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UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA
Modelo Matematico de las Acciones de la Empresa
Cementos Pacasmayo S.A.A. y su Variacion en el
Periodo 2017-2018
TESIS
Para optar el tıtulo profesional de
Licenciado en Matematicas
Presentado por:
Bach. Mat. Vargas Vilchez Claudia Vanessa
Asesor:
Dr. Quintos Chuquicahua Camilo
LAMBAYEQUE − PERU
2019
Dedicatoria
Quiero dedicar este trabajo a Dios quien
siempre me protege, ayuda y fortalece para
culminar satisfactoriamente mis objetivos
trazados.
Agradezco a mi madre Ana por darme su
apoyo moral y economico, y a mi padre
Juan en mi formacion profesional, a mi tıa
Esperanza y a mi padrino Jorge quienes me
brindan su apoyo incondicional.
Vanessa
Agradecimiento
Agradecer a Dios, porque siempre ha estado
ahı, dandome fuerzas y sabidurıa.
Agradezco a mi mama Ana y a mis familiares
por motivarme y apoyarme.
Mi profundo agradecimiento a mi asesor de
tesis Dr. Camilo Quintos Chuquicahua, por su
ayuda constante para seguir adelante con esta
tesis, por incentivarme y por el valioso tiempo
brindado que este trabajo se ha concluido
satisfactoriamente.
Ası mismo agradezco a los jurados por dedicar
su tiempo en la revision del borrador de tesis
y por las correcciones pertinentes.
Agradezco a mis profesores de pregrado por
orientarme en mi vida profesional.
¡Muchas Gracias!
Vanessa
Presentacion
En el presente trabajo de investigacion tiene como referencia la utilizacion del software
scilab para predecir el valor de las acciones de los 30 primeros dıas del ano que considere
el lector predecir. Donde su aplicacion que se presenta es utilizar el modelo de Black-
Scholes donde el precio del activo es una solucion de la siguiente ecuacion diferencial
estocastica.
dSt = µStdt+ σStdZ
Z es un movimiento de Wiener, el cual sigue la evolucion de un proceso lognormal, en
un tiempo t dado por:
St = S0e(µ−σ2
2)t+σXt
Donde su aplicacion que presentamos es dar propuestas de mejoras al modelo de Black-
Scholes, lo cual se puede describir alternativas al modelo de volatilidad, teniendo como
guıa el estudio realizado por Herzel que genera un modelo que produce una curva de vo-
latilidad implıcita, es de gran ayuda ya que la persona que este interesado podra invertir
en la bolsa, tomando en consideracion el precio de las acciones dadas en un tiempo atras
determinados en la bolsa de valores de lima pudiendo llegar a predecir el costo de la
accion.
Espero que sea de gran ayuda a futuro, para estudiantes y docentes. Les presento esta
tesis titulada “Modelo matematico de las acciones de Cementos Pacasmayo S.A.A. y su
variacion en el periodo 2017-2018”
Resumen
En 1973 Fisher Black y Myron Scholes, apoyados en el movimiento Browniano geometri-
co, crean el modelo de Black-Scholes, el cual era la base de los movimientos de los precios
de las acciones, partiendo de una ecuacion diferencial estocastica. dS = Sµdt+ SσdZ.
En el presente trabajo de investigacion, se mostro el desarrollo del modelo de Black-
Scholes cuyo objetivo fue construir el modelo matematico para analizar y simular los
valores nominales de las acciones de la Empresa Cementos Pacasmayo, recopilando la
informacion requerida desde el ano 2015 al 2018. Este modelo se evaluo con los datos
obtenidos de los precios de las acciones, teniendo expectativas con respecto a lo que
sucedio en el mercado de valores.
Por ello, se ha realizado un estudio de mejora, considerando 4 propuestas en el que
modifica la volatilidad, asistidos mediante el software Scilab para simular los valores
de las acciones aplicados a la Empresa Cementos Pacasmayo S.A.A., basandose en los
resultados obtenidos se puede afirmar que la propuesta 3 es la mas adecuado por ser la
que tiene el mınimo margen de error y ademas se ajusta al valor real del precio de la
accion.
Palabras Clave: Modelo matematico de Black-Schole, Acciones y Software Scilab.
II
Abstract
In 1973 Fisher Black and Myron Scholes, supported by the geometric Brownian move-
ment, created the Black-Scholes model, which was the basis of stock price movements,
based on a stochastic differential equation. dS = Sµdt+ SσdZ.
The present research work showed the development of the Black-Scholes model whose
objective was to build the mathematical model to analyze and simulate the nominal
values of the Cementos Pacasmayo Company shares, gathering the required information
from 2015 to 2018. This model was evaluated with the data obtained from share prices,
having expectations regarding what happened in the stock market.
For this reason, an improvement study has been carried out, considering four propo-
sals in which it modifies volatility, assisted by Scilab software to simulate the values
of the actions applied to the Cementos Pacasmayo S.A.A. Company, based on the re-
sults obtained, it can be affirmed that proposal three is the most appropriate because it
has the minimum margin of error and also adjusts to the real value of the share price.
Keywords: Mathematical model of Black-Schole, Actions and Software Scilab.
III
Indice general
Dedicatoria 5
Agradecimiento 6
Resumen II
Abstract III
Introduccion 3
5
Capıtulo 1
Preliminares
1.1. Historia de Cementos Pacasmayo S.A.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Campo Financiero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1. Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2. Mercado Financiero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3. Valores, Acciones, Bonos y Dividendos . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.4. Bolsa de valores de Lima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.5. Indices de Bolsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3. Medidas de Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4. Software Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.1. Descripcion del algoritmo en el Software scilab . . . . . . . . . . . 31
33
Capıtulo 2
Movimiento Browniano
2.1. Proceso Estocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1
2
2.2. Movimiento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1. Aplicacion del Lema de Ito al Estudio del M.B. Geometrico . . . 45
46
Capıtulo 3
Modelo matematico de las acciones de Cementos Pacasmayo S.A.A. y su varia-
cion en el periodo 2017-2018
3.1. Deduccion de la Ecuacion de Black-Scholes-Merton . . . . . . . . . . . . 46
3.2. Ecuacion Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3. Modelo para el Precio de un Activo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.1. La volatilidad implıcita y la sonrisa de la volatilidad . . . . . . . . 54
3.4. Propuestas al Modelo de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.1. Propuesta 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.2. Propuesta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.3. Propuesta 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4.4. Propuesta 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5. Aplicacion del Modelo Matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5.1. Valores Simulados para los 30 primeros dıas del ano 2018 . . . . . 61
3.5.2. Valores Simulados para los 30 primeros dıas del ano 2019 . . . . . 67
3.6. Debilidades del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Conclusiones 78
Sugerencias 79
Referencias Bibliograficas 80
Anexos 83
3.7. ALgoritmos en Scilab para 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.8. ALgoritmos en Scilab para 2019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Introduccion
En 1973, Robert C. Merton publico “Theory of Rational Option Princing”, en el hacıa
referencia a un modelo Matematico desarrollado por Fisher Sheffey Black (11 de enero
de 1938-30 de agosto de 1995), Economista Estaunidense, y Myron Scholes Samuel,
(1 de Julio de 1941, Economista, Matematico y Abogado Canadiense).
A este modelo lo denomino Black-Scholes y fue empleado para estimar el valor actual
de compra y venta de acciones en una fecha futura.
El mercado de capitales constituye un mecanismo de ahorro e inversion que sirve de res-
paldo a las actividades productivas y la Bolsa de Valores es una institucion apropiada
para lograr este objetivo.
En nuestro paıs la Bolsa de valores de Lima S.A.A. es una sociedad que tiene como
objetivo principal facilitar la negociacion de valores inscritos, proveyendo los servicios,
sistemas y mecanismos adecuados para la intermediacion de manera justa, competitiva,
ordenada, continua y transparente de los cambios del valor nominal de las acciones.
ademas la Superintendencia del mercado de valores (S.M.V.) brinda informacion de los
valores cotizados en la bolsa.
La Bolsa de Valores de Lima S.A.A. cuenta con 262 empresas con valores listado, en-
tre las mas conocidas se encuentran Banco de la Nacion, Los Portales S.A., Cementos
Pacasmayo S.A., Electro Peru S.A., Telefonica S.A., etc. El estudio realizado permi-
tira predecir el valor del precio de la accion para el ano 2020 a mas, para la Empresa
Cementos Pacasmayo S.A. y demas empresas que se encuentren listados en la B.V.L.
Por esta razon, que el desarrollo del presente trabajo de investigacion se formula lo si-
guiente: ¿Cual es el modelo Matematico adecuado que permite medir las variaciones de
4
las acciones en el periodo 2017-2018?, lo cual tiene como objetivo construir un modelo
matematico para analizar y simular los valores nominales de las acciones de la Empresa
Cementos Pacasmayo, recopilando informacion requerida desde el ano 2015 al 2018.
La hipotesis a comprobar fue: Si se logra construir el modelo matematico, entonces se
puede medir las variaciones de las acciones de la Empresa Cementos Pacasmayo en el
periodo 2017-2018.
Daniel, C. (2016). En su trabajo de investigacion Estudio y Aplicaciones de Black Scho-
les, hace un estudio de la Formula de Black Scholes, la cual es muy importante en la
economıa moderna ya que dicha formula se utiliza, entre otras cosas, para valuar de-
terminados bienes o activos financieros (que en el trabajo denominaremos Derivados u
Opciones) a traves del tiempo, por ejemplo, en el caso de las acciones de una sociedad
anonima.
Nunez, S. (2009), En su tesis Adaptacion del Modelo Black-Scholes en la Simulacion de
un Portafolio de Acciones, ha realizado un estudio de mejora del mismo, para lo cual se
ha escogido cuatro empresas que son representativas del mercado de valores del paıs.
El informe esta estructurado de la siguiente manera:
En el capıtulo 1 se destacan aspectos relacionados directamente a la empresa incluyendo
razon social, su historia, objetivos, mision, vision y ası como tambien tomar en cuenta
las medidas de dispersion, la volatilidad y la descripcion de algoritmo scilab.
En el capıtulo 2 se comienza definiendo lo que es un proceso estocastico y demas con-
ceptos que se usaran para definir un Movimiento Browniano.
En el capıtulo 3 se define de forma teorica el modelo de Black-Scholes, se usara los
valores de las acciones de la Empresa Cementos Pacasmayo S.A.A., que se negocia en
el ano 2017-2018 con alcance al 2019. Se planteara 4 propuestas de mejora al modelo,
ası como sus alcances y limitaciones.
Finalmente se encuentran las conclusiones, recomendaciones, referencias bibliograficas
y anexos.
Capıtulo 1:
Preliminares
Con la finalidad de realizar un estudio detallado del proceso de Black-Scholes, introduci-
remos algunas terminologıas y nociones basicas para el estudio del mismo. Como punto
de partida conoceremos la historia de la Empresa Cementos Pacasmayo S.A.A. desde sus
inicios en el ano 1911 hasta la actualidad; Ası como los conceptos referentes al mercado
financiero, las medidas de dispersion, la volatilidad en los mercados, seguidamente se
realizara la descripcion del algoritmo en el software scilab que nos ayudara para analizar
y simular los valores nominales de las acciones de dicha empresa.
1.1 Historia de Cementos Pacasmayo S.A.A.
En 1911 el ingeniero minero aleman Mauricio Hochschild llega a Chile y funda un grupo
de sociedades comerciales en Sudamerica, las que llegarıan a ser conocidas como el
Grupo de Hochschild. Para 1926, el Grupo cuenta con dos operaciones en Peru, una en
Arequipa y otra en Lima.
En 1949 Se funda la Companıa Nacional de Cementos Portland del Norte S.A(antecesora
de Cementos Pacasmayo SAA), a partir de la iniciativa de un grupo de inversionistas
privados que creıa en el desarrollo de las regiones del norte del paıs. El impulso decisivo
al proyecto llega en 1955 de la mano del Grupo Hochschild, que se convierte en uno de
6
sus accionistas principales.
En 1957 el 27 de noviembre comienza la produccion de la empresa bajo la denominacion
comercial de Companıa de Cementos Pacasmayo. La planta de Pacasmayo (la Libertad),
que contaba con un horno de Clinker con una capacidad de 110 000 TM/ano, fue la
primera cementera en producir fuera de Lima.
La propiedad privada de la empresa se vio interrumpida por una ley promulgada por
el gobierno militar del Presidente Velasco en 1970, la cual declaraba la produccion de
cemento como industria basica, por lo que se exigıa a las empresas cementeras que
optaran por una de las siguientes alternativas:
i) La expropiacion definitiva en una sola etapa, con el pago de una compensacion
por parte del Gobierno.
ii) Un contrato para vender acciones de la companıa al gobierno en el transcurso de
diez anos.
En este contexto, la Companıa de Cementos Pacasmayo S.A. eligio la segunda opcion.
Siendo ası que en 1973 el 4 diciembre se inicia la transferencia gradual y forzosa de accio-
nes al Estado como parte de la estatizacion de la industria cementera dictaminada por
el gobierno militar. Para ello, Cementos Pacasmayo S.A. es reestructurada para crear,
el 6 de mayo de 1974, Cementos Norte Pacasmayo S.A., empresa cuya participacion
mayoritaria (51%) queda en manos de sus accionistas originales a traves de inversiones
Pacasmayo S.A (IPSA).
En mayo de 1994, el Gobierno regional de La Libertad autoriza la venta de su partici-
pacion en Cementos Norte Pacasmayo, la misma que representaba el 49% del capital
social . Entre noviembre de 1994 y junio de 1995 vendio al sector privado las acciones de
su propiedad., siendo un 10% del capital social de la empresa adquirido por IPSA. Un
18.38% de la participacion estatal se coloca a pequenos inversionistas. Invernor S.A.C,
una subsidiaria de Cementos Norte Pacasmayo S.A., compra el 4.65%, mientras que un
14,35% es colocado en el mercado bursatil local.
El 6 de febrero de 1998 se realiza la subasta publica que permitıa a Cementos Nor-
7
te Pacasmayo adquirir del Estado la fabrica de cemento de Rioja (ubicada en el Valle
del Alto Mayo, en la parte norte de la region de San Martın), la que en ese momento
contaba con una capacidad instalada de 40 000 TM/ano de clınker y 55 000 TM/ano
de cemento. En octubre de 1998 se acordo la fusion de Cementos Norte Pacasmayo,
Cementos Rioja.(propietaria de la planta Rioja) y Cordasa (productora de trefilados
de alambre, empresa ubicada en Trujillo). Como consecuencia de esta fusion, el 10 de
diciembre de 1998 se constituyo una nueva sociedad denominada Cementos Pacasmayo
S.A.A., denominacion que mantiene en la actualidad.
En marzo del 2000, Cementos Pacasmayo comienza el nuevo siglo dando un paso mas
en su estrategia de crecimiento organizo tras la instalacion de un nuevo molino en la
planta de Pacasmayo, con el que se incrementa la capacidad instalada de produccion
de cemento a 2 200 000 TM/ ano. Esta serıa la cuarta ampliacion ejecutada, ya que
previamente en 1967, 1978 y 1995 la Companıa incremento su produccion de cemento a
303 500 TM/ano y 1 200 000 TM/ano, respectivamente.
Cementos Pacasmayo cubre la demanda en la zona norte del paıs, teniendo significativa
presencia en los departamentos de Tumbes, Piura, Lambayeque, La Libertad, Cajamarca
y Ancash. Asimismo, a traves de su subsidiaria Cementos Selva S.A., cubre la demanda
en la zona nor oriental del paıs. De otro lado, en Junta General de Accionistas celebra-
da en abril 2005 se acordo que la Empresa realice un aumento de capital a traves de
un aporte en efectivo ascendente a aproximadamente S/. 50.7 millones, en Companıa
Minera Corianta S.A.C. Esta empresa inicio su etapa de explotacion en junio 2007 y se
dedica principalmente a la extraccion de zinc.
Cementos Pacasmayo recibio un reconocimiento especial de la Bolsa de Valores de Lima
(BVL) por obtener el mayor crecimiento sostenido en Gobierno Corporativo en los ulti-
mos 5 procesos. Adicionalmente, la empresa sigue formando parte del Indice de Buen
Gobierno Corporativo de la BVL.
En setiembre 2015 se dio inicio a la produccion comercial de cemento desde la nueva
8
planta de cemento en Piura, agregando 1.6 millones de toneladas metricas anuales de
capacidad de produccion de cemento.
En octubre 2015 se ejecuto un exitoso programa de recompra de acciones. Mas de 37
millones de acciones de inversion fueron recompradas a un precio de S/. 2.9 por accion.
En el ano 2018 lanza su nueva imagen y actualiza su vision y su mision
Vision: Ser una empresa lıder en la provision de soluciones constructivas que se
anticipe a las necesidades de nuestros clientes y que contribuya con el progreso de
nuestro Paıs.
Mision: Es crear valor a nuestros inversionistas, a traves de un crecimiento
sostenible, para beneficio de nuestros clientes, colaboradores, comunidades y el
paıs.
Figura 1.1: Fabrica de Cementos Pacasmayo S.A.A.
9
10
1.2 Campo Financiero
1.2.1 Mercado
Una caracterıstica propia de todas las culturas de la vida en comunidad, es la ESPECIA-
LIZACION natural conformada con base en su sexo, caracterısticas fısicas, actitudes,
etc. Al surgir la especializacion se hace imprescindible el INTERCAMBIO dentro de esa
comunidad.
El mercado es la instancia, sea en lugar fısico, un medio de comunicacion, se contactan
los potenciales compradores y vendedores de un determinado bien o servicio, determi-
nando conjuntamente su precio y su cantidad.
El mercado tampoco es capaz de atenuar los ciclos economicos, debiendo el Estado
fomentar la estabilidad utilizando los poderes monetarios y fiscales. Los poderes Fis-
cales se refieren a su capacidad para grabar y gastar, en tanto los poderes monetarios
consisten en controlar la oferta monetaria, tipos de interes y las condiciones crediticias
mediante estas dos herramientas el estado puede influir en la tasa de crecimiento, nivel
de produccion, de empleo y de precios de una economıa. [13]
1.2.2 Mercado Financiero
Realiza el intercambio de activos financieros y se determina sus precios.
11
Figura 1.2: Mercado financiero
1. Mercado de Capitales
Mercado de credito o mercado financiero, el cual se habla del mercado de dinero
(corto plazo) y de Mercado de capitales (largo plazo).
El de capitales esta formado que los arriendos de dinero comunmente llamados
prestamos o creditos, y tambien por los aportes de fondos mediante la compra de
acciones en sociedades anonimas por la participacion en empresas.
Los prestamos o creditos, los deudores pagan un interes periodico por el uso
de los fondos y deben devolver el dinero despues del plazo estipulado en el
contrato.
Los aportes de capital, el oferente de recursos compra una parte de la pro-
piedad de la sociedad o empresa, mediante la bolsa de valores, etc.
Caracterısticas:
El inversionista al comprar los tıtulos (acciones) se convierte en socio de la
empresa en parte proporcional a lo invertido.
12
Existe mayor riesgo al invertir ya que es un mercado de altos rendimientos
variables, en otras palabras, porque hay mucha volatilidad de precios.
No existe garantıa de beneficios.
No existe un plazo definido, cada quien elige cuando comprar y cuando vender
los tıtulos.
Existe mucha liquidez, es decir, es relativamente facil la compra-venta de los
tıtulos.
1.1 Mercado de Valores
El mercado de valores es un mecanismo en el que se concurren los ciudadanos y
empresas para invertir en valores que lo produzcan eventualmente una ganancia o
para captar recursos financieros de aquellos que lo tienen disponible.
El mercado valores muestra una gran variedad de alternativas de inversion para el
mejor provecho de nuestro dinero para oportunidades de avance y desarrollo para
las empresas.
El inversionista asume el riesgo crediticio del emisor.
El intermediario no asume riesgo crediticio.
Dentro del mercado de valores existen dos tipos de mercados: primarios y secun-
darios.
a) Mercado Primario
Se Negocian las primeras emisiones de tıtulos representativos de deuda o
de capital que son emitidas por las empresas que buscan financiamiento. La
emision se realiza a traves de la oferta publica primaria.
b) Mercado Secundario
Se negocian valores que ya estan en circulacion. Una vez que el valor se
encuentra en manos de un inversor, este puede venderlo a otro y obtener
dinero cambio, este otro inversor puede venderselo a otro, y ası sucesivamente.
13
Ambos mercados son importantes. En el primario las empresas consiguen
recursos para llevar a cabo sus actividades, pero esto no serıa posible si no
existiera un mercado secundario.
En el mercado secundario, los inversionistas liquidan su posicion y obtienen
nuevamente sus recursos.
Figura 1.3: Estructura del mercado de valores
i) Mercado Bursatil:
Bursatil proviene del latın bursa que significa “bolsa”. El mercado bursatil,
por lo tanto, es un tipo particular de mercado, relacionado con las opera-
ciones o transacciones que realizan todas aquellas instituciones, empresas e
individuos que realizan transacciones de productos financieros en diferentes
Bolsas alrededor del mundo. Un Mercado Bursatil cuenta con todos los ele-
mentos que se requiere para que sea llamado mercado, bolsa: mercado en el
que se realizan las compras y ventas de los productos.
Emisores: son las personas que ofrecen acciones u obligaciones para que
se negocien en el mercado.
Inversores: invierten su dinero en activos para obtener un rentabilidad.
14
Corredores: los corredores de bolsa actuan como intermediarios entre
emisores e inversores.
Reguladores: las instituciones reguladoras se encargan de velar por los
diferentes agentes que intervienen en el mercado y que todo funcione
correctamente.
La razon de ser de un mercado bursatil es permitir a los inversores comprar
y vender las acciones existentes y captar fondos mediante la emision de otras
nuevas a las empresas.
ii) Mercado Extrabursatil:
Mercado over-the-counter (OTC), mercado paralelo no organizado o mercado
de contratos a medida es uno donde se negocian instrumentos financieros
(acciones, bonos, materias primas, swaps o derivados de credito) directamente
entre dos partes. Este tipo de negociacion se realiza fuera del ambito de
los mercados establecidos. En general, las ordenes de compra y venta son
colocadas en el mercado OTC mediante conversaciones telefonicas que son
grabadas. En los casos que surge algun conflicto sobre una transaccion, se
escucha la grabacion para resolver la discrepancia. Sin embargo, la tendencia
del mercado OTC es negociar un mayor numero de operaciones en sistemas
electronicos, quedando la negociacion telefonica para contratos mas complejos
y con menor grado de estandarizacion.
1.2.3 Valores, Acciones, Bonos y Dividendos
Se conoce como Valores a los Tıtulos, certificados o documentos emitidos por una em-
presa que otorgan derechos a sus poseedores, y que son libremente transferibles. Pueden
ser acciones, bonos, letras hipotecarias, instrumentos de corto plazo, etc.
Las Acciones comunes son valores emitidos por empresas constituidas como sociedades
anonimas que otorgan algunos derechos a sus propietarios, como participar en el capi-
15
tal y utilidades de la empresa, votar en las juntas generales de accionistas, fiscalizar la
gestion de los negocios de la empresa, entre otros.
Los Bonos son valores que representan una deuda contraıda por una empresa o depen-
dencia gubernamental y que pagan una renta fija, es decir, redituan intereses a una tasa
definida que puede ser fija, variable o reajustable, lo importante es que dicha tasa ha
sido establecida desde el momento en que se produce la emision de estos valores.
La diferencia entre una accion y un bono u obligacion radica en que con la accion se
es dueno de los activos de la empresa, mientras que en el caso de poseer un bono u
obligacion solamente se adquiere o compra parte de la deuda de la empresa o entidad
emisora.
Los Dividendos son parte de las utilidades, que se destina para distribuir entre los ac-
cionistas despues de atender las reservas legales estatutarias y voluntarias. Puede ser en
acciones o en efectivo. [9]
Se definiran algunos terminos financieros:
1. Activo: Es cualquier posesion que pueda producir beneficios economicos, que
pueden ser acciones, derivados, bonos, etc. Otros ejemplos de activos son los ındices
de los mercados, por ejemplo el ındice Merval, o el Nasdaq 100. Otros tipos de
activo son las monedas extranjeras.
2. Derivado: Es un instrumento financiero, cuyo precio depende, o se deriva, del
precio de otro activo.
3. Mercados: Son los lugares donde se realizan las transacciones financieras.
4. Subyacente: En un determinado mercado, ası se denomina a los activos que en
el pueden comercializarse.
5. Activo subyacente: Es un activo real o financiero que cotiza el mercado bursatil.
6. Portafolio: es un conjunto de activos. Los grandes inversores poseen portafolios
con varios activos tanto para especular con mas ganancias, corno para respaldarse
ante la eventual baja de alguno de ellos.
16
7. Costos de Transaccion: Es el costo de realizar una operac1on. Ademas, depende
si es una transaccion de un activo subyacente o un derivado, si se trata de una
compra o una venta, de la cantidad del inversor, etc. En general trabajaremos sin
estos costos para facilitar calculos.
8. Posicion de la Inversion: Se dice que en una inversion se toma una posicion
long cuando se compra y se dice que se toma una posicion short cuando se vende,
aun cuando no se tenga posesion del activo, lo cual no es intuitivo, pero totalmente
valido en el mercado.
9. Tasa de Interes Libre de Riesgo: A nivel internacional la tasa libre de riesgo
son los bonos del tesoro del gobierno de Estados Unidos (Treasury Bond). A nivel
del Peru, la tasa libre de riesgo, es el precio de los bonos soberanos emitidos por
la Republica del Peru.
10. Rentabilidad: Es la ganancia relativa de una inversion, es decir, si llamamos lo
a la inversion inicial, y h a lo que se obtiene a un tiempo T, la rentabilidad R es:
R =IT − I0
I0
mientras que en tiempo continuo:
R = ln(ITI0
)
11. Opcion: Es un contrato que le da a su poseedor el derecho, pero no la obligacion,
de negociar un activo subyacente a un precio de mercado S, por un precio de
ejercicio K en una fecha de expiracion t.
Las opciones financieras pueden ser de dos tipos:
1. La opcion de compra (Call Option): Da a su poseedor el derecho, mas no la
obligacion a comprar un activo en una fecha determinada a un precio determinado.
2. La opcion de venta (Put Option): Da a su poseedor el derecho, mas no la
obligacion a vender un activo en una fecha determinada a un precio determinado.
17
La fecha especificada en el contrato se conoce como Fecha del Vencimiento (ex-
piration date, exercise date, strike date, o maturity). El precio especificado en el
contrato se conoce como Precio de Ejercicio (exercise price o strike price).
Ademas las opciones se clasifican de acuerdo al tiempo en que pueden ser ejercidas,
indistintamente con la ubicacion geografica, en:
1. Opciones Europeas: Son opciones que solo pueden ser ejercidas en la fecha de
vencimiento.
2. Opciones Americanas: Son opciones que pueden ser ejercidas en cualquier
momento hasta su fecha de vencimiento. La mayorıa de las opciones negociadas en
los mercados de opciones son las Opciones Americanas. Sin embargo, las Opciones
Europeas son generalmente mas faciles de analizar que las Opciones Americanas, y
algunas propiedades de estas ultimas son frecuentemente deducidas de sus analogas
las Europeas.
Los Sucesos: Es cada uno de los posibles resultados que se pueden producir en una
experiencia aleatoria.
Veamos algunos ejemplos de sucesos:
Al lanzar un dado que salga 6.
Al lanzar un dado que salga 2.
Al lanzar una moneda que salga cara.
Al elegir un numero entre 1 y 10 al azar salir el 7.
Cada uno de los resultados anteriores senalados en negrita se considera un suceso.
Ejemplos y Tipos de Sucesos:
Veamos a continuacion los diferentes tipos de sucesos con ejemplos:
Suceso Determinista o Seguro: es aquel suceso cierto o seguro.
Al tirar un dado de 6 caras obtener un resultado menor que 7
18
Suceso Imposible: es aquel suceso que es imposible que ocurra.
Al tirar un dado de 6 caras obtener un resultado mayor que 7
Sucesos Dependientes: sucesos cuya probabilidad se ve condicionada por otros.
La probabilidad de sufrir una enfermedad pulmonar esta condicionada por ser
fumador.
La probabilidad de tener un buen trabajo esta condicionada por haber sido buen
estudiante.
Al tirar un dado, la probabilidad de obtener 6 esta condicionada si sabemos que
ha sido par.
Sucesos Independientes: sucesos cuya probabilidad no es afectada por otros.
Al tirar un dado por segunda vez, su resultado es independiente del resultado del
primer tiro.
Suceso Elemental: cada uno de los sucesos que forman un espacio muestral.
El espacio muestral de tirar una moneda es cara, cruz ya que esta formado por los
sucesos elementales cara y cruz
Suceso Compuesto: grupo de sucesos elementales pertenecientes al espacio mues-
tral.
Ejemplos:
El espacio muestral de tirar un dado es 1, 2, 3, 4, 5, 6.El suceso “salir un numero par” es un suceso compuesto formado por el grupo de
sucesos elementales 2, 4, 6
Sucesos Compatibles: tienen algun suceso elemental en comun.
Al tirar un dado, el suceso “obtener un numero par”2, 4, 6 es compatible con el
suceso “obtener un numero mayor de 3”4, 5, 6 ya que ambos tienen en comun
dos sucesos elementales 4, 6
Sucesos Incompatibles: no tienen ningun suceso elemental en comun.
Al tirar un dado, el suceso “obtener un numero impar”1, 3, 5 es incompatible
19
con el suceso “obtener un numero mayor de 5”6 ya que no tienen en comun
ningun suceso elemental.
Suceso Contrario: suceso que contiene el resto de sucesos elementales.
Al tirar una moneda, el suceso contrario de salir cara es salir cruz.
Al tirar un dado, el suceso contrario de obtener 1, 2 es el suceso 3, 4, 5, 6
Definicion 1.1. (Variable Aleatoria). El numero X(w) brinda informacion acerca
del experimento en el espacio de probabilidad (Ω, A, P ), ello corresponde a los valores
que toma una funcion X : Ω −→ R, la que se denomina variable aleatoria.
Definicion 1.2. (El espacio muestral). El espacio muestral es una parte del espacio
probabilıstico. Como su propio nombre indica, esta formado por los elementos de la
muestra. Al contrario, el espacio probabilıstico engloba todos los elementos. Incluso
aunque no salgan recogidos en la muestra.
Definicion 1.3. (Sımbolo del espacio muestral). Se denota con la letra griega
Ω (Omega). Esta compuesto por todos los sucesos elementales y/o compuestos de la
muestra y, por tanto, coincide con el suceso seguro. Es decir, aquel suceso que siempre
va a ocurrir.
Un ejemplo de espacio muestral en el lanzamiento de una moneda serıa:
Ω = C,X
Donde C es cara y X es cruz. Esto es, los posibles resultados son cara o cruz.
Definicion 1.4. (Espacio de probabilidad). Un espacio de probabilidad es una terna
(Ω, A, P ), donde Ω es un espacio muestral y A una familia de eventos de Ω, es decir, una
σ-algebra de conjuntos de Ω. Estamos interesados en asignar a cada evento A ∈ Ω un
numero real P (A), que llamaremos la probabilidad de A, de modo tal que se cumplan
las siguientes condiciones:
1. P (A) ≥ 0 para todo A ∈ Ω.
La probabilidad de un evento cualquiera es un numero real no negativo.
20
2. P (Ω) = 1
El evento tiene probabilidad igual a 1.
3. Si An ∈ A para n = 1, 2, . . . son eventos disjuntos dos a dos, es decir, tales que
Ai ∩ Aj = 0 si i 6= j.
4. P (
∞⋃
n=1
An) =
∞∑
n=1
P (An).
Una terna (Ω, A, P ), formadas por un espacio muestral Ω, una familia A de eventos
y una probabilidad ? se llama un espacio de probabilidad.
1.2.4 Bolsa de valores de Lima
La Bolsa de Valores de Lima (BVL) es una empresa privada que facilita la negociacion
de valores inscritos en Bolsa, ofreciendo a los participantes (emisores e inversionistas)
los servicios, sistemas y mecanismos adecuados para la inversion de manera justa, com-
petitiva, ordenada, continua y transparente.
La Bolsa de Valores de Lima es donde cotizan las diferentes empresas a partir de sus
acciones dentro del mercado financiero peruano. La BVL participa en empresas estrategi-
cas como DATATEC (datos tecnicos S.A.), se trata de una empresa que brinda servicios
de informacion y mercados financieros electronicos mediante el Sistema de Mercados Fi-
nancieros BVL, SMF DATATEC, se utiliza en la Tesorerıa de los Bancos, AFPs, Fondos
Mutuos y companıas de seguros.
Anadidamente, la Bolsa de Valores de Lima posee el 93.83% de acciones de CAVALI
(Caja de Valores de Lima), encargada de administrar eficientemente el registro, com-
pensacion, liquidacion y custodia de los valores que se negocian en el mercado peruano
de capitales.
La mision de la bolsa de valores de Lima es contribuir al desarrollo del Peru, liderando
el crecimiento del mercado de capitales, promoviendo e incentivando el financiamiento
y la inversion a traves de instrumentos del mercado de valores.
La vision de la Bolsa de Valores de Lima es ser la puerta de acceso al Mercado de Ca-
21
pitales del Peru y de la Region.
Se tomara en cuenta datos actuales de la Bolsa de Valores, contaba con 262 empresas
de las cuales 6 estan en liquidacion como se muestra en la tabla (3.5)
1.2.5 Indices de Bolsa
El Indice General de la Bolsa de Valores de Lima (IGBVL) es un indicador que mide
el comportamiento del mercado bursatil y sirve para establecer comparaciones respecto
de los rendimientos alcanzados por los diversos sectores (industrial, bancario, agrario,
minero, de servicios publicos, etc.) participantes en la Bolsa de Lima, en un determina-
do perıodo de tiempo. Se determina a partir de una cartera formada por las acciones
mas significativas de la negociacion bursatil, seleccionadas con base en su frecuencia de
negociacion, monto de negociacion y numero de operaciones.
IGBVL Refleja la tendencia promedio de las cotizaciones de las principales acciones ins-
critas en Bolsa, en funcion de una cartera seleccionada, que actualmente representa a las
36 acciones mas negociadas del mercado. Su calculo considera las variaciones de precios
y los dividendos o acciones liberadas repartidas, ası como la suscripcion de acciones.
Tiene como base 100 y fecha 30 de diciembre de 1991.
Con la finalidad de mantener constantemente actualizada la cartera del IGBVL, se ha
estimado conveniente la realizacion de una revision semestral, habiendose definido el
02 de enero y el 1 de julio como las fechas para la entrada en vigencia de la cartera
actualizada.
Sin embargo, si las circunstancias del mercado ası lo determinan, las carteras pueden
permanecer invariables, lo que sera comunicado oportunamente al mercado.
En la actualidad la composicion del ındice es como se muestra en la siguiente Tabla
(1.1)
22
Tabla 1.1: Empresas que conforman el IGBVL
Composicion del Indice
Alicorp Gold Fields - La Cima
Alturas Minerals Grana y Montero
Agroindustrial Pomalca Intergroup Financial Services
Atacocha Luz del Sur
Austral Group Maple Energy
Banco Continental Milpo
Candente Minera IRL
Agroindustrial Casa Grande Minsur
Cementos Lima Relapasa
Cementos Pacasmayo Rio Alto Mining
Cerro Verde Scotiabank Peru
Corporacion Aceros Arequipa SiderPeru
Corporacion Lindley Simsa
Credicorp Southern Copper Corporation
Edegel Telefonica
El Brocal Volcan.
Ferreyros
23
Tabla 1.2: Comportamiento de la accion evaluado en 30 dıas de Cementos Pacasmayo
S.A.A. en el ano 2016
FECHA COMPORTAMIENTO DE LA ACCION
04/01/2016 S/ 5.00
05/01/2016 S/ 4.99
06/01/2016 S/ 4.80
07/01/2016 S/ 4.55
08/01/2016 S/ 4.50
11/01/2016 S/ 4.55
12/01/2016 S/ 4.57
13/01/2016 S/ 4.60
14/01/2016 S/ 4.50
15/01/2016 S/ 4.40
18/01/2016 S/ 4.40
19/01/2016 S/ 4.40
20/01/2016 S/ 4.33
21/01/2016 S/ 4.35
22/01/2016 S/ 4.35
25/01/2016 S/ 4.35
26/01/2016 S/ 4.35
27/01/2016 S/ 4.35
28/01/2016 S/ 4.35
29/01/2016 S/ 4.50
Fuente: Bolsa de Valores de Lima
24
Figura 1.4: Comportamiento de la accion evaluado en 30 dias de Cementos Pacasmayo
S.A.A. del ano 2016
1.3 Medidas de Dispersion
Las medidas de dispersion tambien llamadas medidas de variabilidad, muestran la va-
riabilidad de una distribucion, indicandolo por medio de un numero, cuanto mayor sea
ese valor, mayor sera la variabilidad; cuanto menor sea, mas homogeneo sera la media.
Ası se sabe si todo los casos son parecidos o varıan mucho entre ellos.
Las medidas de dispersion mas utilizadas son: La varianza, la desviacion estandar y la
media aritmetica.
Definicion 1.5. (Varianza)
La varianza es una medida de dispersion que representa la variabilidad de una serie
de datos respecto a su media. Formalmente se calcula como la suma de los residuos al
cuadrado divididos entre el total de observaciones.
25
La varianza siempre es mayor o igual que cero. Al elevarse los residuos al cuadrado es
matematicamente imposible que la varianza salga negativa. Y de esa forma no puede
ser menor que cero.
S2 = V ar(x) =
n∑
i=1
(xi −X)2
n(1.1)
Definicion 1.6. (Desviacion Estandar)
La desviacion estandar de una poblacion es normalmente representada por la letra griega
(sigma) o la letra latina (S) se utiliza frecuentemente para representar la desviacion
estandar de una poblacion, mientras que s se utiliza para representar la desviacion
estandar de una muestra.
La formula de la desviacion estandar es:
S =
√∑X2
N(1.2)
donde∑
X2 representa la suma de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la
media (x−X) y N representa el numero total de los valores.
Definicion 1.7. (Media Aritmetica Simple)
Media Aritmetica simple o promedio de un conjunto de datos, es la suma de todos ellos
dividido por el numero de dichos datos.
Ası en un conjunto de n elementos cuyos datos son x1, x2, x3, · · · , xn la media aritmetica
simple representada por X, viene dado por la expresion.
X =x1 + x2 + x3 + · · ·+ xn
n(1.3)
Volatilidad
Tradicionalmente, la volatilidad involucra alguna medida de la dispersion en una serie,
entendiendo por “dispersion”la variabilidad o la amplitud en los datos de la serie.
La desviacion estandar es la medida de dispersion (absoluta) mas utilizada.
La volatilidad cambia el precio de un activo durante un perıodo de tiempo determinado.
26
Se ha convertido en una forma popular de evaluar el grado de riesgo de un activo: cuanto
mayor sea el nivel de volatilidad, mayor sera el riesgo asociado con el activo.
Los mercados volatiles se caracterizan por cambios de precios extremadamente rapidos y
un alto volumen de operaciones, lo que se considera que aumenta la probabilidad de que
el mercado realice movimientos de precios considerables e imprevistos. Por otro lado, los
mercados con menor volatilidad tienden a permanecer estables y presentan fluctuaciones
de precios menos radicales.
En este estudio la volatilidad se define como la velocidad a la cual se mueve un mercado.
Si en un mercado se dan grandes saltos de precio y cambios continuos en la direccion de
estos, se dice que es un mercado Volatil. Aunque existen varios criterios y definiciones
para medir la volatilidad, una medida tradicional es la desviacion estandar de los cambios
en los precios (o la desviacion estandar de la variable transformada); la variable de
cambios en el precio (dpt) se obtiene como el logaritmo de la primera diferencia dado
por:
dpt = ln( ptpt−1
)∗ 100 (1.4)
Donde pt es el precio de un producto. Ası, la varianza de los cambios en los precios
esta dada por:
σ2 =1
T − 1
T∑
t=1
(dpt − µ) (1.5)
Donde T es el numero de observaciones usadas y u es el promedio estimado de los
cambios en precios (dpt). Un estimado de la volatilidad de una serie es la raız cuadrada
de la varianza. Las ecuaciones (1.4) y (1.5) se usan para obtener la volatilidad historica
de cualquier variable utilizada en el sistema.
Definicion 1.8. (La Volatilidad en los Mercados)
La volatilidad se expresa en porcentaje y se calcula como la desviacion que registra un
activo (acciones, fondos, etc.) con respecto a la media (X) de su cotizacion historica en
un periodo determinado.
27
Por lo tanto, la votalidad (σ) es representada:
σ =s
X(1.6)
σ =
√∑(x−X)2
NX
(1.7)
La volatilidad es un indicador que permite al inversor saber si se encuentra ante una
accion que registra movimientos bruscos en su cotizacion.
1.4 Software Scilab
Scilab es un software matematico, que fue desarrollado por INRIA (Institut National de
Recherche en Informatique et Automatique) y la ENPC (Ecole Nationale des Ponts et
Chaussees) desde 1990. Scilab es ahora desarrollado por Scilab Consortium dentro de la
fundacion Digiteo.
Figura 1.5: Scilab
Este software posee una extraordinaria versatilidad y capacidad para resolver problemas
de matematica aplicada, fısica, ingenierıa, procesamiento de senales y otras muchas apli-
caciones. Su base la constituye un sofisticado interprete formado por cientos de rutinas
28
de calculo matricial, analisis numerico y visualizacion grafica. El programa esta conce-
bido como un software abierto, es decir, que el usuario puede ampliarlo anadiendo sus
propias primitivas o modificando las existentes.
Scilab viene con numerosas herramientas:
Graficos 2-D y 3-D
Animacion
Algebra lineal
Matrices dispersas
Polinomios
Funciones racionales
Simulacion:
• Programas de resolucion de sistemas de ecuaciones diferenciales (explıcitas e
implıcitas),
Xcos:
• Simulador por diagramas en bloque de sistemas dinamicos hıbridos
• Control clasico
• Robusto
• Optimizacion LMI
• Optimizacion diferenciable y no diferenciable.
Ademas se pueden agregar numerosas herramientas o toolboxes, los cuales definiremos
mas adelante; hechas por los usuarios como Grocer una herramienta para Econometrıa.
1. Los toolboxes:
Scilab dispone en la actualidad de un amplio abanico de librerıas adicionales que
29
amplıan el software, estos programas denominados “toolboxescubren areas especıfi-
cas en los campos de la matematica, la ingenierıa, simulacion, etc. En la tabla (1.3)
se describe algunos de ellos:
Tabla 1.3: Algunos Toolbox
Toolbox Descripcion
ANN Analisis de Redes Neuronales
EVOL Algoritmos Evolutivos
FABBRI Manipulacion de Imagenes
FEM−Post Deteccion de Fallos
FISLAB Inferencia en Logica Borrosa.
FREEFEM Elementos Finitos 2D
FSQP Procesos de Optimizacion.
HMM Modelos de Markov.
LIPSOL Programacion Lineal.
Plotting library Graficos al estilo Matlab
2. Funciones Elementales: Hay numerosas funciones de Scilab para el manejo de
matrices. Algunas de las mas usadas son:
rank(a) calcula el rango de a.
det(c) determinante de una matriz cuadrada c.
inv(c) inversa de una matriz cuadrada e invertible c.
rref(a) matriz escalonada reducida por filas equivalente a a.
diag(c) produce un vector columna con los elementos diagonales de la matriz
cuadrada c.
diag(x) produce una matriz diagonal con los elementos del vector (fila o co-
lumna) x.
y = sort(x) ordena el vector x de manera decreciente.
[y, k]= sort(x): y es el vector ordenado de manera decreciente, k es un vector
que contiene los ındices del ordenamiento, o sea, y = x(k).
30
b = sort(a) ordena la matriz a de manera decreciente, considerando cada
matriz como un vector formado por la primera columna, la segunda columna,
..., la ultima columna.
b = sort(a, ‘r’) ordena la matriz a de manera decreciente por columnas.
Aunque ‘r’ tiene un significado interno de filas, el resultado externo es un
ordenamiento de las columnas.
b = sort(a, ‘c’) ordena la matriz a de manera decreciente por filas. Aun-
que ‘c’ tiene un significado interno de columnas, el resultado externo es un
ordenamiento de las filas.
m = max(x) calcula el maximo del vector (fila o columna) x.
[m, k] = max(x): m es el maximo del vector x, k indica la posicion donde
esta el maximo.
m = max(a) calcula el maximo de la matriz a.
[m, k] = max(a): m es el maximo de la matriz a, k es un vector 1x2 e indica
la posicion donde esta el maximo.
m = max(a, ‘r’) : m es un vector fila (row) que contiene los maximos de las
columnas de a.
[m, k] = max(a, ‘r’) : m es un vector fila que contiene los maximos de las
columnas de a, k es un vector fila que contiene las posiciones de los maximos.
min: semejante a max pero para el mınimo.
m = mean(x): calcula el promedio del vector (fila o columna) x.
m = mean(a): calcula el promedio de la matriz a.
m = mean(a, ‘r’) : m es un vector fila (row) que contiene los promedios las
columnas de a.
m = mean(a, ‘c’) : m es un vector columna que contiene los promedios las
filas de a.
median: semejante a mean pero para la mediana.
31
st-deviation: semejante a mean pero para la desviacion estandar.
sum: semejante a mean pero para la suma.
prod: semejante a mean pero para el producto.
norm(x): calcula la norma euclidiana del vector x (fila o columna).
norm(x, p): calcula la norma lp del vector x.
norm(a) = norm(a, 2) calcula, para la matriz a, la norma matricial generada
por la norma euclidiana, o sea, el mayor valor singular de a.
norm(a, l): calcula, para la matriz a, la norma matricial generada por la
norma l1 .
1.4.1 Descripcion del algoritmo en el Software scilab
Para describir el uso del Software scilab se tomara como ejemplo el desarrollo para la
empresa Cementos Pacasmayo S.A.A, Se tendra en cuenta los datos de las acciones
diarias en el transcurso de un ano.
El codigo de scilab comenzaremos definiendo los parametros en este caso T (perıodo de
tiempo) =0.11541, PIP(1) precio inicial de la accion de la empresa Cementos Pacasmayo
el cual sera el ultimo valor de ano 2017, sigP es la volatilidad µ, muP es el promedio
de variacion diaria, WP(1) representa al browniano en este caso cuando t=1 sera cero
y cuando t(1) esta dado en dıas este sera cero.
Se considera los siguientes parametros:
T = 0.1154, P IP (1) = 8.15, SigP = 0.0939, muP = 0..0071, WP (1) = 0, t(1) = 0
Para calcular SigP se tendra que calcular la variacion estandar del valor de las acciones
sobre su promedio.
Si faltara un dıa que no se cotizo en la bolsa de valores se le asignara a este el dıa anterior,
por decir si no hubiera el dato del dıa lunes se le asignara el dıa viernes anterior.
1T=30/260, 30 dıas a evaluar y 260 son los dıas transcurridos en el ano 2017
32
Luego de haber definido los parametros introdujimos la nocion de ciclo o “loop”para
intervalos de tiempo T, for contador=vector con los valores que puede tomar el contador.
Se realizaran 1000 repeticiones para 30 dıas lo cual se escribira de la siguiente manera:
for m=1:1000
for i=1:30
La ecuacion WP(i+1) y la ecuacion del precio de las acciones, SP(i+1) que es la solucion
de la ecuacion estocastica que representa el movimiento Browniano Geometrico, luego
se escribira dos veces end.
Luego se obtendra la media de las 1000 repeticiones:
M(1)=0
medP(1)=PIP(1)
for x=1:30
M(x+1)=x
medP(x+1)=mean(PIP(x+1,: ) )
end
Se obtendra las aproximaciones de los primeros treinta dıas del ano 2018 y la grafica
correspondiente mostrada por el software scilab.
Capıtulo 2:
Movimiento Browniano
El modelo matematico de Black-Scholes es una adaptacion del Movimiento Browniano
Geometrico sobre las acciones de una empresa para predecir el precio siguiente de dichas
acciones, a traves de un proceso estocastico.
Teorema 2.1. (Regla de la Cadena). Sean f : X −→ R, g : Y −→ R, a ∈ X ∩X ′,
b ∈ Y ∩ Y ′, f(X) ⊂ Y y f(a) = b. Si f es derivable en el punto a y g derivable en el
punto b entonces g f es derivable en el punto a, con (g f)′(a) = g′(f(a)) · f ′(a).
Demostracion.
Consideremos una sucesion de puntos xn ∈ X − a tal que lım xn = a y escribamos
yn = f(xn), de modo que lım yn = b.
Sean N1 = n ∈ N : f(xn) 6= f(a) y N2 = n ∈ N : f(xn) 6= f(a). Si n ∈ N1, entonces
yn ∈ Y − b y
g(f(xn)− g(f(a))
xn − a=
g(yn)− g(b)
yn − b· f(xn)− f(a)
xn − a
Por lo tanto, si N1 es infinito, se tiene lımn∈N1
g(f(xn)− g(f(a))
xn − a= g′(f(a)) · f ′(a).
Si N2 es infinito se tiene lımn∈N2
f(xn)− f(a)
xn − a= 0, luego f ′(a) = 0. Ası, inclusive en este
caso se tiene lımn∈N2
g(f(an)− g(f(a))
xn − a= 0 = g′(f(a)) ·f ′(a). De N = N1∪N2, resulta que,
en cualquier caso,
lımn∈N
g(f(an)− g(f(a))
xn − a= g′(f(a)) · f ′(a),
lo que prueba el teorema.
34
Definicion 2.1. Si f ∈ C2(D) se define el polinomio de Taylor de grado 2 en el punto
p como
P2(x) = f(p) +∇f(p) · (x− p) +1
2(x− p)Hf(p)(x− p)
= P1 +1
2(x− p)Hf(p)(x− p)
Observacion 2.1.
Si f(x, y) es una funcion de dos variables y p = (a, b) el polinomio de Taylor de grado 2
para la funcion f alredeor del punto p = (a, b) es, en forma extendida,
P2(x) = f(a, b) +∂f
∂x(a, b)(x− a) +
∂f
∂y(a, b)(y − b)+
+1
2
(∂2f
∂x2(x− a)2 + 2
∂2f
∂x∂y(x− a)(y − b) +
∂2f
∂y2(y − b)2
)
2.1 Proceso Estocastico
Definicion 2.2. (PROCESO ESTOCASTICO). Sea (Xt)t∈T es una familia de variables
aleatorias Xt sobre un espacio de probabilidad comun (Ω,F, P ), done dichas variables
toman valores en un espacio medible (S,Θ) llamado ESPACIO DE ESTADOS.
1. Los elementos de S se llaman estados.
2. El conjunto T /∈ φ se llama ESPACIO DE PARAMETROS del PROCESO.
3. En la mayorıa de las veces T ⊆ R o T ⊆ N ∪ 0 y cada t ∈ T representa el tiem-
po. Sin embargo, tambien hay otras interpretaciones. Usualmente observaremos
proceso en S ⊆ N o S ⊆ R.
Definicion 2.3. Sea X := (Xt)t∈T un proceso estocastico definido sobre (Ω, ξ, P ),
a) Si T ⊂ N0, entonces X se llama PROCESO CON TIEMPO DISCRETO. Como se
muestra en la figura (2.1)
35
Figura 2.1: Esta funcion es una de las posibles trayectorias del proceso estocastico.
b) Si T es un intervalo de la recta real, entonces el proceso X se llama PROCESO CON
TIEMPO CONTINUO.
Como se muestra en la figura (2.2)
Figura 2.2: Cuando el tiempo se mide de manera continua con una trayectoria tambien
continua.
36
Cada elemento w del espacio muestral tiene asociada una trayectoria del proceso
estocastico.
En todo proceso estocastico a la coleccion de valores que pueden tomar las variables
aleatorias llamaremos trayectoria.
Definicion 2.4. Sea (Xt)t∈T un proceso estocastico definido sobre (Ω, ξ, P ). Para cada
w ∈ Ω fijo, la funcion Xw : T −→ S definido por Xw(t) = Xt(w), para cada t ∈ T se
llama una TRAYECTORIA de (Xt)t∈T (o de w).
En la figura (2.3) muestra dos trayectorias de un proceso estocastica para dos puntos,
w y w′, de Ω.
Figura 2.3: Trayectora de un proceso estocastico.
Existen distintos tipos de procesos estocasticos.
Estos se obtienen al considerar:
a) Distintos espacios parametrales.
b) Distintos espacios de estado.
37
c) Distintas caracterısticas de las trayectorias
d) Distintas relaciones de dependencia estocastica entre las variables aleatorias que con-
forman el proceso.
Algunos tipos de procesos estocasticos:
1. El proceso de tiempo discreto Xt : t = 0, 1, . . . es una martingala si
E(Xn+1|X0 = X0, . . . , Xn = Xn) = Xn.
En promedio el proceso permanece constante.
2. El proceso Xt : t ≥ 0 es un proceso gaussiano si para cualquier tiempo t1, t2, . . . , tn,
el vector (Xt1Xt2 , . . . , Xtn) tiene distribucion gausiana o normal multivariada.
(Xt1Xt2 . . . , Xtn) ∼ normal multivariada.
3. El proceso Xt : t = 0, 1, . . . en donde Xt ∈ S es discreto es un proceso Markov si
para X0, X1, . . . , Xn+1) en S.
P (Xn+1 = Xn+1|X0 = X0, . . . , Xn = Xn) = P (Xn+1 = Xn+1|Xn = Xn)
4. El proceso de Wiener o Browniano es un proceso estocastico en tiempo continuo
que cumple con tres propiedades importantes. Primero es un proceso de Markov,
esto quiere decir que la distribucion de probabilidad de los futuros valores del
proceso depende solamente de sus valores presentes, segundo sus incrementos son
independientes y tercero los cambios en el proceso en un intervalo de tiempo dado
estan normalmente distribuidos con una varianza que se incrementa linealmente
con el intervalo considerado.
Definicion 2.5. (Proceso de Markov)
Los Procesos de Markov o cadena de Markov es una secuencia X1, X2, X3, . . . de variables
aleatorias. El dominio de estas variables es llamado espacio estado; el valor de Xn es
el estado del proceso en el tiempo n. Si la distribucion de probabilidad condicional de
Xn+1 en estados pasados es una funcion de Xn por sı sola, entonces:
P (Xn+1 = xn+1|Xn = xn, Xn−1 = xn−1, . . . , X1 = x1) = P (Xn+1 = xn+1|Xn = xn).
38
Donde Xi es el estado del proceso en el instante i. La identidad mostrada es la propiedad
de Markov.
Un proceso de Markov tiene la propiedad de que la probabilidad de comportamiento
futuro esta totalmente definida si se conoce el estado actual. El conocimiento de estados
previos al actual no altera la probabilidad de comportamiento futuro.
Definicion 2.6. (Proceso Wiener)
El proceso de Wiener, es un tipo de proceso Estocastico de Markov, el cual se ha usado
en fısica para describir el movimiento Browniano de una partıcula que esta sujeta a un
gran numero de pequenos “shoks”moleculares.
El comportamiento de una variable z, que sigue el proceso de Wiener puede ser entendida
al considerar los cambios en su valor en pequenos intervalos de tiempo. Existen dos
propiedades basicas que debe cumplir la variable z para seguir un proceso de Wiener.
Propiedad 1: El cambio en Z estara asociado con el cambio en t mediante la
siguiente ecuacion:
Z = ε√t (2.1)
Donde:
t = Intervalo de tiempo
Z = Cambio en la variable z durante t.
ε = Coeficiente aleatorio que tiende a una distribucion normal N(0, 1)
Propiedad 2: Los valores de Z para dos intervalos diferentes del tiempo t
son independientes.
Ası de (2.1): Z = ε√t Se tiene que Z sigue una distribucion normal con:
E(Z) =0
σ(Z) =√t
σ2(Z) = t
Si se considera el incremento en el valor de z durante un periodo relativamente
largo de tiempo, T , esto se puede denotar como z(T )− z(0).
39
Es importante destacar que los procesos de Wiener no son diferenciables pero sı conti-
nuos.
En el lımite, cuando δt −→ 0, se puede representar el incremento infinitesimal del pro-
ceso de Wiener en tiempo continuo como dz = εt√dt
Definicion 2.7. (Proceso de difusion)
Un proceso de difusion es un proceso de Wiener generalizado en el que los parametros
µ y σ, son funciones continuas de la propia variable aleatoria x y tambien del tiempo t.
Es decir, en la formula:
xt = xt−1 + µ∆t + σ∆Z (2.2)
xt − xt−1 = µ∆t+ σ∆Z (2.3)
Si en la ecuacion anterior ∆t −→ 0, entonces en tiempo continuo con µ = f(x, t),
σ = g(x, t) y ademas dicha ecuacion se puede expresar en forma diferencial.
dxt = f(xt, t)dt+ g(xt, t)dZ (2.4)
2.2 Movimiento Browniano
En el presente trabajo, utilizaremos un importante proceso estocastico denominado Mo-
vimiento Browniano o proceso de Wiener. Este proceso toma valores continuos y es
dependiente de la variable tiempo, la cual es considerada tambien continua. El Mo-
vimiento Browniano es muy apropiado para describir el comportamiento de variables
economico-financieras, como es el caso de los activos financieros.
El descubrimiento de este movimiento aleatorio se llevo a cabo de forma intuitiva en
1827 por el biologo y botanico escoces Robert Brown quien lo utilizo para describir el
movimiento aleatorio de las partıculas de polen en el agua debido a la interactuacion
de dichas partıculas con las moleculas del fluido. A este fenomeno se le denomino Mo-
vimiento Browniano.
Al principio Brown, no lograba dar con la respuesta acerca de la causa que generaba
40
el movimiento de las partıculas. Primero penso que era probable que el polen tuviera
vida. Para comprobarlo, coloco en un envase lleno de agua un poco de polen de plantas
que tenıan mucho tiempo muertas y pudo observar que el polen presentaba los mismos
movimientos.
Albert Einstein publico un artıculo en 1905,donde explico como el movimiento que
Brown habıa observado era el resultado del polen siendo movido por moleculas de agua
individuales.
Einstein relaciono conceptos ya existentes y con su genialidad pudo encontrar una forma
de demostrar la existencia de los atomos, resulta un tanto complicado detallar todas las
caracterısticas de su razonamiento, pero podemos resumir las conclusiones de la siguiente
manera:
El calor o el aumento de la temperatura no es mas que la vibracion de los atomos.
A mayor temperatura, mayor movimiento atomico.
Los atomos golpean a las partıculas por todos lados, y la suma de todas estas
fuerzas mueven a las partıculas en una direccion o en otra.
Su teorıa no solo logro explicar el Movimiento Browniano sino que sus observaciones
han sido utilizadas para diferentes ramas de la ciencia, basados en procesos estadısticos.
Mas tarde esta teorıa fue verificada por El fısico frances Jean Perrin (1870-1942) en el
ano de 1908 y que lo hizo merecedor de un premio nobel de fısica, dio una bella des-
cripcion de este fenomeno: “En un fluido en equilibrio, como el agua dentro de un vaso,
todas sus partes aparecen completamente sin movimiento. Si ponemos en el agua un
objeto de mayor densidad, cae. La caıda, es cierto, sera mas lenta si el objeto es menor;
pero un objeto visible siempre termina en el fondo del vaso y no tiende a subir. Sin em-
bargo, serıa difıcil examinar durante mucho tiempo una preparacion de partıculas muy
finas en un lıquido sin observar un movimiento perfectamente irregular. Se mueven, se
detienen, empiezan de nuevo, suben, bajan, suben otra vez, sin que se vea que tiendan
a la inmovilidad.”
Fue en 1920 aproximadamente que Norbert Wiener consiguio formalizar matematica-
41
mente el concepto de Movimiento Browniano y es por ello que, a menudo, se le denomine
tambien proceso de Wiener.
Figura 2.4: Simulacion del Movimiento Browniano.
En la figura (2.4) muestra la simulacion del movimiento Browniano que realiza una
partıcula de polvo que colisiona con un gran conjunto de partıculas de menor tamano
(moleculas de gas) las cuales se mueven en diferentes velocidades en direcciones aleato-
rias.
Un proceso aleatorio que describe el comportamiento de ciertas variables aleatorias a
medida que se desplazan en el tiempo. Este proceso se utiliza frecuentemente en los mo-
delos financieros para describir la evolucion de los precios a lo largo del tiempo. Cuando
se aplica a los precios, el movimiento browniano da por supuesto que el cambio de un
perıodo de tiempo al siguiente no esta relacionado ni con el nivel de precios ni con las
series pasadas de cambios de precio. Es decir, cada cambio de precio es independiente
de los cambios de precio anteriores y la volatilidad de los cambios de precio es constante.
Definicion 2.8. (Movimiento Browniano Aritmetico)
El Movimiento Browniano Aritmetico se expresa mediante la ecuacion:
St = St−1 + µ∆t+ σ∆Z (2.5)
42
St − St−1 = µ∆t+ σ∆Z
dZ = ξt√∆t, ε : N(0, 1)
dS = µdt+ σdZ dS : N(µdt, σ√dt)
Donde S representa el valor de un activo, µ es el rendimiento esperado del activo dt es
el intervalo temporal, σ es la volatilidad esperada del proceso y dZ es un incremento del
proceso de Wiener de distribucion normal con media 0 y varianza T .
Movimiento Browniano Geometrico
Este modelo creado por Samuelson (1965) y usado para el proceso de difusion de valor
subyacente en la formula de Black-Scholes, se adapta mucho mejor a la simulacion de
evolucion de los precios de los activos financieros.
En un movimiento geometrico browniano se modeliza el precio del activo a traves de
una distribucion lognormal y dadas las propiedades de esta distribucion el precio del
activo no puede tomar valores negativos y en cambio su rendimiento si lo puede hacer
correspondiendo a una distribucion normal.
Este modelo es el mas comunmente utilizado en la simulacion del comportamiento de
los activos financieros.
Definicion 2.9. (Movimiento Browniano Geometrico)
Un proceso estocastico unidimensional Stt≥0 es un Movimiento Browniano Geometrico
se expresa como:
St = St−1 + µSt−1dt+ σSt−1dZ (2.6)
St − St−1 = µSt−1dt+ σSt−1dZ
dS = µSdt+ σSdZ (2.7)
St = St−1e(µ−σ2
2)dt+σdZ
Siendo dZ = ε√dt, ε : (0, 1)
dS
s= N(µdt, σ
√dt)
43
Este hecho sera utilizado para estudiar la rentabilidad de una accion cuando S representa
el valor del activo, µ es la derivada o rendimiento esperado del activo dt es el intervalo
temporal sigma es la volatilidad esperada y dZ es un incremento de un proceso de
Wiener de distribucion normal con media 0 y varianza T .
Uno de los resultados mas importantes del calculo estocastico es el denominado Lema
Ito que permite determinar el comportamiento de una variable que sea, asu vez, funcion
de otra variable que siga un proceso de difusion.
Definicion 2.10. (Lema de Ito)
Sea S una variable que sigue un proceso de difusion de la forma:
dS = f(S, t)dt+ g(S, t)dZ (2.8)
donde dZ es un proceso de Wiener, f(S, t) y g(S, t) son funciones de S y t.
Sea V : R2 −→ R, una funcion de dos variables que toma valores reales de clase C2 en su
dominio, dado por V = F (S, t),∂F
∂t(S, t),
∂F
∂S(S, t) y
∂2F
∂S2(S, t) existan y sean continuas.
Entonces, la dinamica de V estara dada por una ecuacion diferencial estocastica de la
forma
dV =(g(S, t)
∂F
∂S
)dZ +
(∂F∂t
+ f(S, t)∂F
∂S+
1
2g(S, t)
∂2F
∂S2
)dt (2.9)
El primer termino es estocastico y el segundo es determinıstico
Demostracion.
De la ecuacion (2.6) del movimiento browniano se puede expresar como un proceso de
difusion de la ecuacion (2.7) donde:
f(S, t) = µS y g(S, t) = σS
Si V = F (S, t) por Taylor se tiene:
F (S + dS, t+ dt)− F (S, t) =∂F
∂S(S, t)dS +
∂F
∂t(S, t)dt+
+1
2
(∂2F
∂S2(S, t)dS2 + 2
∂2F
∂t∂S(S, t)dSdt+
∂2F
∂t2(S, t)dt2
)+R2 (2.10)
44
Pasando al lımite el resto tiende a cero y algunos terminos de mayor orden tambien.
Para tener idea del porque tengamos presente que
dZ2 ≈ dt
Por (2.7)
dS2 = µ2S2dt2 + 2µσS2dtdZ + σ2S2dZ2
El ultimo de los terminos es el unico que sobrevive es decir dS2 = σ2S2dZ2 y como
dZ2 ∼ dt entonces dS2 = σ2S2dZ2 Luego reemplazamos dS2 como corresponde en
(2.10)
F (S + dS, t+ dt)− F (S, t) =∂F
∂S(S, t)dS +
∂F
∂t(S, t)dt+
+1
2
(∂2F
∂S2(S, t)σ2S2dt
)+R2 (2.11)
y tambien reemplazamos dS
F (S + dS, t+ dt)− F (S, t) =∂F
∂S(S, t)(µSdt+ σSdZ) +
∂F
∂t(S, t)dt+
+1
2
(∂2F
∂S2(S, t)dσ2S2
)dt +R2
= σS∂F
∂S(S, t)dZ +
(∂F∂S
(S, t) + µS∂F
∂S(S, t)+
+1
2
∂2F
∂S2(S, t)dσ2S2
)dt+R2
luego el
lımt−→0
F (S + dS, t+ dt)− F (S, t) =
lımt−→0
σS∂F
∂S(S, t)dZ +
(∂F∂S
(S, t) + µS∂F
∂S(S, t) +
1
2
∂2F
∂S2(S, t)dσ2S2
)dt+R2
Se tiene que V = F (S, t) es un proceso de difusion cuya diferencial estocastica viene
determinado por:
dV = σS∂F
∂S(S, t)dZ +
(∂F∂t
(S, t) + µS∂F
∂S(S, t) +
1
2σ2S2∂
2F
∂S2(S, t)
)dt (2.12)
45
2.2.1 Aplicacion del Lema de Ito al Estudio del M.B.
Geometrico
Usaremos el lema de Ito para deducir el proceso seguido por ln(S) cuando satisface la
ecuacion (2.8). Definamos:
V (S, t) = ln(S)
con lo que se obtiene las derivadas:
∂V∂S
= 1S; ∂V
∂S= − 1
S2 ;∂V∂t
= 0
como suponemos que V satisface el lema de Ito, entonces de la ecuacion (2.12) se tiene:
dV =(µS( 1
S) + 1
2σ2S2(− 1
S2 ))dt+
(σS( 1
S))dZ
dV =(µ− 1
2σ2)dt+ σdZ (2.13)
con µ y σ constantes, por lo que esta ecuacion indica que V = ln(S) sigue un proceso
de Wiener generalizado con tasa de deriva µ− 12σ2 y varianza σ2, ambas constantes.
El cambio en ln(S) entre el tiempo cero y el tiempo T es, por lo tanto, una distribucion
normal con media (µ− 12σ2)T y varianza σ2T .
Esto significa que:
ln(ST ) ∼ N(ln(S0) + (µ− 12σ2)T, σ2T )
donde ST es el precio del activo en un tiempo futuro T y S0 es el precio inicial del
activo. Esta ecuacion nos muestra que ln(ST ) tiene distribucion normal. Una variable
tiene distribucion lognormal si el logaritmo natural de esta variable esta normalmente
distribuido.
Capıtulo 3:
Modelo matematico de las acciones
de Cementos Pacasmayo S.A.A. y
su variacion en el periodo 2017-2018
A pesar que el modelo de Black-Scholes refleja el precio de las acciones y se utiliza a
menudo en la practica tambien tiene sus defectos, lo que conlleva a la busqueda de nuevos
modelos mas realistas y complejos. Estos modelos no lo vamos a estudiar pero vamos
a comentar algunos motivos de esta necesidad de mejorar el modelo de Black-Scholes
tomando en cuenta el σ (volatilidad).
3.1 Deduccion de la Ecuacion de
Black-Scholes-Merton
Supuestos del Modelo de Black-Scholes
Ahora veremos la ecuacion que modela cualquier derivado financiero en la forma conti-
nua. Enunciaremos las hipotesis sobre las que se sustenta el modelo de Black-Scholes:
47
El precio de un activo subyacente sigue un movimiento browniano geometrico.
dS = Sµdt+ SσdZ
Es decir, el precio del activo es lognormal.
La tasa de interes libre de riesgo µ y la volatilidad σ del activo se suponen cons-
tantes durante el tiempo que dura la opcion.
No hay costos de transaccion asociados a la cobertura del portafolio.
Es decir, no existen comisiones e impuestos.
El activo subyacente no paga dividendos durante la vida del contrato de la opcion.
No hay posibilidad de arbitraje.
La ausencia de arbitraje significa que todos los portafolios libres de riesgo deben
tener el mismo retorno, es decir los mercados estan en equilibrio.
La compra y venta del activo toma lugar continuamente.
Es decir, no hay sabados, domingos y feriados.
La venta y los activos son divisibles. Asumimos que podemos comprar y vender
cualquier numero (no necesariamente entero) del activo subyacente y que esta
permitido vender aunque no tengamos posesion; es decir, se trata de un mercado
completo.
Sea V (S, t) el valor de un derivado estilo europeo, en el instante t cuando el precio del
activo subyacente es S > 0. Construiremos un portafolio P libre de riesgo de la siguiente
manera
P =
∆ Unidades del activo (Compra)
1 Derivado (V enta)
cuyo valor es∏
u = ∆Su −Vu cuando el valor del activo sube, y∏
d = ∆Sd − Vd cuando
el valor del activo baja. La estrategia es igualar∏
u a∏
d; es decir, encontraremos un ∆
tal que el portafolio tenga riesgo 0. Entonces, al igualar nos queda
48
∆Su − Vu =∆Sd − Vd
∆Su −∆Sd =Vu − Vd
∆(Su − Sd) =Vu − Vd
∆ =Vu − Vd
Su − Sd
=δV
δS
lo que tomando el lımite cuando δS tiende a 0 resulta
∆ =∂V
∂S(3.1)
que es la variacion del valor del derivado con respecto a S y es una medida de correlacion
entre los movimientos del derivado y los del activo subyacente.
En general, el valor del portafolio es∏
= ∆S − V , con lo cual
d∏
= ∆dS − dV
d∏
= ∆(Sµdt+ SσdZ)− dV (3.2)
Suponemos que V tambien cumple los supuestos enunciados anteriormente, por lo que
satisface las hipotesis del Lema de Ito, ası que tenemos una expresion para dV de (2.12).
Obtenemos de (3.1)
dV =(
∂V∂t
+ µS ∂V∂S
+ 12σ2S2 ∂2V
∂S2
)dt+
(σS ∂V
∂S
)dZ
Separando la parte determinıstica de la estocastica resulta
d∏
=(∆σS − σS ∂V
∂S
)dZ +
(∆µS − ∂V
∂t− µS ∂V
∂S− µ∂V
∂S− 1
2σ2S2 ∂2V
∂S2
)dt
y sustituyendo ∆ = ∂V∂S
obtenido anteriormente, la ecuacion queda unicamente deter-
minıstica.
d∏
= −(
∂V∂t
+ 12σ2S2 ∂2V
∂S2
)dt (3.3)
Ademas la ganancia de invertir π a una tasa sin riesgo r, durante un intervalo de tiempo
dt, serıa rπdt. Entonces asumiendo que no existe oportunidad de arbitraje y que no hay
costos de transaccion, se tendrıa que
d∏
=∏
rdt (3.4)
49
igualando (3.3) y (3.4) se llega a
r∏
dt = −(
∂V∂t
+ 12σ2S2 ∂2V
∂S2
)dt
Simplificando dt y sustituyendo∏
= ∆S − V ,∏
=∂V
∂SS − V , nos queda
r(
∂V∂S
S − V)= −
(∂V∂t
+ 12σ2S2 ∂2V
∂S2
)
∂V∂S
Sr − V r = −∂V∂t
− 12σ2S2 ∂2V
∂S2
Finalmente, despejando rV , llegamos a la ecuacion de Black-Scholes:
∂V∂t
+ 12σ2S2 ∂2V
∂S2 + rS ∂V∂S
= rV (3.5)
Con S = St es el precio del activo µ el rendimiento esperado, σ es la volatilidad y r la
tasa de interes.
Esta es la ecuacion de Blach-Scholes la cual ha sido ampliamente usada para la valori-
zacion de opciones de compra y venta.
3.2 Ecuacion Black-Scholes
Obtendremos la solucion de la ecuacion de Black-Scholes para el caso de una opcion call
europea sobre un activo de precio S con precio de ejercicio K y tiempo de expiracion
T . En este caso llamaremos V = C, la ecuacion (3.5) resulta
∂C∂t
+ 12σ2S2 ∂2C
∂S2 + rS ∂C∂S
− rC = 0
con las condiciones de frontera
C(0, t) = 0 C(S, t) ∼ S si S −→ ∞
ya que cuando el precio del activo es nulo, tambien debe serlo el de la opcion (es claro
que no se va a ejercer). Y cuando el precio tiende a infinito S−K se va a aproximar a S.
50
Tambien recordemos la condicion final, es decir, el PAY-OFF (Periodo de amortizacion
de una deuda o periodo de recuperacion de una deuda o de una inversion) de la opcion.
C(S, T ) = maxS −K, 0
Con todo lo anterior, podemos describir el modelo de la siguiente manera:
∂C∂t
+ 12σ2S2 ∂2C
∂S2 + rS ∂C∂S
− rC = 0 S ∈ (0,∞), t ∈ [0, T )
C(S, T ) = maxS −K, 0 S ∈ (0,∞)
C(0, t) = 0 t ∈ [0, T )
C(S, t) ≈ S t ∈ [0, T ), S −→ ∞
(3.6)
Nos concentraremos en las dos primeras ecuaciones de (3.6), pues posteriormente vere-
mos que las ultimas dos, que describen el comportamiento de C en los bordes, tambien
se van a satisfacer. Entonces nuestro modelo queda como sigue:
∂C∂t
+ 12σ2S2 ∂2C
∂S2 + rS ∂C∂S
− rC = 0 S ∈ (0,∞), t ∈ [0, T )
C(S, T ) = maxS −K, 0 S ∈ (0,∞)(3.7)
3.3 Modelo para el Precio de un Activo
Bajo ciertas hipotesis sobre el mercado, el modelo sugerido por Black y Scholes describe
el comportamiento del precio del activo subyacente. Estas hipotesis son:
Las transacciones no tienen costo y son instantaneas.
Se supone que no existe arbitraje, es decir, en ningun momento es posible obtener
un beneficio sin asumir riesgo alguno.
Observacion 3.1. El modelo de Black-Scholes tiene un continuo de periodos t ∈ [0, T ]
y consta de dos activos:
51
S = (St)t∈[0,T ] que evoluciona en forma determinıstica segun la ley:
dSt
St
= rdt S0 = 1
donde r es la tasa de interes por la unidad de tiempo. S representa un bono.
La solucion es St = S0ert, donde S0 es condicion inicial, es un monto inicial deposi-
tado o pedido prestado. Algunos autores lo llaman cuenta monetaria de mercado,
reservando el termino bono, mas bien, para un tipo de contrato financiero que pro-
mete un pago seguro en una fecha futura, como los bonos que emiten los estados
por ejemplo.
El precio de la accion S = (St)t∈[0,T ] es la evolucion aleatoria,
dSt
St
= µdt+ σdZ
donde µ es la rentabilidad del activo, σ la volatilidad y Z es un proceso de Wiener.
La solucion de la ecuacion fue introducida por primera vez por el economista
Samuelson en (1965) y es incorporada luego por Black-Scholes en su artıculo en
(1973), donde publican su famosa formula que establece el precio de una opcion
Europea.
El modelo de Black-Scholes considera un activo con riesgo (el activo subyacente) con
precio St al tiempo t, y un activo sin riesgo con precio S0t al tiempo t.
Ademas, para describir el comportamiento de St , supone que este satisface una Ecuacion
Diferencial Estocastica de tiempo continuo. Tambien se supone que el precio del activo
sin riesgo satisface la siguiente ecuacion diferencial ordinaria.
dS0t = r(t)S0
t dt, (3.8)
Donde r(t) es una tasa de interes libre de riesgo. Si se pone S00 = 1 en la ecuacion (3.8),
se obtiene que:
S0t = exp
( ∫ t
0
r(t)dt), S0
t = exp(rt) si r es constante.
52
Para describir el precio del activo, en el modelo de Black-Scholes se descompone el
rendimiento dSt
St
como la suma de un termino determinista µdt, y un termino aleatorio
σttdWt, en el cual se modelan las variaciones del precio debido a causas externas.
De manera mas precisa, en el modelo de Black-Scholes se supone que el precio del activo
con riesgo es una solucion de la siguiente Ecuacion Diferencial Estocastica.
dSt = µStdt + σStdZt, t ∈ [0, T ] (3.9)
donde Zt es un movimiento deWiener estandar en un espacio de probabilidad(∑
, A,P),
σ es la volatilidad (una medida de la incertidumbre en el precio) y µ el drift (una tasa
de crecimiento promedio del precio).
F (t, y)= yt = ln(St)
Hallamos las derivadas:
∂y
∂t= 0
∂y
∂xt
=1
St
∂2y
∂x2t
= -1
S2t
Donde dXt es un proceso de Wiener. Si f(t, x) es una funcion escalar doblemente dife-
renciable, su expansion en serie de Taylor es:
df =∂f
∂tdt+
∂f
∂xdx+
∂2f
∂x2dx2 + . . .
sustituyendo dx por µStdt+σStdZ tenemos:
df =∂f
∂tdt+
∂f
∂x
(µStdt + σStdZ
)+
1
2
∂2f
∂x2
(µStdt + σStdZ
)2
+ . . .
df =∂f
∂tdt+
∂f
∂x
(µStdt + σStdZ
)+
1
2
∂2f
∂x2
(µ2S2
t d2t + 2µσStdtdZ + σ2S2
t dZ2)+ . . .
53
En el Limite t −→ 0, los terminos t y tdZ tienden a cero mas rapido que dX2t , que es la
(dt). Configuracion de los terminos t2 y tdZ a cero, reemplazando t por dZ2 y recogiendo
terminos de dt y dZ por dX , obtenemos
df =(∂f∂t
+ µSt
∂f
∂x+
σ2
2S2t
∂2f
∂x2
)dt+ σSt
∂f
∂xdXt
como se requiere:
d(ln(St)) =(0 + µSt(
1
St
) +σ2
2S2t (−
1
S2t
))dt+ σSt
1
St
dXt
d(ln(St)) = (µ− σ2
2)dt+ σdXt (3.10)
La interpretacion de la diferencial estocastica es:
ln(St)− ln(S0) =
∫ t
0
(µ− σ2
2)dt+
∫ t
0
σdXt (3.11)
ln(St) = ln(S0) + (µ− σ2
2)t + σXt (3.12)
El precio del activo sigue la evolucion de un proceso lognormal, en un tiempo t dado
por:
St = eln(S0)+(µ−σ2
2)t+σXt
St = S0e(µ−σ2
2)t+σXt (3.13)
Permitiendo esta expresion simular evoluciones de precios para S0, µ y σ conocidos.
Podemos observar que, en ausencia de riesgo (σ = 0), el crecimiento es exponencial.
Hasta este punto se cuenta con una Ecuacion Diferencial Estocastica que describe el
comportamiento del precio de un activo.
54
3.3.1 La volatilidad implıcita y la sonrisa de la volatilidad
La volatilidad implıcita de una opcion es el valor de la volatilidad que, introducido en
la formula de Black-Scholes, proporciona un precio teorico igual al precio de mercado
de la misma.
La volatilidad implıcita es un reflejo de las expectativas del mercado sobre la volatilidad
del subyacente, por lo que comunmente se le toma como la “volatilidad real de mercado”.
Su valor esta sujeto a los cambios en los precios del subyacente y delas primas para cada
nivel de precios de ejercicio, lo que significa que el cambio de valor de la volatilidad
implıcita refleja los efectos de oferta y demanda de las opciones (opciones con mayor
demanda conduciran a un mayor valor de sus primas).
Esto quiere decir que para un conjunto de precios de ejercicio contaremos con un conjunto
de volatilidades implıcitas que nos permite visualizar la estructura de comportamiento
del activo subyacente en relacion a su precio de ejercicio, y que comunmente se le conoce
como “sonrisa” o “mueca”de volatilidad. Esta relacion adopta usualmente dos tipos de
patrones, ya sea una funcion cuadratica o bien una funcion decreciente.
Sonrisa De Volatilidad De Patron Cuadratico
Consideremos en el primer lugar el caso de que la verdadera distribucion del precio
del subyacente tiene colas mas “pesadas”que la distribucion de Black-Scholes (ver
figura (3.1)). En este caso la sonrisa de volatilidad adoptarıa un patron de tipo
cuadratico. Para comprobarlo considerese una opcion de compra considerablemen-
te fuera de dinero, es decir con un precio de ejercicio considerablemente mayor que
el precio actual del subyacente. Esta opcion se situarıa en la parte derecha del pri-
mer grafico de la figura (3.1). Esta opcion solo tendra valor si se produce un gran
aumento en el precio del subyacente. Por tanto, su valor solo dependera de la cola
derecha de la distribucion.
Analogamente, una opcion de venta considerablemente fuera de dinero, con precio
de ejercicio considerablemente menor que el precio actual del subyacente, que se
55
Precio de Subyacente
Den
sid
ad
Precio de Ejercicio
Vo
lati
lid
adIm
plí
cita
Figura 3.1: El grafico de la izquierda muestra una sonrisa de tipo cuadratico. El grafico de
la derecha el histograma indica la forma que tendrıa en este caso la verdadera distribucion
del precio del subyacente.
situarıa en la parte izquierda del primer grafico de la figura (3.1), solo tendra valor
si se produce un gran descenso en el precio del subyacente. Por tanto, su valor solo
dependera de la cola izquierda de la distribucion.
En el segundo grafico de la figura (3.1) el histograma muestra la forma de la ver-
dadera distribucion de probabilidad del subyacente mientras que la lınea continua
muestra la distribucion asumida por la formula de Black-Scholes. Entonces, si la
verdadera distribucion tiene colas mas “pesadas”que la de Black-Scholes, los pre-
cios de mercado de opciones fuera de dinero tenderan a ser mayores que los que
se obtendrıan mediante la formula de Black-Scholes. Equivalentemente, la formula
de Black-Scholes tendera a infravalorar las opciones de compra y de venta fuera
de dinero (ası como las opciones en dinero tanto de compra como de venta, por la
paridad put-call), tal como se aprecia en la figura (3.1), provocando una sonrisa
de volatilidad de tipo cuadratico.
Sonrisas de volatilidad de tipo cuadratico tienden a observarse en los mercados
de opciones sobre divisas. Segun Hull (2002) una posible explicacion estarıa aso-
ciada con los saltos que se observan en los tipos de cambio como consecuencia de
las decisiones de los bancos centrales, que tienden a aumentar la volatilidad de
los tipos de cambio, aumentando tanto la probabilidad de grandes caıdas como la
56
probabilidad de grandes subidas, generando distribuciones con las colas “pesadas”.
Sonrisa De Volatilidad de Patron Decreciente
Precio del Subyacente
Den
sid
ad
Precio de Ejercicio
Vo
lati
lid
adIm
plí
cita
Figura 3.2: El grafico de la izquierda muestra una sonrisa de volatilidad decreciente.
En el grafico de la derecha el histograma muestra la forma que tendra en este caso la
verdadera distribucion del precio del subyacente, con la cola izquierda mas “pesada 2la
cola derecha mas “ligera”que la distribucion asumida por Black-scholes representada por
medio de la lınea continua.
Consideremos ahora el caso de que la verdadera distribucion de probabilidad del
precio del subyacente tenga la cola izquierda mas “pesada 2la cola derecha mas
“ligera”que la de Black-Scholes, como se aprecia en la figura (3.2). Esta situa-
cion se corresponderıa con una sonrisa de volatilidad decreciente. En este caso la
verdadera probabilidad de grandes caıdas en el precio del subyacente es mayor
que la probabilidad que se derivarıa de la distribucion asumida por Black-Scholes.
Por tanto, los precios de mercado de las opciones de venta fuera de dinero (y de
compra en dinero por la paridad put-call) tenderıan a ser mayores que los precios
derivados de la formula de Black-Scholes.
Por otra parte, dado que la verdadera probabilidad de grandes subidas en el precio
del subyacente es menor que la derivada de la distribucion asumida por Black-
Scholes, los precios de mercado de las opciones de venta en dinero (y de compra
fuera de dinero) tenderan a ser menores que los teoricos. Equivalentemente, la
57
formula de Black-Scholes tenderıa a sobrevalorar las opciones de venta en dinero
(y las opciones de compra fuera de dinero) y a infravalorar las opciones de compra
en dinero (ası como las opciones de venta fuera de dinero). Sonrisas de volatili-
dad como la representada en la figura (3.2) tienden a observarse en los mercados
de opciones sobre acciones y sobre ındices bursatiles. La explicacion podrıa es-
tar relacionada con la conocida relacion negativa observada entre el precio de las
acciones y la volatilidad. Ası, es frecuente observar que la volatilidad del precio
de las acciones tiende a aumentar cuando los precios disminuyen, “engrosando” la
cola izquierda de la distribucion, posiblemente como consecuencia del mayor riesgo
percibido por los inversores para las acciones de la empresa en cuestion. Analo-
gamente, la volatilidad del precio de las acciones tiende a disminuir cuando los
precios suben, “aligerando”la cola derecha de la distribucion, como consecuencia
del menor riesgo percibido.
3.4 Propuestas al Modelo de Black-Scholes
Basandose en la ecuacion (3.10) y (3.11), se procede a integrar las ecuaciones.
d(ln(St)) = (µ− σ2
2)dt+ σdXt
ln(St)− ln(S0) =
∫ t
0
(µ− σ2
2)dt+
∫ t
0
σdXt
ln(St) = ln(S0) +
∫ t
0
(µ− σ2
2)dt+
∫ t
0
σdXt
eln(St) = eln(S0)+
∫ t
0
(µ− σ2
2)dt+
∫ t
0
σdXt
eln(St) = eln(S0) · e
∫ t
0
(µ− σ2
2)dt+
∫ t
0
σdXt
eln(St) =
eln(S0) · e
∫ t
0
(µ− σ2
2)dt+
∫ t
0
σdXt
58
El analisis se lleva a cabo en la mejora de la estimacion, modificando σ (Volatilidad)
al cual ya no sera constante si no que dependera de t.
St = S0 · e
∫ t
0
(µ− σ2
2)dt+
∫ t
0
σdXt
(3.14)
Las propuestas de mejora es un modelo basado en Black-Scholes partiendo de la ecuacion
(3.14).
La volatilidad en el caso de mercado de valores, no puede ser constante ya que el pre-
cio esta sujeto al tiempo, por ejemplo una accion puede valer S/25.00 el dıa de hoy y
manana s/12.00 ya que puede ser por caso externo (crisis polıticas, cambio de moneda,
entre otras) encontrados en el numeral 3.6-2.
Se define la volatilidad que dependera de t (tiempo), σ = σf(t), donde:
σ es constante y f(t) funcion que depende de t.
La cual por el estudio de la sonrisa de volatilidad dada por Herzel, la sonrisa de volati-
lidad podıa ser de patron cuadratico o de patron decreciente.
En este trabajo planteamos cuatro propuestas, como por ejemplo f(t) =√t.
Nos basaremos en dar cuatro propuestas y mediante el software scilab, haremos una
comparacion, evaluando cual de las propuestas se asemeja a valor real estimado.
La propuesta de mejora es un modelo basado en Black-Scholes partiendo de la ecuacion
(3.18).
3.4.1 Propuesta 1
De la ecuacion (3.14) se tiene
St = S0 · e
∫ t
0
(µ− σ2
2)dt+
∫ t
0
σdXt
Para σ1 = σ√t
59
S(t) = S0 · e
∫ t
0
(µ− (σ
√t)2
2
)dt+
∫ t
0
σ√tdXt
S(t) = S0 · e
∫ t
0
(µ− σ2t
2
)dt +
∫ t
0
σ√tdXt
S(t) = S0 · e(µ−σ2t
2
)t
∣∣t0+σ
√tdXt
∣∣t0
S(t) =S0 · e(µ−σ2t
2
)t+σ
√tdXt
=⇒ S(t) = S0 · e(µ−σ2t
2
)t+σ
√tdXt (3.15)
3.4.2 Propuesta 2
De la ecuacion (3.14) se tiene
S(t) = S0 · e
∫ t
0
(µ− σ2
2)dt+
∫ t
0
σdXt
Para σ2 = σ(1 + 1t2)
S(t) = S0 · e
∫ t
0
(µ− (σ(1+
1t2
))2
2
)dt+
∫ t
0
σ(1 + 1t2)dXt
S(t) = S0 · e
∫ t
0
(µ− σ2(1+
2t2
+1t4
)
2
)dt+
∫ t
0
σ(1 + 1t2)dXt
S(t) = S0 · e(µ−
σ2(1+2t2
+1t4
)
2
)t
∣∣t0+σ(1+
1t2
)dXt
∣∣t0
S(t) = S0 · e(µ−σ2
2
(1+
2t2
+1t4
))t+σ
(1+
1t2
)dXt
=⇒ S(t) = S0 · e(µ−σ2
2
(1+
2t2
+1t4
))t+σ
(1+
1t2
)dXt (3.16)
60
3.4.3 Propuesta 3
De la ecuacion (3.14) se tiene
S(t) = S0 · e
∫ t
0
(µ− σ2
2)dt+
∫ t
0
σdXt
Para σ3 = σ√
2t
S(t) = S0 · e
∫ t
0
(µ−
(σ
√
2t
)2
2
)dt+
∫ t
0
σ√
2tdXt
S(t) = S0 · e
∫ t
0
(µ− σ2
(2t
)2
)dt+
∫ t
0
σ√
2tdXt
S(t) = S0 · e
∫ t
0
(µ− σ2
t
)dt+
∫ t
0
σ√
2tdXt
S(t) = S0 · e(µ−σ2
t
)t
∣∣t0+σ
√
2tdXt
∣∣t0
S(t) = S0 · e(µ−σ2t
2
)t+σ
√
2tdXt
=⇒ S(t) = S0e
(µ−σ2t
2
)t+σ
√
2tdXt
(3.17)
3.4.4 Propuesta 4
De la ecuacion (3.14) se tiene
S(t) = S0 · e
∫ t
0
(µ− σ2
2)dt+
∫ t
0
σdXt
Para σ4 = σtα2 , α ∈ [0, 2].
En este caso se escogieron los valores α=(0.4; 0.8; 1.2; 1.6; 1.99)
61
S(t) = S0 · e
∫ t
0
(µ− (σt
α2 )2
2
)dt+
∫ t
0
σtα2 dXt
S(t) = S0 · e
∫ t
0
(µ− σ2tα
2
)dt+
∫ t
0
σtα2 dXt
S(t) = S0 · e(µ−σ2
2tα)t
∣∣t0+σt
α2 dXt
∣∣t0
S(t) = S0 · e(µ−σ2
2tα)t+σt
α2 dXt
=⇒ S(t) = S0e
(µ−σ2
2tα)t+σt
α2 dXt (3.18)
3.5 Aplicacion del Modelo Matematico
Tomaremos los valores reales del ano 2017 que se encuentran en el anexo 3 de la tabla
(3.7), utilizando el software scilab dados en el anexo 3.7 algoritmos en scilab para los
30 primeros dıas del ano 2018. Disenados para el modelo de Black-Scholes en el precio
de las acciones, ası como en cada una de las propuestas, tomandose el menor margen de
error obtenido.
3.5.1 Valores Simulados para los 30 primeros dıas del ano 2018
Los resultados obtenidos de la volatilidad fueron considerados de los datos de la tabla
(3.6 ) anexo 2: valores de acciones de enero a diciembre 2015-2018 para encontrar en
cada ano la volatilidad.
62
Tabla 3.1: Variacion de la volatilidad 2015-2018
Volatilidad de los anos 2015-2018
ANO VALOR
2015 0.0946
2016 0.1209
2017 0.0939
2018 0.0813
Figura 3.3: Variacion de la volatilidad 2015-2018
63
Tabla 3.2: Valores Simulados para los 30 primeros dıas del ano 2018
Valores Simulados del Modelo
Ano-2018 Real Real Black Schole Propuesta 1 Propuesta 2 Propuesta 3Propuesta 4 ERROR
a=0.4 a=0.8 a=1.2 a=1.6 a=1.99 error1 error2 error3 error4 error5
8.15 8.15 8.15 8.15 8.15 8.15 8.15 8.15 8.15
02/01/2018 8.05 8.05 8.3376 0.9890 8.5348 8.4112 8.3376 8.3376 8.3376 7.9617 8.3376 0.0827 49.8583 0.2351 0.1305 0.0827 0.0827 0.0827 0.0078 0.0827
03/01/2018 8.1 8.1 8.5224 1.9821 8.6198 8.5224 8.5756 8.6367 8.7067 7.4965 8.8766 0.1784 37.4283 0.2701 0.1784 0.2262 0.2880 0.3681 0.3642 0.6031
04/01/2018 8.05 8.05 8.5414 2.9582 8.5870 8.4739 8.6311 8.7420 8.8786 7.0029 9.2447 0.2414 25.9264 0.2883 0.1797 0.3377 0.4789 0.6865 1.0965 1.4272
05/01/2018 8.1 8.1 8.8167 3.9732 8.8608 8.6279 9.0238 9.2986 9.6633 6.7026 10.7680 0.5136 17.0301 0.5789 0.2786 0.8533 1.4365 2.4439 1.9527 7.1183
08/01/2018 8.05 8.05 9.0514 4.9865 9.0901 8.7274 9.3921 9.8714 10.5489 7.2423 12.8347 1.0029 9.3848 1.0818 0.4588 1.8012 3.3175 6.2445 0.6524 22.8932
09/01/2018 8.11 8.11 9.2982 6.0055 9.3328 8.8193 9.8024 10.5509 11.6753 8.6873 15.9218 1.4119 4.4289 1.4953 0.5030 2.8641 5.9580 12.7111 0.3332 61.0235
10/01/2018 8.11 8.11 8.9791 6.9583 8.9973 8.6137 9.3536 9.9059 10.7120 8.6025 13.3185 0.7553 1.3265 0.7873 0.2538 1.5466 3.2251 6.7705 0.2425 27.1284
11/01/2018 8.15 8.15 9.1957 7.9859 9.2134 8.6943 9.7224 10.5351 11.7862 9.0143 16.2083 1.0935 0.0269 1.1308 0.2963 2.4723 5.6889 13.2219 0.7470 64.9366
12/01/2018 8.25 8.25 9.4231 9.0190 9.4403 8.7712 10.1277 11.2644 13.1107 9.0717 20.2818 1.3761 0.5913 1.4169 0.2717 3.5256 9.0867 23.6268 0.6752 144.7644
15/01/2018 8.25* 8.25 9.5627 10.0453 9.5783 8.8048 10.4006 11.7970 14.1484 9.6565 23.5368 1.7232 3.2231 1.7644 0.3078 4.6249 12.5809 34.7910 1.9783 233.6873
16/01/2018 8.35 8.35 10.0357 11.1163 10.0533 8.9648 11.2810 13.5059 17.6465 11.1991 39.2892 2.8416 7.6525 2.9011 0.3780 8.5909 26.5832 86.4248 8.1172 957.2371
17/01/2018 8.4 8.4 10.0117 12.1337 10.0263 8.9290 11.2843 13.5868 17.8968 15.3689 38.2642 2.5977 13.9404 2.6449 0.2798 8.3192 26.9033 90.1892 48.5657 891.8692
18/01/2018 8.4 8.4 9.9823 13.1546 9.9946 8.8961 11.2707 13.6223 18.0158 19.4567 35.5245 2.5038 22.6059 2.5426 0.2461 8.2409 27.2719 92.4632 122.2509 735.7363
19/01/2018 8.4 8.4 10.2150 14.2123 10.2270 8.9548 11.7575 14.6901 20.4803 18.6131 45.1513 3.2941 33.7833 3.3378 0.3078 11.2728 39.5651 145.9341 104.3071 1350.6574
22/01/2018 8.4 8.4 11.5434 15.3843 11.5615 9.3436 14.5567 21.2908 38.7592 22.9660 249.9774 9.8807 48.7811 9.9949 0.8904 37.9045 166.1720 921.6794 212.1676 58359.6547
23/01/2018 8.32 8.32 11.3059 16.4062 11.3206 9.2449 14.1211 20.3579 36.0775 19.4296 176.0286 8.9156 65.3870 9.0035 0.8555 33.6532 144.9099 770.4795 123.4229 28126.1577
24/01/2018 8.36 8.36 11.5765 17.4800 11.5908 9.2952 14.7950 22.2457 42.3060 20.9161 238.9296 10.3459 83.1752 10.4380 0.8746 41.4096 192.8115 1152.3333 157.6549 53162.3358
25/01/2018 8.28 8.28 12.0086 18.5731 12.0232 9.3848 15.8734 25.3864 53.6704 23.2340 406.6111 13.9025 105.9469 14.0114 1.2205 57.6603 292.6297 2060.2896 223.6220 158667.6652
26/01/2018 8.25 8.25 11.6470 19.5987 11.6587 9.2673 15.1035 23.3789 46.3955 24.5092 200.1924 11.5397 128.7939 11.6194 1.0349 46.9709 228.8848 1455.0801 264.3631 36841.8964
29/01/2018 8.25 8.25 11.5966 20.6571 11.6070 9.2346 15.0515 23.3602 46.2779 51.0237 147.1074 11.1999 153.9366 11.2697 0.9694 46.2603 228.3169 1446.1243 1829.5921 19281.3636
30/01/2018 8.2 8.2 12.0982 21.7744 12.1092 9.3381 16.3359 27.2833 61.3605 98.8270 265.2032 15.1958 184.2652 15.2819 1.2953 66.1933 364.1739 2826.0411 8213.2580 66050.6242
31/01/2018 8.35 8.35 12.1966 22.8582 12.2069 9.3420 16.6580 28.4438 66.1056 92.9709 232.4713 14.7964 210.4871 14.8760 0.9840 69.0233 403.7604 3335.7041 7160.6920 50230.3347
01/02/2018 8.33 8.33 12.1498 23.9334 12.1591 9.3137 16.6103 28.4346 65.7791 80.8630 147.9849 14.5908 243.4655 14.6623 0.9676 68.5633 404.1968 3300.3935 5261.0304 19503.5023
02/02/2018 8.33 8.33 12.7228 25.0718 12.7328 9.4223 18.1929 33.9122 91.1368 115.8705 284.0610 19.2968 280.2883 19.3849 1.1932 97.2762 654.4512 6856.9610 11564.9656 76027.5788
05/02/2018 8.25 8.25 12.1823 26.1112 12.1902 9.2904 16.8243 29.3708 68.8979 78.6598 61.4754 15.4626 319.0227 15.5255 1.0824 73.5190 446.0890 3678.1683 4957.5436 2832.9477
06/02/2018 8 8 12.0670 27.1944 12.0741 9.2527 16.5787 28.6471 64.9950 34.8183 27.0183 16.5404 368.4259 16.5986 1.5692 73.5935 426.3012 3248.4333 719.2207 361.6968
07/02/2018 8 8 11.7170 28.2560 11.7229 9.1673 15.7113 25.8840 52.7348 38.4974 6.3575 13.8158 410.3050 13.8603 1.3626 59.4634 319.8384 2001.2007 930.0906 2.6978
08/02/2018 8 8 11.6157 29.3488 11.6211 9.1369 15.4871 25.1986 49.2296 13.3529 2.3092 13.0732 455.7707 13.1121 1.2925 56.0571 295.7927 1699.8830 28.6534 32.3854
09/02/2018 8 8 12.1280 30.5174 12.1338 9.2330 16.8925 29.8908 67.5184 10.9705 3.3292 17.0401 507.0342 17.0885 1.5203 79.0774 479.2071 3542.4432 8.8238 21.8160
12/02/2018 8 8 12.7718 31.7011 12.7783 9.3480 18.7581 36.7982 99.8965 14.9884 6.1728 22.7698 561.7444 22.8320 1.8171 115.7363 829.3389 8444.9619 48.8379 3.3388
247.9823 4354.0364 250.0343 22.9996 1077.1201 6039.3411 47256.1346 41995.2294 574005.1609
Fuente: Elaboracion Propia
64
0 2010 302 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28
8
8.2
8.4
8.1
8.3
8.05
8.15
8.25
8.35
0 2010 302 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28
10
8
12
9
11
13
8.5
9.5
10.5
11.5
12.5
t
BLACK SCHOLES
a) Valor Real ano 2018 b) Black-Scholes ano 2018
0 2010 302 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28
0
20
10
30
5
15
25
35
t
PROPUESTA 1
0 2010 302 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28
10
8
12
9
11
13
8.5
9.5
10.5
11.5
12.5
t
PROPUESTA 2
c) Propuesta 1 ano 2018 d) Propuesta 2 ano 2018
0 2010 302 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28
8
9
8.2
8.4
8.6
8.8
9.2
9.4
9.6
t
POPUESTA 3
e) Propuesta 3 ano 2018
Figura 3.4: Valores Simulados para los 30 primeros dıas del ano 2018
65
0 2010 302 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28
20
10
8
12
14
16
18
9
11
13
15
17
19
t
PROPUESTA 4 ALFA 0.4
0 2010 302 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28
20
40
10
30
5
15
25
35
t
PROPUESTA 4 ALFA 0.8
a) Propuesta 4 para α =0.4 ano 2018 b) Propuesta 4 para α =0.8 ano 2018
0 2010 302 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28
0
100
20
40
60
80
10
30
50
70
90
t
PROPUESTA 4 ALFA 1.2
0 2010 302 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28
0
200
100
300
50
150
250
350
t
PROPUESTA 4 ALFA 1.6
c) Propuesta 4 para α =1.2 ano 2018 d) Propuesta 4 para α =1.6 ano 2018
0 2010 302 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28
0
200
400
100
300
50
150
250
350
450
t
PROPUESTA 4 ALFA 1.99
e) Propuesta 4 para α =1.99 ano 2018
Figura 3.5: Valores Simulados para los 30 primeros dıas del ano 2018 en la propuesta
4.
66
Figura 3.6: Valores Simulados para los 30 primeros dıas del ano 2018
Figura 3.7: Comparacion de las propuestas Black-Scholes, Propuesta 3 y Valores reales
ano 2018
67
3.5.2 Valores Simulados para los 30 primeros dıas del ano 2019
Los resultados obtenidos de la volatilidad fueron considerados de los datos de la tabla
(3.6 ) anexo 2: valores de acciones de enero a diciembre datos del ano 2018.
Tabla 3.3: Datos obtenidos para la simulacion del ano 2019
Total de dias 260
Promedio 7.5147
Varianza 0.6107
Volatilidad 0.0813
Promedio muP -0.0062
T(30/260) 0.1154
Precio Inicial PIP 6.4500
68
Tabla 3.4: Valores Simulados para los 30 primeros dıas del ano 2019
Valores Simulados del Modelo
Ano-2019 Real RealBlack Schole Propuesta 1 Propuesta 2 Propuesta 3
Propuesta 4 ERROR
a=0.4 a=0.8 a=1.2 a=1.6 a=1.99 error1 error2 error3 error4 error5
6.45 6.45 6.45 6.45 6.45 6.45 6.45 6.45 6.45
02/01/2019 6.45 6.45 6.5694 0.7770 6.6763 6.6199 6.5694 6.5694 6.5694 6.5694 6.5694 0.0143 32.1825 0.0512 0.0289 0.0143 0.0143 0.0143 0.0143 0.0143
03/01/2019 6.43 6.43 6.6861 1.5394 6.7418 6.6861 6.7225 6.7642 6.8122 6.8671 6.9285 0.0656 23.9182 0.0972 0.0656 0.0855 0.1117 0.1461 0.1911 0.2485
04/01/2019 6.42 6.42 6.6899 2.2687 6.7143 6.6437 6.7513 6.8274 6.9213 7.0368 7.1743 0.0728 17.2329 0.0866 0.0500 0.1098 0.1660 0.2513 0.3804 0.5689
07/01/2019 6.39 6.39 6.8668 3.0139 6.8917 6.7385 7.0074 7.1940 7.4416 7.7703 8.1931 0.2273 11.3983 0.2517 0.1214 0.3812 0.6464 1.1060 1.9052 3.2513
08/01/2019 6.39 6.39 7.0152 3.7396 7.0372 6.7960 7.2452 7.5681 8.0235 8.6689 9.5584 0.3909 7.0244 0.4189 0.1648 0.7313 1.3878 2.6684 5.1932 10.0388
09/01/2019 6.5 6.5 7.1707 4.4527 7.1905 6.8482 7.5089 8.0090 8.7565 9.8876 11.5638 0.4498 4.1915 0.4768 0.1212 1.0179 2.2771 5.0918 11.4761 25.6421
10/01/2019 6.55 6.55 6.9476 5.0910 6.9571 6.7002 7.2014 7.5761 8.1258 8.9170 9.9664 0.1581 2.1288 0.1657 0.0226 0.4243 1.0529 2.4833 5.6026 11.6719
11/01/2019 6.61 6.61 7.0828 5.7767 7.0922 6.7448 7.4373 7.9839 8.8271 10.1113 11.9123 0.2236 0.6944 0.2325 0.0182 0.6844 1.8877 4.9154 12.2594 28.1148
14/01/2019 6.66 6.66 7.2243 6.4500 7.2336 6.7868 7.6955 8.4532 9.6824 11.6695 14.6257 0.3185 0.0441 0.3290 0.0161 1.0723 3.2156 9.1347 25.0952 63.4517
15/01/2019 6.66 6.66 7.3069 7.1006 7.3153 6.7995 7.8651 8.7913 10.3477 12.9538 16.8750 0.4185 0.1941 0.4294 0.0195 1.4523 4.5423 13.5994 39.6124 104.3455
16/01/2019 6.61 6.61 7.6085 7.7730 7.6181 6.8966 8.4282 9.8766 12.5387 17.6129 26.7647 0.9969 1.3525 1.0162 0.0821 3.3059 10.6704 35.1492 121.0638 406.2099
17/01/2019 6.64 6.64 7.5823 8.3822 7.5902 6.8629 8.4202 9.9211 12.7054 17.9656 26.7248 0.8880 3.0354 0.9028 0.0497 3.1690 10.7656 36.7888 128.2686 403.3976
18/01/2019 6.66 6.66 7.5528 8.9781 7.5592 6.8313 8.4013 9.9373 12.7947 18.0627 25.7075 0.7970 5.3734 0.8085 0.0293 3.0321 10.7407 37.6346 130.0214 362.8058
21/01/2019 6.62 6.62 7.6944 9.5895 7.7007 6.8605 8.7042 10.6022 14.3188 21.6201 32.6019 1.1543 8.8177 1.1679 0.0578 4.3440 15.8581 59.2714 225.0038 675.0616
22/01/2019 6.5 6.5 8.5418 10.2836 8.5519 7.1076 10.4597 14.6121 24.9201 55.2941 148.5396 4.1692 14.3155 4.2103 0.3692 15.6789 65.8057 339.2982 2380.8613 20175.2480
23/01/2019 6.5 6.5 8.3780 10.8317 8.3860 7.0325 10.1762 14.0494 23.4685 49.5008 114.1017 3.5270 18.7633 3.5571 0.2835 13.5142 56.9939 287.9292 1849.0718 11578.1151
24/01/2019 6.5 6.5 8.5397 11.4088 8.5475 7.0555 10.5829 15.1642 27.0012 62.5339 155.5535 4.1605 24.0964 4.1921 0.3086 16.6701 75.0689 420.2997 3139.7972 22216.9310
25/01/2019 6.55 6.55 8.8030 11.9868 8.8109 7.1042 11.2345 16.9949 33.2647 89.2173 259.4381 5.0759 29.5589 5.1117 0.3072 21.9446 109.0952 713.6735 6833.8889 63952.4114
28/01/2019 6.55* 6.55 8.5613 12.4909 8.5675 7.0172 10.7487 15.8198 29.4081 70.1332 148.7633 4.0454 35.2944 4.0705 0.2182 17.6291 85.9284 522.4913 4042.8292 20224.6170
29/01/2019 6.55 6.55 8.5176 13.0078 8.5231 6.9858 10.7043 15.8043 29.4367 68.3630 121.4385 3.8714 41.7036 3.8929 0.1899 17.2579 85.6427 523.7988 3820.8530 13199.3743
30/01/2019 6.59 6.59 8.8236 13.5605 8.8294 7.0435 11.4776 18.0738 37.7106 104.2171 217.0899 4.9889 48.5872 5.0149 0.2056 23.8885 131.8780 968.4896 9531.0409 44310.2247
31/01/2019 6.75 6.75 8.8736 14.0688 8.8790 7.0360 11.6599 18.7340 40.3734 114.1009 209.3636 4.5096 53.5647 4.5326 0.0818 24.1075 143.6171 1130.5319 11524.2243 41052.2506
01/02/2019 6.72 6.72 8.8320 14.5547 8.8368 7.0075 11.6178 18.7262 40.3630 109.3918 154.2134 4.4606 61.3822 4.4810 0.0827 23.9883 144.1485 1131.8488 10541.5026 21754.3030
04/02/2019 6.7 6.7 9.1790 15.0804 9.1842 7.0682 12.5560 21.8097 53.7606 179.0254 297.6955 6.1454 70.2307 6.1712 0.1355 34.2929 228.3041 2214.7004 29696.0573 84678.3985
05/02/2019 6.7 6.7 8.8283 15.5055 8.8323 6.9724 11.7208 19.2560 42.3919 108.2036 87.5516 4.5296 77.5371 4.5468 0.0742 25.2081 157.6539 1273.9116 10302.9768 6536.9883
06/02/2019 6.67 6.67 8.7440 15.9539 8.7475 6.9380 11.5595 18.8444 40.5032 93.1720 47.9553 4.3013 86.1912 4.3161 0.0718 23.9068 148.2162 1144.6824 7482.6015 1704.4719
07/02/2019 6.83 6.83 8.5123 16.3690 8.5152 6.8728 11.0216 17.2608 33.9743 61.8388 15.4288 2.8301 90.9930 2.8399 0.0018 17.5696 108.8023 736.8157 3025.9653 73.9390
08/02/2019 6.75 6.75 8.4370 16.7967 8.4396 6.8433 10.8732 16.8658 32.1872 51.3811 7.2956 2.8461 100.9371 2.8547 0.0087 17.0011 102.3293 647.0517 1991.9350 0.2977
11/02/2019 6.65 6.65 8.7463 17.2758 8.7491 6.8957 11.7095 19.5556 42.5594 81.3502 11.4895 4.3945 112.9081 4.4064 0.0604 25.5989 166.5546 1289.4875 5580.1182 23.4212
12/02/2019 6.58 6.58 9.1344 17.7538 9.1376 6.9601 12.8070 23.4163 60.1111 146.6887 22.7204 6.5250 124.8534 6.5413 0.1445 38.7760 283.4626 2865.5750 19630.4478 260.5121
76.5561 1108.5050 77.1739 3.3910 376.8569 2156.8376 16418.8397 132080.2587 353836.3264
Fuente: Elaboracion Propia
69
0 2010 302 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28
6.4
6.6
6.8
6.5
6.7
6.35
6.45
6.55
6.65
6.75
6.85
0 2010 302 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28
6
8
7
9
6.5
7.5
8.5
9.5
t
BLACK SCHOLES
a) Valor Real ano 2019 b) Black-Scholes ano 2019
0 2010 302 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28
0
10
2
4
6
8
12
14
16
18
t
PROPUESTA 1
0 2010 302 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28
6
8
7
9
6.5
7.5
8.5
9.5
t
PROPUESTA 2
c) Propuesta 1 ano 2019 d) Propuesta 2 ano 2019
0 2010 302 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28
7
6.4
6.6
6.8
7.2
6.5
6.7
6.9
7.1
t
POPUESTA 3
e) Propuesta 3 ano 2019
Figura 3.8: Valores Simulados para los 30 primeros dıas del ano 2019
70
0 2010 302 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28
10
6
8
12
7
9
11
13
t
PROPUESTA 4 ALFA 0.4
0 2010 302 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28
20
10
6
8
12
14
16
18
22
24
t
PROPUESTA 4 ALFA 0.8
a) Propuesta 4 para α =0.4 ano 2019 b) Propuesta 4 para α =0.8 ano 2019
0 2010 302 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28
0
20
40
60
10
30
50
70
t
PROPUESTA 4 ALFA 1.2
0 2010 302 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28
0
100
20
40
60
80
120
140
160
180
t
PROPUESTA 4 ALFA 1.6
c) Propuesta 4 para α =1.2 ano 2019 d) Propuesta 4 para α =1.6 ano 2019
0 2010 302 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28
0
200
100
300
50
150
250
t
PROPUESTA 4 ALFA 1.99
e) Propuesta 4 para α =1.99 ano 2019
Figura 3.9: Valores Simulados para los 30 primeros dıas del ano 2019 en la propuesta
4.
71
Figura 3.10: Valores Simulados para los 30 primeros dıas del ano 2019
Figura 3.11: Comparacion de las propuestas Black-Scholes, Propuesta 3 y Valores reales
ano 2019
72
3.6 Debilidades del Modelo
1. Ajustar el valor de la accion no existente
BVL facilita la negociacion de valores inscritos en sus registros (acciones, bonos,
papeles comerciales, etc.), se tomara en cuenta para este modelo el valor de la
accion del dıa anterior cuando no hubiese esa informacion.
El mercado de valores no cuenta con informacion suficiente para poder precisar
cuan riesgoso es un agente, es por ello que tendran que proporcionar esa informa-
cion, muchos no consideran el costo de transaccion que existen para podre invertir
en la Bolsa de Valores de Lima. Las tarifas se encuentran en www.bvl.com.pe,
seccion “Negociacion”, opcion “Cuotas y Tarifas.o en el Boletın Diario. El in-
versionista debe pagar una comision de intermediacion, lo que puede generar un
impacto en la rentabilidad que se desea alcanzar, por cada transaccion que se
realiza compra-venta estos son:
Retribucion BVL(Bolsa de Valores de Lima)
Fondo De Garantıa
Fondo De Liquidacion
Retribuciones Cavali S.A (Compensacion y liquidaciones de Valores)
Contribucion SMV (Superintendencia de Mercado de Valores)
Comision Neta SAB (Sociedad Agente de Bolsa)
I.G.V. (18%)
Se asume que la distribucion del precio de la accion es lognormal y que la volatili-
dad es constante, se explico anteriormente las propuestas evaluadas de los estudios
realizados para mejorar el modelo ya que no se ajusta a los valores reales.
73
2. Factores externos
Se podra observar la evolucion del IGBVL de los anos 2015 al 2018, las fechas
donde se experimento caıdas en la bolsa.
Figura 3.12: Datos historicos -IGBVL 2015
Durante el primer trimestre del ano 2015, los principales ındices de cotizaciones
registraron retrocesos significativos, ocasionando que nuestro mercado figure entre
las tres bolsas menos rentables del mundo en terminos de dolares. Por otro lado,
en lo referido a las cifras de negociacion, estas reflejaron que se mantiene el retrai-
miento de la demanda de parte de los inversionistas individuales e institucionales,
a pesar que el entorno local e internacional exhibieron una relativa estabilidad.
Al 14 de enero, el precio del petroleo habıa bajado 9% y el del cobre mas de 10%
mientras que, por el contrario, los precios de los metales preciosos mostraron una
recuperacion. Asimismo, desde mediados de enero y hasta fines de febrero, nues-
tros principales ındices de cotizaciones trazaron una tendencia lateral. En el caso
del Indice General BVL este calculo entre los 13,500 y 14,000 puntos, mientras que
el Peru Select oscilo entre los 320 y 340 puntos. A partir del 25 de febrero, nuestra
Bolsa retomo la tendencia bajista, siendo la fase mas extrema la observada entre
el 3 y el 16 de marzo, cuando el IGBVL cayo 7% en tan solo diez dıas.
74
Figura 3.13: Datos historicos -IGBVL 2016
A partir del dıa 10 junio 2016, los agentes comenzaron a mirar con preocupacion
la evolucion de las encuestas relacionadas con el referendo en Reino Unido. La
Bolsa de Lima estuvo muy influenciada por este contexto internacional,
este clima de incertidumbre afecto significativamente la evolucion de los
mercados, anadiendo mucha volatilidad en los siguientes dıas.
La BVL evoluciono de forma lateral hasta el 24 de junio, fecha en la que se co-
nocio el resultado del referendo: la decision del Reino Unido de dejar la Union
Europea (Brexit). Esta situacion tomo a muchos inversionistas desprevenidos, pro-
vocando un desplome generalizado en todas las bolsas del mundo.
En los ultimos dıas del mes los mercados experimentaron un rebote, no obstante,
lo cual la mayorıa de bolsas europeas cerraron el mes en negativo, encabezadas
por Madrid (Ibex 35: -9.6%), Parıs (CAC-40: -6.0%) y Frankfurt (DAX: -5.7%),
siendo la excepcion Londres, cuyo ındice FTSE-100 subio 4.4%. En Asia, la Bolsa
de Tokio fue la mas afectada.
75
Figura 3.14: Datos historicos -IGBVL 2017
El 14 marzo 2017 el mercado de renta variable de la BVL tuvo un comportamiento
negativo durante la primera quincena del mes, en lınea con la caıda generalizada
de los precios internacionales de los metales. Posteriormente, en la segunda quin-
cena, esta trayectoria se revertio ante un panorama optimista en torno a la polıtica
monetaria estadounidense y el impulso que dieron las acciones industriales locales
por las expectativas de un elevado gasto publico que beneficiarıa al sector.
En la primera parte del mes, los inversionistas globales fueron internalizando gra-
dualmente la inminente alza de las tasas de interes en EE.UU. de manera que el
dolar se fue fortaleciendo. Como consecuencia de ello, el oro y la plata llegaron a
acumular perdidas de 4.1% y 8.3%, respectivamente; mientras que el cobre y el
zinc retrocedieron 5.0% y 5.2%, respectivamente. En este escenario al dıa 14, los
tıtulos mineros arrastraron al S&P/BVL Peru Select (-5.5%) a niveles mınimos
de julio del ano pasado. A partir del dıa 15, el mercado local revirtio la tenden-
cia, pues si bien la Reserva Federal confirmo la nueva alza de las tasas de interes
(0.75% - 1.00%), tambien dio senales de que las proximas subidas serıan a un me-
nor ritmo respecto a lo esperado por los analistas. Tras el anuncio, los mercados
se tranquilizaron, permitiendo el avance de los metales ante la debilidad global del
76
dolar.
la recuperacion tambien fue respaldada por la fuerte alza del sector industrial, atri-
buido a las expectativas positivas ante los altos gastos que realizara el gobierno
peruano para la reconstruccion de las zonas afectadas por el Fenomeno del Nino,
lo cual beneficiarıa a las empresas ligadas a la infraestructura.
El INEI informo que la inflacion en Lima Metropolitana en marzo fue de 1.30%,
la variacion mas alta de los ultimos 19 anos y muy cercana a similar mes de 1998
(+1.32%), asociado al Fenomeno de El Nino de ese ano. Los dos grupos de mayor
incidencia fueron: Esparcimiento, servicios culturales y de ensenanza (+2.72%),
ante el inicio de la temporada escolar; y Alimentos y bebidas (+2.12%) a causa del
Fenomeno de El Nino Costero, el cual trajo consigo lluvias, huaicos y desbordes
que bloquearon las carreteras, perjudicando el normal abastecimiento de los pro-
ductos. Por su parte, el BCRP decidio mantener su tasa de interes de referencia
en 4.25%. Entre sus principales argumentos para dicha decision se encuentran:
las expectativas de inflacion a doce meses, las cuales se ubican en el rango meta;
los efectos de las alteraciones climaticas sobre los precios -que se esperan sean
temporales-, ası como la expectativa de crecimiento de la actividad economica de
los proximos trimestres. Finalmente, respecto al tipo de cambio, la moneda nacio-
nal mostro tres momentos bien diferenciados frente al dolar. Durante la primera
semana evidencio una debilidad, para luego mostrar una recuperacion sostenida
y terminar estable en los ultimos dıas. De esta manera, el sol se aprecio 0.43%
cerrando la cotizacion del dolar en marzo en S/ 3.249.
En la ultima quincena de marzo, las expectativas de un mayor gasto publico para
la reconstruccion de las zonas afectadas por el Fenomeno del Nino, motivaron el
avance de los valores relacionados a la infraestructura y con ello la recuperacion
de la bolsa local.
El ındice S&P/BVL Peru General cerro el lunes 04.12.2017 a mınimos desde el 18
de diciembre de 2017, en 19.657,48 puntos, tras registrar una baja del 0,55%, en
una sesion en la que se negociaron S/18.840.559 (equivalentes a US$5.827.578 o
77
4.916.639 euros) en 629 operaciones.
Cotizaron acciones de 53 empresas de las que 13 subieron, 27 bajaron y 13 se
mantuvieron estables.
La Bolsa de Lima finalizo la sesion con leves descensos, afectada por las perdidas
de acciones de los sectores construccion, financiero y minerıa.
Figura 3.15: Datos historicos -IGBVL 2018
Conclusiones
1. El modelo de Black-Scholes, evalua el movimiento de los precios de las acciones,
que parte de la ecuacion diferencial estocastica:
dS(t) = µS(t)dt+ σS(t)dw(t)
cuya solucion es S(t) = S0eσwt+(µ−1
2σ2)t
2. Se realizan las propuestas para tomar una volatilidad menor, esto significarıa que
el valor de la accion no fluctua drasticamente y tiende a ser mas estable.
Del estudio realizado por Herzel se llevo a evaluar la volatilidad dando 4 propuestas
para una mejor aproximacion, para ello esta volatilidad no sera constante sino que
dependera de t.
De las 4 propuestas evaluadas en las que se modificara la volatilidad σ:
Primera propuesta σ1 = σ√t
Segunda propuesta σ2 = σ(1 + 1t2)
Tercera Propuesta σ3 = σ√
2t
Cuarta Propuesta σ4 = σtα2 para α =0.4, 0.8, 1.2, 1.6, 1.99
La tercera propuesta es la mas adecuada ya que se aproxima al valor real.
3. En el ano 2018 en la Empresa Cementos Pacasmayo la propuesta 3, tiene el mınimo
margen de error=22.996 evaluados para los primeros 30 dıas del ano.
4. Se proyecto los valores del precio de las acciones de la Empresa Cementos Pacas-
mayo para los 30 primeros dıas del 2019, teniendo como resultado aproximado al
valor real evaluado en la propuesta 3.
Sugerencias
1. Se sugiere a los estudiantes de Matematicas de pregrado profundizar la investiga-
cion de proceso estocastico para aplicar su conocimiento en ecuaciones diferenciales
ordinarias.
2. Ampliar los conocimientos sobre los temas de investigacion tratados en el presente
trabajo y que sirvan de base para un estudio mas complejo.
3. Se debe tener en cuenta que para evaluar cada propuesta se ejecutara dos veces el
algoritmo.
4. Se debe considerar que al ejecutar dos veces el algoritmo en cada propuesta el
sofware scilab debe cerrarse y volverse abrir para que este no perjudique en los
datos obtenidos.
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Anexos
3.6 Anexo 1: Listado de Empresas Registradas en
BVL.
Tabla 3.5: 256 EMPRESAS CON VALORES LISTADO-BVL por sector/industrial
ADMINISTRADORAS DE FONDOS DE PENSIONES(4)
A.F.P. INTEGRA S.A.
AFP HABITAT S.A.
PRIMA AFP S.A.
PROFUTURO A.F.P.
AGRARIO(19)
AGRO INDUSTRIAL PARAMONGA S.A.A.
AGRO PUCALA S.A.A.
AGROINDUSTRIAL LAREDO S.A.A.
AGROINDUSTRIAS SAN JACINTO SOCIEDAD ANONIMA ABIERTA (AGROINDUSTRIAS SAN JACINTO S.A.A.)
CARTAVIO SOCIEDAD ANONIMA ABIERTA (CARTAVIO S.A.A.)
CASA GRANDE SOCIEDAD ANONIMA ABIERTA (CASA GRANDE S.A.A.)
CENTRAL AZUCARERA CHUCARAPI PAMPA BLANCA S.A.
EMPRESA AGRARIA AZUCARERA ANDAHUASI S.A.A.
EMPRESA AGRARIA CHIQUITOY S.A. - EN REESTRUCTURACION
EMPRESA AGRICOLA GANADERA SALAMANCA S.A.
EMPRESA AGRICOLA LA UNION S.A.
EMPRESA AGRICOLA SAN JUAN S.A.
EMPRESA AGRICOLA SINTUCO S.A.
EMPRESA AGROINDUSTRIAL CAYALTI S.A.A.
EMPRESA AGROINDUSTRIAL POMALCA S.A.A.
EMPRESA AGROINDUSTRIAL TUMAN S.A.A.
84
EMPRESA AZUCARERA “EL INGENIO”S.A.
PALMAS DEL ESPINO S.A.
SOCIEDAD AGRICOLA FANUPE VICHAYAL S.A.
BANCOS Y FINANCIERAS(33)
AMERIKA FINANCIERA S.A.
BANCO AZTECA DEL PERU S.A.
BANCO CENCOSUD S.A.
BANCO DE COMERCIO
BANCO DE CREDITO DEL PERU
BANCO DE LA NACION
BANCO FALABELLA PERU S.A.
BANCO GNB PERU S.A.
BANCO INTERAMERICANO DE FINANZAS S.A. - BANBIF
BANCO INTERNACIONAL DEL PERU S.A.A. - INTERBANK
BANCO PICHINCHA
BANCO RIPLEY PERU S.A.
BANCO SANTANDER PERU S.A.
BBVA BANCO CONTINENTAL
CAJA MUNICIPAL DE AHORRO Y CREDITO DE AREQUIPA S.A.
CAJA RURAL DE AHORRO Y CREDITO LOS ANDES S.A.
CITIBANK DEL PERU S.A. - CITIBANK PERU
COMPARTAMOS FINANCIERA S.A.
CORPORACION FINANCIERA DE DESARROLLO S.A. - COFIDE
CREDISCOTIA FINANCIERA S.A.
EDPYME SANTANDER CONSUMO PERU S.A.
FINANCIERA CONFIANZA S.A.A.
FINANCIERA CREDINKA S.A.
FINANCIERA EFECTIVA S.A.
FINANCIERA OH! S.A.
FINANCIERA PROEMPRESA S.A.
FINANCIERA QAPAQ S.A.
FINANCIERA TFC S.A.
FONDO MIVIVIENDA S.A.
ICBC PERU BANK S.A.
MIBANCO BANCO DE LA MICRO EMPRESA S.A.
MITSUI AUTO FINANCE PERU S.A.
SCOTIABANK PERU S.A.A.
DIVERSAS(72)
A. JAIME ROJAS REPRESENTACIONES GENERALES S.A.
ADMINISTRADORA DEL COMERCIO S.A.
ADMINISTRADORA JOCKEY PLAZA SHOPPING CENTER S.A.
85
AGROKASA HOLDINGS S.A.
AI INVERSIONES PALO ALTO S.A.
ANDINO INVESTMENT HOLDING S.A.A.
AZZARO TRADING S.A.
BAYER S.A.
BNB VALORES PERU S.A. SOCIEDAD AGENTE DE BOLSA
BOLSA DE VALORES DE LIMA S.A.A.
BPO CONSULTING S.A.C.
CAVALI S.A. I.C.L.V.
CINEPLEX S.A.
COLEGIOS PERUANOS S.A.
CONCESIONARIA TRASVASE OLMOS S.A.
CONSORCIO CEMENTERO DEL SUR S.A. - CONCESUR S.A.
CONTINENTAL SOCIEDAD TITULIZADORA S.A.
CORPORACION AZUCARERA DEL PERU S.A.
CORPORACION CERVESUR S.A.A.
CORPORACION FINANCIERA DE INVERSIONES S.A.
CORPORACION PRIMAX S.A.
COSAPI S.A.
CREDICORP CAPITAL PERU S.A.A.
CREDICORP CAPITAL SOCIEDAD TITULIZADORA S.A.
CREDICORP LTD.
DESARROLLOS SIGLO XXI S.A.A.
DIVISO GRUPO FINANCIERO S.A.
DUNAS ENERGIA S.A.A.
ENERGIA DEL PACIFICO S.A.
ENFOCA SERVICIOS LOGISTICOS S.A.
EXPERTIA TRAVEL S.A.
FACTORING TOTAL S.A.
FALABELLA PERU S.A.A.
FERREYCORP S.A.A.
FILAMENTOS INDUSTRIALES S.A.
FOSSAL S.A.A.
FUTURA CONSORCIO INMOBILIARIO S.A.
GLOBOKAS PERU S.A.
GR HOLDING S.A.
GRANA Y MONTERO S.A.A.
H2OLMOS S.A.
HERMES TRANSPORTES BLINDADOS S.A.
ICCGSA INVERSIONES S.A.
INCA RAIL S.A.
INMOBILIARIA IDE S.A.
86
INMOBILIARIA MILENIA S.A.
INRETAIL PERU CORP.
INTERCORP FINANCIAL SERVICES INC.
INTERCORP PERU LTD.
INTRALOT DE PERU S.A.
INVERSIONES CENTENARIO S.A.A.
INVERSIONES EDUCA S.A.
INVERSIONES EN TURISMO S.A. - INVERTUR
INVERSIONES NACIONALES DE TURISMO S.A. - INTURSA
J.P. MORGAN BANCO DE INVERSION
LEASING TOTAL S.A.
LOS PORTALES S.A.
NESSUS HOTELES PERU S.A.
NORVIAL S.A.
OBRAS DE INGENIERIA SOCIEDAD ANONIMA CERRADA
PACIFICO S.A. ENTIDAD PRESTADORA DE SALUD
PERU HOLDING DE TURISMO S.A.A.
PVT PORTAFOLIO DE VALORES S.A.
RED BICOLOR DE COMUNICACIONES S.A.A.
REPRESENTACIONES QUIMICA EUROPEA S.A.C.
SAGA FALABELLA S.A.
SAN MARTIN CONTRATISTAS GENERALES S.A.
SCOTIA SOCIEDAD TITULIZADORA S.A.
SOLUCION EMPRESA ADMINISTRADORA HIPOTECARIA S.A.
SUPERMERCADOS PERUANOS S.A. - SP S.A.
TRADI S.A.
TRANSACCIONES FINANCIERAS S.A.
FONDOS DE INVERSION(8)
CORIL INSTRUMENTOS DE CORTO Y MEDIANO PLAZO 1 - FONDO DE INVERSION
CORIL INSTRUMENTOS DE CORTO Y MEDIANO PLAZO 2 - FONDO DE INVERSION
CORIL INSTRUMENTOS DE CORTO Y MEDIANO PLAZO 4 - FONDO DE INVERSION
CORIL INSTRUMENTOS FINANCIEROS 5 - FONDO DE INVERSION
CORIL INSTRUMENTOS FINANCIEROS 7 - FONDO DE INVERSION
FONDO DE INVERSION MULTIRENTA INMOBILIARIA
LXG AMAZON REFORESTRY FUND FI
LXG LATIN AMERICAN HIGH YIELD BOND FUND, FI
INDUSTRIALES(43)
AGROINDUSTRIAS AIB S.A.
AGRICOLA Y GANADERA CHAVIN DE HUANTAR S.A.
ALICORP S.A.A.
AUSTRAL GROUP S.A.A.
CAMPOSUR INC S.A.C.
87
CEMENTOS PACASMAYO S.A.A.
CERVECERIA SAN JUAN S.A.
COMPANIA GOODYEAR DEL PERU S.A.
COMPANIA UNIVERSAL TEXTIL S.A.
CONSORCIO INDUSTRIAL DE AREQUIPA S.A.
CORPORACION ACEROS AREQUIPA S.A.
CORPORACION CERAMICA S.A.
CORPORACION LINDLEY S.A.
CREDITEX S.A.A.
ECO-ACUICOLA S.A.C.
EMPRESA EDITORA EL COMERCIO S.A.
EMPRESA SIDERURGICA DEL PERU S.A.A.
EXSA S.A.
FABRICA DE HILADOS Y TEJIDOS SAN MIGUEL S.A. - EN LIQUIDACION
FABRICA NACIONAL DE ACUMULADORES ETNA S.A.
FABRICA PERUANA ETERNIT S.A.
HIDROSTAL S.A.
INDECO S.A.
INDUSTRIA TEXTIL PIURA S.A.
INDUSTRIAS DEL ENVASE S.A.
INDUSTRIAS ELECTRO QUIMICAS S.A. - IEQSA
INTRADEVCO INDUSTRIAL S.A.
LAIVE S.A.
LECHE GLORIA S.A.
LIMA CAUCHO S.A.
MANUFACTURA DE METALES Y ALUMINIO RECORD”S.A.
METALURGICA PERUANA S.A. - MEPSA
MICHELL Y CIA. S.A.
MOTORES DIESEL ANDINOS S.A.
PESQUERA EXALMAR S.A.A.
PETROLEOS DEL PERU - PETROPERU S.A.
PRODUCTOS TISSUE DEL PERU S.A.C.
QUIMPAC S.A.
REFINERIA LA PAMPILLA S.A.A. - RELAPA S.A.A.
TEXTIL SAN CRISTOBAL S.A. - EN LIQUIDACION
UNION DE CERVECERIAS PERUANAS BACKUS Y JOHNSTON S.A.A.
UNION ANDINA DE CEMENTOS S.A.A. -UNACEM S.A.A.
YURA S.A.
MINERAS(30)
ALTURAS MINERALS CORP.
BEAR CREEK MINING CORPORATION
CANDENTE COPPER CORP.
88
CASTROVIRREYNA COMPANIA MINERA S.A. - EN LIQUIDACION
COMPANIA DE MINAS BUENAVENTURA S.A.A.
COMPANIA MINERA PODEROSA S.A.
COMPANIA MINERA SAN IGNACIO DE MOROCOCHA S.A.A.
COMPANIA MINERA SANTA LUISA S.A.
FOSFATOS DEL PACIFICO S.A. - FOSPAC S.A.
KARMIN EXPLORATION INC.
MINERA ANDINA DE EXPLORACIONES S.A.A.
MINERA IRL LIMITED
MINSUR S.A.
NEXA RESOURCES ATACOCHA S.A.A.
NEXA RESOURCES PERU S.A.A.
PANORO MINERALS LTD.
PERUBAR S.A.
PPX MINING CORP.
REGULUS RESOURCES INC.
RIO2 LIMITED
SHOUGANG HIERRO PERU S.A.A.
SIERRA METALS INC.
SOCIEDAD MINERA CERRO VERDE S.A.A.
SOCIEDAD MINERA CORONA S.A.
SOCIEDAD MINERA EL BROCAL S.A.A.
SOUTHERN COPPER CORPORATION
SOUTHERN PERU COPPER CORPORATION - SUCURSAL DEL PERU
TINKA RESOURCES LIMITED
TREVALI MINING CORPORATION
VOLCAN COMPANIA MINERA S.A.A.
SEGUROS(21)
AVLA PERU COMPANIA DE SEGUROS S.A.
BNP PARIBAS CARDIF S.A. COMPANIA DE SEGUROS Y REASEGUROS
CHUBB PERU S.A. COMPANIA DE SEGUROS Y REASEGUROS
COFACE SEGURO DE CREDITO PERU S.A. - EN LIQUIDACION
COMPANIA DE SEGUROS DE VIDA CAMARA S.A.
CRECER SEGUROS S.A. COMPANIA DE SEGUROS
EL PACIFICO - PERUANO SUIZA CIA. DE SEGUROS Y REASEGUROS
HDI SEGUROS S.A.
INSUR S.A. COMPANIA DE SEGUROS
INTERSEGURO COMPANIA DE SEGUROS S.A.
LA POSITIVA SEGUROS Y REASEGUROS S.A.A.
LA POSITIVA VIDA SEGUROS Y REASEGUROS S.A.
LIBERTY SEGUROS S.A.
89
MAPFRE PERU COMPANIA DE SEGUROS Y REASEGUROS
MAPFRE PERU VIDA COMPANIA DE SEGUROS Y REASEGUROS
OHIO NATIONAL SEGUROS DE VIDA S.A.
PACIFICO COMPANIA DE SEGUROS Y REASEGUROS
PROTECTA S.A. COMPANIA DE SEGUROS
RIGEL PERU S.A. COMPANIA DE SEGUROS DE VIDA
RIMAC SEGUROS Y REASEGUROS
SECREX COMPANIA DE SEGUROS DE CREDITO Y GARANTIAS S.A.
SERVICIOS PUBLICOS(26)
CONELSUR LT S.A.C.
ELECTRO DUNAS S.A.A.
ELECTRO PUNO S.A.A.
ELECTRO SUR ESTE S.A.A.
ELECTRICA SANTA ROSA S.A.C.
EMP. REG. DE SERVICIO PUBLICO DE ELECTRICIDAD ELECTRONORTE MEDIO S.A.- HIDRANDINA
EMPRESA DE GENERACION ELECTRICA SAN GABAN S.A.
EMPRESA DE GENERACION ELECTRICA DEL SUR S.A. - EGESUR
EMPRESA ELECTRICIDAD DEL PERU - ELECTROPERU S.A.
EMPRESA REGIONAL DE SERVICIO PUBLICO DE ELECTRICIDAD - ELECTROSUR S.A.
ENEL DISTRIBUCION PERU S.A.A.
ENEL GENERACION PERU S.A.A.
ENEL GENERACION PIURA S.A.
ENGIE ENERGIA PERU S.A
GAS NATURAL DE LIMA Y CALLAO S.A.
LUZ DEL SUR S.A.A.
PERUANA DE ENERGIA S.A.A.
RED DE ENERGIA DEL PERU S.A.
SERVICIO DE AGUA POTABLE Y ALCANTARILLADO DE LIMA - SEDAPAL
SHOUGANG GENERACION ELECTRICA S.A.A.
SOCIEDAD ELECTRICA DEL SUR OESTE S.A. - SEAL
TC SIGLO 21 S.A.A.
TELEFONICA DEL PERU S.A.A.
TELEFONICA, S.A.
TERMOCHILCA S.A.
TRANSPORTADORA DE GAS DEL PERU S.A. - TGP
90
3.6 Anexo 2: Valores de acciones de enero a
diciembre 2015-2018
Tabla 3.6: Add caption
Cementos Pacasmayo -2015 Cementos Pacasmayo -2016 Cementos Pacasmayo -2017 Cementos Pacasmayo -2017
FECHA Valor Real FECHA Valor Real FECHA Valor Real FECHA Valor Real
02/01/2015 5.15* 5.15 04/01/2016 5 5 02/01/2017 6.31 6.31 02/01/2018 8.05 8.05
05/01/2015 5.15 5.15 05/01/2016 4.99 4.99 03/01/2017 6.3 6.3 03/01/2018 8.10 8.10
06/01/2015 5 5 06/01/2016 4.8 4.8 04/01/2017 6.34 6.34 04/01/2018 8.05 8.05
07/01/2015 5.17 5.17 07/01/2016 4.55 4.55 05/01/2017 6.4 6.4 05/01/2018 8.10 8.10
08/01/2015 5.02 5.02 08/01/2016 4.5 4.5 06/01/2017 6.45 6.45 08/01/2018 8.05 8.05
09/01/2015 5.01 5.01 11/01/2016 4.55 4.55 09/01/2017 6.44 6.44 09/01/2018 8.11 8.11
12/01/2015 5.01 5.01 12/01/2016 4.57 4.57 10/01/2017 6.5 6.5 10/01/2018 8.11 8.11
13/01/2015 4.9 4.9 13/01/2016 4.6 4.6 11/01/2017 6.5 6.5 11/01/2018 8.15 8.15
14/01/2015 4.82 4.82 14/01/2016 4.5 4.5 12/01/2017 6.4 6.4 12/01/2018 8.25 8.25
15/01/2015 4.82 4.82 15/01/2016 4.4 4.4 13/01/2017 6.4 6.4 15/01/2018 8.25* 8.25
16/01/2015 4.85 4.85 18/01/2016 4.4* 4.4 16/01/2017 6.37 6.37 16/01/2018 8.35 8.35
19/01/2015 4.85 4.85 19/01/2016 4.4 4.4 17/01/2017 6.34 6.34 17/01/2018 8.40 8.40
20/01/2015 4.85 4.85 20/01/2016 4.33 4.33 18/01/2017 6.37 6.37 18/01/2018 8.40 8.40
21/01/2015 4.9 4.9 21/01/2016 4.35 4.35 19/01/2017 6.3 6.3 19/01/2018 8.40 8.40
22/01/2015 5.08 5.08 22/01/2016 4.35 4.35 20/01/2017 6.25 6.25 22/01/2018 8.40 8.40
23/01/2015 5.08 5.08 25/01/2016 4.35 4.35 23/01/2017 6.23 6.23 23/01/2018 8.32 8.32
26/01/2015 5.05 5.05 26/01/2016 4.35 4.35 24/01/2017 6.26 6.26 24/01/2018 8.36 8.36
27/01/2015 5.05 5.05 27/01/2016 4.35 4.35 25/01/2017 6.38 6.38 25/01/2018 8.28 8.28
28/01/2015 5.05 5.05 28/01/2016 4.35 4.35 26/01/2017 6.35 6.35 26/01/2018 8.25 8.25
29/01/2015 5.05 5.05 29/01/2016 4.5 4.5 27/01/2017 6.27 6.27 29/01/2018 8.25 8.25
30/01/2015 5.11 5.11 01/02/2016 4.49 4.49 30/01/2017 6.22 6.22 30/01/2018 8.20 8.20
02/02/2015 5.2 5.2 02/02/2016 4.42 4.42 31/01/2017 6.3 6.3 31/01/2018 8.35 8.35
91
03/02/2015 5.2 5.2 03/02/2016 4.43 4.43 01/02/2017 6.5 6.5 01/02/2018 8.33 8.33
04/02/2015 5.29 5.29 04/02/2016 4.42 4.42 02/02/2017 6.5 6.5 02/02/2018 8.33 8.33
05/02/2015 5.29 5.29 05/02/2016 4.49 4.49 03/02/2017 6.5 6.5 05/02/2018 8.25 8.25
06/02/2015 5.2 5.2 08/02/2016 4.5 4.5 06/02/2017 6.46 6.46 06/02/2018 8.00 8.00
09/02/2015 5.2 5.2 09/02/2016 4.38 4.38 07/02/2017 6.47 6.47 07/02/2018 8.00 8.00
10/02/2015 5.3 5.3 10/02/2016 4.45 4.45 08/02/2017 6.45 6.45 08/02/2018 8.00 8.00
11/02/2015 5.25 5.25 11/02/2016 4.4 4.4 09/02/2017 6.45 6.45 09/02/2018 8.00 8.00
12/02/2015 5.29 5.29 12/02/2016 4.55 4.55 10/02/2017 6.35 6.35 12/02/2018 8.00 8.00
13/02/2015 5.33 5.33 15/02/2016 4.55 4.55 13/02/2017 6.25 6.25 13/02/2018 8.00 8.00
16/02/2015 5.45 5.45 16/02/2016 4.62 4.62 14/02/2017 6.2 6.2 14/02/2018 8.00 8.00
17/02/2015 5.3 5.3 17/02/2016 4.65 4.65 15/02/2017 6.1 6.1 15/02/2018 8.00 8.00
18/02/2015 5.4 5.4 18/02/2016 4.75 4.75 16/02/2017 6.08 6.08 16/02/2018 7.99 7.99
19/02/2015 5.37 5.37 19/02/2016 4.68 4.68 17/02/2017 6.05 6.05 19/02/2018 7.95 7.95
20/02/2015 5.16 5.16 22/02/2016 4.65 4.65 20/02/2017 6.01 6.01 20/02/2018 7.90 7.90
23/02/2015 5.12 5.12 23/02/2016 4.63 4.63 21/02/2017 6.04 6.04 21/02/2018 7.95 7.95
24/02/2015 5.2 5.2 24/02/2016 4.6 4.6 22/02/2017 5.96 5.96 22/02/2018 7.95 7.95
25/02/2015 5.15 5.15 25/02/2016 4.5 4.5 23/02/2017 6 6 23/02/2018 7.90 7.90
26/02/2015 5.1 5.1 26/02/2016 4.5 4.5 24/02/2017 6 6 26/02/2018 7.90 7.90
27/02/2015 5.1* 5.1 29/02/2016 4.6 4.6 27/02/2017 6 6 27/02/2018 7.90 7.90
02/03/2015 5.1 5.1 01/03/2016 4.64 4.64 28/02/2017 6 6 28/02/2018 7.90 7.90
03/03/2015 5.1 5.1 02/03/2016 4.6 4.6 01/03/2017 6.6 6.6 01/03/2018 7.90 7.90
04/03/2015 5.1 5.1 03/03/2016 4.71 4.71 02/03/2017 6.75 6.75 02/03/2018 7.9* 7.90
05/03/2015 5.09 5.09 04/03/2016 4.7 4.7 03/03/2017 6.75 6.75 05/03/2018 7.80 7.80
06/03/2015 5.01 5.01 07/03/2016 4.7 4.7 06/03/2017 6.65 6.65 06/03/2018 7.80 7.80
09/03/2015 4.85 4.85 08/03/2016 4.85 4.85 07/03/2017 6.55 6.55 07/03/2018 7.75 7.75
10/03/2015 4.85 4.85 09/03/2016 4.95 4.95 08/03/2017 6.55 6.55 08/03/2018 7.70 7.70
11/03/2015 4.85 4.85 10/03/2016 5.04 5.04 09/03/2017 6.5 6.5 09/03/2018 7.80 7.80
12/03/2015 4.88 4.88 11/03/2016 5 5 10/03/2017 6.63 6.63 12/03/2018 7.70 7.70
13/03/2015 4.88 4.88 14/03/2016 5 5 13/03/2017 6.4 6.4 13/03/2018 7.65 7.65
16/03/2015 4.75 4.75 15/03/2016 4.95 4.95 14/03/2017 6.4 6.4 14/03/2018 7.65 7.65
17/03/2015 4.75 4.75 16/03/2016 5 5 15/03/2017 6.7 6.7 15/03/2018 7.70 7.70
18/03/2015 4.65 4.65 17/03/2016 5 5 16/03/2017 7 7 16/03/2018 7.7* 7.70
19/03/2015 4.65 4.65 18/03/2016 5.35 5.35 17/03/2017 7 7 19/03/2018 7.75 7.75
20/03/2015 4.7 4.7 21/03/2016 5.36 5.36 20/03/2017 7.06 7.06 20/03/2018 7.70 7.70
23/03/2015 4.7 4.7 22/03/2016 5.15 5.15 21/03/2017 7.32 7.32 21/03/2018 7.57 7.57
24/03/2015 4.7 4.7 23/03/2016 5.15 5.15 22/03/2017 7.27 7.27 22/03/2018 7.80 7.80
25/03/2015 4.7 4.7 24/03/2016 5.15* 5.15 23/03/2017 7.27 7.27 23/03/2018 8.05 8.05
26/03/2015 4.7 4.7 25/03/2016 5.15* 5.15 24/03/2017 7.4 7.4 26/03/2018 8.15 8.15
27/03/2015 4.7 4.7 28/03/2016 5.14 5.14 27/03/2017 7.5 7.5 27/03/2018 8.10 8.10
30/03/2015 4.65 4.65 29/03/2016 5.1 5.1 28/03/2017 7.34 7.34 28/03/2018 8.05 8.05
31/03/2015 4.7 4.7 30/03/2016 5.1 5.1 29/03/2017 7.35 7.35 29/03/2018 8.05* 8.05
01/04/2015 4.8 4.8 31/03/2016 5.2 5.2 30/03/2017 7.4 7.4 30/03/2018 8.05* 8.05
02/04/2015 4.8* 4.8 01/04/2016 5.1 5.1 31/03/2017 7.3 7.3 02/04/2018 8.10 8.10
03/04/2015 4.8* 4.8 04/04/2016 4.95 4.95 03/04/2017 7.3 7.3 03/04/2018 8.00 8.00
06/04/2015 4.84 4.84 05/04/2016 4.93 4.93 04/04/2017 7.4 7.4 04/04/2018 8.05 8.05
07/04/2015 4.84* 4.84 06/04/2016 4.9 4.9 05/04/2017 7.4 7.4 05/04/2018 8.05 8.05
08/04/2015 4.7 4.7 07/04/2016 4.65 4.65 06/04/2017 7.35 7.35 06/04/2018 7.92 7.92
09/04/2015 4.7 4.7 08/04/2016 4.7 4.7 07/04/2017 7.3 7.3 09/04/2018 7.89 7.89
10/04/2015 4.75 4.75 11/04/2016 5.4 5.4 10/04/2017 7.3 7.3 10/04/2018 7.92 7.92
13/04/2015 4.73 4.73 12/04/2016 5.55 5.55 11/04/2017 7.3 7.3 11/04/2018 7.95 7.95
92
14/04/2015 4.78 4.78 13/04/2016 5.6 5.6 12/04/2017 7.25 7.25 12/04/2018 7.95 7.95
15/04/2015 4.74 4.74 14/04/2016 5.5 5.5 13/04/2017 7.25* 7.25 13/04/2018 7.9* 7.90
16/04/2015 4.7 4.7 15/04/2016 5.55 5.55 14/04/2017 7.25* 7.25 16/04/2018 7.90 7.90
17/04/2015 4.5 4.5 18/04/2016 5.65 5.65 17/04/2017 7.32 7.32 17/04/2018 7.90 7.90
20/04/2015 4.5* 4.5 19/04/2016 5.95 5.95 18/04/2017 7.38 7.38 18/04/2018 7.95 7.95
21/04/2015 4.43 4.43 20/04/2016 5.89 5.89 19/04/2017 7.32 7.32 19/04/2018 7.85 7.85
22/04/2015 4.43 4.43 21/04/2016 5.85 5.85 20/04/2017 7.3 7.3 20/04/2018 7.90 7.90
23/04/2015 4.4 4.4 22/04/2016 5.8 5.8 21/04/2017 7.3 7.3 23/04/2018 7.90 7.90
24/04/2015 4.43 4.43 25/04/2016 5.68 5.68 24/04/2017 7.2 7.2 24/04/2018 8.00 8.00
27/04/2015 4.53 4.53 26/04/2016 5.75 5.75 25/04/2017 7 7 25/04/2018 8.00 8.00
28/04/2015 4.6 4.6 27/04/2016 5.75 5.75 26/04/2017 6.98 6.98 26/04/2018 8.10 8.10
29/04/2015 4.85 4.85 28/04/2016 5.8 5.8 27/04/2017 7 7 27/04/2018 8.06 8.06
30/04/2015 4.99 4.99 29/04/2016 5.95 5.95 28/04/2017 7 7 30/04/2018 8.15 8.15
01/05/2015 4.99* 4.99 02/05/2016 5.96 5.96 01/05/2017 7* 7 01/05/2018 8.2* 8.20
04/05/2015 5 5 03/05/2016 5.91 5.91 02/05/2017 6.9 6.9 02/05/2018 8.20 8.20
05/05/2015 5 5 04/05/2016 5.9 5.9 03/05/2017 6.9 6.9 03/05/2018 8.25 8.25
06/05/2015 5.07 5.07 05/05/2016 6.05 6.05 04/05/2017 7.05 7.05 04/05/2018 8.25 8.25
07/05/2015 5.02 5.02 06/05/2016 6 6 05/05/2017 70.5* 7.05 07/05/2018 8.21 8.21
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16/09/2015 3.95 3.95 15/09/2016 6.5 6.5 14/09/2017 8.37 8.37 14/09/2018 6.53 6.53
17/09/2015 3.89 3.89 16/09/2016 6.45 6.45 15/09/2017 8.29 8.29 17/09/2018 6.46 6.46
18/09/2015 3.89 3.89 19/09/2016 6.48 6.48 18/09/2017 8.3 8.3 18/09/2018 6.60 6.60
21/09/2015 4 4 20/09/2016 6.48 6.48 19/09/2017 8.28 8.28 19/09/2018 6.6* 6.60
22/09/2015 4.06 4.06 21/09/2016 6.48 6.48 20/09/2017 8.28 8.28 20/09/2018 6.78 6.78
23/09/2015 3.95 3.95 22/09/2016 6.49 6.49 21/09/2017 8.3 8.3 21/09/2018 6.83 6.83
24/09/2015 3.93 3.93 23/09/2016 6.49 6.49 22/09/2017 8.27 8.27 24/09/2018 6.91 6.91
25/09/2015 3.93 3.93 26/09/2016 6.38 6.38 25/09/2017 8.3 8.3 25/09/2018 7.12 7.12
28/09/2015 3.95 3.95 27/09/2016 6.38 6.38 26/09/2017 8.3 8.3 26/09/2018 7.17 7.17
29/09/2015 3.91 3.91 28/09/2016 6.48 6.48 27/09/2017 8.3 8.3 27/09/2018 7.15 7.15
30/09/2015 3.85 3.85 29/09/2016 6.43 6.43 28/09/2017 8.37 8.37 28/09/2018 7.25 7.25
01/10/2015 3.66 3.66 30/09/2016 6.43 6.43 29/09/2017 8.4 8.4 01/10/2018 7.25 7.25
02/10/2015 3.65 3.65 03/10/2016 6.43 6.43 02/10/2017 8.35 8.35 02/10/2018 7.32 7.32
05/10/2015 3.65 3.65 04/10/2016 6.4 6.4 03/10/2017 8.4 8.4 03/10/2018 7.42 7.42
06/10/2015 3.65 3.65 05/10/2016 6.43 6.43 04/10/2017 8.4 8.4 04/10/2018 7.40 7.40
07/10/2015 3.72 3.72 06/10/2016 6.39 6.39 05/10/2017 8.49 8.49 05/10/2018 7.38 7.38
08/10/2015 3.72* 3.72 07/10/2016 6.4 6.4 06/10/2017 8.5 8.5 08/10/2018 7.38* 7.38
09/10/2015 3.72* 3.72 10/10/2016 6.45 6.45 09/10/2017 8.5 8.5 09/10/2018 7.37 7.37
12/10/2015 3.75 3.75 11/10/2016 6.45 6.45 10/10/2017 8.4 8.4 10/10/2018 7.36 7.36
13/10/2015 3.76 3.76 12/10/2016 6.5 6.5 11/10/2017 8.4 8.4 11/10/2018 7.37 7.37
14/10/2015 3.78 3.78 13/10/2016 6.5 6.5 12/10/2017 8.4 8.4 12/10/2018 7.33 7.33
15/10/2015 4.05 4.05 14/10/2016 6.5* 6.5 13/10/2017 8.35 8.35 15/10/2018 7.33 7.33
16/10/2015 4.02 4.02 17/10/2016 6.55 6.55 16/10/2017 8.35 8.35 16/10/2018 7.27 7.27
19/10/2015 4.05 4.05 18/10/2016 6.54 6.54 17/10/2017 8.4 8.4 17/10/2018 7.27 7.27
20/10/2015 4.27 4.27 19/10/2016 6.55 6.55 18/10/2017 8.39 8.39 18/10/2018 7.08 7.08
21/10/2015 4.25 4.25 20/10/2016 6.5 6.5 19/10/2017 8.35 8.35 19/10/2018 6.90 6.90
22/10/2015 4.15 4.15 21/10/2016 6.5 6.5 20/10/2017 8.37 8.37 22/10/2018 6.85 6.85
23/10/2015 4.15 4.15 24/10/2016 6.48 6.48 23/10/2017 8.4 8.4 23/10/2018 6.75 6.75
26/10/2015 4.15 4.15 25/10/2016 6.5 6.5 24/10/2017 8.37 8.37 24/10/2018 6.70 6.70
27/10/2015 4.05 4.05 26/10/2016 6.44 6.44 25/10/2017 8.4 8.4 25/10/2018 6.75 6.75
28/10/2015 4.2 4.2 27/10/2016 6.4 6.4 26/10/2017 8.41 8.41 26/10/2018 6.70 6.70
29/10/2015 4.3 4.3 28/10/2016 6.41 6.41 27/10/2017 8.4 8.4 29/10/2018 6.70 6.70
30/10/2015 4.3 4.3 31/10/2016 6.5 6.5 30/10/2017 8.45 8.45 30/10/2018 6.80 6.80
02/11/2015 4.35 4.35 01/11/2016 6.5* 6.5 31/10/2017 8.5 8.5 31/10/2018 6.85 6.85
03/11/2015 4.4 4.4 02/11/2016 6.45 6.45 01/11/2017 8.5* 8.5 01/11/2018 6.85* 6.85
04/11/2015 4.4 4.4 03/11/2016 6.44 6.44 02/11/2017 8.59 8.59 02/11/2018 6.80 6.80
05/11/2015 4.45 4.45 04/11/2016 6.4 6.4 03/11/2017 8.5 8.5 05/11/2018 7.15 7.15
06/11/2015 4.45* 4.45 07/11/2016 6.39 6.39 06/11/2017 8.47 8.47 06/11/2018 7.20 7.20
09/11/2015 4.6 4.6 08/11/2016 6.35 6.35 07/11/2017 8.45 8.45 07/11/2018 7.15 7.15
95
10/11/2015 4.4 4.4 09/11/2016 6.35 6.35 08/11/2017 8.4 8.4 08/11/2018 6.76 6.76
11/11/2015 4.4 4.4 10/11/2016 6.41 6.41 09/11/2017 8.42 8.42 09/11/2018 6.65 6.65
12/11/2015 4.4 4.4 11/11/2016 6.4 6.4 10/11/2017 8.3 8.3 12/11/2018 6.55 6.55
13/11/2015 4.4 4.4 14/11/2016 6.4 6.4 13/11/2017 8.25 8.25 13/11/2018 6.55 6.55
16/11/2015 4.4 4.4 15/11/2016 6.39 6.39 14/11/2017 7.95 7.95 14/11/2018 6.50 6.50
17/11/2015 4.42 4.42 16/11/2016 6.32 6.32 15/11/2017 7.9 7.9 15/11/2018 6.50 6.50
18/11/2015 4.42* 4.42 17/11/2016 6.32* 6.32 16/11/2017 7.9 7.9 16/11/2018 6.52 6.52
19/11/2015 4.42 4.42 18/11/2016 6.32* 6.32 17/11/2017 7.9 7.9 19/11/2018 6.52 6.52
20/11/2015 4.42* 4.42 21/11/2016 6.27 6.27 20/11/2017 8 8 20/11/2018 6.50 6.50
23/11/2015 4.42* 4.42 22/11/2016 6.25 6.25 21/11/2017 8.05 8.05 21/11/2018 6.50 6.50
24/11/2015 4.42 4.42 23/11/2016 6.3 6.3 22/11/2017 8.15 8.15 22/11/2018 6.55 6.55
25/11/2015 4.42 4.42 24/11/2016 6.3 6.3 23/11/2017 8.22 8.22 23/11/2018 6.55 6.55
26/11/2015 4.42 4.42 25/11/2016 6.2 6.2 24/11/2017 8.3 8.3 26/11/2018 6.52 6.52
27/11/2015 4.4 4.4 28/11/2016 6.25 6.25 27/11/2017 8.36 8.36 27/11/2018 6.50 6.50
30/11/2015 4.38 4.38 29/11/2016 6.25 6.25 28/11/2017 8.3 8.3 28/11/2018 6.48 6.48
01/12/2015 4.38 4.38 30/11/2016 6.3 6.3 29/11/2017 8.35 8.35 29/11/2018 6.48 6.48
02/12/2015 4.35 4.35 01/12/2016 6.29 6.29 30/11/2017 8.34 8.34 30/11/2018 6.50 6.50
03/12/2015 4.23 4.23 02/12/2016 6.25 6.25 01/12/2017 8.2 8.2 03/12/2018 6.55 6.55
04/12/2015 4.2 4.2 05/12/2016 6.25 6.25 04/12/2017 8.17 8.17 04/12/2018 6.60 6.60
07/12/2015 4.2 4.2 06/12/2016 6.2 6.2 05/12/2017 8.19 8.19 05/12/2018 6.59 6.59
08/12/2015 4.2* 4.2 07/12/2016 6.18 6.18 06/12/2017 8.1 8.1 06/12/2018 6.50 6.50
09/12/2015 4.31 4.31 08/12/2016 6.18* 6.18 07/12/2017 8.05 8.05 07/12/2018 6.50 6.50
10/12/2015 4.4 4.4 09/12/2016 6.18 6.18 08/12/2017 8.05* 8.05 10/12/2018 6.45 6.45
11/12/2015 4.5 4.5 12/12/2016 6.2 6.2 11/12/2017 7.97 7.97 11/12/2018 6.35 6.35
14/12/2015 4.5 4.5 13/12/2016 6.2 6.2 12/12/2017 8.19 8.19 12/12/2018 6.40 6.40
15/12/2015 4.41 4.41 14/12/2016 6.15 6.15 13/12/2017 7.98 7.98 13/12/2018 6.40 6.40
16/12/2015 4.4 4.4 15/12/2016 6.14 6.14 14/12/2017 7.82 7.82 14/12/2018 6.45 6.45
17/12/2015 4.47 4.47 16/12/2016 6.15 6.15 15/12/2017 7.75 7.75 17/12/2018 6.45 6.45
18/12/2015 4.47* 4.47 19/12/2016 6.14 6.14 18/12/2017 7.75 7.75 18/12/2018 6.45 6.45
21/12/2015 4.85 4.85 20/12/2016 6.19 6.19 19/12/2017 7.8 7.8 19/12/2018 6.44 6.44
22/12/2015 4.84 4.84 21/12/2016 6.25 6.25 20/12/2017 7.84 7.84 20/12/2018 6.44 6.44
23/12/2015 4.84 4.84 22/12/2016 6.2 6.2 21/12/2017 7.78 7.78 21/12/2018 6.48 6.48
24/12/2015 4.8 4.8 23/12/2016 6.2 6.2 22/12/2017 8.09 8.09 24/12/2018 6.50 6.50
25/12/2015 4.8* 4.8 26/12/2016 6.15 6.15 25/12/2017 8.09* 8.09 25/12/2018 6.5* 6.50
28/12/2015 4.75 4.75 27/12/2016 6.15 6.15 26/12/2017 7.91 7.91 26/12/2018 6.50 6.50
29/12/2015 4.75 4.75 28/12/2016 6.14 6.14 27/12/2017 7.91 7.91 27/12/2018 6.51 6.51
30/12/2015 4.85 4.85 29/12/2016 6.15 6.15 28/12/2017 8.05 8.05 28/12/2018 6.50 6.50
31/12/2015 5 5 30/12/2016 6.3 6.3 29/12/2017 8.15 8.15 31/12/2018 6.45 6.45
96
3.6 Anexo 3: Valores de acciones de enero a
diciembre 2017
Tabla 3.7: Valores de Acciones de Cementos Pacasmayo-2017
CEMENTOS PACASMAYO
Ano-2017 Real Real x-x muaA
02/01/2017 6.31 6.31 1.34
03/01/2017 6.3 6.3 1.37 -0.01
04/01/2017 6.34 6.34 1.28 0.04
05/01/2017 6.4 6.4 1.14 0.06
06/01/2017 6.45 6.45 1.04 0.05
09/01/2017 6.44 6.44 1.06 -0.01
10/01/2017 6.5 6.5 0.94 0.06
11/01/2017 6.5 6.5 0.94 0
12/01/2017 6.4 6.4 1.14 -0.1
13/01/2017 6.4 6.4 1.14 0
16/01/2017 6.37 6.37 1.21 -0.03
17/01/2017 6.34 6.34 1.28 -0.03
18/01/2017 6.37 6.37 1.21 0.03
19/01/2017 6.3 6.3 1.37 -0.07
20/01/2017 6.25 6.25 1.49 -0.05
23/01/2017 6.23 6.23 1.54 -0.02
24/01/2017 6.26 6.26 1.46 0.03
25/01/2017 6.38 6.38 1.19 0.12
26/01/2017 6.35 6.35 1.25 -0.03
27/01/2017 6.27 6.27 1.44 -0.08
97
30/01/2017 6.22 6.22 1.56 -0.05
31/01/2017 6.3 6.3 1.37 0.08
01/02/2017 6.5 6.5 0.94 0.2
02/02/2017 6.5 6.5 0.94 0
03/02/2017 6.5 6.5 0.94 0
06/02/2017 6.46 6.46 1.02 -0.04
07/02/2017 6.47 6.47 1.00 0.01
08/02/2017 6.45 6.45 1.04 -0.02
09/02/2017 6.45 6.45 1.04 0
10/02/2017 6.35 6.35 1.25 -0.1
13/02/2017 6.25 6.25 1.49 -0.1
14/02/2017 6.2 6.2 1.61 -0.05
15/02/2017 6.1 6.1 1.88 -0.1
16/02/2017 6.08 6.08 1.93 -0.02
17/02/2017 6.05 6.05 2.02 -0.03
20/02/2017 6.01 6.01 2.13 -0.04
21/02/2017 6.04 6.04 2.04 0.03
22/02/2017 5.96 5.96 2.28 -0.08
23/02/2017 6 6 2.16 0.04
24/02/2017 6 6 2.16 0
27/02/2017 6 6 2.16 0
28/02/2017 6 6 2.16 0
01/03/2017 6.6 6.6 0.76 0.6
02/03/2017 6.75 6.75 0.52 0.15
03/03/2017 6.75 6.75 0.52 0
06/03/2017 6.65 6.65 0.67 -0.1
07/03/2017 6.55 6.55 0.85 -0.1
08/03/2017 6.55 6.55 0.85 0
09/03/2017 6.5 6.5 0.94 -0.05
10/03/2017 6.63 6.63 0.70 0.13
13/03/2017 6.4 6.4 1.14 -0.23
14/03/2017 6.4 6.4 1.14 0
15/03/2017 6.7 6.7 0.59 0.3
16/03/2017 7 7 0.22 0.3
17/03/2017 7 7 0.22 0
20/03/2017 7.06 7.06 0.17 0.06
21/03/2017 7.32 7.32 0.02 0.26
22/03/2017 7.27 7.27 0.04 -0.05
23/03/2017 7.27 7.27 0.04 0
24/03/2017 7.4 7.4 0.00 0.13
27/03/2017 7.5 7.5 0.00 0.1
28/03/2017 7.34 7.34 0.02 -0.16
29/03/2017 7.35 7.35 0.01 0.01
30/03/2017 7.4 7.4 0.00 0.05
98
31/03/2017 7.3 7.3 0.03 -0.1
03/04/2017 7.3 7.3 0.03 0
04/04/2017 7.4 7.4 0.00 0.1
05/04/2017 7.4 7.4 0.00 0
06/04/2017 7.35 7.35 0.01 -0.05
07/04/2017 7.3 7.3 0.03 -0.05
10/04/2017 7.3 7.3 0.03 0
11/04/2017 7.3 7.3 0.03 0
12/04/2017 7.25 7.25 0.05 -0.05
13/04/2017 7.25* 7.25 0.05 0
14/04/2017 7.25* 7.25 0.05 0
17/04/2017 7.32 7.32 0.02 0.07
18/04/2017 7.38 7.38 0.01 0.06
19/04/2017 7.32 7.32 0.02 -0.06
20/04/2017 7.3 7.3 0.03 -0.02
21/04/2017 7.3 7.3 0.03 0
24/04/2017 7.2 7.2 0.07 -0.1
25/04/2017 7 7 0.22 -0.2
26/04/2017 6.98 6.98 0.24 -0.02
27/04/2017 7 7 0.22 0.02
28/04/2017 7 7 0.22 0
01/05/2017 7* 7 0.22 0
02/05/2017 6.9 6.9 0.32 -0.1
03/05/2017 6.9 6.9 0.32 0
04/05/2017 7.05 7.05 0.18 0.15
05/05/2017 70.5* 7.05 0.18 0
08/05/2017 7 7 0.22 -0.05
09/05/2017 7.08 7.08 0.15 0.08
10/05/2017 7.15 7.15 0.10 0.07
11/05/2017 7.35 7.35 0.01 0.2
12/05/2017 7.25 7.25 0.05 -0.1
15/05/2017 7.2 7.2 0.07 -0.05
16/05/2017 7.24 7.24 0.05 0.04
17/05/2017 7.24 7.24 0.05 0
18/05/2017 7.2 7.2 0.07 -0.04
19/05/2017 7.35 7.35 0.01 0.15
22/05/2017 7.4 7.4 0.00 0.05
23/05/2017 7.5 7.5 0.00 0.1
24/05/2017 7.5 7.5 0.00 0
25/05/2017 7.5 7.5 0.00 0
26/05/2017 7.62 7.62 0.02 0.12
29/05/2017 7.5 7.5 0.00 -0.12
30/05/2017 7.45 7.45 0.00 -0.05
31/05/2017 7.4 7.4 0.00 -0.05
99
01/06/2017 7.33 7.33 0.02 -0.07
02/06/2017 7.52 7.52 0.00 0.19
05/06/2017 7.52 7.52 0.00 0
06/06/2017 7.52 7.52 0.00 0
07/06/2017 7.5 7.5 0.00 -0.02
08/06/2017 7.55 7.55 0.01 0.05
09/06/2017 7.5 7.5 0.00 -0.05
12/06/2017 7.53 7.53 0.00 0.03
13/06/2017 7.52 7.52 0.00 -0.01
14/06/2017 7.5 7.5 0.00 -0.02
15/06/2017 7.47 7.47 0.00 -0.03
16/06/2017 7.45 7.45 0.00 -0.02
19/06/2017 7.45 7.45 0.00 0
20/06/2017 7.48 7.48 0.00 0.03
21/06/2017 7.5 7.5 0.00 0.02
22/06/2017 7.45 7.45 0.00 -0.05
23/06/2017 7.42 7.42 0.00 -0.03
26/06/2017 7.45 7.45 0.00 0.03
27/06/2017 7.5 7.5 0.00 0.05
28/06/2017 7.45 7.45 0.00 -0.05
29/06/2017 7.45* 7.45 0.00 0
30/06/2017 7.5 7.5 0.00 0.05
03/07/2017 7.45 7.45 0.00 -0.05
04/07/2017 7.51 7.51 0.00 0.06
05/07/2017 7.45 7.45 0.00 -0.06
06/07/2017 7.51 7.51 0.00 0.06
07/07/2017 7.48 7.48 0.00 -0.03
10/07/2017 7.35 7.35 0.01 -0.13
11/07/2017 7.37 7.37 0.01 0.02
12/07/2017 7.5 7.5 0.00 0.13
13/07/2017 7.5 7.5 0.00 0
14/07/2017 7.55 7.55 0.01 0.05
17/07/2017 7.55 7.55 0.01 0
18/07/2017 7.62 7.62 0.02 0.07
19/07/2017 7.62 7.62 0.02 0
20/07/2017 7.62 7.62 0.02 0
21/07/2017 7.65 7.65 0.03 0.03
24/07/2017 7.6 7.6 0.02 -0.05
25/07/2017 7.66 7.66 0.04 0.06
26/07/2017 7.6 7.6 0.02 -0.06
27/07/2017 7.62 7.62 0.02 0.02
28/07/2017 7.62* 7.62 0.02 0
31/07/2017 7.65 7.65 0.03 0.03
01/08/2017 7.6 7.6 0.02 -0.05
100
02/08/2017 7.76 7.76 0.08 0.16
03/08/2017 7.61 7.61 0.02 -0.15
04/08/2017 7.61 7.61 0.02 0
07/08/2017 7.61 7.61 0.02 0
08/08/2017 7.49 7.49 0.00 -0.12
09/08/2017 7.5 7.5 0.00 0.01
10/08/2017 7.5 7.5 0.00 0
11/08/2017 7.5 7.5 0.00 0
14/08/2017 7.45 7.45 0.00 -0.05
15/08/2017 7.4 7.4 0.00 -0.05
16/08/2017 7.45 7.45 0.00 0.05
17/08/2017 7.6 7.6 0.02 0.15
18/08/2017 7.65 7.65 0.03 0.05
21/08/2017 7.6 7.6 0.02 -0.05
22/08/2017 7.75 7.75 0.08 0.15
23/08/2017 7.85 7.85 0.14 0.1
24/08/2017 7.84 7.84 0.14 -0.01
25/08/2017 7.73 7.73 0.07 -0.11
28/08/2017 7.74 7.74 0.07 0.01
29/08/2017 7.77 7.77 0.09 0.03
30/08/2017 7.77* 7.77 0.09 0
31/08/2017 8 8 0.28 0.23
01/09/2017 8.05 8.05 0.34 0.05
04/09/2017 8 8 0.28 -0.05
05/09/2017 8.1 8.1 0.40 0.1
06/09/2017 8.16 8.16 0.48 0.06
07/09/2017 8.2 8.2 0.53 0.04
08/09/2017 8.16 8.16 0.48 -0.04
11/09/2017 8.2 8.2 0.53 0.04
12/09/2017 8.35 8.35 0.78 0.15
13/09/2017 8.41 8.41 0.88 0.06
14/09/2017 8.37 8.37 0.81 -0.04
15/09/2017 8.29 8.29 0.67 -0.08
18/09/2017 8.3 8.3 0.69 0.01
19/09/2017 8.28 8.28 0.66 -0.02
20/09/2017 8.28 8.28 0.66 0
21/09/2017 8.3 8.3 0.69 0.02
22/09/2017 8.27 8.27 0.64 -0.03
25/09/2017 8.3 8.3 0.69 0.03
26/09/2017 8.3 8.3 0.69 0
27/09/2017 8.3 8.3 0.69 0
28/09/2017 8.37 8.37 0.81 0.07
29/09/2017 8.4 8.4 0.87 0.03
02/10/2017 8.35 8.35 0.78 -0.05
101
03/10/2017 8.4 8.4 0.87 0.05
04/10/2017 8.4 8.4 0.87 0
05/10/2017 8.49 8.49 1.04 0.09
06/10/2017 8.5 8.5 1.06 0.01
09/10/2017 8.5 8.5 1.06 0
10/10/2017 8.4 8.4 0.87 -0.1
11/10/2017 8.4 8.4 0.87 0
12/10/2017 8.4 8.4 0.87 0
13/10/2017 8.35 8.35 0.78 -0.05
16/10/2017 8.35 8.35 0.78 0
17/10/2017 8.4 8.4 0.87 0.05
18/10/2017 8.39 8.39 0.85 -0.01
19/10/2017 8.35 8.35 0.78 -0.04
20/10/2017 8.37 8.37 0.81 0.02
23/10/2017 8.4 8.4 0.87 0.03
24/10/2017 8.37 8.37 0.81 -0.03
25/10/2017 8.4 8.4 0.87 0.03
26/10/2017 8.41 8.41 0.88 0.01
27/10/2017 8.4 8.4 0.87 -0.01
30/10/2017 8.45 8.45 0.96 0.05
31/10/2017 8.5 8.5 1.06 0.05
01/11/2017 8.5* 8.5 1.06 0
02/11/2017 8.59 8.59 1.26 0.09
03/11/2017 8.5 8.5 1.06 -0.09
06/11/2017 8.47 8.47 1.00 -0.03
07/11/2017 8.45 8.45 0.96 -0.02
08/11/2017 8.4 8.4 0.87 -0.05
09/11/2017 8.42 8.42 0.90 0.02
10/11/2017 8.3 8.3 0.69 -0.12
13/11/2017 8.25 8.25 0.61 -0.05
14/11/2017 7.95 7.95 0.23 -0.3
15/11/2017 7.9 7.9 0.19 -0.05
16/11/2017 7.9 7.9 0.19 0
17/11/2017 7.9 7.9 0.19 0
20/11/2017 8 8 0.28 0.1
21/11/2017 8.05 8.05 0.34 0.05
22/11/2017 8.15 8.15 0.46 0.1
23/11/2017 8.22 8.22 0.56 0.07
24/11/2017 8.3 8.3 0.69 0.08
27/11/2017 8.36 8.36 0.79 0.06
28/11/2017 8.3 8.3 0.69 -0.06
29/11/2017 8.35 8.35 0.78 0.05
30/11/2017 8.34 8.34 0.76 -0.01
01/12/2017 8.2 8.2 0.53 -0.14
102
04/12/2017 8.17 8.17 0.49 -0.03
05/12/2017 8.19 8.19 0.52 0.02
06/12/2017 8.1 8.1 0.40 -0.09
07/12/2017 8.05 8.05 0.34 -0.05
08/12/2017 8.05* 8.05 0.34 0
11/12/2017 7.97 7.97 0.25 -0.08
12/12/2017 8.19 8.19 0.52 0.22
13/12/2017 7.98 7.98 0.26 -0.21
14/12/2017 7.82 7.82 0.12 -0.16
15/12/2017 7.75 7.75 0.08 -0.07
18/12/2017 7.75 7.75 0.08 0
19/12/2017 7.8 7.8 0.11 0.05
20/12/2017 7.84 7.84 0.14 0.04
21/12/2017 7.78 7.78 0.10 -0.06
22/12/2017 8.09 8.09 0.38 0.31
25/12/2017 8.09* 8.09 0.38 0
26/12/2017 7.91 7.91 0.19 -0.18
27/12/2017 7.91 7.91 0.19 0
28/12/2017 8.05 8.05 0.34 0.14
29/12/2017 8.15 8.15 0.46 0.1
Total de dias 260
Promedio 7.469615385
Varianza 0.70
Volatilidad 0.09387165
Promedio de mu 0.00710425
T (30/260) 0.1154
Precio Inicial (P(0)) 8.15
Fuente: Bolsa de valores de Lima
103
3.7 ALgoritmos en Scilab para 2018
3.7.0 Algoritmo de Black Schole para la proyeccion de los
valores de las acciones de los primeros 30 dıas del ano 2018
para la Empresa de Cementos Pacasmayo S.A.A.
//Se especifican los datos de las acciones en terminos
// anuales
clear;
clf;
T=0.1154;
// Precio inicial de las acciones
PIP (1)=8.15;
// promedio de la variacion diaria
muP =0.0071;
// Volatilidad
sigP =0.0939;
WP (1)=0;
t(1)=0;
//Se comienza el loop principal para intervalos de tiempo
//de T a~nos
for m=1:1000
for i=1:30
t(i+1)=i;
WP(i+1)= WP(i)+ sqrt(T)* grand(1,1,‘ nor’ ,0,1);
104
PIP(i+1)= PIP (1)* exp((muP -( sigP ^2)/2)*( t(i+1)*T)+sigP*WP(i+1));
end
end
M(1)=0;
medP (1)= PIP (1);
for x=1:30
M(x+1)=x;
medP(x+1)= mean(PIP(x+1 ,:));
end
plot2d(M,medP ,style =3)
title(‘Modelacion de Precios ’)
xlabel(‘t’)
3.7.0 Algoritmo de la propuesta 1 cuando σ1 = σ√t
//Se especifican los datos de las acciones en terminos
// anuales
clear;
clf;
T=0.1154;
// Precio inicial de las acciones
PIP (1)=8.15;
// promedio de la variacion diaria
muP =0.0071;
// Volatilidad
sigP =0.0939;
WP (1)=0;
t(1)=0;
//Se comienza el loop principal para intervalos de tiempo de
105
//T a~nos
for m=1:1000
for i=1:30
t(i+1)=i;
WP(i+1)= WP(i)+ sqrt(T)* grand(1,1,‘ nor’ ,0,1);
PIP(i+1)= PIP (1)* exp((muP -( sigP ^2)/2)* t(i+1))*t(i+1)*T+
sigP*sqrt(t(i+1)* WP(i+1));
end
end
M(1)=0;
MedP (1)= PIP (1);
for x=1:30
M(x+1)=x;
MedP(x+1)= mean(PIP(x+1 ,:));
end
plot2d(M,medP ,style =3)
title(‘Modelacion de Precios ’)
xlabel(‘t’)
3.7.0 Algoritmo de la propuesta 2 cuando σ2 = σ(1 + 1t2)
//Se especifican los datos de las acciones en terminos
// anuales
clear;
clf;
T=0.1154;
// Precio inicial de las acciones
PIP (1)=8.15;
// promedio de la variacion diaria
muP =0.0071;
106
// Volatilidad
sigP =0.0939;
WP (1)=0;
t(1)=0;
//Se comienza el loop principal para intervalos de tiempo de
//T a~nos
for m=1:1000
for i=1:30
t(i+1)=i;
WP(i+1)= WP(i)+ sqrt(T)* grand(1,1,‘ nor’ ,0,1);
PIP(i+1)= PIP (1)* exp((muP -( sigP ^2)/2)*(1+2/(t(i+1))^2+1/
(t(i+1))^4)* t(i+1)*T+sigP *(1+1/( t(i+1))^2)* WP(i+1))
end
end
M(1)=0;
medP (1)= PIP (1);
for x=1:30
M(x+1)=x;
medP(x+1)= mean(PIP(x+1 ,:));
end
plot2d(M,medP ,style =3)
title(‘Modelacion de Precios ’)
xlabel(‘t’)
3.7.0 Algoritmo de la propuesta 3 cuando σ3 = σ√
2t
//Se especifican los datos de las acciones en terminos
// anuales
clear;
clf;
107
T=0.1154;
// Precio inicial de las acciones
PIP (1)=8.15;
// promedio de la variacion diaria
muP =0.0071;
// Volatilidad
sigP =0.0939;
WP (1)=0;
t(1)=0;
//Se comienza el loop principal para intervalos de tiempo de
//T a~nos
for m=1:1000
for i=1:30
t(i+1)=i;
WP(i+1)= WP(i)+ sqrt(T)* grand(1,1,‘ nor’ ,0,1);
PIP(i+1)= PIP (1)* exp((muP -( sigP ^2)/t(i+1))*(t(i+1)*T)+
sigP*sqrt (2/t(i+1))*WP(i+1));
end
end
M(1)=0;
medP (1)= PIP (1);
for x=1:30
M(x+1)=x;
medP(x+1)= mean(PIP(x+1 ,:));
end
plot2d(M,medP ,style =3)
title(‘Modelacion de Precios ’)
xlabel(‘t’)
108
3.7.0 Algoritmo de la Propuesta 4
//Se especifican los datos de las acciones en terminos
// anuales
clear;
clf;
//Se correra el modelo con alfa =0.4; 0.8; 1.2; 1.6; 1.99
alfa=input(‘ingrese valor de alfa entre 0 y 2:’)
T=0.1154;
// Precio inicial de las acciones
PIP (1)=8.15;
// promedio de la variacion diaria
muP =0.0071;
// Volatilidad
sigP =0.0939;
WP (1)=0;
t(1)=0;
//Se comienza el loop principal para intervalos de tiempo de
//T a~nos
for m=1:1000
for i=1:30
t(i+1)=i;
WP(i+1)= WP(i)+ sqrt(T)* grand(1,1,‘ nor’ ,0,1);
PIP(i+1)= PIP (1)* exp((muP -(( sigP ^2)/2)*( t(i+1))^ alfa )*
(t(i+1)*T)+( sigP *(t(i+1))^( alfa /2))*WP(i+1));
end
end
M(1)=0;
medP (1)= PIP (1);
109
for x=1:30
M(x+1)=x;
MedP(x+1)= mean(PIP(x+1 ,:));
end
plot2d(M,medP ,style =3)
title(‘Modelacion de Precios ’)
xlabel(‘t’)
3.8 ALgoritmos en Scilab para 2019
3.8.0 Algoritmo de Black Schole para la proyeccion de los
valores de las acciones de los primeros 30 dıas del ano 2019
para la Empresa de Cementos Pacasmayo S.A.A.
//Se especifican los datos de las acciones en terminos
// anuales
clear;
clf;
T=0.1154;
// Precio inicial de las acciones
PIP (1)=6.45;
// promedio de la variacion diaria
muP = -0.0062;
// Volatilidad
sigP =0.0813;
WP (1)=0;
110
t(1)=0;
//Se comienza el loop principal para intervalos de tiempo
//de T a~nos
for m=1:1000
for i=1:30
t(i+1)=i;
WP(i+1)= WP(i)+ sqrt(T)* grand(1,1,‘ nor’ ,0,1);
PIP(i+1)= PIP (1)* exp((muP -( sigP ^2)/2)*( t(i+1)*T)+sigP*WP(i+1));
end
end
M(1)=0;
medP (1)= PIP (1);
for x=1:30
M(x+1)=x;
medP(x+1)= mean(PIP(x+1 ,:));
end
plot2d(M,medP ,style =3)
title(‘Modelacion de Precios ’)
xlabel(‘t’)
3.8.0 Algoritmo de la propuesta 1 cuando σ1 = σ√t
//Se especifican los datos de las acciones en terminos
// anuales
clear;
clf;
T=0.1154;
// Precio inicial de las acciones
PIP (1)=6.45;
111
// promedio de la variacion diaria
muP = -0.0062;
// Volatilidad
sigP =0.0813;
WP (1)=0;
t(1)=0;
//Se comienza el loop principal para intervalos de tiempo de
//T a~nos
for m=1:1000
for i=1:30
t(i+1)=i;
WP(i+1)= WP(i)+ sqrt(T)* grand(1,1,‘ nor’ ,0,1);
PIP(i+1)= PIP (1)* exp((muP -( sigP ^2)/2)* t(i+1))*t(i+1)*T+
sigP*sqrt(t(i+1)* WP(i+1));
end
end
M(1)=0;
MedP (1)= PIP (1);
for x=1:30
M(x+1)=x;
MedP(x+1)= mean(PIP(x+1 ,:));
end
plot2d(M,medP ,style =3)
title(‘Modelacion de Precios ’)
xlabel(‘t’)
3.8.0 Algoritmo de la propuesta 2 cuando σ2 = σ(1 + 1t2)
//Se especifican los datos de las acciones en terminos
// anuales
112
clear;
clf;
T=0.1154;
// Precio inicial de las acciones
PIP (1)=6.45;
// promedio de la variacion diaria
muP = -0.0062;
// Volatilidad
sigP =0.0813;
WP (1)=0;
t(1)=0;
//Se comienza el loop principal para intervalos de tiempo de
//T a~nos
for m=1:1000
for i=1:30
t(i+1)=i;
WP(i+1)= WP(i)+ sqrt(T)* grand(1,1,‘ nor’ ,0,1);
PIP(i+1)= PIP (1)* exp((muP -( sigP ^2)/2)*(1+2/(t(i+1))^2+1/
(t(i+1))^4)* t(i+1)*T+sigP *(1+1/( t(i+1))^2)* WP(i+1))
end
end
M(1)=0;
medP (1)= PIP (1);
for x=1:30
M(x+1)=x;
medP(x+1)= mean(PIP(x+1 ,:));
end
plot2d(M,medP ,style =3)
title(‘Modelacion de Precios ’)
xlabel(‘t’)
113
3.8.0 Algoritmo de la propuesta 3 cuando σ3 = σ√
2t
//Se especifican los datos de las acciones en terminos
// anuales
clear;
clf;
T=0.1154;
// Precio inicial de las acciones
PIP (1)=6.45;
// promedio de la variacion diaria
muP = -0.0062;
// Volatilidad
sigP =0.0813;
WP (1)=0;
t(1)=0;
//Se comienza el loop principal para intervalos de tiempo de
//T a~nos
for m=1:1000
for i=1:30
t(i+1)=i;
WP(i+1)= WP(i)+ sqrt(T)* grand(1,1,‘ nor’ ,0,1);
PIP(i+1)= PIP (1)* exp((muP -( sigP ^2)/t(i+1))*(t(i+1)*T)+
sigP*sqrt (2/t(i+1))*WP(i+1));
end
end
M(1)=0;
medP (1)= PIP (1);
for x=1:30
M(x+1)=x;
114
medP(x+1)= mean(PIP(x+1 ,:));
end
plot2d(M,medP ,style =3)
title(‘Modelacion de Precios ’)
xlabel(‘t’)
3.8.0 Algoritmo de la Propuesta 4
//Se especifican los datos de las acciones en terminos
// anuales
clear;
clf;
//Se correra el modelo con alfa =0.4; 0.8; 1.2; 1.6; 1.99
alfa=input(‘ingrese valor de alfa entre 0 y 2:’)
T=0.1154;
// Precio inicial de las acciones
PIP (1)=6.45;
// promedio de la variacion diaria
muP = -0.0062;
// Volatilidad
sigP =0.0813;
WP (1)=0;
t(1)=0;
//Se comienza el loop principal para intervalos de tiempo de
//T a~nos
for m=1:1000
for i=1:30
t(i+1)=i;
WP(i+1)= WP(i)+ sqrt(T)* grand(1,1,‘ nor’ ,0,1);
PIP(i+1)= PIP (1)* exp((muP -(( sigP ^2)/2)*( t(i+1))^ alfa )*
115
(t(i+1)*T)+( sigP *(t(i+1))^( alfa /2))*WP(i+1));
end
end
M(1)=0;
medP (1)= PIP (1);
for x=1:30
M(x+1)=x;
MedP(x+1)= mean(PIP(x+1 ,:));
end
plot2d(M,medP ,style =3)
title(‘Modelacion de Precios ’)
xlabel(‘t’)
