Građevinski fakultet Sveučilišta u Rijeci

Kolegij «Hidromehanika» 3. godina- opći smjer

Skriptu izradili: prof.dr. Nevenka Ožanić, dipl.ing.građ .. mr.sc. Barbara Karleuša, dipl.ing.građ. Elvis Žic, dipl.ing.građ.

U Rijeci, dana 20„ srpnja 2005.

SADRŽAJ:

1. OPĆI POJMOVI FLUIDA 1.1. Definicije i razdiobe 1.2. Agregatna stanja i razlike među njima 1.3. Masa, gustoća, volumen, tlak 1.4. Fizikalna svojstva fluida 1.5. Naprezanja fluida - normalna i tangencijalna naprezanja 1.6. Viskoznost 1.7. Ostala svojstva kapljevine 1.8. IshlapUivanje i isparavanje fluida 1.9. Upotreba oznaka i jedinica SI sustava u hidromehanici DODATAK:

1.1 O. Izotermički termodinamički podaci vode pri temperaturi od T=20°C 1.11. Izotermički termodinamički podaci vode pri temperaturi od T=5°C 1.12. Tablica gustoće za različite materijale 1.13. Specifična topiina za raziičite materijale l.14. Tablica toplinskog koriaukfiviteta-za razHčile materijale 1.15. Upotreba periodičnog sustava elemenata na Internetu

2. DIMENZIJSKA ANALIZA 2.1. Dimenzijska analiza- teorija 2.2. Rješeni zadaci

3. HIDROSTATIKA-STATIKA FLUIDA 3 .1. Hidrostatski tlak 3„2. Sila tlaka na ravne površine 3.3. Sila tlaka na zakrivljene površine 3.4. Principi mjerenja tlaka, ubrzanja i kutne brzine

3 .4.1. Barometar - mjerenje apsolutnog tlaka 3„5. Spojne posude - princip zidarske vage 3.6. Ravnoteža atmosfere DODATAK:

3.7. Težišta ravninskih tijela 3„7.1. Primjer izračuna težišta složenih prizmatičnih tijela 3.7.2„ Primjer izračuna ravninske plohe omeđene parabolom 3„7.3. Primjer izračuna tež.išta složenih ravninskih ploha 3.7.4 .. Primjer izračuna težišta složenih ravninskih linija

3.8. Momenti tromosti (inercije) 3.8.1. Momenti tromosti nekih ravninskih likova 3.8.2. Primjer izračuna momenta tromosti

3.9. Rješeni zadaci iz hidrostatike 3.1 O„ Relativno mirovanje fluida

3 .10.1. Promjena tlaka pri relativnom mirovanju 3 „10.2. Slučaj relativnog mirovanja pri translacij i 3.10.3. Slučaj relativnog mirovanja pri rotaciji 3 .I 0.4. Rješeni zadaci

3„11. Sile uzgona - Arhimedov zakon 3 ..11. L Sila uzgona na granici dvaju fluida 3.11.2. Stabilnost tijela u vodi

1.11.3 .. Rješeni zadaci sa primjenom sile uzgona 3 .11.4 .. Plutanje tijela i njihova stabilnost - rješeni zadaci

4. HIDRODINAMIKA 4 .. 1 .. Djelovanje sila na kapljevinu 4..2. Osnovne dinamičke jednadžbe strujanja kapljevine 4.J. Hidrodinamički otpori - otpor površine, otpor oblika 4.4.. Hidrodinamička sila- rješeni zadaci 4.5. HIDROKINEMATIKA

4.S. l. Jednadžba neprekidnosti - jednadžba kontinuiteta 45.2 .. Rješeni zadaci

4.6.. Idealna tekućina, primjena Be!nullijeve jednadžbe - rješeni zadaci 4.7.. Realna tekućina, primjena Bernullijeve jednadžbe - rješeni zadaci

5. HIDRAULIKA OTVORENIH TO KOV A 5 .. 1. Hidraulika otvorenih kanala (korita)

5.1 .. 1. StrujarJe sa slobodnom površinom 5.1.2. Specifična energija presjeka .. Mimo, kritično i silovito strujanje 5..1.J. Ustaijeno strujanje

5.1..3.1. Jednoliko ustaljeno strujanje 5 .1.3 .2. Ustaljeno nejednoliko strujanje u prizmatičnim koritima 5.1.3.3. Ustaljeno nejednoliko strujanje u neprizmatičnim koritima

5 .. I .4. Rješeni zadaci 5 . .2 .. Istjecanje preko preljeva i ispod zapomica

5.2 .. 1 .. Istjecanje preko preljeva 5.2.1.1. Istjecanje preko preljeva praktičnih profila krivolinijskih obrisa 5 . .2.1.2„ Istjecanje preko preljeva sa širokim pragom

5 .2 .2. Istjecanje ispod zapomica 5.2.2.L Nepotopljeno is~jecanje ispod zapomica 5.2.2.2. Potopljeno istjecanje ispod zapomica

5.2.J. Istjecanje preko preljeva- rješeni zadaci 5 .2 .4.. Istjecanje ispod zapomica - rješeni zadaci

5 J .. Hidraulički (vodni) skok 5.J 1 .. Hidraulički skok 5.J.2. Spregnute dubine 5 J.J. Visina i dubina hidrauličkog skoka 5 J .4. Spajanje vodnih razina 5.3..5. Rješeni zadaci

6. HIDRAULIKA (STRUJANJE) PODZEMNE VODE 6 .. 1 .. Osnovni pojmovi i predpostavke 6..2.. Zakon laminamog procjeđivanja - Darcyev zakon 63 .. Strujanje podzemne vode prema vodozahvatima

6.J .. 1. Strujanje podzemne vode prema galeriji 632.. Strujanje podzemne vode prema zdencima

6.3.2 .. L Strujanje podzemne vode prema običnom zdencu - zdenac sa slobodnim vodnim licem

6.J.2.2. Strujanje podzemne vode prema arteškom i subarteškom zdencu - zdenci pod tlakom

6.4 .. Potencijalno (bezvrtložno) strujanje, Darcyev zakon - rješeni zadaci

II u 11

6.5„ Strujanje podzemne vode prema vodozahvatima - rješeni zadaci

7. HIDRODINAMIČKI OTPORI - OTPORI TIJELA 7 .1. Hidrodinamički otpori površine 7.2. Hidrodinamički otpori oblika 7.3. Hidrodinamički otpori valova 7.4. Otpori zraka pri gibanju tijela 7.5. Rješeni zadaci

8. FIZIKALNO MODELIRANJE - UVJETI SLIČNOSTI 8.1. Faze fizikalnog modeliranja 8.2. Uvjeti sličnosti 8.3„ Rješeni zadaci

III I

PREDGOVOR

Ova skripta zadataka je nastala kao dopuna predavanjima iz kolegija «Hidromehanika» koja se sluša na 3. godini Građevinskog fakulteta Sveučilišta u Rijeci. Osnovna nakana ove skripte bila je približiti studentima osnovne pojmove iz podm~ja mehanike fluida, kako teoretski tako i eksperimentalno preko zadataka. Obrazložene su osnovne fizikalne osobine tekućina, osnovni pojmovi iz hidrostatike, kinematike i dinamike fluida. Pored toga, izneseni su i osnovni zakoni dinamike i kinematike, kao i primjena Bemullijeve jednadžbe na idealnu i realnu (stvarnu) kapljevinu. Skripta sadrži i osnovna načela tečenja pod tlakom (vodoopskrbne cijevi, zdenci pod tlakom itd.) i tečenja sa slobodnim vodnim licem (korita, kanali, preljevi, istjecanja ispod ustav.a, vodni skok itd.).. U okviru izlaganja o strujanju sa slobodnim vodnim licem (slobodnom površinom) objašnjeni su pojnovi specifične energije pre~jeka vodotoka, te mimo, kritično i silovito strujanje. Pored toga, danje teorijski prikaz pojave vodnog skoka i u svezi s time način spajanja vodnih razina u ovisnosti o visini i obliku objekta, te nizvodnim uvjetima u koritu. Vrlo značajan dio ove skripte upotpunjuju osnowi pojmQvi i_predp_o~tav}<:e o liidraulici podzemne vode. Stoga je na samom početku ovog poglavlja iznesen Darcyev zakon laminarnog procjeđivaiija, oqjašiijeiia Dupuiteova hipoteza, te analizirano strujanje podzemne vode prema vodozahvatima (galerijama i zdencima (pod tlakom i sa slobodnim vodnim licem, potpunim i nepotpunim, arteškim i subarteškim)). U predposljednjem dijelu skripte izvršena je grupacija hidrodinamičkih otpora koji nastaju pri gibanju pojedinog tijela kroz različite medije (zrak, vodu, morsku vodu itd.). Posljednje poglavlje ove skripte se bavi fizikalnim modeliranjem u kojem su opisane faze fizikalnog modeliranja i dani osnovni uvjeti sličnosti (geometrijska, kinematička i dinamička sličnost).

Važno je napomenuti da je skripta rađena s namjerom da se studentu na samom početku pojedinog poglavlja daju osnovne smjernice kako bi on samostalno (logički, s razumjevanjem) stekao osnovna iskustva i rutinu u rješavanju zadataka.

Kako je kolegij «Hidromehanika» složena cjelina, a skripta daje samo osnovne temeljne značajke iz pojedinih područja, student se upučuje na dodatnu literaturu s kojom može proširiti znanje:

1. I.I. Agroskin: «Hidraulika», Tehnička knjiga Zagreb, Zagreb, 1969„ 2. M. Pečomik: «Tehnička mehanika fluida», Školska knjiga Zagreb, Zagreb, 1989. 3„ G. Hajdin: «Mehanika fluida - uvođenje u hidrauliku», druga knjiga, Građevinski

fakultet Sveučilišta u Beogradu, Beograd, 2002. 4„ Z. Virag: «Mehanika fluida, odabrana poglavlja, primjeri i zadaci», Fakultet

strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Zagrebu, Zagreb, 2002 .. 5„ M. Vuković, A. Soro: «Hidraulika bunara - teorija i praksa», Građevinska knjiga,

Beograd, 1990. 6. S. P. Parker: «Fluid mechanics source book», McGraw-Hill book Company, 1988 .. 7. D. N. Roy: «Applied fluid mechanics», Bengal Engineering College, Howrah,

India, 1988.

Svaku dobronamjernu primjedbu i sugestiju sa strane studenata i profesora primamo sa zahvalnošću.

Autori

U Rijeci, 20. srpnja 2005„

IV

I

POVIJESNI RAZVOJ MEHANIKE FLUIDA

Arheološki nalazi, rijetki izvorni crteži i stare legende dokazuju da je već u prethistorijsko doba čovjek iskustvom pronalazio praktična 1ješenja brojnih problema mehanike fluida .. Izumio je splav, čamac i brod, te veslo i jedro za pogon tih plovila, naučio gradnjom kanala i nasipa kontrolirati vodene tokove, navodnjavati i odvodnjavati zemlju, te sprečavati poplave, izumio je strelicu s repnim stabilizatorom, kovački mijeh, primitivno vodeničko kolo, primitivnu vjetrenjaču itd.

Početak gradnje vodoopskrbnih objekata povezi-je s razvojem prvih stambenih naselja.. Poznati su podaci o izgradnji vodovoda oko <-3000 godine .. U starom Egiptu kopani su zdenci promjera 3 - 4 m i dubine više od 200m.

• Dizanje vod s velike dubine bilo je poznato u starom Egiptu, Babilonu i Kini. Upotrebljavani su uređaji s vedrima i vitlima, a za 1azvođenje siužiie su keramičke, drvene ili olovne cijevi.. U Jeruzalemu -su saeuvani ostaci -vodovoda sagrađenog <- . 1000 godine

Izgr·adnja vodovoda posebno se razvila u grčkoj i rimskoj civilizaciji. U to građeni su tuneli i mostovi za provođenje vode. Poznat je vodovodni tunel duljine 1 km za opskrbu grada Samosa <-550 .. Piva zapisana tumačenja nekih pojava mehanike fluida potječu od grčkih filozofa starog vijeka. U jednoj se od svojih rasprava Aristotel (<-384„ do <322) bavi gibanjem tijela kroz vodu i zrak i zaključuje daje otpor koji medij pruža gibanju tijela proporcionalan gustoći medija. Arhimed iz Sirakuze ( «-287.. do +-212) smatia se osnivačem

hidrostatike.. On je postavio tii osnovna poučka o uzgonu i istisnini tijela koje pluta na površini vode ili je uronjeno u vodu, te teoriju stabilnosti sfemog segmenta koji pluta. Ktesibije iz Aleksandrije (krajem «-III St.) izumio je vodeni sat, hidrauličke orgulje, Ziačnu pušku i vau·ogasnu dvostapnu c1pku .. Heron iz Aleksandrije (između <-250 .. i*-

150) ostavio je zapise o pnewnatici, razradio teo1iju sifona, prvi opisao mlazni pogon pomoću vodene pare i prikazao postupak kojim se može proračunati količina vode koja protječe kroz cijev .. Filon iz Bizanta (<-II st.) bavio se pneumatikom i primjenom sifona za održavanje konstantne razine tekućine u tlačnim komorama ..

Znanje o mehanici fluida Rimljani su preuzeli od Grka, ali nisu doprinijeli daljem razvoju te znanosti„ Rimljani su doduše izgradili velike vodovodne sustave i kanalizaciju u gradovima, te poboljšali oblik brodskog trupa, ali to su sve bile samo primjene grčkih spoznaja i teorija .. Poznat je akvadukt preko rijeka Gard u Francuskoj visine 48, 77 m Jedini važniji pisani radovi s područja mehanike fluida iz rimskog vremena potječu od Marka Vitruvija Poliona (<-I st), koji je kompilirao tadašnja grčka znanja o hidraulici, i Seksta Julija Frontinia (40-103), koji je opisao metode raspodjele vode .. U

nas je izgrađen krajem III i početkom IV stoljeća rimski vodovod za opskrbu Dioklecijanove palače u današnjem Splitu .. Akvadulct i tuneli rimskog vodovoda i danas se upotrebljavaju za opskrbu Splita vodom.

Nakon propasti Rimskog Carstva u kršćanskoj Evropi znanost je skoro tisuću godina stagnirala, ili čak i nazadovala. Gričke su spoznaje o mehanici fluida zaboravljene, a velike su rimske hidrogradnje zapuštene ili uništene. U arapskom je svijetu nastavljen razvoj hidrauličkih strojeva i naprava; usavršeno je vodeničko kolo i vjetrenjača, izumljeni su neki novi hidraulički automati.. poboljšani su vodovodni uređaji itd.. Neke od tih pronalazaka Mauri su donijeli u Španjolsku, a neke su, kao npr .. usavri:ifno vodeničko kolo križati prenijeli u Evropu .. U srednjem vijeku nastaje zastoj u izgradnji vodoopskrbe. Početci izgradnje vodovoda u evropskim gradovima zabilježeni su krajem XII i početkom XIII stoljeća„ U našim krajevima značajna je izgradaja vodovoda u Dubrovniku. Vodovod od izvora Šuinet do grada duljine oko 10 km izgrađen je 1436 godine. Nakon vodovoda izgrađena je velika Onomjevačesma u središtu-Dubrovnika ..

U XV st renesansa je oslobodila umjetnost i znanost od skolastičkih stega, pa se i mehanika fluida ponovno počinje razvijati. Na osnovi promatranja prirode i fizikalnih pokusa opisllje u svojim radovima mnoge pojave hidrostatike, hidrodinamike i mehanike leta.. Prvi je postavio princip zakona kontinuiteta, a približno je točno rastumačio relativno gibanje, prirodu valova na površini vode, putanju slobodnog mlaza kapljevine, raspodjelu brzina u vrtložnom strujanju, protjecanje vode u otvorenim kanalima, stvaranje virova u području odjeljivanja strojnica itd .. Otlaio je strujni oblik :tijela i izradio nacrte različitih

hidrauličkih str·ojeva, medu njima i centr·ifugalne pumpe, a kao veliki zagovornik eksperimentalnih metoda istraživanja predložio je postupke i mjerne instrumente za istraživanja u mehanici fluida ..

Od renesanse do polovice XVII st gotovo svi radovi o mehanici fluida zasnivali su se na pokusima i neposrednom promatranju pojava .. Galileo Galilei {I 564--1642)

,;., bavio se hidrostatikom, te je naslutio da i kapljevine imaju vlačnu čvrstoću, a proučavajući slobodni pad tijela zaključio je da otpor zraka gibanju tijela raste s brzinom tijela i gustoćom medija .. Evangelista Tonicelli (1608-1647), pronalazač barometra, postavio je zakon istjecanja vodenog mlaza iz posude, a Domenico Guglielmini (1655-1710), koji se smatra osnivačem talijanske hidraulike, napisao je dvije knjige o strujanju vode u rijekama i otvorenim kanalima, uključujući i prijenos sedimenta. U Nizozemskoj je matematičar i fizičar Simon Stevin (1548-1620) prvi odredio tlak kojim kapljevina djeluje na čvrstu

ravnu podlogu i protumačio tzv .. hidrostatski paradoks da tlak kapljevine na dno posude ne ovisi o obliku posude nego jedino o visini kapljevine u posudi .. Na temelju eksperimenata u Francuskoj je Edme Mariotte (1620-1684) objavio radove o elastičnosti zraka i gibanju fluida, obrađujući na potpuno nov način svojstva fluida i sile kojima fluid u gibanju djeluje na čvrste stjenke cijevi Mehanika fluida ipak se nije mogla dalje razvijati samo na osnovi eksperimenata i zapažanja, definirajući osnovne pojmove opisna i bez jasne medu-sobne veze Za kvantitativni i kvalitativni opis pojava i njihove međuovisnosti bile su potrebne nove matematičke spoznaje bolje poznavanje osnovnih zakona fizike; taj je napredak ostvaren tokom XVII st Rene Descartes ( 1596--1650) postavio je osnove analitičke geometrije,

I </

l Wallis (1616-1703) i G. W. Leibniz (1646-1716) razvili su infinitezimalni račun, a Blaise Pascal (1623-1662), osim znatnog doprinosa razvoju matematike, dokazao je da u mirnom fluidu tlak djeluje jednako u svim ptavcima (Pasca/ov princip).. Neovisno o Leibnizu, Isaac Newton (1642-1727) došao je do osnovnih pravila infinitezimalnog i integralnog računa, i primijenio ih za matematički opis hidrodinarničkih pojava. Newton je uveo pojam fluida kao kontinuuma, pojam viskomosti fluida, analizirao gibanje fluida pomoću principa količine gibanja, ispitao otpor fluida djelovanju inercijskih, viskoznih i gravitatjjskih sila, otktio kontrakciju slobodnog mlaza kapljevine i dokazao da se b1zina vala na površini vode mijenja s dmgim korijenom duljine vala. Švicarac Johann Bernoulli (1667-1748) definirao je pojam unutrašnjeg tlaka u mehanici fluida ..

Potkraj XVII st. matematika se već toliko razvila da je mogla poslužiti za opis osnovnih zakona gibanja fluida, Sto je bio preduvjet da se u XVIII st. postave temelji modeme hidrodinamike. KQv@ij;U_ hi<lr®iil~-nLka_ ~tvor!o _j~ Švicarac Daniel Bemoulli (1700-1782) u svom djelu HydrodynalliiC3, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii (1738), ali se osnivačem modeme hidrodinamike smatra Leonhard Euler ( 1707-1783). On je napisao vise originalnih radova o mehanici fluida i primjeni matematičke analize, te je prvi protumačio djelovanje tlaka u fluidu koji se giba, formulirao osnovne jednadžbe gibanja fluida, uveo pojam kavitacije i razjasnio princip rada centrifugalnih strojeva i reakcijske turbine .. Vrlo važne doprinose matematičkom opisu gibanja fluida dali su i Eulerovi suvremenici Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783), Joseph Louis Lagrange (1736-1813) i Franz Joseph von Gerstner (1756--1832).. Tada postavljene teorije i 1azvijeni postupci matematičke analize gibanja fluida i danas su osnove hidrodinamike .. Međutim, u to su vrijeme inženjeri znali vrlo malo matematike da bi razumjeli te teorije, pa ih nisu ni prihvatili, nego su nastavili rješavati praktične probleme, uglavnom pomoću pokusa i opažanja .. Tako su se hidraulika i hidrodinamika kroz gotovo dva sljedeća stoljeća razvijale neovisno jedna o drugoj; hidraulika je postajala sve korisnije inženje1sko umijeće, a hidrodinamika sve elegantnija matematička disciplina.

Tokom XVIII i XIX st. učinjen je golem napredak u eksperimentalnoj hidromehanici. H. Pitot (1695--1771) izumio je instrument za mjerenje brzine strujanja fluida (Pitotova cijev); P L G.. Du Buat (1734--1809)

uveo je pojam virtualne mase tijela koje se giba u kapljevini, proučavao je otpor tijela u vodi, izumio je piezometar za mjerenje tlaka u kapljevini; R. Woltrnan (l 757- 1837) izumio je hidromettijsko kolo za točno mjerenje btzine toka vode; G. B.. Venturi (1746-1822) bavio se otporom strujanja vode u cijevima, izumio je instrument za mjerenje protoka (Venturijeva cijev}. U to doba .. razvijena je tehnika ispitivanja modela u smanjenom mje1ilu i pod kontt·oliranim uvjetima. W. Frnude (1810--1879) izgradio je (1872) prvi moderni bazen za ispitivanja brodskih modela, L l Fargue (1827-1910) proveo je prva ispitivanja (1875) na modelu rijeke i time postavio temelje modernog hidrauličkog laboratorija, a H. F.. Phillips (1845-1912) konstruirao je p1vi aerotunel (1884). usavršena mjerna tehnika i brojni točniji mjerni podaci omogućili su ispravke i poboljšanja postojećih formula za praktično rješavanje inženjerskih problema .. l A. Eytelwein (1764--1848), G. Bidone (1781-1839), J. R Belanger (1789-1874), G. G. de Coriolis

(1792-1843), A J. C. B.. de Saint-Venant (1797-1886), A. J. E.. J. Dupuit (1804-1866), J. A C. Bresse (1822-1883), E.. J. Boudin (1820--1893), P. F. D.. du Boys (1847-1924), H. E.. Bazin (1829-1917) i R.

Manning (1816--1897) dali su na osnovi mjerenja i pokusa ispravljene i nove empiričke formule za strujanje vode u otvorenim kanalima i rijekama. Nove matematičke izraze za strujanje kapljevine u cijevima dali su R de Prony (1755-18.39), G. H. L Hagen (1797-1884), J. L Poiseuille (1799-1869) i H P G. Darcy (180.3-1858) .. U radovima o otporu tijela koje se giba u kapljevini C. A. de Coulomb (17.36-1806), .. M Beaufoy (1764-1814), J. C. Russell (4808-1882) i W. Froude objavili su podatke o ovisnosti otpora o obliku tijela, te pokazali da otpor zbog stvaranja valova ovisi o sili gravitacije, a otpor trenja o viskoznosti kapljevine.. U drugoj polovici XIX st počela su i aerodinamička istraživanja u vezi s prvim, letjelicama -jedrilicama. O .. Lilienthal (1848-1896) bavio se aerodinamikom i gradnjom jedrilica, a F. W. Lanchester (1868-1946) postavio je na osnovi pokusa kvantitativne izraz& za uzgon na aeroprofilima„ U XIX st. teorijska hidr·odinamika također je mnogo napredovala .. L M. H. Navier (! 785---1836) modificirao je Euierove jednadžbe gibanja. fluida, uzi;:najući u obzir i djelovanje molekularnih- sila .. Taj su- raanastavi.Ii A~. C de-Catichy (1789--1857) i S .. D. Poisson (1781--1840), da bi konačno G. G. Stokes (1819-1903) uveo u Navierove jednadžbe dinamiku viskoznost i tako dobio današnje Navier­Stokesove jednadžbe za gibanje viskoznog fluida. Dokazano je da otpor trenja viskoznog fluida ovisi o režimu strujanja. O .. Reynolds (1842-1912) uveo je parametr·e za viskozno strujanje i jednadžbu turbulentnog strujanja .. H. L. F. von Helmholtz (1821- 1894), W. Thomson (Kelvin of Largs 1824-1907), l. W. Strutt (Lord Rayleigh, 1842-1919), J.. Boussinesq (1842- 1929) i drugi objavili su radove s novim analitičkim izrazima za različite režime i tipove strujanja fluida, za kavitaciju, za valove na ograničenoj i neograničenoj dubini i širini vode, za dinamičku sličnost strujanja itd ..

Na prijelazu u XX st. postalo je očito da treba ukloniti jaz između teorijske hidrodinamike i inžerijerske hidraulike ako se želi dalji napredak znanosti o fluidima .. To je značilo da se teorija mora povezati s fizikalnim činjenicama koje su utvrđene

eksperimentima i neposrednim mjerenjima.. Tako je počelo

ujedinjavanje analitičkih i eksperimentalnih istraživanja, pa je nastala znanstvena disciplina nazvana mehanikom fluida .. Osnivačem današnje mehanike fluida smatra se L Prandtl (1875-195.3), poznat po teoriji graničnog sloja. Od početka XX st. pa do danas mehanika fluida postigla je golem napredak„ Nove su spoznaje o fluidima omogućile brzi razvoj znanstvenih i tehničkih disciplina u kojima je fluid jedan od utjecajnih faktora ..

u n

1.. Opći pojmovi

1.1. Definicije i razdioba 't--

Mehanika fluida jest nauka o silama i gibanju kapljevin·a i plinova koje za­jedničkim imenom zovemo - fluid. Sam naziv, koji u svakodnevnom životu može imati različito značenje, u fizici je točno definiran. Okoliš u kojem se zbiva neka_fj?;i­kalna promjena_nazivamo medijem) a giba li se taj medij, zovemo ga fluidom*. „ Ji . . 1- , .'\ - -(lat.-~maus-„ te1'.uC1,,1._ _ _ _ _ _

Premda nema apsolutno nestlačivog fluida) tl mehanici fluida često se preipos- -tavlja da je fluid nestlačiv (nestišljiv: inkompresibilan). Nauku koja se bavi samo nestlačivim fluidom zovemo hidromehaJ!ika._ Naziv potječe .od grčke riječi rnwe (hydor)- v~~~~~~k~, nije više _P<?~~~ ispravan jer se danas ta nau~ ne primjenjuje samo na vodu. Pr.ak.tički se p~ .1:!~tlačivim fluiqo~_ s~!'ltn1j_u kapljevine (tekućine u uže~~rnisl~ i plinovi do stanovite granice (kad se fenome_!l stlačivosti više ne _m<>_že ?:an~arjti). ~idromehanika je, dakle) nauka o gibanju i silama nestlačivih fluida na osnovi teorije) a pomoću strogih matematičkih metoda.

Često se za hidromehaniku čuje naziv hidraulika, što nije ispravno jer je hidraulika primijenjena hidromehanika na temelju eksperimentalnih podataka.

1.2. Agregatna stanja i razlika među njima

.Od davnine su poznata tri agregatna stanja: kruto, tekuće i plinovito. Danas ™dodajemo još i tzv. plazmu, koju neki smatraju četvrtim agregatnim stanjem. Pod plazmom ·u fizikalnom smislu razumijevamo materiju u plinovitom stanju, a pod tako visokim temperaturama da je nastupila disocijacija i ionizacija. Prema tome se plazma sastoji od slobodnih elektrona. (negativno nabijenih elementarnih čestica) i od iona (atoma ili molekula koji nisu električki neutralni zbog_ manjka ili pretička elektrona). Pojave u vezi s plazmom spadaju u područje aero-termokemije pa se njima nećemo baviti.

Razlika među krutinom i fluidom je u tome što krutina zadržava svoj oblik, a fluid poprima oblik posude u kojoj se nalazi. Drugim riječima, kod promjene ob­lika krutine nailazimo na otpor pa moramo upotrijebiti stanovitu silu, dok se oblik zapremine fluida može po volji mijenjati. U dovoljno sporoj promjeni oblika otpor iščezava, tj. fluid bilo kojeg viskoziteta uklonit će se i najmanjoj sili. Ako mijenjamo oblik krutine vanjskom silom) sile naprezanja među susjednim česticama nastoje vratiti krutinu u njezin prijašnji oblik. Kod mijenjanja oblika fluida nastaju također sile otpora deformaciji, koje su "proporcionalne brzini deformacije. One se smanjuju

* Zastarjeli naziv za fluid bio je otekućina• (u širem smislu).

..10 1, OPCI POJMOVI

kad se brzina deformacije približava nuli. Kad prestane gibanje, nestaju i sile otpora, ali se fluid ne vraća u prvotni oblik.

Oštru granicu među krutinom i fluidom ne možemo povući. Već samim za­grijavanjem prelaze mnoga tijela iz krutog stanja u tekuće, a zatim i u plinovito (ili direktno-sublimacija!). No, bez obzira na zagrijavanje, ima plastičnih krutina, koje mijenjaju svoj oblik, a, s druge strane, postoje vrlo viskozne tekućine, koje ne teku. Poznato je npr. da asfalt ima pri normalnoj temperaturi svojstva krutine jer ga možemo razbijati čekićem. No, nakon dužeg vremena on će poprimiti oblik posude u kojoj se nalazi; komad željeza s njegove površine dospjet će konačno do dna, a kroz otvor na dnu posude asfalt će - doduše polako -· i istjecati. To se sve zbiva pri istoj temperaturi kod koje ga možemo razbijati čekićem.

Spomenuli smo da krutina teško mijenja oblik i zapreminu. K.od fluida raz­likujemo ·?pljevinu od plina baš na taj način što ona lako mijenja oblik, a teško za~ preminu, aok plin mijenja oboje lako. To će reći da ih razlikujemo po stlačivosti (kompresibilnosti). Kapljevine su praktički nestlačive. Kohezija (sila među čes­ticama istog tijela), premda slaba, drži molekule kapljevine na okupu. Zato kaplje­vina tvori, i bez ikakva pritiska (ako izuzmen;io pritisak njezinih para!), slobodnu površinu. Plinovi su, naprotiv, veoma stlačivi. Umjesto kohezije, plin_je pod\LTgnut ekspanziji. Plin je samo tad u ra"vnoteži kada je potpuno zatvoren. To znači da on potpuno ispunja posudu u kojoj se nalazi. Svaki plin možemo, doduše, pretvoriti u kapljevinu, no zato je potrebna veoma velika promjena temperature i tlaka (kri-tični tlak; kritična temperatura). ·

Pare su također plinovite tvari. Zasićena je para plin koji već i kod najmanje promjene temperature i tlaka prelazi u kapljevinu, dok je kod pregrijane pare po­trebna veća promjena stanja. Visoko pregrijane pare i plinovi gotovo se i ne razlikuju po svojstvima, tako da ni tu nema oštre razlike. -

Razmatramo li fizikalne promjene plina (pare), kod koje valja uzeti u obzir utjecaj tlaka i temperature, ne možemo govoriti o nestlačivosti fluida pa tad prela­zim.o iz područja mehanike fluida u područje termodinamike, koja se područja - kako vidimo - isprepleću. ·

1.3. Masa, gustoća, volumen, tlak

Budući da je, u skladu s JUS-om, u knjizi upotrijebljen internacionalni sustav mjernih jedinica (SI), to je osnovna jedinica za masu 1 kg. Ona je neovisna o gravi­taciji pa je potpuno jednaka na svim planetima i bilo gdje u svemiru*.

Promatramo li vrlo mali. volumen (zapreminu) fluida L1 V, mase L1m, u kojem se nalazi točka M, tad će grilnična vrijednost kvocijenta mase i volumena - ako smanjujemo L1 V tako da teži nuli, ali da točka M ostane unutar tog volumena - biti specifična masa ili gustoća fluida u točki M

I ~~A~~~ * Strogo uzevši, ni masa nije konstantna, već se po Einsteinovoj teoriji mijenja s brzinom.

Budući da te.le pri e.lcstremno velikim brzinama (bliskima brzini svjetlosti) masa počinje osjetnije rasti, a naša se razmatranja nalaze u području znatno nianjih brzina, možemo je praktički smatrati konstantnom.

"' -

L

l i

1.4. FIZIKALNA SVOJSTVA FLUIDA

Prosječna gustoća mase m, volwnena V, određena je razlomkom ----·-

= m/V, / -·---- -· ·- --·- J

tj. gustoća je masa jedinice volumena, izražena u kg/rn3•

Specifični volumen je volumen jedinice mase

I -I I v = V/m = lfo (m3/kg). I

17

Prosječni tlak (pritisak) (vidi odjeljak 2.1) kYocijent 'ie sile koE _ _Qj_eluje okomito na ravnu plohu i njezine površine

,----·-----------~ / p = F/A (Pa = N/m2

). I L ---- ··--'

·-- - r-;J_rJl•.-,.L } O~OC'e> r 0 =- /f le~ -

1.48 Fizikalna svojstva fluida A io .:>Y A/ ;foo fN/w. 2

C:=- I o { 01.J~ ·~LI E..

Premda su sva tjelcsa šupljikava, pretpostavljamo da je materija neprekidno ras­poređena, tj. da masa potpuno zauzima prostor koji zaprema. Zato i fluid sma­tramo takvim - smatramo ga kao kontinuum. To možemo učiniti, a da time ne dođemo u sukob s modernim teorijama o molekularnom sastavu materije jer, praktički, fluid sadrži tako velik broj molekula da možemo smatrati kako u njemu nema praznina. Na primjer, u I cm3 zraka, atmosferskog tlaka i o.~c~_nal~~i s~~<? 2,7 · 1019 molekula (Avogadrov ili Loschmidtov broj); ono što nazivamo točkom jest kocka sa stranicom od oko 0,0 I nun, a u tom će se volumenu nalaziti oko 2,7 · 1010 molekula.

Homogenost i izotropija. U mehanici fluida pretpostavljamo da je fluid homogen, tj. da su fizikalna svojstva svake, pa i najmanje čestice ista u cijelome fluidnom prostoru. To će reći da je homogen onaj fluid u kojem nema drugih fluida (smjese), drugih primjesa (rastopine), ni drugih agregatnih stanja (npr. led, para itd.). Izotropan je onaj fluid kojemu se svojstva ne mijenjaju ni u kojem smjeru.

Veličina fluidne čestice. Pod fluidnom česticom razumijevamo izvanredno malu količinu fluida, tzv. elementarni volumen, tako da je potpuno svejedno koji oblik ona ima. Masa čestice 'Ostaje uvijek istom, a volumen i oblik se mogu mijenjati. Otpor protiv rastezanja je neobično malen - kohezija je neznatna - tako da ga uvijek zanemarujemo.

Utjecaj topline. Pod utjecajem topline mijenja fluid svoj volumen, dakle i gustoću, zato u mehanici fluida ne možemo zanemariti učinak topline kao što to činimo kod klasične hidromehanike.

Stlačivost (kompresibilnost). Stlačivost smo već upotrijebili kao kriterij za razli­kovanje kapljevina od plinova. Svi su fluidi stlačivi, no kapljevine su u tako neznatnoj mjeri da ih praktički možemo smatrati nestlačivima, što znači da je gustoća neo­visna o tlaku. Osim toga, stlačivost kapljevina smanjuje se s porastom tlaka i tem­peratura. Stlačivost plinova, naprotiv, veoma je velika (sl. I. I).

!

!

I.

I I I I I

-----------n kapljevina 1 1• 1

, •. ............_ ! _ nes 1aov l r fluid

' ! \! ---,---------

1

Slika 1.1. ·r-

l. OPCI PO.JMOVI

P= _!!!_ -1 V

Ako smo nekom volumenu V promijenili tlak za dp, pr9mijenit .~~mu _s_~ vo­lumen za dV. Izraz dV/V nazivamo relativnom promjenom volumena, a njezina veličina za jedinicu tlaka iznosi · -

I

/3• = "= _ d;:p 1-·~ ---'

pa se naziva koeficijentom stlačiyosti. Znak minus pokazuje da povećanju tlaka od:­govara smanjenje volumena, i obratno. Recipročnu vrijednost koeficijenta stlačivos­ti nazivamo modulom elastičnosti

/ E = 1/x = ·-J_T dp/dv. ) , /

fa?ti./d el~s;ć.>0.«1.1) t.-:/ C'-Vr1•11e

Dimenzija modula elastičnosti jednaka je dimenziji tlaka, a obično ga izraža­vamo u barima. Za vodu pod tlakom od 1000 bar i pri temperaturi od 20°C izno­si E = 28 800 bara, tj. volumen vode kod tog tlaka smanjuje se jedva 3,5%. Zato, osim rijetkih slučajeva (npr. hidraulički udar) smatramo vodu nestlačivom. Module E za vodu ovisno o temperaturi i tlaku daje tablica 1.1.

Tablica 1.1.

[ . . E \ :?i I I Modul elastičnosti za vodu E • 10- 3 bar z.~ tv-jt' .. · O novo. .-.:.

Tlak Temperatura °C

bar o 20 49 93 150

1 20,5 22,5 2.3,3 21, 7 100 21,1 23,2 24,1 22,4 17,4 300 22,2 24,5 25,4 23,8 19,0

1 000 26, 7 28,8 30,0 28,5 24,6

I plinove često smatramo nestlačivima, tj. pri malim brzinama strujanja kao npr. u ventilacijskim uređajima. Promatramo li, međutim, plin ili parti koji struje veli­kom brzinom, to znači da je pad tlaka tako velik da promjenu gustoće više nećemo moći zanemariti. Za zrakoplov kod brzine od 400 km/h smatramo zrak još uvijek nestlačivim. Približavamo li se brzini zvuka (oko 1200 kmfh), treba stlačivost zra-

1.4. FIZIKALNA SVO.JSTVA FLUIDA 19

ka uzeti u obzir. Tako je _npr. atmosferski zrak pri normalnom tlak.u ( ~ 1 b_~d Q}co 17 000 puta stlačiviji od hladne_~ode. Za idealne se plinove izraz za modul elastičnosti pojednostavnjuje - (vidi jednad­žbu 1.5). Pod idealnim (savršenim, potpunim, perfektnimj plinovima razumijevamo O!!e koji se pokoravaju z~onim~~_!~_gn~u .. koI}_st~_tnu .§Qec_ifi9Ju _ tqplinu~ To su hipotetički plinovi, ali zrak i ostale realne (stvarne) plinove, kad su daleko od kaplje­vitog stanja, možemo -· barem približno - smatrati idealnima. Za točnije račune s realnim plinovima valja upotrijebiti korigirane jednadžbe stanja plina (rt1Pr. van der Waalsovu jednadžbu), a za tehničke svrhe (npr. za tlakove veće od 30 bar) upotrebljavamo jednostavniju korekciju, naime

,--;-~ --_ ;-~-~· I -Tu je korekcijski faktor y = f (p, T).

{o0 . Iz fizike su poznati zakoni kojima se pokoravaju idealni plinovi. To je Boyle--Mariotteov zakon •

[ p V= konst.,-,

što znači da je pri konstantnoj temperaturi (izotermička promjena stanja) omjer početnog i krajnjeg volumena obratno proporcionalan omjeru tlako".a.

Gay-Lussacov zakon vrijedi za promjenu temperature pri konstantnom tlaku

(izobarska promiena) ~~s~. j ·

To znači da se volumen mijenja proporcionalno apsolutnoj temperaturi. Spajanjem ovih dvaju zakona dobiva se tzv. jednadžba stanja plina, koja glasi:

za m kg plina za 1 kg plina za 1 kmol plina

pV=mRT p v = R T (odnosno p = e R T) pvM = 8315 T.

Pri tome su: p - tlak u Pa; V - volumen u m 3

;

m - masa u kg; R - individualna plinska konstanta u J/kg K; T - apsolutna temperatura u K; M - masa jednog kilomola u kgfkmol.

(Broj 8315 je opća plinska konstanta u JfkmolK.) Često se upotrebljava jednadžba stanja plina u diferencijalnom obliku

dp/p + dv/v = dT/T.

(1.2)

U rješavanju problema s plinovima nailazimo gdjekad na pojam n;iormalno«* stanje. Pod tim se razwnijeva redukcija veličina na neko odabra.'10 sta..11je, što ga

* Ispravnije bi bilo tnormativnm (normirana) stanje.

..GU 1. OPCI POJMOVI

redovno odabiremo pri tlaku od 1,01325 bar i temperaturi od O °C. Jedan normalni metar kubni plina je zapravo masa plina koja pri tom stanju zauzima volumen od 1 m 3

, a brojčano je jednaka ·njegovoj gustoći. Običava se označivati s m!, iako to nije međunarodno dogovoreno, niti je u našim zakonima, spomenuto.

2 !?akol'J. Drugi osnovni zakon kojemu se pokoravaju idealni plinovi glasi (zakon poli-troptl_

(1.3)

S tim smo se zakonom već upoznali, ako je eksponent n = 1 ; to je Boyle-Ma­riotteov zakon za izotermu .. Diferenciramo li jednadžbu (1.3), dobivamo

odnosno

~ = -npdvfvj

Uvrstimo li taj izraz u izraz ( 1.1) .. za modul d~ičnosti izlazi da je modul elas~ tičnostfza plinove · · ·- - · · - ·

l E = np. l ·---·- - ·--·- ··- ··-

I (1.4)

Budući da je za vodu od O °C i p ~ I bar modul E ~ 20 000 bar, to vidimo da je kod izotermičkog procesa (n = I) za zrak, pod istim uvjetima, E ~ 1 bar, dakle je zrak oko 20 000 puta stlačiviji od (hladne) vode.

1.5. Naprezanja

Budući da fluid ne podEosi _raste_zwii~ gol~~ _u ~bzir §~O t!~J!~!!,ap_rezanja kao normalna naprezanja koja djeluju okomito na granične plohe fluidne čestice (i to R!"e111~ ~estici!), te sill.ična (Qdrezna) naprezanja kao .tang_e.rr~!ialna._napre­zanja koja djeluju u graničnoj plohi, a u proizvoljnom smjeru. Na slici 1.2. prikaza-ne su obje- vrste naprezanja. • -

FJtJjd g_ kQiem ~e p9javljuju tangencijalna,_n~.P,r_ezanja, a to je svaki fluid u prirodi.i nazivamo realnim c~nrarnin1, faktičniIIl) .YL_YT~.\<_Qz~j111 tfo1đ~:»m~u -me­hanici fluida, međutim, često zamišljamo hipotetski (imaginarni) fluid, u kojem ne­ma tangencijalnih naprezanja, dakle potpuno neviskozni fluid. Takav se nevis­kozni fluid u velikom dijelu literature naziva »idealnim~ fluidom. No taj naziv dovodi često do nejasnoća*, i to iz dva razloga. Prvo, 'ic!ea1nit fluid nije jedinsty~Q .defj:­niran. Dok jedni zahtijevaju da »idealni« fluid -bude-ujedno i nekompresibilan, drugi dopuštaju da ima i 1idealnih« plinova, dakako u oba slučaja bez viskoznosti. J?!!J:gO,_!!_ fizi~i_se uyrij~io J?aziv »ide~~P14i~~p1in koji i.mat~? cxire~~~tsvojs~ tva (vidi Q_~j_eljajs_!_.j)! po taj_ »idealii_! _pl~ može biti i viskozan. Da ne dođe do za­buna, zadržat ćemo za fluid u kojem nema trenja naziv neviskozni fluid.

Upotreba neviskoznog fluida u mehanici fluida je opravdana jer je to gdjekad dopušteno (npr. kod fluida u mirovanju jer se sile trenja pojavljuju samo pri gi­banju!), a gdjekad pojednostavnjujemo probleme i dolazimo do zaključka koji se

* Pečornik, M., Sto razumijevamo pod nazivom titkalni plint, Tehnika 11/1981.

! i

1.5. NAPREZANJA 21

tako malo razlikuju od stvarnosti da to možemo dopustiti. S druge strane, tretiranje nekih problema s neviskoznim fluidom dovelo bi nas kadikad do apsurda: ventila­tor npr. ne bi mogao pri okretanju transportirati takav fluid.

(J

Si. 1..2.

- Kod realnog fluida P?Stoj_h_q~-kJ~, __ sil~ !~e~La ~bog __ k~~_za_~ja j~dne čestice ~!!ida po drug~}:_ __ To td~l.tclliSkCLtrenje_w'.\~emo vjs]s_s>~nost (žilavost, ljeplj!v_ost). _ _l?ojam nialeviskoznosti jest žitkost - pojam koji se u mena.iiici fluida rjeđe, ali u obi~nom životu- č~snY ii~i~e_Qfj~~~.-- - - - ··

1.6. Viskoznost

Viskoznost j~~~9a ~eril<? -~jeg2y~-~.~Eora protiv tangencijalni!;_J!i kutnih deformac11a ceStlca .. Da bismo definirali viskoznost, razriiotnteeriio-Sl1ku i.r··Na~ lazi li se fluid između dvije dovoljno velike (teorijski beskonačne) ploče (tako, da nema utjecaja rubova), kojih razmak J'd nije pretjerano velik, bit će za pomicanje gornje ploče brzinom cd u smjeru dastite ravnine potrebna sila F. Čestice fluida tik uz ploču gibat će se i,stom brzinom kao i ploča jer čestice uz nju prianjaju (ad­J!~zija). Miruje Ii donja ploča, mirovat će i čestice uz nju, dok će čestica uz gornju ploču putovati brzinon:i (ploče) cd. Promjena brzine u nacrtanom će primjeru teći od O do cd linearno~ Sloj fluida, debljine yd, izgleda kao da je sastavljen od niza tan-­kih slojeva koji kližu jedan po drugome malom relativnom brzinom. Pokusi su po­~~Ii __ da ;z;a_pr~!~_Žf!_~_većinu fluida vrijedi Newtonov zakon: tj. da je SiTaF-pr:6por­ciona1na površini ploče A, br?.in1 CJ i. recipročnoj \Tije~nosti razmaKa .Yd -- ---- l!· <X. A cdfyd„* l --

y [

/ /

/

SL i..3„

*' Znak <x: upotrijebljen je za proporcionalnost.

I

l. OPCI POJMOVI

Iz slike razabiremo da se, zbog sličnosti trokuta, kvocijent cd/yd može zamijeniti prirastom brzine (gradijentom brzine) dc,,Jdy. Uved~mo .lLioš i kodicijenLpJQpor­cionaliteta u, moi~_mo proračunati tangencijalno naprezanje između dvaju susjednih sT01eva-fiilici;· - - „ -- -- ~ - - -

l FIA I d /d -1. -h,7. ("/JC"j.:;,_i/J't='. (I. 5) 1: = = Y) cd Yd = r7 Cx Y·_. /_ ' /l~/l"'/~7"'

Jednadžba (1.5) vrijedi sasvim općenito ako se brzina i ne mijenja linearno, kako je to prikazano na slici 1.4.

()

Sl. 1.4.

Iz i~~~a~~be {15) definiramo koeficijrnt__p_t.QQ-9.Iciopa_liteta 17_, __ koU_ n~~i_v.~o ~~Q:-. fotnom ili dinamičkom viskoznošću

r i' 17 =---dcxfdy ·

!------·

idealna fBinghamova) plasfJina kru/ina

elostiim kru fina •

realna plastrćna tvar

njulonski fluid f 1J = kansl)

dilalanlni fluid

L

1.6. VISKOZNOST 23

Karakter k9efi!:ijen.rn __ y_i~k9_~~2.~ti 1J . mož~o najbolje upoznati 1z reološkog dijagrama (sl. 1.5) koja predočuje upravo izvedenu ovisnost (1.5), još i u uspo­redbi s krutinom.

Na slici I . .5. su povrh apscise dcx/d.y - a to je tzv. brzina deformacije - na­nesene krivulje tangencijalnog naprezanja za razne tvari: ·- e I a sti čn a krutina napregnuta je proporcionalno veličini deformacije (propor­cionalno sili), ali neovisno o brzini deformacije; - idealna plastična (Binghamova) tvar (to je stadij tvari između krutine i kap-: ljevine, kao što je npr. u dobrom pribli~enju zubna p~a) također ne ispunjava uvje­te fluida jer je potrebno neko početno naprezanje prije negoli tangt!lcija]no napreza­nje postane funkcija brzine deformacije, tj. r = f (dc,Jdy), a to vrijedi i za realne plastične tvari, npr. za suspenzije (čađa u uljnom firnisu, mulj otpadnih voda i sl.), masti za podmazivanje, kit itd., u takav međustadij ubrajaju se i tzv. visokoelas­tične tvari*; - pseudoplastični fluidi (npr. emulz!je,_ Sl!lOl~) imaju promjenljivi wk. tan·­genCijainog naprezanja ovisno o brzini defoffi1acije (tek se pri većim brzinama deformacije tok stabilizira), a viskoznost im pada s porastom brzine deformacije

dT ----- = tan a;

d (dcx/dy)

- d il atan tni fluidi (npr. uljene boje, tiskarsko crnilo) imaju također promjenljivi tok tangencijalnog naprezanja ovisno o brzini deformacije, no njima viskoznost raste (tan a) s brzinom deformacije. Često se pri velikim brzinama deformacije ovi fluidi i skrutnu.

Fluide s promjenljivom viskoznošću nazivamo nenjutnovskim fluidima, a one kod kojih je zavisnost po formuli (1.5) linearna_,_ dakle s 'YJ„= konst., ZO\~emo nT~tnovskim fjyiC!im?. ·· -

Konačno imam<) liniju neviskoznog fluida ('YJ =O) koja je identična s apscis­nom osi (r =O).

Grubo se može reći da plinovi i rijetke kapljevine naginju njutnovskim fluidi­n1a, a guste kapljevine mogu biti nenjutnovske.

Fluide bismo mogli - orijentacijski - podijeliti na način kako je to prikazano u shemi na str. 24.

Mi ćemo pri proučavanju problema u mehanici fluida vazda pretpostavljati ili njutnovski ili neviskozni fluid.

_J ~d._inica dinamičke viskoznosti određuje se definicijom da je to vis~O?;nost fluida koji struji Iaminarno,-aii kojem između -đvif paralelfl-a ·-sloja na razmaku od I m;pff-razlici brzina strujanja od I _m/s, nastaj~ tangencijaJno naprezanje od I -Pa{paskalaf.""Dimenzija_ dl~~k~_y~skQ~2_s_y_ ~ paska!-sekunda -- -

I 1 Pa s ( = N s/m2)."}

Dinamička je viskoznost - osim pri ekstremno visokim tlakovima - praktički ncm·isna o tlaku (u granicama upotrebljivosti u tehnici).

* K~o primjer služi tzv. skačući kit (bounci'ng put~y) . .Bacimo Ji kuglu tog kita o zi<l, odskočii: .:c poput lopte (kratkotrajno opterećenje). Ostavimo Ji ga da dulje leži na ravnoj plohi, raspuzat će po njoj pod utjecajem y)astite težine (dugotrajno opterećenje). I

1. OPCI POJMOVI

·-----------~--------------------·---

Temperatura ja~o utječe na dinamičku viskoznost: s njezinim porastom pada viskoznost kapljevina, a raste viskoznost plinova (sl. I .6).

;{ue "/ rft/latL~1 ';14, VJgto 2 /JOSP

Sl. 1.6.

?D ~·MO&~. '4-;~ realni (viskozni), tluid '

nekompresibilni fluid

"T=O e=konsf.

kompresib17ni fluid

0

T::O

Q lkonsf~

idealni plin

pv~RT ep• konsf. c, .s konst

T/0

-·--l---kompresibilni

lluid

T/0 e 1konst

realni plin

pv/RT

Preračunavanje 17 kod plinova obavlja se po Sutherlandovoj eksperimentalnoj for-· muli, koja glasi

( T)

312 273 + C

171 = 'YJo 273 T + C . (1.6)

Tu je 11 0 (poznata) viskoznost pri O (°C); 171 je (tražena) viskoznost kod T (K); a C (K) je Sutherlandova konstanta, dana u tablici 1.2.

1.6. VISKOZNOST

Tablica 1.2.

Sutherlando••a konstanta C (K)

Zrak Dušik Ni Kisik 02 Vodik Hz Ugljik-monoksid CO

124 10.3 138 83

101

Ugljik-dioksid C02 Acetilen C2H2 Amonijak NH3 Vodena para H20 Solna kiselina HCI

274 198 626 673 360

2!>

nost podijeljena gustoćom _ , f-- lvlnogo važnija od dinamičke je kinematička viskoznost, a to je dinamička viskoz-;-

' / v = rifr! (mi/s). I U tabiici 1.3. nalaze se za neke češ~e upotrebljavane·· fluide podaci za gustoću f!' (kg/m3

)_ i kin.ematičku viskoznpst_ J0°v ~'IJ.2/s) pri _određ_en9j_ te111peraturi t (°C)_.r a vrijede kod tlaka od I bar

Tablica 1.3.

Fluid t (°C) (! (kg/m3) t0t>v(m2/s)

Voda O Voda 20 Voda 100 Zrak O Zrak 20 Zrak 100 Glicerin 20 2h·a 20 Terpentinska ulje 1.5 Ricinusovo ulje 1.5

999,8 998,2 958,4 1,2.50 1,165 0,915

1 26.3,0 1.3 546,0

875,0 970,0

1,108 } h,Pr<'naa. ) 1,007 (.rJ,,,&j~~e V7S ,/,,.u10.ff 0,294 I ·

13,8 J . / V · . L I) 15,5 r/J (;o re;e H'S,-<oZnoJ/1

23,8 l 200,0

0,115 1,86

1 480,0

Treba li izraziti kinematičku viskoznost smjese plinova, služimo se aproksima­tivnim formulama, kao npr. Mannovom formulom

( 1. 7)

u kojoj su ri volumenski postoci pojedinog sastojka u smjesi, a v1 su njihove kinema­tičke viskoznosti.

Kao mjera za kinematičku viskoznost (osobito ulja) upotrebljava se u Srednjoj Evropi stupanj Englera ( 0 E); u Velikoj Britaniji sekunda po Redwoodu ("R); u SAD sekunde po Sayboltu ("S)*. To dolazi otuda što viskoznost ustanovljujemo istjecanjem iz posude (npr. Englerov viskozimetar) kroz posebno oblikovanu sapnicu. Omjer vremena istjecanja određene količine vode i mjerenog fluida daje stupnjeve Englera, odnosno sekunde po Redwoodu ili Sayboltu.

Englerove stupnjeve pretvaramo u metričke jedinice uz pomoć raznih formula.

* Sekunde, i3.kv \Tcmenske, označene su kao lučne.

1. OPCI POJMOVI

U praksi se redovno upotrebljava približna Ubbelohdeova formula

6,31 2 10 6

• Y = 7,31 E - -y (m /s).

Od 1 O 0 E dalje vrijedi omjer

1 °E ~ 7,6 · 10-· 6 m2/s

1. 7. Ostala svojstva kapljevina

Kohezija i adhezija uzrokom su površinske napetosrt i kapilariteta. Površinska je napetost posljedica kohezije među česticama na vanjskim graničnim-površinama. Površinske se l}~pefusti po}avljujti-iZ:ffieđu dodirnih površina fluidii-KoJI se ne ·mije­šaju i između čvrstih stijenk~ fluida. Poznato je da »vrhom puna« čaša-vode ima is·­j)UpcenUpo\~ršinu- i da u nju možemo oprezno dodati još nekoliko kapi, te da će, prije negoli se prolije, ispupčenje nad n1bo_m _ ča~e _(menisk} hiti pI"iiirne- veli-ko~­J ednak:o tako možemo na površinu vode oprezno položiti šivaću iglu, a da ona ne potone. Kapljice vode tvore na ravnoj površini (osobito prašnoj!) oblik kugle, a na ugrijanoj ploči (npr. štednjaku) one i poskakuju, dok im u unutrašnjosti razvije­na vodena para ne probije površinu pa one prsnu.

Kapilaritet j_~~9jstvo ~aplj~vina zbog kojega u vrlo uskim cijevima ne vrijedi zakon o spoJen1m posl1_~-~!iia. Povdl.na kapljevine u kapilari v~a je ili niža od vanjske površlnel<apljevine. Prevladava li adhezija, kapljevina ~~-~~Il1Q~!!i~<-~~ii~1-lŠ!! _djevi i popeti se uz nju nad doo1rnu ra_?I.Q~li~ ---to-je--izv~- ~P.U~ma <;l(:!va~!j?_. __ U slučaju prevladale kohezije b!t će-obi~i~o: površili~ u kapilari spustit će se pod r~i!lu~do­d!ra=-tO]e -l<apilariiadepre-sija~ oba slučaja prikazana su na s11karria 1. 7. I 1.8. Na-slici 1. 7. predočena Te-kap-ifarna -depresija kod žive, a na slici 1.8. prikazana je kapilarna elevacija kod vode. Visinska razlika h ovisna je o površinskoj napetosti, r~jusu zakrivljenosti na dnu (Ih vrhu)memsl<a-l:_e· o~~~~t~1:1ida· ri~~_men~s~om i_ pod nfiill._Za nel<e'J<apl1evme navedene su te visine u tablici 1.4 .

•

d

Sl. 1.7. Tablica 1.4.

):?; /c///Ć ~ ~/a u1e

(kod cooe)

·-- - ---­-- - --- -----

Sl. 1.8.

Visina kapilarne elevacije h ovisno o promjeru cijevi d (mm)

Voda Alkohol ToluoJ (C7 Ha)

h (mm)

30/d 11/d 13/d

1.8. ISHLAPLlIVANJE I !SPARIVANJE 27

Sve kapljevine teže ishlapljivanjtJjj~p?rivanju, što čine izbacujući molekule u prostor nad svojom slobodnom povr~in<?!ll· Ako je taj prostor ograničen, parcijal­ni tlak molekula kapljevine raste do onoga pri kojem se molekule opet vraćaju u kapljevinu. Taj se tlak - fs.r._ tad~ _v1~Q.~xg_ynoteža - naziva tJ!lkom zasićenja. Pri povećanoj temperaturi raste ta molekulama aktivnost, ali s njo~j_ tlak zasi_~~=­nja. To znači da se u prostoru nac! J:5:~p_lj_~yinom ne može nikad _ _p_ostići a2solutni vakuum jer su tu uvijek njezine pare .. To je osobito važno kod sisanja lako hlapljivih kapljevina. U tablici 1.5. dani su tlakovi zasićenja pri temperaturi od ol<o .;w0 c, u apsolutnim barima.

Tablica 1.5.

Tlakovi zasićenja pri oko 20°C u bar (aps.).

2iva Voda Alkohol (etilni) Gazolin

o,ooo ool 76 (Y/·~o M2q .ey.rL va ku/nU') 0,023 8 , 0,138 0,311

Iz tablice razabiremo veliku vrijednost punjenja barometra živom: niski tlak nje­zinih para veoma se približava apsolutnom vakuumu.

* Pod isparivanjem smatramo pojavu koja se zbiva u prisutnosti samog fluida koji isparuje, dok se ishlapljivanje zbiva u prisutnosti i drugih fluida (npr. zrak + vodena para + voda)„

Upotrijebljene oznake i jedinice SI

S im boi

,Q

a A b

c '• '• C,

d D t t Eu f Fr g G h. H ii I

I k k K K i, L La m Ili

M Ma n li

o p Q

r, R r R Rt s Sr

I

T T u ti

V v

Jedinica

m/s' m/s m' m m/s m/s m/s J/(kg K) J/(kg K) m m m J/kg

m1s' N m Jjkg m•

N

m kgm/s

m

kg kg/s Nm

l /s m Pa J/kg m J/kg J/(kg K)

m

m oc K Nm m/s m'/kg ml

m'/s

Veličina

akceleracija brzina zvuka površina širina brzina (opće ni to) prosječna brzina •brzina• tangencijalnog naprezanja 1zobarski toplinski kapacitet izohorski toplinski kapacitet dijametar (promjer); detiljina dijametar apsolutna visina neravnina (hrapavost površine) specifična energija za jedirucu mase Euierova značajka faktor (koeficijent) Froudeova značajka akceieraciia sile teže težina · v1S1na specifična cntalpiia za Jedinicu mase moment inercije

impulsni protok (sekundni impuls) koeficijent apsolutna visina ekvivalentne pješčane hrapavosti količina gibanja kavitacijski broj duljina Lavalova značajka masa maseni protok u sekundi moment (općenito) Machova značajka eksponent politropc brzina vrtn)e opseg tlak količina topline za jedirucu mase radijus (polumJer) specifična radn1a tren1a za jedirucu mase individualna plinska konstanta Reynoldsova značajka razmak, udalienost s trouhalova značajka vrijeme korak temperatura apsolutna temperatura zakretni moment obodna brzina specifični volumen (volumen 1edinice mase) volumen (obujam, zaprerruna) volumenski protok

Simb:oi Jedinica

ru m/s ru J/kg x,y,z m a u

/i i' F.

{}

I:

ry Pa s t} co;,) %

J. ).

/! m'/s

<J kg/m 3

,., Pa

rp '//

Pa

w rad/s J' rn 2 /s

lnde1

ksi

a atmosfersko aps apsolutno

radijalno tangencijalne

n normalno

Veličina

relativna hrzma rad (energija) za iedinicu mase udaljenost po koordinatnim osima 1<.ut između apsolutne 1 obodne brzine koeficijent istjecanja kut između reiauvne l obodne brzine kut niza (kaskade) kut klizania upadni kut koeficijent otpora (općenito) koeficijent otpora nosive površine koeficijent uzgona nosive površine dinamička viskoznost korisnost eksponent izentrope koeficijent trenja u cijevi vitkost krila koeficijent kontrakcije kinematička viskoznost koeficijent (faktor) gustoća (specifična masa) normalno naprezan1e tangencijalno naprezanje koeficijent gubitka koeficijent (faktor) kutna brzina cirkulacija

u pri mirovanju (c = O) s, st,1 stat statičko kin kinetička. d, diln dinamičko t, tot totalno (ukupno) h hidrauličko . X otporno y uzgonske R I rezultantno Xi y, z u smjerovima koordinatnih osi J, 2-r' točke niz struJni tok o:J nesmetani struim tok ul ulazno lZ izlazno kr kritično L Lavalovo max 1 maksimalno m1n minimalno

Skripta zadataka iz kolegija «Hidromehanika» SI sustav mjernih jedinica

MEĐUNARODNI SUSTAV MJERNIH JEDINICA

,.) Osnovne SI jedinice

li Fizička veličina Naziv Oznaka li Duljina metar m

Masa kilogram kg

Vrijeme sekunda s

Jakost električne struje amper (ampere) A ·1--

Termodinamička temperatura kelvin K

Količina tvari mol mol

li-l

-li Svjetlosrra~jakost kandela fcarrdela) - -1 cd

Definicije nekih osnovnih jedinica

Metar - metar (m) je osnovna SI jedinica za duljinu. Metar je duljina koja odgovara putu što ga prijeđe svjetlost u vakuumu za vrijeme od 11299 792 4.58 s, odnosno duljina jednaka 1650763, 73 valne duljine u vakumu zračenja koje odgovara prijelazu između razine 2p10 i .5d5

atoma kriptona 86 .. Ova definicija, prihvaćena na Generalnoj konferenciji za mjere i utege u listopadu 1983 .. , zamijenila je definiciju iz 1967. temeljenu na kriptonovoj lampi.

Masa - masa (m) količine materije je sadržana u čestici ili tUelu bez obzira na njegovu lokaciju u svemiru.. Masa je stalna, dok tež.ina ovisi o udaljenost tijela od centra Zemlje (ili drugog planeta).. SI jedinica za masu je kilogram. U skladu s Einsteinovom jednadžbom E =mc2 svi oblici energije posjeduju maseni ekvivalent.

Kilogram - kilogram (kg) je osnovna SI jedinica za masu i jednak je masi međunarodnog prototipa kilograma .. Prototip je valjak visine 39 mm i promjera 39 mm, načinjen od legure platine (90 % ) i iridij a (1 O % ), a čuva se u Bureau International des Poids et Mesures u Sevresu pokraj Pariza, Francuska.. Omjer dviju masa određuje se s pomoću vage. Postupak vaganja, koji definira masu, sastoji se u načelu u brojanju tijela malih (infinitezimalnih) jednakih masa (utega) koja dovodi do ravnotež.e vage ..

Sekunda - sekunda (s) je SI jedinica za vrijeme. To je trajanje 9 192 631 770 perioda zračenja koje odgovara prijelazu između dvaju hiperfinih nivoa (F = 4, mF = O to F = 3, mF = O) osnovnog stanja atoma cezija 133 (1 33Cs). Periodu definiramo kao vrijeme potrebno da svjetlost prevali put koji odgovara jednoj valnoj duljini.

Amper - amper (A) je osnovna SI jedinica za jakost električne struje .. Amper je jakost stalne električne struje koja se održava u dvama paralelnim, ravnim, beskonačno dugačkim vodičima zanemarivo malog kružnog presjeka, koji se nalaze u vakuumu i međusobno su razmaknuti za

I~~

., :·

~~

.

i

r

l

Skripta zadataka iz kolegija «Hidromehanika» SI sustav mjernih jedinica

I metar, i u tim uvjetima uzrokuju među vodičima silu koja iznosi 2x 10-7 njutna po metru duljine ..

Kelvin - kelvin (K) je osnovna SI jedinica za termodinamičku temperaturu. To je termodinamička temperatura koja je jednaka 1/273.16 termodinamičke temperature trojne točke vode. Trojna točka vode je ona vrijednost temperature i tlaka kod koje voda može postojati u sva tri agregatna stanja .. Ime je dobila po engleskom znanstveniku sir W. Thompsonu, Lord Kelvin (1824. -1907.).

Mol - mol (mol) je osnovna SI jedinica za količinu (množinu) tvari. Mol je količina tvari onog sustava koji sadrži toliko elementarnih jedinki tvari koliko ima atoma u 0.012 kg izotopa ugljika 12 (12C}. ElementJID1e jedinke uvijek moraju biti specificirane i mogu biti atomi, molekule, ioni, elektroni, neke druge čestice ili određene grupe čestica. U jednom molu (0.012 kg) izotopa ugljika 12 ima 6.022045x1023 atoma (Avogadrov broj). Avogadrov zakon - jednaki volumeni svih plinova sadrže, uz iste uvjete temperature i tlaka, isti broj molekula, odnosno istu količinu (n) plina. Avogadrova konstanta (Lili NA) je odnos broja jedinki (1\1) i količine tvari (n), odnosno vrijedi L = NI n .. _ MjerePJem difrakcije rendgenskih zraka na kristalima rtađeno je da Avogadrova konstanta (L) ima vrijednost L = (6.022 045 ± 0 .. 000 031) X } 023 mor1

.

Kandela - kandela (cd) je osnovna SI jedinica za svjetlosnu jakost Kandela je svjetlosna jakost, u danom smjeru, koju emitira izvor monokromatskog zračenja frekvencije 540x 10 12

Hz i čiji intenzitet zračenja u tom smjeru iznosi 1/683 vati po steradijanu ..

.,, Dopunske SI jedinice

li Fizička veličina Naziv Oznaka Definicija

Radijanje kut između dva polumjera koji na Kut radijan rad kružnici odrezuju luk čija je duljina jednaka

polumjeru

Steradijan je prostorni kut čiji se vrh nalazi u Prostorni kut steradijan sr središtu kugle, a na njenoj plohi omeđuje

površinu jednaku kvadratu polumjera kugle

li

I

Skripta zadataka iz kolegija «Hidromehanika» SI sustav mjernih jedinica

!.J Izvedene SI jedinice s posebnim imenom

li Fizička veličina li Naziv li Oznaka li Definicija li li Frekvencija li herc (hertz) li Hz li

S-I li li Sila li njutn (newton) li N li m kg s-2

li li Tlak li paskal (pascal)

li Pa li Nm-2 li

Energija I džul (joule) li J li Nm li 11

I li li J S-I li Snaga vat (watt) w

li Količina elektriciteta li kulon ( coulomb) li

c li s A li li Električni napon )f volt li V li w A-I li I[ Električni-kap-acitet

fl farad · I!- F

li c y-! lf

1

li li Električni otpor li om(ohm) li Q li V A-1

li li Električna vodljivost li simens (siemens) li s li

A y-1 li ll Magnetski tok

li veber (weber) li Wb li Vs li

li Magnetska indukcija li tesla li T 11

Wbm -2

li li lnduktivnost li herni (herny) li H li WbA-1

li li Celsiusova temperatura li stup~j Celsiusov li

oc 11

K li li Svjetlosni tok ll lumen li lm li cd sr li li Osvijetljenost li luks (lux) li lx li lm m-2

li li Aktivnost radionuklida li bekerel (bequerel) li Bq li

S-I li li Apsorpcijska doza li grej (gray) li Gy li J kg-I li li Ekvivalentna doza li

sievert li

Sv li J kg-I li

Definicije nekih izvedenih SI jedinice s posebnim imenom

Njutn - njutn (N) je izvedena SI jedinica sile. Definiran je silom koja tijelo mase jednog kilograma ubrza za jedan metar u sekundi na kvadrat (N = kg m s-2). Ime je dobila po engleskom znanstveniku sir Isaac Newtonu ( 1642.-1727 .. )..

Pascal - Paskal (Pa) je izvedena SI jedinica tlaka. Definirana je tlakom što ga proizvodi jednoliko raspoređena sila jednog njutna koja okomito tlači ravnu plohu ploštine jedan

l

Skripta zadataka iz kolegija «Hidromehanika» SI sustav mjernih jedinica

četvorni metar (Pa = N/m2). Ime je dobila po francuskom matematičaru, fizičaru i filozofu

Blaise Pascal (1623.-1662.).

Džul - džul (J), je izvedena SI jedinica rada, energije i topline. Definiran je umnoškom sile jednog njutna i puta jednog metra za koji se pomakne hvatište sile u smjeru sile (J = N m}. Imeje dobila po engleskom fizičaru James Prescott Joule (1818„-1889.).

Vat - vat (W) je izvedena SI jedinica snage. Definirana je snagom kojom se u jednoj sekundi obavi rad jednog džula (W = J/s). Ime je dobila u čast škotskog inženjera Jamesa Watta (1736.-1819.)„

Celsiusova temperaturna skala - za nulu u Celsiusovoj temperaturnoj skali uze'.ro-je ledište vode pri 101 325 Pa. Vrelište vode pri 101 325 Pa je uzeto kao druga referentna točka. Taj raspon podijeljen je na 100 jednakih dijelova, a svaki dio odgovara 1 °C. Jedinice Celsiusove temperaturne skale (°C) i termodinamičke temperaturne skale (K) su identične, odnosno 1 °C =lK.

~ Izvedene SI jedinice

li Fizička veličina li

Naziv li Oznaka

li Površina li četvorni ili kvadratni metar li 1 m2 = lm* lm

li Volumen li kubični metar li m3 = lm* lm* lm

li Brzina li metar u sekundi li m s-1

li Ubrzanje li metar u sekundi na kvadrat li ms -2

li Volumna masa - gustoća li kilogram po kubičnom metru 11

kg m-3 = mN

I! Specifični volumen !! kubični metar po kilogramu li m3 kg- 1

li Gustoća struje li amper po kvadratnom metru li Am-2

ll Jakost magnetskog polja li amper po metru li Am-1

li Koncentracija li mol po kubičnom metru li mol m-3

li li li li li li li li li li

li Luminancija ll kandela po kvadratnom metru li d -2 c m li

li Dinamički viskozitet li paskal sekunda li Pa s li li Moment sile li njutn metar li Nm li li Površinska napetost li njutn po metru li Nm- 1 li li Gustoća toplinskog toka li vat po kvadratnom metru li wm-2 li

Skripta zadataka iz kolegija «Hidromehanika» SI sustav mjernih jedinica

li Toplinski kapacitet li džul po kelvinu li JK1

li Specifčni toplinski kapacitet li džul po kilogramu i kelvinu li J kg-I K-1

I! Jakost električnog polja li volt po metru li vm-1

li Molarna energija li džul po molu li Jmor1

li Molami toplinski kapacitet li džul po molu i kelvinu li J mor1 K-1

li Apsorbirana doza zračenja li grej po sekundi I Gy s-1

li Kutna brzina li radijan po sekundi thli s-1

li Kutna akceleracija li radijan po sekundi na kvadrat ! rad s-2

~ Dopuštene jedinice izvan SI

I Fizička veličina li Naziv li Oznaka li Definicija li li Duljina li morska milja li - li 1852 m li li Masa li karat /) - li 0 .. 0002 kg li li li tona

11 t li 1000 kg li

li Volumen li litra li l, L li 1 .. 000028 dm3

li li Vrijeme li sat li h li 3 600 s li li li minuta li mm li 60 s li li Brzina li čvor li - li milja h-1

li li Tlak li bar li bar li 100 000 Pa li li Energija

li elektron volt

li eV

li 160xI0-19 1 li

Definicije nekih dopuštenih jedinica izvan SI sustava

Morska milja - morska milja (ili nautička milja) je iznimno dopuštenja jedinica duljine izvan SI koja se koristi u pomorskom, riječnom i zračnom prometu. Morska milja je jednaka duljini luka jedne minute na površini Zemlje mjereno kod geografske širine N45° i iznosi 1852 m.

li li li li li li li li

Skripta zadataka iz kolegija «Hidromehanika» SI sustav mjernih jedinica

Thlli!. - tona (t) je3iznimno dopuštena jedinica mase .. Definirana je kao poseban naziv za tiŠtiću

kilograma (t = 1 O kg).

Litra - litra (I, L) je iznimno dopuštena jedinica obujma, definirana je kao poseban naziv za kubični decimetar (L=dm\ Njezini su uobičajeni nižekratnici centilitra (ci, cL) i mililitra (ml, mL).

Bar - bar (bar) je jedinica tlaka i jednaka je 105 Pa. U meteorologiji se često upotrebljava milibar (100 Pa}. Bar je iznimno dopuštena jedinica izvan SI (SI - Internacionalni sustav).

~ Prefiksi SI jedinica

I Muitiple (višestruke) I Submulti~le jedinice I

.jedinice

I Faktor 11 Prefiks J I Oznaka 111111 Faktor 11 Prefiks j j Oznaka j

I 1018 li~~[ E 111r 10-I li deci !L~

I 1015 ! [peta l/r Ili~ 10-2 li centi I I c l

I 1012 leteNJI T 111111 10-3 li mili l I m I ~~I G 111111

10-6 li mikro 11 µ I I 106 li mega li M Ilir 10-9 JI nano IL~ L_!_~I kilo ][ k 111111

I o-12 11

piko 11

p I

I 102 11 hekto 11 h .1111

I o-15 j j femto I CCJ I 10 l~~Lda 111111

10·18 l[~o_JI a I

Web stranice za pretraživanje:.

http://www.ktf-split.hr/periodni/abc/jedinice.html => za SI sustav mjernih jedinica

http://www.ktf-split.hr/periodni/abc/index.html => riječnik kemijskih pojmova

http://www.ktf-split.hr/periodni/abc/prilozi.html =>za priloge i tablice

http://www.ktf-split.hr/periodni/abc/konstante.html =>za fizikalne i astronomske konstante

http://www.ktf-split.hr/periodni/index.html =>za periodni sustav kemijskih elemenata

Skripta zadataka iz kolegija «Hidromehanika» SI sustav mjernih jedinica

FIZIKALNE I ASTRONOMSKE KONSTANTE

Q Fizikalne konstante

li Naziv li Vrijednost li Jedinica li li Apsolutna nula li -273.16 ll oc li li Ubrzanje slobodnog pada li 9.80665 li m s·2 li li A vogadrova konstanta li 6.0221367 E23 li 1 mor1

I! li Baza prirodnog logaritma ll 2.718281828 li li li Bohrov magneton

li 9.2740154 E-24 li Jr1 li

li Bohrov radijus li 5.29177249 E-11 li

m 111 li Boltzmannova konstanta f[

- - -

I[ - -J K~I -

-111 1.380658 E-23

li Radijus elektrona li 2.81794092 E-15 li m li li Diracova konstanta li 1.0545887 E-34 li J s li li Naboj elektrona li 1.60217733 E-19 li c li li Masa elektrona li 9.1093897 E-31 li kg li li Odnos mase elektrona i protona li 5..44617013 E-4 li li li Elektronvolt _ li 1.6021892 E-19 li J li li Faradayeva konstanta li 96485.309 li Cmor1 li li Feigenbaumova konstanta li 4.669210609102990 li li li Konstanta fine strukture li 7„29735308 E-3 li li li Prva radijacijska konstanta li 3.7417749 E-16 li Wm 2 li li Gravitacijska konstanta li 6 .. 67259 E-11 li N m2 kg-2 ll li Rydbergov broj za vodik li 1.0967758 E7 li

-1

ll m

li Josephsonov koeficijent li 4.8359767 El4 li Hzv·1 li li Loschrnidtova konstanta li 2.686763 E25 li m -3

li li Kvant magnetskog toka li 2. 06783461 E-15 li Wb li li Opća plinska konstanta li 8.314510 li J mor1 K-1 li li Planckova konstanta lf

3.99031323 E-1 O li J s mor 1

li

Skripta zadataka iz kolegija «Hidromehanika» SI sustav mjernih jedinica

li Molarni volumen idealnog plina 0.02241410 li m3 mor1

li li Normalni tlak li 101325 I! Pa li li Nuklearni magneton li .5.0507866 E-27 li 1r1 li li Permeabilitet vakuma li 12..566370614 E-7 ll N A-2

I! li Permitivitet vakuma li 8.854187817 E-·12 li Fm-1

I! li Pi li 3.141.5926.535897932 li li li Planckova konstanta ll'f 6.6260755 E-34 li Js li li Rydbergova konstanta li 10973 731.534 JI -I

li m

li Druga radijacijska konstanta li 0 .. 01438769 ll mK li ji Solarna konstanta li 1400 lf

wm-2 li li Brzina svjetlosti u vakumu li 299792458 li m s-1

li li Brzina zvuka u zraku li 340

I! ms· 1

li li Stefan-Boltzmarmova konstanta

li 5.67051 E-8

ll W m-2 K4

li

"' Astronomske konstante

li Naziv li Vrijednost li Jedinica li ll Astronomska jedinica li I 4959787 E 11 li m li li Svjetlosna godina li 9 .. .5 EI.5 li m li li Sunce li Proizvodnja energije li 3.90 E26 li w li

I Masa li 1.99 E30 li kg li I Prosječna udaljenost od Zemlje li 1.495 El I li m li I Prosječni radijus li 6.960 E8 li m li

li Zemlja li Prosječna gustoća li 5.517 li kgm-3

ll I Radijus na ekvatoru li 6378160 li m li I Radijus na polu li 6356180 li m ll I Prosječni radijus li 637 E6 li m li

Skripta zadataka iz kolegija «Hidromehanika» SI sustav mjernih jedinica

I Masa li 5.972,E24 li kg I I Obujam na ekvatoru li 4.0070368 E7 li m li I Jedan stupanj na ekvatoru li 111306,6 li m li I Površina li 5.09950714 E14 li

m2 li I Volumen li 1.08284132 E21 li

m3 li li Mjesec li Gravitacijsko ubrzanje li 1.619 li

m s-2

li I Gustoća IJ·t- 3330 li kgm-3

li j Prosječna udaljenost od Zemlje li 3.844 E8 li m li I Masa li 7.33 E22 li kg li

I- -- - - - - 'l Prosje_čni radiju_s li

173_80QO fl

m -- - - li I

I Odnosi mjernih jedinica

TLAKOVI-NAPREZANJA kp/cm2 Mp/m2 Pa kPa Mpa N/m2 kN/m2 bar

kp/cm2 I 10 98130 98,13 0,0981 98130 98, 13 0,981

Mp/m2 O, I I 9813 9,81 0,00981 9813 9,81 0,0981

Pa I ,O 19* 10-5 1,019*10-4 I 0,001 1*10-6 I 0,001 I* I o-' kPa 0,01019 0,1019 1000 I 0,001 1000 I 0,01

~

I *106 Mpa 10,19 101,93 1000 I 1*106 1000 10

N/m2 1,019*10_, 1,019*10-4 1 0,001 I *10-6 I 0,001 1 *10-5

kN/m 2 0,01019 0,1019 1000 1 0,001 1000 I 0,01

bar 1,019 10,19 1*10' 100 0,1 I *105 100 I

SILA p kp Mp N kN

p I 0,001 ]* 10-6 0,00981 9,81 *10-6

kp 1000 I 0,001 9,81 0,00981

Mp 1 *10° 1000 I 9813 9,81

N 101,936 0,1019 1,019* 10-4 I 0,001

kN 1,019*105 101,936 0,1019 1000 I

2

3

4

5

6

7

Skripta zadataka iz kolegija «Hidromehanika» SI sustav mjernih jedinica

VOLUMENSKE S1tE p/cm3 kp/m3 Mp/m3 kN/m3

p/cm3 1 1000 l 9,81 kp/mj 0,001 1 0,001 0,00981 Mp/roj l 1000 1 9,81

kN/m3 0,1019 101,93 0,1019 1

l.oiPERIODNI SUSTAV ELEMENATA~-1 18

57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 7l

Lantanoidi La Ce Pr Nd Sm Eu Gd Tb !ly Ho Er Trn Yb Lu 13891 14012 14091 14424 (145) 15036 15196 15725 15893 16250 16493 16726 16893 17304 17497

g9;:: 90„ 9F,: 0 92 · 93 94 95 96:-> 97 :.>, ·:98: · ,99,.':/'.)·~.-.'_;:_:,:.~.·_'._.·•.'_ .. 1o_-,\_ '..;_~_;ho2L_i_;_:._,_,'.··_1_0,3_.„ •. '·.'_,_: A.č Tti P-a'.'''·u .. · · ',' ··~h-~" ·· ·.·- ... · ·•· ., · ·

Akti no idi (227) 232'04 23'i"Q4 238'03 (237} (244) (243) (247) ' (247): \1s1) ': (252)'r(2?'; (258)ih(25dj ·i ~ (262)

100 "C ~ 101 kPa

Napomena: Relativne atomske mase izražene su s pet značajnih znamenki Za preciznije vrijednosti pogledati vrijednosti uz svaki element Za elemente koji nemaju stabilnih nuklida u zagradama je dan maseni broj najduže živućeg izotopa Izuzetak su !Qlli, protaktinij i uranij koji imaju karakterističan izotopski sastav na Zemlji (Atomic Weights of the Elements 1999, Pure Appl Chem, Vol. 73, No. 4

(2001) 667-683).

~ ~ ~

li'

11

lzotc~:mički tcrmodinamički odaci \'Ode ri tcrn craturi od T=20"C

Plin -Pritisak Gustoća Unutarnja Entalpija Entrnpija Izohorski Izobarski

(bar) (kg/m.3) energija

(k.J/kg} (J/g*K) topi. koef. topL koef. (k.J/kg} Cv (J/g*K) Cp (J/g*K)

0.00000 0.00000 24034 2538 7 26.716 L4017 18632

0 .. 023393 0.017314 24023 2537..4 8.6660 1.4359 19059