heidar alieviazerbaijaneli xalxis saerTo erovnuli lideri
ali
RadiusBakı - 2017
maTematika10zogadsaganmanaTleblo skolebis
me-10 klasisaTvis maTematikis sagnis
saxelmZRvaneloAA
naima kehremanovamehemmed qerimoviilham huseinovi
gTxovT saxelmZRvanelosTan dakavSirebuli Tqveni gamoxmaureba SeniSvnebi da winadadebebi gamoagzavnoT radius_nhotmailcom da derslikedugovaz eleqtronul misamarTebze winaswar madlobas mogaxsenebT CvenTan
TanamSromlobisaTvis
sarCevi1 funqciebi
2 wertili wrfe da sibrtye sivrceSi
3 kuTxis trigonometriuli funqciebi
4 sinusebisa da kosinusebis Teorema
5 trigonometriuli funqciebi
ფუნქცია და მისი მოცემის ხერხები7ზოგიერთი ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე12ფუნქციების თვისებები 14ლუწი ფუნქცია და კენტი ფუნქცია 18ნაწილ-ნაწილ მოცემული ფუნქციები 20y= xn (nN) მაჩვენებლიანი ფუნქციები 22ფუნქციების კლასიფიკაცია23გრაფიკების გარდაქმნა25მოქმედებები ფუნქციებზე 32რთული ფუნქცია34შექცეული ფუნქცია 37განმაზოგადებელი დავალებები 41
წერტილი წრფე და სიბრტყე სივრცეში44წრფისა და სიბრტყის პარალელურობა48წრფისა და სიბრტყის მართობულობა 49სამი მართობის თეორემა52ორ სიბრტყეს შორის კუთხე ორწახნაგა
კუთხეები 54მართობული სიბრტყეები 56პარალელური სიბრტყეები 59გეგმილები და ამოცანების ამოხსნა63განმაზოგადებელი დავალებები 65
მობრუნების კუთხეები 67კუთხის რადიანული და გრადუსულიზომები 69რკალის სიგრძე სექტორის ფართობი 72ტრიგონომეტრიული ფუნქციები76ნებისმიერი კუთხის ტრიგონომეტრიულიფუნქციები80ერთეულოვანი წრეწირი და ნებისმიერიკუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები83დაყვანის ფორმულები86ტრიგონომეტრიული იგივეობები90შეკრების ფორმულები93შეკრების ფორმულებიდან მიღებულიშედეგები 97ტრიგონომეტრიული გამოსახულებებისგამარტივება 102განმაზოგადებელი დავალებები 104
სინუსების თეორემა 107კოსინუსების თეორემა 114განმაზოგადებელი დავალებები119
პერიოდული ფუნქციები 122y = sin x და y = cos x ფუნქციებისგრაფიკები 124y = sin x და y = cos x ფუნქციებისგრაფიკების გარდაქმნები128სინუსოიდის აგება ხუთი ძირითადიწერტილის მიხედვით136ტრიგონომეტრიული ფუნქციები დაპერიოდული მოვლენები141y = tg x და y = ctg x ფუნქციებისგრაფიკები 144შექცეული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები150განმაზოგადებელი დავალებები 155
7 trigonometriuli gantolebebi da utolobebi
8 figurebis moculoba
9 maCvenebliani da logariTmulifunqciebi
11 informaciebi da prognozebi
10 kompleqsuri ricxvebi
მარტივი ტრიგონომეტრიულიგანტოლებები 185ტრიგონომეტრიული განტოლებებისამოხსნის ხერხები193ამოცანების ამოხსნა ტრიგონომეტრიულიგანტოლებების გამოყენებით 198ტრიგონომეტრიული უტოლობები200განმაზოგადებელი დავალებები 209
ნამდვილმაჩვენებლიანი ხარისხი234მაჩვენებლიანი ფუნქცია 237მაჩვენებლიანი ფუნქციის გრაფიკისგარდაქმნები 243მაჩვენებლიანი ფუნქცია e რიცხვი 246რიცხვის ლოგარითმი248ლოგარითმული ფუნქცია 250ლოგარითმული სკალა და ამოცანებისამოხსნა252ლოგარითმის თვისებები 254მაჩვენებლიანი განტოლებები 258ლოგარითმული განტოლებები 261მაჩვენებლიანი უტოლებები265ლოგარითმული უტოლებები267განმაზოგადებელი დავალებები270
კომპლექსური რიცხვები273მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე 274კომპლექსური რიცხვის გეომეტრიულიგამოსახვა277კომპლექსური რიცხვის მოდული დაარგუმენტი კომპლექსური რიცხვისტრიგონომეტრიული სახე278მოქმედებები ტრიგონომეტრიული სახითმოცემულ კომპლექსურ რიცხვებზე 280n-ური ხარისხის ფესვი კომპლექსურირიცხვიდან 282განმაზოგადებელი დავალებები 284
ერთობლიობა და შერჩევა შემთხვევითიშერჩევა და სახეები 286
ბინომიალური დანაშალი 297ბერნულის ცდები 301განმაზოგადებელი დავალებები 306
ინფორმაციის წარდგენა 290
პრიზმის მოცულობა211პირამიდის მოცულობა 218სივრცითი ფიგურების მსგავსება 222მსგავსი სივრცითი ფიგურების ზედაპირები და მოცულობები223წაკვეთილი პირამიდის მოცულობა 226ამოცანები სიბრტყითი კვეთების შესახებ 228სიმეტრია სივრცეში 229განმაზოგადებელი დავალებები 232
6 mravalwaxnagebi
მრავალწახნაგები158პრიზმები160მრავალწახნაგები და მათი ხედებისხვადასხვა მხრიდან163პრიზმის ზედაპირის ფართობი 166პრიზმის სიბრტყითი კვეთები 171პირამიდა პირამიდის გვერდითიზედაპირისა და სრული ზედაპირისფართობი 174პირამიდის კვეთები წაკვეთილი პირამიდა180განმაზოგადებელი დავალებები 183
6
funqcia da misi mocemis xerxebi
zogierTi funqciis gansazRvris are
da mniSvnelobaTa simravle
funqciebis Tvisebebi
luwi funqcia da kenti funqcia
nawil-nawil mocemuli funqciebi
y= xn (nN) maCvenebliani funqciebi
funqciebis klasifikacia
grafikebis gardaqmna
moqmedebebi funqciebze
rTuli funqcia
Seqceuli funqcia
funqciebi1
7
funqcia da misi mocemis xerxebi
ჩვენს გარშემო მიმდინარე სხვადასხვა პროცესში ზოგიერთი რაოდენობები სხვებზედამოკიდებულებით იცვლება და ერთის მნიშვნელობა მეორის მნიშვნელობითგანისაზღვრება მაგალითად ქვეითის მიერ გავლილი მანძილი დროზე დამოკიდებულებითიცვლება სურსათში გადახდილი ფული მისი მასისაგან დამოკიდებულებითიცვლება გზა და დრო მასა და ღირებულება დამოკიდებული ცვლადი სიდიდეებიაამ სიდიდეებიდან ერთი დამოუკიდებლად მეორე კი მასზე დამოკიდებულებითიცვლება მაგალითად დრო დამოუკიდებელი ცვლადია ხოლო გავლილი გზა კიდროზე დამოკიდებული ცვლადი სიდიდეა სურსათის მასა დამოუკიდებელი მისიღირებულება კი დამოკიდებული ცვლადი სიდიდეა
123
152025
X Yf hndash101
102
X Y
სადაც f და g დამოკიდებულებებიდან თითოეული ფუნქციაა რადგან X სიმრავლიდანაღებულ თითოეულ რიცხვს Y სიმრავლიდან ერთადერთი რიცხვი შეუპირისპირდებაh დამოკიდებულება კი ფუნქცია არაა (რატომ)შეპირისპირების წესის თანახმად შეგვიძლია დავწეროთ f(1) = 15 f(2) = 20 f(3) = 25g(0) = 0 g(ndash1) = 1 g(1) = 1 g(ndash2) = 4 g(2) = 4
ნაჩვენები ფუნქციების არგუმენტისა და ფუნქციის Sesabamisi mniSvnelobaTawyvilebis CamoTvliT მოცემაც შეიძლებაf ფუნქცია (1 15) (2 20) (3 25)g ფუნქცია (0 0) (ndash1 1) (1 1) (ndash2 4) (2 4)
ndash2
ndash10 0
14
X Yg
1
2
არგუმენტის დასაშვებ მნიშვნელობათა სიმრავლეს ფუნქციის განსაზღვრის არეეწოდება და როგორც წესი D(f)-ით დამოკიდებული ცვლადის დასაშვებ მნიშ-ვნელობათა სიმრავლეს კი ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე (ან მნიშვნელობათაარე) ეწოდება და როგორც წესი E(f)-ით აღინიშნება
funqciis mocema sxvadasxva xerxiT SeiZlebaცხრილით შესაბამისი მნიშ-ვნელობების წყვილით დამოკიდებულების რუკით გრაფიკით ფორმულით და აშ
თუ განსაზღვრის არე სასრული სიმრავლეა არგუმენტის თითოეულ მნიშ-ვნელობაზე დამოკიდებული ცვლადის შესაბამისი მნიშვნელობის შეპირისპირებისწესის ისრების დახმარებით ჩვენება შეიძლება ასეთ ასახვას damokidebulebisruka ეწოდება
თუ x ცვლადის თითოეული მნიშვნელობას განსაზღვრული წესით y ცვლადისერთადერთი მნიშვნელობა შეესაბამება მაშინ y და x ცვლადებს შორის დამოკი-დებულებას ფუნქცია ეწოდებააქ x დამოუკიდებელი ცვლადი ანუ არგუმენტი ხოლო y-ს კი დამოკიდებულიცვლადი ან ფუნქცია ეწოდება ფუნქცია როგორც წესი f-ით (ან g და სხვ)არგუმენტის მოცემული მნიშვნელობისათვის შესაბამისი ფუნქცია კი f(x)-ით (ანg(x) (x) და სხვა) აღინიშნება y = f(x)
nimuSi 1
8
funqcia da misi mocemis xerxebi
0
(x1 f1)) (x3 x3))
(x2 x2))
f(x1) f(x3)
x
y
f(x2)
x1 x2 x3
funqciis grafikiT mocemac SeiZleba ორ ცვლად სიდიდეს შორის დამოკიდებულების საკოორდინატო სიბრტყეზე გეომეტრიული ასახვა ხელსაყრელია
nimuSi 4 სურათზე f(x) = x + 2 წრფივი ფუნქციაა 4 le x le 4 ინტერვალშიგრაფიკითაა მოცემული
mniSvnelobaTa simravle (მიღებული მოსავლის ოდენობა) 2 3 4 5
gansazRvris are (წლები) 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
(2009 3) (2010 4) (2011 2) (2012 3) (20013 5) (2014 3) (2015 2) კოორდინატებიგვიჩვენებენ 1 ჰექტარიდან მიღებული მოსავლის ცვლილებას წლების მიხედვით
nimuSi 2
funqciis formuliT - analitikuri xerxiT mocemac SeiZleba
nimuSi 3 f(x) = x2 1 le x le 3ეს ჩანაწერი უჩვენებს იმას რომ [1 3] მონაკვეთიდან აღებულ თითოეულ რიცხვს ამავერიცხვის კვადრატი შეუპირისპირდება მაგალითად f(1) = 12 = 1 f(12) = 122 = 144f(2) = 22 = 4 f(3) = 32 = 9 და სხვა ამ შემთხვევაში f(4) ჩანაწერი უაზროა ვინაიდანრიცხვი 4 მოცემული ფუნქციის განსაზღვრის არეში [1 3] მონაკვეთში არ შედისარგუმენტის თითოეული x D მნიშვნელობისათვის ფუნქციის შესაბამისი y = f(x)მნიშვნელობის გაანგარიშება კოორდინატების (x y) მქონე წერტილების საკოორ-დინატო სიბრტყეზე აგება შეიძლება ყველა ასეთი წერტილის სიმრავლე ფუნქციისგრაფიკს შეადგენს
წვეროს წერტილების კოორდინატები (4 f(4)) ეი(4 1) და (4 f(4)) ეი (4 5) მქონე მონაკვეთი ამფუნქციის მოცემული შუალედის გრაფიკია წვეროსწერტილები გრაფიკს ეკუთვნის ეს ნახაზზე შიგნითგამუქებული პატარა წრეებითაა აღნიშნულიmniSvnelobaTa are[ 1 5] SeniSvna თუ ფუნქციის გრაფიკის მრუდის (ანკიდევ წრფის მონაკვეთის) ბოლოები სპეციალურიპატარა ბურთულებით არ არის აღნიშნული ეს იმასუჩვენებს რომ ხაზის უსასრულოდ გაგრძელება შეიძლება (როგორც წესი ამასწვეროებში მყოფი ისრებით უჩვენებენ)
34
x
y
0ndash2 42ndash4
4
2
funqcia SeiZleba cxriliT iyos mocemuliასეთ შემთხვევებში ცხრილის ერთ სტრიქონში დამოუკიდებელი ცვლადის მეორე სტრიქონში კი დამოკიდებული ცვლადის მნიშვნელობები მოიცემა
ფუნქციის გრაფიკი საკოორდინატო სისტემაში აბსცისა არგუმენტების ორდინატი კი ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობების მქონე წერტილთა სიმრავლეა
ერთი ჰექტარიდან მიღებული მოსავალი (ტონობით)წლები 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
1 ჰექტარიდანმიღებული მოსავალი
(ტონობით)3 4 2 3 5 3 4
9
funqcia da misi mocemis xerxebi
saswavlo davalebebi
2 grafikis asaxvis mixedviTთუ Oy ღერძის პარალელურად გავ-ლებული ნებისმიერ ვერტიკალურწრფეზე აღმოჩნდება გრაფიკის არა-უმეტეს ერთი წერტილისა ეს დამო-კიდებულება ფუნქციაა თუ Oy ღერძისპარალელურად გავლებული ვერტიკალური წრფე გრაფიკის ორ ან უფრო მეტ წერტილსგადაკვეთს ეს დამოკიდებულება ფუნქცია არაა ეს იმას უჩვენებს რომ არგუმენტის (x-ის) ერთსა და იმავე მნიშვნელობის ფუნქციის რამდენიმე მნიშვნელობა შეესაბამებაეს კი ფუნქციის განსაზღვრებას ეწინააღმდეგება
x
y
0 x
y
0ndash3 ndash2 ndash1 31 2ndash2ndash1
12
1 wertilebis koordinatebis mixedviT არგუმენტის მნიშვნელობებს შორის(პირველი მნიშვნელობა) თუ არსებობს განმეორებადი მნიშვნელობები ეს დამო-კიდებულება ფუნქცია არაა(1 A) (1 B) (2 C) (3 D) წერტილთა სიმრავლით მოცემული დამოკიდებულებაფუნქცია არაა(1 A) (2 B) (3 C) (4 C) (5 D) დამოკიდებულება ფუნქციაა
or raodenobas Soris damokidebuleba aris Tu ara funqcia მათი გა-მომსახველი მოწესრიგებული წყვილების-წერტილთა სიმრავლის კოორდინატებისმიხედვით ან მოცემული გრაფიკის ასახვის მიხედვით განსაზღვრა შეიძლება
ვერტიკალური წრფის გავლებით შეამოწმეთ მოცემული დამოკიდებულება არისთუ არა რაიმე ფუნქციის გრაფიკი
ცხრილში მოცემულ რომელ (x y) დამოკიდებულებას შეიძლება ეწოდოს ფუნქცია
წერტილთა სიმრავლითა და მოცემული დამოკიდებულებით განსაზღვრეთ არისთუ არა ფუნქცია
განსაზღვრეთ მოცემული დამოკიდებულება არის თუ არა ფუნქცია
ა) (5 1) (3 2) (1 3) (1 2) ბ) (0 4) (3 5) (5 2) (0 1)
4
3
2
ა) ბ) გ)
ბ) ა) 1
135
31
02
22
45
11
62
1
ბ) ა) x 7 6 5 4 3y ndash1 2 ndash1 2 3
x 3 0 0 ndash1 ndash3y ndash4 ndash3 ndash1 ndash2 0
დ)
x
y
0ndash2
1
2ndash2
ndash4
x
y
0ndash3 ndash2 ndash1 1
ndash3ndash2ndash1
12
x
y
0ndash2 2
2
x
y
0ndash2 2ndash1
1
3
10
funqcia da misi mocemis xerxebiქვემოთ მოცემული დამოკიდებულებებიდან რომელს შეიძლება ეწოდოს ფუნქცია
ქვემოთ მოცემული მონაცემების მიხედვით x = 0 და x = 3 მნიშვნელობებისათვისგამოთვალეთ y-ის მნიშვნელობა განსაზღვრეთ რომელი დამოკიდებულება არისფუნქცია
y = x2 3y = 5 2x
ა) დამოკიდებულება რამიზის კვირეულ ხელფასსა და გაყიდვიდან მიღებულშემოსავალს შორის რამიზი კვირეულად იღებს 50 მანეთ მუდმივ ხელფასს და პლუსგაყიდვიდან 2 დამატებითბ) ესმერი თუ 5 კმსთ-ით მოძრაობს მისი გავლილი გზის დროზე დამოკიდებულებაგ) ბავშვების ასაკზე დამოკიდებულებით კომპიუტერის თამაშში ქულების მოპოვება
ბ) ა)
5
6
7გ) y2 + x2 = 25
თითოეული დამოკიდებულება ნიმუშის შესაბამისად წარმოადგინეთ ორიენ-ტირებული გრაფით რომელი დამოკიდებულება არ არის ფუნქცია
505
50
5nimuSi (5 0) (0 5) (5 0) (0 5)
(1 3) (0 0) (4 2) (2 3) (1 1)(2 2) (1 2) (0 0) (1 2) (22)
(5 4) (3 6) (1 0) (3 2)ა) (5 0) (0 5) (5 0) (0 5)ბ)
გ) დ)
8 მოცემულია ფუნქცია f(x) = 1 ndash 2xიპოვეთ f(ndash2) f(0) f(05) f(a + 1) მნიშვნელობები
9 g(x) = 4x3 ndash x ფუნქციისათვის გამოთვალეთ g(2) + g(ndash2) ჯამი
10 მოცემულია ფუნქციაf(x) = არგუმენტის რა მნიშვნელობისათვის ფუნქციის
მნიშვნელობა ა) 1 ბ) 0 გ) ndash2 იქნება
x + 13 ndash x
11 მოცემულია ფუნქცია f(x) = x2 ndash 2x + q იპოვეთ f(ndash1) თუ f(0) = ndash3
ფუნქცია ანალიტიკური ხერხითა და გრაფიკითაა მოცემული თითოეულიშემთხვევისათვის იპოვეთ f(0) f(15) f(ndash1) მნიშვნელობები
f(x) = 5x 2 f(x) = x2 + x f(x) = 2x3 + 1ა)
დ) ე) ვ)
ბ) გ)
12
მოცემულ განსაზღვრის არეში ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი იპოვეთ მნიშვნელო-ბათა არე და გამოსახეთ შესაბამისი ჩანაწერით
გ) ƒ(x) = x 2x | x gt 3
ა) ƒ(x) = x + 2 6 le x lt 2 ბ) f(x) = x 1 (minusinfin 3]12
12
13
დ) f(x) = 2x +1 (minus3 2]
x
y
0 2ndash2
2
ndash2
x
y
0 2ndash2
2
ndash2x
y
0 2ndash2
2
ndash2
11
funqcia da misi mocemis xerxebi
ქვემოთ მოცემული სიტუაციების შესაბამისი ფუნქციები დაწერეთ ალგებრულისახით სიტუაციის მიხედვით განსაზღვრეთ ფუნქციის განსაზღვრის არე და ააგეთგრაფიკი გრაფიკის მიხედვით იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობათა არე
1) დილარე 40 წუთის განმავლობაში ყოველ 10 წუთში 1 კმ-ს დარბოდა (სიტუაციისშესაბამისად დაწერეთ ინტერვალებით ფუნქციის განსაზღვრისა და მნიშვნელობათა არე)2) ერთი ფოტოსურათის დაბეჭვდის ფასი 25 კაპიკია n რაოდენობის ფოტოსურათისდაბეჭვდის ფასი3) სანთელი რომლის სიმაღლეც იყო 20 სმ და ყოველ 2 საათში წვის დროს 5 სმ-ითიკლებდა 6 საათში დაიწვა 4) n რაოდენობის ცხენის დაჭედებისათვის საჭირო ნალების რაოდენობა5) ერთი ლიტრი ბენზინის ფასი 90 კაპიკია ავტომობილის ავზი 40 ლიტრ ბენზინს იტევს
17
14 y = 2x + b ფუნქციის გრაფიკი A(1 ndash1) წერტილზე გადის იპოვეთ b და ააგეთფუნქციის გრაფიკი
15 c-ს რა მნიშვნელობისათვის გადის f(x) = x2 + x + c ფუნქციის გრაფიკი A(ndash1 2)წერტილზე
16 N(ndash1 1) წერტილი f(x) = x3 + mx ფუნქციის გრაფიკზეა იპოვეთ f(2)
ააგეთ მოცემული ფუნქციის გრაფიკი და გრაფიკის საკოორდინატო ღერძებითუჩვენეთ გადაკვეთის წერტილები
18
12ა) y = x ndash 1 1
2ბ) y = ndash x ndash 1
სურათზე y = 2x y = 2 + x y = y = x2 ფუნქციების გრაფიკებია მოცემულიუჩვენეთ თითოეული ფუნქციის შესაბამისი გრაფიკი
2x
x
y
Ox
y
O x
y
Ox
y
O19 მოცემული ფუნქციის ldquo1rdquo ბიჯით შეადგინეთ მნიშვნელობათა ცხრილი ააგეთ
გრაფიკი უჩვენეთ მნიშვნელობათა სიმრავლე
x + 6xა) y = 1 le x le 6 ბ) y = x2 ndash 2x ndash4 le x le 4
20 გრაფიკზე გამოსახულიწრფივი ფუნქცია ჩაწერეთფორმულით f(x) = kx + bსახით იპოვეთ f(ndash2) f(6)მნიშვნელობები
f(x) ფუნქციის მოცემული გრაფიკის მიხედვითიპოვეთ ა) f(ndash3) f(ndash1) f(0) f(1) მნიშვნელობებიბ) x-ის f(x) = 1 და x-ის f(x) = 3 ტოლობისდამაკმაყოფილებელი მნიშვნელობები
x
y
O 4
2
2
21
x
y
Ondash2ndash4 2
2
4
4
22
zogierTi funqciis gansazRvris are da mniSvnelobaTa simravle
3 kvadratuli fesvis Semcvel funqciebSi ფესვქვეშა გამოსახულებამ არ
შეიძლება მიიღოს უარყოფითი მნიშვნელობა განვიხილოთ ორ მაგალითზე
1 ფუნქციის განსაზღვრის არე x-ის 2x 6 ge 0 x ge 3 პირობის დამაკ-
მაყოფილებელი მნიშვნელობებია ეი ფუნქციის განსაზღვრის არე [3 +) შუალედია
მეორე მხრივ იმისათვის რომ კვადრატულ ფესვს აზრი გააჩნდეს უნდა იყოს 2x 6 ge 0და ამ შემთხვევაში radic2x 6 ge 0 ეი მიიღება y ge 0 ეს კი იმას ნიშნავს რომ y = radic2x 6ფუნქციის მნიშვნელობათა არე [0 +) შუალედია
ანალიტიკური ხერხით მოცემული ფუნქციის განსაზღვრის არე თუ არ არის ნაჩვენებიგანსაზღვრის არედ არგუმენტის ყველა ისეთი მნიშვნელობა მოიაზრება რომ ამმნიშვნელობებისათვის ფუნქციის გამომსახველ ფორმულას აზრი ჰქონდეს (x-ის ამმნიშვნელობებს ზოგჯერ ფუნქციის ბუნებრივ განსაზღვრის არესაც უწოდებენ) ამშემთხვევაში საჭირო ხდება გავარკვიოთ რომელ მნიშვნელობებს ვერ მიიღებსარგუმენტი ზოგიერთი ფუნქციის ალგებრული ჩანაწერის მიხედვით განვსაზღვროთმისი განსაზღვრის არე
1 ფუნქცია დამოუკიდებელი ცვლადის მიხედვით mravalwevris saxiT თუ არისმოცემული მისი განსაზღვრის არე მთელი ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა მაგალითადf(x) = x3 2x2 + 4x 1 ფუნქციის განსაზღვრის არეა (minus +)2 racionaluri funqciebis მნიშვნელში მოცემული გამოსახულების მნიშვნელობა
არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი მაგალითად რაციონალურ ფუნქცი-
აში არგუმენტის x2 4 = 0 პირობის დამაკმაყოფილებელი მნიშვნელობები არ შეიძლება
შედიოდნენ მისი განსაზღვრის არეში ეს მნიშვნელობებია x = 2 და x = 2 g(x)ფუნქცია განსაზღვრულია ( 2) (2 2) (2 +) სიმრავლეზე
2x 1x2 4g(x) =
y = radic2x 6
2 იპოვეთ y = radic4 x2 ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე ამოხსნა უნდა იყოს 4 x2 ge 0 ამ უტოლობის ამონახსენთა სიმრავლე [ndash2 2]შუალედია მაშასადამე მოცემული ფუნქციის განსაზღვრის არე [ndash2 2]-ია მეორე მხრივ4 x2 le 4 - სათვის y = radic4 x2 le radic4 = 2 და 4 ndash x2 ge 0 - სათვის y = radic4 x2 ge 0 ამრიგად y ge 0 და y le 2 ეი 0 le y le 2 სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ მნიშვნელობათა სიმრავლე [0 2] მონაკვეთია
4 grafikiT mocemuli funqciis gansaz-Rvrisa da mniSvnelobaTa aris moZebnaსურათზე y = x + 2 წრფივი ფუნქციის განსაზ-ღვრულ ინტერვალში აგებული გრაფიკია მოცემულიგრაფიკის მიხედვით დაწერეთ ფუნქციის განსაზ-ღვრის არე და მნიშვნელობათა არე უტოლობებისსახითგრაფიკის წვეროებზე შიგნით გამუქებული დაგაუმუქებელი წრეების აღნიშვნით განსაზღვრეთშესაბამისი წერტილების აბცისის განსაზღვრის არისათვის და ორდინატისამნიშვნელობათა სიმრავლისათვის მიკუთვნება-მიუკუთვნებლობა ვინაიდან (2 1)წერტილში პატარა წრე გაუმუქებელია x = 2 წერტილი განსაზღვრის არეში y = 1მნიშვნელობა კი მნიშვნელობათა არეში არ შედისგანსაზღვრის არე 6 le x lt 2 მნიშვნელობათა არე 1 lt y le 5
12
x
y
0ndash4 2ndash2ndash6
4
ndash2
2
განსაზღვრის არე
მნიშ
ვნელ
ობა
თა ა
რე
12
zogierTi funqciis gansazRvris are da mniSvnelobaTa simravle
13
saswavlo davalebebi
უჩვენეთ თითოეული ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა არე
ა) ბ) გ) დ) ე)f(x) = x2 f(x) = x3f(x) = |x| f(x) = radicxf(x) = 1x
იპოვეთ (შესაძლებლობის ფარგლებში) ფუნქციების f (ndash2) f (ndash1) f (0) f (1) f (2)მნიშვნელობები შესაბამისი მნიშვნელობის მოძებნის შეუძლებლობისას კიგანმარტეთ ამის მიზეზი
ƒ(x) = 4 2x
y = 4x x2
f(x) = 4 ndash radicx 2
f(x) = (x ndash 2)(x + 3) f(x) = x ndash 3x + 1
f(x) = x ndash 2x + 2
f(x) = radicx ndash 1x + 2
4
1
ა) ბ) გ)
დ) ე) ვ)
იპოვეთ ფუნქციის განსაზღვრის არე
2
y = 3x + 2ა) ბ) y = x3 1გ)
დ) x 2x2y = y = x ndash 3
x2 ndash x ndash 2ვ)
ზ)
y = radicxx 2ე)
y = radicx ndash 1x ndash 3თ)
იპოვეთ ფუნქციების განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა არე
3
ƒ(x) = 2x 3ა) g(x) = 3(x + 1)2 + 6ბ) h(x) = radic2 xგ)
(x) = radicx2 + 9დ) u(x) = radic9 ndash x2ე) v(x) = radic4 ndash (x ndash 1)2ვ)
იპოვეთ ფუნქციების განსაზღვრის არე5f(x) = radic2x ndash x2
x ndash 1ა) f(x) =ბ) 2x ndash x2
x ndash 1radic f(x) =გ) radic2x ndash x2
radicx ndash 16 y = radicx2 ndash mx + 8 ფუნქციის გრაფიკი M(2 2) წერტილზე გადის იპოვეთ ფუნქციის
უმცირესი მნიშვნელობა და უჩვენეთ მნიშვნელობათა სიმრავლე
7 ფუნქციების გრაფიკის მიხედვით დაწერეთ მისი ფორმულა გრაფიკზე უჩვენეთგანსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა არე დაწერეთ იგი ორმაგი უტოლობის სახით
x
y
0ndash2 2
4
2
t
h
0 4 6
5
32
52
6
1
1
3
4
x
y
0ndash2 2ndash4ndash2
4
2
8 Ria tipis SekiTxva დაწერეთ რაიმე ფუნქცია რომლის განსაზღვრის არე მოცე-მულ რიცხვთა სიმრავლეაა) ყველა ნამდვილი რიცხვი ბ) 2-ის გარდა ყველა ნამდვილი რიცხვი გ) 4- ზე არანაკლები ყველა ნამდვილი რიცხვიდ) ყველა ნამდვილი რიცხვი არაუმეტეს 3-სა
ა) ბ) გ)
y = radic1 x2 y = radicx + 4x 4ი)
funqciebis Tvisebebi
14
funqciisnulebi
x
y
= 0
gt 0 gt 0lt 0funqciis zrdadoba da klebadoba განსაზღვრის არის გარკვეული შუალე-დიდან აღებული ნებისმიერი x1 და x2-სათვის თუ x2 gt x1 პირობის დამაკმაყოფი-ლებელი f(x2) gt f(x1) ანუ თუ არგუმენტის მეტ მნიშვნელობას ფუნქციის მეტიმნიშვნელობა შეესაბამება ამ SualedSi f(x)-s zrdadi ხოლო თუ f(x2) lt f(x1)ანუ არგუმენტის მეტ მნიშვნელობას ფუნქციის ნაკლები მნიშვნელობა შეესაბამებაf(x)-s am SualedSi klebadi funqcia ეწოდება ფუნქციის მოცემულ შუალედ-ში ზრდადობას -ით კლებადობას კი -ით ავღნიშნავთ
funqciis nulebi ფუნქციის გრაფიკზე წერტილების აბსცისის განსაზღვრით ხდებამისი განსაზღვრის არის პოვნა ფუნქციის გრაფიკის აბსცისთა ღერძის გადაკვეთისწერტილებში f(x) = 0 ხდება არგუმენტის იმ მნიშვნელობებს რომლებიც ფუნქციასნულად აქცევენ funqciis nulebi ეწოდება f(x) ფუნქციის ნულები f(x) = 0 გან-ტოლების ფესვებია
ნული არ აქვს სამი ნული აქვს x1 x2 x3 ორი ნული აქვს x1 x2
ფუნქციის თვისებების ჩვენებისათვის ხელსაყრელია მისი გრაფიკით წარდგენა
თუ f(x) ფუნქცია განსაზღვრულ შუალედში ზრდადია (კლებადია) ndashf(x) ფუნქცია ამშუალედში კლებადია (ზრდადია)მაგალითად f(x) = x2 ფუნქცია [0 +) შუალედში ზრდადია g(x) = ndashx2 ფუნქცია კიიმავე შუალედში კლებადიათუ f(x) ფუნქცია განსაზღვრულ შუალედში ნულისაგან განსხვავებული ზრდადი(კლებადი) ნიშანმუდმივი ფუნქციაა მაშინ ფუნქცია ამ შუალედში კლებადია(ზრდადია)
ფუნქციის ნულები მის განსაზღვრის არეს რამდენიმეშუალედად ყოფენ და ამ შუალედებიდან თითოეულშიფუნქცია მუდმივი ნიშნის შენარჩუნების პირობებშიდადებით ან უარყოფით მნიშვნელობებს იღებს სურათზემოცემულ გრაფიკზე ფუნქციის ნიშანმუდმივობის შუა-ლედები სქემატურადაა ნაჩვენები
x2 gt x1 f(x2) gt f(x1) x2 gt x1 f(x2) lt f(x1)
x
y
y = f(x)
(0 f(0))(x1 0) (x2 0) (x3 0) x
y y = f(x)
(x2 0)(x1 0) x
y
(0 f(0))
y = f(x)
+ ndash
++
y y
f (x2) f (x1)
f (x2)
f (x)
f (x)f (x1)
x xx1 x2 x1 x2
klebadizrdadi
1f(x)
funqciebis Tvisebebi
15
მაქსიმუმისა და მინიმუმის წერტილებს (xmin xmax) ექსტრემუმის წერტილები ხოლოფუნქციის მნიშვნელობებს ამ წერტილებში ექსტრემუმები ეწოდებაგრაფიკის მიხედვით ფუნქცია x = c წერტილში აღწევს მინიმუმს x = d წერტილში კიმაქსიმუმს ეს ასე იწერება xmin = c fmin = f(c) xmax = d fmax = f(d)
გრაფიკზე ზრდის კლებით შეცვლისა და კლების ზრდით შეცვლის წერტილებიშესაბამისად ფუნქციის მაქსიმუმსა და მინიმუმს უჩვენებსx0 წერტილის მომცველ ნებისმიერ მიდამოს ამ wertilis midamo ეწოდებაx0-ის განსაზღვრულ მიდამოში თუ ყველა x-ისათვის f(x) ge f(x0) მაშინ x0-ს f(x)-ისminimumis wertili f(x0)-ს კი minimumis mniSvneloba ეწოდებაx0-ის განსაზღვრულ მიდამოში თუ ყველა x-ისათვის f(x) le f(x0) მაშინ x0-ს f(x)-ისmaqsimumis wertili f(x0)-ს კი maqsimumis mniSvneloba ეწოდება
კუთხური კოეფიციენტის ნიშნის მიხედვით შეიძლება განვსაზღვროთ წრფივიფუნქცია ზრდადია თუ კლებადია
ანალიტიკური ხერხით ვუჩვენოთ რომ f(x) = kx + b ფუნქცია როცა k gt 0 მთელრიცხვით ღერძზე ზრდადია ხოლო როცა k lt 0 მაშინ კლებადიაარგუმენტის (ndash +) შუალედიდან აღებული და x2 gt x1 პირობის დამაკმა-ყოფილებელი ორი მნიშვნელობისათვის განვიხილოთ f(x2) ndash f(x1) სხვაობა
f(x2) ndash f(x1) = (kx2 + b) ndash (kx1 + b) = k middot (x2 ndash x1)პირობის თანახმად რადგან x2 gt x1 ამიტომ f(x2) ndash f(x1) სხვაობის ნიშანი k-ს ნიშანსემთხვევა მაშასადამე როცა k gt 0 მაშინ f(x2) gt f(x1) ანუ ფუნქცია ზრდადია ხოლოროცა k lt 0 მაშინ კი f(x2) lt f(x1) ანუ ფუნქცია კლებადიაზრდად და კლებად ფუნქციებს მონოტონური ფუნქციები ეწოდება
მთელ განსაზღვრის არეზე ფუნქციისმნიშვნელობებს შორის უდიდესი udm-ით და ყველაზე პატარა კი umm-ით (თუარსებობს) შეიძლება აღინიშნოს თუფუნქცია უწყვეტია udm-სა და umm-სშორის ყველა მნიშვნელობას იღებს
wrfivi funqciebi romelTa kuTxurikoeficienti dadebiTia zrdadia
y = ndash2x + 3 funqciaklebadia
y = 2x + 1 funqcia zrdadia
wrfivi funqciebi romelTa kuTxurikoeficienti uaryofiTia klebadia
y
11
3
3
ndash1ndash3ndash5 x
y
11
3
3
ndash1ndash3ndash5 x
მაგალითად f(x) = x2 + 4 ფუნქცია [0 +) შუალედში ზრდადია g(x) =ფუნქცია კი იგივე შუალედში კლებადია
1x2 + 4
0
მაქსიმუმი
მინიმუმი
y
x
udm
umm
მნიშვნელობათა არე
abc
d
16
funqciebis Tvisebebi
saswavlo davalebebi
1 იპოვეთ ფუნქციის ნულები
15ა) y = x ndash 4 ბ) y = 2x(x ndash 3) გ) y = radicx ndash 2 დ) y = radicx ndash 2
2
3 ა) გამოსახეთ რომელიმე ზრდადი ფუნქციის გრაფიკი რომლის განსაზღვრის არეა [1 4]ბ) გამოსახეთ რომელიმე კლებადი ფუნქციის გრაფიკი რომლის განსაზღვრის არეა [1 4]
გამოსახეთ რაიმე ფუნქციის გრაფიკი რომლის ნულები მოცემული რიცხვებიაა) ndash1 3 ბ) ndash2 1 4
4 დაწერეთ დამოკიდებულების რუკით მოცემული ფუნქციების ა) განსაზღვრის არედა მნიშვნელობათა სიმრავლე ბ) ზრდისა და კლების შესახებ
X Y
ა)1
02
21
35917
ბ)02143
53412
გ)16
941
4321
დ)ndash2
2ndash1
10
410
X Y X Y X Y
amoxsna 1 ფუნქციის gansazRvris are [-1 5]შუალედია ფუნქციის mniSvnelobaTa simravle
[-3 3] შუალედია (5 2) წერტილი კი გრაფიკს არეკუთვნის (შიგნიდან გაუქმებული წრითააააღნიშნული)
2 funqciis nulebi გრაფიკის x ღერძთან გადა-კვეთის წერტილების აბსცისებია x = 1 და x = 4 მაშა-
სადამე x = 1 და x = 4 წერტილები ფუნქციის ნულებია
f(1) = 0 და f(4) = 03 funqciis zrdadoba da klebadoba ფუნქციის ნულები მისი განსაზღვრისარეს ფუნქციის ნიშანმუდმივობის შენარჩუნებით სამ შუალედად ყოფს (-1 1) (1 4)და (4 5) ფუნქცია (1 4) შუალედში უარყოფით ხოლო (ndash1 1) და (4 5) შუალედებიდანთითოეულში დადებით მნიშვნელობას იღებსგრაფიკიდან ჩანს რომ x-ის -1 დან 1-მდე ზრდისას y-ის მნიშვნელობა 1-დან 3-მდეიზრდება x-ის 0-დან 2-მდე ზრდისას y-ის მნიშვნელობა 3-დან ndash3-მდე მცირდება x-ის 2-დან 5-მდე ზრდისას კი y-ის მნიშვნელობა ndash3-დან 2-მდე იზრდებაფუნქცია [-1 0] და [2 5] შუალედებიდან თითოეულში ზრდადია [0 2] შუალედშიკლებადია4 funqciis eqstremumebi-maqsimumebi da minimumebi გრაფიკზე (0 3) და (2 ndash3) წერტილები ექსტრემუმის წერტილებია ეს წერტილები შესაბამისად ფუნქციისმაქსიმუმსა და მინიმუმს უჩვენებს xmax = 0 fmax = 3 xmin = 2 fmin = ndash3
x
y
0ndash3
მნიშ
ვნელ
ობა
თა
განსაზღვის არე
(ndash1 1) (0 3)(5 2)
(2 ndash3)
y= f(x)4
432
1
ndash2
nimuSi ჩამოთვალეთ გრაფიკზე მოცემული ფუნქციის თვისებები
17
funqciebis Tvisebebi
y = f(x) ფუნქცია (ndash +) შუალედში განსაზღვრული კლებადი ფუნქციაადაალაგეთ ქვემოთ მოცემული მნიშვნელობები ზრდის რიგის მიხედვით
ა) f(0) f(ndash4) f(2) ბ) f(1) f(ndash1) f(3) გ) f(ndashradic3) f(ndash2) f(radic2)
6
ndash2
5 სურათზე მოცემული გრაფიკისათვის იპოვეთა) განსაზღვრის არე ბ) ნულები გ) დადებითნიშნიანი შუალედები დ) უარყოფითნიშნიანი შუალედები ე) ზრდის შუალედები ვ) კლების შუალედები ზ) ექსტრემუმები თ) მნიშვნელობათა არე
x
y
2 43 650ndash2
2
1
ndash3
ndash1
1
ndash3
3
ndash2
x
y
2 43 50ndash2
2
1
ndash3
ndash1
1
ndash3
34
ndash4ndash5
1) 2)
8
7 ცხრილში A და B კომპანიების კვირეული რეალიზაციის მოცულობებია მოცემულია) თითოეული კომპანიისათვის განსაზღვრეთ გაიზარდა თუ შემცირდარეალიზაციის მოცულობაბ) თითოეული კომპანიისათვის მოცემული ცხრილი გამოსახეთ გრაფიკულად
ააგეთ მოცემული ფუნქციის გრაფიკი უჩვენეთ ზრდადია თუ კლებადი იპოვეთფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა
ა) f(x) = x ndash 3 ndash2 le x le 4 ბ) f(x) = 3 ndash x ndash1 le x le 412
9 იპოვეთ ფუნქციის ნულები გამოსახეთ გრაფიკი სქემატურად გამოიკვლიეთ ნიშან-მუდმივობა უჩვენეთ ზრდისა და კლების შუალედები დაწერეთ ექსტრემუმებია) y = x2 ndash 4 ბ) y = x ndash 1 გ) y = ndashx2 + 2x + 3
კვირა 1 2 3 4 გაყიდვა 5 71 87 12
A კომპანია (ათი ათას მანეთობით)
კვირა 1 2 3 4 გაყიდვა 56 42 38 3
B კომპანია (ათი ათას მანეთობით)
10დაწერეთ f(x) = kx + b ფუნქციის ფორმულა რომლის გრაფიკი A(1 ndash1) და B(2 1)წერტილებზე გადის დაალაგეთ ზრდის რიგის მიხედვით f(ndash3) f(ndash4) f(2)მნიშვნელობები განსაზღვრეთ არგუმენტის რა მნიშვნელობისათვის f(x) ge f(1)
11იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა (თუ გააჩნია)
ბ) f(x) = 2 ndash x ndash 1ა) f(x) = 2 + radicx ndash 4 გ) f(x) = 2x2 + 1
12ააგეთ მოცემული ფუნქციის გრაფიკი მოცემულ შუალედში უჩვენეთ ექსტრე-მუსმები იპოვეთ უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები
ა) y = 2x ndash x2 [ndash1 2] ბ) y = x2 + 4x [ndash2 1]
18
luwi funqcia da kenti funqcia
ლუწი ფუნქციის გრაფიკი ორდინატთაღერძის მიმართ სიმეტრიულია
კენტი ფუნქციის გრაფიკი კოორდინატთასათავის მიმართ სიმეტრიულია თუ f(x)კენტი ფუნქციაა x = 0 წერტილში განსაზ-ღვრულია მაშინ f(0) = 0
x
y
0ndash2
4
2
4
(x y)
6
ndash4 2
(ndashx y)x
y
0ndash2 42ndash4ndash2
2
ყველა ფუნქცია კენტი ან ლუწი არაა თუ ფუნქციის განსაზღვრის არე x = 0 წერტილისმიმართ არ არის სიმეტრიული მაშინ ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი განსაზ-ღვრის არის 0-ის მიმართ სიმეტრიული ფუნქციისათვის f(ndashx) = f(x) და f(ndashx) = ndashf(x)პირობების დარღვევის შემთხვევაშიც ამბობენ რომ ფუნქცია არც კენტია და არც ლუწი
nimuSi 1 f(x) = x2 + x ფუნქციისათვის გამოიკვლიეთ ლუწ-კენტობაamoxsna ფუნქციის განსაზღვრის არე-ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე x = 0წერტილის მიმართ სიმეტრიულია თუმცა რადგან f(ndashx) = (ndashx)2 + (ndashx) = x2 ndash xამიტომ f(ndashx) f(x) და f(ndashx) ndashf(x) მაშასადამე მოცემული ფუნქცია არც კენტია დაარც ლუწი
nimuSi 2 ფუნქციისათვის გამოიკვლიეთ ლუწ-კენტობა
amoxsna ფუნქციის განსაზღვრის არე ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა და
f(x) = = f(x)
f(x) =x3 xx2 + 2
(x)3 (x)(x)2 + 2
x3 + xx2 + 2
(x3 x)x2 + 2
(x3 x)x2 + 2===
რადგან f(x) = f(x) მოცემული ფუნქცია კენტი ფუნქციაა
ფუნქციის გრაფიკი yღერძის მიმართ სიმეტ-რიულია ეს ფუნქციალუწი ფუნქციაა
ფუნქციის გრაფიკი არცy ღერძის მიმართაა სი-მეტრიული არც კოორ-დინატთა სათავის მი-მართ ფუნქცია არც კენ-ტია და არც ლუწი
xndashx
xndashx
(x y)
(ndashx ndashy)
ა) f(x) = x2 4 ბ) f(x) = x2 minus 4x + 3nimuSi 3 გამოიკვლიეთ ლუწ-კენტობა ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით
განვიხილოთ ფუნქციები რომელთა განსაზღვრის არე x = 0 წერტილის მიმართარის სიმეტრიული
108642
-2-2-4-4-6
2 4
10864
4
2
2-22 xx
yy
თუ განსაზღვრის არიდან აღებული ნე-ბისმიერი x-სათვის f(x) = f(x) მაშინf(x) ფუნქციას ლუწი ფუნქცია ეწოდება
თუ განსაზღვრის არიდან აღებული ნების-მიერი x-სათვის f(x) = f(x) მაშინ f(x)ფუნქციას კენტი ფუნქცია ეწოდება
19
luwi funqcia da kenti funqcia
გამოიკვლიეთ მოცემული ფუნქციის ლუწ-კენტობა
მოცემული გრაფიკების მიხედვით განსაზღვრეთ ფუნქციები კენტია თუ ლუწი
გამოიკვლიეთ მოცემული ფუნქციების ლუწ-კენტობა
f(x) = 5x3+ x
f(x) = x2+ 6
f(x) = x2 + 1
f(x) = x5
f(x) = x3+ x f(x) = x + 4
f(x) = x3
f(x) = x2
f(x) = 3x2 5f(x) = x(x2 + 5)f(x) = 0
f(x) = 5x3+ x2+ 4f(x) = 2x3 3x f(x) = 1
x2 + 2
|x|x2 + 1|x|
x3 1
f(x) =
f(x) =
1
2
3
4 მოცემულია მთელ რიცხვთა ღერძზე განსაზღვრული f(x) ფუნქცია იპოვეთა) f(4) -ის მნიშვნელობა თუ f(x) ლუწი ფუნქციაა და f(ndash4) = 7ბ) f(4) -ის მნიშვნელობა თუ f(x) კენტი ფუნქციაა და f(ndash4) = 7გ) f(3) + f(ndash5) თუ f(x) ლუწი ფუნქციაა და f(ndash3) = 8 f(5) = ndash2 დ) f(2) + f(0) + f(ndash4) თუ f(x) კენტი ფუნქციაა და f(ndash2) = 3 f(4) = ndash7
5 მოცემულია იმ f(x) ფუნქციის გრაფიკის ერთი ნაწილირომლის განსაზღვრის არეა [ndash2 2] დაასრულეთ გრაფიკითუ ცნობილია რომ ფუნქცია არის ა) ლუწი ბ) კენტი x
y
0ndash2
ndash2
2
saswavlo davalebebi
6 თუ ფუნქციის განსაზღვრის არე მოცემულ შუალედშია მაშინ შეიძლება მოცემული ფუნქცია იყოს კენტი ან ლუწი
ა) [ndash6 6] ბ) (ndash6 6) გ) (ndash6 6] დ) [ndash9 10) ე) (ndash 1) (1 +)7 f(x) ფუნქცია მთელ რიცხვით ღერძზეა განსაზღვრული და [0+) შუალედში
ზრდადია 1) თუ f(x) ლუწი ფუნქციაა შეადარეთა) f(2) და f(3) ბ) f(5) და f(7) გ) f(ndash2) და f(ndash3) დ) f(ndash5) და f(ndash7) 2) ზრდადია თუ კლებადია f(x) ფუნქცია (ndash 0] შუალედში
8 სქემატურად გამოსახეთ რაიმე ლუწი ფუნქციის გრაფიკი რომლის განსაზღვრისარეც არის [ndash6 6] მონაკვეთი ზრდადია [ndash6 0] შუალედში და x = ndash4 წერტილშინულის ტოლი ხდება x-ის რა მნიშვნელობებისთვისაა f(x) gt 0
y
x0 2 4
05
1
ndash2ndash4ndash05
ndash1
y
x2
02
1ndash2
ndash5ndash10
yy
x
x
0 2 4
0204
5 10
ndash2ndash4ndash02ndash04
ndash1ndash5ndash10
510
0
0
ა) ბ) გ) დ)
ა) ბ) გ) დ)
20
nawil-nawil mocemuli funqciebi
amoxsna ფუნქციის გრაფიკი x = 1 წერტილის მარცხნივ
y = ndash x ndash წრფის x = 1-ის მარჯვნივ კი y = x 2
წრფეზეა ვინაიდან f(1) = ndash1 მოცემული ფუნქციის გრაფიკი
წვერო (1 -1) წერტილში მქონე ტეხილია თუ გრაფიკის
ასახვა ხდება კალმის ldquoფურცლიდან აუღებლადrdquo შეიძლება
ითქვას რომ ფუნქცია უწყვეტია ნიმუშში მოცემული ფუნ-
ქცია უწყვეტია
ხშირ შემთხვევაში რეალური ცხოვრებისეული სიტუაციების ასახვისათვის გამოიყენებაარა ერთი არამედ რამდენიმე ფუნქცია და მათი განსაზღვრის არეამოცანა საბითუმო მაღაზიაში მინიმუმ 10 და მაქსიმუმ 20 სპორტული პერანგისშემძენისათვის ერთი პერანგის ფასი 3 მანეთია 20-ზე მეტი სპორტული პერანგისშემძენისათვის ფასი 2 მანეთია დაწერეთ ამ ორ სიდიდეს შორის დამოკიდებულებაგაყიდვიდან შემოსული ფული აღნიშნეთ C- თი პერანგების რაოდენობა n-ით
C (n) = 3 n2 n
10 le n le 20 n gt 20
ამ სიტუაციის ორი ფუნქციის C(n) = 3 n 10 le n le 20 და C(n) = 2 n n gt 20 საერთოსახით ქვემოთ მოცემული ჩანაწერით გამოსახვა შეიძლება
ამ ფუნქციის გრაფიკი საფეხურიანი ნაწილებისაგან შედგება ვინაიდან გრაფიკიწყვეტილი ხაზებისაგან შემდგარი ფუნქცია წყვეტადიამსგავსი ფუნქციები როგორც მთელი ნაწილის ფუნქციები ზოგადად f (x) = [x] სახითიწერება აგებული გრაფიკი მთელი - ნაწილი ფუნქციის [0 4) შუალედში არსებულიგრაფიკია
1 თუ 0 le x lt 12 თუ 1 le x lt 23 თუ2 le x lt 34 თუ 3 le x lt 4
ƒ(x) =
nimuSi 2 ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი
x
y
0ndash1 1ndash1
1
(1ndash1)
ndash x ndash როცა x lt 1 x 2 როცა x ge 1
12
12
12
12
n = 15 n = 20 n = 30 n = 40 იპოვეთ C(n) ფუნქციის მნიშვნელობები n = 15 და n = 20 მნიშვნელობებისათვის10 le n le 20 პირობის დამაკმაყოფილებელი რიცხვისათვის ფული 3 n ფორმულით უნდაგამოვთვალოთC (15) = 3 n = 3 15 = 45 C (20) = 3 n = 3 20 = 60 n = 30 და n = 40 მნიშვნელობები n gt 20 პირობას შეესაბამება
ƒ(x) =
C(30) = 2 30 = 60 C(40) = 2 40 = 80ისეთ ფუნქციებს რომლებშიც განსაზღვრის არე სხვადასხვა შუალედში სხვადასხვაფორმულითაა მოცემული ნაწილ-ნაწილ მოცემული ფუნქცია ეწოდება
მუქი (23)წერტილიუჩვენებს რომ f(2) = 3
გაუმუქე-ბელი(22)წერტილიუჩვენებს რომ f(1)ne2
x
y
0
1
1
nimuSi 1 ააგეთ ნაწილ-ნაწილ მოცემული ფუნქციის გრაფიკი
21
nawil-nawil mocemuli funqciebi
x = 15
დაწერეთ განტოლება ნაწილ-ნაწილ ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით
ა) ბ) გ) დ)
გამოთვალეთ ნაწილ-ნაწილ მოცემული ფუნქციის მნიშვნელობები არგუმენტისმოცემული მნიშვნელობისათვის
ააგეთ ნაწილ-ნაწილ მოცემული ფუნქციის გრაფიკი გრაფიკის მიხედვითგამოიკვლიეთ ფუნქციის უკვეთობა
f(x) =
ავტოსადგომზე გადახდის წესიyoveli naxevari saaTi 050 M
naxevari saaTisaTvis gadasaxadi Tu 2 maneTs miaRwevs avtomobils sadgomze 12 saaTi SeuZlia idges
ა) გადახდის პირობა გამოსახეთ ნაწილ-ნაწილ ფუნქციით ბ) ააგეთ ფუნქციისგრაფიკი გ) დაწერეთ განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა არეmiTiTeba მოთხოვნილი ფუნქცია აღნიშნეთ f(t)-თი და დაწერეთ 050 1 15 2მანეთის თანხის შესაბამისი დროის ინტერვალები კომპანია თანამშრომლებს ხელფასს სამუშაო საათების მიხედვით ქვემოთ მოცემულიწესით უხდის თუ თანამშრომელი კვირის განმავლობაში 40 სთ-ის იმუშავებს ყოველსამუშაო საათში 8 მანეთი 40 საათის ზევით თითოეული სამუშაო საათისათვისნორმალური ტარიფიდან 15-ჯერ მეტს იღებს დაწერეთ ამ კომპანიაში ანაზღაურებისწესი ნაწილ-ნაწილი ფუნქციის სახით რამდენ მანეთს მიიღებს თანამშრომელირომელმაც კვირაში 48 საათი იმუშავა
015x 0 lt x le 25010x 26 le x le 100007x 101 le x le 500005x 501 le x
2x 3 x le 4 3x + 5 x gt 4
x = 4 x = 2 x = 12
M(x) = მოცემული ფუნქცია ფოტოსურათების გამრავ-ლების კომპანიაში ფოტოსურათის x რაოდენობაზედამოკიდებულებით M(x)-ის დამაკმაყოფილებელთანხას (მანეთობით) უჩვენებს
1) იპოვეთ 20 ფოტოსურათის დაბეჭდვისათვის გადახდილი თანხა2) სწორია მოსაზრება იმის შესახებ რომ 150 სურათის დაბეჭდვისათვის 10 მანეთზენაკლების გადახდაა საჭირო3) რამდენი ფოტოსურათის დაბეჭდვა შეიძლება 40 მანეთად
saswavlo davalebebi
1
2
3
4
5
6
f(x) = x + 1 ndash3 le x lt 13x ndash 1 1 le x le 3 f(x) =
4 0 le x lt 25 2 le x lt 46 4 le x lt 6
ა) ბ)
ა) ბ) გ)
f(x) = 2x x le 0 radicx x gt 0
მოცემულია ფუნქცია იპოვეთ
ა) f(ndash2) ბ) f(ndash1) გ) f(0) დ) f(1) ე) f(4)
f(x) = 1 ndash x x lt 1x ndash 1 x ge 1გ)
7
x
y
0 7
3
5
1
3
(32)
(15)
(70)x
y
0
1
1
x
y
0 42ndash2
2
ndash1
22
3
5
მოცემულია ფუნქციები f(x) = x3 და g(x) = x4 შეადარეთ ა) f(01) და g(01) ბ) f( ) და g( ) გ) f(2) და g(2) 1
212
4
y = xn (n N) maCvenebliani funqciebi
ნებისმიერი n ნატურალური რიცხვისათვის y = xn სახის ფუნქციასნატურალურმაჩვენებლიანი ფუნქცია ეწოდება ქვემოთ მოცემულია მაჩვენებლიანი ფუნქციების გრაფიკები როცა n = 1 n = 2 და n = 3
y = xn ფუნქციის გრაფიკი n-ის ნებისმიერი ლუწი მნიშვნელობისათვის y ღერძის მიმართსიმეტრიულია და y = x2 ფუნქციის მსგავსია n-ის ნებისმიერი კენტი მნიშვნელობისათვისy = xn ფუნქციის გრაფიკი კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულია და n-ის 1-ზემეტი კენტი მნიშვნელობისათვის y = x3 ფუნქციის გრაფიკის - კუბური პარაბოლისმსგავსია
როცა n gt 1 n N მაშინ xn ფუნქციის გრაფიკს n რიგის პარაბოლა ეწოდება როგორცგრაფიკებიდან ჩანს როცა n gt m (0 1) შუალედში xn ფუნქციის გრაფიკი xm
ფუნქციის გრაფიკზე ქვევით (1 +) შუალედში კი ზევით მდებარეობს
saswavlo davalebebi
1
2
x
y
0
1
1 x
y
0
1
1 x
y
0
1
1
ა) y = x ბ) y = x2 გ) y = x3
x
y
0(1 1)(ndash1 1)
y = x2
y = x6
y = x4
x
y
0
(1 1)
(ndash1 ndash1)
y = x3
y = x5
მოცემულ წერტილებში ფუნქციის მნიშვნელობები შეადარეთ ნულს x = 0 x = ndash3 x = 5
ა) f(x) = x7 ბ) f(x) = x6
y = x funqciis grafikiwrfea
y = x2 funqciis grafikiparabolaa
y = x3 funqciis grafikikuburi parabolaa
ერთი და იგივე საკოორდინატო სიბრტყეში ააგეთ y = x4 და y = 16 ფუნქციისგრაფიკები და უჩვენეთ გადაკვეთის წერტილები გრაფიკული გამოსახულებისმიხედვით ამოხსენით უტოლობები x4 lt 16 და x4 gt 16
მოცემული ფუნქციის გრაფიკი გადის თუ არა მოცემულ წერტილზეა) y = x4 A(ndash2 16) ბ) y = x5 B(ndash2 32) გ) y = x5 C(ndash ndash )1
2132
იკვეთება თუ არა მოცემული ფუნქციის გრაფიკი მოცემულ წრფესთანა) y = x8 y = 2 ბ) y = x6 y = ndash3 გ) y = x5 y = 2 დ) y = x7 y = ndash3
D(x2k+1)= (minusinfin +infin) E(x2k+1)= (minusinfin +infin)ნულები x = 0(minusinfin +infin) eqstremumiar aqvs
D(x2k)= (minusinfin +infin) E(x2k)= [0 +infin)ნულები x = 0(minusinfin 0] [0+) xmin=0fmin=0
23
funqciebis klasifikacia
მუდმივიფუნქცია
იგივური ფუნქცია
კვადრატული ფუნქცია კუბური ფუნქცია
მოდულიანი ფუნქცია
კვადრატული ფესვის ფუნქცია
რაციონალური ფუნქცია
f(x) = c f(x) = x
f(x) = x2 f(x) = x3
f(x) = |x|
f(x) = radicx
f(x) = 1x
D(f) = (minusinfin +infin)E(f) = c
D(f)= [0 +infin)E(f)= [0 +infin)ნულია x = 0[0 +) ექსტრემუმი არა აქვს
D(f)= (minusinfin +infin) E(f)= [0 +infin)ნულია x = 0(minusinfin 0] [0 +)(0 0) წერტილში მინიმუმია
D(f)=(minusinfin 0) (0 +infin)E(f)=(minusinfin 0) (0 +infin)
D(f) = (minusinfin +infin)E(f) = (minusinfin +infin)
D(f) = (minusinfin +infin)E(f) = [0 +infin)
D(f)= (minusinfin +infin)E(f)= (minusinfin +infin) ნულია x = 0ზრდადი ფუნქციააექსტრემუმი არა აქვს
ცვლადი სიდიდეები ძალიან სხვადასხვაგვარია თუმცა ერთი შეხედვით ერთმანეთთანკავშირის უხილავ პროცესებში სიდიდეების ცვლილებები ერთიდაიგივე დამო-კიდებულებით შეიძლება იქნეს მოცემული ამიტომ ყველაზე ხშირად შემხვედრიდამოკიდებულებების შესაბამისად საწყისი ფუნქციის საფუძვლად მიჩნევითფუნქციები ერთ ოჯახში ერთიანდებიან მაგალითად y = 2x2 + 1 y = ( x ndash 1 )2 +2 y = ndash3x2 ფუნქციების გრაფიკები y = x2
პარაბოლაზე ჩატარებული გარდაქმნებით მიიღება ამიტომაც ეს ფუნქციები ასევე y = a( x ndash m )2 +n ფორმულით მოცემული ყველა ფუნქცია ერთ ოჯახში შეიყვანება დაამ ოჯახის მთავარ ფუნქციად y =x2 ითვლებაქვემოთ მოცემულ ცხრილში ზოგიერთი ძირითადი ფუნქციის გრაფიკები და მათშესახებ გარკვეული ინფორმაციებია მოცემული
ნულია x = 0ზრდადი ფუნქციააექსტრემუმი არა აქვს
ნულია x = 0(minusinfin 0] [0 +)(0 0) წერტილშიმინიმუმია
ნული არა აქვს(minusinfin 0) (0 +)ექსტრემუმი არა აქვს
x
y
O x
y
O x
y
O x
y
O
x
y
O x
y
O x
y
O
24
2) განსაზღვრეთ მოცემულიგრაფიკებიდან თითოეულიზემოთ მოცემულ რომელ სი-ტუაციას შეესაბამება
funqciebis klasifikacia
ა) ცხრილში 2002 წლიდანდაწყებული ბიზნესმენის წლი-ური შემოსავალია (მანეთო-ბით) ნაჩვენები x = 3 მნიშვნელობა 2002 წელს შეესაბამება რამდენი შემოსავალიექნება ბიზნესმენს 2018 წელსბ) ცხრილში ნაჩვენებია 1500-დან დაწყებუ-ლი ყოველი მორიგი საათის განმავლობაშიმაღა-ზიაში გაყიდული პურის რაოდენობაx = 3 მნიშვნელობა 1500 საათს შეესაბამება ივარაუდეთ 17 30 საათისათვის გაყი-დული პურის რაოდენობა
რომელი ფუნქციით გამოსახავდით (1 1) (0 0) (1 1) წერტილთა სიმრავლეს
1
2
x 3 4 5 6 7 8 9 10y 7931 8306 8800 9206 9588 10076 10444 10876
x 3 4 5 6 7 8 9 10y 15 30 40 50 45 42 31 18
ა) თუ მოცემულ წერტილებს (2 8) და (2 8) წერტილებსაც დავამატებთ ამწერტილთა სიმრავლის რომელი ფუნქციით გამოსახვა იქნებოდა უფრო სწორიბ) თუ (1 1) წერტილი (1 1) წერტილით შეიცვლება ამ წერტილთა სიმრავლისრომელი ფუნქციით გამოსახვა შეიძლებაგ) თუ (1 1) წერტილი (9 3) წერტილით შეიცვლება ამ წერტილთა სიმრავლისრომელი ფუნქციით გამოსახვა შეიძლება
saswavlo davalebebi
3 = const (იდეალური აირის მდგომარეობის განტოლება) ფორმულაში p V და Tსიდიდეებიდან რომელიმე ერთ-ერთი ჩათვალეთ მუდმივ სიდიდედ და განსაზღვრეთდამოკიდებულების ხასიათი დანარჩენ ორს შორის განიხილეთ ყველა შემთხვევათითოეული შემთხვევისათვის უჩვენეთ მთავარი ფუნქცია
4
5
ცნობილია რომ y და x ცვლადებს შორის დამოკიდებულება პირდაპირპრო-პორციული ან უკუპროპორციულია დაწერეთ y = f(x) ფუნქციის ფორმულა დაააგეთ გრაფიკი თუ ცნობილია რომ f(2) = 2 და f(4) = 1
3 მ სიგრძის კიბე კედელზეა მიყუდებული კიბის ქვედა წვეროკედლიდან d მეტრ მანძილზეა ზედა წვერო კი მიწიდან h მეტრსიმაღლეზეაა) დაწერეთ h სიმაღლის d მანძილზე h(d) დამოკიდებულებისფორმულა ბ) განსაზღვრეთ ფუნქციის განსაზღვრისა დამნიშვნელობათა არე ააგეთ გრაფიკი გ) გამოსახეთ კიბისმდებარეობა როცა d = 0 და d = 3 მ
ა) ბ)
dh
pVT
1) ააგეთ ცხრილში მოცემული ფუნქციების გრაფიკები დაწერეთ თითოეული ფუნქციისათვის შესაბამისი კლასის ძირითადი ფუნქცია
25
იმ შემთხვევაში როცა m = 0 გრაფიკი მხოლოდ ვერტიკალური მიმართულებით პარა-ლელურად გადაიტანება და ახალი ფუნქცია y = f(x) + n ხდება
x
y
y = f(x)
y = f(x) + 3
3 erTeuliTzeviT
x
y
y = f(x)
y = f(x) ndash 3
3 erTeuliTqveviT
პარალელური გადატანისას გრაფიკის ყველა წერტილი მოცემული მიმართულებითერთი და იგივე მანძილით იცვლის ადგილს გრაფიკის ფორმა კი არ იცვლება
y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის თითოეული წერტილი ltm ngt ვექტორით პარალელურადგადავიტანოთ A(a b) rarr A1(a + m b + n)თუ A წერტილის კოორდინატები b = f(a) ტოლობას აკმა-ყოფილებენ A1 წერტილის კოორდინატები y ndash n = f(x ndash m)ტოლობას აკმაყოფილებენ ანუ y = f(x) ფუნქციისგრაფიკის ltm ngt ვექტორით პარალელური გადატანისასy = f(x ndash m) + n ფუნქციის გრაფიკი მიიღება მოცემულიგრაფიკი ჰორიზონტალური მიმართულებით m ერთე-ულით (როცა m gt 0 მარჯვნივ როცა m lt 0 მარცხნივ)ვერტიკალური მიმართულებით n ერთეულით (როცა n gt 0 ზევით როცა n lt 0ქვევით) მოცურდება
x
y
y = f(x)y = f(x ndash 3)nimuSi
3 erTeuliT marjvnivx
y y = f(x)
y = f(x + 3)
3 erTeuliT marcxnivO
O
O
O
grafikebis gardaqmna
თითოეული ფუნქციისათვის განსაზღვრეთ m-ისა და n-ის მნიშვნელობა დაწერეთმოცურება ჰორიზონტალური იქნება თუ ვერტიკალური
ა) y 4 = f (x) ბ) y = f (x) 4 გ) y = f (x + 1) დ) y + 3 = f (x 7)
1
2 სამწევრის სრული კვადრატის გამოყოფით განმარტეთ მოცემული ფუნქციებისგრაფიკები y = x2 ფუნქციის გრაფიკიდან რომელი გარდაქმნებითაა მიღებულია) f (x) = x2 + 2x + 1 ბ) g(x) = x2 4x + 3
praqtikuli mecadineoba 1) y = x2 პარაბოლაზე აღნიშნეთწერტილები (0 0) (ndash1 1) (2 4)2) ეს წერტილები lt4 1gt ვექტორით პარალელურადგადაიტანეთ (0 0) rarr (4 1) (ndash1 1) rarr (3 2) (2 4) rarr (6 5)3) პარალელური გადატანიდან მიღებული წერტილებიშეამოწმეთ y = (x ndash 4)2 + 1 პარაბოლაზე მდებარეობენ თუ არა
x
y
y = x2
y = (x ndash 4)2 + 1
O
(4 1)
(3 2)(2 4)(6 5)
(ndash1 1)
x
y
y = f(x)A(a b)
A1(a + m b + n)
O
იმ შემთხვევაში როცა n = 0 გრაფიკი მხოლოდ ჰორიზონტალური მიმართულებითპარალელურად გადაიტანება და ახალი ფუნქცია y = f(x ndash m) ხდება
3 ndash3
ndash3
nimuSi
paraleluri gadatana
26
grafikebis gardaqmna
nimuSi f(x) = radicx ფუნქციის გრაფიკის გამოყენებით ააგეთ მოცემული ფუნქციებისგრაფიკები
ა) g(x) = radicx 1 ბ) h(x) = radicx 1 გ) s(x) = radicx + 3 2
f(x) = radicx ფუნქციის გრაფიკის გამოყენებით ააგეთ მოცემული ფუნქციებისგრაფიკები თიტოეული გარდაქმნა დაწერეთ სიტყვიერად
ა) g(x) = radicx 3 ბ) h(x) = radicx 2 გ) s(x) = radicx 1 + 2
amoxsna
გრაფიკი 3 ერთეულითმარცხნივ მოცურდება
გრაფიკი 2 ერთეულითქვევით მოცურდება
f(x) = radicx ფუნქციის გრა-ფიკი 1 ერთეულით ქვე-ვით მოცურდება გრა-ფიკზე მდებარე თითო-ეული წერტილის ორდი-ნატს 1 გამოაკლდება
m1(x) = f(x+3) m(x) = f(x+3) 2
f(x) = radicx ფუნქციის გრაფიკი 1 ერ-თეულით მარჯვნივ მოცურდება
g(x) = f(x) 1
h(x) = f(x 1)
ავაგოთ f(x) = radicx ფუნქციის გრაფიკი ფუნქციის განსაზ-ღვრის არე [0 infin) ამ არიდან სრულკვადრატიანი 3მნიშვნელობის (0 1 4) შერჩევით შევადგინოთ ცხრილი
x f(x) (x f(x))0 0 (0 0)1 1 (1 1)4 2 (4 2)
ა)
ბ)
გ)
f(x) =radicx
x
y
0
2
4
(4 1)1
2 31(0 ndash1)
(1 0)
y= g(x)= radicx ndash 1
x
y
0
2
4
(5 2)
1
2 3
(2 1)
(1 0)y= h(x)= radicx ndash 1
5
x
y(1 0)1
21
(ndash3 ndash2)(ndash2 ndash1)
y= m(x)= m1(x) ndash 2= = radicx + 3 ndash 2
ndash2ndash1ndash2ndash3 ndash1
x
y
0
2
4
(4 2)
1
2 31
(1 1)
(0 0)
y= f(x)= radicx
x
y
0
2
4
(4 2)
1
2 31
(1 1)
(0 0)
y= f(x)= radicx
x
y
0
2
4
(4 2)
1
2 31
(1 1)
(0 0)
y= f(x)= radicx
x
y
2(1 2)
1
1
(ndash2 1)(ndash3 0)
y= m1(x)= f(x + 3) = radicx + 3
ndash1ndash3 ndash1 0
4
3
y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის ჰორიზონტალური და ვერტიკალური მიმართულებითპარალელური გადატანით y = f (x m) + n მიიღებაა) უჩვენეთ რომ გადატანის მიმდევრობა აქვს მნიშვნელობა უჩვენეთ ნიმუშზებ) m და n პარამეტრების მნიშვნელობები რა გავლენას ახდენენ ფუნქციისგანსაზღვრის არესა და მნიშვნელობათა სიმრავლეზე
27
grafikebis gardaqmna
y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით თითოეულიგარდაქმნისათვისbull განსაზღვრეთ Aprime Bprime Cprime Dprime და Eprime წერტილებისკოორდინატებიbull დახაზეთ გარდაქმნის შედეგად მიღებული ფუნ-ქციების გრაფიკებია) g(x) = f (x) + 2 ბ) g(x) = f (x 3)გ) g(x) = f (x + 1) დ) g(x) = f (x) 4
6
7
8
9
10
თითოეული პარალელური გადატანისათვის განსაზღვრეთ m-ისა და n-ის მნიშ-ვნელობა და დაწერეთ გარდაქმნის შედეგად მიღებული ფუნქცია y = f(x m) + nსახით გამოთქვით მოსაზრებები თითოეული ფუნქციის განსაზღვრის არის დამნიშვნელობათა არის შესახებ
ა) f (x) = |x| 4 ერთეულით მარცხნივ და 2 ერთეულით ქვევით
ბ) f(x) = x2 6 ერთეულით მარჯვნივ და 4 ერთეულით ზევით
გ) 5 ერთეულით მარცხნივ 3 ერთეულით ქვევით
ულქერი სახლიდან გამოვიდა ველოსიპე-დით ქალაქგარეთ ტბაზე წავიდა და უკანდაბრუნდა მან გავლილი გზა და დახარ-ჯული დრო A გრაფიკით გამოსახაა) როგორ შეიცვლებოდა ეს გრაფიკი თუულქერი სახლიდან 2 საათის შემდეგ გამო-ვიდოდაბ) სურათზე მოცემულ B გრაფიკს სიტუაცი-ის შესაბამისად როგორ წარმოადგენდით
შეუღებავი სახლის s ფართობის მქონე კედლების შეღებვისათვის საჭიროსაღებავების ოდენობა (n ლიტრი) n = f(s) ფუნქციით შეიძლება განისაზღვროს სიტუაციის შესაბამისად წარმოადგინეთ n = f (s) + 10 და n = f (s + 10)ცვლილებები
f(x) = 1x
x
y
0ndash2 42ndash4
ndash2
2y= f(x)
A
B C
D E
f(x) = ფუნქცია x = 0 წერტილში არ არის განსაზღვრული რომელ წერტილში არარის განსაზღვრული f(x ndash 3) ფუნქცია ერთი და იმავე საკოორდინატო სიბრტყეშიააგეთ ერთი და იგივე კოორდინატთა სისტემაში f(x) და f(xndash3) ფუნქციების გრაფიკები
1x
გრაფიკების მიხედვით წარმოადგინეთ f(x) ფუნქციის g (x) ფუნქციად გარდაქმნაა) f(x) და g(x) ფუნქციების შესახებ დაწერეთ 5 წერტილის კოორდინატების შესაბამისობა ბ) გარდაქმნით მიღებული g (x) ფუნქცია დაწერეთ y = f(x m) + n სახით
5
x
y
0ndash2 42ndash4
ndash2
4
2
ndash4
6
g(x)
f(x)= x21)
x
y
0ndash2 42ndash4
ndash2
4
2
ndash4g(x)
f(x)2)
ndash6
A
B CD E
A
B C
D E
6
t
s
0 842
30
10
10
20
სახლ
იდან
მიმა
-ვა
ლი
გზა
(კმ)
დრო (საათი)
A B
6
28
ordinatTa RerZis mi-marT გრაფიკის თითო-ეული წერტილი y ღერძისმიმართ სიმეტრიულ წერ-ტილად გარდაიქმნება
abscisTa RerZis mi-marT გრაფიკის თითო-ეული წერტილი x ღერ-ძის მიმართ სიმეტრიულწერტილად გადაიქცევა
wertilis ordinatiisev ise rCeba abscisaki niSans icvlis
koordinatTa saTavismimarT გრაფიკის თითო-ეული წერტილი კოორდი-ნატთა სათავის მიმართსიმეტრიულ წერტილადიქცევა
(x y) rarr (x y)wertilis abscisa isevise rCeba ordinati kiniSans icvlis
wertilis orive koor-dinatis niSani icvleba
(x y) rarr (x y)
(x y) rarr (x y)(x y) rarr (x y)
(1 2) rarr (1 2)
(x y) rarr (x y)
(x y) rarr (x y)
(1 2) rarr (1 2) (1 2) rarr (1 2)
asaxva
grafikebis gardaqmna
მოცემული წერტილების ა) x ღერძის ბ) y ღერძის მიმართ ასახვით გარდაქ-მნილი წერტილები ასახეთ საკოორდინატო სიბრტყეზე დაწერეთ ახალიკოორდინატები
თითოეული ფუნქციისათვის დაწერეთ საწყისი ფუნქცია დაგარდაქმნები
A(5 3) B(5 5) C(0 3) D(6 2) F(9 0)
ა) y = x2 + 2 ბ) y = radicx + 1 გ) y = 1x 1 დ) y = 1 1
x
1x
11
13
(11)
(1 1)
(11)
(11)
y = radicx
y = radicx
y = radicxy = radicxy = radicx
y = radicx
x ღერძის მიმართ y ღერძის მიმართკოორდინატთა სათავისმიმართ
(1 2)
x
y
(1 2)
(1 2)
x
y(1 2) (1 2)
y
(12)
f(x) rarr f(x)
funqciis grafikebis asaxva
f(x) rarr f(x) f(x) rarr f(x)
xO O O
0 0 0
(1 1)(1 1)
გამოიკვლიეთ ნიმუში გამოსახეთ გრაფიკებისსაკოორდინატო ღერძის მიმართ ასახვით f(x) დაf(x) ფუნქციების გრაფიკები
nimuSi f(x) = x + 1
ბ) f(x) = x + 3
დ) f(x) = ბ) f(x) = x3
f(x) = x + 1
f(-x)
f(x)
12
(1 2)
(1 2)
(1 2)
O
y
xა) f(x) = x + 1
29
მოცემული წერტილთა სიმრავლის მიხედვით ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი
განსაზღვრეთ გრაფიკი y = x y = x2 y = radicx y = x3 ფუნქციებიდან რომლის
გარდაქმნის შესაბამისია
ააგეთ ცხრილში მოცემული ფუნქციის გრაფიკი უჩვენეთ მოცემული ფუნქციარომელ ძირითადი ფუნქციისაგან და რომელი გარდაქმნებითაა მიღებული
ნაბიჯ-ნაბიჯ დაწერეთ y = x2 პარაბოლის რომელი გარდაქმნებით არი მიღებული y = ndash (x+1)2 + 3 ფუნქციის გრაფიკი თითოეული ნაბიჯი გამოსახეთ გრაფიკულად
ძირითადი ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით ააგეთ მოთხოვნილი ფუნქციების გრაფიკები
გრაფიკების მიხედვით შეასრულეთ დავალებები1) ფორმულით ჩაწერეთ x ღერძის მიმართ ასახვით მიღებული ფუნქციები2) დაწერეთ თითოეული ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე
ძირითადი ფუნქცია f(x) = radicx
ა) g(x) = 3radicx + 2ბ) g(x) = radicx 4გ) g(x) = radicxდ) g(x) = 3radicxე) g(x) = 3radicx 3
14
15
16
17
18
3
3
3
3
3ძირითდი ფუნქცია f(x) = x31) 2)
3
ა) f(x) = (x + 1)3
ბ) f(x) = x3 4გ) f(x) = x3
დ) f(x) = (x 2)3
ე) f(x) = x3 + 3
grafikebis gardaqmna
f(x) = 3x
y
x
2
0ndash2
ndash2
2
y
x20ndash2
2
4
g(x) = x2 + 1
ა) ბ)
ა)
ბ)
გ)
დ)
(2 8) (1 1) (0 0) (1 1) (2 8)
(ndash 2 ndash 4) (ndash 1 ndash 1) (0 0) (1 ndash 1) (2 ndash 4)
(0 0) (1 1) (4 2) (9 3) (16 4)
(4 3) (2 1) (0 1) (2 3) (4 5)
x 0 1 4 9 16y 0 ndash 1 ndash 2 ndash 3 ndash 4
x ndash 4 ndash2 0 2 4y ndash 4 ndash2 0 ndash2 ndash 4
ა) ბ)
f(x) = x3
y
x2o 4ndash2ndash4ndash2ndash4
24
f(x) = radicx
y
x2o 4ndash2
ndash4 ndash2
ndash4
2
43
h(x) =
y
x
2
ondash2ndash2
2 4
4
ndash4
ndash4
1x
გ)
30
grafikebis moWera da SekumSva
grafikebis gardaqmna
x ღერძიდან 2-ჯერ მოჭერა x ღერძისაკენ 2-ჯერ შეკუმშვა
(1 1)
(1 1) rarr (1 2)
O
y
x
y = x2
y = 2x2
(1 2)(ndash1 1)
(ndash1 2)
grafikze arsebuli TiToeuli wer-tili abscisTa RerZidan 2-jerSordeba
(2 4)
O
y
x
y = x2 y = x2
(2 2)
(ndash2 4)
(ndash2 2)
12
(2 4) rarr (2 2)
grafikze arsebuli TiToeuli wertiliabscisTa RerZs 2-jer uaxlovdeba
აბსცისთა ღერძიდან მოჭერისას და შეკუმშვისას წერტილების აბსცისები იგივე რჩებაორდინატი იცვლება (a b) rarr (a lmiddotb)თუ A(a b) წერტილი y = f(x) ფუნქციის გრაფიკზეა b = f(a)მაშინ A1(a lmiddotb) წერტილი y = lmiddotf(x) ფუნქციის გრაფიკზე მდებარეობს
y = lmiddotf(x) ფუნქციის გრაფიკი f(x)-ის გრაფიკის როცა l gt 1 აბსცისთა ღერძიდან l-ჯერ მოჭ-
რით ხოლო როცა 0 lt l lt 1 მაშინ კი აბსცისთა ღერძისაკენ ndashჯერ შეკუმშვით მიიღება1l
y ღერძიდან 2-ჯერ მოჭერა y ღერძიდან 2-ჯერ შეკუმშვა
(1 1)
(1 1) rarr (2 1)
O
y
x
y = x2
y = ( x)2
(2 1)(ndash1 1)
(ndash2 1)
grafikze arsebuli TiToeuli wertiliordinatTa RerZidan 2-jer Sordeba
(2 4)
O
y
x
y = x2y = (2x)2
(1 4)
(ndash2 4)
(ndash1 4)
(2 4) rarr (1 4)
grafikze arsebuli TiToeuli wertiliordinatTa RerZs 2-jer miuaxlovda
ორდინატთა ღერძიდან მოჭერისა და შეკუმშვისას წერტილის ორდინატი რჩება იგივეაბსცისა იცვლება
(a b) rarr (kmiddota b)თუ A(a b) წერტილი y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის ზედაპირზეა b = f(a)მაშინ A1(kmiddota b) წერტილი y = f( ) ფუნქციის გრაფიკზე მდებარეობს
y = f( ) ფუნქციის გრაფიკი f(x)-ის გრაფიკის როცა k gt 1 ორდინატთა ღერძიდან k-ჯერ
მოჭერით როცა 0 lt k lt 1 მაშინ კი ორდინატთა ღერძიდან -ჯერ შეკუმშვით მიიღება
xk
12
1k
xk
y = x ძირითადი ფუნქციის მიხედვით ა) y = 2x ბ) y = x ფუნქციის გრაფიკები ააგეთერთსა და იმავე კოორდინატთა სისტემაში Oy და Ox ღერძების მიმართ განმარტეთმიახლოება და დაშორება
1219
31
grafikebis gardaqmna
რვეულში ჩაიხაზეთ გრაფიკები თითოეულ გრაფიკზე ძირითადი ფუნქციისგამოყენებით განსაზღვრეთ სხვა ფუნქციების შესაბამისი ალგებრული ჩანაწერებიდა გრაფიკზე დაწერეთ
Ria tipis SekiTxva მოცემული f(x) ძირითადი ფუნქციის მიხედვით დაწე-რეთ მოთხოვნილი გარდაქმნებით მიღებული ფუნქციები
ა) პარალელურად გადატანილი bullმარცხნივ bullმარჯვნივ bullზევით bullქვევითბ) შექცეული bull x ღერძის მიმართ bully ღერძის მიმართ გ) მოჭერილი bull x ღერძიდან bully ღერძიდანდ) შეკუმშული bull x ღერძისაკენ bully ღერძისაკენ
დაწერეთ თითოეული ფუნქცია მოცემული ძირითადი ფუნქციიდან რომელიგარდაქმნებითაა მიღებული
1) f(x) = x3 2) f(x) = x 3) f(x) = radicx 4) f(x) = 1x
22
23
24
26
x y= f(x) y= g(x)ndash6 6 18ndash4 4 12ndash2 2 60 0 02 2 64 4 126 6 18
რომელი ფუნქციის გრაფიკი მიიღება f(x) = radicx ფუნქციის გრაფიკისა) აბსცისთა ღერძიდან 2-ჯერ მოჭერისასბ) ორდინატთა ღერძისაკენ 4-ჯერ შეკუმშვისას
gamoyenebiTi xeloba xaliCebze სხვადასხვა გრა-ფიკების გარდაქმნებით შექმნილი მოხატულობებისშემჩნევა შეიძლებასურათზე მოცემულ namuSevarze რომელი ფუნქ-ციების გარდაქმნების წარდგენაა შესაძლებელი
25
1) y = x ა) y = 3x ბ) y = 2x გ) y = x + 12) y = x2 ა) y = x2 + 3 ბ) y = (x 3)2 გ) y = 2(x 1)2 + 33) y = radicx ა) y = 2radicx ბ) y = radic2x გ) y = 2radicx ndash 1 + 14) y = ა) y = ბ) y = გ) y = 1
12
1x
12x
2x
1x
ფუნქციები ერთმანეთისაგან განსაზღვრული გარდაქმნებითაა მიღებული გამო-სახეთ ეს გარდაქმნები
f(x) = radicx rarr g(x) = 2radicx 2 rarr h(x) =2radicx 2 + 3 rarr k(x) = 2radicx 2 3
21
ააგეთ ფუნქციების გრაფიკები ძირითადი ფუნქციის მიხედვით
ა) ბ) გ) დ)y = 2x2 y = 2(x1)2 y = 3|x| y = |3x|20
დაწერეთ ამ გარდაქმნებიდან y = f(x m) სახის შესაბამისი
x
y
0 4
12
16g(x)
f(x) = x
ndash8 8ndash4
4
84
h(x)
f(x) = x
ndash4 2ndash2
ndash4
ndash2
4
2
x
y
0
32
moqmedebebi funqciebze
მოქმედება მათემატიკური ჩანაწერი ნიმუში
x + 5 3x
შეკრება (f + g)(x) = f(x) + g(x) (x + 5) + 3x = 4x + 5
გამოკლება (f g)(x) = f(x) g(x) (x + 5) 3x = 2x + 5
გამრავლება (f g)(x) = f(x) g(x) (x + 5) 3x = 3x2 + 15x
გაყოფა ( ) (x) =f g
f(x) g(x) g(x) ne 0
f(x) = x + 5 და g(x) = 3x
მოცემულ ფუნქციებზე გამოთვლითი მოქმედებების ჩატარებით შეიძლება ახალიფუნქციის მიღება f(x) და g(x) ფუნქციებზე ჩატარებული გამოთვლითი ოპერაციებისშედეგად მიღებული ფუნქციის განსაზღვრის არე ამ ორივე ფუნქციის განსაზღვრის არისნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ ახალი ფუნქციისგანსაზღვრის არე f(x) და g(x) ფუნქციების განსაზღვრის არეების თანაკვეთაა D = D(f) D(g) ფუნქციების შეფარდება არგუმენტის D სიმრავლიდანმნიშვნელში არსებულიფუნქციის ნულისაგან განსხვავებული მნიშვნელობებისთვისაა განსაზღვრული თუ f(x)და g(x) ფუნქციები გარკვეულ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეზე განსაზღვრულიამათზე შეკრების გამოკლების გამრავლებისა და გაყოფის მოქმედებები ქვემოთმოცემული წესით შესრულდება
1) ორი ლუწი ფუნქციის ჯამი ლუწია ორი კენტი ფუნქციის ჯამი კენტი ფუნქციაა2) ორი ლუწი ფუნქციისა და ორი კენტი ფუქნციის ნამრავლი (განაყოფი) ლუწიფუნქციაა ლუწი ფუნქციისა და კენტი ფუნქციის ნამრავლი (განაყოფი) კენტიფუნქციაა
nimuSi 1 იპოვეთ (f + g)(2) თუ f(x) = x2 + 1 და g(x) = x + 2 amoxsna f(2) = 22 + 1 = 5 g(2) = 2 + 2 = 4 (f + g)(2) = f (2) + g(2) = 5 + 4 = 9
f g
f(x) g(x)
nimuSi 2 იპოვეთ თუ f(x) = x2 1 და g(x) = x ndash 1
amoxsna
(x)
(x) = = =
( )f g( ) x2 1
x ndash 1x + 1
x
y
0 1
2
მნიშვნელში მყოფი ფუნქციის g(x) 0 პირობის თანახმად x 1 ამ ფუნქციის გრაფიკიy = x + 1 წრფიდან (1 2) წერტილის გადაწევით მიიღება
f g
f g
1 2 1
2
1 2
1 2
ნიმუში 3 იპოვეთ ა) f + g f g f g
ბ) ფუნქციების განსაზღვრის არე როცა f(x) = 3x2 1 და g(x) = radic2x 1ამოხსნა ა) f(x) = 3x2 1 ფუნქციის განსაზღვრის არე მთელი ნამდვილი რიცხვთა( +) სიმრავლეა g(x) = radic2x 1 ფუნქციის განსაზღვრის არე 2x 1 ge 0უტოლობიდან მოიძებნება [ +)
f + g f g f g ფუნქციების განსაზღვრის არეა ( +) [ +) = [ +)
ბ) ფუნქციის განსაზღვრის არე 2x 1 gt 0 უტოლობის ამონახსენთა
სიმრავლე ( +) შუალედია
33
მოცემული f(x) და g(x) ფუნქციებისათვის დაწერეთ f + g f g f g ფუნ-ქციების გამოსახულებები და უჩვენეთ განსაზღვრის არე
ა) f (x) = x2 2x და g(x) = 2x 4 ბ) f (x) =x2 + x და g(x) = x + 1გ) f(x) = x2 + 6x + 9 და g(x) = 2x + 6 დ) f(x) = x2 1 და g(x) =
მოცემული f(x) = radic3x ndash 2 და g(x) = x +1 ფუნქციებისათვის გამოთვალეთ (f + g)(1)(f g)(2) (f g)(6)
f(x) და g(x) ფუნქციების გრაფიკების მიხედვით ააგეთ h(x) = (f + g)(x) ფუნქციის გრაფიკი ამოხსენით ამოცანა ორიხერხით 1) f(x) და g(x) ფუნქციების გრაფიკების მიხედვით განსაზ-ღვრული მნიშვნელობათა ცხრილიდან h(x)-ის მნიშვნელობათაცხრილის აგებით2) f(x) და g(x) ფუნქციების გრაფიკების მიხედვით განსაზ-ღვრული ფორმულების მიხედვით f(x) + g(x) ფუნქციის ფორ-მულის განსაზღვრითა და მნიშვნელობათა ცხრილის შედგენით
f g
saswavlo davalebebi
1
2
3
4
x 1x + 1
f(x) = x x [ndash1 9] და g(x) = radicx x [0 16] ფუნქციებია მოცემული h(x) = (f + g)(x) იპოვეთ ფუნქციის განსაზღვრის არე დამნიშვნელობათა ცხრილის შედგენით ააგეთ გრაფიკი
y
ndash2 0 2
g(x)
f(x)
xndash2
2
ndash4
4
ndash4
moqmedebebi funqciebze
ა) შეადგინეთ (f g)(x) ფუნქციისმნიშვნელობათა ცხრილი
ბ) ააგეთ h(x) = (f g)(x) ფუნქციისგრაფიკი
გ) განსაზღვრეთ h(x) ფუნქციის განსაზღვრის არე დამნიშვნელობათა სიმრავლე
მოცემული f(x) = 2x და g(x) = x2
x
y
0 1 3 4ndash1
6
4
2
x (f g)(x)ndash4ndash2ndash1124
ndash2ndash3ndash2
f(x)g(x)
2
5
gamoyenebiTi davalebebi
6 ქალბატონი სამაიას მიერ შეკერილი მოხატული სუფრები ldquoხელმარჯვეობა თვალისსინათლეrdquo მაღაზიაში იყიდება მან ამ სუფრების გამზადებისათვის ერთდროულად40 მანეთის საჭირო მასალები შეიძინა თითოეული სუფრის ქსოვილზე 5 მანეთსხარჯავს და ერთ სუფრას 10 მანეთად ყიდისა) ფორმულით დაწერეთ n რაოდენობის სუფრის გაყიდვიდან მიღებული ფულისშესაბამისი s(n) ფუნქცია და n რაოდენობის სუფრის თვითღირებულების შესა-ბამისი m(n) ფუნქციაბ) ერთი და იმავე კოორდინატთა სისტემაში ააგეთ ამ ფუნქციების გრაფიკებირეალური ცხოვრებისეული სიტუაციის შესაბამისად წარმოადგინეთ ამ გრაფიკებისსაერთო წერტილიგ) მოგება საქონლის რეალიზაციიდან მიღებულ ფულსა და თვითღირებულებასშორის სხვაობაა დაწერეთ სუფრების გაყიდვიდან მიღებული მოგების ფუნქციისფორმულა
34
rTuli funqcia
ხშირ შემთხვევაში ფუნქციის არგუმენტის შესაძლომისაღები მნიშვნელობები სხვა ფუნქციის მნიშვნე-ლობებით განისაზღვრება დავუშვათ რომ f და gფუნქციებია მოცემული სქემატურ გამოსახულე-ბებზე განვიხილოთ ორი სიტუაცია
1 x რიცხვები g ფუნქციის განსაზღვრის არეში g(x)-ები კი f ფუნქციის განსაზღვრის არეშიშედის ამ შემთხვევაში თითოეულ x D(g) რიცხვს f(g(x)) რიცხვი შეუპირისპირდებაფუნქციას f და g ფუნქციების რთული ფუნქცია(კომპოზიცია) ეწოდება და (f g)(x) სახით იწერება(f g)(x) = f(g(x))
2 x რიცხვები შედიან f ფუნქციის განსაზღვრისარეში f(x)-ები კი g ფუნქციის განსაზღვრის არეში ამ შემთხვევაში f და g ფუნქციებისკომპოზიცია (g f)(x) სახის იქნება (g f)(x) = g(f(x))
მიაქციეთ ყურადღება (f g)(x) და (g f)(x) ჩანაწერები (ამასთან f (g(x)) და g(f (x))ჩანაწერები) ორ განსხვავებულ რთულ ფუნქციას გამოსახავენ f(g(x)) კომპოზიცია როცაE(g) D(f) ხოლო g(f (x)) კომპოზიცია კი როცა E(f) D(g) მაშინ შეიძლება აიგოს
როგორც სქემატური გამოსახვიდანაც ჩანს f g კომპოზიცია f(x) ფუნქციაში x არგუმენტისნაცვლად g(x)-ის ჩაწერით მიიღება ანალოგიური წესით g f კომპოზიცია g(x) ფუნქციაში xარგუმენტის ნაცვლად f(x)-ის ჩაწერით მიიღებაnimuSi 1 თუ f(x) = x + 2 g(x) = x2 2x 3 მაშინ დაწერეთ ა) (f g)(x) და (g f)(x)კომპოზიციების ფორმულები ბ) x = 3 მნიშვნელობისათვის გამოთვალეთ (f g)(x) და(g f)(x) კომპოზიციების მნიშვნელობები
gamokvleva 1 ლ ბენზინის ფასი 095 მანეთია ფერიდის ავტომობილი ყოველ კილო-მეტრზე 008 ლ ბენზინს ხარჯავსა) როგორ შეგიძლიათ გამოთვალოთ 50 კმ მანძილზე მოხმარებული ბენზინისათვისფერიდის მიერ დახარჯული ფული რამდენ ნაბიჯად შეიძლება ამ გამოთვლისშესრულებაბ) დაწერეთ მოხმარებული ბენზინის გავლილ მანძილზე დამოკიდებულებისმაჩვენებელი V(d) ფუნქციაგ) დაწერეთ ბენზინზე დახარჯული ფულის მის მოცულობაზე დამოკიდებულებისM(V) ფუნქციად) დაწერეთ ფერიდის გავლილ მანძილზე ბენზინის დახარჯული ფულის მაჩვენებელიM(d) ფუნქცია ბ) და გ) პუნქტებში მოცემულ ფუნქციებთან შეერთებით აქ რომელიცვლადის მნიშვნელობები შეადგენს არგუმენტის მნიშვნელობებს
g(x) -ის განსაზღვრის არიდან
f(x)-ის განსაზღვრის არიდან
f [g(x)]-ის მნიშვნელობათაარიდან
g(x) -ის განსაზღვრის არიდან
f(x) -ის განსაზღვრის არიდან
g[f(x)]-ის მნიშვნელობათაარიდან
x
g(x)
f [g(x)]
f g = (30) (44) (03)
x
f(x)
g [f(x)]
g f = (33) (2ndash5) (ndash5 2)
f g g f3 4 0
0 4 3
ndash5 3 2 4 3 0
3
3 2 ndash5
ndash52
g f
x
g(x) f(g(x))
gf(x) g(f(x))f
35
rTuli funqcia
მოცემული f(x) და g(x) ფუნქციების მიხედვით განსაზღვრეთ f (g(x)) და g(f (x))ფუნქციებია) f (x) = 1 x2 და g(x) = 2x + 5 ბ) f(x) = 2x და g(x) = radicx2 + 1გ) f (x) =radicx 1 და g(x) = x2 + 2 დ) f (x) = x3 + 1 და g(x) = ე) f (x) = x3 4 და g(x) = radicx + 4 ვ) f (x) = x2 + 3x + 1 და g(x) = x + 1
nimuSi 2 თუ h(x) = f (g(x)) მონაცემების მიხედვით f (x) ფუნქცია დაწერეთფორმულით ა) h(x) = (x 2)2 + (x 2) + 1 g(x) = x 2
ბ) h(x) = radic x3 + 1 g(x) = x3 + 1amoxsnaა) f(g(x)) = (g(x))2 + g(x) + 1 f(x) = x2 + x + 1 ბ) f (g(x)) = radicg(x) f (x) = radicxsaswavlo davalebebi
(fg)(x) და (g f)(x) კომპოზიციებისათვის განსაზღვრეთ არგუმენტისა და ფუნქცი-ის შესაბამის მნიშვნელობათა წყვილები (თუ არსებობს)
f(x) = 2x + 1 და g(x) = x2 3 ფუნქციების მიხედვით ფორმულით დაწერეთ რთულიფუნქციებია) f(g(a)) ბ) g(f (a)) გ) f(g(x)) დ) g(f (x)) ე) f(f (x)) ვ) g(g(x))
2x3
ჩაიხაზეთ ცხრილი რვეულში და შეავსეთ
f(x) = 4x g(x) = 2x2 1 და h(x) = x2 + 1 ფუნქციების მიხედვით გამოთვალეთ
1
2 3
5
6
f = (2 8) (4 0) (6 3) (5 1) f = (4 5) (1 3) (ndash2 12) (2 7)g = (8 4) (0 6) (3 5) (1 2) g = (3 4) (5 2) (7 ndash2) (14 1)
ა) f(g(1)) ბ) h(g(2)) გ) g(f(3))დ) f(h(4)) ე) g(g(7)) ვ) f(f(3))ზ) (f (h g))(1) თ) (h (g f))( ) ი) (f (g h))(2)1
2
4
მოცემულია f(x) = x2 დაg(x) = radicx 1 ფუნქციებიიპოვეთა) f(g(4)) ბ) g(g(25)) გ) g(f(3)) დ) g(g(4)) ე) f(f(ndash3))
7 ა) ამოხსენით f (g(x)) lt 0 უტოლობა თუ f (x) = x2 5 g (x) =radicx2 + 1 ბ) ამოხსენით f (g(x)) gt 0 უტოლობა თუ f (x) = x2 4 g (x) = x + 1
amoxsna (f g)(x) = f(g(x)) = f(x2 2x 3) = x2 2x 3 + 2 = x2 2x 1(g f)(x) = g(f(x)) = g(x + 2) = (x + 2)2 2(x + 2) 3 = x2 + 2x ndash 3მაშასადამე f(g(x)) = x2 2x 1 და g(f(x)) = x2 + 2x ndash 3(f g)(3) = 32 2 3 1 = 2(g f)(3) = 32 + 2 3 ndash 3 = 12
g- ისწერტილები
f- ისწერტილები
f g-ისწერტილები
(3 2) (3 5)(2 1) (1 3)(1 ) (0 1) ( 1)
( ndash1) ( ndash1) (0 ndash1)( 3) (3 ) (4 7)
36
rTuli funqcia
მოცემულია f(x) და g(x) ფუნქციების გრაფიკები 1) მნიშვნელობათა ცხრილის აგებით2) ფუნქციის ფორმულების დაწერით ააგეთ ა) f(g(x)) ბ) g(f(x)) რთული ფუნქციისგრაფიკი უჩვენეთ განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე
მოცემულია ფუნქციები f(x) = |x| და g(x) = x 1 ააგეთ ამ ფუნქციების ა) y = f(g (x)) ბ) y = g(f(x)) კომპოზიციების გრაფიკები უჩვენეთ განსაზღვრისარე და მნიშვნე-ლობათა სიმრავლე
ა) f(x) = 2x 1 და g(x) = x2 ფუნქციების მიხედვით განსაზღვრეთ f(g(x)) ფუნქციისფორმულაბ) ერთი და იმავე კოორდინატთა სისტემაში ააგეთ f(x) g(x) და f(g (x)) ფუნქცი-ების გრაფიკებიგ) წარმოადგინეთ f(g (x)) ფუნქციის გრაფიკი როგორც g(x) ფუნქციის გრაფიკისგარდაქმნაwarmoeba ავეჯის მწარმოებელი კომპანიის 2012 წლიდან დაწყებული კვირეულიწარმოებული სკამების რაოდენობის N(t) = 120 + 25t ფორმულით მოდელირებაშეიძლება სადაც t არის დრო წლობით (t = 0 მნიშვნელობა შეესაბამება 2012 წელს)N უჩვენებს სკამების რაოდენობას სამუშაო ძალის მოცულობა ამ შემთხვევაში გან-საზღვრული იყო როგორც W(N) = 3 radicN ა) დაწერეთ სამუშაო ძალაზე მოთხოვნილების დროზე დამოკიდებულებისფუნქციაბ) ამ ფუნქციის განსაზღვრისა და მნიშვნელობათა არე წარმოადგინეთ რეალურიცხოვრებისეული სიტუაციის შესაბამისადთუ h(x) = f(g (x)) მონაცემების მიხედვით დაწერეთ f(x) ფუნქციის გრაფიკი
8
9
10
11
12
13 ა) თუ f(x ndash 1) = x + 3 იპოვეთ f(1) f(4) f(ndash1) f(0) მნიშვნელობები დაწერეთ f(x) ფუნქციის გამოსახულებაბ) თუ f(x + 1) = 2x + 3 იპოვეთ f(ndash1) f(2) f(3) f(0) მნიშვნელობები დაწერეთ f(x) ფუნქციის გამოსახულება
14
15
მოცემულია ფუნქცია f(x) = radic25 ndash x2 ა) იპოვეთ f(x) ფუნქციის განსაზღვრის არე შეადგინეთ მნიშვნელობათა ცხრილიდა ააგეთ გრაფიკიბ) დაწერეთ f(2x) ფუნქციის გამოსახულება იპოვეთ განსაზღვრის არე
f(x) ფუნქციის განსაზღვრის არეა [ndash1 3] იპოვეთ ქვემოთ მოცემული ფუნქციისგანსაზღვრის არე ა) f(2x) ბ) f( x) გ) f(ndashx) დ) f(x ndash 1)1
2
y = f(x) y = g(x)y
x0 2 4ndash2ndash4
y
x0 2 4ndash2
ა) h(x) = (x + 1)2 5(x + 1) + 1 g(x) = x + 1 ბ) h(x) = x2 + 4x + 3 g(x) = x + 2გ) h(x) = radic2x + 3 g(x) = x + 1 დ) h(x) = x + radicx 1 g(x) = radicx 1
ndash2
2
4
2
4
37
აქ y-ის თითოეულ მნიშვნელობას x-ის მხოლოდ ერთი მნიშვნელობა შეესაბამება y =x2 ფუნქციაში კი y-ის ერთ მნიშვნელობას მაგალითად y = 9 მნიშვნელობას რადგანარგუმენტის x = 3 და x = 3 სახის ორიმნიშვნელობა შეესაბამება ამიტომ (ndash +)შუალედში ამ ფუნქციას შექცეული ფუნქციაარა აქვს ფუნქცია მაშინ და მხოლოდ მაშინშეიძლება იყოს შექცეული როცა მისთითოეულ მნიშვნელობას არგუმენტისმხოლოდ ერთი მნიშვნელობისათვის იღებსთუ ნებისმიერი ჰორიზონტალური წრფეფუნქციის გრაფიკზე გადაკვეთს არაუმეტესერთი წერტილისა მაშინ ამ ფუნქციას შექცეული ფუნქცია გააჩნია
Seqceuli funqciagamokvleva 1) დაწერეთ იმ კვადრატის ფართობის ფორმულა რომლის გვერდისსიგრძე a-ს ტოლია S = a2 2) მოცემული ფართობის მიხედვით იპოვეთ კვადრატისგვერდის სიგრძე 3) მიწის ზედაპირიდან v0 საწყისი სიჩქარით ასროლილი სხეულისმიწიდან დაშორება მოიძებნება h = v0 t ndash ფორმულით h-ის მოცემული მნიშ-ვნელობის მიხედვით t-ს ერთმნიშვნელოვნად პოვნა შეიძლება
g t2
2
268
379
X Yf gX Y268
379
nimuSi 1 სურათზე X სიმრავლესა და Y სიმრავლეს შორის f შესაძლებლობა ისრე-ბითაა მოცემული თუ ისრების მიმართულებას შევცვლით სხვა შესაბამისობა - Yსიმრავლესა და X სიმრავლეს შორის g შესაბამისობას მივიღებთ g შესაბამისობა f-ისშექცეული შესაბამისობაა მოცემული f ფუნქციისათვის თუ შექცეული შესაბამისობაიქნება ფუნქცია f-ის შექცეული ფუნქცია ეწოდება
nimuSi 2 f (x) = x + 4 ფუნქციით A = 1 2 3 4 სიმრავლიდან B = 5 6 7 8სიმრავლის მიღება ქვემოთ მოცემულივითშეიძლება გამოისახოსf (x) = x + 4 (1 5) (2 6) (3 7) (4 8)
x f(x)f ndash1-is mniSvnelobaTa
simravlef ndash1-is gansazRvris
are
f-is mniSvnelobaTasimravle
f -is gansazRvrisare
ამ ფუნქციის შებრუნებული და f ndash1-ით აღნიშნული ფუნქცია კი B სიმრავლიდან Aსიმრავლის ელემენტების მიღებას გამოსახავს და იგი f ndash1(x) = x ndash 4 (5 1) (6 2) (7 3) (8 4) სახით შეიძლება აღინიშნოს f (x) და f ndash1(x) ურთიერთშექცეულიფუნქციებია
როგორც სქემატური გამოსახვიდან და კოორდინატთა წყვილებიდან ჩანს მოცემულიფუნქციის განსაზღვრის არე შექცეული ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლემოცემული ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე კი განსაზღვრის არეა და პირიქითანუ D(f ) = E(f ndash1) E(f ) = D(f ndash1) აქედან მიიღება რომ f(f ndash1(x)) = x და f ndash1(f(x)) = xნიმუშის მონაცემების თანახმად f (f ndash1(x)) = f (x ndash 4) = (x ndash 4) + 4 = x
f ndash1(f (x)) = f ndash1(x + 4) = (x + 4) ndash 4 = xნებისმიერი ფუნქციის შებრუნებული ფუნქციის არსებობა ყოველთვის შესაძლე-ბელია მაგალითად y = 2x + 5 დამოკიდებულებიდან x-ის y-ის საშუალებითცალსახად გამოსახვა შესაძლებელია და ამ შემთხვევაში შებრუნებული ფუნქცია
არსებობს x =
1
ndash1ndash2
ndash2
y
x2 3
2
f(x) = x2 ndash 1Seqceuli ara aqvs
1
ndash1ndash2
ndash2 f(x) = x3 ndash 1
y
x2 3
Seqceuli aqvs
y ndash 52
38
Seqceuli funqcia
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ თუ x-ის სხვადასხვა მნიშნელობებს y-ის სხვადასხვამნიშვნელობები შეესაბამება მაშინ y = f(x) ფუნქციას შექცეული ფუნქცია გააჩნიამონოტონური ფუნქციებისათვის როცა x1nex2 მაშინ f(x1) ne f(x2) მივიღებთ1) განსაზღვრის არეზე ზრდად ფუნქციას შექცეული ფუნქცია გააჩნია2) განსაზღვრის არეზე კლებად ფუნქციას შექცეული ფუნქცია გააჩნიადავუშვათ რომ y = f(x) არის ფუნქცია რომელსაც შექცეული ფუნქცია აქვს ანუ თუ y = f(x) დამოკიდებულებიდან x-ს y-ის საშუალებით ერთმნიშვნელოვნად გამოვსახავთშესაძლებელია x= fndash1(y) სახით ჩაწერა მაშინ x= fndash1(y) ფუნქციას y = f(x) ფუნქციისშექცეული ფუნქცია ეწოდება როგორც წესი არგუმენტი x-ით ხოლო ფუნქცია y -ით აღინიშნება ამიტომაც y = f(x)-ის შექცეული ფუნქცია y= fndash1(x) სახით იწერება თუ fndash1 ფუნქცია f -ის შექცეული ფუნქ-ციაა მაშინ f ფუნქციაც fndash1 -ის შექცეული ფუნქციაა ანუ f და fndash1 ურთიერთშექცეულიფუნქციებია
თუ (a b) წერტილი მოცემული ფუნქციის გრაფიკზეა მაშინ (b a) წერტილი ამფუნქციის შექცეული ფუნქციის გრაფიკზე იქნება
urTierTSeqceuli funqciis grafikebi y = x wrfis mimarT simetriulebiaფორმულით მოცემული ფუნქციის შექცეული ფუნქციის მოძებნისათვის1) მოცემული ტოლობიდან x ცვლადი გამოისახება y -ით2) მიღებულ ტოლობაში x-ის ნაცვლად y ხოლო y-ის ნაცლად x იწერება
მოცემული ფუნქცია
მოცემული ფუნქციისგრაფიკი
შექცეული ფუნქციისგრაფიკი
y = x ღერძის მიმართასახვის ნიმუშები
შექცეული ფუნქციაა
x 4 2 0 ndash2 ndash4y ndash2 ndash1 0 1 2
x ndash2 ndash1 0 1 2y 4 2 0 ndash2 ndash4
1
y
x11
y
x1
y
x
nimuSi 3 დაწერეთ y = 2x 3 ფუნქციისშექცეული ფუნქციის ფორმულაamoxsna იწერება მოცემული ფუნქცია y = 2x 3x დამოუკიდებელი ცვლადი გამოისახება y-ზე
დამოკიდებულებით x = x-ისა და y-ის ადგილები იცვლება
y = + 12 x 3
2
12 y
32+
x
y
0ndash2 42ndash4
ndash2
4
2
ndash4
(2 1)
fndash1(x)= (x + 3)
(ndash1 ndash5)
(0 ndash3)
(1 2)
(ndash1 1)
(ndash3 0)
(ndash5 ndash1) (1 ndash1)
(3 3)
y= x
f(x)= 2x ndash 312
urTierTSeqceuli funqciebis grafikebi
39
y = x2 ფუნქციას მთელ რიცხვით ღერძზე შექცეული ფუნქცია არა აქვს თუმცაზრდისა და კლების შუალედებში ამ ფუნქციებს შექცეული ფუნქცია აქვთnimuSi 4 განსაზღვრეთ y = x2 x ge 0 ფუნქციის შექცეულიფუნქცია და ააგეთ გრაფიკები ერთი და იგივე კოორდინატთასიბრტყეზე დაწერეთ ამ გრაფიკებზე მდებარე რამდენიმეწერტილის კოორდინატებიamoxsna მოცემულია ფუნქცია y = x2 x ge 0 შექცეულიფუნქცია x = y2 y = radicx (2 4) წერტილი y = x2 ფუნქციის (4 2) წერტილი კი [0 +infin) შუალედში მისი შექცეული y = radicxფუნქციის გრაფიკზე მდებარეობს შექცეული ფუნქციის შესახემართებულია შემდეგი თეორემა თუ X განსაზღვრის არისა დაY მნიშვნელობათა სიმრავლის შუალედების მქონე ფუნქციაზრდადია (კლებადია) შექცეული ფუნქცია გააჩნია და Y შუალედში განსაზღვრულიfndash1 შექცეული ფუნქციაც ზრდადია (კლებადია)
დაწერეთ მოცემული ფუნქციების შექცეული ფუნქციები მოცემული ფუნქციადა მისი შექცეული ფუნქცია ზრდადია თუ კლებადია
4
5
f ფუნქცია წყვილების დახმარებითაა მოცემული თანაც ცნობილია რომწყვილების მეორე ელემენტები ერთი და იგივეა (მაგალითად (6 5) და (7 5) სახით)იმისათვის რომ გავიგოთ შექცევადია თუ არა ფუნქცია ეს საკმარისია
7
Seqceuli funqcia
saswavlo davalebebi
1 ფუნქცია წყვილთა სიმრავლითაა მოცემული (8 2) (1 1) ( ) (ndash8 ndash2)
მოცემული შესაბამისობა და მისი შექცეული შესაბამისობა უჩვენეთ ღერძებისდახმარებით
ცხრილში მოცემული ფუნქციის მიხედვითააგეთ შექცეული ფუნქციის შესაბამისმნიშვნელობათა ცხრილი
f(x) და g(x) ურთიერთშექცეული ფუნქციებია როცა x = 10 მაშინ f(x) ფუნქციის მნიშ-ვნელობა 85 იქნება როგორ შეიძლება მივაკუთვნოთ ეს მნიშვნელობები g(x) ფუნქციას
2 x 1 2 3 4 5y 1 2 3 4 5
3
ერთი და იმავე საკოორდინატო სიბრტყეში ააგეთ მოცემული თითოეული ფუნ-ქციისა და მისი შექცეული ფუნქციის გრაფიკები
ა) f(x) = 4x ბ) f(x) = 2x 3 გ) f(x) = x2 x ge 0 დ) f(x) = x gt 0 1x
6
18
12
y = 4x y = 2x 8 y = 3x 14y = 2x + 5 y = 3x 3 y = 12x + 6
y = x y = x + y = x + 634
23
58
38
ა) ბ) გ)დ) ე) ვ)
ზ) თ) ი)
თუ f(x) ფუნქციას გააჩნია შექცეული ფუნქცია და f(1) = 7 f(3) = 9 f(6) = 2იპოვეთ შექცეული ფუნქციის f1(9) f1(7) და f1(2) მნიშვნელობები
yy = x2
y = radicx
xO
y = x(2 4)
(4 2)
40
Seqceuli funqcia
ƒ(x) = 8x3 g(x) =
ƒ(x) = x + 7 g(x) = x 7 ƒ(x) = 3x 1 g(x) = x +
ƒ(x) = x + 1 g(x) = 2x 2 ƒ(x) = 2x + 4 g(x) = x + 2
ƒ(x) = ndash 3 g(x) = ƒ(x) = g(x) =
ƒ(x) = 256x4 x ge 0 g(x) = radicx2
13
13
12
12
4radicx4
შეამოწმეთ არის თუ არა მოცემული ფუნქციები შექცეული ფუნქციები
8
ა) ბ)
გ) დ)2xე)
2x +3 ვ) 1
x ndash31 + 3x
x
ზ) თ)3
ა) ƒ(x) = 2x + 3 ბ) ƒ(x) = x + 3 გ) ƒ(x) = x2 + 1დ) ƒ(x) = 3x2 ვ) ƒ(x) = x3 + 3 ზ) ƒ(x) = 2x3
თ) ƒ(x) = |x| + 2 ი) ƒ(x) = (x + 1)(x 3) კ) ƒ(x) = 9x2 6x + 1
მოცემულ თითოეულ მაჩვენებლიან ფუნქციას დაუწერეთ შექცეული ფუნქციისფორმულა
ააგეთ მოცემული ფუნქციის გრაფიკი თითოეული ფუნქციის გრაფიკის მიხედვითგანსაზღვრეთ აქვს თუ არა მას შექცეული ფუნაცია
C = (F 32) ფორმულა უჩვენებს ტემპერატურის ფარენჰეიტისა და ცელ-სიუსის საზომებს შორის დამოკიდებულებას ამ დამოკიდებულების მიხედვითდაწერეთ შექცეული დამოკიდებულების ტემპერატურის ფარენჰეიტის საზომისცელსიუსის საზომზე დამოკიდებულების მაჩვენებელი ფორმულა იპოვეთცელსიუსით 15 20 0 ტემპერატურის ზომა ფარენჰეიტით
ჰეკი თევზის სახეობაა ამ თევზების მასასა (კგ) და სიგრძეს (სმ) შორის ქვემოთმოცემული დამოკიდებულებაა m = (937 106)l3 ასეთი დამოკიდებულებისმიხედვით დაწერეთ შექცეული ფუნქცია დაახლოებით რამდენი სანტიმეტრიიქნება თევზის სიგრძე რომლის მასა 0875 კგndashია
ფუნქციების გრაფიკების მიხედვით ააგეთ შექცეული ფუნქციის გრაფიკი იპოვეთგანსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე
59
9
10
11
12
13
14
x
y
5
5ა) ბ) გ)
ndash5
ndash5
y = f(x)
y = x
x
y
5
5
ndash5
ndash5y = f(x)
y = x
x
y
5
5
ndash5
ndash5 y = f(x)
y = x
უჩვენეთ რომ მოცემულ ფუნქციას აქვს შექცეული ფუნქცია იპოვეთ შექცეულიფუნქცია უჩვენეთ მისი განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე ააგეთგრაფიკი
ა) f(x) = x3 ბ) f(x) = x4 x ge 0
ა) ƒ(x) = x7 გ) ƒ(x) = x6 x ge 0 ე) ƒ(x) = 16x4 x le 0ბ) ƒ(x) = x5 დ) ƒ(x) = 8x3 ვ) ƒ(x) = x2 x ge 0
132
49
41
ა) დაწერეთ f(x) = x3 1ფუნქციის g(x)შექცეული ფუნქცია
ბ) ფუნქციის გრაფიკისმიხედვით დახაზეთმისი შექცეულიფუნქციის გრაფიკი x0
y
1
2
3
ganmazogadebeli davalebebi
f(x) = radicx ძირითადი ფუნქციის მიხედვით განსაზღვრეთ g(x)= radicx k(x) = radicxh(x) = radicx + 2 ფუნქციების გარდაქმნები როგორ იცვლება ამ გარდაქმნის დროსფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლეა) f(x) = x2 ფუნქციის გრაფიკის ჰორიზონტალური მიმართულებით რამდენიერთეულით პარალელური გადატანისას გაივლის მიღებული გრაფიკი (5 16)წერტილზე ბ) f(x) = radicx ფუნქციის გრაფიკის y ღერძის გასწვრივ რამდენი ერთეულით პარალე-ლური გადატანისას გაივლის მიღებული გრაფიკი (4 -1) წერტილზე
იპოვეთ ფუნქციის განსაზღვრის არე
იპოვეთ ფუნქციის ნულები
6
7
1) გამოიკვლიეთ ფუნქციის ლუწ-კენტობა
ა) f(x) = (x ndash 2)2 + (x + 2)2 ბ) f(x) = (x ndash 4)2 ndash (x + 4)2
ცნობილია რომ f(x) = xmiddotf(x ndash 1) + 2 იპოვეთ f(2)
8 მოცემულია f(x) ფუნქციის ერთი ნაწილი რომლის განსაზ-ღვრის არეა [ndash3 3] გრაფიკის მიხედვით შეასრულეთდავალებებია) დაასრულეთ გრაფიკი თუ ცნობილია რომ f(x) კენტიფუნქციაა უჩვენეთ ფუნქციის ზრდისა და კლების შუა-ლედები დაწერეთ ფუნქციის ექსტრემუმებიბ) დაასრულეთ გრაფიკი თუ ცნობილია რომ f(x) ლუწიფუნქციაა უჩვენეთ ფუნქციის ზრდისა და კლების შუა-ლედები დაწერეთ ფუნქციის ექსტრემუმები x
y
1 2 3
123
0
5
4
ა) f(x) = radic4x ndash 2
ბ) f(x) = radic12 ndash 3x
4radic4 ndash x
გ) f(x) =
დ) f(x) = xradicx + 1
radicxx2 ndash 2x ndash 3
radic4 ndash x2
x ndash 1
ე) f(x) =
ვ) f(x) =
ა) f(x) = 4x + 6
ბ) f(x) = x2 ndash x ndash 6
გ) f(x) = x3 ndash x2 ndash 2x ე) f(x) = 3 ndash radic5 + x2
ვ) f(x) = radicx ndash 1 ndash 2დ) f(x) = x4 ndash 1
2) გამოიკვლიეთ ფუნქციის ლუწ-კენტობა y= x2 + (m ndash 1) x + 3
ა) როცა m= 1 ბ) როცა m=0
42
ა) f(x) = x2 ndash 6x ბ) f(x) = |x + 10|
ქანქარას ერთი სრული ბრუნი-სათვის დათმობილი დრო (რხე-ვის პერიოდი) თვით ქანქარასღერძის სიგრძეზე არის დამოკი-დებული რაც უფრო გრძელიაქანქარას ღერძი საჭირო დრო მითუფრო იზრდება
ა) მოცემული ინფორმაციის მი-ხედვით ააგეთ გრაფიკი
ბ) განსაზღვრეთ რომელი ფუნქ-ციების კლასს მიეკუთვნება იგი
13
9
11
12
ქანქარას ღერძისსიგრძე (მ)
დრო (წმ)
2 284 46 498 5710 63
2x როცა x ge 1 x + 3 როცა x lt 1 f(x) = f(x) =
მოცემულია f (0 1) (1 3) (2 5) (3 7) და g(x) = 2x + 1გამოთვალეთ რთული ფუნქციის მნიშვნელობა ცვლადის მოცემული მნიშვნე-ლობისათვის
ააგეთ ნაწილ-ნაწილ მოცემული ფუნქციების გრაფიკები
დახრილობისკუთხე
გ) გრაფიკის მიხედვით განსაზღვრეთ ერთი სრული ბრუნისათვის საჭირო დროთუ ქანქარას ღერძის სიგრძეა 5 მ 12 მ
ა) ბ)ndash1 x lt ndash1x ndash1 le x le 11 x gt 1
10
f(x) = 2x + 6
არგუმენტის რა მნიშვნელობისათვის არის
1) უჩვენეთ რომ მოცემულ ფუნქციებს (ndash +) შუალედში შექცეული ფუნქციაარ გააჩნიათ
2) მოცემული ფუნქციები ბრუნვითი ფუნქციებია დაწერეთ ამ ფუნქციებისშესაბამისი შექცეული ფუნქციები
ა)
12
ა) f(x) =1
2x ndash 1ბ) f(x) =
1 ndash xx ndash 2
ფუნქციის მნიშვნელობა 3-ის ტოლი
ფუნქციის მნიშვნელობა -ის ტოლიf(x) = ბ) 3x
x2 ndash 7
ა) (g f )(0) ბ) (g f )(1) გ) (g f )(2) დ) (g f )(3)ე) (f g )(ndash05) ვ) (f g)(0) ზ) (f g)(1) თ) (f g)(05)
ა) მოცემულია ფუნქცია f(x) = იპოვეთ ამ ფუნქციის განსაზღვრის არებ) ამოხსენით უტოლობა f(x ndash 4) lt 0
x + 2x ndash 1
14
ganmazogadebeli davalebebi
43
wertili wrfe da sibrtyesivrceSi2
wertili wrfe da sibrtye sivrceSi
wrfisa da sibrtyis paraleluroba
wrfisa da sibrtyis marTobuloba
sami marTobis Teorema
or sibrtyes Soris kuTxe
orwaxnaga kuTxeebi
sibrtyeTa marTobuloba
sibrtyeTa paraleluroba
gegmilebi da amocanebis amoxsna
44
aqsioma 3 erT wrfeze aramdebare sam wertilze SeiZleba sibrtyisgavleba da masTan mxolod erTis
ვუჩვენოთ რომ თუ წრფის ორი წერტილი სიბრტყეზე ძევსმაშინ ამ წრფის ყველა წერტილი სიბრტყეზე ძევს
წრფე ორი წერტილით განისაზღვრება ანუ ორ წერტილზე ერთი და მხოლოდ ერთიწრფის გავლებაა შესაძლებელი (ერთ წერტილზე - რამდენის) რამდენი წერტილითშეიძლება სიბრტყის დადგენა ორი წერტილით სიბრტყე არ განისაზღვრება როგორცსურათიდან ჩანს A და B წერტილებზე უამრავი სიბრტყისგავლება შეიძლება თუმცა მათ შორის ისეთი სიბრტყე არსე-ბობს რომ C წერტილის მხოლოდ მასზეა მაშასადამე სიბრტყეერთ წრფეზე არამდებარე 3 წერტილით განისაზღვრება ერთწრფეზე მდებარე წერტი-ლებს კოლინეარული წერტილებიეწოდება C წერტილი A და B წერტილების კოლინეარული არარის
wertili wrfe da sibrtye sivrceSi
A
Bα
β
C
praqtikuli mecadineoba ქაღალდის ფურცელზე სურათზე მოცემულის მსგავ-სად აღნიშნეთ A B C D და E წერტილები ქაღალდი A წერტილ-ზე გამავალი წრფის გასწვრივ სურათზე ნაჩვენებივით გადაკე-ცეთ შემდეგ ქაღალდი გარკვეულად გაშალეთ ორად დაკეცილიქაღალდის თითოეული ნაწილი ერთი სიბრტყის მოდელია1) რომელი წერტილი ეკუთვნის ამ სიბრტყეებიდან ორივეს2) ამ სიბრტყეებიდან თითოეულისათვის უჩვენეთ წერტილებირომლებიც მას ეკუთვნის და წერტილები რომლებიც არეკუთვნის
E
D C
BA
E
D C
B
A
გეომეტრიის პლანიმეტრიის ნაწილში შეისწავლება ფიგურები რომლის ყველაწერტილი ერთ სიბრტყეში მდებარეობს ასეთ ფიგურებს სიბრტყითი ფიგურებიეწოდება თუმცა ჩვენ რეალობაში გვხვდება სამგანზომილებიანი საგნები ობიექტებიმათ სამი განზომილება სიგრძე სიგანე და სიმაღლე (სიღრმე) გააჩნიათ ასეთფიგურებს სივრცითი ფიგურები ეწოდება გეომეტრიის იმ ნაწილს რომელიცსივრცით ფიგურებს შეისწავლის სტერეომეტრია ეწოდება წერტილი წრფე დასიბრტყე მიღებულია ჩაითვალოს ასევე სივრცით ფიგურებადაცსიბრტყე უსასრულოა პირობითად როგორც წესი პარალე-ლოგრამის ფორმით გამოისახება ერთი პატარა ასოთი ან(ერთ წრფეზე არამდებარე სამი წერტილის მაჩვენებელი)სამი წერტილით აღინიშნება მაგალითად α სიბრტყე ან ABC სიბრტყესივრცის თითოეულ სიბრტყეზე პლანიმეტრიიდან ცნობილი აქსიომები და თეო-რემები მართებულია სივრცეში მიღებულია დამატებითი ქვემოთ მოცემულიაქსიომები
A BC
aqsioma 1 nebismieri sibrtyisaTvis arsebobs wertilebi romlebic am sibr-tyes ekuTvnis da wertilebi romlebic am sibrtyes ar ekuTvnis
aqsioma 2 Tu or sxvadasxva sibrtyes saerTo wertili aqvs maSinisini am wertilze gamaval wrfeze ikveTebian
NA
მართლაც l წრფის A და B ორი წერტილი სიბრტყეზეაავიღოთ l წრფე და α სიბრტყეზე არამდებარე P წერტილი P A და B წერტილებზე გავავლოთ სიბრტყე
l B
βA
P
A wertili α sibrtyesekuTvnisAα
N wertili α sibrtyesar ekuTvnis Nα
45
amoxsna A B და C წერტილებზე გავავლოთ α სიბრტყე დაავღნიშნოთ ამ სიბრტყეზე არამდებარე P წერტილი ამ წერ-ტილებზე შეიძლება გავავლოთ ABP BPC ABC და APC - ოთხისიბრტყე
ერთსა და იმავე სიბრტყეში მდებარე წერტილებს კომპლანური წერტილებიეწოდება ნიმუშში მოცემული A B C და P წერტილები კომპლანური არ არის
wertili wrfe da sibrtye sivrceSi
nimuSi ერთ წრფეზე არამდებარე A B C წერტილები და მათთან ერთ სიბტყეზეარამდებარე P წერტილია მოცემული ჩამოთვალეთ ყველასიბრტყე რომელიც ამ წერტილებიდან სამ წერტილზე გადის
თუ α სიბრტყის სამი ასოთი გამოსახვას მოისურვებთრომელ სამ ასოს ვერ აირჩევთ ა) ABE ბ) ACE გ) BDE დ) DACB C და D წერტილები ერთ წრფეზე მდებარეობენ(კოლინეარულებია) A B C და D წერტილები ერთსიბრტყეში მდებარეობენ (კომპლანურებია) E წერტილიამ სიბრტყის გარეთ მდებარეობს რამდენი სიბრტყეგადის ამ წერტილებზეა) A B და C ბ) B C და D გ) A B C და D დ) A B C და E
1
2
P
A C
B
E
AD C
B
ED
BAC
α
ვინაიდან და სიბრტყეების გადაკვეთის წრფე A და B წერტილებზე გაივლისამიტომ l წრფეს ემთხვევა ვინაიდან გადაკვეთის წრფის თითოეული წერტილი αსიბრტყის წერტილია l წრფის თითოეული წერტილიც α სიბრტყეზეა სტერეო-მეტრიის აქსიომებიდან ქვემოთ მოცემული შედეგები მიიღება
2 ორ ურთიერთგადამკვეთ წრფეზე შეიძლება სიბრტყის გავ-ლება და მასთან მხოლოდ ერთის
ამრიგად სიბრტყე შეიძლება განისაზღვროს 1) წრფითა და მასზე არამდებარე ერთიწერტილით 2) ორი ურთიერთგადამკვეთი წრფით 3) ორი პარალელური წრფით
3 ორ პარალელურ წრფეზე შეიძლება სიბრტყის გავლება და მასთან მხოლოდ ერთის
BC
lA
BC
A
B
Cl1
l1
l2
l2A
B
C
l1 l2
A
1) 2) 3)
1 წრფეზე და იმ წერტილზე რომელიც ამ წრფეზე არ ძევს შეიძლება სიბრტყის გავლება და მასთან მხოლოდ ერთის
saswavlo davalebebi
დაწერეთ ფიგურის წახნაგებისმომცველი სიბრტყეები
M
N
P
R
3
A
EDF
BC
სამფეხა მაგიდა ადგილზე ყოველთვისმყარად იდგმება განმარტეთ მიზეზი
4
ა) რამდენი სიბრტყის გავლება შეიძ-ლება წყვილ-წყვილად გადამკვეთ სამწრფეზე ბ) რამდენი სიბრტყის გავლება შეიძ-ლება ხუთ სხვადასხვა წერტილზეგანიხილეთ ყველა შემთხვევა
5
46
wertili wrfe da sibrtye sivrceSi
wrfeTa urTierTmdebareoba sivrceSi
lk
l
k
r s
tსივრცეში ორი წრფე შეიძლება იყოს პარალელური (კერძოშემთხვევაში შეიძლება ემთხვევოდეს ერთმანეთს) სივრცეში ორიწრფე შეიძლება კვეთდეს ერთმანეთს
ცნობილია რომ თუ l და k წრფეები იკვეთებიან ან პარალე-ლურები არიან მაშინ ისინი ერთ სიბრტყეში მდებარეობენ
თუ სივრცეში ორი ურთიერთგადამკვეთი წრფე მესამე წრფესსხვადასხვა წერტილებში გადაკვეთს მაშინ ეს წრფეები ერთსიბრტყეში მდებარეობენ თუ სივრცეში ორი წრფე მესამეწრფეს ერთ წერტილში კვეთენ ეს წრფეები შეიძლება ერთსიბრტყეში მდებარეობდნენ ან არ მდებარეობდნენ
l k
n
l k
n
l k
nwrfeebi erT sibr-tyeze Zevs aseTwrfeebs komplanuriwrfeebi ewodeba
wrfeebi erT sibr-tyeze mdebareoben
wrfeebi sxvada-sxva sibrtyeebSiZevs es wrfeebiar arian komla-nurebi
სივრცეში არაპარალელური ორი წრფე შეიძლება არ კვეთდესერთმანეთს წრფეებს რომლებიც ერთმანეთს არ კვეთს და პარა-ლელური არ არის აცდენილი წრფეები ეწოდებაa და b წრფეების აცდენილობა a b სახით იწერება ორი აც-დენილი წრფიდან ორივეზე ერთი სიბრტყის გავლება შეუძ-ლებელია ორ აცდენილ წრფეს შორის კუთხე შესაბამისად მათპარალელურ ორ მკვეთ წრფეს შორის შექმნილ კუთხესეწოდება
a
bbull
bull
wrfisa da sibrtyis urTierTmdebareoba
თუ წრფესა და სიბრტყესმხოლოდ ერთი საერთოწერტილი აქვს მაშინ ესწრფე და სიბრტყეიკვეთებიან
თუ წრფის ორი წერტილისიბრტყეს ეკუთვნისმაშინ ეს წრფე მთლიანადამ სიბრტყეს ეკუთვნის
საერთო წერტილის არა-მქონე წრფესა და სიბრ-ტყეს პარალელური წრფედა სიბრტყე ეწოდება
ll
l
bთუ ორი წრფიდან ერთი მეორის მდებარე სიბრტყეს ამ წრფეზეარამდებარე წერტილში გადაკვეთს მაშინ ეს წრფეები აცდენილია
Aa
nimuSi კუბის მოდელზე A1 D1 B B1 რადგანA1D1 B1C1 ამიტომ A1 D1 და B B1 აცდენილ წრფეებსშორის კუთხე B1C1 და B B1 წრფეებს შორის კუთხის ტოლიაანუ 90deg-ია
A1
D1
B1
C1
BCD
A
47
wertili wrfe da sibrtye sivrceSi
7
8
6 კუბის მაგალითზე შეასრულეთ დავალებები მკვეთი პარალელური და აცდენილიწრფეების შესახება) დაწერეთ AB წრფის პარალელური წრფეები ბ) დაწერეთ BC წრფის მკვეთი წრფეები გ) დაწერეთ EF წრფის აცდენილი წრფეები დ) უჩვენეთ B წერტილის კომპლანური სამი წერტილი ე) უჩვენეთ B წერტილის არაკომპლანური სამი წერტილივ) უჩვენეთ ABC სიბრტყის მკვეთი წრფეები ზ) უჩვენეთ CDF სიბრტყეში მდებარე წრფეები თ) იპოვეთ კუთხე და წრფეებს შორის ი) იპოვეთ კუთხე და წრფეებს შორის
A
B C
D
E
H G
F
მონაცემების მიხედვით დახაზეთ ფიგურა AC წრფე სიბრტყეში ძევს BE წრფეAC წრფის კომპლანურია Z წერტილი A და C წერტილების X წერტილი კი B დაE წერტილების კოლინეარულია
მონაკვეთების მომცველი წრფეების სურათზე მოცე-მული გამოსახულების მიხედვით შეასრულეთ დავა-ლებებია) ჩამოთვალეთ პარალელური წრფეები ბ) უჩვენეთ აცდენილი წრფეები გ) უჩვენეთ მონაკვეთი რომელიც ორ მკვეთ წრფესკვეთს და მათთან ერთ სიბრტყეში მდებარეობს
B
C
D
K GJ
A
F
E
H
9 ოთხფეხა მაგიდა როგორც წესი მიწაზე მყარად არ იდგმება განმარტეთ მიზეზი
AB მონაკვეთის A წვერო სიბრტყეშია მონა-კვეთის B წვეროდან და C წერტილიდან სიბრტყისშესაბამისად B1 და C1 წერტილებში მკვეთი პარა-ლელური წრფეებია გავლებული იპოვეთ CC1
მონაკვეთის სიგრძე თუ AC CB = 3 2 დაBB1 = 10 სმ
11
C
A
B
C1B1
სიბრტყის არამკვეთი AB მონაკვეთის წვეროებიდანდა M წერტილიდან გავლებულია სიბრტყის A1 B1
და M1 წერტილებში მკვეთი პარალელური წრფეებიიპოვეთ MM1 მონაკვეთის სიგრძე თუა) AA1 = 12 სმ BB1 = 4 სმ ბ) AA1 = a BB1 = b
10
A
BMM
M1A1 B1
მოცემულია ABCD პარალელოგრამი და მისი არამკვეთი სიბრტყე პარალე-ლოგრამის წვეროებიდან გავლებული პარალელური წფრეები სიბრტყეს A1 B1C1 და D1 წერტილებში კვეთს იპოვეთ DD1 მონაკვეთის სიგრძე თუ AA1 = 3 სმBB1 = 4 სმ და CC1 = 7 სმ
12
13 დაამტკიცეთ რომ წრფეზე არამდებარე წერტილზე ამ წრფის პარალელურიმხოლოდ ერთი წრფის გავლება შეიძლება
48
damtkiceba როცა წრფეები ერთ სიბრტყეში ძევს მაშინპირობა სწორია დავუშვათ რომ a b და c წრფეები ერთსიბრტყეში არ ძევს და a c b c a და c წრფეებზე გავავლოთ სიბრტყე რადგან b c ამიტომ b იქნება a წრფეზე ავიღოთM წერტილი ამ წერტილზე და b წრფეზე გავავლოთ სიბრტყე და სიბრტყეების გადაკვეთის წრფე MN არის b და cწრფეების პარალელური M წერტილზე c წრფის პარალელური მხოლოდ ერთი წრფის გავლება შეიძლებაამიტომაც MN და a წრფეები ემთხვევა რადგან MN b ამიტომ a b
wrfisa da sibrtyis paraleluroba
Teorema 1 (წრფისა და სიბრტყის პარალელურობის ნიშანი) თუ სიბრტყეში არა-მდებარე წრფე ამ სიბრტყეში მდებარე რაიმე წრფის პარალელურია მაშინ ის თვით ამსიბრტყის პარალელურიცაა
Sedegi თუ ერთი სიბრტყე მეორე სიბრტყის პარალელურ წრფეზე გადის და მასგადაკვეთს მაშინ ამ სიბრტყეების გადაკვეთის წრფე მოცემული წრფის პარ-ალელურია
Teorema 2 თუ ორი პარალელური წრფიდან თითოეულზე გამავალი სიბრტყეებიიკვეთებიან მაშინ მათი გადაკვეთის წრფე ამ წრფეების პარალელურია
Teorema 3 თუ ორი წრფე მესამე წრფის პარალელურია მაშინ ეს წრფეებიურთიერთპარალელურია
ა) მოცემული წერტილიდან გაავლეთ მოცემული სიბრტყის პარალელური წრფერამდენი ასეთი წრფის გავლება შეიძლებაბ) მოცემული წერტილიდან გაავლეთ მოცემული წრფის პარალელური სიბრტყერამდენი ასეთი სიბრტყის გავლება შეიძლება
პარალელოგრამის ერთ-ერთი გვერდი სიბრტყეზეა რა მდებარეობა უკავია სიბრტყესთან მიმართებაში მის დანარჩენ გვერდებს
Sedegi ურთიერთგადამკვეთი ორი სიბრტყიდან თითოეულის პარალელური წრფეამ სიბრტყეების გადაკვეთის წრფის პარალელურია
damtkiceba სიბრტყეში არამდებარე a წრფე ამსიბრტყეში მდებარე b წრფის პარალელურია a დაbწრფეებზე გავავლოთ სიბრტყე და სიბრტყეები bწრფეზე გადაიკვეთებიან თუ a წრფე სიბრტყესგადაკვეთს გადაკვეთის წერტილი b წრფეზე უნდა იყოსეს კი შეუძლებელია რადგან a b მაშასადამე a
damtkiceba დავუშვათ რომ a b a წრფეზე გავავლოთ სიბრტყე ხოლო b წრფეზე - სიბრტყე ამ სიბრტყეებისგადაკვეთის წრფე ავღნიშნოთ c ასოთი წრფისა და სიბრტყისპარალელურობის ნიშნის თანახმად a აქედან a c ასევერადგან b ამიტომ b c
a
b
ab
c
a
c
bN
M
3
1
2
ABC სამკუთხედის AB გვერდის პარალელური სიბრტყე ამ სამკუთხედის ACგვერდს A1 წერტილში BC გვერდს B1 წერტილში გადაკვეთს იპოვეთ A1B1მონაკვეთის სიგრძე თუა) AB = 18 სმ და AA1 A1C = 2 1 ბ) B1C = 6 სმ და AB BC = 3 4 გ) AA1 = a AB = b და A1C = c
49
wrfisa da sibrtyis marTobuloba
gansazRvreba თუ სიბრტყის () გადამკვეთი წრფე (l)სიბრტყეში მდებარე და გადაკვეთის წერტილზე გამავალინებისმიერი წრფის მართობულია მაშინ ეს წრფე მოცემულისიბრტყისადმი მართობულია და ეს l სახით იწერება
Teorema 1 (წრფის სიბრტყისადმი მართობულობის ნიშანი) თუ სიბრტყის გადამ-კვეთი წრფე ამ სიბრტყეში მდებარე და გადაკვეთის წერტილზე გამავალი ორი წრფისმართობულია მაშინ იგი თვით ამ სიბრტყის მართობულიცაა
mocemulia a და b ურთიერთგადამკვეთი წრფეები სიბრტყეში ძევს l a l b
daamtkiceT l
ვთქვათ l წრფე სიბრტყეში მდებარე P წერტილში გადამკვეთი a და b წრფეებისმართობულია გავავლოთ სიბრტყეში P წერტილში გადამკვეთი ნებისმიერი m წრფედა a b და m წრფეების შესაბამისად A B და Q წერტილებში მკვეთი წრფე გამოვყოთP წერტილიდან დაწყებული l წრფეზე PR და PS კონგრუენტული მონაკვეთები
A
a
b
l
l
BP
S
RQ
m
∆RQS ტოლფერდა სამკუთხედში PQ მედიანა სიმაღლეცაა აქედან m lგანსაზღვრების თანახმად მივიღებთ რომ l თეორემა დამტკიცებულია
Q
BP
l
bA R
m
a
1) ∆RPA ∆SPATBT TBT
AR AS
2) ∆RPB ∆SPB
BR BS
3) ∆RBA ∆SBATTT
RAB SAB
S
4) ∆RAQ ∆SAQ5) ∆RPQ ∆SPQ
RPQ SPQTTT
TBTRQ SQ
Q
BP
l
bA R
m
aS
Q
BP
l
bA R
m
aS
Q
BP
l
bA R
m
aS
Q
BP
l
bA R
m
aS
Teorema 2 წრფეზე მდებარე წერტილზე შეიძლება ამ წრფის მართობული სიბრ-ტყის გავლება და მასთან მხოლოდ ერთისTeorema 3 სიბრტყის მოცემულ წერტილზე შეიძლება ამ სიბრტყის მართობულიწრფის გავლება და მასთან მხოლოდ ერთის
daamtkiceT l წრფე P წერტილში სიბრტყის მართობული ერთადერთი წრფეა
davamtkicoT Teorema 3mocemulia l წრფე P წერტილში სიბრტყის მართობულია
50
AP მონაკვეთს - სიბრტყის მართობი AB მონაკვეთს - დახრილი P წერტილს - მართობის ფუძე B წერტილს - დახრილის ფუძე BP მონაკვეთს - სიბრტყეზე დახრილის გეგმილი(პროექცია) ეწოდება
wrfisa da sibrtyis marTobuloba
damtkiceba დავამტკიცოთ თეორემა საწინააღმდეგოს დაშვებით დავუშვათ რომ სიბრტყეში P წერტილის მართობული l წრფის გარდა არსებობს სხვა z წრფეც l დაz წრფეები სიბრტყის b წრფეზე მკვეთ სიბრტყეში ძევს l დაz წრფეების გადაკვეთიდან წარმოიქმნება კუთხე წრფისა დასიბრტყის მართობულობის განსაზღრების თანახმად l წრფე(ასევე z წრფე) სიბრტყეში არსებული ნებისმიერი წრფის მათშორის b წრფის მართობულიცაამაშინ თან l თანაც z წრფეც სიბრტყის მართობული უნდა იყოსთუმცა რადგან θ + 90deg + 90deg gt 180deg ეს შეუძლებელია მაშასადამე სიბრტყეში Pწერტილში მართობული მხოლოდ და მხოლოდ ერთი წრფე არსებობს თეორემადამტკიცებულიასივრცის A წერტილზე გამავალი და P წერტილში სიბრტყის მართობული წრფისAP მონაკვეთს A წერტილიდან სიბრტყისადმი გავლებული მართობი ეწოდება A წერტილსა და სიბრტყის დანარჩენი წერტილების შემაეთებელ მონაკვეთებსდახრილი ეწოდება
θP
zl
b
თუ სიბრტყის გარეთ მდებარე წერტილიდან გავლებულია მართობი და დახრილი1) მართობი დახრილზე ნაკლებია2) ტოლი გეგმილების მქონე დახრილები ტოლია3) მეტი გეგმილის მქონე დახრილი მეტია
kuTxes wrfesa da sibrtyeze mis gegmils Soriswrfesa da sibrtyes Soris kuTxe ewodeba
კუთხე წრფესა და სიბრტყეს შორის წრფის მიერ სიბრ-ტყეში მდებარე სხვა წრფეებთან შექმნილი კუთხეებიდანარც ერთზე მეტი არ არისროცა წრფე სიბრტყის მართობულია კუთხე წრფესა და სიბრტყეს შორის 90deg-ისტოლია
kuTxe wrfesa da sibrtyis Soris
nimuSi სივრცის ერთი წერტილიდან სიბრტყისადმი გავლებულია 20 სმ და 13 სმ სიგრძის ორი დახრილი დიდი დახრილის გეგმილი 16 სმ-ია იპოვეთ მცირე დახრილის გეგმილიamoxsna დავუშვათ AD მართობია AB და AC დახრილებია BD და CD კი მათი გეგმილებია ∆ ABD-დან პითაგორას თეორემის თანახმადBD = radicAB2 ndash AD2 = radic202 ndash 162 = radic144 = 12 (სმ)∆ ADC-დან პითაგორას თეორემის თანახმად DC = radicBC2 ndash BD2 = radic132 ndash 122 = (5სმ)
P
A
B
gegmili
daxrilimarTobi
C
A
20 13
D16x
B
l
51
სიბრტყიდან a მანძილით დაშორებული A წერ-ტილიდან სიბრტყისადმი გავლებულია ორი ABდა AC დახრილი რომლებიც სიბრტყესთანადგენენ 30ordm-იან და 45ordm-იან კუთხეს ურთი-ერთშორის კი მართ კუთხეს იპოვეთ მანძილიდახრილის ფუძეებს შორის
wrfisa da sibrtyis marTobuloba
ABCD კვადრატის AD გვერდი სიბრტყეზეძევს AC დიაგონალი სიბრტყესთან 30ordm-იანკუთხეს ქმნის იპოვეთ CD გვერდის მიერსიბრტყესთან შექმნილი კუთხე
სურათის მონაცემებით იპოვეთ x სივრცის ერთი წერტილიდან მოცე-მულ სიბრტყეზე 8 სმ სიგრძის მარ-თობი და 16 სმ სიგრძის დახრილიაგავლებული იპოვეთა) დახრილის გეგმილიბ) გეგმილების დახრილზეგეგმილები
3 4
7 მართკუთხა პარალელეპიპედის ფუძის გვერდები 4 სმ და 3სმ-ია პარალელეპიპედის სიმაღლე 5 სმ-ია იპოვეთ პარალე-ლეპიპედის დიაგონალი და კუთხე დიაგონალსა და ფუძისსიბრტყეს შორის
8
9
10 სმ სიგრძის მონაკვეთი სიბრტყეს გადაკვეთს მონაკვეთის ბოლოები სიბრ-ტყიდან 5 სმ და 3 სმ მანძილზეა იპოვეთ მონაკვეთის გეგმილი სიბრტყეზე
ხელოსანმა ახალი სატელეფონო ბოძის დაყენებისას აღნიშნა რომ ვინაიდან ბოძისმიწის ზედაპირზე აღებული ორი მკვეთი წრფის მართობულობაშიდარწმუნებულია იგი ბოძის მართობულობაშიც დარწმუნებულია დაამტკიცეთრომ ხელოსანი მართალიათუ სამკუთხედის წვეროზე გამავალი წრფე სამკუთხედის ამ წვეროებიდანგამოსული გვერდების მართობულია მაშინ ის მესამე გვერდის მართობულიციქნება
წერტილიდან სიბრტყისადმი გავლებულია ორი დახრილი იპოვეთ ამ დახ-რილების სიგრძე თუა) დახრილებიდან ერთი მეორეზე 8 სმ-ით მეტია და გეგმილები კი 8 სმ და 20 სმ-იაბ) დახრილების სიგრძეები ისე შეეფარდება ერთმანეთს როგორც 2 3 და გეგ-მილები კი 2 სმ და 7 სმ-ია
10
5
ერთი წერტილიდან მოცემული სიბრტყისადმი გავლებულია ორი ტოლი დახრი-ლი დახრილებს შორის კუთხე 60ordm-ია გეგმილებს შორის კუთხე კი მართი კუთხეაიპოვეთ კუთხე თითოეულ დახრილს და მის გეგმილებს შორის
6
11
8 სმ სიგრძის მონაკვეთი სიბრტყეს კვეთს მონაკვეთის ბოლოები სიბრტყიდან 1 სმდა 3 სმ მანძილზეა იპოვეთ კუთხე მოცემულ მონაკვეთსა და სიბრტყეს შორის
2
1
B
A
C
D
a30deg
45deg
C
A
17 10
O15 xB
5
43
d
C
A
B
C1
D30ordm
52
დავამტკიცოთ თეორემაmocemuliaAB AC სიბრტყისადმი გავლებული დახრილია BC მონაკვეთი AC დახრილის გეგმილიაCD CD BCdaamtkiceT CD AC
sami marTobis Teorema
Teorema თუ სიბრტყეზე მდებარე წრფე დახრი-ლის ფუძეზე გადის და ამ დახრილის გეგმილისმართობულია მაშინ იგი თვით ამ დახრილისმართობულიც არის ანუ თუ სიბრტყეში C წერტილზე გამავალი a წრფეBC-ს მართობულია მაშინ AC-ს მართობულიცაა
ამ თეორემის შებრუნებული თეორემაც ჭეშმარიტიაSebrunebuli Teorema თუ სიბრტყეზე მდებარე წრფე სიბრტყისადმი გავლე-ბული დახრილის მართობულია მაშინ ის ამ დახრილის გეგმილის მართობულიცარის ანუ თუ α სიბრტყეში C წერტილზე გამავალი a წრფე AC-ს მართობულია BC-ს მართობულიცაამოკლე ჩანაწერი თუ a AC და BC BA მაშინ a BC
შებრუნებული თეორემა დამოუკიდებლად დაამტკიცეთ
CD BC მოცემულიაABCD წრფისა და სიბრტყის მართობულობა
CD AC CD ABC სიბრტყის (წრფის სიბრტყისადმი მართობულობა)
CD ABC სიბრტყის
piroba safuZveli
AB და BC ABC სიბრტყეზე ორი მკვეთი წრფეადა CDAB CD BC
A
BD
C
nimuSi 1 მართკუთხა ABC სამკუთხედის მართი კუთ-ხის წვეროდან სამკუთხედის სიბრტყისადმი გავლებუ-ლი CM მართობის სიგრძე 72 ერთეული სამკუთხედისმართი კუთხის წვეროდან ჰიპოტენუზაზე გავლებულისიმაღლის სიგრძე კი 96 ერთეულია იპოვეთ მანძილი Mწერტილიდან სამკუთხედის ჰიპოტენუზამდე
amoxsna სამი მართობის თეორემის თანახმად CH AB ხოლო MH ABM წერტილიდან ჰიპოტენუზამდე მანძილი MH მონაკვეთის სიგრძის ტოლია∆MCH-დან პითაგორას თეორემის თანახმად მივიღებთ
MH = radic 722 + 962 = 12 ერთეული
მოკლე ჩანაწერი თუ a BC და BC BA მაშინ a AC
A
CBa
დახრილიდახრილისგეგმილი
AM
CB
H96
72
53
S = radicp(p ndash a)(p ndash b)(p ndash c) = radic24middot(24 ndash 10)(24 ndash 17)(24 ndash 21) = radic24middot14middot7middot3 = radic3middot8middot2middot7middot7middot3 = radic32middot72middot42 = 84
sami marTobis Teorema
nimuSi 2 სამკუთხედის გვერდები 10 17 და 21 ერთეულია ამსამკუთხედის უდიდესი კუთხის წვეროდან სამკუთხედის სიბრ-ტყისადმი 15 ერთეულის სიგრძის მქონე მართობია აღმართულიიპოვეთ მანძილი მართობის წვეროს წერტილიდან დიდ გვერდამდე
amoxsna თუ BF AC მაშინ KF AC მაშასადამე უნდა ვიპოვოთKF მონაკვეთის სიგრძეჰერონის ფორმულის მიხედვით ვიპოვოთ ΔABC-ის ფართობი
სურათზე მონაცემების მიხედვით დაამტკიცეთ მოთხოვნილი პირობა
12
D
B
C
300
600
A
M
DB(ABС) MA(ABС)AB = AC CD = DBDCAС
MDBС
BD
C
A
BE
CD
AF
K
KB(ABС)AE CF - სიმაღლეები
KDAC
S = AC BF აქედან BF = = = 8
რადგან KB მონაკვეთი BF-ის მართობულია ΔKBF მართკუთხა სამკუთხედია
KF = radicKB2 +BF2 = radic152 + 82 = radic289 = 17
2middotSAC
2middot8421
1
2 10 სმ 10 სმ და 12 სმ გვერდებიან სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის სიბრ-ტყისადმი h = 4 სმ სიგრძის მართობია აღმართული იპოვეთ მანძილი მართობისწვეროდან შესაბამისი სამკუთხედის გვერდებამდე
სივრცის M წერტილი 6 სმ და 8 სმ კათეტების მქონე ABC მართკუთხა სამკ-უთხედის წვეროებიდან ტოლ მანძილზეა იპოვეთ მანძილი M წერტილიდანსამკუთხედის სიბრტყემდე თუ MA = MB = MC = 13 სმ
3
სივრცის M წერტილი ტოლგვერდა სამკუთხედის სიბრტყიდან radic3 სმ მანძილზეაიპოვეთ მანძილი M წერტილიდან სამკუთხედის გვერდებამდე თუ სამკუთხედისგვერდები 3 სმ-ია
(a + b + c)2
(10 + 17 + 21)2p = = = 24
მეორე მხრივ
4
სივრცის M წერტილი 5 სმ მანძილზეა იმ სამკუთხედის გვერდებიდან რომლისგვერდებიც 13 სმ 14 სმ და 15 სმ-ია იპოვეთ მანძილი M წერტილიდან სამ-კუთხედის სიბრტყემდე
5
BC
K
FA
17
21
15
10
54
or sibrtyes Soris kuTxe orwaxnaga kuTxeebi
praqtikuli mecadineoba qaRaldis dakecvaაიღეთ ორი ქაღალდის ფურცელი ერთზე აღნიშნეთ M ასო ხოლომეორეზე N ასო ორივე ფურცელი შუამდე გაჭერით ფურცლებიერთმანეთზე წებოვანი ლენტით (სკოჩი) დაამაგრეთ შეასრულეთდავალებები1 აღნიშნეთ ისეთი ორი D და E წერტილი რომ ორივე სიბრტყესეკუთვნოდეს2 გაავლეთ D და E წერტილებზე გამავალი წრფე3 გამოთქვით მოსაზრებები სიბრტყეების გადაკვეთის შესახებ
M
NM
საერთო საზღვრების მქონე ორი ნახევარსიბრტყით შედგენილ ფიგუ-რას orwaxnaga kuTxe ეწოდება ნახევარსიბრტყეებს ორწახნაგა კუთ-ხის წახნაგები მათ საერთო საზღვარს კი ორწახნაგა კუთხის წიბოეწოდება ორი სიბრტყის გადაკვეთისას 4 ორწახნაგა კუთხე მიიღება
orwaxnaga kuTxe misive wrfivi kuTxiT izomeba wrfivikuTxis gradusuli zoma orwaxnaga kuTxis gradusulzomas uCvenebsორწახნაგა კუთხის ყველა წრფივი კუთხე პარალელური გადატანითერთმანეთს შეუთავსდება მაშასადამე გრადუსული ზომები ტოლია(ერთი და იმავე წრფის მართობული წრფეები პარალელურია)
Or
O
A
B
xy
xryr
sibrtyeebis urTierTmdebareoba
paralelurisibrtyeebi
Tanxvedrilisibrtyeebi
ორი სიბრტყე ერთ წრფეზეიკვეთება და სიბერტყე-ები AB წრფეზე იკვეთება
პარალელურ სიბრტყე-ებს არცერთი საერთოწერტილი არა აქვთ
ორ სიბრტყეს ერთ წრფეზეარამდებარე სამი საერთოწერტილი აქვს
urTierTgadamkveTisibrtyeebi
A
A
B
B
β
wrfivi kuTxis mniSvneloba misi wveros wertilis mdebareobaze araris damokidebuli ორწახნაგა კუთხის ზომები 0ordm-დან 180ordm-მდეა
nimuSi 30deg-იანი ორწახნაგა კუთხის ერთ წახნაგზე აღებული წერტილიდან მეორეწახნაგამდე მანძილი a-ს ტოლია იპოვეთ მანძილი ამ წერტილიდან ორწახნაგაკუთხის წიბომდეamoxsna A α ჩავთვალოთ მოცემულ წერტილად გავავლოთAB l AC სამი მართობის თეორემის თანახმად BC lმაშასადამე ABC წრფივი კუთხეა და ABC = 30deg 30deg-იანი კუთხის მოპირდაპირე კათეტი ჰიპოტენუზის
ნახევრის ტოლია ამიტომ AC = აქედან AB = 2a
თუ ორწახნაგა კუთხის წიბოზე ავიღებთ რაიმე ერთ წერტილს ამ წერ-ტილიდან თითოეულ ნახევარსიბრტყეში გავავლებთ მართობულსხივებს მიღებულ კუთხეს ორწახნაგა კუთხის წრფივი კუთხე ეწოდება
AB2 B
A
C
α
βl
55
or sibrtyes Soris kuTxe orwaxnaga kuTxeebi
არამართობული ორი სიბრტყის გადაკვეთის დროს მიღე-ბული ორწახნაგა კუთხეებიდან მნიშვნელობით ნაკლებიმიღებულია ორ სიბრტყეს შორის კუთხედ სურათზე მო-ცემულ და სიბრტყეებს შორის მდებარე კუთხე არის ამსიბრტყეების გადაკვეთის წრფის მართობული გვერდებისმქონე კუთხე
AB
C
Tსიბრტყეზე ავიღოთ ABC სამკუთხედი და მისი სიბრტყისგარეთ მდებარე T წერტილი გავავლოთ TA TB TC სხივებიT საერთო წვეროსა და საერთო გვერდების მქონე ერთ სიბრ-ტყეზე არამდებარე ATC ATB და BTC სამი სიბრტყითიკუთხისაგან შემდგარ ფიგურას სამწახნაგა კუთხე ეწოდებასიბრტყით კუთხეებს სამწახნაგა კუთხის წახნაგები მათგვერდებს სამწახნაგა კუთხეების წიბოები საერთო წვეროსსამწახნაგა კუთხის წვერო ეწოდება თითოეული წიბოიმავდროულად ერთი ორწახნაგა კუთხის წიბოაTeorema 1 სამწახნაგა კუთხის სიბრტყითი კუთხეების ჯამი 360ordm-ზე ნაკლებიაTeorema 2 სამწახნაგა კუთხის თითოეული სიბრტყითი კუთხე დანარჩენი ორისიბრტყითი კუთხის ჯამზე ნაკლებია
2
1 საკლასო ოთახში უჩვენეთ სამწახნაგა კუთხის ნიმუშები ივარაუდეთ ამ სამწახ-ნაგა კუთხის სიბრტყითი კუთხეებისა და ორწახნაგა კუთხეების მნიშვნელობები
არსებობს თუ არა სამწახნაგა კუთხე რომლის სიბრტყითი კუთხეების გრადუ-სული ზომებიც არისა) 30ordm 70ordm 50ordm ბ) 120ordm 150ordm 100ordm გ) 60ordm 100ordm 170ordm
3
5
4
45ordm-იანი ორწახნაგა კუთხის ერთ წახნაგზე მეორე წახნაგიდან a მანძილზე ერთიწერტილია აღნიშნული იპოვეთ მანძილი ამ წერტილიდან წიბომდე
მართკუთხა სამკუთხედის კათეტები 6 სმ და 8 სმ-ია იპოვეთ მანძილი მართიკუთხის წვეროდან სამკუთხედის სიბრტყესთან 30ordm-იანი კუთხის შემდგენჰიპოტენუზაზე გამავალ სიბრტყემდე
სამწახნაგა კუთხის ორი სიბრტყითი კუთხიდან თითოეული 45ordm-ია მესამე კი 60ordm-ია იპოვეთ მესამე სიბრტყითი კუთხის მოპირდაპირე ორწახნაგა კუთხე
6 მოცემულია ABC სამკუთხედი რომლის გვერდებია AB = 18 BC = 12 AC = 10გაავლეთ სიბრტყე რომელიც AC გვერდიდან სამკუთხედის სიბრტყესთანადგენს 45ordm-იან კუთეს იპოვეთ მანძილი B წვეროდან სიბრტყემდე
nimuSi 2 არსებობს თუ არა ისეთი სამწახნაგა კუთხე რომლის სიბრტყითი კუთხისზომებია ა) 130ordm 100ordm 140ordm ბ) 70ordm 80ordm 100ordm amoxsna ა) არ არსებობს რადგან 130ordm+100ordm+140ordm= 370ordm gt 360ordmბ) არსებობს რადგან 70ordm+80ordm+100ordm lt 360ordm და მოცემული სიბრტყითი კუთხეებიდანთითოეული დანარჩენი ორის ჯამზე ნაკლებია
56
mocemulia AB წრფე სიბრტყესთან A წერტილშია მართობული C კი სიბრ-ტყეზე არამდებარე რაიმე წერტილიაdaamtkiceT A B და C წერტილებზე გამავალი სიბრტყე სიბრტყისმართობულიაdamtkiceba და სიბრტყეების გადაკვეთა ავღნიშნოთ AD სახით AD ამსიბრტყეებით შექმნილი ორწახნაგა კუთხის წიბოა გავავლოთ სიბრტყეზე მდებარე AD-ს მართობული AE წრფე რადგან AB ამიტომ AB წრფე A წერტილზე გამავალი ნებისმიერი წრფისმართობულია ანუ AB AD AB AE BAE ორწახნაგა კუთხისწრფივი კუთხეა რადგან AB AE ორწახნაგა კუთხე მართი კუთხეამაშასადამე თეორემა დამტკიცებულია
sibrtyeTa marTobuloba
gamoyenebis nimuSi სასტუმროების სავაჭ-რო ცენტრების შესასვლელ კარებში მბრუნავიკარები მართობული სიბრტყეების ნიმუშადგამოდგება კარების სქემატური გამოსახვიდანჩანს რომ ST წრფე იატაკის მართობულია დაკარების ამ წრფის გარშემო ბრუნვის კვალობაზეSTU STR სიბრტყეებიც RTU იატაკის სიბრტყისმართობულები რჩებიან
წრფეზე გამავალი ნებისმიერი სიბრტყის სიბრტყის lწრფის გარშემო ბრუნვის შედეგად მიღებულ სიბრტყესავითმოდელირება შეიძლება
VSQ
T UR
B C
EA
D
Teorema (სიბრტყეთა მართობულობის ნიშანი) თუ სიბრტყეგადის მეორე სიბრტყის მართობულ წრფეზე მაშინ ეს სიბრ-ტყეები ურთიერთმართობულები არიან
სიბრტყეზე SQ SR და სიბრტყეზე TS SR წახნაგები და სიბრტყეები წიბო კი RS მქონე ორწახნაგა კუთხის ზომაQST- წრფივი კუთხის ზომის ტოლია თუ QST მართიკუთხეა მაშინ
B
AD
gansazRvreba თუ ორი სიბრტყის გადაკვეთისას მიღებულიორწახნაგა კუთხე მართი კუთხე იქნება ამ სიბრტყეებს მარ-თობული სიბრტყეები ეწოდება
Q
R S
T
l
praqtikuli mecadineobaქაღალდის ფურცელი მიამაგრეთ ფანქარზე წებოვანი ლენ-ტით ფანქარი წრფის ხოლო ფურცელი კი სიბრტყის მო-დელია ფანქრის მაგიდის სიბრტყის მიმართ სხვადასხვამდგომარეობაში მოთავსებით გამოთქვით მოსაზრებები ქა-ღალდის ფურცელსა და მაგიდის სიბრტყეს შორის ორწახნაგაკუთხეების მნიშვნელობების შესახებ
57
sibrtyeTa marTobuloba
რომელი მოსაზრება არის ჭეშმარიტი და რომელია მცდარი
ა) წრფეზე აღებული რომელიმე წერტილიდან ამ წრფეზე მხოლოდ ერთიმართობის გავლება შეიძლება
ბ) თუ A წერტილი სიბრტყეზე ხოლო B წერტილი სიბრტყეზე იქნება ABწრფის არც ერთი სხვა წერტილი არ შეიძლება იყოს სიბრტყეზე
გ) თუ ორი მკვეთი სიბრტყიდან თითოეული იქნება მესამე სიბრტყის მარ-თობული ეს სიბრტყეები ერთმანეთის მართობულებიც იქნებიან
დ) თუ AB წრფე A წერტილში სიბრტყის მართობულია და AB წრფე სიბრტყეში ძევს მაშინ ე) წრფეზე მოცემული წერტილიდან ამ წრფეზე მხოლოდ ერთი მართობულისიბრტყის გავლება შეიძლება
ვ) თუ სიბრტყე ორი მკვეთი წრფიდან მართობული იქნება მაშინ მეორისმართობულიცაა
12
წარმოიდგინეთ რომ თქვენ საკლასო ოთახი გადასა-ტიხრი დაფებით სურათზე ნაჩვენებივით ორ ნაწილადუნდა გაყოთ ოსტატმა რომელიც თქვენ გეხმარებოდათგადატიხრულზე ცარცით DF ხოლო იატაკზე კი FHწრფეები გაავლოა) ამ ორი წრფისა და კუთხედის დახმარებით როგორგანსაზღვრავდით ტიხარის მოდელის - EFD სიბრტყისიატაკის მაჩვენებელი EFH სიბრტყის მიმართ მართობულობასბ) რომელი შემოწმებებით შეიძლება იმაში დაწრმუნება რომ ტიხარი კედლის(KGJ) მართობულია
D
K
GF
E H
J
10
ბ) რომელი სიბრტყის მართობულია AE წიბო გან-მარტეთ თქვენი პასუხი წრფისა და სიბრტყისმართობულობის შესახებ თეორემის დაწერით
გ) დაწერეთ მართობული სიბრტყეების სამი წყვი-ლის სახელი განმარტეთ მათი მართობულობაშესწავლილი თეორემების დაწერით
9
A
B C
D
E
H G
F
ა) დაწერეთ კუბის ADC სიბრტყის მართობული წიბოები
ა) გაავლეთ NML სიბრტყე და ამ სიბრტყის მართობული AM წრფებ) გაავლეთ AM წრფეზე გამავალი და NML სიბრტყის მართობული სამი სიბრტყე
11
სახლში და სკოლაში თქვენს გარშემო უჩვენეთ ნიმუშები მართობული სიბრ-ტყეების შესახებ და დაასაბუთეთ მათი მართობულობა
7
წერტილი მართობული ორი სიბრტყიდან a და bმანძილზეა იპოვეთ მანძილი ამ წერტილიდანსიბრტყეების გადაკვეთის წერტილამდე
8 Aab
58
sibrtyeTa marTobuloba
ა) PN-ის MNL სიბრტყისადმი მართობულობა კიდევ რომელისიბრტყისა და MNL სიბრტყის მართობულობას უჩვენებს
ბ) იმისათვის რომ როგორც RSL ისე PNL სიბრტყე იყოს MNLსიბრტყის მართობული რომელი წრფე უნდა იყოს MNLსიბრტყის მართობული
13P
RQ
SL
NM
AB არის B წერტილში სიბრტყის მართობული სიბრტყეზე მოცემული BC და BD მონაკვეთებიკონგრუენტულებია BC BD ორსვეტიანი ცხრილისშევსებით დაამტკიცეთ რომ AC AD დამტკიცებარვეულში ჩაიწერეთ
14
mocemulia AB BC BD C və D daamtkiceT AC AD
A
BDC
1 AB BC BD C და D 1 მოცემულია2 AB BC AB BD 2 3ABC და ABD მართი კუთხეებია 3 პერპენდიკულარის განსაზღვრების
თანახმად4 ABC ABD 4 ორივე მართი კუთხეა5 ΔABC ΔABD 5 6 AC AD 6
piroba safuZveli
ტოლგვერდა ABC სამკუთხედი სიბრტყეზე მდებარეობს AD მონაკვეთი სიბრტყის მართობულია დაამტკიცეთ რომ BD CD
AB საერთო ფუძის მქონე ABC და ABD ტოლფერდა სამკუთხედების სიბრ-ტყეები მართობულია AB = 16 სმ AC = BC = 17სმ AD CD იპოვეთ CDმანძილი
16
15
AB მონაკვეთი სიბრტყეზე C წერტილში მართობულიადა AC CB დაამტკიცეთ რომ სიბრტყეზე ნებისმიერიწერტილი A და B წერტილებიდან ტოლ მანძილზეა
A
D C
B
17
ორ მართობულ სიბრტყეზე არსებული A და B წერტილებიდან სიბრტყეებისგადაკვეთის წრფის მიმართ AC და BD მართობებია გავლებული იპოვეთ ABმონაკვეთის სიგრძე თუა) AC = 8 სმ BD = 9 სმ CD = 12 სმ ბ) AD = 6 მ BC = 7 მ CD = 8 მ გ) AC = a BD = b CD = c
18
59
Teoremis damtkicebamocemulia || სიბრტყის სიბრტყესთან გადაკვეთა l სიბრტყესთანგადაკვეთა კი m წრფეაdaamtkiceT m || ldamtkiceba ვინაიდან m და l წრფეები სიბრტყეზე მდებარეობენ აცდენილებივერ იქნებიან ისინი არც შეიძლება იკვეთებოდნენ წინააღმდეგ შემთხვევაში და სიბრტყეებს საერთო წერტილი ექნებოდათ მართლაც l და m წრფეები თუ რაიმეწერტილში გადაიკვეთებიან ეს წერტილი l წრფეზე ანუ სიბრტყეზე უნდა იყოსთანაც m წრფეზე ანუ სიბრტყეზე უნდა იყოს თუმცა და სიბრტყეები პარალელურია არცერთი საერთო წერტილი არააქვთ მაშასადამე m || l თეორემა დამტკიცებულიაTeorema 3 პარალელურ სიბრტყეებს შორის მოთავსებულიპარალელური წრფეების მონაკვეთები ტოლიათეორემა დამოუკიდებლად დაამტკიცეთ
sibrtyeTa paraleluroba
Teorema 2 თუ ორი პარალელური სიბრტყე გადაკვეთილიამესამე სიბრტყით მაშინ გადაკვეთის წრფეები პარალელურიაანუ თუ პარალელურ და სიბრტყეებს სიბრტყე გადაკვეთსმათი გადაკვეთის l და m წრფეები პარალელურიამოკლე ჩანაწერი თუ || სიბრტყე გადაკვეთს და სიბრტყეებს l || mgamoyenebiTi nimuSi მართკუთხა პარალელეპიპედში ABGდა DCF სიბრტყეები პარალელურია რომელი სიბრტყეები წარ-მოქმნიან პარალელურ წიბოებს ამ სიბრტყეების გადაკვეთისასamoxsna 1 ABC სიბრტყე ABG და DCF პარალელური სიბრ-ტყეების გადაკვეთისას AB და CD პარალელურ წიბოებს წარ-მოქმნის AB || CD2 HGF სიბრტყე ABG და DCF პარალელური სიბრტყეებისგადაკვეთისას GH და FE პარალელურ წიბოებს წარმოქმნისGH FE
m
l
A DH
E
CFG
B
A B
D
C
Teorema 1 (სიბრტყეთა პარალელურობის ნიშანი) თუ ერთ სიბრტყეში მდებარეორი ურთიერთგადამკვეთი წრფე შესაბამისად მეორე სიბრტყეში მდებარე ორიურთიერთგადამკვეთი წრფის პარალელურია მაშინ ეს სიბრტყეები ერთმანეთისპარალელურია
ab
ca1
b1
damtkiceba დავუშვათ რომ ურთიერთ-გადამკვეთი a და b წრფეები სიბრტყეშიხოლო a1 და b1 წრფეები კი სიბრტყეშიმდებარეობენ და a a1 b b1 ვუჩვენოთ რომ
დავუშვათ საპირისპირო ვთქვათ რომ და სიბრტყეები c წრფეზე იკვეთებიანწრფისა და სიბრტყის პარალელურობის ნიშნის თანახმად a c და b c ასე გამოდისრომ c წრფე მკვეთი a და b წრფეებიდან თითოეულის პარალელურია ეს კიშესაძლებელი არაა მკვეთით წინააღმდეგობამდე თეორემა დამტკიცებულია
60
Teoremis damtkicebamocemulia სიბრტყე AB სიბრტყე ABdaamtkiceT || damtkiceba წარმოვიდგინოთ საწინააღმდეგო დავუშ-ვათ რომ და სიბრტყეები იკვეთებიან და R წერტილი ამსიბრტყეების გადაკვეთის წრფეზე მდებარე წერტილია AB და R წერტილებზე კი სიბრტყე გადის γ სიბრტყეზე RB AB RA AB თუმცა სიბრტყეზე ერთი და იმავეწრფის მიმართ მართობული წრფეები პარალელური უნდაიყოს მაშასადამე და სიბრტყეების გადაკვეთის შესახებგამოთქმული მოსაზრება არ არის ჭეშმარიტი ეს სიბრტყეები პარალელურია || თეორემა დამტკიცებულია
Teorema 5 ერთი და იმავე წრფის მართობული ორი სიბრტყე პარალელურია
gamoyenebiTi nimuSi ქერიმმა მუყაოსაგან ავტო-მობილის მოდელი დაამზადა საბურავების შემაერ-თებელი DG ღერძი საბურავების მართობული უნდაიყოს რომელი წრფეების მართობული უნდა იყოსღერძი რომ ის დარწმუნებული იყოს საბურავებისპარალელურობაში
sibrtyeTa paraleluroba
F
E D
G
HJ
A
B
R
Teorema 4 ერთი და იმავე სიბრტყის მართობული ორი წრფე პარალელურია
mocemulia სიბრტყე LA MB daamtkiceT LA || MBთეორემის დამტკიცებისათვის გაავლეთ LA -ს პარალელურიBN წრფე უნდა ვუჩვენოთ რომ BN და BM წრფეები ემთხვევაერთმანეთს თეორემა ქვემოთმოცემული ნაბიჯებითდაამტკიცეთ1 უჩვენეთ რომ LAC არის და სიბრტყეებით შექმნილიმართი ორწახნაგა კუთხის წრფივი კუთხე2 თუ ორი პარალელური წრფიდან ერთი მესამე წრფისმართობულია მეორეც ამ წრფის მართობულია LAAB პირობის თანახმად უჩვენეთრომ NB AB3 სიბრტყეზე გაავლეთ BD AB და სიბრტყეების მართი ორწახნაგა კუთხისგამოყენებით უჩვენეთ რომ BD NB4 უჩვენეთ რომ MB არის სიბრტყის B წერტილში გავლებული ერთადერთიმართობი
С DA B
MNL
amoxsna თუ DG ღერძი EFD სიბრტყეზე არსებული ED და FD ურთიერთგადამკვეთიწრფეებისა და HGJ სიბრტყეზე HG და GJ ურთიერთგადამკვეთი წრფეების მარ-თობული იქნება მაშინ ქერიმს შეუძლია დარწმუნებული იყოს საბურავების პარა-ლელურობაში
61
დურგლები ხელოსნები დეტალების დამუშავები-სათვის მათ ორ პარალელურ დაფას (გირაგი) შორისამაგრებენ მოუჭერენ და მასზე საჭირო სამუშაოებსასრულებენ სურათზე ნაჩვენები ორი დაფის პარა-ლელურობისათვის რომელი წრფეები უნდა იყოსმართობული
sibrtyeTa paraleluroba
manZili or acdenil wrfes Soris ორი აცდენილიწრფიდან თითოეულზე მეორის პარალელური სიბრტყისგავლება შეიძლება მაგალითად b წრფეზე გავავლოთ aწრფის პარალელური სიბრტყე ამისათვის გავავლოთ bწრფის გადამკვეთი და a-ს პარალელური a1 წრფე a1 და bურთიერთგადამკვეთ წრფეებზე თუ გავავლებთ სიბრტყესეს სიბრტყე a წრფის პარალელური იქნება a წრფისნებისმიერი წერტილიდან ამ სიბრტყემდე მანძილი a და b
Teorema 6 ორი პარალელური სიბრტყიდან ერთის მართობულიწრფე მეორე სიბრტყის მართობულიცაა
damtkiceba ვთქვათ a a წრფეზე გამავალი 1
და 1 სიბრტყეები მოცემულ და სიბრტყეებს პარალელურწრფეებზე კვეთენ AC BM AD BNრადგან a AC a AD ამიტომ a BM და a BN წრფისადა სიბრტყის მართობულობის ნიშნის თანახმად მიიღებარომ a თეორემა დამტკიცებულია
manZili or paralelur sibrtyes Soris ორ პარალელურსიბრტყეს შორის მანძილი ამ სიბრტყეებიდან ერთ-ერთის ნების-მიერი წერტილიდან მეორის მიმართ გავლებული მართობის სიგრძისტოლია
M
N
aA
Bb
a1
1 AB
C
DE
F
AB წრფე სიბრტყის პარალელური და სიბრტყის მართობულია CD წრფე სიბრტყეზე მდებარეობსა) დახაზეთ პირობის შესაბამისი სურათი ბ) რომელი პირობაა მართებული
ა) || ბ) გ) AB || CD დ) CD
2
1
AD
B
a
1
C
M
N
აცდენილ წრფეებს შორის მანძილის ტოლია თუ b a1 = B მაშინ სიბრტყისმართობული AB მონაკვეთი იქნება a და b აცდენილი წრფეების საერთო მართობი
მოცემული პირობები ასახეთ სურათზე და სიბრტყეები იკვეთებიან CD წრფეზე AB წრფე CD-ს E წერტილში კვეთსA B C D და E წერტილები ერთსა და იმავე სიბრტყეში მდებარეობენ
3
62
ორ პარალელურ სიბრტყეს შორის 4 მ სიგრძის მართობი და 6 მ სიგრძისდახრილია გავლებული თითოეულ სიბრტყეზე მათ წვეროებს შორის მანძილი 3 მ-ია იპოვეთ მანძილი მართობისა და დახრილის შუაწერტილებს შორის
sibrtyeTa paraleluroba
ABC ტოლფერდა სამკუთხედის BC ფუძე სიბრტყეში ძევს სიბრტყის პარა-ლელური სიბრტყე AB გვერდს D წერტილში და AC გვერდს E წერტილში კვეთსდაამტკიცეთ რომ ADE სამკუთხედიც ტოლფერდა სამკუთხედია
მოცემულია მართკუთხა პარალელეპიპედიAB = AD = 15 სმ AA1 = 20 სმიპოვეთ მანძილი A1C წრფესა და AD-ს თავი-სთავში მომცველ წრფეს შორისmiTiTeba A1C დიაგონალზე გაავლეთ AD-სპარალელური სიბრტყე
6
7
რადგან MNO და PQR სიბრტყეები პარალელურისიბრტყეებია და MP NQ QR შეიძლება ითქვას რომNO = QR პასუხი განმარტეთ
სურათზე ნიმუშის ჩვენებით განმარტეთ მოცემული პირობაჭეშმარიტია თუ მცდარი
ა) თუ ორი სიბრტყე მართობულია ამ სიბრტყეებიდან ერთისპარალელური წრფე მეორის მართობულიც იქნება
ბ) თუ ორი სიბრტყე ერთი და იგივე წრფის პარალელურიამაშინ ეს სიბრტყეები ერთიერთპარალელურია
გ) ერთი და იმავე მართობული წრფეები პარალელურებიარიან
დ) ერთი და იგივე სიბრტყის მართობული ორი სიბრტყეერთმანეთის პარალელურია
ე) ორი პარალელური წრფიდან ერთის აცდენილი წრფემეორისთვისაც აცდენილია
4
5
M
P R
N
Q
O
E
FG
D C
JH
A B
ორ პარალელურ და სიბრტყეებს შორის AC და BD მონაკვეთებია გავლებული(ABα CDβ) AC = 17 სმ BD = 10 სმ AC და BD-ს სიბრტყეებიდან ერთ-ერთზე გეგმილების ჯამი 21 სმ-ია იპოვეთ ამ გეგმილების სიგრძეები და მანძილისიბრტყეებს შორის
8
ორ პარალელურ სიბრტყეს შორის მანძილი 8 სმ-ია 10 სმ სიგრძის მონაკვეთისბოლოები ამ სიბრტყეებშია იპოვეთ მონაკვეთის ორივე სიბრტყეზე არსებულიგეგმილი
9
10
მონაკვეთის ბოლოები სიბრტყიდან a და b მანძილზეა (a gt b) იპოვეთ მანძილიმონაკვეთის შუაწერტილიდან სიბრტყემდეა) თუ მონაკვეთი სიბრტყეს არ კვეთს ბ) თუ მონაკვეთი სიბრტყეს კვეთს
11
სიბრტყის არამკვეთი მონაკვეთის წვეროები სიბრტყიდან 15 სმ და 25 სმ მან-ძილზეა იპოვეთ მანძილი მონაკვეთის 3 7 შეფარდებით გამყოფი წერტილიდანსიბრტყემდე (განიხილეთ ორი შემთხვევა)
12
C
C1B1
A1 D1
B
A D
63
საყოფაცხოვრებო საგნების სამრეწველო მოწყობილობების მანქანებისა და მექა-ნიზმების წარმოების უფრო ზუსტი ორგანიზებისათვის სხვადასხვა მხრიდანსურათების გადაღებით მიმდინარეობს ფორმების დაზუსტების სამუშაო ამისათვისსაგნებისა და მოწყობილობების სხვადასხვა გვერდებიდან ხედების სურათებისგადაღება ხდებასივრცითი ფიგურების სიბრტყეზე ასახვისათვის დაგეგმილებაგამოიყენება ავიღოთ სიბრტყის მკვეთი ნებისმიერი l წრფეფიგურის A წერტილიდან l წრფის პარალელური სიბრ-ტყესთან Aprime გადაკვეთის წერტილი A წერტილის ასახვა იქნებაამ წესით თითოეული წერტილის ასახვის აგებით ფიგურისასახვა მიიღება ამ შემთხვევაში ფიგურის პარალელურიმონაკვეთები პარალელური მონაკვეთებით გამოისახება დაპარალელური წრფეთა მონაკვეთების შეფარდება შენარ-ჩუნდება კერძო შემთხვევაში როცა l წრფე სიბრტყისმართობულია მიღებული გამოსახულება ფიგურის or-Toginaluri gegmili იქნებასურათზე სხვადასხვა მდებარეობაში მყოფი მონაკვეთის ჰორიზონტალურ და ვერ-ტიკალურ სიბრტყეზე ორთოგინალური გეგმილის შესახებ ნიმუშებია მოცემული
gegmilebi da amocanebis amoxsna
A
Aprime Kprime Lprime
KL
BY
A
AA
B
BBA
Bprime
BprimeprimeBprimeprimeBprimeprimeBprimeprime
BprimeBprimeAprimeAprime
Aprime(Bprime)Aprime
AprimeprimeAprimeprime
AprimeprimeAprimeprime
A
Aprime
l
მონაკვეთის გეგმილის სიგრძის პოვნისათვის გამოიყენებაAprimeBprime = AB cosα დამოკიდებულება KA
Aprime
B
Bprime
α
∆ABC-ს AC გვერდზე გამავალ სიბრტყესა და სამკუთხედისსიბრტყეს შორის არსებული კუთხე თუ იქნება ვიპოვოთ სიბრტყეზე ამ სამკუთხედის ორთოგინალური გეგმილისფართობი
თუ BD AC და BB1 სამი მართობის თეორემისთანახმად B1D AC იქნება
SABC = AC middot BD რადგან
S = AC middot B1D = ACmiddotBDmiddotcos = S middot cos
12
∆BB1D-დან cos = 12
B1DBD12
B1D C
A
B
ამიტომ B1D = BDmiddotcos
AB1C
საერთოდ თუ მრავალკუთხედის სიბრტყესა და გეგმილის სიბრტყეს შორის კუთხეიქნება Sp = Sf middotcos ფორმულა მართებულია სადაც Sf -მრავალკუთხედისფართობი Sp-ორთოგინალური გეგმილის ფართობია
ABC
64
gegmilebi da amocanebis amoxsna
nimuSi მართკუთხა პრიზმა ზემოდან შუქდება დახაზეთმოთხოვნილი მონაკვეთების გეგმილები ფუძის სიბრტყეზე
ა) BD ბ) NB გ) BE დ) BX
გაფერადებით უჩვენეთ ფერადი ნაწილების გეგმილი ფუძისსიბრტყეზე
ABC ტოლფერდა სამკუთხედის სიბრტყეზე ორთო-გინალური გეგმილი ტოლგვერდა სამკუთხედია იპოვეთ ∆BCD-ს ფართობი თუ AD BD AE BC∆ABC = 48 სმ2 AE = 16 სმ
ABC ტოლგვერდა სამკუთხედის სიბრტყეზე ორთოგი-ნალური გეგმილი BDC მართკუთხა სამკუთხედიაიპოვეთ CD თუ AC = 8 სმ
ABC სამკუთხედის სიბრტყისა და სიბრტყეს შორისკუთხე 30deg-ია იპოვეთ ABC სამკუთხედის α სიბრტყეზეორთოგინალური გეგმილის ფართობი თუ BC = 12 სმAA1 და AA1 = 8 სმ
ა) BD-ს გეგმილი არის SD
ბ) NB-ს გეგმილი არის NS
გ) BE-ს გეგმილი არის SE
დ) BX-ს გეგმილი არის SX
გეგმილები ფუძის სიბრტყეზე
AB C
DEXN
SR
AB C
DX EN
S
X
B C
DN
A
E
M MS
DA B
FH
E M C
G N R
S
TF
E
M D
N
C
P
AM
B
1
2
3
4
A
D
CEB
მოცემულია ტოლგვერდა სამკუთხედი რომლის გვერდიაa იპოვეთ ამ სამკუთხედის იმ სიბრტყეზე ორთოგინალური გეგმილი რომელ-თანაც მისი სიბრტყე ადგენსა) 30deg-იან ბ) 45deg-იან გ) 60deg-იან კუთხეს
5
A
D
C
B
B
A
C DA1
65
ტოლგვერდა სამკუთხედის თითოეული გვერდისსიგრძეა a ამ სამკუთხედოს O ცენტრიდან სამკუთ-ხედის სიბრტყისადმი აღმართულ მართობზე გამო-ყოფილი OM მონაკვეთის სიგრძეა x
ა) უჩვენეთ რომ MA BC
ბ) რისი ტოლი უნდა იყოს OM = x რომ ABM და ABCსიბრტყეებს შორის ორწახნაგა კუთხე იყოს 60degგ) რისი ტოლი უნდ აიყოს OM = x რომ MA MB და MC მონაკვეთები წყვილ-წყვილად ურთიერთმართობულები იყვნენ
ganmazogadebeli davalebebi
მოცემული სურათების მიხედვით განსაზღვრეთ ქვემოთ მოცემული მოსაზ-რებებიდან რომელია ჭეშმარიტი და რომელია მცდარი სურათები ჩაიხაზეთრვეულში და პასუხები დაწერეთ
ა) უჩვენეთ რომ ABC და BCD სამკუთხედებიმართკუთხა სამკუთხედებიაბ) სურათზე მოცემული ზომები ისე შეცვალეთრომ BCD სამკუთხედი კვლავ მართკუთხა სამკუთხედი იყოს ABC სამკუთხედი კიაღარ იყოს მართკუთხა სამკუთხედი
ტოლგვერდა სამკუთხედის გვერდების სიგრძე 6 სმ-ია სამკუთხედის ცენტრიდანსამკუთხედის სიბრტყეზე 3 სმ სიგრძის მართობია აღმართული იპოვეთ მანძილიმართობის წვეროდან სამკუთხედის გვერდებამდე
A და B წერტილებსა და სიბრტყეს შორის მანძილი შესაბამისად a და b-ს ამწერტილებიდან სიბრტყისადმი გავლებული მართობების ფუძეებს შორისმანძილი c-ს ტოლია გაითვალისწინეთ რომ A და B წერტილები შეიძლებასიბრტყის ერთსა და იმავე ან სხვადასხვა მხარეს მდებარეობდნენ და იპოვეთ ABმანძილი თუ a = 7 სმ b = 2 სმ და c = 12 სმ
იპოვეთ x სურათის მონაცემების მიხედვით კიბის სახელური ჭერისპარალელურია იპოვეთ yკუთხე თუ x = 122deg
1 თუ ორი სიბრტყე ერთი და იმავეწრფის მართობულია მაშინ ეს სიბრ-ტყეები პარალელურია
2 თუ ორი სიბრტყიდან თითოეულიმესამე სიბრტყის მართობულია მაშინეს სიბრტყეები პარალელურია
P1 P2
P2
P1
P3
სურათის მიხედვით შეასრულეთ1
2 3
4
5
6
7
DO
A
M
CF
Ba a
ax
პარალელური
წრფეებიydeg
xdeg
BD
CA4
3 1213
12 მ
x15 მ
kuTxis trigonometriulifunqciebi3
mobrunebis kuTxeebikuTxis radianuli da gradusuli zomebirkalis sigrZe seqtoris farTobitrigonometriuli funqciebinebismieri kuTxis trigonometriuli funqciebierTeulovani wrewiri da nebismieri kuTxistrigonometriuli funqciebidayvanis formulebitrigonometriuli igiveobebiSekrebis formulebiSekrebis formulebidan miRebuli Sedegebitrigonometriuli gamosaxulebebis gamartiveba
67
მობრუნების კუთხეების საწყისი გვერდები ერთი და იგივეა და აბსცისთა ღერძისდადებით მიმართულებას ემთხვევა კოორდინატთა სათავის (კუთხის წვერო)გარშემო მბრუნავ გვერდს კი დამამთავრებელი (ბოლო) გვერდი ეწოდება როცამობრუნება საათის ისრის მოძრაობის საპირისპირო მიმართულებით ხდება კუთხისზომა დადებითად ხოლო როცა საათის ისრის მოძრაობის მიმართულებით ხდებამაშინ უარყოფითად არის მიღებული
mobrunebis kuTxeebi
ჩვენ აქამდე კუთხეზე საუბრისას ორ უძრავ გვერდს შორის დარჩენილკუთხეებს ვგულისხმობდით კუთხე ასევე შეიძლება განხილულ იქნასროგორც მობრუნების საზომი მაგალითად უძრავი Ox ღერძისგარშემო მბრუნავი ბორბლის თავიდან ჰორიზონტალურ მდგო-მარეობაში მდებარე რადიუსი გარკვეული დროის შემდეგ თავ-დაპირველ მდგომარეობასთან გარკვეულ კუთხეს შექმნის თანაც ამკუთხის მნიშვნელობა დამოკიდებული იქნება იმაზე თუ რომელი მიმართულებითმოხდა მობრუნება ნებისმიერი კუთხე შეიძლება განვიხილოთ როგორც სხივისსაკუთარი სათავის წერტილის გარშემო ბრუნვით მიღებული ფიგურა
სხივის საწყისი მდგომარეობა კუთხის ერთ გვერდსსხივის ბოლო მდგომარეობა კი კუთხის მეორეგვერდს შეესაბამება საკოორდინატო სიბრტყეზესხივის კოორდინატთა სათავის მიმართ საათისისრის მოძრაობის მიმართულებით ან საპირისპირომიმართულებით მობრუნებით სხვადასხვა ზომისკუთხეების შექმნა შეიძლება
საწყისიგვერდი
O x
y
დამამთავრებელიგვერდი
ndash210ordmx
y
O
225ordm
x
y
O
უარყოფითი კუთხედადებითი კუთხე
III
III
90ordm lt lt 180ordm 0ordm lt lt 90ordm
180ordm lt lt 270ordm 270ordm lt lt 360ordm
y
x0 IV
mobrunebis kuTxe
საკოორდინატო ღერძები საკოორდინატო სიბრტყეს ოთხმეოთხედად ყოფს იმაზე დამოკიდებულებით თუ კუთ-ხის დამამთავრებელი გვერდი რომელ მეოთხედშია მისიმნიშვნელობა განსაზღვრულ ინტერვალში იცვლებადამამთავრებელმა გვერდმა კოორდინატთა სათავისგარშემო შეიძლება მოახდინოს ერთი ან მრავალჯერადი მობრუნება ერთი სრული მობრუნებით იქმნება 360-იანიკუთხე საწყისი და დამამთავრებელი გვერდების თანხვედ-რაში მყოფი უსასრულო რაოდენობის მობრუნების კუთხეებიარსებობს მაგალითად 30deg-იანი კუთხისა და 390deg-იანიკუთხის დამამთავრებელი გვერდები ერთმანეთს ემთხვევასხვა სიტყვებით ordm და ordm + 360ordm middot n (სადაც n ნებისმიერიმთელი რიცხვია) მობრუნების კუთხეების დამამთავრებელგვერდებს ერთი და იგივე მდებარეობა უკავიათ ერთმანეთსემთხვევიან
30ordmx
y
O390ordm
68
კუთხის ნიშანი უარყოფითიაკუთხის დამამთავრებელი გვერ-დი საწყისი მდგომარეობიდან სა-ათის ისრის მოძრაობის მიმარ-თულებით მობრუნებით აბსცისთაღერძთან 45-იანი კუთხის შექ-მნით გაივლება კუთხის დამამ-თავრებელი გვერდი IV მეოთ-ხედშია
კუთხის დამამთავრებელიგვერდი საწყისი გვერდი-დან საათის ისრის მო-ძრაობის საპირისპირო მი-მართულებით საწყის გვერ-დთან 150-იანი კუთხისშექმნით გაივლება დამამ-თავრებელი გვერდი II მე-ოთხედშია
კუთხის ნიშანი დადებითიაკუთხის ბოლო გვერდი საათისისრის მოძრაობის საპირის-პირო მიმართულებით საწყისიგვერდიდან 180 + 60 მობრუ-ნებით გაივლება დამამთავ-რებელი გვერდი III მეოთ-ხედშია
kuTxis radianuli da gradusuli zomebi
nimuSi 2 საკოორდინატო სიბრტყეზე უჩვენეთ 60deg-იან კუთხესთან დამამთავრებელიგვერდის თანხვედრაში მყოფი დადებითი და უარყოფითი მობრუნების კუთხეები დადაწერეთ მათი გრადუსული ზომები60 + 360 = 420 60 360 = 30060 + 2 360 = 780
y
x
60ordm
420ordm ndash300ordm
y
x
60ordm
y
x
60ordm
780ordm
nimuSi 1 გაავლეთ მოცემული ზომის მობრუნების კუთხეები და განსაზღვრეთდამამთავრებელი გვერდი რომელ მეოთხედშია
1
2
3
4
0ordmndash360ordm შუალედში უჩვენეთ ისეთი მობრუნების შუალედში უჩვენეთ ისეთიმობრუნებისა) 420ordm ბ) ndash210ordm გ) ndash330ordm დ) 700ordm ე) 200
რომელი მეოთხედის კუთხეა კუთხე დახაზეთ უჩვენეთა) = 170 ბ) = 290 გ) = 100 დ) = 320 ე) = 10
რომელი ზომა რომელ კუთხეს შეესაბამება
დაწერეთ და დახაზეთ ერთი დადებითი და ერთი უარყოფითი კუთხის გრადუსულიზომები რომლის დამამთავრებელი გვერდი მოცემულ კუთხეს ემთხვევაა) 200ordm ბ) 80ordm გ) ndash 100ordm დ) 130ordm ე) 70
1) ndash210ordm 2) 420ordm 3) ndash 780ordm
ა) გ)ბ)
x
y
x
y
x
y
saswavlo davalebebi
240 = 180 + 60 510 = 360 + 150
გ) 510yy
xx
O ndash45ordm60
ა) ბ)y
x
150
510
240
O
240 45
69
kuTxis radianuli da gradusuli zomebi
გრადუსის რადიანებში გადაყვანა
სიგრძით რადიუსის ტოლი რკალის შესსაბამისი ცენტრულიკუთხის ზომას 1 radiani ეწოდება რკალის სიგრძისწრეწირის რადიუსთან შეფარდება შესაბამისი ცენტრულიკუთხის რადიანულ ზომას უჩვენებს კუთხის რა-დიანული ზომა რადიანის სიგრძეზე არ არის დამოკი-დებული (განმარტეთ სურათზე მოცემული ფიგურებისმსგავსების მიხედვით)
წრეწირის სიგრძე 2r-ია თუ რადიუსის (r) ტოლი რკალის შესაბამისი ცენტრული კუთხე1 რადიანია 2r-ის ტოლი რკალის შესაბამისი ცენტრული კუთხე 2 იქნება ქვემოთნაჩვენებია განსაზღვრული მობრუნებების შესაბამისი კუთხეების რადიანული ზომები
3602
1801 რადიანი = =
1 რადიანი 57
2 რადიანი = 360
რადიანის გრადუსებში გადაყვანა
2360
180
180
1 = =
2 რადიანი = 360
სრული ბრუნი2 რადიანი 2 = 3
432
34 ბრუნი
2 = 12
2
12 ბრუნი
2 = 14
14 ბრუნი
ერთი სრული ბრუნით შექმნილი კუთხის რადიანული ზომაა 2 გრადუსული ზომა კი360-ია ანუ 2 რადიანი = 360 აქედან შეიძლება განისაზღვროს დამოკიდებულებაკუთხის რადიანულ და გრადუსულ ზომებს შორის
პირველ მეოთხედში მდებარე ზოგიერთი კუთხის რა-დიანული და გრადუსული ზომების ურთიერთმნიშ-ვნელობების მიხედვით ამ კუთხეების ჯერადი კუთხეებისრადიანული ზომების პოვნა შეიძლება
მაგალითად რადგან 30 = ამიტომ 150 = 6
56
y
x
y
x
y
x
y
x
nimuSi 1 რამდენი რადიანია 4 სმ-იანი რადიუსის მქონეწრეწირის 12 სმ სიგრძის რკალის შესაბამისი ცენტრული კუთხე
120ordm135ordm
150ordm
180ordm
210ordm225ordm
240ordm270ordm300ordm
315ordm330ordm360ordm
0ordm30ordm
45ordm60ordm90ordm
რადიანულიზომა
გრადუსული ზომა
23
43
6
2
32
76
34
116
53
54
56
74
4
3
2 x
y
0
1 = 00175 რადიანი
მაშასადამე რად = 180ordm მაშინ გასაგებია რომ
= 90ordm = 60ordm = 45ordm = 30ordm
2
3
4
6
amoxsna 1 რადიანი 4 სმ სიგრძის რკალს შეესაბამება12 სმ რკალის შესაბამისი კუთხე 12 4 = 3 რადიანი იქნება
kuTxis radianuli zoma
= lr x
y
O
rr 1 radiani
lrα rad
R L
70
9
kuTxis radianuli da gradusuli zomebi
იპოვეთ რადიანულ ზომებში მოცემული კუთხეების გრადუსული ზომები
ა) ბ) გ) ndash დ) ndash ე) 1 ვ) 2 ზ) 36
23
38
52
7
8
saswavlo davalebebi
საკოორდინატო სიბრტყეზე გამოსახეთ მოცემული ზომის მობრუნების კუთხე
იპოვეთ r რადიუსიანი წრეწირის l სიგრძის რკალის შესაბამისი კუთხის რადიანულიზომა
ა) r = 4 სმ l = 16 სმ ბ) r = 5 მ l = 4 მ გ) r = 32 სმ l = 72 სმ
ა) 40 ბ) 310 გ) 150 დ) 150 ე) 780
ვ) ზ) თ) ი) 40023
52
6
5
გრადუსულ ზომებში მოცემული კუთხეები გამოსახეთ რადიანებში მეასედებამდედამრგვალებით იპოვეთ მიახლოებითი მნიშვნელობა
ა) 60 ბ) 120 გ) ndash 45 დ) 450 ე) 270 ვ) 155
დაწერეთ მოცემულ კუთხესთან დამამთავრებელი გვერდის თანხვედრაში მყოფი დამოცემულ შუალედში მდებარე მობრუნების კუთხეები
ა) 65deg 90deg le θ lt 720deg ბ) 40deg 180deg le θ lt 360deg გ) 140deg 720deg le θ lt 720degდ) 2π le θ lt 2π ე) 4π le θ lt 4π ვ) 2π le θ lt 4ππ
42π 3
3π 4
კ) 32
45იანი კუთხისა და 405იანი და 315-იანი კუთხეების დამამთავრებელი გვერდებიერთმანეთს ემთხვევა405 = 45 + 360 315 = 45 360 45+ 2360 45 2360 45+ 3360 45 3360 კუთხეები ან 45 plusmn 360 45 plusmn 2360 45 plusmn 3360 და ა შ უსასრულორაოდენობის კუთხეების დამამთავრებელი გვერ-დები 45-იანი კუთხის დამამთავრებელ გვერდსემთხვევაეს რადიანებში შეიძლება ქვემოთ მოცემული სახით ჩაიწეროს plusmn 2 plusmn 4 და აშზოგადი სახით კი plusmn 2n (nN) სახის კუთხეების დამამთავრებელი გვერდები დარადიანული კუთხის დამამთავრებელი გვერდები ერთმანეთს ემთხვევა
nimuSi 3 გრადუსებში და რადიანებში გამოსახეთ კუთხეები რომელთა დამამთავრებელიგვერდი ემთხვევა 45deg-იან კუთხეს
4
4
4
4
4O O x
y
x
y
4545
405
315
nimuSi 2 გრადუსულ ზომებში გამოსახული კუთხე გამოსახეთ რადიანებში ხოლო
რადიანებში გამოსახული კუთხე კი გრადუსულ ზომაში ა) 60 ბ) 53
53
53
180
360 = 60 რადიანი = რადიანი 1047 რადიანი
რადიანი = = 560 = 300180
amoxsna ა)
ბ)
71
1) წრეწირის 2) წრეწირის 3) წრეწირის
4) წრეწირის 5) წრეწირის 6) წრეწირის
ndash4π le θ lt 4π ინტერვალში
კუთხესთან დამამთავრე-
ბელი გვერდის თანხვედრაშიმყოფი კუთხეები
kuTxis radianuli da gradusuli zomebi
nimuSi e) 4π le θ lt 4π მოცემულ კუთხესთან დამამთავრებელი
გვერდის თანხვედრაში მყოფი მობრუნების კუთხეები + 2n და
2n (nN) ფორმულებით შეგვიძლია ვიპოვოთ3π 4
3π 4
3π 4
11
12
13
n 1 2 3
+ 2n
2n 13π 4
3π 43π 4
27π 4
11π 4
19π 4
5π 4 21π
4
3π 4
nimuSi ა) 65deg 90deg le θ lt 720deg65deg-იან კუთხესთან თანხვედრაში მყოფი მობრუნების კუთხეები65 + 360 n და 65 360 n (nN) ფორმულებით შეგვიძლია ვიპოვოთn = 1 65 + 360 1 = 425 65 360 1 = 295n = 2 65 + 360 2 = 785 65 360 2 = 655როგორც ხედავთ მოცემულ ინტერვალში შემავალი მხოლოდ 425იანი კუთხეა
10 გრადუსულ ზომებში მოცემული კუთხე გამოსახეთ რადიანებში ხოლო რადიანებშიმოცემული კუთხე გამოსახეთ გრადუსულ ზომებში
76
54
23
1) 225ordm 2) ndash15ordm 3) 4) 5) ndash 6) ndash
მოცემულ კუთხეებთან დამამთავრებელი გვერდების თანხვედრაში მყოფი და (0 2)ინტერვალში მდებარე კუთხე გამოსახეთ რადიანებში
1) ndash 2) ndash 3) ndash 4)
5) ndash 6) 7) 8 8) 12
34
75
194
3
163
458
დაწერეთ კუთხის დამამთავრებელი გვერდის მოცემული ბრუნვით შექმნილი კუთ-ხეების გრადუსული და რადიანული ზომები
19
118
124712
45
23
ა) განსაზღვრეთ ოთხი კუთხე რომელთა დამამთავრებელი გვერდები ემთხვევა მოცე-მულ კუთხეებს
ბ) მოცემული მობრუნების კუთხეებიდან რომელი ორის დამამთავრებელი გვერდებიემთხვევა ერთმანეთს
1) 2) 3) ndash 4) ndash 43
75
4
6
1) 2) ndash 3) 410ordm ndash410ordm 4) 227ordm ndash493 ordm56
92
52
176
გ) ზოგადი სახით დაწერეთ კუთხეები რომელთა დამამთავრებელი გვერდები ემთხვევამოცემულ კუთხეებს
1) 60 2) 5
3) 2 4) 100
13π 4
5π 4
11π 4
135deg
რადიანის განსაზღვრების თანახმად რადგან = ამიტომ
რკალის სიგრძე კუთხის რადიანული ზომისა და რადიუსის
ნამრავლის ტოლია l = middot rრკალის სიგრძე წრეწირის რადიუსის პირდაპირპროპორციულია
nimuSi 1 საათის წამების ისრის სიგრძე 12 სმ-ია განსაზღვრეთ წამებისისრის წვეროს წერტილების 15 წამში შემოხაზული რკალის სიგრძეamoxsna წამების ისარი 60 წამში ერთ სრულ ბრუნს ასრულებს ეს კი 2რადიანია
15 წამს სრული ბრუნის = ნაწილი შეესაბამება
რადიანიმაშასადამე წამების ისარი 15 წამის განმავლობაში რადიანის ცენტრული კუთხის შესაბა-მის რკალს შემოხაზავს ამ რკალის სიგრძე l = r = 12 = 6 6314= 1884 (სმ)იქნება
rkalis sigrZe seqtoris farTobi
72
nimuSi 2 იპოვეთ 8 სმ რადიუსიანი წრის ფერადი სექტორის ფართობი დაამ სექტორის პერიმეტრიფერადი ნაწილის შესაბამისი ცენტრული კუთხე 2 = სექტორის ფართობი S = r2 = 82 = 40 (სმ2)სექტორის პერიმეტრი = ორი რადიუსის სიგრძე + სექტორის რკალის სიგრძე
P = 28 + 8 = 32 + 20 95 (სმ)
rkalis sigrZe r რადიუსიან წრეწირში mordm-იანი ცენტრული კუთხის შესაბამისი
რკალის სიგრძის ფორმულაა l = middotr რკალის სიგრძის კუთხის რადიანული ზომის გამოყენებით უფრო მარტივი სახით დაწერაშეიძლება
seqtoris farTobi mordm-იანი ცენტრული კუთხის შესაბამისი სექტორის ფართობია
S = r2 თუ გავითავლისწინებთ რომ არის mordm-იანი ცენტრული კუთხის
რადიანული ზომა და ავღნიშნავთ სახით ამ სექტორის ფართობის ფორმულა S = r2
იქნება
m360 1
2
12
1560
14
2 =
rkalis sigrZe seqtoris farTobi
34
2
21
3
4567
8
9
1011 12
14
2
2 2
მონაცემების მიხედვით იპოვეთ მოთხოვნილი სიდიდეები აქ r- წრეწირის რადიუსია - ცენტრული კუთხე l- რკალის სიგრძე
ა) r = 85 სმ = 75deg l = სმ ბ) r = 5 მ l = 13 მ = რადიანიგ) r = მმ = 18 რადიანი l = 45 მმ
saswavlo davalebebi
1
იპოვეთ მოცემული ცენტრული კუთხის შესაბამისი რკალის სიგრძე და სექტორისფართობი
3
5 3ა) r = 30 სმ = ბ) r = 125 მ გ) r = 28 დმ = 90 =
2
l
3π 4
5π 45π
412
5π 4
O
A
B Dr
C
1
m180
lr
m180
73
20 სმ რადიუსიანი წრეწირის l რკა-ლის სიგრძე 85 სმ-ია იპოვეთ შე-საბამისი ცენტრული კუთხის რადი-ანული ზომა
სურათზე ნაჩვენები წრის სექტორის პე-რიმეტრი 16 სმ-ია იპოვეთ A ცენტრულიკუთხის რადიანული ზომა თუ შესაბამისიწრის რადიუსი 5 სმ-ია
წრეწირის გარშემო მოძრაობისას მაგალითად ბორბლის Oწერტილის გარშემო ბრუნვის დროს მასზე აღებული რომელიმეP წერტილის სიჩქარე ორნაირად შეიძლება შეფასდეს მათ შორისერთ წერტილის ბორბლის ბრუნვის დროს გავლილი მანძილისმიხედვით განსაზღვრული სიჩქარეა მას წრფივი სიჩქარე ეწო-დება მეორე კი ბრუნვის კუთხის (ცენტრული კუთხის) მიხედ-ვით არსებული სიჩქარეა და მას კუთხური სიჩქარე ეწოდებათუ სხეული წრეწირის გარშემო მოძრაობს წრფივი სიჩქარეგავლილი მანძილის (შესაბამისი წრეწირის რკალის სიგრძის)დროსთან შეფარდების ტოლია
წრფივი სიჩქარე =
წრფივი სიჩქარე = r კუთხური სიჩქარე vx = r
vx =
wrfivi siCqare da kuTxuri siCqare
გავლილი მანძილიდრო
თუ სხეული წრეწი-რის გარშემო მოძრა-ობს კუთხური სიჩ-ქარე მობრუნებისკუთხის დროსთანშეფარდების ტოლია
კუთხურ სიჩქარესა და წრფივ სიჩქარეს შორის კავშირის შემდეგი სახით გამოსახვა შეიძლება
rt
კუთხური სიჩქარე =
=
ბრუნვის კუთხედრო
t
სადაც (რადიანებში) t დროში ბრუნვის კუთხეა
3 4
A5 სმ
x
y
l
nimuSi 3 კარუსელი წუთი 8 სრულ ბრუნს ასრულებსა) რამდენი რადიანია კარუსელის ერთ წუთში არსებული კუთხური სიჩქარებ) რამდენ მეტრ მანძილს გაივლის ერთ წუთში ცენტრიდან 3 მ მანძილზე მყოფიცხენიგ) რამდენ მეტრ მანძილს გაივლის ერთ წუთში ცენტრიდან 2 მ მანძილზე მყოფი ცხენიamoxsna ა) ერთი სრული ბრუნვის შესაბამისი ბრუნვის (ცენტრული) კუთხეა 2 8 ბრუნის დროსეს კუთხე 8 2 = 16 იქნება ერთ წუთში კუთხური სიჩქარე იქნება = = 16 რა-დიანიწუთიბ) ცენტრიდან 3 მ მანძილზე მყოფი ცხენი 3 მ რადიუსით მოძრაობს წრეწირის გარშემო
წრფივი სიჩქარე vx = r = 316 = 48 151 მწთგ) ცენტრიდან 2 მ მანძილზე მყოფი ცხენი 2 მ რადიუსით მოძრაობს წრეწირის გარშემო
წრფივი სიჩქარე vx = r = 216 = 32 100 მწთროგორც ხედავთ იმ შემთხვევაში როცა კუთხური სიჩქარე ტოლია ცენტრიდან უფრო შორსმყოფი სხეული უფრო სწრაფად მოძრაობს ანუ მისი წრფივი სიჩქარე უფრო მეტია
= t
161
rkalis sigrZe seqtoris farTobi
Ps
r O x
y
O
74
საათის ისრის სიგრძე 10 სმ-ია
ა) იპოვეთ წამების ისრის კუთხური სიჩქარე ( -ობით)ბ) რა მანძილს გაივლის ისრის წვეროს წერტილი 2 წუთისა და 15 წამის განმავლობაშიგ) იპოვეთ წამების ისრის წრფივი სიჩქარე ( -ობით)
ავტომობილის საბურავის რადიუსი 40 სმ-ია რამდენი რადიანია მოცემული მანძილებისგავლამდე საბურავების ბრუნვით მიღებული კუთხე
ა) 100 მ ბ) 15 მ გ) 1 კმ დ) 300 მ
5
6
7
8
9
10
სურათზე მოცემულია კონცენტრული (საერთო ცენტრის მქონე) წრეწირებიმცირე წრეწირის რადიუსი 4 სმ-ია დიდი წრეწირის რადიუსი კი 6 სმ-იაიპოვეთ ფერადი ნაწილის ფართობი
წყალმფრქვევი ყოველ 15 წამში ერთ ბრუნს ასრულებს იგიმაქსიმუმ 16 მ მანძილზე აფრქვევს წყალს
ა) იპოვეთ წყალმფრქვევის მობრუნებისას მორწყულისექტორის ფართობი
ბ) რადიანებში და გრადუსებში გამოსახეთ წყალმფრქვევისმიერ 2 წუთის განმავლობაში ბრუნვით მიღებული კუთხე
კარუსელი წუთში 15 ბრუნს აკეთებს იპოვეთა) კარუსელის კუთხური სიჩქარე
ბ) კარუსელის ღერძთან 15 მ მანძილზე მყოფი წერტილის
წრფივი სიჩქარე ( )
65 სმ დიამეტრიანი ველოსიპედის საბურავი 005 წამში 45ordm-ით ბრუნავს რა მანძილსგადის ველოსიპედი 30 წამში
6
32
10 სმ
11 თითოეულ სურათზე მონაცემების მიხედვით ისეთი გამოთვლები აწარმოეთ რომ ყველაწრისათვის განსაზღვრული იქნას რადიუსი ცენტრული კუთხე რკალის სიგრძე დასექტორის ფართობი
rkalis sigrZe seqtoris farTobi
რადწმ
y
x5 სმ15
y
x
2392 სმ
r
y
xr
S = 864 მმ2
3
y
xrS = 1
12
74
y
x
43 მ
10
16 მ
15 მმ
წთ
2 მ რადიუსის მქონე წრეწირზე მოძრავი სხეული ყოველ 20 წამში 5 მ მანძილს გადისიპოვეთ სხეულის წრფივი და კუთხური სიჩქარეები
12
სმწმ
75
არუსელის კაბინები 1-დან 40-მდე არის დანომრილი წარ-მოიდგინეთ რომ თქვენ ხართ ნომერ 3 კაბინაში რომელინომერი კაბინა იქნება თქვენი ამჟამინდელი კაბინის ადგი-
ლას თუ კარუსელი -ით მობრუნდება
განიხილეთ ორივე მიმართულებით მობრუნების შემთხვევა
65 სმ დიამეტრიანი საბურავების მქონე ველოსიპედის სიჩქარე 30 კმსთ-ია რამდენ სრულ ბრუნს აკეთებენ ველოსიპედის საბურავები წუთში
3710
21 სმ სიგრძის ქანქარასა მოძრაობის დროს წვეროს შემოხაზული უდიდესი რკალისსიგრძე 105 სმ-ია რამდენ გრადუსიან კუთხეს შემოხაზავს ამ დროს ქანქარა
14
15
16
ა) ბაქო ჩრდილოეთი განედის 40ordm-იან წრეზე მდებარეობს იპოვეთმერიდიანის მიხედვით მანძილი ბაქოდან ეკვატორამდე დედამიწისრადიუსი მიახლოებით 6400 კმ-ია
13
დედამიწიდან მზემდე მანძილი დაახლოებით 15 108 კმ-ია განსაზღვრეთ წრფივი
სიჩქარე ( ) თუ წარმოვიდგენთ რომ დედამიწის მზის გარშემო წრიული მოძრა-
ობისას ერთ სრულ ბრუნს სჭირდება 365 დღე
2 სმ და 8 სმ რადიუსიანი 2 დისკი ღვედის საშუალებითსურათზე ნაჩვენები წესითაა შეერთებული იპოვეთრამდენ ბრუნს აკეთებს წუთში დიდი დისკი თუ პატარადისკი 3 ბრუნს ასრულებს miTiTeba ორივე დისკისწრეწირზე მყოფი წერტილები ერთი და იგივე წრფივისიჩქარით მოძრაობენ
17
18
იპოვეთ სხეულის t დროში r რადიუსიან წრეწირზე კუთხური სიჩქარით გავლილი მანძილი
19
ა) r = 6 დმ = t = 10 წთ
ბ) r = 12 მ = t = 100 წმ
გ) r = 30 სმ = t = 25 წმ რად10 წმ
რად15 წმ
3 რად2 წმ
rkalis sigrZe seqtoris farTobi
კმსთ
წყალმფრქვევს დამაგრებულიადგილიდან 400 მ მანძილზეწრიულად წყლის მიწოდებაშეუძლია თუმცა ფერმერიმხოლოდ 120000 მ2 ფართო-ბის მორწყვას გეგმავს წყალ-მფრქვევის რამდენ გრადუ-სიანი კუთხით მობრუნებითშეიძლება ამ ფართობის მორ-წყვა
20
8 სმ 2 სმ
10 8 64
24038
36
323028
3426
2422
201816
1412
200
400
ეკვატორი
ეკვატორი
θ
P
ბ) იპოვეთ მანძილი მერიდიანის მიხედვით 40ordm ჩრდილოეთი განე-დის წრეზე მდებარე პუნქტსა და 20ordm სამხრეთით განედის წრეზემდებარე პუნქტს შორის
76
praqtikuli mecadineoba
1) დახაზეთ α ბრუნვითი კუთხე რომლის დამამთავრებელი გვერდი P(4 3) წერტილზე გა-დის იპოვეთ მანძილი P წერტილიდან კოორდინატთა სათავემდე
OP = radic42 + 32 = 52) დაწერეთ ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები OPK მართკუთ-ხა სამკუთხედის მახვილი კუთხისათვის
sin = 35
34
45cos = tg =
3) დაწერეთ OP სხივის მომცველი წრფის განტოლება
r1 = OP1 = radic82 + 62 = 10 sin = 610
68cos = tg =
trigonometriuli funqciebi
მე-2 და მე-4 ნაბიჯზე ჩანაწერებში ძირითადად განმარტეთ მობრუნების კუთხის ტრიგონომეტრიული თანაფარდობების მნიშვნელობები არის თუარა დამოკიდებული იმაზე თუ კუთხის გვერდზე რომელ წერტილს ავღნიშნავთ
კუთხის ტრიგონომეტრიული თანაფარდობების მნიშვნელობებიმხოლოდ კუთხის მნიშვნელობებზეა დამოკიდებულიკოორდინატთა სათავეში ცენტრის მქონე r რადიუსიანი წრეწირისადა მობრუნების კუთხის დამამთავრებელი გვერდის გადაკვე-თის წერტილი იყოს P(x y)
r
x
y
0
P(xy)
x
y
P წერტილის ორდინატის რადიუსის სიგრძესთან შეფარდებას კუთხის სინუსი ეწოდება sin = y
r
xrcos =
P წერტილის აბსცისის რადიუსის სიგრძესთან შეფარდებას კუთხის კოსინუსი ეწოდება
yxtg =
P წერტილის ორდინატის აბსცისთან შეფარდებას კუთხის ტანგენსი ეწოდება
(სადაც x 0 ანუ P წერტილი ორდინატთა ღერძზე არ მდებარეობს)
xyctg =
P წერტილის აბსცისის ორდინატთან შეფარდებას კუთხის კოტანგენსი ეწოდება
(სადაც y 0 ანუ P წერტილი აბსცისთა ღერძზე არ მდებარეობს)
4) შეამოწმეთ რომ P1(8 6) წერტილიც OP სხივზე მდებარეობს და ∆OP1K1-დან დაწერეთტრიგონომეტრიული თანაფარდობები კუთხისათვის
k = y = x34
34
810
5
x
y
10
8
6
0
P1(8 6)
P(4 3)
K K1
4
3
კუთხის კოსეკანსი ამ კუთხის სინუსის შებრუნებულიაrycosec = =1
sin (სადაც y 0) კუთხის სეკანსი ამ კუთხის კოსინუსის შებრუნებული
rxsec = =1
cos (სადაც x 0)
77
35
43
nimuSi 1 A ( 3 4) წერტილი α მობრუნებული კუთხის დამამთავრებელ გვერდზე ძევსა) დახაზეთ ამოცანის პირობის ამსახველი სურათიბ) განსაზღვრეთ α კუთხისათვის ტრიგონომეტრიული თანაფარდობების მნიშვნელობებიწრეწირზე მდებარე წერტილის კოორდინატებიamoxsna
yr
45sin α = =
xrcos α = =
yxtg α = = 3
4xyctg α = = O x
y
αA(34)
34
ბ) r = radicx2 + y2 = radic(3)2 + 42 = 5
trigonometriuli funqciebi
ა)
53
rxsec α = = cosec α = =r
y54
ზოგჯერ კუთხის დამამთავრებელი გვერდი ერთ-ერთ საკოორდი-
ნატო ღერძზე ძევს ამ შემთხვევაში შექმნილი მობრუნების
კუთხეების ზომა = 0 ან = 0 რადიანი = 90 ან
= რადიანი = 180 ან = რადიანი = 270
ან რადიანი შეიძლება იყოს ამ შემთხვევაში x და y კოორდი-
2
3 2
(0 ndashr)(ndashr 0) (r 0)
(0 r) 90ordm0ordm180ordm
270ordm
= 0ordm ან0 რადიანს
= 180ordm ან რადიანს = 90ordm ან რადიანს = 270ordm ანრადიანს
2 3
2
y
y y y
x x x xO O O O(r 0)
(0 r)
(ndash r 0)(0 ndash r)
nimuSi 2 სურათზე მონაცემების მიხედვით იპოვეთ P წერტი-ლის კოორდინატებიP წერტილი II მეოთხედში მდებარეობს და კოსინუსი უარყოფითია
cos 150deg = xr
ndashcos 30deg = x = ndash6 cos30deg = ndash3radic3
x6
sin 150deg = yr
sin 30deg = y6
y = 6 sin30deg = 3
x0
P(xy)150ordm
x
y
y 6
თუ წრეწირზე მოცემული P წერტილი მობრუნების კუთხისდამამთავრებელ გვერდზე მდებარეობს მისი კოორდინატებია
P(r cos α r sin α)
r
x0
P(r cos α r sin α)
P(r cos α r sin α)
ywrewirze mdebare wertilis koordinatebi
ნატები ან ნულია ან კიდევ აბსოლუტური მნიშვნელობით წრეწირის რადიუსის ტოლია
78
cos 180ordm = = = 1 xr
rr
yx
0rtg 180ordm = = = 0
xyctg 180ordm = =
r0
ar aris gansazRvruli
(ndashr 0)
y
x
= 180ordm = 270ordm
cos 270ordm = = = 0 xr
0r
yxtg 270ordm = = ndashr
0ar aris gansazRvruli
(0 ndashr)
y
x
-ს დასაშვებ თითოეულ მნიშვნელობას sin cos tg ctg sec cosec -ს ერთადერთიმნიშვნელობა შეესაბამება ამიტომ ეს ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები კუთხისფუნქციებია მათ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ეწოდება
trigonometriuli funqciebi
რადგან კოსინუსის ნიშანი x-ის ნიშანს ემთხვევა
რადგან სინუსის ნიშანი y-ის ნიშანს ემთხვევაsin = yr
cos = xr
sin α cosec αcos α sec α tg α ctg α
+ndashndash
sin α cosec αcos α sec α tg α ctg α
ndashndash+
sin α cosec αcos α sec α tg α ctg α
ndash+ndash
sin α cosec αcos α sec α tg α ctg α
+++
II მეოთხედი
III მეოთხედი IV მეოთხედი
I მეოთხედი
x gt 0y gt 0
x lt 0y gt 0
x lt 0y lt 0
x gt 0y lt 0
x
yx
y
270ordm lt α lt 360ordmlt α lt 2
180ordm lt α lt 270ordm lt α lt
2
32
32
90ordm lt α lt 180ordmlt α lt
2
0 lt α lt 90ordm0 lt α lt
ა)
sin 90ordm = = = 1 yr
rr
cos 90ordm = = = 0 xr
yx
0r
tg 90ordm = = r0
ar aris gansazRvruli
(0 r)y
xO O O
nimuSi 3 იპოვეთ ტრიგონომეტრიული თანაფარდობების მნიშვნელობები თუა) = 90 ბ) = 180 გ) = 270
ctg 90ordm = = = 0 xy
0r
= 90ordm
sin 180ordm = = = 0 yr
0r
ბ) გ)
sin 270ordm = = = 1 yr
rr
xy
0r
ctg 270ordm = = = 0
79
trigonometriuli funqciebi
დამამთავრებელი გვერდების მოცემულ წერტილზე გამავალი კუთხეებისათვის გამოთ-ვალეთ ტრიგონომეტრიული თანაფარდობების მნიშვნელობები
5
ა) (12 9) ბ) (1 1) გ) (8 6) დ) (1 0) ე) (4 3) ვ) (1 1) ზ) (3 4) თ) (15 20)
2)
1) ( ndash9 12)
მონაცემების მიხედვით იპოვეთ რომელი მეოთხედის კუთხეა
ა) sin gt 0 და cos lt 0 ბ) sin lt 0 და cos lt 0 გ) cos lt 0 და tg gt 0 დ) ctg lt 0 და sin gt 0
7
6
ა) გამოსახეთ ორი სხვადასხვა მობრუნების კუთხე რომელთა სინუსი -ის ტოლია
ბ) გამოსახეთ მობრუნების კუთხეები რომელთა კოსინუსი -ის ტოლია
გ) გამოსახეთ მობრუნების კუთხეები რომელთა სინუსი -ის ტოლია
დ) გამოსახეთ მობრუნების კუთხეები რომელთა კოსინუსი -ის ტოლია
3 5
4 5
3 5
უჯრიან ფურცელზე 1 უჯრის ერთეულად ჩათვლით დახაზეთ 5 ერთეულიანი რადიუსისმქონე წრეწირი რომლის ცენტრიც კოორდინატთა სათავეში მდებარეობს
(ndash125)
x
y
2
4 5
ა) სურათზე მონაცემების მიხედვით განსაზღვრეთ რომ თუსამკუთხედის კუთხეებია 45ordm 45ordm 90ordm და 30ordm60ordm90ordm მათიგვერდების შეფარდება შესაბამისად იქნება 11radic2 1radic32
ბ) სურათზე მოცემული სამკუთხედე-ბიდან განსაზღვრეთ 30ordm 45ordm 60ordm-იანიკუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნ-ქციების მნიშვნელობები
განსაზღვრეთ თითოეული კუთხის შესაბამისი ტრიგონომეტრიული თანაფარდობის ნიშანი
გ) cos 100degდ) tg 140deg
ე) tg 250degვ) sin 310deg
ზ) sin 200degთ) cos 280deg
ა) sin 20degბ) cos 50deg
3
4 განსაზღვრეთ გამოსახულების ნიშანი
ა) sin ბ) cos გ) tg დ) ctg54
116
34
56
1) განსაზღვრეთ დამამთავრებელი გვერდის მოცემულ წერტილზე გამავალი α მობრუნებისკუთხის სინუსი კოსინუსი და ტანგენსი
1
2) შეადარეთ მიღებული შედეგები
saswavlo davalebebi
ა) A(1 2) ბ) B(2 4) გ) C(4 8)
45deg45deg
45deg45deg
a
a
a
a
a a
2a2ac
30deg 30deg
60deg 60degc
2ay
P (radic3 1)
x x
P (1 radic3)P (1 1)
radic22 1
1 1
21
radic330deg
y
45deg 60degx
y
radic3
y
x
P(3 4)
0
(ndash6 ndash8)
y y
xx
80
nimuSi 1 ა) განსაზღვრეთ მოცემული კუთხეების შესაბამისი მახვილი კუთხეები
amoxsna ა) 300-იანი კუთხის დამამთავრებელი გვერდი IV მეოთხედშია შესაბამისი მახვილი კუთხეა 360deg 300 = 60deg
ბ) კუთხის დამამთავრებელი გვერდი III მეოთხედშია შესაბამისი მახვილი კუთხეა
=
7 6 7
6
7 6ა) α = 300 ბ) α =
6
90-ზე მეტი კუთხეების შესაბამისი ტრიგონომეტრიული თანაფარდობე-ბის გამოთვლებისათვის ხელსაყრელი ხდება მათი შესაბამისი მახვილიკუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციებით გამოსახვა ნებისმიერი αკუთხის შესაბამისი მახვილი კუთხე α კუთხის დამამთავრებელი გვერდისმიერ აბსცისთა ღერძთან შექმნილი αprime მახვილი კუთხე
შესაბამისი მახვილი კუთხის გამოყენებით ნებისმიერი კუთხის ტრიგონომეტრიულითანაფარდობების განსაზღვრა შეიძლება ეს მნიშვნელობები 30deg 45deg და 60deg-სათვისზუსტად შეიძლება მოიძებნოს მახვილი კუთხეების ყველა დანარჩენი მნიშვნელობისათვისკი კალკულატორის გამოყენებით მიახლოებით გამოითვლება
y
x
α
Oαprime
x
y
αprimeα
x
y
αprime
α
x
y
αprime
α
90ordm lt α lt 180ordm 180ordm lt α lt 270ordm 270ordm lt α lt 360ordmlt α lt lt α lt lt α lt 2
232
32
gamokvleva 1) გაავლეთ r რადიუსიანი წრეწირი და დამამთავრებელი გვერდის სხვადასხვამეოთხედებში მოთავსებით სხვადასხვა მობრუნების კუთხეები გამოსახეთ ისე როგორც სურათზეანაჩვენები
2) თითოეული შემთხვევისათვის მობრუნების კუთხის ძირითადი ტრიგონომეტრიულიფუნქციები განსაზღვრების თანახმად გამოსახეთ P(x y) წერტილის კოორდინატებით
3) ∆OPK-ში კათეტების სიგრძეები გამოსახეთ P(x y) წერტილის კოორდინატებითPK = y OK = x
4) დაწერეთ ∆OPK-ში ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები prime მახვილი კუთხისათვის
5) შეადარეთ მე-2 და მე-4 ნაბიჯებზე მოცემული შედეგები
sin = xr
yx
yrcos = tg = x
yctg =
sin prime = yr
yx
yrcos prime = tg prime = x
yctg prime =
x
P(x y)
y
O prime
K x
P(x y)
y
O primeK
x
P(x y)
y
O primeK
nebismieri kuTxis trigonometriuli funqciebi
αprime = 180ordm ndash αprime = 360ordm ndash αprime = ndash 180ordm
nebismieri kuTxis trigonometriuli funqciebis mniSvnelobisSesabamisi maxvili kuTxis mixedviT povna
81
ნებისმიერი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები შეიძლება განი-საზღვროს ქვემოთ მოცემული გზითbull განსაზღვრეთ შესაბამისი მახვილი კუთხეbull იპოვეთ მახვილი კუთხის შესაბამისი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებიbull განსაზღვრეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნიშნები იმის მიხედვით თუ რომელმეოთხედში მდებარეობს მოცემული კუთხე
nebismieri kuTxis trigonometriuli funqciebi
sin(α + 360degk) = sinαsin(α + 2k) = sinα
cos(α + 360degk) = cosαcos(α + 2k) = cosα
თუ კუთხე მთელი რაოდენობის პერიოდებით იცვლება მაშინ ტრიგონომეტრიულიფუნქციების მნიშვნელობები არ იცვლებანებისმიერი α (0deg le α lt 360deg) კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობა დამამ-თავრებელი გვერდების α კუთხესთან თანხვედრაში მყოფი α + 360deg k (k Z) კუთხეებისტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ტოლია
tgα = და tg(α + ) = = ab
ab
ab tgα = tg(α + )
tg(α + 180degk) = tg α tg(α + k) = tg αctg(α + 180degk) = ctg α ctg(α + k) = ctg α
ავღნიშნოთ რომ კუთხის მთელი პერიოდის ნახევრით შეცვლის დროსაც ტანგენსისა დაკოტანგენსის მნიშვნელობები არ იცვლებამართლაც მობრუნების კუთხის შესაბამისი წერტილი თუ იქნება P(a b) რადგან მაშინ + 180ordm (ან + ) მობრუნების კუთხის შესაბამისი წერტილი Pprime(ndasha ndashb) იქნება ამიტომ
nimuSi 2 გამოთვალეთ α = ndash135deg-იანი კუთხის ძირითადი ტრიგონომეტ-რიული ფუნქციების მნიშვნელობები ამოხსნის ნაბიჯები
1 მოიძებნება დამამთვარებელი გვერდის მოცემულ კუთხესთან თანხვედ-რაში მყოფი და მისი 360deg-მდე შემაერთებელი უმცირესი დადებითი კუთხე ndash135deg + 360deg = 225deg
2მოიძებნება 225deg-ის შესაბამისი მახვილი კუთხე 225deg ndash 180deg = 45deg 3განისაზღვრება მოცემული კუთხის მეოთხედი ndash135deg-იანი კუთხე III მეოთხედის კუთხეა4 45deg-იანი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობისა და III მეოთედის ნიშნებისგათვალისწინებით ჩაიწერება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები
radic22
radic22sin α = ndash cos α = tg α = 1 ctg α = 1
x
y
45ordm135ordm
1
ზოგადად მართებულია ქვემოთ მოცემული ტოლობები
nimuSi 3 იპოვეთ cosα-ს შესაძლო მნიშვნელობები თუ sin α = რადგან სინუსი დადებითია კუთხე ან I ან კიდევ II მეოთხედის კუთხეა
sin α = მაშასადამე თუ r = 5 მაშინ y = 1
შესაბამისი წერტილის აბსცისა x = plusmn radicr2 ndash y2 = plusmnradic24 = plusmn2radic6 მაშინ cos α = ან cos α =
15
15
2radic65
551 1
2radic6ndash2radic6
y
x2radic6
5
α
α + P(a b)
Pprime(ndasha ndashb)
x
y
O
82
7
ბ) ცნობილია რომ cos = და კუთხე IV მეოთხედის კუთხეა იპოვეთ sin tg და ctg -ს მნიშვნელობები
კალკულატორის გამოუყენებლად გამოთვალეთ
რობოტმა რომლის მკლავის სიგრძე 2 მ-ია საგანი A წერტილიდან B წერ-ტილში გადაიტანა ამ დროს რობოტისმკლავი 140deg-ით იყო მობრუნებულირობოტის მოძრაობის მობრუნებისკუთხის სახით ასახვის მიხედვით იპო-ვეთ B წერტილის კოორდინატები
ა) sin 400ordm ndash sin 40ordm ბ) გ)cos 410ordmcos 50ordm
tg 200ordmtg 20ordm
radic22
რადგან sin 25deg 042 და cos 25deg 091კალკულატორის გამოუყენებლად გამოთვალეთ
ა) sin 155deg გ) cos 335deg ე) sin 205deg minus cos 155deg ბ) cos 205deg დ) sin 335deg ვ) cos 385deg minus sin 515deg
6
რამდენი გრადუსია ndash60ordm-იანი კუთხის შესაბამისი მახვილი კუთხე იპოვეთ cos(ndash60ordm)sin(ndash60ordm) tg(ndash60ordm) ctg(ndash60ordm) შეადარეთ ndash60ordm-იანი და 60ordm-იანი კუთხეების ტრიგონო-
მეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები
ა) ცნობილია რომ sin = და კუთხე II მეოთხედის კუთხეა გამოთვალეთ cos
tg და ctg -ს მნიშვნელობები
4
8
9
35
მოცემული კუთხეების მიხედვით გაავლეთ შესაბამისი მახვილი კუთხეები11) 240ordm 2) ndash515ordm 3) ndash170ordm 4) 315ordm 5) 6) ndash 7) ndash 3
411
325
4მოცემული კუთხეებისათვის გამოთვალეთ sinα cosα tgα და ctgα-ს მნიშვნელობები2
yა) ბ) გ) დ)
x060ordm 225ordm
150ordm 300ordmy
x0
y
x0
y
x0
კალკულატორის გამოუყენებლად გამოთვალეთ მოცემული კუთხეების შესაბამისიტრიგონომეტრიული თანაფარდობები
3
5 იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა კალკულატორის გამოყენების გარეშე
გ) sin(minus315deg)დ) tg(minus210deg)
ე) sin 495degვ) cos(minus225deg)
ზ) cos 600degთ) tg 420deg
ა) cos(minus60deg)ბ) sin(minus120deg)
1) sin 405ordm 2) cos 420ordm 3) tg 405ordm 4) sin 390ordm 5) cosec 450ordm 6) ctg 390ordm 7) sec 420ordm 8) cos 9) sin 10) tg 33
492
43
nebismieri kuTxis trigonometriuli funqciebi
saswavlo davalebebi
B(rmiddotcos rmiddotsin )
B
O
A
140ordm
2 მ
1) α = 0 მობრუნების კუთხეების შესა-ბამისი წერტილები ავღნიშნოთ ერთეულოვან წრეწირზე და ამწერტილების კოორდინატები x = sin y = cos ფორ-მულების მიხედვით გამოვთვალოთ
83
erTeulovani wrewiri da trigonometriuli funqciebi
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები მხოლოდ კუთხის მნიშვნელობაზე არის დამოკიდებული და არ არის და-მოკიდებული წრეწირის რადიუსზე ამიტომაც საერთო წესისდაურღვევლად შეგვიძლია მივიღოთ რომ R = 1 წრეწირს რომლისრადიუსია 1 და ცენტრი კოორდინატთა სათავეშია ერთეულოვანიწრეწირი ეწოდება ერთეულოვან წრეწირზე მდებარე წერტილებისკოორდინატები x2 + y2 = 1 განტოლებას აკმაყოფილებენ თუ P() = (x y) წერტილი კუთხის დამამთავრებელი გვერდისერთეულოვან წრეწირთან გადაკვეთის წერტილი იქნება მაშინტრიგონომეტრიული ფუნქციებისა და წერტილის კოორდინატებს შორის არსებულიურთიერთკავშირი შეიძლება გამოისახოს შემდეგნაირად
მაშასადამე ერთეულოვან წრეწირზე ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებიP() = (cos sin) სახით შეიძლება ჩაიწეროს
ამასთან მოცემული კოორდინატების მიხედვით შეიძლება tg ctg sec და cosecტრიგონომეტრიული ფუნქციების პოვნა
cos = = x
tg = = sincos
sin = = yy1
xy
x1
ctg = = cossin
yx sec = 1
xcosec = 1
y
erTeulovani wrewiri da nebismieri kuTxis trigonometriuli funqciebi
=1
cos =1
sin
2) განვსაზღვროთ ერთეულოვან რადიუსიან წრეწირზე რო-
მელიმე წერტილის მაგალითად A( ) წერტილის
შესაბამისი სიმეტრიული წერტილების კოორდინატები რო-
გორც სურათიდან ჩანს A წერტილის სიმეტრიული და II III
და IV მეოთხედებში მდებარე კიდევ 3 წერტილი არსებობს
12
radic32
B წერტილი A წერტილის y ღერძის მიმართ C წერტილიკოორდინატთა სათავის მიმართ D წერტილი კი x ღერძისმიმართ არის სიმეტრიული ამ ოთხი წერტილის შესაბამისიკოორდინატების აბსოლუტური მნიშვნელობები ტოლიაისინი მხოლოდ ნიშნებით განსხვავდებიან3) I მეოთხედში განსაზღვრული სხვა წერტილების კოორდინატებიდან ამ წესის გამოყენებითახალი წერტილების კოორდინატების განსაზღვრა შეგვიძლია შედეგად მობრუნებითიკუთხეების და შესაბამისი წერტილების კოორდინატების აღნიშნული ერთეულოვანი წრეწირიმიიღება
რადგან y = sin x = cos ამიტომ ერთეულოვან წრეწირზე განსაზღვრული მობრუნებისშესაბამისი წერტილების კოორდინატების განსაზღვრა შეიძლება ამისათვის შევასრულოთქვემოთ მოცემული მოქმედებები
6
4
3
2
( )
radic32
( ) 12
radic32( )
12
radic32 ( ) 1
2radic32
12
1
AB
O
O
C D
y
y
x
x
y
xA
P() = (x y)
B(1 0)1
O
12
radic3 2
(ndash1 0)
(ndash1 0)
(0 1)
(1 0)
600900
450
300
36001800
2700
( )12
radic3 2
( )radic2 2
radic2 2
( )
84
nimuSi 3 იპოვეთ 3 + 2 sin გამოსახულების უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობებიamoxsna ndash1 le sin le 1 orive mxare gavamravloT 2-ze
ndash2 le 2 sin le 2 orive mxares mivumatoT 3 ndash2 + 3 le 3 + 2 sin le 2 + 3 1 le 3 + 2 sin le 5
მაშასადამე 3 + 2 sin გამოსახულების umm 1-ის და udm 5-ის ტოლია
nimuSi 1
amoxsna რადიანის შესაბამისი მობრუნებისას კუთხის გვერდიIII მეოთხედშია ამ კუთხის შესაბამისი მახვილი კუთხე ndash =იქნება კუთხის დამამთავრებელი გვერდი III მეოთხედშიმდებარე და მისი დამამთავრებელი გვერდის ერთეულოვანწრეწირთან გადაკვეთის წერტილი კუთხის შესაბამისი
( ) წერტილის სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის მიმართ
მაშასადამე კუთხის მარცხენა გვერდი ერთეულოვან წრეწირს ( ) წერტილში
54
54
4
4
მობრუნების კუთხისათვის იპოვეთ ძირითადიტრიგონომეტრიული ფუნქციები
radic2 2
radic2 2
radic2 2
radic2 2
radic2 2
radic2 2
54
54
54
erTeulovani wrewiri da nebismieri kuTxis trigonometriuli funqciebi
54
54
54
54
23
43
6
2
32
34
116
53
54
56
74
4
3
x
y
76
(0 1)
(1 0)0 2
(ndash1 0)
(0 ndash1)
(ndash )12
radic32
(ndash )radic22
radic22
(ndash )12
radic32
(ndash ndash )radic32
12
(ndash ndash )radic22
radic22
(ndash ndash )12
radic32
( )12
radic32( )radic2
2radic22
( )12
radic32
( ndash )radic32
12
( ndash )radic22
radic22
( ndash )12
radic32
ერთეულოვან წრეწირზე ნებისმიერიწერტილის კოორდინატებიndash1 le x le 1 ndash1 le y le 1
პირობას აკმაყოფილებენ მიიღება რომ
ndash1 le cos le 1 ndash1 le sin le 1ანუ sin და cos -ს უდიდესი მნიშ-ვნელობა 1-ის ხოლო უმცირესი მნიშ-ვნელობა -1-ის ტოლია
nimuSi 2 აბსცისი ndash მქონე და III მეოთხედში მდებარე A წერტილიერთეულოვან წრეწირთან კუთხის გვერდის გადაკვეთის წერტილიაა) იპოვეთ A წერტილის ორდინატიბ) დახაზეთ ამოცანის პირობის ამსახველი სურათი და კუთხისათვისგანსაზღვრეთ ექვსი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობა
ctg = =
35
353
4
454
31
tg
b) sin = cos =
tg = 53sec = 5
4cosec =
radic22( ) radic2
2 32
54θr = 2
54θ =
2
ndash ndash
x
y
radic22( )radic2
2
a) 35( )2 + y2 = 1 y2 = 1 = y = plusmn 9
251625
ვინაიდან წერტილი III მეოთხედში მდებარეობს y = ndash
45
45
(1 0)
35ndashA( ) ndash
0 x
y
45
amoxsna
კვეთს აქედან sin = ndash cos = ndash tg = 1 ctg = 1
85
ა) ერთეულოვან წრეწირზე აბსცისი -ის მქონე რამდენი წერტილი არსებობს იპოვეთ ამ
წერტილების ორდინატები მიუთითეთ თითოეული წერტილის შესაბამისი მობრუნების კუთხე
ბ) ერთეულოვან წრეწირზე ორდინატი -ის მქონე რამდენი წერტილი არსებობს იპოვეთ ამ
წერტილების აბსცისები მიუთითეთ თითოეული წერტილის შესაბამისი მობრუნების კუთხე
1
2
3
იპოვეთ ndash კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები ერთეულოვანწრეწირის გამოყენებით
იპოვეთ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები
12
76
136
5
6
4
7
გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა თუ = 30ordmა) 3 sin ბ) sin 3 გ) 2 cos დ) cos 2იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა sin ndash cos 2 ndash cos 3 + sin 2ა) როცა = 30ordm ბ) როცა = იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა როცა = 15ordmა) 2 sin(3 + 15ordm) + 3 ctg(90ordm ndash 2) ბ) tg(4 ndash 15ordm) ndash 2 cos(2 + 30ordm)
2
სწორია უტოლობაა) sin 45ordm + cos 60ordm gt 1 ბ) cos + sin gt 1
34
A(ndash ) ერთეულოვანი წრეწირისა და კუთხის გვერდის გადაკვეთის წერტილიადახაზეთ შესაბამისი სურათი იპოვეთ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისმნიშვნელობები
45
35
8
იპოვეთ გამოსახულების udm და ummა) 2 + sin ბ) 2 ndash cos გ) 1 + sin2 დ) 4 + cos2 შესაძლებელია ტოლობა
ა) sin = ბ) cos = გ) sin = radic5 ndash 1 დ) cos = radic2 ndash 1
იპოვეთ გამოსახულების udm და ummა) 2 + 3sin ბ) 1 ndash sin გ) 1 + cos დ) 3 ndash 2cos
11
10
9
712
43
saswavlo davalebebi
13
12ერთეულოვან წრეწირზე უჩვენეთ მოცემული პირობის დამაკმაყოფილებელი მობრუ-ნების კუთხის შესაბამისი წერტილები
ერთეულოვან წრეწირზე sin = პირობის დამაკმაყოფილებელი მობრუნების კუთ-ხის შესაბამისი რამდენი წერტილი არსებობს დაწერეთ ამ წერტილის შესაბამისიმობრუნების კუთხეების ზოგადი გამოსახულება
radic32
12ა) sin = ბ) cos = ndash გ) sin = ndash1
2radic22
erTeulovani wrewiri da nebismieri kuTxis trigonometriuli funqciebi
12
15
14ცნობილია რომ ერთეულოვან წრეწირზე P( ndash ) წერტილის შესაბამისი მობრუ-ნების კუთხეა უჩვენეთ დამამთავრებელი გვერდის ამ კუთხესთან თანხვედრაში მყო-ფი უარყოფითი კუთხე და იპოვეთ ამ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისმნიშვნელობაერთეულოვანი წრეწირის გამოყენებით [0 2] შუალედში უჩვენეთ sin =ტოლობის დამაკმაყოფილებელი მობრუნების კუთხეები
74
radic2 2
radic3 2
radic2 2
x ღერძის მიმართ კუთხის დამამთავრებელი გვერდის ასახვა კიმასზე მდებარე წერტილებისკოორდინატებს სურათზე ნა-ჩვენებივით ცვლის ანუ xღერძის მიმართ ასახვის დროსმხოლოდ y კოორდინატისნიშანი იცვლება მაშასადამეკოსინუსი x კოორდინატზედამოკიდებულებით არ იცვლება სინუსი კი ნიშანს იცვლის ამრიგად და ndash კუთხეებისტრიგონომეტრიული ფუნქციებს შორის კავშირი ქვემოთ მოცემული სახისაა
86
საკოორდინატო სიბრტყეზე I მეოთხედში არსებული ობიექტის yღერძის მიმართ ასახვით ობიექტი II მეოთხედში მოთავსდება IIმეოთხედში მოთავსებული ობიექტის x ღერძის მიმართ ასახვით კიეს ობიექტი III მეოთხედში მოთავსდება ის კი I მეოთხედში არ-სებული საწყისი ობიექტის კოორდინატთა სათავის მიმართ ასახვასემთხვევა ამასთან გაითვალისწინეთ რომ y ღერძის მიმართ ასახვაx ღერძის მიმართ ასახვის 180ordm მობრუნებით ერთმანეთს ემთხვევა
dayvanis formulebi
sin (minusα) = minussinαcos (minusα) = cosα
praqtikuli mecadineoba
1) წრეწირზე რომლის რადიუსი 5-ის ტოლია აღნიშნეთ P(3 4) წერტილი2) x ღერძის მიმართ ასახვაში უჩვენეთ P წერტილის გარდაქმნით მიღებული
Pprime წერტილის კოორდინატები3) Pprime წერტილი y ღერძის მიმართ ასახვისას რომელ წერტილად გარდაიქმნება4) შეადარეთ P და Pprimeprime წერტილების კოორდინატები5) Pprimeprime და P წერტილები კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულებია6) თუ P წერტილი მობრუნების კუთხეს შეესაბამება Pprime წერტილი და Pprimeprimeწერტილი რომელი მობრუნების კუთხეს შეესაბამებიან
x
P(3 4)
y
O
PprimePprimeprime
nimuSi sin(ndash30ordm) = ndash sin 30ordm = ndash cos(ndash45ordm) = cos 45ordm =tg(ndash45ordm) = ndash tg 45ordm = ndash 1 ctg(ndash45ordm) = ndash ctg 45ordm = ndash 1
12
radic22
და 360ordm ndash მობრუნებით კუთხეების დამამთავრებელი გვერდებიx ღერძის მიმართ სიმეტრიულია ანუ (x y) rarr (x ndashy) აქედან მივიღებთ
sin(360ordm ndash ) = ndash sin cos(360ordm ndash ) = cos tg(360ordm ndash ) = ndash tg ctg(360ordm ndash ) = ndash ctg
მაშასადამე sinusi tangensi da kotangensi kenti funqciebia kosinusiki luwi funqciaa
tg (minusα) = minustgαctg (minusα) = minusctgα
y
x0
(x y)
(x ndashy)
360ordm ndash
x
y
x xminusαminusα
αα
y yr r
(x y) (x y)
(x ndashy) (x ndashy)rr
87
sin (180ordm + ) = minussin cos (180ordm + ) = minuscos tg (180ordm + ) = tg ctg (180ordm + ) = ctg
როგორც სურათიდან ჩანს კუთხის დამამთავრებელი გვერდი 180deg-ით მობრუნებისასმოპირდაპირე პოლუსზე ყოფნით იგივე წრფეზე მდებარეობს
მახვილი კუთხის მქონე მართკუთხა სამკუთხედში და 90ordm ndash მახვილი კუთხე-ებისათვის დავწეროთ ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები
sin = sin(90ordm ndash =cos = cos(90ordm ndash ) =tg = tg(90ordm ndash ) =ctg = ctg(90ordm ndash ) =
yr
yx
xr
xy
yr
yx
xr
xy
ტოლობების წყვილ-წყვილად შედარებით და 90ordm ndash კუთხეების ტრიგონომეტრიულფუნქციებს შორის არის შემდეგი ურთიერთკავშირი
sin ( 90deg minus α) = cosα cos ( 90deg minus α) = sinα
tg (90ordm minus ) = ctg ctg (90ordm minus ) = tg
α მობრუნების კუთხის დამამთავრებელი გვერდი კიდევ 90deg-ით მოვაბრუნოთ ამ დროსმათზე არსებული P(x y) წერტილი Pprime(ndashy x) წერტილად გარდაიქმნებატრიგონომეტრიული ფუნქციების განსაზღვრების თანახმად
sin ( + 90ordm) = = cos cos ( + 90ordm) = = minussin
tg ( + 90ordm) = = minusctg
ctg ( + 90ordm) = = minustg
xr y
rxy
dayvanis formulebi
α α
α
P
Pprime
x
x
rr
y
y x
y
(ndashy x)
(x y)
+ 900
900
α
P
x
r y
x
y (x y)
900 ndash α
+1800
r
r
ndash1800
ndash1800
1800
(ndashx ndashy)
(x y)
sin (90deg + α) = cosα cos (90deg + α) = minus sinα tg (90deg + α) = minus ctgα ctg (90deg + α) = minus tgα
ეს ფორმულები დავწეროთ ქვემოთ მოცემულის სახით
როგორც სურათიდან ჩანს y ღერძის მიმართ ასახვა xღერძის მიმართ ასახვის 180deg-იანი მობრუნების ეკ-ვივალენტურია კოორდინატების ცვლილება შეიძლებაგამოისახოს ქვემოთ მოცემული სახით
sin (180ordm minus α) = sin α cos (180ordm minus α) = minuscos α tg (180ordm minus α) = minustg α ctg (180ordm minus α) = minusctg α
ndash x
y
r
1800ndash αr
r
(ndashx y) (x y)
(x ndashy)
yx
12nimuSi 2 sin 210deg = sin (180deg + 30deg) = ndash sin 30deg = ndash
88
x
y
0
360ordm ndash
180ordm ndash
180ordm + x
y
0
270ordm ndash
90ordm ndash 90ordm +
270ordm +
1) თუ არგუმენტი 90ordm plusmn და 270ordm plusmn სახისაა მაშინ ამ არგუმენტის ტრიგონომეტრიულიფუნქცია არგუმენტის bdquoშეწყვილებულldquo ტრიგონომეტრიულ ფუნქციად იქცევა(სინუსი კოსინუსად და პირიქით ტანგენსი კოტანგენსად და პირიქით)2) თუ არგუმენტი 180ordm plusmn 360ordm plusmn იქნება მაშინ ამ არგუმენტის ტრიგონომეტრიულიფუნქცია არგუმენტის იგივე დასახელების ფუნქციად გარდაიქმნებაორივე შემთხვევაში მიღებული ფუნქციის ნიშანი კუთხის მახვილ კუთხედ მიღებისგარდაქმნილი ფუნქციის მოცემულ მეოთხედში არსებულ ნიშანს ემთხვევა
270deg + α მობრუნების კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისათვისაც მსგავსიფორმულების მისაღებად 270deg + α = 90deg + (180deg + α) სახით ჩაწერა და შესაბამისიფორმულების მიმდევრობითი გამოყენება საკმარისია მაგალითადsin(270ordm + ) = sin(90deg + (180deg + α)) = cos(180deg + α) = ndash coscos(270ordm + ) = cos(90deg + (180deg + α)) = ndash sin(180deg + α) = ndash (ndash sin) = sinახლა კი 270deg ndash α მობრუნების კუთხეებისათვის დავწეროთ შესაბამისი ფორმულებიმაგალითადsin(270ordm ndash ) = sin(270deg + (ndash α)) = ndash cos(ndash ) = ndash coscos(270ordm ndash ) = cos(270deg + (ndash α)) = sin(ndash ) = ndash sinმიღებული ფორმულების გამოყენებით ნებისმიერი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნ-ქციების მოძებნა მახვილი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მოძებნაზე დაიყვანებაამ ფორმულებს დაყვანის ფორმულები ეწოდება დაყვანის ფორმულებისათვის გან-საზღვრული კანონზომიერებების არსებობა ადვილად შეიმჩნევა
გამოთვალეთ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები ორი ხერხით1) იმ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის გამოთვლით რომელიც [0ordm 360ordm] შუა-ლედში მდებარეობს და მისი დამამთავრებელი გვერდი მოცემულ კუთხეს ემთხვევა2) ndash და კუთხეების ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის არსებული ურთიერთ-კავშირის გამოყენებითა) = ndash30ordm ბ) = ndash120ordm გ) = ndash60ordm
saswavlo davalebebi
1) იპოვეთ α = 32deg-იანი კუთხის დამამთავრებელი გვერდის ა) x ღერძის მიმართ ბ) y ღერძის მიმართგ) კოორდინატთა სათავის მიმართ ასახვით მიღებული უმცირესი დადდებითი კუთხე
2) შეასრულეთ იგივე დავალებები თუ α = 220deg
1
2
dayvanis formulebi
89
5
[0ordm 360ordm] შუალედში იპოვეთ ყველა კუთხე რომლის სინუსიც მოცემული რიცხვის
ტოლია ა) sin = ბ) sin = გ) sin =
6 დაყვანის ფორმულების გამოყენებით მოცემული გამოსახულებები გამოსახეთ მახვილიკუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებით და გამოთვალეთ მნიშვნელობებია) cos 210ordm ბ) cos 120ordm გ) sin 150ordm დ) tg 300ordm ე) cos ვ) tg ზ) ctg თ) sin
7
54
23
53
76
8
sin (90deg + α) = cos α იგივეობის ჭეშმარიტება α კუთხის I მეოთხედში მდებარეობისშემთხვევისათვის დავამტკიცეთ დაამტკიცეთ იგივეობა კუთხის II მეოთხედში მოთავსებით
sin (90deg + α) = cos α იგივეობა უჩვენეთ რომ 0deg 90deg 180deg 270deg კუთხეებისათვისაცჭეშმარიტია
3
4
12
radic32
radic22
[0ordm 360ordm] შუალედში იპოვეთ ყველა კუთხე რომლის სინუსიც მოცემული რიცხვისტოლია ა) sin = 06 ბ) sin = 03 გ) sin = 08
გაამარტივეთ გამოსახულება
ა) sin (α ndash 180deg) ბ) cos (α ndash 270deg) გ) tg (α ndash 90deg)დ) sin (α ndash ) ე) cos (α ndash ) ვ) tg (α ndash )
9
გაამარტივეთ
ა) sin2 ( + α) ბ) cos2 (180ordm ndash α) გ) ctg2 ( 90ordm + α )10
დაიყვანეთ 0ordm-დან 90ordm-მდე კუთხის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციაზე
ა) sin (ndash170deg) ბ) cos (ndash160deg) გ) tg 130deg დ) ctg 320deg
nimuSi 0 le α le 360 ინტერვალში იპოვეთ ყველა კუთხე რომელთა sin α = 06 კალკულატორზე asin ღილაკზე დაჭერით (06) აკრიფეთ ეკრანზეგამოჩნდება 37deg ვინაიდან სინუსი II მეოთხედშიც დადებითია180deg 37deg = 143deg კუთხის სინუსიც 06 იქნება რადგან sin (180ordm minus α) = sin α 37deg
143deg
32
32
უჩვენეთ რომ მოსაზღვრე კუთხეების სინუსები ტოლია კოსინუსები კი ურთიერთ-მოპირდაპირე რიცხვებია
დაამტკიცეთ რომ სამკუთხედის კუთხეებიაა) sin( + ) = sin ბ) cos( + ) = ndash cos
გაამარტივეთ გამოსახულება
13
ა) ბ) გ) tg 40ordm middot ctg 50ordm დ) sin 72ordm ndash cos 18ordmsin 72ordmcos 10ordm
cos 70ordmsin 20ordm
გაამარტივეთა) sin(90ordm ndash ) ndash cos(180ordm ndash ) + tg(180ordm ndash ) ndash ctg(270ordm ndash )ბ) cos(20ordm ndash ) + sin(250ordm + )
12
11
14
15
გაამარტივეთ
ა) sin (180ordm + α) ბ) cos( ndash α) გ) cos (180ordm + α)დ) tg (180ordm ndash α) ე) ctg(90ordm + α) ვ) cos (180ordm ndash α)
32
dayvanis formulebi
90
praqtikuli mecadineoba
ძირითადი ტრიგონომეტრიული იგივეობების დახმარებით მოცემული ტრიგონომეტრიულიგამოსახულების გამარტივება და ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიდან ერთის მნიშვნელობისმიხედვით მეორის მნიშვნელობის გამოთვლა ხდება
trigonometriuli igiveobebi
მართკუთხა სამკუთხედში α მახვილი კუთხისათვის cos2 + sin2 = 1უჩვენეთ ეს ქვემოთ მოცემული ნაბიჯებით1) დაწერეთ პითაგორას თეორემა a2 + b2 = c2
2) ტოლობის ორივე მხარე გაყავით c2-ზე
3) გამოიყენეთ ხარისხის თვისებები
4) იმის გათვალისწინებით რომ და მივიღებთ
a2
c2b2
c2c2
c2=+
ac =+
2( ) b
ccc
2 2
b
a
c
ac = cos b
c = sin cos2 + sin2 = 1
P(cos sin)ნებისმიერი α კუთხისათვის cos2 + sin2 = 1 იგივეობისმართებულობა ერთეულოვან წრეწირზე აღებული წერტილებისკოორდინატების მიხედვითაც ადვილად შეიძლება განიმარტოსx2 + y2 = 1cos2 + sin2 = 1
1
0 x
y
erTeulovan radiusiani wrewiris gantoleba
x=sin da y=cos Canacvleba
sin2 + cos2 = 1 ტოლობის ორივე მხარეს თუ გავყოფთ cos2 -ზე მივიღებთ
sin cos tg =cos sin ctg =
sin2 + cos2 = 1 ტოლობის ორივე მხარეს თუ გავყოფთ sin2 -ზე მივიღებთ
sin2 cos2 + 1 = 1
cos2 1 + tg2 =
1 + ctg2 = 1sin2
ეი 1cos2
cos 0 პირობის დამაკმაყოფილებელი ნებისმიერი კუთხისათვის
sin 0 პირობის დამაკმაყოფილებელი ნებისმიერი კუთხისათვის
ამ ტოლობიდან მიიღება რომ ერთდროულად cos 0 და sin 0 პირობისდამაკმაყოფილებელი კუთხისათვის tg middot ctg = 1 იგივეობა მართებულია
sin2 + cos2 = 1 sin2 = 1 ndash cos2
cos2 = 1 ndash sin2
tg =
ctg =
1ctg
1tg
ამ ტოლობებს ძირითადი ტრიგონომეტრიული იგივეობები ეწოდება ძირითადი ტრიგო-ნომეტრიული იგივეობების მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ
tg middot ctg = 1
( ) ( )
დამოკიდებულებები ერთი და იმავე არგუმენტის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის
ერთეულოვან წრეწირზე არსებული წერტილის კოორდინატებისა და ტრიგონომეტრიულიფუნქციების განსაზღვრების თანახმად მივიღებთ
91
(1 + sin x)2 + cos2 xcos x (1 + sin x)
nimuSi 1 ძირითადი ტრიგონომეტრიული იგივეობების გამოყენებით დაამტკიცეთ
1 + sin xcos x
cos x1 + sin x
2 cos x+
1 + sin xcos x
cos x1 + sin x
1 + 2sin x + sin2 x + cos2 xcos x (1 + sin x)
1 + 2sin x + 1cos x (1 + sin x)
2 + 2sin xcos x (1 + sin x)
+ = = =
= = 2(1 + sin x) cos x (1 + sin x)
2cos x = =
=
nimuSi 2 sin = ndash და კუთხე III მეოთხედის კუთხეა გამოთვალეთ დანარჩენიტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები
amoxsna sin2 + cos2 = 1 ფორმულიდან მივიღებთ რომ cos2 = 1 ndash sin2
ვინაიდან III მეოთხედის კუთხეა cos = ndashradic1 ndash sin2 = ndashradic1 ndash (ndash )2 = ndash
მაშინ tg = = = და ctg = =
45
35
sin cos
1tg
4535
ndash
ndash43
34
45
გაამარტივეთ
თუ sin = 06 და lt lt იპოვეთ cos და tg
თუ cos = 08 და 0 lt lt იპოვეთ sin და ctg
მონაცემების მიხედვით იპოვეთ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშ-ვნელობები
1a) 1 ndash sin2 b) 1 ndash cos2 c) sin2 ndash 1 d) cos2 ndash 1e) 1 ndash sin2 ndash cos2 f) sin2 + cos2 + ctg2 g) tg middot ctg ndash cos2 h) cos4 + cos2 middot sin2 + sin2
4
3
2 2
2
ა) sin = ndash და lt lt ბ) cos = ndash და lt lt
გ) tg = 1 და lt lt დ) ctg = ndashradic3 და lt lt 2
45
32
1213
32
2
გაამარტივეთა) (1 ndash cos2 )middot(1 + tg2 )
5
damtkiceba
saswavlo davalebebi
ბ) (sin + cos )2 + (sin ndash cos )2
32
ე) (1 + ( )2 )1 + cos sin2
1 + cos sin
ვ) (1 + ( )2 )1 ndash cos sin
1 ndash cos sin2
დ) +sin 1 + cos
1 + cos sin გ) ndashcos
1 + sin cos
1 ndash sin
trigonometriuli igiveobebi
92
გაამარტივეთ გამოსახულება radic4 4 sin2 ა) თუ 0 le le ბ) თუ le le
sin + 3 cos cos
3 sin ndash 5 cos 4 sin + cos
იპოვეთ მოცემული გამოსახულებების მნიშვნელობა თუ tg = 2
ა)
ა)
გ)
ბ)
ბ)
დ)
7
6
2
2
დაამტკიცეთ იგივეობები
განათება უჩვენებს რაიმე წყაროდან ზედაპირზე დაცემული
სინათლის ნაკადის რაოდენობას და ფორმულით
განისაზღვრება სადაც İ არის სინათლის ძალა R კი მანძილი
სინათლის წყაროდან დაამტკიცეთ რომ ეს ფორმულა
ფორმულის ეკვივალენტურია
8
9E = I
R2cos
E = I ∙ tg
R2sin
1110 იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა sin2 + cos2 + ctg2 თუ cos = ndash 3
5
+cos 1 + sin
1 + sin cos +sin
1 + cos sin
1 ndash cos 18
R
I
E
გაამარტივეთ გამოსახულება და მონაცემების მიხედვით იპოვეთ მისი მნიშვნელობა
ა) ბ)
თუ cos = 01 თუ sin = ndash
13 იპოვეთ tg2 + ctg2 გამოსახულების მნიშვნელობა თუ tg + ctg =
არსებობს თუ არა ისეთი მობრუნების კუთხე რომელიც აკმაყოფილებს მოცემულ ტოლობას
ა) sin = და cos = ndash ბ) sin = და cos = გ) tg = და ctg = დ) tg = და ctg =
54
1435
45
43
34
23
13
12 იპოვეთ sin middot cos ნამრავლი თუ ცნობილია რომ sin + cos = 06
34
23
გაამარტივეთ გამოსახულება15ა) (1 ndash sin(ndash))middot(1 ndash sin ) ბ) cos(ndash) + cos middottg2(ndash)გ) დ) sin2(ndash) + tg middotctg(ndash)1 ndash sin(ndash)
cos(ndash) ndash tg(ndash)
17 იპოვეთ გამოსახულების უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობებია) 3 cos2 ndash 4 sin2 ბ) sin ndash 2 sin2 ndash 2 cos2
დაამტკიცეთ რომ -ს დასაშვებ მნიშვნელობებში გამოსახულების მნიშვნელობა არ არის-ზე დამოკიდებული
16
ა) (sin + cos )2 + (sin ndash cos )2 ბ) (tg + ctg )2 ndash (tg ndash ctg )2
trigonometriuli igiveobebi
1 ndash cos2x(1 ndash sinx)(1 + sinx) = tg2 x
1 ndash (sinx ndash cosx)2
2 = cos xmiddotsinx 1 + sec xsin x + tg x = cosec x
1 + tg xsin x + cos x = sec x
93
1) როცა α = β = მაშინ sin (α β) = sinα cosβ cosα sinβ ტოლობის მართებუ-
ლობა უჩვენეთ ქვემოთ მოცემული ნაბიჯებითა) ტოლობის მარცხენა მხარეში გამოსახულების მნიშვნელობა გამოთვალეთ და -სმოცემული მნიშვნელობისათვის
trigonometriuli igiveobebi
2
3
6
12
2
2
3
3
12
12
radic32
praqtikuli mecadineoba
sin (α β ) = sin( ) = sin =
ბ) იპოვეთ ტოლობის მარჯვენა მხარის გამოსახულების მნიშვნელობა
sinα cosβ cosα sinβ = sin cos cos sin = 1 0 =
2) 45deg-იანი და 30deg-იანი კუთხის ტრიგონომეტრიული მნიშვნელობების მიხედვით როგორშეიძლება გამოვთვალოთ 45deg ndash 30ordm = 15ordm-იანი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები
P1P2 = radic(cosα minus cosβ)2 + (sinα minus sinβ)2
P3A = radic(cos(α minus β) 1)2 + (sin(α minus β) 0)2
(cosα minus cosβ)2 + (sinα minus sinβ)2 = (cos(α minus β) 1)2 + (sin(α minus β) 0)2
cos2α minus 2 cosα cosβ + cos2β + sin2α minus 2sinα sinβ + sin2β = = cos2(α minusβ ) minus 2 cos(α minus β) + 1 + sin2(α minus β)
(cos2α + sin2α) minus 2 (cosα cosβ + sinα sinβ) + (cos2β + sin2β) = = (cos2(α minusβ ) + sin2(α minus β)) minus 2 cos(α minus β) + 12 minus 2 (cosα cosβ + sinα sinβ) = 2 minus 2 cos(α minus β)
2 (cosα cosβ + sinα sinβ) = 2 cos(α minus β)cos(α minus β) = cosα cosβ + sinα sinβ igiveobebis marTebuloba damtkicebulia
sin (α + β ) = sinα cosβ + cosα sinβsin (α β ) = sinα cosβ cosα sinβ
cos (α + β ) = cosα cosβ sinα sinβcos (α β ) = cosα cosβ + sinα sinβ
ჯერ დავამტკიცოთ იგივეობა cos (α β ) = cosα cosβ + sinα sinβ ერთეულოვან წრეწირში ა) სურათ-ზე ნაჩვენები α კუთხის გვერდზემდებარე P1 წერტილის კოორდი-ნატები არის (cosα და sinα) და βკუთხის დამამთავრებელ გვერდზემდებარე P2 წერტილის კოორ-დინატები არის (cosβ და sinβ) α β კუთხე განვათავსოთ როგორც ბ)სურათზე α β კუთხის დამამ-თავრებელ გვერდზე მდებარე P3 წერტილის კოორდინატები იქნება (cos(αβ) sin(αβ))gkg ნიშნის თანახმად ∆P1OP2 ∆P3OA ამიტომ P1P2 P3A
ori kuTxis jamisa da sxvaobis trigonometriuli funqciebi
tolobisTviseba
or wertils Soris manZilisformula
tolobis Tviseba
sxvadasxva gamravlebisformulebis gamoyeneba
Sekrebis moqmedebis Tvisebe-bisa da trigonometriuliigiveobebis gamoyeneba
2
3
a) b)
P1 = (cos α sin α) P3 = (cos(α ndash β) sin(α ndash β)
A = (1 0)
P2 = (cos β sin β)1
1ndash1
ndash1 ndash1
y
x x
y1
1ndash1
x2 + y2 = 1 x2 + y2 = 1
βα ndash β α ndash βα
o o
nimuSi 1 გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა cos
sin (α + β ) = sinα cosβ + cosα sinβ იგივეობის დამტკიცება
Sekrebis formulebi
2
2
2
2
cos (α + β ) = cosα cosβ ndash sinα sinβ იგივეობის დამტკიცებაcos(α + β) = cos(α minus (minus β)) = cosα cos(minus β) + sinα sin(minus β)gaviTvaliswinoT rom cos(β) = cosβ sin( β) = sinβcos(α + β) = cosα cosβ sinα sinβ tolobis marTebuloba damtkicebulia
sin (α β ) = sinα cosβ cosα sinβ იგივეობის დამტკიცებაsin (α β ) = sin (α + (β)) = sinα cos(minus β) + cos α sin(minus β) =
= sin α cos β ndash cos α sin β
sin (α + β ) = cos ( (α + β)) = cos(( ndash ) ndash ) =dayvanis formulis Tanaxmad
dayvanis formulebis gaTvaliswinebiTsxvaobis kosinusis formulis Tanaxmad
dajgufeba
cos( ndash )middotcos + sin( ndash )middotsin = sin middotcos + cos middotsin
cos = cos ( + ) = cos cos ndash sin sin =
= ndash =
nimuSi 2 sinα = π lt α lt და cos β = 0 lt β lt იპოვეთsin (α β)-ს მნიშვნელობა amoxsna sin (α β) = sinα cosβ cosα sinβ თუ α-ს შესაბამისი მახვილი კუთხე αიქნება sinα = როცა მოპირდაპირე კათეტი 3-ია ჰიპოტენუზა 5
მიმდებარე კათეტი x = radic25 9 = 4 და მეოთხედის
კუთხეა ამიტომ cosα = რადგან cos β = ანალოგიური წესით მივიღებთ sin β =
sin (α β) = sinα cosβ cosα sinβ = + =
2
712
712
3
3
3
4
4
4
35
35
45
35
45
1213
513
1213
1665
1213
513
32
12
radic32
radic22
radic2 ndashradic64
radic22
amoxsna
35
x13
12
ტანგენსისა და კოტანგენსისათვის შეკრების ფორმულები ასე შეიძლება ჩავწეროთ
tg (α + β ) = = =sin (α + β )cos (α + β )
sinα cosβ + cosα sinβcosα cosβ sinα sinβSekrebis formulebis Tanaxmad
mricxvelisa da mniSvnelis
cos middot cos namravlze gayofiT
gansazRvrebis Tanaxmad
= =
sin αmiddotcos βcos αmiddotcos β
cos αmiddotsin βcos αmiddotcos β
cos αmiddotcos βcos αmiddotcos β
sin αmiddotsin βcos αmiddotcos β
+
tg α + tg β1 ndash tg αmiddottg βgamartiveba
94
მაშასადამე
tg (α + β ) =tg α + tg β
1 ndash tg αmiddottg β
ანალოგიური წესით შეიძლება ჩვენება რომ tg (α ndash β ) =tg α ndash tg β
1 + tg αmiddottg β
95
4
3 შეკრების ფორმულების გამოყენებით შეამოწმეთ ტოლობების მართებულობა
ა) sin(90ordm ndash ) = cos ბ) cos( + ) = ndashcos გ) sin( + ) = ndashsin დ) cos(270ordm ndash ) = ndashsin
6
9
8
7
5
გაამარტივეთ
ა) sin 12ordm middot cos 18ordm + cos 12ordm middot sin 18ordm ბ) cos 17ordm middot cos 43ordm ndash sin 17ordm middot sin 43ordmგ) cos 68ordm middot cos 8ordm + cos 82ordm middot cos 22ordm დ) sin 23ordm middot cos 7ordm + cos 157ordm middot cos 97ordm
გაამარტივეთ
ა) cos(36ordm + )middotcos(24ordm ndash ) ndash sin(36ordm + )middotsin(24ordm ndash )ბ) sin( ndash )middotcos( + ) + cos( ndash )middotsin( + )
44
4
4
იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა
ა) იპოვეთ sin( + ) თუ cos = ndash და lt lt
ბ) იპოვეთ cos( + ) თუ sin = ndash და lt lt
2
radic32
12
63
2
sin = ndash cos = III მეოთხედის კი IV მეოთხედის კუთხეა იპოვეთ
ა) sin( + ) ბ) cos( ndash )
radic32
12
და III მეოთხედის კუთხეებია და sin = ndash cos = ndash იპოვეთ
ა) sin( ndash ) ბ) cos( + )
35
513
Sekrebis formulebi
saswavlo davalebebi
გაამარტივეთ გამოთვალეთ მნიშვნელობა
გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა
cos 105deg1
2
sin (ndash15deg)cos 75degsin 75deg
12
sin cos( 712
cos
12
cos 4
cos 1) + 2) +
3) ndash 4) ndash
4
sin 12
sin 35
sin 15
cos 35
cos 15
sin75
sin 75
cos12
cos 4
sin 4
cos 12
sin 15
cos 15
sin
10 სამკუთხედის ორი მახვილი კუთხის სინუსები შესაბამისად და ტოლია იპოვეთსამკუთხედის მესამე კუთხის კოსინუსი
725
45
ა) ბ) გ)
ზ) თ)
დ)
ე) 4
3
ndash ) sin( ვ) 4
3
+ )
ა) ბ)sin 20ordm middot cos 10ordm + cos 20ordm middot sin 10ordmsin 21ordm middot cos 9ordm + cos 21ordm middot sin 9ordm
cos 66ordm middot cos 6ordm + sin 6ordm middot cos 24ordmcos 65ordm middot cos 5ordm + sin 65ordm middot sin 5ordm
96
cos 72ordm sin 48ordm + cos 18ordm sin 42ordm გამოსახულების მნიშვნელობა გამოთვალეთ დაყვანისფორმულებისა და შეკრების ფორმულების გამოყენებით
gamoyenebiTi davalebebi
ორი წრფის კუთხური კოეფიციენტებია k1 და k2 მათიგადაკვეთისას მიღებული 21 მახვილი კუთხე შეიძლებაგანისაზღვროს ქვემოთ მოცემული ფორმულით
იპოვეთ წრფეთა გადაკვეთიდან მიღებული მახვილი კუთხე თუ ეს წრფეებია
ა) y = 2x 1 და y = x 1 ბ) y = x + 2 და y = 3x 1
15
17
12
k2 k1
1 + k1 k2tg (2 1) =
Sekrebis formulebi
16
14
13
12
გაამარტივეთ
tg =
tg = tg = იპოვეთ
ა) tg( + ) ბ) tg( ndash )გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობაა) tg 15ordm ბ) tg 75ordm გ) ctg 105ordm
იპოვეთ tg 2 თუ tg( + ) = ndash1 tg( ndash ) =
ა) ბ)tg 13ordm + tg 47ordm
1 ndash tg 13ordm middot tg 47ordmtg 46ordm ndash tg 1ordm
1 + tg 46ordm middot tg 1ordm23
12
13
12
გაამარტივეთ
20
18
sin (α + β ) cosα sinβsin (α β ) + cosα sinβა) ბ)
cos(α + β ) + sinα sinβcos(α β ) sinα sinβ
გაამარტივეთ
ა)
ა)
ბ)
ბ)
tg(45ordm + α) ndash tg 1 + tg(45ordm + α)middottg
tg( + α) + tg( ndash α)1 ndash tg( + α)middottg( ndash α)
8
8
88
იპოვეთ tg 2 თუ ctg( + ) = 2 ctg( ndash ) = 1
11
თოკზე მოსიარულის მოწყობილობის A თოკი 9 მ სი-მაღლის საყრდენზეა დაბმული თოკზე მოსიარულე Bთოკზე 5 მ სიმაღლეზე იმყოფება A და B თოკებისაყრდენიდან 12 მ-ის დაშორებით მიწაშია დამაგ-რებული იპოვეთ მათ შორის დარჩენილი კუთხე
19A
B
12 მ
5 მ
იპოვეთ tg(45ordm + ) თუ
x
y
k1 = tg θ1
k2 = tg θ2
2 ndash 1
21
97
jamis (sxvaobis) namravlad gardaqmna
= x + y = x ndash yთუ მაშინ x = y =
+ 2
ndash 2
sin + sin = sin(x + y) + sin(x ndash y) = sin x cos y + cos x sin y + sin x cos y ndash cos x sin y == 2 sin x cos y = 2 sin cos ანალოგიური წესით მივიღებთ
+ 2
ndash 2
sin ndash sin = 2 sin cos
cos + cos = 2 cos cos
+ 2
ndash 2
+ 2
ndash 2
+ 2
ndash 2
Sekrebis formulebidan miRebuli Sedegebi
6
praqtikuli mecadineoba
sin 70ordm + sin 10ordm ჯამი ქვემოთ მოცემული ნაბიჯებით გადააქციეთ ნამრავლად
1) განტოლებათა სისტემის ამოხსნით იპოვეთ ორი ისეთი კუთხე რომ ჯამი იყოს 70ordm-ის ხოლო სხვაობა 10ordm-ის ტოლი x = 40ordm y = 30ordm
2) 70ordm = 40ordm + 30ordm 10ordm = 40ordm ndash 30ordm ჩაწერით გაამარტივეთ მოცემული გამოსახულება
x + y = 70degx ndash y = 10deg
sin 70ordm + sin 10ordm = sin(40ordm + 30ordm) + sin(40ordm ndash 30ordm) = sin 40ordmmiddotcos 30ordm + cos 40ordmmiddot
middotsin 30ordm + + sin 40ordmmiddotcos 30ordm ndash cos 40ordmmiddotsin 30ordm = 2 sin 40ordmmiddotcos 30ordm = radic3 sin 40ordm
cos ndash cos = ndash2 sin sin
2
1
4
გადააქციეთ ნამრავლად ა) sin 52ordm + sin 32ordm ბ) sin 72ordm ndash sin 32ordm გ) cos 32ordm + cos 2ordm დ) cos 42ordm ndash cos 22ordm
გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა
გაამარტივეთ
ა) sin 8 + sin 2cos 8 + cos 2
ბ) cos 7 + cos 2cos 6 + cos 2
გ) sin 3 + sin cos 3 + cos
ჯამი (სხვაობა) გარდაქმენით ნამრავლად
sin6x + sin2x cos4x ndash cos2x sin ndash sin cos + cos512
12
12
512
3
წარმოადგინეთ ნამრავლის სახით ა) + sin ბ) + cos გ) 2 cos ndash radic312
12
ქვემოთ მოცემული ტოლობები დააკავშირეთ სურათთან და უჩვენეთ რომ ისინიმართებულია
5
= + 2
= ndash 2
= t = cos coscos + cos 2
+ 2
ndash 2
= s = cos sinsin + sin 2
+ 2
ndash 2
(cos α sin α)(cos β sin β)
(t s)
ndash1 1
θα β
ა) cos 130ordm + sin 80ordm ndash sin 20ordm ბ) sin 40ordm + sin 20ordm ndash cos 10ordm
98
გამოსახეთ ნამრავლები ჯამის ან სხვაობის სახით
ქვემოთ მოცემული იგივეობა დაამტკიცეთ ანალოგიური წესით
გამოთვალეთ ნამრავლის ჯამად გარდაქმნის იგივეობების გამოყენებით
+
ამ იგივეობის მართებულობა ვუჩვენოთ შეკრების ფორმულების გამოყენებით
nawil-nawil ikribeba nawil-nawil ikribeba
sin(x + y) = sinxcosy + cosx sinysin(x ndash y) = sinxcosy ndash cosxsiny
sin(x + y) + sin(x ndash y) = 2sinxcosy
sinx cosy = (sin(x + y) + sin(x ndash y))
sinx cosy = (sin(x + y) + sin(x ndash y))12
12
sinx siny = (cos(x ndash y) ndash cos(x + y))
cosx cosy = (cos(x + y) + cos(x ndash y))
1212
sinx siny = (cos(x ndash y) ndash cos(x + y))12
+cos(x + y) = cosxcosy ndash sinx sinycos(x ndash y) = cosxcosy + sinxsiny
cos(x + y) + cos(x ndash y) = 2cosxcosy
cosx cosy = (cos(x + y) ndash cos(x ndash y))12
ა) sin 15deg cos 15deg ბ) sin 105deg sin 15deg გ) cos 75deg cos 75deg
namravlis jamad gardaqmnis formulebi
7
8
9
10
დაამტკიცეთ რომ 2 sincos = sin( + ) + sin( ndash )
sin6x sin2x sinx cos2x cos9x cos2x cos sin
cos7x cos3x sin8x sin4x sin2x cos3x cos sin
3x2
x2x2
5x2
Sekrebis formulebidan miRebuli Sedegebi
11
გამოთვალეთ
ა) 2 cos 40ordm middot cos 20ordm ndash cos 20ordm ბ) 2 sin 40ordm middot sin 10ordm + cos 50ordm
12
იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა
ა) sin 15ordm middot cos 7ordm ndash cos 79ordm middot cos 11ordm ndash sin 86ordm middot sin 4ordmბ) cos 73ordm middot cos 17ordm ndash sin 13ordm middot cos 21ordm ndash cos 86ordm middot cos 4ordmდაშალეთ მამრავლებად
ა) sin 2xmiddotcos 4x ndash sin 6xmiddotcos 8x ბ) cos 5xmiddotcos x ndash cos 4xmiddotcos 2x
99
Sekrebis formulebidan miRebuli Sedegebi
ormagi argumentis trigonometriuli funqciebi
sin 2 = sin( + ) = sin middot cos + cos middot sin = 2 sin middot cos cos 2 = cos( + ) = cos middot cos ndash sin middot sin = cos2 ndash sin2
sin 2 = 2 sin middot cos cos 2 = cos2 ndash sin2 tg 2 =
tg 2 = tg( + ) = =tg + tg
1 ndash tg middot tg 2 tg
1 ndash tg2
naxevari argumentis formulebi
cos 2 = cos2 ndash sin2 = cos2 ndash (1 ndash cos2 ) = 2 cos2 ndash 1cos 2 = cos2 ndash sin2 = 1 ndash sin2 ndash sin2 = 1 ndash 2 sin2 აქედან
cos2 = 1 + cos 22
1 ndash cos 22sin2 =
ამ ფორმულებში -ს ნაცვლად -ის ჩაწერით მივიღებთ2
cos2 = 1 + cos 2
1 ndash cos 2sin2 =
22
ნახევარი კუთხისათვის ტრიგონომეტრიული იგივეობები
ამ ტოლობებში მარჯვენა მხარის ნიშანი დამოკიდებულია იმაზე თუ რომელ მეოთხედში
მდებარეობს კუთხეα2
nimuSi 2 კალკულატორის გამოუყენებლად იპოვეთ sin 2α და cos 2α გამოსახულების
მნიშვნელობა თუ ცნობილია რომ α IV მეოთხედის კუთხეა და tg α = 34
amoxsna4
r ndash3sin 2α = 2 sin α cos α = 2(ndash )( ) = ndash
cos 2α = 2 cos2 α ndash 1 = 2( )2 ndash 1 =
35
45
24257
2545
r = radic(ndash3)2 + 42 = 5sin α = ndashcos α =
354
5
sin = plusmn cos = plusmn2
2
1 + cos 2
1 ndash cos 2radic radic
nimuSi 1 გაამარტივეთ გამოსახულება sin middotcos3 ndash sin3middotcos amoxsna sin middotcos3 ndash sin3middotcos = sin middotcos (cos2 ndash sin2) =
= middot 2 sin middotcos middot(cos2 ndash sin2) = sin 2middotcos 2 = sin 412
12
14
შეკრების ფორმულები sin 2 cos 2 tg 2 გამოსახულებების კუთხის ტრიგო-ნომეტრიული ფუნქციით გამოსახვის შესაძლებლობას იძლევა
ამრიგად მივიღებთ ორმაგი კუთხის ფორმულებად წოდებულ იგივეობებს2 tg
1 ndash tg2
1 ndash cos 21 + cos 2
tg2 =
1 ndash cos 1 + cos tg2 =
2
tg = plusmn2
1 ndash cos 1 + cos radic
100
nimuSi 3 გამოთვალეთ cos გამოსახულების მნიშვნელობა8
8
8
4
12
α2cos = plusmn 1 + cosα
2radic
1 + cos(4)2radic
1 + (radic22)2radic
2 + radic24radic= =cos = cos ( ) =
amoxsna გამოვიყენოთ ნახევარი კუთხის იგივეობები
კუთხე I მეოთხედში მდებარეობს და ამ მეოთხედში კოსინუსის ფუნქციები დადებითია
16
15
14
13
17
გაამარტივეთა) cos 2
cos + sin sin 2
cos2 middot tg2 ndash cos ბ)
გ) (tg + ctg )middot sin 2 1 + cos 2sin 2დ)
ცნობილია რომ cos = ndash08 90ordm lt lt 180ordm იპოვეთ
ა) sin 2 ბ) cos 2 გ) tg 2ცნობილია რომ sin = ndash და III მეოთხედის კუთხეა იპოვეთ
ა) sin 2 ბ) cos 2 გ) tg 2გაამარტივეთsin 3sin
sin 3cos
cos 3cos
cos 3sin ა) ndash ბ) +
1213
იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობაა) 2 sin 15ordm cos 15ordm ბ) 2 sin cos
გ) cos2 ndash sin2 დ) cos2 ndash sin2
ე) ვ)2 tg 22ordm 30prime1 ndash tg2 22ordm 30prime
8
12
8
12
8
8
4 tg 75ordm1 ndash tg2 75ordm
18 იპოვეთა) sin 22ordm 30prime ბ) cos 22ordm 30prime გ) tg 22ordm 30prime დ) tg 15ordm ე) cos 675ordm
saswavlo davalebebi
19 ცნობილია რომ cos = 270ordm lt lt 360ordm იპოვეთ
ა) sin ბ) cos გ) tg2
45
მონაცემების მიხედვით იპოვეთ sin2 cos2 tg2
sin cos tg
sin = radic32
2
lt lt
2
2
2
tg = 34
lt lt 32 cos = 4
5 lt lt 2
0
20
21
ა) cos = 0 lt lt ბ) sin = ndash lt x lt 235
2
32
radic32
2
2
Sekrebis formulebidan miRebuli Sedegebi
მონაცემების მიხედვით იპოვეთ
101
ა) უჩვენეთ რომ სეგმენტის ფართობისათვის Sსეგ = r2(α sinα) ფორ-მულა მართებულიაბ) წრეეში რომლის რადიუსი 2 სმ-ია იპოვეთ იმ სეგმენტის ფართობირომელიც 3 სმ-იანი ქორდით არის გამოყოფილი
1228
29 სამი წრეწირი რომელთა რადიუსებია 1 2 და 3 სურათზენაჩვენები სახით გარედან ეხებიან ერთმანეთს გამოთვალეთფერადი ფართობი
1
23
ორი კუთხის ჯამისა და სხვაობის ტრიგონომეტრიული იგივეობის გამოყენებითდაამტკიცეთ ქვემოთ მოცემული იგივეობების მართებულობა
ა) sin 2θ = 2 sin θ cos θ ბ) cos 2x = cos2x ndash sin2x
ცნობილია რომ 90deg lt α lt 180deg და sin α =
ა) იპოვეთ sin 2α-ს მნიშვნელობა ბ) იპოვეთ cos 2α-ს მნიშვნელობაგ) კალკულატორის დახმარებით გამოთვალეთ α კუთხის რადიანული ზომად) კალკულატორით შეამოწმეთ a და b პუნქტებში წარმოებული გამოთვლებისმართებულობა
22
23 817
geometria O ცენტრიან ერთეულოვან წრეწირზე მონაცემების
მიხედვით დაამტკიცეთ იგივეობის მართე-
ბულობა
მთის სიმაღლის გამოთვლისათვის გეგმაზეარჩეულ ორ A და B წერტილს შორის მანძილი175 მ-ია და გაზომილია ამ წერტილებიდანმთის წვეროზე მიმართული კუთხე
tg = sin1 + cos
B
O
D
A
P
gamoyenebiTi davalebebi
დაამტკიცეთ რომ ნებისმიერ ∆ABC-ში რომლის კუთხეებია A B და C მართებულიაქვემოთ მოცემული იგივეობები (გაითვალისწინეთ რომ A + B + C = 180deg) ა) sin (A + B) = sin Cგ) cos C = sin A sin B cos A cos B
24
25
26
27
კუთხეების ზომებია A = 36deg40prime B = 21deg10prime რამდენი მეტრია გეგმის მიხედვითამ მთის სიმაღლე
BA
h
21ordm 10prime 36ordm 40prime
175 მ
დაამტკიცეთ იგივეობები
ა) = tg1 ndash cos sin
2
ბ) = tgsin 1 + cos
2
α
A
Bo
r
r
2
Sekrebis formulebidan miRebuli Sedegebi
102
gamravlebis ganrigebadobis kanoni
tg x = da sec x = Casma gamartiveba
trigonometriuli gamosaxulebebis gamartiveba
გაამარტივეთ გამოსახულება
გაამარტივეთ მამრავლებად დაშლით sin2 x cos2 x + cos4 x
გაამარტივეთ გამოსახულება cos x (tg x ndash sec x)
nimuSi 3
nimuSi 1
nimuSi 2
amoxsna cos x (tg x ndash sec x) == cos x middot tg x ndash cos x middot sec x == cos x middot ndash cos x middot == sin x ndash 1
sin xcos x
1cos x
sin xcos x
1cos x
amoxsna sin2 x cos2 x + cos4 x == cos2 x(sin2 x + cos2 x) == cos2 x middot 1 = cos2 x
saerTo mamravlis frCxilebs gareT gatana
sin2 x + cos2 x = 1 formulis gamoyeneba
cos x1 + sin x + tg x = + =cos x
1 + sin xsin xcos x
cos x1 + sin x
cos xcos x
sin xcos x
1 + sin x1 + sin x= middot + middot =
cos2 x + sin x + sin2 xcos x(1 + sin x)= =
1 + sin xcos x(1 + sin x)= =
= 1cos x = sec x
tg x = Casmasin xcos x
gaerTmniSvnelianeba
sin2 x + cos2 x = 1 formulis gamoyeneba
gamartiveba
mricxvelisa da mniSvnelis erTsada imave ricxvze gamravleba-gayofa
nimuSi 4 გაანთავისუფლეთ მნიშვნელი ფესვის ნიშნისაგან
2tg xradic = middot = =2
tg xradic tg xtg x
2tg xtg2 xradic radic2tg x
tg x
2tg xradic სადაც tg x gt 0
1 გაამარტივეთ ფრჩხილებისაგან განთავისუფლებით1) (sin x ndash cos x)(sin x + cos x) 3) (sin ndash cos )2 + sin 22) tg x (cos x + ctg x)(1 ndash sin x) 4) (1 + tg )2 ndash sec2
saswavlo davalebebi
2 დაშალეთ მამრავლებად
1) sin2 x cos x + cos3 x 3) sin3x + 272) sin4 x ndash cos4 x4) 4sin2 y + 8sin y + 4 6) 2cos2 x + cos x ndash 35) 3ctg2 + 6ctg + 3
cos x1 + sin x + tg x
amoxsna
amoxsna
103
დაწერეთ გამოსახულებები ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქციით გამოსახულიმამრავლების ნამრავლის ( მაგალითად (sinx 3) (1 + 2sinx)) სახით
9
1) cos2 x + 2cos x + 1 2) cos x ndash 2sin2 x + 1 3) sin x ndash cos2x ndash 1
4
გაამარტივეთ გამოსახულება თუ 0 lt lt 1 ndash sin 1 + sin radic 1 + sin
1 ndash sin radic+
დაამტკიცეთ იგივეობა
cos 1 ndash tg
sin 1 ndash ctg 1) + = sin + cos 1 ndash tg2
1 + tg2 2) + 1 = 2cos2
tg ndash ctg tg + ctg 3) + 1 = 2sin2
cos 1 + sin 4) tg + = sec
7
6) = 2 cos4 1ndash cos4 ndash sin4 tg2
იპოვეთ გამოსახულების udm და umma) sin ndash radic3 cos b) radic3 sin + cos c) sin + cos
8
nimuSi sin + radic3 cos = 2( sin + cos ) = = 2(cos 60ordm middot sin + sin 60ordm middot cos ) = 2sin( + 60ordm) udm = 2 umm = ndash2
12
radic32
გაათავისუფლეთ მნიშვნელი ფესვის ნიშნისაგან
cos2 y2sin2 yradic1 ndash cos x
1 + cos xradic cos xtg xradic
5
ა) ბ) გ)
6 გაამარტივეთsin
1 + cos ა) ( + )middotsin 2sin
1 ndash cos (sin + cos)2 ndash sin 2
cos 2 + 2 sin2 ბ)
1 + cos 2 + sin 21 ndash cos 2 + sin 2გ) sin + sin 3 + sin 5
cos + cos 3 + cos 5დ)
გაამარტივეთ
1) 2) ndash 3)
4) middot 5) middot 6) middot
cos2 ndash 1cos + 1
sin xcos x
1cos2 x( )2 sin4 ndash cos4
sin2 ndash cos24cos3 xsin2 x
sin x4cos x( )2 sin2 ndash sin ndash 2
2 sin ndash 410cos + 53sin + 9
sin2 ndash 92cos + 1
3
2
10 გაამარტივეთ გამოსახულება radic1 ndash sin2 cos
ა) თუ 90ordm lt lt 180ordm ბ) თუ 270ordm lt lt 360ordm
11 გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა sin 18ordmmiddotcos 36ordm
trigonometriuli gamosaxulebebis gamartiveba
miTiTeba a sin x + b cos x გამოსახულება დაწერეთ cmiddot( middot sin x + middot cos x) სახით
და = cos = sin აღნიშვნით შემოიტანეთ დამხმარე კუთხე სადაც c = radica2 +b2
ac
bca
cbc
5) = 2 tg2 (sin + cos )2 ndash 1ctg ndash sin middotcos
104
ganmazogadebeli davalebebi
2
4
5
3
აქვს თუ არა გამოსახულებას აზრი
ა) radicsin 170ordm ბ) radiccos 150ordm გ) radictg 200ordmრომელი მეოთხედის კუთხეა თუ sin = sin cos = ndash cos
დაამტკიცეთ რომ tg 1ordm middot tg 2ordm middot tg 3ordm middot middot tg 87ordm middot tg 88ordm middot tg 89ordm = 1
ცნობილია რომ sin 10ordm = a a-ს საშუალებით გამოსახეთა) cos 80ordm ბ) cos 100ordm გ) sin 170ordm დ) sin 190ordm
სამკუთხედის კუთხეები ისე შეეფარდება ერთმანეთს როგორც 2 3 5 იპოვეთ სამ-კუთხედის კუთხეების რადიანული ზომები
1
6
4sin cos23
23
8
8
გამოთვალეთ კალკულატორის გამოუყენებლად
ა) ბ)2tg
1 tg2
ა) sin 151deg = sin 29deg ბ) cos 135deg = sin 225deg გ) tg 135deg = tg 225degდ) sin 60deg = cos 330deg ე) sin 270deg = cos 180deg ვ) cos (ndash60deg) = ndashsin 330deg
რომელი ტოლობაა ჭეშმარიტი და რომელია მცდარი7
ა) წყალმფრქვევი სისტემა მაქსიმუმ 140-იანი კუთხით მობრუნებით 35 მეტრ მანძილზეაფრქვევს წყალს სქემატურად გამოსახეთ მორწყვა შესაძლებელი ნაწილი და გამოთვალეთფართობიბ) 70 მ მანძილზე წყლის მიმწვდენი წყალმფრქვევით 3000 მ2 ფართობის მორწყვისათვისრამდენი გრადუსით უნდა მობრუნდეს წყალმფრქვევი
9
ორი კბილანებიანი ჩარხიდან ერთის რადიუსია 64 სმმეორისა კი 3 სმ რამდენი გრადუსით უნდა მობრუნდესდიდი ჩარხი თუ პატარა ჩარხი მობრუნდება 170ordm-ით
8
64 სმ3 სმ
10
sinx + sin3xcosx + cos3x = tg2x
sin3x ndash sinxcos3x ndash cosx = ndashctg2x sin2x + sin4x
cos2x + cos4x = tg3xcos4x ndash cos2xsin2x ndash sin4x = tg3x
დაამტკიცეთ
11 ცნობილია რომ ndash = 90ordm იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა sin ndash sincos + cos
12 დაამტკიცეთ რომ ა) cos(60ordm ndash ) = sin(30ordm + ) ბ) ctg(80ordm ndash ) = tg(10ordm + )
13 უჩვენეთ რომ cos 20ordm ndash cos 50ordm cos 31ordm + sin 11ordm = sin 80ordm ndash sin 70ordm
sin 29ordm ndash sin 19ordm
105
გაამარტივეთ tg( + x)middot18 1 ndash sin 2xcos 2x
4
იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა თუ sin middotcos = 04 sin + cossin ndash cos
14
15 იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა
ა) 4 sin 15ordm cos 15ordm(cos2 15ordm ndash sin2 15ordm)
ბ) sin middot cos3 ndash sin3 middot cos16
16
16
16
იპოვეთ y = 4x ndash 1 და y = ndash2x + 5წრფეებს შორის შექმნილი მახვილიკუთხე
16
20 გაამარტივეთ
ა) ბ)6 cos 64ordmradic3 cos 34ordm ndash sin 34ordm
cos 36ordm + radic3 sin 36ordm4 cos 24ordm
6
4
2
ondash2
2 4 6 x
y
y = 4x ndash 1
y = ndash2x + 58
θგამოთვალეთ 17
ა) ndash 2 sin 70ordm
ბ) 8 sin 10ordmmiddotcos 20ordmmiddotcos 40ordm
12 sin 10ordm
სითხისმფრქვევით α კუთხით d მანძილზე ობიექტს თუ სითხე ეფრქვევა უჩვენეთ
რომ სითხის შეფრქვევის ფართობის
ა) S = d2tg2 ამასთან S = ფორმულებით გამოთვლა
შესაძლებელიაბ) რა ფართობზე მოეფრქვევა სითხე თუსითხემფრქვევი d = 30 სმ მანძილზეα = 45deg კუთხით აფრქვევს სითხეს
α2
21
d 2 (1 cosα)1 + cosα
d
r
1) დაამტკიცეთ იგივეობები 22 ა) sin 2 =
ა) sin 2 tg =
ბ) cos 2 =
ბ) cos 2
2 tg 1 + tg2
1 ndash tg2 1 + tg2
13
ganmazogadebeli davalebebi
2cosα = 0 lt α lt და sin β = π lt β lt
ა) sin (α + β) ბ) cos (α + β) გ) tg (α + β)დ) sin (α β) ე) cos (α β) ვ) tg (α β)
radic32
12
32
19 იპოვეთ გამოსახულებების მნიშვნელობები თუ
2) იპოვეთ თუ
106
XII saukuneSi mcxovrebma da kacobriobismecnierebis istoriaSi gansakuTrebuli ad-gilis mqone genialurma azerbaijanelmamecnierma nasredin Tusim didi wvliliSeitana astronomiis maTematikisa da fi-losofiis mecnierebebis ganviTarebaSi na-sredin Tusim pirvelma gamoyo trigo-nometria astronomiisagan da mogvca si-nusebis Teoremis damtkiceba
sinusebisa da kosinusebis Teorema4sinusebis Teorema
kosinusebis Teorema
107
praqtikuli mecadineoba1) სურათის მონაცემების მიხედვით h-ით გამოსახეთ ∆ABC-ს ABდა BC გვერდები
2) ტოლობის სისწორე შეამოწმეთ
3) h-ით გამოსახეთ AC გვერდის სიგრძე და რადგან B = 180ordm ndash (30ordm + 45ordm) = 105ordmგამოთვალეთ sin B
4) იპოვეთ შეფარდება და იგი მე-2 პუნქტში არსებულ შეფარდებებთან შეადარეთ
5) რა კავშირი არის ∆ABC-ს გვერდებსა და მოპირდაპირე კუთხეების სინუსებს შორის
sinusebis Teorema
ABsin C
BCsin A=
ACsin B
h45ordm30ordm
A
B
CD
ანალოგიური წესით A წვეროდან BC გვერდზე სიმაღლის გავლებით შეიძლება იმის ჩვენება
რომ ტოლობის თვისების თანახმად შეგვიძლია ჩავწეროთ
damtkiceba მართკუთხა სამკუთხედისათვის თეორემის სისწორეთქვენ უჩვენეთდავამტკიცოთ თეორემა მახვილკუთხა და ბლაგვკუთხა სამკუთხედე-ბისათვის სამკუთხედის C წვეროდან AB გვერდზე გავავლოთ hc სიმაღლემიღებული ორივე მართკუთხა სამკუთხედიდან შეგვიძლია დავწეროთ
და
sinusebis Teorema
ნებისმიერ ∆ABC-ში თუ a b c გვერდების შესაბამისადმოპირდაპირე კუთხეებია A B C მაშინ
სამკუთხედის გვერდები მათი მოპირდაპირე კუთხეების სინუსების პროპორციულია
hc
b = sinA hc
a = sinB
asinA
bsinB
csinC
= =
bsinB
csinB=
ბლაგვკუთხა სამკუთხედიდანაც ჩანს რომhc
a = sin(180 B) = sin B
ამ თანაფარდობებიდან ვიპოვოთ hc ცვლადი hc = b sinA hc = a sinBაქედან b sinA = a sinB ან
თეორემა დამტკიცებულია
A
C
Bc
b a
A
C
Bc
b a
hc
მახვილკუთხასამკუთხედი
ბლაგვკუთხასამკუთხედი
A
C
Bc
b
180ordm ndash B
hc
a
asinA
bsinB=
miaqcieT yuradReba rom es Se-
fardebebi samkuTxedze Semoxazuli
wrewiris diametris tolia
daskvna 1) სამკუთხედში ტოლი კუთხეების პირდაპირ მდებარე გვერდების სიგრძეებიტოლია2) სამკუთხედში მეტი კუთხის პირდაპირ მეტი გვერდი ძევს და მეტი გვერდის პირდაპირმეტი კუთხე ძევს
asinA
bsinB
csinC= =
რადგან სამკუთხედის შიგა კუთხეების ჯამი 180deg-იაამიტომ მოცემული ორი კუთხის მიხედვით შეგვიძლიავიპოვოთ მესამე კუთხე ხოლო სინუსების თეორემისმიხედვით კი ვიპოვოთ დანარჩენი ორი გვერდი
მართლაც თუ და კუთხეები მახვილია მაშინ როცა gt მაშინ sin gt sin რადგან
ამიტომ მიიღება რომ a gt b თუ ბლაგვი კუთხეა მაშინ (180ordmndash) მახ-
ვილი კუთხეა თანაც(180ordm ndash ) კუთხე სამკუთხედის კუთხის არამოსაზღვრე გარე კუთხე
-ზე მეტია ამიტომაც sin = sin(180ordm ndash ) gt sin აქედან მიიღება რომ a gt b
sinusebis Teorema
108
როდესაც მოცემულია სამკუთხედის ორი კუთხე და ერთი გვერდიან ორი გვერდი და ამგვერდებიდან ერთ-ერთის მოპირდაპირე კუთხე მაშინ სინუსების თეორემის გამოყენებითშესაძლებელია დანარჩენი კუთხეებისა და გვერდების პოვნა
I SemTxvevamocemulia samkuTxedis ori kuTxe da erTi gverdi
nimuSi 1 ∆ABC-ში a = 10 A = 41deg C = 75deg
II SemTxveva mocemulia samkuTxedis ori gverdi daerTi kuTxenimuSi 2 1) ∆ABC-ში a = 18 A = 25deg b = 30
amoxsna
amoxsna
B = 180 (A +C) = 180 (41deg + 75deg) = 64deg
=
asinA
asinA
bsinB
asinBsinA
10sin64degsin41deg
30sin25deg18
1008990656
csinC
= b =
asinA
bsinB
bsinAa
=
sinB = 07044
07044 რიცხვს შევიყვანთ კალკულატორში ღილაკს ავღნიშნავთ და დავინახავთრომ B კუთხე 448deg-ია B 448degრადგან sin B = sin (180 B) ამიტომ აქ B კუთხეს მეორე მნიშვნელობაც აქვსB 180deg 448deg = 1352deg
137
asinCsinA
10sin75degsin41deg
1009660656
c = 147=
sin-1
A
C
Bc
b = 30 a = 18
sin a
sin b=
25ordm
40
asinCsinA
18sin1102degsin25deg
1009380423
c =
c =
asinA
csinC=
როცა B = 448deg მაშინ
C = 180deg (25deg + 448deg) = 1102deg
144
asinCsinA
18sin198degsin25deg
1009380423
c =
c =
asinA
csinC=
როცა B = 1352deg მაშინ
C = 180deg (25deg + 1352deg) = 198deg
A
C
Bc
b a = 1075ordm41ordm
sinusebis Teorema
109
II SemTxvevisaTvis qvemoT mocemuli mdgomareobac gaviTvaliswinoT
1) ABC-ში a = 5 A = 30deg b = 12სინუსების თეორემის თანახმად
asinA
bsinB= = = 12
12sin30deg5
bsinAasinB =
რადგან ნებისმიერი კუთხისათვის sinB| le 1 ამიტომ არ შეიძლება რომ sinB = 12მაშასადამე ასეთი სამკუთხედის აგება შეუძლებელიასამკუთხედის ორი გვერდისა და ერთი კუთხის მოცემისას შესაძლო შემთხვევების -სამკუთხედების რაოდენობა გვერდების სიგრძის რიცხვით მნიშვნელობებზე და კუთხისსახეებზე (გრადუსულ ზომებზე) დამოკიდებულებით იცვლება
როცა A le 90deg-ზე
როცა A gt 90deg-ზე
მაშასადამე მოცემული მნიშვნელობების შესაბამისი ორი სამკუთხედი არსებობს
1 B = 448deg C = 1102deg c = 40 2 B = 1352deg C =198deg c = 144
A = 25ordm
C = 1102ordm
B = 448ordmc = 40
b = 30 a = 18
A = 25ordm
C = 198ordm
B = 1352ordmc = 144
b = 30 a = 18
ა) a lt hc lt b ამონახსენი არა
აქვს
ა) a lt b ამონახსენიარა აქვს
ბ) a = hc lt b ერთიამონახსენი აქვს
ა) a gt b ერთიამონახსენი აქვს
გ) hc lt a lt b ორიამონახსენი აქვს
A
C
B
b ahc
A
C
Bc
b ahc
A
C
B1
b ahc
B2
a
A
C
B
ba
A
C
B
b a
ვ) a gt b ერთიამონახსენი აქვს
A
C
Bc
b ab
დ) a = b ერთიამონახსენი აქვს A
C
Bc
b ab
ბ) a = b ამონახსენიარა აქვს
A
C
B
ba
saswavlo davalebebi
იპოვეთ უცნობი კუთხე ან გვერდი
ა) = ბ) =asin 35ordm
sinA25
sin 62ordm32
sin 60ordm3radic3
sin B12
10sin 40ordm
გ) = დ) =
16radic2
sin 30ordmb
sin 45ordm
sinusebis Teorema
110
ა) ABC- ში AC = 7 სმ AB = 11 სმ B = 25deg- ია იპოვეთ C
ტოლობის მიხედვით დახაზეთ სამკუთხედი იპოვეთ x-ისმნიშვნელობა
ბ) KLM-ში LM = 168 სმ KM = 135 სმ იპოვეთ L თუ K= 56deg ორივე ამოცანაში საძიებელი კუთხის შესახებ ldquoერთი მახვილიაrdquo ldquoერთი კუთხე ბლაგვიაrdquoორი კუთხის შესაბამისად მოსაზრება მართებულია
xsin60deg
10sin80deg=
დაწერეთ სინუსების თეორემა სამკუთხედისათვის რომლისწვეროები აღნიშნულია წერტილებით M N და P
იპოვეთ უცნობი გვერდები და კუთხეები
სურათის მონაცემების მიხედვით იპოვეთ კუთხის გრადუსული ზომები 3
2
4
5
M
N
P
1) a = 10 A = 35deg B = 25deg 2) b = 40 B = 75deg c = 35 3) A = 40deg B = 45deg c = 15 4) a = 5 A = 42deg b = 7 5) a = 40 A = 25deg c = 30 6) a = 5 A = 47deg b = 97) a = 12 A = 94deg b = 15 8) a = 15 A = 94deg b = 12 9) a = 22 A = 50deg c = 27 10) a = 11 A = 50deg c = 20
მონაცემების მიხედვით რომელ შემთხვევაში ერთი რომელ შემთხვევაში ორი სამ-კუთხედის აგებაა შესაძლებელი რომელ შემთხვევაში ამოცანას არა აქვს ამონახსენიგამოთვლებით უჩვენეთ
მონაცემების მიხედვით დახაზეთ ABC და იპოვეთ მოთხოვნილი გვერდი
ა) mocemuliaABC A = 57degB = 73deg AB = 24 სმ AC =
ბ) mocemulia ABC B = 38deg C = 56deg BC = 63 სმAB =
გ) mocemulia ABC A = 50deg B = 50deg AC = 27 მ AB =
დ) mocemulia ABC A = 23deg C = 78deg AB = 15 სმ BC =
7
6
8
A
C
B
A
C
B A
C
B
AC
B
A C
B
c
aa
b
a
14
12 4radic6 84radic3
19
25
595ordm 64ordm
70ordm
45ordm
34ordm110ordm
120ordm
ა)
ა)
ბ)
ბ) გ)
111
sinusebis Teorema
სამკუთხედის გვერდებიდან ერთის სიგრძე 43 მ-ია მეორისა კი 11 მ ამ გვერდებიდანერთის მოპირდაპირე კუთხე 35deg-ია იპოვეთ სამკუთხედის უცნობი გვერდი დაკუთხეები
9
10 დაამტკიცეთ სინუსების თეორემა წრეწირშიჩახაზული სამკუთხედის გამოყენებით
damtkicebis gegma ჯერ უჩვენეთ რომ = 2R შემდეგ ანალოგიური წესით
= 2R და = 2R ტოლობა უჩვენეთ
asinAb
sinBc
sinC
A
C D
OB
cb
a2 a2r r
A
CO
D Bcb
a2 a2r r
სამკუთხედის ფართობის ფორმულების თანახმად
მონაცემების მიხედვით იპოვეთ სამკუთხედების ფართობები
დაამტკიცეთ რომ ამოზნექილი ოთხკუთხედის ფართობიდიაგონალებისა და მათ შორის კუთხის სინუსის ნამრავლისნახევრის ტოლია
კუთხეების უფრო ზუსტად გაზომვისათვის გრადუსულ საზომ ერთეულთან ერთადუფრო მცირე ერთეულები წუთი (prime) და წამი (primeprime) გამოიყენება 1deg = 60prime და 1prime = 60Primeგათვალისწინებით კუთხეების ზომები გამოსახეთ გრადუსებში ათწილადების სახით
a) 20deg15prime36primeprime b) 45deg12prime18primeprime c) 34deg20prime54primeprime
12S = absin C12S = bcsin A12S = acsin B
1) B = 42ordm a = 6 მ c = 8 მ 2) A = 17ordm 12prime b = 10 სმ c = 13 სმ3) C = 82ordm 54prime a = 4 დმ b = 6 დმ 4) C = 7516ordm a = 15 მ b = 21 მ
A
B Ca
bc ha180ordm ndash C
D
A
B Ca
bc ha
D
A
CB65ordm12
14 B
AC
3618
B
A
C
4 5
cba
d
12
5) 6) 7)
30ordm 100ordm
11
13
ა) პარალელოგრამის დიაგონალები 10 სმ და 12 სმ-ია მათ შორის კუთხე 60deg-ია იპოვეთპარალელოგრამის ფართობიბ) ტოლფერდა ტრაპეციის დიაგონალები 12radic2 სმ-ია მათ შორის კუთხე 45deg-ია იპოვეთამ ტრაპეციის ფართობი
14S = d1middotd2middotsin 1
2
sinusebis Teorema
112
სინუსების თეორემის ორსვეტიანი ცხრილით დამტკიცება რვეულში დაასრულეთ
piroba safuZveli
bcsin A = acsin B = absin C
bcsin A acsin B absin Cabc abc abc
16
15
თითოეული შესაძლო შემთხვევისათვის გაავლეთ შესაბამისი ერთი სამკუთხედია) როცა ∆ABC-ში A = 30deg AC = 50 სმ იმისათვის რომ ამოცანას ორი ამონახსენიჰქონდეს რომელ ინტერვალში უნდა იცვლებოდეს BC გვერდის სიგრძებ) A = 60deg და AC = 12radic3 სმ BC გვერდის სიგრძის რომელ ინტერვალში ყოფნისასიქნება შეუძლებელი სამკუთხედის აგებაგ) თუ A = 45deg და AC = 18radic2 სმ BC გვერდის სიგრძის რომელი მნიშვნელობებისათვისმხოლოდ ერთი სამკუთხედის ამოხსნაა შესაძლებელი
12
12 bcsin A= acsin B = absin C1
2
= =sin A sin B sin C
a b c= =a b c= =sin A sin B sin C
nimuSi
amoxsna
gamoyenebiTi davalebebi
წყალსაცავი მე-4 თეფე საცხოვრებელი პუნქტიდან25deg- ჩრდილოეთ - აღმოსავლეთი მიმართულებით 15 კმ საცხოვრებელი პუნქტი გენჯლიქი კი საც-ხოვრებელი პუნქტი მე-4 თეფედან ჩრდილო-აღმოსავლეთი მიმართულებით 75 კმ მანძილზემდებარეობს წყალსაცავიდან რა მანძილზე მდე-ბარეობს საცხოვრებელი პუნქტი გენჯლიქი
წყალსაცავიგენჯლიქი
ჩ დ ა
სმე-4 თეფე
75 კმ15 კმ25ordm
ssinS
gsinG=
ssinS
tsinT
75sin97degsin25deg
750992504226=
15sin25deg75
75sin25deg
15sinG
150422675=
75sin25deg
tsin97deg=
sinG =
G 58deg T 180deg 25deg 58deg 97deg
=08452
176 კმ
სინუსების თეორემის თანახმად
t
გეგმის შესაბამისად ხელახლა დავხაზოთ სამკუთხედი დაწვეროები ობიექტების სახელების შესაბამისად ავღნიშ-ნოთ წყალსაცავი S-ით მე-4 თეფე - T გენჯლიქი - Gასოთი მანძილების შესაბამისად იყოს s t და g
T
S G
15 კმ75 კმ
25deg
sg
t
sinusebis Teorema
113
navigacia-მოიცავს საზღვაო და საჰაერო გზებზეტრანსპორტის ადგილისა და მოძრაობის კურსისგანსაზღვრის სამუშაოებსნავიგაციაში მიმართულება როგორც წესი აზიმუტითგანისაზღვრება აზიმუტი საათის ისრის მოძრაობისმიმართულებით და ჩრდილოეთ მიმართულებასა დამოცემულ მიმართულებას შორის დარჩენილი კუთხეამაგალითად სურათზე 140deg აზიმუტია ასახული
xidmSenebloba სურათის მონაცემებისმიხედვით რამდენი მეტრი იქნება ასაგებიხიდის სიგრძე
ჭაღი ფიცრის ჭერზე 18 მ და 24 მ ჯაჭვითაა და-მაგრებული 18 მ სიგრძის ჯაჭვი ჭერთან 62ordm-იანკუთხეს ქმნის იპოვეთ კუთხე მეორე ჯაჭვსა და ჭერსშორის
konstruqcia სურათზე მოცე-მული მოწყობილობის კონსტრუქ-ციის მიხედვით იპოვეთ კუთხე
ულქერის იალქნიანი ნავი აითენის ნავიდან აღმოსავლეთმიმართულებით 52 მ მანძილზეა აითენი ზღვაში მყოფ ცოცხალორგანიზმებზე დამკვირვებელ კვლევით სადგურს 30deg აზი-მუტით ულქერი კი 320ordm აზიმუტით ხედავენ რამდენ მეტრმანძილზე იმყოფება ულქერის ნავი კვლევითი სადგურიდან
22
2120
19
ჭაღი
62deg
18 მ24 მ
ჭერი
N
S
E
W
S S
B
sr
აითენიულქერი
30ordm
52 მ
Nჩ
ს
ად
C
B5 მ
A
r = 28 სმ
r = 22 სმ
r ndash 36 სმ
40deg
73deg
60deg
140ordm
დაკვირვების მწარმოებელი თვითმფრინავიდან ტბის ორსხვადასხვა ნაპირზე მყოფი A და B წერტილებისადმი დახრისკუთხე შესაბამისად 32deg და 45deg-ია სურათზე მონაცემებისმიხედვით დაახლოებით რამდენი მეტრია ამ ორ წერტილსშორის სიგანე
8 სმ სიგრძის ფიცრის ნაჭერი კონსტრუქციის ფუძეზე 70ordm-იანიკუთხით იყო დაწებებული 7 სმ სიგრძის ნაჭერი მეორებოლოზე და კონსტრუქციის ბოლოზე იყო დამაგრებულიიპოვეთ ამისათვის სურათზე ნაჩვენები კუთხის შესაძლოგრადუსული ზომა
18
17
კონსტრუქციის ფუძე
7სმθ
8სმ
70deg
32deg45deg9750 მ
A B
kosinusebis Teorema
114
2) ამ სამკუთხედებისათვის შეავსეთ ქვემოთ მოცემული ცხრილი
3) შეადარეთ a2 + b2 ndash 2abcos C და c2 გამოსახულებების მნიშვნელობები
a b და c გვერდებიან ნებისმიერ ABC სამკუთხედშიa2 = b2 + c2 2bc cos Ab2 = a2 + c2 2ac cos Bc2 = a2 + b2 2ab cos Cსამკუთხედის ნებისმიერ გვერდის კვადრატი ტოლია
kosinusebis Teorema
ab
cA B
C
სამკუთხედის გვერდები (სმ-ობით) c2 a2 + b2 2abcos Ca = 3 b = 4 c = 5a = 3 b = 4 c = a = 3 b = 4 c =
gamokvleva 1 მოცემული ზომების მიხედვით თითოეული სამკუთხედისათვის შეას-რულეთ დავალებები 1) დაწერეთ სამკუთხედის კუთხეები ზრდის რიგის მიხედვით2) შესაძლებელია თუ არა სინუსების თეორიის გამოყენებით უცნობი გვერდებისა დაკუთხეების პოვნა
gamokvleva 2 1) რვეულში ჩაიხაზეთ სამკუთხედები მოცემული ორი გვერდისა და მათშორის მდებარე კუთხის მიხედვით და გაზომეთ მესამე გვერდის სიგრძე1 a = 3 სმ b = 4 სმ C = 90ordm2 a = 3 სმ b = 4 სმ C = 60ordm3 a = 3 სმ b = 4 სმ C = 120ordm
CA
B
CA
B
CA
B
დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს გამოკლებული ამ გვერდებისა და მათშორის მდებარე კუთხის კოსინუსის გაორკეცებული ნამრავლი
A E J
K
L
36
30
88deg30
34
22D
F
57deg45deg
BC
damtkiceba კოსინუსების თეორემის დამტკიცები-სათვის ABC სამკუთხედი საკოორდინატო სისტემაში ისემოვათავსოთ რომ A წვერო კოორდინატთა სათავეშიაღმოჩნდეს ამ შემთხვევაში წვეროს წერტილებისკოორდინატებიაA(0 0) B(c 0) C(bmiddotcosA bmiddotsinA) ორ წერტილს
შორის მანძილის ფორმულის თანახმად შეგვიძლიაჩავწეროთ
a2 = (c b cosA)2 + (b sinA 0)2 == c2 2bcmiddotcosA + b2 cos2 A + b2 sin2 A == c2 2bcmiddotcosA + b2(cos2A + sin2A) = b2 + c2 2bcmiddotcosA
b
A(0 0) B(c 0)
C(b cos A b sinA)
a
c
115
კალკულატორზე sin-1 ღილაკისა და 07485 რიცხვის შეყვანით შეიძლება გამოთვლა რომA = sin-1(07485) 485deg უკვე ცნობილია ABC სამკუთხედის სამი გვერდი და ორიკუთხე მესამე კუთხე კი სამკუთხედის შიგა კუთხეების ჯამის ფორმულით შეგვიძლიავიპოვოთ
180deg (38deg + 485deg) = 935deg C 935deg
nimuSi 1
kosinusebis Teorema
ამოხსენით სამკუთხედი თუ ∆ABC-ში a = 12 სმ c = 16 სმ და B = 38deg
სამკუთხედის ამოხსნა მოცემული ორი გვერდისა და მათ შორის მდებარეკუთხის მიხედვით
როდესაც ცნობილია სამკუთხედის სამი გვერდი და ერთი კუთხე შეიძლება სინუსებისთეორემის გამოყენება ვიპოვოთ A კუთხე მონაცემების თანახმად რადგან a გვერდი cგვერდზე ნაკლებია მისი წინამდებარე კუთხეც ნაკლები უნდა იყოს ანუ A არ შეიძლებაიყოს ბლაგვი კუთხე
b2 = a2 + c2 2ac cos B kosinusebis Teorema
b2 = 144 + 256 2middot12middot16middotcos 38deg b2 asymp 400 ndash 384middot0788 asymp 974 b asymp radic974 asymp 987 (სმ)
Seitaneba a c da B-smniSvnelobebi
martivdeba
amoiReba kvadratuli fesvi
asinA
bsinB= 12
sinA987
sin38deg= 12sin38deg987= 07485sinA
a = 12 სმ b = 987 სმ c = 16 სმ A 485deg B = 38deg C 935deg
C
A
B12 სმ
16 სმb
ამრიგად დამტკიცდა რომ a2 = b2 + c2 2bcmiddotcos A სამკუთხედის დანარჩენი გვერდებისათვის ფორმულების მართებულობა სამკუთხედისდანარჩენი კუთხეების (B და C კუთხეების) კოორდინატთა სათავეში მოთავსებითდამტკიცება შეიძლებაSeniSvna დავუშვათ რომ C = 90deg რადგან cos 90deg= 0 ამიტომ მოცემულიc2 = a2 + b2 2abmiddotcos C ფორმულა c2 = a2 + b2 სახეს მიიღებს ეს კი პითაგორასთეორემას გამოსახავს ამიტომაც კოსინუსების თეორემას ზოგჯერ განზოგადოებულპითაგორას თეორემასაც უწოდებენ
38deg
nimuSi 2 ∆ABC-ში a = 5 სმ b = 8 სმ c = 12 სმ ამოხსენითსამკუთხედი
a2 = b2 + c2 2bc cos A
სამკუთხედის ამოხსნა სამი გვერდის მიხედვით
cos A = b2 + c2 a2
2bccos A = = 0953182 + 122 52
2812183192
A cos-1(09531) 18deg
მსგავსი წესით მოიძებნება სამკუთხედის B და C წვეროს კუთხეები
A
C
B
b = 8
c = 12
a = 5
116
kosinusebis Teorema
იპოვეთ სამკუთხედის კუთხეები მისი სამიგვერდის მიხედვით დაამრგვალეთ პასუ-ხები მეათედებამდე
saswavlo davalebebi
1 სამკუთხედის ორი გვერდისა დამათ შორის მდებარე კუთხის მი-ხედვით იპოვეთ უცნობი გვერდიდა კუთხეები
2
CA
B4 5
6C
5
860ordm
A
B
ამოხსენით სამკუთხედები მონაცემების მიხედვით პასუხები დაამრგვალეთ მეასე-დებამდე
ა) ბ) გ) დ)
3
ΔABC-ს ამოხსნისათვის გამოიყენეთ სინუსების კოსინუსებისა და პითაგორას თეო-რემები პასუხები დაამრგვალეთ მეასედებამდე
ა) A = 96deg B = 39deg b = 13 ბ) A = 34deg b = 17 c = 48გ) A = 48deg B = 51deg c = 36
დ C = 104deg b = 11 c = 32ე) a = 48 b = 51 c = 36 ვ) C = 90deg a = 4 b = 11
მონაცემების მიხედვით იპოვეთ მოთხოვნილები პასუხი დაამრგვალეთ მეასე-დებამდე
1) mocemuliaΔABC-შიa = 27 b = 22 C = 40O ipoveT c გვერდი
2) mocemulia ΔABC a = 18 c = 15 B = 110OipoveT b გვერდი
3) mocemuliaΔABC a = 9 b = 10 c = 11 ipoveT A
4) mocemulia Δ ABC a = 120 b = 90 c = 105ipoveT სამკუთხედის უდიდესიკუთხე
5) mocemulia Δ ABC a = 16 b = 21 c = 19ipoveT სამკუთხედისუმცირესი კუთხე
4
5
6
ა) იპოვეთ სამკუთხედის უდიდესი სიმაღლე თუ მისი გვერდებია 5 მ 6 მ და 7 მბ) იპოვეთ სამკუთხედის უმცირესი სიმაღლე თუ მისი გვერდებია 13 სმ 14 სმ და 15 სმგ) იპოვეთ სამკუთხედის მედიანები თუ მისი გვერდებია 10 სმ 12 სმ და 14 სმ
A
A A
18 სმ7 სმ
8 სმ
12 სმ
8 სმ C
C
CB
BB
120deg
32deg5
8
A
CB
20
1540deg
117
kosinusebis Teorema
nimuSi A პუნქტიდან მოძრაობის დამწყებმა მატარებელმა 60 კმ გაიარა და C პუნქტშიმოსვლის შემდეგ მოძრაობის მიმართულების 15ordm-იანი შეცვლის შემდეგ კიდევ 80 კმ გაიარარამდენი კილომეტრით არის დაშორებული მატარებელი A პუნქტიდან
amoxsna ამოცანის პირობის შესაბამისად დავხაზოთ სურათი
A
BC
c
15ordm
60 კმ
80 კმ
165ordmსურათიდან ჩანს რომ სამკუთხედის ორი გვერდიდა მათ შორის მდებარე კუთხე ცნობილიაკოსინუსების თეორემის გამოყენებით შეგვიძლიავიპოვოთ c წვერო
c2 = a2 + b2 2ab cos Cc2 = 802 + 602 28060 cos 165deg 19273 c 139 კმ
ა) იპოვეთ პარალელოგრამის დიაგონალები თუ მისი გვერდებია 6 სმ და 8 სმ მახვილიკუთხე კი 60ordm-იაბ) პარალელოგრამის გვერდებია a და b ხოლო დიაგონალებია d1 და d2 დაამტკიცეთრომ d12 + d22 = 2(a2 + b2)
7
მთის A და B წერტილებს შორის ნაწილში გვირაბისმშენებლობა იგეგმება სურათის მონაცემების მიხედვითგანსაზღვრეთ რამდენი მეტრი იქნება გვირაბის სიგრძე
AD მონაკვეთი ∆BCD სიბრტყის მართობულია მონაცემების მიხედვით იპოვეთცვლადი
gamoyenebiTi davalebebi
9
8
120 მ 824ordmA B
C
70 მ
B
A
C
გ)
D15 სმ
6 სმ
8 სმ
B
A
C
ბ)
D9 სმ
5 სმ
12 სმB
A
C
ა)
D9 სმ
x 5 სმ
12 სმ60ordm
გემმა 60 კმ აღმოსავლეთითმოძრაობის შემდეგ მიმარ-თულება სურათზე ნაჩვენე-ბივით ჩრდილოეთის მიმარ-თულებით შეიცვალა და კიდევ100 კმ გაიარა
10
აზიმუტი არის კუთხე რომელიც იქმნება ჩრდილოეთისა და საათის ისრის მოძრაობისმიმართულებით ნაჩვენებ გადაადგილების მიმართულებას შორის
სურათის მონაცემების მიხედვით განსაზღვრეთ აზიმუტის კუთხე
100 კმ
60 კმ
N
b = 139 კმ C
B
EWS
kosinusebis Teorema
118
A პუნქტიდან მოძრაობის დამწყები ორი გემიდანერთმა B მეორემ კი C პუნქტს მიაღწია ამ მოძ-რაობების ამსახველი სურათის გამოყენებით
ა) იპოვეთ კუთხე გემების მოძრაობის მიმართუ-ლებებს შორის
ბ) იპოვეთ მანძილი B და C პუნქტებს შორის
12
13
შენობის ეზოდან ერთდროულად მოძრაობის დამწყები ორიავტომობილის მოძრაობის მიმართულებები 70deg-იან კუთხესქმნიან მათ შორის ერთის საშუალო სიჩქარე 35კმსთ-ია მეორისაკი 45 კმსთ ავტომობილებმა 45 წუთის შემდეგ სამუშაო ადგილებსმიაღწიეს დაახლოებით რამდენი კილომეტრია მანძილი ამ ორსამუშაო ადგილს შორის
ლეილა დგას ხიდზე და მდინარეში მოძრავნავებს აკვირდება A გემი 230ordm B გემი კი120ordm აზიმუტით მოძრაობს ლეილა ვარა-უდობს რომ A ნავს 38ordm-ით B ნავს კი 35ordmდახრის კუთხით აკვირდება მოცემულიინფორმაციების თანახმად იპოვეთ მან-ძილი ნავებს შორის
11
A
N B
a =
27 კმ
49 კმ C
A40deg
80deg
70deg
E
50 მ120deg
230deg
N E
AAB
Q
q
50 მ38deg 35deg
110degb aq B
Q
astronomia წელიწადის გან-საზღვრულ დროებში დილაობითშესაძლებელია პლანეტა ვენერასცაზე დანახვა პლანეტა ვენერასადა მზეს შორის მანძილი დაახ-ლოებით 67 მილიონი მილი დე-დამიწასა და მზეს შორის მანძილი93 მილიონი მილია უჩვენეთ რომთუ მზე და ვენერა 34ordm-იან კუთხეს ქმნიან დედამიწასა და ვენარას შორის მანძილი 35 მილიონი მილი ან 119 მილიონი მილი იქნება
14
მზე
დედამიწა E დედამიწა Eვენერა V
GმზეG
sse = 67
e = 67
34deg 34degv = 93 v = 93
ვენერა V
ერთმანეთისაგან 105 მ მანძილზე მყოფი A და B წერ-ტილებიდან h სიმაღლის ობიექტის ზედა წვეროსთანკუთხე შესაბამისად 40ordm და 32ordm-ია რას უდრის ობიექტისსიმაღლე
15
BA
h40deg
105 მ
32deg
ganmazogadebeli davalebebi
119
სურათის მონაცემების მიხედვით იპოვეთ ცვლადით აღნიშნული კუთხე ან გვერდიპასუხები დაამრგვალეთ მეათედებამდე
ამოხსენით ამოცანები ორი მოთხილამურის M წერტილიდან დაწყებული მოძრაობისშესახებ ინფორმაციის ამსახველი სურათების მიხედვით
განსაზღვრეთ აღმართზე გაზრდილი ხის სიმაღლე თუაღმართი ჰორიზონტთან ადგენს 15deg-იან კუთხეს მზისსხივები ჰორიზონტის ხაზთან ქმნის 57deg-იან კუთხეს დახის ჩრდილის სიგრძე 7 მ-ია
ა) იპოვეთ მანძილი მოთხილამურეთაშორის
ბ) იპოვეთ თითოეული მოთხილამურისგავლილი მანძილი
1
2
3
ჩ
ა6 კმ
5 კმ60deg
48deg 12 კმ 44deg
MM
ა) შენობის მშენებლობაზე გამოყენებული ამწის უმაღლესიწერტილისა და შენობის უმაღლეს წერტილთან მიწაზემყოფი დამკვირვებლის გაზომვების თანახმად ამაღლებისკუთხეები შესაბამისად 43deg და 32deg-ია შენობის სიმაღლე 27 მ-ია რამდენი მეტრია მანძილი ამწის უმაღლეს წერ-ტილსა და დამკვირვებელს შორის
4
A A Aθ 27 სმ
18 სმ
30 სმ
20 სმ
29 სმ
31 სმ60deg
B BC
c
C47deg
C
θ
15deg
57deg
7 მ
27 მ43deg32deg
ა) ბ) გ)
ბ) ელდარს უნდა რომ განსაზღვროს პარკში დროშისსიმაღლე მან ჯერ Q შემდეგ კი P წერტილიდან გაზომაამაღლების კუთხე იცოდა რა რომ ამ ორ წერტილს შორისმანძილი 20 მ-ია გამოთვალა დროშის სიმაღლე თქვენცგამოთვალეთ დროშის სიმაღლე თუ ცნობილია რომQ = 28deg და P = 53deg 28deg 53degPQ
20 მ
ეჰმედმა და რეშადმა ერთი და იგივე წერტილიდან დაიწყეს სირბილი ისეთი მი-მართულებით რომ მათ შორის კუთხე 120deg-ია ეჰმედის სიჩქარე იყო 8 კმსთ ხოლორეშადის სიჩქარე კი 7 კმსთ რა მანძილი იქნება მათ შორის 30 წუთის შემდეგ ამოხსენითამოცანა შესაბამისი სურათის დახატვით
5
120
იბრაჰიმი P წერტილიდან R წერტილში ჯერ Qწერტილში იქიდან კი R წერტილში წასასვლელიგახდა სურათის მონაცემების მიხედვით იპოვეთმანძილი P და R წერტილებს შორის
6
7
სურათზე მოცემული სამკუთხედების გამოყენებით დაამტკიცეთ კოსიმუსებისთეორემა
2) გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა დაcos (180 A) = cosA იგივეობა
damtkicebis gegma 1) სამკუთხედისსიმაღლის ორი მართკუთხა სამკუთხედის(∆ADB და ∆BDC) მიხედვით დაწერეთსხვადასხვა გამოსახულებები და მათიტოლობები
8
პარალელოგრამის გვერდები 10 სმ და 12 სმ-ია ცნობილია რომ მცირე დიაგონალი 15 სმ-ია იპოვეთ პარალელოგრამის მახვილი კუთხის გრადუსული ზომა
9
მოცემულია ∆ABC AB=15 BC=21 AC=24BM-მედიანაა BL-ბისექტრისააიპოვეთ 1) A 2) AM და BM 3) AL და BL
10
პოლიციის ვერტმფრენი 400 მ სიმაღლეზე მიფრინავს პოლიციის მოხელე ჩრდილოეთითგახედვისას 60ordm დახრის კუთხით მოვლენის მომხდარ ავტომობილს ხოლო სამხრეთითგახედვისას 45ordm-იანი დახრის კუთხით შემთხვევის ადგილისაკენ მიმავალ სასწრაფოდახმარების მანქანას ხედავსა) შემთხვევის ადგილიდან რამდენ კილომეტრ მანძილზე იმყოფება სასწრაფოდახმარების მანქანაბ) რამდენი წუთის შემდეგ იქნება სასწრაფო დახმარების მანქანა შემთხვევის ადგილასთუ მისი სიჩქარე 100 კმსთ-ია
მახვილკუთხა სამკუთხედის ამოხსნის შესახებ რეალური ცხოვრებისეული სიტუაციისამსახველი ერთი ამოცანაც თქვენ შეადგინეთ ამოცანა წარმოადგინეთ საერთო საკლასოგანხილვისათვის
11
12
175 მ 36 მ112degQ
P R
C
B
D A
ch
bx
aB
CA D
a a
x xbb
h
ganmazogadebeli davalebebi
A L
B
15 21
M C24
სურათის მონაცემების მიხედვითგანსაზღვრეთ მანძილი ხანძრისადგილიდან თითოეულ სადგუ-რამდე
N
80deg 70deg
65deg30 კმ
EW
trigonometriuli funqciebi5perioduli funqciebiy = sin x da y = cos x funqciebis grafikebiy = sin x da y = cos x funqciebis grafikebis gardaqmnebisinusoidis ageba xuTi ZiriTadi wertilismixedviTtrigonometriuli funqciebi da periodulimovlenebiy = tg x da y = ctg x funqciebis grafikebiSeqceuli trigonometriuli funqciebi
1 დანა არაუმეტეს 05 სმ-ის სიმაღლეზე იწევს2 დანა 3 წამით ჩერდება 0-3 4-7 წამებში და აშ3 მე-3 წამიდან 35 წამამდე დანა დაბლა იხრება ლენტი იჭრება
35 ndash 4 წამით დანა ზევით იწევს4 ერთ სრულ პერიოდს 4 წამი ეთმობა
საზომი ლენტის მომჭრელი მოწყობილობის მუშაობა პერიოდულად მეორდება ერთიპერიოდი 4 წამი გრძელდება მოწყობილობის დანის ზედაპირიდან სიმაღლეზე ყოფნისდროის დამოკიდებულების მაჩვენებელი გრაფიკიც როგორც პერიოდის შესაბამისიგრაფიკის გამეორება არის ნაჩვენები მორიგ ჯერზე დანა ლენტს გაჭრის 115 წამზეამ სახის თვისების მატარებელ ფუნქციებს პერიოდული ფუნქციები ეწოდება პერიოდულიფუნქციების მნიშვნელობები განსაზღვრულ ინტერვალებში მეორდებადავუშვათ რომ არსებობს ისეთი T 0 რიცხვი რომ ფუნქციის არიდან აღებული ნებისმიერიx-ისათვის x T-ც შედის განსაზღვრის არეში და f(x ndash T) = f(x) = f(x + T) პირობასაკმაყოფილებს მაშინ f(x) ფუნქციას T პერიოდიანი პერიოდული ფუნქცია ეწოდება თუ Tპერიოდია მაშინ n middotT-ც (n Z) პერიოდია მართლაც მაგალითად f(x 2T) = f((x T) T) = f((x T) = f(x) ფუნქციის უმცირეს დადებით პერიოდს მისი ძირითადი პერიოდი ეწოდება
გრაფიკების მიხედვით უჩვენეთ ფუნქცია არის თუ არა პერიოდული
ბუნებაში ბევრი მოვლენა - მზის ამოსვლა და ჩასვლა კომეტის დანახვა სეზონისშესაბამისად ტემპერატურის ცვლილება ოკეანის ტალღების მიმოქცევა და სხვბუნებრივი მოვლენები პერიოდულად მეორდება ამასთან საწარმოო სფეროებშიმოწყობილობების მუშაობის ავტომობილების ნაწილების მოძრაობის პერიოდულიფუნქციებით მოდელირება შეიძლებაქვემოთ მოცემულ მაგალითებზე გამოიკვლიეთ პერიოდული ცვლილებებიlentis mWreli mowyobilobis muSaoba გაზომვისათვის მეტრის მოწყობილობისმწარმოებელ კომპანიაში მჭრელი ინსტრუმენტი 3 მ სიგრძის წვრილ ლენტს ჭრის დალენტების დამრგვალებით მეტრის საზომი ინსტრუმენტი გასაყიდად მზადდებამოწყობილობის მუშაობის მაჩვენებელი გრაფიკი და განმარტებითი ჩანაწერი კედელზეუნდა ჩამოიკიდოს
122
perioduli funqciebi
თქვენი აზრით მორიგ ჯერზე მერამდენე წამზე გაიჭრება ლენტი
1
perioduli funqciebi
დანის მუშაობის გრაფიკიმუშაობა ერთ პერიოდში
სიმა
ღლ
ე (ს
მ)
სიმა
ღლ
ე (ს
მ)
დრო (წმ) დრო (წმ)
405 05
10 10
2
0ndash2 ndash4
2 4 6 8 x
x
x
y y y
2 4 46 8 10
20 40 60
12
0
ndash20
trigonometriuli funqciebis perioduloba
123
karuselis moZraoba 50 მ დიამეტრიანი მოძრავი კარუსელი ერთ სრულ პერიოდს4 წუთში ასრულებს ცხრილის მიხედვით h = 0 სიმაღლეზე კაბინაში მყოფი პიროვნებადედამიწიდან რა სიმაღლეზე იქნება პირველ მე-5 მე-9 წუთზეკარუსელზე მყოფი პიროვნების დედამიწიდან სიმაღლის დროზე დამოკიდებულებისცხრილი და საკოორდინატო სიბრტყეზე გაბნევა დიაგრამითაა ნაჩვენები ცხრილი დადიაგრამა ჩაიხაზეთ რვეულში შესაბამისი წერტილები ფერადი ფანქრებით კარუსელისთითოეული მთელი ბრუნის ცალკე ჩვენების პირობით შეაერთეთ
t = 0 4h = 0
t = 1h = 25
t = 2h = 50
t = 3h = 25
t = 05
t = 15t = 25
t = 35
დონედედამიწიდან
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8h 0 25 50 25 0 25 50 25 0
h (მ)
t (წთ)
50
40
30
20
10
4 8 1612
გაბნევის დიაგრამა
0
თუ დავაკვირდებით მობრუნების კუთხეებს რომელთა დამამთავრებელი გვერდებიემთხვევა ერთმანეთს დავინახავთ რომ მათი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ემთხვევაერთმანეთს მაგალითად x-ის ყველა მნიშვნელობისათვის sin(x + 2) = sin x მაშასადამეტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობები მეორდება სინუსისა და კოსინუსისფუნქციების მნიშვნელობა 2 ტანგესის ფუნქციის მნიშვნელობები კი პერიოდითმეორდება x რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია x რადიანი კუთხისერთსახელა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას ეწოდება კუთხის ტრიგონომეტრიულიფუნქციების ყველა თვისება (ლუწ-კენტობა პერიოდულობა და სხვ) რიცხვითიარგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციისათვისაც იგივეა ამ ფუნქციების გრაფიკებისაგებისათვის სიგრძით პერიოდის ტოლი მონაკვეთის აგება და ამ ნაწილის გამეორებასაკმარისია
2
ავზიდან წყალი განსაზღვრული დროის განმავლობაში ჩამოდის შემდეგთავდაპირველ დონემდე ივსება და ისევგანსაზღვრული დროის განმავლობაშიჩამოდის და აშ1) რა დრო სჭირდება ავზის ერთხელ ავსებასადა დაცლას2) იპოვეთ ამ ფუნქციის მნიშვნელობათა არე3) რას უდრის წყლის სიღრმე ავზში მე-60წუთზე4) მომდევნო ჯერზე როდის იქნება წყლისსიღრმე ავზში 1 მეტრი
3
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
20406080
100
t ( წუთობით)
h(ს
მ-ობ
ით)
წყლის დონე ავზში
perioduli funqciebi
124
პერიოდული ფუნქცია წრეწირზე მოძრაობისას θ კუთხემდე მობრუნებისას წერტილის xღერძიდან სიმაღლეს (ჰორიზონტალურ მანძილს) უჩვენებს ერთეულოვან წრეწირზეთითოეული წერტილის კოორდინატები x2 + y2 = 1 განტოლების დამაკმაყოფილებელი(x y) = (cos sin )-ია სადაც θ კუთხე ერთეულოვანი რადიუსის x ღერძის დადებითმიმართულებასთან შექმნილი კუთხეა მაშასადამე (x y) წერტილი წრეწირის გარშემოიცვლება და მის y კოორდინატს sin θ განსაზღვრავსწერტილის წრეწირის რკალის გასწვრივ ცვლილებასადა f() = sin ფუნქციის მნიშვნელობებს შორისერთმნიშვნელოვანი დამოკიდებულება არსებობსერთეულოვანი წრეწირის I მეოთხედში მდებარერკალი დავყოთ სამ ტოლ რკალად და თუ დაყოფის
წერტილებიდან (0 ) აბცისთა ღერძის
პარალელურ წრფეებს გავავლებთ ამ წრფეების
შესაბამისად x = 0 x = x = x =წრფეებთან გადაკვეთის წერტილებს ავღნიშ-ნავთ შესაბამის წერტილებს შევაერთებთ მი-ვიღებთ სურათზე მოცემულ გრაფიკსცნობილია რომ ერთეულოვან წრეწირზე სრული მობრუნება 360deg ან 2 რადიანია f() = sin ფუნქციის გრაფიკი [0 2 შუალედში ავაგოთ ანალოგიური წესით
y = sin x da y = cos x funqciebis grafikebiy = sin x funqciis grafiki
ვინაიდან სინუსი პერიოდული ფუნქციაა 2 სიგრძის შუალედში f() = sin ფუნქციისგრაფიკი მეორდება არგუმენტისათვის x-ის ფუნქციისათვის y აღნიშვნის გამოყენებითფუნქცია ჩავწეროთ y = sin x სახით y = sin x ფუნქციის გრაფიკი [ndash2 2 ინტერვალშიქვემოთ მოცემული სახისა იქნება
x
y
10
x = r =
(x y) = (cos sin )x2 + y2 = 1
1
0x2 + y2 = 1
1
6
f()
1
1 0 3
2
6
3
2
x 0
f() = sin
x2 + y2 = 1
1
ndash1
2
74
32
f()
1
6
3
2
23
56
3
6
2
3
6
2
y
xndash1
0ndash2 ndash 2
1
2
32
32ndash ndash
2
y = sin x
y = sinx ფუნქციის გრაფიკს (რომლის ამპლიტუდა არის 1 პერიოდი კი 2) სინუსოიდაეწოდება
54
periodi
amplituda
მნიშვნელობათა ცხრილი ამასთან გრაფიკი უჩვენებს რომ y = sin x ფუნქციის გრაფიკიკოორდინატთა სათავეზე (0 0) წერტილზე გადის x-ის მნიშვნელობის 0-დან -დანგაზრდისას y-ის მნიშვნელობა 0-დან 1-მდე იზრდება x-ის მნიშვნელობის -დან -მდეზრდისას y-ის მნიშვნელობა 1-დან 0-მდე მცირდება x-ის მნიშვნელობის -დან -მდეზრდისას y-ის მნიშვნელობა 0-დან ndash1-მდე მცირდება x-ის მნიშვნელობა -დან 2-მდეზრდისას y-ის მნიშვნელობა ndash1 -დან 0-მდე იზრდებაy = sin x ფუნქციის მნიშვნელობათა ცხრილისა და გრაფიკის საფუძველზე ჩამოვაყალიბოთმისი თვისებები1 განსაზღვრის არე არის ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე2 მნიშვნელობათა არეა [ndash1 1] მონაკვეთი3 sin x ფუნქცია კენტი ფუნქციაა sin (ndashx) = ndashsin x ანუ სინუსოიდა სიმეტრიულიაკოორდინატთა სათავის მიმართ4 2 პერიოდიანი პერიოდული ფუნქციაა sin(x + 2) = sin x5 სინუსოიდა აბცისთა ღერძს ndash2 ndash 0 2 3 და აშ წერტილებში გადაკვეთსანუ როცა x = n მაშინ y = sin x ფუნქცია 0-ად იქცევა
2
2
32
32
125
y
xndash10
ndash2
ndash 2
1
2
ndash 2
x 0 2
y = sin x 0 1 0 ndash ndash1 ndash 0
(x y) (0 0) ( ) ( 1) ( ) ( 0) ( ndash ) ( ndash1) ( ndash ) (2 0)6
12
56
116
2
32
76
12
12
12
11612
612
2
5612
12
76
32
y
x
ndash1
(0 0) 2
1
2
( 0) (2 0)
( 1)( )
( ndash )
6
12
2 5
6( )12
( ndash )76
12
( ndash1)32
32 11
612
y = sin x ფუნქციის გრაფიკის აგება მნიშვნელობათა ცხრილის დახმარებითაც შეიძლებავინაიდან სინუსი პერიოდული ფუნქციაა გრაფიკის 2 სიგრძის [0 2] მონაკვეთზე აგებასაკმარისია ცხრილში მოცემული წერტილები განვათავსოთ საკოორდინატო სიბრტყეზეგლუვი მრუდით შევაერთოთ მიღებული გრაფიკი y = sin x ფუნქციის გრაფიკია დასინუსოიდა ეწოდება
სინუსოიდა კოორდინატთა სათავეზე გადის
6 ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა 1-ია და ამ მნიშვნელობას x-ის ndash ანუ x = + 2n (n Z) მნიშველობებში იღებს
7 ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა ndash1-ია და ამ მნიშვნელობას x-ის ndash ანუ x = ndash + 2n (n Z) მნიშვნელობებში იღებს
32
32
52
72
112
92
2
2
2
2
y = sin x da y = cos x funqciebis grafikebi
126
y = cos x funqciis grafiki
y = cos x ფუნქციის გრაფიკი [0 2] მონაკვეთზე y = sin x ფუნქციის ანალოგიური წესით
ერთეულოვანი წრეწირის გამოყენებით გეომეტრიული ხერხით ასევე მნიშვნელობათა
ცხრილის მიხედვით აგება შეიძლება რადგან cos x = sin(x + ) ამიტომ y = sin xფუნქციის გრაფიკის -ით მარცხნივ მოცურებით y = cos x ფუნქციის გრაფიკი მიიღება
y
xndash1
0ndash 2
1
2
52
32
ndash 2
(2 1)
(ndash ndash1) ( ndash1)
2
2
y = cos x ფუნქციის გრაფიკის საფუძველზე ჩამოვაყალიბოთ მისი თვისებები1 განსაზღვრის არე არის ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე x R2 მნიშვნელობათა არეა [ndash1 1] მონაკვეთი 3 y = cos x ლუწი ფუნქციაა (გრაფიკი სიმეტრიულია y ღერძის მიმართ)4 პერიოდული ფუნქციაა რომლის ძირითადი პერიოდია 2 cos(x + 2) = cos x5 გრაფიკი აბსცისთა ღერძის და ა შ წერტილებზე გადის
ანუ როცა x = + n (n Z) მაშინ y = cos x ფუნქცია ნულად იქცევაგრაფიკი ორდინატთა ღერძს (0 1) წერტილში კვეთს
6 ფუნქციის მაქსიმუმის მნიშვნელობა 1-ია და ამ მნიშვნელობას x-ის ndash2 0 2 4 6 ანუ x = 2n (n Z) მნიშვნელობებში იღებს
7 ფუნქციის მინიმუმის მნიშვნელობა ndash1-ია და ამ მნიშვნელობას x-ის ndash 3 5 ანუ x = + 2n (n Z) მნიშვნელობებში იღებს
32
2
2
52
2
ndash
ხუთი ძირითადი წერტილი y = sin x ფუნქციისათვის [0 2 შუალედში შემდეგი მიმდევ-რობით იცვლება
y = sin x და y = cos x გრაფიკების აგება ხელსაყრელია ხუთი ძირითადი წერტილის(აბსცისთა ღერძთან გადაკვეთის წერტილები და ექსტრემუმის წერტილები) მიხედვით
ხუთი ძირითადი წერტილი y = cos x ფუნქციისათვის [0 2 შუალედში შემდეგი მიმდევრობითიცვლება
nuli maqsimumis wertili nuli minimumis wertili nuli
maqsimumis wertili nuli minimumis wertili nuli maqsimumis wertili
მაქსიმუმი მინიმუმიგადაკვეთა გადაკვეთაგადაკვეთა
პერიოდისერთი
მეოთხედი
სამი მეოთხედიპერიოდი
ნახევარიპერიოდი სრული
პერიოდიპერიოდი 2
(0 0)
( 1)
( ndash1)( 0)
(2 0) ( ndash1)
(2 1)
x
y
y = sin x2
32
x
yგადაკვეთა გადაკვეთა
სრულიპერიოდი
სამიმეოთხედიპერიოდი
მინიმუმიმაქსიმუმი
მაქსიმუმი
y = cos x
ნახევარიპერიოდი
პერიოდისერთი
მეოთხედი
პერიოდი 2
(0 1)
( 0)2 ( 0)3
2
y = sin x da y = cos x funqciebis grafikebi
y = sin xy = cos x
127
4
5
6
7
2 მ დიამეტრიანი დისკის მოძრაობის რეგულირებისათვისდისკზე გაკეთდა აღნიშვნა და დროის განსაზღვრულ მო-მენტებში მოწმდება ამ ნიშნის სიმაღლე წყლის ზედაპირიდანდახაზეთ ამ შემოწმების სურათები და თქვენც აწარმოეთმათემატიკური გამოთვლები ამისათვის ერთეულოვანი წრე-წირი 15deg-იანი ნაბიჯით დაყავით მობრუნების კუთხეებად დაგანსაზღვრეთ თითოეული ნაბიჯის შესაბამისი წრეწირზე მყოფიწერტილის მანძილი x ღერძიდან ეს სამუშაო შეასრულეთ ორიპერიოდისათვის (720deg) არსებობს თუ არა აუცილებლობა იმისარომ კიდევ ერთი პერიოდისათვის ამ გზით განისაზღვროსშესაბამისი მნიშვნელობები თუ აუცილებლობა არ არსებობს მაშინეს მნიშვნელობები ერთბაშად ჩაწერეთ თუ არსებობს მაშინგამოთვალეთ
მოცემულ ინტერვალებში ააგეთ ფუნქციის გრაფიკები
დაწერეთ არგუმენტის სამი მნიშვნელობა y = sin x ფუნქციის მაქსიმუმის წერტილებისშესაბამისად
ერთი და იმავე კოორდინატთა სიბრტყეზე ააგეთ y = cos x და y = sin x ფუნქციებისგრაფიკები დაწერეთ მსგავსი და განსხვავებული ნიშნები
ა) წყლის ზედაპირიდან რამდენ მეტრ სიმაღლეზე იქნება ეს ნიშანი დისკის 15deg 375deg735deg-ით მობრუნების დროს
ბ) ერთეულოვან წრეწირზე არსებული მნიშვნელობების საკოორდინატო სიბრტყეზეაღნიშვნით ააგეთ გრაფიკი რომელი ფუნქციის გრაფიკს ჰგავს ეს გრაფიკი
y = sinx 2 le x le 4
y = sinx ndash 2 le x le 0 y = cosx ndash 2 le x le 0
y = cosx 2 le x le 4
15deg
1 მO x
y
3
saswavlo davalebebi
1
2
ა) ააგეთ y = sin x ფუნქციის გრაფიკი [0 2] მონაკვეთზე ხუთი ძირითადი წერტილისმიხედვით
ა) ააგეთ y = cos x ფუნქციის გრაფიკი [0 2] მონაკვეთზე ხუთი ძირითადი წერტილისმიხედვით
ბ) [0 2] მონაკვეთზე sin x = ტოლობის დამაკმაყოფილებელი რამდენი x რიცხვიარსებობს
ბ) [0 2] მონაკვეთზე cos x = 06 ტოლობის დამაკმაყოფილებელი რამდენი x რიცხვიარსებობს
13
y = sin x და y = cos x ფუნქციების გრაფიკებზე ერთი წერტილის კოორდინატები იქნააღნიშნული დაწერეთ კიდევ 4 წერტილის კოორდინატები რომელთა ორდინატიმოცემული წერტილის ორდინატის ტოლია
y
x
1
2ndash1
0 2ndash
32
32
ndash
2
ndash2 ( )3
4radic22
y
x
1
2ndash1
232
ndash
ა) ბ)
ndash 32
0
ndash 2
( )radic32
6
y = sin x da y = cos x funqciebis grafikebi
nimuSi 2 y = sin 2x ფუნქცია y = sin x ფუნქციას 2-ჯერ ldquoწინ უსწრებსrdquo y = sin xფუნქცია 0-დან 1-მდე მნიშვნელობებს [0 ] ინტერვალში y = sin 2x ფუნქცია კი ამ
მნიშვნელობებს [0 ] ინტერვალში იღებს თუ y = sin x ფუნქციის გრაფიკზე წერტილის
ორდინატის შეუცვლელად აბსცისას -ზე გავამრავლებთ y = sin 2x ფუნქციის გრა-
ფიკზე არსებული წერტილი მიიღება
y = sin 2x ფუნქციის გრაფიკი y = sin x ფუნქციის გრაფიკთან შედარებით 2-ჯერ იკუმ-
შება სრულ ბრუნს [0 ] მონაკვეთზე ასრულებს
y = sin x ფუნქციის გრაფიკი კი y = sin x ფუნქციის გრაფიკის ორდინატთა ღერძიდან
2-ჯერ მოჭერით მიიღება სრულ პერიოდს [0 4] მონაკვეთზე ასრულებს
128
SekumSva da moWera
05 sin x
2 sin x
sin x
2 3ndash ndash2 2
2
1
O
ndash2
ndash1
12
y = sin x
y = sin 2x
y = sin x2
nimuSi 1 თუ y = sinx ფუნქციის გრაფიკზე წერტილის აბსცისას არსებულივითშევინარჩუნებთ ორდინატს 2-ზე გავამრავლებთ y = 2 sin x ფუნქციის გრაფიკზეარსებული წერტილი მიიღება ეს იმას ნიშნავს რომ y = 2 sin x ფუნქციის გრაფიკი y = sinxფუნქციის გრაფიკის აბსცისთა ღერძიდან 2-ჯერ მოჭერით შეიძლება აიგოს y = 05 sin xფუნქციის გრაფიკი კი y = sin x ფუნქციის გრაფიკის აბსცისთა ღერძისკენ 2-ჯერ შეკუმშვითმიიღება
y = sin x da y = cos x funqciebis grafikebis gardaqmnebi
y
x
y = a sin x და y = a cos x ფუნქციების გრაფიკები შესაბამისად y = sin x და y = cos xფუნქციების გრაფიკების როცა |a| gt 1 აბსცისთა ღერძიდან მოჭერით ხოლო როცა |a| lt 1მაშინ კი აბსცისთა ღერძისაკენ შეკუმშვით მიიღებაროცა a lt 0 ფუნქციის გრაფიკი x ღერძის მიმართ სიმეტრიულად გარდაიქმნება
2
4
12
2 42
1
Ondash1
y
x
y = sin bx და y = cos bx ფუნქციების გრაფიკები შესაბამისად y = sin x და y = cos xფუნქციების გრაფიკების როცა b gt 1 ორდინატთა ღერძისაკენ შეკუმშვით როცა 0 lt b lt 1კი ორდინატთა ღერძიდან მოჭერით მიიღებაb lt 0 შემთხვევა კი სინუსის ფუნქციის კენტებისა და კოსინუსის ფუნქციის ლუწობისგათვალისწინებით ზემოთ მოცემულ შემთხვევაზე დაიყვანება
129
by = a sin bx (y = a cos bx) funqciis grafiki y = sin x (y = cos x) funqciisgrafikis sakoordinato RerZebis gaswvriv mimdevrobiTi moWeriTada SekumSviT miRebuli sinusoida iqneba a-ის მნიშვნელობის ზრდისკვალობაზე ამპლიტუდა იზრდება შემცირების კვალობაზე ამპლიტუდა მცირდება b-ისმნიშვნელობის ზრდის კვალობაზე ფუნქციის პერიოდი მცირდება შემცირებისას კიპერიოდი იზრდებაgnimuSi 3 ავაგოთ y = 2 cos x ფუნქციის გრაფიკი1 y = cos x ფუნქციის გრაფიკის ორდინატთა ღერძიდან 2-ჯერ მოჭერითy = cos x ფუნქციის გრაფიკი აიგება2 მოხდება მიღებული გრაფიკის აბსცისთა ღერძიდან ორჯერ მოჭერა
12
12
2 432
1
2
Ondash1ndash2
y
x
y = cos x
y = cos x2
y = 2 cos x2
saswavlo davalebebi
1
სიტყვიერად დაწერეთ თითოეული ფუნქციის y = sin x ფუნქციის გრაფიკის მიმართგარდაქმნა
a) y = 5 sin x b) y = sin x c) y = sin 3x d) y = ndash3 sin 4x
2
ააგეთ y = sin x ფუნქციის გრაფიკი [0 2] მონაკვეთზე ხუთი ძირითადი წერტილისმიხედვით კოორდინატთა ღერძებიდან მოჭერით (შეკუმშვით) ამ ხუთი წერტილისგარდაქმნილი წერტილების მიხედვით გამოსახეთ შესაბამისი ფუნქციების გრაფიკები
25
სიტყვიერად დაწერეთ თითოეული ფუნქციის y = cos x ფუნქციის გრაფიკის მიმართგარდაქმნა
ა) y = 4 cos x ბ) y = cos x გ) y = cos 4x დ) y = ndash4 cos 3x13
3
ა) y = 3 sin x ბ) y = sin x12 გ) y = sin 2x დ) y = 4 sin 2x
ააგეთ y = cos x ფუნქციის გრაფიკი [0 2] მონაკვეთზე ხუთი ძირითადი წერტილისმიხედვით კოორდინატთა ღერძებიდან მოჭერით (შეკუმშვით) ამ ხუთი წერტილისგარდაქმნილი წერტილების მიხედვით გამოსახეთ შესაბამისი ფუნქციების გრაფიკები
4
ა) y = 2 cos x ბ) y = cos x12 გ) y = cos 2x დ) y = 4 cos 2x
რომელი ფუნქციის გრაფიკი მიიღება y = sin x ფუნქციის გრაფიკის
ა) აბცისთა ღერძიდან 4-ჯერ მოჭერისას ბ) აბსცისთა ღერძისაკენ 3-ჯერ შეკუმშვისას
გ) ორდინატთა ღერძიდან 2-ჯერ მოჭერისას
5
y = sin x da y = cos x funqciebis grafikebis gardaqmnebi
130
a amplitudas უჩვენებს ამპლიტუდა მაქსიმუმისა და მინიმუმის მნიშვნელობებისსხვაობის ნახევრის ტოლია
nimuSi y = ndash3sin 4x ფუნქციის ამპლიტუდა |ndash3| ანუ 3 ძირითადი პერიოდი = -ია
y = asin bx da y = acos bx funqciebis periodi da amplituda
24
2
2bf(x) = a sin bx = a sin(bx + 2) = a sin b(x + ) = f(x + )
2b
2|b|
gamokvleva საწყის მომენტში A(a 0) წერტილში მყოფიმატერიალური წერტილი a რადიუსიან წრეწირზე კუთხურისიჩქარით მოძრაობს 1) გამოსახეთ ამ წერტილის კოორდინატები t დროზე დამო-კიდებულებით2) იპოვეთ წერტილის ორდინატისა და აბსცისის უდიდესი დაუმცირესი მნიშვნელობები
y
xA(a 0)
N(x y)
= middott
2
3) დაასაბუთეთ რომ დროის ერთმანეთისაგან განსხვავებულ მომენტებში წერტილი
ერთი და იგივე მდგომარეობაში იმყოფება
თეორემა თუ y = f(x) ფუნქცია არის პერიოდული ფუნქცია რომლის ძირითადი
პერიოდია T მაშინ y = amiddotf(bx) ფუნქცია არის პერიოდული ფუნქცია რომლის ძირითადი
პერიოდია (სადაც a და b ნულისაგან განსხვავებული ნამდვილი რიცხვებია)აქედან მიიღება რომ y = a sin bx (და y = a cosbx) ფუნქციების
ZiriTadi periodi იქნება მართლაც
T|b|
2bg(x) = a cos bx = a cos(bx + 2) = a cos b(x + ) = g(x + )2
b
იპოვეთ მოცემული ფუნქციების ამპლიტუდა და პერიოდი 6
d) y = cos x e) y = sin 2x f) y = 3 cos xg) y = 5 cos x h) y = 2 sin x i) y = sin 4x
12 1
2
14
13
12
ა) ბ) გ)y
x
1
y
x1 2
05y
x
2
ndash2
1) დაწერეთ y = a sin bx (სადაც a gt 0 b gt 0) ფუნქციის ფორმულა მოცემული ამპლი-ტუდისა და პერიოდის მიხედვით
7
ამპლიტუდა ამპლიტუდა 4 ამპლიტუდა 2 პერიოდი 3π პერიოდი π პერიოდი 2π
12
ა) ბ) გ)
y = sin x da y = cos x funqciebis grafikebis gardaqmnebi
131
fizika სურათზე ასახულია ჩამოკიდებული სხეულის მოძრაობა ჩამოკიდებულისხეული უძრავ მდგომარეობაში ყოფნისას სისტემურ წონასწორობაშია სხეულის უძრაობისმდგომარეობა მოძრაობის საწყისად მიიღება a მოძ-რაობის სათავიდან გადაადგილებას უჩვენებს დროისერთეულში ბრუნთა რაოდენობას სიხშირე () ხოლოსხეულის ერთ სრულ ბრუნზე დახარჯულ დროსპერიოდი (T) ეწოდება სიხშირე და პერიოდი ურთი-ერთშებრუნებული სიდიდეებია = ჩამოკიდე-
gamoyenebiTi davalebebi y = sin xda y = cos xfunqciebiT modelireba
1T
t
yandasha
11
ბული სხეულის რხევითი მოძრაობის y = a cos kt ფუნქციით მოდელირება შეიძლებასადაც y წონასწორობის მდგომარეობიდან ვერტიკალურ გადაადგილებას (სმ-ობით) aსათავის გადაადგილებას k მუდმივი გაშლის ელასტიურობის კოეფიციენტს t კი დროს(წამობით) გვიჩვენებს იპოვეთ რხევითი მოძრაობის ამპლიტუდა პერიოდი და სიხშირეთუ a = 05 სმ და k = 5
2) დაწერეთ y = a cos bx (სადაც a gt 0 b gt 0) ფუნქციის ფორმულა მოცემული ამპლი-ტუდისა და პერიოდის მიხედვით
ამპლიტუდა ამპლიტუდა 2 ამპლიტუდა 5
პერიოდი 5π პერიოდი π პერიოდი
13
ა) ბ) გ)2
10 განსაზღვრეთ f(x) და g(x) ფუნქციების ძირითადი პერიოდები იპოვეთ მათი საშუალოპერიოდი
miTiTeba თუ მოცემული ფუნქციების პერიოდები იქნება T1 და T2 საშუალო პერიოდიკი T იპოვეთ T = nT1 = nT2 ტოლობის დამაკმაყოფილებელი უმცირესი ნატურალური mდა n რიცხვები
ა) f(x) = 2 sin
g(x) = 3 cos x
2x312
ბ) f(x) = sin 2x
g(x) = 4 cos 3x
12 გ) f(x) = 3 sin x
g(x) = cos x
13
23
25
დაწერეთ მოცემული გრაფიკის შესაბამისი ფუნქციის ფორმულა y = a cos bx სახით9
დაწერეთ მოცემული გრაფიკის შესაბამისი ფუნქციის ფორმულა y = a sin bx სახით8
ა) ბ)
y = sin x da y = cos x funqciebis grafikebis gardaqmnebi
ა) ბ)
გ)
გ)
8
12 2 08
1 2ndash1
ndash08ndash2
ndash22 4ndash4
ndash9
04
ndash2
2
ndash04
9
ndash4
8
8
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
4
4
ndash12
ndash 4
ndash8
4
2
4
132
karuselis moZraoba კარუსელის რომელ კაბინაშიც არ უნდა იჯდეთ თქვენიმიწიდან დაშორების მანძილი დროზე დამოკიდებულებით პერიოდულად შეიცვლებადავუშვათ მოძრაობას იწყებთ კარუსელის ღერძის დონაზე კარუსელის დიამეტრი 20 მ-ია და 3 წუთში 4 ბრუნს ასრულებს
ა) აბსცისთა ღერძზე დროის ორდინატთა ღერძზე საწყისი წერტილიდან მანძილისაღნიშვნით დახაზეთ კარუსელის მოძრაობის გრაფიკი
ბ) იპოვეთ კარუსელის მოძრაობის შესაბამისი ფუნქციის ძირითადი პერიოდი დადაწერეთ ფორმულა
10
1045 180
t13590
h
ქანქარას მოძრაობის d = 4 cos 8t ფორმულით მოდელირებაშეიძლება სადაც d არის ქანქარის საწყისი მდგომარეობიდანმოძრაობის მანძილი (სმ-ობით) t - დრო (წამობით) მაქსიმუმ რამანძილით დაშორდება ქანქარა საწყის მდგომარეობას იპოვეთქანქარას რხევის პერიოდი და სიხშირე
13
amoxsna სიხშირე ანუ ერთ წუთში პერიოდების რაოდენობა -ია რადგან პერიოდიარის სიხშირის შებრუნებული ამიტომ პერიოდი წუთის -ის ანუ 45 წამის ან 075 წუ-თის ტოლია
34
43
კარუსელის კაბინა საწყისი მდგომარეობიდან 20 2 = 10 ზევით (10) და ქვევით (ndash10)იქნება თუ გავითვალისწინებთ რომ ერთი პერიოდი 45 წამია დავინახავთ რომ ამმოძრაობის გრაფიკი სინუსოიდაა
დავწეროთ ფუნქციის ფორმულაy = a sin bx სახით
ფუნქციის ფორმულა h = 10 sin t სახის იქნება
T = 2b = 45 b = ამპლიტუდა 10 2
b245
245
dადამიანის ყოველი გულისცემის დროსსისხლის წნევა ყველაზე მაღალ და ყველაზედაბალ მნიშვნელობებს შორის იცვლებანორმალური სისხლის წნევის ზედა დონედმედიცინაში სისტოლად წოდებული და 120მმ ვერცხლისწყლის სვეტის ქვედა დონედკი დიასტოლად წოდებული და 80 მმვერცხლისწყლის სვეტის დონეა მიღებულისურათზე მოცემულია ერთი პიროვნებისსისხლის წნევის გრაფიკი
1) გრაფიკის მიხედვით განსაზღვრეთ პერიოდი (ერთი გულისცემისათვის საჭირო დრო)და ამპლიტუდა2) გამოთვალეთ ამ პიროვნების გულისცემის რაოდენობა ერთ წუთში
14
წნევ
ა
დრო (წამობით)
160
120
80
40
08 16 24 320
12y = sin x da y = cos x funqciebis grafikebis gardaqmnebi
133
y = 2 sin x 1 ფუნქციის გრაფიკადგარდაქმნის ნაბიჯები შემდეგია
1 ამპლიტუდა 2-ჯერ იზრდებაy = 2 sin x ფუნქციის გრაფიკი მიიღება
2 ერთი ერთეულით ქვევით მოცურდებადა y = 2 sin x 1 ფუნქციის გრაფიკიმიიღება ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლეიქნება 3 le y le 1
y = a sin bx + d და y = a cos bx + d ფუნქციებში d წევრი ვერტიკალური მიმართულებითმოცურებას გვიჩვენებს როცა d gt 0 მაშინ ფუნქციის გრაფიკი ზევით აცურდება როცაd lt 0 მაშინ ქვევით ჩამოცურდება
nimuSi ააგეთ y = 2 sin x 1 ფუნქციის გრაფიკიamoxsna y = sin x ფუნქციის გრაფიკის
2
2
2
x
y
ndash2
ndash
y = 2 sin x
y = 2 sin x 1
y = 1orta xətt
vertikaluri mocureba
მაქსიმუმი + მინიმუმი2შუახაზი =
მაქსიმუმი = შუახაზი + ამპლიტუდამინიმუმი = შუახაზი ამპლიტუდა
შუახაზი
ამპლ
იტუ
და
ამპლ
იტუ
და
y=2 sin x1 ფუნქციის გრაფიკის y = 1 წრფის მიმართ 2 ერთეულით ზევით და ქვევითცვლილება შესამჩნევია ამ წრფეს შუახაზი ეწოდება
32
2
y = sin x da y = cos x funqciebis grafikebis gardaqmnebi
nimuSi ააგეთ y = cos( x ndash ) ფუნქციის გრაფიკი
y = cos x ფუნქციის გრაფიკის ორდინატთა ღერძთან 2-ჯერ მოჭერისას
y = cos x ფუნქციის გრაფიკი აიგება y = cos x ფუნქციის გრაფიკის
ერთეულით მარჯვნივ მოცურებისას y = cos (x ndash ) ანუ y = cos( x ndash )
ფუნქციის გრაფიკი მიიღება
horizontaluri mocureba - faza
y
x2
0ndash
y = a sinb(x c) y = a cosb(x c) ფუნქციაში c წევრი გრაფიკის ჰორიზონტალურ
მოცურებას უჩვენებს და ფაზური მოცურება ეწოდება12
4
12
1212
2
12
4
2 3 4
y = cos xy = cos x
y = cos( x ndash )
1212
4
1
ndash1
2
134
y = a sin b(x c) + d amplitudazeaxdens gavlenas ZiriTad peri-
odze axdensgavlenas
vertikalur gadaadgilebazeaxdens gavlenas
horizontalur gadaadgilebazeaxdens gavlenas
nimuSi ააგეთ y = 3 cos(2x + ) + 1 ფუნქციის გრაფიკი3
1) y = cos x ფუნქციის გრაფიკისორდინატთა ღერძისაკენ 2-ჯერმოჭერით y = cos 2x ფუნქციისგრაფიკი მიიღება
y3
2
2
y = cos 2x
y = cos x2 3 4
1
ndash10
x
x
y321
2 3 42ndash1
ndash2ndash3
0
52
52
72
32
52
72
3) y = cos(2x + ) ფუნქციის
გრაფიკის ორდინატთა ღერძის
გასწვრივ 3-ჯერ მოჭერით
y = 3 cos(2x + ) ფუნქციის
გრაფიკი აიგება
3
3
y = 3 cos (2x + )3
4) y = 3 cos(2x + )ფუნქციის გრაფიკის
ვერტიკალური მიმართულებით 1
ერთეულით ზევით აცურებით
y = 3 cos(2x + ) + 1ფუნქციის გრაფიკი აიგება
3
3
x
y321
2 3 42ndash1
ndash2ndash3
0 32
52
72
y = sin x da y = cos x funqciebis grafikebis gardaqmnebi
2) y = cos 2x ფუნქციის გრაფიკის
ერთეულით მარცხნივ მოცურე-
ბით y = cos 2(x + ) ანუ
y = cos(2x + ) ფუნქციის
გრაფიკი აიგება
6
6
3
y3
2
2
y = cos 2x
y = cos (2x + )
2 3 4
1
ndash10
x52
52
72
3
135
განსაზღვრეთ რომელი გრაფიკი რომელ ფუნქციას ეკუთვნის18
2) y = ndash3 + cos x 4) y = 1 + 2 cos ( x + ) 6) y = 1 + sin x
1) y = ndash2 + sin(2x + ) 3) y = cos(x + ) 5) y = ndashsin(x + ) 2
2
12
12
მონაცემების მიხედვით ჩაწერეთ ფუნქცია y = a sin b(x c) + d სახით ა) ამპლიტუდა 4 პერიოდი π ფაზური მოცურება ერთეულით მარჯვნივ
ვერტიკალური გადაადგილება 6 ერთეულით ქვევით
ბ) ამპლიტუდა 05 პერიოდი 3 π ფაზური მოცურება ერთეულით მარცხნივ
ვერტიკალური გადაადგილება 2 ერთეულით ზევით
π 4
π 3
19
nargizi karuselze გრაფიკი ნარ-გიზის კარუსელზე ყოფნისას ადგილი-დან სიმაღლის (მეტრობით) დროზე(წამობით) დამოკიდებულებას ასახავს1) იპოვეთ გამოსახული ფუნქციის პერი-ოდი რას გამოსახავს ის2) დაწერეთ ამ ფუნქციის მნიშვნელობათასიმრავლე 3) ნარგიზი 24-30 წამების ინტერვალის რომელ წამზე იქნება 4 მ-ის სიმაღლეზე
დრო (წმ)
სიმა
ღლ
ე (მ
)
642
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220
21
ა) y = 3 cos(x ndash ) + 52
13
16
1 2
17 იპოვეთ ფუნქციების მაქსიმუმები და მინიმუმები დაწერეთ მნიშვნელობათა სიმრავლე
გ) y = cos(x + 50ordm) +
20 სქემატურად გამოსახეთ ფუნქციის გრაფიკი
y = sin x da y = cos x funqciebis grafikebis gardaqmnebi
ბ) y = sin 3x ndash 3
სიტყვიერად დაწერეთ თითოეული ფუნქციის გრაფიკის y = sin x ფუნქციის გრაფიკიმიმართ გარდაქმნა
15
ა) y = sin(x + ) გ) y = 2 sin(x + 60ordm) ndash 4 23
12
4
სიტყვიერად დაწერეთ თითოეული ფუნქციის გრაფიკის y = cos x ფუნქციის გრაფიკისმიმართ გარდაქმნა
16
გ) y = 4 cos(x ndash 15ordm) + 356
6
ბ) y = 3 sin (x ndash )
ა) y = cos(x ndash ) ბ) y = 3 cos(2x + )
a) y = 3 sin(x ndash ) b) y = cos(x + ) + 2 c) y = 2 sin(x + ) + 3π 3
π 4
π 6
y
2ndash
x
y y y
x x
y
x
y
x1
-13
ndash3
21
-1
2
4
ა) ბ) გ)
დ) ე) ვ)
136
x ღერძზე ერთი სრული პერიოდის სიგრძის მონაკვეთი გავყოთ ოთხ ტოლ ნაწილად
რადგან მთელი პერიოდის არის = ამიტომ x1 = 0 წერტილიდან
დაწყებული -მდე მარჯვნივ პერიოდის -ის შესაბამისი x2 = წერტილი შემდეგ
პერიოდის -ის შესაბამისი x3 = წერტილი შემდეგ კიდევ პერიოდის -ის შესა-
ბამისი x4 = და ბოლოს მთელი პერიოდის შესაბამისი x5 = წერტილი ავღნიშნოთ
y = asin bx და y = acosbx ფუნქციების [0 ] ინტერვალში გრაფიკის x-ის 5 მნიშ-
ვნელოვან წერტილში მნიშვნელობის მიხედვით ქვემოთ მოცემულ ნაბიჯებად აგება
შეიძლება1 განისაზღვრება გრაფიკის ამპლიტუდა2 განისაზღვრება ფუნქციის ძირითადი პერიოდი = T
3 [0 T] მონაკვეთი იყოფა 4 ტოლ ნაწილად 0 T4 ხუთი მნიშვნელოვანი წერტილი - x ღერძთან გადაკვეთის წერტილები მაქსიმუმისა დამინიმუმის წერტილებია x-ის აღნიშნული მნიშვნელობებისათვის y-ის მნიშვნელობები
გამოითვლება
5 (x y) წერტილები (5 წერტილი) აღინიშნება საკოორდინატო სიბრტყეზე6 ეს წერტილები შეერთდება მიღებული სინუსოიდის მრუდი შესაბამისი ფუნქციისერთი სრული პერიოდის გრაფიკია ამ გრაფიკის გამეორებით ნებისმიერ მონაკვეთზემოცემული ფუნქციის გრაფიკის აგება შეიძლება
T4
T2
3T4
2|b|
2|b|
მოძრაობისა და მსგავსების გარდაქმნისას მრუდი bdquoფორმასldquo ინარჩუნებს ამიტომაც არა
მხოლოდ სინუსის გრაფიკს არამედ ღერძების გასწვრივ მოჭერის (შეკუმშვის) და
მიმდევრობითი მოძრაობის დახმარებით მიღებულ მრუდსაც ასევე სინუსოიდა ეწოდება
y = asin bx და y = acosbx სახის ფუნქციების თვისებების სინუსის (ან კოსინუსის)
თვისებების ანალოგიურობა ამარტივებს ასეთი ფუნქციების გამოკვლევას პირველ რიგში
მათი პერიოდისა და მნიშვნელობის 0-ის ან plusmna -ს ტოლი წერტილების პოვნაა საჭირო
nimuSi 1 y = cos ფუნქციის გრაფიკი ააგეთ 5 ძირითადი წერტილის მიხედვით
amoxsna ამპლიტუდა a = 1ძირითადი პერიოდი b = T = 2 =
3x2
32
32
14
14
2|b|
43
43
3
3
23
23
3
43x1 = 0
0 + 3
3 +
3+
3+
3
x2 = x5 =x4 =x3 =
14
3
12
23
344
3
sinusoidis ageba xuTi ZiriTadi wertilis mixedviT
137
x-ის აღნიშნულ მნიშვნელობების შესაბამისად გამოვთვალოთ y = cos ფუნქციისმნიშვნელობები1 x = 0 y = 1 (01)2 x = y = cos = cos = 0 ( 0)
3x2
32323232
23
23
23
3
3
3
2
3 x =
4 x =
y = cos = cos = ndash1
43
43
435 x = y = cos = cos2 = 1
y = cos = 0
( ndash1)
( 0)
( 1)
minimumis wertili
maqsimumis wertili
maqsimumis wertili
abscisTa RerZTangadakveTis wertili
abscisTa RerZTangadakveTis wertili
თუ ამ წერტილებს ავღნიშნავთ საკოორდინატო სიბრტყეზე შევაერთებთ მათ გლუვი
წირით აიგება y = cos ფუნქციის გრაფიკი [0 ] მონაკვეთზე ამ გრაფიკის
აბსცისთა ღერძის გასწვრივ n (n Z) მოცურებით მიიღება y = cos ფუნქციის
გრაფიკი მთელ რიცხვით ღერძზე (სურათზე პუნქტირითაა ნაჩვენები)
43
23
3
3
0
1
ndash1ndash x
y
4
54
4
2
2
34
34
32
2y
x
ndash2
ndashndashndashndash
x-ის [0 ] მონაკვეთის (ერთი პერიოდი) ოთხ ტოლ ნაწილად გამყოფი მნიშვნელო-ბებისათვის ვიპოვოთ ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები და ამის საფუძველზე ავაგოთგრაფიკი
nimuSi 2 ააგეთ y = 2 sin 2x ფუნქციის გრაფიკი amoxsna amplituda a = 2 y-ის მნიშვნელობა ndash2 და 2 შორის შეიცვლება
ZiriTadi periodi T = b = 2 T = 2b
x y = 2 sin 2x
გადაკვეთა 0 0
მაქსიმუმი 2
გადაკვეთა 0
მინიმუმი ndash2
გადაკვეთა 0
42
34
3x2
434
33x2
253
sinusoidis ageba xuTi ZiriTadi wertilis mixedviT
138
x-ის ამ მნიშვნელობების y = 3 sin 2(x ) + 2 ფორმულაში გათვალისწინებით ( 2)
( 5) ( 0) ( 1) ( 2) წერტილები განისაზღვრება და
ფუნქციის გრაფიკი აიგება
[ ] ინტერვალის 4 ტოლ ნაწილად დაყოფით საჭიროა
5 ძირითადი წერტილის განსაზღვრა მოცემული ფუნქციის
5 ძირითადი წერტილისათვის x-ის მნიშვნელობები იქნება
y = 3 sin 2(x ) + 2 ფუნქციისათვის
ამპლიტუდა a = 2 პერიოდი მოცურების ფაზა შუახაზი d = 2 მაქსიმუმის მნიშვნელობა d + a = 2 + 3=5 მინიმუმის მნიშვნელობა d a = 2 3 = 1 გან-
საზღვრის არე ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე (x isin R) მნიშვნელობათა სიმრავლე 1 le y le 5
π 3
π 3 π
3
7π 12
7π 12
5π 6
5π 6
13π 12
4π 3
13π 12
4π 3
4π 3
π 3
π 3
π 3
π 3
სადაც საწყისი წერტილსა და ფაზას უჩვენებს yy = 3 sin 2(x ndash ) + 2
x
2
4
6
3
2 30
nimuSi 3 y = 3 sin 2(x ) + 2 ფუნქციის სრული ბრუნის შესაბამისი საწყისი და
ბოლო წერტილების მოძებნისათვის 0 le 2(x ) le 2 უტოლობა ამოიხსნება
0 le x le le x le
π 3 π
3π 3
4π 3
π 3
saswavlo davalebebi
sinusoidis ageba xuTi ZiriTadi wertilis mixedviT
1 ერთი და იგივე კოორდინატთა სისტემაში ააგეთ f(x) და g(x) ფუნქციების გრაფიკებინიმუშის შესაბამისი მნიშვნელობათა ცხრილის შედგენით
a) f(x) = sinx და g(x) = sinx b) f (x) = sin x g(x) = minus3 sin x
c) f (x) = cos x g(x) = 4 cos x
d) f (x) = cos x g(x) = cos x
12
12
ფუნქციები f(x) = sin x g(x) = sin xx ღერძთანგადაკვეთა (0 0) (0 0)
მაქსიმუმი ( 1) ( )x ღერძთანგადაკვეთა ( 0) ( 0)
მინიმუმი ( ndash 1) ( ndash )x ღერძთანგადაკვეთა (2 0) (2 0)
2
2
12
32
32
12
12
f(x) = sin x g(x) = sin x12
x
y1
ndash1 2 3 4
139
5
6
დაწერეთ მოცემული ფუნქციის პერიოდი რადიანებში და გრადუსებში ააგეთგრაფიკები ერთ პერიოდში 5 ძირითადი წერტილის მიხედვით
5 ძირითადი წერტილის მიხედვით ერთი და იმავე კოორდინატთა სისტემაში ააგეთ f(x) და g(x) ფუნქციის გრაფიკები
ა) y = sin 4x ბ) y = sin x გ) y = cos x დ) y = cos 2x12
23
1) f(x) = ndash 2 sin x 2) f(x) = sin x 3) f(x) = 2 cos xg(x) = 4 sin x g(x) = sin g(x) = ndash cos 4xx
3
Ria tipis SekiTxva დაწერეთ ერთი სინუსისა და ერთი კოსინუსის ფორმულარომელთა პერიოდია და ამპლიტუდა 15
1) მოცემული ამპლიტუდისა და პერიოდის მიხედვით დაწერეთ ფუნქციის ფორმულაy = a sin bx სახით და ააგეთ გრაფიკი 5 ძირითადი წერტილის მიხედვით
2) მოცემული ამპლიტუდისა და პერიოდის მიხედვით დაწერეთ ფუნქციის ფორმულაy = a cos bx სახით და ააგეთ გრაფიკი 5 ძირითადი წერტილის მიხედვით
7
82
ამპლიტუდა = 5 პერიოდი = 2 ამპლიტუდა = პერიოდი =
ამპლიტუდა = 25 პერიოდი = 6 ამპლიტუდა = 4 პერიოდი =
32
3
6
ბ)ა)
ბ)ა)
9 განსაზღვრეთ ფუნქციის პერიოდი და ამპლიტუდა ააგეთ გრაფიკი პერიოდის სიგრძისტოლ მონაკვეთზე 5 ძირითადი წერტილის მიხედვით
ა) y = 3 sin( x + ) ndash 2 ბ) y = 2 cos(2x ndash ) + 34
3
sinusoidis ageba xuTi ZiriTadi wertilis mixedviT
12
ა) დაწერეთ y = sin x ფუნქციის [0 2] ინტერვალში მდებარე 5 ძირითადი წერტილისკოორდინატებიბ) ააგეთ y = sin 2x ფუნქციის [0 ] მონაკვეთში გრაფიკი 5 ძირითადი წერტილისმიხედვით უჩვენეთ ზრდისა და კლების შუალედები
3
4 ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი სიგრძით ერთი პერიოდის ტოლ მონაკვეთზე 5 ძირითადიწერტილის განსაზღვრით
გ) y = 3 cos 4xბ) y = 5 sin 2xა) y = sin x14 გ) y = sin 2x1
4
იპოვეთ y = sin bx ფუნქციისათვის b-ს მნიშვნელობა თუ ძირითადი პერიოდი T
ა) ბ) გ) დ) 4 პერიოდის ტოლი სიგრძის [0 T] მონაკვეთი
დაყავით 4 ტოლ ინტერვალად და გამოთვალეთ x-ის ამ მნიშვნელობების შესაბამისი
y-ის მნიშვნელობები
223
43
2
140
1) y = 2 + sin x 2) y = 5 ndash cos x 3) y = ndash2 + cos x4) y = cos(x + ) 5) y = ndashsin(x + ) 6) y = sin(x ndash )7) y = 5 ndash cos(x ndash ) 8) y = ndash2 ndash sin(x ndash ) 9) y = 3 + cos(x + )
ააგეთ ფუნქციების გრაფიკები11
2
4
2
4
B grafiki ანალოგიური წესით ვპოულობთ a = 05
ძირითადი პერიოდია და = ტოლობიდან b = 2
გრაფიკი კოსინუსის ფუნქციის გრაფიკის შესაბამისია ფუნქციის
ფორმულა იქნება y = 05 cos 2x
2|b|
ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით ძირითადი პერიოდისა და ამპლიტუდის განსაზღვრითდაწერეთ ფორმულა y = a sin bx და y = a cos bx სახით
10
A grafiki ჯერ განვსაზღვროთ ამპლიტუდა
რადგან უდიდესი მნიშვნელობა არის 2 უმცირესი
მნიშვნელობა 2 ამიტომ a = = 2პერიოდია 4 რადგან
T = ამიტომ 4 = b = 12
2 (2)2
2|b|
2|b|
A გრაფიკი შეესაბამება სინუსის ფუნქციის გრაფიკს სადაც თუ გავითვალისწინებთ
რომ ამპლიტუდა a = 2 და b = მივიღებთ y = 2 sin x 12
12
y
x
1
ndash2
2 3 4
2
ndash1 0
A
B
დაწერეთ მოცემული გრაფიკის შესაბამისი ფუნქციისფორმულა y = a cos(bx + c) სახით დაწერეთ ფუნქციისგრაფიკის x ღერძის დადებით მიმართულებით კიდევერთი პერიოდით გაგრძელების შესაძლებლობის მომცემი5 წერტილის კოორდინატები
12
x
y12
12
23
53
83
2
sinusoidis ageba xuTi ZiriTadi wertilis mixedviT
nimuSi
-
ა) ბ)
გ) დ)
3
5
ndash3 ndash6
6
ndash2
ndash2
ndash5
2
ndash2
ndash2
2
ndash4
4
ndash
ndash4
ndash4
ndash 2 2 4
4
141
trigonometriuli funqciebi da perioduli movlenebi
ბუნებაში რეალურ ცხოვრებისეულ სიტუაციებში მრავალი პერი-ოდულად ცვალებადი მოვლენა გვხვდება დედამიწის ბრუნვასეზონების ცვლილება ადამიანის სუნთქვა გულისცემა და სხვამასთან ბევრი ფიზიკური მოვლენის მაგალითად ელექტრულიოპტიკური რხევითი მოძრაობების გამოკვლევაში გამოიყენებაპერიოდული ფუნქციები უმარტივესი რხევითი მოძრაობებიჰარმონიული რხევები y = a sin(bx + c) და y = a cos(bx + c) სახისტრიგონომეტრიული ფუნქციებით გამოისახება
nimuSi 1 biologia ბიოლოგები ცხოველების ფრინველების გამრავლების გა-მოკვლევასა და პროგნოზირებას ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დახმარებითამოდელირებენ განსაზღვრულ პროგნოზებს იძლევიანმეცნიერებმა ერთი და იგივე რეგიონში ბუებისა და თაგვების გამრავლება გამოიკვლიესმათი გამოკვლევის თანახმად ბუების დროზე (თვეობით) დამოკიდებულებით რაოდენობის
B(t) = 1000 + 100 sin ( ) თაგვების რაოდენობის S(t) = 20000 + 4000cos ( )ფუნქციით მოდელირება შეიძლება
ამ გრაფიკებში მოცემული ინფორმაციების თანახმად ბუებისა და მათი საკვებისთაგვების რაოდენობის ცვლილების შესახებ შესაძლებელია მოსაზრების გამოთქმა
ა) ააგეთ ორივე ფუნქციის გრაფიკი
ბ) გამოთქვით მოსაზრება ბუებისა და თაგვების რაოდენობის ცვლილების შესახებ
გ) გამოიკვლიეთ ბუების რაოდენობის თაგვების რაოდენობასთან თანაფარდობისცვლილება დროის მიხედვით
დ) თაგვების სიცოცხლისათვის რომელი დროა ყველაზე ნაკლებად საშიში
t12
t12
amoxsna B(t) = 1000 + 100 sin ( )
ბუების რაოდენობის შესაბამისი ფუნქციის მაქსიმუმი 1100 მინიმუმი 900-ია
ამპლიტუდა 100 ვერტიკალური მოცურება c = 1000 (პირველადი რაოდენობა)შუახაზი = 1000 პერიოდი რადგან b = ამიტომ
S(t) = 20000 + 4000 cos ( )
12
12
2|b|
2 = 24
მაშასადამე ძირითადი პერიოდი 24 თვეა
t12
t12
თაგვების რაოდენობის შესაბამისი ფუნქციის მაქსიმუმია 24 000 მინიმუმია- 16 000
ამპლიტუდა 4000 ვერტიკალური მოცურება c = 20000 (პირველადი რაოდენობა)შუახაზი= 20000 ძირითადი პერიოდი რადგან b = ამიტომ
1212
2|b|
2 = 24
მაშასადამე ამ ფუნქციის ძირითადი პერიოდიც 24 თვეა
142
trigonometriuli funqciebi da perioduli movlenebi
გ) ცხრილში მოცემულია ყოველ 6 თვეში ბუების რაოდენობისთაგვების რაოდენობასთან არსებული თანაფარდობა
გრაფიკების ერთი და იგივე მასშტაბით აგების შემდეგ მათიშედარება შეიძლება ეს შედარება უჩვენებს რომ ბუებისრაოდენობის გაზრდისას თაგვების რაოდენობა მცირდება დაბუების საკვები-თაგვების რაოდენობა მინიმალური მნიშ-ვნელობას უახლოვდება ბუების რაოდენობის შემცირებისასთაგვების რაოდენობა იწყებს გაზრდას და მაქსიმალურდონეს მათი ყველაზე მცირე რაოდენობით ყოფნისას აღწევენ
დრო ბუ თაგვი შეფარდება
0 1000 24000 0041
6 1100 20000 0055
12 1000 16000 0062
18 900 20000 0045
24 1000 24000 0041
ეს შეფარდება გარკვეული კანონზომიერებით უნდა იცვლებოდეს კანონზომიერებისდანახვისათვის გრაფკალკულატორში შეფარდების შესაბამისი ფუნქციის გრაფიკი ავაგოთქვემოთ მოცემული წესით
გრაფკალკულატორში ფუნქცია y1-ითფუნქცია y2-ით შევიტანოთ დაS(t) = 20000 + 4000 cos ( )t
12
B(t) = 1000 + 100 sin ( )t12
y1
y2y =
Tagvebis gamravleba
B(t)
დრო (თვეები)
დრო (თვეები)
buebis raodenoba
Tagvebis raodenoba
buebis gamravleba
t
120011001000
900800
6 3018 420
26000240002200020000
1800016000
14000
m(t)
t0
y3 = y1y2
x = 21 702128 y = 24 695395ავაგოთ ფუნქციის გრაფიკი როგორც ხედავთ ამ შემთხვევაში ორი პერიოდული ფუნქციის შეფარდებაც პერიოდულიფუნქცია ხდება
amindis prognozi ცხრილში მოცემული ინფორმაცია უჩვენებს თვეების მიხედ-ვით საშუალო ტემპერატურას იანვარი t=1 თებერვალი t=2 და ა შ აღნიშვნითცხრილის შესაბამისად ააგეთ გრაფიკი ტემპერატურის ცვლილება დაამოდელირეთტრიგონომეტრიული ფუნქციით
1
თვეები იან-ვარი
თებერ-ვალი
მარ-ტი
აპრი-ლი მაისი ივ-
ნისიივ-ლისი
აგვის-ტო
სექტემ-ბერი
ოქტომ-ბერი
ნოემ-ბერი
დეკემ-ბერი
საშუალო ტემ-პერატურა (ordmC) ndash148 ndash127 ndash68 12 92 151 172 151 91 13 ndash67 ndash126
6 3018 42
gamoyenebiTi davalebebi
143
2 janmrTeloba P = 100 ndash 20 cos ფუნქციით წყნარ მდგომარეობაში მყოფიპიროვნების t (წამი) დროის შუალედში არტერიული წნევის განსაზღვრა შეიძლებაა) განსაზღვრეთ ფუნქციის პერიოდიბ) განსაზღვრეთ პიროვნების გულისცემის რაოდენობა 1 წუთში
5t2
trigonometriuli funqciebi da perioduli movlenebi
კარუსელი მიწის ზედაპირიდან 10 მ სიმაღლეზე მყოფი ღერძის გარშემო ყოველ 3
მოძრაობის დაწყებისას ყველაზე დაბლა მყოფი კაბინის ნებისმიერ წამში მიწისზედაპირიდან სიმაღლის განმსაზღვრელი ფუნქციის ფორმულა
ბ) გუნელი კარუსელის მოძრაობის დაწყებისას ყველაზე ქვედა კაბინაში იყო გან-საზღვრეთ მოძრაობის დაწყებიდამ 25 წუთის შემდეგ გუნელი დედამიწისზედაპირიდან დაახლოებით რა სიმაღლეზე იქნება
სიმაღლე
დრო0
4 biologia კურდღლების K(t) და ტურების T(t)რაოდენობის მაჩვენებელი მათემატიკური მოდელებია
K(t) = 30000 + 15000 cos და
T(t) = 4000 + 2000 sin ააგეთ ორივე ფუნქცია ერთსა და იმავე საკოორდინატოსისტემაში და სურათზე ნაჩვენები პირობითი დიაგრამაგრაფიკებზე წარმოადგინეთ
t12t
12
ველოსიპედის ღამით სწორ გზაზე მოძრაობის ვიდეოა გადა-ღებული ველოსიპედის საბურავზე მყოფი სინათლის სხვადასხვადროში დედამიწის ზედაპირიდან მანძილი (სიმაღლე) ვიდეოზეგაიზომა და ცხრილი იქნა შედგენილი
ა) ააგეთ ფუნქციის ერთი პერიოდის შესაბამისი გრაფიკიბ) ცხრილის მიხედვით დაამოდელირეთ H-ის t-ზე დამოკიდებულება ტრიგონო-მეტრიული ფუნქციით გ) იპოვეთ ველოსიპედის საბურავის დიამეტრიდ) რა სიჩქარით მოძრაობს ველოსიპედი
5
დრო (t წმ) 01 02 03 04 05 06 07 08 09
სიმაღლე (H სმ) 27 45 54 45 27 18 27 45 54
60 წამში ერთ პერიოდსასრულებს მგზავრებიკარუსელის კაბინებში 2 მსიმაღლეზე ყოფნისასსხდებიან სურათზემოცემული გრაფიკიკარუსელის პირველ 150წამში მოძრაობას ასახავსა) დაწერეთ კარუსელის
2) მობრუნების კუთხის დამამთავრებელი გვერდის ამ მხებთანგადაკვეთის წერტილი აღნიშნეთ K-თი
∆OAK-დან tg = = = AKმახვილი მობრუნების კუთხისათვის tg მნიშვნელობით AKმონაკვეთის სიგრძის ტოლია3) 45ordm-იანი კუთხის დამამთავრებელი გვერდი მხებთან რომელწერტილში იკვეთება
144
რადგან tg 0 = 0 ამიტომ y = tg x ფუნქციის გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე
როცა x ცვლადი -ზე ნაკლებია რაც უფრო უახლოვდება მას tg x იზრდება და +infin-ს
უახლოვდება x = ვერტიკალურ წრფეს ასევე წრფეებს x = ∙(2k + 1) (k Z) წრფე-
ებს y = tg x ფუნქციის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტები ეწოდება
კუთხის ტანგენსის მნიშვნელობა კოორდინატთა სათავისადა ერთეულოვან წრეწირზე მდებარე (cos sin )წერტილებზე გამავალი წრფის კუთხური კოეფიციენტისმნიშვნელობააროგორც სურათიდან ჩანს მხების AQ მონაკვეთის სიგრძე Qწერტილის ორდინატის მნიშვნელობის ტოლია Q წერტილისკოორდინატებია (1 tg ) AQ წრფეს ტანგენსების ღერძიეწოდება
22
2
gamokvleva kuTxis tangensis cvlileba 1) უჯრიან ფურცელზე გაავლეთსაკოორდინატო სიბრტყე და კოორდინატთა სათავეში ცენტრის მქონე ერთეულრადიუსიანი წრეწირი წრეწირზე (10) წერტილში გაავლეთ მხები
5) თუ კუთხე 90ordm-ს უახლოვდება როგორ იცვლება K წერტილის ორდინატი როცა = 90ordm კუთხის დამამთავრებელი გვერდი მხებთან იკვეთება
6) T პერიოდიანი ფუნქციის გამოკვლევისათვის T სიგრძის ინტერვალში მისი ცვლილებისშესწავლა საკმარისია
tg ის ცვლილების რომელ შუალედში შესწავლა იქნებოდა მიზანშეწონილი
7) tg როცა = 90ordm და = ndash90ordm არ არის განსაზღვრული (ndash90ordm 90ordm) შუალედშიგანსაზღვრულია
კუთხის ზომა ndash70deg ndash60deg ndash45deg ndash30deg 0deg 30deg 45deg 60deg 70degმხებზე მყოფი წერტილის
ორდინატი
AKOA
AK1
შეავსეთ ცხრილი და ააგეთ ტანგენსის ფუნქციის გრაფიკი
O
K
x
y
A
4) ტრანსპორტირის დახმარებით გაავლეთ სხვადასხვა ზომის კიდევ რამდენიმე კუთხე დაიპოვეთ მათი მხებთან გადაკვეთის წერტილის ორდინატი
8) y = tg ფუნქციის გრაფიკი ააგეთ გრაფკალკულატორითაც
0A(1 0)
Q(1 tg )P(cos sin)
1 x
y
y = tg x da y = ctg x funqciebis grafikebi
y = tg x funqcia
145
y = tg x da y = ctg x funqciebis grafikebi
ერთეულოვანი წრეწირის I მეოთხედი და [0 ) შუალედი დავყოთ 4 ტოლ ნაწილად და
ტანგენსების ღერძზე არსებული მნიშვნელობები შესაბამისი კუთხეების ტანგენსის ტოლი
მონაკვეთები ავაგოთ ტანგენსების წრფეზე მიღებული თითოეული წერტილიდან Oxღერძზე იმ წერტილიდან რომლის აბსცისა შესაბამისი კუთხის მნიშვნელობის ტოლია
აღმართული მართობი მკვეთამდე Ox ღერძის პარალელურად გავავლოთ მიღებული
წერტილები მიმდევრობით გლუვი წირით შევაერთოთ [0 ) შუალედში y = tg xფუნქციის გრაფიკი მიიღება tg(ndashx) = ndash tg x რადგან მიღებული გრაფიკი კოორდინატთა
სათავის მიმართ სიმეტრიული გარდაქმნით (ndash ) ინტერვალში tg x-ის გრაფიკი აიგება
y = tg x არის პერიოდიანი პერიოდული ფუნქციაამიტომაც აგებული გრაფიკის -მდე მარჯვნივ დამარცხნივ გაგრძელებით მიიღება მრუდი რომელსაცტანგენსოიდა ეწოდება
2
2
2
2
0 x
y
8
4
2
38
0 x
y
2
2ndash
ფუნქციის გრაფიკი უწყვეტი მრუდი არაა x-ის -ისა დამისი კენტი ჯერადების შესაბამისი მნიშვნელობებში წყდება ფუნქციას მაქსიმუმი და მინიმუმი არ გააჩნია ფუნქციის მნიშვნელობათა არეა ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე ფუნქციის უმცირესი პერიოდია ფუნქციის გრაფიკი x ღერძს x = n (n Z) წერტილები კვეთს
ფუნქცია + n (n Z) წერტილებში არ არის განსაზღვრული ამ წერტილებში
გამავალი და პუნქტირით გავლებული ხაზები გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტებია
y = tg x ფუნქციის განსაზღვრის არეა x ne + n (n Z) ფუნქცია ორ მეზობელ ასიმპტოტს შორის ზრდადია კენტი ფუნქცია tg (ndashx) = ndash tg x
2
2
4
2
გამოთვალეთ ტანგენსის ფუნქციის თვისებების გამოყენებით
ააგეთ y = tg x ფუნქციის გრაფიკი [ndash2 2] მონაკვეთზე
tg( ndash ) 54tg( ) 11
3tg(ndash )
2
1
ა) ბ) გ)
saswavlo davalebebi
y
x
8642
ndash20
ndash4ndash6ndash8
ndash2 ndash 232
2
2
32
ndash
146
იპოვეთ tg და კუთხის გრადუსული ზომა
saswavlo davalebebi
4
3
y = tg x da y = ctg x funqciebis grafikebi
y = ctg x ფუნქციის გრაფიკის აგებისათვის გამოვიყენოთctg x = ndash tg(x + ) იგივეობა
1) y = tg x ტანგენსიოდა აბსცისთა ღერძის გასწვრივ -ით მარცხნივ მოცურდება2) მიღებული მრუდი აბსცისთა ღერძის მიმართ სიმეტრიულად აისახება
როგორც გრაფიკიდან ჩანს ტანგენსისა და კო-ტანგენსის ფუნქციების გრაფიკების x ღერძთანგადაკვეთის წერტილებსა (ნულები) და ასიმპ-ტოტებს ადგილები შეუცვლიათ
ZiriTadi Tvisebebi ძირითადი პერიოდია განსაზღვრის არე n-დან (n ნებისმიერი მთელირიცხვია) განსხვავებული ყველა ნამდვილ რიცხვთასიმრავლეა მნიშვნელობათა არე ყველა ნამდვილ რიცხვთასიმრავლეა ორ ასიმპტოტს შორის კლებადი ფუნქციაა კენტი ფუნქციაა ctg (ndashx) = ndash ctg x
1tgx
cos xsin x
2
2
ჩატარებული გამოკვლევების მიხედვით ქვემოთ მოცემულ კითხვებზე გაეცით პასუხი
ა) როცა α = 90deg და α = ndash90deg ტანგენსის ფუნქცია არ არის განსაზღვრული როგორაისახება ეს გრაფიკზებ) ტანგენსის ფუნქციის პერიოდი რამდენი რადიანი ან რამდენი გრადუსია
Q(1 ndashradic3) Q(1 ndashradic3)
y = ctg x
y
x
y =ctg x
ndash
ndash2 2 31
ndash1
2ndash1
1
0ndash 2
y =ctg x
y =ctg x
y =
tg x
y =
tg x
y =
tg x
2
32
32
32
52
2
2
ndash ndash
y
x
x
y
x
y
x
y
x
yQ(11) Q(11)
O 1 1 11
θ θ θθ
ა) ბ) გ) დ)
O OO
ტანგენსის მნიშვნელობა როცა x = n ნულისტოლია კოტანგენსის ფუნქცია კი x-ის ამ მნიშ-ნელობისათვის არ არის განსაზღვრული
ctg x = =
y = ctg x funqcia
147
y = tg x da y = ctg x funqciebis grafikebi
ააგეთ ფუნქციების გრაფიკები მოთხოვნილ ინტერვალში y = tg x 90deg lt x lt 90deg
y = tg x lt x lt
y = tg x 90deg lt x lt 270degა)
ბ)
გ)
დ)2
y = tg x le x le
6
ა) ცნობილია რომ როცა α = მაშინ tg α 76 ტანგენსის ფუნქციის ძირითადიპერიოდის გამოყენებით დაწერეთ ამ მნიშვნელობის შესაბამისი კუთხის კიდევ 3მნიშვნელობა
1124
ბ) ცნობილია რომ როცა α = 125 მაშინ tg α 3 ტანგენსის ფუნქციის ძირითადიპერიოდის გამოყენებით დაწერეთ ამ მნიშვნელობის შესაბამისი კუთხის კიდევ 3მნიშვნელობა
გ) le x le შუალედში დაწერეთ x-ის ორი ისეთი მნიშვნელობა რომ ამ მნიშვნე-ლობებისათვის y = tg x ფუნქცია არ იყოს განსაზღვრული
7
tg ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით იპოვეთ მისიმოთხოვნილი მნიშვნელობები
5
ა) tg ბ) tg გ) tg(ndash )
დ) tg 0 ე) tg ვ) tg
34
4
74
54
y = tg x ფუნქციის გრაფიკი x-ის 90ordm-თან მიახლოების ნაწილში თითქმის ვერ-ტიკალური წრფის ფორმას იღებს კალკულატორით გამოთვალეთ ქვემოთ მოცემულცხრილებში ტანგენსის მოცემული კუთხეების შესაბამისი მნიშვნელობები კუთხე რაცუფრო უახლოვდება 90ordm-ს როგორ იცვლება ტანგენსის მნიშვნელობა 90ordm-დანდაშორების კვალობაზე როგორ იცვლება
8
tg 895ordm899ordm
89999ordm89999999ordm
tg 905ordm9001ordm
900001ordm90000001ordm
9 თითოეული ფუნქციისათვის ndash2 le x le 2 ინტერვალში იპოვეთ ა) ნულები ბ) ვერტიკალური ასიმპტოტები1) y = tg x 2) y = ctg x
ndash2 le x le 2 შუალედში დაწერეთ x-ის ისეთი სამი მნიშვნელობა რომ ამმნიშვნელობებისათვის არ იყოს განსაზღვრულია) კოტანგენსის ფუნქცია ბ) ტანგენსის ფუნქცია
ააგეთ y = tg x და y = ctg x ფუნქციების გრაფიკები და ამ გრაფიკების მიხედვითგანმარტეთ მათი ლუწ-კენტობა და მოსაზრება უჩვენეთ ალგებრული ჩანაწერებითაც
10
11
32
y
θ
8642
ndash20
ndash4ndash6ndash8
ndash2 ndash 232
2
2
32
ndash
148
tg (x ndash ) ფუნქციის ერთი პერიოდის შესაბამისი შუალედი
ვიპოვოთ ndash lt (x ndash ) lt უტოლობის ამოხსნით
nimuSi 1 ააგეთ y = 3 tg 2x ფუნქციის გრაფიკი
პერიოდი T=
კოორდინატთა სათავესთან უახლოესი ასიმპტოტები
შუა წერტილები
2= b =2 ამიტომ T
b
x = middot ანუ x =
აბსცისთა ღერძთან გადაკვეთის წერტილი (0 0)
12
2
4
x = ndash middot ანუ x = ndash12
2
4
14
2
8
14
2
8
როცა a და b ნულისაგან განსხვავებული ნამდვილი რიცხვებია y = a tg bx ფუნქცი-ის გრაფიკის აგებისათვის საჭიროა ქვემოთ მოცემული ძირითადი მაჩვენებლებისგანსაზღვრა
1 პერიოდი
2 ვერტიკალური ასიმპტოტები x = middot(2n + 1) n Z წრფეებია3 განისაზღვრება x ღერძთან გადაკვეთის წერტილთან ასიმპტოტს შორის მონაკვეთისშუა წერტილი ამ წერტილში y-ის მნიშვნელობა ან a-ს ან კიდევ a-ს ტოლი ხდება მაგალითად y = 4 tg3x ფუნქციის პერიოდია
ასიმპტოტები x = (2n+1) = + n Z წრფეებია
|b|
3
6
2|b|
23
n3
y = a tg bx funqciis grafiki
y = tg x da y = ctg x funqciebis grafikebi
და
x = middot = x = middot (ndash ) = ndash და გრაფიკზე მათი
შესაბამისი წერტილები ( 3) (ndash 3)8
8
tg x ფუნქციის ერთი პერიოდის x-ის მნიშვნელობებია
ndash lt x lt
4
4
4
2
2
2
2
ააგეთ y = tg (x ndash ) ფუნქციის ერთი პერიოდის გრაფიკი
nimuSi 2
4
4
4
34
2
4
2
2
2ndash + lt x lt ndash + lt x lt
ndash lt (x ndash ) lt
ასიმპტოტები ndash და წერტილებზე გამავალი ვერტიკალური წრფეებია (0 ndash1) და
( 1) მნიშვნელობების გათვალისწინებით სქემატურად ავაგოთ გრაფიკი
4
34
2
x
y
4
4
2
34ndash
მონაკვეთისშუა
წერტილი
პერიოდი
24
4
8
4
y
x
149
ააგეთ ფუნქციების გრაფიკი4
13y = tg (x ndash )
2y = tg (x + )
3y = tg (x ndash )
6y = tg (x + )
შემოღობვის დამცავი უსაფრთხოების კამერა შე-მოღობვის ნახევარზე აღებული წერტილიდან 5მეტრ მანძილზეა დაყენებული კამერა დაკვირვებისერთ სრულ ბრუნს 60 წამში ასრულებსა) ტანგენსის ფუნქციით გამოსახეთ კამერის შემო-ღობვის შუაწერტილიდან დაწყებული შემოღობვისგასწვრივ დაკვირვების d სიგრძის დროზე დამო-კიდებულების ფუნქცია კამერის შემოღობვის შუაწერტილის დაკვირვების დროის დასაწყისად t = 0ჩათვალეთ
16
miTiTeba კამერა ერთი სრული ბრუნისას 360deg-ით ბრუნავს იპოვეთ რამდენიგრადუსით მობრუნდება ერთ წამშიბ) ააგეთ ამ ფუნქციის გრაფიკი ndash15 le t le 15 ინტერვალშიგ) შემოღობილის რა ნაწილზე იქნება განხორციელებული დაკვირვება როცა t = 10წამსდ) რა მოხდება როცა t = 15 წამს
იპოვეთ ფუნქციების ასიმპტოტები ნულები და შუაწერტილები
y = 2tg x y = tg 2 xy = 3 tg x 13
12ა) ბ) გ)
ა) ბ) გ)y = ctg x y = ndashctg xy = ctg (x + )2
რომელი გრაფიკი რომელ ფუნქციას შეესაბამება14
კიბე კედლიდან 3 მ-ის მოშორებით იატაკთან α კუთხისშექმნით კედელზეა მიყუდებული კიბე კედლის h მეტრსიმაღლემდე აღწევს
ა) ტანგენსის ფუნქციის დახმარებით დაწერეთ დამოკი-დებულება h-სა და α კუთხეს შორის
ბ) ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი 0deg le α le 70deg ინტერვალში
გ) როგორ იცვლება h სიმაღლე α კუთხის ზრდისას
დ) რა ხდება მაშინ როცა α = 90deg
15
kedeliSemoRobvis nax-evris maCvenebeli
wertili
usafrTxoebiskamera
d
5 m
y = tg x da y = ctg x funqciebis grafikebi
1) 2) 3)y
x
y
x
y
ndash ndash
150
არკსინუსის დახმარებით [ndash1 1] მონაკვეთზე განსაზღვრული მნიშვნელობათა სიმრავლის
[ndash ] მქონე ფუნქციის განსაზღვრა შეიძლება ეს ფუნქცია აღინიშნება როგორც y = arcsin x2
2
თუმცა [ndash ] მონაკვეთზე y = sin x ზრდადია და იღებს ndash1-დან 1-მდე ყველა
მნიშვნელობას თანაც თითოეულ მნიშვნელობას არგუმენტის მხოლოდ ერთი მნიშ-
ვნელობისათვის იღებს მაშასადამე [ndash ] მონაკვეთზე sin x ფუნქცია შექცევადია და
როცა a le 1 მაშინ sin x = a განტოლებას [ndash ] მონაკვეთზე ერთადერთი ფესვი აქვს
[ndash ] შუალედიდან აღებულ ისეთ კუთხეს რომ-
ლის სინუსი a-ს ტოლია a რიცხვის არკსინუსი ეწო-
დება და ასე აღინიშნება arcsin a x = arcsin a ტოლობა ორი პირობის ეკვივალენტურია
1) ndash le x le 2) sin x = a
nimuSebi arcsin = რადგან sin = და [ndash ]arcsin(ndash ) = ndash რადგან sin(ndash ) = ndash და ndash [ndash ]
განსაზღვრების თანახმად sin(arcsin a) = aშეიძლება იმის ჩვენება რომ arcsin(ndasha) = ndash arcsin a
0 y = sin x
y = a
x
y
2
2
2
22
2
2
2
12
121
212
6
6
6
2
2
66
6
2
2
2
2
x
ndash1
1
2
ndash 2
y = sin x
0 arcsin a
a
y
Seqceuli trigonometriuli funqciebiაბსცისთა ღერძის პარალელური წრფესინუსოიდას უსასრულო რაოდენობისწერტილში გადაკვეთს ეს იმას ნიშნავსრომ რიცხვით ღერძზე y = sin x ფუნქციასშექცეული ფუნქცია არა აქვს
ანალოგიური წესით შეიძლება იმის ჩვენება რომ მთელ რიცხვით ღერძზე y = cos xფუნქციას შექცეული ფუნქცია არა აქვს თუმცა [0 ] მონაკვეთზე y = cos x მცირდება და[ndash1 1] მონაკვეთში შემავალ ყველა მნიშვნელობას იღებს ანუ [0 ] მონაკვეთზე y = cosx ფუნქცია შექცევადია და როცა a le 1 მაშინ cos x = a განტოლებას [0 ] მონაკვეთზეერთადერთი ფესვი აქვს
[0 ] Sualedidan aRebul iseT kuTxes romlis
kosinusi a-s tolia a ricxvis arkkosinusi
ewodeba da ase aRiniSneba arccos ax = arccos a ტოლობა ორი პირობის ეკვივალენტურია
1) 0 le x le 2) cos x = ax
ndash1
1 y = cos x
0 arccos a
a
y
y = sin x ფუნქციის [ndash ] შუალედში მოცემული
გრაფიკის y = x წრფის მიმართ სიმეტრიული გარდაქმნით
y = arcsin x ფუნქციის გრაფიკი მიიღება y = arcsin xფუნქციის განსაზღვრის არე [ndash 1 1] მნიშვნელობათა
სიმრავლე [ndash ] იქნება
2
2
2
ndash 2
xy = sin x
0
1
ndash1
y
1ndash1
y = arcsin xy = x
2
ndash 2
y = arcsin x ფუნქცია y = sinndash1x სახითაც აღინიშნება
2
2
151
Seqceuli trigonometriuli funqciebi
(ndash ) შუალედიდან აღებულ ისეთ კუთხეს რომლის ტანგენსიa-ს ტოლია a-ს არკტანგენსი ეწოდება და ასე აღინიშნება arctg a arctg a = x ტოლობა ორი პირობის ეკვივალენტურია
1) ndash lt x lt 2) tg x = a x0 arctg a
a
y
2ndash
2
2
2
2
2
nimuSebi arctg radic3 = რადგან tg = radic3 და ndash lt lt 3
3
3
2
2
arctg(ndash1) = ndash რადგან tg(ndash ) = ndash1 და ndash lt ndash lt განსაზღვრების თანახმად tg(arctg a) = aშეიძლება იმის ჩვენება რომ arctg(ndasha) = ndash arctg a
4
4
4
2
2
[ndash1 1] მონაკვეთზე განსაზღვრული y = arccos x ფუნქცია [0 ] მონაკვეთზე განსაზღვრულიy = cos x ფუნქციის შექცეული ფუნქციაა
y = arccos x ფუნქცია y = cosndash1x სახითაც იწერება
y = cos x ფუნქციის [0 ] მონაკვეთზე მოცემული გრაფიკის
y = x წრფის მიმართ სიმეტრიული გარდაქმნით
y = arccos x ფუნქციის გრაფიკი მიიღება2
y = cos x
x
1
ndash1
y
1ndash1
y=
arcc
os x
y = x2
y = tg x ფუნქცია (ndash ) შუალედში ზრდადია და (ndash +) შუალედიდან ყველა
მნიშვნელობას იღებს ამიტომაც ნებისმიერი a რიცხვისათვის tg x = a განტოლებას
(ndash ) შუალედში ერთადერთი ფესვი აქვს
2
2
2
2
y = arctg x ფუნქცია (ndash ) შუალედში
y = tg x ფუნქციის შექცეულია
2
2
y = tg x ფუნქციის (ndash ) შუალედში მოცემული
გრაფიკის y = x წრფის მიმართ სიმეტრიული
გარდაქმნისას y = arctg x ფუნქციის გრაფიკი მიიღება
y = arctg x
x
2
ndash 2
y2
2
O
y = და y = ndash წრფეები y = arctg xფუნქციის ჰორიზონტალური ასიმპტოტებია
2
2
nimuSebi arccos = რადგან cos = და [0 ]arccos(ndash ) = რადგან cos = cos( ndash ) = ndash cos = ndash და [0 ]განსაზღვრების თანახმად cos(arccos a) = aშეიძლება იმის ჩვენება რომ arccos(ndasha) = ndash arccos a
32
3
12
3
12
31
223
12
23
3
3
y = arccos x ფუნქციის განსაზღვრის არე [ndash 1 1]მნიშვნელობათა სიმრავლე [0 ] იქნება
152
Seqceuli trigonometriuli funqciebi
saswavlo davalebebi
იპოვეთ t კუთხე რომელიც მოცემულ ტოლობას აკმაყოფილებს და მოცემულ შუა-ლედში მდებარეობს
1
ა) sin t = [ndash ] ბ) sin t = ndash [ndash ]
გ) cos t = [0 ] დ) cos t = ndash [0 ]
ე) tg t = (ndash ) ვ) ctg t = ndash1 (0 )
2
radic32
radic22
2
2
2
radic32
radic22
radic33
2
2
x0
arcctg aa
yმსგავსი წესით ხდება არკკოტანგენსის ცნების შემოტანა
(0 ) შუალედიდან აღებულ ისეთ რიცხვს რომლისკოტანგენსი a-ს ტოლია a-ს არკკოტანგენსი ეწოდება და ასეაღინიშნება arcctg a arcctg a = x ტოლობა ორი პირობის ეკვივალენტურია
1) 0 lt x lt 2) ctg x = a
nimuSebi arcctg 1 = რადგან ctg = 1 და (0 )arcctg(ndash1) = რადგან ctg = ctg( ndash ) = ndashcos = ndash1 და (0 )განსაზღვრების თანახმად ctg(arcctg a) = aშეიძლება იმის ჩვენება რომ arcctg(ndasha) = ndash arcctg a
34
4
4
43
434
4
4
y = arcctg x ფუნქცია (0 ) შუალედში y = ctg x ფუნქციის შექცეულია
y = arcctg x
x
2
y
0y = arctg x ფუნქცია y = tgndash1x სახით y = arcctg x ფუნქცია კი y = ctgndash1x სახითაცაღინიშნება
y = ctg x ფუნქციის (0 ) შუალედში მოცემულიგრაფიკის y = x წრფის მიმართ სიმეტრიული გარდაქ-მნით y = arcctg x ფუნქციის გრაფიკი მიიღება აბს-ცისთა ღერძი და y = წრფე y = arcctg x ფუნქციისჰორიზონტალური ასიმპტოტებია
კალკულატორებზე არ არის გათვალისწინებული ctg-1x sec-1x და cosec-1x ღილაკები
რადგან ამ ფუნქციების tg-1x cos-1x და sin-1x ფუნქციების დახმარებით გამოსახვა
შესაძლებელია მაგალითად y = sec-1x კი მაშასადამე secy = x და ეს ფუნქცია კოსინუსით
შეიძლება გამოვსახოთ = x სადაც
მაშასადამე ჩვენ y = sec-1xის გამოთვლისათვის - უნდა გამოვთვალოთ
1cos y
1xcosy = y = cos-1
y = cos-1
miaqcieT yuradReba sin1x 1sinx
ar niSnavs
1x
1x
153
მონაცემების მიხედვით იპოვეთ კუთხე
3 კალკულატორის დახმარებით გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა შედეგებიდაამრგვალეთ მეასედებამდე
4
9
24
3 3
4
4 7 2 radic3
ა) ბ) გ) დ)
ა) tgndash1 39 ბ) cosndash1 024 გ) sinndash1 024 დ) sinndash1 075 ე) sinndash1 (ndash04) ვ) cosndash1 (ndash06) ზ) tgndash1 (ndash02) თ) tgndash1 225
α კუთხის რა მნიშვნელობისათვის არის მოცემული ტოლობა მართებული გამოთ-ვალეთ კალკულატორის დახმარებით
ა) sin = ndash035 180ordm lt lt 270ordm გ) tg = 24 180ordm lt lt 270ordmბ) cos = 043 270ordm lt lt 360ordm დ) sin = 08 90ordm lt lt 180ordm
8 მოცემული დამოკიდებულების მიხედვით იპოვეთ კუთხე
ა) sin = 90ordm lt lt 180ordm დ) tg = 1 180ordm lt lt 270ordm
ბ) sin = ndash 180ordm lt lt 270ordm ე) tg = ndashradic3 270ordm lt lt 360ordm
გ) cos = ndash 180ordm lt lt 270ordm ვ) ctg = 1 180ordm lt lt 270ordm
radic22
12
12
2 გამოთვალეთ და წარმოადგინეთ პასუხი რადიანებში და გრადუსებში
arcsin
arcsin
arcsin(ndash )
arccos
arccos 0
arccos(ndash )
arctg radic3arctg 1arctg(ndashradic3)arctg(ndash1)
arcctg radic3arcctgarcctg(ndashradic3)arcctg 0
radic22radic3212
radic32
radic32
radic33
Seqceuli trigonometriuli funqciebi
7 გამოთვალეთა) cos(arcsin ) ბ) sin(arccos(ndash )) გ) tg(2middotarctg radic3)
დ) ctg(2middotarcsin ) ე) sin(2middotarcsin ) ვ) cos(3middotarccos )
12
radic22
radic22
12
radic22
5 იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა
ა) arcsin 0 + arcsin 1 ბ) arccos(ndash1) ndash arccos 0გ) arcsin(ndash ) + arcsin დ) arctg(ndash1) + arcctg(ndash1)
6
radic32
radic22
შეამოწმეთ ამოხსნის სისწორე
ა) arcsin + arccos = ბ) arctg radic3 + arcctg radic3 = 2
radic32
radic32
2
154
ძრავიანი სათამაშო თვითმფრინავი 4 მ სიმაღლეზე დაფრინავსა) დაწერეთ დამკვირვებლიდან თვითმფრინავამდე არსებული მან-ძილი ამაღლების კუთხეზე დამოკიდებულების მაჩვენებელიფუნქციაბ) რამდენი გრადუსი იქნება კუთხე როცა დამკვირვებელსა დათვითმფრინავს შორის მანძილი 25 მ-ია
11
დამკვირვებელი
4 მ
x
Seqceuli trigonometriuli funqciebi
დიდ მდინარეებზე ხიდების მშენებლობის დროს გემების გავლის უზრუნველსაყოფადგამოიყენება მათი ისეთი კონსტრუქცია რომ მოხდესმათი გახსნა და დახურვა მდინარეზე გადებულიასეთი ხიდის თითოეული ფრთის სიგრძე 40 მ-ია 20 მ სიგრძის მქონე გემის შეუფერხებლად გავ-ლისათვის ხიდის ფრთები სულ მცირე რამდენგრადუსიანი კუთხით უნდა აიწიოს 20 მ
40 მ 40 მ
12
13 გამოთვალეთ
ა) arcsin(sin ) ბ) arccos(cos ) გ) arctg(tg )3
6
6
nimuSi იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა sin(2middotarcsin )
დავუშვათ arcsin = მაშასადამე sin = და [ndash ] მართკუთხა
სამკუთხედში რომლის მახვილი კუთხის სინუსი არის ვიპოვოთ კუთხის მიმდებარე კათეტი
b = radic 52 ndash 32 = 4 აქედან მიიღება cos = აღნიშვნების
გათვალისწინებით შეგვიძლია ჩავწეროთ
sin(2middotarcsin ) = sin 2 = 2 sin middot cos = 2 middot middot =
5 3
b
353
535
2
23
5 45
35
35
45
2425
იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა
ა) sin(arccos ) ბ) cos(arcsin( ))
გ) sin(2middotarccos ) დ) cos(2middotarccos )
ე) cos(arcsin ndash arccos ) ვ) sin(arccos + arcsin )
35
45
35
1213
513
35
513
35
10
14 arcsin(sin ) გამოსახულების მნიშვნელობა ენვერმა და ლალემ ქვემოთ მოცემულისახით გამოთვალეს
ენვერი arcsin(sin ) =
ლალე arcsin(sin ) = arcsin(sin( ndash )) = arcsin(sin ) =ვინ სწორად იპოვა მოცემული გამოსახულების მნიშვნელობა პასუხი დაასაბუთეთ
23
23
23
23
3
3
3
15ა) arcsin(sin ) ბ) arccos(cos ) გ) arctg(tg )
იპოვეთ გამოსახულების მნიშვნელობა76
43
23
გამოთვალეთ
ა) sin(arcsin + arccos ) ბ) ctg(arcsin + arccos )
155
6
ganmazogadebeli davalebebi
ა) გრაფიკი შეუსაბამეთ y = 2sin 3x ფუნქციის გრაფიკს თუ Aწერტილის კოორდინატები იქნება (0 0) იპოვეთ B C D E და Fწერტილების კოორდინატებიბ) გრაფიკი შეუსაბამეთ y = 3cos 2x ფუნქციის გრაფიკს თუ Aწერტილის კოორდინატები იქნება (0 3) იპოვეთ B C D E და Fწერტილების კოორდინატები
გ) გრაფიკი შეუსაბამეთ y = sin x ფუნქციის გრაფიკს თუ Aწერტილის კოორდინატები იქნება (2 0)იპოვეთ B C D E და F წერტილებისკოორდინატები
12
C
B F
EA
D
x
1 გრაფიკზე აღნიშნული წერტილები უჩვენებს x ღერძთან გადაკვეთის წერტილებსმაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს
დაწერეთ ორი სხვადასხვა სინუსისა და კოსინუსის ფუნქცია ისე რომ განსაზღვრის არეიყოს ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე x | x isin R ხოლო მნიშვნელობათა სიმრავლე[ndash3 3] მონაკვეთი
იპოვეთ ფუნქციის პერიოდი და ააგეთ გრაფიკი
2
3
1) y = 6 sin x 2) y = 3 cos x12
23
12
5
დ) თუ 0 le θ le მაშინ წყარო დაფის რა უდიდეს ნაწილს აშუქებს49
10 მ მანძილზე დაყენებული წყაროდან შენობაზემიკრული სარეკლამო ბანერის გაშუქება ხდებაა) ტრიგონომეტრიული ფუნქციით გამოსახეთ a მან-ძილის θ კუთხეზე დამოკიდებულებაბ) შეიტანეთ ცხრილში a-ს მნიშვნელობები მეათე-დებამდე დამრგვალებითგ) როგორც ცხრილიდან ჩანს θ-ს მნიშვნელობებიტოლი ნაბიჯებით იზრდებაშეიძლება თუ არა ითქვას იგივე a-ს მნიშვნელობებისშესახებ
4
a
29
18
9
6
10 მ
a
45
45
12
12
3) y = ctg 2x 4) 2y = tg x
ა) სინუსოიდის მინიმუმი (18 44) მაქსიმუმი (30 68) წერტილში მდებარეობს იპოვეთამ ფუნქციის ამპლიტუდა
ბ) ერთი პერიოდის განმავლობაში სინუსოიდა მაქსიმუმს (4 12) წერტილში მინიმუმსკი (12 ndash2) წერტილში იღებს იპოვეთ ამ ფუნქციის პერიოდი
გ) პერიოდის სიგრძის ტოლ მონაკვეთზე სინუსოიდის მაქსიმუმი (π7) მინიმუმი კი
( 3) წერტილში მდებარეობს დაწერეთ ამ ფუნქციის ფორმულა y = a sin bx სახითπ 2
156
7 კარუსელზე მყოფი მწვანე შუქის ბრუნის ცენტრის მიმართნებისმიერ მომენტში მიწის ზედაპირიდან მანძილი დაამო-დელირეთ სინუსის ფუნქციით ჩათვალეთ რომ როცა t = 0მწვანე შუქი ყველაზე დაბალ წერტილში იმყოფება კარუ-სელი ერთ სრულ ბრუნს 100 წამში ასრულებს
მწვანეშუქი
10 მ
2 მ
9
ტალღის აწევა-დაწევის შედეგად გემის ადგილმონაც-ვლეობის (მეტრობით) d = 06 sin πt ფუნქციით მოდე-ლირება შეიძლება სადაც t არის დრო (წამობით) უჩვენეთამ ფუნქციის პერიოდი და ამპლიტუდადახაზეთ ამფუნქციის გრაფიკი
temperaturis cvlileba სამხრეთ აფრიკის ქვეყნების კლიმატი ტროპიკულიდა სუბტროპიკული კლიმატია დედამიწის ამ ნაწილში იანვარ-მარტი ზაფხულისხოლო ივლის-აგვისტო ზამთრის თვეებია ცხრილში სამხრეთ აფრიკაში მდებარე ქალაქკეიპ ტაუნის (Cape Town) ერთი წლის განმავლობაში თვეების მიხედვით მაქსიმალურიტემპერატურაა მოცემული
ჰორიზონტალურ ღერძზე იანვარი t = 1 თებერვალი t = 2 და ა შ თვეების აღნიშვნითვერტიკალურ ღერძზე კი ტემპერატურის აღნიშვნით გრაფიკია აგებული ცხრილი და გრაფიკი გადაი-ტანეთ რვეულში კიდევ 12 თვისათვის განაგრძეთ ეს ცხრილი თუ ცნობილია რომ იანვრის თვიდან დაწყებული თვიური საშუალო ტემპერატურა სა-ვარაუდოდ კვლავ 12 თვეში ერთხელ მეორდება
თვეები იანვ თებ მარტ აპრ მაისი ივნ ივლ აგვის სექტ ოქტ ნოემბ დეკემბტემპერა-ტურა (ordmC) 28 27 25 22 18 16 15 16 18 21 24 261
212
t ( თვეები)
302010
3 96 12
T (ordmC)
(10 21 )12
იანვარი იანვარი
8
Ria tipis SekiTxva დაწერეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქცია რომლის
ამპლიტუდაა პერიოდია და ააგეთ მისი გრაფიკი12
11
10
ganmazogadebeli davalebebi
wylis siRrme ცხრილში მოცემული ინფორმაციაშუაღამიდან შუადღემდე ზღვის საბანაო ნაწილშიწყლის სიღრმის ცვლილების შესახებ
ა) დაამოდელირეთ წყლის სიღრმის ცვლილება y = d + a cos(bt + c) ფორმულის გამოყენებით
ბ) როგორ შეიცვალა სიღრმე დილის 7 საათიდან 9საათამდე
დრო t სიღრმე yშუაღამე 320200 90400 1190600 90800 321000 03
შუადღე 32
157
mravalwaxnagebi6mravalwaxnagebiprizmebimravalwaxnagebi da maTi xedebi sxvadasxvamxridanprizmis zedapiris farTobiprizmis sibrtyiTi kveTebipiramida piramidis gverdiTi zedapirisada sruli zedapiris farTobipiramidis kveTebi wakveTili piramida
158
mravalwaxnagebi
ცნობილია რომ სიბრტყეებს სივრცეში სხვადასხვა ურთიერთმდებარეობა უკავიათ
სიბრტყეთა სხვადასხვა ურთიერთმდებარეობა მრავალწახნაგებად წოდებულ სივრცითფიგურებს (სხეულებს ) ქმნის
მკვეთი სიბრტყეები სამ და უფრო მეტ სიბრტყეს შეიძლებამხოლოდ ერთი საერთო წერტილიჰქონდეს
არამკვეთისიბრტყეები
l
A
= l = A
მრავალწახნაგა არის სხეული რომლის ზედაპირი სასრული რაოდენობის სიბრტყითიფიგურებისაგან- მრავალკუთხედებისაგან არის შემდგარი მრავალწახნაგას შემომსაზღვრელმრავალკუთხედებს მისი წახნაგები ეწოდება მრავალწახნაგას აქვს არანაკლებ 4 წახნაგისაწახნაგების გადაკვეთის წრფეთა მონაკვეთებს წიბოები ხოლო წიბოების გადაკვეთისწერტილებს წვეროები ეწოდება მრავალწახნაგას ზედაპირის შემდგენი მეზობელი მრა-ვალკუთხედები ერთ სიბრტყეზე არ მდებარეობენ სამი და უფრო მეტი წახნაგის საერთოწერტილი წვეროს წერტილი იქნება პრიზმა არის მრავალწახნაგა რომელსაც ფუძეებად წოდებუ-ლი ორი წახნაგი აქვს პარალელური და კონგრუენტული მრა-ვალკუთხედი დანარჩენი წახნაგები კი პარალელოგრამებია პირამიდა არის მრავალწახნაგა რომლის ფუძე არის მრა-ვალკუთხედი ხოლო გვერდითი წახნაგები კი საერთო წვეროსმქონე სამკუთხედებია
პრიზმისა და პირამიდის სახელს ფუძეში მყოფი მრავალკუთხედის სახელი განსაზღვრავს
samkuTxaprizma
marTkuTxaparalelepipedi
xuTkuTxaprizma
eqvskuTxaprizma
samkuTxapiramida
oTxkuTxapiramida
xuTkuTxapiramida
eqvskuTxapiramida
მრავალწახნაგები ორ სახედ იყოფა ამოზნექილი და ჩაზნექილი მრავალწახნაგას ამოზნექილიეწოდება თუ იგი მისი შემომსაზღვრელი თითოეული სიბრტყის ერთ მხარეზე ძევს ამოზ-ნექილი მრავალწახნაგას ნებისმიერი ორი წერტილის შემაერთებელი მონაკვეთი მის შიგა არესეკუთვნის A და B ამოზნექილი C და D ფიგურები ჩაზნექილი მრავალწახნაგებია
ფუძე
ფუძე
A B C D
159
mravalwaxnagebi
წესიერი მრავალწახნაგა ეწოდება მრავალწახნაგას რომლის ყველა წახნაგი კონგრუენტულიწესიერი მრავალკუთხედია და თითოეული წვეროდან ერთი და იგივე რაოდენობის წიბოგამოდის ამ ფიგურებს პლატონურ ფიგურებსაც უწოდებენ მაგალითად კუბი წესიერიმრავალწახნაგაა პლატონური ფიგურები ხუთი სახისაა ტეტრაედრი ოქტაედრიდოდეკაედრი კუბი იკოსაედრი
აქვს 4 წახნა-გი თითო-ეული ტოლ-გვერდა სამ-კუთხედია
აქვს 8 წახნაგითითოეულიტოლგვერდასამკუთხედია
აქვს 12 წახნაგითითოეული წე-სიერი ხუთ-კუთხედია
აქვს 6 წახნაგითითოეულიკვადრატია
აქვს 20 წახნაგითითოეულიტოლგვერდასამკუთხედია
წესიერი დოდეკაედრიწესიერი ტეტრაედრი წესიერი ოქტაედრიკუბი
რომელ ფიგურებს შეიძლება ეწოდოს მრავალწახნაგა1
განსაზღვრეთ თითოეული მრავალწახნაგას წახნაგები წვეროები და წიბოები2ა)
ა)
ბ)
ბ)
გ)
გ)
დ)
დ) ე) ვ) ზ)
მრავალწახნაგა წახნაგისფორმა
წახნაგი(F)
წვერო(V)
წიბო(E)
ტეტრაედრიკუბიოქტაედრიდოდეკაედრიიკოსაედრი
3
4
a0
a0
a0
რატომ არსებობს პლატონური ფიგურების მხოლოდ 5 სახე ამ კითხვაზეპასუხის გასაცემად მიაქციეთ ყურადღება იმას თუ ერთ წვეროში მკვეთისამი მრავალკუთხედის ამ წვეროში მდებარე კუთხეების ჯამი მრავალ-წახნაგას შემდგენი ფიგურების სახეზე დამოკიდებულებით როგორიცვლება ეს ჯამი მაქსიმუმ რამდენი გრადუსი შეიძლება იყოს თუმრავალწახნაგის შემდგენი მრავალკუთხედები იქნება ექვსკუთხა რამდენიგრადუსი იქნება საერთო წვეროს მქონე კუთხეების ჯამი
შეავსეთ ცხრილი რვეულში ნების-მიერი მრავალწახნაგას წახნაგებსწიბოებსა და წვეროებს შორის კავ-შირი გამოისახება ეილერის ფორ-მულით F + V ndash E = 2 სადაც F (fase) წახნაგების V (vertex) წვე-როების E (edges) წიბოების რაო-დენობას გვიჩვენებს შეამოწმეთ ეილერის ფორმულა
წესიერი იკოსაედრი
160
prizmebi
მართი პრიზმის ყველა გვერდითი წახნაგი მართკუთხედიამართ პრიზმას რომლის ფუძეც წესიერი მრავალკუთხედია წესიერი პრიზმა ეწოდება
პარალელურ სიბრტყეებში მდებარე და პარალელური გადატანისას ერთმანეთთანთავსებადი ორი კონგრუენტული მრავალკუთხედისა და ამ მრავალკუთხედებისშესაბამისი წერტილების შემაერთებელი ყველა პარალელური მონაკვეთისაგან შემდგარფიგურას პრიზმა ეწოდება მრავალკუთხედებს prizmis fuZeebi ფუძეების შესაბამისიწვეროების შემაერთებელ მონაკვეთებს gverdiTi wiboebi ეწოდებაგვერდით წიბოებზე გამავალი სიბრტყის ნაწილებს prizmis gverdiTi waxnagebiეწოდება პრიზმის გვერდითი წახნაგები პარალელოგრამებია ამ პარალელოგრამებიდანთითოეულის ორი გვერდი ფუძეების შესაბამისი გვერდებია ხოლო დანარჩენი ორიგვერდი კი შესაბამისი გვერდითი წიბოებიაისეთ პრიზმას რომლის გვერდითი წიბოები ფუძის სიბრტყის მართობულია marTiprizma ეწოდება ხოლო არამართობულს კი daxrili prizma ეწოდება
prizmis ZiriTadi elementebi
გვერდითიწახნაგები
გვერდითიწიბოები
ფუძე
ფუძე
marTi prizma daxrili prizma
ფუძე
ფუძე
გვერდითიწახნაგები
გვერდითიწიბოები
ბ) DEFG DEFGა) ∆ ABC ∆ ABC
A
A1
B1
C1
D1
D1 C1
A1 B1
E1
G1
F1
P1
BC P E
D
D
A B
C
FG
h
თუ პრიზმის ფუძეები n-კუთხედია მაშინ მას n-კუთხა პრიზმა ეწოდება პრიზმას რომლის ფუძეც პარალელოგრამია პარალელეპიპედი ეწოდება პარალელე-პიპედის მოპირდაპირე წახნაგები პარალელურია დაკონგრუენტულია მართ პარალელეპიპედს რომლის ფუძეცმართკუთხედია მართკუთხა პარალელეპიპედი ეწოდებასურათზე ABCDAprimeBprimeCprimeDprime მართკუთხა პარალელეპიპედიამართკუთხა პარალელეპიპედის ერთი წვეროდან გამოსულიწიბოს სიგრძეებს მისი განზომილებები ეწოდება
A ab
c B C
D
A1
B1 C1
D1
მართი სამკუთხაფუძეებიანი პრიზმა
ოთხკუთხა ფუძეებიანიდახრილი პრიზმა
იზომეტრიულ წერტილოვან ფურცელზე მოცემულ ნაბიჯებად ააგეთ 532 ზომისმართკუთხა პარალელეპიპედი
პრიზმის წვერო - შეარჩიეთერთი წერტილი ამ წერტი-ლიდან გაავლეთ მონაკვე-თები 2 ერთეულით ქვევით 5 ერთეულით მარცხნივ 3ერთეულით მარჯვნივ
დახაზეთ პარალელო-გრამი რომელიც პრიზ-მის ზედა ფუძეს უჩვე-ნებს
მონაკვეთის ბოლოებიმიმდევრობით შეაერ-თეთ არ დაგავიწყდეთწიბოები რომლებიც არჩანს დახაზეთ წყვეტი-ლი ხაზებით
პარალელოგრამის თითოეულიწვეროდან გაავლეთ 2 ერთე-ულის სიგრძის მონაკვეთი
სიმაღლე სიმაღლე
161
prizmebi
ა) 343 ზომის მართკუთხაპარალელეპიპედი
ბ) კუბი რომლის წიბო 5 ერთეულია
დახაზეთ მოცემული ზომების პარალელეპიპედი
გაეცით პასუხი კითხვებზე მართი ექვსკუთხა პრიზმის შესახებ
ა) რომელია CDE სიბრტყის პარალელური სიბრტყებ) რომელი სიბრტყეები არ არის AprimeAB სიბრტყისპარალელურიგ) რომელი მონაკვეთებია ABC სიბრტყის მართობულიდ) რატომ არის AAprime და DDprime მონაკვეთების სიგრძეებიერთმანეთის ტოლიე) დაწერეთ მრავალწახნაგას წახნაგების სახელები
3
2
1
პრიზმის ერთი და იგივე წახნაგზე არა-მდებარე წვეროების შემაერთებელ მონა-კვეთს მისი diagonali ეწოდება
პრიზმის ფუძის სიბრტყეებს შორის მან-ძილს მისი simaRle ეწოდება მართიპრიზმის გვერდითი წიბო მისი სიმაღლისტოლია
სურათზე მოცემული პრიზმის ორი პარალელური და კონგრუენტული წახნაგებისამკუთხედებია და მას 5 წახნაგი 9 წიბო 6 წვერო აქვს სამკუთხა პრიზმა სხვადასხვამდებარეობაში შეიძლება მოთავსდეს მიაქციეთ ყურადღება რომ ამ პრიზმებს 2სამკუთხა და 3 ოთხკუთხა წახნაგი აქვთ იზომეტრიულ ფურცელზე გაავლეთ ნაჩვენებმდგომარეობაში მყოფი სამკუთხა პრიზმები
Fprime
Aprime
Bprime Cprime
A
B C
D
EF
Eprime
Dprime
სურათზე წესიერი ექვსკუთხა პრიზმის შლილია მოცემული დაგვერდითი წახნაგები ასოებითაა აღნიშნული ამ პრიზმისრომელი წახნაგია F წახნაგის პარალელური
162
prizmebi
შეასრულეთ დავალებები სურათზე ნაჩვენები მართკუთხაპარალელეპიპედის მიხედვით
ა) ABC და EHG წახნაგებზე B და H წვეროების შემაერთებელიდიაგონალია გავლებული გაავლეთ სხვა შესაძლო დიაგონალებიდა დაწერეთ რომელ წახნაგებზე მდებარე წერტილები შეაერთეთ
ბ) უჩვენეთ პრიზმის რომელიმე ორი მართობული წახნაგი და თქვენი პასუხი სხვადასხვათეორემებით ან განსაზღვრებებით დაასაბუთეთ
8
F
B C
GHE
A
მართკუთხა პარალელეპიპედის განზო-მილებებია 3412 იპოვეთ ფუძის ACდიაგონალი და პარალელეპიპედის ACprimeდიაგონალი
4
A
Aprime
B
Bprime
C
Cprime
D
Dprime
34
12
6 7 სურათზე მოცემული მართკუთხა პა-რალელეპიპედის ორი მოპირდაპირეგვერდითი წახნაგის გვერდები 5 სმ-იანიკვადრატებია AE წიბო 12 სმ-ია იპოვეთDF-ის სიგრძე
D C
H G
FE
BA
9 დაწერეთ თითოეული პრიზმის სახელი წიბოების წვეროებისა და წახნაგების რაოდენობა
პრიზმებისათვის შეამოწმეთ ეილერის ფორმულა
5
თუ მრავალწახნაგებს წიბოების გასწვრივ გადავკვეთთ და სიბრტყეზე გავშლითმივიღებთ მრავალწახნაგას შლილს განსაზღვრეთ რომელი პრიზმას მიეკუთვნებათითოეული შლილი იპოვეთ წახნაგების წიბოებისა და წვეროების რაოდენობა
ა) ბ) გ) დ) ე) ვ)
ა) ბ) გ) დ) ე) ვ) ზ)
A C D E FB
163
mravalwaxnagebi da maTi xedebi sxvadasxva mxridan
კუბებით სხვადასხვა კონსტრუქციების აგება შეიძლება ასეთ კონსტრუქციებსკუბიოდებიც ეწოდება კუბოიდების სხვადასხვა მხრიდან ხედების (გეგმების) დახაზვა ანპირიქით სხვადასხვა ხედების გეგმის მიხედვით კუბოიდების აგება დიდ პრაქტიკულმნიშვნელობას ატარებს
praqtikuli mecadineoba ქვემოთ კონსტრუქციის ზედხედიდან გვერდხედიდანდა წინხედიდან ფიგურის აგებულება იზომეტრიულ ქაღალდზე არის ნაჩვენები ნიმუშადკუბის კონსტრუქციის ზედხედი გვერდხედი და წინხედია მოცემული თქვენ კუბებისაგანშეადგინეთ სხვადასხვა კონსტრუქციები დახაზეთ კონსტრუქციით შექმნილი ფიგურისსხვადასხვა ხედები და მათი გამოსახულებები იზომეტრიულ ფურცელზე
ფუძეს ზომებით 2times3ერთეულის (კუბობით)მქონე მართკუთხედისფორმისაა
სამგანზომილებიანი ფიგურების ასახვისათვის ხელსაყ-რელია იზომეტრიული წერტილოვანი ფურცლებიმაგალითად კუბის ერთეულის ტოლი წიბოები წერ-ტილებს შორის ერთეული მანძილის ტოლია კუბისწვეროების აღნიშვნითა და მიმდევრობითი შეერთებითმისი სამგანზომილებიანი ხედის მიღება შეიძლებაანალოგიური წესით იხაზება კუბოიდის შემდგენიყველა კუბი
ზედხედის გამოყენებითავაგოთ ფიგურის ფუძე
ზედხედი გვერდხედი წინხედი
გვერდხედის გამოყენებითდავასრულოთ აგება
წინხედით შევამოწმოთკონსტრუქციის სისწორე
1-ლი და მე-2 მწკრივისსიმაღლე 1 კუბია
კონსტრუქციის სიგანე2 ერთეულია
მე-3 მწკრივი 2კუბის სიმაღლისაა
კონსტრუქციის სიმაღლე2 ერთეულია
სხვადასხვა მხრიდან ხედების მიხედვით ააგეთ კუბებისაგან კონსტრუქციები დაგამოსახეთ ისინი იზომეტრიულ წერტილოვან ფურცელზე
1
ა) ბ)
164
კუბის სამი სხვადასხვა ხედისმიხედვით განსაზღვრეთ რომე-პლი ასოებია მოპირდაპირე წახ-ნაგზე
T TI
A HM MO O
mravalwaxnagebi da maTi xedebi sxvadasxva mxridan
სურათზე ახალი ასაშენებელი ბინის გამოსახულებაამოცემული დახაზეთ ბინის ზედხედი გვერდხედი დაწინხედი სურათზე მოცემული თითოეული ერთეულირეალურად 15 მ-ის ტოლია ზედხედით განსაზღვრეთრამდენი კვადრატული მეტრი ფართობი უკავია შენობას
თითოეული კონსტრუქციის მიხედვით შეასრულეთ დავალებები
ა) დახაზეთ ხედები სხვადასხვა მხრიდან
ბ) იპოვეთ გაფერადებული ნაწილის ფართობიგ) რამდენი სანტიმეტრია კონსტრუქციის უმაღლესი ნაწილის სიგრძე
2
3
4
5 დახაზეთ თითოეული კონსტრუქცია იზომეტრიულ წერტილოვან ფურცელზე დახა-ზეთ კონსტრუქციების ზედხედები წინხედები და გვერდხედები
სურათზე მოცემული კონსტრუქციებიდან რომელი ხედიზედხედი გვერდხედი თუ წინხედი გაძლევთ იმისგანსაზღვრის შესაძლებლობას რომ კონსტრუქცია ერთიდა იგივე სიმაღლისაა დახაზეთ უჩვენეთ
წინ წინ
წინ
წინ
გვერდი გვერდი
გვერდით
გვერდით
საპატიო კვარცხლბეკი საფეხური
1 ერთეული = 02 მ 1 ერთეული = 025 მ
ა) ბ) გ) დ)
6 7რომელ ფიგურას მიეკუთვნებამოცემული შლილი
ა) ბ)
გ) დ)
165
mravalwaxnagebi da maTi xedebi sxvadasxva mxridan
8 იზომეტრიულ წერტილოვან ფურცელზე დახაზეთ შემდეგი სახის პრიზმებიnimuSi ა) მართი სამკუთხა პრიზმა რომ-ლის სიმაღლე 2 ერთეულია ფუძეში მყოფიმართკუთხა სამკუთხედის კათეტები კი 4ერთეული და 5 ერთეული
გ) მართი სამკუთხა პრიზმა რომლისსიმაღლეა 2 ერთეული ფუძეში მყოფიმართკუთხა სამკუთხედის კათეტებია 3ერთეული და 5 ერთეული
ბ) მართკუთხა პარალელეპიპედი რომ-ლის სიმაღლეა 2 ერთეული სიგანე 3ერთეული სიგრძე 5 ერთეული
9 ბუნებაში მინერალები სხვადასხვა ფორმის კრისტალების სახით გვხვდება არსებობსმინერალის არაძვირფას სახეებთან ამეტისი კვარცი ემირალდი ფლორიდი და სხვებთანერთად ძვირფასი სახეებიც ალმასი ფირუზი საფირი და სხვ სურათზე კრისტალები დამათ ფორმებში გეომეტრიული ფიგურებია მოცემული დახატეთ კრისტალების ზედ-ხედები და გვერდხედები
ა) დახაზეთ სახლის ხედები ზემოდან წინიდან და გვერდიდანბ) იპოვეთ სახლის სახურავის ზომები
10 მ
5 მ
6 მ
11
12 მოცემული სამი ზომის მიხედვით იპოვეთ მართკუთხა პარა-ლელეპიპედის დიაგონალია) 6 8 24 ბ) 12 16 21
ერთი პარალელეპიპედის გვერდითი წიბო 5 სმ-ია ფუძე არის პარალელოგრამი რომლისგვერდებია 6 სმ და 8 სმ ხოლო დიაგონალებიდან ერთი 12 სმ-ია იპოვეთპარალელეპიპედის დიაგონალები
13
14 იპოვეთ მართი პარალელეპიპედის დიაგონალები თუ თითოეული მისი წიბოა a დაფუძის მახვილი კუთხე 60ordm-ია
დახაზეთ მრავალწახნაგების გვერდხედები წინხედები და ზედხედები
nimuSi
წინიდან ზემოდან გვერდიდან
10
166
prizmis zedapiris farTobi
gamokvleva 1 იპოვეთ იმ მართკუთხა პარალელეპიპედისსრული ზედაპირის ფართობი რომლის განზომილებებია a b და c
პარალელეპიპედის მოპირდაპირე წახნაგები წყვილ-წყვილად კონგრუენტული 6 მართკუთხედისაგან შედ-გება პარალელეპიპედის სრული ზედაპირის გამოთ-ვლისათვის გამოვთვალოთ მისი წახნაგების ფართობები
gamokvleva 2 გამოთვალეთ მართი სამკუთხა პრიზმის გვერდითი ზედაპირისა დასრული ზედაპირის ფართობი თუ მისი სიმაღლეა h ხოლო ფუძეში მყოფი სამკუთხედისგვერდებია a b და c
a სიგრძის b სიგანისა და c სიმაღლის მართკუთხა პარალელეპიპედის სრული ზედაპირისფართობი S = 2(ab + ac + bc) ფორმულით გამოითვლება
1 მარცხენა და მარჯვენა ac + ac = 2ac2 ზედა და ქვედა ab + ab = 2ab3 წინა და უკანა bc + bc = 2bcყველა წახნაგის ფართობების ჯამი S = 2ab + 2bc +2ac
წინა
უკანა
ზედა
ქვედა
მარჯვენამა
რცხე
ნა
b
b
b
b
aa
a
a
c
cc
c
წახნაგები ფართობები
a
aa
ab
bb
b
c
c
ch h h
დავხაზოთ პრიზმის შლილიპრიზმის გვერდითი ზედაპირი შედგება სამი მართკუთხედისაგან ამ სამკუთხედებისფართობების ჯამი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ტოლიაგვერდითი ზედაპირის ფართობის შემდგენი მართკუთხედების ფართობების ჯამიah + bh + ch = (a + b + c)h = Ph სადაც P ფუძეში მყოფი სამკუთხედის პერიმეტრია
პრიზმის სრული ზედაპირის მოძებნისათვის უნდა ვიპოვოთ ფუძეების ფართობებიპრიზმის ფუძეები ამ შემთხვევაში სამკუთხედის სახისაა მაშასადამე მოცემული პრიზმისსრული ზედაპირის ფართობი ფუძეების შემდგენი ორი სამკუთხედისა და გვერდითიზედაპირის ფართობების ჯამის ტოლია ამ შემთხვევაში ფუძის ფართობი ჰერონისფორმულით შეიძლება გამოთვლილი იქნას
167
prizmis zedapiris farTobi
gamokvleva 3 დახრილი პრიზმის ფუძეები 10 20 გვერ-დებიანი ორი მართკუთხედია ორი გვერდითი წახნაგის (მარ-ჯვენა და მარცხენა) ზომებიდან ერთი 10 მეორე კი 18 მქონეკონგრუენტული მართკუთხედებია დანარჩენი ორი გვერდითიწახნაგის (წინა და უკანა) ზომებია 20 და 18 მახვილი კუთხე 30ordm-ია მოცემული ზომების მიხედვით გამოთვალეთ პრიზმის სრულიზედაპირის ფართობი
პრიზმის პარალელოგრამის სახის წინა და უკანა წახნაგების ფართობის გაანგარიშებისათვისვიპოვოთ პრიზმის სიმაღლე
წინა და უკანა წახნაგების ფართობების ჯამი 2 20 9 = 360 (კვ ერთ)მარჯვენა და მარცხენა წახნაგების ფართობების ჯამი 2 10 18 = 360 (კვ ერთ)ფუძეების ფართობების ჯამი 2 20 10 = 400 (კვ ერთ)პრიზმის სრული ზედაპირი 360 + 360 + 400 = 1120 (კვ ერთ)
sin 30deg = h18
2030deg 10
18h
h = 9
მართი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი ფუძისმრავალკუთხედის პერიმეტრისა და სიმაღლის (გვერდითიწიბოს) ნამრავლის ტოლია
სადაც P ფუძის პერიმეტრს ხოლო h პრიზმის სიმაღლე უჩვენებს
პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი ფუძეებისა და გვერდითი ზედაპირის ფარ-თობების ჯამის ტოლია
მართი პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი S = 2Sფძ + Ph ფორმულითგამოითვლება
Sსრ = 2Sფძ + Sგვ
Sგვ = Ph
marTi prizmis gverdiTi zedapiris farTobi
prizmis sruli zedapiris farTobi
P
h
ა) გამოვთვალოთ მართი პრიზმის სრული ზედაპირისფართობი რომლის ფუძეებიც მართკუთხა სამკუთხედებია
2Sფძ = 2 6 8 = 48 (სმ2)S გვ= Ph = (10 + 8 + 6) 15 = 360 (სმ2)Sსრ = 48 სმ2 + 360 სმ2 = 408 (სმ2)
Sსრ = 2Sფძ + S გვ = 2Sფძ + Ph
nimuSi გამოთვალეთ მართი პრიზმის სრული ზედა-პირის ფართობი
6 სმ8 სმ
10 სმ
15სმ
12
168
prizmis zedapiris farTobi
ვიპოვოთ მართი პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი რომლის ფუძეებიც ტრაპეციებია
2Sფძ = 2 ( (10 + 4) 4) = 56 ( სმ2)Sგვ = Ph = (10 + 5 + 5 + 4) 15 = 360 (სმ2)Sსრ = 56 + 360 = 416 (სმ2)
გამოთვალეთ მართი პრიზმის გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობები
b)
5 სმ5 სმ
10 სმ4 სმ
4 სმ
15 სმ
Sსრ = 2Sფძ + Sგვ = 2Sფძ + Ph12
1
3 მ25 მ
5 სმ
24 მ8 სმ 75 სმ
2 სმ
18 მ5 მ
10 სმ
3 სმ124 მ
4 მ5 მ
9 მ85 მ
105 მ
ა) ჰიქმეთი გეგმავს ცხენისათვის წყლის დასალევიმართი პრიზმის ფორმის ჭურჭლის დამზადებასრომლის ფუძეც ტრაპეციის ფორმისაა მოცემულიზომის ჭურჭლის დამზადებისათვის სულ მცირერამდენი მასალა დასჭირდებათ
ბ) 6 მ სიმაღლის პრიზმის ფუძეები ტოლგვერდა ტრაპეციებია ტრაპეციის ფუძეები 2 მდა 8 მ-ია გვერდები 5 მ-ია იპოვეთ პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი დახაზეთშესაბამისი პრიზმა და მოცემული ზომები ზედ დააწერეთ
2
100 სმ50 სმ40 სმ 50 სმ
2 მ
სულ მცირე რამდენი კვადრატული მეტრი ქსოვილიაგამოყენებული მოცემულ კარავზე
3120 სმ
152 სმ 200 სმ
142 სმ
მართკუთხა პარალელეპიპედის წიბოები ისე შეეფარდება ერთმანეთს როგორც 3 7 8 მისი ზედაპირი 808 სმ2-ია იპოვეთ წიბოები
მართი პარალელეპიპედის ფუძის 6 სმ და 8 სმ გვერდები 30ordm-იან კუთხეს ქმნიან იპოვეთამ პარალელეპიპედის სრული ზედაპირის ფართობი თუ ცნობილია რომ გვერდითიწიბო 5 სმ-ია
იპოვეთ მართი ოთხკუთხა პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი თუ დიაგონალი 14 სმ-ია ხოლო გვერდითი წახნაგის დიაგონალი 10 სმ-ია
6
5
4
10 სმ20 სმ24 სმ
169
prizmis zedapiris farTobi
სურათზე მოცემული ზომების მიხედვითიპოვეთ წესიერი პრიზმის სრული ზედა-პირის ფართობი
იპოვეთ სურათზე მოცემული პრიზმების სრული ზედაპირის ფართობი
წესიერირვაკუთხედი
წესიერი ხუთკუთხედი წესიერი ექვსკუთხედი
7
9
125 სმ
12 სმ10 სმ
6 სმ
6 სმ
4 სმ
4 სმ
10 სმ
8 სმ15 სმ
წესიერი პრიზმები და შლილის სურათები რვეულში ჩაიხაზეთ შესაბამისი ზომებიდააწერეთ შლილის სურათებზე გამოთვალეთ პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი
8
8
6
ჩაიხაზეთ ფიგურებისა და შლილის სურათები გამოთვალეთ მართი პრიზმებისსრული ზედაპირის ფართობები
მართი პრიზმის მოცემული ზომების მიხედვითიპოვეთა) ფუძეების ფართობი ბ) გვერდითი ზედაპირის ფართობი გ) სრული ზედაპირის ფართობი
10
11
8 სმ
6 სმ
3 სმ
2 სმ
4 მ
5 მ
25 მ25 მ
4 მ
25 მ
128
89ბ) გ)ა)
8 სმ6 სმ
10 სმ4 სმ
6მ8მ
45მ
170
prizmis zedapiris farTobi
მონაცემების მიხედვით დახაზეთ მართი პრიზმების სურათი და გამოთვალეთ სრულიზედაპირის ფართობი
12
სურათზე მოცემული ზამთრის ბაღის კედლები დასახურავი გამჭვირვალე დაფებით უნდა დაიფაროსცნობილია რომ კარების ფართობი 18 მ2-ია მოცე-მული ზომების მიხედვით გამოთვალეთ რამდენიკვადრატული მეტრი დაფა იქნება საჭირო მისიდაფარვისათვის
1309 მ 15 მ
24 მ
3 მ24 მ
30 მ2 ფართობის შეღებვისათვის დაახლოებით 4 ლსაღებავია საჭირო სურათზე ნაჩვენები ავტო-ფარეხის 2-ჯერ შეღებვისათვის რამდენი ლიტრისაღებავი იქნება საჭირო ზომები მეტრებშიამოცემული
14
მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის ფიც-რისგან სურათზე ნაჩვენები ნაწილი ამოჭრილ-ამოღებული იქნა როგორ შეიცვალა დარ-ჩენილი ფიცრის ნაწილის სრული ზედაპირისფართობი პასუხი გამოთვლებით დაასა-ბუთეთ
იპოვეთ მართკუთხა პარალელეპიპედისაგან ამოჭრით მიღებული ფიგურების სრულიზედაპირის ფართობი
15
16
40 სმ16 სმ
20 სმ
16 სმ 10 სმ8 სმ
8 სმ
20 სმ
24 მ
09 მ06 მ
23 მ
18 მ 4 მ5 მ
5 მ
4 მ3 მ
3 მ
5 სმ
5 სმ
22 სმ
25 სმ
15 სმ
10 სმ
პრიზმის ფუძე პრიზმისსიმაღლე
ა) ტოლგვერდა სამკუთხედი რომლის გვერდი 8 ერთეულიაბ) სამკუთხედი რომლის გვერდებია 13 14 15 ერთეულიგ) ტოლფერდა სამკუთხედია რომლის გვერდები 12 10 10ერთეულიად) ტოლფერდა ტრაპეცია რომლის გვერდები 10 5 4 5ერთეულიაე) რომბი რომლის დიაგონალებია 8 და 6 ერთეულივ) წესიერი ექვსკუთხედი რომლის გვერდია 8 ერთეული
10 ერთეული12 ერთეული7 ერთეული
20 ერთეული
10 ერთეული
11 ერთეული
15
241
22
64
171
prizmis sibrtyiTi kveTebi
prizmis sibrtyiTi kveTebi
gamokvleva ყველი მართი სამკუთხა პრიზმის ფორმისაა როგორ უნდა დაჭრათ ყველირომ მოჭრილი კვთები მოთხოვნილი ფორმისა იყოს
ა) მართკუთხედი ბ) სამკუთხედი გ) ტრაპეცია
პრიზმის სიბრტყესთან გადაკვეთის შედეგად მასზე დარჩენილი კვალი განსაზღვრავსსიბრტყითი კვეთის ფორმას სურათზე მართკუთხა პარალელეპიპედის სიბრტყითიკვეთებია ასახული
ფუძის სიბრტყის პა-რალელური სიბრ-ტყით გადაკვეთამიიღება მართკუთ-ხედი
ფუძის მართობულისიბრტყით გადაკვე-თა მიიღება მართკუთ-ხედი
ფუძის სიბრტყესთანგანსაზღვრული კუთ-ხის შემქმნელი მოპირ-დაპირე წახნაგებისმკვეთი სიბრტყემიიღება პარალელო-გრამი
ფუძის სიბრტყესთანგანსაზღვრული კუთ-ხის შემქმნელი ერთიწვეროდან გამოსულიწიბოების მკვეთისიბრტყე მიიღება სამკუთხედი
ა) გვერდხედი და წინხედიმართკუთხა ფორმისაა თუყველს დავჭრით ვერტიკა-ლურად კვეთებში მართ-კუთხედები წარმოიქმნება
ბ) ყველის ზედხედი სამ-კუთხა ფორმისაა თუ ყველსჰორიზონტალურად დავ-ჭრით კვეთა სამკუთხა სა-ხისა იქნება
გ) ყველის გვერდხედი სამ-კუთხა ფორმისაა თუ ყველსგანსაზღვრული კუთხითდავჭრით კვეთა ტრაპეციისსახისა იქნება
მიაქციეთ ყურადღება როცა ვამბობთ სიბრტყითი კვეთა ვგულისხმობთ არა გამოყოფილნაწილს არამედ ფიგურაზე დარჩენილ კვეთის სახეს
პრიზმის გვერდითი წიბოების მართობული სიბრტყით გადაკვეთისასმიღებულ მრავალკუთხედს მისი მართობული კვეთა ეწოდებაპრიზმის ფუძის სიბრტყის პარალელური სიბრტყითი კვეთა კი ფუძისკონგრუენტული მრავალკუთხედია
პრიზმის ერთ წახნაგზე არამდებარე ორ გვერდით წიბოზე გამავალ მკვეთს დიაგონალური კვეთა ეწოდება
n-კუთხა პრიზმის დიაგონალური კვეთების რაოდენობა -ის ტოლია
ვინაიდან დიაგონალური კვეთებიდან თითოეული პარალელოგრამია მიიღება რომ
n-კუთხა პრიზმას n(n ndash 3) რაოდენობის დიაგონალი აქვს
n(n ndash 3)2
172
prizmis sibrtyiTi kveTebi
დახაზვით წარმოადგინეთ თითოეული პრიზმის შესაბამის სიბრტყესთან კვეთაგანსაზღვრეთ გადაკვეთისას მიღებული მრავალკუთხედის სახე
ფუძის სიბრტყის პარა-ლელური სიბრტყით
ფუძის სიბრტყის პარა-ლელური სიბრტყით
ფუძის სიბრტყის მართობულისიბრტყით
ფუძის სიბრტყის მარ-თობული სიბრტყით
ფუძის სიბრტყესთან განსა-ზღვრული კუთხის შექმნითწინა და უკანა წახნაგებისმკვეთი სიბრტყით
ფუძის სიბრტყესთან განსაზ-ღვრულ კუთხის შექმნით ერ-თი წვეროდან გამოსული სამიწიბოს მკვეთი
რომელი მრავალკუთხედი მიიღება კუბის სახით ნაჩვენებ სიბრტყესთან გადაკვეთისას1
2
3 1) იპოვეთ 6 სმ წიბოს მქონე კუბის სურათზე ნაჩვენები სიბრტყითიკვეთის პერიმეტრი
2) კუბი ერთი წვეროდან გამოსული სამი წიბოს წვეროებზე გამავალისიბრტყითაა გადაკვეთილი რა ფიგურა მიიღება კვეთაშია) იპოვეთ d მონაკვეთის სიგრძე თუ კუბის წიბო 1 სმ-იაბ) იპოვეთ სიბრტყითი კვეთის პერიმეტრი თუ კუბის წიბო 3radic2 სმ-ია
4 მართკუთხა პარალელეპიპედის განზომილებებია 9 სმ 12 სმ 20 სმ გამოთვალეთთითოეული სიბრტყითი კვეთიდან მიღებული ფიგურების პერიმეტრი და ფართობი
a a a ab
c
b b b
c c c
6 წესიერი ექვსკუთხა პრიზმის უდიდესი დიაგონალური კვეთის ფართობი 2 სმ2-იაიპოვეთ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი
5 მართკუთხა პარალელეპიპედის ფუძის გვერდები 7 სმ და 24 სმ-ია პარალელეპიპედისსიმაღლე კი 8 სმ-ია იპოვეთ დიაგონალური კვეთის ფართობი
d
nimuSi დახრილი პრიზმის ფუძეებიტოლგვერდა სამკუთხედებია ACCprimeAprimeწახნაგი ოთხკუთხედია იპოვეთ პრიზმისგვერდითი ზედაპირის ფართობი თუAAprime = 12 სმ AB = BC = 8 სმ AC = 6 სმდა α = 30deg amoxsna პრიზმის გვერდითი ზედაპირიSგვ = P კვl
პრიზმის მართობულ კვეთაში მიიღებასამკუთხედი DEF ამოცანის ამოხსნისათ-ვის პრიზმის ღია სურათზე უფრო თვალნათლივ დანახვა შეიძლება
173
სურათზე მოცემული დახრილი პრიზმის ფუძეები ტოლგვერდა სამ-კუთხედებია ACCprimeAprime წახნაგი ოთხკუთხედია იპოვეთ პრიზმის გვერ-დითი ზედაპირის ფართობი თუ AAprime = 10 სმ AB = 4 სმ α = 45deg
10 დახრილი სამკუთხა პრიზმის გვერდით წიბოებს შორის მანძილები 4 სმ6 სმ და 8 სმ-ია პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი 90 სმ2-იაიპოვეთ პრიზმის გვერდითი წიბო
11
prizmis sibrtyiTi kveTebi
მართი პრიზმის ფუძე რომბია პრიზმის დიაგონალები 8 სმ და 5 სმ-ია ხოლო სიმაღლე2 სმ იპოვეთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი
7
8
მართი პრიზმის ფუძე რომბია მისი დიაგონალური კვეთის ფართობებია 42 სმ2 და 56 სმ2 იპოვეთ ამ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი
პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობის მისი მართობული კვეთის გამოყენებით ზო-გადი სახით გამოხატვა შეიძლებაპრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი მისი მართობული კვეთის პერიმეტრისა დაგვერდითი წიბოს სიგრძის ნამრავლის ტოლიაSგვ = P კვl
მართი პრიზმის ფუძეებთან მართობული კვეთები კონგრუენტული მრავალკუთხედებიაამიტომაც მართ პრიზმაში მართობული კვეთის პერიმეტრის ნაცვლად ფუძის პერიმეტრისგამოსახულება გამოიყენება მართობული კვეთის პერიმეტრიდან დახრილი პრიზმისგვერდითი ზედაპირის ფართობის პოვნისას გამოყენება შეიძლება დახრილი პრიზმისგვერდითი ზედაპირი მისი წახნაგების ფართობების ცალ-ცალკე პოვნითა და შეჯამებითაცშეიძლება გამოითვალოს (მე-3 გამოკვლევის მსგავსად)
DE და FE ვინაიდან 30deg-იანი კუთხის მოპირდაპირე კათეტებია 4 სმ იქნება DEFმართობული კვეთის პერიმეტრი DE + DF + FE = 4 + 6 + 4 = 14 (სმ)Sგვ = P კვ AAprime = 14 12 = 168 (სმ2)
დახრილი პრიზმის ფუძე არის მართკუთხედი რომლის გვერდებია 6 სმ და 4 სმგვერდითი წახნაგებიდან ორის ზომა 6 სმ times 8 სმ მართკუთხედებია დანარჩენი ორიგვერდითი წახნაგი კი ზომები 4 სმ times 8 სმ 30deg-იანი მახვილი კუთხის მქონეპარალელოგრამია იპოვეთ დახრილი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობითითოეული წახნაგის ფართობის გამოთვლით
9
A1C1
CA
B
Ba a
A
D
E
F
E D F E
Aprime
Aprime
A
Bprime
B
C
Cprime
Cprime
C
B
Bprimeαα
α α 886
6 44
174
piramida piramidis gverdiTi zedapirisa da srulizedapiris farTobi
პირამიდა არის მრავალწახნაგა რომლის ერთი წახნაგი არის მრავალკუთხედი ხოლოდანარჩენი წახნაგები საერთო წვეროს მქონე სამკუთხედებია საერთო წვეროს მქონესამკუთხედები პირამიდის გვერდითი წახნაგებია ხოლო მრავალკუთხედი კი ფუძეგვერდითი წახნაგების საერთო გვერდებს გვერდითიწიბოები ეწოდებაგვერდით წახნაგებზე არსებულ სამკუთხე-დების საერთო წვეროს პირამიდის წვეროეწოდებაპირამიდის წვეროდან ფუძის სიბრტყეზედაშვებულ მართობს პირამიდის სიმაღლეეწოდება
თუ ფუძე წესიერი მრავალკუთხედია და სიმაღლისფუძე ამ მრავალკუთხედის ცენტრს ემთხვევა მაშინპირამიდას წესიერი პირამიდა ეწოდება
გვერდითიწიბო
გვერდითიწახნაგი
სიმაღლე
ფუძე
აპოთემასიმაღლე
ფუძე (წესიერიმრავალკუთხედი)
წვერო
oTxkuTxapiramida
wesieri oTxkuTxa piramida
წესიერი პირამიდის გვერდითი წახნაგისსიმაღლეს რომელიც გავლებულია პირა-მიდის წვეროდან პირამიდის აპოთემაეწოდება
პირამიდის დასახელება განისაზღვრება ფუძეში არსებული მრავალკუთხედის სახელითმაგალითად სამკუთხა პირამიდა ოთხკუთხა პირამიდა და აშ
samkuTxa piramidaxuTkuTxa piramidaoTxkuTxa piramida
წესიერი პირამიდის გვერდითი წიბოები კონგრუენტულიაწესიერი პირამიდის გვერდითი წახნაგები კონგრუენტული ტოლფერდა სამკუთხედებიაწესიერი სამკუთხა პირამიდას ტეტრაედრიც ეწოდება ტეტრა ბერძნულად ოთხს ნიშნავსანუ 4 წახნაგის (თითოეული სამკუთხა ფორმისაა) მქონე მრავალწახნაგა
კერძო შემთხვევაში პირამიდის ქვემოთ მოცემულ ნაბიჯებად გავლება შეიძლება
1 გაავლეთ პარალელო-გრამი და მისი დიაგონა-ლები
2 დიაგონალების გადა-კვეთის წერტილისადმიდაუშვით მართობი
3 შეაერთეთ მართობის წვე-როსა და პარალელოგრამისწვეროების წერტილები
S = ahაპ + ahაპ + ahაპ + ahაპ + ahაპ + ahაპ =
= hაპ (a + a + a + a + a + a) = Phაპ S = Phაპ
175
Sგვ = Phაპ = 6 a hაპ = 6 6 9 = 162 (სმ2)ფუძის ფართობის პოვნისათვის ჯერ წესიერი ექვსკუთხა
აპოთემა (r) უნდა მოვძებნოთ Sფძ= Prწესიერი ექვსკუთხა ცენტრული კუთხე 360deg 6 = 60degმაშინ AOK = 30degr = 3 tg60deg = 3radic3 Sფძ= 36 3radic3 935 (სმ2)S სრ = Sგვ + Sფძ 162 სმ2 + 935 სმ2 = 2555 სმ2
nimuSi 1 წესიერი ექვსკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდი6 სმ-ია იპოვეთ პირამიდის სრული ზედაპირის ფართობითუ აპოთემა 9 სმ-იაamoxsna
mocemulia a = 6 სმ hაპ = 9 სმ
ipoveT Sსრ =
12
12
12
12
12
6 სმ
3 სმ
r
9 სმ
30deg
წესიერი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობიფუძეში მდებარე მრავალკუთხედის პერიმეტრისა დაპირამიდის აპოთემის ნამრავლის ნახევრის ტოლია
სადაც P არის ფუძის პერიმეტრი hაპ - პირამიდის აპოთემააპირამიდის სრული ზედაპირის ფართობი მისი ფუძისა და გვერდითი ზედაპირის ფარ-თობის ჯამის ტოლია S სრ = Sგვ + Sფძ
Sგვ = Phაპ
wesieri piramidis gverdiTi zedapiris farTobi
12
hაპ
h
წესიერი პირამიდის გვერდითი ზედაპირისფართობი შეიძლება ვიპოვოთ როგორც გვერ-დითი წახნაგების შემდგენი კონგრუენტულისამკუთხედების ფართობების ჯამიმაგალითად სურათზე მოცემული ექვსკუთხაპირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობიმისი გვერდითი ზედაპირის შემდგენი 6 კონ-გრუენტული სამკუთხედის ფართობების ჯა-მის ტოლია
12
12
12
12
12
12
12
12
12
a
la a aa a
aaaa a a
ha ha ha ha ha ha
A
O
BK
piramida piramidis gverdiTi zedapirisa da srulizedapiris farTobi
176
∆ADO- დან AO = radicAD2 DO2 = radic102 62 = radic64 = 8 (სმ)ცნობილია რომ AO = AE (განმარტეთ) AE = 8 (სმ) AE = 12 სმ რადგან∆AEB-ს კუთხეები 30deg 60deg 90deg -ია (განმარტეთ)
BE = = = 4radic3 BC = 2BE = 8radic3 P = 3BC = 24radic3∆DOE-დან ვიპოვოთ აპოთემა OE = 12 8 = 4 ( სმ)DE = radicOD2 + OE2 = radic62 + 42 = radic52 = 2radic13
Sგვ = Phაპ = 24radic3 2radic13 = 24radic39 (სმ 2)Sფძ = BC AE = 8radic3 12 = 48radic3 (სმ2)
S სრ = Sგვ + Sფძ = 24radic39 + 24radic3 150 + 42 = 192 (სმ2)
nimuSi 2 წესიერი სამკუთხა პირამიდის გვერდითი წიბოები 10 სმსიმაღლე 6 სმ-ია იპოვეთ პირამიდის სრული ზედაპირის ფართობიamoxsnamocemulia AD = 10 სმ DO = 6 სმipoveT Sსრ =
12
12 1
212
10
A
B E
A
C
B
D
O E
6
23
23
AEradic3
12radic3
30deg
60deg
სურათის მონაცემების მიხედვით გამოთვალეთ წესიერი პირამიდების გვერდითიზედაპირების ფართობები
saswavlo davalebebi
სურათის მონაცემების მიხედვით გამოთვალეთ წესიერი პირამიდების გვერდითიზედაპირების ფართობები პასუხები მთელ რიცხვებამდე დაამრგვალეთ
1
2
28 სმ
30 სმ
8 სმ
20 სმ
182 სმ
4 სმ
8 მ
12 მ
5 სმ
10 სმ10 მ
12 მ
3
4
პირამიდის ფუძეა მართკუთხედი რომლის ერთი გვერდი 6 სმ-ია ხოლო მეორე გვერდი8 სმ პირამიდის გვერდითი წიბოების სიგრძე 13 სმ-ია იპოვეთ სიმაღლე
წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის სიმაღლე 7 სმ-ია ფუძის გვერდი 8 სმ იპოვეთ გვერ-დითი წიბო
პირამიდის გვერდითი ზედაპირის გამოთვლისათვის უნდა ვიპოვოთ ფუძის პერიმეტრი დააპოთემა პერიმეტრის პოვნისათვის კი წესიერი სამკუთხედის ერთი გვერდის მოძებნასაკმარისია
piramida piramidis gverdiTi zedapirisa da srulizedapiris farTobi
177
მართკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდებია 10 და 18 ერთეულიO მართკუთხედის ცენტრია პირამიდის სიმაღლე FO = 12 სმ
ა) იპოვეთ FH და FE
ბ) იპოვეთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი
S გვ = Pha ფორმულის გამოყენება შეიძლება
7
h ha
10
18
12
A
B C
DHE
F
O12
8 იპოვეთ წესიერი პირამიდების გვერდითი ზედაპირების ფართობები
5 სმ3 სმ
15 სმ
3 მ
24 მ
11სმ
65 სმ 25 მ
14 მ5 სმ
10 სმ
12 სმ
12 სმ12 სმ
10 სმ
15 სმ
8 სმ
6 სმ
სამკუთხა პირამიდის გვერდითი წიბოები 4 სმ 6 სმ და 8 სმ-ია და წყვილ-წყვილადმართობულია იპოვეთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი
პირამიდის ფუძე არის მართკუთხედი რომლის გვერდებია 9 სმ და 5 სმ ერთ-ერთიგვერდითი წიბო რომელიც 12 სმ-ია ფუძის სიბრტყის მართობულია იპოვეთ ამპირამიდის გვერდითი ზედაპირი
10
9
მოცემული ზომების მიხედვით დახაზეთ წესიერი პირამიდები და იპოვეთ გვერდითიზედაპირის ფართობია) წესიერი ოთხკუთხა პირამიდა რომლის ფუძის გვერდია 8 ერთეული გვერდითი წიბოკი 5 ერთეულიბ) წესიერი სამკუთხა პირამიდა რომლის ფუძის გვერდია 4 ერთეული აპოთემა 6ერთეულიგ) წესიერი ექვსკუთხა პირამიდა რომლის ფუძის გვერდია 10 ერთეული გვერდითიწიბო კი 13 ერთეული
ცხრილის მონაცემების მიხედვით იპოვეთ წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის მოთხოვნილიზომები
5
6
სიმაღლე 6 12 24 6აპოთემა 10 15 13 5
ფუძის გვერდი 10 8
გვერდითი ზედაპირი 156 320
h ha
piramida piramidis gverdiTi zedapirisa da srulizedapiris farTobi
178
11 სახლის სახურავი წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის ფორმისაა პირამიდის ფუძის გვერდი12 მ-ია სახურავის სიმაღლე 25 მ-ია რამდენი კვადრატული მეტრი მასალა არისგამოყენებული სახლის სახურავზე
12
13 მსოფლიოს დიდი ქვეყნების არქიტექტურაში პირამიდის სახის ნაგებობებს მნიშ-ვნელოვანი ადგილი უკავიათ ამ ნაგებობებს შორის არის უძველესი ძეგლებიც (ეგვიპტისპირამიდები რომის სესტის პირამიდა) და არის ქალაქებისათვის თანამედროვეობისმიმნიჭებელი ახლებიც (პარიზში ლუვრის მუზეუმი ბაქოში იჩერიშაჰარის მეტროსშესასვლელი და სხვ) ა) ჰეოპსისა და ლუვრის პირამიდები ოთხკუთხა პირამიდებიამოცემული ზომების მიხედვით გამოთვალეთ თითოეულის გვერდითი ზედაპირისფართობი
წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის მონაცემების მიხედვითა) OM ბ) ha გ) NCდ) S∆NBC ე) Sგვ ვ) Sსრ
luvris piramida pariziheopsis piramida egvipte
iCeriSaharis metros piramida
ფუძის გვერდი 35 მ აპოთემა 28 მ
ბ) სურათზე იჩერიშაჰარის მეტროს სადგურის პირამიდისებრი შესასვლელის გეგმაამოცემული გეგმაზე მოცემული ზომების მიხედვით გამოთვალეთ პირამიდისგვერდითი ზედაპირის ფართობი
ფუძის გვერდი 230 მ აპოთემა 186 მ
N
66
12
ha
DO M
C
BA
8
haწესიერ ტეტრაედრში მონაცემების მიხედვით იპოვეთმოთხოვნილებია) OM ბ) ha გ) NCდ) S ∆NBC ე) Sგვ ვ) Sსრ
14B
3სმ
3სმ
hl
M
N
A
C
O
49 მ
49 მ
47 მ47 მ
66 მ
14 მ
piramida piramidis gverdiTi zedapirisa da srulizedapiris farTobi
179
პირამიდის ფუძე ტოლფერდა სამკუთხედია რომლის გვერდებია 6 სმ 6 სმ და 8 სმთითოეული გვერდითი წიბო 5 სმ-ია იპოვეთ ამ პირამიდის გვერდითი ზედაპირისფართობი
წესიერი ექვსკუთხა პირამიდის ერთი გვერდითი წახნაგისფართობი 8radic3 ფუძის ფართობი კი 24radic3 კვადრატულიერთეულია გამოთვალეთ პირამიდის ა) ფუძის გვერდის სიგრძე ბ) აპოთემა გ) გვერდითი წიბოს სიგრძე დ) სიმაღლე
gamokvleva wesier oTxkuTxa piramidaze ა) იზომეტრიულ წერტილოვან ფურცელზე სურათზე მოცემულისმსგავსად დახაზეთ წესიერი ოთხკუთხა პირამიდა რომლის ფუძისგვერდი 3 ერთეულიაბ) გამოთვალეთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი იმ შემ-თხვევებისათვის როცა აპოთემა ტოლია 3-ის 9-ისა და შეადგინეთცხრილიგ) დაწერეთ ფუძის ზომების შეუცვლელად აპოთემის ზომის 3-ჯერგაზრდით როგორ შეიცვალა გვერდითი ზედაპირის ფართობიდ) თან ფუძის გვერდი და თან აპოთემა 3-ჯერ თუ გაიზრდება როგორშეიცვლება გვერდითი ზედაპირი
გამოთვალეთ სურათზე მოცე-მული ფიგურის (წესიერი ოქტა-ედრის) გვერდითი ზედაპირისფართობი
წესიერი სამკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდი 6 სმ-ია გვერდითი ზედაპირის ფუძის სიბრ-ტყესთან შექმნილი კუთხე 45deg-ია იპოვეთ პი-რამიდის გვერდითი ზედაპირისა და სრულიზედაპირის ფართობიპირამიდის ფუძე არის ტოლფერდასამკუთხედი რომლის ფერდები 10 სმ-ია ფუძეკი 12 სმ-ია გვერდითი წახნაგებით ფუძისსიბრტყესთან შექმნილი ორწახნაგა კუთხისგრადუსული ზომა კი 60deg-ია იპოვეთპირამიდის აპოთემა და სიმაღლე
16
18
19 20
21
17
6 სმ
6 სმ
15 ა) პირამიდის აპოთემა სიმაღლეზე ნაკლები არაა დაასაბუთეთ ეს მოსაზრება
ბ) წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდი 10 სმ-ია გვერდითი წიბო 13 სმიპოვეთ პირამიდის სიმაღლე და აპოთემა
გ) პირამიდის ფუძე არის რომბირომლის დიაგონალებია 12 სმ და 16 სმ იპოვეთ ამპირამიდის სრული ზედაპირის ფართობი თუ გვერდითი წახნაგები ფუძის სიბრ-ტყესთან 60deg-იან კუთხეს ადგენენ
piramida piramidis gverdiTi zedapirisa da srulizedapiris farTobi
დაამტკიცეთ რომ ქვემოთ მოცემული მოსაზრებები მართებულიაპირამიდის ფუძის პარალელური სიბრტყით გადაკვეთისას1) ეს სიბრტყე პირამიდის გვერდით წიბოებსა და სიმაღლეს პრო-პორციულ ნაწილებად ყოფს2) გადაკვეთისას მიღებული მრავალკუთხედი ფუძის მსგავსია3) კვეთისა და ფუძის ფართობების თანაფარდობა მათი წვერო-დან დაშორების მანძილების კვადრატების თანაფარდობისტოლიაdamtkicebis gegma ისარგებლეთ პირამიდის პარალელური სიბრტყითი კვეთითგვერდით წახნაგებზე წარმოქმნილი ABT და AprimeBprimeT სამკუთხედების მსგავსებით
180
piramidis kveTebi wakveTili piramida
სიტყვიერად აღწერეთ პრიზმისა და სიბრ-ტყის გადაკვეთა
სიტყვიერად აღწერეთ სამკუთხაპირამიდისა და სიბრტყის სურათ-ზე ნაჩვენები კვეთები
ა) ბ)
წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის სიბრტყესთან გადაკვეთისას სხვადასხვა ფორმის მრა-ვალკუთხედები მიიღება გამოიკვლიეთ ქვემოთ მოცემული შემთხვევები სურათითა დასიტყვიერად დაწერით წარმოადგინეთ
ფუძის პარალელურ სიბრტყეს-თან გადაკვეთა გადაკვეთაშიკვადრატი მიიღება
ფუძის სიბრტყესთან განსაზ-ღვრული კუთხით ყოფნისასერთ წვეროში შეერთებულიმეზობელი წახნაგების მკვეთსიბრტყესთან გადაკვეთა გა-დაკვეთისას სამკუთხედი მი-იღება
ფუძის სიბრტყესთან განსაზ-ღვრული კუთხით ყოფნის-ას მოპირდაპირე წახნაგებისმკვეთ სიბრტყესთან გადა-კვეთა გადაკვეთისას ტრაპე-ცია მიიღება
წვეროზე გავლით ფუძი-სადმი მართობული სიბრ-ტყით გადაკვეთა გადაკვე-თაში ტოლფერდა სამკუთ-ხედი მიიღება
32
1
ა) წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდი 14 სმ-ია გვერდითი წიბოსსიგრძე-10 სმ იპოვეთ დიაგონალური კვეთის (პირამიდის წვეროს წერტილზედა ფუძის დიაგონალზე გამავალი სიბრტყით) ფართობიბ) იპოვეთ წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის (რომლის სიმაღლეც 12 ერთეული ფუ-ძის გვერდი კი 8 ერთეულია) ორი მოპირდაპირე გვერდითი წახნაგის აპოთე-მებზე გამავალ სიბრტყით კვეთაში მიღებული მრავალკუთხედის ფართობი
4
6
A
Aprime
B
Bprime
T
C
Cprime
D
Dprime
პირამიდის სიმაღლე 4 ტოლ ნაწილად დაიყო და დაყოფის წერტილებზე ფუძისპარალელური სიბრტყეებით გადაიკვეთა იპოვეთ მიღებული კვეთების ფართობები თუცნობილი რომ ფუძის ფართობი 400 მ2-ია
5
ა) ბ)
181
წაკვეთილი პირამიდის აგების ნაბიჯები
1) დახაზეთ პირა-მიდის ფუძეში არ-სებული მრავალ-კუთხედი
2) მრავალკუთხედის ცენტრ-ში გაავლეთ განსაზღვრულისიგრძის მართობი და მისიწვერო ფუძის წვეროებთანშეაერთეთ
3) პირამიდის ნებისმიერ გვერდით წიბოზეერთი წერტილიდან დაწყებით ფუძისგვერდების პარალელური მონაკვეთებითდახაზეთ პირამიდის მეორე ფუძე გვერ-დითი წიბოების წვეროდან მცირე ფუძემდეარსებული ნაწილები წაშალეთ
b
hh
წაკვეთილი პირამიდის ერთ წახნაგზე არამდებარე ორგვერდით წიბოზე გამავალ სიბრტყეს მისი დიაგონალურიმკვეთი ეწოდება A
Aprime
B
Bprime
C
Cprime
D
Dprime
piramidis kveTebi wakveTili piramida
პირამიდის სიმაღლე 16 სმ-ია ფუძის ფართობი კი 512 სმ2-ია იპოვეთ ფუძის პარა-ლელური მკვეთის ფუძის სიბრტყიდან მანძილი თუ მისი ფართობი 50 სმ2-ია
7
პირამიდის ფუძის პარალელური სიბრტყით გადაკვეთისას ამსიბრტყესა და პირამიდის ფუძეს შორის დარჩენილ მრავალწახნაგსწაკვეთილი პირამიდა ეწოდებაწაკვეთილი პირამიდის პარალელური წახნაგები მისი ფუძეებიდანარჩენი წახნაგები კი გვერდითი წახნაგებია ფუძეებისსიბტყეების მართობული წრფის ამ სიბრტყეებს შორის დარჩენილმონაკვეთს წაკვეთილი პირამიდის სიმაღლე ეწოდებაწესიერი პირამიდის ფუძის პარალელური სიბრტყით გადა-კვეთისას მიღებული წაკვეთილი პირამიდაც წესიერი წაკვეთილიპირამიდაა წესიერი წაკვეთილი პირამიდის გვერდითი წახნაგებიკონგრუენტული ტრაპეციაებია ამ ტრაპეციების სიმაღლე წესიერიწაკვეთილი პირამიდის აპოთემაა
h
O
O1
წესიერი წაკვეთილი პირამიდის გვერდითი
ზედაპირის ფართობი Sგვ = (P1 + P2)ha
ფორმულით გამოითვლება სადაც P1 და P2 წესიერი წაკვეთილი პირამიდისფუძეების პერიმეტრებია ha - აპოთემააწაკვეთილი პირამიდის სრული ზედაპირისფართობი კი გვედითი ზედაპირისა და ქვედა დაზედა ფუძეების ფართობების ჯამის ტოლია
heee
b
a
ha
b
h
b
aaa
ha
12
Sსრ = Sგვ + Sქვ + Sზედ
182
piramidis kveTebi wakveTili piramida
წესიერი წაკვეთილი პირამიდის გვერ-დითი ზედაპირის ფართობისათვის
Sგვ = (P1 + P2)ha ფორმულის
მართებულობა უჩვენეთ სურათზე მო-
ცემულ წესიერ პირამიდაზე
წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის AB გვერდი 12 სმ-ია SO სიმაღლე 8 სმ-იაპირამიდა ფუძიდან 2 სმ-ის მანძილზე ფუძის პარალელური სიბრტყითაა გადაკვეთილიიპოვეთ მიღებული წაკვეთილი პირამიდის სრული ზედაპირის ფართობი
12
B
B
B
CA
c
aa
a
c
ha
ha
CprimeAprimeBprime BprimeBprime
b
a
9
8 ა) დახაზეთ წესიერი ოთხკუთხა წაკვეთილი პირამიდა რომლის სიმაღლე 6 სმ ხოლოფუძეების გვერდების სიგრძე შესაბამისად 4 სმ და 6 სმ-ია
ბ) დახაზეთ წესიერი ექვსკუთხა წაკვეთილი პირამიდა რომლის სიმაღლეა 8 სმ ხოლოფუძეების გვერდების სიგრძე შესაბამისად 2 სმ და 3 სმ-ია
გ) წესიერი ოთხკუთხა წაკვეთილი პირამიდის ფუძეების ფართობები 36 სმ2 და 64 სმ2-ია პირამიდის გვერდითი წიბო ქვედა ფუძესთან ადგენს 45deg-იან კუთხეს იპო-ვეთ დიაგონალური კვეთის ფართობი
10 გამოთვალეთ წესიერი ოთხკუთხაწაკვეთილი პირამიდების გვერდითიდა სრული ზედაპირის ფართობები
11
6 სმ
5 სმ
4 სმ
20 მ
22მ
12 მ
წესიერი ოთხკუთხა პირამიდა რომლის სიმაღლეა 8 სმ ფუძის გვერდი კი 12 სმ-იასიმაღლის შუაწერტილზე ფუძის პარალელური სიბრტყითაა გადაკვეტილიგანსაზღვრეთ მოცემული წაკვეთილი პირამიდის ზომები ააგეთ ნახაზი დაგამოთვალეთ სრული ზედაპირის ფართობი
წესიერი ოთხკუთხა წაკვეთილი პირამიდის სიმაღლე 28 სმ-ია აპოთემა 35 სმ-ია ფუძისგვერდები ისე შეეფარდება ერთმანეთს როგორც 52 იპოვეთ პირამიდის სრულიზედაპირის ფართობი
12
13
წესიერი ოთხკუთხა პირამიდა რომლის ფუძის გვერდია 30 სმსიმაღლე კი 36 სმ-ია ფუძის პარალელური სიბრტყეებით(წვეროდან დაწყებული ყოველ 12 სმ-ში სიმაღლის გასწვრივ)ნაწილებად დაიყო მინის დაფები მეტალის ჩხირებით დამაგრდადა სამკაულების ყუთი დამზადდა თუ ეს კონსტრუქციამთლიანად მინით დაიფარებაა) სულ მცირე რამდენი კვადრატული მეტრი მინის დაფა იქნებასაჭირობ) სულ მცირე რამდენი მეტრი მეტალის ჩხირები იქნება საჭირო
14
AprimeBprime
A CB
a a
c cc
ha
Cprime
183
ganmazogadebeli davalebebi
წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის ძირითადი ზომებია ფუძის გვერდი აპოთემის სიგრძესიმაღლე გვერდითი ზედაპირის ფართობი და სრული ზედაპირის ფართობიმოცემული ორი ზომის მიხედვით იპოვეთ დანარჩენები
გამოთვალეთ სურათის მონაცემების მიხედვით წესიერი პრიზმისა და პირამიდისაგანშემდგარი რთული ფიგურების ზედაპირის ფართობი
დახაზეთ მართი პრიზმებისა და წესიერი პირამიდების შლილის სურათები გამოთ-ვალეთ სრული ზედაპირის ფართობი
მოცემულია ABCDA1B1C1D1 კუბი რომლის წიბოა a იპოვეთBD დიაგონალიდან B1C1 და C1D1 წიბოების შუაწერტილებზე(M და N) გამავალი სიბრტყითი კვეთის ფართობი
ა) a = 3 სმ Sგვ = 15 სმ2 ბ) h = 12 მ a = 10 მგ) ha = 5 მ Sგვ = 60 მ2 დ) Sგვ = 80 სმ2 Sსრ= 144 სმ2
კუბის გვერდი 6 სმ-ია იპოვეთ Aprime B Cprime წვეროებზე გამავალი სიბრტყითჩამოკვეთილი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი
Aprime
Dprime Cprime
CBA
13
10
24
5
8
845
3
2
4
5
6
მოცემული შლილის სურათებისა და ზომების მიხედვით დახაზეთ წესიერი პრიზმებიდა პირამიდები ფიგურების ზოგიერთი გვერდები დასახელებულია დანარჩენებითქვენ დაასახელეთ და გამოთვალეთ სრული ზედაპირის ფართობი
5 654
6 17
16
21
3
1
H
C
G
B
R
UM R RV
A
B
M
N
C
D
A1
B1 C1
D1
Bprime
2
10მ
8მ
8მ8სმ
8სმ 2 სმ
12სმ
5სმ
5მ
9მ
15მ
34
6
184
trigonometriuli gantolebebida utolobebi7
martivi trigonometriuli gantolebebi
trigonometriuli gantolebebis amoxsnisxerxebi
amocanebis amoxsna trigonometriuligantolebebis gamoyenebiT
trigonometriuli utolobebi
nimuSi 1 sin x = განტოლებას რამდენი ფესვი აქვს [03] მონაკვეთზე
amoxsna განტოლების ამოხსნას x = (ndash1)kmiddot + k (k Z) სახით ვწერთ k = 0 1 23
მნიშვნელობების შესაბამის ოთხ ფესვს ვპოულობთ x0 = x0 = x0 = x0 = k პარამეტრების სხვა მნიშვნელობების შესაბამისი ფესვები მოცემულ მონაკვეთს არ შეესაბამება
185
martivi trigonometriuli gantolebebi
sin x = a cos x = a tg x = a ctg x = a განტოლებები მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებებია sin x = a განტოლებასინუსის ცვლილების არე [ndash1 1] მონაკვეთია ამიტომაც როცა a gt 1 მაშინsin x = a განტოლებას ამონახსენი არა აქვს განვიხილოთ a le 1 შემთხვევებიერთი და იგივე საკოორდინატო სიბრტყეზე ავაგოთ y = sin x და y = a ფუნქციებისგრაფიკები
როგორც ხედავთ y = a წრფე სინუსოიდას უსასრულო რაოდენობის წერტილში კვეთს ეს იმასნიშნავს რომ როცა a le 1 მაშინ sin x = a განტოლებას უსასრულო რაოდენობის ფესვი აქვსვინაიდან სინუსი არის პერიოდული ფუნქციაპერიოდის ტოლი სიგრძის ანუ 2 რომელიმე შუალედში ფესვებისპოვნა საკმარისია გრაფიკიდან ჩანს რომ როცა a lt 1 მაშინ sin x = aგანტოლებას [0 2] მონაკვეთზე ორი ფესვი აქვსწერტილის წრეწირის გარშემო ბრუნვითი მოძრაობის განხილვისასიგივე დასკვნის გაკეთება შეიძლება სრული პერიოდის განმავლობაშისინუსის ერთი და იგივე მნიშვნელობის მიმღები ორი კუთხის მოძებნააშესაძლებელიბრუნვითი კუთხეებიდან თუ ერთი იქნება მეორე ndash იქნება sin x = a (a lt 1) განტოლების დანარჩენი ამონახსნები კი ამ ორიამონახსნისათვის პერიოდის ჯერადი სიდიდეების მიმატებით მიიღება მაშასადამე თუ არის sin x = a განტოლების რაიმე ამონახსენი ამ განტოლების ყველა ამონახსენიx = + 2n x = ndash + 2n (n Z) სახით იწერება ამ ორ ამონახსენთა ოჯახს ზოგჯერერთი ფორმულით იძლევიან x = (ndash1)k + k (k Z) როცა k = 2n (ლუწია) მიიღებაამონახსენთა I ოჯახი როცა k = 2n + 1 (კენტია) ამონახსენთა II ოჯახი მიიღება
0
y = sin xy = a
x
y
ndash 2
x
ndash y
0
a
როცა a le 1 მაშინ რადგან sin x = a განტოლების ფესვი [ndash ] მონაკვეთზე არისx = arcsin a ამიტომ ამ განტოლებას ყველა ამონახსენი x = arcsin a + 2n x = ndash arcsin a + 2n (n Z) ფორმულებით გამოითვლება ამ ფორმულების შეერთება და
x = (ndash1)kmiddotarcsin a + k (k Z) სახით დაწერა შეიძლება
2
2
nimuSi 2 ამონახსენით განტოლება sin x = ndash
amoxsna რადგან arcsin(ndash ) = ndash ამიტომ x = (ndash1)kmiddot(ndash ) + k = = (ndash1)k + 1middot + k (k Z)
radic22
6
656
136
176
radic22
4
12
4
4
186
sin t = 1 ამ განტოლების ამონახსენი t = + 2k (k Z) იქნება თუ გავითვალის-წინებთ პირობით აღნიშვნას x + = + 2k (k Z)
აქედან x = ndash + 2k x = + 2k (k Z)6
2
32
2
3
martivi trigonometriuli gantolebebi
ndash 2
0
y = 1
y = ndash1x
y
ndash 2 32
2
2
ეს შეიძლება დავინახოთ ერთეულოვან წრეწირზე გამოსახვითაც
წერტილი რომლის ორდი-ნატია 0 A(0) და C()
წერტილი რომლის ორდინა-ტია 1 B( )
წერტილის რომლისორდინატია ndash1 D(ndash )
x
y
0A(0)C()
x
y
0
2B( )
x
y
0
D(ndash )2
2
2
sin t = 0 t = k (k Z)
sin t = 1 t = + 2k (k Z)
sin t = ndash1 t = ndash + 2k (k Z)
როცა a = 0 a = 1 და a = ndash1 მაშინ sin x = a განტოლების ამონახსნები შეიძლება წარმო-ვადგინოთ უფრო მარტივი სახით
nimuSi 3 ამოხსენით განტოლება sin (x + ) = 1amoxsna თუ ავღნიშნავთ x + = t-თი მივიღებთ განტოლებას
3
3
nimuSi 4 ამოხსენით განტოლება sin (x ndash 30ordm) = 0amoxsna აქ ცხადია x არის გრადუსებში გამოსახული კუთხე ამიტომაც განტოლებისამონახსენი ასე შეიძლება ჩაიწეროს
x ndash 30ordm = 180ordmmiddotk x = 30ordm + 180ordmmiddotk (k Z)saswavlo davalebebi
2
1
განტოლებებისათვის 1) იპოვეთ ფესვები [ndash ] მონაკვეთზე
2) დაწერეთ საერთო ამონახსენი 3) ამონახსენი გამოსახეთ გრაფიკულად
ა) sin x = ბ) sin x = ndash გ) 2 sin x = ndashradic3 დ) 2 sin x + radic2 = 0 ე) sin x = 1 ვ) 1 + sin x = 0 ზ) 2 sin x ndash 1 = 0 თ) sin x = 0
radic22
12
2
2
3ა) 2 sin(x + ) = radic3 ბ) sin(2x ndash ) = 0 გ) 2 sin(2x ndash ) = 1
46
3
ამოხსენით განტოლებები
x-ის მოცემული მნიშვნელობებიდან რომელია მოცემული განტოლების ფესვიპერიოდულობის საფუძველზე დაწერეთ და შეამოწმეთ განტოლების კიდევ ორი ფესვიერთი დადებითი და ერთი უარყოფითი
ა) 2 sinx = 1 x = x = ბ) radic8 sinx = radic6 x = x =3
4
6
56
187
martivi trigonometriuli gantolebebi
თუ არის cos x = a განტოლების ფესვი მაშინ ndash ასევე ფესვია რადგან cos(ndash) = cos ამრიგად თუ ცნობილია რომ cos x = a განტოლების ერთი ფესვია ამ განტოლებისფესვების x = + 2n და x = ndash + 2n (n Z) ფორმულებით პოვნა შეიძლება ამ ორფორმულას ზოგჯერ აერთიანებენ და x = plusmn + 2n (n Z) სახით წარმოადგენენროცა a le 1 მაშინ cos x = a განტოლებას [0 ] მონაკვეთზე აქვს ფესვი რადგანx = arccos a ამ განტოლების ყველა ამონახსენი x = plusmn arccos a + 2n (n Z) სახითჩაიწერება
nimuSi 5 ამოხსენით განტოლება cos x = amoxsna x = არის განტოლების ერთ-ერთი ფესვი მაშინ ყველა ამონახსენი x = + 2n და x = ndash + 2n (n Z) იქნება ამოხსნა x = plusmn + 2n (n Z) სახით შეიძლება ჩავწეროთ
4
radic22
4
4
x
y
0 a
M()
M(ndash)
4
cos x = a განტოლებაანალოგიური წესით მივიღებთ რომ როცა a gt 1 მაშინ cos x = a განტოლებასამონახსენი არა აქვს ხოლო როცა a le 1 მაშინ კი უსასრულო რაოდენობის ფესვი აქვსგრაფიკიდან (ასევე ერთეულოვანი წრეწირიდან) ჩანს რომ პერიოდის სიგრძის (ანუ 2-ს) ტოლ მონაკვეთზე cos x = a (a lt 1) განტოლებას ორი ფესვი აქვს
0 x
y
ndash ndash
y = cos x y = a
0 x
y
ndashy = 1
2ndash
232 2
როცა a = 0 a = 1 და a = ndash1 მაშინ cos x = a განტოლების ამონახსნები შეიძლება რომუფრო მარტივად გადმოიცეს
nimuSi 6 ამოხსენით განტოლება cos x = ndash amoxsna x = plusmn arccos(ndash ) + 2n (n Z) რადგან
arccos(ndash ) = ndash arccos = ndash = მივიღებთ x = plusmn + 2n (n Z)
121
212
12
3
23
23
ამის დანახვა ერთეულოვან წრეწირზე გამოსახვითაც არის შესაძლებელი
წერტილები რომლის აბსცისაა 0 C( )D( )
წერტილი რომლისაბსცისაა 1
წერტილი რომლისაბსცისაა ndash1
x
y
0 x
y
0
2C( )
x
y
0D( )3
2
A(0) C()
2
cos t = 0 t = + n (n Z)
cos t = 1 t = 2n (n Z)
cos t = ndash1 t = + 2n (n Z)
2
32
A(0) C()
188
martivi trigonometriuli gantolebebi
nimuSi 7 ამოხსენით განტოლება cos (x + ) = ndash1 შემოვიტანოთ აღნიშვნა x + = t მაშინ cos t = ndash1 t = + 2k (k Z)თუ გავითვალისწინებთ აღნიშვნას x + = + 2k (k Z)x = ndash + + 2k x = + 2k (k Z)
4
44
434
4 x-ის მოცემული მნიშვნელობებიდან რომელია მოცემული განტოლების ფესვიპერიოდულობის საფუძველზე დაწერეთ და შეამოწმეთ განტოლების კიდევ ორი ფესვიერთი დადებითი და ერთი უარყოფითი
ა) cosx + 1 = 0 x = x = ბ) radic8 cosx = 2 x = x =2
4
6
5
ა) cos x = ბ) cos x = ndash გ) 2 cos x = radic2 დ) 2 cos x = radic3 ე) 2 cos x ndash radic3 = 0 ვ) 2 cos x + 1= 0 ზ) cos x ndash 1 = 0 თ) cos 2x = 0
12
radic22
განტოლებებისათვის 1) იპოვეთ ფესვები [0 ] მონაკვეთზე 2) დაწერეთ საერთოამონახსენი 3) ამონახსენი გამოსახეთ გრაფიკულად
განვიხილოთ ორივე განტოლებისათვის საერთო sin = განტოლების ამონახსენი ერთეულოვან წრეწირზე ორდი-
ნატიანი ორი წერტილი არსებობს ეს წერტილები და
მობრუნებებს შეესაბამება
განტოლების ამონახსენია + 2k და + 2k (k Z)
12
ა) ამ შემთხვევაში = x და 0 le x le 3 ამ ინტერვალში განტოლებას x-ის მხოლოდ
და მნიშვნელობები აკმაყოფილებს
76
76
76
116
116
116
12
x =
76
116
12
ნიმუში გამოიკვლიეთ ამოხსნა რვეულში ჩაიწერეთ მე-2 დავალება შეასრულეთ
sin x =
6
12
sin 2x =
1) დაწერეთ განტოლების ამონახსნები [0 3 ინტერვალში
ბ)ა)
116
76
y
x
ბ) ამ შემთხვევაში = 2x თუ x 0 le x le 3 პირობას აკმაყოფილებს 0 le 2x le 6 იქნებადა განტოლების მოცემულ ინტერვალში ამონახსნები იქნება შემდეგი
12cosx =
12cos 2x =
312
cos (x ) =
2) დაწერეთ განტოლებების ამონახსნები 0 le x le 3 ინტერვალში ბ) გ)ა)
76
712
116
1112
196
1912
12
sin 2x = 2x =
x =
236
2312
316
3112
356
3512
+2
+2
+2
+2
189
martivi trigonometriuli gantolebebi
nimuSi 10 ამოხსენით განტოლება tg x = 075ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნისას ისარგებლეთ კალკულატორზე გამოთვლითკალკულატორის tan1 ღილაკით შეიტანება რიცხვი 075 Degree ღილაკის აქტიურმდგომარეობაში 3687deg მნიშვნელობა გამოთვლილი იქნება ვინაიდან ტანგენსი პერი-ოდული ფუნქციაა 3687deg + 180deg 3687deg 180deg 3687deg + 360deg 3687deg 360deg 3687deg + 540deg 3687deg 540deg მნიშვნელობებშიც ტანგენსის მნიშვნელობა 075-ის ტოლიაგანტოლების ამოხსნა გრადუსობით ზოგადი x = 3687deg + 180degk (k = 0 plusmn1 plusmn2plusmn3 )სახით იწერებაRadian ღილაკის დახმარებით განტოლების ამოხსნა A = 06435 + πk k Z იქნება
nimuSi 8 ამოხსენით განტოლება tg (x ndash ) = radic3 amoxsna შემოვიტანოთ აღნიშვნა x ndash = t მივიღებთ განტოლებას
tg t = radic3 ამ განტოლების ამონახსნები t = + n (n Z) იქნებათუ გავითვალისწინებთ პირობით აღნიშვნას
x ndash = + n (n Z)
x = + + n x = + n (n Z)
nimuSi 9 ამოხსენით განტოლება ctg 3x = ndash1amoxsna შემოვიტანოთ აღნიშვნა 3x = t მივიღებთ განტოლებას ctg t = ndash1 რადგან
arcctg(ndash1) = ამიტომ t = + nაღნიშვნის გამო 3x = + n ორივე მხარის 3-ზე გაყოფით მივიღებთ
ctg 3x = ndash1 განტოლების ყველა ამონახსენი x = + (n Z) სახისაა
6
6 3
6
3
3
6
2
34
343
4 4
n3
ანალოგიური წესით შეიძლება იმის ჩვენება რომ ctg x = a განტოლების ყველა ამონახსენიx = arcctg a + n (n Z) სახისაა
tg x = a და ctg x = a განტოლებების ამოხსნა
(ndash ) შუალედში tg x = a განტოლების ამონახსენი x = arctg a იქნებათუ გავითვალისწინებთ რომ tg x ფუნქციის ძირითადი პერი-
ოდია მაშინ tg x = a განტოლების ყველა ამონახსენისx = arctg a + n (n Z)
ფორმულით ჩაწერა შეიძლება
2
2
y = tg x და y = a ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთისწერტილებიც უჩვენებენ ამოხსნის სისწორეს
x
y
0ndashndash2 2
y = tg x
2ndash
232
ndash 32
martivi trigonometriuli gantolebebi
8
9ა) tg x = radic3 ბ) tg x = ndash1 გ) tg x = 1 დ) tg x =
ა) ctg x = radic3 ბ) ctg x = ndash1 გ) ctg x = ndashradic3 დ) ctg x = radic33
radic33
განტოლებებისათვის 1) იპოვეთ ფესვი 1) (0 ) მონაკვეთზე 2) დაწერეთ საერთოამონახსენი
განტოლებებისათვის 1) იპოვეთ ფესვი (ndash ) მონაკვეთზე 2) დაწერეთ საერთოამონახსენი
2
2
2cosx = 1 tg x + 1 = 02sinx radic3 = 0
განტოლებებისათვის 1) დაწერეთ ამონახსენი [0 2 შუალედში2) დაწერეთ ამონახსენის ზოგადი სახე 3) დაწერეთ ამოხსნა გრაფიკულად
11
ბ) გ)ა)
sinx = 0 tg x + radic3 = 02cosx radic3 = 0 ე) ვ)დ)
nimuSi 11 ამოხსენით განტოლება sec x + 1 = 0 x [0 2] შუალედში amoxsna secx = 1
32
1sin x
2= 1 sinx = 1 განტოლების ზოგადი სახის ამონახსენი x = + 2n (nZ)
იქნება sinx = 1 განტოლების [0 2] შუალედში ამონახსენია x =
ამოხსენით განტოლება tg x = radic3 ისარგებლეთ ამონახსენით და დაწერეთ ქვემოთმოცემული განტოლებების ზოგადი ამონახსენი
10
ა) tg(x ndash ) = radic3 ბ) tg 4x = radic3 c) ctg 2x =6
radic33
12 ამოხსენით განტოლებები კალკულატორის დახმარებით და უჩვენეთ თითოეულისსამი ფესვი
ა) tg θ = 3 ბ) sin θ = 085 გ) cos θ = 047
190
1tgx
1sin x
1cos xctg x = sec x = cosec x =
ტოლობების გამოყენებით ამოხსნა შეიძლება
ctg x = a sec x = a cosec x = a სახის განტოლებების
7 x-ის მოცემული მნიშვნელობებიდან რომელია მოცემული განტოლების ფესვიპერიოდულობის საფუძველზე დაწერეთ და შეამოწმეთ განტოლების კიდევ ორი ფესვიერთი დადებითი და ერთი უარყოფითი
ა) tgx ndash radic3 = 0 x = x = ბ) radic6 ctgx = radic2 x = x =4
3
3
6
ამოხსენით განტოლებები
191
191
martivi trigonometriuli gantolebebi
y = cos x ფუნქციის გრაფიკის გამოყენებით იპოვეთ მოცემულ შუალედებში განტო-ლებების მიახლოებითი ამონახსნები
0 le x le 450degა) cos x = 04გ) cos x + 1 = 1 დ) 2cos x = 2
ბ) cos x = 05 0 le x le 630deg0 le x le 910deg 0 le x le 630deg
14
x
1
ndash1
05
ndash05
yy = cos x
90ordm 270ordm 450ordm 630ordm 910ordm
მაშასადამე tg x = radic3 განტოლების 0 le x le 4 ინტერვალში არსებული ამონახსნებიშეგვიძლია ვიპოვოთ ქვემოთ მოცემული წესით
+ = 23
23
53 + = 5
383 + = 8
311
3
0 le x le 40 4
ა) 2tg x = 2 ბ) 2sin x = 1 გ) 2 cos x = radic3ნიმუშის შესაბამისად იპოვეთ განტოლებების ამონახსნები 0 le x le 4 ინტერვალში 13
amoxsna ერთეულოვან წრეწირზე ტანგენსი ფუნქციის radic3-ის ტოლი
მობრუნების კუთხის შესაბამისი ორი წერტილია აღნიშნული თუმცა ვინაიდან პერიოდი არის ტანგენსი radic3-ის ტოლ
მნიშვნელობებს დაშორებით მდებარე წერტილებში იღებს
ანუ tg( + ) = tg
23
53
nimuSi tg x = radic323
53
A
B
0 4
y
x
16ა) sin 2xsin x ndash cos 2xcos x = ბ) cos2x ndash sin2x =გ) sin 3xcos x = 1+ sin xcos 3x დ) sin xcos x = 0
12
radic22
15ა) 2 sin(x + ) = radic2 ბ) sin(2x + ) = 0 გ) cos(2x + ) = 0
43
6
4
ამოხსენით განტოლებები
დ) 2 cos(x ndash ) = radic2 ე) tg(2x ndash ) = 1 ვ) ctg(2x ndash ) = 03
4
ამოხსენით განტოლებებია) sin( + x) = ndash 1 ბ) cos( ndash x) = 1 გ) sin x =0
დ) cos( ndash ) = 0 ე) tg( + x) = 1 ვ) ctg( + ) = radic3
192
martivi trigonometriuli gantolebebi
ა) cos2x ndash sin2x = 1 (0 3]ბ) cos2(x + 30ordm) ndash sin2(x + 30ordm) = ndash1 (180ordm 270ordm)გ) sin xcos x = [ndash 2]
17
19
20
21
22
23
იპოვეთ განტოლების ფესვები მოცემულ შუალედებში
12
nimuSi ა) cos2x ndash sin2x = 1 (0 3]amoxsna ჩავწეროთ განტოლება cos 2x = 1 სახით რადგან cos = 1 განტოლების
ზოგადი ამონახსენია = 2k (k Z) მივიღებთ 2x = 2k x = k (k Z)პირობის თანახმად 0 lt x le 3 აქედან თუ 0 lt k le 3 უტოლობის ორივე მხარეს
გავყოფთ -ზე მივიღებთ 0 lt k le 3 (k Z)k = 1 2 3 მნიშვნელობების მიმდევრობით x = k (k Z) ამონახსენში ჩაწერით
ვპოულობთ განტოლების ფესვებს მოცემულ შუალედში 2 3იპოვეთ ფუნქციის ნულები მოცემულ ინტერვალში18ა) y = sin 2x 0ordm le x le 180ordm ბ) y = sin(x ndash ) 0 le x le 3
4
2
32
sin xx ndash 1
2
x2
x2
3
ა) 4 tg 3x + 5 = 1 0 le x le π
ბ) 2 sin 2x + radic3 = 0 0 le x le 2 π
გ) 2 cos 2x + 3 = 2 0 le x le 360deg
დ) radic2 sin 2x + 3 = 2 0 le x le 360deg
ამოხსენით განტოლებები მოცემულ ინტერვალში
4
725
იპოვეთ სამკუთხედის პერიმეტრი თუ cos 2 =
იპოვეთ y = 3 cos(x + ) ფუნქციის გრაფიკისა და y = 15 წრფის გადაკვეთის
წერტილების აბსცისები
= 0რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას [02 π] მონაკვეთზე
193
trigonometriuli gantolebebis amoxsnis xerxebi
nimuSi ამოხსენით განტოლება sin 2x ndash sin x = 0amoxsna2 sin xcosx ndash sin x = 0 ორმაგი კუთხის ფორმულის თანახმად sin2x = 2 sin xcosxsin x(2 cos x ndash 1) = 0 საერთო მამრავლის ფრჩხილებს გარეთ გატანაsin x = 0 ან 2 cos x ndash 1 = 0 ნამრავლის ldquo0rdquo-ის ტოლად ყოფნის პირობაx = n n Z cos x = x = plusmn + 2k k Zპასუხი n plusmn + 2k k Zსხვადასხვა ამონახსენთა ოჯახებში პარამეტრების სხვადასხვა ასოებით აღნიშვნას მიაქციეთყურადღება
3
12
3
nimuSi ამოხსენით განტოლება sinx cos2 x = 4 sin x და იპოვეთ ფესვები [0 2] მონა-კვეთზე
sinx cos2 x = 4 sin x მოცემული განტოლებაsinx cos2 x 4 sin x = 0 თითოეულ მხარეს 4 sin x გამოაკლდებაsin x (cos2x 4) = 0 sin x ფრჩხილებს გარეთ გაიტანებაsin x(cosx 2)(cosx +2)= 0 დაიშლება მამრავლებად კვადრატების სხვაობის ფორმულითთითოეული მამრავლის 0-თან გატოლებით ვპოულობთ x-ს (თუ შესაძლებელია)
მოცემული ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა განსაზღვრული ხერხებით მარტივიტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნაზე დაიყვანება
1) mamravlebad daSlis xerxi
amoxsna
2) axali cvladis SemotaniT
nimuSi ამოხსენით განტოლება 2sin2 x ndash cos x + 1 = 02(1 ndash cos2 x) ndash cos x + 1 = 0 sin2 x = 1 ndash cos2 x იგივეობის თანახმადndash2 cos2 x ndash cos x + 3 = 02 cos2 x + cos x ndash 3 = 0 გამარტივება2 a2 + a ndash 3 = 0 cos x = a ახალი ცვლადის შემოტანა (2a + 3)(a ndash 1) = 0a = ndash15 a = 1 კვადრატული განტოლების ამოხსნაcos x = ndash15 cos x = 1 cos x = a ჩასმის თანახმადფესვი არა აქვს x = 2k k Zპასუხი x = 2k (k Z)
3) erTgvarovani gantolebebis amoxsnaთუ sin x = a cos x = b განტოლების ყველა წევრი a-სა და b-ს მიხედვით ერთი და იგივეხარისხის ერთწევრები იქნება ასეთ განტოლებას ერთგვაროვანი განტოლება ეწოდება
sin x = 0 cos x 2 = 0 cos x + 2 = 0x = k k Z cos x = 2 cosx = 2
ამონახსენი არა აქვს ამონახსენი არა აქვსgantolebis amonaxsenis zogadi saxe x = n (n Z) იქნებაgantolebis fesvebi [0 2 monakveTze x1 = 0 x2 = x3 = 2
194
cos(x ndash ) =
cos t =
trigonometriuli gantolebebis amoxsnis xerxebi
nimuSi sin x + cos x = 0აქ არ შეიძლება cos x = 0 რადგან თუ cos x = 0 მაშინ განტოლებიდან მიიღება რომ sin x= 0 ეს კი ეწინააღმდეგება sin2 x + cos2 x = 1 იგივეობას მაშასადამე cos x 0 განტოლების ორივე მხარე შეიძლება გავყოთ cos x-ზე
tg x + 1 = 0აქედან tg x = ndash1 x = ndash + n n Z
nimuSi ამოხსენით განტოლება cos2 x = აქ ხარისხის დაწევისათის ( cos2 = )ფორმულის გამოყენება ხელსაყრელი ხდება
a sin x plusmn b cos x = d ტიპის განტოლებების როცა ab ne 0 ორივე მხარის c = radica2 + b2 რიცხვზეგაყოფით დამხმარე კუთხის შემოტანით ამოხსნაა ხელსაყრელი
ორივე მხარე გავამრავლოთ 2-ზე
ორივე მხარეს გამოვაკლოთ 1
შემოვიტანოთ აღნიშვნა 2x = t
1 + cos 2x =
cos 2x = ndash
cos t = ndash
t = plusmn + 2n n Z
2x = plusmn + 2n hər iki tərəfi 2-yə boumllək
x = plusmn + n n Z
nimuSi radic3 cos x + sin x = radic3სადაც რადგან a = radic3 b = 1 ორივე მხარე c = radica2 + b2 = radic3 + 1 = 2-ზე გავყოთ
middotcos x + sin x =
4
141 + cos 2
2
1 + cos 2x2 = 1
412
12
12
12
2323
3
radic32
12
radic32
cos sin6
6
nimuSebi 2 sin x ndash cos x = 0sin2 x ndash 3 sin xmiddotcos x + 2 cos2 x = 0
თუ საერთო მამრავლი არ არის პირველი განტოლების ორივე მხარის cos x-ის მაღალხარისხზე გაყოფით იხსნება
4) xarisxis damwevi formulebis gamoyeneba
5) damxmare kuTxis Semotana
შემოიტანება დამხმარე კუთხე6
6
radic32
6
radic32
arccos(ndash ) = ამიტომაც23
t = x ndash ჩავანაცვლოთ
შეკრების ფორმულის თანახმად
195
trigonometriuli gantolebebis amoxsnis xerxebi
nimuSi რამდენი ფესვი აქვს cos x = sin განტოლებას [0 2] მონაკვეთზე
amoxsna cos2 ndash sin2 = sin ორმაგი კუთხის ფორმულის თანახმად
1 ndash 2 sin2 ndash sin = 0
2a2 + a ndash 1 = 0
a = ndash1 და a = კვადრატული განტოლების ამოხსნა
sin = ndash1 sin = 6
12
56
3
x2
53
x2
x2
x2
x2
x2
x2
12
x2
x2
x2
x2
y = cos x და y = sin ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების მიხედვითაცშეიძლება ამოხსნის სისწორის შემოწმება ამ გრაფიკების გრაფკალკულატორით(httpswwwdesmoscomcalculator) აგებით შევამოწმოთ ამოხსნა
x2
t = + 2n ან t = ndash + 2n
x ndash = + 2n x ndash = ndash + 2n
x = + + 2n x = 2n n Z
x = + 2n n Z
პასუხი + 2 n 2 n n Z
6
6
6
6
6
6
3
3
6
6
3 23 5343 2ndash3ndash ndash23ndash53 ndash43ndash2
(3 05) (53 05)
(ndash ndash1)
(0 1)1
ndash1
0
როცა k = 0 მოძებნილი და მოცემული განტოლების [0 2] მონაკვეთზე არსებუ-ლი ფესვებია k პარამეტრის სხვა მნიშვნელობების შესაბამისი ფესვები ამ მონაკვეთზე არ მდებარეობენპასუხი ორი ფესვი აქვს
3
53
sin = a შემოვიტანოთ აღნიშვნა
y
x
= + 2k = + 2k
x = ndash + 4k
= ndash + 2kx2
2
x = + 4k
და
x = + 4k k Zდა
n პარამეტრის არცერთი მნიშვნელობისათვის მოძებნილი ფესვები მოცემულ მონაკვეთზე არძევს
196
trigonometriuli gantolebebis amoxsnis xerxebi
3
7
5
4
ამოხსენით განტოლებები მამრავლებად დაშლის ხერხით
ა) 2 sin2 x ndash sin x = 0 ბ) sin2 x + 2 sin x = 0 გ) cos2 x ndash 3 cos x = 0 დ) 2 cos2 x ndash radic3 cos x = 0
ა) sin2 x ndash 2 sin x ndash 3 = 0 ბ) 2 sin2 x ndash 5 sin x + 2 = 0 გ) cos2 x ndash 4 cos x ndash 5 = 0 დ) 4 cos2 x ndash 4 cos x + 1 = 0ე) 2 sin2 x ndash cos x + 1 = 0 ვ) 2 cos2 x + sin x ndash 1 = 0 ზ) tg2 x ndash tg x + 2 = 0 თ) ctg x + 3 tg x = 2radic3
ა) sin x + cos x = 0 ბ) radic3 sin x ndash cos x = 0 გ) sin2 x ndash 2 sin 2x + 3 cos2 x = 0
ა) 4 sin2 ndash 3 = 0 ბ) 4 cos2 ndash 1 = 0 x2
x2
1) 2 cos x ndash 1 = 0ა) x = ბ) x =2) cosec x ndash 2 = 0ა) x = ბ) x =3) 3 tg2 2x ndash 1 = 0ა) x = ბ) x =
x-ის მოცემული მნიშვნელობებიდან რომელია განტოლების ამონახსენი1
2
53
3
12
4) 2 cos2 4x ndash 1 = 0ა) x = ბ) x =5) 2 sin2 x ndash sin x ndash 1 = 0ა) x = ბ) x =6) sec4 x ndash 4 sec2 x = 0ა) x = ბ) x =
56
6
512
16
316
2
76
23
53
saswavlo davalebebi
ამოხსენით განტოლებები ახალი ცვლადის შემოტანით
ამოხსენით ერთგვაროვანი განტოლებები
ამოხსენით განტოლებები ხარისხების დაწევის ფორმულების გამოყენებით
ი) sin x + 15 sin 2x = sin3 x კ) cos x + sin 2x = cos3 x
ნ) sin 3x ndash 2 cos 2x = 3 ო) cos 4x + sin x = 2
ლ) cos4 x ndash sin4 x = მ) sin 3x = 3 sin xradic32
ა) cos 3x ndash cos x = 0 ბ) sin 3x + sin x = 0 გ) sin x ndash radic3 cos x = 2 დ) sin x + cos x = radic2 ე) sin 2x ndash 2radic3 sin2 x = 0 ვ) sin 2x = 2 cos2 xზ) (1 + tg x)middotcos x = 0 თ) (1 ndash tg x)middotsin 2x = 0
ამოხსენით განტოლებები სხვადასხვა ხერხის გამოყენებით
ა) 3 tg2 x ndash 1 = 0 0 le x le 360ordm ბ) 6 sin2 x + 5 = 8 0 le x le 2π გ) 4 cos2 x ndash 1 = 2 0 le x le 2 π დ) 2 cos 2x + 3 = 2 0 le x le 360ordm
6 იპოვეთ განტოლების მოცემულ შუალედში მდებარე ფესვები
197
trigonometriuli gantolebebis amoxsnis xerxebi
ამოხსენით განტოლებები
1) (ctg x ndash radic3)(2 sin x + radic3) = 0 2) 2 sin x ndash 1 = cosec x3) tg x ndash ctg x = 0 4) cosec2 x ndash 2 ctg x = 05) 2 tg2 x sin x ndash tg2 x = 06) sec2 x tg x = 2 tg x7) 9 sin2 x ndash 6 sin x + 1 = 0
8) (tg x ndash 1)(cos x ndash 1) = 0 9) tg x + 1 = radic3 + radic3 ctg x10) cos2 x = sin2 x + 1 11) sin2 x cos x = cos x12) sin2 x cos2 x = 013) cos2 x ndash sin2 x = 014) 4 cos2 x ndash 4 cos x + 1 = 0
11
12
10
9
13
1) sin(2x ndash ) = ndash განტოლებისათვის იპოვეთ
ა) უმცირესი დადებითი მნიშვნელობა ბ) უდიდესი უარყოფითი მნიშვნელობაგ) [ndash ] შუალედში მდებარე ფესვები
2) იპოვეთ sin 3xcos x = 1 + sin xcos 3x განტოლების (ndash ) შუალედში მდებარე
ფესვები
12
2
6
2
denis Zabva სინათლის წყაროდ გამო-ყენებული გენერატორის ელექტრო ძა-ლის I = 20sin80t ფორმულით გამო-სახვა შეიძლება სადაც t არის დრო წა-მობით I-დენის ძალას ამპერით უჩ-ვენებს იპოვეთ t-ს ისეთი უმცირესიდადებითი მნიშვნელობა რომ
ა) I = ndash10 A ბ) I = 20 A გახდეს
სურათზე მოცემული გრაფიკებისმიხედვით დაწერეთ4 cos (2(x ndash 60deg)) + 6 = 3 განტო-ლების ამონახსენი (მიახლოებით)
y
x0
2
4
6
8
10
60ordm
y = 3
y = 4 cos(2(x ndash 60ordm)) +6
120ordm 360ordm300ordm240ordm180ordm
ააგეთ ფუნქციის გრაფიკები დაწერეთ გრაფიკების 0 le x lt 2π ინტერვალში x ღერძთანგადაკვეთის წერტილები
ა) y = 2 sin x + 1 ბ) y = 2 cos x ndash 1
ჩამოკიდებული სხეულის რხევის მოძრაობისd = 4 sin t ფორმულით მოდელირება შეიძ-ლება მერამდენე წამზე შეიძლება იყოსადგილმონაცვლეობა 2 სმ-ის ტოლი
145 სმ
ndash5 სმ
0 სმ
5 სმ
ndash5 სმ
0 სმ
8 კალკულატორის გამოყენებით იპოვეთ განტოლებების ამონახსნების მიახლოებითიმნიშვნელობა 0 le x lt 2π ინტერვალში
ა) 3 tg x + 1 = 13 ბ) 8 cos x + 3 = 4გ) 4 sin x = ndash2 sin x ndash 5 დ) 3 sin x + 4 cos x = 5
198
amocanebis amoxsna trigonometriuli gantolebebis gamoyenebiT6
18
15
17
16
ა) კოორდინატთა სათავის გარშემო საათის ისრის მოძრაობის საპირისპირო მიმართუ-ლებით ზომით მობრუნებისას რომელ წერტილად გარდაიქმნება (radic31) წერტილი
ბ) წერტილი რომლის კოორდინატებია (2 2) კოორდინატთასათავის გარშემო რამდენი გრადუსით მობრუნებისას გარ-დაიქმნება წერტილად რომლის კოორდინატებია (ndashradic2 radic6)
3
x
(x y)(xprime yprime)
y
ბეისბოლის ბურთის დარტყმის ძალასა და ბურთის
გავლილი მანძილის v0 საწყის სიჩქარეზე და θ დახ-
რის კუთხეზე დამოკიდებულება d =
სახისაა სადაც g თავისუფალი ვარდნის სიჩქარეა
ბეისბოლის ბურთზე დარტყმით v0 = 30 მწმ
საწყისი სიჩქარით მოძრავი ბურთი 70 მ მანძილზე
მდგომმა მოწინააღმდეგე მოთამაშემ დაიჭირა
იპოვეთ დახრის კუთხე
მაჰირს ველოსიპედის საბურავის ბალანსირების შემოწმება სურს ის საბურავისზონარზე აღნიშვნას აკეთებს და მას აბრუნებს საბურავზე გაკეთებული აღნიშვნისმოძრაობა h(t) = 59 + 24 sin 125t-ით შეიძლება გამოისახოს სადაც h არის სიმაღლე(სმ-ობით) t დრო (წამობით) ა) რა სიმაღლეზე იქნება აღნიშვნა როცა t = 15 წმ ბ) მერამდენე წამებზე იქნება ნიშანი 60 მ-ის სიმაღლეზე
kosmosi კომუნიკაციური მიზნებისათვის გათვა-ლისწინებული ახალი ხელოვნური თანამგზავრისორბიტა დედამიწის ზედაპირიდან t მილისმანძილზეა დედამიწის რადიუსი 3960 მილიაწარმოიდგინეთ რომ დედამიწის განსაზღვრულინაწილი თანამგზავრის ხედვის არეშია სურათზეჰორიზონტის წრით შემოსაზღვრული ეს ნაწილიშავი ფერითაა აღნიშნული ჰორიზონტზე წრე-წირის ზოგიერთი ზომების განსაზღვრისათვისსურათით ისარგებლეთა) დაწერეთ t-ს α-ზე დამოკიდებულების ფორმულა
ბ) იპოვეთ t როცა α = 10O-ს
გ) იპოვეთ α-ს მნიშნელობა თუ t = 30 000 მილს გამოთვალეთ AB მინორული რკალისსიგრძე სულ მცირე რამდენი ასეთი თანამგზავრია საჭირო დედამიწის ეკვატორისგასწვრივ სრული დანახვისათვის
v02 sin2θg
θ
αα
t
ჰორიზონტალურიწრეწირი A
B
literatura ესპანელი მწერლის მიგელ დე სერვანტესისცნობილი რომანის გმირს დონ კიხოტს თავი ძალიანძლიერად მიაჩნდა და ერთ დღეს ქარის წისქვილის გაჩერებაგადაწყვიტა დონ კიხოტმა რომელმაც ეს ვერ შეძლოწისქვილის ერთ-ერთ ფარს ჩაეჭიდა და ჰაერში ტრიალიდაიწყოტრიგონომერიული ფუნქციების დახმარებით შეიძლება იმისმოდელირება თუ რა მდგომარეობაში იყო დონ კიხოტი სურათზემოცემული გრაფიკი ფართან ერთად მოტრიალე დონ კიხოტისდედამიწის ზედაპირიდან სიმაღლის დროზე დამოკიდებულებასუჩვენებს1) მოთხოვნილი მაჩვენებლები იპოვეთ გრაფიკის მიხედვით და რე-ალური სიტუაციის შესაბამისად დაწერეთ განმარტებაა) ამპლიტუდა ბ) პერიოდი3) რომელ წამებზე იქნება დონ კიხოტი დედამიწიდან 10 მ სიმაღლეზე4) როგორ გვალენას მოახდენს ფარის სიჩქარის შესუსტება სინუსოიდის გრაფიკისფორმაზე
199
amocanebis amoxsna trigonometriuli gantolebebis gamoyenebiT
20
21
19
harmoniuli rxeva ზამბარაზე ჩამოკიდებული სხეულის
სიმძიმესა და წინასწორობის მდგომარეობით ადგილმო-
ნაცვლეობის y = (sin t ndash 3 cos t) ფორმულით გამოსახვაახვა
შეიძლება სადაც t არის დრო წამობით y ადგილმონაცვლეობა
მეტრობით იპოვეთ ზამბარის 0 le t le 1 დროის ინტერვალში
წონასწორობის წერტილში ყოფნის ვადები
112
წყლის ბორბალი წყლის მოძრაობის ენერგიის სასარგებლო ენერგიადგარდაქმნისათვის გამოიყენება
ჩარხის ბალანსის შემოწმებისათვის ზედ ლურსმანი დამაგრდა დადატრიალებულ იქნა ლურსმანის უმაღლეს წერტილში ყოფნისასწყლის ზედაპირიდან 35 მ მანძილზე ჩარხის მოძრაობით 12 წამისშემდეგ ყველაზე დაბალ წერტილში - წყლის ზედაპირიდან 05 მ -ითქვევით მდებარეობს
ა) დაწერეთ ლურსმანის წყლის ზედაპირიდან h სიმაღლის დროზედამოკიდებულების მაჩვენებელი ფუნქციის ფორმულა
ბ) რა სიმაღლეზე იქნება ლურსმანი მოძრაობის დაწყებიდან 15 წამისშემდეგ
გ) ჩარხის მოძრაობის დაწყებიდან რამდენი წამის შემდეგ იქნება ლურსმანი წყლისზედაპირიდან 15 მეტრ სიმაღლეზე
დრო (წმ)
სიმა
ღლ
ე (მ
) 16
20 40 60
1284
0
f(t)
t
y
200
trigonometriuli utolobebi
მოცემული უტოლობის დამაკმაყოფილებელი ყველა სხვა
ინტერვალები ( ) ინტერვალის 2-ის ჯერადის ტოლი
მანძილით მარჯვნივ და მარცხნივ მოცურებით მიიღება
ამიტომაც sin x gt უტოლობის ამონახსენი
+ 2n lt x lt + 2n (n Z) იქნება
ტრიგონომეტრიული უტოლობის ამონახსენი თვალნათლივშეიძლება დავინახოთ ერთეულოვან წრეწირზე გამოსახვითაც
amoxsna მოცემული უტოლობის ამოხსნა y = sin x ფუნქციის გრაფიკის -ზე
მეტი ორდინატის მქონე წერტილების სიმრავლის აბსცისების განსაზღვრას ნიშნავს
1 ავაგოთ y = sin x ფუნქციის გრაფიკი
2 იმავე კოორდინატთა სისტემაში ავაგოთ y = ფუნქციის გრაფიკი
3 ავღნიშნოთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები
4 როგორც ხედავთ y = წრფე y = sin x ფუნქციის გრაფიკს ორ ნაწილად ყოფს გრა-
ფიკის y = წრფის ზევით დარჩენილი ნაწილის წერტილების აბსცისები მოცემული
უტოლობების ამონახსნებია ეს წერტილები 0 lt x lt 2 ინტერვალში აბსცისა x gt და
x lt მქონე წერტილებია მაშასადამე უტოლობის 0 lt x lt 2 ინტერვალში არსებული
ამონახსნები lt x lt პირობის დამაკმაყოფილებელ წერტილთა ერთობლიობაა
nimuSi 1 sin x gt უტოლობა 0lt xlt2 ინტერვალში ამოხსენით გრაფიკული ხერხითდაწერეთ უტოლობის ამონახსენთა ზოგადი სახე
12
12
56 5
6
56 52326
6
6
12
12
12
მარტივი ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნა ერთეულოვანი წრეწირის ან ტრიგო-ნომეტრიული ფუნქციების დახმარებით ხდება
6
56
12
656
2ndash2ndash32 2ndash
nimuSi 2 ამოხსენით უტოლობა sin x lt amoxsna sin x = განტოლების ფესვები y = sin x და y = ფუნქციების
გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსცისებია რადგან განტოლების ერთი ამონახსნია
x1 = ამიტომ 2 სიგრძის შუალედში მეორე ამონახსენი ndash = იქნება
გრაფიკზე ავღნიშნოთ გადაკვეთის წერტილები რომელთა აბსცისებია და
radic32
23
3
3
radic32
radic32
3
23
x
y y = sin xy =
12
6
56
12
201
nimuSi 3 ამოხსენით უტოლობა cos x gt
amoxsna y = cos x და y = ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების
აბსცისები ვიპოვოთ cos x = განტოლებიდან
x = + 2n და x = ndash + 2n (n Z)როცა n = 0 გადაკვეთის წერტილების აბსცისები და ndash იქნება ავღნიშნოთ ეს
წერტილები გრაფიკზე ამ წერტილებიდან ორივე მხარეს ვუჩვენოთ კიდევ ორი წერტილი
trigonometriuli utolobebi
ამ წერტილებიდან ორივე მხარეს კიდევ ორი წერტილი ვუჩვენოთ წერტილიდან 2
მანძილით მარჯვნივ + 2 = და წერტილიდან 2-ით მარცხნივ
ndash 2 = ndash წერტილებიც ამ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსცისებია
3
73
3
23
23
43
0 x
y
73
23
3
83ndash 5
3 ndash 43
radic32y =
43(ndash ) შუალედში y = sin x ფუნქციის გრაფიკზე არსებული წერტილების ორდინატი
-ზე ნაკლებია პერიოდულობის მხედველობაში მიღებით sin x lt უტოლობის ამო-
ნახსენი ndash + 2n lt x lt + 2n (n Z) სახით შეიძლება ჩავწეროთ
3
radic32
radic324
33
როგორც გრაფიკული გამოსახულებიდან ჩანს ( ) შუალედი sin x gt უტოლობას
აკმაყოფილებს sin x gt უტოლობის დამაკმაყოფილებელი დანარჩენი ინტერვალები
( ) ინტერვალის 2-ის ჯერადის ტოლ მანძილზე მარჯვნივ და მარცხნივ მოძრა-
ობით მიიღება მაშასადამე sin x gt უტოლობის ამონახსენთა სიმრავლე
+ 2n lt x lt + 2n (n Z) სახისა იქნება
3
23
radic32
radic32
3
23
radic32
3
23
2
2
radic22
4
radic22radic22
4
2
2
4
4
0 x
y
74
4 9
4ndash 7
4
radic22y =
ndash 4
202
trigonometriuli utolobebi
მოცემული უტოლობის დამაკმაყოფილებელი ინტერვალებიდან ერთი შესაბამისი გან-ტოლების აბსოლუტური მნიშვნელობით უმცირესი ფესვების ანუ ndash და წერტილებს
შორისაა პერიოდულობის მხედველობაში მიღებით cos x gt უტოლობის ამონახსენს
ndash + 2n lt x lt + 2n (n Z) სახით მივიღებთ
4
4
radic22
4
4
nimuSi 4 ამონახსენით უტოლობები tg x gt 1 და tg x lt 1 amoxsna ერთსა და იმავე საკოორდინატო სიბრტყეზეგამოვსახოთ y = tg x და y = 1 ფუნქციების გრაფიკები
tg x = 1 განტოლებიდან ვიპოვოთ გრაფიკების (ndash )შუალედში მდებარე გადაკვეთის წერტილის აბსცისა x =(ndash ) შუალედში tg x ზრდადი ფუნქციაა როცა
x = რადგან tg x = 1 ამიტომ როცა
ndash lt x lt მაშინ tg x lt 1 როცა
x0
1
y
4ndash
2
y = 1
2
2
2
42
2
42
4
4
74ndash წერტილიდან 2-ით მარჯვნივ ndash + 2 = და წერტილიდან 2-ით მარცხნივ
ndash 2 = ndash წერტილებიც ავღნიშნოთ გრაფიკზე
4
4
74
4
გრაფიკის გამოსახულების თანახმად cos x lt უტოლობის ამონახსენი
+ 2n lt x lt + 2n (n Z) იქნება4
74
tg x არის პერიოდიანი ფუნქციაtg x lt 1 უტოლობის ამონახსენიაndash + n lt x lt + n (n Z)tg x gt 1 უტოლობის ამონახსენი კი
+ n lt x lt + n (n Z) იქნება
4
2
2
4
4
2
nimuSi 5 ამოხსენით უტოლობები ctg x gt radic3 და ctg x lt radic3 amoxsna ერთსა და იმავე საკოორდინატო სიბრტყეზეგამოვსახოთ y = ctg x და y = radic3 ფუნქციების გრაფიკები(0 ) შუალედში გრაფიკების გადაკვეთის წერტილის აბსცისასვპოულობთ ctg x = radic3 განტოლებიდან x =(0 ) შუალედში ctg x კლებადი ფუნქციაა
რადგან ctg x = radic3 როცა x = ამიტომ როცა
0 lt x lt მაშინ ctg x gt radic3 ხოლო როცა
6
6
6
x0
y
y = radic3
6
radic22
lt x lt მაშინ tg x gt 1 -ზე რადგან
lt x lt მაშინ კი ctg x lt radic3 იქნებაეს იმას ნიშნავს რომ ctg x gt radic3 უტოლობა 0 + n lt x lt + n (n Z) პირობას
ctg x lt radic3 უტოლობა კი + n lt x lt + n (n Z) პირობას აკმაყოფილებს
6
6
6
nimuSi 7 ამოხსენით radic2 sin (x ) + 3 ge 2 უტოლობა 0lt x lt 2 ინტერვალში
203
trigonometriuli utolobebi
ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნისათვის1) ერთსა და იმავე კოორდინატთა სისტემაში ააგეთ უტოლობის მარჯვენა და მარცხენამხარეების მომცველი გრაფიკები2) ამოხსენით შესაბამისი განტოლება გრაფიკების კოორდინატთა სათავის სიახლოვესრამდენიმე ადგილას იპოვეთ და აღნიშნეთ გადაკვეთის წერტილების აბსცისები3) განსაზღვრეთ მოცემული უტოლობის დამაკმაყოფილებელი რაიმე შუალედი4) პერიოდულობის გათვალისწინებით დაწერეთ უტოლობის ამონახსენი
როგორც გრაფიკიდან ჩანს cos3x-ის 0-ზე ნაკლებ ან 0-ის ტოლ მნიშვნელობებს გრაფიკის
აბსცისათა ღერძზე (y = 0 წრფე) და მის ქვევით მდებარე წერტილები შეესაბამება
0lt xlt 2 ინტერვალში უტოლობის ამონახსნები lt xlt lt xlt lt x lt შუალედები იქნება
nimuSi 6 ამოხსენით cos 3x le 0 უტო-ლობა 0lt xlt2 ინტერვალშიamoxsna
6
2
56
763
211
6
გრაფიკის y = 2 წრფეზე და მის ზემოთ დარჩენილი ნაწილის წერტილების აბსცისები არის
უტოლობის ამონახსენი ეს 0lt xlt 2 ინტერვალში 0 le xle წერტილებია
უტოლობის ამონახსნების ზოგადი სახე 2k le x le + 2k იქნება
Semowmeba ამოხსნის ინტერვალიდან ერთი წერტილი მაგალითად x = წერტილიშევარჩიოთ როგორც საცდელი წერტილი და შევამოწმოთ ამოხსნის სისწორე
radic2sin ( ) + 5 ge 2
radic2sin + 3 ge 2 1 + 3 ge 2
1 გრაფკალკულატორით ავაგოთ
y = radic2sin(x ) + 3 და y = 2
4
4
4
4
2
2
323
2
ფუნქციების გრაფიკები
1 ავაგოთ y = cos 3x ფუნქციის გრაფიკი -23 -3 3 23 43 53 30
(ndash20) (ndash60) (60) (20) (560) (760) (320) (1160)
y = radic2 sin x ndash +34
y = 26
-3 -2 2 3-
42
0
204
trigonometriuli utolobebi
2
1
ამოხსენით უტოლობები
ა) sin x gt ბ) sin x gt ndash გ) sin x lt დ) sin x lt
ე) cos x ge ვ) cos x gt ndash ზ) cos x lt თ) cos x le
ა) 2 sin 2x ndash radic3 gt 0 ბ) 2 cos 2x ndash radic2 le 0
გ) 2 sin(x + ) ndash 1 gt 0 დ) 2 cos(x ndash ) + 1 lt 0
ი) tg x gt radic3 კ) tg x gt ndash1 ლ) tg x le 1 მ) tg x lt ნ) ctg x gt 1 ო) ctg x gt ndash1 პ) ctg x le radic3 ჟ) ctg x lt ndashradic3
12
radic32
radic22
radic33
6
3
12
12
radic22
radic32
12
nimuSi 2 sin(x + ) ndash 1 gt 0sin(x + ) gt
x + = t
sin t gt
+ 2n lt t lt + 2n n Z + 2n lt x + lt + 2n
2n lt x lt + 2n n Z
0 x
y
6
56
23
56
6
612
6
12
66
56
6
გამოიკვლიეთ ნიმუში ამოხსენით უტოლობები
3
4
5
იპოვეთ უტოლობის [ndash ] მონაკვეთზე მდებარე ამონახსნები
იპოვეთ უტოლობის [ndash ] მონაკვეთზე მდებარე ამონახსნები
ა) sin x gt ბ) sin x gt ndash გ) sin x gt 0
ა) sin x lt ბ) sin x lt ndash გ) sin x lt 0
12
2
32
12
2
32
12
12
იპოვეთ უტოლობის [0 2] მონაკვეთზე მდებარე ამონახსნები
ა) cos x lt ბ) cos x le ndash გ) cos x lt 012
12
იპოვეთ უტოლობის [ndash ] მონაკვეთზე მდებარე ამონახსნები
ა) cos x gt 0 ბ) cos x gt ndash გ) cos x gt12
radic32
იპოვეთ უტოლობის (ndash ) შუალედში მდებარე ამონახსნები2
2
ა) tg x gt ndash1 ბ) tg x lt ndash1 გ) tg x ge radic3
ა) ctg x lt 1 ბ) ctg x gt radic3 გ) ctg x le 06
7
იპოვეთ უტოლობის (0 ) შუალედში მდებარე ამონახსნები
8
saswavlo davalebebi
შემოვიტანოთ აღნიშვნა
205
trigonometriuli utolobebi
ერთეულოვან წრეწირზე რომელი მეოთხედი აკმაყოფილებს ქვემოთ მოცემულ პირობებს
ა) sin x gt 0 cos x lt 0 ბ) cos x lt 0 tg x lt 0
დ) tg x lt 0 sin x gt 0გ) sec x gt 0 tg x gt 0
Ria tipis davalebebi დაწერეთერთეულოვანი წრეწირის წითელფერიანინაწილით გამოსახული ტრიგონომეტრიულიუტოლობა
74
54
radic22
radic22
radic22
radic22
( ( ))
9
10
11 უტოლობის ამოხსნის გრაფიკის გა-მოსახულების მიხედვით დაწერეთუტოლობა და ამოხსნის ინტერვალი
radic22სურათზე sin t ge და sin t le უტოლობების ამოხსნის ზოგადი ჩანაწერი
და ერთეულოვან წრეწირზე ასახვა სხვადასხვა ფერებით ნიმუშადაა მოცემული
radic22
sin t ge 12 sin t ge radic3
2radic32sin t lt
12
12
12
sin t ge sin t le radic22
radic22
4
34+ 2k le t le + 2k k Z
454
ndash + 2k le t le + 2k k Z
ქვემოთ მოცემული უტოლობების ამონახსნები წარმოადგინეთ ნიმუშის შესაბამისად
6
2
900 1800 2700 2600
76
y = cos 2x56
32 2
116y = 1
212
x
x1
-1
x
4
34
y
x
y ndash =ndash ndash = ndash
454
4
4
sin t ge sin t le
ა) ბ) გ)
დ) ე)
206
trigonometriuli utolobebi
ნიმუშზე cos t ge და cos t le უტოლობების ზოგადი ამონახსენი და ერთეულო-
ვან წრეწირზე ასახვაა მოცემული
წარმოადგინეთ ქვემოთ მოცემული უტოლობების ამონახსნები ნიმუშის მსგავსი ხერხით
ა) cos t ge ბ) cos t le გ) cos t ge ndash
12
radic22
12
radic22
12
cos t ge
ndash + 2n le t le + 2n
12
3
3
y
x
3
3
12
13
ა) sin 3xsin x ndash cos 3xcos x ge ndashბ) sin xcos x gt ndash გ) sin 3xcos x + cos 3xsin x lt
ა) (2 sin x ndash 1)middot(sin x ndash 3) lt 0ბ) (2 cos x ndash radic3)middot(cos x + 2) gt 0გ) 2 cos2 x + 3 cos x ndash 2 lt 0
ა) radic3 sin x + cos x gt 1 ბ) sin x ndash cos x lt 1
14
radic22
12
უტოლობები გაამარტივეთ ტრიგონომეტრიული იგივეობების მიხედვით და ამოხ-სენით
უტოლობის ორივე მხარე გაყავით განსაზღვრულ რიცხვზე გაამარტივეთ დამხმარეკუთხის შემოტანით და ამოხსენით
ამოხსენით უტოლობა
14
15
16
ამოხსენით უტოლობები (0 2) ინტერვალში
cos 3x gt
sin(x + ) ge
cos lt
tg 2x ge radic3
cos(2x ndash ) le ndash
sin(2x ndash ) le 0
ctg(x ndash ) gt ndash1
sin( ndash x) lt
12
radic32
3
x2
radic22
12
6
4
3
4
12
17
ndash
ა) ბ)
გ) დ)
ე) ვ)
ზ) თ)
cos t le
+ 2n le t le + 2n
12
3
53
53
y
x
2 ndash =
3
12
3
207
trigonometriuli utolobebi
amoxsna ა) ამოცანის მონაცემების მი-ხედვით ავაგოთ სქემატური გამოსახულე-ბა კარუსელის წრეწირის გარშემო მოძ-რაობისას ყოველი მეოთხედი ბრუნისშესაბამისი წერტილებითუ შევაერთებთ ამ წერტილებს მივიღებთკარუსელის ერთი ბრუნის შესაბამის (360deg)გრაფიკს- სინუსოიდასბ) როგორც გრაფიკიდან ჩანს ეს პიროვნებამე-10 წამიდან 30-ე წამამდე დროისგანმავლობაში დედამიწიდან 21 მ და მეტ სიმაღლეზე იქნებაგ) ამოცანის მონაცემებისა და გრაფიკის მიხედვით დავწეროთ ფუნქციის ფორმულა
ა) დახაზეთ ამოცანის შესაბამისი გრაფიკული გამოსახულება
ბ) მოძრაობის დაწყებისას ყველაზე დაბლა მყოფი კაბინაკარუსელის ერთი სრული ბრუნის განმავლობაში რომელწამებზე იქნება დედამიწიდან 21 მ და უფრო მეტ სიმაღლეზე
გ) დაწერეთ ამ სკამზე მჯდომი პიროვნების კარუსელზებრუნვისას დედამიწიდან არსებული სიმაღლის დროზე დამო-კიდებულების მაჩვენებელი ფუნქცია h(t) = asinb(t c) + dსახით
41 მ
10 20 30 40
21 მ
1 მ
ვიპოვოთ b სიხშირე პერიოდის მიხედვით T = 2
b360
b36040
T = 40 წმ = 40 b = = 9
განვსაზღვროთ სივრცითი მოცურება - c სინუსის ფუნქცია მაქსიმუმს იღებს პერიოდისერთ მეოთხედზე თუმცა ამ ფუნქციის მაქსიმუმი 10 წამით გვიან (მე-20 წამზე) მიიღწევასივრცითი მოცურება c = 10 მაშასადამე
h(t) = 20 sin 9(t ndash 10) + 21
ამოცანაში მოცემული მაქსიმუმისა და მინიმუმის მიხედვით ვიპოვოთ ამპლიტუდა დაშუახაზი
a = = = 20
= 21
მაქსიმუმი მინიმუმი2
41 12
= 41 + 1
2 d = მაქსიმუმი + მინიმუმი2
amocanis amoxsnis nimuSi 20 მ რადიუსიანი კარუსელი ყოველ 40 წამში ერთსრულ ბრუნს ასრულებს ყველაზე დაბლა მყოფი სკამი 1 მ სიმაღლეზეა
208
1
2
3
ა) cosndash1 (ndash08) ბ) sinndash1 099 გ) tgndash1 12 დ) cosndash1 055კალკულატორით გამოთვალეთ
იპოვეთ განტოლებების [0 2π) ( ანუ [0 360deg)) შუალედში არსებული ფესვები
ა) sin(x + 60ordm) = ბ) cos(x ndash 30ordm) = ndashგ) tg(x + 45ordm) = ndash1 დ) sin(x ndash 20ordm) =ე) cos(2x ndash ) = ვ) tg( ndash x) = 1
1radic2
radic32
12
2
12
4
ამოხსენით უტოლობები 0lt xlt 2 ინტერვალში
ა) cos x le ndash ბ) cos x ndash gt 0 გ) radic2 sin x ndash 1 lt 0დ) sin x le 0 ე) tg x ge radic3 ვ) sec2 x le 4ზ) cos2 x gt თ) cos 2x le 0 ი) sin(x + ) gtკ) cos2 x ge ლ) 2 cos x ge 1 მ) sin 5x ge 5ნ) cos 2x le 1 ო) sec x le radic2 პ) ctg x le 4
12
radic32
13
12
12
3
ამოხსენით განტოლებებია) 2 ctg x + 1 = ndash1ბ) 5 sec2 x = 6 sec xგ) 4 sin2 x ndash 4 sin x + 1 = 0დ) tg x ndash ctg x = 0
ე) sin x + 2 = 3ვ) 2 cos2 x ndash cos x = 1ზ) tg2 x ndash 4 tg x + 4 = 0თ) cos2 x = sin2 x + 1
4
5 თურალი და ჰუსეინი სურათზე აღნიშნული წესით 100 მ რადიუსიანი წრეწირის გარშემოდარბიან თურალი სურათზე აღნიშნულიწერტილიდან დაწყებით საათის ისრისმოძრაობის საწინააღმდეგო მიმართულებით003 რადწმ ჰუსეინი კი აღნიშნული წერ-ტილიდან საათის ისრის მოძრაობის საწი-ნააღმდეგო მიმართულებით 0025 რადწმსიჩქარით დარბისა) განსაზღვრეთ 6 წამის შემდეგ მათი ადგილმდებარეობის წერტილების კოორდინატებიბ) რა მანძილს გაივლიან ისინი 8 წამის განმავლობაშიგ) გამოსახეთ თურალის მიერ t წამის შემდეგ მოძრაობით შემოხაზული მობრუნებისკუთხედ) თურალი პირველად მერამდენე წამზე იქნება იმ წერტილში რომლის აბსცისაც არის 50ე) ჰუსეინი პირველად მერამდენე წამზე იქნება იმ წერტილში რომლის აბსცისაც არის 50ვ) თურალი პირველად მერამდენე წამზე დაეწევა და გაასწრებს ჰუსეინს
r = 100 მ
თურალი აქედანიწყებს სირბილს
ჰუსეინი აქედანიწყებს სირბილს003 რადწამი
0025 რადწამი
ganmazogadebeli davalebebi
კუთხის რა უმცირესი დადებითი მნიშვნელო-
ბისათვის იქნება პლანეტა მერკურსა და მზეს შორის მანძილი 5107 კმ-ის ტოლი
209
astronomia პლანეტა მერკური მზის გარ-შემო ელიფსის ფორმით მოძრაობს მისი მოძ-რაობა შეიძლება გამოისახოს ქვემოთ მოცე-მული ფორმულით
r = 344 107
1 ndash 0206 cos
მერკური
ორბიტა
r
შერჩეულ ტერიტორიაზე მინდვრის კურდღლების რაოდენობის გამრავლების (მათ-თან ერთად მტაცებლების გამრავლების მიხედვით) დროზე დამოკიდებულების D(t) = 400cos(72t) + 800 სახით მოდელირება შეიძლება D არის კურდღლებისრაოდენობა t კი 2000 წლიდან დაწყებული უჩვენებს დროს (წლობით)ა) რამდენია კურდღლების მაქსიმალური და მინიმალური რაოდენობაბ) რამდენი იქნება კურდღლების რაოდენობა მიმდინარე წელსგ) რომელ წელს იყო დაახლოებით 1000 კურდღელიდ) დახაზეთ ფუნქციის გრაფიკი 2 წლიანი პერიოდისათვის
6
7
მზე
ერთი წლის განმავლობაში შეგროვებული ინფორმაციების გამოკვლევის შედეგადქალაქში დღის ხანგრძლივობის (საათობით) ქვემოთ მოცემული დამოკიდებულებითცვლილება განისაზღვრა
D(x) = sin x+ 353
2π365
73
ა) რამდენი საათი იყო დღის ხანგრძლივობა 1 იანვარს 22 მარტს და 5 ნოემბერსბ) რომელ თარიღებშია დღის ხანგრძლივობა 11საათზე მეტი
სადაც x-ით აღინიშნება დღის წლის დასაწყისიდან გამოთვლილი ნომერი
8
9 სურათზე მოცემულია y = a sin bx ფუნ-ქციის გრაფიკია) გრაფიკის მიხედვით იპოვეთ a და bმნიშვნელობებიბ) იპოვეთ y = 2 წრფესთან გადაკვეთის P დაQ წერტილების კოორდინატები
y
321
-1-2-3
y = 2P
90deg 180deg 270degx
Q
10იპოვეთ განტოლებების ფესვები [0 2π) შუალედში
ა) 2 cos2 x = sin x ბ) sin3 x ndash 5 sin x = 0გ) radic3 sin x + cos x = 1 დ) cos x middot cos 2x = cos 3xე) tg(2x ndash ) = radic3 ვ) sin 3x ndash cos 2x = 2
8
ganmazogadebeli davalebebi
210
sivrciTi figurebis moculoba8prizmis moculoba
piramidis moculoba
sivrciTi figurebis msgavseba
msgavsi sivrciTi figurebis zedapirebi
da moculobebi
wakveTili piramidis moculoba
amocanebi sibrtyiTi kveTebis Sesaxeb
simetria sivrceSi
როცა ზომები ნატურალური რიცხვებიამართკუთხა პარალელეპიპედის მოცუ-ლობა რიცხვითი მნიშვნელობით მისიშემდგენი ერთეულოვანი კუბების რაო-დენობის ტოლია იმ შემთხვევაში როცაზომები ნებისმიერი ნამდვილი რიცხვებია მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა მისისამი განზომილების ნამრავლის ტოლია V= a∙bmiddotc ვინაიდან მოცულობის ფორმულაში amiddotbნამრავლი ფუძის ფართობია c კი სიმაღლეა ის შეიძლება ასეც ჩამოვაყალიბოთ
მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა მისი ფუძის ფართობისა დასიმაღლის ნამრავლის ტოლია V = Sფhიმ კუბის მოცულობა რომლის წიბოს სიგრძეა a იქნება V = a3ნებისმიერი პრიზმის მოცულობა ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლისტოლია ამ მოსაზრების მართებულობა ვუჩვენოთ მართ პრიზმაზე რომლის ფუძეცმართკუთხა სამკუთხედია
prizmis moculoba
211
gamokvleva კუბებით ააგეთ სხვადასხვა ზომის პრიზმები და დახაზეთ მათი სურათებიააგეთ სულ მცირე ოთხი პრიზმა
1 წარმოადგინეთ რომ პრიზმის შემდგენი თითოეული კუბის გვერდის სიგრძე 1ერთეულია ყოველი წახნაგი კვადრატული ერთეულია მოცულობა 1 კუბური ერთეულია
2 პრიზმების მიხედვით განსაზღვრეთ ცხრილში მოცემული ინფორმაციები და შეავსეთიგი
3 რა კავშირი აღმოაჩინეთ პრიზმის ფუძის ფართობს სიმაღლესა და მოცულობას შორის
4 კონსტრუქციების კუთხიდან აიღეთ ერთი კუბი დახაზეთ მიღებული კუბოიდებისზედხედის წინხედისა და გვერდხედის სურათები
პრიზმა ფუძისფართობი სიმაღლე მოცულობა
1234 4 2
31
a b
თუ სხეულის სასრული რაოდენობის სამკუთხა სხეულებად დაყოფა შესაძლებელია მასმარტივი სხეული ეწოდება მარტივი სხეულებისათვის მოცულობა - რიცხვითი მნიშვნელობაქვემოთ მოცემული თვისებების დამაკმაყოფილებელი დადებითი სიდიდეა1) კონგრუენტული სხეულების მოცულობები ტოლია2) იმ კუბის მოცულობა რომლის წიბო სიგრძის ერთეულის ტოლია კუბური ერთეულისტოლია3) თუ სხეული მარტივ სხეულებად ნაწილებად იყოფა მაშინ ამ სხეულის მოცულობა მისინაწილების მოცულობების ჯამის ტოლიასხეულებს რომელთა მოცულობები ერთმანეთის ტოლია ტოლდიდი სხეულები ეწოდება
1 გავავლოთ პრიზმის გვერდითი წიბოს მართობული სიბრტყითი მკვეთი2 გამოვყოთ სიბრტყითი კვეთის ზევით დარჩენილი ნაწილი3 გამოყოფილი ნაწილის გარდაქმნით პრიზმის სიბრტყითი კვეთისქვევით დარჩენილი ნაწილი დავაწებოთ4 მიღებული მარტი პრიზმის სიმაღლე დახრილი პრიზმის გვერდითიწიბოა ანუ h = l ფუძე კი დახრილი პრიზმის პერპენდიკულარული კვეთაა
სურათზე მოცემული ABCAprimeBprimeCprime დახრილი პრიზმა გარდავქმნათ მისიტოლი მოცულობის მქონე მართ პრიზმად ამისათვის
prizmis moculoba
212
AAprime წიბოზე გავლით BC წიბოს მართობული სიბრტყე ამ პრიზმას ერთიდა იმავე სიმაღლის მქონე ორ პრიზმად ყოფს რომელთა ფუძეებიცმართკუთხა სამკუთხედებია მოცემული პრიზმის მოცულობა ამპრიზმების მოცულობების ჯამის ტოლიამაშასადამე მართი პრიზმის მოცულობა რომლის ფუძეც ნებისმიერისამკუთხედია ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლის ტოლიათუ მართი პრიზმის ფუძეები ნებისმიერი მრავალკუთხედი იქნება ამპრიზმის ფუძის სამკუთხედებად დაყოფით მართ პრიზმებად დაიყოფადა მათი მოცულობების შეკრებით მოცემული პრიზმის მოცულობისგამოთვლა შეიძლება
მართობულ მკვეთის სიბრტყესა და ფუძის სიბრტყეს შორის კუთხე დახრილი პრიზმისგვერდითი წიბოსა და სიმაღლეს შორის არსებულ კუთხესთან ტოლობიდან გამომდინარე
V = Smiddotl=Sფძcos l =Sფძ Hამრიგად პრიზმის მოცულობა ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლის ტოლია
V = Sფძ H
A
Aprime
Mprime
MB
Bprime
Eprime
E
A
B
C
D
Dprime
CprimeAprime
C
Cprime
Bprime
თუ პრიზმის ფუძე ნებისმიერი ABC სამკუთხედია ამ სამკუთხედებისსიმაღლეებიდან ისეთი გავავლოთ რომ მოპირდაპირე გვერდი მის შიდაწერტილში გადაკვეთოს AM BC
ფუძეში მოცემული მართკუთხა სამკუთ-ხედების მართკუთხედებამდე შევსებითპრიზმაც მართკუთხა პარალელეპიპედამდეშევავსოთ მიღებული მართი პრიზმისმოცულობა V = ABACAAprime იქნებაპრიზმის ფუძის დიაგონალზე გამავალიBBprimeCprimeC სიბრტყე პრიზმას ორ კონგრუ-ენტულ სამკუთხა პრიზმად ყოფს მაშა-
სადამე მართი პრიზმის მოცულობა რომლის ფუძეც მართკუთხა სამკუთხედია შეიძლებაჩაიწეროს ქვემოთ მოცემული სახით
A A
Aprime
BB
BprimeBprime
CC
Cprime
A
θ Hl
A1 B1
M1N1
BM
N
C
Cprime
Aprime
Dprime
D
AB AC2
AAprime = SothV =
ამ მართი პრიზმის მოცულობა იგივე დახრილი პრიზმის მოცულობაა
დასკვნა დახრილი პრიზმის მოცულობა მართობული კვეთის ფართობისა და გვერდითიწიბოს ნამრავლის ტოლია V = Smiddotl
prizmis moculoba
213
nimuSi იპოვეთ წესიერი ხუთკუთხა პრიზმის მოცულობა თუ ფუძის გვერდის სიგრძე 4 სმ-ია გვერდითი წიბოს სიგრძე კი 9 სმ-ია
წესიერი ხუთკუთხედის ცენტრული კუთხეა 360 5 = 72degამიტომ აპოთემა
პრიზმის მოცულობა ფუძის ფართობისა დასიმაღლის ნამრავლის ტოლია
V = Sფძh
prizmis moculoba
h
2tg36deg
2tg36deg
r =
h
marTi prizma
daxriliprizma
12
20tg36deg
180tg36deg
kavalieris principi moculobebis Sesaxeb თუ ფუძეების ერთსა და იმავესიბრტყეში მქონე თანაბარსიმაღლიანი ორი სხეულის ფუძეებზე პარალელური ნებისმიერისიბრტყითი კვეთის ფართობები ტოლია მაშინ მოცულობებიც ტოლია
ეს პრინციპი აღმოაჩინა იტალიელმა მათემატიკოსმა ბონავენტურა კავალიერმა (1598-1647)
hS S
წესიერი ხუთკუთხედის ფართობი პერიმეტრისა და აპოთემისნამრავლის ნახევრის ტოლია
Sფძ = Pr = middot 5 4 = V = S0 middot h = asymp 248 (სმ3)
1მართკუთხა პარალე-ლეპიპედის ზომები მნიშვნელობები
სიგრძე a 6 20 2 3 8სიგანე b 4 30 5 8 2
სიმაღლე c 3 15 4 2 Sგვ 40 40 60Sსრ V 60
ცხრილის მონაცემების მიხედვით იპოვეთ კითხვის ნიშნების ადგილას საჭირო ზომები
8 სმ times 15 სმ times 40 სმ ზომის მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის მეტალის ბლოკიმთლიანად 1 სმ times 15 სმ times 2 სმ ზომის მეტალის ფილებისაგან შედგება რამდენი ასეთიფილაა მეტალის ბლოკში
2
12
r9 სმ
4 სმ
4 4
4 4
2 2
ა) დაამტკიცეთ რომ მართკუთხა პარალელეპიპედის ნებისმიერი დიაგონალისკვადრატი მისი სამივე განზომილების კვადრატის ჯამის ტოლია d2 = a2 + b2 + c2
ბ) იპოვეთ მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა თუ a = 3 b = 4 d=13
18 მ
12 მ
3 მ
6 მ
prizmis moculoba
214
სურათზე ნაჩვენები ზომების ყუთში ჩაგდებულიქვით წყლის დონე 05 სმ აიწია იპოვეთ ქვისმოცულობა 35 სმ 50 სმ
25 სმ
10
11
რძის პროდუქციის წარმოებით დასაქმებული კომპანია ახალი სავაჭროკამპანიისათვის ფასების შენარჩუნების პირობებში რძის ყუთებისტევადობის 25-ით გაზრდას გეგმავს როგორ შეიძლება ამის მიღწევამხოლოდ ყუთების სიმაღლის შეცვლით
7
როგორ შეიცვლება პარალელეპიპედის მოცულობაა) თუ ზომებიდან ერთი ორჯერ გაიზრდება ბ) ორი ზომიდან თითოეულიორჯერ გაიზრდება გ) სამივე ზომა ორჯერ გაიზრდება
6
rZe100-iTbunebrivi
სურათის მონაცემების მიხედვით გამოთვალეთ მართი პრიზმის მოცულობა
გამოთვალეთ შედგენილი ფიგურებისმოცულობა
3
5
7სმ
20მმ
34 მმ
23სმ
15სმ
4სმ
33მმ
4 სმ
3სმ
5სმ
11სმ
10 სმ
4მ
4მ6მ
2მ
4მ
იპოვეთ დახრილი პრიზმის მოცუ-ლობა რომლის ფუძეც კვადრატია
4
10 მ სიგრძის აუზის განივი კვეთის სურათზე მოცე-მული ზომების მიხედვით იპოვეთა) რამდენ ტონა წყალს იტევს აუზი (1მ3 =1 ტონას)ბ) სავსე აუზი ორი ერთნაირი მილით 4 საათშიდაიცლება რამდენ კუბურ მეტრ წყალს ატარებსთითოეული მილი ერთ წუთში
8
სურათზე მოცემული ხორბლის საწყობი (ამბარი)რომელი სივრცითი ფიგურის ფორმისაა რამდენიწახნაგი და რამდენი წიბო აქვს მას მოცემულიზომების მიხედვით გამოთვალეთ მისი მოცულობა
9
15 მ
6 მ
7 მ
25მ
48მ3მ
5 სმ
4 სმ
ა) სურათზე მოცემული ზომების მიხედვით გამოთვალეთკონსტრუქციის სრული ზედაპირის ფართობი
ბ) 1 სმ3-ის ფასი 2 კაპიკი ალუმინისგან დამზადებული ესკონსტრუქცია 1 სმ3-ის ფასი 10 კაპიკიანი გამძლე მეტა-ლისაგან დამზადებული კონსტრუქციასთან შედარებითრამდენი მანეთით იაფი იქნება
prizmis moculoba
215
სურათზე მოცემული მეტალის ბლოკისსიმკვრივე 7860 კგმ3-ია გამოთვალეთ მისისაერთო მასა 10 კგ-ის სიზუსტით
წესიერი სამკუთხა პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი 48 სმ2-ია სიმაღლე კი 8 სმ-იაა) იპოვეთ ფუძის გვერდის სიგრძე ბ) იპოვეთ პრიზმის მოცულობა
12
13
ა) მართკუთხა პარალელეპიპედის სამი წახნაგის ფართობი 2 სმ2 3 სმ2 6 სმ2-ია იპოვეთამ პარალელეპიპედის მოცულობაბ) მართკუთხა პარალელეპიპედის განზომილებებია 3 სმ 4 სმ და 5 სმ თუ მის თი-თოეულ წიბოს x სმ-ით გავზრდით ფართობი 54 სმ2-ით გაიზრდება იპოვეთ რამდე-ნით გაიზრდება მოცულობა
14
15
18
125სმ
5სმ
5სმ20სმ
30სმ100 სმ
50მმ
40მმ 80მმ
60მმ
170მმ110მმ
120მ
მ
40 სმ
6სმ
50 მმ
12 მმ
იპოვეთ წესიერი ექვსკუთხა პრიზ-მის მოცულობა
ა) ბ)
წესიერი ექვსკუთხა პრიზმის ფუძის გვერდი 6radic3 სმ-ია სიმაღლე - 4 სმ იპოვეთ პრიზმისგვერდითი ზედაპირი და მოცულობა
დახრილი პრიზმის ფუძე ტოლგვერდა სამკუთხედია რომლის გვერდი4 სმ-ია პრიზმის გვერდითი წიბო 10 სმ-ია და ფუძის სიბრტყესთან60ordm-იან კუთხეს ადგენს იპოვეთ ამ პრიზმის მოცულობა
16
17
სურათზე მოცემული ABCD მართკუთხედის ფორმისდახრილი ფართობიდან მიწის ამოღების შემდეგ CDEFმართკუთხედის სახის სწორი ფართობი მიიღეს რამდენიკუბური მეტრი მიწა იქნა გატანილი ამ ფართობიდან თუAB = 10 მ ED = 24 მ და ფართობი 10 მ2-ითაა შემცი-რებული
19B
C
DE
A F10
24
სურათზე მოცემული მართი პრიზმის ფუძეკვარდატია იპოვეთ პრიზმის მოცულობა თუSABCD=24 სმ2 და BEG = 60deg
20
K
D
E
F G
C
BA
AprimeCprime
Bprime
A HB
hC
10სმ
4 სმ600
ბ) სხვა მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის ყუთის ზომები
8 6-ია თუმცა მისი დიაგონალი ფუძის დიაგონალთან 60deg-იან კუთხეს ქმნის უჩვე-
ნეთ რომ ამ ორი პარალელეპიპედის მოცულობების შეფარდება -ის ტოლია
ა) მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალი ფუძის დიაგონალ-თან 30deg-იან კუთხეს ადგენს იპოვეთ მისი მოცულობა სურათზემოცემული ზომების მიხედვით
მართი პრიზმის ფუძე კვადრატია მისი გვერდითი წიბოს სიგრძე ფუძის გვერდზე3-ჯერ მეტია სრული ზედაპირის ფართობი კი 350 მ2-ია იპოვეთ პრიზმის მოცულობა
მართი სამკუთხა პრიზმის ფუძის გვერდები 4 სმ 5 სმ და 7 სმ-ია გვერდითი წიბო კიფუძის დიდი სიმაღლის ტოლია იპოვეთ პრიზმის მოცულობა
წესიერი სამკუთხა პრიზმის ყველა წიბოს სიგრძე x-ის ტოლია უჩვენეთ რომ მისი
მოცულობა V = x3-ის ტოლია
prizmis moculoba
216
tg60degtg30deg
radic34
წესიერი ექვსკუთხა პრიზმის სიმაღლეა h ფუძის გვერდი კი a-ს ტოლია უჩვენეთ რომ
მისი მოცულობა V = a2h-ის ტოლია
წესიერი სამკუთხა პრიზმის ყველა 9 წიბო ერთი და იგივე სიგრძისაა რამდენი
სანტიმეტრია ერთი წიბოს სიგრძე თუ პრიზმის მოცულობა 16radic3 სმ3-ია
თუ პარალელეპიპედის სიგრძე და სიგანე 20-ით შემცირდება რამდენი პროცენტითუნდა გაიზარდოს სიმაღლე რომ მოცულობა არ შეიცვალოს
3radic32
24
25
26
27
დახრილი სამკუთხა პრიზმის გვერდითი წიბოები 20 სმ-ია მართობული კვეთისგვერდები 13 სმ 14 სმ და 15 სმ-ია იპოვეთ პრიზმის მოცულობა
28
29
30
31
300
86
ა) დახრილი პრიზმის ფუძეა კვადრატირომლის გვერდი 2 ერთეულია 15 ერ-თეული სიგრძის გვერდითი წიბო ფუძისსიბრტყესთან 60deg-იან კუთხეს ადგენსიპოვეთ პრიზმის მოცულობა
ბ) წესიერი ექვსკუთხა დახრილი პრიზმისმოცულობა 36radic3 კუბური ერთეულიამისი 12 ერთეული სიგრძის გვერდითიწიბო ფუძის სიბრტყესთან 30-იან კუთ-ხეს ადგენს იპოვეთ ფუძის გვერდი
23
2 დმ2 ფართობის მქონე რომბი მართი პარალელეპიპედის ფუძეა დიაგონალურიკვეთის ფართობები 9 დმ2 და 16 დმ2-ია იპოვეთ პარალელეპიპედის მოცულობა
21
იპოვეთ წესიერი ოთხკუთხა პრიზმის მოცულობა თუ გვერდითი წახნაგის დიაგო-ნალი 5 მ-ია ხოლო თვით მისი დიაგონალი 7 მ
22
300
12 15
2600
prizmis moculoba
217
სურათზე ასახულია ყუთი რომლის სახურავი შიგნითაა ჩავარ-დნილი სახურავის ფართობი 15 სმ2-იაა) იპოვეთ ყუთის მე-3 ზომაბ) იპოვეთ ყუთის სახურავის მიერ ყუთიდან გამოყოფილი მცირედაფარული ნაწილის მოცულობაგ) იპოვეთ ყუთის პირღია დიდი ნაწილის მოცულობა
33 5 სმ 3 სმ
3 სმ3 სმ
32informatika 9 სმ 12 სმ მუყაოს კუთხეებიდან კვადრატებიჩამოაჭრეს წყვეტილი ხაზების გასწვრივ მუყაოს გადაკეცვითყუთის ფორმა მიიღება რა ზომისა უნდა იყვნენ ისინი რომ ყუთიგახდეს მაქსიმალური მოცულობის გამოვსახოთ ყუთისმოცულობა x ცვლადით
V = (12 2x) (9 2x) xმოცემული მუყაოდან ყუთის დამზადებისათვის x-ის მნიშ-
ვნელობა შეიძლება შეიცვალოს 0 და შორის 0 lt x lt 45
ქვემოთ მოცემულ კომპიუტერულ პროგრამას x-ის 10 მნიშვნე-
ლობისათვის მოცულობა გაუანგარიშებია
92
mcire saproeqto samuSao
9
12x
xx x
12 ndash 2x9 ndash 2x
x
10 PRİNT ldquoXrdquo ldquomoculobardquo15 PRİNT20 FOR X = 0 TO 45 STEP 0530 LET V = (12 2X) (9 2X) X40 PRİNT X V50 NEXT X60 END
X moculoba
0 005 441 7015 812 8025 703 5435 354 1645 0
მარჯვენა მხარეს დაბეჭდილი ინფორმაცია x-ის 1 და 2-ს შორისმნიშვნელობებისათვის მოცულობის მაქსიმუმს უჩვენებსამასთან მოძებნილი რომ მოცულობის მაქსიმუმს უჩვენებსამასთან მოძებნილია რომ მოცულობის მაქსიმალურიმნიშვნელობა 81-ის ტოლიაპროგრამის შესრულებული ნაწილის მიხედვით შეასრულეთ ქვემოთ მოცემულიგამოთვლებია) უფრო ზუსტი გამოთვლების წარმოებისათვის პროგრამის x-ის მნიშვნელობებისშეცვლის ბრძანება ისე შეარჩიეთ რომ x-ის მნიშვნელობები 1-დან 2-მდე 01 ბიჯითშეიცვალოსბ) მე-20 ბრძანება ისე შეცვალეთ რომ მოცულობის მნიშვენლობა 01 სმ3 სიზუსტითგამოთვალოსგ) მოცულობის მაქსიმალური მნიშვნელობის შესაბამისად დაწერეთ ყუთის ზომები(სიგრძე სიგანე და სიმაღლე)დ) დაწერეთ კომპიუტერის პროგრამა მიყაოს 8 სმ 20 სმ ზომებისათვის და კომ-პიუტერში სამუშაოები შეასრულეთე) მოცემული პროგრამის (შეგიძლიათ შეცვალოთ დაპროგრამების ენა) კომპიუტერშიმუშაობის უზრუნველყოფისათვის შეასრულეთ საჭირო სამუშაოები
დავუშვათ რომ TABC არის T წვეროსა და ABC ფუძის მქონე სამკუთხა პირამიდა შევავსოთეს პირამიდა სამკუთხა პრიზმამდე მიღებული პრიზმა სამი პირამიდისაგან შედგება
1) მოცემული TABC პირამიდა 2) TCNM და 3) TMBC
პირამიდებისაგან მე-2 და მე-3 პირამიდების ფუძეები
კონგრუენტულია ∆CNM ∆MBC და T წვეროდან გავლებული
სიმაღლეები საერთოა ამიტომაც მათი მოცულობები ტოლია 1-ლი
და მე-3 პირამიდების ფუძეებიც კონგრუენტულია ∆TAB ∆BMTდა C წვეროდან გავლებული სიმაღლეები საერთოა ამიტომაც მათი
მოცულობებიც ტოლია მაშინ მოცემული პირამიდის მოცულობა
Soth-ის ტოლია
ნებისმიერი პირამიდის ფუძის სამკუთხედებად დაყოფა მიღებული სამკუთხა პირამიდების
მოცულობების პოვნა შეჯამებით მოცემული პირამიდის მოცულობის გამოთვლა შეიძლება
ამრიგად ნებისმიერი პირამიდის მოცულობა ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლის
ერთი მესამედის ტოლია V = Sფძh
პირამიდის მოცულობა ფუძის ფართობისა და სიმაღლისნამრავლის ერთი მესამედის ტოლია
V = Sფძh
piramidis moculoba
218
gamokvleva 1 კუბის დიაგონალები მას ექვს კონგრუენტულ
პირამიდად ყოფს თითოეული პირამიდის ფუძე კუბის წახნაგია
თითოეული პირამიდის სიმაღლე კი a-ს ტოლია
ა) განმარტეთ რომ თითოეული პირამიდის მოცულობა V = a3-ის ტოლია
ბ) განმარტეთ რომ თითოეული პირამიდის მოცულობა V = S ფძ h-ის ტოლია
aa
a12
1613
13
13
13
piramidis moculoba
h
B
h
B
4 მ სიგრძის 18 სმ სიგანის და 24 სმ სისქისსურათზე ნაჩვენები ხის მასალა ნაჩვენებიწესით 6 ნაწილად დაიყო იპოვეთ თითო-ეული ნაწილის მოცულობა
34 35ფიგურების მოცულობები და სი-მაღლეები ტოლია განსაზღვრეთპრიზმების x-ით აღნიშნული ნაწი-ლები
8სმ8სმ8სმ 8სმ
8სმ8სმ
4 მ
6სმ
6სმ
6სმ
x
3სმ
6სმ
x
3სმ3სმ
T
A
B
C
MN
piramidis moculoba
219
ა) სურათზე მონაცემების მიხედვით იპოვეთ წესიერი პირამიდის მოცულობა
ბ) სურათზე მონაცემებისმიხედვით იპოვეთ პირა-მიდების მოცულობა
18 სმ
15მ
14 მsფძ= 56მ2
118მ54მ
48სმ
13 მ 85მ
22 მSფძ= 6მ2
8 მ10 მ48სმ
პრიზმისა და პირამიდის ფუძეები კონგრუენტულიფიგურებია პრიზმის სიმაღლე 5 ერთეულია პირამიდისსიმაღლე 7 ერთეულია იპოვეთ ამ ფიგურების მო-ცულობების შეფარდება
მონაცემების მიხედვით იპოვეთ წესიერი პირამიდების მოცულობა2
3
პირამიდის თითოეული გვერდითი წიბო 25 მმ-ია ხოლო პირამიდის ფუძე მართ-კუთხედია ამ მართკუთხედის გვერდები 18 მმ და 24 მმ-ია იპოვეთ პირამიდისმოცულობა
4
პირამიდის თითოეული გვერდითი წიბო 13 სმ-ია ხოლო პირამიდის ფუძე 6 სმ 8სმ და10 სმ გვერდებიანი სამკუთხედია იპოვეთ პირამიდის მოცულობა
5
18
5
12
1513
7
სურათზე მინერალური კრისტალებია მოცემული გამოთვალეთ მოცულობა612 10
10
536
TABC წესიერი სამკუთხა პირამიდაა შეასრულეთ დავალებები სუ-რათის მიხედვით
ა) იპოვეთ h და l თუ AM = 9 და TM = 5ბ) იპოვეთ AO და AM თუ BC = 6გ) იპოვეთ BC OM და AM თუ h = 4 l = 5იპოვეთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი და მოცულობად) იპოვეთ მოცულობა გვერდითი ზედაპირის ფართობი და აპოთემათუ AB = 12 TA = 10
7
A
T
Ch hal
B
MO
9
8
220
ა) რომელი პირამიდის მოცულობა არის უფრო მეტი
ბ) რომელი პირამიდის სრული ზედაპირის ფართობი არის უფრო მეტი
კონგრუენტულ კუბებში ორი სხვადასხვა პირამიდა F-ABCD და M-ABCD არისჩახაზული M-ABCD პირამიდის M წვერო EFGH კვადრატის ცენტრშია
14
piramidis moculoba
შვეულად წოდებული ინსტრუმენტი სამშენებლო საქმეშივერტიკალური ხაზების სისწორის შემოწმებისათვის გამო-იყენება სურათზე წარმოდგენილი შვეული წესიერი ექვსკუთხაპრიზმისა და პირამიდისაგან შედგება იპოვეთ ინსტრუმენტისმოცულობა
8
6 სმ
2 სმ
3 სმპირამიდის ფუძე ტოლგვერდა სამკუთხედია აპითემა 10 სმ-ია ფუძის გვერდი 6 სმ-იაიპოვეთ პირამიდის მოცულობა
9
სურათის მონაცემების მიხედვით გამოთვალეთ წესიერი პირამიდისმოცულობა პასუხი დაამრგვალეთ მეათედებამდე
1010
420
იპოვეთ წესიერი პირამიდების მოცულობა პასუხი დაამრგვალეთმეათედებამდე
11
პირამიდის ფუძეა რომბი რომლის გვერდი 3 სმ-ია თითოეული გვერდითი წიბო ფუძისსიბრტყესთან 45-იან კუთხეს ქმნის იპოვეთ პირამიდის მოცულობა თუ S გვ=12 სმ2
12
სამკუთხა პირამიდის ერთი წიბო 6-ის დანარჩენი წიბოები კი 5-ის ტოლია იპოვეთპირამიდის მოცულობა
13
სამკუთხა პირამიდის ურთიერთმართობული გვერდითი წახნაგების ფართობებია 24 დმ2 16 სმ2 და 12 დმ2 იპოვეთ პირამიდის მოცულობა
15
44
4 1010
400
1010
800500
H H
EM FE
A B
G G
C CD D
F 1 1
11
11 A B
სურათზე მოცემული წესიერი ოქტაედრის წიბოებისსიგრძეთა ჯამი 18 ერთეულია იპოვეთ ოქტაედრის ა) სიმაღლე ბ) მოცულობა
221
piramidis moculoba
სურათის მონაცემების მიხედვით გამოთვალეთ ფიგურების მოცულობები16
G წერტილი წესიერი ტეტრაედრის ფუძის სიმძიმის ცენტრია(მედიანების გადაკვეთის წერტილი) იპოვეთ პირამიდისმოცულობა თუ GH = 3 სმ
ორ კონგრუენტულ კუბში ჩახაზული პირამიდებისფუძეები კუბის წახნაგებია დაწერეთ ბ სურათზემოცემული პირამიდის მოცულობის ა სურათზემოცემული პირამიდის მოცულობასთან შეფარდება
17
18
ბა
20
19
პირამიდაში სურათზე ნაჩვენები წესით მოთავსებულიაკუბი კუბის ქვედა ფუძე პირამიდის ფუძესთან ერთსიბრტყეზე ზედა ფუძის წვეროები კი პირამიდისწიბოებზეა იმ პატარა პირამიდის მოცულობა რომლისფუძეც კუბის ზედა წახნაგია 36 სმ3-ია სიმაღლე 3 სმ-იაიპოვეთ
ა) კუბის წიბოს სიგრძე
ბ) დიდი პირამიდის ფუძის გვერდი
გ) დიდი პირამიდის მოცულობა
დ) დიდი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი
25მ 18 სმ
20 სმ
15 სმ34 სმ
2 მ4 მ
3 მ
12
12
6 53
9
3
T
BA
C
G H3
T
D
P
BA
C
222
sivrciTi figurebis msgavseba
მსგავსი ფიგურები ფორმით ერთნაირია შესაბამისი ზომები პრო-პორციული აქვთ
მაგალითად სურათზე მოცემული სამკუთხედები მსგავსია რადგანშესაბამისი გვერდების შეფარდებები ტოლია
სურათზე მოცემული მართკუთხა პარალელეპიპედებიცმსგავსია რადგან შესაბამისი წრფივი ზომები პრო-პორციულია და შესაბამისი წახნაგები მსგავსი მართ-კუთხედებია
შესაბამისი წრფივიზომების თანაფარ-დობის მაჩვენებელრიცხვს მსგავსებისკოეფიციენტი ეწო-დება
= k
36
36
48
510= =
48
24= =
34
5 6
8
10
48
643 2
msgavsi figurebi
EF
G
J
h2
l2
ABEF = = =BC
FGCAGE
ADEJ = BD
FJ = CDGJ = h1
h2= l1
l2
∆ABC ~ ∆EFG ∆ABD ~∆EFJ∆BCD ~ ∆FGJ ∆ACD ~ ∆EGJ
nimuSi უჩვენეთ მსგავსია თუ არა მოცემული ფიგურები
მსგავსი ფიგურებიამსგავსი ფიგურები არ არიან
46
812= = 2
3
1015 = ne10
151214
8მ12მ
6მ4მ
3მ2მ12სმ 14სმ
15სმ15სმ10სმ 10სმ
წესიერი მრავალწახნაგები მსგავსია კერძოდ ყველა კუბი მსგავსიაწესიერი ტეტრაედრები მსგავსია და ა შ
თუ გარდაქმნის დროს ნებისმიერ ორ წერტილს შორის მანძილი ერთი და იგივე რიცხვჯერიცვლება ასეთ გარდაქმნას მსგავსების გარდაქმნა ეწოდება მსგავსების გარდაქმნით რაიმეფიგურისა და მისი მსგავსების გარდაქმნით მიღებულ ფიგურას მსგავსი ფიგურა ეწოდებამსგავსების კოეფიციენტი ნებისმიერი ორ შესაბამის წერტილთა წყვილს შორის მანძილებისთანაფარდობის ტოლია
D
C
B
A
h1
l1
223
gamokvleva ვუჩვენოთ მსგავსია თუ არა მოცემული ფიგურები A და B პრიზმები (მართკუთხა პარალელეპი-პედები) მსგავსი პრიზმებია რომელთა მსგავ-სების კოეფიციენტი -ის ტოლია
იპოვეთ ამ პრიზმებისა) სრული ზედაპირის ფართობების შეფარდებაბ) მოცულობების შეფარდება
ა) A პრიზმის სრული ზედაპირი
Sსრ = Ph + 2Sფძ == 122 + 28 = 40 (სმ2)
V = Sფძh = 8 2 = 16 (სმ3) V = Sფძh = 18 3 = 54 (სმ3)
B პრიზმის სრული ზედაპირი
ბ) A პრიზმის მოცულობა B პრიზმის მოცულობა
Sსრ = Ph + 2Sფძ = = 183 + 218 = 90 (სმ2)
A prizma B prizma
23
A პრიზმის სრული ზედაპირის B პრიზმის სრულ ზედაპირთან შეფარდება
4090
49
22
32= =
A პრიზმის მოცულობის B პრიზმის მოცულობასთან შეფარდება 1654
827= =
2სმ2სმ
4სმ 6სმ3სმ
3სმ
A figura B figura
თუ ორი სივრცითი ფიგურის მსგავსების კოეფიციენტებია ამ ფიგურების ზედაპირე-
ბის (გვერდითი სრული ფუძის) თანაფარდობაა მოცულობის თანაფარდობა კი
მსგავსების კოეფიციენტი
SსრA
SსრB
ab
ab
a2
b2a3
b3
a2
b2a3
b3
=VA
VB=
msgavsi figurebi
a b
პირამიდის ფუძის პარალელური სიბრტყით გადაკვეთისას მიღებული მცირე პირამიდა
მოცემული პირამიდის მსგავსია მსგავსების
კოეფიციენტის პოვნა ნებისმიერი შესაბამისი წრფივი
ზომების შეფარდებით შეიძლება მაგალი-თად
სურათზე მოცემული პირამიდების სიმაღ-ლეები
ცნობილია მათი ზედაპირების ფუძეების ან სრული
ზედაპირების ფართობების შეფარდება სიმაღლეების
კვადრატების ტოლია
h
SH
Sh Sh
SH
Sპატ
Sდიდ
h2
H2=
Hh h
23= ( )
2
23( )
3
msgavsi sivrciTi figurebis zedapirebi da moculobebi
224
msgavsi sivrciTi figurebis zedapirebi da moculobebi
მოცემულია ორი მსგავსი ფიგურის ზედაპირების ფართობი და დიდი ფიგურისმოცულობა იპოვეთ მცირე ფიგურის მოცულობა
ა) S1 = 18 სმ2 ბ) S1 = 192 მ2 გ) S1 = 52 დმ2
S2 = 72 სმ2 S2 = 1728მ2 S2 = 208 დმ2
V2 = 344 სმ3 V2 = 4860 მ3 V2 = 192 დმ3
მოცემული ორი მსგავსი ფიგურის მოცულობები და მცირე ფიგურის ზედაპირისფართობი იპოვეთ დიდი ფიგურის ზედაპირის ფართობი
ა) V1 = 27 სმ3 ბ) V1 = 5 მ3 გ)V1 = 54 სმ3
V2 = 125 სმ3 V2 = 40 მ3 V2 = 128 სმ3
S1 = 63 სმ2 S1 = 4 მ2 S1 = 18 სმ2
ცნობილია რომ ფიგურები მსგავსია მონაცემების მიხედვით იპოვეთ მოთხოვნილიზომები
ორი მსგავსი პრიზმის სიმაღლეების თანაფარდობაა 5 3 იპოვეთ ამ პრიზმებისა) გვერდითი ზედაპირების ფართობების შეფარდებაბ) მოცულობების შეფარდება
A და B წესიერი ოთხკუთხა პრიზმები მსგავსია A პირამიდის ფუძის გვერდი 6 სმმოცულობა 48 სმ3-ია B პირამიდის ფუძის გვერდი 12 სმ-ია იპოვეთ
ა) B პირამიდის მოცულობა
ბ) გვერდითი ზედაპირების თანაფარდობა
გ) თითოეული პირამიდის სრული ზედაპირის ფართობი
ორი ფიგურა მსგავსია მონაცემების მიხედვით იპოვეთ ფიგურების მსგავსებისკოეფიციენტები
2
3
4
5
6
7
V1 = 216 სმ3S1 = 2 სმ2 S2 = 32 სმ2 V2 = 343 სმ3
06მ
18მ 24მ02მ 04მ
S2 = S1 = 66მ2
დაადგინეთ მოცემული ფიგურები მსგავსია თუ არა1
12სმ9სმ
24 სმ 22სმ10მმ
5მმ15მმ
6მმ3მმ
9მმ
18სმ 10 სმ 30 სმ
25სმ
15სმ
15სმ
20სმ 30სმ38სმ
7სმ5სმ
15სმ21სმ22სმ
ა)
ა)
ბ)
ბ)
გ)
ე)დ)
9მ27მ
V1 = V2 = 243მ3
225
სპილენძისაგან დამზადებული წესიერი ექვსკუთხა ფორმისდეტალები მსგავსია სპილენძის სიმკვრივე 86 გრსმ3-ია 1 კგ სპილენძის ფასი 255 კაპიკია დეტალის დამამზადებელიკომპანია თითოეული დეტალისათვის (სიდიდისაგან და-მოუკიდებლად) მასალის ფასის 125 ოდენობით წარმოების დანახარჯების დამატებითდეტალის წარმოების ღირებულებას განსაზღვრავს სარეალიზაციო ფასი კი თვით-ღირებულებაზე კომპანიის 22-იანი მოგების დამატებით ფორმირდება იპოვეთთითოეული დეტალის სარეალიზაციო ფასი
სურათზე მოცემული წესიერი სამკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდია8 სმ სიმაღლე 12 სმ-ია პირამიდა T წვეროდან დაწყებული 4 სმ და6 სმ მანძილზე ფუძის პარალელური სიბრტითაა გადაკვეთილიიპოვეთ კვეთაში მიღებული მრავალკუთხედების პერიმეტრები
იპოვეთ მანძილი H სიმაღლიანი პირამიდის წვეროდან ფუძისპარალელურ და მოცულობის შუაზე გამყოფ მკვეთამდე
ფუძის პარალელური სიბრტყეები პირამიდის სიმაღლეს 3 ტოლ ნაწილად ყოფენროგორი თანაფარდობით იყოფა პირამიდის მოცულობა
ორი მსგავსი პირამიდის სიმაღლე ისე შეეფარდება ერთმანეთს როგორც 13 იპოვეთმცირე პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი თუ პირამიდების გვერდითიზედაპირების სხვაობა 96 მ2 იქნება
14
15
16
17
A C
T
DD F
EK L
M
H
O2
O1
სარეცხი ფხვნილის მწარმოებელი კომპანია ერთი და იგივე სახის ფხვნილისდასაფასოებელ ყუთებს განსაზღვრული მასშტაბით გაზრდილ ყუთებში ათავსებს 450გრამი ტევადობის ყუთის ზომები 1 2 მასშტაბით პროპორციულადაა გაზრდილიიპოვეთ ახალი ყუთის ტევადობა
ორი კუბიდან ერთის დიაგონალია radic3 სმ მეორისა კი 4radic3 სმ-ია იპოვეთ ამ კუბებისმოცულობების სხვაობა
ორი მსგავსი პირამიდის მოცულობაა 2 და 54 კუბური ერთეული იპოვეთ ქვემოთმოცემული თანაფარდობებია) სიმაღლეების ბ) აპოთემების გ) ფუძეების ფართობების დ) სრული ფართობების
თვითმფრინავის მოდელი თვითმფრინავის რეალურ ზომებთან 1200შეფარდებითი მასშტაბითაა დამზადებული შეადარეთ მოდელზედახარჯული საღებავის რაოდენობა რეალურ თვითმფრინავზეგამოყენებულ საღებავის ოდენობასთან
20 მმ
8 მმ
8
9
10
11
1280 მმ
32მმ
msgavsi sivrciTi figurebis zedapirebi da moculobebi
ახალი ავტომობილის დიზაინის შექმნისას ჯერ ავტომობილისგანსაზღვრულ მასშტაბიან მოდელს თიხით ამზადებენ რეა-ლობაში 5 მ სიგრძის ავტომობილის თიხის მოდელის სიგრძე 10 სმ-ია იპოვეთ მოდელის ზედაპირის ფართობის რელურიავტომობილის ზედაპირის ფართობთან შეფარდება
13
226
წაკვეთილი პირამიდის მოცულობა რომლის ფუძეების ფართობებია S1 და S2
სიმაღლე კი h გამოითვლება ფორმულით
hradicS1
radicS2 radicS1V = [(S2 S1) + S2h] = [(radicS2 + radicS1 )hradicS1 + S2h] =
= (h radicS1S2 + h S1 + h S2) = h (S1 + radicS1S2 + S2)
wakveTili piramidis moculoba
gamokvleva ძველმა ეგვიპტელებმა წესიერი ოთხკუთხა წაკვეთილი პირამიდის მოცულობის
V = h(x2 + xy + y2) ფორმულით გამოთვლა იცოდნენ თუმცა მათ არ იცოდნენ როგორ
მიიღებოდა ეს ფორმულა მიიღეთ ეს ფორმულა ქვემოთ მოცემული ნაბიჯებითა) დაწერეთ იმ წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის მოცულობა რომლის ფუძის გვერდი y ერთეულის ტოლიაბ) დაწერეთ იმ წესიერი ოთხკუთხა პირამიდის მოცუ-ლობა რომლის ფუძის გვერდი x ერთეულის ტოლიაგ) უჩვენეთ რომ H და h სიმაღლეებს შორის არსებული
დამოკიდებულება სახისაა
დ) უჩვენეთ რომ წაკვეთილი პირამიდის მოცულობა
V = h(x2 + xy + y2) ფორმულით გამოითვლება
yH =yh
y x
13
13
yy
xh
Hx
13
13
წაკვეთილი პირამიდის მოცულობა შეიძლება ვიპოვოთ როგორც სხვაობამოცემული სრული პირამიდისა და ფუძის პარალელური მკვეთითგამოყოფილი მცირე პირამიდის მოცულობებს შორის
ვინაიდან ეს პირამიდები მსგავსია ფართობების შეფარდება სიმაღლეების შეფარდებისკვადრატის ტოლია დავწეროთ ეს ტოლობა და ვიპოვოთ მცირე პირამიდის სიმაღლე
V = S2(h1 + h) S1h1 = [(S2 S1)h1 + S2h]
სადაც V წაკვეთილი პირამიდის მოცულობაა S2 და S1 დიდი დამცირე პირამიდების ფუძეების ფართობებია h წაკვეთილიპირამიდის სიმაღლეა h1- მცირე პირამიდის სიმაღლეა
13
hradicS1
radicS2 radicS1
S1
S2
h1
h1 + hh1
h1 + h=radicS1
radicS2=
2h1radicS2 = (h1 + h) radicS1 h1 =
h1 გამოსახულება V = [(S2 S1)h1 + S2h] ტოლობაში გავითვალისწინოთ
13
13
13
13
13
V = h (S1 + radicS1S2 + S2)
13V = h (S1 + radicS1S2 + S2)
wakveTili piramidis moculoba
a
b
h
S1
S2
13
A
T
Aprime
B
Bprime
C
C
D
Dprime
S2 O
O1S1
h1
h
rarr
227
wakveTili piramidis moculoba
H სიმაღლის პირამიდის ფუძის პარალელური სიბრტყითიკვეთის შედეგად მიღებული წაკვეთილი პირამიდის ზომებისურათზეა ნაჩვენები
ა) იპოვეთ წაკვეთილი პირამიდის მოცულობა
ბ) იპოვეთ პირამიდის H სიმაღლე
გ) სურათზე ნაჩვენები ზომის წყლის აუზი რომ ამოითხაროს ამმიწის გასაზიდად რამდენი 12 მ3 ტევადობის მანქანაა საჭირო
დ) რამდენი ლიტრი წყალი დაეტევა აუზში
ე) თუ წყალს შევავსებთ აუზის ტევადობის ნახევარი ოდენობით რამდენი იქნება წყლისსიღრმე
სურათზე მონაცემების მიხედვით იპოვეთ წესიერი ოთხკუთხაწაკვეთილი პირამიდის გვერდითი ზედაპირი სრული ზე-დაპირი და მოცულობა 13სმh
4 სმ
14 სმ8 მ
3მ
H4 მ
2
1
ა) წესიერი სამკუთხა პირამიდის ყველა წიბოს სიგრძე ტოლია და x-ითაა აღნიშნულიგამოსახეთ პირამიდის მოცულობა x ცვლადითბ) წესიერი ექვსკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდია x გვერდითი წიბო 2x-ია გამოსახეთპირამიდის მოცულობა x ცვლადით
პირამიდის ფუძის პარალელური სიბრტყე მის სიმაღლეს წვეროდანდაწყებული ყოფს შეფარდებით 1 2 იპოვეთ მოცემული პირამიდისმოცულობა თუ მიღებული წაკვეთილი პირამიდის მოცულობა 208კუბური ერთეულია
ა) იპოვეთ წესიერი ექვსკუთხა პირამიდის მოცულობა თუ მისი გვერდითი წიბო 10 სმ-ია ფუძის გვერდი კი 6 სმ
ბ) მართკუთხა პარალელეპიპედიდან სიბრტყითი კვეთით სურათზენაჩვენების მსგავსი პირამიდა გამოიყო შეადარეთ პირამიდისა დაპარალელეპიპედის მოცულობა
DFG
P
A B
EH
3
4
5
მართკუთხა პარალელეპიპედის ზომებია AD = 20 სმ AB = 10 სმ AE = 15 სმ იპოვეთა) AFB BFO AFO BOF AOF OFC კუთხე-ების გრადუსული ზომებიბ) ∆ABO ∆BOF ∆AOFსამკუთხედების ფართობებიგ) უმოკლესი მანძილი B წერტილიდან AOF სიბრტყემდე
E
F
A
D
20
15
63
4
10
C
B
O
6
228
amocanebi sibrtyiTi kveTebis Sesaxeb
მართ სამკუთხა პრიზმაში სურათზე მონაცემების მიხედვით ა) იპოვეთ სიბრტყითიკვეთის ფართობები ბ)შეადარეთ სიბრტყითი კვეთით გამოყოფილი პრიზმებისმოცულობები
nimuSi სურათზე a წიბოს მქონე კუბის ABCD კვეთაა ნაჩვენები D და Cწერტილები შესაბამისი წიბოების შუა წერტილებია იპოვეთ სიბრტყითიკვეთის ფართობი amoxsnamocemulia მოცემულია კუბი და მისი წიბოს a სიგრძე D და C წერტილები წიბოს შუა წერტილებიაipoveT SABCD
უფრო თვალნათლივ დანახვისათვის კუბი შევაბრუნოთ და ამოცანაშიმოცემული ინფორმაცია სურათზე ავღნიშნოთ ∆BEC-დან პითაგორასთეორემის თანახმად
x2 = a2 +( a)2 x2 = a2 x = radic5a
SABCD = ax = a( radic5a) = radic5a2 პასუხი SABCD = radic5a2
12
12
12
12
12
54
A
a
aCD
B
B
Aa
ax
x
a2 a2E
C
D
1
დახრილი პრიზმის რომლის ფუძეც წესიერი სამკუთხედიაგვერდითი წიბო ფუძის სიბრტყესთან 60deg-იან კუთხეს ქმნისიპოვეთ პრიზმას მართობული კვეთის ფართობი თუ ცნობილიარომ ფუძის გვერდები 6 სმ-ია
სასაჩუქრე ყუთი სურათზე ნაჩვენები წესით მუყაოთი 4 ნაწი-ლადაა დაყოფილი მოცემული ზომების მიხედვით იპოვეთყუთის დამზადებისათვის საჭირო მუყაოს ოდენობა
D
E
BA 86
10
25 20
15
2
3
მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის 15 სმ 12 სმ 25 სმზომებიან ჭურჭელში წყლის სიმაღლე h1-ია ჭურჭლის BCEMწახნაგზე გადატრიალებისას მისი სიმაღლე h2 ABMN წახნაგზემობრუნებისას კი h3 ხდება განსაზღვრეთ რამდენი კუბურიმეტრი წყალია ჭურჭელში თუ h1 + h2 + h3 = 24 სმ-ს A B
CD
EN M
F4
a2
b2b
2
a2
h2h2
h h h
c c cc
a a ab b bA
C
C6
60degD
B
E
FA
B
სივრცეში წერტილისა და წრფის მიმართ სიმეტრიის გარდაგანიხილება სიბრტყის მიმართ სიმეტრიაც თუ სიბრტყე AAprimeმონაკვეთის შუაზე გაივლის და მისი მართობულია A და Aprimeწერტილებს სიბრტყის მიმართ სიმეტრიულ წერტილები ეწოდებათუ ფიგურის წერტილების განსაზღვრული სიბრტყის მიმართსიმეტრიული წერტილებიც ამ ფიგურასეკუთვნის ამ სიბრტყეს ფიგურისსიმეტრიული სიბრტყე ფიგურას კისიბრტყის მიმართ სიმეტრიული ფიგურაეწოდებასხვადასხვა წრფივი ზომების მქონე მართკუთხა პარალელეპიპედს სიმეტრიის ცენტრისგარდა სამი სიმეტრიის ღერძი და სამი სიმეტრიული სიბრტყე გააჩნია მოპირდაპირეწახნაგების დიაგონალების გადაკვეთის წერტილზე გამავალი წრფე მისი სიმეტრიის ღერძიაშუა წიბოზე გამავალი მისი მართობული სიბრტყე სიმეტრიული სიბრტყეამართკუთხა პარალელეპიპედს რომელსაც ორი წრფივი ზომა ტოლი აქვს 5 სიმეტრიისსიბრტყე გააჩნია ეს გამოსახულებები რვეულში ჩაიხაზეთ
simetria sivrceSi სხვადასხვა სივრცით სხეულებზე სხვადასხვა სიმეტრიების შემჩნევაშეიძლება პარალელეპიპედის დიაგონალური კვეთები ვი-ნაიდან პარალელოგრამები არიან გასაგებია რომ BD1 და DB1
დიაგონალები ერთ O წერტილში იკვეთებიან და შუაზეიყოფიან შეიძლება იმის ჩვენებაც რომ სხვა დიაგონალებიცნO წეტილში იკვეთებიან და შუაზე იყოფიან მაშასადამეპარალელეპიპედების დიაგონალების გადაკვეთის წერტილიმისი სიმეტრიის ცენტრია
229
simetria sivrceSi
asaxviTi (RerZuli) simetria
brunviTi simetria
3 შემადგენელი 4 შემადგენელი 5 შემადგენელი
simetriis RerZis wrfidan man-Zilis maCvenebeli marTobi
sibrtyeze simetria
brunviscentri
simetriis RerZi
AprimeBprime
Dprime900
900
EprimeEDB
ACprime
Cprime
A
O
Aprime
A
B CO
D
D1A1
B1 C1
230
simetria sivrceSi
brunviTi simetria სივრცითი ფიგურების ბრუნვითი სიმეტრიაც სიბრტყითი ფი-გურების მსგავსია თუმცა სივრცით ფიგურებში ბრუნვითი სიმეტრია ღერძის მიმართგანისაზღვრება
სურათზე კუბის ბრუნვის ღერძებია ნაჩვენები ეს ღერძებიგეომეტრიულად სიტყვიერადაა მოცემული კუბის სურათზეშესაძლო გამოსახულებები დახაზეთ და უჩვენეთ თითოეულიშემთხვევისათვის ერთი სურათი ნიმუშის სახითაა მოცემული
ბრუნვისა და ასახვის სიმეტრიები ფართოდ გამოიყენება ნივთი-ერებების მოლეკულური აგებულების შესწავლისას
1
ნაფტალინი C10H8
ბ) ბრუნვითი ღერძი კუბისდიაგონალის მომცავი წრფეათითოეულ შემთხვევაში 4დამთხვევა აღინიშნება
გ) ბრუნვითი ღერძი ორიმოპირდაპირე წიბოს შუაწერტილებზე გამავალიწრფეა თითოეულ შემთხ-ვევაში 2 დამთხვევა აღი-ნიშნება
ა) სიმეტრიია (ბრუნვითი)ღერძი ორი მოპირდაპირეწახნაგის ცენტრებს აერთებსთითოეულ შემთხვევაში 3დამთხვევა აღინიშნება
კუბის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი მისი სიმეტრიის ცენტრია ერთ წახნაგზეარამდებარე პარალელური წიბოების შუა წერტილებზე გამავალი წრფეები (მათი რაო-დენობა 6--ია) და მოპირდაპირე წახნაგების ცენტრებზე გამავალი წრფეები (მათირაოდენობა 3-ია) კუბის სიმეტრიის ღერძებიაკუბს 9 სიმეტრიის სიბრტყე გააჩნია და ისინი სურათებზეა ნაჩვენები
231
simetria sivrceSi
ჩვენ სიბრტყითი ფიგურების ფართობის დაფარვა-პარ-კეტირების შესახებ დავალებები შევასრულეთ ანა-ლოგიურად სივრცითი ფიგურების მოცულობის შევსებისგანსაზღვრული ფიგურის მიღების სავარჯიშოებს პრაქ-ტიკული მნიშვნელობა აქვს ამ დროს ასახვა და ბრუნვითისიმეტრიები გამოიყენება
სურათზე ასახულია ფუძეში ტოლგვერდა სამკუთხედის მქონე მართი სამკუთხაპრიზმისაგან დამზადებული დეტალის ზედხედი ამ დეტალებით კი ფუძის ცენტრის Oწერტილში მქონე წესიერი ექვსკუთხა პრიზმა უნდა აიგოს რამდენი ასეთი დეტალიიქნება საჭირო
1) პრიზმის ფუძე 6 კონგრუენტული სამკუთხედისაგანშემდგარი წესიერი ექვსკუთხედია თითოეული სამ-კუთხედი პრიზმებითაა შევსებული როგორც ხედავთერთ სამკუთხედში 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 პრიზმაამოთავსებული ექვსკუთხა წესიერი პრიზმისათვის კი6 25 = 150 ასეთი პრიზმაა საჭირო
O
O
A B
2) დახაზეთ ზედხედი იმ შემთხვევისათვის როცა მცირე პრიზმებისრაოდენობა 216-ია გამოთვალეთ ყუთის მოცულობა თუ ყუთისსიმაღლე იქნება 10 სმ ყველაზე პატარა პრიზმების წიბო კი 05 სმ
სურათზე 40 სმ სიმაღლის ყუთში ჩაწყობილი წესიერი ექვსკუთხაპრიზმების ზედხედია მოცემული განსაზღვრეთ ყუთის ცარიელინაწილის მოცულობა თუ წესიერი ექსვკუთხედის ფუძის გვერდი 4 სმ-ია
O
A B
5
6
კუბი ორი მოპირდაპირე წახნაგის ცენტრებზე გამავალი ღერძისგარშემო რამდენჯერ მობრუნებით დაემთხვევა თავის თავს
2
სურათზე მოცემული წესიერი ხუთკუთხა პრიზმა ფუძეების ცენტრებზეგამავალი ღერძის გარშემო რამდენი გრადუსით მობრუნებისას დაემთხვევათავისთავს
წახნაგებზე ასოებდაწერებულ კუბს თუ ორი მოპირდაპირე წახნაგის ცენ-ტრებზე გამავალი ღერძის გარშემო საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმარ-თულებით 270ordm-ით თუ შევატრიალ-ებთ რომელი მხრიდან (ზემოდანწინიდან და გვერდიდან) რომელი ასოგამოჩნდება განიხილეთ ყველა შემ-თხვევა
3
4
p
r m
z
ai
p
r i
232
ganmazogadebeli davalebebi
სურათზე მოცემული შეკრული ყუთი წესიერი ექვსკუთხა პრიზმისფორმისაა ყუთის გარე ფუძის გვერდი10 სმ სიმაღლე კი 14 სმ-იაშიდა ფუძე და სიმაღლე კი შესაბამისად 6 სმ და 11 სმ-ია იპოვეთ
ა) ყუთის გარე ზედაპირის (სრული) ფართობი
ბ) ყუთის შიდა ზედაპირის (სრული) ფართობი
გ) ყუთის მოცულობა
პირამიდის ფუძე კვადრატია და მასში 60 სმ3 წყალი დგას სურათზემოცემული ზომების მიხედვით იპოვეთა) წყლის h სიმაღლებ) რა ოდენობის წყლის დამატება არის საჭირო რომ ჭურჭელიგაივსოს
ორი მსგავსი პირამიდის ზედაპირის ფართობები ისე შეეფარდება ერთმანეთს
როგორც იპოვეთ ამ პირამიდების მოცულობების შეფარდება
15 სმ სიმაღლეების მქონე მართი სამკუთხა პრიზმისა და წესიერიოთხკუთხა პრიზმების მოცულობები ტოლია სამკუთხა პრიზმისფუძე არის მართკუთხა სამკუთხედი რომლის ჰიპოტენუზაა 8 სმიპოვეთ ოთხკუთხა პრიზმის სრული ზედაპირის ფართობი
მონაცემების მიხედვით იპოვეთპირამიდის მოცემულობა
64 სმ3 მოცულობიანი მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის ყუთის დამზადებისასზომების რომელი მთელი მნიშვნელობისათვის იქნება საჭირო ყველაზე ნაკლები მუყაოგამოიკვლიეთ ვარიანტები
სურათზე მოცემულია მართკუთხედის ფორმის ფუძის მქონე პირა-მიდა და მისი ზომები იპოვეთ პირამიდის მოცულობა და სრულიზედაპირის ფართობი
Ria tipis SekiTxva დახაზეთ ორი მსგავსი პრიზმა და ორი მსგავსი პარალელე-პიპედი რომელთა მსგავსების კოეფიციენტია 25 ზედ ზომები დააწერეთ
პირამიდა ფუძის პარალელურისიბრტყით ტოლმოცულობიანორ ნაწილადაა გაყოფილი იპო-ვეთ ზედა ნაწილში პირამიდისსიმაღლე თუ პირამიდის სი-მაღლე 12 სმ-ია
125
1
2
3
4
5
6
8
9
7
6 სმ11 სმ
10 სმ14სმ
8
15 15
5 სმ
5 სმ9 სმ
A
o
DC
6 სმ
D D
R
V
A
PQ
S6სმ
B
12სმ
hსმ
arqeologiuri gaTxrebis dros narCenebis asaki Semadgen-lobaSi naxSirbadis 14 nivTierebis raodenobis gamoTvliT gan-isazRvreba amisaTvis maCvenebliani gantolebebi ixsneba
qalaq SamqirSi Catarebuli gaTxrebis dros aRmoCenili uZvelesi qalaqi
maCvenebliani da logariTmuli funqciebi9namdvilmaCvenebliani xarisximaCvenebliani funqciamaCvenebliani funqciis grafikis gardaqmnebimaCvenebliani funqcia e ricxviricxvis logariTmilogariTmuli funqcialogariTmuli skala da amocanebis amoxsna logariTmis TvisebebimaCvenebliani gantolebebilogariTmuli gantolebebimaCvenebliani utolebebilogariTmuli utolebebi
namdvilmaCvenebliani xarisxi
praqtikuli mecadineoba
დაწერეთ radic2-ის კალკულატორით მოძებნილი მნიშვნელობაradic2 1414213562
ააგეთ წევრები radic2-ის ნაკლებობით აღებული ათეულობით მიახლოებითი მნიშვნელობებისმიმდევრობა1 14 141 1414 14142 141421 1414213 დაწერეთ 3-ის ამ მიმდევრობის ხარისხების მნიშვნელობების მიმდევრობა
31 314 3141 31414 314142 3141421 31414213
კალკულატორით გამოთვალეთ ამ მიმდევრობის რაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხისმიახლოებითი მნიშვნელობები
31 = 3314 465553672173141 4706965001731414 47276950353314142 472873393023141421 4728785880931414213 4728801462
მიაქციეთ ყურადღება ხარისხის მაჩვენებელი რაც უფრო radic2-თან ახლოსაა შესაბამისიმნიშვნელობები ყოველ შემდგომ ნაბიჯზე წინამდებარე ნაბიჯისაგან უფრო ნაკლებადგანსხვავდება და განსაზღვრულ ერთ რიცხვს უახლოვდება ამ რიცხვს 3-ის radic2(ირაციონალური) მაჩვენებლიანი ხარისხი ეწოდებაკალკულატორით გამოთვლა 3radic2 47288043878 შეასრულეთ დავალება 2radic3 რიცხვისათვის
234
1)
2)
3)
4)
5)
6)
მსგავსი წესით განიხილება a ირაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხი ირაციონალური რიცხვის1 2 3
ათობითი მიახლოებითი მნიშვნელობების შესაბამისადa a a
მიმდევრობა აიგება და ამ მიმდევრობის წევრების მიახლოებული რიცხვი a-ით აღინიშნებაირაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხიც რაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხის მსგავსადდადებითი ფუძისათვის განისაზღვრებაამრიგად შემოდის ნებისმიერი x ნამდვილი რიცხვისათვის ax (სადაც a gt 0)ნამდვილმაჩვენებლიანი ხარისხის ცნებაითვლება რომ ნებისმიერი x-თვის 1x = 1 და როცა x gt 0 მაშინ 0x = 0 რაციონალურ-მაჩვენებლიანი ხარისხის ცნობილი თვისებები ნამდვილმაჩვენებლიანი ხარისხისათვისაცმართებულიანებისმიერი x და y ნამდვილი რიცხვებისათვის და a gt 0 a 1 b gt 0 b 1რიცხვებისათვის მართებულია შემდეგი
1 2 3
ბ) გამოსახეთ 2-ის ხარისხით
გ) გამოსახეთ 5-ის ხარისხით
ა) ax middot ay = ax + y ბ ) = ax ndash y გ) (ax)y = axy
დ) (ab)x = axbx ე) ვ) andashx =
235
namdvilmaCvenebliani xarisxi
saswavlo davalebebi
ირაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხის მქონე გამოსახულებების მიახლოებითიმნიშვნელობის გამოსათვლელად გამოიყენება კალკულატორიგრაფკალკულატორზე კლავიში ირაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხის გამოთ-ვლის საშუალებას იძლევა გამოთვალეთ
ა) 8radic3 ბ) 5ndashradic11 გ) (radic10)radic2 დ) 9 ე) 15radic5 ვ) (radic7)radic3
1
დაწერეთ თითოეული წესის შესაბამისი თითო ნიმუში2
ab
axbx ( )
x=
axay
1ax
ა) გამოსახეთ 3-ის ხარისხით3 32n middot 31 + n
81n ndash 1
25x middot 53x
1252 + x
32 middot 8x
16x
გაამარტივეთ და გამოთვალეთ მნიშვნელობა
4
ა) (5radic2)radic8 ბ) ((radic2)radic6)radic6 გ) (2radic3)radic3 middot 4radic3 + 2 22radic3 5
ე) 2(radic3 + 1) middot 4ndashradic3radic 24ვ) 5(radic2 + 1) middot 25ndashradic2
ი) (2(2 + radic2) 43)radic2
radic 2
2
3
ზ) 3(radic7 + 1) 9radic7radic 24თ) 02(radic3 + radic2) middot 25radic6radic 25
კალკულატორის დახმარებით იპოვეთ მოცემული გამოსახულების მიახლოებითიმნიშვნელობები მძიმის შემდეგ დატოვეთ 5 ციფრი214 2141 21414 214142 2141421 21414213
მოცემული გამოსახულებები რაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხებია როგორშეგვიძლია ვისარგებლოთ ამ გამოსახულებებით 2radic2 ირაციონალურმაჩვენებლიანიხარისხის გამოსათვლელად
xarisxis Tvisebebi1) ax middot ay = ax + y 2) ax ay = ax ndash y 3) (ax)y = axy 4) (ab)x = axbx 5)6) როცა a gt 1 x gt y მაშინ ax gt ay როცა 0 lt a lt 1 x gt y მაშინ ax lt ay
7) როცა a gt b x gt 0 მაშინ ax gt bx როცა a gt b x lt 0 მაშინ ax lt bx
8) როცა ax = ay მაშინ x = y
ab
axbx( )
x=
დ) 3radic2 middot 9radic2 + 1 27radic2
დაალაგეთ ზრდის რიგით მიხედვით a a andashradic3 andashradic2 a0 a
ა) როცა a gt 1 ბ) როცა 0 lt a lt 1
ა) ( ) ბ) ( )ndash გ) ( )0 დ) 2ndashradic3
236
namdvilmaCvenebliani xarisxi
შეადარეთ
ა) 10radic5 და 10radic3 ბ) 01radic3 და 01radic2
გ) ( )ndash5 და ( )ndash3 დ) (radic3)ndash4 და (radic3)ndash2 23
23
რომელია სწორი7a) 3 lt 3radic2 lt 9 b) 2 lt 2radic3 lt 4c) 1 lt 5radic2 lt 5 d) 4radic2 lt 4radic3 lt 4radic5
მოცემული რიცხვები შეადარეთ 1-თან8
34
25
57
103
43
9 დაალაგეთ რიცხვები ზრდის რიგის მიხედვით
გ) ( )ndash01 ( )02 ( ) დ) ( ) ( ) ( )94
4916
94
32
47
1649
16
12
23
13
13
13
14
12
12
12
32
32
23
23
23
23
23
43
14
გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა10
ა)100 middot ( )ndash1 ბ) ( ) ( )
ndash
ndash 15
425
94
ndash
11
ა) (27 + 125 + 8 ) დ) (8 + ( ) + 125 )ndash radic1
9დაწერეთ რაციონალურმაჩვენებლიანი ხარისხის სახით და გაამარტივეთ თუ ცნო-ბილია რომ ცვლადები დადებით მნიშვნელობებს იღებენ
ა) radicm6n4 ბ) radic8x3y6 გ) radica10b2 middot radicb33 5 5
ამოხსენით განტოლებები14
ა) x = 8 ბ) 6x + 12 = 36 გ) radicx3 = 54 დ) radicx2 + 2 + 1 = 4ndash 15
იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი თუ ცნობილია რომ b2 = radic3 და b3 = radic8112 5 5
1213
13
6
ა) 8200 9150 125100 ბ) (0008)50 (009)75 (05)150
დ) radicaradicaradica3
3
ე) x ndash 2x ndash 3 = 0 ვ) radicx + radicx = 2 ზ) x2 + 2 = 2radicx2 + 5 თ) radicx + 1 ndash radicx ndash 7 = 24
237
maCvenebliani funqcia
( )x
praqtikuli mecadineoba
1) y = 2x და y = ( )x ფუნქციებისათვის შევადგინოთ მნიშვნელობათა ცხრილი
x ndash3 ndash2 ndash1 0 1 2 3
y = 2x 1 2 4 818
14
12
x ndash3 ndash2 ndash1 0 1 2 3
y = 8 4 2 1 18
14
12
12
12( )x
2) საკოორდინატო სიბრტყეზე ავაგოთ წერტილები რომელთა აბცისები არგუმენტისორდინატები კი ფუნქციის ცხრილში მოცემული მნიშვნელობების ტოლია და ამ წერ-ტილებზე გავლით დახაზეთ გლუვი მრუდი
x
y
ndash2ndash4 2
2
4
4
86
(1 2)
0
y = 2x
(3 8)
(2 4)
(0 1)
(ndash1 )
(ndash2 )
(ndash3 )18
14
12
x
y
ndash2ndash4 2
2
4
4
86
(ndash1 2)
0
y =
(ndash3 8)
(ndash2 4)
(0 1)
(1 )
(2 )
(3 )18
14
12
12
3) ნებისმიერი x-ისათვის 2x და ( )x გამოსახულების მნიშვნელობები შეადარეთ ldquo0rdquo-ს
4) რაც უფრო იზრდება x-ის მნიშვნელობა y = 2x ფუნქციის მნიშვნელობა იზრდება თუ
მცირდება რაც უფრო იზრდება x-ის მნიშვნელობა y = ( )x ფუნქციის მნიშვნელობა
იზრდება თუ მცირდება5 რომელ წერტილში კვეთენ გრაფიკები y ღერძს6 შეადარეთ გრაფიკები აღნიშნეთ მათი მსგავსი და განსხვავებული ნიშნები
7 შეარჩიეთ დავალებები y = 3x და y = ( )x ფუნქციებისათვის
12
12
13
როცა a gt 0 და a 1 მაშინ y = ax ფუნქციას მაჩვენებლიანი ფუნქცია ეწოდება1) მაჩვენებლიანი ფუნქციის განსაზღვრის არე ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა
D(ax) = (ndash +)2) მაჩვენებლიანი ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე დადებით ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა
E(ax) = (0 +)3) როცა x = 0 მაშინ a0 = 1 ამიტომ მაჩვენებლიანი ფუნქციის გრაფიკი y ღერძს (0 1) წერ-ტილში კვეთს4) როცა a gt 1 მაშინ ax ფუნქცია ზრდადია როცა 0 lt a lt 1 მაშინ ax ფუნქცია კლებადია5) მაჩვენებლიანი ფუნქციის გრაფიკი აბცისთა ღერძს არ კვეთს და გრაფიკი x ღერძის ზედანახევარსიბრტყეში მდებარეობსy = ax ფუნქციასა და მის გრაფიკს ექსპონენტა ეწოდება
ექსპონენტა არგუმანტის ცვლილებით სწრაფად იზრდება ან სწრაფად მცირდება
238
maCvenebliani funqcia
შევადგინოთ მნიშვნელობათა ცხრილი
როგორც მნიშვნელობათა ცხრილიდან ჩანს x-ის მნიშვნელობის ერთი
ერთეულით გაზრდისას y-ის მნიშვნელობები -ის ჯერადობით
მცირდება მაშასადამე a = ფუნქციის ფორმულა y =
amoxsna
131
313
x
eqsponencialurad zrdadi da eqsponencialurad klebadi funqciebi
ექსპონენციალურად კლებადიექსპონენციალურად ზრდადი
(0 1)
y = axa gt 1
(0 1)
00
y = ax
0 lt a lt 1
6) 0 lt a lt 1 როცა x-ის უსასრულოდ გაზრდისას y-ის შესაბამისი მნიშვნელობა მცირდებადა y = ax ფუნქციის გრაფიკზე არსებული წერტილები შეუზღუდავად უახლოვდებააბცისთა ღერძსროცა a gt 1 და x rarr ndash გრაფიკზე მდებარე წერტილები შეუზღუდავად უახლოვდებააბცისთა ღერძსაბცისთა ღერძი მაჩვენებლიანი ფუნქციის ჰორიზონტალური ასიმპტოტია
nimuSi ცვლადის რომელი მნიშვნელობისათვის არის მართებული
ა) 4x = 64 ტოლობა ბ) 3x gt 9 გ) 04x gt 016 უტოლობა
amoxsna ა) 4x = 64 ტოლობა 4x = 43 ჩავწეროთ სახით აქედან ნამდვილმაჩვენებლიანი
ხარისხის თვისებების თანახმად x = 3ბ) 3x gt 9 უტოლობა ჩავწეროთ 3x gt 32 სახით საიდანაც გასაგებია რომ x gt 2გ) 04x gt 016 უტოლობა ჩავწეროთ 04x gt 042 (ტოლფუძიანი ხარისხების) სახით ვინა-
იდან ფუძე ერთეულზე ნაკლებია x lt 2
f(x)
x
2468
10
20 4ndash2ndash4
f(x) = ( )x13
y y
xx
x ndash2 ndash1 0 1
y 9 3 1 13
(ndash2 9)
(ndash1 3)(1 )
(2 )
(0 1)13
19
y = c middot ax ფუნქციასაც ექსპონენტა ეწოდებაmagaliTad y = 8 middot 2x ფუნქციის y = 23 middot 2x = 2x + 3 სახით ჩაწერა შესაძლებელია
nimuSi ფუნქციის გრაფიკის მიხედვით დაწერეთ მისი განტოლება
239
maCvenebliani funqcia
y = 0x და y = 1x ფუნქციებს შეიძლება თუ არა ეწოდოს მაჩვენებლიანი ფუნქცია მაშინy = (1)x ფუნქციას
4
ააგეთ ფუნქციის გრაფიკები არანაკლებ სამი წერტილის კოორდინატების გან-საზღვრით
ა) უჩვენეთ ფუნქცია ზრდადია თუ კლებადია ბ) უჩვენეთ ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე გ) განსაზღვრეთ გრაფიკის y ღერძთან გადაკვეთის წერტილი
რომელი გრაფიკი რომელი ფუნქციისაა
1) y = 5x 2) 3) y =
გამოთვალეთ ფუნქციის მოთხოვნილი მნიშვნელობები
1) f(x) = 4x 2) g(x) = 6x 3)m(x) = 4)h(x) =
ა)
გ) დ)
ბ)
3
2
1saswavlo davalebebi
14
f(x) =
x
23
x
f(1) f(2) f(1) f(2) h(1)h(2) h(1) h(2)
g(x) =
n(x) = (radic5)x
m(x) = 23x-115
x
23
xy = 1
4x
g(0) g(2) g(radic2) g(1) m(0) m(2) m(radic2) m(1)
1radic2
x
ზრდადია თუ კლებადია ფუნქციაა) y = 5x ბ) y = 03x გ) y = 5ndashx დ) y = (radic2 ndash 1)x ე) y = (radic5 ndash 1)ndashx
5
6 y = ax y = bx y = cx ფუნქციების გრაფიკების მიხედვით შეადარეთ a b და cრიცხვები
y
00 x
axbxcx
y
x
axbx
cx
დაწერეთ y = cmiddotax მაჩვენებლიანი ფუნქციის ფორმულა რომლის გრაფიკი გადის მო-ცემულ წერტილებზეა) (0 2) და (2 32) ბ) (0 3) და (1 15)გ) (0 7) და (2 63) დ) (0 5) და (3 135)ე) (0 02) და (4 512) ვ) (0 03) და (5 96)
7
ა) ბ)
0
2
2ndash2ndash4
4
4
y
x 0
2
2ndash2ndash4
4
4
y
x 0
2
2ndash2 6
4
4
y
x
ა) ბ) გ)
240
maCvenebliani funqcia
1) მოცემული გრაფიკების შესაბამისად დაწერეთ ფუნქციის ფორმულა y = ax სახით 2) შეადგინეთ მნიშვნელობათა ცხრილი და გრაფიკი რვეულში ხელახლა ააგეთ
8
15
x
f(x) = 5x g(x) = h(x) = 3x ფუნქციებიდან რომლის მნიშვნელობა
ა) არის უდიდესი როცა x = 5 ბ) არის უმცირესი როცა x = 5
გ) x-ის რა მნიშვნელობისათვის არის სამივე მათგანი მნიშვნელობა ტოლი
9
10 შეადარეთ ქვემოთ მოცემულები თუ f(x) = 32x g(x) = 03x ა) f(5) და f(6) ბ) f(01) და f(05) გ) f(ndashradic2) და f(radic2)დ) g(5) და g(6) ე) g(01) და g(05) ვ) g(ndashradic2) და g(radic2)
11 შეადარეთ
ა) (radic2)3 და (radic2)6 ბ) 013 და 01radic8 გ) 4ndashradic2 და 4ndashradic3
12 ცვლადის რა მნიშვნელობისათვის არის ტოლობა მართებული
ა) 3x + 1 = 27 ბ) 4x ndash 2 = 64 გ) (radic2)x = 2radic2
13 ცვლადის რა მნიშვნელობისათვის არის უტოლობა მართებული
ა) 2x gt 32 ბ) 3x lt 27 გ) 02x gt 004 დ) x lt12
18( )
14
განსაზღვრეთ განტოლების ფესვის ნიშანი გრაფიკული ხერხით
ა) 5x = 6 ბ) 02x = 3 გ) 4x = დ) 03x = 01
ზეპირად იპოვეთ 2x = x2 განტოლების დამაკმაყოფილებელი ორი რიცხვიგრაფიკული ხერხით განსაზღვრეთ განტოლების ფესვების რაოდენობა
ამოხსენით განტოლებები გრაფიკული ხერხით
ა) 2x = 3 ndash x ბ) x = x + 612( )
1513
16
50
100 y
x
(3 64)
(2 16)(ndash2 n)
y
x
5
(ndash3 n)
(3 )278
(2 )94
10 y
x
5
10
(3 n)
(ndash3 )6427
(ndash2 )169
y
x(1 n)
50
100(ndash3 125)
(ndash2 25)
ა) ბ) გ) დ)
ერთსა და იმავე საკოორდინატო სიბრტყეზე ააგეთ y = 2x და y =( )x ფუნქციებისგრაფიკები და უჩვენეთ რომელი ღერძის მიმართ არიან გრაფიკები სიმეტრიულიშედეგები განაზოგადეთ
17 12
ცვლილება მაჩვენებლიანი ფუნქციის სახითდ) ივარაუდეთ რა დროის განმავლობაში მოხდება Ra -225 ნივთიერების საწყისი მასის მის
-მდე შემცირება
amoxsna ა) როგორც სურათიდან ჩანს გრაფიკი როცა t = 0 მაშინ y ღერძს (0 1)წერტილში კვეთს მაშასადამე რადიოაქტიური ნივთიერების საწყისი მასა m = 1 გრ-ია
241
maCvenebliani funqcia
maria kiuri რადიოაქტიური დაშლა ერთი ან რამდენიმე ნაწი-ლაკის (მაგალითად ელექტრონები ნეიტრონები ალფა - ნაწი-ლაკები ფოტონები) გამოყოფით აღინიშნება ატომების დაყოფითსხვა ქიმიურ ნივთიერებად გარდაქმნის შედეგად რადიოაქტიურინივთიერება გარკვეულ დროში საწყისი ოდენობის ნახევარსკარგავს ეს დრო მოცემული რადიოაქტიური ნივთიერებებისათვისმუდმივია და ნახევრადდაშლის პერიოდი ეწოდება 1898 წელსმარია კიურიმ მაღალი რადიოაქტიურობის მქონე რადიუმისა დაპოლონიუმის ნივთიერებები აღმოაჩინა და ამ აღმოჩენისათვისნობელის პრემია მიიღო რადიუმის ელემენტის იზოტოპის -რადიუმ 226-ის ნახევრადდაშლის დრო 1620 წელია რადიუმ 226 ნახევრადდაშლისასრადონ 222 ნივთიერებად - რადიოაქტიურ გაზად გარდაიქმნება
nimuSi რადიუმი (Ra -225) ნივთიერების ნახევარდაშლისხანგრძლივობა 15 დღეა დაშლის პროცესში მისი დანარჩენიმასის (გრამობით) დროზე (15 დღიანი ინტერვალით)დამოკიდებულების მაჩვენებლიანი ფუნქციით დამოდელი-რება შეიძლება ამ ფუნქციის გრაფიკი სურათზეა მოცემულია) რამდენი გრამია Ra -225 ნივთიერების საწყისი მასაგრაფიკზე აღნიშნული წერტილების კოორდინატები სიტუა-ციების შესაბამისად განმარტეთ წერილობითბ) იპოვეთ ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა არეგ) დაწერეთ ნივთიერების მასის დროზე დამოკიდებულებით
130
gamoyenebiTi davalebebi
რადიოაქტიური ნივთიერების დაშლის კანონი m = m0( )12
tT
m0- ნივთიერების საწყისი რაოდენობაT- ნივთიერების ნახევრადაშლის პერიოდიm- ნივთიერების ოდენობა განხილვის t მომენტშისადაც t არის დრო იღებს არაუარყოფით მნიშვნელობებს
ბ) როგორც გრაფიკიდან ჩანს ფუნქციის განსაზღვრის არე ანუ t-ს დასაშვები მნიშ-ვნელობები t ge 0 ნამდვილ რიცხთა სიმრავლეა ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე ანუm-ის დასაშვებ მნიშვნელობათა სიმრავლე 0 lt m le 1 ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა
გ) რადიოაქტიური ნივთიერების ნახევარი 15 დღეში ერთხელ იშლება მაშასადამე მაჩ-
ვენებლიანი ფუნქციის ფუძე არის მაჩვენებელი კი 15 დღეების რაოდენობის მაჩვენებელი
t ცვლადი იქნება m(t) = ( )t12
12
10
08
06
04(1 05)
(2 025)(3 0125)
(5 003)02
2 4 6 8 t
m
0
დრო (15 დღიანი ინტერვალებით)
ნივთ
იერე
ბის
ოდ
ენო
ბა (გ
რამო
ბით
)
maCvenebliani funqcia
242
საწყისი მასა 1 გრ-ის მქონე რადიუმ 226 რადიოაქტიური ნივთიერების დაშლის კანონი
m(t) = ( )t1620 ფორმულითაა მოცემული სადაც m არის რადიუმის მასა (გრამობით)
t კი დრო (წლობით) რამდენი დარჩება მოცემული ნივთიერების მასიდან
a) 1620 წლის შემდეგ b) 3240 წლის შემდეგ c) 4860 წლის შემდეგ
ქვემოთ მოცემული სიტუაციებიდან თითოეულის მაჩვენებლიანი ფუნქციით მო-დელირება შეიძლება რომელია ექსპონენციალურად ზრდადი (a gt 1) რომელია ექს-პონენციალურად კლებადი (0 lt a lt 1) სიტუაციაა) ბაქტერიების გამრავლების პეტრის ჭურჭელში მათი რაოდენობა საათში 2-ჯერიზრდებაბ) აქტინიუმ 225-ის იზოტოპის ნახევარდაშლის ხანგრძლივობა 10 დღეაგ) ტბაზე დაცემული სინათლის ოდენობა ყოველ 1 მ სიღრმეზე 25-ით მცირდებად) მწერების გუნდში მათი რაოდენობა დღეში 3-ჯერ იზრდება
ბანკის ანგარიშზე არსებული თანხა ყოველწლიურად 25 შემოსავალს იძლევა ამანგარიშზე არსებული თანხის n წელში A = P(1+r)n ფორმულით გამოთვლა შეიძლებასადაც P არის წლიური თანხა r - წლიური ნაზრდი (ათწილადობით) ანგარიშზეარსებული თანხა A = P(1025)n წესით შეიცვლება
ა) ანგარიშზე არსებული საწყისი თანხა ჩათვალეთ ერთ მანეთად და ააგეთ შესაბამისიმაჩვენებლიანი ფუნქციის გრაფიკი
ბ) გრაფიკის თანახმად ივარაუდეთ ეს თანხა რამდენი წლის შემდეგ იქნება საწყისითანხის სამმაგი ოდენობის ანგარიშზე არსებული თანხის სამმაგი ზრდის ხანგრძლივობასაწყისი თანხის ოდენობაზე არის დამოკიდებული
გ) ფინანსებში წლიური რთული პროცენტის ზრდის მიხედვით საწყისი თანხის ორმაგისმიღწევის ხანგრძლივობას ldquo72 ხერხითrdquo გამოითვლიან მაგალითად 100 მანეთი ფულირამდენ წელიწადში 200 მანეთი გახდება რომ ვიპოვოთ წლების რაოდენობის ზრდისპროცენტზე ნამრავლი 72-ის ტოლი უნდა იყოს ანუ n r = 72 უნდა იყოს
ამ წესისა და გრაფიკის მიხედვით ერთი მანეთი ფული 25-ობით იპოვეთ რამდენიწლის შემდეგ იქნება დაახლოებით 2 მანეთი და შედეგები შეადარეთ
1
2
3
დ) ამ ინფორმაციის გრაფიკის მიხედვითაც სავარაუდოდ გამოთქმა შეიძლება მნიშ-
ვნელობათა ცხრილის შედგენაც შეიძლება როცა საწყისი ნივთიერება 1 გრ-ია მისი
ნაწილი დაახლოებით 0033 გრ-ია y ღერძზე ავღნიშნოთ ეს წერტილი და გავავლოთ
ამ წერტილზე გამავალი გრაფიკის მკვეთი ჰორიზონტალური წრფე წრფე გრაფიკს კვეთს
წერტილში რომლის აბცისაც მიახლოებით 5-ია მაშასადამე 5 15 = 75 დღის შემდეგ
საწყისი რადიოაქტიური ნივთიერების მასის დაახლოებით ნაწილი დარჩება
130
130
12
ააგეთ y = 3x y = x3 და y = 3x ფუნქციების გრაფიკებიდაწერეთ თითოეული ფუნქციის განსაზღვრის არე მნიშვნელობათა სიმრავლე დანულები (თუ არსებობს) შეადარეთ ამ ფუნქციების მნიშვნელობები x = 1 2 3 4მნიშვნელობებისათვის რომელი ფუნქციის მნიშვნელობები იცვლება უფრო სწრაფად
4
243
maCvenebliani funqciis grafikis gardaqmnebi
გრაფიკი |l| ჯერ x ღერძიდან ჰორიზონტალურად იწელება
(x y) rarr (x ly) მაგალითად y = 3x და y = 4middot3x
როცა l lt 0 მაშინ x ღერძის მიმართ ხდება ასახვა მაგალითად y = 3x და y = 2middot3x
maCvenebliani funqciis zogadi saxe f(x) = lmiddotax minus m + n
f(x) = l middot ax minus m + n ფუნქციის გრაფიკი y = l middot axფუნქციის გრაფიკის პარალელური გადატანით აგებაშეიძლება
f(x) = ax ფუნქცია მაჩვენებლიანი ფუნქციების ოჯახის ძირითადი ფუნქციაა ამფუნქციის სხვადასხვა გარდაქმნების მიხედვით f(x) = lmiddotax f(x) = lmiddotax minus n f(x) = lmiddotax minus m + n სახის მაჩვენებლიანი ფუნქციების გრაფიკის აგება შეიძლება
ზევით ან ქვევით ვერტიკალურიმოცურება
მარჯვნივ ან მარცხნივ ჰორიზონ-ტალური მოცურება
m n
x
y
0ndash2 42ndash4
3
1
5
11
13
9
y = 3middot2x
y = 3middot2x+1+1
(1 6)
(2 12)
(0 3)
(1 4)
(0 6)
(1 13)
(0 7)
nimuSi y = 32x ფუნქციის გრაფიკის პარალელურიგადატანით ააგეთ y = 32x+1 + 1 ფუნქციის გრაფიკი1 y = 32x ფუნქციის შესაბამისი (0 3) (1 6) (2 12) წერტილები ავღნიშნოთ საკოორდინატო სიბრ-ტყეზე და ეს წერტილები შევაერთოთ გლუვი მრუდიწირის სახით ფუნქციის ასიმპტოტი y = 0 წრფეა 2 y = 32x ფუნქციის გრაფიკის ერთი ერთეულით მარ-ცხნივ (32x+1) და ერთი ერთეულით ზევით (32x+1+1)პარალელური გადატანის შესაბამისად (მოცურებისვექტორი langndash1 1rang) აღნიშნული წერტილებისათვის გან-ვსაზღვროთ ახალი კოორდინატები და განვათავსოთსაკოორდინატო სიბრტყეზე შევაერთოთ ეს წერტილებიგლუვი მრუდი წირით მიიღება y = 32x+1 + 1 ფუნქციისგრაფიკი
y
x
4
4
2
2ndash2ndash2
ndash4
ndash4
0
y = 3x
y = 4∙3x
y = ndash2∙3x
y
x
4y = 4x + 2
y = 4x ndash 3
y = 4x 2
2ndash2ndash2
ndash4
ndash4
0 4
y
y = 6x + 2
y = 6x ndash 3
y = 6x4
2
2ndash2ndash4 0 4 x
(0 3) rarr (1 4) (1 6)rarr (0 7) (2 12) rarr (1 13)y = 1 წრფე ფუნქციის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი იქნება
244
y = ფუნქციის გრაფიკი ვერტიკალური მიმართულებით ისეა მოცურებული რომ მი-
ღებული გრაფიკი (2 ) წერტილზე გადის დაწერეთ მოცურებული გრაფიკის შესაბა-
მისი ფუნქციის ფორმულა ნიმუშის შესაბამისად დაწერეთ შესაბამისი პარალელური გადატანა
maCvenebliani funqciis grafikis gardaqmnebi
არანაკლებ სამი წერტილის კოორდინატების განსაზღვრით ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი2
7
3
1
13
x
112
ააგეთ მოცემული ფუნქციების გრაფიკები f(x) = lmiddotax მაჩვენებლიანი ფუნქციის გრაფიკისპარალელური გადატანით თითოეული ფუნქციისათვის დაწერეთ პარალელური გა-დატანის ვექტორი
ა) y = 3 ( )x 1 ბ) y = 3x + 2 გ) y = 22x 2
დ) y = 3 3x + 2 2 ე) y = 4 2x 3 + 1 ვ) y = 4 2x 3 4
ა) ცხრილში y = 23x 4 3 ფუნქციისმნიშვნელობათა სვეტის დამატებით ააგეთგრაფიკი ბ) განმარტეთ y = 2∙3x 4 3 ფუნქციისy = lax minus m + n ფუნქციასთან პარამეტ-რებით დაკავშირებით თითოეულ ნაბიჯზეცვლილების გრაფიკის მდგომარეობაზეგავლენა
y = 3x y = 2∙3x y = 2∙3x 4
(1 ) (1 ) (3 )
(0 1) (0 2) (4 2)(1 3) (1 6) (5 6)(2 9) (2 18) (6 18)(3 27) (3 54) (7 54)
13
23
23
ა) y = 2middot3x ბ) y = 5middot2x გ) y = 05middot4x
დ) y = 4middot( )x ე) y = ndash ( )x ვ) y = ndash25middot5x13
15
გ) y = 3x და y = 2∙3x 4 3 ფუნქციებიდან თითოეულისათვის უჩვენეთ განსაზღვრისარე და მნიშვნელობათა სიმრავლე
ააგეთ y = 4x y = 4x +2 y = 4x 3 ფუნქციების გრაფიკები გამოთქვით მოსაზრებები ამფუნქციების განსაზღვრის არის მნიშვნელობათა სიმრავლისა და ასიმპტოტების შესახებ
y = 10x ფუნქცია შეიძლება ჩაიწეროს y = (25)x სახით ააგეთ ამ ფუნქციისა და y = 25x
ფუნქციის გრაფიკი შეადარეთ ისინი
ა)
ბ)
გ)
nimuSi f(x) = 3x და g(x) = 3x 4 f(x) = 4x და g(x) = 4x+ 1
f(x) = 2x და g(x) = 5 2x
f(x) = 10x და g(x) = 10x + 2
დაწერეთ მოცემული ფუნქციები y = lmiddotax სახით
5
6
4
ა) y = 4x + 1 ბ) y = 5 9x 1
გ) y = 5 23x დ) y = 23 52x
რადგან g(x) = f(x 4) ამიტომ g(x) ფუნქციისგრაფიკი f(x) ფუნქციის გრაფიკის 4 ერთეულითმარჯვნივ მოცურებითაა მიღებული
13
13
saswavlo davalebebi
245
maCvenebliani funqciis grafikis gardaqmnebi
განსაზღვრეთ რომელი გრაფიკი რომელ ფუნქციას შეესაბამება
განსაზღვრეთ ფუნქციის ექსპონენციალური ზრდადობა და კლებადობა
რეალურ ცხოვრებისეულ სიტუაციებში თუ სიდიდე წლის განმავლობაში მუდმივისიდიდით იზრდება t წლის შემდგომი მდგომარეობის რაოდენობრივი შეფასებისათვისy = a(1 + r)t ფორმულა კლებისას კი y = a(1 r)t ფორმულა გამოიყენება სადაც aარის საწყისი რაოდენობა r ზრდის (კლების) პროცენტი ათწილადობით t- წლებისრაოდენობა ამოხსენით ამოცანები ამ ფორმულის მიხედვით
8
9
10
ა) y = 10middot35x ბ) y = 2middot4x გ) y = 04middot( )x
დ) y = 3middot( )x ე) y = 30x ვ) y = 02middot5x52
13
1) y = 2middot5x
2) y = 3middot4x
3) y = ndash2middot5x
4) y = middot4x
5) y = 3x ndash 2
6) y = 3x ndash 2
13
ა) 1993 წელს ინტერნეტმომხმარებელთა რიცხვი 1 313 000 იყო და ხუთი წლის განმავ-ლობაში მათი რაოდენობა ყოველწლიურად 100-ით იზრდებოდა დაწერეთ ინტერ-ნეტმომხმარებლების t წლის შემდეგ რაოდენობის მაჩვენებელი მაჩვენებლიანი ფუნ-ქცია რამდენი იქნება მომხმარებელთა რაოდენობა 5 წლის შემდეგ რამდენი იყომომხმარებელთა რაოდენობა 2000 წელს
nimuSi 24 000 მანეთად შეძენილი ავტომობილის ფასი ყოველწლიურად 12-ითდაბლა იწევს დაწერეთ ავტომობილის ფასის გამოყენების წლებზე (t) დამოკი-დებულების მაჩვენებელი მაჩვენებლიანი ფუნქციის ფორმულაamoxsna y = a(1 r)t ფორმულაში თუ გავითვალისწინებთ რომ a = 24000 r = 12= 012 1 r = 088 მოცემული სიტუაცია y = 24000(088)t მაჩვენებლიანი ფუნქციითშეიძლება დავამოდელიროთ
ბ) საბანკო ანგარიშზე წლიური 8 რთული პროცენტით ზრდით შეტანილია 1000მანეთი რამდენი მანეთი იქნება 6 წლის შემდეგ
გ) წარმოიდგინეთ რომ თქვენ შემადგენლობაში 120 მგ კოფეინის შემცველი ყავამიირთვით მიღებული კოფეინის ოდენობა საათში 12-ით მცირდება ორგანიზმშიდარჩენილი კოფეინის რაოდენობის მაჩვენებელი დაწერეთ მაჩვენებლიანი ფუნქციისფორმულის სახით
11 უჩვენეთ ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლეა) y = 3x + 2 ბ) y = 2x ndash 3 გ) y = 8 middot 2x + 2 დ) y = middot 2x ndash 2 ე) y = 3 middot 3x ndash 1 + 3 ვ) y = 4 middot ( )x ndash 1 1
2
y y
y y y
yx
x
x x
xx
3 3
1
ndash3
1
1 4
1 11
2
1ndash1 ndash( )2
5ndash1 ( )2
5
ndash1 ( )34
(0 ndash2)
(0 ndash1)(0 3)
(2 1)(3 3)
(1 1)
(0 2)0( )1
3 1( )43
ა) ბ) გ)
დ) ე) ვ)
13
246
maCvenebliani funqcia e ricxvi
როგორც ხედავთ თუ ბანკი მოცემული პროცენტით ფულს უფრო ხშირ-ხშირადგამოთვლის შემოსავალი იზრდება თუმცა ბანკის პროცენტით დღიური გამოთვლებისყოველთვიურ გამოთვლებთან შედარებით მიღებული მოგება სულ 10 კაპიკია წარ-მოიდგინეთ რომ ანგარიშზე არსებული ფული მოცემული პროცენტით ყოველიწამისათვის უწყვეტად შემოსავალი იანგარიშება კვლავაც სხვაობა საათობრივი დადღიური გამოთვლებისაგან დიდად არ იქნება განსხვავებული
S (n) = ფუნქციის გრაფკალკულატორით
აგებული გრაფიკებიდან ჩანს რომ როცა n S(n)ფუნქციას ჰორიზონტალური ასიმპტოტი აქვს
gamokvleva e ricxviწარმოიდგინეთ რომ 1 მანეთი ფული წლიური 100 რთული პროცენტის მატებით ბანკშიაშეტანილი და წლის განმავლობაში n-ჯერ ხდება გამოთვლა რთული პროცენტით ზრდისფორმულაში S0 = 1 r = 100 = 1 t = 1 მნიშვნელობები ჩაწერეთ ადგილებზე
n-ის სხვადასხვა მნიშვნელობებისათვის ფუნქციის მნიშვნელობების გამოთვლით მიუ-
თითეთ რომელ რიცხვს უახლოვდება მნიშვნელობა
(1+ )ntrn (1+ )n11
n
(1+ )n1n
(1+ )n1n
(1+ )n1n
გამოთვლის პირობა n
წლიური
ნახევარწლიური
კვარტალური
ყოველთვიური
დღიური
საათობრივი
124123658760
2 m225
2441424883270482714627181
(1+ )n1nS(n) =
(1+ )414S(n) =
(1+ )12112S(n) =
(1+ )3651365S(n) =
(1+ )876018760S(n) =
(1+ )212S(n) =
(1+ )111S(n) =
S = S0 = 1 =
S (n) = (1+ )n1n1
n
S(n)
0
234
10 20 30 40 50
გამოკვლევებიდან ჩანს რომ რაც უფრო იზრდება n-ის მნიშვნელობა გამოსახუ-
ლების მნიშვნელობა 271 და 272 შორის იცვლება ეს რიცხვი e ასოთი აღინიშნება და მისიმნიშვნელობაა e = 2718 281 828 459hellip eრიცხვიც რიცხვივით ირაციონალური რიცხვიაეს რიცხვები ტრანცენდენტული რიცხვებია ტრანცენდენტული ეწოდება ისეთ რიცხვებსრომელთა კოეფიციენტები მთელი რიცხვებია და არცერთი n ხარისხის განტოლების ფესვებსარ წარმოადგენენექსპონენციალური ზრდისა და კლების eფუძის მიხედვით N = N0ekt ფორმულით გამოსახვაშეიძლება სადაც N0 - არის საწყისი თანხა t - დრო k-მუდმივი რიცხვია
(1+ )n 1n
e ricxvi
247
maCvenebliani funqcia e ricxvi
გრაფკალკულატორის დახმარებით ააგეთ y = ex ფუნქციის გრაფიკი ქვემოთ მოცე-მული გრაფიკები სქემატურად გამოსახეთ როგორც y = ex ფუნქციის გრაფიკის გარ-დაქმნები
DDT (C14H9Cll5) ნივთიერება პირველად აღმოაჩინა შვეიცარიელმა მეცნიერმა პაულმიულერმა და ამ აღმოჩენისათვის ნობელის პრემია მიენიჭა ომის შემდგომ პერიოდშიDDT პესტიციდით გარემოს შეწამვლის შედეგად ტიფისა და მალარიის დაავადებისგამავრცელებელი მწერები განადგურდა თუმცა გამოკვლევები უჩვენებს რომ ესნივთიერებები ადამიანის ორგანიზმისთვისაც საზიანოა დავუშვათ რომ 1973 წელს1109 კგ DDT გამოყენებული იქნა განსაზღვრული სფეროს დეზინფექციისათვის თუk = 0023 იქნება ა) დაწერეთ მოცემულ წელს ამ ნივთიერების ნარჩენის მაჩვენებელიფორმულა N = N0ekt სახით ბ) რამდენი იქნება ამ ნივთიერებიდან დარჩენილი 2020წელს კალკულატორით გამოთვალეთ
y = 2middote2x y = ex y = 3e xა) ბ) გ)
გამოთვალეთ გამოსახულების მნიშვნელობა მძიმის შემდეგ ოთხი ციფრის სიზუსტითისარგებლეთ ex ღილაკის მქონე ინტერნეტ კალკულატორითhttpswwweewebcomtoolboxcalculator
გ) e0ა) endash2 ბ) endash023
1
2
y = ex ფუნქციის გრაფიკის აგებისათვის სხვადასხვაინტერნეტ გრაფკალკულატორებით(httpwwwmeta-calculatorcomonline) მათ შორისსურათზე ნაჩვენების მსგავსად Geometerrsquos Sketchpadregპროგრამით შეგვიძლია ვისარგებლოთ
y = ex funqciis grafiki
3
ცდის დროს t საათის გასვლის შემდეგ ჭურჭელში არსებული ბაქტერიების Nრაოდენობის N = 100 e069t ფორმულით განსაზღვრის შესაძლებლობა იქნაგამოვლენილია) იპოვეთ ჭურჭელში არსებული ბაქტერიების თავდაპირველი რაოდენობაბ) რამდენი ბაქტერია იქნება ჭურჭელში 5 საათის შემდეგ
5000 მანეთი 25 წლით 12-იანი რთული ზრდის პროცენტით ბანკშია შეტანილი
შემოსავლის გამოთვლის უწყვეტად წარმოებისას მიღებული შემოსავალი
S = S0ert ფორმულით წელიწადში 2-ჯერ (n = 2) პროცენტის გაანგარიშებით მიღებული
შემოსავალი კი S = S0 ფორმულით გამოთვალეთ რომელ შემთხვევაში
მიიღება მეტი შემოსავალი და რამდენით
4
5
(1+ )ntrn
1
510152025
2 3 4 x
y
ndash1ndash2ndash3
y = ex
248
ricxvis logariTmi
ა) 2x = 16 ბ) 3x = 9 გ) 4x = 64
1) x-ის ადგილას ჩაწერეთ ისეთი რიცხვები რომ სწორი ტოლობა მივიღოთ
gamokvleva
3) რომელ ორ მიმდევრობით მოცემულ მთელ რიცხვს შორის არის x-ის მოცემული ტოლობისდამაკმაყოფილებელი მნიშვნელობა
ა) 2x = 24 ბ) 3x = 18 გ) 4x = 56
2) არგუმენტის რა მნიშვნელობისათვის მიიღებს y = 2x
ფუნქცია 6-ის ტოლ მნიშვნელობას x-ის ეს მნიშვნელობაერთადერთია
x
y
ndash2ndash4 2
2
4
4
86
0
y = 2x
1 3
logariTmi
nimuSi 1 ლოგარითმული ჩანაწერები შეცვალეთ ექსპონენციალური ჩანაწერებით
b რიცხვის მიღებისათვის a რიცხვის ასაყვანი ხარისხის მაჩვენებელს b რიცხვის a ფუძიანილოგარითმი ეწოდება და y = logab სახით აღინიშნება სადაცane1 a და b დადებითი ნამდვილი რიცხვებია y = logax ჩანაწერი ay = x ტოლობის ლოგარითმული ჩანაწერიადა პირიქით ay = x ჩანაწერი y = logax ტოლობის ექსპო-ნენციალური ჩანაწერიაამრიგად ay = x და y = logax ჩანაწერები ეკვივალენტური ჩანაწერებია
ა) log216 = 4 გ) log81 = 0ბ) log10 = ndash311000
ა) log216 = 4
გ) log81 = 0
ბ) log10 = 311000
11000
24 = 16
103 =
amoxsna ლოგარითმული ჩანაწერი ექსპონენციალური ჩანაწერი
bullloga 1 = 0 რადგან a0 = 1 bull loga a = 1 რადგან a1 = abull loga a y = y რადგან a y = a y bull aloga x = x რადგან logax = logaxa loga x = x ტოლობას ძირითადი ლოგარითმული იგივეობა ეწოდება
80 = 1
ფუძე
y = logax ay = x მაჩვენებელი
nimuSi 2 იპოვეთ ლოგარითმული გამოსახულების მნიშვნელობა
ა) log327
log327 = x ავღნიშნოთ
3x = 27 ექსპონენციალური ჩანაწერი
3x = 33 x = 3 ხარისხის თვისების თანახმად
ბ) logaa
logaa = x
ax = ax = 1 x =
log5radic5 amoxsna
4
log5radic5 = x4
5x = radic5 4
გ)
14