03-hydrologia-Metodyka Qmax Raport końcowy

Metodyka obliczania przepływów i opadów maksymalnych

o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia

dla zlewni kontrolowanych i niekontrolowanych

oraz identyfikacji modeli transformacji opadu w odpływ

Raport końcowy

Warszawa 2009 r.

STOWARZYSZENIE HYDROLOGÓW POLSKICH

ul. Podleśna 61, 01- 673 Warszawa

S P H

Metodykę wykonano na zlecenie Krajowego Zarządu Gospodarki Wodnej w Warszawie Sfinansowano ze środków Narodowego Funduszu Ochrony Środowiska i Gospodarki Wodnej

2

Zespół autorski:

1. Prof. dr hab. inż. Kazimierz Banasik – SGGW Warszawa

2. Dr inż. Marek Bodziony – Politechnika Krakowska

3. Dr inż. Ewa Bogdanowicz – IMGW Warszawa

4. Dr inż. Jarosław Chormański – SGGW Warszawa

5. Dr inż. Dariusz Górski – SGGW Warszawa

6. Mgr Witold Jaworski – IMGW Warszawa

7. Dr inż. Marek Madzia – Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej

8. Mgr Michał Marcinkowski – IMGW Warszawa

9. Mgr inż. Jerzy Niedbała – IMGW Kraków

10. Dr inż. Dorota Olearczyk – Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu

11. Mgr inż. Agnieszka Śliwa – Hydroprojekt Warszawa

12. Prof. dr hab. inż. Stanisław Węglarczyk – Politechnika Krakowska

13. Prof. dr hab. inż. Beniamin Więzik – IMGW Warszawa

3

Spis treści A. Podstawa opracowania.......................................................................................................8 1. Wstęp .................................................................................................................................8

I. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach kontrolowanych........................................................................12

1. Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym– długi ciąg przepływów maksymalnych rocznych...................................................................................12 1.1. Badanie niejednorodności serii czasowej przepływów maksymalnych rocznych testem Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS) .............................................................................13 1.2. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia – rozkład Pearsona ........................................................................................15 1.2.1. Utworzenie rozkładu empirycznego przepływów maksymalnych rocznych Qmax i graficzna estymacja ich dolnego ograniczenia .................................................................15 1.2.2. Estymacja parametrów i rozkładu Pearsona, typ III, metodą największej wiarygodności ......................................................................................................................16 1.2.3. Obliczenie teoretycznych wartości Qmax,p przepływów maksymalnych rocznych dla zadanych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p ..............................................16 1.2.4. Testowanie hipotezy H0 (prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem Pearsona typ III) za pomocą testu Kołmogorowa ..................................................................17 1.2.5. Testowanie hipotezy H0 (prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem Pearsona typ III) za pomocą testu 2 Pearsona ......................................................................18 1.2.6. Obliczenie górnej granicy Qmax,p jednostronnego % przedziału ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Qmax,p ....................18 1.3. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia - rozkład logarytmiczno-normalny ................................................................30 1.4. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia - rozkład Weibulla ........................................................................................38 2. Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym– krótki ciąg przepływów maksymalnych rocznych...................................................................................46 2.1. Metoda regresji..............................................................................................................47 3. Przekrój obliczeniowy nie pokrywa się z przekrojem wodowskazowym ...........................52 3.1. Metoda ekstrapolacyjna .................................................................................................52 3.2. Metoda interpolacji ........................................................................................................54

II. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodo- bieństwie przewyższenia w zlewniach niekontrolowanych mniejszych od 50 km2 ................57

1. Zlewnie niezurbanizowane - formuła opadowa .................................................................57 2. Zlewnie zurbanizowane - metoda symulacyjna .................................................................67 2.1. Metoda regionów obliczania opadów o zadanym czasie trwania i prawdopodobieństwie przewyższenia ......................................................................................................................68 2.2. Krytyczny czas trwania deszczu.....................................................................................69 2.3. Obszarowa zmienność opadu.........................................................................................70 2.4. Czasowa zmienność (rozkład) natężenia deszczu ...........................................................71 2.5. Opad efektywny.............................................................................................................73 2.6. Model transformacji opadu w odpływ ............................................................................76 2.6.1. Chwilowy hydrogram jednostkowy.............................................................................77 2.6.2. Estymacja parametrów hydrogramu jednostkowego....................................................78 2.6.3. Wyznaczenie hydrogramu jednostkowego z chwilowego hydrogramu jednostkowego 79

4

2.6.4. Hydrogram odpływu bezpośredniego ..........................................................................79

III. Obliczanie przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach niekontrolowanych o powierzchni większej od 50 km2 .............87

1. Wzór Punzeta ...................................................................................................................87 2. Wzór Wołoszyna ..............................................................................................................91 3. Obszarowe równania regresji ............................................................................................97 4. Formuła roztopowa.........................................................................................................103

IV. Fale hipotetyczne..........................................................................................................107 1. Zlewnie kontrolowane – metoda Hydroprojektu..............................................................107

2. Zlewnie niekontrolowane – metoda symulacyjna ............................................................111 2.1. Rozkład opadu dobowego............................................................................................112 2.2. Model transformacji opadu efektywnego w odpływ bezpośredni..................................112 V. Wnioski .........................................................................................................................119

Załączniki

5

Definicje ważniejszych terminów Przepływ maksymalny roczny – najwyższa w roku wartość przepływu chwilowego lub

średniodobowego.

Seria czasowa przepływów maksymalnych rocznych – seria przepływów maksymalnych

rocznych uporządkowana chronologicznie.

Jednorodność serii przepływów maksymalnych rocznych – własność serii przepływów mak-

symalnych rocznych polegająca na tym, że wszystkie jej elementy są wzajemnie niezależne i

pochodzą z tego samego rozkładu prawdopodobieństwa.

Uporządkowana malejąco seria przepływów maksymalnych rocznych – seria czasowa

przepływów maksymalnych rocznych uporządkowana od największej do najmniejszej warto-

ści.

Prawdopodobny przepływ maksymalny roczny Qmax,p – rzeczywisty, teoretyczny lub zmie-

rzony przepływ maksymalny roczny o prawdopodobieństwie przewyższenia równym p.

Rzeczywisty prawdopodobny przepływ maksymalny roczny Qmax,p – nieznana poszukiwana

wartość przepływu maksymalnego rocznego o prawdopodobieństwie przewyższenia p.

Prawdziwy rozkład zmiennej Qmax – nieznany poszukiwany rozkład prawdopodobieństwa

zmiennej Qmax.

Empiryczny rozkład przepływów maksymalnych rocznych Qmax – związek pomiędzy empi-

rycznym prawdopodobieństwem przewyższenia wzorem (12) a kolejnymi wartościami

uporządkowanej malejąco serii Qmax,(i).

Pearsonowska podziałka prawdopodobieństwa – układ współrzędnych (x,y), gdzie na oś

rzędnych y = Qmax, a oś odciętych x jest proporcjonalna do standaryzowanego kwantyla

tp(=4), p jest prawdopodobieństwem przewyższenia wartości y, p (100%; 0,1%).

Teoretyczne prawdopodobieństwo przewyższenia wartości Qmax – postulowane przez ba-

dacza prawdopodobieństwo przewyższenia wartości Qmax, jakie dałoby się obliczyć dokład-

nie, gdyby znany był prawdziwy rozkład zmiennej Qmax.

Jednostronny % przedział ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów

maksymalnych rocznych Qmax,p – półnieskończny przedział (-, ,umax pQ ) zawierający z

prawdopodobieństwem % (zwykle = 84%) oczekiwaną wartość prawdopodobnego

6

dopodobieństwem % (zwykle = 84%) oczekiwaną wartość prawdopodobnego przepływu

maksymalnego rocznego Qmax,p.

Dział wodny – linia rozdzielająca kierunki odpływu do różnych dorzeczy wyznaczona na

podstawie form ukształtowania terenu.

Sucha dolina – forma erozyjna, dolina, wąwóz, żleb, niewielki wcios, powstający w wyniku

dynamicznego spływu wód z deszczów nawalnych i roztopów.

Chwilowy hydrogram jednostkowy (oznaczany skrótowo także przez IUH – instantaneous

unit hydrograph) – wykres przedstawiający reakcję zlewni na bezwymiarową jednostkę opadu

występującą w nieskończenie krótkim czasie dt.

Hydrogram jednostkowy – wykres przedstawiający reakcję zlewni w funkcji czasu na opad

efektywny o wysokości 1 mm i czasie trwania t. Rzędne hydrogramu jednostkowego wyra-

żana są w m3/(s∙mm).

Hydrogram odpływu – wykres przedstawiający zmienność przepływu w rozpatrywanym

przekroju cieku (rzeki, potoku) w czasie. Rzędne hydrogramu odpływu wyrażana są w m3/s.

Krytyczny czas trwania deszczu – czas trwania takiego deszczu o prawdopodobieństwie p,

który - przy przyjętej zmienności jego natężenia i warunkach formowania się odpływu bezpo-

średniego w zlewni, tj. przy danym parametrze CN i parametrach chwilowego hydrogramu

jednostkowego, wywołuje największe wezbranie.

Odpływ bezpośredni – zasadnicza część hydrogramu odpływu wezbraniowego, tworzonego

także przed odpływ z zasilania gruntowego, wywołana opadem efektywnym, wyrażana w mm

lub w m3. Objętość odpływu bezpośredniego równa jest objętości opadu efektywnego w

zlewni.

Opad całkowity - punktowy – wyznaczona z formuł regionalnych, z danych pomiarowych

lub też pomierzona, sumaryczna wysokość deszczu o czasie trwania D dla danej lokalizacji,

wyrażona w mm.

Opad całkowity - obszarowy – przyjmowana za reprezentatywną dla rozpatrywanego obsza-

ru zlewni wysokość opadu, zwykle jako zredukowana suma opadu całkowitego - punktowe-

go. Redukcja jest tym mniejsza, im mniejsza jest powierzchnia zlewni i im dłuższy jest czas

trwania deszczu obliczeniowego. Dla zlewni o powierzchni do 10 km2, opad ten przyjmowa-

ny jest za równy opadowi punktowemu.

Opad efektywny – część opadu całkowitego - obszarowego, pozostająca po odjęciu strat, na

które składają się straty na: zwilżenie powierzchni roślin (intercepcja) i terenu, wypełnienie

7

zagłębień terenowych (mini depresji), wsiąkanie, parowanie w czasie trwania opadu i formo-

wania się spływu, wyrażana w mm.

Opad obliczeniowy – przyjmowany do obliczeń opad o prawdopodobieństwie przekroczenia

p, przyjętej zmienności natężeniu deszczu i czasie trwania równym krytycznemu czasowi

trwania.

Parametr CN, metody SCS wyznaczania opadu efektywnego – bezwymiarowa wartość licz-

bowa ustalana dla zlewni jak stała, zależna od rodzaju gleb i pokrycia terenu zlewni. Wiel-

kość ta może się zmieniać w danej zlewni w zależności od wilgotności a także zmiany użyt-

kowania.

Zlewnia zurbanizowana - zlewnia w której udział powierzchni nieprzepuszczalnych wynosi,

znaczącą część powierzchni całej zlewni (>5%). Powierzchnie nieprzepuszczalne obejmują

drogi, chodniki, parkingi i budynki. Naturalne drogi spływu, w zlewni zurbanizowanej są

zwykle zastępowane bądź „uzupełniane” uszczelnionymi rynsztokami i rynnami, kanałami

burzowymi i/lub innymi elementami inżynierskich systemów odwadniających.

8

A. Podstawa opracowania

Podstawą wykonania „Metodyki obliczania przepływów i opadów maksymalnych o okre-

ślonym prawdopodobieństwie przewyższenia dla zlewni kontrolowanych i niekontrolowa-

nych oraz identyfikacji modeli transformacji opadu w odpływ” była umowa nr

56/09/Wn50/NE-Wu-Tx-/D z dnia 02.03.2009 r. zawarta pomiędzy Narodowym Funduszem

Ochrony Środowiska i Gospodarki Wodnej oraz Krajowym Zarządem Gospodarki Wodnej a

Stowarzyszeniem Hydrologów Polskich.

1. Wstęp

Celem pracy było opracowanie metod obliczania przepływów maksymalnych rocz-

nych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach kontrolowanych i nie-

kontrolowanych oraz opadów maksymalnych o określonym prawdopodobieństwie i czasie

trwania.

Praca obejmuje również metody obliczania fal hipotetycznych w zlewniach kontrolo-

wanych na podstawie obserwowanych hydrogramów odpływu i w zlewniach niekontrolowa-

nych bazując na modelach transformacji opadu w odpływ. Przepływy maksymalne roczne o

określonym prawdopodobieństwie przewyższenia i hydrogramy fal hipotetycznych będą pod-

stawą do sporządzenia map zagrożenia i ryzyka powodziowego, zgodnie z dyrektywami Unii

Europejskiej.

W zlewniach kontrolowanych posiadających długie ciągi obserwowanych przepływów

maksymalnych rocznych (N ≥ 30 lat) do obliczenia przepływów maksymalnych rocznych o

określonym prawdopodobieństwie przewyższenia należy zastosować metodę statystyczną

opartą na rozkładzie Pearsona typu III.

Jeżeli ciąg obserwacyjny jest krótszy od 30 lat, a na badanej rzecze znajduje się inny

wodowskaz, w którym prowadzone były obserwacje przez dłuższy okres, można uzupełnić

przepływy maksymalne roczne stosując metodę regresji.

Ciąg obserwacyjny należy poddać analizie jednorodności przy zastosowaniu testu

Manna-Kendalla-Sneyersa. Do estymacji parametrów rozkładu Pearsona typ III zaleca się

stosować metodę największej wiarygodności.

Jeżeli przekrój obliczeniowy nie pokrywa się z przekrojem wodowskazowym do prze-

niesienia ciągu obserwacyjnego należy zastosować metodę ekstrapolacji w ramach podobień-

stwa hydrologicznego (rys. 1.1).

9

Metodę ekstrapolacji można stosować w przypadku, gdy przekrój obliczeniowy znaj-

duje się powyżej przekroju wodowskazowego i zamyka zlewnię o powierzchni Ax nie mniej-

szej od połowy powierzchni Aw do przekroju wodowskazowego: Aw > Ax ≥ 0,5 Aw. Jeżeli

przekrój obliczeniowy znajduje się poniżej przekroju wodowskazowego, powierzchnia zlewni

Ax do przekroju obliczeniowego nie może przekraczać 1,5 Aw: Aw < Ax ≤ 1,5 Aw.

Rys. 1.1. Metody obliczania przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobień-

stwie przewyższenia w zlewniach kontrolowanych i niekontrolowanych

Przekrój obliczeniowy może znajdować się pomiędzy przekrojami wodowskazowymi

na tym samym cieku. W tym przypadku do przeniesienia ciągu obserwacyjnego należy zasto-

sować metodę interpolacji (rys. 1.1).

Zastosowanie metody ekstrapolacji i interpolacji powinno być poprzedzone analizą

kształtowania się przepływów maksymalnych w zlewni, która wykaże możliwości stosowania

zasady podobieństwa do przenoszenia informacji hydrologicznej z przekroju kontrolowanego

do niekontrolowanego.

Jeżeli przekrój badany znajduje się na cieku niekontrolowanym do obliczenia prze-

pływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia stosuje

Formuła opadowa Metoda

symulacyjna

Wzóry Punzeta Wzór Wołoszyna Równanie regresji

Formuła roztopowa Ekstrapolacja Ekstrapolacja Interpolacja

WG

WD

Metody pośrednie

Metody bezpośrednie (statystyczne)

250 kmAX 250 kmAX DXG AAA GXG AAA 5,0 DXD AAA 5,1

10

metody empiryczne. W zlewniach niezurbanizowanych, w których przekroje obliczeniowe

zamykają powierzchnie mniejsze od 50 km2, należy zastosować formułę opadową. W zlew-

niach zurbanizowanych z uwagi na nienaturalne warunki odpływu konieczne jest zastosowa-

nie metody symulacyjnej opartej na modelu transformacji opadu w odpływ, przy uwzględnie-

niu specyficznego pokrycia i użytkowania powierzchni zlewni.

W zlewniach większych od 50 km2 należy zastosować wzory empiryczne, w których

przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia uzależ-

nione są od charakterystycznych, regionalnych i genetycznych (opadowych i roztopowych)

warunków odpływu. Analizowane w metodyce przypadki zestawiono w tabeli 1.1.

W zlewniach w znacznym stopniu przekształconych antropogenicznie do obliczania

przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia

należy zastosować specyficzne metody oparte na analizie procesów formowania się przepły-

wów powodziowych.

Tabela 1.1. Warunki stosowania metod obliczania przepływów maksymalnych rocznych o określonym

prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach kontrolowanych i niekontrolowanych Określenie Uwarunkowania

Zakres stosowania Metoda

Zlewnie kontrolowane

Długi ciąg obserwacyjny N ≥30 lat - metoda statystyczna

Przekrój wodowskazowy Krótki ciąg obserwacyjny N < 30 lat

- równanie regresji - metoda statystyczna

Przekrój niekontrolowany na rzece kontrolowanej

Przekrój położony powyżej lub poniżej wodowskazu

- równanie ekstrapolacji - metoda statystyczna

Przekrój położony pomiędzy wodowskazami

- równanie interpolacji - metoda statystyczna

Zlewnie niekontrolowane

Zlewnie niezurbanizowane - formuła opadowa Zlewnie mniejsze od A ≤ 50 km2 Zlewnie zurbanizowane - metoda symulacyjna

- model opad-odpływ Górna Wisła - wzory Punzeta Górna Odra - wzór Wołoszyna Zlewnie większe od

A > 50 km2 Pozostały obszar kraju - obszarowe równanie regresji

- formuła roztopowa Do określenia opadów o zadanym czasie trwania i prawdopodobieństwie przewyższe-

nia niezbędnych do obliczenia przepływów maksymalnych rocznych w małych zlewniach

zurbanizowanych oraz obliczenia fal hipotetycznych w zlewniach niekontrolowanych należy

11

zastosować metodę regionów opadowych. W zlewniach karpackich i sudeckich, dla których

nie obowiązują równania metody regionów, opady o zadanym czasie trwania i prawdopodo-

bieństwie przewyższenia należy uzyskać z Instytutu Meteorologii i Gospodarki Wodnej.

Do obliczenia fal hipotetycznych o określonej wartości przepływu kulminacyjnego w

zlewniach kontrolowanych należy zastosować metodę Hydroprojektu, która bazuje na zbiorze

fal historycznych, natomiast w zlewniach niekontrolowanych należy zastosować metodę sy-

mulacyjną, opartą na modelu transformacji opadu w odpływ.

12

I. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie

przewyższenia w zlewniach kontrolowanych

W zlewniach kontrolowanych przekrój obliczeniowy może pokrywać się z przekrojem

wodowskazowym lub mogą wystąpić przypadki, w których przepływy maksymalne roczne o

określonym prawdopodobieństwie przewyższenia należy obliczyć w przekroju położonym

poniżej lub powyżej przekroju wodowskazowego. Zastosowanie metody ekstrapolacji lub

interpolacji stwarza możliwość przeniesienia informacji hydrologicznej z przekroju wodo-

wskazowego do niekontrolowanego. Podstawą zastosowania metod statystycznych są długie

ciągi obserwacyjne przepływów maksymalnych rocznych.

1. Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym– długi ciąg prze-

pływów maksymalnych rocznych

W zlewniach kontrolowanych, gdy przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem

wodowskazowym (rys. 1.1) i istnieje długa seria obserwacyjna (min. 30 lat), do obliczenia

przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia

należy zastosować metodę statystyczną.

Rys. 1.1. Zlewnia kontrolowana (przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym

Przekrój wodowskazowy

Przekrój obliczeniowy

13

1.1. Badanie niejednorodności serii czasowej przepływów maksymalnych rocznych

testem Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS)

Stosowane dotychczas metody szacowania prawdopodobnych przepływów maksymal-

nych rocznych wymagają, aby seria czasowa tych przepływów była jednorodna. Warunek ten

oznacza, że przyrodniczy mechanizm generowania przepływów maksymalnych rocznych

Qmax jest w każdym roku taki sam (przepływy pochodzą z tego samego rozkładu prawdopo-

dobieństwa) oraz że przeszłe wartości Qmax nie mają wpływu na wartości przyszłe (brak tren-

du, przepływy są niezależne).

Test Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS) (Kendall i Stuart, 1968; Sneyers, 1975; Sneyers i

in., 1998) jest ciągiem testów weryfikujących dla kolejnych podserii {Qmax,1, Qmax,2,...,

Qmax,k}k=2,...,N i {Qmax,k+1, Qmax,2,..., Qmax,N}k=1,...,N-1, N-elementowej serii przepływów maksy-

malnych rocznych {Qmax,1, Qmax,2,..., Qmax,N} hipotezę H0 o ich jednorodności, tzn. że prze-

pływy te są niezależne i mają ten sam rozkład prawdopodobieństwa. W przypadku odrzucenia

hipotezy H0 dla niektórych k, wykres przebiegu statystyk testowych w zależności od czasu k

pozwala ponadto zbadać postać niestacjonarności, np. w postaci trendu lub tzw. punktu zmia-

ny trendu, tj. punktu, w którym trend zmienia kierunek.

Dla danej serii czasowej {Qmax,1, Qmax,2,..., Qmax,N} test MKS wykonywany jest w dwu

etapach.

Etap 1. Należy obliczyć liczbę ni (i = 2,...,N) wszystkich elementów podserii czasowej

{Qmax,1, Qmax,2,..., Qmax,i-1} poprzedzających element Qmax,i i jednocześnie mniejszych od nie-

go:

,1 ,2 , 1 ,liczba elementów podserii { , ,... } mniejszych od i max max max i max in Q Q Q Q (1.1)

Następnie liczby ni są sumowane i tworzona jest statystyka tk

2

k

k ii

t n

(1.2)

Rozkład tej statystyki może być dla N 10 opisany rozkładem normalnym N(k, k) z para-

metrami równymi

1 ( 1)4k k k (1.3)

14

1 ( 1)(2 5)72k k k k (1.4)

Następnie tworzona jest seria znormalizowanych wartości

k kk

k

tu (1.5)

Stanowi ona progresywną postać statystyki testu MKS. Jeśli dla danego k i ustalonego

poziomu istotności testu (zwykle przyjmuje się = 0,05), absolutna wartość uk, |uk|, spełnia

warunek |uk| > ukryt(), gdzie ukryt () jest krytyczną wartością statystyki testowej (np.

ukryt(0,05) = 1,96 dla testu dwustronnego), to hipoteza o niezależności od czasu i nieskorelo-

waniu podserii {Qmax,1, Qmax,2,..., Qmax,k} jest odrzucana i przyjmuje się, że w okresie od 1 do k

istnieje trend monotoniczny.

Etap 2. Należy postąpić analogiczne jak w etapie 1, jednak dla serii czasowej ustawionej w porządku odwróconym: {Qmax,N, Qmax,N-1,..., Qmax,1}. Obliczana jest w tym przypadku tzw. regresywna postać ku znormalizowanej statystyki testu MKS:

k kk

k

tu

(1.6)

gdzie kt jest liczone podobnie do tk w (1.2):

1N

k ii k

t n

(1.7)

a liczba in jest liczbą elementów podserii {Qmax,N, Qmax,N -1,…, Qmax, i+1} mniejszych od Qmax i:

, , 1 , 1 ,liczba elementów podserii { , ,... } mniejszych od i max N max N max i max in Q Q Q Q (1.8)

Tak jak poprzednio, statystyka kt podlega rozkładowi normalnemu z parametrami:

1 ( )( 1)4k N k N k (1.9)

1 ( )( 1)(2( ) 5)72k N k N k N k (1.10)

Jeśli seria danych pochodzi z jednej populacji i dane są niezależne od siebie, to wykre-sy uk i ku powinny oscylować wokół linii zerowej, pozostając w obszarze (-ukryt(), ukryt()).

Monotoniczny trend przepływów maksymalnych rocznych w całym okresie będzie widoczny na wykresie uk i ku w postaci dwu równoległych rosnących lub malejących nieregularnych

linii wychodzących poza obszar (-ukryt(), ukryt()), natomiast jeśli wykresy uk i ku przecinają

15

się powyżej ukryt() lub poniżej -ukryt(), to istnieje podstawa do twierdzenia, że w roku (la-tach) przecięcia nastąpiła zmiana trendu. Możliwe są też inne sytuacje (zob. przykład 1.1).

1.2. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie

przewyższenia – rozkład Pearsona

Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia wykonuje się w następujących etapach: 1. Maksymalne przepływy roczne Qmax,p o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia p

(p = P(Qmax Qmax,p)) oblicza się według wzoru opartego na rozkładzie Pearsona typu III

(Kaczmarek, 1970):

,

( )pmax p

tQ

(1.11)

gdzie:

– dolne ograniczenie przepływów w m3/s: Qmax ,

– parametr skali w (m3/s)-1,

– parametr kształtu,

tp() – zmienna standaryzowana.

2. Wartość dolnego ograniczenia jest estymowana metodą graficzną, a parametry i są

estymowane metodą największej wiarygodności.

1.2.1. Utworzenie rozkładu empirycznego przepływów maksymalnych rocznych Qmax

i graficzna estymacja ich dolnego ograniczenia

1. Czasową serię przepływów maksymalnych rocznych {Qmax,1, Qmax,2,..., Qmax,N} należy upo-

rządkować malejąco: {Qmax,(1) Qmax,(2) ... Qmax,(N)}.

2. Dla każdej wartości Qmax,(i), i = 1, 2, ..., N, uporządkowanej malejąco serii oblicza się empi-ryczne prawdopodobieństwo przewyższenia pi według wzoru:

, 1, 2,...,1i

ip i NN

(1.12)

gdzie: i – numer i-tej najwyższej wartości, Qmax,(i), w serii danych.

16

3. Uzyskane punkty (pi, Qmax,(i)) nanosi się na pearsonowską podziałkę prawdopodobieństwa (rys. A.1, załącznik A) i wyrównuje odręcznie dolną część empirycznej krzywej aż do praw-dopodobieństwa przewyższenia p = 100% i dla tego prawdopodobieństwa odczytuje się war-

tość ograniczenia dolnego w m3/s.

1.2.2. Estymacja parametrów i rozkładu Pearsona, typ III, metodą największej

wiarygodności

1. Dla znanej wartości dolnego ograniczenia , oblicza się pomocniczą wartość A:

, ,1 1

1 1ln lnN N

max i max ii i

A Q QN N

(1.13)

2. Parametr szacowany jest za pomocą wzoru:

41 1 14 3

AA

(1.14)

3. Parametr oblicza się ze wzoru:

,

1

1 N

max ii

QN

(1.15)

Obliczone wartości , i określają jednoznacznie rozkład (1.11) przepływów maksymal-

nych w roku Qmax.

1.2.3. Obliczenie teoretycznych wartości Qmax,p przepływów maksymalnych rocznych

dla zadanych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p

Obliczenie teoretycznych wartości Qmax,p przepływów maksymalnych rocznych dla zada-

nych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p można wykonać dwoma sposobami.

Sposób 1: Mając dane wartości , i oraz korzystając z wartości funkcji tp() podanych w

tabeli A.1 (załącznik A), oblicza się za pomocą wzoru (1.11) dla wybranych wartości praw-

dopodobieństwa przewyższenia p wartości przepływu prawdopodobnego Qmax,p.

Sposób 2: Mając dane wartości , i , oblicza się wartości przepływu prawdopodobnego

Qmax,p korzystając z dostępnego programu komputerowego, na przykład z funkcji ROZ-

KŁAD.GAMMA.ODW() arkusza kalkulacyjnego MS Excel:

17

, ROZKŁAD.GAMMA.ODW 1 ; ;1/max pQ p (1.16)

gdzie:

p - prawdopodobieństwo przewyższenia przez przepływ maksymalny roczny Qmax

wartości Qmax,p, wyrażone liczbą niemianowaną (p = P(Qmax Qmax,p))

1.2.4. Testowanie hipotezy H0 (prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem

Pearsona typ III) za pomocą testu Kołmogorowa

Testowanie hipotezy obejmuje następujące etapy:

1. Dla danych , , , oblicza się wartość Di dla każdej wartości Qmax,(i), i = 1, 2, ..., N, upo-

rządkowanej malejąco serii danych przepływów maksymalnych rocznych:

,( ) ,( )1max ; , , ; ,

1 1i teor max i teor max ii iD p Q p Q

N N

(1.17)

gdzie:

pteor(Qmax,(i)) – teoretyczne prawdopodobieństwo przewyższenia wartości Qmax,(i):

pteor(Qmax,(i)) = P(Qmax Qmax,(i)) obliczone

a. na podstawie tabeli A.1: mając dane , i przeliczyć Qmax,(i) na tp() = (Qmax,(i) –), p

nieznane, i poszukać w tabeli A.1 odpowiedniej wartości p; metoda przybliżona, prawie

zawsze wymagająca interpolacji), albo

b. z wykorzystaniem dostępnego programu komputerowego, np. funkcji

ROZKŁAD.GAMMA() arkusza kalkulacyjnego MS Excel:

( ) ( )P( ) 1 ROZKŁAD.GAMMA ; ;1/ ;prawdamax max i max iQ Q Q (1.18)

gdzie:

Qmax,(i) – i-ta największa wartość uporządkowanej malejąco serii przepływów maksymal-

nych rocznych.

2. Określa się maksymalną wartość Dmax serii różnic Di:

1,...,

maxmax ii ND D

(1.19)

Wielkość Dmax można też odczytać z wykresów rozkładów teoretycznego i empirycznego.

3. Oblicza się wartość Kol statystyki testowej testu Kołmogorowa:

Kol maxN D (1.20)

18

4. Przyjmując poziom istotności testu, test = 5%, porównuje się wartość Kol z wartością kry-

tyczną testu kryt(test = 5%) = 1,36. Jeśli Kol < 1,36, nie ma podstaw do odrzucenia badanego

rozkładu. W przypadku przeciwnym należy poszukiwać innego rozkładu np. logarytmiczno-

normalnego lub Weibulla.

1.2.5. Testowanie hipotezy H0 (prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem Pear-

sona typ III) za pomocą testu 2 Pearsona

Testowanie hipotezy obejmuje następujące etapy:

1. Ustala się liczbę r przedziałów, na jakie trzeba będzie podzielić przedział (,) zmienności

zmiennej Qmax. Liczba r musi wynosić co najmniej 4 (r 4) i powinna być taka, aby przecięt-

na liczba elementów serii w każdym przedziale wynosiła co najmniej 5 (N/r 5).

2. Oblicza się wartości Q,i zmiennej Qmax, które spełniają równość

,P( ) , 1, 2,..., 1max iiQ Q i rr (1.21)

3. Tworzy się r przedziałów: (0, Q,1), [Q,1, Q,2),...,[Q,r-1,). W każdym z tych przedziałów

znajduje się odpowiednio mi, i = 1, 2, ..., r, elementów serii czasowej {Qmax,1, Qmax,2,...,

Qmax,N}.

4. Oblicza się wartość 2 statystyki testu 2 Pearsona:

2 2

1( / )

r

ii

r m N rN

(1.22)

5. Korzystając z tabeli A.2, porównuje się obliczoną wartość 2 z wartością krytyczną 2

kr =

2(test, = r–3) dla poziomu istotności testu test = 5% i liczby = r – 3 stopni swobody.

6. Jeśli 2 < 2kr(test), nie ma podstaw do odrzucenia rozkładu. W przypadku przeciwnym

należy poszukiwać innego rozkładu prawdopodobieństwa.

1.2.6. Obliczenie górnej granicy ,umax pQ jednostronnego % przedziału ufności dla

rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Qmax,p

Wielkość ,

umax pQ oblicza się ze wzoru:

, , ,umax p max p max pQ Q u Q

(1.23)

19

gdzie:

u – kwantyl rzędu w standaryzowanym rozkładzie normalnym. W tabeli A.3 podane

są niektóre wartości u ( oznacza prawdopodobieństwa nieprzewyższenia),

,max pQ – błąd oszacowania Qmax,p obliczany ze wzoru:

,1( , )max pQ p

N

(1.24)

Wartości funkcji (p,) są podane w tabeli A.4. Przykład 1.1 (negatywny): Obliczyć przepływy maksymalne roczne o określonym prawdo-

podobieństwie przewyższenia w przekroju wodowskazowym Bukówka na Bobrze.

Wodowskaz Bukówka zamyka zlewnie o powierzchni A = 57,76 km2. Długość ciągu

obserwacyjnego wynosi N = 41.

1. Sprawdzić niejednorodność serii czasowej przepływów maksymalnych rocznych testem

Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS)

Na podstawie serii chronologicznej przepływów maksymalnych rocznych rzeki Bóbr

w przekroju wodowskazowym Bukówka utworzyć ciąg statystyk uk, k = 2,3,...,N i uk,

k=1,2,...,N-1. W tabeli 1.1 zestawiono wartości przepływów maksymalnych rocznych rzeki

Bóbr w przekroju wodowskazowym Bukówka oraz wartości wielkości związanych z testem

MKS.

Tabela 1.1. Seria czasowa Qmax i niektóre wielkości testu MKS. Numery w nawiasach w drugim wier-szu tabeli to numery odpowiednich równań. Wyróżnione kolorem komórki ilustrują sposób liczenia

statystyki tk (1.2): t19 = 103 = 0+2+2+...+17+10, oraz statystyki tk (1.7): t19 = 201 = 1+1+2+...+18+22

Bóbr/Bukówka nk tk k k uk nk tk k k uk

rok Qmax k

(1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.8) (1.7) (1.9) (1.10) (1.6)

1965 18,6 1 30 637 410 44,516 5,099 1966 13,2 2 0 0 0,5 0,5 -1 25 607 390 42,915 5,057 1967 22,1 3 2 2 1,5 0,957 0,522 31 582 370,5 41,333 5,117 1968 20,4 4 2 4 3 1,472 0,679 29 551 351,5 39,771 5,016 1969 23,0 5 4 8 5 2,041 1,470 31 522 333 38,230 4,944 1970 10,7 6 0 8 7,5 2,661 0,188 22 491 315 36,708 4,795 1971 27,8 7 6 14 10,5 3,329 1,051 30 469 297,5 35,208 4,871 1972 14,7 8 2 16 14 4,041 0,495 25 439 280,5 33,728 4,699 1973 8,62 9 0 16 18 4,796 -0,417 17 414 264 32,270 4,648 1974 15,9 10 4 20 22,5 5,590 -0,447 24 397 248 30,833 4,833 1975 22,1 11 7 27 27,5 6,423 -0,078 26 373 232,5 29,418 4,776 1976 16,6 12 5 32 33 7,292 -0,137 24 347 217,5 28,025 4,621 1977 27,8 13 11 43 39 8,196 0,488 25 323 203 26,655 4,502 1978 4,76 14 0 43 45,5 9,133 -0,274 7 298 189 25,308 4,307

20

1979 11,3 15 3 46 52,5 10,104 -0,643 21 291 175,5 23,984 4,816 1980 32,3 16 15 61 60 11,106 0,090 23 270 162,5 22,684 4,739 1981 32,3 17 15 76 68 12,138 0,659 23 247 150 21,409 4,531 1982 33,8 18 17 93 76,5 13,200 1,250 23 224 138 20,158 4,266 1983 21,7 19 10 103 85,5 14,292 1,224 22 201 126,5 18,932 3,935 1984 9,23 20 2 105 95 15,411 0,649 18 179 115,5 17,732 3,581 1985 14,3 21 6 111 105 16,558 0,362 20 161 105 16,558 3,382 1986 8,28 22 1 112 115,5 17,732 -0,197 15 141 95 15,411 2,985 1987 10,7 23 4 116 126,5 18,932 -0,555 18 126 85,5 14,292 2,834 1988 9,16 24 3 119 138 20,158 -0,943 16 108 76,5 13,200 2,386 1989 10,3 25 5 124 150 21,409 -1,214 16 92 68 12,138 1,977 1990 6,72 26 1 125 162,5 22,684 -1,653 12 76 60 11,106 1,441 1991 4,43 27 0 125 175,5 23,984 -2,106 4 64 52,5 10,104 1,138 1992 6,72 28 2 127 189 25,308 -2,450 11 60 45,5 9,133 1,588 1993 3,08 29 0 127 203 26,655 -2,851 1 49 39 8,196 1,220 1994 7,26 30 5 132 217,5 28,025 -3,051 10 48 33 7,292 2,057 1995 4,7 31 2 134 232,5 29,418 -3,348 3 38 27,5 6,423 1,635 1996 6,05 32 4 138 248 30,833 -3,568 7 35 22,5 5,590 2,236 1997 8,75 33 10 148 264 32,270 -3,595 8 28 18 4,796 2,085 1998 5,24 34 4 152 280,5 33,728 -3,810 5 20 14 4,041 1,485 1999 6,59 35 6 158 297,5 35,208 -3,962 6 15 10,5 3,329 1,352 2000 4,7 36 2 160 315 36,708 -4,222 3 9 7,5 2,661 0,564 2001 4,16 37 1 161 333 38,230 -4,499 2 6 5 2,041 0,490 2002 4,97 38 6 167 351,5 39,771 -4,639 2 4 3 1,472 0,679 2003 3,25 39 1 168 370,5 41,333 -4,899 1 2 1,5 0,957 0,522 2004 5,92 40 9 177 390 42,915 -4,963 1 1 0,5 0,5 1 2005 1,9 41 0 177 410 44,516 -5,234

Ponieważ wymagane jest aby zmienne uk i uk podlegały w przybliżeniu rozkładowi

normalnemu dla liczebności podciągu nie mniejszej niż 10, podane w tablicy wartości uk i uk

można wykorzystać w teście MKS dla k = 10,...,N (zmienna uk) i dla k = 1,...,N–9 (zmienna

uk). W tabeli 1.1 podano również wartości uk i uk dla k spoza podanego wyżej zakresu nie

tylko z powodów ilustracyjnych ale też dlatego, że zwykle tworzony jest wykres dla k =

2,...,N (dla uk) i dla k = 1,...,N–1 (dla uk) (rys. 1.2).

21

-6

-4

-2

0

2

4

6

1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

u(t),

u'(t

)

u'(t)u(t)1,96-1,96Qmax

Rys. 1.2. Wyniki testu MKS (statystyki u i u z tab. 1) wraz 95% przedziałem akceptacji hipotezy H0 o jednorodności kolejnych podserii Qmax (linie -1,96 i 1,96) oraz czasowym przebiegiem Qmax (skala

wartości Qmax nie podana). Przebieg wartości statystyki testowej uk na rys. 1.2 pokazuje, że od początku okresu

obserwacji do mniej więcej środka dekady 1980–1990 wartości uk oscylują wokół zera, co

wskazuje na jednorodność (niezależność i brak trendu) kolejnych podciągów progresywnych.

W tym samym okresie uk podciągów regresywnych wykazuje bardzo wysokie acz-

kolwiek zmniejszające się z k wartości dodatnie, znacznie wychodzące ponad 1,96, co wska-

zuje na silny trend malejący. Z punktu widzenia obszaru akceptacji hipotezy o jednorodności

serii czasowej Qmax, oba ciągi, uk i uk, przechodzą w dekadzie 1980-1990 na inne pozycje: uk

jest coraz bardziej mniejsze od -1,96 wskazując tym samym na zwiększającą się niejednorod-

ność (coraz silniejszy trend malejący), osiągając maksimum w roku 2005 (o wartości mniej

więcej takiej samej, jak uk dla k=1), natomiast uk powoli przestaje być istotne (na poziomie

istotności 5%). Wszystko to sugeruje, że ok. 1985 r. nastąpiła istotna zmiana reżimu przepły-

wu Bobru w przekroju wodowskazowym Bukówka, co jest również widoczne w dodanym na

rys. 1.2 przebiegu wartości Qmax. Powstała niejednorodność jest spowodowana oddaniem do

eksploatacji w roku 1987 zbiornika retencyjnego Bukówka.

Zmiany są jednak tak duże, że należy stwierdzić niemożliwość obliczania przepływów

prawdopodobnych Qmax,p opisaną metodą.

22

Przykład 1.2. (pozytywny). Obliczyć przepływy maksymalne roczne o określonym prawdo-

podobieństwie przewyższenia w przekroju wodowskazowym Polana na Czarnej.

Wodowskaz Polana zamyka zlewnie o powierzchni A = 94,17 km2. Długość ciągu

obserwacyjnego wynosi N = 34.

1. Sprawdzić niejednorodność serii czasowej przepływów maksymalnych rocznych testem

Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS)

Na podstawie serii chronologicznej przepływów maksymalnych rocznych rzeki Czar-

nej w przekroju wodowskazowym Polana utworzony został ciąg statystyk uk, k = 2,3,...,N i

uk, k=1,2,...,N -1. Tabela 1.2 zawiera wartości tej serii czasowej oraz wielkości związanych z

testem MKS.

Tabela 1.2. Seria czasowa Qmax, w przekroju wodowskazowym Polana na rzece Czarnej, i niektóre

wielkości testu MKS. (Numery w nawiasach w drugiej linii to numery odpowiednich równań)

Czarny/Polana tk k k uk tk k k uk rok Qmax

k (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.7) (1.9) (1.10) (1.6)

1972 10,2 1 237 280,5 33,728 -1,290 1973 9,24 2 0 0,5 0,5 -1 232 264 32,270 -0,992 1974 58,8 3 2 1,5 0,957 0,522 229 248 30,833 -0,616 1975 8,23 4 2 3 1,472 -0,679 202 232,5 29,418 -1,037 1976 16,2 5 5 5 2,041 0,000 201 217,5 28,025 -0,589 1977 4,92 6 5 7,5 2,661 -0,939 195 203 26,655 -0,300 1978 26,8 7 10 10,5 3,329 -0,150 195 189 25,308 0,237 1979 25,1 8 15 14 4,041 0,247 181 175,5 23,984 0,229 1980 97,2 9 23 18 4,796 1,043 169 162,5 22,684 0,287 1981 23,5 10 28 22,5 5,590 0,984 145 150 21,409 -0,234 1982 22,3 11 33 27,5 6,423 0,856 135 138 20,158 -0,149 1983 21,1 12 38 33 7,292 0,686 126 126,5 18,932 -0,026 1984 59,9 13 49 39 8,196 1,220 118 115,5 17,732 0,141 1985 55,1 14 59 45,5 9,133 1,478 99 105 16,558 -0,362 1986 16,2 15 63 52,5 10,104 1,039 82 95 15,411 -0,844 1987 24,6 16 72 60 11,106 1,081 77 85,5 14,292 -0,595 1988 14,8 17 76 68 12,138 0,659 70 76,5 13,200 -0,492 1989 73,8 18 92 76,5 13,200 1,174 66 68 12,138 -0,165 1990 28,9 19 105 85,5 14,292 1,364 51 60 11,106 -0,810 1991 18,6 20 112 95 15,411 1,103 44 52,5 10,104 -0,841 1992 18,2 21 119 105 16,558 0,846 39 45,5 9,133 -0,712 1993 25,8 22 133 115,5 17,732 0,987 35 39 8,196 -0,488 1994 14,5 23 137 126,5 18,932 0,555 31 33 7,292 -0,274 1995 11,2 24 141 138 20,158 0,149 28 27,5 6,423 0,078 1996 54,5 25 160 150 21,409 0,467 26 22,5 5,590 0,626 1997 111 26 185 162,5 22,684 0,992 19 18 4,796 0,209 1998 35,1 27 204 175,5 23,984 1,188 11 14 4,041 -0,742 1999 43 28 224 189 25,308 1,383 9 10,5 3,329 -0,451 2000 52 29 245 203 26,655 1,576 7 7,5 2,661 -0,188 2001 45,4 30 266 217,5 28,025 1,731 3 5 2,041 -0,980 2002 8,9 31 268 232,5 29,418 1,207 1 3 1,472 -1,359 2003 9,72 32 272 248 30,833 0,778 1 1,5 0,957 -0,522 2004 57,4 33 299 264 32,270 1,085 1 0,5 0,5 1 2005 50,8 34 323 280,5 33,728 1,260

23

-3

-2

-1

0

1

2

3

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

u(t),

u'(t

)

u'(t)u(t)1,96-1,96Qmax

Rys. 1.3. Wyniki testu MKS (statystyki u i u z tabeli 1.2) wraz 95% przedziałem akceptacji hipotezy H0 o jednorodności kolejnych podciągów Qmax (linie -1,96 i 1,96) oraz czasowym przebiegiem Qmax

(skala wartości Qmax nie podana). Wszystkie wartości uk i uk zawierają się w przedziale (-1,96; 1,96), co oznacza, że dla

żadnego podciągu (progresywnego i regresywnego) serii Qmax nie ma na poziomie istotności

α = 5% podstaw do odrzucenia hipotezy o jednorodności. Nie ma podstaw do odrzucenia hi-

potezy, że dane Qmax z przekroju wodowskazowym polana są niezależne i pochodzą z jednej

populacji.

2. Estymacja parametrów rozkładu Pearsona III typu.

a. Estymacja dolnego ograniczenia metodą graficzną

Stosując wzór (1.12) i podziałkę prawdopodobieństwa (rys. A.1 załącznik A) sporządzić

wykres empirycznego prawdopodobieństwo przewyższenia (rys. 1.4).

24

100 90 70 50 30 20 10 5 10

20

40

60

80

100

120

Prawdopodobieństwo przewyższenia p, %

Prze

pływ

Q max,

m3s

Rys. 1.4. Empiryczne prawdopodobieństwo przewyższenia (punkty) oraz graficzna estymacja dolnego

ograniczenia (linia zielona). Przyjęto przybliżenie 0.

Przedłużenie dolnej części wykresu do przecięcia z osią 100% daje w przybliżeniu

wartość = 0. Wartość ta będzie wykorzystana w dalszych obliczeniach.

b. Estymacja parametrów i rozkładu Pearsona, typ III, metodą największej wiary-

godności

- Obliczyć pomocniczą wartość A:

, ,1 1

1 1ln ln ln(33,9121) - 3,2456 0,2781N N

max i max ii i

A Q QN N

- Obliczyć wartość parametru :

41 1 4 0,27811 1 1 1 1,9514 3 4 0,2781 3

AA

- Obliczyć wartość parametru :

3 -1

,1

1,951 0,05754 (m /s)1 33,9121 0N

max ii

QN

Prze

pływ

Qm

ax,p

{m

3 /s]

25

- Obliczyć żądane wartości Qmax,p. Obliczanie z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego MS

Excel zilustrowane jest na rys. 1.5.

Rys. 1.5. Obliczanie Qmax,p za pomocą funkcji ROZKŁAD.GAMMA.ODW arkusza kalkulacyjnego

MS Excel.

Można też wykorzystać tabelę A.1 z wartościami tp(), interpolując liniowo tp() dla każdego

p, dla = 1,95 mamy: tp(=1,95) = [tp(=1,9) + tp(=2,0)]/2.

- Uzyskane wartości teoretycznego rozkładu prawdopodobieństwa przewyższenia Qmax należy

nanieść na podziałkę prawdopodobieństwa, co pokazano rys. 1.6.

100 90 70 50 30 20 10 5 1 0,5 0,2 0,10

50

100

150


Prze

pływ

Q max,

m3s

Rys. 1.6. Teoretyczny rozkład prawdopodobieństwa pteor(Qmax; = 0; = 0,0575, = 1,95) (linia ciągła) przewyższenia przepływów Qmax

Prze

pływ

Qm

ax,p [m

3 /s]

26

3. Testowanie hipotezy H0 (prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem Pearsona typ

III) za pomocą testu Kołmogorowa.

a. Dla wszystkich wartości uporządkowanej malejąco serii danych Qmax,(i), i =1, 2,..., N = 34,

obliczyć wartość Di (wyniki zestawiono w tabeli 1.3):

,( ) ,( )1max ,


N N

b. Obliczyć maksymalną wartość Dmax

1,...,

max 0,1132max ii ND D

c. Obliczyć wartość Kol statystyki testowej testu Kołmogorowa:

34 0,1132 0,6603Kol maxN D

d. Ponieważ wartość statystyki testowej Kol = 0,660 jest mniejsza od 5% wartości krytycznej

kr = 1,36, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkładem prawdopodo-

bieństwa przepływów maksymalnych rzeki Czarnej w przekroju Polana jest rozkład Pearsona

typ III z parametrami = 0, = 0,05754, = 1,95. Wyniki obliczeń zestawiono w tabeli 1.3

oraz pokazano na rys. 1.7.

Tabela 1.3. Uporządkowana malejąco seria przepływów maksymalnych rocznych rzeki Czarna w przekroju wodowskazowym Polana, Qmax(i), teoretyczne prawdopodobieństwa przewyższenia, pte-

or(Qmax(i)), oraz wartości pomocnicze do obliczania Di (1.17), Dmax (1.19) oraz Kol (1.20) Numer kolejnej wartości w serii

i

Wartość naj-większego

i-go przepływu Qmax(i), [m3/s]

Prawdop. pteor(Qmax(i))

i/(N+1) (i+1)/(N+1) |i/(N+1) - pteor(Qmax)|

|(i+1)/(N+1) - pteor(Qmax)|

Maksymalna różnica

Di

1 111 0,0115 0,0286 0,0571 0,01707 0,04564 0,04564 2 97,2 0,0228 0,0571 0,0857 0,03431 0,06288 0,06288 3 73,8 0,0706 0,0857 0,1143 0,01510 0,04367 0,04367 4 59,9 0,1342 0,1143 0,1429 0,01992 0,00865 0,01992 5 58,8 0,1410 0,1429 0,1714 0,00182 0,03039 0,03039 6 57,4 0,1502 0,1714 0,2000 0,02124 0,04981 0,04981 7 55,1 0,1664 0,2000 0,2286 0,03359 0,06217 0,06217 8 54,5 0,1709 0,2286 0,2571 0,05768 0,08625 0,08625 9 52 0,1908 0,2571 0,2857 0,06637 0,09494 0,09494 10 50,8 0,2010 0,2857 0,3143 0,08467 0,11324 0,11324 11 45,4 0,2535 0,3143 0,3429 0,06075 0,08932 0,08932 12 43 0,2804 0,3429 0,3714 0,06241 0,09098 0,09098 13 35,1 0,3865 0,3714 0,4000 0,01503 0,01354 0,01503 14 28,9 0,4896 0,4000 0,4286 0,08960 0,06102 0,08960

27

15 26,8 0,5285 0,4286 0,4571 0,09989 0,07132 0,09989 16 25,8 0,5476 0,4571 0,4857 0,09049 0,06192 0,09049 17 25,1 0,5613 0,4857 0,5143 0,07557 0,04700 0,07557 18 24,6 0,5712 0,5143 0,5429 0,05687 0,02830 0,05687 19 23,5 0,5932 0,5429 0,5714 0,05033 0,02176 0,05033 20 22,3 0,6177 0,5714 0,6000 0,04628 0,01770 0,04628 21 21,1 0,6427 0,6000 0,6286 0,04266 0,01409 0,04266 22 18,6 0,6958 0,6286 0,6571 0,06719 0,03862 0,06719 23 18,2 0,7044 0,6571 0,6857 0,04722 0,01865 0,04722 24 16,2 0,7475 0,6857 0,7143 0,06183 0,03326 0,06183 25 16,2 0,7475 0,7143 0,7429 0,03326 0,00468 0,03326 26 14,8 0,7777 0,7429 0,7714 0,03488 0,00631 0,03488 27 14,5 0,7842 0,7714 0,8000 0,01275 0,01582 0,01582 28 11,2 0,8534 0,8000 0,8286 0,05339 0,02482 0,05339 29 10,2 0,8734 0,8286 0,8571 0,04480 0,01623 0,04480 30 9,72 0,8827 0,8571 0,8857 0,02558 0,00299 0,02558 31 9,24 0,8919 0,8857 0,9143 0,00618 0,02239 0,02239 32 8,9 0,8983 0,9143 0,9429 0,01601 0,04458 0,04458 33 8,23 0,9105 0,9429 0,9714 0,03233 0,06090 0,06090 34 4,92 0,9630 0,9714 1,0000 0,00846 0,03703 0,03703

Dmax = 0,11324

N0.5Dmax = 0,66032

100 90 70 50 30 20 10 5 1 0,5 0,2 0,10

50

100

150


Prze

pływ

Q max,

m3s

Dmax = 11.32%

Rys. 1.7. Położenie wartości Dmax na podziałce prawdopodobieństwa

Prze

pływ

Qm

ax,p [m

3 /s]

28

4. Testowanie hipotezy H0 (prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem Pearsona typ

III) za pomocą testu 2 Pearsona.

a. Ustalić liczbę r przedziałów, na jakie będzie dzielony zakres (,) = (0,) zmienności

zmiennej losowej Qmax. Ponieważ N = 34, a r powinno być nie mniejsze od 4 oraz N/r 5,

przyjęto r = 4 (tabela 1.4)

Tabela 1.4. Wartości potrzebne do obliczenia statystyki testowej 2

i Prawdop.

p [%]

Przepływ Q,i

[m3/s] [Q,i-1, Q,i) mi N/4

1 100 0 2 75 16,086 (0, 16,086) 9 8,5 3 50 28,328 [16,086, 28,328) 11 8,5 4 25 45,731 [28,328, 45,731) 4 8,5 5 0 [45,731, ) 10 8,5

b. Wartość statystyki testowej 2 wynosi:

2 2

1

2 2 2 2

( / )

1 (9 8,5) (11 8,5) (4 8,5) (10 8,5) 3,418,5

r

ii

r m N rN

c. Przyjmując poziom istotności testu, test = 5% określić z tabeli A.2 wartość krytyczną testu 2.

2kr = 2(test=5%, =r–3=1) = 3,84. Nierówność 2

kr = 3,41 < 3,84 oznacza, że nie ma podstaw

do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkładem prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych

rzeki Czarnej w przekroju wodowskazowym Polana jest rozkład Pearsona typ III z parametrami

= 0, = 0,0575, = 1,95.

5. Obliczenie i wykreślenie górnej granicy ,umax pQ jednostronnego % przedziału ufności dla

rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Qmax,p

a. Przyjąć = 84% i odczytać z tabeli A.3 wartość u; u = 0,994.

b. Obliczyć (Qmax,p) ze wzoru (1.24):

- Korzystając z tabeli A.4, odczytać wartości funkcji (p,). Ponieważ znaleziona wartość

wynosi = 1,95, konieczna jest interpolacja wartości funkcji (p,=1,95). Wyniki in-

terpolacji pokazano w tabeli 1.5.

Tabela 1.5. Interpolacja wartości (p,=1,95) na podstawie danych z tabeli A.4 dla zadanych wartości

prawdopodobieństwa przewyższenia p.

Prawdopodobieństwo przewyższenia, p, w %

50 20 10 5 2 1 0,1

29

1,9 1,214 2,122 2,951 3,837 5,055 5,998 9,205 2 1,254 2,167 3,001 3,891 5,112 6,056 9,265

1,95 1,234 2,1445 2,976 3,864 5,0835 6,027 9,235 - Dla znanej wartości (p,=1,95), obliczyć (Qmax,p) dla zadanych wartości prawdopodo-

bieństwa przewyższenia p.

Przykładowo, dla p = 5%:

3,5%

( , ) (5%, 1.95) 3,864 11,517 m /s0,05754 34 0,0575 34max

pQN

c. Znając (Qmax,p) dla zadanych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p, obliczyć

wartości Qmax,p (np. wzorem (1.16)) oraz wartości ,umax pQ = Qmax,p + 0,994(Qmax,p)

Obliczone przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia

zestawiono w tabeli 1.6. Krzywą prawdopodobieństwa pokazano na rys. 1.8.

Tabela 1.6. Obliczone wartości błędu kwantyla (Qmax,p) i górna granica ,

umax pQ 84-procentowego

przedziału ufności kwantyla Qmax,p dla zadanych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p.

Prawdopodobieństwo przewyższenia, p, w %

50 20 10 5 2 1 0,1 (Qmax,p), m3/s 3,678 6,392 8,870 11,517 15,152 17,964 27,526

Qmax,p, m3/s 28,33 50,92 66,34 81,07 99,89 113,79 158,68

,umax pQ , m3/s 32,01 57,31 75,21 92,59 115,04 131,75 186,20

100 90 70 50 30 20 10 5 1 0,5 0,2 0,10

50

100

150


Prze

pływ

Q max,

m3s

Rys. 1.8. Krzywa prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych rzeki Czarnej

Prze

pływ

Qm

ax,p [m

3 /s]

30

w przekroju wodowskazowym Polana Linia zielona oznacza górną granicę ,

umax pQ 84% przedziału ufności kwantyla Qmax,p.


przewyższenia - rozkład logarytmiczno-normalny

Obliczanie przepływów maksymalnych rocznych Qmax,p o zadanym prawdopodo-

bieństwie przewyższenia p z zastosowaniem rozkładu logarytmiczno-normalnego w przypad-

ku uzasadnionej konieczności przyjęcia innego rozkładu niż rozkład Pearsona typ III.

1. Maksymalny przepływ roczny Qmax,p o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia p w

trójparametrowym rozkładzie logarytmiczno-normalnym oblicza się za pomocą wzoru:

max, exp( )p pQ u (1.25) gdzie:

– dolne ograniczenie przepływów w m3/s, Qmax ; wartość odczytana z wykresu jak

w przykładzie 1.2 (por. rys. 1.4),

– parametr rozkładu (średnia zmiennej ln(Qmax–) oblicza się metodą największej wia-rygodności za pomocą następującego wzoru:

max,1

1 ln( )N

ii

QN

(1.26)

– parametr rozkładu (odchylenie standardowe zmiennej ln(Qmax–)), określa się rów-

nież metodą największej wiarygodności ze wzoru:

2

max,1

1 ln( )1

N

ii

QN

(1.27)

up – kwantyl rzędu p, gdzie p oznacza prawdopodobieństwo przewyższenia, w rozkładzie standaryzowanym normalnym. W tym przypadku można skorzystać z tabeli A.5 (załącz-nik A) lub funkcji ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(1-p) arkusza kalkulacyjnego MS Excel.

2. Wielkość górnej granicy ,umax pQ jednostronnego % przedziału ufności dla rzeczywistych

prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Qmax,p w rozkładzie log-normalnym

z dwoma parametrami oblicza się metodą największej wiarygodności ze wzoru (Stedinger i

in., 1993):

2, ,

1exp 12

umax p max p pQ Q u u

N

(1.28)

gdzie:

31

Qmax,p – kwantyl rzędu p obliczany wzorem (1.25),

u – kwantyl rzędu w standaryzowanym rozkładzie normalnym, gdzie oznacza praw-

dopodobieństwo nieprzewyższenia,

W tabeli A.3 podane są niektóre wartości kwantyla u .

up – kwantyl rzędu p w standaryzowanym rozkładzie normalnym można określić z tabeli

A.5 lub zastosować funkcję ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(1-p) arkusza kalkula-

cyjnego MS Excel,

– odchylenie standardowe zmiennej ln(Qmax–) obliczane wzorem (1.27).

3. Teoretyczne prawdopodobieństwo P(Qmax x) przewyższenia wartości x przez przepływ

Qmax w trójparametrowym rozkładzie logarytmiczno-normalnym oblicza się za pomocą wzo-ru:

max

ln( )P( ) 1 xQ x (1.29)

gdzie:

(u) jest dystrybuantą (prawdopodobieństwem nieprzewyższenia) standaryzowanego rozkładu normalnego.

Do jej obliczenia można wykorzystać arkusz kalkulacyjny MS Excel: (u) = ROZ-

KŁAD.NORMALNY.S(u) lub skorzystać z tabeli A.6.

Przykład 1.3. Obliczyć przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie

przewyższenia w przekroju wodowskazowym Rypin na rzece Rypienicy.

Wodowskaz Rypin zamyka zlewnie o powierzchni A = 97,98 km2. Długość ciągu ob-

serwacyjnego wynosi N = 31.

1. Uporządkować malejąco serię chronologiczną danych i obliczyć empiryczne prawdopodo-

bieństwa przewyższenia (tabela 1.7).

Tabela 1.7. Seria chronologiczna Qmax przepływów maksymalnych rocznych w przekroju wodowska-zowym Rupin na Rypienicy oraz seria uporządkowana Qmax(i) wraz z empirycznymi prawdopodobień-

stwami przewyższenia i/(N+1)

Rok Przepływ Qmax, [m3/s] i Przepływ Qmax(i),

[m3/s] Prawdopod.

i/(N+1) 1975 3,26 1 10,9 0,03125 1976 2,4 2 7,7 0,06250 1977 3,32 3 5,1 0,09375 1978 1,91 4 5,1 0,12500 1979 4,62 5 4,62 0,15625

32

1980 10,9 6 4,33 0,18750 1981 3,29 7 4,0 0,21875 1982 5,1 8 3,9 0,25000 1983 1,66 9 3,56 0,28125 1984 1,21 10 3,35 0,31250 1985 2,11 11 3,32 0,34375 1986 1,91 12 3,29 0,37500 1987 2,24 13 3,26 0,40625 1988 2,02 14 2,84 0,43750 1989 2,84 15 2,84 0,46875 1990 0,83 16 2,5 0,50000 1991 0,97 17 2,4 0,53125 1992 0,81 18 2,3 0,56250 1993 1,11 19 2,24 0,59375 1994 3,35 20 2,11 0,62500 1995 2,3 21 2,02 0,65625 1996 5,1 22 1,91 0,68750 1997 1,89 23 1,91 0,71875 1998 2,5 24 1,89 0,75000 1999 3,56 25 1,73 0,78125 2000 2,84 26 1,66 0,81250 2001 1,73 27 1,21 0,84375 2002 7,7 28 1,11 0,87500 2003 4,33 29 0,97 0,90625 2004 4,0 30 0,83 0,93750 2005 3,9 31 0,81 0,96875

2. Oszacować dolne ograniczenie metodą graficzną po sporządzeniu wykresu empiryczne-

go prawdopodobieństwo przewyższenia (rys. 1.9).

33

100 90 70 50 30 20 10 5 10

2

4

6

8

10

12


Prze

pływ

Q max,

m3s

Rys. 1.9. Empiryczne prawdopodobieństwo przewyższenia (punkty) oraz graficzna estymacja dolnego ograniczenia (linia zielona). Przyjęto przybliżenie 0,2 m3/s.

. Przedłużenie dolnej części wykresu do linii 100% daje w przybliżeniu wartość = 0,2

m3/s Wartość ta będzie wykorzystana w dalszych obliczeniach.

3. Oszacować parametry i rozkładu logarytmiczno-normalnego, metodą największej wia-

rygodności. W tym celu należy:

a. Obliczyć wartość parametru :

,1

1 ln 0,84575N

max ii

QN

b. Obliczyć wartość parametru :

2

,1

1 ln 0,673781

N

max ii

QN

4. Obliczyć żądane wartości Qmax,p. Obliczanie z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego MS

Excel pokazano na rys. 1.10.

Prze

pływ

Qm

ax,p [m

3 /s]

34

Rys. 1.10. Obliczanie Qmax,p za pomocą funkcji ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW() arkusza kalkula-

cyjnego MS Excel.

Do obliczenia wartości Qmax,p można również skorzystać z tabeli A.5 z wartościami up.

Na przykład: dla p = 0,8 otrzymujemy up = -0,84162 dla której:

max,

3

exp( ) 0,2 exp(0,84575 0,67378 ( 0,84162))

1,52139 m /sp pQ u

5. Uzyskane wartości teoretycznego rozkładu prawdopodobieństwa przewyższenia Qmax na-

nieść na podziałkę prawdopodobieństwa (rys. 1.11).

100 90 70 50 30 20 10 5 1 0,5 0,2 0,1

0

5

10

15


Prze

pływ

Q max,

m3s

Rys. 1.11. Teoretyczny rozkład prawdopodobieństwa pteor(Qmax; = 0,2; = 0,84575; = 0,67378) (linia ciągła) przewyższenia przepływów Qmax

Prze

pływ

Qm

ax,p [m

3 /s]

35

6. Zweryfikować hipotezę H0 (prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem lognormal-

nym) za pomocą testu Kołmogorowa. W tym celu:

a. Dla wszystkich wartości uporządkowanej malejąco serii danych Qmax,(i), i = 1, 2,..., N = 31,

obliczyć wartość Di (wyniki zestawiono w tabeli 1.8):

,( ) ,( )1max ,


N N


1,...,



31 0,09813 0,54635Kol maxN D

Ponieważ wartość statystyki testowej Kol = 0,546 jest mniejsza od 5% wartości krytycznej kr

= 1,36, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkładem prawdopodobieństwa

przepływów maksymalnych Rypienicy w przekroju Rypin jest rozkład logarytmiczno-normal-

ny z parametrami = 0,2; = 0, 84575; = 0,67378.

Obliczone przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie

przewyższenia zestawiono w tabela 1.8. Krzywą prawdopodobieństwa pokazano na rys. 1.12.

Tabela 1.8. Uporządkowana malejąco seria przepływów maksymalnych rocznych rzeki Rypienicy w

przekroju wodowskazowym Rypin, Qmax(i), teoretyczne prawdopodobieństwa przewyższenia, pte-

or(Qmax(i)), oraz wartości pomocnicze do obliczania Di (1.17), Dmax (1.19) oraz Kol (1.20).

Numer kolejnej wartości w serii

i

Wartość i-go największego

przepływu Qmax(i),, m3/s

pteor(Qmax(i)) i/(N+1) (i+1)/(N+1) |i/(N+1) - pteor(Qmax)|



Di

1 10,9 0,0118 0,0313 0,0625 0,01942 0,05067 0,05067 2 7,7 0,0414 0,0625 0,0938 0,02115 0,05240 0,05240 3 5,1 0,1349 0,0938 0,1250 0,04116 0,00991 0,04116 4 5,1 0,1349 0,1250 0,1563 0,00991 0,02134 0,02134 5 4,62 0,1709 0,1563 0,1875 0,01469 0,01656 0,01656 6 4,33 0,1977 0,1875 0,2188 0,01024 0,02101 0,02101 7 4,0 0,2339 0,2188 0,2500 0,01513 0,01612 0,01612 8 3,9 0,2462 0,2500 0,2813 0,00382 0,03507 0,03507 9 3,56 0,2934 0,2813 0,3125 0,01215 0,01910 0,01910 10 3,35 0,3272 0,3125 0,3438 0,01468 0,01657 0,01657 11 3,32 0,3323 0,3438 0,3750 0,01142 0,04267 0,04267 12 3,29 0,3375 0,3750 0,4063 0,03745 0,06870 0,06870 13 3,26 0,3429 0,4063 0,4375 0,06339 0,09464 0,09464 14 2,84 0,4264 0,4375 0,4688 0,01111 0,04236 0,04236 15 2,84 0,4264 0,4688 0,5000 0,04236 0,07361 0,07361

36

16 2,5 0,5076 0,5000 0,5313 0,00760 0,02365 0,02365 17 2,4 0,5339 0,5313 0,5625 0,00263 0,02862 0,02862 18 2,3 0,5612 0,5625 0,5938 0,00128 0,03253 0,03253 19 2,24 0,5781 0,5938 0,6250 0,01563 0,04688 0,04688 20 2,11 0,6159 0,6250 0,6563 0,00906 0,04031 0,04031 21 2,02 0,6430 0,6563 0,6875 0,01326 0,04451 0,04451 22 1,91 0,6769 0,6875 0,7188 0,01062 0,04187 0,04187 23 1,91 0,6769 0,7188 0,7500 0,04187 0,07312 0,07312 24 1,89 0,6831 0,7500 0,7813 0,06688 0,09813 0,09813 25 1,73 0,7337 0,7813 0,8125 0,04754 0,07879 0,07879 26 1,66 0,7560 0,8125 0,8438 0,05648 0,08773 0,08773 27 1,21 0,8926 0,8438 0,8750 0,04885 0,01760 0,04885 28 1,11 0,9185 0,8750 0,9063 0,04352 0,01227 0,04352 29 0,97 0,9498 0,9063 0,9375 0,04357 0,01232 0,04357 30 0,83 0,9739 0,9375 0,9688 0,03637 0,00512 0,03637 31 0,81 0,9766 0,9688 1,0000 0,00789 0,02336 0,02336

Dmax = 0,09813

N0.5Dmax = 0,54635

100 90 70 50 30 20 10 5 1 0,5 0,2 0,1

0

5

10

15


Prze

pływ

Q max,

m3s

Dmax = 9.81%

Rys. 1.12. Położenie wartości Dmax na podziałce prawdopodobieństwa 7. Zweryfikować hipotezę H0 (prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem lognormal-

nym za pomocą testu 2 Pearsona. W tym celu:

Prze

pływ

Qm

ax,p [m

3 /s]

37

a. Ustalić liczbę r przedziałów, na jakie będzie dzielony zakres zmienności zmiennej losowej

Qmax. Ponieważ N = 31, a r powinno być nie mniejsze od 4 oraz N/r 5, przyjęto r = 4,


i p, % Q,i [Q,i-1, Q,i) mi N/4 1 100 0 2 75 1,679 (0; 1,679) 6 7,75 3 50 2,530 [1,679; 2,530) 10 7,75 4 25 3,870 [2,530, 3,870) 7 7,75 5 0 [3,870, ) 8 7,75

b. Obliczyć wartość statystyki 2 testu 2:

2 2

1

2 2 2 2

( / )

1 (6 7,75) (10 7,75) (7 7,75) (8 7,75)7,751,13

r

ii

r m N rN

Przyjmując poziom istotności test = 5% dostajemy z tabeli A.2 wartość krytyczną

testu 2kr = 2(test = 5%, = r–3 = 1) = 3,84, Ponieważ 2 = 1,13 < 3,84 oznacza, że nie ma

podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkładem prawdopodobieństwa przepływów

maksymalnych rzeki Rypienicy w przekroju Rypin jest rozkład logarytmiczno-normalny z

parametrami = 0,2; = 0, 84575; = 0,67378.

8. Obliczyć i wykreślić górną granicę ,umax pQ jednostronnego % przedziału ufności dla rze-

czywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Qmax,p. W tym celu:

a. Przyjąć z tabeli A.3 dla wartości = 84% wartość u = 0,994,

b. Obliczyć ,umax pQ dla przyjętych wartości p.

Dla p = 10% mamy

2, ,

2 3

1exp 12

0,67378 15,725 exp 0,994 1 1,28155 6,73403 m /s231

umax p max p pQ Q u u

N

W tabeli 1.10 zestawiono wyniki obliczeń, a na rys. 1.13 pokazano krzywa prawdopodo-

bieństwa przepływów maksymalnych rocznych w przekroju wodowskazowym Rypin na rzece Rypienicy

38

Tabela 1.10. Obliczone wartości górnej granicy ,umax pQ 84% przedziału ufności kwantyla Qmax,p

Prawdopodobieństwo przewyższenia, p, w % 50 20 10 5 2 1 0,1

Qmax,p, m3/s 2,530 4,308 5,725 7,257 9,495 11,370 18,888

,umax pQ , m3/s 2,853 4,955 6,734 8,728 11,740 14,334 25,222

100 90 70 50 30 20 10 5 1 0,5 0,2 0,10

5

10

15

20

25


Prze

pływ

Q max,

m3s

Rys. 1.13. Krzywa prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych rzeki Rypienicy w przekroju wodowskazowym Rypin

Linia zielona oznacza górną granicę ,umax pQ 84% przedziału ufności kwantyla Qmax,p.


przewyższenia - rozkład Weibulla

Obliczanie przepływów maksymalnych rocznych Qmax,p o zadanym prawdopodo-

bieństwie przewyższenia p z zastosowaniem rozkładu Weibulla w przypadku uzasadnionej

konieczności przyjęcia innego rozkładu niż rozkład Pearsona typ III.

1. Maksymalny przepływ prawdopodobny Qmax,p w trójparametrowym rozkładzie Weibulla

oblicza się za pomocą wzoru:

1/max,

1 ln Wp

W

Q p

(1.30)

Prze

pływ

Qm

ax,p [m

3 /s]

39

gdzie:

– dolne ograniczenie przepływów w m3/s, Qmax ; wartość odczytana z wykresu.

W – parametr kształtu rozkładu.

Parametr W oblicza się metodą największej wiarygodności, która daje nieliniowe

równanie na parametr W (przy znanym ):

max, max,

1max,

1max,

1

( ) ln( )1 1( ) ln( ) 0

( )

W

W

N

i iNi

W i NiW

ii

Q Qfbeta Q

N Q

(1.31)

Funkcja fbeta(W) jest funkcją malejącą. Rozwiązanie W równania (1.31) wymaga

zastosowania metody numerycznej. Można go również rozwiązać posługując się wykresem

fbeta(W) w pewnym zakresie zmienności W, takim, aby fbeta(W) była różnych znaków na

końcach tego zakresu, a następnie zawężając podobny zakres do dokładności żądanej dla W.

W – parametr skali rozkładu w (m3/s)-1, W > 0. Wartość tego parametru oblicza się me-

todą największej wiarygodności za pomocą wzoru (przy znanych i W):

1/

max,1

1 ( )W

W

N

W ii

QN

(1.32)

2. Prawdopodobieństwo P(Qmax x) przewyższenia wartości x przez przepływ Qmax w trójpa-

rametrowym rozkładzie Weibulla oblicza się za pomocą wzoru:

maxP( ) exp ( ) W

WQ x x (1.33)

3. Wielkość górnej granicy ,umax pQ jednostronnego % przedziału ufności dla rzeczywistych

prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Qmax,p określa się ze wzoru:

, , ,umax p max p max pQ Q u Q

(1.34)

gdzie:

u – kwantyl rzędu w standaryzowanym rozkładzie normalnym,

W tabeli A.3 podane są niektóre wartości kwantyla u ( jest prawdopodobień-

stwem nieprzewyższenia).

(Qmax,p) – asymptotyczne odchylenie standardowe kwantyla Qmax,p w rozkładzie Weibul-

la z dwoma parametrami obliczanymi metodą największej wiarygodności (Heo i in.,

2001), oblicza się wzorem:

40

2,

, 2

(2) ln( ln )1

( / 6)max p

max pW

Q pQ

N

(1.35)

gdzie:

(2) – pochodna funkcji gamma Eulera w punkcie 2: (2) = 0.422784.


przewyższenia w przekroju wodowskazowym Rzepin na rzece Świślinie.

Wodowskaz Rypin zamyka zlewnie o powierzchni A = 117,17 km2. Długość ciągu ob-

serwacyjnego wynosi N = 30.

1. Uporządkować malejąco serię chronologiczną danych i obliczyć empiryczne prawdopodo-

bieństwa przewyższenia (tabela 1.11).

Tabela 1.11. Seria chronologiczna Qmax przepływów maksymalnych rocznych rzeki Świśliny w prze-kroju wodowskazowym Rzepin oraz seria uporządkowana Qmax(i) wraz z empirycznymi prawdopodo-

bieństwami przewyższenia i/(N+1)

Rok Przepływ

Qmax [m3/s]

i Przepływ

Qmax(i) [m3/s]

Prawdopod. i/(N+1)

1976 19,3 1 39,8 0,0323 1977 8,32 2 38 0,0645 1978 7,88 3 29,2 0,0968 1979 24,4 4 28,0 0,1290 1980 28,0 5 24,4 0,1613 1981 17,6 6 19,3 0,1935 1982 10,3 7 18,5 0,2258 1983 10,3 8 17,6 0,2581 1984 2,52 9 11,0 0,2903 1985 11,0 10 10,9 0,3226 1986 8,92 11 10,3 0,3548 1987 5,34 12 10,3 0,3871 1988 3,22 13 9,68 0,4194 1989 2,73 14 9,52 0,4516 1990 2,35 15 9,37 0,4839 1991 4,0 16 8,92 0,5161 1992 2,09 17 8,9 0,5484 1993 7,88 18 8,32 0,5806 1994 9,52 19 7,88 0,6129 1995 2,28 20 7,88 0,6452 1996 29,2 21 5,65 0,6774 1997 10,9 22 5,34 0,7097 1998 3,06 23 4,0 0,7419 1999 9,37 24 3,22 0,7742 2000 18,5 25 3,06 0,8065 2001 39,8 26 2,73 0,8387

41

2002 8,9 27 2,52 0,8710 2003 9,68 28 2,35 0,9032 2004 5,65 29 2,28 0,9355 2005 38 30 2,09 0,9677

2. Oszacować dolne ograniczenie metodą graficzną korzystając z wykresu empirycznego

prawdopodobieństwo przewyższenia (rys. 1.14).

100 90 70 50 30 20 10 5 10

10

20

30

40


Prze

pływ

Q max,

m3s

Rys. 1.14. Empiryczne prawdopodobieństwo przewyższenia (punkty) oraz graficzna estymacja dolne-go ograniczenia (linia zielona). Przyjęto = 1,3 m3/s.

Przedłużenie dolnej części wykresu do linii 100% daje w przybliżeniu wartość dolnego ogra-

niczenia rozkładu = 1,3 m3/s. Wartość ta będzie wykorzystana w dalszych obliczeniach.

3. Oszacować parametry W i W rozkładu logarytmiczno-normalnego, metodą największej

wiarygodności. W tym celu:

a. Obliczyć wartość parametru W rozwiązując równanie:

max, max,

1max,

1max,

1

( ) ln( )1 1( ) ln( ) 0

( )

W

W

N

i iNi

W i NiW

ii

Q Qfbeta Q

N Q

Obliczona wartość W = 1,05683.

b. Obliczyć wartość parametru W:

Prze

pływ

Qm

ax,p [m

3 /s]

42

1

1,056831,05683 3 -1

max,1

1 ( ) 0,0910748 (m /s)30

N

W ii

Q

4. Obliczyć żądane wartości Qmax,p.

Przykładowo: dla p = 0,8 mamy

1/ 1/1,0568 3max,

1 1ln( ) 1,3 ln(0,8) 3,956 m /s0,0911

Wp

W

Q p

5. Obliczone wartości teoretycznego rozkładu prawdopodobieństwa przewyższenia Qmax na-

nieść na podziałkę prawdopodobieństwa (rys. 1.15).

100 90 70 50 30 20 10 5 1 0,5 0,2 0,10

10

20

30

40

50

60

70


Prze

pływ

Q max,

m3s

Rys. 1.15. Teoretyczny rozkład prawdopodobieństwa pteor(Qmax; = 1,3; W = 0,0911; W = 1,0568) (linia ciągła) przewyższenia przepływów Qmax

6. Zweryfikować hipotezę H0 (prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem Weibulla z

parametrami = 1,3, W = 0,0911, W = 1,0568), za pomocą testu Kołmogorowa.

W tym celu:

a. Dla wszystkich wartości uporządkowanej malejąco serii danych Qmax,(i), i = 1,2,...,N=30,

obliczyć wartość Di (wyniki przedstawiono w tabeli 1.13):

,( ) ,( )1max ,


N N


Prze

pływ

Qm

ax,p [m

3 /s]

43

1,...,



30 0,1255 0,6874Kol maxN D

Ponieważ wartość statystyki testowej Kol = 0,6874 jest mniejsza od 5% wartości kry-

tycznej kr = 1,36, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkładem prawdopo-

dobieństwa przepływów maksymalnych jest rozkład Weibulla z parametrami = 1,3,

W = 0,0911, W = 1,0568. Wyniki przedstawiono w tabeli 1.12 oraz pokazano na rys. 1.16.

Tabela 1.12. Uporządkowana malejąco seria przepływów maksymalnych rocznych rzeki Świśliny w przekroju wodowskazowym Rzepin, Qmax(i), teoretyczne prawdopodobieństwa przewyższenia, pte-

or(Qmax(i)), oraz wartości pomocnicze do obliczania Di (1.17), Dmax (1.19) oraz Kol (1.20)

Numer kolejnej wartości w serii

i

Wartość i-go największego

przepływu Qmax(i),, m3/s

pteor(Qmax(i)) i/(N+1) (i+1)/(N+1) |i/(N+1) - pteor(Qmax)|



Di

1 39,8 0,02313 0,03226 0,06452 0,00912 0,04138 0,04138 2 38 0,02786 0,06452 0,09677 0,03666 0,06892 0,06892 3 29,2 0,06856 0,09677 0,12903 0,02821 0,06047 0,06047 4 28 0,07743 0,12903 0,16129 0,05160 0,08386 0,08386 5 24,4 0,11133 0,16129 0,19355 0,04996 0,08222 0,08222 6 19,3 0,18516 0,19355 0,22581 0,00839 0,04064 0,04064 7 18,5 0,20041 0,22581 0,25806 0,02540 0,05766 0,05766 8 17,6 0,21901 0,25806 0,29032 0,03906 0,07132 0,07132 9 11 0,41583 0,29032 0,32258 0,12551 0,09325 0,12551 10 10,9 0,41982 0,32258 0,35484 0,09724 0,06498 0,09724 11 10,3 0,44454 0,35484 0,38710 0,08971 0,05745 0,08971 12 10,3 0,44454 0,38710 0,41935 0,05745 0,02519 0,05745 13 9,68 0,47152 0,41935 0,45161 0,05216 0,01990 0,05216 14 9,52 0,47872 0,45161 0,48387 0,02711 0,00515 0,02711 15 9,37 0,48557 0,48387 0,51613 0,00169 0,03056 0,03056 16 8,92 0,50665 0,51613 0,54839 0,00948 0,04174 0,04174 17 8,9 0,50760 0,54839 0,58065 0,04078 0,07304 0,07304 18 8,32 0,53607 0,58065 0,61290 0,04457 0,07683 0,07683 19 7,88 0,55863 0,61290 0,64516 0,05427 0,08653 0,08653 20 7,88 0,55863 0,64516 0,67742 0,08653 0,11879 0,11879 21 5,65 0,68661 0,67742 0,70968 0,00919 0,02307 0,02307 22 5,34 0,70629 0,70968 0,74194 0,00339 0,03565 0,03565 23 4 0,79681 0,74194 0,77419 0,05488 0,02262 0,05488 24 3,22 0,85349 0,77419 0,80645 0,07930 0,04704 0,07930 25 3,06 0,86545 0,80645 0,83871 0,05900 0,02674 0,05900 26 2,73 0,89045 0,83871 0,87097 0,05174 0,01948 0,05174 27 2,52 0,90656 0,87097 0,90323 0,03559 0,00333 0,03559

44

28 2,35 0,91969 0,90323 0,93548 0,01647 0,01579 0,01647 29 2,28 0,92512 0,93548 0,96774 0,01036 0,04262 0,04262 30 2,09 0,93990 0,96774 1 0,02784 0,06010 0,06010

Dmax = 0,12551

N0.5Dmax = 0,68742

100 90 70 50 30 20 10 5 1 0,5 0,2 0,10

10

20

30

40

50

60

70


Prze

pływ

Q max,

m3s

Dmax = 12.56%

Rys. 1.16. Położenie wartości Dmax na podziałce prawdopodobieństwa 7. Zweryfikować hipotezę H0 (prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem Weibulla za

pomocą testu testu 2 Pearsona.

W tym celu:

a. Ustalono liczbę r przedziałów, na jakie będzie dzielony zakres zmienności zmiennej loso-

wej Qmax. Ponieważ N = 30, a r powinno być nie mniejsze od 4 oraz N/r 5, przyjęto r = 4,

Wartości zestawiono w tabeli 1.14.


i p [%]

Q,i [Q,i-1, Q,i) mi N/4

1 100 0 2 75 4,67 (0; 4,67) 8 7,5 3 50 9,06 [4,67;9,06) 7 7,5 4 25 16,26 [9,06, 16,26) 7 7,5 5 0 [16,26, ) 8 7,5

Prze

pływ

Qm

ax,p [m

3 /s]

45

b. Obliczyć wartość 2 statystyki testu 2:

2 2

1

2 2 2 2

( / )

1 (8 7,5) (7 7,5) (7 7,5) (8 7,5)7,50,13

r

ii

r m N rN

8. Przyjmując poziom istotności testu, test = 5% otrzymujemy z tabeli A.2 wartość krytyczną

testu 2kr = 2(test = 5%, = r–3 = 1) = 3,84. Ponieważ 2 = 0,13 < 3,84, nie ma podstaw do

odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkładem prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych

rzeki Świśliny w przekroju Rzepin jest rozkład Weibulla z parametrami = 1,3, W =

0,0911, W = 1,0568.

9. Obliczyć górną granicę ,umax pQ jednostronnego % przedziału ufności dla rzeczywistych

prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Qmax,p.

W tym celu:

a. Przyjąć z tabeli A.3 dla wartości = 84% wartość u = 0,994

b. Obliczyć Qmax,p dla przyjętych wartości p.

Dla p = 10% mamy:

1/ 1/1,0568 3max,

1 1ln( ) 1,3 ln(0,1) 25,47 [m /s]0,0911

Wp

W

Q p

c. Obliczyć (Qmax,p) dla przyjętych wartości p;

Dla p = 10% otrzymujemy:

2,

, 2

23

(2) ln( ln )1

( / 6)

0,422784 ln( ln 0,1)25.47 1 4,6204 m /s1,64491,0568 30

max pmax p

W

Q pQ

N

d. Obliczyć ,umax pQ dla przyjętych wartości p.

Dla p = 10% mamy

, , ,

3

( )

25,47 0,994 4,6202 30,060 m /s

umax p max p max pQ Q u Q

W tabeli 1.14 zestawiono wyniki obliczeń, a na rys. 1.17 pokazano krzywa

prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych w przekroju wodowskazowym

Rzepin na rzece Świślinie.

46

Tabela 1.14. Obliczone wartości górnej granicy ,umax pQ 84% przedziału ufności kwantyla Qmax,p

Prawdopodobieństwo przewyższenia, p, w % 50 20 10 5 2 1 0,1

Qmax,p [m3/s] 9,060 18,521 25,467 32,301 41,206 47,867 69,645 (Qmax,p) [m3/s] 1,838 3,202 4,620 6,305 8,830 10,913 18,585

,umax pQ [m3/s] 10,887 21,704 30,060 38,568 49,984 58,715 88,118

100 90 70 50 30 20 10 5 1 0,5 0,2 0,10

20

40

60

80


Prze

pływ

Q max,

m3s

Rys. 1.17. Krzywa prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych rzeki Świśliny w przekroju wodowskazowym Rzepin

Linia zielona oznacza górną granicę ,umax pQ 84% przedziału ufności kwantyla Qmax,p.

2. Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym– krótki ciąg prze-

pływów maksymalnych rocznych

W przypadku krótkiego ciągu przepływów maksymalnych rocznych, gdy jego liczeb-

ność jest mniejsza od 30, należy go uzupełnić wykorzystując obserwacje z przekroju wodo-

wskazowego położonego w zlewni o podobnych warunkach formowania się odpływów wez-

braniowych. Do przeniesienia informacji należy zastosować metodę regresji.

Prze

pływ

Qm

ax,p [m

3 /s]

47

2.1. Metoda regresji

Metoda uzupełniania informacji hydrologicznej powinna być oparta na równaniu re-

gresji pomiędzy przepływami w przekrojach wodowskazowych o podobnym reżimie hydro-

logicznym z długą serią obserwacyjną (kontrolowane przez IMGW), a przepływami w prze-

kroju kontrolowanym posiadającym krótki ciąg obserwacyjny. W oparciu o przepływy syn-

chroniczne w obydwu przekrojach należy określić funkcję regresji.

Do określenia funkcji regresji należy przyjąć kryterium najmniejszych kwadratów, tj.

kryterium minimalnej wartości sumy kwadratów różnic pomiędzy wartościami przepływów

obliczonymi z przyjętego równania (funkcji regresji), a pomierzonymi wartościami przepły-

wów:

2

1min

i i

n

w ui

f Q Q

(2.1)

gdzie:

Qu = f(Qw)– funkcja regresji,

Qw – przepływ w przekroju wodowskazowym z długim ciągiem obserwacyjnym, w m3/s,

Qu – przepływ w przekroju wodowskazowym z krótkim (n-elementowym) ciągiem ob-

serwacyjnym, w m3/s.

Funkcja regresji powinna odzwierciedlać charakter zależności, jaki występuje między

przepływami w analizowanych przekrojach. W zdecydowanej większości przypadków zaob-

serwowano liniową zależność pomiędzy przepływami, zatem można przyjąć, że regresję opi-

suje równanie liniowe w postaci:

w wf Q b Q a (2.2) gdzie:

a, b – współczynniki równania.

Kryterium (2.1) przyjmuje teraz postać:

2

1min

i i

n

w ui

b Q a Q

(2.3)

Ponieważ suma kwadratów odchyleń musi zgodnie z warunkiem (2.3) przyjmować wartość

minimalną, zagadnienie estymacji parametrów sprowadza się do poszukiwania minimum

funkcji F(a,b) = [(bQwi+a) – Qui]2 względem parametrów a i b, współczynników regresji

liniowej.

Minimum funkcji F(a,b) jest osiągane w punkcie stanowiącym rozwiązanie układu

równań normalnych:

48

n

iiu

n

iiw QQban

11 (2.4a)

2

1 1 1i i i i

n n n

w w w ui i i

a Q b Q Q Q

(2.4b)

Rozwiązując układ równań (2.4) otrzymuje się dwa równania, z których oblicza się

współczynnik b:

1 1 12

2

1 1

1

1

i i i i

i i

n n n

w u w ui i i

n n

w wi i

Q Q Q Qn

b

Q Qn

(2.5)

oraz a:

wu QbQa (2.6) gdzie:

uQ - średnia wartość przepływu w przekroju niekontrolowanym w m3/s,

wQ - średnia wartość przepływu w przekroju wodowskazowym w m3/s.

Liczbą określającą siłę zależności liniowej między przepływami w przekroju niekon-

trolowanym i w przekroju wodowskazowym cieku podobnego (analogu) jest kowariancja

określona wzorem:

,1 1 1

1 1 1w u i i

n n n

Q Q w ui w uii i i

c Q Q Q Qn n n

(2.7)

Miarą dopasowania prostej regresji do obserwowanych wartości synchronicznych

przepływów w dwóch przekrojach wodowskazowych jest współczynnik korelacji wyrażony

wzorem:

,, 2 2

w u

w u

Qw u

Q QQ Q

Q

cr

s s

(2.8)

gdzie:

,w uQ Qc - kowariancja przepływów w odpowiednich przekrojach wodowskazowych,

2 2,w uQ Qs s - wariancja przepływów w odpowiednich przekrojach wodowskazowych li-

czona wzorem:

2

2

1

1 ,z i

n

Q z zi

s Q Q z u wn

(2.9)

49

Dla oceny istotności współczynnika korelacji należy zweryfikować hipotezę zerową

H0: 0, uQwQr wobec hipotezy alternatywnej H1: 0, uQwQr , co oznacza, że analizowane

przepływy są skorelowane. Obliczony z próby współczynnik korelacji należy porównać z

wartością krytyczną rα,v przy v = n – 2 i określonym poziomie istotności α.

Przykład 2.1. Obliczyć krzywą prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych o

określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju wodowskazowym Cięcina na

Sole, który posiada krótki ciąg obserwacyjny (15 lat), korzystając z obserwowanych przepły-

wów maksymalnych rocznych w przekroju wodowskazowym Rajcza również na Sole (długi

ciąg obserwacyjny).

Synchroniczne wartości przepływów w przekrojach wodowskazowych Rajcza i Cięci-

na zestawiono w tabeli 2.1.

Tabela 2.1. Przepływy maksymalne roczne w przekrojach wodowskazowych Rajcza i Cięcina

Przepływ Qmav [m3/s] Lp Rok Wodowskaz

Rajcza Wodowskaz

Cięcina 1 1995 133,0 152,0 2 1994 39,8 62,5 3 1993 52,8 75,0 4 1992 62,4 86,2 5 1991 42,5 90,4 6 1990 68,0 88,3 7 1989 65,6 153,0 8 1988 46,0 86,2 9 1987 126,0 173,0 10 1986 51,0 108,0 11 1985 233,0 220,5 12 1984 32,0 43,9 13 1983 108,0 122,0 14 1982 35,6 59,5 15 1981 42,3 64,9

1. Obliczyć parametry równania regresji:

947,03,1139

1514,120455

4,15853,11391517,152535

1

1

22

11

2

111

iw

n

i

n

iiw

n

iiu

n

iiwiu

n

iiw

Qn

Q

QQn

QQ

b

3105,7 0,947 76,0 33,8 m /su wa Q b Q

50

Otrzymane równanie regresji ma postać

8,33947,0 wu QQ

2. Obliczyć wariancje w obydwu przekrojach wodowskazowych:

22 3 2

1

1 1 34084,7 2272,3 (m /s)15u i

n

Q u ui

s Q Qn

2

2 3 2

1

1 1 33921,8 2261,5 (m /s)15w i

n

Q w wi

s Q Qn

3. Obliczyć kowariancję:

,1 1 1

3 2

1 1

1 1 32119,3152535,7 1139,3 1585, 4 (m /s)15 15 15

w u i i

n n n

Q Q w ui w uii i i

c Q Q Q Qn n

4. Obliczyć współczynnik korelacji:

,, 2 2

32119,3/15 0,9452272,3 2261,5

w u

w u

Qw u

Q QQ Q

Q

cr

s s

Prostą regresji pomiędzy synchronicznymi przepływami w przekroju wodowskazo-

wym Cięcina na Sole i przekroju wodowskazowym Rajcza pokazano na rys. 2.1.

0,0

50,0

100,0

150,0

200,0

250,0

0,0 50,0 100,0 150,0 200,0 250,0

Przepływ Rajcza Q w [m3/s]

Prze

pływ

Cię

cina

Qu

[m3 /s

]

Rys. 2.1. Krzywa regresji przepływów

51

5. Ocenić istotność współczynnika korelacji

Dla liczby stopni swobody obliczonych wzorem v = n – 2 = 13 określić wartość kry-

tyczną testu na poziomie istotności α = 0,05.

Odczytana z tabeli A.7 wartość krytyczna wynosi rα,v = 0,514.

Ponieważ 514,0945,0 ,, rr uQwQ hipotezę H0 o nieistotności współczynnika kore-

lacji odrzucamy, co oznacza, że korelacja jest istotna.

5. Uzupełnić ciąg obserwacyjny w przekroju wodowskazowym Cięcina. Korzystając z rów-

nania regresji 8,33947,0 wu QQ obliczono przepływy maksymalne roczne w okresie nie

objętym obserwacjami. Wyniki przedstawiono w tabeli 2.2

Tabela 2.2. Przepływy maksymalne roczne w przekrojach wodowskazowych Rajcza i Cięcina

Lp Rok

Przepływ Wod. Rajcza

Qmax [m3/s]

Przepływ Wod. Cięcina

Qmax [m3/s]

1 1995 57,2 88,0 2 1994 39,8 71,5 3 1993 42,1 73,7 4 1992 25,5 57,9 5 1991 69,6 99,7 6 1990 50,3 81,4 7 1989 69,5 99,6 8 1988 70,7 100,8 9 1987 51,5 82,6 10 1986 50,0 81,2 11 1985 63,5 93,9 12 1984 58,8 89,5 13 1983 51,0 82,1 14 1982 97,5 126,1 15 1981 79,9 109,5 16 1980 133,0 152,0 17 1979 39,8 62,5 18 1978 52,8 75,0 19 1977 62,4 86,2 20 1976 42,5 90,4 21 1975 68,0 88,3 22 1974 65,6 153,0 23 1973 46,0 86,2 24 1972 126,0 173,0 25 1971 51,0 108,0 26 1970 233,0 220,5 27 1969 32,0 43,9 28 1968 108,0 122,0 29 1967 35,6 59,5 30 1966 42,3 64,9

52

6. Stosując procedurę opisaną w rozdziale I.1.1 i I.1.2 obliczyć przepływy maksymalne rocz-

ne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju wodowskazowym Cięcina

na rzece Sole.

3. Przekrój obliczeniowy nie pokrywa się z przekrojem wodowskazowym

3.1. Metoda ekstrapolacyjna

Jeżeli przekrój obliczeniowy, niekontrolowany położony jest powyżej lub poniżej

przekroju wodowskazowego (rys. 3.1) przepływy maksymalne roczne o określonym prawdo-

podobieństwie przewyższenia w przekroju niekontrolowanym należy obliczyć ze wzoru eks-

trapolacyjnego: n

W

XWX A

AQQ

maxmax (3.1)

gdzie: QX max - przepływy w przekroju obliczeniowym w m3/s,

QWmax - przepływy w przekroju wodowskazowym w m3/s,

AX - powierzchnia zlewni do przekroju obliczeniowego w km2,

AW - powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego w km2,

n - parametr równania ekstrapolacyjnego.

Rys. 3.1. Położenie przekroju obliczeniowego względem przekroju wodowskazowego

Przekrój wodowskazowy W

AX

AW

AX

Przekrój obliczeniowy X

53

We wzorze ekstrapolacyjnym najważniejszymi charakterystykami fizycznogeogra-

ficznymi, kształtującymi przepływ są powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego

AW i niekontrolowanego AX.

W praktyce często zakłada się, że czynniki kształtujące odpływ w zlewni niekontrolo-

wanej i kontrolowanej są w przybliżeniu takie same, a wykładnik potęgi n jest zależny od

rodzaju przepływu charakterystycznego (dla przepływów maksymalnych n = 2/3). Założenie

to nie uwzględnia zmian zagospodarowania przestrzennego, które mogą wpływać na warunki

formowania się odpływu oraz zmienności przepływów w strefie przepływów wysokich, gdy

istotną rolę odgrywa nie tylko powierzchnia zasilania cieku, a spadki terenu i szorstkość tere-

nu.


przewyższenia w przekroju projektowanego mostu na Sole w km 76+800 (przekrój niekontro-

lowany), który zamyka zlewnię o powierzchni AX = 239,7 km2 w oparciu o przepływy mak-

symalne w przekroju wodowskazowym Rajcza na tej samej rzece (km 75+000, powierzchnia

zlewni AW = 254,0 km2).

1. Wykorzystując wzór ekstrapolacyjny obliczyć przepływy maksymalne roczne w przekroju

projektowanego mostu. Dla przepływu obserwowanego w roku 1995 mamy:

0,550,2549,2372,57

3/2

max

XQ m3/s

Pozostałe wartości obliczone zestawiono w tabeli 3.1.

Tabela 3.1. Przepływy maksymalne roczne w przekroju wodowskazowym i przekroju projektowanego mostu

Lp Rok

Wodowskaz Rajcza Qmax

[m3/s]

Przepływ przekrój mostowy

Qmax [m3/s]

1 1995 57,2 55,0 2 1994 39,8 38,3 3 1993 42,1 40,5 4 1992 25,5 24,5 5 1991 69,6 67,0 6 1990 50,3 48,4 7 1989 69,5 66,9 8 1988 70,7 68,0 9 1987 51,5 49,5

10 1986 50,0 48,1 11 1985 63,5 61,1 12 1984 58,8 56,6

54

13 1983 51,0 49,1 14 1982 97,5 93,8 15 1981 79,9 76,9 16 1980 133,0 128,0 17 1979 39,8 38,3 18 1978 52,8 50,8 19 1977 62,4 60,0 20 1976 42,5 40,9 21 1975 68,0 65,4 22 1974 65,6 63,1 23 1973 46,0 44,3 24 1972 126,0 121,2 25 1971 51,0 49,1 26 1970 180 168,4 27 1969 32,0 30,8 28 1968 108,0 103,9 29 1967 35,6 34,3 30 1966 42,3 40,7


ne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju projektowanego mostu na

rzece Sole.

3.2. Metoda interpolacji

Metodę interpolacyjną stosuje się w przypadku, gdy przekrój obliczeniowy znajduje się

pomiędzy przekrojami wodowskazowymi położonymi na tym samym cieku (rys. 3.4).

Rys. 3.4. Położenie przekroju obliczeniowego względem przekrojów wodowskazowych

Przekrój wodowskazowy

D

Przekrój wodowskazowy G Przekrój

obliczeniowy X

AG

AD

AX

55

Przepływ maksymalny roczny w przekroju obliczeniowym określa się ze wzoru:

(3.4)

gdzie: QX max - przepływ w przekroju obliczeniowym w m3/s,

QG max - przepływ w przekroju wodowskazowym górnym w m3/s,

QD max - przepływ w przekroju wodowskazowym dolnym w m3/s,

AX - powierzchnia zlewni do przekroju obliczeniowego w km2,

AG - powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego górnego w km2,

AD – powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego dolnego w km2.

Przykład 3.2. Stosując równanie interpolacji obliczyć przepływy maksymalne o określonym

prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju projektowanego jazu na rzece Skawie w

km 11+700 (przekrój obliczeniowy) zamykającym zlewnię o powierzchni AX = 967,7 km2

położonym pomiędzy dwoma przekrojami wodowskazowymi Wadowice i Zator na tej samej

rzece.

Wodowskaz Wadowice zamyka zlewnię o powierzchni AG = 835,4 km2, a wodowskaz

Zator zlewnię o powierzchni AD = 1154,0 km2.

1. Wykorzystując wzór interpolacyjny obliczyć przepływy maksymalne roczne w przekroju

projektowanego jazu. Wartości obliczone zestawiono w tabeli 3.3.

Dla przepływu obserwowanego w roku 1995 mamy:

Pozostałe wartości obliczone zestawiono w tabeli 3.3.

Tabela 3.3. Przepływy maksymalne roczne w przekrojach wodowskazowych

i przekroju projektowanego jazu

Lp Rok

Przepływ wodowskaz Wadowice

QG max [m3/s]

Przepływ wodowskaz Wadowice

QD max [m3/s]

Przepływ przekrój jazu Km 11+700

QX max [m3/s]

1 1995 137,0 182,0 155,7 2 1994 177,0 210,0 190,7 3 1993 373,0 381,0 376,3 4 1992 529,0 572,0 546,9

7,1554,8357,9644,8350,1154

0,1370,1820,137

maxmaxmaxmax

GXGD

GDGX AA

AAQQ

QQ

m3/s

GXGD

GDGX AA

AAQQ

QQ

maxmaxmaxmax

56

5 1991 183,0 248,0 210,0 6 1990 176,0 214,0 191,8 7 1989 156,0 124,0 142,7 8 1988 51,0 81,4 63,6 9 1987 196,0 387,0 275,3

10 1986 57,2 79,0 66,3 11 1985 96,4 152,0 119,5 12 1984 66,3 140,0 96,9 13 1983 181,0 280,0 222,1 14 1982 121,0 135,0 126,8 15 1981 210,0 600,0 371,9 16 1980 102,0 139,0 117,4 17 1979 291,0 182,0 245,7 18 1978 98,9 235,0 155,4 19 1977 116,0 161,0 134,7 20 1976 215,0 297,0 249,1 21 1975 73,4 87,6 79,3 22 1974 157,0 181,0 167,0 23 1973 122,0 148,0 132,8 24 1972 161,0 169,0 164,3 25 1971 203,0 204,0 203,4 26 1970 200,0 247,0 219,5 27 1969 113,0 289,0 186,1 28 1968 319,0 314,0 316,9 29 1967 94,3 156,0 119,9 30 1966 416,0 843,0 593,3


ne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju jazu na rzece Sole.

Literatura

Heo, J.H., Kim, K.D. and Salas, J.D., 2001, Estimation of Confidence Intervals of Quantiles for the Weibull Distribution, Jour. of Stoch. Environmental Research and Risk Assessment, 15(4), 284-309.

Kaczmarek Z., 1970, Metody statystyczne w hydrologii i meteorologii, Wydawnictwo Komu-nikacji i Łączności, Warszawa.

Kendall, M.G., Stuart, A., 1968, The Advanced Theory of Statistics, Volume 3 – Design and analysis, and time series, Second edition, Griffin, London.

Sneyers, R., 1975, Sur l'analyse statistique des series d'observations. Note Technique No. 143, OMM-No. 415, Geneve, 192 p.

Sneyers, R., H. Tuomenvirta, R. Heino, 1998, Observations of inhomogeneities and detection of climate change. The case of the Oulu (Finland) air temperature series. Geophysica, 34(3), 159-178,

Stedinger J.R., Vogel R.M., Foufoula-Georgiou E., 1993, Frequency analysis of extreme events, w: Maidment, D.R. (ed.), Handbook of Hydrology, McGraw-Hill, Inc.

57

II. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie

przewyższenia w zlewniach niekontrolowanych mniejszych od 50 km2

1. Zlewnie niezurbanizowane - formuła opadowa

Na obszarze całego kraju w zlewniach niekontrolowanych, o powierzchni mniejszej

od 50 km2, niezurbanizowanych, w których powierzchnia nieprzepuszczalna jest mniejsza od

5% do obliczenia przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie

przewyższenia należy zastosować formułę opadową (Stachy, Fal, Czarnecka 1998).

Aby obliczyć maksymalny roczny przepływ o określonym prawdopodobieństwie prze-

wyższenia wykorzystując formułę opadową należy: na mapie topograficznej wyznaczyć

granicę zlewni, obliczyć jej powierzchnie, obliczyć uśredniony spadek cieku, a z odpowied-

nich tabeli określić współczynnik odpływu dla przepływów maksymalnych oraz współczyn-

niki wpływające na kształtowanie się odpływu w zlewni i korycie rzecznym. Podstawową

wielkością wpływającą na kulminację fali jest maksymalny opad dobowy o prawdopodobień-

stwie przewyższenia p = 1%, którego wartość należy uzyskać z Instytutu Meteorologii i Go-

spodarki Wodnej lub określić z mapy.

Na podstawie hydromorfologicznej charakterystyki stoków określa się czas spływu,

który w dużej mierze decyduje o koncentracji odpływu w zlewni.

W oparciu o parametry fizjograficzne zlewni i cieku oblicza się hydromorfologiczną

charakterystykę cieku, która po uwzględnieniu spływu po stokach służy do wyznaczenia mak-

symalnego modułu odpływu jednostkowego.

Kwantyle zmiennej λp dla zadanego prawdopodobieństwa przewyższenia p, określa się

z odpowiedniej tabeli.

Formuła opadowa ma postać:

max 1 1p p JQ f F H A (1.1)

gdzie:

f - bezwymiarowy współczynnik kształtu fali,

F1 - maksymalny moduł odpływu jednostkowego w (m3/s)/km2,

φ - współczynnik odpływu przepływów maksymalnych,

H1 - maksymalny opad dobowy o prawdopodobieństwie przewyższenia 1%,

A - powierzchnia zlewni w km2,

λp - kwantyl zmiennej dla zadanego prawdopodobieństwa p,

58

δJ - współczynnik redukcji jeziornej.

Aby zastosować formułę opadową należy określić parametry zlewni i cieków takie

jak: powierzchnia zlewni, średnia wysokość zlewni, długości wszystkich cieków wraz

z suchymi dolinami, sumę długości warstwic w zlewni na podstawie map topograficznych,

powierzchnię jezior. Przy określaniu parametrów zlewni i cieków warto wykorzystać systemy

informacji geograficznej (GIS), które mogą znacznie przyśpieszyć pracę.

Wielkościami niezbędnymi do obliczenia maksymalnych przepływów rocznych o

określonym prawdopodobieństwie przewyższenia są:

1. Powierzchnia A zlewni do przekroju obliczeniowego w km2.

Aby określić powierzchnię zlewni A należy wyznaczyć granicę zlewni do przekroju

obliczeniowego na mapie topograficznej w odpowiedniej skali i splanimetrować jej po-

wierzchnię. Należy w tym celu wykorzystać mapy w skali 1: 10000 dla zlewni mniejszych od

10 km2 oraz 1:25000 i 1:50000 dla zlewni większych.

Można również wykorzystać Mapę Podziału Hydrograficznego Polski w skali

1:50 000 oraz informacje zawarte w publikacjach IMGW (Podział Hydrograficzny Polski).

2. Uśredniony spadek zlewni Ir1 w m/km (‰).

Do określenia uśrednionego spadku w zlewniach mniejszych od 10 km2 należy korzy-

stając z mapy topograficznej wyznaczyć profil zlewni wzdłuż cieku głównego i jego suchej

doliny. W zlewniach większych od 10 km2 można zastosować uproszczony wzór na oblicze-

nie uśrednionego spadku zlewni:

6,01 lLWW

I dgr

(1.2)

gdzie:

Wg - wysokość działu wodnego w punkcie przecięcia się z osią suchej doliny w m

n.p.m.,

Wd - wysokość przekroju zamykającego w m n.p.m.,

L+ l - długość cieku głównego i suchej doliny (do działu wodnego) w km.

3. Współczynnik odpływu.

Współczynnik odpływu φ dla przepływów maksymalnych należy określić na podsta-

wie Mapy Gleb Polski w skali 1:500 000 (mapa M.1, załącznik M) lub odczytać z tabeli B.1

(załącznik B) dla określonego rodzaju gleb.

59

4. Maksymalny opad dobowy.

Maksymalny, średni w zlewni opad dobowy H1 o prawdopodobieństwie przewyższe-

nia p = 1% należy określić z mapy M.2 (załącznik M) lub uzyskać z IMGW.

5. Hydromorfologiczna charakterystyka cieku.

Hydromorfologiczną charakterystykę cieku Φr do przekroju obliczeniowego należy

obliczyć ze wzoru:

1/ 3 1/ 4 1/ 41 1

1000( )( )r

r

L lm I A H

(1.3)

gdzie:

L+l - długość cieku wraz z suchą doliną do działu wodnego w km,

m - współczynnik szorstkości koryta cieku (tabela B.2, załącznik B),

Ir1 - uśredniony spadek cieku w ‰,



H1 - maksymalny opad dobowy o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1% w mm.

6. Gęstość sieci rzecznej w km-1.

Gęstość sieci rzecznej oblicza się ze wzoru:

1

( )n

ii

L l

A

(1.4)

gdzie:

∑(L+l) – suma długości wszystkich cieków wraz z suchymi dolinami w km,

A - powierzchnia zlewni w km2.

7. Średnia długość sl stoków w km

Średnia długość stoków jest zależna od gęstości sieci rzecznej i obliczana ze wzoru: 1

1,8sl (1.5)

gdzie: ρ - gęstość sieci rzecznej w km/km2.

8. Średniego spadku stoków wg wzoru:

1

r

jj

s

h kI

A

(1.6)

60

gdzie:

∆h - różnica poziomów dwóch sąsiednich warstwic w m,

∑k - suma długości warstwic w zlewni w km,


9. Hydromorfologiczna charakterystyka stoków.

Hydromorfologiczna charakterystyka stoków Φs jest wielkością określającą koncen-

tracje odpływu w zlewni: 1/ 2

1/ 4 1/ 21

(1000 )( )

ss

s s

lm I H

(1.7)

gdzie:

sl - średnia długość stoków w km,

ms - miara szorstkości stoków (tabela B.3, załącznik B),

Is - średni spadek stoków w ‰,


H1 - maksymalny opad dobowy o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1% w mm.

10. Czasu ts spływu po stokach w min

W zlewniach o powierzchni mniejszej od 10 km2 czas spływu po stokach ts określa się

na podstawie obliczonej hydromorfologicznej charakterystyki stoków Φs z tabeli B.4.

Dla zlewni o powierzchni większej niż 10 km2 czas spływu po stokach ts można ustalić

w sposób uproszczony w zależności od usytuowania zlewni w jednym z pięciu makroregio-

nów podanych w tabeli B.5 (załącznik B).

11. Maksymalny moduł odpływu jednostkowego F1

Maksymalny moduł odpływu jednostkowego F1 należy określić z tabeli B.6 (załącznik

B) na podstawie obliczonej hydromorfologicznej charakterystyki koryta rzeki oraz czasu ts

spływu po stokach. W tabeli B.6 podano wartości F1 dla zlewni położonych w Tatrach

i wysokich górach (jeżeli większa część zlewni leży powyżej rzędnej 700 m n.p.m.) oraz dla

pozostałej części kraju (jeżeli większa część zlewni leży poniżej rzędnej 700 m n.p.m.).

12. Współczynnik redukcji jeziornej δJ.

Aby określić współczynnik redukcji jeziornej δJ należy wcześniej obliczyć wskaźnik

jeziorności ze wzoru:

61

1

n

Jii

AJEZ

A

(1.8)

gdzie:

AJi - powierzchnia zlewni jeziora w km2,

A - powierzchnia zlewni do przekroju obliczeniowego w km2.

Uwzględnia się tylko te jeziora, które powyżej przekroju obliczeniowego jako pierw-

sze znajdują się na cieku głównym i/lub jego dopływach oraz spełniają warunek, że po-

wierzchnia jeziora Ai stanowi co najmniej 1% powierzchni jego zlewni (Ai ≥ 0,01AJi).

W zależności od wskaźnika jeziorności JEZ z tabeli B.7 (załącznik B) określa się

współczynnika redukcji jeziornej δJ .

13. Kwantyle zmiennej losowej.

Kwantyle zmiennej λp odczytuje się z tabeli w załączniku B.8 dla zadanego prawdopo-

dobieństwa przewyższenia p.

14. Bezwymiarowy współczynnik kształtu fali.

Bezwymiarowy współczynnik kształtu fali f wynosi dla obszarów pojeziernych 0,45, a

dla pozostałej części Polski 0,60.

Aby wyznaczyć krzywą prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych

obliczenia wzorem (1.1) należy powtórzyć dla różnych wielkości prawdopodobieństwa prze-

wyższenia p.

Przykład 1.1. Obliczyć krzywą prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych o

kreślonym prawdopodobieństwie przewyższenia potoku Jaszczurówka w przekroju ujęcia

wody.

1. Wyznaczyć na mapie topograficznej w skali 1:10000 granicę zlewni do przekroju ujęcia

wody (rys. 1.1).

62

Rys. 1.1. Zlewnia potoku Jaszczurówka do przekroju ujęcia wody

2. Splanimetrować powierzchnię na mapie i określić powierzchnię zlewni A w km2 do prze-

kroju obliczeniowego.

3. Wyznaczyć i określić długości l suchych dolin wszystkich cieków. Na mapie (rys. 1.1)

suche doliny zaznaczono linią fioletową.

Przekrój ujęcia wody

63

4. Określić długość cieku głównego wraz z sucha doliną L+l (od przekroju zamykającego do

granicy zlewni).

5. Zmierzyć na mapie długości wszystkich cieków wraz z ich suchymi dolinami (L+l).

6. Zmierzyć na mapie długości warstwic k w zlewni, oddalonych od siebie o stałą wartość

h.

Wyniki zestawiono w tabeli 1.1.

Tabela 1.1. Parametry fizycznograficzne zlewni potoku Jaszczurówka do przekroju ujęcia wody

Parametr fizycznogeograficzny

Wartość

Powierzchnia zlewni A w km2 1,82

Długość cieku z suchą doliną L+l w km 1,88

Suma długości cieku i doliny (L+l) w km 4,44

Suma długości warstwic k w km 24,02

Odległość między warstwicami h w m 25

7. Obliczyć spadek zlewni Ir1.

W tym celu należy sporządzić profil podłużny cieku z jego suchą doliną (rys. 1.2.). Obliczyć

pole powierzchni pomiędzy profilem a układem współrzędnych oraz zamienić je na pole

trójkąta równoważnego.

Wysokość trójkąta równoważnego obliczyć się ze wzoru:

lLFH

2

gdzie:

F - pole powierzchni pod profilem podłużnym cieku w m2,

L+l – długość cieku głównego wraz z suchą doliną w m.

0,2311880

0,21714022

lLFH m

64

480

530

580

630

680

730

780

830

880

0,00,20,40,60,81,01,21,41,61,8

Długość ciekuW

ysok

ość

H [m

n.p

.m.]

.

Źródłopotoku

Uję

cie

wod

y

ΔH = 231,0 m

Rys. 1.2. Spadek podłużny zlewni

Uśredniony spadek zlewni jest stosunkiem wysokości trójkąta równoważnego ΔH do długości

cieku wraz z sucha dolina L + l.

9,12288,1

0,2311

lL

HI r ‰

8. Określić wysokość opadu dobowego w zlewni o prawdopodobieństwie przewyższenia p =

1%. Korzystając z mapy C 2 (załącznik C) opad średni w zlewni potoku Jaszczurówka

(dopływ Skawy) wynosi H1 = 120 mm.

9. Określić z tabeli B.1 (załącznik B) współczynnik odpływu φ na podstawie mapy gleb. Dla

glin i iłów oznaczonych na mapie glebowej M 1 (załącznik M), φ = 0,88.

10. Określić z tabeli B.2 Współczynnik szorstkości koryt rzecznych m. Dla koryta stałych i

okresowych rzek górskich o bardzo nierównym kamienistym dnie m = 7.

11. Obliczyć hydromorfologiczną charakterystykę koryta potoku Jaszczurówka do przekroju

ujęcia ze wzoru:

1/ 3 1/ 4 1/ 4 1/ 3 1/ 4 1/ 41 1

1000( ) 1000 1,88 14,531( ) 7 122,9 1,82 (0,88 120)r

r

L lm I A H

65

12. Obliczyć gęstość sieci rzecznej ze wzoru:

44,282,144,4

A

l)(Lρ

n

1ii

m-1

13. Obliczyć średnią długość stoków ze wzoru:

1 1 0,2281,8 1,8 2,45sl

m

14. Obliczyć średni spadek Is stoków ze wzoru:

1 25 24,02 329,91,82

r

jj

s

h kI

A

‰

15. Określić z tabeli B3 współczynnik szorstkości stoków ms. Dla powierzchni leśnych ms =

0,1.

16. Obliczyć geomorfologiczną charakterystykę stoków zlewni potoku Jaszczurówka do

przekroju ujęcia wody ze wzoru:

1/ 2 1/ 2

1/ 4 1/ 2 1/ 4 1/ 21

(1000 ) (1000 0, 228) 3,446( ) 0,1 329,9 (0,88 120)

ss

s s

lm I H

17. Określić na podstawie geomorfologicznej charakterystyki stoków Φs czas ts spływu po

stokach. Korzystając z tabeli B.4 wyinterpolowano dla Φs = 3,446 średni czas spływu po

stokach ts = 24,90 min.

18. Określić wartość maksymalnego modułu odpływu jednostkowego F1. Ponieważ średnia

wysokość zlewni potoku Jaszczurówka do przekroju ujęcia wody położona jest poniżej

wysokości 700 m n.p.m. korzystając z tabeli B.6 dla Φr = 14,531 i ts = 24,90 wyinterpo-

lowano wartość F1 = 0,0655

19. Przyjąć współczynnik kształtu fali. Dla zlewni górskich f = 0,6.

20. Określić z tabeli B8 kwantyle λp. Ponieważ zlewnia potoku Jaszczurówka położona jest

w regionie karpackim 2a, zaznaczonym na mapie M 4 (załącznik M) wartości kwantyla

λp zestawiono w tabeli 1.2

Tabela 1.2 Kwantyle λp

Prawdopodobieństwo przewyższenia p [%] 1 2 3 5 10 20 30 50

Kwantyl λp 1,00 0,843 0,745 0,636 0,482 0,334 0,248 0,145

66

21. Obliczyć przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyż-

szenia w przekroju ujęcia wody na potoku Jaszczurówka. Przykładowo przepływu o

prawdopodobieństwie przewyższenia p=1% wynosi:

max1% 1 1 0,6 0,0443 0,88 120 1,82 1,0 1,0 7,6p jQ f F H A m3/s

Dla pozostałych wartości prawdopodobieństwa wyniki przedstawiono w tabeli 1.3.

Krzywą prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych potoku Jaszczurówka w

przekroju ujęcia wody pokazano na rys. 1.3.

Tabela 1.3. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia

Prawdopod. p

[%]

Przepływ Qmax,p [m3/s]

1 7,6 2 6,4 3 5,6 5 4,8 10 3,6 20 2,5 30 1,9 50 1,1

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

110100

Prawdopodobieństwo p [%]

Prze

pływ

Qm

axp

[m3 /s]

Rys. 1.3. Krzywa prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych

67

2. Zlewnie zurbanizowane - metoda symulacyjna

W małych zlewniach zurbanizowanych, w których tereny nieprzepuszczalne stanowią

więcej niż 5% powierzchni, czynnikiem wywołującym duże wezbrania są głównie opady

krótkotrwałe o dużym natężeniu. Do obliczenia przepływów maksymalnych rocznych o okre-

ślonym prawdopodobieństwie przewyższenia w takich zlewniach należy wykorzystać mate-

matyczny model transformacji opadu w odpływ.

Zalecana metodyka obejmuje kilka etapów (Banasik i in. 2000):

a. Obliczenie opadu średniego w zlewni o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia

i czasie trwania.

b. Obliczenia wysokości opadu efektywnego w zlewni.

c. Identyfikacji matematycznego modelu odpływu ze zlewni.

d. Estymacja parametrów modelu.

e. Obliczenie hydrogramu odpływu bezpośredniego.

f. Obliczenie krzywej przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodo-

bieństwie przewyższenia.

Metodyka obliczenia hydrogramu wezbrania o zadanym prawdopodobieństwie, oparta

jest na założeniu o równości prawdopodobieństwa wystąpienia deszczu i wywołanego nim

wezbrania.

Podstawowymi charakterystykami deszczu, rozważanymi przy stosowaniu modeli

opad - odpływ do wyznaczania przepływów maksymalnych rocznych są:

a. prawdopodobieństwo wystąpienia,

b. czas trwania deszczu,

c. natężenie średnie opadu,

d. zmienność natężenia deszczu w czasie jego trwania,

e. zmienność obszarowa sumy deszczu.

Na wartość kulminacji odpływu oprócz wymienionych charakterystyk czasowo-

przestrzennych deszczu i powierzchni zlewni mają wpływ również: czasowy rozdział opadu

na część tworzącą odpływ bezpośredni (opad efektywny) i pozostałą część (straty), współ-

czynnik odpływu, oraz kształt hydrogramu jednostkowego transformującego opad efektywny

w odpływ bezpośredni.

68

2.1. Metoda regionów obliczania opadów o zadanym czasie trwania i prawdopodobień-

stwie przewyższenia

Na podstawie kompleksowej analizy geograficznej, klimatycznej i hydrologicznej

dokonano podziału kraju (z wyłączeniem gór) na trzy regiony opadowe (Bogdanowicz, Sta-

chy, 1998)

a. region północno-zachodni, pojezierny, niskich opadów nawalnych w czasie trwania 5 - 60

minut,

b. region południowy, wyżynny, wysokich opadów rozlewnych w czasie trwania 12 - 72

godzin, oraz obszar nadmorski, gdzie rozkład opadów rozlewnych jest podobny jak w re-

gionie południowym,

c. region środkowy (centralny), o zmiennym zasięgu, dla opadów w czasie trwania 5 minut

do 72 godzin.

Zarys regionów przedstawiono na mapach M.3 (załącznik M).

Dla regionów karpackiego i sudeckiego nie objętych analizą, maksymalne wysokości

deszczów o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia i różnym czasie trwania należy

uzyskać z IMGW.

Maksymalną wysokości opadu Pp,D w czasie D (min) i o prawdopodobieństwie prze-

wyższenia p dla wyodrębnionych regionów Polski (za wyjątkiem Karpat i Sudetów) oblicza

się ze wzoru (Bogdanowicz, Stachy, 1998): 0.584

, ( ) ( , ) ( ln )p DP D R D p (2.1) gdzie:

R - region opadowy,

p - prawdopodobieństwo przewyższenia,

D - czas trwania opadu w min,

(D) - parametr skali w mm,

(R,D) - parametr położenia i skali, określany dla regionów ze wzorów zapisanych w

tabeli B.9 (załącznik B).

Parametr skali równania oblicza się ze wzoru: 0.33( ) 1, 42D D (2.2)

69

Dla zlewni górskich, w których nie obowiązuje równanie (2.1) opady o zadanym cza-

sie trwania i prawdopodobieństwie przewyższenia należy uzyskać z Instytutu Meteorologii i

Gospodarki Wodnej.

Przykład 2.1. Obliczyć wysokość opadu maksymalnego o czasie trwania D = 5 min i praw-

dopodobieństwie przewyższenia p = 10% w Deszcznie k/Gorzowa Wielkopolskiego.

1. Określić przynależności punktu do regionów opadów maksymalnych wydzielonych dla

czasu D = 5min.

Na podstawie mapy M.3 (załącznik M) stwierdzono, że Deszczno znajduje się w regionie

północno-zachodnim.

2. Obliczyć wartość parametru rozkładu ze wzoru odpowiedniego dla danego czasu trwania

opadu w określonym rejonie opadowym:

= 1,42 D 0,33 = 1,42 50,33 = 2,4 mm

3. Obliczyć wartość parametru α dla czasu trwania deszczu D = 5 min i ustalonego regionu

opadowego:

α = 3,92 ln (D + 1) – 1,662 = 3,92 ln (5 + 1) – 1,662 = 5,4 mm.

3. Obliczyć wysokość opadu maksymalnego P10,5:

2,11))1,0(ln(4,54,2)ln(),()( 584,0584.05,10 pDRDP mm

2.2. Krytyczny czas trwania deszczu

Krytycznym czasem trwania deszczu, Dkr, jest czas trwania opadu wywołującego naj-

większe wezbranie, w warunkach przyjętych charakterystyk opadu i własności zlewni.

Czas ten może przyjmować różną wartość w zlewni w zależności od zmienności

natężenia deszczu w czasie. Dla warunków stałego w czasie natężenia opadu i współczynnika

odpływu, za krytyczny czas trwania deszczu przyjmuje się czas koncentracji tc, tj. czas w któ-

rym kropla wody dopłynie z najdalszego, pod względem hydraulicznym, punktu zlewni do

przekroju obliczeniowego.

Czas koncentracji ma dla odpływu znaczenie tylko wówczas, jeśli jest on miarą czasu

trwania deszczu wywołującego największe wezbranie. W wielu przypadkach stwierdzono, że

czasy koncentracji obliczane z podanych w literaturze wzorów są znacznie zaniżone.

70

Według Niemieckiego Związku Gospodarki Wodnej i Melioracji DVWK (Deutscher

Verband für Wasserwirtschaft und Kulturbau) (1984) krytyczny czas trwania deszczu zawarty

jest w przedziale tc < Dkr < 2 tc.

2.3. Obszarowa zmienność opadu

W modelach o parametrach skupionych zwykle przyjmuje się równomierną wysokość

opadu na obszarze zlewni; zarówno sumę jak i wysokość w poszczególnych przedziałach cza-

sowych trwania opadu. Wysokości opadu wyznaczone z analizy danych punktowych (dla

jednej stacji pluwiograficznej) przyjmować można jako reprezentatywne tylko dla bardzo

małych zlewni, o powierzchni do ok. 10 km2 (DVWK, 1984).

Dla większych zlewni, aby uzyskać opad obszarowy, wysokość opadu punktowego

należy zredukować. Wielkość redukcji zależy od czasu trwania deszczu i od powierzchni

zlewni. Współczynnik redukcji zwiększa się wraz ze wzrostem czasu trwania deszczu, oraz

maleje wraz ze wzrostem powierzchni zlewni. Dla zlewni o powierzchni od 10 do 100 km2,

redukcja opadu punktowego nie przekracza 10% (DVWK, 1984).

Przykładowe zależności redukcji opadu od czasu trwania i powierzchni zlewni

przedstawiono na rys. 2.1. (Chow i in., 1988).

71

50

60

70

80

90

100

0 125 250 375 500 625 750 875 1000

Powierzchnia [km2]

Proc

ent s

umy

opad

u pu

nkto

weg

o dl

a da

nej p

owie

rzch

ni

3-godz.

6-godz.

24-godz.

1-godz.

30-min.

Rys. 2.1. Krzywe redukcyjne sumy opadu punktowego dla oszacowanie opadu obszarowego, przy

różnych czasach trwania deszczu (DVWK, 1984)

2.4. Czasowa zmienność (rozkład) natężenia deszczu

Zmienność czasowa natężenia deszczu, obok czasu trwania i sumy opadu, ma zasadni-

czy wpływ na wielkość wezbrania. Wyróżnia się cztery typowe rozkłady intensywności desz-

czu w czasie (rys. 2.2):

a. opad o stałej intensywności (tzn. opad blokowy),

b. opad z maksymalną intensywnością na początku,

c. opad z maksymalną intensywnością w środku,

d. opad z maksymalną intensywnością na końcu zdarzenia.

Wg zaleceń DVWK (1984) jako rozkład intensywności deszczu miarodajnego przyj-

mować należy deszcz z maksymalną intensywnością w środku (przypadek 3). Krzywą sumo-

wą tego rozkładu w układzie standaryzowanym pokazano na rys. 2.3.

72

Rys. 2.2. Przykłady możliwych rozkładów intensywności deszczu w czasie

70

300

20

40

60

80

100

0 25 50 75 100

względny czas trwania t/D [%]

Pt/P

d [%

]

Rys. 2.3. Zalecany do obliczeń (DVWK 1984) rozkład sumy deszczu

73

Wg rozkładu DVWK (rys. 2.3), przez pierwsze 30 % czasu trwania opadu wystąpi

20% jego całkowitej wysokości. Po czasie równym połowie trwania opadu pojawi się 70%, a

pozostałe 30% całkowitego opadu w drugiej połowie czasu trwania.

2.5. Opad efektywny

Opadem efektywnym nazywamy tę część średniego opadu całkowitego, która poprzez

spływ powierzchniowy i podpowierzchniowy kształtuje hydrogram odpływu bezpośredniego.

Spośród szeregu metod wyznaczania opadu efektywnego jedną z najczęściej stosowa-

nych jest metoda SCS (SCS 1972, SCS 1986, ASCE 2009, Ozga-Zielińska i Brzeziński 1994,

Byczkowski 1999) opracowana przez Służbę Ochrony Gleb (Soil Conservation Service) w

USA. W metodzie tej opad efektywny uzależnia się od grupy gleb, sposobu użytkowania te-

renu zlewni oraz od uwilgotnienia zlewni przed wystąpieniem badanego opadu. Wszystkie te

czynniki ujmuje bezwymiarowy parametr CN, przyjmujący wartości z przedziału (0, 100].

Parametr ten jest związany z maksymalną potencjalną retencją S zlewni zależnością:

1010004,25

CNS (2.3)

gdzie:

CN - parametr określający numer krzywej rozdziału opadu średniego całkowitego na

opad efektywny i straty.

Sumę opadu efektywnego 1

t

ii

H od początku opadu do chwili t = i t oblicza się ze

wzorów:

1

2

1 1

1

1

0 ( 0, 2 ) 0

( 0,2 )( 0, 2 ) 0

0,8

t

ii

t t

i i ti i

iti

ii

gdy P S

H P Sgdy P S

P S

(2.4)

gdzie:

1

t

ii

P - sumaryczna wysokość opadu średniego w zlewni w okresie [0,t] w mm,

S - maksymalna retencja zlewni w mm.

74

Ze wzoru (2.4) można obliczyć opad efektywny jako część opadu całkowitego, przyj-

mując wartość CN. Parametr CN określa się z tabeli B.10 (załącznik B) w zależności od ro-

dzaju użytkowania powierzchni zlewni, przyjętej grupy glebowej oraz warunków uwilgotnie-

nia zlewni w chwili wystąpienia opadu. W tabeli B.10 podano wartości parametru CN dla

przeciętnych warunków wilgotnościowych.

W metodzie SCS gleby podzielono na cztery grupy w zależności od możliwości

powstawania odpływu powierzchniowego. Do poszczególnych grup zaliczono:

A - Gleby o małej możliwości powstania odpływu powierzchniowego. Charakteryzują się one

dobrą przepuszczalnością, dużymi współczynnikami filtracji (k > 7,6 mm/h). Do grupy

tej zaliczyć można głębokie piaski, piaski z niewielką domieszką gliny, żwiry, głębokie

lessy.

B - Gleby o przepuszczalności powyżej średniej, średni współczynnik filtracji (3,8 < k 7,6

mm/h). Należą do tej grupy gleby piaszczyste średnio głębokie, płytkie lessy oraz iły

piaszczyste.

C - Gleby o przepuszczalności poniżej średniej (1,3 < k 3,8 mm/h). Należą do niej gleby

uwarstwione, posiadające wkładki słabo przepuszczalne oraz iły gliniaste, płytkie iły piasz-

czyste, gleby o niskiej zawartości części organicznych, gliny o dużej zawartości części ila-

stych.

D - Gleby o dużej możliwości powstawania odpływu powierzchniowego o przepuszczalności

bardzo małej i bardzo niskim współczynniku filtracji (k 1,3 mm/h). Do grupy tej należą gle-

by gliniaste, gliny pylaste, gliny zasolone, gleby uwarstwione z warstewkami nieprzepusz-

czalnymi.

Obszarową zmienność: użytkowania powierzchni zlewni, rodzaju gleb, sposobu upra-

wy i warunków hydrologicznych uwzględnia się w wartości CN, obliczając ją jako wartość

średnią ważoną ze wzoru:

1

m

j jj

śr

CN ACN CN

A

(2.5)

gdzie:

CNśr - średnia wartość parametru CN,

CNj - wartość parametru CN charakterystyczna dla danego pokrycia zlewni, sposobu

użytkowania i rodzaju gleb,

Aj - powierzchnia cząstkowa zlewni km2,

A - całkowita powierzchnia zlewni w km2,

75

m - liczba powierzchni jednorodnych.

Wysokość opadu w ustalonych przedziałach Δt obliczono ze wzoru:

1t

1ii

t

1iit HHH (2.6)

Przykład 2.2. Obliczyć wysokość opadu efektywnego dla opadu średniego całkowitego

podanego w tabeli 2.2. w zlewni zurbanizowanej potoku Niwka o powierzchni 8,5 km2, w

której:

- tereny przemysłowe na glebach grupy D stanowią 33% powierzchni zlewni (A1 = 2,8

km2),

- tereny zamieszkałe przy przeciętnej powierzchni działki 1000 m2 położone na glebach

grupy C stanowią 62% powierzchni zlewni (A2 = 5,3 km2),

- drogi z krawężnikami i rynsztokami na glebach grupy D stanowią 5% powierzchni zlew-

ni (A3 = 0,4 km2).

1. Określić z tabeli B.9 wartości parametrów CN odpowiednie dla danego użytkowania i gru-

py gleb.

- tereny przemysłowe, 72% powierzchni nieprzepuszczalnej na glebach grupy D: CN1 = 93,

- tereny zamieszkałe przy przeciętnej powierzchni działki 1000 m2 na glebach grupy C:

CN2 = 83),

- drogi z krawężnikami i rynsztokami na glebach grupy D: CN3 = 98.

2. Obliczyć średnią wartość parametru CN:

1 2,8 93 5,3 83 0, 4 98 86,88,5

m

j jj

CN ACN

A

3. Określić maksymalną retencje zlewni:

6,38108,86

10004,251010004,25

CNS mm

4. Obliczyć rzędne hietogramu opadu efektywnego:

H1 = 0,0 mm ponieważ 0,2 S = 7,72 > P2 = 4 mm.

Obliczone wartości opadu efektywnego zestawiono w tabeli 2.2. oraz pokazano na rys. 2.4

76

Tabela 2.2. Opad średni i efektywny w zlewni potoku Niwka

Czas t

[h

Opad średni

Pi [mm]

Suma opadu

średniego ΣPi

[mm]

Suma opadu

efektywnego ΣHi

[mm]

Opad efektywny

Hi [mm]

1 4,0 4,0 0,0 0,0

2 8,0 12,0 0,5 0,5

3 15,0 27,0 6,7 6,2

4 12,0 39,0 14,4 7,7

5 6,0 45,0 18,8 4,4

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

16,0

1 2 3 4 5

Czas t [h]

Wys

okoś

ć op

adu

P, H

[mm

]

Opad całkowity

Opad efektywny

Rys. 2.4. Wysokość opadu całkowitego i efektywnego w zlewni potoku Niwka

2.6. Model transformacji opadu w odpływ

Do transformacji opadu efektywnego w odpływ bezpośredni w małej niekontrolowa-

nej zlewni zurbanizowanej należy zastosować liniowy koncepcyjny model Nasha (Nash

1957). Model przedstawiany jest zwykle w postaci kaskady zbiorników o charakterystyce

liniowej (rys. 2.5).

77

Rys. 2.5. Schemat koncepcyjnego modelu Nasha transformacji opadu efektywnego

w odpływ bezpośredni

2.6.1. Chwilowy hydrogram jednostkowy

Model Nasha bazuje na chwilowym hydrogramie jednostkowym, który jest reakcją

zlewni na jednostkowy chwilowy opad efektywny. Chwilowy hydrogram jednostkowego

(IUH - instantaneous unit hydrograph), jest w tym przypadku opisany dwuparametrową

funkcją gamma w postaci:

kt

kt

Nktu

N

exp)(

1)(

1

(2.7)

gdzie:

u(t) - rzędne chwilowego hydrogramu jednostkowego w h-1,

t - czas od początku hysrogramu w h,

k - parametr retencji zbiornika w h,

N - liczba zbiorników,

(N) - funkcja gamma Eulera.

Podstawowe wielkości hydrogramu jednostkowego: przepływ kulminacyjny hydro-

gramu up, czas osiągnięcia kulminacji tp i czas opóźnienia odpływu LAG, związane są z pa-

rametrami modelu N i k.

1. Czas wystąpienia kulminacji hydrogramu jednostkowego wyraża zależność:

kNt p )1( (2.8)

S =10 k

k

k

k

1

3

N

t

t

t

t

u1

u2

u3

un

78

2. Czas opóźnienia odpływu oblicza się ze wzoru:

kNLAG (2.9)

3. Wartość kulminacyjna hydrogramu jednostkowego jest określona równaniem:

)1exp(

)1()(

1 1

NN

Nku

N

p (2.10)

2.6.2. Estymacja parametrów hydrogramu jednostkowego

Ponieważ model Nasha stosowany jest w tym przypadku do transformacji opadu w

odpływ w niekontrolowanej zlewni zurbanizowanej, parametry modelu są estymowane w

oparciu o charakterystyki zlewni wpływające w istotny sposób na kształtowanie się wezbrań.

Opracowane przez Rao i in. (1972) zależności na wyznaczenie czasu opóźnienia od-

pływu i parametru retencji zbiornika modelu Nasha dla zlewni zurbanizowanych o po-

wierzchni do 52 km2, zaleca się stosować jedynie w przypadkach, gdy parametry takie nie

zostały wyznaczone na podstawie miarodajnych pomiarów i analizy relacji opad-odpływ w

rozpatrywanej zlewni.

1. Czas opóźnienia LAG odpływu oblicza się z zależności:

37,027,066,146,0 128,1 DHUALAG (2.11) gdzie:

k - parametr retencji zbiornika w h,


U - udział powierzchni nieprzepuszczalnych w zlewni, bezwymiarowy.

H - wysokość opadu efektywnego w mm,

D - czas trwania opadu efektywnego w h.

2. Parametr retencji zbiornika k należy obliczyć ze wzoru:

22,011,062,039,0 156,0 DHUAk (2.12)

3. Przekształcając wzór (2.9) oblicza się liczbę zbiorników N ze wzoru:

kLAGN (2.13)

79

2.6.3. Wyznaczenie hydrogramu jednostkowego z chwilowego hydrogramu jednostkowego

Rzędne hydrogramu jednostkowego hi, wywołanego jednostkowym opadem efektyw-

nym o wysokości 1 mm i czasie trwania t w h, w zlewni o powierzchni A w km2, wykorzy-

stywane do transformacji opadu efektywnego w odpływ bezpośredni, określa się na podstawie

rzędnych chwilowego hydrogramu jednostkowego z zależności:

( ) dla ; 1, 2,...3,6 3,6

t

iit t

A Ah u u d t t i i mt

(2.14)

gdzie:

hi - rzędne hydrogramu jednostkowego w m3/s∙mm,


m - liczba rzędnych hydrogramu jednostkowego,

iu - rzędne uśrednionego hydrogramu jednostkowego w 1/h obliczone ze wzoru:

1 ( ) dla ; 1, 2,...t

it t

u u d t t i i mt

(2.15)

Jeśli czas wystąpienia kulminacji tp > 3t [literatura] rzędne bezwymiarowego chwilowego

hydrogramu jednostkowego można obliczyć w sposób przybliżony:

miittdlattutuui ...,2,1;)(5.0 (2.16)

gdzie:

t - obliczeniowy krok czasowy w h.

Długość kroku czasowego t zależna jest szybkości reakcji zlewni na opad. W małych

zlewniach zurbanizowanych przyjmowana jest zwykle w granicach od kilku do kilkudziesię-

ciu minut. Zaleca się przyjmować wartość t korzystając z zależności:

5LAGt (2.17)

2.6.4. Hydrogram odpływu bezpośredniego

Rzędne hydrogramu odpływu bezpośredniego określone na podstawie hietogramu

opadu efektywnego i hydrogramu jednostkowego oblicza się z równań:

80

EMBED Equation

mmmm

iiii

HhHhHhQ

HhHhHhQ

HhHhHhHhQHhHhHhQ

HhHhQHhQ

1121

1211

413223144

3122133

21122

111

.....

....................................................

(2.18)

gdzie:

Qi - rzędne hydrogramu odpływu w m3/s,

hi - rzędne hydrogramu jednostkowego,

Hi - rzędne hietogramu opadu efektywnego w mm,

m - liczba rzędnych hydrogramu odpływu.

Przedstawiony układ równań zapisać można ogólnym równaniem w postaci:

11

, 1,2,...,k

k i k ii

Q h H k m

(2.19)

Przykład 2.3. Obliczyć przepływy maksymalne roczne o prawdopodobieństwie przewyższe-

nia p w zurbanizowanej zlewni Potoku Służewieckiego w Warszawie w przekroju ul. KEN.

Powierzchnia zlewni wynosi A = 35,1 km2. Udział powierzchni nieprzepuszczalnych w zlew-

ni stanowi U = 0,183 (18,3%). Zlewnia Potoku Służewieckiego położona jest w obszarze cen-

tralnym (mapa M.3, załącznik M).

1. Określić wysokość opadu (punktowego) (P10%,D)o prawdopodobieństwie przewyższenia p

= 10% i różnych czasów trwania D.

Dla czasu trwania D = 2 h.

- obliczyć parametr ε:

9.612042,142,1)( 33,033.0 DD mm

- obliczyć parametr α:

α = 4,693 ∙ ln (D + 1) – 1,249 = 4,693 ln(120 + 1) – 1.249 = 21,3 mm

- obliczyć sumę opadu punktowego:

P10%,2 = 6,9 + 21,3 (-ln 0,10)0.584 = 41,5 mm

2. Obliczyć wysokość zredukowanego opadu obszarowego.

81

Przyjmując redukcję deszczu punktowego o 5% zgodnie z rys. 2.1, współczynnik zmniejsza-

jący wynosi 0,95 zatem:

∑Pi = 41,5 0,95 = 39,4 mm.

3. Określić rozkład intensywności deszczu.

Stosując wytyczne DVWK do rozkładu opadu na przedziały obliczeniowe Δt = 0,5 h zgodnie

z wykresem na rys. 2.3, w pierwszej połowie trwania opadu wystąpi 70% jego sumarycznej

wysokości, a w drugiej pozostałe 30%. Wysokość opadu w przedziałach obliczeniowych ze-

stawiono w tabeli 2.3.

4. Obliczyć wysokość opadu efektywnego.

Biorąc pod uwagę zagospodarowanie terenu zlewni i występujące grupy gleb obliczono, dla

średnich warunków wilgotnościowych, parametr CN = 75,7.

- obliczyć maksymalną retencję zlewni S:

5,81107,75

10004,251010004,25

CNS mm

- obliczyć wysokość opadu efektywnego w przedziałach Δt.

Opad z pierwszego kroku czasowego Δt = 0,5 h o wysokości P1 = 6,6 mm nie spowoduje od-

pływu bezpośredniego, gdyż jego wysokość jest mniejsza od 0,2 S = 16,3 mm. Opad efek-

tywny H1 = 0. Dla sumy opadu po pierwszej godzinnie (2Δt) P2 = 27,6 mm, opad efektywny

wyniesie:

4,15,818.06,27)5,812.06,27(

8,0

)2,0( 2

1

22

12

1

SP

SPH t

ii

ii

ii mm

4,12 H mm

Obliczone wartości opadu efektywnego zestawiono w tabeli 2.3.

Tabela 2.3. Opad średni całkowity i efektywny w przedziałach obliczeniowych

Przedział czasowy

i

Czas t

[h]

Suma opadu ΣPi

[mm]

Opad całkowity Pi

[mm]

Suma opadu efektywnego

ΣHi [mm]

Opad efektywny

Hi [mm]

1 0,5 6,6 6,6 0,0 0,0 2 1,0 27,6 21,0 1,4 1,4 3 1,5 33,5 5,9 3,0 1,6 4 2,0 39,4 5,9 5,1 2,1

82

5. Obliczyć parametry modelu Nasha

- czas opóźnienia odpływu LAG:

1,66 1,660,46 0,27 0,37 0,46 0,27 0,371, 28 1 1, 28 35,1 1 0,183 5,1 1,5 3,73LAG A U H D h

- parametr retencji zbiornika k:

0,62 0,620,39 0,11 0,22 0,39 0,11 0,220,56 1 0,56 35,1 1 0,183 5,1 1,5 1,85k A U H D h

- liczbę zbiorników N:

02,285,173,3

k

LAGN

Długość obliczeniowego kroku czasowego obliczona z zależności (2.17) wynosi:

75,0573,3

5

LAGt

la Δt = 0,5 h spełnia zalecane kryterium.

6. Wyznaczyć chwilowy hydrogram jednostkowy (rzędne IUH)

Rzędne chwilowego hydrogramu jednostkowego obliczono podstawiając wartości para-

metrów N i k, dla t = i Δt; gdzie i =1, 2, 3, … n, do wzoru:

85,1exp

85,1)02,2(85,11exp

)(1 02,11 tt

kt

kt

Nku

N

t

Obliczone wartości zestawiono w tabeli 2.4

Dla określenia wartości funkcji Γ(N) dla rzeczywistych N należy skorzystać z tablic matema-

tycznych lub funkcji ROZKŁAD.GAMMA() arkusza kalkulacyjnego Excel.

W arkuszu Excel wartości ut obliczyć można za pomocą funkcji:

ut = ROZKŁAD.GAMMA (t;N;k;0)

7. Obliczyć rzędne hydrogramu jednostkowego h.

Rzędne hydrogramu jednostkowego obliczono z zależności:

miittdladudut

Aht

tt

t

tti ,...2,1;)(

5,06.31,35)(

6,3

Ponieważ całkę

t

tt

du )( wyraża powierzchnię chwilowego hydrogramu jednostkowego

(IUH) w przedziale od t-Δt do t, można ją zapisać jako różnicę dwóch całek, odpowiednio od

0 do t i od 0 do t-Δt. Jej wartość można obliczyć za pomocą funkcji ROZKŁAD.GAMMA()

arkusza kalkulacyjnego Excel jako:

83

t

tt

du )( ROZKŁAD.GAMMA (t;N;k;1)- ROZKŁAD.GAMMA (t-Δt;N;k;1)

Rzędne hydrogramu jednostkowego iu obliczono z zależności:

10,5iu [ROZKŁAD.GAMMA(t;N;k;1)- ROZKŁAD.GAMMA(t-Δt;N;k;1)]

Wyniki obliczeń zestawiono w tabeli 2.4.

Tabela 2.4. Rzędne chwilowego hydrogramu jednostkowego i hydrogramu jednostkowego

Przedział czasowy

i

Czas t

[h]

Rzędne IUH ut

[1/h]

Rzędne

hydrogramu jednostkowego

iu [1/h]

Rzędne hydrogramu

jednostkowego hi

[m3/s∙mm] 0 0 0 0 0 1 0,5 0,108 0,058 0,570 2 1,0 0,167 0,141 1,371 3 1,5 0,192 0,182 1,772 4 2,0 0,197 0,196 1,911 5 2,5 0,189 0,194 1,887 6 3,0 0,173 0,181 1,769 7 3,5 0,155 0,164 1,602 8 4,0 0,135 0,145 1,415 9 4,5 0,117 0,126 1,227 10 5,0 0,099 0,108 1,050 11 5,5 0,083 0,091 0,887 12 6,0 0,069 0,076 0,743 13 6,5 0,058 0,063 0,618 14 7,0 0,047 0,052 0,510 15 7,5 0,039 0,043 0,419 16 8,0 0,032 0,035 0,342 17 8,5 0,026 0,029 0,278 18 9,0 0,021 0,023 0,225 19 9,5 0,017 0,019 0,182 20 10,0 0,013 0,015 0,147 21 10,5 0,011 0,012 0,118 22 11,0 0,009 0,010 0,094 23 11,5 0,007 0,008 0,075 24 12,0 0,005 0,006 0,060 25 12,5 0,004 0,005 0,048 26 13,0 0,003 0,004 0,038 27 13,5 0,003 0,003 0,030 28 14,0 0,002 0,002 0,024

8. Obliczyć hydrogram odpływu bezpośredniego Qk, k = 1,2,...m (gdzie m – liczba rzędnych hydrogramu odpływu).

84

Podstawiając do równania 11

k

k i k ii

Q h H

rzędne hydrogramu jednostkowego i wysokości

opadu efektywnego obliczono hydrogram odpływu bezpośredniego. Pierwsze pięć rzędnych

hydrogramu odpływu bezpośredniego (w przedziałach czasowych Δt = 0,5 h), wynosi:

00,00,0570,01 Q m3/s 80,04,1570,00,0371,12 Q m3/s 83,26,1570,04,1371,10,0772,13 Q m3/s

87,51,2570,06,1371,14,1772,10,0911,14 Q m3/s 39,80,0570,01,2371,16,1772,14,1911,10,0887,15 Q m3/s

Pozostałe wartości zestawiono w tabeli 2.5.

Tabela 2.5. Rzędne hydrogramu odpływu bezpośredniego

Przedział czasowy

i

Czas t

[h]

Odpływ bezpośredni

Qi

[m3/s]

Przedział czasowy

i

Czas t

[h]

Odpływ bezpośredni

Qi

[m3/s] 1 0,5 0,00 14 7,0 3,92 2 1,0 0,80 15 7,5 3,26 3 1,5 2,83 16 8,0 2,70 4 2,0 5,87 17 8,5 2,22 5 2,5 8,39 18 9,0 1,82 6 3,0 9,42 19 9,5 1,48 7 3,5 9,51 20 10,0 1,20 8 4,0 9,03 21 10,5 0,97 9 4,5 8,26 22 11,0 0,78

10 5,0 7,35 23 11,5 0,63 11 5,5 6,40 24 12,0 0,50 12 6,0 5,50 25 12,5 0,40 13 6,5 4,66 26 13,0 0,32

Kulminacja fali Qp = 9,51 m3/s wystąpiła w 7 kroku czasowym, po upływie 3,5 h od rozpo-

częcia opadu.

9. Obliczyć przepływ maksymalny roczny Qmaxp o prawdopodobieństwie przewyższenia p =

10%.

Przepływem maksymalnym o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia jest najwięk-

szy z przepływów kulminacyjnych hydrogramów odpływu wywołanego opadami o tym sa-

mym prawdopodobieństwie przewyższenia, lecz różnym czasie trwania. Określenie takiego

przepływu odbywa się drogą prób, powtarzając obliczenia dla opadów o różnym czasie trwa-

nia.

85

Obliczenia hydrogramu odpływu bezpośredniego ze zlewni Potoku Służewieckiego wywoła-

nego opadem o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 10% i czasie trwania D = 2 h po-

wtórzono dla opadów o czasie trwania: D = 4, 5, 6, 7 i 8 h. Wyniki zestawiono w tabeli 2.6.

Tabela 2.6. Przepływy kulminacyjne hydrogramów odpływu

Czas trwania deszczu

D [h]

Przepływ kulminacyjny

Qp [m3/s]

2 9,5 4 11,4 5 11,5 6 11,6 7 11,5 8 11,1

Z obliczeń wynika, że przepływ maksymalny roczny Qmax10% o prawdopodobieństwie

przewyższenia p = 10% odpowiada przepływowi kulminacyjnemu Qp = 11,61 m3/s hydro-

gramu wywołanego opadem trwającym 6 h.

10. Obliczyć krzywą prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych Potoku Słu-

żewieckiego w przekroju ul. KEN.

W tym celu powtórzono obliczenia od pkt. 1 do 9, dla opadów o prawdopodobieństwie prze-

wyższenia p = 0,5; 1,0 i 2,0%. Przepływy maksymalne roczne zestawiono w tabeli 2.7 i poka-

zano na rys. 2.6.

Tabela 2.7. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia

Prawdopodob.

p [%]

Przepływ Qmaxp [m3/s]

10,0 11,6 2,0 24,5 1,0 31,1 0,5 37,7

86

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

40,0

0,1110


Prze

pływ

Qm

axp [

m3 /s]

Rys. 2.6. Krzywa prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych

Potoku Służewieckiego w przekroju ul. KEN

Literatura

ASCE (America Society of Civil Engineers), 2009. Curve Number Hydrology: State of the

Practice” (Eds. R. H. Hawkins, T. J. Ward, D. E. Woodward & J. A. Van Mullem) American Society of Civil Engineers.

Banasik K., Górski D. Ignar S., 2000. Modelowanie wezbrań opadowych i jakość odpływu z małych nieobserwowanych zlewni rolniczych. Wydawnictwo SGGW, Warszawa.

Bogdanowicz E., Stachy J., 1998. Maksymalne opady deszczu w Polsce – charakterystyki projektowe. Materiały Badawcze IMGW 23, Seria: Hydrologia i Oceanologia, Nr 85

Byczkowski A, 1999. Hydrologia – tom II, Wydawnictwo SGGW. Chow V.T., Maidment D.R., Mays L.W., 1988. Applied Hydrology. McGraw-Hill Book

Company, Nowy Jork, s. 572. DVWK, 1984. Arbeitsanleitung zur Anwendung Niederschlag-Abflub-Modellen in kleinen

Einzugsgebieten. Regeln 113, Teil II: Synthese, Verlag Paul Parey, Hamburg, s. 34. Nash J.E., 1957. The form of the instantaneous unit hydrograph. Publikacja IAHS nr 59; 202-

213. Ozga-Zielińska M, Brzeziński J., 1994. Hydrologia stosowana, Wydawnictwo Naukowe

PWN, Warszawa. Rao R.A., Delleur J.W., Sarma B.S.P., 1972. Conceptual hydrologic models for urbanizing

basins, Journal of the Hydraulics Division, Vol. 98(HY7), s. 1205-1220. SCS (Soil Conservation Service), 1972. USDA-Soil Conservation Service, National Engineer-

ing Handbook, Sec. 4, Hydrology, Waszyngton, D.C. SCS (Soil Conservation Service), 1986. Urban hydrology for small watersheds. Tech. Report

55, US Dept of Agric., Waszyngton, D.C.

87

III. Obliczanie przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobień-

stwie przewyższenia w zlewniach niekontrolowanych o powierzchni większej od 50

km2

W zlewniach niekontrolowanych o powierzchni większej od 50 km2, jeżeli do przekro-

ju obliczeniowego nie można przenieść informacji wykorzystując metodę ekstrapolacji w

ramach podobieństwa hydrologicznego, należy zastosować metody pośrednie.

Do obliczenia przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobień-

stwie przewyższenia należy zastosować wzory empiryczne o zasięgu regionalnym.

Na mapie M.5. (załącznik M) przedstawiono zasięg stosowania wzorów Punzeta

(zlewnia górnej Wisły), wzoru Wołoszyna (zlewnia górnej i środkowej Odry), obszarowych

równań regresji (zlewnia środkowej Wisły) oraz formuły roztopowej (zlewnia dolnej Wisły).

1. Wzór Punzeta

W zlewniach niekontrolowanych, położonych w zlewni górnej Wisły do obliczania

przepływów maksymalnych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia należy zasto-

sować wzór Punzeta. Ze względu na regionalny charakter formowania się przepływów, w

dorzeczu górnej Wisły wydzielono trzy obszary: karpacki (górski), wyżynny i równinny, dla

których opracowano oddzielne zależności.

Równanie dla zlewni górskich o powierzchniach od 50 km2 ≤ A ≤ 500 km2 stosuje się w

obszarze Karpat i szczytowych partii gór Świętokrzyskich. Z równań dla zlewni wyżynnych

można korzystać w rejonie Podkarpacia, a dla zlewni równinnych w prawobrzeżnym dorze-

czu Sanu poza obszarem Karpat o powierzchniach zmieniających się w granicach 50 km2 ≤ A

≤ 600 km2.

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia p oblicza

się ze wzoru (Punzeta,1981):

pp QQ %50max,max, (1.1) gdzie:

Qmax,p - przepływ maksymalny o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia w m3/s,

Qmax,50% - przepływ maksymalny o prawdopodobieństwie p = 50% w m3/s,

88

φp - współczynnik wyrażający stosunek przepływu o zadanym prawdopodobieństwie

przewyższenia do przepływu o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 50%,

która jest funkcją współczynnika zmienności cv.

1. Wartość współczynnika φp przedstawia ogólne równanie:

1 pwvpp c (1.2)

gdzie:

αp - współczynnik zależny od zadanego prawdopodobieństwa przewyższenia,

wp - wykładnik potęgowy zależny od zadanego prawdopodobieństwa przewyższenia.

Ostatecznie, dla αp i wp wyrażonych w zależności od kwantyla tp w standaryzowanym rozkła-

dzie normalnym, wartość współczynnika φp oblicza się ze wzoru: 1144,048,1 839,0

944,01 ptvpp ct (1.3)

gdzie:

cv - współczynnik zmienności,

tp – kwantyl w standaryzowanym rozkładzie normalnym, z tabeli C.1 (załącznik C).

2. Współczynnik zmienności cv oblicza się z równania:

066,0102,0173,0027,3 LAWcv (1.4)

gdzie:

ΔW - różnica wysokości pomiędzy najwyżej położonymi źródłami cieku Wźr w zlewni, a

wysokością w przekroju obliczeniowego Wp w km,


L - długość najdłuższego cieku w zlewni w km.

3. Przepływ maksymalny o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 50% dla zlewni w do-

rzeczu górnej Wisły oblicza się z następujących równań:

- zlewnie górskie: 075,0603,0536,0747,0

%50max, 00166,0 INPAQ (1.5)

- zlewnie wyżynne: 089,007,0065,1872,0

%50max, 00033,0 INPAQ (1.6)

- zlewnie równinne: 302,0561,0372,0757,0

%50max, 0138,0 INPAQ (1.7)

gdzie:

P - opad średni roczny w mm,

89

N - wskaźnik nieprzepuszczalności gleb, odczytywany tabeli C.2 (załącznik C).

I – umowny spadek zlewni w ‰.

4. Umowny spadek zlewni I w ‰ oblicza się ze wzoru:

1000

L

WWI pźr (1.8)

gdzie:

Wźr - wzniesienie najwyżej położonego źródła cieku w zlewni w km n.p.m.,

Wp - wzniesienie przekroju obliczeniowego, zamykającego zlewnię w km n.p.m.

Przykład 1.1. Obliczyć przepływ maksymalny roczny o określonym prawdopodobieństwie

przewyższenia w przekroju Nowy Sącz na rzece Łubince.

Podstawowe parametry fizycznogeograficzne zlewni zestawiono w tabeli 1.1.

Tabela 1.1. Parametry fizycznogeograficzne zlewni rzeki Łubinki do przekroju Nowy Sącz

Parametr Wartość


Długość najdłuższego cieku L w km 14,74

Wzniesienie najwyżej położonego źródła w zlewni Wźr w km n.p.m. 0,568

Wzniesienie zlewni w przekroju obliczeniowym Wp w km n.p.m. 0,281

Opad średni roczny P w mm 850

Wskaźnik nieprzepuszczalności gleb N (odczytany z zał. 3 – nr gleby 14) 20

1. Sprawdzić, w którym rejonie zlewni górnej Wisły położona jest zlewnia rzeki Łubinki. Na

podstawie mapy stwierdzono, że zlewnia położona jest w obszarze górskim karpackim dorze-

cza górnej Wisły.

2. Obliczyć umowny wskaźnik spadku I:

4,19100074,14

281,0568,01000

L

WWI pźr ‰

3. Określić różnica wysokości ΔW:

287,0281,0568,0 pźr WWΔW km

4. Obliczyć współczynnik zmienności cv:

331,174,1463,66287,0027,3027,3 066,0102,0173,0066,0102,0173,0 LAWcv

5. Obliczyć przepływ maksymalny o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 50% dla zlew-

ni karpackich (górskich):

90

075,0603,0536,0747,0075,0603,0536,0747,0%50max, 0194,02085062,6600166,000166,0 INPAQ

6,11%50max, Q m3/s

6. Obliczyć wartość φp dla prawdopodobieństwa p = 1%:

782,5331,1326,2944,01944,01 1839,032,2144,048,11839,0144,048,1 ppt

vpp ct

Wartości φp dla innych prawdopodobieństw p zestawiono w tabeli 1.2.

7. Obliczyć przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższe-

nia p. Obliczony przepływ o prawdopodobieństwie p = 1% wynosi:

1,67782,56,11%50max,%1max, pQQ m3/s

Obliczone przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia

w przekroju Nowy Sącz na rzece Łubinka zestawiono w tabeli 1.2 oraz pokazano na rys. 1.1.

Tabela 1.2. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w

przekroju Nowy Sącz na rzece Łubince

Prawdop. p

[%] tp φp

Przepływ maksymalny

Qmax,p [m3/s]

50 0 1 11,6 30 0,524 1,494 17,4 20 0,842 2,009 23,4 10 1,282 2,910 33,8 5 1,645 3,798 44,2 4 1,75 4,077 47,4 3 1,88 4,437 51,6 2 2,054 4,942 57,4 1 2,326 5,782 67,1

0,5 2,575 6,605 76,8 0,2 2,878 7,675 89,2 0,1 3,09 8,466 98,4

91

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

0,1110100


Prze

pływ

Qm

axp [

m3 /s]

Rys. 1.1. Krzywa prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych przekroju Nowy Sącz

na rzece Łubince

2. Wzór Wołoszyna

W zlewniach niekontrolowanych, położonych w dorzeczu górnej i środkowej Odry do

obliczenia przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie prze-

wyższenia należy zastosować wzór Wołoszyna (mapa M.5 (załącznik M).

Wzór stosowany jest zwykle dla zlewni mniejszych od 100 km2. Na podstawie prze-

prowadzonych badań stwierdzono, że można go stosować również w zlewniach o powierzch-

ni do 300 km2.

Metoda Wołoszyna obliczania przepływów maksymalnych rocznych o określonym

prawdopodobieństwie przewyższenia polega na przeniesieniu krzywej natężenia deszczu oraz

związków charakterystyk opadów ustalonych dla miasta Wrocławia na dowolną zlewnię po-

łożoną w regionie. W metodzie zakłada się, że deszcze nie różnią natężeniem, tylko czasem

trwania.

Przepływy maksymalne roczne Qmax,p o określonym prawdopodobieństwie przewyż-

szenia p oblicza się ze wzoru:

92

AA

ft

TIQk

p

12max,1278,0 (2.1)

gdzie:

Qmax,p - przepływ maksymalny roczny o określonym prawdopodobieństwie przewyż-

szenia w m3/s,

tk - czas koncentracji spływu w h,

T - czas trwania deszczu miarodajnego w min.,

I - natężenie deszczu w mm∙min-1,

α - współczynnik odpływu wg Iszkowskiego (tabela C.5 załącznik C),


f - współczynnik kształtu fali.

Zastosowanie wzoru Wołoszyna wymaga:

1. Określenia współczynnika kształtu fali f z zależności:

mnmf

1 (2.2)

gdzie:

m - współczynnik smukłości fali,

n - wielokrotność czasu koncentracji w czasie opadania.

Współczynnik kształtu fali zmienia się w przedziale (0,1>, najczęściej przyjmuje się wartość f =

0,6.

2. Obliczenia czasu koncentracji tk w h:

vL

tk

6,3max (2.3)

gdzie:

Lmax - najdłuższa droga spływu wód powierzchniowych liczona od granic wododziału

do przekroju zamykającego zlewnię w km,

v - prędkość spływu powierzchniowego w m/s; wartość ta, zależna od średniego spad-

ku zlewni i zalesienia zlewni, jest odczytywana z tabeli C.3 (załącznik C).

3. Określenia czasu trwania deszczu miarodajnego T w min.:

kk ttT 2,0)1( (2.4) 4. Obliczenia natężenia deszczu Ip w mm/min o określonym prawdopodobieństwie przewyż-

szenia dla miasta Wrocławia:

93

pp

p cT

aI

4 (2.5)

gdzie:

ap - współczynnik dla Wrocławia określony wg Wołoszyna:

056,28)5(326,46051,0

p

pa p (2.6)

cp - współczynnik dla miasta Wrocławia określony wg Wołoszyna:

pc p 00025,00427,0 (2.7)

p - prawdopodobieństwo przewyższenia w %,

T - czas trwania deszczu miarodajnego w min.

4. Obliczenia średniego natężenia opadu miesięcznego Iśr w mm∙min-1 dla miasta Wrocławia

oraz dla innych zlewni położonych w regionie:

00815,000000875,0 PtI ośr (2.8)

gdzie:

to - średnia z wielolecia miesięczna temperatura powietrza określona dla miesięcy

V – IX w oC,

P - średnia z wielolecia miesięczna suma opadów określona dla miesięcy

V – IX w mm.

5. Określenia czasu trwania skumulowanego opadu miesięcznego dla miasta Wrocławia oraz

dla innych zlewni położonych w regionie:

śro I

PT (2.9)

gdzie:

P - średnia z wielolecia miesięczna suma opadów określona dla miesięcy V – IX w mm,

Iśr - średnie natężenie opadu miesięcznego w mm/min.

6. Obliczenia przeciętnego czasu trwania to deszczu o natężeniu Ik = Ip% wraz z deszczami o

natężeniach wyższych dla miasta Wrocławia oraz natężenia skumulowanego opadu miesięcz-

nego Ik = Ip% dla rozpatrywanej zlewni położonej w regionie: 651,0

405,01lg5,245

)400(

PtI

o

k (2.10)

gdzie:

Ik - natężenie skumulowanych opadów miesięcznych dla miesięcy V – IX w mm/min,

to - średnia z wielolecia miesięczna temperatura powietrza określona dla miesięcy

94

V – IX w oC,

P - średnia z wielolecia miesięczna suma opadów określona dla miesięcy

V – IX w mm,

- stosunek czasu trwania deszczów o natężeniu skumulowanego opadu atmosfe-

rycznego Ik wraz z deszczami o natężeniach wyższych do czasu trwania skumu-

lowanych opadów atmosferycznych:

o

o

Tt

(2.11)

to - czas trwania deszczów o natężeniu Ik wraz z deszczami o natężeniach wyższych w

godz.,

To - średni skumulowany opad miesięczny w min.

7. Przepływy maksymalne roczne o innym prawdopodobieństwie niż p = 1% można obliczyć

również ze wzoru, wykorzystując współczynniki redukcyjne rNp% :

max, max,1% %p NpQ Q r (2.12) gdzie:

Qmax,1% - przepływ maksymalny o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1% w m3/s,

rNp% - współczynniki redukcyjny, określony z tabeli C.4 (załącznik C).


przewyższenia w przekroju Międzylesie na rzece Nysie Kłodzkej.


Tabela 2.1. Parametry fizycznogeograficzne zlewni rzeki Nysy Kłodzkiej do przekroju Międzylesie

Parametr Wartość


Najdłuższa droga spływu wód powierzchniowych Lmax w km 18,00

Maksymalne wzniesienie zlewni Hmax w m n.p.m. 1145,00

Minimalne wzniesienie zlewni w przekroju obliczeniowym Hmin w m n.p.m. 429,00

Średnia z wielolecia miesięczna suma opadów P określona dla miesięcy V – IX dla m. Wro-cławia w mm

65

Średnia z wielolecia miesięczna temperatura powietrza to określona dla miesięcy V – IX dla m. Wrocławia w oC

16,26

Średnia z wielolecia miesięczna suma opadów P określona dla miesięcy V – IX dla zlewni rz. Nysy Kłodzkiej do przekroju Międzylesie w mm

87

Średnia z wielolecia miesięczna temperatura powietrza to określona dla miesięcy V – IX dla zlewni rz. Nysy Kłodzkiej do przekroju Międzylesie w oC

14,00

Zalesienie zlewni w % 26

95

1. Obliczyć średni spadek zlewni Iśrzl:

1,1013,504291145minmax

FHHI srzl %

2. Określić z tabeli C.3 (załącznik C) prędkość spływu powierzchniowego v w zależności od

średniego spadku zlewni i zalesienia zlewni: v = 1,961 m∙s-1

3. Obliczyć czas koncentracji spływu tk:

55,2961,16,3

186,3max

vL

tk h

4. Określić czas trwania deszczu miarodajnego T:

72,118979,155,2)155,2()1( 2,02,0 kk ttT min.

5. Obliczyć natężenie deszczu Ip o prawdopodobieństwie pojawiania się p = 1% dla miasta

Wrocławia:

- współczynnik ap:

36,45056,281

)15(326,4056,28)5(326,46051,06051,0

ppa p

- współczynnik cp:

0424,0100025,00427,000025,00427,0 pc p

412,00424,0472,118

36,454

pp

p cT

aI mm/min.

6. Obliczyć średnie natężenie opadu miesięcznego dla miasta Wrocławia:

0174,000815,06526,1600000875,000815,000000875,0 PtI ośr mm/min

7. Określić czas trwania skumulowanego opadu miesięcznego dla miasta Wrocławia:

37360174,065

śr

o IPT min.

8. Obliczyć dla przeciętnego czasu trwania deszczu o natężeniu Ik = I1% wraz z deszczami o

natężeniach wyższych dla miasta Wrocławia wartość 1/η: 651,0

405,01lg5,245

)400(

PtI

o

k = 412,0405,01lg5,245

)4006526,16(651,0

mm/min.

Wartość 1/η = 545 stąd η = 1,833∙10-3,

9. Z przekształconego wzoru (2.11) obliczyć przeciętny czas trwania deszczu t0:

85,610835,13736 3 oo Tt min.

96

10. Obliczyć średnie natężenie opadu miesięcznego Iśr dla zlewni rzeki Nysy Kłodzkiej w

przekroju Międzylesie:

0188,000815,0871400000875,000815,000000875,0 PtI ośr mm∙min-1

11. Określić czas trwania skumulowanego opadu miesięcznego 'oT w zlewni rzeki Nysy

Kłodzkiej w przekroju Międzylesie:

46260188,087'

śro I

PT min.

12. Obliczyć stosunek czasu trwania deszczów o natężeniu skumulowanego opadu atmosfe-

rycznego Ik wraz z deszczami o natężeniach wyższych do czasu trwania skumulowanych opa-

dów atmosferycznych η:

3' 1048,1

462685,6

o

o

Tt

13. Określić natężenie opadu o prawdopodobieństwie p = 1% w zlewni Nysy Kłodzkiej w

przekroju Międzylesie: 6

3

51,0651,0405,0

1048,11lg

5,245)4008714(405,01lg

5,245)400(

PtI

o

k

546,0kI mm∙min-1

14 Obliczyć przepływ maksymalny o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1% ze zlewni

rzeki Nysy Kłodzkiej w przekroju Międzylesie:

13,5013,50

16,0549,2

55,072,118546,0278,01278,01212

A

Af

tTIQ

kmax,1%

4,84%1max, Q m3/s

α - współczynnik odpływu wg Iszkowskiego, odczytany z tabeli C.5 (załącznik C): α = 0,55.

15. Obliczyć przepływy maksymalne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia p

dla wskaźnika redukcyjnego przyjętego z tabeli C.4 (załącznik C) w zależności od zalesienia

zlewni. Wyniki zestawiono w tabeli 2.2 oraz pokazano na rys. 2.1.


przekroju Międzylesie na rzece Nysie Kłodzkiej

Prawdopodob. p

[%]

Wskaźnik redukcyjny

rNp [%]

Przepływ Qmaxp% [m3∙s-1]

50 0,078 6,6

97

30 0,116 9,8

20 0,139 11,8

10 0,204 17,2

5 0,330 27,9

3 0,478 40,9

2 0,635 53,6

1 1,000 84,4

0,5 1,482 125

0

20

40

60

80

100

120

140

0,1110100

Prawdopodobieństwo p%Pr

zepł

yw Q

max

p% [m

3 s-1]

Rys. 2.1. Krzywa prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych w przekroju Międzyle-

sie na Nysie Kłodzkiej

Metoda Wołoszyna daje możliwość dokonania obliczeń dla różnych przeciętnych cza-

sów trwania deszczu t0 (pkt. 9). W tym celu przyjmując t0 należy powtórzyć obliczenia od

pkt. 12 do 15.

3. Obszarowe równania regresji

Do obliczania przepływów maksymalnych o określonym prawdopodobieństwie

przewyższenia w zlewniach niekontrolowanych, położonych w dorzeczu środkowej Wisły –

mapa M.4 (załącznik M) należy zastosować obszarowe równania regresji (Stachý, Fal,

Czarnecka 1998). Obszarowe równania regresji można stosować w zlewniach o

98

1998). Obszarowe równania regresji można stosować w zlewniach o powierzchniach od 50

km2 do 2000 km2.

1. Przepływy maksymalne roczne Qmax,p w m3/s o określonym prawdopodobieństwie prze-

wyższenia p oblicza się ze wzoru:

pp QQ %1max,max, (3.1) gdzie:

Qmax,1% - przepływ maksymalny roczny o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1%

w m3/s,

λp - kwantyl, ustalony dla bezwymiarowych krzywych regionalnych przepływów mak-

symalnych, odczytywany z tabeli B.8 (załącznik B).

Przepływy maksymalne o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1% i 50% oblicza

się z równań: 47,011,235,010,007,111,1

192,0

1%1max, )1()1( BJezIHAQ robszar (3.2)

67,066,140,005,053,006,11

98,050%50max, )1()1( BJezIHAQ robszar (3.3)

gdzie:

αobszar - parametr równania w zależności od obszaru kraju, odczytywany z tabeli C.6

(załącznik C),


H1 - maksymalny opad dobowy o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1%, odczy-

tany z mapy M.2 (załącznik M) w mm,

φ - współczynnik odpływu określony na podstawie „Mapy Gleb Polski” w skali

1:500000 (M.1 załącznik M) wraz z opracowaną dla niej tabelą, w której podano

wartości współczynnika odpływu dla wydzielonych grup glebowych (tabela B.1,

załącznik B).

Ir - spadek cieku w ‰,

ψ - średni spadek zlewni w ‰,

Jez - wskaźnik jeziorności zlewni,

B - wskaźnik zabagnienia zlewni.

2. Dla zlewni, w której występuje kilka grup gleb o różnych wartościach współczynnika od-

pływu φ, współczynnik ten należy obliczyć jako wartość średnią ważoną dla całej zlewni we-

dług wzoru:

99

ni

iii A

A 1

1 (3.4)

gdzie: Ai - powierzchnia pokryta glebami danej grupy w km2,

φi - współczynnik odpływu ustalony dla danej grupy gleb, tabela B.1 (załącznik B),

n – liczba grup gleb.

3. Spadek cieku Ir w m/km (lub ‰) określa się z równania:

lLWW

I pgr

(3.5)

gdzie:

Wg - wzniesienie działu wodnego w punkcie przecięcia z osią suchej doliny najdłuższe-

go cieku w m n.p.m.,

Wp - wzniesienie przekroju obliczeniowego, zamykającego zlewnię w m n.p.m.,

L - długość najdłuższego cieku w zlewni w km,

l - długość suchej doliny w przedłużeniu najdłuższego cieku w zlewni w km,

4. Średni spadek zlewni ψ w m/km (lub promilach) oblicza się ze wzoru:

A

WW p max (3.6)

gdzie:

Wmax - maksymalne wzniesienie zlewni w m n.p.m.,

Wp - wzniesienie przekroju obliczeniowego, zamykającego zlewnię w m n.p.m.,


5. Wskaźnik jeziorności zlewni Jez oblicza się ze wzoru:

m

iiJezA

AJez

1

1 (3.7)

gdzie:

AJez i - powierzchnia zlewni jeziora i w km2,

m - liczba zlewni jeziornych,


6. Wskaźnik zabagnienia zlewni B oblicza się z zależności:

k

iiBA

AB

1

1 (3.8)

gdzie:

100

AB i - powierzchnia i obszaru zabagnionego lub torfowiska w km2,

k -liczba obszarów zabagnionych,


7. Średni błąd względny

pQ w m3/s wartości Qmax,p (p = 1% i 50%), wyznaczający obszar, w

którym z prawdopodobieństwem 68% mieści się rzeczywista wartość przepływu oblicza się

ze wzoru:

max,pQ p pQ (3.9) gdzie:

Qmax,p – przepływ maksymalny o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia p w

m3/s,

σp – średni błąd względny wartości Qmax,p, odczytywany z tabeli C.7 (załącznik C).

68,0)]()[( max,max,max, ppppp QQQP (3.10)


przewyższenia w przekroju Mościsko na rzece Piławie (prawobrzeżny dopływ Bystrzycy).


Tabela 3.1. Parametry fizycznogeograficzne zlewni rzeki Piławy do przekroju Mościsko

Parametr Wartość


Długość najdłuższego cieku L w km 23,02

Długość suchej doliny l w km 0,20

Wzniesienie działu wodnego w punkcie przecięcia z osią suchej doliny najdłuższego cieku Wg w m n.p.m.

386,00

Maksymalne wzniesienie zlewni Wmax w m n.p.m. 1015,00

Wzniesienie zlewni w przekroju obliczeniowym Wp w km n.p.m. 236,00

Maksymalny opad dobowy H1 o prawdopodobieństwie p = 1 % w mm 90

Powierzchnia zlewni jezior AJez i w km2 0,00

Powierzchnia obszarów zabagnionych i torfowisk AB i w km2 0,00

1. Sprawdzić, w którym obszarze oraz wydzielonym makroregionie i regionie położona jest

zlewnia, korzystając z mapy M.4. (załącznik M). Zlewnia położona w makroregionie Sudety,

obszar nr 1, region 1b.

101

2. Określić współczynnik odpływu φ korzystając z „Mapy Gleb Polski” w skali 1:500000:

numery wydzielonych gleb: 38 i 29. Odczytana wartość współczynnika odpływu z tabeli B.1

(załącznik B): φ = 0,88:

3. Obliczyć spadek rzeki Ir:

46,62,002,23

236386

lLWW

I pgr ‰

4. Obliczyć średni spadek zlewni ψ:

6,4589,2912361015max

AWW p ‰

5. Określić wskaźnik jeziorności zlewni Jez:

0089,291

1111

n

i

n

iiJezA

AJez

6. Określić wskaźnik zabagnienia zlewni B:

0089,291

1111

n

i

n

iiBA

AB

7. Obliczyć przepływ maksymalny o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1%:

47,011,235,010,007,111,11

92,01%1max, )1()1( BJezIHAQ robszar

8,156)01()01(6,4546,688,09089,29110432,1 47,011,235,010,007,111,192,03 m3/s

8. Obliczyć przepływ maksymalny o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 50%: 67,066,140,005,053,006,1

198,0

50%50max, )1()1( BJezIHAQ robszar

4,30)01()01(6,4546,688,09089,29110094,2 67,066,140,005,053,006,198,04 m3/s


nia: - ustalić kwantyle λp dla regionu 1b z tabeli B.8 (załącznik B).

Obliczone wartości zestawiono w tabeli 3.1 i pokazano na rys. 3.1.


przekroju Mościsko na rzece Piławie

Prawdopodob. przewyższenia

p [%]

Kwantyl λp


50 0,185 30,4 30 0,291 45,6 20 0,378 59,3 10 0,522 81,9

102

5 0,665 104,3 3 0,770 120,8 2 0,856 134,2 1 1,000 156,8

0,5 1,150 180,3 0,2 1,340 210,0 0,1 1,480 232,0

0,0

50,0

100,0

150,0

200,0

250,0

0,1110100


Prze

pływ

Qm

axp [

m3 /s]

Rys. 3.1. Krzywa prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych ....

10. Obliczyć średni błąd względny σδ wartości Qmax,p. Średni błąd względny odczytany z tabe-

li C.7 (załącznik C) dla obszaru Sudetów wynosi:

dla p = 1%: σp, = 0,3

dla p = 50%: σp = 0,4

Przepływ maksymalny zawiera się z prawdopodobieństwem 68% w przedziale:

dla p = 1%:

%1,max%1,max%1,max%1,max , QQQQ pp

< 156,8 – 0,3∙156,8, 156,8 + 0,3∙156,8 >

< 109,8 m3∙s-1, 203,8 m3∙s-1 >

103

dla p = 50%:

%50,max%50,max%50,max%50,max , QQQQ pp

< 30,4 – 0,4∙30,4, 30,4 + 0,4∙30,4 >

< 18,24 m3∙s-1, 42,56 m3∙s-1 >

4. Formuła roztopowa

Formuła roztopowa stosowana jest do obliczenia przepływu maksymalnego o określo-

nym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach o powierzchni większej od 50 km2

położonych w środkowej i północnej części kraju zaznaczonych na mapie M.5 (załącznik M),

gdzie dominują wezbrania wiosenne.

Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia p przy

zastosowaniu formuły roztopowej oblicza się ze wzoru (Stachý, Fal, Czarnecka, 1998)

pBJp AAhaKQ 2,0

10max, )1(

(4.1)

gdzie:

a - współczynnik korygujący parametr K0 odczytywany z mapy M.5 (załącznik M),

K0 - parametr regionalny, odczytywany z mapy M.6 (załącznik M),

h1 - wysokość warstwy odpływu roztopowego o prawdopodobieństwie przewyższenia

p = 1% w mm,


δJ - współczynnik redukcji jeziornej,

δB - współczynnik redukcji bagiennej,

λp - kwantyl.

Do określenia powierzchni zlewni należy wykorzystać mapy topograficzne w skali

1:50 000. Informacje o sieci rzecznej i przebiegu działów wodnych można przyjąć z Mapy

Podziały Hydrograficznego Polski w skali 1:50 000.

1. Wysokość warstwy odpływu roztopowego h1 o prawdopodobieństwie przewyższenia p =

1% należy określić z mapy M.7 (załącznik M).

2. Współczynnik redukcji jeziornej δJ określa się na podstawie obliczonego wskaźnika jezior-

ności JEZ ze wzoru:

104

A

AJEZ

n

iJi

1 (4.2)

gdzie: AJi - powierzchnia zlewni jeziora i w km2,

n - liczba zlewni jeziornych

A - powierzchnia zlewni rzecznej w km2.

W obliczeniach uwzględnia się tyko te jeziora, które idąc w górę rzeki, jako pierwsze

znajdują się w zlewni cieku głównym i/lub jego dopływach oraz spełniają warunek, że po-

wierzchnia jeziora Ai stanowi co najmniej 1% powierzchni jego zlewni (Ai ≥ 0,01AJi).

Współczynnika redukcji jeziornej δJ określa się z tabeli C.8 (załącznik C).

3. Współczynnik redukcji bagiennej (δB) jest zależny od wskaźnika zabagnienia zlewni obli-

czonego ze wzoru:

A

AB

k

iBi

1 (4.3)

gdzie:

ABi - powierzchnia terenów podmokłych w zlewni określona na podstawie dostępnych

materiałów kartograficznych w km2,


Współczynnik redukcji bagiennej (δB) w zależności od wskaźnika zabagnienia (B) określa się

z tabeli C.9 (załącznik C).

4. Kwantyle λp dla zadanego prawdopodobieństwa p odczytuje się z tabeli B.8 (załącznik B).

5. Średni błąd względny δ wartości Qmax 1% obliczonej za pomocą formuły roztopowej wynosi

0,30. Określa on przedział, w którym z prawdopodobieństwem 0,68 (68%) znajduje się rzeczy-

wistą wartość Qmax p.

Aby wyznaczyć krzywą prawdopodobieństwa obliczenia należy powtórzyć dla różnych wiel-

kości prawdopodobieństwa przewyższenia.


przewyższenia rzeki Rypienicy w przekroju Rypin.

1. Do obliczenia powierzchni zlewni A można wykorzystać mapę topograficzną w skali

1:50 000 (dostępną na geoportal.gov.pl) oraz Mapę Podziału Hydrograficznego Polski

w skali 1:50 000: A = 98,0 km2.

105

2. Odczytać z mapy M.6 (załącznik M) (Stachý, Fal, Czarnecka 1998) wartości współczyn-

nika K0 i współczynnika a:

K0 = 0,0030, a = 1

3. Odczytać z mapy M.6 (załącznik M) wysokość warstwy odpływu roztopowego

o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1%: h1 = 95 mm.

4. Obliczyć wskaźnik jeziorności. W zlewni Rypienicy do przekroju Rypin nie występują

jeziora, których powierzchnia stanowi co najmniej 1% powierzchni ich zlewni: JEZ = 0.

5. Odczytać z tabeli C.8 (załącznik C) współczynnik redukcji jeziornej: δJ = 1,0.

6. Obliczyć wskaźnik zabagnienia zlewni B. Powierzchnia terenów bagiennych w zlewni

Rypienicy do przekroju Rypin wynosi ABi= 3 km2, zatem:

031,00,98

31

A

AB

k

iBi

7. Odczytać współczynnik redukcji bagiennej δB. Ponieważ wskaźnik zabagnienia zlewni

jest mniejszy od 0,2 współczynnika redukcji bagiennej nie uwzględnia się (tabela C.9, za-

łącznik C).

8. Odczytać z tabeli B.8 (załącznik B) kwantyl λp dla zadanego prawdopodobieństwa p. Po-

nieważ zlewni położona jest na pojezierzu, w regionie 5a, wartość kwantyla λp dla praw-

dopodobieństwa p = 1% wynosi λp = 1,00.

9. Obliczyć maksymalny roczny przepływ roczny o prawdopodobieństwie przewyższenia p =

1%:

1,110,10,1)981(

9895003,00,1)1( 2,02,010

%1max,

pBJA

AhaKQ m3/s

10. Obliczyć średni błąd względny dla przepływu Qmax,1%:

δ = 0,30

Qmax 1%∙ δ = 11,1 ∙ 0,30 = 3,3 m3/s

]48,14;8,7[%1max, Q m3/s


nia:

- ustalić kwantyle λp dla regionu 5a z tabeli B.8 (załącznik B).

Obliczone wartości zestawiono w tabeli 4.1 i pokazano na rys. 4.1.

106

Tabela 4.1. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia rzeki Rypienicy w przekroju Rypin


p [%]

Kwantyl λp


0,1 1,410 15,7 0,2 1,280 14,3 0,5 1,120 12,5 1 1,000 11,1 2 0,876 9,7 3 0,800 8,9 5 0,708 7,9

10 0,579 6,4 20 1,410 5,0 30 1,280 4,1 50 1,120 2,9

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

16,0

18,0

0,1110100


Prze

pływ

Qm

axp [

m3 /s]

Rys. 4.2. Krzywa prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych dla Rypienicy

do profilu Rypin

Literatura

Punzet J., Trylska-Siekańska D. – Metody obliczania przepływów charakterystycznych w zlewniach niekontrolowanych, Materiały IMGW, Kraków 1981. Stachý J., Fal B., Czarnecka H. – Obliczanie przepływów maksymalnych rocznych o określo-nym prawdopodobieństwie, Wydawnictwa IMGW, Warszawa,1998.

107

IV. Fale hipotetyczne Fale hipotetyczne o określonej wartości przepływu kulminacyjnego w zlewniach kon-

trolowanych należy obliczać metodą Hydroprojektu, która bazuje na wybranym kształcie ze

zbioru fal historycznych. W zlewniach niekontrolowanych należy zastosować metodę symu-

lacyjną opartą na modelu transformacji opadu w odpływ (Generowanie fal ... 1989).

1. Zlewnie kontrolowane – metoda Hydroprojektu

Metoda Hydroprojektu pozwala na obliczanie w zlewniach kontrolowanych hydro-

gramów hipotetycznych o zadanych wielkościach przepływów kulminacyjnych i kształtach

podobnych do hydrogramów fal historycznych. Podstawowymi danymi do określania fal hi-

potetycznych jest zbiór hydrogramów największych fal historycznych.

Kształty hydrogramów hipotetycznych powinny być podobne do hydrogramów fal

historycznych, wybranych do obliczeń. W metodzie Hydroprojektu nie wyznacza się fali ty-

powej dla danego przekroju kontrolowanego, lecz zbiór fal hipotetycznych dla różnych prze-

pływów kulminacyjnych.

Obliczanie fal polega na losowej ekstrapolacji, w obrębie subiektywnie wyznaczonej

przestrzeni generowania, wybranej fali historycznej.

Procedura określania zbioru hydrogramów fal hipotetycznych przebiega w trzech etapach:

a. Dobór wielkości przepływów kulminacyjnych dla poszczególnych fal.

b. Dobór fal historycznych, które będą stanowiły podstawę do określenia fal hipotetycznych

c. Obliczanie hydrogramów fal hipotetycznych dla zadanego przepływu kulminacyjnego.

Wielkości przepływów kulminacyjnych najczęściej odpowiada przepływom maksy-

malnym rocznym o określonym prawdopodobieństwach przewyższenia w badanym przekroju

kontrolowanym.

Dobór wzorcowych fal historycznych wykonywany jest na podstawie hydrogramów

fal historycznych. Zalecane jest sporządzenie wykresów hydrogramów fal historycznych w

ujednoliconej skali (pozwala to na wizualną ocenę różnic w czasach trwania i kubaturach fal).

Fale hipotetyczne powinny być określane na podstawie fal historycznych o dominują-

cej w badanym przekroju genezie. Jeżeli w przekroju występują fale o różnej genezie, należy

oddzielnie obliczać fale hipotetyczne na podstawie każdego genetycznego typu fal historycz-

nych.

108

Przepływy kulminacyjne fal historycznych służące do określania fal hipotetycznych

nie powinny bardzo się różnić się od siebie, za wyjątkiem przepływów o niskim prawdopodo-

bieństwie.

Obliczanie fali hipotetycznej o określonym przepływie kulminacyjnym na podstawie

wybranej fali historycznej wymaga:

1. Określenia czasu tgWi krzywej wznoszącej fali hipotetycznej z zależności:

max

max11

QgQLttg WiWi (1.1)

gdzie: tWi - czas krzywej wznoszenia fali w h,

Qgmax - kulminacyjny przepływ fali hipotetycznej w m3/s,

Qmax - kulminacyjny przepływ fali historycznej w m3/s,

L1 - liczba losowa z rozkładu równomiernego na przedziale <-0,1, 0,2>.

Jeżeli losowa wartość L1 jest większa od zera, czas wznoszenia się fali hipotetycznej

będzie dłuższy niż czas wznoszenia fali historycznej; jeżeli mniejsza - krótszy.

2. Obliczenia przepływu QgWi krzywej wznoszącej fali ze wzoru:

)( 00max

0max0 QQ

QQQgQ

QQg WiWi

(1.2)

gdzie:

Q0 - minimalny przepływ na wznoszącej krzywej hydrogramu fali historycznej (w

przypadku hydrogramów o regularnym kształcie odpowiada przepływowi po-

czątkowemu).

Jako podstawa określania krzywej opadającej fali hipotetycznej służy fala historyczna

wykorzystana wcześniej do obliczania krzywej wznoszącej. W tym przypadku przyjmowana

jest inna losowa wartość parametru L2.

3. Określania czasu krzywej opadania tgOi fali hipotetycznej z zależności:

max

max21

QgQLttg OiOi (1.3)

gdzie:

tOi - czas krzywej opadającej fali w h,

L2 - liczba losowa z rozkładu równomiernego na przedziale <-0,1, 0,2>

Jeżeli wylosowana wartość L2 jest większa od zera, czas krzywej opadania fali hipote-

tycznej będzie dłuższy niż czas opadania fali historycznej; jeżeli mniejsza - krótszy.

109

4. Obliczenia przepływu QgOi krzywej opadającej fali ze wzoru:

)( 1max

maxkO

k

kkOi QQ

QQQgQ

QQg

(1.4)

gdzie:

Qk - minimalny przepływ na krzywej opadającej fali historycznej.

Po obliczeniu współrzędnych (t, Q) fali hipotetycznej można zastosować procedurę

interpolacyjną. Jej celem jest określenie przepływów przy równych (najczęściej godzino-

wych) przedziałach czasowych.

Przykład 1.1. Obliczyć hipotetyczną falę powodziową w przekroju wodowskazowym Żabni-

ca na potoku Żabniczanka dla przepływu kulminacyjnego Qmax1%.

1. Obliczyć przepływ maksymalny roczny w o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1%

w przekroju wodowskazowym metodą statystyczną Qmax,1% = 62,6 m3/s.

2. Zestawić historyczne fale w przekroju Żabnica na potoku Żabniczanka. Do analizy wybra-

no najwyższe letnie fale powodziowe z lat 1971 – 2003 (rys. 1.1).

3. Wybrać charakterystyczną falę powodziową. Jako podstawę do generowania fali hipote-

tycznej wybierano największą falę historyczną zaobserwowaną w lipcu 2001 roku. Kulmina-

cyjny przepływ fali historycznej nieznacznie odbiega od założonego przepływu kulminacyj-

nego fali hipotetycznej: Qmax = 46,2 m3/s.

4.Określić wartość przepływu początkowego i końcowego fali hipotetycznej. Przyjęto Q0 =

0,84 m3/s i Qk = 0,73 m3/s.

110

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 1 2 3 4 5

Czas t [doby]

Prze

pływ

Q [m

3 /s]

Rys. 1.1. Największe historyczne fale powodziowe w przekroju Żabnica na potoku Żabniczanka

4. Wygenerować liczby losowe z przedziału <-0,1, 0,2>: L1 = -0,08; L2 = 0,15.

5. Obliczyć dla 1 kroku czasowego:

- czas na krzywej wznoszącej tgW1:

9,02,466,6208,010,11

max

max111

QgQLttg WW h

- przepływ na wznoszącej części fali QgW1:

6,62)84,02,46(84,02,4684,06,6284,0)( 01

0max

0max01

QQQQQgQ

QQg WW m3/s

- czas na krzywej opadającej tgO1:

2,12,466,6215,00,10,11

max

max211

QgQLttg OO h

- przepływ na opadającej części fali QgO1:

6,25)45,00,19(45,02,4645,06,6245,0)( 1

max

max1

kOk

kkO QQ

QQQgQ

QQg m3/s

111

Wyniki obliczeń zestawiono w tabeli 1.1. oraz pokazano na tle wybranej fali historycznej na

rys. 1.2.

Czas t

[h]

Czas tw [h]

Czas tg [h]

Przepływ historyczny

Q [m3/s]

Przepływ hipotetyczny

Qg [m3/s]

Określenie

0 - 0,9 - 0,84 0,84 1 0,0 0,0 46,20 62,60

Krzywa wznosząca

2 - 1,2 19,00 25,65 3 - 2,4 4,36 5,76 4 - 3,6 3,32 4,35 5 - 4,8 0,73 0,83

Krzywa opadająca

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

0 1 2 3 4 5

Czas t [doby]

Prze

pływ

Q [m

3 /s]

Fala obserwowana Fala hipoterycna

Rys. 1.2. Fala hipotetyczna potoku Żabniczanka w przekroju wodowskazowym Żabnica

2. Zlewnie niekontrolowane – metoda symulacyjna Do obliczenia fal hipotetycznych w przekrojach niekontrolowanych przy zadanej war-

tości przepływu kulminacyjnego należy zastosować metodę symulacyjną.

W formowaniu odpływu powodziowego istotną rolę obok opadu odgrywa geomorfo-

logia zlewni. Woda z opadu efektywnego, wykorzystując lokalne spadki terenu, spływa po

powierzchni zlewni do naturalnych odbiorników - sieci koryt rzecznych.

112

2.1. Rozkład opadu dobowego

Przy założeniu, że w małych zlewniach opad dobowy o określonym prawdopodobień-

stwie przewyższenia, transformowany jest w hydrogram odpływu z kulminacją o tym samym

prawdopodobieństwie, podstawowym zadaniem staje się problemem rozkładu dobowej sumy

opadu na przedziały obliczeniowe, zwykle godzinowe.

Dobową sumę opadu o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia można okre-

slić dla badanej zlewni i opadu o prawdopodobieństwie p = 1% z mapy M.2 (załącznik M).

Dla innej wartości prawdopodobieństwa przewyższenia, opad dobowy należy obliczyć meto-

dą regionów (rozdział II.1.1) lub uzyskać z Instytutu Meteorologii i Gospodarki Wodnej.

Do określenia współczynników rozdziału dobowej sumy opadu na przedziały oblicze-

niowe należy zastosować rozkład beta (Węglarczyk 1993):

11 )1()()(

)(

srt tt

srsrx (2.1)

gdzie:

xt - wartości funkcji gęstości rozkładu,

t - czas względny,

r, s - parametry rozkładu.

Wysokość opadu całkowitego Pt w przedziałach obliczeniowych Δt uzyskuje się

mnożąc sumę dobową opadu przez współczynnik rozdziału xt.

Do obliczenia średniego opadu efektywnego w zlewni należy zastosować metodę SCS

opisaną w rozdziale II.2.5.

2.2. Model transformacji opadu efektywnego w odpływ bezpośredni

Do transformacji opadu efektywnego w hydrogram fali hipotetycznej należy zastoso-

wać matematyczny liniowy model hydrogramu jednostkowego Snydera (Viessman, Knapp,

Lewis 1972).

W analizie systemów liniowych wykorzystuje się ogólny i dobrze opracowany aparat

matematyczny. W małych zlewniach modele liniowe z dostatecznie dobrym przybliżeniem

opisują rzeczywiste systemy hydrologiczne.

Model Snydera opiera się na koncepcji hydrogramu jednostkowego, którego podsta-

wowymi parametrami są: czas wystąpienia kulminacji hydrogramu tp i przepływ kulminacyj-

113

ny qp. Parametry modelu matematycznego są estymowane w oparciu o określone charaktery-

styki fizjograficzne zlewni.

1. Czas wystąpienia kulminacji hydrogramu jednostkowego tp oblicza się ze wzoru:

2D

p Ltt t (2.2)

gdzie: tL - czas opóźnienia odpływu w h,

tD - standardowy czas trwania opadu efektywnego w h.

2. Czas opóźnienia odpływu określa się z równania: 0.3( )t ct C LL (2.3)

gdzie: Ct - parametr modelu (Ct = 1,4 – 1,7),

L - długość zlewni w km,

Lc - odległość od środka ciężkości zlewni do przekroju zamykającego w km.

3. Standardowy czas opadu efektywnego wynosi:

5,5L

Dtt (2.4)

4. Przepływ kulminacyjny hydrogramu jednostkowego oblicza się ze wzoru:

L

pp t

ACq (2.2)

gdzie:

Cp - parametr modelu (Cp = 0,15 -0,19),


Czas trwania hydrogramu jednostkowego określa się z równania bilansu masy.

Jeżeli czas dyskretyzacji opadu efektywnego Δt jest różny od obliczonego czasu stan-

dardowego tD należy obliczyć:

5. Zmodyfikowany czas opóźnienia i czas wystąpienia kulminacji:

)(25,0 DLRL tttt (2.3)

2ttt RLRp

(2.4)

6. Zmodyfikowaną wysokość kulminacji ze wzoru:

RL

LpRp t

tqq (2.5)

7. Stosując zasadę superpozycji, rzędne hydrogramu fali hipotetycznej Qt oblicza się ze wzoru:

11

1,2,...t

t i t ii

Q h H t n

(2.6)

gdzie:

114

ht – rzędne hydrogramu jednostkowego o kulminacji qpR i czasie wystąpienia kulmina-

cji tpR w w m3/(s∙mm),

Ht – wysokość opadu efektywnego w mm,

n – czas trwania hydrogramu odpływu w h.

Przykład 2.1 Obliczyć rzędne hipotetycznej fali w przekroju zapory projektowanego zbior-

nika retencyjnego Międzyrzecze na rzece Jasienicy o kulminacji równej przepływowi mak-

symalnemu rocznemu o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1%.

1. Narysować na mapie topograficznej w skali 1:25000 granicę zlewni rzeki Jasienicy do

przekroju zapory i określić jej powierzchnię: A = 45,3 km2.

2. Określić maksymalny opad dobowy H1 w zlewni o prawdopodobieństwie przewyższenia

1%. Korzystając z mapy M.3 (załącznik M), H1 = 130 mm.

3. Obliczyć przepływ maksymalny roczny o określonym prawdopodobieństwie prawdopodo-

bieństwie przewyższenia. Stosując formułę opadową, odpowiednią dla zlewni niezurbanizo-

wanej o powierzchni mniejszej od 50 km2, obliczono przepływ maksymalny roczny o praw-

dopodobieństwie przewyższenia p = 1%, Qmax,1% = 74,0 m3/s.

4. Obliczyć współczynniki xt rozdziału dobowej sumy opadu na przedziały obliczeniowe (Δt

= 1h). Stosując procedurę optymalizacyjną określono wartości parametrów r i s rozkładu beta

(2.1). Kryterium optymalizacji zakłada zgodność obliczonego przepływu maksymalnego

rocznego Qmax,1% = 74,0 m3/s z przepływem maksymalnym fali hpotetycznej Qt obliczonej

wzorem (2.6). Jeżeli przepływ kulminacyjny fali Qp będzie różny od 74,0 m3/s, obliczenia

należy powtórzyć od pkt. 4. przyjmując inne parametry r i s. Wyniki przedstawiono w tabeli

2.1.

5. Obliczyć wysokość opadu w przedziałach godzinowych Pt. Wyniki obliczeń zestawiono w

tabeli 2.1.

6. Obliczyć parametr CN metody SCS opadu efektywnego. Biorąc pod uwagę pokrycie terenu

i występujące w zlewni Jasienicy grupy gleb, obliczono średnią wartość parametru CN = 81,5.

7. Obliczyć maksymalną retencje zlewni: S = 57,66 mm

115

8. Obliczyć histogram opadu efektywnego Ht. Przy średniej wilgotności gruntu obliczony

opad efektywny przedstawiono w tabeli 2.1.

9. Obliczyć parametry hydrogramu jednostkowego Snydera

- czas opóźnienia: 0.3 0,3( ) 1,80(14,9 7,0) 7, 26L t ct C L L h

- standardowy czas trwania opadu efektywnego:

32,15,526,7

5,5 L

Dtt h

- czas wystąpienia kulminacji hydrogramu jednostkowego:

92,7232,126,7

2 D

Lpttt h

- przepływ kulminacyjny hydrogramu jednostkowego:

06,126,7

3,4517,0

L

pp t

ACq m3/(s∙mm)

Ponieważ standardowy czas opadu efektywnego tD jest różny od przyjętego czasu dys-

kretyzacji Δt = 1 h obliczyć zmodyfikowane wartości:

- czasu opóźnienia:

18,7)32,10,1(25,026,7)(25,0 DLRL tttt h

- czasu wystąpienia kulminacji hydrogramu jednostkowego:

0,820,118,7

2

ttt RLRp h

- przepływu kulminacyjnego hydrogramu jednostkowego:

07,118,726,706,1

RL

LpRp t

tqq m3/(s∙mm)

116

Hydrogram jednostkowy odpływu ze zlewni rzeki Jasienicy w przekroju projektowa-

nej zapory pokazano na rys. 2.1.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 5 10 15 20 25

Czas t [h]

Prze

pływ

ht [

m3 /(s

mm

)]

q p

t p

Rys. 2.1. Hydrogram jednostkowy odpływu ze zlewni rzeki Jasienicy

10. Obliczyć fale hipotetyczną w przekroju zapory zbiornika retencyjnego na rzece Jasienicy

korzystając ze wzoru 2.6. Wyniki obliczeń zestawiono w tabeli 2.1. oraz pokazano na rys. 2.2.

Tabela 2.1. Fala hipotetyczna w przekroju zapory zbiornika retencyjnego na rzece Jasienicy

Czas t

[h]

Współczyn. rozdziału

opadu xt

Opad całkowity

Pt [mm]

Opad efektywny

Ht [mm]

Przepływ Qt

[m3/s]

0 0,0000 0,00 0,0 0,0 1 0,0000 0,00 0,0 0,0 2 0,0000 0,00 0,0 0,0 3 0,0000 0,00 0,0 0,0 4 0,0000 0,00 0,0 0,0 5 0,0000 0,00 0,0 0,0 6 0,0000 0,00 0,0 0,0 7 0,0001 0,02 0,0 0,0 8 0,0006 0,07 0,0 0,0 9 0,0018 0,24 0,0 0,0

10 0,0049 0,64 0,0 0,0 11 0,0113 1,47 0,0 0,0 12 0,0228 2,96 0,0 0,0

117

13 0,0408 5,30 0,0 0,0 14 0,0655 8,51 0,8 0,0 15 0,0947 12,31 4,0 0,1 16 0,1236 16,07 8,5 0,8 17 0,1449 18,84 12,8 2,7 18 0,1511 19,64 15,3 6,3 19 0,1373 17,85 15,0 11,9 20 0,1050 13,65 12,0 19,5 21 0,0633 8,23 7,4 28,7 22 0,0264 3,44 3,1 38,9 23 0,0056 0,73 0,7 49,3 24 0,0002 0,03 0,0 59,0 25 66,8 26 72,0 27 74,0 28 73,0 29 69,6 30 64,7 31 59,1 32 53,4 33 47,7 34 42,0 35 36,3 36 30,6 37 24,9 38 19,3 39 13,9 40 9,2 41 5,4 42 2,7 43 1,1 44 0,3 45 0,1 46 0,0

Suma 130,0 79,7

118

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

1 7 13 19

Czas t [h]

Opa

d P,

H [m

m]

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

0 6 12 18 24 30 36 42 48

Czas t [h]

Prze

pływ

Q [m

3 /s]

Rys. 2.2. Hipotetyczna fala powodziowa w przekroju zapory na rzece Jasienicy

Literatura

Generowanie fal hipotetycznych dla potrzeb oceny efektów gospodarki przeciwpowodziowej. Centralny Program Badawczo-Rozwojowy CPBR, Hydroprojekt 1989.

Viessman W., Knapp J.W., Lewis G.L. Introduction to hydrology, Harper & Row Publishers, New York, 1972.

Węglarczyk S. – Metody statystyczne, Skrypt Politechniki Krakowskiej, 1993.

.

119

V. Wnioski

1. W zlewniach kontrolowanych, gdy posiadamy długie ciągi obserwacyjne (min 30 lat)

przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia obli-

cza się metodami statystycznymi.

2. Ciąg historycznych przepływów maksymalnych rocznych należy poddać badaniu jedno-

rodności stosując test Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS).

3. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia nale-

ży obliczać ze wzoru opartego na rozkładzie Pearsona typu III. Do estymacji parametrów

rozkładu w tym przypadku stosuje się metodę największej wiarygodności.

4. W zlewniach niekontrolowanych przepływy maksymalne roczne o określonym prawdo-

podobieństwie przewyższenia oblicza się ze wzorów empirycznych o ściśle ustalonych

warunkach stosowalności.

5. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w

przekrojach niekontrolowanych zamykających małe zlewnie zurbanizowane należy obli-

czyć metodami symulacyjnymi stosując model transformacji opadu w odpływ.

6. Podstawowymi danymi wejściowymi do modelu transformacji opadu w odpływ jest roz-

kład sumy dobowej opadu o określonym czasie trwania i prawdopodobieństwie przewyż-

szenia.

7. W zlewniach w znacznym stopniu przekształconych antropogenicznie lub w przekrojach

ujściowych rzek, w których następuje spiętrzenie wody podniesionym poziomem morza

do obliczania przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie

przewyższenia należy zastosować specyficzne metody oparte na analizie procesów for-

mowania się przepływów powodziowych.

8. Fale hipotetyczne o określonej wartości przepływu kulminacyjnego w zlewniach kontro-

lowanych należy obliczać metodą Hydroprojektu, a w zlewniach niekontrolowanych me-

todę symulacyjną opartą na modelu transformacji opadu w odpływ.

120

Załącznik A

TABELE

121

121

Tabela A.1. Wartości zmiennej standaryzowanej tp()

Prawdopodobieństwo przewyższenia p [%] 90 80 50 40 30 25 20 10 5 3 2 1 0,5 0,1 0,01

1,5 0,5218 0,6704 1,0392 1,2261 1,4963 1,6824 1,9230 2,7342 3,6069 4,2743 4,8145 5,7539 6,7088 8,9668 12,2602

1,6 0,5713 0,7186 1,0853 1,2734 1,5457 1,7333 1,9755 2,7912 3,6669 4,3356 4,8764 5,8161 6,7705 9,0251 12,3099

1,7 0,6198 0,7654 1,1297 1,3188 1,5932 1,7821 2,0261 2,8463 3,7251 4,3954 4,9370 5,8775 6,8319 9,0844 12,3628

1,8 0,6675 0,8108 1,1725 1,3626 1,6389 1,8292 2,0748 2,8996 3,7817 4,4538 4,9964 5,9380 6,8928 9,1444 12,4182

1,9 0,7142 0,8551 1,2139 1,4049 1,6830 1,8746 2,1219 2,9512 3,8369 4,5109 5,0547 5,9977 6,9533 9,2047 12,4753

2,0 0,7601 0,8982 1,2539 1,4458 1,7257 1,9186 2,1675 3,0014 3,8907 4,5667 5,1118 6,0565 7,0131 9,2653 12,5339

2,5 0,9772 1,0991 1,4381 1,6336 1,9218 2,1208 2,3774 3,2340 4,1423 4,8297 5,3825 6,3379 7,3027 9,5659 12,8371

3,0 1,1765 1,2804 1,6018 1,8002 2,0958 2,3004 2,5641 3,4429 4,3706 5,0704 5,6320 6,6003 7,5758 9,8573 13,1433

3,5 1,3612 1,4467 1,7504 1,9514 2,2537 2,4636 2,7341 3,6342 4,5811 5,2936 5,8641 6,8462 7,8336 10,1369 13,4437

4,0 1,5340 1,6011 1,8875 2,0908 2,3994 2,6142 2,8912 3,8116 4,7775 5,5024 6,0820 7,0781 8,0778 10,4045 13,7355

4,5 1,6968 1,7458 2,0154 2,2208 2,5353 2,7547 3,0379 3,9780 4,9621 5,6992 6,2879 7,2980 8,3102 10,6610 14,0180

5,0 1,8511 1,8824 2,1357 2,3430 2,6631 2,8870 3,1760 4,1350 5,1369 5,8860 6,4835 7,5075 8,5321 10,9073 14,2912

5,5 1,9981 2,0121 2,2496 2,4587 2,7842 3,0123 3,3070 4,2841 5,3033 6,0641 6,6703 7,7078 8,7447 11,1443 14,5556

6,0 2,1386 2,1359 2,3580 2,5689 2,8994 3,1316 3,4317 4,4265 5,4623 6,2346 6,8492 7,9001 8,9491 11,3730 14,8118

6,5 2,2735 2,2544 2,4616 2,6742 3,0096 3,2457 3,5511 4,5629 5,6150 6,3983 7,0212 8,0852 9,1462 11,5940 15,0603

7,0 2,4033 2,3684 2,5611 2,7753 3,1154 3,3553 3,6658 4,6940 5,7619 6,5561 7,1870 8,2639 9,3365 11,8080 15,3017

7,5 2,5287 2,4782 2,6569 2,8725 3,2172 3,4609 3,7762 4,8204 5,9037 6,7084 7,3473 8,4367 9,5209 12,0157 15,5365

8,0 2,6499 2,5843 2,7493 2,9664 3,3156 3,5627 3,8828 4,9426 6,0409 6,8560 7,5026 8,6043 9,6997 12,2175 15,7652

8,5 2,7675 2,6871 2,8388 3,0573 3,4107 3,6613 3,9861 5,0610 6,1739 6,9990 7,6532 8,7670 9,8735 12,4139 15,9882

9,0 2,8817 2,7868 2,9255 3,1454 3,5029 3,7570 4,0862 5,1759 6,3031 7,1381 7,7996 8,9252 10,0426 12,6053 16,2059

9,5 2,9927 2,8837 3,0097 3,2309 3,5925 3,8498 4,1835 5,2876 6,4288 7,2734 7,9422 9,0794 10,2075 12,7920 16,4186

10 3,1009 2,9781 3,0916 3,3141 3,6797 3,9402 4,2781 5,3964 6,5512 7,4053 8,0812 9,2298 10,3683 12,9744 16,6266

11 3,3094 3,1598 3,2493 3,4742 3,8475 4,1142 4,4604 5,6059 6,7873 7,6597 8,3494 9,5201 10,6791 13,3273 17,0299

12 3,5087 3,3333 3,3997 3,6270 4,0075 4,2802 4,6344 5,8060 7,0128 7,9029 8,6060 9,7981 10,9769 13,6660 17,4176

13 3,6999 3,4995 3,5437 3,7732 4,1608 4,4392 4,8010 5,9978 7,2292 8,1364 8,8523 10,0651 11,2632 13,9920 17,7914

14 3,8838 3,6594 3,6820 3,9138 4,3081 4,5920 4,9612 6,1824 7,4375 8,3612 9,0896 10,3224 11,5391 14,3066 18,1526

15 4,0612 3,8135 3,8154 4,0492 4,4501 4,7393 5,1156 6,3603 7,6385 8,5782 9,3187 10,5710 11,8058 14,6109 18,5025

16 4,2329 3,9626 3,9443 4,1801 4,5873 4,8816 5,2649 6,5324 7,8329 8,7881 9,5404 10,8117 12,0641 14,9059 18,8421

17 4,3992 4,1069 4,0690 4,3068 4,7202 5,0195 5,4095 6,6992 8,0214 8,9917 9,7554 11,0452 12,3148 15,1924 19,1721

18 4,5608 4,2470 4,1901 4,4298 4,8492 5,1533 5,5498 6,8610 8,2044 9,1895 9,9643 11,2721 12,5585 15,4711 19,4935

19 4,7179 4,3833 4,3078 4,5493 4,9745 5,2833 5,6862 7,0184 8,3824 9,3819 10,1676 11,4930 12,7958 15,7425 19,8067

20 4,8709 4,5159 4,4223 4,6657 5,0965 5,4100 5,8190 7,1717 8,5558 9,5693 10,3657 11,7082 13,0270 16,0073 20,1124

21 5,0201 4,6452 4,5340 4,7791 5,2154 5,5334 5,9484 7,3212 8,7249 9,7521 10,5589 11,9183 13,2528 16,2658 20,4112

22 5,1658 4,7715 4,6429 4,8897 5,3315 5,6538 6,0748 7,4671 8,8900 9,9307 10,7477 12,1235 13,4734 16,5186 20,7034

23 5,3082 4,8949 4,7494 4,9979 5,4449 5,7716 6,1983 7,6098 9,0515 10,1053 10,9323 12,3242 13,6892 16,7660 20,9894

24 5,4476 5,0156 4,8535 5,1037 5,5558 5,8867 6,3191 7,7493 9,2095 10,2762 11,1129 12,5207 13,9004 17,0082 21,2698

25 5,5841 5,1338 4,9555 5,2072 5,6644 5,9994 6,4374 7,8860 9,3642 10,4436 11,2899 12,7132 14,1075 17,2457 21,5447

Tabela A.2. Kwantyle 2(test=5%, ) rozkładu 2 (chi-kwadrat); – liczba stopni swobody

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2(5%, ) 3,841 5,991 7,815 9,488 11,07 12,59 14,07 15,51 16,92 18,31 19,68 21,03 22,36 23,68 25,0

122

122

Tabela A.3. Wartości kwantyla u dla zadanego poziomu ufności

, [%] 84 90 95 99 u 0,994 1,282 1,645 2,326

Tabela A.4. Wartości funkcji (p,) używanej we wzorze (1.24)

Prawdopodobieństwo przewyższenia p [%] 90 80 50 20 10 5 2 1 0,1

1,5 0,522 0,670 1,039 1,923 2,734 3,607 4,814 5,754 8,967 1,6 0,571 0,719 1,085 1,976 2,791 3,667 4,876 5,816 9,025 1,7 0,620 0,765 1,130 2,026 2,846 3,725 4,937 5,877 9,084 1,8 0,667 0,811 1,173 2,075 2,900 3,782 4,996 5,938 9,144 1,9 0,714 0,855 1,214 2,122 2,951 3,837 5,055 5,998 9,205 2 0,760 0,898 1,254 2,167 3,001 3,891 5,112 6,056 9,265

2,5 0,977 1,099 1,438 2,377 3,234 4,142 5,383 6,338 9,566 3 1,176 1,280 1,602 2,564 3,443 4,371 5,632 6,600 9,857

3,5 1,361 1,447 1,750 2,734 3,634 4,581 5,864 6,846 10,137 4 1,534 1,601 1,888 2,891 3,812 4,777 6,082 7,078 10,405

4,5 1,697 1,746 2,015 3,038 3,978 4,962 6,288 7,298 10,661 5 1,851 1,882 2,136 3,176 4,135 5,137 6,484 7,507 10,907

5,5 1,998 2,012 2,250 3,307 4,284 5,303 6,670 7,708 11,144 6 2,139 2,136 2,358 3,432 4,426 5,462 6,849 7,900 11,373

6,5 2,273 2,254 2,462 3,551 4,563 5,615 7,021 8,085 11,594 7 2,403 2,368 2,561 3,666 4,694 5,762 7,187 8,264 11,808

7,5 2,529 2,478 2,657 3,776 4,820 5,904 7,347 8,437 12,016 8 2,650 2,584 2,749 3,883 4,943 6,041 7,503 8,604 12,217

8,5 2,768 2,687 2,839 3,986 5,061 6,174 7,653 8,767 12,414 9 2,882 2,787 2,925 4,086 5,176 6,303 7,800 8,925 12,605

9,5 2,993 2,884 3,010 4,183 5,288 6,429 7,942 9,079 12,792 10 3,101 2,978 3,092 4,278 5,396 6,551 8,081 9,230 12,974 11 3,309 3,160 3,249 4,460 5,606 6,787 8,349 9,520 13,327 12 3,509 3,333 3,400 4,634 5,806 7,013 8,606 9,798 13,666 13 3,700 3,500 3,544 4,801 5,998 7,229 8,852 10,065 13,992 14 3,884 3,659 3,682 4,961 6,182 7,438 9,090 10,322 14,307 15 4,061 3,814 3,815 5,116 6,360 7,638 9,319 10,571 14,611 16 4,233 3,963 3,944 5,265 6,532 7,833 9,540 10,812 14,906 17 4,399 4,107 4,069 5,409 6,699 8,021 9,755 11,045 15,192 18 4,561 4,247 4,190 5,550 6,861 8,204 9,964 11,272 15,471 19 4,718 4,383 4,308 5,686 7,018 8,382 10,168 11,493 15,743 20 4,871 4,516 4,422 5,819 7,172 8,556 10,366 11,708 16,007 21 5,020 4,645 4,534 5,948 7,321 8,725 10,559 11,918 16,266 22 5,166 4,771 4,643 6,075 7,467 8,890 10,748 12,124 16,519 23 5,308 4,895 4,749 6,198 7,610 9,051 10,932 12,324 16,766 24 5,448 5,016 4,854 6,319 7,749 9,209 11,113 12,521 17,008 25 5,584 5,134 4,955 6,437 7,886 9,364 11,290 12,713 17,246

123

123

Tabela A.5. Wartości kwantyla up w rozkładzie standaryzowanym normalnym p oznacza prawdopodobieństwo przewyższenia

Przykład odczytu: u0,053 = 1,61644. Dla p > 0,5 stosować wzór: up = -u1-p, Przykład: u0,947 = -u0,053 = -1,61644

p 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0 3,09024 2,87815 2,74777 2,65209 2,57583 2,51213 2,45727 2,40892 2,36561

0,01 2,32634 2,29036 2,25713 2,22621 2,19728 2,17009 2,14441 2,12007 2,09693 2,07485 0,02 2,05375 2,03352 2,01409 1,99539 1,97737 1,95996 1,94314 1,92684 1,91103 1,89570 0,03 1,88079 1,86629 1,85218 1,83843 1,82501 1,81191 1,79912 1,78661 1,77438 1,76241 0,04 1,75069 1,73920 1,72793 1,71688 1,70604 1,69540 1,68494 1,67466 1,66456 1,65463 0,05 1,64485 1,63524 1,62576 1,61644 1,60725 1,59819 1,58927 1,58047 1,57179 1,56322 0,06 1,55477 1,54643 1,53820 1,53007 1,52203 1,51410 1,50626 1,49852 1,49085 1,48328 0,07 1,47579 1,46838 1,46106 1,45380 1,44663 1,43953 1,43250 1,42554 1,41865 1,41183 0,08 1,40507 1,39838 1,39175 1,38517 1,37866 1,37220 1,36581 1,35946 1,35317 1,34694 0,09 1,34075 1,33462 1,32854 1,32251 1,31652 1,31058 1,30469 1,29884 1,29303 1,28727 0,10 1,28155 1,27588 1,27024 1,26464 1,25908 1,25357 1,24809 1,24264 1,23724 1,23187 0,11 1,22653 1,22123 1,21596 1,21073 1,20553 1,20036 1,19522 1,19012 1,18504 1,18000 0,12 1,17499 1,17000 1,16505 1,16012 1,15522 1,15035 1,14550 1,14069 1,13590 1,13113 0,13 1,12639 1,12168 1,11699 1,11232 1,10768 1,10306 1,09847 1,09390 1,08935 1,08482 0,14 1,08032 1,07584 1,07138 1,06694 1,06252 1,05812 1,05375 1,04939 1,04505 1,04073 0,15 1,03643 1,03215 1,02789 1,02365 1,01943 1,01522 1,01104 1,00687 1,00271 0,99858 0,16 0,99446 0,99036 0,98627 0,98220 0,97815 0,97411 0,97009 0,96609 0,96210 0,95813 0,17 0,95416 0,95022 0,94629 0,94238 0,93848 0,93459 0,93072 0,92686 0,92301 0,91918 0,18 0,91537 0,91156 0,90777 0,90399 0,90023 0,89647 0,89273 0,88901 0,88529 0,88159 0,19 0,87790 0,87422 0,87055 0,86689 0,86325 0,85962 0,85600 0,85239 0,84879 0,84520 0,20 0,84162 0,83805 0,83450 0,83095 0,82742 0,82389 0,82038 0,81687 0,81338 0,80990 0,21 0,80642 0,80296 0,79950 0,79606 0,79262 0,78919 0,78577 0,78237 0,77897 0,77557 0,22 0,77219 0,76882 0,76546 0,76210 0,75875 0,75541 0,75208 0,74876 0,74545 0,74214 0,23 0,73885 0,73556 0,73228 0,72900 0,72574 0,72248 0,71923 0,71599 0,71275 0,70952 0,24 0,70630 0,70309 0,69988 0,69668 0,69349 0,69031 0,68713 0,68396 0,68080 0,67764 0,25 0,67449 0,67135 0,66821 0,66508 0,66196 0,65884 0,65573 0,65262 0,64952 0,64643 0,26 0,64334 0,64027 0,63719 0,63412 0,63106 0,62801 0,62496 0,62191 0,61887 0,61584 0,27 0,61281 0,60979 0,60678 0,60376 0,60076 0,59776 0,59477 0,59178 0,58879 0,58581 0,28 0,58284 0,57987 0,57691 0,57395 0,57100 0,56805 0,56511 0,56217 0,55924 0,55631 0,29 0,55338 0,55046 0,54755 0,54464 0,54174 0,53884 0,53594 0,53305 0,53016 0,52728 0,30 0,52440 0,52153 0,51866 0,51579 0,51293 0,51007 0,50722 0,50437 0,50153 0,49869 0,31 0,49585 0,49302 0,49019 0,48736 0,48454 0,48173 0,47891 0,47610 0,47330 0,47050 0,32 0,46770 0,46490 0,46211 0,45933 0,45654 0,45376 0,45099 0,44821 0,44544 0,44268 0,33 0,43991 0,43715 0,43440 0,43164 0,42889 0,42615 0,42341 0,42066 0,41793 0,41519 0,34 0,41246 0,40974 0,40701 0,40429 0,40157 0,39886 0,39614 0,39343 0,39073 0,38802 0,35 0,38532 0,38262 0,37993 0,37723 0,37454 0,37186 0,36917 0,36649 0,36381 0,36113 0,36 0,35846 0,35579 0,35312 0,35045 0,34779 0,34513 0,34247 0,33981 0,33716 0,33450 0,37 0,33185 0,32921 0,32656 0,32392 0,32128 0,31864 0,31600 0,31337 0,31074 0,30811 0,38 0,30548 0,30285 0,30023 0,29761 0,29499 0,29238 0,28976 0,28715 0,28454 0,28193 0,39 0,27932 0,27671 0,27411 0,27151 0,26891 0,26631 0,26371 0,26112 0,25853 0,25594 0,40 0,25335 0,25076 0,24817 0,24559 0,24301 0,24043 0,23785 0,23527 0,23269 0,23012 0,41 0,22755 0,22497 0,22240 0,21983 0,21727 0,21470 0,21214 0,20957 0,20701 0,20445 0,42 0,20189 0,19934 0,19678 0,19422 0,19167 0,18912 0,18657 0,18402 0,18147 0,17892 0,43 0,17637 0,17383 0,17129 0,16874 0,16620 0,16366 0,16112 0,15858 0,15604 0,15350 0,44 0,15097 0,14843 0,14590 0,14337 0,14084 0,13830 0,13577 0,13324 0,13072 0,12819 0,45 0,12566 0,12314 0,12061 0,11809 0,11556 0,11304 0,11052 0,10799 0,10547 0,10295 0,46 0,10043 0,09791 0,09540 0,09288 0,09036 0,08784 0,08533 0,08281 0,08030 0,07778 0,47 0,07527 0,07276 0,07024 0,06773 0,06522 0,06271 0,06019 0,05768 0,05517 0,05266 0,48 0,05015 0,04764 0,04513 0,04263 0,04012 0,03761 0,03510 0,03259 0,03008 0,02758 0,49 0,02507 0,02256 0,02005 0,01755 0,01504 0,01253 0,01003 0,00752 0,00501 0,00251 0,50 0

124

124

Tabela A.6. Wartości dystrybuanty (u) (prawdopodobieństwa nieprzewyższenia) standaryzo-wanego rozkładu normalnego dla u 0, Przykład odczytu: (u = 0,43) = 0,33360

Dla u < 0 stosować wzór: (u) = 1 – (-u) Przykład: (u = -0,43) = 1 – (u = 0,43) = 1 – 0,333601 = 0,666399

u 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,50000 0,49601 0,49202 0,48803 0,48405 0,48006 0,47608 0,47210 0,46812 0,46414 0,1 0,46017 0,45620 0,45224 0,44828 0,44433 0,44038 0,43644 0,43251 0,42858 0,42465 0,2 0,42074 0,41683 0,41294 0,40905 0,40517 0,40129 0,39743 0,39358 0,38974 0,38591 0,3 0,38209 0,37828 0,37448 0,37070 0,36693 0,36317 0,35942 0,35569 0,35197 0,34827 0,4 0,34458 0,34090 0,33724 0,33360 0,32997 0,32636 0,32276 0,31918 0,31561 0,31207 0,5 0,30854 0,30503 0,30153 0,29806 0,29460 0,29116 0,28774 0,28434 0,28096 0,27760 0,6 0,27425 0,27093 0,26763 0,26435 0,26109 0,25785 0,25463 0,25143 0,24825 0,24510 0,7 0,24196 0,23885 0,23576 0,23270 0,22965 0,22663 0,22363 0,22065 0,21770 0,21476 0,8 0,21186 0,20897 0,20611 0,20327 0,20045 0,19766 0,19489 0,19215 0,18943 0,18673 0,9 0,18406 0,18141 0,17879 0,17619 0,17361 0,17106 0,16853 0,16602 0,16354 0,16109 1,0 0,15866 0,15625 0,15386 0,15151 0,14917 0,14686 0,14457 0,14231 0,14007 0,13786 1,1 0,13567 0,13350 0,13136 0,12924 0,12714 0,12507 0,12302 0,12100 0,11900 0,11702 1,2 0,11507 0,11314 0,11123 0,10935 0,10749 0,10565 0,10383 0,10204 0,10027 0,09853 1,3 0,09680 0,09510 0,09342 0,09176 0,09012 0,08851 0,08692 0,08534 0,08379 0,08226 1,4 0,08076 0,07927 0,07780 0,07636 0,07493 0,07353 0,07215 0,07078 0,06944 0,06811 1,5 0,06681 0,06552 0,06426 0,06301 0,06178 0,06057 0,05938 0,05821 0,05705 0,05592 1,6 0,05480 0,05370 0,05262 0,05155 0,05050 0,04947 0,04846 0,04746 0,04648 0,04551 1,7 0,04457 0,04363 0,04272 0,04182 0,04093 0,04006 0,03920 0,03836 0,03754 0,03673 1,8 0,03593 0,03515 0,03438 0,03362 0,03288 0,03216 0,03144 0,03074 0,03005 0,02938 1,9 0,02872 0,02807 0,02743 0,02680 0,02619 0,02559 0,02500 0,02442 0,02385 0,02330 2,0 0,02275 0,02222 0,02169 0,02118 0,02068 0,02018 0,01970 0,01923 0,01876 0,01831 2,1 0,01786 0,01743 0,01700 0,01659 0,01618 0,01578 0,01539 0,01500 0,01463 0,01426 2,2 0,01390 0,01355 0,01321 0,01287 0,01255 0,01222 0,01191 0,01160 0,01130 0,01101 2,3 0,01072 0,01044 0,01017 0,00990 0,00964 0,00939 0,00914 0,00889 0,00866 0,00842 2,4 0,00820 0,00798 0,00776 0,00755 0,00734 0,00714 0,00695 0,00676 0,00657 0,00639 2,5 0,00621 0,00604 0,00587 0,00570 0,00554 0,00539 0,00523 0,00508 0,00494 0,00480 2,6 0,00466 0,00453 0,00440 0,00427 0,00415 0,00402 0,00391 0,00379 0,00368 0,00357 2,7 0,00347 0,00336 0,00326 0,00317 0,00307 0,00298 0,00289 0,00280 0,00272 0,00264 2,8 0,00256 0,00248 0,00240 0,00233 0,00226 0,00219 0,00212 0,00205 0,00199 0,00193 2,9 0,00187 0,00181 0,00175 0,00169 0,00164 0,00159 0,00154 0,00149 0,00144 0,00139 3,0 0,00135 0,00131 0,00126 0,00122 0,00118 0,00114 0,00111 0,00107 0,00104 0,00100 3,1 0,00097 0,00094 0,00090 0,00087 0,00084 0,00082 0,00079 0,00076 0,00074 0,00071 3,2 0,00069 0,00066 0,00064 0,00062 0,00060 0,00058 0,00056 0,00054 0,00052 0,00050 3,3 0,00048 0,00047 0,00045 0,00043 0,00042 0,00040 0,00039 0,00038 0,00036 0,00035 3,4 0,00034 0,00032 0,00031 0,00030 0,00029 0,00028 0,00027 0,00026 0,00025 0,00024 3,5 0,00023 0,00022 0,00022 0,00021 0,00020 0,00019 0,00019 0,00018 0,00017 0,00017 3,6 0,00016 0,00015 0,00015 0,00014 0,00014 0,00013 0,00013 0,00012 0,00012 0,00011 3,7 0,00011 0,00010 0,00010 0,00010 0,00009 0,00009 0,00008 0,00008 0,00008 0,00008

125

125

Tabela A.7. Wartości krytyczne współczynnika korelacji

v α =0,05 α = 0,01

1 0,997 1,000 2 0,950 0,990 3 0,878 0,959 4 0,811 0,917 5 0,754 0,874 6 0,707 0,834 7 0,666 0,798 8 0,632 0,865 9 0,602 0,735

10 0,576 0,708 11 0,553 0,684 12 0,532 0,661 13 0,514 0,641 14 0,497 0,623 15 0,482 0,606 16 0,468 0,590 17 0,456 0,575 18 0,444 0,561 19 0,433 0,549 20 0,423 0,537 21 0,413 0,526 22 0,404 0,515 23 0,396 0,505 24 0,388 0,496 25 0,381 0,487 26 0,374 0,478 27 0,367 0,470 28 0,361 0,463 29 0,355 0,456 30 0,349 0,449 35 0,325 0,418 40 0,304 0,393 45 0,288 0,372 50 0,273 0,354

126

99 95100 90 80 70 60 50 40. 30 20 10 8 7 6 5 4 3 2 1 0.7 0.5 0.3 0.2 0.1 0.05 0.03 0.02 0.01

p,

Rys. A.1, Podziałka pearsonowska

Załącznik B

TABELE

128

Tabela B.1. Współczynnik odpływu dla przepływów maksymalnych rocznych i określonych gleb na mapie (rys. M.1, załącznik M)

Nr Współczynnik φ Utwór glebowy Numery wydzielonych gleb na mapie Polski

1 0,15 piaski i żwiry 1, 2, 20, 30, 35, 44, 45 b, c, d 46 c, d, 48, 49, 50 b, c, d, 51d 2 0,25 piaski słabogliniaste 14, 21 c, 36 c, 45 a, 46 a, b, 50 a, 51 b, c 3 0,35 piaski gliniaste 3, 5, 21 a, b, 36 a, b 4 0,50 gliny piaszczyste 4, 6, 22, 37, 47 5 0,55 lessy i pyły 15, 25, 26, 27, 28, 40, 41, 43, 52 6 0,88 gliny i iły 7, 15, 17, 18, 19, 23, 24, 29, 31, 32, 33, 34, 38, 39, 42 7 0,57 aluwia i torfy 8, 9, 10, 11, 12, 13

Tabela B.2. Miara szorstkości koryta cieku m

Kategoria koryta rzeki

Przeciętna charakterystyka koryta i tarasu zalewowego na całej długości rzeki od źródeł do przekroju zamykającego

Współczynnik m

1 Koryta stałych i okresowych rzek nizinnych o stosunkowo wyrów-nanym dnie 11

2 Koryta stałych i okresowych rzek wyżynnych meandrujacych o częściowo nierównym dnie 9

3 Koryta stałych i okresowych rzek górskich o bardzo nierównym otoczakowo - kamienistym dnie 7

Tabela B.3. Miara szorstkości stoków ms

Charakterystyka powierzchni stoków Współczynnik ms

Powierzchnia gładka (asfalt, beton) 0,50 Powierzchnia gruntowa ubita, splantowana 0,30 Powierzchnia dobrze zaorana i zbronowana, powierzchnie wybrukowane w osiedlach zabudowanych w 20%

0,25

Powierzchnie nierówne (kępy) pastwiska, łąki oraz po-wierzchnie w osiedlach o zabudowie ponad 20%

0,15

Powierzchnie leśne 0,10

Tabela B.4. Czas spływu po stokach ts w funkcji s

s 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 12,0 15,0 ts

[min] 2,4 5,2 8,2 11,0 16,0 20,0 31,0 43,0 58,0 74,0 93,0 113 140 190 287

129

Tabela B.5. Czas spływu po stokach ts w zlewniach o powierzchni A większej od 10 km2

Makroregion Czas spływu po stokach

ts [min] Sudety 15-30 Karpaty 10-20 Wyżyny 30-60 Niziny 40-60-120 Pojezierza 30-50-100 Mniejsze wartości stosuje się dla zlewni o urozmaiconej rzeź-bie terenu, krótkich i stromych zboczach oraz o niewielkim zalesieniu lub zakrzaczeniu. Wartości większe dotyczą zlewni o względnie płaskich i długich zboczach zalesionych lub zaba-gnionych. W przypadku nizin i pojezierzy wartości środkowe odpowiadają warunkom przeciętnym.

130

Tabela B.6. Wartości funkcji F1 w zależności od czasu spływu po stokach ts i hydromorfologicznej charakterystyki koryta r

Obszar kraju z wyłączeniem Tatr i wysokich gór (H < 700 m n.p.m.)

r Czas spływu

ts [min]

5

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

120

150

180

200

250

300

350

10 0,305 0,200 0,128 0,0930 0,0720 0,0565 0,0460 0,0385 0,0345 0,0305 0,0265 0,0212 0,0165 0,0134 0,0119 0,00975 0,00830 0,00725 30 0,170 0,140 0,104 0,0815 0,0645 0,0510 0,0428 0,0360 0,0322 0,0282 0,0249 0,0203 0,0162 0,0132 0,0116 0,00965 0,00825 0,00720 60 0,120 0,104 0,0830 0,0665 0,0540 0,0444 0,0380 0,0330 0,0300 0,0267 0,0238 0,0195 0,0155 0,0127 0,0114 0,00955 0,00820 0,00710

100 0,090 0,081 0,0665 0,0545 0,0465 0,0386 0,0336 0,0300 0,0274 0,0246 0,0220 0,0185 0,0152 0,0123 0,0112 0,00940 0,00810 0,00705 150 0,067 0,062 0,0526 0,0445 0,0380 0,0336 0,0300 0,0270 0,0247 0,0224 0,0204 0,0174 0,0142 0,0118 0,0109 0,00920 0,00790 0,00690 200 0,053 0,050 0,0433 0,0380 0,0337 0,0300 0,0272 0,0250 0,0228 0,0209 0,0192 0,0165 0,0136 0,0115 0,0107 0,00900 0,00770 0,00680

Tatry i wysokie góry (H > 700 m n.p.m.)

r Czas spływu

ts [min]

5

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

120

150

180

200

250

300

350

10 0,0120 0,0880 0,0610 0,0468 0,0386 0,0332 0,0290 0,0257 0,0235 0,0216 0,0198 0,0172 0,0146 0,0128 0,0118 0,00975 0,00830 0,00725 30 0,0844 0,0695 0,0530 0,0427 0,0362 0,0315 0,0278 0,0247 0,0226 0,0209 0,0193 0,0170 0,0144 0,0126 0,0116 0,00965 0,00825 0,00720 60 0,0624 0,0565 0,0457 0,0380 0,0327 0,0288 0,0260 0,0236 0,0217 0,0200 0,0186 0,0165 0,0141 0,0124 0,0114 0,00955 0,00820 0,00710

100 0,0492 0,0450 0,0388 0,0338 0,0295 0,0265 0,0240 0,0221 0,0205 0,0190 0,0179 0,0159 0,0138 0,0121 0,0112 0,00940 0,00810 0,00705 150 0,0404 0,0374 0,0298 0,0298 0,0265 0,0243 0,0223 0,0207 0,0193 0,0181 0,0171 0,0153 0,0134 0,0118 0,0109 0,00920 0,00790 0,00690 200 0,0342 0,0325 0,0264 0,0264 0,0245 0,0226 0,0211 0,0196 0,0185 0,0175 0,0166 0,0148 0,0129 0,0116 0,0107 0,00900 0,00770 0,00980

Tabela B.7. Współczynnik redukcji jeziornej δJ

Wskaźnik jeziorności JEZ 0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450 0,500

Współczynnik δJ

1,000 0,900 0,820 0,740 0,680 0,620 0,570 0,530 0,490 0,460 0,430

Wskaźnik jeziorności JEZ 0,550 0,600 0,650 0,700 0,750 0,800 0,850 0,900 0,950 1,000

Współczynnik δJ

0,400 0,370 0,350 0,330 0,310 0,290 0,270 0,260 0,240 0,230

Tabela B.8. Kwantyle p

Prawdopodobieństwo przewyższenia p [%]

Lp Makroregion Region 0,1 0,2 0,5 1 2 3 5 10 20 30 50

1 Sudety 1a 1,57 1,39 1,17 1,00 0,834 0,727 0,621 0,461 0,309 0,223 0,123 2 1b 1,48 1,34 1,15 1,00 0,857 0,768 0,665 0,522 0,378 0,291 0,185 3 Karpaty 2a 1,54 1,37 1,16 1,00 0,843 0,745 0,636 0,482 0,334 0,248 0,145 4 2b 1,46 1,32 1,14 1,00 0,860 0,776 0,674 0,536 0,394 0,310 0,205 5 Wyżyny 3a 1,56 1,38 1,17 1,00 0835 0,727 0,622 0,464 0,312 0,227 0,128 6 3b 1,43 1,30 1,13 1,00 0,867 0,787 0,694 0,558 0,420 0,341 0,234 7 3c 1,35 1,24 1,10 1,00 0,894 0,826 0,747 0,631 0515 0,444 0,341 8 Niziny 4a 1,43 1,30 1,13 1,00 0,867 0,788 0,695 0,559 0,422 0,340 0,233 9 4b 1,34 1,24 1,10 1,0 0,894 0,829 0,750 0,637 0,521 0,445 0,342

10 Pojezierza 5a 1,41 1,28 1,12 1,00 0,874 0,789 0,706 0,577 0,449 0,367 0,262 11 5b 1,32 1,22 1,10 1,00 0,899 0,836 0,761 0,660 0,545 0,470 0,373 12 5c 1,28 1,20 1,08 1,00 0,915 0,857 0,795 0,701 0,598 0,536 0,446

Tabela B.9. Równania do obliczenia parametru α

Region opadowy Czas trwania deszczu

D [min]

północno- zachodni centralny południowy i nadmorski

5 min D 30 min α = 3,92 ln(D+1) – 1,662

30 min < D 1 h = 8,944 ln(D) – 18,6

1 godz. < D 2 h

= 4,693 ln(D+1) – 1,249

2 godz. < D 12 h

12 godz. < D 18 h = 2,223 ln(D+1) + 10,639

18 godz. < D 72 h

= 3,01 ln(D+1) + 5,173 = 9,472 ln(D+1) – 37,032

132

Tabela B 10. Wartości parametru CN dla różnego pokrycia terenu i grup glebowych

Wartości CN dla grup glebowych Rodzaj pokrycia terenu

(użytkowania zlewni) Opis

Warunki hydrologiczne A B C D Złe warunki hydrologiczne (trawa pokrywa do 50 % powierzchni)

68

79

86

89

Średnie warunki hydrologiczne (pokrycie trawą 50-75%) 49 69 79 84

Tereny otwarte: trawniki, parki, pola golfowe, cmentarze, itp. Dobre warunki hydrologiczne

(pokrycie trawą > 75%) 39 61 74 80

Tereny nieprzepuszczalne: utwardzone parkingi, dachy, jezdnie

-- 98 98 98 98

nieprzepuszczalne z poboczami i rowami otwartymi

83

89

92

93

żwrowe 76

85

89

91

Ulice i drogi

gruntowe 72

82

87

89

ok. 85% pow. nieprzepuszczalnej 89 92 94 95 Tereny handlowe i przemysłowe ok. 72% pow. nieprzepuszczalnej) 81 88 91 93 < 500 m2, lub 65% powierzchni nieprzepuszczalnej 77 85 90 92

1000 m2, 38% 61 75 83 87 1700 m2, 30 % 57 72 81 86 2000 m2. 25 % 54 70 80 85 4000 m2, 20% 51 68 79 84

Tereny zamieszkałe – przy przeciętnej powierzchni działki:

zagrody 59 74 82 86 Ugór 77 86 91 94 Rośliny okopowe warunki przeciętne 67 77 83 87 Rośliny zbożowe warunki przeciętne 62 73 81 85 Rośliny motylkowe warunki przeciętne 60 72 80 83 Pastwiska warunki przeciętne 49 69 78 84 Łąki warunki przeciętne 30 58 71 78

Lasy gęste średniogęste rzadkie

25 36 45

55 60 66

70 73 77

77 79 83

133

Załącznik C

TABELE

134

Tabela C.1. Wartości kwantyla tp w standaryzowanym rozkładzie normalnym


p [%]

tp

0,01 3,718 0,1 3,090 0,2 2,878 0,5 2,575 1 2,326 2 2,054 3 1,880 4 1,750 5 1,645

10 1,282 20 0,842 25 0,674 30 0,524 40 0,253 50 0,000

135

Tabela C.2. Wartości wskaźnika nieprzepuszczalności gleb N dostosowane do Mapy Gleb Polski w skali 1:500000

Nr na mapie glebowej

Rodzaj gleby Przepuszczalność utworów

Wskaźnik nieprzepuszczalności

gleb N

[%] 1 gleby szkieletowe i piaszczyste 2 gleby żwirowe i piaskowce

20, 35, 44, 49 gleby wytworzone ze żwirów różnej genezy 45, 50 piaski luźne

bardzo dobrze przepuszczalne 10

8 mady piaszczyste 14 czarne i szare ziemie wytworzone z piasków 28 gleby wytworzone z genezy kredowej

30, 42 gleby piaszczyste

dobrze przepuszczalne 20

16 czarnoziemy i czarne gleby leśne 21, 36 46, 51 piaski słabogliniaste i gliniaste

25, 40 gleby wytworzone z lessów 26 gleby wytworzone z utworów lessowych

37,47 gleby wytworzone z piasków naglinionych i glin zwałowych lekkich

Średnio przepuszczalne 40

12 gleby wytworzone z torfów niskich

13 gleby wytworzone z torfów wysokich i przejścio-wych

średnio przepuszczalne 50

9 mady pyłowe, gliniaste i ilaste 10 mady morskie 11 gleby glejowe

22 gleby wytworzone z piasków gliniastych, nagli-nionych i glin zwałowych lekkich

20 gleby piaszczyste, gliniaste, pyłowe i ilaste

41 gleby wytworzone z utworów lessowatych (pod-górskie)

43, ew. 52 gleby gliniaste szkieletowe

mało przepuszczalne

60

3, 4, 5, 6, 7 rędziny

23, 38 gleby wytworzone z glin zwałowych średnich i ciężkich

15 czarne i szare ziemie wytworzone z glin i iłów pyłowych

24, 39 gleby wytworzone z iłów różnej genezy 27, 42 gleby wytworzone z pyłów różnych genez 33, 34 gleby wytworzone z pyłów, glin i iłów

nieprzepuszczalne 70

17 gleby gliniaste, pyłowe i ilaste (ze skał metamor-ficznych)

18, 32 gleby gliniaste szkieletowe

19, 31 gleby gliniaste, pyłowe i ilaste (ze skał osado-wych)

nieprzepuszczalne 90

136

Tabela C.3. Prędkość spływu powierzchniowego v wg Czerkaszyna w m/s

Średni spadek zlewni w % Zalesienie % 0,5 1 2 3 5 7 10 14 10 0,34 0,59 1,01 1,30 1,74 2,05 2,45 2,85 20 0,27 0,50 0,83 1,09 1,50 1,77 2,01 2,33 40 0,20 0,39 0,68 0,92 1,23 1,48 1,70 1,87 60 0,14 0,27 0,47 0,64 0,89 1,09 1,29 1,44 80 0,10 0,18 0,33 0,44 0,62 0,73 0,89 1,02

100 0,05 0,09 0,17 0,24 0,35 0,44 0,55 0,65

Tabela C.4. Współczynniki redukcyjne rNp%

Prawdop. p

[%]

Zlewnie górskie nie zalesione

wg Duba

Zlewnie zalesione

30 do 60 %

Zlewnie zalesione

60 do 80 %

Zlewnie nizinne częściowo zalesione

wg Bratranka 100 0,06 0,10 0,14 0,18 50 0,08 0,15 0,21 0,29 20 0,13 0,23 0,33 0,44 10 0,21 0,33 0,45 0,55 5 0,34 0,47 0,60 0,67 2 0,62 0,70 0,81 0,84 1 1,00 1,00 1,00 1,00

Tabela C.5. Współczynnik odpływu α wg Iszkowskiego

Grupa topograficzna zlewni Współczynnik

odpływu α

Bagna i niziny 0,20

Niziny i płaskie wysoczyzny 0,25

Częściowo niziny, częściowo pagórki 0,30

Pagórki o łagodnych stokach 0,35

Częściowo przedgórza, cześciowo pagórki lub strome stoki 0,40

Wzniesienia terenu, jak Ardeny, Eifel, Westerwald, Vogelsberg, Odenwald, itd.. 0,45

Wzniesienia terenu, jak Harz, Las Turyński, Las Frankowski, Góry Szreczane,

Góry Kruszcowe, Czeski Las, Góry Łużyckie, Las Wiedeński 0,50

Wzniesienia terenu, jak Czarny Las, Wogezy, Karkonosze, Sudety, Beskidy 0,55

Wysokie góry 0,60 – 0,70

137

Tabela C.6. Wartości parametru obszarowego równania regresji αobszar

Prawdopodobieństwo p [%] Nr

obszaru Obszar 1 50

1 Sudecki 1,432∙10-3 2,094∙10-4

2 Nizinno-pojezierny zachodni 1,733∙10-3 2,383∙10-4

3 Przymorski 1,353∙10-3 2,527∙10-4

4 Tatrzański 1,797∙10-3 2,755∙10-4

5 Karpacki 2,992∙10-3 4,194∙10-4

6 Nizinno-pojezierny wschodni 3,075∙10-3 3,771∙10-4

7 Lubelski 2,369∙10-3 4,728∙10-4

Tabela C.7. Średnie błędy względne σp wartości Qmax,p

Średnie błędy wzgledne dla prawdopodobieństwa

p [%] Nr

obszaru Obszar

1 50 1 Sudecki 0,30 0,40 2 Nizinno-pojezierny zachodni 0,40 0,40 3 Przymorski 0,40 0,30 4 Tatrzański 0,25 0,35 5 Karpacki 0,35 0,45 6 Nizinno-pojezierny wschodni 0,35 0,30 7 Lubelski 0,40 0,48

Tabela C.8. Współczynnik redukcji jeziornej δJ

Wskaźnik jez. (JEZ) Wsp. δJ



0,00 1,00 0,35 0,53 0,70 0,33 0,05 0,90 0,40 0,49 0,75 0,31 0,10 0,82 0,45 0,46 0,80 0,29 0,15 0,74 0,50 0,43 0,85 0,27 0,20 0,68 0,55 0,40 0,90 0,26 0,25 0,62 0,60 0,37 0,95 0,24 0,30 0,57 0,65 0,35 1,00 0,23

138

Tabela C.9. Współczynnik redukcji bagiennej δB

Wskaźnik zabagnienia B

Współczynnik δB

Wskaźnik za-bagnienia B

Współczynnik δB

0,20 0,92 0,65 0,79 0,25 0,90 0,70 0,78 0,30 0,88 0,75 0,77 0,35 0,87 0,80 0,76 0,40 0,85 0,85 0,75 0,45 0,84 0,90 0,74 0,50 0,83 0,95 0,73 0,55 0,81 0,60 0,80 1,00 0,72

Uwaga: przy B < 0,20 współczynnika redukcji bagiennej (δB) nie uwzględ-nia się

139

Załącznik M

MAPY

140

Rys. M.1. Współczynnik odpływu φ dla przepływów maksymalnych rocznych

141

Mapa M 2. Maksymalny opad dobowy o prawdopodobieństwie przewyższenia 1% (H1)

(opracowano na podstawie Zasad obliczania…, 1991)

142

Map

a M

.3. R

egio

ny i

rów

nani

a do

wyz

nacz

ania

par

amet

ru sk

ali,

, roz

kład

u m

aksy

mal

nych

opa

dów

o z

adan

ym c

zasie

trw

a-

nia

i pra

wdo

podo

bień

stw

ie p

rzew

yższ

enia

143

Mapa M.4. Makroregiony i regiony wskaźnika stopnia redukcji przepływów maksy-

malnych i krzywych regionalnych (opracowano na podstawie Zasad obliczania…, 1991)

144

M.5. Zasięgi stosowania obszarowych równań regresji, formuły roztopowej, formuły

Wołoszyna i wzorów Punzeta

145

M.6. Wartość współczynnika K0 i współczynnika korygującego a


146

M.7. Warstwa odpływu roztopowego o prawdopodobieństwie przewyższenia 1%


Documents

03-hydrologia-Metodyka Qmax Raport końcowy