Embed Size (px)
Citation preview
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA FIZIKU
HEIDI ŠARAVANJA
Diplomski rad
Osijek, 2011
i
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA FIZIKU
HEIDI ŠARAVANJA
TITRANJE
Diplomski rad
predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta J. J. Strossmayera u Osijeku radi stjecanja zvanja profesora fizike i politehnike
Osijek, 2011
ii
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Diplomski rad
Odjel za fiziku
TITRANJE
HEIDI ŠARAVANJA
Sažetak
Nakon uvoda u ovom diplomskom radu opisano je jednoliko i jednoliko ubrzano gibanje
po pravcu te kružna gibanja s pojmovima koji su potrebni za opisivanje tih gibanja. Drugi dio
rada odnosi se na titranje.Objašnjeno je harmonijsko titranje i harmonijski oscilator,matematičko
i fizikalno njihala,prigušeno i prisilno titranje (rezonancija) te modulirana titranje.Kroz uvod i
zaključak objasnila sam veliku važnost titranja u svakodnevnom životu.
Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku
Klju čne riječi: gibanje/harmonijski oscilator/njihalo/rezonancija/titranje
Mentor: Branko, Vuković, doc.dr.sc.
Ocjenjivači: Josip, Brana, doc. dr. sc. ; Slavko, Petrinšak, mr. sc.
Rad prihvaćen:
iii
J.J.Strossmayer University in Osijek Bachelor of Science Thesis
Department of Physics
OSCILLATION
HEIDI ŠARAVANJA
Abstract
Following the introduction, this paper describes the uniform motion and the uniform
accelerated linear motion, as well as circular motion, and uses the terms necessary to describe
these motions. The second part of this paper relates to the oscillations. The following is
described: harmonic oscillation and harmonic oscillator, mathematical and physical pendulum,
damped and driven oscillations (resonance) as well as modulated oscillation. In the introduction
and the conclusion I have explained a major importance of oscillations in everyday life.
Thesis deposited in Department of Physics library
Keywords:harmonicoscillator/motion/oscillation/pendulum/resonance
Supervisor: Branko, Vuković, doc.dr.sc.
Thesis accepted:
iv
SADRŽAJ SAŽETAK.......................................................................................................................................ii ABSTRACT...................................................................................................................................iii SADRŽAJ ......................................................................................................................................iv 1. UVOD .........................................................................................................................................1 2. DEFINIRANJE OSNOVNIH POJMOVA:GIBANJE, PUT, PUTANJA, JEDNOLIKO, JEDNOLIKO UBRZANO GIBANJE I KRUŽNO GIBANJE.......................................................2
2.1. GIBANJE .............................................................................................................................2 2.1.1. REFERENTNI SUSTAV..............................................................................................2 2.1.2. BRZINA GIBANJA......................................................................................................2 2.1.3. SREDNJA BRZINA .....................................................................................................3 2.1.4. VRSTE PRAVOCRTNIH GIBANJA...........................................................................4 2.1.5. JEDNOLIKO GIBANJE PO PRAVCU........................................................................5 2.1.6. AKCELERACIJA .........................................................................................................6 2.1.7. JEDNOLIKO UBRZANO GIBANJE PO PRAVCU ...................................................7
2.2. SLOBODNI PAD.................................................................................................................9 2.3. KRUŽNA GIBANJA ...........................................................................................................9
2.3.1. JEDNOLIKO GIBANJE PO KRUŽNICI:....................................................................9 3. TITRANJE ................................................................................................................................15
3.1. HARMONIJSKI OSCILATOR .........................................................................................16 3.2. GRAFIČKI PRIKAZ HARMONIJSKOG TITRANJA.....................................................22 3.3. SUPERPOZICIJA HARMONIJSKOG TITRANJA; LISSAJOUSOVE KRIVULJE ......23 3.4. PRIGUŠENO TITRANJE..................................................................................................26 3.5. MATEMATIČKO NJIHALO............................................................................................30 3.6. FIZIKALNO NJIHALO.....................................................................................................33
3.6.1. REDUCIRANA DULJINA FIZIKALNOG NJIHALA; SREDIŠTE TITRAJA........35 3.7. PRISILNO TITRANJE; REZONANCIJA.........................................................................37
5. REZONACIJA U PRIRODI .....................................................................................................41 5.1. VEZANA NJIHALA; PRIJENOS ENERGIJE KOD REZONANCIJE............................42 5.2. MODULIRANO TITRANJE; UDARI ..............................................................................43
6. ZAKLJUČAK ...........................................................................................................................45 7. LITERATURA..........................................................................................................................46
1
1. UVOD
Titranje zauzima veliku važnost u svakodnevnom životu i to od početka stvaranja svijeta.
U početku su postojali atomi helija i vodika i znanstvenici su dugo razmišljali kako su se pojavili
drugi plinovi. Danas se zna da je u titranju tri atoma helija došlo do rezonancije i pri odreñenim
uvjetima iz njih je nastao ugljik. S obzirom da je harmonijsko titranje osnovno za mnoge
prirodne pojave zaslužuje posebnu pozornost u proučavanjima.
Mnoge vrste gibanja se stalno ponavljaju: vibracije kvarcnog kristala u satu, njišuće
klatno u velikom zidnom satu, zvučne vibracije koje proizvede klarinet ili orgulje i gibanje
klipova u automobilskom motoru. Takvu vrstu gibanja zovemo titranje ili periodično gibanje i
ono je tema ovog diplomskog rada.
Tijelo koje se periodično giba uvijek ima odreñenu točku u kojoj postiže ravnotežu. Kada
je tijelo pomaknuto (vanjskom silom) iz točke ravnoteže i pušteno da se giba sila ili zakretni
moment ulazi u igru kako bi tijelo povuklo u stanje ravnoteže. Meñutim prije nego li tijelo doñe
do točke ravnoteže, ono je već preuzelo odreñenu količinu kinetičke energije pa tijelo prolazi
kroz točku ravnoteže i odlazi na suprotnu stranu odakle ponovno bude privučeno prema točki
ravnoteže. Zamislite lopticu koja se giba tamo-amo unutar okrugle posude ili klatno koje se klati
tamo-amo mimo svoje stabilne donje točke. U ovom diplomskom radu obradit ću primjere
sustava koji se mogu periodično gibati: sustav opruga te klatna. Proučit ću koja titranja imaju
tendenciju da se smanjuju i vremenom prestaju, te zašto neka titranja mogu dovesti do sve većih
i većih odstupanja od točke ravnoteže kada djeluju periodične sile.
2
2. DEFINIRANJE OSNOVNIH POJMOVA:GIBANJE, PUT, PUTANJA, JEDNOLIKO, JEDNOLIKO UBRZANO GIBANJE I KRUŽNO GIBANJE
2.1. GIBANJE
Najjednostavnija promjena koju možemo opaziti je promjena položaja tijela. Vremensku
promjenu položaja tijela u prostoru nazivamo gibanje. Pojmovi koji su potrebni za opisivanje
gibanja su: put, vrijeme i srednja brzina. Promjena položaja registrira se uvijek u odnosu prema
nekom referentnom sustavu. Kada veličina i oblik tijela nemaju značenje pri gibanju tijela, ta se
svojstva mogu zanemariti.Tijelo kod kojeg je zanemarena prostorna dimenzija (veličina) naziva
se materijalnom točkom, česticom ili sitnim tijelom, tu se onda npr. promatra samo masa tijela.
Pri gibanju Zemlje oko Sunca, primjerice, njezina je veličina mala s obzirom na njihovu
meñusobnu udaljenost i Zemlja se može promatrati kao materijalna točka, ali pri njezinoj rotaciji
oko osi, ona je tijelo s oblikom i prostornom dimenzijom.
2.1.1. REFERENTNI SUSTAV
Bilo bi idealno uzeti mirujući sustav i sva gibanja (pojave) jednoznačno opisati u tom
sustavu. Pokazalo se da su zakoni gibanja u sustavu koji se giba jednoliko pravocrtno identični
onima dobivenim u mirujućem sustavu, dakle, takvi sustavi su ravnopravni. Galileo Galilei
formulirao je načelo relativnosti gibanja. U svim sustavima koji se jedan prema drugom gibaju
jednoliko pravocrtno, zakoni gibanja su potpuno isti. Postoje inercijalni i neinercijalni sustavi.
Skup svih točaka kroz koje prolazi tijelo u gibanju čini njegovu putanju. Dio putanje koji
je tijelo prešlo u nekom vremenskom intervalu nazvan je put, tj. to je dio putanje odreñen s dvije
točke na putanji. Najmanja udaljenost izmeñu rubnih točaka puta je pomak. To je vektorska
veličina orjentirana od početne prema konačnoj točki puta.
2.1.2. BRZINA GIBANJA
Fizikalna veličina kojom se može utvrditi razlika izmeñu dva gibanja i koja uspostavlja
odnos prijeñenog puta i vremenskog intervala u kojem je tijelo prešlo taj put, nazvana je brzina.
Kada se materijalna točka M giba (kao na slici 1.), onda će u vremenima 1t i 2t vektori položaja
biti 1rr
i 2rr
, a vektor pomaka jednak je razlici tih dvaju vektora: 12 rrrrrr −=∆ . Duljina puta koju
3
prijeñe točka M u vremenu 12 ttt −=∆ je s∆ , što je skalar i općenito nije jednako rr∆ . Što je
t∆ kraće, rr∆ je bliže vrijednosti s∆
Slika 1. - Položaj materijalne točke M na putanji u vremenima 1t i 2t
Brzina gibanja v je granična vrijednost ili limes kvocijenta vektora pomaka i pripadnog
intervala vremena, kad taj interval teži nuli; ili to odgovara kvocijentu diferencijala vektora
pomaka i vremena, a što se naziva i derivacijom vektora pomaka po vremenu kako slijedi:
dt
rd
t
rv
t
rrr =
∆∆=
→∆ 0lim
Brzina ima iznos i smjer pa je ona vektor koji je postavljen tangencijalno na putanju u
točki položaja u danom trenutku, a u smjeru gibanja tijela odnosno materijalne točke.Trenutna
brzina je odreñena jednadžbom kao i njezin iznos kako slijedi:
dt
ds
t
s
t
rv
tt=
∆∆=
∆∆
=→∆→∆ 00
limlimr
r
2.1.3. SREDNJA BRZINA
Srednja brzina gibanja u intervalu vremena je:
4
12
12
tt
ss
t
sv
−−
=∆∆=
Mjerna jedinica za brzinu u SI sustavu je m/s. Smanjivanjem vremenskog intervala u
kojem se promatra gibanje tijela do nule, dobila bi se brzina tijela u bilo kojem trenutku:
12
12
12
tttt
ssv
→−−=rr
r
0→∆∆
∆=tt
sv
rr
2.1.4. VRSTE PRAVOCRTNIH GIBANJA
S obzirom na oblik putanje gibanja mogu biti pravocrtna – kada je putanja pravac, i
krivocrtna – kada putanja nije pravac. S obzirom na brzinu razlikujemo jednolika, tj. ona gibanja
kod kojih se iznos brzine ne mijenja, i nejednolika, tj. sva ostala kod kojih se iznos brzine
mijenja. Za nejednoliko gibanje brzina je neka funkcija vremena ( )tfv = što se može predočiti
kao na slici 2.
Slika 2. - Nejednoliko gibanje
5
Ukupno prijeñeni put u vremenu od 1t do 2t jednak je zbroju svih infinitezimalnih
putova, vdtds = što se simbolično označuje odreñenim integralom u granicama od 1t do 2t , tj
vdtst
t
2
1
∫= koji onda ima značenje površine ispod krivulje funkcije ( )tfv =
2.1.5. JEDNOLIKO GIBANJE PO PRAVCU
Kod jednolikog gibanja po pravcu, tijelo u jednakim vremenskim intervalima prijeñe
jednake putove. To je gibanje tijela po pravcu sa stalnom brzinom.
a = 0
v = konst.
vv = srednja brzina jednaka je pravoj trenutačnoj brzini
Ako tijelo kreće iz ishodišta koordinantnog sustava i ako u tom trenutku počinjemo
mjeriti protok vremena, vrijedi:
∆s = s
∆t = t
pa slijedi:
t
s
t
sv =
∆∆=
odnosno:
tvs ⋅=
Ako je s1 = s0 (početni položaj tijela nije u ishodištu); s2 = s; t1 = 0 i t2 = t, slijedi:
vtss o +=
6
2.1.6. AKCELERACIJA
Fizikalna veličina prema kojoj se gibanja razlikuju, a koja nam pokazuje kako se brzina
mijenja tijekom vremena, nazvana je akceleracija. Ubrzanje ili akceleracija, a jednaka je
graničnoj vrijednosti kvocijenta promjene brzine i pripadnog intervala vremena ili ubrzanje je
derivacija brzine po vremenu tj.:
dt
vd
t
va
t
rrr =
∆∆=
→∆ 0lim
Vektor ubrzanja ima smjer vektora promjene brzine gdje je 12 vvvrrr −=∆ a iznos
ubrzanja se može prikazati i kao druga derivacija puta po vremenu (tj. derivacija prve derivacije
puta po vremenu ili derivacija brzine po vremenu) kako slijedi:
2
2
dt
sd
dt
ds
dt
d
dt
vda =
==r
r
Slika 3. - Vektorski prikaz ubrzanja za gibanje materijalne točke po: a) krivulji (tzv. slobodni
vektori se mogu prenositi paralelno u jednu zajedničku točku na početak vektora) i b) pravcu.
Za gibanje po pravcu svi promatrani vektori su kolinearni (leže na istom pravcu) pa je
iznos srednjeg ubrzanja:
( )( )12
12
tt
vv
t
va
−−=
∆∆=
rrr
7
Kada je 1v > 2v onda je a < 0 dakle ubrzanje je negativno odnosno gibanje je usporeno,
retardirano; ponekad se negativno ubrzanje naziva deceleracija. Kada govorimo o povećanju
brzine mislimo na pozitivnu akceleraciju.
2.1.7. JEDNOLIKO UBRZANO GIBANJE PO PRAVCU
Kod jednolikog ubrzanog gibanja po pravcu, tijelo u jednakim vremenskim intervalima
dobije jednake priraste brzina. Kada gibanje po pravcu ima stalno ubrzanje, a = konst., onda je
trenutno ubrzanje jednako srednjem ubrzanju pa je t
va
∆∆=r
r ; takvo se gibanje naziva jednoliko
ubrzano gibanje. Na slici 2. može se uočiti ubrzano gibanje na prvom dijelu krivulje (porast
brzine), zatim slijedi usporeno gibanje i na kraju intervala manji dio krivulje prelazi u
horizontalni pravac što se odnosi na jednoliko gibanje kada je konstv = . Za jednoliko ubrzano
gibanje slijede takoñer jednostavnije relacije: kada je vvrr =∆ i tt =∆ ( 01 =v , vv =2 tj. početna
brzina je nula) onda je ubrzanje t
va
rr = pa je i tav ⋅= rr
Kada je početna brzina 01 vvrr =
onda slijedi iz gore navedenog: ( )
t
vva 0
rrr −= , kao i jednadžba:
tavv ⋅+= 0
Jedinica za ubrzanje je ( ) ( )( )
( )( ) ( )2
1−
−
=== mss
ms
t
va Kakav je odnos izmeñu puta i
ubrzanja? Iz jednadžbi izlazi za diferencijal puta:
atdtds =
Integral primijenjen na lijevu stranu te jednadžbe (u granicama 0 do s) i desnu stranu (u
granicama od 0 do t) daje za jednoliko ubrzano gibanje:
2
21
ats =
8
Integriranjem se dobije jednadžba za prijeñeni put (u početku mjerenja vremena tijelo se
gibalo sa stalnom brzinom0v i onda se počelo jednoliko ubrzavati u vremenu t):
+⋅= 20 2
1attvs
Takoñer slijedi odnos brzine, ubrzanja i puta:
asv 2=
Možemo izraziti vrijeme pomoću puta i brzine:
v
st
2=
ili brzinu pomoću puta i vremena:
t
sv
2=
Akceleraciju možemo izraziti pomoću puta i vremena:
2
2
t
sa =
i vrijeme pomoću puta i akceleracije:
a
st
2=
9
2.2. SLOBODNI PAD
Slobodni pad izvodi tijelo u gravitacijskom polju Zemlje uz zanemariv otpor zraka.
Gravitacijsko polje je prostor u kojem djeluje gravitacijska sila Zemlje odnosno sila teža.U
zrakopraznom prostoru (vakuumu) na površini Zemlje svako tijelo pada i giba se jednoliko
ubrzano po pravcu koji prolazi središtem Zemlje; sva tijela pri slobodnom padu u vakuumu
imaju jednako ubrzanje g koje iznosi 9,8 2−ms . Ako tijelo pustimo s visine h (početna brzina je
nula) onda nakon slobodnog pada u vremenu t tijelo prijeñe put 2
2t
gs ⋅= . Ako tijelo pada do
podnožja s visine h onda vrijedi s = h. Tako će tijelo nakon pada s visine h imati brzinu
ghv 2= , a pad će trajati g
ht
2= sekundi.
2.3. KRUŽNA GIBANJA
Najjednostavnije krivocrtno gibanje je kada se tijelo ili materijalna točka giba po kružnici.
2.3.1. JEDNOLIKO GIBANJE PO KRUŽNICI:
Kada se tijelo giba po obodu kruga sa stalnim iznosom brzine v (koja se naziva obodna
ili linearna brzina) onda takvo gibanje zovemo jednoliko kružno gibanje. To je gibanje po
kružnici za koje je iznos brzine konstantan, ali se stalno mijenja njen smjer. Tijelo u jednakim
vremenskim razmacima prelazi jednake lukove kružnice. Smjer brzine u svakoj točki kružnice je
smjer tangente na kružnicu. Položaj materijalne točke kod kružnog gibanja može se opisati
pomoću radijus vektora, tj. vektora koji spaja središte kružnice s položajem materijalne točke na
kružnici. Kod jednolikog kruženja radijus vektor u jednakim vremenskim intervalima opiše
jednake kutove. Pri opisivanju kružnog gibanja moramo razlikovati dvije brzine:
- obodnu brzinu v danu s kružnim lukom koji čestica prevali u jedinici vremena
- kutnu brzinu ω danu s kutom koji radijus vektor opiše u jedinici vremena
ωϕϕ ⋅=⋅=⋅== rt
rt
r
t
sv
frT
r
t
sv ππ
22 ===
10
t
ϕω =
Za prijeñeni puni krug od π2 radijana u vremenu T tijelo ima kutnu brzinu ω :
T
πω 2=
Mjerna jedinica za kutnu brzinu je s
rad.
PERIOD:
Vrijeme trajanja jednog okreta T nazivamo period gibanja, a takva gibanja periodična gibanja
T = n
t n – broj okretaja
t – vrijeme trajanja
FREKVENCIJA:
Frekvencija je broj okretaja u jednoj sekundi
Tt
nf
1==
Mjerna jedinica je hertz. 1 Hz = 1/s
AKCELERACIJA:
Akceleracija u jednolikom kružnom gibanju ima konstantan iznos, ali mijenja smjer.
Vektor akceleracije okomit je na vektor brzine.
11
0→∆∆
∆=tt
va
rr
Za nejednoliko gibanje po kružnici trenutna je brzina jednaka derivaciji kuta po vremenu:
dt
d
tt
ϕϕω =∆∆=
→∆ 0lim
Odnos linearne i kutne brzine slijedi iz definicije promatranih veličina:
ωϕr
tr
t
sv
tt=
∆∆=
∆∆=
→∆→∆ 00limlim
Slika 4. –Vektori brzine v kod kružnog gibanja
Zbog promjene vektora linearne ili obodne brzine pri kružnom gibanju uvijek se
pojavljuje ubrzanje ra koji ima smjer vektora razlike brzina 12 vvvrrr −=∆ za pripadni interval
vremena 12 ttt −=∆ . Kod jednolikog kružnog gibanja vrijedi za iznose brzina: vvvrrr == 21 te
ϕ∆=∆ vv . Stoga za radijalno ubrzanje dobivamo izraz:
Vektor ubrzanja usmjeren je prema središtu kružne putanje pa se on naziva i centripetalno
ubrzanje (teži prema centru), takoñer slijedi:
0 0lim limr t t
va v v
t t
ϕ ω∆ → ∆ →
∆ ∆= = =∆ ∆
22 2 24r
va r f r
rω π= = =
12
Kutne brzina je vektor koji leži na pravcu osi rotacije, sa smjerom koji se odreñuje prema
pravilu desne ruke: prsti desne ruke pokazuju smjer gibanja tijela, a palac smjer kutne brzine.
Usporedba s desnim vijkom: napredovanje vijka je u smjeru vektora kutne brzine. Vektor kutne
brzine je okomit na ravninu u kojoj leže vektori rr
i vr
pa se veza polumjera, linearne i obodne
brzine može prikazati vektorskim produktom:
Slično vrijedi i za centripetalno ubrzanje:
Smjer centripetalnog ubrzanja mora biti okomit i na v i na ω , tj. leži na radijusvektoru,
ali je njemu protivne orijentacije.
Kada iznos obodne brzine nije stalan, onda kružno gibanje ima neko kutno ubrzanje (ili
usporenje) koje se definira:
Ako je kružno gibanje jednoliko ubrzano, onda vrijedi:
TANGENCIJALNO UBRZANJE:
Integriranjem izraza:
→
v rω= ×vv v
ra vω= ×vv v
2ra rω= −v v
0lim
t
d
t dt
ω ωα∆ →
∆= =∆
/ ( ) /ot tα ω ω ω= ∆ ∆ = −
o tω ω α= +
o tω ω α= + ∫ 20 2t t
αϕ ω= +
13
Ako je kružno gibanje nejednoliko, onda pored radijalnog (centripetalnog ubrzanja),
postoji i tangencijalno ubrzanje
Ukupno ubrzanje se može prikazati kao rezultanta:
Iznos kružnog ubrzanja može se prikazati pomoću radijalne i tangencijalne komponente koje se
meñusobno okomite tj. :
CENTRIPETALNA SILA:
Centripetalna sila je sila koja uzrokuje kružna gibanja. Vektor sile u svakom trenutku
orijentiran je prema središtu kružne putanje.
t
vvm
t
vmamF
∆−⋅=
∆∆⋅=⋅= 12
rrrrr
r
vmamFcp
2
=⋅= ili
rmrfmFcp ⋅⋅=⋅⋅= 2224 ωπ
Centripetalna sila je odgovorna za vrtnju jer daje radijalnu akceleraciju koja zakrivljuje
stazu materijalne točke. To nije neki posebni tip sile, nego se naziv centripetalna odnosi na
njezin efekt.
0 0lim limt
t t t
va r r
t t
ω α∆ → ∆ →
∆ ∆= = =∆ ∆
r ta a a= +v v v
2 2r ta a a= + 2 2 2( ) ( )r rω α= + 4 2r ω α= +
14
CENRIFUGALNA SILA
Centrifugalna sila ne postoji u inercijalnom referentnom sustavu, nego je to sila koja opisuje
gibanje čestice u neinercijalnom rotirajućem sustavu. Centripetalna sila djeluje na tijelo u vrtnji,
a njezina protusila djeluje na drugo tijelo, na ono koje uzrokuje centripetalnu silu.
r
vMFcp
2
= −M masa sustava
−r polumjer zakrivljenosti putanje
r
vmFcf
2
= −m masa tijela u sustavu
Orijentacije ovih sila su suprotne.
Analogija kružnog i pravocrtnog gibanja:
pravocrtno → kružno
s → φ
dt
ds=v → dt
dϕω =
dt
dv=a → dt
dωα =
atvv += 0 → tαωω += 0
vts = → tωϕ =
200 2
1attvss ++= → 2
00 2
1tt αωϕϕ ++=
asvv 220
2 += → αϕωω 220
2 +=
15
3. TITRANJE
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja. Primjerice, jednoliko
gibanje po kružnici je titranje (ili oscilacija), a i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje). Pravilno titranje koje se odvija po zakonu sinusa zovemo harmonijsko
titranje. Harmonijsko gibanje je vrlo raširen oblik gibanja u prirodi. Vibracije žice i ploha,
titranje zraka kod zvuka, takoñer su harmonijska titranja. Isto tako, harmonijski titraju i atomi u
rešetki čvrstog tijela, te električno i magnetsko polje kod svjetlosnih i radio valova. Pri titranju
se materijalna točka giba amo-tamo oko ravnotežnog položaja, tj. prijeñe istu putanju, najprije u
jednom, a zatim u suprotnom smjeru. Materijalna točka poslije odreñenog vremenskog intervala,
koji zovemo period T, ponavlja cijelo gibanje. Trajanje jednog potpunog titraja je, dakle, T. Za
to vrijeme tijelo dva puta proñe kroz položaj ravnoteže. Broj titraja u jedinici vremena je
frekvencija f, a ona je jednaka recipročnoj vrijednosti perioda.
f = 1/T
Jedinica frekvencije je hertz, Hz = s-1
Pri titranju materijalna točka nakon perioda T jednakom brzinom dolazi u isti položaj ili fazu.
Faza titranja je trenutno stanje odreñenog titranja, tj. položaj i brzina tijela u odreñenom
vremenskom trenutku (npr. maksimum, minimum i prolaz kroz ravnotežni položaj). Period je
vremenski interval izmeñu dvije uzastopne jednake faze. Udaljenost materijalne točke koja titra,
od središta ravnoteže, zovemo elongacija. Maksimalna elongacija je amplituda titranja. Svako
titranje uzrokuje odreñena sila koja nastoji vratiti sistem u položaj ravnoteže. Najjednostavnije
titranje je ono pri kojem je sila proporcionalna iznosu pomaka iz položaja ravnoteže, a suprotna
njegovu smjeru i ono se zove harmonijsko titranje. Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili
materijalnu točku možemo ostvariti pomoću elastične opruge ili čelične helikoidne zavojnice
(spiralna opruga) na čijem je kraju tijelo mase m koje klizi bez trenja po horizontalnoj podlozi
(idealna elastična opruga).
16
Slika 5. – Idealno elastično pero i harmonijsko titranje tijela na
horizontalnoj podlozi
3.1. HARMONIJSKI OSCILATOR
Zakoni harmonijskog titranja najbolje će se uočiti proučavajući gibanje tijela mase m
učvršćenog na kraju horizontalne ili vertikalne opruge.
Slika 6. – Titranje tijela na opruzi
Kada tijelo izvučemo iz ravnotežnog položaja i pustimo, ono titra zbog utjecaja elastične
sile opruge F = -ks. Ako je tijelo pomaknuto iz položaja ravnoteže prema dolje sila djeluje prema
gore, suprotno od pomaka. Kada je tijelo prošlo kroz položaj ravnoteže prema gore, sila je
promijenila smjer i počela usporavati njegovo gibanje. Kada tijelo dosegne najvišu točku i počne
17
se vraćati prema ravnotežnom položaju, sila još uvijek djeluje prema položaju ravnoteže, tj.
suprotno od smjera pomaka. Pri takvom pravocrtnom titranju, uz pretpostavku da je trenje vrlo
maleno, smanjenje amplitude s vremenom je dosta sporo, te u manjim vremenskim intervalima
titranje možemo smatrati neprigušenim. Produženje opruge proporcionalno je težini G.
F = mg = k (l-l0)
Kada sistem opruga + tijelo izvučemo iz ravnotežnog položaja i pustimo, sistem će titrati.
Rezultantna sila koja uzrokuje titranje je suma napetosti opruge i težine tijela.
( )0llskmgF −+−=
( ) ( ) ksllkllkF −−−−= 00
gdje je: s- pomak iz položaja ravnoteže (elongacija)
k- pozitivna konstanta- konstanta opruge
F je sila opruge- elastična ili harmonijska sila, proporcionalna je i po smjeru suprotna ( predznak
minus) pomaku s iz položaja ravnoteže (tj. elongaciji). Elastična sila pri titranju uravnotežuje
težinu utega, tj. gravitacijsku silu.
ksF −=
Takav sistem zove se harmonijski oscilator. Da bismo utvrdili kako titra harmonijski
oscilator, moramo riješiti jednadžbu gibanja (2. Newtonov zakon) za takvo titranje.
amF ⋅=
ksdt
sdmF −==
2
2
U daljem tekstu ću pomak s obilježiti slovomx
18
02
2
=+ kxdt
xdm (1)
To je linearna diferencijalna jednadžba drugog reda. Iz nje možemo doznati elongaciju
s(t), brzinu v(t) i akceleraciju a(t). Postoje dva linearno neovisna rješenja jednadžbe, npr.
funkcije tωsin i tωcos , a opće rješenje je linearna kombinacija tih dvaju neovisnih rješenja:
( ) ( ) ( )tbtatx ωω cossin +=
Pretpostavimo rješenje u obliku:
( ) ( )ϕω += tAtx sin
Koristeći trigonometrijsku jednakost: ( ) ϕωϕωϕω sincoscossinsin ⋅+⋅=+ ttt / A⋅
Dobivamo: ( )ϕωωω +⋅⋅⋅−= tAdt
xdsin
2
2
Jednadžba (1) postaje:
( ) ( )ϕωϕωω +⋅−=+⋅⋅− tAktAm sinsin2
Ta jednadžba identički je ispunjena ako je:
m
k=2ω
odnosno:
m
k=ω
Riješenje jednadžbe je dakle sinusna funkcija:
19
+⋅= ϕt
m
kAx sin
Ta funkcija opisuje periodično gibanje čiji se period T može odrediti iz zahtjeva:
πω 2=⋅= Tm
kT
proizlazi dakle da je period harmonijskog titranja:
k
mT π2=
PERIOD ne ovisi o amplitudi titranja. To je karakteristika svakog harmonijskog titranja.
Frekvencija titranja je:
T
f1=
Veličina:
fT
ππω 22 ==
zove se KRUŽNA FREKVENCIJA i izražava se jedinicom recipročna sekunda; s-1.. Konstanta
A je amplituda, tj. pomak u trenutku kada se tijelo zaustavi i promijeni smjer titranja. Veličina
ϕω +t je faza titranja, aϕ je početna faza u trenutku t = 0. Derivirajući po vremenu iz elongacije
dobivamo brzinu i akceleraciju.
Prva derivacija elongacije po vremenu je brzina tijela koje titra:
20
( ) ( )ϕωω +== tAdt
dstv cos
Druga derivacija elongacije je akceleracija:
( ) ( ) ( )tstAdt
sdta 22
2
2
sin ωϕωω −=+−==
Slika 7. – Vremenska ovisnost elongacije, brzine i akceleracije pri
jednostavnom harmonijskom titranju
Mjerenjem se može pokazati da period utega koji titra na opruzi ovisi o masi utega i
konstantni opruge, a ne ovisi o amplitudi. Da bismo ispitali ovisnost perioda T o konstanti
opruge, najbolje je mijenjati konstantu opruge serijski spajajući dvije ili više jednakih opruga
zajedno. Može se pokazati da je za serijski spoj više jednakih opruga rezultantna konstanta k
dana izrazom:
...1111
321
+++=kkkk
Tako je konstanta dviju jednakih, serijski spojenih opruga jednaka 21k
, triju opruga 31k
itd.
21
Slika 8. – Mjerenje perioda titranja utega na opruzi
Zbroj kinetičke i elastične potencijalne energije pri harmonijskom titraju je konstantan.
Slika 9. – Zbroj kinetičke i potencijalne energije pri harmonijskom
titranju je konstantan
Parabolična krivulja u dijagramu energije E i pomaka S predstavlja potencijalnu energiju
a pravac paralelan s osi x na udaljenosti 0E predstavlja ukupnu energiju. Gibanje harmonijskog
oscilatora ograničeno je na prostor izmeñu pravaca E = 0 (osi x) i 0EE = , jer bi u protivnom
sama potencijalna energija bila veća od ukupne. Tijelo koje titra harmonijski slično je kuglici
koja bi se bez trenja gibala po paraboličnoj putanji visine 0E .
22
022
2
1
2
1Ekonstkxmv ==+
3.2. GRAFIČKI PRIKAZ HARMONIJSKOG TITRANJA
Činjenica da se u izrazu za harmonijsko titranje nalaze sinusne funkcije pokazuje da
postoji veza izmeñu kružnog i harmonijskog gibanja. Naime, ako se točka giba jednoliko po
kružnici brzinom v njezine projekcije na koordinatnim osima harmonijski titraju:
Slika 10. – Titranje obješenog elastičnog pera
fRx cos= fRy sin=
Kod jednolikog kruženja je:
⇒⋅=⋅= tt
R
f ωϑ tRy ωsin=
tRx ωcos=
tj. projekcije točke koje jednoliko kruže izvode harmonijsko titranje.
23
3.3. SUPERPOZICIJA HARMONIJSKOG TITRANJA; LISSAJOUSOVE KRIVULJE
Kružno gibanje možemo rastaviti u dva sinkrona harmonijska titranja jednake amplitude i
frekvencije. Kakvo se gibanje dobije ako materijalna točka mora istovremeno vršiti dva
harmonijska titranja? Ako su ta dva titranja sinkrona, iste frekvencije i amplitude i meñusobno
okomita, rezultanta gibanja bit će kružnica. Titranja se mogu razlikovati u amplitudi i
frekvenciji, a mogu imati i razliku u fazi. Dobije se superpozicija dva sasvim različita titranja:
( )( )222
111
sin
sin
ϕωϕω
+=+=
tAy
tAx
Rezultirajuća krivulja ovisit će o omjeru amplituda i frekvencija, te o razlici faza. To su
vrlo komplicirane figure koje se nazivaju Lissajousove krivulje.
Slika 11. - Primjer Lissajousove krivulje
Neki najjednostavniji slučajevi:
a) ωωω == 21
Tada je:
( )ϕωω
−==
tAy
tAx
sin
sin
2
1
24
tj. amplitude i faze se razlikuju.
Može se pokazati da su u tom slučaju Lissajousove krivulje uvijek presjeci stošca, tj.
krivulje drugog reda.
Ako krivulju prikazanu gornjim parametarskim oblikom dovedemo u eksplicitni oblik,
dobivamo:
−−= ϕϕ sin1cos
21
2
12 A
x
A
xAy
odnosno:
22
221
22
1
22 cos2
AxA
Axy
A
Ay =⋅+− ϕ
Gornja jednadžba predstavlja općenito elipsu čiji će ekscentricitet i nagib ovisiti o omjeru 1
2
A
A, i
o razlici fazaϕ . Za 21 AA = i 2
πϕ = dobije se kružnica, dok se za razlike u fazi 0=ϕ i
πϕ = dobivaju pravci čiji je nagib dan omjerom 1
2
A
A
b) 21 ωω ≠
Znatno kompliciranje krivulje dobivaju se za omjere
1: 21 ≠ωω
Meñutim, i tu postoje odreñena pravila, pa se Lissajousove krivulje mogu upotrijebiti za
brzo odreñivanje nepoznatog omjera dviju frekvencija 1f i 2f (odnosno 1ω i 2ω ).
Lissajousove krivulje možemo demonstrirati katodnim osciloskopom. U tom slučaju
dovodit ćemo izmjenične napone danih frekvencija na koordinatne osi osciloskopa i promatrati
rezultirajuće gibanje svjetleće točke na ekranu. Vrlo jednostavan mehanički ureñaj za
25
demonstraciju superpozicije harmonijskog titranja je Puppov aparat. Sastoji se od dva zrcala 1Z i
2Z , od kojih prvo može rotirati oko vertikalne osi, a drugo oko horizontalne. Neka je zrcalo 1Z
na miru, a 2Z rotira oko osi kružnom frekvencijom 2ω . Tada reflektirana zraka opisuje
vertikalnu ravninu. Ako pak zrcalo 2Z miruje a zrcalo 1Z rotira oko (vertikalne) osi, tada zraka
opisuje horizontalnu ravninu. Ako oba zrcala titraju kružnim frekvencijama1ω i 2ω , svjetlosna
zraka na zastoru izvodi superpozicionirano gibanje u obliku Lissajousove krivulje.
Slika 12. – Princip Puppova aparata za superpoziciju titranja
Oscilacije navedene pod a) i b) možemo ostvariti pomoću Airyeva njihala. Dvostruko
Airyevo njihalo sadrži jedno njihalo s dvije niti, koje može titrati samo u jednoj ravnini i drugo
njihalo obješeno na prvo, koje kao tijelo nosi lijevak s pijeskom.
26
Slika 13. – Dvostruko Airyevo njihalo
Kada oba njihala zanjišemo u jednoj ravnini i onda drugo donje njihalo kratkim trzajem
zanjišemo u okomitoj ravnini na prvu ravninu njihanja, lijevak ispušta pijesak koji opisuje neku
od Lissajousovih krivulja; oblik krivulje zavisi o odnosu duljina oba njihala (yl ) i duljine donjeg
njihala, što odreñuje i odnos njihovih frekvencija (2
2
y
x
x
y
l
l
ωω= ).
3.4. PRIGUŠENO TITRANJE
U dosadašnjim razmatranjima oscilacija materijalne točke učinjena je pretpostavka da
oscilacije nastaju potpunim pretvaranjem potencijalne energije sistema u kinetičku energiju
Proučavali smo titranje u idealnim uvjetima, tj. kada na sistem ne djeluje nikakva sila (osim
elastične). Sistem s takvim svojstvima, jednom pobuñen, oscilirao bi beskonačno dugo. U prirodi
nema takvih makroskopskih sistema. Realna titranja u prirodi su prigušena, jer se uz gibanje
tijela pojavljuje sila trenja (npr. za gibanje u zraku). Preuzeta početna energija, primjerice u
obliku potencijale energije, pretvara se dijelom u kinetičku energiju sustava (oscilatora), a
ostatak prelazi u toplinu; potencijalna energija je sve manja i prelazi u nulu kada oscilacije
nestaju. Kaže se da sistem izvodi prigušene oscilacije. Za razliku od neprigušenih oscilacija, koja
imaju stalnu amplitudu, kod prigušenih titranja amplituda opada monotono s vremenom.
Napominjemo da sistem može izvoditi neprigušene oscilacije, iako dolazi do trenja, ako se u
toplinu pretvorena količina energije sistema neprestano nadoknañuje dovoñenjem energije
sistema izvana. Tada se govori o podržavanim oscilacijama. Prigušeno titranje možemo opaziti
27
kada npr. uteg koji titra na opruzi uronimo u neku viskoznu tekućinu (npr. motorno ulje). Za uteg
koji titra u zraku prigušenje je dosta slabo pa izgleda kao da je titranje neprigušeno.
Sila viskoznog trenja proporcionalna je brzini gibanja i djeluje u njoj suprotnom smjeru:
rvf −=
Ako se ograničimo na titranje u smjeru osi x, jednadžba gibanja će, dakle, glasiti:
2
2
dt
xdmmarvkx ==−−
odnosno:
02
2
=++ kxdt
dxr
dt
xdm
Ovdje se pojavljuje član dt
dxr , o čijoj veličini ovisi i oblik rješenja.
Razlikuju se tri slučaja:
28
1) maleno prigušenje: (r < km4 ) : tijelo i dalje titra s nešto povećanim ali konstantnim
periodom, pri čemu se amplitude neprestano smanjuju po eksponencijalnom zakonu:
( ) ( )11sin ϕωα +⋅⋅= − teAtx t
gdje je:
m
r
2=α , 22
1 a−= ωω
a ω je frekvencija neprigušenog titranjam
k=ω (kvaziperiodično prigušenje)
2) kritično prigušenje ( )kmr 4= : gibanje u tom slučaju prestaje biti periodično i vraća se u
ravnotežni položaj bez osciliranja po ublaženom eksponencijalnom zakonu:
tetBBtx β−⋅⋅+= )()( 21
gdje su 1B i 2B konstante
3) aperiodično prigušenje r( > )4km : u tom slučaju gibanje se eksponencijalno prigušuje po
zakonu:
( ) tt ecectx 2121
γγ −− +⋅=
Ta su tri slučaja prikazana na slici 15. zajedno s neprigušenim sinusoidalnim titranjem.
29
Slika 15. – Grafički prikaz harmonijskog titranja, neprigušenog i prigušenog
Pretvaranje potencijalne energije jednostavnog njihala trenjem u toplinu, uz mogućnost
postupnog povećanja topline Q može se prikazati pomoću slijedećeg pokusa:
Materijalna točka jednostavnog njihala načinjena je od bjelokosne kuglice. Ispod kuglice
stavljena je zdjelica s glicerinom. Dok kuglica ne dodirne glicerin gušenje oscilacija je slabo, u
prvi mah neprimjetno. Digne li se površina glicerina tako da kuglica djelomično prolazi
tekućinom, gušenje se jasno opaža: amplitude postaju sve manje i nakon odreñenog broja
oscilacija njihalo se umiri. Dizanjem razine glicerina gušenje se može pojačati, pa se može
postići kriti čno gušenje, dakle i kritično aperiodično gibanje, kao i jako gušenje koje uzrokuje
lakše vraćanje u položaj ravnoteže, lakše negoli kod kritičnog gušenja.
Slika 16.- Pretvaranje potencijalne energije jednostavnog njihala.
30
3.5. MATEMATIČKO NJIHALO
Materijalnu točku mase m koja se njiše obješena na nerastezljivu nit bez težine, zovemo
matematičko njihalo. Kada njihalo miruje u ravnotežnom položaju, napetost niti N uravnotežuje
silu težu G na materijalnu točku. Kada pomaknemo njihalo iz položaja ravnoteže, ono će početi
titrati s periodom T.
O čemu ovisi taj period?
Lako se možemo uvjeriti da period ne ovisi o masi. Objesimo li na nit jednake duljine
kuglice od olova, aluminija i drveta, one titraju jednakim periodima. Ako pak zanjišemo kuglice
jednake mase na nitima čije se duljine odnose kao 1:4 pripadni će se period odnositi kao 1:2.
Te rezultate možemo kvantitativno izvesti ako postavimo jednadžbu gibanja matematičkog
njihala.
Slika 17.-Matematičko njihalo
Sile koje djeluju na kuglicu prikazane su na slici 17.
Komponenta težine u smjeru niti napinje nit; komponenta okomita na nit daje kuglici
akceleraciju i usmjerava ju prema ravnotežnom položaju.
31
Jednadžba gibanja glasi:
ϑsinmgamF −=⋅=
Predznak minus znači da sila djeluje u smjeru suprotnom od smjera povećanja kuta ϑ .
Sila je proporcionalna sa sin ϑ .
Matematičko njihalo proizvoljne amplitude ne vrši harmonijsko titranje. Za male je
kutove, kut (izražen u radijanima) približno jednak sinusu kuta ( ϑϑ ≈sin ), pa je u tom slučaju
sila:
ϑmgF −=
harmonijska, a gibanje njihala analogno je gibanju harmonijskog oscilatora.
Matematičko njihalo, dakle, harmonijski titra samo za male amplitude. Za veće amplitude
njihanje nije harmonijsko. Za male amplitude period ne ovisi o amplitudi, a za veće amplitude
period je funkcija amplitude.
Jednadžba gibanja matematičkog njihala glasi:
ϑsinmgFma tt −==
odnosno, za male amplitude
ϑϑmg
dt
dml −=
2
2
gdje smo uzeli u obzir vezu izmeñu tangencijalne i kutne akceleracije:
2
2
dt
dllat
ϑα =⋅=
32
Napišemo li jednadžbu u obliku:
02
2
=+ ϑϑl
g
dt
d
vidimo da je jednadžba harmonijskog titranja analogna jednadžbi titranja opruge.
Može se pokazati da je rješenje gornje jednadžbe oblika:
( )ot ϕωϑϑ += sin0
gdje je 0ϑ amplituda tiranja, 0ϕ početna faza, a l
g=ω kružna frekvencija. Kutni pomak ϑ
periodična je frekvencija vremena s periodom ωπ2=T , odnosno
g
lT π2=
Period matematičkog njihala koje se njiše malim amplitudama ne ovisi ni o masi, ni o
amplitudi, već samo o duljini njihala l i akceleraciji sile teže g.
Za veće amplitude sinus kuta ne možemo aproksimirati kutom, pa se jednadžba gibanja
ne može tako jednostavno riješiti. Period njihala u tom slučaju ovisi o amplitudi 0ϑ i raste s
njom. Može se pokazati da je tada period:
+
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅+⋅+= ...
2sin
642
531
2sin
42
31
2sin
2
112 06
222
22204
22
2202
2
ϑϑϑπg
lT
Budući da se članovi reda brzo smanjuju, često je pri proračunu perioda dovoljno uzeti
prva dva ili tri člana.
Označimo li
33
g
lT π20 =
možemo pisati:
+++= ...2
sin64
9
2sin
4
11 0402
0
ϑϑTT
U izrazu
g
lT π20 =
zadržan je samo prvi član jednadžbe za proizvodnje amplitude njihanja. Korekcije koje
pridonose ostali članovi, veoma su male. Tako se za otklon o150 =ϑ točna vrijednost razlikuje
od približne vrijednosti za manje od ½ postotka, a za o600 =ϑ za oko 7 %.
3.6. FIZIKALNO NJIHALO
Proizvoljno tijelo koje se može slobodno okretati oko čvrste horizontalne osi, predstavlja
fizikalno njihalo. Tijelo se zbog utjecaja sile teže njiše oko horizontalne osi koja ne prolazi kroz
težište.
Slika 18.-Fizikalno njihalo
34
Moment sile koji nastoji tijelo vratiti u položaj ravnoteže jednak je:
M = -mglsin ϑ
l je udaljenost od težišta osi oko koje se tijelo kreće, a ϑ kut što ga spojnica tih točaka zatvara s
okomicom. Predznak minus dolazi od toga što moment sile M ima smjer djelovanja suprotan od
porasta kut aϑ , tj. nastoji smanjiti kut ϑ . Ni ovdje, kao ni kod matematičkog njihala, titranje
neće biti harmonijsko za proizvoljne amplitude. Meñutim za male amplitude vrijedi:
ϑϑ =sin
pa je moment sile:
ϑ⋅−= mglM
Jednadžba gibanja fizikalnog njihala tj. jednadžba rotacije krutog tijela oko nepomične
osi za male amplitude glasi:
ϑα ⋅−=⋅= mglIM
ili
02
2
=+ ϑϑI
mgl
dt
d
gdje je I moment tromosti tijela s obzirom na os rotacije. To je jednadžba harmonijskog titranja i
njezina rješenja možemo pisati u obliku harmonijske funkcije:
( )00 sin ϕωϑϑ += t
gdje je :
35
I
mgl=ω
Za period titranja vrijedi :
mgl
IT π2=
3.6.1. REDUCIRANA DULJINA FIZIKALNOG NJIHALA; SREDI ŠTE TITRAJA
Reduciranom duljinom fizikalnog njihala nazivamo duljinu matematičkog njihala čiji bi
period titraja bio jednak periodu fizikalnog njihala. Vrijedi dakle:
mgl
I
g
lT ππ 22 0 ==
što za reduciranu duljinu fizikalnog njihala daje:
ml
Il =0
Fizikalno njihalo ponaša se kao matematičko njihalo čija je cjelokupna masa
koncentrirana na udaljenost
ml
Il =0 od osi okretanja.
Točka na pravcu koji spaja os okretanja i težište a udaljena je od osi 0l zove se središte
titranja. Svojstvo središta titranja je da tijelo obješeno u toj točki titra istim periodom kao i da je
obješeno oko prvotne osi. Neka je d udaljenost težišta tijela od središta titraja. Tada iz slike
proizlazi da je:
36
Slika 19. – Središte titranja
md
mdId
md
Illd
2
0
−=−=−=
Prema Steinerovu poučku:
02 ImdI =−
gdje je 0I moment tromosti dio osi kroz težište. Prema tome je:
ml
Id 0= (1)
Sada se lako vidi da je period titranja stT oko osi kroz središte titranja:
mgd
I
mgd
mdIT st
st ππ 222
0 =+=
gdje je stI moment tromosti kroz središte titranja. Uvrštavanjem (1) u gornji izraz dobije se da je:
37
mgl
mlITst
202
+= π
20 mlI + je moment tromosti oko prvotne osi okretanja.
3.7. PRISILNO TITRANJE; REZONANCIJA
Prethodno su razmatrana titranja kada je oscilatoru dan početni pomak i brzina, a onda je
sustav bio prepušten sam sebi i izvodio je tzv. slobodno titranje, tj. promatrano je gibanje pod
djelovanjem elastične sile (harmonijsko titranje) i gibanje u slučaju kada je ta sila modificirana
trenjem ili nekom drugom silom što prigušuje titraje. Sada ćemo promatrati prisilno harmonijsko
titranje, tj. takvo titranje kod kojeg osim elastične sile postoji i još jedna vanjska sila koja
pojačava oscilacije. Pojavu maksimalne amplitude titrtanja pri frekvencijama izazvanim
vanjskom silom u trenutku izjednačavanja frekvencije vanjske sile s vlastitom frekvencijom
sustava zovemo rezonancija. Fizika obiluje primjerima rezonancije: jedan od primjera je
povećanje broja njihaja djeteta na ljuljački guranjem ljuljačke tj. unošenjem vanjske sile
frekvencijom jednakoj vlastitoj frekvenciji ljuljačke. Vibrirajuće klopotanje ili buka
automobilskog motora koja se pojavljuje samo pri odreñenim brzinama kretanja klipova ili pri
odreñenoj brzini vrtnje kotača je vrlo poznat primjer. Jeftini zvučnici često imaju neugodan zvuk
tj. tresak ili počnu zujati u trenutku kada se glazbena nota slučajno izjednači s rezonantnom
frekvencijom samog stošca zvučnika ili kućišta zvučnika. Rezonancija se takoñer pojavljuje u
električnim krugovima. Najčešća je tehnička primjena rezonancije kod električnih pojava.
Neka je sustav (oscilator) izložen nizu periodičnih impulsa sile.Vanjska sila djeluje na sistem
koji titra te se pomoću nje nadoknañuje energija izgubljena zbog trenja. Na slici 20. je prikazan
jedan takav sistem.
38
Slika 20. – Prisilno titranje
Okretanje ploče s ekscentrom pobuñuje sistem (opruga+ tijelo neke mase) na titranje.
Dok ploča miruje sistem može titrati kao prigušeni oscilator, meñutim, kada se ploča okreće
kutnom brzinom ω, kraj poluge spojen s osciatorom titra istom kružnom frekvencijom gore-dolje
pa na oscilator djeluje vanjska periodična sila sinusoidalnog oblika:
( ) ( ) tFtF ωcos0=
gdje je kružna frekvencija ω u pravilu različita od vlastite frekvencije oscilatora dane izrazom
m
k=0ω
Jednadžba takvog titranja bit će:
( )tFkxdt
xdm +−=
2
2
(2)
Kada je frekvencija ω vanjskog oscilatora manja od vlastite frekvencije sistema
(ω <m
k=0ω ) sistem titra ali su amplitude male. Kada se ω približava 0ω amplitude postaju
39
sve veće i konačno kada se pojavi rezonancija dosežu svoj maksimum. Daljnjim povećanjem
frekvencije amplitude se ponovno počinju smanjivati.
Pretpostavimo da je rješenje jednadžbe (2) dano izrazom:
tAx ωcos= (3)
Ta postavka ima jednostavan fizički smisao; materijalna točka koja titra slijedi u biti
djelovanje sile F(t). Ako uvrstimo postavku (3) u jednadžbu (2) dobivamo:
tFtAmtAm ωωωωω cos)0(coscos 20
2 +−=−
jer je:
20ωmk =
Jednadžba će biti zadovoljena (za sve vrijednosti t) ako je vrijedonost konstante A:
( )
( )220
0
ωω −=
m
FA (4)
Materijalna točka m doista titra istom frekvencijom kojom se mijenja i periodična sila, ali
s modificiranom amplitudom. Ta je modifikacija dana nazivnikom izraza (4). Ako je ω veoma
malen, tj. ako se sila polako mijenja, tada se oscilacije odvijaju uvijek u smjeru sile; ako je pak
brzina promjene smjera djelovanja sile tako brza da je ω > 0ω amplituda A je negativna.
Zanimljiv je slučaj kada je vlastita kružna frekvencija oscilatora m
k=0ω približno jednaka
krunoj frekvenciji ω primjenjene sile ( )tF . Tada nazivnik izraza (3) postaje veoma velik. Za
0ωω → amplituda prisilnog titranja teži u beskonačnost. Taj se slučaj naziva rezonancija. Ako je
djelovanje sile sinkrono s vlastitom frekvencijom oscilatora amplituda pomaka bit će veoma
velika. Izraz (3) kazuje da će za točno jednake vrijednosti ω i 0ω amplituda titranja postati
beskonačna, što je nemoguće. U realnom slučaju uvijek su prisutne sile trenja tako da dobivamo:
( ) tFkxdt
dxr
dt
xdm ωsin0
2
2
=++
40
gdje je sila otpora proporcionalna brzini dt
dxv = , a r je konstanta. Rješenje te jednadžbe može se
napisati u obliku:
( )ϕω −= tAx sin
gdje je amplituda A dana izrazom:
( )( )2
220
222
0
ωωω −+=
mr
FA
U realnom sučaju (sile trenja su prisutne) rezonantna amplituda razlikuje se od izraza (3)
za član 22ωr koji se javlja u nazivniku. Na taj način rezonantna amplituda ne postaje neizmjerna
ni ako su vlastita i narinuta rezonancija 0ω i ω meñusobno jednake.
Slika 21. – Amplituda prisilnog harmonijskog titranja u ovisnosti omjera frekvencijaω i 0ω
daje grafički prikaz ovisnosti ampitude rezonancije o omjeru frekvencija ω i 0ω te o konstanti
prigušenja. Svakoj vrijednosti konstante r odgovara jedna krivulja iz skupine na slici. Za slučaj
bez prigušenja amplituda je za 0ωω = neizmjerna (gornja krivulja) dok za slučaj aperiodičnosti
( r > km4 ,donja krivulja) uopće nema rezonancije.
41
5. REZONACIJA U PRIRODI
Rezonancija kod mehaničkih titraja veoma je raširena i općenita pojava u prirodi,
karakteristična za svaku oscilatornu pojavu: zvuk, elektormagnetske pojave, kvantnomehaničke
pojave u atomskoj i nuklearnoj fizici. Tako se električnom rezonancijom koristimo pri traženju
stanice na radioaparatu ili televizoru, pomoću akustične rezonancije mogu se usklañivati muzički
i insturmentni i sl. Rezonancija ponekad može biti opasna i u materijalu uzrokovati prevelika
naprezanja, a time i lom i oštećenje. Ako je u rezonanciji relativno mala vanjska sila može
izazvati jake oscilacije. Rezonancija u mehaničkim sustavima može biti destruktivna. Četa
vojnika je jednom prilikom srušila most marširajući preko mosta ujednačenim korakom;
frekvencija njihovih koraka je bila približna vlastitoj frekveniciji vibriranja mosta i rezultirajuće
titranje je imalo dovoljno veliku amplitudu da sruši most. Od tada vojnici koji marširaju dobivaju
naredbe da prekinu marš prije nego kroče na most. Prije nekoliko godina vibracije motora
odreñenog tipa aviona su imale upravo odgovarajuću frekvenciju potrebnu da rezonira s vlastitim
frekvencijama njegovih krila. Došlo je do velikih oscilacija i posljedično su krila otpala s aviona.
Skoro je svatko imao priliku pogledati film o urušavanju Tacoma Narrows visećeg mosta koje se
dogodilo 1940. godine. Taj je dogañaj često spominjan kao primjer rezonancije uzrokovan
vjetrom ali postoje sumnje u ispravnost te tvrdnje. Vjetar (jačina ili frekvencija vjetra) se nije
morao periodično mjenjati u skladu s vlastitom frekvencijom mosta. Zračne struje oko mosta su
bile turbulentne te su se stvarali zračni vrtlozi čija je uobičajena frekvencija zavisila o brzini
zračnog toka. Moguće je zamisliti da se ta uobičajena frekvencija izjednačila s vlastitom
frekvencijom mosta. Ali uzrok urušavanja mosta je takoñer mogla biti i nešto suptilnija pojava
zvana samostalno izazvana oscilacija u kojoj su aerodinamične sile uzrokovane stalnim,
jednakim vjetrom koji puše na most imale tendenciju da ga udalje od točke ravnoteže upravo u
trenutku kada se ovaj i sam udaljavao od ravnotežne točke. To je kao da smo primjenili silu
prigušivanja ali s obrnutim predznakom. Umjesto izvlačenja (smanjivanja) mehaničke energije iz
sustava ova sila protivna prigušivanju ubacuje energiju u sustav stvarajući i povećavajući do
rušilačkih amplituda. Inžinjeri su u meñuvremenu naučili kako stabilizirati viseće mostove i
struktuno i aerodinamički u namjeri da spriječe ovakve katastrofe.
42
Most Tacoma Narrows urušio se četiri mjeseca i šest dana nakon otvaranja
5.1. VEZANA NJIHALA; PRIJENOS ENERGIJE KOD REZONANCIJE
Do sada smo silu ( )tF koja je djelovala na oscilator promatrali kao apstraktni uzrok,
narinut sa strane. Vezana njihala su njihala gdje jedan sustav djeluje na drugi silom čija je
frekvencija bliska vlastitoj frekvenciji sustava. Kod pojave rezonancije energija se prenosi s
jednog sustava na drugi.
Slika 22. – Vezana njihala
Slika pokazuje dva vezana njihala u Oberbeckovu obješenju. Oberbeckovo njihalo sastoji
se od dva matematička njihala povezana elastičnom vezom npr. oprugom. Zanjišemo i jedno
njihalo ono će početi titrati s odreñenom frekvencijom i amplitudom. Kako su njihala obješena o
43
krute štapove umjesto o niti, gibanje njihala prenijet će se preko opruge na drugo koje će se
takoñer pobuditi na titranje. To će titranje biti sve jače i jače dok će istovremeno njihanje prvog
njihala bivati sve slabije. Nakon nekog vremena prvo će se njihalo sasvim umiriti dok će drugo
titrati s maksimalnom amplitudom koja će biti otprilike jednaka početnoj amplitudi prvog
njihala. Sada će se drugo njihalo postepeno smirivati a prvo će ponovo početi titrati. Proces će se
neprestano ponavljati i smirit će se samo zbog trenja. Bitan uvjet prelaska energije s jednog
oscilatorskog sistema na drugi je bliskost frekvencija. Energija titranja je proporcionalna masi i
kvadratu amplitude oscilatora tako će lakše njihalo svoju manju masu kompenzirati većom
amplitudom titranja. Drugi bitan uvjet prelaska energije s jednog sustava na drugi je njhovo
vezanje. Lako se vidi da će kod vezanih njihala prijenos enegrije biti to brži što je opruga čvršća
tj. što je njezina konstanta k veća. U slučaju Oberbeckovih njihala konstanta vezanja imala je
značenje konstante opruge.
5.2. MODULIRANO TITRANJE; UDARI
Prvi je osnovni način titranja kada oscilatori (njihala) tiraju u fazi jednakim amplitudama
tj. kada se gibaju zajedno lijevo a zatim desno itd. Drugi je osnovni način titranja kada oscilatori
titraju protufazno tj. jedan ide lijevo a drugi desno.Tada oscilatori imaju jednake amplitude ali
im je frekvencija titranja malo veća nego kada nisu vezani. Gibanja vezanih oscilatora je zbroj
ovih dvaju osnovnih načina titranja.
Slika 23. – Dva osnovna načina titranja vezanih oscilatora: a) titranje u fazi
b) protufazno titranje
44
Usporedimo li frekvenciju ovih posebnih vrsta titranja s titranjem kontrolnog njihala
frekvencije ω (koje titra s istom periodom kao i svako od vezanih njihala uzeto samo za sebe)
opazit ćemo da je frekvencija 1ω istofaznog njihanja nešto manja od kontrolne frekvencije ω dok
je frekvencija protufaznog njihanja 2ω nešto veća od ω tj. :
2ω >ω > 1ω
Bilo koje titranje vezanih njihala može se prikazati kao zbroj tih dvaju osnovnih titranja
frekvencije 1ω i 2ω . Ako su amplitude tih titraja jednake a titranje se odvija u smjeru osi
x možemo pisati:
( ) ttAttAxxx ⋅+⋅⋅−=+=+=2
sin2
cos2sinsin 21122121
ωωωωωω (1)
Izraz (1) za elongaciju složenog titranja možemo opisati na ovaj način. Kada njihalo
istovremeno izvodi oba titranja (1x i 2x ) ono titra kružnom frekvencijom
2
21 ωωω +=
Kako su 1ω i 2ω veoma bliski, frekvencija ω je bliska onoj kojom slobodno titra svako
od vezanih njihala. Amplituda tog titranja mijenja se vrlo polagano s vremenom po zakonu:
2
cos 12 ωω −A
Frekvencija te promjene je veoma malena jer su 1ω i 2ω bliski. Njihalo izvodi modulirano
titranje gdje je titranje jednom osnovnom frekvencijom (visokom) modulirano promjenjivom
amplitudom niske frekvencije. U akustici se modulirano titranje zvuka pod utjecajem dvaju
izvora bliske frekvencije naziva udarima.
45
6. ZAKLJU ČAK
O titranju se rijetko razmišlja kao o nečem svakodnevnom u životu a stalno smo okruženi
raznim titranjima. Harmonijsko gibanje vrlo je rasprostranjen oblik gibanja u prirodi. Atomi u
rešetki čvrstog tijela titraju harmonijski, titranje zraka kod zvuka kao i električno i magnetsko
polje kod svjetlosnih valova takoñer je harmonijsko titranje. Zbog nedovoljnog poznavanja i
pozornosti rezonanciji dogodile su se i katastrofe- urušavanje mosta Tacoma Narrows, otpadanje
krila s aviona.
Zbog lakšeg razumijevanja titranja u uvodnom dijelu diplomskog rada objasnila sam
jednoliko i ubrzano gibanje po pravcu te kružno gibanje.
Pomoću pokusa objašnjene su neke vrste titranja.
Harmonijsko titranje je osnovno za proučavanje niza prirodnih pojava i zbog njegove važnosti
titranju se treba posvetiti posebna pozornost.
46
7. LITERATURA
Chaudhuri, R. N., Waves and oscillations, New Age international Limited, New Delhi, 2010.
Cindro, N., Fizika 1, Školska knjiga, Zagreb, 1991.
Henč-Bartolić, V., Kulišić P., Valovi i optika, Školska knjiga, Zagreb, 1997.
Paić, M., Gibanja, sile, valovi, Školska knjiga, Zagreb, 1997.
Planinić,J., Osnove fizike 1, Sveučilište J.J. Strossmayera, Osijek, 2003.
Tippler, P. A., Mosca, G., Physics for scientists and engineers, W. H. Freeman and Co, New
York, 2008.
Young H., Freedman R., Ford L., Sears and Zemansky 's University Physics with Modern
Physics, Benjamin-Cummings Pub Co, New York, 2008.
