Hidrodinamika cijevnih mreža - FSB Online · PDF fileinženjersko umijeće, a hidrodinamika sve elegantnija matematička disciplina. Tokom XVIII i XIX st. učinjen je golem napredak

MMMaaarrriiiooo ŠŠŠaaavvvaaarrr

HHHiiidddrrrooodddiiinnnaaammmiiikkkaaa ccciiijjjeeevvvnnniiihhh mmmrrreeežžžaaa

ZZZaaagggrrreeebbb,,, 222000000555

Predgovor Ovaj materijal je zamišljen kao pomoć studentima pri pripremanju ispita. Nadam se da će pomoći da se studenti što kvalitetnije pripreme za ispit i da ga uspješno polože. Ovaj materijal nije pregledan, lektoriran niti recenzirani pa kao takav vjerojatno sadrži neke pogreške na kojima se čitaocima unaprijed ispričavam. Obzirom da postoji potreba za ovakvim materijalom, a postupak ispravljanja i objavljivanja je spor i mukotrpan materijal će se objaviti na web stranicama u ovakvom obliku. Poglavlja 2,3 i 4 preuzeta su iz magisterija Doc. dr. sc. Marije Živić na čemu je svesrdno zahvaljujem Mario Šavar

Uvod

1

1. UVOD Voda je prijeko potrebna za opstanak svih živih organizama i nezamjenjiva je u mnogim tehnološkim postupcima. Nedovoljna količina vode na širem geografskom području može biti zapreka razvoju društvenih i gospodarskih djelatnosti na tom prostoru. Osim dovoljne količine vode za vodoopskrbu stambenih naselja bitna je i kakvoća vode koja se pogoršava zbog sve većih onečišćenja okoliša. Kvalitetna odvodnja otpadnih i oborinskih voda nužan je higijensko zdravstveni uvjet za razvoj gradske sredine. Razvojem civilizacije i porastom standarda raste potreba za konstantnom dobavom energenta. Sigurna, pouzdana i jeftinu dobavu energenta nužan je uvjet razvoja urbane zajednice, a cjevovodna mreža se pokazala kao optimalno tehničko rješenje u najvećem broju slučajeva. U jednoj razvijenoj gradskoj sredini postoji čitav niz cjevovodnih mreža koji služi za transport fluida (vodovodi, naftovodi, plinovodi, toplovodi, kanalizacijski i slivni sustavi). Kvalitetno planiranje, građenje i održavanje tih cjevovodnih sustava složen je tehnički zadatak nužan za postojanje urbanog naselja. Poznavanje principa modeliranja strujanja u složenim cjevovodnim mrežama te ovladavanje metodama proračuna stacionarnog i nestacionarnog strujanja fluida nužan je uvjet za kvalitetno inženjersko spoznavanje hidrodinamičkih pojava unutar cjevovodnih mreža te iznalaženje tehničkog rješenja Povijesni pregled

Arheološki nalazi, rijetki izvorni crteži i stare legende dokazuju da je već u prethistorijsko doba čovjek iskustvom pronalazio praktična rješenja brojnih problema mehanike fluida. Izumio je splav, čamac i brod, te veslo i jedro za pogon tih plovila, naučio gradnjom kanala i nasipa kontrolirati vodene tokove, navodnjavati i odvodnjavati zemlju, te sprečavati poplave, izumio je strelicu s repnim stabilizatorom, kovački mijeh, primitivno vodeničko kolo, primitivnu vjetrenjaču itd.

Početak gradnje vodoopskrbnih objekata poveza je s razvojem prvih stambenih naselja. Poznati su podaci o izgradnjom vodovoda oko <-3000 godine. U starom Egiptu

kopani su zdenci promjera 3 – 4 m i dubine više od 200m. Dizanje vod s velike dubine bilo je poznato u starom Egiptu, Babilonu i Kini. Upotrebljavani su uređaji s vedrima i vitlima, a za razvođenje služile su keramičke, drvene ili olovne cijevi. U Jeruzalemu su sačuvani ostaci vodovoda sagrađenog <-1000 godine Izgradnja vodovoda posebno se razvila u grčkoj i rimskoj civilizaciji. U to građeni su tuneli i mostovi za provođenje vode. Poznat je vodovodni tunel duljine 1 km za opskrbu grada Samosa <-550. Prva zapisana tumačenja nekih pojava mehanike fluida potječu od grčkih filozofa starog vijeka. U jednoj se od svojih rasprava Aristotel (<-384.

Uvod

2

do <-322) bavi gibanjem tijela kroz vodu i zrak i zaključuje da je otpor koji medij pruža gibanju tijela propocionalan gustoći medija. Arhimed iz Sirakuze («-287. do +-212) smatra se osnivačem hidrostatike. On je postavio tri osnovna poučka o uzgonu i istisnini tijela koje pluta na površini vode ili je uronjeno u vodu, te teoriju stabilnosti sfernog segmenta koji pluta. Ktesibije iz Aleksandrije (krajem «-III St.) izumio je vodeni sat, hidrauličke orgulje, zračnu pušku i vatrogasnu dvostapnu crpku. Heron iz Aleksandrije (između <-250. i *-150) ostavio je zapise o pneumatici, razradio teoriju sifona, prvi opisao mlazni pogon pomoću vodene pare i prikazao postupak kojim se može proračunati količina vode koja protječe kroz cijev. Filon iz Bizanta (<-II st.) bavio se pneumatikom i primjenom sifona za održavanje konstantne razine tekućine u tlačnim komorama.

Znanje o mehanici fluida Rimljani su preuzeli od Grka, ali nisu doprinijeli daljem razvoju te znanosti. Rimljani su doduše izgradili velike vodovodne sustave i kanalizaciju u gradovima, te poboljšali oblik brodskog trupa, ali to su sve bile samo primjene grčkih spoznaja i teorija. Poznat je akvadukt preko rijeka Gard u Francuskoj visine 48,77 m. Jedini važniji pisani radovi s područja mehanike fluida iz rimskog vremena potječu od Marka Vitruvija Poliona (<-I st.), koji je kompilirao tadašnja grčka znanja o hidraulici, i Seksta Julija Frontinia (40—103), koji je opisao metode raspodjele vode. U nas je izgrađen krajem III i početkom IV stoljeća rimski vodovod za opskrbu Dioklecijanove palače u današnjem Splitu. Akvadukt i tuneli rimskog vodovoda i

danas se upotrebljavaju za opskrbu Splita vodom . Nakon propasti Rimskog Carstva u kršćanskoj Evropi znanost je skoro tisuću godina stagnirala, ili čak i nazadovala. Gričke su spoznaje o mehanici fluida zaboravljene, a velike su rimske hidrogradnje zapuštene ili uništene. U arapskom je svijetu nastavljen razvoj hidrauličkih strojeva i naprava; usavršeno je vodeničko kolo i vjetrenjača, izumljeni su neki novi hidraulički automati. poboljšani su vodovodni uređaji itd. Neke od tih pronalazaka Mauri su donijeli u Španjolsku, a neke su, kao npr. usavršeno vodeničko kolo križari prenijeli u Evropu. U srednjem vijeku nastaje zastoj u izgradnji

vodoopskrbe. Početci izgradnje vodovoda u evropskim gradovima zabilježeni su krajem XII i početkom XIII stoljeća. U našim krajevima značajna je izgradnja vodovoda u Dubrovniku. Vodovod od izvora Šumet do grada duljine oko 10 km izgrađen je 1436 godine. Nakon vodovoda izgrađena je velika Onofrijeva česma u središtu Dubrovnika. U XV st. renesansa je oslobodila umjetnost i znanost od skolastičkih stega, pa se i mehanika fluida ponovno počinje razvijati. Na osnovi promatranja prirode i fizikalnih pokusa Leonardo da Vinci (1452—1519) opisuje u svojim radovima mnoge pojave hidrostatike, hidrodinamike i mehanike leta. Prvi je postavio

Uvod

3

princip zakona kontinuiteta, a približno je točno rastumačio relativno gibanje, prirodu valova na površini vode, putanju slobodnog mlaza kapljevine, raspodjelu brzina u vrtložnom strujanju, protjecanje vode u otvorenim kanalima, stvaranje virova u području odjeljivanja strujnica itd. Otkrio je strujni oblik tijela i izradio nacrte različitih hidrauličkih strojeva, medu njima i centrifugalne pumpe, a kao veliki zagovornik eksperimentalnih metoda istraživanja predložio je postupke i mjerne instrumente za istraživanja u mehanici fluida. Od renesanse do polovice XVII st gotovo svi radovi o mehanici fluida zasnivali su se na pokusima i neposrednom promatranju pojava. Mehanika fluida ipak se nije mogla dalje razvijati samo na osnovi eksperimenata i zapažanja, definirajući osnovne pojmove opisno i bez jasne međusobne veze. Za kvantitativni i kvalitativni opis pojava i njihove međuovisnosti bile su potrebne nove matematičke spoznaje bolje poznavanje osnovnih zakona fizike; taj je napredak ostvaren tokom XVII st. Postavljena je osnova analitičke geometrije, razvijen je infinitezimalni i integralni račun, te primijenjen za matematički opis hidrodinamičkih pojava. Uveden je pojam fluida kao kontinuuma, pojam viskoznosti fluida, te analizirano gibanje fluida pomoću principa količine gibanja. Potkraj XVII st. matematika se već toliko razvila da je mogla poslužiti za opis osnovnih zakona gibanja fluida, što je bio preduvjet da se u XVIII st. postave temelji moderne hidrodinamike. Tada postavljene teorije i razvijeni postupci matematičke analize gibanja fluida i danas su osnove hidrodinamike. Međutim, u to su vrijeme inženjeri znali vrlo malo matematike da bi razumjeli te teorije, pa ih nisu ni prihvatili, nego su nastavili rješavati praktične probleme, uglavnom pomoću pokusa i opažanja. Tako su se hidraulika i hidrodinamika kroz gotovo dva sljedeća stoljeća razvijale neovisno jedna o drugoj; hidraulika je postajala sve korisnije inženjersko umijeće, a hidrodinamika sve elegantnija matematička disciplina. Tokom XVIII i XIX st. učinjen je golem napredak u eksperimentalnoj hidromehanici. U XIX st. teorijska hidrodinamika također je mnogo napredovala. Na prijelazu u XX st. postalo je očito da treba ukloniti jaz između teorijske hidrodinamike i inženjerske hidraulike ako se želi dalji napredak znanosti o fluidima. To je značilo da se teorija mora povezati s fizikalnim činjenicama koje su utvrđene eksperimentima i neposrednim mjerenjima. Tako je počelo ujedinjavanje analitičkih i eksperimentalnih istraživanja, pa je nastala znanstvena disciplina nazvana mehanikom fluida. U drugoj polovici XX stoljeća brz razvoj računala i numeričkih metoda omogućio je razvoj numeričke mehanike fluida. Numerička mehanika fluida zajedno s teoretskim i eksperimentalnim pristupom omogućila je rješavanje niza problema koje do tada nije bilo moguće riješiti. Od početka XX st. pa do danas mehanika fluida postigla je golem napredak. Nove su spoznaje o fluidima omogućile brzi razvoj znanstvenih i tehničkih disciplina u kojima je fluid jedan od utjecajnih faktora.

Osnovne jednadžbe dinamike fluida

4

2. OSNOVNE JEDNADŽBE DINAMIKE FLUIDA

2.1 Osnovni zakoni klasične fizike Klasična fizika zasniva se na pretpostavci apsolutnosti vremena, što znači da je tijek vremena isti u dva koordinatna sustava koji se gibaju relativno jedan prema drugom. Osnovni zakoni fizike su formulirani u Euklidovom trodimenzijskom prostoru koji je predstavljen skupom točaka čiji se položaj može opisati koordinatama xi, gdje je i = 1,2,3 desnog inercijalnog kartezijskog koordinatnog sustava. U radu će se koristiti kartezijski tenzori i indeksni način označavanja. Za definiranje fizikalnih zakona od temeljnog je značaja hipoteza o fluidu kao kontinuumu jer omogućava matematički opis strujanja fluida vremenski i prostorno promjenjivim skalarnim, vektorskim i tenzorskim poljima te primjenu diferencijalnog i integralnog računa. Osnovni fizikalni zakoni moraju biti uvijek zadovoljeni bez obzira na vrstu fluida i specifična reološka i termodinamička svojstva fluida. Oni vrijede za materijalni sustav čestica fluida. Pod materijalnim sustavom čestica fluida, materijalnim volumenom VM(t), podrazumijeva se određena masa fluida koja se sastoji od jednih i istih čestica fluida. Materijalni volumen je ograničen materijalnom površinom SM(t). Osnovni zakoni (aksiomi) fizike su: - zakon održanja mase ili jednadžba kontinuiteta, - zakon brzine promjene količine gibanja ili jednadžba količine gibanja, - zakon brzine promjene momenta količine gibanja ili jednadžba momenta količine gibanja, - zakon održanja energije ili energetska jednadžba, - zakon brzine produkcije entropije. U nastavku će se dati matematički zapis osnovnih zakona u integralnoj formi uz primjenu izraza za materijalnu derivaciju fizikalnog svojstva P:

DDPt

Pt

vPxj

j= +

∂∂

∂∂

(2.1)

2.1.1 ZAKON ODRŽANJA MASE Masa m materijalnog volumena je konstantna. Matematički zapis glasi:

DD

DD

dmt t

VV tM

= ∫ ρ( )

0= (2.2)

gdje je ρ gustoća fluida, [ρ]=ML-3, [ρ]SI=kg/m3


5

2.1.2 ZAKON BRZINE PROMJENE KOLIČINE GIBANJA Brzina promjene količine gibanja materijalnog volumena jednaka je zbroju vanjskih masenih i površinskih sila koje djeluju na materijalni volumen. Matematički zapis:

DD

d d ( ) Sdt

v V f V niV t

iV t

i jS tM M M

ρ ρ σ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫= + (2.3)

vi - vektor brzine strujanja, [vi]=LT-1, [vi]SI=m/s fi - specifčna masena sila, [fi]=LT-.2, [fi]SI=m/s2

σi(nj) - vektor naprezanja u ravnini orjentiranoj jediničnim vektorom normale nj, [σi]=ML-1T-2, [σi]SI=N/m2

Vrijedi izraz: σi (nj ) = σji nj (2.4) gdje je: σji - tenzor naprezanja, [σji ]=ML-1T-2, [σji]SI=N/m2

Matematički zapis ovog zakona glasi:

DD

d dt

v V f V n SiV t

iV t

jiS t

jM M M

ρ ρ σ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫= + d (2.5)

2.1.3 ZAKON BRZINE PROMJENE MOMENTA KOLIČINE GIBANJA Brzina promjene momenta količine gibanja materijalnog volumena u odnosu na proizvoljno izabran pol, jednaka je zbroju momenata vanjskih masenih i površinskih sila koje djeluju na materijalni volumen u odnosu na taj pol. Matematički:

DD

d dt

x v V x f V x n Sijk j kV t

ijk j kV t

ijk j k lS tM M M

ρε ρε ε σ= +∫ ∫ ∫( ) ( ) ( )

( )d (2.6)

εijk - permutacijski tenzor trećeg reda, [εijk]=1 Korištenjem izraza (2.4) ovaj zakon dobiva oblik:

DD

d dt

x v V x f V x n Sijk j kV t

ijk j kV t

ijk j lk lS tM M M

ρε ρε ε σ= +∫ ∫ ∫( ) ( ) ( )

d (2.7)

2.1.4 ZAKON ODRŽANJA ENERGIJE Brzina promjene energije (unutrašnje i kinetičke) materijalnog volumena jednaka je snazi vanjskih masenih i površinskih sila i brzini dovođenja/odvođenja topline materijalnom volumenu.


6

Matematički:

DD

d d ( ) dt

e V f v V n v S q n SV t

i iV t

i j iS t

i iS tM M M M

ρ ρ σ= + −∫ ∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )

d (2.8)

Korištenjem izraza (2.4), jednadžba (2.8) prelazi u oblik:

DD

d d dt

e V f v V n v S q n SV t

i iV t

ji j iS t

i iS tM M M M

ρ ρ σ= + −∫ ∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )

d (2.9)

gdje je: e - specifična ukupna energija, [e] = L2 T-2, [e]SI = J/kg e = u + eM u - specifična unutrašnja energija eM - specifična kinetička (mehanička) energija

eM = 12

vi vi

qi - vektor površinske gustoće snage toplinskog toka [qi] = MT-3, [qi]SI = J/m2s

2.1.5 ZAKON BRZINE PRODUKCIJE ENTROPIJE Brzina produkcije entropije materijalnog volumena jednaka je:

σ ρ= + ∫∫DD

d dt

s Vq nT

Sj j

S tV t MM

0( )( )

≥ (2.10)

gdje je: σ - produkcija entropije [σ] = ML2T-3θ-1 [σ]SI = W/K s - specifična entropija [s] = L2T-2θ-1 [s]SI = J/kgK T - apsolutna temperatura [T] = θ [T]SI = K Ovaj zakon predstavlja uvjet jednosmjernosti termodinamičkih procesa. U jednadžbama (2.6) za brzinu promjene momenta količine gibanja uvedena je pretpostavka da ne postoje vanjski maseni i površinski momenti; postoje samo momenti vanjskih masenih i površinskih sila. Iz ove pretpostavke neposredno slijedi da je tenzor naprezanja σji simetričan tenzor, odnosno jednadžba količine gibanja i momenta količine gibanja slijede jedna iz druge, pa se u nastavku neće navoditi jednadžba momenta količine gibanja. Korištenje ovih jednadžbi je alternativno. Jednadžba momenta količine gibanja obično se koristi za rješavanje problema strujanja fluida u kojima postoji rotacijsko gibanje u odnosu na fiksnu os, kao npr. kod turbostrojeva. Dobiveni sustav jednadžbi, jednadžbe: (2.2), (2.5), (2.9) i (2.10), moguće je primjenom teorema Gauss-Ostrogradski i leme o proizvoljnosti volumena integracije prevesti u sustav od šest skalarnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi sa šesnaest nepoznatih polja: - gustoća ρ, - tri komponente vektora brzine vi , - šest komponenti tenzora naprezanja σji , - specifična unutrašnja energija u,


7

- tri komponente vektora površinske gustoće snage toplinskog toka qi, - specifična entropija s, - apsolutna temperatura T. Ovaj sustav jednadžbi je univerzalan i vrijedi za bilo koji fluid, ali u matematičkom smislu nije zatvoren; sadrži više nepoznanica nego jednadžbi. Usklađivanje broja jednadžbi s brojem nepoznatih polja vrši se uvođenjem dopunskih jednadžbi (konstitutivnih relacija) koje opisuju specifična reološka i termodinamička svojstva fluida. Uvođenjem konstitutivnih relacija dobije se zatvoreni skup jednadžbi za čije je posebno rješenje potrebno znati početne i granične uvjete.

2.2 Konstitutivne (dopunske) relacije Konstitutivne relacije povezuju unutrašnje stanje fluida sa vanjskim fenomenološkim efektima. U nastavku će se razmatrati homogeni, izotropni, jednokomponentni, jednofazni, kemijski inertni fluid. Konstitutivne relacije su slijedeće:

2.2.1 GENERALIZIRANI NEWTONOV ZAKON VISKOZNOSTI Generalizirani Newtonov zakon viskoznosti daje vezu između tenzora naprezanja i tenzora brzine deformacije, a temelji se na slijedećim pretpostavkama: - tenzor naprezanja je linearna funkcija gradijenta brzine, - fluid je homogen i izotropan, - tenzor naprezanja je simetričan tenzor, - koeficijenti u linearnoj vezi između tenzora naprezanja i tenzora brzine deformacije su funkcija lokalnog termodinamičkog stanja. Opći oblik ovog zakona, uz navedene pretpostavke, glasi: σ δij ij ijp= − + ∑ (2.11) p - mehanički tlak, [p] = ML-1T-2, [p]SI = Pa δij - jedinični tenzor, [δij] = 1 - devijatorski dio tenzora naprezanja, ij∑ [ ]ij∑ =ML-1T-2, [ ]ij∑ SI = Pa Vrijede relacije:

p kk= −13

σ (2.12)

ij ij kk ij v kk ijD D D∑ = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +2

13

μ δ μ δ (2.13)

Dvx

vxij

i

j

j

i= +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

12

∂∂

∂∂

(2.14)

gdje je:


8

Dij - tenzor brzine deformacije, [ ]Dij = −T 1, [ ]Dij SI= −s 1

μ - koeficijent dinamičke viskoznosti, [ ]μ = − −ML T1 1, [ ]μ SI = Pas

μv - koeficijent volumenske viskoznosti, [ ]μv = − −ML T1 1, [ ]μ SI = Pas Koeficijenti μ i μv su fizikalna svojstva i zavise od lokalnog termodinamičkog stanja fluida. Fluidi koji slijede zakon (2.11) se nazivaju newtonski fluidi.

2.2.2 FOURIEROV ZAKON TOPLINSKE VODLJIVOSTI Fourierov zakon toplinske vodljivosti daje vezu između vektora površinske gustoće snage toplinskog toka i gradijenta temperature, a zasniva se na slijedećim pretpostavkama:

- vektor površinske gustoće snage toplinskog toka je linearna funkcija gradijenta temperature,

- fluid je homogen i izotropan, - koeficijenti u linearnoj vezi su funkcije lokalnog termodinamičkog stanja. Opći oblik zakona, uz navedene pretpostavke glasi:

qTxi

i= −λ

∂∂

(2.15)

λ - koeficijent toplinske vodljivosti fluida, [λ] = MLT-3θ-1, [λ]SI = J/msK Koeficijent λ predstavlja fizikalno svojstvo fluida i zavisi od lokalnog termodinamičkog stanja fluida.

2.2.3 TOPLINSKA JEDNADŽBA STANJA ρ = ρ (p,T) (2.16)

2.2.4 KALORIČKA JEDNADŽBA STANJA u = u(p,Τ ) (2.17) Korištenjem dopunskih relacija, (2.11), (2.15), (2.16), (2.17), dobiva se zatvoreni sustav od osam skalarnih jednadžbi sa osam skalarnih nepoznatih polja (ρ, vi , p, T, u, s). Jednadžba produkcije entropije (2.10) se može rješavati neovisno o ostalim jednadžbama iz sustava; ona sadrži nepoznato polje entropije s koje ne egzistira u ostalim jednadžbama. U ovom radu se neće rješavati entropija, a po potrebi je moguće jednadžbu produkcije entropije naknadno riješiti. Tako se dobiva sustav od sedam jednadžbi, koji uz dopunske relacije sadrži slijedeće jednadžbe: - zakon održanja mase, - zakon brzine promjene količine gibanja, - zakon održanja energije, sa sedam nepoznatih skalarnih polja: ρ, vi , p, u, T.


9

2.3 Osnovni fizikalni zakoni za proizvoljni volumen Proizvoljni volumen V(t) predstavlja volumen čije su granice, u matematičkom smislu, definirane zadanom funkcijom F(t,x )=0. Koristeći Leibnizov teorem o deriviranju volumenskog integrala s promjenjivom granicom integracije, za slučaj da je podintegralna funkcija P volumenska gustoća polja fizikalne veličine, dobiva se:

( ) ( )( )

dd

d dt

P VPt

V Pu nV t

j jS tV t

∫ ∫= +∂∂

dS∫ (2.18)

gdje je: S(t) - granična površina proizvoljnog volumene zadana u obliku F(xi,t)=0, uj - brzina gibanja granice proizvoljnog volumena,

u n

FtFx

j j

j

= −

∂∂∂∂

Specijalan slučaj Leibnizovog teorema dobiva se kada se granica proizvoljnog volumena giba istom brzinom kao i čestice fluida (uj =vj ); proizvoljni volumen postaje materijalni volumen pa se izraz (2.18) može pisati u obliku:

( ) ( ) ( )

DD

d dt

P VPt

V Pv nV t V t

j jS tM M M

∫ ∫ ∫= +∂∂

dS (2.19)

Jednadžba (2.19) poznata je u literaturi kao Reynoldsov transportni teorem. Za vremenski trenutak t=to izrazi (2.18) i (2.19) dobivaju oblik:

( ) ( ) ( )

dd

d dt

P VPt

V Pu nV t V t

j jS t0 0 0

∫ ∫ ∫= + ∂∂

dS (2.20)

( ) ( ) ( )

DD

d dt

P VPt

V Pv nV t V t

j jS tM M M0 0 0

∫ ∫ ∫= +∂∂

dS (2.21)

Ako se u određenom vremenskom trenutku t=to volumeni VM(t0) i V(t0) i njihove granice SM(t0) i S(t0) podudaraju, tada su prvi članovi desnih strana izraza (2.20) i (2.21) međusobno jednaki, što vodi do jednakosti:

( ) ( ) ( ) ( )

DD

dd

dt

PdVt

P V P v u n dSV t t t V t t t

j j jS t S tM M

∫ ∫ ∫⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + −

= = =0 0 0 0

( ) (2.22)

Izraz (2.22) daje vezu između brzine promjene fizikalnog sadržaja unutar materijalnog i proizvoljnog volumena. Njegovom primjenom mogu se osnovni zakoni koji vrijede za materijalni volumen prevesti u oblike zakona koji vrijede za proizvoljni volumen.


10

2.3.1 JEDNADŽBA KONTINUITETA ZA PROIZVOLJNI VOLUMEN Ako se u jednadžbu (2.22) za podintegralnu funkciju P uvrsti gustoća fluida, (P=ρ), dobiva se jednakost lijevih strana jednadžbi (2.22) i (2.2). Iz jednakosti desnih strana istih jednadžbi slijedi:

( )dd

d dt

V v u n SV t

j j jS t

ρ ρ( ) ( )∫ ∫+ − 0=

ili u drugom obliku:

( )dd

dt

dV u v n SV t

j j jS t

ρ ρ( ) ( )∫ ∫= − (2.23)

Brzina promjene mase proizvoljnog volumena jednaka je brzini istjecanja mase kroz granice proizvoljnog volumena.

2.3.2 JEDNADŽBA KOLIČINE GIBANJA ZA PROIZVOLJNI VOLUMEN Ako se u lijevu stranu jednadžbe (2.22) za podintegralnu funkciju P uvrsti količina gibanja ρvi (P=ρvi), dobiva se jednakost lijevih strana jednadžbi (2.22) i (2.5). Iz jednakosti desnih strana istih jednadžbi slijedi:

( )( )( )

dd

d d dt

v V v v u n S f V n Si iS tV t

j j j i ji jS tV t

ρ ρ ρ σ+ − = +∫∫ ∫∫( )( )

d


( )dd

d d dt

v V f V n S v u v n Si iV tV t

ji jS t

i j j jS t

ρ ρ σ ρ= + + −∫∫ ∫ ∫( )( ) ( ) ( )

d (2.24)

Brzina promjene količine gibanja proizvoljnog volumena jednaka je zbroju vanjskih masenih i površinskih sila koje djeluju na proizvoljni volumen i brzini izmjene količine gibanja kroz granice proizvoljnog volumena.

2.3.3 ENERGETSKA JEDNADŽBA ZA PROIZVOLJNI VOLUMEN Ako se u lijevu stranu jednadžbe (2.22), za podintegralnu funkciju P uvrsti specifična ukupna energija (P=ρe), dobiva se jednakost lijevih strana jednadžbi (2.22) i (2.9). Iz jednakosti desnih strana istih jednadžbi slijedi:

( )( ) ( )

dd

d d d dt

e V e v u n S fv V v n S q n SV t

j j j iV t

iS t

jiS t

i j i iS t

ρ ρ ρ σ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫+ − = + − d∫



11

( )

( )dd

d d d dt

e V fv V v n S q n S e u v n SV t

i i jiS t

i jV t

i i j j jS tS t

ρ ρ σ ρ( ) ( ) ( )( )∫ ∫∫ ∫∫= + − + − d

(2.25) Brzina promjene ukupne energije (unutrašnje i kinetičke) proizvoljnog volumena jednaka je snazi vanjskih masenih i površinskih sila, brzini dovođenja topline i brzini izmjene ukupne energije kroz granice proizvoljnog volumena

Hidrodinamički model

12

3. HIDRODINAMIČKI MODEL JEDNODIMENZIJSKOG IZOTERMIČKOG NESTACIONARNOG STRUJANJA SLABO STLAČIVOG FLUIDA

U radu će se dati hidrodinamički model zasnovan na pretpostavci izotermičkog strujanja slabo stlačivog fluida u elastičnom cjevovodu kruto vezanom za podlogu. Budući da fluid struji pri konstantnoj temperaturi (T=const), i unutrašnja energija je konstantna (u=const), pa se energetska jednadžba, praktički, svodi na jednadžbu mehaničke energije, te ne donosi novu informaciju u odnosu na jednadžbu količine gibanja. Energetska jednadžba daje odgovor kojom brzinom treba izmjenjivati toplinu, koja je posljedica viskozne disipacije mehaničke energije s okolinom da bi strujanje ostalo izotermičko, što je nebitno sa stajališta strujanja. Prema tome, hidrodinamički model izotermičkog strujanja uključuje jednadžbu kontinuiteta i jednadžbu količine gibanja. Promjena gustoće kapljevine zavisno o tlaku definirana je izrazom za brzinu zvuka. Prema [ brzina širenja slabog tlačnog poremećaja, c, (brzina zvuka) definirana je odnosom c =dp/dρ. Uzimanje pretpostavke ρ=const. (nestlačivi fluid) dalo bi beskonačnu brzinu širenja tlačnog poremećaja u fluidu, što je nefizikalno. Poznato je da će brzina zvuka u realnom fluidu ovisiti o volumenskom modulu elastičnosti fluida i o elastičnosti cjevovoda. Empirički izraz za stlačivost fluida po [ u diferencijalnom obliku: dV/V = - dp/K, gdje je K-volmenski modul elastičnosti, [ ] [ ]

]10

]8K = − −ML T1 2, K SI Pa= .

Izvod izraza za brzinu zvuka kod strujanja slabo stlačivog fluida u elastičnom cjevovodu bit će dan u poglavlju 3.2.3. Za elastični cjevovod kruto vezan za podlogu uvodi se pretpostavka: R =R(t), L što znači da se polumjer cijevi R mijenja sa vremenom, a duljina cijevi L je fiksna.

L t≠ ( )

Uzimajući u obzir navedene pretpostavke, hidrodinamički model izotermičkog strujanja slabo stlačivog fluida zasniva se na slijedećim jednadžbama: - jednadžba kontinuiteta, - jednadžba količine gibanja, - izraz za brzinu zvuka (dp=c2dρ). Ovaj sustav od pet jednadžbi sadrži pet nepoznatih polja: - polje gustoće, - polje brzine (tri komponente), - polje tlaka. Polazeći od općeg trodimenzijskog modela moguće je izvesti jednadžbe za nestacionarno jednodimenzijsko strujanje fluida u dva koraka: - postavljanjem makroskopskih bilanci na tipičnom dijelu cjevovodnog sistema, - svođenjem tog volumena na infinitezimalni dobivaju se diferencijalne jednadžbe jednodimenzijskog strujanja.

3.1 Makroskopske bilance


13

Slika 3.1 Dio cjevovodnog sustava Za postavljanje makroskopskih bilanci potrebno je uvesti model - dio jednostavnog cjevovodnog sustava (sl 3.1), na kojeg će se primijeniti prethodno izvedene jednadžbe za proizvoljni volumen uz određene pretpostavke. Pretpostavke su: - od masenih sila na sistem djeluje samo polje gravitacije sa potencijalom

fUxi

i= −

∂∂

fi =gi =(0,0,-g) , U = gx3 = gz

- u presjecima Su i Si , gustoća, tlak i ostala fizikalna svojstva su uniformna po poprečnom presjeku cijevi - srednja n-ta potencija normalne komponente brzine dana je izrazom:

vS

v Sn n

S

= ∫1d (3.1)

gdje su uvedene oznake: SU - ulazna površina, propusna za masu SI - izlazna površina, propusna za masu SW - površina zida, nepropusna za masu, propusna za toplinu; preko nje fluid prenosi silu na okolinu U - potencijal masene sile , [ ]U = −L T2 2, [ ]U SI m s= 2 2 gi - vektor ubrzanja sile gravitacije, [ ]gi = LT-2 , [ ]g i SI

2m s= S - poprečni presjek cijevi, [ ] [ ]S S= =L m2

SI2,

Zbog kratkoće pisanja, za bilanciranje masa i količina gibanja uvest će se oznaka Δχ χ χ= −u i (3.2)

3.1.1 MAKROSKOPSKO BILANCIRANJE MASE Desna strana jednadžbe kontinuiteta za proizvoljni volumen (2.23) sadrži integral po površini S(t). Taj se integral može rastaviti na dva integrala po površinama SU +SI i SW kako slijedi:

dd

d dt

V u v n S u v nj j jS SV t

j j jSU I W

ρ ρ ρ= − + −+

∫∫ ∫( ) ( )( )

dS

Kako je brzina gibanja granice na površinama SU +SI jednaka nuli, (uj = 0), to će biti:


14

ρ ρ( )u v n S v nj j j j jS SS S U IU I

− = −++

∫∫ d dS

S

Na površini zida brzina gibanja granice i brzina gibanja čestica su jednake (uj =vj) pa slijedi:

=0 ρ( )u v nj j jSW

−∫ d

Dobiva se makroskopska bilanca mase:

dd

d dt

V v nV t

j jS SU I

ρ ρ( )∫ ∫= −

+

S

ili:

dd

dt

VV t

ρ( )

.∫ = −Δ m (3.3)

gdje je:

m v nj j SS

.= ∫ ρ d

m.

- maseni protok, m.⎡

⎣⎢⎤⎦⎥= MT-1, m

.⎡⎣⎢

⎤⎦⎥SI =kg/s

3.1.2 MAKROSKOPSKO BILANCIRANJE KOLIČINE GIBANJA Desna strana jednadžbe (2.24) sastoji se od tri integrala: Prvi integral je:

ρf V G f giV t

i i id( )

, ,∫ = =

Gi - sila težina, [ =ML2T-2, [ SI=N ] ]

d

)

Gi Gi

Drugi integral se može napisati kao zbroj integrala po površinama SU +SI i SW:

( ) ( )σ ji jS t

i ij j i ij jSS S

n S pn n S pn n SWU I

d d( )∫ ∫∫= − + + − +

+

Σ Σ

Kako se na površinama SU +SI devijatorski dio tenzora naprezanja može zanemariti , dobiva se: ( Σij ≅ 0

( ) ( )[ ]− + = − = −++

∫∫ pn n S pn S v Si ij j iS SS S

iU IU I

Σ Δd d 0 ρ

gdje je v i

0 - jedinični vektor brzine u smjeru osi cijevi a na površini SW :


15

( )− + = −∫ pn n S Fi ij jS

iW

Σ d

-Fi - sila, kojom sistem djeluje na fluid Fi - sila, kojom fluid djeluje na sistem Treći integral se također može rastaviti na dva integrala:

ρ ρ ρv u v n S v u v n S v u v n Si j jS t

j i j jS S

j i j jS

jU I W

( ) ( ) ( )( )

− = − + −∫ ∫ ∫+

d d d

Kako je brzina gibanja granice jednaka nuli na ulaznoj i izlaznoj površini (uj =0), dobiva se:

( )[ ]ρ ρv u v n S v v n S v v Si j jS S

j i jS S

j iU I U I

( )− = − = −+ +

∫ ∫d d Δ 0 2ρ

Na površini zida, brzina gibanja granice jednaka je brzini gibanja čestica (uj=vj) pa je:

ρv u v n Si j jS

jW

( )− =∫ d 0

Korištenjem prethodnih izraza dobiva se makroskopska bilanca količine gibanja:

([ ]dd

dt

v V G F v v p SiV t

i i iρ ρ( )∫ = − − +Δ 0 2 ) (3.4)

3.2 Osnovne diferencijalne jednadžbe jednodimenzijskog strujanja Cijevna mreža, kao što je vodovod, je konstrukcija koja ima jako izraženu jednu linearnu dimenziju. Kod takve konstrukcije promjene u smjeru strujanja su dominantne u odnosu na ostale smjerove. Prema definiciji, jednodimenzijsko strujanje je strujanje fluida kroz elementarnu strujnu cijev, a sve fizikalne veličine su funkcije koordinata u smjeru strujanja. Strujanje fluida kroz tehničke cijevi se može sa dovoljnom točnošću smatrati jednodimenzijskim, ako su zadovoljeni slijedeći uvjeti: - promjene fizikalnih veličina poprečno na smjer strujanja zanemarive su u odnosu na promjene u smjeru strujanja, - relativna promjena poprečnog presjeka u smjeru strujanja je mala, - radijus zakrivljenosti osi cijevi je velik u odnosu na karakterističnu linearnu dimenziju poprečnog presjeka, - profili svih fizikalnih veličina na poprečnom presjeku neznatno se mijenjaju u smjeru strujanja.


16

Slika 3.2 Diferencijalni dio cjevovodnog sustava τw - tangencijalno naprezanje na zidu cijevi, [ ] [ ]τ τW W= =M L T Pa-1 -2

SI,

dSp - projekcija površine dSW na smjer okomit na os cijevi, dSτ - projekcija površine dSW na smjer osi cijevi. Razmotrit će se strujanje fluida u dijelu cijevi kod koje su ulazna i izlazna površina na infinitezimalnoj udaljenosti dx (sl. 3.2). Uz sve navedene pretpostavke u prethodnim poglavljima, uvode se i slijedeće: - zbog infinitezimalne udaljenosti ulazne i izlazne površine konačne promjene Δχ

u jednadžbama makroskpskih bilanci prelaze u promjene ∂∂χx

xd ,

- volumen V(t)=S(t)dx, - prema integralnom teoremu o srednjoj vrijednosti, vrijednost volumenskog inte-

grala neke veličine f po infinitezimalnom volumenu V je fdV fV fS xV∫ = = d .

Potrebno je uvesti izraz za promjenu varijable χ unutar proizvoljnog infinitezimalnog volumena:

ddχ χ χt t

uxj

j= +

∂∂

∂∂

(3.5)

gdje je uj - brzina gibanja granice volumena. Kako je u smjeru strujanja (longitudinalnom smjeru), za koji se postavlja jednadžba količine gibanja, uj =0, slijedi:

ddχ χt

=∂∂t

(3.6)

3.2.1 JEDNADŽBA KONTINUITETA

Lijeva strana jednadžbe (3.3) glasi: dd

dt

VV t

ρ( )∫

Korištenjem treće pretpostavke iz uvoda ovog poglavlja može se pisati:

( )dd

ddd

dt

Vt

S xV t

ρ ρ( )∫ =


17

Korištenjem izraza (3.6) dobiva se:

( ) ( ) ( )dd

d dd

d dt

S xt

S x Sxt

xSt

S xt

ρ ρ ρ ρρ

= = + +∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Budući da je prvi član desne strane gore navedene jednadžbe jednak nuli, jer x ne zavisi od vremena, slijedi:

( ) ( )dd

d = d dt

S x xSt

St

St

xρ ρρ ρ∂

∂∂∂

∂∂

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= (3.7)

Desna strana jednadžbe (3.3)

( ) ( )− = − = − = − = −∫Δ m

mx

xx

v Sx

vS xvSx

xS t

..

( )

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

d d dρ ρρ

d (3.8)

Izjednačavanjem izraza (3.7) i (3.8) dobiva se parcijalna diferencijalna jednadžba jednodimenzijskog strujanja - jednadžba kontinuiteta:

( ) ( )∂∂

∂∂

ρ ρSt

vSx

= − (3.9)

3.2.2 JEDNADŽBA KOLIČINE GIBANJA Jednadžba makroskopske bilance količine gibanja (3.4) je vektorska jednadžba, te je potrebno izvršiti projiciranje te jednadžbe na smjer osi cijevi, (os x), odnosno cijelu jednadžbu pomnožiti sa jediničnim vektorom brzine v i

0 koji je tangencijalan na smjer osi x. Za ravnu cijev v i

0 = const

( )( )dd

d0 0 0 0

tv v V G v Fv v v v p Si

V ti i i i i i iρ

( )∫ = − − +Δ 0 2ρ (3.10)

Lijeva strana jednadžbe (3.10) može se pisati:

dd

ddd

d0 0

tv v V

tv vv Vi

V ti

V ti iρ ρ

( ) ( )∫ ∫= 0

Kako je v i

0v i0 =1, dobiva se:

(dd

ddd

dt

v Vt

vS xV t

ρ ρ( )∫ = ) . Korištenjem (3.6) dobiva se:

( )dd

dt

v Vt

vS xV t

ρ∂∂

ρ( )∫ = d (3.11)

Prvi član desne strane jednadžbe (3.10) može se pisati:


18

Gv f di i iV t

i0 = ∫ ρ

( )Vv 0 . Korištenjem (3.6) i činjenice da je sila gravitacija konzervativna sila,

slijedi: ( )

G v S xUx

v S xgzx

v gS xzx

v gS xzxi i

ii

ii

ii

0 0 0 0= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = − = −ρ ρ ρ ρd d d

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

d

(3.12) U gornjoj jednadžbi z predstavlja geodetsku visinu, a x koordinatnu os duž osi cijevi, te derivacija ∂ ∂z x predstavlja sinus kuta što ga zatvara os cijevi s horizontalom. Drugi član na desnoj strani jednadžbe (3.10) je:

( )Fv pn v S t vi i i iS

W i iSW W

0 0= − +∫ ∫d dd d

τ S0

dS

Projekcija površine dSW na smjer normale: d dS S n vp W i i= =0 na smjer tangente: d d dxS S t v DW i iτ π= ≅0 Korištenjem gore navedenog izraza, drugi član dobiva oblik: Fv p S S p S Di i p W W

0 = − + x= − +d d d dτ τ πτ (3.13) Treći član na desnoj strani jednadžbe (3.10), uz korištenje v i

0v i0 =1 može se pisati:

( )( ) ( ) ( ) ( )Δ p v S

pS v Sx

xpSx

xv Sx

x+ =+

= +ρρ ρ2

2 2∂∂

∂∂

∂∂

d d d (3.14)

Povezivanjem članova (3.11), (3.12), (3.13) i (3.14) jednadžbe količine gibanja i nakon deriviranja i dijeljenja cijele jednadžbe sa Sdx, dobiva se oblik:

( )1 12 02 2

S tvS g

zx

DS

px S

vSx

vvx

vxW

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρ ρ τπ

ρ ρρ

+ + + + + + = (3.15)

Nakon parcijalnog deriviranja jednadžbe kontinuiteta (3.9) dobiva se: ρ

ρρ ρ ρv

SSx

vvx

vx

vS

St

vt

22 0

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+ + + + = (3.16)

Potrebno je izvršiti parcijalno deriviranje prvog člana jednadžbe (3.15), i usporediti jednadžbe (3.15) i (3.16). U jednadžbi (3.15) postoje članovi koji su jednaki članovima iz jednadžbe (3.16) i njihov zbroj je jednak nuli kao što se vidi iz jednadžbe kontinuiteta (3.16). Nakon izjednačavanja te sume sa nulom, jednadžba količine gibanja poprima oblik:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

px

DS

gzx

vvx

vt

W+ + + + =πτ

ρ ρ ρ 0 (3.17)

Sustav jednadžbi sastoji se od parcijalnih diferencijalnih jednadžbi:


19

- jednadžba kontinuiteta

( ) ( )∂∂

∂∂

ρ ρSt

vSx

= − (3.18)

- jednadžba količine gibanja

∂∂

∂∂

∂∂

px

DS

gzx

vvx

vt

W+ + + + =πτ

ρ ρ ρdd

0 (3.19)

u kojoj je uzeto u obzir da je z=z(x), funkcija samo uzdužne koordinate x, a ne i vremena t. - izraz za brzinu zvuka

cp2 =

ddρ

(3.20)

3.2.3 IZRAZ ZA BRZINU ZVUKA Ranije spomenuti izraz za stlačivost fluida d dV V p K= − odnosi se na fluid u spremniku koji ima nepomične granice, odnosno na fluid u krutom cjevovodu, te pokazuje kako se povećanjem tlaka u spremniku (cijevi) smanjuje volumen fluida. Za elastični cjevovod, kod kojeg dolazi do širenja cijevi, promjena volumena fluida uslijed promjene tlaka je dvojaka: - povećanjem tlaka dolazi do smanjenja volumena fluida (zbog stlačivosti fluida)

− =d dVV

pK

k (3.21)

- povećanjem tlaka dolazi do povećanja volumena cijevi, a time i fluida . Promjena volumena dVσ uslijed elastične deformacije cijevi može se prikazati izrazom analognom izrazu (3.21)

d dVV

pK

σ

σ= (3.22)

gdje će se koeficijent Kσ odrediti primjenom Hookovog zakona. Ukupna promjena volumena fluida u elastičnom cjevovodu dobivena djelovanjem tlaka dobiva se zbrajanjem jednadžbi (3.21) i (3.22), pa slijedi:

-d d

dV V

Vp

K Kk +

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟σ

σ

1 1 (3.23)

Da bi se jednadžbu (3.23) svelo na oblik (3.21) uvodi se: − = − +d d dV V Vk σ


20

1 1K K K

= +σ

1, pa se dobiva:

− =d dVV

pK

(3.24)

Koeficijent Kσ računa se iz pretpostavke elastičnog cjevovoda (linearna zavisnost naprezanja i deformacije, Hookov zakon). Slika 3.3 prikazuje polovinu dijela cijevi elastičnog cjevovoda. Cijev ima debljinu stjenke s, duljinu L, polumjer R. Volumen cijevi duljine L je V R L= 2π Prirast volumena je ( )[ ]d dV R R R L R Rσ π π= + − =2 2 2 d L Hookov zakon σ ε= E gdje je: σ - naprezanje, [ ] [ ]σ σ= =ML T Pa-1 -2

SI ε - relativna deformacija, [ ] [ ]ε ε= = =LL-1

SI1, m m E - Youngov modul elastičnosti materijala, [ ] [ ]E E= =ML T Pa-1 -2

SI,

Kako je σ = =FS

pDLsL

d2

, a za ovaj slučaj ε =dRR

Slika 3.3 Polovina dijela cijevi elastičnog cjevovoda

Uvrštavanjem izraza za V i dVσ dobiva se : d dVV

RR

σ =2

iz čega je: d dRR

VV

=12

σ

Tako se za ε dobiva: ε σ= =d dRR

VV

12

. Ako se u jednadžbu σ ε= E uvrste novi izrazi za σ i

ε slijedi: d dVV

psE D

σ = . Zaključuje se da je: KsEDσ = :

Volumenski modul elastičnosti K za fluid u elastičnom cjevovodu bit će

1 1K K

DsE

= + (3.25)


21

Poznati izraz za brzinu zvuka cp2 =

ddρ

može se pisati u obliku:

cK2 =ρ

, ako se zamijeni -d dVV

=ρρ

.

Konačan izraz za brzinu zvuka kod strujanja slabo stlačivog fluida u elastičnom cjevovodu glasi:

c

KDEs

=+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

11

ρ (3.26)

3.2.4 ALTERNATIVNI OBLICI JEDNADŽBE KONTINUITETA I JEDNADŽBE KOLIČINE GIBANJA

U sustavu jednadžbi (3.18) do (3.20) pojavljuju se vremenske i prostorne derivacije tlaka, gustoće i brzine. Tako se gustoća fluida mijenja vrlo malo po apsolutnoj vrijednosti, ali za slučaj nagle promjene tlaka parcijalna derivacija gustoće po vremenu ne mora biti mala u odnosu na derivacije ostalih veličina, te bi u praktičnom proračunu trebalo voditi računa i o tim malim promjenama gustoće. Isto vrijedi i za površinu poprečnog presjeka S. Međutim, polazeći od navedenih jednadžbi moguće je doći do alternativnih oblika u kojima će sve promjene biti prikazane pomoću derivacija piezometričke visine i brzine. U nastavku se daje izvod alternativnih oblika jednadžbi (3.18) i (3.19). Jedanadžba kontinuiteta Nakon parcijalnog deriviranja jednadžbe kontinuiteta (3.18) i dijeljenja cijele jednadžbe sa (ρvS) dobiva se:

1 1 1 1 1

vSSt v t S

Sx v

vx x

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+ = − + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ρρ

ρρ

(3.27)

Površina poprečnog presjeka cijevi: S D= 2 4π (3.28) Kao što se vidi iz jednadžbe (3.27) potrebno je derivirati:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

St

DDt

Sx

DDx

= =π π2 2

, (3.29)

U prethodnom poglavlju navedeni su izrazi za naprezanje σ ε= E , σ =ΔpD

sE2 i deformaciju:

ε =ΔDD

. Iz njih se može dobiti: ΔΔ

DD p

Es=

2

2

Parcijalnim deriviranjem prethodnog izraza dobiva se:


22

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Dt

DEs

pt

Dx

DEs

px

= =2 2

2,

2 (3.30)

Prvi član lijeve strane i prvi član desne strane jednadžbe (3.27), koristeći izraze (3.29) i (3.30) mogu se pisati:

1 1

vSSt

DvEs

pt S

Sx

DEs

px

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= =, (3.31)

Ranije navedeni izraz za stlačivost fluida: − =d dVV

pK

može se pisati u obliku:

d dρ

ρ=

pK

(3.32)

te vrijedi:

1 1 1 1ρ

ρρ

ρ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂x K

px t K

pt

= =, (3.33)

Za dobivanje alternativnog oblika jednadžbe kontinuiteta želi se umjesto tlaka p uvesti piezometrička visina h. Zato je potrebno uvesti izraz za piezometričku visinu:

hpg

z= +ρ

. Iz njega se može izraziti: ( )p g h z= −ρ

Parcijalnim deriviranjem izraza za p dobiva se:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

px

ghx

zx

pt

ght

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =ρ ρ

dd

, (jer je ∂∂zt

= 0) (3.34)

Uvrštavanjem izraza (3.31), (3.33) i (3.34) u jednadžbu (3.27) i korištenjem izraza za brzinu zvuka (3.26) dobiva se alternativni oblik jednadžbe kontinuiteta:

vhx

ht

cg

vx

vzx

∂∂

∂∂

∂∂

+ + − =2

0dd

(3.35)

Jednadžba količine gibanja Jednadžba količine gibanja (3.19) može se napisati u drugom obliku koristeći izraz za ∂ ∂p x (3.34) u zavisnosti od piezometričke visine h. Smično naprezanje na stjenci τw modelira se izrazom:

τλ

ρw v=8

2 (3.36)

koji se dobije uvrštavanjem izraza ΔpLD

vf = λ ρ

2

2, (Darcy-Weibachov obrazac) u izraz za

smično naprezanje na stjenci: τw pDL

=14

Δ f gdje je Δpf -pad tlaka u cjevovodu zbog trenja.

Uvrštavanjem izraza (3.36) u jednadžbu (3.19) i nakon dijeljenja cijele jednadžbe sa ρg dobiva se alternativni oblik jednadžbe količine gibanja:


23

∂∂

∂∂

∂∂

hx

vg

vx g

vt

v vgD

+ + +1

20=

λ (3.37)

Numerički postupak

24

4. NUMERIČKI POSTUPAK U prethodnom poglavlju izvedene su jednadžba kontinuiteta (3.35) i jednadžba količine gibanja (3.37) koje uz (3.26) predstavljaju model jednodimenzijskog nestacionarnog strujanja slabo stlačivog fluida u elastičnom cjevovodu kruto vezanom za podlogu. Te jednadžbe čine sustav od dvije nelinearne nehomogene parcijalne diferencijalne jednadžbe prvog reda hiperboličkog tipa za čije je rješavanje vrlo pogodna metoda karakteristika. Stacionarno rješenje sustava jednadžbi postavljanih za razgranatu cjevovodnu mrežu razmatrati će se u poglavlju 4.1, dok će se rješavanje nestacionarnih pojava razmatrati u poglavljima 4.2 do 4.5.

4.1 Metoda Hardy - Crossa za proračun stacionarnoga strujanja u cijevnim mrežama

Cijevna mreža je složeni sustav koji se sastoji od različitih dijelova kao što su cijevi, pumpe, ventili, tlačne posude, rezervoari, a shematski se može prikazati kao određeni broj elemenata koji su povezani u čvorovima. Tako se npr. čvor definira na mjestu račvanja cjevovoda, na mjestu spoja dvije cijevi različitog promjera ili pak u bilo kojoj točki cjevovoda u kojoj se želi saznati vrijednost brzine i tlaka. .

Model stacionarnoga strujanja fluida direktno slijedi iz modela nestacionarnoga strujanja (jednadžbe (3.35) i (3.37)) u kojima se nestacionarni članovi izjednačuju s nulom. Osim toga, članovi v h x v z x∂ ∂ ∂ ∂− , koji predstavljaju doprinos promjeni brzine uslijed promjene presjeka cijevi, zbog elastične deformacije, mogu se zanemariti te se jednadžba kontinuiteta svodi na poznatu činjenicu konstantnosti brzine duž cijevi konstantnog presjeka: ∂ ∂v x = 0. Tada se jednadžba količine gibanja (3.37), nakon integracije, svodi na poznati izraz Darcy-Weisbacha. Prema tome, model stacionarnoga strujanja može se formulirati u slijedećem obliku: 1. Za svaki čvor suma protoka koji ulaze u čvor mora biti jednaka sumi protoka koji izlaze iz čvora. 2. Za svaku cijev mora biti zadovoljena Darcy-Weisbachova jednadžba tj. uspostavljen odnos između visine gubitka mehaničke energije i protoka. Darcy-Weisbachova jednadžba glasi:

hLD

vg

LD

Qg

rQ Qf = = =λ λπ

2

5

2

228

gdje je Q 2 zamijenjen sa Q Q čime se povezuje predznak visine gubitaka mehaničke energije sa smjerom protoka. hf - visina gubitka mehaničke energije zbog otpora trenja, [ ] [ ]h L hf f= =,

SIm

λ - koeficijent otpora trenja, [ ]λ = 1

λ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟f

kD

Re,

Za određivanje vrijednosti λ u ovom će se radu koristiti slijedeće formule: - za područje laminarnog strujanja

Numerički postupak

25

λ = ≤64

2320Re

, Re

- za područje turbulentnog strujanja

λ =

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⋅ ≤ ≤ < <−1325

37574

5 10 10 10 10

0 9

23 8 6,

ln,

,Re

, Re ,

,kD

kD

−2

jednadžba Jain-Swamee, [ koja je eksplicitna i aproksimira Colebrookovu implicitnu formulu s pogreškom unutar 1%.

]17

U režimu turbulentnoga strujanja, za određivanje koeficijenta λ, smatra se najtočnijom implicitna Colebookova formula:

1

086863707

2523λ λ

= − +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

, ln,

,Re

k

Q - volumenski protok, [ ] [ ]Q Q= =L T m s3 -1

SI3,

Re - Reynoldsov broj, [ ] Re = 1

Re = =vD Q

Dυ πυ4

ν - koeficijent kinematičke viskoznosti, [ ] [ ]υ υ= =L T m s2 -1

SI, k - visina hrapavosti, [ ] [ ]k k= =L mSI, k/D - relativna hrapavost, [ ]k D = 1 r - pomoćni koeficijent, [ ] [ ]r r= =L T s m-5 2

SI, 2 5

rL

D g= λ

π85 2

Računanje stacionarnog strujanja u cijevnim mrežama moguće je izvršiti pomoću različitih numeričkih metoda, a u ovom radu koristi se metoda Hardy-Crossa. Metoda Hardy-Crossa zasniva se na činjenici da algebarska suma padova tlaka u zatvorenoj petlji mora biti jednaka nuli, i to vrijedi za svaku petlju. Prvi korak u ovoj metodi je pretpostaviti protok u svakoj cijevi petlje, tako da jednadžba kontinuiteta bude zadovoljena u svakom čvoru; zatim treba iterativno računati korekcije protoka za svaku petlju sve dok se ne izvrši potpuno balansiranje mreže, u smislu da je suma visina gubitaka mehaničke energije unutar petlji jednaka nuli. U iterativnom postupku korekcije protoka, jednadžba kontinuiteta za čvorove se ne narušava. Za svaku cijev unutar petlje vrijedi: ( ) ( ) ( )Q Q Qi

ki

k= +−1 Δ k (4.1) gdje je:

( )Qik - protok u i-toj cijevi petlje u k-toj, tekućoj iteraciji

( )k −1 - protok u i-toj cijevi određen u prethodnoj iteraciji Qi( )kΔQ - korekcija protoka u tekućoj iteraciji, jednaka za sve cijevi u istoj petlji

Također, za svaku cijev vrijedi:

Numerički postupak

26

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]h r Q r Q Qfik

ik

ik

ik

ik k= = +−2 1 2

Δ (4.2) Budući je korekcija ( )ΔQ k malena u usporedbi sa ( )Qi

k − 1 , član , koji se dobije kvadriranjem gore navedenog binoma, se može zanemariti, te slijedi:

( )[ΔQ k 2]

(4.3) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]h r Q Q Qfi

ki

ki

ki

k k= +− −1 2 12 Δ

Za svaku petlju vrijedi da je suma visina gubitaka mehaničke energije zbog otpora trenja u pojedinim cijevima jednaka nuli, (u svakoj iteraciji). Matematički:

(4.4)

n - broj cijevi u određenoj petlji,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )h h h h hfk

fk

fik

fnk

fik

i

n

1 21

0+ + + + + = ==∑. . . . . .

( )hfik je pozitivan za pozitivni protok Q (kojem se smjer poklapa sa smjerom opisivianja petlje), i

negativan za negativni protok. Uvrštavanjem izraza (4.3) u jednadžbu (4.4) dobiva se slijedeća jednadžba:

(4.5) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )r Q Q r Qik

ik

i

nk

ik

ik

i

n−

=

−

=+ =∑ ∑1 2

1

1

12 0Δ

Iz jednadžbe (4.25) dobiva se korekcija protoka u određenoj petlji, u k - toj iteraciji:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )ΔQr Q Q

r Qk i

ki

ki

k

ik

ik= −

− −

−

∑∑

1 1

12 (4.6)

Opći izraz za korekciju protoka unutar petlje glasi:

ΔQhhQ

fi

fi

i

= −∑

∑ ∂∂

Korekcija protoka ΔQ dodaje se protoku čija se orijentacija poklapa sa pretpostavljenom orijentacijom obilaska petlje, a oduzima od protoka čija je orijentacija suprotna pretpostavljenoj orijentaciji obilaska petlje. Iterativni postupak balansiranja protoka u cijevnoj mreži sastoji se od slijedećih koraka: 1. Pretpostaviti distribuciju protoka pri čemu mora biti zadovoljena jednadžba kontinuiteta u svim čvorovima. 2. Za svaku cijev u petlji izračunati i sumirati gubitke visine mehaničke energije h r Qf i i∑ ∑= Qi , te izračunati 2r Qi i∑ . Omjer tih suma sa negativnim predznakom daje korekciju ΔQ koju, zatim, treba dodati/oduzeti svakom protoku u petlji. 3. Postupak pod 2. ponoviti za svaku petlju u mreži. 4. Točku 2. i 3. ponavljati sve dok korekcija ΔQ postane dovoljno malena, tj. dok se zadovolji kriterij točnosti ΔQ < ε , pri čemu je ε - zadana točnost za protok.

Numerički postupak

27

Izraz (4.6) vrijedi za svaku petlju u mreži koja se sastoji samo od cijevi. U mreži se, kako je gore navedeno, nalaze se i drugi elementi. Jedan od elemenata koji se često pojavljuje u mreži je ventil. Visina gubitaka mehaničke energije zbog otpora trenja koja nastaje na elementu-ventilu računa se po formuli:

h Kvg

KQ

gDrQ Qf = =

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

=2 2

422

24π

gdje je Q 2 zamijenjen sa Q Q čime je povezan predznak visine gubitka mehaničke energije sa smjerom protoka. K - koeficijent lokalnog otpora trenja ventila, [ ]K = 1 r - pomoćni koeficijent, [ ] [ ]r r SI= =−L T s m5 2 2 5,

rKg

D=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

21

44

2π (4.8)

S obzirom da je ∂∂

hQ

r Qf = 2 , izraz za korekciju protoka u petlji koja pored cijevi sadrži i

ventile jednak je izrazu (4.6) s tim da se svaki ri za i-ti element-ventil računa prema gore navedenom izrazu (4.8). Nepovratna zaklopka se, također, pojavljuje u cijevnim mrežama i to najčešće iza pumpe jer ona ima funkciju sprečavanja natražnog strujanja kroz pumpu. Pretpostavlja se da kroz otvorenu zaklopku nema gubitaka trenja, a ako fluid ima tendenciju natražnog strujanja pretpostavlja se da zaklopka idealno zatvara te je brzina strujanja kroz nju jednaka nuli. Ako se u mreži nalazi pumpa postupak je slijedeći: Pumpa je uređaj koji dovodi energiju fluidu, te se visina dobave pumpe H p može tretirati kao negativni gubitak visine mehaničke energije, dakle u jednadžbi za petlju u kojoj se sumiraju visine gubitaka, H p će se pojaviti sa negativnim predznakom. Visina dobave H p se može aproksimirati kubnim polinomom:

H C C Q C Q C Qp = + + +0 1 22

33 ,

pri čemu su: C C C C0 1 2, , , 3 - koeficijenti karakteristike pumpe Karakteristika pumpe obično je zadana grafički, a do koeficijenata se dolazi povlačenjem kubnog polinoma (npr. metodom najmanjih kvadrata) kroz očitane točke iz grafički prikazane karakteristike. Kod proračuna protoka u mreži, mora se voditi računa da protok kroz pumpu mora biti pozitivan jer rješenja sa natražnim strujanjem kroz pumpu nisu zadovoljavajuća. Izraz za korekciju protoka u petlji u kojoj se nalazi pumpa glasi:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )ΔQ

r Q Q H

r QHQ

k ik

ik

ik

p

ik

ik p

= −−

+

− −

−

∑∑

1 1

12dd

(4.9)

gdje je:

( ) ( )[ ] ( )[ ]H C C Q C Q C Qp pk

pk

pk= + + +− −

0 11

21 2

31 3

− ,

Numerički postupak

28

( ) ( )[ ]ddHQ

C C Q C Qpp

kp

k= + +− −1 2

13

12

2 3

a protok kroz pumpu se računa iterativno kao i za ostale elemente: ( ) ( ) ( )Q Q Qp

kp

k k= +−1 Δ U cijevnim mrežama gotovo redovito se pojavljuje više rezervoara, što znači da mreža može imati više zadanih visina tlaka. U tom slučaju jedan od zadanih tlakova proglasi se za osnovni tlak i iz tog čvora prema svim ostalim čvorovima sa zadanim tlakom definiraju se pseudo-elementi. To su elementi kroz koje nema strujanja fluida, a koji pokazuju kolika je razlika piezometričkih visina između dva čvora sa zadanim tlakom. Pri tome se razlika piezometričkih visina zadaje pozitivnom ako ona od osnovnog čvora prema drugom čvoru sa zadanom piezometričkom visinom pada, i obrnuto, kada piezometrička visina raste, razlika je negativna. Zatvaranjem petlje preko pseudo-elementa osigurava se da suma visina gubitaka mehaničke energije niza cijevi koje sa pseudo-elementom čine petlju bude upravo jednaka zadanoj razlici piezometričkih visina na pseudo-elementu. Izraz za korekciju protoka u petlji sa pseudo-elementom je:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )ΔQr Q Q h h

r Qk i

ki

ki

kr r

ik

ik= −+ −− −

−

∑∑

1 11

122 (4.10)

gdje je: hr1 - piezometrička visina u osnovnom čvoru pseudo-elementa hr2 - piezometrička visina drugog čvora pseudo-elementa Korekcija protoka provodi se samo za stvarne elemente.

4.2 Metoda karakteristika Metoda karakteristika je numerička metoda kojom se vrši transformiranje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi u obične diferencijalne jednažbe, tj. njihovo prevođenje u karakterističan oblik i pronalaženje jednažbi karakteristika - linija u X-Y ravnini uzduž kojih vrijede obične diferencijalne jednadžbe. Drugi korak je rješavanje dobivenih običnih diferencijalnih jednadžbi koje se najčešće provodi nekim od numeričkih postupaka. Sustav od dvije nelinearne nehomogene parcijalne diferencijalne jednadžbe prvog reda napisan u općem obliku glasi:

L AUX

BUY

CVX

DVY

E1 1 1 1 1 1 0≡ + + + +∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

L AUX

BUY

CVX

DVY

E2 2 2 2 2 2 0≡ + + + + =∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(4.11)

gdje su: U, V - zavisne varijable X, Y - nezavisne varijable

Numerički postupak

29

A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1, D2, E1, E2 - poznate funkcije od U, V , X, Y Potrebno je naći rješenje sustava: U =U (X,Y), V =V (X,Y). (4.12) Metodom karakteristika dobit će se obične diferencijalne jednadžbe koje povezuju zavisne i nezavisne varijable uzduž karakteristika, te će umjesto parcijalnih derivacija ostati samo totalni diferencijali:

d d dUUX

XUY

Y= +∂∂

∂∂

d dV dVX

XVY

Y= +∂∂

∂∂

(4.13)

Jednadžbe (4.1) mogu se transformirati u karakterističan oblik formiranjem linearne kombinacije polaznih jednadžbi: L L= L+σ σ1 1 2 2 (4.14) gdje su: σ1,σ2 - nepoznati multiplikatori koji predstavljaju funkcije zavisnih i nezavisnih varijabli, a koji se biraju tako da se u jednadžbi (4.4) pojavljuju samo totalni diferencijali dU i dV, tj. L treba imati oblik: L = M dU + N dV + I dX (4.15) Nakon uvrštavanja jednadžbi (4.11) u izraz (4.14), te izlučivanja članova M i N dobiva se:

( ) ( )L A AUX

B BA A

UX

C CVX

D DC C

VX

= + +++

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥+ + +

++

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥+σ σ

σ σσ σ

σ σσ σσ σ1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 21 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

)

A

( σ σ1 1 2 2E E+ (4.16) Definiranjem slijedećih veličina: ( )M A= +σ σ1 1 2 2

( )N C C= +σ σ1 1 2 2

( )G B B= +σ σ1 1 2 2 ( )H D D= +σ σ1 1 2 2 ( )I E E= +σ σ1 1 2 2 (4.17) jednadžba (4.6) može se pisati u obliku:

L MUX

GM

UY

NVX

HN

VY

I= +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+ +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(4.18)

Ako se multiplikatori σ1 i σ2 izaberu tako da je duž nekih jednoznačno definiranih linija u X-Y ravnini zadovoljen uvjet:

dd

YX

GM

HN

= = = ξ (4.19)

nakon uvrštavanja jednadžbe (4.19), množenja sa dX, jednadžba (4.18), se može pisati u razvijenom obliku:

Numerički postupak

30

( ) ( ) ( )σ σ σ σ σ σ1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 0A A U C C V E E X+ + + + +d d =d (4.20) Jednadžba (4.20) se zove karakteristična jednadžba sustava ili uvjet kompatibilnosti. Koristeći izraze (4.17) jednadžba (4.19) se može pisati u drugom obliku, iz kojeg je moguće odrediti multiplikatore σ1 i σ2, odnosno eliminirati ih, pa se dobiva sustav jednadžbi: ( ) ( )σ ξ σ ξ1 1 1 2 2 2 0B A B A− + − =

(4.21) ( ) ( )σ ξ σ ξ1 1 1 2 2 2 0D C D C− + − = Ovaj sustav će imati rješenja σ1 i σ2 različita od trivijalnih samo ako je determinanta sustava (4.21) jednaka nuli. Razvoj determinante daje jednadžbu: a b cξ ξ2 0+ + = (4.22) gdje je a AC A C= −1 2 2 1 b A D B C AD B C= + − −2 1 2 1 1 2 1 2 c B D B D= −1 2 2 1 (4.23) Karakteristična jednadžba sustava se može definirati samo uzduž realnih karakteristika. Postojanje realne karakteristike zavisi od predznaka diskriminante jednadžbe (4.22), te je to kriterij po kojem se određuje tip parcijalne diferencijalne jednadžbe. b a Postoje dva realna rješenja koja definiraju dvije jednadžbe c2 4− > 0 karakteristike u X-Y ravnini, čiji su nagibi tangenti definirani izrazima:

ξ++

=⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=− + −d

dYX

b b aa

2 42

c

ξ−−

=⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=− − −d

dYX

b b aa

2 42

c

0

0

(4.24)

Parcijalne diferencijalne jednadžbe su hiperboličkog tipa i na njih se može primijeniti metoda karakteristika. b a Postoji jedno realno rješenje - može se definirati samo jedna c2 4− = jednadžba karakteristike u X-Y ravnini. Parcijalne diferencijalne jednadžbe su paraboličkog tipa i ne mogu se riješiti metodom karakteristika. b a Ne postoji niti jedno realno rješenje te u X-Y ravnini ne c2 4− < postoje realne karakteristike. Parcijalne diferencijalne jednadžbe su eliptičkog tipa i na njih se također ne može primijeniti metoda karakteristika. Jednadžbe karakteristika (4.24) su obične diferencijalne jednadžbe, a njihovo integriranje daje dvije familije krivulja u X-Y ravnini, (slika 4.1) C + - familija karakteristika nastala integracijom jednadžbe ( )ξ+ +

= d dY X

Numerički postupak

31

C −- familija karakteristika nastala integracijom jednadžbe ( )ξ− −

= d dY X

Slika 4.1 Jednadžbe karakteristika u X-Y ravnini Za eliminiranje multiplikatora σ1 i σ2, jednadžbu kompatibilnosti (4.20) treba podijeliti sa σ2 pa se dobiva oblik: ( ) ( ) ( )zA A U zC C V zE E X1 2 1 2 1 2 0+ + + + +d d d = (4.25) pri čemu je z =σ1 /σ2, a on se može izraziti iz jednadžbe (4.21). Nakon njegovog uvrštavanja u (4.15) dobiva se konačan oblik uvjeta kompatibilnosti - jednadžba (4.26) u kojem se pojavljuju samo totalni diferencijali dU, dV, dX, koeficijenti A1,A2 ,...E1,E2, te nagibi karakteristika ξ. ( ) ( ) ( )[ ]AB A B U AC A C B C B C V1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2− + − + −d dξ +

=

(4.26) ( ) ( )[ ]AE A E B E B E X1 2 2 1 2 1 1 2 0− + −ξ d Sustav jednažbi (4.24) i (4.26) je sustav koji se sastoji od dva para običnih diferencijalnih jednadžbi: - uzduž karakteristika koje pripadaju C + familiji krivulja definiranih izrazom za ξ+ varijable dU, dV, dX i dY su povezane jednadžbom kompatibilnosti (4.26) u kojoj je za ξ uvršten ξ+ - uzduž karakteristika koje pripadaju C − familiji krivulja definiranih izrazom za ξ− varijable dU, dV, dX i dY su povezane jednadžbom kompatibilnosti (4.26) u kojoj je za ξ uvršten ξ−

4.3 Primjena metode karakteristika na usvojeni hidrodinamički model

Numerički postupak

32

Prvi korak u primjeni metode karakteristika je transformiranje sustava parcijalnih diferencijalnih jednadžbi u obične diferencijalne jednadžbe . Uspoređivanjem sustava parcijalnih diferencijalnih jednadžbi (jednadžba kontinuiteta (3.35) i jednadžba količine gibanja (3.37) sa sustavom parcijalnih diferencijalnih jednadžbi napisanih u općem obliku (4.11) može se zaključiti: -nezavisne varijable su: X = x Y = t, -zavisne varijable su: U = h (piezometrička visina) V = v (brzina) Koeficijenti su: A1 = v A2 = 1 B1 = 1 B2 = 0 C1 = c2/g C2 = v/g D1 = 0 D2 = 1/g E1 =−v z x∂ ∂ E2 = ( )λv v gD2 (4.27) Iz njih slijede koeficijenti kvadratne jednadžbe (4.22):

× av c

gb

vg

cg

=−

= − =2 2 2 1

, , (4.28)

Kriterij za određivanje tipa parcijalne diferencijalne jednadžbe: daje: 4

4 42

2

2 2

2

2

2vg

v cg

cg

−−

= > 0, što znači da je sustav jednadžbi (3.35) (3.37), sustav

parcijalnih diferencijalnih jednadžbi hiperboličkog tipa, i u ravnini x-t postoje dvije jednadžbe

karakteristika: dd

tx

v c=

±, a nagibi tangenti karakteristika su:

ξ ξ++

−−

=⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=+

=⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=−

dd

dd

tx v c

tx v c

1 1, (4.29)

Karakteristična jednadžba sustava, odnosno uvjet kompatibilnosti dobiva se uvrštavanjem koeficijenata (4.27), te izraza za ξ (4.29) u jednadžbu (4.26) i glasi:

± + + − =gc

ht

vt

v vD

gvc

zx

dd

dd

dd

λ2

0

Član −gvc

zx

dd

je za horizontalne cjevovode identički jednak nuli, a u drugim slučajevima je

malen u odnosu na član dv/dt te ga se obično zanemaruje. Pozitivna karakteristika ima nagib ( )d dt x v c= +1 i uzduž nje vrijedi izraz:

+ + + =gc

ht

vt

v vD

dd

dd

λ2

0 (4.30a)

Negativna karakteristika ima nagib ( )d dt x v c= −1 i uzduž nje vrijedi izraz:

− + + =gc

ht

vt

v vD

dd

dd

λ2

0 (4.30b)

Numerički postupak

33

Jed meričkimnadžbe (4.30) su obične diferencijalne jednadžbe koje se mogu riješiti nu

stupkom uz poznavanje početnih i rubnih uvjeta.

4.4 Numerički postupak za rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi

Obične diferencijalne jednadžbe (4.20) riješit će se, u ovom poglavlju, numeričkim ostupkom - metodom konačnih razlika tako da se infinitezimalni diferencijali dh, dv, dx i dt

po

pzamijene konačnim razlikama Δh, Δv, Δx i Δt. Te jednadžbe vrijede uzduž karakteristika C + i C − koje se mogu predstaviti u x-t koordinatnom sustavu, (slika 4.2). S obzirom da je kod nestlačivog strujanja brzina zvuka c konstantna unutar jednog elementa, a brzina strujanja v m la

dnosu na brzinu zvuka c, iz diferencijalne jednadžbe karakteristike slijedi da su karakteristike približno pravci. Duljina cjevovoda L dijeli se na n dijelova duljine Δx - elementi cjevovoda. Vremenski korak integracije Δt mora zadovoljavati kriterij Lewy-Couranta, jer je tada rješenje sustava numerički stabilno. Kriterij Lewy-Couranta glas

au o

i:

Δ

Δt

x xΔ

v c c±maxγ (4.31)

dje je γ - koeficijent odstupanja od kriterija Lewy-Couranta,

% brzine zvuka c.

≤ =

g npr. γ = 0.95, [ ]γ = 1, što zadovoljava kriterij (4.31) jer brzina strujanja v ne prelazi 5

Slika 4.2 Izgled karakteristika u x-t ravnini

Numerički postupak

34

Na slici 4.2 točka P predstavlja poziciju čvora O u novom vremenskom trenutku u kojem su poznati piezometrička visina hP i brzina vP . Iz točke P se povlače pozitivna i negativna ne

karakteristika koje sijeku horizontalan pravac (prethodni vremenski trenutak) u točkama R i S. U tim točkama brzine i piezometričke visine su poznate, a dobivaju se linearnom interpolacijom brzina iz dvaju susjednih čvorova, pomoću faktora linearne interpolacije α i β, koji se definiraju u obliku:

( ) [ ] α = =MO

1 α α+ < =RO

1M R

Rv c

tx

ΔΔ

, ,1 1 (4.32)

( ) [ ]β β< =O S

2

tΔ,1 1 (4.33)

točkama R i S su:

β = = −O N

2N S

Sv c

xΔ,

Izrazi za linearnu interpolaciju brzina u ( )

( )v v v

v v vR M O1

= +S N O2

= + −

−

α α

β β

1

1 (4.34)

Izrazi za linearnu interpolaciju piezometričkih visina u točkama R i S glase:

h h hS N O= + −

( )h h hR M O= + −α α

( )β β1 (4.35)

U čvoru O su povezana dva elementa cjevovoda, uzvodni i nizvodni, koji su označeni rojevima i i j. Broj elementa je pozitivan ako se pretpostavljeni smjer strujanja kroz element

1

bpoklapa sa smjerom obilaska elemenata pri njihovu nizanju. Prema slici 4.2 elementi i i

infinitezimalni iferencijali zamijenjeni konačnim razlikama piezometričke visine i brzine između točaka P i R

j navode se s pozitivnim predznakom ako se element i uzima kao prvi. Ako bi se element j uzimao kao prvi, onda bi se oba elementa navodila s njihovim negativnim vrijednostima. Na elementu kojem je pretpostavljeni smjer strujanja u čvor, postavlja se jednadžba kompatibilnosti uzduž pozitivne karakteristike, a ako je strujanje kroz element iz čvora, postavlja se jednadžba kompatibilnosti uzduž negativne karakteristike. Uvođenjem predznaka sign(i) i sign(j) osigurano je da se na svakom elementu postavlja jednadžba kompatibilnosti uzduž odgovarajuće karakteristike, bez obzira da li je broj elementa naveden s pozitivnom ili negativnom vrijednošću. Jednadžbe kompatibilnosti, postavljene duž karakteristika u kojima sudte P i S, glase:

( ) ( ) ( ) sign ig

h

( ) ( )( )-sign

RP R P1 R R

SP S P2 S S

ch v v F

jgc

h h v v F

1

2

0

0

− + − + =

− + − + = (4.36)

gdje su:

Numerički postupak

35

( )

( )

F F v v Fv v

Dt

F F v v Fv v t

D

R R P1 R RO R

S S P2 S SO S

= + =+

= + =+

,

,

λ

λ

Δ

Δ

8

8

(4.37)

U jednadžbama (4.36) funkcija "sign" daje predznak i iznosi: sign ( = 1, za )i i > 0 sign ( = -1, za i )i < 0 Na slici (4.2) i i j imaju isti predznak; i u općem slučaju oba elementa imaju isti predznak - oni su ili pozitivni ili negativni ovisno o tome koji je smjer njihova nabrajanja. Budući da se koristi eksplicitno - implicitna metoda konačnih razlika, vrijednosti brzina i piezometričkih visina računaju se djelomično iz vrijednosti starog, a djelomično iz vrijednosti novog vremenskog trenutka. Tako su u izrazima FR i FS uzete srednje brzine ( )v vP1 R+ 2 , odnosno ( )v vP2 S+ 2, koje predstavljaju pomak iz starog vremenskog trenutka po prostornoj i vremenskoj koordinati. Da bi se izbjegla nelinearnost u jednadžbama (4.36), apsolutne vrijednosti brzina u izrazima za FR i FS računaju se kao srednje u prethodnom vremenskom trenutku: v vO R+ 2, odnosno v vO S+ 2. Sustav jednadžbi (4.36) sadrži dvije jednadžbe, i četiri nepoznanice: h h v vP P P P1 2 1, , , 2 . Da bi sustav bio matematički zatvoren nedostaju dvije jednadžbe; to su: h h hP P P1 2= = (4.38) - piezometričke visine u točkama P1 i P2 su jednake (točka P1 nalazi se tik uz točku P2 u elementu i, a točka P2 tik uz točku P u elementu j). v A v AP1 R P2 S− = 0 (4.39) - jednadžba kontinuiteta (protok koji ulazi u čvor jednak je protoku koji iz njega izlazi). AR - površina poprečnog presjeka elementa i, AS - površina poprečnog presjeka elementai j, cR - brzina zvuka kroz element i, cS - brzina zvuka kroz element j. Najčešći slučaj će biti da su površine AR i AS jednake, što znači da cijevni elementi imaju jednake promjere. Za slučaj da su te površine različite, znači da je čvor smješten u naglo proširenje odnosno naglo suženje (ovisno o smjeru strujanja fluida) i tada bi trebalo uzeti u obzir određene gubitke. U ovom radu se ti gubici zanemaruju, te se u skladu sa (4.38) pretpostavlja da je tlak u čvoru jedinstven, a brzine u lijevoj i desnoj dionici se određuju iz jednadžbe kontinuiteta (4.39). Navedene četiri jednadžbe predstavljaju zatvoren sustav koji se može riješiti npr. metodom supstitucije. Izlučivanjem vP1 iz prve jednadžbe dobiva se:

Numerički postupak

36

( )

( )v

gc

A hgc

A h i A v F

i A FP1R

R PR

R R R R R

R R

sign(

sign(=

− + −

+

)

)

1

1

− (4.40)

Nakon supstitucije brzine vP1 u drugoj jednadžbi, te korištenja izraza: ( ) ( )sign signj i = 1 (jer i i j imaju isti predznak), dobiva se jednadžba sa jedinom nepoznanicom hP :

( ) ( )

− + −++

+++

−

−−+

+ + − =

gc

A hgc

A hgc

FF

A hgc

FF

A h

iFF

F A v j F A v

SS P

SS S

R

S

RR P

R

S

RR R

R

RS R R S S Ssign( sign(

11

11

11

1 1) ) 0

Kada se gornja jednadžba podijeli sa ( )FS + 1 i izluči hP, dobiva se izraz za visinu tlaka u točki P ( novi vremenski trenutak):

( ) ( )

( ) ( )

h

gA h

c FA h

c Fi A v

FF

j A vFF

gA

c FA

c F

P

R R

R R

S S

S SR R

R

RS S

S

S

R

R R

S

S S

sign( sign(

=+

++

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−−+

+−+

++

+

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

1 111

11

1 1

) )

(4.41) Treba naglasiti da usvojeni matematički model ne uključuje mogućnost pojave kavitacije, te za slučaj njene pojave treba prekinuti s proračunom ili rezultate proračuna nakon pojave kavitacije uzimati s određenom rezervom. Zato, u slučaju kad je izračunati tlak manji od tlaka isparavanja, umjesto izračunate vrijednosti tlaka uzima se vrijednost tlaka isparavanja. Matematički: Ako je h z , onda je h hhP g p− < va z gP pva= + , gdje je: zg - geodetska visina čvora P, hpva - visina tlaka isparavanja Nakon izračunavanja hP , računaju se brzine u elementima i i j prema izrazima:

( )v vFF

g ih h

c FP1 RR

R

P R

R R

sign(=−+

−−

+

11 1

) (4.42)

( )v vFF

g jh h

c FP2 SS

S

P S

S S

sign(=−+

+−

+

11 1

) (4.43)

Numerički postupak

37

4.5 Modeliranje elemenata cijevne mreže - rubni uvjeti Cijevne mreže sadrže različite elemente, koje treba modelirati sukladno metodi karakteristika. U nastavku će se dati način modeliranja dva najčešća elemenata, a veći broj najčešćih rubnih uvjeta modeliran je u prilogu.

4.5.1 SPREMNIK

Slika 4.3 Spremnik kao rubni uvjet Spremnik se može pojaviti na uzvodnom ili nizvodnom kraju cijevi. Ako se nalazi na nizvodnom kraju cijevi, za rješavanje se koristi pozitivna karakteristika, a ako se nalazi na uzvodnom kraju cijevi koristi se negativna karakteristika. Obje situacije će se modelirati istim jednadžbama tako da se u jednadžbi kompatibilnosti uvede predznak elementa cijevi sign(i) i to pozitivan i kada se rezervoar nalazi na nizvodnom kraju cijevi, a negativan i kada se rezervoar nalazi na uzvodnom kraju cijevi. Jednadžba kompatibilnosti karakteristike elementa i koji se nalazi uz spremnik, glasi:

( ) ( ) ( ) ( ) signR

P R P1 R R P1 Rigc

h h v v F v v− + − + + = 0 (4.44)

Jednadžba (4.44) sadrži dvije nepoznanice: hP i vP, što znači da nedostaje još jedna jednadžba. Ona će se dobiti iz uvjeta da je piezometrička visina u spremniku konstantna, odnosno, općenito, da je poznata funkcija vremena. (4.45) h hP O= ( )t Iz jednadžbe (4.45) računa se piezometrička visina u novom vremenskom trenutku u točki P. Izraz za brzinu u elementu cijevi i dobiva se iz jednadžbe (4.44) nakon množenja zagrada i izlučivanja vP1:

( )v vFF

g ih h

c FP1 RR

R

P R

R R

sign(=−+

−−

+

11 1

) (4.46)

Numerički postupak

38

4.5.2 ČVOR SA VIŠE ELEMENATA - RAČVA

Slika 4.4 Račva kao rubni uvjet Račva se redovito pojavljuje u proračunu nestacionarnog strujanja, u složenim mrežama. Pri modeliranju račve moraju se ispuniti dva osnovna uvjeta: ne smije se ograničavati broj elemenata vezanih u račvu, te se mora moći identificirati smjer strujanja u elementima račve. Zato se, kod postavljanja jednadžbi kompatibilnosti uzduž karakteristika, koristi funkcija "sign" koja svakom elementu pridružuje predznak: sign(i)=1, za pretpostavljeni smjer protoka u račvu, dok je sign(i)=-1, za pretpostavljeni smjer strujanja fluida iz račve, (kroz element i ). Što se tiče prvog uvjeta, u radu će se izvesti izrazi za čvor sa tri elementa, ali će se na kraju dati izrazi koji vrijede za čvor sa n elemenata. Ako račva povezuje tri elementa cijevi: i, j, k, (slika 4.4), moguće je iz točke P povući tri karakteristike, tj. postaviti tri jednadžbe kompatibilnosti: (element i je pozitivan, a j i k su negativni)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

sign

sign

sign

RP R P1 R R P1 R

SP S P2 S S P2 S

TP T P3 T T P3 S

igc

h h v v F v v

jgc

h h v v F v v

kgc

h h v v F v v

1

2

3

0

0

0

− + − + + =

− + − + + =

− + − + + =

(4.47)

Navedene jednadžbe sadrže šest nepoznanica: h h h v v vP1 P2 P3 P P P, , , , ,1 2 3 . Zato treba uvesti još tri jednadžbe. Jedna od njih je jednadžba kontinuiteta: v A i v A j v A kP R P S P Tsign sign sign1 2 3 0( ) ( ) ( )+ + = (4.48) Ostale jednadžbe se dobivaju iz uvjeta jedinstvenosti tlaka u zajedničkom čvoru račve; piezometričke visine vezanih krajeva sva tri elemenata u račvi su jednake (zanemaren lokalni gubitak račve): h (4.49) h hP P P1 2 3= = = hP

________________________________________________________________________

Numerički postupak

39

Navedene jednadžbe, u matematičkom smislu, predstavljaju zatvoren sustav, koji nakon uvođenja izraza (4.49) poprima oblik:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

sign

sign

sign

RP R P1 R R P1 R

SP S P2 S S P2 S

TP T P3 T T P3 S

igc

h h v v F v v

jgc

h h v v F v v

kgc

h h v v F v v

− + − + + =

− + − + + =

− + − + + =

0

0

0

v A i v A j v A kP R P S P Tsign sign sign1 2 3 0( ) ( ) ( )+ + = Kada se iz jednadžbe kontinuiteta izluči vP3 i uvrsti u treću jednadžbu, dobiva se sustav od tri jednadžbe sa tri nepoznanice, koji nakon množenja sa AR, AS, AT dobiva oblik: gc

A hgc

A h i A v i A v i A F v i A F vR

R PR

R R R P1 R R R R P1 R R Rsign( sign( sign( sign(− + − + +) ) ) ) = 0

gc

A hgc

A h j A v j A v j A F v j A F vS

S PS

S S S P2 S S S S P2 S S Ssign( sign( sign( sign(− + − + +) ) ) ) = 0

( ) ( ) ( )gc

A hgc

A h i A v F j A v F k A v FT

T PT

T T R P1 T S P2 T T T Tsign( sign( sign(− − + − + + −) ) )1 1 =1 0

Slijedeći korak u rješavanju sustava jednadžbi je izlučiti vP1 iz prve i vP2 iz druge jednadžbe, uvrstiti ih u treću jednadžbu, te tako dobiti jednadžbu sa jedinom nepoznanicom hP:

( )

( )v

gc

A hgc

A h i A v F

i A FP1R

R PR

R R R R R

R R

sign(

sign(=

− + −

+

)

)

1

1

−

( )

( )v

gc

A hgc

A h j A v F

j A FP2S

S PR

S S S S S

S S

sign(

sign(=

− + −

+

)

)

1

1

−

( )

( ) ( )

gc

A hgc

A hgc

A hFF

gc

A hFF

i A vFF

Fgc

A hFF

gc

A hFF

j A vFF

F k A v F

TT P

TT T

RR P

T

R RR R

T

R

R RR

RT

SS P

T

S SS S

T

S

S SS

ST T T T

sign(

sign( sign(

− +++

−++

+

+−+

+ +++

−++

+

+−+

+ + − =

11

11

11

111

11

11

1 1 0

)

) )

Kada se gornja jednadžba podijeli sa (FT+1) i izluči hP , dobiva se izraz za piezometričku visinu u račvi koja se sastoji od tri elementa:

Numerički postupak

40

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

h

gA h

c FA h

c FA h

c F

gA

c FA

c F

A

c F

i A vFF

j A vFF

k A vFF

gA

c FA

c F

A

c F

P

R R

R R

S S

S S

T T

T T

R

R R

S

S S

T

T T

R RR

RS S

S

ST T

T

T

R

R R

S

S S

T

T T

sign( sign( sign(

=+

++

++

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

++

++

+

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−

−

−+

+−+

+−+

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

++

++

+

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

1 1 1

1 1 1

11

11

11

1 1 1

) ) )

(4.50)

Brzine u elementima računaju se prema izrazima:

( )v vFF

g ih h

c FP1 RR

R

P R

R R

sign(=−+

−−

+

11 1

)

( )v vFF

g jh h

c FP2 SS

S

P S

S S

sign(=−+

−−

+

11 1

)

( )v vFF

g kh h

c FP3 TT

T

P T

T T

sign(=−+

−−+

11 1

) (4.51)

gdje je izvršena kontrola visine tlaka hP-zg da ne bi pala ispod vrijednosti visine tlaka isparavanja, kako je dano u objašnjenju uz izraz (4.41) Prema izrazima (4.50) i (4.51) moguće je izvesti izraze za brzine u elementima i tlak u središnjem čvoru račve koja se sastoji od n elemenata:

( )

( )h

gA h

c Fi Av

FF

gA

c F

i

n

i

n

i

nP

i i

i ii i

i

i

i

i i

sign( )=

+−

−+

+

= =

=

∑ ∑

∑1

11

1

1 1

1

(4.52)

( )v vFF

g ih h

c FPi ii

i

P

i i

sign(= i−+

−−+

11 1

) (4.53)

i =1, n.

Numerički postupak

41

5. Primjeri primjene U ovom poglavlju demonstrirati će se na jednostavnim promjerima znanja iznesena u poglavlju 4. Na primjeru jednostavne cjevovodne mreže prikazati će se primjena metode Hardy - Crossa za iznalaženje stacionarnog rješenja. U nastavku izložiti će se teorija hidrauličkog udara u sustavu spremnik – cjevovod – ventil nastalog uslijed trenutnog zatvaranja ventila. Za taj slučaj strujanja će se simulirati nestacionarne pojave primjenom metode karakteristika izloženom u poglavlju 4.3 i 4.4.

5.1 Proračun stacionarnog strujanja unutar cjevovodne mreže Odradite tlakove u čvorovima i protok kroz cijevi za cjevovodni sustav prema slici. U opskrbnom čvoru 1 vlada pretlak od 1 bar. U čvorovima 3 i 4 zadana je potrošnja od 5 l/s, a u čvoru 5 potrošnja od 10 l/s. Sve cijevi su istog promjera D = 0.1 m, iste duljine L = 100 m. Radi lakšeg proračuna pretpostavite koeficijent trenja λ = 0.02. Gustoća fluida je ρ = 997.1 kg/m3.

Slika 5.1. Zadani cjevovodni sustav

Prvi korak u proračunu cjevovoda je da se numeriraju svi čvorovi i elementi, što je i napravljeno u sklopu zadavanja zadatka, kao što je prikazano na slici 5.1. Drugi korak u metodi Hardy Crossa je da se odrede inicijalni protoci za cjevovodnu mrežu. Dakle za svaki čvor mora biti zadovoljena jednadžba kontinuiteta (ulazni protok jednak je izlaznom.). Jedno od mogućih polaznih protoka prikazani su na slici 5.2.

Numerički postupak

42

5 l/s

Slika 5.2. Zadani inicijalni protoci U trećem koraku treba identificirati petlje. Što u ovom primjeru nije teško jer nema elemenata koji nisu u petlji te što postoje samo dvije petlje. Inače broj petlji jednak je broju elemenata uvećanom za jedan i umanjenom za broj čvorova. Broj čvorova = 5 Broj elemenata = 6 Broj petlji = 6 + 1 – 5 = 2 Znači da ćemo u proračunu imati 2 petlje. U četvrtom koraku za svaku se petlju računa suma padova tlaka i njihovih derivacija u elementima koji tvore petlju pa se određuje korekcija protoka . Svim elementima u petlji čiji se smjer poklapa sa smjerom obilaska petlje ta se korekcija protoka dodaje, a u suprotnom oduzima. Jedna iteracija Obuhvaća korekcije protoka u svim petljama mreže.

jQΔ

Formule kojima ću se služiti prilikom ireracije su:

4Re QD π ν

⋅=

⋅ ⋅

64Re

λ = ; za laminarno strujanje Re < 2300

5 l/s

5 l/s 10 l/s

/s

/s/s

15 l20 l

10 l

2 1

5 l/s

0 l/s 0 l/s

Numerički postupak

43

2

0.9

1.3255.74ln

3.7 Rek

D

λ =⎡ ⎤⎛ ⎞+⎜ ⎟⎢ ⎥⋅⎝ ⎠⎣ ⎦

; za turbulentno strujanje Re > 2300

5

8 LrD g

λ 2π⋅

= ⋅⋅ ⋅

2r Q Q

r Q⋅ ⋅

Δ = −⋅ ⋅

∑∑

gdje su

Oznaka Jedinica Opis veličine Re 1 Reynoldsov broj Q s/m3 protok kroz cijev D m promjer cijevi ν s/m 2 koeficijent kinematičke viskoznosti λ 1 koeficijent otpora trenja k m visina hrapavosti

k/D 1 relativna hrapavost r 52 m/s pomoćni koeficijent L M duljina cijevi Δ 1 korekcija protoka za sve elemente koji tvore petlju

U konkretnom slučaju radi jednostavnosti proračuna svi koeficijent otpora trenja biti će jednaki i iznosit će λ = 0.02. U stvarnim proračunima promjenu koeficijenta trenja svakako treba uzeti u obzir. Kako je u test primjeru zadano da su sve cijevi jednakog promjera i duljine koeficijent r moguće je izračunati

r λ8 L⋅

D5 g⋅ π2

⋅

⋅= r 1.653 104× s2 m-5

=

Daljnji postupak provodima iterativno putem tablice Predznak za protok određuje zadani smjer petlje (ukoliko je strujanje u smjeru petlje protok je pozitivan ako nije negativan je)

Petlja Element D L Q lambda r r*Q*abs(Q

) 2*r*abs(Q) korekcija1 1 0.1 100 0.015 0.02 16530 3.71925 495.9 3 0.1 100 -0.005 0.02 16530 -0.41325 165.3 4 0.1 100 0.01 0.02 16530 1.653 330.6 5 0.1 100 0 0.02 16530 0 0 suma 4.959 991.8 -0.005 2 2 0.1 100 0.005 0.02 16530 0.41325 165.3 4 0.1 100 -0.01 0.02 16530 -1.653 330.6 6 0.1 100 0 0.02 16530 0 0 suma -1.23975 495.9 0.0025

Numerički postupak

44

Na temelju izračunatih korekcija za svaku petlju potrebno je za svaki element korigirati protok. (dodati korekciju ukoliko je protok u smjeru petlje odnosno oduzeti ukoliko je u smjeru obrnutim od smjera petlje.)

elementi Protok Korekcija Protok 1 0.015 +korekcija1 0.01002 0.005 +korekcija2 0.00753 0.005 -korekcija1 0.0100

4 0.01 +korekcija1-korekcija2 0.0025

5 0 -korekcija1 0.00506 0 -korekcija2 -0.0025

Zatim je potrebno ponavljati iteraciju PetljaElement D L Q lambda r r*Q*abs(Q)2*r*abs(Q) korekcija elementi Protok Korekcija Protok

1 1 0.1 100 0.01 0.02 16530 1.653 330.6 1 0.01 +korekcija1 0.0103 3 0.1 100 -0.01 0.02 16530 -1.653 330.6 2 0.0075 +korekcija2 0.0053 4 0.1 100 0.0025 0.02 16530 0.103313 82.65 3 0.01 -korekcija1 0.0097

5 0.1 100 -0.005 0.02 16530 -0.41325 165.3 4 0.0025+korekcija1-korekcija2 0.0051

suma -0.30994 909.15 0.000341 5 0.005 -korekcija1 0.00472 2 0.1 100 0.0075 0.02 16530 0.929813 247.95 6 -0.0025-korekcija2 -0.0003 4 0.1 100 -0.0025 0.02 16530 -0.10331 82.65 6 0.1 100 0.0025 0.02 16530 0.103313 82.65 suma 0.929813 413.25 -0.00225

PetljaElement D L Q lambda r r*Q*abs(Q)2*r*abs(Q)korekcijaelementi Protok Korekcija Protok 1 1 0.1 100 0.010341 0.02 16530 1.767626 341.8705 1 0.010341+korekcija1 0.0100 3 0.1 100 -0.00966 0.02 16530 -1.54222 319.3295 2 0.00525 +korekcija2 0.0052 4 0.1 100 0.005091 0.02 16530 0.428414 168.3055 3 0.009659-korekcija1 0.0100


suma 0.295004 983.535 -0.0003 5 0.004659-korekcija1 0.00502 2 0.1 100 0.00525 0.02 16530 0.455608 173.565 6 -0.00025 -korekcija2 -0.0002 4 0.1 100 -0.00509 0.02 16530 -0.42841 168.3055 6 0.1 100 0.00025 0.02 16530 0.001033 8.265 suma 0.028227 350.1355 -8.1E-05

PetljaElement D L Q lambda r r*Q*abs(Q)2*r*abs(Q)korekcijaelementi Protok Korekcija Protok 1 1 0.1 100 0.010041 0.02 16530 1.666571 331.9543 1 0.010041+korekcija1 0.0100 3 0.1 100 -0.00996 0.02 16530 -1.63948 329.2457 2 0.005169+korekcija2 0.0050 4 0.1 100 0.004872 0.02 16530 0.392296 161.0546 3 0.009959-korekcija1 0.0100


suma 0.012877 986.2002 -1.3E-05 5 0.004959-korekcija1 0.00502 2 0.1 100 0.005169 0.02 16530 0.441723 170.8998 6 -0.00017 -korekcija2 0.0000 4 0.1 100 -0.00487 0.02 16530 -0.3923 161.0546 6 0.1 100 0.000169 0.02 16530 0.000474 5.599755 suma 0.049902 337.5541 -0.00015

Rezultati dobiveni komercijlnim programom (koeficijent trenja je ispravno računat)

Numerički postupak

45

Slika 5.3 Proračun proveden programom LIQNET

Pad tlaka u izražen u metrima vodenog stupca računa se iz izraza p r Q QΔ = gdje je koeficijent

r zadan izrazom 5

8 LrD g

λ 2π⋅

= ⋅⋅ ⋅

. Padovi tlakova za elementi dani su u prethodnoj tablici u

osmom stupcu. Kako u čvoru 1 vlada tlak

H1

p1

ρ g⋅= H1 10.227m=

Tlak u čvoru 2 računamo tlak u čvoru 1 umanjenom za pad tlaka u elementu 1, vidi sliku. Analogno tome tlak u čvoru 4 računamo tlak u čvoru 1 umanjenom za pad tlaka u elementu 3 itd. Prikaz tlakova u svim čvorovima dan je tablično.

Čvor tlak 1 10.227 2 8.572813 8.157264 8.575195 8.16128

Uočljivo je da su padovi tlaka nešto drugačiji nego u komercijalnom programu zbog toga što je u komercijalnom programu koeficijent trenja je ispravno računan.

Numerički postupak

46

5.2 Simulacija nestacionarnih pojava pri naglom otvaranju ventila Analiza rada cjevovodne mreže temeljene na modelu stacionarnog strujanja fluida ne daje

sliku o događajima u mreži pri njezinu puštanju u rad ili pri zaustavljanju rada. Takva prijelazna pojava kod kojih dolazi do vremenske promjene brzine i tlaka analiziraju se na osnovi matematičkog modela nestacionarnog strujanja. Za slučaj nagle promjene brzine strujanja, koja nastaje npr. Naglim zatvaranjem ventila, ili ispadom pumpe iz rada može doći znatnog porasta tlaka u mreži. Ta se pojava naziva hidraulički udar.

Hidraulički udar je najčešći i najteži problem strujanja fluida u radu cjevovodnih mreža. Veliki pritisak generiran tijekom hidrauličkog udara može dovesti do katastrofalnih kvarova skupih komponenata kao što su pumpe, turbine, ventili itd. Zbog toga se nameće potreba analize nestacionarnog strujanja u cijevnim mrežama radi određivanja maksimalnog pritiska tlaka pri hidrauličkom udaru. Ako taj pritisak bude veći od dopuštenog treba definirati način zaštite mreže od hidrauličkog udara.

5.2.1 Hidraulički udar

U slučaju sistema spremnik – cijev – ventil prema slici 4. do trenutka t=0 fluid u sustavu neviskozno, stacionarno struji brzinom , i to iz spremnika konstantne piezometričke visine h, kroz horizontalni spremnik konstantnog promjera D, duljine L, kroz ventil.

0v

a p

H

0v

L

Slika 5.4

D

U stacionarnom strujanju brzina i piezometrička visina konstantne su duž cijevi. Analizirat

će se promjene veličina nakon što se ventil potpuno zatvori. Trenutno zatvaranje ventila postoji samo kao teorijski koncept, jer se niti jedan ventil ne

može zatvoriti u nultom vremenu, ali je njegovo razumijevanje potrebno da bi se mogli rješavati realni problemi. Kad se ventil na nizvodnom kraju cijevi trenutno zatvori, prvi uzvodni sloj fluida koji je uz njega se zaustavi, a udar gibajućeg fluida u zatvoreni ventil uzrokuje porast tlaka u fluidu za �p. Ovo povećanje tlaka ima za posljedicu širenje cijevi na mjestu gdje se taj sloj fluida nalazi i komprimiranje fluida na tom mjestu. Idući sloj fluida će se zaustaviti u vrlo kratkom vremenu

Numerički postupak

47

nakon prvoga. Nastali zastoj ,tj. razlika u trenutcima zaustavljanja prvog i drugog sloja nastaje od strane drugog sloja, jer on treba putovati određeno vrijeme dok ne ispuni volumen dobiven širenjem cijevi i kompresijom prvog sloja fluida.

Treći sloj fluida se zaustavlja na isti način kao i prva dva sloja, njegov gubitak količine gibanja zbog udarca u drugi sloj uzrokuje porast tlaka. Kako se prvi i drugi sloj fluida ne mogu odmaknuti od ventila, njihov tlak ne može pasti već ostaje na vrijednosti koju je postigao udarom u ventil. Proces zaustavljanja fluida koji se tako nastavlja sloj za slojem je prikazan na slici 5.5.

spremnik proširena cijev ventil

v v = 0

L

Prirast tlaka Δp Brzina zvuka c

Statički tlak p0 t < L/c

Sl.5.5.

Proces sudara uzastopnih slojeva fluida, sa malom vremenskom razlikom između svakog sudara uzrokuje propagaciju vala tlaka, pΔ brzinom zvuka, , tj. sudari stvaraju frontu tlačnog poremećaja lijevo od koje fluid još uvijek struji brzinom na tlaku prema ventilu, a desno od fronte fluid miruje na tlaku

c0v 0p

pp Δ+ . Vrijeme potrebno da taj val prijeđe cijelu duljinu cijevi iznosi [ ] scL = . U tom trenutku sva masa fluida u cijevi miruje na . Stanje kada je cijela cijev ispunjena mirujućim fluidom na tlaku

pp Δ+

0p p+ Δ ( gdje je prema Allievijevom izrazu porast tlaka vcp ⋅⋅=Δ ρ nastao udarom fluida u ventil, a 0p je tlak u spremniku i u cijevi prije zatvaranja ventila ) prikazuje slika 5.6.


v = 0

L

p0 + Δp

t = L/c

Sl.5.6.

Ovo stanje je neravnotežno, jer u spremnik vlada tlak p . Zbog razlike tlaka slojevi fluida počinju strujati iz cijevi prema spremniku brzinom , te svaki sloj vraća svoj prošireni dio cijevi na početni promjer. Ovdje ponovo nastaje fronta poremećaja lijevo od koje je tlak (

0v

0p pΔ je pretvoren u kinetičku energiju natražnog strujanja), a desno od nje fluid miruje pod povišenim tlakom. Slika 5.7. prikazuje putovanje te fronte tlačnog poremećaja prema ventilu.

Numerički postupak

48


v v = 0

L

Prirast tlaka Δp Brzina zvuka c

Statički tlak p0 L/c < t < 2L/c

Sl.5.7.

U vremenu [ ]2 L c⋅ mjereno od trenutka zatvaranja ventila rasteretni val dolazi do zatvorenog ventila, kao što prikazuje slika 5.8. Tijekom putovanja vala do rezervoara i natrag ispred ventila je vladao povišeni tlak.

spremnik cijev ventil

v

L

p0 t =2L/c

Sl.5.8.

Ovo stanje natražnog strujanja brzinom 0v− na tlaku 0p je opet neravnotežno. Čim ono nastupi, fluid koji se nalazi uz ventil ga nastoji napustiti i strujati uzvodno. Fluid to ne može učiniti, pa mu se količina gibanja pretvara u pad tlaka. Sloj fluida koji se nalazi neposredno uz ventil sada miruje na tlaku sniženom za pΔ ( prema Allievijevom izrazu dolazi do pada tlaka sa

0p na 0 0p c vρ− ⋅ ⋅ jer je prirast brzine od 0v− do nula pozitivan). Svaki idući sloj fluida se tako zaustavlja, a tlak mu se smanjuje za iznos pΔ , te tako fronta poremećaja iza koje fluid miruje putuje prema spremniku. Prikaz je na slici 5.9.

spremnik sužena cijev ventil

v v = 0

L Brzina zvuka c p0 - Δp Statički tlak p0 2L/c < t < 3L/c

Sl.5.9.

Numerički postupak

49

U trenutku cLt ⋅= 3 , kad ta fronta doputuje do spremnika cijela cijev je ispunjena fluidom koji miruje na tlaku (Slika 5.10.). pp Δ−0


v = 0

L

p0 - Δp t =3L/c

Sl 5.10. Ovo je opet neravnotežno stanje, jer je tlak u cijevi niži nego u spremniku pa fluid sada teži

utjecanju u cijev iz rezervoara sa originalnom brzinom , što uzrokuje da tlak u cijevi ponovo naraste na početni , situacija je prikazana na slici 5.11.

0v

0p


v v = 0

L

p0 - Δp

Brzina zvuka c

Statički tlak p0 3L/c < t < 4L/c

Sl.5.11.

U trenutku cLt ⋅= 4 fronta tog strujanja će se ponovo sudariti sa zatvorenim ventilom, što

je istovjetno situaciji u trenutku zatvaranja ventila, ovo prikazuje slika 5.12.

spremnik cijev ventil

v

L

p0 t =4L/c

Sl.5.13.

Dakle, slika strujanja će se neprestano ponavljati sa periodom cL⋅4 , jer u gornjem

razmatranju nije uzeto u obzir trenje. U stvarnosti se amplituda reflektiranih valova smanjuje kao posljedica trenja.

Numerički postupak

50

5.2.2 Hidrodinamički i numerički model strujanja Dinamičko ponašanje sustava Spremnik – cijev – ventil analizirati će se na konkretnoj

konfiguraciji kako slijedi Duljina cijevi................................L=91,44 m Promjer cijevi...............................D=10,97 mm Debljina stjenke...........................s=0,81 mm Razina vode u spremniku.............H=0.1275 m Gustoća vode................................ρ=992,8 kg/m3 Kinematička viskoznost................ν=0,6414×10-6 m2/s Vol. modul elastičnosti vode........K=2,2774×109 Pa Modul elastičnosti cijevi..............E=1,1003×1011 Pa Dubina fluida u rezervoaru……….h = 7.2 m

D, L

H ρ,ν

h

Matematički model nestacionarnog jednodimenzijskoga strujanja fluida kroz cijev kružnoga

presjeka osniva se na jednadžbi kontinuiteta i jednadžbi količine gibanja u obliku:

0Θsinvxv

gc

xhv

th 2

=+∂∂

+∂∂

+∂∂ (5.1)

0D2vv

λxvv

tv

xhg =+

∂∂

+∂∂

+∂∂ (5.2)

gdje su , piezometrička visina, kut između osi cijevi i horizontale, mjeren od osi cijevi, v brzina strujanja fluida, c brzina širenja tlačnog poremećaja definirana izrazom:

zgρ/ph += Θ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

EδD

K1ρ

1c2 (5.3)

gdje K označuje volumni modul elastičnosti kapljevine, D promjer cijevi, debljinu stjenke cijevi, a E modul elastičnosti materijala stjenke cijevi.

δ

Sustav jednadžbi (5.1) i (5.2) označuje sustav nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi hiperbolična tipa bez općega analitičkog rješenja koji se, uz zadane početne i granične uvjete, rješava numerički, najčešće s pomoću metode karakteristika.

Iz prethodno navedenih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje su potrebne da bismo hidrodinamički opisali model nestacionarnog strujanja primjenom metode karakteristika izvode se obične diferencijalne jednadžbe koje se mogu numerički riješiti ako su nam poznati početni i rubni uvjeti. Pozitivna karakteristika ima nagib dt/dx = 1/(v + c) i uzduž nje vrijedi sljedeći izraz:

Numerički postupak

51

02v vg dh dv

c dt dt Dλ

+ + + = (5.4)

Negativna karakteristika ima nagib dt/dx = 1/(v - c) i uzduž nje vrijedi sljedeći izraz:

02v vg dh dv

c dt dt Dλ

− + + = (5.5)

Slučaj nestacionarnog strujanja u sustavu spremnik - cjevovod – ventil nastao nakon trenutnog zatvaranja ventila riješit ćemo numeričkom simulacijom uz neka pojednostavnjenja. U poglavlju metoda karakteristika izveden je nagib karakteristika dt/dx = 1/(v ± c). U ovom primjeru brzina fluida v (nekoliko m/s) je zanemariva u odnosu na brzinu zvuka c (preko 1000 m/s). Karakteristike će imati konstantan nagib (±1/c). Cjevovod će se podijeliti u određeni broj jednako dugačkih segmenata duljine Δx. Za karakteristično vrijeme integracije Δt uzeti će se iz kriterija stabilnosti tako da broj Lewy-Couranta bude točno jednak 1.

xtc

γ ΔΔ =

γ - broj Lewy-Couranta (γ = 1) c – brzina zvuka

Ovaj izbor vremenskog koraka osigurava nam da karakteristika prolazi kroz dva čvora kao što je prikazano na slici 5.14 pa je interpolacija navedena izrazima 4.32 – 4.34 nepotrebna.

Slika 5.14 Prikaz vremensko prostornog kontinuuma

Nakon zanemarenja trenja pozitivna i negativna karakteristika poprimaju oblik:

pozitivna karakteristika: 0g h vc

+ Δ + Δ = i negativna karakteristika: 0g h vc

− Δ + Δ =

Prevođenjem karakteristika u diferencnu formu za vremensko prostorni kontinuum definiran na slici 5.14 izvode se izrazi. Pozitivna karakteristika:

1 11( ) ( )n n n n

i i i ig h h v vc

+ +− −+ − + − 1 0= (5.6)

Negativna karakteristika:

1 11( ) ( )n n n n

i i i ig h h v vc

+ ++ +− − + − 1 0= (5.7)

Oduzimanjem jednadžbe (5.7) od jednadžbe (5.6) slijedi izraz za visinu tlaka

Numerički postupak

52

11 1 1 1

1 ( ) (2 2

n n n ni i i i

ch h h v vg

+− + − += + + − )n

i (5.8)

a zbrajanjem jednadžbi (5.6) i (5.7) slijedi izraz za brzinu: 1

1 1 1 11( ) (

2 2n n n ni i i i

gv h h vc

+− + − += − + + )n

iv (5.9)

Rubni uvjeti: Za visinu tlaka slijedi izraz iz pozitivne karakteristike koja vrijedi na kraju cijevi:

1 11 (n n n n

i i i ich h v vg

+ +−= − − 1)− (5.10)

Za brzinu slijedi izraz iz negativne karakteristike koja vrijedi na izlazu iz spremnika: 1 1

1 (n n n ni i i i

gv v h hc

+ ++= + − 1)+ (5.11)

Početni uvjeti

Bernoullijeva jednadžba od površine lijevog do površine desnog spremnika uz zanemarenje trenja glasi

2

2Pa Pa vH

g gρ ρ+ = +

g

a odatle izraz za brzinu strujanja u cijevi u stacionarnom režimu strujanja

2v g= H v = 0.05 m/s Prethodne jednadžbe opisuju naš model strujanja i potrebno je još izračunati konstante koje se pojavljuju u tim jednadžbama. Brzina zvuka (c):

9 11

11 0,01097992,8

2,2774 10 1,1003 10 0,00081

c =⎛ ⎞+⎜ ⎟× × ⋅⎝ ⎠

c = 1338,53 m/s

Prostorni korak (Δx):

1Lx

nΔ =

−

n – broj čvorova odabrano n = 11 91,4411 1

xΔ =−

Δx = 9.144 m

Vremenski korak (Δt): xt

cγ Δ

Δ = γ = 1

9,14411338,5

tΔ = Δt = 0,00683 sec

Daljnji proračun je proveden u programu Excel. U stupcima A – K nalazi se polje brzina, a

u poljima M – W piezometričke visine. Na slici 5.15 je prikazana formula za izračunavanje brzine u drugom vremenskom trenutku u drugom čvoru s lijeve strane (prema izrazu 5.11)

Numerički postupak

53

Slika 5.15 prikazana formula za izračunavanje brzine Na slici 5.16 prikazan je izračun piezometričke visine u trećem vremenskom trenutku u trećem čvoru s lijeve strane (prema izrazu 5.10)

Slika 5.16 Izračun piezometričke visine

Na slikama 5.17 do 5.19 prikazani su rezultati numeričkog proračuna nestacionarnog strujanja u cijevi nastalog trenutnim zatvaranjem ventila na kraju cijevi, Na slici 5.17 prikazan je dijagram piezometričke visine u četvrtom vremenskom trenutku (t = 4Δt = 0,02732 sec) koji odgovara slici 5.5. Na slici 5.18 prikazan je dijagram piezometričke visine na kraju cjevovoda (neposredno ispred ventila) tijekom 106 vremenskih koraka na kome se visi periodičnost ponavljanja udara svakih cL⋅4 sekundi. Na slici 5.19 prikazan je dijagram piezometričke visine na sredini cjevovoda gdje se vidi izmjena raznih nivoa tlaka (režim normalnog tlaka – režim povečanog tlaka - režim normalnog tlaka – režim smanjenog tlaka).

Numerički postupak

54

12

34

56

78

910

11

S1

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

Slika 5.17 Dijagram piezometričke visine u trenutku t = 0,02732 sec

1 4 710 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97

100

103

106

S1

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

Slika 5.18 Dijagram piezometričke visine na kraju cijevi

1 4 710 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97

100

103

106

S1

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

Slika 5.19 Dijagram piezometričke visine na sredini cijevi

Numerički postupak

55

5.3 Simulacija nestacionarnih pojava u složenom cjevovodu Način rješavanja nestacionarnih pojava biti će objašnjen na sljedećem primjeru. Upotrebom programa Excel (ili nekim drugim programskim jezikom) proračunajte dinamičke pojave nastale naglim zatvaranjem ventila na kraju cijevi (Kv = 0). Zadana situacija: promjer cijevi D = 10,97 mm, debljina stjenke s = 0,81 mm, visina hrapavosti h = 0.01 mm (radi lakšeg proračuna pretpostavlja se da su sve cijevi jednakog promjera, debljine stijenke i visine hrapavosti), gustoća vode ρ = 992,8 kg/m3, koeficijent kinematičke viskoznosti υ = 0.614 10-

6m2/s, volumenski modul elastičnosti vode K= 2.2774 109Pa, koeficijent elastičnosti materijala cijevi E = 1.1 1011Pa.

Slika 5.20 Shema složenog cjevovod

elementi duljine čvorovi Geo. visine 1 400 m 1 20 m 2 600 m 2 40 m 3 400 m 3 20 m 4 900 m 4 15 m 5 700 m 5 35 m 6 500 m 6 40 m 8 500 m 7 40 m

Potrošnja u čvoru 5 iznosi dvije litre u minuti a u čvoru 6 jednu litru u minuti. Uputa: Radi lakšeg proračuna pretpostavite da je strujanje u cijevi u režimu potpune turbulencije. U jednadžbi karakteristike zanemarite brzinu strujanja fluida te vremenski korak podesite prema kriteriju da je Lewi Courantov broj jednak jedinici. Svaku od cijevi podijelite na segmente duljine 100 m. Početni uvjeti

Numerički postupak

56

Da bi mogli provesti proračun nestacionarnog strujanja potrebno je izračunati stacionarno stanje koje je ujedno i početno stanje od kojeg se u proračunu kreće. Za proračun stacionarnog strujanja koristi se program PipeNet, a rezultati proračuna dani su na slici 5.21

Slika 5.21 Rezultati proračuna dobivenih programom PipeNet

Nakon što smo dobili početne uvjete potrebne za proračun nestacionarnog strujanja potrebno je diskretizirati domenu. Svaku cijev potrebno je podijeliti na dionice po stotinu metara kako je to traženo u tekstu zadatka. Nakon toga potrebno je napraviti pridruživanje čvorova na cjevovodnoj mreži s elementima polja (kućicama) u Excel tablici.

Slika 5.22 Excel tablica panel za brzine Iz tablice je očito da smo cijev 1 podijelili na četiri dionice po 100 metara (pet čvorova). Dakle polje A1 odgovara čvoru 1 polje E1 odgovara čvoru 6 na slici 5.21. Čvorovi B1, C1, D1 su smješteni duž cijevi 1 u razmacima po 100 metara, Analogno tome polje F1 je početak cijevi 2 dakle odgovara čvoru 6 (polja F1 i E1 predstavljaju čvor 6), a polje L1 kraj cijevi 2 odnosno čvor 4. Premda polja F1 i E1 predstavljaju čvor 6 u polju F1 je smještena brzina kojom fluid ulazi u čvor 6 kroz cijev 1 dok u polju E1 je smještena vrijednost brzine kojom fluid izlazi iz

Numerički postupak

57

čvora 6 i ulazi u cijev 2. U svim čvorovima cijevi 1 (A1, B1, C1, D1, E1) je postavljena početna brzina 0.42 identična s brzinom fluida u cijevi 1 na slici 5.21. Analogno tome u početnim poljima cijevi 2 (F1 – L1) postavljena je vrijednost brzine 0.09 (m/s). Potrebno je obratiti pažnju na pozicioniranje početka i kraja cijevi. Za cijev 6 polazni (početni) čvor je 7, a krajnji 3. Analogno na posebnom listu u Excelu treba definirati piezometarske visine. Npr. u polju A1 je definirana piezometarska visina od 248 metara a u čvoru E1 237.11 metara. Sve čvorove između treba definirati kao linearni padajući niz. Iz prethodno navedenih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje su potrebne da bismo hidrodinamički opisali model nestacionarnog strujanja primjenom metode karakteristika izvode se obične diferencijalne jednadžbe koje se mogu numerički riješiti ako su nam poznati početni i rubni uvjeti. Cijev Iz metode karakteristika je poznato da pozitivna karakteristika ima nagib dt/dx = 1/(v+ c) i uzduž nje vrijedi sljedeći izraz:

02D

vλvdtdv

dtdh

cg

=+++

a da negativno karakteristika ima nagib dt/dx = 1/(v - c) i uzduž nje vrijedi sljedeći izraz:

02D

vλvdtdv

dtdh

cg

=++−

Ove dvije difernecijalne jednadžbe integriraju se primjenom konstantnog vremenskog koraka tΔ uz konstantni prostorni korak xΔ metodom konačnih razlika, tako da se infinitezimalni diferencijali dh i dv zamjene konačnim razlikama hΔ i vΔ . S obzirom da je kod strujanja kapljevina brzina c konstanatna unutar jednog elementa cijevi, a brzina strujanja v mala u odnosu na brzinu zvuka c, iz diferencijalnih jednadžbi karakteristika slijedi da su one približno pravci. Ukupna duljina L cjevovoda dijeli se na n dijelova duljine xΔ . Vremenski korak integracije tΔ mora zadovoljavati kriterij Lewy-Couranta koji glasi:

cΔxγ

cvmaxΔxΔt =

±≤

gdje se faktor γ izabire broj što bliže jedinici, npr. 95,0=γ ,ako se očekuje da brzina strujanja v ne prelazi 5% brzine c ,odnosno 1=γ ako je brzina v zanemariva u donosu na brzinu zvuka. U našem proračunu tu pretpostavku uvodimo zbog male pogreške, ali velikog pojednostavljenja. Sljedeća slika prikazuje pozicijski dijagram u x-t ravnini s dvije karakteristike povučene iz točke A (u novom vremenskom trenutku) u kojoj se traže vrijednosti brzine i piezometarske visine iz podataka u prethodnom vremenskom trenutku.

Numerički postupak

58

Slika 5.23 Prikaz vremensko prostornog kontinuma Uzimajući u obzir i trenje , pozitivna i negativna karakteristika poprimaju oblik:

02D

ΔtvλvΔvΔh

cg

=⋅

+++

02D

ΔtvλvΔvΔh

cg

=⋅

++−

Prevođenjem karkateristika u formu za vremensko prostorni kontinum dobivamo za pozitivnu karakteristiku:

02D

Δtvλv)v(v)h(h

cg

n1-i

n1-in

1i1n

in

1i1n

i =⋅

+−+−+ −+

−+

odnosno za negativnu karakteristiku:

02D

Δtvλv)v(v)h(h

cg

n1i

n1in

1i1n

in

1i1n

i =⋅

+−+−−++

++

++

Oduzimanjem ova dva izraza dobivamo izraz za visinu tlaka (piezometarsku visinu) :

2D

Δtvλv

2D

Δtvλv)v(v

2gc)h(h

21h

n1i

n1i

n1i

n1in

1in

1in

1in

1i1n

i

⋅+

⋅−−++=

++−−+−+−

+

Zbrajanjem ova dva izraza slijedi izraz za brzinu :

Numerički postupak

59

2D

Δtvλv

2D

Δtvλv)v(v

21)h(h

2cgv

n1i

n1i

n1i

n1in

1in

1in

1in

1i1n

i

⋅−

⋅−++−=

++−−+−+−

+ (4.16)

Ove dvije vrijednosti računaju se na Excel panelima

n n n ni 1 i 1 i 1 i 1n 1 n n n n

i i 1 i 1 i 1 i 1

λv v Δt λv v Δtg 1v (h h ) (v v )2c 2 2D 2D

− − + ++− + − +

⋅ ⋅= − + + − −

Slika 5.24 Računanje brzine u cijevi

Očito je iz slike 5.24 da je za vrijednost brzine izračunate u novom vremenskom trenutku nalazi u polju B3. Vrijednost brzine vi-1

n u starom vremenskom trenutku u prethodnom čvoru nalazi se u polju A2, a vrijednost brzine vi+1

n u starom vremenskom trenutku u narednom čvoru nalazi se u polju C2. Analogno Vrijednost piezometarske visine hi-1

n u starom vremenskom trenutku u prethodnom čvoru nalazi se u polju 'piezometarske visine'A2 (panel piezometarske visine polje A2) , a vrijednost piezometarske visine hi+1

n u starom vremenskom trenutku u narednom čvoru nalazi se u polju 'piezometarske visine'C2. Kompletan izraz raspisan u Excel formatu vidljiv je u polju neposredno iznad Excel tablice. Analogno tome na panelu za piezometarske visine računa se piezometarska visina u polju A3 prema izrazu

2D

Δtvλv

2D

Δtvλv)v(v

2gc)h(h

21h

n1i

n1i

n1i

n1in

1in

1in

1in

1i1n

i

⋅+

⋅−−++=

++−−+−+−

+

Numerički postupak

60

n n n ni 1 i 1 i 1 i 1n 1 n n n n

i i 1 i 1 i 1 i 1

λv v Δt λv v Δt1 ch (h h ) (v v )2 2g 2D 2D

− − + ++− + − +

⋅ ⋅= + + − − +

Slika 5.25 Računanje piezometarske visine u cijevi

Rubni uvjeti: Za brzinu slijedi izraz iz negativne karakteristike koja vrijedi na izlazu iz spremnika:

n ni 1 i 1n 1 n n n

i i 1 i 1 i 1

λv v Δtgv (h h ) v2c 2D

+ ++− + +

⋅= − + −

Slika 5.26 Računanje brzina na ulazu u cjevovod (rubni uvjet)

n ni 1 i 1n 1 n n n

i i 1 i 1 i 1

λv v Δtgv (h h ) v2c 2D

+ ++− + +

⋅= − + −

Analogni rubni uvjet treba postaviti na mjestu gdje je ventil koji se naglo zatvara (čvor 7).

Numerički postupak

61

Račva Nešto kompliciranije je odrediti piezometarske visine i brzine u čvorovima gdje se spajaju dvije ili više cijevi. Te elemente nazivamo račvama.

Slika 5.27 Račva Račva se redovito pojavljuje u proračunu nestacionarnog strujanja, u složenim mrežama. Pri modeliranju račve moraju se ispuniti dva osnovna uvjeta: ne smije se ograničavati broj elemenata vezanih u račvu, te se mora moći identificirati smjer strujanja u elementima račve. Zato se , kod postavljanja jednadžbi kompatibilnosti uzduž karakteristika , koristi funkcija “sign“ koja svakom elementu pridružuje predznak : sign(i)=1, za pretpostavljeni smjer strujanja fluida u račvu, dok je sign(i)=-1 za pretpostavljeni smjer strujanja fluida iz račve. Ako račva povezuje tri elementa cijevi: i , j , k , moguće je iz točke P povući tri karakteristike, tj, postaviti tri jednadžbe kompatibilnosti:

0D2

Δtvvλ)v(v)h(h

cqsign(i) RR

RP1RP1 =⋅

⋅⋅⋅+−+−

0D2

Δtvvλ)v(v)h(h

cqsign(j) TT

TP2TP2 =⋅

⋅⋅⋅+−+−

0D2

Δtvvλ)v(v)h(h

cqsign(k) SS

SP3SP3 =⋅

⋅⋅⋅+−+−

Navedene jednadžbe sadrže 6 nepoznanica : p3p2p1p3p2p1 v,v,v,h,h,hZbog toga treba uvesti još tri jednadžbe. Jednadžba kontinuiteta: 0sign(k)Avsign(j)Avsign(i)Av SP3TP2RP1 =++

Numerički postupak

62

Ostale jednadžbe dobiju se iz uvjeta jedinstvenosti tlaka u zajedničkom čvoru račve. Piezometarske visine vezanih krajeva sva tri elemenata u račvi su jednake(zanemaren lokalni gubitak račve): PP3P2P1 hhhh === Konkretno za Čvor 6

Slika 5.28 Čvor 6 - potrošnja Iz slike 5.21 se vidi da fluid iz cijevi 1 i 2 ima smjer strujanja u račvu tako da su iz elemenata 1 i 2 povučene pozitivne karakteristike, dok je iz elementa 3 povučena negativna karakteristika.

0D2

Δtvvλvv)h(h

cq 11

16116 =⋅

⋅⋅⋅+−+−⋅

0D2

Δtvvλvv)h(h

cq 22

26226 =⋅

⋅⋅⋅+−+−⋅

0D2

Δtvvλvv)h(h

cq 33

36336 =⋅

⋅⋅⋅+−+−⋅−

jednadžba kontinuiteta za tri cijevi jednakih promjera pojednostavljuje se u izraz 61 62 63 6v v vA A A+ − = Q

AQ

vvv 6636261 =−+

Dobili smo sustav četiri jednadžbe sa četiri nepoznanice iz kojeg dobivamo izraz za visinu tlaka i brzine u pojedinim elementima u čvoru 6.

Numerički postupak

63

cq3

)hh(hcq)vvvvv(v

D2Δtλvvv

AQ

h321223311213

6

6

⋅−

++⋅−⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅

+−−+=

)h(hcq

D2Δtλvvvv 1611161 −⋅−

⋅⋅

⋅⋅−=

)h(hcq

D2Δtλvvvv 2622262 −⋅−

⋅⋅

⋅⋅−=

)h(hcq

D2Δtλvvvv 3633363 −⋅+

⋅⋅

⋅⋅−=

U Excel tablici je to realizirano na slijedeći način

63 1 2 1 1 3 3 2 2 1 2 3

6

Q λ Δt qv v v (v v v v v v ) (h h h )A 2 D ch q3

c

⋅+ − − + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + +⋅=

− ⋅

Slika 5.29 Čvor 6 – izračun piezometarske visine u čvoru 6 Očito je da je brzina koja se nalazi na kraju cijevi 1 (100 m od čvora 6) označena u proračunu i slici 5.28 s v1 u Excel tablici njena se vrijednost nalazi u polju D2. Analogno tome brzina na izlazu iz cijevi 2 (100 m od čvora 6) označena u proračunu i slici 5.28 s v2 u Excel tablici njena se vrijednost nalazi u polju G2. Ekvivalentno tome se proračunavaju preostale račve u cjevovodu. Nakon što smo definirali izraze za računanje brzina i piezometričkih visina u svim čvorovima i cijevima kopiramo te izraze u sve ostale vremenske trenutke. Nakon toga potrebno je promijeniti rubni uvjet odnosno zatvoriti ventil kao što je to prikazano na slici 5.30 gdje se vidi da se u polju AG (čvor 7) vrijednost brzine promijenila s 0.16 na 0. (Zatvoren ventil).

Numerički postupak

64

Slika 530 Čvor 7 – izračun piez

Slika 5.30 Čvor 7 – Zatvaranje ventila AG u trenutku 151 Prijelazne pojave nastale zatvaranjem ventila mogu se vidjeti na dijagramima na slici 5.31

Slika 5.31 Čvor 7 – Nestacionarne pojave nastale zatvaranjem ventila

Prilozi

65

6. Prilozi

6.1 Allieviev izraz – osnovna jednadžba hidrauličkog udara

Nameće se potreba analize nestacionarnog strujanja u cijevnim mrežama pri prijelaznim stanjima. Za slučaj nagle promjene brzine strujanja , koja nastaje npr. naglim zatvaranjem ventila ili ispadom pumpe iz rada , može doći do znatnog porasta tlaka u mreži. Ta se pojava naziva hidraulički udar. U iznimnim situacijama kao posljedica udara može puknuti cijev u mreži. Dakle , potrebno je odrediti maksimalni prirast tlaka pri hidrauličkom udaru , te ako je on veći od dopuštenog definirati način zaštite mreže. Matematički model hidrauličkog udara :

gp

ρΔ

H0 v0 c �pA

Sl. 1.1.a) Trenutačno zaustavljanje neviskoznog fluida u horizontalnoj cijevi Do trenutka t0 fluid u sustavu struji neviskozno i stacionarno brzinom v0. Brzina i piezometrička visina su u stacionarnom strujanju konstantni duž cijevi. U trenutku t0 se trenutno zatvara ventil , te brzina strujanja fluida trenutačno pada sa vrijednosti v0 na nulu , a tlak sa vrijednosti p0 poraste za iznos ∆p na vrijednost p0+∆p. U točki sudara fluida sa zatvorenim ventilom nastaje fronta tlačnog poremećaja koja se giba u lijevo (uzvodno prema spremniku) brzinom zvuka tj. brzinom širenja slabog tlačnog poremećaja , c. Lijevo od fronte poremećaja fluid i dalje struji brzinom v0 na tlaku p0 prema ventilu , dok desno od nje fluid miruje na povišenom tlaku, p0+∆p.

Prilozi

66

ρAv0

2 ( c-v )Δt ∆pA

v c-v v+Δv (ρ+∆ρ)A(v0+∆v)2

Sl.1.1.b) Jednadžba količine gibanja primjenjena na kontrolni volumen, K.V. Apsolutna brzina kojom se valna fronta , tj. fronta tlačnog poremećaja širi u lijevo iznosi c-v0. Jednadžba količine gibanja, J.K.G. za smjer x kaže da je rezultanta x komponente sile na K.V. jednaka zbroju vremenske promjene povećanja količine gibanja u smjeru x unutar K.V.-a i neto iznosa količine gibanja koji prolazi kroz K.V. Promjena volumena fluida iznosi A(c-v0) ∆t , te je stoga vremenska promjena povećanja količine gibanja

( )( )[ ]000 )(

vvvt

tvcAρρρ −Δ+Δ+

ΔΔ−⋅

,

a J.K.G. glasi :

( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) 20

20000 AvvvAvvvvcApA ρρρρρρ −Δ+Δ++−Δ+Δ+−=Δ− [ ]N ( )1

Očuvanje mase ( tj. jednadžba kontinuiteta, J.K.) u K.V.-u kaže da je u svakom trenutku masa koja u njega uđe jednaka vremenskoj promjeni povećanja mase unutar K.V.-a. Budući da isti volumen fluida, A(c-v0)�t mijenja gustoću J.K. glasi :

( ) ( ) ( ) ( )[ ]t

tvcAvvAAv

Δ−Δ+Δ−

=Δ+Δ+−ρρρ

ρρρ 000 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

skg ( )2

Kombinacijom jednadžbi (1) i (2) dobijamo Allievi-ev izraz :

vcp Δ⋅⋅−=Δ ρ [ ]Pa ( )I Izraz (I) definira prirast tlaka, �p kada se brzina fluida na ventilu promjeni za veličinu �v. Dakle, jačina hidrauličkog udara (tj. maksimalna vrijednost prirasta tlaka) je razmjerna gustoći fluida i brzini širenja slabog tlačnog poremećaja. Iz toga slijedi da je hidraulički udar bitan samo u

Prilozi

67

cjevovodima u kojima se transportiraju fluidi (kapljevine) velike gustoće i u kojima je brzina zvuka velika u odnosu na plinove. Kako je �p=�g�H , iz izraza (I) dobivamo :

vgcH Δ⋅−=Δ [ ]m ( )1.I

Za slučaj da tlačni poremećaj putuje nizvodno, tj. da se ventil nalazi na uzvodnoj strani, u jednadžbama ( i )I ( )1.I mjesto minusa treba staviti plus.

6.2 Brzina zvuka u elatičnoj cijevi kroz koju struji kapljevina s mjehurićima plina

Brzina propagacije vala tlaka u cijevi koja sadrži tekućinu može biti drastično smanjena, ako se u njoj nalaze mjehurići plina (dovoljna je veoma mala količina).

Pretpostaviti ćemo da su mjehurići plina jednoliko distribuirani po volumenu tekućine.

Neka je V ukupni volumen kapljevine i plina, a VVg=ψ neka je udio volumena plina u ukupnom volumenu, tada će volumen tekućine iznositi ( ) V⋅−ψ1 . Narinemo li volumenu tekućine određeni prirast tlaka,�p volumen tekućine će se promijeniti na :

( ) VKpV ⋅−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−= ψ111 [ ]3m ( )1 .

Nadalje, pretpostavimo li da je temperatura plina uvijek jednaka temperaturi tekućine, svaka promjena volumena plina će biti izotermna :

( ) gVppVp ′⋅Δ+=⋅⋅ψ ( )2 ,

pa je volumen plina na tlaku : pp Δ+

Vpp

pVg ⋅⋅Δ+

=′ ψ [ ]3m ( )3 .

Ukupni volumen mješavine tekućina / plin će stoga na tlaku pp Δ+ iznositi [ približno od ( ) 11 −Δ+ pp do ( )ppΔ−1 ] :

( )

gVV

M VppV

KpV

′

⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ−+⋅−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−= ψψ 111

1

[ ]3m . ( )4

Prilozi

68

Raspišemo li jednadžbu dobijamo izraz ( )4

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ⋅−+

⋅Δ+−

Δ−⋅=

pp

Kp

KpVVM ψψψψ1 [ ]3m ( , )5

u kojemu je član KpψΔ jako malen, te ga zbog toga zanemarujemo. Iz izraza ( slijedi : )5

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅Δ−=

pKp

VVM ψ11 ( )6

V

VpK

p M−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅Δ 11 ψ ( )7

pV

V

pKK

M

Δ

−=+=

′

111 ψ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Pa1 ( )8

U izrazu označava volumenski modul elastičnosti za slabo stlačivu tekućinu koja sadrži mjehuriće plina.

( )8 [ ] PaK =′

Uzme li se u obzir i elastičnost cjevovoda, dobija se izraz za volumenski modul elastičnosti za tekućinu sa mjehurićima plina u elastičnom cjevovodu :

Esd

pKKT

⋅++

=′ ψ1

11 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Pa1 ( )9 .

Konačan izraz za brzinu zvuka slijedi iz jednadžbi ( )9 i ( )1.III ,u kojoj mjesto K pišemo

: TK ′

ρTK

c′

= [ ]sm ( )IV ,

odnosno

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

++⋅

=

Esd

pK

cψρ 1

1 [ ]sm ( )1.IV .

Prilozi

69

U izrazu ( )1.IV p predstavlja apsolutni tlak, a član pψ upotpunjuje izraz ( time što uključuje i mjehuriće plina u tekućini koja struji kroz elastični cjevovod. Ovaj izraz vrijedi samo za male vrijednosti

)III

ψ -a ( 10 )≤≤ψ , jer inače može doći do razdvajanja tekućine i plina u slojeve, npr. plin struji iznad tekućine ili plin struji velikom brzinom kroz sredinu cijevi, a oko njega struji film tekućine, no može doći i do toga da mjehurići plina narastu do te mjere da ispune čitav poprečni presjek cijevi. Iz tih razloga se izraz koristi samo za dvofazno strujanje u kome su mjehurići plina homogeno distriburani u tekućini i u njoj se nalaze u vrlo maloj količini (tj. ψ je malen). Dijagramski prikaz ovisnosti brzine zvuka o volumenskom udjelu plina u tekućini daje slika 1.4.

[ ] smc = 1372 355 0 plina0

0 100

Sl.1.4.

Krivulja u dijagramu ovisi o tlaku, ali krajnje vrijednosti na 0

00 i na 00100 ne ovise. Jednadžba

vrijedi samo za male postotke plina. ( 1.IV )

Prilozi

70

6.3 Modeliranje nekih najčešćih elemenata cijevne mreže - rubni uvjeti

6.3.1 VENTILI Ventili se međusobno razlikuju prema izvedbi mehanizma za prekid strujanja i prema pogonu toga mehanizma (npr. ručno ili motorom), a vezano s tim postižu se različite brzine zatvaranja što ima bitan utjecaj na tranzientne pojave u cjevovodu. Međutim, svima je zajedničko da pružaju otpor strujanju fluida i uzrokuju gubitak mehaničke energije fluida. Pad tlaka (piezometričke visine) koji nastaje na ventilu računa se po formuli:

h Kv

gf =2

2 (4.54)

gdje je: K - koeficijent lokalnog otpora trenja ventila, [ ]K =1, vrijednosti K variraju od najnižih vrijednosti reda veličine jedinice (za potpuno otvoren ventil) do beskonačno (za zatvoren ventil), slika 4.5.

Slika 4.5 Zavisnost koeficijenta lokalnog otpora trenja ventila od otvorenosti ventila Vrijednost K mijenja se zavisno od promjera cijevi na koju je ventil smješten: K može imati vrijednosti 2 do 3, kad je promjer ventila jednak promjeru cijevi na koju je postavljen, do nekoliko stotina, kad je promjer ventila manji od promjera cijevi na koju je smješten. Ventil može biti ugrađen negdje unutar cjevovoda ili tik uz rezervoar. U nastavku se modeliraju upravo te dvije situacije.

6.3.2 Cijev-ventil-cijev

Prilozi

71

Slika 4.6 Ventil između dvije cijevi kao rubni uvjet Budući da je ventil smješten između dva elementa cijevi, za proračun će se koristiti dvije jednadžbe kompatibilnosti: prva - postavljena uzduž pozitivne karakteristike spuštene iz točke P1 na uzvodnom dijelu cijevi i druga - postavljena uzduž negativne karakteristike povučene iz točke P2 na nizvodnom dijelu cijevi. Zatim će se koristiti jednadžba kontinuiteta, te izraz za pad tlaka na ventilu (4.54). Bit će još potrebne jednadžbe koje se dobivaju iz uvjeta jedinstvenosti piezometričkih visina u točkama P1 i P1’ te P2 i P2’. Ovaj sustav jednadžbi napisan matematički glasi:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

sign

-sign

RP1 R P1 R R P1 R

SP2 S P2 S S P2 S

igc

h h v v F v v

jgc

h h v v F v v

− + − + + =

− + − + + =

0

0

v A v A v A v AP R P S P 1 P 1=1 2 1 2= = ' '

( ) ( )h hKg

v vP1 P2 P Psign' ' '− =2 1

21'

h h h hP1 P1 P2 P2= =' , ' ___________________________________________________ (4.55) Nakon uvrštavanja vP1 iz jednadžbe kontinuiteta i zamjene hP1’ i hP2’ iz pete jednadžbe, sustav dobiva oblik:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

sign

- sign

RP1 R P1 R R P1 R

SP2 S P2 S S P2 S

igc

h h v v F v v

jgc

h h v v F v v

− + − + + =

− + − + + =

0

0

v A v AP R P S 1 2=

( ) (h hKg

AA

v vRP1 P2 P Psign− =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2 1

2

12

1)

_________________________________________________ Sustav sada sadrži četiri jednadžbe i četiri nepoznanice: hP1, hP2, vP1, vP2 .

Prilozi

72

Do rješenja sustava doći će se metodom supstitucije. Nakon množenja prve jednadžbe sa AR , druge sa AS te množenja zagrada, iz prve jednadžbe se može izlučiti hP1, a iz druge hP2:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

= - sign sign

= + sign sign

P1 RR

P1 RR

R R

P2 SS

P1R

SS

SS S

h h icg

v F jcg

v F

h h jcg

vAA

F jcg

v F

+ − −

+ + −

1 1

1 )1

( ) ( )h hKg

AA

v vRP1 P2 P Psign− =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2 1

2

12

1

___________________________________________________________ (4.56) Dobiveni sustav od tri jednadžbe sa tri nepoznanice riješit će se tako da se prva dva izraza uvrste u treću jednadžbu. Tako se dobiva jedna kvadratna jednadžba sa jedinom nepoznanicom vP1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

h icg

v F jcg

v F h jcg

vAA

F

jcg

v FKg

AA

v vR

RR

P1 RR

R R SS

P1R

SS

SS S P P

- sign sign - - sign

sign sign

+ − − +

− − =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 1

12 1

2

12

1

−1

(4.57) Dobivena kvadratna jednadžba može se pisati u skraćenom obliku korištenjem pomoćnih koeficijenata .

vP1

2 + vP1 - = 0 (4.58) gdje je:

= ( )Kg

AA

vR

2 1

2

1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ sign P

( ) ( ) ( ) ( ) = sign signRR

S R

SSB i

cg

F jcg

AA

F1 1+ + +

( ) ( ) ( ) ( ) = - sign signR SR

R RS

S SC h h icg

v F jcg

v F+ − +1 1 −

Rješenje kvadratne jednadžbe dobit će se iz formule:

( ) ,vP1 12

2 42

=− ± −B B AC

A (4.59)

Budući da brzina vP1 može biti pozitivna ili negativna ovisno o razlici piezometričkih visina hR-hS, a sign(vP1) koji ulazi u izraz za je nepoznat, potrebno je razmotriti rješenja ove kvadratne jednadžbe. Pri tome, ispod korijena u jednadžbi (4.59) se ne smije pojaviti negativan broj. Izrazi i se mogu pisati u obliku:

( )A = A Asign PvKg

AA

R1

1

2

2, =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Prilozi

73

( ) ( ) ( ) ( )C = C Csign = - sign sign P R SR

R RS

S S( ),v h h icg

v F jcg

v F1 1 1+ − + −

U izrazu za dominantan je utjecaj razlike hR-hS, pa njen predznak određuje predznak za . To je istovremeno predznak brzine vP1 jer razlika hR-hS određuje smjer brzine . Zato se može pisati: sign(vP1) = sign( ) Konačno, rješenje kvadratne jednadžbe dobiva se na slijedeći način:

vP sign1

2 42

=− + + ⋅B B A C

AC)( (4.60)

Kada se odredi brzina vP1 , mogu se izračunati ostale nepoznanice: hP1 i hP2 iz izraza (4.56), a brzina vP2 iz slijedećeg izraza:

( )vgc

h hF

vFFP2

S

P2 S

SS

S

S=

−

++

−+1

11

(4.61)

Brzine kroz ventil računaju se iz jednadžbe kontinuiteta:

v v

AA

v vAA

P PR

1

P PS

1

1 1

2 2

'

'

=

= (4.62)

Navedeni izrazi vrijede u slučaju kad je ventil potpuno otvoren. U slučaju zatvaranja ventila, brzina vP1 se mijenja i njena vrijednost zavisi od vremena. Zatvaranje ventila moguće je simulirati na dva načina: prvi, modeliranjem promjene koeficijenta lokalnog otpora trenja ventila, s tim da za zatvoreni ventil ta vrijednost mora biti beskonačno (odnosno, veliki broj npr. 1020) i drugi, propisivanjem promjene brzine u vremenu zatvaranja, od neke početne vrijednosti do nule. U ovom radu se usvaja drugi pristup i pretpostavlja linearna promjena brzine u vremenu zatvaranja (slika 4.7) Izraz za brzinu vP1 u trenutku t glasi:

v vt t

tP Ppo ~

zatmax 0, min 1, 1 -

- 1 1=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

gdje je: vP1 - brzina u trenutku početka zatvaranja, tpoč - vrijeme početka zatvaranja ventila, tzat - vrijeme trajanja zatvaranja ventila. Ostale nepoznanice računaju se iz istih izraza kao u slučaju otvorenog ventila.

Prilozi

74

Slika 4.7 Dijagram promjene brzine kod zatvaranja ventila

6.3.3 Ventil-spremnik-cijev

Slika 4.8 Ventil na spremniku kao rubni uvjet U slučaju kad je ventil svojim jednim krajem vezan na spremnik, a drugim na element cijevi, govori se o rubnom uvjetu ventil-spremniku. Ventil može biti na ulazu ili na izlazu iz spremnika; obje situacije će se obuhvatiti uvođenjem funkcije "sign" u jednadžbu kompatibilnosti, odnosno postavljanjem pozitivne ili negativne karakteristike. Sustav jednadžbi osim jednadžbe kompatibilnosti, sadrži jednadžbu kontinuiteta, funkciju piezometričke visine spremnika, izraz za visinu gubitka mehaničke energije na ventilu, te uvjet jedinstvenosti piezometričkkih visina u točkama P1 i P1’ Matematički:

Prilozi

75

( ) ( ) ( ) ( ) sign

R

P1 R P1 R R P1 Rigc

h h v v F v v− + − + + = 0

v A v A v AP R P 2 P=1 1= ' 2 2

t

h h P2 O2= ( )

( ) (h h )Kg

v vP1 P2 P Psign'− =2 2

22

h h P1 P1' = _____________________________________________________ (4.63) Navedeni sustav je u matematičkom smislu zatvoren i može se riješiti npr. metodom supstitucije. Nakon jednostavnih algebarskih transformacija dobiva se: - iz prve jednadžbe:

( ) ( ) ([ ] = - signP1 RR

Ph h icg

v F v FR R R1 1 1+ − − ) (4.64)

Supstitucijom navedenog izraza u izraz za visinu gubitka mehaničke energije na ventilu dobiva se kvadratna jednadžba sa nepoznanicom vP2:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Kg

v v icg

AA

F v

icg

F v h h

21

1 0

2 2 2

2

sign + sign

sign

P P2 R 2

RR P

RR R R O

+ −

− − + −⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥=

(4.65)

Uvođenjem koeficijenata , kvadratna jednadžba se može pisati kraće:

vP22 + vP2 - = 0 (4.66)

gdje je:

= ( ) ( )Kg

v v2 2 2sign signP P= A

( ) ( ) = sign RR

2

RB i

cg

FAA

1 +

( ) ( ) = - sign signR O2R

R RC Ch h icg

v F v+ − =1 ( P2)

)

sign signP2( ) (v = C Rješenje kvadratne jednadžbe se dobiva iz formule:

vP sign2

2 42

=− + +B B A C

AC)( (4.67)

U gornjoj formuli uzima se da je predznak brzine vP2 jednak predznaku koeficijenta kvadratne jednadžbe . To je i opravdano jer dominantan utjecaj u tom koeficijentu ima razlika visina tlaka hR-hO2, a predznak te razlike određuje predznak brzine vP2 . Ostale nepoznanice računaju se iz slijedećih izraza:

Prilozi

76

v v

AA

v v

P P2

R

P P

1 2

1 2

=

='

( ) ( ) ( )[ ] = - sign

=

P1 RR

P

P2 O2

h h icg

v F v F

h h

R R R1 1 1+ − −

(4.68) Gornji izrazi vrijede u slučaju otvorenog ventila. Kod zatvaranja ventila, ponovo se pretpostavlja da se brzina kroz ventil mijenja linearno s vremenom (slika 4.7). Kad počne zatvaranje, t , vrijede izrazi: t> po ~

v vt t

tP Ppo ~

zatmax 0, min 1, 1 -

- 2 2=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

gdje je: vP2 - vrijednost brzine u početku zatvaranja

v vAA

v v

P P2

R

P P

1 2

1 2

=

='

( ) ( ) ( )[ ]h h icg

v F v F

h h

R R RP1 RR

P

P2 O2

= - sign

=

1 1 1+ − − (4.69)

Budući da se ni u proračunu ventila ne dozvoljava da tlak padne ispod tlaka isparavanja, u slučaju kad je h z uzima se da je h hhgP − < pva z gP pva= + .

6.3.4 PUMPE

Prilozi

77

6.3.5 Cijev - pumpa - zaklopka - cijev

Slika 4.9 Pumpa sa nepovratnom zaklopkom između dvije cijevi kao rubni uvjet Za modeliranje ovog elementa koristit će se slijedeće jednadžbe: - jednadžba kompatibilnosti postavljena uzduž pozitivne karakteristike spuštene iz točke P1 na uzvodnom elementu cijevi, - jednadžba koja povezuje piezometričke visine na krajevima pumpe uz jednadžbu karakteristike pumpe, - uvjet jedinstvenosti piezometričkih visina u točkama P2 i P3, jer se na elementu zaklopki zanemaruje visina gubitka mehaničke energije, - jednadžba kompatibilnosti postavljena uzduž negativne karakteristike spuštene iz točke P3 na nizvodnom elementu cijevi, - jednadžba kontinuiteta. Matematički napisan sustav jednadžbi izgleda ovako:

( ) ( ) ( ) R

P1 R P1 R R P1 R

gc

h h v v F v v− + − + + = 0

h h HP2 P1 P= + h h P2 P3=

( ) ( ) ( )-S

P3 S P3 S S P3 S

gc

h h v v F v v− + − + + = 0

v A v A v A v AP R P S P2 2 P 3=1 3 3= =' ' ' ' ____________________________________________ (4.70) Sustav sadrži pet jednadžbi i pet nepoznanica: hP1, hP2, hP3, vP1, vP3, pa ga je moguće riješiti. Postupak je slijedeći:

Prilozi

78

Jednadžba karakteristike pumpe općenito glasi: H Q C C Q C Q C QP( ) = + + +0 1 2

23

3 gdje su: C0, C1, C2, C3 - koeficijenti karakteristike pumpe Da bi se dobila zavisnost HP o brzini, potrebno je uvrstiti izraz za protok: Q v A= P R1 u karakteristiku pumpe. Sada je ... H C C A v C A v C A vP R P R P= + + R P+0 1 1 2

212

33

13 ,

a derivacija .. dd

P

PR R P R

Hv

C A C A v C A v1

1 22

1 33

122 3= + + P ,

Iz jednadžbi kompatibilnosti moguće je izlučiti hP1, odnosno hP3 (uz korištenje jednadžbe kontinuiteta):

( ) = -

= +

P1 RR

P1 R R P1 R R

P2 SS

P1R

SS S S P1

R

SS

h hcg

v v F v F v

h hcg

vAA

v F v vAA

F

− + +

− + +( )

Kada se ove dvije jednadžbe uvrste u drugu jednadžbu sustava (izraz koji povezuje visine tlaka na krajevima elementa- pumpe), dobiva se kubna jednadžba sa jedinom nepoznanicom vP1 :

( ) ( ) ( ) ( )- = -P R SR

P1 RS R

SP1 S

RR R

SS SH h h

cg

v Fcg

AA

v Fcg

v Fcg

v F− + − + + − + −1 1 1 1

Budući da se kubna jednadžba ne može riješiti analitički, riješit će se numerički, Newton-Raphsonovom iterativnom metodom. U tu svrhu formirat će se funkcija F(vP1):

( ) ( ) ( )

( ) ( )

F -P1 P R SR

P1 RS R

SP1 S

RR R

SS S

v H h hcg

v Fcg

AA

v F

cg

v Fcg

v F

= + − + − +

+ − + − =

1 1

1 1 0

+

Derivacija ove funkcije po varijabli vP1 glasi:

( ) ( ) ( )F'ddP1

P

P1

RR

S R

SSv

Hv

cg

Fcg

AA

F= − + − +1 1

Brzina vP1 dobiva se iterativno po formuli:

( ) ( ) ( )( )v vvv

i iP P

P

P

FF'1

11

1

1

+ = − (4.71)

Ostale vrijednosti brzina dobivaju se iz slijedećih izraza:

Prilozi

79

v v

v vAA

v v

v vAA

v v

v vAA

P P

P PR

2

P P

P P2

3

P P

P PR

S

1 1

2 1

1 2

3 2

2 3

3 1

'

'

' ' '

' '

' ' '

' '

=

=

=

=

=

=

(4.72)

Piezometričke visine se računaju iz slijedećih izraza:

( )h hcg

v v F v F v

h h Hh h

P1 RR

P1 R R P1 R R

P2 P1 P

P3 P2

= -

==

− + +

+ (4.73)

Navedeni izrazi vrijede u situaciji kada je brzina vP1 pozitivna, odnosno kada je zaklopka otvorena. U proračunu nestacionarnog strujanja, pri modeliranju pumpe s nepovratnom zaklopkom, ne dozvoljava se natražno strujanje kroz pumpu. U slučaju da se dobije negativna vrijednost brzine vP1, (zaklopka se zatvara), te se uzimaju slijedeće vrijednosti brzina i piezometričkih visina. v v v v v v vP P P P P P P1 1 1 2 2 3 3 0= = = = = = =' ' ' ' ' ' ' ' '

( )

( )

h hcg

v F

h h C

h hcg

v F

P1 RR

R R

P2 P1 0

P3 SS

S S

= +

=

=

1

1

−

+

− − (4.74)

Budući da vrijednosti visina tlaka u točkama P1 , P2 i P3 ne smiju pasti ispod vrijednosti visine tlaka isparavanja, slijedi: ako je h z onda je h hhgP p− < va z gP pva= + , (vrijedi za hP1, hP2, hP3)

6.3.6 Spremnik-pumpa-zaklopka-cijev

Prilozi

80

Slika 4.10 Spremnik - pumpa - zaklopka kao rubni uvjet Za modeliranje ovog elementa koristit će se slijedeće jednadžbe: - uvjet da je piezometrička visina u spremniku konstantna, odnosno, općenito, da je poznata funkcija vremena - jednadžba koja povezuje piezometričke visine na krajevima pumpe uz jednadžbu karakteristike pumpe - uvjet jedinstvenosti piezometričkih visina u točkama P2 i P3, jer se na elementu zaklopki zanemaruje visina gubitka mehaničke energije zbog otpora trenja - jednadžba kompatibilnosti postavljena uzduž negativne karakteristike spuštene iz točke P3 na nizvodnom elementu cijevi - jednadžba kontinuiteta Matematički napisan sustav jednadžbi izgleda ovako: h hP1 O1= ( )t

H h h P2 P1 P= + h h P2 P3=

( ) ( ) ( )-S

P3 S P3 S S P3 S

gc

h h v v F v v− + − + + = 0

v A v A v AP2 1 P S P3 2=' ' ' '3 = (4.75) ____________________________________________ Za rješenje sustava potrebna je jednadžba karakteristike pumpe izražena kao funkcija brzine vP1, te njena derivacija po brzini: H C C A v C A v C A vP R P R P= + + R P+0 1 1 2

212

33

13 ,

dd

P

PR R P R

Hv

C A C A v C A v1

1 22

1 33

122 3= + + P ,

Nakon algebarskih transformacija dobiva se kubna jednadžba sa nepoznanicom vP1, koja se riješava iterativno po slijedećem postupku:

Prilozi

81

( ) ( ) ( )F +P1 P O1 S

SP1

1

SS

SS Sv H h h

cg

vAA

Fcg

v F≡ − + + + − − =1 1 0

Derivacija ove funkcije po varijabli vP1 glasi:

( ) ( )F'ddP1

P

P1

S 1

SSv

Hv

cg

AA

F= − + +1

Brzina vP1 dobiva se iterativno po formuli:

( ) ( ) ( )( )v vvv

i iP P

P

P

FF'1

11

1

1

+ = − (4.76)

dok razlika )( ) (v vi i

P P11

1+ − ne padne unutar željene točnosti, nakon čega se računaju ostale

brzine:

v v

v v vAA

v v

v v vAA

P P

P P PS

2

P P

P P P1

S

2 1

2 3 3

1 1

3 3 1

'

' ' '

' '

' '

=

= =

=

= =

(4.77)

Piezometričke visine se računaju iz slijedećih izraza:

(4.78)

h hh h Hh h

P1 O1

P2 P1 P

P3 P2

===

+

Navedeni izrazi vrijede u situaciji kada je zaklopka otvorena, odnosno kada je brzina vP1 pozitivna. U slučaju da je izračunata brzina vP1 negativna, a zaklopka zatvorena, vrijede izrazi: v v v v vP P P P P1 2 2 3 3 0= = = = =' ' ' ' ' '

(

h hh h C

h hcg

v F

P1 O1

P2 P1 0

P3 SS

S S

==

=

+

− −1 )

va zg

(4.79)

U slučaju da visine tlaka u točkama P1 , P2 i P3 padnu ispod visine tlaka isparavanja uzima se da su visina tlaka u točkama P1 , P2 i P3 jednake visini tlaka isparavanja. Matematički: ako je h z onda je h hhP g p− < P pva= + , (vrijedi za hP1, hP2, hP3)

Prilozi

82

6.3.7 DOZRAČNI ILI ODZRAČNI VENTIL Ponekad se u cjevovode ugrađuju dozračni ili odzračni ventili koji se otvaraju kada tlak u cjevovodu padne na neku unaprijed podešenu vrijednost izraženu visinom tlaka Hrez. Dozračni ventil se jednostavno modelira kontrolom visine tlaka u točki P u obliku: ako je h z HP g− < rez onda je h H zP rez g= + .

6.3.8 TLAČNA POSUDA Tlačne posude služe kao hidraulički amortizeri, a postavljaju se u cijevnim mrežama radi ublažavanja pojave hidrauličkog udara. Tlačna posuda je djelomično ispunjena zrakom čija stlačivost omogućava promjenu volumena vode u posudi zavisno od tlaka u cjevovodu. Tako npr. pri prekidu strujanja nakon zatvaranja ventila dolazi do porasta tlaka u cjevovodu. Zbog toga dolazi do strujanja fluida u tlačnu posudu čime strujanje fluida u cjevovodu nije brutalno zaustavljeno, nego postupno te je porast tlaka u cjevovodu s tlačnom posudom manji. (slika 4.11)

Slika 4.11 Tlačna posuda na cijevi s ventilom Slično se događa i nakon refleksije kada nastupa pad tlaka. Posuda, ponovo, sprečava veliki pad tlaka jer se sada iz nje dio fluida vraća u cjevovod. Da bi tlačna posuda predstavljala zaštitu od hidrauličkog udara, mora biti ugrađena na odgovarajuće mjesto u cjevnoj mreži, koje se kod složenih mreža može odrediti samo potpunom analizom kritičnih varijanti prekida strujanja u mreži. Drugi uvjet na tlačnu posudu je da ona uvijek mora sadržavati propisanu količinu zraka. Zbog toga se obično uz tlačne posude projektom predviđa i kompresor, kojim se, u slučaju gubitka zraka, može nadoknaditi izgubljena količina. Tlačne posude se često koriste u spoju s pumpama, pa će se u radu dati način modeliranja tlačne posude u sklopu s pumpom koja se nalazi, jedanput, uz spremnik, a drugi put unutar cjevovoda. Međutim, najprije slijedi modeliranje tlačne posude smještene samostalno unutar cjevovoda.

6.3.9 Tlačna posuda u čvoru između dvije cijevi

Prilozi

83

Slika 4.12 Tlačna posuda na spoju dvije cijevi kao rubni uvjet Za modeliranje ovog rubnog uvjeta potrebne su slijedeće jednadžbe: - jednadžba kompatibilnosti postavljena uzduž pozitivne karakteristike spuštene iz točke P na uzvodni dio cijevi, - jednadžba kompatibilnosti postavljena uzduž negativne karakteristike spuštene iz točke P na nizvodni dio cijevi, - jednadžba promjene stanja zraka u posudi uz pretpostavku izentropskog procesa, - jednadžba kontinuiteta, - uvjet jedinstvenosti piezometričkih visina u točkama P1 i P2. Matematički zapis ovih jednadžbi izgleda ovako:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

sign

- sign

RP1 R P1 R R P1 R

SP2 S P2 S S P2 S

igc

h h v v F v v

jgc

h h v v F v v

− + − + + =

− + − + + =

0

0

C = O O P Pp V p V p V0 0κ κ κ= =

( ) ( )[ ]Δ ΔV i v v A j v v= + − +12 1 1 2 2sign signO P R O P S( ) ( ) A t

h

h h P1 P2 P= = (4.80) gdje je: C - konstanta posude, C = p V0 0

κ p0 - tlak u posudi pri volumenu zraka V0 , (početno stanje) pO - tlak u posudi pri volumenu zraka VO , (radno stanje, stari vremenski trenutak) pP - tlak u posudi pri volumenu zraka VP, (radno stanje, novi vremenski trenurak) V V VP O= − Δ κ - eksponent izentropske promjene stanja

Prilozi

84

ΔV - volumen fluida koji ulazi/izlazi iz posude (ΔV je pozitivan ako fluid ulazi u posudu; tada se smanjuje volumen zraka u posudi, tj. VP < VO ) Piezometrička visina i tlak u posudi, u starom vremenskom trenutku povezani su izrazom:

hp

gz zv gO

O= + +ρ

dok ta veza u novom vremenskom trenutku glasi:

hpg

z zv gPP= + +

ρ

zv - geodetska visina srednje točke posude u odnosu na cijev zg - geodetska visina cijevi Korištenjem ovih izraza navedeni sustav jednadžbi dobiva slijedeći oblik:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

sign

- sign

RP R P1 R R R

SP S P2 S S S

igc

h h v F v F

jgc

h h v F v F

− + + + − =

− + + + − =

1 1

1 1

0

0

( )Vg h zv

OO

C=

−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ρ

κ1

( ) ( )[ ]Δ ΔV i v v A j v v= + − +12 1 1 2 2sign signO P R O P S( ) ( ) A t

( )

hg V V

zvP

C

O

=−

+ρ

κΔ

_________________________________________________________ (4.81) Sustav sadrži tri nepoznanice hP, vP1 i vP2 i dovoljan broj jednadžbi te se može riješiti. Nakon jednostavnih algebarskih transformacija na jednadžbama kompatibilnosti i jednadžbi kontinuiteta, dobiva se jednadžba koja daje zavisnost piezometričke visine hP i volumena ΔV:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

h

gA h

c FA h

c Fi A v

FF

j A vFF

gA

c FA

c F

i v A j v AVt

gA

c FA

c F

P

R R

R R

S S

S SR R

R

RS S

S

S

R

R R

S

S S

O1 R O2 S

R

R R

S

S S

sign( sign(

sign( sign(

=+

++

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−−+

+−+

++

+

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+

+− −

++

+

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

1 111

11

1 1

2

1 1

) )

) )ΔΔ

Prilozi

85

(4.82) Budući da gore navedeni izraz za hP sadrži ΔV koji je nepoznat, za dobivanje rješenja koristit će se peta jednadžba sustava koja također povezuje hP sa ΔV; potrebna je i treća jednadžba sustava jer daje izraz za volumen zraka VO u starom vremenskom trenutku koji egzistira u petoj jednadžbi. Spomenute tri jednadžbe moguće je riješiti numeričkim postupkom, Newton-Raphsonovom metodom. Iterativni postupak odvija se na slijedeći način: Početni (prvi) volumen za iterativni postupak VO izračuna se iz treće jednadžbe sustava. Pretpostavljeni početni ΔV, (ΔV 0) može se izračunati po formuli: [ ]Δ ΔV t i v A j v0

1 2= −sign signO R O S( ) ( ) A Sa tako izračunatim ΔV,(0) računa se hP

(1) po jednadžbi (4.82). Dobiveni hP

(1) koristi se za računanje F(ΔV) i F'(ΔV) prema izrazima:

( )

FC

O

( )ΔΔ

Vg V V

zv=−

+ρ

κ

( ) ( )( )

FC

R

R R

S

S S

O

' ( )ΔΔ Δ

Vt

gA

c FA

c F

g V V= −

++

+

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−−

+

2 1

1 1

1κ

ρκ

Novi ΔV računa se prema izrazu:

( ) ( )Δ ΔΔΔ

V VVV

i i+ = −1 FF

( )' ( )

(4.83)

Tako dobiveni ΔV koristi se za računanje novog hP, (hP

(2) prema izrazu (4.82) i postupak se ponavlja sve dok razlika vrijednosti ΔV u dva susjedna koraka iteracije ne padne ispod zadane tolerancije. Nakon izračunavanja hP, mogu se izračunati brzine:

( )v vFF

g ih h

c FP1 RR

R

P R

R R

sign(=−+

−−

+

11 1

) )

( )v vFF

g jh h

c FP2 SS

S

P S

S S

sign(=−+

+−

+

11 1

) (4.84)

Budući se ne dozvoljava da tlak u posudi padne ispod tlaka isparavanja, vrijedi izraz: Ako je h z , onda je h hhP g p− < va z gP pva= + Za vrijeme podtlačnog vala nije dozvoljeno da zrak izlazi iz tlačne posude jer to znači loše projektiranu zaštitu od hidrauličkog udara. Zato u algoritmu proračuna, u slučaju da je V V VO o− >Δ treba dati obavijest da zrak izlazi iz posude, gdje je Vo - ukupni volumen tlačne posude

Prilozi

86

6.3.10 Cijev-pumpa-zaklopka-tlačna posuda-cijev

Slika 4.13 Tlačna posuda u spoju sa pumpom i nepovratnom zaklopkom između dvije cijevi Za modeliranje ovog rubnog uvjeta potrebne su slijedeće jednadžbe: - jednadžba kompatibilnosti postavljena uzduž pozitivne karakteristike spuštene iz točke P1 na uzvodni dio cijevi, - jednadžba kompatibilnosti postavljena uzduž negativne karakteristike spuštene iz točke P2 na nizvodni dio cijevi, - jednadžba promjene stanja uz pretpostavku izentropskog procesa - jednadžba kontinuiteta, - uvjet jedinstvenosti tlaka u točkama P2 i P3 (kada je zaklopka otvorena), - jednadžba koja povezuje piezometričke visine na krajevima pumpe uz jednadžbu karakteristike pumpe. Matematički zapis navedenih jednadžbi glasi:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

-

RP1 R P1 R R R

SP3 S P3 S S S

gc

h h v F v F

gc

h h v F v F

− + + + − =

− + + + − =

1 1

1 1'

0

0

( )Vg H zv

OO

C

3

=−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ρ

κ1

( ) ( )[ ]Δ ΔV v v A v v A= + − +12 3 3 3 3O P 2 O P S' ' t

( )

hg V V

zvP3

C

O

=−

+ρ

κΔ

, kada je zaklopka otvorena h hP2 P3= h hP2 P1 P= H+ v A v A v AP R P 1 P2=1 1' '= 2

Prilozi

87

________________________________________ (4.85) Ove jednadžbe moguće je riješiti kroz dva iterativna postupka: Prvo se računa početni (za iterativni postupak) volumen tlačne posude VO i volumen ΔV(0) prema izrazima:

( )Vg H zv

OO

C

3

=−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ρ

κ1

( ) ( )[Δ ΔV v v A v v A= + − +12 3 3 3 3O P 2 O P S' ' ] t , (za ΔV(0), vP3= vO3, vP3’= vO3’)

te piezometrička visina u čvoru O3 prema izrazu:

( )

hg V V

zvP3

C

O

=−

+ρ

κΔ

Iz jednadžbi kompatibilnosti, nakon jednostavnih algebarskih transformacija dobivaju se funkcije:

( ) ( ) ( )F -P1 P3 P RR 1

RP1 R

RR Rv h H h

cg

AA

v Fcg

v F' '= − + + − − =1 1 0

( ) ( )F'ddP1

P

P1

R

RRv

Hv

cg

AA

F= − + +'

1 1

H C C Av C A v C A vP 1 P 1 P 1= + + P+0 1 1 22

12

33

13' ( ' ) ( ' ) ,

dd

P

P1 1 P 1 P

Hv

C A C A v C A v1

1 22

1 33

122 3

'' (= + + ' )

Brzina vP1’ dobiva se po Newton-Raphsonovoj metodi, iterativno, iz izraza:

( ) ( )( ' ) ( ' )( ' )' ( ' )

v vF vF v

i iP P

P

P1

11

1

1

+ = − (4.86)

Kada razlika ( )( ' ) ( ' )v vi ( )iP P1

11

+ − postane manja od zadane tolerancije, usvaja se brzina v P1'. Nakon što se dobije brzina v P1', mogu se računati ostale vrijednosti brzina i piezometričkih visina iz izraza: v vP2 P3= '

( )v vFF

gh h

c FP3 SS

S

P3 S

S S

' =−+

+−

+

11 1

v vAAP3 P2= 1

2

h hP2 P3= h hP1 P2 P= H−

( )v vFF

gh h

c FP1 RR

R

P1 R

R R

=−+

−−+

11 1

(4.87)

Drugi korak iterativnog postupka je računanje novog ΔV, (ΔV(1)), novog hP3, (hP3

(1)), te funkcija F(v P1') i F’(v P1'), a zatim slijedi iterativno računanje v P1' , kako je to gore opisano. Ovaj iterativni postupak završava kada se vrijednosti brzina vP3 i vP3’ u dva susjedna koraka iteracije razlikuju za vrijednosti koje su manje od zadanih tolerancija.

Prilozi

88

Opisani postupak vrijedi za slučaj kada je zaklopka otvorena . U slučaju da je zaklopka zatvorena, iterativni postupak se odvija kao i u gornjem slučaju; razlika je u računanju slijedećih izraza: v v v v vP P P P P1 2 3 2 1 0' '= = = = =

( )h hcg

v FRP1 RR

R= + −1

h h CP2 P1= + 0

( )v vFF

gh h

c FP3 SS

S

P3 S

S S

' =−+

+−

+

11 1

(4.88)

U proračunu se ne dozvoljava da visine tlaka u točkama P1 , P2 i P3 padnu ispod visine tlaka isparavanja te slijedi: Ako je h z hP3 g3 pva− < , onda je h h zP3 pva g3= + h z , h hhP1 g1 pva− < zP1 pva g1= + h z , h hhP2 g2 pva− < zP2 pva g2= +

6.3.11 Spremnik - pumpa - zaklopka - tlačna posuda - cijev

Slika 4.14 Tlačna posuda u spoju sa pumpom i nepovratnom zaklopkom između spremnika i cijevi Za modeliranje ovog rubnog uvjeta koristit će se slijedeće jednadžbe: - uvjet da je piezometrička visina u točki P1 konstantna, odnosno poznata funkcija vremena, - jednadžba kompatibilnosti postavljena uzduž negativne karakteristike spuštene iz točke P3 na nizvodni dio cijevi, - jednadžba promjene stanja uz pretpostavku izentropskog procesa, - jednadžba kontinuiteta, - uvjet jedinstvenosti tlaka u točkama P2 i P3 (kada je zaklopka otvorena),

Prilozi

89

- jednadžba koja povezuje piezometričke visine na krajevima pumpe uz jednadžbu karakteristike pumpe. Matematički zapis ovih jednadžbi glasi:

( ) ( ) ( )

-

P O

SP3 S P3 S S S

h h tgc

h h v F v F

1 1

1 1

=

− + + + − =

( )

' 0

( )Vg H zv

OO

C

3

=−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ρ

κ1

( ) ( )[ ]Δ ΔV v v A v v A= + − +12 3 3 3 3O P 2 O P S' ' t

( )

hg V V

zvP3

C

O

=−

+ρ

κΔ

, kada je zaklopka otvorena h hP2 P3= h hP2 P1 HP= + v A v A v AP 1 P2 2 P S=1 3= ' ' __________________________________________________ (4.89) Do rješenje ovog sustava jednadžbi, također, se dolazi kroz dva iterativna postupka; jedan iterativni postupak se odvija unutar drugog. Postupak rješavanja sustava slijedi: Izračunati VO , ΔV, hP3 prema izrazima:

( )Vg H zv

OO

C

3

=−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ρ

κ1

( ) ( )[ ]Δ ΔV v v A v v A= + − +12 3 3 3 3O P 2 O P S' ' t , (za ΔV(0), vP3= vO3, vP3’= vO3’)

( )

hg V V

zvP3

C

O

=−

+ρ

κΔ

Nakon dobivanja ovih početnih vrijednosti, kreće se sa drugim iterativnim postupkom u kojem treba dobiti vrijednost brzine vP2. Ona se dobiva po Newton-Raphsonovoj metodi, iz izraza:

( ) ( )( ) ( )( )' ( )

v vF vF v

i iP P

P

P2

12

2

2

+ = − (4.90)

gdje je: ( )F v h hP2 P3 O1 P= − + + H

Prilozi

90

( )F vHv

'ddP2

P

P2=

H C C Av C A v C A vP 1 P 1 P= 1 P+ + +0 1 2 22

22

33

23

dd

P

P1 1 P 1

Hv

C A C A v C A v2

1 22

2 33

222 3= + + P

Nakon određivanja brzine vP2, mogu se izračunati ostale brzine i piezometričke visine: v vP1 P2=

( )v vFF

gh h

c FP3 SS

S

P3 S

S S

' =−+

+−

+

11 1

v vAAP3 P2= 1

2

v vP2 P3' = h hP1 O1= h hP2 P1 HP= + (4.91) Slijedi drugi korak iterativnog postupka u kojem se ponovo računa ΔV, hP3 . Postupak se ponavlja sve dok razlike ( ) ( )v vi i

P P31

3+ − te ( ) ( )( ' ) ( ' )v vi

P31

3+ − i

P ne postanu manje od zadanih tolerancija. U slučaju kada je zaklopka zatvorena dobivaju se slijedeće vrijednosti: v v v vP P P P1 2 3 2 0= = = =' h hP1 O1= h hP2 P1= C+ 0

( )v vFF

gh h

c FP3 SS

S

P3 S

S S

' =−+

+−

+

11 1

(4.92)

Kako se u proračunu zahtijeva da visine tlaka u točkama P1, P2 i P3 moraju biti veće od visine tlaka isparavanja, slijedi: Ako je h z hP3 g3 pva− < , onda je h h zP3 pva g3= + h z , h hhP1 g1 pva− < zP1 pva g1= + h z , h hhP2 g2 pva− < zP2 pva g2= +

6.3.12 TIFON Tifon je uređaj koji služi za navodnjavanje poljoprivrednih površina na principu prskanja. Sastoji se od polietilenske cijevi na kojoj se nalazi regulator tlaka i sapnice, kojom se vrši rasprkavanje vode.

Prilozi

91

Za pravilan rad uređaja potrebno je osigurati određeni radni tlak koji osigurava pokrivanje mlazom vode projektom predviđene površine zemljišta. Ako je tlak veći od predviđenog, uređaj će ga reducirati na radni tlak, a ako je manji, uređaj neće funkcionirati ispravno. Sa stajališta metode karakteristika uređaj se može modelirati pomoću nepovratne zaklopke koja sprečava natražno strujanje, redukcionog ventila koji reducira tlak u cjevovodu na vrijednost visine radnog tlaka (h ) i sapnice tifona koja energiju tlaka pretvara u kinetičku energiju mlaza, te na

izlazu vlada atmosferski tlak, tj. piezometrička visina

ref

Hpg

zpaa

g const= + =ρ

).

S obzirom da je za radni tlak definiran protok vode kroz tifon Qtif, sapnica će biti zamijenjena ventilom na kojem se upravo uz zadani protok troši radni tlak, čime je definiran koeficijent lokalnog gubitka Kt tog ventila. Za slučaj da je raspoloživi tlak ispred tifona manji od radnoga, protok kroz tifon bit će razmjerno manji od projektiranog, a računat će se na osnovu koeficijenta lokalnog gubitka Kt koji se smatra konstantnim za otvoreni tifon. Za modeliranje ovog elementa potrebne su slijedeće jednadžbe: - jednadžbe kompatibilnosti postavljene uzduž karakteristika na ravne dijelove cijevi koje su vezane u račvu.(Ovdje će se dati primjer kada se ispred tifona nalazi račva sa n elemenata. Proračun, naravno vrijedi i za slučaj kada se umjesto račve, ispred tifona nalazi element cijevi; tada je n=1) - jednadžba kontinuiteta

Matematički zapis navedenih jednadžbi glasi:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

sign

sign

P P i P

P

igc

h h v v F v v

i v A Q

ii i i i i

i

n

i i tif

1

1

0

0

− + − + + =

− ==∑

(4.93)

Sustav sadrži n+1 jednadžbu i n+1 nepoznanicu: hP1 , vP1 , vP2,.. vPi.... vPn , te ga je moguće riješiti metodom supstitucije.

Prilozi

92

Slika 4.15. Tifon u račvi kao rubni uvjet

Zamjenom izraza za Qtif iz druge jednadžbe i njegovim uvrštavanjem u prvu jednadžbu, dobiva se jednadžba sa jedinom nepoznanicom hP1:

( )

( )h

gA h

c Fi Av

FF

Q

gA

c F

i

n

i

n

i

nP1

i i

i ii i

i

itif

i

i i

sign( )=

+−

−+

−

+

= =

=

∑ ∑

∑1

11

1

1 1

1

(4.94)

Zbog kratkoće pisanja, uvest će se oznake SB i SN koje označavaju sumu brojnika i sume nazivnika, pa se izraz za hP1 može pisati:

hS Q

SPB

N1 = tif−

(4.95)

Ovaj izraz vrijedi u situaciji kada je redukcioni ventil u funkciji. Tada se može postaviti uvjet: Ako je h z , onda redukcioni ventil osiurava tlak h i vrijedi: h h zP1 g1 ref pa ga− > + − href pa+

(4.96) h hh h h z

P2 P1

P3 ref pa ga

== + −

Ako je h z , onda redukcioni ventil nije u funkciji. h h zP1 g1 ref pa ga− < + − Kada redukcioni ventil nije u funkciji, modeliranje tifona zahtijeva, pored jednadžbi kompatibilnosti, jednadžbe kontinuiteta i dodatnu jednadžbu koja daje izraz za pad tlaka na ventilu, (ova jednadžba je potrebna jer se javlja dodatna nepoznanica Qtif).

( )h hKg

vKg

QA

tM

t tif

MP Pa1

22

22 2− = = (4.97)

h h tPa Oa const= =( )

Prilozi

93

Rješenje ovako formiranog sustava jednadžbi dobiva se iz kvadratne jednadžbe u kojoj je nepoznanica Qtif : Qtif

2+ Qtif + = 0 (4.98) gdje je:

=KgA

t

2 2M

=N

B1

S

= -paB

NC h

SS

Qtif dobiva se iz izraza:

Qtif =− ± −B B AC

A

2 42

Može se pisati: D = B AC2 4− Ako je <0, proračun se nastavlja kao u slučaju zatvorenog tifona. Kada je izračunat Qtif , mogu se računati ostale vrijednosti:

h hKg

QA

t tif

MP Pa1

2

22= +

(4.99) h hh h

P2 P1

P3 P1

==

Obje navedene situacije pripadaju slučaju kada je tifon otvoren (t t ) t t> <po ~ zati U slučaju zatvorenog tifona, Qtif =0, te vrijedi:

( )

hSS

h h

h h h z h

P1B

N

P2 P1

P3 P1 Pa ga ref g3

=

=

= − +min , z+

(4.100)

Budući da se u čvorovima NK, NL i NM ne dozvoljava da tlak bude manji od tlaka isparavanja slijedi: Ako je h z , onda je h hhP1 g1 pva− < zP1 pva g1= + h z , h hhP2 g2 pva− < zP2 pva g2= + h z , h hhP3 g3 pva− < zP3 pva g3= + Brzine u elementima račve, bez obzira da li je tifon otvoren ili zatvoren računaju se iz slijedećeg izraza:

Prilozi

94

( )v vFF

sign igc

h hFPi i

i

i i

P1 i

i

=−+

−−

+11 1

( ) (4.101)

Brzine u elementima K, L, M računaju se na slijedeći način:

vQA

vQA

vQA

tif

tif

tif

( )

( )

( )

MM

LL

KK

=

=

=

(4.102)

Documents

Hidrodinamika cijevnih mreža - FSB Online · PDF fileinženjersko umijeće, a hidrodinamika sve elegantnija matematička disciplina. Tokom XVIII i XIX st. učinjen je golem napredak