hgT0

T Tt

xx=x Vt0 +

x=konst. ct-

A szaggatottvonalakegyenlete:

Szmtsavevnyugalmirendszerben

VEV ADFnyjelek Adsebessge

X

1. bra.

A legegyszerbben taln az optikai Doppler-eektus segtsgvel rnk l-

hoz.

Kpzeljnk el egy adberendezst, amely szablyos idkznknt rvid fny-

impulzusokat generl, s egy vevt, amely ezeket tudja szlelni. Amikor a vev

nyugszik az adhoz kpest, ugyanolyan idkznknt szleli a jeleket, mint ami-

lyennel az ad kibostja ket. Amikor azonban a vev mozog, valamilyen ms

peridusidt szlel. Ez a jelensg a Doppler-eektus. A peridusid helyett

termszetesen beszlhetnnk frekvenirl is, amely a peridusid inverze.

Vezessnk be megfelel jellseket. Az ad ltal emittlt jelek kztti id-

tartamot ltalban T0-al szoks jellni. Ez az idtartam azonban sajtid inter-vallum, mert az ad mellett nyugv egyetlen rn olvashat le, ezrt helyesebb

lenne T0 helyett a sajtidre egyrtelmen utal 0-lal jellni. Az egyszersgkedvrt mgis megtartjuk a megszokottabb T0 jellst. A megfelel frekveniatermszetesen 0 = 1/T0.

A vev ltal szlelt jelek kztti idtartamot ltalban T -vel jellik. Ez azid is sajtid intervallum, mert a vevvel egyttmozg egyetlen rn olvashat

le, ezrt T helyett -val kellene jellni. De most is megtartjuk inkbb a T -t.A megfelel frekvenia = 1/T .

Tegyk fel, hogy a vev s az ad a konstans V sebessggel tvolodik egy-mstl. Ekkor az szlelt /0 arny 1-nl kisebb konstans, s termszetesentkletesen fggetlen attl, hogy az adt vagy a vevt tekintjk nyugvnak.

Hogyan lehet kiszmtani ezt az arnyt?

10

Vgezzk a szmtst abban az ineriarendszerben, amelyben a vev nyug-

szik (1. bra). Az idtengelyen termszetesen a koordintaidt mrjk fel,

ezrt a t jells korrekt. A rajzon feltntettk az ad plyjt (x = x0 + V t),a fnyjelek plyit (x = konst ct), a vev plyja pedig maga a t-tengely.A koordintaid fogalmnak megfelelen ezek a kpletek is a koordintaidt

tartalmazzk.

A plyk metszspontjai alapjn azonosthatjuk a fnyjelek kibostsnak

s szlelsnek megfelelt0 st peridusidket. Ezek az idtengely szakaszai,ezrt maguk is koordinta id intervallumok, amelyeket a

t0 = (V )T0, t = (0)T = T (6)

kpletek segtsgvel lehet a megfelel sajtid intervallumokon keresztl kife-

jezni. A msodik kpletben kihasznltuk, hogy a vev nyugszik, ezrt a vev

ltal szlelt peridusideje koordintaidben s sajtidben ugyanakkora.

Az 1. brn a jelek kibostsi s szlelsi peridusait a sajtid interval-

lumokon keresztl fejeztk ki. Milyen a kapsolat a kett kztt? Ezt gy

llapthatjuk meg, hogy a kln is kirajzolt satrozott hromszg h magass-gt kifejezzk mind az ad plyjnak irnytangense segtsgvel, mind pedig

a fnysugarak plyjnak irnytangensn keresztl:

h = (V )T0 V, h =

(T (V )T0

) c.

A kt kifejezs egyenltsbl kapjuk meg a keresett sszefggst a peridusidk

kztt:

T/T0 = (V )(1 + V/c). (7)

Ismteljk meg most a szmtst az ad nyugalmi rendszerhez viszonytva

is (2. bra).

Amikor az ad nyugszik, az (6) helyett a

t = (V )T, t0 = (0)T0 = T0 (8)

kplet lp rvnybe, a T/T0 hnyados kiszmtsa pedig a

h = (V )T V, h =

((V )T T0

) c

kpletek jobboldalainak egyenltsvel trtnik. Az eredmny:

T/T0 =1

(V )(1 V/c). (9)

Figyeljnk fel r, hogy a relativitselmlet 2. posztultumnak megfelelen fel-

tettk, hogy a fny mind az adhoz, mind a vevhz kpest ugyanazzal a csebessggel terjed. Megfelel tehnika birtokban ezt mint lttuk, kzvet-

lenl is lehet igazolni (vagy folni).

11

htx

x=- Vtx0

x=konst ct-

A szaggatottvonalakegyenlete:

Szmtsazadnyugalmirendszerben

VEV ADFnyjelekVevsebessge

X

T0 T0

gT

2. bra.

De gyeljnk fel most arra is, hogy a kt szmts eredmnye nem ugyanaz:

A (7) s a (9) kt klnbz formula a Doppler-eektust jellemz T/T0 arnyra.Mrpedig akrmilyen ksrleti eljrst gondoljunk is ki ennek az arnynak a

mrsre, egyetlen jl meghatrozott rtket fogunk kapni r, mert a vizsglt

jelensgben magban semmifle utals sins arra vonatkozan, hogy melyik iner-

iarendszert, az ad nyugalmi rendszert-e vagy a vevt tekintjk-e vonatkoz-

tatsi rendszernek.

Ez az a pont, ahol az 1. posztultumhoz kell folyamodnunk, amely szerint

mindkt vonatkoztatsi rendszer tkletesen egyenrtk, s ezrt a (7) s a (9)

kpletnek ugyanarra a meggyelhet T/T0 arnyra kell vezetnie.Ez a felttel egyrtelmen rgzti a (V ) fggvnyt. Ha ugyanis a (7) s a

(9) baloldala egyenl egymssal, akkor a jobboldalak is egyenlk:

(V )(1 + V/c) =1

(V )(1 V/c),

s innen

(V ) =1

1 V 2/c2. (10)

Ezt most visszahelyettesthetjk akr (7), akr (9) jobboldalba, ugyanazt az

12

eredmnyt kapjuk:

T

T0=

1 + V/c

1 V/c. (11)

A frekvenikon keresztl kifejezve:

0=

1 V/c

1 + V/c. (12)

Ennek a kpletnek a helyessgt gyorsan mozg ionok sugrzsi spektrumnak a

mrsvel igazoltk. Megjegyezzk mg, hogy amikor a vev s az ad kzeledik

egymshoz, (11) s (12) rvnyes marad, sak a sebessg eljelt kell bennk

ellenkezjre vltoztatni.

A kpleteinkben fellp

1 V 2/c2 ngyzetgyk miatt fel kell tennnk,

hogy a valsgos rk (testek) sebessge mindig kisebb a fnysebessgnl. Az

1905-s alapikkben errl Einstein a kvetkezt rja

4

:

A fnynl nagyobb sebessg esetben fejtegetseink rtelmetlenn

vlnak; a kvetkezkbl egybknt is kitnik majd, hogy elmle-

tnkben a fnysebessg zikailag a vgtelen nagy sebessg szerept

jtssza.

(Nagy Imre fordtsa)

Ltni fogjuk, hogy a Newton-fle mozgsegyenlet relativisztikus ltalnostsa

sszhangban van ezzel a feltevssel: A fnynl lassabban halad tltseket pl-

dul nem lehet elektromgneses trben fnysebessgre felgyorstani. De nem

lehet minden konkrt gyorstsi lehetsget elre megjsolni, s azt sem lehet

kizrni, hogy bizonyos rszeskk mr eleve gy keletkeznek, hogy a fnynl

gyorsabban mozognak (tahionok). Ezrt felteheten akkor jrunk el helye-

sen, ha posztulljuk, hogy a fnynl lassabban mozg testeket nem lehet fny-

nl nagyobb sebessgre (vagy akr sak fnysebessgre) felgyorstani, s ezrt a1 V 2/c2-ben a gyk alatti kifejezs mindig pozitv. Ami pedig a tahionokat

illeti, elg lesz akkor trdni velk, ha valban lteznek.

Most vlaszolhatunk az eredeti problmnkra, amely gy hangzott: Tekint-

snk egy tmegpontot, amely egyenletes V sebessggel mozog, s az egyenleteMinkowski koordintkban x = V t+x0. Vegyk a plya egy szakaszt, amelyenat koordintaid intervallumhoz tartozik. Milyen kapsolat van s a hozztartoz t kztt?

Azt talltuk, hogy a keresett kapsolat t = (V ) , amelyben (V )-t (10)hatrozza meg. A kpletet azonban gyakrabban szoktk a -ra megoldottalakban felrni:

= t

1 V 2/c2. (13)

4

A mozg testek elektrodinamikjhoz, (Albert Einstein vlogatott rsai, Typotex 2010,

98. oldal). A ktet sajnos Einstein ikknek sak a felt tartalmazza, amelyet a szerkesztk

gy ltszik, nem vettek szre.

13

A kplet jelentse nagyon egyszer. Jelljnk ki az ineriarendszernkben egy As egy B pontot s helyezznk el mindkettben egy-egy helyesen (fnyjelekkel)szinkronizlt idelis rt. Tekintsnk egy harmadik rt, amely egyenletes Vsebessggel mozog gy, hogy elbb az A, majd ksbb a B ponton is thalad.Tegyk fel, hogy az A pontban pontosan ugyanannyi idt mutat, mint az A-bannyugv ra. Mennyit mutat, amikor a B-be r? Kevesebbet, mint az ott nyugv,A-beli rval szinkronizlt ra, mert az A-bl a B-be vezet ton a mozgrn eltelt sajtid kisebb, mint az ineriarendszernkben eltelt megfelelt koordintaid. A kt idtartam arnyt (13) adja meg. Ez a jelensg aziddilati.

Iddilati nemsak akkor lp fel, amikor az ra egyenletes egyenesvonal

mozgst vgez, hiszen a grbevonal mozgs minden innitezimlisan kis sza-

kasza egyenesvonalnak tekinthet. A (13) kplet

d = dt

1 V (t)

2/c2. (14)

vltozata azt mondja meg, hogy a (t, t + dt) koordintaid intervallumban,amelyben a mozg ra sebessge V (t), mekkora d id telik el rajta.

Ezek a kpletek sak Minkowski-koordintkban rvnyesek, vagyis sak ak-

kor, ha a koordintaidt fnyjelek tjn (helyesen) szinkronizlt (virtulis)

rk mutatjk. A speilis relativitselmletben azonban ezt mindig felteszik

(hasak az ellenkezjt nem lltjk expliite), ezrt ezt a feltevst sem szksges

minden esetben kln kihangslyozni.

A fejezet vgn kiemeljk a sajtid s a koordintaid kztti alapvet

klnbsget:

1) Egy testen (rn) trtn kt esemny kztt eltelt sajt-id abszolt, fggetlen a koordintarendszer megvlasztstl.

2) Kt esemny t koordintaid klnbsge relatv, klnbzmdon vlasztott koordintarendszerekhez kpest ms s ms.

5. A Lorentz-kontraki

Az egyidejsg relativitsa a mozg testek rvidlst idzi el. Ezt megint egy

mozg vonattal illusztrlhatjuk. Egy mozgsban lv vonat hossza az eleje s a

vgpontja kztti tvolsggal egyenl ugyanabban az idpontban. Nem meglep,

hogy az egyidejsg relativitsa maga utn vonja a hosszsg relativitst.

A mozg vonat l hosszt gy mrhetjk meg, hogy a tltsen llva egystopperrel megmrjk, mennyi id alatt haladt el mellettnk s a kapott id-

tartamot megszorozzuk a vonat sebessgvel. Az gy kapott szm ugyanis azt

mutatja meg, milyen messze van a vonat eleje a vgtl abban a pillanatban,

amikor a stoppert lelltjuk, teht valban a mozg vonat hosszval egyenl.

A koordintaid s a sajtid vilgos megklnbztetse alapjn nagyon

egyszeren le lehet vezetni a Lorentz-kontraki kplett.

14

tx=l- Vt0

0

x

l0

Dt

3. bra.

Legyen a stopperen leolvasott idtartam (ez nyilvn sajtid, hiszen egyadott rn olvassuk le). A mozgsban lv vonat hossza eszerint l = V .Ennek a kpletnek a jobboldalba kell valahogy besempszni azt az l0 hosszat,amilyennek a vonaton utazk talljk a sajt vonatukat. A vonatban lk azt

ltjk, hogy a menetirnnyal szemben elsuhan mellettk egy ember, akinek a

plyjt a 3. bra egyenese mutatja (az x tengely a vonaton menetirnyba,balrl jobbra mutat). Az egyenes egyenlete x = l0 V t. Ebben az egyenlet-ben a t termszetesen koordintaid, amelyet a vonaton elzetesen sztrakott sfnyjelekkel szinkronizlt rk mutatnnak, ha valban ott lennnek (a szeml-

letessg kedvrt gondolhatjuk gy, hogy a vonat egyetlen hossz kosibl ll).

A vonatban utazk, ha akarnk, megmrhetnk azt a t idt, amely alatt astoppert tart alak elsuhan mellettk, de a valsgban ezzel persze nem kell

foglalkozniuk. Mi anlkl is tudjuk, hogy ez az id l0/V -vel egyenl, s ugyanez

a t = l0/V id szerepel a = t1 V 2/c2sszefggs jobboldaln. K-

vetkezskppen

l = V = V t

1 V 2/c2 = l0

1 V 2/c2. (15)

Ez a Lorentz-kontraki kplete.

A Lorentz-kontraki fontos jellegzetessgt tudjuk megfogalmazni, ha ab-

bl az az I0 nyugalmi rendszerbl gyeljk meg a jelensget amelyben a vonat

nyugszik. Az I0-ban a nyugv, l0 hosszsg vonat mellett llva ltjuk, hogyklnbz sebessggel mozg vonatkoztatsi rendszerek haladnak el mellettnk

(ezeket is elkpzelhetjk hossz vonatoknak), bennk a nlklzhetetlen meg-

gyelkkel. Mindegyiket sorban felhvjuk telefonon, hogy mondjk mr meg,

milyen hossznak talljk a vonatunkat. Mindegyik rvidebbnek tallja, mint

az l0 nyugalmi hossz, annl rvidebbnek, minl gyorsabban ltjk mozogni avonatot magukhoz kpest. Ekzben persze a vonattal nem trtnik semmi, ott

ll mellettnk, gyet se vetve r, ki s honnan nzve mri a hosszsgt. Ebben

az rtelemben mondhatjuk azt, hogy a kontraki supn ltszat.

De ettl mg a mozg vonatkoztatsi rendszerekben mrt megrvidlt hossz

nagyon is valsgos, vagyis a vonat tnyleg olyan hossz, amilyennek ltszik: A

15

Aa b

B

vonat

jelad

alagtV

4. bra.

ltszat ebben az esetben nem sal. Ez teljesen nyilvnval mr abbl, ahogyan

a fejezet elejn a kontrakis kplet levezetsnl mozg vonat hosszt rtettk:

egyenlnek vettk a sebessgnek s annak az idnek a szorzatval, amely alatt

elhalad mellettnk. Mi lehetne ez a szorzat ms, mint a vonat valsgos hossza?

Ennek ellenre tanulsgos lesz a kontrahlt hossz realitst egy msik mdon,

a pajta-rd paradoxon segtsgvel is demonstrlni, amelyet azonban a pajta

s a rd helyett egy msik trtnetbe illesztnk bele. De elbb rgztjk a

szhasznlatot:

Amikor egy mozg test mretrl beszlnk, ezen mindig a

Lorentz-kontrahlt mretet rtjk. Amikor a nyugalmi hosszra

gondolunk, a nyugalmi jelzt nem hagyhatjuk el.

A paradoxon: Egy rablbanda elhatrozza, hogy kirabol egy kinsszllt

vonatot. A terv alapja az, hogy a vonat thalad egy alagton. A banda az alagt

kt bejratra titokban ers, kapuszer sorompt szerel fel, amelyeket rdijellel

lehet lezrni. Az egyik bandatag az alagt kt vgtl egyenl tvolsgra lv

pontban helyezkedik el a jeladval s a bandavezrtl azt a paransot kapja,

hogy amikor a vonat eltnik az alagtban, hozza mkdsbe a sorompkat (4.

bra). Az alagtban rekedt vonatot azutn a banda tbbi tagja elfoglalja s

kifosztja.

A bandavezr azonban vratlan zenetet kap a szerelvny sszelltsban

segdkez egyik vasutastl, aki a bntrsa. Eszerint a szerelvny hosszabb, mint

amire szmtottak, vletlenl pont olyan hossz, mint az alagt, ezrt az akit

le kell fjni. A bandavezr azonban, aki fllsban elmleti zikus, megnyugtatja

az informtort: A Lorentz-kontraki miatt a vonat teljes egszben el fog frni

az alagtban, a terv teht vgrehajthat marad.

A vonat elindulsa utn a titkosszolglat valahogy megneszeli a kszl raj-

tatst s mobiltelefonon utastja a vonatvezett, hogy azonnal lltsa le a vona-

tot. A vonatvezet azonban j volt zikbl s megnyugtatja a titkosszolglat

embert: Az alagt a vonathoz kpest Lorentz-kontrakit szenved, a vonatnak

legalbb az egyik vge biztosan ki fog lgni az alagtbl, ezrt a jeladnl gyel

bandatagnak nem lesz alkalma beindtani a sorompk mkdst.

16

Kinek van igaza, a bandavezrnek vagy a vonatvezetnek? s miben tvedett

a msik?

A magyarzat: A bandavezrnek van igaza. A jelad szimmetrikus hely-

zetben nyugszik az alagt A s B vgpontjhoz kpest, ahol a sorompkat abanda felszerelte. Ennek kvetkeztben az alagt (vagyis a vasti tlts) I

nyugalmi rendszerben a sorompk zrsa egyidben trtnik. A vonat az I-

hez kpest V sebessggel mozog, ezrt Lorentz-kontrakit szenved. A feladatszerint a nyugalmi hossza egyenl az alagt nyugalmi hosszval, gy a Lorentz-

kontraki kvetkeztben I-ben rvidebb, mint az alagt: Amikor a vonat avge eltnik az alagt A bejratnl, az eleje (a b pontja) mg nem ri el azalagt B kijratt. Ezrt ha a jeladt ebben a pillanatban mkdsbe hozzk,a vonat valban bent ragad az alagtban, s a banda megrohanhatja.

Termszetesen jl fel kell szerelkeznik lngvgkkal, mert a B kijrati ka-puba trtn beletkzs kvetkeztben a szerelvny hossza mg a mozgsi

hossznl is rvidebbre prseldik ssze. A vonat elejnek (a b pontnak) a hirte-len lefkezdsnl keletkez lket ugyanis legfeljebb fnysebessggel haladhat

vgig a vonaton, s ennek kvetkeztben a vonat vge (az a pont) egy ideig mgmozgsban marad a vonat elejnek hirtelen lellsa utn is.

Miben tvedett a vonatvezet? Abban teljesen igaza volt, hogy mivel a

vonat nyugalmi rendszerben az alagt Lorentz-kontrakit szenved, a vonatnak

legalbb az egyik vge mindig biztosan kilgna, ha nem zrnk le az alagut

kijratt. Azonban nem vette gyelembe az egyidejsg relativitst, amelynek

kvetkeztben a vonat I ' nyugalmi rendszerben a sorompk mkdse nem

egyidben trtnik, s azt sem, hogy a hatsok mg a htkznapi rtelemben

szilrd anyagokban sem terjedhetnek a fnynl gyorsabban.

A vonat I ' nyugalmi rendszerbl nzve az esemnyek lefolysa a kvet-

kez. Mivel az alagt a vonathoz kpest V irnyban mozog, a jeladbl a Bfel halad rdijel elbb zrja le a B sorompt, mint a msik rdijel az Asorompt

5

. Amikor a B-beli soromp beletkzik a nyugv vonat b elejbe, avonat vge (az a pont) az alagt Lorentz-kontrakija kvetkeztben mg kilgaz alagtbl s a lks vges terjedsi sebessge kvetkeztben egy ideig mg

nyugalomban marad. Mg akkor is nyugalomban lesz, amikor az A kapu tha-lad rajta s az egsz vonatot elnyeli az alagt. A vonat elejbl kiindul lks

sak ezutn ri el a vonat vgt. Ettl a pillanattl kezdve hurolja magval az

alagt az egsz sszeronsolt vonatot, amelynek a hossza a ronsolds kvet-

keztben mg a mozgsi hossznl is rvidebb, hiszen klnben nem frne el a

V sebessggel mozg alagtban, amelynek mozgsi hossza megegyezik a vonatI-beli mozgsi hosszval a lells eltt.

Eddig nem volt sz a testek gyorstsrl. Legyen az I vonatkoztatsi rend-

szer-ben a nyugv test hossza l0. Kezdjk el gyorstani, amg el nem ri a Vsebessget s azutn hagyjuk, hogy ezzel a sebessggel mozogjon egyenletesen

tovbb. Milyen hossznak fogjuk ltni tovbbra is az I-bl meggyelve?

5

Az alagttal egytt a jelad is mozog, de ennek nins jelentsge, mert a rdijelek

sebessge fggetlen az ad mozgstl.

17

l0

5. bra.

rdemes egy nagyon egyszer konkrt pldval illusztrlni a feladatot (5.

bra). Az I-ben nyugv ednyt lezr mozgathat dugatty helyzett (az l0tvolsgot) a gz nyomsnak s a rug hzerejnek az egyenslya hatrozza

meg. Ezt az ednyt gyorstjuk fel V sebessgre. Gyorsts kzben a rug hosszaklnfle vltozsokon mehet keresztl. Miutn azonban a V vgsebessggelegyenletesen halad, abban az I ' ineriarendszer-ben lesz nyugalomban, amelyik

ezzel a sebessggel mozog I-hez kpest . A relativitselmlet 1. posztultuma

szerint a kt ineriarendszer egyenrtk egymssal, ugyanazok a zikai trv-

nyek rvnyesek mindkettben, ezrt a nyoms s a rug hzereje I '-ben is

ugyanazt az l0 tvolsgot lltja be, mint I-ben. De akkor a mozg edny m-

rett az eredeti I-bl nzve kontrahltnak ltjuk, l0 helyett l = l0

1 V 2/c2

mretet tapasztalunk.

Ez azonban sak abban az esetben lesz gy, ha a gyorstsi szakaszban fellp

erk nem idznek el maradand krosodst (pl. a ruglland megvltozst).

Ennek az esetlegessgnek az elkerlse rdekben feltesszk, hogy a gyorsts

mindig kmletes (adiabatikus).

Ez a gondolatmenet nyilvn rvnyes minden olyan esetben, amikor a vizsglt

hosszsgot (mretet) zikai trvnyek lltjk be. A vonatnl s a mterrdnl

is ez a helyzet. Elkpzelhetk azonban ms tpus szituik is. Tegyk fel,

hogy kt egymstl fggetlen motorkosi ll az llomson (az I ineriarend-

szerben) egymstl l0 tvolsgra ugyanazon a snpron. A t = 0 pillanatbanmindkett elindul gy, hogy azonos szmtgp program ltal vezrelve egy

bizonyos t = T pillanatban elrik a V sebessget s azutn ezzel a konstanssebessggel haladnak tovbb. Mekkora tvolsg lesz ezutn kzttk a plyatest

nyugalmi rendszerbl (I-bl) nzve?

Az ember az els pillanatban rvgja, hogy termszetesen l0

1 V 2/c2, de

ez tveds, mert a tvolsg vgig minden pillanatban l0 marad. Ezt knny

18

ltni, ha felrjuk a kt kosi plyjnak x = f(t) egyenlett I-ben:

x =

{(t) + l0 az egyik motorkosira,

(t) a msikra.

Itt termszetesen t < 0-nl (t) = 0, t > T -nl pedig (t) = V t + b valamilyenkonstans b-vel, de ennek nins klnsebb jelentsge. A kt kosi tvolsgt I-hez viszonytva brmely t-ben gy kapjuk meg, hogy a kosik x koordintinakegyidej klnbsgt kpezzk:

[(t) + l0] (t) = l0.

Kontraki ebben az esetben azrt nem lp fel, mert a kt motorkosi t-

volsgt nem valamilyen termszeti trvny lltja be, amely minden ineria-

rendszerben ugyangy mkdik. Miutn a kosik elindultak, a mozgsukat a

mindkettjbe betpllt azonos program vezrli. Egymstl teljesen fggetle-

nl mozognak, nem gy, mint mondjuk egy mterrd kt vgpontja, vagy az 5.

brn a rug vgpontjai.

19