Hidro 14 Qmax Met Estadisticos

HIDROLOGIA

Presentación Nº 12

CAUDALES MAXIMOS

METODOS ESTADÍSTICOS

ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA

• Los procesos hidrológicos evolucionan en el espacio y en el tiempo en una forma que es parcialmente predecible, o determinística, y parcialmente aleatoria. Un proceso de este tipo se conoce con el nombre de proceso estocástico. En algunos casos, la variabilidad aleatoria del proceso es tan grande comparada con su variabilidad determinística, que se justifica que el hidrólogo trate el proceso como puramente aleatorio. De esta manera, el valor de una observación del proceso no está correlacionada con los valores de observaciones adyacentes, y las propiedades estadísticas de todas las observaciones son iguales.

ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA

Flujo permanente

Flujo no permanente

Flujo permanente

Flujo no permanente

Independiente del tiempo

Correlacionado con el tiempo

Independiente del tiempo

¿Variación temporal?

Correlacionado con el tiempo

Agregado DistribuidoIndependiente del espacio

Correlacionado en el espacio

DeterminísticoEstocástico

¿Variación espacial?

¿Aleatoriedad?

El modelo tiene en cuenta

Sistemaf (aleatoriedad, espacio, tiempo) SalidaEntrada

Cuando no existe correlación entre observaciones adyacentes, la salida de un sistema hidrológico es tratada como estocástica, independiente del espacio e independiente del tiempo.

Este tipo de tratamiento es apropiado para observaciones de eventos hidrológicos extremos, como crecientes o sequías.

TRATAMIENTO PROBABILÍSTICO DE LA INFORMACIÓN HIDROLÓGICA

• Una variable aleatoria X es una variable descrita por una distribución de probabilidad.

• La distribución determina la posibilidad de que una observación x de la variable caiga en un rango especificado de X.

• Por ejemplo, si X es la precipitación anual en un lugar especificado, entonces la distribución de probabilidad de X determina la posibilidad de que la precipitación anual observada en un año dado caiga en un rango definido, tal como menos de 30 pulg. O entre 30 – 40 pulg.


• Un conjunto de observaciones x1,x2, …. , xn de la variable aleatoria se denomina una muestra.

• Se supone que las muestras son sacadas de una hipotética población infinita que posee propiedades estadísticas constantes, mientras que las propiedades de una muestra pueden variar de una muestra a otra.

• El conjunto de todas las muestras posibles que pueden extraerse de una población se conoce como el espacio muestral, y

• Un evento es un subconjunto del espacio muestral.


• La probabilidad de un evento, P(A), es la posibilidad de que éste ocurra cuando se hace una observación de la variable aleatoria.

• Las probabilidades de eventos pueden estimarse.

• Si una muestra de n observaciones tiene nA valores en el rango de evento A, entonces la frecuencia relativa de A es nA/n.

nn

AP A

n lim)(

PRINCIPIOS

• Probabilidad Total.- Si el espacio muestral está completamente dividido en m eventos o áreas no traslapadas A1, A2,…Am, entonces:

P(A1) +P(A2)+…+P(Am) = P( ) = 1• Complementariedad.- Se sigue que si es el

complemento de A, es decir, = - A

A___ A

___

Espacio muestral

AB

A B

PRINCIPIOS• Probabilidad Condicional.- Supóngase que existe dos eventos A y B tal

como se muestra en la fig. El evento A podría ser el que la precipitación de este año fuera menor que 40 pulg. Mientras que B podría ser el evento de que la prec`pitación del próximo año sea menor que 40 pulg. Su intersección es A B , el evento de que tanto A como B ocurran, es decir, dos años sucesivos con precipitación anual menor de 40 pulg. Si P(A/B) es la probabilidad condicional de que ocurra B dado de que ya ha ocurrido A, entonces la probabilidad conjunta de que A y B ocurran, P(A B), es el producto de P(B/A) y la probabilidad de que A ocurra, es decir, P(A B) = P(B/A) P(A), o

• Si la ocurrencia de B no depende de la ocurrencia de A se dice que los eventos son independientes y P(B/A) = P(B). Para eventos independientes, de

)()(

)/(AP

BAPABP

)()()( BPAPBAP

Ej: Probabilidad pag 363 chow.xls

FUNCIONES DE FRECUENCIA Y DE PROBABILIDAD

• Una de las funciones de densidad de probabilidad más conocidas es la familiar curva en forma de campana de la distribución normal.

• Donde Mu y Sigma son parámetros. Esta función puede simplificarse definiendo la variable normal estándar z como:

2

2

2exp

2

1)(

x

xf

x

z

FUNCIONES DE FRECUENCIA Y DE PROBABILIDAD

• La distribución normal estándar correspondiente tiene la siguiente función de densidad de probabilidad

• La cual depende solamente del valor z y se encuentra graficada en la fig.

zezf z 2/2

2

1)(

0.5

0.4

f(z) 0.3

0.2

0.1

0-3.0 -2.0 -1.0 0 1.0 2.0 3.0

z

2/2

2

1)( zezf

Probabilidad acumulada de la distribución Normal Estándar

• AQUÍ TABLA PAG 369 CHOW

Ejemplo pag 370 Chow

Ej: Probabilidad pag 363 chow.xls

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS• El objetivo de la estadística es extraer la

información esencial de un conjunto de datos, reduciendo un conjunto grande de números a un conjunto pequeño de números.

• Las estadísticas son números calculados de una muestra los cuales resumen sus características más importantes.

• Los parámetros estadísticos son características de una población, tales como Mu y Sigma

Parámetros de población y estadísticas de muestra.

• Tabla pag 371 Chow

Efectos en la función de densidad de probabilidad causados por cambios en la desviación estándar y en

el coeficiente de asimetría.

Pequeña σ La información La informaciónestá desviada hacia la está desviada hacia laizquierda derecha

f(x) f(x) Asimetría Asimetríanegativa positiva

Grande σ Cs < 0 Cs > 0

μ μ

Desviación estándar σ Coeficiente de asimetría Cs

ANALISIS DE FRECUENCIA

• Los sistemas hidrológicos son afectados algunas veces por eventos extremos, tales como tormentas severas, crecientes y sequías.

• La magnitud de un evento extremo está inversamente relacionada con su frecuencia de ocurrencia, es decir, eventos muy severos ocurren con menor frecuencia que eventos mas moderados.

ANALISIS DE FRECUENCIA

• El objetivo del análisis de frecuencia de información hidrológica es relacionar la magnitud de los eventos extremos con su frecuencia de ocurrencia mediante el uso de distribuciones de probabilidad.

• Los resultados del análisis de frecuencia de flujo de crecientes pueden utilizarse para muchos propósitos en ingeniería: para el diseño de presas, puentes y estructuras de control de crecientes.

Análisis de frecuenciaPERÍODO DE RETORNO

• El intervalo de recurrencia promedio entre eventos que igualan o exceden una magnitud especificada.

• E(t) = T = 1 /P

• Es decir, la probabilidad de ocurrencia de un evento en cualquier observación es el inverso de su período de retorno.

• P ( X >= XT ) = 1 / T

DISTRIBUCIONES DE VALORES EXTREMOS

• El estudio de eventos hidrológicos extremos incluye la selección de una secuencia de observaciones máximas o mínimas de conjuntos de datos.

• Por ejemplo, el estudio de los caudales picos en una estación hidrométrica utiliza solamente el máximo caudal registrado cada año, entre los muchos miles de valores registrados.

Función de Distribución de Probabilidad de Valor Extremo Tipo I

• El parámetro u es la moda de la distribución (punto de máxima densidad de probabilidad). Una variable reducida “y” puede definirse como:

• Sustituyendo la variable reducida en la 1ra ecuac. y resolviendo para y:

5772.0

6

xu

s

x

uxxF

expexp)(

)(1

lnln

)exp(exp)(

xFy

yxFux

y

DISTRIBUCIONES DE VALORES EXTREMOS

• Para cada uno de los tres tipos de distribuciones de valores extremos la variable “x” se grafica contra la variable reducida “y” calculada para la distribución de Valor Extremo Tipo I.

• Luego:

TTT yXT

Ty

TT

xF T

1lnln

1)(

Tipo II25 Tipo I

20

Variable x Tipo III15

10 x = u

5 T

2 5 10 20 50 100 Años

0

-2.0 -1.0 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

Variable reducida y

ux

y

Ej: valor max pag 399 chow.xls

ANALISIS DE FRECUENCIA UTILIZANDO FACTORES DE FRECUENCIA

• La magnitud XT de un evento hidrológico extremo puede representarse como la media mas la desviación de la variable con respecto a la media.

• Esta desviación con respecto a la media puede igualarse al producto de la desviación estándar y el factor de frecuencia., es decir:

TT xX

sKxX

KX

Kx

TT

TT

TT

_

KT .- Factor de frecuencia

DISTRIBUCIÓN NORMAL

• El factor de frecuencia puede expresarse utilizando:

• Este es el mismo de la variable normal estándar z definida en la ecuación:

• El valor z correspondiente a una probabilidad de excedencia de p(p= 1/T)

• Puede calcularse encontrando el valor de una variable intermedia w:

T

T

XK

x

z

)5.00(1

ln

2/1

2

p

pw

DISTRIBUCIÓN NORMAL

• Luego se calcula con w el valor de z:

32

2

001308.0189269.0432788.11010328.0802853.0515517.2

wwwww

wz

)5.00(1

ln

2/1

2

p

pw


DISTRIBUCIÓN DE VALOR EXTREMO TIPO I

• Del ejemplo anterior: donde

Xprom = 0.649 y s = 0.177 y T = 5 años

sKxXT

TT

K

T

T

1lnln5772.0

6

lg78.0

177.0719.0649.0

719.0

155

lnln5772.06

puX

xX

sKxX

K

K

T

T

TT

T

T

DISTRIBUCIÓN LOG PEARSON TIPO III• Para esta distribución, el primer paso s tomar los

logaritmos de la información hidrológica, y = log x.

• Usualmente se utilizan logaritmos con base 10.• Se calcula la media Yprom, la desviación estándar

sy y el coeficiente de asimetría Cs para los logaritmos de los datos.

6

:31

)1()6(31

)1( 5432232

Csk

Donde

kzkkzkzzkzzKT

DISTRIBUCIÓN LOG PEARSON TIPO III

El valor de z para un período de retorno dado puede calcularse utilizando la distribución normal.

)5.00(1

ln

2/1

2

p

pw

6

:31

)1()6(31

)1( 5432232

Csk

Donde

kzkkzkzzkzzKT

32

2

001308.0189269.0432788.11010328.0802853.0515517.2

wwwww

wz


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