Homework 5 (총 7문제, 제출: 4월 17일 금요일 18시)

[2020년 수학연습 1]

※ 답안지에 학번과 이름을 쓰시오. 답안 작성시 풀이과정을 명시하시오.

1. 다음 극한을 구하시오.

limx→0

esinx − 1− x

x2(a) lim

x→0

x− tanx

x− sinx(b)

limx↘0

√sinx log x(c) lim

x↘0xxx

(d)

limx↘0

xa log x (a > 0)(e) limx↘0

x2 log tan(x3)

esinx − 1(f)

2. 양의 실수 a에 대하여 다음을 보이시오.

limx→∞

log x

xa= 0.

3. m이자연수일때, 0이상인임의의실수 a1, a2, · · · , am에대하여다음을밝히시오.

limn→∞

(a1/n1 + a

1/n2 + · · ·+ a

1/nm

m

)n

= m√a1a2 · · · am

4. 다음 함수의 원점에서의 5차 근사다항식을 구하시오.

f(x) = ex sinx(a) f(x) = (1 + sinx)−1(b)

5. 다음을 보이시오.

coshx = cosx+ o(x)(a) sinhx = sinx+ o(x2)(b)

tanhx = arctanx+ o(x4)(c)

6. 원점근방에서정의된 n번미분가능한함수 f(x)가 o(xn)라하자.이때f(x)의 i계도함수 f (i)(x)는 o(xn−i)임을보이시오. (단, i ∈ {1, 2, · · · , n−1} 이다.)

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7. 함수 f(x) =

x3 cos1

x(x 6= 0)

0 (x = 0)에 대하여 다음 진술이 참인지 거짓인

지 판단하고, 왜 그런지 설명하시오.

(a) f ′(0) = 0

(b) f(x)는 일급 함수이다.

(c) f ′(x) = o(x)

(d) f(x) = o(x2)

(e) f ′′(0)은 존재하지 않는다.

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