Hipotezių tikrinimas

Hipotezių užrašymasH0- nulinė hipotezė,t.y. spėjimas;

Ha- alternatyvioji hipotezė

aalternatyv vienpusė.1200:

,1200:)2

aalternatyv dvipusė.1200:

,1200:)1

0

0

a

a

H

H

H

H

Hipotezių tikrinimo klaidosH0 teisinga H0 neteisinga

H0

atmetameI rūšies klaida

Teisingas sprendimas

H0

priimameTeisingas sprendimas

II rūšies klaida

Reikšmingumo lygmuo

• Reikšmingumo lygmeniu α vadinama pirmos rūšies klaidos tikimybė, t.y. tikimybė, kad atmesime teisingą hipotezę.

• Tada 1- α- tikimybė, kad teisingą hipotezę priimsime.

• Tradiciniai reikšmingumo lygmenys α=0,1; α=0,05; α=0,01.

• Reikšmingumo lygmuo parodo mūsų pasirinktą teisės suklysti laipsnį.

Statistinis kriterijus

• Taisyklė, pagal kurią iš imties rezultatų darome išvadą apie hipotezės teisingumą ar klaidingumą vadinama statistiniu kriterijumi.

• Statistinis kriterijus tuo geresnis, kuo mažesnės abiejų rūšių klaidų tikimybės

Kritinė sritis• Priimti ar atmesti hipotezę sprendžiama atsižvelgus

į parametro įverčio realizaciją. Jei įverčio realizacija patenka į skaičių aibę, tenkinančią tam tikras sąlygas, hipotezė atmetama. Ta aibė vadinama kritine sritimi.

• Priešingu atveju hipotezė priimama. • Skaičiai, kurie atskiria kritinę sritį nuo hipotezės

neatmetimo srities vadinami kritinėmis reikšmėmis.

• Kritinės reikšmės išreiškiamos atitinkamų skirstinių kvantiliais.

Hipotezės tikrinimo algoritmas• 1. Suformuluojamos nulinė ir alternatyvioji

hipotezės.• Parenkamas reikšmingumo lygmuo α.• Hipotezei tikrinti parenkama statistika• Randamos kritinės reikšmės, kritinė sritis,

hipotezės priėmimo sritis. • Pagal imties duomenis apskaičiuojama

stebėtoji statistikos reikšmė uimt ir priimamas statistinis sprendimas.

Hipotezės apie normaliojo skirstinio vidurkį tikrinimas. X~N(μ,σ)

1. Formuluojamos hipotezės:

.:

,:

0

00

aH

H

2. Parenkamas reikšmingumo lygmuo α. 3. Hipotezei tikrinti parenkama statistika

nS

XT 0 turinti Stjudento skirstinį

su n-1 laisvės laipsnių. 4. Randamos kritinės reikšmės – Stjudento

kvantiliai 1

211

2

ir ;n

α;nα tt .

5. Randama hipotezės priėmimo sritis:

12

112

;0 ;n

α;nαH ttT

6. Nustatoma kritinė sritis:

;;

12

112

;nα

;nαK ttT

7. Apskaičiuojama statistikos reikšmė

nS

timt 0

.

X=

8. Priimamas statistinis sprendimas. Jei apskaičiuota statistikos reikšmė patenka į hipotezės priėmimo sritį, hipotezė su tikimybe 1-α neatmetama. Priešingu atveju ji atmetama ir priimama alternatyvi hipotezė.

Neparametrinė hipotezė apie normalujį skirstinį1. Formuluojamos hipotezės:

, :

;,~:0

NXH

NXH

a 2. Imties reikšmės grupuojamos į intervalus.

Apskaičiuojamas imties vidurkis X ir standartas S. 3. Parenkamas reikšmingumo lygmuo α. 4. Skaičiuojame tikimybes, kad atsitiktinio dydžio reikšmė priklauso intervalui ii xx ;1

Šios tikimybės lygios:

S

X

S

Xpi

i1i xx= ; čia iu - Laplaso funkcijos reikšmės.

Pastaba: mažiausią ix reikšmę keičiame , o didžiausią .

5. Skaičiuojame statistiką k

i

iiimt np

npn

1=i

22

. = .

6. Randame kritinį tašką 121 k . Jei 2

.imt 121 k ,tai hipotezės H0neatmetame.

Pavyzdys

0 0.36 0.72 1.08 1.44 1.8 2.16 2.52 2.88 3.24 3.60.1

0.02

0.14

0.26

0.38

0.5

0.62

0.74

0.86

0.98

dchisq 2 1

O

OO

2 2 imt

2 1 ;1

Šiuo atveju su 1-α tikimybe galime teigti, kad nulinė hipotezė atmetama (priimama alternatyvi hipotezė)

Hipotezė apie dviejų normaliųjų skirstinių palyginimąStebime du nepriklausomus atsitiktinius dydžius X ir Y, tarkime, vidurkiai a1 ir a2 nežinomi.

.:,: 22

21

22

210 aHH

22

21

s

sF

Nulinė hipotezė tikrinama, taikant reikšmingumo kriterijų

(skaitiklyje rašoma didesnioji dispersija) 1;1~ mnFF

;;0

1;1;2

11;1;2

mnmnFFK

Kritinė sritis

nulinė hipotezė neatmetama1;1;2

11;1;2

mnimt

mnFFF

Pavyzdys. Du automatai fasuoja druską pakeliais po 1 kg. Atsitiktinai atrenkame 20 pakelių, išfasuotų pirmuoju automatu, 15 – antruoju. Juos pasvėrę, apskaičiavome nežinomų dispersijų statistinius įverčius: Ar galime teigti, kad abu fasavimo dirba vienodai stabiliai? (Fasavimo automato darbo stabilumą charakterizuoja dispersija, t. y. kuo mažesnė dispersija, tuo stabiliau dirba automatas).

025,0,016,0 22

21 ss

05,0

861,2,378,0 14;19;975,014;19;025,0 FF

;861,2378,0;0KKadangi statistikos F realizacija nepatenka į kritinę sritį, tai prielaidos, kad abu automatai dirba vienodai stabiliai, atmesti nėra pagrindo.

5625.1016,0

025,0imtF