Phuong trinh luong giac.pdf

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn

“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 1 -

MỤC LỤC Trang

Công thức lượng giác cần nắm vững ------------------------------------------------------------------------ 2

A – Phương trình lượng giác cơ bản ------------------------------------------------------------------ 5

Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 5 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 8 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 29

B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác -------------------------- 32


C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos ---------------------------------------------------------- 59


D – Phương trình lượng giác đẳng cấp --------------------------------------------------------------- 84


E – Phương trình lượng giác đối xứng --------------------------------------------------------------- 93

Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 94 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 96

F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối ----------------------------------- 97


G – Phương trình lượng giác không mẫu mực ----------------------------------------------------- 101


H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương --------- 106


I – Hệ phương trình lượng giác ------------------------------------------------------------------------- 116

Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 117

J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác --------------------------------------- 121


Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)

- 2 - www.DeThiThuDaiHoc.com

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM V ỮNG

��

�� Công thức cơ bản

● 2 2sin x cos x 1+ = ● tan x.cotx 1= ● sin x

tan xcos x

=

● cos x

cotxsin x

= ● os

2

2

11 tan x

c x+ = ● 2

2

11 cot x

sin x+ =

�� Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba

● sin2x 2sin x.cos x= ● 2 2

2 2

cos x sin xcos2x

2cos x 1 1 2 sin x

−= − = −

● os2 1 c 2x

sin x2

−= ●

osos2

1 c 2xc x

2

+=

● 3sin 3x 3 sin x 4 sin x= − ● 3cos 3x 4 cos x 3cos x= −

�� Công thức cộng cung

● ( )sin a b sina.cosb cosa.sin b± = ± ● ( )osc a b cosa.cosb sina.sin b± = ∓

● ( )tana tanb

tan a b1 tana.tanb

++ =

− ● ( )

tana tan btan a b

1 tana.tanb

−− =

+

● π 1 tan x

tan x4 1 tan x

+ + = − ●

π 1 tan xtan x

4 1 tan x

− − = +

�� Công thức biến đổi tổng thành tích

● a b a b

cosa cosb 2cos .cos2 2

+ −+ = ●

a b a bcosa cosb 2sin .sin

2 2

+ −− = −

● a b a b

sina sin b 2sin .cos2 2

+ −+ = ●

a b a bsina sin b 2cos .sin

2 2

+ −− =

● ( )sin a b

tana tanbcosa.cosb

++ = ●

( )sin a btana tanb

cosa.cosb

−− =

�� Công thức biến đổi tích thành tổng

● ( ) ( )cos a b cos a b

cosa.cosb2

+ + −= ●

( ) ( )sin a b sin a bsin a.cosb

2

+ + −=

● ( ) ( )cos a b cos a b

sin a.sin b2

− − +=

�� Một số công thức thông dụng khác

● π π

sinx cosx 2 sin x 2cos x4 4

+ = + = − ●

π πsinx cosx 2 sin x 2cos x

4 4

− = − = +

● 4 4 21 cos4xcos x sin x 1 s

3 1in 2x

2 4

++ = − = ● 6 6 23 cos4x

cos x sin x 1 s5 3

in 2x4 8

++ = − =



�� Một số lưu ý:

Điều kiện có nghiệm của phương trình sin x

cos x

= α = α

là: 1 1− ≤ α ≤ .

Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan hoặc cot , có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.

Phương trình chứa tan x , điều kiện: ( ) cos x 0 x k k2

π≠ ⇔ ≠ + π ∈ ℤ .

Phương trình chứa cotx , điều kiện: ( ) sin x 0 x k k≠ ⇔ ≠ π ∈ ℤ .

Phương trình chứa cả tan x và cotx , điều kiện: ( ) x k. k2

π≠ ∈ ℤ .

Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau đây để kiểm tra điều kiện: Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị ấy

làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm. Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của nghiệm.

Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm.

Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác �AM có

số đo là k2

n

πα +

00 k.360

hay an

+ với k ,n +∈ ∈ℤ ℕ thì có n điểm M trên đường tròn

lượng giác cách đều nhau".

Ví dụ 1: Nếu sđ �AM k23

π= + π thì có một điểm M tại vị trí

3

π (ta chọn k 0= ).

Ví dụ 2: Nếu sđ �AM k6

π= + π thì có 2 điểm M tại vị trí

6

πvà 7

6

π (ta chọn k 0,k 1= = ).

Ví dụ 3: Nếu sđ �2

AM k.4 3

π π= + thì có 3 điểm M tại các vị trí

11;4 12

π πvà 19

12

π, ( )k 0;1;2= .

Ví dụ 4: Nếu sđ �k2

AM k.4 2 4 4

π π π π= + = + thì có 4 điểm M tại các vị trí

4

π,3

4

π, 5

4

π;7

4

π

(ứng với các vị trí k 0,1,2,3= ).

Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung x k6

π= − + π và x k

3

π= + π

Biểu diễn cung x k6

π= − + π trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí:

6

π− và

5

6

π

Biểu diễn cung x k3

π= + π trên đường tròn thì có

Để giải được phương trình lượng giác cũng như các ứng dụng của nó, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả những công thức lượng giác. Đó là hành trang, là công

cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên: "Phương trình lượng giác"



2 điểm tại các vị trí: 3

π và

4

3

π.

Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và

cung tổng hợp là: x k3 2

π π= +

Đối với phương trình

2

2

1 1cos x cos x

2 21 1

sin x sin x2 2

= = ±

⇔ = = ±

ta không nên giải

trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là:

2 2

22

1cos x 2cos x 1 0 cos2x 0

21 cos2x 02sin x 1 0

sin x2

= − = = ⇔ ⇔ =− = =

. Tương tự đối với phương trình

2

2

sin x 1 sin x 1

cos x 1cos x 1

= = ± ⇔ = ±=

ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức

2 2sin x cos x 1+ = . Lúc đó: 2 2

2 2

sin x 1 cos x 0 cos x 0

sin x 0cos x 1 sin x 0

= = = ⇔ ⇔ == =

Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo ''

Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác.

Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là ( )cos cos−α = α , còn các cung

góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:

( ) ( ) ( ) sin sin , tan tan , cot tan−α = − α −α = − α −α = − α

Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là ( )sin sinπ − α = α , còn các cung

góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:

( ) ( ) ( ) cos cos , tan tan , cot tanπ − α = − α π − α = − α π − α = − α

Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc kia và ngược lại, tức là:

sin cos , cos sin , tan cot , cot tan2 2 2 2

π π π π − α = α − α = α − α = α − α = α

Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này: Giải phương trình lượng giác: sin u cos v= Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình sin u sin v= , vậy còn phương trình sin u cos v= thì sao ?

Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi: sin u cos v sin u sin v2

π = ⇔ = −

( ) u v k2 u v k2 , k2 2

π π= − + π ∨ = + + π ∈ ℤ .

Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như 2

sin x cos x3

π = −

π/3 5π/6

4π/3

–π/6

O



thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa.

Một số cung góc hay dùng khác:

( )( )

sin x k2 sin x

cos x k2 cos x

+ π = + π =

và ( )( )

( ) sin x k2 sin x

kcos x k2 cos x

+ π + π = − ∈ + π + π = −

ℤ .

A – PHƯƠNG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

�� Dạng: u v k2

sin u sin vu v k2

= + π= ⇔ = π − + π

Đặc biệt:

sin x 0 x k

sin x 1 x k22

sin x 1 x k22

= ⇒ = π π = ⇒ = + π π = − ⇒ = − + π

�� Dạng: u v k2

cosu cos vu v k2

= + π= ⇔ = − + π

Đặc biệt:

cos x 0 x k2

cos x 1 x k2

cos x 1 x k2

π = ⇒ = + π = ⇒ = π = − ⇒ = π + π

�� Dạng: tanu tan v u v k

Ðk : u,v k2

= ⇔ = + π

π≠ + π

Đặc biệt: tan x 0 x k

tan x 1 x k4

= ⇔ = π π = ± ⇔ = ± + π

�� Dạng: cotu cotv u v k

Ðk : u,v k

= ⇔ = + π

≠ π Đặc biệt:

cotx 0 x k2

cotx 1 x k4

π = ⇔ = + π π = ± ⇔ = ± + π

BÀI T ẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Giải phương trình: ( ) cos 3x 4 cos2x 3cos x 4 0 , x 0;14 − + − = ∗ ∀ ∈

Bài 2. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 2cos x 1 2 sin x cos x sin2x sin x− + = − ∗

Bài 3. Giải phương trình: ( ) cos 3x cos2x cos x 1 0+ − − = ∗

Bài 4. Giải phương trình: ( ) sin x cos x 1 sin2x cos2x 0+ + + + = ∗

Bài 5. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 sin x 1 cos2x sin2x 1 cos x+ + = + ∗

Bài 6. Giải phương trình: ( ) 1 1 7

4 sin xsin x 43

sin x2

π + = − ∗ π −

Bài 7. Giải phương trình: ( ) 4 4 7sin x cos x cot x cot x

8 3 6

π π + = + − ∗



Bài 8. Giải phương trình: ( ) 4 4

4sin 2x cos 2xcos 4x

tan x tan x4 4

+= ∗

π π − +

Bài 9. Giải phương trình: ( ) 3 x 1 3x

sin sin 110 2 2 10 2

π π − = +

Bài 10. Giải phương trình: ( ) sin 3x sin2x sin x 14 4

π π − = +

Bài 11. ( ) 38 cos x cos 3x 13

π + =

Bài 12. Giải phương trình: ( ) 32 sin x 2 sin x 14

π + =

Bài 13. Giải phương trình: ( ) 3sin x 2 sin x 14

π − =

Bài 14. Giải phương trình: ( ) cos x cos2x cos 3x cos 4x 0+ + + = ∗

Bài 15. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 3sin x sin 2x sin 3x

2+ + = ∗ .

Bài 16. Giải phương trình: ( ) 2 2 2sin x sin 2x sin 3x 2+ + = ∗ .

Bài 17. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2sin x sin 3x cos 2x cos 4x+ = + ∗

Bài 18. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = − ∗

Bài 19. Giải phương trình: ( )sin 2 25x 9xcos 3x sin7x 2 2cos

4 2 2

π + = + − ∗

Bài 20. Giải phương trình: ( ) 2 2 2sin x cos 2x cos 3x= + ∗

Bài 21. Giải phương trình: ( ) 22sin 2x sin 7x 1 sin x+ − = ∗

Bài 22. Giải phương trình: ( ) sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + ∗

Bài 23. Giải phương trình: ( ) 3 3 3sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x+ = ∗

Bài 24. Giải phương trình: ( ) 2 3cos10x 2cos 4x 6cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x+ + = + ∗

Bài 25. Giải phương trình: ( ) 3 3 24 sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0+ − − = ∗

Bài 26. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 22sin x 1 3cos 4x 2sin x 4 4 cos x 3+ + − + = ∗

Bài 27. Giải phương trình: ( ) ( ) 6 6 8 8sin x cos x 2 sin x cos x+ = + ∗

Bài 28. Giải phương trình: ( ) ( ) 8 8 10 10 5sin x cos x 2 sin x cos x cos2x

4+ = + + ∗


Bài 30. Giải phương trình: ( ) 4 2 2 43cos x 4 cos x sin x sin x 0− + = ∗

Bài 31. Giải phương trình: ( ) 3 3 2 3 2cos 3x cos x sin 3x sin x

8

−− = ∗



Bài 32. Giải phương trình: ( ) 1

cos x cos2x cos 4x cos 8x16

= ∗

Bài 33. Giải phương trình: ( ) 34 sin 3x cos2x 1 6sin x 8 sin x= + − ∗


cos x cos2x cos 3x cos 4x cos5x2

+ + + + = − ∗

Bài 35. Giải phương trình: ( ) sin2x 2cos x sin x 1

0tan x 3

+ − −= ∗

+


1 sin2x cos2x2 sin x sin2x

1 cot x

+ += ∗

+

Bài 37. Giải phương trình: ( ) ( ) tan x cotx 2 sin2x cos2x+ = + ∗

Bài 38. Giải phương trình: ( ) 2tan x tan x tan 3x 2− = ∗

Bài 39. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 11tan x cot x cot 2x

3+ + = ∗

Bài 40. Giải phương trình: ( ) 2 2 2x xsin tan x cos 0

2 4 2

π − − = ∗

Bài 41. Giải phương trình: ( ) ( ) 2sin2x cotx tan2x 4 cos x+ = ∗

Bài 42. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2cot x tan x

16 1 cos 4xcos2x

−= + ∗


2 tan x cot2x 2 sin2x2sin2x

+ = + ∗

Bài 44. Giải phương trình: ( )

( ) ( ) 3 sin x tan x

2 1 cos x 0tan x sin x

+− + = ∗

−

Bài 45. Giải phương trình: ( ) ( )

( )( ) ( )

2 2

2 21 cos x 1 cos x 1

tan x sin x 1 sin x tan x24 1 sin x

− + +− = + + ∗

−

Bài 46. Giải phương trình: ( ) cos 3x tan5x sin7x= ∗


sin2x sin x 2cotx2 sin x sin2x

+ − − = ∗

Bài 48. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 4sin x cos x 1

tan x cot2xsin2x 2

+= + ∗

Bài 49. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2tan x.cot 2x.cot3x tan x cot 2x cot3x= − + ∗

Bài 50. Giải phương trình: ( ) x

cotx sin x 1 tan x tan 42

+ + = ∗



HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

��

Lời bình: Từ việc xuất hiện ba cung x,2x,3x , giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một cung. Nhưng đưa về cung x hay cung 2x ? Các bạn có thể trả lời câu hỏi đó dựa vào quan niệm sau: " Trong phương trình lượng giác tồn tại ba cung x,2x,3x , ta nên đưa về cung trung gian 2x nếu trong biểu thức có chứa sin2x (hoặc cos2x). Còn không chứa sin2x (hoặc cos2x), nên đưa về cung x ".

Bài giải tham khảo

( ) ( ) ( )3 2 3 24 cos x 3cos x 4 2cos x 1 3cos x 4 0 4 cos x 8 cos x 0∗ ⇔ − − − + − = ⇔ − =

( )( )( )

( )

2cos x 0 N

4 cos x cos x 2 0 x k , kcos x 2 L 2

= π⇔ − = ⇔ ⇔ = + π ∈ =

ℤ .

0,5 k 3,9 3 5 7

Do x 0;14 ,k 0 k 14 x ; ; ;k2 2 2 2 2

− ≤ ≤≈ π π π π π ∈ ∈ ⇔ ≤ + π ≤ ⇔ ⇒ ∈ ∈

ℤℤ

.


( ) ( )( )2cos x 1 2 sin x cos x 2sin x cos x sin x∗ ⇔ − + = −

( )( ) ( ) 2cos x 1 2 sin x cos x sin x 2cos x 1 0⇔ − + − − =

( ) ( ) ( )( ) 2cos x 1 2sin x cos x sin x 0 2cos x 1 sin x cos x 0 ⇔ − + − = ⇔ − + =

( ) x k22cos x 1 0 cos x cos 3 k; l3

sin x cos x 0 tan x 1 x l4

π π = ± + π − = = ⇔ ⇔ ⇔ ∈ + = π = − = − + π

ℤ .

Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x , chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa chúng về cùng một

cung x bằng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos


( ) 3 2 3 24 cos x 3cos x 2cos x 1 cos x 1 0 2cos x cos x 2cos x 1 0∗ ⇔ − + − − − = ⇔ + − − =

( ) ( ) ( )( ) 2 2cos x 2cos x 1 2cos x 1 0 2cos x 1 cos x 1 0⇔ + − + = ⇔ + − =

Bài 1. Giải phương trình: ( ) cos 3x 4 cos2x 3cos x 4 0 , x 0;14 − + − = ∗ ∀ ∈

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học khối D năm 2002

Bài 2. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 2cos x 1 2 sin x cos x sin2x sin x− + = − ∗


Bài 3. Giải phương trình: ( ) cos 3x cos2x cos x 1 0+ − − = ∗




Bài 4. Giải phương trình: ( ) sin x cos x 1 sin2x cos2x 0+ + + + = ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học khối B năm 2005

( ) ( ) 2

sin x 0 x k2cos x 1 sin x 0 k;l1 2

cos x x l22 3

= = π ⇔ − + = ⇔ ⇔ ∈π = − = ± + π

ℤ .


( ) ( ) 2sin x cos x 2 sin x cos x 2cos x 0∗ ⇔ + + + =

( ) ( ) sin x cos x 2cos x sin x cos x 0⇔ + + + =

( )( ) sin x cos x 1 2cos x 0⇔ + + =

( ) sin x cos x tan x 1 x k

4 k; l1 2 2cos x cos x cos x l22 3 3

π = − = − = − + π ⇔ ⇔ ⇔ ∈π π= − = = ± + π

ℤ .

Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ đến việc chuyển cung 2x về cung x

bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế

( ) ( )2sin x 1 2cos x 1 2 sin x cos x 1 cos x∗ ⇔ + − + = +

( ) ( ) 22sin x cos x 2 sin x cos x 1 cos x 2sin x cos x cos x 1 1 cos x 0⇔ + = + ⇔ + − + =

( )( ) ( )

21 x k2cos x 3cos x 1 sin2x 1 0 k, l2sin2x 1 x l

4

π = ± + π = − ⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈ π= = + π

ℤ .

Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung 3

x2

π− và

7x

4

π− giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung

khác nhau này về cùng một cung chung là x . Để làm được điều đó, ta có thể dùng công thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo''. Ta thực hiện hai ý tưởng đó qua hai cách giải sau đây


Cách giải 1. Sử dụng công thức cộng cung: ( )sin a b sina.cosb cosa.sin b± = ±

Bài 6. Giải phương trình: ( ) 1 1 7

4 sin xsin x 43

sin x2

π + = − ∗ π −

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học khối A năm 2008

Bài 5. Giải phương trình: ( ) ( ) sin x 1 cos2x sin2x 1 cos x+ + = + ∗




( ) 1 1 7 74 sin cos x sin x cos

sin x 3 3 4 4sin x cos sin cos x

2 2

π π ∗ ⇔ + = − π π −

( ) 1 1 2

4. sin x cos xsin x cos x 2

⇔ + = − +

Điều kiện: sin x cos x 0 sin2x 0≠ ⇔ ≠ .

( ) sin x cos x

2 2 sin x cos xsin x cos x

+⇔ = − +

( ) ( ) sin x cos x 2 2 sin x cos x sin x cos x 0⇔ + + + = ( )( )sin x cos x 1 2 sin2x 0⇔ + + =

( )

x k4tan x 1sin x cos x 0

x l k, l,m2 81 2 sin2x 0 sin2x52

x m8

π = − + π = − + = π ⇔ ⇔ ⇔ = − + π ∈ + = = − π

= + π

ℤ .

Cách giải 2. Sử dụng "cos đối – sin bù – phụ chéo''

Ta có:

( )

3sin x sin 2 x cos x

2 2

7 1sin x sin 2 x sin x sin x cos x

4 4 4 2

π π − = − π − − = π π π − = π − + = − + = − +

( ) ( )1 1 1

4. sin x cos xsin x cos x 2

∗ ⇔ + = − +

. Giải tương tự như cách giải 1.

Lời bình: Từ tổng hai cung x x3 6 2

π π π+ + − = giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo'' , thật vậy:

cot x cot x cot x cot x cot x tan x 13 6 3 2 3 3 3

π π π π π π π + − = + − + = + + = .

Công việc còn lại của chúng ta là dùng công thức: 4 4 21sin x cos x 1 sin 2x

2+ = − . Nếu

không có nhận xét này, mà ta tiến hành biến đổi tancos

cotsin

= , rồi qui đồng thì bài toán

trở nên rất phức tạp, chưa tính đến việc đối chiếu nghiệm với điều kiện.


ĐK:

sin x 013

sin x sin x 0 cos 2x 0 cos 2x 03 6 2 6 6

sin x 06

π + ≠ π π π π ⇔ + − ≠ ⇔ − ≠ ⇔ − ≠ π − ≠

.

Bài 7. Giải phương trình: ( ) 4 4 7sin x cos x cot x cot x

8 3 6

π π + = + − ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp. HCM n ăm 1999



( ) ( ) 2 21 7 1 1 k1 sin 2x sin 2x 1 cos 4x x , k

2 8 4 2 12 2

π π∗ ⇔ − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = + ∈ ℤ .


ĐK:

cos x 014

cos x cos x 0 cos2x cos 0 cos2x 04 4 2 2

cos x 04

π − ≠ π π π ⇔ − + ≠ ⇔ + ≠ ⇔ ≠ π + ≠

.

Ta có: tan x tan x tan x tan x tan x cot x 14 4 4 2 4 4 4

π π π π π π π − + = − − + = − − = .

( ) ( )2 4 2 4 4 21 11 sin 4x cos 4x 1 1 cos 4x cos 4x 2cos x cos 4x 1 0

2 2∗ ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ − − =

( )

( )

2

2 2

2

2

t 1 N2t t 1 0 1 cos 4x 1 sin 4x 0 sin 4x 0t Lt cos 4x 0 2

t cos 4x 0

= − − = ⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ = = − = ≥ = ≥

( )( )

( )

sin2x 0 N kx , k

cos2x 0 L 2

= π⇔ ⇔ = ∈ =

ℤ .

Lưu ý, ta có thể thực hiện biến đổi mẫu số bằng công thức cộng theo tan như sau

tan tan x tan tan x

1 tan x 1 tan x4 4tan x .tan x . . 14 4 1 tan x 1 tan x

1 tan tan x 1 tan tan x4 4

π π− + π π − + − + = = = π π + −

+ −

.

Lời bình: Nhìn vào phương trình này, ta nghĩ dùng công thức cộng cung theo sin……, hoặc xét tổng

cung của chúng, ……. nhưng đừng vội làm như thế, nó sẽ khó đi đến kết quả. Ta hãy xem

giữa hai cung 3 x

10 2

π− và

3x

10 2

π+ có mối liên hệ gì hay không ? Thật vậy:

3x 3x 9 3x 3 xsin sin sin sin 3

10 2 10 2 10 2 10 2

π π π π + = π − + = − = − . Từ đó, ta sẽ

đặt 3 x

t10 2

π= − và sử dụng công thức nhân ba là tối ưu nhất.



tan x tan x4 4

+= ∗

π π − +

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Xây Dựng năm 1997

Bài 9. Giải phương trình: ( ) 3 x 1 3x

sin sin 110 2 2 10 2

π π − = +

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Thủy Lợi năm 2001




Ta có: 3x 3x 9 3x 3 x

sin sin sin sin 310 2 10 2 10 2 10 2

π π π π + = π − + = − = − .

( ) ( ) 3 x 1 3 x

1 sin sin 3 210 2 2 10 2

π π ⇔ − = − .

Đặt 3 x

t10 2

π= − . Và ( ) ( ) ( )3 21 1

2 sin t sin3t sin t 3sin t 4 sin t sin t 1 sin t 02 2

⇔ = ⇔ = − ⇔ − =

( )

3 x 3t k k x k2sin t 010 2 5 k, l

cos t 0 3 x 2t l l x l22 10 2 2 5

π π = π − = π = − π = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈ π = π π π= + π − = + π = − π

ℤ .


Ta có: 3

sin 3x sin 3x sin 3x sin 3x sin 3 x4 4 4 4 4

π π π π π − = − − = − π − − = − + = − +

Đặt t x x t4 4

π π= + ⇒ = − . Lúc đó ( )1 sin 3t sin 2t .sin t

2

π ⇔ − = −

3

2 2 2

sin t 0 sin t 04 sin t 3 sin t cos2tsin t 0

4 sin t 3 1 2 sin t 0 sin t 1

= = ⇔ − + = ⇔ ⇔ − + − = =

( ) t k x ksin t 0

4 x m , k, l,mcos t 0 4 2t l x l2 4

π = π = − + π = π π ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = − + ∈π = π= + π = + π

ℤ .


Ta có: ( )cos 3x cos 3x cos 3 x3

π = − π + = − + .

Phương trình: ( ) ( ) 31 8 cos x cos 3 x 23 3

π π ⇔ + = − + .

Đặt t x3

π= + . Lúc đó: ( ) 3 3 32 8 cos t cos 3t 8 cos t 4 cos t 3 cos t⇔ = − ⇔ = − +

( ) ( ) 3 212cos t 3 cos t 0 cos 3t 4 cos t 1 0 cos 3t 2 cos2t 1 0⇔ − = ⇔ − = ⇔ + =

Bài 11. Giải phương trình: ( ) 38 cos x cos 3x 13

π + =

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1999

Bài 10. Giải phương trình: ( ) sin 3x sin2x sin x 14 4

π π − = +

Trích đề thi tuy ển sinh Học Viện Bưu Chính Viễn Thông năm 1999



( )

t kx k2cos 3t 0 6

t l x l k; l;m13cos2t

22 x mt m33

π = + π π = + π = π ⇔ ⇔ = + π ⇔ = π ∈ = − π π = + π= − + π

ℤ .


Cách giải 1.

Đặt t x x t4 4

π π= + ⇒ = − . Lúc đó: ( ) 3 31 sin t 2 sin t sin t sin t cos t

4

π ⇔ = − ⇔ = −

( )( ) ( ) 3 3 2 2sin t sin t cos t sin t sin t cos t sin t cos t⇔ = − ⇔ = + − •

( ) 2 2cos t sin t sin tcos t cos t 0⇔ − + − =

( )( )

( )

cos t 0 N1cos t sin2t 1 0 t k x k , k

sin2t 2 L2 2 4

= π π ⇔ − = ⇔ ⇔ = + π ⇔ = + π ∈ =

ℤ .

Lời bình: Trong ( )• , tôi đã sử dụng kĩ thuật ghép công thức 2 21 sin t cos t= + . Vậy trong giải

phương trình lượng giác, dấu hiệu như thế nào để biết ghép như thế ? Câu trả lời rất đơn giản: " Khi bậc của sin và cos không đồng bậc và hơn kém nhau hai bậc, ta nên ghép

2 21 sin t cos t= + để phương trình trở nên đơn giản hơn ".

Cách giải 2.

( ) ( )3 3

1 11 2 . 2 sin x 2 sin x 2 sin x cos x 2 sin x

42 2

π ⇔ + = ⇔ + =

( ) ( )( ) 3 2

sin x cos x 4 sin x sin x cos x sin x cos x 4 sin x⇔ + = ⇔ + + =

( )( ) sin x cos x 1 2 sin x cos x 4 sin x⇔ + + =

2 23sin x 2cos x sin x 2sin x cos x cos x 0⇔ − + + + =

( ) ( ) 2 2sin x 3 2cos x cos x 2 sin x 1 0⇔ − + + + =

( ) ( ) 2 2sin x 2 sin x 1 cos x 2 sin x 1 0⇔ − + + + =

( )( )( )

2

20 2 sin x 1 0 VN

2sin x 1 cos x sin x 0cos x sin x 0

= + >⇔ + − = ⇔ − =

( ) tan x 1 x k , k4

π⇔ = ⇔ = + π ∈ ℤ .

Cách giải 3.

( ) ( )3 3

1 11 2 . 2 sin x 2 sin x 2 sin x cos x 2 sin x

42 2

π ⇔ + = ⇔ + =

Bài 12. Giải phương trình: ( ) 32 sin x 2 sin x 14

π + =

Trích đề thi tuy ển sinh Phân Viện Báo Chí Truy ền Thông năm 1998



( ) ( ) 3

sin x cos x 4 sin x 2⇔ + =

Vì ( ) cos x 0 hay sin x 1= = không phải là nghiệm của phương trình ( )2 nên chia hai vế của

phương trình ( )2 cho 3cos x , ta được: ( ) ( ) ( )3

22 tan x 1 4 tan x. 1 tan x⇔ + = +

Giải phương trình theo tanx ta được nghiệm: ( ) tan x 1 x k , k4

π= ⇔ = + π ∈ ℤ .

Bài giải tham khảo Cách giải 1.

Đặt t x x t4 4

π π= − ⇒ = + . Lúc đó: ( ) ( )3 31 sin t 2 sin t 4 sin t sin t cos t⇔ = + ⇔ = +

( )( ) 3 2 2sin t sin t cos t sin t cos t⇔ = + +

( ) 3 3 2 2 3sin t sin t sin tcos t cos tsin t cos t cos t sin tcos t 1 0⇔ = + + + ⇔ + =

( ) ( )

cos t 0 3t k x k k , k

sin2t 2 L 2 4 4

= π π π⇔ ⇔ = + π ⇔ = + π ≡ − + π ∈ = −

ℤ .

Cách giải 2 và cách giải 3 (tương tự ví dụ 13). Bạn đọc tự giải

Lời bình: Bài toán có các cung khác nhau theo một hàm bậc nhất lượng giác cos (hoặc sin hoặc cả

sin và cos) dạng tổng (hoặc hiệu). Ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho hiệu (hoặc tổng) các cung của chúng bằng nhau, tức là trong trường hợp này để ý

( )x 4x 5x+ = và ( )2x 3x 5x+ = . Tại sao phải ghép như vậy ? Lý do rất đơn giản,

chúng ta cần những "thừa số chung" để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng phương trình tích số.


( ) ( ) ( ) 5x 3x 5x xcos x cos 4x cos2x cos 3x 0 2cos cos 2cos cos 0

2 2 2 2∗ ⇔ + + + = ⇔ + =

5x 3x x 5x x

2cos cos cos 0 4 cos cos x cos 02 2 2 2 2

⇔ + = ⇔ =

( )

5x k25x k x

cos 0 2 2 5 52

cos x 0 x l x l k; l;m2 2

x x x 2mcos 0 m2 2 2

π π π = + π = + = π π ⇔ = ⇔ = + π ⇔ = + π ∈

π = π + π= = + π

ℤ .

Bài 14. Giải phương trình: ( ) cos x cos2x cos 3x cos 4x 0+ + + = ∗

Bài 13. Giải phương trình: ( ) 3sin x 2 sin x 14

π − =

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 1998



Lời bình: Với những phương trình có những hạng tử bậc hai theo sin và cos, ta thường dùng công thức hạ bậc để bài toán trở nên đơn giản hơn.


( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 31 cos2x 1 cos 4x 1 cos6x cos2x cos6x cos 4x 0

2 2 2 2∗ ⇔ − + − + − = ⇔ + + =

( ) 2cos 4x cos2x cos 4x 0 cos 4x 2cos2x 1 0⇔ + = ⇔ + =

( )

kcos 4x 0 4x k x2 8 4 k, l2 2cos2x cos 2x l2 x l3 3 3

π π π = = + π = + ⇔ ⇔ ⇔ ∈ π π π= = ± + π = ± + π

ℤ .


( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 cos2x 1 cos 4x 1 cos6x 2

2 2 2∗ ⇔ − + − + − =

( ) ( ) ( ) 1 1cos2x cos 4x cos6x cos2x cos6x cos 4x 1 0

2 2⇔ − + + = ⇔ + + + =

( ) 22cos 4x cos2x 2cos 2x 0 2cos2x cos 4x cos2x 0⇔ + = ⇔ + =

( )

x k2cos x 0

4 cos2x cos 3x cos x 0 cos2x 0 x l k, l,m4 2

cos 3x 0x m

6 3

π = + π =

π π⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈

= π π = +

ℤ .


( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11 cos2x 1 cos6x 1 cos 4x 1 cos 8x

2 2 2 2∗ ⇔ − + − = + + +

( ) cos2x cos6x cos 4x cos 8x 2cos 4x cos2x 2cos6x cos2x⇔ − + = + ⇔ − =

( ) 2cos2x cos6x cos 4x 0 4 cos2x cos5x cos x 0⇔ + = ⇔ =

( )

cos x 0m

cos2x 0 x k x l x ; k, l,m2 4 2 10 5

cos5x 0

= π π π π π ⇔ = ⇔ = + π ∨ = + ∨ = + ∈ =

ℤ .

Bài 15. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 3sin x sin 2x sin 3x

2+ + = ∗ .

Trích đề thi tuy ển sinh Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2000

Bài 16. Giải phương trình: ( ) 2 2 2sin x sin 2x sin 3x 2+ + = ∗ .

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Sư Phạm Kĩ Thuật Tp. HCM kh ối A năm 2001

Bài 17. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2sin x sin 3x cos 2x cos 4x+ = + ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1999




( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x

2 2 2 2∗ ⇔ − − + = − − +

cos6x cos 8x cos10x cos12x 2cos7x cos x 2cos11x cos x⇔ + = + ⇔ =

( ) ( )

x k2

cos x 0 lcos x cos7x cos11x 0 x k, l,m

cos7x cos11x 2m

x9

π = + π = π⇔ − = ⇔ ⇔ = − ∈ = π

=

ℤ .


( ) x xcos 3x sin7x 1 cos 5x 1 cos9 cos 3x sin7x sin5x cos92

π ∗ ⇔ + = − + − − ⇔ + = −

cos 3x cos9x sin7x sin 5x 0 2cos6x cos 3x 2cos6x sin x 0⇔ + + − = ⇔ + =

( ) ( )

x k12 6cos6x 0

cos6x cos 3x sin x 0 x l k, l,mcos 3x cos x 4

2 mx

8 2

π π = + = π ⇔ + = ⇔ ⇔ = + π ∈π = + π π = − +

ℤ .


( ) ( ) ( )1 cos2x 1 cos 4x 1 cos6xcos2x cos 4x 1 cos6x 0

2 2 2

− + +∗ ⇔ = + ⇔ + + + =

( ) 22cos 3x cos x 2cos 3x 0 2cos 3x cos x cos 3x 0⇔ + = ⇔ + =

( )

kx

k6 3cos x 0 xl 6 34 cos 3x cos2x cos x 0 cos2x 0 x k, l,ml4 2

xcos 3x 04 2x m

2

π π = + π π= = +π π ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ ∈ π π = += π = + π

ℤ .

Bài 18. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = − ∗


Bài 19. Giải phương trình: ( )sin 2 25x 9xcos 3x sin7x 2 2cos

4 2 2

π + = + − ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Thể Dục Thể Thao năm 2001

Bài 20. Giải phương trình: ( ) 2 2 2sin x cos 2x cos 3x= + ∗




Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung ( ) ( ) ( )x , 2x , 7x và nhận xét 7x x

4x2

+= , ta có thể định

hướng nhóm ( )sin 7x sin x− , ( )22 sin 2x 1− lại với nhau, để sau khi dùng công thức

tổng thành tích và hạ bậc nhằm xuất hiện nhân tử chung và cuối cùng đưa ta được phương trình tích số đơn giản hơn.


( ) ( ) ( )2sin7x sin x 1 2 sin 2x 0 2cos 4x sin 3x cos 4x 0∗ ⇔ − − − = ⇔ − =

( ) ( )

k2cos 4x 0 x18 3cos 4x 2sin 3x 1 0 k, l1 5 l2sin 3x x2 18 3

π π = = + ⇔ − = ⇔ ⇔ ∈ π π= = +

ℤ .


( ) ( ) ( )sin x sin 3x sin2x 1 cos2x cos x∗ ⇔ + + = + +

( ) ( ) 22sin2x cos x sin2x 2cos x cos x sin2x 2cos x 1 cos x 2cos x 1 0⇔ + = + ⇔ + − + =

( )( ) ( )( ) 2cos x 1 sin2x cos x 0 2cos x 1 2 sin x cos x cos x 0⇔ + − = ⇔ + − =

( )( ) ( )

x k2

cos x 0x l21 6cos x 2sin x 1 2cos x 1 0 sin x k, l,m,n

52x m21 6cos x

22x n2

3

π = + π = π = + π ⇔ − + = ⇔ = ⇔ ∈ π = + π = −

π = ± + π

ℤ .


( ) ( ) ( )3 3 3 3 3sin x 4 cos x 3cos x cos x 3sin x 4 sin x sin 4x∗ ⇔ − + − =

3 3 3 3 3 3 34 sin x cos x 3sin x3cos x 3cos x sinx 4cos x sin x sin 4x⇔ − + − =

( ) 2 2 33 sin x cos x cos x sin x sin 4x⇔ − =

3 33 3sin2x cos2x sin 4x sin 4x sin 4x2 4

⇔ = ⇔ =

( ) 3 k3sin 4x 4 sin 4x 0 sin12x 0 12x k x , k

12

π⇔ − = ⇔ = ⇔ = π ⇔ = ∈ ℤ .

Bài 22. Giải phương trình: ( ) sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + ∗

Bài 23. Giải phương trình: ( ) 3 3 3sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x+ = ∗

Trích đề thi Tuy ển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1999

Bài 21. Giải phương trình: ( ) 22sin 2x sin 7x 1 sin x+ − = ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học năm khối A năm 2007




( ) ( ) ( )3cos10x 1 cos 8x cos x 2cos x 4 cos 3x 3cos 3x∗ ⇔ + + = + −

( ) cos10x cos 8x 1 cos x 2cos x cos9x⇔ + + = +

2cos9x cos x 1 cos x 2cos x cos9x⇔ + = +

( ) cos x 1 x k2 , k⇔ = ⇔ = π ∈ ℤ .


( ) ( ) ( )2 2 2sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3cos x 0∗ ⇔ − − − =

( ) ( ) 2 2 2sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3 1 sin x 0 ⇔ − − − − =

( )( ) 24 sin x 3 sin x cos x 0⇔ − − =

( ) ( ) 2 1 cos2x 3 sin x cos x 0 ⇔ − − − =

( )

21 2 2 x kcos2x cos 2x k2 3 k;l2 3 3sin x cos x tan x 1 x l

4

π π π = ± + π = − = = ± + π ⇔ ⇔ ⇔ ∈ π= = = + π

ℤ .


( ) ( )( ) ( )22sin x 1 3cos 4x 2 sin x 4 4 1 sin x 3 0∗ ⇔ + + − + − − =

( )( ) ( )( ) 2sin x 1 3cos 4x 2sin x 4 1 2sin x 1 2sin x 0⇔ + + − + − + =

( )( ) 2sin x 1 3cos 4x 2sin x 4 1 2sin x 0⇔ + + − + − =

( )( ) 3 cos 4x 1 2sin x 1 0⇔ − + =

( )

kx4x k2

2cos 4x 1

x l2 x l2 k; l;m16 6sin2x

2 7 7x m2 x m2

6 6

π = = π = π π⇔ ⇔ = − + π ⇔ = − + π ∈ = − π π = + π = + π

ℤ .

Bài 24. Giải phương trình: ( ) 2 3cos10x 2cos 4x 6cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x+ + = + ∗

Bài 25. Giải phương trình: ( ) 3 3 24 sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0+ − − = ∗

Bài 26. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 22 sin x 1 3cos 4x 2 sin x 4 4 cos x 3+ + − + = ∗


Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Quốc Qua Hà Nội Kh ối B năm 1999




( ) ( ) ( )6 8 6 8 6 2 6 2sin x 2 sin x cos x 2cos x 0 sin x 1 2 sin x cos x 2cos x 1 0∗ ⇔ − + − = ⇔ − − − =

( ) 6 6 6 6sin x cos2x cos x cos2x 0 cos2x sin x cos x 0⇔ − = ⇔ − =

( ) 6 6

kxcos2x 0 cos2x 0 k4 2 x , k

tan x 1sin x cos x 4 2x k

4

π π = += = π π ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = + ∈ = ± π= = ± + π

ℤ .


( ) ( ) ( )10 8 8 10 52cos x cos x sin x 2 sin x cos2x 0

4∗ ⇔ − − − + =

( ) ( ) 8 2 8 2 5cos x 2cos x 1 sin x 1 2cos x cos2x 0

4⇔ − − − + =

8 8 8 85 5cos x.cos2x sin x cos2x cos2x 0 cos2x cos x sin x 0

4 4

⇔ − + = ⇔ − + =

( )( )

8 8

8 8

cos2x 0 2x k k2 x , k5 5 4 2cos x sin x 0 sin x cos x 1 VN4 4

π = = + π π π⇔ ⇔ ⇔ = + ∈ − + = = + >

ℤ .

Bài giải tham khảo Cách giải 1

( ) ( ) ( )3 5 5 3sin x 2 sin x 2cos x cos x 0∗ ⇔ − − + =

( ) ( ) 3 2 3 2 3 3sin x 1 2sin x cos x 2cos x 1 0 sin x cos2x cos x cos2x 0⇔ − − − = ⇔ − =

( ) ( ) 3 3

3

cos2x 0 mcos2x sin x cos x 0 x , m

tan x 1 4 2

= π π⇔ − = ⇔ ⇔ = + ∈ =

ℤ .

Cách giải 2

( ) ( )( )3 3 2 2 5 5sin x cos x sin x cos x 2 sin x 2cos x 0∗ ⇔ + + − − =

( ) ( ) 3 2 5 5 3 2sin x cos x sin x cos x cos sin x 0⇔ − − − =

( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2 3 3sin x cos x sin x cos x cos x sin x 0 cos2x sin x cos x 0⇔ − − − = ⇔ − =

( ) 3 3 3

cos2x 0 cos2x 0 mx , m

sin x cos x 0 tan x 1 4 2

= = π π ⇔ ⇔ ⇔ = + ∈ − = =

ℤ .


4+ = + + ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Ngoại Thương Tp.HCM khối D 2000


Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Quốc gia Hà Nội khối D 1998




( )2 2

21 cos2x 1 cos2x3 sin 2x 0

2 2

+ − ∗ ⇔ − + =

( ) ( ) ( ) 2 2 23 1 2cos2x cos 2x 4 1 cos 2x 1 2cos2x cos 2x 0⇔ + + − − + − + =

( ) 28 cos 2x 4 cos2x 0 4 cos2x 2cos2x 1 0⇔ + = ⇔ + =

( )

kcos2x 0 x k4 2 4 k,m1

cos2x x m2 3

π π π = = + ≡ ± + π ⇔ ⇔ ∈ π= − = ± + π

ℤ .

Cách khác

Do cos x 0 hay sin x 1= = không là nghiệm của phương trình ( )∗

Chia hai vế của ( )∗ cho 4cos x , ta được:

( )2

2 4

2

t 4t 3 03 4 tan x tan x 0

t tan x 0

− + =∗ ⇔ − + = ⇔ = ≥

( ) 2

2

2

t 1x ktan x 1tan x 1

4t 3 k,mtan x 3 tan x 3

x mt tan x3

π= = ± + π= ± = =⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈ π= = ± = ± + π =

ℤ .


Lời bình: Ta nhận thấy trong phương trình có chứa cos 3x lẫn sin 3x , nếu ta sử dụng công thức nhân ba để khai triễn cũng đi đến kết quả cuối cùng, nhưng nó tương đối phức tạp. Chính vì thế, ở đây ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích thành tổng có xuất

hiện số 1

2 nhằm tối giản được với số

2 3 2

8

−phức tạp bên vế phải của phương trình.

( ) ( ) ( )2 2 2 3 2cos 3x cos x cos x sin 3x sin x sin x

8

−∗ ⇔ − =

( ) ( ) 2 21 1 2 3 2cos 4x cos2x cos x cos2x cos 4x sin x

2 2 8

−⇔ + − − =

2 2 2 2 2 3 2cos 4x cos x cos2x cos x cos2x sin x cos 4x sin x

4

−⇔ + − + =

( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2cos 4x cos x sin x cos2x cos x sin x

4

−⇔ + + − =

Bài 30. Giải phương trình: ( ) 4 2 2 43cos x 4 cos x sin x sin x 0− + = ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Quốc Qua Tp.HCM 1998 – 1999 đợt 1

Bài 31. Giải phương trình: ( ) 3 3 2 3 2cos 3x cos x sin 3x sin x

8

−− = ∗



( ) 2 2 3 2 1 2 3 2cos 4x cos 2x cos 4x 1 cos 4x

4 2 4

− −⇔ + = ⇔ + + =

( ) ( ) 2 k

4 cos2x 2 1 cos 4x 2 3 2 cos 4x x , k2 16 2

π π⇔ + + = − ⇔ = − ⇔ = ± + ∈ ℤ .


Lời bình: Trong bài toán xuất hiện bốn cung x,2x,4x,8x khác nhau, giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một cung. Để làm việc này ta sẽ suy nghĩ đến việc dùng công thức

2 2cos2x 2cos x 1 1 2sin x= − = − , nhưng nó thì không khả quan cho mấy, bởi thế phương trình sẽ trở thành phương trình bậc cao, việc giải sẽ gây khó khăn. Nhưng để ý rằng, các cung này lần lượt gấp đôi nhau, ta chợt nhớ đến công thức nhân đôi của sin ,

bằng cách nhân thêm hai vế của ( )∗ cho sin x . Để đảm trong phép nhân, ta nên kiểm

tra xem sin x 0= có phải là nghiệm hay không trước khi nhân.

● Nhận thấy: ( ) sin x 0 x k hay cos x 1 cos2x cos 4x cos 8x 1= ⇔ = π = ± ⇔ = = = nên

( ) 11

16∗ ⇔ ± = (vô nghiệm) nên sin x 0 x k= ⇔ = π không là nghiệm của ( )∗

● Nhân cả 2 vế của phương trình ( )∗ cho 16 sin x 0≠ , ta được:

( )16sin x cos x cos2x cos 4x cos 8x sin x 8 sin2x cos2x cos 4x cos 8x sin x

sin x 0 sin x 0

= = ∗ ⇔ ⇔ ≠ ≠

4 sin 4x cos 4x cos 8x sin x 2sin 8x cos 8x sin x sin16x sin x

sin x 0 sin x 0 sin x 0

= = = ⇔ ⇔ ⇔ ≠ ≠ ≠

k2x k2

x1515l

x lx17 17

17 17x m

π = π = π π⇔ ⇔ = + π π = + ≠ π

với ( ) 17p 1

k 15n; l ; k, l,m,n,p2

−≠ ≠ ∈ ℤ .


( ) ( )34 sin 3x cos2x 1 2 3 sin x 4 sin x 4 sin 3x cos2x 1 2 sin 3x∗ ⇔ = + − ⇔ = +

( ) ( ) ( ) 22 sin 3x 2cos2x 1 1 2sin 3x 4 cos x 3 1⇔ − = ⇔ − = �

Do ( )cos x 0 x k , k2

π= ⇔ = + π ∈ ℤ không là nghiệm phương trình ( )� , nên nhân hai vế ( )� cho

cos x 0≠ , ta được: ( ) ( )32 sin 3x 4 cos x 3cos x cos x 2 sin 3x cos 3x cos x⇔ − = ⇔ =�


cos x cos2x cos 4x cos 8x16

= ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1998

Bài 33. Giải phương trình: ( ) 34 sin 3x cos2x 1 6sin x 8 sin x= + − ∗



( )

l2x

14 7sin 6x cos x cos x cos 6x l,km22

x10 5

π π = + π ⇔ = ⇔ = − ⇔ ∈ π π = +

ℤ .


● Khi ( )x k2 , k= π ∈ ℤ thì ( ) ( )15

2∗ ⇔ = − ⇒ ∗ không có nghiệm ( )x k2 , k= π ∈ ℤ .

● Khi ( ) xx k2 , k sin 0

2≠ π ∈ ⇒ ≠ℤ . Nhân hai vế của ( )∗ cho

x2sin 0

2≠ , ta được:

( )x x x x x x

2sin cos x 2sin cos2x 2sin cos 3x 2sin cos 4x 2sin cos5x sin2 2 2 2 2 2

∗ ⇔ + + + + = −

3x x 5x 3x 7x 5x 9x 7x 11x 9x x

sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

⇔ − + − + − + − + − = − .

( ) 11x 11x 2m

sin 0 m x , m 11, m2 2 11

π⇔ = ⇔ = π ⇔ = ≠ ∈ ℤ .


Lời bình: Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan hoặc cot, có ẩn ở mẫu hay căn bậc chẳn,… ta phải đặc điều kiện để phương trình xác định. Đặc biệt đối với những bài toán

có chứa tan (hoặc cot), ta hãy thay thế chúng bằng sin cos,

cos sin

nhằm mục đích " đơn

giản hóa " và chỉ còn lại hai giá trị lượng giác là sin và cos mà thôi. Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra xem có nhận nghiệm hay không

Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện xem có thỏa không. Nếu thỏa thì ghi nhận nghiệm ấy, nếu không thỏa thì loại.

Hoặc biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm trên cùng một đường tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều kiện.

Hoặc so với điều kiện trong quá trình giải phương trình.

● Điều kiện: tan x 3

cos x 0

≠ − ≠

( ) ( ) ( )sin2x 2cos x sin x 1 0 2cos x sin x 1 sin x 1 0∗ ⇔ + − − = ⇔ + − + =

( )( ) ( ) 1 x k2cos x 3sin x 1 2cos x 1 0 k, l2

sin x 1 x l22

π = ± + π = ⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈ π= − = − + π

ℤ .


cos x cos2x cos 3x cos 4x cos5x2

+ + + + = − ∗

Bài 35. Giải phương trình: ( ) sin2x 2cos x sin x 1

0tan x 3

+ − −= ∗

+




● So với điều kiện, họ nghiệm của phương trình là ( ) x k2 , k3

π= + π ∈ ℤ .


● Điều kiện: sin x 0≠

( ) 2 2sin x(1 sin2x cos2x) 2 2 sin x cos x 1 sin2x cos2x 2 2 cos x∗ ⇔ + + = ⇔ + + =

( ) 22cos x 2cos x sin x 2 2 cos x 0 2cos x cos x sin x 2 0⇔ + − = ⇔ + − =

( )

cos x 0 x kcos x 02 k, l

cos x 1cos x sin x 2x l24

4

π= = + π= ⇔ ⇔ ⇔ ∈π π− =+ = = + π

ℤ .

● So với điều kiện, họ nghiệm phương trình là ( ) x k x l2 , k, l2 4

π π= + π ∨ = + π ∈ ℤ .


● Điều kiện: ( )sin x 0

2 sin x cos x 0 sin2x 0 2x k x k , kcos x 0 2

≠ π ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ π ⇔ ≠ ∈ ≠

ℤ .

( ) ( ) ( )2 2sin x cos x sin x cos x

2 sin2x cos2x 2 sin2x cos2xcos x sin x sin x cos x

+∗ ⇔ + = + ⇔ = +

( ) ( ) 1 1

2 sin2x cos2x sin2x cos2xsin x cos x sin2x

⇔ = + ⇔ = +

( ) 2sin2x sin2x cos2x 1 sin 2x sin2x cos2x 1 0⇔ + = ⇔ + − =

( ) 2sin2x cos2x cos 2x 0 cos2x sin2x cos2x 0⇔ − = ⇔ − =

( )

cos2x 0 x k42 cos2x sin 2x 0 k, l

sin 2x 04x l4

8 2

π= = + π π ⇔ − = ⇔ ⇔ ∈ π π π− = = +

ℤ .

● Kết hợp với điều kiện, phương trình có 2 họ nghiệm: ( ) x k x l , k, l4 8 2

π π π= + π ∨ = + ∈ ℤ .



1 sin2x cos2x2 sin x sin2x

1 cot x

+ += ∗

+



Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp.HCM n ăm 1998

Bài 38. Giải phương trình: ( ) 2tan x tan x tan 3x 2+ = ∗




● Điều kiện: ( ) 3

cos x 0 kcos 3x 0 x , k

cos 3x 4 cos x 3cos x 0 6 3

≠ π π ⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈ = − ≠

ℤ .

( ) ( )sin x sin x sin 3x

tan x tan x tan3x 2 2cos x cos x cos 3x

∗ ⇔ + = ⇔ + =

( ) 2sin x sin x cos 3x cos x sin 3x 2cos x cos 3x⇔ + =

( ) 2sin x sin 2x 2cos x cos 3x⇔ − =

2 22sin x cosx 2cos x cos3x⇔ − =

( ) 2sin x cos x cos 3x do cos x 0⇔ − = ≠

( ) ( ) 1 11 cos2x cos 4x cos2x

2 2⇔ − − = +

( ) l

cos 4x 1 x , l4 2

π π⇔ = − ⇔ = + ∈ ℤ

● So nghiệm với điều kiện:

Cách 1: Khi l

x4 2

π π= + thì

3 l3 2cos 3x cos 0

4 2 2

π π = + = ± ≠ (nhận).

Cách 2: Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm, ta thấy không có ngọn cung

nào trùng nhau. Do đó: l

x4 2

π π= + là nghiệm

của phương trình. (Cách 2 này mất nhiều thời gian).

Cách 3: Nếu 3 l3

3x k4 2 2

π π π= + = + π thì

3 6l 2 4k 2k 3l 0,5+ = + ⇔ − =

(vô lí vì k, l ∈ ℤ ).

Vậy họ nghiệm của phương trình là: ( )l

x , l4 2

π π= + ∈ ℤ .


● Điều kiện:

cos x 0

sin x 0 sin2x 0

sin2x 0

≠ ≠ ⇔ ≠ ≠

.

( ) 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 11 1 1 1 201 1 1

3 3cos x sin x sin 2x cos x sin x 4sin x cos x

∗ ⇔ − + − + − = ⇔ + + =

( ) 2 2

2

2 2 2

4 sin x 4 cos x 1 20 5 20 3 1 3sin 2x 1 cos 4x

3 3 4 2 44 sin x cos x sin 2x

+ +⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − =

( ) 1 2 k

cos 4x cos x , k2 3 6 2

π π π ⇔ = − = ⇔ = ± + ∈ ℤ .

π/4 π/6

π/2

3π/4

5π/6

7π/6

5π/4

3π/2

7π/4

11π/6

Bài 39. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 11tan x cot x cot 2x

3+ + = ∗



● Thay vào nghiệm vào điều kiện, thỏa. Vậy họ nghiệm của phương trình là

( ) k

x , k6 2

π π= ± + ∈ ℤ .


Điều kiện: cos x 0 sin x 1≠ ⇔ ≠ ± .

( ) ( )( )( )

( )2

2

2 2

1 sin x 1 cos x1 sin x 11 cos x 1 cos x 0 1 cos x 0

2 2 2cos x 1 sin x

− − π ∗ ⇔ − − − + = ⇔ − + = −

( ) ( ) 21 cos x 1 cos x

1 cos x 0 1 cos x 1 01 sin x 1 sin x

− − ⇔ − + = ⇔ + − = + +

( )( )( )( )

( )

x k2cos x 1 N1 cos x cos x sin x 0 k;l

tan x 1 N x l24

= π + π = − ⇔ + − − = ⇔ ⇔ ∈π = − = − + π

ℤ .


Điều kiện: 2

cos x 1sin x 0sin x 0

2cos2x 0 2cos x 1 0 cos x2

≠ ± ≠≠ ⇔ ⇔ ≠ − ≠ ≠ ±

Ta có: cos x sin2x cos2x cos x sin2x sin x cos x

cotx tan2xsin x cos2x sin x cos2x sin x cos2x

++ = + = = .

Lúc đó: ( )2

2 2 2sin2x cos x 2cos x 24 cos x 4 cos x 0 cos x 4 0

sin x cos2x cos2x cos2x

∗ ⇔ = ⇔ − = ⇔ − =

( )

( )( )

cos x 0 cos x 0 N x k2 k;l1 1

2 cos2x N x lcos2x 2 6

π = = = + π ⇔ ⇔ ⇔ ∈ π= = = ± + π

ℤ .


Điều kiện: sin2x 0

sin 4x 0cos2x 0

≠ ⇔ ≠ ≠

.

Ta có: 2 2 4 4

2 2

2 2 2 2 2

cos x sin x cos x sin x 4 cos2xcot x tan x

sin x cos x sin x cos x sin 2x

−− = − = = .

Bài 40. Giải phương trình: ( ) 2 2 2x xsin tan x cos 0

2 4 2

π − − = ∗



Trích đề thi Tuy ển Sinh Đại học Mỏ – Địa chất năm 2000

Bài 42. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2cot x tan x

16 1 cos 4xcos2x

−= + ∗



( ) ( ) ( ) ( )( )2

2

416 1 cos 4x 1 4 1 cos 4x sin 2x 1 2 1 cos 4x 1 cos 4x

sin 2x∗ ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = + −

( ) 2 2 2 11 2 1 cos 4x 1 2sin 4x sin 4x

2⇔ = − ⇔ = ⇔ = (Nhận do sin 4x 0≠ )

( ) ( ) 1 1 k1 cos8x cos8x 0 x , k

2 2 16 8

π π⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈ ℤ .


Điều kiện: sin2x 0 sin2x 0

cos x 0 cos2x 1

≠ ≠ ⇔ ≠ ≠ ±

( ) 2 22 sin x cos2x 12 sin2x 4 sin x cos2x 2 sin 2x 1

cos x sin2x sin2x∗ ⇔ + = + ⇔ + = +

( ) ( ) 2 2 2 2 2 24 sin x 1 2 sin x 8 cos x sin x 1 2 sin x 1 4 cos x 0⇔ + − = + ⇔ − =

( )( )

( )( )

2

sin x 0 L2sin x 1 2 1 cos2x 0 x k , k1 3cos2x N

2

= π ⇔ − + = ⇔ ⇔ = ± + π ∈ = −

ℤ .


ĐK: ( )

sin x 0sin x 1 cosxsin x

tanx sin x 0 sin x 0 0 cos x 0 sin2x 0cos x cos x

cos x 1

≠− − ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ≠

( )( )

( )( )

( )( )

3 sin x tan x 3 cos x 1cotx. 2 1 cos x 0 2 1 cos x 0

tan x sin x cotx 1 cos x

+ +∗ ⇔ − + = ⇔ − + =

− −

( ) cos x 11 cos x 03

1 cos x 2 0 11 2cos x 01 cos x cos x2

= − + = ⇔ + − = ⇔ ⇔ + =− = −

( ) 2

x k2 , k3

π⇔ = ± + π ∈ ℤ .



2 tan x cot2x 2 sin2xsin2x

+ = + ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 1998 – 1999


( ) ( ) 3 sin x tan x

2 1 cos x 0tan x sin x

+− + = ∗

−

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Tài Chính – Kế Toán năm 2000

Bài 45. Giải phương trình:

( ) ( )( )

( ) ( )

2 2

2 21 cos x 1 cos x 1

tan x sin x 1 sin x tan x24 1 sin x

− + +− = + + ∗

−

(Loại do sin x 0≠ ) (Nhận)



Điều kiện: sin x 1 cos x 0≠ ∧ ≠ .

( )( )( )

( )2

3 2

2 2

2 1 cos x sin x 1 sin x1 sin x

21 sin x 1 sin x4 1 sin x

+∗ ⇔ − = + +

− −−

( )( ) ( )( ) 2 3 2 21 cos x 1 sin x 2 sin x 1 sin x 1 sin x 2 sin x⇔ + + − = + − +

( )( ) ( ) ( ) 2 2 21 cos x 1 sin x 1 sin x cos x 2 sin x 1 sin x⇔ + + = + + +

( ) 2 2 2

1 sin x 0 sin x 1 Lcos2x 0

1 cos x cos x 2 sin x 1 1 2cos2x

+ = = −⇔ ⇔ ⇔ = + = + = −

k

2x k x2 4 2

π π π⇔ = + π ⇔ = + (nhận do cos x 0≠ )


● Điều kiện: cos5x 0≠ .

( )sin5x

cos3x sin7x sin5x cos3x sin7x cos5xcos5x

∗ ⇔ = ⇔ =

( ) ( ) 1 1sin 8x sin2x sin12x sin2x sin 8x sin12x

2 2⇔ + = + ⇔ =

( )

kx12x 8x k2

2 k; l12x 8x l2 l

x20 10

π = = + π ⇔ ⇔ ∈ = π − + π π π = +

ℤ .

● So với điều kiện:

Với k

x2

π= thì

5k kcos5x cos cos

2 2

π π= = loại nếu k lẻ.

Với l

x20 10

π π= + thì

lcos5x cos 0

4 2

π π = + ≠ (nhận).


Điều kiện: sin x 0 cos x 0≠ ∧ ≠ .

( ) 2sin 2x sin2x sin x cos x 1 2cos2x∗ ⇔ + − − =

2 2 2 24cos x sin x 2cosx sin x cosx 1 4cos x 0⇔ + − + − =

( ) ( ) 2 2 2 24 cos x 1 cos x 2cos x 1 cos x cos x 1 4 cos x 0⇔ − + − − + − =

( )( ) 2 3 3 24 cos x 2cos x cos x 1 0 cos x 1 4 cos x 2cos x 2cos x 1 0⇔ + + − = ⇔ + − + − =

Bài 46. Giải phương trình: ( ) cos 3x tan5x sin 7x= ∗

Trích đề thi Tuy ển sinh Cao đẳng Kinh tế Công Nghiệp Tp. HCM năm 2007


sin2x sin x 2cotx2sin x sin2x

+ − − = ∗



( )( )( ) ( ) 2

cos x 1 x k2cos x 1 2cos x 1 2cos x 1 0 k, l1

cos x x l22 3

= − = π + π ⇔ + − + = ⇔ ⇔ ∈π = = ± + π

ℤ .


Điều kiện: sin2x 0≠ .

Ta có: ( )

( )

24 4 2 2 2 2 21

sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x 1 sin 2x2

cos 2x xsin x cos2x sin2x sin x cos x cos2x 1tan x cot2x

cos x sin2x cos x sin2x cos x sin2x sin2x

+ = + − = −− + + = + = = =

( )2

2 2

11 sin 2x

1 1 12 1 sin 2x sin 2x 1sin2x 2sin2x 2 2

−∗ ⇔ = ⇔ − = ⇔ = (Nhận do sin2x 0≠ )

( ) 2cos 2x 0 2x k x k , k2 4 2

π π π⇔ = ⇔ = + π ⇔ = + ∈ ℤ .


Điều kiện:

cos x 0sin2x 0

sin2x 0sin 3x 0

sin 3x 0

≠ ≠ ≠ ⇔ ≠ ≠

( ) ( )2 2 2 2cot3x tan x cot 2x 1 tan x cot 2x∗ ⇔ − = −

1 cos2x 1 cos 4x 1 cos2x 1 cos 4x

cot3x . 11 cos2x 1 cos 4x 1 cos2x 1 cos 4x

− + − + ⇔ − = − + − + −

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

cot3x 1 cos2x 1 cos 4x 1 cos2x 1 cos 4x

1 cos2x 1 cos 4x 1 cos2x 1 cos 4x

⇔ − + − + − = − − − + +

( ) ( ) cot3x 2cos 4x 2cos2x 2 cos4x cos2x⇔ − = − +

( ) cos 3x

4 sin3x sin x 4cos 3x cos xsin 3x

⇔ − = −

( )

kxcos 3x 0

6 3cos 3x sin x cos 3x cos x k, ltan x 1

x l4

π π = + = ⇔ = ⇔ ⇔ ∈ = π = + π

ℤ .

Cách khác: ( ) ( )2 2 2 2cot3x tan x cot 2x 1 tan x cot 2x∗ ⇔ − = −

Bài 48. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 4sin x cos x 1

tan x cot2xsin2x 2

+= + ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Bách Khoa năm 2000

Bài 49. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2tan x.cot 2x.cot3x tan x cot 2x cot3x= − + ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Dược Hà Nội năm 2001



( )( )

( )( )

2 2 2 2

2 2 2 2

1 tan2x tan x 1 tan2x tan xtan x cot 2x tan 2x tan x 1cot3x

tan x cot 2x 1 tan x tan 2x tan2x tan x tan2x tan x

+ −− −⇔ = = =

− − − +

cos 3x 0

cot3x cotx cot3xsin x cos x

=⇔ = ⇔ =

(Giải tương tự như trên)


Điều kiện: ( )

sin x 0sin2x 0

x kcos 0 x , kx

2 2cos 02cos x 0

≠ ≠ π ≠ ⇔ ⇔ ≠ ∈ ≠ ≠

ℤ .

( )

x x xsin cos x cos sin x sin

cos x sin x cos x2 2 2sin x 1 . 4 sin x 4sin x cos x x sin x x

cos cos x cos2 2

+ ∗ ⇔ + + = ⇔ + =

xcos x

2cos x cos x sin xsin x. 4 4 1 4 sin x cos x

sin x x sin x cos xcos x cos

2

− ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =

( ) 2x k2 x k1 6 12sin2x k, l

5 522x l2 x l

6 12

π π = + π = + π

⇔ = ⇔ ⇔ ∈ π π = + π = + π

ℤ .

So với điều kiện, họ nghiệm của phương trình là ( ) 5

x k x l ; k, l12 12

π π= + π ∨ = + π ∈ ℤ .

BÀI T ẬP RÈN LUY ỆN

Câu 1. Giải phương trình: 2sin x cos x 2cos x 3 3 sin x− + = .

Câu 2. Giải phương trình: 2 tan x cos x 1 2cos x tan x+ = + .

Câu 3. Giải phương trình: 3 3 2sin x cos x cos x sin x

8− = .

Câu 4. Giải phương trình: 2 2 2cos x cos 2x cos 3x 1+ + = .

Câu 5. Giải phương trình: 2 2 17sin 2x cos 8x sin 10x

2

π − = + .


cotx sin x 1 tan x tan 42

+ + = ∗




Câu 6. Giải phương trình: 4 6cos x sin x cos2x+ = .

Câu 7. Giải phương trình: 1 cos 4x sin 4x

02sin2x 1 cos 4x

−− =

+.

Câu 8. Giải phương trình: 2 2 1sin x cos x cos x

2

++ = .

Câu 9. Giải phương trình: ( ) 2 x2 3 cos x 2 sin

2 41

2cos x 1

π − − − =

−.

Câu 10. Giải phương trình: sin 4x 3sin2x tan x+ = .

Câu 11. Giải phương trình: 2 3cos10x 2cos 4x 6cos3x cosx cosx 8cosx cos 3x+ + = + .

Câu 12. Giải phương trình: ( )2 2 22cos x 2cos 2x 2cos 3x 3 cos 4x 2sin2x 1+ + − = + .

Câu 13. Giải phương trình: 5x 7

sin 2x 3cos x 1 2 sin x , ;32 2 3

π π + − − = + ∀ ∈ π .

Câu 14. Giải phương trình: ( ) 2 2sin 4x cos 6x sin 10,5 10x , 0;2

π − = π + ∀ ∈ .

Câu 15. Giải phương trình: tan2x tan 3x tan5x tan2x tan 3x tan5x− − = .

Câu 16. Giải phương trình: sin x sin2x sin 3x

3cos x cos2x cos 3x

+ +=

+ +.

Câu 17. Giải phương trình: 2 1 cos xtan x

1 sin x

+=

−.

Câu 18. Giải phương trình: 24cos x cos x

3= .

Câu 19. Giải phương trình: 1 1

2 2 sin x4 sin x cos x

π + = + .

Câu 20. Giải phương trình: 2

2 tan x cot2x 3sin2x

+ = + .


3 tan 3x cot2x 2 tan xsin 4x

+ = + .

Câu 22. Giải phương trình: 2 2 2sin x sin 2x sin 3x 2+ + = .

Câu 23. Giải phương trình: ( )25 4x 3sin2 x 8 sin x 0− π + π = .

Câu 24. Giải phương trình: sin2x

2 cos x 01 sin2x

+ =+

.

Câu 25. Giải phương trình: sin x cot5x

1cos9x

= .




3 tan6x 2 tan2x cot4xsin 8x

− = − .

Câu 27. Giải phương trình: 2 1 cos xtan x

1 sin x

+=

−.

Câu 28. Giải phương trình: 3 3 2cos x cos 3x sin x sin 3x

4+ = .

Câu 29. Giải phương trình: 4 4x x 5sin cos

3 3 8

+ = .

Câu 30. Giải phương trình: ( )22 sin 3x 1 4 sin x 1− = .

Câu 31. Giải phương trình: 3 3 2cos x 4sin x 3cosx sin x sin x 0− − + = .

Câu 32. Giải phương trình: 4 4x xsin cos 1 2 sin x

2 2+ = − .

Câu 33. Giải phương trình: sin 3x sin2x sin x4 4

π π − = + .

Câu 34. Giải phương trình: ( )2

4

4

2 sin x sin 3xtan x 1

cos x

−+ = .

Câu 35. Giải phương trình: 2 xtan x cos x cos x sin x 1 tan tan x

2

+ − = + .

Câu 36. Giải phương trình: 2 2 x 7sin x cos 4x 2sin 2x 4 sin x , x 1 3

4 2 2

π − = − − ∀ − < .

Câu 37. Giải phương trình: sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + .

Câu 38. Giải phương trình: 2 2 2 2cos x cos 2x cos 3x cos 4x 2+ + + = .

Câu 39. Giải phương trình: ( )

( )2cos x cos x 1

2 1 sin xsin x cos x

−= +

+.

Câu 40. Giải phương trình: sin x sin2x sin 3x sin 4x sin 5x sin6x 0+ + + + + = .

Câu 41. Giải phương trình: cos x cos 3x 2cos5x 0+ + = .

Câu 42. Giải phương trình: 9sin x 6cos x 3sin2x cos2x 8+ − + = .

Câu 43. Giải phương trình: ( )cos x sin x cos x sin x cos x cos2x− = .

Câu 44. Giải phương trình: ( )( ) 22sin x 1 3cos 4x 2sin x 4 4 cos x 3+ + − + = .

Câu 45. Giải phương trình: 3 32sin x sinx 2cos x cos x cos2x− = − + .

Câu 46. Giải phương trình: 2 3 4 2 3 4sinx sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x+ + + = + + + .

Câu 47. Giải phương trình: ( ) ( )2sin x tan x 1 3sin x cos x sin x 3+ = − + .

Câu 48. Giải phương trình: 2tan2x cotx 8cos x+ = .

Câu 49. Giải phương trình: ( ) ( )3 cotx cos x 5 tan x sin x 2− − − = .


2 2 sin x4 sin x cos x

π + = + .



B – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI V ỚI M ỘT HÀM

LƯỢNG GIÁC

��

Dạng

Đặt ẩn phụ

Điều kiện

2a sin x bsinx c 0+ + = t sin x= 1 t 1− ≤ ≤

2a cos x bcosx c 0+ + = t cos x= 1 t 1− ≤ ≤

2a tan x btanx c 0+ + =

t tan x= x k , (k )2

π≠ + π ∈ ℤ

2a cot x bcotx c 0+ + =

t cotx= ( ) x k , k≠ π ∈ ℤ

Nếu đặt 2t sin x= hoặc t sin x= thì điều kiện là 0 t 1≤ ≤

(tương tự cho cos )

Một số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệ

● ( )2

2 21 sin2x sin x cos x 2sin x cos x sin x cos x+ = + + = +

● ( )2

2 21 sin2x sin x cos x 2sin x cos x sin x cos x− = + − = −

● sin2x

sin x cos x2

=

● ( )( )3 3sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x+ = + −

● ( )( )x3 3sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos− = − +

● 2 2sin x cos x sin x cos x 2

tan x cotxcos x sin x sin x cos x sin2x

++ = + = =

● 2 2cos x sin x cos x sin x 2cos2x

cotx tan x 2cotxsin x cos x sin x cos x sin2x

−− = − = = =

● 4 4 2 21 1 1 3 1cos 4xsin x cos x 1 sin 2x cos 2x

2 2 2 4

++ = − = + =

● ( )( )4 4 2 2 2 2cos x sin x sin x cos x cos x sin x cos2x− = + − =

● 6 6 4 4 2 2 23 5 3cos 4xsin x cos x sin x cos x sin x cos x 1 sin 2x

4 8

++ = + − = − =

● ( )6 6 4 4 2 2cos x sin x cos2x sin x cos x sin x cos x− = + +

● x 1

1 tan x tan2 cos x

+ =

● sin x cos x 2 sin x 2 cos x4 4

π π ± = ± = ∓

● ( ) ( )

2 2cos x cos x 1 sin x 1 sin x

1 sin x cos xcos x 1 sin x cos x 1 sin x

− += = =

− − − (mối liên hệ giữa sinx và cosx)




Bài 51. Giải phương trình: ( ) 2cos 4x 12sin x 1 0+ − = ∗

Bài 52. Giải phương trình: ( ) 4 4cos x sin x cos 4x 0− + = ∗

Bài 53. Giải phương trình: ( ) ( ) cos 3x sin 3x

5 sin x 3 cos2x , x 0;21 2 sin2x

+ + = + ∗ ∀ ∈ π +

Bài 54. Giải phương trình: ( ) sin 3x sin5x

3 5= ∗

Bài 55. Giải phương trình: ( ) sin 5x

15 sin x

= ∗

Bài 56. Giải phương trình: ( ) 2 2cos 3x cos2x cos x 0 1− =

Bài 57. Giải phương trình: ( ) 4 4 3cos x sin x cos x sin 3x 0

4 4 2

π π + + − − − = ∗


sin 2x 3cos x 1 2 sin x; x ;22 2 2

π π π + − − = + ∀ ∈ π ∗

Bài 59. Giải phương trình: ( ) ( ) 25 sin x 2 3 1 sin x tan x− = − ∗

Bài 60. Giải phương trình: ( ) ( ) 2

sin2x 3 cos2x 5 cos 2x6

π + − = − ∗


( ) 6 62 cos x sin x sin x cos x

02 2 sin x

+ −= ∗

−


( )( )

1 sin x cos2x sin x4 1

cos x1 tan x 2

π + + + = ∗

+


2 sin 3x 2cos 3xsin x cos x

− = + ∗


( )

2cos x 2 sin x 3 2 2cos x 11

1 sin2x

+ − −= ∗

+

Bài 65. Giải phương trình: ( ) x 3x x 3x 1

cos x cos cos sin x sin sin2 2 2 2 2

− = ∗

Bài 66. Giải phương trình: ( ) 4 4sin x cos x 1 1

cot2x5sin2x 2 8 sin2x

+= − ∗

Bài 67. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 23cot x 2 2 sin x 2 3 2 cos x+ = + ∗

Bài 68. Giải phương trình: ( ) 6 23cos 4x 8 cos x 2cos x 3 0− + + = ∗

Bài 69. Giải phương trình: ( ) 2cos 4x

cotx tan xsin2x

= + ∗


cotx tan x 4 sin2xsin2x

− + = ∗

Bài 71. Giải phương trình: ( ) 2 22sin x tan x 2+ = ∗



Bài 72. Giải phương trình: ( ) 8 8 1sin x cos x

8+ = ∗

Bài 73. Giải phương trình: ( ) 8 8 217sin x cos x cos 2x

16+ = ∗

Bài 74. Giải phương trình: ( ) 35x xsin 5cos x sin

2 2= ∗


Bài 76. Giải phương trình: ( ) 2 6x 8x2cos 1 3cos

5 5+ = ∗

Bài 77. Giải phương trình: ( ) 3tan x tan x 14

π − = − ∗



tan x tan x4 4

+= ∗

π π − +

Bài 79. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 2

1 248 1 cot2x cotx 0

cos x sin x− − + = ∗


4+ = + + ∗

Bài 81. Giải phương trình: ( ) 2cos2x 1cotx 1 sin x sin2x

1 tan x 2− = + − ∗

+

Bài 82. Giải phương trình: ( ) sin2x 2 tan x 3+ = ∗

Bài 83. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 1 tan x 1 sin2x 1 tan x− + = + ∗

Bài 84. Giải phương trình: ( ) ( ) 2cos2x cos x 2 tan x 1 2+ − = ∗

Bài 85. Giải phương trình: ( ) ( )3sin2x cosx 3 2 3 cos x 3 3 cos2x 8 3 cosx sinx 3 3+ − − + − =

Bài 86. Giải phương trình: 2

2

1 14 sin x 4 sin x 7 0

sin xsin x

+ + + − = ( ) ∗



sin2x sin x 2cot2x2 sin x sin2x

+ − − = ∗


2cos2x 8 cos x 7cos x

− + = ∗

Bài 90. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 4 sin 3x cos2x 5 sin x 1− = − ∗


2

1 1sin x sin x

sin x sin x− = − ( ) ∗


2

1 1cos x 2 cos x 1

cos xcos x

+ − + = ( ) ∗


2 tan x cotx 2 sin2xsin2x

+ = + ( ) ∗



Bài 94. Giải phương trình: ( )2 2tan x cot x 2 1 tan x cotx 0+ + + + = ( ) ∗

Bài 95. Giải phương trình: ( ) 4 4 11sin x cos x sin2x

8+ = − ∗

Bài 96. Giải phương trình: 5 5 24 sin x cos x 4 cos x sin x sin 4x− = ( ) ∗

Bài 97. Giải phương trình: ( ) ( ) cos 2x cos 2x 4 sin x 2 2 1 sin x4 4

π π + + − + = + − ∗

Bài 98. Giải phương trình: 2 2 2 2 3cos x cos 2x cos 3x cos 4x

2+ + + = ( ) ∗

Bài 99. Giải phương trình: 6 6

2 2

sin x cos x 1tan2x4cos x sin x

+=

−( ) ∗

Bài 100. Giải phương trình: 6 6sin x cos x sin2x+ = ( ) ∗

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI VỚI M ỘT HÀM L ƯỢNG GIÁC

��

Lời bình: Trong bài toán toán có chứa hai cung x và 4x nên ta đưa về cùng một cung là 2x bằng

công thức nhân đôi của 2cos 4x 2 cos 2x 1= − và công thức hạ bậc

2 1 cos2xsin x

2

−= . Từ đó, đưa ta về phương trình bậc hai theo cos2x .


( ) ( )2 22cos 2x 1 6 1 cos2x 1 0 cos 2x 3cos2x 2 0∗ ⇔ − + − − = ⇔ − + =

( )

2 t 1 t 2t 3t 2 0cos2x 1 x k , k

t cos2x, t 1t cos2x, t 1

= ∨ =− + = ⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ = π ∈ = ≤= ≤

ℤ .

Lời bình: Trong ví dụ này, cũng tồn tại hai cung khác nhau x và4x nên ta đưa về cùng một cung là 2x , nhưng lần này cần phải kết hợp giữa hằng đẳng thức và công thức nhân đôi:

( ) ( ) ( )( )2 2

2 2 2 2 2 2cos x sin x cos x sin x sin x cos x cos2x− = − + = . Còn cos 4x ta sẽ

áp dụng công thức nhân đôi như trên để được phương trình bậc hai theo cos2x .


( ) ( )( )2 2 2 2 2cos x sin x cos x sin x 2cos 2x 1 0∗ ⇔ − + + − =

Bài 51. Giải phương trình: ( ) 2cos 4x 12 sin x 1 0+ − = ∗

(Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A, B, D năm 2011)

Bài 52. Giải phương trình: ( ) 4 4cos x sin x cos 4x 0− + = ∗

(Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Xây dựng số 2 năm 2007)



( ) 2

cos2x 1 x k22cos 2x cos2x 1 0 k, l1

cos2x x l2 6

π = − = + π ⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈ π= = ± + π

ℤ .

Lời bình: Trong bài toán này, có chứa đồng thời ba cung x,2x,3x và ta không thể đưa cung x của

sin x về cung2x được (không có công thức lượng giác nào), do đó chỉ còn cách duy nhất là đưa ba cung này về cùng cungx . Nhận thấy rằng, trong vế trái phương trình có chứa cos 3x sin 3x+ , ta nên phân tích hai thành phần này trước để tránh lập lại và dài dòng khi giải phương trình. Còn cos2x tất nhiên đưa về cung x bằng công thức nhân

đôi: 2 2 2 2cos2x cos x sin x 2 cos x 1 1 2 sin x= − = − = − , nhưng trong ba công thức đó, ta sẽ áp dụng công thức nào ? Câu trả lời là "dựa vào sự biến đổi của vế trái để chọn công thức phù hợp".


● Điều kiện: 1

1 2sin2x 0 sin2x2

+ ≠ ⇔ ≠ − .

Ta có: ( ) ( )3 3cos 3x sin 3x 4 cos x 3cos x 3 sin x 4 sin x+ = − + −

( ) ( ) 3 33 cos x sin x 4 cos x sin x= − − + −

( ) ( ) 3 33 cos x sin x 4 cos x sin x= − − + −

( ) ( ) 2 2cos x sin x 3 4 cos x cos x sin x sin x = − − + + +

( )( ) cos x sin x 1 2 sin2x= − + .

( )( )( )cos x sin x 1 2sin2x

5 sin x 3 cos2x1 2sin2x

− + ∗ ⇔ + = + +

( ) 25 sin x cos x sin x 2cos x 1⇔ + − = −

( )( )

2

1cos x

2cos x 5cos x 1 0 x k2 , k23cos x 2 L

= π⇔ − − = ⇔ ⇔ = ± + π ∈

=

ℤ .

● Kết hợp với điều kiện, ta được họ nghiệm là ( )x k2 , k3

π= ± + π ∈ ℤ do

3 1sin2x

2 2= ± ≠ − .

● ( ) x

3Do x 0;2 nên5

x3

π =

∈ π π =

Bài 53. Giải phương trình: ( ) ( ) cos 3x sin 3x

5 sin x 3 cos2x , x 0;21 2sin2x

+ + = + ∗ ∀ ∈ π +

(Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2002)

Bài 54. Giải phương trình: ( ) sin 3x sin5x

3 5= ∗

(Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thủy Lợi năm 2000)



Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung 3x, 5x x 4x= + , ta có thể đưa chúng về cùng một cung x theo công thức nhân ba và cộng cung để xuất hiện nhân tử chung (cách giải 1). Hơn nữa, trong bài xuất hiện số 3 và 5 , ta cũng có thể tách 5 2 3= + và nhóm chúng một cách khéo léo lại với nhau, áp dụng công thức tổng thành tích (cách giải 2).


● Cách giải 1

( ) ( )5 sin 3x 3 sin x 4x∗ ⇔ = + ( ) ( )35 3 sin x 4 sin x 3 sin x cos 4x cos x sin 4x⇔ − = +

( ) ( ) 25 sin x 3 4 sin x 3 sin x cos 4x 2cos x sin2x cos2x⇔ − = +

( ) ( ) 2 25 sin x 3 4 sin x 3 sin x cos 4x 4 cos x cos2x⇔ − = +

( ) ( ) 2 2sin x 5 3 4 sin x 3 cos 4x 4cos x cos2x 0 ⇔ − − + =

( ) 2sin x 12cos 2x 4 cos2x 8 0⇔ − + + = ( )2sin x 3cos 2x cos2x 2 0⇔ + − =

sin x 0 x k x k2

cos2x 1 x l , k, l,m ; cos3x m2

2 2cos2x x m23 2

= = π = π ⇔ = ⇔ = π ⇔ ∈ α = α = ± + πα = = ± + π

ℤ .

● Cách giải 2

( ) 5 sin 3x 3sin 5x∗ ⇔ = ( )2 sin 3x 3 sin5x sin 3x⇔ = −

( ) 22 sin x 3 4 sin x 6cos 4x sin x⇔ − = ( )22 sin x 3 4 sin x 3cos 4x 0⇔ − − =

( ) ( ) 2sin x 3 2 1 cos2x 3 2cos 2x 1 0 ⇔ − − − − = ( )2sin x 3cos 2x cos2x 2 0⇔ + − = .

Giải tương tự như trên.

Bài giải tham khảo Điều kiện: sin x 0≠

● Cách giải 1

( ) sin5x sin x 4 sin x 2cos 3x sin2x 4 sin x 4 cos 3x sin x cos x 4 sin x 0∗ ⇔ − = ⇔ = ⇔ − =

( ) ( ) 4 sin x cos 3x cos x 1 0 2 sin x cos 4x cos2x 1 0⇔ − = ⇔ + − =

( )( )

2

2

sin x 0 Lsin x 2cos 2x cos2x 3 0

2cos 2x cos2x 3 0

=⇔ + − = ⇔ + − =

( ) ( )

2cos2x 1

1 cos2x 0 2 sin x 0 sin x 0 Lcos2x 1,5 L

=⇔ ⇔ − = ⇔ = ⇔ = = −

Vậy phương trình vô nghiệm.

● Cách giải 2

Bài 55. Giải phương trình: ( ) sin5x

15sin x

= ∗

(Trích đề thi tuyển sinh Đại học Mỏ – Địa Chất năm 1997)



( ) ( )sin 2x 3x 5 sin x sin2x cos 3x sin 3x cos2x 5 sin x∗ ⇔ + = ⇔ + =

( ) ( )( ) ( ) 2

3 3 2 2 2 22sinxcosx 4cos x 3cosx 3sinx 4sin x cos x sin x 5sinx sin x cos x⇔ − + − − = +

( ) 5 2 3 3 2 212 sin x 20cos x sin x 0 sin x 12 sin x 20cos x 0⇔ + = ⇔ + =

( )( )( )

3

3 2

2

sin x 0 Lsin x 12 8 cos x 0

0 12 8 cos x 0 L

=⇔ + = ⇔ < + =

Vậy phương trình vô nghiệm.


( ) ( ) 1 cos6x 1 cos2x

1 .cos2x 0 cos6x cos2x 1 0 22 2

+ +⇔ − = ⇔ − =

Cách giải 1

( ) ( )3 4 22 4 cos 2x 3cos2x cos2x 1 0 4 cos 2x 3cos 2x 1 0⇔ − − = ⇔ − − =

( )( )

2

2

cos 2x 1k

sin2x 0 2x k x , k1 2cos 2x L4

= π⇔ ⇔ = ⇔ = π ⇔ = ∈ = −

ℤ .

Cách giải 2

( ) ( ) 212 cos 8x cos 4x 1 0 cos 8x cos 4x 2 0 2cos 4x cos 4x 3 0

2⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − =

( )( )

cos 4x 1k

4x k2 x , k32cos 4x L

2

= π⇔ ⇔ = π ⇔ = ∈ = −

ℤ .

Cách giải 3. Phương trình lượng giác không mẫu mực

( ) ( ) cos6x cos2x 1 k

2 x , kcos6x cos2x 1 2

= = π⇔ ⇔ = ∈ = = −

ℤ .

Cách giải 4. Phương trình lượng giác không mẫu mực

( ) ( ) k

2 cos 8x cos 4x 2 0 cos 8x cos 4x 1 x , k2

π⇔ + − = ⇔ = = ⇔ = ∈ ℤ .


( ) 21 1 31 sin 2x sin 4x sin2x 0

2 2 2 2

π ∗ ⇔ − + − + − =

Bài 56. Giải phương trình: ( ) 2 2cos 3x cos2x cos x 0 1− =


Bài 57. Giải phương trình: ( ) 4 4 3cos x sin x cos x sin 3x 0

4 4 2

π π + + − − − = ∗

(Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2005)



( ) 21 1 1sin 2x cos 4x sin2x 02 2 2

⇔ − − − + − =

( ) 2 21 1 1 1sin 2x 1 2sin 2x sin2x 02 2 2 2

⇔ − − − + − =

( ) ( )

2sin2x 1

sin 2x sin2x 2 0 x k , ksin2x 2 L 4

= π⇔ + − = ⇔ ⇔ = + π ∈ = −

ℤ .

Lời bình: Từ việc xuất hiện các số 5 7,

2 2

π π là những bội số của

2

π, làm ta liên tưởng đến câu

"cos đối – sin bù – phụ chéo", thật vậy, các bạn để ý cách giải sau:


( ) ( ) ( )sin 2x 2 3cos x 4 1 2sin x2 2

π π ∗ ⇔ − − − π − − − + π = +

( ) ( ) cos 2x 2 3sin x 4 1 2sin x cos2x 3sin x 1 2sin x ⇔ − + π − − + π = + ⇔ + = +

( ) 2

x k

sin x 0x l22 sin x sin x 0 k;l;m1 6sin x

52 x m26

= π = π = + π⇔ − + = ⇔ ⇔ ∈ = π = + π

ℤ .

● Với

x k 1k 2 k 2

k 1 x2 2k ,x ;2 k k2

= π π < π < π < < ⇒ ⇔ ⇒ = ⇒ = π π ∈ ∈ π ∈ ∈ ℤ ℤ ℤ

.

● Với x l2 1 11

l2 2 l62 6 6 12l ll , x ;2

2

π = + π π π < + π < π < < ⇒ ⇔ ⇒ π ∈ ∈∈ ∈ π

ℤ ℤℤ Không tồn tại l ∈ ℤ nên loại

nghiệm x l26

π= + π .

● Với

5x m2 5 1 7

5m2 2 l6 m 0 x2 6 6 126m mm ,x ;2

2

π = + π π π π< + π < π − < < ⇒ ⇔ ⇒ = ⇒ = π ∈ ∈∈ ∈ π

ℤ ℤℤ.


sin 2x 3cos x 1 2sin x; x ;22 2 2

π π π + − − = + ∀ ∈ π ∗

Bài 59. Giải phương trình: ( ) ( ) 25 sin x 2 3 1 sin x tan x− = − ∗

(Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2004)




Điều kiện: cos x 0 sin x 1≠ ⇔ ≠ ± .

( ) ( ) ( )2 2

2 2

sin x sin x5 sin x 2 3 1 sin x 5 sin x 2 3 1 sin x

cos x 1 sin x∗ ⇔ − = − ⇔ − = −

−

2

2sin x5 sin x 2 3 2 sin x 3 sin x 2 0

1 sin x⇔ − = ⇔ + − =

+

( )( )

( )

1 x k2sin x N 6 k, l25sin x 2 L x l26

π = + π = ⇔ ⇔ ∈ π= − = + π

ℤ .


( )2

4 cos2x cos sin2x sin 5 cos 2x6 6 6

π π π ∗ ⇔ + − = −

24 cos 2x cos 2x 5 06 6

π π ⇔ − − − − =

( )( )

cos 2x 176

2x k2 x k , k5 6 12

cos 2x 1 L6 4

π − = − π π ⇔ ⇔ − = π + π ⇔ = + π ∈ π − = >

ℤ .


● Điều kiện: 2

2 2 sin x 0 sin x2

− ≠ ⇔ ≠ .

( ) ( )6 6 21 12 cos x sin x sin x cos x 0 2 1 sin 2x sin2x 0

2 2

∗ ⇔ + − = ⇔ − − =

( ) ( )

2sin2x 1

2 sin 2x 2sin2x 4 0 x k , ksin2x 2 L 4

= π⇔ − − + = ⇔ ⇔ = + π ∈ = −

ℤ

● Thay vào đk: 2

sin k 14 2

π + π = ± ≠ nên họ nghiệm phương trình là ( ) x k , k

4

π= + π ∈ ℤ .


sin2x 3 cos2x 5 cos 2x6

π + − = − ∗


( ) 6 62 cos x sin x sin x cos x

02 2sin x

+ −= ∗

−





● Điều kiện: 1 tan x 0 tan x 1

cos x 0 sin x 1

+ ≠ ≠ − ⇔ ≠ ≠ ±

( ) ( )2 sin x2 sin x 1 sin x 1 2sin x cos x 1

4 cos x

π ∗ ⇔ + + + − = +

( )( ) 2sin x cos x 2 sin x sin x 2 cos x sin x⇔ + − + + = +

( )( ) 2sin x cos x 2 sin x sin x 1 0⇔ + − + + =

( )( )

( )

( )

2

tan x 1 Lx k2sin x cos x 0

6sin x 1 L k, l72 sin x sin x 1 0

x l216sin x N

2

π= − = − + π+ = ⇔ ⇔ = ⇔ ∈ π− + + = = + π

= −

ℤ .


● Điều kiện: sin x 0

sin2x 0cos x 0

≠ ⇔ ≠ ≠

( ) ( )1 1

2 sin 3x cos 3xsin x cos x

∗ ⇔ − = +

( ) 3 3 sin x cos x2 3sin x 4 sin x 4 cos x 3cos x

sin x cos x

+⇔ − − + =

( ) ( ) 3 3 sin x cos x2 3 sin x cos x 4 sin x cos x

sin x cos x

+ ⇔ + − + =

( ) ( )( ) 2 2 sin x cos x2 3 sin x cos x 4 sin x cos x sin x cos x sin x cos x

sin x cos x

+ ⇔ + − + − + =

( ) ( ) sin x cos x

2 sin x cos x 3 4 1 sin x cos x 0sin x cos x

+ ⇔ + − − − =

( ) 1 2

sin x cos x 3 4 1 sin2x 02 sin2x

⇔ + − − − =

( )( ) 2sin x cos x 2 sin 2x sin2x 1 0⇔ + − − =


( )( )

1 sin x cos2x sin x4 1

cos x1 tan x 2

π + + + = ∗

+



2sin 3x 2cos 3xsin x cos x

− = + ∗



( ) 2

x ktan x 14

sin x cos x 0 1sin2x x l k, l,m

2sin 2x sin2x 1 2 12sin2x 1 7

x m12

π = ± + π = − + = π ⇔ ⇔ = − ⇔ = − + π ∈ − − = π

= + π

ℤ .

● Vậy họ nghiệm cần tìm là ( ) 7

x k x l x m k, l,m4 12 12

π π π= ± + π ∨ = − + π ∨ = + π ∈ ℤ .


Điều kiện: sin2x 1 x k4

π≠ − ⇔ ≠ − + π

( ) 22sin x cos x 3 2 cos x 2cos x 1 1 sin2x∗ ⇔ + − − = +

( )

( )

( )

( )

2

cos x 2 L x k2 N42cos x 3 2 cos x 2 0 2

cos x N x l2 L2 4

π= = + π ⇔ − + = ⇔ ⇔ π= = − + π


( ) ( ) ( )1 1 1cos x cos2x cos x sin x cos2x cos x2 2 2

∗ ⇔ + + − =

2cosxcos2x cos x sinxcos2x sinx cosx 1⇔ + + − =

( ) 2cos2x cos x sin x 1 cos x sin x cos x⇔ + = − +

( ) 2cos2x cos x sin x sin x sin x cos x⇔ + = +

( ) ( ) cos2x cos x sin x sin x sin x cos x 0⇔ + − + =

( )( ) sin x cos x cos2x sin x 0⇔ + − =

( )( ) 2sin x cos x 1 2sin x sin x 0⇔ + − − =

( ) 2

x k4

tan x 1 x l2sin x cos x 02sin x 1 k, l,m,n

2 sin x sin x 1 0x m21

6sin x2 5

x n26

π = − + π π= − = − + π+ = ⇔ ⇔ = − ⇔ ∈ π+ − = = + π= π = + π

ℤ .


( )

2cos x 2 sin x 3 2 2cos x 11

1 sin2x

+ − −= ∗

+

Bài 65. Giải phương trình: ( ) x 3x x 3x 1

cos x cos cos sin x sin sin2 2 2 2 2

− = ∗




● Điều kiện: sin2x 0 cos2x 1≠ ⇔ ≠ ±

( )2

2

11 sin 2x

1 cos2x 1 12 8 1 sin 2x 20cos2x 55 sin2x 2 sin2x 8 sin2x 2

− ∗ ⇔ = − ⇔ − = −

2 24sin 2x 20cos2x 13 0 4cos 2x 20cos2x 9 0⇔ + − = ⇔ − + − =

( )

( )( )

9cos2x L

2 x k , k1 6

cos2x N2

= π

⇔ ⇔ = ± + π ∈ =

ℤ .


● Điều kiện: sin x 0 cos x 1≠ ⇔ ≠ ± .

Do sin x 0≠ nên chia hai vế ( )∗ cho 2sin x , ta được: ( ) ( )2

4 2

cos x cos x3 2 2 2 3 2sin x sin x

∗ ⇔ + = +

( )

2

2

2 2 2

cos x23t 2 3 2 t 2 2 0 2t 2 t

3 sin xcos x cos x cos x 2t tsin x 3sin x sin x

+ + − = == ∨ = ⇔ ⇔ ⇔ = = =

2 2

2 2

cos x 2 sin x 0 2 cos x cos x 2 0

2sin x 3cos x 0 2cos x 3cos x 2 0

− = + − = ⇔ ⇔ − = + − =

( )

( )

( )

( )( )

cos x 2 L cos x 2 L x k24 k, l12 cos x Ncos x N x l222 3

π= − = − = ± + π ⇔ ∨ ⇔ ∈ π== = ± + π

ℤ .


( ) ( )2 6 23 2cos 2x 1 8 cos x 2cos x 3 0∗ ⇔ − − + + =

2 6 23cos 2x 4cos x cos x 0⇔ − + =

( ) 2

2 6 23 2cos x 1 4 cos x cos x 0⇔ − − + =

6 4 24cos x 12cos x 11cos x 3 0⇔ − + − + =

Bài 66. Giải phương trình: ( ) 4 4sin x cos x 1 1

cot2x5sin2x 2 8 sin2x

+= − ∗

(Trích đề thi dự bị 2 tuyển sinh Đại học khối A năm 2002)

Bài 67. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 23 cot x 2 2 sin x 2 3 2 cos x+ = + ∗

Bài 68. Giải phương trình: ( ) 6 23cos 4x 8 cos x 2cos x 3 0− + + = ∗

(Trích đề thi dự bị 1 Đại học khối B năm 2003)



( )( )

( )

2 22

2 22

1t N

124t 12t 11t 3 0 2cos x 1 0cos xt 1 N 2

t cos x 0 sin x 0cos x 13t L

2

= − + − + = − == ⇔ ⇔ = ⇔ ⇔ = ≥ = = =

( ) cos2x 0 x k

k, l4 2sin x 0 x l

π π = = + ⇔ ⇔ ∈ = = π

ℤ .

Lời bình: Từ việc xuất hiện cotx tan x− và sin2x , ta xem chúng có mối hệ như thế nào ? Có đưa về nhân tử chung hay cùng một cung hay không ? Câu trả lời nằm ở đầu đề: "các hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệ". Thật vậy, ta có:

2 2cos x sin x cos x sin x 2cos2xcotx tan x

sin x cos x sin x cos x sin2x

−− = − = = .


● Điều kiện:

sin x 0 sin x 1

cos x 0 cos x 1

sin2x 0 cos2x 1

≠ ≠ ± ≠ ⇔ ≠ ± ≠ ≠ ±

( ) 22cos2x 2cos 4x2cos 2x cos2x 1 0

sin2x sin2x∗ ⇔ = ⇔ − − =

( )( )

cos2x 1 L2

2x k2 x k , k1 3 3cos2x2

= π π⇔ ⇔ = ± + π ⇔ = ± + π ∈ = −

ℤ .


● Điều kiện:

sin x 0 sin x 1

cos x 0 cos x 1

sin2x 0 cos2x 1

≠ ≠ ± ≠ ⇔ ≠ ± ≠ ≠ ±

( )cos x sin x 2 2cos2x 2

4 sin2x 4 sin xsin x cos x sin2x sin2x sin2x

∗ ⇔ − + = ⇔ + =

2 2cos2x 2sin 2x 1 0 2cos 2x cos2x 1 0⇔ + − = ⇔ − − =

( )( )

cos2x 1 L2

2x k2 x k , k1 3 3cos2x2

= π π⇔ ⇔ = ± + π ⇔ = ± + π ∈ = −

ℤ .

Bài 69. Giải phương trình: ( ) 2cos 4x

cotx tan xsin2x

− = ∗

(Trích đề thi dự bị 1 khối B năm 2003)


cotx tan x 4 sin2xsin2x

− + = ∗




● Điều kiện: cos x 0 x k2

π≠ ⇔ ≠ + π .

● Cách giải 1

( )2

2 2 2 2

2 2

sin x 12 .cos x tan x 2 2 tan x. tan x 2cos x 1 tan x

∗ ⇔ + = ⇔ + =+

2 2 4 2 4 22tan x tan x tan x 2 2tan x tan x tan x 2 0⇔ + + = + ⇔ + − =

( )( )

2

2

tan x 1tan x 1 x k2 , k

tan x 2 L 4

= π⇔ ⇔ = ± ⇔ = ± + π ∈ = −

ℤ .

● Cách giải 2

( )2

2 2 2 2 2

2

sin x2 sin x 2 2 sin x cos x sin x 2cos x 0

cos x∗ ⇔ + = ⇔ + − =

( ) 2 2 2 2 4 22 1 cos x cos x 1 cos x 2cos x 0 2cos x cos x 1 0⇔ − + − − = ⇔ + − =

( )( )

2

2

2

cos x 1 Lk

2cos x 1 0 cos2x 0 x k , k1 4 2 4cos x2

= − π π π⇔ ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + = ± + π ∈ =

ℤ .


Ta có: ( )2

8 8 4 4 4 4sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x+ = + −

( ) 2

22 2 2 2 41

sin x cos x 2 sin x cos x sin 2x8

= + − −

2

2 41 11 sin 2x sin 2x

2 8

= − −

2 411 sin 2x sin 2x

8= − +

( ) 2 4 4 21 11 sin 2x sin 2x sin 2x 8 sin 2x 7 0

8 8∗ ⇔ − + = ⇔ − + =

( )( )

2

2

sin 2x 7 1 L kcos2x 0 x , k

sin 2x 1 4 2

= > π π⇔ ⇔ = ⇔ = + ∈ =

ℤ .

Bài 71. Giải phương trình: ( ) 2 22 sin x tan x 2+ = ∗

Bài 72. Giải phương trình: ( ) 8 8 1sin x cos x

8+ = ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Học Viện Quân Y năm 1997

Bài 73. Giải phương trình: ( ) 8 8 217sin x cos x cos 2x

16+ = ∗

(Trích đề thi tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1995)




Ta có: ( )2

8 8 4 4 4 4sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x+ = + −

( ) 2

22 2 2 2 41

sin x cos x 2 sin x cos x sin 2x8

= + − −

2

2 41 11 sin 2x sin 2x

2 8

= − −

2 411 sin 2x sin 2x

8= − +

( ) ( )2 4 2 4 21 1716 1 sin 2x sin 2x 1 sin 2x 2sin 2x sin 2x 1 0

8 16

∗ ⇔ − + = − ⇔ + − =

( )( ) ( )

2

2

sin 2x 1 L1 1 k1 cos 4x cos 4x 0 x , k1 2 2 8 4sin 2x

2

= − π π⇔ ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈ =

ℤ .


● Do ( )cos x 1

xcos 0 x k2 , k x

2 sin 12

= −= ⇔ = π + π ∈ ⇔ = ±

ℤ

Nên ( )

( ) 3

5VT : sin 5k sin 5k 1 x

2 2 cos 02

VP : 5cos x sin x 5

π π ∗ ⇔ + π = + π = ± ⇒ = ∗ ⇔ = ±

không là nghiệm ( )∗ .

● Nhân hai vế ( )∗ cho ( )x

cos 0, cos x 1 sin x 02

≠ ⇔ ≠ − ⇔ ≠ , ta được:

( ) 25x x x xsin cos 5cos x sin cos

2 2 2 2∗ ⇔ =

( ) 31 5sin 3x sin2x cos x sin x

2 2⇔ + =

3 33sin x 4 sin x 2sin x cos x 5cos x sin x⇔ − + =

( ) 2 3sin x 3 4 sin x 2cos x 5cos x 0⇔ − + − =

3 2

sin x 0

5cos x 4 cos x 2cos x 1 0

=⇔ − − − =

( )

β

sin x 0

cos x 1 x k2

1 21 x l2 k, l,mcos x cos10 x m21 21

cos x cos10

= = = π − −⇔ ⇔ = ±α + π ∈= = α = ±β + π − + = =

ℤ với

β

1 21cos

101 21

cos10

− − α = − + =

Bài 74. Giải phương trình: ( ) 35x xsin 5cos x sin

2 2= ∗




● Điều kiện: cos2x 0 sin2x 1

sin x 0 cos x 1

≠ ≠ ± ⇔ ≠ ≠ ±

● Ta có: cos x sin2x cos x cos2x sin x sin2x cos x

cotx tan2xsin x cos2x sin x cos2x sin x cos2x

++ = + = =

( ) 2cos x2sin x cos x 4 cos x

sin x cos2x∗ ⇔ =

2

2cos x2cos x

cos2x⇔ =

2 2cos x 2cos xcos2x 0⇔ − =

( ) 2cos x 1 2cos2x 0⇔ − =

( )

( )( )

2 cos x 0 N x kcos x 0 2 k,11 2cos2x 0 cos2x N x2 6

π = = + π= ⇔ ⇔ ⇔ ∈ π− = = = ± + π

ℤll

.


( ) 212x 4x1 cos 1 3 2cos 1

5 5

∗ ⇔ + + = −

3 24x 4x 4x4 cos 3cos 6cos 5 0

5 5 5⇔ − − + =

( )

( )

( )

( )

4xcos 1 N

5 5kx4x 1 21 2cos N k,

5 55 4x

4x 1 21 4 2cos L5 4

= π = −

⇔ = ⇔ ∈ α π = ± + + =

ℤll

.


Đặt: t x x t4 4

π π= − ⇒ = +

( ) 3tan t tan t 14

π ∗ ⇔ = + −

3tan tan t

4tan t 1

1 tan tan t4

π+

⇔ = −π

−

3 1 tan ttan t 1

1 tan ttan t 1 cos t 0

+ = −⇔ − ≠ ∧ ≠


Bài 76. Giải phương trình: ( ) 2 6x 8x2cos 1 3cos

5 5+ = ∗

Bài 77. Giải phương trình: ( ) 3tan x tan x 14

π − = − ∗



( )

3 4 3 2tan t tan t 2 tan t tan t tan t tan t 2 0

tan t 1 cos t 0 tan t 1 cos t 0

− = − + = ⇔ ⇔ ≠ ∧ ≠ ≠ ∧ ≠

( )

tan t 0 t ktan t 1 k,

t 2tan t 0 4

= = π = −⇔ ⇔ ∈ π = − + π ≠

ℤll

.


Điều kiện:

cos x 0 2sin x cos x 0 sin 2x 04 4 4 2

cos x 0 2sin x cos x 0 cos 2x 04 4 4 2

π π π π − ≠ − − ≠ − ≠ ⇔ ⇔ π π π π + ≠ + + ≠ + ≠

cos2x 0 sin2x 1⇔ ≠ ⇔ ≠ ± .

Ta có: tan x tan x tan x tan x cot x tan x 14 4 2 4 4 4 4

π π π π π π π − + = − + + = + + =

( ) 4 4 4sin 2x cos 2x cos 4x∗ ⇔ + = 2 211 sin 4x 1 sin 4x

2⇔ − = − 2sin 4x 0⇔ =

sin 4x 0 2sin2x cos2x 0⇔ = ⇔ =( )( )

( )

sin2x 0 N kx , k

cos2x 0 L 2

= π⇔ ⇔ = ∈ =

ℤ .


Điều kiện: sin x 0

sin2x 0 cos x 1cos x 0

≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ± ≠

.

Ta có: 2 2 2

cos2x cos x cos x cos2x sin x sin x cos x 11 cot2x cotx 1 .

sin2x sin x 2sin x cos x 2sin x cos x 2sin x

++ = + = = =

( ) 4 4 4 4

4 4 4 4

1 1 1 148 0 48 sin x cos x 48 sin x cos x

cos x sin x sin x cos x∗ ⇔ − − = ⇔ + = ⇔ + =

( ) 4

4 4 2 41sin x cos x 3 2sin x cos x 1 sin 2x 3sin 2x

2⇔ + = ⇔ − =

( )

( )( )

2

4 2

2

2sin 2x L k36sin 2x sin 2x 2 0 cos 4x 0 x , k

1 8 4sin 2x N

2

= − π π

⇔ + − = ⇔ ⇔ = ⇔ = + ∈ =

ℤ .



tan x tan x4 4

+= ∗

π π − +


Bài 79. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 2

1 248 1 cot2x cotx 0

cos x sin x− − + = ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Mỏ – Địa Chất năm 2001




( ) ( ) ( )8 10 8 10 5sin x 2sin x cos x 2cos x cos2x 0

4∗ ⇔ − + − − =

( ) ( ) 8 2 8 10 5sin x 1 2sin x cos x 1 2cos x cos2x 0

4⇔ − + − − =

8 8 5sin x cos2x cos x cos2x cos2x 0

4⇔ − − =

8 8 5cos2x sin x cos x 0

4

⇔ − − =

( )( ) ( )

8 8

cos2x 0 1

4 sin x cos x 5 2

=⇔ − =

Giải ( ) ( )k

1 2x k x , k2 4 2

π π π⇔ = + π ⇔ = + ∈ ℤ

Giải ( )2 : Ta có ( )8 8 8 8sin x cos x 1 VT 4 sin x cos x 4 5 VP− ≤ ⇒ = − ≤ = = (vô lý)

( )2 :⇒ Vô nghiệm.

Vậy họ nghiệm của phương trình là: ( )k

x , k4 2

π π= + ∈ ℤ .

Lời bình. Khi gặp phương trình lượng giác dạng ( )R tanX,cotX,sin2X,cos2X, tan2X với R là

hàm hữu tỷ thì ta đặt t tanX= . Khi đó:

2

2 2 2

2t 2t 1 ttan2X ; sin2X ; cos2X

1 t 1 t 1 t

−= = =

− + +. Hiển nhiên, lúc này phương trình

đã cho đưa về phương trình đại số với biến t mà ta có thể giải dễ dàng tìm t X→ . Lưu ý

rằng, ở đây X có thể là x x x

..., , , , x,2x,3x,4x,...4 3 2


● Điều kiện:

sin x 0sin2x 0

cos x 0tan x 1

tan x 1

≠ ≠ ≠ ⇔ ≠ − ≠ −

● Đặt t tan x , t 1= ≠ − .

( ) 2 2

2

2 2 2

1 2t 1 t 1 1 1 tcotx ; sin2x ; cos2x ; sin x 1 cos2x 1

t 2 21 t 1 t 1 t

− − ⇒ = = = = − = − + + +


4+ = + + ∗

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 2000


1 tan x 2− = + − ∗

+




( )2 2

2 2 2

1 1 t 1 1 1 t 1 2t1 . 1 .

t 1 t 2 21 t 1 t 1 t

− − ∗ ⇔ − = + − − ++ + +

( )( ) ( )( )

( )

22

2

t 1 N1 t 1 t 1 t t

2t t 1 0 VN

=⇔ − + = − ⇔ − + =

( ) tan x 1 x k , k4

π⇔ = ⇒ = + π ∈ ℤ (Nhận do sin2x 1 0= ≠ )


● Điều kiện: cos x 0≠

● Đặt: 2

2tt tan x sin2x

1 t= ⇒ =

+

( ) ( )3 2

2

2t2t 3 2t 3t 4t 3 0 t 1 x k , k

41 t

π∗ ⇔ + = ⇔ − + − = ⇔ = ⇔ = + π ∈

+ℤ .

Bài giải tham khảo ● Điều kiện: cos x 0≠

● Đặt 2

2tt tan x sin2x

1 t= ⇒ =

+

( ) ( ) 2

2t1 t 1 1 t

1 t

∗ ⇔ − + = + + ( )

( )( )( )

2

2

2

t 1t 1 t 1

1 t 1 t 1 t 1 tt 01 t 1

1 t

= − + = −⇔ − = + ⇔ ⇔− + =+ = +

( ) x kt 0 tan x 0

k,t 1 tan x 1 x 2

4

= π = = ⇔ ⇔ ⇔ ∈ π = − = − = − + π

ℤll

.


● Điều kiện: cos x 0 sin x 1≠ ⇔ ≠ ±

( )2 2

2

2sin x cos xcos2x cos x 2

cos x

− ∗ ⇔ + =

2 2cos2x cos x 2sin x cos x 2cos x 0⇔ + − − =

( ) 2 2 2cos x 2cos x 1 2 2cos x cos x 2cos x 0⇔ − + − − − =

3 22cos x 3cos x 3cos x 2 0⇔ − − + =


Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội khối A năm 2001

Bài 83. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 1 tan x 1 sin2x 1 tan x− + = + ∗

Bài 84. Giải phương trình: ( ) ( ) 2cos2x cos x 2 tan x 1 2+ − = ∗

(Trích đề thi dự bị 1 Đại học khối A năm 2003)



( )( ) ( )

cos x 2 L x k2

cos x 1 N k,x 2

1 3cos x2

= = π + π

⇔ = − ⇔ ∈ π = ± + π =

ℤll

.


( ) ( )2 32sin x cos x 6sin x cos x 2 3 cos x 6 3 cos x 3 3 8 3 cos x sin x 3 3∗ ⇔ + − − + + − =

( ) ( ) ( ) 22cos x sin x 3 cos x 6cos x sin x 3 cos x 8 sin x 3 cos x 0⇔ − + − − − =

( )( ) 2sin x 3 cos x 2cos x 6cos x 8 0⇔ − + − =

( )( )

2

tan x 3sin x 3 cos x 0 x k

cos x 1 k,32cos x 6cos x 8 0 x 2cos x 4 L

= π − = = + π ⇔ ⇔ = ⇔ ∈ + − = = π =

ℤll

Bài giải tham khảo ● Điều kiện: sin x 0≠

( )2

1 14 sin x 2 4 sin x 7 0

sin x sin x

∗ ⇔ + − + + − =

( )

( )

21 3

sin x 11 1 sin x 24 sin x 4 sin x 15 01 5sin x sin x

sin x 2sin x 2

+ = ⇔ + + + − = ⇔ + = −

( ) ( ) 21 2 sin x 3 sin x 2 0 VN⇔ − + =

( )( )

( )

2

sin x 2 L x k262 2 sin x 5 sin x 2 0 k,1 7sin x x 22 6

π = − = − + π ⇔ + + = ⇔ ⇔ ∈ π= − = + π

ℤll


● Điều kiện: cos x 0

cos 3x 0

≠ ≠


( ) ( ) ( ) 3sin2x cos x 3 2 3 cos x 3 3 cos2x 8 3 cos x sin x 3 3+ − − + − = ∗


2

1 14 sin x 4 sin x 7 0

sin xsin x

+ + + − = ∗


(Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1996)



( ) ( )tan x tan x tan 3x 2∗ ⇔ − =

( )

2

2

sin x 3xsin x sin x sin2x 2 sin x. 2 2 2

cos x cos x cos 3x cos x cos 3xcos x cos 3x

− − −⇔ = ⇔ = ⇔ =

( ) 2 2 32 sin x 2cos x cos 3x 0 1 cos x cos x 4 cos x 3cos x 0⇔ + = ⇔ − + − =

( ) 3 2 2 1 k4 cos x 4 cos x 1 0 cos x cos2x 0 x , k

2 4 2

π π⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈ ℤ .


● Điều kiện: sin x 0 cos x 1

sin2x 0 cos2x 1

≠ ≠ ± ⇔ ≠ ≠ ±

( ) 2sin 2x sin x sin2x cos x 1 2cos2x∗ ⇔ + − − =

2 2 2 24 sin x cos x 2sin x cos x cos x 1 4 cos x 0⇔ + − + − =

( ) ( ) 2 2 2 24 1 cos x cos x 2 1 cos x cos x cos x 4 cos x 1 0⇔ − + − − − + =

4 34 cos x 2cos x cos x 1 0⇔ + + − =

( )( ) 3 2cos x 1 4 cos x 2cos x 2cos x 1 0⇔ + − + − =

( ) cos x 1 x k2

k,1cos x x 2

2 3

= − = π + π ⇔ ⇔ ∈π = = ± + π

ℤll

.


( ) ( )2 22cos x 2cos x 1 8 cos x 7 cos x 1 0∗ ⇔ − − + − =

3 24 cos x 8 cos x 5cos x 1 0⇔ − + − =

( )

( )( )

x k2cos x 1 Nk,1

x 2cos x N32

= π= ⇔ ⇔ ∈π = ± + π=

ℤll

.


( ) ( )3 24 3 sin x 4 sin x 1 2 sin x 5 sin x 5 0∗ ⇔ − − + − + =


sin2x sin x 2cot2x2sin x sin2x

+ − − = ∗


2cos2x 8 cos x 7cos x

− + = ∗

(Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 2000)

Bài 90. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 4 sin 3x cos2x 5 sin x 1− = − ∗

(Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Luật năm 2000)



3 216sin x 8 sin x 7 sin x 1 0⇔ − + + + =

( )

x k2sin x 1 2

x 2 k, l,m1sin x sin

x m24

π = + π = ⇔ ⇔ = α + π ∈ = − = α = π − α + π

ℤl .


● Điều kiện: sin x 0 cos x 1≠ ⇔ ≠ ± .

● Đặt t sin x ; t 1= ≤

( ) ( ) ( )( )( )2 2 4 2

2

1 11 t t t t 1 t t 1 t 1 t 1 t 1

t t∗ ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ − = − + +

( ) ( ) 3 2t 1 t t 1 0 t 1 sin x 1 x k2 , k2

π ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + π ∈ ℤ .


( )2

1 1cos x 2 2 cos x 2 0

cos x cos x

∗ ⇔ + − − + + =

( )

( )

21

cos x 0 11 1 cos xcos x 2 cos x 01cos x cos x

cos x 2 2cos x

+ = ⇔ + − + = ⇔ + =

( )( ) ( )

2

2

1 cos x 1 0 : VN

2 cos x 2cos x 1 0 cos x 1 x k2 , k

⇔ + =

⇔ − + = ⇔ = ⇔ = π ∈ ℤ


● Điều kiện: cos x 0 sin2x 0 sin2x 0

sin x 0 cos2x 1

≠ ∧ ≠ ≠ ⇔ ≠ ≠ ±

( )sin x cos x 1

2 2 sin2xcos x sin x sin2x

∗ ⇔ + = +

2sin x sin2x2 cos2x 2 sin 2x 1 0

cos x⇔ + − − =


2

1 1sin x sin x

sin x sin x− = − ∗


2

1 1cos x 2 cos x 2 0

cos xcos x

+ − + + = ∗


2 tan x cotx 2sin2xsin2x

+ = + ∗



( ) 2 24 sin x cos2x 2 1 cos 2x 1 0⇔ + − − − =

( ) 22 1 cos2x cos2x 3 cos 2x 0⇔ − + − + =

22cos 2x cos2x 1 0⇔ − − =

( )( )

cos2x 1 Lx k , k1 3cos2x

2

= π⇔ ⇔ = ± + π ∈ = −

ℤ .



sin2x 0 cos2x 1cos x 0

≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ± ≠

.

Cách giải 1

( ) ( )2 2tan x cot x 2 1 tan x cotx 0∗ ⇔ + + + + =

2 2

2 2

sin x cos x sin x cos x2 1 0

cos x sin xcos x sin x

⇔ + + + + =

4 4 2 2 3 3sin x cos x 2sin x cos x 2sin x cos x 2sin x cos x 0⇔ + + + + =

2 21 11 sin 2x sin 2x sin2x 0

2 2⇔ − + + =

( ) ( ) sin2x 1 N x k , k4

π⇔ = − ⇔ = − + π ∈ ℤ .

Cách giải 2 (Phương trình đối xứng theo tan và cot)

● Đặt 2 2 2t tan x cotx ; t 2 tan x cot x t 2= + ≥ ⇒ + = − .

( ) ( )( )( )

2 2

t 0 Lt 2 2 1 t 0 t 2t 0

t 2 N

=∗ ⇔ − + + = ⇔ + = ⇔ = −

( ) ( ) sin x cos x

tan x cotx 2 2 sin2x 1 N x k , kcos x sin x 4

π⇔ + = ⇔ + = − ⇔ = − ⇔ = − + π ∈ ℤ .


( ) 21 111 sin 2x sin2x

2 8∗ ⇔ − = −

24 sin 2x 8 sin2x 3 0⇔ − + =

( )

( )( )

1sin2x N x k

2 12 k,3 5

sin2x L x2 12

π = = + π

⇔ ⇔ ∈ π = = + π

ll

ℤ

Bài 94. Giải phương trình: ( )2 2tan x cot x 2 1 tan x cotx 0+ + + + =

Bài 95. Giải phương trình: ( ) 4 4 11sin x cos x sin2x

8+ = − ∗




( ) ( )4 4 24 sin x cos x sin x cos x sin 4x∗ ⇔ − =

( )( ) 2 2 2 2 22 sin2x sin x cos x sin x cos x sin 4x 0⇔ − + − =

2 22sin2x cos2x sin 4x 0 sin 4x sin 4x 0⇔ − − = ⇔ + =

( )

k4x k xsin 4x 04 k,

sin 4x 1 4x 2 4x2 8 2

π = π = = ⇔ ⇔ ⇔ ∈π = − π π= − + π = − +

ℤlll

.


( ) ( )2x 2x 2x 2x

4 4 4 42cos cos 4 sin x 2 2 1 sin x2 2

π π π π+ + − + − +

∗ ⇔ + = + −

2cos2x cos 4 sin x 2 2 2 sin x 04

π⇔ + − − + =

( ) 2 cos2x 4 2 sin x 2 2 0⇔ + + − − =

( ) 22 2 sin x 4 2 sin x 2 0⇔ − + + =

( )( )

1 x k2sin x 6 k,25

sin x 2 1 L x 26

π = + π = ⇔ ⇔ ∈ π = > = + π

ll

ℤ


( ) 21 cos2x 1 cos 4x 1 cos6x 3cos 4x

2 2 2 2

+ + +∗ ⇔ + + + =

( ) 2 2

cos2x cos6x cos 4xcos 4x 0 2cos 4x cos2x cos 4x 2cos 4x 0

2

+ +⇔ + = ⇔ + + =

( ) ( ) 2cos 4x 2cos2x 1 2cos 4x 0 cos 4x 4 cos 2x 2cos2x 1 0⇔ + + = ⇔ + − =

Bài 96. Giải phương trình: ( ) 5 5 24 sin x cos x 4 cos x sin x sin 4x− = ∗

Bài 97. Giải phương trình: ( ) ( ) cos 2x cos 2x 4 sin x 2 2 1 sin x4 4

π π + + − + = + − ∗

Bài 98. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2 3cos x cos 2x cos 3x cos 4x

2+ + + = ∗



( )

kcos 4x cos xcos 4x 0

2 8 41 5 2

cos2x cos2x cos x k, ,m4 5 5

4 21 5 cos2x cos x mcos2x5 54

π π π = = += − + π π ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + π ∈ π π− + = = ± + π =

ℤl l .


● Điều kiện: cos2x 0 sin2x 1≠ ⇔ ≠ ± .

( )6 6

2 2sin x cos x 1 sin2x 3 11 sin 2x sin2x 3sin 2x sin2x 4 0

cos2x 4 cos2x 4 4

+∗ ⇔ = ⇔ − = ⇔ + − =

( )

( )( )

sin2x 1 L

4sin2x L

3

=⇔ ⇒ ∗ = −

Vô nghiệm.


( ) 2 231 sin 2x sin2x 3sin 2x 4 sin2x 4 0

4∗ ⇔ − = ⇔ + − =

( )

sin x 2 L x k2 2k, ; sin2 x 2 3sin x sin

3

= − = α + π ⇔ ⇔ ∈ α = = π − α + π = = α

ℤll

.


Câu 51. Giải phương trình: 34 cos x 3 2 sin2x 8 cos x+ =

Câu 52. Giải phương trình: 26sin 3x cos12x 14+ =

Câu 53. Giải phương trình: 3 tan x cotx 1 3+ = +

Câu 54. Giải phương trình: tan x 3 cotx 1 3− + =


1 34

sin x cos xsin x cos x+ =


14 tan x 2 0

cos x− + =


1cotx 3

sin x= +


2 2

sin x cos x 1tan2x4cos x sin x

+= ∗

−

Bài 100. Giải phương trình: ( ) 6 6sin x cos x sin2x+ = ∗




Câu 58. Giải phương trình: ( ) 2

2 21 2 2 sin x

1 cot x− + = −

+


4cos x 9 0

1 tan x+ − =

+

Câu 60. Giải phương trình: ( )4 4 172 sin x cos x cos 2x 0

2

π + − − =

Câu 61. Giải phương trình: sin 4x tan x=

Câu 62. Giải phương trình: 4 4 4 9sin x sin x sin x

4 4 8

π π + + + − =

Câu 63. Giải phương trình: tan x cotx 4+ =

Câu 64. Giải phương trình: ( ) 2sin x 3 2 2cos x 2 sin x 1

11 sin2x

− − −=

−

Câu 65. Giải phương trình: 44 cos x 3 2 sin2x 8 cos x+ =

Câu 66. Giải phương trình: 1 1 2

cos x sin2x sin 4x+ =

Câu 67. Giải phương trình: sin2x 2 sin x 14

π + − =

Câu 68. Giải phương trình: ( ) ( )2 2sin x 1 4 sin x 1 cos 2x sin 2x4 4

π π − = − − + − +

Câu 69. Giải phương trình: 24xcos cos x

3=

Câu 70. Giải phương trình: x

tan cos x sin2x 02

+ =

Câu 71. Giải phương trình: 1 3 tan x 2sin2x+ =

Câu 72. Giải phương trình: 2 3x 4x2cos 1 3cos

5 5+ =

Câu 73. Giải phương trình: cotx tan x 2 tan2x= +

Câu 74. Giải phương trình: 2 3x2cos 1 3cos2x2

+ =

Câu 75. Giải phương trình: 23cos 4x 2cos 3x 1− =

Câu 76. Giải phương trình: x

cos x tan 12

+ =

Câu 77. Giải phương trình: 23 tan2x 4 tan 3x tan 3x tan2x− =

Câu 78. Giải phương trình: 2 3cos x cos 4x cos2x cos 3x cos 4x

2+ + =

Câu 79. Giải phương trình: ( )( )1 tan x 1 sin2x 1 tan x− + = +

Câu 80. Giải phương trình: 6 6 213sin x cos x cos 2x

8+ =

Câu 81. Giải phương trình: 6 6 1sin x cos x cos2x

16+ = +

Câu 82. Giải phương trình: ( )25sin x 2 3 tan x 1 sin x− = −




4 1sin x sin x 1

8+ − =

Câu 84. Giải phương trình: 28x 2xcos cos

3 3=

Câu 85. Giải phương trình: 2 xcos2x 3cos x 4 cos2

− =

Câu 86. Giải phương trình: 2cos5x cosx cos4x cos2x 4 3sin x= + − Câu 87. Giải phương trình: 2cos x cos2x 1 cos2x cos 3x= + +

Câu 88. Giải phương trình: ( )sin 3x cos2x 2 sin2x cos x 1+ = −

Câu 89. Giải phương trình: ( )4 42 cos 2x sin 2x cos 8x cos 4x 0− + − =

Câu 90. Giải phương trình: ( ) 2 x 5 17 1 92cos 2 2x cos 10cos x sin x

2 2 2 2 2

π π π − + − − − = −


4 cos x cos 2x3 3 2

π π − + + =

Câu 92. Giải phương trình: 4 4 5sin x cos x 2 sin x

2+ = −

Câu 93. Giải phương trình: 6 6 1sin x cos x sin2x

4+ =

Câu 94. Giải phương trình: 2 23sin 2x 8 sin x 11 3cos2x

0sin2x

+ − −=

Câu 95. Giải phương trình: ( ) 2cos2x 3 2 2sin x 3 2sin x

1 0sin2x 1

+ + −− =

+

Câu 96. Giải phương trình: sin x 1

11 cos2x

+=

+

Câu 97. Giải phương trình: cos2x 3cot2x sin 4x

2cot2x cos2x

+ +=

−

Câu 98. Giải phương trình:

4 4

4

x xsin cos

2 2 cos x

tan x tan x4 4

+=

π π − +


2

1 1cos x cos x

cos xcos x+ = +

Câu 100. Giải phương trình: ( )( )cos2x 5 2 2 cos x sin x cos x+ = − −



C – PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS (PT CỔ ĐIỂN)

��

Dạng: ( ) { }( ) a sin x b cos x c , a,b \ 0+ = ∗ ∈ ℝ

� Phương pháp 1:

Điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 2a b c+ ≥

Chia 2 vế phương trình cho 2 2a b 0+ ≠ , ta được:

( )2 2 2 2 2 2

a b csin x cos x

a b a b a b∗ ⇔ + =

+ + +.

Đặt ( ) 2 2 2 2

a bsin ;cos , 0;2

a b a b

α = α = α ∈ π + +

. Phương trình trở thành:

2 2 2 2

c csin sin x cos cos x cos(x )

a b a bα + α = ⇔ − α =

+ + đã biết cách giải.

� Phương pháp 2:

Kiểm tra xem x x

cos 0 k x k22 2 2

π= ⇔ = + π ⇔ = π + π có phải là nghiệm hay không ? Nếu

phải thì ghi nhận nghiệm này.

Với x x

cos 0 k x k22 2 2

π≠ ⇔ ≠ + π ⇔ ≠ π + π , ta đặt:

2

2 2

x 2t 1 tt tan sin x , cos x

2 1 t 1 t

−= ⇒ = =

+ +. Thay vào phương trình, ta được:

( ) ( ) 2(b c)t 2at c b 0∗ ⇔ + − + − = ∗ ∗ .

Vì x k2 b c 0≠ π + π ⇔ + ≠ nên ( )∗ ∗ có nghiệm khi:

2 2 2 2 2 2' a (c b ) 0 a b c∆ = − − ≥ ⇔ + ≥ .

Giải phương trình ( )∗ ∗ , ứng với mỗi nghiệm t ta có phương trình: x

tan t x2

= ⇒



cos7x 3 sin 7x 2 , x ;5 7

π π − = − ∗ ∀ ∈


x xsin cos 3 cos x 22 2

+ + = ∗


tan x sin2x cos2x 2 2cos x 0cos x

− − + − = ∗


( )( )( )

1 2sin x cos x3

1 2sin x 1 sin x

−= ∗

+ −




8 sin xcos x sin x

= + ∗

Bài 106. Giải phương trình: ( ) ( ) 3sin x cos x sin2x 3 cos 3x 2 cos 4x sin x+ + = + ∗

Bài 107. Giải phương trình: ( ) 33sin 3x 3 cos9x 1 4 sin 3x− = + ∗

Bài 108. Giải phương trình: ( ) 3 cos5x 2sin 3x cos2x sin x 0− − = ∗

Bài 109. Giải phương trình: ( ) 9sin x 6cos x 3 sin2x cos2x 8+ − + = ∗

Bài 110. Giải phương trình: ( ) sin2x 2cos2x 1 sin x 4 cos x+ = + − ∗

Bài 111. Giải phương trình: ( ) 2sin2x cos2x 7 sin x 2cos x 4− = + − ∗

Bài 112. Giải phương trình: ( ) sin2x cos2x 3sin x cos x 2− = + − ∗

Bài 113. Giải phương trình: ( ) 32cos x cos2x sin x 0+ + = ∗


1 cos2x1 cot2x

sin 2x

−+ = ∗

Bài 115. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 44 sin x cos x 3 sin 4x 2+ + = ∗

Bài 116. Giải phương trình: ( ) 3 3 11 sin 2x cos 2x sin 4x

2+ + = ∗

Bài 117. Giải phương trình: ( ) ( ) tan x 3cotx 4 sin x 3 cos x− = + ∗

Bài 118. Giải phương trình: ( ) 3 3sin x cos x sin x cos x+ = − ∗

Bài 119. Giải phương trình: ( ) 4 4 1cos x sin x

4 4

π + + = ∗

Bài 120. Giải phương trình: ( ) 3 34 sin x cos 3x 4 cos x sin 3x 3 3 cos 4x 3+ + = ∗

Bài 121. Giải phương trình: ( )2 2 sin x cos x cos x 3 cos2x+ = + ( ) ∗

Bài 122. Giải phương trình: ( )( )2cos x 1 sin x cos x 1− + = ( ) ∗

Bài 123. Giải phương trình: ( )2cos2x 6 cos x sin x= − ( ) ∗

Bài 124. Giải phương trình: 2cos3x 3 sin x cos x 0+ + = ( ) ∗

Bài 125. Giải phương trình: ( ) sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2+ + + = ∗


cos x 3 sin xcos x 3 sin x 1

+ = ∗+ −

Bài 127. Giải phương trình: sin x cos x cos2x+ = ( ) ∗

Bài 128. Giải phương trình: 34 sin x 1 3sin x 3 cos 3x− = − ( ) ∗

Bài 129. Giải phương trình: ( ) cos7x cos5x 3 sin2x 1 sin7x sin5x− = − ∗

Bài 130. Giải phương trình: ( )4 sin2x 3cos2x 3 4 sin x 1− = − ( ) ∗


tan x sin2x cos2x 4 cos xcos x

− − = − + ( ) ∗



Bài 132. Giải phương trình: ( ) 2 x2 3 cos x 2 sin

2 41

2cos x 1

π − − − =

−( ) ∗

Bài 133. Giải phương trình: ( ) ( )2

3cos x 4 sin x 6 2 3 3cos x 4 sin x 6− − + = − − − ( ) ∗

Bài 134. Giải phương trình: ( ) sin x sin2x

3cos x cos2x

−= ∗

−

Bài 135. Giải phương trình: ( ) sin 3x 3 cos3x 2sin2x− = ∗


cos x sin2x3

2cos x sin x 1

−= ∗

− −


tan x 3cos x

− = ∗

Bài 138. Giải phương trình: ( ) 33sin 5x 3 cos15x 1 4 sin 5x− = + ∗

Bài 139. Giải phương trình: ( ) 3 3 5cos x cos 3x sin x sin 3x

8− = ∗

Bài 140. Giải phương trình: ( ) 10cos x 3cotx 4= + ∗

Bài 141. Giải phương trình: ( ) ( ) cos 3x sin x 3 cos x sin 3x− = − ∗


4 sin2x 3cos2x 5cos 3x 02

π − − + = ∗

Bài 143. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2x 34 sin 3 cos2x 1 2cos x , x 0;

2 4

π − = + − ∗ ∀ ∈ π

Bài 144. Giải phương trình: ( ) cos2x 3 sin2x 3 sin x cos x 4 0− − − + = ∗

Bài 145. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 3

sin x cos x 2 sin2x 1 sin x cos x 2+ − + + + = ∗

Bài 146. Giải phương trình: ( ) 2 23 cos x 2sin x cos x 3 sin x 1 0+ − − = ∗


1 2sin x cos x 1 sin x cos x+ = + + ∗

Bài 148. Giải phương trình: ( ) 34 sin x 1 3sin x 3 cos 3x− = − ∗

Bài 149. Giải phương trình: ( ) ( ) 6 68 sin x cos x 3 3 cos2x 11 3 3 sin 4x 9sin2x+ − = − − ∗

Bài 150. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 sin2x 2cos x 1 3cos x 2 cos2x cos 3x+ + + = + ∗



HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS

(PT CỔ ĐIỂN)

��


( ) 3 1 2sin7x cos7x

2 2 2∗ ⇔ − = sin 7x cos cos7x sin sin

6 6 4

π π π⇔ − =

sin 7x sin6 4

π π ⇔ − = ( )

5 k2x7x k2

84 76 4 k,3 11 2

7x 2 x6 4 84 7

π ππ π = +− = + π

⇔ ⇔ ∈π π π π − = + π = +

ll

lℤ

53x

2 5 k2 6 841,19 k 2,79 k 22 6 55 84 7 7Do x ; 0,94 2,54 1 x

2 11 2 65 7 12k, 2 595 84 7 7 x

84

π = π π π π < < = < + < π π π ∈ ⇔ ⇔ < < ⇔ = ⇔ = π π π π < + < ∈ = π =

l ll

l lℤ

Vậy nghiệm cần tìm của phương trình là: 53 5 59

x ; x ; x84 12 84

π π π= = = .


( ) 1 sin x 3 cos x 2∗ ⇔ + + =1 3 1sin x cos x2 2 2

⇔ + = sin x cos cos x sin sin3 3 6

π π π⇔ + =

sin x sin3 6

π π ⇔ + = ( )

x k2 x k23 6 6 k,

5x 2 x 2

3 6 2

π π π + = + π = − + π

⇔ ⇔ ∈ π π π + = + π = + π

ll l

ℤ .



cos7x 3 sin7x 2 , x ;5 7

π π − = − ∗ ∀ ∈

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1997 – 1998


x xsin cos 3 cos x 22 2

+ = = ∗



tan x sin2x cos2x 2 2cos x 0cos x

− − + − = ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Luật năm 1998



● Điều kiện: ( ) cos x 0 sin x 1≠ ⇔ ≠ ± ∗ ∗

( ) sin x 2 sin x cos x cos x cos x cos 2x 2 cos 2x 0∗ ⇔ − − + =

( ) ( ) 2sin x 1 2 cos x cos2x cos x 2 0⇔ − − − = ( )sin x cos2x cos2x cos x 2 0⇔ + − =

( ) cos2x sin x cos x 2 0⇔ + − =

( )( )

2x kcos2x 0 2 x k , ksin x cos x 2 4 2sin x 2 L

4

π = + π = π π ⇔ ⇔ ⇔ = + ∈ π+ = + =

ℤ

● Thay vào ( )∗ ∗ , ta được họ nghiệm phương trình là: ( )x k , k4 2

π π= + ∈ ℤ .

Lời bình. Đối với phương trình bậc nhất với sin và cos dạng: a sin x bcos x c+ = thì các bạn học

sinh có thể giải một cách dễ dàng bằng cách chia hai vế cho 2 2 2a b c+ ≥ . Nhưng nếu

gặp dạng:

( )( )

( )( )

a sin x bcos x a ' sin kx 1

a sin x bcos x a ' cos kx 2 k 1

a sin x bcos x a ' sin kx b ' cos kx 3

+ =

+ = ≠

+ = +

thì hướng giải quyết

như thế nào ? Cứ bình tĩnh, ta xem vế trái của ( ) ( )1 , 2 là phương trình bậc nhất theo sin và

cos thì cách làm cũng tương tự như dạng: a sin x bcos x c+ = . Còn đối với dạng ( )3 , ta

coi hai vế của phương trình là hai phương trình bậc nhất đối với sin và cos, hiển nhiên cách giải cũng tương tự. Nhưng lưu ý rằng, ta phải chuyển vế sao cho vế trái là cùng một cung, vế phải là cùng một cung. Hãy chiêm nghiệm hướng suy nghĩ đó qua lời giải sau.


● Điều kiện: ( ) sin x 1 cos x 0

1 1sin x sin x

2 2

≠ ≠ ⇔ ∗ ∗ ≠ − ≠ −

( ) ( )2cos x sin2x 3 1 sin x 2 sin x 2 sin x∗ ⇔ − = − + −

cos x sin2x 3 cos2x 3 sin x⇔ − = +

3 1 1 3cos 2x sin 2x cos x sin x

2 2 2 2⇔ + = −

cos2x cos sin sin2x cos x cos sin sin x6 6 3 3

π π π π⇔ + = −

( ) x k2

2cos 2x cos x k,26 3

x18 3

π = + π π π ⇔ − = + ⇔ ∈ π π = − +

ll

ℤ .


( )( )( )

1 2sin x cos x3

1 2sin x 1 sin x

−= ∗

+ −




● Thay vào ( )∗ ∗ , ta được nghiệm của phương trình là: ( )2

x ,18 3

π π= − + ∈

ll ℤ .


● Điều kiện: ( ) cos x 0

sin 2x 1sin x 0

≠ ⇔ ≠ ± ∗ ∗ ≠

( ) 28 sin x cos x 3 sin x cos x∗ ⇔ = +

( ) 4 cos x 1 cos2x 3 sin x cos x⇔ − = +

3 cos x 4 cos2x cos x 3 sin x⇔ − =

( ) 3 cos x 2 cos 3x cos x 3 sin x⇔ − + =

cos x 3 sin x 2 cos 3x⇔ − =

1 3

cos 3x cos x sin x2 2

⇔ = −

( ) x k

6cos 3x cos x k,3

x12 2

π = + π π ⇔ = + ⇔ ∈ π π = − +

ll

ℤ

● Thay vào ( )∗ ∗ , ta được họ nghiệm phương trình là: ( ) x k x , k,6 12 2

π π π= + π ∨ = − + ∈

ll ℤ .


( )3 sin x sin 3x

sin x sin 2x cos x 3 cos 3x 2 cos 4x2

−∗ ⇔ + + = +

2 sin x 2 sin 2x cos x 2 3 cos 3x 4 cos 4x 3 sin x sin 3x⇔ + + = + −

( ) 1

2 sin x 2. sin 3x sin x 2 3 cos 3x 4 cos 4x 3 sin x sin 3x2

⇔ + + + = + −

2 sin 3x 2 3 cos 3x 4 cos 4x⇔ + =

3 1cos 3x sin 3x cos 4x

2 2⇔ + =

( ) x k2

6cos 3x cos 4x k,26

x42 7

π = − + π π ⇔ − = ⇔ ∈ π π = +

ll

ℤ .


8 sin xcos x sin x

= + ∗

Bài 106. Giải phương trình: ( ) ( ) 3sin x cos x sin2x 3 cos3x 2 cos4x sin x+ + = + ∗





( ) ( )33sin 3x 4 sin 3x 3 cos9x 1∗ ⇔ − − =

sin 9x 3 cos 9x 1⇔ − =

1

sin 9x cos cos 9x sin3 3 2

π π⇔ − =

sin 9x sin3 6

π π ⇔ − =

( )

k29x k2 x

3 6 18 9 k,7 2

9x 2 x3 6 54 9

π π π π − = + π = +

⇔ ⇔ ∈ π π π π − = π − + π = +

ll

lℤ .


( ) 3 cos 5x sin 5x sin x sin x 0∗ ⇔ − − − =

3 1cos 5x sin x sin x

2 2⇔ − =

sin 5x sin x3

π ⇔ − =

( )

k5x x k2 x

3 12 2 k,2

5x x 2 x3 9 3

π π π − = + π = +

⇔ ⇔ ∈ π π π − = π − + π = +

ll

lℤ .


( ) 29 sin x 6 cos x 6 sin x cos x 2 cos x 9∗ ⇔ + − + =

( ) ( ) 29 sin x 1 6 cos x 1 sin x 2 cos x 0⇔ − + − + =

( )( ) 2sin x 1 9 6 cos x 2 cos x 0⇔ − − + =

( )( ) ( )( ) 1 sin x 6 cos x 9 2 1 sin x 1 sin x 0⇔ − − + − + =

( )( ) 1 sin x 6 cos x 9 2 2 sin x 0⇔ − − + + =

Bài 107. Giải phương trình: ( )os 33sin 3x 3c 9x 1 4 sin 3x− = + ∗

Bài 108. Giải phương trình: ( ) 3 cos5x 2sin 3x cos s2x sin x 0− − = ∗


Bài 109. Giải phương trình: ( ) 9 sin x 6cos x 3 sin2x cos2x 8+ − + = ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1997 – 1998



( )( )

sin x 1 1

6cos x 2 sin x 7 2

=⇔ + =

● Giải ( ) ( )1 x k2 , k2

π⇔ = + π ∈ ℤ

● Giải 6cos x 2sin x 7+ = ⇒ Phương trình vô nghiệm do 2 2 26 2 7+ < .

● Vậy họ nghiệm của phương trình là: ( )x k2 , k2

π= + π ∈ ℤ .


( ) 22 sin x cos x 4 cos x 2 1 sin x 4 cos x∗ ⇔ + − = + −

( ) ( ) ( ) 24 cos x 1 sin x 2 cos x 1 2 2 cos x 1 0⇔ − + − + − =

( )( ) 2 cos x 1 2 cos x 1 sin x 2 0⇔ − + + + =

( ) ( )

2cos x 1 0cos x cos x k2 , k

2cos x sin x 3 VN 3 3

− = π π⇔ ⇔ = ⇔ = ± + π ∈ + = −

ℤ .


( ) 2 sin 2x 2 cos x cos2x 4 7 sin x 0∗ ⇔ − − + − =

( ) 22 cos x 2 sin x 1 1 2 sin x 4 sin x 6 sin x 0⇔ − − + + − − =

( ) ( ) ( ) 2 cos x 2 sin x 1 sin x 2 sin x 1 3 2 sin x 1 0⇔ − + − − − =

( )( ) 2 sin x 1 2 cos x sin x 3 0⇔ − + − =

( )( )

1 x k2sin x sin 6 k,2 65

2 cos x sin x 3 0 VN x 26

π π = + π = = ⇔ ⇔ ∈ π+ − = = + π

ll

ℤ .


( ) 22 sin x cos x 1 2 sin x 3 sin x cos x 2 0∗ ⇔ − + − − + =

( ) ( ) ( ) 22 sin x cos x cos x 2 sin x sin x 2 sin x 1 0⇔ − + − − − =

( ) ( ) ( ) cos x 2 sin x 1 sin x 2 sin x 1 2 sin x 1 0⇔ − + − − − =

Bài 110. Giải phương trình: ( ) sin2x 2cos2x 1 sin x 4 cos x+ = + − ∗

Bài 111. Giải phương trình: ( ) 2 sin2x cos2x 7 sin x 2cos x 4− = + − ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 2001

Bài 112. Giải phương trình: ( ) sin2x cos2x 3 sin x cos x 2− = + − ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Nông Nghiệp I khối B năm 2001



( )( ) 2 sin x 1 cos x sin x 1 0⇔ − + − =

1sin x sin2 sin x 1 0 2 6

cos x sin x 1 cos x cos4 4

π = = − = ⇔ ⇔ π π+ = − =

( )

5x k2 x l2

6 6 k, l,m,n

x m2 x n22

π π = + π ∨ = + π

⇔ ∈π = + π ∨ = π

ℤ .


( ) ( )3 22 cos x 2 cos x sin x 1 0∗ ⇔ + + − =

( ) ( ) 22 cos x cos x 1 sin x 1 0⇔ + + − =

( )( )( ) ( ) 2 1 sin x 1 sin x cos x 1 1 sin x 0⇔ − + + − − =

( ) ( )( ) 1 sin x 2 1 sin x 1 cos x 1 0 ⇔ − + + − =

( )( ) 1 sin x 1 2 cos x 2 sin x 2 sin x cos x 0⇔ − + + + =

( ) ( ) ( ) 2

1 sin x sin x cos x 2 sin x cos x 0

⇔ − + + + =

( ) 21 sin x 2 sin x 2 2 sin x 04 4

π π ⇔ − + + + =

2

1 sin x 0

2 sin x 2 2 sin x 04 4

− = ⇔ π π + + + =

( )

( )

sin x 1x k2

2sin x 0 k,4

x4

sin x 2 L4

= π = + π π ⇔ + = ⇔ ∈ π = − + π π + = −

ll

ℤ .


● Điều kiện: ( ) sin 2x 0 cos 2x 1≠ ⇔ ≠ ± ∗ ∗

Bài 113. Giải phương trình: ( ) 32cos x cos2x sin x 0+ + = ∗


1 cos2x1 cot2x

sin 2x

−+ = ∗



( )( )( )

sin 2x cos2x 1 cos 2x

sin 2x 1 cos 2x 1 cos 2x

+ −∗ ⇔ =

− +

( )( ) sin 2x cos 2x 1 cos 2x sin 2x⇔ + + =

2sin 2x sin 2x cos2x cos2x cos 2x sin2x 0⇔ + + + − =

( ) cos 2x sin 2x cos 2x 1 0⇔ + + =

cos 2x 0

x k x l x m3cos 2x cos 4 2 2 4

4 4

= π π π π ⇔ ⇔ = + ∨ = + π ∨ = − + ππ π − =

● Thay vào ( )∗ ∗ ⇒ họ nghiệm phương trình là ( ) x k , k4 2

π π= + ∈ ℤ .


( )3 cos 4x

4 3 sin 4x 24

+∗ ⇔ + =

3 1sin 4x cos 4x 1

2 2⇔ + = −

( ) cos 4x 1 4x k2 x k , k3 3 3 2

π π π π ⇔ − = − ⇔ − = π + π ⇔ = + ∈ ℤ .


( ) ( )( )1

1 sin2x cos2x 1 sin2x cos2x sin 4x2

∗ ⇔ + + − =

( ) 1 1

1 sin 4x sin2x cos2x 1 sin 4x 02 2

⇔ − + + − =

( ) 1

1 sin 4x sin2x cos2x 1 02

⇔ − + + =

( )

1 sin 4x 2 L1 sin 4x 02

sin2x cos2x 1sin2x cos2x 1 0

=− = ⇔ ⇔ + = −+ + =

( ) x k3 42 cos 2x 1 cos 2x cos k,

4 4 4x

2

π = − + π π π π ⇔ − = − ⇔ − = ⇔ ∈ π = + π

ll

ℤ .


1 cos2x1 cot2x

sin 2x

−+ = ∗

Bài 116. Giải phương trình: ( ) 3 3 11 sin 2x cos 2x sin 4x

2+ + = ∗





sin2x 0 cos2x 1cos x 0

≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ± ≠

.

( ) ( )sin x 3cos x4 sin x 3 cos x

cos x sin x∗ ⇔ − = +

( ) 2 2sin x 3cos x 4 sin x cos x sin x 3 cos x 0⇔ − − + =

( )( ) ( ) sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2 sin2x sin x 3 cos x 0⇔ − + − + =

( )( ) sin x 3 cos x sin x 3 cos2x 2sin2x 0⇔ + − − =

( ) tan x 3sin x 3 cos x 0 x k

3 k,1 3 4sin x sin2xsin x cos2x sin2x x32 2 9 3

π= −+ = = − + π ⇔ ⇔ ⇔ ∈π π π− = − = = +

ll

ℤ .


( ) 3 3sin x sin x cos x cos x 0∗ ⇔ − + + =

( ) 2 3sin x sin x 1 cos x cos x 0⇔ − + + =

2 3sin x cos x cos x cos x 0⇔ − + + =

( ) 2cos x sin x cos x cos x 1 0⇔ − + + =

1 1 cos2x

cos x sin2x 1 02 2

+ ⇔ − + + =

sin2x cos2x 3

cos x 02

− + + ⇔ =

( ) ( )

o

cos x 0x k , k

sin2x cos2x 3 VN do : 1 1 9 2

= π⇔ ⇔ = + π ∈− + = − + <

ℤ .


BàBàBàBài i i i 117117117117. Giải phương trình: ( ) ( ) tan x 3cotx 4 sin x 3 cos x− = + ∗


Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Thủy Sản năm 1996

Bài 119. Giải phương trình: ( ) 4 4 1cos x sin x

4 4

π + + = ∗



( )

2

2 1 cos 2x21 cos2x 1

2 2 4

π − − + ∗ ⇔ + =

( ) ( ) 2 2

1 cos2x 1 sin2x 1 cos2x sin2x 1⇔ + + + = ⇔ + = −

( ) x k1 3 2cos 2x cos k,

4 42 x4

π = + π π π ⇔ − = − = ⇔ ∈ π = − + π

ll

ℤ .


( ) ( ) ( )3 4 3 34 sin x 4cos x 3cos x 4 cos x 3sin x 4 sin x 3 3 cos4x 3∗ ⇔ − + − + =

3 312sin x cos x 12cos x sin x 3 3 cos4x 3⇔ − + + =

( ) 2 24 sin x cos x sin x cos x 3 cos4x 1⇔ − + + =

2sin2x cos2x 3 cos4x 1⇔ + =

sin 4x 3 cos4x 1⇔ + =

1 3 1sin 4x cos 4x2 2 2

⇔ + =

( )

kx

24 2sin 4x sin k,3 6

x8 2

π π = − + π π ⇔ + = ⇔ ∈ π π = +

ll

ℤ .


( ) 22 2 sin x cos x 2 2 cos x cos2x 3∗ ⇔ + − =

( )

2 2 1 cos2x2 sin2x cos2x 3

2

+⇔ + − =

( ) 2 sin2x 2 1 cos2x 3 2⇔ + − = −

Phương trình đã cho vô nghiệm do ( ) ( )

( )

2 22 2

22 2 2

a b 2 2 1 5 2 2

c 3 2 11 6 2 a b

+ = + − = − = − = − > +

Bài 120. Giải phương trình: ( ) 3 34 sin x cos 3x 4 cos x sin 3x 3 3 cos 4x 3+ + = ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Học Viện Bưu Chính Viễn Thông năm 2001

Bài 121. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 sin x cos x cos x 3 cos2x+ = + ∗




( ) 22 sin x cos x 2cos x sin x cos x 1∗ ⇔ + − − =

2sin2x 2cos x 1 sin x cos x⇔ + − = + sin2x cos2x sin x cos x⇔ + = +

sin 2x sin x4 4

π π ⇔ + = +

( ) x k22x x k2

4 4 k,2x2x x 2 6 34 4

π π = π + = + + π ⇔ ⇔ ∈ π ππ π = + + = π − − + π

lll

ℤ .


( ) ( ) ( )2 22 cos x sin x 6 cos x sin x 0∗ ⇔ − − − =

( )( )( )( )

sin x cos x 0 1sin x cos x 2sin x 2cos x 6 0

2sin x 2cos x 6 2

− =⇔ − + − = ⇔ + =

( ) ( )

( ) ( )

1 2 cos x 0 x k x k , k4 4 2 4

5x 2 x 23 4 6 122 cos x cos k,

4 2 6x m2 x m2

4 6 12

π π π π ⇔ + = ⇔ + = + π ⇔ = + π ∈ π π π − = + π = + π π π ⇔ − = = ⇔ ⇔ ∈ π π π − = − + π = + π

l ll

ℤ

ℤ


( ) 1 3cos x sin x cos 3x2 2

∗ ⇔ + = −

( ) ( ) x 3x k2 k3cos x cos 3x x , k,

3 3 2x 3x 2

3

π − = π − + π π π π ⇔ − = π − ⇔ ⇔ = + ∈ π − = −π + + π

ll

ℤ .


Bài 122. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 2cos x 1 sin x cos x 1− + = ∗

Bài 123. Giải phương trình: ( ) ( ) 2cos2x 6 cos x sin x= − ∗

Bài 124. Giải phương trình: ( ) 2cos 3x 3 sin x cos x 0+ + = ∗

Bài 125. Giải phương trình: sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2+ + + = ( ) ∗



● Ta có: 1 3

sin x 3 cos x 2 sin x cos x 2 sin x2 2 3

π + = + = +

● Đặt t sin x 3 cos x 2sin x 0 t 23

π = + = + ⇒ ≤ ≤

( )( )( )

2

t 1 Nt t 2 0

t 2 L

=∗ ⇔ + − = ⇔ = −

( ) x k21 62 sin x 1 sin x k,

3 3 2x 2

2

π = − + π π π ⇔ + = ⇔ + = ⇔ ∈ π = + π

ll

ℤ .


● Ta có: 1 3

cos x 3 sin x 2 cos x sin x 2cos x2 2 3

π + = + = −

● Đặt t cos x 3 sin x= + . Ta có: ( ) ( )Bunhiacopxki 2

2 2 2cos x 3 sin x 1 3 sin x cos x 2 + ≤ + + =

Do đó: 2 t 2

t 1

− ≤ ≤ ≠

( )( )( )

2

t 1 L3t t t 2 0

t 2 Nt 1

=∗ ⇔ = ⇔ + − = ⇔ = −+

( ) 2x k2 x k23 32cos x 1 k,3

3 x 2x 23 3

π π π − = + π π = + π ⇔ − = ⇔ ⇔ ∈ π π = π− = − + π

lll

ℤ .


( ) ( ) ( )2 2sin x cos x cos x sin x 0∗ ⇔ + − − =

( ) ( )( ) sin x cos x cos x sin x cos x sin x 0⇔ + − − + =

( )( ) sin x cos x 1 cos x sin x 0⇔ + − + =


cos x 3 sin xcos x 3 sin x 1

+ = ∗+ −

Bài 127. Giải phương trình: sin x cos x cos2x+ = ( ) ∗



2 cos x 0 cos x 0sin x cos x 0 4 4

sin x cos x 1 32 cos x 1 cos x cos

4 4 4

π π − = − = + = ⇔ ⇔ ⇔ − = − π π π + = − + =

( )

3x k

4x k

4 2 x 2 k, ,m3 3 2

x 2 x m2 x m24 4 4 4

π = + π π π − = + π π ⇔ ⇔ = + π ∈ π π π π + = + π ∨ + = − + π = −π + π

l ll

ℤ .


( ) 33sin x 4 sin x 3 cos3x 1∗ ⇔ − − = −

3 1 1

sin 3x 3 cos 3x 1 cos 3x sin 3x2 2 2

⇔ − = − ⇔ − =

( )

k23x k2 x

6 3 18 3cos 3x cos k,26 3

3x 2 x6 3 6 3

π π π π + = + π = + π π ⇔ + = ⇔ ⇔ ∈ π π π π + = − + π = − +

ll

lℤ


( ) ( )cos7x cos5x sin7x sin5x 3 sin2x 1∗ ⇔ + − =

( ) 1 3 1

cos 7x 5x 3 sin2x 1 cos2x 3 sin2x 1 cos2x sin2x2 2 2

⇔ − − = ⇔ − = ⇔ − =

( ) x k

cos 2x cos k,3 3 x

3

= π π π ⇔ + = ⇔ ∈ π = − + π

ll

ℤ


( ) 28 sin x cos x 6cos x 3 12 sin x 3 0∗ ⇔ − + − + =

24 sin x cos x 3cos x 6sin x 3 0⇔ − − + =

( ) 24 sin x cos x 6 sin x 3 cos x 1 0⇔ − − − =

24 sin x cos x 6sin x 3sin x 0⇔ − + =


Bài 129. Giải phương trình: ( ) cos7x cos5x 3 sin2x 1 sin7x sin5x− = − ∗

Bài 130. Giải phương trình: ( )4 sin2x 3cos2x 3 4 sin x 1− = − ( ) ∗



( ) sin x 4 cos x 3 sin x 6 0⇔ + − =

( ) ( ) 2 2 2

o

sin x 0x k , k

4 cos x 3 sin x 6 VN do : 4 3 6

=⇔ ⇔ = π ∈ + = + <

ℤ .


● Điều kiện: cos x 0 sin x 1≠ ⇔ ≠ ± .

( ) 2 2sin x 22sin x cos x cos x sin x 4 cos x 0

cos x cos x∗ ⇔ − − + + − =

2 3 2 2sin x 2sin x cos x cos x sin x cos x 4 cos x 2 0⇔ − − + + − =

( ) 2 2 3 2sin x 2 2 sin x cos x 4 cos x cos x sin x cos x 0⇔ − − + − + =

( ) ( ) ( ) 2 2 2sin x 2 2cos x sin x 2 cos x cos x sin x 0⇔ − − − − − =

( )( ) 2sin x 2 1 2cos x cos x cos2x 0⇔ − − − =

( ) cos2x sin x 2 cos x cos2x 0⇔ − + =

( ) cos2x sin x 2 cos x 0⇔ − + =

( ) ( ) 2 2 2

o

cos2x 0x k , k

sin x cos x 2 VN : 1 1 2 4 2

= π π⇔ ⇔ = + ∈ + = + <

ℤ .



cos x 12

≠ .

( ) ( )2 3 cos x 1 cos x 2cos x 1 02

π ∗ ⇔ − − + − − + =

2cos x 3 cos x sin x 2cos x 0⇔ − + − =

( ) 1 3sin x cos x 0 sin x 0 x k x k , k2 2 6 6 6

π π π ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = π ⇔ = − + π ∈ ℤ .

● Thay nghiệm vào ( )1 , họ nghiệm phương trình là: ( )x k , k6

π= − + π ∈ ℤ .



tan x sin2x cos2x 4 cos xcos x

− − = − + ∗


( )

2 x2 3 cos x 2 sin2 4

12cos x 1

π − − − = ∗

−

Bài 133. Giải phương trình: ( ) ( )2

3cos x 4 sin x 6 2 3 3cos x 4 sin x 6− − + = − − − ( ) ∗



● Ta có: ( ) ( )2

2 2 23cos x 4 sin x 3 4 . sin x cos x 5

− ≤ + − + =

5 3cos x 4 sin x 5 11 3cos x 4 sin x 6 1⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ − − ≤ − .

● Đặt t 3 cos x 4 sin x 6 ; t 11; 1 = − − ∈ − − .

( )( )( )

2

t 1 11; 1 1t 3t 2 0

t 2 11; 1 2

= − ∈ − − ∗ ⇔ + + = ⇔ = − ∈ − −

( )1 3cos x 4 sin x 5⇔ − =

( ) 3 4cos x sin x 1 cos x cos sin x sin 1 cos x 15 5

⇔ − = ⇔ α − α = ⇔ + α =

3 4

x k2 x k2 , k ; cos ; sin2 2 5 5

π π ⇔ + α = + π ⇔ = − α + π ∈ α = α = ℤ .

( )3 4 4

2 3cos x 4 sin x 4 cos x sin x5 5 5

⇔ − = ⇔ − =

( ) ( ) cos x cos sin x sin sin cos x sin cos x cos2

π ⇔ α − α = α ⇔ + α = α ⇔ + α = − α

( ) x 2 x 2 2

2 2 ,m

x m2 x m22 2

π π + α = − α + π = − α + π

⇔ ⇔ ∈ π π + α = − + α + π = − + π

l ll ℤ .



cos x 1cos x cos2x 0 2cos x cos x 1 0 1

cos x2

≠− ≠ ⇔ − + + ≠ ⇔ ∗ ∗ ≠ −

( ) ( )sin x sin2x 3 cos x cos2x∗ ⇔ − = −

1 3 1 3sin x cos x sin2x cos2x2 2 2 2

⇔ − = −

sin 2x sin x6 6

π π ⇔ − = −

( ) x k22x x k2

6 6 k,2 2x2x x 2 9 36 6

π π = π − = − + π ⇔ ⇔ ∈ π ππ π = + − = π − + + π

lll

ℤ .

● Thay vào ( )∗ ∗ , họ nghiệm phương trình là ( ) 2 2

x ,9 3

π π= + ∈

ll ℤ .

Bài 134. Giải phương trình: ( ) sin x sin2x

3cos x cos2x

−= ∗

−

Trích đề thi tuy ển sinh Cao đẳng khối A năm 2004




( ) 1 3sin 3x cos 3x sin2x2 2

∗ ⇔ − =

( ) 3x 2x k2 x k2

3 3sin 3x sin2x k,4 23

3x 2x 2 x3 15 5

π π − = + π = + π π ⇔ − = ⇔ ⇔ ∈ π π π − = π − + π = +

ll

lℤ .


● Điều kiện: ( ) 2 2

sin x 12cos x sin x 1 0 2sin x sin x 1 0 1

sin x2

≠ −− − ≠ ⇔ − − + ≠ ⇔ ≠

⊙

( ) ( )cos x sin2x 3 cos2x sin x∗ ⇔ − = −

cos x 3 sin x 3 cos2x sin x⇔ − = +1 3 3 1cos x sin x cos2x sin x2 2 2 2

⇔ − = +

cos 2x cos x6 3

π π ⇔ − = + ( )

2x x k2 x k26 3 2 k,

22x x 2 x

6 3 18 3

π π π − = + + π = + π

⇔ ⇔ ∈ π π π π − = − − + π = − +

ll

lℤ .

● Thay vào ( )⊙ , họ nghiệm phương trình là: ( ) 2

x k2 x , k,2 18 3

π π π= + π ∨ = − + ∈

ll ℤ .


● Điều kiện: ( ) cos x 0≠ ⊙

( ) sin x 1 1 3 13 sin x 3 cos x 1 sin x cos x

cos x cos x 2 2 2∗ ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =

( ) x k2 x k2

3 6 2sin x sin k,73 6

x 2 x 23 6 6

π π π − = + π = + π π π ⇔ − = ⇔ ⇔ ∈ π π π − = π − + π = + π

ll l

ℤ .

● Thay vào ( )⊙ , họ nghệm phương trình là: ( ) 7

x 2 ,6

π= + π ∈l l ℤ .

Bài 135. Giải phương trình: ( ) sin 3x 3 cos 3x 2sin2x− = ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Cao đẳng năm 2008


cos x sin2x3

2cos x sin x 1

−= ∗

− −


tan x 3cos x

− = ∗




( ) 33sin5x 4 sin 5x 3 cos15x 1∗ ⇔ − − =

1 3 1

sin15x 3 cos15x 1 sin15x cos15x sin 15x sin2 2 2 3 6

π π ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =

( )

k215x k2 x

3 6 30 15 k,7 2

15x 2 x3 6 90 15

π π π π − = + π = +

⇔ ⇔ ∈ π π π π − = π − + π = +

ll

lℤ .


( ) ( ) ( )3 3 3 3 5cos x 4 cos x 3cos x sin x 3sin x 4 sin x

8∗ ⇔ − − − =

( ) ( ) 6 6 4 4 54 cos x sin x 3 cos x sin x

8⇔ + − + =

( )

3 3 cos 4x5 3cos 4x 54.

8 4 8

++⇔ − =

20 12cos 4x 18 6cos 4x 5 0⇔ + − − − =

( ) 1 k

6cos 4x 3 0 cos 4x x , k2 12 2

π π⇔ − = ⇔ = ⇔ = ± + ∈ ℤ .


( )3cos x 3 4

10cos x 4 10sin x cos x 3cos x 4 sin x sin2x cos x sin xsin x 5 5

∗ ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = +

( ) sin2x cos x cos sin x sin sin2x cos x sin2x sin x2

π ⇔ = α + α ⇔ = − α ⇔ = − + α

k22x x k2 x 32 6 3 3 k, ; cos

52x x 2 x 2

2 2

π π α π = − + α + π = + + ⇔ ⇔ ∈ α = π π = π − + − α + π = − α + π

ll l

ℤ .


Bài 138. Giải phương trình: ( ) 33sin5x 3 cos15x 1 4 sin 5x− = + ∗

Bài 139. Giải phương trình: ( ) 3 3 5cos x cos 3x sin x sin 3x

8− = ∗

Bài 140. Giải phương trình: ( ) 10cos x 3cotx 4= + ∗

Bài 141. Giải phương trình: ( ) ( ) cos 3x sin x 3 cos x sin 3x− = − ∗



( ) 1 3 3 1cos 3x 3 sin 3x 3 cos x sin x cos 3x sin 3x cos x sin x

2 2 2 2∗ ⇔ + = + ⇔ + = +

( ) 3x x k2 x k

3 6 12cos 3x cos x k,3 6

3x x 2 x3 6 8 2

π π π − = − + π = + π π π ⇔ − = − ⇔ ⇔ ∈ π π π π − = − + + π = +

ll

lℤ .


( ) ( )4 sin2x 3cos2x 5cos 3x 0 4 sin2x 3cos2x 5sin 3x2

π ∗ ⇔ − − π + − − = ⇔ − =

4 3sin2x cos2x sin 3x sin 3x sin2x cos cos2x sin5 5

⇔ − = ⇔ = α − α

( ) ( ) x k23x 2x k2

sin 3x sin 2x k,23x 2x 2 x5 5 5

= −α + π = − α + π ⇔ = − α ⇔ ⇔ ∈π α π = π − + α + π = + +

lllℤ .


( ) ( )3

2 1 cos x 3 cos2x 1 1 cos 2x 2 2cos x 3 cos2x 2 sin2x2

π ∗ ⇔ − − = + + − ⇔ − − = −

3 1

3 cos2x sin2x 2cos x cos2x sin2x cos x2 2

⇔ − = − ⇔ − =

( ) ( )

5 k2x

18 3cos 2x cos x k,76

x 26

π π = + π ⇔ + = π − ⇔ ∈ π = − + π

ll

ℤ

● ( ) 1 2 3

5 17 5Do x 0; x ; x ; x

18 18 6

π π π∈ π ⇒ = = = .


( ) 1 3 3 1cos2x sin2x sin x cos x 2 02 2 2 2

∗ ⇔ − − + + =


4 sin2x 3cos2x 5cos 3x 02

π − − + = ∗

Bài 143. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2x 34 sin 3 cos2x 1 2cos x , x 0;

2 4

π − = + − ∗ ∀ ∈ π

Trích đề thi Dự bị 1 Đại học khối A năm 2005


Trích đề thi tuy ển sinh Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự năm 1998



cos 2x sin x 2 0 cos 2. x sin x 2 03 6 6 6

π π π π ⇔ + − + + = ⇔ + − + + =

2 21 2sin x sin x 2 0 2sin x sin x 3 06 6 6 6

π π π π ⇔ − + − + + = ⇔ + + + − =

( )( )

sin x 16

x k2 ; k3 3

sin x L6 2

π + = π ⇔ ⇔ = + π ∈ π + = −

ℤ .


( ) ( ) ( ) ( )3 2

sin x cos x 2 sin x cos x sin x cos x 2 0∗ ⇔ + − + + + − =

( ) ( ) ( ) 2

sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x 2 0 ⇔ + + − + + − =

( ) ( ) 2

sin x cos x 2 sin x cos x 1 0 ⇔ + − + + =

( )( ) ( )

( )

2

sin x cos x 2 0cos x 1 x k2 , k

4 40 sin x cos x 1 0 VN

+ − = π π ⇔ ⇔ + = ⇔ = − + π ∈ < + + =

ℤ .


( ) ( ) ( )2 23 cos x sin x 1 2sin x cos x 0∗ ⇔ − − − =

( )( ) ( ) 2

3 sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0⇔ − + − − =

( )( ) sin x cos x 3 sin x 3 cos x sin x cos x 0⇔ − + − + =

cos x 0sin x cos x 0 4

3 sin x cos x sin x 3 cos xsin x sin x

6 3

π + = − = ⇔ ⇔ π π+ = − + = −

( ) x k

4 k,

x12

π = + π

⇔ ∈π = + + π

ll

ℤ .

Bài 145. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 3

sin x cos x 2 sin2x 1 sin x cos x 2+ − + + + = ∗

Trích đề thi Cao đẳng Sư phạm Thể Dục TW2 năm 2002

Bài 146. Giải phương trình: ( ) 2 23 cos x 2sin x cos x 3 sin x 1 0+ − − = ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Cao đẳng Kiểm Sát phía Nam năm 2000




( )

cos 3x 1cos 3x 1 3 sin 3x cos 3x 3 sin 3x 1 3

cos 3x 0 cos 3x 0 cos 3x 0

cos 3x 1 3 sin 3x 3 sin 3x cos 3x 1 sin 3x6cos 3x 0 cos 3x 0

π − = = − + = > > > ∗ ⇔ ⇔ ⇔ π− = − − = − < <

1

cos3x 0

= >

( )

k2x

3cos 3x 0 k

x , k2 3

x6 3

cos 3x 0

π = > π⇔ ⇔ = ∈ π π = + <

lℤ .


( ) 33sin x 4 sin x 3 cos3x 1 3 cos3x sin 3x 1∗ ⇔ − − = − ⇔ − =

( ) k2

cos 3x 1 x , k3 9 3

π π π ⇔ + = ⇔ = − + ∈ ℤ


23PT 8 1 sin 2x 3 3 sin 4x 11 3 3 cos2x 9sin2x

4

⇔ − + − = −

28 6sin 2x 3 3 sin 4x 11 3 3 cos2x 9sin2x⇔ − + − = −

23 6sin 2x 3 3 sin 4x 3 3 cos2x 9sin2x⇔ − − + = −

22sin 2x 2 3 sin2x cos2x 1 3 cos2x 3sin2x 0⇔ − + + − =

( ) ( ) 22sin 2x 3sin2x 1 3 cos2x 2sin2x 1 0⇔ − + − − =

( )( ) ( ) sin2x 1 2sin2x 1 3 cos2x 2sin2x 1 0⇔ − − − − =

( )( ) 2sin2x 1 sin2x 1 3 cos2x 0⇔ − − − =

Bài 147. Giải phương trình: ( ) cos 3x 1 3 sin 3x= − ∗

Trích đề thi tuy ển sinh Cao đẳng Sư Phạm năm 2005


Trích đề thi Cao đẳng Hải Quan năm 1998 – 1999

Bài 149. Giải phương trình: ( )6 68 sin x cos x 3 3 cos2x 11 3 3 sin 4x 9sin2x+ − = − −



( )

1 5sin2x sin x k x2 6 12 12 k, ,m,n

sin 2x sin x m x n6 6 6 2

π π π = = = + π ∨ = + π ⇔ ⇔ ∈ π π π π − = = + π ∨ = + π

ll ℤ .


( ) ( )3 sin2x 2cos x 1 cos3x cos2x 3cos x 2∗ ⇔ + = + − −

( ) 3 23 sin2x 2cos x 1 4 cos x 3cos x 2cos x 1 3cos x 2⇔ + = − + − − −

( ) 3 23 sin2x 2cos x 1 4 cos x 2cos x 6cos x 3⇔ + = + − −

( ) ( )( ) 23 sin2x 2cos x 1 2cos x 1 2cos x 3⇔ + = + −

( )( ) 22cos x 1 3 sin2x 2cos x 3 0⇔ + − + =

( )( ) 2cos x 1 3 sin2x cos2x 2 0⇔ + − + =

( ) 1 3 12cos x 1 sin2x cos2x 1 0

2 2 2

⇔ + − + =

( ) 2cos x 1 sin 2x 1 06

π ⇔ + − + =

( )

1 2cos x x k22 3 k,

sin 2x 1 x6 6

π = − = ± + π ⇔ ⇔ ∈ π π − = − = − + π

ll

ℤ .


Câu 101. Giải phương trình: 1 3 9 1 3 5 2

cos x sin x2 2 22 2 2 2

+ π − π − + + =

Câu 102. Giải phương trình: 1 sin x 1

1 cos x 2

+=

+

Câu 103. Giải phương trình: 3 cos2x sin2x 2sin 2x 2 26

π + + − =

Câu 104. Giải phương trình: ( ) 221sin 2x 3 sin 2x cos2x 2sin x

2

π + + π − = +


2sin x sin x4 4 2

π π + + − =

Bài 150. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 sin2x 2cos x 1 3cos x 2 cos2x cos 3x+ + + = + ∗



Câu 106. Giải phương trình: cos x 3 sin x 2cos x3

π − = −

Câu 107. Giải phương trình: sin x 2 sin5x cos x= −

Câu 108. Giải phương trình: sin x cos x 2 2 sin x cos x+ =

Câu 109. Giải phương trình: sin5x cos5x 2 cos13x+ =

Câu 110. Giải phương trình: ( )cos7x sin5x 3 cos5x sin7x− = −

Câu 111. Giải phương trình: ( )sin 8x cos6x 3 sin6x cos8x− = +

Câu 112. Giải phương trình: ( )( ) 2sin x 1 1 cos x cos x− + =


12cos x 5 sin x 8 012cos x 5 sin x 14

+ + + =+ +

Câu 114. Giải phương trình: x x

2 cos x 3 sin x sin 3 cos2 2

+ + = +

Câu 115. Giải phương trình: cos x sin x

cotx tan xsin x cos x

−− =


sin x tan x cos xcos x

+ = −


4 sin x 3cos x 4 1 tan xcos x

+ = + −

Câu 118. Giải phương trình: sin 5x 3 cos5x 2sin7x+ = Câu 119. Giải phương trình: 3sin x cos x 1+ = Câu 120. Giải phương trình: sin x 5cos x 1+ =

Câu 121. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 1 3 sin x 1 3 cos x 2 , x 0;+ + − = ∀ ∈ π

Câu 122. Giải phương trình: ( ) 13

sin 3x 3 2 cos 3x 1 , x ;9 9

π π + − = ∀ ∈

Câu 123. Giải phương trình: ( ) ( )3 2 sin x 3 2 cos x 20− + + =

Câu 124. Giải phương trình: ( ) ( )sin x 1 sin x cos x 1 cos x− = −

Câu 125. Giải phương trình: 2 23cos x sin x sin2x= +

Câu 126. Giải phương trình: 33sin 3x 3 cos9x 1 sin 3x− = +

Câu 127. Giải phương trình: cos7x cos5x 3 sin2x 1 sin7x sin5x− = −

Câu 128. Giải phương trình: 3sin x 4 sin x 5 sin 5x 03 6 6

π π π − + + + + =

Câu 129. Giải phương trình: sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2+ + + =


3 sin x cos x 33 sin x cos x 1

+ = ++ +


3cos x 4 sin x 63cos x 4 sin x 1

+ + =+ +


1 cos x cos2x cos 3x 23 3 sin x

32cos x cos x 1

+ + += −

+ −



Câu 133. Giải phương trình: ( )cos2x 3 sin2x 3 sin x cos x 4 0− − − + =

Câu 134. Giải phương trình: 33sin2x 3 cos6x 1 4 sin 2x− = +


cos x 3 sin x 33 sin x cos x 1

+ = −+ +

Câu 136. Giải phương trình: cos9x 2cos6x 2 0− − =

Câu 137. Giải phương trình: sin x sin2x

3cos x cos2x

−=

−

Câu 138. Giải phương trình: ( )22cos x 3 sin2x 1 3 sin x 3 cos x+ + = +

Câu 139. Giải phương trình: sin2x cos2x 3sin x cos x 2 0+ + − − =

Câu 140. Giải phương trình: x 5 x 8

2cos sin cos 3x 12 2

+ π − π = −

Câu 141. Giải phương trình: 4 sin x cos 3x 2sin2x 3 sin x cos x+ = +

Câu 142. Giải phương trình: 21 3 cotx2 3 cotx 1 cot x

sin x sin x− = + −

Câu 143. Giải phương trình: 3sin x 4 sin x 5 sin 5x 03 6 6

π π π − + + + + =

Câu 144. Giải phương trình: cos2x 3sin2x 5sin x 3cos x 3+ + − =

Câu 145. Giải phương trình: ( ) ( )3 2

2

4 cos x 2cos x 2 sin x 1 sin2x 2 sin x cos x0

2 sin x 1

+ − − − +=

−

Câu 146. Giải phương trình: ( ) ( )3sin2x cosx 3 2 3 cos x 3 3 cos2x 8 3 cosx sinx 3 3+ − − + − =

Câu 147. Giải phương trình: ( )( )2 2sin x 4sinx 3 sin2x 3cos x 2 1 2sinx sinx 3 cosx+ + + − = + +

Câu 148. Giải phương trình: 2 2cos x 3 sin2x 1 sin x− = +

Câu 149. Giải phương trình: 2 3cos x 3 sin2x sin x 1− = +

Câu 150. Giải phương trình: sin 3x 3 cos 3x sin2x 3 cos2x sin x 3 cos x+ + + = +



D – PHƯƠNG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC ĐẲNG CẤP

��

� Dạng 1. ( ) 2 2a.sin X b.sinX cosX c.cos X d 1 a,b,c,d+ + = ∀ ∈ ℝ .

� Phương pháp 1. Chia hai vế cho 2cos X (hay 2sin X ).

Bước 1. Kiểm tra xem ( ) ( ) 2

cosX 0X k , k Hay X k

sin x 12

=π = + π ∈ ⇔ = π =

ℤ có phải là nghiệm

của phương trình ( )1 hay không ? Nếu phải thì ghi nhận nghiệm này.

Bước 2. Khi ( ) ( ) 2

cosX 0X k , k Hay X k

sin x 12

≠π ≠ + π ∈ ⇔ ≠ π ≠

ℤ . Chia hai vế của ( )1 cho

2cos X (hay 2sin X ), ta được:

( )2 2

2 2 2 2

sin X sinX cosX cos X d1 a. b. c.

cos X cos X cos X cos X⇔ + + =

( ) 2 2a tan X b tanX c d 1 tan X⇔ + + = +

( ) 2a d tan X b tanX c d 0⇔ − + + − = .

Bước 3: Đặt t tanX= để đưa về phương trình bậc hai mà biết cách giải.

� Phương pháp 2: Sử dụng công thức hạ bậc và nhân đôi

Bước 1: Thế 2 21 cos2X 1 cos2Xsin X ; cos X

2 2

− += = và

sin2XsinX cosX

2= vào ( )1 và

rút gọn lại, ta được: ( ) ( ) bsin2X c a cos2X 2d a c+ − = − − ∗

Bước 2: Giải phương trình ( )∗ , tìm nghiệm. Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2X và

cos2X (phương trình cổ điển) mà đã biết cách giải.

� Dạng 2. ( )( )

3 2 2 3

4 3 2 2 3 4

a.sin X b.sin X cosX c.sinX cos X d.cos X 0 2

a.sin X b.sin X cosX c.sin X cos X d.sinX cos X e.cos X 3

+ + + = + + + +

Phương pháp: Chia hai vế của ( )2 cho 3cos X (hay 3sin X ) hoặc chia hai vế của ( )3 cho

4cos X (hay 4sin X ) và giải tương tự như trên.




Bài 151. Giải phương trình: ( ) 2 2cos x 3 sin2x 1 sin x− = + ∗

Bài 152. Giải phương trình: ( ) 3 3 2cos x 4 sin x 3cos x sin x sin x 0− − + = ∗

Bài 153. Giải phương trình: ( ) 4 2 2 43cos x 4 sin x cos x sin x 0− + = ∗


Bài 155. Giải phương trình: ( ) 3sin x sin2x sin 3x 6cos x+ = ∗


1 tan x 2− = + − ∗

+

Bài 157. Giải phương trình: ( ) sin 3x cos 3x 2cos x 0+ + = ∗

Bài 158. Giải phương trình: ( ) 3 5sin 4x cos x6sin x 2cos x

2cos2x− = ∗

Bài 159. Giải phương trình: 3sin x 4sin x cosx 0− + =

Bài 160. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2tan x sin x 2 sin x 3 cos2x sin x cos x− = + ∗

Bài 161. Giải phương trình: ( ) 3 2cos x sin x 3 sin x cos x 0+ − = ∗

Bài 162. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2sin x tan x 1 3 sin x cos x sin x 3+ = − + ∗

Bài 163. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )2 29cos 3 2x 3 cos 4x 1 sin 2x , x ;2 1

2 3

π π π − − − = + π − ∀ ∈ − π


2

3

1 cos xtan x

1 sin x

−= ∗

−

Bài 165. Giải phương trình: ( ) 3 2 2 3sin x 5 sin x cos x 3 sin x cos x 3cos x 0− − + = ∗


Bài 167. Giải phương trình: ( ) 1 tan x 2 2 sin x+ = ∗


Bài 169. Giải phương trình: ( ) 2 23 tan x 4 tan x 4 cotx 3cot x 2 0+ + + + = ∗


2

3 3sin x x3 tan x tan x 8 cos 0

4 2cos x

+ π − + − − = ∗

Bài 171. Giải phương trình: ( ) 3 34 cos x 2 sin x 3 sin x 0+ − = ∗

Bài 172. Giải phương trình: ( ) 36 sin x 2cos x 5 sin2x cos x− = ∗

Bài 173. Giải phương trình: ( ) 1 3 tan x 2sin2x+ = ∗


Bài 175. Giải phương trình: ( ) 4 43 sin x 5cos x 3 0+ − = ∗

Bài 176. Giải phương trình: ( ) sin x cos x

1sin2x

+= ∗



Bài 177. Giải phương trình: ( ) 3 3 2 2sin x 3 cos x sin x cos x 3 sin x cos x− = − ∗

Bài 178. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 3cot x 2 2 sin x 2 3 2 cos x+ = + ∗

Bài 179. Giải phương trình: ( ) 3sin x 2 sin x4

π − = ∗

Bài 180. Giải phương trình: ( ) 38cos x cos 3x3

π + = ∗

Bài 181. Giải phương trình: ( ) 32 sin x 2sin x4

π + = ∗

Bài 182. Giải phương trình: ( ) 32 2 cos x 3cos x sin x 04

π − − − = ∗

Bài 183. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 34 sin x cos x cos x 3 sin x+ = + ∗

Bài 184. Giải phương trình: ( ) 2 2 54 3 sin x cos x 4 cos x 2sin x

2+ = + ∗

Bài 185. Giải phương trình: ( ) 2sin x 3 sin x cos x 1 0− + = ∗

Bài 186. Giải phương trình: ( ) 4 4 21sin x cos x 2sin2x cos2x cos 2x

2+ = − ∗

Bài 187. Giải phương trình: ( ) 4 4 23 5 1sin x cos x sin2x cos2x cos 2x

2 4 4+ = − − ∗

Bài 188. Giải phương trình: ( ) 2 2 3 2sin x 3 sin x cos x 2cos x

2

++ + = ∗

Bài 189. Giải phương trình: 2 2sin x sin2x 3cos x 3+ + =

Bài 190. Giải phương trình: ( )15 17 9

2sin x cos x sin x cosx 3sin 7 x sin x2 2 2

π π π + + + = π − −

Bài 191. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )13 5 3

4sin 3 x cos x 4sin x sin x 2sin x cos x 12 2 2

π π π π− − + π+ − + − π+ =

Bài 192. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 25 33sin 3 x 2sin x cos x 5sin x 0

2 2 2

π π π π − + + + − + = ∗


3 sin x cos xcos x

+ = ∗


4 sin x 6cos xcos x

+ = ∗

Bài 195. Giải phương trình: ( ) 32 27 sin x 2sin2x 3cos x 3 15 0+ − − = ∗

Bài 196. Giải phương trình: ( ) 3 3 24 sin x 3cos x 3 sin x sin x cos x 0+ − − = ∗

Bài 197. Giải phương trình: ( ) 1 3 sin2x 2 tan x+ = ∗


2 cos x 2 tan2

+ = ∗

Bài 199. Giải phương trình: cotx tan x 2 tan2x= + ( )∗




sin 3x cos 3x 2sin x 0 12

π + − − =

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC ĐẲNG CẤP

��


● Khi ( ) x k , k cos x 0 sin x 12

π= + π ∈ ⇔ = ∧ = ±ℤ thì ( )∗ vô nghiệm.

● Do cos x 0= không là nghiệm của ( )∗ nên chia hai vế ( )∗ cho 2cos x 0≠ , ta được:

( )2 2

2 2 2 2

cos x 2 3 sin x cos x 1 sin x

cos x cos x cos x cos x∗ ⇔ − = +

2 21 2 3 tan x 1 tan x tan x⇔ − = + +

( ) 2

x kt tan x t tan x tan x 0k,

2t 2 3t 0 t 0 t 3 tan x 3 x3

= π = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈ π + = = ∨ = − = − = − + π

ll

ℤ .



π= + π ∈ ⇔ = ∧ = ±ℤ thì ( )∗ vô nghiệm.


( )3 3 2

3 3 3 3

cos x sin x 3cos x sin x sin x 14 . 0

cos xcos x cos x cos x cos x∗ ⇔ − − + =

( ) 3 2 21 4 tan x 3 tan x tan x 1 tan x 0⇔ − − + + =

3 23 tan x 3 tan x tan x 1 0⇔ + − − =

( ) ( ) 23 tan x tan x 1 tan x 1 0⇔ + − + =

( )( ) 2tan x 1 3 tan x 1 0⇔ + − =

( ) tan x 1 x k

4 k,3tan x x3 6

π = − = − + π ⇔ ⇔ ∈ π= ± = ± + π

ll

ℤ .


Bài 151. Giải phương trình: ( ) 2 2cos x 3 sin2x 1 sin x− = + ∗

Bài 152. Giải phương trình: ( ) 3 3 2cos x 4 sin x 3cos x sin x sin x 0− − + = ∗

Bài 153. Giải phương trình: ( ) 4 2 2 43cos x 4 sin x cos x sin x 0− + = ∗




π= + π ∈ ⇔ = ∧ = ±ℤ thì ( )∗ vô nghiệm.


( ) ( )2

2 4

2

x ktan x 1tan x 143 4 tan x tan x 0 k,

tan x 3 tan x 3x

3

π = ± + π= ±= ∗ ⇔ − + = ⇔ ⇔ ⇔ ∈ π= = ± = ± + π

ll

ℤ .



π= + π ∈ ⇔ = ∧ = ±ℤ thì ( )∗ vô nghiệm.


( ) ( ) ( )2 2

2 2

2sin x cos x 1 12 tan x. 3. 2 tan x 2 tan x 1 tan x 3 1 tan x

cos xcos x cos x∗ ⇔ + = ⇔ + + = +

( ) 3 22 tan x 3 tan x 4 tan x 3 0 tan x 1 x k , k4

π⇔ − + − = ⇔ = ⇔ = + π ∈ ℤ .



π= + π ∈ ⇔ = ∧ = ±ℤ thì ( )∗ vô nghiệm.


( )3 3

3 3 3

2sin x sin x cos x 3 sin x 4 sin x 6cos x

cos x cos x cos x

−∗ ⇔ + =

2 3

2 2 3

sin x sin x 1 sin x2 3. . 4. 6

cos xcos x cos x cos x⇔ + − =

( ) 2 2 32 tan x 3 tan x tan x 1 4 tan x 6 0⇔ + + − − =

3 2tan x 2 tan x 3 tan x 6 0⇔ − − + =

( ) x ktan x 2 tan

k,tan x 3 x

3

= α + π = = α ⇔ ⇔ ∈π = ± = ± + π

ll

ℤ .



Bài 155. Giải phương trình: ( ) 3sin x sin2x sin 3x 6cos x+ = ∗


1 tan x 2− = + − ∗

+




● Điều kiện: ( )

sin x 0sin2x 0

cos x 0tan x 1

tan x 1

≠ ≠ ≠ ⇔ ≠ − ≠ −

⊙

● Ta có: ( )( )

( )2 2 cos x sin x cos x sin xcos2x cos x sin x

cos x cos x sin x1 tan x sin x cos x sin x

1cos x cos x

− +−= = = −

+ ++

.

( ) 2 2cos x1 cos x sin x cos x sin x sin x cos x

sin x∗ ⇔ − = − + −

cos x sin x

1 2sin x cos xsin x

−⇔ = −

( ) 2cos x sin x

sin x cos x 0sin x

−⇔ − − =

( ) 1

sin x cos x sin x cos x 0sin x

⇔ − + − =

( )( ) 2sin x cos x sin x sin x cos x 1 0⇔ − − + =

22 2

2 2 2

sin x cos x 0 sin x cos xsin x sin x cos x 1 tan x tan x 1 tan x 00cos x cos x cos x

− = =⇔ ⇔ − + + =− + =

( ) ( ) 2

tan x 1x k , k

2 tan x tan x 1 0 VN 4

= π⇔ ⇔ = + π ∈ − + =

ℤ

● Thay vào ( )⊙ , họ nghiệm phương trình: ( ) x k , k4

π= + π ∈ ℤ .


( ) ( ) ( )3 31 3 sin x 4 sin x 4 cos x 3cos x 2cos x 0⇔ − + − + =

( ) 3 33 sin x 4 sin x 4 cos x cos x 0⇔ − + − = ∗


π= + π ∈ ⇔ = ∧ = ±ℤ thì ( )∗ vô nghiệm.


( )3 3

2 3 3 2

3sin x 1 4 sin x 4 cos x cos x 1. . 0

cos x cos xcos x cos x cos x cos x∗ ⇔ − + − =

( ) ( ) 2 3 23 tan x 1 tan x 4 tan x 4 1 tan x 0⇔ + − + − + =

( ) 3 2x ktan x 1

4tan x tan x 3 tan x 3 0 k,tan x 3

x3

π = − + π= − ⇔ − − + + = ⇔ ⇔ ∈ π= ± = ± + π

ll

ℤ .

Bài 157. Giải phương trình: ( ) sin 3x cos 3x 2cos x 0 1+ + =




● Điều kiện: ( ) 2 2 2cos2x 0 cos x sin x 0 tan x 1 tan x 1≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ± ⊙ .

( ) 3 10sin2x cos2x cos x1 6sin x 2cos x

2cos2x⇔ − =

( ) 3 26 sin x 2cos x 10 sin x cos x⇔ − = ∗


π= + π ∈ ⇔ = ∧ = ±ℤ thì ( )∗ vô nghiệm.


( )3 2

2 3 3

sin x 1 cos x 10 sin x cos x6 . 2cos x cos x cos x cos x

∗ ⇔ − =

( ) 26 tan x tan x 1 2 10 tan x 0⇔ + − − =

( ) 36 tan x 4 tan x 2 0 t 1 L⇔ − − = ⇔ = ⇒ Phương trình vô nghiệm.



π= + π ∈ ⇔ = ∧ = ±ℤ thì ( )∗ vô nghiệm.


( )3

2 3 2

sin x 1 sin x cos x 1. 4 . 0

cos x cos xcos x cos x cos x∗ ⇔ − + =

( ) ( ) 2 3 2tan x 1 tan x 4 tan x 1 tan x 0⇔ + − + + =

( ) 3 23 tan x tan x tan x 1 0 tan x 1 x k , k4

π⇔ − + + + = ⇔ = ⇔ = + π ∈ ℤ .


● Điều kiện: ( ) cos x 0≠ ⊙ .

● Do cos x 0≠ nên chia hai vế ( )∗ cho 2cos x 0≠ , ta được:

( )2 2 2 2

2 2 2 2 2

sin x 2sin x cos x sin x sin x cos xtan x 3 0

cos x cos x cos x cos x cos x

∗ ⇔ − − − + =

( ) 3 2 2tan x 2 tan x 3 1 tan x tan x 0⇔ − − − + =

Bài 158. Giải phương trình: ( ) 3 5sin 4x cos x6sin x 2cos x 1

2cos2x− =

Bài 159. Giải phương trình: ( ) 3sin x 4 sin x cos x 0− + = ∗

Bài 160. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2tan x sin x 2 sin x 3 cos2x sin x cos x− = + ∗



( ) 3 2x ktan x 1


x3

π = − + π= − ⇔ + − − = ⇔ ⇔ ∈ π= ± = ± + π

ll

ℤ .

● Thay vào ( )⊙ , họ nghiệm phương trình là: ( ) x k x ; k,4 3

π π= − + π ∨ = ± + π ∈l l ℤ .



π= + π ∈ ⇔ = ∧ = ±ℤ thì ( )∗ vô nghiệm.


( )3 2

3 2 2

cos x sin x 1 3 sin x cos x. . 0

cos x cos xcos x cos x cos x∗ ⇔ + − =

( ) 2 21 tan x tan x 1 3 tan x 0 2 tan x tan x 1 0⇔ + + − = ⇔ − − =

tan x 1 x

1x kk, , tan41

2tan x tan x2

= = + π ⇔ ⇔ ∈ α = − = − = α = α + π

ll

ℤ .

Bài giải tham khảo ● Điều kiện: cos x 0≠ .

● Do cos x 0≠ nên chia hai vế ( )∗ cho 2cos x 0≠ , ta được:

( ) ( )2 2

2 2 2

sin x 3sin x cos x 3sin x 1tan x 1 3.

cos x cos x cos x

−∗ ⇔ + = +

( ) ( ) 2 2 2tan x tan x 1 3 tan x 3 tan x 3 1 tan x⇔ + = − + +

3 2 2 2tan x tan x 3 tan x 3 tan x 3 tan x 3 0⇔ + − + − − =

( ) 3 2x ktan x 1


x3

π = − + π= − ⇔ + − − = ⇔ ⇔ ∈ π= ± = ± + π

ll

ℤ .


( ) ( ) 2 21 cos 2x 3 sin 4x 1 sin 2x⇔ − = + ∗


Bài 162. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2sin x tan x 1 3 sin x cos x sin x 3+ = − + ∗


( ) ( ) ( ) 2 29cos 3 2x 3 cos 4x 1 sin 2x , x ;2 1

2 3

π π π − − − = + π − ∀ ∈ − π



● Khi ( ) x k , k cos2x 0 sin2x 14 2

π π= + ∈ ⇔ = ∧ = ±ℤ thì ( )∗ vô nghiệm.

● Do cos2x 0= không là nghiệm của ( )∗ nên chia hai vế ( )∗ cho 2cos x 0≠ , ta được:

( )2 2

2 2 2 2

cos 2x 2 3 sin2x cos2x 1 sin 2x

cos 2x cos 2x cos 2x cos 2x∗ ⇔ − + +

2 2 21 2 3 tan2x 1 tan 2x tan 2x 2 tan 2x 2 3 tan2x 0⇔ − = + + ⇔ + =

( )

k2x k xtan2x 02 k,

tan2x 3 2x x3 6 2

π = π == ⇔ ⇔ ⇔ ∈π π π= − = − + π = − +

lll

ℤ .


Câu 151. Giải phương trình: 2 2sin x 2cos x 3sinx cosx+ =

Câu 152. Giải phương trình: 2sin x 3 sin x cos x 1− = −

Câu 153. Giải phương trình: 2 22sin x 3cos x cos2x 5sin2x 0+ − − =

Câu 154. Giải phương trình: 3 3 24sin x 3cos x 3sinx sin x cosx 0+ − − =

Câu 155. Giải phương trình: ( ) ( )2 29 7sin x 3sin x cos x 4 cos 2 x 0

2 2

π π π − + − + − π + =

Câu 156. Giải phương trình: ( ) 2 232cos x 3 3 sin x cos x cos 3 x 2 , x 0;

2 2

π π − + − π − = ∀ ∈

Câu 157. Giải phương trình: 2 2cos 2x 3 sin 4x 1 sin 2x , x ;23

π − = + ∀ ∈ − π

Câu 158. Giải phương trình: 3 3cos x 3sin x cos x sin2x 0 , x ;34

π − + = ∀ ∈ π

Câu 159. Giải phương trình: 2sin2x 3 tan x 5+ =

Câu 160. Giải phương trình: 3 3sin x 3cos x sinx 0+ + =

Câu 161. Giải phương trình: 2cos x sin x 4 cos x sin x 0− − =

Câu 162. Giải phương trình: ( ) ( )2sin x tan x 2 3 cos2x sin x cos x− = +

Câu 163. Giải phương trình: ( ) ( )2sin x tan x 1 sin x cos x sin x 1 0+ − − − =


4 sin xsin x cos x

= +

Câu 165. Giải phương trình: ( ) ( )4 2 43cos x sin 2x sin 3 x 0π − − + π − =


sin 3x cos 3x 2sin x 02

π + − − =

Câu 167. Giải phương trình: ( )3 sin2x 2cos x 1 2 cos 3x cos2x 3cos x+ + = + −

Câu 168. Giải phương trình: 32cos x sin 3x=



Câu 169. Giải phương trình: 3 3 11 sin 2x cos 2x sin 4x

2+ + =

Câu 170. Giải phương trình: ( )6 68 sin x cos x 3 3 sin 4x 3 3 cos2x 9sin2x 11+ + = − +

Câu 171. Giải phương trình: 3 3 24 sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0+ − − =

E – PHƯƠNG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC ĐỐI X ỨNG

��

� Dạng 1. ( )a sin x cos x b sin x cos x c 0+ + + =

2t 1

PP : t sin x cos x, t 2 sin x cos x2

−⇒ = + ≤ ⇒ = .

� Dạng 2. ( )a sin x cos x bsin x cos x c 0− + + =

21 t

PP : t sin x cos x, t 2 sin x cos x2

−⇒ = − ≤ ⇒ = .

� Dạng 3. ( ) ( )2 2a tan x cot x b tan x cotx c 0+ + + + =

( )sin x 0 k

ÐK : sin2x 0 x , kcos x 0 2

≠ π ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈ ≠

ℤ .

2 2 2PP : t tan x cotx , t 2 tan x cot x t 2⇒ = + ≥ ⇒ + = − .

� Dạng 4. ( ) ( )2 2a tan x cot x b tan x cotx c 0+ + − + =

( )sin x 0 k

ÐK : sin2x 0 x , kcos x 0 2

≠ π ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈ ≠

ℤ .

2 2 2PP : t tan x cotx , t 2 tan x cot x t 2⇒ = − ≥ ⇒ + = + .

� Dạng 5. ( )4 4a sin x cos x b sin2x c 0+ + + =

4 4 2 21 1PP : t sin2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x 1 t

2 2⇒ = ≤ ⇒ + = − = − .

� Dạng 6. ( )4 4a sin x cos x bcos2x c 0+ + + =

4 4 2 2 21 1 1 1 1PP : t cos2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x cos 2x t

2 2 2 2 2⇒ = ≤ ⇒ + = − = + = + .

� Dạng 7. ( )6 6a sin x cos x b sin2x c 0+ + + =

6 6 2 23 3PP : t sin2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x 1 t

4 4⇒ = ≤ ⇒ + = − = − .

Dạng 8. ( )6 6a sin x cos x bcos2x c 0+ + + =



6 6 2 2 23 1 3 1 3PP : t cos2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x cos 2x t

4 4 4 4 4⇒ = ≤ ⇒ + = − = + = + .

� Dạng 9. 4 4a sin x bcos x c cos2x d 0+ + + =

( )

( )

2

2 4

22

4

1 t1 cos2x 1 tsin x sin x

2 2 4PP : t cos2x, t 11 cos2x 1 t 1 tcos x

cos x2 24

− − − = = = ⇒ = ≤ ⇒ ⇒ + + + = = =


Bài 201. Giải phương trình: ( ) 2 3sin x sin x cos x 0+ + = ∗

Bài 202. Giải phương trình: ( ) 3 3 3sin x cos x 1 sin2x

2+ − = ∗

Bài 203. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 sin x cos x tan x cotx+ = + ∗

Bài 204. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 cotx cos x 5 tan x sin x 2− − − = ∗


( ) 3 2

2

3 1 sin x x3 tan x tan x 8 cos

4 2cos x

+ π − + = − ∗

Bài 206. Giải phương trình: ( ) 3 32 sin x sin x 2cos x cos x cos2x− = − + ∗

Bài 207. Giải phương trình: ( ) 2 3 4 2 3 4sin x sin x sin x sin x cos x cos x cos x cos x+ + + = + + + ∗

Bài 208. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 3 3tan x 1 sin x cos x 1 0− + − = ∗


2cos 2x 2 sin x cos x 3sin2x 3+ + − = ∗

Bài 210. Giải phương trình: ( ) 2 sin x cotx 2 sin2x 1+ = + ∗

Bài 211. Giải phương trình: ( )( ) ( ) cos2x 5 2 2 cos x sin x cos x+ = − − ∗

Bài 212. Giải phương trình: ( ) 3 3cos x sin x cos2x+ = ∗

Bài 213. Giải phương trình: ( ) 3 3cos x sin x 1− = ∗

Bài 214. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 22cos2x sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x+ + = + ∗


Bài 216. Giải phương trình: ( ) 2 3 2 3tan x tan x tan x cotx cot x cot x 6+ + + + + = ∗


2

22 tan x 5 tan x 5cotx 4 0

sin x+ + + + = ∗


2

1 5cot x tan x cotx 2 0

2cos x+ + + + = ∗

Bài 219. Giải phương trình: ( ) 3 31 cos x sin x sin x+ − = ∗

Bài 220. Giải phương trình: ( ) 3 2cos x cos x 2 sin x 2 0+ + − = ∗




Bài 222. Giải phương trình: ( ) cotx tan x sin x cos x− = + ∗

Bài 223. Giải phương trình: ( ) 1 tan x sin x cos x+ = + ∗

Bài 224. Giải phương trình: ( ) sin2x 2 sin x 14

π + − = ∗

Bài 225. Giải phương trình: ( ) ( ) sin2x 12 sin x cos x 12 0− − + = ∗

Bài 226. Giải phương trình: ( ) sin x cos x

1sin2x 1

+= ∗

+


3

1 cos2x 1 cos x

1 cos2x 1 sin x

− −= ∗

+ −

Bài 228. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 5 sin x cos x sin 3x cos3x 2 2 2 sin2x+ + − = + ∗

Bài 229. Giải phương trình: ( ) 1 sin x cos x sin2x 2cos2x 0+ + + + = ∗

Bài 230. Giải phương trình: ( ) 2 2sin x cos x cos2x sin x cos x sin x cos x− + = + ∗


Bài 232. Giải phương trình: ( ) 2 3cos x sin x cos x 0+ + = ∗

Bài 233. Giải phương trình: ( ) 34 sin x 1 3sin x 3 cos3x− = − ∗

Bài 234. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 21 sin x cos x 1 cos x sin x 1 sin2x+ + + = + ∗

Bài 235. Giải phương trình: ( ) sin x cos x 2 sin x 2cos x 2+ + = ∗

Bài 236. Giải phương trình: ( ) 1 tan x 2 2 sin x+ = ∗

Bài 237. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 cot2x cot3x tan2x cot3x− = + ∗

Bài 238. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2tan x cot x 2 tan x cotx 6+ + + = ∗

Bài 239. Giải phương trình: ( ) 23 tan2x 4 tan 3x tan 3x tan2x− = ∗

Bài 240. Giải phương trình: ( ) 2tan2x cotx 8 cos x+ = ∗

Bài 241. Giải phương trình: ( ) 3tan x cotx 2cot 2x= + ∗

Bài 242. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 44 sin x cos x 3 sin 4x 2+ + = ∗

Bài 243. Giải phương trình: ( ) 6 6sin x cos x sin2x+ = ∗


Bài 245. Giải phương trình: ( ) cotx tan x 2 tan2x= + ∗

Bài 246. Giải phương trình: ( ) 6 tan x 5cot3x tan2x+ = ∗


2 tan x cotx 3sin x

+ = + ∗

Bài 248. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2tan x tan 3x tan 4x tan x tan 3x tan 4x= − + ∗

Bài 249. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2tan x cot 2x cot3x tan x cot 2x cot3x= − + ∗





Câu 172. Giải phương trình: sin2x 2 2(sin x cos x) 5− + =

Câu 173. Giải phương trình: ( )

( )2cos x cos x 1

2 1 sin xsin x cos x

−= +

+

Câu 174. Giải phương trình: 2 22sin x 2sin x tan x4

π − = −

Câu 175. Giải phương trình: 3 3sin x cos x cos2x tan x tan x4 4

π π − = + −

Câu 176. Giải phương trình: 4 2 2 43cos x 4 sin x cos x sin x 0− + =

Câu 177. Giải phương trình: ( ) ( )3 cotx cos x 5 tan x sin x 2− − − =

Câu 178. Giải phương trình: sin x cos x 4 sin2x 1− = =

Câu 179. Giải phương trình: sin x cos x sin x cos x 1+ + =


cos x sin xcos x sin x 3

+ + + =

Câu 181. Giải phương trình: ( )4 4 2 2cos x sin x 2 1 sin x cos x sin x cos x sin x cos x+ − − = +

Câu 182. Giải phương trình: ( )( )1 2 sin x cos x 2 sin x cos x 1 2+ − + = +


sin x cos x 1 sin x cos x3

+ = +

Câu 184. Giải phương trình: sin x cos x 7 sin2x 1− + =

Câu 185. Giải phương trình: ( )sin 3x cos 3x 2 sin x cos x 1− + + =

Câu 186. Giải phương trình: ( )1 1

2 2 sin2x tan x cotx 0sin x cos x

+ + + + + =


cos x sin xsin x cos x 3

− + − = −

Câu 188. Giải phương trình: 3 3 2 3 2cos 3x cos x sin 3x sin x

8

+− =

Câu 189. Giải phương trình: ( ) ( )3 tan x cotx 2 2 sin2x+ = +

Câu 190. Giải phương trình: ( )2 2

1 1 5tan x cotx 1 0

2sin x cos x+ − + + =

Câu 191. Giải phương trình: ( )2 2tan x cot x 3 tan x cotx 6+ + − =

Câu 192. Giải phương trình: ( )2 1 sin x cos x tan x cotx 0− − + + =


3

x x x xsin cos 2 sin x sin cos 2 2 02 2 2 2

+ − + + − =

Câu 194. Giải phương trình: ( )1 1 1 1sin 3x cos 3x 1 tan 3x cot3x 0

2 2 cos 3x cos 3x

+ + + + + + =




1 12 tan2x 2cot2x 8 0

cos 2x sin 2x+ + + − =


4 4tan x cot x 8 tan x cotx 9 0+ − + + =

F – PHƯƠNG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ CHỨA TRỊ

TUYỆT ĐỐI

��

Phương pháp:

�� Phương trình chứa căn thức: Áp dụng công thức

● A 0 B 0

A BA B A B

≥ ≥ = ⇔ ⇔ = =

● 2

B 0A B

A B

≥= ⇔ =

Lưu ý: Khi giải B 0≥ , ta áp dụng phương pháp thử lại.

� Phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Cách 1. Mở giá trị tuyệt đối dựa vào định nghĩa

Cách 2. Áp dụng công thức

● A B

A BA B

== ⇔ = −

●

A 0B 0

A BA BA B

A 0A B

A B

≥ ≥ = == ⇔ ⇔ < = − = −


Bài 251. Giải phương trình: ( ) 5cos x cos2x 2sin x 0− + = ∗

Bài 252. Giải phương trình: ( ) 3 3 3 3sin x cos x sin x cotx cos x tan x 2sin2x+ + + = ∗

Bài 253. Giải phương trình: ( ) 21 8 sin2x cos 2x 2sin 3x4

π + = + ∗

Bài 254. Giải phương trình: ( ) 1 sin2x 1 sin2x

4 cos xsin x

− + += ∗

Bài 255. Giải phương trình: ( ) sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2+ + + = ∗

Bài 256. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 tan x 1 sin x 2cos x 5 sin x 3cos x+ + = + ∗


1 cos x cos x cos2x sin 4x2

− + = ∗

Bài 258. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 3sin x 1 cotx cos x 1 tan x 2 sin x cos x+ + + = ∗

Bài 259. Giải phương trình: ( ) cos2x 1 sin2x 2 sin x cos x+ + = + ∗



Bài 260. Giải phương trình: ( ) 1 sin x cos x 0+ + = ∗


2

2

4xcos cos x

3 01 tan x

−= ∗

−

Bài 262. Giải phương trình: ( ) sin x 3 cos x 2 cos2x 3 sin2x+ = + + ∗

Bài 263. Giải phương trình: ( ) 2sin 2x 2sin x 2 2sin x 1− + = − ∗

Bài 264. Giải phương trình: ( ) 3 tan x

2 3 sin x 32 sin x 1

= − ∗−

Bài 265. Giải phương trình: ( ) 2 4sin 2x cos 2x 1

0sin x cos x

+ −= ∗

Bài 266. Giải phương trình: ( ) 28 cos 4x cos 2x 1 cos 3x 1 0+ − + = ∗

Bài 267. Giải phương trình: ( ) 2sin x sin x sin x cos x 1+ + + = ∗

Bài 268. Giải phương trình: ( ) 25 3sin x 4 cos x 1 2cos x− − = − ∗

Bài 269. Giải phương trình: ( ) 2cos2x cos x 1 tan x= + ∗

Bài 270. Giải phương trình: ( ) cos 3x 1 3 sin 3x= − ∗

Bài 271. Giải phương trình: ( ) 3 sin x 2 cos x 2 0+ − = ∗

Bài 272. Giải phương trình: ( ) sin x cos x sin x cos x 1+ + = ∗

Bài 273. Giải phương trình: ( ) sin x cos x 2 sin2x 1− + = ∗

Bài 274. Giải phương trình: ( ) 4 4sin x cos x sin x cos x− = + ∗

Bài 275. Giải phương trình: ( ) 23 sin2x 2cos x 2 2 2cos2x− = + ∗

Bài 276. Giải phương trình: ( ) ( ) sin 3x sin x

sin2x cos2x , x 0,21 sin2x

−= + ∀ ∈ π ∗

−

Bài 276. Giải phương trình: ( ) sin x cos x 1 4 sin2x− = − ∗

Bài 278. Giải phương trình: ( ) 4 sin x 3 cos x 3+ = ∗


tan x cotxcos x

= + ∗


2

1 1 1 1 3cos x2 2

sin x 1 cos x 1 cos x sin x

+ + − = − ∗ − +


cotx tan xsin x

= + ∗

Bài 282. Giải phương trình: ( ) 2cos x sin x 1− = ∗

Bài 283. Giải phương trình: ( ) 1 cos x 1 cos x

4 sin xcos x

+ + −= ∗



Bài 284. Giải phương trình: ( ) 1 cos2x 1

2 cos xsin x 2

− = − ∗

Bài 285. Giải phương trình: ( ) 3 3sin x cos x

cos2x 1 sin2x2

++ + = ∗

Bài 286. Giải phương trình: ( ) cos x sin 3x 0+ = ∗


cotx tan xsin x

= + ∗

Bài 288. Giải phương trình: ( ) cos x 2 sin2x cos 3x 1 2 sin x cos2x+ − = + − ∗

Bài 289. Giải phương trình: ( ) 2tan x 1

tan x 1tan x 1 tan x 1

= + + ∗− −

Bài 290. Giải phương trình: ( ) sin x cos x sin x cos x 2− + + = ∗

Bài 291. Giải phương trình: 21 sin x

cot xcos x 1

−=

−( ) ∗

Bài 292. Giải phương trình: 21 cos x

tan x1 sin x

−=

+( ) ∗

Bài 293. Giải phương trình: 2 2sin x 2 sin x sin x 2 sin x 3+ − + − = ( ) ∗

Bài 294. Giải phương trình: 23sin x 4 sin x 1 1− − = ( ) ∗

Bài 295. Giải phương trình: 2 3cos2x sin x− = ( ) ∗

Bài 296. Giải phương trình: 3 4 cos2x 2cos x+ = ( ) ∗

Bài 297. Giải phương trình: 2 cos2x 3 sin2x 3 sin2x cos2x+ + = + ( ) ∗

Bài 298. Giải phương trình: 21 8 sin2x.cos 2x 2sin 3x4

π + = + ( ) ∗

Bài 299. Giải phương trình: cos2x 1 sin2x sin x cos x+ + = + ( ) ∗

Bài 300. Giải phương trình: 1 sin x 1 sin x kcos x+ + − = ( ) ∗ với k 1, k 2= =


Câu 197. Giải phương trình: 1 cos x sin x 0+ + =

Câu 198. Giải phương trình: ( ) 23cos x 1 sin x cos2x 2sin x sin x 1− − = −


2sin 3x 4 sin2x 1 cos 4x 14

π + = + +

Câu 200. Giải phương trình: 33 7 cotx 2 cotx 3+ + − =

Câu 201. Giải phương trình: 2cos 2x 2cos2x 2 2 sin x sin x 4 0+ − − − + =



Câu 202. Giải phương trình: 3 sin x 2 sin x 1− = + +

Câu 203. Giải phương trình: 2014sin x cos x 2 sin x4

π + = + −

Câu 204. Giải phương trình: 5cos x cos2x 2sin x 0− + =

Câu 205. cos x 2 sin2x cos 3x 1 2sin x cos2x+ − = + −

Câu 206. Giải phương trình: 1 sin2x 1 sin2x

4 cos xsin x

− + +=

Câu 207. Giải phương trình: 2 2 sin x 3 cos2x+ = +

Câu 208. Giải phương trình: 2 21 sin x 2sin x 5 sin x 2sin x 2+ − + + − =

Câu 209. Giải phương trình: 2 2sin x 2 sin x sin x 2 sin x 3+ − + − =

Câu 210. Giải phương trình: 2 24 cos x 1 4 sin x 3 4+ + + =

Câu 211. Giải phương trình: 338 sin x 1 2 4 sin x 1+ = −


48 sin x 27 cos x 97 , x 0;2

π + = ∀ ∈


sin x 1 cos x 1sin x cos x sin x cos x

− + − =+

Câu 214. Giải phương trình: 25 4 sin x 3cos x 1 sin x− − = −

Câu 215. Giải phương trình: 3 sin x 1 2 sin x+ − = −

Câu 216. Giải phương trình: cos 4x 1 sin4x 2 sin2x cos2x+ + = +


cos x cos x 12 2

− + + =

Câu 218. Giải phương trình: 82 24 10 8cos x 8 sin x 1 1+ − − =

Câu 219. Giải phương trình: 3 2 cotx cotx 1 1− + − =

Câu 220. Giải phương trình: 3 31 cos2x 1 cos2x 2− + + =

Câu 221. Giải phương trình: 3 cos6x

cos 4x cos 3x 32

−+ + =


cos x 1 cos 3x 1 1cos x cos 3x

− + − =

Câu 223. Giải phương trình: ( ) 11 cos2x cos2x cos 4x sin 8x

2− + =

Câu 224. Giải phương trình: 2 2cos x 2cos x 5 cos x 4 cos x 8 5− + + + + =

Câu 225. Giải phương trình: 1 cos x 1 cos x

4 sin xcos x

− + +=

Câu 226. Giải phương trình: ( )4cos2x cos2x 1 1 cos x 1 0+ + − + =

Câu 227. Giải phương trình: 2 x xcos x cos 1 tan

2 2= +



Câu 228. Giải phương trình: x x

cos 1 3 sin2 2

= −

Câu 229. Giải phương trình: sin x cos x 1 2 sin x4

π − = −

Câu 230. Giải phương trình: 4 4x x x xsin cos sin cos

2 2 2 2− = −

G – PHƯƠNG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC KHÔNG M ẪU MỰC

��

�� Loại 1. Tổng hai số không âm:

A 0A 0

B 0B 0

A B 0

≥ = ≥ ⇒ = + =

�� Loại 2. Phương pháp đối lập dạng 1:

A MA M

B MB M

A B

≤ = ≥ ⇒ = =

�� Loại 3. Phương pháp đối lập dạng 2:

A MA M

B NB N

A B M N

≤ = ≤ ⇒ = + = +

Đặc biệt ● sin u 1

sin u sin v 2sin v 1

=± = ⇔ = ±

● sin u 1

sin u sin v 2sin v 1

= −+ = − ⇔ = −

● cosu 1

cosu cos v 2cos v 1

=± = ⇔ = ±

● cosu 1

cosu cos v 2cos v 1

= −+ = − ⇔ = −

●

sin u 1

sin v 1sin u.sin v 1

sin u 1

sin v 1

= == ⇔ = − = −

●

sin u 1

sin v 1sin u.sin v 1

sin u 1

sin v 1

= − == − ⇔ = = −

●

cosu 1

cos v 1cosu.cos v 1

cosu 1

cos v 1

= == ⇔ = − = −

●

cosu 1

cos v 1cosu.cos v 1

cosu 1

cos v 1

= − == − ⇔ = = −




Bài 301. Giải phương trình: ( ) 2 24cos x 3 tan x 4 3 cos x 2 3 tan x 4 0+ − + + = ∗

Bài 302. Giải phương trình: ( ) 28cos4x cos 2x 1 cos3x 1 0+ − + = ∗


2 3 3 2sin 3xsin x cos 3x sin x sin 3x cos x sin x sin 3x

3sin 4x+ + = ∗


cos2x cos 4x 6 2sin 3x 1− = +

Bài 305. Giải phương trình: ( ) 3 cos x cos x 1 2 1− − + =

Bài 306. Giải phương trình: ( ) 3 3sin x cos x

2cos2xsin x cos x

−= ∗

+

Bài 307. Giải phương trình: ( ) 2 2 5tan x cot x 2sin x 14

π + = +

Bài 308. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2cos 3x 2 cos 3x 2 1 sin 2x 1+ − = +

Bài 309. Giải phương trình: ( ) 4 4sin x cos x sin x cos x− = + ∗

Bài 310. Giải phương trình: ( ) 3x

cos2x cos 2 04

+ − = ∗

Bài 311. Giải phương trình: ( ) cos2x cos 4x cos6x cos x cos2x cos 3x 2+ + = + ∗


Bài 313. Giải phương trình: ( ) 4 cos x 2cos2x cos 4x 1− − = ∗


tan2x tan 3x 0sin x cos2x cos 3x

+ + = ∗

Bài 315. Giải phương trình: ( ) 2 2cos 3x cos2x cos x 0− = ∗

Bài 316. Giải phương trình: ( ) 4 6 8 10sin x sin x sin x sin x+ = + ∗

Bài 317. Giải phương trình: ( ) sin 4x cos 4x 1 4 2 sin x4

π − = + − ∗

Bài 318. Giải phương trình: ( ) 2 2 21sin x sin 3x sin x sin 3x

4+ = ∗

Bài 319. Giải phương trình: ( ) 2cos x 2 sin10x 3 2 2cos28x sin x+ = + ∗


cos 4x cos2x 5 sin 3x− = + ∗

Bài 321. Giải phương trình: ( ) ( ) sin x cos x 2 2 sin 3x+ = − ∗

Bài 322. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) sin 3x cos2x 2 sin 3x cos 3x 1 sin2x 2cos 3x 0− + + − = ∗

Bài 323. Giải phương trình: ( ) tan x tan2x 3 sin 3x cos2x+ = − ∗

Bài 324. Giải phương trình: ( ) 13 14cos x sin x 1+ = ∗

Bài 325. Giải phương trình: ( ) ( ) cos2x cos6x 4 sin2x 1 0− + + = ∗



Bài 326. Giải phương trình: ( ) 3 3 4sin x cos x 2 sin x+ = − ∗

Bài 327. Giải phương trình: ( ) 2 23cot x 4 cos x 2 3 cotx 4cos x 2 0+ − − + = ∗

Bài 328. Giải phương trình: ( ) sin x 22 sin x sin x cos x+ = + ∗

Bài 329. Giải phương trình: ( ) sin x2 cos x , x 0;2

π = ∀ ∈ ∗


1 cos x2

− = ∗

Bài 331. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 3lg sin x 1 sin x 0− + = ∗

Bài 332. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2cos 4x cos 6x sin 12x sin 16x 2 , x 0;+ = + + ∗ ∀ ∈ π

Bài 333. Giải phương trình: ( ) 1979 1991sin x cos x sin2x cos2x 1 2+ + + = + ∗

Bài 334. Giải phương trình: ( ) 2 24 cos x 3 tan x 2 3 tan x 4 sin x 6− + + = − ∗

Bài 335. Giải phương trình: ( ) cos7x.sin2x 1= − ∗


cos6x sin 22

+ = ∗


sin x 3 cos x 5 cos 4x3

π + = + + ∗


2

1sin 2x 2sin2x 2 tan x 1 0

cos x+ + + + = ∗

Bài 339. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) sin x y cos x y 2+ + − = ∗

Bài 340. Giải phương trình: ( ) sin x sin2x sin5x 1= ∗


1 cos x 1 cos x cos2x sin 4x2

− + + = ∗

Bài 332. Giải phương trình: ( ) 5 5sin x cos x 1+ = ∗

Bài 333. Giải phương trình: ( ) 10 10 6 6

2 2

sin x cos sin x cos x

4 4 cos 2x sin 2x

+ += ∗

+

Bài 334. Giải phương trình: ( ) ( ) 5 7 3 51cos x sin x cos x sin x sin2x cos x sin x

2+ + + = + ∗

Bài 335. Giải phương trình: ( ) 2sin x sin x sin x cos x 1+ + + = ∗

Bài 336. Giải phương trình: ( ) 2 56 4x x

y ysin cosx x

− − = ∗

Bài 337. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 4 2 2 2tan x tan y 2cot x cot y 3 sin x y+ + = + + ∗

Bài 338. Giải phương trình: ( )2 2 2tan x tan y cot x y 1+ + + =


2 2

2 2

1 1 1sin x cos x 12 sin y

2sin x cos x

+ + + = + ∗




6

2

cos2x3 1 4 tan x 7

cos x

+ + = ∗


2007 2007

1 1sin x cos x

sin x cos x− = − ∗

Bài 342. Giải phương trình: ( ) cos5x cos x sin 3x cos 3x+ = − ∗


2cos 3x 6cos x 1 162cos x 27+ + = − ∗

Bài 344. Giải phương trình: ( ) 2 25 5 5tan x cos 2x sin x sin x sin 3x

12 12 6

π π π = + + + + + ∗

Bài 345. Giải phương trình: ( ) 3 sin x cos x

sin x cos x sin x cos x 1 ln4 sin x cos x

+ + + − = − ∗ +


sin x sin2x sin 3x2

+ + = ∗

Bài 347. Giải phương trình: ( ) 2 2 2tan x tan 2x cot 3x 1+ + = ∗


2 log tan x log sin x= ∗

Bài 349. Giải phương trình: ( ) 32009x 3cos x 2009x cos x3 3 3cos 3x 0+ +− − = ∗


( ) ( ) 2 22008 2008sin x sin x 2008 cos x 1 cos x 2cos x 2009 cos x sin x 1+ − + + + = − + ∗


Câu 231. Giải phương trình: 5 53sin x 5cos x 5+ = Câu 232. Giải phương trình: sin7x cos2x 2+ =

Câu 233. Giải phương trình: 5x

cos 3x cos 2 04

+ − =

Câu 234. Giải phương trình: 3 3 28 sin x sin 3x 6 sin x cos x 1 0− − − − = Câu 235. Giải phương trình: 4 cos x 2cos2x cos 4x 7 0+ + + =

Câu 236. Giải phương trình: 2 22sin x 3 tan x 6 tan x 2 2 sin x 4 0+ − − + =

Câu 237. Giải phương trình: 2 25sin x 3cos x 3 sin2x 2sin x 2 2 3 cos x+ + + + =

Câu 238. Giải phương trình: 2 2sin x sin y sin x sin y sin x sin y 1 0+ = + + − =

Câu 239. Giải phương trình: 2sin2x 2 sin x 3 2 cos x 1 0− + − =

Câu 240. Giải phương trình: ( )2cos x 4 cos x 3 x 2 sin x x− + = −

Câu 241. Giải phương trình: 4 cos2x 2sin2x 2 2 sin x 0− + + =


2 x xx x2cos 2 2

2−+

= +

Câu 243. Giải phương trình: 22sin5x cos4x 3 cot x+ = +

Câu 244. Giải phương trình: ( )sin x cos x 2 2 sin3x+ = −

Câu 245. Giải phương trình: ( )7sin x cos x 2 2 sin x+ = −



Câu 246. Giải phương trình: 5 5sin x cos x 1+ =

Câu 247. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )2 2

cos2xsin x cos x cos2x 2

2 2 2 2 2 2 12

+ − + + − = +

Câu 248. Giải phương trình: ( )8 8 14 14sin x cos x 64 cos x sin x+ = +

Câu 249. Giải phương trình: 7cos x sin 4x 1+ =

Câu 250. Giải phương trình: 2x x xsin x cos 2cos 3 cos x sin

4 2 4+ = −

Câu 251. Giải phương trình: sin x sin2x 1= Câu 252. Giải phương trình: sin 4x cos16x 1= Câu 253. Giải phương trình: sin x sin2x cos5x 1=

Câu 254. Giải phương trình: 2 2x x xsin sin x cos sin x 1 2cos2 2 4 2

π − + = −

Câu 255. Giải phương trình: 2x

1 cos x 02

− − =


sin x cos x

5 5cos x sin x

2 2

=

Câu 257. Giải phương trình: 2014 2014cos x sin 1− =



Câu 260. Giải phương trình: 5 5sin x cos x cos2x sin2x 1 2+ + + = +

Câu 261. Giải phương trình: ( )2x 2x sin xy 1 0+ + =

Câu 262. Giải phương trình: 2sin x x x 1= + +

Câu 263. Giải phương trình: sin x3 cos x=

Câu 264. Giải phương trình: sin x cos x 2 sin 3x 2 2+ + =


3cos2x cos 4x 4 cos 3x− = +

Câu 266. Giải phương trình: 3 3 4sin x cos x 2 sin x+ = −


2 2

3 3 2

3 3

x 1 x 1 81sin cos cos 4x

2 x 2 x 4sin cos

2 2

+ + + =

Câu 268. Giải phương trình: 2 95 4x x

2ysin

x

− − =

Câu 269. Giải phương trình: 2 373sin x x 5x 0

4π − + − =

Câu 270. Giải phương trình: cos x cos7x 3 3 sin x− =

Câu 271. Giải phương trình: 22013cos x 2013 x= +

Câu 272. Giải phương trình: 3 3sin x 4 cos x 3cos x+ =




2cos 3x 6cos x 1 27 162cos x+ + + =

Câu 274. Giải phương trình: ( ) 2cos 7 x x 6x 1− π = − +

Câu 275. Giải phương trình: cos x cos x3 2 cos x− =

Câu 276. Giải phương trình: ( )3 4 6 16 3 8 2 cos x 4 cos x 3+ − − = −

Câu 277. Giải phương trình: ( )2cos 3x 9x 16x 80 14

π − − − =

Câu 278. Giải phương trình: ( )2 2 2cos sin x 2 cos x 1 tan x tan x4 4

π π + − = +

H – PHƯƠNG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC CÓ CHỨA THAM S Ố HAI PH ƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG NHAU

��

Phương pháp: Ta có những phương pháp thông dụng thường gặp như sau:

Phương pháp lượng giác:

Phương trình có dạng: ( ) ( ) cos f x m hay sin f x m= = có nghiệm khi và chỉ khi: m 1≤ .

Phương trình có dạng: ( ) ( )a cos f x b sin f x c+ = có nghiệm khi và chỉ khi: 2 2 2a b c+ ≥ .

Lưu ý: Nếu miền ( )f x trên không phải là ℝ thì nó chỉ là điều kiện cần.

Phương pháp đại số:

Tách m ra khỏi tham số, và đặt hàm còn lại là ( )g x .

Khảo sát hàm ( )g x trên miền xác định để suy ra giá trị m cần tìm.

Hai phương trình tương đương:

Nếu hai phương trình lượng giác được gọi là tương đương nhau khi và chỉ khi nghiệm của phương trình này cũng là nghiệm của phương trình kia.


Bài 351. Cho phương trình: ( ) ( ) cos2x 2m 1 cos x m 1 0− + + + = ∗

a/ Giải phương trình ( )∗ khi 3

m2

= .

b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có nghiệm trên 3;2 2

π π .

Bài 352. Cho phương trình: ( )( ) ( ) 2cos x 1 cos2x mcos x m sin x+ − = ∗

a/ Giải phương trình ( )∗ khi m 2= − .



b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có đúng hai nghiệm trên 2

0;3

π

.

Bài 353. Cho phương trình: ( ) ( ) 2 21 m tan x 1 3m 0

cos x− − + + = ∗


m2

= .

b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có nhiều hơn một nghiệm trên 0;2

π .

c/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có hai nghiệm phân biệt trên 0;4

π .

Bài 354. Cho phương trình: ( ) cos 4x 6 sin x cos x m+ = ∗

a/ Giải phương trình ( )∗ khi m 1= .

b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có hai nghiệm trên 0;4

π

.

Bài 355. Cho phương trình: ( ) 2 2cos 4x cos 3x m sin x= + ∗


b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có nghiệm trên 0;12

π .

Bài 356. Cho phương trình: ( ) 2 22 sin x sin x cos x cos x m− − = ∗


b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có nghiệm.

Bài 357. Cho phương trình: ( ) 2

35 4 sin x

2 6 tan x

sin x 1 tan

π + − = ∗

+ α


πα = − .

b/ Tìm tham số α để phương trình ( )∗ có nghiệm.

Bài 358. Cho phương trình: ( ) ( ) 2

2

1cot x m tan x cotx 2 0

cos x+ + + + = ∗


m2

= .


Bài 359. Cho phương trình: ( ) 6 6sin x cos x m sin2x+ = ∗



Bài 360. Cho phương trình: ( ) 6 6

2 2

sin x cos x2m tan2x

cos x sin x

+= ∗

−




m8

= .


Bài 361. Cho phương trình: ( ) sin 4x m tan x= ∗


m6

= .

b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có nghiệm ( )x k , k≠ π ∈ ℤ .

Bài 362. Cho phương trình: ( ) cos 3x cos2x m cos x 1 0− + − = ∗


b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có đúng 7 nghiệm trên ;22

π − π .

Bài 363. Cho phương trình: ( ) ( ) ( ) 4 4 6 6 24 sin x cos 4 sin x cos x sin 4x m+ − + − = ∗



Bài 364. Cho phương trình: ( )

( ) 4 22m 1m

sin x cos 4x sin 4x sin x 04 4

++ + − = ∗


m4

= .

b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có hai nghiệm phân biệt trên ;4 2

π π .

Bài 365. Cho phương trình: ( ) ( ) 6 6 4 4sin x cos x m sin x cos x+ = + ∗


m2

= .


Bài 366. Cho phương trình: ( ) msin x 2 mcos x 2

m 2cos x m 2sin x

− −= ∗

− −


b/ Khi m 0≠ và m 2≠ thì phương trình ( )∗ có bao nhiêu nghiệm trên 20 ;30 π π .

Bài 367. Cho phương trình: ( ) 2sin x cos x 1

msin x 2cos x 3

+ += ∗

− +


m3

= .


Bài 368. Cho phương trình: ( ) ( ) sin2x sin x cos x m+ = ∗

a/ Chứng minh rằng nếu m 2> thì phương trình ( )∗ vô nghiệm.

b/ Giải phương trình khi m 2= .



Bài 369. Cho phương trình: ( ) ( ) sin2x 4 cos x sin x m+ − = ∗



Bài 370. Cho phương trình: ( ) ( ) sin x cos x m sin x cos x 1 0− + + = ∗




2

33 tan x m tan x cotx 1

sin x+ = + + ∗



Bài 372. Cho phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 24 6m sin x 3 2m 1 sinx 2 m 2 sin xcosx 4m 3 cosx− + − + − = − ∗


b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có duy nhất một nghiệm trên 0;4

π

.

Bài 373. Cho phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2sin x 2 m 1 sin x cos x m 1 cos x m+ − − + = ∗



Bài 374. Cho phương trình: ( ) ( ) 2 22cos2x sin x cos x cos x sin x m sin x cos x+ + = + ∗


b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có ít nhất một nghiệm thuộc 0;2

π

.

Bài 375. Cho phương trình: ( )

( ) 2 2

mcos x m sin x

2cos2x 1 cos x 3 sin x tan x

+= ∗

− −


m4

= .


Bài 376. Cho phương trình: ( ) 6 6sin x cos x m sin2x+ = ∗


m2

= .


Bài 377. Cho phương trình: ( ) 2cos2x mcos x 1 tan x= + ∗




b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có nghiệm trên 0;3

π

.

Bài 378. Cho phương trình: ( ) sin x cos x m sin2x 1+ + = ∗


b/ Tìm tham số m 0> để phương trình ( )∗ có nghiệm.

Bài 379. Cho phương trình: ( ) sin x cos x 4 sin2x m− + = ∗



Bài 380. Cho phương trình: ( ) 6 6sin x cos x

m

tan x tan x4 4

+= ∗

π π − +


m4

= − .



4sin x 1 sin x m+ − = ∗


m8

= .



2

4 29cos x m 3cos x 5

cos xcos x

+ = − + ∗




2

4 2sin x m sin x 2

sin xsin x

+ = + − ∗



Bài 384. Cho phương trình: ( )( ) ( ) 22 sin x 1 2cos2x 2 sin x m 3 4cos x− + + = − ∗


b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có đúng hai nghiệm trên 0; π .

Bài 385. Cho phương trình: ( ) 2cos x.cos2x.cos 3x m 7 cos2x+ = ∗


b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có nhiều hơn một nghiệm trên 3;

8 8

− π −π

.



Bài 386. Cho phương trình: ( ) 2cos 2x msin x 06

π + − = ∗


b/ Giải và biện luận phương trình trên 0;2 π .

Bài 387. Cho phương trình: ( ) 1 sin x 1 sin x mcos x+ + − = ∗


b/ Giải và biện luận phương trình ( )∗ theo m.

Bài 388. Cho hàm số ( ) 6 4f x 3 cos 2x sin 2x cos 4x m= + + −

a/ Giải phương trình ( )f x 0= khi m 0= .

b/ Cho ( ) 2 2g x 2cos 2x 3cos 2x 1= + . Tìm m để phương trình ( ) ( )f x g x= có nghiệm.

Bài 389. Cho phương trình: ( ) 1 2cos x 1 2sin x m+ + + = ∗



Bài 390. Tìm tham số m để hai phương trình sau tương đương

( )

( ) ( )

3

1 cos x cos2x 0 1

4 cos x 2mcos2x 2m 1 cos x 2m 0 2

− + =

+ − + + =


( ) ( )

( ) ( )

22cos x sin 3x 2 1 sin x cos2x 1

sin 3x m sin x 2 m cos2x 2 m 2

+ = +

− + − = −


( )( )

3sin x sin2014x.cos x 1

2msin x 2cos x 3m 2 2

− =

− = −

Bài 393. Tìm tham số a và b để hai phương trình sau tương đương

( ) ( )

( ) ( )

a sin2x 2 sin x 2cos x 2 1

2 sin x b sin x 2 sin 2x cos x b 1 0 24

− = −

π − + + − + − =


( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

3 2

3cos x cos 3x 2 sin x sin2x cos x 1

4m cos x 4 8m sin x 4 m 1 cos x 8m 4 0 2

− = −

+ − + − + − =


( )( )

2

sin2x 2mcos x sin x m 1

2cos2x m 5mcos x 2 2

− = −

+ = −




( ) ( )

( ) ( )

2

cos 3x 4 cos 3 x 1

mcos x 1 m sin x 0 22

= π +

π + − + =


( ) ( )

( )

2

2

sin 3x msin x 4 2 m sin x 1

sin 3x cos x 1 2 sin x.cos2x 2

= + −

+ = +


( )( )

1sin x.cos2x sin2x.cos3x sin5x 1

2mcos2x m cos4x cos6x 1 2

= −

+ + =

Bài 399. Tìm tham số m để hai phương trình sau tương đương:

( )

( )( ) ( )

2

2cos x cos2x 1 cos2x cos 3x 1

4 cos x cos 3x mcos x 4 m 1 cos2x 2

= + +

− = + − +

Bài 400. Tìm tham số m để hai phương trình sau tương đương:

( ) ( ) ( )( ) ( )

7 3 3

6 2 3

2 sin x m 1 sin x 2m 2m 1 sin x 0 1

2cos x 2 m cos x 2m m 2 0 2

+ − + − − =

+ − + − − =


Câu 279. Tìm tất cả các tham số m để phương trình: 2 sin x m4

π + = có nghiệm x 0;

4

π ∈ ?

Câu 280. Tìm tham số m để phương trình: cos2x m 1= − có nghiệm 3

x ;4 4

π π ∈ ?

Câu 281. Tìm tham số m để phương trình: sin x m 14

π + = − có nghiệm x 0;

2

π ∈

?

Câu 282. Xác định tham số m để phương trình:

( ) ( )13 5

mcos x 2m 1 sin 9 x 5m 7 2cos x2 2

π π − + − π − + = + − có đúng một nghiệm

5x ;

6 6

π π ∈ − ?

Câu 283. Giải và biện luận phương trình: ( )2m 1 cos x 5 mcos x− + =

Câu 284. Giải và biện luận phương trình: ( )4 tan x m 1 tan x m= + +

Câu 285. Giải và biện luận phương trình: ( ) 23m 2 cos2x 4m sin x m 2 0− + + − =

Câu 286. Tìm tham số m để phương trình: 6 6sin x cos x m+ = vô nghiệm ?

Câu 287. Cho phương trình: ( ) ( ) ( )7

2 m sin x 3m 2 cos 4 x m 22

π + + − + π − + =

a/ Tìm tham số m để phương trình có nghiệm ?



b/ Tìm tham số m để phương trình có đúng ba nghiệm x ;23

π ∈ − π

?

Câu 288. Cho phương trình: ( )a

2a sin x a 1 cosacos x

+ + = . Tìm a để phương trình có nghiệm ?

Câu 289. Cho phương trình: ( )( ) 22 sin x 1 2cos2x 2sin x m 3 4cos x− + + = − . Tìm m để phương

trình có 2 nghiệm thỏa : 0 x≤ ≤ π .

Câu 290. Cho phương trình: ( )2cos x 2 1 m cos x 2m 1 0+ − + − = . Tìm m để phương trình có

nghiệm ?

Câu 291. Cho phương trình: 2 2cos x 6sin x 4m 2+ = − . Tìm tham số m để phương trình có nghiệm ?

Câu 292. Cho phương trình: ( )cos2x 2m 1 cos x 1 m 0+ − + − = . Tìm m để phương trình có nghiệm

x ;2

π ∈ π .

Câu 293. Tìm tham số m để phương trình: 2 sin x mcos x m 2+ = − có nghiệm ?

Câu 294. Xác định tham số m để: 2cos x 2mcosx 6m 9 0− + − = có nghiệm x ;2 2

π π ∈ − ?

Câu 295. Xác định tham số m để: ( )22cos x m 2 cos x m 0− + + = có nghiệm x 0;2

π ∈

?

Câu 296. Xác định tham số m để: 22sin 2x 3sin2x m 1 0− + − = có nghiệm x 0;4

π ∈

?

Câu 297. Xác định tham số m để: ( ) ( ) ( )4 4 6 6 24 sin x cos x 4 sin x cos x m sin 4x+ − + = + π + có

nghiệm ?

Câu 298. Xác định tham số m để phương trình: ( )4

4cos x cos x 1 m+ − = có nghiệm x ;6 2

π π ∈

?

Câu 299. Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của m để phương trình: 2 x3 2cos2x 8cos 3m2

+ − = có

nghiệm ?

Câu 300. Cho phương trình: ( ) 2sin2x 2m 2 sin x cos x 1 6m 0− + + − = . Tìm m để phương trình có

nghiệm ?

Câu 301. Cho phương trình: 6 6sin x cos x msin2x+ = . Tìm m để phương trình có nghiệm ?

Câu 302. Cho phương trình: ( ) ( ) 34 cos x m 3 cos x 1 cos2x 1+ − − = . Tìm m để ( )1 có đúng 4

nghiệm thuộc ;2

π − π .

Câu 303. Cho phương trình: ( ) sin2x m sin x 2mcos x 1+ = + . Tìm m để ( )1 có đúng 2 nghiêm

phân biệt thuộc 3

0;4

π

.

Câu 304. Cho phương trình: ( )2 22cos2x sin x cos x sin x cos x m sin x cos x+ + = + . Tìm m để

phương trình có ít nhất 1 nghiệm 0;2

π ∈

.



Câu 305. Tìm a để 6 6sin x cos x a sin2x+ = có nghiệm.

Câu 306. Cho phương trình: ( ) ( )m sin x cos x 2 2 1 sin x cos x sin x cos x+ + = + + + . Tìm m để

phương trình có nghiệm ?

Câu 307. Giải và biện luận phương trình: ( ) 2 32m sin x cos x 2m cos x sin x

2+ = + − + ?

Câu 308. Cho phương trình: ( ) ( ) 8 8 10 10sin x cos x 2 sin x cos x mcos2x 1+ − + = . Tìm m để ( )1 có

nghiệm ( ) x k , k4 2

π π≠ + ∈ ℤ .

Câu 309. Cho phương trình:

( ) ( ) ( )3 2 2 3sin x 2m 1 sin x cos x 3m 1 sin x cos x m 1 cos x 0+ + + − + − =

Xác định m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x ;02

π ∈ − .

Câu 310. Cho phương trình: 3 2 2 3sin x sin x cos x 18msin x cos x 2mcos x 0− + − =

Xác định m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x 0;2

π ∈ .

Câu 311. Giải và biện luận phương trình: ( ) ( )2 3 2 38m 1 cos x 4m 1 cos x 2m sin x 0+ − + + =

Câu 312. Cho phương trình: ( )2 2msin x 4 2 sin x cos x m 2 cos x 0− + − =

Xác định m để phương trình có nghiệm x 0;6

π ∈ .

Câu 313. Giải và biện luận phương trình: 2 22sin x 7 sin x cos x 3cos x m 0− − + = Câu 314. Xác định tham số m để phương trình:

( ) ( ) ( ) ( )3 22 2 3m sin x 3 2m 1 sin x 2 m 2 sin x cos x 4m 3 cos x− + − + − = − có nghiệm

duy nhất x 0;4

π ∈

.

Câu 315. Cho phương trình: ( )( )2 m 1 sin x cos x m sin2x 4m 1 0− + + + − =

Xác định m để phương trình có nghiệm 3

x ;2 4

π π ∈ − .

Câu 316. Cho phương trình: ( )( )sin2x 2m 2 sin x cos x 2m 2 1 0− + + + + = . Xác định m để

phương trình có đúng hai nghiệm 5

x 0;4

π ∈ .

Câu 317. Cho phương trình: 1 1 1

2 cos x 1 tan x cotx m2 2 sin x cos x

π − + + + + + = . Tìm tham

số m để phương trình có nghiệm x 0;2

π ∈ .

Câu 318. Tìm a để phương trình: 2

35 4 sin x

2 6 tana

sin x 1 tan a

π + − =

+ có nghiệm ?



Câu 319. Cho phương trình: ( )2 2

1 1m tan x cotx 1 0

sin x cos x+ + + + = . Tìm tham số m để phương

trình vô nghiệm. Câu 320. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình:

2

2

1 1cos x 2 cos x m

cos xcos x

+ = − + có nghiệm ?

Câu 321. Tìm tham số m để phương trình: ( )2 2tan x cot x 3 tan x cotx m 0+ + − − = có nghiệm.

Câu 322. Giải và biện luận phương trình: ( )sin2x 4m 2 sin x cos x 1 8m 0+ − + − =

Câu 323. Tìm tham số m để phương trình: ( ) ( )2 2sin x 2m 2 sin x cos x m 1 cos x m+ − − + = có

nghiệm ?

Câu 324. Tìm tham số m để phương trình: ( )sin2x 4 sin x cos x m+ − = có nghiệm ?

Câu 325. Cho phương trình: ( )2 22cos2x sin x cos x sin x cos x m sin x cos x+ + = + . Xác định tham

số m để phương trình có ít nhất một nghiệm x ;4 4

π π ∈ − .

Câu 326. Tìm tham số m để phương trình: 3 3 msin x cos x 1 sin2x

2+ = + có nghiệm

3x ;

2

π ∈ π .

Câu 327. Tìm tham số m để phương trình: ( ) ( )2 23 tan x cot x m tan x cotx 2 0+ + + + = có nghiệm

Câu 328. Giải và biện luận phương trình: ( )( ) ( )2 2m 1 tan x cot x 2m tan x cotx m 6− + − − = −

Câu 329. Xác định tham số a để phương trình: 2 2 22cos 2x cos 3x a sin x 1− − = có nghiệm

x 0;12

π ∈ .

Câu 330. Giải và biện luận phương trình: 2 32m 2m 2 sin x sin x cos x

4 2

π − + + = −

Câu 331. Xác định tham số m để: ( )( ) 22 sin x 3 3cos x 2 sin x 4 m 4 cos x 5 0+ + − + + + = có

nghiệm duy nhất x ;4 4

π π ∈ −

Câu 332. Xác định tham số m để: ( ) ( )3 2cos x m 2 cos x 3m 1 cos x 2m 2 0+ − − + + + = có nghiệm

duy nhất 3

x ;4 4

π π ∈ − −

Câu 333. Xác định tham số m để: 3 3x 3x 3x x 3sin2x sin6x msin cos sin cos

2 2 2 2 4

− ++ = có nghiệm

x ;24 8

π π ∈

Câu 334. Giải và biện luận phương trình: ( ) ( ) 22 1 m sin x 2 m 2 cos x m 5 0− − + + + =

Câu 335. Xác định m để: 2cos x cos2x cos 3x m 7 cos2x+ = có nghiệm duy nhất trên x 0;4

π ∈



Câu 336. Các tham số a, b thỏa mãn điều kiện gì để phương trình: ( )2x 5 2 x 2cos ax b + = − + có

nghiệm ?

Câu 337. Xác định tham số m để phương trình: 2 2 2sin x sin 3x mcos 2x 0+ − = có nghiệm ?

Câu 338. Xác định tham số m để phương trình: 2 2sin x 2 sin x sin x 2 sin x m+ − + − = có nghiệm ?

Câu 339. Tìm a để phương trình sau có nghiệm ?

( ) ( )( )2

2 2cos 8x cos 4x a 6a 8 a 6a 11 7 sin6x− = + + + + + +

Câu 340. Giải và biện luận phương trình: 1 sin2x 1 sin2x mcos2x+ + − =

Câu 341. Cho phương trình: ( )( )23 sin x cos x 1 sin x 2 sin x 2m− − + + − = . Tìm tham số m để

phương trình có nghiệm x ;2 2

π π ∈ −

.

Câu 342. Cho phương trình: 1 2cos x 1 2sin x m+ + + = . Xác định m để phương trình có nghiệm

Câu 343. Cho phương trình: ( ) ( )3 1 cotx 2sin x cos x m 3sin x cos x+ + = + . Xác định tham số m

để phương trình có nghiệm duy nhất x 0;2

π ∈ .

Câu 344. Cho phương trình: 2 2cos x 2cos x 5 cos x 4 cos x 8 m− + + + + = . Xác định phương trình có nghiệm ?

Câu 345. Cho phương trình: ( )2 2 4 22cos x 3cos x 1 cos x 3cos x 1 m+ = + − . Xác định m để

phương trình có nghiệm ?

Câu 346. Cho phương trình: 2 x xcos x m cos 1 tan

2 2= + . Xác định m để phương trình duy nhất

thuộc đoạn 2

0;3

π

?

Câu 347. Cho phương trình: 2 2sin x cos x81 81 m+ = . Xác định m để phương trình có nghiệm ?

Câu 348. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình: 2mx 2cos x 2+ = có đúng hai nghiệm phân biệt

trong x 0;2

π ∈

I – HỆ PHƯƠNG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC

��

Phương pháp: Ta có những phương pháp thông dụng thường gặp như sau

Phương pháp thế.

Phương pháp cộng.

Phương pháp đặt ẩn phụ.

Phương pháp bất đẳng thức, tổng hai số không âm (hệ không mẫu mực).




Bài 401. Giải hệ phương trình: ( )

( )

cos2x 1 0 1

3sin2x 2

2

− = =

Bài 402. Giải hệ phương trình: sin x sin y 1

x y3

+ = π + =

Bài 403. Giải hệ phương trình: 2x 3y

33

sin2x cos 3y4

π − = =

Bài 404. Giải hệ phương trình: ( )( )

sin x sin y 2 1

cos x cos y 2 2

+ = + =

Bài 405. Giải hệ phương trình:

2 3tan x tan y

32 3

cotx coty3

+ = + = −


cos x 1

cos y 2

x y3

= π + =


2 2 1sin x sin y

2

x y3

+ = π − =

Bài 408. Giải hệ phương trình: 2 2

x y3

2cos x cos y 1

4

π − = + = +


tan x tan y tan x tan y 1 1

cos2x 3 cos2x 1 2

− − = + = −


3

3

cos x cos x sin y 0 1

sin x sin y cos x 0 2

− + = − + =


1sin x cos y 1

2tan x coty 1 2

= − =

Bài 412. Giải hệ phương trình: 1

cos y 2sin xsin x cos y 1

− = = −




3sin x sin2y

21

cos x cos2y2

− = + =


( )

2 3tan x tan y 1

32 3

cotx coty 23

+ = + = −


1sin x cos y sin y cos y

23

2 sin2x sin2y2

+ = − = +

Bài 416. Giải hệ phương trình: 2 cos x 1 cos y

2 sin x sin y

= + =

Bài 417. Giải hệ phương trình: sin x 7 cos y 0

5 sin y cos x 6

− = − =


tan x 2sin y sin2x

2 sin y cos x y sin x

+ = − =


sin x sin2y

x 0; , y ;4 4

cos x 2 cos y

= π π ∈ π ∈ − =


( ) ( )( ) ( )

1sin x .cos y

43 tan x tan y

0 x y 2

π π = π = π < + <


cos x cos2y x 2y 1

tan x 3 tan y 2

− = − =


( )

tan x cotx 2sin y 14

tan y coty 2sin x 24

π + = + π + = −

Bài 423. Giải hệ phương trình: ( )sin x sin y sin x y

x y 1

+ = + + =

Bài 424. Giải hệ phương trình: ( )1

sin x cos y sin x y 08

x y z

+ + = = +




2

x y x ysin x 2sin x cos2y cos cos 2

2 2cos x cos y 2sin 2y 0

+ − − = + − + − =


cotx coty x y

5x 8y 2

0 x,y

− = − + = π < < π

Bài 427. Giải hệ phương trình: ( ) ( )cos x y 2cos x y

3cos x cos y

4

+ = − =


3tan x cotx 2sin y

4

tan y coty 2sin x4

π + = − π + = +


x y

6 4

sin xe

sin y

10 x 1 3 y 2

5x,y ;

4

− = + = + π ∈ π

Bài 430. Giải hệ phương trình: 2 2

sin x sin y 2

sin x sin y 2

+ = + =

Bài 431. Giải hệ phương trình: tan x tan y tan x tan y 1

3 sin2y 2 cos 4x

+ + = − =


1sin x sin y

21

cos x cos y2

= − =


2

sin x cos x cos y

cos x sin x sin y

= =


sin x cos y4

3 tan x tan y

= =

Bài 435. Giải hệ phương trình: tan x tan y 1

x ytan tan 2

2 2

+ = + =

Bài 436. Giải hệ phương trình: 2 2tg x tg y 6

tgx.cotgy tgy.cotgx 6

+ = + = −


sin x.cos y 0

2sin x cos2y 2 0

= − − =




φx y

sin xm

sin y

± = =


φx y

cos xm

cos y

± = =


φx y

tan xm

tan y

± = =

Bài 441. Giải hệ phương trình: φx y

tan x.tan y m

± = =

Bài 442. Giải hệ phương trình: φx y

cotx.coty m

± = =

Bài 443. Cho hệ phương trình: 1

sin x sin y2

cos2x cos2y m

+ = + =

a/ Giải hệ phương trình khi 1

m2

= − .

b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm.

Bài 444. Cho hệ phương trình: ( ) 2

x y m

2 cos2x cos2y 1 4 cos m 0

− = + − − =

Tìm tham số m để hệ phương trình có nghiệm.


cos x cos y m 1

sin x sin y 4m 2m

= + = +

a/ Giải hệ phương trình khi 1

m4

= − .

b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm.

Bài 446. Cho hệ phương trình: 2 2

2

y tan x 1

y 1 ax a sin x

+ = + = + +

. Tìm tham số m để hệ có nghiệm duy nhất.

Bài 447. Cho hệ phương trình: sin x sin2x m

cos x cos2x m

+ = + =

a/ Giải hệ phương trình khi m 0= . b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm.

Bài 448. Cho hệ phương trình: x 2

2 2

2 x cos x x a

x cos x 1

+ = + + + =

. Tìm tham số a để hệ có nghiệm duy nhất.

Bài 449. Tìm điều kiện cần và điều kiện đủ để hệ sau có nghiệm: sin x cos y a

sin y cos x b

+ = + =




2

sin x m tan y m

tan y msin x m

+ = + =

a/ Giải hệ phương trình khi m 4= − . b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm.

J – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC – NHẬN DẠNG TAM GIÁC ��

�� Định lí hàm số sin và cosin

Cho ∆ABC có a, b, c lần lượt là ba cạnh đối diện của � � � A, B, C và R, S tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích ∆ABC.

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

a b c2R

sinA sinB sinCa b c 2bc cosA b c 4S.cotA

b a c 2ac cosB a c 4S.cotB

c a b 2abcosC a b 4S.cotC

• = = =

• = + − = + −

• = + − = + −

• = + − = + −

�� Định lí về đường trung tuyến

Cho ∆ABC có trung tuyến AM thì

22 2 2

22 2 2

a

BCAB AC 2AM

2a

hay : c b 2m2

+ = +

+ = +

�� Diện tích tam giác

Gọi S : là diện tích ∆ABC. R : bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. r : bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC. p : nửa chu vi của ∆ABC.

● a b c

1 1 1S a.h b.h c.h

2 2 2= = = ●

1 1 1S absinC ac sinB bc sinA

2 2 2= = =

● abc

S4R

= ● a b c

S pr, p2

+ += =

● ( )( )( )S p p a p b p c= − − −

�� Bán kính đường tròn

Gọi R : bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. r : bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC.

● a abc

R2sinA 4S

= = ● ( ) ( ) ( )A B C

r p a tan p b tan p c tan2 2 2

= − = − = −

A

B C

b c

a

A

B C

b c ma

a M



● S

rp

=

�� Định lí hàm số tan và cot

● ...

A Btan

a b 2 ;a b A B

tan2

−−

=+ +

● 2 2 2a b c

cotA cotB cotC4S

+ ++ + =


Bài 451. Chứng minh các đẳng thức cơ bản trong ∆ABC

a/ A B C

sinA sinB sinC 4 cos cos cos2 2 2

+ + =

b/ A B C

cosA cosB cosC 1 4 sin sin sin2 2 2

+ + = +

c/ sin2A sin2B sin2C 4 sinA sinBsinC+ + = d/ cos2A cos2B cos2C 1 4 cosAcosBcosC+ + = − −

e/ 2 2 2sin A sin B sin C 2 2cosAcosBcosC+ + = +

f/ 2 2 2cos A cos B cos C 1 2cosAcosBcosC+ + = −

g/ 2 2 2A B C A B Csin sin sin 1 2sin sin sin

2 2 2 2 2 2+ + = −

h/ 2 2 2A B C A B Ccos cos cos 2 2 sin sin sin

2 2 2 2 2 2+ + = +

i/ tanA tanB tanC tanA tanBtanC+ + =

j/ A B B C C A

tan tan tan tan tan tan 12 2 2 2 2 2

+ + =

Bài 452. Chứng minh trong ∆ABC, ta luôn có:

( ) tan kA tan kB tan kC tan kA tan kB tan kC , k+ + = ∈ ℕ

Bài 453. Cho ∆ABC. Biết A B 1

tan tan2 2 3

= . Chứng minh: a b 2c+ = .

Bài 454. Cho ∆ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự tạo thành cấp số nhân công bội q 2= . Chứng minh:

a/ 2 2 2

1 1 18

sin A sin B sin C+ + = . b/

1cosAcosBcosC

8= − .

c/ 2 2 2 5cos A cos B cos C

4+ + = . d/

1 1 1

a b c= + .

Bài 455. Cho ABC, BC a, CA b, AB c∆ = = = . Chứng minh: A C

2b a c cot cot 32 2

= + ⇔ =

Bài 456. Cho ∆ABC. Biết rằng: sinA sinB sinC

1 23= = . Tính các góc của ∆ABC.

Bài 457. Cho ∆ABC. Biết rằng có ba góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân có công bội q 2= .

Giả sử � � �A B C< < . Chứng minh: 1 1 1

a b c= + .



Bài 458. Cho ∆ABC. Chứng minh: ( )2 2 2R a b c

cotA cotB cotCabc

+ ++ + = .

Bài 459. Cho ∆ABC. Biết 2 2 2sin B sin C 2sin A+ = . Chứng minh: 0BAC 60≤ Bài 460. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng nếu cotA, cotB, cotC tạo thành một cấp số cộng thì a2, b2, c2

cũng theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng.

Bài 461. Cho ∆ABC. Chứng minh: � � 2 2A 2.B a b bc= ⇔ = + .

Bài 462. Cho ∆ABC. Chứng minh: sinA sinB sinC A B C

tan tan cotcosA cosB cosC 1 2 2 2

+ −=

+ − +

Bài 463. Cho ∆ABC. Chứng minh: sinA sinB sinC A B

cot cotsinA sinB sinC 2 2

+ +=

+ −

Bài 464. Cho ∆ABC. Chứng minh: 2 2 2a b c

cotA cotB cotC4S

+ ++ + =

Bài 465. Cho ∆ABC. Chứng minh:

A B Csin sin sin

2 2 2 2B C C A A B

cos cos cos cos cos cos2 2 2 2 2 2

+ + =

Bài 466. Cho ∆ABC. Chứng minh: ( ) 2 2

2

sin A B a b

sinC c

− −=

Bài 467. Cho ∆ABC. Chứng minh: A B C 3 cosA cosB cosC

tan tan tan2 2 2 sinA sinB sinC

+ + ++ + =

+ +


1 1 1 1 A B C A B Ctan tan tan cot cot cot

sinA sinB sinC 2 2 2 2 2 2 2

+ + = + + +


( )2 2 2sin A sin B sin C 2 sinAsinBcosC sinBsinCcosA sinCsinAcosB+ + = + +

Bài 470. Cho ∆ABC có AM là đường trung tuyến, AMB , AC b, AB c, S= α = = là diện tích

∆ABC với 00 90< α < .

a/ Chứng minh: 2 2b c

cot4S

−α = .

b/ Giả sử 045α = . Chứng minh: cotC cotB 2− = .

Bài 471. Cho ∆ABC có trung tuyến xuất phát từ B và C là mb, mc thỏa b

c

mc1

b m= ≠ .

Chứng minh rằng: 2cotA cotB cotC= + . Bài 472. Chứng minh rằng nếu ∆ABC có trung tuyến AA' vuông góc với trung tuyến BB' thì

( )cotC 2 cotA cotB= + .

Bài 473. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng: 2S

sin2A sin2B sin2CR

+ + = .

Bài 474. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng: ( )2 21S a sin2B b sin2A

4= + .



Bài 475. Cho ∆ABC có trọng tâm G và γGAB , GBC , GCA= α = β = . Chứng minh rằng:

( )γ

2 2 23 a b ccot cot cot

4A

+ +α + β + = .

Bài 476. Cho I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC. Chứng minh:

a/ A B C

r 4R sin sin sin2 2 2

= . b/ 2IA.IB.IC 4Rr= .

Bài 477. Cho ∆ABC có đường tròn nội tiếp tiếp xúc các cạnh ∆ABC tại A', B', C'. ∆A'B'C' có các cạnh là a', b', c' và diện tích là S'. Chứng minh:

a/ a ' b ' C A B

2sin sin sina b 2 2 2

+ = + . b/

S' A B C2sin sin sin

S 2 2 2= .

Bài 478. Cho ∆ABC có trọng G và tâm đường tròn nội tiếp I. Biết GI vuông góc với đường phân giác

trong của góc BCA . Chứng minh: a b c 2ab

3 a b

+ +=

+.

Bài 479. Tính các góc của ∆ABC biết: ( ) ( ) ( )3

sin B C sin C A cos A B2

+ + + + + = .

Bài 480. Tính các góc của ∆ABC biết: ( )5

cos2A 3 cos2B cos2C 02

+ + + = .

Bài 481. Chứng minh ∆ABC có � 0C 120= nếu: A B C

sinA sinB sinC 2sin sin 2 sin2 2 2

+ + − = .

Bài 482. Tính các góc của ∆ABC biết số đo ba góc tạo thành một cấp số cộng và thỏa:

3 3sinA sinB sinC

2

++ + = .

Bài 483. Tính các góc của ∆ABC nếu biết 2 2 2b c a

sinA sinB sinC 1 2

+ ≤ + + = +

Bài 484. Cho ∆ABC không tù thỏa: cos2A 2 2 cosB 2 2 cosC 3+ + = . Tính 3 góc ∆ABC.

Bài 485. Chứng minh ∆ABC có ít nhất một góc 060 khi và chỉ khi sinA sinB sinC

3cosA cosB cosC

+ +=

+ +.

Bài 486. Cho ∆ABC có B a c

cot2 b

+= . Chứng minh ∆ABC vuông.

Bài 487. Chứng minh ∆ABC vuông tại A nếu : b c a

cosB cosC sinBsinC+ = .

Bài 488. Cho ∆ABC có A B C A B C 1

cos cos cos sin sin sin2 2 2 2 2 2 2

− = . Chứng minh ∆ABC vuông.

Bài 489. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: ( ) ( )3 cosB 2sinC 4 sinB 2cosC 15+ + + = .

Bài 490. Cho ∆ABC có: sin2A sin2B 4 sinA sinB+ = . Chứng minh ∆ABC vuông.

Bài 491. Chứng minh nếu ∆ABC có C

tanA tanB 2cot2

+ = thì nó là một tam giác cân.

Bài 492. Chứng minh ∆ABC cân nếu: 3 3A B B Asin cos sin cos

2 2 2 2= .

Bài 493. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( )2 2

2 2

2 2

cos A cos B 1cot A cot B

2sin A sin B

+= +

+.



Bài 494. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( )C

a b tan a tanA b tanB2

+ = + .

Bài 495. Chứng minh ∆ABC đều nếu: ( )bc 3 R 2 b c a = + − .

Bài 496. Chứng minh ∆ABC đều nếu: 3 3 32

3sinBsinC

4a b c

aa b c

= − − = − −

Bài 497. Chứng minh ∆ABC đều nếu: sinA sinB sinC sin2A sin2B sin2C+ + = + +

Bài 498. Chứng minh ∆ABC đều nếu: 2 2 2

1 1 1 1

2cosAcosBcosCsin 2A sin 2B sin 2C+ + =

Bài 499. Chứng minh ∆ABC đều nếu: a cosA bcosB ccosC 2p

a sinB bsinC c sinA 9R

+ +=

+ +

Bài 500. Chứng minh ∆ABC đều nếu: A B C

cotA cotB cotC tan tan tan2 2 2

+ + = + +


Câu 349. Tính các góc ∆ABC biết: 3

cosA sinB sinC2

= + −

Câu 350. Tính các góc ∆ABC biết: sin 6A sin6B sin6C 0+ + =

Câu 351. Tính góc �C của ∆ABC biết: ( )( )1 cotA 1 cotB 2+ + =

Câu 352. Tính góc �C của ∆ABC biết: � � 0

92 2

A, B 90

sin A sin B sinC

< + =

Câu 353. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: b c

cosB cosCa

++ =

Câu 354. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: b c a

cosB cosC sinBsinC+ =

Câu 355. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: sinA sinB sinC 1 cosA cosB cosC+ + = − + +

Câu 356. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: ( ) ( )

2

2

2 1 cos B Cb c

1 cos2Bb

− −− =−

Câu 357. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: b c

cosB cosCa

++ =

Câu 358. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: B a c

sin2 2a

−=

Câu 359. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: b c B C

tanb c 2

− −=

+

Câu 360. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: 1 b c

cotAsinA a

++ =

Câu 361. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: sinA cosB

tanAsinB cosA

+=

+



Câu 362. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: sinA

tanB tanCsinBsinC

+ =

Câu 363. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: sinA

cotB cotCcosBcosC

+ =

Câu 364. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: sinB sinC

sinAcosB cosC

+=

+

Câu 365. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: ( ) ( )sin A B cos A B 2sinAsinB+ − =

Câu 366. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: 2 2

2bctan2C

b c=

−

Câu 367. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: ( )B A B

r sinA sinB c 2 sin cos2 2

−+ =

Câu 368. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: a

R Atan

m 2=

Câu 369. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: ( )( )1

S a b c a b c4

= + − + +

Câu 370. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: 2 2 2sin A sin B 1 cos C+ = + Câu 371. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: sinA sinB sinC 1 cosA cosB cosC+ + = + + +

Câu 372. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: C B c b

tan2 c b

− −=

+

Câu 373. Chứng minh ∆ABC vuông nếu:

22

2

B C4 sin

b c 21 cos2Bb

− − = −

Câu 374. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: a

B Ch 2p 2 sin sin

2 2=

Câu 375. Chứng minh ∆ABC cân nếu: sinA

2sinBcosC

=

Câu 376. Chứng minh ∆ABC cân nếu: A a

sin2 2 bc

=

Câu 377. Chứng minh ∆ABC cân nếu: 1 cosB 2a c

1 cosB 2a c

+ +=

− −

Câu 378. Chứng minh ∆ABC cân nếu: 2 2

1 cosB 2a c

sinB 4a c

+ +=

−

Câu 379. Chứng minh ∆ABC cân nếu: C C

a cot tanA b tan cot2 2

− = −

Câu 380. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( ) ( )a sin B C bsin C A 0− + − =

Câu 381. Chứng minh ∆ABC cân nếu: 22tanB tanC tan BtanC+ =

Câu 382. Chứng minh ∆ABC cân nếu: C

2sinAsinB sinCcot2

=

Câu 383. Chứng minh ∆ABC cân nếu: A B

tanA tanB tan tan2 2

− = −

Câu 384. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2b c sin C B c b sin C B+ − = − +



Câu 385. Chứng minh ∆ABC cân nếu: sinA sinB sinC A C

cot cotsinA sinB sinC 2 2

+ += −

+ −

Câu 386. Chứng minh ∆ABC cân nếu: a 2ccosB=

Câu 387. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( )A B

a tanA b tanB a b tan2

++ = +

Câu 388. Chứng minh ∆ABC cân nếu: a

Ah bc cos

2=

Câu 389. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( )ah p p a= −

Câu 390. Chứng minh ∆ABC cân nếu: 2 2 2 Ca sin2B b sin2A c cot

2+ =

Câu 391. Chứng minh ∆ABC cân nếu: 2tanA 2tanB tanAtan B+ =

Câu 392. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( )C B

p b cot p tan2 2

− =

Câu 393. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( )( )

sinB 2 cosC sinA

sinC 2 cosB sinA

= − = −

Câu 394. Chứng minh ∆ABC cân nếu: 2 2a sin2B b sin2A 4abcosAcosB

sin2A sin2B 4sinAsinB

+ = + =

Câu 395. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( )2 1 cosC

tanA tanBsinC

++ =

Câu 396. Chứng minh ∆ABC cân nếu: 2 2sin A sin B sinA sinB

cosA cosB Ctan

2

++ =

Câu 397. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( )2 21S a b

4= +

Câu 398. Chứng minh ∆ABC cân nếu: a

Am bc cos

2=

Câu 399. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( )4 4 4 2 2 2sin C 2sin A 2sin B 2sin C sin A sin B+ + = +

Câu 400. Chứng minh ∆ABC cân nếu: 2

2

sin B tanB

tanCsin C=

Câu 401. Chứng minh ∆ABC đều nếu: 3 3 32

1cosBcosC

4a b c

aa b c

= − − = − −

Câu 402. Chứng minh ∆ABC đều nếu:

( )2 2

2 3 3 3

1 cosC 2a b

sinC 4a ba b c a b c a

+ + = − + − = + −



Câu 403. Chứng minh ∆ABC đều nếu:

B asin

2 2 bcB b

sin2 2 ac

= =

Câu 404. Chứng minh ∆ABC đều nếu: A B ab

sin sin2 2 4c

=

Câu 405. Chứng minh ∆ABC đều nếu: a b c

a b c

m m m= =

Câu 406. Chứng minh ∆ABC đều nếu: ( )( )( )8 p a p b p c abc− − − =

Câu 407. Chứng minh ∆ABC đều nếu: 2

2

sinCtanA 3

cosAcosBsin B tanB

tanCsin C

= + =

Câu 408. Chứng minh ∆ABC đều nếu: sinB sinC 2sinA

tanB tanC 2 tanA

+ = + =

Câu 409. Chứng minh ∆ABC đều nếu: ( )2 3 3 33S 2R sin A sin B sin C= + +

Câu 410. Chứng minh ∆ABC đều nếu: a

ab c h 3

2+ = +

Câu 411. Chứng minh ∆ABC đều nếu: a b c 3

b c c a a b 2+ + =

+ + +

Câu 412. Chứng minh ∆ABC đều nếu: abc 2p

ab bc ca 9=

+ +

Câu 413. Chứng minh ∆ABC đều nếu: p

sin2A sin2B sin2CR

+ + =

Câu 414. Chứng minh ∆ABC đều nếu: 2 2 2 2a b c 36r+ + =

Câu 415. Chứng minh ∆ABC đều nếu: A B C

cosA cosB cosC sin sin sin2 2 2

+ + = + +

Câu 416. Chứng minh ∆ABC đều nếu: 1 1 1 1 1 1

cosA cosB cosC A B Csin sin sin

2 2 2

+ + = + +

Câu 417. Chứng minh ∆ABC đều nếu: 1 1 1 1 1 1

sinA sinB sinC A B Ccos cos cos

2 2 2

+ + = + +


tanA tanB tanC tan tan tan2 2 2

+ + = + +


sinA sinB sinC cos cos cos2 2 2

+ + = + +

Câu 420. Chứng minh ∆ABC đều nếu: ( )2 a cosA bcosB c cosC a b c+ + = + +

Câu 421. Chứng minh ∆ABC đều nếu: sinA sinB sinC 4 sinA sinBsinC+ + =



Câu 422. Chứng minh ∆ABC đều nếu: a b c

9Rm m m

2+ + = với

a b cm ,m ,m là ba đường trung tuyến.

Câu 423. Chứng minh ∆ABC đều nếu: ( )2 3 sinBsinC sinA 2 sinB sinC 0+ − + =

Câu 424. Chứng minh ∆ABC đều nếu: ( )2 2 2 2 2 23 tan A tan B tan C tan A tan Btan C+ + =

Câu 425. Chứng minh ∆ABC đều nếu: ( )( )A B Ctan tan tan 7 4 3 2 3

4 4 4= − −

Câu 426. Chứng minh ∆ABC đều nếu: ( ) ( ) ( )a 1 2cosA b 1 2cosB c 1 2cosC 0− + − + − =

Câu 427. ∆ABC là tam giác gì nếu: ( )A B

a tanB b tanA a b tan2

++ = +

Câu 428. ∆ABC là tam giác gì nếu: c c cos2B bsin2B= + Câu 429. ∆ABC là tam giác gì nếu: sin 3A sin 3B sin 3C 0+ + =

Câu 430. ∆ABC là tam giác gì nếu: ( )( )4S a b c a c b= + − + −

Câu 431. ∆ABC là tam giác gì nếu: 2 2 2cos A cos B cos C 1+ + =

Câu 432. ∆ABC là tam giác gì nếu: 2 2 2 Ca sin2B b sin2A c cot

2+ =

Câu 433. ∆ABC là tam giác gì nếu: sinB 2cosA cosC

sinA 2cosB cosC

+=

+

Câu 434. ∆ABC là tam giác gì nếu: 2 2 2cos A cos B cos C 1

sin5A sin5B sin 5C 0

+ + < + + =

Câu 435. ∆ABC là tam giác gì nếu: 2 2a sin2B b sin2A 4abcosAsinB

sin2A sin2B 4 sinAsinB

+ = + =

Câu 436. ∆ABC là tam giác gì nếu:

A B C12cos cos cos

2 2 2tanA tanBtanCcosA cosB cosC

=+ +

Câu 437. ∆ABC là tam giác gì nếu: 2 2 2

sin2A sin2B sin2C 32 3

A B C 9cos cos cos

2 2 2

+ +=

Câu 438. ∆ABC là tam giác gì nếu: ( )( )2 2 2 2 2 2 227 a c b a b c 256bcR+ − + − =

Câu 439. ∆ABC là tam giác gì nếu: 3

4 sinAsinBsinC a b c

ab bc ca 18R

+ +=

+ +

Câu 440. ∆ABC là tam giác gì nếu: a b c

cosA cosB cosCb c c a a b

+ + = + ++ + +


2012 2012 2012 2012 2012 2012A B C

tanA tanB tanC cot cot cot2 2 2

+ + = + +

Câu 442. ∆ABC là tam giác gì nếu: ( )

22

2 2 2

S a b c

sin A sin B sin C cotA cotB cotC

= − − + + = + +


( ) ( ) ( )1 b c bc cosA 1 c a ca cosB 1 a b ab cosC 3+ + − + + + − + + + − =



Câu 444. ∆ABC là tam giác gì nếu: ( )3 sinA sinB sinC

tanA tanB tanCcosA cosB cosC

+ ++ + =

+ +

Câu 445. ∆ABC là tam giác gì nếu: ( )

2

S 1

3 a b c 36

= + + =


a sinA bsinB b sinB c sinC c sinC a sinAsinA sinB sinC

a b b c c a

+ + ++ + = + +

+ + +


( )( ) ( ) ( )2 2 2

0a b c a b a c b c a b c

2 sin B 452abc

+ − + + − + + −+ =

Câu 448. ∆ABC là tam giác gì nếu: A B C A B C 1

cos cos cos sin sin sin2 2 2 2 2 2 2

− =

Câu 449. ∆ABC là tam giác gì nếu: 2 2 2

cosA cosB cosC 2

cos A cos B cos C 1

+ + = + + ≥

Câu 450. Cho ∆ABC. Chứng minh: ( )2 21S a sin2B b sin2A

4= +

Câu 451. Cho ∆ABC. Chứng minh:

A B C A B B C C A A B Ctan tan tan tan tan tan tan tan tan 1 tan tan tan

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4+ + + + ++ = +

Câu 452. Cho ∆ABC. Chứng minh: ( ) ( ) ( )a b cosC b c cosA c a cosB 2p+ + + + + =


3 3 3 A B C 3A 3B 3Ccos A cos B cos C 1 3sin sin sin sin sin sin

2 2 2 2 2 2+ + = + −

Câu 454. Cho ∆ABC. Chứng minh: 3 3

sinA sinB sinC2

+ + ≤

Câu 455. Cho ∆ABC. Chứng minh: 3

cosA cosB cosC2

+ + ≤

Câu 456. Cho ∆ABC. Chứng minh: 3 3

sinA sinBsinC8

≤


cosAcosBcosC8

≤

Câu 458. Cho ∆ABC. Chứng minh: A B C 3

sin sin sin2 2 2 2

+ + ≤

Câu 459. Cho ∆ABC. Chứng minh: A B C 3 3

cos cos cos2 2 2 2

+ + ≤

Câu 460. Cho ∆ABC. Chứng minh: A B C 1

sin sin sin2 2 2 8

≤

Câu 461. Cho ∆ABC. Chứng minh: A B C 3 3

cos cos cos2 2 2 8

≤

Câu 462. Cho ∆ABC. Chứng minh: 2 2 2 9sin A sin B sin C

4+ + ≤



Câu 463. Cho ∆ABC. Chứng minh: 2 2 2 3cos A cos B cos C

4+ + ≥

Câu 464. Cho ∆ABC. Chứng minh: 2 2 2A B C 3sin sin sin

2 2 2 4+ + ≥

Câu 465. Cho ∆ABC. Chứng minh: 2 2 2A B C 92 cos cos cos

2 2 2 4< + + ≤


sinAsinB sinBsinC sinCsinA4

+ + ≤


cosAcosB cosBcosC cosCcosA4

+ + ≤

Câu 468. Cho ∆ABC. Chứng minh: 1 1 1

2 3sinA sinB sinC

+ + ≥


6cosA cosB cosC

+ + ≥


6A B C

sin sin sin2 2 2

+ + ≥


2 3A B C

cos cos cos2 2 2

+ + ≥


1 1 14

sin A sin B sin C+ + ≥


1 1 112

cos A cos B cos C+ + ≥


1 1 112

A B Csin sin sin

2 2 2

+ + ≥


1 1 14

A B Ccos cos cos

2 2 2

+ + ≥

Câu 476. Cho ∆ABC. Chứng minh: tanA tanB tanC 3 3+ + ≥

Câu 477. Cho ∆ABC. Chứng minh: cotA cotB cotC 3+ + ≥

Câu 478. Cho ∆ABC. Chứng minh: A B C

tan tan tan 32 2 2

+ + ≥

Câu 479. Cho ∆ABC. Chứng minh: A B C

cot cot cot 3 32 2 2

+ + ≥

Câu 480. Cho ∆ABC. Chứng minh: ( )2 acosA bcosB ccosC a b c+ + ≤ + +

Câu 481. Cho ∆ABC. Chứng minh: R 2r≥

Câu 482. Cho ∆ABC. Chứng minh: 2 2 2p 6R 3r≤ +


a b c8m m m 27R≤

Câu 484. Cho ∆ABC. Chứng minh: ( )3 3 3 9 1cos A cos B cos C cos3A cos3B cos3C

8 4+ + ≤ + + +



Câu 485. Cho ∆ABC. Chứng minh: 2 CsinAsinB cos2

≤


3 3 3

sinA sinB sinC1

A B Ccos cos cos

2 2 2

+ +≤

+ +

Câu 487. Cho ∆ABC. Chứng minh: 2 2 21 2cos A 1 2cos B 1 2cos C

3 2sinB sinC sinA

+ + ++ + ≥


A B C1 cos 1 cos 1 cos

2 2 2 3 3a b c

+ + ++ + >

Câu 489. Cho ∆ABC. Chứng minh: 1 1 1 A B C

tan tan tan 3 3A B C 4 4 4

sin sin sin2 2 2

+ + − + + ≥

Câu 490. Cho ∆ABC. Chứng minh: ( )( )( )1 cosA 1 cosB 1 cosC cosAcosBcosC− − − ≥

Câu 491. Cho ∆ABC. Chứng minh: sinA sinB sinC 2

1cosA cosB cosC 2

+ +≥ +

+ +

Câu 492. Cho ∆ABC. Chứng minh: a b c

a b c2 3

m m m+ + ≥

Câu 493. Cho ∆ABC. Chứng

minh:a b b c c a

c a b 27abccosA cosB cosB cosC cosC cosA

+ − + − + − ≥

Câu 494. Cho ∆ABC có chu vi bằng 3. Chứnh minh rằng:

( )2 2 2

2

133 sin A sin B sin C 8R sinAsinBsinC

4R+ + + ≥ .

Câu 495. Cho ∆ABC nhọn. Chứng minh rằng: sinA sinB sinC tanA tanB tanC 2+ + + + + > π

Câu 496. Cho ∆ABC nhọn. Chứng minh rằng: 1 1 1

3 tanAtanBtanC 2 21cosA cosB cosC

+ + + ≤

Câu 497. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng: ( )( )( )3 3

3 22R a 2R b 2R c 8R e+ + + <

Câu 498. Cho ∆ABC có 00 A B C 90< ≤ ≤ < . Chứng minh rằng: 2cos 3C 4cos2C 1

2cosC

− +≥

Câu 499. Cho ∆ABC nhọn thì ta luôn có: ( ) ( )1 2tanA tanB tanC sinA sinB sinC

3 3+ + + + + > π

Câu 500. Cho ∆ABC nhọn thì: A B C A B C

3 tan tan tan cot cot cot 6 32 2 2 2 2 2

+ + + ≥

====== �� HẾT �� ======

Documents

Phuong trinh luong giac.pdf