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Física II: Termodinámica, ondas y fluidos
Índice 7 – INTERFERENCIAS DE ONDAS Y SONIDO ............................................................................................2
7.1 CONDICIÓN DE FRONTERA Y PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN..................................................................... 2 Principio de superposición...............................................................................................................................4
7.2 ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA..................................................................................................... 5 Ecuación de onda estacionaria .......................................................................................................................7
Ej. 7.1 Cuerda larga I ....................................................................................................................................... 8 Ej. 7.2 Cuerda larga II...................................................................................................................................... 9
7.3 ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA................................................................................................... 10 Ej. 7.3 Violín gigante...................................................................................................................................... 14
7.4 ONDAS ESTACIONARIAS LONGITUDINALES Y MODOS NORMALES ........................................................... 15 Ej. 7.4 Altavoz direccional............................................................................................................................... 17
Tubos de órganos e instrumentos de viento..........................................................................................................18 Ej. 7.5 Órgano................................................................................................................................................ 20
7.5 INTERFERENCIA DE ONDA ............................................................................................................................ 22 Ej. 7.6 Interferencias....................................................................................................................................... 23
7.6 RESONANCIA.................................................................................................................................................. 24 Ej. 7.7 Resonancia de un tubo de órgano tapado.............................................................................................. 25
7.7 ONDAS SONORAS............................................................................................................................................ 26 Ej. 7.8 Onda sonora en el aire......................................................................................................................... 29 Ej. 7.9 Onda en el oído interno........................................................................................................................ 30
Percepción de ondas sonoras..............................................................................................................................31 7.8 INTENSIDAD DEL SONIDO.............................................................................................................................. 32
Ej. 7.10 Intensidad de una onda sonora en el air e............................................................................................ 33 Ej. 7.11 Misma intensidad diferente frecuencias............................................................................................... 33 Ej. 7.12 Misma intensidad diferente frecuencias............................................................................................... 33
Variación de la intensidad con la distancia...........................................................................................................34 Escala de decibel.................................................................................................................................................35
Ej. 7.13 Sordera temporal............................................................................................................................... 36 Ej. 7.14 Pájaro cantante.................................................................................................................................. 36
7.9 PULSACIONES ................................................................................................................................................. 37 7.10 EFECTO DOPPLER....................................................................................................................................... 39
PROBLEMAS.........................................................................................................................................................41
2
7 – Interferencias de ondas y sonido
7.1 Condición de frontera y principio de superposición
En un medio de longitud finita, una onda incidente es reflejada a las fronteras = eco.
El eco es una onda que viaja en sentido opuesto a la onda incidente.
La onda incidente y el eco se solapan = interferencia.
Si las reflexiones se repitas, sólo pueden ocurrir ondas senoidales para ciertas frecuencias especiales, determinadas por las propiedades y dimensiones del medio = modos normales.
El ejemplo más sencillo es una onda transversal en una cuerda estirada.
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Condiciones de fronteras:
Si el extremo está sujeto a un suporte rígido, fijo, la onda ejerce una fuerza.
La reacción (recula) es un pulso reflejado que viaja en la dirección opuesta al pulso incidente con desplazamiento opuesto.
Si el extremo es libre, de nuevo un pulso reflejado viaja en dirección opuesta pero con un desplazamiento en la misma dirección que el pulso inicial.
Las condiciones al extremo son las condiciones de fronteras.
4
La situación es la misma si dos pulsos viajen en sentido opuestos.
Al solaparse los pulsos, el desplazamiento es la suma algebraica de los desplazamientos individuales.
Principio de superposición
Cuando 2 ondas se solapan, el desplazamiento real de cualquier punto de una cuerda, en cualquier instante, se obtiene sumando los desplazamientos separados:
( ) ( ), ,ii
y x t y x t= ∑ , con 1,2i =
Matemáticamente esta propiedad aditiva es una consecuencia de la forma de la ecuación de onda.
Específicamente, la ecuación es lineal, es decir que solo contiene función ( ),y x t a la primera potencia.
Por tanto, si dos funciones satisfacen la ecuación de onda, su suma también satisface la ecuación de onda.
5
7.2 Ondas estacionarias en una cuerda
Cuando una onda es reflejada continuamente por los extremos, se produce un fenómeno de interferencia.
La configuración de la onda permanece en la misma posición y su amplitud fluctúa.
Hay puntos que nunca se mueven: nodos.
A la mitad del camino entre dos nodos hay puntos donde la amplitud es máxima: antinodos.
Como la configuración no parece moverse: onda estacionaria.
Consideramos dos ondas de misma λ y A , viajando en sentido inverso. En un nodo, los desplazamientos son iguales y opuestos y se cancelan: interferencia destructiva.
En un antinodo, los dos desplazamientos siempre son idénticos dando un desplazamiento resultante grande: interferencia constructiva.
La distancia entre dos nodos o antinodos sucesivos es 2λ
6
7
Ecuación de onda estacionaria
Consideramos dos ondas:
( ) ( )1 , seny x t A t kxω= + , viajando hacia la izquierda.
( ) ( )2 , seny x t A t kxω= − − , viajando hacia la derecha.
La onda reflejada se inversa y por tanto tiene una amplitud inversa.
El cambio de signo corresponde también a un desfase de ( )180 radianesπo .
En 0x = , la onda incidente: ( )1( ) seny t A tω=
La onda reflejada: ( ) ( )2 ( ) sen seny t A t A tω ω π= − = +
Sumando las dos ondas:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2, , , sen seny x t y x t y x t A t kx t kxω ω = + = + − −
Usando la identidad: ( )sen sen cos cos sena b a b a b± = ± ( ), 2 sen cosy x t A kx tω⇒ =
La función de onda estacionaria:
(7.1) ( ), sen cosoey x t A kx tω=
Donde la amplitud 2oeA A=
El factor 2 senkA x indica que en cada instante, la forma de la cuerda es senoidal.
A la diferencia de una onda viajera, la forma de la onda permanece en la misma posición oscilando verticalmente según el factor cos tω .
Cada punto sigue teniendo un MAS, todos los puntos oscilando en fase.
En los nodos,sen 0kx = , 0, , 2 , 3 ,...kx π π π⇒ = o 2 3
0, , , ,...xk k kπ π π
=
(7.2) 2 3
0, , , ,...2 2 2
xλ λ λ
=
La onda estacionaria no transfiere energía. Hay un flujo local de energía desde cada nodo a los antinodos adyacentes y de regreso, pero la razón media de transferencia de energía es 0.
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Ej. 7.1 Cuerda larga I
El extremo 0x = está fijo. Una onda senoidal viaja en dirección x− a m
84.0s
La frecuencia de la onda es 120Hzf = y la amplitud es 31.5mm 1.5 10 mA −= = ×
En 0x = , la onda se refleja y forma una onda estacionaria.
La amplitud: 32 2 1.5 10 moeA A −= = × ×
La frecuencia angular: 1 rad2 2 rad 120s 754
sfω π π −= = ⋅ =
El número de onda:
rad754 rads 8.98
m m84.0s
kvω
= = =
De 7.1, la ecuación de onda: ( ) ( )3 rad rad, 3.0 10 m sen 8.98 cos 754
m sy x t x t− = ×
Los nodos (primera método): rad rad
sen 8.98 0 8.98 0, , 2 , 3 ,...m m
x x π π π ⇒ = ⇒ =
2 30, , , ,...
rad rad rad8.98 8.98 8.98
m m m
xπ π π
⇒ = 0,0.35m,0.70m,1.05m,...x⇒ =
Los nodos (segundo método): 1
m84.0
s 0.70m120s
vf
λ−
= = =
De la ecuación 7.2: ( ) ( )2 0.70m 3 0.70m0.70m
0, , , ,... 0,0.35m,0.70m,1.05m,...2 2 2
x = =
La velocidad transversal:
( ) ( ) ( )3, rad rad rad, 3.0 10 m sen 8.98 754 sen 754
m s sy
y x tv x t x t
t−∂ = = × ⋅ − ∂
m rad rad2.26 sen 8.98 sen 754
s m syv x t = −
9
La velocidad es máxima en los antinodos rad
sen 8.98 1m
x = ±
El valor varia entre 2.26ms
± .
Como en el MAS, esto se pasa cuando 0y = .
La aceleración transversal:
( )( ) ( )2
32 2
, , m rad rad, 1.71 10 sen 8.98 cos 754
s m sy
y
v x t y x ta x t x t
t t
∂ ∂ = = = − × ∂ ∂
También es máxima en los antinodos.
La aceleración varia entre 32
m1.71 10
s± × .
Observe que este valor es 175 veces la aceleración debida a la gravitación.
Ej. 7.2 Cuerda larga II
Un extremo de la cuerda es sujeto a un poste vertical el otro extremo es sostenido flojamente con la mano.
Por tanto, la rapidez de la onda es lenta: m
0.720s
v = .
Buscamos la frecuencia para que una pinza colocada a 45.0cm se quede sin moverse.
La pinza debe ser colocada en un nodo a 2 3
, , ,...2 2 2λ λ λ
Tenemos, entonces: 2
45.0cm2
n dd
nλ
λ= = ⇒ =
La frecuencia:
m0.720
s 0.800Hz2 2 0.450m
v nvf n n
dλ= = = =
⋅
Primero nodo: 1 0.80Hzf =
Segundo nodo: 2 1.60Hzf =
Tercero nodo: 3 2.40Hzf =
10
7.3 Ondas estacionarias en una cuerda
Consideramos una cuerda de longitud L sujeta en ambos extremo (Ej. Una cuerda de instrumento musical; guitarra, piano, violín etc.).
Cuando se pulsa la cuerda, se produce una onda que se refleja una y otra vez. La interferencia de las ondas forma una onda estacionaria.
La vibración de la cuerda se transmite al aire, que vibra a la misma frecuencia que la cuerda.
Como debe haber un nodo a ambos extremos, la longitud de la cuerda debe ser igual a:
2 3, , ,...,
2 2 2 2nλ λ λ λ
(7.3) 2
nL
λ= , 1,2,3,...n =
La condición para haber una onda estacionaria es:
(7.4) 2
nLn
λ = , 1,2,3,...n =
A la seria de posible longitud de ondas corresponde seria de posible frecuencia: nn
vf
λ=
La frecuencia más pequeña tiene la longitud más grande: 1n = 1 2Lλ⇒ =
(7.5) 1 2v
fL
=
Esto es la frecuencia fundamental del sistema.
Las otras frecuencias son los armónicos o sobretonos.
11
La serie amónica es dada por:
(7.6) 12nv
f n nfL
= =
Para una cuerda con extremos fijos en 0x = y x L= :
(7.7) ( ), cos senoe n ny x t A t k xω= , con 2n nfω π= y 2
nn
kπ
λ=
Un modo normal de un sistema oscilante es un movimiento en el que todas las partículas del sistema se mueven sencillamente a la misma frecuencia.
Para una cuerda de longitud L , las longitudes de ondas nλ , corresponden a modos normales.
En un oscilador con una partícula, hay solo un modo normal. Para un sistema como una cuerda, hay un número infinito de modos normales.
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En instrumento de música, en la vibración están presentes la fundamental y muchos sobretonos.
El tono es una combinación o superposición de muchos modos.
El contenido armónico: es el grado en que están presentes las frecuencias más altas que la fundamental.
La onda estacionaria en la cuerda y la onda sonora viajando en el aire tienen el mismo contenido armónico.
El contenido armónico explica la riqueza y complejidad del sonido de los instrumentos de música
El análisis armónico consiste en encontrar la representación para una vibración dada.
La suma de ondas senoidales que represente una onda compleja es una serie de Fourier.
13
Como la frecuencia fundamental es 1 2v
fL
= y que F
vµ
=
(7.8) 11
2F
fL µ
=
Instrumentos con L cortos (Viola, Violín) producen sonido de alta frecuencia.
Aumentar la tensión F también aumenta la frecuencia del sonido.
Pero si µ aumenta (usando cuerdas mas gruesas como en el Cello o Bajo), la frecuencia baja.
14
Ej. 7.3 Violín gigante
Longitud de la cuerda: 5.00mL = , densidad linear de masa: g
40.0m
µ =
La frecuencia fundamental es 1 20.0Hzf = (frecuencia más baja que puede detectar el oído humano).
La tensión en la cuerda: ( ) ( )222 2 3 11
kg4 4 40.0 10 5.00m 20.0s 1600N
mF L fµ − − = = × =
En comparación, un violín real: 100NF ∼
La frecuencia del segundo armónico ( 2n = ): 2 12 40.0Hzf f= =
Con longitud de onda: 22
5.00m2L
λ = =
La frecuencia del tercero armónico ( 3n = ): 3 13 60.0Hzf f= =
Con longitud de onda: 32
3.33m3L
λ = =
Si la cuerda vibra a una cierta frecuencia, el aire vibra a la misma frecuencia 1 20.0Hzf = .
Pero la velocidad de la onda es diferente en el aire y, por tanto, la longitud de onda.
A 20 Co , la velocidad del sonido en el aire: m
344s
v = .
Para la cuerda: ( )1 2 2 5.00m 10.0mLλ = = =
( ) ( )11 1
m10.0m 20.0s 200
scuerdav fλ −⇒ = = =
En el aire 11
m344
s 17.2m20.0Hz
sonidosonido
vf
λ = = =
Para cualquier modo normal, sonido cuerdaλ λ> , por un factor de:
m344
s 1.72m
200s
sonido
cuerda
vv
= =
15
7.4 Ondas estacionarias longitudinales y modos normales
Fenómeno de reflexión de onda también se aplica a onda en fluido dentro un tubo de magnitud finita.
Ondas estacionarias en fluido son ondas de sonido (Ej. Voz humana o instrumentos de viento).
Las ondas estacionarias en fluido son desplazamiento de fluido o variación de presión: modo de desplazamiento.
El tubo de Kundt es un aparato para demostrar ondas de longitudes en un gas y medir su velocidad.
En este tubo, el polvo se acumula entre nodos separados de 2λ
.
Como la frecuencia f es conocida, podemos determinar la velocidad de la onda: v fλ= .
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Las partículas en los dos lados opuestos del nodo vibran en oposición de fase.
Como las partículas se acercan, la presión aumenta. En el nodo de desplazamiento, el gas experimenta compresión y expansión máxima.
Las partículas en los dos lados opuestos a un antinodo de desplazamiento vibran en fase. La distancia es constante y no hay variación de presión.
Esto define un nodo de presión: donde la presión y densidad no varían.
• El antinodo de desplazamiento es, por tanto, un nodo de presión.
• Y el nodo de desplazamiento, es un antinodo de presión.
En el extremo de un tubo cerrado, el desplazamiento es cero, pero la presión varia de manera máxima: nodo de desplazamiento = antinodo de presión.
En el extremo de un tubo abierto, el desplazamiento es máximo, pero la presión no varia: antinodo de desplazamiento = nodo de presión.
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Ej. 7.4 Altavoz direccional
La frecuencia del altavoz es: 200Hzf = .
Dirigido a una pared, hay una distancia donde no se escucha nada. Esto se pasa en un antinodo de desplazamiento.
Como la pared debe ser un nodo de desplazamiento, la distancia entre nodo y antinodo de
desplazamiento adyacente es 4λ
.
Usando m
344s
v = (a una temperatura de 20 Co ), deducimos la longitud de la onda:
1
m344
s 1.72m200s
vf
λ−
= = =
La posición del próximo antinodo de desplazamiento: 1.72m
0.43m4 4λ
= ;
El segundo antinodo seré a: 3
1.29m4 2 4
dλ λ λ
= + = =
El tercero: 3 5
2.15m4 2 4
dλ λ λ
= + = =
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Tubos de órganos e instrumentos de viento
En un órgano, un soplador, alimenta en aire a una presión de 3 210 Pa 10 atm−= al extremo inferior de los tubos.
El corriente de aire entra por la abertura estrecha (boca) del tubo.
La colona de aire vibra en el tubo a la frecuencia fundamental + armónicos.
Hay dos tipos de tubos:
1- extremo abierto: nodos de presión
2- extremo tapado: antinodo de presión
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Tubo abierto
(7.9) 1 2v
fL
=
(7.10) 2
nLn
λ = con 1,2,3,...n =
(7.11) 12nnv
f nfL
= =
Tubo tapado
(7.12) 1 4v
fL
=
(7.13) 4
nLn
λ = con 1,3,5,...n =
(7.14) 14nnv
f nfL
= =
20
Ej. 7.5 Órgano
Un día cuando m
345ssonidov = , la frecuencia fundamental de un órgano con tubo tapado
da: 1 220Hzf = .
La longitud del tubo es, por tanto:
( )1
m345s 0.392m
4 4 220Hzv
Lf
= = =
La frecuencia del primero sobretono es 3 13 660Hzf f= = y del segundo
5 15 1100Hzf f= = .
Para un tubo abierto, si λ es igual, por tanto, f es también igual y una frecuencia de 1100Hz es la frecuencia del tercero armónico:
Pero como 3 1
m3 3453 s3 1100 0.470m
2 2 1100Hzabiertov
f f Hz LL
⋅= = = ⇒ = =
⋅
21
En un órgano siempre están presentes varios modos.
Al igual que una cuerda vibrante, las ondas estacionarias son complejas en el tubo.
Están ondas producen ondas viajeras con mismo contenido armónico.
Los tubos estrechos producen ondas ricas en armónicas superiores.
Los tubos gruesos producen ondas principalmente del modo fundamental.
El contenido armónico depende de la forma de la boca.
Para instrumento de viento, el principio es el mismo.
En la flauta, a taparse y destaparse los agujeros con los dedos, se cambia la longitud L de la columna de aire y por tanto el tono.
La flauta es similar a un tubo abierto.
El clarinete es similar a un tubo tapado.
Las frecuencias de cualquier instrumento de viento siempre son proporcionales a la velocidad del sonido sonidov .
Como sonidov depende de la temperatura, los tonos de estos instrumentos varían con la temperatura.
En general, como sonido airev T∝ , el tono de un instrumento de viento aumentará con la temperatura.
22
7.5 Interferencia de onda
Una onda estacionaria es un ejemplo de interferencia de ondas.
También a interferencias en caso de ondas viajeras.
La interferencia hace que el flujo de energía se canalice en determinada dirección.
En contrario de onda estacionaria, el modo de desplazamiento también es un modo de presión.
En esta condición, ocurre interferencia constructiva siempre que las distancias recorridas por dos ondas difieren en un número entero de longitud de onda:
0, , 2 , 3 ,...constructivad λ λ λ∆ =
Ocurre interferencia destructiva siempre que las distancias recorridas por dos ondas difieren en un número medio de longitud de onda:
3 5, , ,...
2 2 2destructivadλ λ λ
∆ =
Se usa este fenómeno para controlar el ruido que proviene de fuentes de sonido muy fuertes. Se usa fuentes de sonido adicional que interfiere de manera destructiva.
23
Ej. 7.6 Interferencias
Dos altavoces emiten ondas senoidales en fase.
La velocidad del sonido es m
350ssonidov = .
El micrófono en el punto P esta a una distancia de 4.00m.
La naturaleza de la interferencia en P depende de la diferencia de la longitud del camino de las ondas emitidas a partir de A y B.
Por el teorema del triangulo 4.47mAPd = y 4.12mBPd =
La diferencia de camino es: 0.35mAP BPd d d∆ = − =
Para una frecuencia dada, la interferencia será constructiva si 0, , 2 ,3 ,...d λ λ λ= o
2 30, , , ,...
v v vd
f f f=
Deducimos las frecuencias para ondas constructivas:
m350
s 1000Hz0.35mn
nvf n n
d= = = ⋅ , con 1,2,3,...n =
Para ondas destructivas:
m350
s 500Hz2 2 0.35mnnv
f n nd
= = = ⋅⋅
, con 1,3,5,...n =
24
7.6 Resonancia
Cuando se aplica una fuerza que varía periódicamente se produce en sistema vibrante una resonancia. Esto fenómeno también se pasa para un sistema con muchos modos normales.
Si la frecuencia f es cerca de uno de los modos normales, el fluido se moverá en la configuración del modo normal y la amplitud puede aumentar mucho.
La curva de resonancia ( )A f tiene picos cada vez que f es igual a una frecuencia de un modo normal.
Si no hubiera fricción o disipación, la energía agregada aumentaría indefinidamente (en la curvas de resonancia, los picos serian infinitamente altos).
Un ejemplo más espectacular de este fenómeno es el rompimiento de una copa por la voz amplificada de un cantante. Las frecuencias normales de una copa pueden ser escuchadas dando golpecito. Si la cantante emite una nota fuerte con una frecuencia exactamente igual a unas de las frecuencias de los modos normales se pueden producir oscilaciones de grandes amplitudes con energía suficiente para romper el cristal.
25
Ej. 7.7 Resonancia de un tubo de órgano tapado
Cerca de un tubo de órgano tapado se hace sonar una cuerda de guitarra con grande amplitud.
Asumimos que 80%cuerda tuboL L=
Asumimos que, por el fenómeno de resonancia, la cuerda y el tubo ambos vibran a su frecuencia fundamental.
Podemos deducir la razón de la velocidad en el aire y en la cuerda.
Sabemos que: 1 1aire cuerdaf f=
Como 1 4aire
aireaire
vf
L= y 1 2
cuerdacuerda
cuerda
vf
L= deducimos que:
4 2aire cuerda
aire cuerda
v vL L
=
Substituyendo 0.80cuerda aireL L=
0.40cuerda
aire
vv
⇒ =
26
7.7 Ondas sonoras
El sonido es una onda longitudinal en un medio (gas).
Las ondas sonoras más sencillas son senoidales con f , A y λ definidos.
Intervalo audible: El oído humano es sensible a frecuencia de 20 a 20000Hz.
Mayores frecuencias: ultrasónicos
Menores frecuencias: infrasónicos
Las ondas sonoras suelen dispersarse en todas la dirección.
Un caso ideal: onda sonora en dirección x :
(7.15) ( ) ( ), seny x t A t kxω= −
El desplazamiento es paralelo a la dirección de la onda.
Las ondas sonoras pueden describirse en términos de variación de presión. El oído detecta variación de presión.
Para una onda senoidal la presión fluctúa alrededor de la presión atmosférica ( ap ) en forma senoidal con la misma frecuencia que los movimiento de las partículas en el aire.
Sea ( ),p x t , la fluctuación de de presión instantánea en una onda sonora en el punto x en el instante t .
La cantidad ( ),p x t es la cantidad que la presión difiere de ap . Esto es la presión
manométrica. La presión absoluta es ( ),ap p x t− .
27
Consideramos un cilindro imaginario de aire con área transversal S y eje a lo largo de la dirección de propagación de la onda.
Cuando no hay una onda longitudinal la longitud del cilindro es x∆ y su volumen es V S x= ∆ .
Cuando una onda esta presente, el desplazamiento del cilindro es:
( )1 ,y y x t= y ( )2 ,y y x x t= + ∆
Si 2 1y y> , tenemos una disminución de presión.
Si 2 1y y< , tenemos una aumentación de presión.
Para 2 1y y= , tenemos un desplazamiento del cilindro hacia la derecha.
El cambio de volumen:
( ) ( ) ( )2 1 , ,V S y y S y x x t y x t ∆ = − = + ∆ −
En el límite 0x∆ → , el cambio fraccionario V V∆ :
(7.16) ( ) ( ) ( )
0
, , ,limx
y x x t y x t y x tdVV x x∆ →
+ ∆ − ∂= =
∆ ∂
El cambio esta relacionado con la fluctuación de presión por el modulo de volumen:
( ),p x tB
dV V
−=
(7.17) ( ) ( ),,
y x tp x t B
x
∂= −
∂
Cuando ( ),
0y x t
x
∂>
∂ el volumen aumenta y la presión disminuya.
28
En términos de onda de densidad la ecuación 7.15 se escribe:
(7.18) ( ) ( ), cosp x t BkA t kxω= −
La amplitud de presión es la máxima de fluctuación:
(7.19) maxp BkA=
( ),y x t (7.15) y ( ),p x t (7.18) describen la misma onda pero con frecuencias desfasadas
de 14
ciclo.
El desplazamiento es máximo cuando la fluctuación de presión es cero, y viceversa.
La amplitud de presión es proporcional al desplazamiento.
La fluctuación de presión también depende de λ . Más corta λ , más grande k y mayores las variaciones.
De otra manera, un volumen con B grande requiere una mayor amplitud porque significa menos compresibilidad y por tanto un mayor cambio de presión.
29
Ej. 7.8 Onda sonora en el aire
Onda sonora de moderada intensidad tiene una amplitud de presión 2max 3.0 10 Pap −= ×
alrededor de la presión atmosférica: 51.013 10 Paap = × .
Si 1000Hzf = , y m
344sairev = ¿Cuál es la amplitud de la onda?
Por definición: maxpA
Bk=
Donde kvω
= y rad
2 2 rad 1000Hz 6283s
fω π π= = ⋅ =
6283rad s rad18.3
344m s mk
vω
⇒ = = =
Usando el modulo de volumen adiabático:
5 51.4 1.013 10 Pa 1.42 10 PaaB pγ= = ⋅ × = ×
28max
5
3.0 10 Pa1.2 10 m
rad1.42 10 Pa 18.3
m
pA
Bk
−−×
⇒ = = = ×× ⋅
Esto es 1
100 el tamaño de una célula humana.
30
Ej. 7.9 Onda en el oído interno
Cuando una onda entra en el oído se pone al oscilar el tímpano.
Este hace oscilar los osículos que transmiten la onda al oído interno lleno de un fluido.
El movimiento del fluido perturba las células pilosas que transmiten impulsos nerviosos al cerebro.
La parte móvil del tímpano tiene un área de 243mm . El estribo tiene un área de apenas 23.2mm .
Si ignoramos la masa de los osículos (58mg) la fuerza sobre el fluido ejercida por los osículos es igual al la fuerza ejercida sobre el tímpano por la onda sonora.
La amplitud de presión en el oído interno es mayor porque si la fuerza es la misma, el área donde se aplica la fuerza es menor.
2 2
2
3.0 10 Pa 43mm0.40Pa
3.2mmmax aire ti
max intint int
p SFp
S S
−× ⋅= = = =
Los osículos aumentan la presión en el oído interno por un factor de 13ti intS S = .
La amplitud del desplazamiento en el oído interno (fluido = agua pura):
maxpA
Bk= , donde 111 1
10 Pa45.8
Bcompresibilidad agua
= = × y aire
agua
kvω
=
Para una temperatura de 37 Co , m
1500saguav =
6283rad s rad4.2
1500m s mk⇒ = =
11
9
0.40Pa4.4 10 m
rad2.18 10 Pa 4.2
m
intA −= = ×× ⋅
Pero que cuenta realmente es la amplitud de presión porque es la variación de presión que mueve las células pilosas.
31
Percepción de ondas sonoras
Las características de la onda sonora tienen una relación directa con la percepción.
Para una frecuencia dada, mayor la amplitud de presión y mayor el volumen aparente.
El oído no es sensible a todas las frecuencias de la misma manera. Para 1000Hz, 53 10 Pamaxp −= × , pero para producir el mismo volumen a 200Hz o 1500Hz, 43 10 Pamaxp −= × .
Con la edad se pierda la sensibilidad a las altas frecuencias.
La frecuencia determine el tono (calidad de agudo o grave).
La amplitud de presión también determina la percepción del tono. Mayor presión, más volumen y más grave la impresión.
El sonido musical es una combinación de ondas complejas formadas de fundamentales y armónicas. La calidad del tono también es determinada por el ataque y decremento de la onda.
En la figura vemos las curvas de fluctuación de presión de un clarinete (a) y de una flauta (c). Las curvas de abajo muestran el contenido armónico.
El ruido es una combinación de todas las frecuencias. El ruido blanco es una combinación en cantidad igual de todas las frecuencias.
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7.8 Intensidad del sonido
El sonido es una onda viajera, que implica que puede transportar energía.
La intensidad de la onda de sonido es la razón media a la cual la onda transporta la energía por unidad de área a través de una superficie perpendicular a la dirección de propagación.
potencia mediaI
unidad de area=
La potencia es el producto de la fuerza por la velocidad Potencia= fuerza×velocidad .
Par una onda sonora: ( ) ( ), ,yPotencia p x t v x t= ⋅ , donde yv es la velocidad de la partícula.
Para la onda unidimensional (7.15):
( ) ( ), cosyy
v x t A t kxt
ω ω∂
= = −∂
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , cos cos cosyp x t v x t BkA t kx A t kx Bk A t kxω ω ω ω ω ⇒ ⋅ = − − = −
Sobre un periodo 2
Tπ
ω= el valor medio de 2cos es
12
por todos x
(7.20) 212medI B kAω=
Cambiamos vkω = y 2 Bv
ρ=
(7.21) 2 212medI B Aρ ω=
Par frecuencias más baja, la amplitud necesita ser mayor para salir a la misma intensidad.
En términos de maxp usando (7.19) y vkω = :
(7.22a) 2 2
2 2max max
medp vp
IBk B
ω= = o
(7.22b) 2 2
2 2max max
medp p
Iv Bρ ρ
= =
Intensidad de una voz normal es 510 WvozI −= y de un grito fuerte 23 10 WgritoI −= ×
33
Ej. 7.10 Intensidad de una onda sonora en el aire
En el ejemplo 7.9, si 23.0 10 Pamaxp −= × y la temperatura es 20 Co de modo que 31.20kg mρ = y 344m sv =
2 26 6
2 2
3
3.0 10 Pa J W1.1 10 1.1 10
kg m2 s m m2 1.20 344m s
maxmed
pI
vρ
−− −×
= = = × = ×⋅
Ej. 7.11 Misma intensidad diferente frecuencias
Una onda sonora de 20.0Hz, tiene la misma intensidad que una onda sonora de frecuencia 1000Hz (Ej. 7.8). ¿Cuál son la amplitud A y amplitud de presión maxp .
En la ecuación 7.21, solamente Bρ dependen del medio, no A . Para que I sea constante debemos entonces tener el producto Aω constante.
82020.0Hz 1000Hz 1.2 10 mA −⇒ ⋅ = ⋅ ×
720 6.0 10 m 0.60µmA −⇒ = × =
Puesto que la intensidad es la misma, maxp debe ser la misma
Ej. 7.12 Potencia concierto al aire libre
Para un concierto al aire libre se requiere que 21I W m= a una distancia de 20m de los altavoces. ¿Cuál debe ser la potencia?
Suponemos que la onda se disperse uniformemente en un hemisferio de 20m de radio.
Área ( )2 214 20 2500
2m mπ ≈ 2
2
W1 2500m 2500W
mP I area⇒ = ⋅ = ⋅ =
Observe que la potencia eléctrica debe ser mucho mayor, porque la eficiencia de los altavoces no es muy alta, apenas 10%-25%.
34
Variación de la intensidad con la distancia
De la ley de conservación de la energía, tenemos que la intensidad es inversamente
proporcional a la distancia cuadrada 2
1I
r∝ .
Si el potencial de la fuente es P a través de una esfera de radio 1r y área 214 rπ , la
intensidad media será:
1 214
PI
rπ=
Sobre una esfera de radio 2r y área 224 rπ :
2 224
PI
rπ=
La potencia es la misma: 2 21 1 2 24 4r I r Iπ π⇒ =
(7.23) 2
1 22
2 1
I rI r
=
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Escala de decibel
Dado que el oído es sensible a una gama amplia de frecuencias, suele usar una escala logarítmica.
El nivel de intensidad β .
(7.24) [ ]0
10logI
dBI
β =
Donde la unidad de referencia 120 2
W10
mI −= , es el umbral de oído humano a 1000Hz.
[ ] (dB)decibelβ = , 1
1 dB bel10
= , si 0 0 dBI I β= ⇒ = , si 2
W1 120 dB
mI β= ⇒ =
Algunos mediadores de sonido ponderan las diversas frecuencias: dBA considere solamente frecuencias intermediarias.
36
Ej. 7.13 Sordera temporal
Una exposición de 10min a una intensidad de 120dB suele desplazar el umbral del oído a 1000Hz de 0dB a 28dB durante un tiempo.
10 años de exposición a 92dB causa desplazamiento permanente a 28dB.
La intensidad que corresponde a 28dB es: 10dB 12 2.8 100 2 2
W W10 10 10 6.3 10
m mI I β − −= = = ×
La intensidad que corresponde a 92dB es: 12 9.2 32 2
W W10 10 1.6 10
m mI − −= = ×
Ej. 7.14 Pájaro cantante
Modelo: fuente puntual que emite sonido constante con 21I r∝
La diferencia de intensidad en dos puntos 1r y 2 12r r= :
2 1 22 1
0 0 1
10dB log log 10dB logI I II I I
β β
− = − =
Pero como 2
1 22
2 1
I rI r
= 2 2
1 12 1 2 2
2 1
110dB log 10dB log 10dB log 6dB
4 4r rr r
β β⇒ − = = = = −
El oído humano apenas puede detectar tal cambio. Un aumento de 8 a 10dB será interpretado con una aumentación de volumen por factor 2.
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7.9 Pulsaciones
Cuando dos ondas de la misma amplitud pero con frecuencias un poco diferentes interfieren se produce un fenómeno de pulsaciones.
La onda resultante semeja una onda senoidal con amplitud variable que va desde un máximo a 0 y se repite.
La variación de amplitud o variación de volumen es que llamamos pulsación.
La frecuencia con que cambia el volumen es la frecuencia de pulsación.
Una frecuencia de pulsación de unos cuantos Hz es interpretado con una variación de tono.
La frecuencia de pulsación siempre es igual a la diferencia de las dos frecuencias Af y Bf de las dos ondas que se solapan.
Demostración I:
Si A Bf f> , A BT T⇒ < .
Si las dos ondas empiezan en fase en 0t = , volverán a ser en fase solamente cuando la primera onda haya pasado por un ciclo más que la segunda onda.
Esto sucederá en pult T= .
El número de ciclo de la segunda será entonces 1n − .
De manera que ( )1pul A BT nT n T= = − .
Eliminando n: A Bpul
B A
T TT
T T=
−
El reciproco del periodo es la frecuencia: 1 1B A
pulA B A B
T Tf
T T T T−
= = −
38
(7.25) pul A Bf f f= −
Demostración II:
Suponga que ( ) ( ) sen 2A Ay t A f tπ= y ( ) ( ) sen 2B By t A f tπ= −
( ) ( ) ( )A By t y t y t⇒ = +
Usamos la identidad ( ) ( )1 1sen sen 2sen cos
2 2X Y X Y X Y− = − +
( ) ( ) ( )1 12 sen 2 cos 2
2 2A B A By t A f f t f f tπ π = − +
Vemos que el factor de amplitud varía con frecuencia ( )12 A Bf f−
El factor coseno varía con frecuencia ( )12 A Bf f+
El cuadrado de la amplitud (que es proporcional a I ) pasa por dos máximas y dos
mínimas por ciclo. Así ( )12
2pul A Bf f f= × − .
Se puede escuchar pulsación hasta frecuencias de pulsación 6-7Hz.
Detectar pulsación es un método par afinar instrumentos a cuerdas.
Con frecuencias mayores a 6-7Hz, no se detecta más pulsaciones y la sensación se funde en consonancia o disonancia.
Motores de avión con varias hélices deben ser sincronizados de modo que el sonido no causa pulsaciones.
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7.10 Efecto Doppler
Este fenómeno fue estudiado por la primera vez por el científico suizo Cristian Doppler en el siglo XX.
Cuanto una fuente de sonido y un oyente están en movimiento relativo la frecuencia del sonido oído no es la misma que la frecuencia emitida por la fuente.
Por sencillez, consideramos la fuente y el oyente en línea.
Sea Sv la velocidad de la fuente y Lv la velocidad del oyente con dirección positiva de L a S. La rapidez del sonido en el medio es v .
Consideramos el caso cuando solamente el oyente esta en movimiento hacia la fuente:
0Sv = y 0Lv >
La fuente emite una onda sonora de frecuencia S SS S
v vf
fλ
λ= ⇒ =
La cresta de onda que se acerca del oyente tiene una rapidez relativa mayor: Lv v+
Así que la frecuencia escuchada es:
(7.26) L LL
S S
v v v vf
v fλ+ +
= =
(7.27) 1L L LL S S
S
v v v v vf f f
v vλ+ + = = = +
La frecuencia es más alta (tono más agudo). Si 0Lv < , la frecuencia es más baja.
40
Si los dos son en movimiento, en la misma dirección 0Sv > y 0Lv > .
La velocidad del sonido es siempre v porque definida por las característica del medio.
Pero la frecuencia no es más igual a S
vλ
.
El tiempo de emisión de la fuente es el periodo T . Durante el tiempo, la onda viaja una
distancia S
vvT
f= y la fuente S
SS
vv T
f= .
La longitud de onda es la diferencia entre crestas sucesivas, que depende del desplazamiento relativo entre la fuente y la onda.
Esto es diferente por delante y por detrás.
(7.28) Por delante: S S
S S S
v v vvf f f
λ−
= − =
(7.29) Por detrás: S S
S S S
v v vvf f f
λ+
= + =
La frecuencia escuchado por el oyente será (substituimos 7.28 en 7.26):
( )L L
LS S
v v v vf
v v fλ+ +
⇒ = =+
(7.30) LL S
S
v vf f
v v+
=+
Por 0Lv = L Sf f< (grave); Por L Sv v= L Sf f= ; Si 0Lv > y 0Sv < L Sf f> (agudo).
41
Problemas
42
43
44
