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Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 13
22 de fevereiro de 2013
Aula 13 Pré-Cálculo 1
A função quadrática
Aula 13 Pré-Cálculo 2
A função quadrática
y = f (x) = a · x2 + b · x + c com a 6= 0
(1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
(2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção daparábola com o eixo y .
(3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Sea é < 0, ela é côncava para baixo.
(4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta oeixo x .
Aula 13 Pré-Cálculo 3
A função quadrática
y = f (x) = a · x2 + b · x + c com a 6= 0
(1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
(2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção daparábola com o eixo y .
(3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Sea é < 0, ela é côncava para baixo.
(4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta oeixo x .
Aula 13 Pré-Cálculo 4
A função quadrática
y = f (x) = a · x2 + b · x + c com a 6= 0
(1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
(2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção daparábola com o eixo y .
(3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Sea é < 0, ela é côncava para baixo.
(4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta oeixo x .
Aula 13 Pré-Cálculo 5
A função quadrática
y = f (x) = a · x2 + b · x + c com a 6= 0
(1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
(2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção daparábola com o eixo y .
(3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Sea é < 0, ela é côncava para baixo.
(4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta oeixo x .
Aula 13 Pré-Cálculo 6
A função quadrática
y = f (x) = a · x2 + b · x + c com a 6= 0
(1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
(2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção daparábola com o eixo y .
(3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Sea é < 0, ela é côncava para baixo.
(4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta oeixo x .
Aula 13 Pré-Cálculo 7
A função quadrática
y = f (x) = a · x2 + b · x + c
(5) Se ∆ = b2 − 4 · a · c > 0, então a parábola intercepta o eixo xem dois pontos de abscissas:
x1 =−b −
√∆
2 · aa x2 =
−b +√
∆
2 · a.
(6) Se ∆ = b2 − 4 · a · c = 0, então a parábola intercepta o eixo xno ponto de abscissa:
x1 = − b2 · a
.
Aula 13 Pré-Cálculo 8
A função quadrática
y = f (x) = a · x2 + b · x + c
(5) Se ∆ = b2 − 4 · a · c > 0, então a parábola intercepta o eixo xem dois pontos de abscissas:
x1 =−b −
√∆
2 · aa x2 =
−b +√
∆
2 · a.
(6) Se ∆ = b2 − 4 · a · c = 0, então a parábola intercepta o eixo xno ponto de abscissa:
x1 = − b2 · a
.
Aula 13 Pré-Cálculo 9
A função quadrática
(Ir para o GeoGebra)
Aula 13 Pré-Cálculo 10
Completamento de quadrados
Aula 13 Pré-Cálculo 11
Completamento de quadrados: exemplo 1
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 − 8 x + 15 =(
x2 − 2 (x) (4) + ?)− ? + 15
=(
x2 − 2 (x) (4) + 16)− 16 + 15
=(
x − 4)2− 1
Aula 13 Pré-Cálculo 12
Completamento de quadrados: exemplo 1
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 − 8 x + 15 =(
x2 − 2 (x) (4) + ?)− ? + 15
=(
x2 − 2 (x) (4) + 16)− 16 + 15
=(
x − 4)2− 1
Aula 13 Pré-Cálculo 13
Completamento de quadrados: exemplo 1
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 − 8 x + 15 =(
x2 − 2 (x) (4) + ?)− ? + 15
=(
x2 − 2 (x) (4) + 16)− 16 + 15
=(
x − 4)2− 1
Aula 13 Pré-Cálculo 14
Completamento de quadrados: exemplo 1
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 − 8 x + 15 =(
x2 − 2 (x) (4) + ?)− ? + 15
=(
x2 − 2 (x) (4) + 16)− 16 + 15
=(
x − 4)2− 1
Aula 13 Pré-Cálculo 15
Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0
⇔ (x − 4)2 = 1
⇔√
(x − 4)2 =√
1
⇔ |x − 4| = 1
⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔ x = 3 ou x = 5.
Aula 13 Pré-Cálculo 16
Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0
⇔ (x − 4)2 = 1
⇔√
(x − 4)2 =√
1
⇔ |x − 4| = 1
⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔ x = 3 ou x = 5.
Aula 13 Pré-Cálculo 17
Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0
⇔ (x − 4)2 = 1
⇔√
(x − 4)2 =√
1
⇔ |x − 4| = 1
⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔ x = 3 ou x = 5.
Aula 13 Pré-Cálculo 18
Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0
⇔ (x − 4)2 = 1
⇔√
(x − 4)2 =√
1
⇔ |x − 4| = 1
⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔ x = 3 ou x = 5.
Aula 13 Pré-Cálculo 19
Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0
⇔ (x − 4)2 = 1
⇔√
(x − 4)2 =√
1
⇔ |x − 4| = 1
⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔ x = 3 ou x = 5.
Aula 13 Pré-Cálculo 20
Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0
⇔ (x − 4)2 = 1
⇔√
(x − 4)2 =√
1
⇔ |x − 4| = 1
⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔ x = 3 ou x = 5.
Aula 13 Pré-Cálculo 21
Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0
⇔ (x − 4)2 = 1
⇔√
(x − 4)2 =√
1
⇔ |x − 4| = 1
⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔ x = 3 ou x = 5.
Aula 13 Pré-Cálculo 22
Completamento de quadrados: exemplo 2
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 + 3 x + 2 =
(x2 + 2 (x)
(32
)+ ?
)− ? + 2
=
(x2 + 2 (x)
(32
)+
94
)− 9
4+ 2
=
(x +
32
)2
− 14.
Aula 13 Pré-Cálculo 23
Completamento de quadrados: exemplo 2
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 + 3 x + 2 =
(x2 + 2 (x)
(32
)+ ?
)− ? + 2
=
(x2 + 2 (x)
(32
)+
94
)− 9
4+ 2
=
(x +
32
)2
− 14.
Aula 13 Pré-Cálculo 24
Completamento de quadrados: exemplo 2
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 + 3 x + 2 =
(x2 + 2 (x)
(32
)+ ?
)− ? + 2
=
(x2 + 2 (x)
(32
)+
94
)− 9
4+ 2
=
(x +
32
)2
− 14.
Aula 13 Pré-Cálculo 25
Completamento de quadrados: exemplo 2
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 + 3 x + 2 =
(x2 + 2 (x)
(32
)+ ?
)− ? + 2
=
(x2 + 2 (x)
(32
)+
94
)− 9
4+ 2
=
(x +
32
)2
− 14.
Aula 13 Pré-Cálculo 26
Completamento de quadrados: exemplo 2
Logo:
x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔(
x +32
)2
− 14
= 0
⇔(
x +32
)2
=14
⇔
√(x +
32
)2
=
√14
⇔∣∣∣∣x +
32
∣∣∣∣ =12
⇔ x +32
= −12
ou x +32
=12
⇔ x = −2 ou x = −1.
Aula 13 Pré-Cálculo 27
Completamento de quadrados: exemplo 2
Logo:
x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔(
x +32
)2
− 14
= 0
⇔(
x +32
)2
=14
⇔
√(x +
32
)2
=
√14
⇔∣∣∣∣x +
32
∣∣∣∣ =12
⇔ x +32
= −12
ou x +32
=12
⇔ x = −2 ou x = −1.
Aula 13 Pré-Cálculo 28
Completamento de quadrados: exemplo 2
Logo:
x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔(
x +32
)2
− 14
= 0
⇔(
x +32
)2
=14
⇔
√(x +
32
)2
=
√14
⇔∣∣∣∣x +
32
∣∣∣∣ =12
⇔ x +32
= −12
ou x +32
=12
⇔ x = −2 ou x = −1.
Aula 13 Pré-Cálculo 29
Completamento de quadrados: exemplo 2
Logo:
x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔(
x +32
)2
− 14
= 0
⇔(
x +32
)2
=14
⇔
√(x +
32
)2
=
√14
⇔∣∣∣∣x +
32
∣∣∣∣ =12
⇔ x +32
= −12
ou x +32
=12
⇔ x = −2 ou x = −1.
Aula 13 Pré-Cálculo 30
Completamento de quadrados: exemplo 2
Logo:
x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔(
x +32
)2
− 14
= 0
⇔(
x +32
)2
=14
⇔
√(x +
32
)2
=
√14
⇔∣∣∣∣x +
32
∣∣∣∣ =12
⇔ x +32
= −12
ou x +32
=12
⇔ x = −2 ou x = −1.
Aula 13 Pré-Cálculo 31
Completamento de quadrados: exemplo 2
Logo:
x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔(
x +32
)2
− 14
= 0
⇔(
x +32
)2
=14
⇔
√(x +
32
)2
=
√14
⇔∣∣∣∣x +
32
∣∣∣∣ =12
⇔ x +32
= −12
ou x +32
=12
⇔ x = −2 ou x = −1.
Aula 13 Pré-Cálculo 32
Completamento de quadrados: exemplo 2
Logo:
x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔(
x +32
)2
− 14
= 0
⇔(
x +32
)2
=14
⇔
√(x +
32
)2
=
√14
⇔∣∣∣∣x +
32
∣∣∣∣ =12
⇔ x +32
= −12
ou x +32
=12
⇔ x = −2 ou x = −1.
Aula 13 Pré-Cálculo 33
Completamento de quadrados: exemplo 3
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
2 x2 − 3 x + 1 = 2(
x2 − 2 (x)
(34
)+ ?
)− ? + 1
= 2(
x2 − 2 (x)
(34
)+
916
)− 9
8+ 1
= 2(
x − 34
)2
− 18
Aula 13 Pré-Cálculo 34
Completamento de quadrados: exemplo 3
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
2 x2 − 3 x + 1 = 2(
x2 − 2 (x)
(34
)+ ?
)− ? + 1
= 2(
x2 − 2 (x)
(34
)+
916
)− 9
8+ 1
= 2(
x − 34
)2
− 18
Aula 13 Pré-Cálculo 35
Completamento de quadrados: exemplo 3
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
2 x2 − 3 x + 1 = 2(
x2 − 2 (x)
(34
)+ ?
)− ? + 1
= 2(
x2 − 2 (x)
(34
)+
916
)− 9
8+ 1
= 2(
x − 34
)2
− 18
Aula 13 Pré-Cálculo 36
Completamento de quadrados: exemplo 3
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
2 x2 − 3 x + 1 = 2(
x2 − 2 (x)
(34
)+ ?
)− ? + 1
= 2(
x2 − 2 (x)
(34
)+
916
)− 9
8+ 1
= 2(
x − 34
)2
− 18
Aula 13 Pré-Cálculo 37
Completamento de quadrados: exemplo 3
Logo:
2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2(
x − 34
)2
− 18
= 0
⇔(
x − 34
)2
=116
⇔
√(x − 3
4
)2
=
√116
⇔∣∣∣∣x − 3
4
∣∣∣∣ =14
⇔ x − 34
= −14
ou x − 34
=14
⇔ x = 1 ou x =12.
Aula 13 Pré-Cálculo 38
Completamento de quadrados: exemplo 3
Logo:
2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2(
x − 34
)2
− 18
= 0
⇔(
x − 34
)2
=116
⇔
√(x − 3
4
)2
=
√116
⇔∣∣∣∣x − 3
4
∣∣∣∣ =14
⇔ x − 34
= −14
ou x − 34
=14
⇔ x = 1 ou x =12.
Aula 13 Pré-Cálculo 39
Completamento de quadrados: exemplo 3
Logo:
2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2(
x − 34
)2
− 18
= 0
⇔(
x − 34
)2
=116
⇔
√(x − 3
4
)2
=
√116
⇔∣∣∣∣x − 3
4
∣∣∣∣ =14
⇔ x − 34
= −14
ou x − 34
=14
⇔ x = 1 ou x =12.
Aula 13 Pré-Cálculo 40
Completamento de quadrados: exemplo 3
Logo:
2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2(
x − 34
)2
− 18
= 0
⇔(
x − 34
)2
=116
⇔
√(x − 3
4
)2
=
√116
⇔∣∣∣∣x − 3
4
∣∣∣∣ =14
⇔ x − 34
= −14
ou x − 34
=14
⇔ x = 1 ou x =12.
Aula 13 Pré-Cálculo 41
Completamento de quadrados: exemplo 3
Logo:
2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2(
x − 34
)2
− 18
= 0
⇔(
x − 34
)2
=116
⇔
√(x − 3
4
)2
=
√116
⇔∣∣∣∣x − 3
4
∣∣∣∣ =14
⇔ x − 34
= −14
ou x − 34
=14
⇔ x = 1 ou x =12.
Aula 13 Pré-Cálculo 42
Completamento de quadrados: exemplo 3
Logo:
2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2(
x − 34
)2
− 18
= 0
⇔(
x − 34
)2
=116
⇔
√(x − 3
4
)2
=
√116
⇔∣∣∣∣x − 3
4
∣∣∣∣ =14
⇔ x − 34
= −14
ou x − 34
=14
⇔ x = 1 ou x =12.
Aula 13 Pré-Cálculo 43
Completamento de quadrados: exemplo 3
Logo:
2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2(
x − 34
)2
− 18
= 0
⇔(
x − 34
)2
=116
⇔
√(x − 3
4
)2
=
√116
⇔∣∣∣∣x − 3
4
∣∣∣∣ =14
⇔ x − 34
= −14
ou x − 34
=14
⇔ x = 1 ou x =12.
Aula 13 Pré-Cálculo 44
Completamento de quadrados: exemplo 4
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
− x2 + 2 x − 1 = −(
x2 − 2 (x) (1) + ?)
+ ? − 1
= −(
x2 − 2 (x) (1) + 1)
+ 1 − 1
= −(
x − 1)2
Aula 13 Pré-Cálculo 45
Completamento de quadrados: exemplo 4
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
− x2 + 2 x − 1 = −(
x2 − 2 (x) (1) + ?)
+ ? − 1
= −(
x2 − 2 (x) (1) + 1)
+ 1 − 1
= −(
x − 1)2
Aula 13 Pré-Cálculo 46
Completamento de quadrados: exemplo 4
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
− x2 + 2 x − 1 = −(
x2 − 2 (x) (1) + ?)
+ ? − 1
= −(
x2 − 2 (x) (1) + 1)
+ 1 − 1
= −(
x − 1)2
Aula 13 Pré-Cálculo 47
Completamento de quadrados: exemplo 4
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
− x2 + 2 x − 1 = −(
x2 − 2 (x) (1) + ?)
+ ? − 1
= −(
x2 − 2 (x) (1) + 1)
+ 1 − 1
= −(
x − 1)2
Aula 13 Pré-Cálculo 48
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0
⇔ (x − 1)2 = 0
⇔√
(x − 1)2 =√
0
⇔ |x − 1| = 0
⇔ x − 1 = 0
⇔ x = 1.
Aula 13 Pré-Cálculo 49
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0
⇔ (x − 1)2 = 0
⇔√
(x − 1)2 =√
0
⇔ |x − 1| = 0
⇔ x − 1 = 0
⇔ x = 1.
Aula 13 Pré-Cálculo 50
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0
⇔ (x − 1)2 = 0
⇔√
(x − 1)2 =√
0
⇔ |x − 1| = 0
⇔ x − 1 = 0
⇔ x = 1.
Aula 13 Pré-Cálculo 51
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0
⇔ (x − 1)2 = 0
⇔√
(x − 1)2 =√
0
⇔ |x − 1| = 0
⇔ x − 1 = 0
⇔ x = 1.
Aula 13 Pré-Cálculo 52
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0
⇔ (x − 1)2 = 0
⇔√
(x − 1)2 =√
0
⇔ |x − 1| = 0
⇔ x − 1 = 0
⇔ x = 1.
Aula 13 Pré-Cálculo 53
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0
⇔ (x − 1)2 = 0
⇔√
(x − 1)2 =√
0
⇔ |x − 1| = 0
⇔ x − 1 = 0
⇔ x = 1.
Aula 13 Pré-Cálculo 54
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0
⇔ (x − 1)2 = 0
⇔√
(x − 1)2 =√
0
⇔ |x − 1| = 0
⇔ x − 1 = 0
⇔ x = 1.
Aula 13 Pré-Cálculo 55
Completamento de quadrados: exemplo 5
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 + 2 x + 4 =(
x2 + 2 (x) (1) + ?)− ? + 4
=(
x2 + 2 (x) (1) + 1)− 1 + 4
=(
x + 1)2
+ 3
Aula 13 Pré-Cálculo 56
Completamento de quadrados: exemplo 5
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 + 2 x + 4 =(
x2 + 2 (x) (1) + ?)− ? + 4
=(
x2 + 2 (x) (1) + 1)− 1 + 4
=(
x + 1)2
+ 3
Aula 13 Pré-Cálculo 57
Completamento de quadrados: exemplo 5
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 + 2 x + 4 =(
x2 + 2 (x) (1) + ?)− ? + 4
=(
x2 + 2 (x) (1) + 1)− 1 + 4
=(
x + 1)2
+ 3
Aula 13 Pré-Cálculo 58
Completamento de quadrados: exemplo 5
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 + 2 x + 4 =(
x2 + 2 (x) (1) + ?)− ? + 4
=(
x2 + 2 (x) (1) + 1)− 1 + 4
=(
x + 1)2
+ 3
Aula 13 Pré-Cálculo 59
Completamento de quadrados: exemplo 5
Logo:
x2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ (x + 1)2 + 3 = 0
⇔ (x + 1)2 = −3.
Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-seque a equação x2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real.
Aula 13 Pré-Cálculo 60
Completamento de quadrados: exemplo 5
Logo:
x2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ (x + 1)2 + 3 = 0
⇔ (x + 1)2 = −3.
Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-seque a equação x2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real.
Aula 13 Pré-Cálculo 61
Completamento de quadrados: exemplo 5
Logo:
x2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ (x + 1)2 + 3 = 0
⇔ (x + 1)2 = −3.
Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-seque a equação x2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real.
Aula 13 Pré-Cálculo 62
Completamento de quadrados: exemplo 5
Logo:
x2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ (x + 1)2 + 3 = 0
⇔ (x + 1)2 = −3.
Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-seque a equação x2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real.
Aula 13 Pré-Cálculo 63
Completamento de quadrados: exemplo 5
Logo:
x2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ (x + 1)2 + 3 = 0
⇔ (x + 1)2 = −3.
Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-seque a equação x2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real.
Aula 13 Pré-Cálculo 64
Completamento de quadrados: exemplo 5
Logo:
x2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ (x + 1)2 + 3 = 0
⇔ (x + 1)2 = −3.
Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-seque a equação x2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real.
Aula 13 Pré-Cálculo 65
Completamento de quadrados: caso geral
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+ ?
)− ? + c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)− ? + c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)− b2
4 a+ c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)−(
b2
4 a− c)
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)−(
b2 − 4 ac4 a
)= a
(x +
b2 a
)2
−(
∆
4 a
)Aula 13 Pré-Cálculo 66
Completamento de quadrados: caso geral
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+ ?
)− ? + c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)− ? + c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)− b2
4 a+ c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)−(
b2
4 a− c)
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)−(
b2 − 4 ac4 a
)= a
(x +
b2 a
)2
−(
∆
4 a
)Aula 13 Pré-Cálculo 67
Completamento de quadrados: caso geral
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+ ?
)− ? + c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)− ? + c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)− b2
4 a+ c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)−(
b2
4 a− c)
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)−(
b2 − 4 ac4 a
)= a
(x +
b2 a
)2
−(
∆
4 a
)Aula 13 Pré-Cálculo 68
Completamento de quadrados: caso geral
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+ ?
)− ? + c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)− ? + c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)− b2
4 a+ c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)−(
b2
4 a− c)
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)−(
b2 − 4 ac4 a
)= a
(x +
b2 a
)2
−(
∆
4 a
)Aula 13 Pré-Cálculo 69
Completamento de quadrados: caso geral
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+ ?
)− ? + c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)− ? + c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)− b2
4 a+ c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)−(
b2
4 a− c)
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)−(
b2 − 4 ac4 a
)= a
(x +
b2 a
)2
−(
∆
4 a
)Aula 13 Pré-Cálculo 70
Completamento de quadrados: caso geral
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+ ?
)− ? + c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)− ? + c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)− b2
4 a+ c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)−(
b2
4 a− c)
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)−(
b2 − 4 ac4 a
)= a
(x +
b2 a
)2
−(
∆
4 a
)Aula 13 Pré-Cálculo 71
Completamento de quadrados: caso geral
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+ ?
)− ? + c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)− ? + c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)− b2
4 a+ c
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)−(
b2
4 a− c)
= a(
x2 + 2 (x)
(b
2 a
)+
b2
4 a2
)−(
b2 − 4 ac4 a
)= a
(x +
b2 a
)2
−(
∆
4 a
)Aula 13 Pré-Cálculo 72
A forma canônica do trinômio
Aula 13 Pré-Cálculo 73
A forma canônica do trinômio
Forma canônica do trinômio: se a 6= 0, então
a x2 + b x + c = a(
x +b
2 a
)2
−(
b2 − 4 ac4 a
)
Aula 13 Pré-Cálculo 74
Aplicação: raízes de uma equaçãoquadrática
Aula 13 Pré-Cálculo 75
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔ a(
x +b
2 a
)2
−(
∆
4 a
)= 0
⇔ a(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a
⇔(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a2 .
Moral: se ∆ = b2 − 4 ac < 0, então
∆
4 a2 < 0 e(
x +b
2 a
)2
≥ 0.
Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possuisolução real.
Aula 13 Pré-Cálculo 76
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔ a(
x +b
2 a
)2
−(
∆
4 a
)= 0
⇔ a(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a
⇔(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a2 .
Moral: se ∆ = b2 − 4 ac < 0, então
∆
4 a2 < 0 e(
x +b
2 a
)2
≥ 0.
Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possuisolução real.
Aula 13 Pré-Cálculo 77
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔ a(
x +b
2 a
)2
−(
∆
4 a
)= 0
⇔ a(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a
⇔(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a2 .
Moral: se ∆ = b2 − 4 ac < 0, então
∆
4 a2 < 0 e(
x +b
2 a
)2
≥ 0.
Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possuisolução real.
Aula 13 Pré-Cálculo 78
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔ a(
x +b
2 a
)2
−(
∆
4 a
)= 0
⇔ a(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a
⇔(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a2 .
Moral: se ∆ = b2 − 4 ac < 0, então
∆
4 a2 < 0 e(
x +b
2 a
)2
≥ 0.
Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possuisolução real.
Aula 13 Pré-Cálculo 79
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔ a(
x +b
2 a
)2
−(
∆
4 a
)= 0
⇔ a(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a
⇔(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a2 .
Moral: se ∆ = b2 − 4 ac < 0, então
∆
4 a2 < 0 e(
x +b
2 a
)2
≥ 0.
Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possuisolução real.
Aula 13 Pré-Cálculo 80
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔ a(
x +b
2 a
)2
−(
∆
4 a
)= 0
⇔ a(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a
⇔(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a2 .
Moral: se ∆ = b2 − 4 ac < 0, então
∆
4 a2 < 0 e(
x +b
2 a
)2
≥ 0.
Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possuisolução real.
Aula 13 Pré-Cálculo 81
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔ a(
x +b
2 a
)2
−(
∆
4 a
)= 0
⇔ a(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a
⇔(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a2 .
Moral: se ∆ = b2 − 4 ac < 0, então
∆
4 a2 < 0 e(
x +b
2 a
)2
≥ 0.
Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possuisolução real.
Aula 13 Pré-Cálculo 82
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔ a(
x +b
2 a
)2
−(
∆
4 a
)= 0
⇔ a(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a
⇔(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a2 .
Moral: se ∆ = b2 − 4 ac < 0, então
∆
4 a2 < 0 e(
x +b
2 a
)2
≥ 0.
Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possuisolução real.
Aula 13 Pré-Cálculo 83
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔ a(
x +b
2 a
)2
−(
∆
4 a
)= 0
⇔ a(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a
⇔(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a2 .
Moral: se ∆ = b2 − 4 ac < 0, então
∆
4 a2 < 0 e(
x +b
2 a
)2
≥ 0.
Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possuisolução real.
Aula 13 Pré-Cálculo 84
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4 ac ≥ 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a2
⇔
√(x +
b2 a
)2
=
√∆
4 a2
⇔∣∣∣∣x +
b2 a
∣∣∣∣ =
√∆√
4 a2=
√∆
2|a|=
∣∣∣∣∣√
∆
2a
∣∣∣∣∣⇔ x +
b2 a
= −√
∆
2aou x +
b2 a
= +
√∆
2a
⇔ x = − b2 a−√
∆
2aou x = − b
2 a+
√∆
2a
⇔ x =−b −
√∆
2aou x =
−b +√
∆
2a.
Aula 13 Pré-Cálculo 85
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4 ac ≥ 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a2
⇔
√(x +
b2 a
)2
=
√∆
4 a2
⇔∣∣∣∣x +
b2 a
∣∣∣∣ =
√∆√
4 a2=
√∆
2|a|=
∣∣∣∣∣√
∆
2a
∣∣∣∣∣⇔ x +
b2 a
= −√
∆
2aou x +
b2 a
= +
√∆
2a
⇔ x = − b2 a−√
∆
2aou x = − b
2 a+
√∆
2a
⇔ x =−b −
√∆
2aou x =
−b +√
∆
2a.
Aula 13 Pré-Cálculo 86
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4 ac ≥ 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a2
⇔
√(x +
b2 a
)2
=
√∆
4 a2
⇔∣∣∣∣x +
b2 a
∣∣∣∣ =
√∆√
4 a2=
√∆
2|a|=
∣∣∣∣∣√
∆
2a
∣∣∣∣∣⇔ x +
b2 a
= −√
∆
2aou x +
b2 a
= +
√∆
2a
⇔ x = − b2 a−√
∆
2aou x = − b
2 a+
√∆
2a
⇔ x =−b −
√∆
2aou x =
−b +√
∆
2a.
Aula 13 Pré-Cálculo 87
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4 ac ≥ 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a2
⇔
√(x +
b2 a
)2
=
√∆
4 a2
⇔∣∣∣∣x +
b2 a
∣∣∣∣ =
√∆√
4 a2=
√∆
2|a|=
∣∣∣∣∣√
∆
2a
∣∣∣∣∣⇔ x +
b2 a
= −√
∆
2aou x +
b2 a
= +
√∆
2a
⇔ x = − b2 a−√
∆
2aou x = − b
2 a+
√∆
2a
⇔ x =−b −
√∆
2aou x =
−b +√
∆
2a.
Aula 13 Pré-Cálculo 88
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4 ac ≥ 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a2
⇔
√(x +
b2 a
)2
=
√∆
4 a2
⇔∣∣∣∣x +
b2 a
∣∣∣∣ =
√∆√
4 a2=
√∆
2|a|=
∣∣∣∣∣√
∆
2a
∣∣∣∣∣⇔ x +
b2 a
= −√
∆
2aou x +
b2 a
= +
√∆
2a
⇔ x = − b2 a−√
∆
2aou x = − b
2 a+
√∆
2a
⇔ x =−b −
√∆
2aou x =
−b +√
∆
2a.
Aula 13 Pré-Cálculo 89
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4 ac ≥ 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a2
⇔
√(x +
b2 a
)2
=
√∆
4 a2
⇔∣∣∣∣x +
b2 a
∣∣∣∣ =
√∆√
4 a2=
√∆
2|a|=
∣∣∣∣∣√
∆
2a
∣∣∣∣∣⇔ x +
b2 a
= −√
∆
2aou x +
b2 a
= +
√∆
2a
⇔ x = − b2 a−√
∆
2aou x = − b
2 a+
√∆
2a
⇔ x =−b −
√∆
2aou x =
−b +√
∆
2a.
Aula 13 Pré-Cálculo 90
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4 ac ≥ 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a2
⇔
√(x +
b2 a
)2
=
√∆
4 a2
⇔∣∣∣∣x +
b2 a
∣∣∣∣ =
√∆√
4 a2=
√∆
2|a|=
∣∣∣∣∣√
∆
2a
∣∣∣∣∣⇔ x +
b2 a
= −√
∆
2aou x +
b2 a
= +
√∆
2a
⇔ x = − b2 a−√
∆
2aou x = − b
2 a+
√∆
2a
⇔ x =−b −
√∆
2aou x =
−b +√
∆
2a.
Aula 13 Pré-Cálculo 91
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4 ac ≥ 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a2
⇔
√(x +
b2 a
)2
=
√∆
4 a2
⇔∣∣∣∣x +
b2 a
∣∣∣∣ =
√∆√
4 a2=
√∆
2|a|=
∣∣∣∣∣√
∆
2a
∣∣∣∣∣⇔ x +
b2 a
= −√
∆
2aou x +
b2 a
= +
√∆
2a
⇔ x = − b2 a−√
∆
2aou x = − b
2 a+
√∆
2a
⇔ x =−b −
√∆
2aou x =
−b +√
∆
2a.
Aula 13 Pré-Cálculo 92
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4 ac ≥ 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔(
x +b
2 a
)2
=∆
4 a2
⇔
√(x +
b2 a
)2
=
√∆
4 a2
⇔∣∣∣∣x +
b2 a
∣∣∣∣ =
√∆√
4 a2=
√∆
2|a|=
∣∣∣∣∣√
∆
2a
∣∣∣∣∣⇔ x +
b2 a
= −√
∆
2aou x +
b2 a
= +
√∆
2a
⇔ x = − b2 a−√
∆
2aou x = − b
2 a+
√∆
2a
⇔ x =−b −
√∆
2aou x =
−b +√
∆
2a.
Aula 13 Pré-Cálculo 93
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equaçãodo segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costumeaparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essafórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha erauma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como procederpara determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equaçãodo segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras oscoeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação dosegundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
Aula 13 Pré-Cálculo 94
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equaçãodo segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costumeaparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essafórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha erauma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como procederpara determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equaçãodo segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras oscoeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação dosegundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
Aula 13 Pré-Cálculo 95
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equaçãodo segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costumeaparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essafórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha erauma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como procederpara determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equaçãodo segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras oscoeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação dosegundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
Aula 13 Pré-Cálculo 96
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equaçãodo segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costumeaparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essafórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha erauma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como procederpara determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equaçãodo segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras oscoeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação dosegundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
Aula 13 Pré-Cálculo 97
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equaçãodo segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costumeaparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essafórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha erauma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como procederpara determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equaçãodo segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras oscoeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação dosegundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
Aula 13 Pré-Cálculo 98
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equaçãodo segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costumeaparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essafórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha erauma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como procederpara determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equaçãodo segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras oscoeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação dosegundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
Aula 13 Pré-Cálculo 99
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equaçãodo segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costumeaparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essafórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha erauma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como procederpara determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equaçãodo segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras oscoeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação dosegundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
Aula 13 Pré-Cálculo 100
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equaçãodo segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costumeaparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essafórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha erauma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como procederpara determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equaçãodo segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras oscoeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação dosegundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
Aula 13 Pré-Cálculo 101
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equaçãodo segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costumeaparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essafórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha erauma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como procederpara determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equaçãodo segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras oscoeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação dosegundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
Aula 13 Pré-Cálculo 102
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os maisantigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos háquase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar doisnúmeros conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procuradossão raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é umdos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser iguala s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo quex2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de umretângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 13 Pré-Cálculo 103
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os maisantigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos háquase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar doisnúmeros conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procuradossão raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é umdos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser iguala s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo quex2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de umretângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 13 Pré-Cálculo 104
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os maisantigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos háquase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar doisnúmeros conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procuradossão raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é umdos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser iguala s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo quex2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de umretângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 13 Pré-Cálculo 105
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os maisantigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos háquase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar doisnúmeros conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procuradossão raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é umdos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser iguala s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo quex2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de umretângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 13 Pré-Cálculo 106
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os maisantigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos háquase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar doisnúmeros conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procuradossão raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é umdos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser iguala s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo quex2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de umretângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 13 Pré-Cálculo 107
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os maisantigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos háquase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar doisnúmeros conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procuradossão raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é umdos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser iguala s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo quex2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de umretângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 13 Pré-Cálculo 108
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os maisantigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos háquase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar doisnúmeros conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procuradossão raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é umdos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser iguala s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo quex2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de umretângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 13 Pré-Cálculo 109
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os maisantigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos háquase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar doisnúmeros conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procuradossão raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é umdos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser iguala s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo quex2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de umretângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 13 Pré-Cálculo 110
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os maisantigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos háquase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar doisnúmeros conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procuradossão raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é umdos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser iguala s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo quex2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de umretângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 13 Pré-Cálculo 111
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os maisantigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos háquase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar doisnúmeros conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procuradossão raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é umdos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser iguala s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo quex2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de umretângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 13 Pré-Cálculo 112
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os maisantigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos háquase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar doisnúmeros conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procuradossão raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é umdos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser iguala s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo quex2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de umretângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 13 Pré-Cálculo 113
Aplicação: o gráfico de uma funçãoquadrática
Aula 13 Pré-Cálculo 114
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
Uma vez que
a x2 + b x + c = a(
x +b
2 a
)2
−(
b2 − 4 ac4 a
),
segue-se que se f (x) = x2 e g(x) = a x2 + b x + c, então
g(x) = a f (x + r) + s, onde r =b
2 ae s = −b2 − 4 ac
4 a.
Moral:o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via umalongamento/compressão vertical, uma translação horizontal euma translação vertical do gráfico da função f (x) = x2.
Aula 13 Pré-Cálculo 115
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
Uma vez que
a x2 + b x + c = a(
x +b
2 a
)2
−(
b2 − 4 ac4 a
),
segue-se que se f (x) = x2 e g(x) = a x2 + b x + c, então
g(x) = a f (x + r) + s, onde r =b
2 ae s = −b2 − 4 ac
4 a.
Moral:o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via umalongamento/compressão vertical, uma translação horizontal euma translação vertical do gráfico da função f (x) = x2.
Aula 13 Pré-Cálculo 116
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
Uma vez que
a x2 + b x + c = a(
x +b
2 a
)2
−(
b2 − 4 ac4 a
),
segue-se que se f (x) = x2 e g(x) = a x2 + b x + c, então
g(x) = a f (x + r) + s, onde r =b
2 ae s = −b2 − 4 ac
4 a.
Moral:o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via umalongamento/compressão vertical, uma translação horizontal euma translação vertical do gráfico da função f (x) = x2.
Aula 13 Pré-Cálculo 117
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
Uma vez que
a x2 + b x + c = a(
x +b
2 a
)2
−(
b2 − 4 ac4 a
),
segue-se que se f (x) = x2 e g(x) = a x2 + b x + c, então
g(x) = a f (x + r) + s, onde r =b
2 ae s = −b2 − 4 ac
4 a.
Moral:o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via umalongamento/compressão vertical, uma translação horizontal euma translação vertical do gráfico da função f (x) = x2.
Aula 13 Pré-Cálculo 118
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
Uma vez que
a x2 + b x + c = a(
x +b
2 a
)2
−(
b2 − 4 ac4 a
),
segue-se que se f (x) = x2 e g(x) = a x2 + b x + c, então
g(x) = a f (x + r) + s, onde r =b
2 ae s = −b2 − 4 ac
4 a.
Moral:o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via umalongamento/compressão vertical, uma translação horizontal euma translação vertical do gráfico da função f (x) = x2.
Aula 13 Pré-Cálculo 119
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
Uma vez que
a x2 + b x + c = a(
x +b
2 a
)2
−(
b2 − 4 ac4 a
),
segue-se que se f (x) = x2 e g(x) = a x2 + b x + c, então
g(x) = a f (x + r) + s, onde r =b
2 ae s = −b2 − 4 ac
4 a.
Moral:o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via umalongamento/compressão vertical, uma translação horizontal euma translação vertical do gráfico da função f (x) = x2.
Aula 13 Pré-Cálculo 120
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
(Ir para o GeoGebra)
Aula 13 Pré-Cálculo 121
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
O vértice da parábola que é gráfico da função quadrática
f (x) = a x2 + b x + c = a(
x +b
2 a
)2
−(
b2 − 4 ac4 a
),
têm coordenadas
V =
(− b
2 a,−b2 − 4 ac
4 a
).
Aula 13 Pré-Cálculo 122
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
O vértice da parábola que é gráfico da função quadrática
f (x) = a x2 + b x + c = a(
x +b
2 a
)2
−(
b2 − 4 ac4 a
),
têm coordenadas
V =
(− b
2 a,−b2 − 4 ac
4 a
).
Aula 13 Pré-Cálculo 123
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
(http://www.uff.br/cdme/fqa/ ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/fqa/)
Aula 13 Pré-Cálculo 124
