HuynhNgocTramAnh

7/12/2019 HuynhNgocTramAnh

http://slidepdf.com/reader/full/huynhngoctramanh 1/143

ĐI HC QUC GIA THÀNH PH H CHÍ MINHTRƯNG ĐI HC KHOA HC T NHIÊN

HUỲNH NGC TRÂM ANH

QUÁ TRÌNH LÉVY VÀ NG DNGTRONG TÀI CHÍNH

Chuyên ngành : XÁC SUT - THNG KÊMã s : 60.46.15

LUN VĂN THC SĨ TOÁN HC

ngưi hưng dn khoa hc

GS.TSKH. Nguyn Văn Thu

TP.H Chí Minh - 2009



Li cm ơn

Con xin cm ơn ba m đã luôn đng viên, ng h con v tinh thn cũng nhưvt cht trong sut quá trình làm lun văn.

Em xin bày t lòng bit ơn sâu sc đn thy hưng dn ca em, GS.TSKH.Nguyn Văn Thu. Thy đã tn tình hưng dn, đng viên và giúp đ em hoàn thànhlun văn này.

Em xin cm ơn PGS.TS. Nguyn Bác Văn, TS. Tô Anh Dũng, TS. Dương TônĐm. Các thy đã nhit tình ging dy, truyn th kin thc và giúp đ em trong sut

quá trình hc tp và làm lun văn.

Tôi xin cm ơn Th.S. Nguyn Hu Thái và bn Hoàng Văn Hà đã h tr, giúpđ tôi tài liu cài đt và s dng phn mm MikTex trong quá trình son tho lunvăn. Tôi xin cm ơn các bn cùng khóa Cao hc 16 đã nhit tình giúp đ tôi.

Tôi mong nhn đưc s góp ý, ch dn ca quý thy cô và các bn đ lun vănhoàn thin hơn.

TP.H Chí Minh, tháng 06 năm 2009

Hc viên

Huỳnh Ngc Trâm Anh.

1



Mc lc

Li cm ơn 1

Mc lc 2

Các ký hiu 6

Li nói đu 8

I Lý thuyt 11

Gii thiu 12

1 Quá trình Lévy 15

1.1 Đ đo và xác sut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.1 Không gian đo và không gian xác sut . . . . . . . . . . . . . . 151.1.2 Bin ngu nhiên và kỳ vng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.3 Kỳ vng có điu kin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.1.4 Tính đc lp và tích các đ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.1.5 S hi t ca các bin ngu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.1.6 Các quá trình bin phân hu hn . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.1.7 Hàm đc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.1.8 Quá trình ngu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.1.9 Trưng ngu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2 Phân phi kh phân vô hn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2.1 Tích chp các đ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2.2 Đnh nghĩa kh phân vô hn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.2.3 Các ví d ca kh phân vô hn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.2.4 Công thc Lévy-Khintchine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.2.5 S chuyn hưng: Lý thuyt s và tương đi . . . . . . . . . . . 36

1.3 Quá trình Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.3.1 Các quá trình ph thuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.3.2 Các ví d ca quá trình Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.3.3 Na nhóm tích chp ca các đ đo xác sut . . . . . . . . . . . 571.3.4 Quá trình Lévy chính tc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1.3.5 Bn sao ca quá trình Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2



1.3.6 S phân tích Wiener-Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.3.7 Thi đim đa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2 Martingale, thi đim dng và đ đo ngu nhiên 632.1 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.1 B lc và quá trình thích nghi vi mt b lc . . . . . . . . . . 632.1.2 Martingale và quá trình Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.1.3 Không gian martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.2 Thi đim dng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.2.1 Khai trin Doob-Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2.2 Thi đim dng và quá trình Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.3 Bưc nhy ca quá trình Lévy-Đ đo ngu nhiên Poisson . . . . . . . . 722.3.1 Đ đo ngu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.3.2 Tích phân Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.4 Khai trin Lévy-Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.5 Cu trúc đan xen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.5.1 Các trưng hp gii hn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.5.2 S đan xen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.6 Na martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

II ng dng trong tài chính 93

3 Gii thiu mô hình th trưng Lévy 943.1 Các tài sn tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.2 Chng khoán phái sinh (Derivative Securities) . . . . . . . . . . . . . . 95

3.2.1 Các quyn chn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.3 Đ chênh th giá (Arbitrage) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.3.1 Cp đôi quyn chn mua-quyn chn bán (The Put-Call parity) 963.4 Ưc lưng tham s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.5 Mô hình th trưng Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.5.1 Đ đo martingale tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.5.2 Mô hình ch s S&P 500 vi quá trình Lévy . . . . . . . . . . . 101

4 S vn dng mô hình ngưc 1024.1 Đnh giá quyn chn trung hòa ri ro (Risk-neutral option pricing) . . 1024.2 Công thc đnh giá các quyn chn Châu Âu thông thưng . . . . . . . 103

4.2.1 Công thc Black-Schole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.2.2 S dng phép bin đi Fourier nhanh (FFT) đ đnh giá quyn

chn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.3 S vn dng mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.4 Các kt qu vn dng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.4.1 S la chn d liu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.4.2 Kt qu vn dng mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3



5 K thut mô phng 1125.1 S mô phng ca các quá trình ngu nhiên cơ bn . . . . . . . . . . . . 112

5.1.1 S mô phng ca chuyn đng Brown tiêu chun . . . . . . . . 112

5.1.2 S mô phng ca mt quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . 1125.2 S mô phng ca quá trình Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.2.1 Phép xp x Poisson phc hp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3 S mô phng các quá trình đc bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.3.1 Quá trình Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.3.2 Quá trình VG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.3.3 Quá trình TS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.3.4 Quá trình IG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.3.5 Quá trình NIG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6 Đnh giá quyn chn ngoi lai 1226.1 Quyn chn vi rào cn và quyn chn nhìn li (Barrier and Lookbackoptions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.1.1 Gii thiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.1.2 Giá quyn chn vi rào cn Black-Scholes và giá quyn chn nhìn

li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.1.3 Quyn chn nhìn li và quyn chn vi rào cn trong th trưng

Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.2 Các quyn chn ngoi lai khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.2.1 Quyn chn mua và bán vô thi hn kiu M . . . . . . . . . . 1286.2.2 Quyn chn vô thi hn kiu Nga . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.2.3 Quyn chn Touch-and-Out . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.3 Đnh giá quyn chn ngoi lai bng k thut mô phng Monte Carlo . 1296.3.1 Gii thiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.3.2 Đnh giá Monte Carlo s dng quá trình Lévy . . . . . . . . . . 130

6.4 Kt qu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Kt lun 132

A S&P 500 giá quyn chn mua 133

B Hàm Bessel 134B.1 Hàm Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134B.2 Hàm Bessel ci tin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

C Quá trình Lévy 136C.1 Hàm đc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

C.1.1 Phân phi trên s t nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136C.1.2 Phân phi trên na đưng thng dương . . . . . . . . . . . . . . 136C.1.3 Phân phi trên đưng thng thc . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

C.2 B ba Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137C.2.1 γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

C.2.2 Đ đo Lévy ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4



D Paul Lévy (1886-1971) 138

Tài liu tham kho 139

5



CÁC KÝ HIU

Rd là không gian Euclide d-chiu. Phn t ca Rd là vectơ x = (x1, x2, . . . , xd) vimi xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ d. Tích vô hưng trong Rd gia hai vectơ x = (x1, x2, . . . , xd) vày = (y1, y2, . . . , yd) là

(x, y) =d

i=1 xiyi.

Chun Euclide (đ ln ca mt vectơ) là

|x| = (x, x)12 =

di=1

x2i

12

.

Tp tt c các ma trn giá tr thc d × d đưc ký hiu là M d(R).

Nu S ⊆ Rd khi đó phn bù trc giao ca S là

S ⊥ = x ∈ Rd

; (x, y) = 0 vi ∀ y ∈ S Qu cu m bán kính r có tâm thuc Rd đưc ký hiu là

Br(x) = y ∈ Rd; |y − x| < r

và ta vit B = B1(0).

Ta vit R+ = [0, ∞), R = R ∪−∞, ∞

Du ca u đưc ký hiu bi sgn(u), sgn(u) = u

|u|

nu u = 0, vi sgn(0) = 0.

Cho z ∈ C, (z) và (z) ký hiu phn thc và phn o ca z, theo th t.

Phn bù ca A đưc ký hiu là Ac và A là bao đóng ca A.

B(Rd) là σ-đi s Borel ca Rd. Cho B ∈ B(Rd), B(B) là σ-đi s các tp Borelca B. B(B) còn đưc vit là BB.

δa là đ đo xác sut tp trung ti a.

µ|B là hn ch ca đ đo µ trên tp B.

6



µ1 ∗ µ2 là tích chp ca hai đ đo hu hn µ1 và µ2; µn = µ∗n là n ln tích chp

ca µ. Khi n = 0, µn đưc hiu là δ0.

Cho a, b ∈ R, a ∧ b = mina, b và a ∨ b = maxa, b.

X d= Y có nghĩa là X và Y có phân phi đng nht.

1B(x) là hàm ch tiêu ca B, 1B(x) =

1 nu x ∈ B

0 nu x /∈ B.

#A là s các phn t ca tp A.

f (x) ∼ g(x) khi x → a có nghĩa là limx

→a

f (x)

g(x) = 1.

Nu f : Rd → R khi đó lims↑t f (s) = l có nghĩa là lims→t, s<t f (s) = l. Tương tlims↓t f (s) = l nghĩa là lims→t, s>t f (s) = l.

7



Li nói đu

Quá trình Lévy là các quá trình ngu nhiên cơ bn có s gia dng và đc lp. Tmquan trng ca quá trình Lévy trong lý thuyt xác sut cũng như trong thc tin xutphát t nhng lý do sau:

V MT LÝ THUYT

• Các quá trình Lévy là lp đơn gin nht ca quá trình ngu nhiên có qu đomu liên tc phi và có mt s (đm đưc) các bưc nhy ngu nhiên gián đonxut hin ti các thi đim ngu nhiên.

• Các quá trình Lévy bao gm mt s các quá trình quan trng: chuyn đngBrown, quá trình Poisson, quá trình Poisson phc hp, các quá trình ph thuc,quá trình tương đi, quá trình Riemann zeta . . .

• Các quá trình Lévy hình thành lp con đc bit ca na martingale và ca quá trình Markov dng Feller .

• Ting n. Các quá trình Lévy là mô hình tt ca "ting n" trong h đng lcngu nhiên.

Nhp vào + Ting n = Xut ra

Mt lp ln các quá trình Markov có th đưc xây dng như là nghim ca cácphương trình vi phân ngu nhiên điu khin bi ting n Lévy.

• Cu trúc Robust. Hu ht ng dng ca quá trình Lévy ly giá tr trong khônggian Euclide nhưng ta có th thay bng không gian Hilber, không gian Banach,nhóm compact đa phương, đa tp. Các phương án lưng t hóa là các quá trình

Lévy không giao hoán trên các nhóm lưng t.

V MT NG DNG

Gm có:

• S nhiu qua phương trình Burger (Bertoin)

• Các ví d mi ca lý thuyt trưng lưng t (Albeverio, Gottshalk, Wu)

•Tính nht do (Bouleau)

• Chui thi gian (Brockwell)

8



• Tài chính (có hàng ngàn ng dng)

S bùng n ln nht là hot đng trong lĩnh vc toán tài chính. Hai phm vi hot

đng chính là:• Đnh giá quyn chn.

• Mô hình hóa lãi sut.

Lun văn đưc chia làm hai phn. Phn I gm hai chương đu trình bày lý thuytcơ s ca quá trình Lévy. Phn II gm bn chương sau trình bày các ng dng caquá trình Lévy trong tài chính.

Phn I LÝ THUYT

Chương 1 trình bày tóm tt lý thuyt xác sut và đ đo cơ bn. Gii thiu quátrình Lévy và phân phi kh phân vô hn. Nghiên cu mi liên h gia quá trình Lévy,phân phi kh phân vô hn và na nhóm tích chp các đ đo xác sut liên tc yu.

Chương 2 gii thiu các khái nim quan trng như b lc, quá trình thích nghivà martingale. Thit lp tính Markov mnh cho quá trình Lévy và chng minh miquá trình Lévy có mt bn sao càdlàg. Kt qu quan trng là chng minh khai trinLévy-Itô ca mt quá trình Lévy bt kỳ da trên martingale. Gii thiu cu trúc đanxen, qua đó qu đo ca mt quá trình Lévy nhn đưc như là gii hn hu chc chn

ca mt dãy các chuyn đng Brown vi đ dch chuyn có các bưc nhy ngu nhiênri rc xut hin ti các thi đim ngu nhiên.

Phn II NG DNG TRONG TÀI CHÍNH

Chương 3 gii thiu khái nim v các tài sn cơ s, chng khoán phái sinh, cácquyn chn, đ chênh th giá. Gii thiu mô hình th trưng Lévy, trong đó giá cphiu theo mt quá trình Lévy mũ. Trình bày phép bin đi Esscher và hiu chnhtrung bình đ tìm mt đ đo martingale tương đương.

Chương 4 s dng cách tip cn ngưc đ vn dng mô hình các quá trình LévyNIG, CGMY và Meixner; trong đó ta đt giá quyn chn lý thuyt d đoán ca môhình vào ch s S&P 500 thc. Gii thiu mô hình đnh giá quyn chn trung hòa riro. Trình bày công thc Black-Schole và phép bin đi Fourier nhanh (FFT) đ đnhgiá các quyn chn Châu Âu thông thưng. Cui chương trình bày các kt qu vn dng.

Chương 5 trình bày k thut mô phng. Ta s dng phương pháp tng quát xpx quá trình Lévy bng quá trình Poisson phc hp. Các quá trình Lévy đc bit đưcmô phng bng cách s dng mt vài tính cht ca chúng, ví d như quá trình Gamma,quá trình VG, quá trình TS, quá trình IG, quá trình NIG...

9



Chương 6 gii thiu đnh giá quyn chn ngoi lai. Các quyn chn ngoi lai cóqu đo ph thuc là quyn chn vi rào cn và quyn chn nhìn li. Ta s dng kthut mô phng đưc mô t chương 5 và các kt qu vn dng chương 4 kt hp vi

phương pháp k thut Monte Carlo đ đnh giá các quyn chn ngoi lai Châu Âu.

10



Phn I

Lý thuyt

11



Gii thiu

Gi s ta có không gian xác sut (Ω, F , P ). Mt quá trình Lévy X = (X (t), t ≥ 0)ly giá tr trên Rd là mt quá trình ngu nhiên có s gia dng và đc lp. Ta luôn gis là X (0) = 0 vi xác sut 1. Vì vy:

• Mi X (t) : Ω → Rd;

•Cho trưc các thi đim phân bit 0

≤t1

< t2

<· · ·

< tn, các vectơ ngu nhiên

X (t1), X (t2) − X (t1), X (t3) − X (t2), . . . , X (tn) − X (tn−1) đc lp nhau.

• Cho trưc hai thi đim phân bit 0 ≤ s < t < ∞, phân phi xác sut caX (t) − X (s) trùng vi phân phi xác sut ca X (t − s).

Công thc Lévy-Khintchine cho thy hàm đc trưng ca quá trình Lévy bt kỳ códng đc bit. Chính xác hơn, vi mi t ≥ 0, u ∈ Rd,

E(ei(u,X(t))) = etη(u) (0.1)

trong đó

η(u) = i(b, u) − 1

2(u,au) +

Rd−0

ei(u,y) − 1 − i(u, y)10<|y|<1(y)

ν (dy). (0.2)

Trong công thc trên b ∈ Rd, a là mt ma trn đi xng d × d xác đnh dương vàν là đ đo Lévy trên Rd − 0, do đó

Rd−0 min1, |y|2ν (dy) < ∞.

Đ tìm hiu ý nghĩa ca (0.2), đu tiên ta gi s a = ν = 0; khi đó (0.1) tr thànhE(ei(u,X(t))) = eit(u,b), do đó X (t) = bt là chuyn đng tt đnh đơn gin trên mt đưngthng. Vectơ b xác đnh vn tc ca chuyn đng này và thưng đưc gi là đ dch chuyn .

Gi s ta có a = 0, khi đó (0.1) có dng E(ei(u,X(t))) = expt[i(b, u) − 12

(u,au)].Đây là hàm đc trưng ca bin ngu nhiên Gauss có vectơ trung bình tb và ma trnhip phương sai ta. Trong trưng hp này, quá trình (X (t), t ≥ 0) là mt chuyn đng Brown vi đ dch chuyn và lp các quá trình như vy đưc nghiên cu rng rãi hơn100 năm qua. Đc bit, qu đo mu t → X (t)(ω) là liên tc vi ω ∈ Ω. Trưng hpb = 0, a = I ta thưng gi quá trình (X (t), t ≥ 0) là chuyn đng Brown tiêu chun .

Trưng hp ν = 0. Nu ν là đ đo hu hn, ta vit li (0.2)

η(u) = i(b, u) − 12

(u,au) + Rd−0

(ei(u,y) − 1)ν (dy)

12



trong đó b

= b− 0<|y|<1 yν (dy). Ta s ly dng đơn gin nht cho ν , tc là ν = λδh,

trong đó λ > 0 và δh là khi lưng Dirac tp trung ti h ∈ Rd − 0.

Trưng hp này ta đt X (t) = bt + √aB(t) + N (t), trong đó B = (B(t), t ≥ 0)là chuyn đng Brown tiêu chun và N = (N (t), t ≥ 0) là mt quá trình đc lp viE(ei(u,N (t))) = exp

λt(ei(u,h) − 1)

.

Ta thy N như mt quá trình Poisson vi cưng đ λ ly giá tr trong tp nh, n ∈N, do đó

P (N (t) = nh) = e−λt(λt)n

n!

và N (t) đm các bin c ri rc xut hin ti các thi đim (T n, n ∈ N). Qu đo caX theo qu đo ca chuyn đng Brown vi đ dch chuyn t thi đim gc cho đnthi đim ngu nhiên T 1. Ti thi đim T 1 qu đo có mt bưc nhy vi c là

|h

|.

Gia T 1 và T 2 ta li thy chuyn đng Brown vi đ dch chuyn và có mt bưc nhykhác có c là |h| ti thi đim T 2. Ta có th tip tc xây dng qu đo theo cách nàymt cách vô hn.

Bưc tip theo là ly ν =mi=1 λiδhi , trong đó m ∈ N, λi > 0 và hi ∈ Rd− 0, vi

1 ≤ i ≤ m. Khi đó ta có th vit

X (t) = b

t +√

aB(t) + N 1(t) + · · · + N m(t),

trong đó N 1, . . . , N m là các quá trình Poisson đc lp; mi N i có cưng đ λi vàly giá tr trong tp

nhi, n

∈N

, trong đó 1

≤i

≤m. Trong trưng hp này, qu

đo ca X li là mt chuyn đng Brown vi đ dch chuyn có các bưc nhy ngunhiên ri rc xut hin ti các thi đim ngu nhiên. Ti thi đim này, c ca mibưc nhy là mt trong m s |h1|, . . . , |hm|.

Khi ν < ∞, ta có th vit dng khai trin qu đo mu mt cách trc tip như sau

X (t) = bt +√

aB(t) +0≤s≤t

∆X (s), (0.3)

trong đó ∆X (s) là bưc nhy ti thi đim s (nu ν = λδh khi đó ∆X (s) = 0 hay h).

Đ đm các thi đim ti đó các bưc nhy xut hin, cho A là mt tp Borel trongRd − 0 và t ≥ 0 ta đnh nghĩa

N (t, A) = #0 ≤ s ≤ t; ∆X (s) ∈ A.

Nu ta c đnh t và A khi đó N (t, A) là mt bin ngu nhiên; tuy nhiên, nu ta cđnh ω ∈ Ω và t ≥ 0 khi đó N (t, ·)(ω) là mt đ đo. Cui cùng, nu ta c đnh A viν (A) < ∞ khi đó (N (t, A), t ≥ 0) là mt quá trình Poisson vi cưng đ ν (A).

Khi ν < ∞, ta có th vit

0≤s≤t

∆X (s) = R−0 xN (t,dx).

13



Trưng hp ν tng quát, qua phép phân tích tinh xo các bưc nhy nh và đdch chuyn tr nên hp nht dn ti khai trin Lévy-Itô ni ting:

X (t) = bt +√

aB(t) +

0<|x|<1

x

N (t,dx) − tν (dx)

+

|x|≥1

xN (t,dx).

chương 1 và chương 2 ta s chng minh công thc Lévy-Khintchine và khai trinLévy-Itô.

14



Chương 1

Quá trình Lévy

1.1 Đ đo và xác sut1.1.1 Không gian đo và không gian xác sut

Đnh nghĩa 1.1.1. σ-đi s Cho S là tp khác rng và F là tp hp các tp con ca S . Ta nói F là mt σ-đi s nu

(1) S ∈ F .(2) A

∈ F ⇒Ac

∈ F .

(3) Nu (An, n ∈ N) là dãy các tp con thuc F khi đó∞n=1

An ∈ F .

Cp (S, F ) đưc gi là không gian đo đưc.

Đnh nghĩa 1.1.2. Đ đoMt đ đo trên (S, F ) là mt ánh x µ : F → [0, ∞] tha

(1) µ(∅) = 0,

(2)

µ

∞n=1

An

=

∞n=1

µ(An)

vi mi dãy (An, n ∈ N) các tp ri nhau trong F .B ba (S, F , µ) đưc gi là mt không gian đo.

Đi lưng µ(S ) đưc gi là tng khi lưng ca µ và µ là hu hn nu µ(S ) < ∞.Tng quát, mt đ đo µ là σ-hu hn nu có mt dãy (An, n ∈ N) trong F sao cho

S =

∞n=1 An và mi µ(An) < ∞.

15



Chương 1. Quá trình Lévy

Đnh nghĩa 1.1.3. Đ đo Borel Cho S là mt tp con ca Rd. Ta trang b cho S tôpô cm sinh bi Rd; do đó U ⊆ S là m trong S nu U

∩S m trong Rd. Đt

B(S ) ký hiu σ-đi s nh nht cha tt

c các tp m ca S . Ta gi B(S ) là σ-đi s Borel ca S. Mi phn t thuc B(S ) là mt tp Borel và đ đo bt kỳ trên (S, B(S )) gi là đ đo Borel.

Mt ví d thưng gp ca đ đo Borel là đ đo Lebesgue trên S = Rd.A = (a1, b1) × (a2, b2) × · · · × (ad, bd) trong đó −∞ < ai < bi < ∞ :

µ(A) =di=1

(bi − ai).

Đ đo Lebesgue rõ ràng là σ-hu hn nhưng không hu hn.

Đnh nghĩa 1.1.4. Đ đo xác sut

Ta vit S = Ω. Ly Ω biu din tp các kt qu ca thí nghim ngu nhiên. Các phn t ca F đưc gi là các bin c và đ đo bt kỳ trên (Ω, F ) có tng khi lưng bng 1đưc gi là đ đo xác sut và ký hiu là P . Khi đó b ba (Ω, F , P ) đưc gi là không gian xác sut.

Đôi lúc ta s dng đ đo đm , là đ đo ly các giá tr trong N ∪ 0.Mnh đ p các phn t ca tp S đưc nói là có tính cht hu khp nơi (vit tt làh.k.n.) theo đ đo µ nu N = s ∈ S ; p(s) sai ∈ F và µ( N ) = 0. Trong trưng hpđ đo xác sut, ta s dng thut ng ‘ hu chc chn’ (vit tt h.c.c) thay cho ‘ hukhp nơi’ hoc thay cho ‘ vi xác sut 1’ . Tương t, ta nói ‘ hu ht’ các phn t catp A có tính cht chc chn nu tp con ca A không có tính cht đó có đ đo 0.

Đnh nghĩa 1.1.5. Tính liên tc ca đ đoĐt (A(n), n ∈ N) là dãy các tp trong F vi A(n) ⊆ A(n + 1) vi mi n ∈ N.Khi đó ta vit A(n) ↑ A, trong đó A =

∞n=1 A(n) và ta có

µ(A) = limn→∞

µ(A(n)).

Mt phân hoch đo đưc (hu hn) ca mt tp A ∈ F là mt h các tpB1, B2, . . . , Bn ∈ F , Bi ∩ B j = ∅ khi i = j và

ni=1 Bi = A. Ta s dng tên gi

phân hoch Borel khi F là mt σ-đi s Borel.Nu Gi, i ∈ I là mt h các σ-đi s con ca F khi đó i∈I Gi là σ-đi s con ln

nht cha trong mi Gi vài∈I Gi ký hiu σ-đi s con nh nht cha mi Gi.Nu P là đ đo xác sut và A, B ∈ F , đ tin ký hiu ta vit P (A, B) = P (A ∩ B).

Đnh nghĩa 1.1.6. M rng ca mt đ đoCho (S, F , µ). Đnh nghĩa

N = A ⊆ S ; ∃N ∈ F vi µ(N ) = 0 và A ⊆ N và

F = A ∪ B; A ∈ F , B ∈ N.

Khi đó F là mt σ-đi s và m rng ca đ đo µ trên (S, F ) là đ đo µ trên (S, F )đưc xác đnh bi

µ(A ∪ B) = µ(A), A ∈ F , B ∈ N .

16




Trưng hp đc bit, B(S ) đưc gi là σ-đi s các tp đo đưc Lebesgue trongS .

1.1.2 Bin ngu nhiên và kỳ vng

Cho i = 1, 2, đt (S i, F i) là các không gian đo đưc.Mt ánh x f : S 1 → S 2 là (F 1, F 2)-đo đưc nu f −1(A) ∈ F 1 vi ∀ A ∈ F 2.Nu mi S 1 ⊆ Rd, S 2 ⊆ Rm và F i = B(S i), khi đó f là đo đưc Borel . Trong trưnghp d = 1, ta vit hàm đo đưc Borel f là f + − f −, trong đó f +(x) = maxf (x), 0và f −(x) = − minf (x), 0, vi x ∈ S 1.Nu f = (f 1, f 2, . . . , f d) là ánh x đo đưc t S 1 ti Rd, vit f + = (f +1 , f +2 , . . . , f +d ) vàf − = (f −1 , f −2 , . . . , f −d ).

Đnh nghĩa 1.1.7. Bin ngu nhiên Cho trưc không gian xác sut (Ω, F , P ), khi đó ánh x đo đưc t Ω vào Rd đưc gi là bin ngu nhiên.

Ta thưng ký hiu bin ngu nhiên là X , Y , . . . Giá tr ca chúng là kt qu ca cácln quan trc trên tp Ω. Chú ý nu X là mt bin ngu nhiên khi đó f (X ) = f X ,vi f là mt ánh x đo đưc Borel t Rd ti Rm.Mt ánh x đo đưc Z = X + iY t Ω vào C (đưc trang b cu trúc Borel t nhiênt R2) đưc gi là mt bin ngu nhiên phc. Chú ý Z đo đưc khi và ch khi c X vàY là đo đưc.

Nu X là mt bin ngu nhiên, lut phân phi (hay phân phi ) ca nó là đ đoxác sut Borel pX trên Rd đưc xác đnh bi

pX = P X −1.

Ta nói X là đi xng nu pX(A) = pX(−A) vi ∀ A ∈ B(Rd).

Hai bin ngu nhiên X và Y có cùng lut phân phi xác sut thì ta nói chúng cóphân phi đng nht . Ký hiu X

d= Y.

Cho bin ngu nhiên mt chiu X , hàm phân phi ca nó là hàm tăng, liên tc bên

phi xác đnh bi F X(x) = pX((−∞, x])

vi mi x ∈ R.Nu W = (X, Y ) là bin ngu nhiên ly giá tr trong R2d, lut phân phi xác sut caW đưc gi là phân phi đng thi ca X và Y . Khi đó các đi lưng pX và pY đưcgi là các phân phi biên duyên ca W , vi pX(A) = pW (A,Rd) và pY (A) = pW (R

d, A)vi mi A ∈ B(Rd).Gi s cho trưc tp hp các bin ngu nhiên (X i, i ∈ I ) trong mt không gian xácsut c đnh; khi đó ký hiu σ(X i, i ∈ I ) là σ-đi s nh nht cha trong F theo đómi bin X i là đo đưc. Khi trong tp hp trên ch có mt bin ngu nhiên X , ta ký

hiu σ-đi s này là σ(X ).

17




Đt (S, F ) là không gian đo đưc. Mt hàm đo đưc f : S → Rd đưc gi là đơn ginnu

f =

n j=1

c j1Aj

vi n ∈ N, c j ∈ Rd và A j ∈ F , 1 ≤ j ≤ n. Ta gi 1A là hàm ch tiêu đưc xác đnh bi

1A(x) = 1 khi x ∈ A; 1A(x) = 0 khi x /∈ A.

Đt Σ(S ) ký hiu không gian tuyn tính tt c các hàm đơn gin trên S và cho µ làđ đo trên (S, F ). Tích phân theo µ là ánh x tuyn tính t Σ(S ) vào Rd xác đnh bi

I µ(f ) =n

j=1

c jµ(A j)

vi f ∈ Σ(S ).Tích phân đưc m rng cho hàm đo đưc f = (f 1, f 2, . . . , f d), trong đó mi f i ≥ 0,1 ≤ i ≤ d

I µ(f i) = supI µ(gi), g = (g1, . . . , gd) ∈ Σ(S ), gi ≤ f ivà hàm đo đưc f bt kỳ bi

I µ(f ) = I µ(f +) − I µ(f −).

Ta vit I µ(f ) = f (x)µ(dx) hay I µ(f ) = f dµ.

Ta nói f kh tích nu |I µ(f +)| < ∞ và |I µ(f −)| < ∞. Cho A ∈ F bt kỳ, đnh nghĩa A

f (x)µ(dx) = I µ(f χA).

Đnh nghĩa 1.1.8. Kỳ vng Cho không gian xác sut (Ω, F , P ), ánh x tuyn tính I P đưc gi là kỳ vng, vit đơn gin là E. Do đó cho mt bin ngu nhiên X và ánh x đo đưc Borel f : Rd → Rm,ta có

E(f (X )) =

Ωf (X (ω))P (dω) =

Rmf (x) pX(dx).

Trong trưng hp d = m = 1 ta có bt đng thc Jensen

f (E(X )) ≤ E(f (X )),

khi f : R → R là hàm li và X , f (X ) đu kh tích.

Trung bình ca X là vectơ E(X ) và đôi lúc đưc ký hiu là µ (nu không có đ đoµ trong lân cn đưc đt là µ) hay µX , nu ta mun nhn mnh bin ngu nhiên X .Nu X = (X 1, X 2, . . . , X d) và Y = (Y 1, Y 2, . . . , Y d) là hai bin ngu nhiên khi đó matrn d × d vi thành phn th (i, j) E[(X i − µXi

)(Y j − µY j)] đưc gi là hip phương

sai ca X và Y . Ký hiu Cov(X, Y ).Trong trưng hp X = Y và d = 1, vit Var(X ) = Cov(X, Y ) và gi đi lưng này là

18




phương sai ca X . Ký hiu σ2 hay σ2X .

Khi d = 1 đi lưng E(X n), vi n ∈ N, đưc gi là mômen cp n ca X .

Bt đng thc Chebyshev-Markov cho mt bin ngu nhiên X là

P (|X − αµ| ≥ C ) ≤ E(|X − αµ|nC n

,

vi C > 0, α ∈ R, n ∈ N. Dng thưng gp nht là bt đng thc Chebyshev (n = 2,α = 1) và bt đng thc Markov (n = 1, α = 0).

Tr li không gian đo (S, F , µ) ta lit kê mt s đnh lý then cht đ chng minhtính kh tích ca các hàm t S ti Rd.

Đnh lý 1.1.9. (Đnh lý hi t đơn điu)

Nu (f n, n ∈ N) là dãy các hàm đo đưc không âm trên S đơn điu tăng (h.k.n.) và hi t đim ti f (h.k.n), khi đó

limn→∞

S

f n(x)µ(dx) =

S

f (x)µ(dx).

T đây ta d dàng suy ra

H qu 1.1.10. (B đ Fatou)Nu (f n, n ∈ N) là dãy các hàm đo đưc không âm trên S , khi đó

lim inf n→∞

S

f n(x)µ(dx)

≥ S

lim inf n→∞

f n(x)µ(dx),

Đnh lý 1.1.11. (Đnh lý hi t tri Lebesgue)Nu (f n, n ∈ N) là dãy các hàm đo đưc t S ti Rd hi t đim ti f (h.k.n.) và g ≥ 0là hàm kh tích sao cho |f n(x)| ≤ g(x) (h.k.n.) vi ∀ n ∈ N, khi đó

limn→∞

S

f n(x)µ(dx) =

S

f (x)µ(dx).

1.1.3 Kỳ vng có điu kin

Cho (S,

F , µ) là mt không gian đo bt kỳ. Ta nói đ đo ν trên (S,

F ) tuyt đi liên

tc đi vi µ nu A ∈ F , µ(A) = 0 ⇒ ν (A) = 0. Ta vit ν µ. Hai đ đo µ và ν làtương đương nu chúng tuyt đi liên tc đi vi nhau.

Đnh lý 1.1.12. (Radon-Nikodym)Gi s (S, F , µ) là không gian đo. Nu µ là đ đo σ-hu hn và ν là đ đo hu hn vi ν µ, khi đó tn ti và duy nht hàm F -đo đưc g : S → R+ sao cho

ν (A) =

A

g(x)µ(dx) = I µ(f χA), ∀ A ∈ F

Ta gi f là đo hàm Radon-Nikodym ca ν đi vi µ và vit

f = dν dµ.

19




Ví d nu X là mt bin ngu nhiên vi lut phân phi pX tuyt đi liên tc đivi đ đo Lebesgue trên Rd và vit

f X = dpXdx

và gi f X là hàm mt đ xác sut (hay còn gi là hàm mt đ và vit tt là pdf).Cho (Ω, F , P ) là mt không gian xác sut và G là σ-đi s con ca F do đó

(1) G là mt σ-đi s.

(2) G ⊆ F .Đnh nghĩa 1.1.13. Kỳ vng có điu kin

Cho X là mt bin ngu nhiên nhn giá tr thc vi E

(|X |) < ∞ và gi s rng X ≥ 0. Xác đnh đ đo hu hn QX trên (Ω, G) bi QX(A) = E(X 1A) vi A ∈ G; khi đó QX P và ta vit

E(X |G) =dQXdP

.

Ta gi E(X |G) là kỳ vng có điu kin ca X đi vi G. Nó là mt bin ngu nhiên trên (Ω, G, P ) và đưc xác đnh duy nht.

Vi X nhn giá tr thc bt kỳ vi E(|X |) < ∞, ta đnh nghĩa

E(X

|G) = E(X +

|G)

−E(X −

|G).

Khi X = (X 1, X 2, . . . , X d) ly giá tr trong Rd vi E(|X |) < ∞, ta đnh nghĩa

E(X |G) = (E(X 1|G),E(X 2|G), . . . ,E(X d|G)).

Mt s tính cht ca kỳ vng có điu kin:

• E(E(X |G) = E(X ).

• |E(X |G)| ≤ E(|X ||G) h.c.c.

•Nu Y là mt bin ngu nhiên

G-đo đưc và E(

|(X, Y )

|) <

∞khi đó

E((X, Y )|G) = (E(X |G), Y ) h.c.c.

• Nu H là σ-đi s con ca G khi đó

E(E(X |G)|H) = E(X |H) h.c.c.

• Ánh x E : L2(Ω, F , P ) → L2(Ω, G, P ) là mt phép chiu trc giao.

Trưng hp đc bit, cho trưc bin ngu nhiên G-đo đưc Y bt kỳ sao cho E(|Y |) < ∞và E(Y 1A) = E(X 1A) vi ∀ A ∈ G; khi đó Y = E(X |G) (h.c.c).

20




Mnh đ 1.1.14. Nu Y là mt bin ngu nhiên vi E(|Y |) < ∞ và (Gn, n ∈ N) là mt dãy gim các σ-đi s con ca F , khi đó

limn→∞E(Y |Gn) = E(Y |G) h.c.c,

trong đó G =n∈N Gn.

Nu Y là mt bin ngu nhiên xác đnh trên cùng không gian xác sut nhưX ta vit E(X |Y ) = E(X |σ(Y )). Nu A ∈ F ta vit E(X |A) = E(X |σ(A)) viσ(A) = A, Ac, Ω, ∅.

Nu A ∈ F ta đnh nghĩa P (A|G) = E(1A|G). Ta gi P (A|G) là xác sut có điu kin ca A cho trưc G. Chú ý trong trưng hp tng quát nó không phi là đ đo xácsut trên F (ngay c h.c.c) mc dù nó tha các tiên đ cn thit vi xác sut 1.

Cho Y là mt bin ngu nhiên Rd

-giá tr trên Ω; cho trưc G, phân phi có điu kin ca Y là ánh x P Y |G : B(Rd) × Ω → [0, 1] sao cho

P Y |G(B, ω) = P (Y −1(B)|G)(ω)

vi B ∈ B(Rd), ω ∈ Ω. Khi đó P Y |G là đ đo xác sut trên B(Rd) vi ∀ ω ∈ Ω. Hơnna, cho ánh x g : Rd → Rd vi |E(g(Y ))| < ∞, ta có

E(g Y |G) =

Rd

g(y)P Y |G(dy, ·) h.c.c (1.1)

1.1.4 Tính đc lp và tích các đ đo

Cho (Ω, F , P ) là không gian xác sut. Mt dãy (F n, n ∈ N) các σ-đi s con ca F đưc gi là đc lp nu vi i1, i2, . . . , in bt kỳ và Aij ∈ F j bt kỳ, 1 ≤ j ≤ n,

P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Ain) =n j=1

P (Aij ).

Đc bit, mt dãy các bin ngu nhiên (X n, n ∈ N) đưc gi là đc lp nu(σ(X n), n ∈ N) là đc lp. Mt dãy các bin ngu nhiên đưc gi là i.i.d. nu các binngu nhiên đc lp và có phân phi đng nht, tc là lut phân phi ( pXn

, n ∈ N) làcác đ đo xác sut đng nht.

Cho G là σ-đi s con ca F , ta nói bin ngu nhiên X và G là đc lp nu σ(X )và G đc lp. Trong trưng hp này ta có

E(X |G) = E(X ) h.c.c.

Cho (S 1, F 1, µ1), . . . , (S n, F n, µn) là h các không gian đo. Ta nói tích ca chúng làkhông gian (S, F , µ), trong đó S là tích Descartes S 1×S 2 · · ·×S n, F = F 1⊗F 2⊗···⊗F nlà σ-đi s nh nht cha tt c các tp có dng A1 × A2 × · · · × An vi mi Ai ∈ F ivà µ = µ1 × µ2 × · · · × µn là đ đo tích vi

µ(A1 × A2 × · · · × An) =

ni=1

µ(Ai).

21




Đnh lý 1.1.15. (Fubini)Nu (S i, F i, µi) là các không gian đo vi i = 1, 2 và nu f : S 1 × S 2 → R là F 1 ⊗ F 2-đođưc vi

|f (x, y)|µ1(dx)µ2(dy) < ∞,

khi đó S 1×S 2

f (x, y)(µ1 × µ2)(dx, dy) =

S 2

S 1

f (x, y)µ1(dx)

µ2(dy)

=

S 1

S 2

f (x, y)µ2(dy)

µ1(dx).

Hàm s y

→ f (x, y)µ1(dx) và x

→ f (x, y)µ2(dy) đưc xác đnh µ2 (h.c.c) và µ1

(h.c.c) theo th t.

Cho X j, 1 ≤ j ≤ n là các bin ngu nhiên trên không gian xác sut và tothành vectơ ngu nhiên X = (X 1, X 2, . . . , X n); khi đó X n đc lp khi và ch khi pX = pX1

× pX2× · · · × pXn

.

Đnh lý 1.1.16. (Fubini có điu kin)Cho (Ω, F , P ) là mt không gian xác sut và G là mt σ-đi s con ca F . Nu (S, Σ, µ)là mt không gian đo và F ∈ L1(S × Ω, Σ ⊗ F , µ × P ), khi đó

E S

EG

(F (s,·))µ(ds) <

∞,

và

EG

S

F (s, ·)µ(ds)

=

S

EG(F (s, ·))µ(ds) h.c.c.

B đ 1.1.17. Cho G là σ-đi s con ca F . Nu X và Y là các bin ngu nhiên Rd-giá tr sao cho X là G-đo đưc và Y là đc lp ca G khi đó

E(f (X, Y )|G) = Gf (X ) h.c.c

vi ∀ f ∈ Bb(R2d

), trong đó Gf (x) = E(f (x, Y )) vi x ∈ Rd

.

1.1.5 S hi t ca các bin ngu nhiên

Cho (X n, n ∈ N) là dãy các bin ngu nhiên Rd-giá tr và X là mt bin ngu nhiênRd-giá tr.

Đnh nghĩa 1.1.18. Hi t hu chc chn Dãy bin ngu nhiên X n đưc gi là hi t hu chc chn đn bin ngu nhiên X nu

limn

→∞

X (n)(ω) = X (ω),

vi ∀ x ∈ Ω − N , trong đó N ∈ F tha P ( N ) = 0;

22




S hi t hu chc chn đưc ký hiu là X nh.c.c−→ X.

Đnh nghĩa 1.1.19. Hi t theo trung bình

Dãy bin ngu nhiên X n đưc gi là hi t theo trung bình bc p (1 ≤ p < ∞) đn bin ngu nhiên X nu

limn→∞

E(|X (n) − X | p) = 0.

Hi t theo trung bình bc p ký hiu là X nLp→ X, vi (1 ≤ p < ∞).

Trưng hp p = 2 ta gi là hi t theo trung bình bc 2.

Đnh nghĩa 1.1.20. Hi t theo xác sut Dãy bin ngu nhiên X n đưc gi là hi t theo xác sut ti bin ngu nhiên X nu vi ∀ a > 0,

limn→∞P (|X (n) − X | > a) = 0;

Hi t theo xác sut đưc ký hiu là X nP → X.

Đnh nghĩa 1.1.21. Hi t theo phân phi Dãy bin ngu nhiên X n đưc gi là hi t theo phân phi ti bin ngu nhiên X nu

limn→∞

Rd

f (x) pX(n)(dx) =

Rd

f (x) pX(dx), ∀ f ∈ C b(Rd).

Hi t theo phân phi đưc ký hiu là X nd

→X.

Trưng hp d = 1 hi t theo phân phi tương đương vi limn→∞

F X(n)(x) = F X(x)

ti mi đim liên tc ca F X .

Ta có mi liên h gia các dng hi t:

Hi t hu chc chn ⇒ hi t theo xác sut ⇒ hi t theo phân phi;Hi t theo trung bình bc p ⇒ hi t theo xác sut ⇒ hi t theo phân phi.

Ngưc li, nu X n hi t theo xác sut ti X thì ta luôn tìm đưc mt dãy con hi t

hu chc chn ti X .Đt L0 = L0(Ω, F , P ) ký hiu không gian tuyn tính mi lp tương đương các binngu nhiên đưc qui ưc là hu chc chn; khi đó L0 là không gian mêtric đy đ theomêtric Ky Fan

d(X, Y ) = inf ε > 0, P (|X − Y | > ε) ≤ εvi X, Y ∈ L0.Mêtric d hi t theo xác sut vì mt dãy (X (n), n ∈ N) thuc L0 hi t theo xác sutti X ∈ L0 khi và ch khi lim

n→∞d(X (n), X ) = 0.

Mnh đ 1.1.22. Nu (X (n), n ∈ N) và (Y (n), n ∈ N) là hai dãy các bin ngu nhiên

vi X (n) → X theo xác sut và Y (n) → 0 hu chc chn, khi đó X (n)Y (n) → 0 theoxác sut.

23




Mt dãy (µ(n), n ∈ N) các đ đo trên Rd đưc gi là hi t yu ti đ đo xác sutµ nu

limn→∞ f (x)µ(n)(dx) =

f (x)µ(dx)

vi ∀ f ∈ C b(Rd). Điu kin đ (nhưng không là điu kin cn) đ điu này đúng là

µ(n)(E ) → µ(E ) khi n → ∞, vi ∀ E ∈ B(Rd).

1.1.6 Các quá trình bin phân hu hn

Hàm càdlàg

Đnh nghĩa 1.1.23. càdlàg Mt ánh x f : [a, b] → Rd đưc gi là càdlàg nu vi mi t ∈ (a, b], f liên tc bên phi

ti t và có gii hn bên trái ti t, tc là

• Cho mi dãy (tn, n ∈ N) thuc [a, b] vi mi tn ≥ t và limn→∞tn = t, ta cólimn→∞f (tn) = f (t);

• Cho mi dãy (tn, n ∈ N) thuc [a, b] vi mi tn < t và limn→∞tn = t, ta cólimn→∞f (tn) tn ti.

Mt hàm càglàd (tc là hàm liên tc bên trái và có gii hn bên phi) đưc đnhnghĩa tương t.

Hàm liên tc bt kỳ là càdlàg. Nu f là càdlàg, ta s ký hiu gii hn trái ti miđim t ∈ (a, b] bi f (t−) = lims↑t f (s). Ta có f (t−) = f (t) khi và ch khi f liên tc tit. Ta ký hiu bưc nhy ti t bi

∆f (t) = f (t) − f (t−).

Hàm bin phân hu hn (vô hn)

Đt P = a = t1 < t2 < · · · < tn < tn+1 = b là mt phân hoch ca đon [a, b] ⊂ R.Ta đnh nghĩa bin phân ca ánh x càdlàg f : [a, b] → Rd trên phân hoch P bi

varP (f ) =ni=1

|f (ti+1) − f (ti)|.

Nu V (f ) = supP varP (f ) < ∞, ta nói f có bin phân hu hn trên [a, b]. NuV (f ) = supP varP (f ) = ∞, ta nói f có bin phân vô hn trên [a, b].

Nu f đưc xác đnh trên toàn b R (hay R+), f có bin phân hu hn nu nócó bin phân hu hn trên mi khong compact. Ngưc li, ta nói f có bin phân vô hn.

Chú ý mi hàm f không gim có bin phân hu hn. Ngưc li, nu f có bin phân

hu hn, khi đó f luôn đưc vit như hiu ca hai hàm không gim:

24




f =V (f ) + f

2− V (f ) − f

2,

trong đó V (f )(t) là bin phân ca f trên [a, t].Hàm có bin phân hu hn rt quan trng trong lý thuyt tích phân: nu ta mun lytích phân mt hàm liên tc g trên mt đon nào đó theo hàm f , khi đó ta có th đnhnghĩa tích phân Stieltjes

I

g(x)df (x) như là gii hn ca tng Riemann ch khi f cóbin phân hu hn.

Ta nói mt quá trình ngu nhiên X = X t, t ≥ 0 là có bin phân hu hn nuqu đo mu có bin phân hu hn vi xác sut 1.

1.1.7 Hàm đc trưngĐnh nghĩa 1.1.24. Hàm đc trưng Cho X là mt bin ngu nhiên xác đnh trên (Ω, F , P ) và nhn giá tr trong Rd vi phân phi xác sut pX . Hàm đc trưng ca X là hàm s φX : Rd → C đưc xác đnh bi

φX = E(ei(u,X)) =

Ω

ei(u,X(ω))P (dω)

=

Rd

ei(u,y) pX(dy),

vi u ∈ Rd. Tng quát, nu p là mt đ đo xác sut trên Rd khi đó hàm đc trưng ca X là ánh x u →

Rdei(u,y) p(dy).

Ta có các tính cht cơ bn ca hàm đc trưng:

• |φX(u)| ≤ 1;

• φX(−u) = φX(u);

• φX(u) là hàm thc khi và ch khi X đi xng, tc là X và −X cùng phân phihay tương đương pX(A) = pX(−A), ∀ A ∈ B(Rd);

• Nu X = (X 1, . . . , X d) và E(|X n j |) < ∞ vi 1 ≤ j ≤ d và n ∈ N khi đó

E(X n j ) = i−n∂ n

∂un jφX(u)

u=0

Nu M X(u) = φX(−iu) tn ti, ít nht trong mt lân cn ca u = 0, khi đó M Xđưc gi là hàm sinh mômen ca X . Trong trưng hp này mi mômen ca X đu tnti và có th nhn đưc bng cách ly đo hàm riêng ca M X như trên.

C đnh u1, . . . , ud ∈ Rd, ta ký hiu ΦX là ma trn d × d vi phn t (i, j) làφX(ui − u j).

25




B đ 1.1.25.

(1) ΦX là xác dnh dương vi ∀

u1, . . . , ud∈Rd.

(2) φX(0) = 1.

(3) Ánh x u → φX(u) là liên tc ti gc.

Đnh lý 1.1.26. (Đnh lý Bochner)Nu φ : Rd → C tha (1), (2) và (3) ca b đ 1.1.24. thì φ là hàm đc trưng ca mt phân phi xác sut.

Ta nói ψ : Rd → C là xác đnh dương có điu kin nu vi ∀n ∈ N và c1, c2, . . . , cn ∈C vi n

j=1 c j = 0 ta cón

j,k=1

c j ckψ(u j − uk) ≥ 0

vi mi u1, u2, . . . , un ∈ Rd.Ánh x ψ : Rd → C đưc gi là hermit nu ψ(u) = ψ(−u) vi ∀ u ∈ Rd.

Đnh lý 1.1.27. (Phép tương ng Schoenberg)

Ánh x ψ : Rd → C là hermit và xác đnh dương có điu kin khi và ch khi etψ xácđnh dương vi t ≥ 0.

Đnh lý 1.1.28. (Glivenko)Nu φn và φ là các hàm đc trưng ca phân phi xác sut pn và p (theo th t), vi n ∈ N, khi đó φn(u) → φ(u) vi ∀ u ∈ Rd ⇒ pn → p yu khi n → ∞.

Đnh lý 1.1.29. (Đnh lý liên tc Lévy)Nu (φn, n ∈ N) là mt dãy các hàm đc trưng và tn ti hàm ψ : Rd → C sao chovi ∀ u ∈ Rd, φn(u) → ψ(u) khi n → ∞ và ψ liên tc ti 0; khi đó ψ là hàm đc trưng ca mt phân phi xác sut.

Cho X 1, X 2, . . . , X n là h các bin ngu nhiên xác đnh trên cùng không gian xácsut ta có kt qu sau

Đnh lý 1.1.30. (Đnh lý Kac)Các bin ngu nhiên X 1, X 2, . . . , X n là đc lp khi và ch khi

E

exp

in j=1

(u j, X j)

= φX1

(u1) · · · φXn(un)

vi ∀ u1, u2, . . . , un ∈ Rd.

26




1.1.8 Quá trình ngu nhiên

Đnh nghĩa 1.1.31. Quá trình ngu nhiên

Các quá trình ngu nhiên là nhng mô hình thay đi theo thi gian ca các hin tưng ngu nhiên. Đây là h các bin ngu nhiên X = (X (t), t ≥ 0) đưc xác đnh trên cùng mt không gian xác sut.

Hai quá trình ngu nhiên X = (X (t), t ≥ 0) và Y = (Y (t), t ≥ 0) là đc lp nuvi ∀ m, n ∈ N, mi 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn < ∞ và mi 0 ≤ s1 < s2 < · · · < sm < ∞,các σ-đi s σ(X (t1), X (t2), . . . , X (tn)) và σ(Y (s1), Y (s2), . . . , Y (sm)) là đc lp.

Tương t, mt quá trình ngu nhiên X = (X (t), t ≥ 0) và mt σ-đi s con G đc lpnu G và σ(X (t1), X (t2), . . . , X (tn)) đc lp vi ∀ n ∈ N, 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn < ∞.Phân phi hu hn chiu ca quá trình ngu nhiên X là tp hp các đ đo xác sut( pt1,t2,...,tn, 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn < ∞, n ∈ N) đưc xác đnh trên Rdn vi n ∈ N bi

pt1,t2,...,tn(H ) = P ((X (t1), X (t2), . . . , X (tn)) ∈ H )

vi H ∈ B(Rdn).

Đt π là mt hoán v ca 1, 2, . . . , n; khi đó vi H 1, H 2, . . . , H n ∈ B(Rd),

pt1,t2,...,tn(H 1 × H 2 × · · · × H n)

= ptπ(1),tπ(2),...,tπ(n)(H π(1) × H π(2) × · · · × H π(n)); (1.2)

pt1,t2,...,tn,tn+1(H 1 × H 2 × · · · × H n × Rd)

= pt1,t2,...,tn(H 1 × H 2 × · · · × H n). (1.3)

Phương trình (1.2) và (1.3) đưc gi là tiêu chun nht quán Kolmogorov .

Gi s cho trưc mt h các đ đo xác sut

( pt1,t2,...,tn , 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn < ∞, n ∈ N)

tha tiêu chun trên. Cu trúc Kolmogorov (ta s miêu t sau) cho phép xây dng mt

quá trình ngu nhiên có phân phi hu hn chiu. Phương pháp thc hin như sau.Đt Ω là tp tt c các ánh x t R+ vào Rd và F là σ-đi s nh nht cha tt

c các tp tr có dng

I H t1,t2,...,tn = ω ∈ Ω; (ω(t1), ω(t2), . . . , ω(tn)) ∈ H ,

trong đó H ∈ B(Rdn).

Đnh nghĩa quá trình ta đ X = (X (t), t ≥ 0) bi

X (t)(ω) = ω(t), t≥

0, ω∈

Ω.

Kt qu chính là

27




Đnh lý 1.1.32. (Đnh lý tn ti Kolmogorov)Cho trưc mt h các đ đo xác sut ( pt1,t2,...,tn , 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn < ∞, n ∈ N)tha tiêu chun nht quán Kolmogorov, khi đó tn ti mt đ đo xác sut P trên (Ω,

F )

sao cho quá trình ta đ X là mt quá trình ngu nhiên trên (Ω, F , P ) có phân phi hu hn chiu pt1,t2,...,tn.

Mt quá trình ngu nhiên X = (X (t), t ≥ 0) đưc gi là tách đưc nu tn ti mttp con đm đưc D ⊂ R+ sao cho vi t ≥ 0, tn ti mt dãy (t(n), n ∈ N) thuc Dvi t(n) = t sao cho lim

n→∞t(n) = t và lim

n→∞X (t(n)) = X (t).

Đnh lý Kolmogorov có th đưc m rng đ ch ra rng, cho trưc mt h

( pt1,t2,...,tn , 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn < ∞, n ∈ N)

các đ đo xác sut tha tiêu chun nht quán Kolmogorov. Ta có th thit lp quátrình X = (X (t), t ≥ 0) tách đưc trên không gian (Ω, F , P ) nào đó có phân phi huhn chiu pt1,t2,...,tn .

Ánh x t R+ ti Rd cho bi t → X (t)(ω), trong đó ω ∈ Ω đưc gi là qu đo mu

ca quá trình ngu nhiên X . Ánh x đó là quá trình liên tc, b chn, tăng... nu huht mi qu đo mu ca nó có tính cht va nêu.

Đt G là nhóm các ma trn trên Rd. Ta nói mt quá trình ngu nhiên X =(X (t), t

≥0) là G-bt bin nu lut phân phi pX(t) là G-bt bin vi

∀t

≥0.

Rõ ràng X là G-bt bin khi và ch khiφX(t)(gT u) = φX(t)(u)

vi ∀ t ≥ 0, u ∈ Rd, g ∈ G.

Trong trưng hp G = O(d), nhóm tt c ma trn d × d trc giao trên Rd, ta nóiquá trình X là luân phiên bt bin và khi G là nhóm con chun ca O(d) gm có haiđim −I, I ta nói X là đi xng.

1.1.9 Trưng ngu nhiênĐnh nghĩa 1.1.33. Trưng ngu nhiên Trưng ngu nhiên là s suy rng t nhiên ca quá trình ngu nhiên trong đó khong thi gian đưc thay bng mt tp E khác. Gi s E ∈ B(Rd) và đnh nghĩa trưng ngu nhiên trên E là mt h các bin ngu nhiên X = (X (y), y ∈ E ).

Đnh lý 1.1.34. (Tiêu chun liên tc Kolmogorov)Cho X là mt trưng ngu nhiên trên E và gi s tn ti hng s dương ngt γ , C và ε sao cho

E(|X (y2) − X (y1)|γ ) ≤ C |y2 − y1|d+ε

vi mi y1, y2 ∈ E. Khi đó tn ti trưng ngu nhiên khác˜

X trên E sao cho˜

X (y) =X (y) (h.c.c), vi mi y ∈ E và X là liên tc hu chc chn.

28




1.2 Phân phi kh phân vô hn

1.2.1 Tích chp các đ đoCho M1(Rd) là ký hiu tp tt c các đ đo xác sut Borel trên Rd. Ta đnh nghĩatích chp ca hai đ đo xác sut như sau:

(µ1 ∗ µ2)(A) =

Rd

µ1(A − x)µ2(dx) (1.4)

vi µi ∈ M1(Rd), i = 1, 2, và a ∈ B(Rd), trong đó A − x = y − x, y ∈ A.

Mnh đ 1.2.1. Tích chp µ1 ∗ µ2 là mt đ đo xác sut trên Rd.

Chng minh. Đu tiên ta ch ra tích chp là mt đ đo.Đt (An, n ∈ N) là dãy các tp ri nhau thuc B(Rd); khi đó vi mi x ∈ Rd, các phnt ca dãy (An − x, n ∈ N) là ri nhau và

(µ1 ∗ µ2)

n∈N

An

=

Rd

µ1

n∈N

An

− x

µ2(dx)

=

Rd

µ1

n∈N

(An − x)

µ2(dx)

= Rd n∈N

µ1(An

−x)µ2(dx)

=n∈N

Rd

µ1(An − x)µ2(dx)

=n∈N

(µ1 ∗ µ2)(An),

trong đó vic hoán đi tng và tích phân đưc đm bo do s hi t tri.µ1 ∗ µ2 là đ đo xác sut đưc suy ra d dàng nh ánh x t Rd vào chính nó cho biphép tnh tin y → y − x là mt song ánh, và vì vy Rd = Rd − x.

T mnh đ trên ta thy tích chp là mt phép toán nh phân trên M1(Rd

).

Mnh đ 1.2.2. Nu f ∈ Bb(Rd) khi đó vi ∀ µi ∈ M1(Rd), i=1,2,3,

(1) Rd

f (y)(µ1 ∗ µ2)(dy) =

Rd

Rd

f (x + y)µ1(dy)µ2(dx),

(2)µ1 ∗ µ2 = µ2 ∗ µ1

(3)(µ1 ∗ µ2) ∗ µ3 = µ1 ∗ (µ2 ∗ µ3).

29




Chng minh.Chng minh (1). Ta d dàng kim tra kt qu đi vi hàm ch tiêu, vi A ∈ B(Rd) vàx, y

∈Rd,

1A(x + y) = 1A−x(y).

Ta m rng kt qu cho hàm đơn gin tuyn tính. Kt qu tng quát đưc xác đnhbng phương pháp xp x sau.Đt M = supx∈Rd |f (x)|, c đnh ε > 0 và cho n ∈ N, đt a

(n)0 < a

(n)1 < · · · < a

(n)mn sao

cho tp hp các khong (a(n)i−1, a

(n)i ]; 1 ≤ i ≤ mn ph [−M, M ] vi max1≤i≤mn

|a(n)i −a(n)i−1| < ε, vi n đ ln.

Xác đnh dãy hàm đơn gin f n =mn

i=1 a(n)i−11

A(n)i

, vi mi A(n)i = f −1((a(n)i−1, a(n)i ]). Khi

đó cho n đ ln ta có

Rd |f n(x) − f (x)|(µ1 ∗ µ2)(dx) ≤ supx∈Rd|f n(x) − f (x)|

= max1≤i≤mn

supx∈A(n)i

|f n(x) − f (x)| < ε.

Nu đnh nghĩa gn(x, y) = f n(x + y) và g(x, y) = f (x + y) vi n ∈ N, x, y ∈ Rd; khiđó lp lun tương t như trên ta đưc limn→∞ gn = g trong L1(Rd × Rd, µ1 × µ2). Tđnh lý hi t tri ta có điu phi chng minh.Chng minh (2). T (1) s dng đnh lý Fubini ta đưc

Rdf (z)(µ1 ∗ µ2)(dz) =

Rd

f (z)(µ2 ∗ µ1)(dz)

Ly f = 1A vi A là tp Borel và ta có điu phi chng minh.Chng minh (3). S dng đnh lý Fubini mt ln na ta thy c hai biu thc đubng vi

Rd

Rd

Rd

f (x + y + z)µ1(dx)µ2(dy)µ3(dz).

Cho X 1 và X 2 là hai bin ngu nhiên đc lp xác đnh trên không gian xác sut(Ω, F , P ) vi phân phi đng thi p và các phân phi biên duyên tương ng là µ1 vàµ2.

H qu 1.2.3. Vi f ∈ Bb(Rn

),E(f (X 1 + X 2)) =

Rd

f (z)(µ1 ∗ µ2)(dz).

Chng minh. S dng (1) ca mnh đ 1.2.2,

E(f (X 1 + X 2)) =

Rd

Rd

f (x + y) p(dx, dy)

=

Rd

Rd

f (x + y)µ1(dx)µ2(dy)

= Rd

f (z)(µ1

∗µ2)(dz).

30




T h qu 1.2.3 ta thy tích chp cho lut phân phi xác sut ca tng hai binngu nhiên đc lp X 1 và X 2, tc là

P (X 1 + X 2 ∈ A) = E(1A(X 1 + X 2)) = (µ1 ∗ µ2)(A).

Mnh đ 1.2.2 cho thy M1(Rd) là na nhóm giao hoán dưi ∗ trong đó phn t đơnv đưc cho bi đ đo Dirac δ0. Ta nhc li dng tng quát, cho x ∈ Rd,

δx(A) =

1 nu x ∈ A,

0 nơi khác,

vi tp Borel A bt kỳ, vì vy ta có δ0 ∗ µ = µ ∗ δ0 = µ vi ∀ µ ∈ M1(Rd).Đnh nghĩa µ∗

n

= µ ∗ · · · ∗ µ (n ln) và µ có căn bc n tích chp nu tn ti mt đ đo

µ1/n ∈ M1(Rd) vi (µ1/n)∗n

= µ.

Ghi chú

Nói chung căn bc n tích chp ca mt đ đo xác sut có th không duy nht. Tuynhiên nó luôn duy nht khi đ đo là kh phân vô hn. (Xem Sato [10], t.34).

1.2.2 Đnh nghĩa kh phân vô hn

Cho X là mt bin ngu nhiên ly giá tr trên Rd vi lut phân phi µX . X đưc gilà kh phân vô hn nu vi

∀n

∈N, tn ti các bin ngu nhiên có phân phi đc

lp và đng nht (i.i.d.) Y (n)1 , . . . , Y (n)n sao cho

X d= Y (n)1 + · · · + Y (n)n . (1.5)

Đt φX(u) = E(ei(u,X)) ký hiu hàm đc trưng ca X , vi u ∈ Rd.Tng quát, nu µ ∈ M1(Rd) thì φµ(u) =

Rd

ei(u,y)µ(dy).

Mnh đ 1.2.4. Các điu sau đây là tương đương:

(1) X là kh phân vô hn;

(2) µX có căn bc n tích chp là lut phân phi ca mt bin ngu nhiên vi mi n ∈ N;

(3) φX có căn bc n là hàm đc trưng ca mt bin ngu nhiên vi mi n ∈ N.

Chng minh. (1) ⇒ (2). Lut thông thưng ca Y (n) j là căn bc n tích chp cn tìm.(2) ⇒ (3). Đt Y là mt bin ngu nhiên vi lut phân phi (µX)1/n. T mnh đ1.2.2(1) ta có vi u ∈ Rd,

φX(u) = · · · ei(u,y1+···+yn)(µX)1/n(dy1) · · · (µX)1/n(dyn)

= ψY (u)n

31




trong đó ψY (u) = Rd

ei(u,y)(µX)1/n(dy), và suy ra điu phi chng minh.(3) ⇒ (1). Chn Y (n)1 , · · · , Y (n)n là các bn sao đc lp ca các bin ngu nhiên cho

trưc; khi đó ta cóE(ei(u,X)) = E(ei(u,Y

(n)1 )) · · ·E(ei(u,Y

(n)n )) = E(ei(u,Y

(n)1 +···+Y (n)n )),

t đây ta suy ra (1.5). Vy X là kh phân vô hn.

T mnh đ 1.2.4 (2) ta khái quát đnh nghĩa ca kh phân vô hn như sau:µ ∈ M1(Rd) là kh phân vô hn nu nó có căn bc n tích chp thuc M1(Rd) vi min ∈ N.

1.2.3 Các ví d ca kh phân vô hn

Ví d 1.2.5 (Bin ngu nhiên Gauss). Đt X = (X 1, . . . , X d) là mt vectơ ngu nhiên.Ta nói X là ( không suy bin ) Gauss, hay chun nu tn ti mt vectơ m ∈ Rd và ma trn A d × d đi xng xác đnh dương ngt sao cho hàm mt đ xác sut (pdf) ca X có dng

f (x) =1

(2π)d/2

det(A)exp

− 1

2(x − m, A−1(x − m))

, (1.6)

vi

∀x

∈Rd.

Trong trưng hp này ta vit X ∼ N (m, A). Vectơ m là trung bình ca X , do đóm = E(X ). Và A là ma trn hip phương sai nên A = E((X − m)(X − m)T ). Tính toán chun thu đưc

φX(u) = exp

i(m, u) − 1

2(u,Au)

, (1.7)

do đó φX(u)

1/n= exp

i(

m

n, u) − 1

2(u,

1

nAu)

,

Do vy X là kh phân vô hn vi Y (n) j ∼ N (m/n, (1/n)A), 1 ≤ j ≤ n.

X là phân phi chun khi X ∼ N (0, σ2

I ) vi σ > 0.

Chú ý: Gauss suy bin

Gi s ma trn A ch có tính cht xác đnh dương, khi đó det(A) = 0; trong trưnghp này hàm mt đ (1.3) không tn ti.Đt

φ(u) = exp

i(m, u) − 1

2(u,Au)

.

Trong công thc trên ta thay A bi A + (1/n)I và ly gii hn khi n → ∞. T đnh lý

hi t Lévy suy ra φ là hàm đc trưng ca đ đo xác sut µ. Mt bin ngu nhiên X vi lut phân phi µ đưc gi là mt Gauss suy bin, và vit X ∼ N (m, A).

32




Đt S là ký hiu không gian con tuyn tính ca Rn. S là min tuyn tính các vectơriêng tương ng vi các giá tr riêng khác không ca A; khi đó hn ch ca A trong S là xác đnh dương ngt, do vy nó liên kt vi hàm mt đ Gauss không suy bin códng (1.6). Trên S ⊥ ta có φ(u) = eimu tương ng vi mt bin ngu nhiên ly giá trm không đi hu chc chn. Như vy có th hiu Gauss suy bin là phép nhúng Gausskhông suy bin vào trong không gian có s chiu ln hơn.

Ví d 1.2.6 (Bin ngu nhiên Poisson). Trong trưng hp này ta ly d = 1 và xét mt bin ngu nhiên X ly giá tr trong tp n ∈ N ∪ 0.Ta nói X là Poisson nu tn ti c > 0 sao cho

P (X = n) =cn

n!e−c.

Trong trưng hp này ta vit X ∼ π(c). Ta có E(X ) = V ar(X ) = c. Khi đóφX(u) = exp[c(eiu − 1)],

t đây suy ra X là kh phân vô hn vi mi Y (n) j ∼ π(c/n), 1 ≤ j ≤ n, n ∈ N.

Ví d 1.2.7 (Bin ngu nhiên Poisson phc hp). Gi s (Z (n), n ∈ N) là dãy các bin ngu nhiên có phân phi đc lp và đng nht ly giá tr trong Rd vi lut phân phi chung µZ và đt N ∼ π(c) là mt bin ngu nhiên Poisson đc lp ca mi Z (n).Bin ngu nhiên Poisson phc hp X đưc đnh nghĩa như sau:

X = Z (1) + · · · + Z (N )

do vy X là mt di đng ngu nhiên vi mt s ngu nhiên các bưc nhy và đưc điu khin bi bin ngu nhiên Poisson N.

Mnh đ 1.2.8. Vi u ∈ Rd,

φX(u) = exp

Rd

(ei(u,y) − 1)cµZ (dy)

.

Chng minh. Đt φZ là hàm đc trưng chung ca Z n. Ta có

φX(u) =∞n=0

E(exp [i(u, Z (1) + · · · + Z (N ))]|N = n) P (N = n)

=∞n=0

E(exp [i(u, Z (1) + · · · + Z (N ))]) e−ccn

n!

= e−c∞n=0

[cφZ (u)]n

n!

= exp[c(φZ (u) − 1)],

Thay φZ (u) = Rd

ei(u,y)µZ (dy) ta đưc điu phi chng minh.

33




Ghi chú

Ta s dng quy ưc Z (0) = 0 (h.c.c).

Nu X là Poisson phc hp như trên ta vit X ∼ π(c, µZ ). Khi đó X là kh phân vôhn vi Y (n) j ∼ π(c/n, µZ ), 1 ≤ j ≤ n.

1.2.4 Công thc Lévy-Khintchine

Đnh nghĩa 1.2.9. Đ đo Lévy Cho ν là đ đo Borel xác đnh trên Rd − 0 = x ∈ Rd, x = 0. Ta nói ν là đ đoLévy nu

Rd−0(|y|2 ∧ 1)ν (dy) < ∞. (1.8)

Vì |y|2 ∧ ε ≤ |y|2 ∧ 1 khi 0 < ε ≤ 1, t (1.8) suy ra ν ((−ε, ε)c) < ∞, ∀ ε > 0.

Ta có th thay (1.8) bi Rd−0

|y|21 + |y|2ν (dy) < ∞. (1.9)

Đnh lý 1.2.10. (Lévy-Khintchine)µ ∈ M1(Rd) là kh phân vô hn nu tn ti mt vectơ b ∈ Rd, ma trn A là ma trn d

×d đi xng xác đnh dương và đ đo Lévy ν trên Rd

− 0

sao cho vi mi u∈Rd,

φµ(u) = exp

i(b, u) − 1

2(u,Au)

+

Rd−0

ei(u,y) − 1 − i(u, y)1B(y)

ν (dy)

, (1.10)

trong đó B = B1(0). Ngưc li ánh x bt kỳ có dng (1.10) là hàm đc trưng ca mt đ đo xác sut kh phân vô hn trên Rd.

Chng minh. Ta ch chng minh phn 2 ca đnh lý; phn đu s đưc chng minhnhư mt kt qu ca khai trin Lévy-Itô trong chương 2.

Ta ch ra v phi ca (1.10) là hàm đc trưng. Đt (α(n), n ∈ N) là mt dãy trong Rdđơn điu gim ti 0 và vi ∀ u ∈ Rd, n ∈ N, ta có

φn(u) = exp

i

b −

[−α(n),α(n)]c∩B

yν (dy), u

− 1

2(u,Au)

+

[−α(n),α(n)]c

(ei(u,y) − 1)ν (dy)

.

Khi đó φn biu din tích chp ca mt phân phi chun vi mt phân phi Poissonphc hp đc lp; do đó φn là hàm đc trưng ca đ đo xác sut µn. Rõ ràng ta có

φµ(u) = limn→∞

φn(u).

34




T đnh lý liên tc Lévy suy ra φµ là hàm đc trưng. Ta ch cn ch ra nó liên tc ti0.Đt ψµ(u) =

R

d

−0 ei(u,y)

−1

−i(u, y)1 ˆ

B

(y)ν (dy).

Ta chng minh ψµ(u) liên tc ti 0 vi mi u ∈ Rd,

ψµ(u) =

Rd−0

ei(u,y) − 1 − i(u, y)1B(y)

ν (dy)

=

B

ei(u,y) − 1 − i(u, y)

ν (dy) +

Bc

(ei(u,y) − 1)ν (dy).

S dng đnh lý Taylor, bt đng thc Cauchy-Schwarz, (1.8) và s hi t tri ta đưc

|ψµ(u)

| ≤1

2 B |

(u, y)|2ν (dy) +

Bc |ei(u,y)

−1|ν (dy)

≤ |u|22

B

|y|2ν (dy) +

Bc

|ei(u,y) − 1|ν (dy)

→ 0 khi u → 0.

Trong phn chng minh đnh lý 1.2.10. ta vit li hàm đc trưng φµ(u) = eη(u). Khiđó ánh x η : Rd → C là ký hiu Lévy , nó là ký hiu cho mt toán t gi vi phân. Tacòn gi η là đc trưng mũ hay Lévy mũ .

Vì ∀ u ∈Rd

, |φµ(u)| ≤ 1 vi đ đo xác sut µ bt kỳ và φµ(u) = e

η(u)

; khi đó vi µ làkh phân vô hn ta suy ra η(u) ≤ 0.

Đnh lý 1.2.11. Ánh x η là mt ký hiu Lévy khi và ch khi nó là mt hàm liên tc,hermit, xác đnh dương có điu kin vi η(0) = 0.

Chng minh. Gi s η là mt ký hiu Lévy. Khi dó tn ti đ đo xác sut µ(t) vit ≥ 0 sao cho φµ(t)(u) = etη(u), u ∈ Rd. Nhưng η liên tc và η(0) = 0. Vì φµ xác đnhdương nên η là hermit và xác đnh dương có điu kin do phép tương ng Schoenberg.Ngưc li, gi s η liên tc, hermit và xác đnh dương có điu kin vi η(0) = 0. Do

phép tương ng Schoenberg (đnh lý 1.1.26) và đnh lý Bochner tn ti đ đo xác sutµ sao cho φµ(u) = etη(u), vi u ∈ Rd. Vì vi n ∈ N, η/n là hàm liên tc, hermit và xácđnh dương có điu kin khác trit tiêu ti gc, ta thy µ kh phân vô hn và kéo theođiu phi chng minh.

Đnh lý 1.2.12. Đ đo xác sut kh phân vô hn bt kỳ có th đt đưc như là gii hn yu ca mt dãy các phân phi Poisson phc hp.

Chng minh. Đt φ là hàm đc trưng ca mt đ đo xác sut kh phân vô hn bt kỳµ, do đó φ1/n là hàm đc trưng ca µ1/n; khi đó vi n ∈ N, u ∈ Rd, ta đnh nghĩa

φn(u) = exp

n

φ1/n(u) − 1

= exp

Rd(ei(u,y) − 1)nµ1/n(dy)

,

35




φn là hàm đc trưng ca mt phân phi Poisson phc hp.Khi đó ta có

φn(u) = exp

n(e(1/n)log[φ(u)] − 1)

= exp

log[φ(u)] + n o

1

n

→ φ(u) khi n → ∞,

trong đó ‘log’ là giá tr cơ bn ca lôgarit. T đnh lý Glivenko ta suy ra điu phichng minh.

H qu 1.2.13. Tp hp tt c các đ đo xác sut kh phân vô hn trên Rd trùng vi bao đóng yu ca tp hp tt c các phân phi Poisson phc hp trên Rd.

Chng minh. Đưc suy ra trc tip t đnh lý 1.2.12.

1.2.5 S chuyn hưng: Lý thuyt s và tương đi

Ta s tìm hiu hai ví d lý thú ca phân phi kh phân vô hn.

Phân phi Riemann zeta

Hàm Riemann zeta ζ đưc xác đnh, khi đu cho các s phc z = u + iv vi u > 1bi phép khai trin chui hi t tuyt đi

ζ (z) =

∞n=1

1

n2 ,

khai trin trên tương đương vi công thc tích Euler

ζ (z) = p∈P

1

1 − p−z, (1.11)

P là tp hp tt c các s nguyên t.Riemann ch ra rng ζ có th đưc m rng bi s m rng gii tích thành hàm phânhình trên toàn b C, có mt cc đơn ti z = 1. Riemann cũng nghiên cu đim 0 ca

ζ và ch ra các đim 0 này ti −2n, n ∈ N và trong min |u| ≤ 1. Gi thit Riemann ni ting nói rng mi lp cui đu nm trên đưng thng u = 1/2 và câu hi đó vnchưa có li gii mc dù Hardy đã ch ra mt s vô hn các đim 0 có dng này. Đ tìmhiu k hơn v vn đ này và các kt qu liên quan tham kho chương 9 ca Patterson[22].Ta chú ý mi liên h gia hàm Riemann zeta và kh phân vô hn đưc khi xưng biKhintchine A.; mc dù nó đưc nghiên cu trưc đó bi Jessen và Wintner [25]. Cđnh u ∈ R vi u > 1 và đnh nghĩa φu : R → C bi

φu(v) =ζ (u + iv)

ζ (u + i0),

vi ∀ v ∈ R.

36




Mnh đ 1.2.14. (Khintchine)Vi mi u > 1, φu là hàm đc trưng ca mt đ đo xác sut kh phân vô hn.

Chng minh. S dng (1.11) và khai trin chui Taylor cho hàm phc log(1 + ω), vi|ω| < 1, ta thy vi ∀ ∈ R,

log[φu(v)] = log[ζ (u + iv)] − log[ζ (u + i0)]

= p∈P

log(1 − p−u) − p∈P

log(1 − p−(u+iv))

= p∈P

∞m=1

p−m(u+iv)

m− p−mu

m

= p∈P

∞m=1

p−mu

m (e−im log( p)v

− 1)

= p∈P

∞m=1

R

(eiαv − 1)euα

mδm log( p)(dα).

Do đó φu là gii hn ca mt dãy các hàm đc trưng ca lut phân phi Poisson. Tđnh lý Glivenko và đnh lý liên tc Lévy suy ra φu là hàm đc trưng ca mt đ đoxác sut kh phân vô hn.

Phân phi tương đi

Xét mt ví d bt ngun t thuyt tương đi ca Einstein. Mt cht đim khi lưngtĩnh m > 0 có đng lưng p = ( p1, p2, p3) ∈ R3. Theo thuyt tương đi, năng lưngtoàn phn ca nó là

E ( p) =

m2c4 + c2| p|2,

trong đó c > 0 là vn tc ánh sáng (xem Born [29], t.291) và khi ta tr đi năng lưngph thuc khi lưng tĩnh mc2 ta đưc đng năng, tc là năng lưng do chuyn đngto thành,

E m,c( p) =

m2c4 + c2| p|2 − mc2.

Đnh nghĩaφm,c( p) = e−E m,c( p),

trong đó đ cho tng quát ta ly p ∈ Rd.Đnh lý 1.2.15. φm,c là hàm đc trưng ca mt phân phi xác sut kh phân vô hn.

Chng minh. T đnh lý Bochner ta có φm,c là hàm đc trưng; ta ch cn chng t nólà xác đnh dương. Vì E m,c là hermit và bi s tương ng Schoenberg, chng minh φm,clà xác đnh dương tương đương vi vic chng minh

n

i,j=1

αiα jE m,c( pi−

p j)

≤0

37




vi ∀n ∈ N, αi ∈ C, pi ∈ Rd, 1 ≤ i ≤ n, vini=1

αi = 0.

Ta cón

i,j=1

αiα jE m,c( pi − p j) = mc2n

i,j=1

αiα j

1 +

| pi − p j |2m2c2

1/2− 1

= mc2n

i,j=1

αiα j

1 +

| pi − p j|2m2c2

1/2

≤ mc2n

i,j=1

αiα j

1 +

| pi − p j|2m2c2

=

1

m

n

i,j=1 αiα j| pi − p j|

2

≤ 0,

trong đó khng đnh cui cùng có đưc do ánh x p → −| p|2 là ký hiu Lévy ca phânphi chun và do vy nó là xác đnh dương có điu kin.Đ kim tra đ đo xác sut liên kt là kh phân vô hn ta có

φm,c( p)

1/n= φnm,c/n( p)

vi ∀ p ∈ Rd, n ∈ N.

1.3 Quá trình LévyĐnh nghĩa 1.3.1. Mt quá trình ngu nhiên càdlàg trên không gian xác sut (Ω, F , P)ly giá tr trên Rd đưc gi là mt quá trình Lévy nu:(L1) X (0) = 0 hu chc chn.(L2) Tính cht s gia dng: X (t + s) − X (t) không ph thuc t, nghĩa là X (t + s) −X (t)

d= X (s).

(L3) Tính cht s gia đc lp: Vi mi n ∈ N và mi 0 ≤ t0 < t1 < . . . < tn < ∞các bin ngu nhiên X (t0), X (t1) − X (t0), . . . , X (tn) − X (tn−1) đc lp nhau.(L4) Liên tc ngu nhiên: Cho

∀a > 0 và

∀s

≥0, lim

t→sP (

|X (t)

−X (s)

|> a) = 0.

Chú ý rng (L1), (L2), (L3) và (L4) tương đương vi điu kin

limt↓0

P (|X (t)| > a) = 0

vi ∀a > 0.

Ta s xem xét mi liên h gia quá trình Lévy và phân phi kh phân vô hn.

Mnh đ 1.3.2. Nu X là mt quá trình Lévy, khi đó X (t) có phân phi kh phân vô

hn vi mi t ≥ 0.

38




Chng minh. Cho mi n ∈ N, ta có th vit

X (t) = Y (n)1 (t) +

· · ·+ Y (n)n (t)

trong đó

Y (n)k (t) = X

kt

n

− X

(k − 1)t

n

.

Y (n)k (t) có phân phi đc lp và đng nht do (L2),(L3).

T mnh đ 1.3.2, ta có th vit φX(t)(u) = eη(t,u) vi t ≥ 0, u ∈ Rd, trong đó miη(t, ·) là mt ký hiu Lévy.

B đ 1.3.3. Nu quá trình X = (X (t), t ≥ 0) là liên tc ngu nhiên, khi đó ánh x t −→ φX(t)(u) liên tc vi mi u ∈ Rd.

Chng minh. Cho s, t ≥ 0 vi t = s, vit X (s, t) = X (t) − X (s). C đnh u ∈ Rd. Vìánh x y −→ ei(u,y) liên tc ti đim gc, cho trưc ε > 0 bt kỳ ta tìm đưc δ1 > 0sao cho

sup0≤|y|<δ1

|ei(u,y) − 1| <ε

2

và do tính liên tc ngu nhiên, ta tìm đưc δ2 > 0 sao cho khi 0 < |t − s| < δ2 thìP (|X (s, t)| > δ1) < ε/4.Do đó cho mi 0 < |t − s| < δ2 ta có

|φX(t)(u)

−φX(s)(u)

|=

Ω

ei(u,X(s)(ω)) ei(u,X(s,t)(ω))

−1P (dω)

≤ Rd

|ei(u,y) − 1| pX(s,t)(dy)

=

Bδ1 (0)

|ei(u,y) − 1| pX(s,t)(dy) +

Bδ1(0)

c

|ei(u,y) − 1| pX(s,t)(dy)

≤ sup0≤|y|<δ1

|ei(u,y) − 1| + 2P (|X (s, t)| > δ1)

< ε.

Đnh lý 1.3.4. Nu X là mt quá trình Lévy, khi đóφX(t)(u) = etη(u)

vi u ∈ Rd, t ≥ 0, trong đó η là ký hiu Lévy ca X (1).

Chng minh. Gi s X là mt quá trình Lévy. Vi mi u ∈ Rd, t ≥ 0. Đt φu(t) =φX(t)(u). T (L2), (L3) vi mi s ≥ 0

φu(t + s) = E(ei(u,X(t+s)))

= E(ei(u,X(t+s)−X(s))ei(u,X(s)))

= E(ei(u,X(t+s)

−X(s))

)E(ei(u,X(s))

)= φu(t)φu(s)

(1.12)

39




Do đóφu(0) = 1 (1.13)

Do (L1), (L4) và b đ 1.3.3 ta có ánh x t −→ φu(t) liên tc.Tuy nhiên, nghim đơn tr liên tc ca (1.12), (1.13) đưc cho bi φu(t) = etα(u), trongđó α : Rd → C. Do mnh đ 1.3.2, X (1) có phân phi kh phân vô hn, do đó α làmt ký hiu Lévy và ta suy ra điu phi chng minh.

Ta có công thc Lévy-Khinchine vi mt quá trình Lévy X = (X (t), t ≥ 0),

E(ei(u,X(t)))

= exp

t

i(b, u) − 1

2(u,Au) +

Rd−0

ei(u,y) − 1 − i(u, y)1B(y)

ν (dy)

(1.14)vi mi t ≥ 0, u ∈ Rd, trong đó (b,A,ν ) là b ba đc trưng ca X (1).

Ví d 1.3.5. Cho X = (X (t), t ≥ 0) và Y = (Y (t), t ≥ 0) là hai quá trình Lévy đclp vi b ba đc trưng (b1, A1, ν 1) và (b2, A2, ν 2)Khi đó X +Y = (X (t)+Y (t), t ≥ 0) là mt quá trình Lévy vi b ba đc trưng (b,A,ν )trong đó

b = b1 + b2 −

[−√2,−1]∪[1,

√2]

yν (dy),

A = A1 + A2,ν (B) = ν 1(B) + ν 2(B) ∀B ∈ B(R).

Đnh lý 1.3.6. Cho X = (X (t), t ≥ 0) là mt quá trình ngu nhiên. Gi s có mt dãy các quá trình Lévy (X n, n ∈ N) vi mi X n = (X n(t), t ≥ 0) sao cho X n(t) hi t theo xác sut ti X (t) vi mi t ≥ 0 và limn→∞limsupt→0P (|X n(t) − X (t)| > a) = 0vi mi a > 0, khi đó X là mt quá trình Lévy.

Chng minh. Dãy (X n(0), n ∈ N) có mt dãy con hi t ti 0 hu chc chn. T đóta suy ra (L1).Ta có các s gia dng đưc suy ra t nhn xét sau: vi mi u ∈ Rd, 0 ≤ s < t < ∞,

E(ei(u,X(t)−X(s))) = limn→∞

E(ei(u,Xn(t)−Xn(s)))

= limn→∞

E(ei(u,Xn(t−s)))

= E(ei(u,X(t−s))),

trong đó s hi t ca hàm đc trưng đưc suy ra t lp lun trong phn chng minhca b đ 1.3.3. Tính đc lp ca các s gia đưc chng minh tương t. Khi đó ta đưc(L2), (L3). Cui cùng, đ có (L4), vi mi a > 0, t ≥ 0, n ∈ N

P (

|X (t)

|> a)

≤P (

|X (t)

−X n(t)

|+

|X n(t)

|> a)

≤ P |X (t) − X n(t)| > a

2

+ P

|X n(t)| > a

2

40




và do đó

lim sup

t→0

P (

|X (t)

|> a)

≤ lim supt→0

P |X (t) − X n(t)| >

a

2

+ lim sup

t→0P |X n(t)| >

a

2

. (1.15)

Vì mi X n là mt quá trình Lévy nên

lim supt→0

P |X n(t)| >

a

2

= limt→0

P |X n(t)| >

a

2

= 0,

Và ly limn→∞ trong (1.15) ta đưc (L4).

1.3.1 Các quá trình ph thucMt quá trình ph thuc là quá trình Lévy mt chiu tăng hu chc chn. Các quátrình đó đưc xem như mt mô hình bin đi theo thi gian.Mt cách tương đương, cho T là mt quá trình ph thuc, b ba đc trưng ca nótha ν (−∞, 0) = 0, A = 0,

(0,1)

yν (dy) < ∞ và γ = b − (0,1)

yν (dy) > 0.Vì T = (T (t), t ≥ 0) là mt quá trình ph thuc, ta có

T (t) ≥ 0 h.c.c vi ∀t > 0

và

T (t1) ≤ T (t2) h.c.c khi t1 ≤ t2.Cho X (t) ∼ N (0, At) ta có P (X (t) ≥ 0) = P (X (t) ≤ 0) = 1/2, rõ ràng mt quá

trình như vy không phi là quá trình ph thuc. Tng quát hơn ta có

Đnh lý 1.3.7. Nu T là mt quá trình ph thuc, khi đó ký hiu Lévy ca nó có dng

η(u) = iγu +

∞0

(eiuy − 1)ν (dy), (1.16)

trong đó γ ≥ 0 và đ đo Lévy ν tha điu kin

ν (−∞, 0) = 0 và ∞0

(y ∧ 1)ν (dy) < ∞.

Ngưc li, bt kỳ ánh x t Rd → C có dng (1.16) là ký hiu Lévy ca quá trình ph thuc.

Ta gi (γ, 0, ν ) là b ba đc trưng ca quá trình ph thuc T.

Đt f ∈ C ∞((0, ∞)) vi f ≥ 0. Ta nói f là đơn điu khp nơi nu (−1)nf (n) ≥ 0vi mi n ∈ N và f là hàm Bernstein nu (−1)nf (n) ≤ 0 vi mi n ∈ N. Khi đó ta có:

41




Đnh lý 1.3.8.(1) f là mt hàm Bernstein khi và ch khi ánh x x → e−tf (x) đơn điu khp nơi vi mi t

≥0.

(2) f là mt hàm Bernstein khi và ch khi nó có biu din

f (x) = a + bx +

∞0

(1 − e−yx)ν (dy)

vi mi x > 0, trong đó a, b ≥ 0 và ∞0

(y ∧ 1)ν (dy) < ∞.

(3) g đơn điu khp nơi khi và ch khi tn ti mt đ đo µ trên [0, ∞) sao cho

g(x) =

∞0

e−xyµ(dy).

Ta đnh nghĩa quá trình T S = (T S (t), t ≥ 0) ly giá tr trong R+ ∪∞ cho bibiu thc

T S (t) =

T (t) vi 0 ≤ t < S,

∞ vi t ≥ S.

Ta gi quá trình trên là quá trình ph thuc trit tiêu .

Mnh đ 1.3.9. Có s tương ng 1 − 1 gia quá trình ph thuc trit tiêu T (S ) và hàm Bernstein f , cho bi

E(e−uT s(t)) = e−tf (u)

vi mi t, u ≥ 0.

Chng minh. Do tính đc lp ta có

E(e−uT s(t)) = E(e−uT s(t)1[0,S )(t)) + E(e−uT s(t)1[S,∞)(t))

= E(e−uT (t))P (S ≥ t)

= e−t[ϕ(u)+a],

trong đó ta chp nhn quy ưc e−∞ = 0.

Mt trong nhng ng dng xác sut quan trng nht ca quá trình ph thuc là"s thay đi thi gian". Cho X là mt quá trình Lévy bt kỳ và T là quá trình phthuc cùng xác đnh trên mt không gian xác sut sao cho X và T đc lp. Ta có thđnh nghĩa mt quá trình ngu nhiên mi Z = (Z (t), t ≥ 0) theo công thc sau

Z (t) = X (T (t)) vi mi t ≥ 0.

Vì vy vi mi ω ∈ Ω thì Z (t)(ω) = X (T (t)(ω))(ω). Khi đó ta có đnh lý sau

Đnh lý 1.3.10. Z là mt quá trình Lévy.

42




Chng minh. (L1) là hin nhiên.Đ chng minh (L2) ta chng minh tính cht s gia dng.Cho 0

≤t1 < t2 <

∞và tp A

∈ B(Rd).

Ký hiu pt1,t2 là lut phân phi xác sut đng thi ca T (t1) và T (t2). Khi đó vì X vàT đc lp vi nhau và tính cht s gia dng ca X ta có

P (Z (t2) − Z (t1) ∈ A) = P (X (T (t2)) − X (T (t1)) ∈ A)

=

∞0

∞0

P (X (s2) − X (s1) ∈ A) pt1,t2(ds1, ds2)

=

∞0

∞0

P (X (s2 − s1) ∈ A) pt1,t2(ds1, ds2)

= P (Z (t2 − t1) ∈ A).

Đ chng minh (L3)(tính cht s gia đc lp), cho 0 ≤ t1 < t2 < t3 < ∞. Ký hiu pt1,t2,t3 là lut phân phi xác sut đng thi ca T (t1), T (t2) và T (t3).Vi y ∈ Rd bt kỳ, hy : R+ → C xác đnh bi hy(s) = E(ei(y,X(s))). Vi y1, y2 ∈ Rd btkỳ, f y1,y2 : R+ × R+ × R+ → C xác đnh bi

f y1,y2(u1, u2, u3) = E(exp[i(y1, X (u2) − X (u1))]) × E(exp[i(y1, X (u3) − X (u2))]),

vi 0 ≤ u1 < u2 < u3 < ∞.Do X và T đc lp nhau và tính cht s gia đc lp ca X ta có

E(exp i[(y1, Z (t2) − Z (t1)) + (y2, Z (t3) − Z (t2))]) = E(f y1,y2(T (t1), T (t2), T (t3))).

Vì X có s gia đc lp nên f y1,y2(u1, u2, u3) = hy1(u2 − u1)hy2(u3 − u2) vi mi 0 ≤u1 < u2 < u3 < ∞.Do tính cht s gia đc lp ca T ta có

E(exp i[(y1, Z (t2) − Z (t1)) + (y2, Z (t3) − Z (t2))])

= E(hy1(T 2 − T 1)hy2(T 3 − T 2))

= E(hy1(T 2 − T 1))E(hy2(T 3 − T 2))

= E(exp[i(y1, Z (t2 − t1))])E(exp[i(y2, Z (t3 − t2))]).

Ta chng minh (L4). Vì X và T liên tc ngu nhiên, vi mi a ∈ Rd, cho trưc > 0bt kỳ khi đó ta tìm đưc δ > 0 sao cho 0 < h < δ

⇒P (

|X (h)

|> a) < ε/2 và δ

> 0

sao cho 0 < h < δ ⇒ P (|X (h)| > a) < ε/2.Vi mi t ≥ 0 và mi 0 ≤ h < min

δ, δ

, ta có

P (|Z (h)| > a) = P (|X (T (h))| > a) =

∞0

P (|X (u)| > a) pT (h)(du)

=

[0,δ)

P (|X (u)| > a) pT (h)(du) +

[δ,∞)

P (|X (u)| > a) pT (h)(du)

≤ sup0≤u<δ

P (|X (u)| > a) + P (T (h) ≥ δ)

<ε

2

+ε

2

= ε.

43




Mnh đ 1.3.11. Gi s ηZ là ký hiu Lévy ca quá trình ph thuc Z . Khi đó

ηZ =

−ψT

(

−ηX).

Chng minh. Vi mi u ∈ Rd, t ≥ 0,

E(eiηZ(t)(u)) = E(ei(u,X(T (t)))) =

∞0

E(ei(u,X(s))) pT (t)(ds)

=

∞0

e−s(−ηX(u)) pT (t)(ds) = E(e−ηX(u)T (t))

= e−tψT (−ηX(u)).

Đnh lý 1.3.12. Vi mi u ∈ Rd,

ηZ (u) = bηX(u) +

Rd

(ei(u,y) − 1) mX,T (dy)

Chng minh. T mnh đ 1.3.11 và đnh lý Fubini ta có

ηZ (u) = bηX(u) +

∞0

(esηX(u) − 1)ν (ds)

= bηX(u) + ∞

0

[E(ei(u,X(s)))

−1]ν (ds)

= bηX(u) +

∞0

Rd

(ei(u,y) − 1) pX(s)(dy)ν (ds)

= bηX(u) +

Rd

(ei(u,y) − 1) mX,T (dy)

1.3.2 Các ví d ca quá trình Lévy

Chuyn đng Brown

Lch s ca chuyn đng BrownLch s ca chuyn đng Brown bt đu năm 1828 khi nhà thc vt hc ngưi ScotlandRobert Brown quan sát các ht phn hoa trng thái lơ lng ni trên mt nưc dưikính hin vi và ông thy các ht phn hoa nh chy theo chuyn đng hng bt thưng.Lp li thí nghim vi các ht bi, ông kt lun chuyn đng do các ht phn hoa làtn ti nhưng ngun gc ca chuyn đng vn chưa đưc lý gii.Năm 1900, ngưi đu tiên đưa ra lý thuyt ca chuyn đng Brown là Louis Bachelier,ông xem chuyn đng Brown như mt mô hình cho giá th trưng c phiu. Mô hìnhBachelier là lun án tin sĩ ca ông. thi đim đó đ tài đã không đưc đánh giá

cao.Năm 1905 Albert Einstein xem chuyn đng Brown như mt mô hình các ht lơ lng.

44




Ông là ngưi đu tiên lý gii đưc ngun gc ca chuyn đng Brown . Theo ông nuthuyt đng lc hc ca cht lng đúng thì các phân t nưc s chuyn đng mt cáchngu nhiên. Do đó mt ht nh s nhn đưc mt s ln ngu nhiên tác đng ca lcngu nhiên t các phương ngu nhiên trong khong thi gian ngn bt kỳ. S va đpnày làm cho mt ht đ nh chuyn đng đúng theo cách mà Brown mô t. Eisteincũng dùng nó đ ưc lưng s Avogadro.Năm 1923 Norbert Wiener đnh nghĩa và xây dng chuyn đng Brown mt cách chtch ln đu tiên. Quá trình ngu nhiên này đưc ly tên là quá trình Wiener đ tlòng tôn kính ông.Cùng vi s nghiên cu ca Samuelson (1965) mà chuyn đng Brown mt ln na lixut hin như mt công c mô phng trong tài chính.

Hình 1.1 Qu đo ca mt chuyn đng Brown

Mt chuyn đng Brown (tiêu chun) trong Rd là mt quá trình Lévy B = (B(t), t ≥ 0)viB(1) B(t) ∼ N (0, tI ) vi t ≥ 0,B(2) B có qu đo mu liên tc.

45




T B(1) ta suy ra nu B là mt chuyn đng Brown tiêu chun, khi đó hàm đctrưng ca nó cho bi

φB(t)(u) = exp−

1

2 t|u|2

vi u ∈ Rd, t ≥ 0. Ta gii thiu các quá trình biên Bi = (Bi(t), t ≥ 0), vi mi Bi(t)là thành phn th i ca B(t); khi đó ta có Bi là các chuyn đng Brown đc lp lnnhau trong R. Ta quy các chuyn đng này v chuyn đng Brown mt chiu .Có nhiu phương pháp hay đ xây dng chuyn đng Brown, mt trong s nhngphương pháp thú v nht đưc đ xưng bi Paley và Wiener [17] thu đưc chuynđng Brown trong trưng hp d = 1 như mt chui Fourier ngu nhiên:

B(t) =

√2

π

∞

n=0sin[πt(n + 1

2)]

n + 12

ξ(n)

vi t ≥ 0 và (ξ(n), n ∈ N ∪ 0) là mt dãy các bin ngu nhiên N (0, 1) có phân phiđc lp và thun nht; xem chương 1 Knight [19]. Mt cách xây dng chuyn đngBrown t quan sát mt đim wavelet trong Steele [12], t.35 − 39.Ta lit kê mt s tính cht có ích ca chuyn đng Brown trong trưng hp d = 1 :

• Chuyn đng Brown liên tc Holder đa phương vi s mũ α (mi 0 < α < 1/2),tc là cho mi T > 0, ω ∈ Ω, tn ti K = K (T, ω) sao cho

|B(t)(ω) − B(s)(ω)| ≤ K |t − s|α

vi mi 0 ≤ s < t ≤ T.

• Qu đo mu t → B(t)(ω) là không đâu kh vi hu chc chn.

• Vi dãy bt kỳ (tn, n ∈ N) thuc R+ vi tn ↑ ∞,

lim inf n→∞

B(tn) = −∞ h.c.c, lim supn→∞

B(tn) = ∞ h.c.c.

• Lut lôgarit lp,

P

lim supt↓0

B(t)

2t log[ log(1/t)]1/2 = 1

= 1

Chng minh các tính cht trên tham kho Sato [10], t.22 − 28, Revuz & Yor [20],Karatzas & Shreve [18], Knight [19].Cho A là mt ma trn d × d đi xng xác đnh dương và cho σ là căn bc hai ca A,do đó σ là ma trn d × m vi σσT = A. Cho b ∈ Rd và B là mt chuyn đng Browntrong Rm. Ta xây dng mt quá trình C = (C (t), t

≥0) trong Rd bi

C (t) = bt + σB(t);

46




khi đó C là mt quá trình Lévy vi C (t) ∼ N (tb,tA). Ta có C cũng là mt quá trìnhGauss, tc là mi phân phi hu hn chiu ca nó là Gauss. C còn đưc gi là chuyn đng Brown vi đ dch chuyn . Ký hiu Lévy ca C là

ηC (u) = i(b, u) − 1

2(u,Au).

Trưng hp b = 0, ta vit BA(t) = C (t), vi t ≥ 0 và gi quá trình đó là chuyn đng Brown vi hip phương sai A.

Quá trình Poisson

Quá trình Poisson là quá trình Lévy đơn gin nht. Nó da trên phân phi Poisson( λ),λ > 0, có hàm đc trưng

φPoisson(u; λ) = exp(λ(exp(iu) − 1)).

Phân phi Poisson da trên các s nguyên 0, 1, 2, . . .; khi lưng xác sut ti đim j bng

exp(−λ)λ j

j!.

Hình 1.2 Qu đo ca mt quá trình Poisson

47




Vì phân phi Poisson(λ) là kh phân vô hn, ta có th đnh nghĩa mt quá trìnhPoisson N = N t, t ≥ 0 vi tham s cưng đ λ > 0 như mt quá trình bt đuti đim gc, có gia s dng và đc lp; trong đó gia s trên khong thi gian có đdài s > 0 theo phân phi Poisson(λs). Quá trình Poisson là mt quá trình nhy thuntúy tăng vi các c nhy luôn bng 1. Khi đó b ba Lévy ca quá trình Poisson là[0, 0, λδ(1)], trong đó δ(1) ký hiu đ đo Dirac ti đim 1, tc là đ đo vi khi lưnglà 1 ti đim 1. Thi đim gia hai bưc nhy liên tip theo mt phân phi mũ vitrung bình λ−1, tc là lut phân phi Gamma(1, λ).

Ta có trung bình và phương sai ca phân phi Poisson vi tham s λ đu bng λ.

Poisson(λ)

Trung bình λ

Phương sai λH s lch 1/√λĐ nhn 3 + λ−1

Quá trình Poisson phc hp

Gi s N = N t, t ≥ 0 là mt quá trình Poisson vi tham s cưng đ λ > 0. DãyZ i, i = 1, 2, . . . , là mt dãy i.i.d. (có phân phi đc lp và đng nht) các bin ngunhiên đc lp ca N theo lut phân phi L vi hàm đc trưng φZ (u). Khi đó ta nói

X t =

N tk=1 Z i, t ≥ 0,

là mt quá trình Poisson phc hp.

Giá tr ca quá trình X t ti thi đim t là tng ca các s ngu nhiên N t vi lutphân phi L.

Hàm phân phi (cho mt tp Borel A) vi lut phân phi L là:

P (Z i ∈ A) =ν (A)

λ,

trong đó ν (R) = λ < ∞.

Khi đó hàm đc trưng ca X t cho bi

E[exp(iuX t)] =

+∞−∞

(exp(iux) − 1)ν (dx)

= exp(tλ(φZ (u) − 1)).

T đây ta có b ba Lévy:

+1−1 xν (dx), 0, ν

.

48




Hình 1.3 Qu đo ca mt quá trình Poisson phc hp

Quá trình GammaHàm mt đ ca phân phi Gamma, Gamma(a, b) vi tham s a > 0 và b > 0 cho bi

f Gamma(x; a, b) =ba

Γ(a)xa−1 exp(−xb), x > 0.

Rõ ràng hàm mt đ có mt đuôi (bên phi) na nng.Hàm đc trưng cho bi

φGamma(u; a, b) = (1 − iu/b)−a.

Hàm đc trưng ca phân phi Gamma là kh phân vô hn. Quá trình Gamma

X (Gamma) = X (Gamma)t , t ≥ 0

vi các tham s a,b > 0 đưc đnh nghĩa như mt quá trình bt đu ti đim gc vàcó s gia đưc phân phi Gamma dng và đc lp. Chính xác hơn, thi đim vào thams đu tiên: X (Gamma)

t theo phân phi Gamma(at,b).B ba Lévy ca quá trình Gamma cho bi

[a(1 − exp(−b))/b, 0, a exp(−bx)x−11(x>0)dx].

Tính cht sau ca phân phi Gamma đưc suy d dàng t hàm đc trưng:

49




Gamma(a, b)

Trung bình a/bPhương sai a/b2

H s lch 2a−1/2

Đ nhn 3(1 + 2a−1)

Quá trình Inverse Gaussian (Quá trình IG)

Đt T (a,b) là thi đim đu tiên mà mt chuyn đng Brown tiêu chun vi đ dchchuyn b > 0, Bs + bs, s ≥ 0 ti mc a > 0. Thi đim ngu nhiên này dn ti lutphân phi Inverse Gaussian, IG(a, b) và có hàm đc trưng

φIG(u; a, b) = exp(−a(√−2iu + b2 − b)).

Ta có phân phi IG là kh phân vô hn và ta đnh nghĩa quá trình IG X (IG) =X (IG)

t , t ≥ 0, vi tham s a, b > 0 như mt quá trình bt đu ti đim gc, có s giadng và đc lp sao cho

E[exp(iuX (IG)t )] = φIG(u; at,b)

= exp(−at(√−2iu + b2 − b)).

Hàm mt đ ca lut phân phi IG:

f IG(x; a, b) =

a

√2π exp(ab)x−3/2

exp(−1

2 (a

2

x−1

+ b

2

x)), x > 0.

Đ đo Lévy ca lut phân phi IG(a, b) cho bi

ν IG = (2π)−1/2ax−3/2 exp(−1

2b2x)1(x>0)dx,

và thành phn đu tiên ca b ba Lévy bng

γ =a

b 2N (b) − 1

,

trong đó N (x) = x−∞ f Chun(u; 0, 1)du là hàm phân phi chun. Hàm mt đ là mt

mt ti (√

4a2b2 + 9 − 3)/(2b2). Nu X suy ra lut phân phi IG(a, b), ta có

E[X −α] =

b

a

2α+1

E[X α+1], α ∈ R.

IG(a, b)

Trung bình a/bPhương sai a/b3

H s lch 3(ab)−1/2

Đ nhn 3(1 + 5(ab)−1)

50




Quá trình Tempered Stable (Quá trình TS)

Hàm đc trưng ca lut phân phi Tempered Stable, TS(κ,a,b), a > 0, b ≥ 0 và

0 < κ < 1, cho biφTS(u; κ,a,b) = exp(ab − a(b1/κ − 2iu)κ).

Phân phi này là kh phân vô hn và ta có th đnh nghĩa quá trình TS

X (TS) = X (TS)t , t ≥ 0

như mt quá trình bt đu ti đim gc, có s gia dng và đc lp; trong đó gia sX

(TS)s+t − X

(TS)s trên khong thi gian [s, t + s] theo lut phân phi TS(κ,ta,b).

T hàm đc trưng ta có th suy ra đ đo Lévy ca quá trình TS:

ν TS = a2κκ

Γ(1 − κ)x−κ−1 exp(−1

2b1/κx)1x>0dx.

Quá trình có hot đng vô hn. S hng đu tiên ca b ba Lévy cho bi

γ = a2κκ

Γ(1 − κ)

10

x−κ exp(−1

2b1/κx)dx.

Hàm mt đ không có dng thông thưng, ch có biu din chui sau:

f TS(x; κ,a,b) = exp(ab)exp(−12

b1/κx)

× 1

2πa1/κ

∞k=1

(−1)k−1 sin(kπκ)Γ(kκ + 1)

k!2kκ+1

x

a1/κ

−kκ−1.

Ta tính đưc các đc trưng sau:

TS(κ,a,b)

Trung bình 2aκb(κ−1)κ

Phương sai 4aκ(1 − κ)b(κ−2)κ

H s lch (κ − 2)(abκ(1 − κ))−1/2Đ nhn 3 + (4κ − 6 − κ(1 − κ))(abκ(1 − κ))−1

Trưng hp đc bit

Phân phi IG(a, b). Cho κ = 1/2 phân phi TS(κ,a,b) quy v phân phi IG(a, b).Phân phi Gamma(a, b). Trưng hp gii hn, cho κ → 0 ta đưc phân phiGamma(a, b).

51




Quá trình Variance Gamma (Quá trình VG)

Hàm đc trưng ca lut phân phi VG(σ,ν,θ) cho bi

φVG(u; σ,ν,θ) = (1 − iuθν +1

2σ2νu2)−1/ν

Phân phi này là kh phân vô hn và ta có th đnh nghĩa quá trình VG X (VG) =X

(VG)t , t ≥ 0 như mt quá trình bt đu ti đim gc, có s gia dng và đc lp;

trong đó gia s X (VG)s+t − X

(VG)s trên khong thi gian [s, t + s] theo lut phân phi

VG(σ√

t,ν/t,tθ),

E[exp(iuX (VG)t )] = φVG(u; σ

√t,ν/t,tθ)

= (φVG(u; σ,ν,θ))t

= (1 − iuθν + 12

σ2νu2)−t/ν .

Madan et al. [11] ch ra quá trình VG có th đưc biu din như hiu ca hai quá trìnhGamma đc lp.Tính cht này suy ra đ đo Lévy đưc xác đnh:

ν VG(dx) =

C exp(Gx)|x|−1dx, x < 0,

C exp(−Mx)x−1dx, x > 0,

trong đóC = 1/ν > 0,

G = (

1

4θ2ν 2 +

1

2σ2ν − 1

2θν )−1 > 0,

M = (

1

4θ2ν 2 +

1

2σ2ν +

1

2θν )−1 > 0.

Vi tham s hóa này, rõ ràng ta có

X (VG)t = G(1)

t − G(2)t

trong đó G(1) = G(1)t , t ≥ 0 là mt quá trình Gamma vi tham s a = C và b = M và G(2) = G

(2)t , t ≥ 0 là mt quá trình Gamma đc lp vi tham s a = C và b = G.

Đ đo Lévy có khi lưng vô hn, do đó mt quá trình VG có nhiu bưc nhy vô hntrong khong thi gian hu hn bt kỳ. Vì 1

−1|x|ν VG(dx) < ∞,

quá trình VG có qu đo ca bin phân hu hn. Quá trình Lévy có 0 thành phnBrown và b ba Lévy ca nó đưc cho bi [γ, 0, ν VG], trong đó

γ = −C (G(exp(−M ) − 1) − M (exp(−G) − 1))MG

.

52




Vi vic tham s hóa các s hng ca C , G và M , hàm đc trưng ca X (VG)1 đc như

sau:

φVG(u; C,G,M ) = GM

GM + (M − G)iu + u2C

Trong biu din trên ta s ch ra phân phi bi VG (C,G,M ).Mt phương pháp khác đ đnh nghĩa quá trình VG là xem nó như chuyn đng Brownthay đi theo thi gian vi đ dch chuyn. Chính xác hơn, đt G = Gt, t ≥ 0 làmt quá trình Gamma vi tham s a = 1/ν > 0 và b = 1/ν > 0. Đt B = Bt, t ≥ 0là ký hiu chyn đng Brown tiêu chun. Cho σ > 0 và θ ∈ R; khi đó quá trình VGX (VG) = X

(VG)t , t ≥ 0, vi các tham s σ > 0, ν > 0 và θ có th đưc đnh nghĩa

cách khác như sauX

(VG)t = θGt + σBGt.

Khi θ = 0, khi đó G = M và phân phi là đi xng. Giá tr âm ca θ dn ti trưnghp G < M , kt qu cho h s lch âm. Tương t, tham s ν = 1/C ch yu điuchnh đ nhn:

VG(σ,ν,θ) VG(σ,ν, 0)

Trung bình θ 0Phương sai σ2 + νθ2 σ2

H s lch θν (3σ2 + 2νθ2)/(σ2 + νθ2)3/2 0Đ nhn 3(1 + 2ν − νσ4(σ2 + νθ2)−2) 3(1 + ν )

Bng trên đưc vit li theo các tham s CGM như sau:

VG(C,G,M ) VG(C,G,G)

Trung bình C (G − M )/(M G) 0Phương sai C (G2 + M 2)/(MG)2 2CG−2

H s lch 2C −1/2(G3 − M 3)/(G2 + M 2)3/2 0Đ nhn 3(1 + 2C −1(G4 + M 4)/(M 2 + G2)2) 3(1 + C −1)

Quá trình Normal Inverse Gaussian (Quá trình NIG)Phân phi Normal Inverse Gaussian (NIG) vi tham s α > 0, −α < β < α và δ > 0,NIG(α , β, δ) có hàm đc trưng (xem Barndorff-Nielsen (1995) [52]) cho bi

φNIG(u; α , β, δ) = exp(−δ(

α2 − (β + iu)2 −

α2 − β 2)).

Rõ ràng đây là mt hàm đc trưng kh phân vô hn. Do đó ta có th đnh nghĩa quátrình NIG

X (NIG) = X (NIG)t , t ≥ 0

vi X (NIG)0 = 0 và các s gia có phân phi NIG dng và đc lp. Đ chính xác hơn ta

nói X (NIG)t có mt lut phân phi NIG(α,β,tδ).

53




Đ đo Lévy ca quá trình NIG cho bi

ν NIG =

δα

π

exp(βx)K 1(α

|x

|)

|x| dx,

trong đó

K λ(x) =1

2

∞0

uλ−1 exp

− 1

2z(u + u−1)

du, x > 0,

là hàm Bessel m rng dng th ba vi ch s λ.Quá trình NIG có 0 thành phn Brown và b ba Lévy cho bi [γ, 0, ν NIG], trong đó

γ =2δα

π 1

0

sin h(βx)K 1(αx)dx.

Hàm mt đ ca phân phi NIG(α , β, δ) cho bi

f NIG(x; α , β, δ) =αδ

πexp(δ

α2 − β 2 + βx)

K 1(α√

δ2 + x2

√δ2 + x2

Ta có th liên h quá trình NIG vi mt chuyn đng Brown Inverse Gaussian thayđi theo thi gian.Đt B = Bt, t ≥ 0 là mt chuyn đng Brown tiêu chun và đt I = I t, t ≥ 0 làmt quá trình IG vi tham s a = 1 và b = δ

α2 − β 2, vi α > 0, −α < β < α và

δ > 0; khi đó ta có quá trình ngu nhiên

X t = βδ2I t + δBI t

là mt quá trình NIG vi tham s α, β và δ.Nu mt bin ngu nhiên X đưc phân phi NIG(α , β, δ) thì ta có −X đưc phân phiNIG(α, −β, δ). Nu β = 0, phân phi là đi xng. Điu này có th thy d dàng tđc trưng ca phân phi NIG sau đây:

NIG(α , β, δ) NIG(α, 0, δ)

Trung bình δβ/ α2

−β 2 0

Phương sai α2δ(α2 − β 2)−3/2 δ/αH s lch 3βα−1δ−1/2(α2 − β 2)−1/4 0

Đ nhn 3

1 + α2+4β 2

δα2√α2−β 2

3(1 + δ−1α−1)

Phân phi NIG có đuôi na nng, đc bit

f NIG(x; α , β, δ) ∼ |x|3/2 exp((α + β )x) khi x → ±∞,

tin ti mt h s phóng đi.

54




Quá trình CGMY

Phân phi CGMY(C,G,M,Y ) là mt phân phi bn tham s, vi hàm đc trưng

φCGMY(u; C,G,M,Y ) = exp(C Γ(−Y )((M − iu)Y − M Y + (G + iu)Y − GY )).

Phân phi CGMY là kh phân vô hn và ta có th đnh nghĩa quá trình Lévy CGMY

X (CGMY) = X (CGMY)t , t ≥ 0

như mt quá trình bt đu ti đim gc, có s gia dng và đc lp; trong đó gia strên mt khong thi gian có chiu dài s theo phân phi CGMY(sC,G,M,Y ); nói cáchkhác hàm đc trưng ca X

(CGMY)t đưc cho bi

E[exp(iuX (CGMY)t )] = φCGMY(u; tC,G,M,Y )

= (φCGMY(u; C,G,M,Y ))t

= exp(CtΓ(−Y )((M − iu)Y − M Y + (G + iu)Y − GY )).

Đ đo Lévy ca quá trình CGMY cho bi

ν CGMY =

C exp(Gx)(−x)−1−Y dx, x < 0,

C exp(−Mx)x−1−Y dx, x > 0.

Tham s th nht ca b ba Lévy bng

γ = C 1

0

exp(−M x)x−Y dx − 0−1

exp(Gx)|x|−Y dx

.

Min ca tham s b gii hn bi C , G , M > 0 và Y < 2. Chn tham s Y ln hơnhay bng 2 không thu đưc đ đo Lévy có th chp nhn đưc.Đc trưng sau ca phân phi CGMY có th tính đưc d dàng

CGMY(C,G,M,Y )

Trung bình C (M Y −1

−GY −1)Γ(1

−Y )

Phương sai C (M Y −2 + GY −2)Γ(2 − Y )

H s lchC (M Y −3 − GY −3)Γ(3 − Y )

(C (M Y −2 + GY −2)Γ(2 − Y ))3/2

Đ nhn 3 +C (M Y −4 + GY −4)Γ(4 − Y )

(C (M Y −2 + GY −2)Γ(2 − Y ))2

Quá trình CGMY là mt quá trình nhy thun túy, nó cha 0 thành phn Brown.Biu din ca qu đo đưc xác đnh bi tham s Y . Nu Y < 0, qu đo có hu hnbưc nhy trong khong hu hn bt kỳ; nu không, qu đo có vô hn các bưc nhytrong khong thi gian hu hn nào đó, tc là quá trình có đ hot đng vô hn.

55




Trưng hp đc bit

Phân phi VG(C,G,M ). Phân phi/quá trình Variance Gamma là mt trưng

hp đc bit ca phân phi/quá trình CGMY. Nu Y = 0, CGMY quy v VG:CGMY(C,G,M, 0) = VG(C,G,M ).

Quá trình Meixner

Hàm mt đ ca phân phi Meixner (Meixner(α , β, δ)) cho bi

f Meixner(x; α , β, δ) =(2 cos(β/2))2δ

2απΓ(2δ)exp

βx

α

Γ

δ +

ix

α

2

,

trong đó α > 0, −π < β < π, δ > 0.Hàm đc trưng ca phân phi Meixner(α , β, δ) cho bi

φMeixner(u; α , β, δ) =

cos(β/2)

cosh((αu − iβ )/2)

2δ

.

Phân phi Meixner(α , β, δ) là kh phân vô hn:

φMeixner(u; α , β, δ) = (φMeixner(u; α,β,δ/n))n.

Vì vy ta có th kt hp nó vi mt quá trình Lévy, ta gi quá trình đó là quá trìnhMeixner. Chính xác hơn, mt quá trình Meixner

X (Meixner) = X (Meixner)t , t ≥ 0

là mt quá trình ngu nhiên bt đu ti đim gc, tc là X (Meixner)0 = 0, có s gia dng và

đc lp, và trong đó phân phi ca X (Meixner)t đưc cho bi phân phi Meixner(α,β,δt).

Ta có th ch ra rng quá trình Meixner có 0 thành phn Brown và thành phn nhythun túy đưc điu chnh bi đ đo Lévy

ν = δexp(βx/α)

x sinh(πx/α)

dx.

Tham s th nht ca b ba Lévy bng

γ = αδ tan(β/2) − 2δ

∞1

sinh(βx/α)

sinh(πx/α)dx.

Vì +1−1 |x|ν (dx) = ∞, quá trình là bin phân vô hn.

Mômen ca mi bc ca phân phi này đu tn ti. Nu mt bin ngu nhiên X đưcphân phi Meixner(α , β, δ) thì −X đưc phân phi Meixner(α, −β, δ). Tip theo ta chra mt vài đi lưng thích hp cho trưng hp tng quát và trưng hp đi xng xung

quanh 0, tc là vi β = 0:

56




Meixner(α , β, δ) Meixner(α, 0, δ)

Trung bình αδ tan(β/2) 0

Phương sai 12α2δ(cos−2(β/2)) 1

2α2δH s lch sin(β/2)

2/δ 0

Đ nhn 3 + (2 − cos(β ))/δ 3 + 1/δ

Rõ ràng đ nhn ca phân phi Meixner luôn ln hơn đ nhn ca phân phi chun(đ nhn chun luôn bng 3).Phân phi Meixner(α , β, δ) có đuôi na nng,

f Meixner(x; α , β, δ) ∼

C −|x|ρ− exp(−η−|x|) x → −∞,

C +|x|ρ+ exp(−η+|x|) x → +∞,

trong đóρ− = ρ+ = 2δ − 1, η− = (π − β )/α, η+ = (π + β )/α.

và cho C −, C + ≥ 0.Quá trình Meixner liên quan đn quá trình nghiên cu bi Biane et al. (2001) [55],

χt =2

π2

∞n=1

Γn,t(n − 1/2)2

cho mt dãy các quá trình Gamma đc lp Γn,t (vi a = 1 và b = 1), tc là quá trình

Lévy vi E[exp(iθΓn,t)] = (1 − iθ−t

).Biane et al. (2001) [55] ch ra χt có hàm đc trưng

E[exp(iuχt)] =

1

cosh√−2ui

t.

Đt B = Bt, t ≥ 0 là mt chuyn đng Brown tiêu chun, khi đó chuyn đng Brownthay đi theo thi gian Bχt có hàm đc trưng

E[exp(iuBχt)] = 1

cosh ut

,

hay Bχt dn ti phân phi Meixner(2, 0, t).

1.3.3 Na nhóm tích chp ca các đ đo xác sut

Trong phn này ta s xét mt đc trưng quan trng ca quá trình Lévy. Đt ( pt, t ≥ 0)là h các đ đo xác sut trên Rd. Ta nói nó hi t yu ti δ0 nu

limt↓0 Rd f (y) pt(dy) = f (0)

vi ∀ f ∈ C b(Rd).

57




Mnh đ 1.3.13. Nu X là mt quá trình ngu nhiên trong đó X (t) có lut phân phi pt vi t ≥ 0 và X (0) = 0 (h.c.c) khi đó ( pt, t ≥ 0) hi t yu ti δ0 nu và ch nu X liên tc ngu nhiên ti t = 0.

Chng minh. Gi s X liên tc ngu nhiên ti t = 0 và f ∈ C b(Rd) vi f = 0; khi đó

cho trưc ε > 0 bt kỳ, tn ti δ > 0 sao cho supx∈Bδ(0) |f (x) − f (0)| ≤ ε/2 và tn tiδ

> 0 sao cho 0 < t < δ ⇒ P (|X (t)| > δ) < ε/(4M ), vi M = supx∈Rd |f (x)|. Khi đó

ta có Rd

[f (x) − f (0)] pt(dx)

≤ Bδ(0)

|f (x) − f (0)| pt(dx) +

Bδ(0)c

|f (x) − f (0)| pt(dx)

≤ supx∈Bδ(0)

|f (x) − f (0)| + 2MP (X (t) ∈ Bδ(0)c)

< ε.

Ngưc li, gi s ( pt, t ≥ 0) hi t yu ti δ0. S dng lp lun trong Malliavin et al. [56], t.98-99. C đnh r > 0 và ε > 0. Đt f ∈ C b(R

d) vi giá trong Br(0) sao cho0 ≤ f ≤ 1 và f (0) > 1 − (ε/2).Do s hi t yu ta có th tìm đưc t0 > 0 sao cho

0

≤t < t0

⇒ Rd

[f (y)

−f (0)] pt(dy) <

ε

2

.

Khi đó ta có

P (|X (t)| > r) = 1 − P (|X (t)| ≤ r)

≤ 1 − Br(0)

f (y) pt(dy) = 1 − Rd

f (y) pt(dy)

= 1 − f (0) +

Rd

[f (0) − f (y)] pt(dy)

<ε

2+

ε

2= ε.

Mt h các đ đo xác sut ( pt, t ≥ 0) vi p0 = δ0 đưc gi là na nhóm tích chpnu

ps+t = ps ∗ pt ∀ s, t ≥ 0,

và na nhóm như vy đưc gi là liên tc yu nu nó hi t yu ti δ0.

Mnh đ 1.3.14. Nu X = (X (t), t ≥ 0) là mt quá trình Lévy trong đó X (t) có lut phân phi pt vi t ≥ 0, khi đó ( pt, t ≥ 0) là mt na nhóm tích chp liên tc yu.

Chng minh. Điu này đưc suy ra trc tip t mnh đ 1.3.13.

58




1.3.4 Quá trình Lévy chính tc

Đt ( pt, t

≥0) là mt na nhóm tích chp liên tc yu ca các đ đo xác sut trên Rd.

Xác đnh Ω = ω : R+ → Rd; ω(0) = 0. Ta xây dng mt σ-đi s các tp con caΩ như sau: Vi n ∈ N, chn A1, A2, . . . , An ∈ B(Rd). Đnh nghĩa các tp hình trI A1,A2,...,Ant1,t2,...,tn bi

I A1,A2,...,Ant1,t2,...,tn = ω ∈ Ω; ω(t1) ∈ A1, ω(t2) ∈ A2, . . . , ω(tn) ∈ An.

Đt F ký hiu σ-đi s nh nht cha tt c các tp hình tr ca Ω. Ta xác đnhmt hàm tp P trên tp hp tt c các các tp hình tr

P (I A1,A2,...,Ant1,t2,...,tn )

= A1

pt1(dy1) A2

pt2−t1(dy2 − y1) · · · An

ptn−tn−1(dyn − yn−1)

=

Rd

Rd

· · · Rd

1A1(y1)1A2(y1 + y2) · · · 1An(y1 + y2 + · · · + yn)

× pt1(dy1) pt2−t1(dy2) · · · ptn−tn−1(dyn). (1.17)

Do bin phân yu trong đnh lý tn ti Kolmogorov, P m rng duy nht thành mtđ đo xác sut trên (Ω, F ). Hơn na nu ta xác đnh X = (X (t), t ≥ 0) bi

X (t)(ω) = ω(t)

vi ∀ ω ∈ Ω, t ≥ 0, khi đó X là mt quá trình ngu nhiên trên Ω vi phân phi huhn chiu cho bi

P (X (t1) ∈ A1, X (t2) ∈ A2, . . . , X (tn) ∈ An) = P (I A1,A2,...,Ant1,t2,...,tn ),

do đó mi X (t) có lut phân phi pt. Ta s ch ra X là mt quá trình Lévy. Ta có đưc(L1) và (L4) ngay (t mnh đ 1.3.13). Đ có (L2), (L3) chú ý rng vi f ∈ Bb(R

dn),

E(f (X (t1), X (t2), . . . , X (tn)))

= Rd Rd · · · Rd f (y1, y1 + y2, . . . , y1 + y2 + · · · + yn)

× pt1(dy1) pt2−t1(dy2) · · · ptn−tn−1(dyn)

Tht vy điu này cho ta phương trình (1.17) mt cách chính xác khi f là hàm ch tiêuvà kt qu tng quát hơn suy ra t tính tuyn tính, xp x và s hi t tri.C đnh u ∈ Rn và đt

f (x1, x2, . . . , xn) = exp

in j=1

(u j, x j − x j−1)

vi mi x ∈ Rd (xem thêm Sato [10], t.36)

59




Đnh lý 1.3.15. Nu ( p(t), t ≥ 0) là mt na nhóm tích chp các đ đo xác sut liên tc yu, khi đó tn ti mt quá trình Lévy X sao cho vi mi t ≥ 0, X (t) có lut phân phi p(t).

Ta gi quá trình X đưc xây dng như trên là quá trình Lévy chính tc. Chú ý cutrúc Kolmogorov đm bo rng

F = σX (t), t ≥ 0.

H qu 1.3.16. Nu µ là mt đ đo xác sut kh phân vô hn trên Rd vi ký hiu Lévy η, khi đó tn ti mt quá trình Lévy X sao cho µ là lut phân phi ca X (1).

Chng minh. Gi s µ có b ba đc trưng (b,A,ν ); khi đó vi t ≥ 0 ánh x t Rd tiC cho bi u → etη(u) có dng (1.10) và do đó bi đnh lý 1.2.10, vi t ≥ 0 nó là hàmđc trưng ca mt đ đo xác sut kh phân vô hn p(t). Rõ hơn ta có p(0) = δ0 và do

s tương ng duy nht gia đ đo và hàm đc trưng, ta đưc p(s + t) = p(s) ∗ p(t) vis, t ≥ 0. T đnh lý Glivenko ta có s hi t yu p(t) → δ0 khi t ↓ 0, và t đnh lý1.3.15 ta đưc điu phi chng minh.

Ghi chú:

Đt ( pt, t ≥ 0) là h các đ đo xác sut trên Rd. Ta nói nó hi t m ti δ0 nu

limt↓0

Rd

f (y) pt(dy) = f (0),

vi ∀ f ∈ C b(Rd).

1.3.5 Bn sao ca quá trình Lévy

Cho X = (X (t), t ≥ 0) và Y = (Y (t), t ≥ 0) là hai quá trình ngu nhiên xác đnh trêncùng không gian xác sut. Y đưc gi là bn sao ca X nu vi mi t ≥ 0, P (X (t) =Y (t)) = 0. Khi đó X và Y có cùng phân phi hu hn chiu.B đ 1.3.17. Nu X là mt quá trình Lévy và Y là bn sao ca X . Khi đó Y là mt quá trình Lévy có cùng hàm đc trưng vi X .

Chng minh. (L1) là hin nhiên. Đ chng minh (L2), c đnh 0 ≤ s < t < ∞ và đt

N (s, t) = ω

∈Ω; X (s)(ω) = Y (s)(ω) và X (t)(ω) = Y (t)(ω) ,

Suy ra P ( N (s, t)) = 1 vì

P ( N (s, t)c) =

ω ∈ Ω; X (s)(ω) = Y (s)(ω) hoc X (t)(ω) = Y (t)(ω)

≤ P (X (s) = Y (s)) + P (X (t) = Y (t)) = 0.

Đ chng minh Y có s gia dng, cho A ∈ B(Rd) ta có

P (Y (t) − Y (s) ∈ A) = P (Y (t) − Y (s) ∈ A, N (s, t)) + P (Y (t) − Y (s) ∈ A, N (s, t)c)

= P (X (t) − X (s) ∈ A, N (s, t))

≤ P (X (t) − X (s) ∈ A)

= P (X (t − s) ∈ A) = P (Y (t − s) ∈ A).

60




1.3.6 S phân tích Wiener-Hopf

Cho X là quá trình Lévy mt chiu vi qu đo càdlàg và đnh nghĩa quá trình cc tr

M = (M (t), t ≥ 0) và N = (N (t), t ≥ 0) viM (t) = sup

0≤s≤tX (s) và N (t) = inf

0≤s≤tX (s).

Ta s mô t s phân tích Wiener-Hopf, đây là mt trong s nhng kt qu đp nhtvà cơ bn nht.Trưc tiên, c đnh q > 0, khi đó tn ti hai hàm đc trưng kh phân vô hn φ+

q vàφ−q :

φ+

q

(u) = exp ∞

0

t−1e−qt ∞

0

(eiux

−1) pX(t)(dx)dt ,

φ−q (u) = exp

∞0

t−1e−qt 0−∞

(eiux − 1) pX(t)(dx)dt

,

vi mi u ∈ R. S phân tích Wiener-Hopf, s phân tích ca phép bin đi ca hàm đctrưng liên kt ca X và M − X trong các s hng ca φ+

q và φ−q . Chính xác hơn ta có:

Đnh lý 1.3.18. ( S phân tích Wiener-Hopf )Vi mi q,t > 0, x,y ∈ R ta có

q ∞0

e−qt

E (exp(i xM (t) + y[X (t) − M (t)])) dt

= q

∞0

e−qtE (exp(i yN (t) + x[X (t) − N (t)])) dt

= φ+q (x)φ−q (y).

Chng minh đnh lý trên và các kt qu liên quan xem chương 9 Sato [10].

S phân tích Wiener-Hopf và các dng khác ca lý thuyt đ bin đng cho quátrình Lévy đưc ng dng cho mt lp các ‘vn đ d tr’ như: mô hình h cha nưc,vn đ xp hàng, bo him ri ro...

1.3.7 Thi đim đa phương

Đnh nghĩa 1.3.19. Thi đim đa phương Thi đim đa phương ca quá trình Lévy là mt trưng ngu nhiên sao cho, vi mi x ∈ Rd, mô t lưng thi gian tri qua bi quá trình ti x trong đon [0, t]. Chính xáchơn ta đnh nghĩa mt ánh x đo đưc L : Rd × R+ × Ω → R+ như sau

L(x, t) = lim supε↓0

1

2ε

t0

1|X(s)−x|<εds.

61




Ta có công thc hàm mt đ

t0 f (X (s))ds =

∞−∞ f (x)L(x, t)dx h.c.c

vi mi hàm f không âm, f ∈ Bb(Rd).

T đây ta có th hiu thi đim đa phương như mt phân phi ngu nhiên, tc là

L(x, t) =

t0

δ(|x − X (s)|)ds,

trong đó δ là hàm delta Dirac.Điu kin đơn gin hơn trong trưng hp X là ma trn đi xng. Trong trưng hpnày, ta đnh nghĩa hàm mt đ mũ bc 1 ca X là

u(y) =

∞0

e−t pX(t)(y)dt

vi mi u ∈ Rd.Ta xét trưng Gauss trung tâm (G(x), x ∈ Rd), vi mi x, y ∈ Rd,

E(G(x)G(y)) = u(x − y).

Kt qu chính trong trưng hp này là điu kin cn và đ đ L liên tc đng thi

(theo x và t) hu chc chn là G liên tc hu chc chn.Mt tính cht có ích khác ca thi đim dng liên quan đn quá trình ngưc ti đimgc, tc là quá trình L−1

0 = (L−10 (t), t ≥ 0), trong đó mi L−1

0 (t) = inf s ≥ 0; L(0, s) ≥ t .

62



Chương 2

Martingale, thi đim dng và đđo ngu nhiên

2.1 Martingale

2.1.1 B lc và quá trình thích nghi vi mt b lc

Đnh nghĩa 2.1.1. B lcCho F là σ-đi s các tp con ca Ω. H (F t, t ≥ 0) các σ-đi s con ca F đưc gi là mt b lc nu

F s

⊆ F t nu s

≤t.

Mt không gian xác sut (Ω, F , P ) trên đó trang b thêm mt b lc (F t, t ≥ 0) đưcgi là không gian xác sut đưc lc. Ta vit F ∞ =

t≥0 F t.

Mt h các σ-đi s (Gt, t ≥ 0) đưc gi là b lc con ca b lc (F t, t ≥ 0) nu Gt ⊆ F tvi t ≥ 0.

Đnh nghĩa 2.1.2. Quá trình thích nghi vi mt b lcCho X = (X (t), t ≥ 0) là mt quá trình ngu nhiên xác đnh trên mt không gian xácsut (Ω, F , P ) đưc lc. Khi đó X đưc gi là thích nghi vi mt b lc (hay F t-thích nghi) nu

X (t) là

F t-đo đưc vi mi t

≥0.

Mi quá trình X thích nghi vi b lc ca chính nó F Xt = σ X (s); 0 ≤ s ≤ t. F Xt là σ-đi s sinh bi tt c các bin ngu nhiên X (s) vi 0 ≤ s ≤ t, σ-đi s này cha đng mi thông tin v din bin quá kh ca quá trình X cho đn thi đim t, ta thưng gi đó là b lc t nhiên ca quá trình X .

Nu quá trình X là thích nghi ta có

E(X (s)|F s) = X (s) h.c.c.

Cho X và Y là hai quá trình F t-thích nghi và cho α, β ∈ R; khi đó có mt dãy đơngin đo đưc sao cho các quá trình sau cũng là thích nghi

• αX + βY = (αX (t) + βY (t), t ≥ 0);

63



Chương 2. Martingale, thi đim dng và đ đo ngu nhiên

• XY = (X (t)Y (t), t ≥ 0);

•f (X ) = (f (X (t)), t

≥0) vi f là hàm Borel đo đưc trên Rd;

• limn→∞ X n = (limn→∞ X n(t), t ≥ 0), vi (X n, n ∈ N) là mt dãy các quá trìnhthích nghi trong đó X n(t) hi t đim hu chc chn vi mi t ≥ 0.

Không gian xác sut đy đ đưc lc (Ω, F , P ) đưc gi là tha các gi thit thôngthưng nu:(1) (Tính đy đ) F 0 cha tt c các tp P -đo đưc bng 0;(2) (Tính liên tc phi) F t = F t+, vi F t+ =

ε>0 F t+ε.

Cho trưc mt b lc (F t, t ≥ 0), ta luôn luôn có th m rng đ nó tha tính cht(1) (tính đy đ) như sau:

Cho N là kí hiu tp hp tt c các tp P -đo đưc bng 0 trong F và đt Gt = F t∨N vi mi t ≥ 0. Khi đó (Gt, t ≥ 0) là b lc mi ca F , ta gi đó là b lc m rng .

Khi đó ta có:

• Mi quá trình ngu nhiên F t-thích nghi là Gt-thích nghi;

• Mi bin ngu nhiên Y xác đnh trên (Ω, F , P ), ta có E(Y |Gt) = E(Y |F t) (h.c.)vi mi t ≥ 0.

Nu X là mt quá trình ngu nhiên vi b lc t nhiên F X khi đó ta kí hiu blc m rng là GX và gi nó là b lc t nhiên m rng .

2.1.2 Martingale và quá trình Lévy

Đnh nghĩa 2.1.3. MartingaleCho X là mt quá trình thích nghi xác đnh trên mt không gian xác sut đưc lc tha điu kin kh tích E(|X (t)|) < ∞ vi mi t ≥ 0. X đưc gi là mt martingale nu vi mi 0 ≤ s < t < ∞,

E(X (t)|F s) = X (s) h.c.c.

Nu X là mt martingale khi đó ánh x t → E(X (t)) là ánh x hng.Mt quá trình thích nghi X tha E(|X (t)|) < ∞ vi ∀t ≥ 0 là mt martingale dưi nu vi mi 0 ≤ s < t < ∞, 1 ≤ i ≤ d,

E(X i(t)|F s) ≥ X i(s) h.c.c.

Ta gi X là mt martingale trên nu −X là mt martingale dưi.

Mnh đ 2.1.4. Nu X là mt quá trình Lévy vi kí hiu Lévy η, khi đó, vi mi u ∈ Rd, M u = (M u(t), t ≥ 0) là mt martingale phc theo F X , vi

M u(t) = exp [i(u, X (t)) − tη(u)] .

64




Chng minh. Ta có: E(|M u(t)|) = exp [−tη(u)] < ∞ vi mi t ≥ 0.Vi mi 0 ≤ s ≤ t, vit M u(t) = M u(s)exp[i(u, X (t) − X (s)) − (t − s)η(u)]; khi đó do(L2) và đnh lý 1.3.4 ta có:

E(M u(t)|F Xs ) = M u(s)E(exp [i(u, X (t − s))]), exp[−(t − s)η(u)]

= M u(s)

Đnh lý 2.1.5. (Bt đng thc martingale Doob)Nu (X (t), t ≥ 0) là mt martingale dưi xác đnh dương, khi đó vi p > 1 bt kỳ,

E

sup0≤s≤t

X (s) p

≤ q p E(X (t) p),

vi 1/p + 1/q = 1.Đnh lý 2.1.6. Cho M = (M (t), t ≥ 0) là mt martingale dưi.(1) Vi tp con dày đc đm đưc bt kỳ D ⊂ R+, gii hn trái và gii hn phi sau tn ti và hu hn hu chc chn vi mi t > 0:

M (t−) = lims∈D, s↑t

M (s); M (t+) = lims∈D, s↓t

M (s).

(2) Nu b lc (F t, t ≥ 0) tha mãn gi thit thông thưng và ánh x t −→ E(M (t))liên tc phi, khi đó M có mt bn sao càdlàg.

Đnh lý 2.1.7. Mi quá trình Lévy đu có mt bn sao càdlàg là mt quá trình Lévy.Chng minh. Cho X là mt quá trình Lévy thích nghi vi b lc t nhiên ca chínhnó. Vi mi u ∈ Rd, nh li martingale M u ca mnh đ 2.1.4. Cho D là tp con đmđưc, dày đc ca R+. T đnh lý 2.1.6 suy ra vi mi t > 0, các gii hn bên trái vàgii hn bên phi M u(t−) và M u(t+) tn ti trong D hu chc chn.Vi mi u ∈ Rd, cho Ou là tp con ca Ω sao cho các gii hn trên không tn ti; khiđó O =

u∈Qd Ou cũng là mt tp P -đo đưc bng 0.

C đnh ω ∈ Oc. Vi mi t ≥ 0, đt (sn, n ∈ N) là dãy trong D tăng ti t. Cho x1(t)(ω)và x2(t)(ω) là hai đim gii hn phân bit ca tp X (sn)(ω), n ∈ N, tương ng làgii hn ca hai dãy con (sni , ni ∈ N) và (snj , n j ∈ N). T s tn ti ca M u(t−) suy

ra limsn↑t ei(u,X(sn)(ω)) tn ti. Do đó x1(t)(ω) và x2(t)(ω) hu hn.Chn u ∈ Qd sao cho (u, x1

t (ω) − x2t (ω)) = 2nπ vi n ∈ Z.

Do tính liên tc,

limsni↑t

ei(u,X(sni )(ω)) = ei(u,x1t (ω)) và lim

snj ↑tei(u,X(snj )(ω)) = ei(u,x

2t (ω))

dn đn s mâu thun. Do đó X luôn có mt gii hn trái duy nht thuc D, ti ∀t > 0trên Oc. Lý lun tương t X cũng luôn có mt gii hn phi duy nht thuc D, ti∀t > 0 trên Oc. T gii tích thc cơ s ta có Y là quá trình càdlàg, vi mi t ≥ 0

Y (t)(ω) =

lims∈D,s↓t X (t)(ω) nu ω ∈ Oc

,0 nu ω ∈ O.

65




Theo đnh lý hi t tri vi mi t ≥ 0 ta đưc

E(ei(u,Y (t)−X(t))) = lims∈D,s

↓tE(ei(u,X(s)−X(t))) = 1,

do (L2), (L3) và (L4) và b đ 1.3.3.Do đó P ([ω, Y (t)(ω) = X (t)(ω)]) = 1. Suy ra Y là bn sao ca X . T b đ 1.3.17 tacó Y là quá trình Lévy.

Đnh lý 2.1.8. Nu X là mt quá trình Lévy vi qu đo càdlàg, khi đó b lc t nhiên m rng ca nó là liên tc phi.

Chng minh. Đ tin ký hiu, ta vit GX = G.

Gt =n∈NGt+1/n

vi mi t ≥ 0 do đó gii hn ω ↓ t có th thay bi gii hn n → ∞. C đnht, s1, . . . , sm ≥ 0 và u1, . . . , um ∈ Rd.

E

exp

im j=1

(u j, X (s j))

Gt

= E

exp

im j=1

(u j, X (s j))

Gt+

. (2.1)

(2.1) tha nu max1≤ j≤m s j ≤ t. Trong trưng hp tng quát khi min1≤ j≤m s j > t thì(2.1) đưc suy ra d dàng. Đ cho đơn gin, ly m = 2 và xét s2 > s1 > t. Ta tip tc

s dng martingale mnh đ 2.1.4 và áp dng mnh đ 1.1.14 ta đưcE(exp i[(u1, X (s1)) + (u2, X (s2))] |Gt+)

= limω↓t

E(exp i[(u1, X (s1)) + (u2, X (s2))] |Gω)

= exp [s2η(u2)] limω↓t

E(exp[i(u1, X (s1))]M u2(s2)|Gω)

= exp [s2η(u2)] limω↓t

E(exp[i(u1, X (s1))]M u2(s1)|Gω)

= exp [(s2 − s1)η(u2)] limω↓t

E(exp[i(u1 + u2, X (s1))]|Gω)

= exp [(s2−

s1)η(u2) + s1η(u1 + u2)] limω↓t

E(M u1+u2(s1)

|Gω)

= exp [(s2 − s1)η(u2) + s1η(u1 + u2)]limω↓t

M u1+u2(ω)

= limω↓t

exp[i(u1 + u2, X (ω))]

× exp[(s2 − s1)η(u2) + (s1 − ω)η(u1 + u2)]

= exp [i(u1 + u2, X (t))]exp[(s2 − s1)η(u2) + (s1 − t)η(u1 + u2)]

= E(exp i[(u1, X (s1)) + (u2, X (s2))] |Gt).

Đt X (m) = (X (s1), . . . , X (sm)). Do s tương ng 1 − 1 gia hàm đc trưng và đ đoxác sut, ta suy ra đưc

P (X (m)|Gt+) = P (X (m)|Gt) h.c.c.

66




T phương trình (2.1), ta có

E(g(X (s1), . . . , X (sm))

|Gt+) = E(g(X (s1), . . . , X (sm))

|Gt)

vi mi g : Rdm → R vi E(|g(X (s1), . . . , X (sm))|) < ∞. Đc bit, nu ta thay đi t, mvà s1, . . . , sm ta suy ra P (A|Gt+) = P (A|Gt) vi mi A ∈ G∞. Gi s A ∈ Gt+; khi đóta có

1A = P (A|Gt+) = P (A|Gt) = E(1A|Gt) h.c.c.

Do đó, vì Gt là b lc m rng, ta suy ra Gt+ ⊆ Gt và kéo theo điu phi chng minh.

Ta luôn có các gi thit sau:

• (Ω, F , P ) là không gian xác sut xác đnh đưc trang b mt b lc (F t, t ≥ 0)sao cho tha gi thit thông thưng;

• Mi quá trình Lévy X = (X (t), t ≥ 0) là F t-thích nghi và có qu đo mu càdlàg;

• X (t) − X (s) đc lp trong F s vi mi 0 ≤ s < t < ∞.

2.1.3 Không gian martingale

Cho M là không gian tuyn tính các lp tương đương F t-thích nghi trong L2-martingalevà xác đnh h na chun (| | · | |t, t ≥ 0) bi công thc

||M

||t = E(

|X (t)

|2)1/2;

Khi đó M tr thành không gian li đa phương vi tô pô cm sinh t h na chuntrên. Ta gi M là không gian martingale.

B đ 2.1.9. M là đy đ.

Chng minh. Do tính đy đ ca L2, dãy Cauchy (M n, n ∈ N) bt kỳ trong M đucó mt gii hn N là mt quá trình F t-thích nghi vi E(|N (t)|2) < ∞ vi mi t ≥ 0.Ta ch cn ch ra N là mt martingale. Ta có mi M n là mt martingale và kỳ vngcó điu kin Es = E(

·|F s) là mt L2-hình chiu (và đó là ánh x co). Do đó, vi mi

0 ≤ s < t < ∞,

E(|N (s) − Es(N (t))|2) = E(|N (s) − M n(s) + M n(s) − Es(N (t))|2)

≤ 2||N (s) − M n(s)||2 + 2||Es(M n(t) − N (t))||2≤ 2||N (s) − M n(s)||2 + 2||M n(t) − N (t)||2→ 0 khi n → ∞,

vi | | · | | là chun thông thưng trong L2.

67




2.2 Thi đim dng

Đnh nghĩa 2.2.1. Thi đim dng là mt bin ngu nhiên T : Ω→

[0,∞

] trong đós kin (T ≤ t) ∈ F t vi mi t ≥ 0.

Mi thi đim tt đnh thông thưng đu là mt thi đim dng.Ví d khác: Cho X là mt quá trình càdlàg F t-thích nghi và A ∈ B(Rd); khi đó

T A = inf t ≥ 0; X (t) ∈ A ,

trong đó ta chp nhn quy ưc inf ∅ = ∞. T A đưc gi là thi đim đn đu tiên ca mt quá trình ti mt tp. Hin nhiên T A là thi đim dng nu A m hoc đóng(xem Protter [23], trang 5).Nu X là quá trình thích nghi và T là thi đim dng (vi cùng mt b lc) khi đóbin ngu nhiên dng X (T ) đưc đnh nghĩa bi

X (T )(ω) = X (T (ω))(ω)

vi quy ưc X (∞)(ω) = limt→∞ X (t)(ω) nu gii hn tn ti (h.c.c) và X (∞)(ω) = 0trong trưng hp khác.Ta có σ-đi s dng F t đưc đnh nghĩa bi

F t = A ∈ F ; A ∩ T ≤ t ∈ F t, ∀t ≥ 0 .

Nu X là quá trình càdlàg, khi đó X (T ) làF T

-đo đưc (xem Kunita [21], trang 8).

Đnh lý 2.2.2. (Đnh lý dng ngu nhiên Doob)Nu X là mt martingale và S , T là hai thi đim dng b chn vi S ≤ T (h.c.c), khi đó X (S ) và X (T ) là kh tích vi

E(X (T )|F s) = X (S ) h.c.c.

Ta có h qu trc tip ca đnh lý trên là

E(X (T ) = E(X (0))

vi mi thi đim dng b chn T .

Nu T là thi đim dng không b chn. Khi s dng đnh lý 2.2.2 ta ch vic thayT bng thi đim dng b chn T ∧ n (vi n ∈ N) và ly gii hn khi n → ∞ ta cóđiu phi chng minh.Khái nim martingale đưc s dng ph bin là martingale đa phương . Đây là mtquá trình thích nghi M = (M (t), t ≥ 0) trong đó tn ti mt dãy thi đim dngτ 1 ≤ · · · ≤ τ n → ∞ (h.c.c) sao cho mi quá trình (M (t ∧ τ n), t ≥ 0) là mt martingale.Martingale bt kỳ là mt martingale đa phương.

68




2.2.1 Khai trin Doob-Meyer

Mt quá trình X = (X (t), t

≥0) thuc lp Dirichlet hay lp D nu

X (τ ), τ

∈ T kh

tích đu, vi T là h các thi đim dng hu hn trên không gian xác sut đưc lc.Quá trình X kh tích nu E(|X (t)|) < ∞, vi mi t ≥ 0.Quá trình X d báo đưc nu ánh x X : R+ × Ω → R cho bi X (t, ω) = X (t)(ω)đo đưc theo σ-đi s nh nht sinh bi tt c ánh x thích nghi liên tc trái tR+ × Ω → R.

Đnh lý 2.2.3. (Doob-Meyer 1) Cho Y là mt martingale dưi ca lp D; khi đótn ti quá trình tăng, kh tích, d báo đưc duy nht A = (A(t), t ≥ 0) vi A(0) = 0(h.c.c) sao cho quá trình cho bi Y (t) − Y (0) − A(t) vi mi t ≥ 0 là mt martingalekh tích đu.

Đnh lý 2.2.4. (Doob-Meyer 2) Bt kỳ martingale dưi Y có dng khai trin Y (t) =Y (0) + M (t) + A(t), vi A là quá trình tăng, thích nghi và M là mt martingale đa phương.

Đnh lý 2.2.5. Cho X = (X (t), t ≥ 0) là quá trình thích nghi vi qu đo mu liên tc có trung bình 0 và phương sai E(X i(t), X j(s)) = aij(s ∧ t) vi 1 ≤ i, j ≤ d,s,t ≥ 0;trong đó a = (aij) là ma trn d×d đi xng xác đnh dương. Khi đó các điu sau tương đương:(1) X là chuyn đng Brown vi phương sai a;(2) X là martingale vi X i, X j (t) = ai,jt vi mi 1 ≤ i, j ≤ d, t ≥ 0;(3) (exp[i(u, X (t)) + t

2(u,au)], t

≥0) là martingale vi mi u

∈Rd.

H qu 2.2.6. Nu X là quá trình Lévy tha gi thit ca đnh lý 2.2.5 khi đó X là chuyn đng Brown nu và ch nu

E(ei(u,X(t))) = e−t(u,au)/2

vi mi t ≥ 0, u ∈ Rd.

2.2.2 Thi đim dng và quá trình Lévy

Đnh lý 2.2.7. Cho B = (B(t), t ≥ 0) là chuyn đng Brown 1-chiu và vi mi t ≥ 0ta đnh nghĩa

T (t) = inf

s > 0; B(s) =

t√2

;

khi đó T = (T (t), t ≥ 0) là quá trình Lévy ph thuc.

Chng minh. Rõ ràng mi T (t) là mt thi đim dng.T bài tp 2.1.4(2), quá trình cho bi M θ(t) = exp

θB(t) − 1

2θ2t

là mt martingale

liên tc theo b lc t nhiên m rng đi vi chuyn đng Brown. Theo đnh lý 2.2.2vi mi t ≥ 0, n ∈ N, θ ≥ 0, ta có

1 = E(exp[θB(T (t) ∧ n) − 12

θ2(T (t) ∧ n)]).

69




Vi mi n ∈ N, t ≥ 0, đt An,t = ω ∈ Ω; T (t)(ω) ≤ n; khi đó

E(exp[θB(T (t) ∧ n) −1

2θ2

(T (t) ∧ n)])

= E(exp[θB(T (t)) − 1

2θ2(T (t)]1An,t)

+ exp(−1

2θ2n)E(exp[θB(n)]1Acn,t).

Nhưng vi mi ω ∈ Ω, T (t)(ω) > n ⇒ B(n) < t/√

2; do đó

exp(−1

2θ2n)E(eθB(n)1Acn,t)

< exp[−1

2θ2

n + (tθ/√2)] → 0 khi n → ∞.

Theo đnh lý hi t đơn điu ta có

1 = E(exp[θB(T (t)) − 1

2θ2T (t)]) = exp(θt/

√2)E(exp[−1

2θ2T (t)]).

Thay θ =√

2u ta đưcE(exp[−uT (t)]) = exp(−t

√u),

Đnh lý 2.2.8. (Tính cht Markov mnh)Nu X là quá trình Lévy và T là thi đim dng, khi đó, vi (T < ∞):(1) X T là quá trình Lévy không ph thuc vào b lc F T ;(2) Vi mi t ≥ 0, X T (t) có cùng lut phân phi vi X (t);(3) X T có qu đo càdlàg và là F T -thích nghi.

Chng minh. Đ đơn gin gi s T là thi đim dng b chn. Cho A ∈ F T và vi min ∈ N, 1 ≤ j ≤ n, đt u j ∈ Rd, t j ∈ R+. Nh li mnh đ 2.1.4 martingale cho biM uj(t) = ei(uj ,X(t))−tη(uj) vi mi t ≥ 0. Ta có

E

1A exp

i

n j=1

(u j, X (T + t j) − X (T + t j−1))

= E

1A

n j=1

M uj(T + t j)

M uj(T + t j−1)

n j=1

φtj−tj−1(u j)

,

trong đó φt(u) = E(ei(u,X(t))), vi mi t ≥ 0, u ∈ Rd.Do đó t điu kin và đnh lý 2.2.2, vi mi 1 ≤ j ≤ n, 0 < a < b < ∞, ta có

E1AM uj(T + b)

M uj(T + a) = E1A1

M uj (T + a)E(M uj(T + b)|F T +a)

= E(1A) = P (A).

70




Lp li lp lun này n ln

E

1A exp

i

n j=1

(u j, X (T + t j) − X (T + t j−1))

= P (A)n j=1

φtj−tj−1(u j) (2.2)

Trong (2.2) ly A = Ω, n = 1, u1 = u, t1 = t ta đưc

E(ei(u,XT (t))) = E(ei(u,X(t))),

t điu này ta suy ra (2) ngay lp tc.

Đ chng t X T là quá trình Lévy, chú ý đu tiên là (L1) đưc suy ra d dàng. (L2),(L3) suy ra t (2.2) bng cách ly A = Ω và n tùy ý. Tính liên tc ngu nhiên (L4)ca X T đưc suy ra trc tip t X và tính cht s gia dng.Ta cn ch ra X T và F T là đc lp. Trong (2.2) chn u1, . . . , un và t1, . . . , tn thích hpsao cho vi mi tp A ∈ F T

E

1A exp

in j=1

(u j , X T (t j))

= E

exp

in j=1

(u j, X T (t j))

P (A),

sao cho

E

exp

in j=1

(u j, X T (t j))

F T

= E

exp

in j=1

(u j, X T (t j))

(1) đưc chng minh xong. Đ chng minh (3) ta ch cn chú ý X T k tha qu đocàdlàg t X .

Đnh lý 2.2.9. Nu N là mt quá trình Lévy tăng (h.c.c) sao cho (∆N (t), t ≥ 0) ly giá tr trong 0, 1. Khi đó N là mt quá trình Poisson.

Chng minh. Xác đnh dãy thi đim dng mt cách đ quy bi T 0 = 0 và T n =

inf t > T n−1; (N (t + T n−1 − N (T n−1)) = 0 vi mi n ∈N

. T đnh lý 2.2.8 suy ra dãy(T 1, T 2 − T 1, . . . , T n − T n−1, . . .) có phân phi đc lp và đng nht (i.i.d).Do (L2), (L3) ta có vi mi s, t ≥ 0

P (T 1 > s + t) = P (N (s) = 0, N (t + s) − N (s) = 0)

= P (T 1 > s)P (T 1 > t).

Do N là dãy tăng (h.c.c), suy ra ánh x t −→ P (T 1 > t) gim. T (L4) ta có ánhx t −→ P (T 1 > t) liên tc ti t = 0. Vì nghim ca phương trình hàm trên liên tckhp nơi, do đó tn ti λ > 0 sao cho P (T 1 > t) = e−λt vi mi t ≥ 0. Do đó T 1 cóphân phi mũ vi tham s λ và

P (N (t) = 0) = P (T 1 > t) = e−λt

71




vi mi t ≥ 0.Gi s ta có gi thit quy np

P (N (t) = n) = e−λt (λt)nn!

;

khi đó

P (N (t) = n + 1) = P (T n+2 > t, T n+1 ≤ t)

= P (T n+2 > t) − P (T n+1 > t).

Nhưng T n+1 = T 1 + (T 2 − T 1) + · · · + (T n+1 − T n) là tng ca n + 1 bin ngu nhiên mũcó phân phi đc lp và đng nht; vì vy nó có phân phi gamma vi hàm mt đ

f T n+1(s) = e−λsλn+1sn

n! vi s > 0;

suy ra điu phi chng minh.

2.3 Bưc nhy ca quá trình Lévy-Đ đo ngu nhiênPoisson

Các quá trình nhy ∆X = (∆X (t), t ≥ 0) liên kt vi mt quá trình Lévy. Rõ ràng∆X là mt quá trình thích nghi nhưng nó không phi là mt quá trình Lévy.

B đ 2.3.1. Nu X là mt quá trình Lévy, khi đó vi t > 0 c đnh, ∆X (t) = 0(h.c.c).

Chng minh. Cho (t(n), n ∈ N) là mt dãy trong R+ vi t(n) ↑ t khi n → ∞; vì X cóqu đo càdlàg nên limn→∞ X (t(n)) = X (t−). Tuy nhiên t (L4) dãy (X (t(n)), n ∈ N)hi t theo xác sut ti X (t) và do đó nó có mt dãy con hi t hu chc chn tiX (t). Do s duy nht ca gii hn ta suy ra điu phi chng minh.

B đ 2.3.2. Nu A b chn dưi thì N (t, A) < ∞ (h.c.c) vi mi t ≥ 0.

Chng minh. Xác đnh dãy thi đim dng (T An , n ∈ N) biT A1 = inf t > 0; ∆X (t) ∈ A

và vi n > 1,T An = inf t > T An−1; ∆X (t) ∈ A.

Vì X có qu đo càdlàg, ta có T A1 > 0 (h.c.c) và limn→∞ T An = ∞ (h.c.c).Do đó, vi mi t ≥ 0

N (t, A) =

n∈N1T An ≤t < ∞ h.c.c.

72




Đnh lý 2.3.3.

(1) Nu A b chn dưi thì (N (t, A), t

≥0) là quá trình Poisson vi cưng đ µ(A).

(2) Nu A1, . . . , Am ∈ B(Rd−0) ri nhau khi đó các bin ngu nhiên N (t, A1), . . . ,N (t, Am) là đc lp.

Chng minh. (1) Đu tiên ta cn ch ra (N (t, A), t ≥ 0) là quá trình Lévy, khi đó tasuy ra ngay nó là quá trình Poisson t đnh lý 2.2.9.(L1) là hin nhiên. Đ chnh minh (L2), (L3), vi 0 ≤ s < t < ∞, n ∈ N, ta cóN (t, A) − N (s, A) = n nu và ch nu tn ti s < t1 < · · · < tn ≤ t sao cho

∆X (t j) ∈ A (1 ≤ j ≤ n). (2.3)

Hơn na, ∆X (u) ∈ A nu và ch nu tn ti a ∈ A sao cho vi bt kỳ ε > 0 cho trưc,tn ti δ > 0 :0 < u − ω < δ ⇒ |X (ω) − X (u) − a| < ε. (2.4)

T (2.3) và (2.4) ta suy ra đưc (N (t, A) − N (s, A) = n) ∈ σX (v) − X (u); s ≤ u <v ≤ t, và (L2), (L3) đưc chng minh xong.Đ chng minh (L4), đu tiên nu N (t, A) = 0 vi t > 0 khi đó N (s, A) = 0 vi mi0 ≤ s < t. Vì (L2), (L3) nên vi mi n ∈ N

P (N (t, A) = 0)

= P

N t

n, A

= 0, N 2t

n , A

= 0, . . . , N (t, A) = 0

= P

N

t

n, A

= 0, N

2t

n, A

− N

t

n, A

= 0,

. . . , N (t, A) − N

(n − 1)t

n, A

= 0

=

P

N

t

n, A

= 0

n.

T đây suy ra đưc

lim supt→0

P (N (t, A) = 0) = limn

→∞

lim supt→0 P N

t

n, A = 0

n

,

do đây ta có th thay lim supt→0 bi lim inf t→0 nên hoc limt→0 P (N (t, A) = 0) tn tivà bng 0 hay 1 hoc lim inf t→0 P (N (t, A) = 0) = 0 và lim supt→0 P (N (t, A) = 0) = 1.Gi s lim inf t→0 P (N (t, A) = 0) = 0 và lim supt→0 P (N (t, A) = 0) = 1. Nh li nuN (t, A) = 0 vi t > 0 khi đó N (s, A) = 0 vi mi 0 ≤ s ≤ t. T đây ta thy ánh xt → P (N (t, A) = 0) đơn điu gim. Vì vy nu P (N (t, A) = 0) = ε > 0 vi t ≥ 0ta có lim inf t→0 P (N (t, A) = 0) ≥ ε. Do đó, nu lim inf t→0 P (N (t, A) = 0) = 0 khi đóP (N (t, A) = 0) = 0 vi mi t ≥ 0 và lim supt→0 P (N (t, A) = 0) = 0, cho ta s mâuthun.Gi s limt→0 P (N (t, A) = 0) = 0; khi đó limt→0 P (N (t, A) = 0) = 1. Cho A, B là

hai tp b chn dưi và ri nhau. Vì N (t, A ∪ B) = 0 khi và ch khi N (t, A) = 0 hayN (t, B) = 0, khi đó limt→0 P (N (t, A ∪ B = 0) = 2, ta li có s mâu thun.

73




Do đó limt→0 P (N (t, A) = 0) = 1 và vì vy limt→0 P (N (t, A) = 0) = 0. Ta chng minhxong (L4).(2) S dng lp lun tương t như trên dn ti (2.3) và (2.4), suy ra các bin c

(N (t, A1) = n1), . . . , (N (t, Am) = nm)

là phn t ca các σ-đi s đc lp.

Chú ý 1

Khi A b chn dưi thì µ(A) < ∞, do đó đ đo µ là σ-hu hn.

Chú ý 2

T đnh lý 2.1.7 suy ra N có mt bn sao càdlàg là quá trình Poisson.

2.3.1 Đ đo ngu nhiên

Đnh nghĩa 2.3.4. Đ đo ngu nhiên Cho (S, A) là không gian đo đưc và (Ω, F , P ) là không gian xác sut. Đ đo ngu nhiên M trên (S, A) là tp hp các bin ngu nhiên (M (B), B ∈ A) sao cho:(1) M (∅) = 0;(2) Tính σ-cng tính: Cho trưc dãy (An, n ∈ N) gm các tp ri nhau trong A,

M n∈N

An =

n∈NM (A

n) h.c.c;

(3) Tính tán x đc lp: Vi mi h ri nhau (B1, . . . , Bn) trong A, các bin ngu nhiên M (B1), . . . , M (Bn) đc lp.

Ta có mt đ đo Poisson ngu nhiên nu mi M (B) có mt phân phi Poisson khiM (B) < ∞. Trong nhiu trưng hp ta nhn đưc mt đ đo σ-hu hn λ trên (S, A)bi công thc λ(A) = E(M (A)) vi mi A ∈ A.Ngưc li ta có:

Đnh lý 2.3.5. Cho trưc đ đo σ-hu hn λ trên không gian đo đưc (S, A), khi đó

tn ti đ đo ngu nhiên Poisson trên không gian xác sut (Ω, F , P ) sao cho λ(A) =E(M (A)) vi mi A ∈ A.

Chng minh. Gi s S = R+ × U , vi U là không gian xác sut đưc trang b mtσ-đi s C, và A = B(R+) ⊗C. Đt p = ( p(t), t ≥ 0) là mt quá trình thích nghi ly giátr trong U sao cho M là đ đo ngu nhiên Poisson trên S , trong đó M ([0, t) × A) =#0 ≤ s < t; p(s) ∈ A vi mi t ≥ 0, A ∈ C. Trong trưng hp này, p đưc gi là quá trình Poisson đim và M là đ đo ngu nhiên Poisson liên kt vi p.Cho U là mt không gian tôpô và ly C là σ-đi s Borel ca nó. Đt M là đ đongu nhiên trên S = R+ × U. Vi mi A ∈ C, quá trình M A = (M A(t), t ≥ 0) biM A(t) = M ([0, t) × A).

Ta gi M là đ đo martingale đc trưng nu tn ti V ∈ C sao cho M A là mt martingalekhi A ∩ V = ∅. Ta gi V là tp cm liên kt (tt nhiên nó bng ∅).

74




Ví d 2.3.6. Cho U = Rd − 0 và C là σ-đi s Borel ca nó. Cho X là quá trình Lévy; khi đó ∆X là quá trình Poisson đim và N là đ đo ngu nhiên Poisson liên kt vi nó. Vi mi t

≥0 và A b chn dưi, ta đnh nghĩa đ đo ngu nhiên Poisson bù

bi N (t, A) = N (t, A) − tµ(A).

Ta có (N (t, A), t ≥ 0) là mt martingale và do đó N m rng thành đ đo martingaleđc trưng vi tp cm 0.

Ta có các tính cht chính ca N :

(1) Vi mi t > 0, ω ∈ Ω, N (t, ·)(ω) là đ đo đm trên B(Rd − 0).

(2) Vi A b chn dưi, (N (t, A), t ≥ 0) là mt quá trình Poisson vi cưng đµ(A) = E(N (1, A)).

(3) (N (t, A), t ≥ 0) là đ đo martingale đc trưng, trong đó N (t, A) = N (t, A) −tµ(A), vi A b chn dưi.

2.3.2 Tích phân Poisson

Đt f là hàm Borel đo đưc t Rd vào Rd và A là tp b chn dưi; khi đó vi t > 0,ω ∈ Ω, ta có th đnh nghĩa tích phân Poisson ca f như mt tng ngu nhiên huhn bi

Af (x)N (t,dx)(ω) =

x∈Af (x)N (t, x)(ω).

Chú ý mi A

f (x)N (t,dx) là mt bin ngu nhiên ly giá tr trên Rd và khi ta thayđi t nó tr thành mt quá trình ngu nhiên càdlàg. Vì N (t, x) = 0 ⇔ ∆X (u) = xvi u ∈ [0, t], ta có

A

f (x)N (t,dx) =0≤u≤t

f (∆X (u))1A(∆X (u)). (2.5)

Đt (T An , n ∈ N) là thi đim ti ca quá trình Poisson (N (t, A), t ≥ 0).Khi đó ta suy ra đưc mt biu din khác cho tích phân Poisson

A f (x)N (t,dx) =

n∈N f (∆(X (T

An )))1[0,t](T

An ). (2.6)

T nay ta s dng ký hiu µA đ ch hn ch trên A ca đ đo µ.

Đnh lý 2.3.7. Đt A là tp b chn dưi. Khi đó

(1) Cho t ≥ 0, A

f (x)N (t,dx) có mt phân phi Poisson phc hp sao cho vi mi u ∈ Rd,

E exp iu, A f (x)N (t,dx) = expt A(ei(u,x) − 1)µf (dx)trong đó µf = µ f −1

75




(2) Nu f ∈ L1(A, µA)), ta có

E

A f (x)N (t,dx)

= t A f (x)µ(dx);

(3) Nu f ∈ L2(A, µA), ta có

Var

A

f (x)N (t,dx)

= t

A

|f (x)|2µ(dx).

Chng minh. (1) Đ đơn gin, ta s chng minh kt qu này trong trưng hp f ∈L1(A, µA). Chng minh cho trưng hp tng quát f là hàm đo đưc bt kỳ tham khoSato [10], t.124.

Đu tiên cho f là mt hàm đơn gin và vit f =n j=1

c j1Aj , trong đó c j ∈ Rd. Không

mt tính tng quát, gi s A j là các tp Borel ri nhau ca A. Do đnh lý 2.3.3, ta có

E

exp

i

u,

A

f (x)N (t,dx)

= E

exp

i

u,

n j=1

c jN (t, A j)

=

n j=1

E(exp[i(u, c jN (t, A j))])

=n j=1

expt[exp(i(u, c j)) − 1]µ(A j)

= exp

t

A

exp[i(u, f (x))] − 1µ(dx)

.

Cho f ∈ L1(A, µA) bt kỳ, ta có th tìm đưc mt dãy hàm đơn gin hi t v f trongL1 và do đó có mt dãy con hi t v f hu chc chn. T đnh lý hi t tri ta đưcđiu phi chng minh.(2) và (3) suy ra t (1) bi phép ly vi phân.

Xét dãy các c nhy ca các bin ngu nhiên (Y Af (n), n ∈ N), trong đó mi

Y Af (n) =

A

f (x)N (T An , dx) − A

f (x)N (T An − 1, dx). (2.7)

T (2.6) và (2.7) suy raY Af (n) = f (∆(X (T An )))

vi mi n ∈ N.

76




Đnh lý 2.3.8.

(1) (Y Af (n), n ∈ N) là có phân phi đc lp và đng nht (i.i.d) vi lut phân phi

chung cho bi P (Y Af (n) ∈ B) =

µ(A ∩ f −1B))

µ(A)(2.8)

vi mi B ∈ B(Rd).

(2) ( A

f (x)N (t,dx), t ≥ 0) là mt quá trình Poisson phc hp.

Chng minh. (1) Ta bt đu chng minh (2.8). S dng đnh lý 2.3.7(2) và (2.7) kthp vi (T An − T An−1, n ∈ N) là các bin ngu nhiên có phân phi mũ đc lp và đngnht (i.i.d) vi trung bình chung là 1/µ(A), ta đưc

P (Y Af

(n)∈

B) = E(1B

(Y Af

(n)) = E[ET An −T

A

n−1

(1B

(Y Af

(n)))]

=

∞0

s

A

1B(f (x))µ(dx) pT An −T An−1(ds)

=µ(A ∩ f −1B))

µ(A).

Suy ra các bin ngu nhiên có phân phi đng nht. Đ chng minh chúng đc lpta lp lun tương t như trên; cho tp hu hn các s t nhiên i1, i2, . . . , im vàBi1 , Bi2, . . . , Bim ∈ B(Rd),

P (Y Af (i1)

∈Bi1, Y Af (i2)

∈Bi2, . . . , Y Af (im)

∈Bim)

= E

ET A1 ,T

A2 −T A1 ,...,T An −T An−1

m j=1

1Bij (Y Af (i j))

=

∞0

∞0

· · · ∞0

si1si2 · · · sim

m j=1

A

1Bij (f (x))µ(dx)

× pT Ai1(dsi1) pT Ai2−T

Ai1

(dsi2) · · · pT Aim−T Aim−1(dsim)

= P (Y Af (i1) ∈ Bi1)P (Y Af (i2) ∈ Bi2) · · · P (Y Af (im) ∈ Bim),

do (2.8).

(2) Đu tiên ta chú ý là (Y A

f (n), n ∈ N) và quá trình Poisson (N (t, A), t ≥ 0) là đclp. Tht vy, điu này suy ra t lp lun sau

P (Y Af (m) ∈ B|N (t, A) = n) = P (Y Af (m) ∈ B|T An ≤ t, T An+1 > t)

= P (Y Af (m) ∈ B),

bng phép tính tương t như trong (1). Vi mi t ≥ 0, ta có A

f (x)N (t,dx) = Y Af (1) + Y Af (2) + · · · + Y Af (N (t, A)).

Các s hng là có phân phi đc lp và đng nht (i.i.d.) do (1), và ta có điu phi

chng minh.

77




Vi mi f ∈ L1(A, µA), t ≥ 0, ta đnh nghĩa tích phân Poisson bù bi

A

f (x)N (t,dx) = A

f (x)N (t,dx)−

t A

f (x)µ(dx).

Mt khác ta có A

f (x)N (t,dx), t ≥ 0

là mt martingale. T đnh lý 2.3.7(1), (3) ta d dàng suy ra

E

exp

i

u,

A

f (x)N (t,dx)

= expt A

[ei(u,x)

−1

−i(u, x)]µf (dx) (2.9)

vi mi u ∈ Rd và cho f ∈ L2(A, µA),

E

A

f (x)N (t,dx)

2

= t

A

|f (x)|2µ(dx). (2.10)

2.4 Khai trin Lévy-Itô

Ta s chng minh mt kt qu quan trng trong lý thuyt cơ s ca quá trình Lévy,đó là khai trin Lévy-Itô ca qu đo mu liên tc và có thành phn nhy. Ta có mts kt qu chính sau.

Mnh đ 2.4.1. Cho M j, j = 1, 2, là hai martingale càdlàg qui tâm. Gi s vi j bt kỳ, M j là L2 và vi mi t ≥ 0, E(|V (M k(t)|2) < ∞ vi k = j; khi đó

E[(M 1(t), M 2(t))] = E

0≤s≤t

(∆M 1(s), ∆M 2(s))

.

Chng minh. Đ thun tin ta xét trưng hp d = 1. Gi s M 1 là L2 và M 2 có binphân bình phương kh tích. Đt P = 0 = t0 < t1 < t2 < · · · < tm = t là mt phân

hoch ca [0, t]; khi đó do tính cht martingale, ta cóE(M 1(t)M 2(t))

=m−1i=0

m−1 j=0

E([M 1(ti+1) − M 1(ti)][M 2(t j+1) − M 2(t j)])

=m−1i=0

E([M 1(ti+1) − M 1(ti)][M 2(ti+1) − M 2(ti)]).

Đt (P (n), n ∈ N) là dãy các phân hoch như trên vi

limn→∞

max0≤i(n)≤m(n)−1

|t(n)i+1 − t(n)i | = 0

78




Khi đó, vi xác sut 1, ta cn có

limn→∞

m(n)−1i(n)=0

[M 1(ti(n)+1) − M 1(ti(n))][M 2(ti(n)+1) − M 2(ti(n))]

=0≤s≤t

∆M 1(s)∆M 2(s).

Đ chng minh yêu cu trên, ta c đnh ω ∈ Ω và gi s rng (không mt tính tngquát) (M 1(t)(ω), t ≥ 0) và (M 2(t)(ω), t ≥ 0) có các đim gián đon thông thưngA = (tn, n ∈ N).Đu tiên xét tp Ac. Đt (P n, n ∈ N) là dãy các phân hoch ca [0, t] sao cho, vi min ∈ N, A ∩ [t

(n) j , t

(n) j+1] = ∅ vi mi 0 ≤ j ≤ m(n) − 1.

Đ tin ký hiu ta gim bt ω, khi đó ta cóm(n)−1i=0

M 1(ti(n)+1) − M 1(ti(n))

M 2(ti(n)+1) − M 2(ti(n))

≤ max

0≤i(n)≤m(n)−1|M 1(ti(n)+1) − M 1(ti(n))|V arP n(M 2)

→ 0 khi n → ∞.

C đnh ε > 0 và chn δ = (δn, n ∈ N) sao cho

max|M 1(tn)

−M 1(tn

−δn)

−∆M 1(tn)

|,

|M 2(tn) − M 2(tn − δn) − ∆M 2(tn)| < εK 2n

,

trong đóK = 2 sup

0≤s≤t|M 1(s)| + 2 sup

0≤s≤t|M 2(s)|.

Xét

S (δ) =∞n=1

M 1(tn) − M 1(tn − δn)

M 2(tn) − M 2(tn − δn)

−∆M

1(tn

)∆M 2(tn

).

Khi đó ta thy

|S (δ)|

≤∞n=1

|(M 1(tn) − M 1(tn − δn) − ∆M 1(tn)||M 2(tn) − M 2(tn − δn)|

+∞n=1

|(M 2(tn) − M 2(tn − δn) − ∆M 2(tn)||∆M 1(tn)|

≤ 2

sup0≤s≤t|M 1(s)| + sup0≤s≤t|M 2(s)|∞n=1

ε

K 2n < ε,

79




Mt khác vi mi n ∈ N ta có

m(n)−1i(n)=0

M 1(ti(n)+1) − M 1(ti(n))

M 2(ti(n)+1) − M 2(ti(n))

≤ 2 sup

0≤s≤t|M 1(s)|V (M 2(t)),

và s dng bt đng thc martingale Doob ta đưc,

E

sup0≤s≤t

|M 1(s)|V (M 2(t))

≤ E

sup0≤s≤t

|M 1(s)|2

+ E(|V (M 2(t))|2)

≤ 4 E(|M 1(t)|2) + E(|V (M 2(t))|2) < ∞.

Đnh lý 2.4.2. Nu A p, p = 1, 2, ri nhau và b chn dưi, khi đó ( A1

xN (t,dx), t ≥ 0)

và ( A2

xN (t,dx), t ≥ 0) là hai quá trình ngu nhiên đc lp.

Chng minh. Vi mi p = 1, 2, t ≥ 0, vit X (t, A p) = Ap

xN (t,dx) và đt ηAp là kýhiu Lévy ca các quá trình Poisson phc hp trên (đnh lý 2.3.7). Ta có martingalecàdlàg qui tâm (M p(t), t ≥ 0) vi p = 1, 2, cho bi

M p(t) = exp[i(u p, X (t, A p))

−tηAp]

−1

vi mi t ≥ 0, vi u1, u2 ∈ Rd. Ta cn ch ra ít nht mt M p có bin phân bình phươngkh tích trên khong hu hn. Điu này đưc suy d dàng t đnh lý giá tr trungbình, vi mi t ≥ 0, tn ti mt bin ngu nhiên phc ρ(t) vi 0 ≤ |ρ(t)| ≤ 1 vi

M p(t) = ρ(t)

i(u p, X (t, A p)) − tηAp

.

Vi 0 ≤ s ≤ t < ∞ ta có

E(M 1(t)M 2(s)) = E(M 1(s)M 2(s)) + E([M 1(t) − M 1(s)]M 2(s)).

Vì A1 và A2 ri nhau, M 1 và M 2 có bưc nhy ti các thi đim phân bit, chonên E(M 1(s)M 2(s)) = 0 do mnh đ 2.4.1. Tuy nhiên M 1 là mt martingale, vì vyE([M 1(t) − M 1(s)]M 2(s)) = 0. Do đó vi mi u1, u2 ∈ Rd,

E(ei(u1,X(t,A1))ei(u2,X(s,A2))) = E(ei(u1,X(t,A1)))E(ei(u2,X(s,A2)))

và t đnh lý Kac ta suy ra các bin ngu nhiên X (t, A1) và X (s, A2) đc lp.C đnh n1, n2 ∈ N, chn 0 = t p0 < t p1 < · · · < t pnp < ∞ và u p j ∈ Rd, 0 ≤ j ≤ n p và vitv p j = u p j + u p j+1 + · · · + u pn, vi p = 1, 2.

80




Do (L2) ta đưc

E

exp

i

n1 j=1

(u1 j , X (t

1 j , A1))

E

exp

i

n2k=1

(u2k, X (t

2k, A2))

= E

exp

in1 j=1

(v1 j , X (t1 j , A1) − X (t1 j−1, A1))

× E

exp

in2k=1

(v2k, X (t2k, A2) − X (t2k−1, A2))

=n1 j=1

E(exp[i(v1 j , X (t1 j − t1 j−1, A1))])

×n2k=1

E(exp[i(v2k, X (t2k − t2k−1, A2))])

=n1 j=1

n2k=1

E(expi[(v1 j , X (t1 j − t1 j−1, A1)) + (v2k, X (t2k − t2k−1, A2))])

=n1 j=1

n2k=1

E(expi[(v1 j , X (t1 j , A1) − X (t1 j−1, A1))

+ (v2k, X (t2k, A2) − X (t2k−1, A2))])

= E

exp

i

n1 j=1

(v1 j , X (t

1 j , A1) − X (t

1 j−1, A1))

+ (v2k, X (t2k, A2) − X (t2k−1, A2))

= E

exp

in1 j=1

(u1 j , X (t1 j , A1)) + i

n2k=1

(u2k, X (t2k, A2))

.

T đnh lý Kac ta có diu phi chng minh.

Mt quá trình Lévy X đưc gi là có bưc nhy b chn nu tn ti C > 0 visup

0≤t<∞|∆X (t)| < C.

Đnh lý 2.4.3. Nu X là quá trình Lévy vi bưc nhy b chn khi đó ta có E(|X (t)|m) <∞, ∀m ∈ N.

Chng minh. Cho C > 0 như trên và xác đnh dãy thi đim dng (T n, n ∈ N) biT 1 = inf t ≥ 0, |X (t)| > C và vi n > 1, T n = inf t > T n−1, |X (t) − X (T n−1)| > C .Ta có |∆X (T n)| ≤ C và T n+1 − T n = inf t ≥ 0; |X (t + T n) − X (T n)| > C , ∀n ∈ N.Trưc tiên ta chng minh vi ∀n ∈ N,

sup0≤s<∞

|X (s ∧ T n)| ≤ 2nC (2.11)

81




Ta chng minh bng quy np. Vi n = 1 ta đưc

sup0≤s<∞|

X (s

∧T 1)

|=

|X (T 1)

|≤ |∆X (T 1)| + |X (T 1−)| ≤ 2C.

Gi s bt đng thc (2.11) đúng vi n > 1. C đnh ω ∈ Ω, xét v trái ca (2.11) khithay n bng n + 1. Cn trên đúng ca |X (s ∧ T n+1)| đt đưc trên [0, T n(ω)) hoc trên[T n(ω), T n+1(ω)].Ta có

sup0≤s<∞

|X (s ∧ T n+1)(ω)|

= supT n(ω)≤s≤T n+1(ω)|

X (s)(ω)|

≤ supT n(ω)≤s≤T n+1(ω)

|X (s)(ω) − X (T n)(ω)| + |X (T n)(ω)|

≤ |X (T n+1)(ω) − X (T n)(ω)| + 2nC

≤ |X (T n+1)(ω) − X (T n+1−)(ω)|+ |X (T n+1−)(ω) − X (T n)(ω)| + 2nC

≤ 2(n + 1)C.

Ta chng minh xong (2.11).

T tính cht Markov mnh (đnh lý 2.2.8) suy ra vi mi n ≥ 2 các bin ngunhiên T n − T n−1 đc lp ca F T n−1 và có cùng lut phân phi như T 1. Do đó s dngđnh lý dng ngu nhiên Doob, ta thy tn ti 0 < a < 1 sao cho

E(e−T n) = E(e−T 1e−(T 2−T 1) · · · e−(T n−T n−1)) = [E(e−T 1)]n = an. (2.12)

Kt hp (2.11) và (2.12) và s dng bt đng thc Chebyshev-Markov, ta có vi min ∈ N, t ≥ 0,

P (|X (t)| ≥ 2nC ) ≤ P (T n < t) ≤ etE(e−T n) ≤ etan. (2.13)

Cui cùng đ chng minh mi E(|X (t)|m) < ∞, chú ý rng t (2.13) ta có |x|≥2nC

|x|m pX(t)(dx) =∞r=n

2(r+1)C

2rC

|x|m pX(t)(dx)

≤ (2C )met∞r=n

(r + 1)mar < ∞.

Vi mi a > 0, xét quá trình Poisson phc hp

|x|≥a xN (t,dx), t ≥ 0

82




và đnh nghĩa quá trình ngu nhiên mi Y a = (Y a(t), t ≥ 0) cho bi

Y a(t) =

X (t)−

|x|≥a xN (t,dx

).

Bng trc giác ta thy Y a là phn dư ca quá trình Lévy X khi tt c c bưc nhyln hơn a b loi b. Ta s hiu rõ qu đo ca X hơn khi xem xét nh hưng ca vicloi b mi bưc nhy.Đt (T n, n ∈ N) là thi đim ti ca quá trình Poisson (N (t, Ba(0)c), t ≥ 0). Khi đó tacó

Y a(t) =

X (t) vi 0 ≤ t < T 1,

X (T 1−) vi t = T 1,

X (t)

−X (T 1) + X (T 1

−) vi T 1 < t < T 2,

Y a(T 2−) vi t = T 2,

Đnh lý 2.4.4. Y a là mt quá trình Lévy.

Chng minh.(L1) là hin nhiên.Đ chng minh (L2),(L3) ta lp lun tương t như chng minh đnh lý 2.3.3 và suyra vi mi 0 ≤ s < t < ∞, Y a(t) − Y a(s) là F s,t-đo đưc vi F s,t = σX (u) − X (v); s ≤v ≤ u < t.Đ chng minh (L4), vi mi b > 0, t ≥ 0, ta có

P |Y a(t)| > b

≤ P |X (t)| > b

2

+ P

|x|≥a xN (t,dx) > b

2

.

H qu 2.4.5. Mt quá trình Lévy có bưc nhy b chn khi và ch khi nó có dng Y avi a > 0.

Chng minh. Đưc suy ra trc tip t đnh lý 2.4.4.

Vi mi a > 0, ta đnh nghĩa quá trình Lévy Y a = (Y a(t), t≥

0) bi

Y a = Y a(t) − E(Y a(t)).

Ta có Y a là mt L2-martingale càdlàg qui tâm.

Đnh lý 2.4.6. Vi mi t ≥ 0,

Y (t) = Y c(t) + Y d(t),

trong đó Y c(t) và Y d(t) là hai quá trình Lévy đc lp, Y c có qu đo mu liên tc và

Y d(t) = |x|<1 xN (t,dx).

83




Chng minh. Cho (εn, n ∈ N) là dãy đơn điu gim v 0, trong đó ε1 < 1. Cho m ∈ Nđt

Bm =

x∈Rd, εm+1

≤ |x| ≤

εmvà cho n ∈ N đt An = ∪nm=1Bm. Ta cn ch ra dãy (M (·, An), n ∈ N) hi t trong

không gian martingale ti Y d. Ta có vi mi t ≥ 0, M (t, Bm) trc giao do mnh đ2.4.1.Cho nên vi mi n ≥ 0,

E(|M (t, An)|2) =nm=1

E(|M (t, Bm)|2). (2.14)

T mnh đ 2.1.4 và lp lun trong phn chng minh ca đnh lý 2.4.2 ta có các quátrình Lévy Y

−M (

·, An) và M (

·, An) đc lp. Suy ra

Var(|Y (t)|) = Var(|Y (t) − M (t, An)|) + Var(|M (t, An)|).

Do đóE(|M (t, An)|2) = Var(|M (t, An)|) ≤ Var(|Y (t)|). (2.15)

T (6.4) và (2.15) ta thy vi mi t ≥ 0, (E(M (t, An)2), n ∈ N) là dãy tăng và b chntrên, do đó hi t. Hơn na do (6.4) vi n1 ≤ n2,

E(|M (t, An2) − M (t, An1)|2) = E(|M (t, An2)|2) − E(|M (t, An2)|2).

Do đó ta suy ra

Y d(t) = |x|<1

xN (t,dx) = L2 − limn→∞

M (t, An),

và Y d thuc không gian martingale. Hơn na t đnh lý 1.3.6 ta có Y d là mt quátrình Lévy, trong đó s dng bt đng thc Chebyshev suy ra đưc vi mi b > 0,limt↓0 P (|Y d(t) − M (t, An)| > b) = 0, ∀n ∈ N. Lp lun tương t ta có Y c là mt quátrình Lévy trong không gian martingale, vi

Y c(t) = L2 − limn→∞

Y (t) − M (t, An)

.

Y c và Y d đc lp suy ra bi lp lun gii hn đơn gin áp dng cho hàm đc trưng.

Ta ch ra Y c có qu đo mu liên tc.Đt N ⊆ Ω là tp trên đó qu đo ca Y c không liên tc. Nu P (N ) = 0 thì có th thayY c bng mt bn sao có qu đo mu liên tc. Vì vy gi s rng P (N ) > 0. Khi đó∃ b > 0 và thi đim dng T sao cho P (|∆X (T )| > b) > 0. Đt A = x ∈ Rd; |x| > b;khi đó t mnh đ 2.4.1 ta có vi mi t ≥ 0, f ∈ L2(A, µA),

0 = E

Y c(t),

|x|>b

f (x)N (t,dx)

= limn→∞

EY (t) − M (t, An), |x|>bf (x)N (t,dx) = 0,

ta có mâu thun.

84




H qu 2.4.7. Đ đo cưng đ µ ca đ đo ngu nhiên Poisson N là mt đ đo Lévy.

Chng minh. Ta có µ((

−1, 1)c) <

∞(xem chú ý 1 sau đnh lý 2.3.3).

Ta cũng có |x|≤1

|x|2µ(dx) = limn→∞

An

|x|2µ(dx) = limn→∞

E(|M (t, An)|2)

= E(|Y d|2) < ∞,

và ta có điu phi chng minh.

H qu 2.4.8. Vi t ≥ 0, u ∈ Rd,

E(ei(u,Y d(t))) = expt |x|<1 ei(u,x)

−1

−i(u, x)µ(dx).

Chng minh. Ly gii hn trong phương trình (2.9).

Đnh lý 2.4.9. Y c là mt chuyn đng Brown.

Chng minh. Ta chng minh vi ∀ u ∈ Rd, t ≥ 0,

E(ei(u,Y c(t))) = e−t(u,Au)/2, (2.16)

vi A là ma trn đi xng xác đnh dương d × d. T h qu 2.2.6 suy ra đưc điu phichng minh.

Đ thun tin ly d = 1. Vì Y c không có bưc nhy, mi mômen ca nó tn ti biđnh lý 2.4.3 và do Y c là quá trình Lévy qui tâm nên ta có

φt(u) = E(ei(u,Y c(t))) = etη(u), (2.17)

vi η ∈ C ∞(R) và η(0) = 0. Cho t ≥ 0, m ≥ 2,

E(Y c(t)m) = a1t + a2t2 + · · · + am−1tm−1 (2.18)

trong đó a1, a2, . . . , am−1 ∈ R. Đt P = 0 = t0 < t1 < · · · < tn = t là mt phânhoch ca [0, t] và vit ∆Y c(t j) = Y c(t j+1) − Y c(t j) vi 0 ≤ j ≤ n − 1.T đnh lý Taylor ta có

E(eiuY c(t) − 1) = E

n−1 j=0

(eiuY c(tj+1) − eiuY c(tj))

= E(I 1(t)) + E(I 2(t)) + E(I 3(t)),

vi

I 1(t) = iun−1 j=0

eiuY c(tj)∆Y c(t j),

I 2(t) = −u2

2

n−1 j=0

eiuY c(tj)[∆Y c(t j)]2,

85




I 3(t) = −u2

2

n−1 j=0

(eiu[Y c(tj)+θj∆Y c(tj)] − eiuY c(tj))[∆Y c(t j)]2,

vi 0 < θ j < 1. Do tính cht s gia đc lp ta có

E(I 1(t)) = iun−1 j=0

E(eiuY c(tj))E(∆Y c(t j)) = 0

T (2.17), (2.18) và vit a1 = a ≥ 0, ta có

E(I 2(t)) = −u2

2

n−1 j=0

E(eiuY c(tj))E((∆Y c(t j))2)

= −au2

2

n

−1

j=0

φtj (u)(t j+1 − t j) (2.19)

Mt khác vi mi α > 0, bin c

Bα = max0≤ j≤n−1

suptj≤u,v≤tj+1

|Y c(v) − Y c(u)| ≤ α

vàE(I 3(t)) = E(I 3(t)1Bα) + E(I 3(t)1Bc

α).

S dng bt đng thc sơ cp

|eiy

−1

| ≤2, vi y

∈R, ta suy ra

|E(I 3(t))1Bcα| ≤ u2

n−1 j=0

Bcα

[∆Y c(t j)(ω)]2dP (ω)

≤ u2(P (Bcα))12

E

n−1 j=0

∆Y c(t j)2

2

12

≤ u2(P (Bcα))12 O(t2 + t3)

12 (2.20)

trong đó ta s dng bt đng thc Cauchy-Schwarz và (2.18).

S dng đnh lý giá tr trung bình và (2.18), ta đưc

|E(I 3(t)1Bα)| ≤ |u|32

Bα

n−1 j=0

|∆Y c(t j)(ω)|3dP (ω) ≤ αat|u|32

. (2.21)

Đt (P (n), n ∈ N) là dãy các phân hoch vi limn→∞ δn = 0, vi δn = max1≤ j(n)≤m(n) |t(n) j+1−t(n) j |,Ta có

max1≤ j≤m(n)

supt(n)j

≤u,v

≤t(n)j+1

|Y c(v) − Y c(u)| ≤ sup0≤u,v≤t,|u−v|≤δn

|Y c(v) − Y c(u)|

→ 0 khi n → ∞,

86




bi tính liên tc ca qu đo mu, và vì vy suy ra limn→∞ P ((B(n)α )c) = 0. Do đó t

(2.20) và (2.21) ta đưc

lim supn→∞ E(I (n)

3 (t)) ≤αat

|u

|3

2 .

Nhưng α nh tùy ý nên ta suy ra

limn→∞

E(I (n)3 (t)) = 0. (2.22)

Ly gii hn trong (2.19) thu đưc

limn→∞

E(I (n)2 (t)) = −au2

2

t0

φs(u)ds. (2.23)

Kt hp (2.22) và (2.23) ta có

φt(u) − 1 = −au2

2

t0

φs(u)ds.

T đó φt(u) = e−at|u|2/2. Dn ti điu phi chng minh.

Đnh lý 2.4.10. (Khai trin Lévy-Itô)Nu X là mt quá trình Lévy, khi đó tn ti b ∈ Rd, chuyn đng Brown BA vi ma trn hip phương sai A và đ đo ngu nhiên Poisson đc lp N trên R+ × (Rd − 0)sao cho vi t

≥0,

X (t) = bt + BA(t) +

|x|<1

xN (t,dx) +

|x|≥1

xN (t,dx). (2.24)

Chng minh. Điu này suy ra t đnh lý 2.4.6 và 2.4.9 vi

b = E

X (1) − |x|≥1

xN (1, dx)

.

BA và N đc lp đưc suy t lp lun ca đnh lý 2.4.2.

Chú ý:

Đ thun tin ta vitBA(t) = (B1

A(t), . . . , BdA(t))

trong đó

BiA(t) =

m j=1

σi jB j(t)

vi B1, . . . , Bm là chuyn đng Brown tiêu chun 1 chiu và σ là ma trn thc d × mvi σσT = A.

Mt kt qu quan trng ca khai trin Lévy-Itô là công thc Lévy-Khintchine.

87




H qu 2.4.11. Nu X là mt quá trình Lévy khi đó vi u ∈ Rd, t ≥ 0,

E(ei(u,X(t))) = expti(b, u)−

1

2(u,Au)

+

Rd−0

ei(u,y) − 1 − i(u, y)1B(y)

µ(dy)

. (2.25)

Chng minh. Do tính đc lp ta có

E(ei(u,X(t))) = E(ei(u,Y c(t)))E(ei(u,Y d(t)))E

eiu,

|x|≥1 xN (t,dx)

,

và kt qu đưc suy t phương trình (2.16) và h qu 2.4.8 và đnh lý 2.3.7.

Cho ρ là mt đ đo xác sut kh phân vô hn bt kỳ; t h qu 1.3.16 có th xây

dng quá trình Lévy chính tc X vi ρ là lut phân phi ca X (1). Chú ý quá trìnhX thích nghi vi b lc t nhiên m rng ca chính nó.

H qu 2.4.12. B ba đc trưng (b,A,ν ) ca mt quá trình Lévy đưc xác đnh duy nht bi quá trình đó.

Chng minh. Điu này suy ra t cu trúc ca đnh lý 2.4.10.

H qu 2.4.13. Đt G là nhóm các ma trn tác đng trên Rd. Mt quá trình Lévy đưc gi là G-bt bin khi và ch khi vi mi g ∈ G,

b = gb, A = gAgT và v là G − bt bin

Chng minh. Điu này đưc suy trc tip t h qu trên và công thc Lévy-Khintchine.

2.5 Cu trúc đan xen

2.5.1 Các trưng hp gii hn

Cho (A(n), n ∈ N) là dãy các bin c trong F . Ta xác đnh các bin c đuôi

lim inf n→∞

A(n) =∞

n=1∞

k=nA(k) và lim supn

→∞

A(n) =∞

n=1∞

k=nA(k).

Bng các th thut cơ bn ta đưc

P

lim inf n→∞

A(n)c

= 1 − P

lim supn→∞

A(n)

(2.26)

Sau đây là dãy đơn gin liên tc theo xác sut

P

lim inf n→∞

A(n)

≤ lim inf n→∞

P (A(n)) ≤ lim supn→∞

P (A(n)) (2.27)

≤ P

lim supn→∞

A(n)

. (2.28)

Chng minh xem Rosenthal [24], t.26.Nhc li b đ Borel (hay còn gi là b đ Borel-Cantelli đu tiên).

88




B đ 2.5.1. (B đ Borel)Nu (A(n), n ∈ N) là dãy các bin c vi

∞n=1 P (A(n)) < ∞, khi đó P (lim supn→∞ A(n)) =

0.

Chng minh. Cho trưc ε > 0 bt kỳ, ta tìm đưc n0 ∈ N sao cho m > n0 ⇒∞n=m P (A(n)) < ε, do đó ta có

P

lim sup

n→∞A(n)

≤ P

∞n=m

A(n)

≤

∞n=m

P (A(n)) < ε,

và suy ra kt qu.

B đ Borel-Cantelli s 2 xem Rosenthal [24], t.26.

2.5.2 S đan xen

Đt Y = (Y (t), t ≥ 0) là mt quá trình Lévy vi bưc nhy b chn bi 1, khi đó ta cókhai trin Lévy-Itô

Y (t) = bt + BA(t) +

|x|<1

xN (t,dx)

vi t ≥ 0. Đ cu trúc sau không tm thưng ta gi s Y có c bưc nhy nh tùy ý,khi đó tn ti 0 < a < 1 sao cho ν ((−a, a)) = 0.Xác đnh dãy (εn, n ∈ N) đơn điu gim v 0 bi

εn = supy ≥ 0, 0<|x|<yx2ν (dx) ≤ 1

8n,

trong đó ν là đ đo Lévy ca Y .Đnh nghĩa mt dãy kt hp các quá trình Lévy Y n = (Y n(t), t ≥ 0), trong đó c cami bưc nhy b chn trên bi 1 và chn dưi bi εn như sau

Y n(t) = bt + BA(t) +

εn≤|x|<1

xN (t,dx)

= C n(t) +

εn≤|x|<1

xN (t,dx),

trong đó,

vi mi n ∈ N, C n là chuyn đng Brown vi đ dch chuyn cho biC n(t) = BA(t) + t

b −

εn≤|x|<1

xν (dx)

, vi t ≥ 0

và εn≤|x|<1 xN (t,dx) là mt quá trình Poisson phc hp vi bưc nhy ∆Y (t) ti thi

đim (T mn , m ∈ N).Ta có th xây dng quá trình Y n bng s đan xen:

Y n(t) =

C n(t) vi 0 ≤ t < T 1n ,

C n(T 1n) + ∆Y (T 1n) vi t = T 1n ,

Y n(T 1n) + C n(t)−

C n(T 1n) vi T 1n < t < T 2n ,

Y n(T 2n−) + ∆Y (T 2n) vi t = T 2n .

89




Đnh lý 2.5.2. Vi mi t ≥ 0,

limn→∞

Y n(t) = Y (t) h.c.c

và s hi t là đu trên các đon compact ca R+.

Chng minh. C đnh T ≥ 0, khi đó cho 0 ≤ t ≤ T, n ∈ N ta có

Y n+1(t) − Y n(t) =

εn+1<|x|<εn

xN (t,dx)

là mt L2-martingale. Do đó t bt đng thc martingale Doob và (2.19) ta đưc

Esup0≤t≤T |Y n+1(t) − Y n(t)|

2 ≤ 4E

(|Y n+1(t) − Y n(t)|2

)

= 4T

εn+1<|x|<εn

|x|2ν (dx) ≤ 4T

8n,

Do bt đng thc Chebyshev ta có

P

sup

0≤t≤T |Y n+1(t) − Y n(t)| ≥ 1

2n

≤ 4T

2n

và t b đ Borel suy ra

P

lim supn→∞

sup0≤t≤T

|Y n+1(t) − Y n(t)| ≥ 12n

= 0;

vì vy t (2.26) dn ti

P

lim inf n→∞

sup0≤t≤T

|Y n+1(t) − Y n(t)| <1

2n

= 1.

Do đó cho trưc ε > 0 bt kỳ, ∃ n0 ∈ N sao cho vi m, n > n0, ta có

sup0≤t≤T |Y n(t) − Y m(t)| ≤

n−1r=m

sup0≤t≤T |Y r+1(t) − Y r(t)| <

n−1r=m

12r < δ

vi xác sut 1, t đây ta thy (Y n(t), n ∈ N) là Cauchy đu hu chc chn trên đoncompact và do đó nó hi t đu hu chc chn trên đon compact.

Cho X là mt quá trình Lévy bt kỳ; khi đó t khai trin Lévy-Itô ta có vi t ≥ 0,

X (t) = Y (t) +

|x|≥1

xN (t,dx).

Nhưng |x|≥1 xN (t,dx) là mt quá trình Poisson phc hp, do đó qu đo ca X nhnđưc t mt quá trình đan xen m rng vi các bưc nhy có c ln hơn 1.

90




2.6 Na martingale

Ta gi X là mt na martingale nu nó là mt quá trình thích nghi sao cho vi t≥

0,

X (t) = X (0) + M (t) + C (t),

trong đó M = (M (t), t ≥ 0) là mt martingale đa phương và C = (C (t), t ≥ 0) là mtquá trình thích nghi có bin phân hu hn. Trong nhiu trưng hp M có th là mtmartingale.Khai trin Doob-Meyer suy ra (M (t)2, t ≥ 0) là mt na martingale khi M là bìnhphương kh tích.

Mnh đ 2.6.1. Mi quá trình Lévy là mt na martingale.

Chng minh. Do khai trin Lévy-Itô ta có vi t

≥0,

X (t) = M (t) + C (t),

trong đó

M (t) = BA(t) +

|x|<1

xN (t,dx), C (t) = bt +

|x|≥1

xN (t,dx).

Ta thy trên M = (M (t), t ≥ 0) là mt martingale.Nhưng Y (t) =

|x|≥1 xN (t,dx) là mt quá trình Poisson phc hp và do đó vi phân

hoch P bt kỳ ca [0, t] ta có

varP (Y ) ≤ 0≤s≤t

|∆X (s)|1[1,∞)(∆X (s)) < ∞ h.c.c,

và suy ra điu phi chng minh.

Chú ý nu F b chn đa phương và đo đưc và N là tp trên đó C không có binphân hu hn; khi đó ta có th xác đnh t

0

F (s)dC (s)(ω) =

t0

F (s)(ω)dC (s)(ω) nu ω ∈ Ω − N ,0 nu ω ∈ N .

Ta xác đnh mt đ đo ngu nhiên M X trên R+ × Rd

M X(t, A) = #0 ≤ s ≤ t; ∆X (s) ∈ Avi t ≥ 0, A ∈ B(Rd). Ta có phn bù ν X luôn luôn tn ti và là đ đo ngu nhiên trênR+ ×Rd. Mt khác

Rd

f (x)[M X(t,dx) − ν X(t,dx)] là mt martingale vi mi hàm đođưc f sao cho tích phân tn ti.Vi ∀ t ≥ 0 ta có khai trin

X (t) = B(t) + X c(t) +

Rd

h(x)[M X(t,dx) − ν X(t,dx)]

+ Rd

[x − h(x)]M X(t,dx),

91




trong đó X c là mt martingale đa phương liên tc và B là mt quá trình thích nghi.Ánh x h đây là mt hàm ct (truncation function), do đó h b chn và có giá compact

và h(x) = x trong mt lân cn ca gc.Vit C ij =

X ci , X c j

; khi đó b ba đc trưng ca na martingale X là (B , C , ν X). Chúý là B ph thuc vào cách chn h.

92



Phn II

ng dng trong tài chính

93



Chương 3

Gii thiu mô hình th trưng Lévy

3.1 Các tài sn tài chínhC phiu

Cơ s ca kinh t hin đi là công ty đưc s hu bi các c đông ca nó; các c phiucung cp mt phn quyn s hu ca công ty, phân chia li nhun theo vn đu tư.

C phiu đưc phát hành bi công ty đ huy đng qu. Giá tr ca c phiu phnánh giá tr tài sn thc ca công ty và kh năng sinh li ca c tc công ty. Vi cáccông ty đưc giao dch trên th trưng chng khoán, c phiu đưc yt giá và giao dch

th trưng chng khoán hay s giao dch chng khoán.Th trưng chng khoán bt đu t năm 1531 Antwerp và Belgium. Hin nay có

hơn 150 th trưng chng khoán trên khp th gii.

C tc

C tc là loi c phiu cá nhân mà li nhun đưc phân chia gia các c đông ca mttp đoàn hay mt công ty t l vi s c phiu h đang nm gi. C tc thưng phitr bng tin mt, đôi khi s phân chia lãi sut đưc thc hin dưi dng các c phiub sung.

Quá trình giá c phiu

Ta s mô hình quá trình giá c phiu bng mt quá trình liên tc theo thi gian. Taký hiu quá trình giá c phiu bi S = S t, t ≥ 0; S t cho ta giá c phiu ti thi đimt ≥ 0.

94



Chương 3. Gii thiu mô hình th trưng Lévy

3.2 Chng khoán phái sinh (Derivative Securities)

Sau khi tìm mt mô hình chp nhn đưc cho quá trình giá c phiu, bưc tip theolà đnh giá sn phm phái sinh tài chính trên tài sn cơ s.

Các quyn phái sinh (Contingent claim)

Mt ‘chng khoán phái sinh’ hay phái sinh là mt chng khoán mà giá tr ph thucvào giá tr ca các chng khoán cơ c khác cơ bn hơn. Đ cho chính xác, mt chngkhoán phái sinh, hay quyn phái sinh là mt hp đng tài chính mà giá tr ti thiđim đáo hn T đưc xác đnh mt cách chính xác bi quá trình giá ca các tài sntài chính cơ s ti thi đim T .

Các dng phái sinhCác chng khoán phái sinh có th đưc phân thành ba tiêu đ tng quát: các quynchn (options), các kỳ hn (forwards) và hp đng giao sau và hp đng chuyn đi(futures and swarps). đây ta ch yu nói v các quyn chn mc dù các k thutđnh giá đưc trình bày chương sau có th áp dng tt cho các hp đng giao sau vàhp đng chuyn đi và các kỳ hn.

3.2.1 Các quyn chn

Quyn chn là mt công c tài chính cho mt quyn (nhưng không phi là nghĩa v) đthc hin mt giao dch tiêu chun ti mt thi đim tiêu chun vi mt giá tiêu chun.

Quyn chn là đc quyn đưc bán (c phiu) bi mt bên cho bên kia. Quyn đưcnhưng li bi ngưi bán quyn chn. Ngưi bán quyn chn đưc gi là ngưi bán(seller or writer of the option). Ngưi mua quyn chn đưc gi là ngưi mua (optionbuyer).

Các dng quyn chn

Có nhiu dng quyn chn khác nhau. đây ta gii thiu các dng quyn chn cơ

bn. Quyn chn mua (call option ) cho ta quyn mua c phiu. Quyn chn bán (put option ) cho ta quyn bán c phiu.

Quyn chn kiu Châu Âu cho ta quyn mua/bán vào ngày tiêu chun, ngày đáohn (expiry date), khi quyn chn ht hn hay đáo hn (the option expires or matures).

Các quyn chn mua và bán kiu Châu Âu là các quyn chn thông thưng (plain vanilla ) vì chúng rt cơ bn.

Các quyn chn phc tp hơn thưng đưc gi là quyn chn ngoi lai (exotic). Các

quyn chn kiu M (American options) cho ta quyn mua/quyn bán ti thi đimtrưc ngày đáo hn (time prior) hay ti ngày đáo hn (expiry). Các quyn chn kiu

95




Châu Á (Asian options) ph thuc giá trung bình trên mt giai đon. Quyn chn nhìn li (Lookback options) ph thuc giá cc đi hay giá cc tiu trên mt giai đon.Quyn chn vi rào cn (Barrier options) ph thuc mc giá đt đưc.

Hàm thc thi và hàm hoàn tr (Strike and Payoff Function)

Giá giao dch mua bán cơ s vào ngày đáo hn đưc gi là giá thc hin hay giá thcthi (exercise price or strike price). Ta thưng ký hiu giá thc thi bi K , thi đimban đu (initial time) bi t = 0 và thi đim đáo hn hay thi đim cui (expiry orfinal time) bi t = T .

Hàm hoàn tr (payoff ) ca mt quyn chn là giá tr ca nó ti thi đim đáo hn.Đi vi mt quyn chn mua kiu Châu Âu vi mt giá thc thi K , hàm hoàn tr là

K =

S T − K nu S T > K,

0 nơi khác.

Hay đ gn hơn ta vit hàm hoàn tr là (S T − K )+. Nu S t > K , quyn chn làtrong giá (in the money ); nu S t = K , quyn chn là đúng giá (at the money ); và nuS t < K , quyn chn là ngoài giá (out of the money ).

3.3 Đ chênh th giá (Arbitrage)

3.3.1 Cp đôi quyn chn mua-quyn chn bán (The Put-Callparity)

Ta s s dng lp lun da trên đ chênh th giá đ suy ra mi liên h cơ bn giaquyn chn mua và quyn chn bán hay còn gi là cp đôi quyn chn mua-quyn chnbán. Mi liên h này không ph thuc mô hình dáng điu giá c phiu. Đó là kt qumô hình đc lp da trên gi đnh không có đ chênh th giá (no-arbitrage).

Gi s ta có c phiu có giá tr là S t ti thi đim t vi quyn chn mua và quynchn bán kiu Châu Âu có giá tr theo th t là C t và P t, thi đim đáo hn (expiry

time) T và giá thc thi (strike price) K . Xét t hp đu tư gm có mt c phiu, mtquyn chn bán và mt v th ngn trong mt quyn chn mua (ngưi nm gi t hpđu tư vit quyn chn mua); vit Πt cho giá tr ti thi đim t ca t hp đu tư này.Như vy,

Πt = S t + P t − C t.

Nh li hàm hoàn tr ti thi đim đáo hn là

C T = maxS T − K, 0 = (S T − K )+, đi vi quyn chn mua,

P T = maxK − S T , 0 = (K − S T )+, đi vi quyn chn bán.

96




Do đó, hàm hoàn tr cho t hp đu tư trên ti thi đim T ,

ΠT =S T + 0

−(S t

−K ) = K nu S T

≥K,

S T + (K − S t) − 0 = K nu S T ≤ K.

Do đó t hp đu tư này bo đm mt hoàn tr K ti thi đim T . Cách làm khôngri ro đ đm bo mt hoàn tr K ti thi đim T là gi K exp(−r(T − t)) vào ngânhàng và không làm gì ht. Ta gi đnh th trưng không có đ chênh th giá, khi đó giátr ca t hp đu tư ti thi đim t là K exp(−r(T − t)).

Nu t hp đu tư đưc chào giá rt r đ bán ti thi đim t, vi giá là

Πt < K exp(

−r(T

−t)),

thì ta có th mua nó; ta vay ngân hàng mt khon là K exp(−r(T − t)), khi đó ta sthu đưc mt li nhun dương là

K exp(−r(T − t)) − Πt > 0.

Ti thi đim T t hp đu tư ca ta thu đưc li nhun K, trong khi khon n ngânhàng tăng ti K . Ta xóa tài khon bng tin mt - s dng đ hoàn tr cho cái khác- do đó gi đưc khon li nhun đu tiên không ri ro.Mt khác, nu t hp đu tư đưc đnh giá quá cao ti thi đim t, vi giá là

Πt > K exp(−r(T − t)),

thì ta có th làm ngưc li. Ta bán t hp đu tư thiu, đó là: ta mua mt quyn chnmua, vit mt quyn chn bán, bán mt c phiu và đu tư Πt > K exp(−r(T − t)),vào tài khon ngân hàng, ta thu đưc li nhun dương là Πt − K exp(−r(T − t)) > 0.Ti thi đim T , khon n ngân hàng tăng ti K , ta li xóa tài khon tin mt - sdng đ tr các khon n K trên t hp đu tư ta đã bán thiu và gi đưc khon linhun đu tiên không ri ro.

3.4 Ưc lưng tham s

đây ta tp trung ưc lưng tham s ca hàm mt đ. Ký hiu hàm mt đ bif (x; θ); θ là tp các tham s không bit đưc ưc lưng. Gi s ta có n quan trc đclp x1, . . . , xn ca mt bin ngu nhiên X . T các quan trc này, ta s suy ra các ưclưng hp lý cho tp tham s θ. Chú ý là dưi s điu chnh quá trình Lévy, li nhunlog (log returns) trên các khong thi gian ri nhau có đ dài c đnh (ví d 1 ngày) scó phân phi đc lp và đng nht (i.i.d.). Có nhiu phương pháp đc bit cho ta ưclưng hp lý; trong đó có phương pháp ưc lưng hp l cc đi (maximum-likelihoodestimation).

97




Ưc lưng hp l cc đi

Ưc lưng hp l cc đi (MLE) θMLE là tp tham s cc đi hóa hàm hp l

L(θ) =ni=1

f (xi; θ).

Do đó ta chn giá tr các tham s làm cc đi d liu xut hin ngu nhiên hay hp l.

Cc đi biu thc tương đương vi cc đi logarit ca biu thc đó. Vì vy thnhthong ta cc đi hóa hàm hp l logarit,

log L(θ) =n

i=1log f (xi; θ).

Đ cc đi hóa hàm hp l logarit ta da trên qui trình s; tuy nhiên trong mtvài trưng hp các ưc lưng này có th đưc tính mt cách rõ ràng. Ưc lưng MLEcho trung bình và phương sai ca phân phi chun đưc cho bi trung bình mu vàphương sai mu:

µMLE =1

n

ni=1

xi, σ2MLE =

1

n

ni=1

x2i −

1

n

ni=1

xi

2.

3.5 Mô hình th trưng LévyThay vì mô hình hóa li nhun log vi mt phân phi chun, ta thay nó bi phân phikh phân vô hn phc tp hơn. Đt X = X t, t ≥ 0 là mt quá trình Lévy. Gi sth trưng ca ta bao gm mt tài sn không ri ro (trái phiu) vi quá trình giá chobi Bt = exp(rt) và mt tài sn ri ro (c phiu). Mô hình cho tài sn ri ro là

S t = S 0 exp(X t).

Li nhun log: log(S t+s/S t) ca mô hình trên theo phân phi ca các gia s có chiudài s ca quá trình Lévy X .

Có nhiu mô hình th trưng Lévy đưc nghiên cu chi tit. Madan và Seneta (1990)[50] đ xut mô hình VG, Eberlein và Keller (1995) [51] đ ngh mô hình Hyperbolicvà Barndorff-Nielsen (1995) [52] vi mô hình NIG. C ba mô hình này là các trưnghp đc bit ca mô hình Generalized Hyperbolic đưc phát trin bi Eberlein và cáccng s trong chui các bài báo (Eberlein và Prause 1998; Eberlein et al . 1998; Prause1999). Carr et al . 2003 [37] gii thiu mô hình CGMY. Cui cùng, mô hình Meixnerđưc gii thiu trong Schoutens (2003) [5].

Vì lut phân phi ca X t là kh phân vô hn, khi đó vi mi n nó có th đưc biu

din như tng ca n bin ngu nhiên có phân phi đc lp đng nht, vi lut phânphi ca X t/n là lut thông thưng.

98




Thành phn khuch tán

Theo Geman et al. (2002) [54] các quá trình giá cho các tài sn tài chính phi có mt

thành phn nhy nhưng không nht thit có thành phn khuch tán. Các bưc nhy làcn thit đ gi li nhng di đng ln xut hin ngu nhiên. S gii thích cho vic sdng thành phn khuch tán là nó gi li nhng di đng nh xut hin thưng xuyên.

Tuy nhiên hu ht các mô hình nhy thun túy đưc đ cp trên là các quá trìnhLévy hot đng vô hn, tc là vi

+∞−∞ ν (dx) = ∞, và chúng có th gi li c nhng

di đng ln him gp và nhng di đng nh thưng gp. Hot đng vô hn đưc kđn do mt s ln các bưc nhy nh. Hot đng thc nghim ca các mô hình nàykhông đưc hiu chnh bng cách thêm vào các thành phn khuch tán cho li nhun.Do vy ta ch yu tp trung vào trưng hp ly X là mt quá trình nhy thun túy,tc là vi không thành phn Brown (σ = 0).

3.5.1 Đ đo martingale tương đương

Ta có hai cách tìm đưc đ đo martingale tương đương đ đnh giá các tài sn pháisinh.

Phép bin đi Esscher

Theo Gerber và Shiu (1996) [50], ta có th s dng phép bin đi Esscher đ tìm trongmt vài trưng hp ít nht mt đ đo martingale tương đương Q. Đt f t(x) là hàmmt đ ca phân phi ca X t.

Cho s thc θ ∈ θ ∈ R| +∞−∞ exp(θy)f t(y)dy < ∞ ta có th đnh nghĩa mt hàm mtđ mi

f (θ)t (x) =

exp(θx)f t(x) +∞−∞ exp(θy)f t(y)dy

. (3.1)

Ta chn θ sao cho quá trình giá chit khu exp(−(r − q)t)S t, t ≥ 0 là mtmartingale, tc là

S 0 = exp(−(r − q)t)E(θ)[S t], (3.2)

trong đó kỳ vng đưc ly theo lut phân phi vi hàm mt đ f (θ)t (x). Đt φ(u) =

E[exp(uiX 1)] ký hiu hàm đc trưng ca X 1. Khi đó t (3.2) đ ch ra quá trình giá

chit khu là mt martingale, ta cn có

exp(r − q) =φ(−i(θ + 1))

φ(−iθ)(3.3)

Nghim ca phương trình trên là θ, cho ta đ đo martingale bin đi Esscher qua hàmmt đ f (θ)t (x).

Đ bit thêm v phép bin đi Esscher cho lp đc bit ca na martingale vinhng ng dng trong tài chính và bo him, xem Buhlmann et al. (1996) [53].

99




Cui cùng ta có chú ý nu φ là hàm đc trưng và [γ, σ2, ν ] là b ba đc trưng caX 1, khi đó hàm đc trưng φ(θ) ca đ đo bin đi Esscher đưc cho bi

log φ(θ)(u) = log φ(u − iθ) − log φ(−iθ).

Hơn na, lut phân phi này vn là kh phân vô hn và b ba Lévy ca nó

[γ (θ), (σ(θ))2, ν (θ)]

đưc cho bi

γ (θ) = γ + σ2θ +

1−1

(exp(θx) − 1)ν (dx),

σ(θ) = σ,

ν (θ) = exp(θx)ν.

Ví d:

Phân phi Meixner.

Nu li nhun log (dưi đ đo P ) theo lut phân phi Meixner(α,β,δ,m), khi đóvi bin đi Esscher đ đo martingale tương đương Q ca ta theo mt phân phiMeixner(α,αθ(∗) + β, δ, m) (Schoutens (2002) [7]), trong đó θ∗ đưc cho bi

θ∗ = −1

α

β + 2 arctan−

cos(α/2) + exp((m

−r + q)/(2δ))

sin(α/2)

.

Phân phi NIG.

Nu li nhun log dưi đ đo P theo mt lut phân phi NIG(α,β,δ,m), khi đó (3.3)tr thành

r − q = m + δ(

α2 − (β + θ)2 −

α2 − (β + θ + 1)2)

đ đo martingale tương đương Q ca ta theo mt phân phi NIG(α, θ∗ + β,δ,m).

Đ đo martingale hiu chnh trung bình (Mean-Correcting martingale mea-

sure)

Cách khác đ có đưc mt đ đo martingale tương đương Q là hiu chnh trung bìnhmũ ca mt quá trình Lévy. Đu tiên ta ưc lưng mi tham s ca quá trình giá tàisn đc bit S t nào đó, khi đó ta thêm vào mt h s dch chuyn ω ∈ R bng cáchxp x sao cho quá trình giá c phiu chit khu tr thành mt martingale. Đc bit,vit q ∈ R cho lãi sut c tc, trong vic hiu chnh quá trình Lévy mũ, điu kin

EQ[S (t)] = S (0)et(r−q)

choω = r − q − log(φ(−i)),

100




trong đó φ là hàm đc trưng ca S 1.

Ta lit kê các h s dch chuyn trung hòa ri ro hiu chnh trung bình cho mt squá trình Lévy:

Mô hình ωVG r − q + C log((M − 1)(G + 1)/(MG))CGMY r − q − C Γ(−Y )((M − 1)Y − M Y + (G + 1)Y − GY )

NIG r − q + δ(

α2 − (β + 1)2 − α2 − β 2)

Meixner r − q − 2δ(log(cos(β/2)) − log(cos((α + β )/2)))

3.5.2 Mô hình ch s S&P 500 vi quá trình Lévy

Ta minh ha lý thuyt bng ch s S&P 500, là trung bình ca 500 c phiu chính M.

Hình 3.1 Ch s S&P 500 hiu chnh giá đóng ca t 03 − 06 − 2002 ti03 − 06 − 2007, 1259 ngày giao dch đưc cp nht bi Yahoo Finance

Hình 3.2 Log-return ca ch s S&P 500 hiu chnh giá đóng ca

101



Chương 4

S vn dng mô hình ngưc

4.1 Đnh giá quyn chn trung hòa ri ro (Risk-neutral option pricing)

Gi s giá ca tài sn không ri ro (risk-free asset) B(t) tha phương trình vi phânthưng sau:

dB(t) = rB(t)dt,

trong đó r ≥ 0 đưc gi là lãi sut . Hơn na, ta gi s giá ca mt tài sn có ri ro (arisky asset) cho bi

S t = S 0eX(t),

trong đó X (t) là mt quá trình Lévy. đây, quá trình Lévy là mt trong các dngchun, Meixner, NIG hoc CGMY. Th trưng không có đ chênh th giá (arbitrage-free).

Ta có đ chênh th giá (arbitrage) là mt chin lưc đu tư (portfolio strategy) saocho mt ngưi bt đu vi s vn 0 và ti mt thi đim tương lai T nào đó chc chnkhông có tin mt đi và có mt xác sut dương kim đưc tin.

Do đnh lý cơ bn đu tiên v đnh giá tài sn (xem Shreve [49]), ta có nu tn

ti mt đ đo xác sut trung hòa ri ro (a risk-neutral probability measure) thì khôngcó đ chênh th giá. Xác sut trung hòa ri ro này là mt đ đo martingale Q tươngđương vi đ đo xác sut P sao cho giá tài sn cơ s là mt martingale đa phương Q.

Mt quyn chn mua kiu Châu Âu (European call option) là quyn mua mt quynphái sinh (contingent claim) hay còn gi là mt tài sn phái sinh (derivative) nhưngkhông b ràng buc ti thi đim đáo hn T (time of maturity ) đ c đnh giá thc thi(strike price) K . Khi đó hàm hoàn tr (payoff function ) đưc cho bi

G(S T )(S T − K )+.

Giá tr không có đ chênh lch th giá (arbitrage-free) ca quyn chn ti thi đim

102



Chương 4. S vn dng mô hình ngưc

t < T đưc đnh nghĩa như sau

Πt = e−r(T −t)EQ[max(S T

−K, 0)], (4.1)

trong đó Q là mt đ đo trung hòa ri ro.

4.2 Công thc đnh giá các quyn chn Châu Âuthông thưng

4.2.1 Công thc Black-Schole

Vì mô hình th trưng Black-Schole là đy đ nên tn ti duy nht mt đ đo martingale

tương đương Q. Dưi đ đo Q, giá c phiu theo mt chuyn đng Brown hình hc. Quátrình giá c phiu trung hòa ri ro có cùng tham s đ bin đng (volatility parameter)σ vi chuyn đng Brown hình hc nhưng đ dch chuyn µ thay đi theo hiu s calãi sut không ri ro r và hoa li c tc q:

S t = S 0 exp

σW t + (r − q − 1

2σ2)t

.

Ta cũng có

S T = S t expσ(W T − W t) + (r − q − 1

2σ2)(T − t).

S dng (4.1) ta đưc giá quyn chn mua kiu Châu Âu C (K, T ) trên c phiu(vi quá trình giá S ) vi giá thc thi K và thi đim đáo hn T (hàm hoàn trG(S T ) = (S T − K )+) là

C (K, T ) = EQ[e−r(T −t)(S T − K )+]

= EQ[e−r(T −t)(S teσ(W T −W t)+(r−q− 1

2σ2)(T −t) − K )+]

= EQ[e−rτ (S te−σ√τY +(r−q− 1

2σ2)τ − K )+],

trong đó τ = T

−t và Y =

−W T −W t√T −t

là bin ngu nhiên chun.

Ta vit

d1 =1

σ√

τ

log

S tK

+

r − q +1

2σ2

τ

,

d2 =1

σ√

τ

log

S tK

+

r − q − 1

2σ2

τ

,

Do đó d1 = d2 + σ√

τ .

103




Vì vy ta đưc

C (K, T ) =

1

2π d2−∞ e−

rT S t exp

− σ√τ y +

r − q −1

2 σ2

τ − K

e−

12y2

dy

=1

2π

d2−∞

S t exp− σ

√τ y −

q +1

2σ2

τ − 1

2y2

dy − 1

2π

d2−∞

e−rT Ke−12y2dy

=1

2π

d2−∞

S t exp− 1

2

y + σ

√τ

dy − 1

2π

d2−∞

e−rT Ke−12y2dy

= S te−qτ N (d1) − e−rτ KN (d2) (4.2)

trong đó N (x) là hàm phân phi xác sut cho mt bin có phân phi chun (Normal(0, 1)).T đây ta d dàng có đưc giá ca quyn chn bán kiu Châu Âu trên cùng c phiu

vi cùng giá thc thi K và thi đim đáo hn T :P (K, T ) = −S te

−qτ N (−d1) + e−rτ KN (−d2).

4.2.2 S dng phép bin đi Fourier nhanh (FFT) đ đnh giáquyn chn

Bin đi Fourier ca giá quyn chn

Ta s ưc lưng giá ca mt quyn chn mua kiu Châu Âu da trên quá trình giá cphiu S

tvi giá thc thi K và thi đim đáo hn T .

Ta vit k = log(K ) và sT = log(S T ).

Đt C T (k) ký hiu giá quyn chn và qT là hàm mt đ xác sut trung hòa ri roca quá trình giá lôgarit sT .

Hàm đc trưng ca hàm mt đ qT cho bi

φT (u) =

∞

−∞eiusqT (S )ds.

Ta có s liên h gia giá quyn chn và hàm mt đ trung hòa ri ro cho bi

C T (k) =

∞k

e−rT (es − ek)qT (s)ds.

đây C T (k) không bình phương kh tích vì khi k → −∞ thì K → 0, ta có C T → S 0.

Đ có đưc hàm bình phương kh tích, Carr và Madan [8] đ ngh hiu chnh giácT (k) như sau

cT (k) = eαkC T (k),

104




vi α > 0 thích hp.

đây Carr và Madan [8] gi ý chn α≈

0.25, trong khi Schoutens [5] đ nghα ≈ 0.75. Giá tr ca α nh hưng đn tc đ hi t.

Phép bin đi Fourier ca cT (k) cho bi

ψT (v) =

∞−∞

eivkcT (k)dk.

Phép bin đi Fourier ngưc cho ta công thc ngưc tương ng

cT (k) =1

2π

∞−∞

e−ivkψT (v)dv.

T các công thc trên ta có đưc công thc giá quyn chn C T (k) sau:

C T (k) =exp(−αk)

2π

∞−∞

e−ivkψT (v)dv

=exp(−αk)

π

∞0

e−ivkψT (v)dv, (4.3)

Ta có th biu din ψT theo φT (k) như sau

ψT (v) = ∞

−∞

eivk ∞

k

eαke−rT (es

−ek)qT (s)dsdk

=

∞−∞

e−rT qT (s)

s−∞

(es+αk − ek+αk)eivkdkds

=

∞−∞

e−rT qT (s)

e(α+1+iv)s

α + iv− e(α+1+iv)s

α + 1 + iv

ds

= e−rT ∞−∞

qT (s)e(α+1+iv)s

(α + iv)(α + 1 + iv)ds

=e−rT φT (v − (α + 1)i)

α2 + α − v2 + i(2α + 1)v. (4.4)

Phép bin đi Fourier nhanh (Fast Fourier Transformation-FFT)

Phép bin đi Fourier nhanh (FFT) là mt thut toán hiu qu đ tính tng sau

ω(k) =N j=1

e−i2π( j−1)(k−1)/N x( j), (4.5)

trong đó N thưng là lũy tha ca 2.

FFT là mt k thut xp x ri rc ca phép bin đi Fourier đưc s dng ph

bin đ làm gim bt vic tính toán.

105




đây ta s dng FFT (4.5) đ biu din mt cách xp x (gn đúng) phương trình(4.3) như sau

C T (k) ≈ exp(−αk)

π

N j=1

e−ivjkψT (v j)η (4.6)

vi giá tr các tham s và các quy ưc sau (đưc đ xut bi Carr và Madan [8])

v j = η( j − 1), N = 4096, a = N η = 600, b =N λ

2, ku = −b +

2b

N (u − 1), λη =

2π

N .

đây a là gii hn trên ca tích phân, ku là mt vectơ N giá tr ca k và b đt

mt gii hn trên giá thc thi lôgarit t −b ti b.Khi đó công thc (4.6) đưc vit li như sau

C T (k) ≈ exp(−αku)

π

N j=1

e−iλη( j−1)(u−1)eibvjψT (v j)η.

4.3 S vn dng mô hình

Trong phn này ta s s dng giá quyn chn ban đu đ vn dng mô hình tham s.

Bài toán đnh giá liên quan ti vic tính toán giá quyn chn cho bi các thams mô hình; còn bài toán vn dng liên quan ti vic tính toán các tham s mô hìnhcho bi giá quyn chn. Do đó bài toán vn dng là bài toán ngưc ca bài toán đnh giá.

Đ so sánh, ta tính đ lch trung bình tuyt đi như là phn trăm ca giá trungbình; ký hiu bi APE:

APE =1

giá quyn chn trung bình các quyn chn

|giá th trưng − giá mô hình|s quyn chn

.

Ta có các công thc ưc lưng s phù hp là đ lch trung bình tuyt đi (the

average absolute error) AAE, đ lch phn trăm trung bình tương đi (the averagerelative percentage error) APRE và căn bc hai đ lch trung bình bình phương (theroot-mean-square error) RMSE:

AAE =

các quyn chn

|giá th trưng − giá mô hình|s quyn chn

,

106




ARPE =

1

s quyn chn

các quyn chn |giá th trưng

−giá mô hình

|giá th trưng ,

RMSE =

các quyn chn

(giá th trưng − giá mô hình)2

s quyn chn.

4.4 Các kt qu vn dng

Ta s dng giá quyn chn mua gc S&P 500 vào ngày 01 − 06 − 2007 t YahooFinance đưc ghi bng ph lc A. Giá th trưng đưc chn t tháng 6 − 2007 titháng 12 − 2008. Giá thc thi t 1300 ti 2000 vi gia s 25 t 1300 ti 1700 và gia s100 t 1700 ti 2000. Ch s giá lúc đóng ca là 1536.34.

Mt s quyn chn có hai ch s giá khác nhau vi cùng thi đim đáo hn và giáthc thi. Trong trưng hp đó, ta chn ch s giá có lưng giao dch cao nht. Ta khôngđưa vào giá quyn chn nh hơn 1.

4.4.1 S la chn d liuCó 4 kiu giá quyn chn mua khác nhau: giá đóng ca (the close price), giá đt mua(the bid price), giá chào bán (the ask price) và trung bình ca giá đt mua và giá chàobán (mean of bid and ask price).

Vi mt s quyn chn có lưng giao dch ít thì giá đóng ca và giá mua bán có skhác bit ln. Vi các quyn chn giao dch thưng xuyên thì gia giá đt mua và giáchào bán có s phù hp; còn các quyn chn giao dch ít, thi đim giao dch cui cóth t rt lâu nên s giao dch cui không biu th giá tr thc ca quyn chn.

107




Hình 4.1 Tp d liu quyn chn

T hình trên ta thy giá đóng ca có nhiu khong lch so vi giá đt mua vàgiá chào bán. Do đó ta kt lun giá đt mua và giá chào bán s dng tt hơn giá đóngca.

Bng kt qu s vn dng mô hình NIG sau đây cho ta thy vic s dng giá đtmua, giá chào bán và s dng trung bình ca giá đt mua và giá chào bán là như nhau:

NIG Giá mua Giá bán Trung bình ca giá mua và bánAPE 0.0176 0.0137 0.0140AAE 2.2634 1.7956 1.8120ARPE 0.1089 0.0840 0.0894RMSE 0.9162 0.3381 0.1501

Bng 4.1 Thng kê s vn dng mô hình NIG

Vy s dng giá đt mua, giá chào bán và trung bình ca giá đt mua và giá chào bántt hơn giá đóng ca. Do đó ta s s dng trung bình ca giá đt mua và giá chào bánnhư d liu quyn chn th trưng đ vn dng mô hình.

4.4.2 Kt qu vn dng mô hình

Hai bng sau ch ra s vn dng các tham s mô hình cùng vi các giá tr tương ngca APE, AAE, ARPE và RMSE.

108




Mô hình Tham sChun σ

0.1531

CGMY C G M Y0.0156 0.0767 7.5500 1.29960

NIG α β θ5.0364 −3.3199 0.0881

Meixner α β θ0.3400 −1.4900 0.2900

Bng 4.2 Kt qu vn dng

Chun CGMY Meixner NIGAPE 0.0575 0.0121 0.0120 0.0140AAE 7.4543 1.5632 1.5553 1.8120ARPE 0.3093 0.0793 0.0846 0.0894RMSE 1.0244 0.0026 0.0426 0.1501

Bng 4.3 APE, AAE, ARPE và RMSE cho s vn dng

S vn dng cho các quá trình CGMY, NIG và Meixner là như nhau v cht lưngvà thc hin tt hơn vn dng đi vi mô hình chun.

Hình 4.2 S vn dng mô hình chun cho giá quyn chn S&P 500

109




Hình 4.3 S vn dng mô hình NIG cho giá quyn chn S&P 500

Hình 4.4 S vn dng mô hình CGMY cho giá quyn chn S&P 500

110




Hình 4.5 S vn dng mô hình Meixner cho giá quyn chn S&P 500

111



Chương 5

K thut mô phng

5.1 S mô phng ca các quá trình ngu nhiên cơbn

5.1.1 S mô phng ca chuyn đng Brown tiêu chun

Vì chuyn đng Brown tiêu chun B = Bt, t ≥ 0 có các s gia đc lp và có phânphi chun nên vic mô phng quá trình này tương đi d. Ta ly bưc thi gian vic ∆t (gi s ∆t rt nh). Ta mô phng giá tr ca chuyn đng Brown ti các thiđim n∆t, n = 0, 1, . . .. Ta có

B0 = 0, Bn∆t = B(n−1)∆t + √∆tvn, n ≥ 1,

trong đó vn, n = 1, 2, . . . là mt dãy s ngu nhiên chun.Tham kho thêm trong Jackel (2002) [39] các biu đ mô phng và các ng dng tronglĩnh vc tài chính.

5.1.2 S mô phng ca mt quá trình Poisson

S mô phng ca mt quá trình Poisson N = N t, t ≥ 0 vi tham s cưng đ λcó th đưc thc hin bng nhiu cách khác nhau. Ta xét phương pháp phân b mũ

(exponential spacings) và phương pháp c đin da trên các đi lưng ngu nhiên đngnht (uniform random variates).

Phương pháp phân b mũ

Phương pháp phân b mũ s dng d kin thi đim ti (inter-arrival) ca các bưcnhy ca quá trình Poisson theo mt phân phi mũ Exp(λ) (expoinential distribution)vi trung bình λ−1, tc là mt phân phi Gamma(1, λ). Mt s ngu nhiên Exp(λ),en, có th tìm đưc t s ngu nhiên Uniform(0, 1), un, bi

en = −log(un)

λ .

112



Chương 5. K thut mô phng

Đts0 = 0, sn = sn−1 + en, n = 1, 2, . . . ,

khi đó ta có th ly mu qu đo ca mt quá trình Poisson các thi đim n∆t, n =0, 1, . . .:

N 0 = 0, N n∆t = sup(k : sk ≤ n∆t), n ≥ 1.

Phương pháp đuNu ta cn mô phng mt quá trình Poisson vi tham s cưng đ λ > 0 đn mt thiđim T > 0, ta có th tin hành như sau.Đu tiên đưa ra mt đi lưng ngu nhiên N vi phân phi Poisson(λT ). K tip ta môphng N s ngu nhiên đc lp đu u1, u2, . . . , uN . Ký hiu bi u(1) < u(2) < · · · < u(N )

thng kê theo th t ca dãy này. Khi đó các đim nhy ca quá trình Poisson làcác đim T u(1), T u(2), . . . , T u(N ), tc là quá trình Poisson có giá tr 0 vi đim nhy

t < Tu(1). Ti đim nhy t = T u(1), quá trình Poisson nhy đn 1 và dng đó chođn khi t = T u(2), ti t = T u(2) nó nhy đn 2 v.v...

5.2 S mô phng ca quá trình Lévy

Đ mô phng quá trình Lévy ta s dng quá trình Poisson phc hp xp x quá trìnhLévy. Đ đơn gin, ta có th thay các bưc nhy rt nh này bng giá tr trung bìnhca chúng. Trong mt vài trưng hp, ta có th thay th các bưc nhy này bi mtchuyn đng Brown. Phương pháp này đưc đ xut trên cơ s trc giác và cho mtvài trưng hp đc bit bi Rydberg (1997) [45].

5.2.1 Phép xp x Poisson phc hp

Phương pháp tng quát

Đt X là mt quá trình Lévy vi b ba Lévy [γ, σ2, ν ].Đu tiên, ta chn mt vài ε ∈ (0, 1) đ nh. Tip theo ta to ra mt phân hoch caR\[−ε, ε] có dng sau bng cách chn các s thc

a0 < a1 < · · · < ak = −ε, ε = ak+1 < ak+2 < · · · < ad+1.

Các bưc nhy ln hơn ε đưc xp x bi tng ca các quá trình Poisson đc lp theocách sau. Ta ly mt quá trình Poisson đc lp N (i) = N (i)t , t ≥ 0 vi mi khong

[ai−1, ai), 1 ≤ i ≤ k và [ai, ai+1), k + 1 ≤ i ≤ d vi cưng đ λi cho bi đ đo Lévyca tng khong. Hơn na, ta chn mt đim ci (c nhy) trong mi khong sao chophương sai ca quá trình Poisson trùng vi thành phn phương sai ca quá trình Lévyng vi khong này.

Xp x các bưc nhy nh bi giá tr trung bình ca chúng

Tip theo ta xét các bưc nhy rt nh. Phương pháp đơn gin đu tiên là thay chúngbi giá tr trung bình. Có nghĩa là ta xp x quá trình Lévy X =

X t, t

≥0

bng quá

113




trình X (d) = X (d)t , t ≥ 0 bao gm mt chuyn đng Brown B = Bt, t ≥ 0 và d quá

trình Poisson đc lp N (i) = N (i)t , t ≥ 0, i = 1, 2, . . . , d , vi tham s cưng đ λi:

X (d)t = γt + σBt +di=1

ci(N (i)t − λit1|ci|<1),

λi =

ν ([ai−1, ai)) vi 1 ≤ i ≤ k,

ν ([ai, ai+1)) vi k + 1 ≤ i ≤ d,(5.1)

c2iλi =

ai−ai−1

x2ν (dx) vi 1 ≤ i ≤ k, ai+1−ai

x2ν (dx) vi k + 1 ≤ i ≤ d,(5.2)

Nu quá trình gc không có thành phn Brown (σ = 0), khi đó ta cũng không tinhành xp x quá trình đưc.

Xp x các bưc nhy nh bi mt chuyn đng Brown

Ta vitσ2(ε) =

|x|<ε

x2ν (dx).

Ta đưa tt c các bưc nhy nh hơn ε vào thành phn Brown ca X . Đ cho chính xác,ta xp x X bng mt quá trình X (d) gm có mt chuyn đng Brown B = Bt, t ≥ 0và d quá trình Poisson đc lp N (i) =

N

(i)t , t

≥0

, i = 1, 2, . . . , d, vi tham s cưng

đ λi. Ch có thành phn Brown là khác trên. Ta có

X (d)t = γt + σBt +di=1

ci(N (i)t − λi1|ci|<1t),

trong đóσ2 = σ2 + σ2(ε),

và λi và ci, i = 1, 2, . . . , d, như trong (5.1) và (5.2) trên.Asmussen và Rosinski (2001) [34] trình bày s tho lun cht ch khi phép xp x cui

có giá tr. Xp x trên tr thành trưng hp này khi và ch khi vi mi κ > 0

limε→0

σ(κσ(ε) ∧ ε)

σ(ε)= 1. (5.3)

Điu kin trên đưc suy ra t

limε→0

σ(ε)

ε= ∞. (5.4)

Mt khác nu đ đo Lévy ca quá trình Lévy gc không có các thành phn nh tronglân cn nào đó ca đim gc, khi đó điu kin (5.3) và điu kin (5.4) là tương đương.Các kt qu da trên tc đ hi t ca phép xp x trên đưc tìm thy Asmussenvà Rosinski (2001) [34].

114




Các trưng hp đc bit

Quá trình NIG.

Trong Rydberg (1997) [45], ý tưng thay th các bưc nhy nh bi mt chuyn đngBrown đưc s dng cho trưng hp NIG. T điu kin (5.4) ta có th d dàng ch ravic thay th này có giá tr vì trong trưng hp này ta có σ(ε) ∼

2αδ/πε1/2.

Quá trình Meixner.

Đi vi quá trình Meixner ta cũng có

σ(ε) ∼

2αδ/πε1/2.

Do đó σ(ε)/ε → ∞ khi ε → 0 và ta có th thay các bưc nhy nh bi mt thànhphn Brown trong phép xp x.

Quá trình CGMY.

Mt cách tương t, đi vi quá trình CGMY ta cũng có σ(ε)/ε → ∞ khi ε → 0 chkhi Y > 0. Vì vy khi Y > 0 các bưc nhy nh mi đưc thay th bng mt thànhphn Brown trong phép xp x.

Quá trình Gamma.

trưng hp này ta có σ(ε)/ε → a/2 khi ε → 0. Do đó phép xp x các bưc nhynh bi mt chuyn đng Brown không thc hin đưc.

Quá trình VG.

Vì quá trình VG là hiu ca hai quá trình Gamma nên ta không th thay các bưcnhy nh bi mt thành phn Brown trong phép xp x.

5.3 S mô phng các quá trình đc bit

5.3.1 Quá trình GammaĐ mô phng mt quá trình Gamma, ta có th s dng mt hàm sinh s ngu nhiênGamma.

Hàm sinh s ngu nhiên Gamma

Đu tiên ta chú ý khi X là Gamma(a, b) thì X/c vi c > 0 là Gamma(a,bc). Như vyta ch cn mt hàm sinh tt cho các s ngu nhiên Gamma(a, 1).K tip, ta đưa ra hai hàm sinh có th cho các s ngu nhiên Gamma(a, 1) (ch đưcs dng khi a

≤1.) Hàm sinh đu tiên đưc gi là hàm sinh Gamma Johnk; hàm sinh

th hai là hàm sinh Gamma Berman.

115




Hàm sinh Gamma Johnk

1. To ra hai s ngu nhiên đc lp đng nht u1 và u2.

2. Đt x = u1/a1 và y = u1/(1−a)

2 .

3. Nu x + y ≤ 1 ta ti bưc 4, nu không tr v bưc 1.

4. To ra mt bin ngu nhiên Exp(1), tc là z = − log(u), vi u là mt s ngunhiên đng nht.

5. Ta có đưc zx/(x + y) như s ngu nhiên Gamma(a, 1).

Hàm sinh Gamma Berman

1. To ra hai s ngu nhiên đc lp đng nht u1 và u2.2. Đt x = u

1/a1 và y = u

1/(1−a)2 .

3. Nu x + y ≤ 1 ta ti bưc 4, nu không tr v bưc 1.

4. To ra hai s ngu nhiên đc lp đng nht u1 và u2.

5. Ta đưc −x log(u1u2) như s ngu nhiên Gamma(a, 1).

S mô phng ca quá trình Gamma

Ta d dàng mô phng qu đo mu ca mt quá trình Gamma G = Gt, t ≥ 0, trongđó Gt theo lut phân phi Gamma(at,b). Ta mô phng giá tr ca quá trình này ticác thi đim n∆t, n = 0, 1, . . . như sau.

Đu tiên to ra các s ngu nhiên Gamma(a∆t, b) đc lp gn, n ≥ 1 bng cáck thut đã mô t trên. Vì ta gi s ∆t là rt nh nên trong hu ht các trưng hpa∆t nh hơn 1 và ta có th s dng hàm sinh Berman hay hàm sinh Johnk. Khi đó

G0 = 0, Gn∆t = G(n−1)∆t + gn, n ≥ 1.

5.3.2 Quá trình VGS mô phng mt quá trình VG như hiu ca hai quá trình Gamma

Vì mt quá trình VG có th đưc biu din như hiu ca hai quá trình Gamma,s mô phng ca quá trình VG là d dàng. Chính xác hơn, mt quá trình VGX (VG) = X

(VG)t , t ≥ 0 vi các tham s C , G, M > 0 có th đưc phân tích là

X (VG)t = G(1)

t − G(2)t , trong đó G(1) = G(1)

t , t ≥ 0 là mt quá trình Gamma vi cáctham s a = C và b = M và G(2) = G

(2)t , t ≥ 0 là mt quá trình Gamma vi các

tham s a = C và b = G.

116




S mô phng mt quá trình VG như mt chuyn đng Brown bin đitheo thi gian

Ta có th mô phng mt quá trình VG như mt chuyn đng Brown bin đi theo thigian. Nh li quá trình VG có th đưc xem là chuyn đng Brown thay đi theo thigian vi đ dch chuyn. Chính xác hơn, đt G = Gt, t ≥ 0 là mt quá trình Gammavi tham s a = 1/ν > 0 và b = 1/ν > 0. Đt B = Bt, t ≥ 0 ký hiu chyn đngBrown tiêu chun. Cho σ > 0 và θ ∈ R; khi đó quá trình VG X (VG) = X

(VG)t , t ≥ 0,

vi các tham s σ > 0, ν > 0 và θ có th đưc xác đnh như sau

X (VG)t = θGt + σBGt.

Do đó qu đo mu ca quá trình VG có th nhn đưc bng cách ly mu camt chuyn đng Brown tiêu chun và mt quá trình Gamma.

Hình 5.1 Mô phng qu đo ca mt quá trình VG

5.3.3 Quá trình TS

Đi vi phân phi TS, hàm mt đ và hàm sinh s ngu nhiên đu không có giá tr. Đmô phng ta phi s dng k thut khác. Rosinski (2001) [44] đã mô t mt phương

117




pháp da trên phương pháp loi tr (rejection method).Ta xp x qu đo ca mt quá trình TS X = X t, 0 ≤ t ≤ T vi các tham s a > 0,b≥

0 và 0 < κ < 1 bi

X (K )t =

K k=1

min

2

aT

biΓ(1 − κ)

1/κ

,2eiu

1/κi

b1/κ

1(Tui<t), 0 ≤ t ≤ T,

trong đó en, n = 1, 2, . . . là mt dãy các s ngu nhiên Exp(1) đc lp; un, n =1, 2, . . ., un, n = 1, 2, . . . là dãy các s ngu nhiên Uniform(0, 1) đc lp và b1 <b2 < · · · < bi < · · · là các thi đim ti ca mt quá trình Poisson vi tham s cưngđ là 1. Ta gi s các chui trên đc lp vi nhau.

Mt khác khi K

→ ∞thì X (K )

→X đu. Vì vy ta có th mô phng toàn b qu

đo mt cách trc tip. Chú ý các s ngu nhiên en, un, un và bn là các thams đc lp.

5.3.4 Quá trình IG

Hàm sinh s ngu nhiên IG

Đ mô phng mt quá trình IG, ta có th s dng hàm sinh s ngu nhiên IG đưc đxut bi Michael et al. (1976) [41]. Đ ly mu t phân phi ta thc hin thut toánsau.

Hàm sinh IG ca Michael, Schucany và Haas.

1. To ra mt s ngu nhiên chun v.

2. Đt y = v2.

3. Đt x = (a/b) + y/(2b2) − 4aby + y2/(2b2).

4. To ra s ngu nhiên đng nht u.

5. Nu u ≤ a/(a + xb) thì ta đưc x như s ngu nhiên IG(a, b), ngưc li ta có

a

2

/(b

2

x) như s ngu nhiên IG(a, b).S mô phng ca quá trình IG s dng s ngu nhiên IG

Ta d dàng mô phng qu đo mu ca mt quá trình IG I = I t, t ≥ 0, vi I ttheo lut phân phi IG(at,b). Ta mô phng giá tr ca quá trình này ti các thi đimn∆t, n = 0, 1, . . . như sau.

Đu tiên to ra các s ngu nhiên IG(a∆t, b) đc lp in, n ≥ 1, khi đó

I 0 = 0, I n∆t = I (n−1)∆t + in, n ≥ 1.

118




Hình 5.2 Mô phng qu đo ca mt quá trình IG

5.3.5 Quá trình NIG

S mô phng mt quá trình NIG như mt chuyn đng Brown bin đitheo thi gian

Tương t như trưng hp quá trình VG, ta có th mô phng mt quá trình NIGnhư mt chuyn đng Brown bin đi theo thi gian. Nh li mt quá trình NIGX (NIG) =

X (NIG)t , t

≥0

vi các tham s α > 0,

−α < β < α và δ > 0 có th nhn

đưc bi mt chuyn đng Brown tiêu chun thay đi theo thi gian B = Bt, t ≥ 0vi đ dch chuyn và mt quá trình IG I = I t, t ≥ 0 vi các tham s a = 1 vàb = δ

α2 − β 2. Ta có

X (NIG)t = βδ2I t + δBI t.

Do đó ta có th nhn đưc qu đo mu ca quá trình NIG bng cách ly mu camt chuyn đng Brown tiêu chun và mt quá trình IG.

119




Hình 5.3 Mô phng 10 qu đo ca quá trình NIG

Hình 5.4 Mô phng 10 qu đo ca quá trình CGMY

120




Hình 5.5 Mô phng qu đo ca mt quá trình NIG

121



Chương 6

Đnh giá quyn chn ngoi lai

S hoàn tr ca quyn chn trong hu ht các trưng hp ch ph thuc vào giá tr cơs ti thi đim cui. Tuy nhiên các quyn chn qu đo ph thuc tr nên ph bintrên th trưng OTC trong hai thp k cui. Ví d ca quyn chn ngoi lai có quđo ph thuc là quyn chn nhìn li (Lookback option) và quyn chn vi rào cn(Barrier option). Các quyn chn ngoi lai khác không có ngày đáo hn và ngưi nmgi có th thc hin quyn chn bt c khi nào h mun. Loi quyn chn này đưcgi là quyn chn vô thi hn.

Trong chương này ta s xét quyn chn nhìn li và quyn chn vi rào cn và đưara giá Black-Scholes ca chúng. Sau đó ch ra nguyên tc đt đưc giá trong th trưng

Lévy. Tuy nhiên s chiu ca bài toán ln và ta cn s dng k thut s ngưc và tíchphân 3 hoc 4 lp đ tính toán.

Ta cũng xem xét các quyn chn ngoi lai khác đưc kho sát trong mô hình Lévy.Hu ht chúng đt đưc giá ch khi mô hình đưc thu hp.

Cui cùng ta ch ra phương pháp k thut Monte Carlo ưc lưng giá ca các quynchn ngoi lai kiu Châu Âu.

6.1 Quyn chn vi rào cn và quyn chn nhìn li(Barrier and Lookback options)

6.1.1 Gii thiu

Quyn chn mua (bán) nhìn li vi giá thc thi (strike) th ni có đc trưng riêng làcho phép ngưi nm gi nó bán (mua) c phiu ti đim cc tiu (cc đi) mà nó đtđưc trên thi hn ca quyn chn. S hoàn tr ca mt quyn chn vi rào cn phthuc vào vic giá ca tài sn cơ s chm giá tr ngưng (rào cn) cho trưc kỳ hn phithanh toán. Quyn chn vi rào cn đơn gin nht là ‘quyn chn đóng’ (‘knock-in’),là quyn chn ch hot đng khi giá ca tài sn cơ s chm đn rào cn, và ‘quyn chnrút ra’ (‘knock-out’) không hot đng trong trưng hp đó. Ví d quyn chn mua vi

122



Chương 6. Đnh giá quyn chn ngoi lai

rào cn trên không hot đng (up-and-out barrier call) có cùng s hoàn tr như quynchn mua thông thưng nu giá ca tài sn cơ s vn thp hơn rào cn trên thi hnca quyn chn nhưng nó tr nên vô giá tr khi giá ca tài sn cơ s chm rào cn.

Xét hp đng có thi hn T và ký hiu quá trình cc đi và cc tiu ca quá trìnhX = X t, 0 ≤ t ≤ T (theo th t) bi

M Xt = supX u; 0 ≤ u ≤ t và mXt = inf X u; 0 ≤ u ≤ t, 0 ≤ t ≤ T.

S dng giá tr trung hòa ri ro (risk-neutral valuation) và chn đ đo martingaletương đương, ta có ti đim gc, tc là t = 0, giá ca mt quyn chn mua nhìn liđưc cho bi

LC = exp(−rT )E Q[S T − mS T ];

giá gc ca mt quyn chn bán nhìn li cho bi

LP = exp(−rT )E Q[M S T − S T ].

Nh li hàm ch tiêu đưc ký hiu bi 1A, bng 1 nu A đúng và bng 0 trưng hpkhác.Đi vi quyn chn rào cn đơn (single-barrier), ta có các kiu quyn chn mua sau.

• Quyn chn mua vi rào cn dưi không hot đng (down-and-out barrier call)là vô giá tr tr khi cc tiu ca nó vn trên mc rào cn thp H nào đó, trongtrưng hp này nó vn gi cu trúc quyn chn mua kiu Châu Âu vi giá thcthi K . Giá gc ca nó đưc cho bi

DOBC = exp(−rT )E Q[(S T − K )+1(mS T > H )].

• Quyn chn mua vi rào cn dưi có hot đng (down-and-in barrier call) làquyn chn mua kiu Châu Âu tiêu chun vi giá thc thi K nu cc tiu ca nótin đn phía dưi mc rào cn thp H nào đó. Nu cc tiu ca nó không baogi chm đn mc rào cn H trong sut thi hn ca quyn chn, quyn chn làvô giá tr. Giá gc ca nó đưc cho bi

DIBC = exp(−rT )E Q[(S T − K )+1(mS T ≤ H )].

• Quyn chn mua vi rào cn trên có hot đng (up-and-in barrier call) là khôngcó giá tr tr phi cc đi ca nó chm đn mc rào cn cao H nào đó, trongtrưng hp này nó vn gi cu trúc quyn chn mua kiu Châu Âu vi giá thcthi K . Giá gc ca nó đưc cho bi

UIBC = exp(−rT )E Q[(S T − K )+1(M S T ≥ H )].

• Quyn chn mua vi rào cn trên không hot đng (up-and-out barrier call) làkhông có giá tr tr phi cc đi ca nó vn phía dưi mc rào cn cao H nàođó, trong trưng hp này nó vn gi cu trúc quyn chn mua kiu Châu Âu vigiá thc thi K . Giá gc ca nó đưc cho bi

UOBC = exp(−rT )E Q[(S T − K )+1(M S T < H )].

123




Ta chú ý giá tr DIBC ca quyn chn mua vi rào cn dưi có hot đng vi mcrào cn H và giá thc thi K cng vi giá tr DOBC , quyn chn mua vi rào cn dưikhông hot đng vi cùng mc rào cn H và giá thc thi K s bng giá tr C caquyn chn mua thông thưng vi giá thc thi K . Tương t cho UIBC , quyn chnmua vi rào cn trên có hot đng cng vi UOBC , quyn chn mua vi rào cn trênkhông hot đng:

DIBC + DOBC = exp(−rT )E Q[(S T − K )+(1(mS T ≥ H ) + 1(mS

T < H ))]

= exp(−rT )E Q[(S T − K )+]

= C,

UIBC + UOBC = exp(−rT )E Q[(S T − K )+(1(M S T ≥ H ) + 1(M S T < H ))]

= exp(−rT )E Q[(S T − K )+]

= C. (6.1)

6.1.2 Giá quyn chn vi rào cn Black-Scholes và giá quynchn nhìn li

Quyn chn vi rào cn Black-Scholes (Black-Scholes Barrier Options)

Ta có, nu H ≤ K,

DIBC = S 0 exp(−qT )H

S 02λ

N (y)

− K exp(−rT )H

S 0

2λ−2N (y − σ

√T ),

DOBC = C − DIBC,

UOBC = 0,

UIBC = C,

và nu H > K,

DOBC = S 0N (x1)exp(

−qT )

−K exp(

−rT )N (x1

−σ√

T )

− S 0 exp(−qT )

H

S 0

2λN (y1)

+ K exp(−rT )H

S 0

2λ−2N (y1 − σ

√T ),

DIBC = C − DOBC,

UIBC = S 0N (x1) exp(−qT ) − K exp(−rT )N (x1 − σ√

T )

− S 0 exp(−qT )H

S 0

2λ(N (−y) − N (−y1))

+ K exp(−rT )

H S 0

2λ−2(N (−y + σ√T ) − N (−y1 + σ√T )),

124




UOBC = C − UIBC,

trong đó

λ = 1σ2

(r − q + 12

σ2),

y =1

σ√

T log

H 2

S 0K

+ λσ

√T ,

x1 =1

σ√

T log

S 0H

+ λσ

√T ,

y1 =1

σ√

T log

H

S 0

+ λσ

√T .

Vn đ quan trng đi vi quyn chn rào cn là giá c phiu đưc quan sát thưng

xuyên vi mc đích xác đnh mc rào cn có đt đưc hay không. Các công thc trên đưc gi s là quan sát liên tc. Thông thưng, kỳ hn ca hp đng vi rào cnđưc điu chnh và các quan sát ch là mt s ri rc; ví d vào lúc đóng ca ca mingày giao dch. Broadie et al. (1997) [48] đã cung cp mt phương pháp điu chnh cáccông thc trên cho các quan sát theo chu kỳ (tun hoàn). Rào cn H đưc thay bi

H exp

0.582σ

T

m

cho mt quyn chn vi rào cn trên có hot đng hay vi rào cn trên không hotđng

vàH exp

− 0.582σ

T

m

cho mt quyn chn vi rào cn dưi có hot đng hay vi rào cn dưi không hot đng;trong đó m là s ln quan sát giá c phiu; T

mlà khong thi gian gia các ln quan sát.

Quyn chn nhìn li (Lookback Options)

Đi vi quyn chn nhìn li các công thc đóng sau có giá tr cho giá c phiu gc:

LC = S 0e−qT (N (a1) − σ2(2(r − q))−1N (−a1))

− S 0e−rT (N (a2) − σ2(2(r − q))−1N (−a2)),

LP = S 0e−qT (σ2(2(r − q))−1N (a1) − N (−a1))

+ S 0e−rT (N (−a2) − σ2(2(r − q))−1N (−a2)),

trong đó

a1 =1

σ(r − q +

1

2σ2)

√T ,

a2 = 1σ

(r − q − 12

σ2)√T .

125




Như quyn chn vi rào cn, quyn chn nhìn li có kh năng nhy cm vi giá tàisn đưc quan sát thưng xuyên đ tính toán cc đi hay cc tiu. Các công thc trênđưc gi s quan sát liên tc. Broadie et al. (1999) [48] cung cp cách điu chnh côngthc khi quan sát là ri rc.

6.1.3 Quyn chn nhìn li và quyn chn vi rào cn trong thtrưng Lévy

Gi s ta đang thao tác trong th trưng Lévy và trong đó trung hòa ri ro đưc điuchnh, tc là vi đ đo martingale tương đương Q, ta có giá c phiu là mt quá trìnhLévy mũ: S t = S 0 exp(X t). Đ đơn gin, gi s vi mi 0 ≤ t ≤ T , X t có mt hàm mtđ ký hiu là f t(x).

Vic tìm công thc tưng minh cho quyn chn ngoi lai trong th trưng Lévyphc tp là rt khó khăn.

Quyn chn vi rào cn dưi th trưng Lévy đưc xem xét bi Boyarchenko vàLevendorskii (2002) [38]. Kt qu da trên khai trin Wiener-Hopf và s dng k thutgii tích. Kt qu tương t và hoàn toàn tng quát bng phương pháp xác sut choquyn chn nhìn li và quyn chn vi rào cn đưc mô t bi Yor and Nguyên (2001)[47]. Vic tính toán s yêu cu phc tp: cn tính tích phân 3 hay 4 lp kt hp vivic s dng k thut s ngưc.

T Yor và Nguyên (2001) [47] ta có th phác tho qui tc tính giá c phiu. Tatp trung vào quyn chn mua vi rào cn trên có hot đng vi hàm hoàn tr (payoff function):

(S T − K )+1(M S T ≥ H ). (6.2)

Giá gc ca nó đưc ký hiu bi UIBC = UIBC (S 0, T , K , H , r). Bng cách ly viphân (6.2) theo K ta có th vit

UIBC (S 0, T , K , H , r) =

∞K

BUIC (S 0, T , k , H , r)dk, (6.3)

trong đó BUIC (S 0, T , K , H , r) là giá ca mt quyn chn mua cp đôi vi rào cn trên

có hot đng vi cùng ngày đáo hn (maturity), tc là vi hàm hoàn tr vào ngày đáohn

1(S T ≥ K )1(M S T ≥ H ).

Quyn chn này tr mt đơn v tin t nu giá c phiu vào ngày đáo hn là trên giáthc thi K ch vi điu kin là trong sut kỳ hn ca quyn chn giá c phiu tănglên trên mc rào cn H nào đó. Trong các trưng hp khác quyn chn không có giá tr.

Quyn chn này là mt dng quyn chn vi kiu rào cn ca quyn chn mua cpđôi thông thưng. Quyn chn mua cp đôi thông thưng vi ngày đáo hn T và giáthc thi K có hàm hoàn tr cho bi

1(S T ≥ K )

126




và quyn chn mua cp đôi thông thưng tr mt đơn v tin t nu giá c phiu tithi đim đáo hn trên giá thc thi K , và không có giá tr trong trưng hp khác.Ký hiu giá ca quyn mua cp đôi thông thưng bi BC (S 0, T , K , r). Ta có

BC (S 0, T , K , r) = exp(−rT )E Q[1(S T ≥ K )]

= exp(−rT )

∞log(K/S 0)

f T (x)dx.

Đ tránh tích phân (6.3) yêu cu nhn đưc giá ca quyn chn mua vi rào cntrên có hot đng t giá ca quyn chn mua cp đôi vi rào cn trên có hot đng,ta s dng bin đi Esscher vi điu kin E [exp(X 1)] < ∞. Gi thit này cho phép taxét bin đi Esscher ca phân phi ca X T vi hàm mt đ f T (x). Ta đnh nghĩa mtphân phi mi vi hàm mt đ:

f (1)T (x) =

exp(x)f T (x) +∞−∞ exp(y)f T (y)dy

.

Đây là bin đi Esscher vi θ = 1. Khi đó như chú ý trong mc 3.2.2, X vn là mtquá trình Lévy dưi đ đo mi này. Hàm đc trưng φ(1) ca đ đo mi đưc cho bihàm đc trưng φ ca đ đo gc bi biu thc liên h

log φ(1)(u) = log φ(u − i) − log φ(−i).

Ta vit li hàm hoàn tr (6.2) ca quyn chn vi rào cn trên có hot đng như sau

(S 0 exp(X T ) − K )1(M S T ≥ H )1(S T ≥ K ).

Do đóUIBC = (S 0BUIC (1) − KBUIC ).

đây BUIC ký hiu giá ca quyn chn mua cp đôi vi rào cn trên có hot đngs dng φ như hàm đc trưng ca quá trình Lévy cơ s và BUIC (1) ký hiu giá caquyn chn mua cp đôi vi rào cn trên có hot đng s dng φ(1) như hàm đc trưngca quá trình Lévy cơ s.Ta có hàm s đóng vai trò quan trng sau

κ(α, β ) = exp

∞0

∞0

exp(−t) − exp(−αt − βx)

tf t(x)dxdt

,

trong đó κ là hàm mũ Laplace ca quá trình ladder (xem Bertoin 1996 [27]). Hàm nàyđưc ng dng cho phép đng nht Pecherskii-Rogozin. Phép đng nht này biu dinphép bin đi Laplace hai ln ca phân phi đng thi ca thi đim chm ti và giátr ca quá trình ladder ti thi đim đó. Phép đng nht này đưc Pecherskii-Rogozin[43] chng minh ln đu tiên nh s dng k thut phân tích Wiener-Hopf.

Đt x > 0 và đnh nghĩa thi đim đu tiên X trên x như sau

T (x) = T X(x) = inf t > 0 : X t > x

127




và ký hiu s tăng vt giá (overshooting) là

K (x) = K X(x) = X T X(x)

−x.

Khi đó, vi mi α, β,q > 0, ta có phép đng nht Pecherskii-Rogozin [43] sau: ∞0

exp(−ux)E [exp(−αT (x) − βK (x))]dx =κ(α, u) − κ(α, β )

(u − β )κ(α, u). (6.4)

Phép nghch đo ca bin đi Laplace làm tăng phân phi đng thi ca thi đimti đu tiên và giá tr ca quá trình ti thi đim này. Điu này cn thit đ tính giáquyn chn cp đôi vi rào cn trên có hot đng BUIC . Đt τ = T X

log

H S 0

.

Khi đó

BUIC (S 0, T , K , H , r) = exp(−rT )E Q[1(S T ≥ K )1(M S T ≥ H )]

= exp(−rT )E Q[1(X T ≥ log(K/S 0))1(T X(log(H/S 0)) ≤ T )]

= exp(−rT )E Q[E Q[1(X T ≥ log(K/S 0))1(τ ≤ T )|F τ ]]= E Q[exp(−rτ )1(τ ≤ T )BC (S 0 exp(X τ ), T − τ , K , r)].

Đ tính kỳ vng cui, phân phi đng thi ca τ và X τ là cn thit. Tính toán này snhn đưc bng cách ly nghch đo ca phép đng nht Pecherskii-Rogozin [43].Các quyn chn nhìn li và các dng quyn chn vi rào cn có th đưc tính toántrên cùng mt đưng thng.

6.2 Các quyn chn ngoi lai khác

6.2.1 Quyn chn mua và bán vô thi hn kiu M

Quyn chn vô thi hn kiu M là hp đng gia hai bên, mt bên là ngưi nm gimua quyn nhn (tin hay lãi sut) t bên kia là ngưi bán vào mt thi đim tươnglai τ mt s lưng mà ngưi mua chn là G(S τ ). Quyn chn mua và bán có các hàmthưng theo th t là G(x) = (x

−K )+ và G(x) = (K

−x)+.

Thi đim ti ưu τ s ph thuc vào s tin trin ca giá c phiu. Trong các quynchn truyn thng kiu M, hp đng bao gm thi đim thc thi T (thi đim đáohn) mà trưc đó hoc ti thi đim đó, ngưi nm gi có th thc hin quyn chnmua trong khong thi gian τ ∈ [0, T ]. Trong trưng hp vô thi hn T = ∞ thì khôngcó ngày đáo hn.

S dng k thut xác sut, Mordecki (2002) [42] đã nghiên cu các quyn chn muavà bán vô thi hn kiu M thu hp trong cn trên nh nht hay cn dưi ln nhtca các quá trình Lévy. Mordecki (2002) [42] đã đưa ra các công thc tưng minh dưi

gi thit ca phân phi mũ hn hp và các bưc nhy âm bt kỳ cho quyn chn mua,và phân phi mũ hn hp âm và các bưc nhy dương bt kỳ cho quyn chn bán.

128




6.2.2 Quyn chn vô thi hn kiu Nga

Quyn chn mua vô thi hn kiu Nga là mt dng quyn chn mua kiu M không

có ngày đáo hn chào giá ngưi nm gi thc thi quyn chn mua ti thi đim dngτ đexp(−ατ )max

K, sup

0≤u≤τ S u

.

Ta nói đây là loi quyn chn gim thiu ri ro.Giá ca mt quyn chn kiu Nga trong th trưng Black-Scholes truyn thng có thtìm thy Shepp và Shiryaev (1994).

Quyn chn này đưc nghiên cu cho th trưng Lévy trong Avram et al. (2003)[35] và Kou và Wang (2001) [40] cho quá trình nhy khuych tán vi bưc nhy âm.

6.2.3 Quyn chn Touch-and-Out

Quyn chn Touch-and-Out (tên gi khác là firt-touch digital) tr mt đơn v tin tti thi đim đu tiên giá c phiu chm ti hoc giao vi ngưng đnh trưc H tphía trên. Nói cách khác, nu giá c phiu tin ti min (0, H ], ngưi nm gi nhnmt đơn v tin t. Nu giá c phiu luôn trên ngưng H trưc ngày đáo hn, yêucu đáo hn không có giá tr.

6.3 Đnh giá quyn chn ngoi lai bng k thutmô phng Monte Carlo

6.3.1 Gii thiu

Nu không có sn các công thc đóng, ta c gng tìm mt giá tham kho (price in-dication) tt cho quyn chn bng cách tin hành mt s lưng ln các mô phng(simulations). Đ chính xác ca ưc lưng sau cùng nh vào s lưng qu đo muđưc s dng.

V cơ bn phương pháp tin hành như sau: s dng k thut mô phng va mô t chương trưc đ mô phng m qu đo ca các quá trình giá c phiu và ng vi miqu đo ta tính giá tr ca hàm hoàn tr V i, i = 1, . . . , m . Khi đó Monte Carlo ưclưng giá tr trung bình ca hàm hoàn tr là

V =1

m

mi=1

V i. (6.5)

Khi đó giá quyn chn sau cùng có đưc bng cách chit khu ưc lưng này:exp(−rT )V .

Đ lch tiêu chun ca ưc lưng đưc cho bi

129




1

(m − 1)2

m

i=1

(V

−V i)2.

Đ lch tiêu chun gim theo căn bc hai ca s lưng các qu đo mu: đ gimđ lch tiêu chun xung mt na, ta cn to ra bn ln các qu đo mu như vy.

Tip theo ta s thc hin quy trình đnh giá quyn chn ngoi lai kiu Châu Âuvi thi đim đáo hn T và hàm hoàn tr G(S u, 0 ≤ u ≤ T ). Ta s dng k thutmô phng đ mô phng qu đo giá ca các quá trình giá c phiu.

6.3.2 Đnh giá Monte Carlo s dng quá trình Lévy

Quy trình đnh giá Monte Carlo đưc tin hành theo các bưc như sau:

1. Vn dng mô hình (calibrate) vi giá quyn chn mua thông thưng sn có trongth trưng, tc là tìm các tham s trung hòa ri ro ca th trưng và ghi li đphát hin giá mô hình tt nht so sánh vi giá th trưng.

2. Vi các tham s tìm đưc bưc 1, ta thc hin như sau:

(a) Mô phng mt s đáng k m qu đo ca quá trình giá c phiu S = S t, 0 ≤t ≤ T bng cách mô phng quá trình lôgarit giá (log price process) thôngqua vic mô hình hóa quá trình bin đi theo thi gian:

(i) Mô phng lãi sut ca quá trình thay đi theo thi gian y = yt, 0 ≤t ≤ T ;

(ii) T (i) ta tính đưc quá trình thay đi theo thi gian Y = Y t = t0

ysds, 0 ≤ t ≤ T ;

(iii) Mô phng quá trình Lévy X = X t, 0 ≤ t ≤ Y T (chú ý rng ta lymu trên khong thi gian [0, Y T ]);

(iv) Tính quá trình Lévy bin đi theo thi gian X Y t, vi t ∈ [0, T ];(v) Tính quá trình giá c phiu S = S t, 0 ≤ t ≤ T .

(b) Vi mi qu đo i ta tính hàm hoàn tr gi = G(

S u, 0

≤u

≤T

).

3. Do (6.5) tính đưc trung bình hàm hoàn tr mu, ta nhn đưc mt ưc lưngca hàm hoàn tr trung bình:

g =1

m

mi=1

gi.

4. Chit khu ưc lưng hàm hoàn tr mc chit khu không có ri ro (risk-freerate) đ nhn đưc ưc lưng ca giá tr phái sinh (derivative) hay còn gi là giáphái sinh (derivative price): exp(

−rT )g.

130




6.4 Kt qu

Trưc khi đnh giá quyn chn ngoi lai, ta kim tra đ chính xác ca s mô phngxp x (gn đúng) bng trung bình ca đnh giá quyn chn Châu Âu thông thưng sdng mô phng Monte Carlo cho thi đim đáo hn là 20 − 07 − 2008; so sánh giá môphng vi giá th trưng th gii tương ng (bng ph lc A). Kt qu cho như sau:

Thc thi BM NIG CGMY Trung bình Giá mua Giá bán Giá đóng1300 282.9 298.8 299.7 296.4 294.9 297.9 286.51325 262.2 277.9 278.5 275.6 274.1 277.1 145.01350 242.2 257.3 257.5 255.2 253.7 256.7 150.31375 222.9 237.0 237.0 235.2 233.7 236.7 182.0

1400 204.3 217.1 216.9 215.6 214.1 217.1 140.51425 186.6 197.6 197.3 196.6 195.1 198.1 190.41450 169.8 178.7 178.3 178.0 176.5 179.5 176.01475 153.9 160.3 159.9 160.1 158.6 161.6 154.01500 138.9 142.6 142.3 142.8 141.3 144.3 138.01525 124.9 125.6 125.6 126.3 124.8 127.8 124.01550 111.9 109.5 109.8 110.6 109.1 112.1 96.31575 99.8 94.4 95.2 95.7 94.2 97.2 92.21600 88.7 80.5 81.7 81.9 80.4 83.4 75.01650 69.3 56.6 58.6 57.4 55.9 58.9 56.01700 53.3 38.5 40.6 37.9 36.4 39.4 33.61800 30.2 17.5 18.1 13.2 12.2 14.2 9.0

Trung bình bng trên là trung bình ca giá đt mua và giá chào bán (mean of bid and ask ).

T bng trên ta thy phương pháp mô phng Monte Carlo cho các kt qu rt hplý (đi vi trung bình ca giá đt mua và giá chào bán).

K tip ta áp dng phương pháp Monte Carlo xp x giá quyn chn ngoi lai. Tachn thi đim đáo hn T = 1.0521 và K = 1500; mc rào cn gii hn trong khong

t 0.5S 0 ti 1.5S 0. Ta s dng N = 100000 qu đo mô phng. Chú ý các kt qu choquá trình NIG và CGMY trên là tương t nhau còn các kt qu cho chuyn đngBrown có khác chút ít.

131



Kt lun

Quá trình Lévy là mt công c tuyt vi cho vic mô hình hóa các quá trình giátrong toán tài chính. Quá trình Lévy còn đưc ng dng rng rãi trong nhiu lĩnh vckhoa hc và công ngh như: vt lý, sinh hc, thông tin liên lc, đê điu, vn đ xphàng, h cha nưc, bo him ri ro...

Lun văn trình bày nhng nét tiêu biu ca quá trình Lévy; nghiên cu mi quanh gia quá trình Lévy và phân phi kh phân vô hn. Lun văn gii thiu mt đctrưng quan trng ca quá trình Lévy là na nhóm tích chp các đ đo xác sut liên tcyu và xem xét s liên h ca nó vi quá trình Lévy. Ta đã thit lp tính Markov mnhcho quá trình Lévy và chng minh mi quá trình Lévy đu có mt bn sao càdlàg.Kt qu quan trng là ta đã chng minh khai trin Lévy-Itô ca mt quá trình Lévybt kỳ da trên martingale. Hơn na ta đã ch ra dng biu din mi ca khai trinLévy-Itô ca mt quá trình Lévy thành mt chuyn đng Brown vi đ dch chuyn(thành phn liên tc), mt tích phân Poisson (các bưc nhy ln) và mt tích phânPoisson bù (các bưc nhy nh). Đim thú v ca lun văn là gii thiu cu trúc đanxen, nh đó qu đo ca mt quá trình Lévy nhn đưc như là gii hn hu chc chnca mt dãy các chuyn đng Brown vi đ dch chuyn có các bưc nhy ngu nhiênkhông liên tc xut hin ti các thi đim ngu nhiên.

Trong phn ng dng ta tp trung đnh giá quyn chn s dng quá trình Lévy.Bng phương pháp đnh lưng và đ th ta thy các quá trình Lévy đc bit (NIG,CGMY, Meixner) phù hp vi d liu ch s S&P 500 (ph lc A) hơn chuyn đngBrown. Ta s dng phép bin đi Fourier nhanh (FFT) đ đnh giá quyn chn tt hơncông thc Black-Schole vì nó d tìm đưc hàm đc trưng cho hu ht quá trình Lévy.Ta cũng kim tra vic la chn d liu. Kt qu cho thy vic s dng giá đt mua, giáchào bán và trung bình ca giá đt mua và giá chào bán tt hơn giá đóng ca. Các ktqu vn dng ch ra đưc các quá trình Lévy đc bit (NIG, CGMY, Meixner) mô tgiá th trưng tt hơn chuyn đng Brown. Cui cùng ta s dng k thut mô phng

và kt qu vn dng kt hp vi k thut Monte Carlo đ đnh giá quyn chn ngoilai Châu Âu.

Vì thi lưng có hn nên lun văn chưa trình bày ht các tính cht phân phi,qu đo, mômen ca quá trình Lévy. Các ng dng ca phân tích Wiener-Hopf và ngdng ca quá trình Lévy trong các lĩnh vc khác xin đưc dành cho các nghiên cutip theo.

132



Ph lc A

S&P 500 giá quyn chn mua

Ta thu thp 100 giá quyn chn mua cho ch s S&P 500 ti thi đim đóng cath trưng vào ngày 01 − 06 − 2007 t Yahoo Finance. Ch s giá lúc đóng ca làS 0 = 1536.34. Ta chn lãi sut không ri ro là 0.05 và hoa li c tc là 0.019. Ta sdng giá trung bình ca giá đt mua và giá chào bán.

Thc thi 15 − 06 20 − 06 21 − 09 21 − 12 21 − 03 20 − 06 19 − 122007 2007 2007 2007 2008 2008 2008

1300 239.1 244.5 254.0 268.5 296.4 322.91325 214.2 220.0 230.4 246.0 275.6 303.2

1350 189.3 195.6 207.1 223.9 239.6 255.2 283.91375 164.5 171.4 184.1 202.2 235.2 265.01400 139.7 147.4 161.5 181.0 198.5 215.6 246.51425 114.9 123.7 139.4 160.4 178.8 196.6 228.31450 90.4 100.5 118.1 140.4 159.6 178.0 210.71475 66.05 78.2 97.7 121.2 141.1 160.1 193.51500 42.85 56.9 78.4 103.0 123.4 142.8 176.81525 22.25 38.3 60.6 85.8 106.5 126.3 160.81550 6.95 22.25 44.4 69.9 90.7 110.6 145.31575 1.275 10.75 31.0 55.4 75.9 95.71600 1.15 4.5 20.1 42.6 62.4 81.9 116.31650 6.6 22.8 39.6 57.41700 10.3 22.9 37.9 67.81800 1.25 13.2 34.21900 14.42000 5.0

133



Ph lc B

Hàm Bessel

B.1 Hàm BesselCác hàm Bessel dng 1 J ±v(z), dng 2 N v(z) và dng 3 H

(1)v (z) và H

(2)v (z) là nghim

ca phương trình vi phân:

z2d2w

dz2+ z

dw

dz+ (z2 − v2)w = 0.

Hàm J v(z) có th đưc vit dưi dng chui sau:

J v(z) = (z/2)v∞

k=0

(−z2/4)k

k!Γ(v + k + 1)

,

và N v(z) tha

N v(z) =J v(z) cos(vπ) − J −v(z)

sin(vπ).

Ta cũng cóH (1)v (z) = J v(z) + iN v(z),

H (2)v (z) = J v(z) − iN v(z).

Ta lit kê mt s tính cht có ích ca hàm Bessel:

J 1/2(z) =

2πz

sin z,

J −1/2(z) =

2

πzcos z,

J 3/2(z) =

2

πz

sin z

z− cos z

,

J −3/2(z) =

2

πz

sin z +

cos z

z

,

J n+1/2(z) = (

−1)nN

−n−1/2(z), n = 0, 1, 2, . . . ,

J −n−1/2(z) = (−1)n−1N n+1/2(z), n = 0, 1, 2, . . . .

134



Ph lc B

B.2 Hàm Bessel ci tin

Các hàm Bessel ci tin dng 1 I ±v(z) và dng 3 K v(z) (còn đưc gi là hàm MacDon-

ald) là nghim ca phương trình vi phân:

z2d2w

dz2+ z

dw

dz− (z2 + v2)w = 0.

Hàm I v(z) có th đưc vit dưi dng chui sau:

I v(z) = (z/2)v∞k=0

(z2/4)k

k!Γ(v + k + 1),

và K v(z) thaK v(z) =

π

2

I v(z) − I −v(z)

sin(vπ).

Hàm Bessel K v còn đưc vit dưi dng tích phân:

K v(z) =1

2

∞0

uv−1 exp(−1

2z(u + u−1))du.

Ta lit kê mt vài tính cht có ích:

K v(z) = K −v(z),

K v+1(z) =2v

zK v(z) + K v−1(z),

K 1/2(z) =

π/2z−1/2 exp(−z),

K

v(z) = −v

zK v(z) − K v−1(z).

135



Ph lc C

Quá trình Lévy

C.1 Hàm đc trưngTa đưa ra hàm đc trưng cho các phân phi kh phân vô hn. Ta xét các phân phitrên các s t nhiên, trên na đưng thng dương và trên đưng thng thc. Hàm đctrưng ca phân phi m rng là tích ca exp(ium) và hàm đc trưng gc.

C.1.1 Phân phi trên s t nhiên

Phân phi φ(u) = E[exp(iuX 1)]

Poisson(λ) exp(λ(exp(iu) − 1))

C.1.2 Phân phi trên na đưng thng dương

Phân phi φ(u) = E[exp(iuX 1)]Gamma(a, b) (1 − iu/b)−a

Exp(λ) (1 − iu/λ)−1

IG(a, b) exp(−a(√−2iu + b2 − b))

GIG(λ,a,b) K −1λ (ab)(1 − 2iu/b2)λ/2K λ(ab

1 − 2iu/b2)

TS(κ,a,b) exp(ab

−a(b1/κ

−2iu)κ)

C.1.3 Phân phi trên đưng thng thc

Phân phi φ(u) = E[exp(iuX 1)]

VG(σ,ν,θ) (1 − iuθν + σ2νu2/2)−1/ν

VG(C,G,M ) (GM/(GM + (M − G)iu + u2))C

NIG(α , β, δ) exp(−δ(

α2 − (β + iu)2 − α2 − β 2))

CGMY(C,G,M,Y ) exp(C Γ(−Y )((M − iu)Y − M Y + (G + iu)Y − GY ))

Meixner(α , β, δ) (cos(β/2)/ cosh((αu−

iβ )/2))2δ

136



Ph lc C

C.2 B ba Lévy

C.2.1 γ Phân phi γ Poisson(λ) 0

Gamma(a, b) a(1 − exp(−b))/b

IG(a, b) (a/b)(2N (b) − 1)

TS(κ,a,b) a2κκ

Γ(1 − κ)

10

x−κ exp(−1

2b1/κx)dx

VG(C,G,M ) C (MG)−1(G(exp(−M ) − 1) − M (exp(−G) − 1))

NIG(α , β, δ)

2δα

π 10 sinh(βx)K 1(αx)dx

CGMY(C,G,M,Y ) C 1

0(exp(−M x) − exp(−Gx))x−Y dx

Meixner(α , β, δ) αδ tan(β/2) − 2δ

∞1

sinh(βx/α)

sinh(πx/α)dx

C.2.2 Đ đo Lévy ν

Phân phi ν Poisson(λ) λδ(1)

Gamma(a, b) a exp(−bx)x−1

1(x>0)dxIG(a, b) (2π)−1/2ax−3/2 exp(−1

2b2x)1(x>0)dx

TS(κ,a,b) a2κκ

Γ(1 − κ)x−κ−1 exp(−1

2b1/κx)1(x>0)dx

VG(C,G,M ) C |x|−1(exp(Gx)1(x<0) + exp(−M x)1(x>0)dx

NIG(α , β, δ) δαπ−1|x|−1 exp(βx)K 1(α|x|)dx

CGMY(C,G,M,Y ) C |x|−1−Y (exp(Gx)1(x<0) + exp(−Mx)1(x>0))dx

Meixner(α , β, δ) δx−1 exp(βx/α)sinh−1(πx/α)dx

137



Ph lc D

Paul Lévy (1886-1971)

Tên gi quá trình Lévy đ vinh danh mt trong s nhng nhà toán hc vĩ đi nht thk 20: Paul Lévy.Paul Lévy sinh ti Paris năm 1886 trong mt gia đình có nhiu nhà toán hc. Ônghc hc vin bách khoa École, ly bng tin sĩ toán hc ti Đi Hc ca Paris và trthành giáo sư ca hc vin bách khoa École năm 1913. Ông là mt trong s nhng nhàtoán hc tiên phong ca lý thuyt xác sut hin đi. Ông đã có nhng khám phá quantrng trong lý thuyt quá trình ngu nhiên . Ông đã chng minh đnh lý gii hn trungtâm bng cách s dng hàm đc trưng, đc lp vi Lindeberg, ngưi đã s dng kthut tích chp. Ông đã góp phn nghiên cu lut s ln, đnh lý gii hn trung tâm,

quá trình Gauss, lut phân phi kh phân vô hn, lut phân phi n đnh. Ông là ngưiđi đu trong vic nghiên cu các quá trình vi s gia dng và đc lp. Các cun sáchchính ca ông là Lecons d’analyse fonctionnelle (1922), Calcul des probabilités (1925),Théorie de l’addition des variables aléatoires (1937-1954) và Processus stochastiques et mouvement brownien (1948).

Trong sut chin tranh th gii th I, ông đã phc v trong khoa nghiên cu sdng pháo và s dng kin thc toán hc ca mình gii quyt các vn đ liên quanđn vic bo v và chng li các cuc tn công t trên không. Năm 1963, ông đưcbu là thành viên danh d ca hi toán hc London. Mt năm sau ông đưc bu vào

vin khoa hc Académie. Ông mt ngày 15-12-1971 Paris.Đ bit thêm thông tin v Paul Lévy có th tìm các trang web sau:

http://www.cmap.polytechnique.fr/ rama/levy.html

và

http://www.annales.org/archives/x/paullevy.html.

138



Tài liu tham kho

[1] Trn Hùng Thao (2003), Nhp môn toán hc tài chính , Nxb Khoa hc và Kthut, Hà Ni.

[2] Nguyn Duy Tin, Vũ Vit Yên (2003), Lý thuyt Xác sut , Nxb Giáo dc, HàNi.

[3] Dương Tôn Đm (2006), Quá trình ngu nhiên , phn m đu, Nxb ĐHQG TPH Chí Minh.

[4] David Applebaum (2004), Lévy Processes and Stochastic Calculus , CambridgeUniversity Press, Cambridge.

[5] Wim Schoutens (2003), Lévy Processes in Finance: Pricing Financial Deriva-tives, Wiley, New York.

[6] Wim Schoutens (2007), Exotic options under Lévy models: An overview, Journal of Compuational and Applied Mathematics 189, pp. 526-538.

[7] Wim Schoutens (2002), Meixner Process: Theory and application in Finance,EURANDOM Report, EURANDOM, Eindhoven.

[8] Carr P. and Madan D.H. (1998), Option valuation using the fast Fourier trans-form, Journal of Computational Finance 2, pp. 61-73.

[9] Ramma Cont and Peter Tankov (2007), Financial Modelling with Jump Process ,Chapman & Hall, New York.

[10] Ken-Iti Sato (1999), Lévy Process and Infinitely Divisible Distributions , Cam-bridge University Press, Cambridge.

[11] Madan D.B. and Yor M. (2005), CGMY and Meixner subordinators are abso-lutely continuous with respect to one sided stable subordinators, Prépublication,Laboratoire de Probabilités et Modeles Aléatories.

[12] Steele J.M. (2001), Stochastic Calculus and Financial Applications , Springer-Verlag.

[13] Yor M. (1992), Some Aspects of Brownian Motion , part 1, Birkhauser.

[14] Yor M. (1997), Some Aspects of Brownian Motion , part 2, Birkhauser.

139



Tài liu tham kho

[15] Einstein A. (1956), Investigations on the Theory of the Brownian Movement ,Dover.

[16] Nelson E. (1967), Dynamical Theories of Brownian Motion , Princeton Univer-sity Press, Princeton.

[17] Paley R. E. and Wiener N. (1934), Fourier Transforms in the Complex Domain ,American Mathematical Society.

[18] Karatzas I. and Shreve S. (1991), Brownian Motion and Stochastic Calculus(second edition), Springer-Verlag.

[19] Knight F.B. (1981), Essentials of Brownian Motion and Diffusion , AmericanMathematical Society.

[20] Revuz D. and Yor M. (1999), Continuous Martingales and Brownian Motion ,Springer-Verlag.

[21] Kunita H. (1990), Stochastic Flows and Stochastic Differential Equations , Cam-bridge University Press, Cambridge.

[22] Patterson S.J. (1988), An Introduction to the Theory of the Riemann Zeta-Function , Cambridge University Press, Cambridge.

[23] Protter P. (1992), Stochastic Integration and Differential Equations , Springer-Verlag.

[24] Rosenthal J.S. (2000), A Fist Look at Rigorous Probability Theory , World Sci-entific.

[25] Jessen J. and Wintner A. (1935), Distribution functions and the Riemann zetafunction, Trans. Amer. Math. Soc. 38, pp. 48-88.

[26] Bertoin J. (1999), Subordinator: examples and applications, Ecole d’ Eté deProbabilités de St Flour XXVII , ed. P. Bernard, Lecture Notes in Mathematics1717, Springer-Verlag, pp. 4-79.

[27] Bertoin J. (1996), Lévy Processes , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 121,Cambridge University Press.

[28] Bingham N.H., Goldie C.M. and Teugels J.L. (1987), Regular Variation , Cam-bridge University Press.

[29] Born M. (1962), Einstein’s Theory of Relativity , Dover.

[30] Gnedenko B.V. and Kolmogorov A.N. (1968), Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables (second edition), Addison-Wesley.

[31] Berg C. and Forst G. (1975), Potential Theory on Locally Compact Abelian

Groups , Springer-Verlag.

140



Tài liu tham kho

[32] Wiener N., Siegel A., Rankin B. and Martin W.T. (1966), Differential Space,Quantum Systems and Prediction , MIT Press.

[33] Wiener N. (1923), Differential Space, J. Math and Physics 58, pp. 74-131.[34] Asmussen S. and Rosinski J. (2001), Approximations of small jumps of Lévy

processes with a view towards simulation, Journal of Applied Probability 38,pp. 482-493.

[35] Avram F., Kyprianou A.E. and Pistorius M.R. (2003), Exit problems for spec-trally negative Lévy processes and applications to Russian options, Annals of Applied Probability . (In the press.)

[36] Barndorff-Nielsen O.E. (1977), Exponentially decreasing distributions for the

logarithm of particle size, Proceedings of the Royal Society of London A 353,pp. 401-419.

[37] Carr P., Geman H., Madan D.H. and Yor M. (2003), Stochastic volatility forLévy processes, Mathematical Finance. (In the press.)

[38] Boyarchenko S.I. and Levendorskii S.Z. (2002), Perpetual American optionsunder Lévy processes, SIAM Journal of Control and Optimization 40, pp. 1663-1696.

[39] Jackel P. (2002), Monte Carlo Methods in Finance, John Wiley & Sons, Ltd.

[40] Kou S.G. and Wang H. (2001), Option pricing under a jump diffusion model,Preprint.

[41] Michael J.R., Schucany W.R. and Haas R.W. (1976), Generating random vari-ates using transformations with multiple roots, The American Statistician 30,pp. 88-90.

[42] Mordecki E. (2002), Optimal stopping and perpetual options for Lévy processes,Finance and Stochastics 6, pp. 473-493.

[43] Pecherskii E.A. and Rogozin B.A. (1969), On joint distributions of random

variables associated with fluctuations of a process with independent increments,Theory of Probability and Its Applications 14, pp. 410-423.

[44] Rosinski J. (2001), Series representations of Lévy processes from the perspectiveof point processes, In Lévy Processes - Theory and Applications (ed. Barndorff-Nielsen O.E., Mikosch T. and Resnick S.), pp. 401-415.

[45] Rydberg T. (1997), The normal inverse Gaussian Lévy process: simulations andapproximation, Communications in Statistics: Stochastic Models 13, pp. 887-910.

[46] Shepp L. and Shiryaev A.N. (1994), A new look at the pricing of the Russianoption, Theory of Probability and Its Applications 39, pp. 103-120.

141



Tài liu tham kho

[47] Yor M. and Nguyen L. (2001), Wiener-Hopf Factorization and the Pricing of Barrier and Look-back Options under General Lévy Processes, Prépublication,Universités Paris 6.

[48] Broadie M., Glasserman P. and Kou S.G. (1997), A continuity correction fordiscrete barrier options, Mathematical Finance 7, pp. 325-349.

[49] Shreve S.E. (2004), Stochastic Calculus for Finance II: Continous-Time Models,Springer-Verlag, New York.

[50] Gerber H.U. and Shiu E.S.W. (1994), Actuarial bridges to dynamic hedging andoption pricing, Insurance: Mathematics and Economics 18(3), pp. 183-218.

[51] Eberlein E. and Keller U. (1995), Hyperbolic distributions in finance, Bernoulli

1, pp. 281-299.[52] Barndorff-Nielsen O.E. (1995), Normal inverse Gaussian distributions and the

modelling of stock returns, Research Report no. 300, Department of TheoreticalStatistics, Aarhus University.

[53] Buhlmann H., Delbaen F., Embrechts P. and Shiryaev A. N. (1996), No-arbitrage, change of measure and conditional Esscher transforms, CWI Quar-terly 9(4), pp. 291-317.

[54] Geman H. (2002), Pure jump Lévy processes for asset price modelling, Journal

of Banking and Finance 26.[55] Biane P., Pitman J. and Yor M. (2001), Probability laws related to the Jacobi

Documents

HuynhNgocTramAnh