i b i An Chéimseata 3: Claochluithe c 25 – Tógálacha ... · 1. tuathal 2. ˜deiseal Sa léaráid seo, rothlaítear an triantán T deiseal trí 90° thart ar an mbunphointe O

475

Mír 25.1 Céimseata na gClaochluithe Bogadh an fhíor marcáilte A sa léaráid ar dheis go dtí roinnt suíomhanna éagsúla. Tá an cruth agus an méid céanna ar na fíoracha uile. Tá roinnt díobh bunoscionn agus tá roinnt díobh droim ar ais.

A B

E F D

C

An Chéimseata 3: Claochluithe – Tógálacha - Cruthúnais

caibi

dil

25

• aistrithe a úsáid chun íomhá a thógáil,

• aiseanna agus lárphointí siméadrachta a shainaithint,

• íomhá a thógáil faoi shiméadracht aiseach nó lárnach,

• uillinn agus mírlíne a dhéroinnt, • línte comhthreomhara agus

ingearacha a tharraingt, • mírlíne a roinnt ina trí chuid

chothroma.

Beidh a fhios agat ón gCéad Bhliain conas:

• pointí agus bunfhíoracha áirithe a rothlú,

• cineálacha éagsúla triantán a thógáil, SSS, SUS, USU agus DTS ina measc,

• dronuilleoga a thógáil, • tuiscint a léiriú ar chruthúnais

teoirimí.

Sa chaibidil seo, foghlaimeoidh tú conas:

476

Téacs & Trialacha 2 Gnáthleibhéal

Gach ceann de na fíoracha B, C, D, E agus F, is íomhá den fhíor A é ach é faoi chlaochlú.An bhunfhíor a thugtar ar an bhfíor A. An íomhá a thugtar ar an suíomh nua.Sa chaibidil seo, féachfaimid ar cheithre chineál claochlaithe. Is iad sin aistrithe, an tsiméadracht aiseach, an tsiméadracht lárnach agus rothluithe.

1. AistritheIs é atá i gceist le haistriú ná gluaiseacht i líne dhíreach. Is féidir an focal ‘sleamhnú’ a úsáid le cur síos a dhéanamh ar an ngluaiseacht sin freisin.

Sa léaráid ar dheis, bogadh an litir A sa treo PQ agus bogadh í fad slí atá cothrom le |PQ|.Mar seo a scríobhtar an t-aistriú PQ:

___ › PQ .

Sa léaráid ar dheis, faightear íomhá na fíorach tugtha ach an bhunfhíor a bhogadh 4 aonad ar dheis agus 3 aonad suas.Tabhair faoi deara nach n-athraítear méid ná cruth na fíorach.

Seo íomhá na mírlíne [AB] faoin aistriú _

› t .

Tugtar A’B’ ar an íomhá.

Tá íomhá an triantáin ABC faoin aistriú

___ › BC le feiceáil ar dheis.

Is é A’B’C’ an íomhá.

P

Q

y

xO

4

3

íomhá

bunfhíor

1

2

3

4

5

6

7

8

�4�5 �3 �2 �1 1 2 3 4 5

B

t

A

B�

A�

A A�

B�C C�B

477

Caibidil 25 An Chéimseata 3: Claochluithe – Tógálacha - Cruthúnais

Cleachtadh 25.1 1. Déan cur síos ar an aistriú a dhéanfaidh an cruth gorm a mhapáil ar an gcruth dearg

i ngach ceann díobh seo a leanas. Úsáid focail ar nós ar dheis, ar chlé, suas agus síos.

(i) (ii) (iii)

(iv) (v) (vi)

2. y

x

�3

�4

�5

�2

�1O

J

1

2

3

4

5

6

7

8

�4�5�6�7�8�9�10 �3 �2 �1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

M

L

K

Déan cur síos iomlán ar an aistriú a mhapálfaidh (i) cruth L ar chruth K (ii) cruth J ar chruth L (iii) cruth M ar chruth L (iv) cruth J ar chruth M (v) cruth L ar chruth M

478


3. Tóg íomhá na litreach T faoin aistriú ___

› AB .

4. Tarraing an triantán ABC faoi dhó agus tóg a íomhá faoi

(i) ___

› BC (ii)

___ › AC .

5. Is cearnóg é ABCD, mar a léirítear. Déan cóip den léaráid agus tarraing sceitse garbh d'íomhá ABCD

(i) faoi ___

› AB (ii) faoi

___ › DB .

6. Is dronuilleog í ABCD agus trasnaíonn na trasnáin a chéile ag an bpointe O.Faigh gach ceann díobh seo: (i) íomhá A faoi

___ › DC

(ii) íomhá [AB] faoi ___

› BC

(iii) íomhá D faoi ___

› OB

(iv) íomhá [DC] faoi ___

› DA .

7. Is comhthreomharáin iad ABCD agus ABEC.Faoin aistriú

___ › CE , scríobh síos

(i) íomhá an phointe A (ii) íomhá [AD] (iii) íomhá ADC (iv) íomhá [AC].

8. San fhíor seo, is cearnóg í ABCD agus is comhthreomharán é BECD. (i) Cad é íomhá [BD] faoi

___ › DC ?

(ii) Cad é íomhá C faoi ___

› DB ?

(iii) Cad é íomhá ABD faoi __

› BE ?

(iv) Is íomhá pointe faoi ___

› CE é B. Cén pointe é sin?

(v) Is íomhá mírlíne faoi ___

› DC é [BC]. Cén mhírlíne í sin?

(vi) Is íomhá triantáin faoi ___

› CD é ABD. Cén triantán é sin?

A

B

A

B C

D

A

C

B

D

A

C

BO

D C

A

E

B

A B

D C

E

479


9. y

xO

A

1

1

B

C

D

(i) Scríobh síos comhordanáidí A, B, C agus D. (ii) Aistrítear gach pointe 5 aonad ar dheis agus 2 aonad suas.

Cad iad comhordanáidí na bpointí íomhá A’, B’, C’ agus D’?

Mír 25.2 Siméadrachtaí 1. Cruthanna siméadracha

Cruth siméadrach atá i ngach ceann de na fíoracha thíos.Ais na siméadrachta a thugtar ar an líne bhriste atá le feiceáil sna fíoracha sin.Bíonn ais siméadrachta i gcruth más féidir an cruth a fhilleadh sa dóigh is go luíonn leath amháin de go díreach ar an leath eile.

Seo roinnt fíoracha coitianta céimseatan agus na haiseanna siméadrachta a bhaineann leo.

Triantán comhshleasach(3 ais siméadrachta)

Cearnóg(4 ais siméadrachta)

Dronuilleog(2 ais siméadrachta)

Triantán comhchosach(ais siméadrachta amháin)













480


Comhthreomharán a bhfuil sleasa míchothroma air agus nach bhfuil dronuillinn ar bith ann, níl aon ais siméadrachta ann.

2. Siméadracht aiseachIs é atá san fhíor ghorm sa léaráid seo ná íomhá na fíorach glaise faoi fhrithchaitheamh sa líne bhriste .

Tugaimid A’B’C’D’ ar an íomhá.

Seo frithchaitheamh eile sa líne bhriste dhearg chothrománach.

Tá líneshiméadracht san fhocal MAM.An bhfuil tú in ann smaoineamh ar aon fhocal eile a bhfuil líneshiméadracht ann?

Léiríonn an léaráid ar dheis conas íomhá fíorach a thógáil faoi fhrithchaitheamh i líne.

3. Siméadracht lárnachSa léaráid ar dheis, ceanglaítear an pointe A leis an bpointe X agus leantar an líne go A’ sa chaoi go bhfuil |XA| 5 |AX|.

Deirtear gurb é atá sa phointe A’ ná íomhá A faoi fhrithchaitheamh sa phointe X nó faoi shiméadracht lárnach sa phointe X.

Sa léaráid ar dheis, feictear an litir F agus a híomhá faoi shiméadracht lárnach sa phointe X.

Tabhair faoi deara go mbreathnaíonn an íomhá bunoscionn agus droim ar ais le hais na bunfhíorach.

A

BB�

CC�

DD�

A�

�

C�

A�

C

A

B�B

A

X

A�

X

Bunfhíor

Íomhá

481


4. Lárphointe na siméadrachtaIs féidir na fíoracha seo uile a mhapáil orthu féin faoi shiméadracht lárnach sa phointe X.

X X XX

I ngach fíor is é an pointe X lárphointe na siméadrachta.

5. Rothluithe Taispeántar sa léaráid seo an cruth S á rothlú trí cheathrú casaidh tuathal.

Lárphointe an rothlaithe a thugtar ar an bpointe O.

Bíonn dhá threo i gceist sa rothlú:

1. tuathal

2. deiseal

Sa léaráid seo, rothlaítear an triantán T deiseal trí 90° thart ar an mbunphointe O.

Nuair a rothlaítear cruth, fanann an mhéid agus an déanamh mar a bhí ach athraíonn a shuíomh ar an bplána.

Castar gach pointe ar an gcruth tríd an uillinn chéanna thart ar an bpointe céanna.

EOE 5 FOF 5 90°

Cleachtadh 25.2 1. I gcás gach ceann díobh seo thíos, úsáid dronbhacart agus rialóir chun íomhá an

phointe X a thógáil faoi fhrithchaitheamh sa líne :

X

X

X

�

�

�

�1

�2

1

2

3

4

5

�2�3�4 �1 0 2 4 x

SC’ B’

OB

C

y

1 3

�1

1

2

3

4

5

6

7

�2�3�4�5�6 �1 0 2 4 5 x

F E

G E’G’

F’

O

y

1 3

T

482


2. Úsáid dronbhacart agus rialóir chun sceitse garbh a tharraingt d’íomhánna na dtriantán seo thíos faoi fhrithchaitheamh sa líne m.

m mm

3. Is é atá i gceist leis an dronuilleog DCFE ná íomhá na dronuilleoige ABCD faoi shiméadracht aiseach sa líne k.

Scríobh síos íomhá gach ceann díobh seo a leanas faoi fhrithchaitheamh sa líne k.

(i) an pointe B (ii) [AB] (iii) [DB] (iv) DCB (v) ABD (vi) [CB]

4. Cé acu de na claochluithe seo a leanas a léiríonn frithchaitheamh i líne? (i) (ii) (iii) (iv)

5. Cé acu de na litreacha thíos a bhfuil ais siméadrachta iontu?

6. I gcás gach ceann díobh seo a leanas, tarraing sceitse d’íomhá an triantáin ABC faoi shiméadracht lárnach sa phointe C.

A

C B

B

A C

k

BA

FE

D C

A

A

C

A�A�

C�

B

B

B�B� C�

CD

A B

B�

A�D�

483


7. Is dronuilleog é ABCD. Trasnaíonn trasnáin na dronuilleoige a chéile ag an bpointe O.

Faigh íomhá gach ceann díobh seo a leanas faoi shiméadracht lárnach sa phointe O.

(i) D (ii) C (iii) [BC] (iv) AOB (v) [AO] (vi) ADB (vii) [OC] (viii) ABCD.

8. Cé acu de na ceithre aghaidh seo thíos a bheadh ina híomhá den aghaidh seo ar dheis faoi shiméadracht lárnach?

A B C D

9. Cé acu de na ceithre aghaidh i gCeist 8 a bheadh ina híomhá den aghaidh thugtha (i) faoi fhrithchaitheamh i líne cheartingearach? (ii) faoi aistriú?

10. Maidir leis an léaráid ar dheis, déan cur síos iomlán ar an gclaochlú a mhapálfaidh (i) cruth P ar chruth P1 (ii) cruth P1 ar chruth P2 (iii) cruth P ar chruth P2.

11. Ar dheis, tá ciorcal dar lárphointe C. Ainmnigh dhá chlaochlú a mhapálfaidh an ciorcal air féin.

12. Tá patrún agus an líne n le feiceáil ar dheis.

Cé acu ceann de na léaráidí seo a leanas a léiríonn frithchaitheamh an phatrúin in n? A B C D

D C

A B

O

y

xO

P1

P2

P

CA B

n

484


13. Sa léaráid ar dheis feictear an triantán ABC.Is é A’B’C’ íomhá an triantáin ABC faoi fhrithchaitheamh sa y-ais.

(i) Faigh comhordanáidí A, B agus C.

Is iad A’’, B’’ agus C’’ íomhánna A, B agus C faoi fhrithchaitheamh san x-ais.

(ii) Faigh comhordanáidí A, B agus C.

14. Cé mhéad ais siméadrachta atá i ngach ceann de na fíoracha seo?

(i) (ii) (iii) (iv)

15. Cé acu de na fíoracha i gCeist 14 thuas a bhfuil lárphointe siméadrachta iontu?

16. y

x

�3

�4

�5

�2

�1O

5 2

1

4

6

1

2

3

4

5

6

�4�5 �3 �2 �1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Cé acu de na claochluithe – siméadracht aiseach, siméadracht lárnach, aistriú nó rothlú – a mhapálfaidh (i) L1 ar L2 (iv) L1 ar L6 (ii) L1 ar L4 (v) L1 ar L5? (iii) L5 ar L2 (vi) L5 ar L4?

y

x

�3

�2

�1O

A

C

B

1

2

3

4

5

6

�4�5�6 �3 �2 �1 1 2 3 4 5

485


17. Cóipeáil an léaráid den dronuilleog agus tarraing íomhá na dronuilleoige faoi rothlú deiseal trí 180° thart ar an mbunphointe O.

Scríobh síos comhordanáidí íomhánna na bpointí B, C agus D, faoin rothlú seo.

18. Déan cur síos ar gach ceann de na rothluithe seo a leanas:

(i) ABC → DEC (ii) ABC → IHC (iii) ABC → GFC

19. Déan cóip den chruth seo ar pháipéar cearnógach.

Tarraing suíomh nua an chrutha tar éis rothlú:

(i) 90° deiseal (ii) 180° (iii) 270° deiseal.

Mír 25.3 Tógálacha 1 Seo thíos na huirlisí a bheidh á n-úsáid agat chun tógálacha céimseatúla a dhéanamh.

DronbhacartUillinntomhas

Rialóir

Compás

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10cm

Nóta: Úsáidtear na focail 'rialóir' agus 'corr dhíreach’ go hidirmhalartaithe.

�1

�2

�3

1

2

3

4

�2�3 �1 0 2

DO

B C

y

1 3 x

�1

�2

�3

�4

1

2

3

4

�2�3�4 �1 0 2

y

1 3 4

E

B

D

ICF

A

H

G

x

�1

�2

�3

�4

1

2

3

4

�2�3�4 �1 0 2

y

x1 3 4

AC

B

486


1. Déroinnteoir uillinne a thógáil gan ach compás agus rialóir a úsáid

O B

A

Gan an ga a athrú, cuir bior an chompáis ar A agus tarraing stua idir géaga na huillinne. Cuir bior an chompáis ar B agus déan an rud céanna, ag trasnú an chéad stua ag C.

O B

CA

Ceangail an pointe O le C. Is é OC déroinnteoir na huillinne AOB.

O B

CA

Chun an uillinn a dhéroinnt, cuir bior an chompáis ar O agus tarraing stua a thrasnóidh dhá ghéag na huillinne ag A agus B.

2. Déroinnteoir ingearach mírlíne a thógáil

Socraigh do chompás le go mbeidh níos mó ná leath fhad [AB] idir an dá chos. Cuir bior an chompáis ar A agus tarraing stua os cionn na líne agus thíos fúithi.

BA BA

Q

P

Gan an ga a athrú, cuir bior an chompáis ar B agus tarraing dhá stua eile. Trasnóidh na stuanna sin an chéad dá stua ag P agus Q.

Ceangail P agus Q. Is é PQ déroinnteoir ingearach [AB]. Is é M lárphointe [AB].

BM

A

Q

P


BA BA

Q

P



BM

A

Q

P


BA BA

Q

P



BM

A

Q

P

487


3. Líne a thógáil atá ingearach leis an líne , agus í ag dul trí phointe ar leith ar

(i) Ag baint úsáid as dronbhacart agus rialóir

Bog an dronbhacart feadh imeall an rialóra go dtí go dtagann sé go dtí an pointe A.Tarraing an líne m trí A.Tá m ingearach le �.

A�

A � A

m

�

Leag an rialóir feadh na líne� agus leag an dronbhacart ar an rialóir.

Tugtar an líne � agus an pointe A ar �.

(ii) Ag baint úsáid as compás agus rialóir

Socraigh an compás le go mbeidh fad measartha idir an dá chos. Cuir bior an chompáis ar A ansin agus tarraing dhá stua a ghearrfaidh an líne � ag P agus ag Q.

P QA� �

Agus bior an chompáis ar P, tarraing stua os cionn A. Gan an ga a athrú, déan an rud céanna le bior an chompáis ar Q.Trasnóidh na stuanna sin a chéile ag an bpointe X.

P Q�

A

Úsáid rialóir chun líne a tharraingt trí X agus tríd an bpointe A. Tá an líne XA ingearach leis an líne � agus tá A uirthi.

A

X X

488


4. Líne a thógáil atá comhthreomhar le líne ar leith trí phointe ar leith

Tugtha: an líne � agus an pointe P.

Cuir taobh amháin den dronbhacart feadh na líne �.Cuir an rialóir feadh an taoibh eile agus coinnigh greim daingean air.

Sleamhnaigh an dronbhacart feadh an rialóra suas go dtí an pointe P.Tarraing an líne m trí P. Tá an líne m comhthreomhar le �.

P

�

P

�

Pm

�

5. Mírlíne a roinnt ina trí chuid chothroma

Tarraing an mhírlíne [XY].Tarraing líne trí X le go ndéanfar géaruillinn le[XY].

Cuir bior an chompáis ar X agus tarraing stua trasna na líne ag A. Gan an ga a athrú, cuir bior an chompáis ar A agus tarraing stua eile trasna na líne. Marcáil an pointe seo B. Lean an próiseas céanna arís ag an bpointe B agus marcáil an pointe nua C.

Ceangail C le Y.Bain úsáid as dronbhacart agus rialóir chun línte a tharraingt trí B agus A atá comhthreomhar le CY.Buaileann na línte seo le [XY] ag na pointí V agus U faoi seach. Roinneann U agus V [XY] ina thrí chuid chothroma.

X Y X

A

B

C

Y X U V

A

B

C

Y

489


6. Mírlíne d'fhad ar leith a tharraingt ar ghathán ar leithIs féidir compás agus rialóir a úsáid chun mírlíne d’fhad ar leith a tharraingt ar ghathán ar leith.

A 5 cmB

Chun mírlíne 5 cm a tharraingt, úsáid do rialóir chun ga 5 cm a fháil ar do chompás. Anois cuir bior an chompáis ar an bpointe A agus, gan an ga a athrú, tarraing stua a thrasnaíonn an líne ag B.Tá [AB] 5 cm ar fad.

7. Uillinn a bhfuil líon áirithe céimeanna inti a tharraingt nuair a thugtar gathán mar ghéag amháinÚsáidtear uillinntomhas chun uillinneacha a thomhas agus chun uillinneacha de mhéideanna ar leith a tharraingt. Léiríonn na léaráidí thíos conas uillinn 74° a tharraingt.

Tarraing líne (nó gathán).Marcáil rinn na huillinne.

Tarraing líne ón rinn tríd an bponc sin.

Cuir an t-uillinntomhas san áit a gcuirfeá é dá mbeifeá ag tomhas uillinne.Marcáil ponc ag 74°.

74°

Cleachtadh 25.3 1. Tóg déroinnteoir gach ceann de na huillinneacha thíos gan ach compás agus rialóir

a úsáid.

70° 45° 120°

490


2. Úsáid dronbhacart chun dronuillinn a tharraingt.Anois úsáid do chompás agus do rialóir chun an uillinn a roinnt ina dhá cuid chothroma. Bain úsáid as uillinntomhas lena dheimhniú gur 45° atá i ngach cuid.

3. Tarraing mírlíne atá 6 cm ar fad.Úsáid do chompás agus do rialóir chun déroinnteoir ingearach na mírlíne sin a thógáil.Deimhnigh go bhfuil gach leath 3 cm ar fad.

4. Tarraing mírlíne atá 7 cm ar fad.Déroinn an líne agus deimhnigh go bhfuil an dá leath ar comhfhad lena chéile.

5. Tarraing mírlíne [AB], 8 cm ar fad.Úsáid do chompás agus do rialóir chun déroinnteoir ingearach na mírlíne sin a thógáil. Roghnaigh pointe ar bith ar an déroinnteoir ingearach agus deimhnigh go bhfuil sé suite an fad céanna ó A agus ó B.

6. I ngach cás thíos, úsáid dronbhacart agus rialóir chun líne atá ingearach leis an líne thugtha a thógáil tríd an bpointe tugtha.

Pa

b

Qc

RPa

b

Qc

RPa

b

Qc

R

7. Tarraing léaráidí cosúil leis na cinn i gCeist 6 thuas. An uair seo úsáid rialóir agus compás chun líne atá ingearach leis an líne thugtha a thógáil tríd an bpointe tugtha.

8. Úsáid dronbhacart agus rialóir chun líne a tharraingt tríd an bpointe P agus í comhthreomhar leis an líne .

9. Tarraing mírlíne eile agus breac isteach pointe P nach bhfuil ar an líne. Anois úsáid dronbhacart agus rialóir chun líne a tharraingt trí P. Bíodh an líne sin comhthreomhar leis an mírlíne a tharraing tú.

P

�

491


10. Sa léaráid ar dheis, feictear an mhírlíne [AB] agus an líne AY, áit a bhfuil |AX| 5 |XY|.Úsáid dronbhacart agus rialóir chun XM a tharraingt comhthreomhar le YB.Deimhnigh gurb é M lárphointe [AB].

11. Tarraing mírlíne atá 9 cm ar fad.Anois úsáid compás, rialóir agus dronbhacart chun an líne a roinnt ina trí chuid chothroma. Úsáid an rialóir chun a dheimhniú go bhfuil gach cuid 3 cm ar fad.

12. Úsáid uillinntomhas chun uillinn 65° (BAC) a tharraingt.Anois úsáid compás agus rialóir chun déroinnteoir na huillinne sin a thógáil.Más ionann X agus pointe ar bith ar dhéroinnteoir na huillinne BAC, agus má tá XB AB agus XC AC, úsáid triantáin iomchuí chun a léiriú go bhfuil |XB| 5 |XC|.

Mír 25.4 Triantáin agus dronuilleoga a thógáil 1. Triantán a thógáil nuair a bhíonn fad na dtrí shlios agat

Tarraing léaráid chruinn den triantán ABC, áit a bhfuil |AB| 5 6 cm,|BC| 5 5 cm agus |CA| 5 4 cm.

Déan sceitse garbh ar dtús, féachaint cén sórt crutha a bheidh ar an léaráid chríochnaithe.

C

4 cm 5 cm

6 cmA B

6 cmBA

Tosaigh leis an taobh is faide. Úsáid rialóir chun mírlíne atá 6 cm ar fad a tharraingt. Tabhair A agus B ar dhá cheann na líne.

Socraigh do chompás le go mbeidh 5 cm idir an dá chos. Cuir an bior ar B agus tarraing stua.

5 cm 4 cm

B

C

A

Socraigh do chompás le go mbeidh 4 cm idir an dá chos. Cuir an bior ar A agus tarraing an dara stua. Trasnóidh na stuanna a chéile ag C.

B

C

A

Ceangail C le A agus B chun an triantán a chríochnú.

BA

C

6 cmBA



5 cm 4 cm

B

C

A


B

C

A


BA

C

6 cmBA



5 cm 4 cm

B

C

A


B

C

A


BA

C

6 cmBA



5 cm 4 cm

B

C

A


B

C

A


BA

C

A

X

Y

B

B

C

A X

492


2. Triantán a thógáil nuair a bhíonn toisí dhá shlios agus méid na huillinne eatarthu ar eolas

Tóg an triantán ABC agus [BC] mar bhonn air, áit a bhfuil |BC| 5 4 cm, |AB| 5 3 cm agus |ABC| 5 60°.Tomhais an slios [AC].

Tá sceitse garbh le feiceáil ar dheis.

A

3 cm

4 cmB C60°

Tarraing líne chothrománach agus úsáid do chompás chun 4 cm a mharcáil uirthi. Tugann sin an bonn [BC] = 4 cm.

4 cm CB

Ceangail A le C. Is é ABC an triantán a theastaíonn. Ach |AC| a thomhas, feictear go bhfuil sé 3.6 cm ar fad.

Úsáid d’uillinntomhas chun ∠CBA � 60° a thomhas agus tarraing an líne BA. Agus ga 3 cm ar an gcompás, cuir bior an chompáis ar B agus tarraing stua. Is ionann A agus an pointe ag a ngearrann an stua an líne BA.

C60°

3 cm

B C

AA

60°

3 cm

4 cmB


4 cm CB



C60°

3 cm

B C

AA

60°

3 cm

4 cmB


4 cm CB



C60°

3 cm

B C

AA

60°

3 cm

4 cmB


4 cm CB



C60°

3 cm

B C

AA

60°

3 cm

4 cmB


4 cm CB



C60°

3 cm

B C

AA

60°

3 cm

4 cmB


4 cm CB



C60°

3 cm

B C

AA

60°

3 cm

4 cmB

3. Triantán a thógáil nuair a bhíonn toisí dhá uillinn agus fad an tsleasa eatarthu ar eolas

Tóg an triantán ABC, áit a bhfuil |BC| 5 5 cm, |ABC| 5 40° agus |ACB| 5 50°.

Tá sceitse garbh le feiceáil ar dheis.

Tarraing mírlíne [BC], 5 cm ar fad. Úsáid uillinntomhas chun|ABC| 5 40° agus |BCA| 5 50° a thógáil.

Trasnaíonn na línte a chéile ag an bpointe A.Is é ABC an triantán a theastaíonn.

A

5 cmBC40° 50°

CB C

A

B 5 cm40° 50°

493


4. Triantán dronuilleach a thógáil nuair a bhíonn fad an taobhagáin agus fad slios amháin eile ar eolas

Tóg an triantán ABC sa chaoi go bhfuil |ABC| 5 90°, |BC| 5 5 cm agus |AC| 5 6 cm.

Tá sceitse garbh le feiceáil thíos.

Tarraing mírlíne [BC], 5 cm ar fad. Úsáid uillinntomhas chun uillinn 90º a dhéanamh ag B.Tarraing líne cheartingearach BA.Socraigh do chompás le go mbeidh 6 cm idir an dá chos.Agus bior an chompáis ar C, tarraing stua a ghearrann an líne cheartingearach.Tabhair A ar an bpointe sin agus ceangail AC.Is é ABC an triantán a theastaíonn.

A

5 cm

6 cm

B C90°

CB 5 cmCB

A

5 cm

6 cm

90°

5. Triantán dronuilleach a thógáil nuair a bhíonn fad slios amháin agus méid géaruillinn amháin ar eolas

Tóg an triantán ABC sa chaoi go bhfuil an bonn [BC] 5 5 cm, |ABC| 5 90° agus |ACB| 5 40°. Tá sceitse garbh le feiceáil thíos.

Tarraing mírlíne [BC], 5 cm ar fad. Úsáid uillinntomhas chun uillinn 90° a dhéanamh ag B. Tarraing líne cheartingearach BA.Anois úsáid uillinntomhas chun uillinn 40° a dhéanamh ag C.Marcáil an pointe A san áit a dtrasnaíonn géag na huillinne an líne cheartingearach. Is é ABC an triantán a theastaíonn.

A

B C90°

5 cm40°

CB 5 cmCB

A

5 cm

90°40°

Tarraing mírlíne [BC], 5 cm ar fad. Úsáid uillinntomhas chun uillinn 90° a dhéanamh ag B. Tarraing líne cheartingearach BA.Anois úsáid uillinntomhas chun uillinn 40° a dhéanamh ag C.Marcáil an pointe A san áit a dtrasnaíonn géag na huillinne an líne cheartingearach. Is é ABC an triantán a theastaíonn.

A

B C90°

5 cm40°

CB 5 cmCB

A

5 cm

90°40°

494


6. Dronuilleoga a thógáil

Tóg dronuilleog dar sleasa 5 cm agus 3 cm.

Tarraing líne chothrománach agus marcáil an pointe A uirthi. Úsáid dronbhacart nó uillinntomhas chun líne a tharraingt ag A atá ingearach leis an gcéad líne.

Úsáid compás chun 5 cm a thomhas ar an líne chothrománach agus 3 cm a thomhas ar an líne cheartingearach. Tabhair D agus B ar na pointí sin faoi seach.

Tarraing líne trí B comhthreomhar le AD.Tarraing líne trí D comhthreomhar le AB.Trasnaíonn na línte sin a chéile ag an bpointe C. Is é ABCD an dronuilleog a theastaíonn.

A A

B

D

3 cm

5 cm 5 cmA

B

D

C

3 cm

Draw a horizontal line andmark a point A on it.Use a set square orprotractor to draw a lineperpendicular to thegiven line at A.

Use a compass to measure5 cm on the horizontal lineand 3 cm on the vertical line.Mark the points D and B,respectively.

Draw a line through Bparallel to AD.Draw a line through Dparallel to AB.These lines meet at thepoint C. ABCD is therequired rectangle.

A A

B

D

3 cm

5 cm 5 cmA

B

D

C

3 cm




A A

B

D

3 cm

5 cm 5 cmA

B

D

C

3 cm




Cleachtadh 25.4 1. Tóg gach ceann de na triantáin seo go cruinn.

Is gá na línte tógála uile a léiriú.

3 cm

5 cm

4 cm 5 cm

6 cm

8 cm 5.5 cm 4 cm

7 cm

2. Tarraing sceitse garbh de gach ceann de na triantáin seo.Úsáid [BC] mar an bonn i ngach cás. Anois tóg gach triantán go cruinn.

(i) ABC ar a bhfuil |BC| 5 6 cm, |AB| 5 5 cm agus |AC| 5 4 cm. (ii) ABC ar a bhfuil |BC| 5 8 cm, |AB| 5 5.5 cm agus |AC| 5 6 cm.

3. Tarraing triantán dar sleasa 3 cm, 5 cm agus 6 cm. Tomhais na trí uillinn agus deimhnigh go bhfuil (i) an uillinn is lú os comhair an tsleasa is giorra (ii) an uillinn is mó os comhair an tsleasa is faide.

495


4. Tóg na triantáin seo a leanas, de réir na dtoisí a thugtar sna sceitsí garbha thíos.

B

A

C

4 cm

5 cm60°

E

D

F6 cm

4.5 cm

7 cm

5.5 cm

Y

X

Z30° 75°

B

A

C

4 cm

5 cm60°

E

D

F6 cm

4.5 cm

7 cm

5.5 cm

Y

X

Z30° 75°

B

A

C

4 cm

5 cm60°

E

D

F6 cm

4.5 cm

7 cm

5.5 cm

Y

X

Z30° 75°

Tomhais |AC| Tomhais |DE| Tomhais |XZ|

5. Tóg an triantán ABC i ngach cás thíos agus bíodh [BC] mar an bonn i ngach cás.(Tarraing sceitse garbh ar dtús).Tomhais an tríú slios ar gach triantán.

(i) |BC| 5 4 cm, |AB| 5 3 cm agus |ABC| 5 50°. (ii) |BC| 5 6 cm, |BCA| 5 60° agus |AC| 5 4.5 cm.

6. Tarraing léaráidí cruinne de na sceitsí seo thíos:

B C

A

7 cm

55° 50°E F Y

X

Z

D

5 cm 6 cm70° 100° 40°45°

B C

A

7 cm

55° 50°E F Y

X

Z

D

5 cm 6 cm70° 100° 40°45°

B C

A

7 cm

55° 50°E F Y

X

Z

D

5 cm 6 cm70° 100° 40°45°

Tomhais |AC| Tomhais |DF| Tomhais |XZ|

7. Tóg léaráid chruinn de gach ceann de na triantáin dhronuilleacha seo:

7 cm

4 cm7.5 cm

6 cm40°

6.5 cm

8. Tóg an triantán DEF, áit a bhfuil |DE| 5 5 cm, |EF| 5 6.5 cm agus |DEF| 5 90°. Bíodh [EF] mar bhonn an triantáin.

9. Tóg an triantán ABC, áit a bhfuil |BC| 5 7 cm, |ABC| 5 90° agus |ACB| 5 50°. Bíodh [BC] mar bhonn an triantáin.Tomhais |AC|.

496


10. Tarraing dronuilleog dar sleasa 6 cm agus 4 cm.Deimhnigh go bhfuil an dá thrasnán ar comhfhad lena chéile.

11. Tarraing dronuilleog dar sleasa 70 mm agus 45 mm. Tomhais fad an trasnáin.

12. Tóg an dronuilleog ABCD, áit a bhfuil an bonn [AB] 5 7 cm, más é 28 cm2 achar na dronuilleoige.

13. (i) Tarraing plean cruinn den pháirc seo, agus an scála 1 cm in aghaidh 10 m á úsáid agat.

80 m

75 m

60 m

80 mGeata an Fhéithlinn

An ÁirseAn

Príomhgheata

Bearna an Drúchta

110°

(ii) Tá dhá chosán dhíreacha sa pháirc, ceann a théann ón bPríomhgheata go dtí Geata an Fhéithlinn agus an ceann eile a théann ón Áirse go dtí Bearna an Drúchta.

Cad é fad slí an chosáin is faide, ina mhéadair?

Mír 25.5 Dul siar ar theoirimí Ní gá do dhaltaí a bheith eolach ar chruthúnas iomlán foirmiúil na dteoirimí céimseatan seo, ach caithfidh siad a bheith in ann tuiscint a léiriú ar na teoirimí agus ar na torthaí a bhaineann leo.

Teoirim 1. Lena chruthú go mbíonn rinnuillinneacha urchomhaireacha ar cóimhéid.

Má thrasnaíonn dhá líne agus m a chéile, ansin:

A C 5 180° … mar líne dhíreach is ea .B C 5 180° … mar líne dhíreach is ea m. A 5 B

A

BC

Teoirim 2. I dtriantán comhchosach bíonn na huillinneacha os comhair na sleasa cothroma ar cóimhéid.

Má dhéroinneann AP an uillinn BAC, ansin:

1. BAP 5 PAC … mar tá BAC déroinnte.2. |BA| 5 |AC| … mar tá BAC comhchosach.3. |AP| 5 |AP| Tá BAP agus PAC iomchuí dá chéile … SUS

ABP 5 ACP

A

B P C

497


Coinbhéarta: Má tá dhá uillinn i dtriantán ar cóimhéid, ansin is triantán comhchosach é…

Má dhéroinneann AP an uillinn BAC, ansin:

1. BAP 5 PAC … mar tá BAC déroinnte.2. ABP 5 ACP … mar tá dhá uillinn chothroma sa triantán BAC. APB 5 APC3. |AP| 5 |AP| Tá BAP agus PAC iomchuí dá chéile … USU

|BA| 5 |AC|

A

B P C

Teoirim 3. Má dhéanann trasnaí, t, uillinneacha ailtéarnacha cothroma, A, ar dhá líne, agus m, ansin tá na línte, agus m, comhthreomhar lena chéile.

A C 5 180° … mar líne dhíreach is ea t.A D 5 180° … mar líne dhíreach is ea m. D 5 C Tá agus m comhthreomhar lena chéile.

Coinbhéarta: Má tá agus m comhthreomhar lena chéile, ansin déanann an trasnaí, t, uillinneacha ailtéarnacha cothroma, A, le t.

Má tá agus m comhthreomhar lena chéile, ansin:

D 5 CA C 5 180° … mar líne dhíreach is ea t.B D 5 180° … mar líne dhíreach is ea m. B 5 A

A

AD

C

t �

m

A

BD

C

t �

m

Teoirim 4. Is é 180° suim na n-uillinneacha i dtriantán ar bith.

Má tharraingítear comhthreomhar le bonn an triantáin, ansin:

B 5 E … uillinneacha ailtéarnachaF 5 A … uillinneacha ailtéarnachaB C F 5 180° … mar líne dhíreach is ea .

E C A 5 180° A E

CB �F

498


Teoirim 5. Maidir le trasnaí ar bith, bíonn dhá líne comhthreomhar má bhíonn na huillinneacha comhfhreagracha ar cóimhéid, agus sa chás sin amháin.

Tá na huillinneacha comhfhreagracha C agus E ar cóimhéid.

Mura bhfuil na línte agus m comhthreomhar lena chéile, caithfidh go mbuailfidh siad lena chéile ag pointe áirithe (abraimis B).Ós rud é go bhfuil C 5 D (rinnuillinneacha urchomhaireacha) E 5 D Ach E 5 D B (bíonn uillinn sheachtrach ar cóimhéid leis na huillinneacha inmheánacha urchomhaireacha) B 5 0 tá na línte comhthreomhar lena chéile.

E

CD B

�

m

B

Teoirim 6. Is ionann gach uillinn sheachtrach i dtriantán agus suim na n-uillinneacha inmheánacha urchomhaireacha.

Más é F an uillinn sheachtrach, ansin:

E F 5 180° … mar líne dhíreach is ea an bonn.

E C A 5 180° … is é 180° suim na n-uillinneacha i dtriantán.

F 5 C A

A EF

C

Teoirim 9. I gcomhthreomharán, bíonn uillinneacha urchomhaireacha ar cóimhéid.

I gcomhthreomharán:

D 5 A … uillinneacha ailtéarnachaB 5 C … uillinneacha ailtéarnacha D C 5 B Ai.e. bíonn uillinneacha urchomhaireacha ar cóimhéid. C D

BA

Teoirim 9. I gcomhthreomharán, bíonn uillinneacha urchomhaireacha ar cóimhéid.

Sa chomhthreomharán ABCD:

ACB 5 CAD … uillinneacha ailtéarnachaBAC 5 ACD … uillinneacha ailtéarnacha|AC| 5 |AC| Tá ABC agus ACD iomchuí dá chéile |CD| 5 |AB| agus |BC| 5 |AD|

D

A

B

C

499


Teoirim 10. Déroinneann trasnáin chomhthreomharáin a chéile.

Sa chomhthreomharán ABCD:

… uillinneacha ailtéarnacha

B 5 D … uillinneacha ailtéarnachaR 5 R|AD| 5 |BC| … comhthreomharán is ea ABCD. Tá ARD agus RCB iomchuí dá chéile. |AR| 5 |RC| agus |DR| 5 |BR|

A D

B C

R

A D

CB

R

Teoirim 13. Má bhíonn dhá thriantán comhchosúil, bíonn a sleasa comhréireach agus in ord.

Tá DEF comhchosúil le ABC tá na huillinneacha ar fad in DEF 5 na huillinneacha ar fad in ABC.

|DE|

 ____ |AB|

  5 |EF|

 ____ |BC|

  5 |DF|

 ____ |AC|

 

⇒ |AG|

 ____ |AB|

  5 |GH|

 ____ |BC|

  5 |AH|

 ____ |AC|

 

A

B C

HG

D

FE

Teoirim Phíotágaráis 14. I dtriantán dronuilleach, is ionann cearnóg an taobhagáin agus suim na gcearnóg ar an dá shlios eile.

Triantán dronuilleach is ea ABC.

Bíodh BD ingearach le AC

ABC 5 ADB, BAC 5 BAD, ABD 5 BDC

Tá ABC comhchosúil le ABD; mar sin, tá na sleasa orthu i gcóimheas lena chéile.

|AC|

 ____ |AB|

  5 |AB|

 ____ |AD|

  ⇒ |AB|2 5 |AC||AD|

Chomh maith leis sin, tá ABC comhchosúil le BDC; mar sin, tá na sleasa orthu i gcóimheas lena chéile.

|AC|

 ____ |BC|

  5 |BC|

 ____ |DC|

  ⇒ |BC|2 5 |AC||DC|

|AB|2 |BC|2 5 |AC||DC| |AC||AD| 5 (|AC|)(|DC| |AD|) 5 |AC||AC| 5 |AC|2

B C

D

A

500


Teoirim 15. Má tá an chearnóg ar shlios amháin de thriantán cothrom le suim na gcearnóg ar an dá shlios eile, is dronuillinn í an uillinn atá urchomhaireach leis an gcéad slios.

Má tá |AB|2 |BC|2 5 |AC|2,

tarraing triantán dronuilleach BDC ionas go mbeidh |DB| = |AB|

|DC|2 5 |DB|2 |BC|2 …Píotágarás

|DC|2 5 |AB|2 |BC|2 …|DB| 5 |AB|

|DC|2 5 |AC|2 …|AB|2 |BC|2 5 |AC|2

|DC| 5 |AC| agus |BC| 5 |BC| agus |DB| 5 |AB|

Tá BDC agus ABC iomchuí dá chéile.

Dronuillinn is ea DBC.D

A

CB

Atoradh Theoirim 12. Dronuillinn is ea gach uillinn i leathchiorcal.

Más é BC trastomhas ciorcail dar lárphointe A, ansin déanfaidh pointe ar bith, D, ar an imlíne triantán dronuilleach BDC.

Má bhogtar D go dtí pointe nua, E, beidh an triantán BEC ina thriantán dronuilleach.

Coinbhéarta: Más dronuillinn í an uillinn atá ina seasamh ar an gcorda BC, ansin beidh an corda BC ina thrastomhas.

B CA

D

E

Tasc:Bain úsáid as cruthanna céimseatúla a bhfuil staidéar déanta agat orthu agus as na próisis seo a leanas – an tsiméadracht lárnach, an tsiméadracht aiseach, rothluithe agus aistrithe – chun lógó a dhearadh do cheann amháin díobh seo a leanas: (i) ionad aclaíochta.nó (ii) comhlacht loingis.nó (iii) gnólacht teicneolaíochta nua.

Documents

i b i An Chéimseata 3: Claochluithe c 25 – Tógálacha ... · 1. tuathal 2. ˜deiseal Sa léaráid seo, rothlaítear an triantán T deiseal trí 90° thart ar an mbunphointe O