Dalgalar

Titreşimlerin (bir uyarının veya bir sarsıntının) uzay içinde zamanla ilerlemesine dalga denirTitreşimlerin (bir uyarının veya bir sarsıntının) uzay içinde zamanla ilerlemesine dalga denir.

Matematiksel olarak bir dalga, hem zamanın hem de konumun bir fonksiyonudur:

İlerleyen bir dalganın genel bağıntısı (1- boyut ): )( txfy

2 )](2sin[),( 0 xtytxy

)](2cos[),( 0 xtytxy

Dalgalar

Dalga Yayılma ortamı Uyarı türüİp/yay dalgası Esnek ip/yay İpin/yayın yanlamasına

gerilmesi

Su yüzeyi dalgaları Su Suyun durgun konumdan farklı yüksekliklere gelmesi

Ses dalgası Maddesel ortam(gaz, sıvı, katı)

Basınç değişimi

El kt tik d l l B l k / t El kt ik tik l lElektromanyetik dalgalar Boşluk / ortam Elektrik ve manyetik alanlar

Uzayda ilerleme durumlarına göre dalga Türleri: düzlem dalgalar,

kü l d l lküresel dalgalar,

enine dalgalar,

boyuna dalgalar,

polarize dalgalar

...

Dalgalar

)]i [()( ktt2

k

TxTt

)]sin[(),( 0 kxtytxy

)]cos[()( kxtytxy

k

İlerlelme sabiti: )]cos[(),( 0 kxtytxy Dalga sayısı dalga vektörü

Dalga boyu ve hızı sabit olan dalgalar: Harmonik Dalgalar

)sin( tkxAu )cos( tkxAuyadaHarmonik dalganın genel biçimi:

Başlangıç fazıfaz

u λ u T

Ax

At

t = sabit x = sabit

A: Genlik, λ : Dalga boyu,2

k ilerleme sabiti

F kl A k hi h ik d l l t bi f k i l ti l t l

T: Periyod, frekans, v = λ, = 2ￗ açısal frekans

Farklı A, k ve v ye sahip harmonik dalgalar tam bir fonksiyonlar seti oluştururlar.

Herhangi bir periyodik dalga bunların doğrusal bir bileşimi olarak ele alınabilir.

Harmonik Dalgaların karmaşık gösterimi

))(exp( tkxiAu ))cos(}Re{ tkxAu

))sin(}Im{ tkxAu ))(}{

Dalga Denklemi ve Helmholtz eşitliği

22 ),(1),( txutxu

1- boyutta dalga denklemi (1BDD) :

222 tx

1 boyutta dalga denklemi (1BDD) :

2 )(1 t

2

2

22 ),(1),(

ttrutru

3- boyutta dalga denklemi (3BDD):

)exp()(),( tirutru

3BDD 0)()( 22 ruk

Helmholtz eşitliği

Düzlem ve küresel Dalgalar

Genel olarak düzlem dalga Küresel dalgaGenel olarak düzlem dalga

x

Küresel dalga

z

kr

)exp(),( tirkiAtru y

z

)e p(),(

z boyunca ilerleyen düzlem dalga)exp(),( tirki

rAtru

x

k

z

kr

)coscos(),( tiikrAtzu y

Elektromanyetik Dalgalar

Işık bir elektromanyetik dalgadır

James Clerk Maxwell 1831 - 1879

Elektromanyetik Dalgalar

Frekans,

Dalga boyu,λ

Frekans,

RenkAdlandırma, Dalga boyu,λ

1014 [H ]

Yüksek enerjili ışınları

1014 [Hz]

Röntgen ışınları

Morötesi ışıkGörünür ışık

Kızılaltı ışıkş

Mikro dalgalar

Radyo dalgaları

Elektromanyetik Dalgalar

Maxwell Denklemleri

Skaler dalga optiğinde ışığın vektörel yapısı ihmal edilir.

Elektromanyetik optikte ise ışığın elektrik ve manyetik alanı vektörel olarak ele alınır: E, H

Boş uzayda Maxwell Denklemleri

E ][10)( 91 F Elektrik geçirgenlik

tEH

0],[104

],[10)(7

0

936

10

mH

mF

Elektrik geçirgenlik

Manyetik geçirgenlik

0

tHE

zEyExEE zyx ˆˆˆ Elektrik alanı:

00

HE

y zyx

zHyHxHH zyx ˆˆˆ Manyetik alan:0 H

Elektromanyetik Dalgalar

Maxwell denklemlerinin sağlanmasının gerekli şartı, bu denklemlerin her bileşeninin Dalga denklemini

sağlaması gerekir. uu 2 1

tcu

2

Dalga denkleminin elde edilişi:g

)()()( 02

tHEEE

t

)()( 0002

tE

tH

tE

0

][29979245210 s

mc

ttt

02

002

EE ][00

0 s0200

tE

Işığın boşluktaki hızı

titiri erUeerutrE )()(),( )(

Elektromanyetik Dalgalar

titiri erUeerutrE )()()( )(

Elektrik alan

erUeerutrE )()(),(

İlerlemeyönü

Manyetik alan

Elektromanyetik alanın yöngüsel özelliği önemli olmadığı durumlarda

elektromanyetik optik skaler dalga optiğine indirgenir.

Işığın yöngüsel özelliği, kutuplanma olayını açıklar ve bununla da yansıyan ve kırılan ışığın

yeğinliklerinin belirlenmesini sağlar. Böylece dalga kılavuzlarında, katmanlı ortamlarda ve y ğ ğ y g

optik rezonatörlerde ışığın ilerlemesinin koşullarını ve özelliklerini belirleme de önemli rol

oynar.

Bir ortamda Maxwell Denklemleri

İçinde serbest elektrik yükleri ve akımları bulunmayan ortamlarda

dikkate alınması gereken iki yeni vektör alanı daha vardır.

Elektrik akısı yoğunluğu: ),( trD

Kaynaksız ortamda ( j = 0 ve = 0 ) Maxwell Denklemleri

y ğ ğ

Manyetik akı yoğunluğu: ),( trB

),( trD

tDH

tBE Elektrik akısı yoğunluğu ile elektrik alanı

d ki b ğ t t l kt ik

00

BD

t arasındaki bağıntı ortamın elektrik özelliklerine bağlıdır.

Manyetik akı yoğunluğu ile manyetik alan0 B Manyetik akı yoğunluğu ile manyetik alan arasındaki bağıntı ise ortamın manyetik özelliklerine bağlıdır.

Elektromanyetik dalgaların özellikleri

1. Elektromanyetik dalgalar enine dalgalardır.

2. Yüklerin ivmeli hareketlerinden meydana gelirlery g

3. Birbirine dik elektrik ve manyetik alanlardan oluşurlar.

4. Polarize edilebilirler.

5 Boşl kta ş k h la (c 299792452 m/s) ilerler5. Boşlukta ışık hızıyla (c=299792452 m/s) ilerler.

6. Hızı bulunduğu ortama göre değişir; dolayısıyla ortamlar arasında kırılmaya uğrarlar.

7. Enerji taşırlar ve boşlukta bu enerjiyi çok uzaklara taşıyabilirler.

8. Dalganın frekansı arttıkça dalga boyu azalır: c = dalga boyu frakans

9. Enerji taşırlar, bunları soğuran cisimler ısınır ve enerji harcanarak elde edilirler.

10. Manyetik alanda sapmazlar.y p

11. Küçük frekanslı dalgalar, dalga teorisinin öngördüğü gibi yüksek frekanslı dalgalar ise

tanecik teorisinin öngördüğü gibi davranma algısı verirler.

HES

Elektromanyetik dalganın yeğinliği

El kt tik ü ü k P ti V ktö ü kS //0

S Elektromanyetik gücün akısı: Poynting Vektörü: kS //

Elektromanyetik yeğinlik SI

Bir dalganın yeğinliği Enerji yoğunluğu x hızbirim zamanda birim alana düşen ortalama enerji= =ş j

Elektkrik alanının enerji yoğunluğu: 202

1 Ewel j y ğ ğ 02el

20

22

21

2)/(

21 EcEHwm

Manyetik alanın enerji yoğunluğu:

elm ww

00 222

SHEH 211cS

cHEHEEEwww elm

00

20

20

20 2

121

2

00

22

0 HEHcEccwIanlik

W

Elektromanyetik dalganın momentumu ve ışıma basıncı

Bir dalganın momentumu 1/c x Dalganın enerjisi= =

cWp

alanzamanEnerjiYeginlik

cıışımabasınalankuvvet

alanzamanimpuls

cYeginlik

cIPışıma

20

2000 HEHEHEIP effeff

02

000 222 ccccPışıma

Soğrulan ışığın momentumu soğuran yüzeye aktarılır. Yansıma olursa momentum aktarması iki katı olur.ğ ş ğ ğ y y

Elektromanyetik dalgalar açısal momentum da taşıyabilir; öyleki düştükleri cisme tork uygulayabilirlerElektromanyetik dalgalar açısal momentum da taşıyabilir; öyleki, düştükleri cisme tork uygulayabilirler.

Bir elektromanyetik dalga alanınn ortalama açısal momentumu dır.cSr

L

Ortamlar ve özellikleri

Bir ortamın özellikleri,- bir yandan, ortamın mıknatıslanma ve kutuplanma arasındaki ilişki

- diğer yandan ortamdaki elektrik ve manyetik alan arasındaki ilişkide saklıdır.

Çoğu ortamlarda bu ilişki iki kümeye ayrılır:

1) Kutuplanma (P) ile elektrik alan (E) arasındaki ilişki; Dielektrik özellikler

2) Mıknatıslanma (M) ile manyetik alan (H) arasındaki ilişki; Manyetik özellikler

Dielektrik özelliklerDielektrik özellikler

?

OrtamE(r,t) P(r,t) P f(E)

Ortamlar ve özellikleri

Özellik Sistem özelliğinin sağlandığı durum Açıklamlar

D( t) E( t)Doğrusal ortamlar

D(r,t) E(r,t)

a·P1(r,t)+ b·P2(r,t)= a·E1(r,t)+ b·E2(r,t)Üst üste binme uygulanabilir

P(t) E(t)

Dağıtkan olamayan ortamlar

P(t) E(t)Ortamın tepkisi aniYani tepki, dikkate alınması gereken bütün zamanlardan daha kısa bir sürede

Bu bir idealleştirmedir.Gerçekte kısa da olsa bir zaman gecikmesi vardır.

gerçekleşiyor.

Homojen ortamlar P ve E konumdan (r ) bağımsızlar

İsotropik ortamlarP ile E nin bağıntısı E nin doğrultusundan bağımsızdır. Sistem, bütün yönlerden b k ld ğ d ö ü ü

P//Eİsotropik olmayan ortamlara ö k ift k k i t llbakıldığında aynı görünür. örnek: çift kıran kristaller

Konumsal olarak P ile E arasındaki bağıntı lokaldir.Optik aktif ortamlar konumsaldağıtkan olmayan

ortamlarBir r- konumundaki P sadece aynı konumdaki E ye bağlıdır.

Optik aktif ortamlar konumsal olarak dağıtkandırlar.