1

3

9.6 PROBLEMAS RESUELTOSDE HIDRODINÁMICA

1.- Considérese una manguera de sección

vb

AmVm G Ab

Ab

cm3

circular de diámetro interior de 2,0 cm, por la que fluye agua a una tasa de 0,25 litros por cada segundo. ¿ Cuál es la velocidad del agua en la manguera?. El orificio de la boquilla de la manguera es de 1,0 cm de diámetro interior.¿Cuál es la velocidad de salida del agua?

Solución:Disponemos del flujo de agua que circula por la manguera que es de 0,25 Lt/s, de tal manera que según la ec (27):

0,25x103

v s 316, 5 cmb 3,14x0,52 cm2 s

Este ejemplo es interesante, puesto que muestra el mecanismo mediante el cual al disminuir el diámetro de la boquilla, se logra que el agua salga con una velocidad que permite regar a distancias convenientes. Note que ha disminuido el diámetro a la mitad, sin embargo la velocidad ha aumentado 4 veces, debido a la relación cuadrática de las áreas.

por lo que :

G = A v

cm3

2.- Por una tubería inclinada circula agua a razón de 9 m3/min, como se muestra en la figura: En a el diámetro es 30 cm y la presión es de 1 Kf/cm2. ¿Cuál es la presión en el punto

G 0,25x10s

cmb sabiendo que el diámetro es de 15 cm y que el

v 79, 6m A 3,14x12 cm2 s centro de la tubería se halla 50 cm más

bajoque en a?

Ahora, la ecuación (18) permite calcular la velocidad de salida del agua por la boquilla, puesto que el flujo que pasa por la manguera es el mismo que pasa por la boquilla.

Es decir, se debe cumplir la relación:

2

Am vm = Ab

vb de donde se tiene:

B

B

2

3

Solución:Entre los puntos a y b se puede usar la ecuación de continuidad, de manera tal que:

AA vA = AB vB = G

de donde se pueden calcular las velocidades en a y en b :

3.- Un tubo que conduce un fluido incompresible cuya densidad es 1,30 X 103 Kg/m3 es horizontal en h0 = 0 m. Para evitar un obstáculo, el tubo se debe doblar hacia arriba, hasta alcanzar una altura de h1 = 1,00 m. El tubo tiene área transversal constante. Si la presión en la sección inferior es P0 = 1,50 atm, calcule la presión P1 en la parte superior.

9m3 G 60s m

cm

Solución:

vA AA

2,14214 3,14x0,152 m2 ss

9m3

Según lo que predice la ecuación de continuidad, al tener área transversal constante, no debe

G 60s mcm

cambiar la velocidad del fluido en su interior,vB

AB

8,33 8333,14x0, 0752 m2 s

s por tanto: v0 = v1 = v

También se puede ocupar la ecuación de Bernouilli para relacionar ambos puntos, de la que se puede calcular la presión en b:

PA + ρg hA + ½ ρvA2 = PB + ρg hB

+ ½ ρv 2

PB = PA + ρg [hA - hB] + ½ ρ[v2

- v 2]

En consecuencia, aplicando la ecuación de Bernouilli a puntos en la parte superior y la parte inferior, se tiene :

P0 + ρg h0 + ½ ρv2 = P1 + ρg h1 + ½ ρv2

P0 + ρg h0 = P1 + ρg h1

P 106 Dinas

1B cm2

g cm3

980 cm 50cm

s2

de donde :

1

g −

cm

2 1

cm3 45796 693889 s2

P 724953,5 Dinas

B cm2

4

P1 = P0 + ρg [h0 - h1]

P1 = 1,5 [1,01 X 105 Pa] + [1,30X103 Kg/m3] [9,8m/s2][0 m - 1.0 m]

P1 = 151 500 Pa - 12 740 Pa

0 1

0 1

5

P1 = 138 760 Pa = 1,38 atm

¡La presión bajó desde 1,5 atm hasta 1,38 atm!.

Esta conclusión parece contradecir lo encontrado en el efecto Venturi, donde las presiones eran inversamente proporcionales a las velocidades. Sin embargo, ha de

Solución:La presión se puede encontrar mediante la ecuación de Bernouilli ; sin embargo, previamente necesitaremos calcular la velocidad v1 con la ecuación de continuidad :

A0 v0 = A1 v1

de donde :

recordarse que aquel era cierto bajo larestricción de líneas de flujo horizontales, en

v A

v0 πr 2

v0

r 2 v0

1 0 A 0 πr2 0 r2las que no hubiera diferencias significativas enla energía potencial del fluido en movimiento.

1 1 1

202 x10−4 m 1,5 m

4.- Un fluido incompresible fluye de izquierda a derecha por un tubo cilíndrico como el que se

v1

7,5x10−4

m

s 10, 7 ms

muestra en la figura. La densidad de la sustancia es de 105 utm/m3. Su velocidad en el

Ahora, según Bernouilli :

extremo de entrada es v0 = 1,5 m/s,y

la presión allí es de P0 = 1,75 Kgf/cm2, y

el radio

P0 + ρg h0 + ½ ρV 2

= P1 + ρg h1 + ½ ρV 2

de la sección es r0 = 20 cm. El extremo de salida está 4,5 m abajo del extremo de

P1 = P0 + ρg [h0 - h1] + ½ ρ [V 2

- V 2]

entrada y el radio de la sección allí, es r1 = 7,5 P 1, 75x104 Kf

105 utm 9,8 m 4,5m

cm. Encontrar la presión P1 en ese extremo.

1

m2

m3 s22

1 utm 2 −

2 m

2 105

m3 1, 5 10,

7 s2

Kf KfPB 16237, 9

m2

1, 62cm2

6

Note que si ponemos una válvula y cortamos el flujo de agua, P1 = 2,21 Kgf/m2 : sube !

1 2

1

2

7

5.- Un tanque cilíndrico de 1,80 m de diámetro descansa sobre una plataforma de una torre a 6 m de altura, como se muestra en la figura. Inicialmente, el tanque está lleno de agua, hasta la profundidad h0 = 3 m.

De un orificio que está al lado del tanque y en la parte baja del mismo, se quita un tapón que cierra el área del orificio, de 6 cm2.¿Con qué velocidad fluye inicialmente el agua del orificio?.

no trata de conceptos directamente considerado en la teoría aquí expuesta, contiene otros elementos que son relevantes para los alumnos.

Al soltar el tapón, se tiene una situación regulada por la ec de Bernouilli; de tal manera que se puede calcular la velocidad con que sale inicialmente el agua por el orificio, como hemos hecho hasta ahora :

¿Cuánto tiempo necesita el tanquepara vaciarse por completo?.

P1 + ρg h1 + ½ ρ V 2

= P2 + ρg h2 + ½ ρV 2,

Consideraremos la referencia en el piso;

P1 v1

h0h

dh

P2

v2

además tanto en 1 como en 2 la presión es la atmosférica, y V1 = 0, puesto que la relación entre las áreas del tanque y del orificio permite despreciarlo a través de la ecuación de continuidad.

(Note que: A1

πr24239 ,

A 6cm2

H ¡la velocidad en 2 será 4239 veces mayor que la

velocidad en 1! ).

y=0 P3 v3De lo anterior :

Solución:Este problema es muy importante, puesto

que por una parte revisaremos numéricamente algunos conceptos y por otra parte, aún cuando

2

8

P0 + ρg [H + H0] + ½ ρ[0]2 = P0 + ρg H + ½ ρV 2

de donde :

2

2

V

v

2 2

2

V

A

2

3

½ ρV 2 = ρg [H + H0] -

ρg HHasta aquí, el problema es resuelto como ha predicho la teoría expuesta.

Sin embargo,

2 = 2 g H0,

tal como lo habíamos previsto según Torricelli.

Es interesante esta expresión, puesto que la velocidad no depende de la densidad del líquido, tal como la caída de un objeto no depende de su masa en ausencia de aire.

Por lo tanto :

v 29,8 m 3m7, 7 m

2 s2 s

Luego, aplicando nuevamente Bernouilli para los puntos 2 y 3, podemos calcular la velocidad con que llega el agua al suelo :

calcular el tiempo que demora el tanque en vaciarse requiere de consideraciones distintas, puesto que la profundidad no será constante, como en los casos anteriores. Esto producirá que la velocidad con que baja el fluido en el tanque, así como la velocidad con que sale el líquido por el orificio, no sean constantes en el tiempo.

Para resolver esto, consideraremos que la altura h del líquido disminuye en dh durante un intervalo de tiempo dt (ver figura). Entonces, la velocidad con que baja el fluido en el tanque V1, queda determinada por la expresión:

dh1 −

dt

P2 + ρg h2 + ½

ρ V2 con P2 = P3 =

P0 :

P0 + ρg H + ½ ρ V2

de donde :

= P3 + ρg h3+ ½ ρ V3

= P0 + ρg [0]+ ½ ρ V3

2

negativa puesto que h disminuye en el tiempo.

Adicionalmente, se tiene que

V1 A1 = V2 A2

como ya sabemos, expresión que es cierta para todo t, de donde :

2 = V22 + 2 g

Hv v

A2

2

V3 = √58.8 m2/s2 + 2 [9,8 m/s2][ 6 m] V3 = 13,3 m/s

1 21

al igualar ambas expresiones, se tiene:

1 0

A

A

A

1

h

s

2

1 1

–dh

v A2

−2A1 h2 −h0 2 t

dt 2 A 2g A1 2

además, según torricelli como hemos visto : cuando el tanque se vacíe, h = 0, por lo que :

v2 2gh

−2A −h 1

por lo que :

–dh

2gh A2

t 2gA2

2 1

dt 2πr1t

−h0 2 2gA2

que se puede expresar como :

remplazando valores :2 1

–dh 2g A2

dt 2 3,14 0, 9m 3m 2

t

1 m 2 2 9,8 0, 0006m 2

integrando la expresión para el intervalo entre t = 0, donde la profundidad es h0 y el tiempo t = t, donde la profundidad es h, se tiene :

–1 A

− 2 2

t = 3 263,3 segundos

Se recomienda revisar con especial cuidado la lógica seguida en la solución de este problema.∫h dh 2g ∫dt

1

integrando :

1 1 − 2 −h

2g A2 t2 h 0 2 A

1

despejando t :

2

2

2

2

2

6.- Un tanque cilíndrico de 1,2 m de diámetro se llena hasta 0,3 m de profundidad con agua. El espacio encima del agua está ocupado con aire, comprimido a la presión de 2,026 X 105

N/m2. De un orificio en el fondo se quita un tapón que cierra un área de 2,5 cm3 . Calcular la velocidad inicial de la corriente que fluye a través de este orificio. Encontrar la fuerza vertical hacia arriba que experimenta el tanque cuando se quita el tapón.

Justo al ser soltado la cantidad de movimiento del líquido es cero, pero dt segundos más tarde, habrá sido expulsado un elemento de líquido de masa dm, que tendrá una velocidad v2 en dirección hacia abajo.

En consecuencia:

dp = v2 dm = v2 [ρdv] = v2 ρ[A2 dy]

P1 v1 A1

dp = v2 ρA2 [v2 dt] = v 2

ρA2 dt

Esta cantidad de movimiento dirigida haciaarriba será la comunicada al tanque, la que debeser igual al impulso de la fuerza que actúa sobre

h él, de modo que :

P2 v2 A2

F dt = v 2

ρA2 dt

de donde :F = v 2 ρA2

Solución:Cuando el fluido sale del tanque, de acuerdo al tercer principio de Newton, reacciona con una fuerza hacia arriba sobre el tanque de igual magnitud, pero de dirección opuesta a la fuerza con que es expulsado.Por otro lado, el segundo principio de Newton establece que el impuso que recibe el fluido expulsado, debe ser equivalente al cambio en su cantidad de movimiento.

La velocidad de salida puede calcularse con la ecuación de Bernouilli:

P1 + ρg h1 + ½ ρv12 = P2 + ρg h2 + ½

ρv 2

pero podemos suponer v1 = 0 por continuidad y h2 = 0, usándola como referencia :

de aquí :

2

2 2 P 1 −P2 v 2gh2 ρ 1

por lo que :

2 P 1 −P2 F ρA2

ρ

2gh1

reemplazando :

22,026x106 −1, 013x106 F 12, 5

298030

1

F = 5 212 000 D = 52,12 Newton

Cuando la presión P1 es suficientemente grande, este es básicamente el mecanismo de propulsión de un cohete