Heronov rad u oblasti matematike i fizike imao je skoro enciklopedijski

1

znaaj. U nizu radova obradio je konstrukciju i upotrebu razliitih instrumenata za merenje; dao komentar Euklidovih Elemenata i sopstvene Definicije (zasnovane na Euklidovim, a namenjene izvesnom Dionisijusu u cilju ''razumevanja ne samo Euklidove doktrine, ve i ostalih radova u domenu geometrije'' 2 ). Sauvano je i nekoliko dela o povrinama i zapreminama, od kojih je najpoznatija Metrika 3 . Pretpostavlja se da je ona bila namenjena studentima Tehnolokog instituta u Aleksandriji, gde je Heron predavao. Time se moe opravdati injenica da u Metrici postoje samo primeri, bez dokaza. Ipak, ostaje mogunost da je Heron svesno stavio akcenat na ''praktinu primenu, pre nego na teorijsku kompletnost'' 4 . U uvodu I knjige Metrike Heron je zabeleio da se ''geometrija rodila iz potrebe za merenjem i podelom zemlje (odakle i potie njen naziv), posle ega je proirenje na tri dimenzije postalo neophodno da bi se merila vrsta tela''.Veliki znaaj pridaju mu mnogi kritiari, meu kojima i engleski autor i prevodilac Tomas Hit (Sir Thomas Heath, 1861-1940) i holandski matematiar Verden (Van der Waerden, 1903-1996) , obojica eksperti za istoriju matematike. 2 Iz posvete Dionisijusu, Definicije, Heron 3 Heronova studija Metrica sastoji se od tri knjige. U Prvoj, on se bavi povrinama pravilnih poligona iji je broj stranica od 3 do 12, cilindrima, prizmama, piramidama, sferama i td. Druga knjiga posveena je merenju zapremina razliitih trodimenzionalnih tela, a Trea podelom povrina i zapremina u datom odnosu. 4 A history of Greek Mathematics, T.Heath, str. 3071

Povrina nejednakostraninog trougla

Formula za izraunavanje povrine nejednakostraninog trougla kojem su poznate duine sve tri stranice:

=

s ( s a )( s b)( s c )

poznata je pod imenom Heronova formula. U Metrici (knjiga I) Heron razmatra problem izraunavanja povrine trougla stranica poznatih duina i nudi dva metoda za reavanje problema: I metod: Ovaj metod je baziran na 12. i 13. stavu II knjige Elemenata : stav 12: U svakom tupouglom trouglu kvadrat na strani naspram tupog ugla je vei od zbira kvadrata na stranama koje obrazuju tup ugao za dvostruki pravougaonik obuhvaen jednom stranom tupog ugla(onom na ije produenje pada sputena normala) i rastojanjem te normale od temena tupog ugla. stav 13: U svakom otrouglom trouglu kvadrat na strani naspram otrog ugla je manji od zbira kvadrata na stranama koje obrazuju otar ugao za dvostruki pravougaonik obuhvaen jednom stranom otrog ugla(onom na koju je sputena normala) i rastojanjem te normale od temena otrog ugla. Vratimo se sada samom metodu: Neka su a,b i c stranice trougla ABC naspramne temenima A,B i C, respektivno. Za bilo koji ugao (uzmimo onaj kod temena C) vai : otar prav tup c 2 < a 2 +b 2c2 = a2 + b2c 2 > a 2 +b 2

Ugao kod C je

ako vai

Metod se zasniva na odreivanju, prvo segmenata na koje je bilo koja stranica podeljena normalom iz naspramnog temena, a zatim duinom normale. U sluaju trougla sa otrim uglom kod C (tupim uglom kod C, respektivno) vai:

A

A

c

b

cb

B

D

C

B

C

D

c 2 = a 2 + b 2 2a CD CD = a + b2

{(

2

) c } / 2a2

ili

Odakle nalazimo AD ( AD 2 = b 2 CD 2 ) potrebnu za izraunavanje povrine (1 a AD ). 5 2

II metod : Neka je ABC dati trougao i neka je data svaka od stranica AB, BC, CA. U trougao upiimo krug sa centrom O i dodirne take sa stranicama AB, BC i CA obeleimo redom sa F, D i E. Konstruiimo dui AO, BO, CO, DO, EO i FO spajanjem odgovarajuih taaka.5

A history of Greek Mathematics, T.Heath, str. 320-321

Tada vai:

BCOD = 2BOC, CAOE = 2COA, ABOF = 2AOB gde oznaava povrinu trougla.

Slika 1

Sabiranjem sve tri jednakosti dobijamo : pOD= 2ABC , gde je p poluobim trougla.

Produimo stranicu CB do take H takve da vai jednakost BH=AF. Poto je: AE=AF, BF=BD i CE=CD, to je CH=p/2=s. Odatle sledi: CHOD= ABC Kvadriranjem poslednje jednakosti dobijamo CH 2 OD 2 (*) =(ABC) 2

Konstruiimo sada du OL takvu da vai COL=R i OL see BC u taki K i du BL takvu da CBL=R i OL i BL se seku u L. Konstruiimo i du CL. Poto su uglovi COL i CBL pravi, COBL je etvorougao upisan u krug (tetivni etvorougao), pa vai COB + CLB=2R. Ali vai i COB + AOF=2R (jer AO,BO i CO polove uglove oko O i uglovi COB, AOF su zajedno jednaki uglovima AOC, BOF, dok je zbir sva etiri ugla jednak 4R) Kao posledicu dobijamo: AOF= CLB Odatle sledi da su pravougli trouglovi AOF i CLB slini, pa vae sledei odnosi: BC:BL=AF:FO =BH:OD tj . BC:BH=BL:OD I trouglovi ODK i LBK su slini. Dakle: BL:OD=BK:KD tj . BC:BH=BK:KD Na osnovu prethodnog dobijamo: CH:HB=BD:DK Sledi da CH 2 : (CHHB)=(BDDC) : (CDDK) =(BDDC) : OD 2 , (*) jer je COK=R

Poto je: ABC = CH 2 OD povrina trougla je zadata formulom: ABC =s(s-a)(s-b)(s-c)

i CHOD=CHHBBDDC ,

Pomou Heronove formule moe se dokazati Pitagorina teorema! W.Dunham 6 analizira originalni Heronov dokaz u svojoj knjizi Journey through Genius. Dokaz: Koristiemo standardne oznake: a,b,c za duine stranica p za poluobim trougla, i S za povrinu trougla . Heronova formula daje jednakost: S 2 =p(p-a)(p-b)(p-c) U pravouglom* trouglu sa hipotenuzom c, vai S=ab/2. Modifikujmo desnu stranu jednakosti koristei sledee:p a = ( a + b + c) / 2 p b = ( a b + c) / 2 p c = ( a + b c) / 2

Primenom elementarne algebre dobija se jednakost:

( a + b + c )( a + b + c )( a b + c )( a + b c ) = 2a 2 b 2 + 2a 2 c 2 + 2b 2 c 2 ( a 4 + b 4 + c 4 )U pravouglom trouglu, ovaj izraz je ekvivalentan sledeem:16 S 2 = 4a 2 b 2

Dakle, vai:4a 2 b 2 = 2a 2 b 2 + 2a 2 c 2 + 2b 2 c 2 (a 4 + b 4 + c 4 )

Autor je poznat po isticanju neobine ravnotee izmeu istorije i tehnologije *posmatramo samo ovu vrstu trouglova jer dokazujemo Pitagorinu teoremu.6

Daljim sreivanjem ovog izraza dobija se:( a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 ) 2a 2 c 2 2b 2 c 2 + c 4 = 0

tj. Najzad:

(a

2

+ b 2 ) 2c 2 ( a 2 + b 2 ) + c 4 = 02

[( a

2

+ b2 c2

)

]

2

=0

Napomena: za etvorougao sa stranicama a, b, c, d upisan u krug, postoji generalizacija Heronove formule, koju je otkrio Brahmagupta 7 . U ovom sluaju, poluobim je definisan sa p=(a+b+c+d)/2 , pa vai formulaS 2 = ( p a )( p b )( p c )( p d )

Poto se svaki trougao moe upisati u krug, moemo zahtevati da jedna stranica etvorougla (recimo d) bude jednaka 0. Tada se prethodna formula svodi na Heronovu. Ipak, Heronova formula se danas dokazuje na mnogo jednostavniji nain. Moe se koristiti kosinusna teorema ili slinost trouglova, kao u dokazu koji sledi: Neka je dat trougao ABC sa stranicama: BC=a, CA=b i AB=c

7

Brahmagupta je indijski astronom i matematiar koji je iveo u 7. veku

Neka je h visina trougla sputena iz temena A na stranicu BC i A' podnoje te visine. Taka A' deli stranicu BC na dva dela. Deo BA' oznaimo sa x. Tada je A'C=a-x.

Posmatrajmo prvo trougao ABA' ! To je pravougli trougao ( h x ), pa primenom Pitagorine teoreme dobijamo za dokaz vanu jednakost: (1) Primenom Pitagorine teoreme na trougao AA'C, dobijamo drugu vanu jednakost: h 2 = b 2 (a x) 2 (2)h2 = c2 x2

Iz ove dve jednakosti ( (1) i (2) ) eliminiimo h:c 2 x 2 = b 2 (a x) 2 c 2 x 2 = b 2 ( a 2 2ax + x 2 ) c 2 x 2 = b 2 a 2 + 2ax x 2

i reimo po x:x= a2 b2 + c2 2a

Ovako dobijeno x uvrstimo u jednu od jednakosti (1),(2)(u (1) na primer): a2 b2 + c2 h = c 2a 2 2

2

Koristei obrazac za izraunavanje razlike kvadrata, izraz se transformie u: a2 b2 + c2 h 2 = c 2a a2 b2 + c2 c + 2a

2ac a 2 + b 2 c 2 h2 = 2a h2 =

2ac +a 2 b 2 + c 2 2a

1 2 2 b 2 ( a c) ( a + c) b 2 4a 2

(

)(

)

h2 =

( a + b + c )( b a + c )( a b + c )( a + b c )4a 2

tj .

h=

1 2a

( a + b + c )( b a + c )( a b + c )( a + b c )

Znajui obrazac za izraunavanje povrine trougla kojem je poznata stranica i njoj odgovarajua visina ( P = 2 ah ), dobijamo:1 ( a + b + c )( b a + c )( a b + c )( a + b c ) 4 a +b + c b a + c a b + c a +b c = 2 2 2 2 = = p ( p a ) ( p b) ( p c)

1

Aproksimacija kvadratnog korena broja koji nije potpuni kvadratU svojim radovima Heron Aleksandrijski se umnogome oslanjao na znanja drevnih civilizacija. Tako, za izraunavanje kvadratnog korena broja on koristi metod koji je bio poznat Vaviloncima, 2000 godina pre njegovog vremena. A propo trougla stranica duina 7,8 i 9 Heron daje metod aproksimacije iracionalnog broja. U ovom sluaju poluobim trougla iznosi 12 ( s=12), a ostale znaajne vrednosti su : s-a=5, s-b=4 i s-c=3, pa je = 12 5 4 3 = 720 ''Poto 720 nema racionalan koren '', kae Heron, ''njega moemo dobiti uz veoma malu greku na sledei nain: Poto je sledei potpuni kvadrat broj 729 iji je koren 27, podelimo 720 sa 27. Dobija se 26 3 . Dodajmo 27 (532 3

2

) i oduzmimo polovinu od ovoga ili 26 21 1 2 3

1 1 3

. Koren broja 720 stoga bie

veoma blizu 26

.1 1 3

Zapravo,ako pomnoimo 26 2

sa samim sobom , proizvod je 720 361 36

1

tako da je razlika izmeu ove dve vrednosti samo Ali, ako elimo razliku manju od (ili pre da uzmemo 26 21 1 31 3 6

.1

, treba da uzmemo 720 36 umesto 7291 36

umesto 27) i uz isti postupak nai emo da je .''

odstupanje od rezultata mnogo manje od

Drugim reima, ako imamo broj A koji nije potput kvadrat, a a 2 je najblii potpuni kvadrat tako da je A= a 2 b, onda imamo= 1A 1 a + a 2 A

kao prvu parametrizaciju broja

.

Za drugu aproksimaciju uzmimo2 =1 2 A 1 + 1

i tako dalje. Zamenom vrednosti A sa a 2 b u (1) dobijamo =a 1b 2a

Heron, izgleda, nije koristio ovu formulu sa negativnim znakom, osim za broj63

koji dat kao 7 2 4 8

sledei nain:

111 1 . Bez sumnje, 1 6 1 63 1 7 111 1 8 + = 8 + 7 = 7 . 2 8 2 8 248 1 6

ovo je dobijeno iz (1) na

Gore navedeno predstavlja obino pravilo za nalaenje druge i daljih aproksimacija iracionalnog broja. Meutim, iako Heron ovde pokazuje kako izraunati drugu aproksimaciju(korienjem formule (2)), izgleda da on sam nigde ne primenjuje ovaj metod. Pitanje kako je onda dobio aproksimacije tanije od prve (a one su naene u njegovim spisima) i dalje ostaje otvoreno! 8

Aproksimacija kubnog korena broja koji nije potpun kubIzraunavanje 3 100 : Uzmite kubne brojeve koji su najblii broju 100. To su 64 i 125. Izvrite sledee operacije: 125-100=25 i 100-64=36 Zatim, pomnoite 5 sa 36 i na rezultat (180) dodajte 100. Dobiete 280. Podelite 180 sa 280. Dobijeni broj ( 14 ) dodajte kubnom korenu manjeg kubnog broja (4 14 ). Ovo je najblia aproksimacija kubnog korena broja 100.9

9

8

A history of Greek Mathematics T.Heath, str. 323-326

Pokuajmo da, iz ovog primera, izvedemo Heronovu formulu za izraunavane kubnog korena.

Ako je

a 3 < A < ( a + 1) 3 ,

pretpostavimo da je A-a( a + 1)d

3

= d1

i

( a + 1) 3 A = d 2

.

1 Najbolju pretpostavku da je a + (a + 1)d + ad traena formula dao je 1 2 25 ili d 2 , a 100+180 u imeniocu Wertheim. Zaista, 536 moe biti razlomka moe biti polazni broj A, a ne 425 ili a d 2 . Meutim, Wertheimova pretpostavka je zadovoljavajua jer moe biti izvedena jednostavnim razmatranjem. Ovo je na sledei nain pokazao G.Enestrm: Koristei istu notaciju, Enestrm dalje pretpostavlja da je x tana vrednost 3 3 3 A i da je ( x a ) = 1 i (a + 1 x) = 2 . Odavde sledi:

1 = x 3 3x 2 a + 3xa 2 a 3 i3ax ( x a ) = x 3 a 3 1 = d 1 1

Slino, iz 2 = (a + 1 x) 3 dobijamo:3(a + 1) x( a + 1 x ) = ( a + 1) 3 x 3 2 = d 2 2

Dakle:d 2 2 3(a + 1) x (a + 1 x) (a + 1){1 ( x a )} a +1 a +1 = = = d 1 1 3ax ( x a ) a( x a) a( x a) a

reavajui po x-a , dobijamo:xa =

(a + 1)( d1 1 ) (a + 1)( d1 1 ) + a (d 2 2 ) (a + 1)( d1 1 ) (a + 1)( d1 1 ) + a (d 2 2 )

ili3

A =a+

Poto su 1 i 2 kubovi razlomaka, moemo ih zanemariti u prvoj aproksimaciji i dobiemo:3

A =a+

(a + 1)d1 ( a + 1) d1 + ad 2

, traenu formulu za izraunavanje kubnog korena 9

9

A history of Greek Mathematics, T.Heath, str. 341-342

Znaajan je broj Heronovih radova iz oblasti matematike i mehanike koji su do danas sauvani. Meutim, njegovo najpoznatije delo, Metrika, otkrivena je tek krajem XIX veka. Iako je Heronu osporavano autorstvo za neka od njegovih najpoznatijih radova i mada su neki kritiari smatrali da je on

prepisivao sadraje svojih knjiga pritom ne razumevajui materiju koju izlae,jedan od najpoznatijih meu njima, Tomas Hit, je istakao: Praktini znaaj Heronovih dela je toliko veliki, da uopte ne udi to to su najpopularnija meu njima bila ponovo izdavana uz ispravke i dodatke mnogo godina kasnije. Ovo je bilo neizbeno sa knjigama koje su, kao Euklidovi Elementi, bile vekovima u redovnoj upotrebi u grkom, vizantijskom, rimskom i arapskom obrazovanju. 10

10

Hit ovaj zakljuak iznosi u A history of Greeek Mathematics na str. 307

Koriena literatura

1.A history of Greek Mathematics , Thomas Heath(Istorija grke matematike , Tomas Hit) 2. A manual of Greek Mathematics , Thomas Heath 3. Science Awakening , Van der Waerden 4. Heron of Alexandria - lanak engleskih autora J.J. OConora i E.F. Robertsona (www.gap.dcs.st.and.ac.uk/~history/Mathematicians)