსგავსია მსგავსების

კოეფიციენტის პოვნა ნებისმიერი შესაბამისი წრფივი

ზომების შეფარდებით შეიძლება მაგალი-თად

სურათზე მოცემული პირამიდების სიმაღ-ლეები

ცნობილია მათი ზედაპირების ფუძეების ან სრული

ზედაპირების ფართობების შეფარდება სიმაღლეების

კვადრატების ტოლია

h

SH

Sh Sh

SH

Sპატ

Sდიდ

h2

H2=

Hh h

23= ( )

2

23( )

3

msgavsi sivrciTi figurebis zedapirebi da moculobebi

224


მოცემულია ორი მსგავსი ფიგურის ზედაპირების ფართობი და დიდი ფიგურისმოცულობა იპოვეთ მცირე ფიგურის მოცულობა

ა) S1 = 18 სმ2 ბ) S1 = 192 მ2 გ) S1 = 52 დმ2

S2 = 72 სმ2 S2 = 1728მ2 S2 = 208 დმ2

V2 = 344 სმ3 V2 = 4860 მ3 V2 = 192 დმ3

მოცემული ორი მსგავსი ფიგურის მოცულობები და მცირე ფიგურის ზედაპირისფართობი იპოვეთ დიდი ფიგურის ზედაპირის ფართობი

ა) V1 = 27 სმ3 ბ) V1 = 5 მ3 გ)V1 = 54 სმ3

V2 = 125 სმ3 V2 = 40 მ3 V2 = 128 სმ3

S1 = 63 სმ2 S1 = 4 მ2 S1 = 18 სმ2

ცნობილია რომ ფიგურები მსგავსია მონაცემების მიხედვით იპოვეთ მოთხოვნილიზომები

ორი მსგავსი პრიზმის სიმაღლეების თანაფარდობაა 5 3 იპოვეთ ამ პრიზმებისა) გვერდითი ზედაპირების ფართობების შეფარდებაბ) მოცულობების შეფარდება

A და B წესიერი ოთხკუთხა პრიზმები მსგავსია A პირამიდის ფუძის გვერდი 6 სმმოცულობა 48 სმ3-ია B პირამიდის ფუძის გვერდი 12 სმ-ია იპოვეთ

ა) B პირამიდის მოცულობა

ბ) გვერდითი ზედაპირების თანაფარდობა

გ) თითოეული პირამიდის სრული ზედაპირის ფართობი

ორი ფიგურა მსგავსია მონაცემების მიხედვით იპოვეთ ფიგურების მსგავსებისკოეფიციენტები

2

3

4

5

6

7

V1 = 216 სმ3S1 = 2 სმ2 S2 = 32 სმ2 V2 = 343 სმ3

06მ

18მ 24მ02მ 04მ

S2 = S1 = 66მ2

დაადგინეთ მოცემული ფიგურები მსგავსია თუ არა1

12სმ9სმ

24 სმ 22სმ10მმ

5მმ15მმ

6მმ3მმ

9მმ

18სმ 10 სმ 30 სმ

25სმ

15სმ

15სმ


7სმ5სმ

15სმ21სმ22სმ

ა)

ა)

ბ)

ბ)

გ)

ე)დ)

9მ27მ

V1 = V2 = 243მ3

225

სპილენძისაგან დამზადებული წესიერი ექვსკუთხა ფორმისდეტალები მსგავსია სპილენძის სიმკვრივე 86 გრსმ3-ია 1 კგ სპილენძის ფასი 255 კაპიკია დეტალის დამამზადებელიკომპანია თითოეული დეტალისათვის (სიდიდისაგან და-მოუკიდებლად) მასალის ფასის 125 ოდენობით წარმოების დანახარჯების დამატებითდეტალის წარმოების ღირებულებას განსაზღვრავს სარეალიზაციო ფასი კი თვით-ღირებულებაზე კომპანიის 22-იანი მოგების დამატებით ფორმირდება იპოვეთთითოეული დეტალის სარეალიზაციო ფასი

სურათზე მოცემული წესიერი სამკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდია8 სმ სიმაღლე 12 სმ-ია პირამიდა T წვეროდან დაწყებული 4 სმ და6 სმ მანძილზე ფუძის პარალელური სიბრტითაა გადაკვეთილიიპოვეთ კვეთაში მიღებული მრავალკუთხედების პერიმეტრები

იპოვეთ მანძილი H სიმაღლიანი პირამიდის წვეროდან ფუძისპარალელურ და მოცულობის შუაზე გამყოფ მკვეთამდე

ფუძის პარალელური სიბრტყეები პირამიდის სიმაღლეს 3 ტოლ ნაწილად ყოფენროგორი თანაფარდობით იყოფა პირამიდის მოცულობა

ორი მსგავსი პირამიდის სიმაღლე ისე შეეფარდება ერთმანეთს როგორც 13 იპოვეთმცირე პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი თუ პირამიდების გვერდითიზედაპირების სხვაობა 96 მ2 იქნება

14

15

16

17

A C

T

DD F

EK L

M

H

O2

O1

სარეცხი ფხვნილის მწარმოებელი კომპანია ერთი და იგივე სახის ფხვნილისდასაფასოებელ ყუთებს განსაზღვრული მასშტაბით გაზრდილ ყუთებში ათავსებს 450გრამი ტევადობის ყუთის ზომები 1 2 მასშტაბით პროპორციულადაა გაზრდილიიპოვეთ ახალი ყუთის ტევადობა

ორი კუბიდან ერთის დიაგონალია radic3 სმ მეორისა კი 4radic3 სმ-ია იპოვეთ ამ კუბებისმოცულობების სხვაობა

ორი მსგავსი პირამიდის მოცულობაა 2 და 54 კუბური ერთეული იპოვეთ ქვემოთმოცემული თანაფარდობებია) სიმაღლეების ბ) აპოთემების გ) ფუძეების ფართობების დ) სრული ფართობების

თვითმფრინავის მოდელი თვითმფრინავის რეალურ ზომებთან 1200შეფარდებითი მასშტაბითაა დამზადებული შეადარეთ მოდელზედახარჯული საღებავის რაოდენობა რეალურ თვითმფრინავზეგამოყენებულ საღებავის ოდენობასთან

20 მმ

8 მმ

8

9

10

11

1280 მმ

32მმ


ახალი ავტომობილის დიზაინის შექმნისას ჯერ ავტომობილისგანსაზღვრულ მასშტაბიან მოდელს თიხით ამზადებენ რეა-ლობაში 5 მ სიგრძის ავტომობილის თიხის მოდელის სიგრძე 10 სმ-ია იპოვეთ მოდელის ზედაპირის ფართობის რელურიავტომობილის ზედაპირის ფართობთან შეფარდება

13

226

წაკვეთილი პირამიდის მოცულობა რომლის ფუძეების ფართობებია S1 და S2

სიმაღლე კი h გამოითვლება ფორმულით

hradicS1

radicS2 radicS1V = [(S2 S1) + S2h] = [(radicS2 + radicS1 )hradicS1 + S2h] =

= (h radicS1S2 + h S1 + h S2) = h (S1 + radicS1S2 + S2)


gamokvleva ძველმა ეგვიპტელებმა წესიერი ოთხკუთხა წაკვეთილი პირამიდის მოცულობის

V = h(x2 + xy + y2) ფორმულით გამოთვლა იცოდნენ თუმცა მათ არ იცოდნენ როგორ

მიიღებოდა ეს ფორმულა მიიღეთ ეს ფორმულა ქვემოთ მოცემული ნაბიჯებითა) დაწერეთ იმ წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის მოცულობა რომლის ფუძის გვერდი y ერთეულის ტოლიაბ) დაწერეთ იმ წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის მოცუ-ლობა რომლის ფუძის გვერდი x ერთეულის ტოლიაგ) უჩვენეთ რომ H და h სიმაღლეებს შორის არსებული

დამოკიდებულება სახისაა

დ) უჩვენეთ რომ წაკვეთილი პირამიდის მოცულობა

V = h(x2 + xy + y2) ფორმულით გამოითვლება

yH =yh

y x

13

13

yy

xh

Hx

13

13

წაკვეთილი პირამიდის მოცულობა შეიძლება ვიპოვოთ როგორც სხვაობამოცემული სრული პირამიდისა და ფუძის პარალელური მკვეთითგამოყოფილი მცირე პირამიდის მოცულობებს შორის

ვინაიდან ეს პირამიდები მსგავსია ფართობების შეფარდება სიმაღლეების შეფარდებისკვადრატის ტოლია დავწეროთ ეს ტოლობა და ვიპოვოთ მცირე პირამიდის სიმაღლე

V = S2(h1 + h) S1h1 = [(S2 S1)h1 + S2h]

სადაც V წაკვეთილი პირამიდის მოცულობაა S2 და S1 დიდი დამცირე პირამიდების ფუძეების ფართობებია h წაკვეთილიპირამიდის სიმაღლეა h1- მცირე პირამიდის სიმაღლეა

13

hradicS1

radicS2 radicS1

S1

S2

h1

h1 + hh1

h1 + h=radicS1

radicS2=

2h1radicS2 = (h1 + h) radicS1 h1 =

h1 გამოსახულება V = [(S2 S1)h1 + S2h] ტოლობაში გავითვალისწინოთ

13

13

13

13

13

V = h (S1 + radicS1S2 + S2)

13V = h (S1 + radicS1S2 + S2)


a

b

h

S1

S2

13

A

T

Aprime

B

Bprime

C

C

D

Dprime

S2 O

O1S1

h1

h

rarr

227


H სიმაღლის პირამიდის ფუძის პარალელური სიბრტყითიკვეთის შედეგად მიღებული წაკვეთილი პირამიდის ზომებისურათზეა ნაჩვენები

ა) იპოვეთ წაკვეთილი პირამიდის მოცულობა

ბ) იპოვეთ პირამიდის H სიმაღლე

გ) სურათზე ნაჩვენები ზომის წყლის აუზი რომ ამოითხაროს ამმიწის გასაზიდად რამდენი 12 მ3 ტევადობის მანქანაა საჭირო

დ) რამდენი ლიტრი წყალი დაეტევა აუზში

ე) თუ წყალს შევავსებთ აუზის ტევადობის ნახევარი ოდენობით რამდენი იქნება წყლისსიღრმე

სურათზე მონაცემების მიხედვით იპოვეთ წესიერი ოთხკუთხაწაკვეთილი პირამიდის გვერდითი ზედაპირი სრული ზე-დაპირი და მოცულობა 13სმh

4 სმ

14 სმ8 მ

3მ

H4 მ

2

1

ა) წესიერი სამკუთხა პირამიდის ყველა წიბოს სიგრძე ტოლია და x-ითაა აღნიშნულიგამოსახეთ პირამიდის მოცულობა x ცვლადითბ) წესიერი ექვსკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდია x გვერდითი წიბო 2x-ია გამოსახეთპირამიდის მოცულობა x ცვლადით

პირამიდის ფუძის პარალელური სიბრტყე მის სიმაღლეს წვეროდანდაწყებული ყოფს შეფარდებით 1 2 იპოვეთ მოცემული პირამიდისმოცულობა თუ მიღებული წაკვეთილი პირამიდის მოცულობა 208კუბური ერთეულია

ა) იპოვეთ წესიერი ექვსკუთხა პირამიდის მოცულობა თუ მისი გვერდითი წიბო 10 სმ-ია ფუძის გვერდი კი 6 სმ

ბ) მართკუთხა პარალელეპიპედიდან სიბრტყითი კვეთით სურათზენაჩვენების მსგავსი პირამიდა გამოიყო შეადარეთ პირამიდისა დაპარალელეპიპედის მოცულობა

DFG

P

A B

EH

3

4

5

მართკუთხა პარალელეპიპედის ზომებია AD = 20 სმ AB = 10 სმ AE = 15 სმ იპოვეთა) AFB BFO AFO BOF AOF OFC კუთხე-ების გრადუსული ზომებიბ) ∆ABO ∆BOF ∆AOFსამკუთხედების ფართობებიგ) უმოკლესი მანძილი B წერტილიდან AOF სიბრტყემდე

E

F

A

D

20

15

63

4

10

C

B

O

6

228


მართ სამკუთხა პრიზმაში სურათზე მონაცემების მიხედვით ა) იპოვეთ სიბრტყითიკვეთის ფართობები ბ)შეადარეთ სიბრტყითი კვეთით გამოყოფილი პრიზმებისმოცულობები

nimuSi სურათზე a წიბოს მქონე კუბის ABCD კვეთაა ნაჩვენები D და Cწერტილები შესაბამისი წიბოების შუა წერტილებია იპოვეთ სიბრტყითიკვეთის ფართობი amoxsnamocemulia მოცემულია კუბი და მისი წიბოს a სიგრძე D და C წერტილები წიბოს შუა წერტილებიაipoveT SABCD

უფრო თვალნათლივ დანახვისათვის კუბი შევაბრუნოთ და ამოცანაშიმოცემული ინფორმაცია სურათზე ავღნიშნოთ ∆BEC-დან პითაგორასთეორემის თანახმად

x2 = a2 +( a)2 x2 = a2 x = radic5a

SABCD = ax = a( radic5a) = radic5a2 პასუხი SABCD = radic5a2

12

12

12

12

12

54

A

a

aCD

B

B

Aa

ax

x

a2 a2E

C

D

1

დახრილი პრიზმის რომლის ფუძეც წესიერი სამკუთხედიაგვერდითი წიბო ფუძის სიბრტყესთან 60deg-იან კუთხეს ქმნისიპოვეთ პრიზმას მართობული კვეთის ფართობი თუ ცნობილიარომ ფუძის გვერდები 6 სმ-ია

სასაჩუქრე ყუთი სურათზე ნაჩვენები წესით მუყაოთი 4 ნაწი-ლადაა დაყოფილი მოცემული ზომების მიხედვით იპოვეთყუთის დამზადებისათვის საჭირო მუყაოს ოდენობა

D

E

BA 86

10

25 20

15

2

3

მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის 15 სმ 12 სმ 25 სმზომებიან ჭურჭელში წყლის სიმაღლე h1-ია ჭურჭლის BCEMწახნაგზე გადატრიალებისას მისი სიმაღლე h2 ABMN წახნაგზემობრუნებისას კი h3 ხდება განსაზღვრეთ რამდენი კუბურიმეტრი წყალია ჭურჭელში თუ h1 + h2 + h3 = 24 სმ-ს A B

CD

EN M

F4

a2

b2b

2

a2

h2h2

h h h

c c cc

a a ab b bA

C

C6

60degD

B

E

FA

B

სივრცეში წერტილისა და წრფის მიმართ სიმეტრიის გარდაგანიხილება სიბრტყის მიმართ სიმეტრიაც თუ სიბრტყე AAprimeმონაკვეთის შუაზე გაივლის და მისი მართობულია A და Aprimeწერტილებს სიბრტყის მიმართ სიმეტრიულ წერტილები ეწოდებათუ ფიგურის წერტილების განსაზღვრული სიბრტყის მიმართსიმეტრიული წერტილებიც ამ ფიგურასეკუთვნის ამ სიბრტყეს ფიგურისსიმეტრიული სიბრტყე ფიგურას კისიბრტყის მიმართ სიმეტრიული ფიგურაეწოდებასხვადასხვა წრფივი ზომების მქონე მართკუთხა პარალელეპიპედს სიმეტრიის ცენტრისგარდა სამი სიმეტრიის ღერძი და სამი სიმეტრიული სიბრტყე გააჩნია მოპირდაპირეწახნაგების დიაგონალების გადაკვეთის წერტილზე გამავალი წრფე მისი სიმეტრიის ღერძიაშუა წიბოზე გამავალი მისი მართობული სიბრტყე სიმეტრიული სიბრტყეამართკუთხა პარალელეპიპედს რომელსაც ორი წრფივი ზომა ტოლი აქვს 5 სიმეტრიისსიბრტყე გააჩნია ეს გამოსახულებები რვეულში ჩაიხაზეთ

simetria sivrceSi სხვადასხვა სივრცით სხეულებზე სხვადასხვა სიმეტრიების შემჩნევაშეიძლება პარალელეპიპედის დიაგონალური კვეთები ვი-ნაიდან პარალელოგრამები არიან გასაგებია რომ BD1 და DB1

დიაგონალები ერთ O წერტილში იკვეთებიან და შუაზეიყოფიან შეიძლება იმის ჩვენებაც რომ სხვა დიაგონალებიცნO წეტილში იკვეთებიან და შუაზე იყოფიან მაშასადამეპარალელეპიპედების დიაგონალების გადაკვეთის წერტილიმისი სიმეტრიის ცენტრია

229

simetria sivrceSi

asaxviTi (RerZuli) simetria

brunviTi simetria

3 შემადგენელი 4 შემადგენელი 5 შემადგენელი

simetriis RerZis wrfidan man-Zilis maCvenebeli marTobi

sibrtyeze simetria

brunviscentri

simetriis RerZi

AprimeBprime

Dprime900

900

EprimeEDB

ACprime

Cprime

A

O

Aprime

A

B CO

D

D1A1

B1 C1

230

simetria sivrceSi

brunviTi simetria სივრცითი ფიგურების ბრუნვითი სიმეტრიაც სიბრტყითი ფი-გურების მსგავსია თუმცა სივრცით ფიგურებში ბრუნვითი სიმეტრია ღერძის მიმართგანისაზღვრება

სურათზე კუბის ბრუნვის ღერძებია ნაჩვენები ეს ღერძებიგეომეტრიულად სიტყვიერადაა მოცემული კუბის სურათზეშესაძლო გამოსახულებები დახაზეთ და უჩვენეთ თითოეულიშემთხვევისათვის ერთი სურათი ნიმუშის სახითაა მოცემული

ბრუნვისა და ასახვის სიმეტრიები ფართოდ გამოიყენება ნივთი-ერებების მოლეკულური აგებულების შესწავლისას

1

ნაფტალინი C10H8

ბ) ბრუნვითი ღერძი კუბისდიაგონალის მომცავი წრფეათითოეულ შემთხვევაში 4დამთხვევა აღინიშნება

გ) ბრუნვითი ღერძი ორიმოპირდაპირე წიბოს შუაწერტილებზე გამავალიწრფეა თითოეულ შემთხ-ვევაში 2 დამთხვევა აღი-ნიშნება

ა) სიმეტრიია (ბრუნვითი)ღერძი ორი მოპირდაპირეწახნაგის ცენტრებს აერთებსთითოეულ შემთხვევაში 3დამთხვევა აღინიშნება

კუბის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი მისი სიმეტრიის ცენტრია ერთ წახნაგზეარამდებარე პარალელური წიბოების შუა წერტილებზე გამავალი წრფეები (მათი რაო-დენობა 6--ია) და მოპირდაპირე წახნაგების ცენტრებზე გამავალი წრფეები (მათირაოდენობა 3-ია) კუბის სიმეტრიის ღერძებიაკუბს 9 სიმეტრიის სიბრტყე გააჩნია და ისინი სურათებზეა ნაჩვენები

231

simetria sivrceSi

ჩვენ სიბრტყითი ფიგურების ფართობის დაფარვა-პარ-კეტირების შესახებ დავალებები შევასრულეთ ანა-ლოგიურად სივრცითი ფიგურების მოცულობის შევსებისგანსაზღვრული ფიგურის მიღების სავარჯიშოებს პრაქ-ტიკული მნიშვნელობა აქვს ამ დროს ასახვა და ბრუნვითისიმეტრიები გამოიყენება

სურათზე ასახულია ფუძეში ტოლგვერდა სამკუთხედის მქონე მართი სამკუთხაპრიზმისაგან დამზადებული დეტალის ზედხედი ამ დეტალებით კი ფუძის ცენტრის Oწერტილში მქონე წესიერი ექვსკუთხა პრიზმა უნდა აიგოს რამდენი ასეთი დეტალიიქნება საჭირო

1) პრიზმის ფუძე 6 კონგრუენტული სამკუთხედისაგანშემდგარი წესიერი ექვსკუთხედია თითოეული სამ-კუთხედი პრიზმებითაა შევსებული როგორც ხედავთერთ სამკუთხედში 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 პრიზმაამოთავსებული ექვსკუთხა წესიერი პრიზმისათვის კი6 25 = 150 ასეთი პრიზმაა საჭირო

O

O

A B

2) დახაზეთ ზედხედი იმ შემთხვევისათვის როცა მცირე პრიზმებისრაოდენობა 216-ია გამოთვალეთ ყუთის მოცულობა თუ ყუთისსიმაღლე იქნება 10 სმ ყველაზე პატარა პრიზმების წიბო კი 05 სმ

სურათზე 40 სმ სიმაღლის ყუთში ჩაწყობილი წესიერი ექვსკუთხაპრიზმების ზედხედია მოცემული განსაზღვრეთ ყუთის ცარიელინაწილის მოცულობა თუ წესიერი ექსვკუთხედის ფუძის გვერდი 4 სმ-ია

O

A B

5

6

კუბი ორი მოპირდაპირე წახნაგის ცენტრებზე გამავალი ღერძისგარშემო რამდენჯერ მობრუნებით დაემთხვევა თავის თავს

2

სურათზე მოცემული წესიერი ხუთკუთხა პრიზმა ფუძეების ცენტრებზეგამავალი ღერძის გარშემო რამდენი გრადუსით მობრუნებისას დაემთხვევათავისთავს

წახნაგებზე ასოებდაწერებულ კუბს თუ ორი მოპირდაპირე წახნაგის ცენ-ტრებზე გამავალი ღერძის გარშემო საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმარ-თულებით 270ordm-ით თუ შევატრიალ-ებთ რომელი მხრიდან (ზემოდანწინიდან და გვერდიდან) რომელი ასოგამოჩნდება განიხილეთ ყველა შემ-თხვევა

3

4

p

r m

z

ai

p

r i

232


სურათზე მოცემული შეკრული ყუთი წესიერი ექვსკუთხა პრიზმისფორმისაა ყუთის გარე ფუძის გვერდი10 სმ სიმაღლე კი 14 სმ-იაშიდა ფუძე და სიმაღლე კი შესაბამისად 6 სმ და 11 სმ-ია იპოვეთ

ა) ყუთის გარე ზედაპირის (სრული) ფართობი

ბ) ყუთის შიდა ზედაპირის (სრული) ფართობი

გ) ყუთის მოცულობა

პირამიდის ფუძე კვადრატია და მასში 60 სმ3 წყალი დგას სურათზემოცემული ზომების მიხედვით იპოვეთა) წყლის h სიმაღლებ) რა ოდენობის წყლის დამატება არის საჭირო რომ ჭურჭელიგაივსოს

ორი მსგავსი პირამიდის ზედაპირის ფართობები ისე შეეფარდება ერთმანეთს

როგორც იპოვეთ ამ პირამიდების მოცულობების შეფარდება

15 სმ სიმაღლეების მქონე მართი სამკუთხა პრიზმისა და წესიერიოთხკუთხა პრიზმების მოცულობები ტოლია სამკუთხა პრიზმისფუძე არის მართკუთხა სამკუთხედი რომლის ჰიპოტენუზაა 8 სმიპოვეთ ოთხკუთხა პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი

მონაცემების მიხედვით იპოვეთპირამიდის მოცემულობა

64 სმ3 მოცულობიანი მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის ყუთის დამზადებისასზომების რომელი მთელი მნიშვნელობისათვის იქნება საჭირო ყველაზე ნაკლები მუყაოგამოიკვლიეთ ვარიანტები

სურათზე მოცემულია მართკუთხედის ფორმის ფუძის მქონე პირა-მიდა და მისი ზომები იპოვეთ პირამიდის მოცულობა და სრულიზედაპირის ფართობი

Ria tipis SekiTxva დახაზეთ ორი მსგავსი პრიზმა და ორი მსგავსი პარალელე-პიპედი რომელთა მსგავსების კოეფიციენტია 25 ზედ ზომები დააწერეთ

პირამიდა ფუძის პარალელურისიბრტყით ტოლმოცულობიანორ ნაწილადაა გაყოფილი იპო-ვეთ ზედა ნაწილში პირამიდისსიმაღლე თუ პირამიდის სი-მაღლე 12 სმ-ია

125

1

2

3

4

5

6

8

9

7

6 სმ11 სმ

10 სმ14სმ

8

15 15

5 სმ

5 სმ9 სმ

A

o

DC

6 სმ

D D

R

V

A

PQ

S6სმ

B

12სმ

hსმ

arqeologiuri gaTxrebis dros narCenebis asaki Semadgen-lobaSi naxSirbadis 14 nivTierebis raodenobis gamoTvliT gan-isazRvreba amisaTvis maCvenebliani gantolebebi ixsneba

qalaq SamqirSi Catarebuli gaTxrebis dros aRmoCenili uZvelesi qalaqi

maCvenebliani da logariTmuli funqciebi9namdvilmaCvenebliani xarisximaCvenebliani funqciamaCvenebliani funqciis grafikis gardaqmnebimaCvenebliani funqcia e ricxviricxvis logariTmilogariTmuli funqcialogariTmuli skala da amocanebis amoxsna logariTmis TvisebebimaCvenebliani gantolebebilogariTmuli gantolebebimaCvenebliani utolebebilogariTmuli utolebebi

namdvilmaCvenebliani xarisxi


დაწერეთ radic2-ის კალკულატორით მოძებნილი მნიშვნელობაradic2 1414213562

ააგეთ წევრები radic2-ის ნაკლებობით აღებული ათეულობით მიახლოებითი მნიშვნელობებისმიმდევრობა1 14 141 1414 14142 141421 1414213 დაწერეთ 3-ის ამ მიმდევრობის ხარისხების მნიშვნელობების მიმდევრობა

31 314 3141 31414 314142 3141421 31414213

კალკულატორით გამოთვალეთ ამ მიმდევრობის რაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხისმიახლოებითი მნიშვნელობები

31 = 3314 465553672173141 4706965001731414 47276950353314142 472873393023141421 4728785880931414213 4728801462

მიაქციეთ ყურადღება ხარისხის მაჩვენებელი რაც უფრო radic2-თან ახლოსაა შესაბამისიმნიშვნელობები ყოველ შემდგომ ნაბიჯზე წინამდებარე ნაბიჯისაგან უფრო ნაკლებადგანსხვავდება და განსაზღვრულ ერთ რიცხვს უახლოვდება ამ რიცხვს 3-ის radic2(ირაციონალური) მაჩვენებლიანი ხარისხი ეწოდებაკალკულატორით გამოთვლა 3radic2 47288043878 შეასრულეთ დავალება 2radic3 რიცხვისათვის

234

1)

2)

3)

4)

5)

6)

მსგავსი წესით განიხილება a ირაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხი ირაციონალური რიცხვის1 2 3

ათობითი მიახლოებითი მნიშვნელობების შესაბამისადa a a

მიმდევრობა აიგება და ამ მიმდევრობის წევრების მიახლოებული რიცხვი a-ით აღინიშნებაირაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხიც რაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხის მსგავსადდადებითი ფუძისათვის განისაზღვრებაამრიგად შემოდის ნებისმიერი x ნამდვილი რიცხვისათვის ax (სადაც a gt 0)ნამდვილმაჩვენებლიანი ხარისხის ცნებაითვლება რომ ნებისმიერი x-თვის 1x = 1 და როცა x gt 0 მაშინ 0x = 0 რაციონალურ-მაჩვენებლიანი ხარისხის ცნობილი თვისებები ნამდვილმაჩვენებლიანი ხარისხისათვისაცმართებულიანებისმიერი x და y ნამდვილი რიცხვებისათვის და a gt 0 a 1 b gt 0 b 1რიცხვებისათვის მართებულია შემდეგი

1 2 3

ბ) გამოსახეთ 2-ის ხარისხით

გ) გამოსახეთ 5-ის ხარისხით

ა) ax middot ay = ax + y ბ ) = ax ndash y გ) (ax)y = axy

დ) (ab)x = axbx ე) ვ) andashx =

235


saswavlo davalebebi

ირაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხის მქონე გამოსახულებების მიახლოებითიმნიშვნელობის გამოსათვლელად გამოიყენება კალკულატორიგრაფკალკულატორზე კლავიში ირაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხის გამოთ-ვლის საშუალებას იძლევა გამოთვალეთ

ა) 8radic3 ბ) 5ndashradic11 გ) (radic10)radic2 დ) 9 ე) 15radic5 ვ) (radic7)radic3

1

დაწერეთ თითოეული წესის შესაბამისი თითო ნიმუში2

ab

axbx ( )

x=

axay

1ax

ა) გამოსახეთ 3-ის ხარისხით3 32n middot 31 + n

81n ndash 1

25x middot 53x

1252 + x

32 middot 8x

16x

გაამარტივეთ და გამოთვალეთ მნიშვნელობა

4

ა) (5radic2)radic8 ბ) ((radic2)radic6)radic6 გ) (2radic3)radic3 middot 4radic3 + 2 22radic3 5

ე) 2(radic3 + 1) middot 4ndashradic3radic 24ვ) 5(radic2 + 1) middot 25ndashradic2

ი) (2(2 + radic2) 43)radic2

radic 2

2

3

ზ) 3(radic7 + 1) 9radic7radic 24თ) 02(radic3 + radic2) middot 25radic6radic 25

კალკულატორის დახმარებით იპოვეთ მოცემული გამოსახულების მიახლოებითიმნიშვნელობები მძიმის შემდეგ დატოვეთ 5 ციფრი214 2141 21414 214142 2141421 21414213

მოცემული გამოსახულებები რაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხებია როგორშეგვიძლია ვისარგებლოთ ამ გამოსახულებებით 2radic2 ირაციონალურმაჩვენებლიანიხარისხის გამოსათვლელად

xarisxis Tvisebebi1) ax middot ay = ax + y 2) ax ay = ax ndash y 3) (ax)y = axy 4) (ab)x = axbx 5)6) როცა a gt 1 x gt y მაშინ ax gt ay როცა 0 lt a lt 1 x gt y მაშინ ax lt ay

7) როცა a gt b x gt 0 მაშინ ax gt bx როცა a gt b x lt 0 მაშინ ax lt bx

8) როცა ax = ay მაშინ x = y

ab

axbx( )

x=

დ) 3radic2 middot 9radic2 + 1 27radic2

დაალაგეთ ზრდის რიგით მიხედვით a a andashradic3 andashradic2 a0 a

ა) როცა a gt 1 ბ) როცა 0 lt a lt 1

ა) ( ) ბ) ( )ndash გ) ( )0 დ) 2ndashradic3

236


შეადარეთ

ა) 10radic5 და 10radic3 ბ) 01radic3 და 01radic2

გ) ( )ndash5 და ( )ndash3 დ) (radic3)ndash4 და (radic3)ndash2 23

23

რომელია სწორი7a) 3 lt 3radic2 lt 9 b) 2 lt 2radic3 lt 4c) 1 lt 5radic2 lt 5 d) 4radic2 lt 4radic3 lt 4radic5

მოცემული რიცხვები შეადარეთ 1-თან8

34

25

57

103

43

9 დაალაგეთ რიცხვები ზრდის რიგის მიხედვით

გ) ( )ndash01 ( )02 ( ) დ) ( ) ( ) ( )94

4916

94

32

47

1649

16

12

23

13

13

13

14

12

12

12

32

32

23

23

23

23

23

43

14

გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა10

ა)100 middot ( )ndash1 ბ) ( ) ( )

ndash

ndash 15

425

94

ndash

11

ა) (27 + 125 + 8 ) დ) (8 + ( ) + 125 )ndash radic1

9დაწერეთ რაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხის სახით და გაამარტივეთ თუ ცნო-ბილია რომ ცვლადები დადებით მნიშვნელობებს იღებენ

ა) radicm6n4 ბ) radic8x3y6 გ) radica10b2 middot radicb33 5 5

ამოხსენით განტოლებები14

ა) x = 8 ბ) 6x + 12 = 36 გ) radicx3 = 54 დ) radicx2 + 2 + 1 = 4ndash 15

იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი თუ ცნობილია რომ b2 = radic3 და b3 = radic8112 5 5

1213

13

6

ა) 8200 9150 125100 ბ) (0008)50 (009)75 (05)150

დ) radicaradicaradica3

3

ე) x ndash 2x ndash 3 = 0 ვ) radicx + radicx = 2 ზ) x2 + 2 = 2radicx2 + 5 თ) radicx + 1 ndash radicx ndash 7 = 24

237

maCvenebliani funqcia

( )x


1) y = 2x და y = ( )x ფუნქციებისათვის შევადგინოთ მნიშვნელობათა ცხრილი

x ndash3 ndash2 ndash1 0 1 2 3

y = 2x 1 2 4 818

14

12


y = 8 4 2 1 18

14

12

12

12( )x

2) საკოორდინატო სიბრტყეზე ავაგოთ წერტილები რომელთა აბცისები არგუმენტისორდინატები კი ფუნქციის ცხრილში მოცემული მნიშვნელობების ტოლია და ამ წერ-ტილებზე გავლით დახაზეთ გლუვი მრუდი

x

y

ndash2ndash4 2

2

4

4

86

(1 2)

0

y = 2x

(3 8)

(2 4)

(0 1)

(ndash1 )

(ndash2 )

(ndash3 )18

14

12

x

y

ndash2ndash4 2

2

4

4

86

(ndash1 2)

0

y =

(ndash3 8)

(ndash2 4)

(0 1)

(1 )

(2 )

(3 )18

14

12

12

3) ნებისმიერი x-ისათვის 2x და ( )x გამოსახულების მნიშვნელობები შეადარეთ ldquo0rdquo-ს

4) რაც უფრო იზრდება x-ის მნიშვნელობა y = 2x ფუნქციის მნიშვნელობა იზრდება თუ

მცირდება რაც უფრო იზრდება x-ის მნიშვნელობა y = ( )x ფუნქციის მნიშვნელობა

იზრდება თუ მცირდება5 რომელ წერტილში კვეთენ გრაფიკები y ღერძს6 შეადარეთ გრაფიკები აღნიშნეთ მათი მსგავსი და განსხვავებული ნიშნები

7 შეარჩიეთ დავალებები y = 3x და y = ( )x ფუნქციებისათვის

12

12

13

როცა a gt 0 და a 1 მაშინ y = ax ფუნქციას მაჩვენებლიანი ფუნქცია ეწოდება1) მაჩვენებლიანი ფუნქციის განსაზღვრის არე ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა

D(ax) = (ndash +)2) მაჩვენებლიანი ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე დადებით ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა

E(ax) = (0 +)3) როცა x = 0 მაშინ a0 = 1 ამიტომ მაჩვენებლიანი ფუნქციის გრაფიკი y ღერძს (0 1) წერ-ტილში კვეთს4) როცა a gt 1 მაშინ ax ფუნქცია ზრდადია როცა 0 lt a lt 1 მაშინ ax ფუნქცია კლებადია5) მაჩვენებლიანი ფუნქციის გრაფიკი აბცისთა ღერძს არ კვეთს და გრაფიკი x ღერძის ზედანახევარსიბრტყეში მდებარეობსy = ax ფუნქციასა და მის გრაფიკს ექსპონენტა ეწოდება

ექსპონენტა არგუმანტის ცვლილებით სწრაფად იზრდება ან სწრაფად მცირდება

238


შევადგინოთ მნიშვნელობათა ცხრილი

როგორც მნიშვნელობათა ცხრილიდან ჩანს x-ის მნიშვნელობის ერთი

ერთეულით გაზრდისას y-ის მნიშვნელობები -ის ჯერადობით

მცირდება მაშასადამე a = ფუნქციის ფორმულა y =

amoxsna

131

313

x

eqsponencialurad zrdadi da eqsponencialurad klebadi funqciebi

ექსპონენციალურად კლებადიექსპონენციალურად ზრდადი

(0 1)

y = axa gt 1

(0 1)

00

y = ax

0 lt a lt 1

6) 0 lt a lt 1 როცა x-ის უსასრულოდ გაზრდისას y-ის შესაბამისი მნიშვნელობა მცირდებადა y = ax ფუნქციის გრაფიკზე არსებული წერტილები შეუზღუდავად უახლოვდებააბცისთა ღერძსროცა a gt 1 და x rarr ndash გრაფიკზე მდებარე წერტილები შეუზღუდავად უახლოვდებააბცისთა ღერძსაბცისთა ღერძი მაჩვენებლიანი ფუნქციის ჰორიზონტალური ასიმპტოტია

nimuSi ცვლადის რომელი მნიშვნელობისათვის არის მართებული

ა) 4x = 64 ტოლობა ბ) 3x gt 9 გ) 04x gt 016 უტოლობა

amoxsna ა) 4x = 64 ტოლობა 4x = 43 ჩავწეროთ სახით აქედან ნამდვილმაჩვენებლიანი

ხარისხის თვისებების თანახმად x = 3ბ) 3x gt 9 უტოლობა ჩავწეროთ 3x gt 32 სახით საიდანაც გასაგებია რომ x gt 2გ) 04x gt 016 უტოლობა ჩავწეროთ 04x gt 042 (ტოლფუძიანი ხარისხების) სახით ვინა-

იდან ფუძე ერთეულზე ნაკლებია x lt 2

f(x)

x

2468

10

20 4ndash2ndash4

f(x) = ( )x13

y y

xx

x ndash2 ndash1 0 1

y 9 3 1 13

(ndash2 9)

(ndash1 3)(1 )

(2 )

(0 1)13

19

y = c middot ax ფუნქციასაც ექსპონენტა ეწოდებაmagaliTad y = 8 middot 2x ფუნქციის y = 23 middot 2x = 2x + 3 სახით ჩაწერა შესაძლებელია

nimuSi ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით დაწერეთ მისი განტოლება

239


y = 0x და y = 1x ფუნქციებს შეიძლება თუ არა ეწოდოს მაჩვენებლიანი ფუნქცია მაშინy = (1)x ფუნქციას

4

ააგეთ ფუნქციის გრაფიკები არანაკლებ სამი წერტილის კოორდინატების გან-საზღვრით

ა) უჩვენეთ ფუნქცია ზრდადია თუ კლებადია ბ) უჩვენეთ ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე გ) განსაზღვრეთ გრაფიკის y ღერძთან გადაკვეთის წერტილი

რომელი გრაფიკი რომელი ფუნქციისაა

1) y = 5x 2) 3) y =

გამოთვალეთ ფუნქციის მოთხოვნილი მნიშვნელობები

1) f(x) = 4x 2) g(x) = 6x 3)m(x) = 4)h(x) =

ა)

გ) დ)

ბ)

3

2

1saswavlo davalebebi

14

f(x) =

x

23

x

f(1) f(2) f(1) f(2) h(1)h(2) h(1) h(2)

g(x) =

n(x) = (radic5)x

m(x) = 23x-115

x

23

xy = 1

4x

g(0) g(2) g(radic2) g(1) m(0) m(2) m(radic2) m(1)

1radic2

x

ზრდადია თუ კლებადია ფუნქციაა) y = 5x ბ) y = 03x გ) y = 5ndashx დ) y = (radic2 ndash 1)x ე) y = (radic5 ndash 1)ndashx

5

6 y = ax y = bx y = cx ფუნქციების გრაფიკების მიხედვით შეადარეთ a b და cრიცხვები

y

00 x

axbxcx

y

x

axbx

cx

დაწერეთ y = cmiddotax მაჩვენებლიანი ფუნქციის ფორმულა რომლის გრაფიკი გადის მო-ცემულ წერტილებზეა) (0 2) და (2 32) ბ) (0 3) და (1 15)გ) (0 7) და (2 63) დ) (0 5) და (3 135)ე) (0 02) და (4 512) ვ) (0 03) და (5 96)

7

ა) ბ)

0

2

2ndash2ndash4

4

4

y

x 0

2

2ndash2ndash4

4

4

y

x 0

2

2ndash2 6

4

4

y

x

ა) ბ) გ)

240


1) მოცემული გრაფიკების შესაბამისად დაწერეთ ფუნქციის ფორმულა y = ax სახით 2) შეადგინეთ მნიშვნელობათა ცხრილი და გრაფიკი რვეულში ხელახლა ააგეთ

8

15

x

f(x) = 5x g(x) = h(x) = 3x ფუნქციებიდან რომლის მნიშვნელობა

ა) არის უდიდესი როცა x = 5 ბ) არის უმცირესი როცა x = 5

გ) x-ის რა მნიშვნელობისათვის არის სამივე მათგანი მნიშვნელობა ტოლი

9

10 შეადარეთ ქვემოთ მოცემულები თუ f(x) = 32x g(x) = 03x ა) f(5) და f(6) ბ) f(01) და f(05) გ) f(ndashradic2) და f(radic2)დ) g(5) და g(6) ე) g(01) და g(05) ვ) g(ndashradic2) და g(radic2)

11 შეადარეთ

ა) (radic2)3 და (radic2)6 ბ) 013 და 01radic8 გ) 4ndashradic2 და 4ndashradic3

12 ცვლადის რა მნიშვნელობისათვის არის ტოლობა მართებული

ა) 3x + 1 = 27 ბ) 4x ndash 2 = 64 გ) (radic2)x = 2radic2

13 ცვლადის რა მნიშვნელობისათვის არის უტოლობა მართებული

ა) 2x gt 32 ბ) 3x lt 27 გ) 02x gt 004 დ) x lt12

18( )

14

განსაზღვრეთ განტოლების ფესვის ნიშანი გრაფიკული ხერხით

ა) 5x = 6 ბ) 02x = 3 გ) 4x = დ) 03x = 01

ზეპირად იპოვეთ 2x = x2 განტოლების დამაკმაყოფილებელი ორი რიცხვიგრაფიკული ხერხით განსაზღვრეთ განტოლების ფესვების რაოდენობა

ამოხსენით განტოლებები გრაფიკული ხერხით

ა) 2x = 3 ndash x ბ) x = x + 612( )

1513

16

50

100 y

x

(3 64)

(2 16)(ndash2 n)

y

x

5

(ndash3 n)

(3 )278

(2 )94

10 y

x

5

10

(3 n)

(ndash3 )6427

(ndash2 )169

y

x(1 n)

50

100(ndash3 125)

(ndash2 25)

ა) ბ) გ) დ)

ერთსა და იმავე საკოორდინატო სიბრტყეზე ააგეთ y = 2x და y =( )x ფუნქციებისგრაფიკები და უჩვენეთ რომელი ღერძის მიმართ არიან გრაფიკები სიმეტრიულიშედეგები განაზოგადეთ

17 12

ცვლილება მაჩვენებლიანი ფუნქციის სახითდ) ივარაუდეთ რა დროის განმავლობაში მოხდება Ra -225 ნივთიერების საწყისი მასის მის

-მდე შემცირება

amoxsna ა) როგორც სურათიდან ჩანს გრაფიკი როცა t = 0 მაშინ y ღერძს (0 1)წერტილში კვეთს მაშასადამე რადიოაქტიური ნივთიერების საწყისი მასა m = 1 გრ-ია

241


maria kiuri რადიოაქტიური დაშლა ერთი ან რამდენიმე ნაწი-ლაკის (მაგალითად ელექტრონები ნეიტრონები ალფა - ნაწი-ლაკები ფოტონები) გამოყოფით აღინიშნება ატომების დაყოფითსხვა ქიმიურ ნივთიერებად გარდაქმნის შედეგად რადიოაქტიურინივთიერება გარკვეულ დროში საწყისი ოდენობის ნახევარსკარგავს ეს დრო მოცემული რადიოაქტიური ნივთიერებებისათვისმუდმივია და ნახევრადდაშლის პერიოდი ეწოდება 1898 წელსმარია კიურიმ მაღალი რადიოაქტიურობის მქონე რადიუმისა დაპოლონიუმის ნივთიერებები აღმოაჩინა და ამ აღმოჩენისათვისნობელის პრემია მიიღო რადიუმის ელემენტის იზოტოპის -რადიუმ 226-ის ნახევრადდაშლის დრო 1620 წელია რადიუმ 226 ნახევრადდაშლისასრადონ 222 ნივთიერებად - რადიოაქტიურ გაზად გარდაიქმნება

nimuSi რადიუმი (Ra -225) ნივთიერების ნახევარდაშლისხანგრძლივობა 15 დღეა დაშლის პროცესში მისი დანარჩენიმასის (გრამობით) დროზე (15 დღიანი ინტერვალით)დამოკიდებულების მაჩვენებლიანი ფუნქციით დამოდელი-რება შეიძლება ამ ფუნქციის გრაფიკი სურათზეა მოცემულია) რამდენი გრამია Ra -225 ნივთიერების საწყისი მასაგრაფიკზე აღნიშნული წერტილების კოორდინატები სიტუა-ციების შესაბამისად განმარტეთ წერილობითბ) იპოვეთ ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა არეგ) დაწერეთ ნივთიერების მასის დროზე დამოკიდებულებით

130


რადიოაქტიური ნივთიერების დაშლის კანონი m = m0( )12

tT

m0- ნივთიერების საწყისი რაოდენობაT- ნივთიერების ნახევრადაშლის პერიოდიm- ნივთიერების ოდენობა განხილვის t მომენტშისადაც t არის დრო იღებს არაუარყოფით მნიშვნელობებს

ბ) როგორც გრაფიკიდან ჩანს ფუნქციის განსაზღვრის არე ანუ t-ს დასაშვები მნიშ-ვნელობები t ge 0 ნამდვილ რიცხთა სიმრავლეა ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე ანუm-ის დასაშვებ მნიშვნელობათა სიმრავლე 0 lt m le 1 ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა

გ) რადიოაქტიური ნივთიერების ნახევარი 15 დღეში ერთხელ იშლება მაშასადამე მაჩ-

ვენებლიანი ფუნქციის ფუძე არის მაჩვენებელი კი 15 დღეების რაოდენობის მაჩვენებელი

t ცვლადი იქნება m(t) = ( )t12

12

10

08

06

04(1 05)

(2 025)(3 0125)

(5 003)02

2 4 6 8 t

m

0

დრო (15 დღიანი ინტერვალებით)

ნივთ

იერე

ბის

ოდ

ენო

ბა (გ

რამო

ბით

)


242

საწყისი მასა 1 გრ-ის მქონე რადიუმ 226 რადიოაქტიური ნივთიერების დაშლის კანონი

m(t) = ( )t1620 ფორმულითაა მოცემული სადაც m არის რადიუმის მასა (გრამობით)

t კი დრო (წლობით) რამდენი დარჩება მოცემული ნივთიერების მასიდან

a) 1620 წლის შემდეგ b) 3240 წლის შემდეგ c) 4860 წლის შემდეგ

ქვემოთ მოცემული სიტუაციებიდან თითოეულის მაჩვენებლიანი ფუნქციით მო-დელირება შეიძლება რომელია ექსპონენციალურად ზრდადი (a gt 1) რომელია ექს-პონენციალურად კლებადი (0 lt a lt 1) სიტუაციაა) ბაქტერიების გამრავლების პეტრის ჭურჭელში მათი რაოდენობა საათში 2-ჯერიზრდებაბ) აქტინიუმ 225-ის იზოტოპის ნახევარდაშლის ხანგრძლივობა 10 დღეაგ) ტბაზე დაცემული სინათლის ოდენობა ყოველ 1 მ სიღრმეზე 25-ით მცირდებად) მწერების გუნდში მათი რაოდენობა დღეში 3-ჯერ იზრდება

ბანკის ანგარიშზე არსებული თანხა ყოველწლიურად 25 შემოსავალს იძლევა ამანგარიშზე არსებული თანხის n წელში A = P(1+r)n ფორმულით გამოთვლა შეიძლებასადაც P არის წლიური თანხა r - წლიური ნაზრდი (ათწილადობით) ანგარიშზეარსებული თანხა A = P(1025)n წესით შეიცვლება

ა) ანგარიშზე არსებული საწყისი თანხა ჩათვალეთ ერთ მანეთად და ააგეთ შესაბამისიმაჩვენებლიანი ფუნქციის გრაფიკი

ბ) გრაფიკის თანახმად ივარაუდეთ ეს თანხა რამდენი წლის შემდეგ იქნება საწყისითანხის სამმაგი ოდენობის ანგარიშზე არსებული თანხის სამმაგი ზრდის ხანგრძლივობასაწყისი თანხის ოდენობაზე არის დამოკიდებული

გ) ფინანსებში წლიური რთული პროცენტის ზრდის მიხედვით საწყისი თანხის ორმაგისმიღწევის ხანგრძლივობას ldquo72 ხერხითrdquo გამოითვლიან მაგალითად 100 მანეთი ფულირამდენ წელიწადში 200 მანეთი გახდება რომ ვიპოვოთ წლების რაოდენობის ზრდისპროცენტზე ნამრავლი 72-ის ტოლი უნდა იყოს ანუ n r = 72 უნდა იყოს

ამ წესისა და გრაფიკის მიხედვით ერთი მანეთი ფული 25-ობით იპოვეთ რამდენიწლის შემდეგ იქნება დაახლოებით 2 მანეთი და შედეგები შეადარეთ

1

2

3

დ) ამ ინფორმაციის გრაფიკის მიხედვითაც სავარაუდოდ გამოთქმა შეიძლება მნიშ-

ვნელობათა ცხრილის შედგენაც შეიძლება როცა საწყისი ნივთიერება 1 გრ-ია მისი

ნაწილი დაახლოებით 0033 გრ-ია y ღერძზე ავღნიშნოთ ეს წერტილი და გავავლოთ

ამ წერტილზე გამავალი გრაფიკის მკვეთი ჰორიზონტალური წრფე წრფე გრაფიკს კვეთს

წერტილში რომლის აბცისაც მიახლოებით 5-ია მაშასადამე 5 15 = 75 დღის შემდეგ

საწყისი რადიოაქტიური ნივთიერების მასის დაახლოებით ნაწილი დარჩება

130

130

12

ააგეთ y = 3x y = x3 და y = 3x ფუნქციების გრაფიკებიდაწერეთ თითოეული ფუნქციის განსაზღვრის არე მნიშვნელობათა სიმრავლე დანულები (თუ არსებობს) შეადარეთ ამ ფუნქციების მნიშვნელობები x = 1 2 3 4მნიშვნელობებისათვის რომელი ფუნქციის მნიშვნელობები იცვლება უფრო სწრაფად

4

243

maCvenebliani funqciis grafikis gardaqmnebi

გრაფიკი |l| ჯერ x ღერძიდან ჰორიზონტალურად იწელება

(x y) rarr (x ly) მაგალითად y = 3x და y = 4middot3x

როცა l lt 0 მაშინ x ღერძის მიმართ ხდება ასახვა მაგალითად y = 3x და y = 2middot3x

maCvenebliani funqciis zogadi saxe f(x) = lmiddotax minus m + n

f(x) = l middot ax minus m + n ფუნქციის გრაფიკი y = l middot axფუნქციის გრაფიკის პარალელური გადატანით აგებაშეიძლება

f(x) = ax ფუნქცია მაჩვენებლიანი ფუნქციების ოჯახის ძირითადი ფუნქციაა ამფუნქციის სხვადასხვა გარდაქმნების მიხედვით f(x) = lmiddotax f(x) = lmiddotax minus n f(x) = lmiddotax minus m + n სახის მაჩვენებლიანი ფუნქციების გრაფიკის აგება შეიძლება

ზევით ან ქვევით ვერტიკალურიმოცურება

მარჯვნივ ან მარცხნივ ჰორიზონ-ტალური მოცურება

m n

x

y

0ndash2 42ndash4

3

1

5

11

13

9

y = 3middot2x

y = 3middot2x+1+1

(1 6)

(2 12)

(0 3)

(1 4)

(0 6)

(1 13)

(0 7)

nimuSi y = 32x ფუნქციის გრაფიკის პარალელურიგადატანით ააგეთ y = 32x+1 + 1 ფუნქციის გრაფიკი1 y = 32x ფუნქციის შესაბამისი (0 3) (1 6) (2 12) წერტილები ავღნიშნოთ საკოორდინატო სიბრ-ტყეზე და ეს წერტილები შევაერთოთ გლუვი მრუდიწირის სახით ფუნქციის ასიმპტოტი y = 0 წრფეა 2 y = 32x ფუნქციის გრაფიკის ერთი ერთეულით მარ-ცხნივ (32x+1) და ერთი ერთეულით ზევით (32x+1+1)პარალელური გადატანის შესაბამისად (მოცურებისვექტორი langndash1 1rang) აღნიშნული წერტილებისათვის გან-ვსაზღვროთ ახალი კოორდინატები და განვათავსოთსაკოორდინატო სიბრტყეზე შევაერთოთ ეს წერტილებიგლუვი მრუდი წირით მიიღება y = 32x+1 + 1 ფუნქციისგრაფიკი

y

x

4

4

2

2ndash2ndash2

ndash4

ndash4

0

y = 3x

y = 4∙3x

y = ndash2∙3x

y

x

4y = 4x + 2

y = 4x ndash 3

y = 4x 2

2ndash2ndash2

ndash4

ndash4

0 4

y

y = 6x + 2

y = 6x ndash 3

y = 6x4

2

2ndash2ndash4 0 4 x

(0 3) rarr (1 4) (1 6)rarr (0 7) (2 12) rarr (1 13)y = 1 წრფე ფუნქციის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი იქნება

244

y = ფუნქციის გრაფიკი ვერტიკალური მიმართულებით ისეა მოცურებული რომ მი-

ღებული გრაფიკი (2 ) წერტილზე გადის დაწერეთ მოცურებული გრაფიკის შესაბა-

მისი ფუნქციის ფორმულა ნიმუშის შესაბამისად დაწერეთ შესაბამისი პარალელური გადატანა


არანაკლებ სამი წერტილის კოორდინატების განსაზღვრით ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი2

7

3

1

13

x

112

ააგეთ მოცემული ფუნქციების გრაფიკები f(x) = lmiddotax მაჩვენებლიანი ფუნქციის გრაფიკისპარალელური გადატანით თითოეული ფუნქციისათვის დაწერეთ პარალელური გა-დატანის ვექტორი

ა) y = 3 ( )x 1 ბ) y = 3x + 2 გ) y = 22x 2

დ) y = 3 3x + 2 2 ე) y = 4 2x 3 + 1 ვ) y = 4 2x 3 4

ა) ცხრილში y = 23x 4 3 ფუნქციისმნიშვნელობათა სვეტის დამატებით ააგეთგრაფიკი ბ) განმარტეთ y = 2∙3x 4 3 ფუნქციისy = lax minus m + n ფუნქციასთან პარამეტ-რებით დაკავშირებით თითოეულ ნაბიჯზეცვლილების გრაფიკის მდგომარეობაზეგავლენა

y = 3x y = 2∙3x y = 2∙3x 4

(1 ) (1 ) (3 )

(0 1) (0 2) (4 2)(1 3) (1 6) (5 6)(2 9) (2 18) (6 18)(3 27) (3 54) (7 54)

13

23

23

ა) y = 2middot3x ბ) y = 5middot2x გ) y = 05middot4x

დ) y = 4middot( )x ე) y = ndash ( )x ვ) y = ndash25middot5x13

15

გ) y = 3x და y = 2∙3x 4 3 ფუნქციებიდან თითოეულისათვის უჩვენეთ განსაზღვრისარე და მნიშვნელობათა სიმრავლე

ააგეთ y = 4x y = 4x +2 y = 4x 3 ფუნქციების გრაფიკები გამოთქვით მოსაზრებები ამფუნქციების განსაზღვრის არის მნიშვნელობათა სიმრავლისა და ასიმპტოტების შესახებ

y = 10x ფუნქცია შეიძლება ჩაიწეროს y = (25)x სახით ააგეთ ამ ფუნქციისა და y = 25x

ფუნქციის გრაფიკი შეადარეთ ისინი

ა)

ბ)

გ)

nimuSi f(x) = 3x და g(x) = 3x 4 f(x) = 4x და g(x) = 4x+ 1

f(x) = 2x და g(x) = 5 2x

f(x) = 10x და g(x) = 10x + 2

დაწერეთ მოცემული ფუნქციები y = lmiddotax სახით

5

6

4

ა) y = 4x + 1 ბ) y = 5 9x 1

გ) y = 5 23x დ) y = 23 52x

რადგან g(x) = f(x 4) ამიტომ g(x) ფუნქციისგრაფიკი f(x) ფუნქციის გრაფიკის 4 ერთეულითმარჯვნივ მოცურებითაა მიღებული

13

13

saswavlo davalebebi

245


განსაზღვრეთ რომელი გრაფიკი რომელ ფუნქციას შეესაბამება

განსაზღვრეთ ფუნქციის ექსპონენციალური ზრდადობა და კლებადობა

რეალურ ცხოვრებისეულ სიტუაციებში თუ სიდიდე წლის განმავლობაში მუდმივისიდიდით იზრდება t წლის შემდგომი მდგომარეობის რაოდენობრივი შეფასებისათვისy = a(1 + r)t ფორმულა კლებისას კი y = a(1 r)t ფორმულა გამოიყენება სადაც aარის საწყისი რაოდენობა r ზრდის (კლების) პროცენტი ათწილადობით t- წლებისრაოდენობა ამოხსენით ამოცანები ამ ფორმულის მიხედვით

8

9

10

ა) y = 10middot35x ბ) y = 2middot4x გ) y = 04middot( )x

დ) y = 3middot( )x ე) y = 30x ვ) y = 02middot5x52

13

1) y = 2middot5x

2) y = 3middot4x

3) y = ndash2middot5x

4) y = middot4x

5) y = 3x ndash 2

6) y = 3x ndash 2

13

ა) 1993 წელს ინტერნეტმომხმარებელთა რიცხვი 1 313 000 იყო და ხუთი წლის განმავ-ლობაში მათი რაოდენობა ყოველწლიურად 100-ით იზრდებოდა დაწერეთ ინტერ-ნეტმომხმარებლების t წლის შემდეგ რაოდენობის მაჩვენებელი მაჩვენებლიანი ფუნ-ქცია რამდენი იქნება მომხმარებელთა რაოდენობა 5 წლის შემდეგ რამდენი იყომომხმარებელთა რაოდენობა 2000 წელს

nimuSi 24 000 მანეთად შეძენილი ავტომობილის ფასი ყოველწლიურად 12-ითდაბლა იწევს დაწერეთ ავტომობილის ფასის გამოყენების წლებზე (t) დამოკი-დებულების მაჩვენებელი მაჩვენებლიანი ფუნქციის ფორმულაamoxsna y = a(1 r)t ფორმულაში თუ გავითვალისწინებთ რომ a = 24000 r = 12= 012 1 r = 088 მოცემული სიტუაცია y = 24000(088)t მაჩვენებლიანი ფუნქციითშეიძლება დავამოდელიროთ

ბ) საბანკო ანგარიშზე წლიური 8 რთული პროცენტით ზრდით შეტანილია 1000მანეთი რამდენი მანეთი იქნება 6 წლის შემდეგ

გ) წარმოიდგინეთ რომ თქვენ შემადგენლობაში 120 მგ კოფეინის შემცველი ყავამიირთვით მიღებული კოფეინის ოდენობა საათში 12-ით მცირდება ორგანიზმშიდარჩენილი კოფეინის რაოდენობის მაჩვენებელი დაწერეთ მაჩვენებლიანი ფუნქციისფორმულის სახით

11 უჩვენეთ ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლეა) y = 3x + 2 ბ) y = 2x ndash 3 გ) y = 8 middot 2x + 2 დ) y = middot 2x ndash 2 ე) y = 3 middot 3x ndash 1 + 3 ვ) y = 4 middot ( )x ndash 1 1

2

y y

y y y

yx

x

x x

xx

3 3

1

ndash3

1

1 4

1 11

2

1ndash1 ndash( )2

5ndash1 ( )2

5

ndash1 ( )34

(0 ndash2)

(0 ndash1)(0 3)

(2 1)(3 3)

(1 1)

(0 2)0( )1

3 1( )43

ა) ბ) გ)

დ) ე) ვ)

13

246

maCvenebliani funqcia e ricxvi

როგორც ხედავთ თუ ბანკი მოცემული პროცენტით ფულს უფრო ხშირ-ხშირადგამოთვლის შემოსავალი იზრდება თუმცა ბანკის პროცენტით დღიური გამოთვლებისყოველთვიურ გამოთვლებთან შედარებით მიღებული მოგება სულ 10 კაპიკია წარ-მოიდგინეთ რომ ანგარიშზე არსებული ფული მოცემული პროცენტით ყოველიწამისათვის უწყვეტად შემოსავალი იანგარიშება კვლავაც სხვაობა საათობრივი დადღიური გამოთვლებისაგან დიდად არ იქნება განსხვავებული

S (n) = ფუნქციის გრაფკალკულატორით

აგებული გრაფიკებიდან ჩანს რომ როცა n S(n)ფუნქციას ჰორიზონტალური ასიმპტოტი აქვს

gamokvleva e ricxviწარმოიდგინეთ რომ 1 მანეთი ფული წლიური 100 რთული პროცენტის მატებით ბანკშიაშეტანილი და წლის განმავლობაში n-ჯერ ხდება გამოთვლა რთული პროცენტით ზრდისფორმულაში S0 = 1 r = 100 = 1 t = 1 მნიშვნელობები ჩაწერეთ ადგილებზე

n-ის სხვადასხვა მნიშვნელობებისათვის ფუნქციის მნიშვნელობების გამოთვლით მიუ-

თითეთ რომელ რიცხვს უახლოვდება მნიშვნელობა

(1+ )ntrn (1+ )n11

n

(1+ )n1n

(1+ )n1n

(1+ )n1n

გამოთვლის პირობა n

წლიური

ნახევარწლიური

კვარტალური

ყოველთვიური

დღიური

საათობრივი

124123658760

2 m225

2441424883270482714627181

(1+ )n1nS(n) =

(1+ )414S(n) =

(1+ )12112S(n) =

(1+ )3651365S(n) =

(1+ )876018760S(n) =

(1+ )212S(n) =

(1+ )111S(n) =

S = S0 = 1 =

S (n) = (1+ )n1n1

n

S(n)

0

234

10 20 30 40 50

გამოკვლევებიდან ჩანს რომ რაც უფრო იზრდება n-ის მნიშვნელობა გამოსახუ-

ლების მნიშვნელობა 271 და 272 შორის იცვლება ეს რიცხვი e ასოთი აღინიშნება და მისიმნიშვნელობაა e = 2718 281 828 459hellip eრიცხვიც რიცხვივით ირაციონალური რიცხვიაეს რიცხვები ტრანცენდენტული რიცხვებია ტრანცენდენტული ეწოდება ისეთ რიცხვებსრომელთა კოეფიციენტები მთელი რიცხვებია და არცერთი n ხარისხის განტოლების ფესვებსარ წარმოადგენენექსპონენციალური ზრდისა და კლების eფუძის მიხედვით N = N0ekt ფორმულით გამოსახვაშეიძლება სადაც N0 - არის საწყისი თანხა t - დრო k-მუდმივი რიცხვია

(1+ )n 1n

e ricxvi

247


გრაფკალკულატორის დახმარებით ააგეთ y = ex ფუნქციის გრაფიკი ქვემოთ მოცე-მული გრაფიკები სქემატურად გამოსახეთ როგორც y = ex ფუნქციის გრაფიკის გარ-დაქმნები

DDT (C14H9Cll5) ნივთიერება პირველად აღმოაჩინა შვეიცარიელმა მეცნიერმა პაულმიულერმა და ამ აღმოჩენისათვის ნობელის პრემია მიენიჭა ომის შემდგომ პერიოდშიDDT პესტიციდით გარემოს შეწამვლის შედეგად ტიფისა და მალარიის დაავადებისგამავრცელებელი მწერები განადგურდა თუმცა გამოკვლევები უჩვენებს რომ ესნივთიერებები ადამიანის ორგანიზმისთვისაც საზიანოა დავუშვათ რომ 1973 წელს1109 კგ DDT გამოყენებული იქნა განსაზღვრული სფეროს დეზინფექციისათვის თუk = 0023 იქნება ა) დაწერეთ მოცემულ წელს ამ ნივთიერების ნარჩენის მაჩვენებელიფორმულა N = N0ekt სახით ბ) რამდენი იქნება ამ ნივთიერებიდან დარჩენილი 2020წელს კალკულატორით გამოთვალეთ

y = 2middote2x y = ex y = 3e xა) ბ) გ)

გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა მძიმის შემდეგ ოთხი ციფრის სიზუსტითისარგებლეთ ex ღილაკის მქონე ინტერნეტ კალკულატორითhttpswwweewebcomtoolboxcalculator

გ) e0ა) endash2 ბ) endash023

1

2

y = ex ფუნქციის გრაფიკის აგებისათვის სხვადასხვაინტერნეტ გრაფკალკულატორებით(httpwwwmeta-calculatorcomonline) მათ შორისსურათზე ნაჩვენების მსგავსად Geometerrsquos Sketchpadregპროგრამით შეგვიძლია ვისარგებლოთ

y = ex funqciis grafiki

3

ცდის დროს t საათის გასვლის შემდეგ ჭურჭელში არსებული ბაქტერიების Nრაოდენობის N = 100 e069t ფორმულით განსაზღვრის შესაძლებლობა იქნაგამოვლენილია) იპოვეთ ჭურჭელში არსებული ბაქტერიების თავდაპირველი რაოდენობაბ) რამდენი ბაქტერია იქნება ჭურჭელში 5 საათის შემდეგ

5000 მანეთი 25 წლით 12-იანი რთული ზრდის პროცენტით ბანკშია შეტანილი

შემოსავლის გამოთვლის უწყვეტად წარმოებისას მიღებული შემოსავალი

S = S0ert ფორმულით წელიწადში 2-ჯერ (n = 2) პროცენტის გაანგარიშებით მიღებული

შემოსავალი კი S = S0 ფორმულით გამოთვალეთ რომელ შემთხვევაში

მიიღება მეტი შემოსავალი და რამდენით

4

5

(1+ )ntrn

1

510152025

2 3 4 x

y

ndash1ndash2ndash3

y = ex

248

ricxvis logariTmi

ა) 2x = 16 ბ) 3x = 9 გ) 4x = 64

1) x-ის ადგილას ჩაწერეთ ისეთი რიცხვები რომ სწორი ტოლობა მივიღოთ

gamokvleva

3) რომელ ორ მიმდევრობით მოცემულ მთელ რიცხვს შორის არის x-ის მოცემული ტოლობისდამაკმაყოფილებელი მნიშვნელობა

ა) 2x = 24 ბ) 3x = 18 გ) 4x = 56

2) არგუმენტის რა მნიშვნელობისათვის მიიღებს y = 2x

ფუნქცია 6-ის ტოლ მნიშვნელობას x-ის ეს მნიშვნელობაერთადერთია

x

y

ndash2ndash4 2

2

4

4

86

0

y = 2x

1 3

logariTmi

nimuSi 1 ლოგარითმული ჩანაწერები შეცვალეთ ექსპონენციალური ჩანაწერებით

b რიცხვის მიღებისათვის a რიცხვის ასაყვანი ხარისხის მაჩვენებელს b რიცხვის a ფუძიანილოგარითმი ეწოდება და y = logab სახით აღინიშნება სადაცane1 a და b დადებითი ნამდვილი რიცხვებია y = logax ჩანაწერი ay = x ტოლობის ლოგარითმული ჩანაწერიადა პირიქით ay = x ჩანაწერი y = logax ტოლობის ექსპო-ნენციალური ჩანაწერიაამრიგად ay = x და y = logax ჩანაწერები ეკვივალენტური ჩანაწერებია

ა) log216 = 4 გ) log81 = 0ბ) log10 = ndash311000

ა) log216 = 4

გ) log81 = 0

ბ) log10 = 311000

11000

24 = 16

103 =

amoxsna ლოგარითმული ჩანაწერი ექსპონენციალური ჩანაწერი

bullloga 1 = 0 რადგან a0 = 1 bull loga a = 1 რადგან a1 = abull loga a y = y რადგან a y = a y bull aloga x = x რადგან logax = logaxa loga x = x ტოლობას ძირითადი ლოგარითმული იგივეობა ეწოდება

80 = 1

ფუძე

y = logax ay = x მაჩვენებელი

nimuSi 2 იპოვეთ ლოგარითმული გამოსახულების მნიშვნელობა

ა) log327

log327 = x ავღნიშნოთ

3x = 27 ექსპონენციალური ჩანაწერი

3x = 33 x = 3 ხარისხის თვისების თანახმად

ბ) logaa

logaa = x

ax = ax = 1 x =

log5radic5 amoxsna

4

log5radic5 = x4

5x = radic5 4

გ)

14

გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა ძირითადი ლოგარითმული იგივეობის დახმარებითა) 2log28 ბ) 10lg 2 გ) 31 + log32 დ) 102 ndash lg 4 ე) 23 log25 ვ) 52 log53 ზ) 4log23 თ) 16log4 7

7

249

a და b ადგილას ჩაწერეთ ისეთი მიმდევრობითი მთელი რიცხვები რომ სწორი უტო-ლობა მივიღოთ

a lt log248 lt b a lt log3100 lt b a lt log590 lt bა) ბ) გ) 6

8

ტოლობიდან იპოვეთ ცვლადია) log2x = ndash1 ბ) log x = ndash2

ა) (1 + 3log35)log62 ბ) 491 ndash log73 გ) (7 ndash 5log53)1 + log2 3 12

14

გ) logx25 = 2 დ) logx = ndash2 9

14

10 სტატისტიკური მაჩვენებლების თანახმად მსოფლიოს მოსახლეობა 1995 წლიდანდაწყებული წელიწადში 127-ით იზრდება 2011 წელს მსოფლიოს მოსახლეობა 7 მლრდკაცი გახდა ამ ზრდით დაახლოებით რამდენი კაცი იქნება მოსახლეობა 2020 წელს

2)აქვს თუ არა გამოსახულებას მნიშვნელობა ა) log ndash39 ბ) lg(ndash10) გ) log13 დ) ln 7 ე) log316


ricxvis logariTmi

შეცვალეთ ტოლობები ეკვივალენტური ლოგარითმული ჩანაწერებით

შეცვალეთ ტოლობები ეკვივალენტური ექსპონენციალური ჩანაწერებით

კალკულატორის გამოყენებით იპოვეთ ლოგარითმული გამოსახულების მნიშვნელობა

1

2

4

ა) 34 = 81 ბ) 813 = 2 გ) 05ndash2 = 4 დ) by = xე) ex = y ვ) ( )ndash2 = 9 ზ) ( )ndash1 = თ) 8ndash2 =1

325

52

164

ა) log749 ბ) log327 გ) lg01 დ) log2( )ე) log164 ვ) log82 ზ) log 1 თ) log052ი) log335 კ) log993 ლ) lg10 მ) log71

116

ა) log5625 = 4 ბ) log12525 = გ) lg(00001) = ndash4 დ) log25( ) = ndashე) log b15 = x ვ) logb82 = y ზ) log35 = x თ) log27 = x

23

15

12

ლოგარითმები 10-ისა და e რიცხვის ფუძით შესაბამისად lg და ln სახით აღინიშნებალოგარითმს რომლის ფუძეა 10 ათობითი ლოგარითმი ხოლო რომლის ფუძეც არის e ნატურალური ლოგარითმი ეწოდება

ლოგარითმის გამოთვლისათვის კალკულატორის გამოყენება შეიძლება მაგალითადhttpweb20calccom ვირტუალური კალკულატორით შეგვიძლია ვისარგებლოთ

log100001 lg 0001 logec ln c

1) მაგალითებზე განმარტეთ რომ ლოგარითმის ფუძე არ შეიძლება იყოს 0 1 ანუარყოფითი რიცხვი

გამოთვალეთ ა) lg 0001 ბ) lg (63 middot 105) გ) lg (000025) დ) ln(e3) ე) ln(8)

3

5

saswavlo davalebebi

72

250

logariTmuli funqcia

y = ax ფუნქციის მნიშვნელობათა არიდანაღებული თითოეულ მნიშვნელობას გან-საზღვრის არიდან აღებული მხოლოდ ერთიმნიშვნელობა შეესაბამება ამრიგად y = ax

ფუნქციას შექცეული ფუნქცია გააჩნია და ესფუნქცია x = logay ფუნქციაა

logariTmuli funqcia

მაშასადამე თუ y = ax ფუნქციის გრაფიკს y = x წრფის მიმართ სიმეტრიულადგარდავქმნით მივიღებთ y = loga x ფუნქციის გრაფიკს

როცა a gt 1 ნიმუშად მოცემულია y = log2x y = ln x y = log5xფუნქციების გრაფიკები ააგეთ გრაფიკები რვეულში

როცა 0 lt a lt 1 ნიმუშად y = log x y = log x y = log x ფუნქციების გრაფიკებია მოცემული

როცა 0 lt a lt 1 თუ 0 lt x lt 1 ლოგარითმული ფუნქცია დადებით

როცა x gt 1 უარყოფით მნიშვნელობებს იღებს

a gt 1 0 lt a lt 1

0

y

x

y = ax

(0 1)(1 0)

y y = x

x

y = logax

0

y = x

1) ლოგარითმული ფუნქციის განსაზღვრის არე დადებით ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეაD(loga x) = (0 +)

2) ლოგარითმული ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე ყველა ნამდვილი რიცხვის სიმრავლეაE(loga x) = (ndash +)

3) ლოგარითმული ფუნქცია როცა a gt 1 ზრდადია როცა 0 lt a lt 1 მაშინ კლებადია4) y = logax ფუნქციის გრაფიკი აბცისთა ღერძს გადაკვეთს (1 0) წერტილში

gamokvleva ააგეთ f(x) = 3x და მისი შექცეული fndash1(x) ფუნქციების მნიშვნელობათაცხრილი და გრაფიკები რვეულებში დაწერეთ მოსაზრებები ფუნქციისა და შექცეულიფუნქციის შესახებ

f(x) = 3x

x yndash3

ndash2

ndash10 11 32 93 27

fndash1(x) x y

ndash3

ndash2

ndash11 03 19 227 3

19

127

13

19

127

13

x

y8642

2ndash2ndash2ndash4y = x

f (x) = 3x

ndash6

ndash4ndash6 4 6 8

y

o 1

f(x) = log2 xg(x) = logex = ln

x

h(x) = log5 xx

15

12

1e

1

1

როცა a gt 1 თუ 0 lt x lt 1 მაშინ ლოგარითმულიფუნქცია უარყოფით ხოლო თუ x gt 1 მაშინ დადებითმნიშვნელობას იღებს

o 1

y

h(x) = log x

g(x) = log xf(x) = log x

x1 5

1 2

1 e

251

logariTmuli funqcia

a-ს მოცემული მნიშვნელობებისათვის ერთსა და იმავე საკოორდინატო სისტემაში ააგეთy = ax და y = logax ფუნქციების გრაფიკებია) a = 2 ბ) a = 3 გ) a = 4 დ) a = 12 ე) a = 1

3

1

2 y = log2x ფუნქციის გრაფიკისაგან რომელი სიმეტრიული გარდაქმნით შეიძლებაy = log x ფუნქციის გრაფიკის მიღება ააგეთ გრაფიკები ერთსა და იმავე საკოორ-დინატო სისტემაში

saswavlo davalebebi

დაწერეთ მოცემული ფუნქციის შექცეული ფუნქციის ფორმულა ააგეთ მოცემული ფუნ-ქციისა და შექცეული ფუნქციების გრაფიკები შექცეული ფუნქციისათვის განსაზღვრეთbull განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე bull ასიმპტოტის განტოლებაbull საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილები

ა) y = 5x ბ) y = log x

( 3) წერტილი f (x) = log a x ფუნქციის გრაფიკზე მდებარეობს (4 k) წერტილი კი

ამ ფუნქციის f -1(x) შექცეული ფუნქციის გრაფიკზე მდებარეობს იპოვეთ k-ს მნიშვნელობა

14

y = log3 (x + 9) + 2 ფუნქციის გრაფიკი log3x ფუნქციის გრაფიკის 9 2 ვექტორითშესრულებული პარალელური გადატანისას მიიღება რომელი ფუნქციის გრაფიკისა დაროგორი მოცურების შედეგად შეიძლება მიღებული იქნას მოცემული ფუნქციის გრაფიკი

ა) y = log2x + 3 ბ) y = log2(x + 3) გ) y = log3(x 3) 4

3

4

18

ლოგარითმული სპირალისათვის P(1 0) წერტილშიყოფნით P წერტილის საათის ისრის მოძრაობის საპი-რისპირო მიმართულებით კუთხით რადიანებშიმობრუნებით მიიღება ამ დროს P წერტილის კოორ-დინატთა სათავიდან r მანძილი r = e014 ფორმულითგანისაზღვრება

5

6

ა) იპოვეთ მანძილი კოორდინატთა სათავიდან P წერტილამდე2 მობრუნებისას დაამრგვალეთ პასუხი მეასედებამდებ) ლოგარითმული ჩანაწერით გამოსახეთ დამოკიდებულება rდა შორისბ) იპოვეთ -ის მნიშვნელობა როცა r = 12

642

ondash2ndash4ndash6

ndash6 ndash4 ndash2P

4 6 x

y

12

ზრდადია თუ კლებადია ფუნქცია ა) y = log5 x ბ) y = log x13


ა) log2 5 და log2 7 ბ) log 5 და log 3 გ) log2 3 და log5 412

12

7

89

განსაზღვრეთ რიცხვის ნიშანი ა) log5 2 ბ) log02radic3 გ) log3 02 დ) log0406

ა) ნორმალური წვიმის წყალ-ში pH 56-ის ტოლია თუმ-ცა ეკოლოგიური თვალსაზ-რისით დაბინძურებულ უმ-რავლეს ადგილებში მაღალ-მჟავიანი წვიმები მოდისწვიმის წყალში გამოთვ-ალეთ pH მაჩვენებელი თუ წყალბადის იონების კონცენტრაცია 00002 იქნება

252

logariTmuli skala da amocanebis amoxsna

qimia - ekologia pH (წყალბადის იონების აქტიურობა) ხსნარის 1 ლიტრში წყალ-ბადის იონების (H3O+)ოდენობას მოლით გვიჩვენებს pH სკალაზე pH-ის მნიშვნელობა0-დან 14-მდე იცვლება pH-ის 7-ის ტოლი მნიშვნელობისათვის ხსნარი ნეიტრალურადითვლება 7-ზე ნაკლები მნიშვნელობებისათვის ხსნარი მჟავაა როცა 7-ზე მეტია მაშინმისი ტუტიანობა მაღალია ხსნარში pH-ის გამოთვლისათვის გამოიყენება

pH = ndash lg[H+] ფორმულა სადაც H+ ხსნარის 1 ლიტრში წყალბადის იონების კონცენტრაციას უჩვენებსამ ფორმულის თანახმად თუ ხსნარში pH მაჩვენებელი 1 ერთეულით გაიზრდებამაშასადამე ხსნარში წყალბადის იონების კონცენტრაცია 10-ჯერ გაიზრდება

1

ბ) განსაზღვრეთ pH მაჩვენებელი 56 მქონე წყლის [H+] კონცენტრაცია

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

უფრო მეტად მჟავეა უფრო მეტად ტუტეანეიტრალურია

1 10ndash1 10ndash2 10ndash3 10ndash4 10ndash5 10ndash6 10ndash7 10ndash8 10ndash910ndash1010ndash11 10ndash1210ndash13 10ndash14

110ndash110ndash210ndash310ndash410ndash510ndash610ndash710ndash810ndash910ndash1010ndash1110ndash1210ndash1310ndash14

[H]

[H][OH]

[OH]

pH

1 MHC

lკუ

ჭის წ

ვენი

ფორთ

ოხლ

ის წვ

ენი

ყავა

რძე

სუფთ

ა წყა

ლი

სისხ

ლი

ზღვი

ს წყა

ლი

სარე

ცხი

საშუ

ალებ

აამ

ონია

კიმა

თეთ

რებე

ლი

ღვინ

ო

1 MNa

OH

fizika xmovani talRebi ხმის სიმძლავრე დეციბალებში იზომება და L = 10 lg ფორმულით გამოითვლება სადაც I ხმის ინტენსივობაა (ვატმ2) I0 ადამიანის ყურისსმენის უნარის ყველაზე დაბალი ხმის ინტენსივობაა (10-12ვატმ2 არის მიღებული)ადამიანის ყურს ძალიან ვრცელი დიაპაზონით ხმის მოსმენა შეუძლია ეს 0 დეციბალიდან(ხმაურის არ არსებობა) 180 დეციბალამდე მერყეობსა) რადიოში არსებული მუსიკის ხმის ინტენსივობა ადამიანის ყურის მოსმენისშესაძლებელი მინიმალური ხმის ინტენსივობაზე 4000 ჯერ მეტია რამდენი დეციბალიამუსიკის ხმის ძალა

II0

pH =lg[H+]

SO2 NO2HNO3

H2SO4

( )

მოლლ

2

ბ) თაჰირი ამბობს რომ ხმა რომლის ინტენსივობაც არის 4middot10-8 ვატმ2 ორჯერ ძლიერიახმაზე რომლის ინტენსივობაც არის 2middot10-8 ვატმ2 თქვენ როგორ ფიქრობთ

253


miwisZvra 1935-წელს ამერიკელმა სეისმოლოგმა- ჩარლზ რიხტერმა მიწისძვრისსიმძლავრის გამოთვლისათვის M = lg ფორმულა განსაზღვრა და მიწისძვრისსიმძლავრის მაჩვენებელი (რიხტერის სკალად წოდებული) ლოგარითმული სკალაშექმნაM - არის მიწისძვრის სიმძლავრე (ბალებში) A სეისმოგრაფის მომხდარი მიწისძვრისაღნიშნული სეისმური ბიძგების მაქსიმალური ამპლიტუდაა (მიკრონობით) A0 კისეისმოგრაფის მიერ დაფიქსირებული ყველაზე სუსტი მიწისძვრის შესაბამისი (ამასნულოვანი მიწისძვრაცrdquo ეწოდება) სეისმური ტალღის ამპლიტუდაა (1 მიკრონი (10ndash6 მ)არის მიღებული)M = lg ფორმულის A = A010M სახით დაწერაც შეიძლება მაშასადამე რიხტერის

სკალით 4 ბალიანი მიწისძვრის სეისმური ტალღების ამპლიტუდა 3 ბალიან მი-

წისძვრაზე 10-ჯერ მეტია

ა) მომხდარი მიწისძვრის ამპლიტუდის (A) მაქსიმალური მნიშვნელობა A0 მნიშ-ვნელობაზე 1071 ჯერ მეტი იყო რამდენბალიანი სიმძლავრის მიწისძვრა მოხდა

ბ) 47 ბალიანი მიწისძვრისას სეისმური ტალღების ამპლიტუდა რამდენჯერ აღემატება4 ბალის სიმძლავრის მიწისძვრის ამპლიტუდას

გ) 1906 წელს სან-ფრანცისკოში მოხდა რიხტერის სკალით 83 ბალის სიმძლავრისმიწისძვრა იმავე წელს კოლუმბია - ეკვადორის საზღვარზე მომხდარი მიწისძვრისამპლიტუდაა ამ მიწისვძვრის ამპლიტუდაზე 4-ჯერ მეტი აღმოჩნდა რიხტერის სკალითრამდენბალიანი იყო კოლუმბია-ეკვადორის საზღვარზე მომხდარი მიწისძვრა

დ) 1976 წლის 28 ივლისს ჩინეთში მომხდარი მიწისძვრის სიმძლავრე 85 ბალი იყო და240000 ადამიანი იმსხვერპლა 1990 წელს ირანში მომხდარმა 74 ბალიანმა მიწისძვრამ50 000 ადამიანი იმსხვერპლა შეადარეთ ამ ორი მიწისძვრის ამპლიტუდები

AA0

ოთახში თითოეული ჯგუფი 14 times10ndash7 ვატმ2 -მა ინტენსივობით პიროვნებების 3ჯგუფი ერთმანეთთან საუბრობს რამდენ დეციბალს შეადგენს ამ ჯგუფებისაგანწარმოქმნილი ხმა

3

AA0

წარმოიდგინეთ რომ ბანკის ანგარიშზე არსებული საწყისი 1000 მანეთიექსპონენციალურად იცვლება ეს თანხა 7 წლის განმავლობაში ორჯერ გაიზარდა tწელიწადში ანგარიშზე არსებული თანხის A(t) = 1000 middot 2 ფორმულით გამოთვლაშეიძლება სადაც t წლების რაოდენობას A(t) კი ანგარიშზე არსებულ თანხასგვიჩვენებსა) რამდენი მანეთი იქნება ანგარიშზე 5 წლის შემდეგ 10 წლის შემდეგბ) გამოთვალეთ A(0) და A (8) მნიშვნელობები და განმარტეთ რეალური სიტუაციისშესაბამისად

5

6

4

biologia ბიოლოგებს სპილოს ფეხის ნაკვალევის ზომის (l)მიხედვით შეუძლიათ ივარაუდონ მათი ასაკი (a) ამისათვის ისინი l = 45 257endash009a ფორმულით სარგებლობენ გამოთვალეთ სპილოს ასაკი თუ მისი ფეხის ნაკვალევია 28 სმ 36 სმ

t7

254

logariTmis Tvisebebi

gamokvleva 1) უჩვენეთ რომ lg (1000 middot 100) ne (lg 1000)middot(lg 100) 2) გამოთვალეთ შედეგები შეადარეთ

3) გამოთვალეთ შედეგები შეადარეთ


მოსაზრებები loga b + loga cndashსათვის არსებული წესის გამოყენებით განაზოგადეთ b და cდადებითი ნამდვილი რიცხვებია

მოსაზრებები loga b loga cndashსათვის არსებული წესის გამოყენებით განაზოგადეთ b და cდადებითი ნამდვილი რიცხვებია

მოსაზრებები b loga cndashსათვის არსებული წესის გამოყენებით განაზოგადეთ b და cდადებითი ნამდვილი რიცხვებია

5) რვეულში სიტყვიერად ჩაწერეთ ხარისხის თვისებები თითოეული განმარტეთ ორინიმუშის ჩაწერით

bull ხარისხების გამრავლება cx middot cy = cx+y

bull ხარისხების გაყოფა = cx - y c ne 0bull ხარისხების ახარისხება (cx)y = cxy

cxcy

ა) 3middotlog2 4 და log2 64ბ) 2middotlog3 და log3

გ) 2middotlg 100 და lg 10000

ა) log2 64 ndash log2 2 და log2 32ბ) log3 27 ndash log3 9 და log3 3გ) log 4 ndash log და log 16

ა) log2 4 + log2 8 და log2 32ბ) log3 3 + log3 27 და log3 81გ) log + log 8 და log 21

212

12

14

12

12

14 1

2

19

181

1 namravlis logariTmi logc xy = logc x + logc yორი დადებითი რიცხვის ნამრავლის ლოგარითმი მამრავლების ლოგარითმების ჯამისტოლია სადაც c ne 1 და c gt 0 x და y დადებითი ნამდვილი რიცხვებია

2 ganayofis logariTmi logc = logc x logc yორი დადებითი რიცხვის განაყოფის ლოგარითმი მათი ლოგარითმების სხვაობის ტოლიასადაც c ne 1 და c gt 0 x და y დადებითი ნამდვილი რიცხვებია


xy

3 xarisxis logariTmi logc xy = ylogc xრიცხვის ხარისხის ლოგარითმი ხარისხის მაჩვენებლისა და ამ რიცხვის ლოგარითმისნამრავლის ტოლია სადაც c ne 1 და c gt 0 x დადებითი ნამდვილი რიცხვია

255


Tviseba 1 logc xy = logc x + logc y1-li Tvisebis damtkicebalogc x = m და logc y = n სახით ავღნიშნოთ

x = cm და y = cn ექსპონენციალური ჩანაწერით xy = (cm)(cn) x და y რიცხვების ნამრავლიxy = cm + n ხარისხების ნამრავლების თვისება

logc xy = m + n ლოგარითმული ჩანაწერით

logc xy = logc x + logc y m-ისა და n-ის მნიშვნელობების გათვალისწინებით

Tviseba 2 logc = logc x logc y me-2 Tvisebis damtkicebalogc x = m და logc y = n სახით ავღნიშნოთ

x = cm და y = cn ექსპონენციალური ჩანაწერით

= x და y რიცხვების შეფარდება

= cm ndash n ხარისხების შეფასებების თვისება

logc = m ndash n ლოგარითმული ჩანაწერით

logc = logc x ndash logc y m-ისა და n-ის მნიშვნელობების გათვალისწინებით

xy

xyx

yxyxy

cm

cn

Tviseba 3 logc xy = ylogc x me-3 Tvisebis damtkicebalogc x = m სახით ავღნიშნოთ

x = cm ექსპონენციალური ჩანაწერით xy = (cm)y ტოლობის თვისება

xy = cmy ხარისხის ახარისხება

logc xy = m y ლოგარითმული ჩანაწერით

logc xy = (logc x)y m-ის მნიშვნელობის გათვალისწინებით

logc xy = y logc x გამრავლების გადანაცვლებადობის კანონი

1

დ) log6 3 + log6 12 ე) lg 2 + lg 5 ვ) log05 64 + log05 10ზ) log2 48 ndash log2 3 თ) log 18 ndash log 2 ი) lg 025 ndash lg 251

313

ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა

saswavlo davalebebi

ა) log2 (64middot32) გ) log5 (125middot625)ბ) log30(3)81

256


კ) log2 radic8 ლ) log3 (927) მ) lg radic103 ნ) log05 radic84 4

ო) პ) ჟ) რ)log5 8log5 32

log3 125log3 25

log7 6log7 2 + log7 18

lg 2 + lg 5lg 13 ndash lg 130

ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით ჩაწერეთ გამოსახულება x y და z რიცხვებისლოგარითმებით

log4 xyradicz = log4 x + log4 y + log4(z) = log4 x + log4 y + log4z

log5 6 + log5 10 log5 2 = log5 = log5 30

12

6 102

2

ა) log6 ბ) log5radicxy გ) log3 დ) log7

ე) log7 xyradicz ვ) log

5(xyz)8 ზ) log3 თ) log3 x

9radicx2

xy

x5yradicz

x2

yradiczyz3 radic3

nimuSi 1

ა) log2 3 + log2 5 ბ) log3 16 minus log3 2 გ) 3middotlog5 4დ) 2 lg 3 minus 3 lg 2 ე) lg 216 minus lg 36 ვ) lg 16 + lg 4ზ) 5 log3 2 + 2 log3 5 თ) lg 12 minus 2 lg 2 + lg 3 ი) 3 log2 3 + 2 log2 5 minus log2 6

ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით ჩაწერეთ გამოსახულებები რაიმე რიცხვისლოგარითმის (loga N ) სახით

3

nimuSi 2

ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით ჩაწერეთ ერთი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ თუცნობილია რომ ცვლადები იღებენ დადებით მნიშვნელობებს

nimuSi 3 5 + log2 x = log225 + log2 x = log232 + log2 x = log232 x

4

გ) log2 x 5 log2 y დ) log3 x + 3 log3 y12

ე) lgx + 3lg y ვ) log5 x + 4log5 y 3log5 z12

23

ზ) 3 log3 x3 ndash (log3 x2 + 5 log3 x) თ) log7x2 + log7x ndash 5 log7 x

გაამარტივეთ ცვლადების დასაშვებ მნიშვნელობებში5

12

25

6 გამოსახეთ a და b საშუალებით თუ ცნობილია რომ log5 2 = a და log53 = b ა) log56 ბ) log512 გ) log515 დ) log530

12

ი) lnx+ 2lny 2lnz კ) log3 x10 log3 x5

ბ) log5(x ndash 1) ndash log5(x2 + 2x ndash 3)ა) log2(x2 ndash 9) ndash log2(2x ndash 6)

ა) logx x + logx10 ბ) log2a + log2b

ზ) თ)

257


2) გაამარტივეთ

გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა იმის გათვალისწინებით რომlg 5 asymp 0699 და lg 15 asymp 1176 ა) lg 3 ბ) lg 75 გ) lg 12 დ) lg 45

1) იპოვეთ

a) 3k გამოსახულების მნიშვნელობა როცა k = log2 40 ndash log2 5b) 7n გამოსახულების მნიშვნელობა როცა n = 3 log8 4

7

9

10

ა) eln10x ndash ln2x ბ) 32 log3x ndash log32x 3

ძირითადი ლოგარითმული იგივეობისა და ხარისხის ლოგარითმის თვისების თანახმადlogc b = logc (aloga b) = loga b middot logc a

აქედან კერძოდ როდესაც c = b მაშინ loga b =

უმრავლეს კალკულატორში მხოლოდ ათობითი (lg) და ნატურალური ლოგარითმების(ln) გამოთვლებისათვის არსებობს კლავიშები ამ მიზეზით ლოგარითმების უფრო მეტადათობითი და ნატურალური ლოგარითმის სახით ჩაწერის აუცილებლობა წარმოიშვება

loga b =logc blogc a

loga b =lg b

1

lg a

logb a

loga b =ln bln a

1log12 6

erTi fuZidan meore fuZeze gadasvla

8იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა lg თუ lg a = 3 lg b = 12 lg c = 8a2middotradicb

c

3

nimuSi 1 ჩაწერეთ და გამოთვალეთ ა) ათობითი ლოგარითმით ბ) ნატურალური ლოგა-რითმით

log3 7 =lg 7lg 3

08450477 1771 log3 7 =

ln 7ln 3

19461099 1771

log5 7 log7 12 log3 16 log9 25 log6 24log2 5 log5 9 log3 17 log5 32 log4 19

გამოთვალეთ ათობით ან ნატურალურ ლოგარითმებზე დაყვანით

11

ა) log ბ) log 9ndash1 გ) log 18 ndash log3 4 დ) log 12 ndash log2 9

ე) log3 2 middot log4 3 middot log5 4 ვ) log5 4 middot log6 5 middot log7 6 middot log8 7 middot log9 8

1) ერთი ფუძიდან მეორე ფუძეზე გადასვლის ფორმულით უჩვენეთ რომ

14

2) გამოთვალეთ

log = middot logabaqbp

pq

+ 1log3 6

1log36 3 ndash 2

log54 3

radic2 radic2radic3 radic3

258

maCvenebliani gantolebebi

1 xarisxis Tvisebebis gamoyeneba

nimuSi 1 42x = 82x 1

(22)2x = (23)2x 1

24x = 26x 3

4x = 6x 3 2x = 3 x = 15

Semowmeba 43 = 82 64 = 64

ხარისხის ახარისხების თვისება ტოლფას განტოლებაზე დაიყვანება

ერთსა და იმავე ფუძეზე დაიყვანება

მოცემული განტოლება


4215 = 8215 ndash 1

maCvenebliani funqciebis Tviseba a ne 1 და a gt 0 პირობით ax = ay ტოლობამხოლოდ და მხოლოდ მაშინ არის მართებული როცა x = yამ თვისების თანახმად მივიღებთ1) a f(x) = a g(x) მაჩვენებლიანი განტოლება f(x) = g(x) განტოლების ტოლფასია2) ax = c განტოლებას როცა c gt 0 თუ დავწერთ ax = alogac სახით მივიღებთ x = logacმოცემული მაჩვენებლიანი განტოლებები განსაზღვრული ხერხებით მარტივ მაჩვენებლიანგანტოლებებზე დაიყვანება და ამოიხსნება

nimuSi 2 2middot3x + 1 ndash 3x = 452middot3xmiddot3 ndash 3x = 453x(6 ndash 1) = 453x = 9x = 2

2 roca fuZeebi sxvadasxvaa gantolebebis amoxsna SeiZleba orivemxaris xarisxobrivi maCveneblidan erT-erTze gayofiT an gan-tolebis orive mxaris erTi da igive fuZiT galogariTmebis gziT

nimuSi 332x = 5x

განტოლება

(32)x = 5x9x = 5x

სახით ჩავწეროთ

ორივე მხარე გავყოთ 5x-ზე

( )x = 1აქედან

x = 0

95

განტოლების ამონახსენი


ხარისხის თვისება

საერთო მამრავლის ფრჩხილებს გარეთ გატანა

გამარტივება


nimuSi 42x - 1 = 3x მოცემული განტოლება

lg2x - 1 = lg3x ორივე მხარე ლოგარითმდება ათის ფუძით

(x 1) lg2 = x lg3 ლოგარითმის თვისება

x lg2 lg2= x lg3 გამრავლების განრიგებადობის თვისება

x lg2 x lg3 = lg2 მსგავსი წევრების დაჯგუფება

x (lg2 lg3) = lg2 საერთო მამრავლის ფრჩხილებს გარეთ გატანა

განტოლების ამონახსენი lg2lg2 lg3

x =

x ndash17095 განტოლების მიახლოებითი ფესვი

259

ამოხსენით განტოლებები21) 43x = 8x ndash 3 2) 27x = 9x ndash 2 3) 1252x ndash 1 = 25x + 4

4) 162x ndash 3 = 32x + 3 5) 24x = 4x + 3 6) 3x + 1 = 9x ndash 1

7) 25x ndash 1 = 53x 8) 363x ndash 1 = 62x + 5 9) 3x ndash 2 = 27

10) 23x + 5 = 128 11) 5x ndash 3 = 12) 10x ndash 1 = 1002x ndash 3

13) 362x = 216x ndash 1 14) 35x middot 811 ndash x = 9x ndash 3 15) 49x = 7x ndash 15

16) 81 middot 9ndash2x ndash 2 middot 9x = 27 17) 9ndash3x middot 9x = 27 18) 16x middot 643 ndash 3x = 64

125

2

nimuSi 6 3middot4x + 2middot9x 5middot6x = 0

3 + 2middot( )x 5middot( )x = 0

3 + 2middot( )2x 5middot( )x = 02y2 ndash 5y + 3 = 0y = 1 y =


nimuSi 5 9x 2middot3x + 1 27 = 03 axali cvladis SemotaniT


შემოიტანება ახალი ცვლადი დაიყვანება კვადრატულ განტოლებაზე კვადრატული განტოლების ამოხსნა

გაითვალისწინება ჩანაცვლება

32x 2middot3xmiddot3 27 = 0

(3x)2 6middot3x 27 = 03x = yy2 ndash 6y 27 = 0(y 9)(y + 3) = 0y = 9 y = 33x = 9 3x = ndash3

Semowmeba

x = 2

92 2middot32 + 1 27 = 081 54 27 = 0

0 = 0


ჩანაცვლება ხდება

დაიყვანება კვადრატულ განტოლებაზე

კვადრატული განტოლების ამოხსნა


( )x = y

32

32

32

32

32

94

ა) 25x = 125 ბ) 9x + 1 = 27 გ) ( )x = 8დ) 5x2 ndash 2x ndash 1 = 25 ე) 05x2middot 2x ndash 4= 8ndash2 ვ) 32xmiddot 2x = 324

114

ზ) 2middot3x + 1 ndash 3x= 45 თ) 4x + 2 + 4x + 1= 320 ი) 3x + 1 ndash 4middot3x ndash 2= 69

saswavlo davalebebi

ამოხსენით ხარისხის თვისებების გამოყენებით


პასუხი x = 2

x = 0 x = 1

32( )x = 1 3

2( )x = 32 გაითვალისწინება ჩანაცვლება

როცა განტოლებაში შემავალი ხარისხების მაჩვენებელი ერთი და იგივეა ფუძეები გეო-მეტრიული პროგრესიის მიმდევრობითი წევრებია ორივე მხარის ერთ-ერთ ნაპირა წევრზეგაყოფის შემდეგ ახალი ცვლადი შემოიტანება

ამოხსენით განტოლებებია) 9 sin x ndash 27 cosx = 0 ბ) 2 sin x ndash 2 cos x + 1 = 0

გ) x ndash 4 = 1 დ) (4 + radic15)x + (4 ndash radic15)x = 62

260


ვ) 10x + 10 x+1 = 11


ა) 2x+3= 43x 5 ბ) 94x1= 273x + 5 გ) 43x2= 14

2x

დ) 2x = 7 ე) 10x4 + 4 = 11

7

6ა) 125x = 5middot53middot55middotmiddot517

ამოხსენით განტოლება

ამოხსენით განტოლებები81) 10x ndash 3 = 1004x ndash 5 2) 25x ndash 1 = 1254x 3) 3x ndash 7 = 272x

4) 36x ndash 9 = 62x 5) 85x = 163x + 4 6) endashx = 67) 2x = 15 8) 12endash5x + 26 = 3 9) 4x ndash 5 = 310) 5endashx + 9 = 6 11) 102x + 3 = 8 12) 025x ndash 05 = 213) middot42x + 1 = 5 14) middote4x + = 4 15) 10ndash12x + 6 = 1002

3

x ndash 11x + 28x ndash 3

14

13

ბ) 22middot24middot26middotmiddot22x = 025ndash10

80 C ტემპერატურაზე მყოფი ჩაი 22 C ტემპერატურიან ოთახში 10 წუთისშემდეგ 60 C გახდაა) ნიუტონის ნივთიერების გაციების ფორმულის მიხედვით იპოვეთ r კოე-ფიციენტიბ) რამდენი წუთის შემდეგ იქნება ჩაის ტემპერატურა 35 C

ნივთიერების გაციების დროის ტემპერატურის დროზე დამოკიდებულების ნიუტინისფორმულა T = (T0 Tr)ert + Tr სახისაა სადაც T ნივთიერების შემოწმებისმომენტში T0 კი საწყის მომენტში არსებული ტემპერატურა Tr გარემოს ტემპერატურა(ოთახის ტემპერატურა) r გაციების სიჩქარეს (დროის ერთეულში ტემპერატურისცვლილება) t დროს გვიჩვენებს

9

10

3ა) 4x ndash 5middot2x + 4= 0 ბ) 9x ndash 6middot3x ndash 27 = 0 გ) 4x ndash 14middot2x ndash 32= 0 დ) 4x ndash 42 ndash x = 15 ე) 3x + 33 ndash x = 12 ვ) 4x ndash 7middot2x +12= 0

ამოხსენით ახალი ცვლადის შემოტანით

4ა) 7xndash3 = 43ndash x ბ) 2x + 4 + 2x + 2 = 5x + 1 + 3middot5x გ) 4x ndash 3x ndash 05 = 3x + 05 ndash 4x ndash 05

5ა) 3middot4x + 2middot9x = 5middot6x ბ) 4middot9x + 12x ndash 3middot16x = 0 გ) 2middot27x = 3middot12x + 18x


ამოხსენით ორივე მხარის ხარისხებიდან ერთ-ერთზე გაყოფით

2

2

2 2

261

logariTmuli gantolebebi

ლოგარითმული განტოლებები განსაზღვრული ხერხებით მარტივ ლოგარითმულ განტო-ლებებზე დაიყვანება და იხსნება

როცა a gt 0 a 1 x gt 0 და y gt 0 ტოლობა logax = logay მაშინ და მხოლოდ მაშინ არის

მართებული თუ x = y

logariTmuli funqciis Tviseba

1) loga f(x) = logag(x) განტოლება იმ პირობით რომ f(x) gt 0 და g(x) gt 0 არისf(x) = g(x) განტოლების ტოლფასი f(x) = g(x) განტოლების ამოხსნის შემდეგ მოძებნილიფესვები მოწმდება აკმაყოფილებენ თუ არა f(x) gt 0 და g(x) gt 0 პირობას2) loga f(x) = c განტოლების ეკვივალენტური ექსპონენციალური ჩანაწერით შეცვლითმივიღებთ f(x) = ac

1) განტოლებები რომლებიც ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით მარტივ ლოგარითმულგანტოლებაზე დაიყვანება

nimuSi log3 x = 2 ndash log3 2 მოცემული განტოლებაlog3 x + log3 2 = 2 ორივე მხარეს მიემატება log32log3 (2x) = 2 ლოგარითმის თვისების თანახმად

2x = 32 ეკვივალენტური ექსპონენციალური ჩანაწერი

x = 45 განტოლების ამონახსენი

2) ამოსახსნელი განტოლებები ახალი ცვლადის შემოტანით

nimuSi log52 x ndash log5 x = 2 მოცემული განტოლება

log5 x = a შემოვიტანოთ აღნიშვნა

a2 ndash a 2 = 0 დაიყვანება კვადრატულ განტოლებაზე

(a 2)(a + 1) = 0 კვადრატული განტოლების ამოხსნა

a = 2 a = ndash1 ჩანაცვლების გათვალისწინებით

log5 x = 2 log5 x = ndash1x = 52 x = 5ndash1

x = 25 x = 15

3) განტოლებების ამოხსნა ერთსა და იმავე ფუძეზე დაყვანით

nimuSi log4 x + log2 x = 6 მოცემული განტოლება

log x + log2 x = 6 ლოგარითმები ერთსა და იმავე ფუძეზე დაიყვანება

log2 x + log2 x = 6

log2 x = 6 მსგავსი წევრების შეერთება

log2 x = 4 x = 24 ექსპონენციალური ჩანაწერი


22

1232

262


Semowmebaლოგარითმქვეშა გამოსახულებამ უნდა დააკმაყოფილოს დადებითობის პირობა ანუx + 4 gt 0 2x + 3 gt 0 1 ndash 2x gt 0 უნდა იყოს

nimuSi lg (x + 4) + lg (2x + 3) = lg (1 ndash 2x) lg (x + 4)middot(2x + 3) = lg (1 ndash 2x)(x + 4)middot(2x + 3) = (1 ndash 2x)x1 = 1 x2 = 55


ლოგარითმის თვისება

დაიყვანება ალგებრულ განტოლებაზე

55 ამ პირობებს არ აკმაყოფილებს მოცემული განტოლებისათვის გარეშე ფესვია ndash1 კი ამპირობებს აკმაყოფილებსპასუხი 1

ამოხსენით განტოლებები 1

ა) log2 (3 ndash x) = 3 ბ) log (x ndash 4) = ndash1 გ) logradic3 (2x ndash 5) = 22

დ) log2 (x2 + 4x + 3) = 3 ე) log (x2 ndash 4x ndash 1) = ndash2 ვ) logradic3 (x2 ndash 5x ndash 3) = 2 ზ) log4 (log3(log2(x ndash 1))) = 0

12

12

12

ა) log2 23 + log2 22 = log2 x ბ) log2 16 + log2 2 = log2 xგ) log3 x ndash log3 9 = log3 3 დ) log5 x + log5 x = log5 625ე) logx 64 ndash logx 16 = log4 16 ვ) log2 8 + log3 9 = logx 32


3

თ) log3 (1 + log3 (2x ndash 7)) = 1 ი) log7 (4x ndash 6) = log7 (2x ndash 4)

4

კ) ln (x2 ndash 2x ndash 4) = ln 11 ლ) log2 (2x2 ndash 2) = log2 (5x ndash 4)

ა) log3 x + log3 (x ndash 2) = log3 8 ბ) log6 (2x2 ndash 7x + 6) ndash log6 (x ndash 2) = log6 x

ა) log32 x = 4 + 3 log3 x ბ) log5

2 x ndash log5 x = 2 გ) lg (10x) middot lg (01x) = 3

ამოხსენით ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით


5

6

log2 x ndash 2x = 8

log5 xx = 125x2


ა) log3 (x + 2) = 2 ndash x ბ) log x = x ndash 3

განტოლებების ამოხსნა ორივე მხარის ერთი და იგივე ფუძის გალოგარითმებით

saswavlo davalebebi

განვიხილოთ ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით ამოხსნილი კიდევ ერთი მაგალითი

ა) ბ)lg xx = 100xგ)

263

qimia ძმარმჟავას pH 29-ის ტოლია ჭიანჭველამჟავაში კი წყალბადის იონებისკონცენტრაცია ძმარმჟავასთან შედარებით 18-ჯერ მეტია იპოვეთ ჭიანჭველამჟავაშიარსებული წყალბადის იონების კონცენტრაცია

miwisZvra მიწისძვრის ამპლიტუდა გამოითვლება A = A0 10M ფორმულით A0

არის შესაძლო ყველაზე დაბალი მიწისძვრის ამპლიტუდა M კი არის მიწისძვრისსიმძლავრე რიხტერის სკალით 53 ბალის სიმძლავრის მომხდარი მიწისძვრისამპლიტუდა მის შემდეგ მომხდარ მიწისძვრაზე (მომდევნო ბიძგები) 125-ჯერ მეტი იყოგანსაზღვრეთ მომდევნო ბიძგის სიმძლავრე

finansebi თუ 1m ფული 6 მატებით ბანკში ჩაიდება t წლის შემდეგ ბანკშიარსებული თანხის S = 106t ფორმულით გამოთვლა შეიძლება ამ ფორმულაშიმოცემული t ცვლადი გამოსახეთ S ცვლადით 6 წლიური მატების პროცენტით ბანკშიშეტანილი 1000m რამდენი წლის შემდეგ იქნება 1500m

fizika ალთიმეტრი არის მოწყობილობა რომელიც ატმოსფერული წნევის გა-ზომვით ზღვის დონიდან სიმაღლის განსაზღვრის შესაძლებლობას იძლევა სი-მაღლესა (მეტრობით) და ჰაერის წნევას (პასკალობით) შორის დამოკიდებულებაh = 8005ln სახისაა რამდენი პასკალია ჰაერის წნევა ზღვის დონიდან3500 მ-ზე

P101300

1314

15

16


ამოხსენით განტოლებები7ა) log2x + log23 = 1 ბ) log3x ndash log32 = 2გ) log3x + log32 = 2

ზ) log2x = logx16 თ) log3x ndash logx9 = 1ი) log2x + logx8 = 4

შემადგენლობაში წყალბადის იონისებრ კონცენტრაციის მიხედვით იპოვეთ ხსნა-რის pH

ჯერ გამოიკვლიეთ განტოლებაში შემავალ ლოგარითმულ გამოსახულებას ცვლადისრა მნიშვნელობისათვის აქვს აზრი შემდეგ ამოხსენით განტოლება

ა) log2 x2 = 6 ბ) 2 log2 x = 6

იპოვეთ მოცემული pH-ის მქონე ნარევში წყალბადის იონების კონცენტრაცია

იპოვეთ x-ისა და y-ის მნიშვნელობები თუ log3 81 = x y და log2 32 = x + y

[H+] = 7910-3

pH = 31 pH = 68 pH = 18

[H+] = 8110-5 [H+] = 2310-4

10

11

12

ამოხსენით განტოლებები 84) 72x = 2x + 3

5) 16x ndash 4 = 53x

6) 92x ndash 1 = 71x + 2

1) log5(x ndash 18) ndash log5x = log572) log2(x ndash 6) + log2(x ndash 8) = 33) log3(2x ndash 1) = 2 ndash log3(x + 1)a -ს რა მნიშვნელობისთვისაა 1 log2a + log25 = log2 (a + 3) ტოლობა მართებული9

დ) log3x + log3(x ndash 2) = 1ე) log6x + log6(x ndash 1) = 1ვ) log4(x ndash 2) ndash log4(x + 1) = 1

17

264


m = m0 ( ) 12

tT amoxseniT amocana formulis mixedviT (sadac m0 nivTiere-

bis sawyis masas T naxevraddaSlis xangrZlivobas t dros gviCvenebs)

ნახშირბადის 14 იზოტოპის რადიოაქტიური დაშლის გამოყენებით მეცნიერები სხვადასხვამცენარეების ცხოველების ნაშთების ასაკს განსაზღვრავენ დედამიწაზე უფრო ხშირადშემხვედრი ნახშირბად 12 იზოტოპსი რადიოაქტიური არ არის და არ იშლება თუმცანახშირბად 14 რადიოაქტიურია და იშლება ნახშირბად 14 იზოტოპი ატმოსფეროშიმოხვედრილი მზის სხივებით წარმოიქმნება ფოტოსინთეზის საშუალებით მცენარეებშიშედის ნახშირბად 14-ის ნივთიერება მცენარეებთან ერთად მცენარეებით გამოკვებისშედეგად შედის ცხოველების ორგანიზმში მცენარეებში და ცხოველებში ნახშირბად 14-ისოდენობა ნახშირაბდის ატომის 1010 პროცენტის ოდენობითაამცენარისა და ცხოველის დაღუპვის დროს ახალი ნახშირბად 14 იზოტოპის მიღებისშესაძლებლობები წყდება სხეულში არსებულები კი იწყებენ დაშლას ამ იზოტოპისნახევრადდაშლის ხანგრძლივობა 5730 წელიწადია იმის გამოთვლით თუ მცენარისა დაცხოველის ნარჩენებში არსებული ნახშირბად 14-ის ოდენობა ნახშირბადის ატომებისმიმართ რამდენ პროცენტს შეადგენს შესაძლებელი ხდება მათი სიკვდილის თარიღისგანსაზღვრა

18

ა) სპილოს ძვლის ნარჩენებში ნახშირბად 14-ის 36 მოსპობილია რამდენი წლის წინათცოცხლობდა ეს სპილო

ბ) რადიოაქტიური ნივთიერების ნახევრადდაშლის ხანგრძლივობა 3 წელია რამდენიწლის შემდეგ დარჩება ამ ნივთიერებებიდან 7 გრამი თუ მისი საწყისი წონა იყო 67გრამი

გ) განსაზღვრული ოდენობის ურანის ნივთიერების ორი მესამედი ნაწილის დაშლისხანგრძლივობა 026 მილიარდი წელია იპოვეთ ურანის ელემენტის ნახევარდაშლისდრო

ბანკში შეტანილი 2000 მანეთი 8 რთული მატების პროცენტით რამდენი წლის შემდეგგახდება 10000 მანეთი

ერთ ქვეყანაში მოსახლეობის რაოდენობამ 1990 წლიდან 2000 წლამდე 151 მილიონიდან173 მილიონს მიაღწია

ა) განსაზღვრეთ მოსახლეობის წლიური მატების პროცენტითუ ცნობილია რომმოსახლეობის რაოდენობა იცვლება N = N0 middot(1+ r)t კანონით

ბ) რამდენი წლის შემდეგ იქნება ქვეყნის მოსახლეობა 220 მილიონი თუ მოსახლეობისმატების ეს ტემპი შენარჩუნებული იქნება

ქალაქის მოსახლეობა ყოველწლიურად 3-ით მცირდება t წლის შემდეგ ამ ქალაქისმოსახლეობის რაოდენობა N = N0 middot 097t ფორმულით გამოითვლება სადაც N0 მოსახ-

ლეობის არსებული რაოდენობაა გამოსახეთ t სიდიდე N-ით

გამაგრილებელი კოლას ტიპის სასმელის pH 26 რძის pH კი 66-ია რამდენჯერ მეტიაკოლას შემადგენლობაში წყალბადის იონების რაოდენობა რძესთან შედარებით

19

21

20

22

265

maCvenebliani utolebebi

მაჩვენებლიანი უტოლობების ამოხსნა როგორც წესი ax gt ab და ax lt ab უტოლობებისამოხსნაზე დაიყვანება სადაც a gt 0 a 1ამ უტოლობების ამოხსნა კი y = ax მაჩვენებლიანი ფუნქციის ზრდადობის ან კლებადობისთვისების დახმარებით იხსნება

როცა a gt 1 a f(x) gt a g(x) უტოლობა f(x) gt g(x)-ისa f(x) lt a g(x) უტოლობა f(x) lt g(x)-ის ტოლფასიაროცა 0 lt a lt 1 a f(x) gt a g(x) უტოლობა f(x) lt g(x)-ისa f(x) lt a g(x) უტოლობა f(x) gt g(x)-ის ტოლფასია

c = alog c იგივეობის თანახმად ax gt c (ან ax lt c) უტოლობაax gt alog c (ან ax lt alog c) უტოლობის ამოხსნაზე დაიყვანება

მაჩვენებლიანი უტოლობები გარკვეული ხერხებით მარტივ მაჩვენებლიან უტოლობებზედაიყვანება და ამოიხსნება

1) ხარისხის თვისებების გამოყენებაnimuSi a) 8 middot 4x ndash 1 gt 2x

23 middot (22)x ndash 1 gt 2x

22x + 1 gt 2x

2x + 1 gt xx gt ndash1

3x + 1 + 3x ndash 1 lt 303x middot 3 + lt 303x(3 + ) lt 30

3x

3

310

13

b)

3x lt 30 middot3x lt 93x lt 32

x lt 2

2) ახალი ცვლადის შემოტანაnimuSi 4x ndash 3middot2x + 1 + 8 lt 0 მოცემული უტოლობა

(2x)2 ndash 6middot2x + 8 lt 0 2x = a ახალი ცვლადის შემოტანაa2 ndash 6a + 8 lt 0 კვადრატული უტოლობა

(a 2)(a ndash 4) lt 02 lt a lt 4 ჩანაცვლების გათვალისწინება

2 lt 2x lt 22 1 lt x lt 2

nimuSi2x + 1 gt 8 მოცემული უტოლობა 2x + 1 gt 23 ხარისხის თვისებაx + 1 gt 3 ტოლფასი უტოლობაx gt 2 უტოლობის ამოხსნა

nimuSi02x ndash 1 gt 004 მოცემული უტოლობა02x ndash 1 gt 022 ხარისხის თვისებაx ndash 1 lt 2 ტოლფასი უტოლობაx lt 3 უტოლობის ამოხსნა

მოცემული უტოლობა ხარისხის თვისება

დაჯგუფება


თუ ხარისხის მაჩვენებლები ერთი და იგივეა ხელსაყრელია ხარისხებიდან ერთ-ერთზე გაყოფაnimuSi 2x gt 32x მოცემული უტოლობა

2x gt 9x 2x ორივე მხარე გავყოთ 2x-ზე 1 gt ( )x

( )x lt ( )0 რადგან a0 = 1 x lt 0

929

292

a

a

a

266


119

125ა) 3x ge ბ) 02x le გ) 15x le 225 დ) 03x le 009

ე) 2x gt 1 ვ) 3x lt 1 ზ) 4ndashx lt ndash1 თ) 5x gt ndash5

2

ი) 04x + 1 gt 016 კ) 32 ndash x lt 27 ლ) 3x2 lt 98 მ) 405x2 ndash 3 gt 8ნ) 4x gt 2x2 ო) 9x lt 36x პ) 5x gt 23x ჟ) 2x ndash 1 lt 8

3

ა) 3x + 3 lt 27 ბ) 2x ndash 1 + 2x ndash 2 + 2x ndash 3 lt 448 გ) 4x + 4x ndash 1lt 20 დ) ( )x + ( )x ndash 2 gt 5 ე) ( )x ndash 1 + ( )x + 1 le 26

4

ა) 4x ndash 2x + 1 ndash 8 gt 0 ბ) 4x + 2x gt 20 გ) 9x ndash 4middot3x + 3 lt 0 დ) 3x ndash 1 + 32 ndash x lt 4 ე) 5x + 51 ndash x gt 6

12

12

15

15


5

y = 7 ndash ( )2xradic 19

38

35

925y = ( )x + 2 ndash ( )xradic

ა) x2 middot 3x ndash 32 + x lt 0 ბ) x2 middot 3x + 9 gt x2 + 9 middot 3x

ამოხსენით მაჩვენებლიანი უტოლობები

ამოხსენით უტოლობები ხარისხის თვისებების გამოყენებით

ამოხსენით უტოლობები ახალი ცვლადის შემოტანით


გ) დ)

ამოხსენით მაჩვენებლიანი უტოლობები6

625 ge 5a + 8

105b + 2 gt 1000

( )c ndash 2 lt 322c

( )2d ndash 2 le 81d + 4

( )3t + 5 ge ( )t ndash 6

( )v + 2 lt ( )4v

19

127

1243

164

136

1216

ამოხსენით უტოლობები ძირითადი ლოგარითმული იგივეობის გამოყენებით71) 8x gt 21 2) 6y lt 39 3) ex lt 81254 4) ex gt 031515) 10x gt 00138 6) 10y lt 168125 7) e001x gt 15 8) e003y le 4


1) 2 ndash 16 ge 0 2) le 3 3) xe2x lt 4xx2 ndash 3x ndash 6 ex

ex ndash 4

saswavlo davalebebi

ა) ბ)

04 le 1 26 gt 1x2 ndash 4x + 1

x2 ndash 9x + 14x ndash 3

267

logariTmuli utolebebi

logariTmuli utolobebi

praqtikuli mecadineoba 1) ფერად უჯრებში ჩაწერეთ შესაბამისი შედარების ნიშანი

2) ფერად უჯრებში ჩაწერეთ ისეთი რიცხვები რომ სწორი უტოლობა მიიღოთ

3) log2x le log25 უტოლობას x-ის 5-ზე მეტი რომელიმე მნიშვნელობა აკმაყოფილებსგამოთქვით მოსაზრება x-ის ამ უტოლობის დამაკმაყოფილებელი მნიშვნელობების შესახებ4) აწარმოეთ განხილვა x-ის log05x le log054 უტოლობის დამაკმაყოფილებელი მნიშვნე-ლობების შესახებ

ლოგარითმული უტოლობები იხსნება ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების ლოგა-რითმული ფუნქციის ზრდადობის (ან კლებადობის) თვისების მხედველობაში მიღებით

nimuSi log2(x + 1) gt log27ცვლადის დასაშვებ მნიშვნელობათა პირობისთანახმად x + 1 gt 0 ვინაიდან log2xფუნქცია ზრდადია x + 1 gt 7 უნდა იყოსმაშასადამე x + 1 gt 0 და x + 1 gt 7უტოლობების დამაკმაყოფილებელი x-ებიუნდა მოვძებნოთ აქედან x gt 6 პასუხი (6 +)

ა) log23 log27

nimuSi log5 (3x 4) lt log5 (2x 2) უტოლობა0 lt 3x 4 lt 2x 2 ორმაგი უტოლობის

სადაც x gt და x lt 2 მიიღება უტოლობის ამონახსენთა სიმრავლეა lt x lt 243

43

nimuSi log02(x ndash 1) gt log023

3x 4 gt0 3x 4 lt 2x 2

უტოლობათა სისტემის ტოლფასია

loga f(x) gt loga cloga f(x) gt c

f(x) gt c

f(x) gt ac

f(x) gt ac

f(x) gt c0 lt f(x) lt c

0 lt f(x) lt c

0 lt f(x) lt ac

0 lt f(x) lt ac

loga f(x) lt loga c

loga f(x) lt c


loga f(x) lt loga c

loga f(x) lt c

ბ) log055 log057

ა) log2 lt log25 ბ) log2 gt log25

გ) log05 lt log054 დ) log05 gt log054

ცვლადის დასაშვებ მნიშვნელობათა პი-რობის თანახმად x ndash 1 gt 0 ვინაიდანlog02x ფუნქცია კლებადია x ndash 1 lt 3უნდა იყოს მაშასადამე უნდა ამოვხსნათორმაგი უტოლობა 0 lt x ndash1 lt 3 აქედან 1 lt x lt 4 პასუხი (1 4)

როცა a gt1 როცა 0 lt a lt 1 ლოგარითმული

უტოლობა ტოლფასიუტოლობა

ლოგარითმულიუტოლობა

ტოლფასიუტოლობა

ან

268


ნაპოვნ ნეშტში ნახშირბად 14-ის t წლის შემდეგ დარჩენილი რაოდენობის (გრამობით)C = 20 endash00001216t ფორმულით გამოთვლა შეიძლებაა) იპოვეთ ნაშთში ნახშირბად 14-ის წლიური რაოდენობაბ) რამდენი გრამი იქნება ნარჩენი ნახშირბად 14 10000 წლის შემდეგგ) დაახლოებით რამდენი წლის შედმეგ ამ ობიექტში არსებული ნახშირბად 14-ისოდენობა იქნება 10 გრამზე ნაკლები

საზოგადოებრივი ორგანიზაციის წევრების ყოველწლიური 7-იანი შემცირებააღინიშნება თუ N არის არსებული წევრების რაოდენობა მაშინ t წლის შემდეგგაერთიანების წევრების რაოდენობის P = N(1 ndash 007)t ფორმულით გამოთვლაშეიძლება თუ 2010 წელს ამ ორგანიზაციას 5000 წევრი ჰყავდა რამდენი წლის შედმეგიქნება მათი რაოდენობა 2500-ზე ნაკლები

4

5

ამოხსენით უტოლობები2


1) log5(x ndash 9) gt 3 2) log7(4x ndash 3) gt 0 3) log7(2x ndash 1) lt 24) log2(x + 20) ge 5 5) log4(x + ) ge ndash1 6) lg(5x + 150) le 17) log7(2x ndash 5) ge 2 8) log8(x + 5) le 1 9) log2(x ndash ) le ndash22

3

12

1) log5(3 ndash 2x) ge log5(4x + 1) 2) log03(10x + 3) lt log03(7x ndash 21) 3) lg x + lg(x + 1) gt lg 2x 4) lg x + lg(2 ndash x) lt 1 5) lg x ndash lg(2 ndash x) gt 0 6) log (3x ndash 1) ndash log (x + 2) gt 07) lg(x2 ndash x+8) le 1 8) log3(x2 ndash2 x ) lt 1 9) log2(x2 ndash xndash 6) + log05(xndash 3) lt 2log23 10) logradic3(x + 1) + logradic3(x ndash 1) gt log36411) log2(x2 ndash 3xndash 10) ndash log2(x+2) le 2 12) 3 ndash log2x lt 2

13

13

ამოხსენით ლოგარითმული უტოლობები1

ა) log2(x + 1) lt log23 ბ) log3(x ndash 1) gt log35 გ) log01(x ndash 2) gt log014დ) log4(x ndash 3) gt 2 ე) log5(3x ndash 1) lt 2 ვ) log02(5 ndash 2x) gt ndash 1ზ) log7(2x ndash 1) gt log7(x + 2) თ) log5(3x ndash 4) le log5(x + 2) ი) log05(4x ndash 11) lt log05(x ndash 11) კ) log02(2x ndash 8) gt log02(x ndash 1)

nimuSi ამოვხსნათ უტოლობა log2x log2x 2 lt 0 ლოგარითმქვეშა გამოსახულების დადებითობის გამო x gt 0 უნდა იყოს შემოვიტანოთაღნიშვნა log2x = t მივიღებთ უტოლობას t2 t 2 lt 0 ამ უტოლობის ამონახსენია 1 lt t lt 2 ჩანაცვლების თანახმად 1 lt log2x lt 2 მიიღება

აქედან lt x lt 4 პასუხი ( 4) 12

12

saswavlo davalebebi

2

269


7

ა) log(x) + log(x + 1) lt log2 ბ) log06(4 ndash x) ge log062 ndash log06(x ndash 1)გ) log2

2x ndash log2x le 6 დ) log201x + 3 log01x lt 4

ე) lg2x + 2 lgx gt 3 ვ) log201x ndash 1 ge 0

ზ) log3(log05(2x ndash 1)) gt 0 თ) log (logradic5(x ndash 9)) gt ndash1

ი) 1 ndash 2 log3x lt 3 კ) 1 ndash log3x2 lt 3 წლიური 8 რთული პროცენტით მატებით ბანკის ანგარიშზე შეტანილი 1000 მანეთირამდენი წლის შემდეგ იქნება არანაკლებ 1500 მანეთისა (ანგარიშზე არსებული თანხაS = S0ert კანონით იცვლება)

თანხა ანგარიშზე არანაკლებ 1500mamoxsnaS

მონაცემების თანახმად

უტოლობის ორივე მხარე იყოფა 1000-ზეუტოლობის ორივე მხარე გალოგარითმდება

ლოგარითმული თვისება

ge 15001000e008t ge 1500e008t ge 15lne008t ge ln15

008t ge ln15უტოლობის ორივე მხარე იყოფა 008-ზე

გამოთვლები

t ge

t ge პასუხი დაახლოებით 51 წლის შემდეგ ანგარიშზე არსებული თანხა გახდება 1500მანეთზე მეტი

ln1500804054008 t ge 5068 t ge 51

8


მოსახლეობის რაოდენობის დროზე დამოკიდებულებით გამოთვლა P = P0ektფორმულით შეიძლება სადაც P0 -არის არსებული მოსახლეობის რაოდენობა k-მატებისტემპი t - წლების რაოდენობა P კი - საძიებელ t წელს მოსახლეობის რაოდენობაა 2000წელს A ქალაქის მოსახლეობა 85 ათასი კაცი იყო 2010 წლამდე იგი გაიზარდა და 94ათასი გახდაა) იპოვეთ მოსახლეობის მატების სიჩქარე (k კოეფიციენტი)ბ) რომელ წელს გახდება ამ ქალაქში მოსახლეობის რაოდენობა 10 ათასი კაციგ) თუ 2000 წელს B ქალაქში არსებული მოსახლეობის რაოდენობის y = 95e000278t

ფორმულით მოდელირება შეიძლება A ქალაქში რამდენი წლის შემდეგ იქნება Bქალაქში მყოფზე მეტი მოსახლეობადედამიწის მოსახლეობის რაოდენობა 1980 წელს დაახლოებით 48 მილიარდი 1994წელს კი 55 მილიარდი კაცი იყო ამ მატებით რომელ წლამდე არ იყო დედამიწისმოსახლეობა 6 მილიარდ კაცზე მეტი

9

10

ამოხსენით ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობები

ა) log2 (3x + 2) = log2 (12x + 3) ბ) log6 (7x + 1) = log6 (4x ndash 4)გ) log3 3x = log3 (2x + 2) დ) log5 (1 ndash x) = log5 (2x + 5)ე) log4 (9x + 1) gt log4 (18x ndash 1) ვ) log3 (3x ndash 5) ge log3 (x + 7)ზ) log5 (2x + 1) lt log5 (3x ndash 2) თ) log2 2x = log4 (x + 3)

6

12

270


წყალბადის იონების კონცენტრატის მიხედვით განსაზღვრეთ pH

ა) ლიმონის წვენი [H+] = 79 103 მოლლ ბ) ამონიაკი [H+] = 1011 მოლლ

გ) ძმარი [H+] = 65 103 მოლლ დ) ფორთოხლის წვენი [H+] = 32 104 მოლლ

4

1) 6x ge 42 2) 5x = 52 3) 82a lt 124 4) 43p = 105) 20x = 70 6) 2x ndash 3 = 15 7) 82n gt 524n + 3 8) 22x + 3 = 33x

9) log (radicx + 1) = 2 10) (x ndash 2)middotlog5(x + 1) = 0 11) (x2 ndash 4)middotlog3x = 012) logx3 gt 0 13) log (2x ndash 4) lt 4 14) (x + 1)middotlog2(x + 1) gt 0

2 2

5

6

ამოხსენით განტოლებები და უტოლობები

მოცემული ფორმულების მიხედვით იპოვეთ n

ძია მეჰმანი სახლის გაყიდვიდან მიღებული ფულის ndash 90 000 მანეთის ერთი წლითბანკში შენახვას გეგმავს ბანკი ორი სახის დეპოზიტს სთავაზობს ერთი წლიური 9 რთული პროცენტული მატებით ნახევარწლიური გაანგარიშებებით მეორე კიყოველდღიური გამოთვლებით ამ ორი პირობას შორის შემოსავლებში განსხვავებაიქნება

წარმოიდგინეთ რომ თქვენ 500 მილიგრამი ასპირინი გაქვთ მიღებული ასპირინის tსაათში სისხლში არსებული რაოდენობის y = 500 (08)t სახით მოდელირება შეიძლებარამდენი საათის შემდეგ დარჩება სისხლში 50 მილიგრამზე ნაკლები ასპირინი

ა) M = 3e-2n + 5 1

2

3

ბ) a2n = b2 გ) y = ae4n

ჯემილმა გამზადებულ წარდგენაში ჩახაზა ცხრილი აღნიშვნით რომ ქალაქისმოსახლეობა 11450 კაციდან 95600 კაცამდე გაიზარდა და მატების ტემპი იყო 432თუმცა დაავიწყდა იმის აღნიშვნა თუ რამდენ წელში მოხდა ეს მატება იპოვეთ წლებისრაოდენობა

y = log28x3 ფუნქციის გრაფიკი y = log2x ფუნქციის გრაფიკის რომელი გარდაქმნებითმიღება შეიძლება

იპოვეთ logbxradicx გამოსახულების მნიშვნელობა თუ logbx = 02


3

7

8

9

ln 1radice3 5 ln x + ln y + ln zlog3

x3

2713

დაწერეთ y = abx ექსპონენციალური ფუნქციის ფორმულა რომლის გრაფიკი გადის

(11) (3 ) წერტილებზე

ცნობილია რომ logt M = 128 და logt N2 = 174 გამოთვალეთN2

radicM

19

10

11ა) logt N ბ) logt (MN) გ) logt

ა) ბ) გ)

radic5

radic2

271


janmrTeloba da fizika specialistebi iZlevian rekomendaciasrom 85 dbndashze maRali xmis SemTxvevaSi gamoviyenoT specialurixmisagan damcavi mowyobiloba ა) შეშის საჭრელი აპარატის ხმის ძალა 80 დბ მუსიკალური ხმის გამაძლიერებლისა კი(პლაიერი) 110 დბndashია რამდენჯერ აღემატება ხმის გამაძლიერებლის ხმის ინტენსივობაშეშის საჭრელის ხმის ინტენსივობასბ) ჩურჩულის ინტენსივობაზე 100 000 ჯერ ძლიერი ხმა ადამიანის ჯანმრთელო-ბისათვის არავითარ საფრთხეს არ ქმნის გამოთვალეთ უსაფრთხოდ ჩათვლილი ხმისსიმძლავრე თუ ჩურჩულის სიმძლავრე 20 დბndashია

12

სოციოლოგების თანახმად ახალი ამბავი ადამიანებს შორის ექსპონენციალურისიჩქარით ვრცელდება y = 2000 (1ndash e ndash003t ) ფუნქცია ახალი სავაჭრო ცენტრის გახსნისინფორმაციის t საათში 2000 ადამიანს შორის გავრცელებას გამოსახავს

ა) რამდენ ადამიანს ექნება ინფორმაცია ამის შესახებ სავაჭრო ცენტრის გახსნიდან 24საათის შემდეგ

ბ) ააგეთ ამ ფუნქციის გრაფიკი გრაფკალკულატორით და ივარაუდეთ რამდენი საათისშემდეგ ექნება მოსმენილი ეს ამბავი ამ ადამიანთა 90ndashს

13

ერთი ფინჯანი წყალი 100Cndashმდე ადუღებული და შემდეგოთახის ტემპერატურამდე 20Cndashმდე გაციებული იქნაწყლის ტემპერატურა ყოველ წუთში ერთხელ გაიზომა დასაკოორდინატო სიბრტყეზე ტემპერატურის დროზედამოკიდებულების მაჩვენებელი წერტილები აღინიშნა ესწერტილები შეერთდა და სურათზე ნაჩვენები გრაფიკიიქნა მიღებული ცნობილი გახდა რომ წყლის ტემ-პერატურა ყოველ 5 წუთში 25ndashით ექსპონენციალურიწესით მცირდება წყლის ტემპერატურის დროზედამოკიდებულებით ცვლილების გამომსახველი ფუნ-ქციის ფორმულის f(x) = abx minus h + k სახით დაწერა შეიძლება გრაფიკის თანახმადიპოვეთ a b h k ცვლადების შესაბამისი რიცხვითი ინფორმაციები და დაწერეთფუნქციის ფორმულა

1410080604020

20O 40 60 80 100m

T

სეიმურმა 15 000 მანეთად ახალი ავტომობილი შეიძინა ავტომობილის ფასი ყოველ-წლიურად 15ndashით მცირდება რამდენი წლის შემდეგ შეიძენს სეიმური ავტომობილს3000 მანეთზე იაფად

15

ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით გაამარტივეთ გამოსახულებები და იპოვეთმნიშვნელობები

16

ა) 9 log93 log975 + 2 log95 ბ) log298 2 log27 2გ) 2 log36 3 log32 + log318 დ) log236 + log212 2 log23

12

ააგეთ y = lg x2 და y = 2lg x ფუნქციების გრაფიკები დაწერეთ ამ ფუნქციების მსგავსიდა განმასხვავებელი ნიშნები ცვლადის რა მნიშვნელობებისათვის არის მართებულიlg x2 = 2lg x ტოლობა

17

kompleqsuri ricxvebi

es sainteresoa

სავარაუდო თარიღი პიროვნება მოვლენა

kompleqsuri ricxvebis Seqmnis qronika

ფრანგი მეცნიერი Abraham DeMovire (მუავრი) (1667ndash1754)ალბათობის თეორიის შესახებ ნაშრომებითა და მუავარისფორმულით არის ცნობილი მისი ნაწარმოები ldquoThe Doctrineof Chances A method of calculating the probabilities ofevents in playrdquo (შანსების დოქტრინა თამაშში ხდომილობათაგამოთვლის მეთოდი) გახდა დიდი რეზონანსის მიზეზი დამრავალგზის გამოიცა

იყენებს კომპლექსური რიცხვის ცნებას

radicndash1 რიცხვს i-თი აღნიშნავს

ნამდვილ და წარმოსახვით ნაწილებსგანასხვავებს

უარყოფითი რიცხვიდან კვადრატული ფესვიკუბური განტოლების ფესვებში შედის

უარყოფითი რიცხვიდან კვადრატული ფესვიარ არსებობს რადგან კვადრატი არ შეიძლებაიყოს უარყოფითი

უარყოფითი რიცხვიდან კვადრატული ფესვისშესახებ პირველ ინფორმაციებს ვხვდებით

50 ჰერონი ალექსანდრია

850 მაჰავირა ინდოეთი

1545 კარდანო იტალია

1637 დეკარტი საფრანგეთი

1748 ეილერი შვეიცარია

1832 კაუსი გერმანია

10kompleqsuri ricxvebimoqmedebebi kompleqsur ricxvebzekompleqsuri ricxvis geometriuli gamosaxvakompleqsuri ricxvis moduli da argumenti kompleqsuriricxvis trigonometriuli saxemoqmedebebi trigonometriuli saxiT mocemul kompleqsurricxvebzen-uri xarisxis fesvi kompleqsuri ricxvidan

273


gamokvleva

1) ნიმუშების ჩვენებით გამოიკვლიეთ ქვემოთ მოცემული მოსაზრებების სისწორე თუ იგიმცდარია ისე შეცვალეთ რომ მართალი გამოდგესა) როცა a და b ნატურალური რიცხვებია x + a = b განტოლების ფესვი ნატურალური რიცხვიაბ) როცა a და b მთელი რიცხვებია ax = b განტოლების ფესვი მთელი რიცხვიაგ) თუ a არაუარყოფითი რაციონალური რიცხვია x2 = a განტოლების ფესვი რაციონალურირიცხვიად) თუ a არაუარყოფითი ნამდვილი რიცხვია x2 = a განტოლების ფესვი ნამდვილი რიცხვია2) არსებობს ნამდვილი რიცხვი რომლის კვადრატი ndash1ndashის ტოლია3) ა) როცა a lt 0 x2 = a განტოლებას ნამრავლი ფესვი აქვსბ) ნამდვილი რიცხვების განსაზღვრულ სიმრავლემდე გაფართოებით შესაძლებელია ამ ამოცანისამოხსნა4) ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლესა და რიცხვითი ღერძის წერტილებს შორის ერთმანეთისმიმართ ერთმნიშვნელიანი შესაბამისობა არსებობს საკოორდინატო სიბრტყის წერტილებსრომელი რიცხვები შეიძლება შევუპირისპიროთ

ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეში x2 = ndash1 განტოლებას ამონახსენი არა აქვს მაშასადამენამდვილ რიცხვთა სიმრავლე ისე უნდა გავაფართოვოთ რომ ახალ სიმრავლეში ამგანტოლებას ფესვი ჰქონდეს ამ მიზნით ახალი i რიცხვის შემოტანით მიღებულია რომ ის x2 + 1 = 0 განტოლების ფესვია ანუ i2 + 1 = 0 აქედან კი i2 = ndash1 ასეთი დაშვების შემდეგ x2 + 1 = 0 განტოლების ფესვები x12 = plusmni იქნება i რიცხვს წარმოსახვითი ერთეული ეწოდებანამდვილ რიცხვთა სიმრავლე ისე გავაფართოვოთ რომ ყველა ნამდვილი რიცხვი და i რიცხვიამ სიმრავლეში შევიდეს თანაც ამ სიმრავლეში შეკრებისა და გამრავლების მოქმედებებისთვისებები შენარჩუნებული იქნას როცა a და b ნებისმიერი ნამდვილი რიცხვებია ახალსიმრავლეში bi bdquoნამრავლისა და a + bi ldquoჯამისldquo შემოტანით a + bi გამოსახულებას პირობითადკომპლექსური რიცხვი ვუწოდოთ a + bi გამოსახულებას კომპლექსური რიცხვი ეწოდება სადაც a და b ნამდვილი რიცხვებიაi კი წარმოსახვითი ერთეულიაკომპლექსური რიცხვებს z w და სხვ ასოებით ავღნიშნავთ მაგალითად z = a + bi a + bi ჩანაწერს კომპლექსური რიცხვის ალგებრული სახე ეწოდება z = a + bi კომპლექსურრიცხვში a-ს z-ის ნამდვილი ნაწილი b-ს კი წარმოსახვითი ნაწილი ეწოდება და ასე იწერებაa = Re z b = İmzროცა a = 0 bi სახის რიცხვები მიიღება ასეთ რიცხვებს წმინდა წარმოსახვითი რიცხვებიეწოდება როცა a = 0 და b = 0 კომპლექსური რიცხვი ნულის ტოლად ითვლება და პირიქითთუ a + bi = 0 მაშინ a = 0 და b = 0daskvna a + bi და c + di კომპლექსური რიცხვებისათვის a + bi = c + di ტოლობამხოლოდ მაშინ არის მართებული როცა a = c და b = d

nimuSi x + 3i = 5 + (x + y)i ტოლობიდან იპოვეთ x და yamoxsna ნამდვილი და წარმოსახვითი ნაწილების ტოლობიდან მივიღებთ

x = 53 = x + y ანუ x = 5 y = ndash2

a + bi და c + di კომპლექსური რიცხვების ჯამი (a + c) + (b + d)i კომპლექსურ რიცხვსეწოდება ანუ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

274

მაშასადამე ორი კომპლექსური რიცხვის გამრავლებისათვის ისინი ორწევრების გამრავლებისმსგავსად უნდა გავამრავლოთ საჭიროა გავითვალისწინოთ რომ i2 = ndash1

moqmedebebi kompleqsur ricxvebze

nimuSi (3 + 2i)middot(2 ndash i) = 3middot2 ndash 3i + 4i ndash 2i2 = 6 + i ndash 2middot(ndash1) = 8 + iგანვიხილოთ წარმოსახვითი ერთეული ხარისხები

i3 = i2middoti = ndashi i4 = i2middoti2 = 1 i5 = i4middoti = ii6 = i4middoti2 = ndash1 i7 = i4middoti3 = ndashi i8 = i4middoti4 = 1

როგორც ხედავთ i-ს ნატურალური ხარისხები მხოლოდ i ndash1 ndashi და 1 შეიძლება იყოს დაისინი ყოველ 4 ნაბიჯზე ერთხელ მეორდებიან მაშასადამე მივიღებთ i4m + k = (i4)mmiddotik = ik

nimuSi გამოთვალეთ ა) i58 ბ) i63

amoxsna ა) i58 = i4middot14 + 2 = i2 = ndash1 ბ) i63 = i4middot15 + 3 = i3 = ndashia ndash bi რიცხვს a + bi რიცხვის შეუღლებული რიცხვი ეწოდება და z = a ndash bi სახითაღინიშნება გასაგებია თუ a ndash bi რიცხვი a + bi რიცხვის შეუღლებულია a + bi რიცხვიცa ndash bi რიცხვის შეუღლებულია ამიტომაც z = a + bi და z = a ndash bi რიცხვებსურთიერთშეუღლებული კომპლექსური რიცხვები ეწოდებათ ურთიერთშეუღლებულირიცხვების ნამდვილი ნაწილები ტოლია წარმოსახვითი ნაწილები კი მოპირდაპირეებიამოპირდაპირე შეუღლებული რიცხვების ნამრავლი ნამდვილი რიცხვია

zmiddotz = (a + bi)middot(a ndash bi) = a2 ndash abi + abi ndash (bi)2 = a2 + b2კერძო შემთხვევაში ნამდვილი რიცხვის შეუღლებული თვით ამ რიცხვის წარმოსახვითირიცხვის შეუღლებული კი მისი (ndash1)-ზე ნამრავლის ტოლიათითოეულ z = a + bi კომპლექსურ რიცხვს ndashz მოპირდაპირე რიცხვი გააჩნია და ndashz = ndasha ndash biნებისმიერ 0-საგან განსხვავებულ z = a + bi კომპლექსურ რიცხვს შებრუნებული რიცხვი აქვს

1z

1a + bi

a ndash bi(a + bi)(a ndash bi)

a ndash bia2 + b2

aa2 + b2

ba2 + b2= = = = ndash i

მრიცხველი და მნიშვნელი მრავლდება (a ndash bi)-ზე

კომპლექსური რიცხვების გამოკლება და გაყოფა ქვემოთ მოცემული ტოლობებით სრულდებაz ndash w = z + (ndashw)zw

1w= z middot (w 0)

კომპლექსური რიცხვების განაყოფის მოძებნისათვის ხელსაყრელია მრიცხველისა დამნიშვნელის გამრავლება მნიშვნელის შეუღლებულ რიცხვზე

nimuSi იპოვეთ z1 = 3 + 2i და z2 = 2 ndash i რიცხვების სხვაობა და განაყოფიamoxsna z1 ndash z2 = (3 + 2i) ndash (2 ndash i) = 1 + 3i

z1

z2= = = = = =

= + i = 08 + 14i

3 + 2i2 ndash i

(3 + 2i)middot(2 + i)(2 ndash i)middot(2 + i)

6 + 3i + 4i + 2i2

4 ndash i26 + 7i ndash 2

54 + 7i

545

75

a + bi და c + di კომპლექსური რიცხვების ნამრავლი ეწოდება ac ndash bd + (ad + bc)iკომპლექსურ ანუ

(a + bi)middot(c + di) = ac ndash bd + (ad + bc)i

275


(z plusmn w)2 = z2 plusmn 2zw + w2

(z + w)(z ndash w) = z2 ndash w2 და სხვ

saswavlo davalebebi

1

3

4

5

6

7

8

2

იპოვეთ

ა) i12 ბ) i15 გ) i21 დ) i82 ე) i101

იპოვეთ მოცემული რიცხვების ჯამი სხვაობა ნამრვალი და განაყოფი

ა) z1 = 3 + 2i z2 = 1 + i ბ) z1 = 5 + 2i z2 = 3 + i

ა) z1 = 5 + xi z2 = y + 4i ბ) z1 = (x + y) + i z2 = 5 ndash (x ndash y)i

x-ისა და y-ის რომელი ნამდვილი მნიშვნელობებისათვის მართებულია ტოლობა

ა) (x + y) + 2i = 3 ndash (x ndash y)i ბ) 4 + xyi = x + y +3i

x-ისა და y-ის რომელი მნიშვნელობებისათვის იქნება მოცემული რიცხვები შეუღ-ლებული რიცხვები

შეასრულეთ მოქმედებები

ა) (3 + 4i) + (4 ndash 3i) ბ) (5 + 4i) ndash (3 + 2i)გ) (2 + 3i)middot(3 + 2i) დ) (4 ndash i)middot(4 + i)ე) (i + 1)2 ვ) (2 + i)2

ზ) (1 + i)2middot(3 ndash i) თ) (2 + i)2middot(2 ndash i)2

ი) (i + 1)8 კ) (i8 + i5)middot(i + 1)

დაშალეთ მამრავლებად

ა) m2 + 4 ბ) y2 + 9 გ) 4x2 + 1


ა) + ბ) ndash2 + i2 ndash i

2 ndash i2 + i

1 + i1 ndash i

1 ndash i1 + i


ა) x2 + 4 = 0 ბ) x2 + 3 = 0 გ) x2 + 16 = 0

ა) z = 3 + 4i ბ) z = გ) z = (2 + i)2

ნამდვილ რიცხვებზე წარმოებული გამოთვლითი მოქმედებების ძირითადი თვისებებიმართებულია კომპლექსური რიცხვებისათვისაც შედეგად ვიღებთ რომ ნებისმიერი ალ-გებრული იგივეობა კომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლეშიც მართებულია მაგალითად როცა z და w კომპლექსური რიცხვებია

nimuSi ა) m2 + 4 =m2 ndash 4middoti2 = m2 ndash (2i)2 = (m ndash 2i)middot(m + 2i)

9 იპოვეთ მოცემული რიცხვების შეუღლებული რიცხვები2

1 ndash i

276


რიცხვს რომლის კვადრატიც z - ის ტოლია z კომპლექსური რიცხვიდან კვადრატულიფესვი ეწოდება და radicz სახით აღინიშნება

nimuSi იპოვეთ კვადრატული ფესვი 3 ndash 4i კომპლექსური რიცხვიდანamoxsna დავუშვათ radic3 ndash 4i = x + yi ტოლობის ორივე მხარე ავიყვანოთ კვადრატში

3 ndash 4i = (x + yi)2

3 ndash 4i = x2 ndash y2 + 2xyiნამდვილი და წარმოსახვითი ნაწილების ტოლობიდან მივიღებთ

x2 ndash y2 = 3xy = ndash2

საიდანაც (2 ndash1) და (ndash2 1) ამონახსნებს მივიღებთ მაშასადამე radic3 ndash 4i = plusmn(2 ndash i)SeniSvna ნამდვილი რიცხვებისაგან განსხვავებით კომპლექსური რიცხვიდან კვადრა-ტული ფესვის წარმოთქმისას ნიშნით განსხვავებული ორივე მნიშვნელობა მოიაზრებაკომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლეში az2 + bz + c = 0 (a 0) კვადრატული განტოლებისფესვები როგორც ნამდვილ რიცხვებში იგივე ფორმულით გამოითვლება

z = ndashb plusmn radicb2 ndash 4ac2a

nimuSi ამოხსენით განტოლება x2 + 4x + 5 = 0amoxsna

x = = = = = ndash2 plusmn indash4 plusmn radic42 ndash 4middot1middot52middot1

ndash4 plusmn radicndash42

ndash4 plusmn radic4middoti2

2ndash4 plusmn 2i

2x1 = ndash2 + i x2 = ndash2 ndash i

ადვილად შეიძლება იმის შემოწმება რომ ვიეტის თეორემა ძალაში რჩება და კოეფიციენტებინამდვილი რიცხვების მქონე კვადრატული განტოლების კომპლექსური ფესვები ურთი-ერთშეუღლებული რიცხვებია

saswavlo davalebebi

1

3

2

იპოვეთ

ა) radicndash25 ბ) radic3 + 4i გ) radic8 + 6i დ) radic4 ndash 3i


იპოვეთ კომპლექსური რიცხვი რომელიც შეუღლებულის კვადრატის ტოლია (z R)

ა) x2 ndash 4x + 5 = 0 ბ) x2 ndash 6x + 13 = 0გ) x2 + 8x + 41 = 0 დ) x2 ndash 2x + 3 = 0

4 რომელი რიცხვის კვადრატია i-ს ტოლი

kompleqsuri ricxvis kvadratuli fesvebi

z = a + bi კომპლექსური რიცხვის გეომეტრიულად ნაჩვენები M(a b) წერტილისსათავის კოორდინატთა სათავეში მდებარე OM = a b ვექტორის ბოლოს სახითაცშეიძლება განვიხილოთ

277

kompleqsuri ricxvis geometriuli gamosaxva

z = a + bi კომპლექსური რიცხვი (a b) ნამდვილი რიცხვების წყვილის საშუალებით მოი-ცემა და ეს რიცხვების წყვილი საკოორდინატო სიბრტყეზე განსაზღვრულ წერტილს შეესაბამებაz = a + bi როცხვს A(a b) წერტილი შევუსაბამოთ და A(z) სახით ავღნიშნოთსაკოორდინატო სიბრტყის თითოეული წერტილი ერთ კომპლექსურ რიცხვს გამოსახავსდა პირიქით თითოეული კომპლექსური რიცხვი საკოორდინატო სიბრტყეზე ერთწერტილს შეესაბამებანამდვილი რიცხვების შესაბამისი წერტილები აბსცისთა ღერძზე წმინდა წარმოსახვითირიცხვების შესაბამისი წერტილები ორდინატთა ღერძზე მდებარეობს ამიტომაც აბსცისთაღერძს ნამდვილი ღერძი ორდინატთა ღერძს წარმოსახვითი ღერძი საკოორდინატოსიბრტყეს კი კომპლექსური სიბრტყე ეწოდება

შეუღლებული კომპლექსური რიცხვების შესაბამისი წერტილები აბცისთა ღერძის მიმართსიმეტრიულად მდებარეობენ

saswavlo davalebebi

1

3

2

კომპლექსურ სიბრტყეზე აღნიშნეთ z1 = 0 z2 = 2 + i z4 = 1 + 3i რიცხვებისშესაბამისი A B D წერტილები იპოვეთ ABCD პარალელოგრამის C წვეროს შესაბამისიz3 რიცხვი

nimuSi y (წარმოსახვითი ღერძი)

ნამდვილი ღერძიx3ndash2

3i2i

3 + 2indash2 + 3i

ააგეთ კომპლექსურ სიბრტყეზე მოცემული რიცხვის შესაბამისი წერტილია) 3 + 2i ბ) ndash2 + i გ) 3i დ) ndash3 ე) 2 ndash i

rarr

საკოორდინატო სიბრტყეზე ავღნიშნოთ z1 = 1 + 2i რიცხვის შესაბამისი A წერტილი

და z2 = 3 + i რიცხვის შესაბამისი B წერტილი იპოვეთ z1 + z2 ჯამი და OA + OBვექტორი შედეგები შეადარეთ

rarr rarr

ასახეთ კომპლექსურ სიბრტყეზე მოცემული პირობის დამაკმაყოფილებელი წერ-ტილების სიმრავლეა) İm z = 2 ბ) Re z = 3 გ) İm z ge 0

4

ndash2i 3 ndash 2i

კერძო შემთხვევებში z = a + bi რიცხვის მოდულისა და არგუმენტისათვის მივიღებთ

თუ b = 0 a gt 0 მაშინ R = a = 0 თუ b = 0 a lt 0 მაშინ R = a =

თუ a = 0 b gt 0 მაშინ R = b = თუ a = 0 b lt 0 მაშინ R = b = 2

32

კომპლექსური რიცხვის შესაბამისი წერტილიდან კოორდინატთა სათავემდე მანძილსკომპლექსური რიცხვის მოდული ეწოდება და z სახით აღინიშნება

z = R = radica2 + b2

მობრუნების კუთხეს რომლის დამამთავრებელი გვერდიც არის OM სხივი z = a + biკომპლექსური რიცხვის არგუმენტი ეწოდება

სიბრტყეზე z = a + bi კომპლექსური რიცხვის შესაბამისიწერტილი არის M(a b) ავღნიშნოთ OM მანძილი R-ით OMსხივით აბსცისთა ღერძის დადებით მიმართულებასთან შექმნილიკუთხე -ით გასაგებია რომ ∆OMA-დან პითაგორას თეორემის თანახმადმივიღებთ

R2 = a2 + b2

საიდანაც R = radica2 + b2

278

kompleqsuri ricxvis moduli da argumenti kompleq-suri ricxvis trigonometriuli saxe

∆OMA- დან cos = sin = tg =

მოცემული z = a + bi რიცხვის მოდული ერთმნიშვნელოვნად განისაზღვრება არ-გუმენტი კი 2 სიზუსტით მოიძებნება ანუ არგუმენტის მნიშვნელობებიდან თუ ერთიარის დანარჩენი მნიშვნელობები + 2k (k Z) სახისააკომპლექსური რიცხვის არგუმენტად როგორც წესი [0 2) შუალედში არსებულ კუთხესავიღებთ

nimuSi 1 იპოვეთ z = radic3 + i კომპლექსური რიცხვის მოდული და არგუმენტიamoxsna რადგან a = radic3 b = 1 ამიტომ

R = radica2 + b2 = radic(radic3)2 + 12 = 2

იმის გათვალისწინებით რომ tg = = და

კუთხე I მეოთხედშია ვპოულობთ =

cos = sin = ფორმულებიდან მივიღებთ

a = R cos b = R sin მაშინ z = a + bi = R cos + imiddotR sin = R(cos + isin )z = a + bi კომპლექსური რიცხვის z = R(cos + isin ) გამოსახულებას მისიტრიგონომეტრიული სახე ეწოდება

y

x

R

A

b

a

M(a b)

0

aR

ba

bR

y

xO radic3

1z = radic3 + i

R = 2

ba

1radic3

6aR

bR


279

მოცემული რიცხვები ასახეთ კომპლექსურ სიბრტყეზე იპოვეთ მოდული და არგუ-მენტი

ა) 6i ბ) ndash2i გ) ndash4i + 4 დ) 3 + 6i

y

x

radic3

ndash1

ndash1+ radic3i

R

nimuSi 2 z = ndash1 + radic3i კომპლექსური რიცხვი დაწერეთ ტრიგონომეტრიული სახითamoxsna

R = radica2 + b2 = radic(ndash1)2 + (radic3)2 = 2

tg = = = ndashradic3ba

radic3ndash1

3

ვინაიდან კუთხე II მეოთხედის კუთხეა

= ndash = 2323

z = ndash1 + radic3i = 2(cos + isin )23

saswavlo davalebebi

2

1

4

3

უჩვენეთ მოცემული კომპლექსური რიცხვის მოდული და არგუმენტია) i ბ) 2i გ) ndash3i დ) ndash2i ე) 1 ვ) ndash2 ზ) 5 თ) ndash3 ი) radic2 + radic2i კ) ndashradic3 ndash i

5

6

დაწერეთ მოცემული კომპლექსური რიცხვი ტრიგონომეტრიული სახითა) radic3 + i ბ) 1 + i გ) 1 ndash radic3i დ) ndashradic3 ndash iდაწერეთ ტრიგონომეტრიული სახით მოცემული კომპლექსური რიცხვი ალგებრულისახით

ა) 4(cos + isin ) ბ) radic2(cos + isin )3

3

4

4

მოცემული რიცხვი დაწერეთ ტრიგონომეტრიული სახით

გეომეტრიული გამოსახულებების მიხედვით დაწერეთ რიცხვები ტრიგონომეტრიულისახით

გ) 4(sin ndash icos )12

12

1 ndash i1 + iა)

ა)

radic3 ndash iradic3 + i

ბ)

ბ) გ)წარმოსახვითი

ღერძიწარმოსახვითი


ღერძი

ნამდვილი ღერძი ნამდვილიღერძი

ნამდვილი ღერძი22

z = 2 2i

z = 3 + 3i3 1

2

246

2 4 62

42

z = i

280

nimuSi თუ z1 = 3(cos + isin )

z2 = 2(cos + isin ) მაშინ

z1middotz2 = 6(cos( + ) + isin( + )) = 6(cos + isin ) = 6middot(0 + imiddot1) = 6i

3

3

6

6

3

6

3

6

2

2

ახლა კი ვიპოვოთ შეფარდება

z1z2

R1(cos 1 + isin 1)R2(cos 2 + isin 2)

R1

R2

(cos 1 + isin 1)middot(cos 2 ndash isin 2)(cos 2 + isin 2)middot(cos 2 ndash isin 2)

cos 1middotcos 2 + sin 1middotsin 2 + imiddot(sin 1middotcos 2 ndash cos 1middotsin 2)cos2 2 ndash (imiddotsin 2)2

= middot(cos(1 ndash 2) + isin(1 ndash 2))

= = middot =

= middot =R1

R2

R1

R2

z1z2

Sefardebis moduli gasayofisa da gamyofis modulebis Sefardebisargumenti ki gamyofisa da ganayofis argumentebis sxvaobis tolia



= (cos( ndash ) + isin( ndash )) = 2(cos + isin ) = 2middot( + imiddot ) =

= radic3 + i

3

3

6

6

3

6

3

6

12

z1z2

42

6

6

radic32

რადგან z = R(cos + isin ) რიცხვის n-ური ნატურალური ხარისხი თითოეული z-ისტოლი n რაოდენობის მამრავლის ნამრავლია

zn = Rn(cos n + isin n)kompleqsuri ricxvis n-uri xarisxidan naturalurmaCvenebliani mod-uli fuZis modulis n-uri xarisxis am xarisxis argumenti ki fuZisargumentis n-is jeradis tolia

moqmedebebi trigonometriuli saxiT mocemul komple-qsur ricxvebze

z1middotz2 = R1(cos 1 + isin 1)middotR2(cos 2 + isin 2) = R1middotR2middot(cos 1middotcos 2 ndash sin 1middotsin2+

+ imiddot(cos 1middotsin 2 + sin 1middotcos 2)) = R1middotR2middot(cos(1 + 2) + imiddotsin(1 + 2))trigonometriuli saxiT mocemuli ori kompleqsuri ricxvis nam-ravlis mosaZebnad am ricxvebis modulebi mravldeba da argu-mentebi ikribeba

nimuSi თუ z = 2(cos + isin ) მაშინ

z4 = 24middot(cos + isin ) = 16(cos + isin ) = 16middot( + middoti ) = 8 + 8radic3i

12

12

412

412

3

3

12

radic32

ვიპოვოთ ტრიგონომეტრიული სახით მოცემული z1 = R1(cos 1 + isin 1) დაz2 = R2(cos 2 + isin2) კომპლექსური რიცხვების ნამრავლი

281

moqmedebebi trigonometriuli saxiT mocemul kompleq-sur ricxvebze


დაწერეთ ტრიგონომეტრიული სახით მოცემული კომპლექსური რიცხვებიალგებრული სახით

შეასრულეთ მოქმედებები შედეგები წარმოადგინეთ ტრიგონომეტრიული სახით

ა) ბ)(1 + i)4

(radic3+i)3

(1+radic3 i)9

(1 ndash i)8

6

7

8

(cos + isin )n = cos n + isin n ფორმულას მუავრის ფორმულა ეწოდება ამფორმულის დახმარებით n-მაგი კუთხის სინუსისა და კოსინუსის ერთმაგი კუთხისსინუსითა და კოსინუსით გამოსახვა შეიძლებამაგალითად როცა n = 2 მივიღებთ

(cos + isin )2 = cos 2 + isin 2საიდანაც

cos2 ndash sin2 + 2isin middotcos = cos 2 + isin 2ორი კომპლექსური რიცხვის ტოლობის პირობის თანახმად მივიღებთ

cos 2 = cos2 ndash sin2 sin 2 = 2 sin middotcos

ანალოგიური წესით დაწერეთ ფორმულები cos 3 sin 3-სათვის

3

4

იპოვეთ ( )6 თუ z1 = cos + i sin და z2 = 1 ndash radic3i z1z2

იპოვეთ (z1middotz2)12 თუ z1 = cos + i sin და z2 = ndash1 + radic3 i 12

8

8

12

saswavlo davalebebi

1 z1 = 1 + radic3i და z2 = 1 + i რიცხვები წარმოადგინეთ ტრიგონომეტრიული სახით იპოვეთა) z1middotz2 ნამრავლი ბ) განაყოფიz1

z2


ა) (1 + radic3i)12 ბ) (1 ndash i)38

ა) 2(cos 120deg + isin 120deg) ბ) 5(cos 135deg + isin 135deg)

გ) 3(cos 330deg + isin 330deg)

[3(cos + isin )][4(cos + isin )]3

6

3

6

[ (cos + isin )][6(cos + isin )]4

6

4

6

32

cos 50deg + isin 50degcos 20deg + isin 20deg5(cos 43 + i sin 43)4(cos 21 + i sin 21)

ა)

ბ)

გ)

დ)

თუ ტრიგონომეტრიული სახით მოცემული ორი რიცხვი ტოლია მათი მოდულები

ტოლია ხოლო არგუმენტები 2k-ით განსხვავდებამაშასადამე n = 0 + 2k =ასე რომ radic1 = cos + i sinსადაც როცა k ge n მიღებული გამოსახულებები k-ს პირველი n მნიშვნელობისას მიღე-ბულ გამოსახულებებთან იგივეა თუ ერთეულის n-ური ხარისხის ფესვებს ავღნიშნავთ 0 1 n ndash 1-ით მივიღებთ

282

n-uri xarisxis fesvi kompleqsuri ricxvidan

k = 0 0 = cos 0 + i sin 0 = 1

k = 1 1 = cos + i sin

k = 2 2 = cos + i sin

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot

k = n ndash 1 n ndash 1 = cos + i sin

2n

2n

4n

4n

2(n ndash 1)n

2(n ndash 1)n

როგორც ხედავთ ერთეულის n-ური ხარისხიდან ფესვების მოდულები 1-ის ტოლია

არგუმენტები ერთმანეთისაგან -ის ჯერადობით განსხვავდება ანუ ეს რიცხვები ცენ-

ტრის კოორდინატთა სათავეში მდებარე ერთეულრადიუსიან წრეწირში ჩახაზული

წესიერი n-კუთხედის წვეროს წერტილების შესაბამისი კომპლექსური რიცხვებია

2n

nimuSi

3

12

radic32

radic1-ის მნიშვნელობები

როცა n = 3 როცა n = 6

6radic1-ის მნიშვნელობები

ndash + i+ i

ndash indash ndash i

ndash11

120ordm

12

radic32

12

radic32

12

radic32

y

x

y

x120ordm

120ordm1

ndash ndash i12

radic32

12

radic32ndash + i

2kn2k

n2kn

n

60ordm60ordm60ordm

60ordm60ordm

60ordm

იპოვეთradic1 გამოსახულების მნიშვნელობები1 = cos 0 + i sin 0 სახით დავწეროთ და მოვძებნოთ n-ური ხარისხიდან ფესვიradiccos 0 + i sin 0 = cos + i sin სახითორივე მხარე ავიყვანოთ n-ურ ხარისხშიcos 0 + i sin 0 = (cos + i sin )n cos 0 + i sin 0 = cos n + i sin nაქედან cos n = cos 0 sin n = sin 0

n

n

283


z კომპლექსური რიცხვიდან n-ური ხარისხის ფესვი ეწოდება ისეთ w რიცხვს რომ wn = zთუ z 0 n-ური ხარისხის ფესვი n რაოდენობის სხვადასხვა მნიშვნელობას იღებს

z = R(cos + isin )w = r(cos + isin ) სახით ჩავწეროთ

რადგან wn = z მივიღებთz = rn(cos n + isin n) = R(cos + isin )

ორი კომპლექსური რიცხვის ტოლობის თანახმად მივიღებთrn = R r = radicRn = + 2k = (k Z)

როცა k gt n მიღებული მნიშვნელობები პირველი n მნიშვნელობებისაგან 2-ით განსხვავდება

ამიტომაც k = (k = 0 1 n ndash 1) უნდა იყოს

n

n n

+ 2kn

+ 2kn

nimuSi იპოვეთ radicndash8 -ის ყველა მნიშვნელობაamoxsna radicndash8 = R(cos + i sin ) ჩავწეროთ ndash8 = R3(cos 3 + i sin 3)

8(cos + i sin ) = R3(cos 3 + i sin 3)აქედან R3 = 8 R = 2

3 = + 2k = (k = 0 1 2) + 2k

3

3

3

როცა k = 0 მაშინ w0 = 2middot(cos + i sin ) = 2( + i) = 1 + radic3iროცა k = 1 მაშინ w1 = 2∙(cos + i sin ) = 2(ndash1 + 0middoti) = ndash2როცა k = 2 მაშინ w2 = 2middot(cos + i sin ) = 2( ndash i) = 1 ndash radic3i

3

3

12

radic32

53

53

12

radic32

2 ერთეულის n-ური ხარისხიდან ფესვების მიხედვით დაწერეთ ქვემოთ მოცემულიგამოსახულებების ყველა მნიშვნელობაა) radic64 ბ) radic64 გ) radic27 დ) radicndash83 6 33

saswavlo davalebebi

3 იპოვეთ გამოსახულების ყველა მნიშვნელობა

ა) radicndash1 ბ) radicndash64 გ) radicndash8i დ) radicndash8 + 8radic3i3 6 46

4ა) z4 ndash 16 = 0 ბ) z3 = 8 გ) z4 + 1 = 0ამოხსენით განტოლებები

5ა) z6 ndash 9z3 + 8 = 0 ბ) z8 ndash 17z4 + 16 = 0


kompleqsuri ricxvidan n-uri xarisxis fesvis formula

+ 2kn

+ 2kn+ isin )radicz = radicR(cos სადაც (k = 0 1 (n ndash 1))

თუ z = R(cos + isin ) მაშინ

1 იპოვეთ გამოსახულების ყველა მნიშვნელობა ა) radic1 ბ) radic16 გ) radic814 4 4

284

7 E = ImiddotZ ფორმულა ელექტრო-საინჟინრო მოწყობილობების მუშაობაში გამოიყენებასადაც E ძაბვას I სიმძლავრეს Z კომპლექსურ კავშირს გამოსახავს თითოეულიცვლადის მნიშვნელობა კომპლექსური რიცხვია მონაცემების მიხედვით იპოვეთცვლადი

დაწერეთ მოთხოვნილი ხარისხის ფესვები

გაამარტივეთ დაწერეთ შედეგი a + bi სახით

დაწერეთ კომპლექსური რიცხვები ტრიგონომეტრიული სახით

კომპლექსური რიცხვები გამოსახეთ გრაფიკულად და დაწერეთ ალგებრული სახით


ა) ndash4radic2(1 ndash i) ბ) 64 i გ) ndash27 დ) 1000

ა) 1 ბ) i გ) 128(ndash1 + i) i

1) კუბური ფესვები

იპოვეთ კომპლექსური რიცხვების კვადრატული ფესვები

2) მე-4 ხარისხის ფესვები

3

2

1

4

5

6

(5 6i) + (3 + 2i) (4 i) (9 + i)(2 + 5i)(4 i)

12

52

(1 2i)(8 3i)

1 + 4i3 + 2i

3 + 2i1 4i

2i5i

3i6i

2 2i2 + 2i

1 + 3i1 3i

3(cos 120 + i sin 120)5(cos 135 + i sin 135)

(cos 300 + i sin 300) (cos 225 + i sin 225)

7(cos 0 + i sin 0)

8(cos + i sin )2

32

14

2

I = 10 + 2i I = 2 + 4iE = 5 + 5i

E = 15 + 12iZ = 25 + 24i

E = 12 + 24iZ = 12 + 20iZ = 4 + 3i

წარმოსახვითი ღერძიწარმოსახვითი ღერძიწარმოსახვითი ღერძინამდვილი

ღერძინამდვილიღერძინამდვილი

ღერძი2

2

z = 2 + 2i z = 4i

2

4

2 6z = 2

34


12

4

12


34

3

34

cos 40deg + isin 40degcos 10deg + isin 10deg2(cos 120deg + isin 120deg)

4(cos 40deg + isin 40deg)


es sainteresoa ჟურნალ ldquoThe Literary Digestrdquo- მა ამერიკის პრეზიდენტისარჩევნების შედეგების წინასწარ პროგნოზირებაში დიდი ავტორიტეტიმოიხვეჭა მათ ბოლო ხუთი პრეზიდენტის არჩევნების შედეგების მცირეცდომილებით არჩევნების წინ პროგნოზირება შეძლეს თუმცა 1936 წელსრესპუბლიკელების კანდიდატის ალფ ლანდონის დემოკრატების კანდიდატფრანკლინ დ რუზველტთან დიდი სხვაობით გამარჯვების პროგნოზირებაშიდიდი შეცდომა დაუშვეს მიზეზი კი ჟურნალის ჩატარებულ გამოკითხვაშირესპოდენტების არასწორი შერჩევა იყო გამოკითხვა ჟურნალის მკითხველებსშორის იყო ჩატარებული შემდგომში ცნობილი გახდა რომ მკითხველებს შორისრესპუბლიკელთა პარტიის წევრები უმრავლესობას შეადგენენ

informaciebi da prognozebi11erToblioba da SerCevaSemTxveviTi SerCeva da saxeebiinformaciis wardgenabinomialuri danaSalibernulis cdebi

286

erToblioba da SerCeva SemTxveviTi SerCeva da saxeebi

სტატისტიკისა და ალბათობის შესახებ ძირითადი ცნებები თანამედროვე სამყაროშიმიმდინარე პროცესების უფრო უკეთესად აღქმაში გვეხმარება ორივე სფეროშიგამოკვლევა ობიექტის მომცველ ერთობლიობასა და ერთობლიობაში შემავალიშერჩეული ნიმუშს ან მოკლედ შერჩევად წოდებულ წვრილ ჯგუფებს ეფუძნებასტატისტიკაში შერჩეულ ნიმუშზე ჩატარებული გამოკვლევის მიხედვით გამოითქმებამოსაზრება ერთობლიობის შესახებ

ერთობლიობა შერჩეული ნიმუში(შერჩევა)

სტატისტიკა

ნიმუში

სტატისტიკური გამოკითხვების ჩატარებისას ნიმუშები როგორც წესი შემთხვევითიშერჩევის წესით ფორმირდება ამ შემთხვევაში ერთობლიობაში შემავალი თითოეულინიმუშის შერჩევის შანსი ტოლია შემთხვევითი შერჩევის ტექნიკაც სხვადასხვაა

bull მარტივი შემთხვევითი შერჩევაbull სისტემატიზირებული შემთხვევითი შერჩევა

bull კლასტერული შემთხვევითი შერჩევაbull ფენოვანი შემთხვევითი შერჩევა

sistematizirebuli SerCevisas თუ k-იანი შერჩევა არის გათვალისწი-

ნებული ერთობლიობიდან ყოველი მე- [ ] ელემენტი გამოიყენება 100k

martivi SemTxveviTi SerCevis დროს n ელემენტიანი შერჩევისას თითო-ეული ელემენტის შერჩევის შანსი ერთი და იგივეა

sistematizirebuli SerCeva დავუშვათ მსხვილი სავაჭრო ცენტრის ხელმძღვა-ნელობას სურს მოიპოვოს ინფორმაცია იმის შესახებ თუ დაახლოებით რამდენ ხანს რჩებასავაჭროდ შემოსული მყიდველი სავაჭრო ცენტრში გარკვეული იქნა რომ დღისგანმავლობაში ცენტრში შემოდის დაახლოებით 2000 მყიდველი და მათი 5 (100 კაცი)ნიმუშად შერჩევის შესახებ მიღებული იქნა გადაწყვეტილება ამ პიროვნებების როგორიშერჩევა იქნება უფრო სამართლიანი ამ პიროვნებების შერჩევა დღის განმავლობაშიცენტრში მოსულების ყოველი 20 პიროვნებიდან ერთის მოსაზრების გამოკითხვითშეიძლება ჩატარდეს მაგალითად პირველი 20 მყიდველიდან მე-16 პიროვნებისგამოკითხვა შემდეგ 36-ე 56-ე და აშ პიროვნებები გამოიკითხება ამნაირ შერჩევასსისტემატიზირებული შერჩევა ეწოდება

martivi SemTxveviTi SerCeva დავუშვათ რომ კლასში 3-მოსწავლიანი ჯგუფისშექმნაა საჭირო ამისათვის ყველა მოსწავლის სახელდაწერებული ბარათები ჩაიყრებაყუთში და შემთხვევით სამი მათგანის სახელი ამოდის ამ შემთხვევაში ყველა სამეულისჯგუფების შერჩევის შანსები ტოლია

fenovani SerCeva დავუშვათ რომ სკოლაში მაღალი კლასის მოსწავლეებს შორისიგეგმება გამოკითხვა ldquoგაკვეთილების შემდეგ სკოლის ბიბლიოთეკაში დარჩენისა დამხატვრული ლიტერატურის წაკითხვის სურვილი გექნებოდათrdquo ამ კითხვით სკოლისეზოში შემთხვევით შერჩეული მოსწავლეებს შორის გამოკითხვის ჩატარება არ არისმიზანშეწონილი ამ დროს ეს მოსწავლეები შეიძლება ერთი და იგივე კლასელები იყვნენდა აშ გამოკითხვა თითოეული ასაკობრივი ჯგუფიდან შემთხვევით შერჩეულ მოს-წავლეებს შორის უნდა ჩატარდეს ამნაირი შემთხვევით შერჩევას ფენოვანი (ჯგუფური)შერჩევა ეწოდება თუ სკოლის ამ კლასებში 1265 მოსწავლეა მათ შორის 385 მე-8კლასელია 350 მოსწავლე მე-9 280 მოსწავლე მე-10 250 მოსწავლე მე-11 კლასელი და 10შემთხვევით შერჩეული მოსწავლის მოსაზრება შეისწავლება თითოეული კლასიდანშემთხვევითი შერჩევით 10-ის მოსაზრება უნდა იქნას შესწავლილი ამიტომ მიზან-შეწონილია 39 მე-8 35 მე-9 28 მე-10 და 25 მე-11 კლასის მოსწავლე შერჩეული იქნასშემთხვევითი შერჩევის წესით

ზოგჯერ გამოკვლევისათვის შეუძლებელია შემთხვევითი შერჩევა მოხდენა მაგალითადდიეტოლოგმა რაიმე დეტალისათვის მენიუ შემთხვევით არ უნდა შეარჩიოს ისინი შერ-ჩევას ახდენენ ნებაყოფლობით მსურველთა შორის

ფენოვანი შერჩევისას ჯერ ერთობლიობა იყოფა ფენებად შემდეგ თითოეულიფენიდან ხდება შემთხვევითი შერჩევა

swori SerCeva da mcdari SerCeva

გამოკითხვის მწარმოებელ ორგანიზაციებს არ გააჩნიათ არც ფინანსური და არც ტექნიკურიშესაძლებლობები იმისა რომ გამოსაკვლევ თემასთან დაკავშირებით ყველა ამ თემასთანდაკავშირებული პიროვნების მოსაზრება შეისწავლოს ამიტომ ისინი მცირე ჯგუფებისმოსაზრებების შესწავლით კმაყოფილდებიან ჩატარებულ გამოკითხვაში ამ ჯგუფებისსწორად განსაზღვრის მნიშვნელობა დიდია მაგალითად სპორტულ კომპლექსში მოსულიპიროვნებების მიხედვით იმის განსაზღვრა თუ მთელი ქალაქის მოსახლეობა კვირაშირამდენჯერ არის დაკავებული სპორტით შეუძლებელია ან კიდევ რომელიმე პიროვნებისპარლამენტში დეპუტატად არჩევის შესახებ მის სამუშაო კოლექტივში ან საცხოვრებელტერიტორიაზე გამოკვლევის ჩატარებით მცდარ პროგნოზს მივიღებთ

287


კლასტერული შერჩევისას ერთობლიობა შედგება კლასტერებისაგან კლასტერებიდანხდება შემთხვევითი შერჩევა და შერჩეული კლასტერის ყველა ელემენტი გამოკვლევა

klasteruli SerCeva დეტალების 1000 ყუთიდან თითოეულში 15 დეტალიასაჭიროა ინფორმაციის მიწოდება მათი ხარისხიანობის შესახებ მიღებულ იქნაგადაწყვეტილება რომ ამ მიზნით შემოწმდეს 300 დეტალი (5) ყველა ყუთის გახსნა ამდეტალების არევა და შემთხვევითი 300 დეტალის შერჩევა დიდ დროსა და დანახარჯსმოითხოვს შეიძლება 1000 ყუთიდან შემთხვევითი შერჩევით შეირჩეს 20 ამ ყუთებშიარსებული დეტალები შემოწმდეს და გამოითქვას მოსაზრება ყველა დეტალის შესახებ აქთითოეული ყუთი ერთი კლასტერია ასეთი სახის შერჩევას კლასტერული შერჩევაეწოდება თითოეულ კლასტერში შემავალი ყველა ელემენტი უნდა შემოწმდეს

288


ქვემოთ მოცემულებიდან რომელია სწორი შერჩევა

ა) კლასში მორიგის შერჩევისათვის მოსწავლეების სახელები ქაღალდზე დაიწერაყუთში ჩაიყარა და ხუთი სახელი ყუთიდან ამოღებულ იქნა

ბ) მე-10ა კლასის მოსწავლეების მშობლებს შორის ჩატარებული გამოკითხვის მიხედვითშეირჩა სკოლის ფორმის ფერი და მოდელი

გ) ქალაქის სატელეფონო ნომრების წიგნაკში ყოველი თხუთმეტიდან ერთისათვისდარეკვით შესწავლილ იქნა რომელი კანდიდატისათვის იქნება ხმა მიცემული

2

3 სწორი და არასწორი შერჩევის სიტუაციების შესახებ ერთი ნიმუშიც თქვენ დაწერეთ

მოცემულ ინფორმაციებში განსაზღვრეთ ერთობლიობა და შერჩევა

ა) იმის შესახებ თუ ქალაქის მერის თანამდებობაზე არჩევნებში 3 კანდიდატიდანრომელს აირჩევენ შესწავლილი იქნა 2000 პირის მოსაზრება

ბ) 300 კგ თეთრი ფქვილისა და 50 კგ შავი ფქვილის არევის შემდეგ პურს აცხობენ 1 კგფქვილისაგან 3 პური ცხვება 70 პურიდან ნიმუშია აღებული

გ) ფერმერმა 4 აუზში მოთავსებული ქორჭილა თევზის მასის მატების შემოწმებისათვისთითოეული აუზიდან 30 თევზის მასა შეამოწმა

დ) გამყიდველმა მაღაზიაში შემოსული ყოველი 10 მყიდველიდან ერთზე გათვლით 40მყიდველს ახალი ყველის გემოს გასინჯვა შესთავაზა

ე) ექიმი დიეტოლოგი 70 წელზე მეტი ასაკის 12 ქალბატონის ნებაყოფლობით ორიკვირის განმავლობაში ყოველ დილით მის კლინიკაში მოსვლასა და ბოჭკოებითმდიდარი ბუტერბროდების მირთმევას სთხოვს

1

განსაზღვრეთ თითოეულ სიტუაციაში რომელი შემთხვევითი შერჩევის ტექნიკა იქნაგამოყენებული

ა) საჰაერო საგზაო კომპანიამ თვითმფრინავში ამოსული ყოველი 5 მგზავრიდან ერთსსაჩუქარი გადასცა

ბ) სკოლაში შემთხვევით შერჩეული 5 სხვადასხვა კლასიდან შემთხვევით შერჩეული20 მოსწავლე სკოლაში მათემატიკის სწავლების დონის შემოწმებისათვის შეირჩა

გ) ავიაკომპანიამ მომსახურების დონის შემოწმებისათვის შემთხვევით შერჩეული 5რეისის მგზავრების მოსაზრება შეისწავლა

დ) გამოკვლევის დროს შემთხვევით შერჩეული 5 მამაკაცისა და 5 ქალის გადა-წყვეტილება გამოიკითხა

ე) დიეტოლოგებმა აცნობეს რომ 30-40 40-50 50-60 წლოვანთა თითოეული ჯგუფიდანარანაკლებ 15 პიროვნებაზე დაკვირვების წარმოების შემდეგ იქნება შესაძლებელიდაბალგლუკოზიანი შემადგენლობის ახალი დიეტების შესახებ მოსაზრების გამოთქმა

4

289


სკოლის ხელმძღვანელობა მოსწავლეების მეთემა-ტიკასა და საბუნებისმეტყველო საგნების ნიშნებსშორის კავშირის გამოკვლევას გეგმავს სკოლის 800მოსწავლიდან 350-მა მონაწილეობა მიიღო როგორცმათემატიკის ისე საბუნებისმეტყველო საგნებშიჩატარებულ შეფასებებში მათგან შემთხვევითიშერჩევით 70 პირის სპეციალურ შეფასებაზე მოწვევაიგეგმება

ა) ცხრილში მოცემული ინფორმაციის მიხედვით განსაზღვრეთ შემთხვევითი შერჩევითრომელი კლასიდან რამდენი მოსწავლის შერჩევა არის მიზანშეწონილი

ბ) რომელი შერჩევის ტექნიკა არის აქ გამოყენებულია

ჯგუფების შექმნისათვის 1-დან 5-მდე ციფრებდაწერილი ბარათები ერთი პიროვნე-ბის მიერ სპორტსმენებზე იქნა გადაცემული ერთი და იგივე ციფრების მიმღებისპორტსმენები ერთ ჯგუფში გაერთიანდნენ ეს შერჩევა შემთხვევითი შერჩევააშერჩევის სამართლიანობაში დარწმუნება შეიძლება უფრო გამჭვირვალე რომყოფილიყო თქვენ როგორ მოახდენდით შერჩევის ორგანიზებას

კომპანია ldquoMicro Tikrdquo ყოველთვიურად 14500 კომპიუტერის პროცესორს ამზადებს ამთვეში წარმოებული პროცესორებიდან შემთხვევით შერჩეული 2000 ცალიდან 8-შიწუნი გამოვლინდა ა) განსაზღვრეთ ამ შემთხვევაში ერთობლიობისა და შერჩევის საზომიბ) მოცემული ინფორმაციის თანახმად ამ თვეში წარმოებული პროცესორებიდანრამდენზე შეიძლება ითქვას რომ იყო წუნიანი

იმისათვის რომ ჩატარებულიყო გამოკითხვა თემაზე ldquoსაიდან იღებთ ახალ ამბებსrdquoშემთხვევითი შერჩევით რესპუბლიკის 5 რაიონი თითოეული რაიონიდან 5 სოფელიდა თითოეული სოფლიდან 20 ოჯახი შეირჩა განსაზღვრეთ ერთობლიობა და შერჩევარომელი შერჩევის ტექნიკას მიეკუთვნება ეს

კლასები მოსწავლეებისრაოდენობა

მე-8 კლასი 90მე-9 კლასი 100


x70

90350 =

miTiTeba თითოეული კლასიდან შერჩევის რაოდენობა საერთო რაოდენობის პრო-

პორციული უნდა იყოს მე-8 კლასის წარმომადგენელთა რაოდენობა

6

7

8

9

5 სახლების გაყიდვების მენეჯერი ერთ ქუჩაზე 10 სახლის ახალი ფასდაკლების კამპანიისშესახებ ინფორმაციის გავრცელებას გეგმავს ქუჩაზე 100 სახლია მენეჯერმა ჯერ 1 და10 ნომერი სახლები აღნიშნა და ერთ-ერთ მათგანში დარეკა მაგალითად მე-8 შემდეგყოველ მე-10 სახლში დარეკა ანუ მე-18 28-ე და აშ

ა) შერჩევის რომელ ტექნიკას მიეკუთვნება მენეჯერის ამგვარი შერჩევა

ბ) ყველა სახლის შერჩევის შანსი ერთნაირია

გ) რით განსხვავდება ეს ტექნიკა მარტივი შერჩევის ტექნიკისაგან

290

informaciis wardgena

სტატისტიკური ინფორმაციები რაოდენობრივი დახარისხობრივი ხასიათის მიხედვით ორ ჯგუფადიყოფა რაოდენობრივი ტიპის ინფორმაციები რიცხ-ვითი მნიშვნელობებით გამოისახება მაგალითადldquoრამდენი საათია სპორტით დაკავებულიrdquo ldquoრისიტოლია სიმაღლეებიrdquo და სხვა ხარისხობრივიტიპის ინფორმაციები კი კატეგორიებად იყოფა ამინფორმაციებს კატეგორიალური ინფორმაციებიც ეწოდება მაგალითად ldquoპარტიებისდასახელებაrdquo ldquoთვალების ფერიrdquo ldquoავტომობილის მარკაrdquo და აშ

ინფორმაციების წარმოდგენისათვის მნიშვნელოვანია შესაბამისი გრაფიკული ფორმისშერჩევა ამიტომაც კატეგორიალური და რიცხვითი ინფორმაციების წარმოდგენისათვისშესაბამისი გრაფიკული ფორმის შერჩევა უნდა მოხდეს

ინფორმაცია

ხარისხობრივი(კატეგორიალური)

რაოდენობრივი

დისკრეტული უწყვეტი

რაოდენობრივი ტიპის ინფორმაციები - რიცხვითი ინფორმაციები თავის მხრივ იყოფაორ სახედ ა) დისკრეტული წყვეტილი რიცხვითი ინფორმაციები ბ) უწყვეტი რიცხ-ვითი ინფორმაციებიდისკრეტული რიცხვითი ინფორმაციების დათვლით განსაზღვრული ინფორმაციებიმიეკუთვნება მაგალითად ავტობუსში მგზავრების რაოდენობა 1 2 3 და აშ მნიშ-ვნელობას იძენს

უწყვეტი რიცხვითი ინფორმაციები განსაზღვრულ დიაპაზონში ცვლად მნიშვნელობებსიძენენ როგორც წესი გაზომვის შედეგად წარმოიქმნებიან მაგალითად ახალშობილთასიმაღლე მასა და სხვა

kategorialuri informaciisaTvis mizanSewonili wardgenis formebi

nimuSi 1 200 მოსწავლეს შორის ჩატარდა გამოკითხვა იმის შესახებ თუ სპორტისრომელი სახეობა უფრო მეტად უყვართ ვინაიდან გამოკვლევა ეხება სპორტის სახეებსინფორმაცია კატეგორიალურია სკოლაში არსებობს ცნობილ სახელიანი სპორტულისექციები კატეგორიალური ინფორმაციის წარდგენისათვის ხელსაყრელი ფორმა შეიძ-ლება იყოს სიხშირის ცხრილი ბარგრაფი წრიული გრაფიკი

სპორტის სახეობა სიხშირე

ჭიდაობა 57კრივი 43

ფეხბურთი 41კალათბურთი 21

კარატე 38ჯამი 200ჭიდ

ჭიდაობა

ჭიდაობაკრივი კრივი

ფეხბურთიფეხბურთი

კალათბურთი


კარატე

კარატე

კრივი ფეხბ კალათბ კარატე

wriuli diagramasegmenturi bargrafi

bargrafi

sixSiris cxrili

raodenoba

განისაზღვრება თითოეულკატეგორიაში მყოფი საერ-თოს (ერთეულად მიჩნე-ულის) რა ნაწილს შეად-გენს ერთეული ამ ნაწი-ლებად-სეგმენტებად იყოფა

605040302010

0

291


1) დაწერეთ კატეგორიალურად მიჩნეული ინფორმაციის შესაბამისი სამი კატეგორიისსახელი2) ივარაუდეთ და დაწერეთ რიცხვითი ინფორმაციები რომელ ინტერვალში შეიძლებაიყოსა) გაყიდული ავტომობილების რაოდენობა ფერების მიხედვითბ) დღის განმავლობაში მზიანი საათების რაოდენობაგ) ავადმყოფობის გამო გაცდენილი სასწავლო დღეების რაოდენობად) საშინაო დავალების შესრულებაზე დახარჯული დრო (საათობით)ე) ერთი ადამიანის მიერ დღის განმავლობაში მიღებული სითხის რაოდენობა

24 ადამიანს შორის ჩატარდა გამოკითხვა შეკითხვით ldquoრომელი ფერი უფრო მეტადმოგწონთrdquo 6-მა წითელი 8-მ შავი 4-მა თეთრი დანარჩენებმა სხვა ფერები დაასახელესმოცემული ინფორმაცია რიცხვითი ინფორმაციაა თუ კატეგორიალური წარმოადგინეთინფორმაცია სიხშირის ცხრილში (ფარდობითი სიხშირის ჩვენებით) წრიულიდიაგრამით და ბარგრაფით

საგანგებო შემთხვევათა სამი-ნისტრომ გამოაქვეყნა ინფორ-მაცია იმის შესახებ თუ ერთიწლის განმავლობაში რომელიმიზეზების გამო მოხდა ხან-ძარი ინფორმაციები მარჯვნივცხრილშია ასახული ცხრილისმიხედვით ააგეთ წრიული დი-აგრამა და სეგმენტიანი ბარ-გრაფიწარმოადგინეთ რომ თქვენ სკოლაში მოსწავლეებსშორის ატარებთ გამოკითხვას შემდეგი კითხვითldquoკომპანიის ლოგოსათვის მოცემული ფორმებიდანრომელს შეარჩევდითrdquo

ა) რომელი ხერხით ჩაატარებდით გამოკითხვას დაწერეთ

ბ) ერთობლიობად რომელ კლასებს შეარჩევდით

გ) ერთობლიობიდან შერჩევას რომელი ხერხით განახორციელებდით

დ) წინასწარ ივარაუდეთ რომელი ფორმის ლოგოს შერჩევა მოხდება ემთხვევა თუ არაგამოკითხვის შედეგები თქვენს ვარაუდს

ე) ინფორმაციის რომელი გრაფიკული ფორმით წარდგენა არის ხელსაყრელი პირობაინფორმაციებით გამოსახეთ და წარმოადგინეთ

უმეთვლაყურეო მცირეწლოვანი ბავშვები 6მიზეზი რაოდენობა

რომელი ინფორმაციები არის დისკრეტული და რომელი უწყვეტი რიცხვითი ინ-ფორმაციებია) ტემპერატურის ცვლილება ივლისის თვეშიბ) ასანთის კოლოფში ასანთის ჩხირების რაოდენობაგ) მგზავრების მიერ თვითმფრინავის სალონში ატანილი ტვირთის მასად) მატარებლის ვაგონებში მგზავრების რაოდენობაე) ქუჩაში მდგომი შენობების სართულების რაოდენობავ) კომპიუტერთან გატარებული დრო

სიგარეტი 4გაზქურა 10

ელექტროობა 12გაურკვეველი მიზეზები 8

1

2

3

4

5


52 66 75 80 52 48 95 85 84 68 86 82 63 78 75 64 79 81 66 53 76 75 69 65

nimuSi 3 ქვემოთ მოცემულია აზერბაიჯანული ენის საგნის შეფასებაში მოსწავლეებისმოპოვებული ქულები (100 ქულიანი სისტემის მიხედვით)

nimuSi 2 50 ახალგაზრდა ოჯახში ჩატარდა გამოკითხვა იმის შესახებ თუ რამდენიბავშვი ჰყავდათ პასუხები ქვემოთ მოცემულის მსგავსი იყო

ზემოთ აღნიშნული რიცხვები უჩვენებს თითოეულ ოჯახში ბავშვების რაოდენობასგამოკითხვის შედეგები ქვემოთ მოცემული სახით სიხშირეთა ცხრილითა და ბარგრაფითშეიძლება იქნას წარმოდგენილი

0 1 2 1 0 3 1 4 2 0 1 2 1 0 5 1 2 1 0 0 1 2 1 2 10 1 4 1 0 1 2 5 0 4 1 2 3 0 0 1 2 1 3 4 2 3 2 1 0

dajgufebuli diskretuli ricxviTi informaciebi histograma

diskretuli ricxviTi informaciebi შეზღუდული რაოდენობის დისკრე-ტული რიცხვითი ინფორმაციების წარდგენისათვის მიზანშეწონილია ისეთი წარდგენისფორმების გამოყენება როგორიცაა სიხშირის ცხრილი ბარგრაფი ჰისტოგრამა დახისებრ-განტოტვითი

ricxviTi informaciis wardgenis mizanSewonili formebi

რიცხვითი ინფორმაციის ცვლილების დიაპაზონია 48-95 ინფორმაცია თითოეული კლასისზომის 10-ად მიჩნევით 6 კლასად დაჯგუფება შეიძლება 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 ინფორმაციის შესაბამისად სიხშირის ცხრილი და ჰისტოგრამა ქვემოთმოცემული სახის იქნება0

ბავშვე-ბის

რაოდე-ნობა

ოჯახებისრაოდენობა(ჩხირებით)

სიხშირე(ოჯახების

რაოდე-ნობა)

ფარდობითისიხშირე

0 |||| |||| || 12 12 50 = 0241 |||| |||| |||| || 17 17 50 = 0342 |||| |||| | 11 11 50 = 0223 |||| 4 4 50 = 0084 ||| 4 4 50 = 0085 || 2 2 50 = 004 00

5

10

15

20

1 2 3 4 5

ოჯ

ახებ

ის რ

აოდ

ენო

ბა

ბავშვების რაოდენობა

292

ქულები

სიხშ

ირე

azerbaijanuli enis Sefasebaazerbaijanuli enis Sefaseba

76543210 40 50 60 70 80 90 100

კლასები ჩხირი სიხშირე[40 50)[50 60)[60 70)[70 80)[80 90)[90 100)

137661

293


მაღაზიის მენეჯერმა იმის გასარკვევად თუ კვერცხის ყუთებიდან რამდენი დაზიანდადაფასოებისა და მიმოტანის დროს 5 დღის განმავლობაში მაღაზიაში მიღებულიყოველი 1000 ყუთიდან ყოველი 50-ე ყუთი შეამოწმაა) ინფორმაციის მიხედვით განსაზღვრეთ ერთობლიობა და შერჩევაბ) რომელ სახეს მიეკუთვნება მენეჯერის შერჩევის ტექნიკაგ) თუ შემოწმების შედეგად სულ მცირე 5 და მაქსიმუმ 20 ყუთის დაზიანება გა-მოვლინდება მთლიანობაში სავარაუდოდ რამდენი ყუთი კვერცხის დაზიანებაზეფიქრი იქნებოდა მართებულიდ) ამ ინფორმაციის წარდგენისათვის შეარჩიეთ ორი გრაფიკული ფორმა და წარად-გინეთ

კომპიუტერულ თამაშში იუსიფმა ქვემოთ ნაჩვენები ქულები მოაგროვა დააჯგუფეთინფორმაცია კლასებად და ჰისტოგრამით წარმოადგინეთ

ცხრილში მოცემულია ინფორმაცია თანამშრომელთა სამუშაოზე გამოუცხადებელიდღეების რაოდენობის შესახებ ამ ინფორმაციის შესაბამისად ააგეთ ჰისტოგრამა

580 490 520 650 540 600 630 590 390 410 670 480 400 440 560 540430 670 490 720 580 680 590 370 470 540 490 660 500 600 390 540300 350 600 540 510 410 480 560 330 490 540 540 580 540 270 450

1-ზე მეტი 3-ზე ნაკლები (1 - lt 3) 243-ზე მეტი 6-ზე ნაკლები (3 - lt 6) 166-ზე მეტი 9-ზე ნაკლები (6 - lt 9) 129-ზე მეტი 12-ზე ნაკლები (9 - lt 12) 612-ზე მეტი 15-ზე ნაკლები (12 - lt 15) 2ჯამი 60

ქალაქში ქალებს შორის ჩატარდა გამოკითხვა bdquoკვირის განმავლობაში რამდენჯერმიდიხართ სპორტულ დარბაზშიldquo შედეგი ბარგრაფშია მოცემულია) ეს ინფორმაცია უწყვეტი რიცხვითი ინფორმაციაა თუ დისკრეტულიბ) ამ შემთხვევაში განსაზღვრეთ ერთობლიობა და შერჩევა ბარგრაფის მიხედვითიპოვეთ შერჩევის ზომაგ) თუ გამოკითხვაში მონაწილეობდა 92 პირი მათი რამდენი პროცენტი მიდიოდაკვირაში სულ მცირე 2-ჯერ სპორტულ დარბაზშიდ) თუ ქალებს შორის ერთი პიროვნება შეირჩევა რისი ტოლია ალბათობა იმისა რომიგი კვირაში სპორტულ დარბაზში ერთზე მეტჯერ წამსვლელებიდან იქნება

დღეების რაოდენობა

ქალ

ების

რაო

დენ

ობა

6

7

8

9

20

15

10

5

00 1 2 3 4 5

294


xisebr-gantotviTi sqema ამ ფორმის გამოყენება ხელსაყრელია როცა ინფორმაციამცირე მოცულობისაა რიცხვითი ინფორმაციის ხისებრ-განტოტვითი სქემით წარდგენამცირე დროს მოითხოვს და ინფორმაციის განაწილების ფორმის აშკარად დანახვისშესაძლებლობას იძლევა განაწილების ფორმა გარკვეული სტატისტიკური მაჩვენებლების(მოდა მედიანა არითმეტიკული საშუალო უდიდესი სხვაობა და სხვა) ადვილად მოძებნისსაშუალებას იძლევა

ხისებრ-განტოტვითი სქემა ქვემოთ მოცემული ნაბიჯებით აიგება

32 67 81 92 87 72 63 88 96 91 72 63 85 79 7085 64 86 98 100 77 88 81 64 41 78 95 74 97 66

3 24 15 6 3 3 4 4 6 7 7 0 2 2 4 7 8 9 8 1 1 5 5 6 7 8 8 9 1 2 5 6 7 8 10 0

nimuSi 4 ქვემოთ მოცემული ინფორმაცია ასახავს მოსწავლეების შეფასების შედეგებს

1 ხე (ტანი) და ტოტი ერთმანეთისაგან ვერტიკალური და ჰორიზონტალური წრფითგამოიყოფა2 რიცხვითი ინფორმაციის ძირითადი ნაწილი - მაღალ თანრიგში (ან თანრიგებში)ციფრებით ნაჩვენები ინფორმაცია მიიღება როგორც ხე (ტანი) ამ ნიმუშში ხე ათეულებისრაოდენობის მაჩვენებელი რიცხვებია 3 4 5 6 7 8 9 და 10 ტანს შეადგენს და მისთვისგანკუთვნილ ნაწილში იწერება3 მორიგი ციფრი ldquoფოთლებსrdquo შეადგენს ეს რიცხვის ერთეულების თანრიგში მოცემულიციფრებია თითოეული ციფრის გასწვრივ მისი ldquoფოთლებიrdquo მიმდევრობით იწერება

3

24

1

5

6

3 3

4 4

6 7

7

0

2 2

4 7

8 9

8

1

1 5

5 6

7 8

8

9

1 2

5 6

7 8

10

0

ხე ტოტი 3|2 = 32

ხისებრ-განტოტვითი სქემით კომპანიაში თა-ნამშრომელთა ასაკია ნაჩვენები

ა) ინფორმაციის მიხედვით იპოვეთ არით-მეტიკული საშუალო მოდა და მედიანა

ბ) წარმოადგინეთ ინფორმაცია სიხშირისცხრილით

37 33 33 32 29 2828 23 22 22 22 2121 21 20 20 19 1918 18 18 18 16 1514 14 14 12 12 9 6

2 1 3 5 8 83 1 2 2 3 3 5 94 3 5 75 0 2 2 6 1

ხე ტოტი

2 1 = 21 წელი

სატელევიზიო კონკურსის პირობების თანახმად დას-მულ კითხვაზე პირველი ერთი წუთის განმავლობაშიყველაზე ადრე პასუხის გამცემი მოსწავლე წამყვანთანპირისპირ ერთვება პაექრობაში მონაწილეთა კითხვებისპასუხის გაცემაზე დათმობილი დრო (წამობით) მარ-ჯვნივაა მოცემული წარმოადგინეთ ინფორმაცია ხე-ტოტი სქემით

10

11

295


კომპანიაში თანამშრომლებს ტელეფონით სასაუბროდ ეძლევათ უფლება არაუმეტეს 3წუთისა კომპანიაში ერთი დღის განმავლობაში აღნიშნული საუბრების ხანგრძლივობაქვემოთაა მოცემული

uwyveti ricxviTi informaciebis wardgenaუწყვეტი რიცხვითი ინფორმაციების წარდგენის ფორმები დაჯგუფებული დისკრეტულიინფორმაციების წარდგენის ფორმების მსგავსია ზოგჯერ უწყვეტი რიცხვითი ინფორ-მაციები დისკრეტულ რიცხვით ინფორმაციად (ან პირიქით) მიიღება მაშასადამე მათშორის ძნელია ზუსტი საზღვრის დადგენა

nimuSi 5 ჩატარებული გამოკვლევის შედეგად ცნობილი გახდა რომ სპორტულ კლუბშიდაკავებული ახალგაზრდების მასა 40 კგ-დან 90 კგ-მდე მერყეობს დაწვრილებითი ინფორ-მაცია ცხრილითა და ჰისტოგრამითაა მოცემული

სიხშირე

მასა (კგ)

მასის ინტერვალი

სიხშირის ცხრილი ავტომობილების გაჩერებაზე დარჩენის ხანგრძლივობას უჩვენებსცხრილის მიხედვით ააგეთ ჰისტოგრამა

24 02 30 28 15 19 07 10 25 1308 21 30 04 12 30 11 03 07 1803 10 21 30 29 05 14 30 28 1205 10 15 09 18 06 06 07 08 08

ჰისტოგრამა ასახავს ინფორმაციას გაყი-დული ავტომობილების რაოდენობისა დაფასების შესახებ ინფორმაციის მიხედვითააგეთ სიხშირის ცხრილი აღნიშნეთ კლა-სები 15 - lt 18 სახითგაყიდული ავტომობილების საერთო რაო-დენობის რამდენ პროცენტს შეადგენენავტომობილები რომელთა ფასი მეტია 18ათასზე და ნაკლებია 27 ათასზე

12

13

14

40 ndash lt 50 250 ndash lt 60 560 ndash lt 70 1170 ndash lt 80 780 ndash lt 90 1

სიხშირე12

40 50 60 70 80 90

1086420

6-25 26-45 66-8546-65 86-105 106-125 126-145

60 70 90 120 80 50 40

დგომის ხანგრძლი-ვობა (წუთი)


გასაყიდი ფასი (ათას მანეთობით)

ავტ

ომობ

ილებ

ის რ

აოდ

ენობ

ა

40

2023

17 1830

10

15

8 8 4 2

18 21 24 27 30 33 36

ა) წარმოადგინეთ ინფორმაცია ხისებრ-განტოტვითი სქემითბ) წარმოადგინეთ ინფორმაცია ოთხ კლასად შეერთებით სიხშირის ცხრილითა დაჰისტოგრამითგ) მთელი საუბრების რა ნაწილს შეადგენს ერთ წუთზე ნაკლებ ხანს გაგრძელებულისაუბრები

296


ა) რამდენი კილომეტრი გაიარა თითოეულმა პილოტმა

ბ) ცხრილში ნაჩვენებია შეჯიბრის გამარ-ჯვებულის მთლიან გზაზე დათმობილიდრო ასევე მე-2 და მე-3 ადგილებზე გასულიპილოტების მიერ ჩემპიონთან შედარებითრამდენი წამით მეტი დროა დახარჯულიგამოთვალეთ თითოეული პილოტის მიერშეჯიბრის გზაზე დახარჯული დრო დაცხრილი ხელახლა ჩაიხაზეთ რვეულში

გ) კალკულატორის დახმარებით გამოთვალეთ თითოეული პილოტის საშუალოსიჩქარე

დ) ბაქოში ფორმულა 1-ის შეჯიბრი მეორედ ჩატარდა 2017 წელს შეადგინეთ პირველისამი ადგილის დამკავებელი პილოტების შედეგების ამსახველი ცხრილი

ე) ააგეთ ბარგრაფი 2016 და 2017 წლების შედეგების შესაბამისად პილოტების მო-პოვებული ქულების მიხედვით

ვ) მოამზადეთ ბაქოში ჩატარებული გრან პრი ფორმულა 1-ის შესახებ ინფორმაციისსურათებით ამსახველი წარდგენა შეეცადეთ შეაგროვოთ უფრო მეტი ინფორმაციაგუნდების შეჯიბრის ავტომობილებისა და პილოტების შესახებ

პოზიცია პილოტი გუნდი პერიოდები დრო ქულა

1 6 ნიკო როსბერგი მერსედესი 51 13252366 25

2 5 სებასტიან ფეტელი ფერარი 51 +16696 წმ 18

3 11 სერხიო პერუსა ფორჯე ინდოეთი 51 +25241 წმ 15


ბაქოში 2016 წლის ივნისში ჩატარდაშეჯიბრი ევროპის გრან პრი ფორმულა1 შეჯიბრის ტრეკი (ერთი ბრუნის სიგ-რძე) დაახლოებით 6 კმ იყო და ქალაქისროგორც ძველ ისე თანამედროვე ნაწი-ლებზე გადიოდა ეს შეჯიბრი 5 წელიბაქოში ჩატარდება

15

ცხრილში ბაქოში ფორმულა-1 გრან პრის ევროპული შეჯიბრის პირველ სამ ადგილზეგასული სპორტსმენის შედეგებია მოცემული

297

binomialuri danaSaliბინომი ორწევრს ნიშნავს განვიხილოთ ბინომის სხვადასხვა ხარისხები ორი რიცხვისჯამის კვადრატისა და კუბის შლილებში განსაზღვრული კანონზომიერება არსებობს

(a + b)2 = 1a2+2ab+1b2

(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3

a და b ჯამის ხარისხების მიმდევრობის ბინომიალური შლილების მიმდევრობასავითგაგრძელება შეიძლება განვიხილოთ როგორი მიმდევრობით შეიქმნა ეს ვარიანტები

ბინომის ხარისხები ბინომიალური შლილები და წევრების კოეფიციენტები მოვათავსოთცხრილში

როგორც ხედავთ კოეფიციენტების წყობა საინტერესო მათემატიკური თვისებების მქონეპასკალის სამკუთხედს ქმნის

(a + b)4 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b) სახით ჩაწერა შეიძლება

ეს ნამრავლი თითოეული a და b ხუთი მამრავლის ყველა შესაძლო ნამრავლის ჯამისტოლია განვიხილოთ ეს ვარიანტები მიმდევრობით

bull თუ ავიღებთ b წევრის 0 მამრავლს და a წევრის 4 მამრავლს მიიღება a4 წევრი და ამნა-ირი 4C0 ანუ 1 შემთხვევაა შესაძლებელი და ამ წევრის კოეფიციენტი 1-ია

bull თუ ავიღებთ b წევრის 1 მამრავლსა და a წევრის 3 მამრავლს მიიღება a3b წევრი დაამნაირი 4C1 ანუ 4 შემთხვევაა შესაძლებელი და ამ წევრის კოეფიციენტი 4-ია

bull თუ ავიღებთ b წევრის 2 მამრავლსა და a წევრის ორ მამრავლს მიიღება a2b2 წევრი დაამნაირი 4C2 ანუ 6 შემთხვევაა შესაძლებელი და ამ წევრის კოეფიციენტი 6-ია

bull თუ ავიღებთ b წევრის 3 მამრავლსა და a წევრის 1 მამრავლს მიიღება ab3 წევრი დაამნაირი 4C3 ანუ 4 შემთხვევაა შესაძლებელი ამ წევრის კოეფიციენტი 4-ია

bull თუ ავიღებთ b წევრის 4 მამრავლსა და a წევრის 0 მამრავლს მიიღება b4 წევრი დაამნაირი 4C4 ანუ 1 შემთხვევაა შესაძლებელი და ამ წევრის კოეფიციენტი 1-ია

(a + b)0 1 (a + b)1 1a + 1b(a + b)2 1a2 + 2ab + 1b2

(a + b)3 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3

(a + b)4 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 4641 1

11 1

21 1331 1

ბინომი ბინომიალური გამოსახულების შლილი პასკალის სამკუთხედი

ასე რომ პირველი წევრის ხარისხის მაჩვენებელი ბინომის ხარისხის ტოლია ყოველმომდევნო წევრში a-ს მაჩვენებელი ერთი ერთეულით მცირდება მეორე წევრის b-სმაჩვენებელი ერთი ერთეულით იზრდება პირველი და ბოლო წევრის კოეფიციენტი 1-ია

(a + b)0 1 (a + b)1 1C0a + 1C1b(a + b)2 2C0a2 + 2C1ab + 2C2b2

(a + b)3 3C0a3 + 3C1a2y + 3C2ab2 + 3C3b3

(a + b)4 4C0a4 + 4C1a3b + 4C2a2b2 + 4C3ab3 + 4C4b4

(a + b)5 5C0a5 + 5C1a4b + 5C2a3b2 + 5C3a2b3 + 5C4ab4 + 5C5b5

298

binomialuri danaSali

შევამოწმოთ რომ 5C2 ნამდვილად პასკალის სამკუთხედის მე-5 სტრიქონის შესაბამისიელემენტია

5C2 = = = = 105P2

25

325 4 3 23 2 2

1 0C0

1 1 1C0 1C1

1 2 1 2C0 2C1 2C2

1 3 3 1 3C0 3C1 3C2 3C3

1 4 6 4 1 4C0 4C1 4C2 4C3 4C4

1 5 10 10 5 1 5C0 5C1 5C2 5C3 5C4 5C5

paskalis samkuTxedi paskalis samkuTxedi kombinizonebiT

paskalis samkuTxedi პასკალის სამკუთხედი მისი შემოქმედისXVI საუკუნეში მცხოვრები დიდი ფრანგი მათემატიკოსის ფიზი-კოსისა და ფილოსოფოსის ბლეზ პასკალის პატივსაცემად ეწოდაპასკალის სამკუთხედის წვეროს წერტილებში 1-იანი სწერიასამკუთხედის შემადგენელი ყველა სტრიქონი ერთით იწყება დაერთით მთავრდება ყოველ მომდევნო სტრიქონში თითოეულირიცხვი წინა სტრიქონში ორი მეზობელი რიცხვის ჯამის ტოლია

ყოველ მომდევნო სტრიქონში რიცხვების რაოდენობა მის წინამდებარეზე ერთით მეტია

11 1

21 1331 1

46411

1510105 1

n = 0n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5

ბინომის შლილში წევრების კოეფიციენტები მიმდევრობით პასკალის სამკუთხედისშესაბამის სტრიქონში არსებული რიცხვებია მარცხნიდან მარჯვნივ 1-ლი წევრის ხარისხი (a-ს) ბინომის ხარისხის ტოლია ყოველ მომდევნო წევრში ერთი ერთეულით მცირდება მეორეწევრის (b-ს) ხარისხი კი იზრდება

4641 1

11 1

21 1331 1

ბინომისხარისხი შლილი პასკალის

სამკუთხედი

1 5 10 10 5 1

11 1

1 121 133

1 1464

1 1510 105

299


11 1

5101056 15 20 15 6

1პასკალის სამკუთხედის მორიგი მე-6 სტრიქონი იქმნება ქვემოთ მოცემული სახით

ბინომიალური შლილისათვის შეგვიძლია დავწეროთ განზოგადებული ფორმულა

nimuSi (2p 1)6 ბინომის დანაშალში დაწერეთ მე-4 წევრიamoxsna სადაც a = 2p b = 1 n = 6T4 = T3+1 = 6C3a6 ndash 3b3 = 20 (2p)3(ndash1)3 = ndash160p3

6C0 6C1 6C2 6C3 6C4 6C5 6C6

bull n-ური ხარისხის ბინომიალური შლილში n + 1 ელემენტიაbull ბინომის ნებისმიერი წევრის Tk+1 = nCkan - kbk ფორმულით მოძებნა შეიძლებაbull ბინომის ნებისმიერი წევრის ხარისხის მაჩვენებლების ჯამი n-ის ტოლიაbull ბინომიალური კოეფიციენტების ჯამი 2n -ის ტოლია

nC0 + nC1 +nC1 + + nCn-1 + nCn = 2n

ბინომის ფორმულაში a = b = 1 პირობით შეამოწმეთ ბოლო ტოლობა

ნებისმიერი a b რიცხვებისა და n ge 0 რიცხვისათვის მართებულია ქვემოთ მოცემულიტოლობა(a + b)n = nC0anb0 + nC1an 1b1 +nC1an - 2b2 +

+ nCn-1 a1bn 1 + nCna0bn

ldquordquo sigma ნიშნის გამოყენებით ეს ფორმულა მოკლედ ქვემოთ მოცემული სახით

შეიძლება ჩაიწეროს

(a + b)n = nCkan-kbk

binomialuri Slili

k=0

n

(a + b)n ბინომის შლილში n + 1 წევრია ბინომის ნებისმიერი რიგით (k+1) წევრი Tk+1 = nCkan - kbk სახისაა (k = 0 1 2 n)

ბინომის ხარისხის შლილში შესაკრების კოეფიციენტი და ბინომიალური კოეფიციენტიერთმანეთისაგან განსხვავებულიაnimuSi (x + 2)5 = 5C0x5 + 5C1x42 + 5C2x322 + 5C3x223 + 5C4x24 + 5C525== x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x + 32ამ დანაშალში მაგალითად მესამე შესაკრების კოეფიციენტი არის 40 ხოლო მისიბინომიალური კოეფიციენტი კი 5C2 = 10-ია

300

ა) იპოვეთ პასკალის სამკუთხედის მოცემულთითოეულ სტრიქონში წევრების ჯამიბ) იპოვეთ პასკალის სამკუთხედის მე-9 სტრი-ქონში წევრების ჯამიგ) იპოვეთ პასკალის სამკუთხედის წევრებისჯამი n-ურ სტრიქონშიდ) ეს თვისება გამოიყენეთ ბინომიალური შლილის კოეფიციენტებში


პასკალის სამკუთხედის მოცემული სტრიქონები გამოსახეთ კომბინეზონებით

ილკარი ამბობს რომ პასკალის სამკუთხედის თითოეული სტრიქონი 11n სახით შეიძ-ლება გამოისახოს შეამოწმეთ ეს მოსაზრებაშეასრულეთ პასკალის სამკუთხედის მიხედვით

ა) 1 5 10 10 5 1 ბ) 1 7 21 35 35 21 7 1გ) 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

saswavlo davalebebi

რამდენი წევრია ბინომის ხარისხის შლილში

დაწერეთ შლილები

იპოვეთ ბინომის მოთხოვნილი წევრები

-ის დანაშალში იპოვეთ წევრი რომელიც x-ზე არ არის დამოკიდებული

(x + y)10 ბინომის დაშლის გარეშე შეასრულეთ დავალებები

დაწერეთ ბინომიალური შლილები (a + b)n n N სახით

დაწერეთ (x + y)3 და (x y)3 ბინომიალური შლილების მსგავსი და განსხვავებულინიშნები განაზოგადეთ თქვენი მოსაზრებები (x y)n ბინომიალური შლილისათვის

ა) 4C0z4 + 4C1z3t + 4C2z2t2 + 4C3zt3 + 4C4t4

ბ) 5C0m5 + 5C1m4y + 5C2m3y2 + 5C3m2y3 + 5C4my4 + 5C5y5

ა) დაწერეთ ბინომის შლილში წევრების რაოდენობაბ) დაწერეთ ბინომის შლილის მე-6 წევრიგ) 10Cr ბინომიალური კოეფიციენტის უდიდესი მნიშვნელობა ბინომის რომელ წევრსმიეკუთვნება

ა) (x + y)8-ის მე-5 წევრი ბ) (a 2b)6-ის მე-4 წევრიგ) (1 2z)12-ის მე-7 წევრი დ) (2x + y)5-ის შუა წევრიე) (u2 + 1)8-ის ბოლოდან მე-2 წევრი ვ) (x y)10 -ის ბოლო 3 წევრი

ა) (x 3y)5 ბ) (2z + 3z2)7 გ) (c + 6)q დ) (c + 6)k 2

ა) (x ndash 3)4 ბ) (x + 2)5 გ) (1 + 2c)6 დ) (1 i)5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1 21 3 3

1 4 6 41 5 10 10 5

11

11

1

(x + )81xბ)

ა) (x +2)n ბინომის დანაშალში ბინომიალური კოეფიციენტების ჯამი 16-ია იპოვეთმეორე წევრის კოეფიციენტი

301

მოთამაშის 4 თამაშიდან 3-ში მოგების შესაძლო ვარიანტების რაოდენობის კომბინეზონით

გამოთვლაც შეიძლება 4C3 = = 4 იქნება ვარიანტების ალბათობა ერთი და იგივეა და

-ის ტოლია ამ ხდომილობის ალბათობა შეიძლება ქვემოთ მოცემულივით

გამოითვალოს

ბერნულის სქემაში გარკვევისათვის განვიხილოთ ქვემოთ მოცემული ამოცანა

თამაშში მოგების ალბათობა (მწვანე ბურთულის ამოსვლის) წაგების

(წითელი ბურთულის ამოსვლის) ალბათობა 1 = იქნება 4 თამაშში

მოგებისა და წაგების რაოდენობის ცვლილების მიხედვით გამოვთვალოთ ალბათობები

1) P (4 თამაშიდან ყველაში მოგების ალბათობა) =

2) P (4 თამაშიდან ყველაში წაგების ალბათობა) = 1

256

(mmmw) P (მე-4-ის გარდა ყველაში მოგება) = =

(mmwm) P (მე-3-ის გარდა ყველაში მოგება) = =

(mwmm) P (მე-2-ის გარდა ყველაში მოგება) = =

(wmmm) P (1-ლის გარდა ყველაში მოგება) = =

bernulis cdebi

ჩვენ ვიპოვეთ გუნდის 4 3 2 1 0 თამაშში მოგების ალბათობებითუ ეს გამოთვლები სწორადარის წარმოებული მათი ჯამი 1-ის ტოლი უნდა იყოს

P(4 მოგება) + P(3 მოგება) + P(2 მოგება)+ P(1 მოგება)+ P(0 მოგება) = 1

შევამოწმოთ

ანალოგიური წესით გამოვიკვლიოთ სხვა სიტუაციებიც

4) 4 თამაშიდან 2-ში მოგების ალბათობა

P(mmww) = 4 თამაშიდან 2-ში მოგების შესაძლო ვარიანტების რაოდენობა იქნება 4C2 = = 6ანუ 6 შემთხვევიდან თითოეულში მოგების ალბათობა -ია

34

34

34

14

14

34

34

34

34

34

34

14

14

2764

108256

108256

9256

9256

=

14

14

14

14

14

1256

81256

81256

27256

2725627

25627

256

=

3) 4 თამაშიდან 3-ში მოგების ვარიანტები და თითოეულის ალბათობა

43

42middot2

P (4 თამაშიდან 3-ში მოგება) = 4C3 = 4∙ 3 1

34

14

3 1

34

14

2 2

34

14

3

34

14

2 2

34

34

34

14

34

34

34

14 34

34

34

14

34

34

34

14

=

916

54256

54256

3256

116 =

= =

=34

14

14

14 =

P (4 თამაშიდან 2-ში მოგება) = 4C2 =6

34

14

3 34

12256

12256

164 =P(4 თამაშიდან 1 მოგება) = 4C1 =4

P(mwww) =


+ + + + = 1

302

სადაც p წარმატებული ხდომილობის ალბათობაა და p = q წარუმატებელი ხდო-მილობის ალბათობაა და q =

ამასთან შესაძლებელია ბინომიალურ დანაშალთან კავშირის დანახვა(a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3 სადაც a = და b = ამ ხდომილობისათ-ვის ბერნულის ფორმულა P(m წითელი) = 3Cm m = 0123 შეამოწმეთფორმულა m-ის მნიშვნელობების ადგილებში შეტანით

bernulis cdebi

14

14

34

34

34

34

34

34

34

14

14

14

14

34

14

bernulis cda da albaToba

თუ n რაოდენობის დამოუკიდებელ ცდაში წარმატებული ხდომილობის ალბათობა p-სტოლია მაშინ m წარმატებული n ndash m წარუმატებელი ხდომილობის ალბათობა

P(n ცდაში m წარმატებული) = nCmpmqn-m იქნება

nimuSi 1 ჩარხი 4 ტოლ ნაწილისაგან შედგება 3 ნაწილი წითელი 1 ნაწილიკი თეთრია ჩარხი დატრიალების შემდეგ ან წითელ ნაწილზე დგება ან თეთ-რზე 3-ჯერ დატრიალების შესაძლო ვარიანტები სქემითაა წარმოდგენილი

ბინომიალური ცდა ანუ ბერნულის ცდა მართებულია მხოლოდ ქვემოთ მოცემულიპირობების დაკმაყოფილებისას

ბერნულის ცდა სქემატურად განვიხილოთ ქვემოთ მოცემულ ნიმუშზე

bull თითოეულ ცდას მხოლოდ ორი შედეგი აქვსbull ცდების რაოდენობა ცნობილიაbull ცდები დამოუკიდებელიაbull ყველა ცდა ტოლალბათობიანია

ზემოთ ასახულ ამოცანას ბინომიალური ცდები ეწოდება იმიტომ რომ ამნაირ ამოცანებშისიტუაციების შესაბამისი ბინომიალური შლილის წევრებით გამოსახვა არის შესაძლებელიმაგალითად განხილული ამოცანა(a + b)4 = 4C0a4 + 4C1a3b + 4C2a2b2 + 4C3ab3 + 4C4b4 ბინომიალურ შლილსშეესაბამება ბინომიალურ ცდას ბერნულის ცდასაც უწოდებენთუ ამ დანაშალს ამოცანაში მოცემული სიტუაციის შესაბამისად p (მოგება) და q (წაგება)ცვლადებით გამოვსახავთ ბინომიალურ შლილში თითოეული წევრის რეალურსიტუაციასთან შესაბამისობის დანახვა შესაძლებელი იქნება

წ

წწწწწწთ

წთწწთთ

2

21

3წ

წ

წ

წ

წთ

თ

თ

თ

თ

თ

თ

34

14

2 1

34

14

m 3m

34

14

2 1

34

3 34

3

34

14

2 1

34

14

1 2

თწწთწთ

21

34

14

2 1

34

14

1 2

34

14

1 2

თთწთთთ

10

34

14

1 2

14

3

14

3

(p + q)4 = 4C0p4 + 4C1p3q + 4C2p2q2 + 4C3pq3 + 4C4q4

P(3 წითელი) = 1




როგორც ხედავთ კოეფიციენ-ტები პასკალის სამკუთხედისმესამე სტრიქონის რიცხვებისშესაბამისია 1 3 3 1

341

4

შესაბამის ბინომიალურ დანაშალში სიტუაციის გამომსახველი წევრი წითელი ფერითაა ნაჩვენები (o +q)4 = o4 + 4o3q + 6o2q2 + 4oq3 + q4

303

bernulis cdebi

nimuSi 2 5 შეკითხვიდან თითოეულზე პასუხის 4 ვარიანტია

მოცემული გამოთვალეთ ალბათობა იმისა რომ ნარგიზი 5

შეკითხვიდან 4-ზე სწორ პასუხს გასცემს გამოიკვლიეთ კავშირი

ბინომიალურ შლილსა და ალბათობის პოვნას შორის

amoxsna ვიპოვოთ ნარგიზის მიერ 5 შეკითხვაზე სწორი ან

მცდარი პასუხის გაცემის რამდენი შესაძლო ვარიანტი არსებობს

სქემიდან ჩანს რომ ნარგიზის მიერ 5 კითხვიდან4-ზე სწორი პასუხის გაცემის 5 ვარიანტიარსებობს მაშასადამე ამ ხდომილების ალბათობა5C1d 4s იქნება ანალოგიურად სხვა სიტუაციებსადა ბინომიალურ წევრებს შორის არსებულიკავშირის დანახვა შეიძლება ეს კავშირი ცხრილშიგანვაზოგადოთ

შემთხვევითი შერჩევით ვიპოვოთ 4 კითხვაზე სწორი 1 კითხვაზე მცდარი პასუხის გაცემის ალ-

ბათობა ყოველი სწორი პასუხის ალბათობა -ია მცდარი პასუხის ალბათობა 1 =

ამ წესით გამოთვალეთ შესაძლო სიტუაციების ალბათობები და მათი შეკრებით შეამოწმეთარის თუ არა ჯამი 1-ის ( ანუ 100-ის) ტოლი

nimuSi 3 ოთხ ბავშვიან ოჯახში იპოვეთ ალბათობა იმისა რომ 3 იქნება ბიჭი და 1 გოგონა

მაშასადამე ალბათობა იმისა რომ 4 ბავშვიდან 3 ბიჭი იქნება ანუ 25

თითოეული ბავშვისათვის არსებობს ორი შესაძლო შემთხვევა ან ბიჭია ან გოგონა ორივეს

ალბათობა -ია P(n ცდაში m წარმატებული) = nCmpmqn-m

n = 4m = 3p = q = P(4 ბავშვიდან3 ბიჭი) = 4C3p3q4-3

კოეფიციენტი

5C0 = 15C1 = 55C2 = 10 5C3 = 105C4 = 5 5C5 = 1

წევრი სიტუაციის აზრი5 სწორი პასუხის 1 ვარიანტია

4 სწორი 1 მცდარი პასუხის 5 ვარიანტია




5 მცდარი პასუხის 1 ვარიანტია

s d d d dd s d d dd d s d dd d d s dd d d d s

(d + s)5 = 5C0d5 + 5C1d4s + 5C2d 3s2 + 5C3d 2s3 + 5C4ds4 + 5C5s5

d5

d 4sd 3s2

d 2s3

ds 4

s5

P(4d 1s) = 5d4s = 5

1415

1024

14

12 1

212

34

34

= ანუ asymp15

= 4 =

P(4 ბავშვიდან 3 ბიჭი)

14

4

12

12

14

14

3

304

bernulis cdebi

მონეტა 5-ჯერ ააგდეს რას უდრის რუკიანი მხარის მოსვლის ალბათობა ა) P ( ერთხელ) ბ) P(3-ჯერ) გ) P(4-ჯერ) დ) P(0-ჯერ) ე) P (2-ჯერ)

უკანასკნელი გამოკვლევები უჩვენებს რომ ახალი ავტომობილების ყოველი 3-დანერთი კრედიტით იყიდება გამოთვალეთ ალბათობა იმისა რომ შემთხვევით შერჩეული7 ახალი ავტომობილიდან 3 კრედიტით იქნება შეძენილი

კალათბურთის გუნდის თამაშში გამარჯვების ალბათობა -ია რას უდრის ალბათობა

იმისა რომ ეს გუნდი მომავალი 5 თამაშიდან 3-ში გაიმარჯვებს

ამ მონაცემებიდან რომელს შეიძლება ეწოდოს ბინომიალური ცდა

amoxsna წარმატებული ხდომილობა ყუთში მომგებიანი კუპონის არსებობაა

P (მომგებიანი კუპონი) = წარუმატებელი ხდომილობა ყუთში მომგებიანი კუპონის

არ არსებობაა P (მომგებიანი კუპონი არ არის) = 1 =

P ( 5 ყუთიდან 2-ში მოგება) = 5C2p2q3 = 10 asymp 0138

ა) ქამალი ქიმიის საგნის 20 ტესტური შეკითხვის თითოეულზე მოცემული 4 პასუხიდანერთს შემთხვევითი წესით აღნიშნავსა)პლასტიკური ჭიქა 50-ჯერ აიგდება დაითვლება ჭიქა რამდენჯერ ფუძეზე დარამდენჯერ პირქვეშ დაეცემაგ) სათამაშო კამათელი 100-ჯერ გააგორეს მოწმდება თითოეული წახნაგის მოსვლისალბათობა ტოლია თუ არად) სათამაშო კამათელი 100-ჯერ გააგორეს მოწმდება რამდენჯერ მოდის 4 ქულიანიწახნაგი

23

nimuSi 4 კომპანიამ სავაჭრო კამპანიის დროს ბავშვის საჭმლის ყუთებში კუპონებიმოათავსა ყოველი 20 ყუთიდან 3-ში მომგებიანი კუპონი იდება რას უდრის ალბათობაიმისა რომ 5 ყუთის შემძენი მყუდველის 2 ყუთი იქნება მომგებიანი გამოიყენეთკალკულატორი

nimuSi 5 მონეტა 10-ჯერ იქნა აგდებული რას უდრის ალბათობა იმისა რომ სულ მცირე8-ჯერ რუკიან მხარეს დაეცემა იგიamoxsna თუ სულ მცირე 8-ჯერ რუკიან მხარეს დაცემის ხდომილობა წარმატებულიხდომილობაა მაშინ 9-ჯერ და 10-ჯერ რუკიან მხარეს დაცემაც წარმატებული ხდომილობააამ ხდომილობათა ალბათობები ცალ-ცალკე უნდა მოიძებნოს და მოხდეს მათი შეკრება

მონეტის ერთხელ აგდებისას რუკის მოსვლის ალბათობა -ია

320

320

1720

320

1720

2 3

1

2

3

4

P ( არანაკლებ 8 რუკისა) = 10C8p8q2 + 10C9p9q1 + 10C10p10q0 =

= 45 + 10 + 1 = 055

P ( არანაკლებ 8 რუკისა) = P (8 რუკა) + P (9 რუკა) + P (10 რუკა)

12

12

8 2 12

12

9 1 12

12

12

10 0 561024

305

bernulis cdebi

6 მწვანე 6C0p6

5 მწვანე 1 წითელი 6C1p5q1

4 მწვანე 2 წითელი

ბინომიალური დანაშალი (p + q)x =

სიტუაცია ბინომიალური წევრი

ყუთში 3 თეთრი 4 მწვანე 2 წითელი ბურთულაა თუ შემთხვევითორ ბურთულას ამოიღებენ ორივე სქემის მიხედვით გამოთვალეთალბათობა იმისა რომ ორივე იქნება თეთრი რომელ ხდომილობებსასახავენ სქემები შესაბამისი ხდომილობების ნიმუშის ჩვენებითწერილობით განმარტეთ ამ ხდომილობების განსხვავებული დამსგავსი ნიშნები

გამოვლინდა რომ კონვეიერზე ერთ ბრუნში წარმოებული დეტალების 2 გამო-უსადეგარია იპოვეთ ალბათობა იმისა რომ შემთხვევით შერჩეული 5 დეტალიდანმოცემული რაოდენობის დეტალი იქნება გამოუსადეგარი

ა) P (მხოლოდ ორის გამოუსადეგრობა) ბ) P (არაუმეტეს ერთის გამოუსადეგრობა)

გ) P (არაუმეტეს ორის გამოუსადეგრობა)

ყუთში 6 ბურთულაა შესაბამისი ბინომიალური შლილებისჩაწერით უჩვენეთ 6-ჯერ ბურთულის ამოღების შესაბამისისიტუაციების ალბათობა წარმატებული ხდომილობა მწვანებურთულის ამოსვლაა ცხრილი რვეულში დაასრულეთ იმისჩვენებით რომ ყველა ხდომილობის ალბათობების ჯამი 1-ისტოლია შეამოწმეთ თქვენი ამონახსენი

შემოწმებამ გამოავლინა რომ 1000 CD დისკიდან 50 იყო გამოუსადეგარია) რას უდრის ალბათობა იმისა რომ შემთხვევით შერჩეული ერთი დისკი იქნებაგამოუსადეგარიბ) თუ ხარისხის კონტროლიორი შემთხვევით 6 დისკს აიღებს სიტუაციების მიხედვითგამოთვალეთ ალბათობები

bull მხოლოდ 2 დისკია გამოუსადეგარიbull არაუმეტეს 2 დისკია გამოუსადეგარიbull სულ მცირე 3 დისკია გამოუსადეგარი

5

6

8

7

თ

თ

მ

მ

წ

წ თ მ წ თ მ წ

49

29

29

29

29

49

49

49

39

13

13

13

თ

თ

მ

მ

წ


49

48

38

29

28

18

39

28

38

38

6C2p4q2

306


მონეტა 4-ჯერ ააგდეს იპოვეთ თითოეული ხდომილობის ალბათობაა) p (4-ჯერ სურათიანი მხარე) ბ) P (არანაკლებ 3-ჯერ რუკიანი მხარე)გ) P (არაუმეტეს 2-ჯერ სურათიანი მხარე) დ) p (0 რუკიანი მხარე)

ყუთში 2 წითელი და 3 თეთრი ბურთულაა ყუთიდან შემთხვევით იღებენ 1 ბურთულასდა ისევ ყუთში აბრუნებენ ეს ცდა სამჯერ მეორდება ა) იპოვეთ ალბათობა იმისა რომ 1-ელ და მე-2 ცდაზე ამოღებული ბურთულა იქნებათეთრი ხოლო მე-3 ცდაზე ამოღებული ბურთულა კი წითელი ბ) იპოვეთ ალბათობა იმისა რომ ამოღებული 3 ბურთულიდან 2 იქნება თეთრი

დაწერეთ მონეტის აგდების ხდომილობის ამსახველი (x + ş)5 ბინომიალური დანა-შალი განმარტეთ ბინომის თითოეული წევრის სიტუაციის შესაბამისი აზრიგამოთვალეთ შესაბამისი ხდომილობების ალბათობები

ჰისტოგრამა ფერმაში არსებული ინდაურებისმასას უჩვენებს ჰისტოგრამის მიხედვით ააგეთსიხშირის ცხრილი თუ შემთხვევით შეირჩევა ორიინდაური რას უდრის ალბათობა იმისა რომ ორივემათგანის მასა 10 კგზე მეტი იქნება

ყუთში 4 თეთრი და 2 მწვანე ბურთულაა აქედან 3-ს იღებენ შემთხვევითი წესითა) ფერების მიხედვით რომელი შემადგენლობით ბურთულების ამოსვლის აბათობაარის უფრო მეტიბ) იპოვეთ ალბათობა იმისა რომ ამოღებული ბურთულებიდან სულ მცირე 2 იქნებათეთრიმოცემული სიტყვის ასოების წაკითხვა რამდენ სხვადსასხვა ვარიანტად შეიძლებადალაგდეს

ა) muRan ბ) kebele

მსროლელის მიერ ერთი სროლით მიზანში მორტყმის ალბათობაა 08 იპოვეთალბათობა იმისა რომ მსროლელი 4 სროლიდან 2-ჯერ მოარტყამს მიზანში

მეგობრისათვის დარეკვის მსურველ მუსტაფას ნომრის ბოლო 2 ციფრი დაავიწყდამაგრამ ახსოვდა რომ ეს ციფრები განსხვავებული იყო იპოვეთ ალბათობა იმისა რომმის მიერ პირველ ჯერზე შემთხვევით აკრეფილი ნომერი იქნება სწორი

ხუთი პიროვნება (A B C D და E ) რამდენი სხვადასხვა ხერხით შეიძლება გამწკრივდესა) E-ს შუაში ყოფნის პირობითბ) A და B-ს აუცილებლად გვერდიგვერდ ყოფნის პირობითგ) A და B-ს აუცილებლად გევრდიგვერდ არყოფნის პირობით

დაამტკიცეთ რომ nCk = nCnndashk შეამოწმეთ იგივეობა n = 7 k =5 მნიშვნელობისათვის

2

1

3

4

5

6

7

8

10

9

141210

86420

5 6 7 8 9 10 11 12 1314 15

რაო

დენ

ობა


307


კლასში 19 მოსწავლეა მათგან 10 ჭადრაკის წრეში 7 ფეხბურთის წრეში და 3 კიორივე წრეშია გაერთიანებული რამდენი მოსწავლე არ მონაწილეობს არც ერთწრეში

ავტომობილის ფასი შეძენიდან პირველ წელს 18-ით ყოველ შემდეგ წელს კი8-ით მცირდება რამდენი მანეთი შეიძლება ღირდეს 2022 წელს ავტომობილირომელიც შეძენილი იქნა 2015 წელს 25 ათას მანეთად

შემადგენლობაში შესაბამისად 5 და 2 ნიკელის შემცველი ფოლადი არსებობსშემადგენლობაში 25 ნიკელის შემცველი 350 კგ ფოლადის მიღებისათვის ამორივე სახის ფოლადიდან თითოეულისა რამდენი კილოგრამი უნდა ავიღოთ დაგადავადნოთc-ს რა მნიშვნელობებისათვის მოცემული უტოლობა x-ის ყველა მნიშვნე-ლობისათვის არის მართებული

ა) x2 + cx + 4 gt 0 ბ) x2 + 3x + c gt 0მიმდევრობა b1 = 4 bn + 1 = 3bn ndash 2 რეკურენტული ურთიერთობითაა მოცემულიდაწერეთ n-ური წევრის ფორმულა

ფერმერმა ახალი ტექნოლოგიის გამოყენებით მოსავლის წარმოების ყოველ-წლიური ერთი და იგივე პროცენტის მატებით 2 წლის განმავლობაში 150ტონიდან 216 ტონამდე მიაღწია რამდენი პროცენტით იზრდებოდა პროდუქციისწარმოება ყოველწლიურად

ა) გამოთვალეთ radic(2 sin 60ordm ndash 1)3 ndash radic(1 ndash tg 60ordm)2

ბ) გაამარტივეთ გამოსახულება radic4 cos2 + 4 cos + 1 ndash radic4 ndash 4 sin2

თუ lt lt

ა) იპოვეთ ndash კუთხე თუ

sin = sin = ndash 0 lt lt ndash lt lt 0 ბ) იპოვეთ + კუთხე თუ

tg = 3 tg = ndash 0 lt lt ndash lt lt 0

გ) იპოვეთ (1 + tg )middot(1 + tg ) გამოსახულების მნიშვნელობა თუ + =

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

23

2

12

4

4041

941

2

2

2

იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობაa) cos 24ordm ndash cos 84ordm ndash cos 12ordm + sin 42ordmb) tg 9ordm ndash tg 63ordm + tg 81ordm ndash tg 27ordm

მოცემულია f(x) = radic1 ndash x2 და g(x) = sin x იპოვეთa) f(g(x)) b) g(f(x))

მოცემულია f(x) = ფუნქციაა) იპოვეთ განსაზღვრის არებ) ამოხსენით უტოლობა f(x + 1) ge 0

x ndash 2x + 1

308


12

13

14

15

16

17

18

19

20

ამოხსენით განტოლებებია) 4 cos2x ndash 3 sin x = 3 ბ) 2 tg x ndash 3 ctg x ndash 1 = 0გ) sin x + sin 3x + sin 5x = 0 დ) cos 3x ndash cos 4x = 1 ndash cos x


ა) 05xmiddot22x + 2 = ბ) 02x ndash 1 ndash 02x + 1 = 48გ) 5x ndash 1 + 5middot02x ndash 2 = 26 დ) 9x ndash 1 ndash 36middot3x ndash 3 + 3 = 0ე) logxndash12 = ndash 05 ვ) log5(2 + log3(3 + x)) = 0

ზ) log2(22x + 16x) = 2 log412 თ) log53 = ndash

ი) lg2x ndash 3 lg x = lg x2 ndash 4 კ) log3x + log32x = 1

იპოვეთ განტოლების ფესვები მოცემულ შუალედშია) sin x = ndash 1 x [0 4] ბ) cos x = 1 x [ndash 3]


ა) cos2x + gt sin2x ბ) tg 2x lt radic312

ა) იპოვეთ y = 3 + radicx ndash 4 ფუნქციის შექცეული ფუნქცია

ბ) იპოვეთ y = radic2 sin x ndash radic3 ფუნქციის განსაზღვრის არეგ) იპოვეთ y = log (5 + 3 cos x) ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე

x-ის რა მნიშვნელობებისათვის არის ln(x ndash 9) ln(x ndash 7) ln(x ndash 3) რიცხვებიარითმეტიკული პროგრესიის მიმდევრობითი წევრები

იპოვეთ მოცემული ფუნქციის შექცეული ფუნქცია უჩვენეთ მოცემული ფუნ-ქციისა და შექცეული ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე

ა) y = 2x ndash 1 + 3 ბ) y = 1 + log2(x + 3)

12

2

log2(1 + x)log253

x

164

2 2


ა) ( )2x lt 5 ბ) 09x ge 1

გ) (x2 ndash 2x ndash 3)middot(2x ndash 8) le 0 დ) 2tg x gt sin

ე) log (2x + 3) gt log 27 ვ) gt 0

ზ) log3(2x ndash 3) + log (x + 1) gt 0 თ) log 3 ndash x gt ndash1

37

1981

49

56

14

19

13

12

log3(6 ndash 2x)log035


ა) (cos ndash imiddotsin )10 ბ) (sin ndash imiddotcos )2715

49

59

15

309


დაშალეთ მრავალწევრი წრფივ მამრავლებად x4 + 4x2 ndash 5

წრეწირზე 10 წერტილია აღნიშნული წვეროების ამ წერტილებზე განთავსებითრამდენი სამკუთხედის აგებაა შესაძლებელი

ყუთში 30 შავი და x თეთრი ბურთულაა ალბათობა იმისა რომ შემთხვევით

ამოღებული ერთი ბურთულა იქნება თეთრი -ია იპოვეთ x

მართკუთხა პარალელეპიპედის წიბოები 3 სმ 4 სმ და 7 სმ-ია იპოვეთ ერთიწვეროდან გამოსული სამი წიბოს წვეროებზე გამავალი მკვეთის ფართობი

ABCD ტრაპეციის AD ფუძე სიბრტყეზეახოლო BC ფუძე კი სიბრტყიდან 5 სმ მანძილზეაADBC = 73 იპოვეთ მანძილი ტრაპეციისდიაგონალების გადაკვეთის O წერტილიდან სიბრტყემდე

მართკუთხა ABC სამკუთხედის მართი კუთხისწვეროდან ჰიპოტენუზის პარალელური და მისგან 1სმ მანძილზე სიბრტყეა გავლებული კათეტებისგეგმილები ამ სიბრტყეზე 3 სმ და 5 სმ-ია იპოვეთჰიპოტენუზის გეგმილი ამ სიბრტყეზე

წესიერი ოთხკუთხა პრიზმის დიაგონალი 9 სმ სრული ზედაპირის ფართობი144 სმ2-ია იპოვეთ ფუძის გვერდი და გვერდითი წიბო

მართი სამკუთხა პრიზმის ფუძის ფართობი 4 სმ2 გვერდითი წახნაგებისფართობები 9 სმ2 10 სმ2 და 17 სმ2-ია იპოვეთ პრიზმის მოცულობა

მოცემულიაAO ACO = ABO = 60ordmCOB = 90ordmAO = 3იპოვეთ BC

25

გამოთვალეთ ჯამი 20 middot 6C0 + 21 middot 6C1 + 22 middot 6C2 + 23 middot 6C3 + 24 middot 6C4 + 25 middot 6C5 + 26 middot 6C6

სიბრტყის მკვეთი AB მონაკვეთისბოლოები სიბრტყიდან 16 სმ და 4 სმმანძილზეა იპოვეთ მანძილი მონაკვე-თის M შუაწერტილიდან სიბრტყემდე


a) y = b) y = x ndash 4x + 5

x2 ndash 3x + 423radic

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31 სამკუთხედის გვერდები 4 სმ 5 სმ და 6 სმ-ია იპოვეთ ამ სამკუთხედის უმცირესიკუთხის კოსინუსი

A

M

B

B1A1 M1

6060C

B

O

A

D

B C

AC1B1

O1

O

A

C

B

B1A1

ა)ბ)

ა)

ბ)

310


იპოვეთ მოცემულზომებიანიტეტრაედრის სრული ზედა-პირის ფართობი

ABCD მართკუთხედის A წვეროდან მართკუთხედისსიბრტყისადმი აღმართულია AT მართობი TB = 6 სმ TD = 7 სმ TC = 9 სმ იპოვეთ AT-ს სიგრძე

m პარამეტრის რა მნიშვნელობისათვის იქნება x2 + (2 + m)x + m ndash 3 = 0 გან-ტოლების ფესვების კვადრატების ჯამი უმცირესი

A პუნქტიდან B პუნქტამდე გასავლელი მანძილის 12 კმ აღმართი ხოლო 24 კმდაღმართია ცხენოსანი A-დან B-ში 7 საათში ჩავიდა უკან კი 8 საათში მობ-რუნდა იპოვეთ ცხენოსნის სიჩქარე აღმართზე და დაღმართზე

გრაფიკების გამოსახვით გამოიკვლიეთგანტოლებათა სისტემაა) a-ს რომელი დადებითი მნიშვნელობისათვის ექნება ორიამონახსენი

y = x2 + ax2 + y2 = 4

სამ საწყობში 920 ტონა ხორბალია პირველ საწყობში ხორბალი 30 ტ-ით ნაკლებიავიდრე მეორეში მეორე და მესამე საწყობში ხორბლის მასები ისე შეეფარდებაერთმანეთს როგორც 8 9 რამდენი ტონა ხორბალია თითოეულ საწყობში

სამკუთხედის გვერდები 10 სმ და 12 სმ-ია მათ შორის მდებარე კუთხის სინუსი06-ის ტოლია იპოვეთ ამ სამკუთხედის პერიმეტრი რამდენი ამონახსენი აქვს ამამოცანას

იპოვეთ სამკუთხედის ბისექტრისები თუ მისი გვერდები 5 დმ 6 დმ და 7 დმ-ია

იპოვეთ სამკუთხედის მედიანები თუ მისი გვერდებია 5 სმ 6 სმ და 7სმ

T

A

BC

D

იპოვეთ y = ndash2 cos( ndash 2x) ფორმულით მოცემული ჰარმონიული რხევის

ამპლიტუდა სიხშირე და ძირითადი პერიოდი

2

მოცემულია წესიერი ოთხკუთხა პრიზმა

B1M = MC1

C1N = ND1

AB = BC = 8AA1 = 4იპოვეთ BMND ოთხკუთხედის ფართობი

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41 42

43 იპოვეთ წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდი თუ მისი გვერდითიწიბო 5 სმ და სრული ზედაპირი 84 სმ2-ია

ბ) a-ს რა მნიშვნელობისათვის ექნება სამი ამონახსენიგ) არსებობს a-ს ისეთი მნიშვნელობა რომ სისტემას ოთხი ამონახსენი ჰქონდეს

C

M

N

DA

B

B1

A1

C1

D1

C

D

B

A5

5

5

85

6

311


იპოვეთ წესიერი ოთხკუთხა პრიზმის მოცულობა თუ მისი გვერდითი ზედაპირი36 სმ2 დიაგონალი კი 6 სმ-ია

სურათზე მოცემული გრაფიკის მიხედვით დაწერეთფორმულა სინუსისათვის და კოსინუსისათვის

ააგეთ y = 2 sin3x + 3 ფუნქციის გრაფიკი 5 წერტილის მიხედვით ამ ფუნქციის

გრაფიკის მიხედვით ააგეთ y = 2 sin3(x ndash ) + 3 ფუნქციის გრაფიკი

იპოვეთ წესიერი მრავალკუთხედების ცვლადებით აღნიშნული კუთხეები

ავტომობილის საბურავის ბრუნის სიგრძე 50 სმ-ია იპოვეთ ავტომობილის მიერგავლილი მანძილი საბურავისა) 5-ჯერ ბ) 500-ჯერ სრული ბრუნის გაკეთების დროს

ა) წესიერ ხუთკუთხედში BFსიმეტრიის ღერძია

ბ) წესიერ რვაკუთხედშიGC სიმეტრიის ღერძია

გ) წესიერ შვიდკუთ-ხედში სამი სიმეტრი-ის ღერძია ნაჩვენები

იპოვეთ x2 + y2 = 25 განტოლებით მოცემულ წრეწირზე მდებარე იმ წერტილისკოორდინატები რომლის ორდინატი 1 ერთეულით მეტია აბსცისაზე რამდენიასეთი წერტილი არსებობს

არითმეტიკულ პროგრესიაში ცნობილია რომ a1 + a2 +a3 = 30 და a12 +a22 = 16იპოვეთ a1 თუ a5 წევრი 13-ზე სრულად იყოფა

რამდენი ხუთნიშნა რიცხვი არსებობს (მაგალითდ 67876) რომელიც მარცხნიდანმარჯვნივ და მარჯვნიდან მარცხნივ ერთნაირად იკითხება

პირამიდაში TO სიმაღლეა ABCD მართკუთხედია იპოვეთ TAO თუAB = 12AD = 16TO = 5radic2

3

56

x

y

-3

76

512

1112

23

44

45

46

47

48

49

50

51

52

3

T

A

B C

D

B

A

E D

C C

CD

DP

BB

A AH

G

G

F E E

F

z

x y

F

rsq

t

wx

yz

v

312


53

54

55

56

57

58

59

60

ერთი ფინჯანი ადუღებული წყლის (100ordm) ოთახის ტემპერატურამდე (20ordm) გა-ციებას უცდიან დაკვირვებები უჩვენებს რომ ტემპერატურა დროზე ექსპო-ნენციალური დამოკიდებულებით ყოველ 5 წუთში25-ით ქვევით იწევსა) ტემპერატურის დროზე დამოკიდებულებით ცვლილება დაამოდელირეთ y = abx + c სახით ბ) რამდენი წუთის შემდეგ იქნება წყლის ტემპერატურა ოთახისტემპერატურის დონეზე

ვულკანური ამოფრქვევის დროს დამწვარი ხის ნახშირში დარჩენილი ნახშირბად14 ნითიერების 45-ია დარჩენილი რამდენი წლის წინათ მოხდა ვულკანისაამოფრქვევა

ა) (53) წერტილის კოორდინატთა სათავის გარშემო 90deg-ით საათის ისრის მოძ-რაობის საპირისპირო მიმართულებით მობრუნებისასბ) (42) წერტილის კოორდინატთა სათავის გარშემო 180deg-ით საათის ისრისმოძრაობის მიმართულებით მობრუნებისას

გ) (32) წერტილის y ღერძის მიმართ ასახვის შემდეგ სრული (360ordm) მობრუნების

-ით მობრუნებისას

დ) (23) წერტილის 3 ნაბიჯით მარჯვნივ მოცურებისა და 90deg-ით საათის ისრის მოძრაობის საპირისპირო მიმართულე-ბით მობრუნებისასყუთის მოცემული x = 3 სმ y = 8 სმ z = 5 სმ ზომების მიხედვითიპოვეთ მასზე გადაჭერილი წებოვანი ლენტის (სკოჩი) სიგრძე

სურათზე სამი ნახევარწრეა გამოსახული გამოთვალეთგაფერადებული ნაწილის ფართობი თუ ცნობილია რომd = 18 სმ

შეასრულეთ გარდაქმნები

1) 2სმ3 rarr მმ 3 2) 0003სმ3 rarr მმ 3

3) 34მ3 rarr სმ3 4) 0015m3 rarr სმ3

5) 550000 მმ 3 rarr სმ3 6) 1200000 სმ3 rarr მ3

7) 05მ3 rarr litres 8) 53000 მლ rarr ლიტრი

ჰასანი ბებიას ეკითხება თუ რამდენი წლისაა იგი ბებია მას ასე პასუხობს ldquoმე 5წლისა სკოლაში წავედი სიცოცხლის ერთი მეოთხედი ნაწილი განათლებითვიყავი დაკავებული შემდეგ მუშაობა დავიწყე და აქაც სიცოცხლის ნახევარიგავატარე ეხლა კი 15 წელია შვილიშვილებს ვზრდი შენ გამოთვალე რამდენიწლისა ვარ მეrdquo თქვენც გამოთვალეთ ჰასანის ბებიის ასაკი

ქვემოთ მოცემული ინფორმაცია უჩვენებს ერთი თვის განმავლობაში მოსულინალექების რაოდენობას (01 მმ სიზუსტით) ინფორმაცია ხისებრ-განტოტვითიდიაგრამით ორნაირად წარმოადგინეთ

13 20 23 32 34 18 31 23 19 2616 00 24 31 06 07 03 00 22 1536 23 18 27 30 29 12 22 14 33

34

განსაზღვრეთ ახალი კოორდინატები

d

x yz

313


სასწორები ბიჭის გოგონასა დაცხვრის მასებიდან ორს ერთადუჩვენებს სურათის მონაცემებისმიხედვით იპოვეთ რამდენი კი-ლოგრამია თითოეულის მასა

ბარგრაფი ასახავს ინფორმაციას 5 წლისგანმავლობაში გუნდის მიერ მოგებულითამაშების შესახებ ამ ინფორმაციებისმიხედვით ქვემოთ მოცემული მოსაზ-რებებიდან რომელია მართებული

ა) გუნდი 3 ყოველთვის მეორეა

ბ) გუნდი 1-ის შედეგები ყველა გუნდზეუკეთესია

გ) გუნდი 1 ყოველთვის მეტ თამაშს იგებ-და ვიდრე გუნდი 3

დ) გუნდი 2 ყოველ წელს იგებდა უფრომეტ თამაშს ვიდრე წინა წელს

რეშადი მიზანში მსროლელთა კლუბის წევრია მისი შედეგები უჩვენებს რომნასროლის 80-ს მიზანში არტყამსა) იპოვეთ რეშადის მორიგი სროლის დროის მიზანში მორტყმის ალბათობაბ) იპოვეთ რეშადის მიერ 3-ჯერ ზედიზედ მიზანში მორტყმის ალბათობაგ) იპოვეთ ალბათობა იმისა რომ რეშადი სამი ნასროლიდან პირველს მოარტყამსდანარჩენ ორს კი ვერ მოარტყამს მიზანს

გუნდი 1 გუნდი 2 გუნდი 3

1-ლიწელი

მე-2წელი


მე-4 წელი

მოგე

ბულ

ი თ

ამაშ

ები

თამაშში მოგებები

სიხშირის ცხრილში მოცემულია ინფორმაცია ავტომობილების სადგომზემდგომი 600 ავტომობილის ექსპლუატაციის წლებისა და ძრავის მოცულობის (სმკუბი) შესახებ

ა) რას უდრის ალბათობა იმისა რომ შემთხვევით შერჩეული ერთი ავტომობილისექსპლუატაციის ვადა იქნება 3 წელიწადზე ნაკლებიბ) თუ ეს შედეგები 5400 ავტომობილის წარმოდგენილი შერჩევა მათ შორისრამდენის ძრავის მოცულობა იქნება 2000-ზე მეტი ხოლო ექსპლუატაციის ვადა3 წელზე მეტი პროგნოზირება მართებული იქნებოდა

მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის ავზის ფუძის ზომები 50 სმ და 80 სმ-იაავზის ტევადობა 400 ლ-ია იპოვეთ ავზის სიმაღლე

3 წელზენაკლები 50

60 100

80 160 20

101203 წელზემეტი

ექსპლუ-ატაციისწლები

ძრავის მოცულობა

0 ndash 1000 1001 ndash 1500 1501 ndash 2000 2001 +

118 72 78

4035302520151050

61

62

63

64

65

7ა) y = x + 4 ndash 2 m = ndash 4 n = ndash2D(y) = (ndash +) E(y) = [ndash2 +)ბ) y = (x ndash 6)2 + 4 m = 6 n = 4D(y) = (ndash +) E(y) = [4 +)

26 ა) y = 2radicx ბ) y =2radicx

10 ა) 2 ერთეულით მარჯვნივმოცურდება 13 ბ) y = radicx -ისგრაფიკი x ღერძის მიმართ აისახება და1 ერთეულით ზევით აცურდება

314

pasuxebi

gv 9-11 9 0 10 ა) 1 ბ) ndash1 11 0 12 ბ) 0 ndash075 ndash2 13 დ) D(f) = (ndash3 2] E(f) = (ndash5 5] 14 b = ndash3 15 c = 2 16 4 17 ა) A(20) B(0ndash1)

19 ა) E(f) = [2 7] 20 f(ndash2) = 3 f(6) = ndash1 21ა) f(ndash1) = 5 f(0) = 4 f(1)=3

gv 16-17 1 ბ) x1 = 0 x2 = 3 გ) x = 4 დ) x = 2 5 2) ა) [ndash2 3] ბ) ndash2 და 2გ) (ndash2 2) დ) (2 3] ე) [ndash2 0] [0 3] ვ) xmax = 0 ymax = 4 ზ) [ndash5 4]6 ა) f(2) lt f(0) lt f(ndash4) გ) f(radic2) lt f(ndashradic3) lt f(ndash2) 11 ა) umm = 2

gv 13 2 ბ) D(f) = (ndash +) E(f) = [0 +) გ) D(f) = (ndash 0) (0 +) E(f) = (ndash 0) (0 +) ე) D(f) = [0 + ) E(f) = [0 + )3 გ) D(f) = (ndash 3] ე) D(f) = [0 2) (2 +) ზ) D(f) = [ndash1 1] თ) D(f) = [1 3) (3 +) ი) D(f) = [ndash4 4) (4 +)

gv 19 1 ა) კენტი გ) ლუწი დ) არც კენტი არც ლუწი 4 ა) 6 დ) 4 7 ბ) f(5) lt f(7) 8 (ndash4 4)gv 21 1 ა) 0 ბ) 5 გ) ndash7 დ) 41 2 ა) 4 გ) 0 ე) 2

funqciebi

4 ბ) D(g) = (ndash +) E(g) = (ndash 6] დ) D() = (ndash +) E() = [3 + )ე) D(u) = [ndash3 3] E(u) = [0 3] ვ) D(v) = [ndash1 3] E(v) = [0 2]5 ა) D(f) = [0 1) (1 2] ბ) D(f) = (ndash 0] (1 2] გ) D(f) = (1 2]6 umm = 2 E(f) = [2 + ) 7 ბ) y = 6 ndash x 0 le x le 5 1 le y le 6

x0 1 3

4

6

8

ndash1ndash3

f(x)

2

x

y

0

1

2

3

4 6

5

x

y

2

4

6

0 1 3ndash1ndash3

5

1

3

gv 25-31 1 ა) m = 0 n = 4 დ) m = 7 n = ndash3 2 ბ) g(x) = (x ndash 2)2 ndash 1 y = x2 პარაბოლა 2 ერთეულით მარჯვნივ 1 ერთე-ულით ქვევით მოცურდება 5 1) ბ) g(x) = (x + 3)2 ndash 32) ბ) g(x) = f(x ndash 4) ndash 8

gv 22 2 ა) დიახ ბ) არა 4 ა) f(01) gt g(01) ბ) f( ) gt g( ) გ) f(2) lt g(2)

gv 24 2 გ) y = x3 4 y = 5 ა) h = radic9 ndash d2 ბ) D = [0 3] E = [0 3]

124

x

12

x0 1 3 7ndash1ndash3ndash5 5

f(x)

1x

1x ndash 3

f(x) =

f(x) =

1

3

ndash1

ndash3

3 ა) ბ) გ)

8

gv 55-58 2 ა) დიახ ბ) არა 3 aradic2 4 24 სმ 5 90deg 6 8 სმ 8 radica2+b2

16 17 სმ 18 ა) 17 სმ ბ) 9 სმ გ) radica2+b2+c2

ა) y = x გ) y = ი) y =

gv 39-40 5 ა) fndash1(9) = ndash3 fndash1(7) = 1 fndash1(2) = 6

6

12

gv 64 2 9radic3 სმ2 3 4radic2 სმ 4 48radic3 სმ2 5 ა) a2 ბ) გ)

gv 61-62 76 სმ 815 სმ6 სმ8 სმ 9 12 სმ 10 2 მ 12 18 სმ ან 22 სმ

315

pasuxebi

gv 33 1 (f + g) (1) = 1 (f ndash g) (2) = 3 (f middotg) (6) = ndash20 2 ბ) (f + g)(x) = (x + 1)2D = (ndash +) E = [0 +) (f ndash g)(x) = x2 ndash 1 D = (ndash +) E = [ndash1 +)(f middot g)(x) = xmiddot(x + 1)2 D = (ndash +) E = [ndash +)( )(x) = x D = (ndash ndash1) (ndash1 +) E = (ndash ndash1) (ndash1 +)f

g

gv 35-36 3 ა) 1 გ) 2 დ) 0 4 ა) 4 ბ) 50 ვ) ndash487 ა) (ndash2 2) ბ) (ndash ndash3) (1 +) 12 ბ) f(x) = x2 ndash 1 დ) x2 + x + 113 ბ) f(ndash1) = ndash1 f(2) = 5 f(3) = 7 f(0) = 1 f(x) = 2x + 1 15 ბ) [ndash2 6] გ) [ndash3 1]

14

38

a2

aradic66

x + 143

4x ndash 243

radicx2

3

3

radicx2

4

gv 41-423 ა) y = radicx + 1 6 1) ა) ლუწი ბ) კენტი 7 f(2) = 10 10 ბ) ndash1 და 711 ა) 3 გ) 11 ვ) 3 ზ) 7 13 ა) D(f) = (ndash 1) (1 +) ბ) (2 5)

x

y

0 1 3

7

ndash1ndash3

5

f(g(x)) = 2x2 ndash 1

f(x) = 2x ndash 1g(x) = x2

13

gv 51 3 x = 6 4 ა) 8radic3 ბ) 4 5 6 სმ 7 d = 5radic2 = 45deg 9 aradic6 10 45deg

gv 53 2 5 სმ 3 12 სმ 4 სმ 5 3 სმradic152

a2radic68

a2radic38

wertili wrfe da sibrtye sivrceSigv 45-47 5 ა) 1 4 ან უსასრულო რაოდენობის 10 ა) 8 სმ ბ) 11 6 სმ 12 6 სმa + b

2bca + c

gv 68-711გ) III მეოთხედი 5 ა) 4 რად 7 ბ) asymp 209 რად 8 გ) ndash675deg 12 2)23

54

gv 72-75 3 12 რად 6 ა) 250 რად 8ა) 192 მ2 ბ) 16 = 2880deg9 ა)3 რადწთ ბ) 45 მწთ 10 asymp153 მ 14 05 რად asymp 285deg16 asymp 245 ბრუნი 18 075 ბრუნი 20 asymp 86deg

gv 82 5 ა) ბ) ndash ვ) ndash თ) radic3 6 ა) 042 ბ) ndash091 7 ა) cos α = ndash

tg α = ndash ctg α = ndash 8 ა)0 ბ)1 გ)1 9 B(ndash153 129)

12

radic22

43

34

45

radic32

kuTxis trigonometriuli funqciebi

10 ბ)

gv 85 5ა)15 ბ)1 დ) 056 ა) 2 7 ა)2radic39 ბ)udm =2 umm=010 ბ) udm = 2 umm = 1 13 2წერტილი + 2k + 2k kZ 15 და 2

33

4

34

14 asymp 45 სმა) fndash1(x) = ndash დ) fndash1(x) = ndash

gv 48 3 ა) 6 სმ ბ) 45 სმ გ)

gv 65 2 72 მ 4 2radic3 სმ 5 13 სმ ან 15 სმ 6 ბ) გ)

gv 116-118 2 BC = 7 B asymp 816deg C asymp 384deg 4 1) asymp 174 5 ა) radic6 მ ბ) 112 სმ გ) 4radic7 radic73 radic145 7 ა) d1=2radic13 d2=2radic37 8 გ) asymp 68deg 11 ბ) asymp 425 კმ 13 asymp 111მ

gv 102-103 1 1) ndash cos 2x 3) 1 3 5) 5 ბ) 6 ბ) 1

8 გ) udm = radic2 umm = ndashradic2 9 10 ა) ndash1 ბ)1 11

gv 95-96 2 1) 4 ბ) 5 ბ)16 ა)1 7 ა) ბ)ndash1 8 ა) 0 11 ა)radic3 ბ)1 12 5 13 ა) 1 14 ა) 2ndash radic3 15 16 ა) 1 17 ა) 1

18 ა) ndash3 ბ)3 19 sin = asymp 143deg20 ა) tg θ = 075 θ asymp 37deg

gv 129-135 1 ა) y =4 sin x ბ) y= sin x გ) y=sin x 6 ა) A =4 T = 6დ) A = T = 2 7 1) ა) y = sin ბ) y = 4middotsin 2x გ) y = 2 sinx

8 ა) y=12sin x გ) y=-08sinx 9ა) y=9cos x 10ა) T = 12 გ) T = 30 11 A = 05 T = 14 ბ) 75 17 ა) ymax = 8 ymin = 2 E(y)= [2 8]19 ა) y = 4 sin 2(x ndash ) ndash 6 ბ) y = 05 sin (x + ) + 2

316

pasuxebi

gv 88-89 3 ბ) ndash sin α ვ) ndash cos α 6 ბ)ndash დ) ndashradic3 9 ა) ndash sinα 10 ბ) cos2α11 ა) ndash sin 10deg14 ბ) 1 დ) 0 15 ა) 2middotcos α ბ) 0

12

gv 91-92 1 ვ) cosec2 α თ) 1 2 cos α = ndash08 tg α = ndash075 5 ა) tg2 α ბ) 2დ) ე) 6 ა) 5 ბ) 7 ა) 2 cos α ბ) ndash2 cos α 10 1

11 ა) 20 ბ) ndash16 12 ndash032 15 ა) cos2α 17 ა) udm = 3 umm = ndash4

2sin α

12

19

916

1665

radic32

12

12

12 radic3

2

gv 97-101 2 ა) 0 4 ა) tg 5α ბ) ndashtg4α 7 ა) 10 ა) 11 ბ) 0 12 ა) ndash sin 4xmiddotcos 10x ბ) ndashsin3xmiddotsinx 13 ა) 2 ctg α გ) 2 14 ბ) 028 16 ა) 2 17 ა) ბ) ვ) ndash 23 ა) ndash 29 asymp 046 კვ ერთ

14

12

240289

radicsin xtg x

radic22

2cosα

2radic33

1 + sin α2

14

gv 104-105 5 ა) a ბ) ndasha 6 ა) 1 11 1 14 3 17 ა) 1 20 ა) 3 ბ) 05

gv 109-113 1ა)b=12ბ)a asymp 892 გ)B = 45deg დ)A asymp 44deg3 ა) θ = 30deg ბ)θ =60deg 4 ა) A asymp 36deg a asymp 1472 c asymp 235 5 2) 1 ამონახსენი 6) ამონახსენი არა აქვს9)2 ამონახსენი 7 გ) asymp 3471 8 ა) asymp 416deg ან asymp1384deg 11 ა) 2026deg12 1) asymp 1606 მ2 14 ა) 30radic3 16 ა) 25ltBClt50 17 asymp 4139 მ18 θasymp385deg ან θasymp215deg 19 asymp 479 მ 21asymp92deg 22 asymp 415deg

gv 119-120 2 ა) asymp 3 კმ ბ) asymp 83 კმ და asymp 89 კმ 3 asymp 122მ 6 asymp 191 მ7 asymp 155 კმ და asymp 424 კმ 9 asymp 855deg 11 ბ) asymp 15 წუთი

125

sinusebisa da kosinusebis Teorema


12

12

12

14

14

2x3

25

13

23

3

4

gv 142-143

10 ა) y=3sin2x გ) y =5 sin x დ) y =ndash4cosx 12 y = 2 cos(xndash )

ბ)18 მ 5 ბ) H = 36 ndash 18 cos გ) 72 სმ დ) 170 მწთ

317

pasuxebi

t50

gv 145-149 1 ა) ndash1 ბ) 1 4 ბ) tg θ = ndashradic3 θ = 120deg გ) tg θ = ndashradic3 θ = 300deg15 ა) h = 3middot tg α 16 ა) d = 5middot tg გ) d asymp 87 მt

30

t3010t

3

gv 152-154 1ბ) ndash დ) ვ) 7 ა) გ) ndashradic3 ვ) ndash1 10 ა) გ)

ე) 11ა) x = 4 cosecθ ბ) asymp 9deg 12 θ asymp 41deg 15 ა) ndash ბ)

3

6

23

6

34

34

radic32

45

2425

6365

6

23

gv 155-156 1ა) B( 2) C( 2) D( 2) E( 2) F( 2) 3 1)A=6T=35 გ) y = 5 + 2cos2x 7 y = 12 ndash 10 cos 8 y = 61 ndash 58 sin (tndash1)

6

3

2

23

56

12

x

y

O

O

3

ndash3

4

34

54

74

94

x

y

1

2

3

23

53

3

ndash

O x

y

12

32

ndash5

ndash23

52

O

5

x

y

1

23

ndash 3

76

6

mravalwaxnagebi

gv 163-165 12 ა) 26 ბ) 29 13 d1 = 13 სმ d2 = 9 სმ 14 d1 = aradic2 d2 = 2agv 161-162 5 C წახნაგი 6 AC = 5 AC = 13 7 9 სმ

gv 168-170 2 ა) 160 მ2 5 188 სმ2 7 224 სმ2 18 radic3 +180asymp2112 სმ2

11 ა) S0 = 22 მ2 ბ) Sგვ = 90 მ2 გ) Sსრ =134 მ2 12 დ) Sგვ = 480 Sსრ = 536gv 172-173 5 200 სმ2 6 ა) Sგვ = 6 სმ2 7 140 სმ2 8 36 სმ2 10 5 სმ

20 ა) ბ)

gv 138-140 9 ა) ბ)

1y = 12 ndash 16 cos (tndash1) 2 ა)T=08 წმ ბ) 75 3ა)y =10 ndash 8cos

gv 176-1791 12 სმ 2 9 სმ 3 1680 სმ2 96 სმ2 728 სმ2 7 ა) 13სმ და 15 სმ9 52 სმ2 10 180 სმ2 11 asymp 1826 მ2 15 გ) 288 სმ2 16 36 სმ2

17 ა) 4 19 72radic3 სმ2 21 ha = 6 სმ h = 3radic3 სმ

15 ა) 2 სმ ბ) 8radic3 სმ3 17 60სმ318 ა) V = 6 სმ3 ბ) 60 სმ3-ით მოიმატა19 840მ320 288 სმ321 ა) V = 12 დმ3 22 24მ324 ა) 160radic3 25 375მ3 27 48 სმ3 28 1680 სმ3 33 ბ)18 სმ3

gv 235-236 5 ე) 2 ვ) 5 ი) 256 10 ა) ბ) გ) 2 11 დ) a07514 ბ) 8 თ) 8

გ) + 2k(kZ) l)k(kZ) 9 14) + 2n nZ

gv 180-182 4 ა) 14 სმ26 S1 = 25 მ2 S2 = 100 მ2 S3 = 225 მ2 7 11 სმ11 360 სმ2 12 330 სმ2 13 12544 სმ2 14 ა) 3740 სმ2 ბ) asymp407 სმ

318

pasuxebi

gv 186-192 2 ა)2) (ndash1)k +k (k Z) 3 ა) 2n + 2n nZბ) + nZ5 ბ) 1) 2) +2k (kZ) 6 2) ა)

gv 183 1 88 85 360 + 64radic3 22 2 დ) a=8სმ h=3სმ ha= 5სმ

343

4

33

53

73

8

n2

4

8 დ)1) 2) + k (kZ) 9 ბ)1) 2) + k (kZ)10 ა) + nnZ 13გ)

6

56

76

176

196

2

2

2

k2

k2

34

6

3

56

15ვ) + (kZ) 16 ბ) + k (kZ)დ) kZ 17 ბ) 24018 ა) 0 90 180 21 ბ) 60 120 240 300 22 ექვსი ფესვი აქვს

6

3

34

gv 196-199 2 ბ) k (kZ) გ) + nnZ 3 გ)+2k (kZ) 4 ა) - +k (kZ)4

4

5 ა) +2k (kZ) 6 ბ) 7 ბ) (kZ)34

54

74

23

3

3

23t

12

101) ა) b) - გ)ndash 0 15 ბ)75deg16 asymp2620 t asymp04წმ21 ა) h(t)=15+2cos ბ)asymp01მ c) t=6 წმ

23

23

k2

k2k2

k2

23

gv 204-206 1ა) გ) (0) 2 ა) - 3 ა) 6

6

4 ბ) - 5გ) 6 ბ)(0 8გ)2nltxlt +2nnZ

765

63

6

12 ბ) + 2k le t le + 2k (kZ)3

71614 ა) + le x le + (kZ) 15 ბ)ndash+2nltxlt +2nnZ

16

7413 ბ) + 2k le t le + 2k (kZ)

4

4

53

3

2

23

23

trigonometriuli gantolebebi da utolobebi

sivrciTi figurebis moculobagv 213-218 5225 სმ3120 მ38 ა) 99ტ10 ბ) V= 14411 875 სმ3 12 3144კგ

gv 208-209 4დ) + (kZ) 5 ბ) 20მ 24მ დ) asymp44 წმ 8 ბ) როცა 60ltxlt300

gv 219-22 1 ბ) 44 მ3 1593 მ3 3 157 4 2880 მმ35 96 სმ3 15 32 დმ3

gv 224-225 2 ა) ბ) 4 ა) 259 ბ) 12527 6 ა) V1=43 სმ314

12

35

67

gv 227 1 Sგვ =468 სმ2 Sსრ =680 სმ2 V=1072 სმ3 4 234 კუბური ერთეული

gv 232 2 ა) 5 სმ ბ) 420 სმ3 3 1 125 4 272 სმ2 9 90 სმ3 141 სმ2

5 ბ) Vპირამიდა =12 Vპარალელეპიპედი = 72 V1 V2 = 1 6

7 ა) S2 = 175 სმ2 9 63 სმ3 17 12 მ2

gv 239-240 7 ა) y = -2 ( )x ბ) y=3middot5x12 გ) 3 13 ბ) 3-ზე ნაკლები მნიშვნელობებისათვის14

maCvenebliani da logariTmuli funqciebi

gv 262-264 1 ბ) 32 ე) 2 2 ბ) 6 ზ) 9 ი) = თ) 43 ა) 4 ბ) 34 ა) 81 5 ა) 8 7 დ)3 ვ) თ) 9 8 2)10 9 2 15 32 ქულა 18 ბ) 98 წწ

319

gv 268-269 1 ა) (-1 2) ბ) (6+infin) ზ) (3+infin) 2 5) - +infin) 8) (-53

gv 270-271 3asymp103 სთ 6 asymp50 წწ 8 11 y=31ndashx 12 ა) 100-ჯერ 16 დ)3

3 4) (0 2) 8) (ndash10)(23) 12) (2 32) 5 ბ) asymp59 გრ 6 გ) 2 თ) 1

6

6

14

i2

13

13

415

137 გ) 8 ი) ( 9) კ) (-9 - ) ( 9) 9 გ) asymp154 წლის შემდეგ

gv 275 1ა) 1 გ) i 3 ა) x= 05 y= 25 5 ზ) 2+6i თ) 25

gv 283 1 ბ) 2 2i 4 ბ) 2 -1 + 3 i -1 - 3 i

gv 281 2 ა) 212 ბ) 219middoti 5ა) ბ) ndash32 8 ა) 12 i

gv 300 1ა) 6 ბ) 8 დ) k-1 7 ა) 5C0 5C1 5C2 5C3 5C4 5C5 10 ა) 8 ბ)მე-5 წევრი70gv 304 2 ა) ბ) გ) დ) ე) 3 8

6 ბ) (y+3i)(y-3i) გ)(2x+i)(2xndashi) 7ა) 65

14

532

532

132

516

516

80243

881

8 ა) 2i გ) 4i 9 ბ) 1ndashigv 279 3 ა) 2 cos +i sin გ) 2(cos + i sin ) 4 ბ) 1+i

32

53

53 5

3

53

34

325 ა) cos + i sin ბ) cos + i sin

5 bn=3n+1 9 ბ) 4 11 ა) (-infin-1)(-1 +infin) ბ) (-infinndash2)[1 +infin)

15 გ) -3-1 22 20 24 (2+1)6=36=729 28 6 29 12სმ2

30 ა) (- +) ბ) 6 +) 31 33 m = -1 42 48

gv 307-313

gv 259-260 1 დ)-1 3 თ) 2 2 14)10 15)ndash35 3 ა) 0 2 ე)12 4 ბ) 1 გ) 15

131

312

6 ა) 27 7 ე) 4+lg7 8 3)-14 9) 15 9 ა) r asymp 0042 ბ) asymp 354 წთ10 ბ) k (kZ) გ) 57 დ) ndash22

gv 266 1 მ) (- -3) (3+) ჟ) (-2 4) 2 ბ) xlt9 გ) xlt2 3 ბ) xgt2 4 ა) xge-1 5 ა) (-3 3) გ)-2-1) 2+) დ) (2 3) (7+)

7 1) xgtlog821 8 1) (- -25+) 3)(0ln2)


informaciebi da prognozebi

gv 255-257 3 ა) log215 ბ) log38 ზ) log3800 5 ა) log2 (xgt3)x+32

6 ა) a + b დ) a+b+1 8 1) ა) 27 ბ) 49 2) ა) 5x211 2) გ) 4 დ) 4 თ) ndash 4

gv 251 5 ა) ზრდადი ბ) კლებადი 6 ბ) log 5 lt log 3 გ) log23gt log54 7 k=16gv 249 7 გ) 6 დ) 25 ვ) 9 8 ა) 2 ბ) გ) 36 9ა) ბ)16 10asymp784 მილიარდი49

312

12

12

pasuxebi

gv 244-245 6 ბ) y = 3x 10 ბ) asymp 1587 მანეთი11 ა) D(f)= (-+) E ( f)= (2 +) ვ) D(f)= (-+) E ( f)= (-1 +)

53

gv 252-253 2 ა) asymp 36 db ბ) მცდარია 3 ა) 71 ბ) 5-ჯერ 6 46 წწ 117 წწ

320

literatura

1 ალგებრა სახელმძღვანელო მე-9 კლასი მერდანოვი მ იაკუბოვი მ

და სხვ ჩაშიოღლუ 2014 (აზერბაიჯანულ ენაზე)

2 ალგებრა და ანალიზის საწყისები სახელმძღვანელო მე-10 კლასი მერ-

დანოვი მ იაკუბოვი მ და სხვ ჩაშიოღლუ 2011 (აზერბაიჯანულ ენაზე)

3 გეომეტრია სახელმძღვანელო მე-9 კლასი მერდანოვი მ მირზაევი ს


4 გეომეტრია სახელმძღვანელო მე-10 კლასი მერდანოვი მ იაკუბოვი მ




6 A problem solving approach to Mathematics Rick Billstein Pearson 2013

7 Algebra 1 Edward B Burger Harcourt Publishing Company 20108 Algebra 2 James ESchulltz Harcourt Education Company 20049 Pre-Algebra McDougal Littell Houghton Mifflin Company 200510 Discovering Advanced Algebra An Investigative Approach

Grades 10ndash12 Jerald Murdock Key Curriculum Press 201011 College and Apprenticeship mathematics

Pearson Education Canada Inc 200312 Геометрия Учебник для 7-11 классов АВПогорелов

Просвещение 1999httpwwwclasszonecomhttpwwwnctmorghttpswwwengagenyorgcontentprecalculus-and-advanced-topicshttpswwwedonlineskcawebappsmoe-curriculum-BBLEARNindexjsphttpmathkendallhuntcomx5273htmlhttpswwwkhanacademyorgmath

ali

RadiusBakı - 2017

maTematika10zogadsaganmanaTleblo skolebis

me-10 klasisaTvis maTematikis sagnis

saxelmZRvaneloAA

naima kehremanovamehemmed qerimoviilham huseinovi

gTxovT saxelmZRvanelosTan dakavSirebuli Tqveni gamoxmaureba SeniSvnebi da winadadebebi gamoagzavnoT radius_nhotmailcom da derslikedugovaz eleqtronul misamarTebze winaswar madlobas mogaxsenebT CvenTan

TanamSromlobisaTvis

sarCevi1 funqciebi

2 wertili wrfe da sibrtye sivrceSi

3 kuTxis trigonometriuli funqciebi

4 sinusebisa da kosinusebis Teorema

5 trigonometriuli funqciebi

ფუნქცია და მისი მოცემის ხერხები7ზოგიერთი ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე12ფუნქციების თვისებები 14ლუწი ფუნქცია და კენტი ფუნქცია 18ნაწილ-ნაწილ მოცემული ფუნქციები 20y= xn (nN) მაჩვენებლიანი ფუნქციები 22ფუნქციების კლასიფიკაცია23გრაფიკების გარდაქმნა25მოქმედებები ფუნქციებზე 32რთული ფუნქცია34შექცეული ფუნქცია 37განმაზოგადებელი დავალებები 41

წერტილი წრფე და სიბრტყე სივრცეში44წრფისა და სიბრტყის პარალელურობა48წრფისა და სიბრტყის მართობულობა 49სამი მართობის თეორემა52ორ სიბრტყეს შორის კუთხე ორწახნაგა

კუთხეები 54მართობული სიბრტყეები 56პარალელური სიბრტყეები 59გეგმილები და ამოცანების ამოხსნა63განმაზოგადებელი დავალებები 65

მობრუნების კუთხეები 67კუთხის რადიანული და გრადუსულიზომები 69რკალის სიგრძე სექტორის ფართობი 72ტრიგონომეტრიული ფუნქციები76ნებისმიერი კუთხის ტრიგონომეტრიულიფუნქციები80ერთეულოვანი წრეწირი და ნებისმიერიკუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები83დაყვანის ფორმულები86ტრიგონომეტრიული იგივეობები90შეკრების ფორმულები93შეკრების ფორმულებიდან მიღებულიშედეგები 97ტრიგონომეტრიული გამოსახულებებისგამარტივება 102განმაზოგადებელი დავალებები 104

სინუსების თეორემა 107კოსინუსების თეორემა 114განმაზოგადებელი დავალებები119

პერიოდული ფუნქციები 122y = sin x და y = cos x ფუნქციებისგრაფიკები 124y = sin x და y = cos x ფუნქციებისგრაფიკების გარდაქმნები128სინუსოიდის აგება ხუთი ძირითადიწერტილის მიხედვით136ტრიგონომეტრიული ფუნქციები დაპერიოდული მოვლენები141y = tg x და y = ctg x ფუნქციებისგრაფიკები 144შექცეული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები150განმაზოგადებელი დავალებები 155

7 trigonometriuli gantolebebi da utolobebi

8 figurebis moculoba

9 maCvenebliani da logariTmulifunqciebi

11 informaciebi da prognozebi

10 kompleqsuri ricxvebi

მარტივი ტრიგონომეტრიულიგანტოლებები 185ტრიგონომეტრიული განტოლებებისამოხსნის ხერხები193ამოცანების ამოხსნა ტრიგონომეტრიულიგანტოლებების გამოყენებით 198ტრიგონომეტრიული უტოლობები200განმაზოგადებელი დავალებები 209

ნამდვილმაჩვენებლიანი ხარისხი234მაჩვენებლიანი ფუნქცია 237მაჩვენებლიანი ფუნქციის გრაფიკისგარდაქმნები 243მაჩვენებლიანი ფუნქცია e რიცხვი 246რიცხვის ლოგარითმი248ლოგარითმული ფუნქცია 250ლოგარითმული სკალა და ამოცანებისამოხსნა252ლოგარითმის თვისებები 254მაჩვენებლიანი განტოლებები 258ლოგარითმული განტოლებები 261მაჩვენებლიანი უტოლებები265ლოგარითმული უტოლებები267განმაზოგადებელი დავალებები270

კომპლექსური რიცხვები273მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე 274კომპლექსური რიცხვის გეომეტრიულიგამოსახვა277კომპლექსური რიცხვის მოდული დაარგუმენტი კომპლექსური რიცხვისტრიგონომეტრიული სახე278მოქმედებები ტრიგონომეტრიული სახითმოცემულ კომპლექსურ რიცხვებზე 280n-ური ხარისხის ფესვი კომპლექსურირიცხვიდან 282განმაზოგადებელი დავალებები 284

ერთობლიობა და შერჩევა შემთხვევითიშერჩევა და სახეები 286

ბინომიალური დანაშალი 297ბერნულის ცდები 301განმაზოგადებელი დავალებები 306

ინფორმაციის წარდგენა 290

პრიზმის მოცულობა211პირამიდის მოცულობა 218სივრცითი ფიგურების მსგავსება 222მსგავსი სივრცითი ფიგურების ზედაპირები და მოცულობები223წაკვეთილი პირამიდის მოცულობა 226ამოცანები სიბრტყითი კვეთების შესახებ 228სიმეტრია სივრცეში 229განმაზოგადებელი დავალებები 232

6 mravalwaxnagebi

მრავალწახნაგები158პრიზმები160მრავალწახნაგები და მათი ხედებისხვადასხვა მხრიდან163პრიზმის ზედაპირის ფართობი 166პრიზმის სიბრტყითი კვეთები 171პირამიდა პირამიდის გვერდითიზედაპირისა და სრული ზედაპირისფართობი 174პირამიდის კვეთები წაკვეთილი პირამიდა180განმაზოგადებელი დავალებები 183

6


zogierTi funqciis gansazRvris are

da mniSvnelobaTa simravle




y= xn (nN) maCvenebliani funqciebi




rTuli funqcia

Seqceuli funqcia

funqciebi1

7


ჩვენს გარშემო მიმდინარე სხვადასხვა პროცესში ზოგიერთი რაოდენობები სხვებზედამოკიდებულებით იცვლება და ერთის მნიშვნელობა მეორის მნიშვნელობითგანისაზღვრება მაგალითად ქვეითის მიერ გავლილი მანძილი დროზე დამოკიდებულებითიცვლება სურსათში გადახდილი ფული მისი მასისაგან დამოკიდებულებითიცვლება გზა და დრო მასა და ღირებულება დამოკიდებული ცვლადი სიდიდეებიაამ სიდიდეებიდან ერთი დამოუკიდებლად მეორე კი მასზე დამოკიდებულებითიცვლება მაგალითად დრო დამოუკიდებელი ცვლადია ხოლო გავლილი გზა კიდროზე დამოკიდებული ცვლადი სიდიდეა სურსათის მასა დამოუკიდებელი მისიღირებულება კი დამოკიდებული ცვლადი სიდიდეა

123

152025

X Yf hndash101

102

X Y

სადაც f და g დამოკიდებულებებიდან თითოეული ფუნქციაა რადგან X სიმრავლიდანაღებულ თითოეულ რიცხვს Y სიმრავლიდან ერთადერთი რიცხვი შეუპირისპირდებაh დამოკიდებულება კი ფუნქცია არაა (რატომ)შეპირისპირების წესის თანახმად შეგვიძლია დავწეროთ f(1) = 15 f(2) = 20 f(3) = 25g(0) = 0 g(ndash1) = 1 g(1) = 1 g(ndash2) = 4 g(2) = 4

ნაჩვენები ფუნქციების არგუმენტისა და ფუნქციის Sesabamisi mniSvnelobaTawyvilebis CamoTvliT მოცემაც შეიძლებაf ფუნქცია (1 15) (2 20) (3 25)g ფუნქცია (0 0) (ndash1 1) (1 1) (ndash2 4) (2 4)

ndash2

ndash10 0

14

X Yg

1

2

არგუმენტის დასაშვებ მნიშვნელობათა სიმრავლეს ფუნქციის განსაზღვრის არეეწოდება და როგორც წესი D(f)-ით დამოკიდებული ცვლადის დასაშვებ მნიშ-ვნელობათა სიმრავლეს კი ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე (ან მნიშვნელობათაარე) ეწოდება და როგორც წესი E(f)-ით აღინიშნება

funqciis mocema sxvadasxva xerxiT SeiZlebaცხრილით შესაბამისი მნიშ-ვნელობების წყვილით დამოკიდებულების რუკით გრაფიკით ფორმულით და აშ

თუ განსაზღვრის არე სასრული სიმრავლეა არგუმენტის თითოეულ მნიშ-ვნელობაზე დამოკიდებული ცვლადის შესაბამისი მნიშვნელობის შეპირისპირებისწესის ისრების დახმარებით ჩვენება შეიძლება ასეთ ასახვას damokidebulebisruka ეწოდება

თუ x ცვლადის თითოეული მნიშვნელობას განსაზღვრული წესით y ცვლადისერთადერთი მნიშვნელობა შეესაბამება მაშინ y და x ცვლადებს შორის დამოკი-დებულებას ფუნქცია ეწოდებააქ x დამოუკიდებელი ცვლადი ანუ არგუმენტი ხოლო y-ს კი დამოკიდებულიცვლადი ან ფუნქცია ეწოდება ფუნქცია როგორც წესი f-ით (ან g და სხვ)არგუმენტის მოცემული მნიშვნელობისათვის შესაბამისი ფუნქცია კი f(x)-ით (ანg(x) (x) და სხვა) აღინიშნება y = f(x)

nimuSi 1

8


0

(x1 f1)) (x3 x3))

(x2 x2))

f(x1) f(x3)

x

y

f(x2)

x1 x2 x3

funqciis grafikiT mocemac SeiZleba ორ ცვლად სიდიდეს შორის დამოკიდებულების საკოორდინატო სიბრტყეზე გეომეტრიული ასახვა ხელსაყრელია

nimuSi 4 სურათზე f(x) = x + 2 წრფივი ფუნქციაა 4 le x le 4 ინტერვალშიგრაფიკითაა მოცემული

mniSvnelobaTa simravle (მიღებული მოსავლის ოდენობა) 2 3 4 5

gansazRvris are (წლები) 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

(2009 3) (2010 4) (2011 2) (2012 3) (20013 5) (2014 3) (2015 2) კოორდინატებიგვიჩვენებენ 1 ჰექტარიდან მიღებული მოსავლის ცვლილებას წლების მიხედვით

nimuSi 2

funqciis formuliT - analitikuri xerxiT mocemac SeiZleba

nimuSi 3 f(x) = x2 1 le x le 3ეს ჩანაწერი უჩვენებს იმას რომ [1 3] მონაკვეთიდან აღებულ თითოეულ რიცხვს ამავერიცხვის კვადრატი შეუპირისპირდება მაგალითად f(1) = 12 = 1 f(12) = 122 = 144f(2) = 22 = 4 f(3) = 32 = 9 და სხვა ამ შემთხვევაში f(4) ჩანაწერი უაზროა ვინაიდანრიცხვი 4 მოცემული ფუნქციის განსაზღვრის არეში [1 3] მონაკვეთში არ შედისარგუმენტის თითოეული x D მნიშვნელობისათვის ფუნქციის შესაბამისი y = f(x)მნიშვნელობის გაანგარიშება კოორდინატების (x y) მქონე წერტილების საკოორ-დინატო სიბრტყეზე აგება შეიძლება ყველა ასეთი წერტილის სიმრავლე ფუნქციისგრაფიკს შეადგენს

წვეროს წერტილების კოორდინატები (4 f(4)) ეი(4 1) და (4 f(4)) ეი (4 5) მქონე მონაკვეთი ამფუნქციის მოცემული შუალედის გრაფიკია წვეროსწერტილები გრაფიკს ეკუთვნის ეს ნახაზზე შიგნითგამუქებული პატარა წრეებითაა აღნიშნულიmniSvnelobaTa are[ 1 5] SeniSvna თუ ფუნქციის გრაფიკის მრუდის (ანკიდევ წრფის მონაკვეთის) ბოლოები სპეციალურიპატარა ბურთულებით არ არის აღნიშნული ეს იმასუჩვენებს რომ ხაზის უსასრულოდ გაგრძელება შეიძლება (როგორც წესი ამასწვეროებში მყოფი ისრებით უჩვენებენ)

34

x

y

0ndash2 42ndash4

4

2

funqcia SeiZleba cxriliT iyos mocemuliასეთ შემთხვევებში ცხრილის ერთ სტრიქონში დამოუკიდებელი ცვლადის მეორე სტრიქონში კი დამოკიდებული ცვლადის მნიშვნელობები მოიცემა

ფუნქციის გრაფიკი საკოორდინატო სისტემაში აბსცისა არგუმენტების ორდინატი კი ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობების მქონე წერტილთა სიმრავლეა

ერთი ჰექტარიდან მიღებული მოსავალი (ტონობით)წლები 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

1 ჰექტარიდანმიღებული მოსავალი

(ტონობით)3 4 2 3 5 3 4

9


saswavlo davalebebi

2 grafikis asaxvis mixedviTთუ Oy ღერძის პარალელურად გავ-ლებული ნებისმიერ ვერტიკალურწრფეზე აღმოჩნდება გრაფიკის არა-უმეტეს ერთი წერტილისა ეს დამო-კიდებულება ფუნქციაა თუ Oy ღერძისპარალელურად გავლებული ვერტიკალური წრფე გრაფიკის ორ ან უფრო მეტ წერტილსგადაკვეთს ეს დამოკიდებულება ფუნქცია არაა ეს იმას უჩვენებს რომ არგუმენტის (x-ის) ერთსა და იმავე მნიშვნელობის ფუნქციის რამდენიმე მნიშვნელობა შეესაბამებაეს კი ფუნქციის განსაზღვრებას ეწინააღმდეგება

x

y

0 x

y

0ndash3 ndash2 ndash1 31 2ndash2ndash1

12

1 wertilebis koordinatebis mixedviT არგუმენტის მნიშვნელობებს შორის(პირველი მნიშვნელობა) თუ არსებობს განმეორებადი მნიშვნელობები ეს დამო-კიდებულება ფუნქცია არაა(1 A) (1 B) (2 C) (3 D) წერტილთა სიმრავლით მოცემული დამოკიდებულებაფუნქცია არაა(1 A) (2 B) (3 C) (4 C) (5 D) დამოკიდებულება ფუნქციაა

or raodenobas Soris damokidebuleba aris Tu ara funqcia მათი გა-მომსახველი მოწესრიგებული წყვილების-წერტილთა სიმრავლის კოორდინატებისმიხედვით ან მოცემული გრაფიკის ასახვის მიხედვით განსაზღვრა შეიძლება

ვერტიკალური წრფის გავლებით შეამოწმეთ მოცემული დამოკიდებულება არისთუ არა რაიმე ფუნქციის გრაფიკი

ცხრილში მოცემულ რომელ (x y) დამოკიდებულებას შეიძლება ეწოდოს ფუნქცია

წერტილთა სიმრავლითა და მოცემული დამოკიდებულებით განსაზღვრეთ არისთუ არა ფუნქცია

განსაზღვრეთ მოცემული დამოკიდებულება არის თუ არა ფუნქცია

ა) (5 1) (3 2) (1 3) (1 2) ბ) (0 4) (3 5) (5 2) (0 1)

4

3

2

ა) ბ) გ)

ბ) ა) 1

135

31

02

22

45

11

62

1

ბ) ა) x 7 6 5 4 3y ndash1 2 ndash1 2 3

x 3 0 0 ndash1 ndash3y ndash4 ndash3 ndash1 ndash2 0

დ)

x

y

0ndash2

1

2ndash2

ndash4

x

y

0ndash3 ndash2 ndash1 1

ndash3ndash2ndash1

12

x

y

0ndash2 2

2

x

y

0ndash2 2ndash1

1

3

10

funqcia da misi mocemis xerxebiქვემოთ მოცემული დამოკიდებულებებიდან რომელს შეიძლება ეწოდოს ფუნქცია

ქვემოთ მოცემული მონაცემების მიხედვით x = 0 და x = 3 მნიშვნელობებისათვისგამოთვალეთ y-ის მნიშვნელობა განსაზღვრეთ რომელი დამოკიდებულება არისფუნქცია

y = x2 3y = 5 2x

ა) დამოკიდებულება რამიზის კვირეულ ხელფასსა და გაყიდვიდან მიღებულშემოსავალს შორის რამიზი კვირეულად იღებს 50 მანეთ მუდმივ ხელფასს და პლუსგაყიდვიდან 2 დამატებითბ) ესმერი თუ 5 კმსთ-ით მოძრაობს მისი გავლილი გზის დროზე დამოკიდებულებაგ) ბავშვების ასაკზე დამოკიდებულებით კომპიუტერის თამაშში ქულების მოპოვება

ბ) ა)

5

6

7გ) y2 + x2 = 25

თითოეული დამოკიდებულება ნიმუშის შესაბამისად წარმოადგინეთ ორიენ-ტირებული გრაფით რომელი დამოკიდებულება არ არის ფუნქცია

505

50

5nimuSi (5 0) (0 5) (5 0) (0 5)

(1 3) (0 0) (4 2) (2 3) (1 1)(2 2) (1 2) (0 0) (1 2) (22)

(5 4) (3 6) (1 0) (3 2)ა) (5 0) (0 5) (5 0) (0 5)ბ)

გ) დ)

8 მოცემულია ფუნქცია f(x) = 1 ndash 2xიპოვეთ f(ndash2) f(0) f(05) f(a + 1) მნიშვნელობები

9 g(x) = 4x3 ndash x ფუნქციისათვის გამოთვალეთ g(2) + g(ndash2) ჯამი

10 მოცემულია ფუნქციაf(x) = არგუმენტის რა მნიშვნელობისათვის ფუნქციის

მნიშვნელობა ა) 1 ბ) 0 გ) ndash2 იქნება

x + 13 ndash x

11 მოცემულია ფუნქცია f(x) = x2 ndash 2x + q იპოვეთ f(ndash1) თუ f(0) = ndash3

ფუნქცია ანალიტიკური ხერხითა და გრაფიკითაა მოცემული თითოეულიშემთხვევისათვის იპოვეთ f(0) f(15) f(ndash1) მნიშვნელობები

f(x) = 5x 2 f(x) = x2 + x f(x) = 2x3 + 1ა)

დ) ე) ვ)

ბ) გ)

12

მოცემულ განსაზღვრის არეში ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი იპოვეთ მნიშვნელო-ბათა არე და გამოსახეთ შესაბამისი ჩანაწერით

გ) ƒ(x) = x 2x | x gt 3

ა) ƒ(x) = x + 2 6 le x lt 2 ბ) f(x) = x 1 (minusinfin 3]12

12

13

დ) f(x) = 2x +1 (minus3 2]

x

y

0 2ndash2

2

ndash2

x

y

0 2ndash2

2

ndash2x

y

0 2ndash2

2

ndash2

11


ქვემოთ მოცემული სიტუაციების შესაბამისი ფუნქციები დაწერეთ ალგებრულისახით სიტუაციის მიხედვით განსაზღვრეთ ფუნქციის განსაზღვრის არე და ააგეთგრაფიკი გრაფიკის მიხედვით იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობათა არე

1) დილარე 40 წუთის განმავლობაში ყოველ 10 წუთში 1 კმ-ს დარბოდა (სიტუაციისშესაბამისად დაწერეთ ინტერვალებით ფუნქციის განსაზღვრისა და მნიშვნელობათა არე)2) ერთი ფოტოსურათის დაბეჭვდის ფასი 25 კაპიკია n რაოდენობის ფოტოსურათისდაბეჭვდის ფასი3) სანთელი რომლის სიმაღლეც იყო 20 სმ და ყოველ 2 საათში წვის დროს 5 სმ-ითიკლებდა 6 საათში დაიწვა 4) n რაოდენობის ცხენის დაჭედებისათვის საჭირო ნალების რაოდენობა5) ერთი ლიტრი ბენზინის ფასი 90 კაპიკია ავტომობილის ავზი 40 ლიტრ ბენზინს იტევს

17

14 y = 2x + b ფუნქციის გრაფიკი A(1 ndash1) წერტილზე გადის იპოვეთ b და ააგეთფუნქციის გრაფიკი

15 c-ს რა მნიშვნელობისათვის გადის f(x) = x2 + x + c ფუნქციის გრაფიკი A(ndash1 2)წერტილზე

16 N(ndash1 1) წერტილი f(x) = x3 + mx ფუნქციის გრაფიკზეა იპოვეთ f(2)

ააგეთ მოცემული ფუნქციის გრაფიკი და გრაფიკის საკოორდინატო ღერძებითუჩვენეთ გადაკვეთის წერტილები

18

12ა) y = x ndash 1 1

2ბ) y = ndash x ndash 1

სურათზე y = 2x y = 2 + x y = y = x2 ფუნქციების გრაფიკებია მოცემულიუჩვენეთ თითოეული ფუნქციის შესაბამისი გრაფიკი

2x

x

y

Ox

y

O x

y

Ox

y

O19 მოცემული ფუნქციის ldquo1rdquo ბიჯით შეადგინეთ მნიშვნელობათა ცხრილი ააგეთ

გრაფიკი უჩვენეთ მნიშვნელობათა სიმრავლე

x + 6xა) y = 1 le x le 6 ბ) y = x2 ndash 2x ndash4 le x le 4

20 გრაფიკზე გამოსახულიწრფივი ფუნქცია ჩაწერეთფორმულით f(x) = kx + bსახით იპოვეთ f(ndash2) f(6)მნიშვნელობები

f(x) ფუნქციის მოცემული გრაფიკის მიხედვითიპოვეთ ა) f(ndash3) f(ndash1) f(0) f(1) მნიშვნელობებიბ) x-ის f(x) = 1 და x-ის f(x) = 3 ტოლობისდამაკმაყოფილებელი მნიშვნელობები

x

y

O 4

2

2

21

x

y

Ondash2ndash4 2

2

4

4

22


3 kvadratuli fesvis Semcvel funqciebSi ფესვქვეშა გამოსახულებამ არ

შეიძლება მიიღოს უარყოფითი მნიშვნელობა განვიხილოთ ორ მაგალითზე

1 ფუნქციის განსაზღვრის არე x-ის 2x 6 ge 0 x ge 3 პირობის დამაკ-

მაყოფილებელი მნიშვნელობებია ეი ფუნქციის განსაზღვრის არე [3 +) შუალედია

მეორე მხრივ იმისათვის რომ კვადრატულ ფესვს აზრი გააჩნდეს უნდა იყოს 2x 6 ge 0და ამ შემთხვევაში radic2x 6 ge 0 ეი მიიღება y ge 0 ეს კი იმას ნიშნავს რომ y = radic2x 6ფუნქციის მნიშვნელობათა არე [0 +) შუალედია

ანალიტიკური ხერხით მოცემული ფუნქციის განსაზღვრის არე თუ არ არის ნაჩვენებიგანსაზღვრის არედ არგუმენტის ყველა ისეთი მნიშვნელობა მოიაზრება რომ ამმნიშვნელობებისათვის ფუნქციის გამომსახველ ფორმულას აზრი ჰქონდეს (x-ის ამმნიშვნელობებს ზოგჯერ ფუნქციის ბუნებრივ განსაზღვრის არესაც უწოდებენ) ამშემთხვევაში საჭირო ხდება გავარკვიოთ რომელ მნიშვნელობებს ვერ მიიღებსარგუმენტი ზოგიერთი ფუნქციის ალგებრული ჩანაწერის მიხედვით განვსაზღვროთმისი განსაზღვრის არე

1 ფუნქცია დამოუკიდებელი ცვლადის მიხედვით mravalwevris saxiT თუ არისმოცემული მისი განსაზღვრის არე მთელი ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა მაგალითადf(x) = x3 2x2 + 4x 1 ფუნქციის განსაზღვრის არეა (minus +)2 racionaluri funqciebis მნიშვნელში მოცემული გამოსახულების მნიშვნელობა

არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი მაგალითად რაციონალურ ფუნქცი-

აში არგუმენტის x2 4 = 0 პირობის დამაკმაყოფილებელი მნიშვნელობები არ შეიძლება

შედიოდნენ მისი განსაზღვრის არეში ეს მნიშვნელობებია x = 2 და x = 2 g(x)ფუნქცია განსაზღვრულია ( 2) (2 2) (2 +) სიმრავლეზე

2x 1x2 4g(x) =

y = radic2x 6

2 იპოვეთ y = radic4 x2 ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე ამოხსნა უნდა იყოს 4 x2 ge 0 ამ უტოლობის ამონახსენთა სიმრავლე [ndash2 2]შუალედია მაშასადამე მოცემული ფუნქციის განსაზღვრის არე [ndash2 2]-ია მეორე მხრივ4 x2 le 4 - სათვის y = radic4 x2 le radic4 = 2 და 4 ndash x2 ge 0 - სათვის y = radic4 x2 ge 0 ამრიგად y ge 0 და y le 2 ეი 0 le y le 2 სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ მნიშვნელობათა სიმრავლე [0 2] მონაკვეთია

4 grafikiT mocemuli funqciis gansaz-Rvrisa da mniSvnelobaTa aris moZebnaსურათზე y = x + 2 წრფივი ფუნქციის განსაზ-ღვრულ ინტერვალში აგებული გრაფიკია მოცემულიგრაფიკის მიხედვით დაწერეთ ფუნქციის განსაზ-ღვრის არე და მნიშვნელობათა არე უტოლობებისსახითგრაფიკის წვეროებზე შიგნით გამუქებული დაგაუმუქებელი წრეების აღნიშვნით განსაზღვრეთშესაბამისი წერტილების აბცისის განსაზღვრის არისათვის და ორდინატისამნიშვნელობათა სიმრავლისათვის მიკუთვნება-მიუკუთვნებლობა ვინაიდან (2 1)წერტილში პატარა წრე გაუმუქებელია x = 2 წერტილი განსაზღვრის არეში y = 1მნიშვნელობა კი მნიშვნელობათა არეში არ შედისგანსაზღვრის არე 6 le x lt 2 მნიშვნელობათა არე 1 lt y le 5

12

x

y


4

ndash2

2

განსაზღვრის არე

მნიშ

ვნელ

ობა

თა ა

რე

12


13

saswavlo davalebebi

უჩვენეთ თითოეული ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა არე

ა) ბ) გ) დ) ე)f(x) = x2 f(x) = x3f(x) = |x| f(x) = radicxf(x) = 1x

იპოვეთ (შესაძლებლობის ფარგლებში) ფუნქციების f (ndash2) f (ndash1) f (0) f (1) f (2)მნიშვნელობები შესაბამისი მნიშვნელობის მოძებნის შეუძლებლობისას კიგანმარტეთ ამის მიზეზი

ƒ(x) = 4 2x

y = 4x x2

f(x) = 4 ndash radicx 2

f(x) = (x ndash 2)(x + 3) f(x) = x ndash 3x + 1

f(x) = x ndash 2x + 2

f(x) = radicx ndash 1x + 2

4

1

ა) ბ) გ)

დ) ე) ვ)


2

y = 3x + 2ა) ბ) y = x3 1გ)

დ) x 2x2y = y = x ndash 3

x2 ndash x ndash 2ვ)

ზ)

y = radicxx 2ე)

y = radicx ndash 1x ndash 3თ)

იპოვეთ ფუნქციების განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა არე

3

ƒ(x) = 2x 3ა) g(x) = 3(x + 1)2 + 6ბ) h(x) = radic2 xგ)

(x) = radicx2 + 9დ) u(x) = radic9 ndash x2ე) v(x) = radic4 ndash (x ndash 1)2ვ)

იპოვეთ ფუნქციების განსაზღვრის არე5f(x) = radic2x ndash x2

x ndash 1ა) f(x) =ბ) 2x ndash x2

x ndash 1radic f(x) =გ) radic2x ndash x2

radicx ndash 16 y = radicx2 ndash mx + 8 ფუნქციის გრაფიკი M(2 2) წერტილზე გადის იპოვეთ ფუნქციის

უმცირესი მნიშვნელობა და უჩვენეთ მნიშვნელობათა სიმრავლე

7 ფუნქციების გრაფიკის მიხედვით დაწერეთ მისი ფორმულა გრაფიკზე უჩვენეთგანსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა არე დაწერეთ იგი ორმაგი უტოლობის სახით

x

y

0ndash2 2

4

2

t

h

0 4 6

5

32

52

6

1

1

3

4

x

y


4

2

8 Ria tipis SekiTxva დაწერეთ რაიმე ფუნქცია რომლის განსაზღვრის არე მოცე-მულ რიცხვთა სიმრავლეაა) ყველა ნამდვილი რიცხვი ბ) 2-ის გარდა ყველა ნამდვილი რიცხვი გ) 4- ზე არანაკლები ყველა ნამდვილი რიცხვიდ) ყველა ნამდვილი რიცხვი არაუმეტეს 3-სა

ა) ბ) გ)

y = radic1 x2 y = radicx + 4x 4ი)


14

funqciisnulebi

x

y

= 0

gt 0 gt 0lt 0funqciis zrdadoba da klebadoba განსაზღვრის არის გარკვეული შუალე-დიდან აღებული ნებისმიერი x1 და x2-სათვის თუ x2 gt x1 პირობის დამაკმაყოფი-ლებელი f(x2) gt f(x1) ანუ თუ არგუმენტის მეტ მნიშვნელობას ფუნქციის მეტიმნიშვნელობა შეესაბამება ამ SualedSi f(x)-s zrdadi ხოლო თუ f(x2) lt f(x1)ანუ არგუმენტის მეტ მნიშვნელობას ფუნქციის ნაკლები მნიშვნელობა შეესაბამებაf(x)-s am SualedSi klebadi funqcia ეწოდება ფუნქციის მოცემულ შუალედ-ში ზრდადობას -ით კლებადობას კი -ით ავღნიშნავთ

funqciis nulebi ფუნქციის გრაფიკზე წერტილების აბსცისის განსაზღვრით ხდებამისი განსაზღვრის არის პოვნა ფუნქციის გრაფიკის აბსცისთა ღერძის გადაკვეთისწერტილებში f(x) = 0 ხდება არგუმენტის იმ მნიშვნელობებს რომლებიც ფუნქციასნულად აქცევენ funqciis nulebi ეწოდება f(x) ფუნქციის ნულები f(x) = 0 გან-ტოლების ფესვებია

ნული არ აქვს სამი ნული აქვს x1 x2 x3 ორი ნული აქვს x1 x2

ფუნქციის თვისებების ჩვენებისათვის ხელსაყრელია მისი გრაფიკით წარდგენა

თუ f(x) ფუნქცია განსაზღვრულ შუალედში ზრდადია (კლებადია) ndashf(x) ფუნქცია ამშუალედში კლებადია (ზრდადია)მაგალითად f(x) = x2 ფუნქცია [0 +) შუალედში ზრდადია g(x) = ndashx2 ფუნქცია კიიმავე შუალედში კლებადიათუ f(x) ფუნქცია განსაზღვრულ შუალედში ნულისაგან განსხვავებული ზრდადი(კლებადი) ნიშანმუდმივი ფუნქციაა მაშინ ფუნქცია ამ შუალედში კლებადია(ზრდადია)

ფუნქციის ნულები მის განსაზღვრის არეს რამდენიმეშუალედად ყოფენ და ამ შუალედებიდან თითოეულშიფუნქცია მუდმივი ნიშნის შენარჩუნების პირობებშიდადებით ან უარყოფით მნიშვნელობებს იღებს სურათზემოცემულ გრაფიკზე ფუნქციის ნიშანმუდმივობის შუა-ლედები სქემატურადაა ნაჩვენები

x2 gt x1 f(x2) gt f(x1) x2 gt x1 f(x2) lt f(x1)

x

y

y = f(x)

(0 f(0))(x1 0) (x2 0) (x3 0) x

y y = f(x)

(x2 0)(x1 0) x

y

(0 f(0))

y = f(x)

+ ndash

++

y y

f (x2) f (x1)

f (x2)

f (x)

f (x)f (x1)

x xx1 x2 x1 x2

klebadizrdadi

1f(x)


15

მაქსიმუმისა და მინიმუმის წერტილებს (xmin xmax) ექსტრემუმის წერტილები ხოლოფუნქციის მნიშვნელობებს ამ წერტილებში ექსტრემუმები ეწოდებაგრაფიკის მიხედვით ფუნქცია x = c წერტილში აღწევს მინიმუმს x = d წერტილში კიმაქსიმუმს ეს ასე იწერება xmin = c fmin = f(c) xmax = d fmax = f(d)

გრაფიკზე ზრდის კლებით შეცვლისა და კლების ზრდით შეცვლის წერტილებიშესაბამისად ფუნქციის მაქსიმუმსა და მინიმუმს უჩვენებსx0 წერტილის მომცველ ნებისმიერ მიდამოს ამ wertilis midamo ეწოდებაx0-ის განსაზღვრულ მიდამოში თუ ყველა x-ისათვის f(x) ge f(x0) მაშინ x0-ს f(x)-ისminimumis wertili f(x0)-ს კი minimumis mniSvneloba ეწოდებაx0-ის განსაზღვრულ მიდამოში თუ ყველა x-ისათვის f(x) le f(x0) მაშინ x0-ს f(x)-ისmaqsimumis wertili f(x0)-ს კი maqsimumis mniSvneloba ეწოდება

კუთხური კოეფიციენტის ნიშნის მიხედვით შეიძლება განვსაზღვროთ წრფივიფუნქცია ზრდადია თუ კლებადია

ანალიტიკური ხერხით ვუჩვენოთ რომ f(x) = kx + b ფუნქცია როცა k gt 0 მთელრიცხვით ღერძზე ზრდადია ხოლო როცა k lt 0 მაშინ კლებადიაარგუმენტის (ndash +) შუალედიდან აღებული და x2 gt x1 პირობის დამაკმა-ყოფილებელი ორი მნიშვნელობისათვის განვიხილოთ f(x2) ndash f(x1) სხვაობა

f(x2) ndash f(x1) = (kx2 + b) ndash (kx1 + b) = k middot (x2 ndash x1)პირობის თანახმად რადგან x2 gt x1 ამიტომ f(x2) ndash f(x1) სხვაობის ნიშანი k-ს ნიშანსემთხვევა მაშასადამე როცა k gt 0 მაშინ f(x2) gt f(x1) ანუ ფუნქცია ზრდადია ხოლოროცა k lt 0 მაშინ კი f(x2) lt f(x1) ანუ ფუნქცია კლებადიაზრდად და კლებად ფუნქციებს მონოტონური ფუნქციები ეწოდება

მთელ განსაზღვრის არეზე ფუნქციისმნიშვნელობებს შორის უდიდესი udm-ით და ყველაზე პატარა კი umm-ით (თუარსებობს) შეიძლება აღინიშნოს თუფუნქცია უწყვეტია udm-სა და umm-სშორის ყველა მნიშვნელობას იღებს

wrfivi funqciebi romelTa kuTxurikoeficienti dadebiTia zrdadia

y = ndash2x + 3 funqciaklebadia

y = 2x + 1 funqcia zrdadia

wrfivi funqciebi romelTa kuTxurikoeficienti uaryofiTia klebadia

y

11

3

3


y

11

3

3


მაგალითად f(x) = x2 + 4 ფუნქცია [0 +) შუალედში ზრდადია g(x) =ფუნქცია კი იგივე შუალედში კლებადია

1x2 + 4

0


მინიმუმი

y

x

udm

umm

მნიშვნელობათა არე

abc

d

16


saswavlo davalebebi

1 იპოვეთ ფუნქციის ნულები

15ა) y = x ndash 4 ბ) y = 2x(x ndash 3) გ) y = radicx ndash 2 დ) y = radicx ndash 2

2

3 ა) გამოსახეთ რომელიმე ზრდადი ფუნქციის გრაფიკი რომლის განსაზღვრის არეა [1 4]ბ) გამოსახეთ რომელიმე კლებადი ფუნქციის გრაფიკი რომლის განსაზღვრის არეა [1 4]

გამოსახეთ რაიმე ფუნქციის გრაფიკი რომლის ნულები მოცემული რიცხვებიაა) ndash1 3 ბ) ndash2 1 4

4 დაწერეთ დამოკიდებულების რუკით მოცემული ფუნქციების ა) განსაზღვრის არედა მნიშვნელობათა სიმრავლე ბ) ზრდისა და კლების შესახებ

X Y

ა)1

02

21

35917

ბ)02143

53412

გ)16

941

4321

დ)ndash2

2ndash1

10

410

X Y X Y X Y

amoxsna 1 ფუნქციის gansazRvris are [-1 5]შუალედია ფუნქციის mniSvnelobaTa simravle

[-3 3] შუალედია (5 2) წერტილი კი გრაფიკს არეკუთვნის (შიგნიდან გაუქმებული წრითააააღნიშნული)

2 funqciis nulebi გრაფიკის x ღერძთან გადა-კვეთის წერტილების აბსცისებია x = 1 და x = 4 მაშა-

სადამე x = 1 და x = 4 წერტილები ფუნქციის ნულებია

f(1) = 0 და f(4) = 03 funqciis zrdadoba da klebadoba ფუნქციის ნულები მისი განსაზღვრისარეს ფუნქციის ნიშანმუდმივობის შენარჩუნებით სამ შუალედად ყოფს (-1 1) (1 4)და (4 5) ფუნქცია (1 4) შუალედში უარყოფით ხოლო (ndash1 1) და (4 5) შუალედებიდანთითოეულში დადებით მნიშვნელობას იღებსგრაფიკიდან ჩანს რომ x-ის -1 დან 1-მდე ზრდისას y-ის მნიშვნელობა 1-დან 3-მდეიზრდება x-ის 0-დან 2-მდე ზრდისას y-ის მნიშვნელობა 3-დან ndash3-მდე მცირდება x-ის 2-დან 5-მდე ზრდისას კი y-ის მნიშვნელობა ndash3-დან 2-მდე იზრდებაფუნქცია [-1 0] და [2 5] შუალედებიდან თითოეულში ზრდადია [0 2] შუალედშიკლებადია4 funqciis eqstremumebi-maqsimumebi da minimumebi გრაფიკზე (0 3) და (2 ndash3) წერტილები ექსტრემუმის წერტილებია ეს წერტილები შესაბამისად ფუნქციისმაქსიმუმსა და მინიმუმს უჩვენებს xmax = 0 fmax = 3 xmin = 2 fmin = ndash3

x

y

0ndash3

მნიშ

ვნელ

ობა

თა

განსაზღვის არე

(ndash1 1) (0 3)(5 2)

(2 ndash3)

y= f(x)4

432

1

ndash2

nimuSi ჩამოთვალეთ გრაფიკზე მოცემული ფუნქციის თვისებები

17


y = f(x) ფუნქცია (ndash +) შუალედში განსაზღვრული კლებადი ფუნქციაადაალაგეთ ქვემოთ მოცემული მნიშვნელობები ზრდის რიგის მიხედვით

ა) f(0) f(ndash4) f(2) ბ) f(1) f(ndash1) f(3) გ) f(ndashradic3) f(ndash2) f(radic2)

6

ndash2

5 სურათზე მოცემული გრაფიკისათვის იპოვეთა) განსაზღვრის არე ბ) ნულები გ) დადებითნიშნიანი შუალედები დ) უარყოფითნიშნიანი შუალედები ე) ზრდის შუალედები ვ) კლების შუალედები ზ) ექსტრემუმები თ) მნიშვნელობათა არე

x

y

2 43 650ndash2

2

1

ndash3

ndash1

1

ndash3

3

ndash2

x

y

2 43 50ndash2

2

1

ndash3

ndash1

1

ndash3

34

ndash4ndash5

1) 2)

8

7 ცხრილში A და B კომპანიების კვირეული რეალიზაციის მოცულობებია მოცემულია) თითოეული კომპანიისათვის განსაზღვრეთ გაიზარდა თუ შემცირდარეალიზაციის მოცულობაბ) თითოეული კომპანიისათვის მოცემული ცხრილი გამოსახეთ გრაფიკულად

ააგეთ მოცემული ფუნქციის გრაფიკი უჩვენეთ ზრდადია თუ კლებადი იპოვეთფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა

ა) f(x) = x ndash 3 ndash2 le x le 4 ბ) f(x) = 3 ndash x ndash1 le x le 412

9 იპოვეთ ფუნქციის ნულები გამოსახეთ გრაფიკი სქემატურად გამოიკვლიეთ ნიშან-მუდმივობა უჩვენეთ ზრდისა და კლების შუალედები დაწერეთ ექსტრემუმებია) y = x2 ndash 4 ბ) y = x ndash 1 გ) y = ndashx2 + 2x + 3

კვირა 1 2 3 4 გაყიდვა 5 71 87 12

A კომპანია (ათი ათას მანეთობით)

კვირა 1 2 3 4 გაყიდვა 56 42 38 3

B კომპანია (ათი ათას მანეთობით)

10დაწერეთ f(x) = kx + b ფუნქციის ფორმულა რომლის გრაფიკი A(1 ndash1) და B(2 1)წერტილებზე გადის დაალაგეთ ზრდის რიგის მიხედვით f(ndash3) f(ndash4) f(2)მნიშვნელობები განსაზღვრეთ არგუმენტის რა მნიშვნელობისათვის f(x) ge f(1)

11იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა (თუ გააჩნია)

ბ) f(x) = 2 ndash x ndash 1ა) f(x) = 2 + radicx ndash 4 გ) f(x) = 2x2 + 1

12ააგეთ მოცემული ფუნქციის გრაფიკი მოცემულ შუალედში უჩვენეთ ექსტრე-მუსმები იპოვეთ უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები

ა) y = 2x ndash x2 [ndash1 2] ბ) y = x2 + 4x [ndash2 1]

18


ლუწი ფუნქციის გრაფიკი ორდინატთაღერძის მიმართ სიმეტრიულია

კენტი ფუნქციის გრაფიკი კოორდინატთასათავის მიმართ სიმეტრიულია თუ f(x)კენტი ფუნქციაა x = 0 წერტილში განსაზ-ღვრულია მაშინ f(0) = 0

x

y

0ndash2

4

2

4

(x y)

6

ndash4 2

(ndashx y)x

y


2

ყველა ფუნქცია კენტი ან ლუწი არაა თუ ფუნქციის განსაზღვრის არე x = 0 წერტილისმიმართ არ არის სიმეტრიული მაშინ ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი განსაზ-ღვრის არის 0-ის მიმართ სიმეტრიული ფუნქციისათვის f(ndashx) = f(x) და f(ndashx) = ndashf(x)პირობების დარღვევის შემთხვევაშიც ამბობენ რომ ფუნქცია არც კენტია და არც ლუწი

nimuSi 1 f(x) = x2 + x ფუნქციისათვის გამოიკვლიეთ ლუწ-კენტობაamoxsna ფუნქციის განსაზღვრის არე-ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე x = 0წერტილის მიმართ სიმეტრიულია თუმცა რადგან f(ndashx) = (ndashx)2 + (ndashx) = x2 ndash xამიტომ f(ndashx) f(x) და f(ndashx) ndashf(x) მაშასადამე მოცემული ფუნქცია არც კენტია დაარც ლუწი

nimuSi 2 ფუნქციისათვის გამოიკვლიეთ ლუწ-კენტობა

amoxsna ფუნქციის განსაზღვრის არე ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა და

f(x) = = f(x)

f(x) =x3 xx2 + 2

(x)3 (x)(x)2 + 2

x3 + xx2 + 2

(x3 x)x2 + 2

(x3 x)x2 + 2===

რადგან f(x) = f(x) მოცემული ფუნქცია კენტი ფუნქციაა

ფუნქციის გრაფიკი yღერძის მიმართ სიმეტ-რიულია ეს ფუნქციალუწი ფუნქციაა

ფუნქციის გრაფიკი არცy ღერძის მიმართაა სი-მეტრიული არც კოორ-დინატთა სათავის მი-მართ ფუნქცია არც კენ-ტია და არც ლუწი

xndashx

xndashx

(x y)

(ndashx ndashy)

ა) f(x) = x2 4 ბ) f(x) = x2 minus 4x + 3nimuSi 3 გამოიკვლიეთ ლუწ-კენტობა ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით

განვიხილოთ ფუნქციები რომელთა განსაზღვრის არე x = 0 წერტილის მიმართარის სიმეტრიული

108642

-2-2-4-4-6

2 4

10864

4

2

2-22 xx

yy

თუ განსაზღვრის არიდან აღებული ნე-ბისმიერი x-სათვის f(x) = f(x) მაშინf(x) ფუნქციას ლუწი ფუნქცია ეწოდება

თუ განსაზღვრის არიდან აღებული ნების-მიერი x-სათვის f(x) = f(x) მაშინ f(x)ფუნქციას კენტი ფუნქცია ეწოდება

19


გამოიკვლიეთ მოცემული ფუნქციის ლუწ-კენტობა

მოცემული გრაფიკების მიხედვით განსაზღვრეთ ფუნქციები კენტია თუ ლუწი

გამოიკვლიეთ მოცემული ფუნქციების ლუწ-კენტობა

f(x) = 5x3+ x

f(x) = x2+ 6

f(x) = x2 + 1

f(x) = x5

f(x) = x3+ x f(x) = x + 4

f(x) = x3

f(x) = x2

f(x) = 3x2 5f(x) = x(x2 + 5)f(x) = 0

f(x) = 5x3+ x2+ 4f(x) = 2x3 3x f(x) = 1

x2 + 2

|x|x2 + 1|x|

x3 1

f(x) =

f(x) =

1

2

3

4 მოცემულია მთელ რიცხვთა ღერძზე განსაზღვრული f(x) ფუნქცია იპოვეთა) f(4) -ის მნიშვნელობა თუ f(x) ლუწი ფუნქციაა და f(ndash4) = 7ბ) f(4) -ის მნიშვნელობა თუ f(x) კენტი ფუნქციაა და f(ndash4) = 7გ) f(3) + f(ndash5) თუ f(x) ლუწი ფუნქციაა და f(ndash3) = 8 f(5) = ndash2 დ) f(2) + f(0) + f(ndash4) თუ f(x) კენტი ფუნქციაა და f(ndash2) = 3 f(4) = ndash7

5 მოცემულია იმ f(x) ფუნქციის გრაფიკის ერთი ნაწილირომლის განსაზღვრის არეა [ndash2 2] დაასრულეთ გრაფიკითუ ცნობილია რომ ფუნქცია არის ა) ლუწი ბ) კენტი x

y

0ndash2

ndash2

2

saswavlo davalebebi

6 თუ ფუნქციის განსაზღვრის არე მოცემულ შუალედშია მაშინ შეიძლება მოცემული ფუნქცია იყოს კენტი ან ლუწი

ა) [ndash6 6] ბ) (ndash6 6) გ) (ndash6 6] დ) [ndash9 10) ე) (ndash 1) (1 +)7 f(x) ფუნქცია მთელ რიცხვით ღერძზეა განსაზღვრული და [0+) შუალედში

ზრდადია 1) თუ f(x) ლუწი ფუნქციაა შეადარეთა) f(2) და f(3) ბ) f(5) და f(7) გ) f(ndash2) და f(ndash3) დ) f(ndash5) და f(ndash7) 2) ზრდადია თუ კლებადია f(x) ფუნქცია (ndash 0] შუალედში

8 სქემატურად გამოსახეთ რაიმე ლუწი ფუნქციის გრაფიკი რომლის განსაზღვრისარეც არის [ndash6 6] მონაკვეთი ზრდადია [ndash6 0] შუალედში და x = ndash4 წერტილშინულის ტოლი ხდება x-ის რა მნიშვნელობებისთვისაა f(x) gt 0

y

x0 2 4

05

1

ndash2ndash4ndash05

ndash1

y

x2

02

1ndash2

ndash5ndash10

yy

x

x

0 2 4

0204

5 10

ndash2ndash4ndash02ndash04

ndash1ndash5ndash10

510

0

0

ა) ბ) გ) დ)

ა) ბ) გ) დ)

20


amoxsna ფუნქციის გრაფიკი x = 1 წერტილის მარცხნივ

y = ndash x ndash წრფის x = 1-ის მარჯვნივ კი y = x 2

წრფეზეა ვინაიდან f(1) = ndash1 მოცემული ფუნქციის გრაფიკი

წვერო (1 -1) წერტილში მქონე ტეხილია თუ გრაფიკის

ასახვა ხდება კალმის ldquoფურცლიდან აუღებლადrdquo შეიძლება

ითქვას რომ ფუნქცია უწყვეტია ნიმუშში მოცემული ფუნ-

ქცია უწყვეტია

ხშირ შემთხვევაში რეალური ცხოვრებისეული სიტუაციების ასახვისათვის გამოიყენებაარა ერთი არამედ რამდენიმე ფუნქცია და მათი განსაზღვრის არეამოცანა საბითუმო მაღაზიაში მინიმუმ 10 და მაქსიმუმ 20 სპორტული პერანგისშემძენისათვის ერთი პერანგის ფასი 3 მანეთია 20-ზე მეტი სპორტული პერანგისშემძენისათვის ფასი 2 მანეთია დაწერეთ ამ ორ სიდიდეს შორის დამოკიდებულებაგაყიდვიდან შემოსული ფული აღნიშნეთ C- თი პერანგების რაოდენობა n-ით

C (n) = 3 n2 n

10 le n le 20 n gt 20

ამ სიტუაციის ორი ფუნქციის C(n) = 3 n 10 le n le 20 და C(n) = 2 n n gt 20 საერთოსახით ქვემოთ მოცემული ჩანაწერით გამოსახვა შეიძლება

ამ ფუნქციის გრაფიკი საფეხურიანი ნაწილებისაგან შედგება ვინაიდან გრაფიკიწყვეტილი ხაზებისაგან შემდგარი ფუნქცია წყვეტადიამსგავსი ფუნქციები როგორც მთელი ნაწილის ფუნქციები ზოგადად f (x) = [x] სახითიწერება აგებული გრაფიკი მთელი - ნაწილი ფუნქციის [0 4) შუალედში არსებულიგრაფიკია

1 თუ 0 le x lt 12 თუ 1 le x lt 23 თუ2 le x lt 34 თუ 3 le x lt 4

ƒ(x) =

nimuSi 2 ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი

x

y

0ndash1 1ndash1

1

(1ndash1)

ndash x ndash როცა x lt 1 x 2 როცა x ge 1

12

12

12

12

n = 15 n = 20 n = 30 n = 40 იპოვეთ C(n) ფუნქციის მნიშვნელობები n = 15 და n = 20 მნიშვნელობებისათვის10 le n le 20 პირობის დამაკმაყოფილებელი რიცხვისათვის ფული 3 n ფორმულით უნდაგამოვთვალოთC (15) = 3 n = 3 15 = 45 C (20) = 3 n = 3 20 = 60 n = 30 და n = 40 მნიშვნელობები n gt 20 პირობას შეესაბამება

ƒ(x) =

C(30) = 2 30 = 60 C(40) = 2 40 = 80ისეთ ფუნქციებს რომლებშიც განსაზღვრის არე სხვადასხვა შუალედში სხვადასხვაფორმულითაა მოცემული ნაწილ-ნაწილ მოცემული ფუნქცია ეწოდება

მუქი (23)წერტილიუჩვენებს რომ f(2) = 3

გაუმუქე-ბელი(22)წერტილიუჩვენებს რომ f(1)ne2

x

y

0

1

1

nimuSi 1 ააგეთ ნაწილ-ნაწილ მოცემული ფუნქციის გრაფიკი

21


x = 15

დაწერეთ განტოლება ნაწილ-ნაწილ ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით

ა) ბ) გ) დ)

გამოთვალეთ ნაწილ-ნაწილ მოცემული ფუნქციის მნიშვნელობები არგუმენტისმოცემული მნიშვნელობისათვის

ააგეთ ნაწილ-ნაწილ მოცემული ფუნქციის გრაფიკი გრაფიკის მიხედვითგამოიკვლიეთ ფუნქციის უკვეთობა

f(x) =

ავტოსადგომზე გადახდის წესიyoveli naxevari saaTi 050 M

naxevari saaTisaTvis gadasaxadi Tu 2 maneTs miaRwevs avtomobils sadgomze 12 saaTi SeuZlia idges

ა) გადახდის პირობა გამოსახეთ ნაწილ-ნაწილ ფუნქციით ბ) ააგეთ ფუნქციისგრაფიკი გ) დაწერეთ განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა არეmiTiTeba მოთხოვნილი ფუნქცია აღნიშნეთ f(t)-თი და დაწერეთ 050 1 15 2მანეთის თანხის შესაბამისი დროის ინტერვალები კომპანია თანამშრომლებს ხელფასს სამუშაო საათების მიხედვით ქვემოთ მოცემულიწესით უხდის თუ თანამშრომელი კვირის განმავლობაში 40 სთ-ის იმუშავებს ყოველსამუშაო საათში 8 მანეთი 40 საათის ზევით თითოეული სამუშაო საათისათვისნორმალური ტარიფიდან 15-ჯერ მეტს იღებს დაწერეთ ამ კომპანიაში ანაზღაურებისწესი ნაწილ-ნაწილი ფუნქციის სახით რამდენ მანეთს მიიღებს თანამშრომელირომელმაც კვირაში 48 საათი იმუშავა

015x 0 lt x le 25010x 26 le x le 100007x 101 le x le 500005x 501 le x

2x 3 x le 4 3x + 5 x gt 4

x = 4 x = 2 x = 12

M(x) = მოცემული ფუნქცია ფოტოსურათების გამრავ-ლების კომპანიაში ფოტოსურათის x რაოდენობაზედამოკიდებულებით M(x)-ის დამაკმაყოფილებელთანხას (მანეთობით) უჩვენებს

1) იპოვეთ 20 ფოტოსურათის დაბეჭდვისათვის გადახდილი თანხა2) სწორია მოსაზრება იმის შესახებ რომ 150 სურათის დაბეჭდვისათვის 10 მანეთზენაკლების გადახდაა საჭირო3) რამდენი ფოტოსურათის დაბეჭდვა შეიძლება 40 მანეთად

saswavlo davalebebi

1

2

3

4

5

6

f(x) = x + 1 ndash3 le x lt 13x ndash 1 1 le x le 3 f(x) =

4 0 le x lt 25 2 le x lt 46 4 le x lt 6

ა) ბ)

ა) ბ) გ)

f(x) = 2x x le 0 radicx x gt 0

მოცემულია ფუნქცია იპოვეთ

ა) f(ndash2) ბ) f(ndash1) გ) f(0) დ) f(1) ე) f(4)

f(x) = 1 ndash x x lt 1x ndash 1 x ge 1გ)

7

x

y

0 7

3

5

1

3

(32)

(15)

(70)x

y

0

1

1

x

y

0 42ndash2

2

ndash1

22

3

5

მოცემულია ფუნქციები f(x) = x3 და g(x) = x4 შეადარეთ ა) f(01) და g(01) ბ) f( ) და g( ) გ) f(2) და g(2) 1

212

4

y = xn (n N) maCvenebliani funqciebi

ნებისმიერი n ნატურალური რიცხვისათვის y = xn სახის ფუნქციასნატურალურმაჩვენებლიანი ფუნქცია ეწოდება ქვემოთ მოცემულია მაჩვენებლიანი ფუნქციების გრაფიკები როცა n = 1 n = 2 და n = 3

y = xn ფუნქციის გრაფიკი n-ის ნებისმიერი ლუწი მნიშვნელობისათვის y ღერძის მიმართსიმეტრიულია და y = x2 ფუნქციის მსგავსია n-ის ნებისმიერი კენტი მნიშვნელობისათვისy = xn ფუნქციის გრაფიკი კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულია და n-ის 1-ზემეტი კენტი მნიშვნელობისათვის y = x3 ფუნქციის გრაფიკის - კუბური პარაბოლისმსგავსია

როცა n gt 1 n N მაშინ xn ფუნქციის გრაფიკს n რიგის პარაბოლა ეწოდება როგორცგრაფიკებიდან ჩანს როცა n gt m (0 1) შუალედში xn ფუნქციის გრაფიკი xm

ფუნქციის გრაფიკზე ქვევით (1 +) შუალედში კი ზევით მდებარეობს

saswavlo davalebebi

1

2

x

y

0

1

1 x

y

0

1

1 x

y

0

1

1

ა) y = x ბ) y = x2 გ) y = x3

x

y

0(1 1)(ndash1 1)

y = x2

y = x6

y = x4

x

y

0

(1 1)

(ndash1 ndash1)

y = x3

y = x5

მოცემულ წერტილებში ფუნქციის მნიშვნელობები შეადარეთ ნულს x = 0 x = ndash3 x = 5

ა) f(x) = x7 ბ) f(x) = x6

y = x funqciis grafikiwrfea

y = x2 funqciis grafikiparabolaa

y = x3 funqciis grafikikuburi parabolaa

ერთი და იგივე საკოორდინატო სიბრტყეში ააგეთ y = x4 და y = 16 ფუნქციისგრაფიკები და უჩვენეთ გადაკვეთის წერტილები გრაფიკული გამოსახულებისმიხედვით ამოხსენით უტოლობები x4 lt 16 და x4 gt 16

მოცემული ფუნქციის გრაფიკი გადის თუ არა მოცემულ წერტილზეა) y = x4 A(ndash2 16) ბ) y = x5 B(ndash2 32) გ) y = x5 C(ndash ndash )1

2132

იკვეთება თუ არა მოცემული ფუნქციის გრაფიკი მოცემულ წრფესთანა) y = x8 y = 2 ბ) y = x6 y = ndash3 გ) y = x5 y = 2 დ) y = x7 y = ndash3

D(x2k+1)= (minusinfin +infin) E(x2k+1)= (minusinfin +infin)ნულები x = 0(minusinfin +infin) eqstremumiar aqvs

D(x2k)= (minusinfin +infin) E(x2k)= [0 +infin)ნულები x = 0(minusinfin 0] [0+) xmin=0fmin=0

23


მუდმივიფუნქცია

იგივური ფუნქცია

კვადრატული ფუნქცია კუბური ფუნქცია

მოდულიანი ფუნქცია

კვადრატული ფესვის ფუნქცია

რაციონალური ფუნქცია

f(x) = c f(x) = x

f(x) = x2 f(x) = x3

f(x) = |x|

f(x) = radicx

f(x) = 1x

D(f) = (minusinfin +infin)E(f) = c

D(f)= [0 +infin)E(f)= [0 +infin)ნულია x = 0[0 +) ექსტრემუმი არა აქვს

D(f)= (minusinfin +infin) E(f)= [0 +infin)ნულია x = 0(minusinfin 0] [0 +)(0 0) წერტილში მინიმუმია

D(f)=(minusinfin 0) (0 +infin)E(f)=(minusinfin 0) (0 +infin)

D(f) = (minusinfin +infin)E(f) = (minusinfin +infin)

D(f) = (minusinfin +infin)E(f) = [0 +infin)

D(f)= (minusinfin +infin)E(f)= (minusinfin +infin) ნულია x = 0ზრდადი ფუნქციააექსტრემუმი არა აქვს

ცვლადი სიდიდეები ძალიან სხვადასხვაგვარია თუმცა ერთი შეხედვით ერთმანეთთანკავშირის უხილავ პროცესებში სიდიდეების ცვლილებები ერთიდაიგივე დამო-კიდებულებით შეიძლება იქნეს მოცემული ამიტომ ყველაზე ხშირად შემხვედრიდამოკიდებულებების შესაბამისად საწყისი ფუნქციის საფუძვლად მიჩნევითფუნქციები ერთ ოჯახში ერთიანდებიან მაგალითად y = 2x2 + 1 y = ( x ndash 1 )2 +2 y = ndash3x2 ფუნქციების გრაფიკები y = x2

პარაბოლაზე ჩატარებული გარდაქმნებით მიიღება ამიტომაც ეს ფუნქციები ასევე y = a( x ndash m )2 +n ფორმულით მოცემული ყველა ფუნქცია ერთ ოჯახში შეიყვანება დაამ ოჯახის მთავარ ფუნქციად y =x2 ითვლებაქვემოთ მოცემულ ცხრილში ზოგიერთი ძირითადი ფუნქციის გრაფიკები და მათშესახებ გარკვეული ინფორმაციებია მოცემული

ნულია x = 0ზრდადი ფუნქციააექსტრემუმი არა აქვს

ნულია x = 0(minusinfin 0] [0 +)(0 0) წერტილშიმინიმუმია

ნული არა აქვს(minusinfin 0) (0 +)ექსტრემუმი არა აქვს

x

y

O x

y

O x

y

O x

y

O

x

y

O x

y

O x

y

O

24

2) განსაზღვრეთ მოცემულიგრაფიკებიდან თითოეულიზემოთ მოცემულ რომელ სი-ტუაციას შეესაბამება


ა) ცხრილში 2002 წლიდანდაწყებული ბიზნესმენის წლი-ური შემოსავალია (მანეთო-ბით) ნაჩვენები x = 3 მნიშვნელობა 2002 წელს შეესაბამება რამდენი შემოსავალიექნება ბიზნესმენს 2018 წელსბ) ცხრილში ნაჩვენებია 1500-დან დაწყებუ-ლი ყოველი მორიგი საათის განმავლობაშიმაღა-ზიაში გაყიდული პურის რაოდენობაx = 3 მნიშვნელობა 1500 საათს შეესაბამება ივარაუდეთ 17 30 საათისათვის გაყი-დული პურის რაოდენობა

რომელი ფუნქციით გამოსახავდით (1 1) (0 0) (1 1) წერტილთა სიმრავლეს

1

2

x 3 4 5 6 7 8 9 10y 7931 8306 8800 9206 9588 10076 10444 10876

x 3 4 5 6 7 8 9 10y 15 30 40 50 45 42 31 18

ა) თუ მოცემულ წერტილებს (2 8) და (2 8) წერტილებსაც დავამატებთ ამწერტილთა სიმრავლის რომელი ფუნქციით გამოსახვა იქნებოდა უფრო სწორიბ) თუ (1 1) წერტილი (1 1) წერტილით შეიცვლება ამ წერტილთა სიმრავლისრომელი ფუნქციით გამოსახვა შეიძლებაგ) თუ (1 1) წერტილი (9 3) წერტილით შეიცვლება ამ წერტილთა სიმრავლისრომელი ფუნქციით გამოსახვა შეიძლება

saswavlo davalebebi

3 = const (იდეალური აირის მდგომარეობის განტოლება) ფორმულაში p V და Tსიდიდეებიდან რომელიმე ერთ-ერთი ჩათვალეთ მუდმივ სიდიდედ და განსაზღვრეთდამოკიდებულების ხასიათი დანარჩენ ორს შორის განიხილეთ ყველა შემთხვევათითოეული შემთხვევისათვის უჩვენეთ მთავარი ფუნქცია

4

5

ცნობილია რომ y და x ცვლადებს შორის დამოკიდებულება პირდაპირპრო-პორციული ან უკუპროპორციულია დაწერეთ y = f(x) ფუნქციის ფორმულა დაააგეთ გრაფიკი თუ ცნობილია რომ f(2) = 2 და f(4) = 1

3 მ სიგრძის კიბე კედელზეა მიყუდებული კიბის ქვედა წვეროკედლიდან d მეტრ მანძილზეა ზედა წვერო კი მიწიდან h მეტრსიმაღლეზეაა) დაწერეთ h სიმაღლის d მანძილზე h(d) დამოკიდებულებისფორმულა ბ) განსაზღვრეთ ფუნქციის განსაზღვრისა დამნიშვნელობათა არე ააგეთ გრაფიკი გ) გამოსახეთ კიბისმდებარეობა როცა d = 0 და d = 3 მ

ა) ბ)

dh

pVT

1) ააგეთ ცხრილში მოცემული ფუნქციების გრაფიკები დაწერეთ თითოეული ფუნქციისათვის შესაბამისი კლასის ძირითადი ფუნქცია

25

იმ შემთხვევაში როცა m = 0 გრაფიკი მხოლოდ ვერტიკალური მიმართულებით პარა-ლელურად გადაიტანება და ახალი ფუნქცია y = f(x) + n ხდება

x

y

y = f(x)

y = f(x) + 3

3 erTeuliTzeviT

x

y

y = f(x)

y = f(x) ndash 3

3 erTeuliTqveviT

პარალელური გადატანისას გრაფიკის ყველა წერტილი მოცემული მიმართულებითერთი და იგივე მანძილით იცვლის ადგილს გრაფიკის ფორმა კი არ იცვლება

y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის თითოეული წერტილი ltm ngt ვექტორით პარალელურადგადავიტანოთ A(a b) rarr A1(a + m b + n)თუ A წერტილის კოორდინატები b = f(a) ტოლობას აკმა-ყოფილებენ A1 წერტილის კოორდინატები y ndash n = f(x ndash m)ტოლობას აკმაყოფილებენ ანუ y = f(x) ფუნქციისგრაფიკის ltm ngt ვექტორით პარალელური გადატანისასy = f(x ndash m) + n ფუნქციის გრაფიკი მიიღება მოცემულიგრაფიკი ჰორიზონტალური მიმართულებით m ერთე-ულით (როცა m gt 0 მარჯვნივ როცა m lt 0 მარცხნივ)ვერტიკალური მიმართულებით n ერთეულით (როცა n gt 0 ზევით როცა n lt 0ქვევით) მოცურდება

x

y

y = f(x)y = f(x ndash 3)nimuSi

3 erTeuliT marjvnivx

y y = f(x)

y = f(x + 3)

3 erTeuliT marcxnivO

O

O

O


თითოეული ფუნქციისათვის განსაზღვრეთ m-ისა და n-ის მნიშვნელობა დაწერეთმოცურება ჰორიზონტალური იქნება თუ ვერტიკალური

ა) y 4 = f (x) ბ) y = f (x) 4 გ) y = f (x + 1) დ) y + 3 = f (x 7)

1

2 სამწევრის სრული კვადრატის გამოყოფით განმარტეთ მოცემული ფუნქციებისგრაფიკები y = x2 ფუნქციის გრაფიკიდან რომელი გარდაქმნებითაა მიღებულია) f (x) = x2 + 2x + 1 ბ) g(x) = x2 4x + 3

praqtikuli mecadineoba 1) y = x2 პარაბოლაზე აღნიშნეთწერტილები (0 0) (ndash1 1) (2 4)2) ეს წერტილები lt4 1gt ვექტორით პარალელურადგადაიტანეთ (0 0) rarr (4 1) (ndash1 1) rarr (3 2) (2 4) rarr (6 5)3) პარალელური გადატანიდან მიღებული წერტილებიშეამოწმეთ y = (x ndash 4)2 + 1 პარაბოლაზე მდებარეობენ თუ არა

x

y

y = x2

y = (x ndash 4)2 + 1

O

(4 1)

(3 2)(2 4)(6 5)

(ndash1 1)

x

y

y = f(x)A(a b)

A1(a + m b + n)

O

იმ შემთხვევაში როცა n = 0 გრაფიკი მხოლოდ ჰორიზონტალური მიმართულებითპარალელურად გადაიტანება და ახალი ფუნქცია y = f(x ndash m) ხდება

3 ndash3

ndash3

nimuSi

paraleluri gadatana

26


nimuSi f(x) = radicx ფუნქციის გრაფიკის გამოყენებით ააგეთ მოცემული ფუნქციებისგრაფიკები

ა) g(x) = radicx 1 ბ) h(x) = radicx 1 გ) s(x) = radicx + 3 2

f(x) = radicx ფუნქციის გრაფიკის გამოყენებით ააგეთ მოცემული ფუნქციებისგრაფიკები თიტოეული გარდაქმნა დაწერეთ სიტყვიერად

ა) g(x) = radicx 3 ბ) h(x) = radicx 2 გ) s(x) = radicx 1 + 2

amoxsna

გრაფიკი 3 ერთეულითმარცხნივ მოცურდება

გრაფიკი 2 ერთეულითქვევით მოცურდება

f(x) = radicx ფუნქციის გრა-ფიკი 1 ერთეულით ქვე-ვით მოცურდება გრა-ფიკზე მდებარე თითო-ეული წერტილის ორდი-ნატს 1 გამოაკლდება

m1(x) = f(x+3) m(x) = f(x+3) 2

f(x) = radicx ფუნქციის გრაფიკი 1 ერ-თეულით მარჯვნივ მოცურდება

g(x) = f(x) 1

h(x) = f(x 1)

ავაგოთ f(x) = radicx ფუნქციის გრაფიკი ფუნქციის განსაზ-ღვრის არე [0 infin) ამ არიდან სრულკვადრატიანი 3მნიშვნელობის (0 1 4) შერჩევით შევადგინოთ ცხრილი

x f(x) (x f(x))0 0 (0 0)1 1 (1 1)4 2 (4 2)

ა)

ბ)

გ)

f(x) =radicx

x

y

0

2

4

(4 1)1

2 31(0 ndash1)

(1 0)

y= g(x)= radicx ndash 1

x

y

0

2

4

(5 2)

1

2 3

(2 1)

(1 0)y= h(x)= radicx ndash 1

5

x

y(1 0)1

21

(ndash3 ndash2)(ndash2 ndash1)

y= m(x)= m1(x) ndash 2= = radicx + 3 ndash 2

ndash2ndash1ndash2ndash3 ndash1

x

y

0

2

4

(4 2)

1

2 31

(1 1)

(0 0)

y= f(x)= radicx

x

y

0

2

4

(4 2)

1

2 31

(1 1)

(0 0)

y= f(x)= radicx

x

y

0

2

4

(4 2)

1

2 31

(1 1)

(0 0)

y= f(x)= radicx

x

y

2(1 2)

1

1

(ndash2 1)(ndash3 0)

y= m1(x)= f(x + 3) = radicx + 3

ndash1ndash3 ndash1 0

4

3

y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის ჰორიზონტალური და ვერტიკალური მიმართულებითპარალელური გადატანით y = f (x m) + n მიიღებაა) უჩვენეთ რომ გადატანის მიმდევრობა აქვს მნიშვნელობა უჩვენეთ ნიმუშზებ) m და n პარამეტრების მნიშვნელობები რა გავლენას ახდენენ ფუნქციისგანსაზღვრის არესა და მნიშვნელობათა სიმრავლეზე

27


y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით თითოეულიგარდაქმნისათვისbull განსაზღვრეთ Aprime Bprime Cprime Dprime და Eprime წერტილებისკოორდინატებიbull დახაზეთ გარდაქმნის შედეგად მიღებული ფუნ-ქციების გრაფიკებია) g(x) = f (x) + 2 ბ) g(x) = f (x 3)გ) g(x) = f (x + 1) დ) g(x) = f (x) 4

6

7

8

9

10

თითოეული პარალელური გადატანისათვის განსაზღვრეთ m-ისა და n-ის მნიშ-ვნელობა და დაწერეთ გარდაქმნის შედეგად მიღებული ფუნქცია y = f(x m) + nსახით გამოთქვით მოსაზრებები თითოეული ფუნქციის განსაზღვრის არის დამნიშვნელობათა არის შესახებ

ა) f (x) = |x| 4 ერთეულით მარცხნივ და 2 ერთეულით ქვევით

ბ) f(x) = x2 6 ერთეულით მარჯვნივ და 4 ერთეულით ზევით

გ) 5 ერთეულით მარცხნივ 3 ერთეულით ქვევით

ულქერი სახლიდან გამოვიდა ველოსიპე-დით ქალაქგარეთ ტბაზე წავიდა და უკანდაბრუნდა მან გავლილი გზა და დახარ-ჯული დრო A გრაფიკით გამოსახაა) როგორ შეიცვლებოდა ეს გრაფიკი თუულქერი სახლიდან 2 საათის შემდეგ გამო-ვიდოდაბ) სურათზე მოცემულ B გრაფიკს სიტუაცი-ის შესაბამისად როგორ წარმოადგენდით

შეუღებავი სახლის s ფართობის მქონე კედლების შეღებვისათვის საჭიროსაღებავების ოდენობა (n ლიტრი) n = f(s) ფუნქციით შეიძლება განისაზღვროს სიტუაციის შესაბამისად წარმოადგინეთ n = f (s) + 10 და n = f (s + 10)ცვლილებები

f(x) = 1x

x

y

0ndash2 42ndash4

ndash2

2y= f(x)

A

B C

D E

f(x) = ფუნქცია x = 0 წერტილში არ არის განსაზღვრული რომელ წერტილში არარის განსაზღვრული f(x ndash 3) ფუნქცია ერთი და იმავე საკოორდინატო სიბრტყეშიააგეთ ერთი და იგივე კოორდინატთა სისტემაში f(x) და f(xndash3) ფუნქციების გრაფიკები

1x

გრაფიკების მიხედვით წარმოადგინეთ f(x) ფუნქციის g (x) ფუნქციად გარდაქმნაა) f(x) და g(x) ფუნქციების შესახებ დაწერეთ 5 წერტილის კოორდინატების შესაბამისობა ბ) გარდაქმნით მიღებული g (x) ფუნქცია დაწერეთ y = f(x m) + n სახით

5

x

y

0ndash2 42ndash4

ndash2

4

2

ndash4

6

g(x)

f(x)= x21)

x

y

0ndash2 42ndash4

ndash2

4

2

ndash4g(x)

f(x)2)

ndash6

A

B CD E

A

B C

D E

6

t

s

0 842

30

10

10

20

სახლ

იდან

მიმა

-ვა

ლი

გზა

(კმ)

დრო (საათი)

A B

6

28

ordinatTa RerZis mi-marT გრაფიკის თითო-ეული წერტილი y ღერძისმიმართ სიმეტრიულ წერ-ტილად გარდაიქმნება

abscisTa RerZis mi-marT გრაფიკის თითო-ეული წერტილი x ღერ-ძის მიმართ სიმეტრიულწერტილად გადაიქცევა

wertilis ordinatiisev ise rCeba abscisaki niSans icvlis

koordinatTa saTavismimarT გრაფიკის თითო-ეული წერტილი კოორდი-ნატთა სათავის მიმართსიმეტრიულ წერტილადიქცევა

(x y) rarr (x y)wertilis abscisa isevise rCeba ordinati kiniSans icvlis

wertilis orive koor-dinatis niSani icvleba

(x y) rarr (x y)

(x y) rarr (x y)(x y) rarr (x y)

(1 2) rarr (1 2)

(x y) rarr (x y)

(x y) rarr (x y)

(1 2) rarr (1 2) (1 2) rarr (1 2)

asaxva


მოცემული წერტილების ა) x ღერძის ბ) y ღერძის მიმართ ასახვით გარდაქ-მნილი წერტილები ასახეთ საკოორდინატო სიბრტყეზე დაწერეთ ახალიკოორდინატები

თითოეული ფუნქციისათვის დაწერეთ საწყისი ფუნქცია დაგარდაქმნები

A(5 3) B(5 5) C(0 3) D(6 2) F(9 0)

ა) y = x2 + 2 ბ) y = radicx + 1 გ) y = 1x 1 დ) y = 1 1

x

1x

11

13

(11)

(1 1)

(11)

(11)

y = radicx

y = radicx

y = radicxy = radicxy = radicx

y = radicx

x ღერძის მიმართ y ღერძის მიმართკოორდინატთა სათავისმიმართ

(1 2)

x

y

(1 2)

(1 2)

x

y(1 2) (1 2)

y

(12)

f(x) rarr f(x)

funqciis grafikebis asaxva

f(x) rarr f(x) f(x) rarr f(x)

xO O O

0 0 0

(1 1)(1 1)

გამოიკვლიეთ ნიმუში გამოსახეთ გრაფიკებისსაკოორდინატო ღერძის მიმართ ასახვით f(x) დაf(x) ფუნქციების გრაფიკები

nimuSi f(x) = x + 1

ბ) f(x) = x + 3

დ) f(x) = ბ) f(x) = x3

f(x) = x + 1

f(-x)

f(x)

12

(1 2)

(1 2)

(1 2)

O

y

xა) f(x) = x + 1

29

მოცემული წერტილთა სიმრავლის მიხედვით ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი

განსაზღვრეთ გრაფიკი y = x y = x2 y = radicx y = x3 ფუნქციებიდან რომლის

გარდაქმნის შესაბამისია

ააგეთ ცხრილში მოცემული ფუნქციის გრაფიკი უჩვენეთ მოცემული ფუნქციარომელ ძირითადი ფუნქციისაგან და რომელი გარდაქმნებითაა მიღებული

ნაბიჯ-ნაბიჯ დაწერეთ y = x2 პარაბოლის რომელი გარდაქმნებით არი მიღებული y = ndash (x+1)2 + 3 ფუნქციის გრაფიკი თითოეული ნაბიჯი გამოსახეთ გრაფიკულად

ძირითადი ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით ააგეთ მოთხოვნილი ფუნქციების გრაფიკები

გრაფიკების მიხედვით შეასრულეთ დავალებები1) ფორმულით ჩაწერეთ x ღერძის მიმართ ასახვით მიღებული ფუნქციები2) დაწერეთ თითოეული ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე

ძირითადი ფუნქცია f(x) = radicx

ა) g(x) = 3radicx + 2ბ) g(x) = radicx 4გ) g(x) = radicxდ) g(x) = 3radicxე) g(x) = 3radicx 3

14

15

16

17

18

3

3

3

3

3ძირითდი ფუნქცია f(x) = x31) 2)

3

ა) f(x) = (x + 1)3

ბ) f(x) = x3 4გ) f(x) = x3

დ) f(x) = (x 2)3

ე) f(x) = x3 + 3


f(x) = 3x

y

x

2

0ndash2

ndash2

2

y

x20ndash2

2

4

g(x) = x2 + 1

ა) ბ)

ა)

ბ)

გ)

დ)

(2 8) (1 1) (0 0) (1 1) (2 8)

(ndash 2 ndash 4) (ndash 1 ndash 1) (0 0) (1 ndash 1) (2 ndash 4)

(0 0) (1 1) (4 2) (9 3) (16 4)

(4 3) (2 1) (0 1) (2 3) (4 5)

x 0 1 4 9 16y 0 ndash 1 ndash 2 ndash 3 ndash 4

x ndash 4 ndash2 0 2 4y ndash 4 ndash2 0 ndash2 ndash 4

ა) ბ)

f(x) = x3

y

x2o 4ndash2ndash4ndash2ndash4

24

f(x) = radicx

y

x2o 4ndash2

ndash4 ndash2

ndash4

2

43

h(x) =

y

x

2

ondash2ndash2

2 4

4

ndash4

ndash4

1x

გ)

30

grafikebis moWera da SekumSva


x ღერძიდან 2-ჯერ მოჭერა x ღერძისაკენ 2-ჯერ შეკუმშვა

(1 1)

(1 1) rarr (1 2)

O

y

x

y = x2

y = 2x2

(1 2)(ndash1 1)

(ndash1 2)

grafikze arsebuli TiToeuli wer-tili abscisTa RerZidan 2-jerSordeba

(2 4)

O

y

x

y = x2 y = x2

(2 2)

(ndash2 4)

(ndash2 2)

12

(2 4) rarr (2 2)

grafikze arsebuli TiToeuli wertiliabscisTa RerZs 2-jer uaxlovdeba

აბსცისთა ღერძიდან მოჭერისას და შეკუმშვისას წერტილების აბსცისები იგივე რჩებაორდინატი იცვლება (a b) rarr (a lmiddotb)თუ A(a b) წერტილი y = f(x) ფუნქციის გრაფიკზეა b = f(a)მაშინ A1(a lmiddotb) წერტილი y = lmiddotf(x) ფუნქციის გრაფიკზე მდებარეობს

y = lmiddotf(x) ფუნქციის გრაფიკი f(x)-ის გრაფიკის როცა l gt 1 აბსცისთა ღერძიდან l-ჯერ მოჭ-

რით ხოლო როცა 0 lt l lt 1 მაშინ კი აბსცისთა ღერძისაკენ ndashჯერ შეკუმშვით მიიღება1l

y ღერძიდან 2-ჯერ მოჭერა y ღერძიდან 2-ჯერ შეკუმშვა

(1 1)

(1 1) rarr (2 1)

O

y

x

y = x2

y = ( x)2

(2 1)(ndash1 1)

(ndash2 1)

grafikze arsebuli TiToeuli wertiliordinatTa RerZidan 2-jer Sordeba

(2 4)

O

y

x

y = x2y = (2x)2

(1 4)

(ndash2 4)

(ndash1 4)

(2 4) rarr (1 4)

grafikze arsebuli TiToeuli wertiliordinatTa RerZs 2-jer miuaxlovda

ორდინატთა ღერძიდან მოჭერისა და შეკუმშვისას წერტილის ორდინატი რჩება იგივეაბსცისა იცვლება

(a b) rarr (kmiddota b)თუ A(a b) წერტილი y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის ზედაპირზეა b = f(a)მაშინ A1(kmiddota b) წერტილი y = f( ) ფუნქციის გრაფიკზე მდებარეობს

y = f( ) ფუნქციის გრაფიკი f(x)-ის გრაფიკის როცა k gt 1 ორდინატთა ღერძიდან k-ჯერ

მოჭერით როცა 0 lt k lt 1 მაშინ კი ორდინატთა ღერძიდან -ჯერ შეკუმშვით მიიღება

xk

12

1k

xk

y = x ძირითადი ფუნქციის მიხედვით ა) y = 2x ბ) y = x ფუნქციის გრაფიკები ააგეთერთსა და იმავე კოორდინატთა სისტემაში Oy და Ox ღერძების მიმართ განმარტეთმიახლოება და დაშორება

1219

31


რვეულში ჩაიხაზეთ გრაფიკები თითოეულ გრაფიკზე ძირითადი ფუნქციისგამოყენებით განსაზღვრეთ სხვა ფუნქციების შესაბამისი ალგებრული ჩანაწერებიდა გრაფიკზე დაწერეთ

Ria tipis SekiTxva მოცემული f(x) ძირითადი ფუნქციის მიხედვით დაწე-რეთ მოთხოვნილი გარდაქმნებით მიღებული ფუნქციები

ა) პარალელურად გადატანილი bullმარცხნივ bullმარჯვნივ bullზევით bullქვევითბ) შექცეული bull x ღერძის მიმართ bully ღერძის მიმართ გ) მოჭერილი bull x ღერძიდან bully ღერძიდანდ) შეკუმშული bull x ღერძისაკენ bully ღერძისაკენ

დაწერეთ თითოეული ფუნქცია მოცემული ძირითადი ფუნქციიდან რომელიგარდაქმნებითაა მიღებული

1) f(x) = x3 2) f(x) = x 3) f(x) = radicx 4) f(x) = 1x

22

23

24

26

x y= f(x) y= g(x)ndash6 6 18ndash4 4 12ndash2 2 60 0 02 2 64 4 126 6 18

რომელი ფუნქციის გრაფიკი მიიღება f(x) = radicx ფუნქციის გრაფიკისა) აბსცისთა ღერძიდან 2-ჯერ მოჭერისასბ) ორდინატთა ღერძისაკენ 4-ჯერ შეკუმშვისას

gamoyenebiTi xeloba xaliCebze სხვადასხვა გრა-ფიკების გარდაქმნებით შექმნილი მოხატულობებისშემჩნევა შეიძლებასურათზე მოცემულ namuSevarze რომელი ფუნქ-ციების გარდაქმნების წარდგენაა შესაძლებელი

25

1) y = x ა) y = 3x ბ) y = 2x გ) y = x + 12) y = x2 ა) y = x2 + 3 ბ) y = (x 3)2 გ) y = 2(x 1)2 + 33) y = radicx ა) y = 2radicx ბ) y = radic2x გ) y = 2radicx ndash 1 + 14) y = ა) y = ბ) y = გ) y = 1

12

1x

12x

2x

1x

ფუნქციები ერთმანეთისაგან განსაზღვრული გარდაქმნებითაა მიღებული გამო-სახეთ ეს გარდაქმნები

f(x) = radicx rarr g(x) = 2radicx 2 rarr h(x) =2radicx 2 + 3 rarr k(x) = 2radicx 2 3

21

ააგეთ ფუნქციების გრაფიკები ძირითადი ფუნქციის მიხედვით

ა) ბ) გ) დ)y = 2x2 y = 2(x1)2 y = 3|x| y = |3x|20

დაწერეთ ამ გარდაქმნებიდან y = f(x m) სახის შესაბამისი

x

y

0 4

12

16g(x)

f(x) = x

ndash8 8ndash4

4

84

h(x)

f(x) = x

ndash4 2ndash2

ndash4

ndash2

4

2

x

y

0

32


მოქმედება მათემატიკური ჩანაწერი ნიმუში

x + 5 3x

შეკრება (f + g)(x) = f(x) + g(x) (x + 5) + 3x = 4x + 5

გამოკლება (f g)(x) = f(x) g(x) (x + 5) 3x = 2x + 5

გამრავლება (f g)(x) = f(x) g(x) (x + 5) 3x = 3x2 + 15x

გაყოფა ( ) (x) =f g

f(x) g(x) g(x) ne 0

f(x) = x + 5 და g(x) = 3x

მოცემულ ფუნქციებზე გამოთვლითი მოქმედებების ჩატარებით შეიძლება ახალიფუნქციის მიღება f(x) და g(x) ფუნქციებზე ჩატარებული გამოთვლითი ოპერაციებისშედეგად მიღებული ფუნქციის განსაზღვრის არე ამ ორივე ფუნქციის განსაზღვრის არისნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ ახალი ფუნქციისგანსაზღვრის არე f(x) და g(x) ფუნქციების განსაზღვრის არეების თანაკვეთაა D = D(f) D(g) ფუნქციების შეფარდება არგუმენტის D სიმრავლიდანმნიშვნელში არსებულიფუნქციის ნულისაგან განსხვავებული მნიშვნელობებისთვისაა განსაზღვრული თუ f(x)და g(x) ფუნქციები გარკვეულ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეზე განსაზღვრულიამათზე შეკრების გამოკლების გამრავლებისა და გაყოფის მოქმედებები ქვემოთმოცემული წესით შესრულდება

1) ორი ლუწი ფუნქციის ჯამი ლუწია ორი კენტი ფუნქციის ჯამი კენტი ფუნქციაა2) ორი ლუწი ფუნქციისა და ორი კენტი ფუქნციის ნამრავლი (განაყოფი) ლუწიფუნქციაა ლუწი ფუნქციისა და კენტი ფუნქციის ნამრავლი (განაყოფი) კენტიფუნქციაა

nimuSi 1 იპოვეთ (f + g)(2) თუ f(x) = x2 + 1 და g(x) = x + 2 amoxsna f(2) = 22 + 1 = 5 g(2) = 2 + 2 = 4 (f + g)(2) = f (2) + g(2) = 5 + 4 = 9

f g

f(x) g(x)

nimuSi 2 იპოვეთ თუ f(x) = x2 1 და g(x) = x ndash 1

amoxsna

(x)

(x) = = =

( )f g( ) x2 1

x ndash 1x + 1

x

y

0 1

2

მნიშვნელში მყოფი ფუნქციის g(x) 0 პირობის თანახმად x 1 ამ ფუნქციის გრაფიკიy = x + 1 წრფიდან (1 2) წერტილის გადაწევით მიიღება

f g

f g

1 2 1

2

1 2

1 2

ნიმუში 3 იპოვეთ ა) f + g f g f g

ბ) ფუნქციების განსაზღვრის არე როცა f(x) = 3x2 1 და g(x) = radic2x 1ამოხსნა ა) f(x) = 3x2 1 ფუნქციის განსაზღვრის არე მთელი ნამდვილი რიცხვთა( +) სიმრავლეა g(x) = radic2x 1 ფუნქციის განსაზღვრის არე 2x 1 ge 0უტოლობიდან მოიძებნება [ +)

f + g f g f g ფუნქციების განსაზღვრის არეა ( +) [ +) = [ +)

ბ) ფუნქციის განსაზღვრის არე 2x 1 gt 0 უტოლობის ამონახსენთა

სიმრავლე ( +) შუალედია

33

მოცემული f(x) და g(x) ფუნქციებისათვის დაწერეთ f + g f g f g ფუნ-ქციების გამოსახულებები და უჩვენეთ განსაზღვრის არე

ა) f (x) = x2 2x და g(x) = 2x 4 ბ) f (x) =x2 + x და g(x) = x + 1გ) f(x) = x2 + 6x + 9 და g(x) = 2x + 6 დ) f(x) = x2 1 და g(x) =

მოცემული f(x) = radic3x ndash 2 და g(x) = x +1 ფუნქციებისათვის გამოთვალეთ (f + g)(1)(f g)(2) (f g)(6)

f(x) და g(x) ფუნქციების გრაფიკების მიხედვით ააგეთ h(x) = (f + g)(x) ფუნქციის გრაფიკი ამოხსენით ამოცანა ორიხერხით 1) f(x) და g(x) ფუნქციების გრაფიკების მიხედვით განსაზ-ღვრული მნიშვნელობათა ცხრილიდან h(x)-ის მნიშვნელობათაცხრილის აგებით2) f(x) და g(x) ფუნქციების გრაფიკების მიხედვით განსაზ-ღვრული ფორმულების მიხედვით f(x) + g(x) ფუნქციის ფორ-მულის განსაზღვრითა და მნიშვნელობათა ცხრილის შედგენით

f g

saswavlo davalebebi

1

2

3

4

x 1x + 1

f(x) = x x [ndash1 9] და g(x) = radicx x [0 16] ფუნქციებია მოცემული h(x) = (f + g)(x) იპოვეთ ფუნქციის განსაზღვრის არე დამნიშვნელობათა ცხრილის შედგენით ააგეთ გრაფიკი

y

ndash2 0 2

g(x)

f(x)

xndash2

2

ndash4

4

ndash4


ა) შეადგინეთ (f g)(x) ფუნქციისმნიშვნელობათა ცხრილი

ბ) ააგეთ h(x) = (f g)(x) ფუნქციისგრაფიკი

გ) განსაზღვრეთ h(x) ფუნქციის განსაზღვრის არე დამნიშვნელობათა სიმრავლე

მოცემული f(x) = 2x და g(x) = x2

x

y

0 1 3 4ndash1

6

4

2

x (f g)(x)ndash4ndash2ndash1124

ndash2ndash3ndash2

f(x)g(x)

2

5


6 ქალბატონი სამაიას მიერ შეკერილი მოხატული სუფრები ldquoხელმარჯვეობა თვალისსინათლეrdquo მაღაზიაში იყიდება მან ამ სუფრების გამზადებისათვის ერთდროულად40 მანეთის საჭირო მასალები შეიძინა თითოეული სუფრის ქსოვილზე 5 მანეთსხარჯავს და ერთ სუფრას 10 მანეთად ყიდისა) ფორმულით დაწერეთ n რაოდენობის სუფრის გაყიდვიდან მიღებული ფულისშესაბამისი s(n) ფუნქცია და n რაოდენობის სუფრის თვითღირებულების შესა-ბამისი m(n) ფუნქციაბ) ერთი და იმავე კოორდინატთა სისტემაში ააგეთ ამ ფუნქციების გრაფიკებირეალური ცხოვრებისეული სიტუაციის შესაბამისად წარმოადგინეთ ამ გრაფიკებისსაერთო წერტილიგ) მოგება საქონლის რეალიზაციიდან მიღებულ ფულსა და თვითღირებულებასშორის სხვაობაა დაწერეთ სუფრების გაყიდვიდან მიღებული მოგების ფუნქციისფორმულა

34

rTuli funqcia

ხშირ შემთხვევაში ფუნქციის არგუმენტის შესაძლომისაღები მნიშვნელობები სხვა ფუნქციის მნიშვნე-ლობებით განისაზღვრება დავუშვათ რომ f და gფუნქციებია მოცემული სქემატურ გამოსახულე-ბებზე განვიხილოთ ორი სიტუაცია

1 x რიცხვები g ფუნქციის განსაზღვრის არეში g(x)-ები კი f ფუნქციის განსაზღვრის არეშიშედის ამ შემთხვევაში თითოეულ x D(g) რიცხვს f(g(x)) რიცხვი შეუპირისპირდებაფუნქციას f და g ფუნქციების რთული ფუნქცია(კომპოზიცია) ეწოდება და (f g)(x) სახით იწერება(f g)(x) = f(g(x))

2 x რიცხვები შედიან f ფუნქციის განსაზღვრისარეში f(x)-ები კი g ფუნქციის განსაზღვრის არეში ამ შემთხვევაში f და g ფუნქციებისკომპოზიცია (g f)(x) სახის იქნება (g f)(x) = g(f(x))

მიაქციეთ ყურადღება (f g)(x) და (g f)(x) ჩანაწერები (ამასთან f (g(x)) და g(f (x))ჩანაწერები) ორ განსხვავებულ რთულ ფუნქციას გამოსახავენ f(g(x)) კომპოზიცია როცაE(g) D(f) ხოლო g(f (x)) კომპოზიცია კი როცა E(f) D(g) მაშინ შეიძლება აიგოს

როგორც სქემატური გამოსახვიდანაც ჩანს f g კომპოზიცია f(x) ფუნქციაში x არგუმენტისნაცვლად g(x)-ის ჩაწერით მიიღება ანალოგიური წესით g f კომპოზიცია g(x) ფუნქციაში xარგუმენტის ნაცვლად f(x)-ის ჩაწერით მიიღებაnimuSi 1 თუ f(x) = x + 2 g(x) = x2 2x 3 მაშინ დაწერეთ ა) (f g)(x) და (g f)(x)კომპოზიციების ფორმულები ბ) x = 3 მნიშვნელობისათვის გამოთვალეთ (f g)(x) და(g f)(x) კომპოზიციების მნიშვნელობები

gamokvleva 1 ლ ბენზინის ფასი 095 მანეთია ფერიდის ავტომობილი ყოველ კილო-მეტრზე 008 ლ ბენზინს ხარჯავსა) როგორ შეგიძლიათ გამოთვალოთ 50 კმ მანძილზე მოხმარებული ბენზინისათვისფერიდის მიერ დახარჯული ფული რამდენ ნაბიჯად შეიძლება ამ გამოთვლისშესრულებაბ) დაწერეთ მოხმარებული ბენზინის გავლილ მანძილზე დამოკიდებულებისმაჩვენებელი V(d) ფუნქციაგ) დაწერეთ ბენზინზე დახარჯული ფულის მის მოცულობაზე დამოკიდებულებისM(V) ფუნქციად) დაწერეთ ფერიდის გავლილ მანძილზე ბენზინის დახარჯული ფულის მაჩვენებელიM(d) ფუნქცია ბ) და გ) პუნქტებში მოცემულ ფუნქციებთან შეერთებით აქ რომელიცვლადის მნიშვნელობები შეადგენს არგუმენტის მნიშვნელობებს


f(x)-ის განსაზღვრის არიდან

f [g(x)]-ის მნიშვნელობათაარიდან


f(x) -ის განსაზღვრის არიდან

g[f(x)]-ის მნიშვნელობათაარიდან

x

g(x)

f [g(x)]

f g = (30) (44) (03)

x

f(x)

g [f(x)]

g f = (33) (2ndash5) (ndash5 2)

f g g f3 4 0

0 4 3

ndash5 3 2 4 3 0

3

3 2 ndash5

ndash52

g f

x

g(x) f(g(x))

gf(x) g(f(x))f

35

rTuli funqcia

მოცემული f(x) და g(x) ფუნქციების მიხედვით განსაზღვრეთ f (g(x)) და g(f (x))ფუნქციებია) f (x) = 1 x2 და g(x) = 2x + 5 ბ) f(x) = 2x და g(x) = radicx2 + 1გ) f (x) =radicx 1 და g(x) = x2 + 2 დ) f (x) = x3 + 1 და g(x) = ე) f (x) = x3 4 და g(x) = radicx + 4 ვ) f (x) = x2 + 3x + 1 და g(x) = x + 1

nimuSi 2 თუ h(x) = f (g(x)) მონაცემების მიხედვით f (x) ფუნქცია დაწერეთფორმულით ა) h(x) = (x 2)2 + (x 2) + 1 g(x) = x 2

ბ) h(x) = radic x3 + 1 g(x) = x3 + 1amoxsnaა) f(g(x)) = (g(x))2 + g(x) + 1 f(x) = x2 + x + 1 ბ) f (g(x)) = radicg(x) f (x) = radicxsaswavlo davalebebi

(fg)(x) და (g f)(x) კომპოზიციებისათვის განსაზღვრეთ არგუმენტისა და ფუნქცი-ის შესაბამის მნიშვნელობათა წყვილები (თუ არსებობს)

f(x) = 2x + 1 და g(x) = x2 3 ფუნქციების მიხედვით ფორმულით დაწერეთ რთულიფუნქციებია) f(g(a)) ბ) g(f (a)) გ) f(g(x)) დ) g(f (x)) ე) f(f (x)) ვ) g(g(x))

2x3

ჩაიხაზეთ ცხრილი რვეულში და შეავსეთ

f(x) = 4x g(x) = 2x2 1 და h(x) = x2 + 1 ფუნქციების მიხედვით გამოთვალეთ

1

2 3

5

6

f = (2 8) (4 0) (6 3) (5 1) f = (4 5) (1 3) (ndash2 12) (2 7)g = (8 4) (0 6) (3 5) (1 2) g = (3 4) (5 2) (7 ndash2) (14 1)

ა) f(g(1)) ბ) h(g(2)) გ) g(f(3))დ) f(h(4)) ე) g(g(7)) ვ) f(f(3))ზ) (f (h g))(1) თ) (h (g f))( ) ი) (f (g h))(2)1

2

4

მოცემულია f(x) = x2 დაg(x) = radicx 1 ფუნქციებიიპოვეთა) f(g(4)) ბ) g(g(25)) გ) g(f(3)) დ) g(g(4)) ე) f(f(ndash3))

7 ა) ამოხსენით f (g(x)) lt 0 უტოლობა თუ f (x) = x2 5 g (x) =radicx2 + 1 ბ) ამოხსენით f (g(x)) gt 0 უტოლობა თუ f (x) = x2 4 g (x) = x + 1

amoxsna (f g)(x) = f(g(x)) = f(x2 2x 3) = x2 2x 3 + 2 = x2 2x 1(g f)(x) = g(f(x)) = g(x + 2) = (x + 2)2 2(x + 2) 3 = x2 + 2x ndash 3მაშასადამე f(g(x)) = x2 2x 1 და g(f(x)) = x2 + 2x ndash 3(f g)(3) = 32 2 3 1 = 2(g f)(3) = 32 + 2 3 ndash 3 = 12

g- ისწერტილები

f- ისწერტილები

f g-ისწერტილები

(3 2) (3 5)(2 1) (1 3)(1 ) (0 1) ( 1)

( ndash1) ( ndash1) (0 ndash1)( 3) (3 ) (4 7)

36

rTuli funqcia

მოცემულია f(x) და g(x) ფუნქციების გრაფიკები 1) მნიშვნელობათა ცხრილის აგებით2) ფუნქციის ფორმულების დაწერით ააგეთ ა) f(g(x)) ბ) g(f(x)) რთული ფუნქციისგრაფიკი უჩვენეთ განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე

მოცემულია ფუნქციები f(x) = |x| და g(x) = x 1 ააგეთ ამ ფუნქციების ა) y = f(g (x)) ბ) y = g(f(x)) კომპოზიციების გრაფიკები უჩვენეთ განსაზღვრისარე და მნიშვნე-ლობათა სიმრავლე

ა) f(x) = 2x 1 და g(x) = x2 ფუნქციების მიხედვით განსაზღვრეთ f(g(x)) ფუნქციისფორმულაბ) ერთი და იმავე კოორდინატთა სისტემაში ააგეთ f(x) g(x) და f(g (x)) ფუნქცი-ების გრაფიკებიგ) წარმოადგინეთ f(g (x)) ფუნქციის გრაფიკი როგორც g(x) ფუნქციის გრაფიკისგარდაქმნაwarmoeba ავეჯის მწარმოებელი კომპანიის 2012 წლიდან დაწყებული კვირეულიწარმოებული სკამების რაოდენობის N(t) = 120 + 25t ფორმულით მოდელირებაშეიძლება სადაც t არის დრო წლობით (t = 0 მნიშვნელობა შეესაბამება 2012 წელს)N უჩვენებს სკამების რაოდენობას სამუშაო ძალის მოცულობა ამ შემთხვევაში გან-საზღვრული იყო როგორც W(N) = 3 radicN ა) დაწერეთ სამუშაო ძალაზე მოთხოვნილების დროზე დამოკიდებულებისფუნქციაბ) ამ ფუნქციის განსაზღვრისა და მნიშვნელობათა არე წარმოადგინეთ რეალურიცხოვრებისეული სიტუაციის შესაბამისადთუ h(x) = f(g (x)) მონაცემების მიხედვით დაწერეთ f(x) ფუნქციის გრაფიკი

8

9

10

11

12

13 ა) თუ f(x ndash 1) = x + 3 იპოვეთ f(1) f(4) f(ndash1) f(0) მნიშვნელობები დაწერეთ f(x) ფუნქციის გამოსახულებაბ) თუ f(x + 1) = 2x + 3 იპოვეთ f(ndash1) f(2) f(3) f(0) მნიშვნელობები დაწერეთ f(x) ფუნქციის გამოსახულება

14

15

მოცემულია ფუნქცია f(x) = radic25 ndash x2 ა) იპოვეთ f(x) ფუნქციის განსაზღვრის არე შეადგინეთ მნიშვნელობათა ცხრილიდა ააგეთ გრაფიკიბ) დაწერეთ f(2x) ფუნქციის გამოსახულება იპოვეთ განსაზღვრის არე

f(x) ფუნქციის განსაზღვრის არეა [ndash1 3] იპოვეთ ქვემოთ მოცემული ფუნქციისგანსაზღვრის არე ა) f(2x) ბ) f( x) გ) f(ndashx) დ) f(x ndash 1)1

2

y = f(x) y = g(x)y

x0 2 4ndash2ndash4

y

x0 2 4ndash2

ა) h(x) = (x + 1)2 5(x + 1) + 1 g(x) = x + 1 ბ) h(x) = x2 + 4x + 3 g(x) = x + 2გ) h(x) = radic2x + 3 g(x) = x + 1 დ) h(x) = x + radicx 1 g(x) = radicx 1

ndash2

2

4

2

4

37

აქ y-ის თითოეულ მნიშვნელობას x-ის მხოლოდ ერთი მნიშვნელობა შეესაბამება y =x2 ფუნქციაში კი y-ის ერთ მნიშვნელობას მაგალითად y = 9 მნიშვნელობას რადგანარგუმენტის x = 3 და x = 3 სახის ორიმნიშვნელობა შეესაბამება ამიტომ (ndash +)შუალედში ამ ფუნქციას შექცეული ფუნქციაარა აქვს ფუნქცია მაშინ და მხოლოდ მაშინშეიძლება იყოს შექცეული როცა მისთითოეულ მნიშვნელობას არგუმენტისმხოლოდ ერთი მნიშვნელობისათვის იღებსთუ ნებისმიერი ჰორიზონტალური წრფეფუნქციის გრაფიკზე გადაკვეთს არაუმეტესერთი წერტილისა მაშინ ამ ფუნქციას შექცეული ფუნქცია გააჩნია

Seqceuli funqciagamokvleva 1) დაწერეთ იმ კვადრატის ფართობის ფორმულა რომლის გვერდისსიგრძე a-ს ტოლია S = a2 2) მოცემული ფართობის მიხედვით იპოვეთ კვადრატისგვერდის სიგრძე 3) მიწის ზედაპირიდან v0 საწყისი სიჩქარით ასროლილი სხეულისმიწიდან დაშორება მოიძებნება h = v0 t ndash ფორმულით h-ის მოცემული მნიშ-ვნელობის მიხედვით t-ს ერთმნიშვნელოვნად პოვნა შეიძლება

g t2

2

268

379

X Yf gX Y268

379

nimuSi 1 სურათზე X სიმრავლესა და Y სიმრავლეს შორის f შესაძლებლობა ისრე-ბითაა მოცემული თუ ისრების მიმართულებას შევცვლით სხვა შესაბამისობა - Yსიმრავლესა და X სიმრავლეს შორის g შესაბამისობას მივიღებთ g შესაბამისობა f-ისშექცეული შესაბამისობაა მოცემული f ფუნქციისათვის თუ შექცეული შესაბამისობაიქნება ფუნქცია f-ის შექცეული ფუნქცია ეწოდება

nimuSi 2 f (x) = x + 4 ფუნქციით A = 1 2 3 4 სიმრავლიდან B = 5 6 7 8სიმრავლის მიღება ქვემოთ მოცემულივითშეიძლება გამოისახოსf (x) = x + 4 (1 5) (2 6) (3 7) (4 8)

x f(x)f ndash1-is mniSvnelobaTa

simravlef ndash1-is gansazRvris

are

f-is mniSvnelobaTasimravle

f -is gansazRvrisare

ამ ფუნქციის შებრუნებული და f ndash1-ით აღნიშნული ფუნქცია კი B სიმრავლიდან Aსიმრავლის ელემენტების მიღებას გამოსახავს და იგი f ndash1(x) = x ndash 4 (5 1) (6 2) (7 3) (8 4) სახით შეიძლება აღინიშნოს f (x) და f ndash1(x) ურთიერთშექცეულიფუნქციებია

როგორც სქემატური გამოსახვიდან და კოორდინატთა წყვილებიდან ჩანს მოცემულიფუნქციის განსაზღვრის არე შექცეული ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლემოცემული ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე კი განსაზღვრის არეა და პირიქითანუ D(f ) = E(f ndash1) E(f ) = D(f ndash1) აქედან მიიღება რომ f(f ndash1(x)) = x და f ndash1(f(x)) = xნიმუშის მონაცემების თანახმად f (f ndash1(x)) = f (x ndash 4) = (x ndash 4) + 4 = x

f ndash1(f (x)) = f ndash1(x + 4) = (x + 4) ndash 4 = xნებისმიერი ფუნქციის შებრუნებული ფუნქციის არსებობა ყოველთვის შესაძლე-ბელია მაგალითად y = 2x + 5 დამოკიდებულებიდან x-ის y-ის საშუალებითცალსახად გამოსახვა შესაძლებელია და ამ შემთხვევაში შებრუნებული ფუნქცია

არსებობს x =

1

ndash1ndash2

ndash2

y

x2 3

2

f(x) = x2 ndash 1Seqceuli ara aqvs

1

ndash1ndash2

ndash2 f(x) = x3 ndash 1

y

x2 3

Seqceuli aqvs

y ndash 52

38

Seqceuli funqcia

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ თუ x-ის სხვადასხვა მნიშნელობებს y-ის სხვადასხვამნიშვნელობები შეესაბამება მაშინ y = f(x) ფუნქციას შექცეული ფუნქცია გააჩნიამონოტონური ფუნქციებისათვის როცა x1nex2 მაშინ f(x1) ne f(x2) მივიღებთ1) განსაზღვრის არეზე ზრდად ფუნქციას შექცეული ფუნქცია გააჩნია2) განსაზღვრის არეზე კლებად ფუნქციას შექცეული ფუნქცია გააჩნიადავუშვათ რომ y = f(x) არის ფუნქცია რომელსაც შექცეული ფუნქცია აქვს ანუ თუ y = f(x) დამოკიდებულებიდან x-ს y-ის საშუალებით ერთმნიშვნელოვნად გამოვსახავთშესაძლებელია x= fndash1(y) სახით ჩაწერა მაშინ x= fndash1(y) ფუნქციას y = f(x) ფუნქციისშექცეული ფუნქცია ეწოდება როგორც წესი არგუმენტი x-ით ხოლო ფუნქცია y -ით აღინიშნება ამიტომაც y = f(x)-ის შექცეული ფუნქცია y= fndash1(x) სახით იწერება თუ fndash1 ფუნქცია f -ის შექცეული ფუნქ-ციაა მაშინ f ფუნქციაც fndash1 -ის შექცეული ფუნქციაა ანუ f და fndash1 ურთიერთშექცეულიფუნქციებია

თუ (a b) წერტილი მოცემული ფუნქციის გრაფიკზეა მაშინ (b a) წერტილი ამფუნქციის შექცეული ფუნქციის გრაფიკზე იქნება

urTierTSeqceuli funqciis grafikebi y = x wrfis mimarT simetriulebiaფორმულით მოცემული ფუნქციის შექცეული ფუნქციის მოძებნისათვის1) მოცემული ტოლობიდან x ცვლადი გამოისახება y -ით2) მიღებულ ტოლობაში x-ის ნაცვლად y ხოლო y-ის ნაცლად x იწერება

მოცემული ფუნქცია

მოცემული ფუნქციისგრაფიკი

შექცეული ფუნქციისგრაფიკი

y = x ღერძის მიმართასახვის ნიმუშები

შექცეული ფუნქციაა

x 4 2 0 ndash2 ndash4y ndash2 ndash1 0 1 2

x ndash2 ndash1 0 1 2y 4 2 0 ndash2 ndash4

1

y

x11

y

x1

y

x

nimuSi 3 დაწერეთ y = 2x 3 ფუნქციისშექცეული ფუნქციის ფორმულაamoxsna იწერება მოცემული ფუნქცია y = 2x 3x დამოუკიდებელი ცვლადი გამოისახება y-ზე

დამოკიდებულებით x = x-ისა და y-ის ადგილები იცვლება

y = + 12 x 3

2

12 y

32+

x

y

0ndash2 42ndash4

ndash2

4

2

ndash4

(2 1)

fndash1(x)= (x + 3)

(ndash1 ndash5)

(0 ndash3)

(1 2)

(ndash1 1)

(ndash3 0)

(ndash5 ndash1) (1 ndash1)

(3 3)

y= x

f(x)= 2x ndash 312

urTierTSeqceuli funqciebis grafikebi

39

y = x2 ფუნქციას მთელ რიცხვით ღერძზე შექცეული ფუნქცია არა აქვს თუმცაზრდისა და კლების შუალედებში ამ ფუნქციებს შექცეული ფუნქცია აქვთnimuSi 4 განსაზღვრეთ y = x2 x ge 0 ფუნქციის შექცეულიფუნქცია და ააგეთ გრაფიკები ერთი და იგივე კოორდინატთასიბრტყეზე დაწერეთ ამ გრაფიკებზე მდებარე რამდენიმეწერტილის კოორდინატებიamoxsna მოცემულია ფუნქცია y = x2 x ge 0 შექცეულიფუნქცია x = y2 y = radicx (2 4) წერტილი y = x2 ფუნქციის (4 2) წერტილი კი [0 +infin) შუალედში მისი შექცეული y = radicxფუნქციის გრაფიკზე მდებარეობს შექცეული ფუნქციის შესახემართებულია შემდეგი თეორემა თუ X განსაზღვრის არისა დაY მნიშვნელობათა სიმრავლის შუალედების მქონე ფუნქციაზრდადია (კლებადია) შექცეული ფუნქცია გააჩნია და Y შუალედში განსაზღვრულიfndash1 შექცეული ფუნქციაც ზრდადია (კლებადია)

დაწერეთ მოცემული ფუნქციების შექცეული ფუნქციები მოცემული ფუნქციადა მისი შექცეული ფუნქცია ზრდადია თუ კლებადია

4

5

f ფუნქცია წყვილების დახმარებითაა მოცემული თანაც ცნობილია რომწყვილების მეორე ელემენტები ერთი და იგივეა (მაგალითად (6 5) და (7 5) სახით)იმისათვის რომ გავიგოთ შექცევადია თუ არა ფუნქცია ეს საკმარისია

7

Seqceuli funqcia

saswavlo davalebebi

1 ფუნქცია წყვილთა სიმრავლითაა მოცემული (8 2) (1 1) ( ) (ndash8 ndash2)

მოცემული შესაბამისობა და მისი შექცეული შესაბამისობა უჩვენეთ ღერძებისდახმარებით

ცხრილში მოცემული ფუნქციის მიხედვითააგეთ შექცეული ფუნქციის შესაბამისმნიშვნელობათა ცხრილი

f(x) და g(x) ურთიერთშექცეული ფუნქციებია როცა x = 10 მაშინ f(x) ფუნქციის მნიშ-ვნელობა 85 იქნება როგორ შეიძლება მივაკუთვნოთ ეს მნიშვნელობები g(x) ფუნქციას

2 x 1 2 3 4 5y 1 2 3 4 5

3

ერთი და იმავე საკოორდინატო სიბრტყეში ააგეთ მოცემული თითოეული ფუნ-ქციისა და მისი შექცეული ფუნქციის გრაფიკები

ა) f(x) = 4x ბ) f(x) = 2x 3 გ) f(x) = x2 x ge 0 დ) f(x) = x gt 0 1x

6

18

12

y = 4x y = 2x 8 y = 3x 14y = 2x + 5 y = 3x 3 y = 12x + 6

y = x y = x + y = x + 634

23

58

38

ა) ბ) გ)დ) ე) ვ)

ზ) თ) ი)

თუ f(x) ფუნქციას გააჩნია შექცეული ფუნქცია და f(1) = 7 f(3) = 9 f(6) = 2იპოვეთ შექცეული ფუნქციის f1(9) f1(7) და f1(2) მნიშვნელობები

yy = x2

y = radicx

xO

y = x(2 4)

(4 2)

40

Seqceuli funqcia

ƒ(x) = 8x3 g(x) =

ƒ(x) = x + 7 g(x) = x 7 ƒ(x) = 3x 1 g(x) = x +

ƒ(x) = x + 1 g(x) = 2x 2 ƒ(x) = 2x + 4 g(x) = x + 2

ƒ(x) = ndash 3 g(x) = ƒ(x) = g(x) =

ƒ(x) = 256x4 x ge 0 g(x) = radicx2

13

13

12

12

4radicx4

შეამოწმეთ არის თუ არა მოცემული ფუნქციები შექცეული ფუნქციები

8

ა) ბ)

გ) დ)2xე)

2x +3 ვ) 1

x ndash31 + 3x

x

ზ) თ)3

ა) ƒ(x) = 2x + 3 ბ) ƒ(x) = x + 3 გ) ƒ(x) = x2 + 1დ) ƒ(x) = 3x2 ვ) ƒ(x) = x3 + 3 ზ) ƒ(x) = 2x3

თ) ƒ(x) = |x| + 2 ი) ƒ(x) = (x + 1)(x 3) კ) ƒ(x) = 9x2 6x + 1

მოცემულ თითოეულ მაჩვენებლიან ფუნქციას დაუწერეთ შექცეული ფუნქციისფორმულა

ააგეთ მოცემული ფუნქციის გრაფიკი თითოეული ფუნქციის გრაფიკის მიხედვითგანსაზღვრეთ აქვს თუ არა მას შექცეული ფუნაცია

C = (F 32) ფორმულა უჩვენებს ტემპერატურის ფარენჰეიტისა და ცელ-სიუსის საზომებს შორის დამოკიდებულებას ამ დამოკიდებულების მიხედვითდაწერეთ შექცეული დამოკიდებულების ტემპერატურის ფარენჰეიტის საზომისცელსიუსის საზომზე დამოკიდებულების მაჩვენებელი ფორმულა იპოვეთცელსიუსით 15 20 0 ტემპერატურის ზომა ფარენჰეიტით

ჰეკი თევზის სახეობაა ამ თევზების მასასა (კგ) და სიგრძეს (სმ) შორის ქვემოთმოცემული დამოკიდებულებაა m = (937 106)l3 ასეთი დამოკიდებულებისმიხედვით დაწერეთ შექცეული ფუნქცია დაახლოებით რამდენი სანტიმეტრიიქნება თევზის სიგრძე რომლის მასა 0875 კგndashია

ფუნქციების გრაფიკების მიხედვით ააგეთ შექცეული ფუნქციის გრაფიკი იპოვეთგანსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე

59

9

10

11

12

13

14

x

y

5

5ა) ბ) გ)

ndash5

ndash5

y = f(x)

y = x

x

y

5

5

ndash5

ndash5y = f(x)

y = x

x

y

5

5

ndash5

ndash5 y = f(x)

y = x

უჩვენეთ რომ მოცემულ ფუნქციას აქვს შექცეული ფუნქცია იპოვეთ შექცეულიფუნქცია უჩვენეთ მისი განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე ააგეთგრაფიკი

ა) f(x) = x3 ბ) f(x) = x4 x ge 0

ა) ƒ(x) = x7 გ) ƒ(x) = x6 x ge 0 ე) ƒ(x) = 16x4 x le 0ბ) ƒ(x) = x5 დ) ƒ(x) = 8x3 ვ) ƒ(x) = x2 x ge 0

132

49

41

ა) დაწერეთ f(x) = x3 1ფუნქციის g(x)შექცეული ფუნქცია

ბ) ფუნქციის გრაფიკისმიხედვით დახაზეთმისი შექცეულიფუნქციის გრაფიკი x0

y

1

2

3


f(x) = radicx ძირითადი ფუნქციის მიხედვით განსაზღვრეთ g(x)= radicx k(x) = radicxh(x) = radicx + 2 ფუნქციების გარდაქმნები როგორ იცვლება ამ გარდაქმნის დროსფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლეა) f(x) = x2 ფუნქციის გრაფიკის ჰორიზონტალური მიმართულებით რამდენიერთეულით პარალელური გადატანისას გაივლის მიღებული გრაფიკი (5 16)წერტილზე ბ) f(x) = radicx ფუნქციის გრაფიკის y ღერძის გასწვრივ რამდენი ერთეულით პარალე-ლური გადატანისას გაივლის მიღებული გრაფიკი (4 -1) წერტილზე


იპოვეთ ფუნქციის ნულები

6

7

1) გამოიკვლიეთ ფუნქციის ლუწ-კენტობა

ა) f(x) = (x ndash 2)2 + (x + 2)2 ბ) f(x) = (x ndash 4)2 ndash (x + 4)2

ცნობილია რომ f(x) = xmiddotf(x ndash 1) + 2 იპოვეთ f(2)

8 მოცემულია f(x) ფუნქციის ერთი ნაწილი რომლის განსაზ-ღვრის არეა [ndash3 3] გრაფიკის მიხედვით შეასრულეთდავალებებია) დაასრულეთ გრაფიკი თუ ცნობილია რომ f(x) კენტიფუნქციაა უჩვენეთ ფუნქციის ზრდისა და კლების შუა-ლედები დაწერეთ ფუნქციის ექსტრემუმებიბ) დაასრულეთ გრაფიკი თუ ცნობილია რომ f(x) ლუწიფუნქციაა უჩვენეთ ფუნქციის ზრდისა და კლების შუა-ლედები დაწერეთ ფუნქციის ექსტრემუმები x

y

1 2 3

123

0

5

4

ა) f(x) = radic4x ndash 2

ბ) f(x) = radic12 ndash 3x

4radic4 ndash x

გ) f(x) =

დ) f(x) = xradicx + 1

radicxx2 ndash 2x ndash 3

radic4 ndash x2

x ndash 1

ე) f(x) =

ვ) f(x) =

ა) f(x) = 4x + 6

ბ) f(x) = x2 ndash x ndash 6

გ) f(x) = x3 ndash x2 ndash 2x ე) f(x) = 3 ndash radic5 + x2

ვ) f(x) = radicx ndash 1 ndash 2დ) f(x) = x4 ndash 1

2) გამოიკვლიეთ ფუნქციის ლუწ-კენტობა y= x2 + (m ndash 1) x + 3

ა) როცა m= 1 ბ) როცა m=0

42

ა) f(x) = x2 ndash 6x ბ) f(x) = |x + 10|

ქანქარას ერთი სრული ბრუნი-სათვის დათმობილი დრო (რხე-ვის პერიოდი) თვით ქანქარასღერძის სიგრძეზე არის დამოკი-დებული რაც უფრო გრძელიაქანქარას ღერძი საჭირო დრო მითუფრო იზრდება

ა) მოცემული ინფორმაციის მი-ხედვით ააგეთ გრაფიკი

ბ) განსაზღვრეთ რომელი ფუნქ-ციების კლასს მიეკუთვნება იგი

13

9

11

12

ქანქარას ღერძისსიგრძე (მ)

დრო (წმ)

2 284 46 498 5710 63

2x როცა x ge 1 x + 3 როცა x lt 1 f(x) = f(x) =

მოცემულია f (0 1) (1 3) (2 5) (3 7) და g(x) = 2x + 1გამოთვალეთ რთული ფუნქციის მნიშვნელობა ცვლადის მოცემული მნიშვნე-ლობისათვის

ააგეთ ნაწილ-ნაწილ მოცემული ფუნქციების გრაფიკები

დახრილობისკუთხე

გ) გრაფიკის მიხედვით განსაზღვრეთ ერთი სრული ბრუნისათვის საჭირო დროთუ ქანქარას ღერძის სიგრძეა 5 მ 12 მ

ა) ბ)ndash1 x lt ndash1x ndash1 le x le 11 x gt 1

10

f(x) = 2x + 6

არგუმენტის რა მნიშვნელობისათვის არის

1) უჩვენეთ რომ მოცემულ ფუნქციებს (ndash +) შუალედში შექცეული ფუნქციაარ გააჩნიათ

2) მოცემული ფუნქციები ბრუნვითი ფუნქციებია დაწერეთ ამ ფუნქციებისშესაბამისი შექცეული ფუნქციები

ა)

12

ა) f(x) =1

2x ndash 1ბ) f(x) =

1 ndash xx ndash 2

ფუნქციის მნიშვნელობა 3-ის ტოლი

ფუნქციის მნიშვნელობა -ის ტოლიf(x) = ბ) 3x

x2 ndash 7

ა) (g f )(0) ბ) (g f )(1) გ) (g f )(2) დ) (g f )(3)ე) (f g )(ndash05) ვ) (f g)(0) ზ) (f g)(1) თ) (f g)(05)

ა) მოცემულია ფუნქცია f(x) = იპოვეთ ამ ფუნქციის განსაზღვრის არებ) ამოხსენით უტოლობა f(x ndash 4) lt 0

x + 2x ndash 1

14


43

wertili wrfe da sibrtyesivrceSi2





or sibrtyes Soris kuTxe

orwaxnaga kuTxeebi




44

aqsioma 3 erT wrfeze aramdebare sam wertilze SeiZleba sibrtyisgavleba da masTan mxolod erTis

ვუჩვენოთ რომ თუ წრფის ორი წერტილი სიბრტყეზე ძევსმაშინ ამ წრფის ყველა წერტილი სიბრტყეზე ძევს

წრფე ორი წერტილით განისაზღვრება ანუ ორ წერტილზე ერთი და მხოლოდ ერთიწრფის გავლებაა შესაძლებელი (ერთ წერტილზე - რამდენის) რამდენი წერტილითშეიძლება სიბრტყის დადგენა ორი წერტილით სიბრტყე არ განისაზღვრება როგორცსურათიდან ჩანს A და B წერტილებზე უამრავი სიბრტყისგავლება შეიძლება თუმცა მათ შორის ისეთი სიბრტყე არსე-ბობს რომ C წერტილის მხოლოდ მასზეა მაშასადამე სიბრტყეერთ წრფეზე არამდებარე 3 წერტილით განისაზღვრება ერთწრფეზე მდებარე წერტი-ლებს კოლინეარული წერტილებიეწოდება C წერტილი A და B წერტილების კოლინეარული არარის


A

Bα

β

C

praqtikuli mecadineoba ქაღალდის ფურცელზე სურათზე მოცემულის მსგავ-სად აღნიშნეთ A B C D და E წერტილები ქაღალდი A წერტილ-ზე გამავალი წრფის გასწვრივ სურათზე ნაჩვენებივით გადაკე-ცეთ შემდეგ ქაღალდი გარკვეულად გაშალეთ ორად დაკეცილიქაღალდის თითოეული ნაწილი ერთი სიბრტყის მოდელია1) რომელი წერტილი ეკუთვნის ამ სიბრტყეებიდან ორივეს2) ამ სიბრტყეებიდან თითოეულისათვის უჩვენეთ წერტილებირომლებიც მას ეკუთვნის და წერტილები რომლებიც არეკუთვნის

E

D C

BA

E

D C

B

A

გეომეტრიის პლანიმეტრიის ნაწილში შეისწავლება ფიგურები რომლის ყველაწერტილი ერთ სიბრტყეში მდებარეობს ასეთ ფიგურებს სიბრტყითი ფიგურებიეწოდება თუმცა ჩვენ რეალობაში გვხვდება სამგანზომილებიანი საგნები ობიექტებიმათ სამი განზომილება სიგრძე სიგანე და სიმაღლე (სიღრმე) გააჩნიათ ასეთფიგურებს სივრცითი ფიგურები ეწოდება გეომეტრიის იმ ნაწილს რომელიცსივრცით ფიგურებს შეისწავლის სტერეომეტრია ეწოდება წერტილი წრფე დასიბრტყე მიღებულია ჩაითვალოს ასევე სივრცით ფიგურებადაცსიბრტყე უსასრულოა პირობითად როგორც წესი პარალე-ლოგრამის ფორმით გამოისახება ერთი პატარა ასოთი ან(ერთ წრფეზე არამდებარე სამი წერტილის მაჩვენებელი)სამი წერტილით აღინიშნება მაგალითად α სიბრტყე ან ABC სიბრტყესივრცის თითოეულ სიბრტყეზე პლანიმეტრიიდან ცნობილი აქსიომები და თეო-რემები მართებულია სივრცეში მიღებულია დამატებითი ქვემოთ მოცემულიაქსიომები

A BC

aqsioma 1 nebismieri sibrtyisaTvis arsebobs wertilebi romlebic am sibr-tyes ekuTvnis da wertilebi romlebic am sibrtyes ar ekuTvnis

aqsioma 2 Tu or sxvadasxva sibrtyes saerTo wertili aqvs maSinisini am wertilze gamaval wrfeze ikveTebian

NA

მართლაც l წრფის A და B ორი წერტილი სიბრტყეზეაავიღოთ l წრფე და α სიბრტყეზე არამდებარე P წერტილი P A და B წერტილებზე გავავლოთ სიბრტყე

l B

βA

P

A wertili α sibrtyesekuTvnisAα

N wertili α sibrtyesar ekuTvnis Nα

45

amoxsna A B და C წერტილებზე გავავლოთ α სიბრტყე დაავღნიშნოთ ამ სიბრტყეზე არამდებარე P წერტილი ამ წერ-ტილებზე შეიძლება გავავლოთ ABP BPC ABC და APC - ოთხისიბრტყე

ერთსა და იმავე სიბრტყეში მდებარე წერტილებს კომპლანური წერტილებიეწოდება ნიმუშში მოცემული A B C და P წერტილები კომპლანური არ არის


nimuSi ერთ წრფეზე არამდებარე A B C წერტილები და მათთან ერთ სიბტყეზეარამდებარე P წერტილია მოცემული ჩამოთვალეთ ყველასიბრტყე რომელიც ამ წერტილებიდან სამ წერტილზე გადის

თუ α სიბრტყის სამი ასოთი გამოსახვას მოისურვებთრომელ სამ ასოს ვერ აირჩევთ ა) ABE ბ) ACE გ) BDE დ) DACB C და D წერტილები ერთ წრფეზე მდებარეობენ(კოლინეარულებია) A B C და D წერტილები ერთსიბრტყეში მდებარეობენ (კომპლანურებია) E წერტილიამ სიბრტყის გარეთ მდებარეობს რამდენი სიბრტყეგადის ამ წერტილებზეა) A B და C ბ) B C და D გ) A B C და D დ) A B C და E

1

2

P

A C

B

E

AD C

B

ED

BAC

α

ვინაიდან და სიბრტყეების გადაკვეთის წრფე A და B წერტილებზე გაივლისამიტომ l წრფეს ემთხვევა ვინაიდან გადაკვეთის წრფის თითოეული წერტილი αსიბრტყის წერტილია l წრფის თითოეული წერტილიც α სიბრტყეზეა სტერეო-მეტრიის აქსიომებიდან ქვემოთ მოცემული შედეგები მიიღება

2 ორ ურთიერთგადამკვეთ წრფეზე შეიძლება სიბრტყის გავ-ლება და მასთან მხოლოდ ერთის

ამრიგად სიბრტყე შეიძლება განისაზღვროს 1) წრფითა და მასზე არამდებარე ერთიწერტილით 2) ორი ურთიერთგადამკვეთი წრფით 3) ორი პარალელური წრფით

3 ორ პარალელურ წრფეზე შეიძლება სიბრტყის გავლება და მასთან მხოლოდ ერთის

BC

lA

BC

A

B

Cl1

l1

l2

l2A

B

C

l1 l2

A

1) 2) 3)

1 წრფეზე და იმ წერტილზე რომელიც ამ წრფეზე არ ძევს შეიძლება სიბრტყის გავლება და მასთან მხოლოდ ერთის

saswavlo davalebebi

დაწერეთ ფიგურის წახნაგებისმომცველი სიბრტყეები

M

N

P

R

3

A

EDF

BC

სამფეხა მაგიდა ადგილზე ყოველთვისმყარად იდგმება განმარტეთ მიზეზი

4

ა) რამდენი სიბრტყის გავლება შეიძ-ლება წყვილ-წყვილად გადამკვეთ სამწრფეზე ბ) რამდენი სიბრტყის გავლება შეიძ-ლება ხუთ სხვადასხვა წერტილზეგანიხილეთ ყველა შემთხვევა

5

46


wrfeTa urTierTmdebareoba sivrceSi

lk

l

k

r s

tსივრცეში ორი წრფე შეიძლება იყოს პარალელური (კერძოშემთხვევაში შეიძლება ემთხვევოდეს ერთმანეთს) სივრცეში ორიწრფე შეიძლება კვეთდეს ერთმანეთს

ცნობილია რომ თუ l და k წრფეები იკვეთებიან ან პარალე-ლურები არიან მაშინ ისინი ერთ სიბრტყეში მდებარეობენ

თუ სივრცეში ორი ურთიერთგადამკვეთი წრფე მესამე წრფესსხვადასხვა წერტილებში გადაკვეთს მაშინ ეს წრფეები ერთსიბრტყეში მდებარეობენ თუ სივრცეში ორი წრფე მესამეწრფეს ერთ წერტილში კვეთენ ეს წრფეები შეიძლება ერთსიბრტყეში მდებარეობდნენ ან არ მდებარეობდნენ

l k

n

l k

n

l k

nwrfeebi erT sibr-tyeze Zevs aseTwrfeebs komplanuriwrfeebi ewodeba

wrfeebi erT sibr-tyeze mdebareoben

wrfeebi sxvada-sxva sibrtyeebSiZevs es wrfeebiar arian komla-nurebi

სივრცეში არაპარალელური ორი წრფე შეიძლება არ კვეთდესერთმანეთს წრფეებს რომლებიც ერთმანეთს არ კვეთს და პარა-ლელური არ არის აცდენილი წრფეები ეწოდებაa და b წრფეების აცდენილობა a b სახით იწერება ორი აც-დენილი წრფიდან ორივეზე ერთი სიბრტყის გავლება შეუძ-ლებელია ორ აცდენილ წრფეს შორის კუთხე შესაბამისად მათპარალელურ ორ მკვეთ წრფეს შორის შექმნილ კუთხესეწოდება

a

bbull

bull

wrfisa da sibrtyis urTierTmdebareoba

თუ წრფესა და სიბრტყესმხოლოდ ერთი საერთოწერტილი აქვს მაშინ ესწრფე და სიბრტყეიკვეთებიან

თუ წრფის ორი წერტილისიბრტყეს ეკუთვნისმაშინ ეს წრფე მთლიანადამ სიბრტყეს ეკუთვნის

საერთო წერტილის არა-მქონე წრფესა და სიბრ-ტყეს პარალელური წრფედა სიბრტყე ეწოდება

ll

l

bთუ ორი წრფიდან ერთი მეორის მდებარე სიბრტყეს ამ წრფეზეარამდებარე წერტილში გადაკვეთს მაშინ ეს წრფეები აცდენილია

Aa

nimuSi კუბის მოდელზე A1 D1 B B1 რადგანA1D1 B1C1 ამიტომ A1 D1 და B B1 აცდენილ წრფეებსშორის კუთხე B1C1 და B B1 წრფეებს შორის კუთხის ტოლიაანუ 90deg-ია

A1

D1

B1

C1

BCD

A

47


7

8

6 კუბის მაგალითზე შეასრულეთ დავალებები მკვეთი პარალელური და აცდენილიწრფეების შესახება) დაწერეთ AB წრფის პარალელური წრფეები ბ) დაწერეთ BC წრფის მკვეთი წრფეები გ) დაწერეთ EF წრფის აცდენილი წრფეები დ) უჩვენეთ B წერტილის კომპლანური სამი წერტილი ე) უჩვენეთ B წერტილის არაკომპლანური სამი წერტილივ) უჩვენეთ ABC სიბრტყის მკვეთი წრფეები ზ) უჩვენეთ CDF სიბრტყეში მდებარე წრფეები თ) იპოვეთ კუთხე და წრფეებს შორის ი) იპოვეთ კუთხე და წრფეებს შორის

A

B C

D

E

H G

F

მონაცემების მიხედვით დახაზეთ ფიგურა AC წრფე სიბრტყეში ძევს BE წრფეAC წრფის კომპლანურია Z წერტილი A და C წერტილების X წერტილი კი B დაE წერტილების კოლინეარულია

მონაკვეთების მომცველი წრფეების სურათზე მოცე-მული გამოსახულების მიხედვით შეასრულეთ დავა-ლებებია) ჩამოთვალეთ პარალელური წრფეები ბ) უჩვენეთ აცდენილი წრფეები გ) უჩვენეთ მონაკვეთი რომელიც ორ მკვეთ წრფესკვეთს და მათთან ერთ სიბრტყეში მდებარეობს

B

C

D

K GJ

A

F

E

H

9 ოთხფეხა მაგიდა როგორც წესი მიწაზე მყარად არ იდგმება განმარტეთ მიზეზი

AB მონაკვეთის A წვერო სიბრტყეშია მონა-კვეთის B წვეროდან და C წერტილიდან სიბრტყისშესაბამისად B1 და C1 წერტილებში მკვეთი პარა-ლელური წრფეებია გავლებული იპოვეთ CC1

მონაკვეთის სიგრძე თუ AC CB = 3 2 დაBB1 = 10 სმ

11

C

A

B

C1B1

სიბრტყის არამკვეთი AB მონაკვეთის წვეროებიდანდა M წერტილიდან გავლებულია სიბრტყის A1 B1

და M1 წერტილებში მკვეთი პარალელური წრფეებიიპოვეთ MM1 მონაკვეთის სიგრძე თუა) AA1 = 12 სმ BB1 = 4 სმ ბ) AA1 = a BB1 = b

10

A

BMM

M1A1 B1

მოცემულია ABCD პარალელოგრამი და მისი არამკვეთი სიბრტყე პარალე-ლოგრამის წვეროებიდან გავლებული პარალელური წფრეები სიბრტყეს A1 B1C1 და D1 წერტილებში კვეთს იპოვეთ DD1 მონაკვეთის სიგრძე თუ AA1 = 3 სმBB1 = 4 სმ და CC1 = 7 სმ

12

13 დაამტკიცეთ რომ წრფეზე არამდებარე წერტილზე ამ წრფის პარალელურიმხოლოდ ერთი წრფის გავლება შეიძლება

48

damtkiceba როცა წრფეები ერთ სიბრტყეში ძევს მაშინპირობა სწორია დავუშვათ რომ a b და c წრფეები ერთსიბრტყეში არ ძევს და a c b c a და c წრფეებზე გავავლოთ სიბრტყე რადგან b c ამიტომ b იქნება a წრფეზე ავიღოთM წერტილი ამ წერტილზე და b წრფეზე გავავლოთ სიბრტყე და სიბრტყეების გადაკვეთის წრფე MN არის b და cწრფეების პარალელური M წერტილზე c წრფის პარალელური მხოლოდ ერთი წრფის გავლება შეიძლებაამიტომაც MN და a წრფეები ემთხვევა რადგან MN b ამიტომ a b


Teorema 1 (წრფისა და სიბრტყის პარალელურობის ნიშანი) თუ სიბრტყეში არა-მდებარე წრფე ამ სიბრტყეში მდებარე რაიმე წრფის პარალელურია მაშინ ის თვით ამსიბრტყის პარალელურიცაა

Sedegi თუ ერთი სიბრტყე მეორე სიბრტყის პარალელურ წრფეზე გადის და მასგადაკვეთს მაშინ ამ სიბრტყეების გადაკვეთის წრფე მოცემული წრფის პარ-ალელურია

Teorema 2 თუ ორი პარალელური წრფიდან თითოეულზე გამავალი სიბრტყეებიიკვეთებიან მაშინ მათი გადაკვეთის წრფე ამ წრფეების პარალელურია

Teorema 3 თუ ორი წრფე მესამე წრფის პარალელურია მაშინ ეს წრფეებიურთიერთპარალელურია

ა) მოცემული წერტილიდან გაავლეთ მოცემული სიბრტყის პარალელური წრფერამდენი ასეთი წრფის გავლება შეიძლებაბ) მოცემული წერტილიდან გაავლეთ მოცემული წრფის პარალელური სიბრტყერამდენი ასეთი სიბრტყის გავლება შეიძლება

პარალელოგრამის ერთ-ერთი გვერდი სიბრტყეზეა რა მდებარეობა უკავია სიბრტყესთან მიმართებაში მის დანარჩენ გვერდებს

Sedegi ურთიერთგადამკვეთი ორი სიბრტყიდან თითოეულის პარალელური წრფეამ სიბრტყეების გადაკვეთის წრფის პარალელურია

damtkiceba სიბრტყეში არამდებარე a წრფე ამსიბრტყეში მდებარე b წრფის პარალელურია a დაbწრფეებზე გავავლოთ სიბრტყე და სიბრტყეები bწრფეზე გადაიკვეთებიან თუ a წრფე სიბრტყესგადაკვეთს გადაკვეთის წერტილი b წრფეზე უნდა იყოსეს კი შეუძლებელია რადგან a b მაშასადამე a

damtkiceba დავუშვათ რომ a b a წრფეზე გავავლოთ სიბრტყე ხოლო b წრფეზე - სიბრტყე ამ სიბრტყეებისგადაკვეთის წრფე ავღნიშნოთ c ასოთი წრფისა და სიბრტყისპარალელურობის ნიშნის თანახმად a აქედან a c ასევერადგან b ამიტომ b c

a

b

ab

c

a

c

bN

M

3

1

2

ABC სამკუთხედის AB გვერდის პარალელური სიბრტყე ამ სამკუთხედის ACგვერდს A1 წერტილში BC გვერდს B1 წერტილში გადაკვეთს იპოვეთ A1B1მონაკვეთის სიგრძე თუა) AB = 18 სმ და AA1 A1C = 2 1 ბ) B1C = 6 სმ და AB BC = 3 4 გ) AA1 = a AB = b და A1C = c

49


gansazRvreba თუ სიბრტყის () გადამკვეთი წრფე (l)სიბრტყეში მდებარე და გადაკვეთის წერტილზე გამავალინებისმიერი წრფის მართობულია მაშინ ეს წრფე მოცემულისიბრტყისადმი მართობულია და ეს l სახით იწერება

Teorema 1 (წრფის სიბრტყისადმი მართობულობის ნიშანი) თუ სიბრტყის გადამ-კვეთი წრფე ამ სიბრტყეში მდებარე და გადაკვეთის წერტილზე გამავალი ორი წრფისმართობულია მაშინ იგი თვით ამ სიბრტყის მართობულიცაა

mocemulia a და b ურთიერთგადამკვეთი წრფეები სიბრტყეში ძევს l a l b

daamtkiceT l

ვთქვათ l წრფე სიბრტყეში მდებარე P წერტილში გადამკვეთი a და b წრფეებისმართობულია გავავლოთ სიბრტყეში P წერტილში გადამკვეთი ნებისმიერი m წრფედა a b და m წრფეების შესაბამისად A B და Q წერტილებში მკვეთი წრფე გამოვყოთP წერტილიდან დაწყებული l წრფეზე PR და PS კონგრუენტული მონაკვეთები

A

a

b

l

l

BP

S

RQ

m

∆RQS ტოლფერდა სამკუთხედში PQ მედიანა სიმაღლეცაა აქედან m lგანსაზღვრების თანახმად მივიღებთ რომ l თეორემა დამტკიცებულია

Q

BP

l

bA R

m

a

1) ∆RPA ∆SPATBT TBT

AR AS

2) ∆RPB ∆SPB

BR BS

3) ∆RBA ∆SBATTT

RAB SAB

S

4) ∆RAQ ∆SAQ5) ∆RPQ ∆SPQ

RPQ SPQTTT

TBTRQ SQ

Q

BP

l

bA R

m

aS

Q

BP

l

bA R

m

aS

Q

BP

l

bA R

m

aS

Q

BP

l

bA R

m

aS

Teorema 2 წრფეზე მდებარე წერტილზე შეიძლება ამ წრფის მართობული სიბრ-ტყის გავლება და მასთან მხოლოდ ერთისTeorema 3 სიბრტყის მოცემულ წერტილზე შეიძლება ამ სიბრტყის მართობულიწრფის გავლება და მასთან მხოლოდ ერთის

daamtkiceT l წრფე P წერტილში სიბრტყის მართობული ერთადერთი წრფეა

davamtkicoT Teorema 3mocemulia l წრფე P წერტილში სიბრტყის მართობულია

50

AP მონაკვეთს - სიბრტყის მართობი AB მონაკვეთს - დახრილი P წერტილს - მართობის ფუძე B წერტილს - დახრილის ფუძე BP მონაკვეთს - სიბრტყეზე დახრილის გეგმილი(პროექცია) ეწოდება


damtkiceba დავამტკიცოთ თეორემა საწინააღმდეგოს დაშვებით დავუშვათ რომ სიბრტყეში P წერტილის მართობული l წრფის გარდა არსებობს სხვა z წრფეც l დაz წრფეები სიბრტყის b წრფეზე მკვეთ სიბრტყეში ძევს l დაz წრფეების გადაკვეთიდან წარმოიქმნება კუთხე წრფისა დასიბრტყის მართობულობის განსაზღრების თანახმად l წრფე(ასევე z წრფე) სიბრტყეში არსებული ნებისმიერი წრფის მათშორის b წრფის მართობულიცაამაშინ თან l თანაც z წრფეც სიბრტყის მართობული უნდა იყოსთუმცა რადგან θ + 90deg + 90deg gt 180deg ეს შეუძლებელია მაშასადამე სიბრტყეში Pწერტილში მართობული მხოლოდ და მხოლოდ ერთი წრფე არსებობს თეორემადამტკიცებულიასივრცის A წერტილზე გამავალი და P წერტილში სიბრტყის მართობული წრფისAP მონაკვეთს A წერტილიდან სიბრტყისადმი გავლებული მართობი ეწოდება A წერტილსა და სიბრტყის დანარჩენი წერტილების შემაეთებელ მონაკვეთებსდახრილი ეწოდება

θP

zl

b

თუ სიბრტყის გარეთ მდებარე წერტილიდან გავლებულია მართობი და დახრილი1) მართობი დახრილზე ნაკლებია2) ტოლი გეგმილების მქონე დახრილები ტოლია3) მეტი გეგმილის მქონე დახრილი მეტია

kuTxes wrfesa da sibrtyeze mis gegmils Soriswrfesa da sibrtyes Soris kuTxe ewodeba

კუთხე წრფესა და სიბრტყეს შორის წრფის მიერ სიბრ-ტყეში მდებარე სხვა წრფეებთან შექმნილი კუთხეებიდანარც ერთზე მეტი არ არისროცა წრფე სიბრტყის მართობულია კუთხე წრფესა და სიბრტყეს შორის 90deg-ისტოლია

kuTxe wrfesa da sibrtyis Soris

nimuSi სივრცის ერთი წერტილიდან სიბრტყისადმი გავლებულია 20 სმ და 13 სმ სიგრძის ორი დახრილი დიდი დახრილის გეგმილი 16 სმ-ია იპოვეთ მცირე დახრილის გეგმილიamoxsna დავუშვათ AD მართობია AB და AC დახრილებია BD და CD კი მათი გეგმილებია ∆ ABD-დან პითაგორას თეორემის თანახმადBD = radicAB2 ndash AD2 = radic202 ndash 162 = radic144 = 12 (სმ)∆ ADC-დან პითაგორას თეორემის თანახმად DC = radicBC2 ndash BD2 = radic132 ndash 122 = (5სმ)

P

A

B

gegmili

daxrilimarTobi

C

A

20 13

D16x

B

l

51

სიბრტყიდან a მანძილით დაშორებული A წერ-ტილიდან სიბრტყისადმი გავლებულია ორი ABდა AC დახრილი რომლებიც სიბრტყესთანადგენენ 30ordm-იან და 45ordm-იან კუთხეს ურთი-ერთშორის კი მართ კუთხეს იპოვეთ მანძილიდახრილის ფუძეებს შორის


ABCD კვადრატის AD გვერდი სიბრტყეზეძევს AC დიაგონალი სიბრტყესთან 30ordm-იანკუთხეს ქმნის იპოვეთ CD გვერდის მიერსიბრტყესთან შექმნილი კუთხე

სურათის მონაცემებით იპოვეთ x სივრცის ერთი წერტილიდან მოცე-მულ სიბრტყეზე 8 სმ სიგრძის მარ-თობი და 16 სმ სიგრძის დახრილიაგავლებული იპოვეთა) დახრილის გეგმილიბ) გეგმილების დახრილზეგეგმილები

3 4

7 მართკუთხა პარალელეპიპედის ფუძის გვერდები 4 სმ და 3სმ-ია პარალელეპიპედის სიმაღლე 5 სმ-ია იპოვეთ პარალე-ლეპიპედის დიაგონალი და კუთხე დიაგონალსა და ფუძისსიბრტყეს შორის

8

9

10 სმ სიგრძის მონაკვეთი სიბრტყეს გადაკვეთს მონაკვეთის ბოლოები სიბრ-ტყიდან 5 სმ და 3 სმ მანძილზეა იპოვეთ მონაკვეთის გეგმილი სიბრტყეზე

ხელოსანმა ახალი სატელეფონო ბოძის დაყენებისას აღნიშნა რომ ვინაიდან ბოძისმიწის ზედაპირზე აღებული ორი მკვეთი წრფის მართობულობაშიდარწმუნებულია იგი ბოძის მართობულობაშიც დარწმუნებულია დაამტკიცეთრომ ხელოსანი მართალიათუ სამკუთხედის წვეროზე გამავალი წრფე სამკუთხედის ამ წვეროებიდანგამოსული გვერდების მართობულია მაშინ ის მესამე გვერდის მართობულიციქნება

წერტილიდან სიბრტყისადმი გავლებულია ორი დახრილი იპოვეთ ამ დახ-რილების სიგრძე თუა) დახრილებიდან ერთი მეორეზე 8 სმ-ით მეტია და გეგმილები კი 8 სმ და 20 სმ-იაბ) დახრილების სიგრძეები ისე შეეფარდება ერთმანეთს როგორც 2 3 და გეგ-მილები კი 2 სმ და 7 სმ-ია

10

5

ერთი წერტილიდან მოცემული სიბრტყისადმი გავლებულია ორი ტოლი დახრი-ლი დახრილებს შორის კუთხე 60ordm-ია გეგმილებს შორის კუთხე კი მართი კუთხეაიპოვეთ კუთხე თითოეულ დახრილს და მის გეგმილებს შორის

6

11

8 სმ სიგრძის მონაკვეთი სიბრტყეს კვეთს მონაკვეთის ბოლოები სიბრტყიდან 1 სმდა 3 სმ მანძილზეა იპოვეთ კუთხე მოცემულ მონაკვეთსა და სიბრტყეს შორის

2

1

B

A

C

D

a30deg

45deg

C

A

17 10

O15 xB

5

43

d

C

A

B

C1

D30ordm

52

დავამტკიცოთ თეორემაmocemuliaAB AC სიბრტყისადმი გავლებული დახრილია BC მონაკვეთი AC დახრილის გეგმილიაCD CD BCdaamtkiceT CD AC


Teorema თუ სიბრტყეზე მდებარე წრფე დახრი-ლის ფუძეზე გადის და ამ დახრილის გეგმილისმართობულია მაშინ იგი თვით ამ დახრილისმართობულიც არის ანუ თუ სიბრტყეში C წერტილზე გამავალი a წრფეBC-ს მართობულია მაშინ AC-ს მართობულიცაა

ამ თეორემის შებრუნებული თეორემაც ჭეშმარიტიაSebrunebuli Teorema თუ სიბრტყეზე მდებარე წრფე სიბრტყისადმი გავლე-ბული დახრილის მართობულია მაშინ ის ამ დახრილის გეგმილის მართობულიცარის ანუ თუ α სიბრტყეში C წერტილზე გამავალი a წრფე AC-ს მართობულია BC-ს მართობულიცაამოკლე ჩანაწერი თუ a AC და BC BA მაშინ a BC

შებრუნებული თეორემა დამოუკიდებლად დაამტკიცეთ

CD BC მოცემულიაABCD წრფისა და სიბრტყის მართობულობა

CD AC CD ABC სიბრტყის (წრფის სიბრტყისადმი მართობულობა)

CD ABC სიბრტყის

piroba safuZveli

AB და BC ABC სიბრტყეზე ორი მკვეთი წრფეადა CDAB CD BC

A

BD

C

nimuSi 1 მართკუთხა ABC სამკუთხედის მართი კუთ-ხის წვეროდან სამკუთხედის სიბრტყისადმი გავლებუ-ლი CM მართობის სიგრძე 72 ერთეული სამკუთხედისმართი კუთხის წვეროდან ჰიპოტენუზაზე გავლებულისიმაღლის სიგრძე კი 96 ერთეულია იპოვეთ მანძილი Mწერტილიდან სამკუთხედის ჰიპოტენუზამდე

amoxsna სამი მართობის თეორემის თანახმად CH AB ხოლო MH ABM წერტილიდან ჰიპოტენუზამდე მანძილი MH მონაკვეთის სიგრძის ტოლია∆MCH-დან პითაგორას თეორემის თანახმად მივიღებთ

MH = radic 722 + 962 = 12 ერთეული

მოკლე ჩანაწერი თუ a BC და BC BA მაშინ a AC

A

CBa

დახრილიდახრილისგეგმილი

AM

CB

H96

72

53

S = radicp(p ndash a)(p ndash b)(p ndash c) = radic24middot(24 ndash 10)(24 ndash 17)(24 ndash 21) = radic24middot14middot7middot3 = radic3middot8middot2middot7middot7middot3 = radic32middot72middot42 = 84


nimuSi 2 სამკუთხედის გვერდები 10 17 და 21 ერთეულია ამსამკუთხედის უდიდესი კუთხის წვეროდან სამკუთხედის სიბრ-ტყისადმი 15 ერთეულის სიგრძის მქონე მართობია აღმართულიიპოვეთ მანძილი მართობის წვეროს წერტილიდან დიდ გვერდამდე

amoxsna თუ BF AC მაშინ KF AC მაშასადამე უნდა ვიპოვოთKF მონაკვეთის სიგრძეჰერონის ფორმულის მიხედვით ვიპოვოთ ΔABC-ის ფართობი

სურათზე მონაცემების მიხედვით დაამტკიცეთ მოთხოვნილი პირობა

12

D

B

C

300

600

A

M

DB(ABС) MA(ABС)AB = AC CD = DBDCAС

MDBС

BD

C

A

BE

CD

AF

K

KB(ABС)AE CF - სიმაღლეები

KDAC

S = AC BF აქედან BF = = = 8

რადგან KB მონაკვეთი BF-ის მართობულია ΔKBF მართკუთხა სამკუთხედია

KF = radicKB2 +BF2 = radic152 + 82 = radic289 = 17

2middotSAC

2middot8421

1

2 10 სმ 10 სმ და 12 სმ გვერდებიან სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის სიბრ-ტყისადმი h = 4 სმ სიგრძის მართობია აღმართული იპოვეთ მანძილი მართობისწვეროდან შესაბამისი სამკუთხედის გვერდებამდე

სივრცის M წერტილი 6 სმ და 8 სმ კათეტების მქონე ABC მართკუთხა სამკ-უთხედის წვეროებიდან ტოლ მანძილზეა იპოვეთ მანძილი M წერტილიდანსამკუთხედის სიბრტყემდე თუ MA = MB = MC = 13 სმ

3

სივრცის M წერტილი ტოლგვერდა სამკუთხედის სიბრტყიდან radic3 სმ მანძილზეაიპოვეთ მანძილი M წერტილიდან სამკუთხედის გვერდებამდე თუ სამკუთხედისგვერდები 3 სმ-ია

(a + b + c)2

(10 + 17 + 21)2p = = = 24

მეორე მხრივ

4

სივრცის M წერტილი 5 სმ მანძილზეა იმ სამკუთხედის გვერდებიდან რომლისგვერდებიც 13 სმ 14 სმ და 15 სმ-ია იპოვეთ მანძილი M წერტილიდან სამ-კუთხედის სიბრტყემდე

5

BC

K

FA

17

21

15

10

54


praqtikuli mecadineoba qaRaldis dakecvaაიღეთ ორი ქაღალდის ფურცელი ერთზე აღნიშნეთ M ასო ხოლომეორეზე N ასო ორივე ფურცელი შუამდე გაჭერით ფურცლებიერთმანეთზე წებოვანი ლენტით (სკოჩი) დაამაგრეთ შეასრულეთდავალებები1 აღნიშნეთ ისეთი ორი D და E წერტილი რომ ორივე სიბრტყესეკუთვნოდეს2 გაავლეთ D და E წერტილებზე გამავალი წრფე3 გამოთქვით მოსაზრებები სიბრტყეების გადაკვეთის შესახებ

M

NM

საერთო საზღვრების მქონე ორი ნახევარსიბრტყით შედგენილ ფიგუ-რას orwaxnaga kuTxe ეწოდება ნახევარსიბრტყეებს ორწახნაგა კუთ-ხის წახნაგები მათ საერთო საზღვარს კი ორწახნაგა კუთხის წიბოეწოდება ორი სიბრტყის გადაკვეთისას 4 ორწახნაგა კუთხე მიიღება

orwaxnaga kuTxe misive wrfivi kuTxiT izomeba wrfivikuTxis gradusuli zoma orwaxnaga kuTxis gradusulzomas uCvenebsორწახნაგა კუთხის ყველა წრფივი კუთხე პარალელური გადატანითერთმანეთს შეუთავსდება მაშასადამე გრადუსული ზომები ტოლია(ერთი და იმავე წრფის მართობული წრფეები პარალელურია)

Or

O

A

B

xy

xryr

sibrtyeebis urTierTmdebareoba

paralelurisibrtyeebi

Tanxvedrilisibrtyeebi

ორი სიბრტყე ერთ წრფეზეიკვეთება და სიბერტყე-ები AB წრფეზე იკვეთება

პარალელურ სიბრტყე-ებს არცერთი საერთოწერტილი არა აქვთ

ორ სიბრტყეს ერთ წრფეზეარამდებარე სამი საერთოწერტილი აქვს

urTierTgadamkveTisibrtyeebi

A

A

B

B

β

wrfivi kuTxis mniSvneloba misi wveros wertilis mdebareobaze araris damokidebuli ორწახნაგა კუთხის ზომები 0ordm-დან 180ordm-მდეა

nimuSi 30deg-იანი ორწახნაგა კუთხის ერთ წახნაგზე აღებული წერტილიდან მეორეწახნაგამდე მანძილი a-ს ტოლია იპოვეთ მანძილი ამ წერტილიდან ორწახნაგაკუთხის წიბომდეamoxsna A α ჩავთვალოთ მოცემულ წერტილად გავავლოთAB l AC სამი მართობის თეორემის თანახმად BC lმაშასადამე ABC წრფივი კუთხეა და ABC = 30deg 30deg-იანი კუთხის მოპირდაპირე კათეტი ჰიპოტენუზის

ნახევრის ტოლია ამიტომ AC = აქედან AB = 2a

თუ ორწახნაგა კუთხის წიბოზე ავიღებთ რაიმე ერთ წერტილს ამ წერ-ტილიდან თითოეულ ნახევარსიბრტყეში გავავლებთ მართობულსხივებს მიღებულ კუთხეს ორწახნაგა კუთხის წრფივი კუთხე ეწოდება

AB2 B

A

C

α

βl

55


არამართობული ორი სიბრტყის გადაკვეთის დროს მიღე-ბული ორწახნაგა კუთხეებიდან მნიშვნელობით ნაკლებიმიღებულია ორ სიბრტყეს შორის კუთხედ სურათზე მო-ცემულ და სიბრტყეებს შორის მდებარე კუთხე არის ამსიბრტყეების გადაკვეთის წრფის მართობული გვერდებისმქონე კუთხე

AB

C

Tსიბრტყეზე ავიღოთ ABC სამკუთხედი და მისი სიბრტყისგარეთ მდებარე T წერტილი გავავლოთ TA TB TC სხივებიT საერთო წვეროსა და საერთო გვერდების მქონე ერთ სიბრ-ტყეზე არამდებარე ATC ATB და BTC სამი სიბრტყითიკუთხისაგან შემდგარ ფიგურას სამწახნაგა კუთხე ეწოდებასიბრტყით კუთხეებს სამწახნაგა კუთხის წახნაგები მათგვერდებს სამწახნაგა კუთხეების წიბოები საერთო წვეროსსამწახნაგა კუთხის წვერო ეწოდება თითოეული წიბოიმავდროულად ერთი ორწახნაგა კუთხის წიბოაTeorema 1 სამწახნაგა კუთხის სიბრტყითი კუთხეების ჯამი 360ordm-ზე ნაკლებიაTeorema 2 სამწახნაგა კუთხის თითოეული სიბრტყითი კუთხე დანარჩენი ორისიბრტყითი კუთხის ჯამზე ნაკლებია

2

1 საკლასო ოთახში უჩვენეთ სამწახნაგა კუთხის ნიმუშები ივარაუდეთ ამ სამწახ-ნაგა კუთხის სიბრტყითი კუთხეებისა და ორწახნაგა კუთხეების მნიშვნელობები

არსებობს თუ არა სამწახნაგა კუთხე რომლის სიბრტყითი კუთხეების გრადუ-სული ზომებიც არისა) 30ordm 70ordm 50ordm ბ) 120ordm 150ordm 100ordm გ) 60ordm 100ordm 170ordm

3

5

4

45ordm-იანი ორწახნაგა კუთხის ერთ წახნაგზე მეორე წახნაგიდან a მანძილზე ერთიწერტილია აღნიშნული იპოვეთ მანძილი ამ წერტილიდან წიბომდე

მართკუთხა სამკუთხედის კათეტები 6 სმ და 8 სმ-ია იპოვეთ მანძილი მართიკუთხის წვეროდან სამკუთხედის სიბრტყესთან 30ordm-იანი კუთხის შემდგენჰიპოტენუზაზე გამავალ სიბრტყემდე

სამწახნაგა კუთხის ორი სიბრტყითი კუთხიდან თითოეული 45ordm-ია მესამე კი 60ordm-ია იპოვეთ მესამე სიბრტყითი კუთხის მოპირდაპირე ორწახნაგა კუთხე

6 მოცემულია ABC სამკუთხედი რომლის გვერდებია AB = 18 BC = 12 AC = 10გაავლეთ სიბრტყე რომელიც AC გვერდიდან სამკუთხედის სიბრტყესთანადგენს 45ordm-იან კუთეს იპოვეთ მანძილი B წვეროდან სიბრტყემდე

nimuSi 2 არსებობს თუ არა ისეთი სამწახნაგა კუთხე რომლის სიბრტყითი კუთხისზომებია ა) 130ordm 100ordm 140ordm ბ) 70ordm 80ordm 100ordm amoxsna ა) არ არსებობს რადგან 130ordm+100ordm+140ordm= 370ordm gt 360ordmბ) არსებობს რადგან 70ordm+80ordm+100ordm lt 360ordm და მოცემული სიბრტყითი კუთხეებიდანთითოეული დანარჩენი ორის ჯამზე ნაკლებია

56

mocemulia AB წრფე სიბრტყესთან A წერტილშია მართობული C კი სიბრ-ტყეზე არამდებარე რაიმე წერტილიაdaamtkiceT A B და C წერტილებზე გამავალი სიბრტყე სიბრტყისმართობულიაdamtkiceba და სიბრტყეების გადაკვეთა ავღნიშნოთ AD სახით AD ამსიბრტყეებით შექმნილი ორწახნაგა კუთხის წიბოა გავავლოთ სიბრტყეზე მდებარე AD-ს მართობული AE წრფე რადგან AB ამიტომ AB წრფე A წერტილზე გამავალი ნებისმიერი წრფისმართობულია ანუ AB AD AB AE BAE ორწახნაგა კუთხისწრფივი კუთხეა რადგან AB AE ორწახნაგა კუთხე მართი კუთხეამაშასადამე თეორემა დამტკიცებულია


gamoyenebis nimuSi სასტუმროების სავაჭ-რო ცენტრების შესასვლელ კარებში მბრუნავიკარები მართობული სიბრტყეების ნიმუშადგამოდგება კარების სქემატური გამოსახვიდანჩანს რომ ST წრფე იატაკის მართობულია დაკარების ამ წრფის გარშემო ბრუნვის კვალობაზეSTU STR სიბრტყეებიც RTU იატაკის სიბრტყისმართობულები რჩებიან

წრფეზე გამავალი ნებისმიერი სიბრტყის სიბრტყის lწრფის გარშემო ბრუნვის შედეგად მიღებულ სიბრტყესავითმოდელირება შეიძლება

VSQ

T UR

B C

EA

D

Teorema (სიბრტყეთა მართობულობის ნიშანი) თუ სიბრტყეგადის მეორე სიბრტყის მართობულ წრფეზე მაშინ ეს სიბრ-ტყეები ურთიერთმართობულები არიან

სიბრტყეზე SQ SR და სიბრტყეზე TS SR წახნაგები და სიბრტყეები წიბო კი RS მქონე ორწახნაგა კუთხის ზომაQST- წრფივი კუთხის ზომის ტოლია თუ QST მართიკუთხეა მაშინ

B

AD

gansazRvreba თუ ორი სიბრტყის გადაკვეთისას მიღებულიორწახნაგა კუთხე მართი კუთხე იქნება ამ სიბრტყეებს მარ-თობული სიბრტყეები ეწოდება

Q

R S

T

l

praqtikuli mecadineobaქაღალდის ფურცელი მიამაგრეთ ფანქარზე წებოვანი ლენ-ტით ფანქარი წრფის ხოლო ფურცელი კი სიბრტყის მო-დელია ფანქრის მაგიდის სიბრტყის მიმართ სხვადასხვამდგომარეობაში მოთავსებით გამოთქვით მოსაზრებები ქა-ღალდის ფურცელსა და მაგიდის სიბრტყეს შორის ორწახნაგაკუთხეების მნიშვნელობების შესახებ

57


რომელი მოსაზრება არის ჭეშმარიტი და რომელია მცდარი

ა) წრფეზე აღებული რომელიმე წერტილიდან ამ წრფეზე მხოლოდ ერთიმართობის გავლება შეიძლება

ბ) თუ A წერტილი სიბრტყეზე ხოლო B წერტილი სიბრტყეზე იქნება ABწრფის არც ერთი სხვა წერტილი არ შეიძლება იყოს სიბრტყეზე

გ) თუ ორი მკვეთი სიბრტყიდან თითოეული იქნება მესამე სიბრტყის მარ-თობული ეს სიბრტყეები ერთმანეთის მართობულებიც იქნებიან

დ) თუ AB წრფე A წერტილში სიბრტყის მართობულია და AB წრფე სიბრტყეში ძევს მაშინ ე) წრფეზე მოცემული წერტილიდან ამ წრფეზე მხოლოდ ერთი მართობულისიბრტყის გავლება შეიძლება

ვ) თუ სიბრტყე ორი მკვეთი წრფიდან მართობული იქნება მაშინ მეორისმართობულიცაა

12

წარმოიდგინეთ რომ თქვენ საკლასო ოთახი გადასა-ტიხრი დაფებით სურათზე ნაჩვენებივით ორ ნაწილადუნდა გაყოთ ოსტატმა რომელიც თქვენ გეხმარებოდათგადატიხრულზე ცარცით DF ხოლო იატაკზე კი FHწრფეები გაავლოა) ამ ორი წრფისა და კუთხედის დახმარებით როგორგანსაზღვრავდით ტიხარის მოდელის - EFD სიბრტყისიატაკის მაჩვენებელი EFH სიბრტყის მიმართ მართობულობასბ) რომელი შემოწმებებით შეიძლება იმაში დაწრმუნება რომ ტიხარი კედლის(KGJ) მართობულია

D

K

GF

E H

J

10

ბ) რომელი სიბრტყის მართობულია AE წიბო გან-მარტეთ თქვენი პასუხი წრფისა და სიბრტყისმართობულობის შესახებ თეორემის დაწერით

გ) დაწერეთ მართობული სიბრტყეების სამი წყვი-ლის სახელი განმარტეთ მათი მართობულობაშესწავლილი თეორემების დაწერით

9

A

B C

D

E

H G

F

ა) დაწერეთ კუბის ADC სიბრტყის მართობული წიბოები

ა) გაავლეთ NML სიბრტყე და ამ სიბრტყის მართობული AM წრფებ) გაავლეთ AM წრფეზე გამავალი და NML სიბრტყის მართობული სამი სიბრტყე

11

სახლში და სკოლაში თქვენს გარშემო უჩვენეთ ნიმუშები მართობული სიბრ-ტყეების შესახებ და დაასაბუთეთ მათი მართობულობა

7

წერტილი მართობული ორი სიბრტყიდან a და bმანძილზეა იპოვეთ მანძილი ამ წერტილიდანსიბრტყეების გადაკვეთის წერტილამდე

8 Aab

58


ა) PN-ის MNL სიბრტყისადმი მართობულობა კიდევ რომელისიბრტყისა და MNL სიბრტყის მართობულობას უჩვენებს

ბ) იმისათვის რომ როგორც RSL ისე PNL სიბრტყე იყოს MNLსიბრტყის მართობული რომელი წრფე უნდა იყოს MNLსიბრტყის მართობული

13P

RQ

SL

NM

AB არის B წერტილში სიბრტყის მართობული სიბრტყეზე მოცემული BC და BD მონაკვეთებიკონგრუენტულებია BC BD ორსვეტიანი ცხრილისშევსებით დაამტკიცეთ რომ AC AD დამტკიცებარვეულში ჩაიწერეთ

14

mocemulia AB BC BD C və D daamtkiceT AC AD

A

BDC

1 AB BC BD C და D 1 მოცემულია2 AB BC AB BD 2 3ABC და ABD მართი კუთხეებია 3 პერპენდიკულარის განსაზღვრების

თანახმად4 ABC ABD 4 ორივე მართი კუთხეა5 ΔABC ΔABD 5 6 AC AD 6

piroba safuZveli

ტოლგვერდა ABC სამკუთხედი სიბრტყეზე მდებარეობს AD მონაკვეთი სიბრტყის მართობულია დაამტკიცეთ რომ BD CD

AB საერთო ფუძის მქონე ABC და ABD ტოლფერდა სამკუთხედების სიბრ-ტყეები მართობულია AB = 16 სმ AC = BC = 17სმ AD CD იპოვეთ CDმანძილი

16

15

AB მონაკვეთი სიბრტყეზე C წერტილში მართობულიადა AC CB დაამტკიცეთ რომ სიბრტყეზე ნებისმიერიწერტილი A და B წერტილებიდან ტოლ მანძილზეა

A

D C

B

17

ორ მართობულ სიბრტყეზე არსებული A და B წერტილებიდან სიბრტყეებისგადაკვეთის წრფის მიმართ AC და BD მართობებია გავლებული იპოვეთ ABმონაკვეთის სიგრძე თუა) AC = 8 სმ BD = 9 სმ CD = 12 სმ ბ) AD = 6 მ BC = 7 მ CD = 8 მ გ) AC = a BD = b CD = c

18

59

Teoremis damtkicebamocemulia || სიბრტყის სიბრტყესთან გადაკვეთა l სიბრტყესთანგადაკვეთა კი m წრფეაdaamtkiceT m || ldamtkiceba ვინაიდან m და l წრფეები სიბრტყეზე მდებარეობენ აცდენილებივერ იქნებიან ისინი არც შეიძლება იკვეთებოდნენ წინააღმდეგ შემთხვევაში და სიბრტყეებს საერთო წერტილი ექნებოდათ მართლაც l და m წრფეები თუ რაიმეწერტილში გადაიკვეთებიან ეს წერტილი l წრფეზე ანუ სიბრტყეზე უნდა იყოსთანაც m წრფეზე ანუ სიბრტყეზე უნდა იყოს თუმცა და სიბრტყეები პარალელურია არცერთი საერთო წერტილი არააქვთ მაშასადამე m || l თეორემა დამტკიცებულიაTeorema 3 პარალელურ სიბრტყეებს შორის მოთავსებულიპარალელური წრფეების მონაკვეთები ტოლიათეორემა დამოუკიდებლად დაამტკიცეთ


Teorema 2 თუ ორი პარალელური სიბრტყე გადაკვეთილიამესამე სიბრტყით მაშინ გადაკვეთის წრფეები პარალელურიაანუ თუ პარალელურ და სიბრტყეებს სიბრტყე გადაკვეთსმათი გადაკვეთის l და m წრფეები პარალელურიამოკლე ჩანაწერი თუ || სიბრტყე გადაკვეთს და სიბრტყეებს l || mgamoyenebiTi nimuSi მართკუთხა პარალელეპიპედში ABGდა DCF სიბრტყეები პარალელურია რომელი სიბრტყეები წარ-მოქმნიან პარალელურ წიბოებს ამ სიბრტყეების გადაკვეთისასamoxsna 1 ABC სიბრტყე ABG და DCF პარალელური სიბრ-ტყეების გადაკვეთისას AB და CD პარალელურ წიბოებს წარ-მოქმნის AB || CD2 HGF სიბრტყე ABG და DCF პარალელური სიბრტყეებისგადაკვეთისას GH და FE პარალელურ წიბოებს წარმოქმნისGH FE

m

l

A DH

E

CFG

B

A B

D

C

Teorema 1 (სიბრტყეთა პარალელურობის ნიშანი) თუ ერთ სიბრტყეში მდებარეორი ურთიერთგადამკვეთი წრფე შესაბამისად მეორე სიბრტყეში მდებარე ორიურთიერთგადამკვეთი წრფის პარალელურია მაშინ ეს სიბრტყეები ერთმანეთისპარალელურია

ab

ca1

b1

damtkiceba დავუშვათ რომ ურთიერთ-გადამკვეთი a და b წრფეები სიბრტყეშიხოლო a1 და b1 წრფეები კი სიბრტყეშიმდებარეობენ და a a1 b b1 ვუჩვენოთ რომ

დავუშვათ საპირისპირო ვთქვათ რომ და სიბრტყეები c წრფეზე იკვეთებიანწრფისა და სიბრტყის პარალელურობის ნიშნის თანახმად a c და b c ასე გამოდისრომ c წრფე მკვეთი a და b წრფეებიდან თითოეულის პარალელურია ეს კიშესაძლებელი არაა მკვეთით წინააღმდეგობამდე თეორემა დამტკიცებულია

60

Teoremis damtkicebamocemulia სიბრტყე AB სიბრტყე ABdaamtkiceT || damtkiceba წარმოვიდგინოთ საწინააღმდეგო დავუშ-ვათ რომ და სიბრტყეები იკვეთებიან და R წერტილი ამსიბრტყეების გადაკვეთის წრფეზე მდებარე წერტილია AB და R წერტილებზე კი სიბრტყე გადის γ სიბრტყეზე RB AB RA AB თუმცა სიბრტყეზე ერთი და იმავეწრფის მიმართ მართობული წრფეები პარალელური უნდაიყოს მაშასადამე და სიბრტყეების გადაკვეთის შესახებგამოთქმული მოსაზრება არ არის ჭეშმარიტი ეს სიბრტყეები პარალელურია || თეორემა დამტკიცებულია

Teorema 5 ერთი და იმავე წრფის მართობული ორი სიბრტყე პარალელურია

gamoyenebiTi nimuSi ქერიმმა მუყაოსაგან ავტო-მობილის მოდელი დაამზადა საბურავების შემაერ-თებელი DG ღერძი საბურავების მართობული უნდაიყოს რომელი წრფეების მართობული უნდა იყოსღერძი რომ ის დარწმუნებული იყოს საბურავებისპარალელურობაში


F

E D

G

HJ

A

B

R

Teorema 4 ერთი და იმავე სიბრტყის მართობული ორი წრფე პარალელურია

mocemulia სიბრტყე LA MB daamtkiceT LA || MBთეორემის დამტკიცებისათვის გაავლეთ LA -ს პარალელურიBN წრფე უნდა ვუჩვენოთ რომ BN და BM წრფეები ემთხვევაერთმანეთს თეორემა ქვემოთმოცემული ნაბიჯებითდაამტკიცეთ1 უჩვენეთ რომ LAC არის და სიბრტყეებით შექმნილიმართი ორწახნაგა კუთხის წრფივი კუთხე2 თუ ორი პარალელური წრფიდან ერთი მესამე წრფისმართობულია მეორეც ამ წრფის მართობულია LAAB პირობის თანახმად უჩვენეთრომ NB AB3 სიბრტყეზე გაავლეთ BD AB და სიბრტყეების მართი ორწახნაგა კუთხისგამოყენებით უჩვენეთ რომ BD NB4 უჩვენეთ რომ MB არის სიბრტყის B წერტილში გავლებული ერთადერთიმართობი

С DA B

MNL

amoxsna თუ DG ღერძი EFD სიბრტყეზე არსებული ED და FD ურთიერთგადამკვეთიწრფეებისა და HGJ სიბრტყეზე HG და GJ ურთიერთგადამკვეთი წრფეების მარ-თობული იქნება მაშინ ქერიმს შეუძლია დარწმუნებული იყოს საბურავების პარა-ლელურობაში

61

დურგლები ხელოსნები დეტალების დამუშავები-სათვის მათ ორ პარალელურ დაფას (გირაგი) შორისამაგრებენ მოუჭერენ და მასზე საჭირო სამუშაოებსასრულებენ სურათზე ნაჩვენები ორი დაფის პარა-ლელურობისათვის რომელი წრფეები უნდა იყოსმართობული


manZili or acdenil wrfes Soris ორი აცდენილიწრფიდან თითოეულზე მეორის პარალელური სიბრტყისგავლება შეიძლება მაგალითად b წრფეზე გავავლოთ aწრფის პარალელური სიბრტყე ამისათვის გავავლოთ bწრფის გადამკვეთი და a-ს პარალელური a1 წრფე a1 და bურთიერთგადამკვეთ წრფეებზე თუ გავავლებთ სიბრტყესეს სიბრტყე a წრფის პარალელური იქნება a წრფისნებისმიერი წერტილიდან ამ სიბრტყემდე მანძილი a და b

Teorema 6 ორი პარალელური სიბრტყიდან ერთის მართობულიწრფე მეორე სიბრტყის მართობულიცაა

damtkiceba ვთქვათ a a წრფეზე გამავალი 1

და 1 სიბრტყეები მოცემულ და სიბრტყეებს პარალელურწრფეებზე კვეთენ AC BM AD BNრადგან a AC a AD ამიტომ a BM და a BN წრფისადა სიბრტყის მართობულობის ნიშნის თანახმად მიიღებარომ a თეორემა დამტკიცებულია

manZili or paralelur sibrtyes Soris ორ პარალელურსიბრტყეს შორის მანძილი ამ სიბრტყეებიდან ერთ-ერთის ნების-მიერი წერტილიდან მეორის მიმართ გავლებული მართობის სიგრძისტოლია

M

N

aA

Bb

a1

1 AB

C

DE

F

AB წრფე სიბრტყის პარალელური და სიბრტყის მართობულია CD წრფე სიბრტყეზე მდებარეობსა) დახაზეთ პირობის შესაბამისი სურათი ბ) რომელი პირობაა მართებული

ა) || ბ) გ) AB || CD დ) CD

2

1

AD

B

a

1

C

M

N

აცდენილ წრფეებს შორის მანძილის ტოლია თუ b a1 = B მაშინ სიბრტყისმართობული AB მონაკვეთი იქნება a და b აცდენილი წრფეების საერთო მართობი

მოცემული პირობები ასახეთ სურათზე და სიბრტყეები იკვეთებიან CD წრფეზე AB წრფე CD-ს E წერტილში კვეთსA B C D და E წერტილები ერთსა და იმავე სიბრტყეში მდებარეობენ

3

62

ორ პარალელურ სიბრტყეს შორის 4 მ სიგრძის მართობი და 6 მ სიგრძისდახრილია გავლებული თითოეულ სიბრტყეზე მათ წვეროებს შორის მანძილი 3 მ-ია იპოვეთ მანძილი მართობისა და დახრილის შუაწერტილებს შორის


ABC ტოლფერდა სამკუთხედის BC ფუძე სიბრტყეში ძევს სიბრტყის პარა-ლელური სიბრტყე AB გვერდს D წერტილში და AC გვერდს E წერტილში კვეთსდაამტკიცეთ რომ ADE სამკუთხედიც ტოლფერდა სამკუთხედია

მოცემულია მართკუთხა პარალელეპიპედიAB = AD = 15 სმ AA1 = 20 სმიპოვეთ მანძილი A1C წრფესა და AD-ს თავი-სთავში მომცველ წრფეს შორისmiTiTeba A1C დიაგონალზე გაავლეთ AD-სპარალელური სიბრტყე

6

7

რადგან MNO და PQR სიბრტყეები პარალელურისიბრტყეებია და MP NQ QR შეიძლება ითქვას რომNO = QR პასუხი განმარტეთ

სურათზე ნიმუშის ჩვენებით განმარტეთ მოცემული პირობაჭეშმარიტია თუ მცდარი

ა) თუ ორი სიბრტყე მართობულია ამ სიბრტყეებიდან ერთისპარალელური წრფე მეორის მართობულიც იქნება

ბ) თუ ორი სიბრტყე ერთი და იგივე წრფის პარალელურიამაშინ ეს სიბრტყეები ერთიერთპარალელურია

გ) ერთი და იმავე მართობული წრფეები პარალელურებიარიან

დ) ერთი და იგივე სიბრტყის მართობული ორი სიბრტყეერთმანეთის პარალელურია

ე) ორი პარალელური წრფიდან ერთის აცდენილი წრფემეორისთვისაც აცდენილია

4

5

M

P R

N

Q

O

E

FG

D C

JH

A B

ორ პარალელურ და სიბრტყეებს შორის AC და BD მონაკვეთებია გავლებული(ABα CDβ) AC = 17 სმ BD = 10 სმ AC და BD-ს სიბრტყეებიდან ერთ-ერთზე გეგმილების ჯამი 21 სმ-ია იპოვეთ ამ გეგმილების სიგრძეები და მანძილისიბრტყეებს შორის

8

ორ პარალელურ სიბრტყეს შორის მანძილი 8 სმ-ია 10 სმ სიგრძის მონაკვეთისბოლოები ამ სიბრტყეებშია იპოვეთ მონაკვეთის ორივე სიბრტყეზე არსებულიგეგმილი

9

10

მონაკვეთის ბოლოები სიბრტყიდან a და b მანძილზეა (a gt b) იპოვეთ მანძილიმონაკვეთის შუაწერტილიდან სიბრტყემდეა) თუ მონაკვეთი სიბრტყეს არ კვეთს ბ) თუ მონაკვეთი სიბრტყეს კვეთს

11

სიბრტყის არამკვეთი მონაკვეთის წვეროები სიბრტყიდან 15 სმ და 25 სმ მან-ძილზეა იპოვეთ მანძილი მონაკვეთის 3 7 შეფარდებით გამყოფი წერტილიდანსიბრტყემდე (განიხილეთ ორი შემთხვევა)

12

C

C1B1

A1 D1

B

A D

63

საყოფაცხოვრებო საგნების სამრეწველო მოწყობილობების მანქანებისა და მექა-ნიზმების წარმოების უფრო ზუსტი ორგანიზებისათვის სხვადასხვა მხრიდანსურათების გადაღებით მიმდინარეობს ფორმების დაზუსტების სამუშაო ამისათვისსაგნებისა და მოწყობილობების სხვადასხვა გვერდებიდან ხედების სურათებისგადაღება ხდებასივრცითი ფიგურების სიბრტყეზე ასახვისათვის დაგეგმილებაგამოიყენება ავიღოთ სიბრტყის მკვეთი ნებისმიერი l წრფეფიგურის A წერტილიდან l წრფის პარალელური სიბრ-ტყესთან Aprime გადაკვეთის წერტილი A წერტილის ასახვა იქნებაამ წესით თითოეული წერტილის ასახვის აგებით ფიგურისასახვა მიიღება ამ შემთხვევაში ფიგურის პარალელურიმონაკვეთები პარალელური მონაკვეთებით გამოისახება დაპარალელური წრფეთა მონაკვეთების შეფარდება შენარ-ჩუნდება კერძო შემთხვევაში როცა l წრფე სიბრტყისმართობულია მიღებული გამოსახულება ფიგურის or-Toginaluri gegmili იქნებასურათზე სხვადასხვა მდებარეობაში მყოფი მონაკვეთის ჰორიზონტალურ და ვერ-ტიკალურ სიბრტყეზე ორთოგინალური გეგმილის შესახებ ნიმუშებია მოცემული


A

Aprime Kprime Lprime

KL

BY

A

AA

B

BBA

Bprime

BprimeprimeBprimeprimeBprimeprimeBprimeprime

BprimeBprimeAprimeAprime

Aprime(Bprime)Aprime



A

Aprime

l

მონაკვეთის გეგმილის სიგრძის პოვნისათვის გამოიყენებაAprimeBprime = AB cosα დამოკიდებულება KA

Aprime

B

Bprime

α

∆ABC-ს AC გვერდზე გამავალ სიბრტყესა და სამკუთხედისსიბრტყეს შორის არსებული კუთხე თუ იქნება ვიპოვოთ სიბრტყეზე ამ სამკუთხედის ორთოგინალური გეგმილისფართობი

თუ BD AC და BB1 სამი მართობის თეორემისთანახმად B1D AC იქნება

SABC = AC middot BD რადგან

S = AC middot B1D = ACmiddotBDmiddotcos = S middot cos

12

∆BB1D-დან cos = 12

B1DBD12

B1D C

A

B

ამიტომ B1D = BDmiddotcos

AB1C

საერთოდ თუ მრავალკუთხედის სიბრტყესა და გეგმილის სიბრტყეს შორის კუთხეიქნება Sp = Sf middotcos ფორმულა მართებულია სადაც Sf -მრავალკუთხედისფართობი Sp-ორთოგინალური გეგმილის ფართობია

ABC

64


nimuSi მართკუთხა პრიზმა ზემოდან შუქდება დახაზეთმოთხოვნილი მონაკვეთების გეგმილები ფუძის სიბრტყეზე

ა) BD ბ) NB გ) BE დ) BX

გაფერადებით უჩვენეთ ფერადი ნაწილების გეგმილი ფუძისსიბრტყეზე

ABC ტოლფერდა სამკუთხედის სიბრტყეზე ორთო-გინალური გეგმილი ტოლგვერდა სამკუთხედია იპოვეთ ∆BCD-ს ფართობი თუ AD BD AE BC∆ABC = 48 სმ2 AE = 16 სმ

ABC ტოლგვერდა სამკუთხედის სიბრტყეზე ორთოგი-ნალური გეგმილი BDC მართკუთხა სამკუთხედიაიპოვეთ CD თუ AC = 8 სმ

ABC სამკუთხედის სიბრტყისა და სიბრტყეს შორისკუთხე 30deg-ია იპოვეთ ABC სამკუთხედის α სიბრტყეზეორთოგინალური გეგმილის ფართობი თუ BC = 12 სმAA1 და AA1 = 8 სმ

ა) BD-ს გეგმილი არის SD

ბ) NB-ს გეგმილი არის NS

გ) BE-ს გეგმილი არის SE

დ) BX-ს გეგმილი არის SX

გეგმილები ფუძის სიბრტყეზე

AB C

DEXN

SR

AB C

DX EN

S

X

B C

DN

A

E

M MS

DA B

FH

E M C

G N R

S

TF

E

M D

N

C

P

AM

B

1

2

3

4

A

D

CEB

მოცემულია ტოლგვერდა სამკუთხედი რომლის გვერდიაa იპოვეთ ამ სამკუთხედის იმ სიბრტყეზე ორთოგინალური გეგმილი რომელ-თანაც მისი სიბრტყე ადგენსა) 30deg-იან ბ) 45deg-იან გ) 60deg-იან კუთხეს

5

A

D

C

B

B

A

C DA1

65

ტოლგვერდა სამკუთხედის თითოეული გვერდისსიგრძეა a ამ სამკუთხედოს O ცენტრიდან სამკუთ-ხედის სიბრტყისადმი აღმართულ მართობზე გამო-ყოფილი OM მონაკვეთის სიგრძეა x

ა) უჩვენეთ რომ MA BC

ბ) რისი ტოლი უნდა იყოს OM = x რომ ABM და ABCსიბრტყეებს შორის ორწახნაგა კუთხე იყოს 60degგ) რისი ტოლი უნდ აიყოს OM = x რომ MA MB და MC მონაკვეთები წყვილ-წყვილად ურთიერთმართობულები იყვნენ


მოცემული სურათების მიხედვით განსაზღვრეთ ქვემოთ მოცემული მოსაზ-რებებიდან რომელია ჭეშმარიტი და რომელია მცდარი სურათები ჩაიხაზეთრვეულში და პასუხები დაწერეთ

ა) უჩვენეთ რომ ABC და BCD სამკუთხედებიმართკუთხა სამკუთხედებიაბ) სურათზე მოცემული ზომები ისე შეცვალეთრომ BCD სამკუთხედი კვლავ მართკუთხა სამკუთხედი იყოს ABC სამკუთხედი კიაღარ იყოს მართკუთხა სამკუთხედი

ტოლგვერდა სამკუთხედის გვერდების სიგრძე 6 სმ-ია სამკუთხედის ცენტრიდანსამკუთხედის სიბრტყეზე 3 სმ სიგრძის მართობია აღმართული იპოვეთ მანძილიმართობის წვეროდან სამკუთხედის გვერდებამდე

A და B წერტილებსა და სიბრტყეს შორის მანძილი შესაბამისად a და b-ს ამწერტილებიდან სიბრტყისადმი გავლებული მართობების ფუძეებს შორისმანძილი c-ს ტოლია გაითვალისწინეთ რომ A და B წერტილები შეიძლებასიბრტყის ერთსა და იმავე ან სხვადასხვა მხარეს მდებარეობდნენ და იპოვეთ ABმანძილი თუ a = 7 სმ b = 2 სმ და c = 12 სმ

იპოვეთ x სურათის მონაცემების მიხედვით კიბის სახელური ჭერისპარალელურია იპოვეთ yკუთხე თუ x = 122deg

1 თუ ორი სიბრტყე ერთი და იმავეწრფის მართობულია მაშინ ეს სიბრ-ტყეები პარალელურია

2 თუ ორი სიბრტყიდან თითოეულიმესამე სიბრტყის მართობულია მაშინეს სიბრტყეები პარალელურია

P1 P2

P2

P1

P3

სურათის მიხედვით შეასრულეთ1

2 3

4

5

6

7

DO

A

M

CF

Ba a

ax

პარალელური

წრფეებიydeg

xdeg

BD

CA4

3 1213

12 მ

x15 მ

kuTxis trigonometriulifunqciebi3

mobrunebis kuTxeebikuTxis radianuli da gradusuli zomebirkalis sigrZe seqtoris farTobitrigonometriuli funqciebinebismieri kuTxis trigonometriuli funqciebierTeulovani wrewiri da nebismieri kuTxistrigonometriuli funqciebidayvanis formulebitrigonometriuli igiveobebiSekrebis formulebiSekrebis formulebidan miRebuli Sedegebitrigonometriuli gamosaxulebebis gamartiveba

67

მობრუნების კუთხეების საწყისი გვერდები ერთი და იგივეა და აბსცისთა ღერძისდადებით მიმართულებას ემთხვევა კოორდინატთა სათავის (კუთხის წვერო)გარშემო მბრუნავ გვერდს კი დამამთავრებელი (ბოლო) გვერდი ეწოდება როცამობრუნება საათის ისრის მოძრაობის საპირისპირო მიმართულებით ხდება კუთხისზომა დადებითად ხოლო როცა საათის ისრის მოძრაობის მიმართულებით ხდებამაშინ უარყოფითად არის მიღებული

mobrunebis kuTxeebi

ჩვენ აქამდე კუთხეზე საუბრისას ორ უძრავ გვერდს შორის დარჩენილკუთხეებს ვგულისხმობდით კუთხე ასევე შეიძლება განხილულ იქნასროგორც მობრუნების საზომი მაგალითად უძრავი Ox ღერძისგარშემო მბრუნავი ბორბლის თავიდან ჰორიზონტალურ მდგო-მარეობაში მდებარე რადიუსი გარკვეული დროის შემდეგ თავ-დაპირველ მდგომარეობასთან გარკვეულ კუთხეს შექმნის თანაც ამკუთხის მნიშვნელობა დამოკიდებული იქნება იმაზე თუ რომელი მიმართულებითმოხდა მობრუნება ნებისმიერი კუთხე შეიძლება განვიხილოთ როგორც სხივისსაკუთარი სათავის წერტილის გარშემო ბრუნვით მიღებული ფიგურა

სხივის საწყისი მდგომარეობა კუთხის ერთ გვერდსსხივის ბოლო მდგომარეობა კი კუთხის მეორეგვერდს შეესაბამება საკოორდინატო სიბრტყეზესხივის კოორდინატთა სათავის მიმართ საათისისრის მოძრაობის მიმართულებით ან საპირისპირომიმართულებით მობრუნებით სხვადასხვა ზომისკუთხეების შექმნა შეიძლება

საწყისიგვერდი

O x

y

დამამთავრებელიგვერდი

ndash210ordmx

y

O

225ordm

x

y

O

უარყოფითი კუთხედადებითი კუთხე

III

III



y

x0 IV

mobrunebis kuTxe

საკოორდინატო ღერძები საკოორდინატო სიბრტყეს ოთხმეოთხედად ყოფს იმაზე დამოკიდებულებით თუ კუთ-ხის დამამთავრებელი გვერდი რომელ მეოთხედშია მისიმნიშვნელობა განსაზღვრულ ინტერვალში იცვლებადამამთავრებელმა გვერდმა კოორდინატთა სათავისგარშემო შეიძლება მოახდინოს ერთი ან მრავალჯერადი მობრუნება ერთი სრული მობრუნებით იქმნება 360-იანიკუთხე საწყისი და დამამთავრებელი გვერდების თანხვედ-რაში მყოფი უსასრულო რაოდენობის მობრუნების კუთხეებიარსებობს მაგალითად 30deg-იანი კუთხისა და 390deg-იანიკუთხის დამამთავრებელი გვერდები ერთმანეთს ემთხვევასხვა სიტყვებით ordm და ordm + 360ordm middot n (სადაც n ნებისმიერიმთელი რიცხვია) მობრუნების კუთხეების დამამთავრებელგვერდებს ერთი და იგივე მდებარეობა უკავიათ ერთმანეთსემთხვევიან

30ordmx

y

O390ordm

68

კუთხის ნიშანი უარყოფითიაკუთხის დამამთავრებელი გვერ-დი საწყისი მდგომარეობიდან სა-ათის ისრის მოძრაობის მიმარ-თულებით მობრუნებით აბსცისთაღერძთან 45-იანი კუთხის შექ-მნით გაივლება კუთხის დამამ-თავრებელი გვერდი IV მეოთ-ხედშია

კუთხის დამამთავრებელიგვერდი საწყისი გვერდი-დან საათის ისრის მო-ძრაობის საპირისპირო მი-მართულებით საწყის გვერ-დთან 150-იანი კუთხისშექმნით გაივლება დამამ-თავრებელი გვერდი II მე-ოთხედშია

კუთხის ნიშანი დადებითიაკუთხის ბოლო გვერდი საათისისრის მოძრაობის საპირის-პირო მიმართულებით საწყისიგვერდიდან 180 + 60 მობრუ-ნებით გაივლება დამამთავ-რებელი გვერდი III მეოთ-ხედშია


nimuSi 2 საკოორდინატო სიბრტყეზე უჩვენეთ 60deg-იან კუთხესთან დამამთავრებელიგვერდის თანხვედრაში მყოფი დადებითი და უარყოფითი მობრუნების კუთხეები დადაწერეთ მათი გრადუსული ზომები60 + 360 = 420 60 360 = 30060 + 2 360 = 780

y

x

60ordm

420ordm ndash300ordm

y

x

60ordm

y

x

60ordm

780ordm

nimuSi 1 გაავლეთ მოცემული ზომის მობრუნების კუთხეები და განსაზღვრეთდამამთავრებელი გვერდი რომელ მეოთხედშია

1

2

3

4

0ordmndash360ordm შუალედში უჩვენეთ ისეთი მობრუნების შუალედში უჩვენეთ ისეთიმობრუნებისა) 420ordm ბ) ndash210ordm გ) ndash330ordm დ) 700ordm ე) 200

რომელი მეოთხედის კუთხეა კუთხე დახაზეთ უჩვენეთა) = 170 ბ) = 290 გ) = 100 დ) = 320 ე) = 10

რომელი ზომა რომელ კუთხეს შეესაბამება

დაწერეთ და დახაზეთ ერთი დადებითი და ერთი უარყოფითი კუთხის გრადუსულიზომები რომლის დამამთავრებელი გვერდი მოცემულ კუთხეს ემთხვევაა) 200ordm ბ) 80ordm გ) ndash 100ordm დ) 130ordm ე) 70

1) ndash210ordm 2) 420ordm 3) ndash 780ordm

ა) გ)ბ)

x

y

x

y

x

y

saswavlo davalebebi

240 = 180 + 60 510 = 360 + 150

გ) 510yy

xx

O ndash45ordm60

ა) ბ)y

x

150

510

240

O

240 45

69


გრადუსის რადიანებში გადაყვანა

სიგრძით რადიუსის ტოლი რკალის შესსაბამისი ცენტრულიკუთხის ზომას 1 radiani ეწოდება რკალის სიგრძისწრეწირის რადიუსთან შეფარდება შესაბამისი ცენტრულიკუთხის რადიანულ ზომას უჩვენებს კუთხის რა-დიანული ზომა რადიანის სიგრძეზე არ არის დამოკი-დებული (განმარტეთ სურათზე მოცემული ფიგურებისმსგავსების მიხედვით)

წრეწირის სიგრძე 2r-ია თუ რადიუსის (r) ტოლი რკალის შესაბამისი ცენტრული კუთხე1 რადიანია 2r-ის ტოლი რკალის შესაბამისი ცენტრული კუთხე 2 იქნება ქვემოთნაჩვენებია განსაზღვრული მობრუნებების შესაბამისი კუთხეების რადიანული ზომები

3602

1801 რადიანი = =

1 რადიანი 57


რადიანის გრადუსებში გადაყვანა

2360

180

180

1 = =


სრული ბრუნი2 რადიანი 2 = 3

432

34 ბრუნი

2 = 12

2

12 ბრუნი

2 = 14

14 ბრუნი

ერთი სრული ბრუნით შექმნილი კუთხის რადიანული ზომაა 2 გრადუსული ზომა კი360-ია ანუ 2 რადიანი = 360 აქედან შეიძლება განისაზღვროს დამოკიდებულებაკუთხის რადიანულ და გრადუსულ ზომებს შორის

პირველ მეოთხედში მდებარე ზოგიერთი კუთხის რა-დიანული და გრადუსული ზომების ურთიერთმნიშ-ვნელობების მიხედვით ამ კუთხეების ჯერადი კუთხეებისრადიანული ზომების პოვნა შეიძლება

მაგალითად რადგან 30 = ამიტომ 150 = 6

56

y

x

y

x

y

x

y

x

nimuSi 1 რამდენი რადიანია 4 სმ-იანი რადიუსის მქონეწრეწირის 12 სმ სიგრძის რკალის შესაბამისი ცენტრული კუთხე

120ordm135ordm

150ordm

180ordm

210ordm225ordm



0ordm30ordm

45ordm60ordm90ordm

რადიანულიზომა

გრადუსული ზომა

23

43

6

2

32

76

34

116

53

54

56

74

4

3

2 x

y

0

1 = 00175 რადიანი

მაშასადამე რად = 180ordm მაშინ გასაგებია რომ

= 90ordm = 60ordm = 45ordm = 30ordm

2

3

4

6

amoxsna 1 რადიანი 4 სმ სიგრძის რკალს შეესაბამება12 სმ რკალის შესაბამისი კუთხე 12 4 = 3 რადიანი იქნება

kuTxis radianuli zoma

= lr x

y

O

rr 1 radiani

lrα rad

R L

70

9


იპოვეთ რადიანულ ზომებში მოცემული კუთხეების გრადუსული ზომები

ა) ბ) გ) ndash დ) ndash ე) 1 ვ) 2 ზ) 36

23

38

52

7

8

saswavlo davalebebi

საკოორდინატო სიბრტყეზე გამოსახეთ მოცემული ზომის მობრუნების კუთხე

იპოვეთ r რადიუსიანი წრეწირის l სიგრძის რკალის შესაბამისი კუთხის რადიანულიზომა

ა) r = 4 სმ l = 16 სმ ბ) r = 5 მ l = 4 მ გ) r = 32 სმ l = 72 სმ

ა) 40 ბ) 310 გ) 150 დ) 150 ე) 780

ვ) ზ) თ) ი) 40023

52

6

5

გრადუსულ ზომებში მოცემული კუთხეები გამოსახეთ რადიანებში მეასედებამდედამრგვალებით იპოვეთ მიახლოებითი მნიშვნელობა

ა) 60 ბ) 120 გ) ndash 45 დ) 450 ე) 270 ვ) 155

დაწერეთ მოცემულ კუთხესთან დამამთავრებელი გვერდის თანხვედრაში მყოფი დამოცემულ შუალედში მდებარე მობრუნების კუთხეები

ა) 65deg 90deg le θ lt 720deg ბ) 40deg 180deg le θ lt 360deg გ) 140deg 720deg le θ lt 720degდ) 2π le θ lt 2π ე) 4π le θ lt 4π ვ) 2π le θ lt 4ππ

42π 3

3π 4

კ) 32

45იანი კუთხისა და 405იანი და 315-იანი კუთხეების დამამთავრებელი გვერდებიერთმანეთს ემთხვევა405 = 45 + 360 315 = 45 360 45+ 2360 45 2360 45+ 3360 45 3360 კუთხეები ან 45 plusmn 360 45 plusmn 2360 45 plusmn 3360 და ა შ უსასრულორაოდენობის კუთხეების დამამთავრებელი გვერ-დები 45-იანი კუთხის დამამთავრებელ გვერდსემთხვევაეს რადიანებში შეიძლება ქვემოთ მოცემული სახით ჩაიწეროს plusmn 2 plusmn 4 და აშზოგადი სახით კი plusmn 2n (nN) სახის კუთხეების დამამთავრებელი გვერდები დარადიანული კუთხის დამამთავრებელი გვერდები ერთმანეთს ემთხვევა

nimuSi 3 გრადუსებში და რადიანებში გამოსახეთ კუთხეები რომელთა დამამთავრებელიგვერდი ემთხვევა 45deg-იან კუთხეს

4

4

4

4

4O O x

y

x

y

4545

405

315

nimuSi 2 გრადუსულ ზომებში გამოსახული კუთხე გამოსახეთ რადიანებში ხოლო

რადიანებში გამოსახული კუთხე კი გრადუსულ ზომაში ა) 60 ბ) 53

53

53

180

360 = 60 რადიანი = რადიანი 1047 რადიანი

რადიანი = = 560 = 300180

amoxsna ა)

ბ)

71



ndash4π le θ lt 4π ინტერვალში

კუთხესთან დამამთავრე-

ბელი გვერდის თანხვედრაშიმყოფი კუთხეები


nimuSi e) 4π le θ lt 4π მოცემულ კუთხესთან დამამთავრებელი

გვერდის თანხვედრაში მყოფი მობრუნების კუთხეები + 2n და

2n (nN) ფორმულებით შეგვიძლია ვიპოვოთ3π 4

3π 4

3π 4

11

12

13

n 1 2 3

+ 2n

2n 13π 4

3π 43π 4

27π 4

11π 4

19π 4

5π 4 21π

4

3π 4

nimuSi ა) 65deg 90deg le θ lt 720deg65deg-იან კუთხესთან თანხვედრაში მყოფი მობრუნების კუთხეები65 + 360 n და 65 360 n (nN) ფორმულებით შეგვიძლია ვიპოვოთn = 1 65 + 360 1 = 425 65 360 1 = 295n = 2 65 + 360 2 = 785 65 360 2 = 655როგორც ხედავთ მოცემულ ინტერვალში შემავალი მხოლოდ 425იანი კუთხეა

10 გრადუსულ ზომებში მოცემული კუთხე გამოსახეთ რადიანებში ხოლო რადიანებშიმოცემული კუთხე გამოსახეთ გრადუსულ ზომებში

76

54

23

1) 225ordm 2) ndash15ordm 3) 4) 5) ndash 6) ndash

მოცემულ კუთხეებთან დამამთავრებელი გვერდების თანხვედრაში მყოფი და (0 2)ინტერვალში მდებარე კუთხე გამოსახეთ რადიანებში

1) ndash 2) ndash 3) ndash 4)

5) ndash 6) 7) 8 8) 12

34

75

194

3

163

458

დაწერეთ კუთხის დამამთავრებელი გვერდის მოცემული ბრუნვით შექმნილი კუთ-ხეების გრადუსული და რადიანული ზომები

19

118

124712

45

23

ა) განსაზღვრეთ ოთხი კუთხე რომელთა დამამთავრებელი გვერდები ემთხვევა მოცე-მულ კუთხეებს

ბ) მოცემული მობრუნების კუთხეებიდან რომელი ორის დამამთავრებელი გვერდებიემთხვევა ერთმანეთს

1) 2) 3) ndash 4) ndash 43

75

4

6

1) 2) ndash 3) 410ordm ndash410ordm 4) 227ordm ndash493 ordm56

92

52

176

გ) ზოგადი სახით დაწერეთ კუთხეები რომელთა დამამთავრებელი გვერდები ემთხვევამოცემულ კუთხეებს

1) 60 2) 5

3) 2 4) 100

13π 4

5π 4

11π 4

135deg

რადიანის განსაზღვრების თანახმად რადგან = ამიტომ

რკალის სიგრძე კუთხის რადიანული ზომისა და რადიუსის

ნამრავლის ტოლია l = middot rრკალის სიგრძე წრეწირის რადიუსის პირდაპირპროპორციულია

nimuSi 1 საათის წამების ისრის სიგრძე 12 სმ-ია განსაზღვრეთ წამებისისრის წვეროს წერტილების 15 წამში შემოხაზული რკალის სიგრძეamoxsna წამების ისარი 60 წამში ერთ სრულ ბრუნს ასრულებს ეს კი 2რადიანია

15 წამს სრული ბრუნის = ნაწილი შეესაბამება

რადიანიმაშასადამე წამების ისარი 15 წამის განმავლობაში რადიანის ცენტრული კუთხის შესაბა-მის რკალს შემოხაზავს ამ რკალის სიგრძე l = r = 12 = 6 6314= 1884 (სმ)იქნება


72

nimuSi 2 იპოვეთ 8 სმ რადიუსიანი წრის ფერადი სექტორის ფართობი დაამ სექტორის პერიმეტრიფერადი ნაწილის შესაბამისი ცენტრული კუთხე 2 = სექტორის ფართობი S = r2 = 82 = 40 (სმ2)სექტორის პერიმეტრი = ორი რადიუსის სიგრძე + სექტორის რკალის სიგრძე

P = 28 + 8 = 32 + 20 95 (სმ)

rkalis sigrZe r რადიუსიან წრეწირში mordm-იანი ცენტრული კუთხის შესაბამისი

რკალის სიგრძის ფორმულაა l = middotr რკალის სიგრძის კუთხის რადიანული ზომის გამოყენებით უფრო მარტივი სახით დაწერაშეიძლება

seqtoris farTobi mordm-იანი ცენტრული კუთხის შესაბამისი სექტორის ფართობია

S = r2 თუ გავითავლისწინებთ რომ არის mordm-იანი ცენტრული კუთხის

რადიანული ზომა და ავღნიშნავთ სახით ამ სექტორის ფართობის ფორმულა S = r2

იქნება

m360 1

2

12

1560

14

2 =


34

2

21

3

4567

8

9

1011 12

14

2

2 2

მონაცემების მიხედვით იპოვეთ მოთხოვნილი სიდიდეები აქ r- წრეწირის რადიუსია - ცენტრული კუთხე l- რკალის სიგრძე

ა) r = 85 სმ = 75deg l = სმ ბ) r = 5 მ l = 13 მ = რადიანიგ) r = მმ = 18 რადიანი l = 45 მმ

saswavlo davalebebi

1

იპოვეთ მოცემული ცენტრული კუთხის შესაბამისი რკალის სიგრძე და სექტორისფართობი

3

5 3ა) r = 30 სმ = ბ) r = 125 მ გ) r = 28 დმ = 90 =

2

l

3π 4

5π 45π

412

5π 4

O

A

B Dr

C

1

m180

lr

m180

73

20 სმ რადიუსიანი წრეწირის l რკა-ლის სიგრძე 85 სმ-ია იპოვეთ შე-საბამისი ცენტრული კუთხის რადი-ანული ზომა

სურათზე ნაჩვენები წრის სექტორის პე-რიმეტრი 16 სმ-ია იპოვეთ A ცენტრულიკუთხის რადიანული ზომა თუ შესაბამისიწრის რადიუსი 5 სმ-ია

წრეწირის გარშემო მოძრაობისას მაგალითად ბორბლის Oწერტილის გარშემო ბრუნვის დროს მასზე აღებული რომელიმეP წერტილის სიჩქარე ორნაირად შეიძლება შეფასდეს მათ შორისერთ წერტილის ბორბლის ბრუნვის დროს გავლილი მანძილისმიხედვით განსაზღვრული სიჩქარეა მას წრფივი სიჩქარე ეწო-დება მეორე კი ბრუნვის კუთხის (ცენტრული კუთხის) მიხედ-ვით არსებული სიჩქარეა და მას კუთხური სიჩქარე ეწოდებათუ სხეული წრეწირის გარშემო მოძრაობს წრფივი სიჩქარეგავლილი მანძილის (შესაბამისი წრეწირის რკალის სიგრძის)დროსთან შეფარდების ტოლია

წრფივი სიჩქარე =

წრფივი სიჩქარე = r კუთხური სიჩქარე vx = r

vx =

wrfivi siCqare da kuTxuri siCqare

გავლილი მანძილიდრო

თუ სხეული წრეწი-რის გარშემო მოძრა-ობს კუთხური სიჩ-ქარე მობრუნებისკუთხის დროსთანშეფარდების ტოლია

კუთხურ სიჩქარესა და წრფივ სიჩქარეს შორის კავშირის შემდეგი სახით გამოსახვა შეიძლება

rt

კუთხური სიჩქარე =

=

ბრუნვის კუთხედრო

t

სადაც (რადიანებში) t დროში ბრუნვის კუთხეა

3 4

A5 სმ

x

y

l

nimuSi 3 კარუსელი წუთი 8 სრულ ბრუნს ასრულებსა) რამდენი რადიანია კარუსელის ერთ წუთში არსებული კუთხური სიჩქარებ) რამდენ მეტრ მანძილს გაივლის ერთ წუთში ცენტრიდან 3 მ მანძილზე მყოფიცხენიგ) რამდენ მეტრ მანძილს გაივლის ერთ წუთში ცენტრიდან 2 მ მანძილზე მყოფი ცხენიamoxsna ა) ერთი სრული ბრუნვის შესაბამისი ბრუნვის (ცენტრული) კუთხეა 2 8 ბრუნის დროსეს კუთხე 8 2 = 16 იქნება ერთ წუთში კუთხური სიჩქარე იქნება = = 16 რა-დიანიწუთიბ) ცენტრიდან 3 მ მანძილზე მყოფი ცხენი 3 მ რადიუსით მოძრაობს წრეწირის გარშემო

წრფივი სიჩქარე vx = r = 316 = 48 151 მწთგ) ცენტრიდან 2 მ მანძილზე მყოფი ცხენი 2 მ რადიუსით მოძრაობს წრეწირის გარშემო

წრფივი სიჩქარე vx = r = 216 = 32 100 მწთროგორც ხედავთ იმ შემთხვევაში როცა კუთხური სიჩქარე ტოლია ცენტრიდან უფრო შორსმყოფი სხეული უფრო სწრაფად მოძრაობს ანუ მისი წრფივი სიჩქარე უფრო მეტია

= t

161


Ps

r O x

y

O

74

საათის ისრის სიგრძე 10 სმ-ია

ა) იპოვეთ წამების ისრის კუთხური სიჩქარე ( -ობით)ბ) რა მანძილს გაივლის ისრის წვეროს წერტილი 2 წუთისა და 15 წამის განმავლობაშიგ) იპოვეთ წამების ისრის წრფივი სიჩქარე ( -ობით)

ავტომობილის საბურავის რადიუსი 40 სმ-ია რამდენი რადიანია მოცემული მანძილებისგავლამდე საბურავების ბრუნვით მიღებული კუთხე

ა) 100 მ ბ) 15 მ გ) 1 კმ დ) 300 მ

5

6

7

8

9

10

სურათზე მოცემულია კონცენტრული (საერთო ცენტრის მქონე) წრეწირებიმცირე წრეწირის რადიუსი 4 სმ-ია დიდი წრეწირის რადიუსი კი 6 სმ-იაიპოვეთ ფერადი ნაწილის ფართობი

წყალმფრქვევი ყოველ 15 წამში ერთ ბრუნს ასრულებს იგიმაქსიმუმ 16 მ მანძილზე აფრქვევს წყალს

ა) იპოვეთ წყალმფრქვევის მობრუნებისას მორწყულისექტორის ფართობი

ბ) რადიანებში და გრადუსებში გამოსახეთ წყალმფრქვევისმიერ 2 წუთის განმავლობაში ბრუნვით მიღებული კუთხე

კარუსელი წუთში 15 ბრუნს აკეთებს იპოვეთა) კარუსელის კუთხური სიჩქარე

ბ) კარუსელის ღერძთან 15 მ მანძილზე მყოფი წერტილის

წრფივი სიჩქარე ( )

65 სმ დიამეტრიანი ველოსიპედის საბურავი 005 წამში 45ordm-ით ბრუნავს რა მანძილსგადის ველოსიპედი 30 წამში

6

32

10 სმ

11 თითოეულ სურათზე მონაცემების მიხედვით ისეთი გამოთვლები აწარმოეთ რომ ყველაწრისათვის განსაზღვრული იქნას რადიუსი ცენტრული კუთხე რკალის სიგრძე დასექტორის ფართობი


რადწმ

y

x5 სმ15

y

x

2392 სმ

r

y

xr

S = 864 მმ2

3

y

xrS = 1

12

74

y

x

43 მ

10

16 მ

15 მმ

წთ

2 მ რადიუსის მქონე წრეწირზე მოძრავი სხეული ყოველ 20 წამში 5 მ მანძილს გადისიპოვეთ სხეულის წრფივი და კუთხური სიჩქარეები

12

სმწმ

75

არუსელის კაბინები 1-დან 40-მდე არის დანომრილი წარ-მოიდგინეთ რომ თქვენ ხართ ნომერ 3 კაბინაში რომელინომერი კაბინა იქნება თქვენი ამჟამინდელი კაბინის ადგი-

ლას თუ კარუსელი -ით მობრუნდება

განიხილეთ ორივე მიმართულებით მობრუნების შემთხვევა

65 სმ დიამეტრიანი საბურავების მქონე ველოსიპედის სიჩქარე 30 კმსთ-ია რამდენ სრულ ბრუნს აკეთებენ ველოსიპედის საბურავები წუთში

3710

21 სმ სიგრძის ქანქარასა მოძრაობის დროს წვეროს შემოხაზული უდიდესი რკალისსიგრძე 105 სმ-ია რამდენ გრადუსიან კუთხეს შემოხაზავს ამ დროს ქანქარა

14

15

16

ა) ბაქო ჩრდილოეთი განედის 40ordm-იან წრეზე მდებარეობს იპოვეთმერიდიანის მიხედვით მანძილი ბაქოდან ეკვატორამდე დედამიწისრადიუსი მიახლოებით 6400 კმ-ია

13

დედამიწიდან მზემდე მანძილი დაახლოებით 15 108 კმ-ია განსაზღვრეთ წრფივი

სიჩქარე ( ) თუ წარმოვიდგენთ რომ დედამიწის მზის გარშემო წრიული მოძრა-

ობისას ერთ სრულ ბრუნს სჭირდება 365 დღე

2 სმ და 8 სმ რადიუსიანი 2 დისკი ღვედის საშუალებითსურათზე ნაჩვენები წესითაა შეერთებული იპოვეთრამდენ ბრუნს აკეთებს წუთში დიდი დისკი თუ პატარადისკი 3 ბრუნს ასრულებს miTiTeba ორივე დისკისწრეწირზე მყოფი წერტილები ერთი და იგივე წრფივისიჩქარით მოძრაობენ

17

18

იპოვეთ სხეულის t დროში r რადიუსიან წრეწირზე კუთხური სიჩქარით გავლილი მანძილი

19

ა) r = 6 დმ = t = 10 წთ

ბ) r = 12 მ = t = 100 წმ

გ) r = 30 სმ = t = 25 წმ რად10 წმ

რად15 წმ

3 რად2 წმ


კმსთ

წყალმფრქვევს დამაგრებულიადგილიდან 400 მ მანძილზეწრიულად წყლის მიწოდებაშეუძლია თუმცა ფერმერიმხოლოდ 120000 მ2 ფართო-ბის მორწყვას გეგმავს წყალ-მფრქვევის რამდენ გრადუ-სიანი კუთხით მობრუნებითშეიძლება ამ ფართობის მორ-წყვა

20

8 სმ 2 სმ

10 8 64

24038

36

323028

3426

2422

201816

1412

200

400



θ

P

ბ) იპოვეთ მანძილი მერიდიანის მიხედვით 40ordm ჩრდილოეთი განე-დის წრეზე მდებარე პუნქტსა და 20ordm სამხრეთით განედის წრეზემდებარე პუნქტს შორის

76


1) დახაზეთ α ბრუნვითი კუთხე რომლის დამამთავრებელი გვერდი P(4 3) წერტილზე გა-დის იპოვეთ მანძილი P წერტილიდან კოორდინატთა სათავემდე

OP = radic42 + 32 = 52) დაწერეთ ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები OPK მართკუთ-ხა სამკუთხედის მახვილი კუთხისათვის

sin = 35

34

45cos = tg =

3) დაწერეთ OP სხივის მომცველი წრფის განტოლება

r1 = OP1 = radic82 + 62 = 10 sin = 610

68cos = tg =


მე-2 და მე-4 ნაბიჯზე ჩანაწერებში ძირითადად განმარტეთ მობრუნების კუთხის ტრიგონომეტრიული თანაფარდობების მნიშვნელობები არის თუარა დამოკიდებული იმაზე თუ კუთხის გვერდზე რომელ წერტილს ავღნიშნავთ

კუთხის ტრიგონომეტრიული თანაფარდობების მნიშვნელობებიმხოლოდ კუთხის მნიშვნელობებზეა დამოკიდებულიკოორდინატთა სათავეში ცენტრის მქონე r რადიუსიანი წრეწირისადა მობრუნების კუთხის დამამთავრებელი გვერდის გადაკვე-თის წერტილი იყოს P(x y)

r

x

y

0

P(xy)

x

y

P წერტილის ორდინატის რადიუსის სიგრძესთან შეფარდებას კუთხის სინუსი ეწოდება sin = y

r

xrcos =

P წერტილის აბსცისის რადიუსის სიგრძესთან შეფარდებას კუთხის კოსინუსი ეწოდება

yxtg =

P წერტილის ორდინატის აბსცისთან შეფარდებას კუთხის ტანგენსი ეწოდება

(სადაც x 0 ანუ P წერტილი ორდინატთა ღერძზე არ მდებარეობს)

xyctg =

P წერტილის აბსცისის ორდინატთან შეფარდებას კუთხის კოტანგენსი ეწოდება

(სადაც y 0 ანუ P წერტილი აბსცისთა ღერძზე არ მდებარეობს)

4) შეამოწმეთ რომ P1(8 6) წერტილიც OP სხივზე მდებარეობს და ∆OP1K1-დან დაწერეთტრიგონომეტრიული თანაფარდობები კუთხისათვის

k = y = x34

34

810

5

x

y

10

8

6

0

P1(8 6)

P(4 3)

K K1

4

3

კუთხის კოსეკანსი ამ კუთხის სინუსის შებრუნებულიაrycosec = =1

sin (სადაც y 0) კუთხის სეკანსი ამ კუთხის კოსინუსის შებრუნებული

rxsec = =1

cos (სადაც x 0)

77

35

43

nimuSi 1 A ( 3 4) წერტილი α მობრუნებული კუთხის დამამთავრებელ გვერდზე ძევსა) დახაზეთ ამოცანის პირობის ამსახველი სურათიბ) განსაზღვრეთ α კუთხისათვის ტრიგონომეტრიული თანაფარდობების მნიშვნელობებიწრეწირზე მდებარე წერტილის კოორდინატებიamoxsna

yr

45sin α = =

xrcos α = =

yxtg α = = 3

4xyctg α = = O x

y

αA(34)

34

ბ) r = radicx2 + y2 = radic(3)2 + 42 = 5


ა)

53

rxsec α = = cosec α = =r

y54

ზოგჯერ კუთხის დამამთავრებელი გვერდი ერთ-ერთ საკოორდი-

ნატო ღერძზე ძევს ამ შემთხვევაში შექმნილი მობრუნების

კუთხეების ზომა = 0 ან = 0 რადიანი = 90 ან

= რადიანი = 180 ან = რადიანი = 270

ან რადიანი შეიძლება იყოს ამ შემთხვევაში x და y კოორდი-

2

3 2

(0 ndashr)(ndashr 0) (r 0)

(0 r) 90ordm0ordm180ordm

270ordm

= 0ordm ან0 რადიანს

= 180ordm ან რადიანს = 90ordm ან რადიანს = 270ordm ანრადიანს

2 3

2

y

y y y

x x x xO O O O(r 0)

(0 r)

(ndash r 0)(0 ndash r)

nimuSi 2 სურათზე მონაცემების მიხედვით იპოვეთ P წერტი-ლის კოორდინატებიP წერტილი II მეოთხედში მდებარეობს და კოსინუსი უარყოფითია

cos 150deg = xr

ndashcos 30deg = x = ndash6 cos30deg = ndash3radic3

x6

sin 150deg = yr

sin 30deg = y6

y = 6 sin30deg = 3

x0

P(xy)150ordm

x

y

y 6

თუ წრეწირზე მოცემული P წერტილი მობრუნების კუთხისდამამთავრებელ გვერდზე მდებარეობს მისი კოორდინატებია


r

x0



ywrewirze mdebare wertilis koordinatebi

ნატები ან ნულია ან კიდევ აბსოლუტური მნიშვნელობით წრეწირის რადიუსის ტოლია

78


rr

yx

0rtg 180ordm = = = 0

xyctg 180ordm = =

r0


(ndashr 0)

y

x

= 180ordm = 270ordm


0r

yxtg 270ordm = = ndashr

0ar aris gansazRvruli

(0 ndashr)

y

x

-ს დასაშვებ თითოეულ მნიშვნელობას sin cos tg ctg sec cosec -ს ერთადერთიმნიშვნელობა შეესაბამება ამიტომ ეს ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები კუთხისფუნქციებია მათ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ეწოდება


რადგან კოსინუსის ნიშანი x-ის ნიშანს ემთხვევა

რადგან სინუსის ნიშანი y-ის ნიშანს ემთხვევაsin = yr

cos = xr


+ndashndash


ndashndash+


ndash+ndash


+++

II მეოთხედი

III მეოთხედი IV მეოთხედი

I მეოთხედი

x gt 0y gt 0

x lt 0y gt 0

x lt 0y lt 0

x gt 0y lt 0

x

yx

y

270ordm lt α lt 360ordmlt α lt 2

180ordm lt α lt 270ordm lt α lt

2

32

32

90ordm lt α lt 180ordmlt α lt

2

0 lt α lt 90ordm0 lt α lt

ა)


rr


yx

0r

tg 90ordm = = r0


(0 r)y

xO O O

nimuSi 3 იპოვეთ ტრიგონომეტრიული თანაფარდობების მნიშვნელობები თუა) = 90 ბ) = 180 გ) = 270

ctg 90ordm = = = 0 xy

0r

= 90ordm


0r

ბ) გ)


rr

xy

0r

ctg 270ordm = = = 0

79


დამამთავრებელი გვერდების მოცემულ წერტილზე გამავალი კუთხეებისათვის გამოთ-ვალეთ ტრიგონომეტრიული თანაფარდობების მნიშვნელობები

5

ა) (12 9) ბ) (1 1) გ) (8 6) დ) (1 0) ე) (4 3) ვ) (1 1) ზ) (3 4) თ) (15 20)

2)

1) ( ndash9 12)

მონაცემების მიხედვით იპოვეთ რომელი მეოთხედის კუთხეა

ა) sin gt 0 და cos lt 0 ბ) sin lt 0 და cos lt 0 გ) cos lt 0 და tg gt 0 დ) ctg lt 0 და sin gt 0

7

6

ა) გამოსახეთ ორი სხვადასხვა მობრუნების კუთხე რომელთა სინუსი -ის ტოლია

ბ) გამოსახეთ მობრუნების კუთხეები რომელთა კოსინუსი -ის ტოლია

გ) გამოსახეთ მობრუნების კუთხეები რომელთა სინუსი -ის ტოლია

დ) გამოსახეთ მობრუნების კუთხეები რომელთა კოსინუსი -ის ტოლია

3 5

4 5

3 5

უჯრიან ფურცელზე 1 უჯრის ერთეულად ჩათვლით დახაზეთ 5 ერთეულიანი რადიუსისმქონე წრეწირი რომლის ცენტრიც კოორდინატთა სათავეში მდებარეობს

(ndash125)

x

y

2

4 5

ა) სურათზე მონაცემების მიხედვით განსაზღვრეთ რომ თუსამკუთხედის კუთხეებია 45ordm 45ordm 90ordm და 30ordm60ordm90ordm მათიგვერდების შეფარდება შესაბამისად იქნება 11radic2 1radic32

ბ) სურათზე მოცემული სამკუთხედე-ბიდან განსაზღვრეთ 30ordm 45ordm 60ordm-იანიკუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნ-ქციების მნიშვნელობები

განსაზღვრეთ თითოეული კუთხის შესაბამისი ტრიგონომეტრიული თანაფარდობის ნიშანი

გ) cos 100degდ) tg 140deg

ე) tg 250degვ) sin 310deg

ზ) sin 200degთ) cos 280deg

ა) sin 20degბ) cos 50deg

3

4 განსაზღვრეთ გამოსახულების ნიშანი

ა) sin ბ) cos გ) tg დ) ctg54

116

34

56

1) განსაზღვრეთ დამამთავრებელი გვერდის მოცემულ წერტილზე გამავალი α მობრუნებისკუთხის სინუსი კოსინუსი და ტანგენსი

1

2) შეადარეთ მიღებული შედეგები

saswavlo davalebebi

ა) A(1 2) ბ) B(2 4) გ) C(4 8)

45deg45deg

45deg45deg

a

a

a

a

a a

2a2ac

30deg 30deg

60deg 60degc

2ay

P (radic3 1)

x x

P (1 radic3)P (1 1)

radic22 1

1 1

21

radic330deg

y

45deg 60degx

y

radic3

y

x

P(3 4)

0

(ndash6 ndash8)

y y

xx

80

nimuSi 1 ა) განსაზღვრეთ მოცემული კუთხეების შესაბამისი მახვილი კუთხეები

amoxsna ა) 300-იანი კუთხის დამამთავრებელი გვერდი IV მეოთხედშია შესაბამისი მახვილი კუთხეა 360deg 300 = 60deg

ბ) კუთხის დამამთავრებელი გვერდი III მეოთხედშია შესაბამისი მახვილი კუთხეა

=

7 6 7

6

7 6ა) α = 300 ბ) α =

6

90-ზე მეტი კუთხეების შესაბამისი ტრიგონომეტრიული თანაფარდობე-ბის გამოთვლებისათვის ხელსაყრელი ხდება მათი შესაბამისი მახვილიკუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციებით გამოსახვა ნებისმიერი αკუთხის შესაბამისი მახვილი კუთხე α კუთხის დამამთავრებელი გვერდისმიერ აბსცისთა ღერძთან შექმნილი αprime მახვილი კუთხე

შესაბამისი მახვილი კუთხის გამოყენებით ნებისმიერი კუთხის ტრიგონომეტრიულითანაფარდობების განსაზღვრა შეიძლება ეს მნიშვნელობები 30deg 45deg და 60deg-სათვისზუსტად შეიძლება მოიძებნოს მახვილი კუთხეების ყველა დანარჩენი მნიშვნელობისათვისკი კალკულატორის გამოყენებით მიახლოებით გამოითვლება

y

x

α

Oαprime

x

y

αprimeα

x

y

αprime

α

x

y

αprime

α

90ordm lt α lt 180ordm 180ordm lt α lt 270ordm 270ordm lt α lt 360ordmlt α lt lt α lt lt α lt 2

232

32

gamokvleva 1) გაავლეთ r რადიუსიანი წრეწირი და დამამთავრებელი გვერდის სხვადასხვამეოთხედებში მოთავსებით სხვადასხვა მობრუნების კუთხეები გამოსახეთ ისე როგორც სურათზეანაჩვენები

2) თითოეული შემთხვევისათვის მობრუნების კუთხის ძირითადი ტრიგონომეტრიულიფუნქციები განსაზღვრების თანახმად გამოსახეთ P(x y) წერტილის კოორდინატებით

3) ∆OPK-ში კათეტების სიგრძეები გამოსახეთ P(x y) წერტილის კოორდინატებითPK = y OK = x

4) დაწერეთ ∆OPK-ში ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები prime მახვილი კუთხისათვის

5) შეადარეთ მე-2 და მე-4 ნაბიჯებზე მოცემული შედეგები

sin = xr

yx

yrcos = tg = x

yctg =

sin prime = yr

yx

yrcos prime = tg prime = x

yctg prime =

x

P(x y)

y

O prime

K x

P(x y)

y

O primeK

x

P(x y)

y

O primeK


αprime = 180ordm ndash αprime = 360ordm ndash αprime = ndash 180ordm

nebismieri kuTxis trigonometriuli funqciebis mniSvnelobisSesabamisi maxvili kuTxis mixedviT povna

81

ნებისმიერი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები შეიძლება განი-საზღვროს ქვემოთ მოცემული გზითbull განსაზღვრეთ შესაბამისი მახვილი კუთხეbull იპოვეთ მახვილი კუთხის შესაბამისი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებიbull განსაზღვრეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნიშნები იმის მიხედვით თუ რომელმეოთხედში მდებარეობს მოცემული კუთხე


sin(α + 360degk) = sinαsin(α + 2k) = sinα

cos(α + 360degk) = cosαcos(α + 2k) = cosα

თუ კუთხე მთელი რაოდენობის პერიოდებით იცვლება მაშინ ტრიგონომეტრიულიფუნქციების მნიშვნელობები არ იცვლებანებისმიერი α (0deg le α lt 360deg) კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობა დამამ-თავრებელი გვერდების α კუთხესთან თანხვედრაში მყოფი α + 360deg k (k Z) კუთხეებისტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ტოლია

tgα = და tg(α + ) = = ab

ab

ab tgα = tg(α + )

tg(α + 180degk) = tg α tg(α + k) = tg αctg(α + 180degk) = ctg α ctg(α + k) = ctg α

ავღნიშნოთ რომ კუთხის მთელი პერიოდის ნახევრით შეცვლის დროსაც ტანგენსისა დაკოტანგენსის მნიშვნელობები არ იცვლებამართლაც მობრუნების კუთხის შესაბამისი წერტილი თუ იქნება P(a b) რადგან მაშინ + 180ordm (ან + ) მობრუნების კუთხის შესაბამისი წერტილი Pprime(ndasha ndashb) იქნება ამიტომ

nimuSi 2 გამოთვალეთ α = ndash135deg-იანი კუთხის ძირითადი ტრიგონომეტ-რიული ფუნქციების მნიშვნელობები ამოხსნის ნაბიჯები

1 მოიძებნება დამამთვარებელი გვერდის მოცემულ კუთხესთან თანხვედ-რაში მყოფი და მისი 360deg-მდე შემაერთებელი უმცირესი დადებითი კუთხე ndash135deg + 360deg = 225deg

2მოიძებნება 225deg-ის შესაბამისი მახვილი კუთხე 225deg ndash 180deg = 45deg 3განისაზღვრება მოცემული კუთხის მეოთხედი ndash135deg-იანი კუთხე III მეოთხედის კუთხეა4 45deg-იანი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობისა და III მეოთედის ნიშნებისგათვალისწინებით ჩაიწერება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები

radic22

radic22sin α = ndash cos α = tg α = 1 ctg α = 1

x

y

45ordm135ordm

1

ზოგადად მართებულია ქვემოთ მოცემული ტოლობები

nimuSi 3 იპოვეთ cosα-ს შესაძლო მნიშვნელობები თუ sin α = რადგან სინუსი დადებითია კუთხე ან I ან კიდევ II მეოთხედის კუთხეა

sin α = მაშასადამე თუ r = 5 მაშინ y = 1

შესაბამისი წერტილის აბსცისა x = plusmn radicr2 ndash y2 = plusmnradic24 = plusmn2radic6 მაშინ cos α = ან cos α =

15

15

2radic65

551 1

2radic6ndash2radic6

y

x2radic6

5

α

α + P(a b)

Pprime(ndasha ndashb)

x

y

O

82

7

ბ) ცნობილია რომ cos = და კუთხე IV მეოთხედის კუთხეა იპოვეთ sin tg და ctg -ს მნიშვნელობები

კალკულატორის გამოუყენებლად გამოთვალეთ

რობოტმა რომლის მკლავის სიგრძე 2 მ-ია საგანი A წერტილიდან B წერ-ტილში გადაიტანა ამ დროს რობოტისმკლავი 140deg-ით იყო მობრუნებულირობოტის მოძრაობის მობრუნებისკუთხის სახით ასახვის მიხედვით იპო-ვეთ B წერტილის კოორდინატები

ა) sin 400ordm ndash sin 40ordm ბ) გ)cos 410ordmcos 50ordm

tg 200ordmtg 20ordm

radic22

რადგან sin 25deg 042 და cos 25deg 091კალკულატორის გამოუყენებლად გამოთვალეთ

ა) sin 155deg გ) cos 335deg ე) sin 205deg minus cos 155deg ბ) cos 205deg დ) sin 335deg ვ) cos 385deg minus sin 515deg

6

რამდენი გრადუსია ndash60ordm-იანი კუთხის შესაბამისი მახვილი კუთხე იპოვეთ cos(ndash60ordm)sin(ndash60ordm) tg(ndash60ordm) ctg(ndash60ordm) შეადარეთ ndash60ordm-იანი და 60ordm-იანი კუთხეების ტრიგონო-

მეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები

ა) ცნობილია რომ sin = და კუთხე II მეოთხედის კუთხეა გამოთვალეთ cos

tg და ctg -ს მნიშვნელობები

4

8

9

35

მოცემული კუთხეების მიხედვით გაავლეთ შესაბამისი მახვილი კუთხეები11) 240ordm 2) ndash515ordm 3) ndash170ordm 4) 315ordm 5) 6) ndash 7) ndash 3

411

325

4მოცემული კუთხეებისათვის გამოთვალეთ sinα cosα tgα და ctgα-ს მნიშვნელობები2

yა) ბ) გ) დ)

x060ordm 225ordm

150ordm 300ordmy

x0

y

x0

y

x0

კალკულატორის გამოუყენებლად გამოთვალეთ მოცემული კუთხეების შესაბამისიტრიგონომეტრიული თანაფარდობები

3

5 იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა კალკულატორის გამოყენების გარეშე

გ) sin(minus315deg)დ) tg(minus210deg)

ე) sin 495degვ) cos(minus225deg)

ზ) cos 600degთ) tg 420deg

ა) cos(minus60deg)ბ) sin(minus120deg)

1) sin 405ordm 2) cos 420ordm 3) tg 405ordm 4) sin 390ordm 5) cosec 450ordm 6) ctg 390ordm 7) sec 420ordm 8) cos 9) sin 10) tg 33

492

43


saswavlo davalebebi

B(rmiddotcos rmiddotsin )

B

O

A

140ordm

2 მ

1) α = 0 მობრუნების კუთხეების შესა-ბამისი წერტილები ავღნიშნოთ ერთეულოვან წრეწირზე და ამწერტილების კოორდინატები x = sin y = cos ფორ-მულების მიხედვით გამოვთვალოთ

83

erTeulovani wrewiri da trigonometriuli funqciebi

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები მხოლოდ კუთხის მნიშვნელობაზე არის დამოკიდებული და არ არის და-მოკიდებული წრეწირის რადიუსზე ამიტომაც საერთო წესისდაურღვევლად შეგვიძლია მივიღოთ რომ R = 1 წრეწირს რომლისრადიუსია 1 და ცენტრი კოორდინატთა სათავეშია ერთეულოვანიწრეწირი ეწოდება ერთეულოვან წრეწირზე მდებარე წერტილებისკოორდინატები x2 + y2 = 1 განტოლებას აკმაყოფილებენ თუ P() = (x y) წერტილი კუთხის დამამთავრებელი გვერდისერთეულოვან წრეწირთან გადაკვეთის წერტილი იქნება მაშინტრიგონომეტრიული ფუნქციებისა და წერტილის კოორდინატებს შორის არსებულიურთიერთკავშირი შეიძლება გამოისახოს შემდეგნაირად

მაშასადამე ერთეულოვან წრეწირზე ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებიP() = (cos sin) სახით შეიძლება ჩაიწეროს

ამასთან მოცემული კოორდინატების მიხედვით შეიძლება tg ctg sec და cosecტრიგონომეტრიული ფუნქციების პოვნა

cos = = x

tg = = sincos

sin = = yy1

xy

x1

ctg = = cossin

yx sec = 1

xcosec = 1

y


=1

cos =1

sin

2) განვსაზღვროთ ერთეულოვან რადიუსიან წრეწირზე რო-

მელიმე წერტილის მაგალითად A( ) წერტილის

შესაბამისი სიმეტრიული წერტილების კოორდინატები რო-

გორც სურათიდან ჩანს A წერტილის სიმეტრიული და II III

და IV მეოთხედებში მდებარე კიდევ 3 წერტილი არსებობს

12

radic32

B წერტილი A წერტილის y ღერძის მიმართ C წერტილიკოორდინატთა სათავის მიმართ D წერტილი კი x ღერძისმიმართ არის სიმეტრიული ამ ოთხი წერტილის შესაბამისიკოორდინატების აბსოლუტური მნიშვნელობები ტოლიაისინი მხოლოდ ნიშნებით განსხვავდებიან3) I მეოთხედში განსაზღვრული სხვა წერტილების კოორდინატებიდან ამ წესის გამოყენებითახალი წერტილების კოორდინატების განსაზღვრა შეგვიძლია შედეგად მობრუნებითიკუთხეების და შესაბამისი წერტილების კოორდინატების აღნიშნული ერთეულოვანი წრეწირიმიიღება

რადგან y = sin x = cos ამიტომ ერთეულოვან წრეწირზე განსაზღვრული მობრუნებისშესაბამისი წერტილების კოორდინატების განსაზღვრა შეიძლება ამისათვის შევასრულოთქვემოთ მოცემული მოქმედებები

6

4

3

2

( )

radic32

( ) 12

radic32( )

12

radic32 ( ) 1

2radic32

12

1

AB

O

O

C D

y

y

x

x

y

xA

P() = (x y)

B(1 0)1

O

12

radic3 2

(ndash1 0)

(ndash1 0)

(0 1)

(1 0)

600900

450

300

36001800

2700

( )12

radic3 2

( )radic2 2

radic2 2

( )

84

nimuSi 3 იპოვეთ 3 + 2 sin გამოსახულების უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობებიamoxsna ndash1 le sin le 1 orive mxare gavamravloT 2-ze

ndash2 le 2 sin le 2 orive mxares mivumatoT 3 ndash2 + 3 le 3 + 2 sin le 2 + 3 1 le 3 + 2 sin le 5

მაშასადამე 3 + 2 sin გამოსახულების umm 1-ის და udm 5-ის ტოლია

nimuSi 1

amoxsna რადიანის შესაბამისი მობრუნებისას კუთხის გვერდიIII მეოთხედშია ამ კუთხის შესაბამისი მახვილი კუთხე ndash =იქნება კუთხის დამამთავრებელი გვერდი III მეოთხედშიმდებარე და მისი დამამთავრებელი გვერდის ერთეულოვანწრეწირთან გადაკვეთის წერტილი კუთხის შესაბამისი

( ) წერტილის სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის მიმართ

მაშასადამე კუთხის მარცხენა გვერდი ერთეულოვან წრეწირს ( ) წერტილში

54

54

4

4

მობრუნების კუთხისათვის იპოვეთ ძირითადიტრიგონომეტრიული ფუნქციები

radic2 2

radic2 2

radic2 2

radic2 2

radic2 2

radic2 2

54

54

54


54

54

54

54

23

43

6

2

32

34

116

53

54

56

74

4

3

x

y

76

(0 1)

(1 0)0 2

(ndash1 0)

(0 ndash1)

(ndash )12

radic32

(ndash )radic22

radic22

(ndash )12

radic32


12


radic22

(ndash ndash )12

radic32

( )12

radic32( )radic2

2radic22

( )12

radic32

( ndash )radic32

12

( ndash )radic22

radic22

( ndash )12

radic32

ერთეულოვან წრეწირზე ნებისმიერიწერტილის კოორდინატებიndash1 le x le 1 ndash1 le y le 1

პირობას აკმაყოფილებენ მიიღება რომ

ndash1 le cos le 1 ndash1 le sin le 1ანუ sin და cos -ს უდიდესი მნიშ-ვნელობა 1-ის ხოლო უმცირესი მნიშ-ვნელობა -1-ის ტოლია

nimuSi 2 აბსცისი ndash მქონე და III მეოთხედში მდებარე A წერტილიერთეულოვან წრეწირთან კუთხის გვერდის გადაკვეთის წერტილიაა) იპოვეთ A წერტილის ორდინატიბ) დახაზეთ ამოცანის პირობის ამსახველი სურათი და კუთხისათვისგანსაზღვრეთ ექვსი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობა

ctg = =

35

353

4

454

31

tg

b) sin = cos =

tg = 53sec = 5

4cosec =

radic22( ) radic2

2 32

54θr = 2

54θ =

2

ndash ndash

x

y

radic22( )radic2

2

a) 35( )2 + y2 = 1 y2 = 1 = y = plusmn 9

251625

ვინაიდან წერტილი III მეოთხედში მდებარეობს y = ndash

45

45

(1 0)

35ndashA( ) ndash

0 x

y

45

amoxsna

კვეთს აქედან sin = ndash cos = ndash tg = 1 ctg = 1

85

ა) ერთეულოვან წრეწირზე აბსცისი -ის მქონე რამდენი წერტილი არსებობს იპოვეთ ამ

წერტილების ორდინატები მიუთითეთ თითოეული წერტილის შესაბამისი მობრუნების კუთხე

ბ) ერთეულოვან წრეწირზე ორდინატი -ის მქონე რამდენი წერტილი არსებობს იპოვეთ ამ

წერტილების აბსცისები მიუთითეთ თითოეული წერტილის შესაბამისი მობრუნების კუთხე

1

2

3

იპოვეთ ndash კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები ერთეულოვანწრეწირის გამოყენებით

იპოვეთ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

12

76

136

5

6

4

7

გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა თუ = 30ordmა) 3 sin ბ) sin 3 გ) 2 cos დ) cos 2იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა sin ndash cos 2 ndash cos 3 + sin 2ა) როცა = 30ordm ბ) როცა = იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა როცა = 15ordmა) 2 sin(3 + 15ordm) + 3 ctg(90ordm ndash 2) ბ) tg(4 ndash 15ordm) ndash 2 cos(2 + 30ordm)

2

სწორია უტოლობაა) sin 45ordm + cos 60ordm gt 1 ბ) cos + sin gt 1

34

A(ndash ) ერთეულოვანი წრეწირისა და კუთხის გვერდის გადაკვეთის წერტილიადახაზეთ შესაბამისი სურათი იპოვეთ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისმნიშვნელობები

45

35

8

იპოვეთ გამოსახულების udm და ummა) 2 + sin ბ) 2 ndash cos გ) 1 + sin2 დ) 4 + cos2 შესაძლებელია ტოლობა

ა) sin = ბ) cos = გ) sin = radic5 ndash 1 დ) cos = radic2 ndash 1

იპოვეთ გამოსახულების udm და ummა) 2 + 3sin ბ) 1 ndash sin გ) 1 + cos დ) 3 ndash 2cos

11

10

9

712

43

saswavlo davalebebi

13

12ერთეულოვან წრეწირზე უჩვენეთ მოცემული პირობის დამაკმაყოფილებელი მობრუ-ნების კუთხის შესაბამისი წერტილები

ერთეულოვან წრეწირზე sin = პირობის დამაკმაყოფილებელი მობრუნების კუთ-ხის შესაბამისი რამდენი წერტილი არსებობს დაწერეთ ამ წერტილის შესაბამისიმობრუნების კუთხეების ზოგადი გამოსახულება

radic32

12ა) sin = ბ) cos = ndash გ) sin = ndash1

2radic22


12

15

14ცნობილია რომ ერთეულოვან წრეწირზე P( ndash ) წერტილის შესაბამისი მობრუ-ნების კუთხეა უჩვენეთ დამამთავრებელი გვერდის ამ კუთხესთან თანხვედრაში მყო-ფი უარყოფითი კუთხე და იპოვეთ ამ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისმნიშვნელობაერთეულოვანი წრეწირის გამოყენებით [0 2] შუალედში უჩვენეთ sin =ტოლობის დამაკმაყოფილებელი მობრუნების კუთხეები

74

radic2 2

radic3 2

radic2 2

x ღერძის მიმართ კუთხის დამამთავრებელი გვერდის ასახვა კიმასზე მდებარე წერტილებისკოორდინატებს სურათზე ნა-ჩვენებივით ცვლის ანუ xღერძის მიმართ ასახვის დროსმხოლოდ y კოორდინატისნიშანი იცვლება მაშასადამეკოსინუსი x კოორდინატზედამოკიდებულებით არ იცვლება სინუსი კი ნიშანს იცვლის ამრიგად და ndash კუთხეებისტრიგონომეტრიული ფუნქციებს შორის კავშირი ქვემოთ მოცემული სახისაა

86

საკოორდინატო სიბრტყეზე I მეოთხედში არსებული ობიექტის yღერძის მიმართ ასახვით ობიექტი II მეოთხედში მოთავსდება IIმეოთხედში მოთავსებული ობიექტის x ღერძის მიმართ ასახვით კიეს ობიექტი III მეოთხედში მოთავსდება ის კი I მეოთხედში არ-სებული საწყისი ობიექტის კოორდინატთა სათავის მიმართ ასახვასემთხვევა ამასთან გაითვალისწინეთ რომ y ღერძის მიმართ ასახვაx ღერძის მიმართ ასახვის 180ordm მობრუნებით ერთმანეთს ემთხვევა

dayvanis formulebi

sin (minusα) = minussinαcos (minusα) = cosα


1) წრეწირზე რომლის რადიუსი 5-ის ტოლია აღნიშნეთ P(3 4) წერტილი2) x ღერძის მიმართ ასახვაში უჩვენეთ P წერტილის გარდაქმნით მიღებული

Pprime წერტილის კოორდინატები3) Pprime წერტილი y ღერძის მიმართ ასახვისას რომელ წერტილად გარდაიქმნება4) შეადარეთ P და Pprimeprime წერტილების კოორდინატები5) Pprimeprime და P წერტილები კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულებია6) თუ P წერტილი მობრუნების კუთხეს შეესაბამება Pprime წერტილი და Pprimeprimeწერტილი რომელი მობრუნების კუთხეს შეესაბამებიან

x

P(3 4)

y

O

PprimePprimeprime

nimuSi sin(ndash30ordm) = ndash sin 30ordm = ndash cos(ndash45ordm) = cos 45ordm =tg(ndash45ordm) = ndash tg 45ordm = ndash 1 ctg(ndash45ordm) = ndash ctg 45ordm = ndash 1

12

radic22

და 360ordm ndash მობრუნებით კუთხეების დამამთავრებელი გვერდებიx ღერძის მიმართ სიმეტრიულია ანუ (x y) rarr (x ndashy) აქედან მივიღებთ

sin(360ordm ndash ) = ndash sin cos(360ordm ndash ) = cos tg(360ordm ndash ) = ndash tg ctg(360ordm ndash ) = ndash ctg

მაშასადამე sinusi tangensi da kotangensi kenti funqciebia kosinusiki luwi funqciaa

tg (minusα) = minustgαctg (minusα) = minusctgα

y

x0

(x y)

(x ndashy)

360ordm ndash

x

y

x xminusαminusα

αα

y yr r

(x y) (x y)

(x ndashy) (x ndashy)rr

87

sin (180ordm + ) = minussin cos (180ordm + ) = minuscos tg (180ordm + ) = tg ctg (180ordm + ) = ctg

როგორც სურათიდან ჩანს კუთხის დამამთავრებელი გვერდი 180deg-ით მობრუნებისასმოპირდაპირე პოლუსზე ყოფნით იგივე წრფეზე მდებარეობს

მახვილი კუთხის მქონე მართკუთხა სამკუთხედში და 90ordm ndash მახვილი კუთხე-ებისათვის დავწეროთ ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები

sin = sin(90ordm ndash =cos = cos(90ordm ndash ) =tg = tg(90ordm ndash ) =ctg = ctg(90ordm ndash ) =

yr

yx

xr

xy

yr

yx

xr

xy

ტოლობების წყვილ-წყვილად შედარებით და 90ordm ndash კუთხეების ტრიგონომეტრიულფუნქციებს შორის არის შემდეგი ურთიერთკავშირი

sin ( 90deg minus α) = cosα cos ( 90deg minus α) = sinα

tg (90ordm minus ) = ctg ctg (90ordm minus ) = tg

α მობრუნების კუთხის დამამთავრებელი გვერდი კიდევ 90deg-ით მოვაბრუნოთ ამ დროსმათზე არსებული P(x y) წერტილი Pprime(ndashy x) წერტილად გარდაიქმნებატრიგონომეტრიული ფუნქციების განსაზღვრების თანახმად

sin ( + 90ordm) = = cos cos ( + 90ordm) = = minussin

tg ( + 90ordm) = = minusctg

ctg ( + 90ordm) = = minustg

xr y

rxy

dayvanis formulebi

α α

α

P

Pprime

x

x

rr

y

y x

y

(ndashy x)

(x y)

+ 900

900

α

P

x

r y

x

y (x y)

900 ndash α

+1800

r

r

ndash1800

ndash1800

1800

(ndashx ndashy)

(x y)

sin (90deg + α) = cosα cos (90deg + α) = minus sinα tg (90deg + α) = minus ctgα ctg (90deg + α) = minus tgα

ეს ფორმულები დავწეროთ ქვემოთ მოცემულის სახით

როგორც სურათიდან ჩანს y ღერძის მიმართ ასახვა xღერძის მიმართ ასახვის 180deg-იანი მობრუნების ეკ-ვივალენტურია კოორდინატების ცვლილება შეიძლებაგამოისახოს ქვემოთ მოცემული სახით

sin (180ordm minus α) = sin α cos (180ordm minus α) = minuscos α tg (180ordm minus α) = minustg α ctg (180ordm minus α) = minusctg α

ndash x

y

r

1800ndash αr

r

(ndashx y) (x y)

(x ndashy)

yx

12nimuSi 2 sin 210deg = sin (180deg + 30deg) = ndash sin 30deg = ndash

88

x

y

0

360ordm ndash

180ordm ndash

180ordm + x

y

0

270ordm ndash

90ordm ndash 90ordm +

270ordm +

1) თუ არგუმენტი 90ordm plusmn და 270ordm plusmn სახისაა მაშინ ამ არგუმენტის ტრიგონომეტრიულიფუნქცია არგუმენტის bdquoშეწყვილებულldquo ტრიგონომეტრიულ ფუნქციად იქცევა(სინუსი კოსინუსად და პირიქით ტანგენსი კოტანგენსად და პირიქით)2) თუ არგუმენტი 180ordm plusmn 360ordm plusmn იქნება მაშინ ამ არგუმენტის ტრიგონომეტრიულიფუნქცია არგუმენტის იგივე დასახელების ფუნქციად გარდაიქმნებაორივე შემთხვევაში მიღებული ფუნქციის ნიშანი კუთხის მახვილ კუთხედ მიღებისგარდაქმნილი ფუნქციის მოცემულ მეოთხედში არსებულ ნიშანს ემთხვევა

270deg + α მობრუნების კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისათვისაც მსგავსიფორმულების მისაღებად 270deg + α = 90deg + (180deg + α) სახით ჩაწერა და შესაბამისიფორმულების მიმდევრობითი გამოყენება საკმარისია მაგალითადsin(270ordm + ) = sin(90deg + (180deg + α)) = cos(180deg + α) = ndash coscos(270ordm + ) = cos(90deg + (180deg + α)) = ndash sin(180deg + α) = ndash (ndash sin) = sinახლა კი 270deg ndash α მობრუნების კუთხეებისათვის დავწეროთ შესაბამისი ფორმულებიმაგალითადsin(270ordm ndash ) = sin(270deg + (ndash α)) = ndash cos(ndash ) = ndash coscos(270ordm ndash ) = cos(270deg + (ndash α)) = sin(ndash ) = ndash sinმიღებული ფორმულების გამოყენებით ნებისმიერი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნ-ქციების მოძებნა მახვილი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მოძებნაზე დაიყვანებაამ ფორმულებს დაყვანის ფორმულები ეწოდება დაყვანის ფორმულებისათვის გან-საზღვრული კანონზომიერებების არსებობა ადვილად შეიმჩნევა

გამოთვალეთ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები ორი ხერხით1) იმ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის გამოთვლით რომელიც [0ordm 360ordm] შუა-ლედში მდებარეობს და მისი დამამთავრებელი გვერდი მოცემულ კუთხეს ემთხვევა2) ndash და კუთხეების ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის არსებული ურთიერთ-კავშირის გამოყენებითა) = ndash30ordm ბ) = ndash120ordm გ) = ndash60ordm

saswavlo davalebebi

1) იპოვეთ α = 32deg-იანი კუთხის დამამთავრებელი გვერდის ა) x ღერძის მიმართ ბ) y ღერძის მიმართგ) კოორდინატთა სათავის მიმართ ასახვით მიღებული უმცირესი დადდებითი კუთხე

2) შეასრულეთ იგივე დავალებები თუ α = 220deg

1

2

dayvanis formulebi

89

5

[0ordm 360ordm] შუალედში იპოვეთ ყველა კუთხე რომლის სინუსიც მოცემული რიცხვის

ტოლია ა) sin = ბ) sin = გ) sin =

6 დაყვანის ფორმულების გამოყენებით მოცემული გამოსახულებები გამოსახეთ მახვილიკუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებით და გამოთვალეთ მნიშვნელობებია) cos 210ordm ბ) cos 120ordm გ) sin 150ordm დ) tg 300ordm ე) cos ვ) tg ზ) ctg თ) sin

7

54

23

53

76

8

sin (90deg + α) = cos α იგივეობის ჭეშმარიტება α კუთხის I მეოთხედში მდებარეობისშემთხვევისათვის დავამტკიცეთ დაამტკიცეთ იგივეობა კუთხის II მეოთხედში მოთავსებით

sin (90deg + α) = cos α იგივეობა უჩვენეთ რომ 0deg 90deg 180deg 270deg კუთხეებისათვისაცჭეშმარიტია

3

4

12

radic32

radic22

[0ordm 360ordm] შუალედში იპოვეთ ყველა კუთხე რომლის სინუსიც მოცემული რიცხვისტოლია ა) sin = 06 ბ) sin = 03 გ) sin = 08


ა) sin (α ndash 180deg) ბ) cos (α ndash 270deg) გ) tg (α ndash 90deg)დ) sin (α ndash ) ე) cos (α ndash ) ვ) tg (α ndash )

9


ა) sin2 ( + α) ბ) cos2 (180ordm ndash α) გ) ctg2 ( 90ordm + α )10

დაიყვანეთ 0ordm-დან 90ordm-მდე კუთხის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციაზე

ა) sin (ndash170deg) ბ) cos (ndash160deg) გ) tg 130deg დ) ctg 320deg

nimuSi 0 le α le 360 ინტერვალში იპოვეთ ყველა კუთხე რომელთა sin α = 06 კალკულატორზე asin ღილაკზე დაჭერით (06) აკრიფეთ ეკრანზეგამოჩნდება 37deg ვინაიდან სინუსი II მეოთხედშიც დადებითია180deg 37deg = 143deg კუთხის სინუსიც 06 იქნება რადგან sin (180ordm minus α) = sin α 37deg

143deg

32

32

უჩვენეთ რომ მოსაზღვრე კუთხეების სინუსები ტოლია კოსინუსები კი ურთიერთ-მოპირდაპირე რიცხვებია

დაამტკიცეთ რომ სამკუთხედის კუთხეებიაა) sin( + ) = sin ბ) cos( + ) = ndash cos


13

ა) ბ) გ) tg 40ordm middot ctg 50ordm დ) sin 72ordm ndash cos 18ordmsin 72ordmcos 10ordm

cos 70ordmsin 20ordm

გაამარტივეთა) sin(90ordm ndash ) ndash cos(180ordm ndash ) + tg(180ordm ndash ) ndash ctg(270ordm ndash )ბ) cos(20ordm ndash ) + sin(250ordm + )

12

11

14

15


ა) sin (180ordm + α) ბ) cos( ndash α) გ) cos (180ordm + α)დ) tg (180ordm ndash α) ე) ctg(90ordm + α) ვ) cos (180ordm ndash α)

32

dayvanis formulebi

90


ძირითადი ტრიგონომეტრიული იგივეობების დახმარებით მოცემული ტრიგონომეტრიულიგამოსახულების გამარტივება და ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიდან ერთის მნიშვნელობისმიხედვით მეორის მნიშვნელობის გამოთვლა ხდება


მართკუთხა სამკუთხედში α მახვილი კუთხისათვის cos2 + sin2 = 1უჩვენეთ ეს ქვემოთ მოცემული ნაბიჯებით1) დაწერეთ პითაგორას თეორემა a2 + b2 = c2

2) ტოლობის ორივე მხარე გაყავით c2-ზე

3) გამოიყენეთ ხარისხის თვისებები

4) იმის გათვალისწინებით რომ და მივიღებთ

a2

c2b2

c2c2

c2=+

ac =+

2( ) b

ccc

2 2

b

a

c

ac = cos b

c = sin cos2 + sin2 = 1

P(cos sin)ნებისმიერი α კუთხისათვის cos2 + sin2 = 1 იგივეობისმართებულობა ერთეულოვან წრეწირზე აღებული წერტილებისკოორდინატების მიხედვითაც ადვილად შეიძლება განიმარტოსx2 + y2 = 1cos2 + sin2 = 1

1

0 x

y

erTeulovan radiusiani wrewiris gantoleba

x=sin da y=cos Canacvleba

sin2 + cos2 = 1 ტოლობის ორივე მხარეს თუ გავყოფთ cos2 -ზე მივიღებთ

sin cos tg =cos sin ctg =

sin2 + cos2 = 1 ტოლობის ორივე მხარეს თუ გავყოფთ sin2 -ზე მივიღებთ

sin2 cos2 + 1 = 1

cos2 1 + tg2 =

1 + ctg2 = 1sin2

ეი 1cos2

cos 0 პირობის დამაკმაყოფილებელი ნებისმიერი კუთხისათვის

sin 0 პირობის დამაკმაყოფილებელი ნებისმიერი კუთხისათვის

ამ ტოლობიდან მიიღება რომ ერთდროულად cos 0 და sin 0 პირობისდამაკმაყოფილებელი კუთხისათვის tg middot ctg = 1 იგივეობა მართებულია

sin2 + cos2 = 1 sin2 = 1 ndash cos2

cos2 = 1 ndash sin2

tg =

ctg =

1ctg

1tg

ამ ტოლობებს ძირითადი ტრიგონომეტრიული იგივეობები ეწოდება ძირითადი ტრიგო-ნომეტრიული იგივეობების მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ

tg middot ctg = 1

( ) ( )

დამოკიდებულებები ერთი და იმავე არგუმენტის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის

ერთეულოვან წრეწირზე არსებული წერტილის კოორდინატებისა და ტრიგონომეტრიულიფუნქციების განსაზღვრების თანახმად მივიღებთ

91

(1 + sin x)2 + cos2 xcos x (1 + sin x)

nimuSi 1 ძირითადი ტრიგონომეტრიული იგივეობების გამოყენებით დაამტკიცეთ

1 + sin xcos x

cos x1 + sin x

2 cos x+

1 + sin xcos x

cos x1 + sin x

1 + 2sin x + sin2 x + cos2 xcos x (1 + sin x)

1 + 2sin x + 1cos x (1 + sin x)

2 + 2sin xcos x (1 + sin x)

+ = = =

= = 2(1 + sin x) cos x (1 + sin x)

2cos x = =

=

nimuSi 2 sin = ndash და კუთხე III მეოთხედის კუთხეა გამოთვალეთ დანარჩენიტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები

amoxsna sin2 + cos2 = 1 ფორმულიდან მივიღებთ რომ cos2 = 1 ndash sin2

ვინაიდან III მეოთხედის კუთხეა cos = ndashradic1 ndash sin2 = ndashradic1 ndash (ndash )2 = ndash

მაშინ tg = = = და ctg = =

45

35

sin cos

1tg

4535

ndash

ndash43

34

45


თუ sin = 06 და lt lt იპოვეთ cos და tg

თუ cos = 08 და 0 lt lt იპოვეთ sin და ctg

მონაცემების მიხედვით იპოვეთ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშ-ვნელობები

1a) 1 ndash sin2 b) 1 ndash cos2 c) sin2 ndash 1 d) cos2 ndash 1e) 1 ndash sin2 ndash cos2 f) sin2 + cos2 + ctg2 g) tg middot ctg ndash cos2 h) cos4 + cos2 middot sin2 + sin2

4

3

2 2

2

ა) sin = ndash და lt lt ბ) cos = ndash და lt lt

გ) tg = 1 და lt lt დ) ctg = ndashradic3 და lt lt 2

45

32

1213

32

2

გაამარტივეთა) (1 ndash cos2 )middot(1 + tg2 )

5

damtkiceba

saswavlo davalebebi

ბ) (sin + cos )2 + (sin ndash cos )2

32

ე) (1 + ( )2 )1 + cos sin2

1 + cos sin

ვ) (1 + ( )2 )1 ndash cos sin

1 ndash cos sin2

დ) +sin 1 + cos

1 + cos sin გ) ndashcos

1 + sin cos

1 ndash sin


92

გაამარტივეთ გამოსახულება radic4 4 sin2 ა) თუ 0 le le ბ) თუ le le

sin + 3 cos cos

3 sin ndash 5 cos 4 sin + cos

იპოვეთ მოცემული გამოსახულებების მნიშვნელობა თუ tg = 2

ა)

ა)

გ)

ბ)

ბ)

დ)

7

6

2

2


განათება უჩვენებს რაიმე წყაროდან ზედაპირზე დაცემული

სინათლის ნაკადის რაოდენობას და ფორმულით

განისაზღვრება სადაც İ არის სინათლის ძალა R კი მანძილი

სინათლის წყაროდან დაამტკიცეთ რომ ეს ფორმულა

ფორმულის ეკვივალენტურია

8

9E = I

R2cos

E = I ∙ tg

R2sin

1110 იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა sin2 + cos2 + ctg2 თუ cos = ndash 3

5

+cos 1 + sin

1 + sin cos +sin

1 + cos sin

1 ndash cos 18

R

I

E

გაამარტივეთ გამოსახულება და მონაცემების მიხედვით იპოვეთ მისი მნიშვნელობა

ა) ბ)

თუ cos = 01 თუ sin = ndash

13 იპოვეთ tg2 + ctg2 გამოსახულების მნიშვნელობა თუ tg + ctg =

არსებობს თუ არა ისეთი მობრუნების კუთხე რომელიც აკმაყოფილებს მოცემულ ტოლობას

ა) sin = და cos = ndash ბ) sin = და cos = გ) tg = და ctg = დ) tg = და ctg =

54

1435

45

43

34

23

13

12 იპოვეთ sin middot cos ნამრავლი თუ ცნობილია რომ sin + cos = 06

34

23

გაამარტივეთ გამოსახულება15ა) (1 ndash sin(ndash))middot(1 ndash sin ) ბ) cos(ndash) + cos middottg2(ndash)გ) დ) sin2(ndash) + tg middotctg(ndash)1 ndash sin(ndash)

cos(ndash) ndash tg(ndash)

17 იპოვეთ გამოსახულების უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობებია) 3 cos2 ndash 4 sin2 ბ) sin ndash 2 sin2 ndash 2 cos2

დაამტკიცეთ რომ -ს დასაშვებ მნიშვნელობებში გამოსახულების მნიშვნელობა არ არის-ზე დამოკიდებული

16

ა) (sin + cos )2 + (sin ndash cos )2 ბ) (tg + ctg )2 ndash (tg ndash ctg )2


1 ndash cos2x(1 ndash sinx)(1 + sinx) = tg2 x

1 ndash (sinx ndash cosx)2

2 = cos xmiddotsinx 1 + sec xsin x + tg x = cosec x

1 + tg xsin x + cos x = sec x

93

1) როცა α = β = მაშინ sin (α β) = sinα cosβ cosα sinβ ტოლობის მართებუ-

ლობა უჩვენეთ ქვემოთ მოცემული ნაბიჯებითა) ტოლობის მარცხენა მხარეში გამოსახულების მნიშვნელობა გამოთვალეთ და -სმოცემული მნიშვნელობისათვის


2

3

6

12

2

2

3

3

12

12

radic32


sin (α β ) = sin( ) = sin =

ბ) იპოვეთ ტოლობის მარჯვენა მხარის გამოსახულების მნიშვნელობა

sinα cosβ cosα sinβ = sin cos cos sin = 1 0 =

2) 45deg-იანი და 30deg-იანი კუთხის ტრიგონომეტრიული მნიშვნელობების მიხედვით როგორშეიძლება გამოვთვალოთ 45deg ndash 30ordm = 15ordm-იანი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

P1P2 = radic(cosα minus cosβ)2 + (sinα minus sinβ)2

P3A = radic(cos(α minus β) 1)2 + (sin(α minus β) 0)2

(cosα minus cosβ)2 + (sinα minus sinβ)2 = (cos(α minus β) 1)2 + (sin(α minus β) 0)2

cos2α minus 2 cosα cosβ + cos2β + sin2α minus 2sinα sinβ + sin2β = = cos2(α minusβ ) minus 2 cos(α minus β) + 1 + sin2(α minus β)

(cos2α + sin2α) minus 2 (cosα cosβ + sinα sinβ) + (cos2β + sin2β) = = (cos2(α minusβ ) + sin2(α minus β)) minus 2 cos(α minus β) + 12 minus 2 (cosα cosβ + sinα sinβ) = 2 minus 2 cos(α minus β)

2 (cosα cosβ + sinα sinβ) = 2 cos(α minus β)cos(α minus β) = cosα cosβ + sinα sinβ igiveobebis marTebuloba damtkicebulia

sin (α + β ) = sinα cosβ + cosα sinβsin (α β ) = sinα cosβ cosα sinβ

cos (α + β ) = cosα cosβ sinα sinβcos (α β ) = cosα cosβ + sinα sinβ

ჯერ დავამტკიცოთ იგივეობა cos (α β ) = cosα cosβ + sinα sinβ ერთეულოვან წრეწირში ა) სურათ-ზე ნაჩვენები α კუთხის გვერდზემდებარე P1 წერტილის კოორდი-ნატები არის (cosα და sinα) და βკუთხის დამამთავრებელ გვერდზემდებარე P2 წერტილის კოორ-დინატები არის (cosβ და sinβ) α β კუთხე განვათავსოთ როგორც ბ)სურათზე α β კუთხის დამამ-თავრებელ გვერდზე მდებარე P3 წერტილის კოორდინატები იქნება (cos(αβ) sin(αβ))gkg ნიშნის თანახმად ∆P1OP2 ∆P3OA ამიტომ P1P2 P3A

ori kuTxis jamisa da sxvaobis trigonometriuli funqciebi

tolobisTviseba

or wertils Soris manZilisformula

tolobis Tviseba

sxvadasxva gamravlebisformulebis gamoyeneba

Sekrebis moqmedebis Tvisebe-bisa da trigonometriuliigiveobebis gamoyeneba

2

3

a) b)

P1 = (cos α sin α) P3 = (cos(α ndash β) sin(α ndash β)

A = (1 0)

P2 = (cos β sin β)1

1ndash1

ndash1 ndash1

y

x x

y1

1ndash1

x2 + y2 = 1 x2 + y2 = 1

βα ndash β α ndash βα

o o

nimuSi 1 გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა cos

sin (α + β ) = sinα cosβ + cosα sinβ იგივეობის დამტკიცება

Sekrebis formulebi

2

2

2

2

cos (α + β ) = cosα cosβ ndash sinα sinβ იგივეობის დამტკიცებაcos(α + β) = cos(α minus (minus β)) = cosα cos(minus β) + sinα sin(minus β)gaviTvaliswinoT rom cos(β) = cosβ sin( β) = sinβcos(α + β) = cosα cosβ sinα sinβ tolobis marTebuloba damtkicebulia

sin (α β ) = sinα cosβ cosα sinβ იგივეობის დამტკიცებაsin (α β ) = sin (α + (β)) = sinα cos(minus β) + cos α sin(minus β) =

= sin α cos β ndash cos α sin β

sin (α + β ) = cos ( (α + β)) = cos(( ndash ) ndash ) =dayvanis formulis Tanaxmad

dayvanis formulebis gaTvaliswinebiTsxvaobis kosinusis formulis Tanaxmad

dajgufeba

cos( ndash )middotcos + sin( ndash )middotsin = sin middotcos + cos middotsin

cos = cos ( + ) = cos cos ndash sin sin =

= ndash =

nimuSi 2 sinα = π lt α lt და cos β = 0 lt β lt იპოვეთsin (α β)-ს მნიშვნელობა amoxsna sin (α β) = sinα cosβ cosα sinβ თუ α-ს შესაბამისი მახვილი კუთხე αიქნება sinα = როცა მოპირდაპირე კათეტი 3-ია ჰიპოტენუზა 5

მიმდებარე კათეტი x = radic25 9 = 4 და მეოთხედის

კუთხეა ამიტომ cosα = რადგან cos β = ანალოგიური წესით მივიღებთ sin β =

sin (α β) = sinα cosβ cosα sinβ = + =

2

712

712

3

3

3

4

4

4

35

35

45

35

45

1213

513

1213

1665

1213

513

32

12

radic32

radic22

radic2 ndashradic64

radic22

amoxsna

35

x13

12

ტანგენსისა და კოტანგენსისათვის შეკრების ფორმულები ასე შეიძლება ჩავწეროთ

tg (α + β ) = = =sin (α + β )cos (α + β )

sinα cosβ + cosα sinβcosα cosβ sinα sinβSekrebis formulebis Tanaxmad

mricxvelisa da mniSvnelis

cos middot cos namravlze gayofiT

gansazRvrebis Tanaxmad

= =

sin αmiddotcos βcos αmiddotcos β

cos αmiddotsin βcos αmiddotcos β

cos αmiddotcos βcos αmiddotcos β

sin αmiddotsin βcos αmiddotcos β

+

tg α + tg β1 ndash tg αmiddottg βgamartiveba

94

მაშასადამე

tg (α + β ) =tg α + tg β

1 ndash tg αmiddottg β

ანალოგიური წესით შეიძლება ჩვენება რომ tg (α ndash β ) =tg α ndash tg β

1 + tg αmiddottg β

95

4

3 შეკრების ფორმულების გამოყენებით შეამოწმეთ ტოლობების მართებულობა

ა) sin(90ordm ndash ) = cos ბ) cos( + ) = ndashcos გ) sin( + ) = ndashsin დ) cos(270ordm ndash ) = ndashsin

6

9

8

7

5


ა) sin 12ordm middot cos 18ordm + cos 12ordm middot sin 18ordm ბ) cos 17ordm middot cos 43ordm ndash sin 17ordm middot sin 43ordmგ) cos 68ordm middot cos 8ordm + cos 82ordm middot cos 22ordm დ) sin 23ordm middot cos 7ordm + cos 157ordm middot cos 97ordm


ა) cos(36ordm + )middotcos(24ordm ndash ) ndash sin(36ordm + )middotsin(24ordm ndash )ბ) sin( ndash )middotcos( + ) + cos( ndash )middotsin( + )

44

4

4


ა) იპოვეთ sin( + ) თუ cos = ndash და lt lt

ბ) იპოვეთ cos( + ) თუ sin = ndash და lt lt

2

radic32

12

63

2

sin = ndash cos = III მეოთხედის კი IV მეოთხედის კუთხეა იპოვეთ

ა) sin( + ) ბ) cos( ndash )

radic32

12

და III მეოთხედის კუთხეებია და sin = ndash cos = ndash იპოვეთ

ა) sin( ndash ) ბ) cos( + )

35

513

Sekrebis formulebi

saswavlo davalebebi

გაამარტივეთ გამოთვალეთ მნიშვნელობა


cos 105deg1

2

sin (ndash15deg)cos 75degsin 75deg

12

sin cos( 712

cos

12

cos 4

cos 1) + 2) +

3) ndash 4) ndash

4

sin 12

sin 35

sin 15

cos 35

cos 15

sin75

sin 75

cos12

cos 4

sin 4

cos 12

sin 15

cos 15

sin

10 სამკუთხედის ორი მახვილი კუთხის სინუსები შესაბამისად და ტოლია იპოვეთსამკუთხედის მესამე კუთხის კოსინუსი

725

45

ა) ბ) გ)

ზ) თ)

დ)

ე) 4

3

ndash ) sin( ვ) 4

3

+ )

ა) ბ)sin 20ordm middot cos 10ordm + cos 20ordm middot sin 10ordmsin 21ordm middot cos 9ordm + cos 21ordm middot sin 9ordm

cos 66ordm middot cos 6ordm + sin 6ordm middot cos 24ordmcos 65ordm middot cos 5ordm + sin 65ordm middot sin 5ordm

96

cos 72ordm sin 48ordm + cos 18ordm sin 42ordm გამოსახულების მნიშვნელობა გამოთვალეთ დაყვანისფორმულებისა და შეკრების ფორმულების გამოყენებით


ორი წრფის კუთხური კოეფიციენტებია k1 და k2 მათიგადაკვეთისას მიღებული 21 მახვილი კუთხე შეიძლებაგანისაზღვროს ქვემოთ მოცემული ფორმულით

იპოვეთ წრფეთა გადაკვეთიდან მიღებული მახვილი კუთხე თუ ეს წრფეებია

ა) y = 2x 1 და y = x 1 ბ) y = x + 2 და y = 3x 1

15

17

12

k2 k1

1 + k1 k2tg (2 1) =

Sekrebis formulebi

16

14

13

12


tg =

tg = tg = იპოვეთ

ა) tg( + ) ბ) tg( ndash )გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობაა) tg 15ordm ბ) tg 75ordm გ) ctg 105ordm

იპოვეთ tg 2 თუ tg( + ) = ndash1 tg( ndash ) =

ა) ბ)tg 13ordm + tg 47ordm

1 ndash tg 13ordm middot tg 47ordmtg 46ordm ndash tg 1ordm

1 + tg 46ordm middot tg 1ordm23

12

13

12


20

18

sin (α + β ) cosα sinβsin (α β ) + cosα sinβა) ბ)

cos(α + β ) + sinα sinβcos(α β ) sinα sinβ


ა)

ა)

ბ)

ბ)

tg(45ordm + α) ndash tg 1 + tg(45ordm + α)middottg

tg( + α) + tg( ndash α)1 ndash tg( + α)middottg( ndash α)

8

8

88

იპოვეთ tg 2 თუ ctg( + ) = 2 ctg( ndash ) = 1

11

თოკზე მოსიარულის მოწყობილობის A თოკი 9 მ სი-მაღლის საყრდენზეა დაბმული თოკზე მოსიარულე Bთოკზე 5 მ სიმაღლეზე იმყოფება A და B თოკებისაყრდენიდან 12 მ-ის დაშორებით მიწაშია დამაგ-რებული იპოვეთ მათ შორის დარჩენილი კუთხე

19A

B

12 მ

5 მ

იპოვეთ tg(45ordm + ) თუ

x

y

k1 = tg θ1

k2 = tg θ2

2 ndash 1

21

97

jamis (sxvaobis) namravlad gardaqmna

= x + y = x ndash yთუ მაშინ x = y =

+ 2

ndash 2

sin + sin = sin(x + y) + sin(x ndash y) = sin x cos y + cos x sin y + sin x cos y ndash cos x sin y == 2 sin x cos y = 2 sin cos ანალოგიური წესით მივიღებთ

+ 2

ndash 2

sin ndash sin = 2 sin cos

cos + cos = 2 cos cos

+ 2

ndash 2

+ 2

ndash 2

+ 2

ndash 2


6


sin 70ordm + sin 10ordm ჯამი ქვემოთ მოცემული ნაბიჯებით გადააქციეთ ნამრავლად

1) განტოლებათა სისტემის ამოხსნით იპოვეთ ორი ისეთი კუთხე რომ ჯამი იყოს 70ordm-ის ხოლო სხვაობა 10ordm-ის ტოლი x = 40ordm y = 30ordm

2) 70ordm = 40ordm + 30ordm 10ordm = 40ordm ndash 30ordm ჩაწერით გაამარტივეთ მოცემული გამოსახულება

x + y = 70degx ndash y = 10deg

sin 70ordm + sin 10ordm = sin(40ordm + 30ordm) + sin(40ordm ndash 30ordm) = sin 40ordmmiddotcos 30ordm + cos 40ordmmiddot

middotsin 30ordm + + sin 40ordmmiddotcos 30ordm ndash cos 40ordmmiddotsin 30ordm = 2 sin 40ordmmiddotcos 30ordm = radic3 sin 40ordm

cos ndash cos = ndash2 sin sin

2

1

4

გადააქციეთ ნამრავლად ა) sin 52ordm + sin 32ordm ბ) sin 72ordm ndash sin 32ordm გ) cos 32ordm + cos 2ordm დ) cos 42ordm ndash cos 22ordm



ა) sin 8 + sin 2cos 8 + cos 2

ბ) cos 7 + cos 2cos 6 + cos 2

გ) sin 3 + sin cos 3 + cos

ჯამი (სხვაობა) გარდაქმენით ნამრავლად

sin6x + sin2x cos4x ndash cos2x sin ndash sin cos + cos512

12

12

512

3

წარმოადგინეთ ნამრავლის სახით ა) + sin ბ) + cos გ) 2 cos ndash radic312

12

ქვემოთ მოცემული ტოლობები დააკავშირეთ სურათთან და უჩვენეთ რომ ისინიმართებულია

5

= + 2

= ndash 2

= t = cos coscos + cos 2

+ 2

ndash 2

= s = cos sinsin + sin 2

+ 2

ndash 2

(cos α sin α)(cos β sin β)

(t s)

ndash1 1

θα β

ა) cos 130ordm + sin 80ordm ndash sin 20ordm ბ) sin 40ordm + sin 20ordm ndash cos 10ordm

98

გამოსახეთ ნამრავლები ჯამის ან სხვაობის სახით

ქვემოთ მოცემული იგივეობა დაამტკიცეთ ანალოგიური წესით

გამოთვალეთ ნამრავლის ჯამად გარდაქმნის იგივეობების გამოყენებით

+

ამ იგივეობის მართებულობა ვუჩვენოთ შეკრების ფორმულების გამოყენებით

nawil-nawil ikribeba nawil-nawil ikribeba

sin(x + y) = sinxcosy + cosx sinysin(x ndash y) = sinxcosy ndash cosxsiny

sin(x + y) + sin(x ndash y) = 2sinxcosy

sinx cosy = (sin(x + y) + sin(x ndash y))

sinx cosy = (sin(x + y) + sin(x ndash y))12

12

sinx siny = (cos(x ndash y) ndash cos(x + y))

cosx cosy = (cos(x + y) + cos(x ndash y))

1212

sinx siny = (cos(x ndash y) ndash cos(x + y))12

+cos(x + y) = cosxcosy ndash sinx sinycos(x ndash y) = cosxcosy + sinxsiny

cos(x + y) + cos(x ndash y) = 2cosxcosy

cosx cosy = (cos(x + y) ndash cos(x ndash y))12

ა) sin 15deg cos 15deg ბ) sin 105deg sin 15deg გ) cos 75deg cos 75deg

namravlis jamad gardaqmnis formulebi

7

8

9

10

დაამტკიცეთ რომ 2 sincos = sin( + ) + sin( ndash )

sin6x sin2x sinx cos2x cos9x cos2x cos sin

cos7x cos3x sin8x sin4x sin2x cos3x cos sin

3x2

x2x2

5x2


11


ა) 2 cos 40ordm middot cos 20ordm ndash cos 20ordm ბ) 2 sin 40ordm middot sin 10ordm + cos 50ordm

12


ა) sin 15ordm middot cos 7ordm ndash cos 79ordm middot cos 11ordm ndash sin 86ordm middot sin 4ordmბ) cos 73ordm middot cos 17ordm ndash sin 13ordm middot cos 21ordm ndash cos 86ordm middot cos 4ordmდაშალეთ მამრავლებად

ა) sin 2xmiddotcos 4x ndash sin 6xmiddotcos 8x ბ) cos 5xmiddotcos x ndash cos 4xmiddotcos 2x

99


ormagi argumentis trigonometriuli funqciebi

sin 2 = sin( + ) = sin middot cos + cos middot sin = 2 sin middot cos cos 2 = cos( + ) = cos middot cos ndash sin middot sin = cos2 ndash sin2

sin 2 = 2 sin middot cos cos 2 = cos2 ndash sin2 tg 2 =

tg 2 = tg( + ) = =tg + tg

1 ndash tg middot tg 2 tg

1 ndash tg2

naxevari argumentis formulebi

cos 2 = cos2 ndash sin2 = cos2 ndash (1 ndash cos2 ) = 2 cos2 ndash 1cos 2 = cos2 ndash sin2 = 1 ndash sin2 ndash sin2 = 1 ndash 2 sin2 აქედან

cos2 = 1 + cos 22

1 ndash cos 22sin2 =

ამ ფორმულებში -ს ნაცვლად -ის ჩაწერით მივიღებთ2

cos2 = 1 + cos 2

1 ndash cos 2sin2 =

22

ნახევარი კუთხისათვის ტრიგონომეტრიული იგივეობები

ამ ტოლობებში მარჯვენა მხარის ნიშანი დამოკიდებულია იმაზე თუ რომელ მეოთხედში

მდებარეობს კუთხეα2

nimuSi 2 კალკულატორის გამოუყენებლად იპოვეთ sin 2α და cos 2α გამოსახულების

მნიშვნელობა თუ ცნობილია რომ α IV მეოთხედის კუთხეა და tg α = 34

amoxsna4

r ndash3sin 2α = 2 sin α cos α = 2(ndash )( ) = ndash

cos 2α = 2 cos2 α ndash 1 = 2( )2 ndash 1 =

35

45

24257

2545

r = radic(ndash3)2 + 42 = 5sin α = ndashcos α =

354

5

sin = plusmn cos = plusmn2

2

1 + cos 2

1 ndash cos 2radic radic

nimuSi 1 გაამარტივეთ გამოსახულება sin middotcos3 ndash sin3middotcos amoxsna sin middotcos3 ndash sin3middotcos = sin middotcos (cos2 ndash sin2) =

= middot 2 sin middotcos middot(cos2 ndash sin2) = sin 2middotcos 2 = sin 412

12

14

შეკრების ფორმულები sin 2 cos 2 tg 2 გამოსახულებების კუთხის ტრიგო-ნომეტრიული ფუნქციით გამოსახვის შესაძლებლობას იძლევა

ამრიგად მივიღებთ ორმაგი კუთხის ფორმულებად წოდებულ იგივეობებს2 tg

1 ndash tg2

1 ndash cos 21 + cos 2

tg2 =

1 ndash cos 1 + cos tg2 =

2

tg = plusmn2

1 ndash cos 1 + cos radic

100

nimuSi 3 გამოთვალეთ cos გამოსახულების მნიშვნელობა8

8

8

4

12

α2cos = plusmn 1 + cosα

2radic

1 + cos(4)2radic

1 + (radic22)2radic

2 + radic24radic= =cos = cos ( ) =

amoxsna გამოვიყენოთ ნახევარი კუთხის იგივეობები

კუთხე I მეოთხედში მდებარეობს და ამ მეოთხედში კოსინუსის ფუნქციები დადებითია

16

15

14

13

17

გაამარტივეთა) cos 2

cos + sin sin 2

cos2 middot tg2 ndash cos ბ)

გ) (tg + ctg )middot sin 2 1 + cos 2sin 2დ)

ცნობილია რომ cos = ndash08 90ordm lt lt 180ordm იპოვეთ

ა) sin 2 ბ) cos 2 გ) tg 2ცნობილია რომ sin = ndash და III მეოთხედის კუთხეა იპოვეთ

ა) sin 2 ბ) cos 2 გ) tg 2გაამარტივეთsin 3sin

sin 3cos

cos 3cos

cos 3sin ა) ndash ბ) +

1213

იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობაა) 2 sin 15ordm cos 15ordm ბ) 2 sin cos

გ) cos2 ndash sin2 დ) cos2 ndash sin2

ე) ვ)2 tg 22ordm 30prime1 ndash tg2 22ordm 30prime

8

12

8

12

8

8

4 tg 75ordm1 ndash tg2 75ordm

18 იპოვეთა) sin 22ordm 30prime ბ) cos 22ordm 30prime გ) tg 22ordm 30prime დ) tg 15ordm ე) cos 675ordm

saswavlo davalebebi

19 ცნობილია რომ cos = 270ordm lt lt 360ordm იპოვეთ

ა) sin ბ) cos გ) tg2

45

მონაცემების მიხედვით იპოვეთ sin2 cos2 tg2

sin cos tg

sin = radic32

2

lt lt

2

2

2

tg = 34

lt lt 32 cos = 4

5 lt lt 2

0

20

21

ა) cos = 0 lt lt ბ) sin = ndash lt x lt 235

2

32

radic32

2

2


მონაცემების მიხედვით იპოვეთ

101

ა) უჩვენეთ რომ სეგმენტის ფართობისათვის Sსეგ = r2(α sinα) ფორ-მულა მართებულიაბ) წრეეში რომლის რადიუსი 2 სმ-ია იპოვეთ იმ სეგმენტის ფართობირომელიც 3 სმ-იანი ქორდით არის გამოყოფილი

1228

29 სამი წრეწირი რომელთა რადიუსებია 1 2 და 3 სურათზენაჩვენები სახით გარედან ეხებიან ერთმანეთს გამოთვალეთფერადი ფართობი

1

23

ორი კუთხის ჯამისა და სხვაობის ტრიგონომეტრიული იგივეობის გამოყენებითდაამტკიცეთ ქვემოთ მოცემული იგივეობების მართებულობა

ა) sin 2θ = 2 sin θ cos θ ბ) cos 2x = cos2x ndash sin2x

ცნობილია რომ 90deg lt α lt 180deg და sin α =

ა) იპოვეთ sin 2α-ს მნიშვნელობა ბ) იპოვეთ cos 2α-ს მნიშვნელობაგ) კალკულატორის დახმარებით გამოთვალეთ α კუთხის რადიანული ზომად) კალკულატორით შეამოწმეთ a და b პუნქტებში წარმოებული გამოთვლებისმართებულობა

22

23 817

geometria O ცენტრიან ერთეულოვან წრეწირზე მონაცემების

მიხედვით დაამტკიცეთ იგივეობის მართე-

ბულობა

მთის სიმაღლის გამოთვლისათვის გეგმაზეარჩეულ ორ A და B წერტილს შორის მანძილი175 მ-ია და გაზომილია ამ წერტილებიდანმთის წვეროზე მიმართული კუთხე

tg = sin1 + cos

B

O

D

A

P


დაამტკიცეთ რომ ნებისმიერ ∆ABC-ში რომლის კუთხეებია A B და C მართებულიაქვემოთ მოცემული იგივეობები (გაითვალისწინეთ რომ A + B + C = 180deg) ა) sin (A + B) = sin Cგ) cos C = sin A sin B cos A cos B

24

25

26

27

კუთხეების ზომებია A = 36deg40prime B = 21deg10prime რამდენი მეტრია გეგმის მიხედვითამ მთის სიმაღლე

BA

h

21ordm 10prime 36ordm 40prime

175 მ


ა) = tg1 ndash cos sin

2

ბ) = tgsin 1 + cos

2

α

A

Bo

r

r

2


102

gamravlebis ganrigebadobis kanoni

tg x = da sec x = Casma gamartiveba



გაამარტივეთ მამრავლებად დაშლით sin2 x cos2 x + cos4 x

გაამარტივეთ გამოსახულება cos x (tg x ndash sec x)

nimuSi 3

nimuSi 1

nimuSi 2

amoxsna cos x (tg x ndash sec x) == cos x middot tg x ndash cos x middot sec x == cos x middot ndash cos x middot == sin x ndash 1

sin xcos x

1cos x

sin xcos x

1cos x

amoxsna sin2 x cos2 x + cos4 x == cos2 x(sin2 x + cos2 x) == cos2 x middot 1 = cos2 x

saerTo mamravlis frCxilebs gareT gatana


cos x1 + sin x + tg x = + =cos x

1 + sin xsin xcos x

cos x1 + sin x

cos xcos x

sin xcos x

1 + sin x1 + sin x= middot + middot =

cos2 x + sin x + sin2 xcos x(1 + sin x)= =

1 + sin xcos x(1 + sin x)= =

= 1cos x = sec x

tg x = Casmasin xcos x

gaerTmniSvnelianeba


gamartiveba

mricxvelisa da mniSvnelis erTsada imave ricxvze gamravleba-gayofa

nimuSi 4 გაანთავისუფლეთ მნიშვნელი ფესვის ნიშნისაგან

2tg xradic = middot = =2

tg xradic tg xtg x

2tg xtg2 xradic radic2tg x

tg x

2tg xradic სადაც tg x gt 0

1 გაამარტივეთ ფრჩხილებისაგან განთავისუფლებით1) (sin x ndash cos x)(sin x + cos x) 3) (sin ndash cos )2 + sin 22) tg x (cos x + ctg x)(1 ndash sin x) 4) (1 + tg )2 ndash sec2

saswavlo davalebebi

2 დაშალეთ მამრავლებად

1) sin2 x cos x + cos3 x 3) sin3x + 272) sin4 x ndash cos4 x4) 4sin2 y + 8sin y + 4 6) 2cos2 x + cos x ndash 35) 3ctg2 + 6ctg + 3

cos x1 + sin x + tg x

amoxsna

amoxsna

103

დაწერეთ გამოსახულებები ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქციით გამოსახულიმამრავლების ნამრავლის ( მაგალითად (sinx 3) (1 + 2sinx)) სახით

9

1) cos2 x + 2cos x + 1 2) cos x ndash 2sin2 x + 1 3) sin x ndash cos2x ndash 1

4

გაამარტივეთ გამოსახულება თუ 0 lt lt 1 ndash sin 1 + sin radic 1 + sin

1 ndash sin radic+

დაამტკიცეთ იგივეობა

cos 1 ndash tg

sin 1 ndash ctg 1) + = sin + cos 1 ndash tg2

1 + tg2 2) + 1 = 2cos2

tg ndash ctg tg + ctg 3) + 1 = 2sin2

cos 1 + sin 4) tg + = sec

7

6) = 2 cos4 1ndash cos4 ndash sin4 tg2

იპოვეთ გამოსახულების udm და umma) sin ndash radic3 cos b) radic3 sin + cos c) sin + cos

8

nimuSi sin + radic3 cos = 2( sin + cos ) = = 2(cos 60ordm middot sin + sin 60ordm middot cos ) = 2sin( + 60ordm) udm = 2 umm = ndash2

12

radic32

გაათავისუფლეთ მნიშვნელი ფესვის ნიშნისაგან

cos2 y2sin2 yradic1 ndash cos x

1 + cos xradic cos xtg xradic

5

ა) ბ) გ)

6 გაამარტივეთsin

1 + cos ა) ( + )middotsin 2sin

1 ndash cos (sin + cos)2 ndash sin 2

cos 2 + 2 sin2 ბ)

1 + cos 2 + sin 21 ndash cos 2 + sin 2გ) sin + sin 3 + sin 5

cos + cos 3 + cos 5დ)


1) 2) ndash 3)

4) middot 5) middot 6) middot

cos2 ndash 1cos + 1

sin xcos x

1cos2 x( )2 sin4 ndash cos4

sin2 ndash cos24cos3 xsin2 x

sin x4cos x( )2 sin2 ndash sin ndash 2

2 sin ndash 410cos + 53sin + 9

sin2 ndash 92cos + 1

3

2

10 გაამარტივეთ გამოსახულება radic1 ndash sin2 cos

ა) თუ 90ordm lt lt 180ordm ბ) თუ 270ordm lt lt 360ordm

11 გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა sin 18ordmmiddotcos 36ordm


miTiTeba a sin x + b cos x გამოსახულება დაწერეთ cmiddot( middot sin x + middot cos x) სახით

და = cos = sin აღნიშვნით შემოიტანეთ დამხმარე კუთხე სადაც c = radica2 +b2

ac

bca

cbc

5) = 2 tg2 (sin + cos )2 ndash 1ctg ndash sin middotcos

104


2

4

5

3

აქვს თუ არა გამოსახულებას აზრი

ა) radicsin 170ordm ბ) radiccos 150ordm გ) radictg 200ordmრომელი მეოთხედის კუთხეა თუ sin = sin cos = ndash cos

დაამტკიცეთ რომ tg 1ordm middot tg 2ordm middot tg 3ordm middot middot tg 87ordm middot tg 88ordm middot tg 89ordm = 1

ცნობილია რომ sin 10ordm = a a-ს საშუალებით გამოსახეთა) cos 80ordm ბ) cos 100ordm გ) sin 170ordm დ) sin 190ordm

სამკუთხედის კუთხეები ისე შეეფარდება ერთმანეთს როგორც 2 3 5 იპოვეთ სამ-კუთხედის კუთხეების რადიანული ზომები

1

6

4sin cos23

23

8

8

გამოთვალეთ კალკულატორის გამოუყენებლად

ა) ბ)2tg

1 tg2

ა) sin 151deg = sin 29deg ბ) cos 135deg = sin 225deg გ) tg 135deg = tg 225degდ) sin 60deg = cos 330deg ე) sin 270deg = cos 180deg ვ) cos (ndash60deg) = ndashsin 330deg

რომელი ტოლობაა ჭეშმარიტი და რომელია მცდარი7

ა) წყალმფრქვევი სისტემა მაქსიმუმ 140-იანი კუთხით მობრუნებით 35 მეტრ მანძილზეაფრქვევს წყალს სქემატურად გამოსახეთ მორწყვა შესაძლებელი ნაწილი და გამოთვალეთფართობიბ) 70 მ მანძილზე წყლის მიმწვდენი წყალმფრქვევით 3000 მ2 ფართობის მორწყვისათვისრამდენი გრადუსით უნდა მობრუნდეს წყალმფრქვევი

9

ორი კბილანებიანი ჩარხიდან ერთის რადიუსია 64 სმმეორისა კი 3 სმ რამდენი გრადუსით უნდა მობრუნდესდიდი ჩარხი თუ პატარა ჩარხი მობრუნდება 170ordm-ით

8

64 სმ3 სმ

10

sinx + sin3xcosx + cos3x = tg2x

sin3x ndash sinxcos3x ndash cosx = ndashctg2x sin2x + sin4x

cos2x + cos4x = tg3xcos4x ndash cos2xsin2x ndash sin4x = tg3x

დაამტკიცეთ

11 ცნობილია რომ ndash = 90ordm იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა sin ndash sincos + cos

12 დაამტკიცეთ რომ ა) cos(60ordm ndash ) = sin(30ordm + ) ბ) ctg(80ordm ndash ) = tg(10ordm + )

13 უჩვენეთ რომ cos 20ordm ndash cos 50ordm cos 31ordm + sin 11ordm = sin 80ordm ndash sin 70ordm

sin 29ordm ndash sin 19ordm

105

გაამარტივეთ tg( + x)middot18 1 ndash sin 2xcos 2x

4

იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა თუ sin middotcos = 04 sin + cossin ndash cos

14


ა) 4 sin 15ordm cos 15ordm(cos2 15ordm ndash sin2 15ordm)

ბ) sin middot cos3 ndash sin3 middot cos16

16

16

16

იპოვეთ y = 4x ndash 1 და y = ndash2x + 5წრფეებს შორის შექმნილი მახვილიკუთხე

16

20 გაამარტივეთ

ა) ბ)6 cos 64ordmradic3 cos 34ordm ndash sin 34ordm

cos 36ordm + radic3 sin 36ordm4 cos 24ordm

6

4

2

ondash2

2 4 6 x

y

y = 4x ndash 1

y = ndash2x + 58

θგამოთვალეთ 17

ა) ndash 2 sin 70ordm

ბ) 8 sin 10ordmmiddotcos 20ordmmiddotcos 40ordm

12 sin 10ordm

სითხისმფრქვევით α კუთხით d მანძილზე ობიექტს თუ სითხე ეფრქვევა უჩვენეთ

რომ სითხის შეფრქვევის ფართობის

ა) S = d2tg2 ამასთან S = ფორმულებით გამოთვლა

შესაძლებელიაბ) რა ფართობზე მოეფრქვევა სითხე თუსითხემფრქვევი d = 30 სმ მანძილზეα = 45deg კუთხით აფრქვევს სითხეს

α2

21

d 2 (1 cosα)1 + cosα

d

r

1) დაამტკიცეთ იგივეობები 22 ა) sin 2 =

ა) sin 2 tg =

ბ) cos 2 =

ბ) cos 2

2 tg 1 + tg2

1 ndash tg2 1 + tg2

13


2cosα = 0 lt α lt და sin β = π lt β lt

ა) sin (α + β) ბ) cos (α + β) გ) tg (α + β)დ) sin (α β) ე) cos (α β) ვ) tg (α β)

radic32

12

32

19 იპოვეთ გამოსახულებების მნიშვნელობები თუ

2) იპოვეთ თუ

106

XII saukuneSi mcxovrebma da kacobriobismecnierebis istoriaSi gansakuTrebuli ad-gilis mqone genialurma azerbaijanelmamecnierma nasredin Tusim didi wvliliSeitana astronomiis maTematikisa da fi-losofiis mecnierebebis ganviTarebaSi na-sredin Tusim pirvelma gamoyo trigo-nometria astronomiisagan da mogvca si-nusebis Teoremis damtkiceba

sinusebisa da kosinusebis Teorema4sinusebis Teorema

kosinusebis Teorema

107

praqtikuli mecadineoba1) სურათის მონაცემების მიხედვით h-ით გამოსახეთ ∆ABC-ს ABდა BC გვერდები

2) ტოლობის სისწორე შეამოწმეთ

3) h-ით გამოსახეთ AC გვერდის სიგრძე და რადგან B = 180ordm ndash (30ordm + 45ordm) = 105ordmგამოთვალეთ sin B

4) იპოვეთ შეფარდება და იგი მე-2 პუნქტში არსებულ შეფარდებებთან შეადარეთ

5) რა კავშირი არის ∆ABC-ს გვერდებსა და მოპირდაპირე კუთხეების სინუსებს შორის

sinusebis Teorema

ABsin C

BCsin A=

ACsin B

h45ordm30ordm

A

B

CD

ანალოგიური წესით A წვეროდან BC გვერდზე სიმაღლის გავლებით შეიძლება იმის ჩვენება

რომ ტოლობის თვისების თანახმად შეგვიძლია ჩავწეროთ

damtkiceba მართკუთხა სამკუთხედისათვის თეორემის სისწორეთქვენ უჩვენეთდავამტკიცოთ თეორემა მახვილკუთხა და ბლაგვკუთხა სამკუთხედე-ბისათვის სამკუთხედის C წვეროდან AB გვერდზე გავავლოთ hc სიმაღლემიღებული ორივე მართკუთხა სამკუთხედიდან შეგვიძლია დავწეროთ

და

sinusebis Teorema

ნებისმიერ ∆ABC-ში თუ a b c გვერდების შესაბამისადმოპირდაპირე კუთხეებია A B C მაშინ

სამკუთხედის გვერდები მათი მოპირდაპირე კუთხეების სინუსების პროპორციულია

hc

b = sinA hc

a = sinB

asinA

bsinB

csinC

= =

bsinB

csinB=

ბლაგვკუთხა სამკუთხედიდანაც ჩანს რომhc

a = sin(180 B) = sin B

ამ თანაფარდობებიდან ვიპოვოთ hc ცვლადი hc = b sinA hc = a sinBაქედან b sinA = a sinB ან

თეორემა დამტკიცებულია

A

C

Bc

b a

A

C

Bc

b a

hc

მახვილკუთხასამკუთხედი

ბლაგვკუთხასამკუთხედი

A

C

Bc

b

180ordm ndash B

hc

a

asinA

bsinB=

miaqcieT yuradReba rom es Se-

fardebebi samkuTxedze Semoxazuli

wrewiris diametris tolia

daskvna 1) სამკუთხედში ტოლი კუთხეების პირდაპირ მდებარე გვერდების სიგრძეებიტოლია2) სამკუთხედში მეტი კუთხის პირდაპირ მეტი გვერდი ძევს და მეტი გვერდის პირდაპირმეტი კუთხე ძევს

asinA

bsinB

csinC= =

რადგან სამკუთხედის შიგა კუთხეების ჯამი 180deg-იაამიტომ მოცემული ორი კუთხის მიხედვით შეგვიძლიავიპოვოთ მესამე კუთხე ხოლო სინუსების თეორემისმიხედვით კი ვიპოვოთ დანარჩენი ორი გვერდი

მართლაც თუ და კუთხეები მახვილია მაშინ როცა gt მაშინ sin gt sin რადგან

ამიტომ მიიღება რომ a gt b თუ ბლაგვი კუთხეა მაშინ (180ordmndash) მახ-

ვილი კუთხეა თანაც(180ordm ndash ) კუთხე სამკუთხედის კუთხის არამოსაზღვრე გარე კუთხე

-ზე მეტია ამიტომაც sin = sin(180ordm ndash ) gt sin აქედან მიიღება რომ a gt b

sinusebis Teorema

108

როდესაც მოცემულია სამკუთხედის ორი კუთხე და ერთი გვერდიან ორი გვერდი და ამგვერდებიდან ერთ-ერთის მოპირდაპირე კუთხე მაშინ სინუსების თეორემის გამოყენებითშესაძლებელია დანარჩენი კუთხეებისა და გვერდების პოვნა

I SemTxvevamocemulia samkuTxedis ori kuTxe da erTi gverdi

nimuSi 1 ∆ABC-ში a = 10 A = 41deg C = 75deg

II SemTxveva mocemulia samkuTxedis ori gverdi daerTi kuTxenimuSi 2 1) ∆ABC-ში a = 18 A = 25deg b = 30

amoxsna

amoxsna

B = 180 (A +C) = 180 (41deg + 75deg) = 64deg

=

asinA

asinA

bsinB

asinBsinA

10sin64degsin41deg

30sin25deg18

1008990656

csinC

= b =

asinA

bsinB

bsinAa

=

sinB = 07044

07044 რიცხვს შევიყვანთ კალკულატორში ღილაკს ავღნიშნავთ და დავინახავთრომ B კუთხე 448deg-ია B 448degრადგან sin B = sin (180 B) ამიტომ აქ B კუთხეს მეორე მნიშვნელობაც აქვსB 180deg 448deg = 1352deg

137

asinCsinA

10sin75degsin41deg

1009660656

c = 147=

sin-1

A

C

Bc

b = 30 a = 18

sin a

sin b=

25ordm

40

asinCsinA

18sin1102degsin25deg

1009380423

c =

c =

asinA

csinC=


C = 180deg (25deg + 448deg) = 1102deg

144

asinCsinA

18sin198degsin25deg

1009380423

c =

c =

asinA

csinC=


C = 180deg (25deg + 1352deg) = 198deg

A

C

Bc

b a = 1075ordm41ordm

sinusebis Teorema

109

II SemTxvevisaTvis qvemoT mocemuli mdgomareobac gaviTvaliswinoT

1) ABC-ში a = 5 A = 30deg b = 12სინუსების თეორემის თანახმად

asinA

bsinB= = = 12

12sin30deg5

bsinAasinB =

რადგან ნებისმიერი კუთხისათვის sinB| le 1 ამიტომ არ შეიძლება რომ sinB = 12მაშასადამე ასეთი სამკუთხედის აგება შეუძლებელიასამკუთხედის ორი გვერდისა და ერთი კუთხის მოცემისას შესაძლო შემთხვევების -სამკუთხედების რაოდენობა გვერდების სიგრძის რიცხვით მნიშვნელობებზე და კუთხისსახეებზე (გრადუსულ ზომებზე) დამოკიდებულებით იცვლება

როცა A le 90deg-ზე

როცა A gt 90deg-ზე

მაშასადამე მოცემული მნიშვნელობების შესაბამისი ორი სამკუთხედი არსებობს

1 B = 448deg C = 1102deg c = 40 2 B = 1352deg C =198deg c = 144

A = 25ordm

C = 1102ordm

B = 448ordmc = 40

b = 30 a = 18

A = 25ordm

C = 198ordm

B = 1352ordmc = 144

b = 30 a = 18

ა) a lt hc lt b ამონახსენი არა

აქვს

ა) a lt b ამონახსენიარა აქვს

ბ) a = hc lt b ერთიამონახსენი აქვს

ა) a gt b ერთიამონახსენი აქვს

გ) hc lt a lt b ორიამონახსენი აქვს

A

C

B

b ahc

A

C

Bc

b ahc

A

C

B1

b ahc

B2

a

A

C

B

ba

A

C

B

b a

ვ) a gt b ერთიამონახსენი აქვს

A

C

Bc

b ab

დ) a = b ერთიამონახსენი აქვს A

C

Bc

b ab

ბ) a = b ამონახსენიარა აქვს

A

C

B

ba

saswavlo davalebebi

იპოვეთ უცნობი კუთხე ან გვერდი

ა) = ბ) =asin 35ordm

sinA25

sin 62ordm32

sin 60ordm3radic3

sin B12

10sin 40ordm

გ) = დ) =

16radic2

sin 30ordmb

sin 45ordm

sinusebis Teorema

110

ა) ABC- ში AC = 7 სმ AB = 11 სმ B = 25deg- ია იპოვეთ C

ტოლობის მიხედვით დახაზეთ სამკუთხედი იპოვეთ x-ისმნიშვნელობა

ბ) KLM-ში LM = 168 სმ KM = 135 სმ იპოვეთ L თუ K= 56deg ორივე ამოცანაში საძიებელი კუთხის შესახებ ldquoერთი მახვილიაrdquo ldquoერთი კუთხე ბლაგვიაrdquoორი კუთხის შესაბამისად მოსაზრება მართებულია

xsin60deg

10sin80deg=

დაწერეთ სინუსების თეორემა სამკუთხედისათვის რომლისწვეროები აღნიშნულია წერტილებით M N და P

იპოვეთ უცნობი გვერდები და კუთხეები

სურათის მონაცემების მიხედვით იპოვეთ კუთხის გრადუსული ზომები 3

2

4

5

M

N

P

1) a = 10 A = 35deg B = 25deg 2) b = 40 B = 75deg c = 35 3) A = 40deg B = 45deg c = 15 4) a = 5 A = 42deg b = 7 5) a = 40 A = 25deg c = 30 6) a = 5 A = 47deg b = 97) a = 12 A = 94deg b = 15 8) a = 15 A = 94deg b = 12 9) a = 22 A = 50deg c = 27 10) a = 11 A = 50deg c = 20

მონაცემების მიხედვით რომელ შემთხვევაში ერთი რომელ შემთხვევაში ორი სამ-კუთხედის აგებაა შესაძლებელი რომელ შემთხვევაში ამოცანას არა აქვს ამონახსენიგამოთვლებით უჩვენეთ

მონაცემების მიხედვით დახაზეთ ABC და იპოვეთ მოთხოვნილი გვერდი

ა) mocemuliaABC A = 57degB = 73deg AB = 24 სმ AC =

ბ) mocemulia ABC B = 38deg C = 56deg BC = 63 სმAB =

გ) mocemulia ABC A = 50deg B = 50deg AC = 27 მ AB =

დ) mocemulia ABC A = 23deg C = 78deg AB = 15 სმ BC =

7

6

8

A

C

B

A

C

B A

C

B

AC

B

A C

B

c

aa

b

a

14

12 4radic6 84radic3

19

25

595ordm 64ordm

70ordm

45ordm

34ordm110ordm

120ordm

ა)

ა)

ბ)

ბ) გ)

111

sinusebis Teorema

სამკუთხედის გვერდებიდან ერთის სიგრძე 43 მ-ია მეორისა კი 11 მ ამ გვერდებიდანერთის მოპირდაპირე კუთხე 35deg-ია იპოვეთ სამკუთხედის უცნობი გვერდი დაკუთხეები

9

10 დაამტკიცეთ სინუსების თეორემა წრეწირშიჩახაზული სამკუთხედის გამოყენებით

damtkicebis gegma ჯერ უჩვენეთ რომ = 2R შემდეგ ანალოგიური წესით

= 2R და = 2R ტოლობა უჩვენეთ

asinAb

sinBc

sinC

A

C D

OB

cb

a2 a2r r

A

CO

D Bcb

a2 a2r r

სამკუთხედის ფართობის ფორმულების თანახმად

მონაცემების მიხედვით იპოვეთ სამკუთხედების ფართობები

დაამტკიცეთ რომ ამოზნექილი ოთხკუთხედის ფართობიდიაგონალებისა და მათ შორის კუთხის სინუსის ნამრავლისნახევრის ტოლია

კუთხეების უფრო ზუსტად გაზომვისათვის გრადუსულ საზომ ერთეულთან ერთადუფრო მცირე ერთეულები წუთი (prime) და წამი (primeprime) გამოიყენება 1deg = 60prime და 1prime = 60Primeგათვალისწინებით კუთხეების ზომები გამოსახეთ გრადუსებში ათწილადების სახით

a) 20deg15prime36primeprime b) 45deg12prime18primeprime c) 34deg20prime54primeprime

12S = absin C12S = bcsin A12S = acsin B

1) B = 42ordm a = 6 მ c = 8 მ 2) A = 17ordm 12prime b = 10 სმ c = 13 სმ3) C = 82ordm 54prime a = 4 დმ b = 6 დმ 4) C = 7516ordm a = 15 მ b = 21 მ

A

B Ca

bc ha180ordm ndash C

D

A

B Ca

bc ha

D

A

CB65ordm12

14 B

AC

3618

B

A

C

4 5

cba

d

12

5) 6) 7)

30ordm 100ordm

11

13

ა) პარალელოგრამის დიაგონალები 10 სმ და 12 სმ-ია მათ შორის კუთხე 60deg-ია იპოვეთპარალელოგრამის ფართობიბ) ტოლფერდა ტრაპეციის დიაგონალები 12radic2 სმ-ია მათ შორის კუთხე 45deg-ია იპოვეთამ ტრაპეციის ფართობი

14S = d1middotd2middotsin 1

2

sinusebis Teorema

112

სინუსების თეორემის ორსვეტიანი ცხრილით დამტკიცება რვეულში დაასრულეთ

piroba safuZveli

bcsin A = acsin B = absin C

bcsin A acsin B absin Cabc abc abc

16

15

თითოეული შესაძლო შემთხვევისათვის გაავლეთ შესაბამისი ერთი სამკუთხედია) როცა ∆ABC-ში A = 30deg AC = 50 სმ იმისათვის რომ ამოცანას ორი ამონახსენიჰქონდეს რომელ ინტერვალში უნდა იცვლებოდეს BC გვერდის სიგრძებ) A = 60deg და AC = 12radic3 სმ BC გვერდის სიგრძის რომელ ინტერვალში ყოფნისასიქნება შეუძლებელი სამკუთხედის აგებაგ) თუ A = 45deg და AC = 18radic2 სმ BC გვერდის სიგრძის რომელი მნიშვნელობებისათვისმხოლოდ ერთი სამკუთხედის ამოხსნაა შესაძლებელი

12

12 bcsin A= acsin B = absin C1

2

= =sin A sin B sin C

a b c= =a b c= =sin A sin B sin C

nimuSi

amoxsna


წყალსაცავი მე-4 თეფე საცხოვრებელი პუნქტიდან25deg- ჩრდილოეთ - აღმოსავლეთი მიმართულებით 15 კმ საცხოვრებელი პუნქტი გენჯლიქი კი საც-ხოვრებელი პუნქტი მე-4 თეფედან ჩრდილო-აღმოსავლეთი მიმართულებით 75 კმ მანძილზემდებარეობს წყალსაცავიდან რა მანძილზე მდე-ბარეობს საცხოვრებელი პუნქტი გენჯლიქი

წყალსაცავიგენჯლიქი

ჩ დ ა

სმე-4 თეფე

75 კმ15 კმ25ordm

ssinS

gsinG=

ssinS

tsinT

75sin97degsin25deg

750992504226=

15sin25deg75

75sin25deg

15sinG

150422675=

75sin25deg

tsin97deg=

sinG =

G 58deg T 180deg 25deg 58deg 97deg

=08452

176 კმ

სინუსების თეორემის თანახმად

t

გეგმის შესაბამისად ხელახლა დავხაზოთ სამკუთხედი დაწვეროები ობიექტების სახელების შესაბამისად ავღნიშ-ნოთ წყალსაცავი S-ით მე-4 თეფე - T გენჯლიქი - Gასოთი მანძილების შესაბამისად იყოს s t და g

T

S G

15 კმ75 კმ

25deg

sg

t

sinusebis Teorema

113

navigacia-მოიცავს საზღვაო და საჰაერო გზებზეტრანსპორტის ადგილისა და მოძრაობის კურსისგანსაზღვრის სამუშაოებსნავიგაციაში მიმართულება როგორც წესი აზიმუტითგანისაზღვრება აზიმუტი საათის ისრის მოძრაობისმიმართულებით და ჩრდილოეთ მიმართულებასა დამოცემულ მიმართულებას შორის დარჩენილი კუთხეამაგალითად სურათზე 140deg აზიმუტია ასახული

xidmSenebloba სურათის მონაცემებისმიხედვით რამდენი მეტრი იქნება ასაგებიხიდის სიგრძე

ჭაღი ფიცრის ჭერზე 18 მ და 24 მ ჯაჭვითაა და-მაგრებული 18 მ სიგრძის ჯაჭვი ჭერთან 62ordm-იანკუთხეს ქმნის იპოვეთ კუთხე მეორე ჯაჭვსა და ჭერსშორის

konstruqcia სურათზე მოცე-მული მოწყობილობის კონსტრუქ-ციის მიხედვით იპოვეთ კუთხე

ულქერის იალქნიანი ნავი აითენის ნავიდან აღმოსავლეთმიმართულებით 52 მ მანძილზეა აითენი ზღვაში მყოფ ცოცხალორგანიზმებზე დამკვირვებელ კვლევით სადგურს 30deg აზი-მუტით ულქერი კი 320ordm აზიმუტით ხედავენ რამდენ მეტრმანძილზე იმყოფება ულქერის ნავი კვლევითი სადგურიდან

22

2120

19

ჭაღი

62deg

18 მ24 მ

ჭერი

N

S

E

W

S S

B

sr

აითენიულქერი

30ordm

52 მ

Nჩ

ს

ად

C

B5 მ

A

r = 28 სმ

r = 22 სმ

r ndash 36 სმ

40deg

73deg

60deg

140ordm

დაკვირვების მწარმოებელი თვითმფრინავიდან ტბის ორსხვადასხვა ნაპირზე მყოფი A და B წერტილებისადმი დახრისკუთხე შესაბამისად 32deg და 45deg-ია სურათზე მონაცემებისმიხედვით დაახლოებით რამდენი მეტრია ამ ორ წერტილსშორის სიგანე

8 სმ სიგრძის ფიცრის ნაჭერი კონსტრუქციის ფუძეზე 70ordm-იანიკუთხით იყო დაწებებული 7 სმ სიგრძის ნაჭერი მეორებოლოზე და კონსტრუქციის ბოლოზე იყო დამაგრებულიიპოვეთ ამისათვის სურათზე ნაჩვენები კუთხის შესაძლოგრადუსული ზომა

18

17

კონსტრუქციის ფუძე

7სმθ

8სმ

70deg

32deg45deg9750 მ

A B

kosinusebis Teorema

114

2) ამ სამკუთხედებისათვის შეავსეთ ქვემოთ მოცემული ცხრილი

3) შეადარეთ a2 + b2 ndash 2abcos C და c2 გამოსახულებების მნიშვნელობები

a b და c გვერდებიან ნებისმიერ ABC სამკუთხედშიa2 = b2 + c2 2bc cos Ab2 = a2 + c2 2ac cos Bc2 = a2 + b2 2ab cos Cსამკუთხედის ნებისმიერ გვერდის კვადრატი ტოლია

kosinusebis Teorema

ab

cA B

C

სამკუთხედის გვერდები (სმ-ობით) c2 a2 + b2 2abcos Ca = 3 b = 4 c = 5a = 3 b = 4 c = a = 3 b = 4 c =

gamokvleva 1 მოცემული ზომების მიხედვით თითოეული სამკუთხედისათვის შეას-რულეთ დავალებები 1) დაწერეთ სამკუთხედის კუთხეები ზრდის რიგის მიხედვით2) შესაძლებელია თუ არა სინუსების თეორიის გამოყენებით უცნობი გვერდებისა დაკუთხეების პოვნა

gamokvleva 2 1) რვეულში ჩაიხაზეთ სამკუთხედები მოცემული ორი გვერდისა და მათშორის მდებარე კუთხის მიხედვით და გაზომეთ მესამე გვერდის სიგრძე1 a = 3 სმ b = 4 სმ C = 90ordm2 a = 3 სმ b = 4 სმ C = 60ordm3 a = 3 სმ b = 4 სმ C = 120ordm

CA

B

CA

B

CA

B

დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს გამოკლებული ამ გვერდებისა და მათშორის მდებარე კუთხის კოსინუსის გაორკეცებული ნამრავლი

A E J

K

L

36

30

88deg30

34

22D

F

57deg45deg

BC

damtkiceba კოსინუსების თეორემის დამტკიცები-სათვის ABC სამკუთხედი საკოორდინატო სისტემაში ისემოვათავსოთ რომ A წვერო კოორდინატთა სათავეშიაღმოჩნდეს ამ შემთხვევაში წვეროს წერტილებისკოორდინატებიაA(0 0) B(c 0) C(bmiddotcosA bmiddotsinA) ორ წერტილს

შორის მანძილის ფორმულის თანახმად შეგვიძლიაჩავწეროთ

a2 = (c b cosA)2 + (b sinA 0)2 == c2 2bcmiddotcosA + b2 cos2 A + b2 sin2 A == c2 2bcmiddotcosA + b2(cos2A + sin2A) = b2 + c2 2bcmiddotcosA

b

A(0 0) B(c 0)

C(b cos A b sinA)

a

c

115

კალკულატორზე sin-1 ღილაკისა და 07485 რიცხვის შეყვანით შეიძლება გამოთვლა რომA = sin-1(07485) 485deg უკვე ცნობილია ABC სამკუთხედის სამი გვერდი და ორიკუთხე მესამე კუთხე კი სამკუთხედის შიგა კუთხეების ჯამის ფორმულით შეგვიძლიავიპოვოთ

180deg (38deg + 485deg) = 935deg C 935deg

nimuSi 1

kosinusebis Teorema

ამოხსენით სამკუთხედი თუ ∆ABC-ში a = 12 სმ c = 16 სმ და B = 38deg

სამკუთხედის ამოხსნა მოცემული ორი გვერდისა და მათ შორის მდებარეკუთხის მიხედვით

როდესაც ცნობილია სამკუთხედის სამი გვერდი და ერთი კუთხე შეიძლება სინუსებისთეორემის გამოყენება ვიპოვოთ A კუთხე მონაცემების თანახმად რადგან a გვერდი cგვერდზე ნაკლებია მისი წინამდებარე კუთხეც ნაკლები უნდა იყოს ანუ A არ შეიძლებაიყოს ბლაგვი კუთხე

b2 = a2 + c2 2ac cos B kosinusebis Teorema

b2 = 144 + 256 2middot12middot16middotcos 38deg b2 asymp 400 ndash 384middot0788 asymp 974 b asymp radic974 asymp 987 (სმ)

Seitaneba a c da B-smniSvnelobebi

martivdeba

amoiReba kvadratuli fesvi

asinA

bsinB= 12

sinA987

sin38deg= 12sin38deg987= 07485sinA

a = 12 სმ b = 987 სმ c = 16 სმ A 485deg B = 38deg C 935deg

C

A

B12 სმ

16 სმb

ამრიგად დამტკიცდა რომ a2 = b2 + c2 2bcmiddotcos A სამკუთხედის დანარჩენი გვერდებისათვის ფორმულების მართებულობა სამკუთხედისდანარჩენი კუთხეების (B და C კუთხეების) კოორდინატთა სათავეში მოთავსებითდამტკიცება შეიძლებაSeniSvna დავუშვათ რომ C = 90deg რადგან cos 90deg= 0 ამიტომ მოცემულიc2 = a2 + b2 2abmiddotcos C ფორმულა c2 = a2 + b2 სახეს მიიღებს ეს კი პითაგორასთეორემას გამოსახავს ამიტომაც კოსინუსების თეორემას ზოგჯერ განზოგადოებულპითაგორას თეორემასაც უწოდებენ

38deg

nimuSi 2 ∆ABC-ში a = 5 სმ b = 8 სმ c = 12 სმ ამოხსენითსამკუთხედი

a2 = b2 + c2 2bc cos A

სამკუთხედის ამოხსნა სამი გვერდის მიხედვით

cos A = b2 + c2 a2

2bccos A = = 0953182 + 122 52

2812183192

A cos-1(09531) 18deg

მსგავსი წესით მოიძებნება სამკუთხედის B და C წვეროს კუთხეები

A

C

B

b = 8

c = 12

a = 5

116

kosinusebis Teorema

იპოვეთ სამკუთხედის კუთხეები მისი სამიგვერდის მიხედვით დაამრგვალეთ პასუ-ხები მეათედებამდე

saswavlo davalebebi

1 სამკუთხედის ორი გვერდისა დამათ შორის მდებარე კუთხის მი-ხედვით იპოვეთ უცნობი გვერდიდა კუთხეები

2

CA

B4 5

6C

5

860ordm

A

B

ამოხსენით სამკუთხედები მონაცემების მიხედვით პასუხები დაამრგვალეთ მეასე-დებამდე

ა) ბ) გ) დ)

3

ΔABC-ს ამოხსნისათვის გამოიყენეთ სინუსების კოსინუსებისა და პითაგორას თეო-რემები პასუხები დაამრგვალეთ მეასედებამდე

ა) A = 96deg B = 39deg b = 13 ბ) A = 34deg b = 17 c = 48გ) A = 48deg B = 51deg c = 36

დ C = 104deg b = 11 c = 32ე) a = 48 b = 51 c = 36 ვ) C = 90deg a = 4 b = 11

მონაცემების მიხედვით იპოვეთ მოთხოვნილები პასუხი დაამრგვალეთ მეასე-დებამდე

1) mocemuliaΔABC-შიa = 27 b = 22 C = 40O ipoveT c გვერდი

2) mocemulia ΔABC a = 18 c = 15 B = 110OipoveT b გვერდი

3) mocemuliaΔABC a = 9 b = 10 c = 11 ipoveT A

4) mocemulia Δ ABC a = 120 b = 90 c = 105ipoveT სამკუთხედის უდიდესიკუთხე

5) mocemulia Δ ABC a = 16 b = 21 c = 19ipoveT სამკუთხედისუმცირესი კუთხე

4

5

6

ა) იპოვეთ სამკუთხედის უდიდესი სიმაღლე თუ მისი გვერდებია 5 მ 6 მ და 7 მბ) იპოვეთ სამკუთხედის უმცირესი სიმაღლე თუ მისი გვერდებია 13 სმ 14 სმ და 15 სმგ) იპოვეთ სამკუთხედის მედიანები თუ მისი გვერდებია 10 სმ 12 სმ და 14 სმ

A

A A

18 სმ7 სმ

8 სმ

12 სმ

8 სმ C

C

CB

BB

120deg

32deg5

8

A

CB

20

1540deg

117

kosinusebis Teorema

nimuSi A პუნქტიდან მოძრაობის დამწყებმა მატარებელმა 60 კმ გაიარა და C პუნქტშიმოსვლის შემდეგ მოძრაობის მიმართულების 15ordm-იანი შეცვლის შემდეგ კიდევ 80 კმ გაიარარამდენი კილომეტრით არის დაშორებული მატარებელი A პუნქტიდან

amoxsna ამოცანის პირობის შესაბამისად დავხაზოთ სურათი

A

BC

c

15ordm

60 კმ

80 კმ

165ordmსურათიდან ჩანს რომ სამკუთხედის ორი გვერდიდა მათ შორის მდებარე კუთხე ცნობილიაკოსინუსების თეორემის გამოყენებით შეგვიძლიავიპოვოთ c წვერო

c2 = a2 + b2 2ab cos Cc2 = 802 + 602 28060 cos 165deg 19273 c 139 კმ

ა) იპოვეთ პარალელოგრამის დიაგონალები თუ მისი გვერდებია 6 სმ და 8 სმ მახვილიკუთხე კი 60ordm-იაბ) პარალელოგრამის გვერდებია a და b ხოლო დიაგონალებია d1 და d2 დაამტკიცეთრომ d12 + d22 = 2(a2 + b2)

7

მთის A და B წერტილებს შორის ნაწილში გვირაბისმშენებლობა იგეგმება სურათის მონაცემების მიხედვითგანსაზღვრეთ რამდენი მეტრი იქნება გვირაბის სიგრძე

AD მონაკვეთი ∆BCD სიბრტყის მართობულია მონაცემების მიხედვით იპოვეთცვლადი


9

8

120 მ 824ordmA B

C

70 მ

B

A

C

გ)

D15 სმ

6 სმ

8 სმ

B

A

C

ბ)

D9 სმ

5 სმ

12 სმB

A

C

ა)

D9 სმ

x 5 სმ

12 სმ60ordm

გემმა 60 კმ აღმოსავლეთითმოძრაობის შემდეგ მიმარ-თულება სურათზე ნაჩვენე-ბივით ჩრდილოეთის მიმარ-თულებით შეიცვალა და კიდევ100 კმ გაიარა

10

აზიმუტი არის კუთხე რომელიც იქმნება ჩრდილოეთისა და საათის ისრის მოძრაობისმიმართულებით ნაჩვენებ გადაადგილების მიმართულებას შორის

სურათის მონაცემების მიხედვით განსაზღვრეთ აზიმუტის კუთხე

100 კმ

60 კმ

N

b = 139 კმ C

B

EWS

kosinusebis Teorema

118

A პუნქტიდან მოძრაობის დამწყები ორი გემიდანერთმა B მეორემ კი C პუნქტს მიაღწია ამ მოძ-რაობების ამსახველი სურათის გამოყენებით

ა) იპოვეთ კუთხე გემების მოძრაობის მიმართუ-ლებებს შორის

ბ) იპოვეთ მანძილი B და C პუნქტებს შორის

12

13

შენობის ეზოდან ერთდროულად მოძრაობის დამწყები ორიავტომობილის მოძრაობის მიმართულებები 70deg-იან კუთხესქმნიან მათ შორის ერთის საშუალო სიჩქარე 35კმსთ-ია მეორისაკი 45 კმსთ ავტომობილებმა 45 წუთის შემდეგ სამუშაო ადგილებსმიაღწიეს დაახლოებით რამდენი კილომეტრია მანძილი ამ ორსამუშაო ადგილს შორის

ლეილა დგას ხიდზე და მდინარეში მოძრავნავებს აკვირდება A გემი 230ordm B გემი კი120ordm აზიმუტით მოძრაობს ლეილა ვარა-უდობს რომ A ნავს 38ordm-ით B ნავს კი 35ordmდახრის კუთხით აკვირდება მოცემულიინფორმაციების თანახმად იპოვეთ მან-ძილი ნავებს შორის

11

A

N B

a =

27 კმ

49 კმ C

A40deg

80deg

70deg

E

50 მ120deg

230deg

N E

AAB

Q

q

50 მ38deg 35deg

110degb aq B

Q

astronomia წელიწადის გან-საზღვრულ დროებში დილაობითშესაძლებელია პლანეტა ვენერასცაზე დანახვა პლანეტა ვენერასადა მზეს შორის მანძილი დაახ-ლოებით 67 მილიონი მილი დე-დამიწასა და მზეს შორის მანძილი93 მილიონი მილია უჩვენეთ რომთუ მზე და ვენერა 34ordm-იან კუთხეს ქმნიან დედამიწასა და ვენარას შორის მანძილი 35 მილიონი მილი ან 119 მილიონი მილი იქნება

14

მზე

დედამიწა E დედამიწა Eვენერა V

GმზეG

sse = 67

e = 67

34deg 34degv = 93 v = 93

ვენერა V

ერთმანეთისაგან 105 მ მანძილზე მყოფი A და B წერ-ტილებიდან h სიმაღლის ობიექტის ზედა წვეროსთანკუთხე შესაბამისად 40ordm და 32ordm-ია რას უდრის ობიექტისსიმაღლე

15

BA

h40deg

105 მ

32deg


119

სურათის მონაცემების მიხედვით იპოვეთ ცვლადით აღნიშნული კუთხე ან გვერდიპასუხები დაამრგვალეთ მეათედებამდე

ამოხსენით ამოცანები ორი მოთხილამურის M წერტილიდან დაწყებული მოძრაობისშესახებ ინფორმაციის ამსახველი სურათების მიხედვით

განსაზღვრეთ აღმართზე გაზრდილი ხის სიმაღლე თუაღმართი ჰორიზონტთან ადგენს 15deg-იან კუთხეს მზისსხივები ჰორიზონტის ხაზთან ქმნის 57deg-იან კუთხეს დახის ჩრდილის სიგრძე 7 მ-ია

ა) იპოვეთ მანძილი მოთხილამურეთაშორის

ბ) იპოვეთ თითოეული მოთხილამურისგავლილი მანძილი

1

2

3

ჩ

ა6 კმ

5 კმ60deg

48deg 12 კმ 44deg

MM

ა) შენობის მშენებლობაზე გამოყენებული ამწის უმაღლესიწერტილისა და შენობის უმაღლეს წერტილთან მიწაზემყოფი დამკვირვებლის გაზომვების თანახმად ამაღლებისკუთხეები შესაბამისად 43deg და 32deg-ია შენობის სიმაღლე 27 მ-ია რამდენი მეტრია მანძილი ამწის უმაღლეს წერ-ტილსა და დამკვირვებელს შორის

4

A A Aθ 27 სმ

18 სმ

30 სმ

20 სმ

29 სმ

31 სმ60deg

B BC

c

C47deg

C

θ

15deg

57deg

7 მ

27 მ43deg32deg

ა) ბ) გ)

ბ) ელდარს უნდა რომ განსაზღვროს პარკში დროშისსიმაღლე მან ჯერ Q შემდეგ კი P წერტილიდან გაზომაამაღლების კუთხე იცოდა რა რომ ამ ორ წერტილს შორისმანძილი 20 მ-ია გამოთვალა დროშის სიმაღლე თქვენცგამოთვალეთ დროშის სიმაღლე თუ ცნობილია რომQ = 28deg და P = 53deg 28deg 53degPQ

20 მ

ეჰმედმა და რეშადმა ერთი და იგივე წერტილიდან დაიწყეს სირბილი ისეთი მი-მართულებით რომ მათ შორის კუთხე 120deg-ია ეჰმედის სიჩქარე იყო 8 კმსთ ხოლორეშადის სიჩქარე კი 7 კმსთ რა მანძილი იქნება მათ შორის 30 წუთის შემდეგ ამოხსენითამოცანა შესაბამისი სურათის დახატვით

5

120

იბრაჰიმი P წერტილიდან R წერტილში ჯერ Qწერტილში იქიდან კი R წერტილში წასასვლელიგახდა სურათის მონაცემების მიხედვით იპოვეთმანძილი P და R წერტილებს შორის

6

7

სურათზე მოცემული სამკუთხედების გამოყენებით დაამტკიცეთ კოსიმუსებისთეორემა

2) გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა დაcos (180 A) = cosA იგივეობა

damtkicebis gegma 1) სამკუთხედისსიმაღლის ორი მართკუთხა სამკუთხედის(∆ADB და ∆BDC) მიხედვით დაწერეთსხვადასხვა გამოსახულებები და მათიტოლობები

8

პარალელოგრამის გვერდები 10 სმ და 12 სმ-ია ცნობილია რომ მცირე დიაგონალი 15 სმ-ია იპოვეთ პარალელოგრამის მახვილი კუთხის გრადუსული ზომა

9

მოცემულია ∆ABC AB=15 BC=21 AC=24BM-მედიანაა BL-ბისექტრისააიპოვეთ 1) A 2) AM და BM 3) AL და BL

10

პოლიციის ვერტმფრენი 400 მ სიმაღლეზე მიფრინავს პოლიციის მოხელე ჩრდილოეთითგახედვისას 60ordm დახრის კუთხით მოვლენის მომხდარ ავტომობილს ხოლო სამხრეთითგახედვისას 45ordm-იანი დახრის კუთხით შემთხვევის ადგილისაკენ მიმავალ სასწრაფოდახმარების მანქანას ხედავსა) შემთხვევის ადგილიდან რამდენ კილომეტრ მანძილზე იმყოფება სასწრაფოდახმარების მანქანაბ) რამდენი წუთის შემდეგ იქნება სასწრაფო დახმარების მანქანა შემთხვევის ადგილასთუ მისი სიჩქარე 100 კმსთ-ია

მახვილკუთხა სამკუთხედის ამოხსნის შესახებ რეალური ცხოვრებისეული სიტუაციისამსახველი ერთი ამოცანაც თქვენ შეადგინეთ ამოცანა წარმოადგინეთ საერთო საკლასოგანხილვისათვის

11

12

175 მ 36 მ112degQ

P R

C

B

D A

ch

bx

aB

CA D

a a

x xbb

h


A L

B

15 21

M C24

სურათის მონაცემების მიხედვითგანსაზღვრეთ მანძილი ხანძრისადგილიდან თითოეულ სადგუ-რამდე

N

80deg 70deg

65deg30 კმ

EW

trigonometriuli funqciebi5perioduli funqciebiy = sin x da y = cos x funqciebis grafikebiy = sin x da y = cos x funqciebis grafikebis gardaqmnebisinusoidis ageba xuTi ZiriTadi wertilismixedviTtrigonometriuli funqciebi da periodulimovlenebiy = tg x da y = ctg x funqciebis grafikebiSeqceuli trigonometriuli funqciebi

1 დანა არაუმეტეს 05 სმ-ის სიმაღლეზე იწევს2 დანა 3 წამით ჩერდება 0-3 4-7 წამებში და აშ3 მე-3 წამიდან 35 წამამდე დანა დაბლა იხრება ლენტი იჭრება

35 ndash 4 წამით დანა ზევით იწევს4 ერთ სრულ პერიოდს 4 წამი ეთმობა

საზომი ლენტის მომჭრელი მოწყობილობის მუშაობა პერიოდულად მეორდება ერთიპერიოდი 4 წამი გრძელდება მოწყობილობის დანის ზედაპირიდან სიმაღლეზე ყოფნისდროის დამოკიდებულების მაჩვენებელი გრაფიკიც როგორც პერიოდის შესაბამისიგრაფიკის გამეორება არის ნაჩვენები მორიგ ჯერზე დანა ლენტს გაჭრის 115 წამზეამ სახის თვისების მატარებელ ფუნქციებს პერიოდული ფუნქციები ეწოდება პერიოდულიფუნქციების მნიშვნელობები განსაზღვრულ ინტერვალებში მეორდებადავუშვათ რომ არსებობს ისეთი T 0 რიცხვი რომ ფუნქციის არიდან აღებული ნებისმიერიx-ისათვის x T-ც შედის განსაზღვრის არეში და f(x ndash T) = f(x) = f(x + T) პირობასაკმაყოფილებს მაშინ f(x) ფუნქციას T პერიოდიანი პერიოდული ფუნქცია ეწოდება თუ Tპერიოდია მაშინ n middotT-ც (n Z) პერიოდია მართლაც მაგალითად f(x 2T) = f((x T) T) = f((x T) = f(x) ფუნქციის უმცირეს დადებით პერიოდს მისი ძირითადი პერიოდი ეწოდება

გრაფიკების მიხედვით უჩვენეთ ფუნქცია არის თუ არა პერიოდული

ბუნებაში ბევრი მოვლენა - მზის ამოსვლა და ჩასვლა კომეტის დანახვა სეზონისშესაბამისად ტემპერატურის ცვლილება ოკეანის ტალღების მიმოქცევა და სხვბუნებრივი მოვლენები პერიოდულად მეორდება ამასთან საწარმოო სფეროებშიმოწყობილობების მუშაობის ავტომობილების ნაწილების მოძრაობის პერიოდულიფუნქციებით მოდელირება შეიძლებაქვემოთ მოცემულ მაგალითებზე გამოიკვლიეთ პერიოდული ცვლილებებიlentis mWreli mowyobilobis muSaoba გაზომვისათვის მეტრის მოწყობილობისმწარმოებელ კომპანიაში მჭრელი ინსტრუმენტი 3 მ სიგრძის წვრილ ლენტს ჭრის დალენტების დამრგვალებით მეტრის საზომი ინსტრუმენტი გასაყიდად მზადდებამოწყობილობის მუშაობის მაჩვენებელი გრაფიკი და განმარტებითი ჩანაწერი კედელზეუნდა ჩამოიკიდოს

122

perioduli funqciebi

თქვენი აზრით მორიგ ჯერზე მერამდენე წამზე გაიჭრება ლენტი

1

perioduli funqciebi

დანის მუშაობის გრაფიკიმუშაობა ერთ პერიოდში

სიმა

ღლ

ე (ს

მ)

სიმა

ღლ

ე (ს

მ)

დრო (წმ) დრო (წმ)

405 05

10 10

2

0ndash2 ndash4

2 4 6 8 x

x

x

y y y

2 4 46 8 10

20 40 60

12

0

ndash20

trigonometriuli funqciebis perioduloba

123

karuselis moZraoba 50 მ დიამეტრიანი მოძრავი კარუსელი ერთ სრულ პერიოდს4 წუთში ასრულებს ცხრილის მიხედვით h = 0 სიმაღლეზე კაბინაში მყოფი პიროვნებადედამიწიდან რა სიმაღლეზე იქნება პირველ მე-5 მე-9 წუთზეკარუსელზე მყოფი პიროვნების დედამიწიდან სიმაღლის დროზე დამოკიდებულებისცხრილი და საკოორდინატო სიბრტყეზე გაბნევა დიაგრამითაა ნაჩვენები ცხრილი დადიაგრამა ჩაიხაზეთ რვეულში შესაბამისი წერტილები ფერადი ფანქრებით კარუსელისთითოეული მთელი ბრუნის ცალკე ჩვენების პირობით შეაერთეთ

t = 0 4h = 0

t = 1h = 25

t = 2h = 50

t = 3h = 25

t = 05

t = 15t = 25

t = 35

დონედედამიწიდან

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8h 0 25 50 25 0 25 50 25 0

h (მ)

t (წთ)

50

40

30

20

10

4 8 1612

გაბნევის დიაგრამა

0

თუ დავაკვირდებით მობრუნების კუთხეებს რომელთა დამამთავრებელი გვერდებიემთხვევა ერთმანეთს დავინახავთ რომ მათი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ემთხვევაერთმანეთს მაგალითად x-ის ყველა მნიშვნელობისათვის sin(x + 2) = sin x მაშასადამეტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობები მეორდება სინუსისა და კოსინუსისფუნქციების მნიშვნელობა 2 ტანგესის ფუნქციის მნიშვნელობები კი პერიოდითმეორდება x რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია x რადიანი კუთხისერთსახელა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას ეწოდება კუთხის ტრიგონომეტრიულიფუნქციების ყველა თვისება (ლუწ-კენტობა პერიოდულობა და სხვ) რიცხვითიარგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციისათვისაც იგივეა ამ ფუნქციების გრაფიკებისაგებისათვის სიგრძით პერიოდის ტოლი მონაკვეთის აგება და ამ ნაწილის გამეორებასაკმარისია

2

ავზიდან წყალი განსაზღვრული დროის განმავლობაში ჩამოდის შემდეგთავდაპირველ დონემდე ივსება და ისევგანსაზღვრული დროის განმავლობაშიჩამოდის და აშ1) რა დრო სჭირდება ავზის ერთხელ ავსებასადა დაცლას2) იპოვეთ ამ ფუნქციის მნიშვნელობათა არე3) რას უდრის წყლის სიღრმე ავზში მე-60წუთზე4) მომდევნო ჯერზე როდის იქნება წყლისსიღრმე ავზში 1 მეტრი

3

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

20406080

100

t ( წუთობით)

h(ს

მ-ობ

ით)

წყლის დონე ავზში

perioduli funqciebi

124

პერიოდული ფუნქცია წრეწირზე მოძრაობისას θ კუთხემდე მობრუნებისას წერტილის xღერძიდან სიმაღლეს (ჰორიზონტალურ მანძილს) უჩვენებს ერთეულოვან წრეწირზეთითოეული წერტილის კოორდინატები x2 + y2 = 1 განტოლების დამაკმაყოფილებელი(x y) = (cos sin )-ია სადაც θ კუთხე ერთეულოვანი რადიუსის x ღერძის დადებითმიმართულებასთან შექმნილი კუთხეა მაშასადამე (x y) წერტილი წრეწირის გარშემოიცვლება და მის y კოორდინატს sin θ განსაზღვრავსწერტილის წრეწირის რკალის გასწვრივ ცვლილებასადა f() = sin ფუნქციის მნიშვნელობებს შორისერთმნიშვნელოვანი დამოკიდებულება არსებობსერთეულოვანი წრეწირის I მეოთხედში მდებარერკალი დავყოთ სამ ტოლ რკალად და თუ დაყოფის

წერტილებიდან (0 ) აბცისთა ღერძის

პარალელურ წრფეებს გავავლებთ ამ წრფეების

შესაბამისად x = 0 x = x = x =წრფეებთან გადაკვეთის წერტილებს ავღნიშ-ნავთ შესაბამის წერტილებს შევაერთებთ მი-ვიღებთ სურათზე მოცემულ გრაფიკსცნობილია რომ ერთეულოვან წრეწირზე სრული მობრუნება 360deg ან 2 რადიანია f() = sin ფუნქციის გრაფიკი [0 2 შუალედში ავაგოთ ანალოგიური წესით

y = sin x da y = cos x funqciebis grafikebiy = sin x funqciis grafiki

ვინაიდან სინუსი პერიოდული ფუნქციაა 2 სიგრძის შუალედში f() = sin ფუნქციისგრაფიკი მეორდება არგუმენტისათვის x-ის ფუნქციისათვის y აღნიშვნის გამოყენებითფუნქცია ჩავწეროთ y = sin x სახით y = sin x ფუნქციის გრაფიკი [ndash2 2 ინტერვალშიქვემოთ მოცემული სახისა იქნება

x

y

10

x = r =

(x y) = (cos sin )x2 + y2 = 1

1

0x2 + y2 = 1

1

6

f()

1

1 0 3

2

6

3

2

x 0

f() = sin

x2 + y2 = 1

1

ndash1

2

74

32

f()

1

6

3

2

23

56

3

6

2

3

6

2

y

xndash1

0ndash2 ndash 2

1

2

32

32ndash ndash

2

y = sin x

y = sinx ფუნქციის გრაფიკს (რომლის ამპლიტუდა არის 1 პერიოდი კი 2) სინუსოიდაეწოდება

54

periodi

amplituda

მნიშვნელობათა ცხრილი ამასთან გრაფიკი უჩვენებს რომ y = sin x ფუნქციის გრაფიკიკოორდინატთა სათავეზე (0 0) წერტილზე გადის x-ის მნიშვნელობის 0-დან -დანგაზრდისას y-ის მნიშვნელობა 0-დან 1-მდე იზრდება x-ის მნიშვნელობის -დან -მდეზრდისას y-ის მნიშვნელობა 1-დან 0-მდე მცირდება x-ის მნიშვნელობის -დან -მდეზრდისას y-ის მნიშვნელობა 0-დან ndash1-მდე მცირდება x-ის მნიშვნელობა -დან 2-მდეზრდისას y-ის მნიშვნელობა ndash1 -დან 0-მდე იზრდებაy = sin x ფუნქციის მნიშვნელობათა ცხრილისა და გრაფიკის საფუძველზე ჩამოვაყალიბოთმისი თვისებები1 განსაზღვრის არე არის ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე2 მნიშვნელობათა არეა [ndash1 1] მონაკვეთი3 sin x ფუნქცია კენტი ფუნქციაა sin (ndashx) = ndashsin x ანუ სინუსოიდა სიმეტრიულიაკოორდინატთა სათავის მიმართ4 2 პერიოდიანი პერიოდული ფუნქციაა sin(x + 2) = sin x5 სინუსოიდა აბცისთა ღერძს ndash2 ndash 0 2 3 და აშ წერტილებში გადაკვეთსანუ როცა x = n მაშინ y = sin x ფუნქცია 0-ად იქცევა

2

2

32

32

125

y

xndash10

ndash2

ndash 2

1

2

ndash 2

x 0 2

y = sin x 0 1 0 ndash ndash1 ndash 0

(x y) (0 0) ( ) ( 1) ( ) ( 0) ( ndash ) ( ndash1) ( ndash ) (2 0)6

12

56

116

2

32

76

12

12

12

11612

612

2

5612

12

76

32

y

x

ndash1

(0 0) 2

1

2

( 0) (2 0)

( 1)( )

( ndash )

6

12

2 5

6( )12

( ndash )76

12

( ndash1)32

32 11

612

y = sin x ფუნქციის გრაფიკის აგება მნიშვნელობათა ცხრილის დახმარებითაც შეიძლებავინაიდან სინუსი პერიოდული ფუნქციაა გრაფიკის 2 სიგრძის [0 2] მონაკვეთზე აგებასაკმარისია ცხრილში მოცემული წერტილები განვათავსოთ საკოორდინატო სიბრტყეზეგლუვი მრუდით შევაერთოთ მიღებული გრაფიკი y = sin x ფუნქციის გრაფიკია დასინუსოიდა ეწოდება

სინუსოიდა კოორდინატთა სათავეზე გადის

6 ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა 1-ია და ამ მნიშვნელობას x-ის ndash ანუ x = + 2n (n Z) მნიშველობებში იღებს

7 ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა ndash1-ია და ამ მნიშვნელობას x-ის ndash ანუ x = ndash + 2n (n Z) მნიშვნელობებში იღებს

32

32

52

72

112

92

2

2

2

2


126

y = cos x funqciis grafiki

y = cos x ფუნქციის გრაფიკი [0 2] მონაკვეთზე y = sin x ფუნქციის ანალოგიური წესით

ერთეულოვანი წრეწირის გამოყენებით გეომეტრიული ხერხით ასევე მნიშვნელობათა

ცხრილის მიხედვით აგება შეიძლება რადგან cos x = sin(x + ) ამიტომ y = sin xფუნქციის გრაფიკის -ით მარცხნივ მოცურებით y = cos x ფუნქციის გრაფიკი მიიღება

y

xndash1

0ndash 2

1

2

52

32

ndash 2

(2 1)

(ndash ndash1) ( ndash1)

2

2

y = cos x ფუნქციის გრაფიკის საფუძველზე ჩამოვაყალიბოთ მისი თვისებები1 განსაზღვრის არე არის ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე x R2 მნიშვნელობათა არეა [ndash1 1] მონაკვეთი 3 y = cos x ლუწი ფუნქციაა (გრაფიკი სიმეტრიულია y ღერძის მიმართ)4 პერიოდული ფუნქციაა რომლის ძირითადი პერიოდია 2 cos(x + 2) = cos x5 გრაფიკი აბსცისთა ღერძის და ა შ წერტილებზე გადის

ანუ როცა x = + n (n Z) მაშინ y = cos x ფუნქცია ნულად იქცევაგრაფიკი ორდინატთა ღერძს (0 1) წერტილში კვეთს

6 ფუნქციის მაქსიმუმის მნიშვნელობა 1-ია და ამ მნიშვნელობას x-ის ndash2 0 2 4 6 ანუ x = 2n (n Z) მნიშვნელობებში იღებს

7 ფუნქციის მინიმუმის მნიშვნელობა ndash1-ია და ამ მნიშვნელობას x-ის ndash 3 5 ანუ x = + 2n (n Z) მნიშვნელობებში იღებს

32

2

2

52

2

ndash

ხუთი ძირითადი წერტილი y = sin x ფუნქციისათვის [0 2 შუალედში შემდეგი მიმდევ-რობით იცვლება

y = sin x და y = cos x გრაფიკების აგება ხელსაყრელია ხუთი ძირითადი წერტილის(აბსცისთა ღერძთან გადაკვეთის წერტილები და ექსტრემუმის წერტილები) მიხედვით

ხუთი ძირითადი წერტილი y = cos x ფუნქციისათვის [0 2 შუალედში შემდეგი მიმდევრობითიცვლება

nuli maqsimumis wertili nuli minimumis wertili nuli

maqsimumis wertili nuli minimumis wertili nuli maqsimumis wertili

მაქსიმუმი მინიმუმიგადაკვეთა გადაკვეთაგადაკვეთა



სამი მეოთხედიპერიოდი

ნახევარიპერიოდი სრული

პერიოდიპერიოდი 2

(0 0)

( 1)

( ndash1)( 0)

(2 0) ( ndash1)

(2 1)

x

y

y = sin x2

32

x

yგადაკვეთა გადაკვეთა

სრულიპერიოდი

სამიმეოთხედიპერიოდი

მინიმუმიმაქსიმუმი


y = cos x

ნახევარიპერიოდი



პერიოდი 2

(0 1)

( 0)2 ( 0)3

2


y = sin xy = cos x

127

4

5

6

7

2 მ დიამეტრიანი დისკის მოძრაობის რეგულირებისათვისდისკზე გაკეთდა აღნიშვნა და დროის განსაზღვრულ მო-მენტებში მოწმდება ამ ნიშნის სიმაღლე წყლის ზედაპირიდანდახაზეთ ამ შემოწმების სურათები და თქვენც აწარმოეთმათემატიკური გამოთვლები ამისათვის ერთეულოვანი წრე-წირი 15deg-იანი ნაბიჯით დაყავით მობრუნების კუთხეებად დაგანსაზღვრეთ თითოეული ნაბიჯის შესაბამისი წრეწირზე მყოფიწერტილის მანძილი x ღერძიდან ეს სამუშაო შეასრულეთ ორიპერიოდისათვის (720deg) არსებობს თუ არა აუცილებლობა იმისარომ კიდევ ერთი პერიოდისათვის ამ გზით განისაზღვროსშესაბამისი მნიშვნელობები თუ აუცილებლობა არ არსებობს მაშინეს მნიშვნელობები ერთბაშად ჩაწერეთ თუ არსებობს მაშინგამოთვალეთ

მოცემულ ინტერვალებში ააგეთ ფუნქციის გრაფიკები

დაწერეთ არგუმენტის სამი მნიშვნელობა y = sin x ფუნქციის მაქსიმუმის წერტილებისშესაბამისად

ერთი და იმავე კოორდინატთა სიბრტყეზე ააგეთ y = cos x და y = sin x ფუნქციებისგრაფიკები დაწერეთ მსგავსი და განსხვავებული ნიშნები

ა) წყლის ზედაპირიდან რამდენ მეტრ სიმაღლეზე იქნება ეს ნიშანი დისკის 15deg 375deg735deg-ით მობრუნების დროს

ბ) ერთეულოვან წრეწირზე არსებული მნიშვნელობების საკოორდინატო სიბრტყეზეაღნიშვნით ააგეთ გრაფიკი რომელი ფუნქციის გრაფიკს ჰგავს ეს გრაფიკი

y = sinx 2 le x le 4

y = sinx ndash 2 le x le 0 y = cosx ndash 2 le x le 0

y = cosx 2 le x le 4

15deg

1 მO x

y

3

saswavlo davalebebi

1

2

ა) ააგეთ y = sin x ფუნქციის გრაფიკი [0 2] მონაკვეთზე ხუთი ძირითადი წერტილისმიხედვით

ა) ააგეთ y = cos x ფუნქციის გრაფიკი [0 2] მონაკვეთზე ხუთი ძირითადი წერტილისმიხედვით

ბ) [0 2] მონაკვეთზე sin x = ტოლობის დამაკმაყოფილებელი რამდენი x რიცხვიარსებობს

ბ) [0 2] მონაკვეთზე cos x = 06 ტოლობის დამაკმაყოფილებელი რამდენი x რიცხვიარსებობს

13

y = sin x და y = cos x ფუნქციების გრაფიკებზე ერთი წერტილის კოორდინატები იქნააღნიშნული დაწერეთ კიდევ 4 წერტილის კოორდინატები რომელთა ორდინატიმოცემული წერტილის ორდინატის ტოლია

y

x

1

2ndash1

0 2ndash

32

32

ndash

2

ndash2 ( )3

4radic22

y

x

1

2ndash1

232

ndash

ა) ბ)

ndash 32

0

ndash 2

( )radic32

6


nimuSi 2 y = sin 2x ფუნქცია y = sin x ფუნქციას 2-ჯერ ldquoწინ უსწრებსrdquo y = sin xფუნქცია 0-დან 1-მდე მნიშვნელობებს [0 ] ინტერვალში y = sin 2x ფუნქცია კი ამ

მნიშვნელობებს [0 ] ინტერვალში იღებს თუ y = sin x ფუნქციის გრაფიკზე წერტილის

ორდინატის შეუცვლელად აბსცისას -ზე გავამრავლებთ y = sin 2x ფუნქციის გრა-

ფიკზე არსებული წერტილი მიიღება

y = sin 2x ფუნქციის გრაფიკი y = sin x ფუნქციის გრაფიკთან შედარებით 2-ჯერ იკუმ-

შება სრულ ბრუნს [0 ] მონაკვეთზე ასრულებს

y = sin x ფუნქციის გრაფიკი კი y = sin x ფუნქციის გრაფიკის ორდინატთა ღერძიდან

2-ჯერ მოჭერით მიიღება სრულ პერიოდს [0 4] მონაკვეთზე ასრულებს

128

SekumSva da moWera

05 sin x

2 sin x

sin x

2 3ndash ndash2 2

2

1

O

ndash2

ndash1

12

y = sin x

y = sin 2x

y = sin x2

nimuSi 1 თუ y = sinx ფუნქციის გრაფიკზე წერტილის აბსცისას არსებულივითშევინარჩუნებთ ორდინატს 2-ზე გავამრავლებთ y = 2 sin x ფუნქციის გრაფიკზეარსებული წერტილი მიიღება ეს იმას ნიშნავს რომ y = 2 sin x ფუნქციის გრაფიკი y = sinxფუნქციის გრაფიკის აბსცისთა ღერძიდან 2-ჯერ მოჭერით შეიძლება აიგოს y = 05 sin xფუნქციის გრაფიკი კი y = sin x ფუნქციის გრაფიკის აბსცისთა ღერძისკენ 2-ჯერ შეკუმშვითმიიღება


y

x

y = a sin x და y = a cos x ფუნქციების გრაფიკები შესაბამისად y = sin x და y = cos xფუნქციების გრაფიკების როცა |a| gt 1 აბსცისთა ღერძიდან მოჭერით ხოლო როცა |a| lt 1მაშინ კი აბსცისთა ღერძისაკენ შეკუმშვით მიიღებაროცა a lt 0 ფუნქციის გრაფიკი x ღერძის მიმართ სიმეტრიულად გარდაიქმნება

2

4

12

2 42

1

Ondash1

y

x

y = sin bx და y = cos bx ფუნქციების გრაფიკები შესაბამისად y = sin x და y = cos xფუნქციების გრაფიკების როცა b gt 1 ორდინატთა ღერძისაკენ შეკუმშვით როცა 0 lt b lt 1კი ორდინატთა ღერძიდან მოჭერით მიიღებაb lt 0 შემთხვევა კი სინუსის ფუნქციის კენტებისა და კოსინუსის ფუნქციის ლუწობისგათვალისწინებით ზემოთ მოცემულ შემთხვევაზე დაიყვანება

129

by = a sin bx (y = a cos bx) funqciis grafiki y = sin x (y = cos x) funqciisgrafikis sakoordinato RerZebis gaswvriv mimdevrobiTi moWeriTada SekumSviT miRebuli sinusoida iqneba a-ის მნიშვნელობის ზრდისკვალობაზე ამპლიტუდა იზრდება შემცირების კვალობაზე ამპლიტუდა მცირდება b-ისმნიშვნელობის ზრდის კვალობაზე ფუნქციის პერიოდი მცირდება შემცირებისას კიპერიოდი იზრდებაgnimuSi 3 ავაგოთ y = 2 cos x ფუნქციის გრაფიკი1 y = cos x ფუნქციის გრაფიკის ორდინატთა ღერძიდან 2-ჯერ მოჭერითy = cos x ფუნქციის გრაფიკი აიგება2 მოხდება მიღებული გრაფიკის აბსცისთა ღერძიდან ორჯერ მოჭერა

12

12

2 432

1

2

Ondash1ndash2

y

x

y = cos x

y = cos x2

y = 2 cos x2

saswavlo davalebebi

1

სიტყვიერად დაწერეთ თითოეული ფუნქციის y = sin x ფუნქციის გრაფიკის მიმართგარდაქმნა

a) y = 5 sin x b) y = sin x c) y = sin 3x d) y = ndash3 sin 4x

2

ააგეთ y = sin x ფუნქციის გრაფიკი [0 2] მონაკვეთზე ხუთი ძირითადი წერტილისმიხედვით კოორდინატთა ღერძებიდან მოჭერით (შეკუმშვით) ამ ხუთი წერტილისგარდაქმნილი წერტილების მიხედვით გამოსახეთ შესაბამისი ფუნქციების გრაფიკები

25

სიტყვიერად დაწერეთ თითოეული ფუნქციის y = cos x ფუნქციის გრაფიკის მიმართგარდაქმნა

ა) y = 4 cos x ბ) y = cos x გ) y = cos 4x დ) y = ndash4 cos 3x13

3

ა) y = 3 sin x ბ) y = sin x12 გ) y = sin 2x დ) y = 4 sin 2x

ააგეთ y = cos x ფუნქციის გრაფიკი [0 2] მონაკვეთზე ხუთი ძირითადი წერტილისმიხედვით კოორდინატთა ღერძებიდან მოჭერით (შეკუმშვით) ამ ხუთი წერტილისგარდაქმნილი წერტილების მიხედვით გამოსახეთ შესაბამისი ფუნქციების გრაფიკები

4

ა) y = 2 cos x ბ) y = cos x12 გ) y = cos 2x დ) y = 4 cos 2x

რომელი ფუნქციის გრაფიკი მიიღება y = sin x ფუნქციის გრაფიკის

ა) აბცისთა ღერძიდან 4-ჯერ მოჭერისას ბ) აბსცისთა ღერძისაკენ 3-ჯერ შეკუმშვისას

გ) ორდინატთა ღერძიდან 2-ჯერ მოჭერისას

5


130

a amplitudas უჩვენებს ამპლიტუდა მაქსიმუმისა და მინიმუმის მნიშვნელობებისსხვაობის ნახევრის ტოლია

nimuSi y = ndash3sin 4x ფუნქციის ამპლიტუდა |ndash3| ანუ 3 ძირითადი პერიოდი = -ია

y = asin bx da y = acos bx funqciebis periodi da amplituda

24

2

2bf(x) = a sin bx = a sin(bx + 2) = a sin b(x + ) = f(x + )

2b

2|b|

gamokvleva საწყის მომენტში A(a 0) წერტილში მყოფიმატერიალური წერტილი a რადიუსიან წრეწირზე კუთხურისიჩქარით მოძრაობს 1) გამოსახეთ ამ წერტილის კოორდინატები t დროზე დამო-კიდებულებით2) იპოვეთ წერტილის ორდინატისა და აბსცისის უდიდესი დაუმცირესი მნიშვნელობები

y

xA(a 0)

N(x y)

= middott

2

3) დაასაბუთეთ რომ დროის ერთმანეთისაგან განსხვავებულ მომენტებში წერტილი

ერთი და იგივე მდგომარეობაში იმყოფება

თეორემა თუ y = f(x) ფუნქცია არის პერიოდული ფუნქცია რომლის ძირითადი

პერიოდია T მაშინ y = amiddotf(bx) ფუნქცია არის პერიოდული ფუნქცია რომლის ძირითადი

პერიოდია (სადაც a და b ნულისაგან განსხვავებული ნამდვილი რიცხვებია)აქედან მიიღება რომ y = a sin bx (და y = a cosbx) ფუნქციების

ZiriTadi periodi იქნება მართლაც

T|b|

2bg(x) = a cos bx = a cos(bx + 2) = a cos b(x + ) = g(x + )2

b

იპოვეთ მოცემული ფუნქციების ამპლიტუდა და პერიოდი 6

d) y = cos x e) y = sin 2x f) y = 3 cos xg) y = 5 cos x h) y = 2 sin x i) y = sin 4x

12 1

2

14

13

12

ა) ბ) გ)y

x

1

y

x1 2

05y

x

2

ndash2

1) დაწერეთ y = a sin bx (სადაც a gt 0 b gt 0) ფუნქციის ფორმულა მოცემული ამპლი-ტუდისა და პერიოდის მიხედვით

7

ამპლიტუდა ამპლიტუდა 4 ამპლიტუდა 2 პერიოდი 3π პერიოდი π პერიოდი 2π

12

ა) ბ) გ)


131

fizika სურათზე ასახულია ჩამოკიდებული სხეულის მოძრაობა ჩამოკიდებულისხეული უძრავ მდგომარეობაში ყოფნისას სისტემურ წონასწორობაშია სხეულის უძრაობისმდგომარეობა მოძრაობის საწყისად მიიღება a მოძ-რაობის სათავიდან გადაადგილებას უჩვენებს დროისერთეულში ბრუნთა რაოდენობას სიხშირე () ხოლოსხეულის ერთ სრულ ბრუნზე დახარჯულ დროსპერიოდი (T) ეწოდება სიხშირე და პერიოდი ურთი-ერთშებრუნებული სიდიდეებია = ჩამოკიდე-

gamoyenebiTi davalebebi y = sin xda y = cos xfunqciebiT modelireba

1T

t

yandasha

11

ბული სხეულის რხევითი მოძრაობის y = a cos kt ფუნქციით მოდელირება შეიძლებასადაც y წონასწორობის მდგომარეობიდან ვერტიკალურ გადაადგილებას (სმ-ობით) aსათავის გადაადგილებას k მუდმივი გაშლის ელასტიურობის კოეფიციენტს t კი დროს(წამობით) გვიჩვენებს იპოვეთ რხევითი მოძრაობის ამპლიტუდა პერიოდი და სიხშირეთუ a = 05 სმ და k = 5

2) დაწერეთ y = a cos bx (სადაც a gt 0 b gt 0) ფუნქციის ფორმულა მოცემული ამპლი-ტუდისა და პერიოდის მიხედვით

ამპლიტუდა ამპლიტუდა 2 ამპლიტუდა 5

პერიოდი 5π პერიოდი π პერიოდი

13

ა) ბ) გ)2

10 განსაზღვრეთ f(x) და g(x) ფუნქციების ძირითადი პერიოდები იპოვეთ მათი საშუალოპერიოდი

miTiTeba თუ მოცემული ფუნქციების პერიოდები იქნება T1 და T2 საშუალო პერიოდიკი T იპოვეთ T = nT1 = nT2 ტოლობის დამაკმაყოფილებელი უმცირესი ნატურალური mდა n რიცხვები

ა) f(x) = 2 sin

g(x) = 3 cos x

2x312

ბ) f(x) = sin 2x

g(x) = 4 cos 3x

12 გ) f(x) = 3 sin x

g(x) = cos x

13

23

25

დაწერეთ მოცემული გრაფიკის შესაბამისი ფუნქციის ფორმულა y = a cos bx სახით9

დაწერეთ მოცემული გრაფიკის შესაბამისი ფუნქციის ფორმულა y = a sin bx სახით8

ა) ბ)


ა) ბ)

გ)

გ)

8

12 2 08

1 2ndash1

ndash08ndash2

ndash22 4ndash4

ndash9

04

ndash2

2

ndash04

9

ndash4

8

8

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

4

4

ndash12

ndash 4

ndash8

4

2

4

132

karuselis moZraoba კარუსელის რომელ კაბინაშიც არ უნდა იჯდეთ თქვენიმიწიდან დაშორების მანძილი დროზე დამოკიდებულებით პერიოდულად შეიცვლებადავუშვათ მოძრაობას იწყებთ კარუსელის ღერძის დონაზე კარუსელის დიამეტრი 20 მ-ია და 3 წუთში 4 ბრუნს ასრულებს

ა) აბსცისთა ღერძზე დროის ორდინატთა ღერძზე საწყისი წერტილიდან მანძილისაღნიშვნით დახაზეთ კარუსელის მოძრაობის გრაფიკი

ბ) იპოვეთ კარუსელის მოძრაობის შესაბამისი ფუნქციის ძირითადი პერიოდი დადაწერეთ ფორმულა

10

1045 180

t13590

h

ქანქარას მოძრაობის d = 4 cos 8t ფორმულით მოდელირებაშეიძლება სადაც d არის ქანქარის საწყისი მდგომარეობიდანმოძრაობის მანძილი (სმ-ობით) t - დრო (წამობით) მაქსიმუმ რამანძილით დაშორდება ქანქარა საწყის მდგომარეობას იპოვეთქანქარას რხევის პერიოდი და სიხშირე

13

amoxsna სიხშირე ანუ ერთ წუთში პერიოდების რაოდენობა -ია რადგან პერიოდიარის სიხშირის შებრუნებული ამიტომ პერიოდი წუთის -ის ანუ 45 წამის ან 075 წუ-თის ტოლია

34

43

კარუსელის კაბინა საწყისი მდგომარეობიდან 20 2 = 10 ზევით (10) და ქვევით (ndash10)იქნება თუ გავითვალისწინებთ რომ ერთი პერიოდი 45 წამია დავინახავთ რომ ამმოძრაობის გრაფიკი სინუსოიდაა

დავწეროთ ფუნქციის ფორმულაy = a sin bx სახით

ფუნქციის ფორმულა h = 10 sin t სახის იქნება

T = 2b = 45 b = ამპლიტუდა 10 2

b245

245

dადამიანის ყოველი გულისცემის დროსსისხლის წნევა ყველაზე მაღალ და ყველაზედაბალ მნიშვნელობებს შორის იცვლებანორმალური სისხლის წნევის ზედა დონედმედიცინაში სისტოლად წოდებული და 120მმ ვერცხლისწყლის სვეტის ქვედა დონედკი დიასტოლად წოდებული და 80 მმვერცხლისწყლის სვეტის დონეა მიღებულისურათზე მოცემულია ერთი პიროვნებისსისხლის წნევის გრაფიკი

1) გრაფიკის მიხედვით განსაზღვრეთ პერიოდი (ერთი გულისცემისათვის საჭირო დრო)და ამპლიტუდა2) გამოთვალეთ ამ პიროვნების გულისცემის რაოდენობა ერთ წუთში

14

წნევ

ა

დრო (წამობით)

160

120

80

40

08 16 24 320

12y = sin x da y = cos x funqciebis grafikebis gardaqmnebi

133

y = 2 sin x 1 ფუნქციის გრაფიკადგარდაქმნის ნაბიჯები შემდეგია

1 ამპლიტუდა 2-ჯერ იზრდებაy = 2 sin x ფუნქციის გრაფიკი მიიღება

2 ერთი ერთეულით ქვევით მოცურდებადა y = 2 sin x 1 ფუნქციის გრაფიკიმიიღება ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლეიქნება 3 le y le 1

y = a sin bx + d და y = a cos bx + d ფუნქციებში d წევრი ვერტიკალური მიმართულებითმოცურებას გვიჩვენებს როცა d gt 0 მაშინ ფუნქციის გრაფიკი ზევით აცურდება როცაd lt 0 მაშინ ქვევით ჩამოცურდება

nimuSi ააგეთ y = 2 sin x 1 ფუნქციის გრაფიკიamoxsna y = sin x ფუნქციის გრაფიკის

2

2

2

x

y

ndash2

ndash

y = 2 sin x

y = 2 sin x 1

y = 1orta xətt

vertikaluri mocureba

მაქსიმუმი + მინიმუმი2შუახაზი =

მაქსიმუმი = შუახაზი + ამპლიტუდამინიმუმი = შუახაზი ამპლიტუდა

შუახაზი

ამპლ

იტუ

და

ამპლ

იტუ

და

y=2 sin x1 ფუნქციის გრაფიკის y = 1 წრფის მიმართ 2 ერთეულით ზევით და ქვევითცვლილება შესამჩნევია ამ წრფეს შუახაზი ეწოდება

32

2


nimuSi ააგეთ y = cos( x ndash ) ფუნქციის გრაფიკი

y = cos x ფუნქციის გრაფიკის ორდინატთა ღერძთან 2-ჯერ მოჭერისას

y = cos x ფუნქციის გრაფიკი აიგება y = cos x ფუნქციის გრაფიკის

ერთეულით მარჯვნივ მოცურებისას y = cos (x ndash ) ანუ y = cos( x ndash )

ფუნქციის გრაფიკი მიიღება

horizontaluri mocureba - faza

y

x2

0ndash

y = a sinb(x c) y = a cosb(x c) ფუნქციაში c წევრი გრაფიკის ჰორიზონტალურ

მოცურებას უჩვენებს და ფაზური მოცურება ეწოდება12

4

12

1212

2

12

4

2 3 4

y = cos xy = cos x

y = cos( x ndash )

1212

4

1

ndash1

2

134

y = a sin b(x c) + d amplitudazeaxdens gavlenas ZiriTad peri-

odze axdensgavlenas

vertikalur gadaadgilebazeaxdens gavlenas

horizontalur gadaadgilebazeaxdens gavlenas

nimuSi ააგეთ y = 3 cos(2x + ) + 1 ფუნქციის გრაფიკი3

1) y = cos x ფუნქციის გრაფიკისორდინატთა ღერძისაკენ 2-ჯერმოჭერით y = cos 2x ფუნქციისგრაფიკი მიიღება

y3

2

2

y = cos 2x

y = cos x2 3 4

1

ndash10

x

x

y321

2 3 42ndash1

ndash2ndash3

0

52

52

72

32

52

72

3) y = cos(2x + ) ფუნქციის

გრაფიკის ორდინატთა ღერძის

გასწვრივ 3-ჯერ მოჭერით

y = 3 cos(2x + ) ფუნქციის


3

3

y = 3 cos (2x + )3

4) y = 3 cos(2x + )ფუნქციის გრაფიკის

ვერტიკალური მიმართულებით 1

ერთეულით ზევით აცურებით

y = 3 cos(2x + ) + 1ფუნქციის გრაფიკი აიგება

3

3

x

y321

2 3 42ndash1

ndash2ndash3

0 32

52

72


2) y = cos 2x ფუნქციის გრაფიკის

ერთეულით მარცხნივ მოცურე-

ბით y = cos 2(x + ) ანუ

y = cos(2x + ) ფუნქციის


6

6

3

y3

2

2

y = cos 2x

y = cos (2x + )

2 3 4

1

ndash10

x52

52

72

3

135

განსაზღვრეთ რომელი გრაფიკი რომელ ფუნქციას ეკუთვნის18

2) y = ndash3 + cos x 4) y = 1 + 2 cos ( x + ) 6) y = 1 + sin x

1) y = ndash2 + sin(2x + ) 3) y = cos(x + ) 5) y = ndashsin(x + ) 2

2

12

12

მონაცემების მიხედვით ჩაწერეთ ფუნქცია y = a sin b(x c) + d სახით ა) ამპლიტუდა 4 პერიოდი π ფაზური მოცურება ერთეულით მარჯვნივ

ვერტიკალური გადაადგილება 6 ერთეულით ქვევით

ბ) ამპლიტუდა 05 პერიოდი 3 π ფაზური მოცურება ერთეულით მარცხნივ

ვერტიკალური გადაადგილება 2 ერთეულით ზევით

π 4

π 3

19

nargizi karuselze გრაფიკი ნარ-გიზის კარუსელზე ყოფნისას ადგილი-დან სიმაღლის (მეტრობით) დროზე(წამობით) დამოკიდებულებას ასახავს1) იპოვეთ გამოსახული ფუნქციის პერი-ოდი რას გამოსახავს ის2) დაწერეთ ამ ფუნქციის მნიშვნელობათასიმრავლე 3) ნარგიზი 24-30 წამების ინტერვალის რომელ წამზე იქნება 4 მ-ის სიმაღლეზე

დრო (წმ)

სიმა

ღლ

ე (მ

)

642

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220

21

ა) y = 3 cos(x ndash ) + 52

13

16

1 2

17 იპოვეთ ფუნქციების მაქსიმუმები და მინიმუმები დაწერეთ მნიშვნელობათა სიმრავლე

გ) y = cos(x + 50ordm) +

20 სქემატურად გამოსახეთ ფუნქციის გრაფიკი


ბ) y = sin 3x ndash 3

სიტყვიერად დაწერეთ თითოეული ფუნქციის გრაფიკის y = sin x ფუნქციის გრაფიკიმიმართ გარდაქმნა

15

ა) y = sin(x + ) გ) y = 2 sin(x + 60ordm) ndash 4 23

12

4

სიტყვიერად დაწერეთ თითოეული ფუნქციის გრაფიკის y = cos x ფუნქციის გრაფიკისმიმართ გარდაქმნა

16

გ) y = 4 cos(x ndash 15ordm) + 356

6

ბ) y = 3 sin (x ndash )

ა) y = cos(x ndash ) ბ) y = 3 cos(2x + )

a) y = 3 sin(x ndash ) b) y = cos(x + ) + 2 c) y = 2 sin(x + ) + 3π 3

π 4

π 6

y

2ndash

x

y y y

x x

y

x

y

x1

-13

ndash3

21

-1

2

4

ა) ბ) გ)

დ) ე) ვ)

136

x ღერძზე ერთი სრული პერიოდის სიგრძის მონაკვეთი გავყოთ ოთხ ტოლ ნაწილად

რადგან მთელი პერიოდის არის = ამიტომ x1 = 0 წერტილიდან

დაწყებული -მდე მარჯვნივ პერიოდის -ის შესაბამისი x2 = წერტილი შემდეგ

პერიოდის -ის შესაბამისი x3 = წერტილი შემდეგ კიდევ პერიოდის -ის შესა-

ბამისი x4 = და ბოლოს მთელი პერიოდის შესაბამისი x5 = წერტილი ავღნიშნოთ

y = asin bx და y = acosbx ფუნქციების [0 ] ინტერვალში გრაფიკის x-ის 5 მნიშ-

ვნელოვან წერტილში მნიშვნელობის მიხედვით ქვემოთ მოცემულ ნაბიჯებად აგება

შეიძლება1 განისაზღვრება გრაფიკის ამპლიტუდა2 განისაზღვრება ფუნქციის ძირითადი პერიოდი = T

3 [0 T] მონაკვეთი იყოფა 4 ტოლ ნაწილად 0 T4 ხუთი მნიშვნელოვანი წერტილი - x ღერძთან გადაკვეთის წერტილები მაქსიმუმისა დამინიმუმის წერტილებია x-ის აღნიშნული მნიშვნელობებისათვის y-ის მნიშვნელობები

გამოითვლება

5 (x y) წერტილები (5 წერტილი) აღინიშნება საკოორდინატო სიბრტყეზე6 ეს წერტილები შეერთდება მიღებული სინუსოიდის მრუდი შესაბამისი ფუნქციისერთი სრული პერიოდის გრაფიკია ამ გრაფიკის გამეორებით ნებისმიერ მონაკვეთზემოცემული ფუნქციის გრაფიკის აგება შეიძლება

T4

T2

3T4

2|b|

2|b|

მოძრაობისა და მსგავსების გარდაქმნისას მრუდი bdquoფორმასldquo ინარჩუნებს ამიტომაც არა

მხოლოდ სინუსის გრაფიკს არამედ ღერძების გასწვრივ მოჭერის (შეკუმშვის) და

მიმდევრობითი მოძრაობის დახმარებით მიღებულ მრუდსაც ასევე სინუსოიდა ეწოდება

y = asin bx და y = acosbx სახის ფუნქციების თვისებების სინუსის (ან კოსინუსის)

თვისებების ანალოგიურობა ამარტივებს ასეთი ფუნქციების გამოკვლევას პირველ რიგში

მათი პერიოდისა და მნიშვნელობის 0-ის ან plusmna -ს ტოლი წერტილების პოვნაა საჭირო

nimuSi 1 y = cos ფუნქციის გრაფიკი ააგეთ 5 ძირითადი წერტილის მიხედვით

amoxsna ამპლიტუდა a = 1ძირითადი პერიოდი b = T = 2 =

3x2

32

32

14

14

2|b|

43

43

3

3

23

23

3

43x1 = 0

0 + 3

3 +

3+

3+

3

x2 = x5 =x4 =x3 =

14

3

12

23

344

3


137

x-ის აღნიშნულ მნიშვნელობების შესაბამისად გამოვთვალოთ y = cos ფუნქციისმნიშვნელობები1 x = 0 y = 1 (01)2 x = y = cos = cos = 0 ( 0)

3x2

32323232

23

23

23

3

3

3

2

3 x =

4 x =

y = cos = cos = ndash1

43

43

435 x = y = cos = cos2 = 1

y = cos = 0

( ndash1)

( 0)

( 1)

minimumis wertili

maqsimumis wertili

maqsimumis wertili



თუ ამ წერტილებს ავღნიშნავთ საკოორდინატო სიბრტყეზე შევაერთებთ მათ გლუვი

წირით აიგება y = cos ფუნქციის გრაფიკი [0 ] მონაკვეთზე ამ გრაფიკის

აბსცისთა ღერძის გასწვრივ n (n Z) მოცურებით მიიღება y = cos ფუნქციის

გრაფიკი მთელ რიცხვით ღერძზე (სურათზე პუნქტირითაა ნაჩვენები)

43

23

3

3

0

1

ndash1ndash x

y

4

54

4

2

2

34

34

32

2y

x

ndash2

ndashndashndashndash

x-ის [0 ] მონაკვეთის (ერთი პერიოდი) ოთხ ტოლ ნაწილად გამყოფი მნიშვნელო-ბებისათვის ვიპოვოთ ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები და ამის საფუძველზე ავაგოთგრაფიკი

nimuSi 2 ააგეთ y = 2 sin 2x ფუნქციის გრაფიკი amoxsna amplituda a = 2 y-ის მნიშვნელობა ndash2 და 2 შორის შეიცვლება

ZiriTadi periodi T = b = 2 T = 2b

x y = 2 sin 2x

გადაკვეთა 0 0

მაქსიმუმი 2


მინიმუმი ndash2


42

34

3x2

434

33x2

253


138

x-ის ამ მნიშვნელობების y = 3 sin 2(x ) + 2 ფორმულაში გათვალისწინებით ( 2)

( 5) ( 0) ( 1) ( 2) წერტილები განისაზღვრება და

ფუნქციის გრაფიკი აიგება

[ ] ინტერვალის 4 ტოლ ნაწილად დაყოფით საჭიროა

5 ძირითადი წერტილის განსაზღვრა მოცემული ფუნქციის

5 ძირითადი წერტილისათვის x-ის მნიშვნელობები იქნება

y = 3 sin 2(x ) + 2 ფუნქციისათვის

ამპლიტუდა a = 2 პერიოდი მოცურების ფაზა შუახაზი d = 2 მაქსიმუმის მნიშვნელობა d + a = 2 + 3=5 მინიმუმის მნიშვნელობა d a = 2 3 = 1 გან-

საზღვრის არე ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე (x isin R) მნიშვნელობათა სიმრავლე 1 le y le 5

π 3

π 3 π

3

7π 12

7π 12

5π 6

5π 6

13π 12

4π 3

13π 12

4π 3

4π 3

π 3

π 3

π 3

π 3

სადაც საწყისი წერტილსა და ფაზას უჩვენებს yy = 3 sin 2(x ndash ) + 2

x

2

4

6

3

2 30

nimuSi 3 y = 3 sin 2(x ) + 2 ფუნქციის სრული ბრუნის შესაბამისი საწყისი და

ბოლო წერტილების მოძებნისათვის 0 le 2(x ) le 2 უტოლობა ამოიხსნება

0 le x le le x le

π 3 π

3π 3

4π 3

π 3

saswavlo davalebebi


1 ერთი და იგივე კოორდინატთა სისტემაში ააგეთ f(x) და g(x) ფუნქციების გრაფიკებინიმუშის შესაბამისი მნიშვნელობათა ცხრილის შედგენით

a) f(x) = sinx და g(x) = sinx b) f (x) = sin x g(x) = minus3 sin x

c) f (x) = cos x g(x) = 4 cos x

d) f (x) = cos x g(x) = cos x

12

12

ფუნქციები f(x) = sin x g(x) = sin xx ღერძთანგადაკვეთა (0 0) (0 0)

მაქსიმუმი ( 1) ( )x ღერძთანგადაკვეთა ( 0) ( 0)

მინიმუმი ( ndash 1) ( ndash )x ღერძთანგადაკვეთა (2 0) (2 0)

2

2

12

32

32

12

12

f(x) = sin x g(x) = sin x12

x

y1

ndash1 2 3 4

139

5

6

დაწერეთ მოცემული ფუნქციის პერიოდი რადიანებში და გრადუსებში ააგეთგრაფიკები ერთ პერიოდში 5 ძირითადი წერტილის მიხედვით

5 ძირითადი წერტილის მიხედვით ერთი და იმავე კოორდინატთა სისტემაში ააგეთ f(x) და g(x) ფუნქციის გრაფიკები

ა) y = sin 4x ბ) y = sin x გ) y = cos x დ) y = cos 2x12

23

1) f(x) = ndash 2 sin x 2) f(x) = sin x 3) f(x) = 2 cos xg(x) = 4 sin x g(x) = sin g(x) = ndash cos 4xx

3

Ria tipis SekiTxva დაწერეთ ერთი სინუსისა და ერთი კოსინუსის ფორმულარომელთა პერიოდია და ამპლიტუდა 15

1) მოცემული ამპლიტუდისა და პერიოდის მიხედვით დაწერეთ ფუნქციის ფორმულაy = a sin bx სახით და ააგეთ გრაფიკი 5 ძირითადი წერტილის მიხედვით

2) მოცემული ამპლიტუდისა და პერიოდის მიხედვით დაწერეთ ფუნქციის ფორმულაy = a cos bx სახით და ააგეთ გრაფიკი 5 ძირითადი წერტილის მიხედვით

7

82

ამპლიტუდა = 5 პერიოდი = 2 ამპლიტუდა = პერიოდი =

ამპლიტუდა = 25 პერიოდი = 6 ამპლიტუდა = 4 პერიოდი =

32

3

6

ბ)ა)

ბ)ა)

9 განსაზღვრეთ ფუნქციის პერიოდი და ამპლიტუდა ააგეთ გრაფიკი პერიოდის სიგრძისტოლ მონაკვეთზე 5 ძირითადი წერტილის მიხედვით

ა) y = 3 sin( x + ) ndash 2 ბ) y = 2 cos(2x ndash ) + 34

3


12

ა) დაწერეთ y = sin x ფუნქციის [0 2] ინტერვალში მდებარე 5 ძირითადი წერტილისკოორდინატებიბ) ააგეთ y = sin 2x ფუნქციის [0 ] მონაკვეთში გრაფიკი 5 ძირითადი წერტილისმიხედვით უჩვენეთ ზრდისა და კლების შუალედები

3

4 ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი სიგრძით ერთი პერიოდის ტოლ მონაკვეთზე 5 ძირითადიწერტილის განსაზღვრით

გ) y = 3 cos 4xბ) y = 5 sin 2xა) y = sin x14 გ) y = sin 2x1

4

იპოვეთ y = sin bx ფუნქციისათვის b-ს მნიშვნელობა თუ ძირითადი პერიოდი T

ა) ბ) გ) დ) 4 პერიოდის ტოლი სიგრძის [0 T] მონაკვეთი

დაყავით 4 ტოლ ინტერვალად და გამოთვალეთ x-ის ამ მნიშვნელობების შესაბამისი

y-ის მნიშვნელობები

223

43

2

140

1) y = 2 + sin x 2) y = 5 ndash cos x 3) y = ndash2 + cos x4) y = cos(x + ) 5) y = ndashsin(x + ) 6) y = sin(x ndash )7) y = 5 ndash cos(x ndash ) 8) y = ndash2 ndash sin(x ndash ) 9) y = 3 + cos(x + )

ააგეთ ფუნქციების გრაფიკები11

2

4

2

4

B grafiki ანალოგიური წესით ვპოულობთ a = 05

ძირითადი პერიოდია და = ტოლობიდან b = 2

გრაფიკი კოსინუსის ფუნქციის გრაფიკის შესაბამისია ფუნქციის

ფორმულა იქნება y = 05 cos 2x

2|b|

ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით ძირითადი პერიოდისა და ამპლიტუდის განსაზღვრითდაწერეთ ფორმულა y = a sin bx და y = a cos bx სახით

10

A grafiki ჯერ განვსაზღვროთ ამპლიტუდა

რადგან უდიდესი მნიშვნელობა არის 2 უმცირესი

მნიშვნელობა 2 ამიტომ a = = 2პერიოდია 4 რადგან

T = ამიტომ 4 = b = 12

2 (2)2

2|b|

2|b|

A გრაფიკი შეესაბამება სინუსის ფუნქციის გრაფიკს სადაც თუ გავითვალისწინებთ

რომ ამპლიტუდა a = 2 და b = მივიღებთ y = 2 sin x 12

12

y

x

1

ndash2

2 3 4

2

ndash1 0

A

B

დაწერეთ მოცემული გრაფიკის შესაბამისი ფუნქციისფორმულა y = a cos(bx + c) სახით დაწერეთ ფუნქციისგრაფიკის x ღერძის დადებით მიმართულებით კიდევერთი პერიოდით გაგრძელების შესაძლებლობის მომცემი5 წერტილის კოორდინატები

12

x

y12

12

23

53

83

2


nimuSi

-

ა) ბ)

გ) დ)

3

5

ndash3 ndash6

6

ndash2

ndash2

ndash5

2

ndash2

ndash2

2

ndash4

4

ndash

ndash4

ndash4

ndash 2 2 4

4

141


ბუნებაში რეალურ ცხოვრებისეულ სიტუაციებში მრავალი პერი-ოდულად ცვალებადი მოვლენა გვხვდება დედამიწის ბრუნვასეზონების ცვლილება ადამიანის სუნთქვა გულისცემა და სხვამასთან ბევრი ფიზიკური მოვლენის მაგალითად ელექტრულიოპტიკური რხევითი მოძრაობების გამოკვლევაში გამოიყენებაპერიოდული ფუნქციები უმარტივესი რხევითი მოძრაობებიჰარმონიული რხევები y = a sin(bx + c) და y = a cos(bx + c) სახისტრიგონომეტრიული ფუნქციებით გამოისახება

nimuSi 1 biologia ბიოლოგები ცხოველების ფრინველების გამრავლების გა-მოკვლევასა და პროგნოზირებას ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დახმარებითამოდელირებენ განსაზღვრულ პროგნოზებს იძლევიანმეცნიერებმა ერთი და იგივე რეგიონში ბუებისა და თაგვების გამრავლება გამოიკვლიესმათი გამოკვლევის თანახმად ბუების დროზე (თვეობით) დამოკიდებულებით რაოდენობის

B(t) = 1000 + 100 sin ( ) თაგვების რაოდენობის S(t) = 20000 + 4000cos ( )ფუნქციით მოდელირება შეიძლება

ამ გრაფიკებში მოცემული ინფორმაციების თანახმად ბუებისა და მათი საკვებისთაგვების რაოდენობის ცვლილების შესახებ შესაძლებელია მოსაზრების გამოთქმა

ა) ააგეთ ორივე ფუნქციის გრაფიკი

ბ) გამოთქვით მოსაზრება ბუებისა და თაგვების რაოდენობის ცვლილების შესახებ

გ) გამოიკვლიეთ ბუების რაოდენობის თაგვების რაოდენობასთან თანაფარდობისცვლილება დროის მიხედვით

დ) თაგვების სიცოცხლისათვის რომელი დროა ყველაზე ნაკლებად საშიში

t12

t12

amoxsna B(t) = 1000 + 100 sin ( )

ბუების რაოდენობის შესაბამისი ფუნქციის მაქსიმუმი 1100 მინიმუმი 900-ია

ამპლიტუდა 100 ვერტიკალური მოცურება c = 1000 (პირველადი რაოდენობა)შუახაზი = 1000 პერიოდი რადგან b = ამიტომ

S(t) = 20000 + 4000 cos ( )

12

12

2|b|

2 = 24

მაშასადამე ძირითადი პერიოდი 24 თვეა

t12

t12

თაგვების რაოდენობის შესაბამისი ფუნქციის მაქსიმუმია 24 000 მინიმუმია- 16 000

ამპლიტუდა 4000 ვერტიკალური მოცურება c = 20000 (პირველადი რაოდენობა)შუახაზი= 20000 ძირითადი პერიოდი რადგან b = ამიტომ

1212

2|b|

2 = 24

მაშასადამე ამ ფუნქციის ძირითადი პერიოდიც 24 თვეა

142


გ) ცხრილში მოცემულია ყოველ 6 თვეში ბუების რაოდენობისთაგვების რაოდენობასთან არსებული თანაფარდობა

გრაფიკების ერთი და იგივე მასშტაბით აგების შემდეგ მათიშედარება შეიძლება ეს შედარება უჩვენებს რომ ბუებისრაოდენობის გაზრდისას თაგვების რაოდენობა მცირდება დაბუების საკვები-თაგვების რაოდენობა მინიმალური მნიშ-ვნელობას უახლოვდება ბუების რაოდენობის შემცირებისასთაგვების რაოდენობა იწყებს გაზრდას და მაქსიმალურდონეს მათი ყველაზე მცირე რაოდენობით ყოფნისას აღწევენ

დრო ბუ თაგვი შეფარდება

0 1000 24000 0041

6 1100 20000 0055

12 1000 16000 0062

18 900 20000 0045

24 1000 24000 0041

ეს შეფარდება გარკვეული კანონზომიერებით უნდა იცვლებოდეს კანონზომიერებისდანახვისათვის გრაფკალკულატორში შეფარდების შესაბამისი ფუნქციის გრაფიკი ავაგოთქვემოთ მოცემული წესით

გრაფკალკულატორში ფუნქცია y1-ითფუნქცია y2-ით შევიტანოთ დაS(t) = 20000 + 4000 cos ( )t

12

B(t) = 1000 + 100 sin ( )t12

y1

y2y =

Tagvebis gamravleba

B(t)



buebis raodenoba

Tagvebis raodenoba

buebis gamravleba

t

120011001000

900800

6 3018 420

26000240002200020000

1800016000

14000

m(t)

t0

y3 = y1y2

x = 21 702128 y = 24 695395ავაგოთ ფუნქციის გრაფიკი როგორც ხედავთ ამ შემთხვევაში ორი პერიოდული ფუნქციის შეფარდებაც პერიოდულიფუნქცია ხდება

amindis prognozi ცხრილში მოცემული ინფორმაცია უჩვენებს თვეების მიხედ-ვით საშუალო ტემპერატურას იანვარი t=1 თებერვალი t=2 და ა შ აღნიშვნითცხრილის შესაბამისად ააგეთ გრაფიკი ტემპერატურის ცვლილება დაამოდელირეთტრიგონომეტრიული ფუნქციით

1

თვეები იან-ვარი

თებერ-ვალი

მარ-ტი

აპრი-ლი მაისი ივ-

ნისიივ-ლისი

აგვის-ტო

სექტემ-ბერი

ოქტომ-ბერი

ნოემ-ბერი

დეკემ-ბერი

საშუალო ტემ-პერატურა (ordmC) ndash148 ndash127 ndash68 12 92 151 172 151 91 13 ndash67 ndash126

6 3018 42


143

2 janmrTeloba P = 100 ndash 20 cos ფუნქციით წყნარ მდგომარეობაში მყოფიპიროვნების t (წამი) დროის შუალედში არტერიული წნევის განსაზღვრა შეიძლებაა) განსაზღვრეთ ფუნქციის პერიოდიბ) განსაზღვრეთ პიროვნების გულისცემის რაოდენობა 1 წუთში

5t2


კარუსელი მიწის ზედაპირიდან 10 მ სიმაღლეზე მყოფი ღერძის გარშემო ყოველ 3

მოძრაობის დაწყებისას ყველაზე დაბლა მყოფი კაბინის ნებისმიერ წამში მიწისზედაპირიდან სიმაღლის განმსაზღვრელი ფუნქციის ფორმულა

ბ) გუნელი კარუსელის მოძრაობის დაწყებისას ყველაზე ქვედა კაბინაში იყო გან-საზღვრეთ მოძრაობის დაწყებიდამ 25 წუთის შემდეგ გუნელი დედამიწისზედაპირიდან დაახლოებით რა სიმაღლეზე იქნება


დრო0

4 biologia კურდღლების K(t) და ტურების T(t)რაოდენობის მაჩვენებელი მათემატიკური მოდელებია

K(t) = 30000 + 15000 cos და

T(t) = 4000 + 2000 sin ააგეთ ორივე ფუნქცია ერთსა და იმავე საკოორდინატოსისტემაში და სურათზე ნაჩვენები პირობითი დიაგრამაგრაფიკებზე წარმოადგინეთ

t12t

12

ველოსიპედის ღამით სწორ გზაზე მოძრაობის ვიდეოა გადა-ღებული ველოსიპედის საბურავზე მყოფი სინათლის სხვადასხვადროში დედამიწის ზედაპირიდან მანძილი (სიმაღლე) ვიდეოზეგაიზომა და ცხრილი იქნა შედგენილი

ა) ააგეთ ფუნქციის ერთი პერიოდის შესაბამისი გრაფიკიბ) ცხრილის მიხედვით დაამოდელირეთ H-ის t-ზე დამოკიდებულება ტრიგონო-მეტრიული ფუნქციით გ) იპოვეთ ველოსიპედის საბურავის დიამეტრიდ) რა სიჩქარით მოძრაობს ველოსიპედი

5

დრო (t წმ) 01 02 03 04 05 06 07 08 09

სიმაღლე (H სმ) 27 45 54 45 27 18 27 45 54

60 წამში ერთ პერიოდსასრულებს მგზავრებიკარუსელის კაბინებში 2 მსიმაღლეზე ყოფნისასსხდებიან სურათზემოცემული გრაფიკიკარუსელის პირველ 150წამში მოძრაობას ასახავსა) დაწერეთ კარუსელის

2) მობრუნების კუთხის დამამთავრებელი გვერდის ამ მხებთანგადაკვეთის წერტილი აღნიშნეთ K-თი

∆OAK-დან tg = = = AKმახვილი მობრუნების კუთხისათვის tg მნიშვნელობით AKმონაკვეთის სიგრძის ტოლია3) 45ordm-იანი კუთხის დამამთავრებელი გვერდი მხებთან რომელწერტილში იკვეთება

144

რადგან tg 0 = 0 ამიტომ y = tg x ფუნქციის გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე

როცა x ცვლადი -ზე ნაკლებია რაც უფრო უახლოვდება მას tg x იზრდება და +infin-ს

უახლოვდება x = ვერტიკალურ წრფეს ასევე წრფეებს x = ∙(2k + 1) (k Z) წრფე-

ებს y = tg x ფუნქციის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტები ეწოდება

კუთხის ტანგენსის მნიშვნელობა კოორდინატთა სათავისადა ერთეულოვან წრეწირზე მდებარე (cos sin )წერტილებზე გამავალი წრფის კუთხური კოეფიციენტისმნიშვნელობააროგორც სურათიდან ჩანს მხების AQ მონაკვეთის სიგრძე Qწერტილის ორდინატის მნიშვნელობის ტოლია Q წერტილისკოორდინატებია (1 tg ) AQ წრფეს ტანგენსების ღერძიეწოდება

22

2

gamokvleva kuTxis tangensis cvlileba 1) უჯრიან ფურცელზე გაავლეთსაკოორდინატო სიბრტყე და კოორდინატთა სათავეში ცენტრის მქონე ერთეულრადიუსიანი წრეწირი წრეწირზე (10) წერტილში გაავლეთ მხები

5) თუ კუთხე 90ordm-ს უახლოვდება როგორ იცვლება K წერტილის ორდინატი როცა = 90ordm კუთხის დამამთავრებელი გვერდი მხებთან იკვეთება

6) T პერიოდიანი ფუნქციის გამოკვლევისათვის T სიგრძის ინტერვალში მისი ცვლილებისშესწავლა საკმარისია

tg ის ცვლილების რომელ შუალედში შესწავლა იქნებოდა მიზანშეწონილი

7) tg როცა = 90ordm და = ndash90ordm არ არის განსაზღვრული (ndash90ordm 90ordm) შუალედშიგანსაზღვრულია

კუთხის ზომა ndash70deg ndash60deg ndash45deg ndash30deg 0deg 30deg 45deg 60deg 70degმხებზე მყოფი წერტილის

ორდინატი

AKOA

AK1

შეავსეთ ცხრილი და ააგეთ ტანგენსის ფუნქციის გრაფიკი

O

K

x

y

A

4) ტრანსპორტირის დახმარებით გაავლეთ სხვადასხვა ზომის კიდევ რამდენიმე კუთხე დაიპოვეთ მათი მხებთან გადაკვეთის წერტილის ორდინატი

8) y = tg ფუნქციის გრაფიკი ააგეთ გრაფკალკულატორითაც

0A(1 0)

Q(1 tg )P(cos sin)

1 x

y


y = tg x funqcia

145


ერთეულოვანი წრეწირის I მეოთხედი და [0 ) შუალედი დავყოთ 4 ტოლ ნაწილად და

ტანგენსების ღერძზე არსებული მნიშვნელობები შესაბამისი კუთხეების ტანგენსის ტოლი

მონაკვეთები ავაგოთ ტანგენსების წრფეზე მიღებული თითოეული წერტილიდან Oxღერძზე იმ წერტილიდან რომლის აბსცისა შესაბამისი კუთხის მნიშვნელობის ტოლია

აღმართული მართობი მკვეთამდე Ox ღერძის პარალელურად გავავლოთ მიღებული

წერტილები მიმდევრობით გლუვი წირით შევაერთოთ [0 ) შუალედში y = tg xფუნქციის გრაფიკი მიიღება tg(ndashx) = ndash tg x რადგან მიღებული გრაფიკი კოორდინატთა

სათავის მიმართ სიმეტრიული გარდაქმნით (ndash ) ინტერვალში tg x-ის გრაფიკი აიგება

y = tg x არის პერიოდიანი პერიოდული ფუნქციაამიტომაც აგებული გრაფიკის -მდე მარჯვნივ დამარცხნივ გაგრძელებით მიიღება მრუდი რომელსაცტანგენსოიდა ეწოდება

2

2

2

2

0 x

y

8

4

2

38

0 x

y

2

2ndash

ფუნქციის გრაფიკი უწყვეტი მრუდი არაა x-ის -ისა დამისი კენტი ჯერადების შესაბამისი მნიშვნელობებში წყდება ფუნქციას მაქსიმუმი და მინიმუმი არ გააჩნია ფუნქციის მნიშვნელობათა არეა ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე ფუნქციის უმცირესი პერიოდია ფუნქციის გრაფიკი x ღერძს x = n (n Z) წერტილები კვეთს

ფუნქცია + n (n Z) წერტილებში არ არის განსაზღვრული ამ წერტილებში

გამავალი და პუნქტირით გავლებული ხაზები გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტებია

y = tg x ფუნქციის განსაზღვრის არეა x ne + n (n Z) ფუნქცია ორ მეზობელ ასიმპტოტს შორის ზრდადია კენტი ფუნქცია tg (ndashx) = ndash tg x

2

2

4

2

გამოთვალეთ ტანგენსის ფუნქციის თვისებების გამოყენებით

ააგეთ y = tg x ფუნქციის გრაფიკი [ndash2 2] მონაკვეთზე

tg( ndash ) 54tg( ) 11

3tg(ndash )

2

1

ა) ბ) გ)

saswavlo davalebebi

y

x

8642

ndash20

ndash4ndash6ndash8

ndash2 ndash 232

2

2

32

ndash

146

იპოვეთ tg და კუთხის გრადუსული ზომა

saswavlo davalebebi

4

3


y = ctg x ფუნქციის გრაფიკის აგებისათვის გამოვიყენოთctg x = ndash tg(x + ) იგივეობა

1) y = tg x ტანგენსიოდა აბსცისთა ღერძის გასწვრივ -ით მარცხნივ მოცურდება2) მიღებული მრუდი აბსცისთა ღერძის მიმართ სიმეტრიულად აისახება

როგორც გრაფიკიდან ჩანს ტანგენსისა და კო-ტანგენსის ფუნქციების გრაფიკების x ღერძთანგადაკვეთის წერტილებსა (ნულები) და ასიმპ-ტოტებს ადგილები შეუცვლიათ

ZiriTadi Tvisebebi ძირითადი პერიოდია განსაზღვრის არე n-დან (n ნებისმიერი მთელირიცხვია) განსხვავებული ყველა ნამდვილ რიცხვთასიმრავლეა მნიშვნელობათა არე ყველა ნამდვილ რიცხვთასიმრავლეა ორ ასიმპტოტს შორის კლებადი ფუნქციაა კენტი ფუნქციაა ctg (ndashx) = ndash ctg x

1tgx

cos xsin x

2

2

ჩატარებული გამოკვლევების მიხედვით ქვემოთ მოცემულ კითხვებზე გაეცით პასუხი

ა) როცა α = 90deg და α = ndash90deg ტანგენსის ფუნქცია არ არის განსაზღვრული როგორაისახება ეს გრაფიკზებ) ტანგენსის ფუნქციის პერიოდი რამდენი რადიანი ან რამდენი გრადუსია

Q(1 ndashradic3) Q(1 ndashradic3)

y = ctg x

y

x

y =ctg x

ndash

ndash2 2 31

ndash1

2ndash1

1

0ndash 2

y =ctg x

y =ctg x

y =

tg x

y =

tg x

y =

tg x

2

32

32

32

52

2

2

ndash ndash

y

x

x

y

x

y

x

y

x

yQ(11) Q(11)

O 1 1 11

θ θ θθ

ა) ბ) გ) დ)

O OO

ტანგენსის მნიშვნელობა როცა x = n ნულისტოლია კოტანგენსის ფუნქცია კი x-ის ამ მნიშ-ნელობისათვის არ არის განსაზღვრული

ctg x = =

y = ctg x funqcia

147


ააგეთ ფუნქციების გრაფიკები მოთხოვნილ ინტერვალში y = tg x 90deg lt x lt 90deg

y = tg x lt x lt

y = tg x 90deg lt x lt 270degა)

ბ)

გ)

დ)2

y = tg x le x le

6

ა) ცნობილია რომ როცა α = მაშინ tg α 76 ტანგენსის ფუნქციის ძირითადიპერიოდის გამოყენებით დაწერეთ ამ მნიშვნელობის შესაბამისი კუთხის კიდევ 3მნიშვნელობა

1124

ბ) ცნობილია რომ როცა α = 125 მაშინ tg α 3 ტანგენსის ფუნქციის ძირითადიპერიოდის გამოყენებით დაწერეთ ამ მნიშვნელობის შესაბამისი კუთხის კიდევ 3მნიშვნელობა

გ) le x le შუალედში დაწერეთ x-ის ორი ისეთი მნიშვნელობა რომ ამ მნიშვნე-ლობებისათვის y = tg x ფუნქცია არ იყოს განსაზღვრული

7

tg ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით იპოვეთ მისიმოთხოვნილი მნიშვნელობები

5

ა) tg ბ) tg გ) tg(ndash )

დ) tg 0 ე) tg ვ) tg

34

4

74

54

y = tg x ფუნქციის გრაფიკი x-ის 90ordm-თან მიახლოების ნაწილში თითქმის ვერ-ტიკალური წრფის ფორმას იღებს კალკულატორით გამოთვალეთ ქვემოთ მოცემულცხრილებში ტანგენსის მოცემული კუთხეების შესაბამისი მნიშვნელობები კუთხე რაცუფრო უახლოვდება 90ordm-ს როგორ იცვლება ტანგენსის მნიშვნელობა 90ordm-დანდაშორების კვალობაზე როგორ იცვლება

8

tg 895ordm899ordm

89999ordm89999999ordm

tg 905ordm9001ordm

900001ordm90000001ordm

9 თითოეული ფუნქციისათვის ndash2 le x le 2 ინტერვალში იპოვეთ ა) ნულები ბ) ვერტიკალური ასიმპტოტები1) y = tg x 2) y = ctg x

ndash2 le x le 2 შუალედში დაწერეთ x-ის ისეთი სამი მნიშვნელობა რომ ამმნიშვნელობებისათვის არ იყოს განსაზღვრულია) კოტანგენსის ფუნქცია ბ) ტანგენსის ფუნქცია

ააგეთ y = tg x და y = ctg x ფუნქციების გრაფიკები და ამ გრაფიკების მიხედვითგანმარტეთ მათი ლუწ-კენტობა და მოსაზრება უჩვენეთ ალგებრული ჩანაწერებითაც

10

11

32

y

θ

8642

ndash20

ndash4ndash6ndash8

ndash2 ndash 232

2

2

32

ndash

148

tg (x ndash ) ფუნქციის ერთი პერიოდის შესაბამისი შუალედი

ვიპოვოთ ndash lt (x ndash ) lt უტოლობის ამოხსნით

nimuSi 1 ააგეთ y = 3 tg 2x ფუნქციის გრაფიკი

პერიოდი T=

კოორდინატთა სათავესთან უახლოესი ასიმპტოტები

შუა წერტილები

2= b =2 ამიტომ T

b

x = middot ანუ x =

აბსცისთა ღერძთან გადაკვეთის წერტილი (0 0)

12

2

4

x = ndash middot ანუ x = ndash12

2

4

14

2

8

14

2

8

როცა a და b ნულისაგან განსხვავებული ნამდვილი რიცხვებია y = a tg bx ფუნქცი-ის გრაფიკის აგებისათვის საჭიროა ქვემოთ მოცემული ძირითადი მაჩვენებლებისგანსაზღვრა

1 პერიოდი

2 ვერტიკალური ასიმპტოტები x = middot(2n + 1) n Z წრფეებია3 განისაზღვრება x ღერძთან გადაკვეთის წერტილთან ასიმპტოტს შორის მონაკვეთისშუა წერტილი ამ წერტილში y-ის მნიშვნელობა ან a-ს ან კიდევ a-ს ტოლი ხდება მაგალითად y = 4 tg3x ფუნქციის პერიოდია

ასიმპტოტები x = (2n+1) = + n Z წრფეებია

|b|

3

6

2|b|

23

n3

y = a tg bx funqciis grafiki


და

x = middot = x = middot (ndash ) = ndash და გრაფიკზე მათი

შესაბამისი წერტილები ( 3) (ndash 3)8

8

tg x ფუნქციის ერთი პერიოდის x-ის მნიშვნელობებია

ndash lt x lt

4

4

4

2

2

2

2

ააგეთ y = tg (x ndash ) ფუნქციის ერთი პერიოდის გრაფიკი

nimuSi 2

4

4

4

34

2

4

2

2

2ndash + lt x lt ndash + lt x lt

ndash lt (x ndash ) lt

ასიმპტოტები ndash და წერტილებზე გამავალი ვერტიკალური წრფეებია (0 ndash1) და

( 1) მნიშვნელობების გათვალისწინებით სქემატურად ავაგოთ გრაფიკი

4

34

2

x

y

4

4

2

34ndash

მონაკვეთისშუა

წერტილი

პერიოდი

24

4

8

4

y

x

149

ააგეთ ფუნქციების გრაფიკი4

13y = tg (x ndash )

2y = tg (x + )

3y = tg (x ndash )

6y = tg (x + )

შემოღობვის დამცავი უსაფრთხოების კამერა შე-მოღობვის ნახევარზე აღებული წერტილიდან 5მეტრ მანძილზეა დაყენებული კამერა დაკვირვებისერთ სრულ ბრუნს 60 წამში ასრულებსა) ტანგენსის ფუნქციით გამოსახეთ კამერის შემო-ღობვის შუაწერტილიდან დაწყებული შემოღობვისგასწვრივ დაკვირვების d სიგრძის დროზე დამო-კიდებულების ფუნქცია კამერის შემოღობვის შუაწერტილის დაკვირვების დროის დასაწყისად t = 0ჩათვალეთ

16

miTiTeba კამერა ერთი სრული ბრუნისას 360deg-ით ბრუნავს იპოვეთ რამდენიგრადუსით მობრუნდება ერთ წამშიბ) ააგეთ ამ ფუნქციის გრაფიკი ndash15 le t le 15 ინტერვალშიგ) შემოღობილის რა ნაწილზე იქნება განხორციელებული დაკვირვება როცა t = 10წამსდ) რა მოხდება როცა t = 15 წამს

იპოვეთ ფუნქციების ასიმპტოტები ნულები და შუაწერტილები

y = 2tg x y = tg 2 xy = 3 tg x 13

12ა) ბ) გ)

ა) ბ) გ)y = ctg x y = ndashctg xy = ctg (x + )2

რომელი გრაფიკი რომელ ფუნქციას შეესაბამება14

კიბე კედლიდან 3 მ-ის მოშორებით იატაკთან α კუთხისშექმნით კედელზეა მიყუდებული კიბე კედლის h მეტრსიმაღლემდე აღწევს

ა) ტანგენსის ფუნქციის დახმარებით დაწერეთ დამოკი-დებულება h-სა და α კუთხეს შორის

ბ) ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი 0deg le α le 70deg ინტერვალში

გ) როგორ იცვლება h სიმაღლე α კუთხის ზრდისას

დ) რა ხდება მაშინ როცა α = 90deg

15

kedeliSemoRobvis nax-evris maCvenebeli

wertili

usafrTxoebiskamera

d

5 m


1) 2) 3)y

x

y

x

y

ndash ndash

150

არკსინუსის დახმარებით [ndash1 1] მონაკვეთზე განსაზღვრული მნიშვნელობათა სიმრავლის

[ndash ] მქონე ფუნქციის განსაზღვრა შეიძლება ეს ფუნქცია აღინიშნება როგორც y = arcsin x2

2

თუმცა [ndash ] მონაკვეთზე y = sin x ზრდადია და იღებს ndash1-დან 1-მდე ყველა

მნიშვნელობას თანაც თითოეულ მნიშვნელობას არგუმენტის მხოლოდ ერთი მნიშ-

ვნელობისათვის იღებს მაშასადამე [ndash ] მონაკვეთზე sin x ფუნქცია შექცევადია და

როცა a le 1 მაშინ sin x = a განტოლებას [ndash ] მონაკვეთზე ერთადერთი ფესვი აქვს

[ndash ] შუალედიდან აღებულ ისეთ კუთხეს რომ-

ლის სინუსი a-ს ტოლია a რიცხვის არკსინუსი ეწო-

დება და ასე აღინიშნება arcsin a x = arcsin a ტოლობა ორი პირობის ეკვივალენტურია

1) ndash le x le 2) sin x = a

nimuSebi arcsin = რადგან sin = და [ndash ]arcsin(ndash ) = ndash რადგან sin(ndash ) = ndash და ndash [ndash ]

განსაზღვრების თანახმად sin(arcsin a) = aშეიძლება იმის ჩვენება რომ arcsin(ndasha) = ndash arcsin a

0 y = sin x

y = a

x

y

2

2

2

22

2

2

2

12

121

212

6

6

6

2

2

66

6

2

2

2

2

x

ndash1

1

2

ndash 2

y = sin x

0 arcsin a

a

y

Seqceuli trigonometriuli funqciebiაბსცისთა ღერძის პარალელური წრფესინუსოიდას უსასრულო რაოდენობისწერტილში გადაკვეთს ეს იმას ნიშნავსრომ რიცხვით ღერძზე y = sin x ფუნქციასშექცეული ფუნქცია არა აქვს

ანალოგიური წესით შეიძლება იმის ჩვენება რომ მთელ რიცხვით ღერძზე y = cos xფუნქციას შექცეული ფუნქცია არა აქვს თუმცა [0 ] მონაკვეთზე y = cos x მცირდება და[ndash1 1] მონაკვეთში შემავალ ყველა მნიშვნელობას იღებს ანუ [0 ] მონაკვეთზე y = cosx ფუნქცია შექცევადია და როცა a le 1 მაშინ cos x = a განტოლებას [0 ] მონაკვეთზეერთადერთი ფესვი აქვს

[0 ] Sualedidan aRebul iseT kuTxes romlis

kosinusi a-s tolia a ricxvis arkkosinusi

ewodeba da ase aRiniSneba arccos ax = arccos a ტოლობა ორი პირობის ეკვივალენტურია

1) 0 le x le 2) cos x = ax

ndash1

1 y = cos x

0 arccos a

a

y

y = sin x ფუნქციის [ndash ] შუალედში მოცემული

გრაფიკის y = x წრფის მიმართ სიმეტრიული გარდაქმნით

y = arcsin x ფუნქციის გრაფიკი მიიღება y = arcsin xფუნქციის განსაზღვრის არე [ndash 1 1] მნიშვნელობათა

სიმრავლე [ndash ] იქნება

2

2

2

ndash 2

xy = sin x

0

1

ndash1

y

1ndash1

y = arcsin xy = x

2

ndash 2

y = arcsin x ფუნქცია y = sinndash1x სახითაც აღინიშნება

2

2

151


(ndash ) შუალედიდან აღებულ ისეთ კუთხეს რომლის ტანგენსიa-ს ტოლია a-ს არკტანგენსი ეწოდება და ასე აღინიშნება arctg a arctg a = x ტოლობა ორი პირობის ეკვივალენტურია

1) ndash lt x lt 2) tg x = a x0 arctg a

a

y

2ndash

2

2

2

2

2

nimuSebi arctg radic3 = რადგან tg = radic3 და ndash lt lt 3

3

3

2

2

arctg(ndash1) = ndash რადგან tg(ndash ) = ndash1 და ndash lt ndash lt განსაზღვრების თანახმად tg(arctg a) = aშეიძლება იმის ჩვენება რომ arctg(ndasha) = ndash arctg a

4

4

4

2

2

[ndash1 1] მონაკვეთზე განსაზღვრული y = arccos x ფუნქცია [0 ] მონაკვეთზე განსაზღვრულიy = cos x ფუნქციის შექცეული ფუნქციაა

y = arccos x ფუნქცია y = cosndash1x სახითაც იწერება

y = cos x ფუნქციის [0 ] მონაკვეთზე მოცემული გრაფიკის

y = x წრფის მიმართ სიმეტრიული გარდაქმნით

y = arccos x ფუნქციის გრაფიკი მიიღება2

y = cos x

x

1

ndash1

y

1ndash1

y=

arcc

os x

y = x2

y = tg x ფუნქცია (ndash ) შუალედში ზრდადია და (ndash +) შუალედიდან ყველა

მნიშვნელობას იღებს ამიტომაც ნებისმიერი a რიცხვისათვის tg x = a განტოლებას

(ndash ) შუალედში ერთადერთი ფესვი აქვს

2

2

2

2

y = arctg x ფუნქცია (ndash ) შუალედში

y = tg x ფუნქციის შექცეულია

2

2

y = tg x ფუნქციის (ndash ) შუალედში მოცემული

გრაფიკის y = x წრფის მიმართ სიმეტრიული

გარდაქმნისას y = arctg x ფუნქციის გრაფიკი მიიღება

y = arctg x

x

2

ndash 2

y2

2

O

y = და y = ndash წრფეები y = arctg xფუნქციის ჰორიზონტალური ასიმპტოტებია

2

2

nimuSebi arccos = რადგან cos = და [0 ]arccos(ndash ) = რადგან cos = cos( ndash ) = ndash cos = ndash და [0 ]განსაზღვრების თანახმად cos(arccos a) = aშეიძლება იმის ჩვენება რომ arccos(ndasha) = ndash arccos a

32

3

12

3

12

31

223

12

23

3

3

y = arccos x ფუნქციის განსაზღვრის არე [ndash 1 1]მნიშვნელობათა სიმრავლე [0 ] იქნება

152


saswavlo davalebebi

იპოვეთ t კუთხე რომელიც მოცემულ ტოლობას აკმაყოფილებს და მოცემულ შუა-ლედში მდებარეობს

1

ა) sin t = [ndash ] ბ) sin t = ndash [ndash ]

გ) cos t = [0 ] დ) cos t = ndash [0 ]

ე) tg t = (ndash ) ვ) ctg t = ndash1 (0 )

2

radic32

radic22

2

2

2

radic32

radic22

radic33

2

2

x0

arcctg aa

yმსგავსი წესით ხდება არკკოტანგენსის ცნების შემოტანა

(0 ) შუალედიდან აღებულ ისეთ რიცხვს რომლისკოტანგენსი a-ს ტოლია a-ს არკკოტანგენსი ეწოდება და ასეაღინიშნება arcctg a arcctg a = x ტოლობა ორი პირობის ეკვივალენტურია

1) 0 lt x lt 2) ctg x = a

nimuSebi arcctg 1 = რადგან ctg = 1 და (0 )arcctg(ndash1) = რადგან ctg = ctg( ndash ) = ndashcos = ndash1 და (0 )განსაზღვრების თანახმად ctg(arcctg a) = aშეიძლება იმის ჩვენება რომ arcctg(ndasha) = ndash arcctg a

34

4

4

43

434

4

4

y = arcctg x ფუნქცია (0 ) შუალედში y = ctg x ფუნქციის შექცეულია

y = arcctg x

x

2

y

0y = arctg x ფუნქცია y = tgndash1x სახით y = arcctg x ფუნქცია კი y = ctgndash1x სახითაცაღინიშნება

y = ctg x ფუნქციის (0 ) შუალედში მოცემულიგრაფიკის y = x წრფის მიმართ სიმეტრიული გარდაქ-მნით y = arcctg x ფუნქციის გრაფიკი მიიღება აბს-ცისთა ღერძი და y = წრფე y = arcctg x ფუნქციისჰორიზონტალური ასიმპტოტებია

კალკულატორებზე არ არის გათვალისწინებული ctg-1x sec-1x და cosec-1x ღილაკები

რადგან ამ ფუნქციების tg-1x cos-1x და sin-1x ფუნქციების დახმარებით გამოსახვა

შესაძლებელია მაგალითად y = sec-1x კი მაშასადამე secy = x და ეს ფუნქცია კოსინუსით

შეიძლება გამოვსახოთ = x სადაც

მაშასადამე ჩვენ y = sec-1xის გამოთვლისათვის - უნდა გამოვთვალოთ

1cos y

1xcosy = y = cos-1

y = cos-1

miaqcieT yuradReba sin1x 1sinx

ar niSnavs

1x

1x

153

მონაცემების მიხედვით იპოვეთ კუთხე

3 კალკულატორის დახმარებით გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა შედეგებიდაამრგვალეთ მეასედებამდე

4

9

24

3 3

4

4 7 2 radic3

ა) ბ) გ) დ)

ა) tgndash1 39 ბ) cosndash1 024 გ) sinndash1 024 დ) sinndash1 075 ე) sinndash1 (ndash04) ვ) cosndash1 (ndash06) ზ) tgndash1 (ndash02) თ) tgndash1 225

α კუთხის რა მნიშვნელობისათვის არის მოცემული ტოლობა მართებული გამოთ-ვალეთ კალკულატორის დახმარებით

ა) sin = ndash035 180ordm lt lt 270ordm გ) tg = 24 180ordm lt lt 270ordmბ) cos = 043 270ordm lt lt 360ordm დ) sin = 08 90ordm lt lt 180ordm

8 მოცემული დამოკიდებულების მიხედვით იპოვეთ კუთხე

ა) sin = 90ordm lt lt 180ordm დ) tg = 1 180ordm lt lt 270ordm

ბ) sin = ndash 180ordm lt lt 270ordm ე) tg = ndashradic3 270ordm lt lt 360ordm

გ) cos = ndash 180ordm lt lt 270ordm ვ) ctg = 1 180ordm lt lt 270ordm

radic22

12

12

2 გამოთვალეთ და წარმოადგინეთ პასუხი რადიანებში და გრადუსებში

arcsin

arcsin

arcsin(ndash )

arccos

arccos 0

arccos(ndash )

arctg radic3arctg 1arctg(ndashradic3)arctg(ndash1)

arcctg radic3arcctgarcctg(ndashradic3)arcctg 0

radic22radic3212

radic32

radic32

radic33


7 გამოთვალეთა) cos(arcsin ) ბ) sin(arccos(ndash )) გ) tg(2middotarctg radic3)

დ) ctg(2middotarcsin ) ე) sin(2middotarcsin ) ვ) cos(3middotarccos )

12

radic22

radic22

12

radic22


ა) arcsin 0 + arcsin 1 ბ) arccos(ndash1) ndash arccos 0გ) arcsin(ndash ) + arcsin დ) arctg(ndash1) + arcctg(ndash1)

6

radic32

radic22

შეამოწმეთ ამოხსნის სისწორე

ა) arcsin + arccos = ბ) arctg radic3 + arcctg radic3 = 2

radic32

radic32

2

154

ძრავიანი სათამაშო თვითმფრინავი 4 მ სიმაღლეზე დაფრინავსა) დაწერეთ დამკვირვებლიდან თვითმფრინავამდე არსებული მან-ძილი ამაღლების კუთხეზე დამოკიდებულების მაჩვენებელიფუნქციაბ) რამდენი გრადუსი იქნება კუთხე როცა დამკვირვებელსა დათვითმფრინავს შორის მანძილი 25 მ-ია

11

დამკვირვებელი

4 მ

x


დიდ მდინარეებზე ხიდების მშენებლობის დროს გემების გავლის უზრუნველსაყოფადგამოიყენება მათი ისეთი კონსტრუქცია რომ მოხდესმათი გახსნა და დახურვა მდინარეზე გადებულიასეთი ხიდის თითოეული ფრთის სიგრძე 40 მ-ია 20 მ სიგრძის მქონე გემის შეუფერხებლად გავ-ლისათვის ხიდის ფრთები სულ მცირე რამდენგრადუსიანი კუთხით უნდა აიწიოს 20 მ

40 მ 40 მ

12


ა) arcsin(sin ) ბ) arccos(cos ) გ) arctg(tg )3

6

6

nimuSi იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა sin(2middotarcsin )

დავუშვათ arcsin = მაშასადამე sin = და [ndash ] მართკუთხა

სამკუთხედში რომლის მახვილი კუთხის სინუსი არის ვიპოვოთ კუთხის მიმდებარე კათეტი

b = radic 52 ndash 32 = 4 აქედან მიიღება cos = აღნიშვნების

გათვალისწინებით შეგვიძლია ჩავწეროთ

sin(2middotarcsin ) = sin 2 = 2 sin middot cos = 2 middot middot =

5 3

b

353

535

2

23

5 45

35

35

45

2425


ა) sin(arccos ) ბ) cos(arcsin( ))

გ) sin(2middotarccos ) დ) cos(2middotarccos )

ე) cos(arcsin ndash arccos ) ვ) sin(arccos + arcsin )

35

45

35

1213

513

35

513

35

10

14 arcsin(sin ) გამოსახულების მნიშვნელობა ენვერმა და ლალემ ქვემოთ მოცემულისახით გამოთვალეს

ენვერი arcsin(sin ) =

ლალე arcsin(sin ) = arcsin(sin( ndash )) = arcsin(sin ) =ვინ სწორად იპოვა მოცემული გამოსახულების მნიშვნელობა პასუხი დაასაბუთეთ

23

23

23

23

3

3

3

15ა) arcsin(sin ) ბ) arccos(cos ) გ) arctg(tg )

იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა76

43

23


ა) sin(arcsin + arccos ) ბ) ctg(arcsin + arccos )

155

6


ა) გრაფიკი შეუსაბამეთ y = 2sin 3x ფუნქციის გრაფიკს თუ Aწერტილის კოორდინატები იქნება (0 0) იპოვეთ B C D E და Fწერტილების კოორდინატებიბ) გრაფიკი შეუსაბამეთ y = 3cos 2x ფუნქციის გრაფიკს თუ Aწერტილის კოორდინატები იქნება (0 3) იპოვეთ B C D E და Fწერტილების კოორდინატები

გ) გრაფიკი შეუსაბამეთ y = sin x ფუნქციის გრაფიკს თუ Aწერტილის კოორდინატები იქნება (2 0)იპოვეთ B C D E და F წერტილებისკოორდინატები

12

C

B F

EA

D

x

1 გრაფიკზე აღნიშნული წერტილები უჩვენებს x ღერძთან გადაკვეთის წერტილებსმაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს

დაწერეთ ორი სხვადასხვა სინუსისა და კოსინუსის ფუნქცია ისე რომ განსაზღვრის არეიყოს ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე x | x isin R ხოლო მნიშვნელობათა სიმრავლე[ndash3 3] მონაკვეთი

იპოვეთ ფუნქციის პერიოდი და ააგეთ გრაფიკი

2

3

1) y = 6 sin x 2) y = 3 cos x12

23

12

5

დ) თუ 0 le θ le მაშინ წყარო დაფის რა უდიდეს ნაწილს აშუქებს49

10 მ მანძილზე დაყენებული წყაროდან შენობაზემიკრული სარეკლამო ბანერის გაშუქება ხდებაა) ტრიგონომეტრიული ფუნქციით გამოსახეთ a მან-ძილის θ კუთხეზე დამოკიდებულებაბ) შეიტანეთ ცხრილში a-ს მნიშვნელობები მეათე-დებამდე დამრგვალებითგ) როგორც ცხრილიდან ჩანს θ-ს მნიშვნელობებიტოლი ნაბიჯებით იზრდებაშეიძლება თუ არა ითქვას იგივე a-ს მნიშვნელობებისშესახებ

4

a

29

18

9

6

10 მ

a

45

45

12

12

3) y = ctg 2x 4) 2y = tg x

ა) სინუსოიდის მინიმუმი (18 44) მაქსიმუმი (30 68) წერტილში მდებარეობს იპოვეთამ ფუნქციის ამპლიტუდა

ბ) ერთი პერიოდის განმავლობაში სინუსოიდა მაქსიმუმს (4 12) წერტილში მინიმუმსკი (12 ndash2) წერტილში იღებს იპოვეთ ამ ფუნქციის პერიოდი

გ) პერიოდის სიგრძის ტოლ მონაკვეთზე სინუსოიდის მაქსიმუმი (π7) მინიმუმი კი

( 3) წერტილში მდებარეობს დაწერეთ ამ ფუნქციის ფორმულა y = a sin bx სახითπ 2

156

7 კარუსელზე მყოფი მწვანე შუქის ბრუნის ცენტრის მიმართნებისმიერ მომენტში მიწის ზედაპირიდან მანძილი დაამო-დელირეთ სინუსის ფუნქციით ჩათვალეთ რომ როცა t = 0მწვანე შუქი ყველაზე დაბალ წერტილში იმყოფება კარუ-სელი ერთ სრულ ბრუნს 100 წამში ასრულებს

მწვანეშუქი

10 მ

2 მ

9

ტალღის აწევა-დაწევის შედეგად გემის ადგილმონაც-ვლეობის (მეტრობით) d = 06 sin πt ფუნქციით მოდე-ლირება შეიძლება სადაც t არის დრო (წამობით) უჩვენეთამ ფუნქციის პერიოდი და ამპლიტუდადახაზეთ ამფუნქციის გრაფიკი

temperaturis cvlileba სამხრეთ აფრიკის ქვეყნების კლიმატი ტროპიკულიდა სუბტროპიკული კლიმატია დედამიწის ამ ნაწილში იანვარ-მარტი ზაფხულისხოლო ივლის-აგვისტო ზამთრის თვეებია ცხრილში სამხრეთ აფრიკაში მდებარე ქალაქკეიპ ტაუნის (Cape Town) ერთი წლის განმავლობაში თვეების მიხედვით მაქსიმალურიტემპერატურაა მოცემული

ჰორიზონტალურ ღერძზე იანვარი t = 1 თებერვალი t = 2 და ა შ თვეების აღნიშვნითვერტიკალურ ღერძზე კი ტემპერატურის აღნიშვნით გრაფიკია აგებული ცხრილი და გრაფიკი გადაი-ტანეთ რვეულში კიდევ 12 თვისათვის განაგრძეთ ეს ცხრილი თუ ცნობილია რომ იანვრის თვიდან დაწყებული თვიური საშუალო ტემპერატურა სა-ვარაუდოდ კვლავ 12 თვეში ერთხელ მეორდება

თვეები იანვ თებ მარტ აპრ მაისი ივნ ივლ აგვის სექტ ოქტ ნოემბ დეკემბტემპერა-ტურა (ordmC) 28 27 25 22 18 16 15 16 18 21 24 261

212

t ( თვეები)

302010

3 96 12

T (ordmC)

(10 21 )12

იანვარი იანვარი

8

Ria tipis SekiTxva დაწერეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქცია რომლის

ამპლიტუდაა პერიოდია და ააგეთ მისი გრაფიკი12

11

10


wylis siRrme ცხრილში მოცემული ინფორმაციაშუაღამიდან შუადღემდე ზღვის საბანაო ნაწილშიწყლის სიღრმის ცვლილების შესახებ

ა) დაამოდელირეთ წყლის სიღრმის ცვლილება y = d + a cos(bt + c) ფორმულის გამოყენებით

ბ) როგორ შეიცვალა სიღრმე დილის 7 საათიდან 9საათამდე

დრო t სიღრმე yშუაღამე 320200 90400 1190600 90800 321000 03

შუადღე 32

157

mravalwaxnagebi6mravalwaxnagebiprizmebimravalwaxnagebi da maTi xedebi sxvadasxvamxridanprizmis zedapiris farTobiprizmis sibrtyiTi kveTebipiramida piramidis gverdiTi zedapirisada sruli zedapiris farTobipiramidis kveTebi wakveTili piramida

158

mravalwaxnagebi

ცნობილია რომ სიბრტყეებს სივრცეში სხვადასხვა ურთიერთმდებარეობა უკავიათ

სიბრტყეთა სხვადასხვა ურთიერთმდებარეობა მრავალწახნაგებად წოდებულ სივრცითფიგურებს (სხეულებს ) ქმნის

მკვეთი სიბრტყეები სამ და უფრო მეტ სიბრტყეს შეიძლებამხოლოდ ერთი საერთო წერტილიჰქონდეს

არამკვეთისიბრტყეები

l

A

= l = A

მრავალწახნაგა არის სხეული რომლის ზედაპირი სასრული რაოდენობის სიბრტყითიფიგურებისაგან- მრავალკუთხედებისაგან არის შემდგარი მრავალწახნაგას შემომსაზღვრელმრავალკუთხედებს მისი წახნაგები ეწოდება მრავალწახნაგას აქვს არანაკლებ 4 წახნაგისაწახნაგების გადაკვეთის წრფეთა მონაკვეთებს წიბოები ხოლო წიბოების გადაკვეთისწერტილებს წვეროები ეწოდება მრავალწახნაგას ზედაპირის შემდგენი მეზობელი მრა-ვალკუთხედები ერთ სიბრტყეზე არ მდებარეობენ სამი და უფრო მეტი წახნაგის საერთოწერტილი წვეროს წერტილი იქნება პრიზმა არის მრავალწახნაგა რომელსაც ფუძეებად წოდებუ-ლი ორი წახნაგი აქვს პარალელური და კონგრუენტული მრა-ვალკუთხედი დანარჩენი წახნაგები კი პარალელოგრამებია პირამიდა არის მრავალწახნაგა რომლის ფუძე არის მრა-ვალკუთხედი ხოლო გვერდითი წახნაგები კი საერთო წვეროსმქონე სამკუთხედებია

პრიზმისა და პირამიდის სახელს ფუძეში მყოფი მრავალკუთხედის სახელი განსაზღვრავს

samkuTxaprizma

marTkuTxaparalelepipedi

xuTkuTxaprizma

eqvskuTxaprizma

samkuTxapiramida

oTxkuTxapiramida

xuTkuTxapiramida

eqvskuTxapiramida

მრავალწახნაგები ორ სახედ იყოფა ამოზნექილი და ჩაზნექილი მრავალწახნაგას ამოზნექილიეწოდება თუ იგი მისი შემომსაზღვრელი თითოეული სიბრტყის ერთ მხარეზე ძევს ამოზ-ნექილი მრავალწახნაგას ნებისმიერი ორი წერტილის შემაერთებელი მონაკვეთი მის შიგა არესეკუთვნის A და B ამოზნექილი C და D ფიგურები ჩაზნექილი მრავალწახნაგებია

ფუძე

ფუძე

A B C D

159

mravalwaxnagebi

წესიერი მრავალწახნაგა ეწოდება მრავალწახნაგას რომლის ყველა წახნაგი კონგრუენტულიწესიერი მრავალკუთხედია და თითოეული წვეროდან ერთი და იგივე რაოდენობის წიბოგამოდის ამ ფიგურებს პლატონურ ფიგურებსაც უწოდებენ მაგალითად კუბი წესიერიმრავალწახნაგაა პლატონური ფიგურები ხუთი სახისაა ტეტრაედრი ოქტაედრიდოდეკაედრი კუბი იკოსაედრი

აქვს 4 წახნა-გი თითო-ეული ტოლ-გვერდა სამ-კუთხედია


აქვს 12 წახნაგითითოეული წე-სიერი ხუთ-კუთხედია

აქვს 6 წახნაგითითოეულიკვადრატია


წესიერი დოდეკაედრიწესიერი ტეტრაედრი წესიერი ოქტაედრიკუბი

რომელ ფიგურებს შეიძლება ეწოდოს მრავალწახნაგა1

განსაზღვრეთ თითოეული მრავალწახნაგას წახნაგები წვეროები და წიბოები2ა)

ა)

ბ)

ბ)

გ)

გ)

დ)

დ) ე) ვ) ზ)

მრავალწახნაგა წახნაგისფორმა

წახნაგი(F)

წვერო(V)

წიბო(E)

ტეტრაედრიკუბიოქტაედრიდოდეკაედრიიკოსაედრი

3

4

a0

a0

a0

რატომ არსებობს პლატონური ფიგურების მხოლოდ 5 სახე ამ კითხვაზეპასუხის გასაცემად მიაქციეთ ყურადღება იმას თუ ერთ წვეროში მკვეთისამი მრავალკუთხედის ამ წვეროში მდებარე კუთხეების ჯამი მრავალ-წახნაგას შემდგენი ფიგურების სახეზე დამოკიდებულებით როგორიცვლება ეს ჯამი მაქსიმუმ რამდენი გრადუსი შეიძლება იყოს თუმრავალწახნაგის შემდგენი მრავალკუთხედები იქნება ექვსკუთხა რამდენიგრადუსი იქნება საერთო წვეროს მქონე კუთხეების ჯამი

შეავსეთ ცხრილი რვეულში ნების-მიერი მრავალწახნაგას წახნაგებსწიბოებსა და წვეროებს შორის კავ-შირი გამოისახება ეილერის ფორ-მულით F + V ndash E = 2 სადაც F (fase) წახნაგების V (vertex) წვე-როების E (edges) წიბოების რაო-დენობას გვიჩვენებს შეამოწმეთ ეილერის ფორმულა

წესიერი იკოსაედრი

160

prizmebi

მართი პრიზმის ყველა გვერდითი წახნაგი მართკუთხედიამართ პრიზმას რომლის ფუძეც წესიერი მრავალკუთხედია წესიერი პრიზმა ეწოდება

პარალელურ სიბრტყეებში მდებარე და პარალელური გადატანისას ერთმანეთთანთავსებადი ორი კონგრუენტული მრავალკუთხედისა და ამ მრავალკუთხედებისშესაბამისი წერტილების შემაერთებელი ყველა პარალელური მონაკვეთისაგან შემდგარფიგურას პრიზმა ეწოდება მრავალკუთხედებს prizmis fuZeebi ფუძეების შესაბამისიწვეროების შემაერთებელ მონაკვეთებს gverdiTi wiboebi ეწოდებაგვერდით წიბოებზე გამავალი სიბრტყის ნაწილებს prizmis gverdiTi waxnagebiეწოდება პრიზმის გვერდითი წახნაგები პარალელოგრამებია ამ პარალელოგრამებიდანთითოეულის ორი გვერდი ფუძეების შესაბამისი გვერდებია ხოლო დანარჩენი ორიგვერდი კი შესაბამისი გვერდითი წიბოებიაისეთ პრიზმას რომლის გვერდითი წიბოები ფუძის სიბრტყის მართობულია marTiprizma ეწოდება ხოლო არამართობულს კი daxrili prizma ეწოდება

prizmis ZiriTadi elementebi



ფუძე

ფუძე

marTi prizma daxrili prizma

ფუძე

ფუძე



ბ) DEFG DEFGა) ∆ ABC ∆ ABC

A

A1

B1

C1

D1

D1 C1

A1 B1

E1

G1

F1

P1

BC P E

D

D

A B

C

FG

h

თუ პრიზმის ფუძეები n-კუთხედია მაშინ მას n-კუთხა პრიზმა ეწოდება პრიზმას რომლის ფუძეც პარალელოგრამია პარალელეპიპედი ეწოდება პარალელე-პიპედის მოპირდაპირე წახნაგები პარალელურია დაკონგრუენტულია მართ პარალელეპიპედს რომლის ფუძეცმართკუთხედია მართკუთხა პარალელეპიპედი ეწოდებასურათზე ABCDAprimeBprimeCprimeDprime მართკუთხა პარალელეპიპედიამართკუთხა პარალელეპიპედის ერთი წვეროდან გამოსულიწიბოს სიგრძეებს მისი განზომილებები ეწოდება

A ab

c B C

D

A1

B1 C1

D1

მართი სამკუთხაფუძეებიანი პრიზმა

ოთხკუთხა ფუძეებიანიდახრილი პრიზმა

იზომეტრიულ წერტილოვან ფურცელზე მოცემულ ნაბიჯებად ააგეთ 532 ზომისმართკუთხა პარალელეპიპედი

პრიზმის წვერო - შეარჩიეთერთი წერტილი ამ წერტი-ლიდან გაავლეთ მონაკვე-თები 2 ერთეულით ქვევით 5 ერთეულით მარცხნივ 3ერთეულით მარჯვნივ

დახაზეთ პარალელო-გრამი რომელიც პრიზ-მის ზედა ფუძეს უჩვე-ნებს

მონაკვეთის ბოლოებიმიმდევრობით შეაერ-თეთ არ დაგავიწყდეთწიბოები რომლებიც არჩანს დახაზეთ წყვეტი-ლი ხაზებით

პარალელოგრამის თითოეულიწვეროდან გაავლეთ 2 ერთე-ულის სიგრძის მონაკვეთი

სიმაღლე სიმაღლე

161

prizmebi

ა) 343 ზომის მართკუთხაპარალელეპიპედი

ბ) კუბი რომლის წიბო 5 ერთეულია

დახაზეთ მოცემული ზომების პარალელეპიპედი

გაეცით პასუხი კითხვებზე მართი ექვსკუთხა პრიზმის შესახებ

ა) რომელია CDE სიბრტყის პარალელური სიბრტყებ) რომელი სიბრტყეები არ არის AprimeAB სიბრტყისპარალელურიგ) რომელი მონაკვეთებია ABC სიბრტყის მართობულიდ) რატომ არის AAprime და DDprime მონაკვეთების სიგრძეებიერთმანეთის ტოლიე) დაწერეთ მრავალწახნაგას წახნაგების სახელები

3

2

1

პრიზმის ერთი და იგივე წახნაგზე არა-მდებარე წვეროების შემაერთებელ მონა-კვეთს მისი diagonali ეწოდება

პრიზმის ფუძის სიბრტყეებს შორის მან-ძილს მისი simaRle ეწოდება მართიპრიზმის გვერდითი წიბო მისი სიმაღლისტოლია

სურათზე მოცემული პრიზმის ორი პარალელური და კონგრუენტული წახნაგებისამკუთხედებია და მას 5 წახნაგი 9 წიბო 6 წვერო აქვს სამკუთხა პრიზმა სხვადასხვამდებარეობაში შეიძლება მოთავსდეს მიაქციეთ ყურადღება რომ ამ პრიზმებს 2სამკუთხა და 3 ოთხკუთხა წახნაგი აქვთ იზომეტრიულ ფურცელზე გაავლეთ ნაჩვენებმდგომარეობაში მყოფი სამკუთხა პრიზმები

Fprime

Aprime

Bprime Cprime

A

B C

D

EF

Eprime

Dprime

სურათზე წესიერი ექვსკუთხა პრიზმის შლილია მოცემული დაგვერდითი წახნაგები ასოებითაა აღნიშნული ამ პრიზმისრომელი წახნაგია F წახნაგის პარალელური

162

prizmebi

შეასრულეთ დავალებები სურათზე ნაჩვენები მართკუთხაპარალელეპიპედის მიხედვით

ა) ABC და EHG წახნაგებზე B და H წვეროების შემაერთებელიდიაგონალია გავლებული გაავლეთ სხვა შესაძლო დიაგონალებიდა დაწერეთ რომელ წახნაგებზე მდებარე წერტილები შეაერთეთ

ბ) უჩვენეთ პრიზმის რომელიმე ორი მართობული წახნაგი და თქვენი პასუხი სხვადასხვათეორემებით ან განსაზღვრებებით დაასაბუთეთ

8

F

B C

GHE

A

მართკუთხა პარალელეპიპედის განზო-მილებებია 3412 იპოვეთ ფუძის ACდიაგონალი და პარალელეპიპედის ACprimeდიაგონალი

4

A

Aprime

B

Bprime

C

Cprime

D

Dprime

34

12

6 7 სურათზე მოცემული მართკუთხა პა-რალელეპიპედის ორი მოპირდაპირეგვერდითი წახნაგის გვერდები 5 სმ-იანიკვადრატებია AE წიბო 12 სმ-ია იპოვეთDF-ის სიგრძე

D C

H G

FE

BA

9 დაწერეთ თითოეული პრიზმის სახელი წიბოების წვეროებისა და წახნაგების რაოდენობა

პრიზმებისათვის შეამოწმეთ ეილერის ფორმულა

5

თუ მრავალწახნაგებს წიბოების გასწვრივ გადავკვეთთ და სიბრტყეზე გავშლითმივიღებთ მრავალწახნაგას შლილს განსაზღვრეთ რომელი პრიზმას მიეკუთვნებათითოეული შლილი იპოვეთ წახნაგების წიბოებისა და წვეროების რაოდენობა

ა) ბ) გ) დ) ე) ვ)

ა) ბ) გ) დ) ე) ვ) ზ)

A C D E FB

163


კუბებით სხვადასხვა კონსტრუქციების აგება შეიძლება ასეთ კონსტრუქციებსკუბიოდებიც ეწოდება კუბოიდების სხვადასხვა მხრიდან ხედების (გეგმების) დახაზვა ანპირიქით სხვადასხვა ხედების გეგმის მიხედვით კუბოიდების აგება დიდ პრაქტიკულმნიშვნელობას ატარებს

praqtikuli mecadineoba ქვემოთ კონსტრუქციის ზედხედიდან გვერდხედიდანდა წინხედიდან ფიგურის აგებულება იზომეტრიულ ქაღალდზე არის ნაჩვენები ნიმუშადკუბის კონსტრუქციის ზედხედი გვერდხედი და წინხედია მოცემული თქვენ კუბებისაგანშეადგინეთ სხვადასხვა კონსტრუქციები დახაზეთ კონსტრუქციით შექმნილი ფიგურისსხვადასხვა ხედები და მათი გამოსახულებები იზომეტრიულ ფურცელზე

ფუძეს ზომებით 2times3ერთეულის (კუბობით)მქონე მართკუთხედისფორმისაა

სამგანზომილებიანი ფიგურების ასახვისათვის ხელსაყ-რელია იზომეტრიული წერტილოვანი ფურცლებიმაგალითად კუბის ერთეულის ტოლი წიბოები წერ-ტილებს შორის ერთეული მანძილის ტოლია კუბისწვეროების აღნიშვნითა და მიმდევრობითი შეერთებითმისი სამგანზომილებიანი ხედის მიღება შეიძლებაანალოგიური წესით იხაზება კუბოიდის შემდგენიყველა კუბი

ზედხედის გამოყენებითავაგოთ ფიგურის ფუძე

ზედხედი გვერდხედი წინხედი

გვერდხედის გამოყენებითდავასრულოთ აგება

წინხედით შევამოწმოთკონსტრუქციის სისწორე

1-ლი და მე-2 მწკრივისსიმაღლე 1 კუბია

კონსტრუქციის სიგანე2 ერთეულია

მე-3 მწკრივი 2კუბის სიმაღლისაა

კონსტრუქციის სიმაღლე2 ერთეულია

სხვადასხვა მხრიდან ხედების მიხედვით ააგეთ კუბებისაგან კონსტრუქციები დაგამოსახეთ ისინი იზომეტრიულ წერტილოვან ფურცელზე

1

ა) ბ)

164

კუბის სამი სხვადასხვა ხედისმიხედვით განსაზღვრეთ რომე-პლი ასოებია მოპირდაპირე წახ-ნაგზე

T TI

A HM MO O


სურათზე ახალი ასაშენებელი ბინის გამოსახულებაამოცემული დახაზეთ ბინის ზედხედი გვერდხედი დაწინხედი სურათზე მოცემული თითოეული ერთეულირეალურად 15 მ-ის ტოლია ზედხედით განსაზღვრეთრამდენი კვადრატული მეტრი ფართობი უკავია შენობას

თითოეული კონსტრუქციის მიხედვით შეასრულეთ დავალებები

ა) დახაზეთ ხედები სხვადასხვა მხრიდან

ბ) იპოვეთ გაფერადებული ნაწილის ფართობიგ) რამდენი სანტიმეტრია კონსტრუქციის უმაღლესი ნაწილის სიგრძე

2

3

4

5 დახაზეთ თითოეული კონსტრუქცია იზომეტრიულ წერტილოვან ფურცელზე დახა-ზეთ კონსტრუქციების ზედხედები წინხედები და გვერდხედები

სურათზე მოცემული კონსტრუქციებიდან რომელი ხედიზედხედი გვერდხედი თუ წინხედი გაძლევთ იმისგანსაზღვრის შესაძლებლობას რომ კონსტრუქცია ერთიდა იგივე სიმაღლისაა დახაზეთ უჩვენეთ

წინ წინ

წინ

წინ

გვერდი გვერდი



საპატიო კვარცხლბეკი საფეხური

1 ერთეული = 02 მ 1 ერთეული = 025 მ

ა) ბ) გ) დ)

6 7რომელ ფიგურას მიეკუთვნებამოცემული შლილი

ა) ბ)

გ) დ)

165


8 იზომეტრიულ წერტილოვან ფურცელზე დახაზეთ შემდეგი სახის პრიზმებიnimuSi ა) მართი სამკუთხა პრიზმა რომ-ლის სიმაღლე 2 ერთეულია ფუძეში მყოფიმართკუთხა სამკუთხედის კათეტები კი 4ერთეული და 5 ერთეული

გ) მართი სამკუთხა პრიზმა რომლისსიმაღლეა 2 ერთეული ფუძეში მყოფიმართკუთხა სამკუთხედის კათეტებია 3ერთეული და 5 ერთეული

ბ) მართკუთხა პარალელეპიპედი რომ-ლის სიმაღლეა 2 ერთეული სიგანე 3ერთეული სიგრძე 5 ერთეული

9 ბუნებაში მინერალები სხვადასხვა ფორმის კრისტალების სახით გვხვდება არსებობსმინერალის არაძვირფას სახეებთან ამეტისი კვარცი ემირალდი ფლორიდი და სხვებთანერთად ძვირფასი სახეებიც ალმასი ფირუზი საფირი და სხვ სურათზე კრისტალები დამათ ფორმებში გეომეტრიული ფიგურებია მოცემული დახატეთ კრისტალების ზედ-ხედები და გვერდხედები

ა) დახაზეთ სახლის ხედები ზემოდან წინიდან და გვერდიდანბ) იპოვეთ სახლის სახურავის ზომები

10 მ

5 მ

6 მ

11

12 მოცემული სამი ზომის მიხედვით იპოვეთ მართკუთხა პარა-ლელეპიპედის დიაგონალია) 6 8 24 ბ) 12 16 21

ერთი პარალელეპიპედის გვერდითი წიბო 5 სმ-ია ფუძე არის პარალელოგრამი რომლისგვერდებია 6 სმ და 8 სმ ხოლო დიაგონალებიდან ერთი 12 სმ-ია იპოვეთპარალელეპიპედის დიაგონალები

13

14 იპოვეთ მართი პარალელეპიპედის დიაგონალები თუ თითოეული მისი წიბოა a დაფუძის მახვილი კუთხე 60ordm-ია

დახაზეთ მრავალწახნაგების გვერდხედები წინხედები და ზედხედები

nimuSi

წინიდან ზემოდან გვერდიდან

10

166


gamokvleva 1 იპოვეთ იმ მართკუთხა პარალელეპიპედისსრული ზედაპირის ფართობი რომლის განზომილებებია a b და c

პარალელეპიპედის მოპირდაპირე წახნაგები წყვილ-წყვილად კონგრუენტული 6 მართკუთხედისაგან შედ-გება პარალელეპიპედის სრული ზედაპირის გამოთ-ვლისათვის გამოვთვალოთ მისი წახნაგების ფართობები

gamokvleva 2 გამოთვალეთ მართი სამკუთხა პრიზმის გვერდითი ზედაპირისა დასრული ზედაპირის ფართობი თუ მისი სიმაღლეა h ხოლო ფუძეში მყოფი სამკუთხედისგვერდებია a b და c

a სიგრძის b სიგანისა და c სიმაღლის მართკუთხა პარალელეპიპედის სრული ზედაპირისფართობი S = 2(ab + ac + bc) ფორმულით გამოითვლება

1 მარცხენა და მარჯვენა ac + ac = 2ac2 ზედა და ქვედა ab + ab = 2ab3 წინა და უკანა bc + bc = 2bcყველა წახნაგის ფართობების ჯამი S = 2ab + 2bc +2ac

წინა

უკანა

ზედა

ქვედა

მარჯვენამა

რცხე

ნა

b

b

b

b

aa

a

a

c

cc

c

წახნაგები ფართობები

a

aa

ab

bb

b

c

c

ch h h

დავხაზოთ პრიზმის შლილიპრიზმის გვერდითი ზედაპირი შედგება სამი მართკუთხედისაგან ამ სამკუთხედებისფართობების ჯამი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ტოლიაგვერდითი ზედაპირის ფართობის შემდგენი მართკუთხედების ფართობების ჯამიah + bh + ch = (a + b + c)h = Ph სადაც P ფუძეში მყოფი სამკუთხედის პერიმეტრია

პრიზმის სრული ზედაპირის მოძებნისათვის უნდა ვიპოვოთ ფუძეების ფართობებიპრიზმის ფუძეები ამ შემთხვევაში სამკუთხედის სახისაა მაშასადამე მოცემული პრიზმისსრული ზედაპირის ფართობი ფუძეების შემდგენი ორი სამკუთხედისა და გვერდითიზედაპირის ფართობების ჯამის ტოლია ამ შემთხვევაში ფუძის ფართობი ჰერონისფორმულით შეიძლება გამოთვლილი იქნას

167


gamokvleva 3 დახრილი პრიზმის ფუძეები 10 20 გვერ-დებიანი ორი მართკუთხედია ორი გვერდითი წახნაგის (მარ-ჯვენა და მარცხენა) ზომებიდან ერთი 10 მეორე კი 18 მქონეკონგრუენტული მართკუთხედებია დანარჩენი ორი გვერდითიწახნაგის (წინა და უკანა) ზომებია 20 და 18 მახვილი კუთხე 30ordm-ია მოცემული ზომების მიხედვით გამოთვალეთ პრიზმის სრულიზედაპირის ფართობი

პრიზმის პარალელოგრამის სახის წინა და უკანა წახნაგების ფართობის გაანგარიშებისათვისვიპოვოთ პრიზმის სიმაღლე

წინა და უკანა წახნაგების ფართობების ჯამი 2 20 9 = 360 (კვ ერთ)მარჯვენა და მარცხენა წახნაგების ფართობების ჯამი 2 10 18 = 360 (კვ ერთ)ფუძეების ფართობების ჯამი 2 20 10 = 400 (კვ ერთ)პრიზმის სრული ზედაპირი 360 + 360 + 400 = 1120 (კვ ერთ)

sin 30deg = h18

2030deg 10

18h

h = 9

მართი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი ფუძისმრავალკუთხედის პერიმეტრისა და სიმაღლის (გვერდითიწიბოს) ნამრავლის ტოლია

სადაც P ფუძის პერიმეტრს ხოლო h პრიზმის სიმაღლე უჩვენებს

პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი ფუძეებისა და გვერდითი ზედაპირის ფარ-თობების ჯამის ტოლია

მართი პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი S = 2Sფძ + Ph ფორმულითგამოითვლება

Sსრ = 2Sფძ + Sგვ

Sგვ = Ph

marTi prizmis gverdiTi zedapiris farTobi

prizmis sruli zedapiris farTobi

P

h

ა) გამოვთვალოთ მართი პრიზმის სრული ზედაპირისფართობი რომლის ფუძეებიც მართკუთხა სამკუთხედებია

2Sფძ = 2 6 8 = 48 (სმ2)S გვ= Ph = (10 + 8 + 6) 15 = 360 (სმ2)Sსრ = 48 სმ2 + 360 სმ2 = 408 (სმ2)

Sსრ = 2Sფძ + S გვ = 2Sფძ + Ph

nimuSi გამოთვალეთ მართი პრიზმის სრული ზედა-პირის ფართობი

6 სმ8 სმ

10 სმ

15სმ

12

168


ვიპოვოთ მართი პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი რომლის ფუძეებიც ტრაპეციებია

2Sფძ = 2 ( (10 + 4) 4) = 56 ( სმ2)Sგვ = Ph = (10 + 5 + 5 + 4) 15 = 360 (სმ2)Sსრ = 56 + 360 = 416 (სმ2)

გამოთვალეთ მართი პრიზმის გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობები

b)

5 სმ5 სმ

10 სმ4 სმ

4 სმ

15 სმ

Sსრ = 2Sფძ + Sგვ = 2Sფძ + Ph12

1

3 მ25 მ

5 სმ

24 მ8 სმ 75 სმ

2 სმ

18 მ5 მ

10 სმ

3 სმ124 მ

4 მ5 მ

9 მ85 მ

105 მ

ა) ჰიქმეთი გეგმავს ცხენისათვის წყლის დასალევიმართი პრიზმის ფორმის ჭურჭლის დამზადებასრომლის ფუძეც ტრაპეციის ფორმისაა მოცემულიზომის ჭურჭლის დამზადებისათვის სულ მცირერამდენი მასალა დასჭირდებათ

ბ) 6 მ სიმაღლის პრიზმის ფუძეები ტოლგვერდა ტრაპეციებია ტრაპეციის ფუძეები 2 მდა 8 მ-ია გვერდები 5 მ-ია იპოვეთ პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი დახაზეთშესაბამისი პრიზმა და მოცემული ზომები ზედ დააწერეთ

2

100 სმ50 სმ40 სმ 50 სმ

2 მ

სულ მცირე რამდენი კვადრატული მეტრი ქსოვილიაგამოყენებული მოცემულ კარავზე

3120 სმ

152 სმ 200 სმ

142 სმ

მართკუთხა პარალელეპიპედის წიბოები ისე შეეფარდება ერთმანეთს როგორც 3 7 8 მისი ზედაპირი 808 სმ2-ია იპოვეთ წიბოები

მართი პარალელეპიპედის ფუძის 6 სმ და 8 სმ გვერდები 30ordm-იან კუთხეს ქმნიან იპოვეთამ პარალელეპიპედის სრული ზედაპირის ფართობი თუ ცნობილია რომ გვერდითიწიბო 5 სმ-ია

იპოვეთ მართი ოთხკუთხა პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი თუ დიაგონალი 14 სმ-ია ხოლო გვერდითი წახნაგის დიაგონალი 10 სმ-ია

6

5

4

10 სმ20 სმ24 სმ

169


სურათზე მოცემული ზომების მიხედვითიპოვეთ წესიერი პრიზმის სრული ზედა-პირის ფართობი

იპოვეთ სურათზე მოცემული პრიზმების სრული ზედაპირის ფართობი

წესიერირვაკუთხედი

წესიერი ხუთკუთხედი წესიერი ექვსკუთხედი

7

9

125 სმ

12 სმ10 სმ

6 სმ

6 სმ

4 სმ

4 სმ

10 სმ

8 სმ15 სმ

წესიერი პრიზმები და შლილის სურათები რვეულში ჩაიხაზეთ შესაბამისი ზომებიდააწერეთ შლილის სურათებზე გამოთვალეთ პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი

8

8

6

ჩაიხაზეთ ფიგურებისა და შლილის სურათები გამოთვალეთ მართი პრიზმებისსრული ზედაპირის ფართობები

მართი პრიზმის მოცემული ზომების მიხედვითიპოვეთა) ფუძეების ფართობი ბ) გვერდითი ზედაპირის ფართობი გ) სრული ზედაპირის ფართობი

10

11

8 სმ

6 სმ

3 სმ

2 სმ

4 მ

5 მ

25 მ25 მ

4 მ

25 მ

128

89ბ) გ)ა)

8 სმ6 სმ

10 სმ4 სმ

6მ8მ

45მ

170


მონაცემების მიხედვით დახაზეთ მართი პრიზმების სურათი და გამოთვალეთ სრულიზედაპირის ფართობი

12

სურათზე მოცემული ზამთრის ბაღის კედლები დასახურავი გამჭვირვალე დაფებით უნდა დაიფაროსცნობილია რომ კარების ფართობი 18 მ2-ია მოცე-მული ზომების მიხედვით გამოთვალეთ რამდენიკვადრატული მეტრი დაფა იქნება საჭირო მისიდაფარვისათვის

1309 მ 15 მ

24 მ

3 მ24 მ

30 მ2 ფართობის შეღებვისათვის დაახლოებით 4 ლსაღებავია საჭირო სურათზე ნაჩვენები ავტო-ფარეხის 2-ჯერ შეღებვისათვის რამდენი ლიტრისაღებავი იქნება საჭირო ზომები მეტრებშიამოცემული

14

მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის ფიც-რისგან სურათზე ნაჩვენები ნაწილი ამოჭრილ-ამოღებული იქნა როგორ შეიცვალა დარ-ჩენილი ფიცრის ნაწილის სრული ზედაპირისფართობი პასუხი გამოთვლებით დაასა-ბუთეთ

იპოვეთ მართკუთხა პარალელეპიპედისაგან ამოჭრით მიღებული ფიგურების სრულიზედაპირის ფართობი

15

16

40 სმ16 სმ

20 სმ

16 სმ 10 სმ8 სმ

8 სმ

20 სმ

24 მ

09 მ06 მ

23 მ

18 მ 4 მ5 მ

5 მ

4 მ3 მ

3 მ

5 სმ

5 სმ

22 სმ

25 სმ

15 სმ

10 სმ

პრიზმის ფუძე პრიზმისსიმაღლე

ა) ტოლგვერდა სამკუთხედი რომლის გვერდი 8 ერთეულიაბ) სამკუთხედი რომლის გვერდებია 13 14 15 ერთეულიგ) ტოლფერდა სამკუთხედია რომლის გვერდები 12 10 10ერთეულიად) ტოლფერდა ტრაპეცია რომლის გვერდები 10 5 4 5ერთეულიაე) რომბი რომლის დიაგონალებია 8 და 6 ერთეულივ) წესიერი ექვსკუთხედი რომლის გვერდია 8 ერთეული

10 ერთეული12 ერთეული7 ერთეული




15

241

22

64

171



gamokvleva ყველი მართი სამკუთხა პრიზმის ფორმისაა როგორ უნდა დაჭრათ ყველირომ მოჭრილი კვთები მოთხოვნილი ფორმისა იყოს

ა) მართკუთხედი ბ) სამკუთხედი გ) ტრაპეცია

პრიზმის სიბრტყესთან გადაკვეთის შედეგად მასზე დარჩენილი კვალი განსაზღვრავსსიბრტყითი კვეთის ფორმას სურათზე მართკუთხა პარალელეპიპედის სიბრტყითიკვეთებია ასახული

ფუძის სიბრტყის პა-რალელური სიბრ-ტყით გადაკვეთამიიღება მართკუთ-ხედი

ფუძის მართობულისიბრტყით გადაკვე-თა მიიღება მართკუთ-ხედი

ფუძის სიბრტყესთანგანსაზღვრული კუთ-ხის შემქმნელი მოპირ-დაპირე წახნაგებისმკვეთი სიბრტყემიიღება პარალელო-გრამი

ფუძის სიბრტყესთანგანსაზღვრული კუთ-ხის შემქმნელი ერთიწვეროდან გამოსულიწიბოების მკვეთისიბრტყე მიიღება სამკუთხედი

ა) გვერდხედი და წინხედიმართკუთხა ფორმისაა თუყველს დავჭრით ვერტიკა-ლურად კვეთებში მართ-კუთხედები წარმოიქმნება

ბ) ყველის ზედხედი სამ-კუთხა ფორმისაა თუ ყველსჰორიზონტალურად დავ-ჭრით კვეთა სამკუთხა სა-ხისა იქნება

გ) ყველის გვერდხედი სამ-კუთხა ფორმისაა თუ ყველსგანსაზღვრული კუთხითდავჭრით კვეთა ტრაპეციისსახისა იქნება

მიაქციეთ ყურადღება როცა ვამბობთ სიბრტყითი კვეთა ვგულისხმობთ არა გამოყოფილნაწილს არამედ ფიგურაზე დარჩენილ კვეთის სახეს

პრიზმის გვერდითი წიბოების მართობული სიბრტყით გადაკვეთისასმიღებულ მრავალკუთხედს მისი მართობული კვეთა ეწოდებაპრიზმის ფუძის სიბრტყის პარალელური სიბრტყითი კვეთა კი ფუძისკონგრუენტული მრავალკუთხედია

პრიზმის ერთ წახნაგზე არამდებარე ორ გვერდით წიბოზე გამავალ მკვეთს დიაგონალური კვეთა ეწოდება

n-კუთხა პრიზმის დიაგონალური კვეთების რაოდენობა -ის ტოლია

ვინაიდან დიაგონალური კვეთებიდან თითოეული პარალელოგრამია მიიღება რომ

n-კუთხა პრიზმას n(n ndash 3) რაოდენობის დიაგონალი აქვს

n(n ndash 3)2

172


დახაზვით წარმოადგინეთ თითოეული პრიზმის შესაბამის სიბრტყესთან კვეთაგანსაზღვრეთ გადაკვეთისას მიღებული მრავალკუთხედის სახე



ფუძის სიბრტყის მართობულისიბრტყით

ფუძის სიბრტყის მარ-თობული სიბრტყით

ფუძის სიბრტყესთან განსა-ზღვრული კუთხის შექმნითწინა და უკანა წახნაგებისმკვეთი სიბრტყით

ფუძის სიბრტყესთან განსაზ-ღვრულ კუთხის შექმნით ერ-თი წვეროდან გამოსული სამიწიბოს მკვეთი

რომელი მრავალკუთხედი მიიღება კუბის სახით ნაჩვენებ სიბრტყესთან გადაკვეთისას1

2

3 1) იპოვეთ 6 სმ წიბოს მქონე კუბის სურათზე ნაჩვენები სიბრტყითიკვეთის პერიმეტრი

2) კუბი ერთი წვეროდან გამოსული სამი წიბოს წვეროებზე გამავალისიბრტყითაა გადაკვეთილი რა ფიგურა მიიღება კვეთაშია) იპოვეთ d მონაკვეთის სიგრძე თუ კუბის წიბო 1 სმ-იაბ) იპოვეთ სიბრტყითი კვეთის პერიმეტრი თუ კუბის წიბო 3radic2 სმ-ია

4 მართკუთხა პარალელეპიპედის განზომილებებია 9 სმ 12 სმ 20 სმ გამოთვალეთთითოეული სიბრტყითი კვეთიდან მიღებული ფიგურების პერიმეტრი და ფართობი

a a a ab

c

b b b

c c c

6 წესიერი ექვსკუთხა პრიზმის უდიდესი დიაგონალური კვეთის ფართობი 2 სმ2-იაიპოვეთ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

5 მართკუთხა პარალელეპიპედის ფუძის გვერდები 7 სმ და 24 სმ-ია პარალელეპიპედისსიმაღლე კი 8 სმ-ია იპოვეთ დიაგონალური კვეთის ფართობი

d

nimuSi დახრილი პრიზმის ფუძეებიტოლგვერდა სამკუთხედებია ACCprimeAprimeწახნაგი ოთხკუთხედია იპოვეთ პრიზმისგვერდითი ზედაპირის ფართობი თუAAprime = 12 სმ AB = BC = 8 სმ AC = 6 სმდა α = 30deg amoxsna პრიზმის გვერდითი ზედაპირიSგვ = P კვl

პრიზმის მართობულ კვეთაში მიიღებასამკუთხედი DEF ამოცანის ამოხსნისათ-ვის პრიზმის ღია სურათზე უფრო თვალნათლივ დანახვა შეიძლება

173

სურათზე მოცემული დახრილი პრიზმის ფუძეები ტოლგვერდა სამ-კუთხედებია ACCprimeAprime წახნაგი ოთხკუთხედია იპოვეთ პრიზმის გვერ-დითი ზედაპირის ფართობი თუ AAprime = 10 სმ AB = 4 სმ α = 45deg

10 დახრილი სამკუთხა პრიზმის გვერდით წიბოებს შორის მანძილები 4 სმ6 სმ და 8 სმ-ია პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი 90 სმ2-იაიპოვეთ პრიზმის გვერდითი წიბო

11


მართი პრიზმის ფუძე რომბია პრიზმის დიაგონალები 8 სმ და 5 სმ-ია ხოლო სიმაღლე2 სმ იპოვეთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი

7

8

მართი პრიზმის ფუძე რომბია მისი დიაგონალური კვეთის ფართობებია 42 სმ2 და 56 სმ2 იპოვეთ ამ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობის მისი მართობული კვეთის გამოყენებით ზო-გადი სახით გამოხატვა შეიძლებაპრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი მისი მართობული კვეთის პერიმეტრისა დაგვერდითი წიბოს სიგრძის ნამრავლის ტოლიაSგვ = P კვl

მართი პრიზმის ფუძეებთან მართობული კვეთები კონგრუენტული მრავალკუთხედებიაამიტომაც მართ პრიზმაში მართობული კვეთის პერიმეტრის ნაცვლად ფუძის პერიმეტრისგამოსახულება გამოიყენება მართობული კვეთის პერიმეტრიდან დახრილი პრიზმისგვერდითი ზედაპირის ფართობის პოვნისას გამოყენება შეიძლება დახრილი პრიზმისგვერდითი ზედაპირი მისი წახნაგების ფართობების ცალ-ცალკე პოვნითა და შეჯამებითაცშეიძლება გამოითვალოს (მე-3 გამოკვლევის მსგავსად)

DE და FE ვინაიდან 30deg-იანი კუთხის მოპირდაპირე კათეტებია 4 სმ იქნება DEFმართობული კვეთის პერიმეტრი DE + DF + FE = 4 + 6 + 4 = 14 (სმ)Sგვ = P კვ AAprime = 14 12 = 168 (სმ2)

დახრილი პრიზმის ფუძე არის მართკუთხედი რომლის გვერდებია 6 სმ და 4 სმგვერდითი წახნაგებიდან ორის ზომა 6 სმ times 8 სმ მართკუთხედებია დანარჩენი ორიგვერდითი წახნაგი კი ზომები 4 სმ times 8 სმ 30deg-იანი მახვილი კუთხის მქონეპარალელოგრამია იპოვეთ დახრილი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობითითოეული წახნაგის ფართობის გამოთვლით

9

A1C1

CA

B

Ba a

A

D

E

F

E D F E

Aprime

Aprime

A

Bprime

B

C

Cprime

Cprime

C

B

Bprimeαα

α α 886

6 44

174


პირამიდა არის მრავალწახნაგა რომლის ერთი წახნაგი არის მრავალკუთხედი ხოლოდანარჩენი წახნაგები საერთო წვეროს მქონე სამკუთხედებია საერთო წვეროს მქონესამკუთხედები პირამიდის გვერდითი წახნაგებია ხოლო მრავალკუთხედი კი ფუძეგვერდითი წახნაგების საერთო გვერდებს გვერდითიწიბოები ეწოდებაგვერდით წახნაგებზე არსებულ სამკუთხე-დების საერთო წვეროს პირამიდის წვეროეწოდებაპირამიდის წვეროდან ფუძის სიბრტყეზედაშვებულ მართობს პირამიდის სიმაღლეეწოდება

თუ ფუძე წესიერი მრავალკუთხედია და სიმაღლისფუძე ამ მრავალკუთხედის ცენტრს ემთხვევა მაშინპირამიდას წესიერი პირამიდა ეწოდება

გვერდითიწიბო

გვერდითიწახნაგი


ფუძე

აპოთემასიმაღლე

ფუძე (წესიერიმრავალკუთხედი)

წვერო

oTxkuTxapiramida

wesieri oTxkuTxa piramida

წესიერი პირამიდის გვერდითი წახნაგისსიმაღლეს რომელიც გავლებულია პირა-მიდის წვეროდან პირამიდის აპოთემაეწოდება

პირამიდის დასახელება განისაზღვრება ფუძეში არსებული მრავალკუთხედის სახელითმაგალითად სამკუთხა პირამიდა ოთხკუთხა პირამიდა და აშ

samkuTxa piramidaxuTkuTxa piramidaoTxkuTxa piramida

წესიერი პირამიდის გვერდითი წიბოები კონგრუენტულიაწესიერი პირამიდის გვერდითი წახნაგები კონგრუენტული ტოლფერდა სამკუთხედებიაწესიერი სამკუთხა პირამიდას ტეტრაედრიც ეწოდება ტეტრა ბერძნულად ოთხს ნიშნავსანუ 4 წახნაგის (თითოეული სამკუთხა ფორმისაა) მქონე მრავალწახნაგა

კერძო შემთხვევაში პირამიდის ქვემოთ მოცემულ ნაბიჯებად გავლება შეიძლება

1 გაავლეთ პარალელო-გრამი და მისი დიაგონა-ლები

2 დიაგონალების გადა-კვეთის წერტილისადმიდაუშვით მართობი

3 შეაერთეთ მართობის წვე-როსა და პარალელოგრამისწვეროების წერტილები

S = ahაპ + ahაპ + ahაპ + ahაპ + ahაპ + ahაპ =

= hაპ (a + a + a + a + a + a) = Phაპ S = Phაპ

175

Sგვ = Phაპ = 6 a hაპ = 6 6 9 = 162 (სმ2)ფუძის ფართობის პოვნისათვის ჯერ წესიერი ექვსკუთხა

აპოთემა (r) უნდა მოვძებნოთ Sფძ= Prწესიერი ექვსკუთხა ცენტრული კუთხე 360deg 6 = 60degმაშინ AOK = 30degr = 3 tg60deg = 3radic3 Sფძ= 36 3radic3 935 (სმ2)S სრ = Sგვ + Sფძ 162 სმ2 + 935 სმ2 = 2555 სმ2

nimuSi 1 წესიერი ექვსკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდი6 სმ-ია იპოვეთ პირამიდის სრული ზედაპირის ფართობითუ აპოთემა 9 სმ-იაamoxsna

mocemulia a = 6 სმ hაპ = 9 სმ

ipoveT Sსრ =

12

12

12

12

12

6 სმ

3 სმ

r

9 სმ

30deg

წესიერი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობიფუძეში მდებარე მრავალკუთხედის პერიმეტრისა დაპირამიდის აპოთემის ნამრავლის ნახევრის ტოლია

სადაც P არის ფუძის პერიმეტრი hაპ - პირამიდის აპოთემააპირამიდის სრული ზედაპირის ფართობი მისი ფუძისა და გვერდითი ზედაპირის ფარ-თობის ჯამის ტოლია S სრ = Sგვ + Sფძ

Sგვ = Phაპ

wesieri piramidis gverdiTi zedapiris farTobi

12

hაპ

h

წესიერი პირამიდის გვერდითი ზედაპირისფართობი შეიძლება ვიპოვოთ როგორც გვერ-დითი წახნაგების შემდგენი კონგრუენტულისამკუთხედების ფართობების ჯამიმაგალითად სურათზე მოცემული ექვსკუთხაპირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობიმისი გვერდითი ზედაპირის შემდგენი 6 კონ-გრუენტული სამკუთხედის ფართობების ჯა-მის ტოლია

12

12

12

12

12

12

12

12

12

a

la a aa a

aaaa a a

ha ha ha ha ha ha

A

O

BK


176

∆ADO- დან AO = radicAD2 DO2 = radic102 62 = radic64 = 8 (სმ)ცნობილია რომ AO = AE (განმარტეთ) AE = 8 (სმ) AE = 12 სმ რადგან∆AEB-ს კუთხეები 30deg 60deg 90deg -ია (განმარტეთ)

BE = = = 4radic3 BC = 2BE = 8radic3 P = 3BC = 24radic3∆DOE-დან ვიპოვოთ აპოთემა OE = 12 8 = 4 ( სმ)DE = radicOD2 + OE2 = radic62 + 42 = radic52 = 2radic13

Sგვ = Phაპ = 24radic3 2radic13 = 24radic39 (სმ 2)Sფძ = BC AE = 8radic3 12 = 48radic3 (სმ2)

S სრ = Sგვ + Sფძ = 24radic39 + 24radic3 150 + 42 = 192 (სმ2)

nimuSi 2 წესიერი სამკუთხა პირამიდის გვერდითი წიბოები 10 სმსიმაღლე 6 სმ-ია იპოვეთ პირამიდის სრული ზედაპირის ფართობიamoxsnamocemulia AD = 10 სმ DO = 6 სმipoveT Sსრ =

12

12 1

212

10

A

B E

A

C

B

D

O E

6

23

23

AEradic3

12radic3

30deg

60deg

სურათის მონაცემების მიხედვით გამოთვალეთ წესიერი პირამიდების გვერდითიზედაპირების ფართობები

saswavlo davalebebi

სურათის მონაცემების მიხედვით გამოთვალეთ წესიერი პირამიდების გვერდითიზედაპირების ფართობები პასუხები მთელ რიცხვებამდე დაამრგვალეთ

1

2

28 სმ

30 სმ

8 სმ

20 სმ

182 სმ

4 სმ

8 მ

12 მ

5 სმ

10 სმ10 მ

12 მ

3

4

პირამიდის ფუძეა მართკუთხედი რომლის ერთი გვერდი 6 სმ-ია ხოლო მეორე გვერდი8 სმ პირამიდის გვერდითი წიბოების სიგრძე 13 სმ-ია იპოვეთ სიმაღლე

წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის სიმაღლე 7 სმ-ია ფუძის გვერდი 8 სმ იპოვეთ გვერ-დითი წიბო

პირამიდის გვერდითი ზედაპირის გამოთვლისათვის უნდა ვიპოვოთ ფუძის პერიმეტრი დააპოთემა პერიმეტრის პოვნისათვის კი წესიერი სამკუთხედის ერთი გვერდის მოძებნასაკმარისია


177

მართკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდებია 10 და 18 ერთეულიO მართკუთხედის ცენტრია პირამიდის სიმაღლე FO = 12 სმ

ა) იპოვეთ FH და FE

ბ) იპოვეთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

S გვ = Pha ფორმულის გამოყენება შეიძლება

7

h ha

10

18

12

A

B C

DHE

F

O12

8 იპოვეთ წესიერი პირამიდების გვერდითი ზედაპირების ფართობები

5 სმ3 სმ

15 სმ

3 მ

24 მ

11სმ

65 სმ 25 მ

14 მ5 სმ

10 სმ

12 სმ

12 სმ12 სმ

10 სმ

15 სმ

8 სმ

6 სმ

სამკუთხა პირამიდის გვერდითი წიბოები 4 სმ 6 სმ და 8 სმ-ია და წყვილ-წყვილადმართობულია იპოვეთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

პირამიდის ფუძე არის მართკუთხედი რომლის გვერდებია 9 სმ და 5 სმ ერთ-ერთიგვერდითი წიბო რომელიც 12 სმ-ია ფუძის სიბრტყის მართობულია იპოვეთ ამპირამიდის გვერდითი ზედაპირი

10

9

მოცემული ზომების მიხედვით დახაზეთ წესიერი პირამიდები და იპოვეთ გვერდითიზედაპირის ფართობია) წესიერი ოთხკუთხა პირამიდა რომლის ფუძის გვერდია 8 ერთეული გვერდითი წიბოკი 5 ერთეულიბ) წესიერი სამკუთხა პირამიდა რომლის ფუძის გვერდია 4 ერთეული აპოთემა 6ერთეულიგ) წესიერი ექვსკუთხა პირამიდა რომლის ფუძის გვერდია 10 ერთეული გვერდითიწიბო კი 13 ერთეული

ცხრილის მონაცემების მიხედვით იპოვეთ წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის მოთხოვნილიზომები

5

6

სიმაღლე 6 12 24 6აპოთემა 10 15 13 5

ფუძის გვერდი 10 8

გვერდითი ზედაპირი 156 320

h ha


178

11 სახლის სახურავი წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის ფორმისაა პირამიდის ფუძის გვერდი12 მ-ია სახურავის სიმაღლე 25 მ-ია რამდენი კვადრატული მეტრი მასალა არისგამოყენებული სახლის სახურავზე

12

13 მსოფლიოს დიდი ქვეყნების არქიტექტურაში პირამიდის სახის ნაგებობებს მნიშ-ვნელოვანი ადგილი უკავიათ ამ ნაგებობებს შორის არის უძველესი ძეგლებიც (ეგვიპტისპირამიდები რომის სესტის პირამიდა) და არის ქალაქებისათვის თანამედროვეობისმიმნიჭებელი ახლებიც (პარიზში ლუვრის მუზეუმი ბაქოში იჩერიშაჰარის მეტროსშესასვლელი და სხვ) ა) ჰეოპსისა და ლუვრის პირამიდები ოთხკუთხა პირამიდებიამოცემული ზომების მიხედვით გამოთვალეთ თითოეულის გვერდითი ზედაპირისფართობი

წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის მონაცემების მიხედვითა) OM ბ) ha გ) NCდ) S∆NBC ე) Sგვ ვ) Sსრ

luvris piramida pariziheopsis piramida egvipte

iCeriSaharis metros piramida


ბ) სურათზე იჩერიშაჰარის მეტროს სადგურის პირამიდისებრი შესასვლელის გეგმაამოცემული გეგმაზე მოცემული ზომების მიხედვით გამოთვალეთ პირამიდისგვერდითი ზედაპირის ფართობი


N

66

12

ha

DO M

C

BA

8

haწესიერ ტეტრაედრში მონაცემების მიხედვით იპოვეთმოთხოვნილებია) OM ბ) ha გ) NCდ) S ∆NBC ე) Sგვ ვ) Sსრ

14B

3სმ

3სმ

hl

M

N

A

C

O

49 მ

49 მ

47 მ47 მ

66 მ

14 მ


179

პირამიდის ფუძე ტოლფერდა სამკუთხედია რომლის გვერდებია 6 სმ 6 სმ და 8 სმთითოეული გვერდითი წიბო 5 სმ-ია იპოვეთ ამ პირამიდის გვერდითი ზედაპირისფართობი

წესიერი ექვსკუთხა პირამიდის ერთი გვერდითი წახნაგისფართობი 8radic3 ფუძის ფართობი კი 24radic3 კვადრატულიერთეულია გამოთვალეთ პირამიდის ა) ფუძის გვერდის სიგრძე ბ) აპოთემა გ) გვერდითი წიბოს სიგრძე დ) სიმაღლე

gamokvleva wesier oTxkuTxa piramidaze ა) იზომეტრიულ წერტილოვან ფურცელზე სურათზე მოცემულისმსგავსად დახაზეთ წესიერი ოთხკუთხა პირამიდა რომლის ფუძისგვერდი 3 ერთეულიაბ) გამოთვალეთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი იმ შემ-თხვევებისათვის როცა აპოთემა ტოლია 3-ის 9-ისა და შეადგინეთცხრილიგ) დაწერეთ ფუძის ზომების შეუცვლელად აპოთემის ზომის 3-ჯერგაზრდით როგორ შეიცვალა გვერდითი ზედაპირის ფართობიდ) თან ფუძის გვერდი და თან აპოთემა 3-ჯერ თუ გაიზრდება როგორშეიცვლება გვერდითი ზედაპირი

გამოთვალეთ სურათზე მოცე-მული ფიგურის (წესიერი ოქტა-ედრის) გვერდითი ზედაპირისფართობი

წესიერი სამკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდი 6 სმ-ია გვერდითი ზედაპირის ფუძის სიბრ-ტყესთან შექმნილი კუთხე 45deg-ია იპოვეთ პი-რამიდის გვერდითი ზედაპირისა და სრულიზედაპირის ფართობიპირამიდის ფუძე არის ტოლფერდასამკუთხედი რომლის ფერდები 10 სმ-ია ფუძეკი 12 სმ-ია გვერდითი წახნაგებით ფუძისსიბრტყესთან შექმნილი ორწახნაგა კუთხისგრადუსული ზომა კი 60deg-ია იპოვეთპირამიდის აპოთემა და სიმაღლე

16

18

19 20

21

17

6 სმ

6 სმ

15 ა) პირამიდის აპოთემა სიმაღლეზე ნაკლები არაა დაასაბუთეთ ეს მოსაზრება

ბ) წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდი 10 სმ-ია გვერდითი წიბო 13 სმიპოვეთ პირამიდის სიმაღლე და აპოთემა

გ) პირამიდის ფუძე არის რომბირომლის დიაგონალებია 12 სმ და 16 სმ იპოვეთ ამპირამიდის სრული ზედაპირის ფართობი თუ გვერდითი წახნაგები ფუძის სიბრ-ტყესთან 60deg-იან კუთხეს ადგენენ


დაამტკიცეთ რომ ქვემოთ მოცემული მოსაზრებები მართებულიაპირამიდის ფუძის პარალელური სიბრტყით გადაკვეთისას1) ეს სიბრტყე პირამიდის გვერდით წიბოებსა და სიმაღლეს პრო-პორციულ ნაწილებად ყოფს2) გადაკვეთისას მიღებული მრავალკუთხედი ფუძის მსგავსია3) კვეთისა და ფუძის ფართობების თანაფარდობა მათი წვერო-დან დაშორების მანძილების კვადრატების თანაფარდობისტოლიაdamtkicebis gegma ისარგებლეთ პირამიდის პარალელური სიბრტყითი კვეთითგვერდით წახნაგებზე წარმოქმნილი ABT და AprimeBprimeT სამკუთხედების მსგავსებით

180


სიტყვიერად აღწერეთ პრიზმისა და სიბრ-ტყის გადაკვეთა

სიტყვიერად აღწერეთ სამკუთხაპირამიდისა და სიბრტყის სურათ-ზე ნაჩვენები კვეთები

ა) ბ)

წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის სიბრტყესთან გადაკვეთისას სხვადასხვა ფორმის მრა-ვალკუთხედები მიიღება გამოიკვლიეთ ქვემოთ მოცემული შემთხვევები სურათითა დასიტყვიერად დაწერით წარმოადგინეთ

ფუძის პარალელურ სიბრტყეს-თან გადაკვეთა გადაკვეთაშიკვადრატი მიიღება

ფუძის სიბრტყესთან განსაზ-ღვრული კუთხით ყოფნისასერთ წვეროში შეერთებულიმეზობელი წახნაგების მკვეთსიბრტყესთან გადაკვეთა გა-დაკვეთისას სამკუთხედი მი-იღება

ფუძის სიბრტყესთან განსაზ-ღვრული კუთხით ყოფნის-ას მოპირდაპირე წახნაგებისმკვეთ სიბრტყესთან გადა-კვეთა გადაკვეთისას ტრაპე-ცია მიიღება

წვეროზე გავლით ფუძი-სადმი მართობული სიბრ-ტყით გადაკვეთა გადაკვე-თაში ტოლფერდა სამკუთ-ხედი მიიღება

32

1

ა) წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდი 14 სმ-ია გვერდითი წიბოსსიგრძე-10 სმ იპოვეთ დიაგონალური კვეთის (პირამიდის წვეროს წერტილზედა ფუძის დიაგონალზე გამავალი სიბრტყით) ფართობიბ) იპოვეთ წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის (რომლის სიმაღლეც 12 ერთეული ფუ-ძის გვერდი კი 8 ერთეულია) ორი მოპირდაპირე გვერდითი წახნაგის აპოთე-მებზე გამავალ სიბრტყით კვეთაში მიღებული მრავალკუთხედის ფართობი

4

6

A

Aprime

B

Bprime

T

C

Cprime

D

Dprime

პირამიდის სიმაღლე 4 ტოლ ნაწილად დაიყო და დაყოფის წერტილებზე ფუძისპარალელური სიბრტყეებით გადაიკვეთა იპოვეთ მიღებული კვეთების ფართობები თუცნობილი რომ ფუძის ფართობი 400 მ2-ია

5

ა) ბ)

181

წაკვეთილი პირამიდის აგების ნაბიჯები

1) დახაზეთ პირა-მიდის ფუძეში არ-სებული მრავალ-კუთხედი

2) მრავალკუთხედის ცენტრ-ში გაავლეთ განსაზღვრულისიგრძის მართობი და მისიწვერო ფუძის წვეროებთანშეაერთეთ

3) პირამიდის ნებისმიერ გვერდით წიბოზეერთი წერტილიდან დაწყებით ფუძისგვერდების პარალელური მონაკვეთებითდახაზეთ პირამიდის მეორე ფუძე გვერ-დითი წიბოების წვეროდან მცირე ფუძემდეარსებული ნაწილები წაშალეთ

b

hh

წაკვეთილი პირამიდის ერთ წახნაგზე არამდებარე ორგვერდით წიბოზე გამავალ სიბრტყეს მისი დიაგონალურიმკვეთი ეწოდება A

Aprime

B

Bprime

C

Cprime

D

Dprime


პირამიდის სიმაღლე 16 სმ-ია ფუძის ფართობი კი 512 სმ2-ია იპოვეთ ფუძის პარა-ლელური მკვეთის ფუძის სიბრტყიდან მანძილი თუ მისი ფართობი 50 სმ2-ია

7

პირამიდის ფუძის პარალელური სიბრტყით გადაკვეთისას ამსიბრტყესა და პირამიდის ფუძეს შორის დარჩენილ მრავალწახნაგსწაკვეთილი პირამიდა ეწოდებაწაკვეთილი პირამიდის პარალელური წახნაგები მისი ფუძეებიდანარჩენი წახნაგები კი გვერდითი წახნაგებია ფუძეებისსიბტყეების მართობული წრფის ამ სიბრტყეებს შორის დარჩენილმონაკვეთს წაკვეთილი პირამიდის სიმაღლე ეწოდებაწესიერი პირამიდის ფუძის პარალელური სიბრტყით გადა-კვეთისას მიღებული წაკვეთილი პირამიდაც წესიერი წაკვეთილიპირამიდაა წესიერი წაკვეთილი პირამიდის გვერდითი წახნაგებიკონგრუენტული ტრაპეციაებია ამ ტრაპეციების სიმაღლე წესიერიწაკვეთილი პირამიდის აპოთემაა

h

O

O1

წესიერი წაკვეთილი პირამიდის გვერდითი

ზედაპირის ფართობი Sგვ = (P1 + P2)ha

ფორმულით გამოითვლება სადაც P1 და P2 წესიერი წაკვეთილი პირამიდისფუძეების პერიმეტრებია ha - აპოთემააწაკვეთილი პირამიდის სრული ზედაპირისფართობი კი გვედითი ზედაპირისა და ქვედა დაზედა ფუძეების ფართობების ჯამის ტოლია

heee

b

a

ha

b

h

b

aaa

ha

12

Sსრ = Sგვ + Sქვ + Sზედ

182


წესიერი წაკვეთილი პირამიდის გვერ-დითი ზედაპირის ფართობისათვის

Sგვ = (P1 + P2)ha ფორმულის

მართებულობა უჩვენეთ სურათზე მო-

ცემულ წესიერ პირამიდაზე

წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის AB გვერდი 12 სმ-ია SO სიმაღლე 8 სმ-იაპირამიდა ფუძიდან 2 სმ-ის მანძილზე ფუძის პარალელური სიბრტყითაა გადაკვეთილიიპოვეთ მიღებული წაკვეთილი პირამიდის სრული ზედაპირის ფართობი

12

B

B

B

CA

c

aa

a

c

ha

ha

CprimeAprimeBprime BprimeBprime

b

a

9

8 ა) დახაზეთ წესიერი ოთხკუთხა წაკვეთილი პირამიდა რომლის სიმაღლე 6 სმ ხოლოფუძეების გვერდების სიგრძე შესაბამისად 4 სმ და 6 სმ-ია

ბ) დახაზეთ წესიერი ექვსკუთხა წაკვეთილი პირამიდა რომლის სიმაღლეა 8 სმ ხოლოფუძეების გვერდების სიგრძე შესაბამისად 2 სმ და 3 სმ-ია

გ) წესიერი ოთხკუთხა წაკვეთილი პირამიდის ფუძეების ფართობები 36 სმ2 და 64 სმ2-ია პირამიდის გვერდითი წიბო ქვედა ფუძესთან ადგენს 45deg-იან კუთხეს იპო-ვეთ დიაგონალური კვეთის ფართობი

10 გამოთვალეთ წესიერი ოთხკუთხაწაკვეთილი პირამიდების გვერდითიდა სრული ზედაპირის ფართობები

11

6 სმ

5 სმ

4 სმ

20 მ

22მ

12 მ

წესიერი ოთხკუთხა პირამიდა რომლის სიმაღლეა 8 სმ ფუძის გვერდი კი 12 სმ-იასიმაღლის შუაწერტილზე ფუძის პარალელური სიბრტყითაა გადაკვეტილიგანსაზღვრეთ მოცემული წაკვეთილი პირამიდის ზომები ააგეთ ნახაზი დაგამოთვალეთ სრული ზედაპირის ფართობი

წესიერი ოთხკუთხა წაკვეთილი პირამიდის სიმაღლე 28 სმ-ია აპოთემა 35 სმ-ია ფუძისგვერდები ისე შეეფარდება ერთმანეთს როგორც 52 იპოვეთ პირამიდის სრულიზედაპირის ფართობი

12

13

წესიერი ოთხკუთხა პირამიდა რომლის ფუძის გვერდია 30 სმსიმაღლე კი 36 სმ-ია ფუძის პარალელური სიბრტყეებით(წვეროდან დაწყებული ყოველ 12 სმ-ში სიმაღლის გასწვრივ)ნაწილებად დაიყო მინის დაფები მეტალის ჩხირებით დამაგრდადა სამკაულების ყუთი დამზადდა თუ ეს კონსტრუქციამთლიანად მინით დაიფარებაა) სულ მცირე რამდენი კვადრატული მეტრი მინის დაფა იქნებასაჭირობ) სულ მცირე რამდენი მეტრი მეტალის ჩხირები იქნება საჭირო

14

AprimeBprime

A CB

a a

c cc

ha

Cprime

183


წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის ძირითადი ზომებია ფუძის გვერდი აპოთემის სიგრძესიმაღლე გვერდითი ზედაპირის ფართობი და სრული ზედაპირის ფართობიმოცემული ორი ზომის მიხედვით იპოვეთ დანარჩენები

გამოთვალეთ სურათის მონაცემების მიხედვით წესიერი პრიზმისა და პირამიდისაგანშემდგარი რთული ფიგურების ზედაპირის ფართობი

დახაზეთ მართი პრიზმებისა და წესიერი პირამიდების შლილის სურათები გამოთ-ვალეთ სრული ზედაპირის ფართობი

მოცემულია ABCDA1B1C1D1 კუბი რომლის წიბოა a იპოვეთBD დიაგონალიდან B1C1 და C1D1 წიბოების შუაწერტილებზე(M და N) გამავალი სიბრტყითი კვეთის ფართობი

ა) a = 3 სმ Sგვ = 15 სმ2 ბ) h = 12 მ a = 10 მგ) ha = 5 მ Sგვ = 60 მ2 დ) Sგვ = 80 სმ2 Sსრ= 144 სმ2

კუბის გვერდი 6 სმ-ია იპოვეთ Aprime B Cprime წვეროებზე გამავალი სიბრტყითჩამოკვეთილი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

Aprime

Dprime Cprime

CBA

13

10

24

5

8

845

3

2

4

5

6

მოცემული შლილის სურათებისა და ზომების მიხედვით დახაზეთ წესიერი პრიზმებიდა პირამიდები ფიგურების ზოგიერთი გვერდები დასახელებულია დანარჩენებითქვენ დაასახელეთ და გამოთვალეთ სრული ზედაპირის ფართობი

5 654

6 17

16

21

3

1

H

C

G

B

R

UM R RV

A

B

M

N

C

D

A1

B1 C1

D1

Bprime

2

10მ

8მ

8მ8სმ

8სმ 2 სმ

12სმ

5სმ

5მ

9მ

15მ

34

6

184

trigonometriuli gantolebebida utolobebi7


trigonometriuli gantolebebis amoxsnisxerxebi

amocanebis amoxsna trigonometriuligantolebebis gamoyenebiT


nimuSi 1 sin x = განტოლებას რამდენი ფესვი აქვს [03] მონაკვეთზე

amoxsna განტოლების ამოხსნას x = (ndash1)kmiddot + k (k Z) სახით ვწერთ k = 0 1 23

მნიშვნელობების შესაბამის ოთხ ფესვს ვპოულობთ x0 = x0 = x0 = x0 = k პარამეტრების სხვა მნიშვნელობების შესაბამისი ფესვები მოცემულ მონაკვეთს არ შეესაბამება

185


sin x = a cos x = a tg x = a ctg x = a განტოლებები მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებებია sin x = a განტოლებასინუსის ცვლილების არე [ndash1 1] მონაკვეთია ამიტომაც როცა a gt 1 მაშინsin x = a განტოლებას ამონახსენი არა აქვს განვიხილოთ a le 1 შემთხვევებიერთი და იგივე საკოორდინატო სიბრტყეზე ავაგოთ y = sin x და y = a ფუნქციებისგრაფიკები

როგორც ხედავთ y = a წრფე სინუსოიდას უსასრულო რაოდენობის წერტილში კვეთს ეს იმასნიშნავს რომ როცა a le 1 მაშინ sin x = a განტოლებას უსასრულო რაოდენობის ფესვი აქვსვინაიდან სინუსი არის პერიოდული ფუნქციაპერიოდის ტოლი სიგრძის ანუ 2 რომელიმე შუალედში ფესვებისპოვნა საკმარისია გრაფიკიდან ჩანს რომ როცა a lt 1 მაშინ sin x = aგანტოლებას [0 2] მონაკვეთზე ორი ფესვი აქვსწერტილის წრეწირის გარშემო ბრუნვითი მოძრაობის განხილვისასიგივე დასკვნის გაკეთება შეიძლება სრული პერიოდის განმავლობაშისინუსის ერთი და იგივე მნიშვნელობის მიმღები ორი კუთხის მოძებნააშესაძლებელიბრუნვითი კუთხეებიდან თუ ერთი იქნება მეორე ndash იქნება sin x = a (a lt 1) განტოლების დანარჩენი ამონახსნები კი ამ ორიამონახსნისათვის პერიოდის ჯერადი სიდიდეების მიმატებით მიიღება მაშასადამე თუ არის sin x = a განტოლების რაიმე ამონახსენი ამ განტოლების ყველა ამონახსენიx = + 2n x = ndash + 2n (n Z) სახით იწერება ამ ორ ამონახსენთა ოჯახს ზოგჯერერთი ფორმულით იძლევიან x = (ndash1)k + k (k Z) როცა k = 2n (ლუწია) მიიღებაამონახსენთა I ოჯახი როცა k = 2n + 1 (კენტია) ამონახსენთა II ოჯახი მიიღება

0

y = sin xy = a

x

y

ndash 2

x

ndash y

0

a

როცა a le 1 მაშინ რადგან sin x = a განტოლების ფესვი [ndash ] მონაკვეთზე არისx = arcsin a ამიტომ ამ განტოლებას ყველა ამონახსენი x = arcsin a + 2n x = ndash arcsin a + 2n (n Z) ფორმულებით გამოითვლება ამ ფორმულების შეერთება და

x = (ndash1)kmiddotarcsin a + k (k Z) სახით დაწერა შეიძლება

2

2

nimuSi 2 ამონახსენით განტოლება sin x = ndash

amoxsna რადგან arcsin(ndash ) = ndash ამიტომ x = (ndash1)kmiddot(ndash ) + k = = (ndash1)k + 1middot + k (k Z)

radic22

6

656

136

176

radic22

4

12

4

4

186

sin t = 1 ამ განტოლების ამონახსენი t = + 2k (k Z) იქნება თუ გავითვალის-წინებთ პირობით აღნიშვნას x + = + 2k (k Z)

აქედან x = ndash + 2k x = + 2k (k Z)6

2

32

2

3


ndash 2

0

y = 1

y = ndash1x

y

ndash 2 32

2

2

ეს შეიძლება დავინახოთ ერთეულოვან წრეწირზე გამოსახვითაც

წერტილი რომლის ორდი-ნატია 0 A(0) და C()

წერტილი რომლის ორდინა-ტია 1 B( )

წერტილის რომლისორდინატია ndash1 D(ndash )

x

y

0A(0)C()

x

y

0

2B( )

x

y

0

D(ndash )2

2

2

sin t = 0 t = k (k Z)

sin t = 1 t = + 2k (k Z)

sin t = ndash1 t = ndash + 2k (k Z)

როცა a = 0 a = 1 და a = ndash1 მაშინ sin x = a განტოლების ამონახსნები შეიძლება წარმო-ვადგინოთ უფრო მარტივი სახით

nimuSi 3 ამოხსენით განტოლება sin (x + ) = 1amoxsna თუ ავღნიშნავთ x + = t-თი მივიღებთ განტოლებას

3

3

nimuSi 4 ამოხსენით განტოლება sin (x ndash 30ordm) = 0amoxsna აქ ცხადია x არის გრადუსებში გამოსახული კუთხე ამიტომაც განტოლებისამონახსენი ასე შეიძლება ჩაიწეროს

x ndash 30ordm = 180ordmmiddotk x = 30ordm + 180ordmmiddotk (k Z)saswavlo davalebebi

2

1

განტოლებებისათვის 1) იპოვეთ ფესვები [ndash ] მონაკვეთზე

2) დაწერეთ საერთო ამონახსენი 3) ამონახსენი გამოსახეთ გრაფიკულად

ა) sin x = ბ) sin x = ndash გ) 2 sin x = ndashradic3 დ) 2 sin x + radic2 = 0 ე) sin x = 1 ვ) 1 + sin x = 0 ზ) 2 sin x ndash 1 = 0 თ) sin x = 0

radic22

12

2

2

3ა) 2 sin(x + ) = radic3 ბ) sin(2x ndash ) = 0 გ) 2 sin(2x ndash ) = 1

46

3


x-ის მოცემული მნიშვნელობებიდან რომელია მოცემული განტოლების ფესვიპერიოდულობის საფუძველზე დაწერეთ და შეამოწმეთ განტოლების კიდევ ორი ფესვიერთი დადებითი და ერთი უარყოფითი

ა) 2 sinx = 1 x = x = ბ) radic8 sinx = radic6 x = x =3

4

6

56

187


თუ არის cos x = a განტოლების ფესვი მაშინ ndash ასევე ფესვია რადგან cos(ndash) = cos ამრიგად თუ ცნობილია რომ cos x = a განტოლების ერთი ფესვია ამ განტოლებისფესვების x = + 2n და x = ndash + 2n (n Z) ფორმულებით პოვნა შეიძლება ამ ორფორმულას ზოგჯერ აერთიანებენ და x = plusmn + 2n (n Z) სახით წარმოადგენენროცა a le 1 მაშინ cos x = a განტოლებას [0 ] მონაკვეთზე აქვს ფესვი რადგანx = arccos a ამ განტოლების ყველა ამონახსენი x = plusmn arccos a + 2n (n Z) სახითჩაიწერება

nimuSi 5 ამოხსენით განტოლება cos x = amoxsna x = არის განტოლების ერთ-ერთი ფესვი მაშინ ყველა ამონახსენი x = + 2n და x = ndash + 2n (n Z) იქნება ამოხსნა x = plusmn + 2n (n Z) სახით შეიძლება ჩავწეროთ

4

radic22

4

4

x

y

0 a

M()

M(ndash)

4

cos x = a განტოლებაანალოგიური წესით მივიღებთ რომ როცა a gt 1 მაშინ cos x = a განტოლებასამონახსენი არა აქვს ხოლო როცა a le 1 მაშინ კი უსასრულო რაოდენობის ფესვი აქვსგრაფიკიდან (ასევე ერთეულოვანი წრეწირიდან) ჩანს რომ პერიოდის სიგრძის (ანუ 2-ს) ტოლ მონაკვეთზე cos x = a (a lt 1) განტოლებას ორი ფესვი აქვს

0 x

y

ndash ndash

y = cos x y = a

0 x

y

ndashy = 1

2ndash

232 2

როცა a = 0 a = 1 და a = ndash1 მაშინ cos x = a განტოლების ამონახსნები შეიძლება რომუფრო მარტივად გადმოიცეს

nimuSi 6 ამოხსენით განტოლება cos x = ndash amoxsna x = plusmn arccos(ndash ) + 2n (n Z) რადგან

arccos(ndash ) = ndash arccos = ndash = მივიღებთ x = plusmn + 2n (n Z)

121

212

12

3

23

23

ამის დანახვა ერთეულოვან წრეწირზე გამოსახვითაც არის შესაძლებელი

წერტილები რომლის აბსცისაა 0 C( )D( )

წერტილი რომლისაბსცისაა 1

წერტილი რომლისაბსცისაა ndash1

x

y

0 x

y

0

2C( )

x

y

0D( )3

2

A(0) C()

2

cos t = 0 t = + n (n Z)

cos t = 1 t = 2n (n Z)

cos t = ndash1 t = + 2n (n Z)

2

32

A(0) C()

188


nimuSi 7 ამოხსენით განტოლება cos (x + ) = ndash1 შემოვიტანოთ აღნიშვნა x + = t მაშინ cos t = ndash1 t = + 2k (k Z)თუ გავითვალისწინებთ აღნიშვნას x + = + 2k (k Z)x = ndash + + 2k x = + 2k (k Z)

4

44

434


ა) cosx + 1 = 0 x = x = ბ) radic8 cosx = 2 x = x =2

4

6

5

ა) cos x = ბ) cos x = ndash გ) 2 cos x = radic2 დ) 2 cos x = radic3 ე) 2 cos x ndash radic3 = 0 ვ) 2 cos x + 1= 0 ზ) cos x ndash 1 = 0 თ) cos 2x = 0

12

radic22

განტოლებებისათვის 1) იპოვეთ ფესვები [0 ] მონაკვეთზე 2) დაწერეთ საერთოამონახსენი 3) ამონახსენი გამოსახეთ გრაფიკულად

განვიხილოთ ორივე განტოლებისათვის საერთო sin = განტოლების ამონახსენი ერთეულოვან წრეწირზე ორდი-

ნატიანი ორი წერტილი არსებობს ეს წერტილები და

მობრუნებებს შეესაბამება

განტოლების ამონახსენია + 2k და + 2k (k Z)

12

ა) ამ შემთხვევაში = x და 0 le x le 3 ამ ინტერვალში განტოლებას x-ის მხოლოდ

და მნიშვნელობები აკმაყოფილებს

76

76

76

116

116

116

12

x =

76

116

12

ნიმუში გამოიკვლიეთ ამოხსნა რვეულში ჩაიწერეთ მე-2 დავალება შეასრულეთ

sin x =

6

12

sin 2x =

1) დაწერეთ განტოლების ამონახსნები [0 3 ინტერვალში

ბ)ა)

116

76

y

x

ბ) ამ შემთხვევაში = 2x თუ x 0 le x le 3 პირობას აკმაყოფილებს 0 le 2x le 6 იქნებადა განტოლების მოცემულ ინტერვალში ამონახსნები იქნება შემდეგი

12cosx =

12cos 2x =

312

cos (x ) =

2) დაწერეთ განტოლებების ამონახსნები 0 le x le 3 ინტერვალში ბ) გ)ა)

76

712

116

1112

196

1912

12

sin 2x = 2x =

x =

236

2312

316

3112

356

3512

+2

+2

+2

+2

189


nimuSi 10 ამოხსენით განტოლება tg x = 075ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნისას ისარგებლეთ კალკულატორზე გამოთვლითკალკულატორის tan1 ღილაკით შეიტანება რიცხვი 075 Degree ღილაკის აქტიურმდგომარეობაში 3687deg მნიშვნელობა გამოთვლილი იქნება ვინაიდან ტანგენსი პერი-ოდული ფუნქციაა 3687deg + 180deg 3687deg 180deg 3687deg + 360deg 3687deg 360deg 3687deg + 540deg 3687deg 540deg მნიშვნელობებშიც ტანგენსის მნიშვნელობა 075-ის ტოლიაგანტოლების ამოხსნა გრადუსობით ზოგადი x = 3687deg + 180degk (k = 0 plusmn1 plusmn2plusmn3 )სახით იწერებაRadian ღილაკის დახმარებით განტოლების ამოხსნა A = 06435 + πk k Z იქნება

nimuSi 8 ამოხსენით განტოლება tg (x ndash ) = radic3 amoxsna შემოვიტანოთ აღნიშვნა x ndash = t მივიღებთ განტოლებას

tg t = radic3 ამ განტოლების ამონახსნები t = + n (n Z) იქნებათუ გავითვალისწინებთ პირობით აღნიშვნას

x ndash = + n (n Z)

x = + + n x = + n (n Z)

nimuSi 9 ამოხსენით განტოლება ctg 3x = ndash1amoxsna შემოვიტანოთ აღნიშვნა 3x = t მივიღებთ განტოლებას ctg t = ndash1 რადგან

arcctg(ndash1) = ამიტომ t = + nაღნიშვნის გამო 3x = + n ორივე მხარის 3-ზე გაყოფით მივიღებთ

ctg 3x = ndash1 განტოლების ყველა ამონახსენი x = + (n Z) სახისაა

6

6 3

6

3

3

6

2

34

343

4 4

n3

ანალოგიური წესით შეიძლება იმის ჩვენება რომ ctg x = a განტოლების ყველა ამონახსენიx = arcctg a + n (n Z) სახისაა

tg x = a და ctg x = a განტოლებების ამოხსნა

(ndash ) შუალედში tg x = a განტოლების ამონახსენი x = arctg a იქნებათუ გავითვალისწინებთ რომ tg x ფუნქციის ძირითადი პერი-

ოდია მაშინ tg x = a განტოლების ყველა ამონახსენისx = arctg a + n (n Z)

ფორმულით ჩაწერა შეიძლება

2

2

y = tg x და y = a ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთისწერტილებიც უჩვენებენ ამოხსნის სისწორეს

x

y

0ndashndash2 2

y = tg x

2ndash

232

ndash 32


8

9ა) tg x = radic3 ბ) tg x = ndash1 გ) tg x = 1 დ) tg x =

ა) ctg x = radic3 ბ) ctg x = ndash1 გ) ctg x = ndashradic3 დ) ctg x = radic33

radic33

განტოლებებისათვის 1) იპოვეთ ფესვი 1) (0 ) მონაკვეთზე 2) დაწერეთ საერთოამონახსენი

განტოლებებისათვის 1) იპოვეთ ფესვი (ndash ) მონაკვეთზე 2) დაწერეთ საერთოამონახსენი

2

2

2cosx = 1 tg x + 1 = 02sinx radic3 = 0

განტოლებებისათვის 1) დაწერეთ ამონახსენი [0 2 შუალედში2) დაწერეთ ამონახსენის ზოგადი სახე 3) დაწერეთ ამოხსნა გრაფიკულად

11

ბ) გ)ა)

sinx = 0 tg x + radic3 = 02cosx radic3 = 0 ე) ვ)დ)

nimuSi 11 ამოხსენით განტოლება sec x + 1 = 0 x [0 2] შუალედში amoxsna secx = 1

32

1sin x

2= 1 sinx = 1 განტოლების ზოგადი სახის ამონახსენი x = + 2n (nZ)

იქნება sinx = 1 განტოლების [0 2] შუალედში ამონახსენია x =

ამოხსენით განტოლება tg x = radic3 ისარგებლეთ ამონახსენით და დაწერეთ ქვემოთმოცემული განტოლებების ზოგადი ამონახსენი

10

ა) tg(x ndash ) = radic3 ბ) tg 4x = radic3 c) ctg 2x =6

radic33

12 ამოხსენით განტოლებები კალკულატორის დახმარებით და უჩვენეთ თითოეულისსამი ფესვი

ა) tg θ = 3 ბ) sin θ = 085 გ) cos θ = 047

190

1tgx

1sin x

1cos xctg x = sec x = cosec x =

ტოლობების გამოყენებით ამოხსნა შეიძლება

ctg x = a sec x = a cosec x = a სახის განტოლებების


ა) tgx ndash radic3 = 0 x = x = ბ) radic6 ctgx = radic2 x = x =4

3

3

6


191

191


y = cos x ფუნქციის გრაფიკის გამოყენებით იპოვეთ მოცემულ შუალედებში განტო-ლებების მიახლოებითი ამონახსნები

0 le x le 450degა) cos x = 04გ) cos x + 1 = 1 დ) 2cos x = 2

ბ) cos x = 05 0 le x le 630deg0 le x le 910deg 0 le x le 630deg

14

x

1

ndash1

05

ndash05

yy = cos x

90ordm 270ordm 450ordm 630ordm 910ordm

მაშასადამე tg x = radic3 განტოლების 0 le x le 4 ინტერვალში არსებული ამონახსნებიშეგვიძლია ვიპოვოთ ქვემოთ მოცემული წესით

+ = 23

23

53 + = 5

383 + = 8

311

3

0 le x le 40 4

ა) 2tg x = 2 ბ) 2sin x = 1 გ) 2 cos x = radic3ნიმუშის შესაბამისად იპოვეთ განტოლებების ამონახსნები 0 le x le 4 ინტერვალში 13

amoxsna ერთეულოვან წრეწირზე ტანგენსი ფუნქციის radic3-ის ტოლი

მობრუნების კუთხის შესაბამისი ორი წერტილია აღნიშნული თუმცა ვინაიდან პერიოდი არის ტანგენსი radic3-ის ტოლ

მნიშვნელობებს დაშორებით მდებარე წერტილებში იღებს

ანუ tg( + ) = tg

23

53

nimuSi tg x = radic323

53

A

B

0 4

y

x

16ა) sin 2xsin x ndash cos 2xcos x = ბ) cos2x ndash sin2x =გ) sin 3xcos x = 1+ sin xcos 3x დ) sin xcos x = 0

12

radic22

15ა) 2 sin(x + ) = radic2 ბ) sin(2x + ) = 0 გ) cos(2x + ) = 0

43

6

4


დ) 2 cos(x ndash ) = radic2 ე) tg(2x ndash ) = 1 ვ) ctg(2x ndash ) = 03

4

ამოხსენით განტოლებებია) sin( + x) = ndash 1 ბ) cos( ndash x) = 1 გ) sin x =0

დ) cos( ndash ) = 0 ე) tg( + x) = 1 ვ) ctg( + ) = radic3

192


ა) cos2x ndash sin2x = 1 (0 3]ბ) cos2(x + 30ordm) ndash sin2(x + 30ordm) = ndash1 (180ordm 270ordm)გ) sin xcos x = [ndash 2]

17

19

20

21

22

23

იპოვეთ განტოლების ფესვები მოცემულ შუალედებში

12

nimuSi ა) cos2x ndash sin2x = 1 (0 3]amoxsna ჩავწეროთ განტოლება cos 2x = 1 სახით რადგან cos = 1 განტოლების

ზოგადი ამონახსენია = 2k (k Z) მივიღებთ 2x = 2k x = k (k Z)პირობის თანახმად 0 lt x le 3 აქედან თუ 0 lt k le 3 უტოლობის ორივე მხარეს

გავყოფთ -ზე მივიღებთ 0 lt k le 3 (k Z)k = 1 2 3 მნიშვნელობების მიმდევრობით x = k (k Z) ამონახსენში ჩაწერით

ვპოულობთ განტოლების ფესვებს მოცემულ შუალედში 2 3იპოვეთ ფუნქციის ნულები მოცემულ ინტერვალში18ა) y = sin 2x 0ordm le x le 180ordm ბ) y = sin(x ndash ) 0 le x le 3

4

2

32

sin xx ndash 1

2

x2

x2

3

ა) 4 tg 3x + 5 = 1 0 le x le π

ბ) 2 sin 2x + radic3 = 0 0 le x le 2 π

გ) 2 cos 2x + 3 = 2 0 le x le 360deg

დ) radic2 sin 2x + 3 = 2 0 le x le 360deg

ამოხსენით განტოლებები მოცემულ ინტერვალში

4

725

იპოვეთ სამკუთხედის პერიმეტრი თუ cos 2 =

იპოვეთ y = 3 cos(x + ) ფუნქციის გრაფიკისა და y = 15 წრფის გადაკვეთის

წერტილების აბსცისები

= 0რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას [02 π] მონაკვეთზე

193


nimuSi ამოხსენით განტოლება sin 2x ndash sin x = 0amoxsna2 sin xcosx ndash sin x = 0 ორმაგი კუთხის ფორმულის თანახმად sin2x = 2 sin xcosxsin x(2 cos x ndash 1) = 0 საერთო მამრავლის ფრჩხილებს გარეთ გატანაsin x = 0 ან 2 cos x ndash 1 = 0 ნამრავლის ldquo0rdquo-ის ტოლად ყოფნის პირობაx = n n Z cos x = x = plusmn + 2k k Zპასუხი n plusmn + 2k k Zსხვადასხვა ამონახსენთა ოჯახებში პარამეტრების სხვადასხვა ასოებით აღნიშვნას მიაქციეთყურადღება

3

12

3

nimuSi ამოხსენით განტოლება sinx cos2 x = 4 sin x და იპოვეთ ფესვები [0 2] მონა-კვეთზე

sinx cos2 x = 4 sin x მოცემული განტოლებაsinx cos2 x 4 sin x = 0 თითოეულ მხარეს 4 sin x გამოაკლდებაsin x (cos2x 4) = 0 sin x ფრჩხილებს გარეთ გაიტანებაsin x(cosx 2)(cosx +2)= 0 დაიშლება მამრავლებად კვადრატების სხვაობის ფორმულითთითოეული მამრავლის 0-თან გატოლებით ვპოულობთ x-ს (თუ შესაძლებელია)

მოცემული ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა განსაზღვრული ხერხებით მარტივიტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნაზე დაიყვანება

1) mamravlebad daSlis xerxi

amoxsna

2) axali cvladis SemotaniT

nimuSi ამოხსენით განტოლება 2sin2 x ndash cos x + 1 = 02(1 ndash cos2 x) ndash cos x + 1 = 0 sin2 x = 1 ndash cos2 x იგივეობის თანახმადndash2 cos2 x ndash cos x + 3 = 02 cos2 x + cos x ndash 3 = 0 გამარტივება2 a2 + a ndash 3 = 0 cos x = a ახალი ცვლადის შემოტანა (2a + 3)(a ndash 1) = 0a = ndash15 a = 1 კვადრატული განტოლების ამოხსნაcos x = ndash15 cos x = 1 cos x = a ჩასმის თანახმადფესვი არა აქვს x = 2k k Zპასუხი x = 2k (k Z)

3) erTgvarovani gantolebebis amoxsnaთუ sin x = a cos x = b განტოლების ყველა წევრი a-სა და b-ს მიხედვით ერთი და იგივეხარისხის ერთწევრები იქნება ასეთ განტოლებას ერთგვაროვანი განტოლება ეწოდება

sin x = 0 cos x 2 = 0 cos x + 2 = 0x = k k Z cos x = 2 cosx = 2

ამონახსენი არა აქვს ამონახსენი არა აქვსgantolebis amonaxsenis zogadi saxe x = n (n Z) იქნებაgantolebis fesvebi [0 2 monakveTze x1 = 0 x2 = x3 = 2

194

cos(x ndash ) =

cos t =


nimuSi sin x + cos x = 0აქ არ შეიძლება cos x = 0 რადგან თუ cos x = 0 მაშინ განტოლებიდან მიიღება რომ sin x= 0 ეს კი ეწინააღმდეგება sin2 x + cos2 x = 1 იგივეობას მაშასადამე cos x 0 განტოლების ორივე მხარე შეიძლება გავყოთ cos x-ზე

tg x + 1 = 0აქედან tg x = ndash1 x = ndash + n n Z

nimuSi ამოხსენით განტოლება cos2 x = აქ ხარისხის დაწევისათის ( cos2 = )ფორმულის გამოყენება ხელსაყრელი ხდება

a sin x plusmn b cos x = d ტიპის განტოლებების როცა ab ne 0 ორივე მხარის c = radica2 + b2 რიცხვზეგაყოფით დამხმარე კუთხის შემოტანით ამოხსნაა ხელსაყრელი

ორივე მხარე გავამრავლოთ 2-ზე

ორივე მხარეს გამოვაკლოთ 1

შემოვიტანოთ აღნიშვნა 2x = t

1 + cos 2x =

cos 2x = ndash

cos t = ndash

t = plusmn + 2n n Z

2x = plusmn + 2n hər iki tərəfi 2-yə boumllək

x = plusmn + n n Z

nimuSi radic3 cos x + sin x = radic3სადაც რადგან a = radic3 b = 1 ორივე მხარე c = radica2 + b2 = radic3 + 1 = 2-ზე გავყოთ

middotcos x + sin x =

4

141 + cos 2

2

1 + cos 2x2 = 1

412

12

12

12

2323

3

radic32

12

radic32

cos sin6

6

nimuSebi 2 sin x ndash cos x = 0sin2 x ndash 3 sin xmiddotcos x + 2 cos2 x = 0

თუ საერთო მამრავლი არ არის პირველი განტოლების ორივე მხარის cos x-ის მაღალხარისხზე გაყოფით იხსნება

4) xarisxis damwevi formulebis gamoyeneba

5) damxmare kuTxis Semotana

შემოიტანება დამხმარე კუთხე6

6

radic32

6

radic32

arccos(ndash ) = ამიტომაც23

t = x ndash ჩავანაცვლოთ

შეკრების ფორმულის თანახმად

195


nimuSi რამდენი ფესვი აქვს cos x = sin განტოლებას [0 2] მონაკვეთზე

amoxsna cos2 ndash sin2 = sin ორმაგი კუთხის ფორმულის თანახმად

1 ndash 2 sin2 ndash sin = 0

2a2 + a ndash 1 = 0

a = ndash1 და a = კვადრატული განტოლების ამოხსნა

sin = ndash1 sin = 6

12

56

3

x2

53

x2

x2

x2

x2

x2

x2

12

x2

x2

x2

x2

y = cos x და y = sin ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების მიხედვითაცშეიძლება ამოხსნის სისწორის შემოწმება ამ გრაფიკების გრაფკალკულატორით(httpswwwdesmoscomcalculator) აგებით შევამოწმოთ ამოხსნა

x2

t = + 2n ან t = ndash + 2n

x ndash = + 2n x ndash = ndash + 2n

x = + + 2n x = 2n n Z

x = + 2n n Z

პასუხი + 2 n 2 n n Z

6

6

6

6

6

6

3

3

6

6

3 23 5343 2ndash3ndash ndash23ndash53 ndash43ndash2

(3 05) (53 05)

(ndash ndash1)

(0 1)1

ndash1

0

როცა k = 0 მოძებნილი და მოცემული განტოლების [0 2] მონაკვეთზე არსებუ-ლი ფესვებია k პარამეტრის სხვა მნიშვნელობების შესაბამისი ფესვები ამ მონაკვეთზე არ მდებარეობენპასუხი ორი ფესვი აქვს

3

53

sin = a შემოვიტანოთ აღნიშვნა

y

x

= + 2k = + 2k

x = ndash + 4k

= ndash + 2kx2

2

x = + 4k

და

x = + 4k k Zდა

n პარამეტრის არცერთი მნიშვნელობისათვის მოძებნილი ფესვები მოცემულ მონაკვეთზე არძევს

196


3

7

5

4

ამოხსენით განტოლებები მამრავლებად დაშლის ხერხით

ა) 2 sin2 x ndash sin x = 0 ბ) sin2 x + 2 sin x = 0 გ) cos2 x ndash 3 cos x = 0 დ) 2 cos2 x ndash radic3 cos x = 0

ა) sin2 x ndash 2 sin x ndash 3 = 0 ბ) 2 sin2 x ndash 5 sin x + 2 = 0 გ) cos2 x ndash 4 cos x ndash 5 = 0 დ) 4 cos2 x ndash 4 cos x + 1 = 0ე) 2 sin2 x ndash cos x + 1 = 0 ვ) 2 cos2 x + sin x ndash 1 = 0 ზ) tg2 x ndash tg x + 2 = 0 თ) ctg x + 3 tg x = 2radic3

ა) sin x + cos x = 0 ბ) radic3 sin x ndash cos x = 0 გ) sin2 x ndash 2 sin 2x + 3 cos2 x = 0

ა) 4 sin2 ndash 3 = 0 ბ) 4 cos2 ndash 1 = 0 x2

x2

1) 2 cos x ndash 1 = 0ა) x = ბ) x =2) cosec x ndash 2 = 0ა) x = ბ) x =3) 3 tg2 2x ndash 1 = 0ა) x = ბ) x =

x-ის მოცემული მნიშვნელობებიდან რომელია განტოლების ამონახსენი1

2

53

3

12

4) 2 cos2 4x ndash 1 = 0ა) x = ბ) x =5) 2 sin2 x ndash sin x ndash 1 = 0ა) x = ბ) x =6) sec4 x ndash 4 sec2 x = 0ა) x = ბ) x =

56

6

512

16

316

2

76

23

53

saswavlo davalebebi


ამოხსენით ერთგვაროვანი განტოლებები

ამოხსენით განტოლებები ხარისხების დაწევის ფორმულების გამოყენებით

ი) sin x + 15 sin 2x = sin3 x კ) cos x + sin 2x = cos3 x

ნ) sin 3x ndash 2 cos 2x = 3 ო) cos 4x + sin x = 2

ლ) cos4 x ndash sin4 x = მ) sin 3x = 3 sin xradic32

ა) cos 3x ndash cos x = 0 ბ) sin 3x + sin x = 0 გ) sin x ndash radic3 cos x = 2 დ) sin x + cos x = radic2 ე) sin 2x ndash 2radic3 sin2 x = 0 ვ) sin 2x = 2 cos2 xზ) (1 + tg x)middotcos x = 0 თ) (1 ndash tg x)middotsin 2x = 0

ამოხსენით განტოლებები სხვადასხვა ხერხის გამოყენებით

ა) 3 tg2 x ndash 1 = 0 0 le x le 360ordm ბ) 6 sin2 x + 5 = 8 0 le x le 2π გ) 4 cos2 x ndash 1 = 2 0 le x le 2 π დ) 2 cos 2x + 3 = 2 0 le x le 360ordm

6 იპოვეთ განტოლების მოცემულ შუალედში მდებარე ფესვები

197



1) (ctg x ndash radic3)(2 sin x + radic3) = 0 2) 2 sin x ndash 1 = cosec x3) tg x ndash ctg x = 0 4) cosec2 x ndash 2 ctg x = 05) 2 tg2 x sin x ndash tg2 x = 06) sec2 x tg x = 2 tg x7) 9 sin2 x ndash 6 sin x + 1 = 0

8) (tg x ndash 1)(cos x ndash 1) = 0 9) tg x + 1 = radic3 + radic3 ctg x10) cos2 x = sin2 x + 1 11) sin2 x cos x = cos x12) sin2 x cos2 x = 013) cos2 x ndash sin2 x = 014) 4 cos2 x ndash 4 cos x + 1 = 0

11

12

10

9

13

1) sin(2x ndash ) = ndash განტოლებისათვის იპოვეთ

ა) უმცირესი დადებითი მნიშვნელობა ბ) უდიდესი უარყოფითი მნიშვნელობაგ) [ndash ] შუალედში მდებარე ფესვები

2) იპოვეთ sin 3xcos x = 1 + sin xcos 3x განტოლების (ndash ) შუალედში მდებარე

ფესვები

12

2

6

2

denis Zabva სინათლის წყაროდ გამო-ყენებული გენერატორის ელექტრო ძა-ლის I = 20sin80t ფორმულით გამო-სახვა შეიძლება სადაც t არის დრო წა-მობით I-დენის ძალას ამპერით უჩ-ვენებს იპოვეთ t-ს ისეთი უმცირესიდადებითი მნიშვნელობა რომ

ა) I = ndash10 A ბ) I = 20 A გახდეს

სურათზე მოცემული გრაფიკებისმიხედვით დაწერეთ4 cos (2(x ndash 60deg)) + 6 = 3 განტო-ლების ამონახსენი (მიახლოებით)

y

x0

2

4

6

8

10

60ordm

y = 3

y = 4 cos(2(x ndash 60ordm)) +6

120ordm 360ordm300ordm240ordm180ordm

ააგეთ ფუნქციის გრაფიკები დაწერეთ გრაფიკების 0 le x lt 2π ინტერვალში x ღერძთანგადაკვეთის წერტილები

ა) y = 2 sin x + 1 ბ) y = 2 cos x ndash 1

ჩამოკიდებული სხეულის რხევის მოძრაობისd = 4 sin t ფორმულით მოდელირება შეიძ-ლება მერამდენე წამზე შეიძლება იყოსადგილმონაცვლეობა 2 სმ-ის ტოლი

145 სმ

ndash5 სმ

0 სმ

5 სმ

ndash5 სმ

0 სმ

8 კალკულატორის გამოყენებით იპოვეთ განტოლებების ამონახსნების მიახლოებითიმნიშვნელობა 0 le x lt 2π ინტერვალში

ა) 3 tg x + 1 = 13 ბ) 8 cos x + 3 = 4გ) 4 sin x = ndash2 sin x ndash 5 დ) 3 sin x + 4 cos x = 5

198

amocanebis amoxsna trigonometriuli gantolebebis gamoyenebiT6

18

15

17

16

ა) კოორდინატთა სათავის გარშემო საათის ისრის მოძრაობის საპირისპირო მიმართუ-ლებით ზომით მობრუნებისას რომელ წერტილად გარდაიქმნება (radic31) წერტილი

ბ) წერტილი რომლის კოორდინატებია (2 2) კოორდინატთასათავის გარშემო რამდენი გრადუსით მობრუნებისას გარ-დაიქმნება წერტილად რომლის კოორდინატებია (ndashradic2 radic6)

3

x

(x y)(xprime yprime)

y

ბეისბოლის ბურთის დარტყმის ძალასა და ბურთის

გავლილი მანძილის v0 საწყის სიჩქარეზე და θ დახ-

რის კუთხეზე დამოკიდებულება d =

სახისაა სადაც g თავისუფალი ვარდნის სიჩქარეა

ბეისბოლის ბურთზე დარტყმით v0 = 30 მწმ

საწყისი სიჩქარით მოძრავი ბურთი 70 მ მანძილზე

მდგომმა მოწინააღმდეგე მოთამაშემ დაიჭირა

იპოვეთ დახრის კუთხე

მაჰირს ველოსიპედის საბურავის ბალანსირების შემოწმება სურს ის საბურავისზონარზე აღნიშვნას აკეთებს და მას აბრუნებს საბურავზე გაკეთებული აღნიშვნისმოძრაობა h(t) = 59 + 24 sin 125t-ით შეიძლება გამოისახოს სადაც h არის სიმაღლე(სმ-ობით) t დრო (წამობით) ა) რა სიმაღლეზე იქნება აღნიშვნა როცა t = 15 წმ ბ) მერამდენე წამებზე იქნება ნიშანი 60 მ-ის სიმაღლეზე

kosmosi კომუნიკაციური მიზნებისათვის გათვა-ლისწინებული ახალი ხელოვნური თანამგზავრისორბიტა დედამიწის ზედაპირიდან t მილისმანძილზეა დედამიწის რადიუსი 3960 მილიაწარმოიდგინეთ რომ დედამიწის განსაზღვრულინაწილი თანამგზავრის ხედვის არეშია სურათზეჰორიზონტის წრით შემოსაზღვრული ეს ნაწილიშავი ფერითაა აღნიშნული ჰორიზონტზე წრე-წირის ზოგიერთი ზომების განსაზღვრისათვისსურათით ისარგებლეთა) დაწერეთ t-ს α-ზე დამოკიდებულების ფორმულა

ბ) იპოვეთ t როცა α = 10O-ს

გ) იპოვეთ α-ს მნიშნელობა თუ t = 30 000 მილს გამოთვალეთ AB მინორული რკალისსიგრძე სულ მცირე რამდენი ასეთი თანამგზავრია საჭირო დედამიწის ეკვატორისგასწვრივ სრული დანახვისათვის

v02 sin2θg

θ

αα

t

ჰორიზონტალურიწრეწირი A

B

literatura ესპანელი მწერლის მიგელ დე სერვანტესისცნობილი რომანის გმირს დონ კიხოტს თავი ძალიანძლიერად მიაჩნდა და ერთ დღეს ქარის წისქვილის გაჩერებაგადაწყვიტა დონ კიხოტმა რომელმაც ეს ვერ შეძლოწისქვილის ერთ-ერთ ფარს ჩაეჭიდა და ჰაერში ტრიალიდაიწყოტრიგონომერიული ფუნქციების დახმარებით შეიძლება იმისმოდელირება თუ რა მდგომარეობაში იყო დონ კიხოტი სურათზემოცემული გრაფიკი ფართან ერთად მოტრიალე დონ კიხოტისდედამიწის ზედაპირიდან სიმაღლის დროზე დამოკიდებულებასუჩვენებს1) მოთხოვნილი მაჩვენებლები იპოვეთ გრაფიკის მიხედვით და რე-ალური სიტუაციის შესაბამისად დაწერეთ განმარტებაა) ამპლიტუდა ბ) პერიოდი3) რომელ წამებზე იქნება დონ კიხოტი დედამიწიდან 10 მ სიმაღლეზე4) როგორ გვალენას მოახდენს ფარის სიჩქარის შესუსტება სინუსოიდის გრაფიკისფორმაზე

199

amocanebis amoxsna trigonometriuli gantolebebis gamoyenebiT

20

21

19

harmoniuli rxeva ზამბარაზე ჩამოკიდებული სხეულის

სიმძიმესა და წინასწორობის მდგომარეობით ადგილმო-

ნაცვლეობის y = (sin t ndash 3 cos t) ფორმულით გამოსახვაახვა

შეიძლება სადაც t არის დრო წამობით y ადგილმონაცვლეობა

მეტრობით იპოვეთ ზამბარის 0 le t le 1 დროის ინტერვალში

წონასწორობის წერტილში ყოფნის ვადები

112

წყლის ბორბალი წყლის მოძრაობის ენერგიის სასარგებლო ენერგიადგარდაქმნისათვის გამოიყენება

ჩარხის ბალანსის შემოწმებისათვის ზედ ლურსმანი დამაგრდა დადატრიალებულ იქნა ლურსმანის უმაღლეს წერტილში ყოფნისასწყლის ზედაპირიდან 35 მ მანძილზე ჩარხის მოძრაობით 12 წამისშემდეგ ყველაზე დაბალ წერტილში - წყლის ზედაპირიდან 05 მ -ითქვევით მდებარეობს

ა) დაწერეთ ლურსმანის წყლის ზედაპირიდან h სიმაღლის დროზედამოკიდებულების მაჩვენებელი ფუნქციის ფორმულა

ბ) რა სიმაღლეზე იქნება ლურსმანი მოძრაობის დაწყებიდან 15 წამისშემდეგ

გ) ჩარხის მოძრაობის დაწყებიდან რამდენი წამის შემდეგ იქნება ლურსმანი წყლისზედაპირიდან 15 მეტრ სიმაღლეზე

დრო (წმ)

სიმა

ღლ

ე (მ

) 16

20 40 60

1284

0

f(t)

t

y

200


მოცემული უტოლობის დამაკმაყოფილებელი ყველა სხვა

ინტერვალები ( ) ინტერვალის 2-ის ჯერადის ტოლი

მანძილით მარჯვნივ და მარცხნივ მოცურებით მიიღება

ამიტომაც sin x gt უტოლობის ამონახსენი

+ 2n lt x lt + 2n (n Z) იქნება

ტრიგონომეტრიული უტოლობის ამონახსენი თვალნათლივშეიძლება დავინახოთ ერთეულოვან წრეწირზე გამოსახვითაც

amoxsna მოცემული უტოლობის ამოხსნა y = sin x ფუნქციის გრაფიკის -ზე

მეტი ორდინატის მქონე წერტილების სიმრავლის აბსცისების განსაზღვრას ნიშნავს

1 ავაგოთ y = sin x ფუნქციის გრაფიკი

2 იმავე კოორდინატთა სისტემაში ავაგოთ y = ფუნქციის გრაფიკი

3 ავღნიშნოთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები

4 როგორც ხედავთ y = წრფე y = sin x ფუნქციის გრაფიკს ორ ნაწილად ყოფს გრა-

ფიკის y = წრფის ზევით დარჩენილი ნაწილის წერტილების აბსცისები მოცემული

უტოლობების ამონახსნებია ეს წერტილები 0 lt x lt 2 ინტერვალში აბსცისა x gt და

x lt მქონე წერტილებია მაშასადამე უტოლობის 0 lt x lt 2 ინტერვალში არსებული

ამონახსნები lt x lt პირობის დამაკმაყოფილებელ წერტილთა ერთობლიობაა

nimuSi 1 sin x gt უტოლობა 0lt xlt2 ინტერვალში ამოხსენით გრაფიკული ხერხითდაწერეთ უტოლობის ამონახსენთა ზოგადი სახე

12

12

56 5

6

56 52326

6

6

12

12

12

მარტივი ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნა ერთეულოვანი წრეწირის ან ტრიგო-ნომეტრიული ფუნქციების დახმარებით ხდება

6

56

12

656

2ndash2ndash32 2ndash

nimuSi 2 ამოხსენით უტოლობა sin x lt amoxsna sin x = განტოლების ფესვები y = sin x და y = ფუნქციების

გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსცისებია რადგან განტოლების ერთი ამონახსნია

x1 = ამიტომ 2 სიგრძის შუალედში მეორე ამონახსენი ndash = იქნება

გრაფიკზე ავღნიშნოთ გადაკვეთის წერტილები რომელთა აბსცისებია და

radic32

23

3

3

radic32

radic32

3

23

x

y y = sin xy =

12

6

56

12

201

nimuSi 3 ამოხსენით უტოლობა cos x gt

amoxsna y = cos x და y = ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების

აბსცისები ვიპოვოთ cos x = განტოლებიდან

x = + 2n და x = ndash + 2n (n Z)როცა n = 0 გადაკვეთის წერტილების აბსცისები და ndash იქნება ავღნიშნოთ ეს

წერტილები გრაფიკზე ამ წერტილებიდან ორივე მხარეს ვუჩვენოთ კიდევ ორი წერტილი


ამ წერტილებიდან ორივე მხარეს კიდევ ორი წერტილი ვუჩვენოთ წერტილიდან 2

მანძილით მარჯვნივ + 2 = და წერტილიდან 2-ით მარცხნივ

ndash 2 = ndash წერტილებიც ამ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსცისებია

3

73

3

23

23

43

0 x

y

73

23

3

83ndash 5

3 ndash 43

radic32y =

43(ndash ) შუალედში y = sin x ფუნქციის გრაფიკზე არსებული წერტილების ორდინატი

-ზე ნაკლებია პერიოდულობის მხედველობაში მიღებით sin x lt უტოლობის ამო-

ნახსენი ndash + 2n lt x lt + 2n (n Z) სახით შეიძლება ჩავწეროთ

3

radic32

radic324

33

როგორც გრაფიკული გამოსახულებიდან ჩანს ( ) შუალედი sin x gt უტოლობას

აკმაყოფილებს sin x gt უტოლობის დამაკმაყოფილებელი დანარჩენი ინტერვალები

( ) ინტერვალის 2-ის ჯერადის ტოლ მანძილზე მარჯვნივ და მარცხნივ მოძრა-

ობით მიიღება მაშასადამე sin x gt უტოლობის ამონახსენთა სიმრავლე

+ 2n lt x lt + 2n (n Z) სახისა იქნება

3

23

radic32

radic32

3

23

radic32

3

23

2

2

radic22

4

radic22radic22

4

2

2

4

4

0 x

y

74

4 9

4ndash 7

4

radic22y =

ndash 4

202


მოცემული უტოლობის დამაკმაყოფილებელი ინტერვალებიდან ერთი შესაბამისი გან-ტოლების აბსოლუტური მნიშვნელობით უმცირესი ფესვების ანუ ndash და წერტილებს

შორისაა პერიოდულობის მხედველობაში მიღებით cos x gt უტოლობის ამონახსენს

ndash + 2n lt x lt + 2n (n Z) სახით მივიღებთ

4

4

radic22

4

4

nimuSi 4 ამონახსენით უტოლობები tg x gt 1 და tg x lt 1 amoxsna ერთსა და იმავე საკოორდინატო სიბრტყეზეგამოვსახოთ y = tg x და y = 1 ფუნქციების გრაფიკები

tg x = 1 განტოლებიდან ვიპოვოთ გრაფიკების (ndash )შუალედში მდებარე გადაკვეთის წერტილის აბსცისა x =(ndash ) შუალედში tg x ზრდადი ფუნქციაა როცა

x = რადგან tg x = 1 ამიტომ როცა

ndash lt x lt მაშინ tg x lt 1 როცა

x0

1

y

4ndash

2

y = 1

2

2

2

42

2

42

4

4

74ndash წერტილიდან 2-ით მარჯვნივ ndash + 2 = და წერტილიდან 2-ით მარცხნივ

ndash 2 = ndash წერტილებიც ავღნიშნოთ გრაფიკზე

4

4

74

4

გრაფიკის გამოსახულების თანახმად cos x lt უტოლობის ამონახსენი

+ 2n lt x lt + 2n (n Z) იქნება4

74

tg x არის პერიოდიანი ფუნქციაtg x lt 1 უტოლობის ამონახსენიაndash + n lt x lt + n (n Z)tg x gt 1 უტოლობის ამონახსენი კი

+ n lt x lt + n (n Z) იქნება

4

2

2

4

4

2

nimuSi 5 ამოხსენით უტოლობები ctg x gt radic3 და ctg x lt radic3 amoxsna ერთსა და იმავე საკოორდინატო სიბრტყეზეგამოვსახოთ y = ctg x და y = radic3 ფუნქციების გრაფიკები(0 ) შუალედში გრაფიკების გადაკვეთის წერტილის აბსცისასვპოულობთ ctg x = radic3 განტოლებიდან x =(0 ) შუალედში ctg x კლებადი ფუნქციაა

რადგან ctg x = radic3 როცა x = ამიტომ როცა

0 lt x lt მაშინ ctg x gt radic3 ხოლო როცა

6

6

6

x0

y

y = radic3

6

radic22

lt x lt მაშინ tg x gt 1 -ზე რადგან

lt x lt მაშინ კი ctg x lt radic3 იქნებაეს იმას ნიშნავს რომ ctg x gt radic3 უტოლობა 0 + n lt x lt + n (n Z) პირობას

ctg x lt radic3 უტოლობა კი + n lt x lt + n (n Z) პირობას აკმაყოფილებს

6

6

6

nimuSi 7 ამოხსენით radic2 sin (x ) + 3 ge 2 უტოლობა 0lt x lt 2 ინტერვალში

203


ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნისათვის1) ერთსა და იმავე კოორდინატთა სისტემაში ააგეთ უტოლობის მარჯვენა და მარცხენამხარეების მომცველი გრაფიკები2) ამოხსენით შესაბამისი განტოლება გრაფიკების კოორდინატთა სათავის სიახლოვესრამდენიმე ადგილას იპოვეთ და აღნიშნეთ გადაკვეთის წერტილების აბსცისები3) განსაზღვრეთ მოცემული უტოლობის დამაკმაყოფილებელი რაიმე შუალედი4) პერიოდულობის გათვალისწინებით დაწერეთ უტოლობის ამონახსენი

როგორც გრაფიკიდან ჩანს cos3x-ის 0-ზე ნაკლებ ან 0-ის ტოლ მნიშვნელობებს გრაფიკის

აბსცისათა ღერძზე (y = 0 წრფე) და მის ქვევით მდებარე წერტილები შეესაბამება

0lt xlt 2 ინტერვალში უტოლობის ამონახსნები lt xlt lt xlt lt x lt შუალედები იქნება

nimuSi 6 ამოხსენით cos 3x le 0 უტო-ლობა 0lt xlt2 ინტერვალშიamoxsna

6

2

56

763

211

6

გრაფიკის y = 2 წრფეზე და მის ზემოთ დარჩენილი ნაწილის წერტილების აბსცისები არის

უტოლობის ამონახსენი ეს 0lt xlt 2 ინტერვალში 0 le xle წერტილებია

უტოლობის ამონახსნების ზოგადი სახე 2k le x le + 2k იქნება

Semowmeba ამოხსნის ინტერვალიდან ერთი წერტილი მაგალითად x = წერტილიშევარჩიოთ როგორც საცდელი წერტილი და შევამოწმოთ ამოხსნის სისწორე

radic2sin ( ) + 5 ge 2

radic2sin + 3 ge 2 1 + 3 ge 2

1 გრაფკალკულატორით ავაგოთ

y = radic2sin(x ) + 3 და y = 2

4

4

4

4

2

2

323

2

ფუნქციების გრაფიკები

1 ავაგოთ y = cos 3x ფუნქციის გრაფიკი -23 -3 3 23 43 53 30

(ndash20) (ndash60) (60) (20) (560) (760) (320) (1160)

y = radic2 sin x ndash +34

y = 26

-3 -2 2 3-

42

0

204


2

1


ა) sin x gt ბ) sin x gt ndash გ) sin x lt დ) sin x lt

ე) cos x ge ვ) cos x gt ndash ზ) cos x lt თ) cos x le

ა) 2 sin 2x ndash radic3 gt 0 ბ) 2 cos 2x ndash radic2 le 0

გ) 2 sin(x + ) ndash 1 gt 0 დ) 2 cos(x ndash ) + 1 lt 0

ი) tg x gt radic3 კ) tg x gt ndash1 ლ) tg x le 1 მ) tg x lt ნ) ctg x gt 1 ო) ctg x gt ndash1 პ) ctg x le radic3 ჟ) ctg x lt ndashradic3

12

radic32

radic22

radic33

6

3

12

12

radic22

radic32

12

nimuSi 2 sin(x + ) ndash 1 gt 0sin(x + ) gt

x + = t

sin t gt

+ 2n lt t lt + 2n n Z + 2n lt x + lt + 2n

2n lt x lt + 2n n Z

0 x

y

6

56

23

56

6

612

6

12

66

56

6

გამოიკვლიეთ ნიმუში ამოხსენით უტოლობები

3

4

5



ა) sin x gt ბ) sin x gt ndash გ) sin x gt 0

ა) sin x lt ბ) sin x lt ndash გ) sin x lt 0

12

2

32

12

2

32

12

12

იპოვეთ უტოლობის [0 2] მონაკვეთზე მდებარე ამონახსნები

ა) cos x lt ბ) cos x le ndash გ) cos x lt 012

12


ა) cos x gt 0 ბ) cos x gt ndash გ) cos x gt12

radic32

იპოვეთ უტოლობის (ndash ) შუალედში მდებარე ამონახსნები2

2

ა) tg x gt ndash1 ბ) tg x lt ndash1 გ) tg x ge radic3

ა) ctg x lt 1 ბ) ctg x gt radic3 გ) ctg x le 06

7

იპოვეთ უტოლობის (0 ) შუალედში მდებარე ამონახსნები

8

saswavlo davalebebi

შემოვიტანოთ აღნიშვნა

205


ერთეულოვან წრეწირზე რომელი მეოთხედი აკმაყოფილებს ქვემოთ მოცემულ პირობებს

ა) sin x gt 0 cos x lt 0 ბ) cos x lt 0 tg x lt 0

დ) tg x lt 0 sin x gt 0გ) sec x gt 0 tg x gt 0

Ria tipis davalebebi დაწერეთერთეულოვანი წრეწირის წითელფერიანინაწილით გამოსახული ტრიგონომეტრიულიუტოლობა

74

54

radic22

radic22

radic22

radic22

( ( ))

9

10

11 უტოლობის ამოხსნის გრაფიკის გა-მოსახულების მიხედვით დაწერეთუტოლობა და ამოხსნის ინტერვალი

radic22სურათზე sin t ge და sin t le უტოლობების ამოხსნის ზოგადი ჩანაწერი

და ერთეულოვან წრეწირზე ასახვა სხვადასხვა ფერებით ნიმუშადაა მოცემული

radic22

sin t ge 12 sin t ge radic3

2radic32sin t lt

12

12

12

sin t ge sin t le radic22

radic22

4

34+ 2k le t le + 2k k Z

454

ndash + 2k le t le + 2k k Z

ქვემოთ მოცემული უტოლობების ამონახსნები წარმოადგინეთ ნიმუშის შესაბამისად

6

2

900 1800 2700 2600

76

y = cos 2x56

32 2

116y = 1

212

x

x1

-1

x

4

34

y

x

y ndash =ndash ndash = ndash

454

4

4

sin t ge sin t le

ა) ბ) გ)

დ) ე)

206


ნიმუშზე cos t ge და cos t le უტოლობების ზოგადი ამონახსენი და ერთეულო-

ვან წრეწირზე ასახვაა მოცემული

წარმოადგინეთ ქვემოთ მოცემული უტოლობების ამონახსნები ნიმუშის მსგავსი ხერხით

ა) cos t ge ბ) cos t le გ) cos t ge ndash

12

radic22

12

radic22

12

cos t ge

ndash + 2n le t le + 2n

12

3

3

y

x

3

3

12

13

ა) sin 3xsin x ndash cos 3xcos x ge ndashბ) sin xcos x gt ndash გ) sin 3xcos x + cos 3xsin x lt

ა) (2 sin x ndash 1)middot(sin x ndash 3) lt 0ბ) (2 cos x ndash radic3)middot(cos x + 2) gt 0გ) 2 cos2 x + 3 cos x ndash 2 lt 0

ა) radic3 sin x + cos x gt 1 ბ) sin x ndash cos x lt 1

14

radic22

12

უტოლობები გაამარტივეთ ტრიგონომეტრიული იგივეობების მიხედვით და ამოხ-სენით

უტოლობის ორივე მხარე გაყავით განსაზღვრულ რიცხვზე გაამარტივეთ დამხმარეკუთხის შემოტანით და ამოხსენით


14

15

16

ამოხსენით უტოლობები (0 2) ინტერვალში

cos 3x gt

sin(x + ) ge

cos lt

tg 2x ge radic3

cos(2x ndash ) le ndash

sin(2x ndash ) le 0

ctg(x ndash ) gt ndash1

sin( ndash x) lt

12

radic32

3

x2

radic22

12

6

4

3

4

12

17

ndash

ა) ბ)

გ) დ)

ე) ვ)

ზ) თ)

cos t le

+ 2n le t le + 2n

12

3

53

53

y

x

2 ndash =

3

12

3

207


amoxsna ა) ამოცანის მონაცემების მი-ხედვით ავაგოთ სქემატური გამოსახულე-ბა კარუსელის წრეწირის გარშემო მოძ-რაობისას ყოველი მეოთხედი ბრუნისშესაბამისი წერტილებითუ შევაერთებთ ამ წერტილებს მივიღებთკარუსელის ერთი ბრუნის შესაბამის (360deg)გრაფიკს- სინუსოიდასბ) როგორც გრაფიკიდან ჩანს ეს პიროვნებამე-10 წამიდან 30-ე წამამდე დროისგანმავლობაში დედამიწიდან 21 მ და მეტ სიმაღლეზე იქნებაგ) ამოცანის მონაცემებისა და გრაფიკის მიხედვით დავწეროთ ფუნქციის ფორმულა

ა) დახაზეთ ამოცანის შესაბამისი გრაფიკული გამოსახულება

ბ) მოძრაობის დაწყებისას ყველაზე დაბლა მყოფი კაბინაკარუსელის ერთი სრული ბრუნის განმავლობაში რომელწამებზე იქნება დედამიწიდან 21 მ და უფრო მეტ სიმაღლეზე

გ) დაწერეთ ამ სკამზე მჯდომი პიროვნების კარუსელზებრუნვისას დედამიწიდან არსებული სიმაღლის დროზე დამო-კიდებულების მაჩვენებელი ფუნქცია h(t) = asinb(t c) + dსახით

41 მ

10 20 30 40

21 მ

1 მ

ვიპოვოთ b სიხშირე პერიოდის მიხედვით T = 2

b360

b36040

T = 40 წმ = 40 b = = 9

განვსაზღვროთ სივრცითი მოცურება - c სინუსის ფუნქცია მაქსიმუმს იღებს პერიოდისერთ მეოთხედზე თუმცა ამ ფუნქციის მაქსიმუმი 10 წამით გვიან (მე-20 წამზე) მიიღწევასივრცითი მოცურება c = 10 მაშასადამე

h(t) = 20 sin 9(t ndash 10) + 21

ამოცანაში მოცემული მაქსიმუმისა და მინიმუმის მიხედვით ვიპოვოთ ამპლიტუდა დაშუახაზი

a = = = 20

= 21

მაქსიმუმი მინიმუმი2

41 12

= 41 + 1

2 d = მაქსიმუმი + მინიმუმი2

amocanis amoxsnis nimuSi 20 მ რადიუსიანი კარუსელი ყოველ 40 წამში ერთსრულ ბრუნს ასრულებს ყველაზე დაბლა მყოფი სკამი 1 მ სიმაღლეზეა

208

1

2

3

ა) cosndash1 (ndash08) ბ) sinndash1 099 გ) tgndash1 12 დ) cosndash1 055კალკულატორით გამოთვალეთ

იპოვეთ განტოლებების [0 2π) ( ანუ [0 360deg)) შუალედში არსებული ფესვები

ა) sin(x + 60ordm) = ბ) cos(x ndash 30ordm) = ndashგ) tg(x + 45ordm) = ndash1 დ) sin(x ndash 20ordm) =ე) cos(2x ndash ) = ვ) tg( ndash x) = 1

1radic2

radic32

12

2

12

4

ამოხსენით უტოლობები 0lt xlt 2 ინტერვალში

ა) cos x le ndash ბ) cos x ndash gt 0 გ) radic2 sin x ndash 1 lt 0დ) sin x le 0 ე) tg x ge radic3 ვ) sec2 x le 4ზ) cos2 x gt თ) cos 2x le 0 ი) sin(x + ) gtკ) cos2 x ge ლ) 2 cos x ge 1 მ) sin 5x ge 5ნ) cos 2x le 1 ო) sec x le radic2 პ) ctg x le 4

12

radic32

13

12

12

3

ამოხსენით განტოლებებია) 2 ctg x + 1 = ndash1ბ) 5 sec2 x = 6 sec xგ) 4 sin2 x ndash 4 sin x + 1 = 0დ) tg x ndash ctg x = 0

ე) sin x + 2 = 3ვ) 2 cos2 x ndash cos x = 1ზ) tg2 x ndash 4 tg x + 4 = 0თ) cos2 x = sin2 x + 1

4

5 თურალი და ჰუსეინი სურათზე აღნიშნული წესით 100 მ რადიუსიანი წრეწირის გარშემოდარბიან თურალი სურათზე აღნიშნულიწერტილიდან დაწყებით საათის ისრისმოძრაობის საწინააღმდეგო მიმართულებით003 რადწმ ჰუსეინი კი აღნიშნული წერ-ტილიდან საათის ისრის მოძრაობის საწი-ნააღმდეგო მიმართულებით 0025 რადწმსიჩქარით დარბისა) განსაზღვრეთ 6 წამის შემდეგ მათი ადგილმდებარეობის წერტილების კოორდინატებიბ) რა მანძილს გაივლიან ისინი 8 წამის განმავლობაშიგ) გამოსახეთ თურალის მიერ t წამის შემდეგ მოძრაობით შემოხაზული მობრუნებისკუთხედ) თურალი პირველად მერამდენე წამზე იქნება იმ წერტილში რომლის აბსცისაც არის 50ე) ჰუსეინი პირველად მერამდენე წამზე იქნება იმ წერტილში რომლის აბსცისაც არის 50ვ) თურალი პირველად მერამდენე წამზე დაეწევა და გაასწრებს ჰუსეინს

r = 100 მ

თურალი აქედანიწყებს სირბილს

ჰუსეინი აქედანიწყებს სირბილს003 რადწამი

0025 რადწამი


კუთხის რა უმცირესი დადებითი მნიშვნელო-

ბისათვის იქნება პლანეტა მერკურსა და მზეს შორის მანძილი 5107 კმ-ის ტოლი

209

astronomia პლანეტა მერკური მზის გარ-შემო ელიფსის ფორმით მოძრაობს მისი მოძ-რაობა შეიძლება გამოისახოს ქვემოთ მოცე-მული ფორმულით

r = 344 107

1 ndash 0206 cos

მერკური

ორბიტა

r

შერჩეულ ტერიტორიაზე მინდვრის კურდღლების რაოდენობის გამრავლების (მათ-თან ერთად მტაცებლების გამრავლების მიხედვით) დროზე დამოკიდებულების D(t) = 400cos(72t) + 800 სახით მოდელირება შეიძლება D არის კურდღლებისრაოდენობა t კი 2000 წლიდან დაწყებული უჩვენებს დროს (წლობით)ა) რამდენია კურდღლების მაქსიმალური და მინიმალური რაოდენობაბ) რამდენი იქნება კურდღლების რაოდენობა მიმდინარე წელსგ) რომელ წელს იყო დაახლოებით 1000 კურდღელიდ) დახაზეთ ფუნქციის გრაფიკი 2 წლიანი პერიოდისათვის

6

7

მზე

ერთი წლის განმავლობაში შეგროვებული ინფორმაციების გამოკვლევის შედეგადქალაქში დღის ხანგრძლივობის (საათობით) ქვემოთ მოცემული დამოკიდებულებითცვლილება განისაზღვრა

D(x) = sin x+ 353

2π365

73

ა) რამდენი საათი იყო დღის ხანგრძლივობა 1 იანვარს 22 მარტს და 5 ნოემბერსბ) რომელ თარიღებშია დღის ხანგრძლივობა 11საათზე მეტი

სადაც x-ით აღინიშნება დღის წლის დასაწყისიდან გამოთვლილი ნომერი

8

9 სურათზე მოცემულია y = a sin bx ფუნ-ქციის გრაფიკია) გრაფიკის მიხედვით იპოვეთ a და bმნიშვნელობებიბ) იპოვეთ y = 2 წრფესთან გადაკვეთის P დაQ წერტილების კოორდინატები

y

321

-1-2-3

y = 2P

90deg 180deg 270degx

Q

10იპოვეთ განტოლებების ფესვები [0 2π) შუალედში

ა) 2 cos2 x = sin x ბ) sin3 x ndash 5 sin x = 0გ) radic3 sin x + cos x = 1 დ) cos x middot cos 2x = cos 3xე) tg(2x ndash ) = radic3 ვ) sin 3x ndash cos 2x = 2

8


210

sivrciTi figurebis moculoba8prizmis moculoba

piramidis moculoba


msgavsi sivrciTi figurebis zedapirebi

da moculobebi



simetria sivrceSi

როცა ზომები ნატურალური რიცხვებიამართკუთხა პარალელეპიპედის მოცუ-ლობა რიცხვითი მნიშვნელობით მისიშემდგენი ერთეულოვანი კუბების რაო-დენობის ტოლია იმ შემთხვევაში როცაზომები ნებისმიერი ნამდვილი რიცხვებია მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა მისისამი განზომილების ნამრავლის ტოლია V= a∙bmiddotc ვინაიდან მოცულობის ფორმულაში amiddotbნამრავლი ფუძის ფართობია c კი სიმაღლეა ის შეიძლება ასეც ჩამოვაყალიბოთ

მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა მისი ფუძის ფართობისა დასიმაღლის ნამრავლის ტოლია V = Sფhიმ კუბის მოცულობა რომლის წიბოს სიგრძეა a იქნება V = a3ნებისმიერი პრიზმის მოცულობა ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლისტოლია ამ მოსაზრების მართებულობა ვუჩვენოთ მართ პრიზმაზე რომლის ფუძეცმართკუთხა სამკუთხედია

prizmis moculoba

211

gamokvleva კუბებით ააგეთ სხვადასხვა ზომის პრიზმები და დახაზეთ მათი სურათებიააგეთ სულ მცირე ოთხი პრიზმა

1 წარმოადგინეთ რომ პრიზმის შემდგენი თითოეული კუბის გვერდის სიგრძე 1ერთეულია ყოველი წახნაგი კვადრატული ერთეულია მოცულობა 1 კუბური ერთეულია

2 პრიზმების მიხედვით განსაზღვრეთ ცხრილში მოცემული ინფორმაციები და შეავსეთიგი

3 რა კავშირი აღმოაჩინეთ პრიზმის ფუძის ფართობს სიმაღლესა და მოცულობას შორის

4 კონსტრუქციების კუთხიდან აიღეთ ერთი კუბი დახაზეთ მიღებული კუბოიდებისზედხედის წინხედისა და გვერდხედის სურათები

პრიზმა ფუძისფართობი სიმაღლე მოცულობა

1234 4 2

31

a b

თუ სხეულის სასრული რაოდენობის სამკუთხა სხეულებად დაყოფა შესაძლებელია მასმარტივი სხეული ეწოდება მარტივი სხეულებისათვის მოცულობა - რიცხვითი მნიშვნელობაქვემოთ მოცემული თვისებების დამაკმაყოფილებელი დადებითი სიდიდეა1) კონგრუენტული სხეულების მოცულობები ტოლია2) იმ კუბის მოცულობა რომლის წიბო სიგრძის ერთეულის ტოლია კუბური ერთეულისტოლია3) თუ სხეული მარტივ სხეულებად ნაწილებად იყოფა მაშინ ამ სხეულის მოცულობა მისინაწილების მოცულობების ჯამის ტოლიასხეულებს რომელთა მოცულობები ერთმანეთის ტოლია ტოლდიდი სხეულები ეწოდება

1 გავავლოთ პრიზმის გვერდითი წიბოს მართობული სიბრტყითი მკვეთი2 გამოვყოთ სიბრტყითი კვეთის ზევით დარჩენილი ნაწილი3 გამოყოფილი ნაწილის გარდაქმნით პრიზმის სიბრტყითი კვეთისქვევით დარჩენილი ნაწილი დავაწებოთ4 მიღებული მარტი პრიზმის სიმაღლე დახრილი პრიზმის გვერდითიწიბოა ანუ h = l ფუძე კი დახრილი პრიზმის პერპენდიკულარული კვეთაა

სურათზე მოცემული ABCAprimeBprimeCprime დახრილი პრიზმა გარდავქმნათ მისიტოლი მოცულობის მქონე მართ პრიზმად ამისათვის

prizmis moculoba

212

AAprime წიბოზე გავლით BC წიბოს მართობული სიბრტყე ამ პრიზმას ერთიდა იმავე სიმაღლის მქონე ორ პრიზმად ყოფს რომელთა ფუძეებიცმართკუთხა სამკუთხედებია მოცემული პრიზმის მოცულობა ამპრიზმების მოცულობების ჯამის ტოლიამაშასადამე მართი პრიზმის მოცულობა რომლის ფუძეც ნებისმიერისამკუთხედია ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლის ტოლიათუ მართი პრიზმის ფუძეები ნებისმიერი მრავალკუთხედი იქნება ამპრიზმის ფუძის სამკუთხედებად დაყოფით მართ პრიზმებად დაიყოფადა მათი მოცულობების შეკრებით მოცემული პრიზმის მოცულობისგამოთვლა შეიძლება

მართობულ მკვეთის სიბრტყესა და ფუძის სიბრტყეს შორის კუთხე დახრილი პრიზმისგვერდითი წიბოსა და სიმაღლეს შორის არსებულ კუთხესთან ტოლობიდან გამომდინარე

V = Smiddotl=Sფძcos l =Sფძ Hამრიგად პრიზმის მოცულობა ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლის ტოლია

V = Sფძ H

A

Aprime

Mprime

MB

Bprime

Eprime

E

A

B

C

D

Dprime

CprimeAprime

C

Cprime

Bprime

თუ პრიზმის ფუძე ნებისმიერი ABC სამკუთხედია ამ სამკუთხედებისსიმაღლეებიდან ისეთი გავავლოთ რომ მოპირდაპირე გვერდი მის შიდაწერტილში გადაკვეთოს AM BC

ფუძეში მოცემული მართკუთხა სამკუთ-ხედების მართკუთხედებამდე შევსებითპრიზმაც მართკუთხა პარალელეპიპედამდეშევავსოთ მიღებული მართი პრიზმისმოცულობა V = ABACAAprime იქნებაპრიზმის ფუძის დიაგონალზე გამავალიBBprimeCprimeC სიბრტყე პრიზმას ორ კონგრუ-ენტულ სამკუთხა პრიზმად ყოფს მაშა-

სადამე მართი პრიზმის მოცულობა რომლის ფუძეც მართკუთხა სამკუთხედია შეიძლებაჩაიწეროს ქვემოთ მოცემული სახით

A A

Aprime

BB

BprimeBprime

CC

Cprime

A

θ Hl

A1 B1

M1N1

BM

N

C

Cprime

Aprime

Dprime

D

AB AC2

AAprime = SothV =

ამ მართი პრიზმის მოცულობა იგივე დახრილი პრიზმის მოცულობაა

დასკვნა დახრილი პრიზმის მოცულობა მართობული კვეთის ფართობისა და გვერდითიწიბოს ნამრავლის ტოლია V = Smiddotl

prizmis moculoba

213

nimuSi იპოვეთ წესიერი ხუთკუთხა პრიზმის მოცულობა თუ ფუძის გვერდის სიგრძე 4 სმ-ია გვერდითი წიბოს სიგრძე კი 9 სმ-ია

წესიერი ხუთკუთხედის ცენტრული კუთხეა 360 5 = 72degამიტომ აპოთემა

პრიზმის მოცულობა ფუძის ფართობისა დასიმაღლის ნამრავლის ტოლია

V = Sფძh

prizmis moculoba

h

2tg36deg

2tg36deg

r =

h

marTi prizma

daxriliprizma

12

20tg36deg

180tg36deg

kavalieris principi moculobebis Sesaxeb თუ ფუძეების ერთსა და იმავესიბრტყეში მქონე თანაბარსიმაღლიანი ორი სხეულის ფუძეებზე პარალელური ნებისმიერისიბრტყითი კვეთის ფართობები ტოლია მაშინ მოცულობებიც ტოლია

ეს პრინციპი აღმოაჩინა იტალიელმა მათემატიკოსმა ბონავენტურა კავალიერმა (1598-1647)

hS S

წესიერი ხუთკუთხედის ფართობი პერიმეტრისა და აპოთემისნამრავლის ნახევრის ტოლია

Sფძ = Pr = middot 5 4 = V = S0 middot h = asymp 248 (სმ3)

1მართკუთხა პარალე-ლეპიპედის ზომები მნიშვნელობები

სიგრძე a 6 20 2 3 8სიგანე b 4 30 5 8 2

სიმაღლე c 3 15 4 2 Sგვ 40 40 60Sსრ V 60

ცხრილის მონაცემების მიხედვით იპოვეთ კითხვის ნიშნების ადგილას საჭირო ზომები

8 სმ times 15 სმ times 40 სმ ზომის მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის მეტალის ბლოკიმთლიანად 1 სმ times 15 სმ times 2 სმ ზომის მეტალის ფილებისაგან შედგება რამდენი ასეთიფილაა მეტალის ბლოკში

2

12

r9 სმ

4 სმ

4 4

4 4

2 2

ა) დაამტკიცეთ რომ მართკუთხა პარალელეპიპედის ნებისმიერი დიაგონალისკვადრატი მისი სამივე განზომილების კვადრატის ჯამის ტოლია d2 = a2 + b2 + c2

ბ) იპოვეთ მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა თუ a = 3 b = 4 d=13

18 მ

12 მ

3 მ

6 მ

prizmis moculoba

214

სურათზე ნაჩვენები ზომების ყუთში ჩაგდებულიქვით წყლის დონე 05 სმ აიწია იპოვეთ ქვისმოცულობა 35 სმ 50 სმ

25 სმ

10

11

რძის პროდუქციის წარმოებით დასაქმებული კომპანია ახალი სავაჭროკამპანიისათვის ფასების შენარჩუნების პირობებში რძის ყუთებისტევადობის 25-ით გაზრდას გეგმავს როგორ შეიძლება ამის მიღწევამხოლოდ ყუთების სიმაღლის შეცვლით

7

როგორ შეიცვლება პარალელეპიპედის მოცულობაა) თუ ზომებიდან ერთი ორჯერ გაიზრდება ბ) ორი ზომიდან თითოეულიორჯერ გაიზრდება გ) სამივე ზომა ორჯერ გაიზრდება

6

rZe100-iTbunebrivi

სურათის მონაცემების მიხედვით გამოთვალეთ მართი პრიზმის მოცულობა

გამოთვალეთ შედგენილი ფიგურებისმოცულობა

3

5

7სმ

20მმ

34 მმ

23სმ

15სმ

4სმ

33მმ

4 სმ

3სმ

5სმ

11სმ

10 სმ

4მ

4მ6მ

2მ

4მ

იპოვეთ დახრილი პრიზმის მოცუ-ლობა რომლის ფუძეც კვადრატია

4

10 მ სიგრძის აუზის განივი კვეთის სურათზე მოცე-მული ზომების მიხედვით იპოვეთა) რამდენ ტონა წყალს იტევს აუზი (1მ3 =1 ტონას)ბ) სავსე აუზი ორი ერთნაირი მილით 4 საათშიდაიცლება რამდენ კუბურ მეტრ წყალს ატარებსთითოეული მილი ერთ წუთში

8

სურათზე მოცემული ხორბლის საწყობი (ამბარი)რომელი სივრცითი ფიგურის ფორმისაა რამდენიწახნაგი და რამდენი წიბო აქვს მას მოცემულიზომების მიხედვით გამოთვალეთ მისი მოცულობა

9

15 მ

6 მ

7 მ

25მ

48მ3მ

5 სმ

4 სმ

ა) სურათზე მოცემული ზომების მიხედვით გამოთვალეთკონსტრუქციის სრული ზედაპირის ფართობი

ბ) 1 სმ3-ის ფასი 2 კაპიკი ალუმინისგან დამზადებული ესკონსტრუქცია 1 სმ3-ის ფასი 10 კაპიკიანი გამძლე მეტა-ლისაგან დამზადებული კონსტრუქციასთან შედარებითრამდენი მანეთით იაფი იქნება

prizmis moculoba

215

სურათზე მოცემული მეტალის ბლოკისსიმკვრივე 7860 კგმ3-ია გამოთვალეთ მისისაერთო მასა 10 კგ-ის სიზუსტით

წესიერი სამკუთხა პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი 48 სმ2-ია სიმაღლე კი 8 სმ-იაა) იპოვეთ ფუძის გვერდის სიგრძე ბ) იპოვეთ პრიზმის მოცულობა

12

13

ა) მართკუთხა პარალელეპიპედის სამი წახნაგის ფართობი 2 სმ2 3 სმ2 6 სმ2-ია იპოვეთამ პარალელეპიპედის მოცულობაბ) მართკუთხა პარალელეპიპედის განზომილებებია 3 სმ 4 სმ და 5 სმ თუ მის თი-თოეულ წიბოს x სმ-ით გავზრდით ფართობი 54 სმ2-ით გაიზრდება იპოვეთ რამდე-ნით გაიზრდება მოცულობა

14

15

18

125სმ

5სმ

5სმ20სმ

30სმ100 სმ

50მმ

40მმ 80მმ

60მმ

170მმ110მმ

120მ

მ

40 სმ

6სმ

50 მმ

12 მმ

იპოვეთ წესიერი ექვსკუთხა პრიზ-მის მოცულობა

ა) ბ)

წესიერი ექვსკუთხა პრიზმის ფუძის გვერდი 6radic3 სმ-ია სიმაღლე - 4 სმ იპოვეთ პრიზმისგვერდითი ზედაპირი და მოცულობა

დახრილი პრიზმის ფუძე ტოლგვერდა სამკუთხედია რომლის გვერდი4 სმ-ია პრიზმის გვერდითი წიბო 10 სმ-ია და ფუძის სიბრტყესთან60ordm-იან კუთხეს ადგენს იპოვეთ ამ პრიზმის მოცულობა

16

17

სურათზე მოცემული ABCD მართკუთხედის ფორმისდახრილი ფართობიდან მიწის ამოღების შემდეგ CDEFმართკუთხედის სახის სწორი ფართობი მიიღეს რამდენიკუბური მეტრი მიწა იქნა გატანილი ამ ფართობიდან თუAB = 10 მ ED = 24 მ და ფართობი 10 მ2-ითაა შემცი-რებული

19B

C

DE

A F10

24

სურათზე მოცემული მართი პრიზმის ფუძეკვარდატია იპოვეთ პრიზმის მოცულობა თუSABCD=24 სმ2 და BEG = 60deg

20

K

D

E

F G

C

BA

AprimeCprime

Bprime

A HB

hC

10სმ

4 სმ600

ბ) სხვა მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის ყუთის ზომები

8 6-ია თუმცა მისი დიაგონალი ფუძის დიაგონალთან 60deg-იან კუთხეს ქმნის უჩვე-

ნეთ რომ ამ ორი პარალელეპიპედის მოცულობების შეფარდება -ის ტოლია

ა) მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალი ფუძის დიაგონალ-თან 30deg-იან კუთხეს ადგენს იპოვეთ მისი მოცულობა სურათზემოცემული ზომების მიხედვით

მართი პრიზმის ფუძე კვადრატია მისი გვერდითი წიბოს სიგრძე ფუძის გვერდზე3-ჯერ მეტია სრული ზედაპირის ფართობი კი 350 მ2-ია იპოვეთ პრიზმის მოცულობა

მართი სამკუთხა პრიზმის ფუძის გვერდები 4 სმ 5 სმ და 7 სმ-ია გვერდითი წიბო კიფუძის დიდი სიმაღლის ტოლია იპოვეთ პრიზმის მოცულობა

წესიერი სამკუთხა პრიზმის ყველა წიბოს სიგრძე x-ის ტოლია უჩვენეთ რომ მისი

მოცულობა V = x3-ის ტოლია

prizmis moculoba

216

tg60degtg30deg

radic34

წესიერი ექვსკუთხა პრიზმის სიმაღლეა h ფუძის გვერდი კი a-ს ტოლია უჩვენეთ რომ

მისი მოცულობა V = a2h-ის ტოლია

წესიერი სამკუთხა პრიზმის ყველა 9 წიბო ერთი და იგივე სიგრძისაა რამდენი

სანტიმეტრია ერთი წიბოს სიგრძე თუ პრიზმის მოცულობა 16radic3 სმ3-ია

თუ პარალელეპიპედის სიგრძე და სიგანე 20-ით შემცირდება რამდენი პროცენტითუნდა გაიზარდოს სიმაღლე რომ მოცულობა არ შეიცვალოს

3radic32

24

25

26

27

დახრილი სამკუთხა პრიზმის გვერდითი წიბოები 20 სმ-ია მართობული კვეთისგვერდები 13 სმ 14 სმ და 15 სმ-ია იპოვეთ პრიზმის მოცულობა

28

29

30

31

300

86

ა) დახრილი პრიზმის ფუძეა კვადრატირომლის გვერდი 2 ერთეულია 15 ერ-თეული სიგრძის გვერდითი წიბო ფუძისსიბრტყესთან 60deg-იან კუთხეს ადგენსიპოვეთ პრიზმის მოცულობა

ბ) წესიერი ექვსკუთხა დახრილი პრიზმისმოცულობა 36radic3 კუბური ერთეულიამისი 12 ერთეული სიგრძის გვერდითიწიბო ფუძის სიბრტყესთან 30-იან კუთ-ხეს ადგენს იპოვეთ ფუძის გვერდი

23

2 დმ2 ფართობის მქონე რომბი მართი პარალელეპიპედის ფუძეა დიაგონალურიკვეთის ფართობები 9 დმ2 და 16 დმ2-ია იპოვეთ პარალელეპიპედის მოცულობა

21

იპოვეთ წესიერი ოთხკუთხა პრიზმის მოცულობა თუ გვერდითი წახნაგის დიაგო-ნალი 5 მ-ია ხოლო თვით მისი დიაგონალი 7 მ

22

300

12 15

2600

prizmis moculoba

217

სურათზე ასახულია ყუთი რომლის სახურავი შიგნითაა ჩავარ-დნილი სახურავის ფართობი 15 სმ2-იაა) იპოვეთ ყუთის მე-3 ზომაბ) იპოვეთ ყუთის სახურავის მიერ ყუთიდან გამოყოფილი მცირედაფარული ნაწილის მოცულობაგ) იპოვეთ ყუთის პირღია დიდი ნაწილის მოცულობა

33 5 სმ 3 სმ

3 სმ3 სმ

32informatika 9 სმ 12 სმ მუყაოს კუთხეებიდან კვადრატებიჩამოაჭრეს წყვეტილი ხაზების გასწვრივ მუყაოს გადაკეცვითყუთის ფორმა მიიღება რა ზომისა უნდა იყვნენ ისინი რომ ყუთიგახდეს მაქსიმალური მოცულობის გამოვსახოთ ყუთისმოცულობა x ცვლადით

V = (12 2x) (9 2x) xმოცემული მუყაოდან ყუთის დამზადებისათვის x-ის მნიშ-

ვნელობა შეიძლება შეიცვალოს 0 და შორის 0 lt x lt 45

ქვემოთ მოცემულ კომპიუტერულ პროგრამას x-ის 10 მნიშვნე-

ლობისათვის მოცულობა გაუანგარიშებია

92


9

12x

xx x

12 ndash 2x9 ndash 2x

x

10 PRİNT ldquoXrdquo ldquomoculobardquo15 PRİNT20 FOR X = 0 TO 45 STEP 0530 LET V = (12 2X) (9 2X) X40 PRİNT X V50 NEXT X60 END

X moculoba

0 005 441 7015 812 8025 703 5435 354 1645 0

მარჯვენა მხარეს დაბეჭდილი ინფორმაცია x-ის 1 და 2-ს შორისმნიშვნელობებისათვის მოცულობის მაქსიმუმს უჩვენებსამასთან მოძებნილი რომ მოცულობის მაქსიმუმს უჩვენებსამასთან მოძებნილია რომ მოცულობის მაქსიმალურიმნიშვნელობა 81-ის ტოლიაპროგრამის შესრულებული ნაწილის მიხედვით შეასრულეთ ქვემოთ მოცემულიგამოთვლებია) უფრო ზუსტი გამოთვლების წარმოებისათვის პროგრამის x-ის მნიშვნელობებისშეცვლის ბრძანება ისე შეარჩიეთ რომ x-ის მნიშვნელობები 1-დან 2-მდე 01 ბიჯითშეიცვალოსბ) მე-20 ბრძანება ისე შეცვალეთ რომ მოცულობის მნიშვენლობა 01 სმ3 სიზუსტითგამოთვალოსგ) მოცულობის მაქსიმალური მნიშვნელობის შესაბამისად დაწერეთ ყუთის ზომები(სიგრძე სიგანე და სიმაღლე)დ) დაწერეთ კომპიუტერის პროგრამა მიყაოს 8 სმ 20 სმ ზომებისათვის და კომ-პიუტერში სამუშაოები შეასრულეთე) მოცემული პროგრამის (შეგიძლიათ შეცვალოთ დაპროგრამების ენა) კომპიუტერშიმუშაობის უზრუნველყოფისათვის შეასრულეთ საჭირო სამუშაოები

დავუშვათ რომ TABC არის T წვეროსა და ABC ფუძის მქონე სამკუთხა პირამიდა შევავსოთეს პირამიდა სამკუთხა პრიზმამდე მიღებული პრიზმა სამი პირამიდისაგან შედგება

1) მოცემული TABC პირამიდა 2) TCNM და 3) TMBC

პირამიდებისაგან მე-2 და მე-3 პირამიდების ფუძეები

კონგრუენტულია ∆CNM ∆MBC და T წვეროდან გავლებული

სიმაღლეები საერთოა ამიტომაც მათი მოცულობები ტოლია 1-ლი

და მე-3 პირამიდების ფუძეებიც კონგრუენტულია ∆TAB ∆BMTდა C წვეროდან გავლებული სიმაღლეები საერთოა ამიტომაც მათი

მოცულობებიც ტოლია მაშინ მოცემული პირამიდის მოცულობა

Soth-ის ტოლია

ნებისმიერი პირამიდის ფუძის სამკუთხედებად დაყოფა მიღებული სამკუთხა პირამიდების

მოცულობების პოვნა შეჯამებით მოცემული პირამიდის მოცულობის გამოთვლა შეიძლება

ამრიგად ნებისმიერი პირამიდის მოცულობა ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლის

ერთი მესამედის ტოლია V = Sფძh

პირამიდის მოცულობა ფუძის ფართობისა და სიმაღლისნამრავლის ერთი მესამედის ტოლია

V = Sფძh

piramidis moculoba

218

gamokvleva 1 კუბის დიაგონალები მას ექვს კონგრუენტულ

პირამიდად ყოფს თითოეული პირამიდის ფუძე კუბის წახნაგია

თითოეული პირამიდის სიმაღლე კი a-ს ტოლია

ა) განმარტეთ რომ თითოეული პირამიდის მოცულობა V = a3-ის ტოლია

ბ) განმარტეთ რომ თითოეული პირამიდის მოცულობა V = S ფძ h-ის ტოლია

aa

a12

1613

13

13

13

piramidis moculoba

h

B

h

B

4 მ სიგრძის 18 სმ სიგანის და 24 სმ სისქისსურათზე ნაჩვენები ხის მასალა ნაჩვენებიწესით 6 ნაწილად დაიყო იპოვეთ თითო-ეული ნაწილის მოცულობა

34 35ფიგურების მოცულობები და სი-მაღლეები ტოლია განსაზღვრეთპრიზმების x-ით აღნიშნული ნაწი-ლები


8სმ8სმ

4 მ

6სმ

6სმ

6სმ

x

3სმ

6სმ

x

3სმ3სმ

T

A

B

C

MN

piramidis moculoba

219

ა) სურათზე მონაცემების მიხედვით იპოვეთ წესიერი პირამიდის მოცულობა

ბ) სურათზე მონაცემებისმიხედვით იპოვეთ პირა-მიდების მოცულობა

18 სმ

15მ

14 მsფძ= 56მ2

118მ54მ

48სმ

13 მ 85მ

22 მSფძ= 6მ2

8 მ10 მ48სმ

პრიზმისა და პირამიდის ფუძეები კონგრუენტულიფიგურებია პრიზმის სიმაღლე 5 ერთეულია პირამიდისსიმაღლე 7 ერთეულია იპოვეთ ამ ფიგურების მო-ცულობების შეფარდება

მონაცემების მიხედვით იპოვეთ წესიერი პირამიდების მოცულობა2

3

პირამიდის თითოეული გვერდითი წიბო 25 მმ-ია ხოლო პირამიდის ფუძე მართ-კუთხედია ამ მართკუთხედის გვერდები 18 მმ და 24 მმ-ია იპოვეთ პირამიდისმოცულობა

4

პირამიდის თითოეული გვერდითი წიბო 13 სმ-ია ხოლო პირამიდის ფუძე 6 სმ 8სმ და10 სმ გვერდებიანი სამკუთხედია იპოვეთ პირამიდის მოცულობა

5

18

5

12

1513

7

სურათზე მინერალური კრისტალებია მოცემული გამოთვალეთ მოცულობა612 10

10

536

TABC წესიერი სამკუთხა პირამიდაა შეასრულეთ დავალებები სუ-რათის მიხედვით

ა) იპოვეთ h და l თუ AM = 9 და TM = 5ბ) იპოვეთ AO და AM თუ BC = 6გ) იპოვეთ BC OM და AM თუ h = 4 l = 5იპოვეთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი და მოცულობად) იპოვეთ მოცულობა გვერდითი ზედაპირის ფართობი და აპოთემათუ AB = 12 TA = 10

7

A

T

Ch hal

B

MO

9

8

220

ა) რომელი პირამიდის მოცულობა არის უფრო მეტი

ბ) რომელი პირამიდის სრული ზედაპირის ფართობი არის უფრო მეტი

კონგრუენტულ კუბებში ორი სხვადასხვა პირამიდა F-ABCD და M-ABCD არისჩახაზული M-ABCD პირამიდის M წვერო EFGH კვადრატის ცენტრშია

14

piramidis moculoba

შვეულად წოდებული ინსტრუმენტი სამშენებლო საქმეშივერტიკალური ხაზების სისწორის შემოწმებისათვის გამო-იყენება სურათზე წარმოდგენილი შვეული წესიერი ექვსკუთხაპრიზმისა და პირამიდისაგან შედგება იპოვეთ ინსტრუმენტისმოცულობა

8

6 სმ

2 სმ

3 სმპირამიდის ფუძე ტოლგვერდა სამკუთხედია აპითემა 10 სმ-ია ფუძის გვერდი 6 სმ-იაიპოვეთ პირამიდის მოცულობა

9

სურათის მონაცემების მიხედვით გამოთვალეთ წესიერი პირამიდისმოცულობა პასუხი დაამრგვალეთ მეათედებამდე

1010

420

იპოვეთ წესიერი პირამიდების მოცულობა პასუხი დაამრგვალეთმეათედებამდე

11

პირამიდის ფუძეა რომბი რომლის გვერდი 3 სმ-ია თითოეული გვერდითი წიბო ფუძისსიბრტყესთან 45-იან კუთხეს ქმნის იპოვეთ პირამიდის მოცულობა თუ S გვ=12 სმ2

12

სამკუთხა პირამიდის ერთი წიბო 6-ის დანარჩენი წიბოები კი 5-ის ტოლია იპოვეთპირამიდის მოცულობა

13

სამკუთხა პირამიდის ურთიერთმართობული გვერდითი წახნაგების ფართობებია 24 დმ2 16 სმ2 და 12 დმ2 იპოვეთ პირამიდის მოცულობა

15

44

4 1010

400

1010

800500

H H

EM FE

A B

G G

C CD D

F 1 1

11

11 A B

სურათზე მოცემული წესიერი ოქტაედრის წიბოებისსიგრძეთა ჯამი 18 ერთეულია იპოვეთ ოქტაედრის ა) სიმაღლე ბ) მოცულობა

221

piramidis moculoba

სურათის მონაცემების მიხედვით გამოთვალეთ ფიგურების მოცულობები16

G წერტილი წესიერი ტეტრაედრის ფუძის სიმძიმის ცენტრია(მედიანების გადაკვეთის წერტილი) იპოვეთ პირამიდისმოცულობა თუ GH = 3 სმ

ორ კონგრუენტულ კუბში ჩახაზული პირამიდებისფუძეები კუბის წახნაგებია დაწერეთ ბ სურათზემოცემული პირამიდის მოცულობის ა სურათზემოცემული პირამიდის მოცულობასთან შეფარდება

17

18

ბა

20

19

პირამიდაში სურათზე ნაჩვენები წესით მოთავსებულიაკუბი კუბის ქვედა ფუძე პირამიდის ფუძესთან ერთსიბრტყეზე ზედა ფუძის წვეროები კი პირამიდისწიბოებზეა იმ პატარა პირამიდის მოცულობა რომლისფუძეც კუბის ზედა წახნაგია 36 სმ3-ია სიმაღლე 3 სმ-იაიპოვეთ

ა) კუბის წიბოს სიგრძე

ბ) დიდი პირამიდის ფუძის გვერდი

გ) დიდი პირამიდის მოცულობა

დ) დიდი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

25მ 18 სმ

20 სმ

15 სმ34 სმ

2 მ4 მ

3 მ

12

12

6 53

9

3

T

BA

C

G H3

T

D

P

BA

C

222


მსგავსი ფიგურები ფორმით ერთნაირია შესაბამისი ზომები პრო-პორციული აქვთ

მაგალითად სურათზე მოცემული სამკუთხედები მსგავსია რადგანშესაბამისი გვერდების შეფარდებები ტოლია

სურათზე მოცემული მართკუთხა პარალელეპიპედებიცმსგავსია რადგან შესაბამისი წრფივი ზომები პრო-პორციულია და შესაბამისი წახნაგები მსგავსი მართ-კუთხედებია

შესაბამისი წრფივიზომების თანაფარ-დობის მაჩვენებელრიცხვს მსგავსებისკოეფიციენტი ეწო-დება

= k

36

36

48

510= =

48

24= =

34

5 6

8

10

48

643 2

msgavsi figurebi

EF

G

J

h2

l2

ABEF = = =BC

FGCAGE

ADEJ = BD

FJ = CDGJ = h1

h2= l1

l2

∆ABC ~ ∆EFG ∆ABD ~∆EFJ∆BCD ~ ∆FGJ ∆ACD ~ ∆EGJ

nimuSi უჩვენეთ მსგავსია თუ არა მოცემული ფიგურები

მსგავსი ფიგურებიამსგავსი ფიგურები არ არიან

46

812= = 2

3

1015 = ne10

151214

8მ12მ

6მ4მ

3მ2მ12სმ 14სმ


წესიერი მრავალწახნაგები მსგავსია კერძოდ ყველა კუბი მსგავსიაწესიერი ტეტრაედრები მსგავსია და ა შ

თუ გარდაქმნის დროს ნებისმიერ ორ წერტილს შორის მანძილი ერთი და იგივე რიცხვჯერიცვლება ასეთ გარდაქმნას მსგავსების გარდაქმნა ეწოდება მსგავსების გარდაქმნით რაიმეფიგურისა და მისი მსგავსების გარდაქმნით მიღებულ ფიგურას მსგავსი ფიგურა ეწოდებამსგავსების კოეფიციენტი ნებისმიერი ორ შესაბამის წერტილთა წყვილს შორის მანძილებისთანაფარდობის ტოლია

D

C

B

A

h1

l1

223

gamokvleva ვუჩვენოთ მსგავსია თუ არა მოცემული ფიგურები A და B პრიზმები (მართკუთხა პარალელეპი-პედები) მსგავსი პრიზმებია რომელთა მსგავ-სების კოეფიციენტი -ის ტოლია

იპოვეთ ამ პრიზმებისა) სრული ზედაპირის ფართობების შეფარდებაბ) მოცულობების შეფარდება

ა) A პრიზმის სრული ზედაპირი

Sსრ = Ph + 2Sფძ == 122 + 28 = 40 (სმ2)

V = Sფძh = 8 2 = 16 (სმ3) V = Sფძh = 18 3 = 54 (სმ3)

B პრიზმის სრული ზედაპირი

ბ) A პრიზმის მოცულობა B პრიზმის მოცულობა

Sსრ = Ph + 2Sფძ = = 183 + 218 = 90 (სმ2)

A prizma B prizma

23

A პრიზმის სრული ზედაპირის B პრიზმის სრულ ზედაპირთან შეფარდება

4090

49

22

32= =

A პრიზმის მოცულობის B პრიზმის მოცულობასთან შეფარდება 1654

827= =

2სმ2სმ


3სმ

A figura B figura

თუ ორი სივრცითი ფიგურის მსგავსების კოეფიციენტებია ამ ფიგურების ზედაპირე-

ბის (გვერდითი სრული ფუძის) თანაფარდობაა მოცულობის თანაფარდობა კი

მსგავსების კოეფიციენტი

SსრA

SსრB

ab

ab

a2

b2a3

b3

a2

b2a3

b3

=VA

VB=

msgavsi figurebi

a b

პირამიდის ფუძის პარალელური სიბრტყით გადაკვეთისას მიღებული მცირე პირამიდა

მოცემული პირამიდის მსგავსია მსგავსების

კოეფიციენტის პოვნა ნებისმიერი შესაბამისი წრფივი

ზომების შეფარდებით შეიძლება მაგალი-თად

სურათზე მოცემული პირამიდების სიმაღ-ლეები

ცნობილია მათი ზედაპირების ფუძეების ან სრული

ზედაპირების ფართობების შეფარდება სიმაღლეების

კვადრატების ტოლია

h

SH

Sh Sh

SH

Sპატ

Sდიდ

h2

H2=

Hh h

23= ( )

2

23( )

3


224


მოცემულია ორი მსგავსი ფიგურის ზედაპირების ფართობი და დიდი ფიგურისმოცულობა იპოვეთ მცირე ფიგურის მოცულობა

ა) S1 = 18 სმ2 ბ) S1 = 192 მ2 გ) S1 = 52 დმ2

S2 = 72 სმ2 S2 = 1728მ2 S2 = 208 დმ2

V2 = 344 სმ3 V2 = 4860 მ3 V2 = 192 დმ3

მოცემული ორი მსგავსი ფიგურის მოცულობები და მცირე ფიგურის ზედაპირისფართობი იპოვეთ დიდი ფიგურის ზედაპირის ფართობი

ა) V1 = 27 სმ3 ბ) V1 = 5 მ3 გ)V1 = 54 სმ3

V2 = 125 სმ3 V2 = 40 მ3 V2 = 128 სმ3

S1 = 63 სმ2 S1 = 4 მ2 S1 = 18 სმ2

ცნობილია რომ ფიგურები მსგავსია მონაცემების მიხედვით იპოვეთ მოთხოვნილიზომები

ორი მსგავსი პრიზმის სიმაღლეების თანაფარდობაა 5 3 იპოვეთ ამ პრიზმებისა) გვერდითი ზედაპირების ფართობების შეფარდებაბ) მოცულობების შეფარდება

A და B წესიერი ოთხკუთხა პრიზმები მსგავსია A პირამიდის ფუძის გვერდი 6 სმმოცულობა 48 სმ3-ია B პირამიდის ფუძის გვერდი 12 სმ-ია იპოვეთ

ა) B პირამიდის მოცულობა

ბ) გვერდითი ზედაპირების თანაფარდობა

გ) თითოეული პირამიდის სრული ზედაპირის ფართობი

ორი ფიგურა მსგავსია მონაცემების მიხედვით იპოვეთ ფიგურების მსგავსებისკოეფიციენტები

2

3

4

5

6

7

V1 = 216 სმ3S1 = 2 სმ2 S2 = 32 სმ2 V2 = 343 სმ3

06მ

18მ 24მ02მ 04მ

S2 = S1 = 66მ2

დაადგინეთ მოცემული ფიგურები მსგავსია თუ არა1

12სმ9სმ

24 სმ 22სმ10მმ

5მმ15მმ

6მმ3მმ

9მმ

18სმ 10 სმ 30 სმ

25სმ

15სმ

15სმ


7სმ5სმ

15სმ21სმ22სმ

ა)

ა)

ბ)

ბ)

გ)

ე)დ)

9მ27მ

V1 = V2 = 243მ3

225

სპილენძისაგან დამზადებული წესიერი ექვსკუთხა ფორმისდეტალები მსგავსია სპილენძის სიმკვრივე 86 გრსმ3-ია 1 კგ სპილენძის ფასი 255 კაპიკია დეტალის დამამზადებელიკომპანია თითოეული დეტალისათვის (სიდიდისაგან და-მოუკიდებლად) მასალის ფასის 125 ოდენობით წარმოების დანახარჯების დამატებითდეტალის წარმოების ღირებულებას განსაზღვრავს სარეალიზაციო ფასი კი თვით-ღირებულებაზე კომპანიის 22-იანი მოგების დამატებით ფორმირდება იპოვეთთითოეული დეტალის სარეალიზაციო ფასი

სურათზე მოცემული წესიერი სამკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდია8 სმ სიმაღლე 12 სმ-ია პირამიდა T წვეროდან დაწყებული 4 სმ და6 სმ მანძილზე ფუძის პარალელური სიბრტითაა გადაკვეთილიიპოვეთ კვეთაში მიღებული მრავალკუთხედების პერიმეტრები

იპოვეთ მანძილი H სიმაღლიანი პირამიდის წვეროდან ფუძისპარალელურ და მოცულობის შუაზე გამყოფ მკვეთამდე

ფუძის პარალელური სიბრტყეები პირამიდის სიმაღლეს 3 ტოლ ნაწილად ყოფენროგორი თანაფარდობით იყოფა პირამიდის მოცულობა

ორი მსგავსი პირამიდის სიმაღლე ისე შეეფარდება ერთმანეთს როგორც 13 იპოვეთმცირე პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი თუ პირამიდების გვერდითიზედაპირების სხვაობა 96 მ2 იქნება

14

15

16

17

A C

T

DD F

EK L

M

H

O2

O1

სარეცხი ფხვნილის მწარმოებელი კომპანია ერთი და იგივე სახის ფხვნილისდასაფასოებელ ყუთებს განსაზღვრული მასშტაბით გაზრდილ ყუთებში ათავსებს 450გრამი ტევადობის ყუთის ზომები 1 2 მასშტაბით პროპორციულადაა გაზრდილიიპოვეთ ახალი ყუთის ტევადობა

ორი კუბიდან ერთის დიაგონალია radic3 სმ მეორისა კი 4radic3 სმ-ია იპოვეთ ამ კუბებისმოცულობების სხვაობა

ორი მსგავსი პირამიდის მოცულობაა 2 და 54 კუბური ერთეული იპოვეთ ქვემოთმოცემული თანაფარდობებია) სიმაღლეების ბ) აპოთემების გ) ფუძეების ფართობების დ) სრული ფართობების

თვითმფრინავის მოდელი თვითმფრინავის რეალურ ზომებთან 1200შეფარდებითი მასშტაბითაა დამზადებული შეადარეთ მოდელზედახარჯული საღებავის რაოდენობა რეალურ თვითმფრინავზეგამოყენებულ საღებავის ოდენობასთან

20 მმ

8 მმ

8

9

10

11

1280 მმ

32მმ


ახალი ავტომობილის დიზაინის შექმნისას ჯერ ავტომობილისგანსაზღვრულ მასშტაბიან მოდელს თიხით ამზადებენ რეა-ლობაში 5 მ სიგრძის ავტომობილის თიხის მოდელის სიგრძე 10 სმ-ია იპოვეთ მოდელის ზედაპირის ფართობის რელურიავტომობილის ზედაპირის ფართობთან შეფარდება

13

226

წაკვეთილი პირამიდის მოცულობა რომლის ფუძეების ფართობებია S1 და S2

სიმაღლე კი h გამოითვლება ფორმულით

hradicS1

radicS2 radicS1V = [(S2 S1) + S2h] = [(radicS2 + radicS1 )hradicS1 + S2h] =

= (h radicS1S2 + h S1 + h S2) = h (S1 + radicS1S2 + S2)


gamokvleva ძველმა ეგვიპტელებმა წესიერი ოთხკუთხა წაკვეთილი პირამიდის მოცულობის

V = h(x2 + xy + y2) ფორმულით გამოთვლა იცოდნენ თუმცა მათ არ იცოდნენ როგორ

მიიღებოდა ეს ფორმულა მიიღეთ ეს ფორმულა ქვემოთ მოცემული ნაბიჯებითა) დაწერეთ იმ წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის მოცულობა რომლის ფუძის გვერდი y ერთეულის ტოლიაბ) დაწერეთ იმ წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის მოცუ-ლობა რომლის ფუძის გვერდი x ერთეულის ტოლიაგ) უჩვენეთ რომ H და h სიმაღლეებს შორის არსებული

დამოკიდებულება სახისაა

დ) უჩვენეთ რომ წაკვეთილი პირამიდის მოცულობა

V = h(x2 + xy + y2) ფორმულით გამოითვლება

yH =yh

y x

13

13

yy

xh

Hx

13

13

წაკვეთილი პირამიდის მოცულობა შეიძლება ვიპოვოთ როგორც სხვაობამოცემული სრული პირამიდისა და ფუძის პარალელური მკვეთითგამოყოფილი მცირე პირამიდის მოცულობებს შორის

ვინაიდან ეს პირამიდები მსგავსია ფართობების შეფარდება სიმაღლეების შეფარდებისკვადრატის ტოლია დავწეროთ ეს ტოლობა და ვიპოვოთ მცირე პირამიდის სიმაღლე

V = S2(h1 + h) S1h1 = [(S2 S1)h1 + S2h]

სადაც V წაკვეთილი პირამიდის მოცულობაა S2 და S1 დიდი დამცირე პირამიდების ფუძეების ფართობებია h წაკვეთილიპირამიდის სიმაღლეა h1- მცირე პირამიდის სიმაღლეა

13

hradicS1

radicS2 radicS1

S1

S2

h1

h1 + hh1

h1 + h=radicS1

radicS2=

2h1radicS2 = (h1 + h) radicS1 h1 =

h1 გამოსახულება V = [(S2 S1)h1 + S2h] ტოლობაში გავითვალისწინოთ

13

13

13

13

13

V = h (S1 + radicS1S2 + S2)

13V = h (S1 + radicS1S2 + S2)


a

b

h

S1

S2

13

A

T

Aprime

B

Bprime

C

C

D

Dprime

S2 O

O1S1

h1

h

rarr

227


H სიმაღლის პირამიდის ფუძის პარალელური სიბრტყითიკვეთის შედეგად მიღებული წაკვეთილი პირამიდის ზომებისურათზეა ნაჩვენები

ა) იპოვეთ წაკვეთილი პირამიდის მოცულობა

ბ) იპოვეთ პირამიდის H სიმაღლე

გ) სურათზე ნაჩვენები ზომის წყლის აუზი რომ ამოითხაროს ამმიწის გასაზიდად რამდენი 12 მ3 ტევადობის მანქანაა საჭირო

დ) რამდენი ლიტრი წყალი დაეტევა აუზში

ე) თუ წყალს შევავსებთ აუზის ტევადობის ნახევარი ოდენობით რამდენი იქნება წყლისსიღრმე

სურათზე მონაცემების მიხედვით იპოვეთ წესიერი ოთხკუთხაწაკვეთილი პირამიდის გვერდითი ზედაპირი სრული ზე-დაპირი და მოცულობა 13სმh

4 სმ

14 სმ8 მ

3მ

H4 მ

2

1

ა) წესიერი სამკუთხა პირამიდის ყველა წიბოს სიგრძე ტოლია და x-ითაა აღნიშნულიგამოსახეთ პირამიდის მოცულობა x ცვლადითბ) წესიერი ექვსკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდია x გვერდითი წიბო 2x-ია გამოსახეთპირამიდის მოცულობა x ცვლადით

პირამიდის ფუძის პარალელური სიბრტყე მის სიმაღლეს წვეროდანდაწყებული ყოფს შეფარდებით 1 2 იპოვეთ მოცემული პირამიდისმოცულობა თუ მიღებული წაკვეთილი პირამიდის მოცულობა 208კუბური ერთეულია

ა) იპოვეთ წესიერი ექვსკუთხა პირამიდის მოცულობა თუ მისი გვერდითი წიბო 10 სმ-ია ფუძის გვერდი კი 6 სმ

ბ) მართკუთხა პარალელეპიპედიდან სიბრტყითი კვეთით სურათზენაჩვენების მსგავსი პირამიდა გამოიყო შეადარეთ პირამიდისა დაპარალელეპიპედის მოცულობა

DFG

P

A B

EH

3

4

5

მართკუთხა პარალელეპიპედის ზომებია AD = 20 სმ AB = 10 სმ AE = 15 სმ იპოვეთა) AFB BFO AFO BOF AOF OFC კუთხე-ების გრადუსული ზომებიბ) ∆ABO ∆BOF ∆AOFსამკუთხედების ფართობებიგ) უმოკლესი მანძილი B წერტილიდან AOF სიბრტყემდე

E

F

A

D

20

15

63

4

10

C

B

O

6

228


მართ სამკუთხა პრიზმაში სურათზე მონაცემების მიხედვით ა) იპოვეთ სიბრტყითიკვეთის ფართობები ბ)შეადარეთ სიბრტყითი კვეთით გამოყოფილი პრიზმებისმოცულობები

nimuSi სურათზე a წიბოს მქონე კუბის ABCD კვეთაა ნაჩვენები D და Cწერტილები შესაბამისი წიბოების შუა წერტილებია იპოვეთ სიბრტყითიკვეთის ფართობი amoxsnamocemulia მოცემულია კუბი და მისი წიბოს a სიგრძე D და C წერტილები წიბოს შუა წერტილებიაipoveT SABCD

უფრო თვალნათლივ დანახვისათვის კუბი შევაბრუნოთ და ამოცანაშიმოცემული ინფორმაცია სურათზე ავღნიშნოთ ∆BEC-დან პითაგორასთეორემის თანახმად

x2 = a2 +( a)2 x2 = a2 x = radic5a

SABCD = ax = a( radic5a) = radic5a2 პასუხი SABCD = radic5a2

12

12

12

12

12

54

A

a

aCD

B

B

Aa

ax

x

a2 a2E

C

D

1

დახრილი პრიზმის რომლის ფუძეც წესიერი სამკუთხედიაგვერდითი წიბო ფუძის სიბრტყესთან 60deg-იან კუთხეს ქმნისიპოვეთ პრიზმას მართობული კვეთის ფართობი თუ ცნობილიარომ ფუძის გვერდები 6 სმ-ია

სასაჩუქრე ყუთი სურათზე ნაჩვენები წესით მუყაოთი 4 ნაწი-ლადაა დაყოფილი მოცემული ზომების მიხედვით იპოვეთყუთის დამზადებისათვის საჭირო მუყაოს ოდენობა

D

E

BA 86

10

25 20

15

2

3

მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის 15 სმ 12 სმ 25 სმზომებიან ჭურჭელში წყლის სიმაღლე h1-ია ჭურჭლის BCEMწახნაგზე გადატრიალებისას მისი სიმაღლე h2 ABMN წახნაგზემობრუნებისას კი h3 ხდება განსაზღვრეთ რამდენი კუბურიმეტრი წყალია ჭურჭელში თუ h1 + h2 + h3 = 24 სმ-ს A B

CD

EN M

F4

a2

b2b

2

a2

h2h2

h h h

c c cc

a a ab b bA

C

C6

60degD

B

E

FA

B

სივრცეში წერტილისა და წრფის მიმართ სიმეტრიის გარდაგანიხილება სიბრტყის მიმართ სიმეტრიაც თუ სიბრტყე AAprimeმონაკვეთის შუაზე გაივლის და მისი მართობულია A და Aprimeწერტილებს სიბრტყის მიმართ სიმეტრიულ წერტილები ეწოდებათუ ფიგურის წერტილების განსაზღვრული სიბრტყის მიმართსიმეტრიული წერტილებიც ამ ფიგურასეკუთვნის ამ სიბრტყეს ფიგურისსიმეტრიული სიბრტყე ფიგურას კისიბრტყის მიმართ სიმეტრიული ფიგურაეწოდებასხვადასხვა წრფივი ზომების მქონე მართკუთხა პარალელეპიპედს სიმეტრიის ცენტრისგარდა სამი სიმეტრიის ღერძი და სამი სიმეტრიული სიბრტყე გააჩნია მოპირდაპირეწახნაგების დიაგონალების გადაკვეთის წერტილზე გამავალი წრფე მისი სიმეტრიის ღერძიაშუა წიბოზე გამავალი მისი მართობული სიბრტყე სიმეტრიული სიბრტყეამართკუთხა პარალელეპიპედს რომელსაც ორი წრფივი ზომა ტოლი აქვს 5 სიმეტრიისსიბრტყე გააჩნია ეს გამოსახულებები რვეულში ჩაიხაზეთ

simetria sivrceSi სხვადასხვა სივრცით სხეულებზე სხვადასხვა სიმეტრიების შემჩნევაშეიძლება პარალელეპიპედის დიაგონალური კვეთები ვი-ნაიდან პარალელოგრამები არიან გასაგებია რომ BD1 და DB1

დიაგონალები ერთ O წერტილში იკვეთებიან და შუაზეიყოფიან შეიძლება იმის ჩვენებაც რომ სხვა დიაგონალებიცნO წეტილში იკვეთებიან და შუაზე იყოფიან მაშასადამეპარალელეპიპედების დიაგონალების გადაკვეთის წერტილიმისი სიმეტრიის ცენტრია

229

simetria sivrceSi

asaxviTi (RerZuli) simetria

brunviTi simetria

3 შემადგენელი 4 შემადგენელი 5 შემადგენელი

simetriis RerZis wrfidan man-Zilis maCvenebeli marTobi

sibrtyeze simetria

brunviscentri

simetriis RerZi

AprimeBprime

Dprime900

900

EprimeEDB

ACprime

Cprime

A

O

Aprime

A

B CO

D

D1A1

B1 C1

230

simetria sivrceSi

brunviTi simetria სივრცითი ფიგურების ბრუნვითი სიმეტრიაც სიბრტყითი ფი-გურების მსგავსია თუმცა სივრცით ფიგურებში ბრუნვითი სიმეტრია ღერძის მიმართგანისაზღვრება

სურათზე კუბის ბრუნვის ღერძებია ნაჩვენები ეს ღერძებიგეომეტრიულად სიტყვიერადაა მოცემული კუბის სურათზეშესაძლო გამოსახულებები დახაზეთ და უჩვენეთ თითოეულიშემთხვევისათვის ერთი სურათი ნიმუშის სახითაა მოცემული

ბრუნვისა და ასახვის სიმეტრიები ფართოდ გამოიყენება ნივთი-ერებების მოლეკულური აგებულების შესწავლისას

1

ნაფტალინი C10H8

ბ) ბრუნვითი ღერძი კუბისდიაგონალის მომცავი წრფეათითოეულ შემთხვევაში 4დამთხვევა აღინიშნება

გ) ბრუნვითი ღერძი ორიმოპირდაპირე წიბოს შუაწერტილებზე გამავალიწრფეა თითოეულ შემთხ-ვევაში 2 დამთხვევა აღი-ნიშნება

ა) სიმეტრიია (ბრუნვითი)ღერძი ორი მოპირდაპირეწახნაგის ცენტრებს აერთებსთითოეულ შემთხვევაში 3დამთხვევა აღინიშნება

კუბის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი მისი სიმეტრიის ცენტრია ერთ წახნაგზეარამდებარე პარალელური წიბოების შუა წერტილებზე გამავალი წრფეები (მათი რაო-დენობა 6--ია) და მოპირდაპირე წახნაგების ცენტრებზე გამავალი წრფეები (მათირაოდენობა 3-ია) კუბის სიმეტრიის ღერძებიაკუბს 9 სიმეტრიის სიბრტყე გააჩნია და ისინი სურათებზეა ნაჩვენები

231

simetria sivrceSi

ჩვენ სიბრტყითი ფიგურების ფართობის დაფარვა-პარ-კეტირების შესახებ დავალებები შევასრულეთ ანა-ლოგიურად სივრცითი ფიგურების მოცულობის შევსებისგანსაზღვრული ფიგურის მიღების სავარჯიშოებს პრაქ-ტიკული მნიშვნელობა აქვს ამ დროს ასახვა და ბრუნვითისიმეტრიები გამოიყენება

სურათზე ასახულია ფუძეში ტოლგვერდა სამკუთხედის მქონე მართი სამკუთხაპრიზმისაგან დამზადებული დეტალის ზედხედი ამ დეტალებით კი ფუძის ცენტრის Oწერტილში მქონე წესიერი ექვსკუთხა პრიზმა უნდა აიგოს რამდენი ასეთი დეტალიიქნება საჭირო

1) პრიზმის ფუძე 6 კონგრუენტული სამკუთხედისაგანშემდგარი წესიერი ექვსკუთხედია თითოეული სამ-კუთხედი პრიზმებითაა შევსებული როგორც ხედავთერთ სამკუთხედში 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 პრიზმაამოთავსებული ექვსკუთხა წესიერი პრიზმისათვის კი6 25 = 150 ასეთი პრიზმაა საჭირო

O

O

A B

2) დახაზეთ ზედხედი იმ შემთხვევისათვის როცა მცირე პრიზმებისრაოდენობა 216-ია გამოთვალეთ ყუთის მოცულობა თუ ყუთისსიმაღლე იქნება 10 სმ ყველაზე პატარა პრიზმების წიბო კი 05 სმ

სურათზე 40 სმ სიმაღლის ყუთში ჩაწყობილი წესიერი ექვსკუთხაპრიზმების ზედხედია მოცემული განსაზღვრეთ ყუთის ცარიელინაწილის მოცულობა თუ წესიერი ექსვკუთხედის ფუძის გვერდი 4 სმ-ია

O

A B

5

6

კუბი ორი მოპირდაპირე წახნაგის ცენტრებზე გამავალი ღერძისგარშემო რამდენჯერ მობრუნებით დაემთხვევა თავის თავს

2

სურათზე მოცემული წესიერი ხუთკუთხა პრიზმა ფუძეების ცენტრებზეგამავალი ღერძის გარშემო რამდენი გრადუსით მობრუნებისას დაემთხვევათავისთავს

წახნაგებზე ასოებდაწერებულ კუბს თუ ორი მოპირდაპირე წახნაგის ცენ-ტრებზე გამავალი ღერძის გარშემო საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმარ-თულებით 270ordm-ით თუ შევატრიალ-ებთ რომელი მხრიდან (ზემოდანწინიდან და გვერდიდან) რომელი ასოგამოჩნდება განიხილეთ ყველა შემ-თხვევა

3

4

p

r m

z

ai

p

r i

232


სურათზე მოცემული შეკრული ყუთი წესიერი ექვსკუთხა პრიზმისფორმისაა ყუთის გარე ფუძის გვერდი10 სმ სიმაღლე კი 14 სმ-იაშიდა ფუძე და სიმაღლე კი შესაბამისად 6 სმ და 11 სმ-ია იპოვეთ

ა) ყუთის გარე ზედაპირის (სრული) ფართობი

ბ) ყუთის შიდა ზედაპირის (სრული) ფართობი

გ) ყუთის მოცულობა

პირამიდის ფუძე კვადრატია და მასში 60 სმ3 წყალი დგას სურათზემოცემული ზომების მიხედვით იპოვეთა) წყლის h სიმაღლებ) რა ოდენობის წყლის დამატება არის საჭირო რომ ჭურჭელიგაივსოს

ორი მსგავსი პირამიდის ზედაპირის ფართობები ისე შეეფარდება ერთმანეთს

როგორც იპოვეთ ამ პირამიდების მოცულობების შეფარდება

15 სმ სიმაღლეების მქონე მართი სამკუთხა პრიზმისა და წესიერიოთხკუთხა პრიზმების მოცულობები ტოლია სამკუთხა პრიზმისფუძე არის მართკუთხა სამკუთხედი რომლის ჰიპოტენუზაა 8 სმიპოვეთ ოთხკუთხა პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი

მონაცემების მიხედვით იპოვეთპირამიდის მოცემულობა

64 სმ3 მოცულობიანი მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის ყუთის დამზადებისასზომების რომელი მთელი მნიშვნელობისათვის იქნება საჭირო ყველაზე ნაკლები მუყაოგამოიკვლიეთ ვარიანტები

სურათზე მოცემულია მართკუთხედის ფორმის ფუძის მქონე პირა-მიდა და მისი ზომები იპოვეთ პირამიდის მოცულობა და სრულიზედაპირის ფართობი

Ria tipis SekiTxva დახაზეთ ორი მსგავსი პრიზმა და ორი მსგავსი პარალელე-პიპედი რომელთა მსგავსების კოეფიციენტია 25 ზედ ზომები დააწერეთ

პირამიდა ფუძის პარალელურისიბრტყით ტოლმოცულობიანორ ნაწილადაა გაყოფილი იპო-ვეთ ზედა ნაწილში პირამიდისსიმაღლე თუ პირამიდის სი-მაღლე 12 სმ-ია

125

1

2

3

4

5

6

8

9

7

6 სმ11 სმ

10 სმ14სმ

8

15 15

5 სმ

5 სმ9 სმ

A

o

DC

6 სმ

D D

R

V

A

PQ

S6სმ

B

12სმ

hსმ

arqeologiuri gaTxrebis dros narCenebis asaki Semadgen-lobaSi naxSirbadis 14 nivTierebis raodenobis gamoTvliT gan-isazRvreba amisaTvis maCvenebliani gantolebebi ixsneba

qalaq SamqirSi Catarebuli gaTxrebis dros aRmoCenili uZvelesi qalaqi

maCvenebliani da logariTmuli funqciebi9namdvilmaCvenebliani xarisximaCvenebliani funqciamaCvenebliani funqciis grafikis gardaqmnebimaCvenebliani funqcia e ricxviricxvis logariTmilogariTmuli funqcialogariTmuli skala da amocanebis amoxsna logariTmis TvisebebimaCvenebliani gantolebebilogariTmuli gantolebebimaCvenebliani utolebebilogariTmuli utolebebi



დაწერეთ radic2-ის კალკულატორით მოძებნილი მნიშვნელობაradic2 1414213562

ააგეთ წევრები radic2-ის ნაკლებობით აღებული ათეულობით მიახლოებითი მნიშვნელობებისმიმდევრობა1 14 141 1414 14142 141421 1414213 დაწერეთ 3-ის ამ მიმდევრობის ხარისხების მნიშვნელობების მიმდევრობა

31 314 3141 31414 314142 3141421 31414213

კალკულატორით გამოთვალეთ ამ მიმდევრობის რაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხისმიახლოებითი მნიშვნელობები

31 = 3314 465553672173141 4706965001731414 47276950353314142 472873393023141421 4728785880931414213 4728801462

მიაქციეთ ყურადღება ხარისხის მაჩვენებელი რაც უფრო radic2-თან ახლოსაა შესაბამისიმნიშვნელობები ყოველ შემდგომ ნაბიჯზე წინამდებარე ნაბიჯისაგან უფრო ნაკლებადგანსხვავდება და განსაზღვრულ ერთ რიცხვს უახლოვდება ამ რიცხვს 3-ის radic2(ირაციონალური) მაჩვენებლიანი ხარისხი ეწოდებაკალკულატორით გამოთვლა 3radic2 47288043878 შეასრულეთ დავალება 2radic3 რიცხვისათვის

234

1)

2)

3)

4)

5)

6)

მსგავსი წესით განიხილება a ირაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხი ირაციონალური რიცხვის1 2 3

ათობითი მიახლოებითი მნიშვნელობების შესაბამისადa a a

მიმდევრობა აიგება და ამ მიმდევრობის წევრების მიახლოებული რიცხვი a-ით აღინიშნებაირაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხიც რაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხის მსგავსადდადებითი ფუძისათვის განისაზღვრებაამრიგად შემოდის ნებისმიერი x ნამდვილი რიცხვისათვის ax (სადაც a gt 0)ნამდვილმაჩვენებლიანი ხარისხის ცნებაითვლება რომ ნებისმიერი x-თვის 1x = 1 და როცა x gt 0 მაშინ 0x = 0 რაციონალურ-მაჩვენებლიანი ხარისხის ცნობილი თვისებები ნამდვილმაჩვენებლიანი ხარისხისათვისაცმართებულიანებისმიერი x და y ნამდვილი რიცხვებისათვის და a gt 0 a 1 b gt 0 b 1რიცხვებისათვის მართებულია შემდეგი

1 2 3

ბ) გამოსახეთ 2-ის ხარისხით

გ) გამოსახეთ 5-ის ხარისხით

ა) ax middot ay = ax + y ბ ) = ax ndash y გ) (ax)y = axy

დ) (ab)x = axbx ე) ვ) andashx =

235


saswavlo davalebebi

ირაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხის მქონე გამოსახულებების მიახლოებითიმნიშვნელობის გამოსათვლელად გამოიყენება კალკულატორიგრაფკალკულატორზე კლავიში ირაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხის გამოთ-ვლის საშუალებას იძლევა გამოთვალეთ

ა) 8radic3 ბ) 5ndashradic11 გ) (radic10)radic2 დ) 9 ე) 15radic5 ვ) (radic7)radic3

1

დაწერეთ თითოეული წესის შესაბამისი თითო ნიმუში2

ab

axbx ( )

x=

axay

1ax

ა) გამოსახეთ 3-ის ხარისხით3 32n middot 31 + n

81n ndash 1

25x middot 53x

1252 + x

32 middot 8x

16x

გაამარტივეთ და გამოთვალეთ მნიშვნელობა

4

ა) (5radic2)radic8 ბ) ((radic2)radic6)radic6 გ) (2radic3)radic3 middot 4radic3 + 2 22radic3 5

ე) 2(radic3 + 1) middot 4ndashradic3radic 24ვ) 5(radic2 + 1) middot 25ndashradic2

ი) (2(2 + radic2) 43)radic2

radic 2

2

3

ზ) 3(radic7 + 1) 9radic7radic 24თ) 02(radic3 + radic2) middot 25radic6radic 25

კალკულატორის დახმარებით იპოვეთ მოცემული გამოსახულების მიახლოებითიმნიშვნელობები მძიმის შემდეგ დატოვეთ 5 ციფრი214 2141 21414 214142 2141421 21414213

მოცემული გამოსახულებები რაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხებია როგორშეგვიძლია ვისარგებლოთ ამ გამოსახულებებით 2radic2 ირაციონალურმაჩვენებლიანიხარისხის გამოსათვლელად

xarisxis Tvisebebi1) ax middot ay = ax + y 2) ax ay = ax ndash y 3) (ax)y = axy 4) (ab)x = axbx 5)6) როცა a gt 1 x gt y მაშინ ax gt ay როცა 0 lt a lt 1 x gt y მაშინ ax lt ay

7) როცა a gt b x gt 0 მაშინ ax gt bx როცა a gt b x lt 0 მაშინ ax lt bx

8) როცა ax = ay მაშინ x = y

ab

axbx( )

x=

დ) 3radic2 middot 9radic2 + 1 27radic2

დაალაგეთ ზრდის რიგით მიხედვით a a andashradic3 andashradic2 a0 a

ა) როცა a gt 1 ბ) როცა 0 lt a lt 1

ა) ( ) ბ) ( )ndash გ) ( )0 დ) 2ndashradic3

236



ა) 10radic5 და 10radic3 ბ) 01radic3 და 01radic2

გ) ( )ndash5 და ( )ndash3 დ) (radic3)ndash4 და (radic3)ndash2 23

23

რომელია სწორი7a) 3 lt 3radic2 lt 9 b) 2 lt 2radic3 lt 4c) 1 lt 5radic2 lt 5 d) 4radic2 lt 4radic3 lt 4radic5

მოცემული რიცხვები შეადარეთ 1-თან8

34

25

57

103

43

9 დაალაგეთ რიცხვები ზრდის რიგის მიხედვით

გ) ( )ndash01 ( )02 ( ) დ) ( ) ( ) ( )94

4916

94

32

47

1649

16

12

23

13

13

13

14

12

12

12

32

32

23

23

23

23

23

43

14

გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა10

ა)100 middot ( )ndash1 ბ) ( ) ( )

ndash

ndash 15

425

94

ndash

11

ა) (27 + 125 + 8 ) დ) (8 + ( ) + 125 )ndash radic1

9დაწერეთ რაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხის სახით და გაამარტივეთ თუ ცნო-ბილია რომ ცვლადები დადებით მნიშვნელობებს იღებენ

ა) radicm6n4 ბ) radic8x3y6 გ) radica10b2 middot radicb33 5 5

ამოხსენით განტოლებები14

ა) x = 8 ბ) 6x + 12 = 36 გ) radicx3 = 54 დ) radicx2 + 2 + 1 = 4ndash 15

იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი თუ ცნობილია რომ b2 = radic3 და b3 = radic8112 5 5

1213

13

6

ა) 8200 9150 125100 ბ) (0008)50 (009)75 (05)150

დ) radicaradicaradica3

3

ე) x ndash 2x ndash 3 = 0 ვ) radicx + radicx = 2 ზ) x2 + 2 = 2radicx2 + 5 თ) radicx + 1 ndash radicx ndash 7 = 24

237


( )x


1) y = 2x და y = ( )x ფუნქციებისათვის შევადგინოთ მნიშვნელობათა ცხრილი


y = 2x 1 2 4 818

14

12


y = 8 4 2 1 18

14

12

12

12( )x

2) საკოორდინატო სიბრტყეზე ავაგოთ წერტილები რომელთა აბცისები არგუმენტისორდინატები კი ფუნქციის ცხრილში მოცემული მნიშვნელობების ტოლია და ამ წერ-ტილებზე გავლით დახაზეთ გლუვი მრუდი

x

y

ndash2ndash4 2

2

4

4

86

(1 2)

0

y = 2x

(3 8)

(2 4)

(0 1)

(ndash1 )

(ndash2 )

(ndash3 )18

14

12

x

y

ndash2ndash4 2

2

4

4

86

(ndash1 2)

0

y =

(ndash3 8)

(ndash2 4)

(0 1)

(1 )

(2 )

(3 )18

14

12

12

3) ნებისმიერი x-ისათვის 2x და ( )x გამოსახულების მნიშვნელობები შეადარეთ ldquo0rdquo-ს

4) რაც უფრო იზრდება x-ის მნიშვნელობა y = 2x ფუნქციის მნიშვნელობა იზრდება თუ

მცირდება რაც უფრო იზრდება x-ის მნიშვნელობა y = ( )x ფუნქციის მნიშვნელობა

იზრდება თუ მცირდება5 რომელ წერტილში კვეთენ გრაფიკები y ღერძს6 შეადარეთ გრაფიკები აღნიშნეთ მათი მსგავსი და განსხვავებული ნიშნები

7 შეარჩიეთ დავალებები y = 3x და y = ( )x ფუნქციებისათვის

12

12

13

როცა a gt 0 და a 1 მაშინ y = ax ფუნქციას მაჩვენებლიანი ფუნქცია ეწოდება1) მაჩვენებლიანი ფუნქციის განსაზღვრის არე ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა

D(ax) = (ndash +)2) მაჩვენებლიანი ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე დადებით ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა

E(ax) = (0 +)3) როცა x = 0 მაშინ a0 = 1 ამიტომ მაჩვენებლიანი ფუნქციის გრაფიკი y ღერძს (0 1) წერ-ტილში კვეთს4) როცა a gt 1 მაშინ ax ფუნქცია ზრდადია როცა 0 lt a lt 1 მაშინ ax ფუნქცია კლებადია5) მაჩვენებლიანი ფუნქციის გრაფიკი აბცისთა ღერძს არ კვეთს და გრაფიკი x ღერძის ზედანახევარსიბრტყეში მდებარეობსy = ax ფუნქციასა და მის გრაფიკს ექსპონენტა ეწოდება

ექსპონენტა არგუმანტის ცვლილებით სწრაფად იზრდება ან სწრაფად მცირდება

238


შევადგინოთ მნიშვნელობათა ცხრილი

როგორც მნიშვნელობათა ცხრილიდან ჩანს x-ის მნიშვნელობის ერთი

ერთეულით გაზრდისას y-ის მნიშვნელობები -ის ჯერადობით

მცირდება მაშასადამე a = ფუნქციის ფორმულა y =

amoxsna

131

313

x

eqsponencialurad zrdadi da eqsponencialurad klebadi funqciebi

ექსპონენციალურად კლებადიექსპონენციალურად ზრდადი

(0 1)

y = axa gt 1

(0 1)

00

y = ax

0 lt a lt 1

6) 0 lt a lt 1 როცა x-ის უსასრულოდ გაზრდისას y-ის შესაბამისი მნიშვნელობა მცირდებადა y = ax ფუნქციის გრაფიკზე არსებული წერტილები შეუზღუდავად უახლოვდებააბცისთა ღერძსროცა a gt 1 და x rarr ndash გრაფიკზე მდებარე წერტილები შეუზღუდავად უახლოვდებააბცისთა ღერძსაბცისთა ღერძი მაჩვენებლიანი ფუნქციის ჰორიზონტალური ასიმპტოტია

nimuSi ცვლადის რომელი მნიშვნელობისათვის არის მართებული

ა) 4x = 64 ტოლობა ბ) 3x gt 9 გ) 04x gt 016 უტოლობა

amoxsna ა) 4x = 64 ტოლობა 4x = 43 ჩავწეროთ სახით აქედან ნამდვილმაჩვენებლიანი

ხარისხის თვისებების თანახმად x = 3ბ) 3x gt 9 უტოლობა ჩავწეროთ 3x gt 32 სახით საიდანაც გასაგებია რომ x gt 2გ) 04x gt 016 უტოლობა ჩავწეროთ 04x gt 042 (ტოლფუძიანი ხარისხების) სახით ვინა-

იდან ფუძე ერთეულზე ნაკლებია x lt 2

f(x)

x

2468

10

20 4ndash2ndash4

f(x) = ( )x13

y y

xx

x ndash2 ndash1 0 1

y 9 3 1 13

(ndash2 9)

(ndash1 3)(1 )

(2 )

(0 1)13

19

y = c middot ax ფუნქციასაც ექსპონენტა ეწოდებაmagaliTad y = 8 middot 2x ფუნქციის y = 23 middot 2x = 2x + 3 სახით ჩაწერა შესაძლებელია

nimuSi ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით დაწერეთ მისი განტოლება

239


y = 0x და y = 1x ფუნქციებს შეიძლება თუ არა ეწოდოს მაჩვენებლიანი ფუნქცია მაშინy = (1)x ფუნქციას

4

ააგეთ ფუნქციის გრაფიკები არანაკლებ სამი წერტილის კოორდინატების გან-საზღვრით

ა) უჩვენეთ ფუნქცია ზრდადია თუ კლებადია ბ) უჩვენეთ ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე გ) განსაზღვრეთ გრაფიკის y ღერძთან გადაკვეთის წერტილი

რომელი გრაფიკი რომელი ფუნქციისაა

1) y = 5x 2) 3) y =

გამოთვალეთ ფუნქციის მოთხოვნილი მნიშვნელობები

1) f(x) = 4x 2) g(x) = 6x 3)m(x) = 4)h(x) =

ა)

გ) დ)

ბ)

3

2

1saswavlo davalebebi

14

f(x) =

x

23

x

f(1) f(2) f(1) f(2) h(1)h(2) h(1) h(2)

g(x) =

n(x) = (radic5)x

m(x) = 23x-115

x

23

xy = 1

4x

g(0) g(2) g(radic2) g(1) m(0) m(2) m(radic2) m(1)

1radic2

x

ზრდადია თუ კლებადია ფუნქციაა) y = 5x ბ) y = 03x გ) y = 5ndashx დ) y = (radic2 ndash 1)x ე) y = (radic5 ndash 1)ndashx

5

6 y = ax y = bx y = cx ფუნქციების გრაფიკების მიხედვით შეადარეთ a b და cრიცხვები

y

00 x

axbxcx

y

x

axbx

cx

დაწერეთ y = cmiddotax მაჩვენებლიანი ფუნქციის ფორმულა რომლის გრაფიკი გადის მო-ცემულ წერტილებზეა) (0 2) და (2 32) ბ) (0 3) და (1 15)გ) (0 7) და (2 63) დ) (0 5) და (3 135)ე) (0 02) და (4 512) ვ) (0 03) და (5 96)

7

ა) ბ)

0

2

2ndash2ndash4

4

4

y

x 0

2

2ndash2ndash4

4

4

y

x 0

2

2ndash2 6

4

4

y

x

ა) ბ) გ)

240


1) მოცემული გრაფიკების შესაბამისად დაწერეთ ფუნქციის ფორმულა y = ax სახით 2) შეადგინეთ მნიშვნელობათა ცხრილი და გრაფიკი რვეულში ხელახლა ააგეთ

8

15

x

f(x) = 5x g(x) = h(x) = 3x ფუნქციებიდან რომლის მნიშვნელობა

ა) არის უდიდესი როცა x = 5 ბ) არის უმცირესი როცა x = 5

გ) x-ის რა მნიშვნელობისათვის არის სამივე მათგანი მნიშვნელობა ტოლი

9

10 შეადარეთ ქვემოთ მოცემულები თუ f(x) = 32x g(x) = 03x ა) f(5) და f(6) ბ) f(01) და f(05) გ) f(ndashradic2) და f(radic2)დ) g(5) და g(6) ე) g(01) და g(05) ვ) g(ndashradic2) და g(radic2)

11 შეადარეთ

ა) (radic2)3 და (radic2)6 ბ) 013 და 01radic8 გ) 4ndashradic2 და 4ndashradic3

12 ცვლადის რა მნიშვნელობისათვის არის ტოლობა მართებული

ა) 3x + 1 = 27 ბ) 4x ndash 2 = 64 გ) (radic2)x = 2radic2

13 ცვლადის რა მნიშვნელობისათვის არის უტოლობა მართებული

ა) 2x gt 32 ბ) 3x lt 27 გ) 02x gt 004 დ) x lt12

18( )

14

განსაზღვრეთ განტოლების ფესვის ნიშანი გრაფიკული ხერხით

ა) 5x = 6 ბ) 02x = 3 გ) 4x = დ) 03x = 01

ზეპირად იპოვეთ 2x = x2 განტოლების დამაკმაყოფილებელი ორი რიცხვიგრაფიკული ხერხით განსაზღვრეთ განტოლების ფესვების რაოდენობა


ა) 2x = 3 ndash x ბ) x = x + 612( )

1513

16

50

100 y

x

(3 64)

(2 16)(ndash2 n)

y

x

5

(ndash3 n)

(3 )278

(2 )94

10 y

x

5

10

(3 n)

(ndash3 )6427

(ndash2 )169

y

x(1 n)

50

100(ndash3 125)

(ndash2 25)

ა) ბ) გ) დ)

ერთსა და იმავე საკოორდინატო სიბრტყეზე ააგეთ y = 2x და y =( )x ფუნქციებისგრაფიკები და უჩვენეთ რომელი ღერძის მიმართ არიან გრაფიკები სიმეტრიულიშედეგები განაზოგადეთ

17 12

ცვლილება მაჩვენებლიანი ფუნქციის სახითდ) ივარაუდეთ რა დროის განმავლობაში მოხდება Ra -225 ნივთიერების საწყისი მასის მის

-მდე შემცირება

amoxsna ა) როგორც სურათიდან ჩანს გრაფიკი როცა t = 0 მაშინ y ღერძს (0 1)წერტილში კვეთს მაშასადამე რადიოაქტიური ნივთიერების საწყისი მასა m = 1 გრ-ია

241


maria kiuri რადიოაქტიური დაშლა ერთი ან რამდენიმე ნაწი-ლაკის (მაგალითად ელექტრონები ნეიტრონები ალფა - ნაწი-ლაკები ფოტონები) გამოყოფით აღინიშნება ატომების დაყოფითსხვა ქიმიურ ნივთიერებად გარდაქმნის შედეგად რადიოაქტიურინივთიერება გარკვეულ დროში საწყისი ოდენობის ნახევარსკარგავს ეს დრო მოცემული რადიოაქტიური ნივთიერებებისათვისმუდმივია და ნახევრადდაშლის პერიოდი ეწოდება 1898 წელსმარია კიურიმ მაღალი რადიოაქტიურობის მქონე რადიუმისა დაპოლონიუმის ნივთიერებები აღმოაჩინა და ამ აღმოჩენისათვისნობელის პრემია მიიღო რადიუმის ელემენტის იზოტოპის -რადიუმ 226-ის ნახევრადდაშლის დრო 1620 წელია რადიუმ 226 ნახევრადდაშლისასრადონ 222 ნივთიერებად - რადიოაქტიურ გაზად გარდაიქმნება

nimuSi რადიუმი (Ra -225) ნივთიერების ნახევარდაშლისხანგრძლივობა 15 დღეა დაშლის პროცესში მისი დანარჩენიმასის (გრამობით) დროზე (15 დღიანი ინტერვალით)დამოკიდებულების მაჩვენებლიანი ფუნქციით დამოდელი-რება შეიძლება ამ ფუნქციის გრაფიკი სურათზეა მოცემულია) რამდენი გრამია Ra -225 ნივთიერების საწყისი მასაგრაფიკზე აღნიშნული წერტილების კოორდინატები სიტუა-ციების შესაბამისად განმარტეთ წერილობითბ) იპოვეთ ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა არეგ) დაწერეთ ნივთიერების მასის დროზე დამოკიდებულებით

130


რადიოაქტიური ნივთიერების დაშლის კანონი m = m0( )12

tT

m0- ნივთიერების საწყისი რაოდენობაT- ნივთიერების ნახევრადაშლის პერიოდიm- ნივთიერების ოდენობა განხილვის t მომენტშისადაც t არის დრო იღებს არაუარყოფით მნიშვნელობებს

ბ) როგორც გრაფიკიდან ჩანს ფუნქციის განსაზღვრის არე ანუ t-ს დასაშვები მნიშ-ვნელობები t ge 0 ნამდვილ რიცხთა სიმრავლეა ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე ანუm-ის დასაშვებ მნიშვნელობათა სიმრავლე 0 lt m le 1 ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა

გ) რადიოაქტიური ნივთიერების ნახევარი 15 დღეში ერთხელ იშლება მაშასადამე მაჩ-

ვენებლიანი ფუნქციის ფუძე არის მაჩვენებელი კი 15 დღეების რაოდენობის მაჩვენებელი

t ცვლადი იქნება m(t) = ( )t12

12

10

08

06

04(1 05)

(2 025)(3 0125)

(5 003)02

2 4 6 8 t

m

0

დრო (15 დღიანი ინტერვალებით)

ნივთ

იერე

ბის

ოდ

ენო

ბა (გ

რამო

ბით

)


242

საწყისი მასა 1 გრ-ის მქონე რადიუმ 226 რადიოაქტიური ნივთიერების დაშლის კანონი

m(t) = ( )t1620 ფორმულითაა მოცემული სადაც m არის რადიუმის მასა (გრამობით)

t კი დრო (წლობით) რამდენი დარჩება მოცემული ნივთიერების მასიდან

a) 1620 წლის შემდეგ b) 3240 წლის შემდეგ c) 4860 წლის შემდეგ

ქვემოთ მოცემული სიტუაციებიდან თითოეულის მაჩვენებლიანი ფუნქციით მო-დელირება შეიძლება რომელია ექსპონენციალურად ზრდადი (a gt 1) რომელია ექს-პონენციალურად კლებადი (0 lt a lt 1) სიტუაციაა) ბაქტერიების გამრავლების პეტრის ჭურჭელში მათი რაოდენობა საათში 2-ჯერიზრდებაბ) აქტინიუმ 225-ის იზოტოპის ნახევარდაშლის ხანგრძლივობა 10 დღეაგ) ტბაზე დაცემული სინათლის ოდენობა ყოველ 1 მ სიღრმეზე 25-ით მცირდებად) მწერების გუნდში მათი რაოდენობა დღეში 3-ჯერ იზრდება

ბანკის ანგარიშზე არსებული თანხა ყოველწლიურად 25 შემოსავალს იძლევა ამანგარიშზე არსებული თანხის n წელში A = P(1+r)n ფორმულით გამოთვლა შეიძლებასადაც P არის წლიური თანხა r - წლიური ნაზრდი (ათწილადობით) ანგარიშზეარსებული თანხა A = P(1025)n წესით შეიცვლება

ა) ანგარიშზე არსებული საწყისი თანხა ჩათვალეთ ერთ მანეთად და ააგეთ შესაბამისიმაჩვენებლიანი ფუნქციის გრაფიკი

ბ) გრაფიკის თანახმად ივარაუდეთ ეს თანხა რამდენი წლის შემდეგ იქნება საწყისითანხის სამმაგი ოდენობის ანგარიშზე არსებული თანხის სამმაგი ზრდის ხანგრძლივობასაწყისი თანხის ოდენობაზე არის დამოკიდებული

გ) ფინანსებში წლიური რთული პროცენტის ზრდის მიხედვით საწყისი თანხის ორმაგისმიღწევის ხანგრძლივობას ldquo72 ხერხითrdquo გამოითვლიან მაგალითად 100 მანეთი ფულირამდენ წელიწადში 200 მანეთი გახდება რომ ვიპოვოთ წლების რაოდენობის ზრდისპროცენტზე ნამრავლი 72-ის ტოლი უნდა იყოს ანუ n r = 72 უნდა იყოს

ამ წესისა და გრაფიკის მიხედვით ერთი მანეთი ფული 25-ობით იპოვეთ რამდენიწლის შემდეგ იქნება დაახლოებით 2 მანეთი და შედეგები შეადარეთ

1

2

3

დ) ამ ინფორმაციის გრაფიკის მიხედვითაც სავარაუდოდ გამოთქმა შეიძლება მნიშ-

ვნელობათა ცხრილის შედგენაც შეიძლება როცა საწყისი ნივთიერება 1 გრ-ია მისი

ნაწილი დაახლოებით 0033 გრ-ია y ღერძზე ავღნიშნოთ ეს წერტილი და გავავლოთ

ამ წერტილზე გამავალი გრაფიკის მკვეთი ჰორიზონტალური წრფე წრფე გრაფიკს კვეთს

წერტილში რომლის აბცისაც მიახლოებით 5-ია მაშასადამე 5 15 = 75 დღის შემდეგ

საწყისი რადიოაქტიური ნივთიერების მასის დაახლოებით ნაწილი დარჩება

130

130

12

ააგეთ y = 3x y = x3 და y = 3x ფუნქციების გრაფიკებიდაწერეთ თითოეული ფუნქციის განსაზღვრის არე მნიშვნელობათა სიმრავლე დანულები (თუ არსებობს) შეადარეთ ამ ფუნქციების მნიშვნელობები x = 1 2 3 4მნიშვნელობებისათვის რომელი ფუნქციის მნიშვნელობები იცვლება უფრო სწრაფად

4

243


გრაფიკი |l| ჯერ x ღერძიდან ჰორიზონტალურად იწელება

(x y) rarr (x ly) მაგალითად y = 3x და y = 4middot3x

როცა l lt 0 მაშინ x ღერძის მიმართ ხდება ასახვა მაგალითად y = 3x და y = 2middot3x

maCvenebliani funqciis zogadi saxe f(x) = lmiddotax minus m + n

f(x) = l middot ax minus m + n ფუნქციის გრაფიკი y = l middot axფუნქციის გრაფიკის პარალელური გადატანით აგებაშეიძლება

f(x) = ax ფუნქცია მაჩვენებლიანი ფუნქციების ოჯახის ძირითადი ფუნქციაა ამფუნქციის სხვადასხვა გარდაქმნების მიხედვით f(x) = lmiddotax f(x) = lmiddotax minus n f(x) = lmiddotax minus m + n სახის მაჩვენებლიანი ფუნქციების გრაფიკის აგება შეიძლება

ზევით ან ქვევით ვერტიკალურიმოცურება

მარჯვნივ ან მარცხნივ ჰორიზონ-ტალური მოცურება

m n

x

y

0ndash2 42ndash4

3

1

5

11

13

9

y = 3middot2x

y = 3middot2x+1+1

(1 6)

(2 12)

(0 3)

(1 4)

(0 6)

(1 13)

(0 7)

nimuSi y = 32x ფუნქციის გრაფიკის პარალელურიგადატანით ააგეთ y = 32x+1 + 1 ფუნქციის გრაფიკი1 y = 32x ფუნქციის შესაბამისი (0 3) (1 6) (2 12) წერტილები ავღნიშნოთ საკოორდინატო სიბრ-ტყეზე და ეს წერტილები შევაერთოთ გლუვი მრუდიწირის სახით ფუნქციის ასიმპტოტი y = 0 წრფეა 2 y = 32x ფუნქციის გრაფიკის ერთი ერთეულით მარ-ცხნივ (32x+1) და ერთი ერთეულით ზევით (32x+1+1)პარალელური გადატანის შესაბამისად (მოცურებისვექტორი langndash1 1rang) აღნიშნული წერტილებისათვის გან-ვსაზღვროთ ახალი კოორდინატები და განვათავსოთსაკოორდინატო სიბრტყეზე შევაერთოთ ეს წერტილებიგლუვი მრუდი წირით მიიღება y = 32x+1 + 1 ფუნქციისგრაფიკი

y

x

4

4

2

2ndash2ndash2

ndash4

ndash4

0

y = 3x

y = 4∙3x

y = ndash2∙3x

y

x

4y = 4x + 2

y = 4x ndash 3

y = 4x 2

2ndash2ndash2

ndash4

ndash4

0 4

y

y = 6x + 2

y = 6x ndash 3

y = 6x4

2

2ndash2ndash4 0 4 x

(0 3) rarr (1 4) (1 6)rarr (0 7) (2 12) rarr (1 13)y = 1 წრფე ფუნქციის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი იქნება

244

y = ფუნქციის გრაფიკი ვერტიკალური მიმართულებით ისეა მოცურებული რომ მი-

ღებული გრაფიკი (2 ) წერტილზე გადის დაწერეთ მოცურებული გრაფიკის შესაბა-

მისი ფუნქციის ფორმულა ნიმუშის შესაბამისად დაწერეთ შესაბამისი პარალელური გადატანა


არანაკლებ სამი წერტილის კოორდინატების განსაზღვრით ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი2

7

3

1

13

x

112

ააგეთ მოცემული ფუნქციების გრაფიკები f(x) = lmiddotax მაჩვენებლიანი ფუნქციის გრაფიკისპარალელური გადატანით თითოეული ფუნქციისათვის დაწერეთ პარალელური გა-დატანის ვექტორი

ა) y = 3 ( )x 1 ბ) y = 3x + 2 გ) y = 22x 2

დ) y = 3 3x + 2 2 ე) y = 4 2x 3 + 1 ვ) y = 4 2x 3 4

ა) ცხრილში y = 23x 4 3 ფუნქციისმნიშვნელობათა სვეტის დამატებით ააგეთგრაფიკი ბ) განმარტეთ y = 2∙3x 4 3 ფუნქციისy = lax minus m + n ფუნქციასთან პარამეტ-რებით დაკავშირებით თითოეულ ნაბიჯზეცვლილების გრაფიკის მდგომარეობაზეგავლენა

y = 3x y = 2∙3x y = 2∙3x 4

(1 ) (1 ) (3 )

(0 1) (0 2) (4 2)(1 3) (1 6) (5 6)(2 9) (2 18) (6 18)(3 27) (3 54) (7 54)

13

23

23

ა) y = 2middot3x ბ) y = 5middot2x გ) y = 05middot4x

დ) y = 4middot( )x ე) y = ndash ( )x ვ) y = ndash25middot5x13

15

გ) y = 3x და y = 2∙3x 4 3 ფუნქციებიდან თითოეულისათვის უჩვენეთ განსაზღვრისარე და მნიშვნელობათა სიმრავლე

ააგეთ y = 4x y = 4x +2 y = 4x 3 ფუნქციების გრაფიკები გამოთქვით მოსაზრებები ამფუნქციების განსაზღვრის არის მნიშვნელობათა სიმრავლისა და ასიმპტოტების შესახებ

y = 10x ფუნქცია შეიძლება ჩაიწეროს y = (25)x სახით ააგეთ ამ ფუნქციისა და y = 25x

ფუნქციის გრაფიკი შეადარეთ ისინი

ა)

ბ)

გ)

nimuSi f(x) = 3x და g(x) = 3x 4 f(x) = 4x და g(x) = 4x+ 1

f(x) = 2x და g(x) = 5 2x

f(x) = 10x და g(x) = 10x + 2

დაწერეთ მოცემული ფუნქციები y = lmiddotax სახით

5

6

4

ა) y = 4x + 1 ბ) y = 5 9x 1

გ) y = 5 23x დ) y = 23 52x

რადგან g(x) = f(x 4) ამიტომ g(x) ფუნქციისგრაფიკი f(x) ფუნქციის გრაფიკის 4 ერთეულითმარჯვნივ მოცურებითაა მიღებული

13

13

saswavlo davalebebi

245


განსაზღვრეთ რომელი გრაფიკი რომელ ფუნქციას შეესაბამება

განსაზღვრეთ ფუნქციის ექსპონენციალური ზრდადობა და კლებადობა

რეალურ ცხოვრებისეულ სიტუაციებში თუ სიდიდე წლის განმავლობაში მუდმივისიდიდით იზრდება t წლის შემდგომი მდგომარეობის რაოდენობრივი შეფასებისათვისy = a(1 + r)t ფორმულა კლებისას კი y = a(1 r)t ფორმულა გამოიყენება სადაც aარის საწყისი რაოდენობა r ზრდის (კლების) პროცენტი ათწილადობით t- წლებისრაოდენობა ამოხსენით ამოცანები ამ ფორმულის მიხედვით

8

9

10

ა) y = 10middot35x ბ) y = 2middot4x გ) y = 04middot( )x

დ) y = 3middot( )x ე) y = 30x ვ) y = 02middot5x52

13

1) y = 2middot5x

2) y = 3middot4x

3) y = ndash2middot5x

4) y = middot4x

5) y = 3x ndash 2

6) y = 3x ndash 2

13

ა) 1993 წელს ინტერნეტმომხმარებელთა რიცხვი 1 313 000 იყო და ხუთი წლის განმავ-ლობაში მათი რაოდენობა ყოველწლიურად 100-ით იზრდებოდა დაწერეთ ინტერ-ნეტმომხმარებლების t წლის შემდეგ რაოდენობის მაჩვენებელი მაჩვენებლიანი ფუნ-ქცია რამდენი იქნება მომხმარებელთა რაოდენობა 5 წლის შემდეგ რამდენი იყომომხმარებელთა რაოდენობა 2000 წელს

nimuSi 24 000 მანეთად შეძენილი ავტომობილის ფასი ყოველწლიურად 12-ითდაბლა იწევს დაწერეთ ავტომობილის ფასის გამოყენების წლებზე (t) დამოკი-დებულების მაჩვენებელი მაჩვენებლიანი ფუნქციის ფორმულაamoxsna y = a(1 r)t ფორმულაში თუ გავითვალისწინებთ რომ a = 24000 r = 12= 012 1 r = 088 მოცემული სიტუაცია y = 24000(088)t მაჩვენებლიანი ფუნქციითშეიძლება დავამოდელიროთ

ბ) საბანკო ანგარიშზე წლიური 8 რთული პროცენტით ზრდით შეტანილია 1000მანეთი რამდენი მანეთი იქნება 6 წლის შემდეგ

გ) წარმოიდგინეთ რომ თქვენ შემადგენლობაში 120 მგ კოფეინის შემცველი ყავამიირთვით მიღებული კოფეინის ოდენობა საათში 12-ით მცირდება ორგანიზმშიდარჩენილი კოფეინის რაოდენობის მაჩვენებელი დაწერეთ მაჩვენებლიანი ფუნქციისფორმულის სახით

11 უჩვენეთ ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლეა) y = 3x + 2 ბ) y = 2x ndash 3 გ) y = 8 middot 2x + 2 დ) y = middot 2x ndash 2 ე) y = 3 middot 3x ndash 1 + 3 ვ) y = 4 middot ( )x ndash 1 1

2

y y

y y y

yx

x

x x

xx

3 3

1

ndash3

1

1 4

1 11

2

1ndash1 ndash( )2

5ndash1 ( )2

5

ndash1 ( )34

(0 ndash2)

(0 ndash1)(0 3)

(2 1)(3 3)

(1 1)

(0 2)0( )1

3 1( )43

ა) ბ) გ)

დ) ე) ვ)

13

246


როგორც ხედავთ თუ ბანკი მოცემული პროცენტით ფულს უფრო ხშირ-ხშირადგამოთვლის შემოსავალი იზრდება თუმცა ბანკის პროცენტით დღიური გამოთვლებისყოველთვიურ გამოთვლებთან შედარებით მიღებული მოგება სულ 10 კაპიკია წარ-მოიდგინეთ რომ ანგარიშზე არსებული ფული მოცემული პროცენტით ყოველიწამისათვის უწყვეტად შემოსავალი იანგარიშება კვლავაც სხვაობა საათობრივი დადღიური გამოთვლებისაგან დიდად არ იქნება განსხვავებული

S (n) = ფუნქციის გრაფკალკულატორით

აგებული გრაფიკებიდან ჩანს რომ როცა n S(n)ფუნქციას ჰორიზონტალური ასიმპტოტი აქვს

gamokvleva e ricxviწარმოიდგინეთ რომ 1 მანეთი ფული წლიური 100 რთული პროცენტის მატებით ბანკშიაშეტანილი და წლის განმავლობაში n-ჯერ ხდება გამოთვლა რთული პროცენტით ზრდისფორმულაში S0 = 1 r = 100 = 1 t = 1 მნიშვნელობები ჩაწერეთ ადგილებზე

n-ის სხვადასხვა მნიშვნელობებისათვის ფუნქციის მნიშვნელობების გამოთვლით მიუ-

თითეთ რომელ რიცხვს უახლოვდება მნიშვნელობა

(1+ )ntrn (1+ )n11

n

(1+ )n1n

(1+ )n1n

(1+ )n1n

გამოთვლის პირობა n

წლიური

ნახევარწლიური

კვარტალური

ყოველთვიური

დღიური

საათობრივი

124123658760

2 m225

2441424883270482714627181

(1+ )n1nS(n) =

(1+ )414S(n) =

(1+ )12112S(n) =

(1+ )3651365S(n) =

(1+ )876018760S(n) =

(1+ )212S(n) =

(1+ )111S(n) =

S = S0 = 1 =

S (n) = (1+ )n1n1

n

S(n)

0

234

10 20 30 40 50

გამოკვლევებიდან ჩანს რომ რაც უფრო იზრდება n-ის მნიშვნელობა გამოსახუ-

ლების მნიშვნელობა 271 და 272 შორის იცვლება ეს რიცხვი e ასოთი აღინიშნება და მისიმნიშვნელობაა e = 2718 281 828 459hellip eრიცხვიც რიცხვივით ირაციონალური რიცხვიაეს რიცხვები ტრანცენდენტული რიცხვებია ტრანცენდენტული ეწოდება ისეთ რიცხვებსრომელთა კოეფიციენტები მთელი რიცხვებია და არცერთი n ხარისხის განტოლების ფესვებსარ წარმოადგენენექსპონენციალური ზრდისა და კლების eფუძის მიხედვით N = N0ekt ფორმულით გამოსახვაშეიძლება სადაც N0 - არის საწყისი თანხა t - დრო k-მუდმივი რიცხვია

(1+ )n 1n

e ricxvi

247


გრაფკალკულატორის დახმარებით ააგეთ y = ex ფუნქციის გრაფიკი ქვემოთ მოცე-მული გრაფიკები სქემატურად გამოსახეთ როგორც y = ex ფუნქციის გრაფიკის გარ-დაქმნები

DDT (C14H9Cll5) ნივთიერება პირველად აღმოაჩინა შვეიცარიელმა მეცნიერმა პაულმიულერმა და ამ აღმოჩენისათვის ნობელის პრემია მიენიჭა ომის შემდგომ პერიოდშიDDT პესტიციდით გარემოს შეწამვლის შედეგად ტიფისა და მალარიის დაავადებისგამავრცელებელი მწერები განადგურდა თუმცა გამოკვლევები უჩვენებს რომ ესნივთიერებები ადამიანის ორგანიზმისთვისაც საზიანოა დავუშვათ რომ 1973 წელს1109 კგ DDT გამოყენებული იქნა განსაზღვრული სფეროს დეზინფექციისათვის თუk = 0023 იქნება ა) დაწერეთ მოცემულ წელს ამ ნივთიერების ნარჩენის მაჩვენებელიფორმულა N = N0ekt სახით ბ) რამდენი იქნება ამ ნივთიერებიდან დარჩენილი 2020წელს კალკულატორით გამოთვალეთ

y = 2middote2x y = ex y = 3e xა) ბ) გ)

გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა მძიმის შემდეგ ოთხი ციფრის სიზუსტითისარგებლეთ ex ღილაკის მქონე ინტერნეტ კალკულატორითhttpswwweewebcomtoolboxcalculator

გ) e0ა) endash2 ბ) endash023

1

2

y = ex ფუნქციის გრაფიკის აგებისათვის სხვადასხვაინტერნეტ გრაფკალკულატორებით(httpwwwmeta-calculatorcomonline) მათ შორისსურათზე ნაჩვენების მსგავსად Geometerrsquos Sketchpadregპროგრამით შეგვიძლია ვისარგებლოთ

y = ex funqciis grafiki

3

ცდის დროს t საათის გასვლის შემდეგ ჭურჭელში არსებული ბაქტერიების Nრაოდენობის N = 100 e069t ფორმულით განსაზღვრის შესაძლებლობა იქნაგამოვლენილია) იპოვეთ ჭურჭელში არსებული ბაქტერიების თავდაპირველი რაოდენობაბ) რამდენი ბაქტერია იქნება ჭურჭელში 5 საათის შემდეგ

5000 მანეთი 25 წლით 12-იანი რთული ზრდის პროცენტით ბანკშია შეტანილი

შემოსავლის გამოთვლის უწყვეტად წარმოებისას მიღებული შემოსავალი

S = S0ert ფორმულით წელიწადში 2-ჯერ (n = 2) პროცენტის გაანგარიშებით მიღებული

შემოსავალი კი S = S0 ფორმულით გამოთვალეთ რომელ შემთხვევაში

მიიღება მეტი შემოსავალი და რამდენით

4

5

(1+ )ntrn

1

510152025

2 3 4 x

y

ndash1ndash2ndash3

y = ex

248

ricxvis logariTmi

ა) 2x = 16 ბ) 3x = 9 გ) 4x = 64

1) x-ის ადგილას ჩაწერეთ ისეთი რიცხვები რომ სწორი ტოლობა მივიღოთ

gamokvleva

3) რომელ ორ მიმდევრობით მოცემულ მთელ რიცხვს შორის არის x-ის მოცემული ტოლობისდამაკმაყოფილებელი მნიშვნელობა

ა) 2x = 24 ბ) 3x = 18 გ) 4x = 56

2) არგუმენტის რა მნიშვნელობისათვის მიიღებს y = 2x

ფუნქცია 6-ის ტოლ მნიშვნელობას x-ის ეს მნიშვნელობაერთადერთია

x

y

ndash2ndash4 2

2

4

4

86

0

y = 2x

1 3

logariTmi

nimuSi 1 ლოგარითმული ჩანაწერები შეცვალეთ ექსპონენციალური ჩანაწერებით

b რიცხვის მიღებისათვის a რიცხვის ასაყვანი ხარისხის მაჩვენებელს b რიცხვის a ფუძიანილოგარითმი ეწოდება და y = logab სახით აღინიშნება სადაცane1 a და b დადებითი ნამდვილი რიცხვებია y = logax ჩანაწერი ay = x ტოლობის ლოგარითმული ჩანაწერიადა პირიქით ay = x ჩანაწერი y = logax ტოლობის ექსპო-ნენციალური ჩანაწერიაამრიგად ay = x და y = logax ჩანაწერები ეკვივალენტური ჩანაწერებია

ა) log216 = 4 გ) log81 = 0ბ) log10 = ndash311000

ა) log216 = 4

გ) log81 = 0

ბ) log10 = 311000

11000

24 = 16

103 =

amoxsna ლოგარითმული ჩანაწერი ექსპონენციალური ჩანაწერი

bullloga 1 = 0 რადგან a0 = 1 bull loga a = 1 რადგან a1 = abull loga a y = y რადგან a y = a y bull aloga x = x რადგან logax = logaxa loga x = x ტოლობას ძირითადი ლოგარითმული იგივეობა ეწოდება

80 = 1

ფუძე

y = logax ay = x მაჩვენებელი

nimuSi 2 იპოვეთ ლოგარითმული გამოსახულების მნიშვნელობა

ა) log327

log327 = x ავღნიშნოთ

3x = 27 ექსპონენციალური ჩანაწერი

3x = 33 x = 3 ხარისხის თვისების თანახმად

ბ) logaa

logaa = x

ax = ax = 1 x =

log5radic5 amoxsna

4

log5radic5 = x4

5x = radic5 4

გ)

14

გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა ძირითადი ლოგარითმული იგივეობის დახმარებითა) 2log28 ბ) 10lg 2 გ) 31 + log32 დ) 102 ndash lg 4 ე) 23 log25 ვ) 52 log53 ზ) 4log23 თ) 16log4 7

7

249

a და b ადგილას ჩაწერეთ ისეთი მიმდევრობითი მთელი რიცხვები რომ სწორი უტო-ლობა მივიღოთ

a lt log248 lt b a lt log3100 lt b a lt log590 lt bა) ბ) გ) 6

8

ტოლობიდან იპოვეთ ცვლადია) log2x = ndash1 ბ) log x = ndash2

ა) (1 + 3log35)log62 ბ) 491 ndash log73 გ) (7 ndash 5log53)1 + log2 3 12

14

გ) logx25 = 2 დ) logx = ndash2 9

14

10 სტატისტიკური მაჩვენებლების თანახმად მსოფლიოს მოსახლეობა 1995 წლიდანდაწყებული წელიწადში 127-ით იზრდება 2011 წელს მსოფლიოს მოსახლეობა 7 მლრდკაცი გახდა ამ ზრდით დაახლოებით რამდენი კაცი იქნება მოსახლეობა 2020 წელს

2)აქვს თუ არა გამოსახულებას მნიშვნელობა ა) log ndash39 ბ) lg(ndash10) გ) log13 დ) ln 7 ე) log316


ricxvis logariTmi

შეცვალეთ ტოლობები ეკვივალენტური ლოგარითმული ჩანაწერებით

შეცვალეთ ტოლობები ეკვივალენტური ექსპონენციალური ჩანაწერებით

კალკულატორის გამოყენებით იპოვეთ ლოგარითმული გამოსახულების მნიშვნელობა

1

2

4

ა) 34 = 81 ბ) 813 = 2 გ) 05ndash2 = 4 დ) by = xე) ex = y ვ) ( )ndash2 = 9 ზ) ( )ndash1 = თ) 8ndash2 =1

325

52

164

ა) log749 ბ) log327 გ) lg01 დ) log2( )ე) log164 ვ) log82 ზ) log 1 თ) log052ი) log335 კ) log993 ლ) lg10 მ) log71

116

ა) log5625 = 4 ბ) log12525 = გ) lg(00001) = ndash4 დ) log25( ) = ndashე) log b15 = x ვ) logb82 = y ზ) log35 = x თ) log27 = x

23

15

12

ლოგარითმები 10-ისა და e რიცხვის ფუძით შესაბამისად lg და ln სახით აღინიშნებალოგარითმს რომლის ფუძეა 10 ათობითი ლოგარითმი ხოლო რომლის ფუძეც არის e ნატურალური ლოგარითმი ეწოდება

ლოგარითმის გამოთვლისათვის კალკულატორის გამოყენება შეიძლება მაგალითადhttpweb20calccom ვირტუალური კალკულატორით შეგვიძლია ვისარგებლოთ

log100001 lg 0001 logec ln c

1) მაგალითებზე განმარტეთ რომ ლოგარითმის ფუძე არ შეიძლება იყოს 0 1 ანუარყოფითი რიცხვი

გამოთვალეთ ა) lg 0001 ბ) lg (63 middot 105) გ) lg (000025) დ) ln(e3) ე) ln(8)

3

5

saswavlo davalebebi

72

250

logariTmuli funqcia

y = ax ფუნქციის მნიშვნელობათა არიდანაღებული თითოეულ მნიშვნელობას გან-საზღვრის არიდან აღებული მხოლოდ ერთიმნიშვნელობა შეესაბამება ამრიგად y = ax

ფუნქციას შექცეული ფუნქცია გააჩნია და ესფუნქცია x = logay ფუნქციაა

logariTmuli funqcia

მაშასადამე თუ y = ax ფუნქციის გრაფიკს y = x წრფის მიმართ სიმეტრიულადგარდავქმნით მივიღებთ y = loga x ფუნქციის გრაფიკს

როცა a gt 1 ნიმუშად მოცემულია y = log2x y = ln x y = log5xფუნქციების გრაფიკები ააგეთ გრაფიკები რვეულში

როცა 0 lt a lt 1 ნიმუშად y = log x y = log x y = log x ფუნქციების გრაფიკებია მოცემული

როცა 0 lt a lt 1 თუ 0 lt x lt 1 ლოგარითმული ფუნქცია დადებით

როცა x gt 1 უარყოფით მნიშვნელობებს იღებს

a gt 1 0 lt a lt 1

0

y

x

y = ax

(0 1)(1 0)

y y = x

x

y = logax

0

y = x

1) ლოგარითმული ფუნქციის განსაზღვრის არე დადებით ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეაD(loga x) = (0 +)

2) ლოგარითმული ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე ყველა ნამდვილი რიცხვის სიმრავლეაE(loga x) = (ndash +)

3) ლოგარითმული ფუნქცია როცა a gt 1 ზრდადია როცა 0 lt a lt 1 მაშინ კლებადია4) y = logax ფუნქციის გრაფიკი აბცისთა ღერძს გადაკვეთს (1 0) წერტილში

gamokvleva ააგეთ f(x) = 3x და მისი შექცეული fndash1(x) ფუნქციების მნიშვნელობათაცხრილი და გრაფიკები რვეულებში დაწერეთ მოსაზრებები ფუნქციისა და შექცეულიფუნქციის შესახებ

f(x) = 3x

x yndash3

ndash2

ndash10 11 32 93 27

fndash1(x) x y

ndash3

ndash2

ndash11 03 19 227 3

19

127

13

19

127

13

x

y8642

2ndash2ndash2ndash4y = x

f (x) = 3x

ndash6

ndash4ndash6 4 6 8

y

o 1

f(x) = log2 xg(x) = logex = ln

x

h(x) = log5 xx

15

12

1e

1

1

როცა a gt 1 თუ 0 lt x lt 1 მაშინ ლოგარითმულიფუნქცია უარყოფით ხოლო თუ x gt 1 მაშინ დადებითმნიშვნელობას იღებს

o 1

y

h(x) = log x

g(x) = log xf(x) = log x

x1 5

1 2

1 e

251

logariTmuli funqcia

a-ს მოცემული მნიშვნელობებისათვის ერთსა და იმავე საკოორდინატო სისტემაში ააგეთy = ax და y = logax ფუნქციების გრაფიკებია) a = 2 ბ) a = 3 გ) a = 4 დ) a = 12 ე) a = 1

3

1

2 y = log2x ფუნქციის გრაფიკისაგან რომელი სიმეტრიული გარდაქმნით შეიძლებაy = log x ფუნქციის გრაფიკის მიღება ააგეთ გრაფიკები ერთსა და იმავე საკოორ-დინატო სისტემაში

saswavlo davalebebi

დაწერეთ მოცემული ფუნქციის შექცეული ფუნქციის ფორმულა ააგეთ მოცემული ფუნ-ქციისა და შექცეული ფუნქციების გრაფიკები შექცეული ფუნქციისათვის განსაზღვრეთbull განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე bull ასიმპტოტის განტოლებაbull საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილები

ა) y = 5x ბ) y = log x

( 3) წერტილი f (x) = log a x ფუნქციის გრაფიკზე მდებარეობს (4 k) წერტილი კი

ამ ფუნქციის f -1(x) შექცეული ფუნქციის გრაფიკზე მდებარეობს იპოვეთ k-ს მნიშვნელობა

14

y = log3 (x + 9) + 2 ფუნქციის გრაფიკი log3x ფუნქციის გრაფიკის 9 2 ვექტორითშესრულებული პარალელური გადატანისას მიიღება რომელი ფუნქციის გრაფიკისა დაროგორი მოცურების შედეგად შეიძლება მიღებული იქნას მოცემული ფუნქციის გრაფიკი

ა) y = log2x + 3 ბ) y = log2(x + 3) გ) y = log3(x 3) 4

3

4

18

ლოგარითმული სპირალისათვის P(1 0) წერტილშიყოფნით P წერტილის საათის ისრის მოძრაობის საპი-რისპირო მიმართულებით კუთხით რადიანებშიმობრუნებით მიიღება ამ დროს P წერტილის კოორ-დინატთა სათავიდან r მანძილი r = e014 ფორმულითგანისაზღვრება

5

6

ა) იპოვეთ მანძილი კოორდინატთა სათავიდან P წერტილამდე2 მობრუნებისას დაამრგვალეთ პასუხი მეასედებამდებ) ლოგარითმული ჩანაწერით გამოსახეთ დამოკიდებულება rდა შორისბ) იპოვეთ -ის მნიშვნელობა როცა r = 12

642

ondash2ndash4ndash6

ndash6 ndash4 ndash2P

4 6 x

y

12

ზრდადია თუ კლებადია ფუნქცია ა) y = log5 x ბ) y = log x13


ა) log2 5 და log2 7 ბ) log 5 და log 3 გ) log2 3 და log5 412

12

7

89

განსაზღვრეთ რიცხვის ნიშანი ა) log5 2 ბ) log02radic3 გ) log3 02 დ) log0406

ა) ნორმალური წვიმის წყალ-ში pH 56-ის ტოლია თუმ-ცა ეკოლოგიური თვალსაზ-რისით დაბინძურებულ უმ-რავლეს ადგილებში მაღალ-მჟავიანი წვიმები მოდისწვიმის წყალში გამოთვ-ალეთ pH მაჩვენებელი თუ წყალბადის იონების კონცენტრაცია 00002 იქნება

252


qimia - ekologia pH (წყალბადის იონების აქტიურობა) ხსნარის 1 ლიტრში წყალ-ბადის იონების (H3O+)ოდენობას მოლით გვიჩვენებს pH სკალაზე pH-ის მნიშვნელობა0-დან 14-მდე იცვლება pH-ის 7-ის ტოლი მნიშვნელობისათვის ხსნარი ნეიტრალურადითვლება 7-ზე ნაკლები მნიშვნელობებისათვის ხსნარი მჟავაა როცა 7-ზე მეტია მაშინმისი ტუტიანობა მაღალია ხსნარში pH-ის გამოთვლისათვის გამოიყენება

pH = ndash lg[H+] ფორმულა სადაც H+ ხსნარის 1 ლიტრში წყალბადის იონების კონცენტრაციას უჩვენებსამ ფორმულის თანახმად თუ ხსნარში pH მაჩვენებელი 1 ერთეულით გაიზრდებამაშასადამე ხსნარში წყალბადის იონების კონცენტრაცია 10-ჯერ გაიზრდება

1

ბ) განსაზღვრეთ pH მაჩვენებელი 56 მქონე წყლის [H+] კონცენტრაცია

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

უფრო მეტად მჟავეა უფრო მეტად ტუტეანეიტრალურია

1 10ndash1 10ndash2 10ndash3 10ndash4 10ndash5 10ndash6 10ndash7 10ndash8 10ndash910ndash1010ndash11 10ndash1210ndash13 10ndash14

110ndash110ndash210ndash310ndash410ndash510ndash610ndash710ndash810ndash910ndash1010ndash1110ndash1210ndash1310ndash14

[H]

[H][OH]

[OH]

pH

1 MHC

lკუ

ჭის წ

ვენი

ფორთ

ოხლ

ის წვ

ენი

ყავა

რძე

სუფთ

ა წყა

ლი

სისხ

ლი

ზღვი

ს წყა

ლი

სარე

ცხი

საშუ

ალებ

აამ

ონია

კიმა

თეთ

რებე

ლი

ღვინ

ო

1 MNa

OH

fizika xmovani talRebi ხმის სიმძლავრე დეციბალებში იზომება და L = 10 lg ფორმულით გამოითვლება სადაც I ხმის ინტენსივობაა (ვატმ2) I0 ადამიანის ყურისსმენის უნარის ყველაზე დაბალი ხმის ინტენსივობაა (10-12ვატმ2 არის მიღებული)ადამიანის ყურს ძალიან ვრცელი დიაპაზონით ხმის მოსმენა შეუძლია ეს 0 დეციბალიდან(ხმაურის არ არსებობა) 180 დეციბალამდე მერყეობსა) რადიოში არსებული მუსიკის ხმის ინტენსივობა ადამიანის ყურის მოსმენისშესაძლებელი მინიმალური ხმის ინტენსივობაზე 4000 ჯერ მეტია რამდენი დეციბალიამუსიკის ხმის ძალა

II0

pH =lg[H+]

SO2 NO2HNO3

H2SO4

( )

მოლლ

2

ბ) თაჰირი ამბობს რომ ხმა რომლის ინტენსივობაც არის 4middot10-8 ვატმ2 ორჯერ ძლიერიახმაზე რომლის ინტენსივობაც არის 2middot10-8 ვატმ2 თქვენ როგორ ფიქრობთ

253


miwisZvra 1935-წელს ამერიკელმა სეისმოლოგმა- ჩარლზ რიხტერმა მიწისძვრისსიმძლავრის გამოთვლისათვის M = lg ფორმულა განსაზღვრა და მიწისძვრისსიმძლავრის მაჩვენებელი (რიხტერის სკალად წოდებული) ლოგარითმული სკალაშექმნაM - არის მიწისძვრის სიმძლავრე (ბალებში) A სეისმოგრაფის მომხდარი მიწისძვრისაღნიშნული სეისმური ბიძგების მაქსიმალური ამპლიტუდაა (მიკრონობით) A0 კისეისმოგრაფის მიერ დაფიქსირებული ყველაზე სუსტი მიწისძვრის შესაბამისი (ამასნულოვანი მიწისძვრაცrdquo ეწოდება) სეისმური ტალღის ამპლიტუდაა (1 მიკრონი (10ndash6 მ)არის მიღებული)M = lg ფორმულის A = A010M სახით დაწერაც შეიძლება მაშასადამე რიხტერის

სკალით 4 ბალიანი მიწისძვრის სეისმური ტალღების ამპლიტუდა 3 ბალიან მი-

წისძვრაზე 10-ჯერ მეტია

ა) მომხდარი მიწისძვრის ამპლიტუდის (A) მაქსიმალური მნიშვნელობა A0 მნიშ-ვნელობაზე 1071 ჯერ მეტი იყო რამდენბალიანი სიმძლავრის მიწისძვრა მოხდა

ბ) 47 ბალიანი მიწისძვრისას სეისმური ტალღების ამპლიტუდა რამდენჯერ აღემატება4 ბალის სიმძლავრის მიწისძვრის ამპლიტუდას

გ) 1906 წელს სან-ფრანცისკოში მოხდა რიხტერის სკალით 83 ბალის სიმძლავრისმიწისძვრა იმავე წელს კოლუმბია - ეკვადორის საზღვარზე მომხდარი მიწისძვრისამპლიტუდაა ამ მიწისვძვრის ამპლიტუდაზე 4-ჯერ მეტი აღმოჩნდა რიხტერის სკალითრამდენბალიანი იყო კოლუმბია-ეკვადორის საზღვარზე მომხდარი მიწისძვრა

დ) 1976 წლის 28 ივლისს ჩინეთში მომხდარი მიწისძვრის სიმძლავრე 85 ბალი იყო და240000 ადამიანი იმსხვერპლა 1990 წელს ირანში მომხდარმა 74 ბალიანმა მიწისძვრამ50 000 ადამიანი იმსხვერპლა შეადარეთ ამ ორი მიწისძვრის ამპლიტუდები

AA0

ოთახში თითოეული ჯგუფი 14 times10ndash7 ვატმ2 -მა ინტენსივობით პიროვნებების 3ჯგუფი ერთმანეთთან საუბრობს რამდენ დეციბალს შეადგენს ამ ჯგუფებისაგანწარმოქმნილი ხმა

3

AA0

წარმოიდგინეთ რომ ბანკის ანგარიშზე არსებული საწყისი 1000 მანეთიექსპონენციალურად იცვლება ეს თანხა 7 წლის განმავლობაში ორჯერ გაიზარდა tწელიწადში ანგარიშზე არსებული თანხის A(t) = 1000 middot 2 ფორმულით გამოთვლაშეიძლება სადაც t წლების რაოდენობას A(t) კი ანგარიშზე არსებულ თანხასგვიჩვენებსა) რამდენი მანეთი იქნება ანგარიშზე 5 წლის შემდეგ 10 წლის შემდეგბ) გამოთვალეთ A(0) და A (8) მნიშვნელობები და განმარტეთ რეალური სიტუაციისშესაბამისად

5

6

4

biologia ბიოლოგებს სპილოს ფეხის ნაკვალევის ზომის (l)მიხედვით შეუძლიათ ივარაუდონ მათი ასაკი (a) ამისათვის ისინი l = 45 257endash009a ფორმულით სარგებლობენ გამოთვალეთ სპილოს ასაკი თუ მისი ფეხის ნაკვალევია 28 სმ 36 სმ

t7

254


gamokvleva 1) უჩვენეთ რომ lg (1000 middot 100) ne (lg 1000)middot(lg 100) 2) გამოთვალეთ შედეგები შეადარეთ



მოსაზრებები loga b + loga cndashსათვის არსებული წესის გამოყენებით განაზოგადეთ b და cდადებითი ნამდვილი რიცხვებია

მოსაზრებები loga b loga cndashსათვის არსებული წესის გამოყენებით განაზოგადეთ b და cდადებითი ნამდვილი რიცხვებია

მოსაზრებები b loga cndashსათვის არსებული წესის გამოყენებით განაზოგადეთ b და cდადებითი ნამდვილი რიცხვებია

5) რვეულში სიტყვიერად ჩაწერეთ ხარისხის თვისებები თითოეული განმარტეთ ორინიმუშის ჩაწერით

bull ხარისხების გამრავლება cx middot cy = cx+y

bull ხარისხების გაყოფა = cx - y c ne 0bull ხარისხების ახარისხება (cx)y = cxy

cxcy

ა) 3middotlog2 4 და log2 64ბ) 2middotlog3 და log3

გ) 2middotlg 100 და lg 10000

ა) log2 64 ndash log2 2 და log2 32ბ) log3 27 ndash log3 9 და log3 3გ) log 4 ndash log და log 16

ა) log2 4 + log2 8 და log2 32ბ) log3 3 + log3 27 და log3 81გ) log + log 8 და log 21

212

12

14

12

12

14 1

2

19

181

1 namravlis logariTmi logc xy = logc x + logc yორი დადებითი რიცხვის ნამრავლის ლოგარითმი მამრავლების ლოგარითმების ჯამისტოლია სადაც c ne 1 და c gt 0 x და y დადებითი ნამდვილი რიცხვებია

2 ganayofis logariTmi logc = logc x logc yორი დადებითი რიცხვის განაყოფის ლოგარითმი მათი ლოგარითმების სხვაობის ტოლიასადაც c ne 1 და c gt 0 x და y დადებითი ნამდვილი რიცხვებია


xy

3 xarisxis logariTmi logc xy = ylogc xრიცხვის ხარისხის ლოგარითმი ხარისხის მაჩვენებლისა და ამ რიცხვის ლოგარითმისნამრავლის ტოლია სადაც c ne 1 და c gt 0 x დადებითი ნამდვილი რიცხვია

255


Tviseba 1 logc xy = logc x + logc y1-li Tvisebis damtkicebalogc x = m და logc y = n სახით ავღნიშნოთ

x = cm და y = cn ექსპონენციალური ჩანაწერით xy = (cm)(cn) x და y რიცხვების ნამრავლიxy = cm + n ხარისხების ნამრავლების თვისება

logc xy = m + n ლოგარითმული ჩანაწერით

logc xy = logc x + logc y m-ისა და n-ის მნიშვნელობების გათვალისწინებით

Tviseba 2 logc = logc x logc y me-2 Tvisebis damtkicebalogc x = m და logc y = n სახით ავღნიშნოთ

x = cm და y = cn ექსპონენციალური ჩანაწერით

= x და y რიცხვების შეფარდება

= cm ndash n ხარისხების შეფასებების თვისება

logc = m ndash n ლოგარითმული ჩანაწერით

logc = logc x ndash logc y m-ისა და n-ის მნიშვნელობების გათვალისწინებით

xy

xyx

yxyxy

cm

cn

Tviseba 3 logc xy = ylogc x me-3 Tvisebis damtkicebalogc x = m სახით ავღნიშნოთ

x = cm ექსპონენციალური ჩანაწერით xy = (cm)y ტოლობის თვისება

xy = cmy ხარისხის ახარისხება

logc xy = m y ლოგარითმული ჩანაწერით

logc xy = (logc x)y m-ის მნიშვნელობის გათვალისწინებით

logc xy = y logc x გამრავლების გადანაცვლებადობის კანონი

1

დ) log6 3 + log6 12 ე) lg 2 + lg 5 ვ) log05 64 + log05 10ზ) log2 48 ndash log2 3 თ) log 18 ndash log 2 ი) lg 025 ndash lg 251

313

ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა

saswavlo davalebebi

ა) log2 (64middot32) გ) log5 (125middot625)ბ) log30(3)81

256


კ) log2 radic8 ლ) log3 (927) მ) lg radic103 ნ) log05 radic84 4

ო) პ) ჟ) რ)log5 8log5 32

log3 125log3 25

log7 6log7 2 + log7 18

lg 2 + lg 5lg 13 ndash lg 130

ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით ჩაწერეთ გამოსახულება x y და z რიცხვებისლოგარითმებით

log4 xyradicz = log4 x + log4 y + log4(z) = log4 x + log4 y + log4z

log5 6 + log5 10 log5 2 = log5 = log5 30

12

6 102

2

ა) log6 ბ) log5radicxy გ) log3 დ) log7

ე) log7 xyradicz ვ) log

5(xyz)8 ზ) log3 თ) log3 x

9radicx2

xy

x5yradicz

x2

yradiczyz3 radic3

nimuSi 1

ა) log2 3 + log2 5 ბ) log3 16 minus log3 2 გ) 3middotlog5 4დ) 2 lg 3 minus 3 lg 2 ე) lg 216 minus lg 36 ვ) lg 16 + lg 4ზ) 5 log3 2 + 2 log3 5 თ) lg 12 minus 2 lg 2 + lg 3 ი) 3 log2 3 + 2 log2 5 minus log2 6

ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით ჩაწერეთ გამოსახულებები რაიმე რიცხვისლოგარითმის (loga N ) სახით

3

nimuSi 2

ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით ჩაწერეთ ერთი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ თუცნობილია რომ ცვლადები იღებენ დადებით მნიშვნელობებს

nimuSi 3 5 + log2 x = log225 + log2 x = log232 + log2 x = log232 x

4

გ) log2 x 5 log2 y დ) log3 x + 3 log3 y12

ე) lgx + 3lg y ვ) log5 x + 4log5 y 3log5 z12

23

ზ) 3 log3 x3 ndash (log3 x2 + 5 log3 x) თ) log7x2 + log7x ndash 5 log7 x

გაამარტივეთ ცვლადების დასაშვებ მნიშვნელობებში5

12

25

6 გამოსახეთ a და b საშუალებით თუ ცნობილია რომ log5 2 = a და log53 = b ა) log56 ბ) log512 გ) log515 დ) log530

12

ი) lnx+ 2lny 2lnz კ) log3 x10 log3 x5

ბ) log5(x ndash 1) ndash log5(x2 + 2x ndash 3)ა) log2(x2 ndash 9) ndash log2(2x ndash 6)

ა) logx x + logx10 ბ) log2a + log2b

ზ) თ)

257


2) გაამარტივეთ

გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა იმის გათვალისწინებით რომlg 5 asymp 0699 და lg 15 asymp 1176 ა) lg 3 ბ) lg 75 გ) lg 12 დ) lg 45

1) იპოვეთ

a) 3k გამოსახულების მნიშვნელობა როცა k = log2 40 ndash log2 5b) 7n გამოსახულების მნიშვნელობა როცა n = 3 log8 4

7

9

10

ა) eln10x ndash ln2x ბ) 32 log3x ndash log32x 3

ძირითადი ლოგარითმული იგივეობისა და ხარისხის ლოგარითმის თვისების თანახმადlogc b = logc (aloga b) = loga b middot logc a

აქედან კერძოდ როდესაც c = b მაშინ loga b =

უმრავლეს კალკულატორში მხოლოდ ათობითი (lg) და ნატურალური ლოგარითმების(ln) გამოთვლებისათვის არსებობს კლავიშები ამ მიზეზით ლოგარითმების უფრო მეტადათობითი და ნატურალური ლოგარითმის სახით ჩაწერის აუცილებლობა წარმოიშვება

loga b =logc blogc a

loga b =lg b

1

lg a

logb a

loga b =ln bln a

1log12 6

erTi fuZidan meore fuZeze gadasvla

8იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა lg თუ lg a = 3 lg b = 12 lg c = 8a2middotradicb

c

3

nimuSi 1 ჩაწერეთ და გამოთვალეთ ა) ათობითი ლოგარითმით ბ) ნატურალური ლოგა-რითმით

log3 7 =lg 7lg 3

08450477 1771 log3 7 =

ln 7ln 3

19461099 1771

log5 7 log7 12 log3 16 log9 25 log6 24log2 5 log5 9 log3 17 log5 32 log4 19

გამოთვალეთ ათობით ან ნატურალურ ლოგარითმებზე დაყვანით

11

ა) log ბ) log 9ndash1 გ) log 18 ndash log3 4 დ) log 12 ndash log2 9

ე) log3 2 middot log4 3 middot log5 4 ვ) log5 4 middot log6 5 middot log7 6 middot log8 7 middot log9 8

1) ერთი ფუძიდან მეორე ფუძეზე გადასვლის ფორმულით უჩვენეთ რომ

14

2) გამოთვალეთ

log = middot logabaqbp

pq

+ 1log3 6

1log36 3 ndash 2

log54 3

radic2 radic2radic3 radic3

258


1 xarisxis Tvisebebis gamoyeneba

nimuSi 1 42x = 82x 1

(22)2x = (23)2x 1

24x = 26x 3

4x = 6x 3 2x = 3 x = 15

Semowmeba 43 = 82 64 = 64

ხარისხის ახარისხების თვისება ტოლფას განტოლებაზე დაიყვანება

ერთსა და იმავე ფუძეზე დაიყვანება



4215 = 8215 ndash 1

maCvenebliani funqciebis Tviseba a ne 1 და a gt 0 პირობით ax = ay ტოლობამხოლოდ და მხოლოდ მაშინ არის მართებული როცა x = yამ თვისების თანახმად მივიღებთ1) a f(x) = a g(x) მაჩვენებლიანი განტოლება f(x) = g(x) განტოლების ტოლფასია2) ax = c განტოლებას როცა c gt 0 თუ დავწერთ ax = alogac სახით მივიღებთ x = logacმოცემული მაჩვენებლიანი განტოლებები განსაზღვრული ხერხებით მარტივ მაჩვენებლიანგანტოლებებზე დაიყვანება და ამოიხსნება

nimuSi 2 2middot3x + 1 ndash 3x = 452middot3xmiddot3 ndash 3x = 453x(6 ndash 1) = 453x = 9x = 2

2 roca fuZeebi sxvadasxvaa gantolebebis amoxsna SeiZleba orivemxaris xarisxobrivi maCveneblidan erT-erTze gayofiT an gan-tolebis orive mxaris erTi da igive fuZiT galogariTmebis gziT

nimuSi 332x = 5x

განტოლება

(32)x = 5x9x = 5x

სახით ჩავწეროთ


( )x = 1აქედან

x = 0

95




საერთო მამრავლის ფრჩხილებს გარეთ გატანა



nimuSi 42x - 1 = 3x მოცემული განტოლება

lg2x - 1 = lg3x ორივე მხარე ლოგარითმდება ათის ფუძით

(x 1) lg2 = x lg3 ლოგარითმის თვისება

x lg2 lg2= x lg3 გამრავლების განრიგებადობის თვისება

x lg2 x lg3 = lg2 მსგავსი წევრების დაჯგუფება

x (lg2 lg3) = lg2 საერთო მამრავლის ფრჩხილებს გარეთ გატანა

განტოლების ამონახსენი lg2lg2 lg3

x =

x ndash17095 განტოლების მიახლოებითი ფესვი

259

ამოხსენით განტოლებები21) 43x = 8x ndash 3 2) 27x = 9x ndash 2 3) 1252x ndash 1 = 25x + 4

4) 162x ndash 3 = 32x + 3 5) 24x = 4x + 3 6) 3x + 1 = 9x ndash 1

7) 25x ndash 1 = 53x 8) 363x ndash 1 = 62x + 5 9) 3x ndash 2 = 27

10) 23x + 5 = 128 11) 5x ndash 3 = 12) 10x ndash 1 = 1002x ndash 3

13) 362x = 216x ndash 1 14) 35x middot 811 ndash x = 9x ndash 3 15) 49x = 7x ndash 15

16) 81 middot 9ndash2x ndash 2 middot 9x = 27 17) 9ndash3x middot 9x = 27 18) 16x middot 643 ndash 3x = 64

125

2

nimuSi 6 3middot4x + 2middot9x 5middot6x = 0

3 + 2middot( )x 5middot( )x = 0

3 + 2middot( )2x 5middot( )x = 02y2 ndash 5y + 3 = 0y = 1 y =


nimuSi 5 9x 2middot3x + 1 27 = 03 axali cvladis SemotaniT


შემოიტანება ახალი ცვლადი დაიყვანება კვადრატულ განტოლებაზე კვადრატული განტოლების ამოხსნა

გაითვალისწინება ჩანაცვლება

32x 2middot3xmiddot3 27 = 0

(3x)2 6middot3x 27 = 03x = yy2 ndash 6y 27 = 0(y 9)(y + 3) = 0y = 9 y = 33x = 9 3x = ndash3

Semowmeba

x = 2

92 2middot32 + 1 27 = 081 54 27 = 0

0 = 0


ჩანაცვლება ხდება

დაიყვანება კვადრატულ განტოლებაზე

კვადრატული განტოლების ამოხსნა


( )x = y

32

32

32

32

32

94

ა) 25x = 125 ბ) 9x + 1 = 27 გ) ( )x = 8დ) 5x2 ndash 2x ndash 1 = 25 ე) 05x2middot 2x ndash 4= 8ndash2 ვ) 32xmiddot 2x = 324

114

ზ) 2middot3x + 1 ndash 3x= 45 თ) 4x + 2 + 4x + 1= 320 ი) 3x + 1 ndash 4middot3x ndash 2= 69

saswavlo davalebebi

ამოხსენით ხარისხის თვისებების გამოყენებით


პასუხი x = 2

x = 0 x = 1

32( )x = 1 3

2( )x = 32 გაითვალისწინება ჩანაცვლება

როცა განტოლებაში შემავალი ხარისხების მაჩვენებელი ერთი და იგივეა ფუძეები გეო-მეტრიული პროგრესიის მიმდევრობითი წევრებია ორივე მხარის ერთ-ერთ ნაპირა წევრზეგაყოფის შემდეგ ახალი ცვლადი შემოიტანება

ამოხსენით განტოლებებია) 9 sin x ndash 27 cosx = 0 ბ) 2 sin x ndash 2 cos x + 1 = 0

გ) x ndash 4 = 1 დ) (4 + radic15)x + (4 ndash radic15)x = 62

260


ვ) 10x + 10 x+1 = 11


ა) 2x+3= 43x 5 ბ) 94x1= 273x + 5 გ) 43x2= 14

2x

დ) 2x = 7 ე) 10x4 + 4 = 11

7

6ა) 125x = 5middot53middot55middotmiddot517


ამოხსენით განტოლებები81) 10x ndash 3 = 1004x ndash 5 2) 25x ndash 1 = 1254x 3) 3x ndash 7 = 272x

4) 36x ndash 9 = 62x 5) 85x = 163x + 4 6) endashx = 67) 2x = 15 8) 12endash5x + 26 = 3 9) 4x ndash 5 = 310) 5endashx + 9 = 6 11) 102x + 3 = 8 12) 025x ndash 05 = 213) middot42x + 1 = 5 14) middote4x + = 4 15) 10ndash12x + 6 = 1002

3

x ndash 11x + 28x ndash 3

14

13

ბ) 22middot24middot26middotmiddot22x = 025ndash10

80 C ტემპერატურაზე მყოფი ჩაი 22 C ტემპერატურიან ოთახში 10 წუთისშემდეგ 60 C გახდაა) ნიუტონის ნივთიერების გაციების ფორმულის მიხედვით იპოვეთ r კოე-ფიციენტიბ) რამდენი წუთის შემდეგ იქნება ჩაის ტემპერატურა 35 C

ნივთიერების გაციების დროის ტემპერატურის დროზე დამოკიდებულების ნიუტინისფორმულა T = (T0 Tr)ert + Tr სახისაა სადაც T ნივთიერების შემოწმებისმომენტში T0 კი საწყის მომენტში არსებული ტემპერატურა Tr გარემოს ტემპერატურა(ოთახის ტემპერატურა) r გაციების სიჩქარეს (დროის ერთეულში ტემპერატურისცვლილება) t დროს გვიჩვენებს

9

10

3ა) 4x ndash 5middot2x + 4= 0 ბ) 9x ndash 6middot3x ndash 27 = 0 გ) 4x ndash 14middot2x ndash 32= 0 დ) 4x ndash 42 ndash x = 15 ე) 3x + 33 ndash x = 12 ვ) 4x ndash 7middot2x +12= 0

ამოხსენით ახალი ცვლადის შემოტანით

4ა) 7xndash3 = 43ndash x ბ) 2x + 4 + 2x + 2 = 5x + 1 + 3middot5x გ) 4x ndash 3x ndash 05 = 3x + 05 ndash 4x ndash 05

5ა) 3middot4x + 2middot9x = 5middot6x ბ) 4middot9x + 12x ndash 3middot16x = 0 გ) 2middot27x = 3middot12x + 18x


ამოხსენით ორივე მხარის ხარისხებიდან ერთ-ერთზე გაყოფით

2

2

2 2

261


ლოგარითმული განტოლებები განსაზღვრული ხერხებით მარტივ ლოგარითმულ განტო-ლებებზე დაიყვანება და იხსნება

როცა a gt 0 a 1 x gt 0 და y gt 0 ტოლობა logax = logay მაშინ და მხოლოდ მაშინ არის

მართებული თუ x = y

logariTmuli funqciis Tviseba

1) loga f(x) = logag(x) განტოლება იმ პირობით რომ f(x) gt 0 და g(x) gt 0 არისf(x) = g(x) განტოლების ტოლფასი f(x) = g(x) განტოლების ამოხსნის შემდეგ მოძებნილიფესვები მოწმდება აკმაყოფილებენ თუ არა f(x) gt 0 და g(x) gt 0 პირობას2) loga f(x) = c განტოლების ეკვივალენტური ექსპონენციალური ჩანაწერით შეცვლითმივიღებთ f(x) = ac

1) განტოლებები რომლებიც ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით მარტივ ლოგარითმულგანტოლებაზე დაიყვანება

nimuSi log3 x = 2 ndash log3 2 მოცემული განტოლებაlog3 x + log3 2 = 2 ორივე მხარეს მიემატება log32log3 (2x) = 2 ლოგარითმის თვისების თანახმად

2x = 32 ეკვივალენტური ექსპონენციალური ჩანაწერი


2) ამოსახსნელი განტოლებები ახალი ცვლადის შემოტანით

nimuSi log52 x ndash log5 x = 2 მოცემული განტოლება

log5 x = a შემოვიტანოთ აღნიშვნა

a2 ndash a 2 = 0 დაიყვანება კვადრატულ განტოლებაზე

(a 2)(a + 1) = 0 კვადრატული განტოლების ამოხსნა

a = 2 a = ndash1 ჩანაცვლების გათვალისწინებით

log5 x = 2 log5 x = ndash1x = 52 x = 5ndash1

x = 25 x = 15

3) განტოლებების ამოხსნა ერთსა და იმავე ფუძეზე დაყვანით

nimuSi log4 x + log2 x = 6 მოცემული განტოლება

log x + log2 x = 6 ლოგარითმები ერთსა და იმავე ფუძეზე დაიყვანება

log2 x + log2 x = 6

log2 x = 6 მსგავსი წევრების შეერთება

log2 x = 4 x = 24 ექსპონენციალური ჩანაწერი


22

1232

262


Semowmebaლოგარითმქვეშა გამოსახულებამ უნდა დააკმაყოფილოს დადებითობის პირობა ანუx + 4 gt 0 2x + 3 gt 0 1 ndash 2x gt 0 უნდა იყოს

nimuSi lg (x + 4) + lg (2x + 3) = lg (1 ndash 2x) lg (x + 4)middot(2x + 3) = lg (1 ndash 2x)(x + 4)middot(2x + 3) = (1 ndash 2x)x1 = 1 x2 = 55


ლოგარითმის თვისება

დაიყვანება ალგებრულ განტოლებაზე

55 ამ პირობებს არ აკმაყოფილებს მოცემული განტოლებისათვის გარეშე ფესვია ndash1 კი ამპირობებს აკმაყოფილებსპასუხი 1

ამოხსენით განტოლებები 1

ა) log2 (3 ndash x) = 3 ბ) log (x ndash 4) = ndash1 გ) logradic3 (2x ndash 5) = 22

დ) log2 (x2 + 4x + 3) = 3 ე) log (x2 ndash 4x ndash 1) = ndash2 ვ) logradic3 (x2 ndash 5x ndash 3) = 2 ზ) log4 (log3(log2(x ndash 1))) = 0

12

12

12

ა) log2 23 + log2 22 = log2 x ბ) log2 16 + log2 2 = log2 xგ) log3 x ndash log3 9 = log3 3 დ) log5 x + log5 x = log5 625ე) logx 64 ndash logx 16 = log4 16 ვ) log2 8 + log3 9 = logx 32


3

თ) log3 (1 + log3 (2x ndash 7)) = 1 ი) log7 (4x ndash 6) = log7 (2x ndash 4)

4

კ) ln (x2 ndash 2x ndash 4) = ln 11 ლ) log2 (2x2 ndash 2) = log2 (5x ndash 4)

ა) log3 x + log3 (x ndash 2) = log3 8 ბ) log6 (2x2 ndash 7x + 6) ndash log6 (x ndash 2) = log6 x

ა) log32 x = 4 + 3 log3 x ბ) log5

2 x ndash log5 x = 2 გ) lg (10x) middot lg (01x) = 3

ამოხსენით ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით


5

6

log2 x ndash 2x = 8

log5 xx = 125x2


ა) log3 (x + 2) = 2 ndash x ბ) log x = x ndash 3

განტოლებების ამოხსნა ორივე მხარის ერთი და იგივე ფუძის გალოგარითმებით

saswavlo davalebebi

განვიხილოთ ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით ამოხსნილი კიდევ ერთი მაგალითი

ა) ბ)lg xx = 100xგ)

263

qimia ძმარმჟავას pH 29-ის ტოლია ჭიანჭველამჟავაში კი წყალბადის იონებისკონცენტრაცია ძმარმჟავასთან შედარებით 18-ჯერ მეტია იპოვეთ ჭიანჭველამჟავაშიარსებული წყალბადის იონების კონცენტრაცია

miwisZvra მიწისძვრის ამპლიტუდა გამოითვლება A = A0 10M ფორმულით A0

არის შესაძლო ყველაზე დაბალი მიწისძვრის ამპლიტუდა M კი არის მიწისძვრისსიმძლავრე რიხტერის სკალით 53 ბალის სიმძლავრის მომხდარი მიწისძვრისამპლიტუდა მის შემდეგ მომხდარ მიწისძვრაზე (მომდევნო ბიძგები) 125-ჯერ მეტი იყოგანსაზღვრეთ მომდევნო ბიძგის სიმძლავრე

finansebi თუ 1m ფული 6 მატებით ბანკში ჩაიდება t წლის შემდეგ ბანკშიარსებული თანხის S = 106t ფორმულით გამოთვლა შეიძლება ამ ფორმულაშიმოცემული t ცვლადი გამოსახეთ S ცვლადით 6 წლიური მატების პროცენტით ბანკშიშეტანილი 1000m რამდენი წლის შემდეგ იქნება 1500m

fizika ალთიმეტრი არის მოწყობილობა რომელიც ატმოსფერული წნევის გა-ზომვით ზღვის დონიდან სიმაღლის განსაზღვრის შესაძლებლობას იძლევა სი-მაღლესა (მეტრობით) და ჰაერის წნევას (პასკალობით) შორის დამოკიდებულებაh = 8005ln სახისაა რამდენი პასკალია ჰაერის წნევა ზღვის დონიდან3500 მ-ზე

P101300

1314

15

16


ამოხსენით განტოლებები7ა) log2x + log23 = 1 ბ) log3x ndash log32 = 2გ) log3x + log32 = 2

ზ) log2x = logx16 თ) log3x ndash logx9 = 1ი) log2x + logx8 = 4

შემადგენლობაში წყალბადის იონისებრ კონცენტრაციის მიხედვით იპოვეთ ხსნა-რის pH

ჯერ გამოიკვლიეთ განტოლებაში შემავალ ლოგარითმულ გამოსახულებას ცვლადისრა მნიშვნელობისათვის აქვს აზრი შემდეგ ამოხსენით განტოლება

ა) log2 x2 = 6 ბ) 2 log2 x = 6

იპოვეთ მოცემული pH-ის მქონე ნარევში წყალბადის იონების კონცენტრაცია

იპოვეთ x-ისა და y-ის მნიშვნელობები თუ log3 81 = x y და log2 32 = x + y

[H+] = 7910-3

pH = 31 pH = 68 pH = 18

[H+] = 8110-5 [H+] = 2310-4

10

11

12

ამოხსენით განტოლებები 84) 72x = 2x + 3

5) 16x ndash 4 = 53x

6) 92x ndash 1 = 71x + 2

1) log5(x ndash 18) ndash log5x = log572) log2(x ndash 6) + log2(x ndash 8) = 33) log3(2x ndash 1) = 2 ndash log3(x + 1)a -ს რა მნიშვნელობისთვისაა 1 log2a + log25 = log2 (a + 3) ტოლობა მართებული9

დ) log3x + log3(x ndash 2) = 1ე) log6x + log6(x ndash 1) = 1ვ) log4(x ndash 2) ndash log4(x + 1) = 1

17

264


m = m0 ( ) 12

tT amoxseniT amocana formulis mixedviT (sadac m0 nivTiere-

bis sawyis masas T naxevraddaSlis xangrZlivobas t dros gviCvenebs)

ნახშირბადის 14 იზოტოპის რადიოაქტიური დაშლის გამოყენებით მეცნიერები სხვადასხვამცენარეების ცხოველების ნაშთების ასაკს განსაზღვრავენ დედამიწაზე უფრო ხშირადშემხვედრი ნახშირბად 12 იზოტოპსი რადიოაქტიური არ არის და არ იშლება თუმცანახშირბად 14 რადიოაქტიურია და იშლება ნახშირბად 14 იზოტოპი ატმოსფეროშიმოხვედრილი მზის სხივებით წარმოიქმნება ფოტოსინთეზის საშუალებით მცენარეებშიშედის ნახშირბად 14-ის ნივთიერება მცენარეებთან ერთად მცენარეებით გამოკვებისშედეგად შედის ცხოველების ორგანიზმში მცენარეებში და ცხოველებში ნახშირბად 14-ისოდენობა ნახშირაბდის ატომის 1010 პროცენტის ოდენობითაამცენარისა და ცხოველის დაღუპვის დროს ახალი ნახშირბად 14 იზოტოპის მიღებისშესაძლებლობები წყდება სხეულში არსებულები კი იწყებენ დაშლას ამ იზოტოპისნახევრადდაშლის ხანგრძლივობა 5730 წელიწადია იმის გამოთვლით თუ მცენარისა დაცხოველის ნარჩენებში არსებული ნახშირბად 14-ის ოდენობა ნახშირბადის ატომებისმიმართ რამდენ პროცენტს შეადგენს შესაძლებელი ხდება მათი სიკვდილის თარიღისგანსაზღვრა

18

ა) სპილოს ძვლის ნარჩენებში ნახშირბად 14-ის 36 მოსპობილია რამდენი წლის წინათცოცხლობდა ეს სპილო

ბ) რადიოაქტიური ნივთიერების ნახევრადდაშლის ხანგრძლივობა 3 წელია რამდენიწლის შემდეგ დარჩება ამ ნივთიერებებიდან 7 გრამი თუ მისი საწყისი წონა იყო 67გრამი

გ) განსაზღვრული ოდენობის ურანის ნივთიერების ორი მესამედი ნაწილის დაშლისხანგრძლივობა 026 მილიარდი წელია იპოვეთ ურანის ელემენტის ნახევარდაშლისდრო

ბანკში შეტანილი 2000 მანეთი 8 რთული მატების პროცენტით რამდენი წლის შემდეგგახდება 10000 მანეთი

ერთ ქვეყანაში მოსახლეობის რაოდენობამ 1990 წლიდან 2000 წლამდე 151 მილიონიდან173 მილიონს მიაღწია

ა) განსაზღვრეთ მოსახლეობის წლიური მატების პროცენტითუ ცნობილია რომმოსახლეობის რაოდენობა იცვლება N = N0 middot(1+ r)t კანონით

ბ) რამდენი წლის შემდეგ იქნება ქვეყნის მოსახლეობა 220 მილიონი თუ მოსახლეობისმატების ეს ტემპი შენარჩუნებული იქნება

ქალაქის მოსახლეობა ყოველწლიურად 3-ით მცირდება t წლის შემდეგ ამ ქალაქისმოსახლეობის რაოდენობა N = N0 middot 097t ფორმულით გამოითვლება სადაც N0 მოსახ-

ლეობის არსებული რაოდენობაა გამოსახეთ t სიდიდე N-ით

გამაგრილებელი კოლას ტიპის სასმელის pH 26 რძის pH კი 66-ია რამდენჯერ მეტიაკოლას შემადგენლობაში წყალბადის იონების რაოდენობა რძესთან შედარებით

19

21

20

22

265


მაჩვენებლიანი უტოლობების ამოხსნა როგორც წესი ax gt ab და ax lt ab უტოლობებისამოხსნაზე დაიყვანება სადაც a gt 0 a 1ამ უტოლობების ამოხსნა კი y = ax მაჩვენებლიანი ფუნქციის ზრდადობის ან კლებადობისთვისების დახმარებით იხსნება

როცა a gt 1 a f(x) gt a g(x) უტოლობა f(x) gt g(x)-ისa f(x) lt a g(x) უტოლობა f(x) lt g(x)-ის ტოლფასიაროცა 0 lt a lt 1 a f(x) gt a g(x) უტოლობა f(x) lt g(x)-ისa f(x) lt a g(x) უტოლობა f(x) gt g(x)-ის ტოლფასია

c = alog c იგივეობის თანახმად ax gt c (ან ax lt c) უტოლობაax gt alog c (ან ax lt alog c) უტოლობის ამოხსნაზე დაიყვანება

მაჩვენებლიანი უტოლობები გარკვეული ხერხებით მარტივ მაჩვენებლიან უტოლობებზედაიყვანება და ამოიხსნება

1) ხარისხის თვისებების გამოყენებაnimuSi a) 8 middot 4x ndash 1 gt 2x

23 middot (22)x ndash 1 gt 2x

22x + 1 gt 2x

2x + 1 gt xx gt ndash1

3x + 1 + 3x ndash 1 lt 303x middot 3 + lt 303x(3 + ) lt 30

3x

3

310

13

b)

3x lt 30 middot3x lt 93x lt 32

x lt 2

2) ახალი ცვლადის შემოტანაnimuSi 4x ndash 3middot2x + 1 + 8 lt 0 მოცემული უტოლობა

(2x)2 ndash 6middot2x + 8 lt 0 2x = a ახალი ცვლადის შემოტანაa2 ndash 6a + 8 lt 0 კვადრატული უტოლობა

(a 2)(a ndash 4) lt 02 lt a lt 4 ჩანაცვლების გათვალისწინება

2 lt 2x lt 22 1 lt x lt 2

nimuSi2x + 1 gt 8 მოცემული უტოლობა 2x + 1 gt 23 ხარისხის თვისებაx + 1 gt 3 ტოლფასი უტოლობაx gt 2 უტოლობის ამოხსნა

nimuSi02x ndash 1 gt 004 მოცემული უტოლობა02x ndash 1 gt 022 ხარისხის თვისებაx ndash 1 lt 2 ტოლფასი უტოლობაx lt 3 უტოლობის ამოხსნა

მოცემული უტოლობა ხარისხის თვისება

დაჯგუფება


თუ ხარისხის მაჩვენებლები ერთი და იგივეა ხელსაყრელია ხარისხებიდან ერთ-ერთზე გაყოფაnimuSi 2x gt 32x მოცემული უტოლობა

2x gt 9x 2x ორივე მხარე გავყოთ 2x-ზე 1 gt ( )x

( )x lt ( )0 რადგან a0 = 1 x lt 0

929

292

a

a

a

266


119

125ა) 3x ge ბ) 02x le გ) 15x le 225 დ) 03x le 009

ე) 2x gt 1 ვ) 3x lt 1 ზ) 4ndashx lt ndash1 თ) 5x gt ndash5

2

ი) 04x + 1 gt 016 კ) 32 ndash x lt 27 ლ) 3x2 lt 98 მ) 405x2 ndash 3 gt 8ნ) 4x gt 2x2 ო) 9x lt 36x პ) 5x gt 23x ჟ) 2x ndash 1 lt 8

3

ა) 3x + 3 lt 27 ბ) 2x ndash 1 + 2x ndash 2 + 2x ndash 3 lt 448 გ) 4x + 4x ndash 1lt 20 დ) ( )x + ( )x ndash 2 gt 5 ე) ( )x ndash 1 + ( )x + 1 le 26

4

ა) 4x ndash 2x + 1 ndash 8 gt 0 ბ) 4x + 2x gt 20 გ) 9x ndash 4middot3x + 3 lt 0 დ) 3x ndash 1 + 32 ndash x lt 4 ე) 5x + 51 ndash x gt 6

12

12

15

15


5

y = 7 ndash ( )2xradic 19

38

35

925y = ( )x + 2 ndash ( )xradic

ა) x2 middot 3x ndash 32 + x lt 0 ბ) x2 middot 3x + 9 gt x2 + 9 middot 3x

ამოხსენით მაჩვენებლიანი უტოლობები

ამოხსენით უტოლობები ხარისხის თვისებების გამოყენებით

ამოხსენით უტოლობები ახალი ცვლადის შემოტანით


გ) დ)


625 ge 5a + 8

105b + 2 gt 1000

( )c ndash 2 lt 322c

( )2d ndash 2 le 81d + 4

( )3t + 5 ge ( )t ndash 6

( )v + 2 lt ( )4v

19

127

1243

164

136

1216

ამოხსენით უტოლობები ძირითადი ლოგარითმული იგივეობის გამოყენებით71) 8x gt 21 2) 6y lt 39 3) ex lt 81254 4) ex gt 031515) 10x gt 00138 6) 10y lt 168125 7) e001x gt 15 8) e003y le 4


1) 2 ndash 16 ge 0 2) le 3 3) xe2x lt 4xx2 ndash 3x ndash 6 ex

ex ndash 4

saswavlo davalebebi

ა) ბ)

04 le 1 26 gt 1x2 ndash 4x + 1

x2 ndash 9x + 14x ndash 3

267


logariTmuli utolobebi

praqtikuli mecadineoba 1) ფერად უჯრებში ჩაწერეთ შესაბამისი შედარების ნიშანი

2) ფერად უჯრებში ჩაწერეთ ისეთი რიცხვები რომ სწორი უტოლობა მიიღოთ

3) log2x le log25 უტოლობას x-ის 5-ზე მეტი რომელიმე მნიშვნელობა აკმაყოფილებსგამოთქვით მოსაზრება x-ის ამ უტოლობის დამაკმაყოფილებელი მნიშვნელობების შესახებ4) აწარმოეთ განხილვა x-ის log05x le log054 უტოლობის დამაკმაყოფილებელი მნიშვნე-ლობების შესახებ

ლოგარითმული უტოლობები იხსნება ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების ლოგა-რითმული ფუნქციის ზრდადობის (ან კლებადობის) თვისების მხედველობაში მიღებით

nimuSi log2(x + 1) gt log27ცვლადის დასაშვებ მნიშვნელობათა პირობისთანახმად x + 1 gt 0 ვინაიდან log2xფუნქცია ზრდადია x + 1 gt 7 უნდა იყოსმაშასადამე x + 1 gt 0 და x + 1 gt 7უტოლობების დამაკმაყოფილებელი x-ებიუნდა მოვძებნოთ აქედან x gt 6 პასუხი (6 +)

ა) log23 log27

nimuSi log5 (3x 4) lt log5 (2x 2) უტოლობა0 lt 3x 4 lt 2x 2 ორმაგი უტოლობის

სადაც x gt და x lt 2 მიიღება უტოლობის ამონახსენთა სიმრავლეა lt x lt 243

43

nimuSi log02(x ndash 1) gt log023

3x 4 gt0 3x 4 lt 2x 2

უტოლობათა სისტემის ტოლფასია


f(x) gt c

f(x) gt ac

f(x) gt ac

f(x) gt c0 lt f(x) lt c

0 lt f(x) lt c

0 lt f(x) lt ac

0 lt f(x) lt ac

loga f(x) lt loga c

loga f(x) lt c


loga f(x) lt loga c

loga f(x) lt c

ბ) log055 log057

ა) log2 lt log25 ბ) log2 gt log25

გ) log05 lt log054 დ) log05 gt log054

ცვლადის დასაშვებ მნიშვნელობათა პი-რობის თანახმად x ndash 1 gt 0 ვინაიდანlog02x ფუნქცია კლებადია x ndash 1 lt 3უნდა იყოს მაშასადამე უნდა ამოვხსნათორმაგი უტოლობა 0 lt x ndash1 lt 3 აქედან 1 lt x lt 4 პასუხი (1 4)

როცა a gt1 როცა 0 lt a lt 1 ლოგარითმული

უტოლობა ტოლფასიუტოლობა

ლოგარითმულიუტოლობა

ტოლფასიუტოლობა

ან

268


ნაპოვნ ნეშტში ნახშირბად 14-ის t წლის შემდეგ დარჩენილი რაოდენობის (გრამობით)C = 20 endash00001216t ფორმულით გამოთვლა შეიძლებაა) იპოვეთ ნაშთში ნახშირბად 14-ის წლიური რაოდენობაბ) რამდენი გრამი იქნება ნარჩენი ნახშირბად 14 10000 წლის შემდეგგ) დაახლოებით რამდენი წლის შედმეგ ამ ობიექტში არსებული ნახშირბად 14-ისოდენობა იქნება 10 გრამზე ნაკლები

საზოგადოებრივი ორგანიზაციის წევრების ყოველწლიური 7-იანი შემცირებააღინიშნება თუ N არის არსებული წევრების რაოდენობა მაშინ t წლის შემდეგგაერთიანების წევრების რაოდენობის P = N(1 ndash 007)t ფორმულით გამოთვლაშეიძლება თუ 2010 წელს ამ ორგანიზაციას 5000 წევრი ჰყავდა რამდენი წლის შედმეგიქნება მათი რაოდენობა 2500-ზე ნაკლები

4

5



1) log5(x ndash 9) gt 3 2) log7(4x ndash 3) gt 0 3) log7(2x ndash 1) lt 24) log2(x + 20) ge 5 5) log4(x + ) ge ndash1 6) lg(5x + 150) le 17) log7(2x ndash 5) ge 2 8) log8(x + 5) le 1 9) log2(x ndash ) le ndash22

3

12

1) log5(3 ndash 2x) ge log5(4x + 1) 2) log03(10x + 3) lt log03(7x ndash 21) 3) lg x + lg(x + 1) gt lg 2x 4) lg x + lg(2 ndash x) lt 1 5) lg x ndash lg(2 ndash x) gt 0 6) log (3x ndash 1) ndash log (x + 2) gt 07) lg(x2 ndash x+8) le 1 8) log3(x2 ndash2 x ) lt 1 9) log2(x2 ndash xndash 6) + log05(xndash 3) lt 2log23 10) logradic3(x + 1) + logradic3(x ndash 1) gt log36411) log2(x2 ndash 3xndash 10) ndash log2(x+2) le 2 12) 3 ndash log2x lt 2

13

13

ამოხსენით ლოგარითმული უტოლობები1

ა) log2(x + 1) lt log23 ბ) log3(x ndash 1) gt log35 გ) log01(x ndash 2) gt log014დ) log4(x ndash 3) gt 2 ე) log5(3x ndash 1) lt 2 ვ) log02(5 ndash 2x) gt ndash 1ზ) log7(2x ndash 1) gt log7(x + 2) თ) log5(3x ndash 4) le log5(x + 2) ი) log05(4x ndash 11) lt log05(x ndash 11) კ) log02(2x ndash 8) gt log02(x ndash 1)

nimuSi ამოვხსნათ უტოლობა log2x log2x 2 lt 0 ლოგარითმქვეშა გამოსახულების დადებითობის გამო x gt 0 უნდა იყოს შემოვიტანოთაღნიშვნა log2x = t მივიღებთ უტოლობას t2 t 2 lt 0 ამ უტოლობის ამონახსენია 1 lt t lt 2 ჩანაცვლების თანახმად 1 lt log2x lt 2 მიიღება

აქედან lt x lt 4 პასუხი ( 4) 12

12

saswavlo davalebebi

2

269


7

ა) log(x) + log(x + 1) lt log2 ბ) log06(4 ndash x) ge log062 ndash log06(x ndash 1)გ) log2

2x ndash log2x le 6 დ) log201x + 3 log01x lt 4

ე) lg2x + 2 lgx gt 3 ვ) log201x ndash 1 ge 0

ზ) log3(log05(2x ndash 1)) gt 0 თ) log (logradic5(x ndash 9)) gt ndash1

ი) 1 ndash 2 log3x lt 3 კ) 1 ndash log3x2 lt 3 წლიური 8 რთული პროცენტით მატებით ბანკის ანგარიშზე შეტანილი 1000 მანეთირამდენი წლის შემდეგ იქნება არანაკლებ 1500 მანეთისა (ანგარიშზე არსებული თანხაS = S0ert კანონით იცვლება)

თანხა ანგარიშზე არანაკლებ 1500mamoxsnaS

მონაცემების თანახმად

უტოლობის ორივე მხარე იყოფა 1000-ზეუტოლობის ორივე მხარე გალოგარითმდება

ლოგარითმული თვისება

ge 15001000e008t ge 1500e008t ge 15lne008t ge ln15

008t ge ln15უტოლობის ორივე მხარე იყოფა 008-ზე

გამოთვლები

t ge

t ge პასუხი დაახლოებით 51 წლის შემდეგ ანგარიშზე არსებული თანხა გახდება 1500მანეთზე მეტი

ln1500804054008 t ge 5068 t ge 51

8


მოსახლეობის რაოდენობის დროზე დამოკიდებულებით გამოთვლა P = P0ektფორმულით შეიძლება სადაც P0 -არის არსებული მოსახლეობის რაოდენობა k-მატებისტემპი t - წლების რაოდენობა P კი - საძიებელ t წელს მოსახლეობის რაოდენობაა 2000წელს A ქალაქის მოსახლეობა 85 ათასი კაცი იყო 2010 წლამდე იგი გაიზარდა და 94ათასი გახდაა) იპოვეთ მოსახლეობის მატების სიჩქარე (k კოეფიციენტი)ბ) რომელ წელს გახდება ამ ქალაქში მოსახლეობის რაოდენობა 10 ათასი კაციგ) თუ 2000 წელს B ქალაქში არსებული მოსახლეობის რაოდენობის y = 95e000278t

ფორმულით მოდელირება შეიძლება A ქალაქში რამდენი წლის შემდეგ იქნება Bქალაქში მყოფზე მეტი მოსახლეობადედამიწის მოსახლეობის რაოდენობა 1980 წელს დაახლოებით 48 მილიარდი 1994წელს კი 55 მილიარდი კაცი იყო ამ მატებით რომელ წლამდე არ იყო დედამიწისმოსახლეობა 6 მილიარდ კაცზე მეტი

9

10

ამოხსენით ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობები

ა) log2 (3x + 2) = log2 (12x + 3) ბ) log6 (7x + 1) = log6 (4x ndash 4)გ) log3 3x = log3 (2x + 2) დ) log5 (1 ndash x) = log5 (2x + 5)ე) log4 (9x + 1) gt log4 (18x ndash 1) ვ) log3 (3x ndash 5) ge log3 (x + 7)ზ) log5 (2x + 1) lt log5 (3x ndash 2) თ) log2 2x = log4 (x + 3)

6

12

270


წყალბადის იონების კონცენტრატის მიხედვით განსაზღვრეთ pH

ა) ლიმონის წვენი [H+] = 79 103 მოლლ ბ) ამონიაკი [H+] = 1011 მოლლ

გ) ძმარი [H+] = 65 103 მოლლ დ) ფორთოხლის წვენი [H+] = 32 104 მოლლ

4

1) 6x ge 42 2) 5x = 52 3) 82a lt 124 4) 43p = 105) 20x = 70 6) 2x ndash 3 = 15 7) 82n gt 524n + 3 8) 22x + 3 = 33x

9) log (radicx + 1) = 2 10) (x ndash 2)middotlog5(x + 1) = 0 11) (x2 ndash 4)middotlog3x = 012) logx3 gt 0 13) log (2x ndash 4) lt 4 14) (x + 1)middotlog2(x + 1) gt 0

2 2

5

6

ამოხსენით განტოლებები და უტოლობები

მოცემული ფორმულების მიხედვით იპოვეთ n

ძია მეჰმანი სახლის გაყიდვიდან მიღებული ფულის ndash 90 000 მანეთის ერთი წლითბანკში შენახვას გეგმავს ბანკი ორი სახის დეპოზიტს სთავაზობს ერთი წლიური 9 რთული პროცენტული მატებით ნახევარწლიური გაანგარიშებებით მეორე კიყოველდღიური გამოთვლებით ამ ორი პირობას შორის შემოსავლებში განსხვავებაიქნება

წარმოიდგინეთ რომ თქვენ 500 მილიგრამი ასპირინი გაქვთ მიღებული ასპირინის tსაათში სისხლში არსებული რაოდენობის y = 500 (08)t სახით მოდელირება შეიძლებარამდენი საათის შემდეგ დარჩება სისხლში 50 მილიგრამზე ნაკლები ასპირინი

ა) M = 3e-2n + 5 1

2

3

ბ) a2n = b2 გ) y = ae4n

ჯემილმა გამზადებულ წარდგენაში ჩახაზა ცხრილი აღნიშვნით რომ ქალაქისმოსახლეობა 11450 კაციდან 95600 კაცამდე გაიზარდა და მატების ტემპი იყო 432თუმცა დაავიწყდა იმის აღნიშვნა თუ რამდენ წელში მოხდა ეს მატება იპოვეთ წლებისრაოდენობა

y = log28x3 ფუნქციის გრაფიკი y = log2x ფუნქციის გრაფიკის რომელი გარდაქმნებითმიღება შეიძლება

იპოვეთ logbxradicx გამოსახულების მნიშვნელობა თუ logbx = 02


3

7

8

9

ln 1radice3 5 ln x + ln y + ln zlog3

x3

2713

დაწერეთ y = abx ექსპონენციალური ფუნქციის ფორმულა რომლის გრაფიკი გადის

(11) (3 ) წერტილებზე

ცნობილია რომ logt M = 128 და logt N2 = 174 გამოთვალეთN2

radicM

19

10

11ა) logt N ბ) logt (MN) გ) logt

ა) ბ) გ)

radic5

radic2

271


janmrTeloba da fizika specialistebi iZlevian rekomendaciasrom 85 dbndashze maRali xmis SemTxvevaSi gamoviyenoT specialurixmisagan damcavi mowyobiloba ა) შეშის საჭრელი აპარატის ხმის ძალა 80 დბ მუსიკალური ხმის გამაძლიერებლისა კი(პლაიერი) 110 დბndashია რამდენჯერ აღემატება ხმის გამაძლიერებლის ხმის ინტენსივობაშეშის საჭრელის ხმის ინტენსივობასბ) ჩურჩულის ინტენსივობაზე 100 000 ჯერ ძლიერი ხმა ადამიანის ჯანმრთელო-ბისათვის არავითარ საფრთხეს არ ქმნის გამოთვალეთ უსაფრთხოდ ჩათვლილი ხმისსიმძლავრე თუ ჩურჩულის სიმძლავრე 20 დბndashია

12

სოციოლოგების თანახმად ახალი ამბავი ადამიანებს შორის ექსპონენციალურისიჩქარით ვრცელდება y = 2000 (1ndash e ndash003t ) ფუნქცია ახალი სავაჭრო ცენტრის გახსნისინფორმაციის t საათში 2000 ადამიანს შორის გავრცელებას გამოსახავს

ა) რამდენ ადამიანს ექნება ინფორმაცია ამის შესახებ სავაჭრო ცენტრის გახსნიდან 24საათის შემდეგ

ბ) ააგეთ ამ ფუნქციის გრაფიკი გრაფკალკულატორით და ივარაუდეთ რამდენი საათისშემდეგ ექნება მოსმენილი ეს ამბავი ამ ადამიანთა 90ndashს

13

ერთი ფინჯანი წყალი 100Cndashმდე ადუღებული და შემდეგოთახის ტემპერატურამდე 20Cndashმდე გაციებული იქნაწყლის ტემპერატურა ყოველ წუთში ერთხელ გაიზომა დასაკოორდინატო სიბრტყეზე ტემპერატურის დროზედამოკიდებულების მაჩვენებელი წერტილები აღინიშნა ესწერტილები შეერთდა და სურათზე ნაჩვენები გრაფიკიიქნა მიღებული ცნობილი გახდა რომ წყლის ტემ-პერატურა ყოველ 5 წუთში 25ndashით ექსპონენციალურიწესით მცირდება წყლის ტემპერატურის დროზედამოკიდებულებით ცვლილების გამომსახველი ფუნ-ქციის ფორმულის f(x) = abx minus h + k სახით დაწერა შეიძლება გრაფიკის თანახმადიპოვეთ a b h k ცვლადების შესაბამისი რიცხვითი ინფორმაციები და დაწერეთფუნქციის ფორმულა

1410080604020

20O 40 60 80 100m

T

სეიმურმა 15 000 მანეთად ახალი ავტომობილი შეიძინა ავტომობილის ფასი ყოველ-წლიურად 15ndashით მცირდება რამდენი წლის შემდეგ შეიძენს სეიმური ავტომობილს3000 მანეთზე იაფად

15

ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით გაამარტივეთ გამოსახულებები და იპოვეთმნიშვნელობები

16

ა) 9 log93 log975 + 2 log95 ბ) log298 2 log27 2გ) 2 log36 3 log32 + log318 დ) log236 + log212 2 log23

12

ააგეთ y = lg x2 და y = 2lg x ფუნქციების გრაფიკები დაწერეთ ამ ფუნქციების მსგავსიდა განმასხვავებელი ნიშნები ცვლადის რა მნიშვნელობებისათვის არის მართებულიlg x2 = 2lg x ტოლობა

17


es sainteresoa

სავარაუდო თარიღი პიროვნება მოვლენა

kompleqsuri ricxvebis Seqmnis qronika

ფრანგი მეცნიერი Abraham DeMovire (მუავრი) (1667ndash1754)ალბათობის თეორიის შესახებ ნაშრომებითა და მუავარისფორმულით არის ცნობილი მისი ნაწარმოები ldquoThe Doctrineof Chances A method of calculating the probabilities ofevents in playrdquo (შანსების დოქტრინა თამაშში ხდომილობათაგამოთვლის მეთოდი) გახდა დიდი რეზონანსის მიზეზი დამრავალგზის გამოიცა

იყენებს კომპლექსური რიცხვის ცნებას

radicndash1 რიცხვს i-თი აღნიშნავს

ნამდვილ და წარმოსახვით ნაწილებსგანასხვავებს

უარყოფითი რიცხვიდან კვადრატული ფესვიკუბური განტოლების ფესვებში შედის

უარყოფითი რიცხვიდან კვადრატული ფესვიარ არსებობს რადგან კვადრატი არ შეიძლებაიყოს უარყოფითი

უარყოფითი რიცხვიდან კვადრატული ფესვისშესახებ პირველ ინფორმაციებს ვხვდებით

50 ჰერონი ალექსანდრია

850 მაჰავირა ინდოეთი

1545 კარდანო იტალია

1637 დეკარტი საფრანგეთი

1748 ეილერი შვეიცარია

1832 კაუსი გერმანია

10kompleqsuri ricxvebimoqmedebebi kompleqsur ricxvebzekompleqsuri ricxvis geometriuli gamosaxvakompleqsuri ricxvis moduli da argumenti kompleqsuriricxvis trigonometriuli saxemoqmedebebi trigonometriuli saxiT mocemul kompleqsurricxvebzen-uri xarisxis fesvi kompleqsuri ricxvidan

273


gamokvleva

1) ნიმუშების ჩვენებით გამოიკვლიეთ ქვემოთ მოცემული მოსაზრებების სისწორე თუ იგიმცდარია ისე შეცვალეთ რომ მართალი გამოდგესა) როცა a და b ნატურალური რიცხვებია x + a = b განტოლების ფესვი ნატურალური რიცხვიაბ) როცა a და b მთელი რიცხვებია ax = b განტოლების ფესვი მთელი რიცხვიაგ) თუ a არაუარყოფითი რაციონალური რიცხვია x2 = a განტოლების ფესვი რაციონალურირიცხვიად) თუ a არაუარყოფითი ნამდვილი რიცხვია x2 = a განტოლების ფესვი ნამდვილი რიცხვია2) არსებობს ნამდვილი რიცხვი რომლის კვადრატი ndash1ndashის ტოლია3) ა) როცა a lt 0 x2 = a განტოლებას ნამრავლი ფესვი აქვსბ) ნამდვილი რიცხვების განსაზღვრულ სიმრავლემდე გაფართოებით შესაძლებელია ამ ამოცანისამოხსნა4) ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლესა და რიცხვითი ღერძის წერტილებს შორის ერთმანეთისმიმართ ერთმნიშვნელიანი შესაბამისობა არსებობს საკოორდინატო სიბრტყის წერტილებსრომელი რიცხვები შეიძლება შევუპირისპიროთ

ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეში x2 = ndash1 განტოლებას ამონახსენი არა აქვს მაშასადამენამდვილ რიცხვთა სიმრავლე ისე უნდა გავაფართოვოთ რომ ახალ სიმრავლეში ამგანტოლებას ფესვი ჰქონდეს ამ მიზნით ახალი i რიცხვის შემოტანით მიღებულია რომ ის x2 + 1 = 0 განტოლების ფესვია ანუ i2 + 1 = 0 აქედან კი i2 = ndash1 ასეთი დაშვების შემდეგ x2 + 1 = 0 განტოლების ფესვები x12 = plusmni იქნება i რიცხვს წარმოსახვითი ერთეული ეწოდებანამდვილ რიცხვთა სიმრავლე ისე გავაფართოვოთ რომ ყველა ნამდვილი რიცხვი და i რიცხვიამ სიმრავლეში შევიდეს თანაც ამ სიმრავლეში შეკრებისა და გამრავლების მოქმედებებისთვისებები შენარჩუნებული იქნას როცა a და b ნებისმიერი ნამდვილი რიცხვებია ახალსიმრავლეში bi bdquoნამრავლისა და a + bi ldquoჯამისldquo შემოტანით a + bi გამოსახულებას პირობითადკომპლექსური რიცხვი ვუწოდოთ a + bi გამოსახულებას კომპლექსური რიცხვი ეწოდება სადაც a და b ნამდვილი რიცხვებიაi კი წარმოსახვითი ერთეულიაკომპლექსური რიცხვებს z w და სხვ ასოებით ავღნიშნავთ მაგალითად z = a + bi a + bi ჩანაწერს კომპლექსური რიცხვის ალგებრული სახე ეწოდება z = a + bi კომპლექსურრიცხვში a-ს z-ის ნამდვილი ნაწილი b-ს კი წარმოსახვითი ნაწილი ეწოდება და ასე იწერებაa = Re z b = İmzროცა a = 0 bi სახის რიცხვები მიიღება ასეთ რიცხვებს წმინდა წარმოსახვითი რიცხვებიეწოდება როცა a = 0 და b = 0 კომპლექსური რიცხვი ნულის ტოლად ითვლება და პირიქითთუ a + bi = 0 მაშინ a = 0 და b = 0daskvna a + bi და c + di კომპლექსური რიცხვებისათვის a + bi = c + di ტოლობამხოლოდ მაშინ არის მართებული როცა a = c და b = d

nimuSi x + 3i = 5 + (x + y)i ტოლობიდან იპოვეთ x და yamoxsna ნამდვილი და წარმოსახვითი ნაწილების ტოლობიდან მივიღებთ

x = 53 = x + y ანუ x = 5 y = ndash2

a + bi და c + di კომპლექსური რიცხვების ჯამი (a + c) + (b + d)i კომპლექსურ რიცხვსეწოდება ანუ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

274

მაშასადამე ორი კომპლექსური რიცხვის გამრავლებისათვის ისინი ორწევრების გამრავლებისმსგავსად უნდა გავამრავლოთ საჭიროა გავითვალისწინოთ რომ i2 = ndash1


nimuSi (3 + 2i)middot(2 ndash i) = 3middot2 ndash 3i + 4i ndash 2i2 = 6 + i ndash 2middot(ndash1) = 8 + iგანვიხილოთ წარმოსახვითი ერთეული ხარისხები

i3 = i2middoti = ndashi i4 = i2middoti2 = 1 i5 = i4middoti = ii6 = i4middoti2 = ndash1 i7 = i4middoti3 = ndashi i8 = i4middoti4 = 1

როგორც ხედავთ i-ს ნატურალური ხარისხები მხოლოდ i ndash1 ndashi და 1 შეიძლება იყოს დაისინი ყოველ 4 ნაბიჯზე ერთხელ მეორდებიან მაშასადამე მივიღებთ i4m + k = (i4)mmiddotik = ik

nimuSi გამოთვალეთ ა) i58 ბ) i63

amoxsna ა) i58 = i4middot14 + 2 = i2 = ndash1 ბ) i63 = i4middot15 + 3 = i3 = ndashia ndash bi რიცხვს a + bi რიცხვის შეუღლებული რიცხვი ეწოდება და z = a ndash bi სახითაღინიშნება გასაგებია თუ a ndash bi რიცხვი a + bi რიცხვის შეუღლებულია a + bi რიცხვიცa ndash bi რიცხვის შეუღლებულია ამიტომაც z = a + bi და z = a ndash bi რიცხვებსურთიერთშეუღლებული კომპლექსური რიცხვები ეწოდებათ ურთიერთშეუღლებულირიცხვების ნამდვილი ნაწილები ტოლია წარმოსახვითი ნაწილები კი მოპირდაპირეებიამოპირდაპირე შეუღლებული რიცხვების ნამრავლი ნამდვილი რიცხვია

zmiddotz = (a + bi)middot(a ndash bi) = a2 ndash abi + abi ndash (bi)2 = a2 + b2კერძო შემთხვევაში ნამდვილი რიცხვის შეუღლებული თვით ამ რიცხვის წარმოსახვითირიცხვის შეუღლებული კი მისი (ndash1)-ზე ნამრავლის ტოლიათითოეულ z = a + bi კომპლექსურ რიცხვს ndashz მოპირდაპირე რიცხვი გააჩნია და ndashz = ndasha ndash biნებისმიერ 0-საგან განსხვავებულ z = a + bi კომპლექსურ რიცხვს შებრუნებული რიცხვი აქვს

1z

1a + bi

a ndash bi(a + bi)(a ndash bi)

a ndash bia2 + b2

aa2 + b2

ba2 + b2= = = = ndash i

მრიცხველი და მნიშვნელი მრავლდება (a ndash bi)-ზე

კომპლექსური რიცხვების გამოკლება და გაყოფა ქვემოთ მოცემული ტოლობებით სრულდებაz ndash w = z + (ndashw)zw

1w= z middot (w 0)

კომპლექსური რიცხვების განაყოფის მოძებნისათვის ხელსაყრელია მრიცხველისა დამნიშვნელის გამრავლება მნიშვნელის შეუღლებულ რიცხვზე

nimuSi იპოვეთ z1 = 3 + 2i და z2 = 2 ndash i რიცხვების სხვაობა და განაყოფიamoxsna z1 ndash z2 = (3 + 2i) ndash (2 ndash i) = 1 + 3i

z1

z2= = = = = =

= + i = 08 + 14i

3 + 2i2 ndash i

(3 + 2i)middot(2 + i)(2 ndash i)middot(2 + i)

6 + 3i + 4i + 2i2

4 ndash i26 + 7i ndash 2

54 + 7i

545

75

a + bi და c + di კომპლექსური რიცხვების ნამრავლი ეწოდება ac ndash bd + (ad + bc)iკომპლექსურ ანუ

(a + bi)middot(c + di) = ac ndash bd + (ad + bc)i

275


(z plusmn w)2 = z2 plusmn 2zw + w2

(z + w)(z ndash w) = z2 ndash w2 და სხვ

saswavlo davalebebi

1

3

4

5

6

7

8

2

იპოვეთ

ა) i12 ბ) i15 გ) i21 დ) i82 ე) i101

იპოვეთ მოცემული რიცხვების ჯამი სხვაობა ნამრვალი და განაყოფი

ა) z1 = 3 + 2i z2 = 1 + i ბ) z1 = 5 + 2i z2 = 3 + i

ა) z1 = 5 + xi z2 = y + 4i ბ) z1 = (x + y) + i z2 = 5 ndash (x ndash y)i

x-ისა და y-ის რომელი ნამდვილი მნიშვნელობებისათვის მართებულია ტოლობა

ა) (x + y) + 2i = 3 ndash (x ndash y)i ბ) 4 + xyi = x + y +3i

x-ისა და y-ის რომელი მნიშვნელობებისათვის იქნება მოცემული რიცხვები შეუღ-ლებული რიცხვები


ა) (3 + 4i) + (4 ndash 3i) ბ) (5 + 4i) ndash (3 + 2i)გ) (2 + 3i)middot(3 + 2i) დ) (4 ndash i)middot(4 + i)ე) (i + 1)2 ვ) (2 + i)2

ზ) (1 + i)2middot(3 ndash i) თ) (2 + i)2middot(2 ndash i)2

ი) (i + 1)8 კ) (i8 + i5)middot(i + 1)

დაშალეთ მამრავლებად

ა) m2 + 4 ბ) y2 + 9 გ) 4x2 + 1


ა) + ბ) ndash2 + i2 ndash i

2 ndash i2 + i

1 + i1 ndash i

1 ndash i1 + i


ა) x2 + 4 = 0 ბ) x2 + 3 = 0 გ) x2 + 16 = 0

ა) z = 3 + 4i ბ) z = გ) z = (2 + i)2

ნამდვილ რიცხვებზე წარმოებული გამოთვლითი მოქმედებების ძირითადი თვისებებიმართებულია კომპლექსური რიცხვებისათვისაც შედეგად ვიღებთ რომ ნებისმიერი ალ-გებრული იგივეობა კომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლეშიც მართებულია მაგალითად როცა z და w კომპლექსური რიცხვებია

nimuSi ა) m2 + 4 =m2 ndash 4middoti2 = m2 ndash (2i)2 = (m ndash 2i)middot(m + 2i)

9 იპოვეთ მოცემული რიცხვების შეუღლებული რიცხვები2

1 ndash i

276


რიცხვს რომლის კვადრატიც z - ის ტოლია z კომპლექსური რიცხვიდან კვადრატულიფესვი ეწოდება და radicz სახით აღინიშნება

nimuSi იპოვეთ კვადრატული ფესვი 3 ndash 4i კომპლექსური რიცხვიდანamoxsna დავუშვათ radic3 ndash 4i = x + yi ტოლობის ორივე მხარე ავიყვანოთ კვადრატში

3 ndash 4i = (x + yi)2

3 ndash 4i = x2 ndash y2 + 2xyiნამდვილი და წარმოსახვითი ნაწილების ტოლობიდან მივიღებთ

x2 ndash y2 = 3xy = ndash2

საიდანაც (2 ndash1) და (ndash2 1) ამონახსნებს მივიღებთ მაშასადამე radic3 ndash 4i = plusmn(2 ndash i)SeniSvna ნამდვილი რიცხვებისაგან განსხვავებით კომპლექსური რიცხვიდან კვადრა-ტული ფესვის წარმოთქმისას ნიშნით განსხვავებული ორივე მნიშვნელობა მოიაზრებაკომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლეში az2 + bz + c = 0 (a 0) კვადრატული განტოლებისფესვები როგორც ნამდვილ რიცხვებში იგივე ფორმულით გამოითვლება

z = ndashb plusmn radicb2 ndash 4ac2a

nimuSi ამოხსენით განტოლება x2 + 4x + 5 = 0amoxsna

x = = = = = ndash2 plusmn indash4 plusmn radic42 ndash 4middot1middot52middot1

ndash4 plusmn radicndash42

ndash4 plusmn radic4middoti2

2ndash4 plusmn 2i

2x1 = ndash2 + i x2 = ndash2 ndash i

ადვილად შეიძლება იმის შემოწმება რომ ვიეტის თეორემა ძალაში რჩება და კოეფიციენტებინამდვილი რიცხვების მქონე კვადრატული განტოლების კომპლექსური ფესვები ურთი-ერთშეუღლებული რიცხვებია

saswavlo davalebebi

1

3

2

იპოვეთ

ა) radicndash25 ბ) radic3 + 4i გ) radic8 + 6i დ) radic4 ndash 3i


იპოვეთ კომპლექსური რიცხვი რომელიც შეუღლებულის კვადრატის ტოლია (z R)

ა) x2 ndash 4x + 5 = 0 ბ) x2 ndash 6x + 13 = 0გ) x2 + 8x + 41 = 0 დ) x2 ndash 2x + 3 = 0

4 რომელი რიცხვის კვადრატია i-ს ტოლი

kompleqsuri ricxvis kvadratuli fesvebi

z = a + bi კომპლექსური რიცხვის გეომეტრიულად ნაჩვენები M(a b) წერტილისსათავის კოორდინატთა სათავეში მდებარე OM = a b ვექტორის ბოლოს სახითაცშეიძლება განვიხილოთ

277

kompleqsuri ricxvis geometriuli gamosaxva

z = a + bi კომპლექსური რიცხვი (a b) ნამდვილი რიცხვების წყვილის საშუალებით მოი-ცემა და ეს რიცხვების წყვილი საკოორდინატო სიბრტყეზე განსაზღვრულ წერტილს შეესაბამებაz = a + bi როცხვს A(a b) წერტილი შევუსაბამოთ და A(z) სახით ავღნიშნოთსაკოორდინატო სიბრტყის თითოეული წერტილი ერთ კომპლექსურ რიცხვს გამოსახავსდა პირიქით თითოეული კომპლექსური რიცხვი საკოორდინატო სიბრტყეზე ერთწერტილს შეესაბამებანამდვილი რიცხვების შესაბამისი წერტილები აბსცისთა ღერძზე წმინდა წარმოსახვითირიცხვების შესაბამისი წერტილები ორდინატთა ღერძზე მდებარეობს ამიტომაც აბსცისთაღერძს ნამდვილი ღერძი ორდინატთა ღერძს წარმოსახვითი ღერძი საკოორდინატოსიბრტყეს კი კომპლექსური სიბრტყე ეწოდება

შეუღლებული კომპლექსური რიცხვების შესაბამისი წერტილები აბცისთა ღერძის მიმართსიმეტრიულად მდებარეობენ

saswavlo davalebebi

1

3

2

კომპლექსურ სიბრტყეზე აღნიშნეთ z1 = 0 z2 = 2 + i z4 = 1 + 3i რიცხვებისშესაბამისი A B D წერტილები იპოვეთ ABCD პარალელოგრამის C წვეროს შესაბამისიz3 რიცხვი

nimuSi y (წარმოსახვითი ღერძი)

ნამდვილი ღერძიx3ndash2

3i2i

3 + 2indash2 + 3i

ააგეთ კომპლექსურ სიბრტყეზე მოცემული რიცხვის შესაბამისი წერტილია) 3 + 2i ბ) ndash2 + i გ) 3i დ) ndash3 ე) 2 ndash i

rarr

საკოორდინატო სიბრტყეზე ავღნიშნოთ z1 = 1 + 2i რიცხვის შესაბამისი A წერტილი

და z2 = 3 + i რიცხვის შესაბამისი B წერტილი იპოვეთ z1 + z2 ჯამი და OA + OBვექტორი შედეგები შეადარეთ

rarr rarr

ასახეთ კომპლექსურ სიბრტყეზე მოცემული პირობის დამაკმაყოფილებელი წერ-ტილების სიმრავლეა) İm z = 2 ბ) Re z = 3 გ) İm z ge 0

4

ndash2i 3 ndash 2i

კერძო შემთხვევებში z = a + bi რიცხვის მოდულისა და არგუმენტისათვის მივიღებთ

თუ b = 0 a gt 0 მაშინ R = a = 0 თუ b = 0 a lt 0 მაშინ R = a =

თუ a = 0 b gt 0 მაშინ R = b = თუ a = 0 b lt 0 მაშინ R = b = 2

32

კომპლექსური რიცხვის შესაბამისი წერტილიდან კოორდინატთა სათავემდე მანძილსკომპლექსური რიცხვის მოდული ეწოდება და z სახით აღინიშნება

z = R = radica2 + b2

მობრუნების კუთხეს რომლის დამამთავრებელი გვერდიც არის OM სხივი z = a + biკომპლექსური რიცხვის არგუმენტი ეწოდება

სიბრტყეზე z = a + bi კომპლექსური რიცხვის შესაბამისიწერტილი არის M(a b) ავღნიშნოთ OM მანძილი R-ით OMსხივით აბსცისთა ღერძის დადებით მიმართულებასთან შექმნილიკუთხე -ით გასაგებია რომ ∆OMA-დან პითაგორას თეორემის თანახმადმივიღებთ

R2 = a2 + b2

საიდანაც R = radica2 + b2

278


∆OMA- დან cos = sin = tg =

მოცემული z = a + bi რიცხვის მოდული ერთმნიშვნელოვნად განისაზღვრება არ-გუმენტი კი 2 სიზუსტით მოიძებნება ანუ არგუმენტის მნიშვნელობებიდან თუ ერთიარის დანარჩენი მნიშვნელობები + 2k (k Z) სახისააკომპლექსური რიცხვის არგუმენტად როგორც წესი [0 2) შუალედში არსებულ კუთხესავიღებთ

nimuSi 1 იპოვეთ z = radic3 + i კომპლექსური რიცხვის მოდული და არგუმენტიamoxsna რადგან a = radic3 b = 1 ამიტომ

R = radica2 + b2 = radic(radic3)2 + 12 = 2

იმის გათვალისწინებით რომ tg = = და

კუთხე I მეოთხედშია ვპოულობთ =

cos = sin = ფორმულებიდან მივიღებთ

a = R cos b = R sin მაშინ z = a + bi = R cos + imiddotR sin = R(cos + isin )z = a + bi კომპლექსური რიცხვის z = R(cos + isin ) გამოსახულებას მისიტრიგონომეტრიული სახე ეწოდება

y

x

R

A

b

a

M(a b)

0

aR

ba

bR

y

xO radic3

1z = radic3 + i

R = 2

ba

1radic3

6aR

bR


279

მოცემული რიცხვები ასახეთ კომპლექსურ სიბრტყეზე იპოვეთ მოდული და არგუ-მენტი

ა) 6i ბ) ndash2i გ) ndash4i + 4 დ) 3 + 6i

y

x

radic3

ndash1

ndash1+ radic3i

R

nimuSi 2 z = ndash1 + radic3i კომპლექსური რიცხვი დაწერეთ ტრიგონომეტრიული სახითamoxsna

R = radica2 + b2 = radic(ndash1)2 + (radic3)2 = 2

tg = = = ndashradic3ba

radic3ndash1

3

ვინაიდან კუთხე II მეოთხედის კუთხეა

= ndash = 2323

z = ndash1 + radic3i = 2(cos + isin )23

saswavlo davalebebi

2

1

4

3

უჩვენეთ მოცემული კომპლექსური რიცხვის მოდული და არგუმენტია) i ბ) 2i გ) ndash3i დ) ndash2i ე) 1 ვ) ndash2 ზ) 5 თ) ndash3 ი) radic2 + radic2i კ) ndashradic3 ndash i

5

6

დაწერეთ მოცემული კომპლექსური რიცხვი ტრიგონომეტრიული სახითა) radic3 + i ბ) 1 + i გ) 1 ndash radic3i დ) ndashradic3 ndash iდაწერეთ ტრიგონომეტრიული სახით მოცემული კომპლექსური რიცხვი ალგებრულისახით

ა) 4(cos + isin ) ბ) radic2(cos + isin )3

3

4

4

მოცემული რიცხვი დაწერეთ ტრიგონომეტრიული სახით

გეომეტრიული გამოსახულებების მიხედვით დაწერეთ რიცხვები ტრიგონომეტრიულისახით

გ) 4(sin ndash icos )12

12

1 ndash i1 + iა)

ა)

radic3 ndash iradic3 + i

ბ)

ბ) გ)წარმოსახვითი



ღერძი

ნამდვილი ღერძი ნამდვილიღერძი

ნამდვილი ღერძი22

z = 2 2i

z = 3 + 3i3 1

2

246

2 4 62

42

z = i

280



z1middotz2 = 6(cos( + ) + isin( + )) = 6(cos + isin ) = 6middot(0 + imiddot1) = 6i

3

3

6

6

3

6

3

6

2

2

ახლა კი ვიპოვოთ შეფარდება

z1z2

R1(cos 1 + isin 1)R2(cos 2 + isin 2)

R1

R2

(cos 1 + isin 1)middot(cos 2 ndash isin 2)(cos 2 + isin 2)middot(cos 2 ndash isin 2)

cos 1middotcos 2 + sin 1middotsin 2 + imiddot(sin 1middotcos 2 ndash cos 1middotsin 2)cos2 2 ndash (imiddotsin 2)2

= middot(cos(1 ndash 2) + isin(1 ndash 2))

= = middot =

= middot =R1

R2

R1

R2

z1z2

Sefardebis moduli gasayofisa da gamyofis modulebis Sefardebisargumenti ki gamyofisa da ganayofis argumentebis sxvaobis tolia



= (cos( ndash ) + isin( ndash )) = 2(cos + isin ) = 2middot( + imiddot ) =

= radic3 + i

3

3

6

6

3

6

3

6

12

z1z2

42

6

6

radic32

რადგან z = R(cos + isin ) რიცხვის n-ური ნატურალური ხარისხი თითოეული z-ისტოლი n რაოდენობის მამრავლის ნამრავლია

zn = Rn(cos n + isin n)kompleqsuri ricxvis n-uri xarisxidan naturalurmaCvenebliani mod-uli fuZis modulis n-uri xarisxis am xarisxis argumenti ki fuZisargumentis n-is jeradis tolia

moqmedebebi trigonometriuli saxiT mocemul komple-qsur ricxvebze

z1middotz2 = R1(cos 1 + isin 1)middotR2(cos 2 + isin 2) = R1middotR2middot(cos 1middotcos 2 ndash sin 1middotsin2+

+ imiddot(cos 1middotsin 2 + sin 1middotcos 2)) = R1middotR2middot(cos(1 + 2) + imiddotsin(1 + 2))trigonometriuli saxiT mocemuli ori kompleqsuri ricxvis nam-ravlis mosaZebnad am ricxvebis modulebi mravldeba da argu-mentebi ikribeba

nimuSi თუ z = 2(cos + isin ) მაშინ

z4 = 24middot(cos + isin ) = 16(cos + isin ) = 16middot( + middoti ) = 8 + 8radic3i

12

12

412

412

3

3

12

radic32

ვიპოვოთ ტრიგონომეტრიული სახით მოცემული z1 = R1(cos 1 + isin 1) დაz2 = R2(cos 2 + isin2) კომპლექსური რიცხვების ნამრავლი

281

moqmedebebi trigonometriuli saxiT mocemul kompleq-sur ricxvebze


დაწერეთ ტრიგონომეტრიული სახით მოცემული კომპლექსური რიცხვებიალგებრული სახით

შეასრულეთ მოქმედებები შედეგები წარმოადგინეთ ტრიგონომეტრიული სახით

ა) ბ)(1 + i)4

(radic3+i)3

(1+radic3 i)9

(1 ndash i)8

6

7

8

(cos + isin )n = cos n + isin n ფორმულას მუავრის ფორმულა ეწოდება ამფორმულის დახმარებით n-მაგი კუთხის სინუსისა და კოსინუსის ერთმაგი კუთხისსინუსითა და კოსინუსით გამოსახვა შეიძლებამაგალითად როცა n = 2 მივიღებთ

(cos + isin )2 = cos 2 + isin 2საიდანაც

cos2 ndash sin2 + 2isin middotcos = cos 2 + isin 2ორი კომპლექსური რიცხვის ტოლობის პირობის თანახმად მივიღებთ

cos 2 = cos2 ndash sin2 sin 2 = 2 sin middotcos

ანალოგიური წესით დაწერეთ ფორმულები cos 3 sin 3-სათვის

3

4

იპოვეთ ( )6 თუ z1 = cos + i sin და z2 = 1 ndash radic3i z1z2

იპოვეთ (z1middotz2)12 თუ z1 = cos + i sin და z2 = ndash1 + radic3 i 12

8

8

12

saswavlo davalebebi

1 z1 = 1 + radic3i და z2 = 1 + i რიცხვები წარმოადგინეთ ტრიგონომეტრიული სახით იპოვეთა) z1middotz2 ნამრავლი ბ) განაყოფიz1

z2


ა) (1 + radic3i)12 ბ) (1 ndash i)38

ა) 2(cos 120deg + isin 120deg) ბ) 5(cos 135deg + isin 135deg)

გ) 3(cos 330deg + isin 330deg)


6

3

6


6

4

6

32

cos 50deg + isin 50degcos 20deg + isin 20deg5(cos 43 + i sin 43)4(cos 21 + i sin 21)

ა)

ბ)

გ)

დ)

თუ ტრიგონომეტრიული სახით მოცემული ორი რიცხვი ტოლია მათი მოდულები

ტოლია ხოლო არგუმენტები 2k-ით განსხვავდებამაშასადამე n = 0 + 2k =ასე რომ radic1 = cos + i sinსადაც როცა k ge n მიღებული გამოსახულებები k-ს პირველი n მნიშვნელობისას მიღე-ბულ გამოსახულებებთან იგივეა თუ ერთეულის n-ური ხარისხის ფესვებს ავღნიშნავთ 0 1 n ndash 1-ით მივიღებთ

282


k = 0 0 = cos 0 + i sin 0 = 1

k = 1 1 = cos + i sin

k = 2 2 = cos + i sin

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot

k = n ndash 1 n ndash 1 = cos + i sin

2n

2n

4n

4n

2(n ndash 1)n

2(n ndash 1)n

როგორც ხედავთ ერთეულის n-ური ხარისხიდან ფესვების მოდულები 1-ის ტოლია

არგუმენტები ერთმანეთისაგან -ის ჯერადობით განსხვავდება ანუ ეს რიცხვები ცენ-

ტრის კოორდინატთა სათავეში მდებარე ერთეულრადიუსიან წრეწირში ჩახაზული

წესიერი n-კუთხედის წვეროს წერტილების შესაბამისი კომპლექსური რიცხვებია

2n

nimuSi

3

12

radic32

radic1-ის მნიშვნელობები

როცა n = 3 როცა n = 6

6radic1-ის მნიშვნელობები

ndash + i+ i

ndash indash ndash i

ndash11

120ordm

12

radic32

12

radic32

12

radic32

y

x

y

x120ordm

120ordm1

ndash ndash i12

radic32

12

radic32ndash + i

2kn2k

n2kn

n

60ordm60ordm60ordm

60ordm60ordm

60ordm

იპოვეთradic1 გამოსახულების მნიშვნელობები1 = cos 0 + i sin 0 სახით დავწეროთ და მოვძებნოთ n-ური ხარისხიდან ფესვიradiccos 0 + i sin 0 = cos + i sin სახითორივე მხარე ავიყვანოთ n-ურ ხარისხშიcos 0 + i sin 0 = (cos + i sin )n cos 0 + i sin 0 = cos n + i sin nაქედან cos n = cos 0 sin n = sin 0

n

n

283


z კომპლექსური რიცხვიდან n-ური ხარისხის ფესვი ეწოდება ისეთ w რიცხვს რომ wn = zთუ z 0 n-ური ხარისხის ფესვი n რაოდენობის სხვადასხვა მნიშვნელობას იღებს

z = R(cos + isin )w = r(cos + isin ) სახით ჩავწეროთ

რადგან wn = z მივიღებთz = rn(cos n + isin n) = R(cos + isin )

ორი კომპლექსური რიცხვის ტოლობის თანახმად მივიღებთrn = R r = radicRn = + 2k = (k Z)

როცა k gt n მიღებული მნიშვნელობები პირველი n მნიშვნელობებისაგან 2-ით განსხვავდება

ამიტომაც k = (k = 0 1 n ndash 1) უნდა იყოს

n

n n

+ 2kn

+ 2kn

nimuSi იპოვეთ radicndash8 -ის ყველა მნიშვნელობაamoxsna radicndash8 = R(cos + i sin ) ჩავწეროთ ndash8 = R3(cos 3 + i sin 3)

8(cos + i sin ) = R3(cos 3 + i sin 3)აქედან R3 = 8 R = 2

3 = + 2k = (k = 0 1 2) + 2k

3

3

3

როცა k = 0 მაშინ w0 = 2middot(cos + i sin ) = 2( + i) = 1 + radic3iროცა k = 1 მაშინ w1 = 2∙(cos + i sin ) = 2(ndash1 + 0middoti) = ndash2როცა k = 2 მაშინ w2 = 2middot(cos + i sin ) = 2( ndash i) = 1 ndash radic3i

3

3

12

radic32

53

53

12

radic32

2 ერთეულის n-ური ხარისხიდან ფესვების მიხედვით დაწერეთ ქვემოთ მოცემულიგამოსახულებების ყველა მნიშვნელობაა) radic64 ბ) radic64 გ) radic27 დ) radicndash83 6 33

saswavlo davalebebi

3 იპოვეთ გამოსახულების ყველა მნიშვნელობა

ა) radicndash1 ბ) radicndash64 გ) radicndash8i დ) radicndash8 + 8radic3i3 6 46

4ა) z4 ndash 16 = 0 ბ) z3 = 8 გ) z4 + 1 = 0ამოხსენით განტოლებები

5ა) z6 ndash 9z3 + 8 = 0 ბ) z8 ndash 17z4 + 16 = 0


kompleqsuri ricxvidan n-uri xarisxis fesvis formula

+ 2kn

+ 2kn+ isin )radicz = radicR(cos სადაც (k = 0 1 (n ndash 1))

თუ z = R(cos + isin ) მაშინ

1 იპოვეთ გამოსახულების ყველა მნიშვნელობა ა) radic1 ბ) radic16 გ) radic814 4 4

284

7 E = ImiddotZ ფორმულა ელექტრო-საინჟინრო მოწყობილობების მუშაობაში გამოიყენებასადაც E ძაბვას I სიმძლავრეს Z კომპლექსურ კავშირს გამოსახავს თითოეულიცვლადის მნიშვნელობა კომპლექსური რიცხვია მონაცემების მიხედვით იპოვეთცვლადი

დაწერეთ მოთხოვნილი ხარისხის ფესვები

გაამარტივეთ დაწერეთ შედეგი a + bi სახით

დაწერეთ კომპლექსური რიცხვები ტრიგონომეტრიული სახით

კომპლექსური რიცხვები გამოსახეთ გრაფიკულად და დაწერეთ ალგებრული სახით


ა) ndash4radic2(1 ndash i) ბ) 64 i გ) ndash27 დ) 1000

ა) 1 ბ) i გ) 128(ndash1 + i) i

1) კუბური ფესვები

იპოვეთ კომპლექსური რიცხვების კვადრატული ფესვები

2) მე-4 ხარისხის ფესვები

3

2

1

4

5

6

(5 6i) + (3 + 2i) (4 i) (9 + i)(2 + 5i)(4 i)

12

52

(1 2i)(8 3i)

1 + 4i3 + 2i

3 + 2i1 4i

2i5i

3i6i

2 2i2 + 2i

1 + 3i1 3i

3(cos 120 + i sin 120)5(cos 135 + i sin 135)

(cos 300 + i sin 300) (cos 225 + i sin 225)

7(cos 0 + i sin 0)

8(cos + i sin )2

32

14

2

I = 10 + 2i I = 2 + 4iE = 5 + 5i

E = 15 + 12iZ = 25 + 24i

E = 12 + 24iZ = 12 + 20iZ = 4 + 3i

წარმოსახვითი ღერძიწარმოსახვითი ღერძიწარმოსახვითი ღერძინამდვილი

ღერძინამდვილიღერძინამდვილი

ღერძი2

2

z = 2 + 2i z = 4i

2

4

2 6z = 2

34


12

4

12


34

3

34

cos 40deg + isin 40degcos 10deg + isin 10deg2(cos 120deg + isin 120deg)

4(cos 40deg + isin 40deg)


es sainteresoa ჟურნალ ldquoThe Literary Digestrdquo- მა ამერიკის პრეზიდენტისარჩევნების შედეგების წინასწარ პროგნოზირებაში დიდი ავტორიტეტიმოიხვეჭა მათ ბოლო ხუთი პრეზიდენტის არჩევნების შედეგების მცირეცდომილებით არჩევნების წინ პროგნოზირება შეძლეს თუმცა 1936 წელსრესპუბლიკელების კანდიდატის ალფ ლანდონის დემოკრატების კანდიდატფრანკლინ დ რუზველტთან დიდი სხვაობით გამარჯვების პროგნოზირებაშიდიდი შეცდომა დაუშვეს მიზეზი კი ჟურნალის ჩატარებულ გამოკითხვაშირესპოდენტების არასწორი შერჩევა იყო გამოკითხვა ჟურნალის მკითხველებსშორის იყო ჩატარებული შემდგომში ცნობილი გახდა რომ მკითხველებს შორისრესპუბლიკელთა პარტიის წევრები უმრავლესობას შეადგენენ

informaciebi da prognozebi11erToblioba da SerCevaSemTxveviTi SerCeva da saxeebiinformaciis wardgenabinomialuri danaSalibernulis cdebi

286


სტატისტიკისა და ალბათობის შესახებ ძირითადი ცნებები თანამედროვე სამყაროშიმიმდინარე პროცესების უფრო უკეთესად აღქმაში გვეხმარება ორივე სფეროშიგამოკვლევა ობიექტის მომცველ ერთობლიობასა და ერთობლიობაში შემავალიშერჩეული ნიმუშს ან მოკლედ შერჩევად წოდებულ წვრილ ჯგუფებს ეფუძნებასტატისტიკაში შერჩეულ ნიმუშზე ჩატარებული გამოკვლევის მიხედვით გამოითქმებამოსაზრება ერთობლიობის შესახებ

ერთობლიობა შერჩეული ნიმუში(შერჩევა)

სტატისტიკა

ნიმუში

სტატისტიკური გამოკითხვების ჩატარებისას ნიმუშები როგორც წესი შემთხვევითიშერჩევის წესით ფორმირდება ამ შემთხვევაში ერთობლიობაში შემავალი თითოეულინიმუშის შერჩევის შანსი ტოლია შემთხვევითი შერჩევის ტექნიკაც სხვადასხვაა

bull მარტივი შემთხვევითი შერჩევაbull სისტემატიზირებული შემთხვევითი შერჩევა

bull კლასტერული შემთხვევითი შერჩევაbull ფენოვანი შემთხვევითი შერჩევა

sistematizirebuli SerCevisas თუ k-იანი შერჩევა არის გათვალისწი-

ნებული ერთობლიობიდან ყოველი მე- [ ] ელემენტი გამოიყენება 100k

martivi SemTxveviTi SerCevis დროს n ელემენტიანი შერჩევისას თითო-ეული ელემენტის შერჩევის შანსი ერთი და იგივეა

sistematizirebuli SerCeva დავუშვათ მსხვილი სავაჭრო ცენტრის ხელმძღვა-ნელობას სურს მოიპოვოს ინფორმაცია იმის შესახებ თუ დაახლოებით რამდენ ხანს რჩებასავაჭროდ შემოსული მყიდველი სავაჭრო ცენტრში გარკვეული იქნა რომ დღისგანმავლობაში ცენტრში შემოდის დაახლოებით 2000 მყიდველი და მათი 5 (100 კაცი)ნიმუშად შერჩევის შესახებ მიღებული იქნა გადაწყვეტილება ამ პიროვნებების როგორიშერჩევა იქნება უფრო სამართლიანი ამ პიროვნებების შერჩევა დღის განმავლობაშიცენტრში მოსულების ყოველი 20 პიროვნებიდან ერთის მოსაზრების გამოკითხვითშეიძლება ჩატარდეს მაგალითად პირველი 20 მყიდველიდან მე-16 პიროვნებისგამოკითხვა შემდეგ 36-ე 56-ე და აშ პიროვნებები გამოიკითხება ამნაირ შერჩევასსისტემატიზირებული შერჩევა ეწოდება

martivi SemTxveviTi SerCeva დავუშვათ რომ კლასში 3-მოსწავლიანი ჯგუფისშექმნაა საჭირო ამისათვის ყველა მოსწავლის სახელდაწერებული ბარათები ჩაიყრებაყუთში და შემთხვევით სამი მათგანის სახელი ამოდის ამ შემთხვევაში ყველა სამეულისჯგუფების შერჩევის შანსები ტოლია

fenovani SerCeva დავუშვათ რომ სკოლაში მაღალი კლასის მოსწავლეებს შორისიგეგმება გამოკითხვა ldquoგაკვეთილების შემდეგ სკოლის ბიბლიოთეკაში დარჩენისა დამხატვრული ლიტერატურის წაკითხვის სურვილი გექნებოდათrdquo ამ კითხვით სკოლისეზოში შემთხვევით შერჩეული მოსწავლეებს შორის გამოკითხვის ჩატარება არ არისმიზანშეწონილი ამ დროს ეს მოსწავლეები შეიძლება ერთი და იგივე კლასელები იყვნენდა აშ გამოკითხვა თითოეული ასაკობრივი ჯგუფიდან შემთხვევით შერჩეულ მოს-წავლეებს შორის უნდა ჩატარდეს ამნაირი შემთხვევით შერჩევას ფენოვანი (ჯგუფური)შერჩევა ეწოდება თუ სკოლის ამ კლასებში 1265 მოსწავლეა მათ შორის 385 მე-8კლასელია 350 მოსწავლე მე-9 280 მოსწავლე მე-10 250 მოსწავლე მე-11 კლასელი და 10შემთხვევით შერჩეული მოსწავლის მოსაზრება შეისწავლება თითოეული კლასიდანშემთხვევითი შერჩევით 10-ის მოსაზრება უნდა იქნას შესწავლილი ამიტომ მიზან-შეწონილია 39 მე-8 35 მე-9 28 მე-10 და 25 მე-11 კლასის მოსწავლე შერჩეული იქნასშემთხვევითი შერჩევის წესით

ზოგჯერ გამოკვლევისათვის შეუძლებელია შემთხვევითი შერჩევა მოხდენა მაგალითადდიეტოლოგმა რაიმე დეტალისათვის მენიუ შემთხვევით არ უნდა შეარჩიოს ისინი შერ-ჩევას ახდენენ ნებაყოფლობით მსურველთა შორის

ფენოვანი შერჩევისას ჯერ ერთობლიობა იყოფა ფენებად შემდეგ თითოეულიფენიდან ხდება შემთხვევითი შერჩევა

swori SerCeva da mcdari SerCeva

გამოკითხვის მწარმოებელ ორგანიზაციებს არ გააჩნიათ არც ფინანსური და არც ტექნიკურიშესაძლებლობები იმისა რომ გამოსაკვლევ თემასთან დაკავშირებით ყველა ამ თემასთანდაკავშირებული პიროვნების მოსაზრება შეისწავლოს ამიტომ ისინი მცირე ჯგუფებისმოსაზრებების შესწავლით კმაყოფილდებიან ჩატარებულ გამოკითხვაში ამ ჯგუფებისსწორად განსაზღვრის მნიშვნელობა დიდია მაგალითად სპორტულ კომპლექსში მოსულიპიროვნებების მიხედვით იმის განსაზღვრა თუ მთელი ქალაქის მოსახლეობა კვირაშირამდენჯერ არის დაკავებული სპორტით შეუძლებელია ან კიდევ რომელიმე პიროვნებისპარლამენტში დეპუტატად არჩევის შესახებ მის სამუშაო კოლექტივში ან საცხოვრებელტერიტორიაზე გამოკვლევის ჩატარებით მცდარ პროგნოზს მივიღებთ

287


კლასტერული შერჩევისას ერთობლიობა შედგება კლასტერებისაგან კლასტერებიდანხდება შემთხვევითი შერჩევა და შერჩეული კლასტერის ყველა ელემენტი გამოკვლევა

klasteruli SerCeva დეტალების 1000 ყუთიდან თითოეულში 15 დეტალიასაჭიროა ინფორმაციის მიწოდება მათი ხარისხიანობის შესახებ მიღებულ იქნაგადაწყვეტილება რომ ამ მიზნით შემოწმდეს 300 დეტალი (5) ყველა ყუთის გახსნა ამდეტალების არევა და შემთხვევითი 300 დეტალის შერჩევა დიდ დროსა და დანახარჯსმოითხოვს შეიძლება 1000 ყუთიდან შემთხვევითი შერჩევით შეირჩეს 20 ამ ყუთებშიარსებული დეტალები შემოწმდეს და გამოითქვას მოსაზრება ყველა დეტალის შესახებ აქთითოეული ყუთი ერთი კლასტერია ასეთი სახის შერჩევას კლასტერული შერჩევაეწოდება თითოეულ კლასტერში შემავალი ყველა ელემენტი უნდა შემოწმდეს

288


ქვემოთ მოცემულებიდან რომელია სწორი შერჩევა

ა) კლასში მორიგის შერჩევისათვის მოსწავლეების სახელები ქაღალდზე დაიწერაყუთში ჩაიყარა და ხუთი სახელი ყუთიდან ამოღებულ იქნა

ბ) მე-10ა კლასის მოსწავლეების მშობლებს შორის ჩატარებული გამოკითხვის მიხედვითშეირჩა სკოლის ფორმის ფერი და მოდელი

გ) ქალაქის სატელეფონო ნომრების წიგნაკში ყოველი თხუთმეტიდან ერთისათვისდარეკვით შესწავლილ იქნა რომელი კანდიდატისათვის იქნება ხმა მიცემული

2

3 სწორი და არასწორი შერჩევის სიტუაციების შესახებ ერთი ნიმუშიც თქვენ დაწერეთ

მოცემულ ინფორმაციებში განსაზღვრეთ ერთობლიობა და შერჩევა

ა) იმის შესახებ თუ ქალაქის მერის თანამდებობაზე არჩევნებში 3 კანდიდატიდანრომელს აირჩევენ შესწავლილი იქნა 2000 პირის მოსაზრება

ბ) 300 კგ თეთრი ფქვილისა და 50 კგ შავი ფქვილის არევის შემდეგ პურს აცხობენ 1 კგფქვილისაგან 3 პური ცხვება 70 პურიდან ნიმუშია აღებული

გ) ფერმერმა 4 აუზში მოთავსებული ქორჭილა თევზის მასის მატების შემოწმებისათვისთითოეული აუზიდან 30 თევზის მასა შეამოწმა

დ) გამყიდველმა მაღაზიაში შემოსული ყოველი 10 მყიდველიდან ერთზე გათვლით 40მყიდველს ახალი ყველის გემოს გასინჯვა შესთავაზა

ე) ექიმი დიეტოლოგი 70 წელზე მეტი ასაკის 12 ქალბატონის ნებაყოფლობით ორიკვირის განმავლობაში ყოველ დილით მის კლინიკაში მოსვლასა და ბოჭკოებითმდიდარი ბუტერბროდების მირთმევას სთხოვს

1

განსაზღვრეთ თითოეულ სიტუაციაში რომელი შემთხვევითი შერჩევის ტექნიკა იქნაგამოყენებული

ა) საჰაერო საგზაო კომპანიამ თვითმფრინავში ამოსული ყოველი 5 მგზავრიდან ერთსსაჩუქარი გადასცა

ბ) სკოლაში შემთხვევით შერჩეული 5 სხვადასხვა კლასიდან შემთხვევით შერჩეული20 მოსწავლე სკოლაში მათემატიკის სწავლების დონის შემოწმებისათვის შეირჩა

გ) ავიაკომპანიამ მომსახურების დონის შემოწმებისათვის შემთხვევით შერჩეული 5რეისის მგზავრების მოსაზრება შეისწავლა

დ) გამოკვლევის დროს შემთხვევით შერჩეული 5 მამაკაცისა და 5 ქალის გადა-წყვეტილება გამოიკითხა

ე) დიეტოლოგებმა აცნობეს რომ 30-40 40-50 50-60 წლოვანთა თითოეული ჯგუფიდანარანაკლებ 15 პიროვნებაზე დაკვირვების წარმოების შემდეგ იქნება შესაძლებელიდაბალგლუკოზიანი შემადგენლობის ახალი დიეტების შესახებ მოსაზრების გამოთქმა

4

289


სკოლის ხელმძღვანელობა მოსწავლეების მეთემა-ტიკასა და საბუნებისმეტყველო საგნების ნიშნებსშორის კავშირის გამოკვლევას გეგმავს სკოლის 800მოსწავლიდან 350-მა მონაწილეობა მიიღო როგორცმათემატიკის ისე საბუნებისმეტყველო საგნებშიჩატარებულ შეფასებებში მათგან შემთხვევითიშერჩევით 70 პირის სპეციალურ შეფასებაზე მოწვევაიგეგმება

ა) ცხრილში მოცემული ინფორმაციის მიხედვით განსაზღვრეთ შემთხვევითი შერჩევითრომელი კლასიდან რამდენი მოსწავლის შერჩევა არის მიზანშეწონილი

ბ) რომელი შერჩევის ტექნიკა არის აქ გამოყენებულია

ჯგუფების შექმნისათვის 1-დან 5-მდე ციფრებდაწერილი ბარათები ერთი პიროვნე-ბის მიერ სპორტსმენებზე იქნა გადაცემული ერთი და იგივე ციფრების მიმღებისპორტსმენები ერთ ჯგუფში გაერთიანდნენ ეს შერჩევა შემთხვევითი შერჩევააშერჩევის სამართლიანობაში დარწმუნება შეიძლება უფრო გამჭვირვალე რომყოფილიყო თქვენ როგორ მოახდენდით შერჩევის ორგანიზებას

კომპანია ldquoMicro Tikrdquo ყოველთვიურად 14500 კომპიუტერის პროცესორს ამზადებს ამთვეში წარმოებული პროცესორებიდან შემთხვევით შერჩეული 2000 ცალიდან 8-შიწუნი გამოვლინდა ა) განსაზღვრეთ ამ შემთხვევაში ერთობლიობისა და შერჩევის საზომიბ) მოცემული ინფორმაციის თანახმად ამ თვეში წარმოებული პროცესორებიდანრამდენზე შეიძლება ითქვას რომ იყო წუნიანი

იმისათვის რომ ჩატარებულიყო გამოკითხვა თემაზე ldquoსაიდან იღებთ ახალ ამბებსrdquoშემთხვევითი შერჩევით რესპუბლიკის 5 რაიონი თითოეული რაიონიდან 5 სოფელიდა თითოეული სოფლიდან 20 ოჯახი შეირჩა განსაზღვრეთ ერთობლიობა და შერჩევარომელი შერჩევის ტექნიკას მიეკუთვნება ეს

კლასები მოსწავლეებისრაოდენობა



x70

90350 =

miTiTeba თითოეული კლასიდან შერჩევის რაოდენობა საერთო რაოდენობის პრო-

პორციული უნდა იყოს მე-8 კლასის წარმომადგენელთა რაოდენობა

6

7

8

9

5 სახლების გაყიდვების მენეჯერი ერთ ქუჩაზე 10 სახლის ახალი ფასდაკლების კამპანიისშესახებ ინფორმაციის გავრცელებას გეგმავს ქუჩაზე 100 სახლია მენეჯერმა ჯერ 1 და10 ნომერი სახლები აღნიშნა და ერთ-ერთ მათგანში დარეკა მაგალითად მე-8 შემდეგყოველ მე-10 სახლში დარეკა ანუ მე-18 28-ე და აშ

ა) შერჩევის რომელ ტექნიკას მიეკუთვნება მენეჯერის ამგვარი შერჩევა

ბ) ყველა სახლის შერჩევის შანსი ერთნაირია

გ) რით განსხვავდება ეს ტექნიკა მარტივი შერჩევის ტექნიკისაგან

290


სტატისტიკური ინფორმაციები რაოდენობრივი დახარისხობრივი ხასიათის მიხედვით ორ ჯგუფადიყოფა რაოდენობრივი ტიპის ინფორმაციები რიცხ-ვითი მნიშვნელობებით გამოისახება მაგალითადldquoრამდენი საათია სპორტით დაკავებულიrdquo ldquoრისიტოლია სიმაღლეებიrdquo და სხვა ხარისხობრივიტიპის ინფორმაციები კი კატეგორიებად იყოფა ამინფორმაციებს კატეგორიალური ინფორმაციებიც ეწოდება მაგალითად ldquoპარტიებისდასახელებაrdquo ldquoთვალების ფერიrdquo ldquoავტომობილის მარკაrdquo და აშ

ინფორმაციების წარმოდგენისათვის მნიშვნელოვანია შესაბამისი გრაფიკული ფორმისშერჩევა ამიტომაც კატეგორიალური და რიცხვითი ინფორმაციების წარმოდგენისათვისშესაბამისი გრაფიკული ფორმის შერჩევა უნდა მოხდეს

ინფორმაცია

ხარისხობრივი(კატეგორიალური)

რაოდენობრივი

დისკრეტული უწყვეტი

რაოდენობრივი ტიპის ინფორმაციები - რიცხვითი ინფორმაციები თავის მხრივ იყოფაორ სახედ ა) დისკრეტული წყვეტილი რიცხვითი ინფორმაციები ბ) უწყვეტი რიცხ-ვითი ინფორმაციებიდისკრეტული რიცხვითი ინფორმაციების დათვლით განსაზღვრული ინფორმაციებიმიეკუთვნება მაგალითად ავტობუსში მგზავრების რაოდენობა 1 2 3 და აშ მნიშ-ვნელობას იძენს

უწყვეტი რიცხვითი ინფორმაციები განსაზღვრულ დიაპაზონში ცვლად მნიშვნელობებსიძენენ როგორც წესი გაზომვის შედეგად წარმოიქმნებიან მაგალითად ახალშობილთასიმაღლე მასა და სხვა

kategorialuri informaciisaTvis mizanSewonili wardgenis formebi

nimuSi 1 200 მოსწავლეს შორის ჩატარდა გამოკითხვა იმის შესახებ თუ სპორტისრომელი სახეობა უფრო მეტად უყვართ ვინაიდან გამოკვლევა ეხება სპორტის სახეებსინფორმაცია კატეგორიალურია სკოლაში არსებობს ცნობილ სახელიანი სპორტულისექციები კატეგორიალური ინფორმაციის წარდგენისათვის ხელსაყრელი ფორმა შეიძ-ლება იყოს სიხშირის ცხრილი ბარგრაფი წრიული გრაფიკი

სპორტის სახეობა სიხშირე

ჭიდაობა 57კრივი 43

ფეხბურთი 41კალათბურთი 21

კარატე 38ჯამი 200ჭიდ

ჭიდაობა

ჭიდაობაკრივი კრივი

ფეხბურთიფეხბურთი



კარატე

კარატე

კრივი ფეხბ კალათბ კარატე

wriuli diagramasegmenturi bargrafi

bargrafi

sixSiris cxrili

raodenoba

განისაზღვრება თითოეულკატეგორიაში მყოფი საერ-თოს (ერთეულად მიჩნე-ულის) რა ნაწილს შეად-გენს ერთეული ამ ნაწი-ლებად-სეგმენტებად იყოფა

605040302010

0

291


1) დაწერეთ კატეგორიალურად მიჩნეული ინფორმაციის შესაბამისი სამი კატეგორიისსახელი2) ივარაუდეთ და დაწერეთ რიცხვითი ინფორმაციები რომელ ინტერვალში შეიძლებაიყოსა) გაყიდული ავტომობილების რაოდენობა ფერების მიხედვითბ) დღის განმავლობაში მზიანი საათების რაოდენობაგ) ავადმყოფობის გამო გაცდენილი სასწავლო დღეების რაოდენობად) საშინაო დავალების შესრულებაზე დახარჯული დრო (საათობით)ე) ერთი ადამიანის მიერ დღის განმავლობაში მიღებული სითხის რაოდენობა

24 ადამიანს შორის ჩატარდა გამოკითხვა შეკითხვით ldquoრომელი ფერი უფრო მეტადმოგწონთrdquo 6-მა წითელი 8-მ შავი 4-მა თეთრი დანარჩენებმა სხვა ფერები დაასახელესმოცემული ინფორმაცია რიცხვითი ინფორმაციაა თუ კატეგორიალური წარმოადგინეთინფორმაცია სიხშირის ცხრილში (ფარდობითი სიხშირის ჩვენებით) წრიულიდიაგრამით და ბარგრაფით

საგანგებო შემთხვევათა სამი-ნისტრომ გამოაქვეყნა ინფორ-მაცია იმის შესახებ თუ ერთიწლის განმავლობაში რომელიმიზეზების გამო მოხდა ხან-ძარი ინფორმაციები მარჯვნივცხრილშია ასახული ცხრილისმიხედვით ააგეთ წრიული დი-აგრამა და სეგმენტიანი ბარ-გრაფიწარმოადგინეთ რომ თქვენ სკოლაში მოსწავლეებსშორის ატარებთ გამოკითხვას შემდეგი კითხვითldquoკომპანიის ლოგოსათვის მოცემული ფორმებიდანრომელს შეარჩევდითrdquo

ა) რომელი ხერხით ჩაატარებდით გამოკითხვას დაწერეთ

ბ) ერთობლიობად რომელ კლასებს შეარჩევდით

გ) ერთობლიობიდან შერჩევას რომელი ხერხით განახორციელებდით

დ) წინასწარ ივარაუდეთ რომელი ფორმის ლოგოს შერჩევა მოხდება ემთხვევა თუ არაგამოკითხვის შედეგები თქვენს ვარაუდს

ე) ინფორმაციის რომელი გრაფიკული ფორმით წარდგენა არის ხელსაყრელი პირობაინფორმაციებით გამოსახეთ და წარმოადგინეთ

უმეთვლაყურეო მცირეწლოვანი ბავშვები 6მიზეზი რაოდენობა

რომელი ინფორმაციები არის დისკრეტული და რომელი უწყვეტი რიცხვითი ინ-ფორმაციებია) ტემპერატურის ცვლილება ივლისის თვეშიბ) ასანთის კოლოფში ასანთის ჩხირების რაოდენობაგ) მგზავრების მიერ თვითმფრინავის სალონში ატანილი ტვირთის მასად) მატარებლის ვაგონებში მგზავრების რაოდენობაე) ქუჩაში მდგომი შენობების სართულების რაოდენობავ) კომპიუტერთან გატარებული დრო

სიგარეტი 4გაზქურა 10

ელექტროობა 12გაურკვეველი მიზეზები 8

1

2

3

4

5


52 66 75 80 52 48 95 85 84 68 86 82 63 78 75 64 79 81 66 53 76 75 69 65

nimuSi 3 ქვემოთ მოცემულია აზერბაიჯანული ენის საგნის შეფასებაში მოსწავლეებისმოპოვებული ქულები (100 ქულიანი სისტემის მიხედვით)

nimuSi 2 50 ახალგაზრდა ოჯახში ჩატარდა გამოკითხვა იმის შესახებ თუ რამდენიბავშვი ჰყავდათ პასუხები ქვემოთ მოცემულის მსგავსი იყო

ზემოთ აღნიშნული რიცხვები უჩვენებს თითოეულ ოჯახში ბავშვების რაოდენობასგამოკითხვის შედეგები ქვემოთ მოცემული სახით სიხშირეთა ცხრილითა და ბარგრაფითშეიძლება იქნას წარმოდგენილი

0 1 2 1 0 3 1 4 2 0 1 2 1 0 5 1 2 1 0 0 1 2 1 2 10 1 4 1 0 1 2 5 0 4 1 2 3 0 0 1 2 1 3 4 2 3 2 1 0

dajgufebuli diskretuli ricxviTi informaciebi histograma

diskretuli ricxviTi informaciebi შეზღუდული რაოდენობის დისკრე-ტული რიცხვითი ინფორმაციების წარდგენისათვის მიზანშეწონილია ისეთი წარდგენისფორმების გამოყენება როგორიცაა სიხშირის ცხრილი ბარგრაფი ჰისტოგრამა დახისებრ-განტოტვითი

ricxviTi informaciis wardgenis mizanSewonili formebi

რიცხვითი ინფორმაციის ცვლილების დიაპაზონია 48-95 ინფორმაცია თითოეული კლასისზომის 10-ად მიჩნევით 6 კლასად დაჯგუფება შეიძლება 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 ინფორმაციის შესაბამისად სიხშირის ცხრილი და ჰისტოგრამა ქვემოთმოცემული სახის იქნება0

ბავშვე-ბის

რაოდე-ნობა

ოჯახებისრაოდენობა(ჩხირებით)

სიხშირე(ოჯახების

რაოდე-ნობა)

ფარდობითისიხშირე

0 |||| |||| || 12 12 50 = 0241 |||| |||| |||| || 17 17 50 = 0342 |||| |||| | 11 11 50 = 0223 |||| 4 4 50 = 0084 ||| 4 4 50 = 0085 || 2 2 50 = 004 00

5

10

15

20

1 2 3 4 5

ოჯ

ახებ

ის რ

აოდ

ენო

ბა

ბავშვების რაოდენობა

292

ქულები

სიხშ

ირე

azerbaijanuli enis Sefasebaazerbaijanuli enis Sefaseba

76543210 40 50 60 70 80 90 100

კლასები ჩხირი სიხშირე[40 50)[50 60)[60 70)[70 80)[80 90)[90 100)

137661

293


მაღაზიის მენეჯერმა იმის გასარკვევად თუ კვერცხის ყუთებიდან რამდენი დაზიანდადაფასოებისა და მიმოტანის დროს 5 დღის განმავლობაში მაღაზიაში მიღებულიყოველი 1000 ყუთიდან ყოველი 50-ე ყუთი შეამოწმაა) ინფორმაციის მიხედვით განსაზღვრეთ ერთობლიობა და შერჩევაბ) რომელ სახეს მიეკუთვნება მენეჯერის შერჩევის ტექნიკაგ) თუ შემოწმების შედეგად სულ მცირე 5 და მაქსიმუმ 20 ყუთის დაზიანება გა-მოვლინდება მთლიანობაში სავარაუდოდ რამდენი ყუთი კვერცხის დაზიანებაზეფიქრი იქნებოდა მართებულიდ) ამ ინფორმაციის წარდგენისათვის შეარჩიეთ ორი გრაფიკული ფორმა და წარად-გინეთ

კომპიუტერულ თამაშში იუსიფმა ქვემოთ ნაჩვენები ქულები მოაგროვა დააჯგუფეთინფორმაცია კლასებად და ჰისტოგრამით წარმოადგინეთ

ცხრილში მოცემულია ინფორმაცია თანამშრომელთა სამუშაოზე გამოუცხადებელიდღეების რაოდენობის შესახებ ამ ინფორმაციის შესაბამისად ააგეთ ჰისტოგრამა

580 490 520 650 540 600 630 590 390 410 670 480 400 440 560 540430 670 490 720 580 680 590 370 470 540 490 660 500 600 390 540300 350 600 540 510 410 480 560 330 490 540 540 580 540 270 450

1-ზე მეტი 3-ზე ნაკლები (1 - lt 3) 243-ზე მეტი 6-ზე ნაკლები (3 - lt 6) 166-ზე მეტი 9-ზე ნაკლები (6 - lt 9) 129-ზე მეტი 12-ზე ნაკლები (9 - lt 12) 612-ზე მეტი 15-ზე ნაკლები (12 - lt 15) 2ჯამი 60

ქალაქში ქალებს შორის ჩატარდა გამოკითხვა bdquoკვირის განმავლობაში რამდენჯერმიდიხართ სპორტულ დარბაზშიldquo შედეგი ბარგრაფშია მოცემულია) ეს ინფორმაცია უწყვეტი რიცხვითი ინფორმაციაა თუ დისკრეტულიბ) ამ შემთხვევაში განსაზღვრეთ ერთობლიობა და შერჩევა ბარგრაფის მიხედვითიპოვეთ შერჩევის ზომაგ) თუ გამოკითხვაში მონაწილეობდა 92 პირი მათი რამდენი პროცენტი მიდიოდაკვირაში სულ მცირე 2-ჯერ სპორტულ დარბაზშიდ) თუ ქალებს შორის ერთი პიროვნება შეირჩევა რისი ტოლია ალბათობა იმისა რომიგი კვირაში სპორტულ დარბაზში ერთზე მეტჯერ წამსვლელებიდან იქნება

დღეების რაოდენობა

ქალ

ების

რაო

დენ

ობა

6

7

8

9

20

15

10

5

00 1 2 3 4 5

294


xisebr-gantotviTi sqema ამ ფორმის გამოყენება ხელსაყრელია როცა ინფორმაციამცირე მოცულობისაა რიცხვითი ინფორმაციის ხისებრ-განტოტვითი სქემით წარდგენამცირე დროს მოითხოვს და ინფორმაციის განაწილების ფორმის აშკარად დანახვისშესაძლებლობას იძლევა განაწილების ფორმა გარკვეული სტატისტიკური მაჩვენებლების(მოდა მედიანა არითმეტიკული საშუალო უდიდესი სხვაობა და სხვა) ადვილად მოძებნისსაშუალებას იძლევა

ხისებრ-განტოტვითი სქემა ქვემოთ მოცემული ნაბიჯებით აიგება

32 67 81 92 87 72 63 88 96 91 72 63 85 79 7085 64 86 98 100 77 88 81 64 41 78 95 74 97 66

3 24 15 6 3 3 4 4 6 7 7 0 2 2 4 7 8 9 8 1 1 5 5 6 7 8 8 9 1 2 5 6 7 8 10 0

nimuSi 4 ქვემოთ მოცემული ინფორმაცია ასახავს მოსწავლეების შეფასების შედეგებს

1 ხე (ტანი) და ტოტი ერთმანეთისაგან ვერტიკალური და ჰორიზონტალური წრფითგამოიყოფა2 რიცხვითი ინფორმაციის ძირითადი ნაწილი - მაღალ თანრიგში (ან თანრიგებში)ციფრებით ნაჩვენები ინფორმაცია მიიღება როგორც ხე (ტანი) ამ ნიმუშში ხე ათეულებისრაოდენობის მაჩვენებელი რიცხვებია 3 4 5 6 7 8 9 და 10 ტანს შეადგენს და მისთვისგანკუთვნილ ნაწილში იწერება3 მორიგი ციფრი ldquoფოთლებსrdquo შეადგენს ეს რიცხვის ერთეულების თანრიგში მოცემულიციფრებია თითოეული ციფრის გასწვრივ მისი ldquoფოთლებიrdquo მიმდევრობით იწერება

3

24

1

5

6

3 3

4 4

6 7

7

0

2 2

4 7

8 9

8

1

1 5

5 6

7 8

8

9

1 2

5 6

7 8

10

0

ხე ტოტი 3|2 = 32

ხისებრ-განტოტვითი სქემით კომპანიაში თა-ნამშრომელთა ასაკია ნაჩვენები

ა) ინფორმაციის მიხედვით იპოვეთ არით-მეტიკული საშუალო მოდა და მედიანა

ბ) წარმოადგინეთ ინფორმაცია სიხშირისცხრილით

37 33 33 32 29 2828 23 22 22 22 2121 21 20 20 19 1918 18 18 18 16 1514 14 14 12 12 9 6

2 1 3 5 8 83 1 2 2 3 3 5 94 3 5 75 0 2 2 6 1

ხე ტოტი

2 1 = 21 წელი

სატელევიზიო კონკურსის პირობების თანახმად დას-მულ კითხვაზე პირველი ერთი წუთის განმავლობაშიყველაზე ადრე პასუხის გამცემი მოსწავლე წამყვანთანპირისპირ ერთვება პაექრობაში მონაწილეთა კითხვებისპასუხის გაცემაზე დათმობილი დრო (წამობით) მარ-ჯვნივაა მოცემული წარმოადგინეთ ინფორმაცია ხე-ტოტი სქემით

10

11

295


კომპანიაში თანამშრომლებს ტელეფონით სასაუბროდ ეძლევათ უფლება არაუმეტეს 3წუთისა კომპანიაში ერთი დღის განმავლობაში აღნიშნული საუბრების ხანგრძლივობაქვემოთაა მოცემული

uwyveti ricxviTi informaciebis wardgenaუწყვეტი რიცხვითი ინფორმაციების წარდგენის ფორმები დაჯგუფებული დისკრეტულიინფორმაციების წარდგენის ფორმების მსგავსია ზოგჯერ უწყვეტი რიცხვითი ინფორ-მაციები დისკრეტულ რიცხვით ინფორმაციად (ან პირიქით) მიიღება მაშასადამე მათშორის ძნელია ზუსტი საზღვრის დადგენა

nimuSi 5 ჩატარებული გამოკვლევის შედეგად ცნობილი გახდა რომ სპორტულ კლუბშიდაკავებული ახალგაზრდების მასა 40 კგ-დან 90 კგ-მდე მერყეობს დაწვრილებითი ინფორ-მაცია ცხრილითა და ჰისტოგრამითაა მოცემული



მასის ინტერვალი

სიხშირის ცხრილი ავტომობილების გაჩერებაზე დარჩენის ხანგრძლივობას უჩვენებსცხრილის მიხედვით ააგეთ ჰისტოგრამა

24 02 30 28 15 19 07 10 25 1308 21 30 04 12 30 11 03 07 1803 10 21 30 29 05 14 30 28 1205 10 15 09 18 06 06 07 08 08

ჰისტოგრამა ასახავს ინფორმაციას გაყი-დული ავტომობილების რაოდენობისა დაფასების შესახებ ინფორმაციის მიხედვითააგეთ სიხშირის ცხრილი აღნიშნეთ კლა-სები 15 - lt 18 სახითგაყიდული ავტომობილების საერთო რაო-დენობის რამდენ პროცენტს შეადგენენავტომობილები რომელთა ფასი მეტია 18ათასზე და ნაკლებია 27 ათასზე

12

13

14

40 ndash lt 50 250 ndash lt 60 560 ndash lt 70 1170 ndash lt 80 780 ndash lt 90 1

სიხშირე12

40 50 60 70 80 90

1086420

6-25 26-45 66-8546-65 86-105 106-125 126-145

60 70 90 120 80 50 40

დგომის ხანგრძლი-ვობა (წუთი)


გასაყიდი ფასი (ათას მანეთობით)

ავტ

ომობ

ილებ

ის რ

აოდ

ენობ

ა

40

2023

17 1830

10

15

8 8 4 2

18 21 24 27 30 33 36

ა) წარმოადგინეთ ინფორმაცია ხისებრ-განტოტვითი სქემითბ) წარმოადგინეთ ინფორმაცია ოთხ კლასად შეერთებით სიხშირის ცხრილითა დაჰისტოგრამითგ) მთელი საუბრების რა ნაწილს შეადგენს ერთ წუთზე ნაკლებ ხანს გაგრძელებულისაუბრები

296


ა) რამდენი კილომეტრი გაიარა თითოეულმა პილოტმა

ბ) ცხრილში ნაჩვენებია შეჯიბრის გამარ-ჯვებულის მთლიან გზაზე დათმობილიდრო ასევე მე-2 და მე-3 ადგილებზე გასულიპილოტების მიერ ჩემპიონთან შედარებითრამდენი წამით მეტი დროა დახარჯულიგამოთვალეთ თითოეული პილოტის მიერშეჯიბრის გზაზე დახარჯული დრო დაცხრილი ხელახლა ჩაიხაზეთ რვეულში

გ) კალკულატორის დახმარებით გამოთვალეთ თითოეული პილოტის საშუალოსიჩქარე

დ) ბაქოში ფორმულა 1-ის შეჯიბრი მეორედ ჩატარდა 2017 წელს შეადგინეთ პირველისამი ადგილის დამკავებელი პილოტების შედეგების ამსახველი ცხრილი

ე) ააგეთ ბარგრაფი 2016 და 2017 წლების შედეგების შესაბამისად პილოტების მო-პოვებული ქულების მიხედვით

ვ) მოამზადეთ ბაქოში ჩატარებული გრან პრი ფორმულა 1-ის შესახებ ინფორმაციისსურათებით ამსახველი წარდგენა შეეცადეთ შეაგროვოთ უფრო მეტი ინფორმაციაგუნდების შეჯიბრის ავტომობილებისა და პილოტების შესახებ

პოზიცია პილოტი გუნდი პერიოდები დრო ქულა

1 6 ნიკო როსბერგი მერსედესი 51 13252366 25

2 5 სებასტიან ფეტელი ფერარი 51 +16696 წმ 18

3 11 სერხიო პერუსა ფორჯე ინდოეთი 51 +25241 წმ 15


ბაქოში 2016 წლის ივნისში ჩატარდაშეჯიბრი ევროპის გრან პრი ფორმულა1 შეჯიბრის ტრეკი (ერთი ბრუნის სიგ-რძე) დაახლოებით 6 კმ იყო და ქალაქისროგორც ძველ ისე თანამედროვე ნაწი-ლებზე გადიოდა ეს შეჯიბრი 5 წელიბაქოში ჩატარდება

15

ცხრილში ბაქოში ფორმულა-1 გრან პრის ევროპული შეჯიბრის პირველ სამ ადგილზეგასული სპორტსმენის შედეგებია მოცემული

297

binomialuri danaSaliბინომი ორწევრს ნიშნავს განვიხილოთ ბინომის სხვადასხვა ხარისხები ორი რიცხვისჯამის კვადრატისა და კუბის შლილებში განსაზღვრული კანონზომიერება არსებობს

(a + b)2 = 1a2+2ab+1b2

(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3

a და b ჯამის ხარისხების მიმდევრობის ბინომიალური შლილების მიმდევრობასავითგაგრძელება შეიძლება განვიხილოთ როგორი მიმდევრობით შეიქმნა ეს ვარიანტები

ბინომის ხარისხები ბინომიალური შლილები და წევრების კოეფიციენტები მოვათავსოთცხრილში

როგორც ხედავთ კოეფიციენტების წყობა საინტერესო მათემატიკური თვისებების მქონეპასკალის სამკუთხედს ქმნის

(a + b)4 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b) სახით ჩაწერა შეიძლება

ეს ნამრავლი თითოეული a და b ხუთი მამრავლის ყველა შესაძლო ნამრავლის ჯამისტოლია განვიხილოთ ეს ვარიანტები მიმდევრობით

bull თუ ავიღებთ b წევრის 0 მამრავლს და a წევრის 4 მამრავლს მიიღება a4 წევრი და ამნა-ირი 4C0 ანუ 1 შემთხვევაა შესაძლებელი და ამ წევრის კოეფიციენტი 1-ია

bull თუ ავიღებთ b წევრის 1 მამრავლსა და a წევრის 3 მამრავლს მიიღება a3b წევრი დაამნაირი 4C1 ანუ 4 შემთხვევაა შესაძლებელი და ამ წევრის კოეფიციენტი 4-ია

bull თუ ავიღებთ b წევრის 2 მამრავლსა და a წევრის ორ მამრავლს მიიღება a2b2 წევრი დაამნაირი 4C2 ანუ 6 შემთხვევაა შესაძლებელი და ამ წევრის კოეფიციენტი 6-ია

bull თუ ავიღებთ b წევრის 3 მამრავლსა და a წევრის 1 მამრავლს მიიღება ab3 წევრი დაამნაირი 4C3 ანუ 4 შემთხვევაა შესაძლებელი ამ წევრის კოეფიციენტი 4-ია

bull თუ ავიღებთ b წევრის 4 მამრავლსა და a წევრის 0 მამრავლს მიიღება b4 წევრი დაამნაირი 4C4 ანუ 1 შემთხვევაა შესაძლებელი და ამ წევრის კოეფიციენტი 1-ია

(a + b)0 1 (a + b)1 1a + 1b(a + b)2 1a2 + 2ab + 1b2

(a + b)3 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3

(a + b)4 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 4641 1

11 1

21 1331 1

ბინომი ბინომიალური გამოსახულების შლილი პასკალის სამკუთხედი

ასე რომ პირველი წევრის ხარისხის მაჩვენებელი ბინომის ხარისხის ტოლია ყოველმომდევნო წევრში a-ს მაჩვენებელი ერთი ერთეულით მცირდება მეორე წევრის b-სმაჩვენებელი ერთი ერთეულით იზრდება პირველი და ბოლო წევრის კოეფიციენტი 1-ია

(a + b)0 1 (a + b)1 1C0a + 1C1b(a + b)2 2C0a2 + 2C1ab + 2C2b2

(a + b)3 3C0a3 + 3C1a2y + 3C2ab2 + 3C3b3

(a + b)4 4C0a4 + 4C1a3b + 4C2a2b2 + 4C3ab3 + 4C4b4

(a + b)5 5C0a5 + 5C1a4b + 5C2a3b2 + 5C3a2b3 + 5C4ab4 + 5C5b5

298


შევამოწმოთ რომ 5C2 ნამდვილად პასკალის სამკუთხედის მე-5 სტრიქონის შესაბამისიელემენტია

5C2 = = = = 105P2

25

325 4 3 23 2 2

1 0C0

1 1 1C0 1C1

1 2 1 2C0 2C1 2C2

1 3 3 1 3C0 3C1 3C2 3C3

1 4 6 4 1 4C0 4C1 4C2 4C3 4C4

1 5 10 10 5 1 5C0 5C1 5C2 5C3 5C4 5C5

paskalis samkuTxedi paskalis samkuTxedi kombinizonebiT

paskalis samkuTxedi პასკალის სამკუთხედი მისი შემოქმედისXVI საუკუნეში მცხოვრები დიდი ფრანგი მათემატიკოსის ფიზი-კოსისა და ფილოსოფოსის ბლეზ პასკალის პატივსაცემად ეწოდაპასკალის სამკუთხედის წვეროს წერტილებში 1-იანი სწერიასამკუთხედის შემადგენელი ყველა სტრიქონი ერთით იწყება დაერთით მთავრდება ყოველ მომდევნო სტრიქონში თითოეულირიცხვი წინა სტრიქონში ორი მეზობელი რიცხვის ჯამის ტოლია

ყოველ მომდევნო სტრიქონში რიცხვების რაოდენობა მის წინამდებარეზე ერთით მეტია

11 1

21 1331 1

46411

1510105 1

n = 0n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5

ბინომის შლილში წევრების კოეფიციენტები მიმდევრობით პასკალის სამკუთხედისშესაბამის სტრიქონში არსებული რიცხვებია მარცხნიდან მარჯვნივ 1-ლი წევრის ხარისხი (a-ს) ბინომის ხარისხის ტოლია ყოველ მომდევნო წევრში ერთი ერთეულით მცირდება მეორეწევრის (b-ს) ხარისხი კი იზრდება

4641 1

11 1

21 1331 1

ბინომისხარისხი შლილი პასკალის

სამკუთხედი

1 5 10 10 5 1

11 1

1 121 133

1 1464

1 1510 105

299


11 1

5101056 15 20 15 6

1პასკალის სამკუთხედის მორიგი მე-6 სტრიქონი იქმნება ქვემოთ მოცემული სახით

ბინომიალური შლილისათვის შეგვიძლია დავწეროთ განზოგადებული ფორმულა

nimuSi (2p 1)6 ბინომის დანაშალში დაწერეთ მე-4 წევრიamoxsna სადაც a = 2p b = 1 n = 6T4 = T3+1 = 6C3a6 ndash 3b3 = 20 (2p)3(ndash1)3 = ndash160p3

6C0 6C1 6C2 6C3 6C4 6C5 6C6

bull n-ური ხარისხის ბინომიალური შლილში n + 1 ელემენტიაbull ბინომის ნებისმიერი წევრის Tk+1 = nCkan - kbk ფორმულით მოძებნა შეიძლებაbull ბინომის ნებისმიერი წევრის ხარისხის მაჩვენებლების ჯამი n-ის ტოლიაbull ბინომიალური კოეფიციენტების ჯამი 2n -ის ტოლია

nC0 + nC1 +nC1 + + nCn-1 + nCn = 2n

ბინომის ფორმულაში a = b = 1 პირობით შეამოწმეთ ბოლო ტოლობა

ნებისმიერი a b რიცხვებისა და n ge 0 რიცხვისათვის მართებულია ქვემოთ მოცემულიტოლობა(a + b)n = nC0anb0 + nC1an 1b1 +nC1an - 2b2 +

+ nCn-1 a1bn 1 + nCna0bn

ldquordquo sigma ნიშნის გამოყენებით ეს ფორმულა მოკლედ ქვემოთ მოცემული სახით

შეიძლება ჩაიწეროს

(a + b)n = nCkan-kbk

binomialuri Slili

k=0

n

(a + b)n ბინომის შლილში n + 1 წევრია ბინომის ნებისმიერი რიგით (k+1) წევრი Tk+1 = nCkan - kbk სახისაა (k = 0 1 2 n)

ბინომის ხარისხის შლილში შესაკრების კოეფიციენტი და ბინომიალური კოეფიციენტიერთმანეთისაგან განსხვავებულიაnimuSi (x + 2)5 = 5C0x5 + 5C1x42 + 5C2x322 + 5C3x223 + 5C4x24 + 5C525== x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x + 32ამ დანაშალში მაგალითად მესამე შესაკრების კოეფიციენტი არის 40 ხოლო მისიბინომიალური კოეფიციენტი კი 5C2 = 10-ია

300

ა) იპოვეთ პასკალის სამკუთხედის მოცემულთითოეულ სტრიქონში წევრების ჯამიბ) იპოვეთ პასკალის სამკუთხედის მე-9 სტრი-ქონში წევრების ჯამიგ) იპოვეთ პასკალის სამკუთხედის წევრებისჯამი n-ურ სტრიქონშიდ) ეს თვისება გამოიყენეთ ბინომიალური შლილის კოეფიციენტებში


პასკალის სამკუთხედის მოცემული სტრიქონები გამოსახეთ კომბინეზონებით

ილკარი ამბობს რომ პასკალის სამკუთხედის თითოეული სტრიქონი 11n სახით შეიძ-ლება გამოისახოს შეამოწმეთ ეს მოსაზრებაშეასრულეთ პასკალის სამკუთხედის მიხედვით

ა) 1 5 10 10 5 1 ბ) 1 7 21 35 35 21 7 1გ) 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

saswavlo davalebebi

რამდენი წევრია ბინომის ხარისხის შლილში

დაწერეთ შლილები

იპოვეთ ბინომის მოთხოვნილი წევრები

-ის დანაშალში იპოვეთ წევრი რომელიც x-ზე არ არის დამოკიდებული

(x + y)10 ბინომის დაშლის გარეშე შეასრულეთ დავალებები

დაწერეთ ბინომიალური შლილები (a + b)n n N სახით

დაწერეთ (x + y)3 და (x y)3 ბინომიალური შლილების მსგავსი და განსხვავებულინიშნები განაზოგადეთ თქვენი მოსაზრებები (x y)n ბინომიალური შლილისათვის

ა) 4C0z4 + 4C1z3t + 4C2z2t2 + 4C3zt3 + 4C4t4

ბ) 5C0m5 + 5C1m4y + 5C2m3y2 + 5C3m2y3 + 5C4my4 + 5C5y5

ა) დაწერეთ ბინომის შლილში წევრების რაოდენობაბ) დაწერეთ ბინომის შლილის მე-6 წევრიგ) 10Cr ბინომიალური კოეფიციენტის უდიდესი მნიშვნელობა ბინომის რომელ წევრსმიეკუთვნება

ა) (x + y)8-ის მე-5 წევრი ბ) (a 2b)6-ის მე-4 წევრიგ) (1 2z)12-ის მე-7 წევრი დ) (2x + y)5-ის შუა წევრიე) (u2 + 1)8-ის ბოლოდან მე-2 წევრი ვ) (x y)10 -ის ბოლო 3 წევრი

ა) (x 3y)5 ბ) (2z + 3z2)7 გ) (c + 6)q დ) (c + 6)k 2

ა) (x ndash 3)4 ბ) (x + 2)5 გ) (1 + 2c)6 დ) (1 i)5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1 21 3 3

1 4 6 41 5 10 10 5

11

11

1

(x + )81xბ)

ა) (x +2)n ბინომის დანაშალში ბინომიალური კოეფიციენტების ჯამი 16-ია იპოვეთმეორე წევრის კოეფიციენტი

301

მოთამაშის 4 თამაშიდან 3-ში მოგების შესაძლო ვარიანტების რაოდენობის კომბინეზონით

გამოთვლაც შეიძლება 4C3 = = 4 იქნება ვარიანტების ალბათობა ერთი და იგივეა და

-ის ტოლია ამ ხდომილობის ალბათობა შეიძლება ქვემოთ მოცემულივით

გამოითვალოს

ბერნულის სქემაში გარკვევისათვის განვიხილოთ ქვემოთ მოცემული ამოცანა

თამაშში მოგების ალბათობა (მწვანე ბურთულის ამოსვლის) წაგების

(წითელი ბურთულის ამოსვლის) ალბათობა 1 = იქნება 4 თამაშში

მოგებისა და წაგების რაოდენობის ცვლილების მიხედვით გამოვთვალოთ ალბათობები

1) P (4 თამაშიდან ყველაში მოგების ალბათობა) =

2) P (4 თამაშიდან ყველაში წაგების ალბათობა) = 1

256

(mmmw) P (მე-4-ის გარდა ყველაში მოგება) = =

(mmwm) P (მე-3-ის გარდა ყველაში მოგება) = =

(mwmm) P (მე-2-ის გარდა ყველაში მოგება) = =

(wmmm) P (1-ლის გარდა ყველაში მოგება) = =

bernulis cdebi

ჩვენ ვიპოვეთ გუნდის 4 3 2 1 0 თამაშში მოგების ალბათობებითუ ეს გამოთვლები სწორადარის წარმოებული მათი ჯამი 1-ის ტოლი უნდა იყოს

P(4 მოგება) + P(3 მოგება) + P(2 მოგება)+ P(1 მოგება)+ P(0 მოგება) = 1

შევამოწმოთ

ანალოგიური წესით გამოვიკვლიოთ სხვა სიტუაციებიც


P(mmww) = 4 თამაშიდან 2-ში მოგების შესაძლო ვარიანტების რაოდენობა იქნება 4C2 = = 6ანუ 6 შემთხვევიდან თითოეულში მოგების ალბათობა -ია

34

34

34

14

14

34

34

34

34

34

34

14

14

2764

108256

108256

9256

9256

=

14

14

14

14

14

1256

81256

81256

27256

2725627

25627

256

=

3) 4 თამაშიდან 3-ში მოგების ვარიანტები და თითოეულის ალბათობა

43

42middot2

P (4 თამაშიდან 3-ში მოგება) = 4C3 = 4∙ 3 1

34

14

3 1

34

14

2 2

34

14

3

34

14

2 2

34

34

34

14

34

34

34

14 34

34

34

14

34

34

34

14

=

916

54256

54256

3256

116 =

= =

=34

14

14

14 =

P (4 თამაშიდან 2-ში მოგება) = 4C2 =6

34

14

3 34

12256

12256

164 =P(4 თამაშიდან 1 მოგება) = 4C1 =4

P(mwww) =


+ + + + = 1

302

სადაც p წარმატებული ხდომილობის ალბათობაა და p = q წარუმატებელი ხდო-მილობის ალბათობაა და q =

ამასთან შესაძლებელია ბინომიალურ დანაშალთან კავშირის დანახვა(a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3 სადაც a = და b = ამ ხდომილობისათ-ვის ბერნულის ფორმულა P(m წითელი) = 3Cm m = 0123 შეამოწმეთფორმულა m-ის მნიშვნელობების ადგილებში შეტანით

bernulis cdebi

14

14

34

34

34

34

34

34

34

14

14

14

14

34

14

bernulis cda da albaToba

თუ n რაოდენობის დამოუკიდებელ ცდაში წარმატებული ხდომილობის ალბათობა p-სტოლია მაშინ m წარმატებული n ndash m წარუმატებელი ხდომილობის ალბათობა

P(n ცდაში m წარმატებული) = nCmpmqn-m იქნება

nimuSi 1 ჩარხი 4 ტოლ ნაწილისაგან შედგება 3 ნაწილი წითელი 1 ნაწილიკი თეთრია ჩარხი დატრიალების შემდეგ ან წითელ ნაწილზე დგება ან თეთ-რზე 3-ჯერ დატრიალების შესაძლო ვარიანტები სქემითაა წარმოდგენილი

ბინომიალური ცდა ანუ ბერნულის ცდა მართებულია მხოლოდ ქვემოთ მოცემულიპირობების დაკმაყოფილებისას

ბერნულის ცდა სქემატურად განვიხილოთ ქვემოთ მოცემულ ნიმუშზე

bull თითოეულ ცდას მხოლოდ ორი შედეგი აქვსbull ცდების რაოდენობა ცნობილიაbull ცდები დამოუკიდებელიაbull ყველა ცდა ტოლალბათობიანია

ზემოთ ასახულ ამოცანას ბინომიალური ცდები ეწოდება იმიტომ რომ ამნაირ ამოცანებშისიტუაციების შესაბამისი ბინომიალური შლილის წევრებით გამოსახვა არის შესაძლებელიმაგალითად განხილული ამოცანა(a + b)4 = 4C0a4 + 4C1a3b + 4C2a2b2 + 4C3ab3 + 4C4b4 ბინომიალურ შლილსშეესაბამება ბინომიალურ ცდას ბერნულის ცდასაც უწოდებენთუ ამ დანაშალს ამოცანაში მოცემული სიტუაციის შესაბამისად p (მოგება) და q (წაგება)ცვლადებით გამოვსახავთ ბინომიალურ შლილში თითოეული წევრის რეალურსიტუაციასთან შესაბამისობის დანახვა შესაძლებელი იქნება

წ

წწწწწწთ

წთწწთთ

2

21

3წ

წ

წ

წ

წთ

თ

თ

თ

თ

თ

თ

34

14

2 1

34

14

m 3m

34

14

2 1

34

3 34

3

34

14

2 1

34

14

1 2

თწწთწთ

21

34

14

2 1

34

14

1 2

34

14

1 2

თთწთთთ

10

34

14

1 2

14

3

14

3

(p + q)4 = 4C0p4 + 4C1p3q + 4C2p2q2 + 4C3pq3 + 4C4q4





როგორც ხედავთ კოეფიციენ-ტები პასკალის სამკუთხედისმესამე სტრიქონის რიცხვებისშესაბამისია 1 3 3 1

341

4

შესაბამის ბინომიალურ დანაშალში სიტუაციის გამომსახველი წევრი წითელი ფერითაა ნაჩვენები (o +q)4 = o4 + 4o3q + 6o2q2 + 4oq3 + q4

303

bernulis cdebi

nimuSi 2 5 შეკითხვიდან თითოეულზე პასუხის 4 ვარიანტია

მოცემული გამოთვალეთ ალბათობა იმისა რომ ნარგიზი 5

შეკითხვიდან 4-ზე სწორ პასუხს გასცემს გამოიკვლიეთ კავშირი

ბინომიალურ შლილსა და ალბათობის პოვნას შორის

amoxsna ვიპოვოთ ნარგიზის მიერ 5 შეკითხვაზე სწორი ან

მცდარი პასუხის გაცემის რამდენი შესაძლო ვარიანტი არსებობს

სქემიდან ჩანს რომ ნარგიზის მიერ 5 კითხვიდან4-ზე სწორი პასუხის გაცემის 5 ვარიანტიარსებობს მაშასადამე ამ ხდომილების ალბათობა5C1d 4s იქნება ანალოგიურად სხვა სიტუაციებსადა ბინომიალურ წევრებს შორის არსებულიკავშირის დანახვა შეიძლება ეს კავშირი ცხრილშიგანვაზოგადოთ

შემთხვევითი შერჩევით ვიპოვოთ 4 კითხვაზე სწორი 1 კითხვაზე მცდარი პასუხის გაცემის ალ-

ბათობა ყოველი სწორი პასუხის ალბათობა -ია მცდარი პასუხის ალბათობა 1 =

ამ წესით გამოთვალეთ შესაძლო სიტუაციების ალბათობები და მათი შეკრებით შეამოწმეთარის თუ არა ჯამი 1-ის ( ანუ 100-ის) ტოლი

nimuSi 3 ოთხ ბავშვიან ოჯახში იპოვეთ ალბათობა იმისა რომ 3 იქნება ბიჭი და 1 გოგონა

მაშასადამე ალბათობა იმისა რომ 4 ბავშვიდან 3 ბიჭი იქნება ანუ 25

თითოეული ბავშვისათვის არსებობს ორი შესაძლო შემთხვევა ან ბიჭია ან გოგონა ორივეს

ალბათობა -ია P(n ცდაში m წარმატებული) = nCmpmqn-m

n = 4m = 3p = q = P(4 ბავშვიდან3 ბიჭი) = 4C3p3q4-3

კოეფიციენტი

5C0 = 15C1 = 55C2 = 10 5C3 = 105C4 = 5 5C5 = 1

წევრი სიტუაციის აზრი5 სწორი პასუხის 1 ვარიანტია





5 მცდარი პასუხის 1 ვარიანტია

s d d d dd s d d dd d s d dd d d s dd d d d s

(d + s)5 = 5C0d5 + 5C1d4s + 5C2d 3s2 + 5C3d 2s3 + 5C4ds4 + 5C5s5

d5

d 4sd 3s2

d 2s3

ds 4

s5

P(4d 1s) = 5d4s = 5

1415

1024

14

12 1

212

34

34

= ანუ asymp15

= 4 =

P(4 ბავშვიდან 3 ბიჭი)

14

4

12

12

14

14

3

304

bernulis cdebi

მონეტა 5-ჯერ ააგდეს რას უდრის რუკიანი მხარის მოსვლის ალბათობა ა) P ( ერთხელ) ბ) P(3-ჯერ) გ) P(4-ჯერ) დ) P(0-ჯერ) ე) P (2-ჯერ)

უკანასკნელი გამოკვლევები უჩვენებს რომ ახალი ავტომობილების ყოველი 3-დანერთი კრედიტით იყიდება გამოთვალეთ ალბათობა იმისა რომ შემთხვევით შერჩეული7 ახალი ავტომობილიდან 3 კრედიტით იქნება შეძენილი

კალათბურთის გუნდის თამაშში გამარჯვების ალბათობა -ია რას უდრის ალბათობა

იმისა რომ ეს გუნდი მომავალი 5 თამაშიდან 3-ში გაიმარჯვებს

ამ მონაცემებიდან რომელს შეიძლება ეწოდოს ბინომიალური ცდა

amoxsna წარმატებული ხდომილობა ყუთში მომგებიანი კუპონის არსებობაა

P (მომგებიანი კუპონი) = წარუმატებელი ხდომილობა ყუთში მომგებიანი კუპონის

არ არსებობაა P (მომგებიანი კუპონი არ არის) = 1 =

P ( 5 ყუთიდან 2-ში მოგება) = 5C2p2q3 = 10 asymp 0138

ა) ქამალი ქიმიის საგნის 20 ტესტური შეკითხვის თითოეულზე მოცემული 4 პასუხიდანერთს შემთხვევითი წესით აღნიშნავსა)პლასტიკური ჭიქა 50-ჯერ აიგდება დაითვლება ჭიქა რამდენჯერ ფუძეზე დარამდენჯერ პირქვეშ დაეცემაგ) სათამაშო კამათელი 100-ჯერ გააგორეს მოწმდება თითოეული წახნაგის მოსვლისალბათობა ტოლია თუ არად) სათამაშო კამათელი 100-ჯერ გააგორეს მოწმდება რამდენჯერ მოდის 4 ქულიანიწახნაგი

23

nimuSi 4 კომპანიამ სავაჭრო კამპანიის დროს ბავშვის საჭმლის ყუთებში კუპონებიმოათავსა ყოველი 20 ყუთიდან 3-ში მომგებიანი კუპონი იდება რას უდრის ალბათობაიმისა რომ 5 ყუთის შემძენი მყუდველის 2 ყუთი იქნება მომგებიანი გამოიყენეთკალკულატორი

nimuSi 5 მონეტა 10-ჯერ იქნა აგდებული რას უდრის ალბათობა იმისა რომ სულ მცირე8-ჯერ რუკიან მხარეს დაეცემა იგიamoxsna თუ სულ მცირე 8-ჯერ რუკიან მხარეს დაცემის ხდომილობა წარმატებულიხდომილობაა მაშინ 9-ჯერ და 10-ჯერ რუკიან მხარეს დაცემაც წარმატებული ხდომილობააამ ხდომილობათა ალბათობები ცალ-ცალკე უნდა მოიძებნოს და მოხდეს მათი შეკრება

მონეტის ერთხელ აგდებისას რუკის მოსვლის ალბათობა -ია

320

320

1720

320

1720

2 3

1

2

3

4

P ( არანაკლებ 8 რუკისა) = 10C8p8q2 + 10C9p9q1 + 10C10p10q0 =

= 45 + 10 + 1 = 055

P ( არანაკლებ 8 რუკისა) = P (8 რუკა) + P (9 რუკა) + P (10 რუკა)

12

12

8 2 12

12

9 1 12

12

12

10 0 561024

305

bernulis cdebi

6 მწვანე 6C0p6

5 მწვანე 1 წითელი 6C1p5q1

4 მწვანე 2 წითელი

ბინომიალური დანაშალი (p + q)x =

სიტუაცია ბინომიალური წევრი

ყუთში 3 თეთრი 4 მწვანე 2 წითელი ბურთულაა თუ შემთხვევითორ ბურთულას ამოიღებენ ორივე სქემის მიხედვით გამოთვალეთალბათობა იმისა რომ ორივე იქნება თეთრი რომელ ხდომილობებსასახავენ სქემები შესაბამისი ხდომილობების ნიმუშის ჩვენებითწერილობით განმარტეთ ამ ხდომილობების განსხვავებული დამსგავსი ნიშნები

გამოვლინდა რომ კონვეიერზე ერთ ბრუნში წარმოებული დეტალების 2 გამო-უსადეგარია იპოვეთ ალბათობა იმისა რომ შემთხვევით შერჩეული 5 დეტალიდანმოცემული რაოდენობის დეტალი იქნება გამოუსადეგარი

ა) P (მხოლოდ ორის გამოუსადეგრობა) ბ) P (არაუმეტეს ერთის გამოუსადეგრობა)

გ) P (არაუმეტეს ორის გამოუსადეგრობა)

ყუთში 6 ბურთულაა შესაბამისი ბინომიალური შლილებისჩაწერით უჩვენეთ 6-ჯერ ბურთულის ამოღების შესაბამისისიტუაციების ალბათობა წარმატებული ხდომილობა მწვანებურთულის ამოსვლაა ცხრილი რვეულში დაასრულეთ იმისჩვენებით რომ ყველა ხდომილობის ალბათობების ჯამი 1-ისტოლია შეამოწმეთ თქვენი ამონახსენი

შემოწმებამ გამოავლინა რომ 1000 CD დისკიდან 50 იყო გამოუსადეგარია) რას უდრის ალბათობა იმისა რომ შემთხვევით შერჩეული ერთი დისკი იქნებაგამოუსადეგარიბ) თუ ხარისხის კონტროლიორი შემთხვევით 6 დისკს აიღებს სიტუაციების მიხედვითგამოთვალეთ ალბათობები

bull მხოლოდ 2 დისკია გამოუსადეგარიbull არაუმეტეს 2 დისკია გამოუსადეგარიbull სულ მცირე 3 დისკია გამოუსადეგარი

5

6

8

7

თ

თ

მ

მ

წ


49

29

29

29

29

49

49

49

39

13

13

13

თ

თ

მ

მ

წ


49

48

38

29

28

18

39

28

38

38

6C2p4q2

306


მონეტა 4-ჯერ ააგდეს იპოვეთ თითოეული ხდომილობის ალბათობაა) p (4-ჯერ სურათიანი მხარე) ბ) P (არანაკლებ 3-ჯერ რუკიანი მხარე)გ) P (არაუმეტეს 2-ჯერ სურათიანი მხარე) დ) p (0 რუკიანი მხარე)

ყუთში 2 წითელი და 3 თეთრი ბურთულაა ყუთიდან შემთხვევით იღებენ 1 ბურთულასდა ისევ ყუთში აბრუნებენ ეს ცდა სამჯერ მეორდება ა) იპოვეთ ალბათობა იმისა რომ 1-ელ და მე-2 ცდაზე ამოღებული ბურთულა იქნებათეთრი ხოლო მე-3 ცდაზე ამოღებული ბურთულა კი წითელი ბ) იპოვეთ ალბათობა იმისა რომ ამოღებული 3 ბურთულიდან 2 იქნება თეთრი

დაწერეთ მონეტის აგდების ხდომილობის ამსახველი (x + ş)5 ბინომიალური დანა-შალი განმარტეთ ბინომის თითოეული წევრის სიტუაციის შესაბამისი აზრიგამოთვალეთ შესაბამისი ხდომილობების ალბათობები

ჰისტოგრამა ფერმაში არსებული ინდაურებისმასას უჩვენებს ჰისტოგრამის მიხედვით ააგეთსიხშირის ცხრილი თუ შემთხვევით შეირჩევა ორიინდაური რას უდრის ალბათობა იმისა რომ ორივემათგანის მასა 10 კგზე მეტი იქნება

ყუთში 4 თეთრი და 2 მწვანე ბურთულაა აქედან 3-ს იღებენ შემთხვევითი წესითა) ფერების მიხედვით რომელი შემადგენლობით ბურთულების ამოსვლის აბათობაარის უფრო მეტიბ) იპოვეთ ალბათობა იმისა რომ ამოღებული ბურთულებიდან სულ მცირე 2 იქნებათეთრიმოცემული სიტყვის ასოების წაკითხვა რამდენ სხვადსასხვა ვარიანტად შეიძლებადალაგდეს

ა) muRan ბ) kebele

მსროლელის მიერ ერთი სროლით მიზანში მორტყმის ალბათობაა 08 იპოვეთალბათობა იმისა რომ მსროლელი 4 სროლიდან 2-ჯერ მოარტყამს მიზანში

მეგობრისათვის დარეკვის მსურველ მუსტაფას ნომრის ბოლო 2 ციფრი დაავიწყდამაგრამ ახსოვდა რომ ეს ციფრები განსხვავებული იყო იპოვეთ ალბათობა იმისა რომმის მიერ პირველ ჯერზე შემთხვევით აკრეფილი ნომერი იქნება სწორი

ხუთი პიროვნება (A B C D და E ) რამდენი სხვადასხვა ხერხით შეიძლება გამწკრივდესა) E-ს შუაში ყოფნის პირობითბ) A და B-ს აუცილებლად გვერდიგვერდ ყოფნის პირობითგ) A და B-ს აუცილებლად გევრდიგვერდ არყოფნის პირობით

დაამტკიცეთ რომ nCk = nCnndashk შეამოწმეთ იგივეობა n = 7 k =5 მნიშვნელობისათვის

2

1

3

4

5

6

7

8

10

9

141210

86420

5 6 7 8 9 10 11 12 1314 15

რაო

დენ

ობა


307


კლასში 19 მოსწავლეა მათგან 10 ჭადრაკის წრეში 7 ფეხბურთის წრეში და 3 კიორივე წრეშია გაერთიანებული რამდენი მოსწავლე არ მონაწილეობს არც ერთწრეში

ავტომობილის ფასი შეძენიდან პირველ წელს 18-ით ყოველ შემდეგ წელს კი8-ით მცირდება რამდენი მანეთი შეიძლება ღირდეს 2022 წელს ავტომობილირომელიც შეძენილი იქნა 2015 წელს 25 ათას მანეთად

შემადგენლობაში შესაბამისად 5 და 2 ნიკელის შემცველი ფოლადი არსებობსშემადგენლობაში 25 ნიკელის შემცველი 350 კგ ფოლადის მიღებისათვის ამორივე სახის ფოლადიდან თითოეულისა რამდენი კილოგრამი უნდა ავიღოთ დაგადავადნოთc-ს რა მნიშვნელობებისათვის მოცემული უტოლობა x-ის ყველა მნიშვნე-ლობისათვის არის მართებული

ა) x2 + cx + 4 gt 0 ბ) x2 + 3x + c gt 0მიმდევრობა b1 = 4 bn + 1 = 3bn ndash 2 რეკურენტული ურთიერთობითაა მოცემულიდაწერეთ n-ური წევრის ფორმულა

ფერმერმა ახალი ტექნოლოგიის გამოყენებით მოსავლის წარმოების ყოველ-წლიური ერთი და იგივე პროცენტის მატებით 2 წლის განმავლობაში 150ტონიდან 216 ტონამდე მიაღწია რამდენი პროცენტით იზრდებოდა პროდუქციისწარმოება ყოველწლიურად

ა) გამოთვალეთ radic(2 sin 60ordm ndash 1)3 ndash radic(1 ndash tg 60ordm)2

ბ) გაამარტივეთ გამოსახულება radic4 cos2 + 4 cos + 1 ndash radic4 ndash 4 sin2

თუ lt lt

ა) იპოვეთ ndash კუთხე თუ

sin = sin = ndash 0 lt lt ndash lt lt 0 ბ) იპოვეთ + კუთხე თუ

tg = 3 tg = ndash 0 lt lt ndash lt lt 0

გ) იპოვეთ (1 + tg )middot(1 + tg ) გამოსახულების მნიშვნელობა თუ + =

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

23

2

12

4

4041

941

2

2

2

იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობაa) cos 24ordm ndash cos 84ordm ndash cos 12ordm + sin 42ordmb) tg 9ordm ndash tg 63ordm + tg 81ordm ndash tg 27ordm

მოცემულია f(x) = radic1 ndash x2 და g(x) = sin x იპოვეთa) f(g(x)) b) g(f(x))

მოცემულია f(x) = ფუნქციაა) იპოვეთ განსაზღვრის არებ) ამოხსენით უტოლობა f(x + 1) ge 0

x ndash 2x + 1

308


12

13

14

15

16

17

18

19

20

ამოხსენით განტოლებებია) 4 cos2x ndash 3 sin x = 3 ბ) 2 tg x ndash 3 ctg x ndash 1 = 0გ) sin x + sin 3x + sin 5x = 0 დ) cos 3x ndash cos 4x = 1 ndash cos x


ა) 05xmiddot22x + 2 = ბ) 02x ndash 1 ndash 02x + 1 = 48გ) 5x ndash 1 + 5middot02x ndash 2 = 26 დ) 9x ndash 1 ndash 36middot3x ndash 3 + 3 = 0ე) logxndash12 = ndash 05 ვ) log5(2 + log3(3 + x)) = 0

ზ) log2(22x + 16x) = 2 log412 თ) log53 = ndash

ი) lg2x ndash 3 lg x = lg x2 ndash 4 კ) log3x + log32x = 1

იპოვეთ განტოლების ფესვები მოცემულ შუალედშია) sin x = ndash 1 x [0 4] ბ) cos x = 1 x [ndash 3]


ა) cos2x + gt sin2x ბ) tg 2x lt radic312

ა) იპოვეთ y = 3 + radicx ndash 4 ფუნქციის შექცეული ფუნქცია

ბ) იპოვეთ y = radic2 sin x ndash radic3 ფუნქციის განსაზღვრის არეგ) იპოვეთ y = log (5 + 3 cos x) ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე

x-ის რა მნიშვნელობებისათვის არის ln(x ndash 9) ln(x ndash 7) ln(x ndash 3) რიცხვებიარითმეტიკული პროგრესიის მიმდევრობითი წევრები

იპოვეთ მოცემული ფუნქციის შექცეული ფუნქცია უჩვენეთ მოცემული ფუნ-ქციისა და შექცეული ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე

ა) y = 2x ndash 1 + 3 ბ) y = 1 + log2(x + 3)

12

2

log2(1 + x)log253

x

164

2 2


ა) ( )2x lt 5 ბ) 09x ge 1

გ) (x2 ndash 2x ndash 3)middot(2x ndash 8) le 0 დ) 2tg x gt sin

ე) log (2x + 3) gt log 27 ვ) gt 0

ზ) log3(2x ndash 3) + log (x + 1) gt 0 თ) log 3 ndash x gt ndash1

37

1981

49

56

14

19

13

12

log3(6 ndash 2x)log035


ა) (cos ndash imiddotsin )10 ბ) (sin ndash imiddotcos )2715

49

59

15

309


დაშალეთ მრავალწევრი წრფივ მამრავლებად x4 + 4x2 ndash 5

წრეწირზე 10 წერტილია აღნიშნული წვეროების ამ წერტილებზე განთავსებითრამდენი სამკუთხედის აგებაა შესაძლებელი

ყუთში 30 შავი და x თეთრი ბურთულაა ალბათობა იმისა რომ შემთხვევით

ამოღებული ერთი ბურთულა იქნება თეთრი -ია იპოვეთ x

მართკუთხა პარალელეპიპედის წიბოები 3 სმ 4 სმ და 7 სმ-ია იპოვეთ ერთიწვეროდან გამოსული სამი წიბოს წვეროებზე გამავალი მკვეთის ფართობი

ABCD ტრაპეციის AD ფუძე სიბრტყეზეახოლო BC ფუძე კი სიბრტყიდან 5 სმ მანძილზეაADBC = 73 იპოვეთ მანძილი ტრაპეციისდიაგონალების გადაკვეთის O წერტილიდან სიბრტყემდე

მართკუთხა ABC სამკუთხედის მართი კუთხისწვეროდან ჰიპოტენუზის პარალელური და მისგან 1სმ მანძილზე სიბრტყეა გავლებული კათეტებისგეგმილები ამ სიბრტყეზე 3 სმ და 5 სმ-ია იპოვეთჰიპოტენუზის გეგმილი ამ სიბრტყეზე

წესიერი ოთხკუთხა პრიზმის დიაგონალი 9 სმ სრული ზედაპირის ფართობი144 სმ2-ია იპოვეთ ფუძის გვერდი და გვერდითი წიბო

მართი სამკუთხა პრიზმის ფუძის ფართობი 4 სმ2 გვერდითი წახნაგებისფართობები 9 სმ2 10 სმ2 და 17 სმ2-ია იპოვეთ პრიზმის მოცულობა

მოცემულიაAO ACO = ABO = 60ordmCOB = 90ordmAO = 3იპოვეთ BC

25

გამოთვალეთ ჯამი 20 middot 6C0 + 21 middot 6C1 + 22 middot 6C2 + 23 middot 6C3 + 24 middot 6C4 + 25 middot 6C5 + 26 middot 6C6

სიბრტყის მკვეთი AB მონაკვეთისბოლოები სიბრტყიდან 16 სმ და 4 სმმანძილზეა იპოვეთ მანძილი მონაკვე-თის M შუაწერტილიდან სიბრტყემდე


a) y = b) y = x ndash 4x + 5

x2 ndash 3x + 423radic

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31 სამკუთხედის გვერდები 4 სმ 5 სმ და 6 სმ-ია იპოვეთ ამ სამკუთხედის უმცირესიკუთხის კოსინუსი

A

M

B

B1A1 M1

6060C

B

O

A

D

B C

AC1B1

O1

O

A

C

B

B1A1

ა)ბ)

ა)

ბ)

310


იპოვეთ მოცემულზომებიანიტეტრაედრის სრული ზედა-პირის ფართობი

ABCD მართკუთხედის A წვეროდან მართკუთხედისსიბრტყისადმი აღმართულია AT მართობი TB = 6 სმ TD = 7 სმ TC = 9 სმ იპოვეთ AT-ს სიგრძე

m პარამეტრის რა მნიშვნელობისათვის იქნება x2 + (2 + m)x + m ndash 3 = 0 გან-ტოლების ფესვების კვადრატების ჯამი უმცირესი

A პუნქტიდან B პუნქტამდე გასავლელი მანძილის 12 კმ აღმართი ხოლო 24 კმდაღმართია ცხენოსანი A-დან B-ში 7 საათში ჩავიდა უკან კი 8 საათში მობ-რუნდა იპოვეთ ცხენოსნის სიჩქარე აღმართზე და დაღმართზე

გრაფიკების გამოსახვით გამოიკვლიეთგანტოლებათა სისტემაა) a-ს რომელი დადებითი მნიშვნელობისათვის ექნება ორიამონახსენი

y = x2 + ax2 + y2 = 4

სამ საწყობში 920 ტონა ხორბალია პირველ საწყობში ხორბალი 30 ტ-ით ნაკლებიავიდრე მეორეში მეორე და მესამე საწყობში ხორბლის მასები ისე შეეფარდებაერთმანეთს როგორც 8 9 რამდენი ტონა ხორბალია თითოეულ საწყობში

სამკუთხედის გვერდები 10 სმ და 12 სმ-ია მათ შორის მდებარე კუთხის სინუსი06-ის ტოლია იპოვეთ ამ სამკუთხედის პერიმეტრი რამდენი ამონახსენი აქვს ამამოცანას

იპოვეთ სამკუთხედის ბისექტრისები თუ მისი გვერდები 5 დმ 6 დმ და 7 დმ-ია

იპოვეთ სამკუთხედის მედიანები თუ მისი გვერდებია 5 სმ 6 სმ და 7სმ

T

A

BC

D

იპოვეთ y = ndash2 cos( ndash 2x) ფორმულით მოცემული ჰარმონიული რხევის

ამპლიტუდა სიხშირე და ძირითადი პერიოდი

2

მოცემულია წესიერი ოთხკუთხა პრიზმა

B1M = MC1

C1N = ND1

AB = BC = 8AA1 = 4იპოვეთ BMND ოთხკუთხედის ფართობი

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41 42

43 იპოვეთ წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდი თუ მისი გვერდითიწიბო 5 სმ და სრული ზედაპირი 84 სმ2-ია

ბ) a-ს რა მნიშვნელობისათვის ექნება სამი ამონახსენიგ) არსებობს a-ს ისეთი მნიშვნელობა რომ სისტემას ოთხი ამონახსენი ჰქონდეს

C

M

N

DA

B

B1

A1

C1

D1

C

D

B

A5

5

5

85

6

311


იპოვეთ წესიერი ოთხკუთხა პრიზმის მოცულობა თუ მისი გვერდითი ზედაპირი36 სმ2 დიაგონალი კი 6 სმ-ია

სურათზე მოცემული გრაფიკის მიხედვით დაწერეთფორმულა სინუსისათვის და კოსინუსისათვის

ააგეთ y = 2 sin3x + 3 ფუნქციის გრაფიკი 5 წერტილის მიხედვით ამ ფუნქციის

გრაფიკის მიხედვით ააგეთ y = 2 sin3(x ndash ) + 3 ფუნქციის გრაფიკი

იპოვეთ წესიერი მრავალკუთხედების ცვლადებით აღნიშნული კუთხეები

ავტომობილის საბურავის ბრუნის სიგრძე 50 სმ-ია იპოვეთ ავტომობილის მიერგავლილი მანძილი საბურავისა) 5-ჯერ ბ) 500-ჯერ სრული ბრუნის გაკეთების დროს

ა) წესიერ ხუთკუთხედში BFსიმეტრიის ღერძია

ბ) წესიერ რვაკუთხედშიGC სიმეტრიის ღერძია

გ) წესიერ შვიდკუთ-ხედში სამი სიმეტრი-ის ღერძია ნაჩვენები

იპოვეთ x2 + y2 = 25 განტოლებით მოცემულ წრეწირზე მდებარე იმ წერტილისკოორდინატები რომლის ორდინატი 1 ერთეულით მეტია აბსცისაზე რამდენიასეთი წერტილი არსებობს

არითმეტიკულ პროგრესიაში ცნობილია რომ a1 + a2 +a3 = 30 და a12 +a22 = 16იპოვეთ a1 თუ a5 წევრი 13-ზე სრულად იყოფა

რამდენი ხუთნიშნა რიცხვი არსებობს (მაგალითდ 67876) რომელიც მარცხნიდანმარჯვნივ და მარჯვნიდან მარცხნივ ერთნაირად იკითხება

პირამიდაში TO სიმაღლეა ABCD მართკუთხედია იპოვეთ TAO თუAB = 12AD = 16TO = 5radic2

3

56

x

y

-3

76

512

1112

23

44

45

46

47

48

49

50

51

52

3

T

A

B C

D

B

A

E D

C C

CD

DP

BB

A AH

G

G

F E E

F

z

x y

F

rsq

t

wx

yz

v

312


53

54

55

56

57

58

59

60

ერთი ფინჯანი ადუღებული წყლის (100ordm) ოთახის ტემპერატურამდე (20ordm) გა-ციებას უცდიან დაკვირვებები უჩვენებს რომ ტემპერატურა დროზე ექსპო-ნენციალური დამოკიდებულებით ყოველ 5 წუთში25-ით ქვევით იწევსა) ტემპერატურის დროზე დამოკიდებულებით ცვლილება დაამოდელირეთ y = abx + c სახით ბ) რამდენი წუთის შემდეგ იქნება წყლის ტემპერატურა ოთახისტემპერატურის დონეზე

ვულკანური ამოფრქვევის დროს დამწვარი ხის ნახშირში დარჩენილი ნახშირბად14 ნითიერების 45-ია დარჩენილი რამდენი წლის წინათ მოხდა ვულკანისაამოფრქვევა

ა) (53) წერტილის კოორდინატთა სათავის გარშემო 90deg-ით საათის ისრის მოძ-რაობის საპირისპირო მიმართულებით მობრუნებისასბ) (42) წერტილის კოორდინატთა სათავის გარშემო 180deg-ით საათის ისრისმოძრაობის მიმართულებით მობრუნებისას

გ) (32) წერტილის y ღერძის მიმართ ასახვის შემდეგ სრული (360ordm) მობრუნების

-ით მობრუნებისას

დ) (23) წერტილის 3 ნაბიჯით მარჯვნივ მოცურებისა და 90deg-ით საათის ისრის მოძრაობის საპირისპირო მიმართულე-ბით მობრუნებისასყუთის მოცემული x = 3 სმ y = 8 სმ z = 5 სმ ზომების მიხედვითიპოვეთ მასზე გადაჭერილი წებოვანი ლენტის (სკოჩი) სიგრძე

სურათზე სამი ნახევარწრეა გამოსახული გამოთვალეთგაფერადებული ნაწილის ფართობი თუ ცნობილია რომd = 18 სმ

შეასრულეთ გარდაქმნები

1) 2სმ3 rarr მმ 3 2) 0003სმ3 rarr მმ 3

3) 34მ3 rarr სმ3 4) 0015m3 rarr სმ3

5) 550000 მმ 3 rarr სმ3 6) 1200000 სმ3 rarr მ3

7) 05მ3 rarr litres 8) 53000 მლ rarr ლიტრი

ჰასანი ბებიას ეკითხება თუ რამდენი წლისაა იგი ბებია მას ასე პასუხობს ldquoმე 5წლისა სკოლაში წავედი სიცოცხლის ერთი მეოთხედი ნაწილი განათლებითვიყავი დაკავებული შემდეგ მუშაობა დავიწყე და აქაც სიცოცხლის ნახევარიგავატარე ეხლა კი 15 წელია შვილიშვილებს ვზრდი შენ გამოთვალე რამდენიწლისა ვარ მეrdquo თქვენც გამოთვალეთ ჰასანის ბებიის ასაკი

ქვემოთ მოცემული ინფორმაცია უჩვენებს ერთი თვის განმავლობაში მოსულინალექების რაოდენობას (01 მმ სიზუსტით) ინფორმაცია ხისებრ-განტოტვითიდიაგრამით ორნაირად წარმოადგინეთ

13 20 23 32 34 18 31 23 19 2616 00 24 31 06 07 03 00 22 1536 23 18 27 30 29 12 22 14 33

34

განსაზღვრეთ ახალი კოორდინატები

d

x yz

313


სასწორები ბიჭის გოგონასა დაცხვრის მასებიდან ორს ერთადუჩვენებს სურათის მონაცემებისმიხედვით იპოვეთ რამდენი კი-ლოგრამია თითოეულის მასა

ბარგრაფი ასახავს ინფორმაციას 5 წლისგანმავლობაში გუნდის მიერ მოგებულითამაშების შესახებ ამ ინფორმაციებისმიხედვით ქვემოთ მოცემული მოსაზ-რებებიდან რომელია მართებული

ა) გუნდი 3 ყოველთვის მეორეა

ბ) გუნდი 1-ის შედეგები ყველა გუნდზეუკეთესია

გ) გუნდი 1 ყოველთვის მეტ თამაშს იგებ-და ვიდრე გუნდი 3

დ) გუნდი 2 ყოველ წელს იგებდა უფრომეტ თამაშს ვიდრე წინა წელს

რეშადი მიზანში მსროლელთა კლუბის წევრია მისი შედეგები უჩვენებს რომნასროლის 80-ს მიზანში არტყამსა) იპოვეთ რეშადის მორიგი სროლის დროის მიზანში მორტყმის ალბათობაბ) იპოვეთ რეშადის მიერ 3-ჯერ ზედიზედ მიზანში მორტყმის ალბათობაგ) იპოვეთ ალბათობა იმისა რომ რეშადი სამი ნასროლიდან პირველს მოარტყამსდანარჩენ ორს კი ვერ მოარტყამს მიზანს

გუნდი 1 გუნდი 2 გუნდი 3

1-ლიწელი



მე-4 წელი

მოგე

ბულ

ი თ

ამაშ

ები

თამაშში მოგებები

სიხშირის ცხრილში მოცემულია ინფორმაცია ავტომობილების სადგომზემდგომი 600 ავტომობილის ექსპლუატაციის წლებისა და ძრავის მოცულობის (სმკუბი) შესახებ

ა) რას უდრის ალბათობა იმისა რომ შემთხვევით შერჩეული ერთი ავტომობილისექსპლუატაციის ვადა იქნება 3 წელიწადზე ნაკლებიბ) თუ ეს შედეგები 5400 ავტომობილის წარმოდგენილი შერჩევა მათ შორისრამდენის ძრავის მოცულობა იქნება 2000-ზე მეტი ხოლო ექსპლუატაციის ვადა3 წელზე მეტი პროგნოზირება მართებული იქნებოდა

მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის ავზის ფუძის ზომები 50 სმ და 80 სმ-იაავზის ტევადობა 400 ლ-ია იპოვეთ ავზის სიმაღლე

3 წელზენაკლები 50

60 100

80 160 20

101203 წელზემეტი

ექსპლუ-ატაციისწლები

ძრავის მოცულობა

0 ndash 1000 1001 ndash 1500 1501 ndash 2000 2001 +

118 72 78

4035302520151050

61

62

63

64

65

7ა) y = x + 4 ndash 2 m = ndash 4 n = ndash2D(y) = (ndash +) E(y) = [ndash2 +)ბ) y = (x ndash 6)2 + 4 m = 6 n = 4D(y) = (ndash +) E(y) = [4 +)

26 ა) y = 2radicx ბ) y =2radicx

10 ა) 2 ერთეულით მარჯვნივმოცურდება 13 ბ) y = radicx -ისგრაფიკი x ღერძის მიმართ აისახება და1 ერთეულით ზევით აცურდება

314

pasuxebi

gv 9-11 9 0 10 ა) 1 ბ) ndash1 11 0 12 ბ) 0 ndash075 ndash2 13 დ) D(f) = (ndash3 2] E(f) = (ndash5 5] 14 b = ndash3 15 c = 2 16 4 17 ა) A(20) B(0ndash1)

19 ა) E(f) = [2 7] 20 f(ndash2) = 3 f(6) = ndash1 21ა) f(ndash1) = 5 f(0) = 4 f(1)=3

gv 16-17 1 ბ) x1 = 0 x2 = 3 გ) x = 4 დ) x = 2 5 2) ა) [ndash2 3] ბ) ndash2 და 2გ) (ndash2 2) დ) (2 3] ე) [ndash2 0] [0 3] ვ) xmax = 0 ymax = 4 ზ) [ndash5 4]6 ა) f(2) lt f(0) lt f(ndash4) გ) f(radic2) lt f(ndashradic3) lt f(ndash2) 11 ა) umm = 2

gv 13 2 ბ) D(f) = (ndash +) E(f) = [0 +) გ) D(f) = (ndash 0) (0 +) E(f) = (ndash 0) (0 +) ე) D(f) = [0 + ) E(f) = [0 + )3 გ) D(f) = (ndash 3] ე) D(f) = [0 2) (2 +) ზ) D(f) = [ndash1 1] თ) D(f) = [1 3) (3 +) ი) D(f) = [ndash4 4) (4 +)

gv 19 1 ა) კენტი გ) ლუწი დ) არც კენტი არც ლუწი 4 ა) 6 დ) 4 7 ბ) f(5) lt f(7) 8 (ndash4 4)gv 21 1 ა) 0 ბ) 5 გ) ndash7 დ) 41 2 ა) 4 გ) 0 ე) 2

funqciebi

4 ბ) D(g) = (ndash +) E(g) = (ndash 6] დ) D() = (ndash +) E() = [3 + )ე) D(u) = [ndash3 3] E(u) = [0 3] ვ) D(v) = [ndash1 3] E(v) = [0 2]5 ა) D(f) = [0 1) (1 2] ბ) D(f) = (ndash 0] (1 2] გ) D(f) = (1 2]6 umm = 2 E(f) = [2 + ) 7 ბ) y = 6 ndash x 0 le x le 5 1 le y le 6

x0 1 3

4

6

8

ndash1ndash3

f(x)

2

x

y

0

1

2

3

4 6

5

x

y

2

4

6

0 1 3ndash1ndash3

5

1

3

gv 25-31 1 ა) m = 0 n = 4 დ) m = 7 n = ndash3 2 ბ) g(x) = (x ndash 2)2 ndash 1 y = x2 პარაბოლა 2 ერთეულით მარჯვნივ 1 ერთე-ულით ქვევით მოცურდება 5 1) ბ) g(x) = (x + 3)2 ndash 32) ბ) g(x) = f(x ndash 4) ndash 8

gv 22 2 ა) დიახ ბ) არა 4 ა) f(01) gt g(01) ბ) f( ) gt g( ) გ) f(2) lt g(2)

gv 24 2 გ) y = x3 4 y = 5 ა) h = radic9 ndash d2 ბ) D = [0 3] E = [0 3]

124

x

12

x0 1 3 7ndash1ndash3ndash5 5

f(x)

1x

1x ndash 3

f(x) =

f(x) =

1

3

ndash1

ndash3

3 ა) ბ) გ)

8

gv 55-58 2 ა) დიახ ბ) არა 3 aradic2 4 24 სმ 5 90deg 6 8 სმ 8 radica2+b2

16 17 სმ 18 ა) 17 სმ ბ) 9 სმ გ) radica2+b2+c2

ა) y = x გ) y = ი) y =

gv 39-40 5 ა) fndash1(9) = ndash3 fndash1(7) = 1 fndash1(2) = 6

6

12

gv 64 2 9radic3 სმ2 3 4radic2 სმ 4 48radic3 სმ2 5 ა) a2 ბ) გ)

gv 61-62 76 სმ 815 სმ6 სმ8 სმ 9 12 სმ 10 2 მ 12 18 სმ ან 22 სმ

315

pasuxebi

gv 33 1 (f + g) (1) = 1 (f ndash g) (2) = 3 (f middotg) (6) = ndash20 2 ბ) (f + g)(x) = (x + 1)2D = (ndash +) E = [0 +) (f ndash g)(x) = x2 ndash 1 D = (ndash +) E = [ndash1 +)(f middot g)(x) = xmiddot(x + 1)2 D = (ndash +) E = [ndash +)( )(x) = x D = (ndash ndash1) (ndash1 +) E = (ndash ndash1) (ndash1 +)f

g

gv 35-36 3 ა) 1 გ) 2 დ) 0 4 ა) 4 ბ) 50 ვ) ndash487 ა) (ndash2 2) ბ) (ndash ndash3) (1 +) 12 ბ) f(x) = x2 ndash 1 დ) x2 + x + 113 ბ) f(ndash1) = ndash1 f(2) = 5 f(3) = 7 f(0) = 1 f(x) = 2x + 1 15 ბ) [ndash2 6] გ) [ndash3 1]

14

38

a2

aradic66

x + 143

4x ndash 243

radicx2

3

3

radicx2

4

gv 41-423 ა) y = radicx + 1 6 1) ა) ლუწი ბ) კენტი 7 f(2) = 10 10 ბ) ndash1 და 711 ა) 3 გ) 11 ვ) 3 ზ) 7 13 ა) D(f) = (ndash 1) (1 +) ბ) (2 5)

x

y

0 1 3

7

ndash1ndash3

5

f(g(x)) = 2x2 ndash 1

f(x) = 2x ndash 1g(x) = x2

13

gv 51 3 x = 6 4 ა) 8radic3 ბ) 4 5 6 სმ 7 d = 5radic2 = 45deg 9 aradic6 10 45deg

gv 53 2 5 სმ 3 12 სმ 4 სმ 5 3 სმradic152

a2radic68

a2radic38

wertili wrfe da sibrtye sivrceSigv 45-47 5 ა) 1 4 ან უსასრულო რაოდენობის 10 ა) 8 სმ ბ) 11 6 სმ 12 6 სმa + b

2bca + c

gv 68-711გ) III მეოთხედი 5 ა) 4 რად 7 ბ) asymp 209 რად 8 გ) ndash675deg 12 2)23

54

gv 72-75 3 12 რად 6 ა) 250 რად 8ა) 192 მ2 ბ) 16 = 2880deg9 ა)3 რადწთ ბ) 45 მწთ 10 asymp153 მ 14 05 რად asymp 285deg16 asymp 245 ბრუნი 18 075 ბრუნი 20 asymp 86deg

gv 82 5 ა) ბ) ndash ვ) ndash თ) radic3 6 ა) 042 ბ) ndash091 7 ა) cos α = ndash

tg α = ndash ctg α = ndash 8 ა)0 ბ)1 გ)1 9 B(ndash153 129)

12

radic22

43

34

45

radic32

kuTxis trigonometriuli funqciebi

10 ბ)

gv 85 5ა)15 ბ)1 დ) 056 ა) 2 7 ა)2radic39 ბ)udm =2 umm=010 ბ) udm = 2 umm = 1 13 2წერტილი + 2k + 2k kZ 15 და 2

33

4

34

14 asymp 45 სმა) fndash1(x) = ndash დ) fndash1(x) = ndash

gv 48 3 ა) 6 სმ ბ) 45 სმ გ)

gv 65 2 72 მ 4 2radic3 სმ 5 13 სმ ან 15 სმ 6 ბ) გ)

gv 116-118 2 BC = 7 B asymp 816deg C asymp 384deg 4 1) asymp 174 5 ა) radic6 მ ბ) 112 სმ გ) 4radic7 radic73 radic145 7 ა) d1=2radic13 d2=2radic37 8 გ) asymp 68deg 11 ბ) asymp 425 კმ 13 asymp 111მ

gv 102-103 1 1) ndash cos 2x 3) 1 3 5) 5 ბ) 6 ბ) 1

8 გ) udm = radic2 umm = ndashradic2 9 10 ა) ndash1 ბ)1 11

gv 95-96 2 1) 4 ბ) 5 ბ)16 ა)1 7 ა) ბ)ndash1 8 ა) 0 11 ა)radic3 ბ)1 12 5 13 ა) 1 14 ა) 2ndash radic3 15 16 ა) 1 17 ა) 1

18 ა) ndash3 ბ)3 19 sin = asymp 143deg20 ა) tg θ = 075 θ asymp 37deg

gv 129-135 1 ა) y =4 sin x ბ) y= sin x გ) y=sin x 6 ა) A =4 T = 6დ) A = T = 2 7 1) ა) y = sin ბ) y = 4middotsin 2x გ) y = 2 sinx

8 ა) y=12sin x გ) y=-08sinx 9ა) y=9cos x 10ა) T = 12 გ) T = 30 11 A = 05 T = 14 ბ) 75 17 ა) ymax = 8 ymin = 2 E(y)= [2 8]19 ა) y = 4 sin 2(x ndash ) ndash 6 ბ) y = 05 sin (x + ) + 2

316

pasuxebi

gv 88-89 3 ბ) ndash sin α ვ) ndash cos α 6 ბ)ndash დ) ndashradic3 9 ა) ndash sinα 10 ბ) cos2α11 ა) ndash sin 10deg14 ბ) 1 დ) 0 15 ა) 2middotcos α ბ) 0

12

gv 91-92 1 ვ) cosec2 α თ) 1 2 cos α = ndash08 tg α = ndash075 5 ა) tg2 α ბ) 2დ) ე) 6 ა) 5 ბ) 7 ა) 2 cos α ბ) ndash2 cos α 10 1

11 ა) 20 ბ) ndash16 12 ndash032 15 ა) cos2α 17 ა) udm = 3 umm = ndash4

2sin α

12

19

916

1665

radic32

12

12

12 radic3

2

gv 97-101 2 ა) 0 4 ა) tg 5α ბ) ndashtg4α 7 ა) 10 ა) 11 ბ) 0 12 ა) ndash sin 4xmiddotcos 10x ბ) ndashsin3xmiddotsinx 13 ა) 2 ctg α გ) 2 14 ბ) 028 16 ა) 2 17 ა) ბ) ვ) ndash 23 ა) ndash 29 asymp 046 კვ ერთ

14

12

240289

radicsin xtg x

radic22

2cosα

2radic33

1 + sin α2

14

gv 104-105 5 ა) a ბ) ndasha 6 ა) 1 11 1 14 3 17 ა) 1 20 ა) 3 ბ) 05

gv 109-113 1ა)b=12ბ)a asymp 892 გ)B = 45deg დ)A asymp 44deg3 ა) θ = 30deg ბ)θ =60deg 4 ა) A asymp 36deg a asymp 1472 c asymp 235 5 2) 1 ამონახსენი 6) ამონახსენი არა აქვს9)2 ამონახსენი 7 გ) asymp 3471 8 ა) asymp 416deg ან asymp1384deg 11 ა) 2026deg12 1) asymp 1606 მ2 14 ა) 30radic3 16 ა) 25ltBClt50 17 asymp 4139 მ18 θasymp385deg ან θasymp215deg 19 asymp 479 მ 21asymp92deg 22 asymp 415deg

gv 119-120 2 ა) asymp 3 კმ ბ) asymp 83 კმ და asymp 89 კმ 3 asymp 122მ 6 asymp 191 მ7 asymp 155 კმ და asymp 424 კმ 9 asymp 855deg 11 ბ) asymp 15 წუთი

125

sinusebisa da kosinusebis Teorema


12

12

12

14

14

2x3

25

13

23

3

4

gv 142-143

10 ა) y=3sin2x გ) y =5 sin x დ) y =ndash4cosx 12 y = 2 cos(xndash )

ბ)18 მ 5 ბ) H = 36 ndash 18 cos გ) 72 სმ დ) 170 მწთ

317

pasuxebi

t50

gv 145-149 1 ა) ndash1 ბ) 1 4 ბ) tg θ = ndashradic3 θ = 120deg გ) tg θ = ndashradic3 θ = 300deg15 ა) h = 3middot tg α 16 ა) d = 5middot tg გ) d asymp 87 მt

30

t3010t

3

gv 152-154 1ბ) ndash დ) ვ) 7 ა) გ) ndashradic3 ვ) ndash1 10 ა) გ)

ე) 11ა) x = 4 cosecθ ბ) asymp 9deg 12 θ asymp 41deg 15 ა) ndash ბ)

3

6

23

6

34

34

radic32

45

2425

6365

6

23

gv 155-156 1ა) B( 2) C( 2) D( 2) E( 2) F( 2) 3 1)A=6T=35 გ) y = 5 + 2cos2x 7 y = 12 ndash 10 cos 8 y = 61 ndash 58 sin (tndash1)

6

3

2

23

56

12

x

y

O

O

3

ndash3

4

34

54

74

94

x

y

1

2

3

23

53

3

ndash

O x

y

12

32

ndash5

ndash23

52

O

5

x

y

1

23

ndash 3

76

6

mravalwaxnagebi

gv 163-165 12 ა) 26 ბ) 29 13 d1 = 13 სმ d2 = 9 სმ 14 d1 = aradic2 d2 = 2agv 161-162 5 C წახნაგი 6 AC = 5 AC = 13 7 9 სმ

gv 168-170 2 ა) 160 მ2 5 188 სმ2 7 224 სმ2 18 radic3 +180asymp2112 სმ2

11 ა) S0 = 22 მ2 ბ) Sგვ = 90 მ2 გ) Sსრ =134 მ2 12 დ) Sგვ = 480 Sსრ = 536gv 172-173 5 200 სმ2 6 ა) Sგვ = 6 სმ2 7 140 სმ2 8 36 სმ2 10 5 სმ

20 ა) ბ)

gv 138-140 9 ა) ბ)

1y = 12 ndash 16 cos (tndash1) 2 ა)T=08 წმ ბ) 75 3ა)y =10 ndash 8cos

gv 176-1791 12 სმ 2 9 სმ 3 1680 სმ2 96 სმ2 728 სმ2 7 ა) 13სმ და 15 სმ9 52 სმ2 10 180 სმ2 11 asymp 1826 მ2 15 გ) 288 სმ2 16 36 სმ2

17 ა) 4 19 72radic3 სმ2 21 ha = 6 სმ h = 3radic3 სმ

15 ა) 2 სმ ბ) 8radic3 სმ3 17 60სმ318 ა) V = 6 სმ3 ბ) 60 სმ3-ით მოიმატა19 840მ320 288 სმ321 ა) V = 12 დმ3 22 24მ324 ა) 160radic3 25 375მ3 27 48 სმ3 28 1680 სმ3 33 ბ)18 სმ3

gv 235-236 5 ე) 2 ვ) 5 ი) 256 10 ა) ბ) გ) 2 11 დ) a07514 ბ) 8 თ) 8

გ) + 2k(kZ) l)k(kZ) 9 14) + 2n nZ

gv 180-182 4 ა) 14 სმ26 S1 = 25 მ2 S2 = 100 მ2 S3 = 225 მ2 7 11 სმ11 360 სმ2 12 330 სმ2 13 12544 სმ2 14 ა) 3740 სმ2 ბ) asymp407 სმ

318

pasuxebi

gv 186-192 2 ა)2) (ndash1)k +k (k Z) 3 ა) 2n + 2n nZბ) + nZ5 ბ) 1) 2) +2k (kZ) 6 2) ა)

gv 183 1 88 85 360 + 64radic3 22 2 დ) a=8სმ h=3სმ ha= 5სმ

343

4

33

53

73

8

n2

4

8 დ)1) 2) + k (kZ) 9 ბ)1) 2) + k (kZ)10 ა) + nnZ 13გ)

6

56

76

176

196

2

2

2

k2

k2

34

6

3

56

15ვ) + (kZ) 16 ბ) + k (kZ)დ) kZ 17 ბ) 24018 ა) 0 90 180 21 ბ) 60 120 240 300 22 ექვსი ფესვი აქვს

6

3

34

gv 196-199 2 ბ) k (kZ) გ) + nnZ 3 გ)+2k (kZ) 4 ა) - +k (kZ)4

4

5 ა) +2k (kZ) 6 ბ) 7 ბ) (kZ)34

54

74

23

3

3

23t

12

101) ა) b) - გ)ndash 0 15 ბ)75deg16 asymp2620 t asymp04წმ21 ა) h(t)=15+2cos ბ)asymp01მ c) t=6 წმ

23

23

k2

k2k2

k2

23

gv 204-206 1ა) გ) (0) 2 ა) - 3 ა) 6

6

4 ბ) - 5გ) 6 ბ)(0 8გ)2nltxlt +2nnZ

765

63

6

12 ბ) + 2k le t le + 2k (kZ)3

71614 ა) + le x le + (kZ) 15 ბ)ndash+2nltxlt +2nnZ

16

7413 ბ) + 2k le t le + 2k (kZ)

4

4

53

3

2

23

23

trigonometriuli gantolebebi da utolobebi

sivrciTi figurebis moculobagv 213-218 5225 სმ3120 მ38 ა) 99ტ10 ბ) V= 14411 875 სმ3 12 3144კგ

gv 208-209 4დ) + (kZ) 5 ბ) 20მ 24მ დ) asymp44 წმ 8 ბ) როცა 60ltxlt300

gv 219-22 1 ბ) 44 მ3 1593 მ3 3 157 4 2880 მმ35 96 სმ3 15 32 დმ3

gv 224-225 2 ა) ბ) 4 ა) 259 ბ) 12527 6 ა) V1=43 სმ314

12

35

67

gv 227 1 Sგვ =468 სმ2 Sსრ =680 სმ2 V=1072 სმ3 4 234 კუბური ერთეული

gv 232 2 ა) 5 სმ ბ) 420 სმ3 3 1 125 4 272 სმ2 9 90 სმ3 141 სმ2

5 ბ) Vპირამიდა =12 Vპარალელეპიპედი = 72 V1 V2 = 1 6

7 ა) S2 = 175 სმ2 9 63 სმ3 17 12 მ2

gv 239-240 7 ა) y = -2 ( )x ბ) y=3middot5x12 გ) 3 13 ბ) 3-ზე ნაკლები მნიშვნელობებისათვის14

maCvenebliani da logariTmuli funqciebi

gv 262-264 1 ბ) 32 ე) 2 2 ბ) 6 ზ) 9 ი) = თ) 43 ა) 4 ბ) 34 ა) 81 5 ა) 8 7 დ)3 ვ) თ) 9 8 2)10 9 2 15 32 ქულა 18 ბ) 98 წწ

319

gv 268-269 1 ა) (-1 2) ბ) (6+infin) ზ) (3+infin) 2 5) - +infin) 8) (-53

gv 270-271 3asymp103 სთ 6 asymp50 წწ 8 11 y=31ndashx 12 ა) 100-ჯერ 16 დ)3

3 4) (0 2) 8) (ndash10)(23) 12) (2 32) 5 ბ) asymp59 გრ 6 გ) 2 თ) 1

6

6

14

i2

13

13

415

137 გ) 8 ი) ( 9) კ) (-9 - ) ( 9) 9 გ) asymp154 წლის შემდეგ

gv 275 1ა) 1 გ) i 3 ა) x= 05 y= 25 5 ზ) 2+6i თ) 25

gv 283 1 ბ) 2 2i 4 ბ) 2 -1 + 3 i -1 - 3 i

gv 281 2 ა) 212 ბ) 219middoti 5ა) ბ) ndash32 8 ა) 12 i

gv 300 1ა) 6 ბ) 8 დ) k-1 7 ა) 5C0 5C1 5C2 5C3 5C4 5C5 10 ა) 8 ბ)მე-5 წევრი70gv 304 2 ა) ბ) გ) დ) ე) 3 8

6 ბ) (y+3i)(y-3i) გ)(2x+i)(2xndashi) 7ა) 65

14

532

532

132

516

516

80243

881

8 ა) 2i გ) 4i 9 ბ) 1ndashigv 279 3 ა) 2 cos +i sin გ) 2(cos + i sin ) 4 ბ) 1+i

32

53

53 5

3

53

34

325 ა) cos + i sin ბ) cos + i sin

5 bn=3n+1 9 ბ) 4 11 ა) (-infin-1)(-1 +infin) ბ) (-infinndash2)[1 +infin)

15 გ) -3-1 22 20 24 (2+1)6=36=729 28 6 29 12სმ2

30 ა) (- +) ბ) 6 +) 31 33 m = -1 42 48

gv 307-313

gv 259-260 1 დ)-1 3 თ) 2 2 14)10 15)ndash35 3 ა) 0 2 ე)12 4 ბ) 1 გ) 15

131

312

6 ა) 27 7 ე) 4+lg7 8 3)-14 9) 15 9 ა) r asymp 0042 ბ) asymp 354 წთ10 ბ) k (kZ) გ) 57 დ) ndash22

gv 266 1 მ) (- -3) (3+) ჟ) (-2 4) 2 ბ) xlt9 გ) xlt2 3 ბ) xgt2 4 ა) xge-1 5 ა) (-3 3) გ)-2-1) 2+) დ) (2 3) (7+)

7 1) xgtlog821 8 1) (- -25+) 3)(0ln2)


informaciebi da prognozebi

gv 255-257 3 ა) log215 ბ) log38 ზ) log3800 5 ა) log2 (xgt3)x+32

6 ა) a + b დ) a+b+1 8 1) ა) 27 ბ) 49 2) ა) 5x211 2) გ) 4 დ) 4 თ) ndash 4

gv 251 5 ა) ზრდადი ბ) კლებადი 6 ბ) log 5 lt log 3 გ) log23gt log54 7 k=16gv 249 7 გ) 6 დ) 25 ვ) 9 8 ა) 2 ბ) გ) 36 9ა) ბ)16 10asymp784 მილიარდი49

312

12

12

pasuxebi

gv 244-245 6 ბ) y = 3x 10 ბ) asymp 1587 მანეთი11 ა) D(f)= (-+) E ( f)= (2 +) ვ) D(f)= (-+) E ( f)= (-1 +)

53

gv 252-253 2 ა) asymp 36 db ბ) მცდარია 3 ა) 71 ბ) 5-ჯერ 6 46 წწ 117 წწ

320

literatura

1 ალგებრა სახელმძღვანელო მე-9 კლასი მერდანოვი მ იაკუბოვი მ


2 ალგებრა და ანალიზის საწყისები სახელმძღვანელო მე-10 კლასი მერ-

დანოვი მ იაკუბოვი მ და სხვ ჩაშიოღლუ 2011 (აზერბაიჯანულ ენაზე)

3 გეომეტრია სახელმძღვანელო მე-9 კლასი მერდანოვი მ მირზაევი ს






6 A problem solving approach to Mathematics Rick Billstein Pearson 2013

7 Algebra 1 Edward B Burger Harcourt Publishing Company 20108 Algebra 2 James ESchulltz Harcourt Education Company 20049 Pre-Algebra McDougal Littell Houghton Mifflin Company 200510 Discovering Advanced Algebra An Investigative Approach

Grades 10ndash12 Jerald Murdock Key Curriculum Press 201011 College and Apprenticeship mathematics

Pearson Education Canada Inc 200312 Геометрия Учебник для 7-11 классов АВПогорелов

Просвещение 1999httpwwwclasszonecomhttpwwwnctmorghttpswwwengagenyorgcontentprecalculus-and-advanced-topicshttpswwwedonlineskcawebappsmoe-curriculum-BBLEARNindexjsphttpmathkendallhuntcomx5273htmlhttpswwwkhanacademyorgmath

Documents

heidar alievi · 2018. 5. 3. · kompleqsuri ricxvebi მარტივი ... luwi funqcia da kenti funqcia nawil-nawil mocemuli funqciebi y= nx (n