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Hipérbole
Laura Goulart
UESB
13 de Novembro de 2017
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 1 / 16
De�nição de hipérbole
Uma hipérbole é um conjunto de pontos P(x , y) tais que o valor absoluto
da diferença de suas distâncias a dois pontos �xos F1,F2 chamados de
focos, é constante e menor do que a distância entre esses dois pontos �xos.
d(F1,F2) = 2c ⇒ |d(P,F1)− d(P,F2)| = 2a, onde a < c
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 2 / 16
De�nição de hipérbole
Uma hipérbole é um conjunto de pontos P(x , y) tais que o valor absoluto
da diferença de suas distâncias a dois pontos �xos F1,F2 chamados de
focos, é constante e menor do que a distância entre esses dois pontos �xos.
d(F1,F2) = 2c ⇒ |d(P,F1)− d(P,F2)| = 2a, onde a < c
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 2 / 16
Esboço de uma hipérbole
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 3 / 16
elementos de uma hipérbole
focos: F1,F2distância focal: 2c
eixo real(ou transverso): A1A2 com medida 2a.
eixo imaginário(ou conjugado): B1B2 com medida 2b.
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 4 / 16
elementos de uma hipérbole
focos: F1,F2
distância focal: 2c
eixo real(ou transverso): A1A2 com medida 2a.
eixo imaginário(ou conjugado): B1B2 com medida 2b.
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 4 / 16
elementos de uma hipérbole
focos: F1,F2distância focal: 2c
eixo real(ou transverso): A1A2 com medida 2a.
eixo imaginário(ou conjugado): B1B2 com medida 2b.
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 4 / 16
elementos de uma hipérbole
focos: F1,F2distância focal: 2c
eixo real(ou transverso): A1A2 com medida 2a.
eixo imaginário(ou conjugado): B1B2 com medida 2b.
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 4 / 16
elementos de uma hipérbole
focos: F1,F2distância focal: 2c
eixo real(ou transverso): A1A2 com medida 2a.
eixo imaginário(ou conjugado): B1B2 com medida 2b.
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 4 / 16
Assíntotas de uma hipérbole
As assíntotas de uma hipérbole são as retas que passam pelo seu centro,
contendo as diagonais do retângulo com lados medindo 2a e 2b.
A hipérbole chega bem próxima das assíntotas, mas nunca as alcança.
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 5 / 16
Equação Reduzida da hipérbole(eixo real pertence ao eixoOx )
x2
a2− y2
b2= 1 com assíntotas y = ±b
ax
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 6 / 16
Equação Reduzida da hipérbole(eixo real pertence ao eixoOy )
y2
a2− x2
b2= 1 com assíntotas x = ±b
ay
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 7 / 16
Exemplo 1
Determine a equação da hipérbole de focos F (±√13, 0) e eixo real
medindo 6. Esboce seu grá�co.
4x2 − 9y2 = 36
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 8 / 16
Exemplo 1
Determine a equação da hipérbole de focos F (±√13, 0) e eixo real
medindo 6. Esboce seu grá�co.
4x2 − 9y2 = 36
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 8 / 16
Exemplo 2
Determine a equação da hipérbole de focos F (±5, 0) e vértices B(0,±3).Esboce seu grá�co.
25x2 − 16y2 = 400
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 9 / 16
Exemplo 2
Determine a equação da hipérbole de focos F (±5, 0) e vértices B(0,±3).Esboce seu grá�co.
25x2 − 16y2 = 400
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 9 / 16
Exemplo 3
Determine a equação da hipérbole com centro na origem, focos no eixo
Ox , excentricidade√5 e distância focal 4
√5. Esboce seu grá�co.
4x2 − y2 = 16
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 10 / 16
Exemplo 3
Determine a equação da hipérbole com centro na origem, focos no eixo
Ox , excentricidade√5 e distância focal 4
√5. Esboce seu grá�co.
4x2 − y2 = 16
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 10 / 16
Exemplo 4
Determine a equação da hipérbole com eixo focal pertencente ao eixo Oy ,medindo 2
√29 e possui a assíntota 2x + 5y = 0. Esboce seu grá�co.
25y2 − 4x2 = 100
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 11 / 16
Exemplo 4
Determine a equação da hipérbole com eixo focal pertencente ao eixo Oy ,medindo 2
√29 e possui a assíntota 2x + 5y = 0. Esboce seu grá�co.
25y2 − 4x2 = 100
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 11 / 16
Exemplo 5
Determine a equação da hipérbole de focos F (±2, 0); focos no eixo Ox e
que passa pelo ponto P(√3, 1. Esboce seu grá�co.
x2 − y2 = 2
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 12 / 16
Exemplo 5
Determine a equação da hipérbole de focos F (±2, 0); focos no eixo Ox e
que passa pelo ponto P(√3, 1. Esboce seu grá�co.
x2 − y2 = 2
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 12 / 16
Exemplo 6
Determine os vértices, os focos e a excentricidade da hipérbole de equação
16x2 − 25y2 = 400. Esboce seu grá�co.
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 13 / 16
Exemplo 7 - Hipérbole com centro C (x0, y0) e eixo realparalelo a um dos eixos coordenados.
Determine a hipérbole de vértices A1(1,−2);A2(5,−2) e foco F (6,−2).Esboce seu grá�co.
5x2 − 4y2 − 30x − 16y + 9 = 0
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 14 / 16
Exemplo 7 - Hipérbole com centro C (x0, y0) e eixo realparalelo a um dos eixos coordenados.
Determine a hipérbole de vértices A1(1,−2);A2(5,−2) e foco F (6,−2).Esboce seu grá�co.
5x2 − 4y2 − 30x − 16y + 9 = 0
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 14 / 16
Exemplo 8 - Hipérbole centrada na origem e eixo real nãoparalelo a um dos eixos coordenados.
Determine a equação da hipérbole centrada na origem, foco F (√5, 2) e
semi-eixo imaginário medindo√3. Esboce seu grá�co.
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 15 / 16
Exemplo 9 - Hipérbole com centro C (x0, y0) e eixo real nãoparalelo a um dos eixos coordenados.
Determine a equação da hipérbole de centro C (1, 2); foco F (4, 3) e
semi-eixo real medindo 3. Esboce seu grá�co.
Laura Goulart (UESB) Hipérbole 13 de Novembro de 2017 16 / 16
