Icindekiler
Ikinci Basma Onsoz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Onsoz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I Gercel Saylar 5
1 Gercel Saylar ve Ozellikleri 7
1.1 Gercel Saylarn Aksiyomlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Toplamann Ozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Carpmann Ozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Sralamann Ozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Mutlak Deger ve Mesafe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 SUP Aksiyomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Rnin icindeki N, Z ve Q 212.1 Dogal Saylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Tamsaylar ve Kesirli Saylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Kesirli Usler ve Kokler 29
3.1 Kesirli Us Alma ve Kok Bulma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Baz Basit Sonuclar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Bernoulli-vari Esitsizlikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Aritmetik-Geometrik Ortalama Esitsizligi I . . . . . . . . . . . 43
3.5 Aritmetik-Geometrik Ortalama Esitsizligi II . . . . . . . . . . . 51
II Diziler 61
4 Yaknsak Gercel Say Dizileri 63
4.1 Dizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Yaknsak Diziler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Limitin Biricikligi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4 Ornekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
v
5 Yaknsak Dizilerle Sralama ve Islemler 79
5.1 Yaknsak Diziler ve Sralama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 Yaknsak Dizilerle Islemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 Yaknsak Dizi Ornekleri I 99
7 Dizi Cesitleri 109
7.1 Monoton Diziler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2 Sonsuza Iraksayan Diziler I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.3 Cauchy Dizileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8 Gercel Saylarn Tamlg 129
8.1 Altdiziler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.2 Gercel Saylarn Tamlg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Okuma Parcas: Onluk Tabanda Aclm . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Vize Snav 141
9 Snrl Diziler 145
9.1 Buzen Diziler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.2 Kapal Kutular Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.3 Bolzano-Weierstrass Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10 Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu 157
10.1 Euler Saysnn Tanm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.2 ((1 + x/n)n)n Dizisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.3 eye Yaknsayan Bir Baska Dizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.4 exp Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.5 eye Yaknsayan Bir Baska Dizi (devam) . . . . . . . . . . . . . 170
10.6 expxin Yaklask Degerini Bulmak . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10.7 exp(x+ y) = expx exp y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Okuma Parcas 1 : e Kesirli Bir Say Degildir . . . . . . . . . . . . . 184
Okuma Parcas 2 : Bilesik Faizler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Okuma Parcas 3: e Saysnn Degisik Gosterimleri . . . . . . . . . . 187
Okuma Parcas 4: Yer Bulma Olaslg . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
11 Yaknsak Dizi Ornekleri II 195
12 Sonsuza Iraksayan Diziler ve Sonsuzlar 199
12.1 Sonsuza Iraksayan Diziler II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
12.2 Sonsuzlar Rye Eklemek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
13 Dizilerin Alt ve Ustlimitleri 213
III Seriler 227
14 Seriler 229
14.1 Tanmlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
14.2 Teleskopik Seriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
14.3 Serilerle Ilgili Iki Basit Gozlem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
14.4 Serilerin Terimleriyle Oynamak . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
15 Pozitif Seriler ve Mutlak Yaknsaklk 259
15.1 Pozitif Seriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
15.2 Kyaslama Teoremleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
15.3 Mutlak Yaknsaklk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
16 Serilerle Islemler 273
16.1 Toplama, Ckarma ve Bir Sayyla Carpma . . . . . . . . . . . . 273
16.2 Cauchy Carpm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
16.3 Cesaro Ortalamas ve Toplam . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
17 Dalgalanan Seriler 289
17.1 Leibniz Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
17.2 Riemann Duzenleme Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
18 dAlembert ve Cauchy Kstaslar 297
18.1 dAlembert Kstaslar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
18.2 Cauchy Kstas (Kok Testi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
18.3 Cauchy-dAlembert Karslastrmas . . . . . . . . . . . . . . . . 309
18.4 Yaknsaklk Yarcap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
18.5 Kuvvet Serilerinin Turev ve Integralleri . . . . . . . . . . . . . 315
19 Birkac Onemli Yaknsaklk Kstas Daha 321
19.1 Riemann Serisi ve Kstas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
19.2 Raabe Kstaslar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
19.3 Kummer-Dini Kstas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
19.4 Dirichlet ve Abel Kstaslar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
Karsk Alstrmalar 339
IV Ekler 343
20 Ekler 345
20.1 Us Almak - Yusuf Unlu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
20.2 Cifte Diziler ve Seriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
20.3 Sonsuz Carpmlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35620.4 Toplanabilir Aileler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
Formuler 369
Kaynakca 378
Ikinci Basma Onsoz
Birinci basmdaki baz hatalar duzeltildi, beceriksizlikler giderildi. Baz ba-gmsz bolumler tek bir bolum altnda toplanarak kitap daha derli toplu birhale getirildi. Bunun dsnda, gereksiz yere uzun olduklarna hukmettigim bazkantlar ksaltld. (Ama bu konuda yanlms da olabilirim, eski uzun kantlarseviyordum!) Kitap daha az sayfaya insin ve boylece fiyat artmasn diye mi-zanpajla oynand. Bu cabalar sonucunda 20 sayfa kadar ksalan kitap, kitabnsonuna ekledigim eklerle ve en ilgincleri [A], [Bro] ve [Kn] saheserlerindenapartlan ya da uyarlanan alstrma ve orneklerin eklenmesiyle birlikte 80 say-fa kadar da uzad! Ama kitabn ozunun bu degisikliklerden pek etkilendiginisoyleyemem.
Ornekleri ya da alstrmalar tek basna cozemeyen ogrenci karamsarlgakaplmamal, kimisi hic kolay degildir cunku. Bircogunda ben de zorlandm,hatta kimisinde resmen cuvalladm, bir bilene sordum. Onemli olan kavramlar,teoremleri ve kantlarn ozumsemektir. Uygulamada ustalasma isi zamanla (veancak gerekirse!) olacaktr.
Birinci basmda bir ornegin uzun acklamalarn iki uc satra indiren IlhamAliyeve ve esitsizliklerle ilgili bircok kant ksaltan Yusuf Unluye sonsuz te-sekkurler.
Yusuf Unlu, pozitif gercel saylarn uslerini almay cok sk bir bicimde ta-nmlayp yollad. Bunu ek olarak Altbolum 20.1e koydum ama tanm Altbo-lum 3.3un sonuna gelebilecek kadar basitti! Ama bu durumda kitap bastanasag degismek zorunda kalacak ve hedefledigimden bambaska bir kitap ortayackacakt. Yapmadm.
Bunun dsnda, kitabn sonuna, merakllar icin, seri kavramn bir anlamda(ve sadece belli bir anlamda) genellestiren toplanabilir ailelerle, iki gostergeclicifte serilerle ve sonsuz carpmlarla ilgili birer altbolum ekledim.
Bir de ayrca kitabn en sonuna bir formuler ekledim. Boylece hangi dizi-den ya da seriden hangi sayfada sozedildigi bir baksta gorulebilecek. Mukerrerornekler ve alstrmalar ozellikledir.
Bu arada bu analiz serisinin topoloji ve metrik uzaylar konularn isleyendorduncu cildi ckt ve hatta ikinci basmn yapmak uzere. Ikinci cildin isehala daha eli kulagnda. Tek bir cilde sgacagndan giderek daha fazla kusku
2 Ikinci Basma Onsoz
duydugum ucuncu cildin yaymlanmas ise 2013u bulabilir.Analizden sonra sra cebire gelecek. Kitaplarn ckmasn bekleyemeyecek
okur Matematik Dunyas dergisini (www.matematikdunyasi.org) takip etmeli.Bu kitap da buyuk olcude Matematik Dunyasnda yazlan yazlarn derlen-mesiyle ortaya ckt.
Ali Nesin / Mays 2012
Onsoz
En az dort ciltten olusacak olan bu analiz serisi, 1995ten beri Istanbul BilgiUniversitesinde birinci snf matematik ogrencilerine verdigim analiz dersle-rinden ve daha sonra Matematik Dunyas dergisine yazdgm yazlardan ortayackt. Her cildin bir donemlik bir ders olusturacag dusunulmustur.
Turev ve integral konular ogrenciyi kacnlmaz olarak otomatizme ve ez-bere iteklediginden, birkac yl sonra birinci snfta bu konulara hic girmemekarar aldm. Baslangcta bu kstlama yuzunden isleyebilecegim konularn ol-dukca snrl olacagn dusunurken, zamanla bu tahminimde ne derece yanld-gm anladm. Meger turev ve integralsiz de analiz yaplabiliyormus ve bayagderine inilebiliyormus. Dolaysyla ilk uc ciltte bu konulara girmeyecegiz.
Turev ve integralsiz analiz yapmak kimi zaman ayaklarndan tavana aslhalde ve frca agzda resim yapmaya benzeyebiliyor, ama cekilen zorluga de-gecek bir guzellik ckyor ortaya. (Biraz abarttm galiba!)
Burbakist bir yaklasmla, kitaba gercel saylar sistemi
