Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Hidrodinamikai Problémák

BSc Szakdolgozat

Gilányi Gergely TamásMatematika BSc

Alkalmazott matematikus szakirány

Témavezet®:

Sigray István

M¶szaki Gazdasági Tanár

ELTE Analízis Tanszék

Budapest, 2012

.

Tartalomjegyzék

Bevezet® 5

1. Stacionárius Áramlások 6

1.1. Ideális folyadékok áramlása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Cirkuláció és a �uxus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Áramvonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Nyomás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5. Felhajtóer® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6. Hasonló áramlások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Instacionárius áramlások 18

2.1. Kontinuitási Tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. A jellemz®k lokális és konvektív megváltozása . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Euler-Egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1. Gyorsulás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.2. Euler-Egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4. Bernoulli-Egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Az Aramvonal program 24

3.1. A feladat de�niálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2. Elemzés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3. Input paraméterek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4. Implementáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5. Absztrakt Program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.6. Tesztelés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

III

Köszönetnyilvánítás

Szeretnék köszönetet mondani témavezet®mnek Sigray Istvánnak, aki érdekes ötlete-

ivel, szakmai tanácsaival, és kérdéseimre adott kielégít® válaszaival el®segítette ennek a

dolgozatnak a létrejöttét. Szeretnék még köszönetet mondani évfolyamtársaimnak a sok

ötletért, jegyzetért, és az egész éves bíztatásért. Emellett szeretnék köszönetet mondani

Brian Coxnak, aki érdekes el®adásaival felkeltette az érdekl®désemet a Fizika több érdekes

ágazata iránt.

IV

Bevezet®

A szakdolgozatomban hidrodinamikai feladatokkal, kérdésekkel, és problémákkal fo-

gok foglalkozni. A hidrodinamika egy alapvet® fontosságú ága a �zikának, mivel ez a

tudományág hozzásegít minket ahhoz, hogy megértsük a természet számos érdekes jelen-

ségét. A hidrodinamika érdemben kapcsolja össze az eddig tanult �zikai jelenségeket a

matematikai ismereteinkkel. Felmerülhet a kérdés az olvasóban, hogy mivel is foglalkozik

maga a hidrodinamika? Legegyszer¶bben úgy lehetne megfogalmazni, hogy a folyadékok

mozgásának és egyéb tulajdonságainak a leírásával foglalkozik. Ha picit b®vebben szeret-

nénk a kérdésre a választ megfogalmazni, akkor mindenképp meg kell még említenünk

azt, hogy a folyadékáramlások modellezése mellett a levezetett tételeknek, törvények-

nek a gyakorlati felhasználásával is foglalkozik a hidrodinamika. Jogos kérdése lehet az

olvasónak, hogy milyen gyakorlati felhasználásai lehetnek a hidrodinamikának? Milyen

való életbeli haszna lehet ennek az érdekes tudományágnak? Az egyik legismertebb fel-

használása ennek (amir®l szerintem már mindenki hallott) az a repülés. Emellett számos

felhasználása van még például az orvostudományban (véráramlási modellek megalkotásá-

ban), a gyógyszerészetben folyadékkromatográf készülékek m¶ködése is elengedhetetlen

lenne a hidrodinamika nélkül, és persze nem lehet elfeledkezni a mérnöki felhasználható-

ságáról sem.

A dolgozatomban két fajta áramlástani modellel fogunk megismerkedni

• A Stacionárius síkáramlási modell, ahol az áramlás tényez®i nem függnek az id®t®l,

és az áramlás síkban történik

• Az Instacionárius térbeli áramlási modellel, ahol az áramlás tényez®i függnek az

id®t®l, emellett az áramlás a térben megy végbe.

Miután megismerkedtünk ezzel a két modellel a harmadik fejezetben a Stacionárius

áramlások egy nagyon fontos tulajdonságának (az áramvonalnak) gra�kus ábrázolására

készített programommal (és annak dokumentációjával) fognak megismerkedni.

5

1. fejezet

Stacionárius Áramlások

Ebben a fejezetben stacionárius síkáramlásokról fogunk levezetni állításokat, �zikai

tulajdonságokat, érdekes jelenségeket. Felmerül az emberben a kérdés, hogy mit is jelent

az, hogy egy áramlás sikáramlás, vagy hogy egy áramlás stacionárius? Erre a két kérdésre

az alábbi két de�níció egyszer¶ választ tud adni:

1.0.1. De�níció. Egy áramlás síkáramlás, ha létezik az áramláshoz egy olyan sík, amire

a mer®leges sebességkomponens értéke 0, és ezzel a síkkal párhuzamos síkokban az áramlás

képe azonos.

Azaz vz = 0 és ∂vx∂z

= ∂vy∂z

= 0.

Stacionárius áramlásban a jellemz®k nem függenek az id®t®l, így a sebességterét a v =

v(r) alakú vektortér írja le, azaz a sebességvektorok az áramlási tér minden egyes (x0, y0)

pontjában adott koordináta-rendszerb®l nézve id®ben nem változnak. Formálisan:

Legyen D ⊂ R2 egy tartomány.

1.0.2. De�níció. Egy áramlás Stacionárius, ha minden (x, y) ∈ D pont sebességvektora

független az id®ponttól. Ekkor létezik (u(x, y), v(x, y)) : D → R2 vektortér, amely minden

ponthoz a sebességvektort rendeli hozzá.

6

Ideális folyadékok áramlása Stacionárius Áramlások

1.1. Ideális folyadékok áramlása

Jelent®s különbség van a cseppfolyós és légnem¶ közegek között viszont, ha áram-

lástani feladatok megoldása szempontjából tekintjük ezeket a közegeket, akkor jelent®s

hasonlóságot tapasztalunk. Ezért vezettük be a folyadék gy¶jt®fogalmat, amely segít

nekünk különböz® halmazállapotú folyadékokra egyaránt érvényes áramlástani összefüg-

gések meghatározásában. A valóságos folyadékok áramlásának modellezésére bevezetjük

az ideális folyadék fogalmát, amelynek legfontosabb tulajdonságai a következ®k:

1. homogén

2. Súrlódásmentes

3. Összenyomhatatlan

1.1.1. De�níció. Egy áramlás ideális, ha stacionárius, örvénymentes, forrás-nyel® men-

tes.

1.1.2. De�níció. Egy áramlás forrás-nyel® mentes, ha tetsz®leges görbék által határolt

résztartományán az egységnyi id® alatt be és ki áramló folyadék egyenlege 0.

Legyen (x0, y0) ∈ D és h > 0 olyan, melyekre [x0 − h, x0 + h] × [y0 − h, y0 + h] ⊂ D.

Tegyük fel, hogy u, v ∈ C1(D) és, hogy h→ 0+ 0 és a folyadékáramlás iránya az pozitív.

Ekkor a négyzet függ®leges oldalain kiáramló folyadék mennyisége:

h∫−h

u(x0 + h, y0 + t)dt−h∫

−h

u(x0− h, y0 + t)dt =

h∫−h

u(x0 + h, y0 + t)− u(x0− h, y0 + t)dt =

= 2h(u(x0 + h, y0 + t1)− u(x0 − h, y0 + t1)) = 4h2∂u

∂x(x0 + t2, y0 + t1),

t1, t2 ∈ (−h, h).

A négyzet vízszintes oldalain kiáramló folyadék mennyisége:

h∫−h

v(x0 + t, y0 + h)dt−h∫

−h

v(x0 + t, y0− h)dt =h∫

−h

v(x0 + t, y0 + h)− v(x0 + t, y0− h)dt =

= 2h(v(x0 + t3, y0 + h)− v(x0 + t3, y0 − h)) = 4h2∂v

∂y(x0 + t3, y0 + t4),

7

Ideális folyadékok áramlása Stacionárius Áramlások

t3, t4 ∈ (−h, h).

1.1.1. Megjegyzés. Az egyenl®ségnél felhasználtuk a Lagrange-féle középérték tételt.

Mivel az egységnyi id® alatt be és ki áramló folyadék egyenlege nulla, ezért a következ®

összefüggés igaz:

0 = 4h2(∂u

∂x(x0 + t2, y0 + t1) +

∂v

∂y(x0 + t3, y0 + t4)

).

Ami ekvivalens azzal, hogy

∂u

∂x(x0 + t2, y0 + t1) = −

∂v

∂y(x0 + t3, y0 + t4),

ekkor, ha h→ 0 + 0 akkor:

∂u

∂x(x0, y0) = −

∂v

∂y(x0, y0).

Ami az els® Cauchy-Riemann egyenletre emlékeztet minket.

1.1.3. De�níció. Egy áramlás örvénymentes, ha a görbék által határolt résztartományain

az összcirkuláció 0.

A cirkuláció mértéke a vízszintes oldalakon a következ®:

h∫−h

−u(x0+t, y0+h)dt+h∫

−h

u(x0+t, y0−h)dt =h∫

−h

−u(x0+t, y0+h)+u(x0+t, y0−h)dt =

= 2h(−u(x0 + t3, y0 + h) + u(x0 + t3, y0 − h)) = −4h2∂u

∂y(x0 + t1, y0 + t2)

t1, t2 ∈ (−h, h).

A cirkuláció mértéke a függ®leges oldalakon a következ®:

h∫−h

v(x0 + h, y0 + t)dt−h∫

−h

v(x0− h, y0 + t)dt =

h∫−h

v(x0 + h, y0 + t)− v(x0− h, y0 + t)dt =

= 2h(v(x0 + h, y0 + t3)− v(x0 + h, y0 + t3)) = 4h2∂v

∂x(x0 + t4, y0 + t3),

t3, t4 ∈ (−h, h).

8

Cirkuláció és a �uxus Stacionárius Áramlások

Az összcirkuláció 0, akkor:

0 = 4h2(−∂u∂y

(x0 + t1, y0 + t2) +∂v

∂x(x0 + t4, y0 + t3)

),

ami akkor és csak akkor igaz, ha

∂u

∂y(x0 + t1, y0 + t2) =

∂v

∂x(x0 + t4, y0 + t3),

h→ 0 + 0 esetén∂u

∂y(x0, y0) =

∂v

∂x(x0, y0).

Ez pedig a második Cauchy-Riemann egyenletetre emlékeztet minket.

Precízen legyen

f(z) := f(x+ iy) = u(x, y)− i · v(x, y).

1.1.1. Következmény. Erre az f -re teljesülnek a Cauchy-Riemann egyenletek.

1.1.1. Állítás. Legyen D ⊂ R2 ∼= C tartomány. Legyen D egy ideális folyadékáramlás,

amelyet az (u(x, y), v(x, y)) vektormez® ír le. Ekkor f(z) holomorf (reguláris) D-n.

1.2. Cirkuláció és a �uxus

Legyen D ⊂ C egy tartomány, legyen D-n egy olyan ideális áramlás, amelyet f(x +

iy) = u(x, y)− iv(x, y)) ír le.

1.2.1. De�níció. Legyen γ : [a, b] → D rekti�kálható görbe. Egy áramlás �uxusa(γ-n)

alatt azt értjük, hogy egységnyi id® alatt mennyi folyadék áramlik γ egyik bal partjáról a

jobb partjára.

Legyen dz egy in�nitezimális (parányi) íve γ-nak, ekkor −i · dz egy ugyanilyen hosszú,

de rá mer®leges vektor. Ekkor a szakaszon áthaladó �uxus −idz és f(z) skaláris szorzata,azaz

(f,−idz) = (u− iv, dy − idx) = u · dy − v · dx = u · dy − v · dx = =fdz.

A teljes �uxus tehát a γ-n megegyezik∫γ

u · dy − v · dx = =∫γ

f(z)dz.

9

Cirkuláció és a �uxus Stacionárius Áramlások

1.2.2. De�níció. A cikuláció alatt �zikailag azt értjük, hogy γ-t az áramlás mennyire

szeretné negatív irányba forgatni.

A �uxushoz hasonlóan levezethet® a γ in�nitezimális ívének a cirkulációja is:

(f, dz) = (u− iv, dx+ idy) = u · dx+ v · dy = <fdz.

Innen a teljes γ menti cirkulációt a következ® integrál adja meg∫γ

u · dx+ v · dy = <∫γ

f(z)dz.

1.2.1. Állítás. Ha f holomorf D tartományon, akkor u(x, y) = <f(x+ iy) és v(x, y) =

−=f(x+ iy) módon de�niált vektormez®höz ideális folyadékáramlás tartozik.

Bizonyítás: A Cauchy-alaptétel szerint, ha f holomorf egy γ zárt görbe belsejében és

γ-n, akkor ∫γ

f(z)dz = 0.

Forrás-nyel® mentesség miatt intγ-ban mindig ugyanannyi folyadéknak kell lennie, tehát

a �uxusnak egyenl®nek kell lennie a 0-val.

=∫γ

f(z)dz = 0.

Az örvénymentesség miatt a cirkulációnak γ mentén nullának kell lennie, ami ugyan csak

következik a Cauchy-alaptételb®l, mivel

<∫γ

f(z) = 0.

�

10

Áramvonal Stacionárius Áramlások

1.3. Áramvonal

1.3.1. De�níció. Legyen D ⊂ C tartomány, (u, v) olyan vektormez®, amelyik az ideális

áramláshoz tartozik. Azt mondjuk, hogy γ : [a, b]→ D görbe áramvonal, ha γ sima és

γ′(t) = (u(γ(t)), v(γ(t))).

Az áramvonal olyan sima görbe, amelynek bármilyen kis darabján a �uxus 0. Legyenγ∗

γ-nak egy kis darabja (γ∗ : [a, b]→ D), akkor a �uxus a γ∗ mentén

=∫γ∗

f(z)dz = =(F (γ∗(b))− F (γ∗(a))),

ha f -ek F primitív függvénye γ∗ egy környezetében.

F létezik, ha γ∗-nak elég kicsi az átmér®je. Ekkor az áramvonal egyenlete:

=F (z) = const.

1.4. Nyomás

Legyen D ⊂ C tartomány, ekkor minden z0 ∈ D-beli folyadékrészecskére nyomás hat,

melynek iránya mer®leges az objektum síkjára.(jele p(z))

z0 = x0 + i · y0 = (x0, y0) és h > 0 olyan, melyekre [x0 − h, x0 + h]× [y0 − h, y0 + h] ⊂ D.

Ekkor a négyzetre ható er®t a következ® egyenletek írják le:

A bal függ®leges oldalra ható er®:

h∫−h

p(x0 − h, y0 + t)dt.

A jobb függ®leges oldalra ható er®

−h∫

−h

p(x0 + h, y0 + t)dt.

A kett® összege:h∫

−h

p(x0 − h, y0 + t)− p(x0 + h, y0 + t)dt =

= 2h · (p(x0 − h, y0 + t1)− p(x0 + h, y0 + t1)) = 4h2 · (−∂p∂x

(x0 + t2, y0 + t1)),

11

Nyomás Stacionárius Áramlások

t1, t2 ∈ (−h, h).

A alsó vízszintes oldalra ható er®:

h∫−h

p(x0 + t, y0 − h)dt.

A fels® vízszintes oldalra ható er®:

−h∫

−h

p(x0 + t, y0 + h)dt.

A kett® összege:h∫

−h

p(x0 + t, y0 − h)− p(x0 + t, y0 + h)dt =

= 2h · (p(x0 + t3, y0 − h)− p(x0 + t3, y0 + h)) = 4h2 · (−∂p∂y

(x0 + t3, y0 + t4)),

t4, t3 ∈ (−h, h).

Egy testre ható er® a más testekkel való kölcsönhatás mértékére jellemz® �zikai mennyiség.

1.4.1. De�níció. Az er® vektormennyiség, amire igaz az F = ∂I∂t, ahol a ∂I

∂talatt az

impulzusváltozás gyorsaságát értjük.

A jelölések miket fel fogunk használni a következ®k:

• F : az er®

• m: a tömeg

• a: a gyorsulás

• ρ: a s¶r¶ség

• I: impulzus

• V : térfogat

12

Nyomás Stacionárius Áramlások

Newton második törvénye szerint, ha feltesszük, hogy a tömeg állandó, akkor az er®

képlete:

F =∂I

∂t=∂(m · v)∂t

= m · ∂v∂t

= m · a,

ahol a tömeg képlete logikusan:

m = ρ · V = ρ · 4h2.

Kis átrendezéssel az alábbi egyenletet nyerhet® a gyorsulásra:

a(x, y) =F

m=

1

ρ·(−∂p∂x

(x0 + t2, y0 + t1),−∂p

∂y(x0 + t3, y0 + t4)

).

Ha h→ 0, akkor t1, t2, t3, t4 → 0 Ekkor (x0, y0)-ban a gyorsulás

a(x0, y0) =1

ρ·(−∂p∂x

(x0, y0),−∂p

∂y(x0, y0)

).

Legyen γ(t) áramvonal, melyre γ(0) = (x0, y0)

Ekkor az áramvonal de�níciója szerint:

γ′(t) = (u(γ(t)), v(γ(t)))

γ′′(t) = (u′(γ(t)) · γ′(t), v′(γ(t)) · γ′(t))

γ(t) = (x(t), y(t))

x′(t) = u(x(t), y(t))

y′(t) = v(x(t), y(t))

γ′(t) = (u(x(t), y(t)), v(x(t), y(t)))

γ′′(0) : γ(0) = (x0, y0)-beli gyorsulás.

γ′′(t) =

(∂u

∂x(x(t), y(t)) · x′(t) + ∂u

∂y(x(t), y(t)) · y′(t), ∂v

∂x(x(t), y(t)) · x′(t)+

+∂v

∂y(x(t), y(t)) · y′(t)

)=

=

(u · ∂u

∂x(x(t), y(t)) + v · ∂u

∂y(x(t), y(t)), u · ∂v

∂x(x(t), y(t)) + v · ∂v

∂y(x(t), y(t))

).

A Cauchy Riemann egyenletek (∂u∂y

= ∂v∂x) miatt ez egyenl® a következ®vel:

γ′′(t) =

((u · ∂u

∂x+ v · ∂v

∂x

)(x(t), y(t),

(u · ∂u

∂y+ v · ∂v

∂y

)(x(t), y(t)

)=

13

Felhajtóer® Stacionárius Áramlások

=1

2·((

∂u2

∂x+∂v2

∂x

)(x(t), y(t),

(∂u2

∂y+∂v2

∂y

)(x(t), y(t)

)=

=1

2·(∂|f |2

∂x(x(t), y(t)),

∂|f |2

∂y(x(t), y(t))

).

Az egyenl®ség igaz, mivel (u2 + v2)(x(t), y(t)) = |f |2(x(t), y(t)). Ebb®l következik, hogyaz (x0, y0) pontbeli gyorsulás:

a(x0, y0) =1

2

(∂|f |2

∂x(x0, y0),

∂|f |2

∂y(x0, y0)

).

Ami egyenl® az Fm

segítségével kiszámolt egyenlettel.

1

2

(∂|f |2

∂x(x0, y0),

∂|f |2

∂y(x0, y0)

)=

1

ρ·(−∂p∂x

(x0, y0),−∂p

∂y(x0, y0)

).

Ebb®l átrendezéssel a következik, hogy

−ρ2· ∂|f |

2

∂x=∂p

∂x

. és

−ρ2· ∂|f |

2

∂y=∂p

∂y.

Amib®l egy integrálás után pont a Bernoulli törvényét kapjuk:

p(z) = −ρ2· |f |2(z) + c.

1.5. Felhajtóer®

A felhajtóer® áramló közegbe helyezett testre ható er®nek az a komponense, ami mer®-

leges az áramlás irányára. Azért nevezzük felhajtóer®nek, mert leveg®nél nehezebb testek

(például repül®gépek) felemelkedését és leveg®ben maradását a felhajtó er® tervszer¶ ki-

használásával érhetik el.

Legyen D ⊂ C tartomány, amiben egy ideális folyadékáramlás zajlik, melyre

• Létezik egy R > 0 {z : |z| > R} ⊂ D.

• Ehhez a D-hez f : D → C tartozik.

• limz→∞ f(z) létezik és véges.

14

Felhajtóer® Stacionárius Áramlások

Legyen γ : [a, b]→ D rekti�kálható, pozitív irányítású egyszer¶ zárt görbe, ami áramvo-

nal. Ekkor a felhajtó er®re igaz, hogy:

F = i ·∫γ

p(z)dz = i ·∫γ

−ρ2· |f |2(z)dz = −ρ · i

2·∫γ

|f |2(z)dz.

Mivel γ áramvonal, ezért paraméterezhetjük a γ′(t) = (u(γ(t)), v(γ(t))) = f(γ(t))

∫γ

|f |2(z)dz =b∫

a

|f |2(γ(t)) · γ′(t)dt =b∫

a

f(γ(t)) · f(γ(t)) · f(γ(t))dt =

b∫a

f(γ(t)) · f(γ(t)2dt =b∫

a

f(γ(t))2 · γ′(t)dt =∫γ

f(z)2dz.

Ebb®l következik, hogy

F =−ρ · i2·∫γ

f(z)2dz

∫γ

f(z)2dz =

∫|z|=R+ε

f(z)2dz.

Mivel f reguláris |z| > R-en ezért f Laurent-sorba fejthet® |z| > R-en.

f(z) =∞∑

i=−∞

an · zn.

g(z) = f(1

z) =

∞∑i=−∞

an · z−n.

limz→0 g(z) = limz→∞ f(z) létezik és véges, ekkor g-nek megszüntethet® szingularitása

van 0-ban, ami ekvivalens azzal, hogy ∀n ∈ N-re an = 0.

f(z) =0∑

i=−∞

an · zn.

f 2(z) =0∑

i=−∞

bn · zn.

Innen a b−1 = 2 · a0 · a1. A reziduum tétel szerint ekkor az integrál értéke:∫|z|=R+ε

f(z)2dz = 2 · π · b−1 = 4 · π · a0 · a−1.

15

Hasonló áramlások Stacionárius Áramlások

Ebb®l azonnal adódik az

F =−ρ · i2· 4πi · a0 · a−1 =

−ρ · i2· −4πi · a0 · a−1 = −ρ · i · a0 · 2πi · a−1.

Innen

2πi =

∫|z|=R+ε

f(z)dz =

∫γ

f(z)dz,

ami pont megegyezik (de�níció szerint) a cirkuláció és a �uxus összegével a γ áramvo-

nal mentén. Viszont a �uxus (=∫γ

f(z)dz) nulla, mivel γ áramvonal. Tehát 2πia−1 =

2πia−1 = cirkulációval. Emellett f(z) Laurent-sora miatt

a0 = limz→∞

f(z).

a0 = limz→∞ f(z) = limz→∞(u(z)− iv(z)) = sebességgel(∞-ben).

Ebb®l következik, hogy F = −iρ · sebesség · cirkuláció.

1.5.1. Következmény. γ-ra a sebességre mer®leges er® hat, ezt nevezzük felhajtóer®nek.

1.6. Hasonló áramlások

1.6.1. De�níció. Legyen D1, D2 ⊂ C tartomány, ϕ : D1 → D2 konform bijekció. Legyen

D2-n olyan áramlás, amelyet az f : D2 → C reguláris függvény ír le. Ekkor azt mondjuk,

hogy a D1-ben lev® áramlás hasonló a D2-belihez (ϕ szerint), ha ®t az f ◦ ϕ · ϕ′ írja le.

1.6.1. Tétel. Legyen z0, ω0 ∈ C, ϕ : B(z0, ε) → C konform és ϕ(z0) = ω0. Legyen

D1 = B(z0, ε), D2 = ϕ(B(z0, ε)). Tegyük fel, hogy D1-ben és D2-ben hasonló áramlás

zajlik, amelyet egy g : D1 → C és f : D2 → C reguláris függvények írnak le. Ekkor, ha

g-nek z0-ban k-adrend¶ pólusa van, akkor f -nek a ω0-ban szintén k-adrend¶ pólusa van.

Ezenkívül a k = res [g(z)]z=z0 = [f(ω)]ω=ω0is igaz.

Bizonyítás: Mivel hasonló áramlásról van szó, ezért g = f ◦ ϕ · ϕ′. Innen

Res [g(z)]z=z0 =1

2πi·∫

|z−z0|=ε

g(z)dz =1

2πi·∫

|z−z0|=ε

(f ◦ ϕ)(z) · ϕ′(z)dz =

=1

2πi·∫

|z−z0|=ε

f(ω)dω = Res [f(ω)]ω=ω0.

16

Hasonló áramlások Stacionárius Áramlások

Innen már csak azt kell bebizonyítanunk, hogy f pólusának a rendje ω0-ban k. Ehhez

felhasználjuk, hogy

k = − 1

2πi·∫

|z−z0|=δ

g′(z)

g(z)dz =

= − 1

2πi·∫

|z−z0|=δ

(f ′ ◦ ϕ(z)) · (ϕ′)2(z) + f ◦ ϕ(z) · ϕ′′(z)f ◦ ϕ(z) · ϕ′(z)

dz =

Innen az integrálösszeg második tagja hasonló módon zérus, mint az el®z® bizonyításnál,

tehát az integrál

= − 1

2πi·∫

|z−z0|=δ

(f ′ ◦ ϕ(z)) · ϕ′(z)f ◦ ϕ(z)

dz = − 1

2πi·

∫ϕ(|z−z0|=δ)

f ′(ω)

f(ω)dω = k.

Ami éppen azt jelenti, hogy f pólusának a rendje ω0-ban k. �

17

2. fejezet

Instacionárius áramlások

Ebben a fejezetben az instacionárius térbeli áramlások sajátosságaiba fogunk bepil-

lantást nyerni. Le fogunk vezetni érdekes �zikai jelenségeket (törvényeket), amik felhasz-

nálása nagyon sokat segít más tudományágak hatékony m¶ködésében például az orvostu-

dományban, a gyógyszerészeti kutatásokban és még sok hasonló számottev® tudomány-

ágban.

Mit is jelent az, hogy egy áramlás instacionárius? Erre a következ® de�níció nyújthat

nekünk kielégít® választ!

2.0.2. De�níció. Egy áramlás instacionárius(id®függ®), ha a jellemz®i, úgymint a se-

besség, a nyomás és a s¶r¶ség függ az id®t®l is.

Egy instacionárius (id®függ®) áramlás sebességterét az alábbi

v = v(r, t)

alakú vektortér írja le.

2.1. Kontinuitási Tétel

A kontinuitási tétel azt a �zikai alapelvet fejezi ki, miszerint a tömeg nem keletkezhet

és nem is t¶nhet el. Tekintsünk egy áramló közegben lév® rögzített zárt A felületet,

amelyen a folyadék átáramlik.

Els® lépésként írjuk fel mennyivel több folyadék áramlik ki, mint be ezen az A felületen:∫A

ρvdA.

18

A jellemz®k lokális és konvektív megváltozása Instacionárius áramlások

Emellett nyilvánvaló, hogy a többletkiáramlás csak a térfogatban lev® folyadékmennyiség

rovására, azaz a s¶r¶ség csökkenése mellett mehet végbe. Az A felület által határolt V

térfogatban lev® folyadék változását a következ® integrál adja meg:∫V

∂ρ

∂tdV.

Mivel a dA felületi normális kifelé mutat ezért, ha az els® integrál értéke pozitív(azaz fogy

a folyadékmennyiség a V térfogatból), akkor a második integrálnak negatívnak kell lennie

mégpedig úgy, hogy a két integrál összege zérus legyen. Ekkor a Gauss-Osztrogradszkij-

tétel segítségével alakítsuk át térfogati integrállá az els® integrált, és tegyük egyenl®vé a

második integrál ellentettjével:∫A

ρvdA =

∫V

div(ρv)dV = −∫V

∂ρ

∂tdV.

Ez a folytonossági tétel integrál alakja.

Kis átrendezés után (�gyelembe véve, hogy ugyanarra a V térfogatra végezzük el az

integrálást) a következ® igaz: ∫V

(∂ρ

∂t+ div(ρv)

)dV = 0.

Ez az integrál csak akkor lehet zérus minden V térfogat esetén, ha maga az integrandus

nulla. Ebb®l következik a folytonossági tétel di�erenciált alakja:

∂ρ

∂t+ div(ρv) = 0.

Ebb®l az egyenletb®l a második tag felbontható a szorzat deriválási szabálya szerint:

∂ρ

∂t+ v · grad(ρ) + ρ · div(v) = 0.

2.2. A jellemz®k lokális és konvektív megváltozása

Tekintsünk egy folyadékrészt az áramlásból. Legyen a folyadékrész áramlási sebessége

v. Jellemezze egy P pontban az áramlási sebességet a v vektor, és a s¶r¶ség hely szerinti

változását pedig grad(ρ) vektor.

A kérdés, hogy dt id® elteltével hogyan változik az áramló folyadékrész s¶r¶sége!

A dρ s¶r¶ségdi�erencia két okra vezethet® vissza:

19

Euler-Egyenlet Instacionárius áramlások

I Mivel a s¶r¶ség függ az id®t®l, ezért a s¶r¶ség a P pontban a s¶r¶ségváltozás dt id®

alatt dρl =∂ρ∂tdt.

II Az áramló folyadékrészecske az áramló közeggel együtt dt id® alatt ds = vdt utat

tesz meg (mivel v = dsdt), és egy olyan P1 pontba jut, ahol a s¶r¶ségváltozás pontosan

dρk = grad(ρ)ds = grad(ρ) · dt.

dρl-nek csak akkor van szerepe, ha instacionárius áramlásról van szó. Ez a s¶r¶ségváltozás

akkor is végbemenne, ha a közeg nem áramolna, mivel csak a nyomás id®beni változásáról

van szó. Ezért ezt a dpl-et a s¶r¶ség lokális megváltozásának nevezzük.

A dρk s¶r¶ség változás oka a térfogat elmozdulása, eláramlása egy olyan pontba, ahol a

s¶r¶ség eltér®, ezért a dρk-t a s¶r¶ség konvektív megváltozásának nevezzük.

Tehát a folyadékrész s¶r¶ségének dt id®tartam alatti teljes megváltozása:

dp = dρl + dρk = dρl =∂ρ

∂tdt+ grad(ρ) · vdt.

Ebb®l következik dt-vel osztás után a következ® egyenlet:

dρ

dt=∂dρ

∂dt+ v · grad(ρ).

Ebb®l következik tehát, hogy a kontinuitási tétel els® két tagja megegyezik dpdt-vel, ami a

folyadékrész s¶r¶ségének az id® szerinti teljes megváltozását fejezi ki.

2.3. Euler-Egyenlet

2.3.1. Gyorsulás

Egy folyadékrész gyorsulása felírható az el®z® fejezethez hasonlóan. Egy (vx, vy, vz)

skalártérrel leírható jellemz® dt id®re való megváltozását leírhatjuk a lokális és konvektív

megváltozás összegének segítségével:

dv

dt=∂dv

∂dt+ v · grad(v) = ∂dv

∂dt+Dv,

ahol D a derivált tenzort jelenti.

Ezen meggondolás alapján a folyadékrész gyorsulása két részb®l áll:

I a ∂dv∂dt

lokális gyorsulásból.

II a Dv konvektív gyorsulásból.

20

Euler-Egyenlet Instacionárius áramlások

A lokális gyorsulás akkor nem zérus, ha az áramlás instacionárius, azaz a sebességtér függ

a t id®t®l is. A konvektív gyorsulás akkor létezik, ha a folyadéktér sebességének nagysága

és az iránya az áramlás irányában változik.

Bontsuk fel a D derivált tenzort:

D = D′ + (D −D′).

Ebb®l a konvektív gyorsulás a következ®:

ak = Dv = D′v + (Dv −D′v).

Innen D′v pontosan

D′v = grad(v2

2).

Emellett (D −D′)v:

(D −D′)v = rot(v)× v = −v × rot(v).

Innen ha behelyettesítünk a folyadékrész gyorsulása:

a =dv

dt=∂v

∂t+ grad(

v2

2)− v × rot(v).

2.3.2. Euler-Egyenlet

A folyadékrészecskék mozgására (mint egyik el®z® fejezetben megállapítottuk) er® hat.

A folyadékrészecskékre általában két fajta er® hat, a súlyer® és a folyadékrész felületén

ható er®. Ha a közeg súrlódásmentes, akkor a felületre csak a mer®leges nyomásból szár-

mazó er® hat.

Vegyünk egy dA alapterület¶ |ds| hosszúságú csövet, amelynek tengelye párhuzamos a

grad(p) vektorral. Legyen az alapon lev® nyomás p a cs® végén lev® nyomás p+dp. Ekkor

a cs®re ható nyomásból származó er®t a következ® egyenlet írja le:

dFp = −dA · dp ·ds

|ds|.

Ez ellentétes f a ds "tengely" vektorral.

Mivel grad(p) és ds azonos irányú, és emellett dp = grad(p) ·ds ezért dp = |grad(p)| · |ds|.Innen ρ s¶r¶séggel való szorzás és osztás után:

dFp = −1

ρ· |grad(p)| · |ds| · ρ · dA ds

|ds|.

21

Euler-Egyenlet Instacionárius áramlások

Miután p · |ds| · dA = dm és |grad(p)| · ds|ds| = grad(p) Ezért, ha mindkét oldalt leosztjuk

dm-el, akkor pontosan az egységnyi tömegre ható nyomóer®t kapjuk meg:

dFpdm

= −1

ρ· grad(p).

Az egységnyi tömegre ható er®t az er®tér g vektorral fejezhetjük ki.

dFgdm

= g.

Innen következik Newton második törvénye szerint, hogy:

dv

dt= g − 1

ρ· grad(p).

Ezt az összefüggést nevezzük Euler-egyenletnek.(természetesen a súrlódási er® elhanya-

golása mellett)

2.3.1. Megjegyzés. A hidrosztatika alapegyenletét az Euler-egyenletb®l kapjuk úgy, hogy

mivel a hidrosztatikai feladatoknál a folyadékunk az nem gyorsul, így az Euler egyenlet bal

oldala zérus. A hidrostatikai feladatoknál az Euler-egyenlet még a valóságos(súrlódásos)

folyadékok esetén is pontos értéket ad, mivel hirdosztatika a folyadékok nyugvó állapotát

feltételezi, így nem léphetnek fel csúsztató feszültségek.

A hidrosztatika alapegyenlete a következ® (kis átrendezés után):

grad(p) = g · ρ.

Ha az el®z® fejezetben levezetett egyenletet felhasználjuk, akkor az Euler egyenlet egy

vektoriális alakját kapjuk

∂v

∂t+ grad

(v2

2

)− v × rot(v) = g − 1

ρ· grad(p).

Ha feltesszük, hogy a s¶r¶ség a nyomás függvénye akkor ρ = ρ(p). Mivel grad(p) a nyomás

hely szerinti változását jelenti(p és p0 között), ezért a láncszabály alkalmazásával:

− 1

ρ(p)· grad(p) = −grad ·

p∫p0

dp

ρ(p)dp.

22

Bernoulli-Egyenlet Instacionárius áramlások

2.4. Bernoulli-Egyenlet

El®z® fejezetben levezettük az Euler-egyenletet, ami kapcsolatot teremt a folyadék-

gyorsulás és a folyadékrészecskékre ható er® között. Gyakorlatban az Euler-egyenlet meg-

oldásának egy igen hatékony módja a

∂v

∂t+ grad

(v2

2

)− v × rot(v) = g − 1

ρ· grad(p)

egyenlet tagjainak az áramlási tér két pontját összeköt® vonal menti integrálása. Ez az

alábbi módon néz ki:

b∫a

∂v

∂tds+

b∫a

grad

(v2

2

)ds−

b∫a

v × rot(v) =b∫

a

gds−b∫

a

1

ρ· grad(p)ds.

Ezt az egyenletet nevezik az általános Bernoulli-egyenletnek. Vizsgáljuk meg, hogy milyen

feltételek teljesülése esetén hozható az egyenlet egyszer¶bb alakra!

• ha az áramlás stacionárius, akkor az integrálás els® tagja 0, mivel ∂v∂t

= 0.

• a második integrál egyszer¶en hozható kellemesebb alakra a gradiens de�níciója

szerint:b∫

a

grad

(v2

2

)ds =

v2(b)− v2(a)2

.

• a harmadik integrál kiszámolása nehézséget okozhatna nekünk, ezért ha Bernoulli

egyenlettel szeretnénk számolni általában törekszünk a zérussá tételére ami a kö-

vetkez® esetekben következik be:

� ha v = 0.

� ha rot(v) = 0 azaz az áramlás örvénymentes.

� ha áramvonalon integrálunk.

• ha ρ állandó, akkor −p(b)−p(a)ρ

. Ha a s¶r¶ség függ a nyomástól is, akkor az utolsó

integrál meg az el®z® fejezet végén található összefüggés szerint átírható

p∫p0

dp

ρ(p)dp

alakra.

23

3. fejezet

Az Aramvonal program

Ebben a fejezetben egy általam készített programról fogok írni. Ezt a programot

a Matlab programozási nyelvben írtam. A Matlab a The MathWorks által kifejlesztett

programrendszer, ami els®sorban numerikus számolásokra, függvények ábrázolására lett

kifejlesztve.

3.1. A feladat de�niálása

Az Aramvonal program célja egy függvény áramvonalának a lehet® legvalóságh¶bb áb-

rázolása beleértve, hogy az áramvonalunk folytonos legyen és a program által kiszámolt

és ábrázolt pontok relative (elhanyagolható különbséggel) a valóságos helyükön legyenek.

Ehhez a program felhasznál egy Fuggveny nevezet¶ segédprogramot, amibe a felhasz-

nálónak megkell adnia egy f függvényt, aminek az áramvonalát ki szeretné rajzoltatni,

emellett meg kell adnia a felhasználónak ennek a függvénynek a primitív függvényét, és

az =F (z) deriváltját.Az áramvonal egyenlete a következ®:

=F (z) = c.

F (z) az f(z) függvény primitív függvénye, a c az egy konstans érték.

Az F (z) = d+ c · i egyenlet megoldására Newton-módszert használ a program. Megoldás-

nak tekintünk olyan z-t, melyre |=F (z)− c| < 0.2.

24

Elemzés Az Aramvonal program

3.2. Elemzés

• A program során lehet®ségünk van megadni egy téglalap tartományt egy 2 × 2 es

mátrix segítségével, egy c konstans értéket, és egy h random tömb hosszt.

• A téglalap tartományból véletlenszer¶ komplex számokat generálunk (h darabot),

ezeket oszlopvektor adatszerkezetben tároljuk a további felhasználás érdekében.

• Egy ciklus segítségével az alprogramot többször is alkalmazva megkonstruálunk egy

S oszlopvektort, amibe az alprogram által kiszámolt jó pontok kerülnek.

• A meglév® pontok segítségével konstruálunk még az implicit egyenletet kielégít®

pontokat iteráció segítségével. Ezeket a pontokat hozzávesszük a meglév® S oszlop-

vektorunkhoz.

• A végs® S komplex oszlopvektorunkat a tagok valós részük és képzetes részük se-

gítsévével kirajzoljuk.

3.3. Input paraméterek

A program futtatásához az alábbi bemen® adatokra van szükségünk az Aramvonal

programhoz:

• C - 2× 2-es mátrix, aminek elemei a téglalaptartomány csúcspontjait jelentik.

• c - valós szám, ami az implicit egyenletben lev® c konstans értéke.

• h - a véletlen komplex oszlopvektorunk hossza.

További bemen® adatokra van szükségünk az alprogramhoz, amit a sablon alprogram

megfelel® részeinek az átírásával adhatunk meg.

• Az F (z) helyére a f(z) függvény(keresett függvény áramvonalának) a primitív függ-

vényét kell beírni.

• Az (=F (z))′ helyére az F (z) primitív függvényünk képzetes részének a deriváltját

kell beírni.

25

Implementáció Az Aramvonal program

3.4. Implementáció

A f®program feladata:

• Az input paraméterek ellen®rzése.

• Véletlenszer¶ h hosszú oszlopvektor generálása az input tartományból.

• A téglalaptartomány hosszabb oldalának a meghatározása.

• Iterációs lépés amelyben meghívjuk a fuggveny.m alprogramot.

• Egy másik iterációs lépés amiben a meglev® pontokhoz jó pontokat adunk hozzá.

• Az áramvonal kirajzolása beépített plot alprogram segítségével.

• Outputként a talált pontok kiírása.

Az alprogram feladata:

• Megvizsgálni, hogy a random komplex tömb elemei kielégítik-e az adott komplex

egyenletet.

• Ha nem elégítik ki, akkor Newton-módszer alkalmazásával =F (z) − c = 0 gyökeit

keressük meg.

• Ellen®rz® lépés: ha megfelel® a talált gyök, akkor elmentjük egy sorvektorban.

26

Absztrakt Program Az Aramvonal program

3.5. Absztrakt Program�� � aramvonal(C, c, h)

S, L, J := empty

k := random(h, 1), l := random(h, 1)

K = k + i · lt := max(|C(1, 1)|+ |C(1, 2)|, |C(2, 1)|+ |C(2, 2)|)

S := fuggveny(K, c, t)

[m,n] := Size(S)

j=1 to 10000

AAn < 5000

��

k := random(h, 1), l := random(h, 1)

K = k + i ∗ lS = [S, fuggveny(K, c, t)]

SKIP

[m,n] = size(S)

J := S

h:=1 to 200

i:=1 to n

L(i) := J(i) + J(i)/|J(i)|S := [S, L]

J := L

plot(<(S),=(S))return(S)

27

Absztrakt Program Az Aramvonal program

�� � fuggveny(K, c, t)

[m,n] = size(K), S := empty

i:=1 to m

AA=F (K(i)) = c

��

S = [S,K(i)]

zj = K(i)

AA|(=F (K(i)))′| > 0.2

��

j:=1 to 15

AA|(=F (K(i)))′| > 0.2 and |zj| < 2 · t

��

zj = zj + i ∗ ((c−=F (zj))/(=F (K(i)))′ SKIP

AA|F (zj)− c| < 0.2

��

S = [S, zj] SKIP

SKIP

Return(S)

28

Tesztelés Az Aramvonal program

3.6. Tesztelés

• Üres inputra.

• Bet¶ inputra.

• Nem megfelel® dimenziójú téglalap inputra.

• Többdimenziós h, vagy c inputra.

Hibás inputon a program hibaüzenetet ír ki jelezve, hogy melyik inputtal voltak problé-

mák.

A programot teszteltem az f(z) = z függvényre az alábbi inputtal:

• C=[-5,5;-5,5].

• c=4.

• h=1000.

Ezekre a bemen® paraméterekre a következ® áramvonalat rajzolta ki a program:

3.1. ábra. f(z) = z függvény áramvonala

29

Tesztelés Az Aramvonal program

A programot emellett teszteltem az f(z) = −1z2

függvényre is az alábbi inputtal:

• C=[-5,5;-5,5].

• c=4.

• h=1000.

Itt a következ® áramvonalat rajzolta ki a program:

3.2. ábra. f(z) = −1z2

függvény áramvonala

30

Irodalomjegyzék

[1] Halász Gábor, Kis Hidrodinamika

[2] Lajos Tamás, Az Áramlástan Alapjai

[3] Sigray István, Komplex függvénytan el®adás jegyzet

[4] Dr. Író Béla, H®- és Áramlástan

[5] Wikipédia, www.wikipedia.org/wiki/Fluid_mechanics

[6] L.M. Milne Thomson, Theorical Aerodinamics

31