1

TRUONGHOCSO.COM MÃ SỐ D3

Hướng dẫn giải gồm 05 trang

TUYỂN TẬP ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013

Môn thi: TOÁN; Khối: D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 23y x x m , m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với 0m . 2. Tìm m để tiếp tuyến tại tại điểm có hoành độ bằng 1 của đồ thị hàm số (1) tạo với hai trục tọa độ một tam giác OAB có

diện tích bằng 32

(O là gốc tọa độ).

Hướng dẫn: 1. Bài toán cơ bản, học sinh tự giải. 2. Tọa độ điểm M có hoành độ bằng 1 thuộc đồ thị hàm số 1; 2M m . Đạo hàm 23 6y x x .

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm 1; 2M m là 1 . 1 2 : 3 2y y x m d y x m .

Giao điểm của d với trục hoành : 2 ;03

mA

và với trục tung 0; 2B m .

Tam giác OAB vuông tại O nên 21 1 2 12 22 2 3 6OAB

mS OA OB m m .

2 13 2 9 2 352OAB

mS m m

m

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 2 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

4 2 2 2

1 1 1;

2 9 2 5 0

x x yx y

x x y y x

.

Hướng dẫn:

Hệ phương trình đã cho tương đương với

2

22 2

2 0

2 5 2 0

x y x y

x y x y

Đặt 2 ; 2x y a y b thu được 22 2 2 2 2

02 5 02 5 0 2 5 0

xb aa xb xb ax b ba x b x b x b

Xét các trường hợp

2

0 0

0 0 ; 2;2 , 2;22 0

5 9 5 97 9 5 97 9; ; , ;2 2 4 2 4 2

x y

x yb a x y

y

b y x y

Hệ đã cho có 5 nghiệm. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2

Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình 2 2sin tan os os2 2 tanx x c x c x x . Hướng dẫn: Điều kiện cos 0x . Phương trình đã cho tương đương với

2 2 3 3 2 2sin sinsin os os2 2 sin os os sin 2cos sincos cos

cos sin 1 sin cos cos sin 2cos sin 0

cos sin cos 2sin cos 0

tan 141tan tan

2

x xx c x c x x c x c x x x xx x

x x x x x x x x

x x x x x

x x kx x k

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân 21

2 1

0

2 1 x xI x x e dx .

Hướng dẫn:

2 2 2

2 2

2 2 2 2

1 1 12 1 2 1 1

0 0 0

1 1

1 11 11 1 1 1 3

0 00 0

2 1 2

2 1 ;

2 1

x x x x x x

x x x x

x x x x x x x x

I x x e dx x x e dx e dx

e u du x e dx dx dv v x

e dx xe x x e dx I xe e

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Câu 5 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có 2 2 ; ' 2 5; 120AC AB a A A a BAC . Gọi M là trung điểm của cạnh CC’, chứng minh MB vuông góc với MA’ và tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng A’BM. Hướng dẫn: Áp dụng định lý cosin ta có 2 2 2 22 3 ; ' 3 ; ' ' 21 'MB a MA a MB MA BA a MA MB .

Lại có ' ' '1 1, ' . . ; , ' , ' 33 3ABA M ABA MBAV d M ABA S d S d M ABA d C ABA a .

2 2' ' 1

1 1 5. ' 5; . 3 32 2 3ABA MBA

aS AB A A a S MB MA a d .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực ,x y thỏa mãn đồng thời 2 22 ; 2 3y x y x x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 26 6 7N x y . Hướng dẫn:

Từ giả thiết ta có 0y , suy ra 22 2 4 3 22 3 4 12 9y x x x x x . Hơn nữa 2

2 2 62 3 5 6 0 02 5xx x x x x

Do đó 2 2 2 4 3 2 4 3 26 6 7 6 6 4 12 9 7 24 72 60 7N x y x x x x x x x .

Xét hàm số 4 3 2 624 72 60 7 ; 0;5

f x x x x x .

60;5

24 1 5 ; 0 0; 1; 5

6 11719 10 7; 1 19; 19 19 1;5 625 2

x

f x x x x f x x x x

f f f Max f x MaxN x y

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng đi qua điểm 8;0; 23A ,

nằm trong mặt phẳng : 2 2 7 0P x y z và tiếp xúc với mặt cầu 2 2 2: 1 2 3 17S x y z . Hướng dẫn: Mặt cầu đã cho có tâm 1; 2; 3I , bán kính 17R .

Gọi 2 2 2; ; 0u a b c a b c

là vector chỉ phương của đường thẳng cần tìm.

Đường thẳng cần tìm nằm trong mặt phẳng (P) nên . 0 2 2 0 2 2d Pu n a b c c a b

.

Ta có 9;2;20AI

, , 2 20 ;20 9 ; 9 2dAI u c b a c b a

.

Đường thẳng cần tìm tiếp xúc với mặt cầu (S) khi

2 2 2 2 2 2

2 2 2

,, 2 20 20 9 9 2 17.

896 61 20 0 61 20 896 0

224 326 8 23; 1; 224 32661 6161 61

0 0; 08 234; 1; 10

4 10

d

d

AI ud I R R c b c c b a a b c

u

b a ab b a a

x za b c y

b a c Lx za b c y

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Câu 8.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm 1; 1 , 0;2 , 0;1A B C . Lập phương trình đường thẳng d đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến d đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn: Đường thẳng d đi qua 1; 1A và có vector pháp tuyến là 2 2; 0dn a b a b

.

Phương trình d có dạng: 1 1 0a x b y .

Khoảng cách từ B và C đến đường thẳng d lần lượt là 2 2 2 2

3 2, ; ,

a b a bd B d d C d

a b a b

.

Tổng khoảng cách 2 2 2 2 2 2

3 2 1, , 3 2a b a b

d d B d d C d a b a ba b a b a b

.

Sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối x y x y , đẳng thức xảy ra khi 0xy , ta có

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 53 2 2 529

a ba b a b a bd

a b a b a b

.

Đẳng thức xảy ra khi 0

2; 5 : 2 5 7 025

aba a b d x yb

.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4

Câu 9.a (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 2 2 2 2

22 2 3 1 0;

4 2 2x y x y

x xy x yx y

.

Hướng dẫn: Hệ phương trình đã cho tương đương với

2 2 2 2 2 2

2 1 1 2 1 0 2 1 1 0 1 3 1 3; ; , ; , 0;1 , 1;02 2 2 22 1 2 2 0 1x y x y

x x y x x x yx y

x y

.

Hệ đã cho có 4 nghiệm. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm 3;5;4 , 3;1;4A B , tìm tọa độ điểm C nằm trong

mặt phẳng : 1 0P x y z sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 2 17 . Hướng dẫn: Tọa độ điểm C : ; ; 1C a b a b .

Tam giác ABC cân tại C khi 2 2 2 2 2 22 2 3 5 5 3 1 5 3AC BC a b a b a b a b b .

Hơn nữa 4, 3;3;4AB I (I là trung điểm của AB).

2 2 412 17 . 2 17 17 3 8 1772ABC

aS CI AB CI a a

a

Suy ra có hai điểm C thỏa mãn bài toán : 4;3;0 7;3;3C C . ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 8.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ellipse 2 2

: 110 5x yE . Lập phương trình đường thẳng

vuông góc với đường thẳng : 2013 0d x y và cắt ellipse đã cho tại hai điểm M, N sao cho 4 63

MN .

Hướng dẫn: Đường thẳng cần tìm có phương trình dạng y x b .

Tọa độ giao điểm của đường thẳng trên và ellipse là nghiệm của hệ

2 22 23 4 2 10 01

10 5

y x b y x bx y x bx b

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm M,N thỏa mãn bài toán khi (*) có 2 nghiệm phân biệt 2 2120 20 0 6b b . Tọa độ hai điểm M, N là 1 1 2 2; , ;M x x b N x x b , với 1 2,x x là hai nghiệm phân biệt của (*).

Áp dụng định lý Viete ta có 1 2

2

1 2

43

2 103

bx x

bx x

222 2 2

1 2 1 2 1 2

4 2 104 6 32 16 16 162 4 9 33 3 3 9 3 3

bbMN x x x x x x b b

.

Có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán : 3; 3y x y x . ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5

Câu 9.b (1,0 điểm). Một hộp đựng 40 viên bi, trong đó có 20 viên bi đỏ, 10 viên bi xanh, 6 viên bi vàng và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi, tính xác suất để hai viên bi lấy ra có cùng màu. Hướng dẫn: Lấy 2 viên bi bất kỳ có 2

40C cách. Xét các trường hợp sau; Hai viên bi lấy ra có cùng màu đỏ : 2

20C cách Hai viên bi lấy ra có cùng màu xanh : 2

10C cách Hai viên bi lấy ra có cùng màu vàng : 2

6C cách Hai viên bi lấy ra có cùng màu trắng : 2

4C cách.

Như vậy, tổng số cách lấy ra hai viên bi cùng màu là 2 2 2 220 10 6 4 256C C C C , xác suất cần tính là 2

40

256 64195

PC

.