34.- Una viga simplemente apoyada de 1,85 m de luz está formada por 2 UPN 120. La viga soporta en su punto medio un motor de las siguientes características:

Masa total: 95 Kg. Masa giratoria de 20 Kg , con excentricidad de 1,45 mm. Régimen de funcionamiento: 3000 rpm. Tómese un factor de amortiguamiento: ζ = 0,02.

Se pide: a) Considerando únicamente la fuerza vertical, obtener la flecha y la tensión

máximas en la viga cuando el motor está parado y cuando está en funcionamiento. Indicaciones: La masa de la viga no es despreciable en los efectos dinámicos; téngase en cuenta como una masa equivalente a ½ de la masa real, situada en el punto medio de la viga. Para determinar la tensión con el motor en funcionamiento, hállese primero la flecha correspondiente y téngase en cuenta la proporcionalidad entre tensiones y flechas.

b) Estudiar cómo varía la tensión máxima si se aumentan los perfiles (2 UPN 140) o si se disminuyen (2 UPN 100)

a).- motor parado. Cuando el motor está parado, actúa como una carga puntual estática, de valor 95 Kg. Del formulario de vigas: Mf =P·L / 4 = 95 · 1.85 / 4 = 43,94 kg·m

EI48PLv

3= = 8,197·10-5 m

I se ha obtenido de las tablas de perfiles: I = 2·364 = 728 cm4 En estática, en condiciones habituales, el peso propio de la viga es despreciable; no obstante, como la carga P es muy pequeña, lo consideramos: q = 2·13,40 = 26,80 Kg/m (de la tabla de perfiles) Mf =q·L2 / 8 = 26’80 · 1.852 / 8 = 11’47 kg·m

EI384qL5v

4= = 2,674·10-5 m

En total: 55,41 kg·m = 5541 kg·cm σ = Mf / W ; W = 2· 60,7 = 121.4 cm3

L=1,85

σestática = 5541 / 121.4 = 45’64 kg/cm2 v = 10,871 10-5 m Como era de esperar, tanto la tensión como la flecha son ínfimas. a).- motor en funcionamiento Suponemos que la viga tiene sólo una masa puntual en el punto medio, para asimilarla al comportamiento de un sistema muelle-masa. Del formulario de vigas, la relación carga/flecha, nos da la constante elástica: k = (48·EI) / L3 = 11 589 821 N/m1 donde: E = 2.1·1011 N/m2

I = 2·Ix = 2·364 = 728·10-8 m4 L = 1.85 m La masa a considerar es: Meq = mmotor + ½ mviga =119,79 kg. La frecuencia natural del sistema resulta: ____ ωn= √k / m = 311,05 s-1 = 49,505 hz

Este sistema tiene una excitación exterior producida por el giro del motor a una frecuencia de: ω = 3000 rpm = 314,15 s-1 = 50 hz El amortiguamiento del sistema es: ζ = 0,02. Con estos datos, calculamos el factor de amplificación: f.a. = 22,162 Este factor nos relaciona el desplazamiento dinámico con el estático; por lo tanto, si calculamos el estático, tendremos también el dinámico. El desplazamiento estático lo calculamos considerando la excitación exterior (motor girando con masa excéntrica) con periodo infinito o frecuencia nula (nótese que, aunque también se llama estático, no es lo mismo que lo obtenido para motor parado): f0 = me·ω2·re = 20·(314,15)2·1,45·10-3 =2862,2 N El desplazamiento correspondiente es: 1 Sólo de forma aproximada (pero suficiente). La elástica de la viga en vibración no coincide exactamente con la de la carga estática considerada. 2 La fórmula está dada en los apuntes de clase.

ust = f0/k = 2.4696 · 10-4 m El desplazamiento dinámico será: u0 = ust · f.a. = 5,473 · 10-3 m Considerando proporcionalidad (aproximado) entre tensiones y deformaciones entre este caso y el caso estático (motor parado): σdinámica = 2298 kg/cm2 Aunque en la práctica es irrelevante, si, además, sumamos el efecto del peso propio (igual que con el motor parado): σtotal = 2298+46 = 2344 kg/cm2 v = 5,473 · 10-3 + 8,197·10-5 = 5,555·10-3 m Notemos que, a pesar de no ser grande el módulo de la fuerza centrífuga ejercida por el rotor (2862,2 N = 292 Kg) la tensión en la viga llega a ser inadmisible. b).- 2 UPN 140 El proceso es idéntico. La diferencia más notoria es que, con el nuevo I, al variar la k, el factor de amplificación ahora es: f.a. = 2,756, con lo que: σtotal = 336 kg/cm2 v = 0,7963·10-3 m (En la obtención de estos resultados se han hecho algunas simplificaciones; por ejemplo, no es relevante modificar de forma rigurosa el peso de la viga. Las flechas y las tensiones se pueden considerar proporcionales y comparar con las del caso anterior). b).- 2 UPN 100 Ahora es: f.a. = 1,37. Las tensiones y deformaciones descienden aún más. σtotal = 180 kg/cm2 v = 0,4266·10-3 m La conclusión que se debe obtener de estos resultados es que, en dinámica, para evitar una situación de peligro, la solución no está necesariamente en aumentar el perfil, sino en alejarse de la zona de resonancia. El problema de los 2 UPN 120 es que la frecuencia natural de la viga, 49,505 hz, es muy próxima a la de la fuerza de excitación, 50 hz.

35.- Se ha construido una columna de 10 m de altura, destinada a soportar un depósito de agua elevado, de masa (vacío) 1450 Kg y capacidad de 10 m3. La columna está formada por angulares, como se indica en la figura. Se pide: a) Antes de colocar el depósito, frecuencia

natural de la columna, a flexión (1) y a deformación axial (2).

b) Ídem, después de colocar el depósito, supuesto lleno (3).

Indicaciones: A todos los efectos, modélese la columna como una barra cuyo momento de inercia sea el de los cuatro angulares de L50.50.7. tal como quedan dispuestos en la sección.

(1) Se trata de una barra con masa uniformemente distribuida.

(2) Considérese como un muelle, con una masa equivalente igual a 1/2 de la masa real, situada en el extremo libre.

(3) Ahora la masa de la columna es despreciable.

. ******************************************************** La masa de la columna por unidad de longitud, se deduce de las masa de los angulares, tomadas de las tablas de perfiles: 4 L 50.50.7 a 5.15 kg/m = 20.6 kg/m 4 x 2(1+√2) L 25.25.4 a 1.45 kg/m = 28 kg/m Total µ = 48.6 kg/m Sección: I = 4·A·i2 = 4 x 6.56 x (25-1.49)2 =14503 cm4 = 1.4503 x 10-4 m4 a) A flexión: __________ ωn = 1.8752 ·√ (EI) / (µL4) = 27.8 s-1 = 4.43 hz A deformación longitudinal: k = EA/L = 55.104 x 106 N/m meq = 1/2 µL = 1/2 ·48.6·10 =243 kg ωn = √k/m = 476 s-1 = 75.8 hz b) Con el depósito lleno se puede despreciar la masa de la columna frente a la masa del mismo. A flexión: k = 3EI/L3 = 91350 N/m ωn = √k/m = √91350 / 11450 = 2.825 s-1 = 0.45 hz

L25.25.4

L50.50.7

0,50

0,50

0,50

Axial: ____ ________________ ωn = √k/m = √ 55.104x106 / 11450 = 69.37 s-1 = 11.04 hz Comentario: Los cálculos realizados pudieran corresponder a un supuesto en el que se plantea lo siguiente: Una vez construida la columna, y antes de colocar el depósito, se aprecia que, por efecto de un ferrocarril subterráneo en las proximidades, se produce una pequeña perturbación, sensible al tacto, en la misma al paso de los trenes. Para cierto sector de la población, surge el temor de que la situación se agrave cuando esté colocado el depósito, y que la columna pueda con ello sufrir daños o, incluso, suponer un peligro. Por otra parte, de una campaña de medidas practicadas, sabemos que el efecto de las vibraciones del ferrocarril a nivel del suelo es prácticamente nulo para frecuencias bajas (por debajo de unos 10 hz). También se sabe que, en este tipo de estructuras, las vibraciones realmente peligrosas son las transversales (las que producen flexión). Como respuesta al planteamiento anterior: La perturbación percibida antes de poner el depósito puede deberse a un armónico superior a flexión, ω2 = 27.8 hz, o a la deformación longitudinal 75.8 hz. Después de colocado el depósito no hay problema. Las ωn bajan considerablemente. Bajan menos con el depósito vacío, lo que paradójicamente supone un efecto más desfavorable, en especial a deformación axil. No supone peligro en ningún caso.