Hình oxy

GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt

Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt

1

HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC

1) Trong mp(Oxy) cho tam giác ABC biết 1;4A , phương trình đường cao (BH): 2 9 0x y ,

Phương trình đường phân giác (CD) 3 0x y . Tìm toạ độ 2 điểm B, C

2) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): ( ) ( )2 2

1 1 4x y . Một đường tròn (C') tiếp xúc với

Oy và tiếp xúc ngoài với (C). Tìm tâm của (C') biết tâm thuộc đường thẳng (d): 2 0x y .

3) ChoABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: 2 1 0x y và phân giác trong CD

1 0x y . Viết phương trình đường thẳng BC

HD: Điểm : 1 0 ;1C CD x y C t t .

Suy ra trung điểm M của AC là 1 3

;2 2

t tM

.

Điểm

1 3

: 2 1 0 2 1 0 7 7;82 2

t tM BM x y t C

Từ A(1;2), kẻ : 1 0AK CD x y tại I (điểm K BC ).

Suy ra : 1 2 0 1 0AK x y x y .

Tọa độ điểm I thỏa hệ: 1 0

0;11 0

x yI

x y

.

Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK tọa độ của 1;0K .

Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: 1

4 3 4 07 1 8

x yx y

4) Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai

đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh

C và D.

Ta có: 1;2 5AB AB . Phương trình của AB là:

2 2 0x y .

: ;I d y x I t t . I là trung điểm của AC và BD nên ta

có: 2 1;2 , 2 ;2 2C t t D t t

Mặt khác: D . 4ABCS AB CH (CH: chiều cao) 4

5CH

Ngoài ra:

4 5 8 8 2; , ;| 6 4 | 4

3 3 3 3 3;5 5

0 1;0 , 0; 2

t C Dtd C AB CH

t C D

Vậy tọa độ của C và D là 5 8 8 2

; , ;3 3 3 3

C D

hoặc 1;0 , 0; 2C D

5) Trªn Oxy cho Elip 12

2

2

2

b

y

a

x )0( ba biÕt

2

122

a

ba h×nh ch÷ nhËt c¬ së c¾t Ox

t¹i A, A’, c¾t Oy t¹i B, B’. LËp ph¬ng tr×nh Elip biÕt diÖn tÝch h×nh trßn néi tiÕp h×nh thoi ABA’B’ cã diÖn tÝch b»ng 4 .

HD: . gt: DiÖn tÝch h×nh trßn néi tiÕp



2

A’ A

B’

B

O

K

h×nh thoi ABA’B’ b»ng 4

b¸n kÝnh ®êng trßn r = 2

. O lµ t©m h×nh trßn, kÎ OK AB’ r = OK = 2

.XÐt tam gi¸c vu«ng OAB’ ta cã: 22222

11

4

1111

baOBOAOK (1)

. Tõ gt:

22222

2222

222

.22

1

babaa

baaa

ba

. a2 vµ b2 ®îc t×m tõ hÖ (1); (2)

6

12

411

2

2

2

22

22

b

a

ba

ba

VËy ElÝp tho¶ yªu cÇu bµi to¸n co pt lµ: 1612

22

yx

6) Trªn Oxy cho 2 ®êng th¼ng d1: 2x-y-1=0, d2: 2x+y-3=0. Gäi I lµ giao ®iÓm cña d1 vµ d2; A lµ ®iÓm thuéc d1, A cã hoµnh ®é d¬ng kh¸c 1 (0 < xA 1). LËp ph¬ng tr×nh ®êng

th¼ng () ®i qua A, c¾t d2 t¹i B sao cho diÖn tÝch IAB b»ng 6 vµ IB = 3IA

I = d1 d2 t¹o ®é cña I lµ n0 cña hÖ

1

1

032

012

y

x

yx

yx

VËy I(1; 1)

Tõ gt d1 cã VTPT );1;2(1 n d2 cã VTPT );1;2(2 n

Gäi lµ gãc cña d1 vµ d2

Tõ gt: 4556 22 IBIAS IAB

)12,(. 1 aaAdA víi a > 0, a 1

. pt

2

05)1(55)22()1(5 2222

a

aaaaIA

a = 2 A(2;3)

* )23,(. 21 baBdB

(2)

lo¹i

I

A

B IB=3TA

2

4 1 3 4cos sin

5 5 5

1 4 6.3 .

2 5 5IAB

IAS IA IA



3

)7;2(2

)5;4(49)1(45

)1(5)22()1(

22

2222

Bb

BbbIB

bbbIB

Víi A(2;3); B(4;5) pt cÇn t×m lµ 011435

3

24

2

yx

yx

Víi A(2;3); B(-2;7) pt cÇn t×m lµ 0537

3

22

2

yx

yx

7) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là ( 1;2)M , tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác là (2; 1)I . Đường cao của tam giác kẻ từ A có phương trình:

2 1 0x y . Tìm tọa độ đỉnh C .

HD: AB đi qua M nhận (3, 3)MI làm vtpt nên có pt: 3 0x y

Tọa độ A là nghiệm của hệ : 3 0 4 5

;2 1 0 3 3

x yA

x y

( 1;2)M là trung điểm của AB nên 2 7

;3 3

B

BC nhận (2;1)n làm vtcp nên có p

t:

2 2 2 2

2 2

22

2 732 ;

7 3 3

3

8 10 8 102

3 3 3 3

0,loai (do )

4

5

x t

C t t

y t

IB IC IB IC t t

t C B

t

Vậy 14 47

;15 15

C

8) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có ( 12;1)B , đường phân giác trong góc A có

phương trình: 2 5 0x y . Trọng tâm tam giác ABC là 1 2

;3 3

G

.Viết phương trình đường

thẳng BC .

Gọi H là hình chiếu của B trên 5 2

: 5 2 ;x t

d H t ty t

17 2 ; 1 2;1 2 17 2 1 0

7 9;7

dBH t t u t t

t H

Gọi M là điểm đối xứng của B qua d

2 6;13

5 2 ; 8 2 ;1

BM BH M AC

A d A a a C a a



4

/ / 2 4;3MA MC a C Vậy : 8 20 0BC x y

9) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng qua 2;1M và tạo với các trục

tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 .

HD: Gọi d là ĐT cần tìm và ;0 , 0;A a B b là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: : 1x y

da b .

Theo giả thiết, ta có: 2 1

1, 8aba b .

Khi 8ab thì 2 8b a . Nên: 12; 4 : 2 4 0b a d x y .

10) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) , cho điểm 1

3;2

M

. Viết phương trình chính tắc của elip đi

qua điểm M và nhận 1 3;0F làm tiêu điểm

11) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt

đường tròn (C) có phương trình 2 2( 2) ( 1) 25 x y theo một dây cung có độ dài bằng 8

HD : G/s một véc tơ pháp tuyến của d là ( ; )n a b ,vì d đi qua điểm A(1;2) nên d có phương trình

d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0 hay d: ax + by – a – 2b = 0 ( a2 + b

2 > 0)

Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài bằng 8 nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến d bằng 3.

2 2

2 2

2 2, 3 3 3

a b a bd I d a b a b

a b 2

0

8 6 0 3

4

a

a aba b

a = 0: chọn b = 1 d: y – 2 = 0

a = 3

4 b : chọn a = 3, b = – 4 d: 3x – 4 y + 5 = 0

12) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

(C1): x2 + y

2 – 2x – 2y – 2 = 0, (C2): x

2 + y

2 – 8x – 2y + 16 = 0.

HD: (C1): 2 2( 1) ( 1) 4 x y có tâm 1(1; 1)I , bán kính R1 = 2.

(C2): 2 2( 4) ( 1) 1 x y có tâm 2 (4; 1)I , bán kính R2 = 1.

Ta có: 1 2 1 23 I I R R (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)

(C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy

* Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: ( ) : ( ) : 0 y ax b ax y b ta có:

2 2

1 1

2 2

2 2

1 2 22( ; ) 4 4

( ; ) 4 1 4 7 2 4 7 21

4 4

a ba a

d I R a bhay

d I R a bb b

a b

Vậy, có 3 tiếp tuyến chung: 1 2 3

2 4 7 2 2 4 7 2( ) : 3, ( ) : , ( )

4 4 4 4

x y x y x

13) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y

2 + 4x – 6y + 9 = 0 và điểm

M( 1; - 8).Viết phương trình đường thẳng d qua M sao cho d cắt (C) tại hai điểm A,B phân biệt mà

diện tích tam giác ABI đạt giá trị lớn nhất.Với I là tâm của đường tròn (C). §trßn (C) cã t©m I(- 2; 3) & b¸n kÝnh R = 2. Gi¶ sö pt®t (d) : Ax + By – A + 8B = 0 víi A2 + B2 > 0

Lu«n cã BIA c©n t¹i I víi IA = IB = 2 ; SBIA = 2

1IA.IB.sinAIB = 2sinAIB

SBIA 2 DÊu = khi AIB vu«ng c©n t¹i I hay d(I ; (d)) = 2 2311

22

BA

AB



5

7A2 – 66BA + 119B2 = 0 (A – 7B)(7A – 17B) = 0 VËy cã hai ®êng th¼ng d tho¶ m·n: 7x + y + 1 = 0 & 17x + 7y + 39 = 0

14) Cho A(1 ; 4) và hai đường thẳng b : x + y – 3 = 0 ; c : x + y – 9 = 0. Tìm điểm B trên b , điểm C

trên c sao cho tam giác ABC vuông cân tại A

Gäi B(b ; 3 - b) & C( c ; 9 - c) => AB (b - 1 ; - 1 - b) ; AC (c - 1 ; 5 - c)

& ABC vu«ng c©n t¹i A

ACAB

ACAB 0.

2222 )5()1()1()1(

)5)(1()1)(1(

ccbb

cbcb

v× c = 1 kh«ng lµ n0 nªn hÖ

)2....()5()1()1()1(

)5(.)1(

)1...(........................................1

)5)(1(1

222

2

22 ccb

c

cb

c

cbb

Tõ (2) (b + 1)2 = (c - 1)2.

Víi b = c – 2 thay vµo (1) => c = 4 ; b = 2 => B(2 ; 1) & C( 4 ; 5).

Víi b = - c thay vµo (1) => c = 2 ; b = - 2 => B(- 2 ; 5) & C(2 ; 7).

KÕt luËn :cã hai tam gi¸c tho¶ m·n: B(2 ; 1) & C( 4 ; 5) hoÆc B(- 2 ; 5) & C(2 ; 7).

15) Trong hÖ to¹ ®é Oxy ®êng th¼ng (d): x – y +1 =0 vµ ®êng trßn (C): 2 2 2 4 0x y x y .T×m

®iÓm M thuéc ®êng th¼ng (d) mµ qua M kÎ ®îc hai ®êng th¼ng tiÕp xóc víi ®êng trßn (C) t¹i

A vµ B sao cho 060 .AMB

16) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy cho h×nh ch÷ nhËt ABCD biÕt ph¬ng tr×nh c¹nh BC:x + 2y -

4 = 0 ph¬ng tr×nh ®êng chÐo BD: 3x + y – 7 = 0,®êng chÐo AC ®i qua M(-5;2).H·y t×m täa ®é c¸c ®Ønh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.

17) Phương trình hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng tọa độ là 5x - 2y + 6 = 0;

4x + 7y – 21 = 0. viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết rằng trực tâm của nó trùng gốc

tọa độ O

Giả sử AB: 5x - 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0 Vậy A(0;3)

Đường cao đỉnh BO đi qua O nhận VTCP a = (7; - 4) của AC làm VTPT

Vây BO: 7x - 4y = 0 vậy B(-4;-7)

A nằm trên Oy, vậy đường cao AO chính là trục OY, Vậy AC: y + 7 = 0

18) Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x2 + y

2 – 6x + 5 = 0. Tìm M thuộc trục tung sao cho qua M kẽ

được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600.

HD: (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2

M Oy M(0;m)

Qua M kẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm)

Vậy

0

0

60 (1)

120 (2)

AMB

AMB

Vì MI là phân giác của AMB

(1) AMI = 300

0sin30

IAMI MI = 2R

2 9 4 7m m

(2) AMI = 600

0sin 60

IAMI MI =

2 3

3R 2 4 3

93

m Vô nghiệm

Vậy có hai điểm M1(0; 7 ) và M2(0;- 7 )

19) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Lập phương trình đường thẳng đi qua A(8 ;6) và tạo với 2 trục toạ

độ một tam giác có diện tích bằng 12



6

Giả sử (d) đi qua A(8;6) cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M(a;0), N(0;b) a,b khác 0.Khi đó

(d) có phương trình 1x y

a b . Vì (d) đi qua A nên

8 61

a b (1)

lại có 1

122

OABS ab (2). Từ (1) và (2) ta có hệ

8 61

24

a b

ab

4

6

8

3

a

b

a

b

từ đó có 2 đường thẳng thoả mãn điều kiện là 1, 14 6 8 3

x y x y

20) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật ABCD .Biết rằng

AB = 2BC , A, B thuộc đường thẳng đi qua M(4

;13

), B, C thuộc đường thẳng đi qua N(0 ; 3), A,D

thuộc đường thẳng đi qua P(4 ; -1/3), C,D thuộc đường thẳng đi qua Q(6 ;2)

HD : Phương trình AB có dạng: y = k(x + 4/3) + 1

DC: y = k(x - 6) + 2 , BC: x + ky – 3k = 0 , AD: x + ky -4 + k/3 = 0

Vì AB = 2BC nên d(AD,BC)=2d(AB,DC) hay d(P;BC) = 2d(M;DC)

2 2

4 14 3 1 6 2

10 12 6 443 3 3

10 12 44 6 31 1

17

kk k k k

k k

k kk k k

Với k = 1/3 ta có phương trình các cạnh hình chữ nhật là: AB:

1/3( 4/3) 1, : 1/3( 6) 2, : 1/3 1 0, : 1/3 35/9 0y x DC y x BC x y AD x y

Với k = -3/17 ta có phương trình các cạnh của hình chữ nhật là:

: 3/17( 4 / 3) 1, : 3/17( 6) 2, : 3/17 9 /17 0,

: 3/17 4 3/17 0

AB y x DC y x BC x y

AD x y

21) Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y

2 -2x +6y -15=0 (C ).

Viết PT đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) tại A; B

sao cho AB = 6

Đường tròn ( C) có tâm I(1;-3); bán kính R=5

Gọi H là trung điểm AB thì AH=3 và IH AB suy ra IH =4

Mặt khác IH= d( I; Δ )

Vì Δ || d: 4x-3y+2=0 nên PT của Δ có dạng 3x+4y+c=0

vậy có 2 đt thỏa mãn bài toán: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0

22) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình:

2 2x y1

2 3

và

điểm M(2; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, biết rằng đường thẳng đó cắt

(H) tại hai điểm A, B mà M là trung điểm của AB.

HD: Giả sử d qua M cắt (H) tại A, B : với M là trung điểm AB

A, B (H) :

2 2

A A

2 2

B B

3x 2y 6 (1)

3x 2y 6 (2)

M là trung điểm AB nên : xA + xB = 4 (3) và yA + yB = 2 (4)

(1) (2) ta có : 3(x2

A - x2

B) - 2(y2

A - y2

B) = 0 (5)

d(I; Δ )=

I

A H B



7

Thay (3) và (4) vào (5) ta có : 3(xA -xB)-(yA-yB) = 0 3(2xA-4)-(2yA- 2) = 0 3xA - yA = 5

Tương tự : 3xB - yB = 5. Vậy phương trình d : 3x - y - 5 = 0

23) Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC

nằm trên đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C.

HD: Ta có: 1;2 5AB AB . Phương trình của AB là: 2 2 0x y .

: ;I d y x I t t . I là trung điểm của AC: )2;12( ttC

Theo bài ra: 2),(.2

1 ABCdABS ABC 446. t

3

4

0

t

t

Từ đó ta có 2 điểm C(-1;0) hoặc C(3

8;

3

5) thoả mãn

24) Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi )5;2(,)1;1( BA , ®Ønh C n»m trªn ®êng th¼ng

04 x , vµ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®êng th¼ng 0632 yx . TÝnh diÖn tÝch tam

gi¸c ABC.

Ta cã );4( CyC . Khi ®ã täa ®é G lµ 3

23

51,1

3

421 CCGG

yyyx

. §iÓm G n»m trªn ®êng

th¼ng 0632 yx nªn 0662 Cy , vËy 2Cy , tøc lµ

)2;4(C . Ta cã )1;3(,)4;3( ACAB , vËy 5AB , 10AC , 5. ACAB .

DiÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ 2510.252

1..

2

1 222 ACABACABS =

2

15

25) Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi )2;1(,)1;2( BA , träng t©m G cña tam gi¸c

n»m trªn ®êng th¼ng 02 yx . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5

V× G n»m trªn ®êng th¼ng 02 yx nªn G cã täa ®é )2;( ttG . Khi ®ã )3;2( ttAG ,

)1;1( AB VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABG lµ

1)3()2(22

1..

2

1 222

22 ttABAGABAGS =2

32 t

NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b»ng 5,43:5,13 . VËy 5,42

32

t, suy

ra 6t hoÆc 3t . VËy cã hai ®iÓm G : )1;3(,)4;6( 21 GG . V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn

)(3 BaGC xxxx vµ )(3 BaGC yyyy .

Víi )4;6(1 G ta cã )9;15(1 C , víi )1;3(2 G ta cã )18;12(2 C

26) Trong mặt phẳng oxy cho ABC có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x-

3y - 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ

B và C . Tính diện tích ABC .

+AC qua A và vuông góc với BH do đó có VTPT là (3;1)n AC có phương trình 3x +

y - 7 = 0

+ Tọa độ C là nghiệm của hệ AC

CM

……C(4;- 5)

+ 2 1

;2 2

B BM M

x yx y

; M thuộc CM ta được

2 11 0

2 2

B Bx y

+ Giải hệ

2 11 0

2 2

3 7 0

B B

B B

x y

x y

ta được B(-2 ;-3)



8

Tính diện tích ABC .

+ Tọa độ H là nghiệm của hệ

14

3 7 0 5

3x 7 0 7

5

xx y

yy

…. Tính được BH = 8 10

5 ; AC = 2 10

Diện tích S = 1 1 8 10

. .2 10. 162 2 5

AC BH ( đvdt)

27) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung

trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các

đỉnh của tam giác ABC 28) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng : 3 8 0x y , ' :3 4 10 0x y và

điểm A(-2 ; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng , đi qua điểm A và tiếp

xúc với đường thẳng ’.

HD: Tâm I của đường tròn thuộc nên I(-3t – 8; t)

Theo yc thì k/c từ I đến ’ bằng k/c IA nên ta có 2 2

2 2

3( 3 8) 4 10( 3 8 2) ( 1)

3 4

t tt t

Giải tiếp được t = -3

Khi đó I(1; -3), R = 5 và pt cần tìm: (x – 1)2 + (y + 3)

2 = 25

29) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 1; 2;3I . Viết phương trình mặt cầu tâm

I và tiếp xúc với trục Oy

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn 2 2: 2 0C x y x . Viết phương

trình tiếp tuyến của C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30 .

Ta có: Hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là 3 .

2 2: 1 1 1;0 ; 1C x y I R

Do đó: 1 : 3 0x y b tiếp xúc (C) 1,d I R

3

1 2 32

bb

. KL: 1 : 3 2 3 0x y .

Và : 2 : 3 0x y b tiếp xúc (C) 2,d I R

3

1 2 32

bb

. KL: 2 : 3 2 3 0x y .

30) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết

trực tâm (1;0)H , chân đường cao hạ từ đỉnh B là (0; 2)K , trung điểm cạnh AB là (3;1)M .+

Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận

( 1; 2)HK làm vtpt và AC đi qua K nên

( ) : 2 4 0.AC x y Ta cũng dễ có:

( ) : 2 2 0BK x y .

+ Do ,A AC B BK nên giả sử

M

HK

C B

A



9

(2 4; ), ( ; 2 2 ).A a a B b b Mặt khác (3;1)M là

trung điểm của AB nên ta có hệ:

2 4 6 2 10 4.

2 2 2 2 0 2

a b a b a

a b a b b

Suy ra: (4; 4), (2; 2).A B

+ Suy ra: ( 2; 6)AB , suy ra: ( ) :3 8 0AB x y .

+ Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận (3; 4)HA , suy ra:

( ) :3 4 2 0.BC x y

KL: Vậy : ( ) : 2 4 0,AC x y ( ) :3 8 0AB x y , ( ) :3 4 2 0.BC x y

31) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn 2 2( ) : – 2 – 2 1 0,C x y x y 2 2( ') : 4 – 5 0C x y x cùng đi qua M(1; 0). Viết

phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn ( ), ( ')C C lần lượt tại A, B sao cho

MA= 2MB

+ Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và 1, ' 3R R , đường thẳng

(d) qua M có phương trình 2 2( 1) ( 0) 0 0, ( 0)(*)a x b y ax by a a b .

+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.

Khi đó ta có: 2 2 2 22 2 ' ' 'MA MB IA IH I A I H 2 2

1 ( ; ) 4[9 ( '; ) ]d I d d I d ,

.IA IH

2 2

2 2

2 2 2 2

94 ( '; ) ( ; ) 35 4. 35

a bd I d d I d

a b a b

2 22 2

2 2

3635 36

a ba b

a b

Dễ thấy 0b nên chọn 6

16

ab

a

.

Kiểm tra điều kiện IA IH rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn

32) Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H) tiếp

xúc với đường thẳng : 2 0d x y tại điểm A có hoành độ bằng 4.

Gọi 2 2

2 2: 1

x yH

a b . (H) tiếp xúc với 2 2: 2 0 4 1d x y a b

2 2

16 44 2 4;2 1 2x y A H

a b

Từ (1) và (2) suy ra 2 2

2 28; 4 : 18 4

x ya b H

33) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy lập phương trình tiếp tuyến chung của elip

(E):

2 2

18 6

x y và parabol (P): y

2 = 12x.

Giả sử đường thẳng () có dạng: Ax + By + C = 0 (A2 + B

2 > 0)

() là tiếp tuyến của (E) 8A2 + 6B

2 = C

2 (1)

() là tiếp tuyến của (P) 12B2 = 4AC 3B

2 = AC (2)

Thế (2) vào (1) ta có: C = 4A hoặc C = 2A.

Với C = 2A A = B = 0 (loại)



10

Với C = 4A 2

3

AB

Đường thẳng đã cho có phương trình:

2 2 3

4 0 4 033

AAx y A x y

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: 2 3

4 03

x y

34) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao : 1 0CH x y , phân

giác trong : 2 5 0BN x y .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC

+ Do AB CH nờn AB: 1 0x y .

Giải hệ: 2 5 0

1 0

x y

x y

ta có (x; y)=(-4; 3).

Do đó: ( 4;3)AB BN B .

+ Lấy A’ đối xứng A qua BN thỡ 'A BC .

- Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): 2 5 0x y .

Gọi ( )I d BN . Giải hệ: 2 5 0

2 5 0

x y

x y

. Suy ra: I(-1; 3) '( 3; 4)A

+ Phương trình BC: 7 25 0x y . Giải hệ: 7 25 0

1 0

x y

x y

Suy ra: 13 9

( ; )4 4

C .

+ 2 2 450( 4 13 / 4) (3 9 / 4)

4BC ,

2 2

7.1 1( 2) 25( ; ) 3 2

7 1d A BC

.

Suy ra: 1 1 450 45

( ; ). .3 2. .2 2 4 4

ABCS d A BC BC

35) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12,

tâm I là giao điểm của đường thẳng 03:1 yxd và 06:2 yxd . Trung điểm của

một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật

Ta có: Idd 21 . Toạ độ của I là nghiệm của hệ:

3 0 9 / 2

6 0 3 / 2

x y x

x y y

. Vậy

9 3;

2 2I

Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD OxdM 1

Suy ra M( 3; 0)

Ta có: 232

3

2

932IM2AB

22

Theo giả thiết: 2223

12

AB

SAD12AD.ABS ABCD

ABCD

Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d1 ADd1

Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d1 nhận )1;1(n làm VTPT nên có PT:

03yx0)0y(1)3x(1 . Lại có: 2MDMA



11

Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT:

2y3x

03yx

22

13x

x3y

2)x3(3x

3xy

2y3x

3xy

2222

1y

2x hoặc

1y

4x. Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)

Do

2

3;

2

9I là trung điểm của AC suy ra:

213yy2y

729xx2x

AIC

AIC

Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)

Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)

36) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1

;02

I

Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa

độ các đỉnh của hình chữ nhật đó.

+) 5

( , )2

d I AB AD = 5 AB = 2 5 BD = 5.

+) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2)2 + y

2 = 25/4

+) Tọa độ A, B là nghiệm của hệ:2 2

21 25

2( )( 2;0), (2;2)2 4

22 2 0

0

x

yx yA B

xx y

y

(3;0), ( 1; 2)C D

37) Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng :3 4 4 0x y . Tìm

trên hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích tam giác ABC bằng15.

Gọi 3 4 16 3

( ; ) (4 ; )4 4

a aA a B a

. Khi đó diện tích tam giác ABC là

1

. ( ) 32

ABCS AB d C AB .

Theo giả thiết ta có

2

246 3

5 (4 2 ) 2502

aaAB a

a

Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4).

38) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp 2 2

( ) : 19 4

x yE và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) . Tìm

trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất

Ta có PT đường thẳng AB:2x+3y=0

Gọi C(x;y) với x>0,y>0.Khi đó ta có2 2

19 4

x y và diện tích tam giác ABC là

1 85 85. ( ) 2 3 3

2 13 3 42 13ABC

x yS AB d C AB x y

2 285 1703 2 3

13 9 4 13

x y



12

Dấu bằng xảy ra khi

2 2

2139 4

2

23 2

x y

x

x yy

. Vậy 3 2

( ; 2)2

C

39) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y - 12 = 0.

Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy

Gọi A là giao điểm d1 và d2 ta có A(3 ;0)

Gọi B là giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4)

Gọi C là giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4)

Gọi BI là đường phân giác trong góc B với I thuộc OA khi đó ta có

I(4/3 ; 0), R = 4/3

40) Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua

2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (d).

Vì đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc với d nên ta có hệ phương trình 2 2 2

2 2 2

2 2

(1 )

(1 ) (2 )

( 1) 2

a b R

a y R

a b R

2

0

1

2

a

b

R

Vậy đường tròn cần tìm là: x2 + (y - 1)

2 = 2

41) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(2, 0) biết phương trình các cạnh

AB, AC theo thứ tự là 4x + y + 14 = 0; 02y5x2 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C

Tọa độ A là nghiệm của hệ 4x y 14 0 x 4

2x 5y 2 0 y 2

A(–4, 2)

Vì G(–2, 0) là trọng tâm của ABC nên

2yy

2xx

yyyy3

xxxx3

CB

CB

CBAG

CBAG

(1)

Vì B(xB, yB) AB yB = –4xB – 14 (2); C(xC, yC) AC 5

2

5

x2y

C

C ( 3)

Thế (2) và (3) vào (1) ta có

23 2

2 21 04 14 2

5 5

B CB B

CC CB

x xx y

xx yx

Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)

42) Cho đường tròn (C): x2 + y

2 – 2x + 4y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn (C')

tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho 3AB .

Phương trình đường tròn (C): x2 + y

2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2) 3R

Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB IM tại trung điểm H của đoạn AB.

Ta có 2

3

2

ABBHAH . Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I.

Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB. Gọi H' là trung điểm của A'B'

Ta có:

2

2 23 3

IH' IH IA AH 3

2 2

Ta có:

2 2

MI 5 1 1 2 5

và 2

7

2

35HIMIMH ;

3 13MH' MI H'I 5

2 2

Ta có: 13

4

52

4

49

4

3MHAHMAR

2222

1



13

43

4

172

4

169

4

3'MH'H'A'MAR2222

2

Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)

2 = 13

hay (x – 5)2 + (y – 1)

2 = 43

Documents

Hình oxy