Herramientas de Software Matemático en el aula · Herramientas de Software Matemático en el aula Rubén Sánchez Gomez 15 de julio de 2013

Herramientas de Software Matemático en el aula

Rubén Sánchez Gómez

15 de julio de 2013

Jugando con Maxima

Operadores lógicos

is(3

Jugando con Maxima

Variables

a:x^2� 1;sol:solve(a,x);factor(a,x);

di↵(a,x);

p:(x+2)⇤(2⇤x�3);q:(x+2)^3;p�q;radcan(p/q);expand(p/q);partfrac(p/q,x);

Rubén Sánchez Gómez Herramientas de Software Matemático

Jugando con Maxima

Vectores

Retomando producto interior (inner product) sabemos que

h·, ·i : V ⇥ V ! K .

Para espacios Euclideanos se sabe que tienen producto interior(producto punto) y que para u, v se satisface:

cos ✓ =u · v|u||v | y que kuk =

pu · v

Para u =

0

BB@

�1024

1

CCA , v = (1, 3,�2, 1) ,w =

0

BB@

33

�12

1

CCA ,

obtenga:

u · v medianteu

tv ,

u · v =?,el ángulo ✓v ,w ,


Jugando con Maxima

Matrices

Para

A =

0

@1 2 3

4 5 6

7 8 9

1

A ,B =

0

@1 �1 xx 1 2

�1 x 2

1

A ,C =

0

@4 2

5 3

2 0

1

A

obtenga:

A+ 2B =?

BC =

0

@3 �117 7

10 4

1

A , x =?

det(A) =?

¿Para qué valores de x se

tiene que B es matriz

singular?

(C

tC )

�1

¿Qué responde Maxima

para A+ C o para CB?

B

�1=?


Jugando con Maxima

Sistemas lineales

Para el sistema

3x1 � 2x2 + 4x3 + x4 = 62x1 + x2 + x3 � x4 = 3

� 3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 3x1 + x2 + x3 + 4x4 = 7

resuelva por

matriz inversa,

regla de Cramer,

Gauss-Jordan (usando matrices elementales)


Jugando con Maxima

Funciones2

f(x) := sin(x);f(%pi/4);

define( g(x,y),[f(x),f(x)^2] );g(%pi/4,%pi);

functions;

fundef(f);

remfunction(f);

functions;


Gráficando en Maxima

f(x):=x^3+3⇤x+1;g(x):=%e^x-x+1;wxplot2d(f(x), [x,-2,2]);

wxplot2d([f(x), g(x)], [x,-2,2]);

wxplot2d([f(x), g(x)], [x,-2,2], [y,-5,20]);

wxplot2d([f(x), g(x)], [x,-2,2], [plot format, gnuplot],[gnuplot preamble, “set size ratio 1; set zeroaxis;”]);

wxplot2d([f(x), g(x)], [x,-2,2], [plot format, gnuplot],[gnuplot preamble, “set size ratio 2; set zeroaxis;”]);

wxplot2d([f(x), g(x)], [x,-2,2], [plot format, gnuplot],[gnuplot preamble, “set size ratio 0.5; set zeroaxis;”]);


Jugando con Maxima


f(x):=if x>>>>><

>>>>>>:

2x si x 0

cos(x) si 0 < x < ⇡

�r

x

⇡+ 1 si x � ⇡



plot2d(x^2-1, [x,-3,3], [y,-2,10],;[box, false], [plot format, xmaxima]);

r:(exp(cos(t))-2⇤cos(4⇤t)-sin(t/12)^5)$plot2d([parametric, r⇤sin(t), r⇤cos(t)],[t, -8⇤%pi, 8⇤%pi], [nticks, 200]);

plot2d([parametric, r⇤sin(t), r⇤cos(t)],[t, -8⇤%pi, 8⇤%pi], [nticks, 500]);

plot2d([parametric, r⇤sin(t), r⇤cos(t)],[t, -8⇤%pi, 8⇤%pi], [nticks, 2000]);



f(x,y):=x^3+y^2;contour plot(f(x,y), [x,-4,4], [y,-4,4]);

contour plot(f(x,y), [x,-4,4], [y,-4,4], [legend, false],[gnuplot preamble, ”set cntrparam levels 12”]);

plot3d(f(x,y), [x,-3,3], [y,-3,3]);

plot3d([f(x,y), log(f(x,y)), [x,-3,3], [y,-3,3]],[palette, false], [color, magenta, blue])$);


Usando draw

load(draw);f(x):=x^3-2⇤x^2-x+2;define(df(x), di↵(f(x), x));tangente(x,a):=f(a)+df(a)*(x-a);

wxdraw2d(color=blue, key=“función”, explicit(f(x), x, -2, 3),color=red, key=“recta tangente”,explicit(tangente(x,1), x, -1, 2), grid=true);


Usando draw

secante(x, a, c, b, d):=x⇤(c-d)/(a-b)+ (a⇤d-b⇤c)/(a-b);draw2d(point type=filled circle, color=black, points([[1,f(1)]]),point type=filled circle, color=black, points([[1.6, f(1.6)]]),color=blue, key=“funcion”, explicit(f(x),x,-2,3),color=red, key=“recta tangente”,explicit(tangente(x, 1), x, -2, 3),color=green, key=“recta secante”,explicit(secante(x, 1, f(1), 1+0.6, f(1.6)), x, -1.5, 2.5),grid=true);


Animación. . .

with slider(n, 0.1⇤reverse(makelist(i, i, 1, 20)),[f(x), tangente(x, 1), secante(x, 1, f(1), 1+n, f(1+n))],[x, -1.5, 2.5]);

Sólo por seguir jugando. . .

wxdraw2d(color=red, nticks=100,implicit(x^2 + (y - x^(2/3))^2 = 1, x, -1.5, 1.5, y, -1.2, 2));


Integrando

integrate(t^3⇤sin(t^2, t));’integrate(t^3⇤sin(t^2, t)) = integrate(t^3⇤sin(t^2, t);’integrate(t^3⇤sin(t^2, t)) = ”integrate(t^3⇤sin(t^2, t);

integrate(cos(x)^3⇤%exp^(-x), x);’integrate( cos(x)^3⇤%exp^(-x), x) =integrate(cos(x)^3⇤%exp^(-x), x);ratsimp(%);


Referencia rápida de Maxima

El paso inicial para resolver una expresión es teclearla

directamente y presionar en forma simultánea las teclas

Shift + Enter .

Para ayuda, basta con teclear ? tema o bien conel mouse dar click en 1 para visualizar la ventana de

ayuda y en 2 teclear el “tema” de interés.

Controlando el formato de salida

Maxima sólo muestra los primeros y últimos 30 d́ıgitos

del resultado para números muy grandes. Para obte-

ner todos los d́ıgitos se debe modificar el formato de

salida; en el menú superior seleccionar Maxima +

Cambiar pantalla 2D y elegir el formato de salida as-

cii.

Operaciones básicas+(�) suma (algebraica)

⇤ producto/ división

^ o ⇤⇤ potenciasqrt(x) ráız cuadrada de x

La salida en formato ascii es la salida por defecto deMaxima y la salida xml es una mejora del wxMaximade modo que, si se trabaja con wxMaxima no se de-

be olvidar regresar al formato xml del Maxima con elmismo procedimiento.

float(x) expresión decimal del va-lor x

numer:true expresión decimal del re-sultado

bfloat(x) expresión decimal largadel valor x

Tomando en cuenta que si se aplica el comando nu-mer:true, se debe aplicar posteriormente numer:falsepara obtener nuevamente el resultado exacto que pro-

porciona Maxima por defecto.

Constantes%pi número ⇡%e número e%i imaginario

%phi razón aurea1 +

p5

2

Maxima da la posibilidad de reutilizar la entrada (%i

n) o salida (%o n) n�ésima tecleándola directamenteen cualquier operación. Para la exponencial, se puede

utilizar la constante%e (ex) o bien exp(x).

Maxima sólo tiene definido el logaritmo natural con la

función log(x). ln(x) no está definido y Maxima lo to-ma como una variable simbólica.

El logaritmos de cualquier base se puede obtener con

log

b

(x) =

log(x)

log(b)

Trigonométricas e hiperbólicassin(x), asin(x) seno, arcoseno de xcos(x), acos(x) coseno, arcocoseno de

x

tan(x), atan(x) tangente, arcotangentede x

sec(x), csc(x), cot(x) secante, cosecante, co-tangente de x

sinh(x), asinh(x) seno, arcoseno hi-perbólicos de x

cosh(x), acosh(x) coseno, arcocoseno hi-perbólicos de x

tanh(x), atanh(x) tangente, arcotangentehiperbólicos de x

Otras funcionesn! factorial de n

entier(x) parte entera de xabs(x) valor absoluto de x

binomial(m,n) C(m,n) =m!

n!(m� n)!random(n) número aleatorio entre 0 y

n

signum(x) signo de xmax(x1, x2, . . .) máximo de {x1, x2, . . .}min(x1, x2, . . .) mı́nimo de {x1, x2, . . .}

Operadores lógicos y relacionesis(expr) decide si la expr es falsa o

no

assume(expr) supone que expr es ciertaforget(expr) olvida el supuesto.

and conectivo lógico yor conectivo lógico o.= =

notequal 6=x 7 y menor/mayor>=

Álgebra elementalexpand(var) expande productos y po-

tencias de la variable var

expand(var, n,m) expande productos y sólolas potencias entre �m yn

factor(expr) factoriza exprev(expr, var = val) evalúa la expresión expr

asignando el valor val a la

variable var

Expresiones racionalesratexpand(var) expande productos y po-

tencias de una expresión

racional polinomial var

ratsimp(expr) simplifica expresiones ra-cionales

num(frac) presenta el numerador defrac

denom(frac) presenta el denominadorde frac

fullratsimp(expr) simplifica expresiones ra-cionales con más eficiencia

y a un mayor costo comp.

partfrac(frac, var) descompone fraccionesparciales de frac respecto

de la variable var

Expresiones con radicalesradexpand(var) expande radicales de una

expresión var

radcan(expr) simplifica expresiones conradicales

Expresiones con logaritmoslogexpand(var) expande logaritmos de

una expresión var

Trigonométricas e hiperbólicastrigexpand(expr) desarrolla

trigsimp(expr) simplificatrigreduce(expr) simplifica

Listas, vectores y matrices

Para introducir una lista basta con escribir sus ele-

mentos entre corchetes.

list[r] muestra el r�ésimo ele-mento de la lista con nom-

bre list

last(list) muestra el último elemen-to de list

part(list) busca un elemento dandosu posición en list

length(list) muestra la liongitud delist

sort(list) presenta la lista en órdenascendente

reverse(list) invierte la listaflatten(list1, list2,. . .)

unifica las listas

list1, list2, . . .

unique(list) muestra el elemento queaparece sólo una vez en

list

makelist(expr, var,n,m)

hace una lista en donde

cada elemento se obtiene

sustituyendo var desde n

hasta m, en donde expr se

obtiene a partir de la va-

riable var

apply(fun,makelist(exp, var,n,m)

aplica la fun a todos los

elementos de la lista.

en este caso, un vector es una lista de números.

Operaciones con vectoresv1 + v2 suma de vectores

k ⇤ v producto escalar.v1.v2 producto interior de vec-

tores

v1 ⇤ v2 producto término atérmino de vectores

Se puede destacar que el producto ⇤ no tiene nadaque ver con el producto escalar o con el producto inte-

rior. Además, nótese que sqrt(v1.v1) permite calcularla norma de v1.

Las matrices son una simple generalización de vec-

tores o listas, de hecho Maxima reconoce matrices me-

diante

matrix([a11, a12, . . . , a1n], . . . , [am1, am2, . . . , amn])

para obtener

0

BBB@

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a

m1 am2 . . . amn

1

CCCA.

Se tienen además:

addcol( ) teclee ayuda (? addcol)para conocer los valores de

entrada

addrow( ) teclee ayuda (? addcol)para conocer los valores de

entrada

col(M,n) muestra la n�ésima co-lumna de M

row(M,n) muestra el n�ésimorenglón de M

submatrix(i,M, j) genera una submatriz eli-minando la fila i y la co-

lumna j

submatrix(ip

, . . . , i

r

,

matriz, j

q

, . . . , j

s

)genera una submatriz eli-

minando las filas i

p

, . . . , i

r

y las columnas j

q

, . . . , i

s

Operaciones con matricesM1 +M2 suma de matrices

k ⇤M producto escalar.M1.M2 producto de matrices

M

^^r Eleva M a la potencia r

M1 ⇤M2 es un producto elemento aelemento

M1/M2 divide matrices elemento a

elemento

M

^r Eleva cada elemento de M

a la potencia r

Se tiene además:

adjoint(M) matriz adjunta de Mtranspose(M) matriz transpuesta de Minvert(M) matriz inversa de Mrank(M) rango de Mdeterminant(M) determinante de de Mmattrace(M) traza de la matriz M

minor(M, i, j) menor correspondiente ala entrada i, j de la matriz

M

eigenvalues(M)eivals(M)

genera los eigenvalores de

M

eigenvectors(M)eivects(M)

genera los eigenvectores de

M

diagmatrix(n, x) genera una matriz diago-nal de tamaño n con x en

cada elemento diagonal

ident(n) genera una matriz identi-dad de tamaño n

zeromatrix(n,m) genera una matriz nula detamaño n⇥m

Sistemas de ecuaciones linealesalgsys([expr1,. . . ,exprm],[x1,. . . ,xn]);

sistemas expresiones si-

multáneas

linsolve([expr1,. . . ,exprm],[x1,. . . ,xn])

sistema de ecuaciones li-

neales

solve([expr1,. . . ,exprm],[x1,. . . ,xn])

sistema de ecuaciones

augcoefmatrix( ) matriz aumentada del sis-tema de coeficientes

Funciones2f(x1,. . . ):=[expr1,. . . ];

define f(x1,. . . )

define(f,[expr1, . . . ]) define f(x1, . . . )fundef(f) muestra la defini-

ción de f

functions presenta la lista defunciones

remfunction(f1, . . . ) borra f1,. . .

Graficas 2Dwxplot2d(f(x), [x,a,b]); Grafica de

una función

plot2d(f(x), [x,a,b]);

wxplot2d([f1(x),. . . ],[x,a,b]); Grafica de nfunciones

plot2d([f1(x),. . . ], [x,a,b]);

Graficas 3Dwxplot3d(f(x,y),[x,a,b],[y,c,d]); Grafica de

una función

plot2d(f(x,y),[x,a,b],[y,c,d]);

wxplot3d([f1(x,y),. . . ],[x,a,b],[y,c,d]);

Grafica de n

funciones

plot3d([f1(x,y),. . . ],[x,a,b],[y,c,d]);

con opciones para gráfica polares, funciones paramétri-

cas, de variable discreta, entre otras.

Gráficos con draw

Primero, cargarlo con load(draw);

Opciones:color color de la gráficaline width ancho de la ĺınea.nticks partición (tamaño

de paso)

xlabel, ylabel etiquetas de los ejesxrange, yrange rango de los ejes

expresión a graficar:explicit(expr,var,a,b) relación expĺıcita,

avarbparametric(expr,param,a,b)

relación paramétri-

ca, aparambimplicit(expr,var1,a,b,var2,c,d)

relación impĺıci-

ta, avar1b,cvar2d.

Cálculo

Ĺımiteslimits(expr, x, val, dir)limits(expr, x, val)limits(expr)

calcula el ĺımite de expr para la variable x superiordir=plus o inferior dir=minus.

Diferenciacióndi↵(expr, x1,n1, . . . , xm,nm)di↵(expr, x,n)di↵(expr, x)di↵(expr)

muestra la (n, n

i

)�ésima derivada de la expr, con res-pecto a la(s) variable(s) (x, x

i

).

Integraciónintegrate(expr, x, a, b) integral definida

para a

Documents

Herramientas de Software Matemático en el aula · Herramientas de Software Matemático en el aula Rubén Sánchez Gomez 15 de julio de 2013