Võ Tiến Trình – PTNK

toan999.wordpress.com 1

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG VÀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC GÓC NHỌN (Nâng cao cho lớp 9)

A. Các bai toán ví dụ.

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính BC, CA, AH biết 15 , 16AB cm HC cm

Giải.

Ta có : 2 2. 15 16AB BH BC BH HC BH BH BH

2 16 225 0 9 25 0 9BH BH BH BH BH

Vậy ta có : 9 16 25BC BH CH

. 16.25 20CA CH BC

. 9.16 12AH BH CH

Bài 2. Cho hình thoi ABCD với góc 0120A . Tia Ax tạo với AB một góc 015 và cắt cạnh BC tại điểm M, cắt đường thẳng CD tại điểm N.

Chứng minh 2 2 2

1 1 43AM AN AB

Giải.

Võ Tiến Trình – PTNK

toan999.wordpress.com 2

Mấu chốt trong các bài toán kiểu này là ta cần dựng một tam giác vuông mà hệ thức về đường cao của nó tương ứng với đề bài.

Từ yêu cầu chứng minh 2 2 2

1 1 43AM AN AB

2 2 21 1 1

32

AM AN AB

là một hệ thức liên quan tới đường cao

trong tam giác vuông.

Trong bài này ta cần dựng một hình vuông có hai cạnh góc vuông có độ dài là AM,

AN và có độ dài đường cao là 32

AB .

Ta dựng tia Ay vuông góc với Ax, tia Ay cắt cạnh CD tại E.

Khi đó ta có 0 0 0 0120 15 90 15DAE

BAM DAE g c g AM AE

Võ Tiến Trình – PTNK

toan999.wordpress.com 3

VẬy ta có tam giác EAN vuông tại A, hai cạnh góc vuông AN, AE và đường cao

32

ABAH (vì AH là đường cao tam giác đều ACD độ dài cạnh là AB)

Xét tam giác vuông EAN ta có:

2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 4

332

AN AE AN AM ABAB

Bài 3. Tính các tỉ số lượng giác của góc 015 .

Giải. Xét tam giác ABC vuông tại A với 015ABC . Gọi d là đường trung trực của BC, d cắt AB tại D.

Vì d là trung trực của BC nên ta có DC = DB BDC cân tại D 0 015 30ABC DCB ADC (góc ngoài tam giác DBC).

Đặt 2 32 , 32

aAC a DC a AD a (do tam giác ADC là tam giác nửa

đều).

Võ Tiến Trình – PTNK

toan999.wordpress.com 4

Ta có: 3 2 3 2AB AD DB AD DC a a a

22 2 2 23 2 8 4 3 6 2BC AB AC a a a a

Từ đó ta tính được các tỉ số lượng giác của góc 015BAC

0 6 2sin15 sin46 2

AC aBACBC a

03 2 6 2cos15 cos

46 2

aABBACBC a

0tan15 tan 2 33 2

AC aBACAB a

0 1cot15 2 32 3

Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A có 036BAC . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = AC. Kẻ AH vuông góc BC tại H. Đặt , 2AB x BC y .

a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác DAB và 2 2 2x y x y b) Tính x và AH theo y

c) Tính các tỉ số lượng giác của góc 018 và 036

Giải.

Võ Tiến Trình – PTNK

toan999.wordpress.com 5

Tam giác ABC cân tại A có 0 036 72BAC ABC ACB

Ta có 0 0

0 0 0 0180 108180 72 108 362

ACD CAD

Do đó 072BAD , ta suy tam giác ABC đồng dạng tam giác DAB.

Khi đó : 2 .AB DB AB BC DBBC AB

hay 2 2 2x y x y

b) theo câu a) 2 2 2 22 2 2 5x y x y x xy y y

2 25 5 1 5x y y x y y x y

(vì trong tam giác ABC thì 2x y )

Ta có: 22 2 2 2 2 2 21 5 1 5 2 5AH AB BH x y y y

5 2 5AH y

c)Các tỉ số lượng giác của góc 018 .

Xét tam giác vuông ABH ta có:

Võ Tiến Trình – PTNK

toan999.wordpress.com 6

0 1 5 1sin18 sin41 5

BH yBAHAB x

0 5 2 5 10 2 5cos18 cos41 5

AHBAHAB

0 1t an18 tan5 2 5

BHBAHAH

0cot18 5 2 5

Các tỉ số lượng giác của góc 036 tính tương tự đối với góc ADH trong tam giác vuông ADH.

B. Bài tập

Bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC, BD và CE là hai đường cao. Các điểm M, N trên các đường thẳng CE, BD sao cho 090AMB ANC . Chứng minh tam giác AMN cân.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Lấy điểm D trên cạnh AC và

điểm E trên tia đối của tia HA sao cho 13

AD HEAC HA

. Từ D kẻ đường thẳng song

song với BC cắt AH tại F. Chứng minh

a) AH = EF b) BE vuông góc với ED

Bài 3 . Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK. Chứng minh

2 2 21 1 1

4BK BC AH

Bài 4. Cho hình vuông ABCD, một điểm E bất kỳ trên cạnh AB. Gọi F là giao điểm

của DE và BC. Chứng minh 2 2 2

1 1 1AD DE DF

Võ Tiến Trình – PTNK

toan999.wordpress.com 7

Bài 5. Vẽ đoạn thẳng 4AB cm . Tại C là điểm di động sao cho 3BC cm . Vẽ tam giác AMN vuông tại A có AC là đường cao. Xác định vị trí điểm C để

2 2

1 1AM AN

đạt giá trị lớn nhất.

Bài 6. Cho hình thoi ABCD với góc 0120A . Tia Ax tạo với AB một góc 015 và cắt

cạnh BC tại điểm M, cắt cạnh CD tại điểm N. Chứng minh 2 2 2

1 1 43AM AN AB

Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Đặt ,BH x HC y

Chứng minh rằng 2

x yxy

Bài 8. Cho đoạn BC cố định có độ dài 2a với 0a và một điểm A di động sao cho 090BAC . Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi HE và HF lần lượt là đường cao của tam giác ABH và tam giác ACH.

a) Chứng minh 2 2 2 23BC AH BE CF

b) Chứng minh 3 3 32 2 2BE CF BC c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tổng 2 2BE CF đạt giá trị nhỏ nhất. d) Chứng minh 3 . . . .AH BC BE CF BC HE HF e) Tìm vị trí A để diện tích tam giác AEF đạt giá trị lớn nhất.

Bài 9. Cho tam giác ABC có trực tâm H.

a) Chứng minh 2 2 2 2 2 2AB HC AC HB BC HA b) Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh

. . . 4AB HC BC HA CA HB S

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A có các đường trung tuyến AM và CN vuông góc với nhau. Biết 0AB x x . Tính AC và BC theo x.

Bài 11. Cho đoạn BC cố định có độ dài 2 0a a và một điểm A thay đổi sao cho 090BAC . Gọi BM, CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.

a) Chứng minh : 2 2 25BM CN a

Võ Tiến Trình – PTNK

toan999.wordpress.com 8

b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tổng BM CN đạt giá trị lớn nhất.

Bài tập tỉ số lượng giác góc nhọn

Bài 12. Tính các tổng sau. (không dùng máy tính)

a) 2 0 2 0 2 0 2 0sin 10 sin 20 ... sin 70 sin 80 b) 2 0 2 0 2 0 2 0cos 12 cos 78 ... cos 1 cos 89

Bài 13. Hãy đơn giản các biểu thức sau với 0 00 90 .

a) 6 6 2 2sin cos 3sin .cos b) 4 4sin cos sin cos sin cos

c) 2 2 2cos tan .cos

Bài 14. Chứng minh rằng các hệ thức sau không phụ thuộc và góc nhọn

a) 2 2sin cos sin cosA

b) 6 6 4 42 sin cos 3 cos sinB

c) 2 cot 1

tan 1 cot 1

với tan 1

Bài 15. Cho tam giác DEF có 9 , 15 , 12DE cm DF cm EF cm . Tính sin EDF ,tan EDF .

Bài 16. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC a , đường cao AH . Chứng minh rằng .sin .cosAH a B B , 2cosBH a B , 2sinCH a B

Bài 17. Cho tam giác ABC vuông tại A, 321 ,cos5

AC cm C

a) Tính tan ,cotB B b) Gọi M là trung điểm BC. Kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại M, cắt AB, CA lần

lượt tại E, F. Tính CF, MF. c) Đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Tính BD và DC.

Bài 18. Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF vuông với BC.

Võ Tiến Trình – PTNK

toan999.wordpress.com 9

a) Chứng minh .cosAF BE C

b) Biết 320 ,sin5

BC cm C . Tính diện tích tứ giác ABFE.

Bài 19. Cho hình bình hành ABCD có AC là đường chéo lớn. Kẻ CH vuông góc với AD tại H và CK vuông góc với AB tại K.

a) CHứng minh tam giác CKH và BCA đồng dạng

b) Chứng minh .sinHK AC BAD

c) Tính AKCHS biết 0120 , 8 , 10ABC AB cm AD cm

Bài 20. Cho tam giác ABC nhọn, kẻ ba đường cao AD, BE, CF. Chứng minh

a) Hai tam giác AEF và ABC đồng dạng. b) . . . . .cos .cos .cosAF BD CE AB BC CA A B C

c) Giả sử 0 260 , 144ABCA S cm . Tính AEFS

Bài 21. Cho tam giác ABC. Chứng minh

a) Khi 060BAC thì 2 2 2 .BC AB AC AB AC b) Khi 0120BAC thì 2 2 2 .BC AB AC AB AC

Bài 22. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên cạnh BC lấy một điểm D sao cho BD = 2CD. Đường trung trực của đoạn AD cắt AB, AC lần lượt tại E, F. Tính các cạnh của tam giác AEF.

Bài 23. Cho tam giác ABC cân tại A có 0108BAC . Kẻ đường cao AH, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho 072ACD . Đặt AB = AC = x, BC = 2y.

a) Chứng minh AD = CD = 2y. b) Chứng minh 24 2y x x y , tính x và AH theo y.

c) Tính các tỉ số lượng giác của các góc 0 036 ,54