Herramientas as Para La Arquite - Vera w. de Spinadel; Herna!n s. Nottoli2

coleccin pensamientos

herramientas matemticaspara la arquitectura y el diseo

vera w. de spinadel hernn s. nottoli

coleccin pensamientos...

herramientas matemticaspara la arquitectura y el diseo

vera w. de spinadel hernn s. nottoli

ediciones fadu

nobuko

Spinadel, Vera W. de Herramientas matemticas: para la arquitectura y el diseo / Vera W. de Spinadel y Hernn Santiago Nottoli. - 1a ed. - Buenos Aires: Nobuko, 2008. 152 p.: il.; 2417 cm. (Pensamientos) ISBN 978-987-584-156-7 1. Arquitectura. I. Nottoli, Hernn Santiago II. Ttulo CDD 720

Facultad de Arquitectura, Diseo y Urbanismo Coleccin Pensamientos Ediciones fadu Secretara de Extensin Universitaria Secretaria de seu: Beatriz Pedro Subsecretario de Medios y Comunicacin: Javier Basile Directora de Publicaciones: Paula Siganevich Asistentes de Publicaciones: Noelia Movilla / Mara Eugenia Jaime / Carlos Copa Diseo Coleccin Pensamientos: Paula Salzman Diseo Grfico: Paula Salzman / Paula Martn Armado: Karina Di Pace

Hecho el depsito que marca la ley 11.723 Impreso en Argentina / Printed in Argentina La reproduccin total o parcial de este libro, en cualquier forma que sea, idntica o modificada, no autorizada por los editores, viola derechos reservados; cualquier utilizacin debe ser previamente solicitada. 2008 nobuko ISBN: 978-987-584-156-7 978-987-584-118-5 Octubre de 2008 Este libro fue impreso bajo demanda, mediante tecnologa digital Xerox en bibliogrfika de Voros S.A. Bucarelli 1160. Capital. [email protected] / www.bibliografika.com Venta en: LIBRERA TCNICA CP67 Florida 683 - Local 18 - C1005AAM Buenos Aires - Argentina Tel: 54 11 4314-6303 - Fax: 4314-7135 E-mail: [email protected] - www.cp67.com FADU - Ciudad Universitaria Pabelln 3 - Planta Baja - C1428EHA Buenos Aires -Argentina Tel: 54 11 4786-7244

ndice

PRLOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

01. Geometra de las formas Sistema de coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Curvas cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Superficies cudricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Hlice y helicoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 02. Grafos Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Definicin de grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Tipos de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Especificacin y representacin de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Grafos dirigidos o digrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Grafos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Aplicaciones al diseo y la sntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Los grafos y el diseo industrial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 03. Teora de la simetra Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Simetra traslatoria, rotatoria y afn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 El nmero de oro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 La seccin urea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Los nmeros metlicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Proporciones significativas en diseo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 04. Aplicaciones de derivadas e integrales Crecimiento y decrecimiento de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Mximos y mnimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Trabajo de una fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Momentos y centro de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Esfuerzos caractersticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

05. Teora de la probabilidad Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Definiciones de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Propiedades y reglas de clculo de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 06. Estadstica Series de frecuencias (estadstica descriptiva) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Distribuciones probabilsticas discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Distribuciones probabilsticas continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 La distribucin normal y la distribucin beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 07. Topografa Objetivos de la topografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Coordenadas locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Dispositivos de medicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Planimetra y altimetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Mediciones con cinta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Apndice Tabla de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Tabla de conversin de unidades de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Tabla de distribucin normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147BIBLIOGRAFA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 ACERCA DE LOS AUTORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Prlogo

Mientras que la matemtica trabaja con espacios y conceptos abstractos, el diseo opera sobre espacios concretos, los que habita el hombre con sus objetos cotidianos. Este libro aborda los puntos de contacto entre estos dos campos: desarrolla contenidos de la disciplina matemtica aplicndolos a temas directamente vinculados al quehacer de arquitectos y diseadores. El eclecticismo del conjunto responde al recorte elegido, y a la intencin de enfatizar los vnculos con la prctica profesional. El libro se inicia con un captulo dedicado a la geometra de las formas. Los dos siguientes (Grafos y Teora de la simetra) permiten conocer qu pautas bsicas han regulado histricamente los cnones de belleza o las proporciones de los objetos diseados. El captulo 4, Aplicaciones de derivadas e integrales, ofrece herramientas de clculo bsicas para analizar el comportamiento de las estructuras. El 5 y el 6, Teora de la probabilidad y Estadstica, brindan nociones de indiscutible utilidad en el proceso de desarrollo de una obra o producto. El captulo 7, finalmente, aborda el estudio de la topografa e incluye informacin sobre dispositivos de medicin, planimetra y altimetra. Confiamos en que este libro resultar de inters para sus destinatarios especficos, los estudiantes de arquitectura y diseo, y esperamos que pueda proveerles herramientas valiosas para su futuro desempeo profesional.

5

01. Geometra de las formasQu habremos de pensar de la pregunta: Es verdadera la geometra euclidiana? ? Carece de sentido. Lo mismo haramos al preguntar si son verdaderas las coordenadas cartesianas y falsas las polares. Una geometra no puede ser ms verdadera que otra; slo ms conveniente.

henri poincar (1854 - 1912)

Sistema de coordenadas cartesianas Coordinar significa poner en orden metdicamente. En consecuencia, si se desea ordenar un espacio determinado, ser necesario establecer dnde se encuentra cada uno de los puntos de ese espacio. Estos puntos, cuya posicin exacta se determina, constituyen los entes geomtricos elementales a partir de los cuales se genera el resto de la geometra en sus formas ms complejas. Para poner en orden metdicamente se crearon los sistemas coordenados o de coordenadas, en los que puntos, ejes o planos son elementos fijos que sirven de referencia al resto del espacio que le es afn; este mecanismo puede aplicarse a espacios uni-dimensionales (lneas), bidimensionales (superficies) o tridimensionales (volmenes). El ms sencillo de estos sistemas es la llamada recta numrica, en la que se representa el conjunto de los nmeros reales [1] ( ) a partir de un origen y con una determinada escala, vinculando segmentos con magnitudes numricas.

m 3 2 1 0 1 2 2 5 2 3

En la recta m, el origen es el punto 0, y el segmento que tiene por extremos el origen y el punto 1 ser nuestra unidad. Se han incluido en el grfico las representaciones de algunos nmeros naturales N = {1, 2, 3, }; enteros Z = {,3, 2, 1, 0, 1, 2, }; racionales Q = {, 5, }; e irracionales {, 2 , }, 2 todos ellos subconjuntos de .

Se establece as una correspondencia entre los puntos de m y los nmeros reales, donde definimos la longitud de cualquier segmento en m como la distancia entre

[1 ]

El conjunto de los nmeros reales R es el conjunto de todos los nmeros racionales e irracionales.

7

herramientas matemticas

los nmeros asociados con los puntos que determinan el segmento. Para dos puntos cualesquiera P1 y P2 ubicados en la recta numrica o eje real, su distancia dirigida ser un nmero cuya magnitud es igual a la longitud del segmento P1 P2 y cuyo signo es positivo o negativo segn su direccin coincida o no con la direccin asignada al eje. Segn la convencin habitual, los positivos se representan a la derecha del origen y los negativos, a su izquierda. Trasladando al plano el mecanismo utilizado para la recta numrica, Ren Descartes (1596 - 1650), matemtico y filsofo, ide un sistema compuesto por dos rectas perpendiculares, cuyo origen se encuentra en su punto de interseccin. Como en el sistema anterior, sobre cada una de las rectas se elige una escala en forma arbitraria; si el caso lo requiere, el segmento unidad puede ser diferente en cada eje. Estos ejes pueden rotarse en el plano, adoptando distintas posiciones. Por convencin, uno de ellos ser horizontal abscisas o eje de las x y el otro vertical ordenadas o eje de las y. En honor de su creador, este sistema se conoce hoy como coordenadas cartesianas.

y 2

1

P = (2; 1)

3

2

1

1

2

3

x

Sistema de coordenadas cartesianas

Las proyecciones de un punto cualquiera P (es decir, las perpendiculares a los ejes de coordenadas trazadas por dicho punto) determinan dos valores que son las distancias al origen. Estos valores constituyen, a su vez, un par ordenado (x; y) primero la abscisa y luego la ordenada y determinan un y solo un punto del plano en este caso, P que contiene los ejes de referencia. Por convencin, como se observa en el dibujo, se adoptan valores positivos a la derecha y arriba del origen, y negativos a la izquierda y abajo; pero, como toda convencin, es modificable. En grficos donde se representan fuerzas equivalentes o cargas estticas, debido a la direccin natural de estos esfuerzos (hacia abajo), suelen invertirse los signos en el eje de ordenadas para no trabajar con valores negativos.

8

geometra de las formas

yF3

F1

F2

x

+y

+x

El grfico cartesiano es adaptable a un espacio tridimensional, donde con el mismo criterio pueden fijarse tres ejes (x; y; z) que se corten perpendicularmente en un punto 0, que es el origen de coordenadas. Pero aqu surge el primer inconveniente de orden prctico, que es el de trabajar habitualmente en una hoja de papel que slo tiene dos dimensiones significativas (puesto que, en este caso, se desprecia su espesor). Esta dificultad es salvable recurriendo a la perspectiva (modo de representacin conceptualizado especialmente a partir del Renacimiento) que permite representar la terna de ejes en el plano.[2]

z 3 2 1 1 1 x 2 x 2 2 3 y y 2 1 1

z 3 2 1

Terna derecha

Terna izquierda

En estas figuras se han representado dos triedros que difieren en la posicin relativa de sus ejes.

Si el eje que se ve en perspectiva emergiendo del plano del papel es positivo, y el eje que aparece a la derecha tambin es positivo, la terna se considera derecha. Si, por el contrario, dicho eje positivo aparece a la izquierda, la terna se considera izquierda. A lo largo de este libro, se adoptar la terna derecha para las distintas representaciones grficas. Cuando se representa cualquier elemento geomtrico en un sistema de tres dimensiones es fundamental respetar el paralelismo de las proyecciones a cada eje coordenado, a fin de no incurrir en errores por distorsin del grfico.[2]

Las escalas en cada uno de los ejes pueden ser tomadas tambin arbitrariamente, variando el valor unitario de un eje a otro y, en rigor, aun cuando se decidiera unificar dichas escalas, el eje en perspectiva debera igualmente indicar un valor unitario distinto de aquellos que estn contenidos en el plano de la hoja.

9


z P

El ngulo que forma el eje en perspectiva con los ortogonales contenidos en el plano del papel es tambin arbitrario y debe elegirse tratando de obtener un grfico claro.

Q P Q P x Q P Q y

Vectores El lector est familiarizado con la recta como elemento geomtrico. Si dada una recta cualquiera se fijan sobre ella dos puntos distintos, habr quedado determinado entre dichos puntos un segmento. Si se considera uno de ellos como origen y el otro como extremo, es decir, que se establece un orden entre ellos, se obtiene un segmento orientado, que recibe el nombre de vector. Un vector est caracterizado por tres elementos que lo definen: la direccin, dada por la recta que lo contiene; el sentido, que fija el orden en que se han escogido los puntos extremos; y el mdulo o medida, que es la longitud del segmento elegido.

direccin B

md

ulo

B

mdulo

A

A

cin direc sent ido

Existen distintas notaciones para indicar un vector. En este libro se adoptarn las siguientes: a , o bien AB, donde el primer valor es el origen y el segundo, el extremo. Se llama mdulo de a (y se indica | AB | = | a |) al nmero real considerado siempre positivo que mide la longitud del vector a en una escala prefijada. Las magnitudes (por ejemplo, fuerzas, velocidades y aceleraciones) pueden representarse como vectores, lo que permite conocer la direccin, el sentido en el que actan y su intensidad representada por el mdulo. Estas magnitudes, adems de muchas otras (como intensidades de corriente, cantidad de movimiento, atraccin gravitatoria o induccin magntica) se denominan magnitudes vectoriales.[3]

[3]

Junto con otro tipo de magnitudes, como las escalares (reas, volmenes, etc.) y las tensoriales (tensiones, momentos de inercia), constituyen la herramienta de apoyo que la matemtica brinda a ciencias como la fsica y, especialmente, al clculo estructural.

10

sentido


Para analizar los vectores en espacios eucldeos [4] bidimensionales ( 2) y tridimensionales ( 3), nos valdremos de las coordenadas cartesianas descritas con anterioridad. En un sistema cartesiano, la posicin de un punto ente geomtrico elemental puede representarse por sus coordenadas o por su vector posicin. El vector posicin tiene su origen en el centro de coordenadas, y su extremo en el punto considerado.

y aya

A

0

ax

x

Si se proyecta el vector posicin sobre los ejes, se obtienen las componentes del mismo. Estas componentes se designan de la siguiente manera: (ax; ay) (x; y) si el sistema es bidimensional (rx; ry; rz) (x; y; z) si es tridimensional Aunque, a partir de aqu trabajaremos en el espacio tienen validez en el plano 2.3

, todas las definiciones

z rz

r

ry rx x

y

En 3, la distancia entre los puntos A = (a x; a y; a z) y B = (bx; by; bz) viene dada por la expresin: d(A; B) = (bx a x)2 + (by a y)2 + (bz a z)2

[4]

Euclides, gemetra griego (306-283 a.C.), formul las bases de la geometra plana actual.

11


z az

bz A B

ax bx x

ay

by

y

Se llaman nmeros de direccin o nmeros directores de la recta AB a cualquier terna (m; n; p) que verifique la siguiente expresin: m n = = bx ax by ay p bz a z

Sea un vector tridimensional a = (a x; a y; a z), se define que: 1) El mdulo de un vector est dado por el valor positivo que determina la longitud del segmento que representa geomtricamente el vector. || = (a x2 + a y2 + a z2) a 2) Dos vectores son iguales si sus componentes son iguales. (a x ; a y ; a z) = (b x; b y; b z) ax = bx; ay = by ; az = bz 3) La suma de dos vectores es igual a la suma de sus componentes. (a x; a y; a z) + (b x; b y; b z) = (a x + bx; a y + by; a z + bz) 4) La multiplicacin de un escalar (nmero) por un vector es igual a la multiplicacin del escalar por cada componente. k (a x; a y; a z) = (ka x; ka y; ka z) Se denomina versor a todo vector de mdulo uno. Los versores en las direc ciones x; y; z se designan con i; j; k respectivamente, y sus componentes son i = (1; 0; 0); j = (0; 1; 0); k = (0; 0; 1). . Un vector r = (x; y; z) quedar expresado por r = x i + y j + z kz rz

k i rx x j

rry y

12


Ecuaciones de la recta En el espacio tridimensional, la ecuacin vectorial de una recta r que pasa por un punto A, representado por su vector posicin = (a x; a y; a z), y tiene direccin c, es: a = + t r a cz A r a a c y x r

En esta figura se ejemplifica un punto de la recta tridimensional r.

Teniendo en cuenta los conceptos de igualdad entre vectores, la suma de vectores y el producto por un escalar, se obtienen las ecuaciones paramtricas de una recta. x = ax + tcx y = ay + tcy z = az + tcz Por eliminacin del parmetro t se obtienen las ecuaciones simtricas de una recta, donde (cx; cy; cz) es una terna de nmeros directores, no todos simultneamente nulos. x ax y ay = = z az cx cy cz Si alguno de los nmeros directores de la recta es nulo, la recta estar contenida en el plano determinado por las dos variables a las cuales no divide ese nmero. Sea por ejemplo cz = 0, entonces: x ax = y ay ; z = a z cx cy Cuando una terna de nmeros directores cumple la condicin cx2 + cy2 + cz2 = 1 se los llama cosenos directores de la recta. Dado un vector = (ax; ay; az), sus cosenos directores resultan: a ax ay az

cos =

a

; cos =

a

; cos =

a

13


z x

y

Teniendo en cuenta las expresiones [5] anteriores se puede comprobar que cos2 + cos2 + cos2 = 1

Producto escalar Sean los vectores a = (ax; ay; az) y b = (bx; by; bz). Se define el producto escalar a b como a b = a b cos , donde es el ngulo formado por los vectores a y b .

b 0 b cos a a

El resultado del producto escalar es un nmero que se interpreta como el producto de la longitud de uno de los vectores por la proyeccin del otro sobre l. En particular, para los versores se tiene: i j = i k= j k= 0, ya que el cos 90 = 0 Si se quiere hallar el producto escalar de un vector por s mismo, resulta que: a a = a a cos = a2 ya que cos 0 = 1 Para los versores se tiene: i i = j j = k k= 1[5]

Si se eleva al cuadrado cada expresin anterior y se suma miembro a miembro, cos 2 + cos2 a 2 + ay2 + az2 + cos2 = x , y por definicin de mdulo | a |2 = (ax2 + ay2 + az2). Por lo tanto, cos2 + |a|2 cos2 + cos2 = 1.

14


El producto escalar cumple las siguientes propiedades: 1) Propiedad conmutativa: a b = b a 2) Propiedad distributiva: a ( b + c ) = a b + a c Aplicando estas propiedades, se puede establecer la manera de calcular el producto escalar de dos vectores en trminos de sus componentes: [6] a b = (ax i + ay j + az k) (bx i + by j + bz k)

a b = a x bx + a y by + a z bz

Ecuacin del plano Sea un plano que pase por el punto P y sea normal a OP = Sea Q un punto p. siendo = (x; y; z). genrico de y OQ = r, r

z

P rp p x O r Q y

Como Q , entonces P Q = ( r p) permite escribir ( ) = 0 r p p

( condicin que nos p r p)

Aplicando propiedad distributiva y ordenando, se tiene que: = 0 = 2 r p = p r p p p r p p p y as se llega a la forma normal de la ecuacin vectorial del plano = | | r up p[6]

Se deber considerar, adems, la definicin de producto escalar para los versores.

15


p donde = = cos i + cos j + cos k up p es el versor en la direccin de la normal al plano , y ; ; son sus ngulos p

directores. Como queda entonces expresado por = x cos + y cos + z cos, se r up r up llega a la ecuacin general del plano : Ax+By+Cz+D=0 donde A, B, C son nmeros directores de una normal al plano y respectivamente proporcionales a cos, cos, cos, ||. p

Interseccin de planos Sea el plano A x + B y + C z + D = 0. Sus intersecciones con cada uno de los planos coordenados son las llamadas trazas del plano, y sus ecuaciones estn dadas por la solucin de los sistemas formados por la ecuacin del plano y la ecuacin de cada plano coordenado.

z

By + Cz + D = 0 Ax + Cz + D = 0 y Ax + By + D = 0 x

La traza sobre el plano (x, y) es A x + B y + D = 0 ; z = 0 La traza sobre el plano (x, z) es A x + C z + D = 0 ; y = 0 La traza sobre el plano (y, z) es B y + C z + D = 0 ; x = 0 La interseccin de dos planos cualesquiera, si existe, es una recta cuyas ecuaciones se obtienen eliminando sucesivamente, por ejemplo, x e y, para obtener en cada caso, respectivamente, las funciones lineales que son las ecuaciones de los planos proyectantes de la interseccin. x = mz + s y = lz + r16


Con parmetro z se consideran obtenidas las tres ecuaciones de la interseccin a travs del sistema: x = mz + s y = lz + r z=z

Posiciones relativas de rectas y planos a) Paralelismo y perpendicularidad entre rectas Dadas las rectas r1 y r2 , por sus ecuaciones vectoriales, el ngulo que forman ambas rectas est dado por el ngulo de sus vectores direccin y Siendo v w. = (v v 1; v2; v3) y w = (w1; w2; w3). r1: p = a + t v r2: = + t q b w La condicin de paralelismo es = v w donde es un nmero real cualquiera, es decir que los vectores asociados tienen componentes proporcionales. La condicin de perpendicularidad exige que los vectores asociados tengan producto escalar cero. v1 = v2 w1 w2

= v3

w3

w = (w1; w2; w3)

v = (v1; v2; v3) r1 Rectas paralelas r2

= 0 v w v1w1 + v2w2 + v3w3 = 0

17


r2 w = (w1; w2; w3) A r1 v = (v1; v2; v3) Rectas perpendiculares

b) Paralelismo y perpendicularidad entre planos Siendo las ecuaciones generales de los planos 1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 donde los coeficientes A, B, C son los nmeros directores de una normal a cada plano y el ngulo que forman los planos es el ngulo que forman sus normales, las condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre los planos estarn expresadas por las condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre sus normales.v = (A1; B1; C1) w = (A2; B2; C2) 1 2 2 1 v = (A1; B1; C1) w = (A2; B2; C2)

Planos paralelos

Planos perpendiculares

c) Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos Dados la recta r y el plano , expresados por las ecuaciones r : = + t = (v1; v2; v3) p a v; v : Ax + By + Cz + D = 0 la condicin de paralelismo entre la recta y el plano ser la condicin de perpendicularidad entre la recta y la normal al plano, esto es: los vectores asociados tienen producto escalar cero. Av1 + Bv2 + Cv3 = 018


v = (v1; v2; v3) r w = (A; B; C)

Recta paralela a un plano

Anlogamente, la recta ser perpendicular al plano si es paralela a su normal, es decir si los vectores asociados tienen componentes proporcionales. v1 v v = 2 = 3 A B Cv = (v1; v2; v3) r w = (A; B; C) A

Recta perpendicular a un plano

Curvas cnicas Las curvas cnicas pueden definirse como el lugar geomtrico de un conjunto de puntos tales que la distancia de cada punto del conjunto a un cierto punto fijo, llamado foco, est en relacin constante con su distancia a una recta fija, llamada directriz. La relacin de las distancias o razn constante se denomina excentricidad (e). Aunque estas curvas estn definidas en dos dimensiones resulta ilustrativo, desde el punto de vista geomtrico, ver cmo se generan a travs de intersecciones de planos con la superficie lateral de un cuerpo geomtrico regular, el cono. El cono es una curva engendrada por la rotacin de una recta (generatriz) alrededor de un eje (eje de simetra), describiendo una circunferencia (curva directriz) y mantenindose siempre pasante por un punto fijo del eje (vrtice del cono). En el caso aqu analizado, el vrtice se encuentra ubicado sobre la perpendicular a la circunferencia que pasa por su centro y constituye el eje de simetra del volumen considerado. En las figuras siguientes, se observan dos conos unidos por sus vrtices y con eje de simetra comn. Reciben el nombre de conos cudricos [7] y su ecuacin es:[7]

Ver su definicin en este mismo captulo.

19


2 2 y2 x z + 2 = 2 b a2 c

La disposicin de los conos cudricos permite ver ms claramente la obtencin por secciones planas de las distintas curvas cnicas: la elipse, la parbola y la hiprbola (se ver ms adelante que la circunferencia puede considerarse como un caso especial de la elipse).

Eje de simetra Generatriz

Vrtice

Elipse: curvas cerradas. El plano corta todas las generatrices.

Curva directriz


Vrtice

Parbola: curvas abiertas de una sola rama. El plano es paralelo a una generatriz.

Curva directriz


Vrtice

Hiprbola: curvas abiertas de dos ramas. El plano es paralelo a dos generatrices.

Curva directriz

20


Ecuaciones de las cnicas a) Ecuacin de la elipse Una elipse es el conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.

y

b P = (x, y)

a F1 F2

a x

b

Siendo los focos F1 = (c; 0) y F2 = (c; 0), y siendo 2a la suma de las distancias PF1 y PF2 , las coordenadas del punto P = (x; y) de la elipse satisfacen la ecuacin (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a Desarrollando esta expresin,[ 8 ] resulta la ecuacin de la elipse: x y + 2 = 1 donde b2 = a2 c2 2 a b Esta curva es simtrica respecto de ambos ejes, y si se mantiene el valor de a fijo y se vara la distancia focal c en el intervalo 0 c a, las elipses resultantes cambian de forma. A medida que c crece, las elipses se van achatando. Se llama excentricidad al cociente entre el valor de c y el de a. Para las elipses, 0 e < 1.[ 9 ] e= c a2 2

[8] [9]

La expresin surge de aplicar la frmula de distancia entre dos puntos en el plano. En el sistema solar, los planetas giran en torno del Sol siguiendo rbitas elpticas en las cuales el Sol ocupa uno de sus focos. La mayora de los planetas, incluida la Tierra, describen rbitas elpticas con excentricidades muy pequeas. Ello implica que son casi circulares, como puede verse en la siguiente tabla de excentricidades de las rbitas planetarias: Mercurio 0,21 Saturno 0,06 Venus 0,01 Urano 0,05 Tierra 0,02 Neptuno 0,01 Marte 0,09 Plutn 0,25 Jpiter 0,05

En cambio, caro, un asteroide que gira alrededor del Sol, describe una rbita elptica cuya excentricidad es de 0,83.

21


Si a = b, se obtiene una circunferencia cuya ecuacin x2 + y 2 = a2 y en este caso especial, el de la circunferencia, la excentricidad es igual a cero.

y a a 0

a x

La circunferencia de la figura tiene centro en el origen de coordenadas y radio a.

a

Si se trasladan los ejes a un origen O' de coordenadas (h; k), la ecuacin de la elipse queda expresada: (x h) 2 a2

+

(y k) 2 b

2

=1

y F1 O F2 a b k x

Si a > b, los focos estarn ubicados sobre el eje x o un eje paralelo a este.

O

h

y F2 F1 b k a O x

Si a < b, los focos estarn ubicados sobre el eje y o un eje paralelo a este.

h

b) Ecuacin de la parbola Una parbola es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto (foco) y de una recta (directriz).22


y D

P = (x; y)

O

F

x

x+

p =0 2

p p Siendo el foco F = 2 ; 0 y la recta directriz x = , entonces DP = PF; por lo 2 tanto, las coordenadas del punto P = (x; y) de la parbola satisfacen la ecuacin: x+ p = 2 x 2 + y 2 2

p

o una expresin equivalente, que es la ecuacin de la parbola: y 2 = 2p x Cabe observar que si la parbola se abre hacia la izquierda, su ecuacin es y 2 = 2p x Intercambiando los roles de las variables x e y (lo que equivale a efectuar una rotacin de los ejes), las ecuaciones resultantes son, para la parbola que se abre hacia arriba: x 2 = 2p y y, para la que se abre hacia abajo: x 2 = 2p y Si el vrtice se encuentra en O', con coordenadas (h; k), la ecuacin de la parbola de vrtice V = (h; k) y eje de simetra paralelo al eje x resulta (y k)2 = 2p (x h) (x h)2 = 2p (y k) es la ecuacin de la parbola de vrtice V = (h; k) y eje de simetra paralelo al eje y.

y

y'

F = (h + a; k) h O k O' (h; k) x' x

23


Una propiedad reflectora importante, aprovechada en los espejos parablicos de los telescopios y en las antenas parablicas de radar, es que los rayos emitidos desde el foco se reflejan paralelos al eje y los rayos que llegan al reflector paralelos al eje se reflejan pasando por el foco.

F

c) Ecuacin de la hiprbola Una hiprbola es el conjunto de puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.

y P = (x; y) v2 F2 a c v1 F1 x

Siendo los focos F1 = (c; 0) y F2 = (c; 0) , debe ser PF2 PF1 = 2a. Dado el punto P perteneciente a la hiprbola, sus coordenadas satisfacen la ecuacin (x + c)2 y 2 (x c)2 + y 2 = 2a Desarrollando esta expresin, obtenemos la ecuacin de la hiprbola:x y 2 = 1 donde b2 = c2 a2 2 a b2 2

La curva es simtrica respecto de ambos ejes. Intercambiando los roles de las variables x e y (lo que equivale a efectuar una rotacin de los ejes), la ecuacin resultante es la siguiente:y x 2 =1 2 a b2 2

24


y a

0 a

x

Representacin grfica de la hiprbola con focos en el eje y.

De igual modo que en los casos anteriores, si se efecta una traslacin de ejes a un origen O', de coordenadas (h; k), resulta (x h) (y k) = 1 2 2 a b Como se ve en las figuras correspondientes, la distancia entre puntos de la curva muy lejanos al origen (O u O') y las rectas dibujadas tiende a cero.2 2

y

k

O

O h

Tales rectas se llaman asntotas de la hiprbola y sus ecuaciones, en el caso de la hiprbola con centro en el origen O = (0; 0), son las siguientes: y= b x a

La excentricidad, en el caso de las hiprbolas es e > 1.[10 ]

[10 ]

Los espejos hiperblicos gozan de una propiedad reflectora: todo rayo de luz pasante por un foco del espejo hiperblico emerge pasando por el otro foco. Esta propiedad ha sido usada en la construccin de telescopios reflectores.

25


Superficies cudricas Superficies cilndricas y de revolucin Se llama superficie cilndrica a la superficie formada por el conjunto de todas las rectas que cortan una curva plana dada y son paralelas a una recta fija que no est en el plano de la curva. La curva se llama directriz, y las rectas, generatrices.

z

Generatrices y x Directriz : x2 = 4y

z

Generatriz

y x

Se llama superficie reglada a la superficie que cumple con la condicin de que por cada uno de sus puntos pasa al menos una recta, llamada generatriz rectilnea, que tiene en comn con la superficie un segmento conteniendo dicho punto. Un ejemplo muy importante de las superficies regladas es el de las superficies cilndricas y cnicas. Se llama superficie de revolucin a la superficie que se obtiene rotando una curva plana dada en torno de un eje. Se dice que la curva genera la superficie. Considrese el caso de la curva generatriz C definida sobre el plano (y, z), siendo f (y; z) = 0 su ecuacin implcita, y z el eje de revolucin; el punto P0 = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) describir una circunferencia de centro M y radio MP0 = M P, siendo P = (x; y; z) un punto de la superficie de revolucin engendrada. Ahora bien, proyectando sobre el plano z = 0 resulta OP' = MP = x2 + y 2. Pero el segmento M P sobre la superficie mide la coordenada y0. Entonces resulta y0 = x2 + y 2, de modo que la ecuacin de la superficie de revolucin ser: f (x; x2 + y 2 ; z) = 026


z C

M

P0 = (x0; y0; z0) P = (x; y; z)

0 y x P' = (x; y; 0)

Ejemplo: Considrese la superficie cnica engendrada por la rotacin de la recta z = m alrededor del eje de las z; la ecuacin de la superficie de revoluz cin ser z = m x2 + y 2 m = x2 + y 2, de donde la ecuacin de la superficie z cnica circular engendrada es x2 + y 2 = m La superficie esfrica La superficie esfrica puede considerarse generada por la rotacin de una circunferencia alrededor de uno de sus dimetros. Como lugar geomtrico, la esfera es el conjunto de puntos que equidistan de un punto dado C = (x; y; z). Para cualesquiera de estos puntos, se deber satisfacer la relacin a= (x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2

z P = (x; y; z) z0 a C

x0 x

y0

y

Es decir que se cumplir que (x x0)2 + (y - y0)2 + (z z0)2 = a227


Si se desarrolla esta ecuacin,[11] se obtendr la ecuacin implcita de la superficie esfrica: x2 + y2 + z2 + Dx + Ey + Fz + G = 0 Cuando el centro de la superficie coincide con el origen de coordenadas O = (0; 0; 0), se tendr que x0= y0= z0 = 0, y en consecuencia, la ecuacin se reducir a x2 + y 2 + z2 = a2 Ecuaciones de las cudricas Las superficies cudricas desempean, en la geometra del espacio, un papel similar al de las curvas cnicas en la geometra del plano. En ambos casos, se trata de polinomios de segundo grado, y su diferencia estriba en que las cnicas son funciones de dos variables (x; y) mientras que las cudricas son funciones de tres variables (x; y; z). En el plano, se han estudiado aqu ya tres familias de cnicas: las elipses (con la circunferencia como caso lmite), las parbolas y las hiprbolas. En el espacio, se estudiarn varias familias de superficies cudricas, cuya similitud con las cnicas resultar evidente en sus frmulas. a) Elipsoides

Traza xz

z Traza yz

y Traza xy x

Siendo a, b y c positivos, la longitud de los semiejes de el elipsoide en la direccin de los ejes x, y, z respectivamente, se define la siguiente ecuacin cannica del elipsoide: x y z + 2+ 2=1 2 a b c Los elipsoides pueden ser considerados como generados por una elipse variable que se traslada paralela al plano (x; y).2 2 2

[11]

En la ecuacin desarrollada, se agrupan los trminos de la siguiente forma: x2 + y2 +z2 2x0x 2y0 y 2z0z + x02 + y02 + z02 a2 = 0, donde: 2x0 = D; 2y0 = E; 2z0 = F; x02 + + y02 + z02 a2 = G

28


z

y

x

La traza sobre el plano (x; y) (plano de ecuacin z = 0) es una elipse de semiejes a y b. x + y =1 2 2 a b Las trazas sobre los planos paralelos al plano (x; y) (planos de ecuacin z = k) son elipses de ecuacin:2 x y + 2 = 1 k2 2 a b c 2 2 2 2

Para que exista interseccin, es necesario que se cumpla: 1 k2 c2

0, de donde k< c

En el caso especial en que z = c, se tendr que: x y + 2 =0 2 a b es decir, b2 x2 + a2y 2 = 0 lo que se cumplir nicamente cuando x = 0; y = 0, es decir, para el punto P = (0; 0; c). Como caso particular, los elipsoides pueden ser de revolucin. Si lo fueran alrededor del eje y, los semiejes a y c seran iguales, ya que la traza con el plano (x; z) sera una circunferencia. La ecuacin en este caso sera: x y z 2 + 2 + 2 = 1 a b a Si el elipsoide tuviese los tres semiejes iguales (a = b = c), la ecuacin sera: x y z 2 + 2 + 2 = 1 , o sea, a a a x2 + y2 + z2 = a2 que es una superficie esfrica de radio a.2 2 2 2 2 2 2 2

29


b) Hiperboloides Siendo a, b y c positivos, se define la siguiente ecuacin cannica del hiperboloide de una hoja: x + y + z =1 2 2 2 a b c2 2 2

z

z

Traza yz y Traza xy y

x Hiperboloide de una hoja

x Traza xz

Las trazas con planos normales al eje y (plano de ecuacin y = k) son hiprbolas de ecuacin: x + z = 1 k2 2 2 2 a c b Estas hiprbolas tienen eje transversal en la direccin del eje x cuando | k | y en la direccin de z parak> b. En el caso en que k = b se tendr2 2 x z =0 x z x z=0 2 2 a c a c a a 2 2

b,

Lo que ser cierto para: x z = (ecuacin de una recta) y a c z x = (ecuacin de otra recta). c a Las trazas con planos z = k, planos paralelos al plano (x, y), son elipses de frmula: x + y = 1 + k2 2 2 2 a b c donde, cualquiera sea el valor de k, se deber cumplir: 1 + k2 c302 2 2

1


El hiperboloide de una hoja es una superficie reglada. Por otra parte, cuando a = b, el hiperboloide ser de revolucin alrededor del eje z y su ecuacin ser: x y z + 2 2 =1 2 a b c Siendo a, b y c positivos, se define la siguiente ecuacin cannica del hiperboloide de dos hojas: x y z + 2 2 = 1 2 a b c2 2 2 2 2 2

z

z Traza xz

Traza yz y x No existe traza xy x y

Hiperboloide de dos hojas

Las trazas sobre planos y = k (planos paralelos al (x; z) ) son hiprbolas de eje transversal en la direccin de z, y de ecuacin z x =1+ k 2 2 2 b c a Las trazas con planos x = k (planos paralelos al (y; z) ) tambin son hiprbolas, de ecuacin z y =1+ k 2 2 2 a c b2 2 2 2 2 2

En el caso en que a = b, el hiperboloide es de revolucin alrededor del eje z, y su ecuacin es: x + y z = 1 2 2 2 a a c Las trazas con planos z = k son elipses de ecuacin2 x y k + 2 = 2 1 2 a b c 2 2 2 2 2

31


y, para que existan, ser necesario que: k 1 > 0 de donde k > c. 2 c En el caso en que el plano sea z = c, se tendr que: x + y =0 2 2 a b lo que se cumple para x = 0; y = c. En consecuencia, se tendr el punto P = (0; 0; c). c) Paraboloides Siendo a, b y c positivos, se define la siguiente ecuacin cannica del paraboloide elptico:2 2 z x y + 2 = 2 c a b 2 2 2

z

z

Traza xz

Traza yz

y x Paraboloide elptico x Traza xy (un punto)

y y

Las trazas con planos paralelos al plano (x, y) (planos y = k) y con planos paralelos al plano (y, z) (planos x = k) son parbolas. En el caso en que a = b, el paraboloide ser de revolucin alrededor del eje z y su frmula ser2 2 z x y + 2 = 2 c a a

Las trazas con planos z = k son elipses de ecuacin k x y 2 2 + 2 = c a b2 2 2

y, para que existan, tendr que ser: k > 0 k > 0, debido a que c > 0. c

32


Siendo a, b y c positivos, se define la ecuacin cannica del paraboloide hiperblico:2 2 y x = z 2 2 c b a

z

z

Traza yz

y Traza xy x Paraboloide hiperblico x Traza xz

y

Las trazas con planos paralelos al (y, z) (planos x = k) y con planos paralelos al (z, x) (planos y = k) son parbolas. El paraboloide hiperblico no puede ser de revolucin, ya que ninguna de sus secciones planas es elptica, pero es una superficie reglada, pues por cada uno de sus puntos pasa una generatriz que es asntota del sistema de hiprbolas. d) Cono cudricoz z

Traza xz

y x

Traza xy un punto x Traza yz

y

Siendo a, b y c positivos, se define la ecuacin: x + y = z 2 2 2 a b c2 2 2

Las trazas con planos z = k son elipses.33


La traza con el plano z = 0 es el punto de coordenadas (0; 0; 0). Las trazas con los planos x = k son hiprbolas de ecuacin y z =1 k 2 2 2 b c a2 2 2

Las trazas con planos y = k tambin son hiprbolas. Para planos x = 0 e y = 0 se tienen pares de rectas. e) Cilindros cudricos Si son de generatrices paralelas al eje z, perpendiculares al plano (x; y), tienen ecuaciones para cualquier valor de z: x y + 2 = 1 cilindro elptico 2 a b x y = 1 cilindro hiperblico 2 2 a b y 2 = 2px cilindro parablico2 2 2 2

Hlice y helicoide Hlice cilndrica circular La hlice circular es la curva trazada por un punto P que se mueve con movimiento circular uniforme, consistente en una rotacin alrededor de un eje (eje de rotacin del cilindro) y en una translacin en la direccin z.

z

p Paso RA0

P y

x

34


Un punto sobre la circunferencia de centro O y radio R gira alrededor del centro con una velocidad angular = que es constante. A su vez, el centro O se dest plaza a lo largo del eje z con una velocidad de traslacin constante, que es proporcional a . En consecuencia, si la hlice comienza en un punto A0 del plano (x; y), se tendr z = k t. Si R es el radio del cilindro sostn, se tendr que x = R cos t y = R sen t z = k t Si el paso p de la hlice es la distancia entre dos intersecciones consecutivas de la hlice con una generatriz cualquiera del cilindro, se tendr que si z = k t, ser p = k 2. Helicoide recto Un helicoide recto es el lugar geomtrico de las rectas que, siendo paralelas al plano de la base de una hlice circular, cortan a su eje (la superficie definida corresponde a una escalera caracol de hormign). Sea la hlice circular definida por las ecuaciones x = R cos t y = R sen t z = k t Una recta que sea paralela al plano (x; y) es una generatriz del helicoide si corta al eje z y a la hlice. Las rectas paralelas al plano (x; y) tienen por ecuacinx x1 y y1 = =1 l m

z z1 = 0 y la que pasa por el punto A = (0; 0; z) esx y = l m

z z1 = 0 por lo tanto,x y y m = ; z z 1 = 0 = ; z = z1 l m x l R cos t R sen t = l m

de donde se concluye que

m sen t y = = tg t; z = k t = k arc tg l cos t x

La ecuacin del helicoide ser, por lo tanto: z = k arc tg x dondey y x = tg t

z = k t

35

02. Grafos

Cmo es posible que la Matemtica, siendo despus de todo un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, se adapte tan admirablemente a los objetos de la realidad?

albert einstein (1879 - 1955)

Introduccin La teora de grafos es una rama de la investigacin operativa que se aplica en el tratamiento de diversos problemas de los campos tecnolgico, sociolgico y econmico. Histricamente est comprobado que, ante el planteo de un problema, los seres humanos tienden a realizar diagramas en los que actividades, etapas de un proyecto, individuos, localidades, etctera, se representan mediante puntos, as como las distintas relaciones entre dichos objetos se representan mediante lneas que unen estos puntos. El matemtico alemn D. Knig, en un trabajo publicado en 1936, fue el primero en proponer que tales diagramas recibieran el nombre de grafos y en realizar un estudio sistemtico de sus propiedades. El trazado de un grafo no es un problema mtrico; es decir, la forma y la longitud de las lneas que unen los puntos son indistintas: lo que interesa es visualizar las relaciones, las interacciones entre ellos. De ah la importancia de la teora de grafos en arquitectura y, en general, en todo problema de diseo. Las aplicaciones ms comunes de la teora de grafos se dan en problemas topolgicos, circulatorios, de vecindades, y de aislacin sonora. Los grafos u organigramas proporcionan diversas estructuras topolgicas que satisfacen relaciones dadas; puesto que son muchas ms de las que el diseador imagina, enriquecen la solucin buscada. Las condiciones topolgicas en diseo son ciertas cualidades pregeomtricas de las formas, tales como la vecindad, la conexin y la posicin relativa respecto de fronteras determinadas. Estas cualidades aparecen en las primeras etapas del proyecto, encubiertas por condicionantes funcionales (circulacin, orientacin, ventilacin, asoleamiento, etc.). Los diseadores operan sobre ellas intuitivamente, pero las operaciones que con ellas se realizan son susceptibles de un tratamiento ms riguroso y cientfico.

37


Definicin de grafo Llamaremos grafo a una terna G = (V, A, ) donde V y A son conjuntos finitos y es una aplicacin que hace corresponder a cada elemento de A un par de elementos de V. Los elementos de V son los vrtices de G, los elementos de A son las aristas de G, y es la aplicacin de incidencia que asocia a cada arista sus dos vrtices. La representacin grfica de un grafo se efecta asociando a cada vrtice un punto del plano de dibujo y a cada arista una lnea que une los puntos asociados con los vrtices.a

c

b

Si {a, b} es una arista del grafo, los vrtices a y b se llaman adyacentes. Si {a, c} y {a, b} son aristas del grafo, se dicen adyacentes, porque tienen un vrtice comn. El grado de un vrtice es el nmero de aristas que en l inciden. Un vrtice se dice aislado si su grado es nulo y pendiente si su grado es 1. Dos o ms aristas se llaman mltiples si tienen por extremos los mismos vrtices. Un lazo es una arista cuyos dos extremos coinciden en un vrtice.

Tipos de grafos Existen distintos tipos de grafos, segn las relaciones que se pueden establecer entre vrtices y aristas. Se llama grafo vaco a todo grafo que no posee aristas, aunque pueda contener uno o ms vrtices. Se denomina grafo sencillo a todo grafo que no tiene ni lazos ni aristas mltiples. Otro tipo de grafo es el k-regular, en el que todos los vrtices tienen igual grado k. Todo grafo sencillo de n vrtices en el que todo par de vrtices determina una arista se denomina grafo completo de n vrtices. En todo grafo completo de n vrtices, todos los vrtices tienen grado n 1 y el nmero de aristas es n n 1 .2

Dado un grafo G, se denomina grafo complemento de G (se indica C G) al grafo que tiene los mismos vrtices que G y cuyas aristas no pertenecen a G.

38

grafos

b a c d f e G f a

b c d e CG

Grafos complementarios

Un grafo S es un subgrafo de un grafo G si los vrtices y las aristas de S estn incluidos en los vrtices y las aristas de G. Los subgrafos pueden tomarse respecto de un vrtice (se anula el vrtice y todas las aristas que en l inciden) o bien respecto de una arista (se anula la arista).a e b e a b e a b

d

c

d

c

d

c

Grafo G

Subgrafo respecto del vrtice c

Subgrafo respecto de la arista cd

Un grafo se dice euleriano [1] si todas sus aristas pueden recorrerse en un solo trazo sin pasar dos veces alguna de ellas. Para que un grafo sea euleriano, solo puede tener como mximo dos vrtices a los que concurra un nmero impar de aristas (vrtices de partida y de llegada). En todos los dems vrtices debe incidir un nmero par de aristas, ya que cada vez que se llegue a uno, hay que volver a partir. El problema de los siete puentes de Knigsberg sobre el ro Pregel, planteado por Leonhard Euler, consista en averiguar si era posible un recorrido que, partiendo de una orilla, volviera al lugar de origen pasando por cada puente una sola vez. Esto equivale a determinar si el grafo asociado es o no euleriano. Rpidamente encontramos que no lo es, pues hay ms de dos vrtices en los que incide un nmero impar de aristas.C 1 A 2 B 4 3 5 7 6 D 1 A 2 B 4 C 3 5 6 D 7

Esquema de los siete puentes sobre el ro Pregel, y su grafo asociado.

[1]

El nombre de grafo euleriano se debe al matemtico Leonhard Euler (1707-1782).

39


Un grafo se llama hamiltoniano si existe un recorrido que pasa por todos los vrtices una sola vez, sin necesidad de recorrer todas las aristas. No existe un criterio general para averiguar si un grafo es o no hamiltoniano.20

Un ejemplo clsico de grafo hamiltoniano es el asociado con un dodecaedro regular, propuesto a mediados del siglo XIX por el matemtico irlands William R. Hamilton.

1 19 9 10 6 11 18 8 7 5 12 3 4 13 17 2 15 14 16

Una aplicacin interesante del concepto de grafo hamiltoniano se dara en el grafo de las ciudades de una regin y los caminos que las unen. Sera deseable que este grafo fuera hamiltoniano para que un viajante que quisiera visitarlas todas no pasara dos veces por la misma ciudad. Los grafos p-coloreados son grafos de V vrtices y p subconjuntos de pares no ordenados de elementos de V, determinados por otras tantas aplicaciones j. En suma, un grafo p-coloreado posee aristas de p clases distintas, que se colorean de color diferente. Finalmente, un grafo rotulado de n vrtices es el que tiene sus vrtices individualizados por nmeros o letras. Si se analizan los dos grafos de la siguiente figura, podr observarse que, aunque a primera vista parezcan diferentes, tienen muchas caractersticas en comn. Ambos poseen 8 vrtices y 13 aristas. Eligiendo un par de aristas adyacentes en uno de ellos, las aristas correspondientes del otro son tambin adyacentes. Lo mismo sucede con los vrtices.

b a f g e (a)

c d

a

b

c

d

e

f

g

h

El caso a es ms sencillo y armnico que el b.

h (b)

40

grafos

Se trata de dos imgenes distintas de un mismo grafo; se dice entonces, que son isomorfos. Ms precisamente, dos grafos G = (V, A, ) y G' = (V', A',') son isomorfos si existe una correspondencia biyectiva [2] entre V y V' y entre A y A', que conserva las relaciones de adyacencia. A nivel grfico, se debe intentar trabajar con los esquemas ms simples entre todas las representaciones isomorfas de un mismo grafo. Ejemplo: Sea un tema cualquiera de diseo para el que se ha fijado un conjunto de locales y un conjunto de relaciones de vecindad entre pares de dichos locales. Si se define la aplicacin de incidencia como la relacin de vecindad, es posible dibujar un grafo en el cual los vrtices representen locales, y las aristas, vecindades entre pares de locales. Restricciones del programa pueden implicar, adems, relaciones de no-vecindad o separacin entre locales. Podran definirse entonces tres grafos con igual nmero de vrtices:b c a d vecindades deseables vecindades deseables vecindades indeseables vecindades indeseables f e

vecindades indiferentes vecindades indiferentes

Estos tres grafos seran complementarios y su superposicin determinara un grafo tri-coloreado. En este ejemplo, es preciso que todos los lugares estn representados por vrtices, incluido el o los espacios exteriores y los espacios de conexin o circulatorios. No puede haber vrtices aislados, pero puede haber vrtices pendientes (lugares que limitan con un solo espacio). No puede haber lazos en este ejemplo. Puede haber aristas mltiples en el caso de que un lugar tenga varios lmites comunes con otro. Especificacin y representacin de grafos Un grafo puede especificarse: Enumerando sus vrtices y sus aristas, agregando un listado de las relaciones entre esas partes. Mediante matrices. Las matrices son arreglos rectangulares de nmeros cuya dimensin est dada por el nmero de filas multiplicado por el nmero de[2]

Una transformacin es biyectiva cuando a cada punto del plano le hace corresponder uno y solo un punto del mismo.

41

vera spinadel | hernn nottoli

columnas. Las matrices que representan los grafos pueden ser de incidencia o de adyacencia. La matriz de incidencia tiene n filas y k columnas, donde cada fila corresponde a un vrtice y cada columna a una arista. En el lugar de cruce de la fila i-sima con la columna j-sima se escribe un 1 si el vrtice i y la arista j son incidentes y un 0 si no lo son; la matriz de adyacencia de vrtices es cuadrada y tiene n filas por n columnas. En el cruce i-j se escribe un 1 si los vrtices i y j son adyacentes; un 0 si no lo son. Los lazos aparecen en la diagonal de la matriz; la matriz de adyacencia de aristas es una matriz cuadrada tal que en el cruce i-j se escribe un 1 si las aristas son adyacentes y un 0 si no lo son. Las matrices pueden operarse con computadoras y son tiles en casos de gran complejidad. Mediante rejillas, versiones grficas idnticas a las matrices. En ellas, los vrtices y/o las aristas se representan en una grilla ortogonal, colocando un punto en las intersecciones cuando se cumple la relacin de incidencia (o adyacencia). Mediante diagramas de puntos entrelazados, en los cuales los vrtices y/o las aristas se representan mediante dos columnas de puntos enfrentados, uniendo los puntos cuando se cumple la relacin. Esta representacin es poco recomendable cuando el grafo es muy complejo. Mediante una representacin poligonal en la que los vrtices se ubican formando un polgono regular, y las aristas aparecen como lados y diagonales. En algunos casos, para clarificar la lectura, se trata de convertir esta representacin en otra representacin con mnimos cruces, o bien sin ellos, si esto fuera factible. Ejemplo: Sea el conjunto de vrtices V = {a, b, c, d, e} y el conjunto de aristas S = {A, B, C, D, E, F} con la relacin de incidencia = {{a;c}; {a;e}; {b;d}; {b;e}; {c;d}; {d;e}}. Representar el grafo correspondiente segn las distintas formas enumeradas.a A e F d C D E c c E d D B b B a A e C b

F

Representacin poligonal

Representacin con mnimos cruces

a a b c d e 0 0 1 0 1

b 0 0 0 1 1

c 1 0 0 1 0

d 0 1 1 0 1

e 1 1 0 1 0 A B C D E F

A 0 1 1 0 0 1

B 1 0 0 0 1 0

C 1 0 0 1 0 1

D 0 0 1 0 1 1

E 0 1 0 1 0 1

F 1 0 1 1 1 0 a b c d e

A 1 0 0 0 1

B 1 0 1 0 0

C 0 1 0 0 1

D 0 1 0 1 0

E 0 0 1 1 0

F 0 0 0 1 1

Matriz de adyacencia de vrtice

Matriz de incidencia

Matriz de adyacencia de aristas

42

grafos

a b c d e

a b c d e

e d c b a a b c d e

Diagrama de flechas o de puntos entrelazados

Diagrama cartesiano o rejilla

Grafos dirigidos o digrafos En algunos problemas, la estructura de grafo puede resultar inadecuada para describir la situacin considerada. Por ejemplo, si se trata de describir el trnsito de vehculos en un barrio de una ciudad, podran identificarse las esquinas con los vrtices de un grafo y las calles por las aristas del mismo. Pero esta descripcin no tomara en cuenta el hecho real de que hay calles de una mano donde se permite circular en un sentido y calles de doble mano por las que se puede circular en ambos sentidos. En un caso como este, habra que agregar a las aristas del grafo un sentido u orientacin determinados, con lo que se tendra un grafo dirigido o digrafo. Ms precisamente, llamamos grafo dirigido o digrafo a una terna G = (V, A, ) donde V y A son conjuntos finitos y es una aplicacin que hace corresponder a cada elemento de A un elemento del producto cartesiano [3 ] Vx V (esto es, un par ordenado de elementos de V). Los elementos de V son los vrtices de G, los elementos de A son los arcos de G, y es una aplicacin que asocia a cada arco sus dos extremos. El arco (a, b) de la figura est dado por un par ordenado (donde el primer elemento es su vrtice inicial y el segundo su vrtice final) mientras que en los grafos no orientados el arco es descrito por un par no ordenado {a, b}.b

a

c

Asimismo, podemos extender el concepto de isomorfismo estableciendo que dos digrafos G = (V, A, ) y G' = (V', A', ') son isomorfos si los correspondientes grafos no dirigidos son isomorfos y si, adems, se conserva la orientacin de los arcos correspondientes.

[3]

El producto cartesiano A B es el conjunto formado por todos los pares ordenados cuya primera componente es un elemento del conjunto A y la segunda, uno del conjunto B. Si A = {1, 2, 3} y B = {a, b}, A B = {(1;a); (1;b); (2;a); (2;b); (3;a); (3;b)}.

43


Conceptos orientados y no orientados Estos son algunos conceptos distintivos entre grafos y digrafos. Conceptos orientados Vrtices: Puntos que representan los elementos del conjunto V. Arcos: Lneas orientadas que unen pares de vrtices y representan los elementos del conjunto A. Extremo inicial y extremo final de un arco: Vrtice del que parte un arco y vrtice al que llega. Camino: Sucesin de arcos adyacentes tales que el extremo final de uno coincide con el extremo inicial del siguiente. Longitud: Nmero de arcos del camino. Circuito: Camino en el cual el vrtice inicial coincide con el final. Lazo: Circuito de longitud 1. Un grafo se dice fuertemente conexo si entre dos vrtices cualesquiera de este existe un camino de cualquier longitud que va de uno a otro. Todo subgrafo fuertemente conexo de un grafo se denomina componente fuertemente conexa.

a

b

Este grafo es fuertemente conexo porque todos sus vrtices son alcanzables desde cualquier otro vrtice.

f

c

e

d

Ejemplo: V = {a, b, c, d, e, f} A = {(a,a); (a,b); (c,b); (c,d); (c,e); (d,c); (e,d); (e,f)} (a,b) y (a,a); (c,d) y (c,e); (e,d) y (e,f): arcos adyacentes (c,e,d): camino de longitud 2 (c,e,d,c,b): camino de longitud 4 (c,e,d,c): circuito de longitud 3

c a f b c e e d Subgrafo d

El subgrafo (c, d, e) es un componente fuertemente conexo.

44

grafos

Conceptos no orientados Arista: Existe una arista entre dos vrtices x e y distintos del grafo si existe un arco que va de x a y y/o de y a x. Cadena: Sucesin de aristas adyacentes. Ciclo: Cadena finita en la que el vrtice inicial coincide con el final. Un grafo es conexo si entre dos vrtices cualesquiera, distintos entre s, existe una cadena. Ejemplo: {a,b}, {b,c}, {c,d}, {d,a}: aristas {a,b,c}: cadena {a,b,c,d,a}: ciclo

a

b

d

c

{a,b,c} es una cadena, pero no es un camino. El ciclo {a,b,c,d,a} no es un circuito.

Resumiendo, todo grafo fuertemente conexo es conexo, pero la recproca no es cierta. En efecto, un grafo puede ser conexo si dados dos vrtices cualesquiera de este existe una cadena que los une; pero no necesariamente ser fuertemente conexo, ya que una cadena no es siempre un camino.a b c

h i

d

g

f

e

Este grafo fuertemente conexo representa un sistema de trnsito.

a

b

h

c

g

d

f

e

Este grafo, solamente conexo, representa un esquema de comunicaciones en un grupo humano.

45


Grafos planos La siguiente figura representa un grafo donde los vrtices a, b y c indican tres casas, y los vrtices e, f, y g indican servicios de agua, luz y gas. Puede dotarse a cada casa con los tres servicios, de manera que las conexiones no se crucen y estn en un mismo plano? Como puede apreciarse, la respuesta es negativa ya que, inevitablemente, la novena conexin cruzar alguna otra; ello se debe a que este grafo no es plano. Esto implica que, en el caso de enfrentarse con este problema en la realidad, sera imprescindible que una de las conexiones (por ejemplo, la elctrica) fuera area en lugar de subterrnea.[4]

b a c

e agua

f luz

g gas

Un grafo es plano si existe un grafo isomorfo que puede dibujarse en el plano de modo que las aristas slo se crucen en los vrtices.

a a b e b

Los grafos de la figura aparentemente no son planos pues sus aristas se cortan.

c a

d

d

c

a

b

Es fcil encontrar dos grafos isomorfos a los anteriores en los que esto no sucede.

d

e

c

b

d

c

[4]

Este problema es conocido como el problema de las tres casas y las tres utilidades.

46

grafos

Teorema de Kuratowski El problema de encontrar un mtodo eficaz para reconocer la planitud de un grafo, sin recurrir a sus posibles representaciones isomorfas fue resuelto por Kazimierz Kuratowski, notable matemtico polaco, quien descubri que existen solamente dos grafos no planos: el correspondiente al problema de las tres casas y las tres utilidades y el grafo de cinco vrtices tales que cada vrtice est conectado con los restantes. Al primer grafo se lo conoce como K3,3 ; el segundo se denomina K5.a b c e a b

d K3,3

e

f K5

d

c

Estos grafos permiten definir toda una familia de grafos que no son planos. Basta con colocar sobre cada arista tantos vrtices como se quiera para definir otros grafos no planos, que son del tipo K3,3 o del tipo K5. Entonces, la condicin necesaria y suficiente para que un grafo sea plano es que no admita subgrafos ni del tipo K3,3 ni del tipo K5.

K3,3

K5

La planitud de un grafo de relaciones entre elementos prefijados de un proyecto arquitectnico es fundamental para su realizacin en planta. Estas relaciones pueden ser de acceso fsico (puertas, pasillos, etctera), acceso visual (ventanas, mamparas, etctera), orientacin geogrfica (Norte, Sur, Este y Oeste), etctera. Es preciso tener en cuenta que a cada esquema le corresponde (a menos de un isomorfismo) un grafo de adyacencias, y un grafo de adyacencias no plano no puede corresponder a una distribucin real en planta.[5]

[5]

Tambin la planitud de un grafo tiene importantes aplicaciones en la tecnologa informtica actual. En efecto, los circuitos impresos, que son componentes habituales de dispositivos electrnicos tales como radios, estreos, televisores y computadoras, se fabrican depositando trayectorias conductoras sobre una hoja de material no conductor. Dicho circuito puede imprimirse en una sola hoja solamente si el grafo del circuito es plano; esto significa ahorro de espacio, peso y costo.

47


Analizar la planitud de un grafo muy complejo mediante el criterio de Kuratowski puede llevar mucho tiempo, aun con una computadora. Hoy en da existen algoritmos de bsqueda de grafos K3,3 o K5, que se basan en el descarte de vrtices. Solo vrtices de grado mayor o igual que 4 son candidatos para el K5, y solo vrtices de grado mayor o igual que 3 son candidatos para el K3,3. Grafos poligonales Llamaremos grafo poligonal a un grafo plano conexo que es reunin de ciclos y tal que existe un ciclo mnimo y otro mximo. Intuitivamente, eso significa que un grafo poligonal divide el plano en zonas poligonales. El interior de cada ciclo se llama cara; se supone que la parte infinita exterior que rodea al grafo es una cara, la cara del infinito, que tiene como ciclo limitante el ciclo mximo del grafo o polgono envolvente. En consecuencia, en todo grafo poligonal se cuenta no solamente el nmero de vrtices V y el de aristas A, sino tambin el de caras C, incluida la cara del infinito. Si se consideran los cinco poliedros regulares (tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo y dodecaedro) se puede comprobar que, entre el nmero C de caras, el nmero V de vrtices y el nmero A de aristas, vale la frmula de Euler: C + V = A + 2 Es fcil verificar su validez en la siguiente tabla:

Nombre Polgonos que forman caras

Tetraedro Tringulos 4 6 4 3 3

Octaedro Tringulos 6 12 8 4 3

Icosaedro Tringulos 12 30 20 5 3

Cubo Cuadrados 8 12 6 3 4

Dodecaedro Pentgonos 20 30 12 3 5

V A CN de aristas en cada vrtice N de aristas en cada cara

Pero la frmula de Euler es tambin vlida en cualquier grafo poligonal. Un grafo poligonal es regular si en cada vrtice concurre igual nmero de aristas. Un grafo poligonal es regular si en cada vrtice concurre igual nmero de aristas.48

grafos

Si, adems de ser regular, tiene la propiedad de que cada cara posee el mismo nmero de aristas limitantes, se dice que el grafo es completamente regular. Los grafos completamente regulares no triviales son los asociados con los cinco poliedros regulares. Como en cada vrtice, la suma de ngulos debe valer menos que 2 radianes o 360 y en cada vrtice inciden por lo menos 3 caras, cada uno de los ngulos debe valer menos que 2 radianes o 120. En consecuencia, los 3 nicos polgonos que pueden intervenir en las caras tienen 3, 4 o 5 lados, ya que para el hexgono, el ngulo vale justo 2 . Los ngulos de un cuadrado son rec3 tos, esto es, en un vrtice pueden concurrir a lo sumo 3 cuadrados. Del mismo modo, se ve que no pueden incidir ms de 3 pentgonos. En cambio, pueden incidir en un vrtice 3, 4 o bien 5 tringulos equilteros, ya que con 6 tringulos equilteros se tendra un ngulo de 2 .

Configuraciones de los cinco grafos completamente regulares no triviales.

Grafos duales Sea G un grafo plano y conexo. Si se construye un grafo G* tal que: a cada cara de G le corresponda un vrtice de G*; a cada vrtice de G le corresponda una cara de G*; a cada arista de G le corresponda una arista de G*, de modo tal que dos vrtices de G* estn unidos por una arista si las caras correspondientes de G tienen una arista comn; entonces G* es el grafo dual de G. Para construir el grafo dual de un grafo dado, conviene seguir estos pasos: a) Dentro de cada cara, incluida la cara del infinito, colocar un vrtice; b) Dos de estos vrtices, sean a* y b*, se unen mediante una arista A* si estn en caras adyacentes; c) Cada arista A* se dibuja de modo que cruce solo a la arista A; d) Si dos caras tienen varias aristas comunes, se traza igual nmero de aristas en el grafo dual.49


Grafo G y su dual G* en lnea punteada.

Dado un grafo plano y conexo G, si se construye su grafo dual G* y luego el dual G** de G*, G y G** son isomorfos. En el caso de un grafo p-coloreado, resulta que su dual es otro grafo con igual coloracin, obtenida cuidando de colorear cada arista A* del dual con el mismo color que tena la arista A en el grafo original. Mosaicos regulares Un tipo especial de recubrimiento del plano es el mosaico. Los diferentes tipos de mosaicos se obtienen siguiendo un principio general de repeticin de un mdulo en dos direcciones, con condiciones restrictivas de acoplamiento y regularidad. Supongamos que se toman polgonos regulares del mismo tipo como mdulo, con la condicin de que los vrtices se toquen con otros vrtices. Sea n el nmero de aristas de cada polgono. El ngulo interior en cada vrtice del polgono vale: n2 180 n En cada vrtice se tendr el siguiente nmero de polgonos: 4 360 2n =2+ = n2 n2 n2 180 n Como este nmero debe ser entero, para n > 2, n tiene que ser igual a 3, 4 o bien 6. Ello significa que el plano puede recubrirse totalmente con mosaicos triangulares, cuadrados o hexagonales.

50

grafos

Cada uno de estos mosaicos es un grafo poligonal; se ha probado que si se desea cubrir el plano con polgonos regulares congruentes que se toquen vrtice con vrtice, dichos polgonos deben tener 3, 4 o 6 aristas. Como la demostracin anterior no depende de ninguna propiedad geomtrica de las figuras generadoras del mosaico, se puede tambin cubrir el plano con grafos isomorfos a los anteriores.

Mosaicos de grafos isomorfos.

Coloracin de grafos El problema de los 4 colores se remonta a 1852 cuando Francis Guthrie, tratando de colorear un mapa de los condados de Inglaterra, not que 4 colores bastaban. Pregunt a su hermano Frederick si era cierto que cualquier mapa poda colorearse con 4 colores, de modo que regiones adyacentes llevaran distinto color. Frederick desconoca la respuesta y present esta conjetura al matemtico ingls Augusto de Morgan. De este planteo, en apariencia trivial, surgi uno de los problemas ms importantes de la teora de grafos: el problema de los 4 colores. Un mapa geogrfico puede considerarse como un grafo donde los vrtices son los puntos en que se unen tres o ms lneas, y las aristas son las lneas que constituyen la frontera de cada territorio. Como los mapas posibles son muy numerosos, es preciso plantear el problema de la coloracin dentro de la teora general de grafos, considerando el mapa que describe cualquier grafo poligonal. Entonces se trata de lo siguiente: dado un mapa cualquiera, hallar la mnima cantidad de colores necesarios para colorearlo de forma tal que las zonas con frontera comn tengan colores diferentes. Aplicando la frmula de Euler, se pudo probar que con 5 colores el problema era resoluble, aunque curiosamente, nunca se encontr un mapa para el que se necesitaran 5 colores. Dos colores bastan para colorear los cuadrados de un tablero de ajedrez, y tres bastan para colorear un mapa hexagonal. Pero si se quiere colorear el ocano que lo rodea, se precisan 4 colores.

51


De igual modo, para colorear el mapa de 7 regiones de la siguiente figura, se necesitan tambin 4 colores.

Tambin se puede imaginar un mapa de 4 regiones para el cual se necesiten 4 colores.

La conjetura de que 4 colores bastan para cualquier mapa poligonal no pudo ser demostrada hasta 1976 en que dos matemticos norteamericanos, Wolfgang Haken y Kenneth Appel de la Universidad de Illinois, anunciaron haber probado la conjetura mediante el uso de ordenadores. La demostracin es larga y engorrosa, pero es correcta y su importancia radica no solo en haber resuelto un problema centenario, sino en abrir nuevos y fructferos rumbos en la aplicacin de recursos tecnolgicos a la solucin de problemas reales.

Aplicaciones al diseo y la sntesis Trabajar con grafos en un proyecto arquitectnico permite visualizar en forma explcita las conexiones para estudiar y optimizar el edificio que se debe disear. Es posible, por ejemplo, utilizarlos en el estudio del vnculo visual, acstico o trmico, y de todo otro tipo de interaccin entre los locales. Es factible, adems, proyectar las instalaciones, su tendido y sus interconexiones. Una aplicacin directa Los grafos pueden ser inicialmente aplicados de manera muy sencilla en la representacin arquitectnica. Dicha aplicacin consiste en el dibujo de un diagrama de vrtices en el cual los vrtices del grafo representan locales o reas de uso, y las aristas indican el vnculo de conexin de paso entre los espacios.

52

grafos

dormitorio principal bao terraza superior paso dormitorio dormitorio escalera Exterior terraza inferior paso

cocina comedor bao

habitacin habitacin

Maison aux Mathes de Le Corbusier junto con su grafo de conexin de paso.

En estos grafos, las divisiones entre los espacios no son representadas en forma directa, sino que se indican por medio de los vnculos de vecindad. Obviamente, este tipo de grafo de una planta exige ser plano, pues si no lo fuera no podra ser realizable. Si se opera con ms de un nivel, ser necesario no solo realizar las conexiones horizontales, sino tambin las verticales. En ese grafo, adems, deber incluirse un vrtice correspondiente al exterior.

53


Grafos p-coloreados Es posible tambin estudiar varios tipos de interconexin en un mismo grafo, por ejemplo, superponiendo varios grafos en los que la conexin implique cuestiones relacionadas. En la figura se superponen tres grafos de conexiones que representan las conexiones circulatorias en una vivienda compuesta por cinco espacios bsicos: estar, hall distribuidor, dormitorio, cocina y bao. Para cada vnculo, se evala si es deseable (lnea llena), indeseable (lnea de rayas) o indiferente (lnea de puntos). Ntese que, en este ejemplo, adems de incorporar el vrtice exterior, se consideran todas las conexiones posibles, ya que cada nodo est ligado por aristas a los restantes.dormitorio estar

exterior

hall

bao

cocina

Grafo dual El dual de un grafo de adyacencias tambin tiene importante aplicacin arquitectnica, ya que plantea un organigrama ms directo acerca de cmo se interconectan los espacios. Si se tiene en cuenta que en el grafo de adyacencias cada nodo representa un espacio, en su dual estar representado por regiones (o caras), de modo que se aproxime a un esquema de planta. El vrtice exterior deber representarse en el grafo dual por la cara del infinito.

En lnea llena y vrtices llenos, se muestran las adyacencias entre cinco eventuales espacios de una vivienda. El dual ya empieza a plantear un anticipo de estructuracin de planta.

d b e ex

c D E a Ex C B A

Los grafos y el diseo industrial Uno de los aspectos del proceso proyectual del diseo industrial es el estudio de la estructura del producto y de sus funciones. En el desarrollo de un producto particularmente en el caso del rediseo se pueden utilizar grafos para mostrar la con54

grafos

formacin estructural o formal. Dichos grafos se construyen ubicando en el primer nodo el producto que es objeto de anlisis, sin descomponer, y en los siguientes nodos, los subsistemas constitutivos en el orden correspondiente. Este anlisis permite descomponer un problema complejo en distintos subsistemas o mdulos, hacerlo ms manejable y localizar ms fcilmente los subsistemas estratgicos. Morfogramas En el anlisis formal de un objeto, es decir, en el momento en que se individualizan los problemas de una configuracin determinada, es necesario destacar aquellos elementos que caracterizan el producto. Una vez identificados estos elementos, es posible presentar para cada uno de ellos las variantes formales utilizando grafos, que en este caso reciben el nombre de morfogramas, y que ilustran la variedad alternativa formal que se le presenta al proyectista.Esquema de las partes constitutivas de una lapicera de dibujo.

El anlisis del capuchn de la lapicera se muestra en el siguiente morfograma que representa las distintas alternativas de diseo y sus combinaciones posibles.

11

21

22

31

32

33

41

42

43

11 esquema base del broche en el capuchn 21 recto 22 curvo 31 rectangular 32 trapezoidal 33 lineal 41 ortogonal 42 achaflanado 43 semicircular.

55

03. Teora de la simetra

La simetra significa reposo y ataduras, la asimetra, movimiento y soltura; la una, orden y ley; la otra, arbitrariedad y accidente; la una, rigidez formal y coaccin; la otra, vida, juego y libertad.

dagobert frey (1883 - 1962)

Introduccin Segn el diccionario,[1] simetra es la correspondencia exacta de la disposicin de las partes de un todo. Histricamente el concepto de simetra ha estado ligado a los conceptos de belleza y armona. En biologa se habla de simetra bilateral, tan evidente en la estructura de los animales superiores. En el mismo diccionario la definicin geomtrica de simetra habla de la correspondencia exacta en la disposicin regular de las partes, puntos de un cuerpo o figura con relacin a un centro, un eje o un plano. Se dice que una configuracin espacial es simtrica respecto de un plano E dado si puede superponerse sobre s misma por reflexin en dicho plano. Tomando una recta cualquiera r ortogonal al plano y un punto P sobre la recta, existe uno y solo un punto P' sobre la recta que est a la misma distancia del plano que P, pero del otro lado del plano.[2]

P

P

r

E

Si volvemos al diccionario, asimetra es falta de simetra, pero rara vez es esta una mera ausencia de simetra. Incluso en los diseos asimtricos, se siente la

[1] [2]

Cf. Diccionario de la Real Academia Espaola versin digital www.rae.es. El principio de simetra bilateral rige la composicin herldica que distingue a las expresiones de arte antiguo de Sumeria, Asiria, Persia, Babilonia y otros pueblos de la Mesopotamia Asitica Occidental y de Egipto.

57


simetra como la norma a partir de la cual se produce la desviacin, bajo la influencia de fuerzas de tipo no formal.[3]

Simetra traslatoria, rotatoria y afn Una aplicacin S del espacio asocia a cada punto P otro punto P que es su imagen. Por ejemplo, la identidad I que aplica cada punto sobre s mismo. Dadas dos aplicaciones S y T, pueden efectuarse una despus de la otra. Si S aplica el punto P en el P', y T el P' en P", entonces la aplicacin resultante (que se llama composicin y se indica como ST) aplica P en P".

Una aplicacin S puede tener una inversa S1 tal que SS1 = I y tambin S1 S = I. La reflexin en un plano, operacin bsica de la simetra bilateral, es tal que su composicin SS resulta la identidad I, es decir, es su propia inversa. En general, la composicin de aplicaciones no es conmutativa. ST no tiene por qu ser igual a TS. La composicin de dos aplicaciones S y T es otra transformacin y su inversa vale (ST)1 = T1 S1. Para comprender esta regla, se puede utilizar un ejemplo que quizs resulte familiar: cuando uno se viste, no es indistinto el orden en que se realizan las operaciones; si al vestirse se comienza por la camisa y se termina por el saco, al desvestirse, se sigue el orden inverso.Cualquier conjunto G de transformaciones se dice que forma grupo si cumple las siguientes condiciones: IG Si S G S1 G Si S G T G ST G Segn Newton y Helmholtz, dos regiones del espacio son congruentes si pueden ser ocupadas por un mismo cuerpo rgido en dos de sus posiciones. Las transformaciones congruentes forman grupo. El tipo ms simple de congruencias son las traslaciones. Una traslacin puede representarse por el vector AA'. Las traslaciones tambin forman grupo, ya que la sucesin de dos traslaciones AB y BC es la traslacin AC.

[3]

Dondequiera que Dios est representado como smbolo de la verdad o la justicia, aparece de frente y no de perfil. Hay que tener presente que desde el punto de vista filosfico, la izquierda y la derecha son indiscernibles, como deca Leibniz. El distingo entre izquierda y derecha en el espacio depende de la orientacin de una hlice, dextrgira o levgira. De este concepto depende toda la teora de la Relatividad de Einstein, que no es ms que otro aspecto de la teora de la simetra.

58

teora de la simetra

A A B

A

B

A

C C D

D

Una congruencia que deja fijo un punto O es una rotacin alrededor de O. Las rotaciones alrededor de un punto tambin forman grupo.C B D D B

O

O

B

B

C

Dada una configuracin espacial F, los movimientos del espacio que dejan F invariante forman un grupo de simetras, y este grupo describe exactamente las simetras de F. La simetra de una figura cualquiera del espacio queda descrita por un subgrupo de dicho grupo.

La famosa estrella pentagonal con la que el Doctor Fausto conjur a Mefistfeles puede ser llevada a coincidir consigo misma mediante 5 rotaciones cuyos ngulos son mltiplos de 360 y las 5 refle5 xiones respecto de las rectas que unen el centro con los 5 vrtices. Estas 10 operaciones forman grupo y este grupo indica qu clase de simetra posee esta estrella.

Una configuracin posee simetra traslatoria si es invariante respecto de una traslacin. En arte ornamental, esta simetra se llama razn infinita, esto es, repeticin con un ritmo espacial regular. Existen numerosos ejemplos de simetra traslatoria en arquitectura. Dada una figura F, sea S(F) el grupo de simetras de F, se dice que F es un friso si se cumple:59


Friso del Palacio de Dario en Susa. Perspectiva del Palacio de los Dogos en Venecia.

a) Existe una recta R que indica la direccin de desarrollo del friso y que debe quedar invariante ante todas las simetras del grupo S(F); b) Existe una traslacin Ta de vector a no nulo y direccin igual a la de la recta R, que indica el paso del friso, tal que cualquier otra traslacin Tb que deje invarian te al friso debe ser un mltiplo entero del vector a. Una configuracin plana posee simetra rotatoria alrededor de un punto si la aplicacin sucesiva de una operacin nica de rotacin la lleva a coincidir consigo misma. Las figuras ms simples que poseen este tipo de simetra son los polgonos regulares. En el espacio, una figura posee simetra rotatoria en torno a un eje R si todas las rotaciones alrededor de R la llevan a coincidir consigo misma. Por ejemplo, sea una banda ornamental cuyo motivo repetido es de longitud a y es envuelta alrededor de un cilindro cuya base sea un mltiplo de a (o sea, que se puede expresar como n a). Se obtendr as una configuracin que se superpone sobre s misma mediante una rotacin alrededor del eje del cilindro en un ngulo = 360 y sus mltiplos. La rotacin n-sima es la rotacin en un ngulo de n 360, es decir, la identidad. Se obtiene as un grupo finito de rotaciones de orden n; esto es, integrado por n operaciones. El cilindro puede reemplazarse por cualquier superficie de rotacin alrededor de un eje (por ejemplo, un vaso o un nfora). Todas las transformaciones anteriores son casos particulares de la afinidad. La propiedad fundamental de las afinidades es que conservan la razn simple de 3 puntos alineados; esto es, dados tres puntos P, Q y R, conservan la razn PR .QR

El movimiento rgido ms general en el espacio tridimensional es el movimiento helicoidal, que es la combinacin de un movimiento de rotacin alrededor de un eje con el de traslacin a lo largo del mismo eje. Durante el movimiento uniforme continuo, cualquier punto que no est sobre el eje describe una hlice. Los estados por los que pasa un punto en tiempos equidistantes estn distribuidos sobre la hlice como los peldaos de una escalera caracol.

60

teora de la simetra

El nmero de oro Experimentalmente se ha encontrado que las fracciones que representan la disposicin helicoidal de las hojas, o filotaxia[4], forman parte de la llamada sucesin de Fibonacci : [ 5] 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, en la que cada trmino se obtiene sumando los dos inmediatamente precedentes. Considrese u 0 = 1; u l = 1; u n = u n1 + u n2:n

lm =

un + 1 un

= 1,618

Este nmero se denomina nmero de oro y se lo simboliza con la letra griega .[6] El nmero de oro corresponde matemticamente a la divisin de un segmento en media y extrema razn. En efecto, sea el segmento AB que se quiere dividir mediante un punto C en dos partes de manera que AB AC

=

AC CB

A

C a b

B

Llamando A C = a; C B = b se tiene la relacin:a+b a = a b

o tambin: 1+b a = a ba

Esta igualdad se puede escribir, indicando con x = b como: 1+1 =x x

de donde resulta: x2 = 1 + x x2 x 1 = 0

[4]

[5]

[6]

En la Naturaleza, las hojas dispuestas alrededor del vstago de una planta adoptan con frecuencia un ordenamiento en espiral. Goethe ya hablaba de una tendencia de la naturaleza hacia la espiral, y este fenmeno se llama filotaxia. Fibonacci, hijo de Bonaccio, era el seudnimo del matemtico Leonardo de Pisa, autor del Liber Abaci, publicado en 1202 y considerado por los historiadores como el ms autorizado matemtico europeo de la Edad Media. Inicial de Fidias, escultor griego que us dicho valor en sus esculturas.

61


Esta ecuacin de segundo grado en x, tiene como solucin positiva el siguiente valor que no es ms que el nmero de oro . x= 1+ 5 = 1,618 2

= 1,618Se puede obtener tambin el nmero de oro, como el cociente de las longitudes de una diagonal y un lado de un pentgono regular.

1

Una construccin geomtrica muy simple del nmero de oro con regla y comps.

1 2

5 2

La seccin urea Un rectngulo se llama ureo si sus lados estn en la relacin 1: 1,618... (1: ). Un rectngulo ureo puede dividirse en un cuadrado y un nuevo rectngulo ureo menor. Si se agrega al lado mayor de un rectngulo ureo un cuadrado de lado igual al propio lado mayor, se vuelve a obtener un rectngulo ureo. El descubrimiento de la seccin urea se atribuye a Pitgoras, que crey haber encontrado una expresin matemtica de aquel principio de analoga, que es el fundamento de la evolucin cultural de nuestra civilizacin. Se piensa que en la poca de la Roma imperial ya se usaba la seccin urea en los proyectos arquitectnicos. El inters por la seccin urea fue muy intenso en el Renacimiento. Luca Pacioli la llam proportio divina. Kepler not su importancia en botnica y en cosmologa y la llam sectio divina y, finalmente, Leonardo da Vinci le dio el nombre de seccin urea. El declinar del Renacimiento produjo una disminucin del inters en la seccin urea y solo se la citaba a ttulo de curiosidad matemtica. Al comenzar el siglo xx, en razn de las nuevas tendencias artsticas hacia la abstraccin, se vuelve a impulsar el inters por la seccin urea. Section dOr (seccin de oro) fue el nombre con que se denomin, en un principio, la escuela cubista, algunos de cuyos miembros eran matemticos. De all volvi a la prctica arquitectnica gracias a Le Corbusier, quien ide un sistema proporcional al que llam Modulor (derivado de module, unidad de medida, y section dor, seccin urea) y que consiste en dos sucesiones de Fibonacci interrelacionadas, la serie roja y la serie azul. La dimensin bsica de la serie roja es 183 centmetros, la altura ideal del hombre, y la de la serie azul, 226 centmetros, la altura del hombre con el brazo levantado.62

teora de la simetra

Dividiendo 226 por 2 se obtiene 113 centmetros, que es el trmino inmediatamente precedente a la dimensin bsica de 183 de la serie roja. A partir de los dos trminos consecutivos, es posible hallar toda la serie roja, y los trminos de la serie azul se obtienen duplicando los correspondientes de la serie roja. Serie roja: 6, 5, 11, 16, 27, 43, 70, 113, 183, 296, ... Serie azul: 12, 10, 22, 32, 54, 86, 140, 226, 266, ... Le Corbusier us su Modulor en numerosos proyectos: la sede de las Naciones Unidas en Nueva York, una unidad de vivienda en el Boulevard Michelet en Marsella, entre otros.

Los nmeros metlicos El nmero de oro no es el nico nmero importante desde el punto de vista cientfico y artstico; es el miembro ms notable de una familia de nmeros irracionales cuadrticos [7] positivos, que son soluciones de ecuaciones cuadrticas del tipo: x2 nx 1 = 0 x2 x n = 0 donde n es un nmero natural. Todos los miembros de esta familia gozan de importantes propiedades matemticas comunes que los convierten en entes fundamentales en un gran nmero de investigaciones, que abarcan desde la transicin del orden al caos hasta su uso como base en distintos sistemas de proporcin en diseo. La familia ha sido llamada por Spinadel (1998) la familia de nmeros metlicos. El nombre se debe a que al nmero de oro le siguen el nmero de plata, el nmero de bronce, el nmero de cobre, el nmero de nquel, etc. Al ser nmeros irracionales, todos ellos deben ser aproximados por cocientes de nmeros enteros en las aplicaciones. Ello se logra mediante sus correspondientes desarrollos en fracciones continuas. As, por ejemplo: 1) El nmero de oro es la solucin positiva de la ecuacin x2 x 1 = 0[7]

Los nmeros irracionales cuadrticos son aquellos nmeros irracionales expresados como races cuadradas, 2, 3, 5 , etc.

63


=1+ 1+ = 1+ 5 2

1 1 . 1 + ..

= [1, 1, ... ] = [ 1 ]

2) El nmero de plata Ag es la solucin positiva de la ecuacin: x2 2x 1 = 0 Ag = 2 + =1+ 21 1

= [2, 2, ... ] = [ 2 ]..

2+

2+ .

3) El nmero de bronce Br es la solucin positiva de la ecuacin: x2 3x 1 = 0 Br = 3 + =3 + 13 2 1 1

= [3, 3, ... ] = [ 3 ]..

3+

3+ .

4) El nmero de cobre Cu es la solucin positiva de la ecuacin: x2 x 2 = = 0 Cu = 2 = [ 2, 0, 0, ...] 5) El nmero de nquel Ni es la solucin positiva de la ecuacin: x2 x 3 = 0 Ni = 2 +1 + 13 3 1 1

= [ 2, 3, 3, ...] = [2, 3 ]..

3+

3+ .

=

Documents

Herramientas as Para La Arquite - Vera w. de Spinadel; Herna!n s. Nottoli2