Hidrodinámica

UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO FACULTAD DE INGENIERA CIVIL

CURSO: FISICA IIHIDRODINAMICAAUTOR: Mag. Optaciano L. Vsquez GarcaHUARAZ - PER2010

I.INTRODUCCION HIDRODINMICAEstudia el movimientos de los fluidos, es decir, el flujo de los fluidos Este estudio se realiza describiendo las propiedades de los fluidos (densidad, velocidad) en cada punto del espacio en funcin del tiempo.

I.INTRODUCCINLa naturaleza del movimiento de un fluido real es muy compleja y no siempre puede ser estudiada de forma exacta mediante el anlisis matemtico. Contrariamente a lo que sucede con los slidos, las partculas de un fluido en movimiento pueden tener deferentes velocidades y estar sujetas a distintas aceleraciones. Las ecuaciones bsicas que nos permiten predecir el comportamiento de los fluidos son:A.El principio de conservacin de masa, a partir del cual se obtiene la ecuacin de continuidad.B.El principio de conservacin de la energa.C.El principio de conservacin de la cantidad de movimiento que nos permite determinar las fuerzas dinmicas ejercidas por los fluidos en movimiento.

II. SISTEMAS Y VOLUMENES DE CONTROL.

2.1.SistemaUn sistema se define como una cantidad arbitraria de masa de identidad fija limitada por el entorno a travs de una frontera. Los contornos del sistema forman una superficie cerrada, y sta superficie puede variar con el tiempo, de manera que contenga la misma masa durante los cambios en condicin. El sistema puede contener una masa infinitesimal o una masa finita grande de fluidos de fluidos y slidos a voluntad del investigador

II. SISTEMAS Y VOLUMENES DE CONTROL.

2.2.Volumen de control.Es una regin fija en el espacio, a travs de cuyos lmites puede fluir, masa, momento, energa, etc. El lmite del volumen de control se denomina superficie de control. El volumen de control puede ser de cualquier tamao y forma. La cantidad y la identidad de la materia en el volumen de control permanecen fijas

III. FLUJO DE FLUIDOS

3.1.Flujo permanente.Un flujo es permanente cuando las propiedades del fluido y las condiciones del movimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo. En un punto cualquiera del fluido, la velocidad de las sucesivas partculas que ocupan ese punto en los sucesivos instantes es la misma. Por lo tanto, la velocidad es constante respecto del tiempo, pero puede variar de un punto a otro, es decir ser variable respecto de las coordenadas. De la misma manera las otras magnitudes tales como la densidad, la presin y la temperatura no varan con el tiempo, esto es

Un ejemplo lo constituye el flujo de un lquido a travs de una tubera larga recta de seccin constante y a caudal constante.

III. TIPOS DE FLUJO DE FLUIDOS

3.2.Flujo no permanente.Un flujo es no permanente cuando las propiedades del fluido y las condiciones en cualquier punto cambian con el tiempo, es decir Un ejemplo de ste tipo de flujo lo constituye el movimiento de un fluido a travs de una tubera de seccin constante pero a caudal variable

III. TIPOS DE FLUJO DE FLUIDOS

3.3.Flujo uniforme.Un flujo de fluidos es uniforme cuando en cualquier punto del fluido el vector velocidad es idntico, es decir con igual mdulo, la direccin y el sentido en un instante dado, esto se expresa mediante:

Esto significa que las otras magnitudes fsicas del fluido no varan con las coordenadas espaciales o bien

Un ejemplo lo constituye el movimiento de un fluido bajo presin a travs de tuberas de seccin constante y gran longitud.

III. TIPOS FLUJO DE FLUIDOS

3.4.Flujo no uniformeSe dice que un flujo es no uniforme, cuando el vector velocidad en un instante dado de un punto a otro- es decir

De igual forma las otras variables como la densidad, presin, etc. Vara de un punto a otro en la regin del fluido.

Un ejemplo es el movimiento de un fluido a travs de una tubera de seccin variable


3.5.Flujo laminar.Un flujo es laminar cuando las partculas del fluido se mueven a lo largo de trayectorias lisas en capas o lminas, deslizndose una capa sobre la otra adyacente. En el flujo laminar se cumple la ley de Newton de la viscosidad dad por

LaminarTurbulento


3.6.Flujo turbulentoEn este tipo de flujo las partculas del fluido se mueven siguiendo trayectorias irregulares originndose un intercambio de cantidad de momentum molecular. Es un ejemplo la cascada de un ro.

III.Tipos de Flujos de fluidosFlujo laminar Ocurre cuando las molculas de un fluido en movimiento siguen trayectorias paralelasFlujo turbulentoOcurre cuando las molculas de un fluido en movimiento siguen trayectorias errticas

III.TIPOS DE FLUJOS DE FLUIDOSFLUJO INCOMPRESIBLEAquel en el cual la densidad de cada una de las partculas del fluido permanecen relativamente constantes mientras se mueve por el campo de flujo

En este tipo de flujo se encuentran el movimiento de los lquidos. Sin embargo, algunos flujos gaseosos de baja velocidad, como el flujo atmosfrico, tambin se puede considerar como incompresible

III.TIPOS DE FLUJOS DE FLUIDOSFLUJO COMPRESIBLEEn general todos los fluidos son compresibles en menor o mayor grado. Es decir la presin y la temperatura cambia con la densidad

Un ejemplo de este tipo de flujo es el movimiento de masas de aire como los huracanes, Movimiento aerodinmico de un avin de alta velocidad

III.TIPOS DE FLUJOS DE FLUIDOSFLUJO VISCOSO: Es quel flujo en el cual la viscosidad no pueden despreciarse. La viscosidad es el rozamiento interno entre partculas que componen el fluido. FLUJO NO VISCOSO: Es aquel en el cual se desprecian los efectos de la viscosidad.

III.TIPOS DE FLUJOS DE FLUIDOSFLUJO ROTACIONAL.Aquel flujo que presenta vrtices. Son ejemplos de este tipo los huracanes.

FLUJO IRROTACIONAL.

III. FLUJO DE FLUIDOS

3.7.Flujo unidimensional.En un flujo unidimensional se desprecian las variaciones de la velocidad, presin, densidad, transversales a la direccin principal del movimiento del fluido. El flujo a travs de una tubera se puede considerar unidimensional.3.8Flujo bidimensional.En este flujo se supone que todas las partculas siguen trayectorias idnticas en planos paralelos, por lo tanto, no hay cambios en el flujo en la direccin normal a dichos planos. Es un ejemplo el movimiento de un lquido a travs de un vertedero.3.9Flujo tridimensional.Es aquel tipo de flujo general en el que las componentes de la velocidad vx , vy y vz en direcciones perpendiculares son funciones del tiempo y de las coordenadas espaciales.

VI.FLUJO IDEAL.

En el estudio del movimiento de fluidos en muchos casos se puede considerar como un flujo de fluidos ideal a aquel que cumple con las siguientes caractersticas: a.El fluido debe ser absolutamente incompresible.El fluido debe carecer de viscosidad o rozamiento interno. Debe ser de rgimen estacionarioDebe ser un flujo irrotacional

V.LINEA DE CORRIENTE

Las lneas de corriente son lneas imaginarias dibujadas a travs de un fluido en movimiento y que indican la direccin de ste en los diversos puntos del flujo de fluidos.Debe observarse que la tangente en un punto a la lnea de corriente nos da la direccin instantnea de la velocidad de las partculas del fluido, en dicho punto.

V.Lneas de corrienteDos lneas de corriente nunca se cruzan entre si, cuando ocurre producira un flujo inestable y turbulento.

VI.LINEA DE CORRIENTE

Debido a que la velocidad en direccin normal a la lnea de corriente no existe, entonces en la direccin perpendicular a la lnea de corriente no existe flujo.En la Figura, se muestra la forma de algunas lneas de corriente al colocarse diversos slidos del flujo de fluidos

VI. TUBO DE CORRIENTE

Es la parte de un fluido limitado por un haz de lneas de corriente. Todas las partculas que se hallan en una seccin de un tubo de corriente, al desplazarse continan movindose por su seccin sin salirse del mismo. De igual forma ninguna partcula exterior al tubo de corriente puede ingresar al interior del tubo.

VII. ECUACIN DE CONTINUIDAD.

La aplicacin del principio de conservacin de masa a un flujo de fluidos permanente y unidimensional, en un tubo de corriente, nos da la ecuacin de continuidad. Consideremos un sistema fsico conteniendo una determinada cantidad de masa de fluido limitada por un tubo de corriente, como se muestra a travs del tubo para un flujo permanente, unidimensional y compresible. Cerca de la seccin (1) del tubo, el rea de la seccin es A1 y la densidad 1, mientras que en la seccin (2) el rea de la seccin es A2 y la densidad es 2. El volumen de control est representado por las letras I y R, en tanto que la superficie de control coincide con las paredes del tubo

VII.ECUACIN DE CONTINUIDAD.

De la figura puede verse que en un tiempo t el sistema est compuesto por el fluido dentro del volumen de control (I + R), en un tiempo t + dt el sistema se mueve corriente abajo, de tal forma que segn el principio de conservacin de masa del sistema se tiene que

Es decir:

Para el caso de un fluido permanente las propiedades del fluido en puntos del espacio no son funciones del tiempo, de tal forma que

VII.ECUACIN DE CONTINUIDAD.

Por lo tanto

Estos dos trminos se expresan fcilmente en funcin de otras variables como la densidad, el rea de la seccin y el desplazamiento de la masa del fluido, es decir

Es a la cantidad que se le conoce como Rgimen de flujo de masa y constituye la llamada ecuacin de la continuidad, la misma que expresa: en un flujo permanente, el rgimen de flujo de masa que pasa a travs de todas las secciones de un tubo de corriente, es constante.

VII. ECUACIN DE CONTINUIDAD.

Por otro lado si se multiplica a la ecuacin de continuidad por la aceleracin de la gravedad local g se obtiene el flujo ponderal (G)

Para el caso en el cual el fluido es incompresible la densidad as como el peso especfico se mantiene constante. Entonces la ecuacin de la continuidad se expresa en la forma

A la cantidad Q se le llama Caudal o gasto o rgimen de flujo volumtrico o volumen por unidad de tiempo que pasa a travs de un rea del tubo de flujo, cuyas unidades son m3/s.Para flujos bidimensionales el rgimen de flujo se expresa por unidad de distancia perpendicular normal al plano del flujo, la ecuacin de continuidad, se escribe

VIII.ECUACIN DE MOVIMIENTO DE EULER.

Otra de las ecuaciones que describen el movimiento de fluidos es la ecuacin de Euler, la ecuacin de Bernoulli, la ecuacin de la energa.La ecuacin de Euler no es ms sino la aplicacin de la segunda ley de Newton al movimiento de las partculas de un fluido

VIII.Ecuacin de EulerFuerzas debido a la presin

Fuerzas debido al peso

Aplicacin de la segunda ley de Newton

VIII.Ecuacin de EulerTeniendo en cuenta que dz = dS sen, la ecuacin anterior se escribe

Para fluidos incompresibles

O para el caso de flujos cuya densidad es uniforme

XI.Ecuacin de BernoulliEs una ecuacin fundamental de la mecnica de los fluidos ideales y constituye una expresin del principio de conservacin de la energa. Se considera que en el flujo existen tres tipos de energa: la energa cintica debida al movimiento, la energa debida a la presin y la energa potencial gravitatoria debida a la elevacin. Se obtiene integrando la ecuacin de Euler, esto es

VIII.LA ECUACIN DE BERNOULLI.

La ecuacin de Bernoulli, se aplica a todos los puntos de la lnea de corriente y provee una relacin til entre la presin p, la magnitud de la velocidad v y la altura z sobre el plano de referencia. A la cantidad H se le denomina carga total. La ecuacin de Bernoulli, revela adems que las cantidades p/, v2/2g y z son distancias verticales. El experimento de Pitot demuestra que la suma de las cargas de velocidad (v2/2g), la carga de presin (p/) as como la carga de altura z siempre permanece constante.

IX.APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI.

La ecuacin de la hidrosttica.Para determinar la ecuacin hidrosttica se aplica la ecuacin de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 de la

Como el depsito est abierto sobre la superficie libre del fluido acta la presin atmosfrica p0. As mismo, debido a que el fluido est en reposo, v1 y v2 son nulas, con lo que la ecuacin anterior se escribe

APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI.

Teorema de Torricelli.Permite determinar la velocidad de salida de un fluido a travs de una boquilla. Se aplica la conservacin de masa

La ecuacin de Bernoulli nos da

Debido a que las presiones en los puntos 1 y 2 son las mismas esto es la presin atmosfrica p0, la ecuacin anterior se escribe.


Teorema de Torricelli.. De las ecuaciones anteriores se tiene

En general el rea de la tobera A2 es mucho menor que el rea de la seccin transversal del depsito A1, de tal forma que

Esta ecuacin indica que la velocidad de descarga es igual a la velocidad que alcanzara una partcula cayendo libremente sin friccin desde el punto 1 hasta el punto 2. En otras palabras la energa potencial de la superficie libre se convierte en energa cintica del chorro.


Efecto VenturiSupongamos que tenemos un flujo en el cual no existen diferencias significativas de energa potencial del fluido en movimiento. Entonces en la ecuacin de Bernoulli se puede considerar que z1 = z2 = 0, con lo que se tiene

De donde

En esta expresin, si v1 es mayor que v2, entonces tambin lo es

En consecuencia, es negativo, lo que a su vez, es posible solo si p2 es mayor que p1. En trminos ms simples, donde la velocidad sea mayor, la presin es menor.

A este fenmeno se le conoce como efecto Venturi.

Este efecto se aprecia con gran facilidad al soplar entre dos hojas de papel separadas unos cuantos centmetros. La velocidad del aire entre las hojas ser mayor que en las caras externas y por tanto la presin en las caras externas ser mayor, unindolas.

Efecto venturiEl mismo efecto se observa cuando se sopla por la cara superior de una hoja dispuesta horizontalmente, levantndola; a su vez, este ejemplo explica el porqu los techos arrancados de las casas con puertas y ventanas bien cerradas en un da de viento de gran intensidad.Otro ejemplo interesante lo constituye una pelota golpeada de manera que se roto traslade como se observa en la Figura que representa una mirada desde arriba.

Algunas explicaciones a partir del efecto VenturiEn una carretera, si dos vehculos pasan cerca, en el espacio entre ellos el aire se mueve a gran velocidad respecto a los vehculos, por lo tanto en esa zona disminuye la presin del aire y con ello se justifica que los vehculos se atraen entre s. Esto es ms manifiesto si uno de los vehculos es mucho ms pequeo que el otro.v1v2PPinteriorVelocidaddel aireSe tiene P > Pinteriorpor lo tanto el vehculo ms pequeo es atrado hacia el ms grande.

Tubo VenturiEste medidor mostrado en la figura consiste en un tubo con un estrechamiento en forma gradual y un aumento tambin gradual practicado con la finalidad de evitar la formacin de remolinos de tal manera que no se produzca remolinos quedando de esta forma asegurado un rgimen estacionario (permanente).

Tubo VenturiPara determinar el caudal en primer lugar se determina la velocidad de flujo del fluido, para ello se aplica la ecuacin de continuidad entre los punto 1 y 2

Por otro lado aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene

Observando la figura se ve que z1 y z2 se encuentran en un mismo nivel horizontal por lo que

Combinando las ecuaciones 1 y 2

Tubo VenturiLa diferencia de presiones se determina a partir de las lecturas de los piezometros, es decir

Entonces la velocidad se expresa en la forma

Entonces el caudal Q o rgimen de flujo volumtrico se expresa en la forma

Tubo de Venturi

Tubo de pitotEste dispositivo se utiliza para medir la velocidad del flujo de un gas, consiste en un tubo manomtrico abierto e que va conectado a una tubera que lleva un fluido como se muestra en la Figura

La diferencia de presiones se determina del manmetros

*Tubo de pitot http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cf/Staudruck-Differenz-Messeinrichtung-prinzipiell-bewegt.gif

Tubo de Pitot

Sifones

EJEMPLO 01Un tanque cilndrico contiene aire, aceite y agua. El aire se mantiene a una presin manomtrica p = 5 lb/pulg2. Cul es la velocidad del agua que sale si se ignora la friccin y la energa cintica del fluido por encima de la elevacin A? El chorro de agua que sale tiene un dimetro d = 1 pie.

EJEMPLO 02Un tanque grande contiene aire comprimido, gasolina con una densidad relativa de 0,68, aceite liviano con una densidad relativa de 0,80 y agua. La presin manomtrica del aire es p = 150 kPa. Si no se tiene en cuenta la friccin. Cul es el rgimen de flujo de masa m

EJEMPLO 03A travs de la tubera mostrada en la figura fluyen trescientos litros por segundo de un lquido con peso especfico de 8 kN/m3. Determine la lectura del manmetro en U si la densidad del mercurio es 13600 kg/m3.

EJEMPLO 04Calcular el caudal ideal a travs del sistema de tuberas mostradas en la figura.

EJEMPLO 05A travs de la tubera mostrada fluye gasolina cuza densidad relativa es 0,85. Determine: (a) La lecturas de los medidores de presin; (b) El rgimen de flujo de masa.

EJEMPLO 06A travs del tubo vertical circula agua en forma permanente z luego entra en la regin anular entre las placas circulares mostradas. Luego se mueve radialmente, saliendo como una lamina libre. Si no se tiene en cuenta la friccin. Cul es el caudal de agua a travs de la tubera si la presin manomtrica en el punto A es 69 kPa?.

EJEMPLO 07Para un rgimen de flujo de aire de 2 m3/s de aire cuyo peso especifico es 12 N/m3. Cul es la mayor rea A2 que har que se aspire agua por la abertura del piezmetro?. Desprecie los efectos de compresibilidad.

EJEMPLO 08A travs de la tubera mostrada en la figura fluye agua. Determine el rgimen de flujo volumtrico

EJEMPLO 09Los dos fluidos de a figura se encuentran a 20C. Si la velocidad del agua en la posicin 1 es v1 = 1,7 pies/s y se desprecian las prdidas. Cul es la lectura h del manmetro?. Considere que el peso especfico del agua es 62,4 lb/pie3 y la densidad relativa del mercurio es 13,6.

EJEMPLO 10A travs del sistema de tuberas fluye agua. Determine: (a) la altura H(m) y (b) la lectura del medidor de presin p(kPa).

EJEMPLO 11En esta tubera fluye agua a razn de tres dcimos de metro cbico por segundo. Calcular la lectura del manmetro, (a) usando el diagrama como se muestra, (b) cuando el tubo del pitot est en la sec. 2 y la conexin de presin esttica est en la seccin 1.

Sustentacin del ala de un avinEste principio explica el vuelo de los aviones, ya que la forma y la orientacin de las alas permiten que el aire pase con mayor velocidad por la parte superior que por la inferior de stas. Luego, la presin encima del ala es menor que la presin debajo de ella, produciendo una fuerza resultante dirigida hacia arriba, llamada fuerza ascensional o de sustentacin.

Sustentacin del ala de un avin Esta distribucin de las lneas de flujo nos induce a pensar que es semejante a un venturmetro en donde la parte inferior (punto 1) es la garganta del venturmetro y el punto 2 la parte ancha de dicho tubo, Es decir

La fuerza d sustentacin

Aplicando la ec de Bernoulli

LA ECUACION TRABAJO-ENERGIA.

La aplicacin de los principios de trabajo-energa al flujo de fluidos produce una valiosa relacin entre las propiedades del fluido, el trabajo realizado y la energa transmitida. Se ve entonces que la ecuacin de Bernoulli es equivalente a la ecuacin trabajoenerga de la mecnica para el flujo de un fluido ideal.


Consideremos la seccin de un tubo de corriente diferencial como se ve en la figura y el sistema fluido que ocupa las zonas I y R del volumen de control en el tiempo t, y las zonas R y O en el tiempo t + dt. Para un fluido permanente la ecuacin de la continuidad establece ( = cte).

La relacin trabajo-energa establece que el trabajo dW (expresado como una fuerza actuando a distancia) realizado sobre un sistema, produce un cambio equivalente en la suma de las energas cinticas, Ek y potencial, Ep del sistema, esto es en un tiempo dt.


La energa en el instante t ser

De igual forma la energa en el instante t es

El trabajo de flujo

El remplazo de ecuaciones conduce a


Reacomodando trminos se tiene

Una vez ms se ha obtenido la ecuacin de Bernoulli, pero esta vez utilizando las ideas energticas por lo que sta se constituye en a Ecuacin de la energa mecnicaSi al sistema se aade o extrae energa se tiene

La potencia viene expresada por


Cuando se considera las perdidas en las tuberas por la friccin se usa la ecuacin.

Donde: es el factor de correccin de la energa cintica cuyo calor es aproximadamente de 2 para un flujo laminar y de 1.04 a 1.11 para el flujo turbulento.Los trminos son todos positivos.Todos los trminos referidos a la ecuacin tienen dimensiones de longitud

POTENCIA REQUERIDA POR LAS BOMBASSe define como la rapidez a la cual se realiza trabajo.En mecnica de fluidos la potencia es considerada como la rapidez con la que se transfiere la energa.La potencia se calcula mediante la multiplicacin de la energa transferida por newton de fluido por el flujo en peso. Es decir,

Donde:PA = es la potencia agregada al fluido = peso especfico del fluidoQ = es el flujo volumtrico

EFICIENCIA MECNICA DE LAS BOMBASSe usa para denotar la relacin de la potencia transmitida por la bomba al fluido a la potencia que se suministra a la bomba.Debido a las prdidas por friccin mecnica en los componente de la bomba, friccin del fluido, turbulencia, la eficiencia se expresa.

Ejemplo 01Dentro de un tanque grande se encuentra agua con una presin manomtrica de 35 kPa en su superficie libre. El agua se bombea a travs de una tubera como se muestra en la figura, y sale a travs de una boquilla para formar un chorro libre. Cul es la potencia requerida por la bomba?.

Ejemplo 02Determine la potencia producida por la Turbina mostrada en la figura para una razn de agua dulce de 0,6 m3/s. La turbina tiene una eficiencia de 90%.

Ejemplo 03Calcular la potencia de la bomba, si a travs de ella existe un flujo de agua

EJEMPLO 04

Cuando la bomba mostrada en la figura proporciona un caudal de 220 m3/h de agua a temperatura ambiente de 20C desde el depsito, la prdida total de carga por ficcin es 5 N.m/N. Si el flujo se descarga a la atmsfera a travs de una tobera de 5 cm de dimetro. (a) Cul es la potencia en kilowatios (kW) que la bomba proporciona al agua?. (b) Cul sera la potencia si eficiencia de la bomba es 82%?

EJEMPLO 05Si a travs de la bomba que se muestra en la figura debe circular 10 pie3/s. Si la prdida total de carga por friccin es de 5 lb.pie/lb. Cul debe ser la potencia en la bomba?. Considere que el peso especfico del agua es 62,4 lb/pie3 y que el rendimiento de la bomba es 82%

EJEMPLO 06Si la bomba mostrada en la figura impulsa 0,089 pies3/s de fluido con peso especfico de 60 lb/pie3. Qu potencia en hp debe transmitir la bomba al fluido, si entre los puntos 1 y 2 hay una prdida de energa de 3,40 lb.pie/lb?. (considere que 1 hp = 550 lb.pie/s)

EJEMPLO 07La bomba mostrada en la figura mueve querosene a 20C a 2,3 m/s. La prdida de carga entre los puntos 1 y 2 es de 8 pies y la bomba proporciona al flujo 8 hp de potencia. Cul ser la lectura h del manmetro en pies?. Considere que la densidad relativa del kerosene es 0,804; la densidad del agua 62,4 lb/pie3 y 1 hp = 550 lb.pie/s

EJEMPLO 08Una bomba de bomberos saca agua de mar (DR = 1,025) mediante un tubo sumergido y la descarga a travs de una tobera, segn se representa en la figura. La prdida total de carga es de 6,5 pies. Si el rendimiento de la bomba es 75%. a qu potencia se requiere que funcione la bomba?.

EJEMPLO 09El sistema bomba turbina mostrado en la figura admite agua del depsito superior para proporcionar energa a la ciudad. Por la noche bombea agua del depsito inferior al superior para restablecer la situacin anterior. Para un caudal de diseo de 15000 gal/min en cada reaccin , la prdida de carga por friccin es de 17 pies. Estime la potencia en kilovatios: (a) extraida por la turbina y (b) requerida por la bomba

EJEMPLO 10A travs de la tubera esta fluyendo 120 l/s de combustible jet (JP-4). Calcular la potencia de la bomba.

EJEMPLO 11A travs de la tubera esta fluyendo 28 l/s de agua. Calcular la potencia de la bomba.

FLUIDOS REALESMuchas de las restricciones que hemos considerado, son necesarias para encontrar los principales modelos que rigen el comportamiento de los fluidos en movimiento.Sin embargo, en muchos casos es necesario abandonar estas restricciones, porque proporcionan aproximaciones suaves al comportamiento de los fluidos realesUna aproximacin mejor sera si se tiene en cuenta:Primero: considerar la resistencia que experimenta el fluido al desplazarse dentro de los tubos (viscosidad); Segundo, evaluar hasta que punto un fluido se comporta de manera laminar, a travs de un coeficiente sencillo denominada numero de Reynolds.

FLUIDOS REALES: ViscosidadFlujo laminar aquel movimiento regular en el que las partculas del fluido parecen deslizar unas sobre otras en capas o lminas. Flujo turbulento es un movimiento caracterizado por la aleatoriedad del movimiento de las partculas observndose remolinos de varios tamaos.Para determinar la viscosidad consideremos el flujo laminar de un fluido real que est confinado a moverse entre dos placas de extensin infinita

FLUIDOS REALES: ViscosidadEl esfuerzo cortante ser

En un intervalo de tiempo t, el elemento se deforma tal como se muestra en la figura. La rapidez de deformacin est dada por

La distancia l entre los puntos M y M es

Para ngulos pequeos la distancia l puede expresarse

Igualando las ecuaciones, resulta

Si el fluido es newtoniano, el esfuerzo cortante es proporcional a la rapidez de deformacin,

EjemploUn bloque de 1000 N de peso y 200 mm de lado desliza hacia abajo en un plano inclinado sobre una pelcula de aceite con un espesor de 0,005 mm. Si se utiliza un perfil lineal velocidades en el aceite. Determine la velocidad terminal de bloque. Considere que la viscosidad del aceite es 0,07 N/m2..

EjemploUn cilindro de 149,5 mm de dimetro y 150 mm de longitud cae por su propio peso con una velocidad constante de 46 mm/s, dentro de un tubo vertical lubricado de 150 mm de dimetro interno. La holgura que se supone, est llena de aceite. Suponiendo que la distribucin de velocidades en la pelcula de aceite es lineal. Determine la viscosidad del aceite.

NMERO DE REYNOLDS.

Existe una velocidad crtica, despus de la cual el fluido deja de comportarse en forma laminar. Entonces se observa que slo las lneas de flujo muy cercanas a las paredes, que forman una capa denominada capa lmite, conservan las propiedades del flujo laminar, Ms all de la capa lmite el movimiento es muy irregular, cesa el sentido de lneas separadas ntidamente. En el interior del fluido se originan corrientes circulares aleatorias locales, denominadas vrtices, que dan lugar a un gran aumento de la resistencia al movimiento. Un flujo as se denomina turbulento.

NMERO DE REYNOLDS.

Existe un parmetro asociado a la turbulencia, denominado Nmero de Reynolds, que matemticamente est expresado mediante la ecuacin

Donde v es la velocidad del fluido, es su densidad, es su coeficiente de viscosidad dinmico, r es una longitud asociada al flujo como por ejemplo el radio del tubo, cuando el flujo es en un tubo

MOVIMIENTO DE FLUIDOS VISCOSOS A TRAVS DE TUBOS.

Dada la naturaleza de los efectos de la viscosidad, resulta evidente que la velocidad de un fluido viscoso que pasa a travs de un tubo no es la misma en todos los puntos de una seccin transversal, Las paredes del tubo ejercen una fuerza resistente sobre las capa ms externas del fluido, que a su vez acta sobre la capa ms inmediata y as sucesivamente. Como consecuencia de esto, la velocidad es mxima en el centro del tubo y disminuye hasta ser nula en las paredes. Si la seccin del tubo es circular, la distribucin de velocidades es parablica


Para calcular la velocidad en un fluido viscoso consideremos una porcin de tubo de radio R y longitud L. Considere adems que el movimiento del fluido es de izquierda a derecha debido a la diferencia de presiones (p1 p2).Separemos ahora mentalmente una capa cilndrica de fluido de radio interno r y espesor dr tal como se muestra


En la parte interior de la capa acta una fuerza de rozamiento

Por la parte exterior de la capa acta una fuerza de rozamiento dirigida en sentido contrario a la fuerza f (la fuerza f acelera el movimiento de la capa y la fuerza f1 lo frena

La fuerza resultante debido a la viscosidad ser


Como la velocidad es mxima en el centro del tubo, el valor de , ser negativo y la fuerza ser positivo. Esta fuerza en estado de rgimen estacionario debe ser igual a la fuerza debido a la diferencia de presiones, esto es

Igualando las fuerzas debido a la friccin y las debido a la presin

Integrando en forma indefinida la ecuacin anterior, resulta


Debido a que en el centro del tubo r =0; es nulo, entonces, el valor de C es nulo por lo que la ecuacin se escribe

Integrando nuevamente

El volumen que sale del tubo es

Remplazando la velocidad

El volumen total que sale es

Ley de Poiseuille

EjemploUn recipiente cilndrico de radio R = 2 cm tiene en su pared lateral un orificio en la cual va montado horizontalmente un tubo capilar de radio interior r = 1 mm y longitud l = 2 cm. Este recipiente contiene aceite de ricino cuya viscosidad dinmica es 12 g/cm.s. Hallar la variacin de la velocidad V, con que desciende el nivel del aceite en el recipiente, en funcin de la altura h de este nivel sobre el tubo capilar. Calcular el valor numrico de esta velocidad cuando h = 26 cm.

Ley de StokesSi un cuerpo esfrico se mueve en un fluido experimenta una fuerza ley de Stokes

Cuando la esfera se mueve dentro de un fluido como se muestra Al principio la esfera acelera pero despus de cierto tiempo alcanza una velocidad lmite a partir de la cual se mueve uniformemente. Entonces

De donde se tiene

Ejemplos1.Una bola emerge con velocidad constante de un lquido cuya densidad es 4 veces mayor que la del material de que est hecha la bola. Cuntas veces es mayor la fuerza de rozamiento que acta sobre la bola que emerge que el propio peso de ste?.

2.Una bolita de acero de 1 mm de dimetro cae con la velocidad constante de 0,185 cm/s en un gran recipiente lleno de aceite de Ricino. Hallar la viscosidad dinmica del aceite de Ricino.

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