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HOJA DE PROBLEMAS NÚMERO 3 DE FUNDAMENTOS FÍSICOS
DE LA INGENIERÍA.
1. Determine la capacidad de un conductor esférico de radio R.
Solución:
Supongamos que nuestro conductor tiene una carga neta Q, la cual estará
distribuida sobre la superficie del conductor, ya que suponemos que este se encuentra en
equilibrio electrostático. La capacidad de un conductor en equilibrio se calcula como el
cociente entre la carga del conductor y el potencial al que se encuentra. Determinaremos
el potencial del conductor sobre la superficie de este, ya que este será el potencial al que
se encuentre el conductor completo, por ser una superficie equipotencial.
El potencial lo obtendremos a partir del campo electrostático en la superficie del
conductor. Debido a la alta simetría del problema, obtenemos el campo aplicando la Ley
de Gauss, tomando como superficie gaussiana una esfera de radio r mayor al del
conductor esférico del problema.
En la ecuación anterior se ha tenido en cuenta la simetría esférica del problema
que implica: en primer lugar, que el campo sea radial y por tanto en cada punto de la
superficie gaussiana sea paralelo al elemento de superficie, y en segundo lugar, que el
campo electrostático tenga un módulo constante en todos los puntos de la superficie
gaussiana. El potencial viene dado por:
en donde, y debido que la distribución de carga es acotada, se ha considerado la
constante C como cero, al serlo el potencial en puntos infinitamente alejados de la
distribución. El potencial en la superficie del conductor, y por tanto del conductor, será
entonces: . Por tanto, la capacidad del conductor esférico será:
1
2. Dos conductores esféricos de radios 5 y 8 cm están en contacto. La carga total de
ambos es de medio micro culombio. Calcule las densidades de carga superficiales
de carga y el potencial de ambos conductores.
Solución:
Por ser conductores en equilibrio electrostático la carga se reparte sobre la
superficie de los mismos y forman un conductor único. Por tanto, el potencial será el
correspondiente al equilibrio:
Las densidades superficiales de carga de cada conductor son las siguientes:
3. Determine la capacidad de un condensador de placas plano-paralelas de
superficie S, que están separadas una distancia d por el vacío. Suponiendo que la
carga del condensador es Q, determine la energía electrostática almacenada por
este condensador.
Solución:
En la figura se muestra un corte transversal del
condensador. El sistema de coordenadas
apropiado para el problema es el cartesiano.
Las cargas +Q y –Q están distribuidas en las
placas conductoras superior e inferior,
respectivamente. Suponemos que las cargas se
distribuyen de manera uniforme en las placas
conductoras con densidades de carga superficiales . El campo electrostático entre las
placas es constante y se puede determinar fácilmente aplicando la ley de Gauss,
obteniendo:
2
+ +
E
X
Y
Este campo siempre es constante en el condensador si se desprecian los efectos
marginales del campo electrostático en los bordes de las placas. La diferencia del
potencial del condensador será:
Por consiguiente, para un condensador de placas paralelas:
La energía electrostática del condensador la podemos calcular ahora a partir de la
diferencia de potencial y de la carga del condensador:
4. Un condensador cilíndrico está constituido por dos cilindros concéntricos
separados por un dieléctrico. Suponiendo que la carga del condensador es Q, los
radios de los cilindros son R1 y R2 (con R1 < R2), respectivamente, su longitud L y
que el dieléctrico es el vacío, determine la capacidad de un condensador cilíndrico,
la diferencia de potencial entre sus placas así como la energía electrostática que
almacena.
Solución:
Para determinar la capacidad de este condensador
debemos calcular previamente la diferencia de
potencial entre sus armaduras. Esta la vamos a
calcular a partir del campo electrostático que existe
entre sus placas. Para ello, emplearemos la ley de
Gauss, empleando como superficie gaussiana un
cilindro de radio r, tal y como se ve en la figura.
Teniendo en cuenta la simetría cilíndrica del
problema, podemos escribir:
3
L
-Qr
R2
R1
+Q
La diferencia de potencial entre ambas armaduras puede entonces calcularse:
La capacidad será entonces:
La energía electrostática en este condensador la podemos obtener a partir de su
carga y la diferencia de potencial:
5. Un condensador esférico está constituido por dos esferas concéntricas separadas
por un dieléctrico. Suponiendo que la carga que el condensador está conectado a
una pila que le comunica una diferencia de potencial V0 , los radios de las esferas
son R1 y R2 (con R1 < R2), respectivamente y que el dieléctrico es el vacío,
determine la capacidad del condensador esférico, la carga que posee así como la
energía electrostática que almacena.
Solución:
Supongamos que el condensador tiene una carga Q. Definiendo
una superficie gaussiana esférica de radio r, tal y como se ve en
la figura y aplicando la ley de Gauss, teniendo en cuenta que el
problema tiene simetría esférica, se tiene para el campo
electrostático la siguiente expresión:
Por otra parte, la diferencia de potencial entre las armaduras del condensador y el
campo electrostático están relacionados a través de la expresión:
4
+
r R1
R2
con lo que la carga vendrá dada por:
La capacidad del conductor esférico será entonces:
La energía electrostática en el condensador será entonces
6. Determine la altura que debe tener un condensador cilíndrico cuyas armaduras
interna y externa tiene por radios respectivos 30 y 60 cm, para que su capacidad
sea la misma que la de un condensador esférico cuyas armaduras interna y externa
tienen los mismos radios que los del condensador cilíndrico.
Solución:
La capacidad del condensador cilíndrico es, como ya se obtuvo en un problema
anterior, , y la de un condensador esférico de radios idénticos a los
del condensador cilíndrico es . Igualando ambas expresiones, se tiene
7. Una esfera conductora de radio R1 se carga hasta que alcanza un potencial V0
respecto a tierra. Otra esfera conductora, inicialmente descargada, de radio R2,
está situada a una distancia relativamente grande en comparación con los radios
5
de ambas esferas. Si se conectan ambas esferas mediante un hilo conductor cuya
capacidad se puede considerar despreciable, calcule:
(a) Carga y potencial de cada esfera en el equilibrio, después de la conexión.
(b) Intensidad de campo electrostático en las proximidades de la superficie de
cada esfera después de conectadas.
(c) Energía potencial electrostática del conjunto antes y después de la conexión.
Datos: 0 = 8.854410-12 N-1C2 m-2; V0 = 100 V; R1 = 1 cm; R2 = 100 cm.
Solución:
De los datos del problema se deduce que los dos conductores se encuentran inicialmente
a distinto potencial. Al unir las dos esferas mediante el hilo, el sistema evoluciona hacia
una nueva situación de equilibrio en la cual los potenciales de ambas esferas son
iguales.
(a) La carga inicial del sistema, Q0, es debida únicamente el primer conductor. Esta
carga la podemos determinar a partir de la expresión de la capacidad de un conductor
esférico:
La conservación de la carga en el proceso implica la siguiente igualdad
siendo Q1 y Q2 las cargas finales en cada conductor. Para determinar dichas cargas
hacemos uso, también, de una segunda ecuación, dada por la condición de equilibrio
final:
Resolviendo el sistema de dos ecuaciones, se obtiene:
expresiones que en función de los radios de los conductores adoptan la siguiente forma:
Sustituyendo los valores de los radios obtenemos:
El potencial final viene dado por:
6
(b) El valor del campo electrostático en un punto de la proximidad de un conductor
cargado se expresa en función de la densidad de carga superficial del conductor como
. Si consideramos a las esferas lo suficientemente lejos entre sí, podemos
suponer que la carga se distribuye uniformemente en cada esfera. Así, las densidades
superficiales de carga en cada una de ellas, las podemos calcular dividiendo la carga
total entre la correspondiente superficie. De esta forma queda:
(c) La energía potencial electrostática de un conductor la podemos calcular a partir de la
expresión: . Antes de efectuar la conexión entre las dos esferas, sólo
tenía carga la primera y por lo tanto esta contenía al totalidad de la energía del sistema
en la situación de equilibrio final, después de conectadas las esferas, la energía potencial
electrostática es la suma de las correspondientes a cada una de ellas:
en donde V es el potencial común de ambas esferas. Se puede observar que la energía
potencial ha disminuido respecto a la inicial.
8. Un condensador plano está formado por dos placas plano-paralelas de área A
separadas en el vacío una distancia d. El condensador se carga mediante una pila
hasta que la diferencia de potencial entre las placas es V0. A continuación se
separan las placas hasta una distancia 2d. Se pide:
7
(a) Determine para cada una de las siguientes magnitudes la relación que existe
entre sus valores antes y después de la separación: capacidad del
condensador, diferencia de potencial entre sus placas, campo eléctrico en el
interior del condensador, densidad de carga en las placas del mismo.
(b) Calcule el trabajo necesario para efectuar la separación, en los siguientes
casos: (1) antes de separar las fuentes se desconecta la fuente; (2) la fuente
sigue conectada al separar las placas.
Solución:
Caso 1: Pila desconectada.
(a) La capacidad de un condensador plano formado por dos placas planas paralelas de
área A separadas una distancia d viene dada por:
Despreciando los efectos de borde sobre el campo electrostático, este es, en el interior
del condensador, uniforme y de valor siendo la densidad de carga superficial.
La diferencia de potencial V0 la podemos obtener mediante la integral de línea del
campo electrostático a lo largo de cualquier trayectoria que vaya de una placa a otra, ya
que al ser el campo no conservativo esta integral no depende de la trayectoria.
Tomamos por comodidad un camino que coincida con una línea de campo. Como el
campo es constante se tiene:
Antes de separar las placas se desconecta la fuente de tensión. En este caso el
condensador mantiene la carga inicial:
La densidad de carga en las palcas permanece invariable , y por lo
tanto también lo hará el campo. Luego, tanto la densidad superficial de carga como el
campo electrostático no variarán cuando separemos las placas.
Las relaciones entre las magnitudes que se preguntan antes y después son las siguientes:
Capacidad del condensador:
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Diferencia de potencial:
(b) La energía potencial electrostática inicial del condensador es:
Después de separadas las palcas se tiene:
Por lo tanto, el trabajo realizado por el campo, al ser este conservativo, se puede
expresar como diferencia de energía potencial:
El signo menos nos indica que dicho desplazamiento es forzado, es decir, se requiere
una fuerza externa que realice trabajo para que dicho proceso ocurra.
Caso 2: La batería permanece conectada.
En esta situación lo que permanece constante es la diferencia de potencial y por tanto va
a variar la carga con respecto a la situación inicial.
Capacidad del condensador. Al igual que en el caso anterior:
Campo eléctrico:
(b) La energía potencial electrostática final del condensador es ahora:
Por lo tanto, el trabajo realizado por el campo, al ser este conservativo, se puede
expresar como diferencia de energía potencial:
9
9. Se da una distribución esférica de carga de radio R y densidad uniforme de
carga . Determine la energía electrostática propia de la distribución a través de
las dos expresiones: y .
Solución:
(a) Para obtener la energía electrostática por la primera de las expresiones debemos
determinar en primer lugar el valor del potencial electrostático en cualquier punto
interior de la distribución esférica. Para ello, determinamos mediante la ley de Gauss el
campo electrostático para cualquier punto interior:
El potencial para puntos interiores será entonces (teniendo en cuenta la simetría esférica
del problema):
Debemos determinar la constante K para el potencial en puntos interiores. Para ello,
tendremos en cuenta la condición de continuidad del potencial sobre la superficie de la
esfera. Esto quiere decir que sobre dicha superficie el potencial para puntos exteriores y
para puntos interiores deben coincidir. El potencial para cualquier punto exterior,
debido a que la distribución posee simetría esférica, es el potencial que crearía una
carga puntual ubicada en el centro de la distribución con carga igual a la de esta. Por
tanto:
Aplicando la condición de continuidad del potencial para los puntos de la superficie, es
decir para r = R:
Por tanto, el potencial para puntos interiores de la distribución viene dado por:
con lo que la energía electrostática será:
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(b) Para calcular la energía electrostática empleando la segunda de las fórmulas
debemos determinar el campo electrostático para todos los puntos en los que este es no
nulo. Como el campo electrostático creado por esta distribución sólo sea nula para
puntos infinitamente alejados de la misma, debemos considerar el campo tanto en
puntos interiores como exteriores a la distribución. El campo en puntos interiores fue
determinado en el apartado anterior. En cuanto al campo en puntos exteriores este sería
el mismo que el creado por una carga puntual colocada en el centro de la distribución y
con carga igual a la de esta (Esto es debido a la simetría esférica del problema). Por
tanto:
con lo que la energía viene dada por:
10. En una esfera no conductora de radio R la carga se distribuye con una
densidad volúmica variable y proporcional a la distancia al centro de la misma de
acuerdo con la expresión . Determine la energía electrostática de esa
distribución.
Solución:
La energía electrostática la calculamos haciendo uso de la expresión:
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Para ello debemos calcular el potencial en cualquier punto del interior de la distribución.
Para ello, calculamos el campo electrostático en cualquier punto de la misma, y
teniendo en cuenta que el problema tiene simetría esférica, utilizamos la ley de Gauss
considerando para ello una superficie Gaussiana esférica de radio r. Con ello,
obtenemos:
El potencial en cualquier punto del interior será:
La constante la determinaremos haciendo uso de la condición de continuidad del
potencial sobre la superficie de la distribución esférica. Para ello, debemos calcular
primero el potencial electrostático para puntos exteriores a la distribución de carga, el
cual lo obtendremos a partir del campo electrostático para puntos exteriores, que
aplicando nuevamente la ley de Gauss, tiene la siguiente expresión:
con lo que el potencial en puntos externos es:
donde ahora la constante es nula puesto que la distribución de carga es finita y por tanto
el potencial para puntos infinitamente alejados de la distribución es cero. En puntos de
la superficie de la distribución (es decir para r = R), el potencial interior y el potencial
exterior deben ser iguales. Por tanto:
Por tanto, el potencial en puntos de la distribución es:
La energía electrostática será entonces:
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11. Se tiene una esfera metálica maciza, conductora de radio R cargada con Q
culombios.
(a) En estas condiciones se le rodea con una capa esférica, conductora y
concéntrica, descargada, de radios a y b. ¿Qué fenómenos suceden?. ¿Cuál
es el potencial de la esfera interior? ¿Cuál es la capacidad de la esfera
interior? ¿Cuál es la capacidad del conjunto?.
(b) Se conecta a tierra la capa esférica. ¿Qué sucede? ¿A qué potencial queda la
esfera interior? ¿Cuál es la capacidad de la esfera interior? ¿Cuál es la
capacidad del conjunto? ¿Qué energía electrostática tiene almacenada el
conjunto?.
(c) Se rompe el contacto y se une a tierra la esfera interior. ¿Qué sucede?.
¿Qué carga tiene la esfera interior?. ¿A qué potencial queda la capa
esférica?.
Solución:
(a) Aparecen los fenómenos de inducción electrostática. En la pared interna de la
capa, aparece una carga –Q y en la exterior una +Q, puesto que la capa está
descargada.
El potencial en puntos exteriores al sistema es igual al
potencial que crearía una carga puntual de valor +Q
que estuviese localizada en el centro del sistema, y
teniendo en cuenta que el potencial en puntos
infinitamente alejados del sistema es nulo, se tiene:
Determinemos el potencial del conductor interno. El potencial en un punto entre los
conductores de radio R y a será el que crearía una carga puntual de valor +Q ubicada en
el centro del conductor en un punto a una distancia r (R < r < a), más una constante K:
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+Q
Q
+Q
R
ab
La constante K la podemos determinar teniendo en cuenta la continuidad del potencial
electrostático en la superficie conductora de radio a. En esa superficie se verifica:
con lo que la constante K tiene el siguiente valor:
Por tanto el potencial del conductor interno es:
La capacidad del conductor interno viene dada por:
Para determinar la capacidad del conjunto es necesario saber la diferencia de potencial
entre ambos conductores. Esta viene dada por:
con lo que la capacidad del conjunto será:
(b) Al conectar a tierra la capa esférica, su potencial se hace nulo, por lo tanto la carga
Q que tiene en su capa externa desaparece:
El potencial que adquiere la esfera interior es:
Su capacidad será entonces:
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que coincide con la capacidad del conjunto puesto que V’ es cero. La energía
almacenada por el conjunto será:
(c) Al romper el contacto y unir a tierra la esfera interior aparecerá otra distribución de
carga, puesto que tiene que adquirir un potencial nulo. Sin embargo, en esta situación no
puede irse toda la carga de la esfera interior, puesto que así no se lograría el potencial
nulo en ella. Suponiendo que la esfera interior se queda con una carga Q1, aparecerá por
inducción una –Q1 en la cara interna del conductor externo y un potencial Q’1 en la cara
externa de ese conductor. Debe cumplirse en el conductor interno la siguiente ecuación:
Teniendo en cuenta la conservación de la carga en el conductor externo, se tiene:
Resolviendo el sistema anterior de dos ecuaciones con dos incógnitas, se llega a:
El potencial del conductor externo será entonces:
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