Змiст · математика, оскiльки це припущення зроблено задля математичної зручностi i легкостi обробляння

Змiст

Роздiл 1. Основнi поняття теорiї ймовiрностей 71.1. Стохастичнi ситуацiї та їх математичнi моделi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Незалежнi подiї. Умовнi ймовiрностi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2. Формула повної ймовiрностi. Формула Баєса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Випадковi величини та їх розподiли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1. Дискретнi та абсолютно неперервнi випадковi величини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2. Моменти випадкових величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Генератриси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.1. Генератриса розподiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2. Генератриса моментiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.3. Генератриса кумулянт . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Випадковi вектори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.1. Сумiснi функцiї розподiлу та щiльностi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.2. Числовi характеристики випадкових векторiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.3. Незалежнi в.в. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.4. Розподiл суми незалежних в.в. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5. Умовнi розподiли та щiльностi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6. Умовне математичне сподiвання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7. Ймовiрнiснi нерiвностi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8. Закон великих чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9. Задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Роздiл 2. Основнi типи розподiлiв iндивiдуальних позовiв та кiлькостi позовiв 212.1. Дискретнi розподiли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1. Рiвномiрний розподiл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.2. Розподiл Бернуллi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.3. Бiномiальний розподiл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.4. Геометричний розподiл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.5. Розподiл Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.6. Вiд’ємний бiномiальний розподiл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Розподiли абсолютно неперервних в.в. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.1. Рiвномiрний розподiл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2. Гамма-розподiл (зокрема, експоненцiйний та хi-квадрат) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.3. Бета-розподiл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.4. Нормальний (ґауссiвський) розподiл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.5. Логнормальний розподiл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.6. Розподiл Парето . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.7. Розподiл Вейбулла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3. Сумiшi розподiлiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.1. Сумiшi пуассонiвських розподiлiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.2. Розподiл Парето як сумiш експоненцiйних розподiлiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.3. Узагальнений розподiл Парето як сумiш розподiлiв Ерланґа . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4. Статистичне оцiнювання параметрiв розподiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.1. Точковi оцiнки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.2. Метод моментiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.3. Метод максимальної вiрогiдностi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5. Задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Роздiл 3. Моделi ризику 373.1. Модель колективного ризику . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1. Розподiл сумарної величини виплат за портфелем та його характеристики . . . . . . . . 373.1.2. Складний пуассонiвський розподiл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1.3. Складний бiномiальний розподiл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1.4. Складний вiд’ємний бiномiальний розподiл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2. Модель iндивiдуального ризику . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3. Мiнливiсть чи невизначенiсть параметрiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4. Задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Роздiл 4. Перестрахування 454.1. Загальнi вiдомостi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2. Пропорцiйне перестрахування . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3. Перестрахування ексцеденту збитку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.4. Перестрахування ексцеденту збитковостi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5. Ексцедентнi полiси страхування: умовна та безумовна франшизи . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.6. Задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1

Роздiл 5. Процес Пуассона 575.1. Випадковi процеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2. Пуассонiв процес . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.3. Задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Роздiл 6. Системи знижок за вiдсутнiсть позовiв 616.1. Системи бонус-малус розрахунку премiй з урахуванням попередньої iсторiї подання позовiв . . 616.2. Ланцюги Маркова з дискретним часом i скiнченною кiлькiстю станiв . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.2.1. Визначення та властивостi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2.2. Рiвняння Колмогорова-Чепмена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2.3. Ергодична теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.3. Аналiзування стацiонарного стану . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.3.1. Єдинiсть стацiонарного стану . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.3.2. Час перебування процесу на пiдмножинi станiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.3.3. Неоднорiднiсть портфелю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.4. Вплив систем бонус-малус на схильнiсть до позовiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.5. Бонус-малус в законодавствi України . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.6. Задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Роздiл 7. Баєсiвське оцiнювання ризику 757.1. Математичне формулювання задачi оцiнювання ризику . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.1.1. Iндивiдуальний ризик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.1.2. Точна iндивiдуальна премiя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.1.3. Задача оцiнювання ризику в колективi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.1.4. Баєсiвська статистика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.2. Елементи статистичної теорiї прийняття рiшень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.2.1. Баєсiвський ризик та баєсiвськi рiшення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2.2. Процедури прийняття рiшень в умовах невизначеностi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.2.3. Задачi зi спостереженнями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.2.4. Побудова баєсiвських вирiшувальних функцiй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.3. Оцiнювання параметрiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.3.1. Квадратична функцiя втрат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.3.2. Втрати, пропорцiйнi абсолютнiй величинi похибки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.3.3. Втрати “все або нiчого” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.3.4. Оцiнювання векторного параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.4. Спряженi сiмейства розподiлiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.4.1. Апрiорнi та апостерiорнi розподiли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.4.2. Вибiрка з розподiлу Бернуллi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.4.3. Вибiрки з пуассонiвського, вiд’ємного бiномiального та експоненцiйного розподiлiв . . . 917.4.4. Спряженi сiмейства для вибiрок з нормального розподiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.4.5. Вибiрка з рiвномiрного розподiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.4.6. Вибiрка з мультиномiального розподiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.5. Експоненцiйний клас та вiдповiдна йому сiм’я спряжених розподiлiв . . . . . . . . . . . . . . . . 957.5.1. Пуассонiвська-гамма модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.5.2. Бiномiальна-бета модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.5.3. Гамма-гамма модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.5.4. Нормальна-нормальна модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.5.5. Геометрична-бета модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.6. Теорiя довiри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.6.1. Довiрча премiя в простiй довiрчiй моделi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.7. Задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Роздiл 8. Теорiя довiри 1058.1. Довiрча премiя в простiй довiрчiй моделi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Роздiл 9. Збитки, якi виникли, але не заявленi 1079.1. Метод ланцюгових сходiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

9.1.1. Трикутники розвитку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.1.2. Припущення методу ланцюгових сходiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089.1.3. Точнiсть методу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

9.2. Метод Борнхуеттера-Фергюсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.2.1. Основнi припущення та концепцiя базового методу Борнхуеттера-Фергюсона . . . . . . 1239.2.2. Моделi розвитку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.2.3. Оцiнювання моделей розвитку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

9.3. Прогнозування остаточних збиткiв за допомогою моделей розвитку . . . . . . . . . . . . . . . . 1279.4. Розширений метод Борнхуеттера-Фергюсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279.5. Iтерований метод Борнхуеттера-Фергюсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279.6. Метод розвитку збиткiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.7. Метод ланцюгових сходiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.8. Cape Cod метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.9. Адитивний метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

2

9.10. Метод Мака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299.11. Помилка прогнозу методу Борнхуеттера-Фергюсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299.12. Вибiр оптимальної оцiнки резерву . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Роздiл 10.Процеси ризику в страхуваннi 13510.1. Процеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13510.2. Модель у страхуваннi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

10.2.1. Модель iз дискретним часом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13610.2.2. Неперервна модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13610.2.3. Банкрутство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

10.3. Ймовiрнiсть банкрутства в дискретному скiнченому часi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13710.3.1. Процеси з дискретним часом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

10.4. Обчислення ймовiрностi банкрутства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13810.4.1. Метод згорток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13810.4.2. Метод iнверсiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

10.5. Неперервна модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14010.5.1. Складностi неперервної моделi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

10.6. Пiдладжений коефiцiєнт i нерiвнiсть Лундберга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14110.6.1. Пiдладжений коефiцiєнт . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14110.6.2. Нерiвнiсть Лундберга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

10.7. Iнтегрально-диференцiйне рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14410.8. Аналiтичний пiдхiд до оцiнювання певних розподiлiв величини вимог . . . . . . . . . . . . . . . 146

10.8.1. Асимптотчна формула Крамера для ймовiрностi банкрутства . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Вiдповiдi та вказiвки 153

Список рекомендованої лiтератури 155

3

4

Вступ

У 1903 роцi шведський актуарiй Фiлiп Лундберґ [16] заклав основи сучасної теорiї ризику. Теорiя ризикує синонiмом математики загального страхування (зазвичай, страхування життя розглядають окремо), якавивчає моделi позовiв, якi виникають у страховому бiзнесi, i дає поради щодо того, якого розмiру мають бутивстановленi премiї, щоб уникнути банкрутства страхової компанiї.

Коли говорять про страхову справу, то, у першу чергу, мають на увазi фiнансовi збитки. Саме длятого, щоб позбутися фiнансових втрат, пов’язаних iз невизначенiстю в настаннi тих чи iнших випадковихподiй, укладають договори страхування. До пiдписання контракту й придбання страхового полiса клiєнтнаражався на деякий ризик, що мiг призвести до збиткiв, величину яких не можна точно передбачити зазда-легiдь. Придбавши страховий полiс i заплативши за нього детермiновану суму p (страхову премiю), клiєнтпозбавлявся ризику, але сам ризик не зникав – його брала на себе страхова компанiя. Тому оцiнка ризику(тобто фiнансових втрат страхової компанiї, пов’язаних iз виплатами за страховими позовами власникiв по-лiсiв) становить значний iнтерес для правильного менеджменту страхової компанiї, її стабiльної фiнансовоїдiяльностi та служить пiдґрунтям для прийняття багатьох важливих рiшень.

Договори страхування умовно можна подiлити на двi групи: короткотермiновi та довготермiновi. Прививченнi моделей короткотермiнових договорiв страхування не беруть до уваги можливий вплив iнфляцiї таприбуток вiд iнвестицiй; також вважають незмiнними основнi ймовiрнiснi характеристики складових ризику,а саме кiлькостi можливих позовiв та їх величини.

При вивченнi довготермiнових договорiв на перший план виходить динамiка надходження платежiв(страхових премiй) i позовiв на вiдшкодування збиткiв. Важливу роль починають вiдiгравати iнфляцiя,можливiсть iнвестування тимчасово вiльних коштiв.

Базовими поняттями, якими ми будемо оперувати, є: ризик, iндивiдуальний позов, кiлькiсть позовiв,сумарнi позови, iмовiрнiсть банкрутства, розмiр страхової премiї.

Одним iз головних внескiв Ф. Лундберґа є представлення простої моделi, яка може описати основнудинамiку однорiдного страхового портфелю. Пiд ним розумiють портфель контрактiв чи полiсiв для одна-кових ризикiв, таких як автомобiльне страхування для певного типу авто, страхування домогосподарств вiдкрадiжок або страхування квартир вiд затоплення.

У цiй моделi використанi такi три припущення:

• Позови вiдбуваються у моменти часу Ti, де 0 ≤ T1 ≤ T2 ≤ . . . Їх називають моментами часу надхо-дження позовiв.

• i-ий позов, який надiйшов у момент Ti, визначає величину позову Xi. Послiдовнiсть Xi складаєтьсяiз незалежних однаково розподiлених (н.о.р.) невiд’ємних випадкових величин.

• Величини позовiв Xi та моменти їх надходження Ti взаємно незалежнi.

Н.о.р. властивiсть величин позовiв, Xi, вiдображає той факт, що у портфелi наявна однорiдна ймовiрнi-сна структура. Припущення щодо незалежностi величин та моментiв позовiв є дуже природною з iнтуїтивноїточки зору. Крiм того, незалежнiсть величин позовiв та моментiв їх надходження значно спрощує життяматематика, оскiльки це припущення зроблено задля математичної зручностi i легкостi обробляння моделi.

Визначимо тепер процес кiлькостi позовiв

N(t) = |i ≥ 1: Ti ≤ t|, t ≥ 0,

тобто N = N(t), t ≥ 0 – це лiчильний процес на [0,∞): N(t) – кiлькiсть позовiв, що надiйшли до часу t.Об’єктом основного iнтересу з точки зору страхової компанiї є процес сумарної величини позовiв чи

сумарнi виплати

S(t) =

N(t)∑

i=1

Xi =

∞∑

i=1

XiI[0,t](Ti), t ≥ 0,

де S(t) = 0, коли N(t) = 0.

5

6

Роздiл 1

Основнi поняття теорiї ймовiрностей

1.1. Стохастичнi ситуацiї та їх математичнi моделi

Нехай Ω – непорожня множина, елементи якого позначають ω. Будемо ототожнювати елементи Ω зможливими елементарними, тобто неподiльними, наслiдками деякої стохастичної ситуацiї. Вiдповiдно доцього множину Ω називають множиною елементарних подiй.

Нехай F – множина пiдмножин множини Ω елементарних подiй, яка має такi властивостi:

i) Ω ∈ F ;

ii) якщо B ∈ F , то i B ∈ F , де B – доповнення до множини B;

iii) якщо Bi ∈ F , i = 1, 2, . . . , то∞⋃

i=1

Bi ∈ F ,∞⋂

i=1

Bi ∈ F .

Множину F називають σ-алгеброю подiй, а її елементи (якi є пiдмножинами множини Ω) називають подiями.Множина Ω разом iз σ-алгеброю своїх пiдмножин утворює вимiрний простiр (Ω,F).Мiру, тобто σ-адитивну функцiю множин, P, визначену на F i нормовану умовою P(Ω) = 1, називають

iмовiрнiсною мiрою або ймовiрнiстю. Нагадаємо, що властивiсть σ-адитивностi полягає в наступному: якщоA1, A2, . . . – несумiснi подiї, тобто Ai ∈ F та Ai ∩Aj = ∅ при i 6= j, то

P

( ∞⋃

i=1

Ai

)=

∞∑

i=1

P(Ai).

Для A ∈ F значення P(A) називають ймовiрнiстю подiї A. Трiйку (Ω,F ,P) називають iмовiрнiснимпростором або ймовiрнiсною моделлю.

Питання адекватностi математичної моделi реальної ситуацiї викликає особливу увагу в такiй при-кладнiй галузi математики, як, зокрема, актуарна математика. Опишемо тi властивостi, якi повиннi бутипритаманними реальнiй невизначенiй ситуацiї, так щоб її успiшно можна було математично описати у тер-мiнах теорiї ймовiрностей. Iнакше кажучи, видiлимо тi невизначенi ситуацiї, описання яких за допомогоютеорiї ймовiрностей веде до адекватних висновкiв.

Отже, назвемо стохастичною таку ситуацiю, яку характеризують такi властивостi чи умови:

• непередбачуванiсть: результат ситуацiї неможливо наперед передбачити з абсолютною точнiстю;

• вiдтворюванiсть: є принаймнi теоретична можливiсть вiдтворити розглянуту ситуацiю якзавгоднобагато разiв за незмiнних умов;

• стiйкiсть частот: якою б не була подiя, що нас цiкавить, пiд час багатократного вiдтворювання ситуацiїчастота подiї (тобто вiдношення кiлькостi випадкiв, коли спостерiгали дану подiю, до загальної кiлькостiвiдтворювань ситуацiї) коливається бiля деякого числа i наближається до нього все ближче i ближчепри збiльшеннi кiлькостi вiдтворювань ситуацiї.

1.1.1. Незалежнi подiї. Умовнi ймовiрностi

Подiї A та B у деякiй iмовiрнiснiй моделi (Ω,F ,P) називають незалежними, якщо

P(A ∩B) = P(A) · P(B).

Нехай P(B) 6= 0. Умовною ймовiрнiстю подiї A за умови B називають величину

P(A|B) =P(A ∩B)

P(B).

Якщо подiї A та B незалежнi, то з визначення умовної ймовiрностi випливає формула

P(A ∩B) = P(A|B) · P(B).

Зручним критерiєм незалежностi є такий: подiї A та B, для яких, наприклад, P(B) > 0, є незалежнимитодi й лише тодi, коли P(A|B) = P(A), тобто знання того, що подiя B здiйснилася, не змiнює ймовiрностiподiї A.

Подiї A1, A2, . . . , An називають взаємно незалежними або незалежними у сукупностi, якщо для до-вiльного m ≤ n та будь-яких iндексiв i1, . . . , im (ip 6= iq при p 6= q та 1 ≤ ip ≤ n, p = 1, . . . ,m)

P

(m⋂

p=1

Aip

)=

m∏

p=1

P(Aip).

7

1.1.2. Формула повної ймовiрностi. Формула Баєса

У деякiй iмовiрнiснiй моделi (Ω,F ,P) розглянемо подiї H1, H2, . . . , Hn(n ≥ 2), якi мають такi властиво-стi:

а) подiї H1, H2, . . . , Hn несумiснi, тобто жоднi двi з них не можуть здiйснитися одночасно;

б) одна з подiй H1, H2, . . . , Hn обов’язково вiдбудеться, тобто H1 ∪ H2 ∪ · · · ∪ Hn = Ω, причому P(Hi) > 0,i = 1, . . . , n.

Якщо подiї H1, H2, . . . , Hn мають властивостi а) та б), то кажуть, що вони утворюють повну групу подiй.

Лема 1.1 (Формула повної ймовiрностi). Нехай A – деяка подiя, а подiї H1, H2, . . . , Hn утворюють пов-ну групу. Тодi має мiсце рiвнiсть

P(A) =n∑

k=1

P(A|Hk)P(Hk). (1.1)

Доведення. Безпосереднiм пiдрахунком отримуємо

P(A) =n∑

k=1

P(A ∩Hk) =n∑

k=1

P(A ∩Hk)

P(Hk)P(Hk) =

n∑

k=1

P(A|Hk)P(Hk).

Теорема 1.1 (Формула Баєса). Нехай A – деяка подiя, яка має додатну ймовiрнiсть, P(B) > 0, а подiїH1, H2, . . . , Hn утворюють повну групу. Тодi має мiсце рiвнiсть

P(Hk|A) =P(A|Hk)P(Hk)n∑

k=1

P(A|Hk)P(Hk). (1.2)

Доведення. Безпосередньо застосовуючи визначення умовної ймовiрностi

P(Hk|A) =P(A ∩Hk)

P(A), P(A ∩Hk) = P(A|Hk)P(Hk)

та формулу повної ймовiрностi (1.1), отримуємо твердження теореми.

Значення P(Hk) називають апрiорними ймовiрностями, а умовнi ймовiрностi P(Hk|A) називають апо-стерiорними ймовiрностями. Формула Баєса дозволяє уточнити уявлення про ймовiрнiсть кожної з подiй, щоутворюють повну групу, враховуючи iнформацiю про здiйснення подiї A.

1.2. Випадковi величини та їх розподiли1.2.1. Дискретнi та абсолютно неперервнi випадковi величини

Випадкова величина (в.в.) – це функцiя X = X(ω), визначена на Ω, яка вiдображає множину елемен-тарних подiй у множину дiйсних чисел R. Iнодi замiсть R розглядають множину комплексних чисел C. НехайA – довiльна множина дiйсних чисел: A ⊆ R. Визначимо множину

X−1(A) = ω : X(ω) ∈ A,яка є пiдмножиною множини Ω. Множину X−1(A) називають прообразом множини A (при вiдображеннiX).

Визначимо борелiвську σ-алгебру B пiдмножин дiйсної вiсi R як найменшу σ-алгебру, яка мiстить усiiнтервали. Кожен елемент борелiвської σ-алгебри називають борелiвською множиною. Таким чином, будь-яку борелiвську множину можна побудувати з iнтервалiв за допомогою операцiй доповнення, злiченногооб’єднання чи злiченного перетину.

Якщо X−1(A) ∈ F для довiльної борелiвської множини A ∈ F , то функцiю X(ω) називають вимiрною.Скiнченну дiйснозначну вимiрну функцiю називають випадковою величиною (в.в.). Простим прикладом в.в.є iндикаторна функцiя подiї B ∈ F :

IB(ω) =

1, коли ω ∈ B;0, коли ω ∈/ B.

Розглянемо подiї B1, B2, . . . , такi, що Bi ∩ Bj = ∅ при i 6= j та⋃j

Bj = Ω. Нехай x1, x2, . . . – дiйснi

числа. Випадкову величинуX(ω) =

∑

j

xjIBj(ω)

називають дискретною. Зауважимо, що властивостi подiй Bj гарантують, що для кожного ω в останнiй сумiлише один iндикатор вiдмiнний вiд нуля. При цьому Bj = ω : X(ω) = xj.

Позначимо pi = P(Bi). Набiр (xi, pi)i≥1 називають законом розподiлу ймовiрностей чи просто розпо-дiлом дискретної в.в. X.

8

НехайX – в.в. Розглянемо ймовiрнiсть P(X ∈ A) у випадку, коли множина A є нескiнченним iнтерваломвигляду (−∞, x), x ∈ R. Покладемо

FX(x) = P(X < x).

Функцiя F (x) визначена для кожного дiйсного x. ЇЇ називають функцiєю розподiлу в.в. X.Функцiя розподiлу F (x) будь-якої в.в. має такi властивостi:

• F (x) монотонно зростаюча i неперервна злiва;

• limx→−∞

F (x) = 0;

• limx→+∞

F (x) = 1.

Обернене твердження також iстинне: для довiльної функцiї F (x), яка задовольняє цi три умови, iснуютьймовiрнiсний простiр i задана на ньому в.в. така, що F (x) є її функцiєю розподiлу.

В.в. X та її функцiю розподiлу FX називають абсолютно неперервними, якщо iснує невiд’ємна функцiяfX(x) така, що

FX(x) =

xw

−∞fX(y)dy

для будь-якого x ∈ R. Тут iнтеграл треба розумiти як iнтеграл Рiмана-Стiлтьєса у разi кусково-неперервноїфункцiї fX(x) та як iнтеграл Лебега-Стiлтьєса у разi вимiрної функцiї fX(x).

Функцiю fX(x) називають щiльнiстю розподiлу в.в.X та функцiї розподiлу FX . Iз властивостей функцiїрозподiлу випливають такi властивостi щiльностi:

• невiд’ємнiсть: fX(x) > 0;

• нормованiсть:r ∞−∞ fX(y)dy = 1.

Будь-яка невiд’ємна iнтегровна нормована функцiя є щiльнiстю деякої функцiї розподiлу, оскiлькиз властивостей iнтегралу (Рiмана чи Лебега) випливають характеристичнi властивостi функцiї розподiлу.Якщо функцiя розподiлу диференцiйовна, то з формули Ньютона-Лейбнiца (для iнтегралу Рiмана) або жiз теореми Радона-Нiкодима (для iнтегралу Лебега) випливає, що щiльнiсть (майже всюди) збiгається зпохiдною функцiї розподiлу:

fX(x) = F ′X(x) =

dFX(x)

dx.

1.2.2. Моменти випадкових величин

Для випадкових величин X(ω), заданих на ймовiрнiсному просторi (Ω,F ,P), загальне визначення ма-тематичного сподiвання вводиться послiдовно для дискретних в.в., далi для невiд’ємних та знакозмiннихiнтегровних в.в. (див., наприклад, [4]).

Фактично, математичним сподiванням EX в.в. X є її iнтеграл Лебега:

EX =w

Ω

XdP.

Зауважимо, що EX iснує тодi i лише тодi, коли iснує E|X|. Тодi в.в. X називають iнтегровною.Має мiсце рiвнiсть

EX =

+∞w

−∞xdFX(x),

у правiй частинi якого стоїть iнтеграл Стiлтьєса. Якщо в.в. X абсолютно неперервна i має щiльнiсть fX(x),то

EX =

+∞w

−∞xfX(x)dx.

Якщо X – дискретна в.в. з розподiлом (xi, pi)i≥1, то

EX =∑

i≥1

pixi

=

∑

i≥1

xiP(X = xi) =∑

ω∈Ω

X(ω)P(ω)

.

Нехай g(x) – борелiвська функцiя, т.б. дiйсна функцiя, визначена на R так, що для будь-якого a ∈ Rмножина x : g(x) < a є борелiвською. Тодi

Eg(X) =

+∞w

−∞g(x)dFX(x).

Будемо казати, що висловлювання щодо результату стохастичної ситуацiї виконується майже напевне(м.н.), якщо ймовiрнiсть множини сприятливих елементарних подiй дорiвнює одиницi.

Iз властивостей iнтеграла Лебега випливають такi властивостi математичного сподiвання:

9

• нормованiсть: Ec = c для довiльної сталої c ∈ R;

• центрованiсть: якщо в.в. X = 0 м.н., то EX = 0;

• невiд’ємнiсть: якщо в.в. X ≥ 0 м.н., то EX ≥ 0;

• додатнiсть: якщо в.в. X ≥ 0 та EX = 0, то X = 0 м.н.;

• лiнiйнiсть: якщо в.в. X та Y iнтегровнi, то E(c1X + c2Y ) = c1EX + c2EY , c1, c2 ∈ R;

• монотоннiсть: якщо X ≤ Y м.н., то EX ≤ EY ;

• iнварiантнiсть: якщо X = Y м.н., то EX = EY ;

• опуклiсть: |EX| ≤ E|X|.Якщо в.в. X та Y незалежнi, то

EXY = EX · EY.Математичне сподiвання в.в. Xk називають моментом порядку k чи k-м моментом в.в. X:

mk = EXk =

+∞w

−∞xkdFX(x).

Центральний момент порядку k в.в. X визначають рiвнiстю:

µk = E(X − EX)k =

+∞w

−∞(x−m1)

kdFX(x).

Особливу роль вiдiграє другий центральний момент µ2, який називають дисперсiєю в.в. X i позначаютьDX або VarX:

DX = E(X − EX)2 = EX2 − (EX)2.

Величину σX =√

DX називають середньоквадратичним або стандартним вiдхилом в.в. X.Вiдзначимо важливу властивiсть дисперсiї: DX = 0 тодi i лише тодi, коли P(X = EX) = 1, тобто тодi,

коли в.в. X є сталою з iмовiрнiстю одиниця. Якщо дисперсiя скiнченна, то

D(aX + b) = a2DX, a, b ∈ R.

Зокрема, якою б не була в.в. X, стандартизована в.в.

X∗ =X − EX√

X=X − EX

σ

завжди має нульове математичне сподiвання та одиничну дисперсiю.

1.3. Генератриси1.3.1. Генератриса розподiлу

Пiд час дослiдження цiлочисельних невiд’ємних в.в. корисними є генератриси (твiрнi функцiї), якiвизначають наступним чином.

Нехай X – цiлочисельна невiд’ємна в.в. з розподiлом iмовiрностей

P(X = k) = pk, k = 0, 1, 2, . . .

Генератрисою GX(t) розподiлу в.в. X (чи послiдовностi pk, k = 0, 1, . . . ) називають ряд

GX(t) = EtX =

∞∑

k=0

pktk, |t| ≤ 1.

Оскiльки будь-який степеневий ряд однозначно визначений своїми коефiцiєнтами, то зв’язок мiж розподiламиi вiдповiдними генератрисами взаємно однозначна. Розподiл iмовiрностей вiдновлюють за генератрисою,беручи похiдну вiдповiдного порядку у точцi нуль:

pk =1

k!G

(k)X (0), k = 0, 1, . . .

Зокрема, GX(0) = P(X = 0). Також виконується рiвнiсть GX(1) = p0 + p1 + · · · = 1.Генератрису GX(t) можна використовувати для простого знаходження моментiв нижчих порядкiв. Роз-

винемо функцiю tX у ряд Тейлора в околi точки 1:

tX = 1 +X(t− 1) +X(X − 1)(t− 1)2

2!+X(X − 1)(X − 2)

(t− 1)3

3!+ . . .

Тодi

GX(t) = EtX = 1 + (t− 1)EX +(t− 1)2

2!EX(X − 1) +

(t− 1)3

3!EX(X − 1)(X − 2) + . . .

Диференцiюючи цей вираз по t i покладаючи t = 1, отримуємо математичне сподiвання. Подальше диферен-цiювання дає формули, якi можна використати для визначення моментiв iнших порядкiв.

10

1.3.2. Генератриса моментiв

Генератрису моментiв можна використовувати для знаходження моментiв розподiлу в.в. (дискретноїчи абсолютно неперервної). Незважаючи на те, що моменти бiльшостi розподiлiв можна визначити безпосе-редньо, використовуючи вiдповiдне iнтегрування чи пiдсумовування, вживання генератрис моментiв iнодi єпростiшим.

Генератрисою моментiв MX(t) в.в. X називають функцiю

MX(t) = E exptX.MX(t) визначена для всiх значень t, для яких iснує математичне сподiвання.

Рiзним iмовiрнiсним розподiлам вiдповiдають рiзнi генератриси моментiв. Зокрема, iснує взаємно одно-значна вiдповiднiсть мiж генератрисами моментiв та розподiлами, для яких вони iснують.

k-й момент в.в. X можна отримати за допомогою диференцiювання MX(t) у точцi 0. Для цього розви-немо у ряд Тейлора експоненцiйну функцiю:

MX(t) = 1 + tEX +t2

2!EX2 +

t3

3!+ EX3 + . . . .

Тодimk =M

(k)X (0), k = 1, 2, . . .

Нехай цiлочисельна невiд’ємна в.в. X має генератрису розподiлу GX(t) = EtX . Її генератрису моментiвможна отримати, пiдставивши et замiсть t у GX(t), тобто

MX(t) = GX(et).

1.3.3. Генератриса кумулянт

Для багатьох в.в. знаходження математичного сподiвання i дисперсiї за допомогою генератриси куму-лянт є простiшим, нiж за допомогою генератриси моментiв.

Генератрисою кумулянт CX(t) в.в. X називають функцiю

CX(t) = lnMX(t).

r-ю кумулянтою називають коефiцiєнт tr

r! у розкладi в ряд Тейлора CX(t).Отже, коли вiдома CX(t), легко можна визначити MX(t):

MX(t) = expCX(t).Розглянемо першi двi похiднi генератриси кумулянт:

C ′X(t) =

M ′X(t)

MX(t)та C ′′

X(t) =M ′′

X(t)MX(t)− (M ′X(t))2

M2X(t)

.

Оскiльки MX(0) = 1, то

C ′X(0) =

M ′X(0)

MX(0)= EX та C ′′

X(0) =M ′′

X(0)MX(0)− (M ′X(0))2

M2X(0)

= EX2 − (EX)2 = DX.

Таким чином, першi двi подхiднi CX(t), обчисленi при t = 0, безпосередньо дають середнє значення тадисперсiю в.в. X.

1.4. Випадковi вектори

1.4.1. Сумiснi функцiї розподiлу та щiльностi

Розглянемо ймовiрнiсний простiр (Ω,F ,P), на якому визначенi n в.в.X1, . . . , Xn. Вектор X = (X1, . . . , Xn)називають випадковим вектором або n-вимiрною в.в.

Сумiснi розподiли дискретних в.в.

Нехай X1, . . . , Xn – дискретнi в.в. Функцiю

p(x1, . . . , xn) = P(X1 = x1, . . . , Xn = xn)

для всiх можливих значень (x1, . . . , xn) називають сумiсним або n-вимiрним розподiлом дискретного випад-кового вектора (X1, . . . , Xn).

Вона має такi властивостi:

• p(x1, . . . , xn) ≥ 0 для всiх значень x1, . . . , xn;

• ∑x1

· · ·∑xn

p(x1, . . . , xn) = 1.

Маргiнальний (тобто одновимiрний) розподiл в.в. Xk за вiдомим сумiсним розподiлом визначають так:

pk = P(Xk = xk) =∑

x1

· · ·∑

xk−1

∑

xk+1

· · ·∑

xn

p(x1, . . . , xk−1, xk, xk+1, . . . , xn).

11

Сумiснi функцiї розподiлу

Нехай тепер X1, . . . , Xn – довiльнi в.в. Сумiсною функцiєю розподiлу випадкового вектора X = (X1, X2,. . . , Xn) називають функцiю FX(x) : Rn → R, яка в точцi x = (x1, . . . , xn) дорiвнює

FX(x) ≡ FX(x1, x2, . . . , xn) ≡ FX1,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P(X1 < x1, X2 < x2, . . . , Xn < xn).

Як i в одновимiрному випадку, багатовимiрна функцiя розподiлу має подiбнi властивостi:

(1) FX(x1, . . . , xn) – неспадна функцiя за будь-яким аргументом;

(2) – неперервна злiва за будь-яким аргументом;

(3) – задовольняє спiввiдношення

FX(+∞, . . . ,+∞) = 1, limxk→−∞

FX(x1, . . . , xn) = 0 (1 ≤ k ≤ n)

для довiльних значень iнших аргументiв.

На вiдмiну вiд функцiї розподiлу одновимiрної в.в., сумiсна функцiя розподiлу має ще одну характери-стичну властивiсть. Для її формулювання позначимо через Πx кут

Πx = (−∞,x) = (−∞, x1)× · · · × (−∞, xn), x = (x1, . . . , xn).

Для початку припустимо, що розмiрнiсть n = 2. Зауважимо, що паралелепiпед [a,b) = [a1, b1)×[a2, b2) можназобразити у виглядi вкладеної рiзницi вкладених рiзниць кутiв:

[a,b) = (Πb\Πb′)\(Πa\Πa′),

де точки b′ = (a1, b2), a′ = (a2, b1). Тодi

FX(x) = P(X ∈ [a,b)) = P(X ∈ Πb\Πb′)−P(X ∈ Πa\Πa′) = P(X ∈ Πb)−P(X ∈ Πb′)−P(X ∈ Πa)+P(X ∈ Πa′).

Позначимо через ∆[a,b)FX прирiст сумiсної функцiї розподiлу FX(x) на паралелепiпедi [a,b). Тодi приn = 2 прирiст FX на прямокутнику [a,b) дорiвнює ∆[a,b)FX = FX(b)−FX(b′)−FX(a′)+FX(a). У загальномувипадку n > 2 правило чергування знакiв при значеннях функцiї у вершинах паралелепiпеда [a,b) визначає-ться аналогiчно. Зокрема, нехай ∆k

[ak,bk)FX = FX(x1, . . . , xk−1, bk, xk+1, . . . , xn)−FX(x1, . . . , xk−1, ak, xk+1, . . . , xn)

позначає k-ий частковий прирiст на [ak, bk). Використовуючи метод математичної iндукцiї, легко показати,що прирiст сумiсної функцiї розподiлу на паралелограмi [a,b) є результатом послiдовних часткових приро-стiв:

P(X ∈ [a,b)) = ∆[a,b)FX = ∆1[a1,b1)

. . .∆n−1[ak,bk)

∆n[ak,bk)

FX. (1.3)

В одновимiрному випадку перерахованi властивостi (1) – (3) є необхiдними й достатнiми для того, щобфункцiя FX(x) була функцiєю розподiлу деякої в.в. X. У багатовимiрному випадку цих властивостей вженедостатньо. Для того, щоб функцiя FX(x) була функцiєю розподiлу деякого випадкового вектора X, требадодати ще одну:

(4) для довiльних a,b вираз (1.3) невiд’ємний.

Те, що ця умова може не виконуватися, незважаючи на наявнiсть у функцiї FX(x1, . . . , xn) властивостей(1) – (3), показує наступний приклад. Нехай

F (x, y) =

0, коли x ≥ 0, або x+ y ≤ 1, або y ≤ 0;1, в iншiй частинi площини.

Ця функцiя задовольняє умови (1) – (3), але для неї F (1, 1)− (F (1, 12 ))−F ( 12 , 1)+F ( 12 , 12 ) = −1, i, вiдповiдно,четверта умова не виконується. Отже, функцiя F (x, y) не може бути сумiсною функцiєю розподiлу, оскiлькиiнакше ймовiрнiсть попадання випадкової точки (X,Y ) в прямокутник 1

2 ≤ X < 1, 12 ≤ Y < 1 буде вiд’ємнимчислом.

Нехай випадковий вектор X = (X1, X2, . . . , Xn) має сумiсну функцiю розподiлу FX. Маргiнальну фун-кцiю розподiлу в.в. Xk визначають так:

FXk(xk) = P(Xk < xk) = FX(∞, . . . ,∞, xk,∞, . . . ,∞),

де xk – k-ий аргумент функцiї FX.

Сумiснi щiльностi

Випадковий вектор X = (X1, X2, . . . , Xn) та його сумiсну функцiю розподiлу FX називають абсолютнонеперервними, якщо iснує невiд’ємна вимiрна функцiя fX(x) ≡ fX(x1, . . . , xn) така, що

FX(x) =w

(−∞,x)

fX(y)dy =

x1w

−∞· · ·

xnw

−∞fX(y1, . . . , yn)dy1 . . . dyn для будь-якого x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn.

Функцiю fX(x) називають сумiсною щiльнiстю випадкового вектора та сумiсної функцiї розподiлу FX.Якщо випадковий вектор X = (X1, X2, . . . , Xn) має сумiсну щiльнiсть fX, то його координати мають

маргiнальнi щiльностi

fXk(x) =

+∞w

−∞· · ·

+∞w

−∞fX(y1, . . . , yk−1, x, yk+1, yn)dy1 . . . dyk−1dyk+1 . . . dyn.

12

Властивостi сумiсної щiльностi:

• fX(x1, . . . , xn) ≥ 0;

•rRn fX(x)dx = 1;

• P(x11 < X1 < x12, . . . , xn1 < Xn < xn2) =r x12

x11· · ·

r xn2

xn1fX(y1, . . . , yn)dy1 . . . dyn;

• якщо сумiсна функцiя розподiлу диференцiйовна, то сумiсна щiльнiсть (майже всюди) збiгається зпохiдною функцiї розподiлу:

fX(x1, . . . , xn) =∂

∂x1. . .

∂

∂xnFX(x1, . . . , xn).

Розглянемо пару в.в. (X,Y ) з сумiсною щiльнiстю fX,Y (x, y) та перетворення (U, V ) цiєї пари, де

U = g1(X), V = g2(Y ),

g,g2 – деякi борелiвськi функцiї. Тодi, якщо замiна змiнних (x, y) 7→ (u, v), u = g1(x, y), v = g2(x, y), взаємнооднозначна на областi значень в.в. X та Y , то сумiсну щiльнiсть fU,V (u, v) на основi fX,Y (x, y) обчислюютьтак:

fU,V (u, v) = I(u,v)∈Range(g1,g2)fX,Y (x(u, v), y(u, v))

∣∣∣∣∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣ ,де ∣∣∣∣

∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣ = det

(∂x/∂u ∂x/∂v∂y/∂u ∂y/∂v

)

– якобiан оберненого перетворення (u, v) 7→ (x, y):

det

(∂x/∂u ∂x/∂v∂y/∂u ∂y/∂v

)= det

(∂u/∂x ∂u/∂y∂v/∂x ∂v/∂y

)−1

.

Наявнiсть модуля∣∣∣∂(x,y)∂(u,v)

∣∣∣ гарантує, що fU,V (u, v) ≥ 0.

1.4.2. Числовi характеристики випадкових векторiв

Математичне сподiвання

Обчислення математичного сподiвання вимiрної функцiї g(X1, . . . , Xn) вiд випадкового вектора X =(X1, . . . , Xn) проводять так:

• для дискретних в.в.:

Eg(X1, . . . , Xn) =∑

x1

· · ·∑

xn

g(x1, . . . , xn)pX(x1, . . . , xn) =∑

x1

· · ·∑

xn

g(x1, . . . , xn)P(X1 = x1, . . . , Xn = xn),

де суму обчислюють по всiх можливим значенням x1, . . . , xn, яких набувають в.в. X1, . . . , Xn;

• для абсолютно неперервних в.в.:

Eg(X1, . . . , Xn) =w

Rn

g(x1, . . . , xn)fX(x1, . . . , xn)dx1 . . . dxn.

Коварiацiя та коефiцiєнт кореляцiї

Нехай X та Y – двi в.в. зi скiнченними другими моментами. Величину

cov(X,Y ) = E(X − EX)(Y − EY ) = EXY − EXEY

називають коварiацiєю в.в. X та Y . Вона є скiнченною за нерiвнiстю Кошi:

cov(X,Y ) ≤√

E(X − EX)2(Y − EY )2 =√

DXDY = σXσY .

Коефiцiєнтом кореляцiї в.в. X та Y називають безрозмiрну в.в.

ρ(X,Y ) =cov(X,Y )

σXσY,

яка внаслiдок нерiвностi Кошi набуває значень з iнтервалу [−1, 1]. Коефiцiєнт кореляцiї вказує на те, на-скiльки лiнiйно залежнi мiж собою в.в. X та Y , зокрема, коли |ρ(X,Y )| = 1, то iснують числа a 6= 0 та b такi,що P(X = aY + b) = 1, причому sign a = sign ρ(X,Y ).

В.в. X та Y називають некорельованими, якщо cov(X,Y ) = 0. Якщо в.в. X та Y незалежнi, то вонинекорельованi. Обернене твердження неправильне.

Має мiсце рiвнiстьD(X ± Y ) = DX + DY ± cov(X,Y ).

Зокрема, коли в.в. X та Y незалежнi, то

D(X ± Y ) = DX + DY.

13

1.4.3. Незалежнi в.в.

Кожна в.в. породжує випадковi подiї, якi є прообразами борелiвських множин. Незалежнiсть в.в. озна-чає, що всi такi породженi подiї незалежнi.

Отже, в.в. X1, . . . , Xn незалежнi в сукупностi, якщо всi породженi ними випадковi подiї незалежнi всукупностi, тобто для довiльних Bk ∈ B(R)

P(X1 ∈ B1, . . . , Xn ∈ Bn) =

n∏

k=1

P(Xk ∈ Bk).

Зокрема, в.в. X1, . . . , Xn незалежнi в сукупностi тодi й лише тодi, коли вiдповiдна сумiсна функцiя розподiлудля всiх (x1, . . . , xn) ∈ Rn розкладається у добуток

FX1,...,Xn(x1, . . . , xn) = P(X1 < x1, . . . , Xn < xn) =

n∏

k=1

P(Xk < xk) =n∏

k=1

FXk(xk).

Дискретнi в.в. X1, . . . , Xn будуть незалежними в сукупностi тодi й лише тодi, коли

P(X1 = x1, . . . , Xn = xn) =

n∏

k=1

P(Xk = xk)

для всiх можливих значень (x1, . . . , xn).Коли випадковий вектор X = (X1, . . . , Xn) має сумiсну щiльнiсть fX(x1, . . . , xn), то абсолютно непе-

рервнi в.в. X1, . . . , Xn незалежнi в сукупностi тодi й лише тодi, коли

fX(x1, . . . , xn) =

n∏

k=1

fXk(xk).

Має мiсце наступна теорема про перетворення незалежних в.в.

Теорема 1.2. Нехай в.в. X1, . . . , Xn незалежнi в сукупностi, а g1(x), . . . , gn(x) – борелiвськi функцiї. Тодiв.в.

g(X1), . . . , g(Xn)незалежнi в сукупностi.

Доведення. Для довiльних множин Bk ∈ B(R), 1 ≤ k ≤ n розглянемо

P(g1(X1) ∈ B1, . . . , gn(Xn) ∈ Bn) = P(X1 ∈ g−11 (B1), . . . , Xn ∈ g−1

n (Bn))

n∏

k=1

P(Xk ∈ g−11 (Bk))

=

n∏

k=1

P(g(Xk) ∈ Bk).

Отже, g(X1), . . . , g(Xn) – незалежнi в сукупностi.

1.4.4. Розподiл суми незалежних в.в.

Невiд’ємнi цiлочисельнi в.в.

Якщо X та Y – незалежнi невiд’ємнi цiлочисельнi в.в. з розподiлами

pk = P(X = k), qk = P(Y = k), k = 0, 1, 2, . . .

та генератрисами GX(t) i GY (t) вiдповiдно, то сума X + Y має розподiл

P(X + Y = k) =

k∑

j=0

pjqk−j ,

та генератрисуGX+Y (t) = GX(t) GY (t).

Аболютно неперервнi в.в.

Теорема 1.3. Якщо X та Y – незалежнi в.в. iз функцiями розподiлу FX(x) i FY (x), щiльностями fX(x)i fY (x) та генератрисами моментiв MX(t) i MY (t) вiдповiдно, то сума X + Y має функцiю розподiлу

FX+Y (x) =

∞w

−∞FX(x− y)dFY (y) =

∞w

−∞FY (x− y)dFX(y),

яку називають згорткою функцiй розподiлу FX(x) i FY (x) i позначають FX ∗FY (x) = FX+Y (x); щiльнiсть,яка дорiвнює згортцi щiльностей fX(x) i fY (x), тобто

fX ∗ fY (x) =∞w

−∞fX(x− y)fY (y)dy =

∞w

−∞fY (x− y)fX(y)dy,

14

та генератрису моментiвMX+Y (t) =MX(t)MY (t).

Доведення. Оскiльки в.в. X та Y незалежнi, то FX,Y (x, y) = FX(x)FY (y). Тому

P(X + Y < a) =x

(x,y) : x+y<adFX,Y (x, y) =

x

(x,y) : x+y<adFX(x)dFY (y)

=

∞w

−∞

∞w

−∞I(x,y) : x+y<adFX(x)dFY (y) =

∞w

−∞

∞w

−∞Ix : x<a−ydFX(x)dFY (y)

=

∞w

−∞E IX∈x : x<a−ydFY (y) =

∞w

−∞FX(a− y)dFY (y) = FX ∗ FY (a).

Далi, використовуючи замiну x = u− y, маємо

FX ∗ FY (a) =

∞w

−∞FX(a− y)dFY (y) =

∞w

−∞FX(a− y)fY (y)dy =

∞w

−∞

a−yw

−∞fX(x)fY (y)dxdy

=

∞w

−∞

∞w

−∞I(x,y) : x+y<afX(x)fY (y)dxdy =

∞w

−∞

∞w

−∞Iu : u<afX(u− y)fY (y)dudy

=

aw

−∞

∞w

−∞fX(u− y)fY (y)dxdy =

aw

−∞fX ∗ fY (u)du.

Нарештi,MX+Y (t) = Eet(X+Y ) = EetXetY = EetXEetY =MX(t)MY (t).

1.5. Умовнi розподiли та щiльностiРозподiл X для певного значення Y називають умовним розподiлом X при заданому Y = y.

Дискретнi в.в.

Умовний розподiл X при заданому Y = y для дискретних в.в. X та Y дорiвнює

pX|Y=y(x|y) = P(X = x|Y = y) =P(X = x, Y = y)

P(Y = y)=pX,Y (x, y)

pY (y),

де pX,Y (x, y) = P(X = x, Y = y) – сумiсний розподiл в.в. X та Y . Зауважимо, що умовний розподiлpX|Y=y(x|y) визначають лише для тих значень y, для яких розподiл pY (y) = P(Y = y) > 0.

Абсолютно неперервнi в.в.

Припустимо, що пара (X,Y ) має сумiсну щiльнiсть fX,Y . Розглянемо умовну ймовiрнiсть подiї X ≤ x заумови y < Y ≤ y + h, h > 0:

P(X < x|y < Y ≤ y + h) =

r x

−∞r y+h

yfX,Y (u, v)dvdu

r y+h

yfY (v)dv

.

Подiлимо чисельник i знаменник на h. Тодi при h → 0 отримуємо умовну функцiю розподiлу в.в. X призаданому Y = y

FX|Y=y(x|y) =1

fY (y)

xw

−∞fX,Y (u, y)du.

Вiдповiдна умовна щiльнiсть в.в. X при заданому Y = y дорiвнює

fX|Y=y(x|y) =fX,Y (x, y)

fY (y). (1.4)

Цi умовнi функцiї розподiлу визначають лише для тих значень y, для яких fY (y) > 0.

1.6. Умовне математичне сподiванняУмовне математичне сподiвання в.в. X за умови, що Y = y визначають, як

E(X|Y = y) =

+∞w

−∞xfX|Y=y(x|y)dx =

1

fY (y)

+∞w

−∞xfX,Y (x, y)dx,

15

за припущення, що iнтеграл у правiй частинi абсолютно збiжний. Якщо розглядати y як змiнну величину, топрава частина є функцiєю вiд y. Зокрема, ототожнюючи y iз в.в. Y , отримаємо в.в., яку називають регресiєюX на Y та позначають E(X|Y ). Наявнiсть у познацi X не повинна вводити в оману, адже ця в.в. є функцiєюлише однiєї змiнної Y .

Для довiльної борелiвської функцiї h(x, y) можна отримати бiльш загальне визначення, замiнивши в.в.X на h(X,Y ):

E(h(X,Y )|Y = y) =

+∞w

−∞h(x, y)fX|Y=y(x|y)dx.

Аналогiчно, умовне математичне сподiвання E(h(X,Y )|Y ) можна розглядати як в.в., яка є функцiєю вiд Y .Якщо вибрати h(X,Y ) = (X−E(X|Y ))2, тодi математичне сподiвання цiєї функцiї за умовного розподiлу

X при заданому Y є дисперсiєю вiдповiдного умовного розподiлу:

D(X|Y ) = E((X − E(X|Y ))2

∣∣Y)= E(X2|Y )− (E(X|Y ))2.

Очевидно, що вона також є функцiєю вiд Y .

Теорема 1.4 (Формула повного математичного сподiвання).

EX = E(E(X|Y )), (1.5)

тобто математичне сподiвання вiд умовного математичного сподiвання X при даному Y дорiвнює математи-чному сподiванню X.

Доведення. I) Нехай X та Y – дискретнi в.в. Тодi

E (E(X|Y )) =∑

y

E(X|Y = y)P(Y = y) =∑

y

(∑

x

xP(X = x|Y = y)

)P(Y = y)

=∑

y

∑

x

xP(X = x|Y = y)P(Y = y) =∑

y

∑

x

xP(X = x, Y = y) =∑

x

x∑

y

P(X = x, Y = y)

=∑

x

xP(X = x) = E(X).

II) Нехай X та Y – абсолютно неперервнi в.в. Оскiльки

E(X|Y = y) =1

fY (y)

+∞w

−∞xfX,Y (x, y)dx,

то

E (E(X|Y )) =

+∞w

−∞E(X|Y = y)fY (y)dy =

+∞w

−∞

1

fY (y)

+∞w

−∞xfX,Y (x, y)dxfY (y)dy

=

+∞w

−∞x

+∞w

−∞fX,Y (x, y)dydx =

+∞w

−∞xfX(x)dx = E(X).

Теорема 1.5 (Формула повної дисперсiї).

DX = E(D(X|Y )) + D(E(X|Y )). (1.6)

Доведення.

DX = EX2 − (EX)2 = E(E(X2|Y )

)− (E (E(X|Y )))

2= E

(D(X|Y ) + (E(X|Y ))2

)− (E (E(X|Y )))

2

= E (D(X|Y )) +(E(E(X|Y ))2 − (E (E(X|Y )))

2)= E(D(X|Y )) + D(E(X|Y )).

1.7. Ймовiрнiснi нерiвностiРозглянемо найбiльш поширенi нерiвностi, якi виконуються для математичних сподiвань функцiй вiд

в.в.

Лема 1.2 (Загальна нерiвнiсть Чебишова). Нехай g – додатна неспадна функцiя, а в.в. X ≥ 0. Тодiдля довiльної сталої c > 0

P(X ≥ c) ≤ Eg(X)

g(c).

Доведення. З невiд’ємностi та монотонностi g випливає нерiвнiсть g(X) ≥ g(c)IX≥c. Тодi за монотоннiстюматематичного сподiвання

Eg(X) ≥ Eg(c)IX≥c = g(c)P(X ≥ c).

16

Наслiдок 1.3 (Нерiвнiсть Чебишова для дисперсiй). Якщо iснує DX, то для довiльного ε > 0

P(|X − EX| ≥ ε) ≤ DXε2

. (1.7)

Доведення. Iз загальної нерiвностi Чебишова для невiд’ємної в.в. (X−EX)2 та функцiї g(X) = X отримуємо

P(|X − EX| ≥ ε) = P((X − EX)2 ≥ ε2) ≤ E(X − EX)2

ε2=

DX

ε2.

Лема 1.4 (Нерiвнiсть Дженсена). Нехай функцiя g(x) опукла донизу, а в.в. X та g(X) iнтегровнi. Тодi

g(EX) ≤ Eg(X). (1.8)

Доведення. Для довiльної опуклої донизу функцiї g у кожнiй точцi x iснує опорна пряма, графiк якої повнi-стю лежить пiд графiком функцiї g:

g(x) ≥ g(x0) + k(x0)(x− x0), для всiх x ∈ R.

Пiдставимо у цю нерiвнiсть x = X, x0 = EX та скористаємося монотоннiстю математичного сподiвання:

Eg(X) ≥ E(g(EX)) + k(EX)(X − EX) = g(EX) + k(EX)E(X − EX) = g(EX).

Наслiдок 1.5 (Нерiвнiсть Ляпунова). Якщо 1 ≤ a ≤ b та E|X|b <∞, то

(E|X|a) 1a ≤ (E|X|b) 1

b . (1.9)

Доведення. Оскiльки функцiя g(x) = xba , x ≥ 0, опукла донизу, то (1.9) випливає з нерiвностi Дженсена (1.8):

(E|X|a) ba = g(E|X|a) ≤ Eg(|X|a) = E|X|b.

Лема 1.6 (Нерiвнiсть Гельдера). Якщо числа p, q > 0 спряженi, тобто 1p + 1

q = 1, то

E|XY | ≤ (E|X|p) 1p (E|Y |q) 1

q .

Доведення. Пiдставимо в елементарну нерiвнiсть

xy ≤ xp

p+yq

q

вирази x = |X|(E|X|p)

1p

та y = |Y |(E|Y |q)

1q

та використаємо монотоннiсть математичного сподiвання:

|XY |(E|X|p) 1

p (E|Y |q) 1q

≤ E|X|ppE|X|p +

E|Y |qqE|Y |q =

1

p+

1

q= 1.

Наслiдок 1.7 (Нерiвнiсть Кошi).

(EXY )2 ≤ EX2EY 2.

Доведення. Випливає з нерiвностi Гельдера при p = q = 2.

1.8. Закон великих чиселТеорема 1.6 (Закон великих чисел). Нехай X1, . . . , Xn – н.о.р.в.в. зi скiнченними математичним спо-дiванням EXj = m1 та дисперсiєю DX = σ2. Покладемо

Sn = X1 + · · ·+Xn.

Тодi для довiльного ε > 0 має мiсце границя

P(∣∣∣∣Sn

n−m1

∣∣∣∣ ≥ ε

)→ 0, коли n→ ∞.

Iнакше кажучи, усереднена сума Sn

n н.о.р.в.в. X1, . . . , Xn iз середнiм EXj = m1 та дисперсiєю DX = σ2

збiгається за ймовiрнiстю до m1.

Доведення. Скористаємося нерiвнiстю Чебишова (1.7):

P

(∣∣∣∣Sn

n−m1

∣∣∣∣ ≥ ε

)= P

∣∣∣∣∣∣1

n

n∑

j=1

(Xj −m1)

∣∣∣∣∣∣≥ ε

≤ 1

ε21

n2D

n∑

j=1

Xj

=

1

ε21

n2

n∑

j=1

DXj =1

ε21

n2nσ2 =

σ2

nε2,

а цей вираз прямує до нуля, коли n→ ∞.

Треба зауважити, що доведення також можна провести за умови, що D

( n∑j=1

Xj

)= o(n2). Для н.о.р.

в.в. Xj , що мають розподiл Бернуллi з ймовiрнiстю успiху θ, тобто EXj = θ, закон великих чисел стверджує,що пiсля великої кiлькостi випробувань середнє число успiхiв буде наближатися до θ. У такiй формi вiн буввiдомий математикам XVII та XVIII столiть, зокрема, Якобу Бернуллi (1654 – 1705).

17

1.9. ЗадачiВправа 1.1. Нехай A i B – незалежнi подiї. Доведiть, що A i B, доповнення до множини B, теж є незалежнимиподiями.

Вправа 1.2. Розглянемо двi подiї A i B такi, що P(A) = 0.3 i P(A ∩ B) = 0.1. Знайти найменше i найбiльшеможливi значення умовної ймовiрностi P(A|B).

Вправа 1.3. Розглянемо 12 незалежних полiсiв страхування, пронумерованих 1, 2, 3,... , 12, за кожним зяких може надiйти не бiльше однiєї вимоги. Для кожного полiсу ймовiрнiсть настання страхового випадкустановить 0.1. Знайти ймовiрнiсть, що жодної вимоги не надiйде вiд групи полiсiв iз номерами 1, 2, 3, 4, 5 i6, та лише 1 вимога надiйде вiд групи полiсiв з номерами 7, 8, 9, 10, 11, i 12.

Вправа 1.4. Розглянемо групу з 10 полiсiв страхування життя, сiм iз яких страхують чоловiчi життя, а рештатри – жiночi. Три з 10 полiсiв було вибрано навмання (один за одним без повернення). Знайти ймовiрнiстьтого, що всi три вибранi полiси страхують життя чоловiкiв.

Вправа 1.5. Страхова компанiя покриває вимоги вiд чотирьох рiзних портфелiв полiсiв загального страху-вання, позначених через G1, G2, G3 i G4. Число полiсiв у кожному з портфелiв наведено нижче:

Портфель G1 G2 G3 G4Число полiсiв 4 000 7 000 13 000 6 000

Оцiнюють, що частка полiсiв, за якими виникнуть вимоги у наступному роцi становить 8%, 5%, 2% i4% вiдповiдно.

Припустимо, що за вибраним навмання через один рiк полiсом iз загальної групи 30 000 полiсiв усiхчотирьох портфелiв надiйшла за цей рiк вимога. Обчислiть iмовiрнiсть, що полiс вибрано з портфелю G3.

Вправа 1.6. Припустимо, що у групi страхових полiсiв (якi є незалежними щодо надходження вимог), вiд20% полiсiв надiйшли вимоги протягом останнього року. Аудитор вивчає полiси з групи один за одним увипадковому порядку, доки не знайде пiдряд два полiси з вимогою.

(i) Визначте ймовiрнiсть, що рiвно п’ять полiсiв треба було дослiдити, перш нiж два полiси з вимогамибуло знайдено.

(ii) Знайти очiкуване число полiсiв, якi треба дослiдити, поки два послiдовнi полiси з вимогами небудуть виявленi.

Вправа 1.7. Величини позовiв за певної страхової ситуацiї моделюють за допомогою розподiлу, генератрисамоментiв якого дорiвнює M(t) = (1− 10t)−2. Обчислiть EX, EX2 та EX3.

Вправа 1.8. Розглянемо дискретну в.в. X iз розподiлом P(X = x) = 45x+1 , x = 0, 1, 2, . . .

i) Визначте генератрису моментiв X.

ii) Обчислiть EX, використовуючи результат пункту i).

Вправа 1.9. Величину позову X в одиницях £1000 для певного типу страхування промисловостi моделюютьяк гамма-розподiлену в.в. iз параметрами α = 3 та λ = 1

4 .

i) Використовуючи генератриси моментiв, покажiть, що 12X має χ2 розподiл з 6 степенями вiльностi.

ii) Обчислiть ймовiрнiсть того, що величина позову перевищить £20 000.

Вправа 1.10. Величину позову X в одиницях £1000 для певного типу страхування моделюють як в.в. зекспоненцiйним розподiлом iз параметром λ = 1, 25. Актуарiй дослiджує S – суму 10 таких незалежнихвеличин позовiв. Зокрема, вiн хоче обчислити ймовiрнiсть того, що S перевищить £10 000.

i) Використовуючи генератриси моментiв, покажiть, що:

(a) S має гамма-розподiл.

(b) 2, 5S має χ2-розподiл з 20 степенями вiльностi.

ii) Обчислiть вказану ймовiрнiсть.

Вправа 1.11. У таблицi наведено сумiсний розподiл iмовiрностей для двох дискретних в.в. X та Y :

X = 0 X = 1 X = 2Y = 1 0,15 0,20 0,25Y = 2 0,05 0,15 0,20

Обчислiть E(X|Y = 2).

Вправа 1.12. Розглянемо три в.в. X, Y та Z, якi мають однакову дисперсiю σ2 = 4. Припустимо, що X незалежить вiд Y та Z, але в.в. Y й Z – корельованi, зокрема, з коефiцiєнтом кореляцiї ρY Z = 0, 5.

i) Обчислiть коварiацiю мiж X та U , де U = Y + Z.

18

ii) Обчислiть коварiацiю мiж Z та V , де V = 3X − 2Y .

iii) Обчислiть дисперсiю в.в. W = 3X − 2Y + Z.

Вправа 1.13. i) Нехай Y = X1 + X2 є сумою двох незалежних в.в. X1 та X2. Доведiть, що генератрисамоментiв Y є добутком генератрис моментiв X1 та X2.

ii) Нехай X1 та X2 мають гамма-розподiл iз параметрами (α1, λ) та (α2, λ) вiдповiдно. За допомогою ге-нератиси моментiв покажiть, що Y = X1 +X2 також є гамма-розподiленою в.в., та вкажiть параметрирозподiлу.

Вправа 1.14. Число позовiв X, якi виникають за кожним полiсом iз деякого класу, моделюють як пуассонiв-ську в.в. з середнiм λ. Нехай X = (X1, . . . , Xn) є повторною випадковою вибiркою з розподiлу X, та нехайX = 1

n

∑ni=1Xi.

i) За допомогою генератрис моментiв покажiть, що∑n

i=1Xi має розподiл Пуассона з середнiм nλ.

ii) Скажiть, коротко аргументувавши, буде чи нi в.в. 2X1 + 5 мати розподiл Пуассона.

iii) Скажiть, коротко аргументувавши, буде чи нi в.в. X мати розподiл Пуассона у разi, коли n = 2.

iv) Яким буде асимптотичний розподiл X, коли n велике?

Вправа 1.15. Припустимо, що X є в.в. з генератрисою моментiв MX(t) та генератрисою кумулянт CX(t).Нехай Y = aX+b, де a та b – деякi сталi. Нехай також в.в. Y має генератрису моментiв MY (t) та генератрисукумулянт CY (t).

i) Покажiть, що CY (t) = bt+ CX(at).

ii) Обчислiть коефiцiєнт асиметрiї γ1 = µ3

σ3 в.в. Y , якщо MX(t) = (1− t)−2 та Y = 3X + 2.

Вправа 1.16. i) Доведiть, що для неперервних в.в. X та Y справедливе спiввiдношення EY = E(E(Y |X)).

ii) Припустимо, що в.в. X має стандартний нормальний розподiл, а умовний розподiл пуассонiвської в.в. Yдля заданого значення X = x має математичне сподiвання g(x) = x2 + 1. Обчислiть EY та DY .

19

20

Роздiл 2

Основнi типи розподiлiв iндивiдуальних позовiв та кiлькостiпозовiв

Розглянемо деякi спецiальнi розподiли, якi надалi ми будемо часто використовувати для моделювання кiль-костi iндивiдуальних позовiв та їх величини.

2.1. Дискретнi розподiли

Розглянутi тут розподiли є моделями кiлькостi якихось подiй: числа “успiхiв”, числа “випробувань”,кiлькостi смертей, кiлькостi вимог тощо. Будемо припускати, що значення, яких набуває в.в., є цiлими чи-слами з множини 0, 1, 2, 3, . . . .

Значна кiлькiсть дискретних розподiлiв пов’язана з наступною стохастичною ситуацiєю.

2.1.1. Рiвномiрний розподiл

Множина елементарних подiй Ω = 1, 2, 3, . . . , n. Всi елементарнi подiї вiдбуваються з рiвною ймовiр-нiстю 1

n . Визначимо в.в. X так: X(i) = i, i = 1, 2, . . . , n. Тодi розподiл X має вигляд

P(X = k) =1

n, k = 1, 2, . . . , n.

Обчислимо моменти в.в. X:

m1 = EX =1 + 2 + · · ·+ n

n=n+ 1

2;

m2 = EX2 =12 + 22 + · · ·+ n2

n=n(n+ 1)(2n+ 1)/6

n=

(n+ 1)(2n+ 1)

6;

µ2 = DX = m2 −m21 =

n2 − 1

12.

2.1.2. Розподiл Бернуллi

Випробуванням Бернуллi називають стохастичну ситуацiю, яка може закiнчитися лише одним iз двохрезультатiв: або “успiхом” (У) або “невдачею” (Н). Слова “успiх” та “невдача” є умовними – не треба пов’я-зувати з ними звичайне значення цих слiв. Наприклад, успiхом може бути випадiння герба при пiдкиданнiмонети, а невдачею – не випадiння шiстки при пiдкиданнi гральної костi.

Множина елементарних подiй Ω = У, Н. Ймовiрнiсна мiра:

P(У) = θ, P(Н) = 1− θ, 0 < θ < 1.

В.в. X визначимо так: X(У) = 1, X(Н) = 0. Тодi X є кiлькiстю успiхiв, що вiдбулися (0 чи 1). Розподiлв.в. X:

P(X = k) = θk(1− θ)1−k, k = 0, 1.Моменти X:

m1 = θ, m2 = θ2, µ2 = θ(1− θ).

В.в. iз розподiлом Бернуллi часто називають “iндикаторною” – її значення можна використовувати длявизначення, вiдбулась деяка подiя A чи нi. Покладемо X = 1, якщо A вiдбулася, та 0, якщо подiя A нездiйснилася. Якщо P(A) = θ, тодi X має описаний вище розподiл Бернуллi. Подiєю A може бути, наприклад,виживання застрахованої особи протягом одного року.

2.1.3. Бiномiальний розподiл

Розглянемо послiдовнiсть iз n випробувань Бернуллi, якi

• незалежнi у сукупностi мiж собою, причому

• ймовiрнiсть успiху не залежить вiд номеру випробування.

Таку послiдовнiсть називають схемою випробувань Бернуллi.Множина елементарних подiй Ω є об’єднанням усiх можливих елементарних результатiв n випробувань.Нехай в.в. X позначає кiлькiсть успiхiв з-помiж n випробувань. Тодi розподiл X такий:

P(X = k) = Cknθ

k(1− θ)n−k, k = 0, 1, . . . , n, 0 < θ < 1.

21

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

ææ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ

5 10 15 20 25 30

0.05

0.10

0.15

æ æ æ æ æ æ ææ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

ææ æ æ æ æ æ æ æ

5 10 15 20 25 30

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

n = 30, θ =1

4n = 30, θ =

1

2

Рис. 1. Бiномiальнi розподiли

Знайдемо генератриси в.в. X:

GX(t) = EtX =

n∑

k=0

Cknθ

k(1− θ)n−ktk = (θt+ 1− θ)n;

MX(t) = GX(et) = (θet + 1− θ)n; CX(t) = lnMX(t) = n ln(θet + 1− θ).

Знаючи вигляд генератриси розподiлу GX(t), легко обчислити моменти бiномiально розподiленої в.в.X:

G′X(t) = nθ(θt+ 1− θ)n−1 ⇒ m1 = G′

X(1) = nθ;

G′′X(t) = n(n− 1)θ2(θt+ 1− θ)n−2 ⇒ m2 −m1 = G′′

X(1) = n(n− 1)θ2;

m2 = n(n− 1)θ2 + nθ; µ2 = nθ(1− θ).

2.1.4. Геометричний розподiл

Знову розглянемо схему випробувань Бернуллi з P(У) = θ, 0 < θ < 1, яка триває до здiйсненняпершого успiху.

Множина елементарних подiй Ω = У, НУ, ННУ, ННУ, . . . .Визначимо в.в. X як номер випробування, коли вiдбувся успiх. Тодi

P(X = k) = θ(1− θ)k−1, k = 1, 2, 3, . . .

æ

æ

æ

æ

æææ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ

5 10 15 20

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25 æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æææææ æ æ æ æ æ æ æ æ

5 10 15 20

0.05

0.10

0.15

θ =1

2θ =

1

4

Рис. 2. Геометричнi розподiли

Генератриси:

GX(t) = EtX =

∞∑

k=1

θ(1− θ)k−1tk = θt

∞∑

k=0

(1− θ)ktk =θt

1− (1− θ)t;

MX(t) = GX(et) =θet

1− (1− θ)et; CX(t) = lnMX(t) = t+ ln θ − ln(1− (1− θ)et).

Моменти X:

M ′X(t) =

θet

(1− (1− θ)et)2⇒ m1 =M ′

X(0) =1

θ;

M ′′X(t) =

θet(1 + (1− θ)et)

(1− (1− θ)et)3⇒ m2 =

2 + θ

θ2, µ2 =M ′′

X(0) = m2 −m21 =

1− θ

θ2.

22

2.1.5. Розподiл Пуассона

Цей розподiл моделює кiлькiсть подiй, якi сталися протягом зазначеного промiжку часу, коли подiївiдбуваються одна за одною за певним правилом. Це правило передбачає, що подiї здiйснюються окремо, зiсталою iнтенсивнiстю, а кiлькостi подiй, якi вiдбулися на неперетинних промiжках часу, є незалежними мiжсобою.

Як iнший пiдхiд до розподiлу Пуассона розглянемо послiдовнiсть бiномiальних розподiлiв з параметра-ми (n, θ), коли n→ ∞ та θ → 0 одночасно так, що середнє значення nθ є сталим i дорiвнює λ.

В.в. X має розподiл Пуассона з параметром λ > 0, якщо

P(X = k) = e−λλk

k!, k = 0, 1, . . .

Цi ймовiрностi отримують з бiномiальних при n→ ∞ та θ = λn → 0:

n!

(n− k)!k!

(λ

n

)k (1− λ

n

)n−k

=n(n− 1) . . . (n− k + 1)

nkλk

k!

(1− λ/n)n

(1− λ/n)k→ e−λλ

k

k!, n→ ∞.

æ

æ

æ

æ

æ æ

æ

æ

æ

æ

æ

ææ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ

5 10 15 20 25 30

0.05

0.10

0.15

æ æ æ æ æææ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æææ æ æ æ æ

5 10 15 20 25 30

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

λ = 5 λ = 15

Рис. 3. Розподiли Пуассона


GX(t) = EtX =∞∑

k=0

= e−λλk

k!tk = e−λeλt = eλ(t−1);

MX(t) = GX(et) = eλ(et−1); CX(t) = lnMX(t) = λ(et − 1).

Моменти X:C ′

X(t) = λet ⇒ m1 = C ′X(0) = λ; C ′′

X(t) = λet ⇒ µ2 = C ′′X(0) = λ.

2.1.6. Вiд’ємний бiномiальний розподiл

Цей розподiл є узагальненням геометричного. Нехай в.в. X – номер того випробування, на якому вiд-бувся k-й успiх, де k – натуральне число. Тодi розподiл X такий:

P(X = j) = Ck−1j−1 θ

k(1− θ)j−k, j = k, k + 1, . . . , 0 < θ < 1.

Зокрема, при k = 1 в.в. X має геометричний розподiл.

æ

æ

æ

æ

æ

æ

ææ ææ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æææææææ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ

10 20 30 40

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

æ æææ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ ææ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

ææææ æ æ æ æ æ æ æ æ æ

10 20 30 40

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

k = 4, θ =1

4k = 10, θ =

1

2

Рис. 4. Вiд’ємнi бiномiальнi розподiли

23


GX(t) =

∞∑

j=k

Ck−1j−1 θ

k(1− θ)j−ktj = (θt)k∞∑

j=k

Ck−1j−1 (1− θ)j−ktj−k =

θktk

(1− (1− θ)t)k;

MX(t) =

(θet

1− (1− θ)et

)k

; CX(t) = k(t+ ln θ − ln (1− (1− θ)et)).

Моменти X:

C ′X(t) =

k

1− (1− θ)et⇒ m1 = C ′

X(0) =k

θ;

C ′′X(t) =

k(1− θ)et

(1− (1− θ)et)2⇒ µ2 = C ′′

X(0) =k(1− θ)

θ2.

Математичне сподiвання та дисперсiя у k разiв бiльшi, нiж для геометрично розподiленої в.в. Це можнапояснити тим, що в.в. iз вiд’ємно бiномiальним розподiлом можна подати як суму k в.в. iз геометричнимрозподiлом (кiлькiсть випробувань до першого успiху, плюс кiлькiсть додаткових випробувань до другогоуспiху, ..., плюс кiлькiсть додаткових випробувань до k-го успiху).

Iнодi використовують iнше формулювання вiд’ємного бiномiального розподiлу. Нехай в.в. Y – це кiль-кiсть невдач перед k-м успiхом. Тодi Y = X − k, де в.в. X визначено вище, та

P(Y = j) = Cjk+j−1θ

k(1− θ)j , j = 0, 1, 2, . . . , EY = EX − k =k(1− θ)

θ, DY = DX =

k(1− θ)

θ2.

2.2. Розподiли абсолютно неперервних в.в.

2.2.1. Рiвномiрний розподiл

В.в. X має рiвномiрний розподiл на вiдрiзку [a, b], що позначається X ∼ U [a, b], якщо її щiльнiсть єсталою всерединi цього вiдрiзку та дорiвнює нулю поза ним, тобто

fX(x) =1

b− aIx∈[a,b]. (2.1)

Це означає, що ймовiрнiсть попадання величини в якусь множину всерединi вiдрiзка пропорцiйна довжинiцiєї множини (як iнтеграл вiд щiльностi) i не залежить вiд її положення. Таким чином, виконується умоварiвноймовiрностi значень.

Моменти:

m1 = EX =

∞w

−∞xfX(x)dx =

bw

a

x1

b− adx =

a+ b

2;

m2 = EX2 =

bw

a

x21

b− adx =

a2 + ab+ b2

3; µ2 = m2 −m2

1 =(b− a)2

12.

2.2.2. Гамма-розподiл (зокрема, експоненцiйний та хi-квадрат)

Сiм’я гамма-розподiлiв має два додатних параметри i є дуже гнучкою. Щiльнiсть може набувати рiзноїформи залежно вiд значень параметрiв i визначена на додатнiй пiвосi x : x > 0.

Нагадаємо спершу, що гамма-функцiю Γ(α) визначають для α > 0 таким чином:

Γ(α) =

∞w

0

yα−1e−ydy.

Зокрема, Γ(1) = 1, Γ(α) = (α − 1)Γ(α − 1) для α > 1 (тобто коли n – цiле число, то Γ(n) = (n − 1)!) таΓ( 12 ) =

√π.

Щiльнiсть гамма-розподiлу з параметрами α та λ має вигляд

fX(x) =λα

Γ(α)xα−1e−λx, x > 0.

24

1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.5

1.0

1.5

2.0

α = 5, λ = 4 α = 1, λ = 2

5 10 15 20 25 30 35

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

1 2 3 4 5 6

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

α = 2, λ =1

6α =

1

2, λ =

1

2(ν = 1)

Рис. 5. Щiльностi гамма-розподiлу

Обчислимо генератрису моментiв MX(t), використовуючи замiну y = (λ− t)x:

MX(t) = EetX =

∞w

0

etxλα

Γ(α)xα−1e−λxdx =

λα

Γ(α)

∞w

0

xα−1e−(λ−t)xdx

=λα

Γ(α)

∞w

0

yα−1e−y

(λ− t)αdx =

λα

Γ(α)

1

(λ− t)α

∞w

0

yα−1e−ydx =λα

(λ− t)α.

Моменти X:

M ′X(t) =

αλα

(λ− t)α+1⇒ m1 =M ′

X(0) =α

λ;

M ′′X(t) =

α(α+ 1)λα

(λ− t)α+2⇒ m2 =M ′′

X(0) =α(α+ 1)

λ2; µ2 = m2 −m2

1 =α(α+ 1)

λ2− α2

λ2=

α

λ2.

Спецiальний випадок 1: експоненцiйний (показниковий) розподiл – це гамма розподiл з параме-тром α = 1. Функцiя розподiлу та щiльнiсть експоненцiйного розподiлу:

FX(x) =

xw

0

λe−λtdt = 1− e−λx, x > 0; fX(x) = λe−λx, x > 0.

Моменти:

m1 =1

λ, µ2 =

1

λ2.

Експоненцiйний розподiл часто використовують як просту модель тривалостi життя певних типiв обла-днання.

Спецiальний випадок 2: хi-квадрат (χ2) розподiл з параметром ν “ступеней вiльностi” – цегамма розподiл з параметрами α = ν

2 , де ν – натуральне число, та λ = 12 . Щiльнiсть хi-квадрат розподiлу з

ν ступеней вiльностi:

fX(x) =1

2n2 Γ(n2 )

xn2−1e−

x2 , x > 0.

Моменти:m1 = ν, µ2 = 2ν.

2.2.3. Бета-розподiл

Також є iншою досить гнучкою сiм’єю розподiлiв iз двома параметрами, визначених на Ω = (0, 1).

25

Нагадаємо спершу, як визначають бета-функцiю B(α, β):

B(α, β) =

1w

0

xα−1(1− x)β−1dx =Γ(α)Γ(β)

Γ(α+ β).

Щiльнiсть бета-розподiлу:

fX(x) =Γ(α+ β)

Γ(α)Γ(β)xα−1(1− x)β−1 =

1

B(α+ β)xα−1(1− x)β−1, 0 < x < 1.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.5

1.0

1.5

2.0

α = 2, β =1

4α = 2, β = 4

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

α = 2, β =3

2α =

1

2, β =

3

2

Рис. 6. Щiльностi бета-розподiлу

Генератриса моментiв:

MX(t) = EetX =

1w

0

etxΓ(α+ β)

Γ(α)Γ(β)xα−1(1− x)β−1dx =

Γ(α+ β)

Γ(α)Γ(β)

1w

0

∞∑

k=0

(tx)k

k!xα−1(1− x)β−1dx

=Γ(α+ β)

Γ(α)Γ(β)

∞∑

k=0

tk

k!

1w

0

xα+k−1(1− x)β−1dx =Γ(α+ β)

Γ(α)Γ(β)

∞∑

k=0

tk

k!

Γ(α+ k)Γ(β)

Γ(α+ k + β)

=

∞∑

k=0

Γ(α+ k)

Γ(α)

Γ(α+ β)

Γ(α+ β + k)

tk

k!.

Моменти:

m1 =M ′X(0) =

Γ(α+ 1)

Γ(α)

Γ(α+ β)

Γ(α+ β + 1)=

α

α+ β;

m2 =M ′′X(0) =

Γ(α+ 2)

Γ(α)

Γ(α+ β)

Γ(α+ β + 2)=

α(α+ 1)

(α+ β)(α+ β + 1); µ2 = m2 −m2

1 =αβ

(α+ β)2(α+ β + 1).

2.2.4. Нормальний (ґауссiвський) розподiл

Цей розподiл, вiдомий за своєю симетричною дзвоноподiбною формою, вiдiграє фундаментальну рольу теорiї та практицi статистики, оскiльки, по-перше, є гарною моделлю для розподiлу вимiрювань, якi про-водять на практицi у рiзного роду ситуацiях та, по-друге, гарним наближенням для рiзних iнших розподiлiв,зокрема, є граничним для бiномiального. Нормальний розподiл використовують для побудови багатьох iншихрозподiлiв (логнормальний, хi-квадрат, Фiшера, Стьюдента тощо), на ньому ґрунтується велика кiлькiстьстатистичних висновкiв.

Нормальний розподiл N (µ, σ2) має два параметри, якi зручним чином безпосередньо виражаються

26

через середнє µ та стандартний вiдхил σ. Розподiл симетричний вiдносно µ. Щiльнiсть нормального розподiлу

fX(x) =1

σ√2π

exp

− (x− µ)2

2σ2

, −∞ < x <∞.

-6 -4 -2 2 4 6

0.1

0.2

0.3

0.4

-8 -6 -4 -2 2 4 6

0.05

0.10

0.15

0.20

µ = 0, σ = 1 µ = −2, σ = 2

Рис. 7. Щiльностi нормального розподiлу

Використовуючи iнтеграл Ойлера-Пуассонаr +∞−∞ exp−x2dx =

√π, знайдемо генератрису моментiв:

MX(t) = E exptX =

∞w

−∞exptx 1

σ√2π

exp

− (x− µ)2

2σ2

dx =

1

σ√2π

∞w

−∞exp

−x

2 − 2(µ+ tσ2)x+ µ2

2σ2

dx

=1

σ√2π

∞w

−∞exp

− (x− µ− tσ2)2 + µ2 − (µ+ tσ2)2

2σ2

dx

= exp

2µtσ2 + t2σ4

2σ2

1

σ√2π

∞w

−∞exp

− (x− µ− tσ2)2

2σ2

dx = exp

µt+

t2σ2

2

та генератрису кумулянт

CX(t) = µt+t2σ2

2.

Моменти:m1 = C ′

X(0) = µ; µ2 = C ′′X(0) = σ2.

2.2.5. Логнормальний розподiл

Якщо X вiдображає, наприклад, величину вимоги, а Y = lnX має нормальний розподiл, то кажуть,що в.в. X має логнормальний розподiл, X ∼ LN (µ, σ2).

Щiльнiсть логнормального розподiлу:

fX(x) =1

xσ√2π

exp

− (lnx− µ)2

2σ2

, 0 < x <∞.

5 10 15 20

0.05

0.10

0.15

0.20

5 10 15 20

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

µ = 1, σ = 1 µ =5

2, σ =

1

2

Рис. 8. Щiльностi логнормального розподiлу

27

Генератрису моментiв обчислимо, використовуючи замiну y = lnx та розклад etey

у ряд Тейлора:

MX(t) = E exptX =

∞w

0

exptx 1

xσ√2π

exp

− (lnx− µ)2

2σ2

dx =

1

σ√2π

∞w

−∞exptey exp

− (y − µ)2

2σ2

dy

=1

σ√2π

∞w

−∞

∞∑

k=0

tk expkyk!

exp

− (y − µ)2

2σ2

dy =

∞∑

k=0

tk

k!

1

σ√2π

∞w

−∞exp

− (y − µ)2 − 2kσ2

2σ2

dy

=

∞∑

k=0

tk

k!exp

µk +

k2σ2

2

1

σ√2π

∞w

−∞exp

− (y − µ− kσ2)2

2σ2

dy =

∞∑

k=0

tk

k!exp

µk +

k2σ2

2

.

Звiдси отримуємо моменти, як вiдповiднi коефiцiєнти при tk

k! :

m1 =M ′X(0) = exp

µ+

σ2

2

; m2 =M ′′

X(0) = exp2µ+ 2σ2

;

µ2 = m2 −m21 = exp

2µ+ 2σ2

− exp

2µ+ σ2

= exp

2µ+ σ2

(exp

σ2− 1).

2.2.6. Розподiл Парето

В.в. X має розподiл Парето з параметрами a > 0, λ > 0, якщо

fX(x) =aλa

(λ+ x)a+1, x > 0. (2.2)

Тодi функцiя розподiлу X має вигляд

FX(x) = 1−(

λ

λ+ x

)a

, x > 0.

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

1

2

3

4

5

6

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

1

2

3

4

5

6

a = 2, λ =1

3a =

5

2, λ = 1

Рис. 9. Щiльностi розподiлу Парето

Оскiльки моменти порядку k в.в. X скiнченнi лише для k < a, математичне сподiвання i дисперсiюобчислимо безпосередньо:

m1 = EX =

∞w

0

xfX(x)dx = aλa∞w

0

x

(λ+ x)a+1dx = aλa

∞w

0

(1

(λ+ x)a− λ

(λ+ x)a+1

)dx

= aλa(λ−a+1

a− 1− λλ−a

a

)=

λ

a− 1, a > 1;

m2 = EX2 =

∞w

0

x2fX(x)dx = aλa∞w

0

x2

(λ+ x)a+1dx = aλa

∞w

0

(1

(λ+ x)a−1− 2λ

(λ+ x)a+

λ2

(λ+ x)a+1

)dx

= aλa(λ−a+2

a− 2− 2

λλ−a+1

a− 1+λ2λ−a

a

)=

2λ2

(a− 1)(a− 2), a > 2;

µ2 = DX = m2 −m21 =

aλ2

(a− 1)2(a− 2), a > 2.

2.2.7. Розподiл Вейбулла

В.в. X має розподiл Вейбулла з параметрами c > 0, γ > 0, якщо

fX(x) = cγxγ−1 exp−cxγ, x > 0.

28

1 2 3 4 5

0.1

0.2

0.3

0.4

1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

γ = 2, c = 1

4γ = 1, c = 1

0 1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7

0.1

0.2

0.3

0.4

γ =1

2, c = 2 γ = 8, c = 2

−10

Рис. 10. Щiльностi розподiлу Вейбулла

Використовуючи замiну cxγ = y, знайдемо генератрису моментiв:

MX(t) = E exptX =

∞w

0

exptxcγxγ−1 exp−cxγdx =

∞w

0

exp

t(yc

) 1γ

exp−ydy

=

∞w

0

∞∑

k=0

tk

k!

(yc

) kγ

exp−ydy =

∞∑

k=0

tk

k!c−

kγ

∞w

0

ykγ exp−ydy =

∞∑

k=0

tk

k!c−

kγ Γ

(1 +

k

γ

).

Моменти:

mk =M (k)(0) = c−kγ Γ

(1 +

k

γ

), µ2 = m2 −m2

1 = c−2γ

(Γ(1 + 2γ−1

)−(Γ(1 + γ−1

))2).

Зауважимо, що розглянутий вище розподiл Парето – це розподiл, у якого “правий хвiст” P(X > x) =(λ

λ+x

)aпрямує до нуля як x−a i є значно “важчим”, нiж експоненцiйний, у якого P(X > x) = exp−λx.

Повертаючись до розподiлу Вейбулла, маємо такi випадки:

• якщо γ < 1, то виникає розподiл, який, у певному розумiннi, є промiжним мiж експоненцiйним тарозподiлом Парето;

• при γ > 1 правий хвiст легший за експоненцiйний;

• випадок γ = 1 вiдповiдає експоненцiйному розподiлу.

Така гнучкiсть розподiлу Вейбулла дозволяє використовувати його для моделювання збиткiв (як правило, зγ < 1).

2.3. Сумiшi розподiлiвНехай заданий умовний розподiл в.в. X при заданому значеннi в.в. Y = y. Функцiю розподiлу

FX(x) =

∞w

−∞FX|Y=y(x|y)dFY (y) (2.3)

будемо називати сумiшшю функцiї розподiлу FX|Y=y(x|y) по y вiдносно розподiлу FY (y).У разi, коли iснують вiдповiднi щiльностi в.в. X та Y , функцiю

fX(x) =

∞w

−∞fX|Y=y(x|y)fY (y)dy (2.4)

будемо називати сумiшшю щiльностi розподiлу fX|Y=y(x|y) по y вiдносно щiльностi fY (y).

29

2.3.1. Сумiшi пуассонiвських розподiлiв

Якщо FX|Y=y(x|y) – розподiл Пуассона з параметром y, то розподiл FX(x) називають змiшаним пуас-сонiвським. Якщо FY (y) – розподiл Пуассона, то розподiл FX(x) називають пуассонiвськи-змiшаним.

Приклад 2.3.1. Припустимо, що в (2.3) FX|Y=y(x|y) – розподiл Пуассона з параметром λy, λ > 0 –деяка стала, а FY (y) – функцiя розподiлу Пуассона з параметром µ. Знайти розподiл в.в. X.

Розв’язання. Очевидно, для k = 0, 1, 2, . . . розподiл X має наступний вигляд:

P(X = k) =

∞∑

j=0

e−λj λjk

k!e−µµ

j

j!= e−µλ

k

k!

∞∑

j=0

(µe−λ)jjk

j!

= e−µ+µe−λ λk

k!

∞∑

j=0

jke−µe−λ (µe−λ)j

j!= e−µ+µe−λ λkmk(µe

−λ)

k!,

де mk(λ) – k-ий момент розподiлу Пуассона з параметром λ > 0. Отриманий закон вiдомий, якрозподiл Неймана типу А.

Приклад 2.3.2. Припустимо, що в (2.3) FX|Y=y(x|y) – гамма-розподiл з параметрами y та α > 0, тобтозi щiльнiстю

fX|Y=y(x|y) =yα

Γ(α)xα−1e−yx, x > 0.

Знайти пуассонiвськи-змiшаний розподiл в.в. X.

Розв’язання. Обчислимо щiльнiсть розподiлу X. За формулою повної ймовiрностi для x > 0

fX(x) =

∞∑

y=0

yα

Γ(α)xα−1e−yxe−λλ

y

y!=xα−1

Γ(α)e−λ

∞∑

y=0

yαe−yxλy

y!

=xα−1

Γ(α)e−λ+λe−x

∞∑

y=0

yαe−λe−x (λe−x)y

y!=xα−1

Γ(α)exp−λ+ λe−xmα(λe

−x),

де mα(λ) – α-ий момент розподiлу Пуассона з параметром λ > 0. Зокрема, при α = 1 fX|Y=y(x|y)є щiльнiстю експоненцiйного розподiлу з параметром y, а отримана функцiя є щiльнiстю розподiлуҐумбеля (розподiлу екстремальних значень типу III): fX(x) = λ expλ− x+ e−x, x > 0.

Нехай FX|Y=y(x|y) = G∗y(x) для деякої функцiї розподiлу G(x), де G∗k(x) – k-кратна згортка функцiїG(x) з собою: G∗k(x) = G ∗ Gk−1(x), k ≥ 0, G∗0(x) – функцiя розподiлу з одиничним стрибком в нулi. Тодiспiввiдношення (2.3) набуває вигляду

FX(x) = e−λ∞∑

k=0

λk

k!G∗k(x). (2.5)

Розподiли вигляду (2.5) називають узагальненими пуассонiвськими. Прикладом узагальненого пуассо-нiвського розподiлу є складний пуассонiвський розподiл, властивостi якого ми вивчатимемо у наступномуроздiлi.

2.3.2. Розподiл Парето як сумiш експоненцiйних розподiлiв

Припустимо, що кожен окремий полiс iз великого страхового портфеля призводить до збиткiв, якiрозподiленi за експоненцiйним законом, який є одним iз найпростiших для моделювання збиткiв. Зрозумiло,що у бiльшостi страхових портфелiв середнє значення збиткiв є рiзним для рiзних застрахованих осiб. Тобтомодель портфелю передбачає, що для кожного окремого полiса збитки розподiленi за експоненцiйним закономзi своїм значенням параметра λ.

Як адекватний пiдхiд до вiдображення мiнливостi у середнiх значеннях збиткiв виступає припущення,що значення параметра λ експоненцiйних розподiлiв у межах портфелю самi є реалiзацiєю деякої в.в.

Отже, припустимо, що мiнливiсть параметра λ можна зобразити за допомогою гамма-розподiлу з па-раметрами α та δ i, вiдповiдно, щiльнiстю

fλ(ν) =δα

Γ(α)να−1e−δν , ν > 0.

У такiй задачi моделювання величини збиткiв X для всього портфелю гамма-розподiл використовують дляусереднення експоненцiйних розподiлiв, трактуючи його як “змiшувальний”, а одержаний розподiл збиткiвяк сумiш розподiлiв. Тодi маргiнальну щiльнiсть розподiлу X можна отримати через сумiсну та умовну

30

щiльностi в.в. X та λ:

fX(x) =

∞w

0

fX,λ(x, ν)dν =

∞w

0

fλ(ν)fX|λ=ν(x|ν)dν

=

∞w

0

δα

Γ(α)να−1e−δννe−νxdν =

δα

Γ(α)

∞w

0

ναe−(δ+x)νdν =δα

Γ(α)

Γ(α+ 1)

(δ + x)α+1=

αδα

(δ + x)α+1, x > 0,

у якiй можна впiзнати щiльнiсть розподiлу Парето з параметрами α та δ.

2.3.3. Узагальнений розподiл Парето як сумiш розподiлiв Ерланґа

У попередньому параграфi ми бачили, що у випадку, коли збитки мають експоненцiйний розподiл зпараметром λ, який, у свою чергу, є гамма-розподiленою в.в. з параметрами α, δ, маргiнальний розподiлвеличини збиткiв є розподiлом Парето. Цей результат можна узагальнити, припустивши, що збитки маютьрозподiл Ерланґа (гамма-розподiл з параметрами k та λ, коли k – цiле), а λ має гамма-розподiл з параметрамиα та δ. Випадок k = 1 зводиться до розглянутого вище. Для довiльного k маргiнальна щiльнiсть величинизбиткiв X дорiвнює

fX(x) =

∞w

0

fX,λ(x, ν)dν =

∞w

0

fλ(ν)fX|λ=ν(x|ν)dν =

∞w

0

δα

Γ(α)να−1e−δν νk

Γ(k)xk−1e−νxdν

=δαxk−1

Γ(α)Γ(k)

∞w

0

να+k−1e−(δ+x)νe−νxdν =δαΓ(α+ k)

Γ(α)Γ(k)

xk−1

(δ + x)α+k, x > 0.

Отримана функцiя є щiльнiстю узагальненого розподiлу Парето.

2.4. Статистичне оцiнювання параметрiв розподiлуНа практицi точний розподiл величини позовiв (чи їх кiлькостi) рiдко буває вiдомим. Припустимо, що

розподiл позовiв належить певнiй параметричнiй сiм’ї розподiлiв Fθ(x), θ = (θ1, . . . , θd) ∈ Rd, d ≥ 1, але зна-чення параметрiв θ1, . . . , θd невiдомi. Тодi їх треба оцiнити за вiдомими величинами позовiв, використовуючиприйнятний статистичний метод. Узгодженiсть з вибраним розподiлом формально може бути перевiрена задопомогою статистичних тестiв, наприклад, χ2-критерiю.

Опишемо коротко такi основнi методи оцiнювання, як методи моментiв, максимальної вiрогiдностi таквантилiв. Але спершу наведемо деякi прийнятi у математичнiй статистицi визначення.

2.4.1. Точковi оцiнки

Випадковий вектор X = (X1, . . . , Xn) зi значеннями в просторi Rn називають вибiркою. Вибiрку, утво-рену послiдовнiстю н.о.р. в.в. X1, . . . , Xn, кожна з яких має розподiл F , називають повторною або n-кратноювибiркою з розподiлу F .

Для оцiнювання невiдомого значення параметра θ єдине, що вiдомо i що можна використати, є спосте-реженi значення x = (x1, . . . , xn) вибiрки X. Крiм реалiзацiї x, ми не маємо нiчого, що надавало б яку-небудьiнформацiю щодо θ. Тому точно чи наближено визначити значення θ за спостереженнями x вибiрки X озна-чає, що реалiзацiї x вибiрки X треба поставити у вiдповiднiсть значення θ, тобто задати функцiю T (·) зiзначеннями в Θ – множинi можливих значень параметра θ – таку, що T (x) точно чи хоча б наближено дорiв-нює θ. Значення θ = T (x) надалi й будемо використовувати як θ. Треба зазначити, що для кожної реалiзацiїx вибiрки X значення θ буде своє, а тому є в.в. як функцiя вiд вибiрки X, тобто θ = T (X).

Борелеву функцiю T : Rn 7→ Θ називають статистикою, а T (X) = T (X1, . . . , Xn) – борелеву функцiювiд вибiрки зi значеннями в Θ – оцiнкою. Зауважимо, що для одного й того самого параметра θ можназапропонувати багато оцiнок.

Згiдно з постановкою задачi оцiнювання параметрiв розподiлiв як задачi одержання наближених зна-чень θ = T (X) для θ треба вмiти вiдповiдати на запитання: наскiльки великою є похибка |θ − θ| вiд замiнисправжнього значення параметра θ на оцiнене θ.

Кiлькiсно мiру похибки вiд замiни θ на θ (мiру розсiювання θ вiдносно θ) описують за допомогоювеличини

Eθ|θ − θ|2,де познака EθX означає математичне сподiвання в.в. X вiдносно параметричної сiм’ї розподiлiв Fθ та, вiд-повiдно, є функцiєю вiд θ:

EθX =w

R

xdFθ(x).

Серед усiх оцiнок з однiєю й тiєю самою дисперсiєю Dθθ мiнiмальну мiру розсiювання вiдносно θ маютьоцiнки, для яких Eθθ = θ. Це випливає з перетворень

Eθ|θ−θ|2 = Eθ|(θ−Eθθ)+(Eθθ−θ)|2 = Eθ(θ−Eθθ)2+2Eθ(θ−Eθθ)(Eθθ−θ)+Eθ(θ−Eθθ)

2 = Dθθ+Eθ(θ−Eθθ)2.

Оцiнку θ називають незмiщеною оцiнкою параметра θ, якщо

Eθθ = θ. (2.6)

31

Часто можна розглядати не одну оцiнку θ = T (X), побудовану за вибiркою X = (X1, . . . , Xn), а по-слiдовнiсть оцiнок θn = Tn(X), n = 1, 2, . . . У цьому разi природно говорити про асимптотичну поведiнкупослiдовностi оцiнок θn.

Послiдовнiсть оцiнок θn називають конзистентною послiдовнiстю оцiнок параметра θ, якщо для до-вiльного ε > 0

P(|θn − θ| > ε) → 0, n→ ∞. (2.7)

Послiдовнiсть оцiнок θn називають асимптотично незмiщеною послiдовнiстю оцiнок параметра θ,якщо для довiльного ε > 0

Eθθn → θ, n→ ∞. (2.8)

Приклад 2.4.1. Нехай X = (X1, . . . , Xn) – повторна вибiрка з рiвномiрного розподiлу, заданого на вiд-рiзку [a, b], де значення параметрiв a та b невiдомi. Якi з оцiнок

θ1 = maxX1, . . . , Xn, θ2 = minX1, . . . , Xn, θ3 =1

n

n∑

i=1

Xi, θ4 =Xn−1 +Xn

2

та яких параметрiв є

i) незмiщеними,

ii) конзистентними оцiнками?

Розв’язання. Функцiя розподiлу кожного зi спостережень Xi, i = 1, 2, . . . , n, залежить вiд невiдо-мих значень пари параметрiв θ = (a, b) та має вигляд

Fθ(x) =

0, x ≤ a;x−ab−a , a < x ≤ b;1, x > b.

Розглянемо кожну з оцiнок θ1, . . . , θ4.1) Знайдемо функцiю розподiлу Fθ1

(x) та щiльнiсть fθ1(x) оцiнки θ1. За умовою, спостереже-ння X1, . . . , Xn – незалежнi в.в., кожна з яких розподiлена рiвномiрно на [a, b]. Тому

Fθ1(x) = P

(θ1 < x

)= P(maxX1, . . . , Xn < x) = P(X1 < x, . . . ,Xn < x) =

n∏

i=1

P(Xi < x) = (Fθ(x))n

та

fθ1(x) =ddxFθ1

(x) = nfθ(x) (Fθ(x))n−1

, (2.9)

де fθ(x) – щiльнiсть рiвномiрного на [a, b] розподiлу,

fθ(x) =

1

b−a , a ≤ x ≤ b;0, x ∈/ [a, b].

За вiдомою щiльнiстю (2.9) знайдемо математичне сподiвання оцiнки θ1:

Eθ θ1 =

∞w

−∞xfθ1(x)dx =

bw

a

xn(x− a)n−1

(b− a)ndx =

n

n+ 1b+

1

n+ 1a→ b, n→ ∞.

Отже, оцiнка θ1 не є незмiщеною оцiнкою жодного з параметрiв a та b, але вона є асимптотичнонезмiщеною оцiнкою параметра b.

З’ясуємо, чи оцiнка θ1 є конзистентною оцiнкою параметра b. Для цього перевiримо, чи будеθ1 збiгатися за ймовiрнiстю до b. Для довiльного достатньо малого ε > 0 розглянемо

P(|θ1 − b| > ε

)= P

(θ1 ∈ (−∞, b− ε) ∪ (b+ ε,∞)

)=

b−εw

−∞fθ1(x)dx+

∞w

b+ε

fθ1(x)dx

=

b−εw

a

fθ1(x)dx =

b−εw

a

n(x− a)n−1

(b− a)ndx =

(1− ε

b− a

)n

→ 0, n→ ∞. (2.10)

Отже, θ1 є конзистентною оцiнкою параметра b.2) Оцiнка θ2 = minX1, . . . , Xn дослiджується аналогiчно попереднiй. Її функцiя розподiлу має

вигляд

Fθ2(x) = P(minX1, . . . , Xn < x) = 1− P(minX1, . . . , Xn ≥ x) = 1−

n∏

i=1

P(Xi ≥ x) = 1− (1− Fθ(x))n,

а щiльнiсть дорiвнює

fθ2(x) =ddxFθ2

(x) =n(b− x)n−1

(b− a)nIx∈[a,b],

32

Звiдси

Eθ θ2 =

∞w

−∞xfθ2(x)dx =

1

n+ 1b+

n

n+ 1a→ a, n→ ∞,

тобто θ2 не є незмiщеною оцiнкою жодного з параметрiв a та b, але є асимптотично незмiщеноюоцiнкою параметра a. Як i в (2.10), показуємо, що θ2 є конзистентною оцiнкою параметра a.

3) Обчислимо математичне сподiвання оцiнки θ3 = 1n

n∑i=1

Xi:

Eθ θ3 = E1

n

n∑

i=1

Xi =1

n

n∑

i=1

EXi =a+ b

2.

Оскiльки в.в. Xi – рiвномiрно розподiленi на вiдрiзку [a, b], то їхнє математичне сподiвання m1

дорiвнює a+b2 , тобто Eθ θ3 = a+b

2 = m1. Отже, θ3 не є незмiщеною оцiнкою жодного з параметрiв aта b, але θ3 є незмiщеною оцiнкою параметра m1 = a+b

2 .

Далi, згiдно iз законом великих чисел θ3 = 1n

n∑i=1

Xi збiгається до Eθ θ3 = m1, тобто θ3 є конзи-

стентною оцiнкою параметра m1.4) Обчислимо математичне сподiвання оцiнки θ4 = Xn−1+Xn

2 :

Eθ θ4 = EXn−1 +Xn

2=a+ b

2.

Отже, θ4 є незмiщеною оцiнкою параметра m1 = a+b2 .

Оцiнка θ4 не збiгається за ймовiрнiстю до жодного параметра. Справдi, оскiльки щiльнiстюрозподiлу в.в. θ4 є згортка щiльностей 1

2fθ ∗ fθ(x), то

fθ4(x) =

0, коли x ∈/ [a, b];4(x−a)(b−a)2 , коли x ∈

[a, a+b

2

];

4(b−x)(b−a)2 , коли x ∈

[a+b2 , b

].

I якщо припустити, що θ4 збiгається за ймовiрнiстю до деякої сталої c ∈ [a, b], то для кожногодосить малого ε > 0 вираз

P(|θ4 − c| > ε

)=

w

x : |x−c|>εfθ4(x)dx

не залежить вiд n та є сталим, а значить, не прямує до нуля, коли n→ ∞.

2.4.2. Метод моментiв

Першим загальним методом побудови оцiнок невiдомих параметрiв за вибiркою був метод моментiв,запропонований Карлом Пiрсоном. Згiдно з цим методом певну кiлькiсть вибiркових моментiв

mk =1

n

n∑

i=1

Xki (2.11)

прирiвнюють до вiдповiдних теоретичних моментiв

mk(θ) = mk(θ1, . . . , θd) =w

R

xkdFθ(x) (2.12)

розподiлу Fθ(x), обчислених за значеннями параметрiв θ1, . . . , θd, що дорiвнюють вiдповiдно θ1, . . . , θd. Зокре-ма, перший вибiрковий момент

m1 =1

n

n∑

i=1

Xi

прирiвнюють до першого теоретичного моменту

m1(θ) = m1(θ1, . . . , θd) =w

R

xdFθ(x);

другий вибiрковий момент

m2 =1

n

n∑

i=1

X2i

– до другого теоретичного моменту

m2(θ) = m2(θ1, . . . , θd) =w

R

x2dFθ(x)

33

i так далi. Розглядаючи кiлькiсть моментiв, що дорiвнює кiлькостi невiдомих параметрiв, якi треба оцiнити,одержують таку саму кiлькiсть рiвнянь для визначення невiдомих параметрiв:

m1 = m1(θ);

m2 = m2(θ);

...md = md(θ).

Розв’язуючи цi рiвняння вiдносно θ1, . . . , θd, знаходять шуканi оцiнки.

Зауваження 2.4.1. Деякi з теоретичних моментiв можуть не залежати вiд невiдомих параметрiв. У такомувипадку до виписаних рiвнянь додають наступнi так, щоб кiлькiсть рiвнянь дорiвнювала кiлькостi невiдомихпараметрiв.

Метод моментiв можна застосовувати лише тодi, коли iснують усi перелiченi моменти. На практицi вiнзводиться до порiвняно простих обчислень.

2.4.3. Метод максимальної вiрогiдностi

Досить простий метод утворення оцiнок невiдомого параметра запропонував Р. Фiшер, припустивши,що в експериментi спостерiгають тi данi, якi вiдповiдають параметру, при якому ймовiрнiсть спостерiгати цiданi максимальна.

Нехай X = (X1, . . . , Xn) – повторна вибiрка iз генеральної сукупностi з функцiєю розподiлу Fθ(x) тащiльнiстю розподiлу fθ(x), θ ∈ Θ, а x = (x1, . . . , xn) – спостереженi значення вибiрки X. Функцiю

L = L(θ,x) = fθ(x1) . . . fθ(xn) (2.13)

називають функцiєю вiрогiдностi.Для дискретних в.в., якi набувають значення в множинi x1, . . . , xn з розподiлами fθ(x) = P (Xi = x),

функцiя вiрогiдностi має виглядL = L(θ,x) = fθ(x1) . . . fθ(xn).

Оцiнкою максимальної вiрогiдностi параметра θ ∈ Θ називають значення параметра, при якому фун-кцiя вiрогiдностi L набуває найбiльшого значення.

Часто функцiя L досягає максимуму у внутрiшнiй точцi множини Θ i є диференцiйованою. Оскiлькифункцiя lnL при даних значеннях вибiрки X1 = x1, . . . , Xn = xn досягає свого максимуму в тiй самiйточцi, що й функцiя L, то для знаходження оцiнки максимальної вiрогiдностi можна розв’язати рiвняннявiрогiдностi

∂ lnL

∂θ= 0

та вибрати серед коренiв такi, для яких матриця(∂2 lnL

∂θi∂θj

)

буде вiд’ємно визначеною.ОМВ є асимптотично незмiщеною та конзистентною.Якщо функцiя a(θ) : Θ → Q ⊆ Rd є взаємно однозначною, а θn – ОМВ параметра θ ∈ Θ, то an = a(θn)

буде ОМВ для a(θ). Цей простий принцип утворення оцiнок максимальної вiрогiдностi функцiй вiд параметрiвназивають принципом iнварiантностi.

Приклад 2.4.2. Нехай X = (X1, . . . , Xn) – повторна вибiрка з логнормального розподiлу LN(θ1, θ22).

Оскiльки lnXi ∼ N(θ1, θ22), то ОМВ параметрiв θ1 та θ22 мають вигляд

θ1n =1

n

n∑

i=1

lnxi, θ22n =

1

n

n∑

i=1

(lnxi − θ1n)2.

Оскiльки

EX1 = m1 = exp

θ1 +

θ222

,DX = µ2 = m2

1(expθ22 − 1),

то оцiнки максимальної вiрогiдностi математичного сподiвання m1 та дисперсiї µ2 логнормального законузгiдно з принципом iнварiантностi мають вигляд

m1n = expθ1n +θ22n2

=

(n∏

i=1

xi

) 1n

exp 1

2n

n∑

i=1

(lnxi −1

n

n∑

i=1

lnxi)2,

µ2n = m21n

(exp

1

n

n∑

i=1

(lnxi −1

n

n∑

i=1

lnxi)2

− 1

).

34

2.5. ЗадачiВправа 2.1. Загальне число позовiв, якi виникають у групi полiсiв протягом року, моделюють як пуассонiв-ську в.в. з середнiм 10. Величину кожного позову, в £100, незалежно моделюють як гамма-розподiлену в.в. зпараметрами α = 4 та λ = 1

5 . Обчислiть середнє значення та стандартний вiдхил сумарної величини позовiв.

Вправа 2.2. Нехай в.в. X має рiвномiрний розподiл на (0, 1000). Визначимо в.в. Y , як мiнiмум iз X та 800.

i) Покажiть, що умовний розподiл X за умови, що X < 800, є рiвномiрним на (0, 800) розподiлом.

ii) Обчислити математичне сподiвання Y .

iii) Пояснiть вiдмiннiсть мiж умовним математичним сподiванням X за умовою X < 800 та математичнимсподiванням Y .

Вправа 2.3. Сумарну величину позовiв S за портфелем моделюють як складний розподiл S = X1+X2+ · · ·+XN , де в.в. N – кiлькiсть позовiв – має розподiл Пуассона з середнiм λ, Xi – величина i-го позову, та Xi –н.о.р. в.в. та незалежнi вiд N . Нехай MX(t) позначає генератрису моментiв Xi.

i) Покажiть, використовуючи умовне математичне сподiвання, що генератриса кумулянт S має виглядCS(t) = λ(MX(t)− 1).

ii) Обчислiть дисперсiю S, коли λ = 20, а X має середнє 20 й дисперсiю 10.

Вправа 2.4. Число позовiв, якi виникають у групi полiсiв протягом року, має розподiл Пуассона з середнiм12. Величини позовiв незалежнi мiж собою та мають експоненцiйний розподiл iз середнiм £80, причому вонине залежать вiд кiлькостi позовiв. До кiнця поточного фiнансового року ще 6 мiсяцiв. Обчислiть математичнесподiвання та стандартний вiдхил сумарної величини позовiв, що виникне за цi шiсть мiсяцiв, що лишились.

Вправа 2.5. Нехай N позначає кiлькiсть позовiв, якi виникають за деяким бiзнес-портфелем, а Xi дорiвнюєвеличинi i-го позову. Припустимо, що кожну в.в. Xi моделюють за допомогою нормального розподiлу зсереднiм £10 000 та стандартним вiдхилом £2 000, i нехай N незалежно моделюють за допомогою розподiлуПуассона з параметром 20. Обчислiть математичне сподiвання та стандартний вiдхил сумарної величинипозовiв S = X1 +X2 + · · ·+XN .

Вправа 2.6. Розглянемо двi в.в. X та Y iз сумiсною щiльнiстю розподiлу fX,Y (x, y) =43 (1 − xy), 0 < x < 1,

0 < y < 1.

i) Визначити маргiнальнi щiльностi розподiлiв X та Y .

ii) Показати, що умовна щiльнiсть Y за умови X = x дорiвнює fY |X=x(y|x) = 2 1−xy2−x , 0 < y < 1.

iii) (a) Обчислiть умовне математичне сподiвання E(Y |X = x) як функцiю вiд x та звiдси отримайте EY .

(b) Перевiрте вiдповiдь в (a), обчисливши EY безпосередньо через маргiнальну щiльнiсть розподiлу Y .

Вправа 2.7. Кiлькiсть позовiв X, якi виникають за кожним полiсом iз деякого портфелю, залежить вiд iншоїв.в. Y . Припускають, що X має розподiл Пуассона з середнiм Y . Також вважають, що сама в.в. Y маєгамма-розподiл iз параметрами (a, b). Знайдiть вирази для безумовних моментiв EX та EX2, використовуючивiдповiднi умовнi моменти.

Вправа 2.8. Ймовiрнiсний розподiл загальної кiлькостi позовiв N , що виникають у деякiй групi полiсiв про-тягом року, має такий вигляд: P(N = 0) = 0, 7; P(N = 1) = 0, 15; P(N = 2) = 0, 1; P(N = 3) = 0, 05. Величинакожного позову X (в £1000) має гамма-розподiл з параметрами α = 2 та λ = 0, 1 незалежно вiд величинiнших позовiв та кiлькостi. Обчислiть очiкуване середнє значення та стандартний вiдхил сумарної величинипозовiв за один рiк.

Вправа 2.9. Припускають, що кiлькiсть позовiвN , що надходять протягом п’ятирiчного перiоду вiд вказаногополiсу, має вiд’ємний бiномiальний розподiл другого типу з середнiм EN = k(1−p)

p та дисперсiєю DN = k(1−p)p2 .

Вважають, що величина кожного позову X (в £1000) має експоненцiйний розподiл з параметром λ незалежновiд величин iнших позовiв та кiлькостi позовiв.

Нехай S є сумарною величиною позовiв за перiод 5 рокiв для k = 2, p = 0, 8 та λ = 2.

i) Обчислiть математичне сподiвання та стандартний вiдхил S.

Припустимо тепер, що N має розподiл Пуассона з параметром µ = 0, 5, тобто з таким самим середнiм,що й N вище, а X має гамма-розподiл iз параметрами α = 2 та λ = 4, тобто з таким самим середнiм, щой X вище.

ii) Обчислiть математичне сподiвання та стандартний вiдхил S за нових припущень.

iii) Порiвняйте два набори вiдповiдей у (i) та (ii).

35

Вправа 2.10. В.в. X має розподiл Пуассона з середнiм Y , де Y сама є в.в. Розподiл Y є логнормальним зпараметрами µ та σ2. Отримайте вирази для безумовного математичного сподiвання EX та дисперсiї DX,використовуючи вiдповiднi умовнi моменти.

Вправа 2.11. В.в. X та Y пов’язанi таким чином: в.в. X за умови Y = y має нормальний розподiл N(2y, y2).Y є нормально розподiленою N(200, 100) в.в. Обчислiть безумовну дисперсiю DX.

Вправа 2.12. Нехай в.в. N описує кiлькiсть позовiв, якi надходять до страховика протягом одного мiсяцявiд одного з його портфелiв. Припустимо, що N має розподiл Пуассона з EN = 50. Величина Xi кожногопозову нормально розподiлена з середнiм µ = 1000 та дисперсiєю σ2 = 2002. Сумарна величина позовiв заодин мiсяць дорiвнює S = X1 + · · ·+XN . Припустимо, що в.в. N,X1, X2, . . . незалежнi мiж собою.

i) Зазначте тип розподiлу в.в. S.

ii) Обчислiть математичне сподiвання та стандартний вiдхил S.

Вправа 2.13. В.в. Y має розподiл Пуассона з параметром θ, але накладено обмеження на те, що нульовакiлькiсть подiй не може вiдбутися. У цьому разi розподiл Y називають усiченим в нулi розподiлом Пуассона.

i) Покажiть, що закон розподiлу Y має вигляд

P(Y = y) =θye−θ

y!(1− e−θ), y = 1, 2, . . .

ii) Знайти EY .

iii) Нехай X = (X1, . . . , Xn) є повторною випадковою вибiркою з усiченого в нулi розподiлу Пуассона. Пока-жiть, що оцiнку максимальної вiрогiдностi параметра θ можна визначити, як розв’язок такого рiвняння:

X − θ − θe−θ

1− e−θ= 0,

причому оцiнка максимальної вiрогiдностi спiвпадає з оцiнкою методом моментiв.

Вправа 2.14. Нехай X = (X1, . . . , Xn) є повторною випадковою вибiркою з рiвномiрного розподiлу на iнтер-валi [−θ, θ], де θ – невiдоме додатне число. Зроблена вибiрка розмiру 5 дала такi значення: 0,87; −0, 43; 0,12;−0, 92 та 0, 58.

i) Побудуйте ескiз графiка функцiї вiрогiдностi L(X; θ) вiдносно θ для цiєї вибiрки.

ii) Вкажiть значення оцiнки максимальної вiрогiдностi θ.

Вправа 2.15. Актуарiй порадив застосовувати наступну щiльнiсть розподiлу величини позовiв як модель дляпевного типу позовiв: f(x; θ) = x2

2θ3 exp−x

θ

, x > 0, θ > 0.

i) Обчислiть EX, EX2 та EX3.

ii) Нехай X = (X1, . . . , Xn) – повторна випадкова вибiрка iз n величин позовiв. Знайдiть оцiнку максималь-ної вiрогiдностi параметра θ та покажiть, що вона є незмiщеною.

Вправа 2.16. Повторну випадкову вибiрку розмiру n взяли з розподiлу зi щiльнiстю f(x) = α(1+x)α+1 , x > 0,

де α > 0 – невiдомий параметр.

i) Обчислiть EX, коли α > 1.

ii) Визначте оцiнку методом моментiв параметра α.

Вправа 2.17. Коли новий позов надходить до офiсу, то вiн проходить перший етап фiльтрування з iмовiрнiстюθ, iнакше його вiдхиляють. Якщо позов пройшов перший етап, то вiн незалежним чином проходить другийетап фiльтрування з такими самими ймовiрностями проходження далi чи вiдхилення.

i) Записати ймовiрностi того, що позов буде:

(a) вiдхилено на першому етапi;

(b) вiдхилено на другому етапi;

(c) прийнято на обох етапах.

ii) У вибiрцi з n незалежних позовiв, що надiйшли до офiсу, x1 було вiдхилено на першому етапi, x2 буловiдхилено на другому етапi та x3 пройшли обидва етапи (x1 + x2 + x3 = n). Знайти оцiнку максимальноївiрогiдностi параметра θ.

36

Роздiл 3

Моделi ризику

3.1. Модель колективного ризику3.1.1. Розподiл сумарної величини виплат за портфелем та його характеристики

Розглянемо сумарну величину S позовiв X1, . . . , XN , якi виникли за певний короткий промiжок часу удеякому страховому портфелi. Будемо припускати, що:

• кiлькiсть позовiв не впливає на величини iндивiдуальних позовiв;

• на величину окремого позову нiяк не впливають величини iнших позовiв;

• розподiл величини iндивiдуальних позовiв не змiнюється протягом термiну дiї полiса.

Тобто S = X1 + · · ·+XN , де Xi – н.о.р.в.в. та N не залежить вiд Xii≥1, зокрема S = 0, коли N = 0.Позначимо через G(x) та F (x) функцiї розподiлу в.в. S таXi вiдповiдно. Тодi G(x) = P(S < x) та F (x) =

P(Xi < x), 1 ≤ i ≤ N . Для зручностi часто припускатимемо iснування щiльностi у F (x), яку позначатимемоf(x). Нехай також mk = EXk

i та µk = E(Xi −m1)k – вiдповiдно k-й нецентральний та центральний моменти

Xi. Крiм того, вважатимемо, що величина позовiв не може бути вiд’ємною, тобто F (0) = P(Xj < 0) = 0.Отримаємо загальнi формули для функцiї розподiлу, математичного сподiвання, дисперсiї та генера-

триси моментiв в.в. S.

Функцiя розподiлу

Розглянемо подiю S < x для довiльного x ≥ 0. Вона має мiсце, якщо вiдбувається лише одна з такихнесумiсних подiй:

• S < x та N = 0, що означає вiдсутнiсть позовiв;

• S < x та N = 1, тобто надiйшов один позов, величина якого менша x;

• S < x та N = 2, надiйшли два позови, сумарна величина яких менша x;...

• S < x та N = n, надiйшли n позовiв, сумарна величина яких менша x;...

Отже,

S < x =

∞⋃

n=0

S < x,N = n,

тому

G(x) = P(S < x) =

∞∑

n=0

P(S < x,N = n) =

∞∑

n=0

P(S < x|N = n)P(N = n) =

∞∑

n=0

Fn∗(x)P(N = n).

оскiльки при N = n сумарнi виплати S є сумою фiксованої кiлькостi n в.в. Xini=1, а тому

P(S < x|N = n) = Fn∗(x),

де Fn∗(x) є n-кратною згорткою функцiї розподiлу F (x). Можна показати, що

F 0∗(x) =

0, x ≤ 0;1, x > 0,

та

Fn∗(x) =∞w

−∞F (n−1)∗(x− y)dF (y).

Зауважимо, що загальний вираз для функцiї розподiлу S отримано, не використовуючи жодних при-пущень щодо розподiлiв в.в. N та Xi.

Моменти

Для знаходження моментiв в.в. S використаємо властивостi умовних математичних сподiвань. Зокрема,щоб визначити ES, використаємо формулу повного математичного сподiвання ES = E(E(S|N)). Пiдрахуємоспочатку

E(S|N = n) =

n∑

i=1

EXi = nm1.

Отже,E(S|N) = Nm1,

37

тодiES = E(Nm1) = m1EN = EXiEN. (3.1)

Таким чином, математичне сподiвання сумарних виплат дорiвнює добутку середньої очiкуваної кiлькостiпозовiв та математичного сподiвання величини iндивiдуального позову.

Щоб знайти вираз для DS, застосуємо формулу повної дисперсiї DS = E(D(S|N)) + D(E(S|N)). Тодi,пам’ятаючи, що величини Xi позовiв незалежнi, маємо

D(S|N = n) = D

(n∑

i=1

Xi

)=

n∑

i=1

DXi = nµ2.

Звiдси маємо, щоD(S|N) = Nµ2.

Отже,DS = E(Nµ2) + D(Nm1) = µ2EN +m2

1DN = DXiEN + EX2i DN, (3.2)

тобто дисперсiя S визначається через першi два моменти в.в. N та Xi.

Генератриса розподiлу

Нехай GN (t) та GX(t) – генератриси розподiлiв в.в. N та Xi вiдповiдно. Визначимо вигляд генератрисирозподiлу S. За формулою повної ймовiрностi маємо

GS(t) = EtS =∞∑

n=0

E(tS |N = n)P(N = n) =∞∑

n=0

E(tX1+···+Xn)P(N = n) =∞∑

n=0

n∏

i=1

E(tXi)P(N = n)

=

∞∑

n=0

(GX(t))nP(N = n) = GN (GX(t)).

Генератриса моментiв

Знайдемо тепер генератрису моментiв для S. За формулою (1.5) повного математичного сподiваннямаємо

MS(t) = E exptS = E(E(exptS|N)).Нехай MX(t) – генератриса моментiв в.в. Xi. З того, що Xi – незалежнi в.в., випливає, що

E(exptS|N = n) = E exp

t

n∑

i=1

Xi

= E

n∏

i=1

exp tXi =

n∏

i=1

E exp tXi =

n∏

i=1

MX(t) = (MX(t))n.

Таким чином,E(exptS|N) = (MX(t))N

таMS(t) = E(MX(t))N = E expN lnMX(t) =MN (lnMX(t)) . (3.3)

Отже, генератриса моментiв сумарних виплат S є функцiєю вiд генератрис моментiв для N та Xi.

3.1.2. Складний пуассонiвський розподiл

Розглянемо сумарну величину позовiв S у випадку, коли їхня кiлькiсть N має розподiл Пуассона зпараметром λ > 0. Тодi в.в. матиме складний розподiл Пуассона з параметрами λ i F (x), де F (x) – функцiярозподiлу величини iндивiдуального позову Xi.

Нагадаємо, щоEN = DN = λ, MN (t) = expλet − 1.

Тодi згiдно з формулами (3.1) – (3.3), маємо

ES = λm1, DS = λm2, MS(t) = expλ(MX(t)− 1), (3.4)

де mk = EXki , k = 1, 2, . . . , MX(t) – генератриса моментiв Xi.

Важливою особливiстю складного пуассонiвського розподiлу є той факт, що сума незалежних в.в., якiмають складний розподiл Пуассона, також розподiлена за складним пуассонiвським законом. Сформулюємоцю властивiсть у виглядi наступної теореми.

Теорема 3.1. Нехай S1, . . . , Sn – незалежнi в.в., причому Si має складний розподiл Пуассона з параметра-ми λi > 0 та Fi(x). Позначимо сума S = S1 + · · ·+ Sn має складний розподiл Пуассона з параметрами

λ =

n∑

i=1

λi та F (x) =1

λ

n∑

i=1

λiFi(x).

Доведення. Оскiльки∑n

i=1λi

λ = 1, то F (x) є зваженим середнiм функцiй розподiлу Fi(x), а значить, такожє функцiєю розподiлу.

Нехай M(t) – генератриса моментiв в.в. iз функцiєю розподiлу F (x). Тодi

M(t) =

∞w

0

etxdF (x) =1

λ

n∑

i=1

∞w

0

etxdFi(x) =1

λ

n∑

i=1

Mi(t).

38

Розглянемо тепер генератрису моментiв S. Використовуючи незалежнiсть Si, маємо

MS(t) = EetS = Eet(S1+···+Sn) = E

n∏

i=1

etSi =

n∏

i=1

EetSi =

n∏

i=1

expλi(Mi(t)− 1)

= exp

n∑

i=1

λi(Mi(t)− 1)

= exp

λ

n∑

i=1

λiλ(Mi(t)− 1)

= exp

λ

(n∑

i=1

λiλMi(t)− 1

),

тобтоMS(t) = expλ(M(t)− 1).

Внаслiдок взаємно однозначної вiдповiдностi мiж функцiями розподiлу i генератрисами моментiв в.в. з остан-ньої формули випливає, що S має складний розподiл Пуассона з параметром λ та F (x).

3.1.3. Складний бiномiальний розподiл

За певних умов природним вибором в якостi розподiлу для кiлькостi позовiв N виникає бiномiальнийрозподiл. Наприклад, у полiсi групового страхування життя для групи з n осiб розподiлом кiлькостi смертейпротягом року є бiномiальний, якщо припускати, що всi застрахованi особи незалежнi мiж собою вiдносносмертi та мають однакову iнтенсивнiсть смертностi.

Нагадаємо, що для в.в. N , яка має бiномiльний розподiл з параметрами n та 0 < θ < 1,

EN = nθ, DN = nθ(1− θ), MN (t) = (θet + 1− θ)n.

Коли N має бiномiальний розподiл, то S – складний бiномiальний розподiл. Важливою умовою длявибору бiномiального розподiлу для N є те, що iснує верхня межа n для кiлькостi позовiв.

Згiдно з формулами (3.1) – (3.3), маємо

ES = nθm1, DS = nθm2 − θ2m21, MS(t) = (θMX(t) + 1− θ)n. (3.5)

3.1.4. Складний вiд’ємний бiномiальний розподiл

Нехай в.в. N має складний вiд’ємний бiномiальний розподiл з параметрами k та 0 < θ < 1:

P(N = n) = Cnk+n−1θ

k(1− θ)n, n = 0, 1, 2, . . .

Тодi

EN =k(1− θ)

θ, DN =

k(1− θ)

θ2, MN (t) = θk(1− (1− θ)et)−k.

Зокрема, у частковому випадку при k = 1 в.в. N має геометричний розподiл.Вiд’ємний бiномiальний розподiл виступає альтернативою розподiлу Пуассона для N . Однiєю з переваг

вiд’ємного бiномiального розподiлу над пуассонiвським є те, що його дисперсiя перевищує математичне спо-дiвання. У розподiлi Пуассона цi двi величини однаковi. Вiдповiдно до цього вiд’ємний бiномiальний розподiлможе краще вiдповiдати множинi даних, у якiй вибiркова дисперсiя бiльша за вибiркове середнє значення.

Отже, коли кiлькiсть позовiв N розподiлена за вiд’ємним бiномiальним законом, то величина S сумар-них виплат має складний вiд’ємний бiномiальний розподiл.

Знову використовуючи формули (3.1) – (3.3), отримуємо вирази для математичного сподiвання, дис-персiї та генератриси моментiв S:

EN =k(1− θ)

θm1, DN =

k(1− θ)

θm2 +

k(1− θ)2

θ2m2

1, MN (t) = θk(1− (1− θ)MX(t))−k.

3.2. Модель iндивiдуального ризику

Модель iндивiдуального ризику вiдображає сумарнi втрати у виглядi фiксованої суми незалежних (алене обов’язково однаково розподiлених) в.в.:

S = X1 + · · ·+Xn,

де Xj – величина позову, який виник за j-им ризиком, а n дорiвнює загальнiй кiлькостi ризикiв. Зауважимо,що деякi з ризикiв можуть i не призвести до позовiв, тобто деякi зi спостережених значень Xjnj=1 мо-жуть дорiвнювати нулю. Таку модель зазвичай використовують пiд час дослiдження сумарних втрат вiд nстрахових угод, наприклад, для полiсу групового страхування життя n осiб.

Отже, стосовно кожного ризику роблять такi припущення:

i) кiлькiсть позовiв Nj вiд j-го ризику дорiвнює 0 або 1;

ii) iмовiрнiсть позову вiд j-го ризику дорiвнює qj , тобто

P(Nj = 1) = qj .

Якщо позов спричинений j-им ризиком, то величину збиткiв позначимо через Yj . Нехай також EYj = m1j ,DYj = µ2j .

Припущення i) звужує сферу застосування моделi. Зокрема, з нього випливає, що вiд кожного ризи-ку може виникнути не бiльше одного позову. Такий пiдхiд охоплює договори страхування життя, у якому

39

ймовiрнiсть смертi j-ої особи протягом року дорiвнює qj , але усуває багато типiв договорiв загального стра-хування. Наприклад, немає жодних обмежень на кiлькiсть позовiв, якi можуть протягом року виникнути заполiсом страхування домашнього майна.

Наголосимо, якi вiдмiнностi вiд моделi колективного ризику має модель iндивiдуального ризику:

• кiлькiсть ризикiв у портфелi є фiксованою. У моделi колективного ризику немає необхiдностi точновизначати цю кiлькiсть чи вважати, що вона незмiнна протягом термiну дiї страхового покриття;

• кiлькiсть позовiв за кожним iндивiдуальним полiсом обмежена на вiдмiну вiд моделi колективногоризику – вона таких обмежень не має;

• припускають, що iндивiдуальнi ризики незалежнi. У моделi колективного ризику незалежними є вели-чини iндивiдуальних позовiв.

З припущень i)-ii) видно, що в.в. Nj мають бiномiальний розподiл iз параметрами n = 1 та qj . Томурозподiл Xj є складним бiномiальним з iндивiдуальними позовами, розподiленими, як Yj . З (3.5) випливає,що

EXj = qjm1j , DXj = qjµ2j + qj(1− qj)m21j .

Як бачимо, в.в. S є сумою n незалежних (можливо, не однаково розподiлених) в.в. зi складним бiно-мiальним розподiлом. Розподiл S є згорткою n функцiй розподiлу в.в. Xj , який можна просто обчислитилише у випадку незалежних однаково розподiлених складних бiномiальних в.в. Проте легко знайти середнєта дисперсiю S:

ES = E

n∑

j=1

Xj =

n∑

j=1

EXj =

n∑

j=1

qjm1j ,

DS = D

n∑

j=1

Xj =n∑

j=1

DXj =n∑

j=1

(qjµ2j + qj(1− qj)m

21j

).

В окремому випадку, коли Xj є послiдовнiстю н.о.р. в.в., тодi для всiх полiсiв значення qj , m1j та µ2jоднаковi i рiвнi q, m1 та µ2 вiдповiдно. В.в. S матиме складний бiномiальний розподiл з параметрами n, q таiндивiдуальними позовами з тiєю самою функцiєю розподiлу F (x). Таким чином, цей випадок зводиться домоделi колективного ризику. Легко бачити, що

ES = nqm1, DS = nqµ2 + nq(1− q)m21,

що повнiстю узгоджується з (3.5).

3.3. Мiнливiсть чи невизначенiсть параметрiв

Досi при вивченнi моделей припускали, що розподiли кiлькостi позовiв та величини iндивiдуальнихпозовiв повнiстю вiдомi. Однак, вони можуть бути невiдомими, i їх треба оцiнювати за спостереженимиданими. Спробуємо узагальнити введенi ранiше моделi, щоб охопити випадок невизначеностi чи мiнливостiпараметрiв. Для цього розглянемо кiлька прикладiв. Бiльшiсть iз них стосується невизначеностi у розподiлахкiлькостi позовiв, бо саме цiй проблемi придiляють бiльше уваги в актуарнiй лiтературi.

Мiнливiсть у неоднорiдному портфелi

Розглянемо портфель, що складається з n незалежних полiсiв. Сумарнi позови вiд i-го полiса позна-чимо через Si, де в.в. Si має складний розподiл Пуассона з параметрами λi та F (x). Для простоти розподiлвеличин iндивiдуальних позовiв F (x) вважатимемо однаковим для всiх полiсiв. Тут розподiл F (x) є вiдомим,але невiдомими є значення пуассонiвських параметрiв λi, i = 1, 2, . . . , n. Також припускатимемо, що λi євибiрковими значеннями незалежних в.в. з однаковим розподiлом. Iнакше кажучи, λi будемо трактуватияк множину н.о.р. в.в. iз вiдомим розподiлом. Це означає, що коли полiс вибрано навмання з портфелю, тозначення його пуассонiвського параметра невiдоме, але стосовно нього можна сформулювати певнi ймовiр-нiснi твердження, наприклад, про довiрчi iнтервали. Важливо розумiти, що пуассонiвський параметр дляполiса, вибраного з портфелю, є фiксованою величиною. Проблема полягає в тому, що цi величина невiдома.

Приклад 3.3.1. Припустимо, що параметр Пуассона для окремих полiсiв вибирають iз гамма-розподiлуз параметрами α й δ. Треба знайти розподiл кiлькостi позовiв вiд полiса, вибраного навмання з портфелю.

Розв’язання. Позначимо через Ni кiлькiсть позовiв вiд i-го полiса iз заданого портфелю та через λi– вiдповiдний пуассонiвський параметр. Тодi Ni має розподiл Пуассона з параметром λi, але проблемав тому, що значення λi невiдоме. Вiдомий лише розподiл, з якого вибирають λi. Знайдемо безумовнийрозподiл Ni.

Отже,

fλi(ν) =

δα

Γ(α)να−1e−δν , ν > 0,

а

pNi|λi=ν(x, ν) = P(Ni = x|λi = ν) =νx

x!e−ν , x = 0, 1, 2, . . .

40

Використаємо аналог формули повної ймовiрностi. Маємо

P(Ni = x) =

∞w

0

pNi|λi=ν(x, ν)fλi(ν)dν =

∞w

0

νx

x!e−ν δα

Γ(α)να−1e−δνdν =

Γ(x+ α)

Γ(α)x!

δα

(δ + 1)α+x.

Звiдси видно, що маргiнальний розподiл Ni є вiд’ємним бiномiальним розподiлом з параметрами αта δ/(δ + 1).

Приклад 3.3.2. Припустимо, що пуассонiвськi параметри полiсiв точно невiдомi, але з однаковою ймо-вiрнiстю можуть набувати значення 0,1 або 0,3. Треба знайти:

а) середнє та дисперсiю (у термiнах m1 та m2) сумарних позовiв вiд полiса, вибраного навмання зпортфелю;

б) середнє та дисперсiю (у термiнах m1, m2 та n) сумарних позовiв вiд усього портфелю в цiлому.

Розв’язання. Нехай λi, i = 1, 2, . . . , n – значення пуассонiвського параметра i-го полiса, де λi –н.о.р. в.в., кожна з яких має розподiл P(λi = 0, 1) = P(λi = 0, 3) = 0, 5. Звiдси

Eλi = 0, 1 · 0, 5 + 0, 3 · 0, 5 = 0, 2; Dλi = Eλ2i − (Eλi)2 = (0, 1)2 · 0, 5 + (0, 3)2 · 0, 5− (0, 2)2 = 0, 01.

а) Моменти Si можна обчислити, скориставшись формулами (1.5) та (1.6). Оскiльки в.в. Si|λiмають складний розподiл Пуассона, то з (3.4) випливає, що

ESi = E(E(Si|λi)) = E(λim1) = m1Eλi = 0, 2m1;

DSi = E(D(Si|λi)) + D(E(Si|λi)) = E(λim2) + D(λim1) = m2Eλi +m21Dλi = 0, 2m2 + 0, 01m2

1.

б) В.в. Si є н.о.р. в.в., кожна з яких має розподiл, наведений у п. а). Отже,

E

(n∑

i=1

Si

)= nESi = 0, 2m1n; D

(n∑

i=1

Si

)=

n∑

i=1

DSi = nDSi = (0, 2m2 + 0, 01m21)n.

Мiнливiсть в однорiдному портфелi

Розглянемо портфель iз n полiсiв. Припустимо, що сумарнi позови вiд одного полiса мають складнийрозподiл Пуассона з параметрами λ та F (x). Цi параметри є однаковими для всiх полiсiв у портфелi. Якщозначення λ вiдоме, то сумарнi позови вiд рiзних полiсiв будуть незалежними. Вважатимемо, що значення λневiдоме (наприклад, воно мiняється щороку), проте є певнi мiркування щодо ймовiрностi значень, якi моженабувати λ.

Як i у попередньому параграфi для простоти припустимо, що немає невизначеностi стосовно моментiвабо розподiлу величин iндивiдуальних позовiв, тобто вiдносно F (x). Невизначенiсть щодо значень λ можназмоделювати, вважаючи цей параметр в.в. з вiдомим розподiлом.

Приклад 3.3.3. Припустимо, що параметр λ розподiлу Пуассона з однаковою ймовiрнiстю набуває зна-чення 0,1 або 0,3. Треба знайти:

а) середнє та дисперсiю (у термiнах m1 та m2) сумарних позовiв вiд полiса, вибраного навмання зданого портфелю;

б) середнє та дисперсiю (у термiнах m1, m2 та n) сумарних позовiв вiд усього портфелю.

Розв’язання. Як i ранiше, через Si позначимо сумарнi позови вiд i-го полiса. У нашiй ситуацiї в.в.Si|λ є н.о.р. в.в., кожна з яких розподiлена за складним пуассонiвським законом з параметрами λта F (x). В.в. λ має розподiл P(λi = 0, 1) = P(λi = 0, 3) = 0, 5. Звiдси

Eλi = 0, 1 · 0, 5 + 0, 3 · 0, 5 = 0, 2; Dλi = Eλ2i − (Eλi)2 = (0, 1)2 · 0, 5 + (0, 3)2 · 0, 5− (0, 2)2 = 0, 01.

а) Застосовуючи формули (1.5) та (1.6), маємо

ESi = E(E(Si|λ)) = E(λm1) = m1Eλ = 0, 2m1;

DSi = E(D(Si|λ)) + D(E(Si|λ)) = E(λm2) + D(λm1) = m2Eλ+m21Dλ = 0, 2m2 + 0, 01m2

1.

б) Оскiльки в.в. Si є однаково розподiленi, то

E

(n∑

i=1

Si

)= nESi = 0, 2m1n;

D

(n∑

i=1

Si

)= E

(D

(n∑

i=1

Si

∣∣∣λ))

+ D

(E

(n∑

i=1

Si

∣∣∣λ))

= E(nλm2) + D(nλm1)

= nm2Eλ+ n2m21Dλ = 0, 2m2n+ 0, 01m2

1n2.

Порiвняємо розв’язки прикладiв 3.3.2 та 3.3.3. Значення середнiх в обох прикладах однаковi, як i дис-персiї для окремих полiсiв (п. а)). Рiзниця виникає, коли розглядають дисперсiї бiльш нiж одного полiса (п.б)), де бiльша дисперсiя виникає у прикладi 3.3.3. Практична ситуацiя, до якої пiдходить останнiй приклад,стосується портфелю полiсiв страхування будiвель у деякому районi. Кiлькiсть позовiв може залежати, крiмiнших факторiв, вiд погоди протягом року – незвично велика кiлькiсть штормiв може призвести до великоїочiкуваної кiлькостi позовiв (тобто до великого значення λ) для усiх полiсiв одночасно, i навпаки, за гарноїпогоди значення λ будуть малими.

41

Мiнливiсть у кiлькостi й величинi позовiв та невизначенiсть у параметрах

Розглянемо два приклади. Перший з них мiстить невизначенiсть як у величинах позовiв, так i в їхкiлькостi.

Приклад 3.3.4. Страхова компанiя моделює позови, викликанi ураганами, при страхуваннi домогоспо-дарств за таких припущень:

i) кожного року кiлькiсть K ураганiв має розподiл Пуассона з параметром λ;ii) кiлькiсть позовiв Ni, викликаних i-им ураганом, має розподiл Пуассона з параметром Θi, i =

1, . . . ,K;iii) параметри Θi – це н.о.р. в.в. такi, що EΘi = n, DΘi = s2i , i = 1, . . . ,K;iv) величина j-го позову, викликаного i-им ураганом, тобто Xij , j = 1, . . . , Ni, i = 1, . . . ,K, має

логнормальний розподiл з параметрами µi та σ, де значення σ вважають вiдомими, а значення µi – нi.Припускають, що середнi величини позовiв, спричиненi i-им ураганом, дорiвнюють Λi = expµi + σ2/2,якi є н.о.р. в.в. iз середнiм p та дисперсiєю s22;

v) Θi та Λi незалежнi.а) Покажiть, що EXij = p, DXij = expσ2(p2 + s22)− p2.б) Нехай Si – сумарнi виплати, спричиненi i-им ураганом, тодi умовний розподiл Si|Θi,Λi – це

складний розподiл Пуассона. Доведiть, що ESi = np та DSi = (p2 + s22)(n2 + s21 + n expσ2)− n2p2.

в) Знайдiть вираз для математичного сподiвання та дисперсiї сумарних рiчних позовiв вiд усiх ура-ганiв.

Розв’язання. а) Використаємо формули (1.5) та (1.6) повного математичного сподiвання i диспер-сiї. Тодi EXij = E(EXij |Λi) = EΛi = p;

DXij = E(D(Xij |Λi)) + D(E(Xij |Λi)) = E(Λ2i (expσ2 − 1)) + DΛi = (p2 + s22)(expσ2 − 1) + s22

= (p2 + s22) expσ2 − p2.

б) Оскiльки умовний розподiл Si|Θi,Λi – це складний розподiл Пуассона, то внаслiдок (3.4)E(Si|Θi,Λi) = ΘiΛi. З (1.5) та незалежностi Θi та Λi випливає, що

ESi = E(E(Si|Θi,Λi)) = E(ΘiΛi) = EΘiEΛi = np.

Знову застосовуючи (3.4), матимемо D(Si|Θi,Λi) = ΘiE(X2ij |Λi) = Θi(Λ

2i expσ2) i, вiдповiдно, E(D(Si|Θi,Λi)) =

n(p2 + s22) expσ2, а також D(E(Si|Θi,Λi)) = D(ΘiΛi) = E(Θ2iΛ

2i ) − n2p2 = (n2 + s21)(p

2 + s22) − n2p2.Таким чином, за формулою (1.6)

D(Si) = (n2 + s21)(p2 + s22)− n2p2 + n(p2 + s22) expσ2.

в) Нехай S – в.в., яка позначає рiчнi сумарнi позови, що надiйшли вiд усiх позовiв, тобтоS = S1 + · · · + SK , де K має пуассонiвський розподiл з параметром λ, а Si – н.о.р. в.в. Тому S маєскладний розподiл Пуассона та

ES = λESi = λnp; DS = λES2i = λ(DSi + (ESi)

2) = λ(p2 + s22)(n2 + s21 + n expσ2).

Приклад 3.3.5. Щороку страхова компанiя пiдписує ряд договорiв страхування домогосподарств, длякожного з яких страхова премiя становить £80. Сумарнi рiчнi позови вiд кожного полiса мають складнийрозподiл Пуассона з параметром 0,4 та iндивiдуальними позовами з гамма-розподiлу з параметрами α i λ.

Накладнi витрати на обробляння позову є в.в., рiвномiрно розподiленою мiж £50 та £b, (b > 50), iне залежать вiд величини цього позову. В.в. S вiдображає сумарнi позови й витрати вiд усього портфелюпротягом року. Вважають, що S має близький до нормального розподiл.

а) Нехай α = 1, λ = 0, 01, b = 100. Доведiть, що компанiя повинна продати за рiк не менше 884полiсiв, щоб досягти принаймнi 99% упевненостi в тому, що надходження премiй перевищить видатки напокриття позовiв i накладнi витрати.

б) Припустимо тепер, що значення α, λ та b достовiрно невiдомi, але можуть знаходитися у такихмежах: 0, 95 ≤ α ≤ 1, 05; 0, 009 ≤ λ ≤ 0, 011; 90 ≤ b ≤ 110.

Вибравши найгiршi можливi для компанiї значення α, λ, b, визначте кiлькiсть полiсiв, якi має продатикомпанiя, щоб на 99% бути впевненою у тому, що надходження премiй перевищуватиме видатки на покриттяпозовiв i накладнi витрати на їх обробляння.

Розв’язання. Нехай Xi – це величина i-го позову, а Yi – величина вiдповiдних накладних витрат.Позначимо через N загальну кiлькiсть позовiв за портфелем, а через n - кiлькiсть полiсiв у портфелi.Оскiльки N є сумою пуассонiвських н.о.р. в.в., то N має розподiл Пуассона з параметром 0, 4n, а Sможна зобразити, як

S =

N∑

i=1

(Xi + Yi),

де Xi + Yii≥1 є послiдовнiстю н.о.р. в.в., незалежних вiд N . Звiдси випливає, що S має складнийрозподiл Пуассона, у якому Zi = Xi+Yi вiдображає величину i-го iндивiдуального позову (i-го доданка).Тодi

ES = 0, 4nE(Xi + Yi),

DS = 0, 4nE(Xi + Yi)2 = 0, 4n(EX2

i + 2EXiYi + EY 2i ) = 0, 4n(EX2

i + 2EXiEYi + EY 2i ).

42

Обчислимо моменти Xi Yi у термiнах α, λ та b:

EXi =α

λ; EX2

i =α(α+ 1)

λ2; EYi =

50 + b

2; EY 2

i =b2 + 50b+ 2500

3.

а) Покладемо α = 1, λ = 0, 01, b = 100, тодi матимемо ES = 70n та DS = (127, 80)2n. I, вiдпо-вiдно, S наближено має нормальний розподiл iз середнiм 70n та стандартним вiдхилом 127, 80

√n.

Надходження премiй склало 80n, i нам потрiбно визначити найменше значення n, яке задовольнитьнерiвнiсть P(S < 80n) ≥ 0, 99. Стандартизуємо в.в. S, тодi

P(S − 70n

127, 80√n<

80n− 70n

127, 80√n

)≥ 0, 99. (3.6)

Нагадаємо, що квантилем рiвня α або α%-им квантилем розподiлу FX(x) називають таку точку xα,що FX(xα) = P(X < xα) = α. 99%-ий квантиль стандартного нормального розподiлу дорiвнює 2,326,отже, нерiвнiсть (3.6) перетворюється на таку:

80n− 70n

127, 80√n

≥ 2, 326,

звiдки маємо n ≥ 883, 7 або n ≥ 884, якщо розглядати найближче цiле число.б) Найгiршою можливою комбiнацiєю значень α, λ та b для страхової компанiї є комбiнацiя, яка

дає найбiльшi можливi значення для ES й DS. Для того, щоб пересвiдчитися у цьому, позначимочерез µ та σ математичне сподiвання та стандартний вiдхил сумарних позовiв та витрат наїх обробляння для iндивiдуального полiсу. Параметри µ i σ будуть функцiями вiд α, λ, b, причомуES = nµ та DS = nσ2. Аналогiчним чином, як у п. а), отримуємо нерiвнiсть для n:

(80− µ)√n

σ≥ 2, 326,

звiдки маємо, що

n ≥(2, 326σ

80− µ

)2

.

Отже, найбiльше значення n вiдповiдає найбiльшим значенням µ i σ (за умови, що найбiльше зна-чення µ є меншим за 80). Зауважимо також, що µ = 0, 4E(Xi + Yi), σ2 = 0, 4E(Xi + Yi)

2. З цихформул для моментiв Xi + Yi випливає, що µ i σ є максимальними, коли α та b набувають найбiль-ших, а λ найменшого значень, тобто α = 1, 05; b = 110; λ = 0, 009. Така комбiнацiя дає µ = 78, 67та σ = 144, 14. Отже, n має бути принаймнi 63, 546 для того, щоб страхова компанiя на 99% булавпевнена, що надходження премiй перевищить величину видаткiв на покриття позовiв i вiдповiднiнакладнi витрати.

3.4. ЗадачiВправа 3.1. Нехай N дорiвнює кiлькостi позовiв, якi виникають за групою полiсiв протягом одного тижня.Припустимо, що N має розподiл Пуассона з середнiм 60. Нехай X1, . . . , Xn – вiдповiднi незалежнi однаковорозподiленi з середнiм £500 та стандартним вiдхилом £400 величини позовiв, якi також незалежнi вiд N .Нехай S =

∑Ni=1Xi – сумарна величина позовiв за один тиждень.

i) Обчислити математичне сподiвання та стандартний вiдхил S.

ii) Пояснiть, чому розподiл S можна розглядати, як асимптотично нормальний, та наближено обчислiтьймовiрнiсть того, що S бiльше £40 000.

43

44

Роздiл 4

Перестрахування

4.1. Загальнi вiдомостiПерестрахування як явище виросло зi страхування морського транспорту. Кожне морське перевезення

було ризиковим. З поширенням використання позик пiд здiйснення високоризикових морських перевезеньпозичальники домовлялися мiж собою про авансування вантажу судновласниковi за високий процент, якийзгодом набрав форми страхової премiї. Через певний промiжок часу деякi пiдприємцi стали постiйно, пов-нiстю або частково брати на себе вiдповiдальнiсть за перевезення, здiйснюючи їх перестрахування. У XIXстолiттi перестрахування почало розвиватися в галузi покриття ризикiв, пов’язаних з пожежами.

Основнi поняття i визначення

Перестрахування — це страхування особливого виду. Змiст його полягає у передачi частини ризи-ку (ризикiв) у вiдповiдальнiсть iншому спецiалiзованому страховику, тобто перестраховику. Страховика,котрий безпосередньо працює зi страхувальниками щодо взяття на себе їхнiх ризикiв, називають прямимстраховиком, або страховиком, що передає ризики. Процес передачi частини взятих на себе ризикiв iншимстраховикам з метою створення такого страхового портфеля, який би забезпечував стiйкiсть i рентабельнiстьстрахових операцiй, називають перестрахуванням.

Перестраховик — це страховик, котрий надає страхову послугу прямому страховику. У свою чергуперестраховик може передати частину взятих на себе ризикiв iншому страховику i т. д.

Процес передачi ризику називається цедуванням ризику або страхувальною цесiєю. Страховика, якийпередає ризик, називають цедентом, а того, що приймає цей ризик, — цесiонарiєм. Наступну передачу це-сiонарiєм (частково або повнiстю) ризику наступному перестраховику називають ретроцесiєю. Страхове то-вариство, яке передає третьому учаснику ризик у наступне перестрахування, називається ретроцедентом, атовариство, яке бере на себе ретроцедований ризик, називається ретроцесiонарiєм.

Цесiонарiй немає нiяких зобов’язань щодо укладених цедентом договорiв страхування. Це означає, щостраховик (цедент), котрий уклав договiр iз перестраховиком (цесiонарiєм), залишається вiдповiдальним пе-ред страхувальником у повному обсязi. Вiн навiть не зобов’язаний iнформувати страхувальника про передачуризику в перестрахування. Перестраховик зобов’язаний виплатити вiдшкодування цеденту пропорцiйно дойого участi за умови, що цедент виплатив це вiдшкодування страхувальнику. Цедент зобов’язаний iнформу-вати цесiонарiя про цедований ризик так само, як страхувальник зобов’язаний iнформувати страховика провсi змiни, що вiдбуваються в ризику, який вiн передав страховику.

Функцiї перестрахування

Головна функцiя перестрахування — вторинний перерозподiл ризику. Змiст її полягає в тому, що стра-ховик може забезпечити страхувальнику тiльки таку гарантiю, яка вiдповiдає його фiнансовим можливостям.Самотужки домогтися значних результатiв страховику досить важко. Якiснiше i в повнiшому обсязi викону-вати свої зобов’язання страховик може завдяки перестрахуванню, тобто через розподiл ризику мiж ним таiншими страховиками. За цих умов перестраховик бере на себе вiдносно значну частку ризику чи гарантiї.Частину ризику, яку цедент залишає за собою, називають власним утриманням.

На практицi найчастiше кiлька перестраховикiв беруть участь у покриттi збиткiв (вони вступають успiвпрацю на пiдставi контрактного документа або договору). Як правило, на кожного перестрахувальни-ка припадає рiзна частка покриття. Завдяки цьому страховик, котрий передає ризики в перестрахування,збiльшує свої можливостi щодо прийняття ризикiв у десятки разiв.

Допомiжнi функцiї:

• перестрахування дає змогу брати на страхування дуже дорогi та унiкальнi ризики;

• воно сприяє запровадженню та поширенню нових видiв страхування;

• перестрахування в перспективi створює умови для формування однорiдного збалансованого портфеля,який необхiдний страховику для надiйного контролю своєї середньо- та довгострокової полiтики.

Якщо перерозподiл ризику здiйснюється мiж компанiями з рiзних країн, то перестрахування набираєформи зовнiшньої торгiвлi, де об’єктом купiвлi-продажу є страховi гарантiї. Це “невидимий” експорт-iмпорт.

Розрiзняють активне та пасивне перестрахування. Активне перестрахування полягає у прийняттi iно-земних ризикiв для покриття або продажу страхових гарантiй. Пасивне перестрахування — це передачаризикiв iноземним страховикам (купiвля страхових гарантiй). Головна його мета — передача вiдносно дрi-бних ризикiв великiй кiлькостi перестраховикiв у рiзних країнах. Завдяки цьому досягається стабiльнiстьстрахового портфеля та встановлюються широкi контакти на ринку перестрахування.

Види договорiв перестрахування

В основi перестрахування лежить договiр, згiдно з яким одна сторона (цедент) передає повнiстю абочастково страховий ризик (або групу ризикiв) iншiй сторонi — перестраховику, котрий в свою чергу бере насебе зобов’язання вiдшкодовувати цеденту вiдповiдну частину страхового покриття.

За способом взаємозобов’язань цедента та цесiонарiя договори перестрахування бувають:

• факультативними;

• облiгаторними;

45

• факультативно-облiгаторними.

Факультативне перестрахування вважається найпростiшим. Воно широко використовується за умовивеликих ризикiв. Договiр факультативного перестрахування надає повну свободу цеденту у вирiшеннi пи-тання щодо передачi (часткової чи повної) певного виду ризику та умов цiєї передачi. Перестраховик можеприйняти цю пропозицiю або вiдхилити її. Розмiр перестрахувальних платежiв за цим договором визначаєринок. За цим же видом договорiв цедент повинен передати частину ризику до початку вiдповiдальностi занього.

Договiр облiгаторного перестрахування зобов’язує цедента передати перестраховику в межах певноїчастки всi ризики одного й того ж характеру, взятi на страхування в тiй чи iншiй країнi, наприклад, ризикипожежi та непрямi ризики. Передача таких часток ризикiв перестраховику здiйснюється тiльки тодi, колистрахова сума перевищує визначену ранiше власну участь страховика. Перестраховик за умовами даноговиду договору зобов’язується прийняти всi цi ризики в перестрахування, не маючи можливостi контролюва-ти нi тарифiкацiю, нi виплати з лiквiдацiї збиткiв. Цей вид договору укладається на невизначений строк зправом його розiрвання. Договiр дуже вигiдний для цедента, оскiльки всi заздалегiдь визначенi ризики авто-матично покриваються перестраховиком. Облiгаторне перестрахування дешевше вiд факультативного. Вонопередбачає встановлення мiж цедентом та цесiонарiєм стосункiв повної взаємної довiри. Передача ризикiввiдбувається в рамках юридичного документа — договору, який має ряд положень, практично iдентичнихдля всiх країн свiту. Якщо договiр страхування укладено з умовою перестрахування, про це робиться засте-реження в перестраховому договорi.

Факультативно-облiгаторнi договори перестрахування — це договори “вiдкритого покриття”. За цiєюформою цедент вiльний у виборi ризику (чи груп ризику), якi вiн хоче передати перестраховику, а також увизначеннi їхнього розмiру. Перестраховик зобов’язується прийняти цедованi ризики на попередньо застере-жених цедентом умовах. Перестраховi платежi за цим договором визначаються на iндивiдуальнiй основi зазгодою сторiн або пропорцiйно страховим платежам, отриманим при пiдписаннi первинного договору страху-вання. Небезпека для цесiонарiя за облiгаторним та факультативно-облiгаторним договорами полягає у тому,що цедент може зробити селекцiю ризикiв у страховому портфелi i найнебезпечнiшi передати перестраховику.Тому цi договори мають ґрунтуватися на абсолютнiй довiрi сторiн.

Якщо участь перестраховика в кожному переданому йому покриттi ризику визначається за заздалегiдьобумовленим спiввiдношенням власної участi цедента, то таке перестрахування називають пропорцiйним. Упрактицi пропорцiйного страхування використовують договори:

• квотнi;

• ексцедентнi;

• квотно-ексцедентнi.

Квотний перестрахувальний договiр передбачає передачу цесiонарiю премiї та збиткiв в однаковiй про-порцiї в межах певного лiмiту прийняття ризикiв. Якщо власне утримання цедента становить, скажiмо, 30%,перестрахувальник отримує 70% премiй, сплачених цеденту, i вiдшкодовує 70% його збиткiв.

Договiр ексцедентного перестрахування ґрунтується на тому, що перестраховик бере на себе зобов’я-зання вiдповiдати за полiсами, якi покривають суми, що перевищують лiмiти власної участi страховика впокриттi ризику. В договорi передбачається кiлькiсть лiмiтiв, якi можуть бути переданi перестрахувальнику.Максимум власної участi страховика в покриттi ризику називається ексцедентом. Перевищення цього лiмiтупередається в перестрахування. Досить часто в договорi передбачаються рiзнi лiмiти, залежно вiд категорiїризику.

Квотно-ексцедентний договiр поєднує засоби двох уже названих. Портфель за такими договорами пе-рестраховується квотно, а перевищення сум страхування ризикiв понад встановлену квоту (лiмiт) у своючергу пiдлягає перестрахуванню на засадах ексцедентного договору.

При пропорцiйних договорах страховi iнтереси цедента та цесiонарiя збiгаються. При непропорцiйних— цедент може домагатися певних результатiв, а перестраховик — зазнати збиткiв. Здебiльшого цi договоридiють у зв’язку з подiями, а не ризиками, їхня мета — захист цедента: вiд великих збиткiв; вiд сумiщеннязбиткiв; вiд подiй катастрофiчного характеру (землетрус, ураган i т. iн.). За цих умов перестраховик бере насебе суму збитку, яка перевищує власне утримання (або прiоритет) цедента в межах визначеної суми (лiмiтперестрахувального покриття за договором). Прiоритет — власна участь цедента в покриттi збиткiв. Лiмiтперестрахувального покриття — це максимальна межа вiдповiдальностi перестраховика за наслiдки одногостихiйного лиха.

Непропорцiйне перестрахування найчастiше використовується при страхуваннi цивiльної вiдповiдаль-ностi власникiв транспортних засобiв за збитки, спричиненi третiм особам в результатi ДТП, а також у тихвипадках страхування, де немає верхньої межi вiдповiдальностi страховика. Системи перестрахування тарозмiри власного утримання залежать вiд галузi страхування.

Перестрахування на основi ексцедента сум доцiльне для страхування вiд пожежi i поєднується з покри-ттям на базi ексцедента збитку в тому разi, якщо пожежа збiгається з подiями катастрофiчного характеру.При страхуваннi автомобiлiв та цивiльної вiдповiдальностi перестрахування здiйснюється на основi ексце-дента збитку.

4.2. Пропорцiйне перестрахуванняПри пропорцiйному перестрахуваннi страховик сплачує фiксовану частку позову, якої б величини той

не був. Якщо величина позову X, то компанiя-страховик заплатить суму Y , де

Y = αX, 0 < α < 1.

46

Параметр α називають рiвнем утримання1. Цей термiн вживають як при пропорцiйному, так i при ексце-дентному страхуваннi, але для рiзних видiв перестрахування має рiзний змiст.

Виплата страховика при позовi завбiльшки X дорiвнює αX, а виплата перестраховика становить (1−α)X. Розподiли цих величин легко знайти за допомогою простої замiни у формулi для функцiї розподiлуF (x).

Розподiл сумарних виплат

Розподiл кiлькостi вимог для перестраховика такий самий, як i для страховика, оскiльки обидва ви-плачують визначену частку кожного з iндивiдуальних позовiв.

Для рiвня утримання α величина iндивiдуального позову до страховика розподiлена як αXi (тобтоFI(x) = F (x/α), де F (x) – функцiя розподiлу в.в. Xi), а до перестраховика – як (1 − α)Xi (тобто FR(x) =F (x/(1− α))).

Вiдповiдно, i сумарнi вимоги для страховика дорiвнюють SI = αS, а для перестраховика – SR = (1−αS).Зокрема,

ESI = αES, DSI = α2DS, MSI

= EetαS =MS(αt).Як бачимо, дисперсiя сумарних вимог значно менша, що ще раз вказує на зменшення ризикiв страховика заумов дiї договору перестрахування.

Нехай страхова премiя за кожним договором перестрахування дорiвнює p, страховик отримує часткуαp, перестраховик – (1−α)p. Припустимо, що початковий капiтал страховика дорiвнює u > 0, i було укладеноn договорiв страхування. Тодi ймовiрнiсть банкрутства страхової компанiї за результатами року

P(αS > nαp+ u) = P

(S > np+

u

α

), 0 < α < 1.

Тобто з погляду страховика ефект договору перестрахування еквiвалентний збiльшенню в 1α разiв початко-

вого капiталу.

4.3. Перестрахування ексцеденту збитку

При перестрахуваннi ексцеденту збитку2 компанiя-страховик оплачує кожен позов до величини M ,яку називають рiвнем утримання. Рiзницю мiж фактичною величиною позову i M оплачує перестраховик.

Договiр перестрахування ексцеденту збитку можна описати так: якщо величина позову становить X,то компанiя-страховик сплачує Y = minX,M, а перестраховик – Z = max0, Z −M = (Z −M)+.

Такий вид перестрахування впливає на платоспроможнiсть страховика у двох очевидних напрямках:зменшуються як середнi виплати, так i дисперсiя величини виплат. Цi два факти є простим наслiдком того,що перестрахування ексцеденту збитку встановлює верхню межу для великих виплат.

Отримаємо формули для математичного сподiвання та дисперсiї величини виплати страховика. Безперестрахування середнє значення виплат страховика дорiвнює

EX =

∞w

0

xdF (x) =∞w

0

xf(x)dx,

де F (x) – функцiя розподiлу, а f(x) – щiльнiсть розподiлу в.в. X (якщо iснує).Враховуючи рiвень утримання M , вираз для математичного сподiвання величини виплат Y страховика

стає таким:

EY = EminX,M =

Mw

0

xdF (x) +MP(X > M) =

Mw

0

xf(x)dx+MP(X > M), (4.1)

а для генератриси моментiв

MY (t) = EetY =

Mw

0

etxdF (x) + etMP(X > M) =

Mw

0

etxf(x)dx+ etMP(X > M).

Щоб уникнути труднощiв, якi мають мiсце при перестрахуваннi ексцеденту збитку – неповний iнтегралв останнiх формулах, використаємо метод, який дозволяє перетворити неповний iнтеграл на повний. Маємо

EY =

∞w

0

xf(x)dx−∞w

M

xf(x)dx+M

∞w

M

f(x)dx = EX −∞w

M

(x−M)f(x)dx = EX −∞w

0

zf(z +M)dz.

Отже, зменшення очiкуваної (середньої) величини виплати дорiвнює∞w

0

zf(z +M)dz.

Припустимо, що перестраховик поiнформований лише про тi позови, величина яких перевищує рiвеньутримання M , i має данi стосовно Z = X−M . Якими будуть функцiя розподiлу FZ(z) та щiльнiсть розподiлуfZ(z) величини виплат перестраховика Z?

1Retention level (англ.)2Excess of loss reinsurance (англ.)

47

FZ(z) = P(Z < z) = P(X < z +M |X > M) =P(M < x < z +M)

P (X > M)=

z+Mw

M

f(x)

1− F (M)dx =

F (z +M)− F (M)

1− F (M).

Диференцiювання за z дає вираз для щiльностi Z:

fZ(z) =f(z +M)

1− F (M), z > 0. (4.2)

Розподiл сумарних виплат

Величина позовiв, якi страховик виплачує за iндивiдуальними договорами перестрахування ексцедентузбитку з рiвнем утримання M , дорiвнює Yi = minXi,M. Величина виплат перестраховика Zi = (Xi−M)+.Вiдповiдно, сумарнi виплати страховика можна зобразити, як

SI = Y1 + · · ·+ YN , (4.3)

а перестраховика, якSR = Z1 + · · ·+ ZN . (4.4)

Наприклад, коли кiлькiсть позовiв N – пуассонiвська в.в. з параметром λ, тодi SI має складний розподiлПуассона з параметром λ та iндивiдуальними позовами, розподiленими, як Yi. Аналогiчно, SR має складнийрозподiл Пуассона з тим самим параметром λ та iндивiдуальними позовами, розподiленими, як Zi.

Зауважимо, що при F (M) > 0 iснує ненульова ймовiрнiсть (а саме, F (M)) того, що Zi = 0. Iнакшекажучи, позову до перестраховика може не бути. З практичної точки зору це означає, що визначення (4.4) єштучним: страховик буде знати всю кiлькiсть позовiв N , що надiйшли, а перестраховик – лише ту кiлькiстьпозовiв NR, величина яких бiльша за рiвень утримання M , оскiльки страховик може повiдомити його лишепро цi позови.

Нехай

NR =

N∑

j=1

IXj>M = I1 + · · ·+ IN

визначає кiлькiсть позовiв, за якими має платити перестраховик, де через N позначено загальну кiлькiстьпозовiв iз портфелю страхових полiсiв, а Ij – iндикаторна в.в., яка дорiвнює одиницi, коли перестраховикздiйснює виплату за j-им позовом, та нулю, коли цього не вiдбувається.

Позначимо через ρ = P(Xj > M) ймовiрнiсть того, що величина j-го позову перевищила рiвень M .Який розподiл має NR? Оскiльки Ij = 1 лише тодi, коли Xj > M , то P(Ij = 1) = P(Xj > M) = ρ таP(Ij = 0) = 1 − ρ. Звiдси отримуємо, що генератриса моментiв в.в. Ij дорiвнює MI(t) = ρet + 1 − ρ. Тодiгенератриса моментiв NR має вигляд

MNR(t) =MN (lnMI(t)).

Як приклад, розглянемо наступнi три випадки.

1. Нехай N має бiномiальний розподiл з параметрами n та 0 < θ < 1. Тодi генератриса моментiв для NRдорiвнює

MNR(t) = (θ(ρet + 1− ρ) + 1− θ)n = (θρet + 1− θρ)n.

Таким чином, NR має бiномiальний розподiл з параметрами n та θρ.

2. Коли N має розподiл Пуассона з параметром λ, то генератриса моментiв NR, як генератриса моментiвскладного пуассонiвського розподiлу, дорiвнює

MNR(t) = expλ((ρet + 1− ρ)− 1) = expλρ(et − 1).

Отже, NR також має розподiл Пуассона, але з параметром λR = λρ.

3. Якщо N має вiд’ємний бiномiальний розподiл з параметрами k та θ, то

MNR(t) =

(θ

1− (1− θ)(ρet + 1− ρ)

)k

=

θθ+ρ−θρ

1−(1− θ

θ+ρ−θρ

)et

k

.

Як бачимо, i NR має складний бiномiальний розподiл з параметрами k та θR = θθ+ρ−θρ .

У всiх трьох випадках кiлькiсть виплат перестраховика має той самий тип розподiлу, що й загальнакiлькiсть позовiв, але з iншими значеннями параметрiв.

Приклад 4.3.1. Рiчнi сумарнi позови мають складний розподiл Пуассона з параметром λ = 10. Iндивi-дуальнi позови розподiленi рiвномiрно на (0, 2 000). Страховик уклав договiр перестрахування ексцедентузбитку з рiвнем утримання = 1600. Треба порахувати математичне сподiвання та дисперсiю для сумарнихвиплат як страховика, так i перестраховика.

Розв’язання. Розглянемо SI та SR, введенi у (4.3) та (4.4). Щоб обчислити ESI , знайдемо EYi. Заформулою (4.1)

EYi =Mw

0

xfXi(x)dx+MP(Xi > M),

48

де fXi(x) = 1

2000 Ix∈(0,2 000) – щiльнiсть вiдповiдного (рiвномiрного) розподiлу величини iндивiдуаль-них позовiв Xi, M = 1600. Звiдси

EYi =1

2 000

x2

2

∣∣∣1 600

0+ 1600

(1− 1 600

2 000

)= 960.

Отже, ESI = λEYi = 10 · 960 = 9600. Щоб знайти DSI , пiдрахуємо EY 2i :

EY 2i =

Mw

0

x2f(x)dx+M2P(Xi > M) =1

2 000

x3

3

∣∣∣1 600

0+ 16002

(1− 1 600

2 000

)= 1194 666, 7.

Таким чином, DSI = λEY 2i = 10EY 2

i = 11 946 667.

Для того, щоб визначити ESR та DSR, обчислимо EZ− i та EZ2i , де Zi = (Xi−M)+ – виплата

перестраховика за i-им позовом. Тодi

EZi =

2 000w

M

(x−M)fXi(x)dx =

(x− 1 600)2

2 · 2 000∣∣∣2 000

1 600= 40;

EZ2i =

2 000w

M

(x−M)2fXi(x)dx =

(x− 1 600)3

3 · 2 000∣∣∣2 000

1 600= 10 666, 7.

Оскiльки сумарнi виплати перестраховика SR мають складний пуассонiвський розподiл, то ESR =λEZi = 400, DSR = λEZ2

i = 106 667.З iншого боку, cумарнi виплати перестраховика можна зобразити i так: SR =W1+· · ·+WNR

, деNR – кiлькiсть здiйснених ним (ненульових) виплат, тобто перестраховик спостерiгає лише позовиWj = Xj −M > 0, j = 1, 2, . . . , NR. Щiльнiсть розподiлу Wj згiдно з формулою (4.2) має вигляд

fWj(x) =

f(x+M)

1− F (M)=

1

400, x ∈ (0, 2 000−M) = (0, 400),

тобто Wj – рiвномiрно розподiленi на (0, 400) в.в. Тому EWj = 200, EW 2j = 53 333, 3. Оскiльки у цьому

випадку сумарнi виплати SR мають складний пуассонiвський розподiл з пуассонiвським параметромλR = λρ, де ρ = P(Xi > M) = 0, 2, то ESR = λREWj = 10 · 0, 2 · 200 = 400, а DSR = λREW 2

j =10 · 0, 2 · 53 333, 3 = 106 667, що приводить до таких самих значень, як i ранiше. Таким чином, iснуєдва рiвноцiнних пiдходи для визначення розподiлу в.в. SR та пiдрахунку її числових характеристик.

Приклад 4.3.2. Страхова компанiя має портфель iз 10 000 полiсiв страхування будiвель вiд ризику втрат,спричинених повенями.

i) Наведiть умови, за яких рiчну кiлькiсть позовiв за портфелем можна змоделювати за допомогоюбiномiального розподiлу з параметрами n = 10 000 та p.

Припустимо, що цi умови задовольняються i p = 0, 03. Величини iндивiдуальних позовiв нормальнорозподiленi з середнiм 400 та стандартним вiдхилом 50. Страховик хоче укласти договiр пропорцiйногоперестрахування з таким рiвнем утримання α, щоб ймовiрнiсть того, що сумарнi виплати за портфелемпiсля перестрахування перевищать 120 000, дорiвнювала 0,01.

ii) Обчислити α, припускаючи, що рiчнi сумарнi виплати можна апроксимувати за допомогою нор-мального розподiлу.

Договiр перестрахування укладено з компанiєю, яка використовує 15%-е навантаження на премiї.iii) Обчислiть розмiр рiчної премiї, нарахованої перестраховиком.Як альтернативний варiант, перестраховик пропонує договiр перестрахування ексцеденту збитку з

рiвнем утримання M i такою самою рiчною премiєю. Перестраховик використовує таке саме навантаження15% для пiдрахунку величини премiї за цим договором.

iv) Покажiть, що рiвень утриманняM приблизно дорiвнює 358,50. (Вказiвка: скористайтесь наступнимрезультатом: якщо f(x) – щiльнiсть нормального розподiлу з параметрами µ та σ2, то

Uw

L

xf(x)dx = µ(Φ(U ′)− Φ(L′))− σ(ϕ(U ′)− ϕ(L′)),

де L′ = L−µσ та U ′ = U−µ

σ , Φ(z) – функцiя розподiлу стандартної нормальної в.в. N(0, 1) зi щiльнiстю

ϕ(z) = 1√2πe−

z2

2 .)

Розв’язання. i) Необхiднi умови:

• ризик втрат вiд повеней є сталим i дорiвнює p для кожної будiвлi;

• за кожним полiсом може бути лише один позов протягом року;

• ризик втрат вiд повеней не залежить вiд будiвлi.

49

ii) Нехай величина i-го iндивiдуального позову позначена через Xi. Тодi середнi виплати i диспер-сiя страховика дорiвнюють E(αXi) = αEXi = 400α, D(αXi) = α2DX = (50α)2. Нехай SI вiдображаєсумарнi рiчнi виплати страховика. Тодi SI має складний бiномiальний розподiл, та

ESI = 10 000 · 0, 03 · 400α = 120 000α,

DSI = 10 000 · 0, 03 · (50α)2 + 10 000 · 0, 03 · 0, 97 · (400α)2 = 47 310 000α2 = (6 878, 23α)2.

Значення α треба вибрати так, щоб P(SI > 120 000) = 0, 01. Стандартизуємо в.в. SI :

P(SI − 120 000α

6 878, 23α>

120 000− 120 000α

6 878, 23α

)= 0, 01.

Оскiльки 99%-квантиль стандартного нормального розподiлу дорiвнює 2,3263, отримуємо рiвняння

120 000− 120 000α

6 878, 23α= 2, 3263,

звiдки α = 0, 882.iii) Середнi рiчнi виплати перестраховика дорiвнюють (1 − α)400 = 47, 20. Величина премiй,

отриманих перестраховиком за рiк, враховуючи 15% навантаження, становить 10 000 · 0, 03 · 47, 20 ·1, 15 = 16 284.

iv) Нам треба показати, що використання рiвня утримання 358,50 для обчислення величи-ни премiї у договорi перестрахування ексцеденту збитку дасть таку саму вiдповiдь як i для угодипропорцiйного перестрахування з частини ii).

Обчислимо спочатку середню величину iндивiдуального позову, сплаченого перестраховиком.Вона дорiвнює∞w

358,50

(x− 358, 50)f(x)dx = 400

(1− Φ

(358, 50− 400

50

))− 50

(0− ϕ

(358, 50− 400

50

))−

−358, 50

(1− Φ

(358, 50− 400

50

))= 400 · (1− Φ(−0, 83)) + 50ϕ(−0, 83)− 358, 50 · (1− Φ(−0, 83))

= 400 · 0, 79673 + 501

2πe−

0,832

2 − 358, 50 · 0, 79673 = 47, 20.

Отже, величина сумарних нарахованих рiчних премiй становить 10 000 · 0, 03 · 47, 20 · 1, 15 = 16 284,що дорiвнює величинi сумарних премiй за договором пропорцiйного перестрахування.

4.4. Перестрахування ексцеденту збитковостiПерестрахування сумарних виплат iз заданим рiвнем утримання d називають перестрахуванням екс-

цеденту збитковостi або перестрахуванням, що зупиняє виплати3.Нехай SI та SR позначають сумарнi виплати страховика та перестраховика вiдповiдно. Тодi якщо сумар-

на величина всiх позовiв, поданих до страхової компанiї, дорiвнює S, то SI = minS, d, а SR = max0, S−d =(S − d)+.

Для довiльного типу розподiлу в.в. S

ESI =

∞w

0

minx, ddFS(x) =

dw

0

xdFS(x) + dP(S > d)

та

ESR =

∞w

0

max0, x− ddFS(x) =

∞w

d

(x− d)dFS(x) =

∞w

d

(d− x)d(1− FS(x))

= (d− x)(1− FS(x))∣∣∣∞

d+

∞w

d

(1− FS(x))dx =

∞w

d

(1− FS(x))dx.

Зокрема, якщо розподiл S абсолютно неперервний, то

ESI =

dw

0

xfS(x)dx+ dP(S > d), ESR =

∞w

d

(x− d)fS(x)dx,

а якщо дискретний, то

ESI =d∑

x=0

xP(S = x)dx+ dP(S > d), ESR =∑

x>d

(x− d)P(S = x).

Приклад 4.4.1. Рiчнi сумарнi виплати страхової компанiї описуються складним вiд’ємним бiномiальнимрозподiлом. Середнє число страхових випадкiв за рiк дорiвнює 9, а його стандартний вiдхил становить

3Stop-loss reinsurance (англ.)

50

6. Величина iндивiдуальних позовiв може дорiвнювати лише 1 або 3 з iмовiрностями 13 та 2

3 вiдповiдно.Компанiя уклала договiр перестрахування ексцеденту сумарних виплат з рiвнем власного утримання d = 3.

Обчислiть величину очiкуваних виплат перестраховика.

Розв’язання. Нехай N – кiлькiсть страхових випадкiв за рiк. Оскiльки N має вiд’ємний бiномiаль-ний розподiл, то

P(N = n) = Cnk+n−1θ

k(1− θ)n, n = 0, 1, 2, . . . , 0 < θ < 1.

Середнє значення EN та дисперсiя DN пов’язанi з параметрами розподiлу k та θ такими спiв-вiдношеннями:

EN =k(1− θ)

θ, DN =

k(1− θ)

θ2.

Звiдси легко знайти, що k = 3, θ = 14 . Отже,

P(N = n) =(n+ 1)(n+ 2)

128

(3

4

)n

,

а вiдповiдна генератриса дорiвнює

GN (t) =

∞∑

n=0

tnP(N = n) =

(θ

1− (1− θ)t

)n

=1

(4− 3t)3.

Нехай X1, . . . , XN – величини iндивiдуальних позовiв. Легко бачити, що

EXi = 1 · 13+ 6 · 2

3=

7

3, GYi

(t) = EtYi =z + 2z3

3.

Як завжди, позначимо через S сумарнi втрати за рiк. Тодi S = X1 + · · · + XN . З формули (3.3)отримуємо вигляд генератриси розподiлу S:

GS(t) = GN (GXi(t)) =

1

(4− z − 2z3)3.

Диференцiюючи генератрису розподiлу по t у точцi t = 1, отримуємо

ES = G′S(1) =

3(1 + 6z2)

(4− z − 2z3)4

∣∣∣∣t=1

= 21.

Диференцiюючи послiдовно по t у точцi t = 0, знаходимо розподiл S:

P(S = 0) = GS(0) =1

64;

P(S = 1) = G′S(0) =

3(1 + 6z2)

(4− z − 2z3)4

∣∣∣∣t=0

=3

256;

P(S = 2) = G′′S(0) =

3

512; . . .

Втiм, оскiльки iндивiдуальнi позови можуть набувати лише значень 1 або 3, легко обчислити роз-подiл S i безпосередньо за формулою повної ймовiрностi:

P(S = 0) = P(N = 0) =1

64;

P(S = 1) = P(N = 1)P(X1 = 1) =9

256· 13=

3

256;

P(S = 2) = P(N = 2)P(X1 = 1)P(X2 = 1) =27

512· 13· 13=

3

512; . . .

Нехай SI та SR – рiчнi сумарнi виплати страховика та перестраховика вiдповiдно. За умовоюдоговору ексцеденту збитковостi перестраховик покриває лише перевищення сумарних виплат надрiвнем утриманням 3, тобто

SR =

0, коли S ≤ 3;S − 3, коли S > 3.

Значить,

ESR =

∞∑

n=4

(n− 3)P(S = n) =

∞∑

n=0

(n− 3)P(S = n)−2∑

n=0

(n− 3)P(S = n) = ES − 3−2∑

n=0

(n− 3)P(S = n)

= ES − 3 + 3P(S = 0) + 2P(S = 1) + P(S = 2) = 21− 3 +3

64+

6

256+

3

512= 18

39

512.

У випадку, коли сумарнi виплати нульовi на деякому iнтервалi значень, спростити обчислення моженаступний результат.

51

Теорема 4.1. Припустимо, що P(a < S < b) = 0 для деяких дiйсних чисел a < b. Тодi, якщо рiвеньутримання d ∈ [a, b], має мiсце рiвнiсть

ESR = E(S − d)+ =b− d

b− aE(S − a)+ +

d− a

b− aE(S − b)+,

тобто середнi виплати перестраховика можна обчислити за допомогою лiнiйної iнтерполяцiї.

Доведення. За припущенням, FS(x) = FS(a), a ≤ x < b. Тодi

E(S − d)+ =

∞w

d

(1− FS(x))dx =

∞w

a

(1− FS(x))dx−dw

a

(1− FS(x))dx

= E(S − a)+ −dw

a

(1− FS(a))dx = E(S − a)+ − (d− a)(1− FS(a)). (4.5)

Поклавши d = b в (4.5), матимемо

E(S − b)+ = E(S − a)+ − (b− a)(1− FS(a)),

звiдки

1− FS(a) =E(S − a)+ − E(S − b)+

b− a.

Залишилось пiдставити отримане значення у (4.5).

У дискретному випадку можливе iнше спрощення, за умови, що значення S розташованi на рiвновiд-далених точках.

Теорема 4.2. Припустимо, що P(S = kh) = gk ≥ 0 для деякого фiксованого h > 0 i k = 0, 1, . . . таP(S = x) = 0 для всiх iнших x. Тодi для d = jh

E(S − d)+ = h

∞∑

m=0

(1− FS((m+ j)h)).

Доведення.

E(S − d)+ =∑

x>d

(x− d)P(S = x) =

∞∑

k=j

(kh− jh)gk = h

∞∑

k=j

k−j−1∑

m=0

gk = h

∞∑

m=0

∞∑

k=m+j+1

gk

= h∞∑

m=0

(1− FS((m+ j)h)).

Наслiдок 4.3. За умов теореми 4.2,

E(S − (j + 1)h)+ = E(S − jh)+ − h(1− FS(jh)).

4.5. Ексцедентнi полiси страхування: умовна та безумовна франшизиСтраховi полiси з ексцедентом є загальновживаними в практицi рiзних видiв страхування майна та

автотранспорту, а також у страхуваннi вiд нещасних випадкiв чи катастроф. За умовами таких договорiвзастрахований згоден самостiйно нести весь тягар вiдшкодування збиткiв до певної межi L, яку називаютьексцедентом або (в українськiй страховiй термiнологiї) франшизою4. Франшиза – це передбачена договоромчастина збиткiв, яку не компенсує страховик у випадку настання страхової подiї.

Розрiзняють умовну та безумовну франшизи:

• умовна франшиза засвiдчує право звiльнення страховика вiд вiдповiдальностi за збитки, якщо їхнявеличина не перевищує величини франшизи; збитки повиннi бути вiдшкодованi повнiстю, якщо їхнявеличина перевищує франшизу;

• безумовна франшиза вказує на те, що вiдповiдальнiсть страховика визначається величиною збиткiвмiнус франшиза.

Зокрема, якщо величина збиткiвX > L, то власник полiса подає позов лише величиною X−L у випадкубезумовної франшизи та позов повної величини X у разi умовної франшизи.

Нехай Y – це величина, яку фактично виплатив страховик за договором з безумовною франшизоюL. Тодi Y = max0, X − L i позицiя страховика аналогiчна позицiї перестраховика при перестрахуваннiексцеденту збитку, а позицiя власника полiса стосовно збиткiв аналогiчна вiдповiднiй позицiї страховика.

Зрозумiло, що страхова премiя за ексцедентним полiсом має бути меншою, нiж премiя для полiса безексцеденту.

4Deductible, franchise deductible, franchise (англ.)

52

Приклад 4.5.1. Припустимо, що на iндивiдуальнi позови встановлено франшизу d. Однак з перебiгомроку виявилось, що власник страхового полiса може заплатити не бiльше u. Побудуйте звичайну модельдля сумарних виплат страхової компанiї та вкажiть, чому для неї не виконуються припущення.

Розв’язання. Позначимо через Xj величину j-го позову. Нехай Wj = minXj , d – це величина,сплачена власником полiса згiдно з франшизою, а Yj = Xj −Wj – величина, сплачена страховиком.Тодi R =W1 + · · ·+WN дорiвнює загальнiй сумi, яку сплачує власник полiса, допоки в нього є грошi.Вiдповiдно до цього власником полiса фактично сплатить Ru = minR, u. Нехай S = X1 + · · ·+XN– загальнi втрати, тодi сумарнi виплати страховика дорiвнюватимуть T = S − Ru. Зауважимо,що розподiли S та Ru ґрунтуються на н.о.р. розподiлах iндивiдуальних позовiв. Для знаходженнярозподiлiв S та Ru можна використати описанi ранiше аналiтичнi методи. Однак оскiльки цi в.в.залежнi мiж собою, то не можна використати згортку для отримання розподiлу T . Також немо-жливо записати T як суму н.о.р. змiнних. На початку року T може бути сумою н.о.р. Yj, але пiслямоменту вичерпання грошей наступнi Yj будуть замiненi на Xj.

4.6. ЗадачiВправа 4.1. Кiлькiсть позовiв за портфелем страхових полiсiв має розподiл Пуассона з середнiм 200. Вели-чини iндивiдуальних позовiв ексконенцiйно розподiленi з середнiм 40. Страхова компанiя обчислює премiї,використовуючи 40% навантаження на ризик, та розглядає наступнi варiанти щодо укладання угоди пере-страхування.

(А) Не укладати договiр перестрахування

(B) Перестрахування iндивiдуального ексцеденту збитку з рiвнем утримання 60 у перестраховика, якийобчислює премiї, використовуючи 55% навантаження на ризик.

(C) Пропорцiйне перестрахування з рiвнем утримання 75% у перестраховика, який обчислює премiї, вико-ристовуючи 45% навантаження на ризик.

Обчислити

i) очiкуваний прибуток страхової компанiї за кожним варiантом;

ii) для кожного типу угоди ймовiрнiсть того, що страховик отримає прибуток не менший за 2000, викори-стовуючи нормальну апроксимацiю.

Вправа 4.2. Нехай Ik =r ∞mxke−βxdx, де k – цiле невiд’ємне число.

i) Покажiть, що

I0 =1

βe−βm та Ik =

mk

βe−βm +

k

βIk−1, k = 1, 2, . . .

Для деякого портфелю страхових полiсiв кiлькiсть позовiв за рiк має розподiл Пуассона з середнiм 25. Вели-чини позовiв мають гамма-розподiл iз середнiм 100 та дисперсiєю 5000. Страховик нараховує на премiю 10%навантаження на ризик. Страховик збирається укласти угоду перестрахування ексцеденту iндивiдуальногозбитку з рiвнем утримання m у перестраховика, що використовує 15% навантаження на премiю.

Нехай XI та XR позначають величини, сплаченi прямим страховиком та перестраховиком вiдповiдноза iндивiдуальним позовом.

ii) Обчислiть премiю c, встановлену прямим страховиком для цього портфелю.

iii) Покажiть, що EXR = 1502 (I2 −mI1), звiдки EXR = (m+ 100) exp−m

50.

iv) За результатами пункту iii) отримайте вираз для EXI .

v) Отримайте вираз для очiкуваного рiчного прибутку прямого страховика.

vi) Таблиця нижче наводить значення очiкуваного рiчного прибутку страховика та ймовiрностi банкрутствадля рiзних рiвнiв утримання m:

m Прибуток Ймовiрнiсть банкрутства36 1,8 0,00250 ? 0,01100 148,5 0,05

Обчислiть пропущене в таблицi значення та наведiть питання, що постають перед прямим страховикомпiд час вибору величини рiвня утримання.

Вправа 4.3. Iндивiдуальнi позови за певним типом страхування дорiвнюють 1 (з iмовiрнiстю α) чи 2 (з iмо-вiрнiстю 1 − α). Страховик розглядає можливiсть укладання угоди перестрахування ексцеденту збитку зутриманням 1 + k, k < 1. Нехай Xi позначає величину сплачену страховиком за i-им позовом.

i) Записати вирази для математичного сподiвання та дисперсiї Xi.

53

ii) Нехай тепер α = 0, 2. Кiлькiсть позовiв протягом року розподiлена за законом Пуассона з середнiм500. Страховик хоче встановити утримання таким чином, щоб iмовiрнiсть того, що сумарнi позови за рiкперевищить 700 не перевищувала 1%. Покажiть, що вибiр k = 0, 334 дає необхiдний страховику результат.

Вправа 4.4. Число позовiв N за портфелем страхових полiсiв має бiномiальний розподiл з параметрами n таp. Величини iндивiдуальних позовiв мають експоненцiйний розподiл iз середнiм 1

λ . Страховик уклав угодуперестрахування ексцеденту збитку з утриманням M .

i) Записати вираз для ймовiрностi того, що для покриття iндивiдуального позову буде залучено перестра-ховика.

ii) Нехай Ii – це iндикаторна змiнна, яка набуває значення 1, коли i-й позов залучає перестраховика, та 0iнакше. Обчислiть генератрису моментiв MIi(t).

iii) Нехай K дорiвнює числу позовiв, до яких залучено перестраховика, тобто K = I1 + · · ·+ IN .

iv) Записати генератрису моментiв K та показати, що K має бiномiальний розподiл, параметри якого требавказати.

Вправа 4.5. i) В.в. X має логнормальний розподiл iз параметрами µ та σ та зi щiльнiстю f(x). Показати,що для a > 0

∞w

a

xf(x)dx = exp

µ+

σ2

2

(1− Φ

(ln a− µ− σ2

σ

)),

де Φ – функцiя розподiлу стандартного нормального розподiлу.

ii) Позови за певним видом страхування мають логнормальний розподiл iз середнiм 9,070 та стандартнимвiдхилом 10,132 (у тис. £). Для довiльного року вiд 20% полiсiв очiкують виникнення позову.

Страхова компанiя має 200 полiсiв у портфелi та хоче укласти договiр перестрахування ексцедентузбитку для усiх полiсiв з портфелю. Перестраховик встановив премiї для двох рiвнiв перестрахуваннянаступним чином (числа у тис. £):

Рiвень утримання Премiя25 48,530 38,2

(a) Для кожної перестрахової угоди обчислiть iмовiрнiсть того, що поданий позов залучатиме перестра-ховика.

(b) Дослiджуючи середню величину кожного позову, передану перестраховику, обчислiть, який iз рiвнiвутримання дає бiльший прибуток (iгноруючи ставлення страховика до ризику).

(c) Страховик очiкує, що в наступному роцi iнфляцiя збiльшить середнє та стандартний вiдхил величинипозовiв за портфелем на 8%, припускаючи, що все iнше залишиться незмiнним. Якщо перестрахо-вик встановить такi самi премiї, що й ранiше, який iз рiвнiв утримання дасть бiльший прибутокнаступного року?

Вправа 4.6. Страхова компанiя С моделює величину втрат за кожним полiсом зi свого портфелю як такi, щомають середнє та стандартний вiдхил рiвнi £500. Аналiтик припускає, що величина втрат має експоненцiйнийрозподiл. У портфелi є 300 полiсiв, i С очiкує, що вiд 30% цих полiсiв щороку надходитимуть позови.

С вивчає угоду перестрахування, за якою перестраховик покриватиме ексцес iндивiдуального збиткупонад £2500 за кожним позовом iз портфелю. Перестрахова компанiя R пропонує забезпечити покриття нанаступний рiк за рiчну премiю £300. C просить вашої поради, приймати цю пропозицiю або нi.

i) Обчислiть сумарну величину позовiв, передану перестраховику R за всiм портфелем.

ii) Прокоментуйте вашу вiдповiдь в i) щодо того, чи порадили б ви С укладати перестрахову угоду з R тачому.

iii) Iнший аналiтик вважає, що позови мають логнормальний розподiл. Обчислiть очiкувану сумарну вели-чину позовiв, передану перестраховику R за цим припущенням.

iv) Прокоментуйте вашу вiдповiдь в iii).

Вправа 4.7. i) В.в. X має розподiл Парето з параметрами α та λ. Покажiть, що для L, d > 0

L+dw

d

xf(x)dx =λα

α− 1

(αd+ λ

(λ+ d)α− α(L+ d) + λ

(λ+ L+ d)α

).

ii) Позови за деяким класом страхових полiсiв мають розподiл Парето з середнiм £3 000 та стандартнимвiдхилом £6 000. Страхова компанiя має покриття перестрахування ексцеденту збитку з рiвнем утрима-ння £8 000. Максимальна величина, яку перестраховик вiдшкодує за iндивiдуальним позовом, становить£6 000.

54

(a) Обчислiть середню величину позову, сплаченого перестраховиком за позовами, до покриття якихйого було залучено.

(b) Хоча очiкують, що наступного року величина позовiв за цими полiсами зросте на 10%, але угода пе-рестрахування залишиться незмiнною. Обчислiть середню величину позову, яку сплатить наступногороку перестраховик за позовами, якi його залучатимуть.

Вправа 4.8. Страхова компанiя має портфель полiсiв, щодо кожного з яких укладено договiр перестрахува-ння ексцеденту збитку з рiвнем утримання M > 0. Позови, якi поданi до прямого страховика та позначенiчерез X, мають розподiл Парето з функцiєю розподiлу

F (x;λ) = 1−(

200

200 + x

)λ

.

Всього за цим портфелем подано n позовiв. З них l мали величини меншi за рiвень утримання. Величинименшi за утримання є xi : i = 1, 2, . . . , l. Вiдоме значення статистики

∑li=1 ln(200 + xi) = y.

i) Покажiть, що оцiнка максимальної вiрогiдностi параметра α, дорiвнює

α =l

(n− l) ln(200 +M)− n ln 200 + y.

ii) З досвiду минулого року вiдома така iнформацiя: M = 600, n = 500, l = 400, y = 2209, 269.

(a) Використовуючи результат пункту i), перевiрте, що значення оцiнки максимальної вiрогiдностi α =1, 75.

(b) Припускаючи, що α = 1, 75, оцiнiть середнi величини, сплаченi страховиком та перестраховиком запозовом, поданим протягом року.

Вправа 4.9. Позови за портфелем полiсiв загального страхування мають розподiл Парето зi щiльнiстю f(x),де

f(x) =αλα

xα+1, x > α.

Укладено договiр перестрахування ексцеденту збитку з утриманням M , M > λ.

i) (a) Покажiть, що P(X > x) =(λx

)α, x > λ.

(b) Отримайте вираз для очiкуваної величини, сплаченої перестраховиком за умови, що до позову булозалучено перестраховика.

ii) Останнього року надiйшло 10 позовiв, з яких до 4 було залучено перестраховика. Позови, для покриттяяких було залучено перестраховика, позначено xi : i = 1, 2, 3, 4 (xi > M). Запишiть функцiю вiрогiдно-стi для цих даних.

Вправа 4.10. Величина збитку X за певним видом страхових полiсiв має розподiл Парето зi щiльнiстю f(x),де

f(x) =3 · 4003

(400 + x)4, x > 0.

Власний рiвень утримання власника полiса (тобто безумовна франшиза) за цими полiсами становить £100.

i) Обчислiть очiкувану величину позову, сплачену страховою компанiєю.

ii) Порiвняйте вiдповiдь в i) з очiкуваними втратами EX.

Вправа 4.11. Розподiл в.в. X, яка описує серйознiсть збиткiв за позовами з портфелю полiсiв нежиттєвогострахування, є розподiлом Парето iз середнiм £350 i стандартним вiдхилом £452. Обчислiть ймовiрнiсть того,що до покриття позову буде залучено перестраховика, якщо страхова компанiя застосовує перестрахуванняексцеденту збитку з рiвнем утримання £1200.

Вправа 4.12. Спецiалiст iз автомобiльного страхування опрацьовує полiси iз безумовною франшизою £500для кожного позову. Страхова компанiя уклала договiр перестрахування, за яким страховик сплачує небiльше £4500 за кожним iндивiдуальним позовом, а решту покриває перестраховик. Вважають, що величиназбиткiв вiдповiдає експоненцiйному розподiлу з параметром λ.

Спецiалiст зiбрав наступну iнформацiю за минулий рiк.

• Надiйшло 5 позовiв, якi не обробляли, бо величина збиткiв була меншою за франшизу.

• Для покриття 11 позовiв було залучено перестраховика.

• Ще за 26 iншими позовами, якi повнiстю покрив страховик, загалом виплачено £76 457.

Запишiть логарифмiчну функцiю вiрогiдностi λ.

55

Вправа 4.13. Останнi 10 позовiв, якi надiйшли вiд певного класу страхових полiсiв, були такими:

1330 201 111 2368 617309 35 4685 442 843

i) Припускаючи, що позови вiдповiдають логнормальному розподiлу з параметрами µ та σ2, отримайтеоцiнки максимальної вiрогiдностi цих параметрiв.

ii) Припускаючи, що позови надходять з розподiлу Парето з параметрами α та λ, отримайте оцiнки цихпараметрiв методом моментiв.

iii) Припускаючи, що позови вiдповiдають розподiлу Вейбулла з параметрами c та γ, застосуйте методквантилiв (оснований на 25%-му та 75%-му квартилях) для оцiнювання цих параметрiв.

iv) Страхова компанiя уклала договiр перестраховування ексцеденту iндивiдуального збитку з рiвнем утри-мання 3000. Оцiнiть частку позовiв, для покриття яких буде залучено перестраховика, використовуючивсi описанi вище моделi.

Вправа 4.14. Страхова компанiя С моделює таку величину збиткiв для кожного позову зi свого портфелюполiсiв, щоб середнє та стандартний вiдхил дорiвнювали £500. Аналiтик припускає, що збитки мають екс-поненцiйний розподiл. Всього у портфелi 200 полiсiв, i С очiкує, що за 30% з них щороку виникатиме позов.

С розглядає можливiсть укладання перестрахової угоди, за якою перестраховик сплачуватиме переви-щення понад £2500 для кожного iндивiдуального позову, що надiйшов iз портфелю. Перестрахова компанiяR пропонує покриття на наступний рiк за рiчну премiю завбiльшки £300. С просить Вашої поради, прийматицю пропозицiю чи нi.

i) Обчислiть очiкувану величину позову, цедовану до R, за всiм портфелем.

ii) Прокоментуйте вiдповiдь в i) та вкажiть основнi пункти, на якi Ви наголосите, коли будете радити Сприймати пропозицiю R чи нi.

iii) Iнший аналiтик вважає, що збитки мають логнормальний розподiл. Обчислiть очiкувану величину по-зову, цедовану до R, за цього припущення. (Вказiвка: для логнормального розподiлу:

∞w

M

xf(x)dx = eµ+σ2

2

(1− Φ

(lnM − µ− σ2

σ

)),

де Φ – функцiя розподiлу стандартної нормальної в.в.)

iv) Прокоментуйте вiдповiдь у iii).

Вправа 4.15. i) Покажiть, що∞w

M

xf(x)dx = eµ+σ2

2

(1− Φ

(lnM − µ− σ2

σ

)),

де

f(x) =1

xσ√2π

exp

− (log x− µ)2

2σ2

.

ii) Припускають, що величини збиткiв X, якi надходять вiд портфелю полiсiв загального страхування, є не-залежно розподiленими з середнiм £800 та стандартним вiдхилом £1200. Визначте значення параметрiвлогнормального розподiлу з такими середнiм i стандартним вiдхилом.

iii) Компанiя хоче придбати перестрахове покриття i має вирiшити, купувати перестрахування ексцедентузбитку чи пропорцiйне. Величини, сплаченi прямим страховиком та перестраховиком позначено вiдпо-вiдно

XпропI = (1− k)X, Xпроп

R = kXта

XексцI = minX, d, Xексц

R = (X − d)+.

Використовуючи розподiл збиткiв, вказаний у ii), обчислiть значення k таке, що EXпропI = 0, 7EX, та

покажiть, що коли d = 1189, 4, то EXексцI = 0, 7EX.

iv) Використовуючи значення k та d з iii), обчислiть DXпропI та DXексц

I .

v) Прокоментуйте вiдповiдi в iii) та iv).

56

Роздiл 5

Процес Пуассона

5.1. Випадковi процесиТеорiя випадкових процесiв має справу з вивченням випадкових величин, якi залежать вiд параметру

t з деякої множини T .Отже, нехай кожному t ∈ T поставлено у вiдповiднiсть в.в. X(t), тодi кажуть, що на T задано випадко-

вий процес X(t), t ∈ T. Реалiзацiєю або вибiрковою функцiєю випадкового процесу X(t), t ∈ T є функцiяX(T ) : T → S, яка ставить у вiдповiднiсть кожному t ∈ T одне з можливих значень X(t) ∈ S (S – множинаможливих значень X(t)).

Випадковий процес X(t) називають процесом iз незалежними приростами, якщо в.в. X(t) − X(s) таX(u)−X(v) є незалежними для будь-яких s < t ≤ u < v.

5.2. Пуассонiв процесЗробимо такi природнi припущення про характер надходження позовiв:

(I) подiї, пов’язанi з появою позовiв на iнтервалах часу, якi не перетинаються, є незалежними випадковимиподiями;

(II) розподiл кiлькостi позовiв, що надiйшли протягом iнтервалу часу [t, t+h), не залежить вiд t, а залежитьлише вiд h;

(III) ймовiрнiсть того, що протягом iнтервалу [t, t+h) буде подано принаймнi один позов, дорiвнює αh+o(h),де α – стала, а lim

h→0

o(h)h = 0;

(IV) ймовiрнiсть того, що протягом iнтервалу [t, t+ h) виникне бiльш нiж один позов, є o(h).

Нехай N(t) – кiлькiсть позовiв, якi надiйшли протягом часу [0, t). Позначимо

pN (k; t) = P(N(t) = k).

Має мiсце таке твердження.

Теорема 5.1. В.в. N(T ) має розподiл Пуассона з параметром αt, тобто

pN (k; t) =(αt)k

k!e−αt, k = 0, 1, . . . . (5.1)

Доведення. Випадкова подiя A =протягом часу [0, t + h) не надiйшло жодного позову є перетином двохвипадкових подiй: B =протягом часу [0, t) не надiйшло жодного позову та C =протягом часу [t, t + h)не надiйшло жодного позову. З припущення (II) випливає, що P(A) = pN (0; t + h), P(B) = pN (0; t), P(C) =pN (0;h). Тому в силу (I)

pN (0; t+ h) = pN (0; t)pN (0;h). (5.2)Згiдно з припущенням (III)

∞∑

k=1

pN (k;h) = αh+ o(h),

i тому

pN (0;h) = 1−∞∑

k=1

pN (k;h) = 1− αh+ o(h), (5.3)

Об’єднуючи (5.2) та (5.3), маємо

pN (0; t+ h) = pN (0; t)(1− αh+ o(h)),

звiдкиpN (0; t+ h)− pN (0; t)

h= −αpN (0; t) + pN (0; t)

o(h)

h.

Переходячи до границi при h→ 0 в останнiй рiвностi, одержимо таке диференцiальне рiвняння для функцiїpN (0; t):

dpN (0; t)

dt= −αpN (0; t).

Загальний розв’язок цього рiвняння має вигляд pN (0; t) = c exp−αt, але оскiльки вiдомо, що в момент часуt = 0 позовiв не було, то pN (0; 0) = 1, звiдки c = 1. Отже,

pN (0; t) = e−αt.

Запишемо рекурентне рiвняння для k ≥ 2. З мiркувань, аналогiчних проведеним вище, маємо рiвнiсть

pN (k; t+ h) = pN (k; t)pN (0;h) + pN (k − 1; t)pN (1;h) +

k∑

j=2

pN (k − j; t)pN (j;h). (5.4)

57

Згiдно з припущенням (IV)∞∑

j=2

pN (j;h) = o(h),

i тому

pN (1;h) =

∞∑

j=1

pN (j;h)−∞∑

j=2

pN (j;h) = αh+ o(h), (5.5)

∞∑

j=2

pN (k − j; t)pN (j;h) ≤∞∑

j=2

pN (j;h) = o(h), (5.6)

бо pN (j; t) ≤ 1. Враховуючи (5.3) та (5.5)–(5.6), з (5.4) випливає

pN (k; t+ h) = pN (k; t)(1− αh+ o(h)) + pN (k − 1; t)αh+ o(h),

звiдкиpN (k; t+ h)− pN (k; t)

h= −αpN (k; t) + αpN (k − 1; t) +

o(h)

h.

Переходячи до границi при h → 0 в останнiй рiвностi, отримаємо рекурентну систему диференцiальнихрiвнянь

dpN (k; t)

dt= −αpN (k; t) + αpN (k − 1; t) (5.7)

з початковими умовами pN (k, 0) = 0, k = 1, 2, . . . . Для її розв’язання введемо функцiї

Qk(t) = eαtpN (k; t), k ≥ 0.

Пiдставляючи pN (k; t) = Qk(t)e−αt в (5.7), одержимо

dQk(t)

dt= αQk−1(t). (5.8)

Вiдзначимо, що Q0(t) = 1 та Qk(0) = 0, k ≥ 1. Послiдовно розв’язуючи (5.8), отримаємо

Qk(t) =(λt)k

k!,

що й доводить (5.1).

Важливою властивiстю процесу Пуассона є те, що промiжки часу мiж подiями є незалежними та одна-ково розподiленими за експоненцiальним законом в.в. iз середнiм 1

λ . Щоб переконатися в цьому, позначимочерез Wj час мiж подiями j − 1 та j, j = 1, 2, 3, . . .. Тодi

P(W1 > t) = P(Nt = 0) = e−λt, (5.9)

i тому W1 має експоненцiйний розподiл з середнiм 1λ . Крiм того,

P(W2 > t|W1 = s) = P(W1 +W2 > s+ t|W1 = s)

= P(Nt+s = 1|Ns = 1) = P(Nt+s −Ns = 0|Ns = 1) = P(Nt+s −Ns = 0)внаслiдок умови (II). З незалежностi приростiв та (5.9) маємо

P(W2 > t|W1 = s) = e−λt.

Остання рiвнiсть виконується для всiх s, отже, P(W2 > t) = e−λt та W2 не залежить вiд W1. Аналогiчно,незалежнi й експоненцiйно розподiленi з середнiм 1/λ в.в. W3,W4,W5, . . ..

Вiдзначимо також, що час вiд фiксованого моменту t0 ≥ 0, коли сталася подiя, до наступної подiї такожрозподiлений експоненцiйно з середнiм 1/λ, що випливає з властивостi вiдсутностi пам’ятi експоненцiйногорозподiлу:

P(Wn+1 > t+ s|Wn+1 = s) = e−λt для всiх s ≥ 0, n = 0, 1, 2, . . . .

5.3. ЗадачiВправа 5.1. Подiї, що можуть призвести до позову, виникають згiдно процесу Пуассона з iнтенсивнiстю 0,8на рiк. У полiсi зазначено, що страхова компанiя покриває лише першi три позови протягом одного року.

i) Величини сплачених позовiв (у £100) вiдповiдають гамма-розподiлу з параметрами α = 2 та λ = 1.Обчислiть математичне сподiвання сумарних виплат, зроблених протягом деякого року.

ii) Обчислiть математичне сподiвання сумарних виплат, зроблених протягом деякого року, якщо вiдомо пропокриття принаймнi одного позову в цьому роцi.

Вправа 5.2. Припускають, що надходження позовiв, якi виникають за полiсом страхування промисловогооб’єкта, можна змоделювати за допомогою процесу Пуассона з iнтенсивнiстю 0,5 на рiк.

i) Визначте ймовiрнiсть того, що протягом року не надiйде жодного позову.

58

ii) Визначте ймовiрнiсть того, що протягом трьох послiдовних рокiв виникне принаймнi один позов в одномуз рокiв та жодного у двох iнших.

iii) Припустимо, що тiльки-но надiйшов позов. Визначте ймовiрнiсть, що пройде бiльше двох рокiв до мо-менту подання наступного позову.

Вправа 5.3. Пасажир щоранку ловить автобус протягом 100 днiв. Автобус прибуває на зупинку згiдно про-цесу Пуассона з середньою iнтенсивнiстю раз на 15 хвилин, тобто якщо Xi – час очiкування протягом i-годня, то Xi має експоненцiйний розподiл iз параметром 1

15 .

i) Обчислiть (наближено) ймовiрнiсть того, що загальний час, який пасажир провiв, очiкуючи автобусипротягом 100 днiв, перевищить 27 годин.

ii) Наприкiнцi стоденного перiоду частота прибуття автобусiв збiльшилась i тепер у середньому становитьодин на 10 хвилин (досi згiдно процесу Пуассона). Пасажир ловить щоранку автобус ще протягом 99 днiв.Обчислiть (наближено) ймовiрнiсть того, що загальний час, який пасажир провiв в очiкуваннi протягом199 днiв, перевищить 40 годин.

Вправа 5.4. i) Позови вiд однiєї групи полiсiв певного типу виникають згiдно процесу Пуассона з параме-тром λ1. Позови вiд другої, незалежної, групи полiсiв виникають згiдно процесу Пуассона з параметромλ2. Сукупну величину позовiв вiд кожної з груп позначимо вiдповiдно S1 та S2. Використовуючи методгенератрис (або iнший), покажiть, що S = S1 + S2 також має складний розподiл Пуассона та отримайтепуассонiвський параметр для S.

ii) Страхова компанiя уклала угоду страхування працiвникiв вiд нещасних випадкiв. Загалом 650 полiсiвбуло видано двом категорiям працiвникiв. Перша категорiя складається з 400 полiсiв, позови за кожнимполiсом надходять вiдповiдно до процесу Пуассона з середньою iнтенсивнiстю один на 20 рокiв. У цiйкатегорiї величина всiх позовiв дорiвнює £3000. У другiй категорiї позови за кожним полiсом здiйсню-ються згiдно iз процесом Пуассона з середньою iнтенсивнiстю один позов на 10 рокiв. У цiй категорiївеличина позову дорiвнює £2000 чи £3000 з iмовiрностями 0,4 та 0,6 вiдповiдно. Вважають, що всi полiсиє незалежними.Нехай S – сумарнi рiчнi виплати за портфелем.

a) Обчислiть математичне сподiвання, дисперсiю та коефiцiєнт асиметрiї в.в. S.b) Використовуючи нормальний розподiл як апроксимацiю розподiлу S, знайдiть y, для якого ймовiр-

нiсть P(S > y) = 0, 1.c) Страхова компанiя вирiшила залучити перестрахове покриття зi сумарним рiвнем утримання £100 000,

тобто страхова компанiя не сплачуватиме щороку за позовами бiльше нiж ця величина. Протягом на-ступного року пiсля прийняття перестрахової угоди внаслiдок змiн виробничих умов, про якi компанiюне було поiнформовано, ймовiрнiсть позову в другiй групi впала до нуля. Використовуючи нормаль-ний розподiл як апроксимацiю розподiлу S, обчислiть iмовiрнiсть того, що до зробленого позову будезалучено перестраховика.

Вправа 5.5. Процес сумарних позовiв для певного ризику є складним процесом Пуассона з параметромλ = 20. Iндивiдуальнi величини позовiв становлять £100 з iмовiрнiстю 1

4 , £200 з iмовiрнiстю 12 та £250

з iмовiрнiстю 14 . Початковий профiцит £1000. Використовуючи нормальну апроксимацiю, наближено обчи-

слiть найменший коефiцiєнт навантаження на премiю θ такий, щоб iмовiрнiсть банкрутства в момент часу 3не перевищувала 0,05.

Вправа 5.6. Позови з портфелю 100 полiсiв загального страхування надходять згiдно процесу Пуассона.Очiкуване кiлькiсть позовiв на рiк вiд кожного полiса дорiвнює λ, а щiльнiсть розподiлу iндивiдуальнихвеличин позовiв має вигляд

f(x) =1

10000xe−

x100 , x > 0.

Параметр λ не однаковий для всiх полiсiв, але його моделюють як в.в. (незалежну вiд величин позовiв) зiщiльнiстю

g(λ) = 100λe−10λ, λ > 0.

i) Обчислiть середнє та дисперсiю сумарних рiчних позовiв.

ii) Для даного початкового резерву завбiльшки 2000, використовуючи нормальну апроксимацiю до розпо-дiлу сумарних виплат, знайдiть вiдносний коефiцiєнт навантаження на премiю, який має бути викори-станий, так щоб з 95%-ою впевненiстю в кiнцi першого року резерв був додатним.

iii) Опишiть вплив на вiдносний коефiцiєнт навантаження на премiю, який би спричинило фiксування λ насвоєму середньому рiвнi (без додаткових обчислень).

Вправа 5.7. Страхова компанiя має два портфелi незалежних полiсiв, з кожного портфелю позови надходятьзгiдно процесу Пуассона. У першому всi позови однакової величини £5000 та в середньому очiкують 10 позовiвна рiк. У другому портфелi величина позовiв розподiлена експоненцiйно з середнiм £4000 та очiкують 30позовiв на рiк.

Нехай в.в. S вiдображає сумарнi виплати за обома портфелями. Перевiрку на банкрутство здiйснюютьлише в кiнцi року. Страховик до всiх полiсiв додає 10% навантаження на премiю.

59

i) Обчислiть середнє та дисперсiю S.

ii) Використовуючи нормальну апроксимацiю до розподiлу сумарних виплат, обчислiть початковий капiталu, необхiдний, щоб iмовiрнiсть банкрутства в кiнцi першого року дорiвнювала 0,01.

Страхова компанiя розглядає можливiсть придбання пропорцiйного перестрахування у перестраховика, якийвикористовує навантаження ξ на свої премiї. Частка кожного позову, утримана прямим страховиком, дорiв-нює α ∈ [0, 1].

Нехай в.в. SI вiдображає сумарнi виплати за обома портфелями, зробленими прямим страховиком.

iii) Обчислiть середнє та дисперсiю S.

iv) Використовуючи нормальну апроксимацiю до розподiлу SI , покажiть, що початковий капiтал u′, необ-хiдний, щоб iмовiрнiсть банкрутства в кiнцi першого року дорiвнювала 0,01, можна записати так:

u′ = αu+ (1− α)(ξ − 0, 1)ES.

v) Покажiть, що u > u′, коли ξ < 0, 476.

vi) Покажiть, що u− u′ спадає, коли ξ зростає, та пояснiть, яке практичне значення має цей результат.

60

Роздiл 6

Системи знижок за вiдсутнiсть позовiв

6.1. Системи бонус-малус розрахунку премiй з урахуванням попередньоїiсторiї подання позовiв

Пiд час прийняття рiшення про величину премiї, яку повинен заплатити страхувальник, багато стра-хових компанiй використовують iнформацiю про кiлькiсть позовiв, заявлених власником полiса протягомпопереднiх рокiв. Це дає можливiсть краще визначити вiрогiднiсть того, що власник полiса звернеться зпозовом у майбутньому.

Залежно вiд ступеня ризику в кожному конкретному випадку ставки страхових платежiв можуть бутизниженi або пiдвищенi шляхом застосування вiдповiдних коефiцiєнтiв.

Надання знижки за вiдсутнiсть страхових випадкiв або навпаки, збiльшення тарифу при їх наявностi,носить назву системи бонусiв, принцип якої полягає у вториннiй диференцiацiї премiї, тобто застосуваннязнижок або надбавок до iндивiдуальних договорiв, якi вiдносяться до однiєї однорiдної групи за певноюознакою залежно вiд збитковостi, яка склалася для iндивiдуального клiєнта.

Такi системи часто застосовують при страхуваннi автотранспорту, цивiльної вiдповiдальностi власникiвтранспортних засобiв i подiбних їм ризикiв, в основному пов’язаних iз майном чи вiдповiдальнiстю.

Застосування системи знижок за вiдсутнiсть страхових випадкiв iнодi називають системою дисконту-вання за вiдсутнiсть вимог виплат1 або знижкою за безаварiйнiсть. В європейськiй страховiй традицiїтакi системи називають системами бонус-малус2, що в перекладi з латинi означає “хороший-поганий”.

Надаючи знижку за вiдсутнiсть страхових випадкiв, страхова компанiя зберiгає iснуючих клiєнтiв iзалучає нових, якi, у свою чергу, сподiваються на надання такої знижки.

За наявностi великої кiлькостi вимог вiд одного страхувальника протягом перiоду страхування можли-вий iнший розвиток подiй — пiдвищення тарифiв. Розмiр знижок безпосередньо залежить вiд кiлькостi рокiвбез позовiв вiд клiєнта.

Коли власник полiса вирiшує, чи звертатися з позовом, чи нi, вiн має взяти до уваги вплив позовiвна величину премiї в наступнi роки. Таким чином, однiєю з причин введення системи знижок є намаганняуникнути малих позовiв. Власник полiса не звернеться з позовом, якщо розмiр виплати буде меншим, нiжнаступне збiльшення страхової премiї. Отже, система знижок за вiдсутностi вимог виплат зменшує кiлькiстьмалих позовiв до страхової компанiї i загальну вартiсть позовiв, що перекриває зменшення надходженняпремiй. Ще важливiшим є зменшення витрат на адмiнiстрування вимог. Чим меншу кiлькiсть вимог требаадмiнiструвати, тим меншими можна зробити нарахування (на величину премiї) на витрати для клiєнта.Зменшуючи кiлькiсть малих позовiв, фiрма витiсняє позови, вартiсть адмiнiстрування яких (у вiдсотках вiдрозмiру виплат за позовом) є непропорцiйно великою. Це робить величини премiй даної страхової компанiїбiльш конкурентноспроможними.

У системi бонус-малус видiляють двi частини: дисконтнi категорiї та правила переходу мiж категорiями.Щоб дослiдити властивостi таких систем, треба знати щорiчну ймовiрнiсть позову для даного клiєнта.

Дисконтнi категорiї

Часто категорiї пов’язують iз кiлькiстю рокiв без позовiв. У той же час правило переходу фактично непов’язанi з кiлькiстю рокiв пiсля позову. Поява вимоги не означає для клiєнта вiдмiни знижок: як правило,клiєнт просто переходить до iншої категорiї з меншим дисконтом.

Приклад 6.1.1. Розглянемо систему бонус-малус, яка має три категорiї:

Категорiя Дисконт, %0 01 252 40

У категорiї 0 клiєнт платить певну премiю, розмiр якої визначається персонально залежно вiд iндивiдуаль-них особливостей застрахованого (наприклад, вiку, статi), якi є рейтинговими факторами. Для простотирозглянемо множину застрахованих, яких можна вважати однаковими вiдносно рейтингових факторiв. Уцьому разi повна премiя однакова для всiх полiсiв у портфелi.

У категорiї 1 власник полiса платить лише 75% повної премiї, а в категорiї 2 – лише 60%. Якщозастрахований не подає жодного полiсу протягом року, то вiн переходить до наступної категорiї (чи за-лишається у категорiї 2). Якщо подано один чи бiльше позовiв, то клiєнт переходить на нульовий рiвеньдисконту.

Зауваження 6.1.1. Зазвичай застосовують п’ять-шiсть (iнодi значно бiльше) категорiй, i позов може спри-чинити перехiд бiльш нiж на одну категорiю.

1No claims discont system, NCD-system (англ.) – це визначення переважно застосовують в англомовних країнах: Великобри-танiї та Австралiї

2Bonus-Malus System, BMS (англ.)

61

Матриця переходiв

Позначимо очiкувану частку власникiв полiсiв у j-iй дисконтнiй категорiї, j = 0, 1, . . . , n, t-ий рiк тривалостiдоговору страхування (чи iнший перiод часу) через πj(t). Зауважимо, що π0(t)+π1(t)+· · ·+πn(t) = 1. Розподiлвласникiв за категорiями зобразимо за допомогою вектора π(t) = (π0(t), π1(t), . . . , πn(t)). Ймовiрностi того,що власник полiса з категорiї i (у даному роцi) перейде до категорiї j (у наступному роцi) не залежать вiдмоменту часу t i можуть бути зображенi за допомогою матрицi перехiдних iмовiрностей

P =

p00 p01 p02 . . . p0np10 p11 p12 . . . p1np20 p21 p22 . . . p2n...

......

. . ....

pn0 pn1 pn2 . . . pnn

,

де pij , i, j = 0, 1, . . . , n, – ймовiрнiсть переходу з категорiї i до категорiї j.Припустимо, що всi клiєнти починають з категорiї 0. Тому на початку першого року дiї полiса, тобто в

момент t = 0, π0(0) = 1, i розподiл клiєнтiв за категорiями заданий вектором π(0) = (1, 0, . . . , 0). На початкудругого року власники полiсiв будуть перерозподiленi по кожнiй категорiї згiдно з iмовiрностями переходуp0j зi стану 0 в стан j, тобто π(1) = (p00, p01, . . . , p0n) = π(0)P . Аналогiчно,

π(t) = π(t− 1)P = · · · = π(0)P t.

Обґрунтуємо цей висновок та проаналiзуємо поведiнку π(t) для великих значень t, використовуючиосновнi поняття теорiї ланцюгiв Маркова з дискретним часом i скiнченною кiлькiстю станiв.

6.2. Ланцюги Маркова з дискретним часом i скiнченною кiлькiстю станiв

6.2.1. Визначення та властивостi

Нехай U = u0, u1, . . . , un – деяка скiнченна множина, елементи якої будемо називати станами. Дляпростоти надалi U = 0, 1, 2, . . . , n. Розглянемо деякий процес, який у момент часу t (де t = 0, 1, 2, . . . )може перебувати в одному iз цих станiв, а в момент t + 1 перейти в деякий iнший стан чи залишитися впопередньому. Кожен такий перехiд не є точно визначеним: iз певними ймовiрностями процес може перейтив один iз станiв i ∈ U . Якщо ймовiрностi переходу залежать лише вiд часу t i стану, в якому перебуває процес вцей час, i не залежать вiд станiв, в яких процес перебував у моменти 0, 1, 2, . . . , t−1, то такий процес називаютьланцюгом Маркова з дискретним часом i скiнченною кiлькiстю станiв, тобто послiдовнiсть дискретних в.в.X(t)t≥0 утворює ланцюг Маркова з дискретним часом, якщо має мiсце маркiвська властивiсть

P(X(t+1) = it+1|X(t) = it, X(t−1) = it−1, . . . , X(0) = i0) = P(X(t+1) = it+1|X(t) = it), ik ∈ U, k ≥ 0. (6.1)

Ланцюг Маркова повнiстю заданий, коли визначений розподiл ймовiрностей π(0) = (π0(0), π1(0), . . . , πn(0))перебування процесу в станах k ∈ U у початковий момент часу t = 0, тобто πk(0) = P(X(0) = k), та визначенiймовiрностi pij(t) = P(X(t + 1) = j|X(t) = i) переходу зi стану i ∈ U в стан j ∈ U в наступнi моменти часуt = 1, 2, . . . . Якщо ймовiрностi переходу не залежать вiд часу (тобто pij(t) = pij для довiльного t), то такийланцюг Маркова називають однорiдним. Саме однорiднi ланцюги Маркова ми i будемо вивчати.

Граф переходiв ланцюга Маркова

Поширеним способом вiзуального задання ланцюга Маркова є граф переходiв. Вершини цього графа отото-жнюють зi станами, а орiєнтоване ребро з початком у вершинi i та кiнцем у вершинi j, сполучає цi вершинилише у тому випадку, коли ймовiрнiсть переходу pij 6= 0. Дану ймовiрнiсть переходу також пишуть бiлявiдповiдного ребра.

Приклад 6.2.1 (Продовження прикладу 6.1.1). Припустимо, що ймовiрнiстю p власник полiса за-лишається у категорiї 0, з iмовiрнiстю q переходить вiд першої до другої дисконтної категорiї та з iмовiрнiстюs залишається у категорiї 2. Тодi матриця перехiдних iмовiрностей дорiвнює

P =

(p 1− p 0

1− q 0 q1− s 0 s

),

а граф переходiв вiдповiдного ланцюга Маркова має вигляд

Рис. 11. Граф переходiв ланцюга Маркова з прикладу 6.2.1

62

Теорема 6.1. Нехай послiдовнiсть в.в. X(t)t≥0 утворює однорiдний ланцюг Маркова з дискретним часомi скiнченною множиною станiв U = 0, 1, . . . , n та матрицею перехiдних iмовiрностей P = (pij)

ni,j=0. Тодi

P(X(t+ 1) = k) =∑

u∈U

P(X(t) = j) · pjk, t = 0, 1, 2 . . .

Доведення. Подiя X(t+1) = k є реалiзацiєю тих траєкторiй iз множини усiх траєкторiй X(0) = i0, X(1) =i1, . . . , X(t) = it, X(t + 1) = it+1 : i0, . . . , it+1 ∈ U, якi завершуються станом it+1 = k. Тому ймовiрнiсть цiєїподiї дорiвнює сумi ймовiрностей здiйснення кожної такої траєкторiї:

P(X(t) = k) =∑

i0,i1,...,it∈U

P(X(0) = i0, X(1) = i1, . . . , X(t) = it, X(t+ 1) = k)

=∑

i0,i1,...,it∈U

P(X(0) = i0, X(1) = i1, . . . , X(t) = it)P(X(t+ 1) = k|X(0) = i0, X(1) = i1, . . . , X(t) = it).

За маркiвською властивiстю (6.1) цей вираз дорiвнює∑

i0,i1,...,it∈U

P(X(0) = i0, X(1) = i1, . . . , X(t) = it)P(X(t+ 1) = k|X(t) = it)

=∑

i0,i1,...,it∈U

P(X(0) = i0, X(1) = i1, . . . , X(t) = it)pitk.

Фiксуючи в останнiй сумi it−1 та пiдсумовуючи за iншими iндексами, отримаємо, що

P(X(t) = k) =∑

u∈U

P(X(t− 1) = u)puk.

Результат цiєї теореми можна записати у матричнiй формi. Нехай вектор π(t) = (π0(t), π1(t), . . . , πn(t))визначає розподiл iмовiрностей перебування процесу в станах 0, 1, . . . , n у момент часу t, тобто πk(t) =P(X(t) = k) – ймовiрнiсть потрапляння пiсля t переходiв у стан k. Тодi твердження теореми 6.1 можнаподати у формi

π(t+ 1) = π(t)P, t ≥ 1.Послiдовно застосовуючи цю формулу, отримуємо наступну теорему.

Теорема 6.2. Нехай π(t) – розподiл iмовiрностей перебування ланцюга Маркова X(t)t≥0 на множинiстанiв U в момент часу t, P – матриця перехiдних iмовiрностей. Тодi

π(t) = π(0)P t, t = 0, 1, 2, . . .

6.2.2. Рiвняння Колмогорова-Чепмена

Позначимо через p(t)ij = P(X(t) = j|X(0) = i) = P(X(t + s) = j|X(s) = i), s = 0, 1, 2, . . . , ймовiрностi

переходу за t крокiв зi стану i у стан j. Нехай також P (t) = p(t)ij – матриця таких перехiдних ймовiрностей.

Теорема 6.3 (Рiвняння Колмогорова-Чепмена).

p(t+s)ij =

∑

u∈U

p(t)iu p

(s)uj , (6.2)

або, в матричнiй формi, P (t+s) = P (t)P (s).

Доведення. Доведення спiввiдношення (6.2) просте i ґрунтується на формулi повної ймовiрностi та маркiв-ськiй властивостi (6.1):

p(t+s)ij = P(X(t+ s) = j|X(0) = i) =

∑

u∈U

P(X(t+ s) = j,X(s) = u|X(0) = i)

=∑

u∈U

P(X(t+ s) = j|X(s) = u,X(0) = i)P(X(s) = u|X(0) = i)

=∑

u∈U

P(X(t+ s) = j|X(s) = u)P(X(s) = u|X(0) = i) =∑

u∈U

p(s)iu p

(t)uj .

Зауваження 6.2.1. Зауважимо, що оскiльки P (1) = P , то P (k) = P k, що означає, що для однорiдних ланцюгiвМаркова ймовiрностi переходу за k крокiв p(k)ij є елементами k-их степеней матрицi P .

Це зауваження та теорема 6.2 показують, що ключовим у вивченнi розподiлiв перебування процесу намножинi станiв є вивчення степеней матрицi перехiдних iмовiрностей. Елементи цих степеней самi допускаютьцiкаву ймовiрнiсну iнтерпретацiю. Зокрема, розглянемо в якостi початкового вектора π(0) вектор, у якогоi-та компонента дорiвнює 1, а всi iншi – 0. Тодi за теоремою 6.2 π(t) = π(0)P t. Але π(0)P t – це i-ий рядокматрицi P t. Тому i-ий рядок t-ої степенi матрицi переходу дає ймовiрностi перебування в одному з можливихстанiв у момент t за умови, що процес почався зi стану i.

63

6.2.3. Ергодична теорема

Стан j називають досяжним зi стану i, якщо iснує момент часу t = t(i, j) такий, що

p(t)ij = P(X(t) = j|X(1) = i) > 0.

Досяжнiсть j зi стану i позначають i → j. Якщо i → j та j → i, то використовують познаку i ↔ j.Дане вiдношення є вiдношенням еквiвалентностi. Вiдповiдно до цього множину станiв можна розбити нанеперетиннi класи еквiвалентностi. Якщо вся множина станiв належить до одного класу еквiвалентностi, тотакий ланцюг Маркова називають нерозкладним. Iнакше кажучи, ланцюг Маркова є нерозкладним, якщо збудь-якого його стану можна досягти будь-який iнший стан за скiнченну кiлькiсть переходiв.

Наступна теорема описує широкий клас ланцюгiв Маркова, якi вiдзначаються так званою властивi-стю ергодичностi: границi πj = limt→∞ p

(t)ij не тiльки iснують, не залежать вiд i, а й утворюють розподiл

iмовiрностей (πj ≥ 0,∑

j πj = 1), причому πj > 0 для всiх j ∈ U .

Теорема 6.4 (Ергодична теорема). Нехай P = (pij) – матриця перехiдних iмовiрностей ланцюга Мар-кова зi скiнченною множиною станiв U = 0, 1, . . . , n.

а) Якщо для деякого t0mini,j

p(t0)ij > 0, (6.3)

то знайдуться числа π0, π1, . . . , πn такi, що

πj > 0,

n∑

j=0

πj = 1, (6.4)

причому для довiльних станiв i та jp(t)ij → πj , t→ ∞. (6.5)

б) Навпаки, коли iснують числа π0, π1, . . . , πn, якi задовольняють умови (6.4) та (6.5), то знайдетьсяt0 таке, що виконується умова (6.3).

в) Числа (π0, π1, . . . , πn) з а) є розв’язками наступної системи рiвнянь:

πj =

n∑

u=0

πupuj , j = 0, 1, . . . , n. (6.6)

Доведення. а) Позначимоm

(t)j = min

i∈Up(t)ij , M

(t)j = max

i∈Up(t)ij .

З рiвняння Колмогорова-Чепмена випливає, що

p(t+1)ij =

∑

u∈U

piup(t)uj . (6.7)

Звiдси

m(t+1)j = min

i∈Up(t+1)ij = min

i∈U

∑

u∈U

piup(t)uj ≥ min

i∈U

n∑

u=0

piu minu∈U

p(t)uj = m

(t)j

i, вiдповiдно, m(t)j ≤ m

(t+1)j . Аналогiчно показуємо, що M

(t)j ≥ M

(t+1)j . Отже, для доведення (6.3) досить

показати, що M (t)j −m

(t)j → 0, t→ ∞, j ∈ U .

Нехай ε = mini,j p(t0)ij > 0. Тодi

p(t0+t)ij =

n∑

u=0

p(t0)iu p

(t)uj =

n∑

u=0

(p(t0)iu − εp

(t)ju

)p(t)uj + ε

n∑

u=0

p(t)jup

(t)uj =

n∑

u=0

(p(t0)iu − εp

(t)ju

)p(t)uj + εp

(2t)jj .

Але p(t0)iu − εp(t)ju ≥ 0, бо p(t0)iu ≥ min

i,up(t0)iu = ε ≥ εp

(t)ju , тому

p(t0+t)ij ≥ m

(t)j

n∑

u=0

(p(t0)iu − εp

(t)ju

)+ εp

(2t)jj = m

(t)j (1− ε) + εp

(2t)jj ,

а значить,m

(t0+t)j ≥ m

(t)j (1− ε) + εp

(2t)jj .

Так само показуємо, щоM

(t0+t)j ≤M

(t)j (1− ε) + εp

(2t)jj .

Поєднуючи цi двi нерiвностi, отримуємо

M(t0+t)j −m

(t0+t)j ≤

(M

(t)j −m

(t)j

)(1− ε)

64

та, послiдовно застосовуючи k разiв отриману нерiвнiсть,

M(kt0+t)j −m

(kt0+t)j ≤

(M

(t)j −m

(t)j

)(1− ε)k ↓ 0, k → ∞.

Отже, за деякою пiдпослiдовнiстю tkk≥1 вираз M (tk)j − m

(t)jk

збiгається до нуля, коли tk → ∞. Але

рiзниця M (t)j −m

(t)j монотонна за t, а це означає, що M (t)

j −m(t)j → 0, t→ ∞.

Якщо позначити πj = limt→∞

m(t)j , то з отриманих оцiнок випливає, що для t ≥ t0

∣∣∣p(t)ij − πj

∣∣∣ ≤M(t)j −m

(t)j ≤ (1− ε)

[

tt0

]

−1,

тобто збiжнiсть p(t)ij до граничних значень πj вiдбувається зi швидкiстю геометричної прогресiї.

Очевидно також, що m(t)j ≥ m

(t0)j > 0, коли t ≥ t0, а значить, πj > 0. Умова

n∑j=0

πj = 1 випливає з (6.5)

та рiвностin∑

j=0

p(t)ij = 1.

б) Умова (6.3) безпосередньо випливає з (6.5), тому що множина станiв скiнченна та πj > 0.

в) Рiвняння (6.6) випливають при граничному переходi (6.5) з рiвностi p(t+1)ij =

n∑u=0

p(t)iu puj .

Якщо граничний розподiл (6.4) заданий вектором π = (π0, π1, . . . , πn), то систему рiвнянь (6.6) можнаподати у матричнiй формi:

π = πP. (6.8)

6.3. Аналiзування стацiонарного стану

6.3.1. Єдинiсть стацiонарного стану

Кожен розв’язок π = (π0, π1, . . . , πn) рiвняння (6.8), який задовольняє умови (6.4), називають стацiо-нарним або iнварiантним розподiлом, iнодi – розподiлом рiвноваги3. Пояснити цю назву можна наступнимчином.

Розглянемо розподiл π в якостi початкового розподiлу π(0), тобто πj(0) = πj , j = 0, 1, . . . , n. Тодi

πj(1) =

n∑

u=0

πu(0)puj =

n∑

u=0

πupuj = πj ,

i взагалi πj(t) = πj . Iнакше кажучи, якщо в якостi початкового розподiлу взяти стацiонарний, то вiн не будемiнятися з часом, тобто для довiльного t

P(X(t) = j) = P(X(0) = j), j = 0, 1, . . . , n.

Умова (6.3) гарантує iснування граничного стацiонарного розподiлу π = (π0, π1, . . . , πn). Доведемоєдинiсть цього розподiлу.

Дiйсно, нехай π′ = (π′

0, π′1, . . . , π

′n) – ще один стацiонарний розподiл. Тодi

π′j =

n∑

u=0

π′upuj = · · · =

n∑

u=0

π′up

(t)uj ,

та з (6.5) випливає, що

π′j =

n∑

u=0

π′uπj = πj .

Зауваження 6.3.1. Стацiонарний розподiл iмовiрностей може iснувати i для неергодичних ланцюгiв. Дiйсно,якщо

P =

(0 11 0

),

то

P 2t =

(1 00 1

)та P 2t+1 =

(0 11 0

),

i, вiдповiдно, границi limt→∞

p(t)ij не iснують. В той же час система рiвнянь qj =

1∑u=0

qupuj , j = 0, 1, дає єдиний

розв’язок q0 = q1, який згiдно з умовою q0 + q1 = 1 дорiвнює ( 12 ,12 ).

3Equilibrium distribution (англ.)

65

Приклад 6.3.1 (Продовження прикладу 6.2.1). Нехай iмовiрнiсть того, що застрахований не звер-неться з позовом, дорiвнює 0,9. Тодi π є розв’язком рiвняння

(π0, π1, π2) =

(0, 1 0, 9 00, 1 0 0, 90, 1 0 0, 9

)(π0, π1, π2),

або 0, 1π0 + 0, 1π1 + 0, 1π2 = π0,0, 9π0 = π1,0, 9π1 + 0, 9π2 = π2.

Додатково використаємо рiвняння π0+π1+π2 = 1, пiсля чого легко отримуємо розв’язок π = (0, 1; 0, 09; 0, 81).

6.3.2. Час перебування процесу на пiдмножинi станiв

Нехай A – деяка група станiв, A ⊂ U . Введемо величину

νA(t) =IX(0)∈A + IX(1)∈A + . . . IX(t)∈A

t+ 1

– частка часу, проведеного процесом у множинi A. Оскiльки

E(IX(t)∈A|X(0) = i) = P(X(t) ∈ A|X(0) = i) =∑

j∈A

p(t)ij ≡ p

(t)i (A),

то

E(νA(t)|X(0) = i) =1

t+ 1

t∑

k=0

p(k)i (A)

та, зокрема,

E(νj(t)|X(0) = i) =1

t+ 1

t∑

k=0

p(k)ij .

Зi збiжностi p(t)ij → πj , t → ∞, випливає, що Eνj(t) → πj та, вiдповiдно, EνA(t) → πA, де πA =∑j∈A

πj .

Для ергодичних ланцюгiв можна довести i бiльш сильний результат.

Теорема 6.5 (Закон великих чисел). Якщо X(0), X(1), . . . – скiнченний ергодичний ланцюг Маркова, тодля будь-яких ε > 0, множини A ∈ U та початкового розподiлу станiв має мiсце закон великих чисел:

P(|νA(t)− πA| > ε) → 0, t→ ∞.

Перш нiж перейти до доведення, зауважимо, що безпосередньо застосувати теорему 1.6 до в.в. IX(0)∈A,IX(1)∈A, . . . , IX(t)∈A, . . . з розподiлу Бернуллi не можна, тому що вони, взагалi кажучи, є залежними. Протедоведення можна провести за тiєю самою схемою, що й у випадку незалежних величин, враховуючи те, щодля ергодичних ланцюгiв зi скiнченною кiлькiстю станiв iснує таке 0 < ρ < 1, що

|p(t)ij − πj | ≤ Cρt. (6.9)

Доведення. Розглянемо стани i та j i покажемо, що для ε > 0

P(|νj(t)− πj | > ε|X(0) = i) → 0, t→ ∞. (6.10)

За нерiвнiстю Чебишова (1.7)

P(|νj(t)− πj | > ε|X(0) = i) ≤ E(|νj(t)− πj |2|X(0) = i)

ε2.

Тому досить показати, що E(|νj(t)− πj |2|X(0) = i) → 0, t→ ∞. Легко пiдрахувати, що

E(|νj(t)− πj |2|X(0) = i) =1

(t+ 1)2E

(

t∑

k=0

(IX(k)=j − πj)

)2

|X(0) = i

=

1

(t+ 1)2

t∑

k=0

t∑

l=0

m(k,l)i,j ,

де

m(k,l)i,j = E

(IX(k)=jIX(l)=j|X(0) = i

)− πjE

(IX(k)=j|X(0) = i

)− πjE

(IX(l)=j|X(0) = i

)+ π2

j

= p(a)ij p

(b)jj − πjp

(k)ij − πjp

(l)ij + π2

j ,

тут a = mink, l, b = |k − l|. З нерiвностi (6.9) випливає, що p(t)ij = πj + ε

(t)ij , |ε(t)ij | ≤ Cρt. Тому |m(k,l)

i,j | ≤C1(ρ

a + ρb + ρk + ρl), де C1 – деяка стала. Отже,

1

(t+ 1)2

t∑

k=0

t∑

l=0

m(k,l)i,j ≤ C1

(t+ 1)2

t∑

k=0

t∑

l=0

(ρa + ρb + ρk + ρl) ≤ 4C1

(t+ 1)2· 2(t+ 1)

1− ρ=

8C1

(t+ 1)(1− ρ)→ 0, t→ 0,

66

звiдки i випливає справедливiсть спiввiдношення (6.10), з якого, у свою чергу, очевидним чином випливаєтвердження теореми.

6.3.3. Неоднорiднiсть портфелю

Один iз чинникiв, який пiдтверджує доцiльнiсть систем бонус-малус, полягає в тому, що вони приводятьдо автоматичного визначення премiй. Iнакше кажучи, застрахований, який подає менше позовiв, платитьменшу премiю, нiж той, вiд кого надходить бiльше позовiв.

Незважаючи на очевиднiсть цього факту, бiльш глибокi дослiдження систем бонус-малус показали, щовони спрацьовують не так добре, як на те сподiвалися, i власники полiсiв сплачують премiї, не пропорцiйнiїхнiй iмовiрностi подати позов.

Частково це вiдбувається внаслiдок малої кiлькостi дисконтних категорiй i вiдносно низькi рiвнi запро-понованих знижок, а також через невелику ймовiрнiсть виникнення позовiв (а значить, велику ймовiрнiстьдля всiх застрахованих на певному етапi досягти максимального рiвня дисконту).

Якщо задано ймовiрностi позовiв для всiх застрахованих, то дiйсно є можливiсть математично визна-чити систему бонус-малус, яка через довгий промiжок часу приведе до того, що застрахованi будуть платитинетто-премiю, прямо пропорцiйну їхнiй iмовiрностi звернутися з позовом. Проте ця система складна дляадмiнiстрування й розумiння.

Наступний приклад демонструє iншу крайнiсть, коли припускають, що iснує всього два типи власникiвполiсiв i всього три категорiї знижок.

Незважаючи на це, навiть у такiй ситуацiї нелегко розробити систему, яка пов’язує премiї з iмовiрно-стями позовiв.

Приклад 6.3.2. Нехай замiсть того, щоб знати стiльки ймовiрностей, скiльки є застрахованих, маємолише кращих та гiрших водiїв. Iмовiрнiсть позову вiд кращого водiя досить мала i дорiвнює, наприклад,0,1, а вiд гiршого – удвiчi бiльша. Припустимо також, що дисконтнi категорiї такi самi, як у попереднiхприкладах. Треба порiвняти середнi значення премiй, якi платитимуть кращi та гiршi водiї пiсля досягненнястацiонарного розподiлу.

Розв’язання. Стацiонарний розподiл для кращих водiїв обчислено у прикладi 6.3.1: π′ = (0, 1; 0, 09;0, 81). Аналогiчно проводимо обчислення для гiрших водiїв: π

′′ = (0, 2; 0, 16; 0, 64). Тепер можна по-рiвняти середнi значення премiй, якi платитимуть обидвi категорiї водiїв. Оскiльки гiршi подаютьудвiчi бiльше позовiв, то природно очiкувати, що їх нетто-премiя (без адмiнiстративних витрат iнавантаження на ризик) у середньому також буде вдвiчi бiльшою (за умови, що розподiл величинивиплат однаковий для усiх водiїв). Подивимося, що вiдбудеться насправдi.

Припустимо, що повна премiя дорiвнює Π. Тодi середня нетто-премiя для кращих водiїв дорiв-нює

0, 1Π + 0, 09 · 0, 75Π + 0, 81 · 0, 6Π = 0, 6535Π,а для гiрших

0, 2Π + 0, 16 · 0, 75Π + 0, 64 · 0, 6Π = 0, 704Π.Отже, незважаючи на те, що гiршi водiї можуть удвiчi частiше звертатися з позовами, середняпремiя, яку вони платять, зовсiм не набагато перевищує премiю для кращих водiїв.

У цьому простому прикладi максимально доступна знижка недостатня, щоб отримати iде-альну подвоєну премiю. Спробуємо пiдiбрати потрiбнi величини дисконтних знижок. Припустимо,що знижки за категорiями становлять α та β. Тодi, розв’язуючи рiвняння

2(0, 1 + 0, 09(1− α) + 0, 81(1− β)) = 0, 2 + 0, 16(1− α) + 0, 64(1− β),

отримаємо параметричний розв’язок β = 1, 0204−0, 0204α > 1, α ∈ (0, 1). Це означає, що для даної си-стеми бонус-малус iдеальну пропорцiйну премiю отримати неможливо. Ситуацiю можна полiпши-ти, якщо ввести бiльше дисконтних категорiй, але при цьому, звичайно, система ускладниться.

6.4. Вплив систем бонус-малус на схильнiсть до позовiвРанiше ми припускали, що ймовiрнiсть звернення з позовом була однаковою незалежно вiд того, до якої

дисконтної категорiї належить застрахований. Коли вiн вирiшує, звертатися з позовом чи нi, то має такожвраховувати i можливе збiльшення чи зменшення майбутньої премiї.

Розглянемо, наприклад, застрахованого, який сплачує повну премiю Π за системою бонус-малус iзтрьома дисконтними категорiями (див. приклад 6.1.1). Якщо за перший рiк (або в наступнi роки) не буложодного позову, майбутнi премiї становитимуть: 0, 75Π; 0, 6Π; 0, 6Π; . . . Якщо протягом першого року бувпозов, а в наступнi роки – нi, то премiї в наступнi роки будуть такими: Π; 0, 75Π; 0, 6Π; 0, 6Π; . . . Отже,додаткова величина, на яку збiльшується премiя пiсля виникнення позову за умови, що в наступнi рокипозови не виникнуть, дорiвнює Π+0, 75Π+0, 6Π+0, 6Π+ . . .− 0, 75Π− 0, 6Π− 0, 6Π− . . . = 0, 4Π. Аналогiчнозначення додаткової премiї можна розрахувати для iнших дисконтних категорiй.

Таким чином, залежно вiд величини збиткiв та додаткової премiї ймовiрнiсть того, що застрахованийподасть позов, змiнюється та стає рiзною для рiзних категорiй. Цю рiзницю можна обчислити, розглядаючивиплати включно по той рiк, у якому досягається максимальний дисконт. Можливо, що застрахований небуде заглядати далеко в майбутнє, розумiючи, що все одно може подати принаймнi один позов протягомцього перiоду. Кiлькiсть рокiв, якi вiн бере до уваги, називають горизонтом застрахованого. Очевидно,ймовiрнiсть подання позову залежить вiд горизонту.

Приклад 6.4.1. Нехай пiд час страхування автотранспорту застосовують систему бонус-малус iз дискон-тними рiвнями 0%, 25% та 40%. У випадку подання одного чи кiлькох позовiв протягом року власник

67

полiса переходить на нижчий рiвень дисконту чи залишається без знижки. За вiдсутностi позовiв протягомроку вiн переходить до наступної категорiї з бiльшим дисконтом або залишається на рiвнi 40%.

Для кращих водiїв iмовiрнiсть аварiї становить 0,1, а для гiрших – 0,2. Ймовiрнiсть двох чи бiльшеаварiй протягом року настiльки мала, що нею можна знехтувати. Вартiсть ремонту є в.в. з лог-нормальнимрозподiлом з параметрами µ = 5, σ = 2. Повна рiчна страхова премiя дорiвнює 500.

У разi настання страхового випадку, власник полiса звертається з позовом лише тодi, коли вартiстьремонту перевищує рiзницю мiж

X сумою трьох рiчних премiй, якi треба заплатити у наступнi три роки пiсля аварiї в разi подання позовуна вiдшкодування вартостi ремонту, та

X сумою трьох рiчних премiй за умови, що позов не було подано.

В обох випадках припускають, що власник полiса бiльше не потрапить в аварiю протягом наступних двохрокiв.

Для кожного дисконтного рiвня знайдiть

1) вартiсть ремонту, нижче якої власник полiса не звертатиметься з позовом;

2) ймовiрнiсть того, що власник полiса звернеться з позовом;

3) розподiл кращих та гiрших водiїв по категорiям за умови досягнення стацiонарностi.

Розв’язання. 1) Трьох рокiв достатньо, щоб водiй досяг максимальної дисконтної категорiї. Обчи-слимо граничну вартiсть ремонту, нижче якої застрахований не буде подавати позов, для кожноїкатегорiї:

0% : 500 + 375 + 300− 375− 300− 300 = 200;

25% : 500 + 375 + 300− 300− 300− 300 = 275;

40% : 375 + 300 + 300− 300− 300− 300 = 75.

2) Умовна ймовiрнiсть того, що буде подано позов за умови настання страхової подiї, дорiвнюєймовiрностi того, що величина збиткiв перевищить граничну вартiсть ремонту, обчислену длякожної категорiї у п. 1).

Нехай в.в. X позначає фактичну вартiсть ремонту. Тодi X ∼ LN (µ, σ2), тобто

P(X ≥ x) = P(lnX ≥ lnx) = 1− P(lnX < lnx) = 1− Φ

(lnx− µ

σ

),

де Φ(x) – функцiя розподiлу стандартизованої нормально розподiленої в.в. Отже, для кожного зтрьох дисконтних рiвнiв iмовiрнiсть позову за умови настання страхової подiї дорiвнює

0% : 1− Φ

(ln 200− µ

σ

)= 1− Φ

(ln 200− 5

2

)= 1− Φ(0, 149) = 0, 441;

25% : 1− Φ

(ln 275− 5

2

)= 1− Φ(0, 308) = 0, 379;

40% : 1− Φ

(ln 75− 5

2

)= 1− Φ(−0, 341) = 0, 634.

3) Використовуючи формулу умовної ймовiрностi P(A) = P(A|B)P(B), де подiя A означає пода-ння позову, а подiя B – настання страхового випадку, знайдемо матрицю перехiдних ймовiрностейдля кращих водiїв.

P =

(0, 0441 0, 9559 00, 0379 0 0, 9621

0 0, 0634 0, 9366

).

Зокрема, p00 = 0, 441 · 0, 1 = 0, 0441, p01 = 1− p00 = 0, 9559, p10 = 0, 379 · 0, 1 = 0, 0379, p12 = 1− p10 =0, 9621, p21 = 0, 634 · 0, 1 = 0, 0634, p22 = 1− p21 = 0, 9366.

Стацiонарний розподiл є розв’язком рiвняння π = πP . Отримуємо систему рiвнянь

0, 0441π0 + 0, 0379π1 = π0;0, 9559π0 + 0, 0634π2 = π1;0, 9621π1 + 0, 9366π2 = π2;π0 + π1 + π2 = 1.

Звiдси π = (π0, π1, π2) = (0, 0024; 0, 6167; 0, 9359).Аналогiчно отримуємо матрицю перехiдних ймовiрностей для гiрших водiїв:

P =

(0, 0882 0, 9118 00, 0758 0 0, 9242

0 0, 1268 0, 8732

),

та вiдповiдний стацiонарний розподiл π = (0, 0099; 0, 1194; 0, 8706).

68

Приклад 6.4.2. Нехай система бонус-малус складається з чотирьох дисконтних категорiй з рiвнями зниж-ки 0%, 25%, 40% та 50% вiдповiдно. Правило, за яким застрахований переходить мiж категорiями, таке:

X якщо в поточному роцi не було позову, то застрахований переходить на наступний вищий рiвень чизалишається iз максимальною знижкою 50%;

X якщо в поточному роцi був принаймнi один позов, то застрахований переходить на нижчий рiвеньдисконту чи залишається без знижки.

Припускають, що для кожного застрахованого рiчна кiлькiсть позовiв має розподiл Пуассона з iнтенсивнiстюλ та досягнуто стацiонарного стану.

1) Нехай премiя, яку сплачує власник полiса на 0-му рiвнi дисконту, становить 500. Знайти формулу длярозрахунку середньої премiї.

2) Обчислити середню премiю, яку сплачує застрахований iз такими значеннями рiчної iнтенсивностi по-зовiв λ: (a) 0,12; (b) 0,24; (c) 0,36.

Розв’язання. 1)Позначимо середню премiю через Q, тодi Q = 500(π0 + 0, 75π1 + 0, 6π2 + 0, 5π3), деπ = (π0, π1, π2, π3) – невiдомий стацiонарний розподiл. Нехай N – кiлькiсть позовiв, що надiйшли вiдодного клiєнта протягом року. Тодi N має розподiл Пуассона, та, вiдповiдно, ймовiрнiсть вiдсутно-стi позовiв дорiвнює P(N = 0) = e−λ, а ймовiрнiсть того, що надiйде хоча б один позов, дорiвнюєP(N ≥ 1) = 1− e−λ. Таким чином, матриця перехiдних iмовiрностей має вигляд

P =

1− e−λ e−λ 0 01− e−λ 0 e−λ 0

0 1− e−λ 0 e−λ

0 0 1− e−λ e−λ

.

Розв’язуючи рiвняння π = πP , знаходимо стацiонарний розподiл

π =

(1

1 + k + k2 + k3,

k

1 + k + k2 + k3,

k2

1 + k + k2 + k3,

k3

1 + k + k2 + k3

), де k =

e−λ

1− e−λ.

Отже, середня премiя A = A(k) дорiвнює

A(k) = 500 · 1 + 0, 75k + 0, 6k2 + 0, 5k3

1 + k + k2 + k3.

2) По черзi пiдставимо конкретнi значення λ в отриманi формули для k, π та A:

(a) для λ = 0, 12 маємо k = 7, 843, та, вiдповiдно, A = A(7, 843) = 257, 789.

(b) для λ = 0, 24 значення k та A такi: k = 3, 687, середня премiя A = A(3, 687) = 270, 332.

(c) для λ = 0, 36 k = 2, 308, тодi середня премiя A = A(2, 308) = 288, 462.

6.5. Бонус-малус в законодавствi України

ЗАКОН УКРАЇНИ “Про обов’язкове страхування цивiльно-правової вiдповiдальностi власникiв назем-них транспортних засобiв”

Стаття 8. Бонус-малус

8.1. Для заохочення безаварiйної експлуатацiї транспортних засобiв, при укладаннi договорiв обов’язко-вого страхування цивiльно-правової вiдповiдальностi бiльше нiж на пiвроку, страховики мають право засто-совувати коефiцiєнт страхових тарифiв залежно вiд наявностi чи вiдсутностi страхових випадкiв з вини осiб,вiдповiдальнiсть яких застрахована, в перiод дiї попереднiх договорiв обов’язкового страхування цивiльно-правової вiдповiдальностi (бонус-малус), який розраховується кожним iз страховикiв з урахуванням поло-жень пункту 7.1 статтi 7 цього Закону.

69

Клас на Коефiцiєнт Клас по закiнченню строку страхуванняпочаток з урахуванням наявностi страховихстроку випадкiв з вини страхувальника

страхування0 1 2 3

страхових страхова страховi страховiвиплат виплата виплати виплати

М 2.45 0 М М М0 2.3 1 М М М1 1.55 2 М М М2 1.4 3 1 М М3 1 4 1 М М4 0.95 5 2 М М5 0.9 6 3 1 М6 0.85 7 4 1 М7 0.8 8 4 1 М8 0.75 9 5 2 М9 0.7 10 5 2 110 0.65 11 6 2 111 0.6 12 6 2 112 0.55 13 6 2 113 0.5 13 7 2 1

(Пункт 8.1 статтi 8 в редакцiї Закону N 2902-IV вiд 22.09.2005)8.2. При укладаннi договору обов’язкового страхування цивiльно-правової вiдповiдальностi страхуваль-

нику присвоюється клас залежно вiд частоти страхових випадкiв, якi виникли з вини особи, вiдповiдальнiстьякої застрахована.

8.3. При укладаннi договору обов’язкового страхування цивiльно-правової вiдповiдальностi впершестрахувальнику присвоюється клас 3.

8.4. Залежно вiд кiлькостi страхових випадкiв, якi виникли у перiод дiї попереднiх договорiв обов’язко-вого страхування цивiльно-правової вiдповiдальностi при укладаннi з ним такого договору на новий строк,застосовується пiдвищуючий коефiцiєнт страхового тарифу з присвоєнням бiльш низького класу до най-нижчого - М чи з урахуванням безаварiйної експлуатацiї транспортного засобу та при вiдсутностi страховихвипадкiв, якi виникли з вини страхувальника, - понижуючий коефiцiєнт з присвоєнням бiльш високого класу.

6.6. ЗадачiВправа 6.1. Нехай система бонус-малус має два рiвнi дисконту: 0% та 100d%. Якщо застрахований не звер-тається з позовом протягом року, то вiн переходить на вищий рiвень дисконту 1. Навпаки, якщо вiд ньогонадходить позов, то опиниться на рiвнi 0. Iмовiрнiсть того, що вiд застрахованого протягом року надiйдевимога на виплату, дорiвнює q, 0 < q < 1. Припустимо, що величина премiї на 0-му рiвнi дорiвнює Π.

i) Записати матрицю перехiдних iмовiрностей та стацiонарний розподiл.

ii) Знайти таке значення d, яке для q = 0, 2 призводить до середньої очiкуваної премiї в 1,5 рази бiльшоїнiж для q = 0, 1.

Вправа 6.2. Страхова компанiя використовує систему бонус-малус з п’ятьма рiвнями знижок: −20%, 0%,20%, 30% та 40%. Правило переходу клiєнтiв мiж рiвнями таке:

X початкова знижка для нового клiєнта становить 0%;

X якщо протягом року не було жодного позову, застрахований переходить на наступний рiвень дисконтуабо залишається на максимальному;

X якщо протягом року був принаймнi один позов, застрахований iз 30% та 40% рiвнiв знижки опускаєтьсяна рiвень 0%, а з рiвнiв −20%, 0% та 20% – на рiвень 0%.

Щорiчна повна премiя дорiвнює £600. У разi настання страхової подiї величина збиткiв розподiлена запоказниковим законом iз середнiм £1 750.

Застрахований звертається з позовом, якщо збитки вiд страхової подiї бiльшi за додаткову премiю занаступнi 4 роки, за умови, що страхових подiй бiльше не буде.

i) Для кожного рiвня дисконту обчислiть найменшу величину збиткiв, за якої клiєнт звернеться з позовом.

ii) Для кожного рiвня дисконту знайдiть iмовiрнiсть подання позову у разi настання страхової подiї.

iii) Нехай у поточному роцi кiлькiсть клiєнтiв на кожному рiвнi дисконту однакова, а ймовiрнiсть того, щозастрахований протягом року не матиме страхових подiй дорiвнює 0,9. Обчислiть очiкувану кiлькiстьклiєнтiв на кожному рiвнi дисконту в наступному роцi.

Вправа 6.3. Страхова компанiя використовує систему бонус-малус з трьома рiвнями знижок: 0%, 25% та 50%.Якщо власник полiсу подає позов, то вiн залишається чи спускається до 0% дисконтного рiвня на два

роки. Iнакше вiн переходить на наступний рiвень знижки чи залишається на максимальному рiвнi 50%.Ймовiрнiсть потрапити в аварiю залежить вiд дисконтного рiвня:

70

Дисконтний рiвень Ймовiрнiсть аварiї0% 0,2525% 0,250% 0,1

Величина повної премiї, яку виплачують на рiвнi 0%, дорiвнює 750. Припускають, що величина збиткiврозподiлена за логнормальним законом iз середнiм 1 451 та стандартним вiдхилом 604,4.

Власник полiса звертатиметься з позовом лише тодi, коли збитки бiльшi за сумарнi додатковi премiї занаступнi три роки, за умови, що страхових подiй бiльше не буде.

i) Для кожного з чотирьох станiв у бонус-малус системi обчислiть найменшу величину збиткiв, за якоїклiєнт звернеться з позовом.

ii) Визначте матрицю перехiдних iмовiрностей.

iii) Обчислiть частку власникiв полiсiв на кожному дисконтному рiвнi, коли досягнуто стацiонарного стану.

iv) Визначте середню величину премiї, яку сплачуватимуть пiсля того, як система досягне стацiонарногостану.

v) Опишiть обмеження, накладенi на просту систему бонус-малус, подiбну до розглянутої у цiй задачi.

Вправа 6.4. Cистема бонус-малус страхування автотранспорту має три рiвнi знижок: 0%, 25% та 40%. Пра-вила переходу мiж категорiями такi:

X пiсля року без подання позовiв власник страхового полiсу переходить на наступний вищий рiвень зниж-ки чи залишається на рiвнi 40%;

X пiсля року, в якому було подано один чи бiльше позовiв, власник полiсу з рiвня 40% переходить нарiвень знижки 25%, а з рiвнiв 25% та 0% переходить чи залишається на рiвнi знижки 0%.

Повна премiя для кожного власника полiса дорiвнює £1000. Пiсля потрапляння в аварiю власник полiсавирiшує, подавати позов чи нi, зважаючи на сумарнi додатковi премiї за наступнi два роки, за умови, щострахових подiй бiльше не буде.

i) Для кожного з дисконтних рiвнiв знайдiть граничну величину збиткiв, за якої клiєнт звернеться з позо-вом.

ii) Ймовiрнiсть уникнути аварiї для довiльного року дорiвнює 0,88. Припускають, що величина збиткiв роз-подiлена за логнормальним законом iз середнiм 6 та стандартним вiдхилом 3,33. Iгноруючи можливiстьтого, що протягом року може статися бiльше нiж одна аварiя, обчислiть перехiдну матрицю.

iii) Знайдiть стацiонарний розподiл.

iv) Обчислiть стацiонарний розподiл за альтернативного припущення, що власник полiса пiсля аварiї завждиподає позов, незважаючи на величину збиткiв.

v) Прокоментуйте вiдмiннiсть у результатах пунктiв iii) та iv).

Вправа 6.5. Cистема бонус-малус страхової компанiї має такий вигляд:

Рiвень 0 0%Рiвень 1 25%Рiвень 2 50%

Премiя на рiвнi 0 становить £800. Ймовiрнiсть того, що власник полiса матиме страхову подiю протягомроку, дорiвнює 0,2. Також припускають, що вiн не може мати бiльше одного страхового випадку протягомроку.

В разi вiдсутностi позовiв протягом року власник полiсу переходить на наступний вищий рiвень дис-конту або залишається на рiвнi 2. Якщо протягом року було подано позов, вiн переходить на наступнийнижчий рiвень дисконту або залишається на рiвнi 0.

Пiсля настання страхової подiї власник полiса вирiшує, подавати позов чи нi, зважаючи на величинузбиткiв та величини премiй у наступнi два роки, за умови, що позовiв бiльше не буде.

i) Для кожного з дисконтних рiвнiв знайдiть найменшу величину збиткiв, за якої клiєнт звернеться зпозовом.

ii) Припускаючи, що вартiсть ремонту пiсля кожної аварiї має експоненцiйний розподiл iз середнiм £600,обчислiть ймовiрностi подання позову для кожного рiвня.

iii) Запишiть матрицю перехiдних iмовiрностей та обчислiть середню величину премiї для року, в якомудосягнуто стацiонарного розподiлу.

Вправа 6.6. Страхова компанiя використовує трирiвневу систему бонус-малус: 0%, 30% та 60% знижки. Пра-вила переходу мiж категорiями такi:

71

X якщо власник страхового полiсу протягом року не подав жодного позову, то наступного року вiн пере-ходить до вищого (чи залишається найвищому) дисконтного рiвня.

X якщо протягом року було подано принаймнi один позов, то наступного року власник полiсу переходить(чи залишається) на 0% рiвень.

Припустимо, що ймовiрнiсть подання позову власником полiса не залежить вiд дисконтного рiвня та дорiвнюєp, а величина премiї за вiдсутностi знижки становить c.

i) Запишiть матрицю ймовiрностей переходу.

ii) Знайдiть стацiонарний розподiл власникiв полiсiв на кожному дисконтному рiвнi (у термiнах p).

iii) (a) Обчислiть величину середньої премiї A у термiнах p та c.

(b) Розглядаючи значення A для p = 0, 9 (A0,9) та p = 0, 8 (A0,8), зробiть висновок про ефективнiстьданої системи бонус-малус.

(c) Компанiя хоче змiнити бонус-малус систему так, щоб дисконтнi рiвнi були 0%, 100d% та 200d% (употочнiй системi знижок d = 0, 3). Визначте таке d, щоб A0,8 = 1, 5A0,9, та прокоментуйте отриманийрезультат.

Вправа 6.7. Страхова компанiя використовує чотирирiвневу систему бонус-малус: 0%, 25%, 50% та 75%. Пра-вила переходу мiж категорiями такi:

X якщо протягом року не було подано жодного позову, то власник полiсу отримує знижку вищого дис-контного рiвня чи залишається зi знижкою 75%.

X якщо протягом року було подано один позов, то власник полiсу спускається на один рiвень нижче чизалишається на 0% рiвнi.

X якщо було подано два чи бiльше позовiв, власник полiсу опиняється чи залишається на рiвнi 0%.

Власники полiсiв на рiзних рiвнях знижок подають позови з рiзною iнтенсивнiстю. Кiлькiсть позовiв протягомроку має розподiл Пуассона з таким параметром λ, який вiдповiдно до рiвня дорiвнює:

Рiвень 0% 25% 50% 75%λ 0,29 0,22 0,18 0,10

i) Отримайте матрицю ймовiрностей переходу.

ii) Знайдiть стацiонарний розподiл власникiв полiсiв по дисконтним рiвням.

Вправа 6.8. У системi бонус-малус страхування автотранспорту є три рiвнi дисконту: 0%, 20% та 30%. Повнарiчна премiя становить £190. Якщо протягом року не було подано жодного позову, то власник полiсу отри-мує знижку вищого дисконтного рiвня чи залишається зi знижкою 30%. Якщо протягом року було поданопринаймнi один позов, то власник полiсу втрачає знижку.

Ймовiрнiсть того, що протягом року власник полiсу матиме страхову подiю, дорiвнює 0,1, а ймовiрнiстьбiльш нiж однiєї страхової подiї є несуттєвою. У разi настання страхової подiї натуральний логарифм вiдвеличини збиткiв має нормальний розподiл з середнiм µ = 4, 5 та дисперсiєю σ2 = 0, 84. Власник полiсубуде подавати позов лише тодi, коли втрати перевищують сумарну величину вiд додаткових премiй длянескiнченного часового горизонту за умови, що бiльше страхових подiй не вiдбудеться.

i) Визначте матрицю ймовiрностей переходу для маркiвського ланцюга X1, . . . , Xn, де Xn – дисконтнийрiвень на початку року n.

ii) Обчислiть очiкувану премiю для власника полiса на початку наступного року, якщо у поточному роцiвiн сплачує повну премiю.

Вправа 6.9. Система бонус-малус для певного класу полiсiв рiчного страхування має три рiвнi дисконту: 0%,30% та 50%. Якщо протягом року не було подано жодного позову, то власник полiсу отримує знижку вищогодисконтного рiвня чи залишається зi знижкою 50%. Якщо протягом року було подано принаймнi один позов,то власник полiсу переходить на нижчий рiвень знижки чи залишається на рiвнi 0%.

Ймовiрнiсть того, що протягом року власник полiсу подасть хоча б один позов, дорiвнює:

X p для 0% дисконтної категорiї;

X 0, 8p для 30% дисконтної категорiї;

X 0, 6p для 50% дисконтної категорiї.

Величина премiї на 0%-му дисконтному рiвнi становить c.

i) Запишiть матрицю ймовiрностей переходу у термiнах p.

ii) Знайдiть стацiонарний розподiл власникiв полiсiв по дисконтним рiвням у термiнах p.

72

iii) Чому в середньому дорiвнює сплачувана премiя A(p; c) пiсля досягнення стацiонарного стану системи?

iv) Припустимо, що страхова компанiя обчислює премiї для цього класу страхування, роздiляючи власни-кiв полiсiв на два типи. Вiдомо, що перший тип має p = 0, 1, а другий – p = 0, 15. Премiя, встановленадля першого типу власникiв полiсiв на 0%-му дисконтному рiвнi дорiвнює 1 000. Iгноруючи витратита прибуткове навантаження, а також припускаючи, що всi iншi характеристики цих ризикiв одна-ковi, обчислiть таке значення c премiї на 0%-му дисконтному рiвнi для другого типу власникiв, щобA(0, 15; c) = 1, 5A(0, 1; 1000).

73

74

Роздiл 7

Баєсiвське оцiнювання ризику

7.1. Математичне формулювання задачi оцiнювання ризику7.1.1. Iндивiдуальний ризик

Iндивiдуальний ризик можна розглядати як “чорний ящик”, який продукує величини сумарних збиткiвXj , j = 1, 2, . . . , n, де Xj позначає величину позовiв за рiк j (або iнший страховий перiод j). Прикладами“чорного ящика”, пов’язаного з iндивiдуальним ризиком, є:

• iндивiдуальний водiй у страхуваннi цивiльно-правової вiдповiдальностi;

• група застрахованих осiб у страхуваннi життя;

• всi працiвники фiрми у страхуваннi вiд нещасних випадкiв на виробництвi;

• компанiя-цедент у перестрахуваннi.

На основi спостережень за попереднi перiоди X = (X1, . . . , Xn) ми хочемо визначити ризикову премiюдля сумарних виплат у майбутньому перiодi, наприклад, Xn+1. Для цього треба зробити певнi припущеннястосовно функцiї розподiлу в.в. Xj . Найпростiшi стандартнi припущення є наступними.

Припущення 7.1.A1) Стацiонарнiсть: всi в.в. Xj однаково розподiленi з (умовною) функцiєю розподiлу F (x).

A2) (Умовна) незалежнiсть: в.в. Xj, j = 1, 2, . . . , є (умовно) незалежними (вiдносно даного розподiлуF (x)).

Припущення стацiонарностi дозволяє встановити зв’язок мiж минулим та майбутнiм. Це припущеннячи, можливо, слабше завжди потрiбне для обчислення страхових премiй на основi iсторичних даних. Надалiприпущення А1) (сильної) стацiонарностi буде послаблене i узагальнене. На практицi стацiонарностi можнадосягти, роблячи коригування вiдносно iнфляцiї, iндексацiї, усунення тренду тощо. (Умовну) незалежнiстьпояснимо дещо згодом.

Зазвичай у страховiй практицi мають справу з такими ситуацiями:

i) F невiдома;

ii) F змiнюється вiд ризику до ризику.

Для того, щоб чiткiше формалiзувати i) та ii), використаємо звичайну познаку математичної статисти-ки: проiндексуємо F за параметром ν та будемо писати Fν , маючи на увазi, що:

• значення ν невiдоме;

• ν змiнюється вiд ризику до ризику.

Зауваження 7.1.1. Параметризацiя можлива завжди. Загалом, вважатимемо ν елементом деякого абстра-ктного простору Θ. Будемо казати, що ν задає профiль ризику.

7.1.2. Точна iндивiдуальна премiя

Пiд принципом H обчислення премiї будемо розумiти функцiю, яка ставить у вiдповiднiсть дiйсне числов.в. X з функцiєю розподiлу F (x), тобто

X 7→ H(X)або, вказуючи на те, що значення H залежить саме вiд F ,

F 7→ H(F ).

Найбiльш вiдомими є наступнi класичнi принципи обчислення стахової премiї.

• Принцип очiкуваного значення: X 7→ (1 + α)EX, α > 0.

• Принцип стандартного вiдхилу: X 7→ EX + βσX , β > 0.

• Принцип дисперсiї: X 7→ EX + γDX, γ > 0.

• Експоненцiйний принцип: X 7→ 1δ lnEeδX , δ > 0.

Для кожного з цих принципiв премiю H(X) можна розкласти на нетто-премiю EX та додатне наван-таження на ризик, яке визначають за допомогою параметрiв α, β, γ чи δ. Економiчна потреба у наванта-женнi на ризик пояснюється тим фактом, що страховим компанiям потрiбен ризиковий капiтал для того,щоб управлятися iз волатильнiстю страхових результатiв та щоб бути спроможними виконати зобов’язанняперед застрахованими у несприятливий рiк. Iнвестори теж потребують компенсацiї за пiддавання ризикусвого капiталу. Навантаження на ризик компенсує цей ризик i може розглядатися як вартiсть ризиковогокапiталу.

75

Застосовуючи принцип обчислення ризику H, отримана точна iндивiдуальна премiя (для ризику з про-фiлем ν) дорiвнюватиме H(Fν). Тут ми розглядатимемо лише нетто-премiї. Отже, перейдемо до визначення.

Точна iндивiдуальна премiя1 за ризиком iз профiлем ν дорiвнює

P ind(ν) = E(Xn+1|ν) ≡ µ(ν). (7.1)

Точну iндивiдуальну премiю iнодi називають чесною премiєю. З метою спрощення познак надалi писатимемоEν замiсть E(·|Fν) чи E(·|ν).

Задачу оцiнювання iндивiдуального ризику можна описати як визначення величини µ(ν). Однак у

страховiй практицi значення як ν, так i µ(ν) невiдомi. Отже, треба знайти оцiнку µ(ν).

7.1.3. Задача оцiнювання ризику в колективi

Страхова компанiя страхує багато видiв ризику. Щоб оцiнити, їх групують за класами “подiбностi”,використовуючи так званi “об’єктивнi” характеристики. У страхуваннi автотранспорту прикладами такиххарактеристик ризику є об’єм двигуна, рiк виготовлення автомобiля та вiдношення потужнiсть/маса, а та-кож такi iндивiдуальнi характеристики, як вiк водiя, стать та регiон. У страхуваннi пiдприємств вiд пожежважливими характеристиками можуть бути тип конструкцiї застрахованої будiвлi, вид бiзнесу, який у нiйведеться, чи наявнi засоби пожежогасiння. На практицi питання, як точно формуються такi групи, є важли-вим, але воно не є предметом дослiдження даної книги. Важливим для нас є те, що ми не розглядаємо коженризик окремо, а дослiджуємо його разом iз групою “подiбних” ризикiв, яку називають колективом.

Розглянемо наступну ситуацiю: нехай кожен ризик i у колективi характеризується своїм iндивiдуальнимпрофiлем νi. Параметри νi – це елементи множини Θ, де Θ – множина усiх можливих значень (невiдомих)профiлiв ризику в колективi. Якщо колектив однорiдний, то Θ складається лише з однiєї точки. Це вiдпо-вiдає класичнiй точцi зору страхування: кожен член колективу має такий самий ризиковий профiль, а томуi однакову функцiю розподiлу вiдповiдної величини сумарних позовiв. Однак групи чи колективи, якi роз-глядають у страхування, в бiльшостi неоднорiднi. Iнакше кажучи, значення параметра ν ризикiв у колективiне однаковi, швидше вони є вибiрками, взятими з множини Θ, що мiстить бiльше одного елемента. Але, хочризики у колективi i рiзнi, всi вони належать до одного колективу, тобто взятi з тiєї самої множини Θ. Це iозначає Θ. Це i означає “подiбнiсть” ризикiв у колективi.

Конкретнi значення ν, якi вiдповiдають рiзним ризикам у колективi, зазвичай страховику невiдомi. Але,маючи певну попередню2 (“апрiорну”), зокрема статистичну, iнформацiю, страховик дещо знає про структуруколективу. Наприклад, вiн знає, що бiльшiсть водiїв є “кращими” ризиками, бо зрiдка подають позови, i лишевiд малої частки водiїв позови виникають часто. Формально (принаймнi теоретично) цю iнформацiю можнавиразити через iмовiрнiсний розподiл U(ν), заданий на параметричному просторi Θ.

Ймовiрнiсний розподiл U(ν) називають структурною функцiєю колективу. Iнтерпретувати U(ν) можнакiлькома способами.

• У частотнiй iнтерпретацiї розглядають значення ν у колективi як випадкову вибiрку з деякої фiксова-ної множини Θ. Тодi функцiя U(ν) описує iдеалiзованi частоти ν на множинi Θ. Таку iнтерпретацiюназивають емпiрично баєсiвською.

• У чисто баєсiвськiй iнтерпретацiї функцiю розподiлу U(ν) розглядають як опис персональних уявлень,апрiорне знання та досвiд актуарiя.

У попередньому параграфi ми визначили точну iндивiдуальну премiю. Визначимо тепер колективну премiю3

за такою формулою:P coll =

w

Θ

µ(ν)dU(ν) ≡ µ0. (7.2)

Ще раз придивимося до цих двох премiй. “Точна” iндивiдуальна премiя дорiвнює P ind(ν) = µ(ν) =EνXn+1, тобто очiкуванiй величинi позову за iндивiдуальним ризиком iз профiлем ν за оцiнюваний перiодn + 1. Оскiльки ν невiдоме страховику, значення µ(ν) теж невiдоме. Для того, щоб оцiнити цю премiю,у своєму розпорядженнi страховик має iнформацiю про надходження позовiв за цим ризиком за кiлькапопереднiх перiодiв. Однак, часто ця iнформацiя досить обмежена i має мале прогнозне значення.

Колективна премiя P coll = µ0 =rΘµ(ν)dU(ν) дорiвнює середнiй очiкуванiй величинi iндивiдуального

позову за всiма ризиками в колективi. У бiльшостi випадкiв це значення теж невiдоме страховику. Однак, навiдмiну вiд iндивiдуальної премiї, у колективах нормального розмiру цю премiю можна оцiнити зi значноюточнiстю на основi минулих спостережень.

Для страхової компанiї здатнiсть обчислювати колективну премiю (також вiдому як рiвень тарифу)за важливiстю займає центральне мiсце. Якщо страховик вимагає однакову премiю P coll вiд кожного членаколективу, рахунки будуть збалансованими, тобто зiбранi премiї дорiвнюватимуть сумарнiй величинi позовiв(очiкуваному значенню). Тодi виникає питання, навiщо страхова компанiя зацiкавлена у точнiй iндивiдуаль-нiй премiї. Вiдповiдь проста i повнiстю вкладається у наступну тезу.

Найбiльш конкурентним тарифом є точна iндивiдуальна премiя.

Саме конкуренцiя змушує компанiї пропонувати якомога чеснiшi тарифи. Коли компанiя встановлюєтарифи на одному рiвнi для всiх ризикiв у неоднорiдному колективi, кращi ризики платитимуть забагато,

1Correct individual premium (англ.)2prior (англ.)3Collective premium (англ.)

76

а гiршi – замало. Якщо конкуруюча компанiя запропонує тарифи, якi бiльш диференцiйованi та чеснi, то їїпремiї для кращих ризикiв будуть дешевшими. У порiвняннi з першою, друга компанiя привабливiша длякращих ризикiв, але не для гiрших. Це може призвести до катастрофiчних наслiдкiв для першої компанiї:вона втратить кращi ризики i збiльшить кiлькiсть гiрших. Страховики називають таку ситуацiю антивiдбо-ром. У термiнах цього параграфу це означає, що колектив змiнився i структурна функцiя страховика сталаменш сприятливою.

7.1.4. Баєсiвська статистика

Математично проблему оцiнювання колективного ризику можна описати у термiнах баєсiвської стати-стики.

Кожен ризик характеризується своїм iндивiдуальним профiлем ν, який у свою чергу є реалiзацiєю в.в.W , заданої на параметричному просторi Θ, причому

i) за умови подiї W = ν в.в. X1, X2, . . . н.о.р. з функцiєю розподiлу Fν ;

ii) W є в.в. з функцiєю розподiлу U .

Зауваження 7.1.2. У цiй моделi iндивiдуальна премiя теж стає в.в. µ(W ). Ми не знаємо її точного значення,але дещо знаємо про можливi значення µ(W ) та з якою ймовiрнiстю вони здiйснюються. Тому природнорозглядати µ(W ) як в.в. Визначимо iндивiдуальну премiю через умовне математичне сподiвання

P ind = µ(W ) = E(Xn+1|W ),

тому дiйсно P ind – в.в. Пiдкреслимо вiдмiннiсть цiєї познаки вiд точної iндивiдуальної премiї, введеної у (7.1).Колективна премiя

P coll = µ0 =w

Θ

µ(ν)dU(ν) = EXn+1,

є безумовним математичним сподiванням, а значить, детермiнованою величиною.

Зауваження 7.1.3. За вiдсутностi будь-якої попередньої iнформацiї всi ризики рiвнi. Якщо ми знаємо лишете, що у портфелi є кращi та гiршi ризики, то не можемо апрiорi бачити, до якого класу належить ризик.Лише апостерiорi, пiсля зроблених спостережень за iндивiдуальним ризиком можна робити висновки. Цезауваження формалiзує нашi iнтуїтивнi уявлення про колектив, як групу рiзних, проте подiбних ризикiв.

Зауваження 7.1.4. Повертаючись до припущення А2), зауважимо, що в.в.X1, X2, . . . лише умовно незалежнiпри заданому значеннi W . Коли розглядати безумовно, вони додатно корельованi. Дiйсно,

cov(X1, X2) = E(cov(X1, X2)|W ) + cov(E(X1|W ),E(X2|W )) = cov(µ(W ), µ(W )) = Dµ(W ).

Для кожного ризику треба оцiнити точну премiю µ(W ) якомога точнiше. Однiєю з потенцiйних оцiнокє колективна премiя µ0, тобто премiю для конкретного розглянутого ризику оцiнюють за допомогою усере-днення очiкуваних значень за всiм колективом. Таку оцiнку можна використовувати для нового ризику, уякого ще немає набутої iсторiї позовiв. Однак ця оцiнка не бере до уваги iндивiдуальний досвiд. Якщо ризикспостерiгався протягом n рокiв, а X позначає вектор сумарних величин позовiв за цей перiод, то необхiдно до-лучити цю iнформацiю до процесу оцiнювання. Таким чином, виникає премiя найкращого набутого досвiду,яка ґрунтується на векторi X iсторiї iндивiдуальних позовiв. Її називають баєсiвською премiю i визначаютьза формулою:

P ∗ = µ(W ) = E(µ(W )|X). (7.3)

Приклад 7.1.1. Розглянемо iндивiдуальний ризик, який може спричинити за один рiк загальну величинупозовiв, рiвну або 10 000, або 0 (позовiв не було).

Цей iндивiдуальний ризик належить до колективу, який мiстить три типи ризикiв: кращi (65%),помiрнi (30%) та гiршi (5%). Умовний розподiл задано таблицею

Умовнi ймовiрностiЗагальна сума позовiв Кращi Помiрнi Гiршi

0 97% 95% 90%10 000 3% 5% 10%

i) Обчислiть P ind та P coll.

ii) Припустимо, що страховик спостерiгав за iндивiдуальним ризиком протягом одного року. Знайдiть P ∗

для всiх можливих спостережень (сумарної величини позовiв 0 чи 10 000).

iii) Обчислiть P ∗ для всiх можливих спостережень у разi, коли наявний дворiчний досвiд за позовамита за звичайного припущення про умовну незалежнiсть позовiв мiж двома роками за умови даногопараметру ризику W .

Розв’язання. i) Нехай X – сумарна величина позовiв за рiк. Позначимо можливi значення параме-тру ризику W : кращi, помiрнi, гiршi – через ν1, ν2, ν3 вiдповiдно. Тодi за формулою (7.1)

P ind(ν1) = 0 · P(X = 0|W = ν1) + 10 000 · P(X = 10 000|W = ν1) = 300;

77

P ind(ν2) = 500; P ind(ν3) = 1 000.Оскiльки структурна функцiя колективу U(ν) = P(W = ν) має вигляд: U(ν1) = 0, 65, U(ν2) = 0, 3,U(ν3) = 0, 05, то за формулою (7.2) знаходимо значення колективної премiї:

Pcoll =

3∑

i=1

P ind(νi)U(νi) = 395.

ii) Використовуючи формулу Баєса (1.2), обчислимо апостерiорнi ймовiрностi

U(ν|x) = Fν(x)U(ν)3∑

i=1

Fνi(x)U(νi)

та P ∗ = E(P ind|X = x) =3∑

i=1

P ind(νi)U(νi|x). Маємо

W ν1 ν2 ν3x P ind 300 500 1 000 P ∗

0 U(ν|x) 0,6564 0,2967 0,469 392,1410 000 U(ν|x) 0,4937 0,3797 0,1266 464,56

iii) Спостереження X = (X1, X2) тепер є двовимiрним вектором iз можливими значеннямиx1 = (0, 0), x2 = (10 000, 0), x3 = (0, 10 000), x4 = (10 000, 10 000).

З умовної незалежностi позовiв випливає, що Fν(x) = Fν(x1, x2) = Fν(x1)Fν(x2). Тодi знову заформулою Баєса (1.2) обчислимо апостерiорнi ймовiрностi

U(ν|x) = Fν(x)U(ν)3∑

i=1

Fνi(x)U(νi)

та P ∗ = E(P ind|X = x) =3∑

i=1

P ind(νi)U(νi|x). Маємо

W ν1 ν2 ν3x P ind 300 500 1 000 P ∗

x1 U(ν|x) 0,6627 0,2934 0,439 389,40x2 U(ν|x) 0,5022 0,3783 0,1195 459,30x3 U(ν|x) 0,5022 0,3783 0,1195 459,30x4 U(ν|x) 0,3188 0,4087 0,2725 572,48

Для бiльш глибокого дослiдження властивостей баєсiвської премiї скористаємося апаратом статисти-чної теорiї прийняття рiшень. Вона допоможе зрозумiти, в якому сенсi премiя P ∗ є “найкращою” i чому їїназивають баєсiвською.

7.2. Елементи статистичної теорiї прийняття рiшеньРозглянемо експеримент, можливi результати якого ν належать простору Θ. Припустимо, що стати-

стик, не знаючи ще результату експерименту, приймає рiшення, наслiдки якого залежать вiд результатуексперименту. Нехай D позначає простiр усiх можливих рiшень d, якi може прийняти статистик, а фун-кцiя L(ν, d) : Θ×D 7→ R вiдображає збитки статистики вiд прийняття рiшення d, коли значення невiдомогорезультата експерименту W набуває значення ν.

Будемо вважати, що задано (фiксований) розподiл ймовiрностей U на просторi результатiв експери-менту Θ, тобто U – вимiрна функцiя вiдносно деякої σ-алгебри F пiдмножин Θ.

Для будь-якого фiксованого рiшення d ∈ D функцiя L визначає розподiл ймовiрностей Ud. Зокрема,для будь-якого x ∈ R значення Ud(x) визначається наступним чином:

Ud(x) = P(L(W,d) < x) = P(ν ∈ Θ: L(ν, d) < x). (7.4)

Для того, щоб розподiл Ud з (7.4) був коректно визначений, необхiдно, щоб виконувалась така умова: длядовiльного x ∈ R множина ν ∈ Θ: L(ν, d) < x належить σ-алгебрi F . Припустимо, що ця умова виконанадля будь-якого рiшення d ∈ D. Тодi для кожного розподiлу ймовiрностей Ud, для якого функцiя L iнтегровна,середню збитковiсть E(L|Ud) можна обчислити за формулою

E(L|Ud) =w

Θ

L(ν, d)dU(ν). (7.5)

Статистик повинен вибирати рiшення d, що мiнiмiзує E(L|Ud). Коли рiшення приймають без iнформацiїпро результат W експерименту, W називають параметром, а множину Θ можливих значень W – параметри-чним простором.

Отже, задача прийняття рiшень визначається параметричним простором Θ, простором рiшень D iдiйснозначною функцiєю втрат L, яка визначена на добутку Θ×D. При будь-якому (ν, d) ∈ Θ×D число L(ν, d)

78

є збиток статистика вiд прийняття рiшення d, коли значення параметра W дорiвнює ν. Передбачається, щоL(·, d) є F-вимiрною функцiєю на просторi Θ при всiх d ∈ D.

Нехай параметр W – це в.в. iз заданим розподiлом iмовiрностей U(ν), ν ∈ Θ. Для довiльного рiшенняd ∈ D середнiй збиток R(d), який називають ризиком, визначають за формулою

R(d) = R(d, U) =w

Θ

L (ν, d) dU(ν). (7.6)

Ми будемо вважати, що iнтеграл у (7.6) скiнченний для всiх d ∈ D. Рiшення d, для яких це припущення невиконане, як правило, можуть бути виключенi з множини D. Зi спiввiдношення (7.5) випливає, що статистиквибирає рiшення d, яке мiнiмiзує ризик R(d).

7.2.1. Баєсiвський ризик та баєсiвськi рiшення

Розглянемо задачу прийняття рiшення з параметричним простором Θ, простором рiшень D i функцiєювтрат L(ν, d). Для будь-якого розподiлу U значень параметра W баєсiвський ризик R∗ = R∗(U) визначаютьяк точну нижню границю ризикiв R (d), коли рiшення d ∈ D, тобто

R∗ = infd∈D

R (d) . (7.7)

Рiшення d∗, ризик вiд якого дорiвнює баєсiвському ризику, називають баєсiвським рiшенням за розподiлуU . Отже, рiшення d∗ називають баєсiвським за розподiлу U тодi i лише тодi, коли R (d∗) = R∗.

Якщо U є розподiлом параметра W , то будь-яке баєсiвське рiшення за U буде оптимальним для ста-тистика, оскiльки нi при якому iншому рiшеннi ризик не може бути меншим. Можливо, однак, що жоднерiшення з класу D не буде баєсiвським. Ця ситуацiя реалiзується в тому випадку, коли нижня границя у(7.7) не досягається на множинi D. У цьому випадку статистику варто вибирати рiшення d ∈ D, для якогоризик R (d) досить мало вiдрiзняється вiд баєсiвського. Оскiльки цi труднощi не є основними нi в теорiї, нi впрактицi прийняття рiшень, ми будемо, як правило, припускати надалi, що для всiх розподiлiв U баєсiвськийризик R∗ досягається за деякого рiшення d ∈ D.

Розглянемо тепер приклади.

Приклад 7.2.1. Розглянемо задачу прийняття рiшень, у якiй параметричний простiр Θ = ν1, ν2, ν3, ν4,простiр рiшень D = d1, d2, d3, а функцiя втрат L(ν, d) задана таблицею 7.1 нижче. Припустимо, щорозподiл ймовiрностей U(ν) = P(W = ν) параметра W такий: U (ν1) = 1

8 , U (ν2) = 38 , U (ν3) = 1

4 таU (ν4) =

14 . Знайдемо баєсiвське рiшення за такого розподiлу U .

Табл.7.1d1 d2 d3

ν1 0 2 3ν2 1 0 2ν3 3 4 0ν4 1 2 0

Розв’язання. Обчислимо ризик при заданому розподiлi ймовiрностей:

R (d) =w

Θ

L (ν, d) dU (ν) =4∑

i=1

L (νi, d)U (νi) =1

8L (ν1, d) +

3

8L (ν2, d) +

1

4L (ν3, d) +

1

4L (ν4, d) .

Враховуючи значення функцiї втрат L(ν, d), отримаємо

R (d1) =1

8(0 + 3 + 6 + 2) =

11

8;

R (d2) =1

8(2 + 0 + 8 + 4) =

14

8;

R (d3) =1

8(3 + 6 + 0 + 0) =

9

8.

Звiдси визначаємо баєсiвський ризик:

R∗ = infd∈D

R (d) = R (d3) =9

8.

Отже, d∗ = d3 – баєсiвське рiшення.

Приклад 7.2.2. Нехай параметричний простiр Θ складається з двох точок 0 i 1, а простiр рiшень Dскладається з усiх чисел d iнтервалу 0 ≤ d ≤ 1. Нехай функцiя втрат L(ν, d), ν ∈ Θ, d ∈ D, визначаєтьсяза

L (ν, d) = |ν − d|α, (7.8)де α ≥ 1 – задане число. Нехай розподiл ймовiрностей U(ν) = P(W = ν) параметра W такий: U(0) = 3

4 ,U(1) = 1

4 . Знайти баєсiвське рiшення за такого розподiлу U .

79

Розв’язання. a) Розглянемо спочатку випадок, коли параметр α = 1. Тодi для всякого рiшення d ∈ Dризик R(d) задається формулою

R (d) = L (0, d)P (W = 0) + L (1, d)P (W = 1) =3

4d+

1

4(1− d) =

d

2+

1

4.

Як бачимо, що R (d) буде мiнiмальним при d = 0. Отже, d∗ = 0 – єдине баєсiвське рiшення i баєсiв-ський ризик R∗ дорiвнює 1/4.

Зауважимо, що коли простiр рiшень D визначений як напiввiдкритий iнтервал 0 < d ≤ 1, тобаєсiвський ризик, як i ранiше, дорiвнює 1/4, проте жодне рiшення з D не буде баєсiвським.

b) Розглянемо тепер задачу за умови, що параметр α > 1. Тодi для кожного рiшення d ∈ D

R (d) =3

4dα +

1

4(1− d)

α.

Значення d, яке мiнiмiзує ризик, знаходиться диференцiюванням функцiї R(d). А саме, єдине рiшенняd∗ має вигляд

d∗ =(1 + 3

1α−1

)−1

.

7.2.2. Процедури прийняття рiшень в умовах невизначеностi

Розглянемо iншi критерiї, якi найчастiше використовують на практицi пiд час прийняття рiшень вумовах невизначеностi, тобто коли структурна функцiя U(ν) невiдома. Це такi критерiї:

• критерiй Лапласа;

• мiнiмаксний критерiй (Вальда);

• критерiй Севiджа;

• критерiй Гурвиця.

Основна вiдмiннiсть мiж критерiями, перерахованими вище, визначається стратегiєю поведiнки “особи,що приймає рiшення”. Так, наприклад, критерiй Лапласа базується на бiльш оптимiстичних припущеннях,нiж мiнiмаксний критерiй, а критерiй Гурвиця, в свою чергу, можна використовувати при рiзних пiдходах:вiд найбiльш песимiстичного до найбiльш оптимiстичного. Таким чином, перерахованi критерiї, незважаючина їх кiлькiсну природу, вiдображають суб’єктивну оцiнку ситуацiї, в якiй доводиться приймати рiшення.

На жаль, не iснує загальноприйнятих правил оцiнки практичної цiнностi того або iншого критерiю приприйняттi рiшень в умовах невизначеностi. Це пов’язано з тим, що поведiнка “особи, що приймає рiшення”обумовлена невизначенiстю ситуацiї, що є найбiльш важливим фактором при виборi вiдповiдного критерiю.

Нагадаємо, що ми розглядаємо задачi прийняття рiшень в умовах невизначеностi, коли вибiр рiшення змножини допустимих рiшень здiйснюється однiєю особою. Специфiчною особливiстю цих задач є вiдсутнiстьу “особи, що приймає рiшення” розумного супротивника. У тому випадку, коли в ролi супротивника виступає“природа”, немає пiдстав припускати, що вона прагне завдати шкоди “особi, що приймає рiшення”.

Iнформацiю, необхiдну для прийняття рiшень в умовах невизначеностi, звичайно подано у формi ма-трицi, в якiй j-й стовпець вiдповiдає рiшенню dj з множини допустимих рiшень D = d1, . . . , dm, а i-й рядоквiдповiдає стану νi системи, що вивчається, з множиною можливих станiв Θ = ν1, . . . , νk. Кожному допу-стимому рiшенню dj ∈ D i кожному можливому стану νi ∈ Θ системи вiдповiдає результат L(νi, dj), якийвизначає втрати вiд прийняття даного рiшення dj в разi реалiзацiї даного стану νi системи. Таким чином,якщо множина D = d1, . . . , dm допустимих рiшень складається з m елементiв, а система може знаходитисяв будь-якому з Ω = ν1, . . . , νk можливих станiв, то матриця

L = L(νi, dj)j=1,...,mi=1,...,k

є матрицею початкових даних для прийняття рiшень в умовах невизначеностi. Цю матрицю називають ма-трицею втрат або матрицею витрат.

Перейдемо до розгляду конкретних критерiїв, якi найбiльш часто використовуються пiд час прийняттярiшень в умовах невизначеностi.

Критерiй Лапласа

Для обґрунтування цього критерiю скористаємося наступними мiркуваннями, що вiдображають основну сутьпринципу недостатнього обґрунтування.

Оскiльки ймовiрнiсть перебування системи, що вивчається, в кожному її можливому станi ν1, . . . , νkневiдомi, то вiдсутня i необхiдна iнформацiя для висновку про те, що ця ймовiрнiсть рiзна. Iнакше ми могли бзастосувати баєсiвський пiдхiд до прийняття рiшень. Тому ми можемо припустити, що ймовiрностi реалiзацiїбудь-яких можливих станiв системи рiвнi. Таким чином, задачу можна розглядати як задачу прийняттярiшень за умови, що вибирають рiшення, яке забезпечує найменшi втрати, тобто

R(d∗) = infdj∈D

1

k

k∑

i=1

L (νi, dj).

Тут враховано, що ймовiрнiсть перебування системи в станах ν1, . . . , νk однаковi. Сформульований критерiйназивають критерiєм Лапласа.

80

Приклад 7.2.3. Пiдприємство має визначити рiвень пропозицiї послуг так, щоб задовольнити потребиклiєнтiв протягом майбутнiх свят. За попереднiми прогнозами число клiєнтiв може набути одного з на-ступних значень: ν1 = 200, ν2 = 250, ν3 = 300, ν4 = 350. Для кожного з цих можливих значень iснуєнайкращий з погляду можливих витрат рiвень пропозицiй dj , а сукупнiсть цих рiвнiв утворює множину D.Вiдхилення вiд рiвнiв dj приводять до додаткових витрат або через неповне задоволення попиту, або черезперевищення пропозицiї над попитом. Матриця витрат в умовних грошових одиницях подана нижче:

L =

5 8 21 3010 7 18 2218 8 12 1925 23 21 15

,

де Lij – це витрати за W = νi та d = dj . Знайти оптимальне рiшення d∗ за критерiєм Лапласа.

Розв’язання. Для матрицi L маємо

R(dj) =1

4

4∑

i=1

L (νi, dj).

Тому

R(d1) =1

4(5 + 10 + 18 + 25) = 14, 5; R(d2) = 11, 5; R(d3) = 18; R(d4) = 24, 5.

Звiдси маємо

R(d∗) = infdj∈D

1

4

4∑

i=1

L (νi, dj) = 11, 5.

Отже, найкращим рiвнем пропозицiї за критерiєм Лапласа буде d2.

Мiнiмаксний критерiй

Цей критерiй є найбiльш “обережним”, оскiльки його реалiзацiя передбачає вибiр найкращої з найгiршихможливостей.

Нехай D = d1, . . . , dm – множина допустимих рiшень, а Θ = ν1, . . . , νk – множина можливих станiвсистеми, що вивчається. Якщо L(νi, dj) – втрати “особи, що приймає рiшення” внаслiдок вибору рiшенняdj ∈ D та реалiзацiї системою можливого стану νi ∈ Θ, то незалежно вiд можливих станiв найбiльшi втратидорiвнюватимуть

maxνi∈Θ

L (νi, dj), j = 1, . . . ,m.

За мiнiмаксним критерiєм вибирають таке рiшення d∗, що забезпечує виконання спiввiдношення

R(d∗) = mindj∈D

maxνi∈Θ

L (νi, dj).

Приклад 7.2.4. Повернемося до прикладу 7.2.3. Оскiльки в цьому випадку Lij вiдображають втрати, тоскористаємося мiнiмаксним критерiєм. Для кожного допустимого вирiшення dj ∈ D знайдемо максимальнiвитрати:

maxνi∈Θ

L (νi, d1) = L(ν4, d1) = 25; maxνi∈Θ

L (νi, d2) = L(ν4, d2) = 23;

maxνi∈Θ

L (νi, d3) = L(ν1, d3) = L(ν4, d3) = 21; maxνi∈Θ

L (νi, d4) = L(ν1, d4) = 30.

Потiм з-помiж обчислених значень виберемо мiнiмальне:

mindj∈D

maxνi∈Θ

L (νi, dj) = L(ν1, d3) = L(ν4, d3) = 21.

Отже, оптимальним мiнiмаксним рiшенням є d3.

Критерiй Севiджа

Мiнiмаксний критерiй є настiльки “песимiстичним”, що може призводити до нелогiчних висновкiв. Необхi-днiсть використання менш “песимiстичного” критерiю звичайно iлюструють задачею прийняття рiшень вумовах невизначеностi з матрицею втрат

L =

(11 000 10 00090 10 000

).

Застосування мiнiмаксного критерiю приводить до вибору рiшення d2 та втрат 10 000 у разi реалiзацiї систе-мою кожного з можливих станiв ν1 або ν2. Проте iнтуїтивно напрошується висновок про доцiльнiсть виборурiшення d1, оскiльки не виключається можливiсть реалiзацiї стану ν2 та втрат L(ν2, d1) = 90.

Для усунення вiдзначеного недолiку мiнiмаксного критерiю замiсть величини L(νi, dj), що характеризуєвтрати пiд час прийняття рiшення dj внаслiдок реалiзацiї стану νi, введемо величину

r(νi, dj) = L(νi, dj)− mindj∈D

L (νi, dj).

81

Фактично величина r(νi, dj) вiдображає величину “розчарування” особи, що приймає рiшення, з приводутого, що вона не вибрала найкраще рiшення вiдносно стану νi системи. Тому матрицю R = r(νi, dj)j=1,...,m

i=1,...,k

називають матрицею розчарування, а мiнiмаксний критерiй вiдносно цiєї матрицi називають критерiємСевiджа. За цього критерiю рiшення вибирають з умови

R(d∗) = mindj∈D

maxνi∈Θ

r (νi, dj).

Зокрема, у попередньому прикладi, розв’язок якого з використанням мiнiмаксного критерiю призводив донелогiчного висновку, маємо

mindj∈D

L (ν1, dj) = 10 000, mindj∈D

L (ν2, dj) = 90,

матриця розчарування має вигляд

R =

(1 000 00 9 910

).

Таким чином,maxνi∈Θ

r (νi, d1) = r (ν1, d1) = 1 000; maxνi∈Θ

r (νi, d2) = r (ν2, d2) = 9 910;

i за критерiєм Севiджа оптимальним є рiшення d1. Вiдзначимо, що такий самий результат ми отримаємо iза критерiєм Лапласа.

Приклад 7.2.5. Повернемося до прикладу 7.2.3 i запишемо матрицю розчарування

R =

0 3 16 103 0 11 1510 0 4 1110 8 6 0

.

Звiдси отримуємо

maxνi∈Θ

r (νi, d1) = r (ν3, d1) = 10; maxνi∈Θ

r (ωi, d2) = r (ν4, d2) = 8;

maxνi∈Θ

r (νi, d3) = r (ν1, d3) = 16; maxνi∈Θ

r (ωi, d4) = r (ν1, d4) = 25;

mindj∈D

maxνi∈Θ

r (νi, dj) = r (ν4, d2) = 8,

i оптимальним за критерiєм Севiджа є рiшення d2, яке вiдрiзняється вiд оптимального рiшення за мiнi-максним критерiєм (див. приклад 7.2.4) i спiвпадає з оптимальним рiшенням за критерiєм Лапласа (див.приклад 7.2.3).

Критерiй Гурвиця

Цей критерiй охоплює ряд пiдходiв до прийняття рiшень в умовах невизначеностi вiд найбiльш песимiстично-го до найбiльш оптимiстичного. Якщо L(νi, dj)i=1,...,k,j=1,...,m – матриця втрат, то найбiльш оптимiстичномупiдходу вiдповiдає критерiй, що реалiзує

mindj∈D

minνi∈Θ

L (νi, dj),

а найбiльш песимiстичному пiдходу вiдповiдає критерiй, що реалiзує

mindj∈D

maxνi∈Θ

L (νi, dj).

Критерiй Гурвиця встановлює баланс мiж найбiльш оптимiстичним i найбiльш песимiстичним пiдходамиза допомогою середнього зваженого значення обох варiантiв прийняття рiшень в умовах невизначеностi звагами α та 1 − α, де 0 ≤ α ≤ 1. Це означає, що за критерiю Гурвиця вибирають рiшення d∗ ∈ D, щозабезпечує

mindj∈D

(α min

νi∈ΘL (νi, dj) + (1− α)max

νi∈ΘL (νi, dj)

).

Параметр α ∈ [0, 1] називають показником оптимiзму. Його значення вибирається особою, що приймає рi-шення, залежно вiд досвiду прийняття рiшень в умовах невизначеностi i особистих схильностей до оптимiзму(α → 1) чи песимiзму (α → 0). За вiдсутностi яскраво виражених схильностей значення α = 0, 5 видаєтьсянайбiльш розумним.

Табл.7.2

dj miniL(i, j) max

iL(i, j) αmin

iL(i, j) + (1− α)max

iL(i, j)

d1 5 25 15d2 7 23 15d3 12 21 16,5d4 15 30 22,5

Приклад 7.2.6. Скористаємося критерiєм Гурвиця для розв’язку задачi з прикладу 7.2.3, вважаючи α =0, 5. Результати розрахункiв поданi в таблицi 7.2. Згiдно з результатами розрахункiв, оптимальне значенняза критерiєм Гурвиця рiвне 15 i забезпечується допустимими рiшеннями d1 i d2.

82

7.2.3. Задачi зi спостереженнями

Розглянемо задачу прийняття рiшень, у якiй статистик перед тим, як вибрати рiшення з множиниD, спостерiгає значення випадкової величини X чи випадкового вектора X = (X1, . . . , Xn), пов’язаного зпараметром W . Спостереження X дають статистиковi деяку iнформацiю про значення ν параметра W , якадопомагає йому прийняти бiльш рацiональне рiшення. Припустимо, що для всiх ν ∈ Θ та x ∈ Rn заданийумовний розподiл вектора X за умови W = ν:

Fν(x) ≡ FX|W=ν(x|ν) = P(X < x|W = ν).

Задачу такого типу називають статистичною задачею прийняття рiшень. Основнi її елементи – це пара-метричний простiр Θ, простiр рiшень D, функцiя втрат L(ν, d) та сiмейство умовних розподiлiв iмовiрностейFν , ν ∈ Θ, що спостерiгається статистиком до прийняття рiшення.

Оскiльки рiшення статистика залежить вiд спостережуваного значення X = x, вiн, насправдi, повиненвибрати вирiшувальну функцiю δ(x), яка задає для будь-якого допустимого значення x ∈ Rn рiшення δ (x) ∈D. У багатьох задачах статистику не потрiбно мати усю вирiшувальну функцiю δ. Пiсля того, як вiн довiдавсяпро результат спостереження x, йому досить розглянути задачу вибору рiшення δ(x).

Позначимо через ∆ клас усiх вирiшувальних функцiй δ. За потребою будемо накладати на вирiшувальнiфункцiї деякi обмеження на зразок вимiрностi. Для кожного значення ν параметра W ризик Rν(δ) вiдприйняття рiшення, заданого вирiшувальною функцiєю δ ∈ ∆, визначають за формулою

Rν(δ) = E(L (W, δ (X)) |W = ν) =w

Rn

L(ν, δ(x))dFν(x). (7.9)

Вважатимемо, що для всiх ν ∈ Θ функцiя L (ν, δ(·)) вимiрна та iнтегровна. Якщо для випадкового вектораX iснує сумiсна щiльнiсть fν(x) ≡ fX|W=ν(x|ν), то вираз (7.9) можна переписати так:

Rν(δ) =w

Rn

L(ν, δ(x))fν(x)dx. (7.10)

Функцiю Rν(δ) називають функцiєю ризику.Баєсiвським ризиком вирiшувальної функцiї δ ∈ ∆ вiдносно попередього розподiлу U(ν) параметра W

називаютьR(δ) =

w

Θ

Rν(δ)dU(ν) =w

Θ

w

Rn

L(ν, δ(x))dFν(x)dU(ν). (7.11)

Нехай δ∗ ∈ ∆ – така вирiшувальна функцiя, що

R(δ∗) = infδ∈∆

R(δ) = R∗. (7.12)

Тодi δ∗ називають баєсiвською вирiшувальною функцiєю за умови апрiорного розподiлу ймовiрностей U , аR∗, як i ранiше, називають баєсiвським ризиком. Для кожного розподiлу U параметра W статистику вартовибирати вирiшувальну функцiю δ, яка є баєсiвською вирiшувальною функцiєю за умови розподiлу U .

Приклад 7.2.7. У тапас-меню мiсцевого iспанського ресторану вiдвiдувачi можуть замовити блюдо з 20смажених чилi за £5. На блюдi завжди подають сумiш з гострих та лагiдних чилi, вiдрiзнити якi можналише на смак. Ресторан пропонує два типи страви: одна мiстить 4 гострих та 16 лагiдних чилi, а iнша – 8гострих та 12 лагiдних. Коли блюдо подано на стiл, офiцiант дозволяє вiдвiдувачу скуштувати одне чилi,а потiм пропонує 50% знижку за правильний здогад: 4 чи 8 гострих чилi мiстить блюдо.

Голодний актуарiй, який регулярно вiдвiдує цей ресторан, хоче побудувати оптимальну стратегiювгадування числа гострих чилi.

(i) Перелiчiть чотири можливi вирiшувальнi функцiї для актуарiя.

(ii) Обчислiть значення функцiї ризику для двох рiзних блюд iз чилi та кожної вирiшувальної функцiї.

(iii) Визначте оптимальну стратегiю для актуарiя, використовуючи баєсiвський критерiй, та знайдiть се-редню цiну, яку вiн платитиме за блюдо з чилi, якщо ресторан порiвну виготовляє обидва типи цiєїстрави.

Розв’язання. Позначимо через d4 та d8 рiшення, якi може прийняти актуарiй, а саме, di вiдповiдаєвибору блюда з i гострими чилi. Позначимо також значення в.в. X, якi вiдображають скуштованiгострий чи лагiдний чилi, через 0 та 1 вiдповiдно. Параметр W може набувати одне iз двох значеньν4 чи ν8, залежно вiд того, блюдо зi скiлькома (i) гострими чилi принiс офiцiант. Отже, D =d4, d8, Θ = ν4, ν8.

(i) В залежностi вiд спостереженого значення x ∈ 0, 1 параметра W актуарiй може вибратиодну з цих вирiшувальних функцiй:

δ1(0) = d4 та δ1(1) = d4;

δ2(0) = d4 та δ2(1) = d8;

δ3(0) = d8 та δ3(1) = d4;

δ4(0) = d8 та δ4(1) = d8.

(ii) Для блюда з чотирма гострими чилi ймовiрностi скуштувати гострий та лагiдний чилiдорiвнюють вiдповiдно

P(X = 0|W = ν4) = 0, 2, P(X = 1|W = ν4) = 0, 8.

83

Для блюда з вiсьмома гострими чилi маємо

P(X = 0|W = ν8) = 0, 4, P(X = 1|W = ν8) = 0, 6.

Втрати актуарiя L(νi, dj) = 5 Ii6=j + 2, 5 Ii=j – цiна, яку вiн має заплатити за тарiлку з чилi,тобто £5 чи £2, 5. Тодi функцiї ризику вiд кожної його вирiшувальної функцiї за умови, що поданоблюдо ν4 чи ν8, буде таким:

Rν4(δ1) = E(L (W, δ1(X)) |W = ν4) = P(X = 0|W = ν4)L(ν4, δ1(0)) + P(X = 1|W = ν4)L(ν4, δ1(1))

= 0, 2 · 2, 5 + 0, 8 · 2, 5 = 2, 5;

Rν8(δ1) = P(X = 0|W = ν8)L(ν8, δ1(0)) + P(X = 1|W = ν8)L(ν8, δ1(1)) = 0, 4 · 5 + 0, 6 · 5 = 5;

Rν4(δ2) = P(X = 0|W = ν4)L(ν4, δ2(0)) + P(X = 1|W = ν4)L(ν4, δ2(1)) = 0, 2 · 2, 5 + 0, 8 · 5 = 4, 5;

Rν8(δ2) = P(X = 0|W = ν8)L(ν8, δ2(0)) + P(X = 1|W = ν8)L(ν8, δ2(1)) = 0, 4 · 5 + 0, 6 · 2, 5 = 3, 5;

Rν4(δ3) = P(X = 0|W = ν4)L(ν4, δ3(0)) + P(X = 1|W = ν4)L(ν4, δ3(1)) = 0, 2 · 5 + 0, 8 · 2, 5 = 3;

Rν8(δ3) = P(X = 0|W = ν8)L(ν8, δ3(0)) + P(X = 1|W = ν8)L(ν8, δ3(1)) = 0, 4 · 2, 5 + 0, 6 · 5 = 4;

Rν4(δ4) = P(X = 0|W = ν4)L(ν4, δ4(0)) + P(X = 1|W = ν4)L(ν4, δ4(1)) = 0, 2 · 5 + 0, 8 · 5 = 5;

Rν8(δ4) = P(X = 0|W = ν8)L(ν8, δ4(0)) + P(X = 1|W = ν8)L(ν8, δ4(1)) = 0, 4 · 2, 5 + 0, 6 · 2, 5 = 2, 5.

(iii) Матриця виплат гравця матиме такий вигляд:

δ1 δ2 δ3 δ4ν4 2,5 4,5 3 5ν8 5 3,5 4 2,5

Баєсiвський ризик R(δ) = 12Rν4

(δ) + 12Rν8

(δ) 3,75 4 3,5 3,75

Отже, баєсiвською вирiшувальною функцiєю є δ3. За такого вибору середня цiна за блюдо з чилiстановитиме £3, 5.

7.2.4. Побудова баєсiвських вирiшувальних функцiй

Нехай для розподiлу ймовiрностей U параметра W потрiбно знайти вирiшувальну функцiю δ, якамiнiмiзує її баєсiвський ризик R(δ), визначений у формулi (7.11). Ми будемо припускати, що в цьому спiв-вiдношеннi можна змiнити порядок iнтегрування. Зокрема, ця перестановка законна для всiх розподiлiвймовiрностей U та всiх вирiшувальних функцiй δ, якщо функцiя втрат L невiд’ємна та обмежена. Пiслязазначеної змiни порядку iнтегрування ризик R(δ) має вигляд

R(δ) =w

Rn

(w

Θ

L(ν, δ(x))dUx(ν)

)dF (x), (7.13)

де Ux(ν) = UW |X=x(ν|x) – умовний розподiл параметра W за умови X = x. Вирiшувальну функцiю δ, якамiнiмiзує цей ризик, можна визначити з умови мiнiмiзацiї внутрiшнього iнтеграла в (7.13) для кожного зна-чення x ∈ Rn. Iншими словами, баєсiвську вирiшувальну функцiю δ∗ за умови розподiлу U можна одержатитак: для кожного спостережуваного значення x приймаємо рiшення δ∗ (x) = d∗ ∈ D, яке мiнiмiзує iнтеграл

w

Θ

L(ν, δ(x))dUx(ν) =w

Θ

L(ν, d)dUx(ν). (7.14)

Зокрема, коли iснує умовна щiльнiсть ux(ν) = uW |X=x(ν|x) розподiлу параметра W за спостережуваногозначення X = x, iнтеграл (7.14) можна записати i так:

w

Θ

L(ν, d)ux(ν)dν = E (L (W,d) |X = x) . (7.15)

Отже, рiшення d∗, яке мiнiмiзує iнтеграл (7.14), є попросту те, якому вiдповiдає найменший середнiй збитокпри умовному розподiлi W , коли спостереженим значенням X виявилося x. Iншими словами, d∗ – баєсiвськерiшення за умовного розподiлу W , коли X = x.

У статистичних задачах прийняття рiшень початковий розподiл W називають попереднiм або апрiор-ним розподiлом параметра W , бо вiн задає розподiл W до спостерiгання X. Умовний розподiл W за вiдомогозначення X називають апостерiорним розподiлом W , бо вiн задає розподiл пiсля спостереження значеннявеличини X.

Корисно уявляти собi баєсiвську вирiшувальну функцiю наступним чином. Якщо рiшення приймаютьбез попереднiх спостережень, то оптимальним є баєсiвське рiшення за апрiорного розподiлу W . Якщо жперед прийняттям рiшення спостерiгають значення X, то задача прийняття рiшення для статистика, власнекажучи, та ж сама, як i в першому випадку, рiзниця лише в тому, що апрiорний розподiл W змiнився наапостерiорний. Отже, тепер оптимальним є баєсiвське рiшення за апостерiорного розподiлу W .

З цих мiркувань ясно, що рiшення δ∗(x0), задане баєсiвською вирiшувальною функцiєю δ∗ для певногозначення x0, яке є результатом спостереження, можна знайти i без того, щоб обчислювати рiшення δ∗ (x)для всiх значень x. Баєсiвську вирiшувальну функцiю δ∗ для розподiлу ймовiрностей U можна знаходити iбез обчислення баєсiвського ризику R∗.

84

Приклад 7.2.8. Як iлюстрацiю отриманих результатiв розглянемо задачу, в якiй Θ = ν1, ν2, D =d1, d2, а функцiя втрат L задано таблицею 7.3.

Табл.7.3

d1 d2ν1 0 5ν2 10 0

Припустимо, що статистик може спостерiгати в.в. X з такими умовним розподiлом Fν(x) = P(X = x|W =ν):

Fν1(1) =

3

4, Fν1

(0) =1

4, Fν2

(1) =1

3, Fν2

(0) =2

3. (7.16)

Потрiбно побудувати баєсiвську вирiшувальну функцiю за умови, що апрiорний закон розподiлу параметраW такий:

U(ν1) = P(W = ν1) = u, U(ν2) = 1− u, (7.17)де u – задане число, 0 ≤ u ≤ 1.

Розв’язання. Нехай Ux (ν) – апостерiорна ймовiрнiсть подiї W = ν, якщо спостерiгалось значенняx величини X, тобто Ux (ν) = P (W = ν|X = x) . Застосувавши формулу Баєса (1.2), матимемо

Ux(ν) =P (X = x|W = ν)P (W = ν)

2∑i=1

P (X = x|W = νi)P (W = νi)

=Fν(x)U(ν)

2∑i=1

Fνi(x)U(νi)

.

Отже, з рiвностей (7.16) – (7.17) випливає, що

U1(ν1) =34u

34u+ 1

3 (1− u), U1(ν2) =

13 (1− u)

34u+ 1

3 (1− u), U0 (ν1) =

14u

14u+ 2

3 (1− u), U0 (ν2) =

23 (1− u)

14u+ 2

3 (1− u).

Пiсля спостереження значення x в.в. X треба вибрати одне з рiшень: d1 чи d2. З таблицi 7.3видно, що ризик вiд прийняття рiшення d1 дорiвнює R(d1) = 10Ux (ν2) = 10(1 − Ux (ν1)), а ризик вiдприйняття d2 дорiвнює R(d2) = 5Ux (ν1). Отже, лише d2 є баєсiвським рiшенням, якщо Ux (ν1) <

23 ;

лише d1 є баєсiвським рiшенням, якщо Ux (ν1) >23 , а у випадку Ux (ν1) =

23 як d1, так i d2 – баєсiвськi

рiшення. Звiдси i з вигляду апостерiорних ймовiрностей випливають наступнi результати.Якщо спостерiгають значення X = 1, то для баєсiвської вирiшувальної функцiї δ∗ маємо:

δ∗ (1) = d2 за умови, що U1 (ν1) <23 чи, що те саме, за умови, що u < 8

17 , та δ∗ (1) = d1, колиu > 8

17 ; нарештi, для u = 817 обидва рiшення d1 та d2 є баєсiвськими. Отже,

δ∗ (1) =

d2, 0 ≤ u ≤ 8

17 ,d1,

817 ≤ u ≤ 1.

Якщо ж спостерiгають значення X = 0, то δ∗ (0) = d2 за умови U0 (ν1) <23 , тобто коли u < 16

19 , таδ∗ (0) = d1 для u > 16

19 ; нарештi, коли u = 1619 , то обидва рiшення d1 та d2 є баєсiвськими. Отже,

δ∗ (0) =

d2, 0 ≤ u ≤ 16

19 ,d1,

1619 ≤ u ≤ 1.

Обчислимо тепер значення баєсiвського ризику R∗ = R∗ (u) для довiльної апрiорної ймовiрностi u.

1) Якщо 0 ≤ u ≤ 817 , то рiшення d2 буде баєсiвським незалежно вiд спостережуваного значення X.

Отже, згiдно з таблицею 7.3 для таких u маємо R∗ (u) = 5u.

2) Якщо 817 < u < 16

19 , то δ∗ (0) = d2 та δ∗ (1) = d1. Тому з рiвностей (7.9), (7.11) та таблицi 7.3видно, що

R∗ (u) = U(ν1)Rν1(δ∗)+U(ν2)Rν2

(δ∗) = u

[0 · 3

4+ 5 · 1

4

]+(1− u)

[10 · 1

3+ 0 · 2

3

]=

5

4u+

10

3(1− u) .

3) Якщо 1619 ≤ u ≤ 1, то рiшення d1 буде баєсiвським незалежно вiд того, яке значення X спостерi-

гають. Згiдно з таблицею 7.3, у цьому випадку R∗ (u) = 10 (1− u).

Отже,

R∗ (u) =

5u, 0 ≤ u ≤ 817 ,

54u+ 10

3 (1− u) , 817 ≤ u ≤ 16

19 ,10 (1− u) , 16

19 < u ≤ 1.

85

7.3. Оцiнювання параметрiвЗадача оцiнювання параметра – це задача прийняття рiшень, у якiй рiшенням статистика є оцiнка

значень параметра W = (W1, . . . ,Wk), що належить множинi Θ ⊂ Rk, k ≥ 1. Оскiльки статистик оцiнюєзначення W, то множина рiшень D спiвпадає з множиною значень параметра Θ. Припустимо для простоти,що Θ = D = Rk, маючи на увазi, що ймовiрнiсть того, що W лежить у деяких областях Rk, може бутирiвною 0. Рiшення статистика d = (d1, . . . , dk) ∈ Rk – це його оцiнка значення ν = (ν1, . . . , νk) параметра W,а його втрати L(ν,d) вiдображають розбiжнiсть мiж значенням ν та оцiнкою d. Тому в задачах оцiнюваннявважають, що функцiя втрат L(ν,d) має вигляд

L(ν,d) = γ(ν)Λ(ν − d), (7.18)

де Λ – це невiд’ємна функцiя вiд вектора похибок (ν−d) така, що Λ(0) = 0, γ(ν) – невiд’ємна вагова функцiя,яка визначає вiдносну значущiсть заданого вектора похибок для рiзних значень параметра W. Якщо втратиL(ν,d) залежать лише вiд вектора похибок (ν − d), то можна вважати, що функцiя γ(ν) стала на всьомупросторi Rk.

Розглянемо задачу оцiнювання, в якiй функцiя втрат L(ν,d) має вигляд (7.18), i припустимо, що апо-стерiорна щiльнiсть розподiлу параметра W дорiвнює ux(ν). Баєсiвське рiшення d∗ або, у нашому випадку,баєсiвську оцiнку d∗ визначають, як точку d ∈ Rk, в якiй досягається мiнiмум ризику R(d, ux):

R(d, ux) =w

Rk

γ(ν) Λ(ν − d)ux(ν)dν. (7.19)

Зауважимо, що такий же iнтеграл мiнiмiзують i в задачi оцiнювання, у якiй функцiя втрат L(ν,d) має виглядL(ν,d) = Λ(ν − d), а апостерiорна щiльнiсть розподiлу ux параметра W задовольняє умовi пропорцiйностiux(ν) ∝ γ(ν)ux(ν). Iншими словами, однi й тi самi баєсiвськi рiшення отримуємо незалежно вiд того, чиє невiд’ємна функцiя γ(ν) множником при функцiї втрат, чи вона є множником при щiльностi розподiлупараметра W. Цей результат є наслiдком формули (7.19). Тому пiд час обговорення задач теорiї оцiнюванняможна вважати, що функцiя γ(ν) у виразi (7.18) є сталою.

Якщо параметр W одновимiрний, тобто його значення лежать в R1, то функцiю втрат у задачах оцi-нювання часто вибирають такою, що має вигляд

L(ν, d) = a|ν − d|b, (7.20)

де a > 0, b > 0. Розглянемо бiльш детально такi функцiї втрат для значень b = 1 та b = 2.

7.3.1. Квадратична функцiя втрат

Найкраще вивченою функцiєю втрат у задачах оцiнювання дiйсного параметра W є квадратична фун-кцiя. Вона задається рiвнiстю

L(ν, d) = (ν − d)2. (7.21)Функцiя втрат (7.21) зручна для математичних викладок. Крiм того, наступнi не зовсiм строгi, але кориснiмiркування показують, чому така функцiя втрат часто використовується.

Припустимо, що втрати L(ν, d) залежать лише вiд рiзницi ν − d. Нехай L(ν, d) = Λ(ν − d), де Λ –невiд’ємна двiчi диференцiйовна функцiя така, що Λ(0) = 0. Якщо розкласти функцiю Λ в ряд Тейлора зточнiстю до членiв другого порядку, то отримаємо

L(ν, d) = Λ(ν − d) ≈ a0 + a1(ν − d) + a2(ω − d)2. (7.22)

Якщо статистик має достатню кiлькiсть iнформацiї про значення W , щоб вибрати оцiнку d, яка будеблизькою до ν, то члени бiльш високого порядку в (7.22) вiдносно малi та ними можна знехтувати. Той факт,що Λ(0) = 0, означає, що a0 = 0, а з невiд’ємностi функцiї Λ випливає, що a1 = 0 та a2 ≥ 0. Отже, за рахуноквибору системи одиниць спiввiдношення (7.22) зводиться до (7.21).

Теорема 7.1. Баєсiвська оцiнка d∗ для квадратичної функцiї втрат (7.21) та довiльного апрiорного розпо-дiлу W дорiвнює його математичному сподiванню:

d∗ = EW,

а баєсiвський ризик дорiвнює дисперсiї W :R∗ = DW.

Доведення. Якщо функцiя втрат задається рiвнiстю (7.21), то баєсiвське рiшення d∗ для довiльного апрi-орного розподiлу W є таким, що мiнiмiзує значення ризику R(d) = E(W − d)2 = EW 2 − 2dEW + d2. Цейквадратичний полiном буде мiнiмальним, коли d = EW . За такого вибору d мiнiмальне значення ризикудорiвнює R(d∗) = E(W − EW )2 = DW.

Припустимо, що X – спостереження з (узагальненою) щiльнiстю розподiлу fν(x) за умови W = ν. Нехайux(ν) позначає апостерiорну щiльнiсть розподiлу W за умови X = x. Тодi легко знайти баєсiвську оцiнкуδ∗(x) та вiдповiдний баєсiвський ризик R∗ = R∗(u) для квадратичної функцiї втрат (7.21).

Теорема 7.2. Баєсiвська оцiнка δ∗(x) для квадратичної функцiї втрат (7.21) та довiльного апостерiорногорозподiлу W має вигляд

δ∗(x) = E(W |X = x) =w

R

νux(ν)dν, (7.23)

86

а баєсiвський ризик дорiвнюєR∗ = E(D(W |X)).

Доведення. Зi сказаного в параграфi 7.2.4 та доведення попередньої теореми випливає, що для довiльногоспостереженого значення X = x баєсiвське рiшення має вигляд (7.23), тобто дорiвнює середньому значеннюапостерiорного розподiлу W . Далi, пiсля спостереження значення x та вибору оцiнки δ∗(x) ризик дорiвнюєумовнiй дисперсiї D(W |X = x) за умови апостерiорного розподiлу W . Тому баєсiвський ризик має виглядR(δ∗) = E(D(W |X)).

Зауваження 7.3.1. Для обчислення баєсiвського ризику E(D(W |X)) можна використовувати формулу повноїдисперсiї (1.6):

DW = E(D (W |X)] + D [E(W |X)]. (7.24)

Приклад 7.3.1. Як приклад, в якому кожне середнє iснує та легко пiдраховується, розглянемо повторнувибiрку X = (X1, . . . , Xn) iз розподiлу Пуассона з невiдомим значенням параметра W . Припустимо, щоапрiорним розподiлом W є гамма-розподiл з параметрами α та β. За теоремою 7.6 апостерiорний розподiл

W при Xi = xi, i = 1, . . . , n – це гамма-розподiл з параметрами α+n∑

i=1

xi та β + n.

Нехай функцiя втрат має вигляд (7.21) з a = 1. З виразу для середнього значення гамма-розподiлувидно, що баєсiвська оцiнка δ∗ визначається рiвнiстю

δ∗(X1, . . . , Xn) =

α+n∑

i=1

Xi

β + n. (7.25)

Для довiльних значень X1, . . . , Xn дисперсiя апостерiорного розподiлу дорiвнює

D(W |X1, . . . , Xn) =

α+n∑

i=1

Xi

(β + n)2. (7.26)

Оскiльки E(Xi |W ) =W , i = 1, . . . , n, то

E(Xi) = E[E(Xi |W )] = E(W ) =α

β. (7.27)

Тому зi спiввiдношень (??) (7.26) i (7.27) виводимо наступну формулу для баєсiвського ризику:

ρ∗(p) =α

β(β + n). (7.28)

Припустимо тепер, що цiна одного спостереження у вибiрцi дорiвнює c (c > 0) i що статистик можевибирати об’єм вибiрки. З формули (7.28) видно, що для вибiрки об’ємом n спостережень загальний ризикдорiвнює

α

β(β + n)+ cn. (7.29)

Цей загальний ризик буде мiнiмальним при

n =

(α

cβ

)1/2

− β. (7.30)

Зрозумiло, що n повинно бути натуральним числом або нулем. Якщо значення, яке отримане з формули(7.30), вiд’ємне, то оптимальний об’єм вибiрки n = 0. В цьому випадку не потрiбно робити спостереженьi статистик може оцiнювати W за апрiорним розподiлом. Якщо значення (7.30) – додатне, але не цiле, тооптимальний об’єм вибiрки – це одне з найближчих до нього цiлих чисел.

Нехай функцiя втрат L замiсть спiввiдношення (7.21) задається спiввiдношенням:

L(ν, d) =(ν − d)2

ν. (7.31)

Знову припустимо, що апрiорний розподiл W є гамма-розподiл з параметрами α i β. Тодi для довiльних

значень спостережень X1, . . . , Xn таких, що α+n∑

i=1

Xi > 1, баєсiвська оцiнка δ∗(X1, . . . , Xn) має вигляд

δ∗(X1, . . . , Xn) =

α+n∑

i=1

Xi − 1

β + n. (7.32)

Баєсiвський ризик ρ∗(ξ) дорiвнює

ρ∗(ξ) =1

(β + n). (7.33)

Загальний ризик буде мiнiмальним при

n =

(1

c

)1/2

− β. (7.34)

87

7.3.2. Втрати, пропорцiйнi абсолютнiй величинi похибки

Припустимо, що збиток пропорцiйний абсолютнiй величинi похибки. Нехай для ν ∈ R та d ∈ R збитокL(ν, d) має вигляд

L(ν, d) = |ν − d|. (7.35)

Кажуть, що число m – це медiана розподiлу W , якщо P(W ≥ m) ≥ 12 та P(W ≤ m) ≥ 1

2 . Кожнийрозподiл має принаймнi одну медiану, але не обов’язково єдину.

Наступна теорема показує, що медiана розподiлу W буде баєсiвською оцiнкою параметра для функцiївтрат (7.35).

Теорема 7.3. Баєсiвська оцiнка δ∗(x) для функцiї втрат (7.21), пропорцiйних абсолютнiй величинi по-хибки, та довiльної функцiї щiльностi ux(ν) розподiлу W за умови спостереження значення x в.в. X ємедiаною апостерiорного розподiлу W .

Доведення. Як сказано у параграфi 7.2.4, баєсiвське рiшення d∗ = δ∗(x) ∈ D для кожного спостереженогозначення X = x можна отримати, мiнiмiзуючи вираз

G(d) = E(L(W,d)|X = x) =w

R

|ν − d|uxdν =

dw

−∞(d− ν)uxdν +

−∞w

d

(ν − d)uxdν.

Диференцiюючи G(d) та прирiвнюючи отриманий вираз до нуля, отримаємо

dG(d)dd

=

dw

−∞uxdν −

−∞w

d

uxdν = 0,

а це означає, що d є розв’язком рiвняння

P(W ≤ d|X = x) = P(W ≥ d|X = x),

що й визначає баєсiвське рiшення як медiану апостерiорного розподiлу W .

Приклад 7.3.2. Розглянемо повторну вибiрку X1, . . . , Xn з нормального розподiлу з невiдомим значен-ням середнього W i заданою мiрою точностi r. Припустимо, що потрiбно оцiнити значення W при функцiївтрат (7.35). При пiдходящому виборi системи одиниць в цiй рiвностi a = 1. З теореми 7.9 випливає,що якщо апрiорний розподiл W нормальний з середнiм µ та мiрою точностi τ , то для довiльних значеньX1, . . . , Xn апостерiорний розподiл W нормальний з середнiм

(τµ+ nrX

)/(τ + nr) та мiрою точностi

τ + nr. Оскiльки єдина медiана нормального розподiлу спiвпадає з його середнiм, то баєсiвська оцiнка δ∗визначається наступним чином:

δ∗(X1, . . . , Xn) =τµ+ nrX

τ + nr. (7.36)

Баєсiвський ризик ρ∗(p) дорiвнює

ρ∗(p) = E|W − δ∗(X1, . . . , Xn)|. (7.37)

Апостерiорний розподiл випадкової величини [W − δ∗(X1, . . . , Xn)] при Xi = xi, i = 1, . . . , n, буденормальним з середнiм 0 та мiрою точностi τ + nr, незалежно вiд значень x1, . . . , xn. Далi, якщо Y –нормальна випадкова величина з середнiм 0 та мiрою точностi τ , то

E|Y | =(

2

πτ

) 12

. (7.38)

Отже, для довiльних значень X1, . . . , Xn середнє значення у правiй частинi (7.37) дорiвнює(

2π(τ+nr)

) 12

.

Iз спiввiдношення (7.37) випливає, що

ρ∗(p) =

[2

π(τ + nr)

] 12

. (7.39)

Припустимо тепер, що цiна одного спостереження дорiвнює c (c > 0) i статистик може вибиратиоб’єм вибiрки. З рiвностi (7.39) видно, що для вибiрки об’ємом n загальний ризик дорiвнює

[2

π(τ + nr)

] 12

+ cn (7.40)

i вiн мiнiмiзується при

n =1

(2πrc2)13

− τ

r. (7.41)

Зрозумiло, що число повинно бути невiд’ємним та цiлим. Якщо τ → 0, то граничне значення в рiвностi(7.41) буде оптимальним значенням числа спостережень в цiй задачi для випадку, коли апрiорна iнформацiящодо W незначна.

88

7.3.3. Втрати “все або нiчого”

Припустимо, що функцiю втрат визначено таким чином:

L(ν, d) =

0, коли d = ν;1, коли d 6= ν. (7.42)

Таку функцiю втрат називають втратами 0/1 чи “все або нiчого”.Нагадаємо, що модою абсолютно неперервного розподiлу називають точку максимуму щiльностi роз-

подiлу ймовiрностей.Наступна теорема показує, що баєсiвською оцiнкою параметра W для функцiї втрат (7.43) буде мода.

Теорема 7.4. Баєсiвська оцiнка δ∗(x) для функцiї втрат “все або нiчого” (7.43) та довiльної функцiї щiль-ностi ux(ν) розподiлу W за умови спостереження значення x в.в. X є модою апостерiорного розподiлуW .

Доведення. Оскiльки у цьому випадку диференцiювання виразу G(d) = E(L(W,d)|X = x) не можливе, за-стосуємо перехiд до границi. Нехай для ε > 0

L(ν, d) =

0, коли ν − ε < d < ν + ε;1, iнакше. (7.43)

Тодi L(ν, d) прямує до функцiї втрат (7.43), коли ε → 0. Для L очiкуванi втрати вiдносно апостерiорногорозподiлу ux(ν) дорiвнюють

G(d) = E(L(W,d)|X = x) = 1−d+εw

d−ε

ux(ν)dν = 1− 2εux(d)

при достатньо малому ε. Як бачимо, мiнiмум G(d) досягаємо, поклавши d рiвним модi апостерiорного розпо-дiлу параметра W .

7.3.4. Оцiнювання векторного параметра

Розглянемо задачу оцiнювання вектора

W = (W1, . . . ,Wk), k ≥ 2.

Стандартною функцiєю втрат для такої задачi є квадратична функцiя втрат L, яка визначена для всiх w

∈ Rk та d ∈ Rk за формулоюL(w,d) = (w − d)′A(w − d). (7.44)

Тут A – симетрична невiд’ємно визначена k×k матриця. Якщо A – додатно визначена матриця, то кожномуненульовому вектору похибок w−d вiдповiдає додатний збиток. З iншого боку, якщо матриця A не є додатновизначеною, то iснують ненульовi вектори похибок з нульовими втратами. Такi вектори iснують, наприклад,якщо статистик цiкавиться оцiнкою лише декiлькох компонент W, а значення iнших компонент для ньогонесуттєвi та розглядаються як заважаючi параметри.

Припустимо, що для W iснує вектор середнiх E(W) = µ та коварiацiйна матриця cov (W) = Σ. Баєсiв-ська оцiнка при заданому розподiлi W – це точка d ∈ Rk, яка мiнiмiзує математичне сподiвання

E[(W − d)′A (W − d)] = E[(W − µ)′ + (µ− d)′]A [(W − µ) + (µ− d)]= E[(W − µ)′A (W − µ)] + (µ− d)′A(µ− d). (7.45)

У правiй частинi спiввiдношення (7.45) рiшення d не входить пiд знак математичного сподiвання.Оскiльки A – невiд’ємно визначена матриця, то другий доданок правої частини невiд’ємний для всiх значеньd. Отже, d ∈ Rk – баєсiвська оцiнка тодi i лише тодi, коли

(µ− d)′A(µ− d) = 0. (7.46)

Звiдси випливає, що значення d = µ є баєсiвською оцiнкою для W. Далi, якщо A – додатно визначенаматриця, то це значення d буде єдиною баєсiвською оцiнкою. Якщо матриця A не є додатно визначеною,то знайдуться iншi значення d, якi задовольняють спiввiдношення (7.46). Пiдкреслимо, що вектор середнiхµ = E(W) завжди є баєсiвською оцiнкою для довiльної симетричної невiд’ємно визначеної матрицi A.

Можна показати, щоE[(W − µ)′A (W − µ)] = tr(AΣ), (7.47)

де tr(Z) – слiд матрицi Z, тобто сума її дiагональних елементiв. Отже, зi спiввiдношення (7.45) випливає,що математичне сподiвання збитку для довiльної баєсiвської оцiнки d дорiвнює tr(AΣ).

Нехай X – спостереження з умовною щiльнiстю розподiлу fν (x) за умови W = ν. З викладеного вищезрозумiло, що баєсiвську вирiшувальну функцiю δ∗ визначають з рiвностi δ∗(X) = E(W|X), а баєсiвськийризик R∗ при заданiй апрiорнiй щiльностi розподiлу p дорiвнює

R∗ = trAE[cov(W|X)]. (7.48)

Тут cov(W|X) – коварiацiйна матриця апостерiорного розподiлу W при заданому значеннi X = x.

Приклад 7.3.3. Нехай X1, . . . , Xn – повторна вибiрка iз нормального розподiлу, в якому середнє M iмiра точностi R невiдомi. Припустимо далi, що при M = m i R = r та оцiнках m i r вiдповiдно для M i R

89

збиток задається наступним чином:

L(m, r, m, r) = a1(m− m)2 + a2(r − r)2 + 2a3(m− m)(r − r). (7.49)

Вимога невiд’ємної визначеностi матрицi A з (7.44) у випадку (7.49) приймає вигляд: a1 ≥ 0 та a1a2 ≥ a23.Припустимо, що апрiорний сумiсний розподiл M i R є нормальний–гамма розподiл. Тодi апостерiор-

ний розподiл M – це t–розподiл з параметром змiщення µ′, який вказаний у теоремi 7.11. Для того щобдисперсiя апостерiорного розподiлу була скiнченною, припустимо, що n > 2. Оскiльки щiльнiсть t–розподiлусиметрична вiдносно значення параметра змiщення, то середнiм значенням апостерiорного розподiлу є µ′.Далi, з тiєї ж теореми 7.11 видно, що апостерiорний розподiл R є гамма розподiл iз середнiм (2α+n)/(2β′),де значення β′ наведене в теоремi. Iз сказаного в цьому параграфi випливає, що баєсiвськими оцiнкамидля M та R є середнi вказаних апостерiорних розподiлiв.

Зауваження 7.3.2. Ми показали, що в деяких задачах прийняття рiшень середнє, медiана та мода апостерi-орного розподiлу одновимiрного параметру W є баєсiвськими оцiнками. Для випадку векторного параметраW вектор середнiх апостерiорного розподiлу також є баєсiвською оцiнкою за квадратичної функцiї втрат.Оскiльки не iснує стандартного визначення медiани та моди багатовимiрного розподiлу, то для випадкувекторного параметра немає й аналогiчних результатiв.

7.4. Спряженi сiмейства розподiлiв

7.4.1. Апрiорнi та апостерiорнi розподiли

Припустимо, що X = (X1, . . . , Xn) – повторна випадкова вибiрка з генеральної сукупностi iз заданоюфункцiєю розподiлу Fν(x) чи щiльнiстю fν(x), ν ∈ Θ ⊆ Rk, k ≥ 1, де значення ν параметра W частково чиповнiстю невiдоме. Нас цiкавить значення певного функцiоналу g(ν), що залежить вiд параметра ν. Для цьогобудемо шукати таку функцiю T (X), що “якнайкраще” оцiнює g(ν) i залежить лише вiд вектора спостереженьX. Функцiю T (X) називають оцiнкою g(ν).

З математичної точки зору вираз “якнайкраще” представляє функцiя втрат L(ν, T (x)), яка дорiвнюєзбиткам вiд вибору оцiнки T (x) за спостережним значенням x для справжнього значення ν. Тодi функцiяризику оцiнки T має вигляд

Rν(T ) = E(L(ν, T (x))|W = ν) =w

Rn

L(ν, T (x))dFν(x) =w

Rn

L(ν, T (x))fν(x)dx. (7.50)

Оскiльки X = (X1, . . . , Xn) – повторна вибiрка, тобто спостереження Xi, i = 1, . . . , n, – н.о.р. в.в. iз функцiєюрозподiлу Fν(x) чи щiльнiстю fν(x), то сумiсну функцiю розподiлу вибiрки X можна записати, як

Fν(x) =n∏

i=1

Fν(xi), x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn,

Сумiсна щiльнiсть

fν(x) =n∏

i=1

fν(xi) (7.51)

є нiчим iншим, як функцiєю вiрогiдностi.Нехай параметр W має апрiорну щiльнiсть u(ν), ν ∈ Θ. Його апостерiорну щiльнiсть ux(ν), тобто

щiльнiсть W за умови, що вибiрковi значення x вiдомi, визначають за допомогою базової формули (1.4):

ux(ν) =fν(x)u(ν)

fX(x), (7.52)

деfX(x) =

w

Θ

fX,W (x, ν)dν =w

Θ

fX,W=ν(x|ν)u(ν)dν =w

Θ

fν(x)u(ν)dν

– безумовна щiльнiсть випадкового вектора X.Часто (7.52) зручнiше виражати не в термiнах вибiркових значень, а за допомогою значення деякої

(достатньої) вибiркової статистики T (X), зокрема вибiркового середнього X = 1n

n∑i=1

Xi. Наприклад, часто

має сенс розглядати

ux(ν) =fν(x)u(ν)

fX(x), (7.53)

де x = 1n

n∑i=1

xi. На практицi цi два пiдходи еквiвалентнi.

Зручний спосiб знаходження апостерiорної щiльностi полягає у використання пропорцiйностi. Оскiлькифункцiя fX(x) не залежить вiд ν, є обмеженою та iнтегровною, то з (1.4) випливає, що

ux(ν) ∝ fν(x)u(ν), ν ∈ Θ, (7.54)

тобто апостерiорна щiльнiсть параметра W пропорцiйна добутку апрiорної щiльностi та функцiї вiрогiдностi.Вiдповiдно до вищесказаного, планування та аналiзування експерименту виявляються досить нескла-

дними, якщо iснує стандартне сiмейство розподiлiв параметра W , що має таку властивiсть:

90

• якщо апрiорний розподiл W належить цьому сiмейству, то для будь-якого розмiру вибiрки n i будь-якихзначень спостережень у вибiрцi апостерiорний розподiл W також належить цьому сiмейству.

Сiмейство розподiлiв, якi мають таку властивiсть, називають замкнутим вiдносно процесу вибору. Йогоназивають також спряженим сiмейством розподiлiв через особливий зв’язок, який iснує мiж розподiламипараметра i розподiлами спостережень.

7.4.2. Вибiрка з розподiлу Бернуллi

Припустимо, наприклад, що X = (X1, . . . , Xn) – повторна вибiрка з розподiлу Бернуллi з невiдомимзначенням параметра W . Для заданого значення W = ν функцiя вiрогiдностi fν(x) дорiвнює

fν(x) =n∏

i=1

fν(xi) = νy(1− ν)n−y, де y =n∑

i=1

xi. (7.55)

Припустимо також, що апрiорний розподiл W є бета-розподiлом iз заданими значеннями параметрiв α > 0та β > 0. Тодi апрiорна щiльнiсть розподiлу ймовiрностей параметру W має вигляд

u (ν) ∝ να−1 (1− ν)β−1

, 0 < ν < 1. (7.56)

Тут ужито символ пропорцiйностi ∝, що вказує на те, що щiльнiсть розподiлу u(ν) задана правою частиною(7.56) з точнiстю до множника, який не мiстить ν. Тому зi спiввiдношень (7.54), (7.56) апостерiорна щiльнiстьрозподiлу ймовiрностей ux(ν) параметра W пiсля спостереження значень Xi = xi, i = 1, 2, . . . , n, є

ux(ν) ∝ να+y−1(1− ν)n−y+β−1. (7.57)

Зi спiввiдношення (7.57) видно, що апостерiорним розподiломW є бета-розподiл з параметрами α+y i β+n−y.Ми довели наступну теорему.

Теорема 7.5. Нехай X1, . . . , Xn – повторна вибiрка з розподiлу Бернуллi з невiдомим значенням параметраW . Припустимо, що апрiорний розподiл W є бета-розподiл з параметрами α i β, α > 0, β > 0. Тодi апостерi-орний розподiл W за умови, що випадковi величини Xi, i = 1, 2, . . . , n, набувають значення xi, i = 1, 2, . . . , n,

є бета-розподiл з параметрами α+ y i β + n− y, де y =n∑

i=1

xi. Iншими словами, сiмейство бета-розподiлiв

спряжене з сiмейством розподiлiв Бернуллi.

7.4.3. Вибiрки з пуассонiвського, вiд’ємного бiномiального та експоненцiйного розподiлiв

Теорема 7.6. Нехай X1, . . . , Xn – повторна вибiрка з розподiлу Пуассона з невiдомим значенням середньогозначення параметра W . Припустимо, що апрiорним розподiлом W є гамма-розподiл з параметрами α > 0та β > 0. Тодi апостерiорним розподiлом W за умови, що в.в. Xi набувають значення xi, i = 1, 2, . . . , n, є

гамма-розподiл з параметрами α+n∑

i=1

xi та β + n.

Доведення. Позначимо y =n∑

i=1

xi, тодi з умов теореми випливає, що для ν > 0

fν(x) ∝ νye−nν , x = (x1, . . . , xn), та u(ν) ∝ να−1e−βν . (7.58)

Отже, зi спiввiдношень (7.54) та (7.58) випливає, що

ux(ν) ∝ να+y−1e−(β+n)ν .

Таким чином, апостерiорна щiльнiсть розподiлу W є щiльнiстю гамма-розподiлу з параметрами α + y таβ + n.

В якостi мiри розсiювання розподiлу додатної в.в. X часто вживають коефiцiєнт варiацiї, який визна-чається спiввiдношенням

CV(X) =

√DX

EX=σXm1

. (7.59)

Нагадаємо, що коли в.в. X має гамма-розподiл з параметрами α та β, то EX = αβ , DX = α

β2 . З цих спiввiд-ношень та теореми 7.6 випливає, що коефiцiєнт варiацiї апостерiорного розподiлу W дорiвнює

CVx(W ) = CV(W |X = x) =

(α+

n∑

i=1

xi

)− 12

.

Нехай ε > 0 – фiксоване число. Припустимо, що спостереження розподiлу Пуассона проводять доти,поки коефiцiєнт варiацiї апостерiорного розподiлу W не стане меншим за ε. Тодi спостереження потрiбнопродовжувати до моменту першого виконання нерiвностi

α+n∑

i=1

xi ≥1

ε2.

91

Наступнi теореми описують спряженi сiмейства розподiлiв для вибiрок з вiд’ємного бiномiальногота експоненцiйного (показникового) розподiлiв. Доведення теорем аналогiчнi доведенню попередньої тео-реми 7.6.

Теорема 7.7. Нехай X1, . . . , Xn – повторна вибiрка з вiд’ємного бiномiального розподiлу з параметрамиr i W , де r > 0 – фiксоване, а значення W невiдоме. Нехай апрiорний розподiл W є бета-розподiлом iзпараметрами α > 0, β > 0. Тодi апостерiорний розподiл W за умови, що Xi = xi, i = 1, 2, . . . , n, є бета-

розподiлом iз параметрами α+ rn та β +n∑

i=1

xi.

Теорема 7.8. Нехай X1, X2, . . . , Xn – вибiрка з експоненцiйного розподiлу з невiдомим значенням параме-тра W . Припустимо, що апрiорним розподiлом W є гамма-розподiл з параметрами α > 0 та β > 0. Тодiапостерiорний розподiл W за умови, що Xi = xi, i = 1, 2, . . . , n, є гамма-розподiлом iз параметрами α+ n i

β +n∑

i=1

xi.

7.4.4. Спряженi сiмейства для вибiрок з нормального розподiлу

Ми почнемо з розгляду нормальних розподiлiв iз вiдомою мiрою точностi, або, що те саме, з вiдомоюдисперсiєю.

Теорема 7.9. Нехай X1, X2, . . . , Xn – повторна вибiрка з нормального розподiлу з невiдомим значеннямсереднього W та заданою мiрою точностi r > 0. Припустимо, що апрiорний розподiл W – це нормальнийрозподiл iз середнiм µ й мiрою точностi τ > 0. Тодi апостерiорним розподiлом W за умови спостереженнязначень Xi = xi, i = 1, 2, . . . , n, є нормальний iз середнiм µ′ та мiрою точностi τ ′ = τ + nr, де

µ′ =τµ+ nrx

τ + nr. (7.60)

Доведення. Для довiльного значення ν ∈ R умовна щiльнiсть розподiлу в.в. X1, X2, . . . , Xn задовольняє умовi

fν(x) ∝ exp

−r2

n∑

i=1

(xi − ν)2

, x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn. (7.61)

Алеn∑

i=1

(xi − ν)2= n (ν − x)

2+

n∑

i=1

(xi − x)2. (7.62)

Оскiльки останнiй доданок у рiвностi (7.62) не мiстить ν, то ми можемо переписати спiввiдношення (7.61)так:

fν(x) ∝ exp−nr

2(ν − x)

2. (7.63)

Апрiорна щiльнiсть розподiлу u (ν) параметра W задовольняє спiввiдношення

u (ν) ∝ exp−τ2(ν − µ)

2. (7.64)

Апостерiорна щiльнiсть розподiлу ux (ν) параметра W пропорцiйна добутку функцiй, що фiгурують у (7.63)й (7.64). Можна показати, що

τ (ν − µ)2+ nr (ν − x)

2= τ + nr (ν − µ′)

2+τnr (x− µ)

2

τ + nr. (7.65)

Оскiльки останнiй доданок у (7.65) не мiстить ν, то вiн може бути включений у нормуючий множник, i миодержуємо таке спiввiдношення:

ux ∝ exp

−τ + nr

2(ν − µ′)

2, (7.66)

де µ′ визначено у (7.60). Зi спiввiдношення (7.66) випливає, що апостерiорним розподiлом W є нормальнийiз середнiм µ′ та мiрою точностi τ + nr.

Ця теорема показує, чому краще виражати результати спостережень через мiру точностi, а не черездисперсiю. Середнє µ′ апостерiорного розподiлу W можна записати у виглядi

µ′ =nr

τ + nrx+

τ

τ + nrµ. (7.67)

Ми бачимо, що µ′ – це зважене середнє x та µ, де x – значення вибiркового середнього, а µ – середнєапрiорного розподiлу W. Тому можна розглядати середнє апостерiорного розподiлу µ′ як зважене середнєоцiнки x параметра W , побудованої за вибiркою, та оцiнки параметра W, одержаної, виходячи з апрiорногорозподiлу. Ваги оцiнок, x та µ, у цьому усередненнi пропорцiйнi nr та τ , де nr – мiра точностi умовногорозподiлу вибiркового середнього при будь-якому фiксованому значеннi W, а τ – мiра точностi апрiорногорозподiлу W. Чим бiльшим є розмiр вибiрки n та чим вища точнiсть r кожного спостереження, тим бiльшевага, що дається x.

92

Вигляд мiри точностi τ ′ = τ + nr апостерiорного розподiлу W досить простий. Точнiсть зростає на rодиниць при кожному спостереженнi незалежно вiд одержаних значень спостережень. Тому пiд час збiльше-ння кiлькостi спостережень розподiл W все бiльше концентруватиметься навколо свого середнього, значенняякого залежать вiд спостережень.

У наступнiй теоремi розглянемо нормальний розподiл, для якого значення середнього задане, а значе-ння мiри точностi невiдоме.

Теорема 7.10. Нехай X1, X2, . . . , Xn – повторна вибiрка з нормального розподiлу iз заданим значеннямсереднього µ та невiдомим значенням мiри точностi W , i нехай апрiорний розподiл W є гамма-розподiломiз параметрами α > 0 та β > 0. Тодi апостерiорним розподiлом W при Xi = xi, i = 1, 2, . . . , n, є гамма-розподiл з параметрами α+ n

2 та β′,

β′ = β +1

2

n∑

i=1

(xi − µ)2. (7.68)

Для гамма-розподiлу з параметрами α i β коефiцiєнт варiацiї дорiвнює α− 12 . З теореми випливає, що

коефiцiєнт варiацiї апостерiорного розподiлу W спадає, коли розмiр вибiрки зростає.Розглянемо тепер вибiрку з нормального розподiлу, у якого i середнє, i мiра точностi невiдомi. Спря-

женим сiмейством у цiй задачi має бути деяке сiмейство двовимiрних розподiлiв.

Теорема 7.11. Нехай X1, X2, . . . , Xn – повторна вибiрка з нормального розподiлу iз невiдомими значен-нями середнього M та мiри точностi R. Припустимо, що апрiорний сумiсний розподiл M та R такий:умовним розподiлом M за даного R = r > 0 є нормальний iз середнiм µ ∈ R та мiрою точностi τr, τ > 0,а розподiлом R є гамма-розподiл iз параметрами α > 0 та β > 0. Тодi апостерiорний сумiсний розподiлM та R за умови спостереження Xi = xi, i = 1, 2, . . . , n, має наступний вигляд: умовний розподiл M заданого R = r є нормальним iз середнiм µ′ та мiрою точностi (τ + n) r, де

µ′ =τµ+ nx

τ + n, (7.69)

а розподiлом R є гамма-розподiл з параметрами α+ n2 та β′, де

β′ = β +1

2

n∑

i=1

(xi − x)2+τn (x− µ)

2

2 (τ + n). (7.70)

Доведення. Позначимо для даних значень M = m ∈ R та R = r > 0 умовну сумiсну щiльнiсть розподiлувипадкової вибiрки X = (X1, . . . , Xn) через fm,r(x), x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, а сумiсну щiльнiсть розподiлуймовiрностей M та R через u(m, r). Тодi

fm,r(x) ∝ rn2 exp

−r2

n∑

i=1

(xi −m)2

(7.71)

таu (m, r) ∝ r

12 exp

−τr

2(m− µ)

2rα−1e−rβ . (7.72)

Апостерiорна сумiсна щiльнiсть розподiлу ux(m, r) параметрiв M та R пропорцiйна добутку правихчастин спiввiдношень (7.71) та (7.72). З рiвностей (7.62) та (7.65) випливає, що ця щiльнiсть розподiлу можебути задана спiввiдношенням

ux(m, r) ∝(r

12 exp

− (τ + n) r

2(m− µ′)

2)(

rα+n2−1e−rβ′

). (7.73)

Тут µ′ визначається рiвнiстю (7.69), β′ – рiвнiстю (7.70).Функцiя у першiй парi круглих дужок у спiввiдношеннi (7.73), як функцiя вiд m, повинна бути про-

порцiйною умовнiй щiльнiсть розподiлу M за вiдомого значення R, тому що змiнна m не входить у вираз удругiй парi дужок. Але для кожного фiксованого значення r функцiя у лiвiй парi дужок пропорцiйна щiльно-стi нормального розподiлу, середнє значення й мiра точностi якого заданi в умовах теореми. Звiдси випливає,що функцiя у правiй парi дужок повинна бути пропорцiйною щiльностi розподiлу R. Отже, розподiлом R єгамма-розподiл, параметри якого зазначенi у теоремi.

Якщо сумiсна щiльнiсть розподiлу ξ параметрiв M та R – це щiльнiсть нормального–гамма розподiлу,яка визначена у спiввiдношеннi (7.72), то умовний розподiл M для будь-якого заданого значення R = r буденормальним, але розподiл M таким не буде. Маргiнальна щiльнiсть uM (m) розподiлу параметра M дорiвнює

uM (m) =

∞w

0

u (m, r) dr. (7.74)

Якщо скористатись символом пропорцiйностi та пропустити всi множники, що не мiстять m, то з (7.72)одержимо, що uM (m) має наступний вигляд:

uM (m) ∝(β +

τ

2(m− µ)

2)− 2α+1

2 ∝(1 +

1

2α

ατ (m− µ)2

β

)− 2α+1

2

. (7.75)

93

Порiвнюючи функцiю, визначену у спiввiдношеннi (7.75), зi щiльнiстю t-розподiлу, бачимо, що розподiлM є t-розподiлом з 2α степенями вiльностi, параметром змiщення µ та мiрою точностi ατ

β . Апостерiорнийрозподiл M знаходимо замiною µ, τ , α, β, їхнiми апостерiорними значеннями, якi вказанi в теоремi. От-же, кiлькiсть степеней вiльностi 2α + n апостерiорного розподiлу не залежить вiд спостережених значеньx1, . . . , xn, проте параметр змiщення та точнiсть апостерiорного розподiлу вiд них залежать.

7.4.5. Вибiрка з рiвномiрного розподiлу

У цьому параграфi ми опишемо спряженi сiмейства розподiлiв для вибiрок з рiвномiрного розподiлу зневiдомими значеннями однiєї чи обох меж розподiлу.

Теорема 7.12. Нехай X1, . . . , Xn – повторна вибiрка з рiвномiрного розподiлу на iнтервалi (0,W ), де зна-чення параметра W невiдоме. Припустимо, що апрiорний розподiл W – це розподiл Парето з параметрамиν0 > 0 та α > 0, тобто

u (ν) =ανα0να+1

, ν > ν0. (7.76)

Тодi апостерiорний розподiл W за умови Xi = xi, i = 1, 2, . . . , n є розподiлом Парето з параметрами ν′0 таα+ n, де

ν′0 = max ν0, x1, . . . , xn . (7.77)

Доведення. З (7.76) випливає, що для ν > ν0 апрiорна щiльнiсть розподiлу u(ν) параметра W має вигляд

u (ν) ∝ 1

να+1. (7.78)

Щiльнiсть розподiлу fν (x) задається рiвностями (2.1) та (7.51) та дорiвнює

fν (x) =1

νn, 0 < maxx1, x2, . . . , xn < ν. (7.79)

Звiдси випливає, що апостерiорна щiльнiсть розподiлу ux (ν) параметра W буде додатною лише для такихзначень ν, для яких ν > ν0 та ν > max x1, . . . , xn. Тому ux (ν) > 0 лише тодi, коли ν > ν′0, де ν′0 визначеноу (7.77). Отже, для ν > ν′0

ux (ν) ∝1

να+n+1.

А значить, апостерiорний розподiл W має бути розподiлом Парето зi значеннями параметрiв, визначенимиу теоремi.

Зауваження 7.4.1. У теоремi 7.12 використано альтернативну до (2.2) форму розподiлу Парето.

У наступнiй теоремi розглянемо рiвномiрний розподiл на iнтервалi, обидва кiнцi якого невiдомi.

Теорема 7.13. Нехай X1, . . . , Xn – повторна вибiрка з рiвномiрного розподiлу на iнтервалi (W1,W2), дезначення W1 та W2 невiдомi. Припустимо, що апрiорним сумiсним розподiлом W1 та W2 є двостороннiйдвовимiрний розподiл Парето з параметрами r1, r2 та α, де r1 < r2, α > 0, тобто

u (ν1, ν2) =

α(α+1)(r2−r1)

α

(ν2−ν1)α+2 при ν1 < r1, ν2 > r2,0 в iнших випадках,

(7.80)

зокрема

EW1 =αr1 − r2α− 1

, E(W2) =αr2 − r1α− 1

, (7.81)

DW1 = DW2 =α(r2 − r1)

2

(α− 1)2(α− 2). (7.82)

Тодi апостерiорний сумiсний розподiл W1 та W2 за умови Xi = xi, i = 1, 2, . . . , n, є двостороннiм двовимiр-ним розподiлом Парето з параметрами r′1, r

′2 та α+ n, де

r′1 = min r1, x1, . . . , xn , r′2 = max r2, x1, . . . , xn . (7.83)

Приклад 7.4.1. Розглянемо числовий приклад, який показує, як застосовується остання теорема. При-пустимо, що деяка частинка проходить через посудину з водою i горизонтальне вiдхилення частинки,вимiряне у вiдповiдних одиницях, рiвномiрно розподiлене на iнтервалi (W1,W2), де значення W1 та W2невiдомi. Припустимо, що W1 < −0, 4 та W2 > 0, 1. Якщо оцiнки такого роду невiдомi статистику зазда-легiдь, то вони можуть бути визначенi пiсля того, як маємо данi спостережень горизонтальних вiдхиленьпринаймнi двох частинок y1, y2. Справдi, оскiльки y1 та y2 повиннi лежати в iнтервалi (W1,W2), то (нехайy1 < y2), W1 < y1 < y2 < W2.

Припустимо далi, що статистик хоче вибрати двостороннiй двовимiрний розподiл Парето як апрiорнийрозподiл W1 та W2 i, вiдповiдно до його прогнозу, довжина W2−W1 iнтервалу (W1,W2) повинна складатиприблизно 2,5. Якi значення параметрiв r1, r2, α апрiорного розподiлу варто вибрати? Зi знайдених ранiшеоцiнок для W1 i W2 випливає, що можна взяти r1 = −0, 4 та r2 = 0, 1. З рiвностi (7.81) випливає, що приα > 1

E(W2 −W1) =(α+ 1) (r2 − r1)

α− 1. (7.84)

94

Якщо припустити, що E(W2 − W1) = 2, 5, то α = 1, 5. Фiксацiя цього значення завершує визначенняапрiорного розподiлу.

Припустимо тепер, що спостерiгаються вiдхилення п’яти частинок зi значеннями −0, 27; −0, 45;−0, 36; −0, 12; 0, 47. Оскiльки мiнiмум цих п’яти значень дорiвнює −0, 45, а максимум дорiвнює 0, 47,то за останньою теоремою значення параметрiв r′1, r

′2 та α′ апостерiорного розподiлу W рiвнi r′1 = −0, 45,

r′2 = 047 i α′ = 6, 5. Ми знаємо тепер, що W1 < −0, 45 i W2 > 0, 47. В силу спiввiдношення (7.83) середнядовжина E(W2 −W1) дорiвнює тепер 1,25.

Припустимо, що знайдено вiдхилення ще п’яти частинок вiдповiдно: −0, 39; −0, 07; 0, 43; 0, 01; −0, 14.Параметрами r′′1 , r

′′2 i α′′ нового апостерiорного розподiлу W1 i W2 будут r′′1 = r′1, r

′′2 = r′2 i α′′ = 11, 5. Тому,

вiдповiдно до спiввiдношення (7.84), маємо E(W2−W1) = 1, 10. Оскiльки iнтервал (−0, 45; 0, 47) завдовжки0, 92 мiститься в iнтервалi (W1,W2), а середня довжина iнтервалу (W1,W2) є 1, 10, то статистик має теперпорiвняно точну iнформацiю про значення W1 та W2. Справдi, з рiвностi (7.82) випливає, що дисперсiївеличин W1 та W2 мають тепер спiльне значення 0,0093.

7.4.6. Вибiрка з мультиномiального розподiлу

Наступна теорема показує, що сiмейство розподiлiв Дiрiхле є спряженим сiмейством для спостережень,що мають мультиномiальний розподiл.

Теорема 7.14. Нехай випадковий вектор X = (X1, . . . , Xk) має мультиномiальний розподiл з параметрамиn та W = (W1, . . . ,Wk), де n – вiдоме цiле число, а компоненти вектора W невiдомi. Припустимо, щоапрiорним розподiлом W є розподiл Дiрiхле з параметричним вектором α = (α1, . . . , αk) , αi > 0, i = 1, . . . , k.Тодi апостерiорний розподiл W за умови Xi = xi, i = 1, 2, . . . , n, – це розподiл Дiрiхле з параметричнимвектором α∗ = (α1 + x1, . . . , αk + xk) .

Доведення. Нехай Θ позначає множину точок ν = (ν1, . . . , νk) таких, що νi > 0, i = 1, . . . , k, та ν1+ ·+νk = 1.Сумiсна щiльнiсть розподiлу випадкового вектора X = (X1, . . . , Xk) задовольняє спiввiдношення

fν (x) = fν (x1, . . . , xk) ∝k∏

i=1

νxi

i . (7.85)

Оскiльки для довiльного ν ∈ Θ апрiорна щiльнiсть розподiлу W задовольняє спiввiдношення

u (ν) ∝k∏

i=1

ναi−1i , (7.86)

то з (7.54), (7.85) та (7.86) випливає, що апостерiорна щiльнiсть розподiлу ux(ν) параметричного вектора Wмає вигляд

ux(ν) ∝k∏

i=1

ναi+xi−1i . (7.87)

Як бачимо, функцiя в правiй частинi спiввiдношення (7.87) пропорцiйна щiльностi розподiлу Дiрiхле з па-раметричним вектором α∗ = (α1 + x1, . . . , αk + xk) .

Приклад 7.4.2. Припустимо, що в деякiй великiй партiї виробiв є вироби k рiзних типiв. Для i =1, . . . , k нехай Wi позначає частку виробiв i-го типу. Припустимо, що апрiорний розподiл вектора W =(W1, . . . ,Wk) , є розподiл Дiрiхле з параметричним вектором α = (α1, . . . , αk) . Нехай випадково вибира-ється з партiї по одному виробу. З теореми випливає, що апостерiорний розподiл W на кожному кроцiвибiрки буде розподiлом Дiрiхле, причому i-та компонента параметричного вектора α(i = 1, . . . , k) зростаєна 1 кожного разу, коли вибраний вирiб є типу i.

7.5. Експоненцiйний клас та вiдповiдна йому сiм’я спряжених розподiлiвБудемо казати, що розподiл експоненцiйного типу, якщо його можна подати так:

dF (x) = exp

xν − b(ν)

σ2/w+ c(x, σ2/w)

dη(x), x ∈ A ⊂ R. (7.88)

В рiвностi (7.88) η позначає мiру Лебегу або злiченну мiру, b(·) – деяка дiйснозначна двiчi диференцiйовнафункцiя вiд ν, w та σ2 – дiйснi сталi.

Клас розподiлiв експоненцiйного типу, визначений (7.88), називають однопараметричним експоненцiй-ним класом

Fexp = Fν : ν ∈ Θ. (7.89)Однопараметричний експоненцiальний клас Fexp охоплює широкий клас сiмейств розподiлiв. Вiн вклю-

чає в себе, з-помiж iнших, сiмейства розподiлiв Пуассона, Бернуллi, гамма, нормальних та зворотно-гауссових.Також вiн вiдiграє центральну роль в рамках загальної лiнiйної моделi (GLM), яка вiдноситься до стандар-тних набору iнструментiв, використовуваних пiд час розрахунку страхових внескiв залежно вiд декiлькохрейтингових факторiв.

Кожна з таких сiмей iз Fexp характеризується специфiчною формою функцiй b(·) та c(·, ·). Ми будемопозначати таку задану сiм’ю Fb,c

exp.Параметр ν в (7.88) називають канонiчним або натуральним. У нашому контекстi, ν треба iнтерпретува-

ти як профiль ризику, що набуває значення в Θ. Зауважимо, що ν тут одномiрна дiйсна величина. Параметр

95

σ2 вважають фiксованим i називають дисперсiйним параметром. Нарештi, w позначає попередньо вiдомийваговий коефiцiєнт, приписаний до спостереження. В той час, як дисперсiйний параметр σ2 є постiйним щодоспостережень, ваговий коефiцiєнт w може бути рiзним для компонент вектору спостережень.

Розглянемо тепер конкретне сiмейство розподiлiв Fb,cexp ∈ Fexp iз заданою формою b(·) та c(·, ·).

Теорема 7.15. Припустимо, що для даного ν компоненти вектора спостережень X = (X1, . . . , Xn) є не-залежними щодо розподiлу Fν ∈ Fb,c

exp, кожне спостереження має однакову дисперсiю σ2 та ваговi коефiцi-єнти wj, j = 1, 2 . . . , n. Розглянемо сiмейство

Ubexp = uγ(ν) : γ = (x0, τ

2) ⊂ R× R+, (7.90)

де

uγ(ν) = exp

x0ν − b(ν)

τ2+ d(x0, τ

2)

, ν ∈ Θ, (7.91)

є щiльностями (вiдносно мiри Лебега).Тодi клас розподiлiв Ub

exp є спряженим до Fb,cexp.

Зауваження 7.5.1. Зауважимо, що expd(x0, τ

2)

в (7.91) є просто нормувальним множником. Крiм того,сiмейство спряжених до Fb,c

exp розподiлiв залежить лише вiд функцiї b(ν) i не залежить вiд c(x, σ2/w).

Доведення. Апостерiорна щiльнiсть W для даного значення X має вигляд

u(ν|X = x) ∝n∏

j=1

exp

xjν − b(ν)

σ2/w

exp

x0ν − b(ν)

τ2

= exp

(σ2

τ2 + w∗)−1 (

σ2

τ2 x0 + w∗x)ν − b(ν)

σ2/(σ2

τ2 + w∗)

де x =∑n

j=1wj

w∗

xj та w∗ =∑n

j=1 wj .Як бачимо, апростерiорний розподiл за даного X = x знову належить Ub

exp, оновленими параметрами є

x′ =σ2

τ2x0 + w∗x та τ ′2 = σ2

(σ2

τ2+ w∗

)−1

.

Визначимо тепер iндивiдуальну, колективну та баєсiвську премiї.

Теорема 7.16. Для сiмейства Fb,cexp та спряженого Ub

exp до нього

P iнд(ν) = b′(ν) та D(Xj |W = ν, wj) = b′′(ν)σ2/wj . (7.92)

Якщо область Θ така, що expd(x0, τ

2)

зникає на межi Θ для будь-якого можливого значення x0,то

P кол = x0 (7.93)та

P ∗ = αX + (1− α)P кол, (7.94)де

X =

n∑

j=1

wj

w∗Xj , α =

w∗

w∗ +σ2

τ2

.

Зауважимо, що баєсiвська премiя P ∗ є зваженим середнiм колективної премiї та набутого досвiду iнди-вiдуальних позовiв. Вона є лiнiйною функцiєю вiд спостережень, i, отже, довiрчою премiєю. Випадок, колиP ∗ має довiрчий вигляд, в лiтературi iнодi називають точною довiрою.

Доведення. Розглянемо генератрису моментiв в.в. X за умови даного значення W = ν та даного ваговогокоефiцiєнта w.

MX(t) = E(etX |W = ν) =wetx exp

xν − b(ν)

σ2/w+ c(x, σ2/w)

dη(x)

=wexp

x(ν + tσ2/w

)− b

(ν + tσ2/w

)

σ2/w+ c(x, σ2/w)

dη(x) exp

b(ν + tσ2/w

)− b(ν)

σ2/w

= exp

b(ν + tσ2/w

)− b(ν)

σ2/w

,

оскiльки перший множник в останнiй рiвностi є iнтегралом вiд щiльностi, а тому дорiвнює одиницi. Вiдпо-вiдно, генератриса кумулянт має вигляд

CX(t) = lnMX(t) =b(ν + tσ2/w

)− b(ν)

σ2/w.

96

ЗвiдсиP iнд(ν) = E(X|W = ν) = C ′

X(0) = b′(ν),

D(X|W = ν) = C ′′X(0) = b′′(ν)

σ2

w.

Для доведення (7.93) помiтимо, що

P кол =w

Θ

µ(ν) exp

x0ν − b(ν)

τ2

dν expd(x0, τ2) =

w

Θ

b′(ν) exp

x0ν − b(ν)

τ2

dν expd(x0, τ2)

= x0 −w

Θ

(x0 − b′(ν)) exp

x0ν − b(ν)

τ2

dν expd(x0, τ2) = x0 − τ2 expx0ν − b(ν)

∣∣∣∂Θ,

де ∂Θ позначає межу областi Θ. Вибiр параметричної областi Θ виявляється важливим. За технiчного при-пущення, зробленого в умовi теореми, граничний доданок зникає для довiльного x0, та ми отримуємо

P кол = x0.

З доведення теореми 7.15, де було показано, що апостерiорний розподiл W за даного X = x такожналежить до Ub

exp з параметрами

P iнд(ν) = b′(ν), D(Xj |W = ν, wj) = b′′(ν)σ2/wj ,

легко отримуємо, щоP ∗ = E(µ(W )|X) = αX + (1− α)x0,

де

X =n∑

j=1

wj

w∗Xj , w∗ =

n∑

j=1

wj , α =w∗

w∗ + σ2/τ2.

Розглянемо деякi класичнi приклади.

7.5.1. Пуассонiвська-гамма модель

Припустимо, що ми маємо частотнi спостереження Xj =Nj

wj, де, умовно за ν, Nj має пуассонiвський

розподiл з параметром λj = wjν. Розподiл Xj тодi має вигляд

fν(x) = e−wjν(wjν)

wjx

(wjx)!, x =

k

wj, k = 0, 1, 2, . . .

Цю функцiю можна переписати у формi (7.88), якщо покласти

ν = ln ν, b(ν) = expν, σ2 = 1, w = wj ,

c(x, σ2/w) = − ln((wx)!) + wx ln w.

Щоб знайти спряжене сiмейство Ubexp до попередньо вiдомих розподiлiв, пiдставимо ν та b(ν) в (7.91). Мати-

мемо

uγ(ν) ∝ exp

x0ν − expν

τ2

, (7.95)

Виразимо отриману в (7.95) щiльнiсть у термiнах ν, а не ν.

uγ(ν) ∝1

νexp

ln(νx0/τ

2)− ν

τ2

= ν

x0

τ2 −1e−ν

τ2 . (7.96)

Зауважимо, що при замiнi змiнної ν на ν треба враховувати похiдну dνdν = 1

ν . Отже,

Ubexp =

u(ν) : u(ν) ∝ ν

x0

τ2 −1e−ν

τ2 ; x0, τ2 > 0

,

тобто є сiмейством гамма-розподiлiв.Обчислюючи колективну премiю, отримаємо

P кол = EW =x0τ2τ2 = x0,

таким чином, (7.93) виконується.

7.5.2. Бiномiальна-бета модель

Ми маємо спостереження Xj , якi, умовно за ν, мають гамма-розподiл з параметрами wjγ та wjγν, де wj– ваговий коефiцiєнт спостереження Xj . Зокрема, цей випадок виникає, коли спостереження Xj є середнiмwj незалежних величин позовiв, кожна з яких має гамма-розподiл з параметрами γ та γν. Щiльнiсть Xj тодiмає вигляд

fν(x) =(wjγν)

wjγ

Γ(wjγ)xwjγ−1e−wjγνx.

97

Її можна переписати у формi (7.88), якщо покласти

ν = −ν, b(ν) = − ln (−ν) σ2 = γ−1, w = wj ,

c(x, σ2/w) = (wγ − 1) lnx− ln Γ(wγ) + wγ ln(wγ).Зауважимо, що

µ(ν) = Eν(Xj) = ν−1.

З (7.91) маємо

Ubexp =

u(ν) : u(ν) ∝ ν

1

τ2 −1e−x0

τ2 ν ; x0 > 0, τ2 ∈ (0, 1),

тобто є сiмейством гамма-розподiлiв.Легко перевiрити, що

P кол = E(µ(W )) = x0.

7.5.3. Гамма-гамма модель

Припустимо, що ми маємо частотнi спостереження Xj =Nj

wj, де, умовно за ν, Nj має бiномiальний

розподiл з параметрами n = wj та θ = ν. Розподiл Xj тодi має вигляд

fν(x) = Cwjxwj

νwjx(1− ν)n−wjx, x =k

wj, k = 0, 1, 2, . . . , wj , wj ∈ N.

Цю функцiю можна переписати у формi (7.88), якщо покласти

ν = ln

(ν

1− ν

), b(ν) = ln (1 + ν) σ2 = 1, w = wj , c(x, σ2/w) = ln(Cwx

w ).

З (7.91) отримаємо

Ubexp =

u(ν) : u(ν) ∝ ν

x0

τ2 −1(1− ν)1−x0

τ2 −1; 0 < x0 < 1, τ2 > 0,

тобто є сiмейством бета-розподiлiв.Для колективної премiї маємо

P кол = EW =x0

τ2

x0

τ2 + 1−x0

τ2

= x0.

7.5.4. Нормальна-нормальна модель

Ми маємо спостереження Xj , якi, умовно за ν, нормально розподiленi з середнiм ν та дисперсiєю σ2/wj .Щiльнiсть Xj має вигляд

fν,γ,wj(x) = (2πσ2/wj)

− 12 exp

− (x− ν)2

2σ2/wj

.

7.5.5. Геометрична-бета модель

Ми маємо спостереження Xj , якi, умовно за ν, мають геометричний розподiл з параметром ν (всi ваговiкоефiцiєнти wj рiвнi 1). Щiльнiсть Xj має вигляд

fν(x) = (1− ν)xν, x ∈ N.

7.6. Теорiя довiри

Баєсiвська премiя P ∗ = ˜µ(W ) = E(µ(W )|X) є найкращою можливою оцiнкою у класi всiх можливихоцiнювальних функцiй. Втiм, у загальному випадку цю оцiнку не можна виразити в закритiй аналiтичнiйформi та можна обчислити лише за допомогою чисельних методiв. А тому вона не виконує вимогу простоти.

Крiм того, щоб обчислити P ∗, треба вказати умовнi розподiли разом iз попередньо вiдомим розподiлом,що на практицi часто неможливо нi роблячи висновок iз даних, нi iнтуїтивно вгадуючи.

Основна iдея, що лежить в пiдґрунтi довiри, – надати необхiдну простоту оцiнцi, обмежуючи класдозволених оцiнювальних функцiй лише лiнiйними за спостереженнями X = (X1, . . . , Xn). Iнакше кажучи,ми шукатимемо найкращу оцiнку в класi всiх лiнiйних оцiнювальних функцiй. “Найкращу” треба розумiтив баєсiвському сенсi, критерiєм оптимальностi знову є квадратична функцiя втрат.

Таким чином, довiрчi оцiнки – це лiнiйнi баєсiвськi оцiнки.

7.6.1. Довiрча премiя в простiй довiрчiй моделi

Ми розглянемо наступну просту довiрчу модель:

1. в.в. Xj , j = 1, . . . , n, є, умовно за W = ν, незалежними з однаковою функцiєю розподiлу Fν та умовнимимоментами

µ(ν) = E(Xj |W = ν), σ2(ν) = D(Xj |W = ν).

2. W є в.в. з розподiлом U(ν).

98

У цiй моделi ми маємоP iнд = µ(W ) = E(Xn+1|W ),

P кол = µ0 =w

Θ

µ(ν)dU(ν).

Нашою цiллю знову є вiднайти оцiнку iндивiдуальної премiї µ(W ), але зараз ми концентруємося на оцiнках,якi лiнiйнi за спостереженнями. Будемо позначати найкращу оцiнку в межах цього класу через P дов абоˆ

µ(W ).

За означеннямµ(W ) повинна мати форму

µ(W ) = a0 +

n∑

j=1

ajXj ,

де дiйснi коефiцiєнти a0, a1, . . . , an є розв’язками рiвняння

E

µ(W )− a0 −

n∑

j=1

ajXj

= min

a0,a1,...,an∈R

E

µ(W )− a0 −

n∑

j=1

ajXj

.

З того, що розподiл X1, . . . , Xn iнварiантний щодо перестановки Xj та однозначностiµ(W ), випливає,

щоa0 = a1 = · · · = an,

тобто оцiнкаµ(W ) має вигляд

µ(W ) = a+ bX,

де

X =1

n

b∑

j=1

Xj

та де коефiцiєнти a, b є розв’язками задачi мiнiмiзацiї

E

(µ(W )− a− bX

)= min

a,b∈R

E(µ(W )− a− bX

).

Беручи частиннi похiднi по a та b, отримаємо

E(µ(W )− a− bX

)= 0,

cov(µ(W ), X

)− bDX = 0.

З припущення 1 про форму залежностi у моделi випливає, що

cov(µ(W ), X

)= Dµ(W ) =: τ2.

DX =Eσ2(W )

n+ Dµ(W ) =:

σ2

n+ τ2,

звiдки

b =τ2

σ2

n + τ2=

n

n+ τ2

σ2

,

a = (1− b)µ0.Отже, ми довели наступну теорему.

Теорема 7.17. Довiрча оцiнка за припущень 1 та 2 має вигляд

µ(W ) = αX + (1− α)µ0, (7.97)

деµ0 = Eµ(W ), α =

n

n+ τ2

σ2

.

7.7. ЗадачiВправа 7.1. Виробник спецiалiзованих товарiв для роздрiбного ринку має вирiшити, продукцiю якої ком-плектацiї виготовляти у наступному роцi. У нього є три можливi вибори комплектацiї з рiзною вартiстювиготовлення: базова, люкс та повна. Виробник обмежив накладнi витрати сумою £1 300 000.

Прибуток та витрати на виготовлення для товару кожного типу наведено в таблицi.

Комплектацiя Накладнi витрати Прибуток вiд проданої одиницi товаруБазова 100 000 1,00Люкс 400 000 1,20Повна 1 000 000 1,50

99

Минулого року виробник продав 2 100 000 одиниць товару та пiдготував прогнози дохiдностi на наступнийрiк за трьома сценарiями: низької реалiзацiї (70% минулорiчного рiвня продажу), середньої реалiзацiї (такийсамий рiвень) та високої реалiзацiї (на 15% бiльше минулорiчного рiвня).

i) Визначте рiчний прибуток для кожної можливої комбiнацiї.

ii) Знайдiть мiнiмаксне рiшення цiєї задачi.

iii) Визначте баєсiвське рiшення вiдносно рiчного прибутку за умови такого ймовiрнiсного розподiлу можли-вих сценарiїв: P(низька реалiзацiя) = 0, 25; P(середня реалiзацiя) = 0, 6; P(висока реалiзацiя) = 0, 15.

Вправа 7.2. Заявника на страхування життя згiдно з анкетою класифiкують як “стандартне здоров’я” (1),“погiршене здоров’я” (2) чи “не пiдлягає страхуванню” (3). Анкета не є iдеальним класифiкатором та можевiднести заявника до неправильної категорiї.

Рiшення записати заявника у стан i позначають через di, а правильний стан заявника – через θi.Функцiя втрат для цього рiшення наведена нижче.

d1 d2 d3θ1 0 5 8θ2 12 0 3θ3 20 15 0

i) Визначте мiнiмаксне рiшення щодо приписання заявника до категорiї.

ii) Згiдно з анкетою, новий заявник належить до категорiї з погiршеним здоров’ям. Але насправдi, з-помiжзаявникiв, здоров’я яких вважають погiршеним, 15% мають нормальний стан здоров’я, а 25% не пiдля-гають страхуванню. Знайти баєсiвське рiшення для цього заявника.

Вправа 7.3. Для того, щоб отримати лiцензiю на органiзацiю i проведення азартних iгор у казино, новомуоператору треба за неї заплатити регулятору. Є три типи лiцензiй рiзної вартостi, з-помiж яких можнавибирати: гральнi автомати, костi та карти. Оператор казино повинен платити регулятору фiксовану сумущорiчно (£1 300 000) плюс змiнну вартiсть рiчної лiцензiї.

Змiнна вартiсть рiчної лiцензiї та очiкуваний дохiд вiд кожного вiдвiдувача в залежностi вiд виду гриє такими:

Вартiсть лiцензiї Очiкуванi надходження вiд вiдвiдувачаАвтомати 250 000 60

Костi 550 000 120Карти 1 150 000 160

Оператор казино невпевнений щодо кiлькостi постiйних вiдвiдувачiв i вирiшує пiдготувати прогноз дохiдно-стi, ґрунтуючись на обережнiй, найкращiй та оптимiстичнiй оцiнцi кiлькостi клiєнтiв. Цi числа становлять14 000, 20 000 та 23 000 вiдповiдно.

i) Визначте рiчний прибуток для кожної можливої комбiнацiї.

ii) Знайдiть мiнiмаксне рiшення, яке оптимiзує прибутки.

iii) Визначте баєсiвське рiшення вiдносно рiчного прибутку за умови такого ймовiрнiсного розподiлу мо-жливих сценарiїв: P(обережна оцiнка) = 0, 2; P(найкраща оцiнка) = 0, 7; P(оптимiстична оцiнка) = 0, 1.

Вправа 7.4. Два браконьєри пiсля полювання на територiї маєтку можуть тiкати через подвiр’я ферми абочерез на поля. Щоб завадити їм, власник маєтку найняв двох сторожiв. Сторожi мають три варiанти дiй:обоє патрулюють ферму (дiя a1); один патрулює ферму, а iнший – поля (дiя a2); обоє патрулюють поля (дiяa3). Браконьєри також мають три варiанти дiй: обоє намагаються втекти через подвiр’я ферми (вибiр θ1);один буде тiкати через ферму, а iнший – через поля (вибiр θ2); обоє намагаються втекти через поля (дiя θ3).Кiлькiсть пташок, яку їм вдається вкрасти для кожної комбiнацiї θi та aj подано у таблицi

a1 a2 a3θ1 0 90 120θ2 75 0 75θ3 120 90 0

Припускаючи, що цiллю сторожiв та браконьєрiв є мiнiмiзацiя та максимiзацiї кiлькостi вкрадених пташоквiдповiдно.

i) Покажiть, що θ1 не домiнує θ2 i навпаки.

ii) Визначте мiнiмаксне рiшення цiєї задачi для сторожiв та максимальну кiлькiсть украдених пташок, якщосторожi застосовуватимуть таку стратегiю.

iii) За даного апрiорного розподiлу P(θ1) = 0, 25; P(θ2) = 0, 35; P(θ3) = 0, 4 знайдiть баєсiвське рiшеннязадачi для сторожiв.

100

Вправа 7.5. Розподiл величини позову є нормальним iз невiдомим середнiм µ та вiдомим стандартним вiд-хилом £50. На основi попереднього досвiду вiдповiдним апрiорним розподiлом параметра µ є нормальний зсереднiм £300 та стандартним вiдхилом £20.

i) Обчислiть апрiорну ймовiрнiсть того, що середнє значення µ розподiлу величини позову менше £270.

ii) Випадкова вибiрка з 10 поточних спостережень має середнє значення £270.

a) Знайдiть апостерiорний розподiл µ.b) Обчислiть апостерiорну ймовiрнiсть того, що µ менше £270 та прокоментуйте отриману вiдповiдь.

Вправа 7.6. Страховик вивчає необхiднiсть залучення зовнiшньої компанiї для проведення рекламної кам-панiї. Якщо вiн вирiшить обiйтися власними силами, то очiкуванi витрати на рекламу наступного рокустановитимуть £1 400 000, внаслiдок чого сподiвається отримати портфель зi 100 000 полiсiв. У своєму роз-порядженнi страховик має розцiнки двох рiзних компанiй.

Компанiя А виставила цiну £2 100 000 на рiк та вважає, що її послуги спричинять розширення бiзнесудо 125 000 полiсiв.

Компанiя В править £3 000 000 на рiк, вважаючи, що її послуги розширять бiзнес до 140 000 полiсiв.На поточний момент кожен полiс дає страховiй компанiї рiчний прибуток £30; але ця сума не гаран-

тується в майбутньому. Компанiя оцiнює, що сума залишиться на нинiшньому рiвнi з ймовiрнiстю 0, 6, алетакож може зменшитися до £20 з iмовiрнiстю 0, 25 чи зрости до £40 з iмовiрнiстю 0, 15.

i) Пояснiть, який iз трьох варiантiв можна одразу вiдкинути.

ii) Визначте баєсiвське рiшення у задачi максимiзацiї прибутку компанiї в наступному роцi.

Вправа 7.7. Страхова компанiя забезпечує гарантiю на певний електричний ґаджет. На початку 2006 рокупiд гарантiєю перебувало 4 500 пристроїв, кожен з яких має ймовiрнiсть q повнiстю вийти з ладу протягомроку (незалежно один вiд одного). Апрiорний розподiл q – це бета-розподiл iз середнiм 0, 015 та стандартнимвiдхилом 0, 005. Знаючи, що у 2006 роцi 58 ґаджетiв повнiстю вийшли з ладу, визначте апостерiорний розподiлq.

Вправа 7.8. Портфель страхової компанiї складається iз трьох полiсiв. За кожним полiсом може виникнутилише один позов на мiсяць з iмовiрнiстю θ незалежно вiд мiсяця до мiсяця. Апрiорний розподiл θ – цебета-розподiл iз параметрами α = 2 та β = 4. За 12 мiсяцiв за цим портфелем усього надiйшло 9 позовiв.

i) Отримайте апостерiорний розподiл θ.

ii) Знайдiть баєсiвську оцiнку θ за умови втрат “все або нiчого”.

Вправа 7.9. Величини iндивiдуальних позовiв за певним страховим полiсом можуть набувати значення 100,150 або 200. За рiк може надiйти не бiльше одного позову. Рiчна премiя дорiвнює 60.

Страховик повинен вибрати мiж трьома видами договору перестрахування:

A) не застосовувати перестрахування;

B) iндивiдуальний ексцедент збитку з рiвнем утримання 150 та премiєю 10;

C) пропорцiйне перестрахування з рiвнем утримання 25% та премiєю 20.

i) Складiть таблицю втрат для страховика.

ii) Визначте, чи є домiнування мiж угодами перестрахування з точки зору страховика.

iii) Знайдiть для страховика мiнiмаксне рiшення.

Вправа 7.10. Функцiя втрат у задачi прийняття рiшень задана матрицею

θ1 θ2 θ3d1 10 15 5d2 8 20 15d3 12 15 10d4 5 23 8

де di – рiшення, а θj – можливi стани природи.

i) Визначте рiшення, яке одразу можна вiдкинути.

ii) Знайдiть мiнiмаксне рiшення задачi.

iii) Визначте баєсiвське рiшення задачi за умови, що P(θ1) = 0, 4, P(θ2) = 0, 25 та P(θ3) = 0, 35.

Вправа 7.11. У несиметричної монети ймовiрнiсть випадiння герба є невiдомою сталою p. Вiдомо, що p маєбути або 0, 4, або 0, 75. Апрiорнi уявлення щодо p можна описати за допомогою розподiлу: P(p = 0, 4) = 0, 6,P(p = 0, 75) = 0, 4. Монету пiдкинули 6 разiв, з яких чотири вона випала гербом.

Знайти апостерiорний розподiл p.

101

Вправа 7.12. Офiсний працiвник щодня отримує випадкову кiлькiсть листiв електронною поштою. Кiлькiстьлистiв за день має пуассонiвський розподiл iз невiдомим параметром µ. Апрiорнi уявлення щодо µ вiдповiд-ають гамма-розподiлу з середнiм 50 та стандартним вiдхилом 15. За 10-денний перiод працiвник загаломотримав 630 листiв.

Обчислiть баєсiвську оцiнку µ за умови втрат “все або нiчого”.

Вправа 7.13. Нехай y1, . . . , yn – випадкова вибiрка з iнтервалу [0, θ], де θ > 0 – невiдома стала. Апрiорнiуявлення щодо θ заданi розподiлом зi щiльнiстю

u(θ) =

αβαθ−(1+α), коли θ > β;0, iнакше,

де α та β – додатнi сталi.

i) Покажiть, що апостерiорний розподiл θ для заданого y1 має таку саму форму, як i апрiорний, та визначтевiдповiднi параметри.

ii) Запишiть апостерiорний розподiл θ для заданих y1, . . . , yn.

Вправа 7.14. Оцiнюють частку θ працiвникiв, якi працюють у деякому офiсi та мають вдома доступ домережi iнтернет. В опитанiй вибiрцi з 50 працiвникiв 29 осiб мають вдома доступ до iнтернету.

i) Використовуючи в якостi апрiорного вiдповiдний рiвномiрний розподiл, обчислiть оцiнку θ для квадра-тичної функцiї втрат.

ii) Знайдiть баєсiвську оцiнку θ за умови функцiї втрат “все або нiчого”, використовуючи тепер бета-розподiлiз параметрами α = 4 та β = 4 в якостi апрiорного розподiлу.

Вправа 7.15. Нехай у великому портфелi полiсiв загального страхування нового продукту θ позначає часткуполiсiв, за якими протягом першого року були поданi позови. Припускають, що невiдоме значення θ маєапрiорний бета-розподiл з параметрами α, β та середнiм µ0.

i) Покажiть, що коли за випадковою вибiркою з n таких полiсiв виникло x позовiв протягом першого року,то апостерiорне середнє значення θ дорiвнює wnµ0+(1−wn)

xn , де ваговий коефiцiєнт wn є функцiєю вiд

α, β та n.

ii) Зроблено такi двi альтернативнi оцiнки A та B апрiорної щiльностi розподiлу θ:

fA = 3(1− θ)2, 0 ≤ θ ≤ 1;

fB = 4θ3, 0 ≤ θ ≤ 1.

За 1 000 випадково вибраними полiсами протягом року послiдовно подано 81 позов.

(a) Схематично намалюйте графiки обох апрiорних щiльностей та коротко прокоментуйте природу цихдвох наборiв апрiорних уявлень.

(b) Визначте апостерiорну баєсiвську оцiнку θ для кожної апрiорної оцiнки на основi квадратичної фун-кцiї втрат. Дайте коментар щодо цих апостерiорних оцiнок.

Вправа 7.16. Ризик складається з п’яти полiсiв. За кожним полiсом щомiсяця може виникнути один позовз iмовiрнiстю θ, ймовiрнiсть того, що протягом мiсяця позовiв буде два або бiльше є незначною. Апрiорнийрозподiл θ є рiвномiрним на (0, 1). Всього за цим ризиком протягом перiоду 12 мiсяцiв було 10 позовiв.

i) Знайдiть апостерiорний розподiл θ.

ii) Визначте баєсiвську оцiнку θ за:

(a) квадратичної функцiї втрат;(b) втрат “все або нiчого”.

Вправа 7.17. В.в. W має бiномiальний розподiл, зокрема

P(W = ν) = Cνnθ

ν(1− θ)n−ν , ν = 0, 1, . . . , n.

Нехай Y = Wn .

• Запишiть вираз для P(Y = y), y = 0, 1n ,

2n . . . , 1.

• Зобразiть розподiл Y у формi експоненцiйної сiм’ї та вкажiть натуральний та дисперсiйний параметри.

• Отримайте вираз для дисперсiї.

• Для вибiрки з n незалежних спостережень Y отримайте вираз для масштабованого вiдхилу.

Вправа 7.18. Гамма-розподiл з середнiм µ та дисперсiєю µ2/α має щiльнiсть

f(x) =αα

µαΓ(α)xα−1 exp

−αxµ

, x > 0

102

• Покажiть, що її можна записати у формi експоненцiйної сiм’ї.

• Використайте властивостi експоненцiйної сiм’ї для пiдтвердження того, що середнє й дисперсiя цьогорозподiлу рiвнi µ та µ2/α.

Вправа 7.19. Розглянемо експоненцiйний розподiл зi щiльнiстю

f(x) =1

µexp

−xµ

, x > 0

• Покажiть, що f(x) можна записати у формi експоненцiйної сiм’ї розподiлiв.

• Покажiть, що канонiчний параметр θ = − 1µ .

• Визначте дисперсiю та дисперсiйний параметр.

103

104

Роздiл 8

Теорiя довiри

Баєсiвська премiя P ∗ = ˜µ(W ) = E(µ(W )|X) є найкращою можливою оцiнкою у класi всiх можливих оцiню-вальних функцiй. Втiм, у загальному випадку цю оцiнку не можна виразити в закритiй аналiтичнiй формiта можна обчислити лише за допомогою чисельних методiв. А тому вона не виконує вимогу простоти. Крiмтого, щоб обчислити P ∗, треба вказати умовнi розподiли разом iз попередньо вiдомим розподiлом, що напрактицi часто неможливо нi роблячи висновок iз даних, нi iнтуїтивно вгадуючи.

Основна iдея, що лежить в пiдґрунтi довiри, – надати необхiдну простоту оцiнцi, обмежуючи класдозволених оцiнювальних функцiй лише лiнiйними за спостереженнями X = (X1, . . . , Xn). Iнакше кажучи,ми шукатимемо найкращу оцiнку в класi всiх лiнiйних оцiнювальних функцiй. “Найкращу” треба розумiтив баєсiвському сенсi, критерiєм оптимальностi знову є квадратична функцiя втрат.

Таким чином, довiрчi оцiнки – це лiнiйнi баєсiвськi оцiнки.

8.1. Довiрча премiя в простiй довiрчiй моделiМи розглянемо наступну просту довiрчу модель:

1. в.в. Xj , j = 1, . . . , n, є, умовно за W = ν, незалежними з однаковою функцiєю розподiлу Fν та умовнимимоментами

µ(ν) = E(Xj |W = ν), σ2(ν) = D(Xj |W = ν).

2. W є в.в. з розподiлом U(ν).

У цiй моделi ми маємоP iнд = µ(W ) = E(Xn+1|W ),

P кол = µ0 =w

Θ

µ(ν)dU(ν).

Нашою цiллю знову є вiднайти оцiнку iндивiдуальної премiї µ(W ), але зараз ми концентруємося на оцiнках,якi лiнiйнi за спостереженнями. Будемо позначати найкращу оцiнку в межах цього класу через P дов абоµ(W ).

За означеннямµ(W ) повинна мати форму

µ(W ) = a0 +

n∑

j=1

ajXj ,

де дiйснi коефiцiєнти a0, a1, . . . , an є розв’язками рiвняння

E

µ(W )− a0 −

n∑

j=1

ajXj

= min

a0,a1,...,an∈R

E

µ(W )− a0 −

n∑

j=1

ajXj

.

З того, що розподiл X1, . . . , Xn iнварiантний щодо перестановки Xj та однозначностiµ(W ), випливає, що

a0 = a1 = · · · = an,

тобто оцiнкаµ(W ) має вигляд

µ(W ) = a+ bX,

де

X =1

n

b∑

j=1

Xj

та де коефiцiєнти a, b є розв’язками задачi мiнiмiзацiї

E

(µ(W )− a− bX

)= min

a,b∈R

E(µ(W )− a− bX

).

Беручи частиннi похiднi по a та b, отримаємо

E(µ(W )− a− bX

)= 0,

cov(µ(W ), X

)− bDX = 0.

З припущення 1 про форму залежностi у моделi випливає, що

cov(µ(W ), X

)= Dµ(W ) =: τ2.

DX =Eσ2(W )

n+ Dµ(W ) =:

σ2

n+ τ2,

105

звiдки

b =τ2

σ2

n + τ2=

n

n+ τ2

σ2

,

a = (1− b)µ0.Отже, ми довели наступну теорему.

Теорема 8.1. Довiрча оцiнка за припущень 1 та 2 має вигляд

µ(W ) = αX + (1− α)µ0, (8.1)

де µ0 = Eµ(W ), α = n

n+ τ2

σ2

.

106

Роздiл 9

Збитки, якi виникли, але не заявленi

Очевидно, що у страховiй справi на перший план виходить питання про фiнансовi збитки. Саме для того,щоб позбутися фiнансових втрат, якi пов’язанi з невизначенiстю в настаннi тих чи iнших випадкових подiй, iукладають договори страхування. До пiдписання контракту i придбання страхового полiсу на ризик, що мiгпривести до збиткiв, величину яких не можна точно передбачити заздалегiдь, наражався клiєнт. Придбавшистраховий полiс, клiєнт начебто позбавився ризику. Але сам ризик вiд цього не зник. Його прийняла на себестрахова компанiя. Тому оцiнка ризику, тобто оцiнка фiнансових витрат страхової компанiї, яка пов’язана звитратами за страховими позовами клiєнтiв, становить значний iнтерес для правильного розвитку страховоїкомпанiї, її стабiльної фiнансової дiяльностi i служить основою для прийняття багатьох важливих рiшень.

Поняття ризику i його оцiнка є базовим в актуарнiй математицi. Воно пов’язане з невизначенiстюможливих фiнансових витрат, якi залежать вiд специфiки соцiального, полiтичного i економiчного життясуспiльства, рiзних явищ природи i видiв людської дiяльностi.

Даний роздiл присвячено дуже важливому для практичної дiяльностi страхової компанiї питанню –розрахунку резервiв для покриття майбутнiх позовiв i забезпечення платоспроможностi страхової компанiї,зокрема для розрахунку резервiв у випадку збиткiв, що виникли, але не заявленi. Це вiдбувається у томувипадку, коли мiж виникненням страхової подiї й остаточним визначенням величини позову та розмiру вiд-шкодування проходить деякий час. Iснує багато причин затримки точної iнформацiї щодо остаточної сумивiдшкодування збиткiв. Запiзнення може виникати у перiод вiд моменту настання страхової подiї до подачiпозову, а також у перiод вiд подання позову i остаточним вiдшкодуванням збиткiв за позовами. Очевидно, щостраховiй компанiї необхiдно знати скiльки треба буде заплатити за позовами, щоб дати змогу розрахувативiдповiдний резерв та забезпечити її платоспроможнiсть.

Iснують рiзнi методи розрахунку резервiв у цьому випадку, кожен з яких має специфiчнi обмеження,рiзнi припущення щодо математичної моделi i, вiдповiдно, дає рiзнi прогнознi оцiнки. Один з цих методiв– це метод ланцюгових сходiв, який дуже популярний у актуарiїв-практикiв. Теоретичнi аспекти страховихрозрахункiв на основi теорiї ланцюгових сходiв знайшли своє вiдображення у роботах Т. Мака, Г. Тейлора,Е. Штрауба, Г. Вентера, Г. Кея та iнших.

Про важливiсть розробки методiв для розрахунку резервiв у випадку збиткiв, якi виникли, але не за-явленi, свiдчить той факт, що державна комiсiя з регулювання ринку фiнансових послуг, яка 17.02.2004 р.прийняла розпорядження 3104 «Правила формування, облiку та розмiщення страхових резервiв за вида-ми страхування iншими, нiж страхування життя», включила туди спецiальний роздiл «Методи розрахункузбиткiв, якi виникли, але не заявленi».

9.1. Метод ланцюгових сходiв9.1.1. Трикутники розвитку

Збитки, якi виникли, але не заявленi, зустрiчаються у рiзних типах страхування, коли може пройтипевний час мiж виникненням страхової подiї та остаточним визначенням розмiру вiдшкодування. Iснуютьрiзнi методи розрахунку резервiв у цьому випадку. Одним з цих методiв є метод ланцюгових сходiв.

При використаннi методу ланцюгових сходiв зручно зображати данi щодо позовiв у формi трикутникiв.Такi трикутники називають трикутниками розвитку або «run-off» трикутниками.

Будемо називати:

• той рiк, у якому вiдбулася страхова подiя i у страховика виник ризик, роком настання збиткiв (рокомподiї);

• кiлькiсть рокiв до виплати перiодом розвитку або запiзнення.

Введемо позначення. Нехай Sij , 1 ≤ i ≤ n – це сумарна виплата в j-ому роцi розвитку за збитками, якiвiдбулися в i-ому роцi настання збиткiв. Тодi за n рокiв стають вiдомими значення Sij , для яких i+j ≤ n+1.Цi значення i утворюють «run-off» трикутник.

Загальну форму «run-off» трикутника можна зобразити наступним чином.

Табл.9.1

Рiк настання збиткiв Рiк розвитку1 . . . j . . . . . . . . . n− 1 n

1 S11 . . . S1j . . . . . . . . . S1,n−1 S1,n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i Si1 . . . Sij . . . . . . Si,n−i+1

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . Sn−j+1,j

n− 1 Sn−1,1

n Sn,1

Величина Si =∑n

j=1 Sij є сумарним збитком i-го року подiї. На даний момент є вiдомою лише частина

сумарного збитку∑n−i+1

j=1 Sij .

107

Наше завдання – оцiнити невiдому частину Ri =∑n

j=n−i+1 Sij , де Ri – розмiр необхiдного резерву i-гороку настання збиткiв, тобто доповнити трикутник до прямокутника.

Iнколи трикутники будують в iншiй формi. Позначимо Cij , 1 ≤ i ≤ n – це збитки сплаченi на кiнецьj-го року розвитку за збитками, якi вiдбулися в i-ому роцi подiї. Аналогiчно до попереднього будуєтьсятрикутник.

Табл.9.2

Рiк настання збиткiв Рiк розвитку1 . . . j . . . . . . . . . n− 1 n

1 C11 . . . C1j . . . . . . . . . C1,n−1 C1,n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i Ci1 . . . Cij . . . . . . Ci,n−i+1

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . Cn−j+1,j

n− 1 Cn−1,1

n Cn,1

Зрозумiло, що Cij =∑j

k=1 Sik, а Sij = Cij − Ci,j−1. Тодi

Ri =n∑

j=n−i+2

Sij =n∑

j=n−i+1

(Cij − Ci,j−1) = Cin − Ci,n−i+1. (9.1)

Iснують два основних типи трикутникiв:

1) трикутник сплачених збиткiв – трикутник, зiставлений з даних, якi позначають суму сплачених збиткiвза k рокiв. Тут значення завжди невiд’ємнi;

2) трикутник заявлених збиткiв - трикутник, зiставлений з даних, якi позначають суму сплачених збиткiвза k рокiв та сформованих до цього моменту резервiв заявлених збиткiв. В цьому випадку значення втрикутнику можуть бути вiд’ємними.

Трикутник сплачених збиткiв, порiвняно з трикутником заявлених збиткiв, є бiльш надiйним для роз-рахункiв, але для оцiнки кiнцевих збиткiв необхiдна бiльша кiлькiсть рокiв.

Рiзниця трикутника заявлених збиткiв i трикутника сплачених збиткiв представляє собою трикутникрозвитку.

9.1.2. Припущення методу ланцюгових сходiв

Метод ланцюгових сходiв базується на рядi припущень. Сформулюємо перше з них:

• (1) Розподiл кiнцевого збитку для всiх рокiв настання подiї однаковий.

Представимо сумарний збиток для i-го року Si =∑n

j=1 Sij = Cin у виглядi:

Cin = Ci1 ·n−1∏

j=1

Fij , (9.2)

де

Fij =Ci,j+1

Cij

– коефiцiєнт зростання сумарних виплат вiд j-го року до (j + 1).Таке представлення можливе тiльки якщо Cij > 0 для всiх iндексiв i, j. В iншому випадку добуток

треба починати з першого додатного Cij .Тодi перше припущення, що розподiл кiнцевого збитку для всiх рокiв настання подiї однаковий, можна

трактувати як незалежнiсть математичного сподiвання Fij вiд року настання збиткiв i. Тобто,

E (Fij) = fj ,

для всiх 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n − 1, де fj – це середнiй прирiст збиткiв при переходi вiд j-го до (j + 1) року(множники розвитку).

У методi ланцюгових сходiв оцiнки параметрiв fj визначають так:

fj =

∑n−j+1i=1 CijFij∑n−j+1i=1 Cij

=

∑n−j+1i=1 Ci,j+1∑n−j+1i=1 Cij

, 1 ≤ j ≤ n− 1. (9.3)

Сумарний збиток оцiнюється наступним чином:

Cin = Ci,n−i+1fn−i+1 · · · · · fn−1, 2 ≤ i ≤ n. (9.4)

А резерв:

Ri = Ci,n−i+1

(fn−i+1 · · · · · fn−1 − 1

). (9.5)

108

Таким чином, прогноз ґрунтується лише на поточному рiвнi збитку Ci,n−i+1 року подiї i. При цьому всiпопереднi збитки iгноруються. Отже, метод ланцюгових сходiв припускає вiдсутнiсть корисної iнформацiї увсiх станах збиткiв, крiм поточного.

Розглянемо iншi припущення.

• (2) Роки настання збиткiв Ci1, . . . , Cin – незалежнi.

• (3) Iснують множники розвитку fj , 1 ≤ j ≤ n− 1 такi, що

E

(Ci,j+1

Cij

∣∣∣∣Ci1, . . . , Cij

)= fj , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n− 1, (9.6)

при Cij > 0, або, що те саме,E (Ci,j+1|Ci1, . . . , Cij) = Cijfj ,

тобто умовне математичне сподiвання Ci,j+1 залежить лише вiд Ci,j i не залежить вiд попереднiх станiв.

Позначимо черезG = Cij | i+ j ≤ n+ 1

накопиченi до поточного часу данi.

Теорема 9.1. Якщо виконуються припущення (2) i (3), тобто роки настання збиткiв Ci1, . . . , Cin не-залежнi та iснують fj, 1 ≤ j ≤ n− 1, такi, що

E(Ci,j+1

Cij

∣∣∣∣Ci1, . . . , Cij

)= fj , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n− 1

при Cij > 0, то1) E (Cin|G) = Ci,n−i+1fn−i+1 · · · · · fn−1, 1 ≤ i ≤ n.2) Оцiнки fj =

∑n−j+1i=1 Ci,j+1/

∑n−j+1i=1 Cij є незмiщеними i некорельованими, причому:

E(fn−i+1 · · · · · fn−1

)= fn−i+1 · · · · · fn−1. (9.7)

Доведення. 1). Позначимо Gi = Cij | 1 ≤ j ≤ n− i+ 1. Тодi

E (Cin|G) = E (Cin|Gi) = E (E (Cin|Ci1, . . . , Ci,n−1)|Gi) = E (Ci,n−1fn−1|Gi) = fn−1 · E (Ci,n−1|Gi) .

Проробимо аналогiчнi дiї для E (Ci,n−1|Gi). Матимемо

E (Ci,n−1|Gi) = fn−1 · fn−2 · E (Ci,n−2|Gi) .

Продовжуючи далi, за методом математичної iндукцiї отримаємо:

E (Cin|G) = E (Ci,n−i+1|Gi) fn−i+1 · · · · · fn−1 = Ci,n−i+1fn−i+1 · · · · · fn−1.

Отже, умову 1) теореми доведено.2). Спочатку доведемо незмiщенiсть оцiнок fj . Позначимо Bj = Cik| k ≤ j, i+ k ≤ n+ 1, 1 ≤ j ≤ n.

Оскiльки виконуються припущення (2) i (3), то маємо, що

E (Ci,j+1|Bj) = Ci,jfj , 1 ≤ i ≤ n− j + 1.

Тодi

E

(fj

∣∣∣Bj

)= E

(∑n−ji=0 Ci,j+1∑n−ji=0 Cij

∣∣∣∣∣Bj

)=

∑n−j+1i=1 E (Ci,j+1|Bj)∑n−j+1

i=1 Cij

=fj ·

∑n−j+1i=1 Cij∑n−j+1

i=1 Cij

= fj .

Значить,

E

(fj

)= E

(E

(fj

∣∣∣Bj

))= fj .

Отже, оцiнка fj є незмiщеною.Тепер доведемо некорельованiсть. Нехай k ≤ j, тодi

E

(fj fk

)= E

(E

(fj fk

∣∣∣Bj

))= E

(fkE

(fj

∣∣∣Bj

))= fj · E

(fk

)= fjfk,

що i доводить некорельованiсть оцiнки fk.Рiвнiсть (9.7) отримуємо за методом математичної iндукцiї.

E

(fn−i+1 · · · · · fn−1

)= E

(E(fn−i+1 · · · · · fn−1

∣∣∣Bn−1

))= E

(fn−i+1 · · · · · fn−2E

(fn−1

∣∣∣Bn−1

))

= fn−1 · E(fn−i+1 · · · · · fn−2

)= · · · = fn−i+1 · · · · · fn−1.

Отже, умову 2) теореми доведено.

Зауваження 9.1.1. Аналогiчно доводиться некорельованiстьFij для кожного фiксованого року збиткiв i, 1 ≤j ≤ n.

109

9.1.3. Точнiсть методу

Резерв збитку Ri має бути оцiнений величиною Ri, яка буде мiнiмiзувати середнє квадратичне вiдхиле-ння прогнозу вiд дiйсного значення – середню квадратичну помилку. Ми будемо розглядати умовну середньоквадратичну помилку при заданому G:

E

((Ri − Ri

)2∣∣∣∣G),

бо нас цiкавлять тiльки майбутнi вiдхилення, а безумовна середньо квадратична помилка усереднила б вiд-хилення по всiм можливим наборам D:

E

(Ri − Ri

)2= E

(E

((Ri − Ri

)2∣∣∣∣D))

.

Позначимо через

mse(Ri) = E

((Ri − Ri

)2∣∣∣∣G)

(9.8)

середньо квадратичну помилку Ri.

Теорема 9.2. Середньо квадратичнi помилки mse(Ri) та mse(Cin) однаковi.

Доведення. Оскiльки Ri = Cin − Ci,n−i+1 i

Ri = Ci,n−i+1

(fn−i+1 · · · · · fn−1 − 1

)= Cin − Ci,n−i+1,

то маємо, що

mse(Ri) = E

((Ri − Ri

)2∣∣∣∣G)

= E

((Cin − Ci,n−i − Cin + Ci,n−i

)2∣∣∣∣G)

= E

((Cin − Cin

)2∣∣∣∣G)

= mse(Cin).

Тобтоmse(Ri) = mse(Cin),

що i треба було довести.

Для будь-яких в.в. X та Y має мiсце рiвнiсть

E

((X − g(Y ))

2∣∣∣Y)= D (X|Y ) + (E (X|Y )− g(Y ))

2,

де

D (X|Y ) = cov (X,X|Y ) = E

((X − E (X|Y ))

2∣∣∣Y).

Використавши попереднє, маємо:

mse(Cin

)= E

((Cin − Cin

)2∣∣∣∣G)

= D (Cin|G) +(E (Cin|G)− Cin

)2.

Тепер сформулюємо четверте припущення методу ланцюгових сходiв. Це припущення зумовлено тим,що мiнiмальне значення дисперсiї оцiнки

fj =

∑n−j+1i=1 ωijCi,j+1

Cij

з вагами ωij = Cij/∑n−j+1

i=1 Cij , 1 ≤ i ≤ n − j + 1 досягається, коли ваги обернено пропорцiйнi дисперсiям

D

(Ci,j+1

Cij

∣∣∣Cij

)при фiксованому j (тобто дисперсiя D

(Ci,j+1

Cij

∣∣∣Cij

)прямо пропорцiйна 1/Cij). Це випливає з

такої теореми.

Теорема 9.3. Нехай T1, . . . , Tn – незалежнi незмiщенi оцiнки величини t, тобто E (Tk) = t для всiх 1 ≤k ≤ n, i нехай T = ω1T1+ · · ·+ωnTn – лiнiйна комбiнацiя оцiнок, причому ω1+ · · ·+ωn = 1, тобто E (T ) = t.Тодi серед всiх можливих лiнiйних комбiнацiй виду T мiнiмальну дисперсiю має комбiнацiя з вагами ωk,обернено пропорцiйними до D (Tk), тобто ωk = ω/D (Tk), 1 ≤ k ≤ n.

На основi сказаного вище, отримаємо таке припущення:

• (4) Iснують постiйнi коефiцiєнти пропорцiйностi σ21 , . . . , σ

2n−1 такi, що при Cij > 0

D

(Ci,j+1

Cij

∣∣∣∣Ci1, . . . , Cij

)=

σ2j

Cij, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n− 1, (9.9)

або D (Ci,j+1|Ci1, . . . , Cij) = Cij · σ2j .

110

Оцiнка невiдомого параметра σ2j має такий вигляд:

σ2j =

1

n− j − 1

n−j∑

i=1

Cij

(Ci,j+1

Cij− fj

)2

, 0 ≤ j ≤ n− 1.

Виведемо звiдси наведену ранiше формулу для оцiнки fj . Вона випливає з умови мiнiмальностi σ2j :

1

n− j − 1

n−j+1∑

i=1

Cij

(Ci,j+1

Cij− fj

)2

→ min .

Очевидно, що це рiвносильно такому:n−j+1∑

i=1

Cij

(Ci,j+1

Cij− fj

)2

→ min .

Розглянемо цю суму:

n−j+1∑

i=1

Cij

(Ci,j+1

Cij− fj

)2

=

n−j+1∑

i=1

Cij

((Ci,j+1

Cij

)2

− 2fj ·Ci,j+1

Cij+(fj

)2)2

=

n−j+1∑

i=1

(Ci,j+1)2

Cij−

n−j+1∑

i=1

2fjCi,j+1 +

n−j∑

i=0

Cij

(fj

)2=(fj

)2 n−j+1∑

i=1

Cij − 2fj

n−j+1∑

i=1

Ci,j+1 +

n−j+1∑

i=1

(Ci,j+1)2

Cij.

Найменше значення досягається, коли fj =∑n−j+1

i=1Ci,j+1

∑n−j+1

i=1Cij

. Отже, отримали формулу, яку наводили

ранiше.

Теорема 9.4. Нехай виконуються припущення 2, 3 i 4. Тодi середньо квадратична помилка оцiнки резервуRi за методом ланцюгових сходiв оцiнюється величиною

mse(Ri

)=(s.e(Ri

))2= C2

in

n−1∑

j=n−i+1

σ2j

f2j

(1

Cij

+1

∑n−jk=1 Ckj

),

де

Cij = Ci,n−i+1fn−i+1 · · · · · fj−1, j > n− i+ 1.

Для спрощення запису приймемо, що Ci,n−i = Ci,n−i.

Доведення. Має мiсце формула

mse(Ri) = mse(Cin) = D(Cin|G) + (E(Cin|D)− Cin)2.

Позначимо Gij = Cik| 1 ≤ k ≤ j.Тодi, за другим припущенням, перший доданок дорiвнює

D (Cin|G) = D (Cin|Gi,n+1−i) .

Застосуємо рекурсивну формулу, яка виконується при j ≥ n+ 1− i

D (Ci,j+1|Gi,n+1−i) = E (D (Ci,j+1|Gij)|Gi,n+1−i) +D (E (Ci,j+1|Gij)|Gi,n+1−i) =

= E (Cij |Gi,n+1−i)σ2j +D (Cij |Gi,n+1−i) f

2j

та рiвнiсть E (Ci,j+1|Gi,n+1−i) = E (Cij |Gi,n+1−i) fj .Враховуючи, щоE (Ci,n+1−i|Gi,n+1−i) = Ci,n+1−i i D (Ci,n+1−i|Gi,n+1−i) = 0,отримаємо

D (Cin|Gi,n+1−i) =

n−1∑

j=n+1−i

E (Cij |Gi,n+1−i)σ2j f

2j+1 · · · · · f2n−1 =

= Ci,n+1−i

n−1∑

j=n+1−i

fn+1−i · · · · · fj−1σ2j f

2j+1 · · · · · f2n−1.

Якщо замiнити невiдомi параметри fj , σ2j незмiщеними оцiнкамиfj i σ2

j , то знайдемо оцiнку для дисперсiїD (Cin|G):

Ci,n+1−i

n−1∑

j=n+1−i

fn+1−i · · · · · fj−1σ2j f

2j+1 · · · · · f2n−1 =

n−1∑

j=n+1−i

Cij σ2j f

2j+1 · · · · · f2n−1 = C2

in

n−1∑

j=n+1−i

σ2j

f2j Cij

.

111

У другому доданку виразу для mse(Ri

)

(E (Cin|G)− Cin

)2= C2

i,n+1−i

(fn+1−i · · · · · fn−1 − fn+1−i · · · · · fn−1

)2

не можемо замiнити параметри fj оцiнками, бо отримаємо нуль, хоча значення цього доданку майжезавжди вiдмiннi вiд нуля.

Для оцiнки другого доданку ми не будемо вважати спостереження заданими, а тому незмiнними. Алеварiювати будемо не весь трикутник G, а тiльки необхiдну для цього частину, щоб базис Ci,n+1−i помилки(E (Cin|G)− Cin

)2не використовувався у наступнiй побудовi математичного сподiвання.

Позначимо Bj = Cik| i+ k ≤ n+ 1, k ≤ j , 1 ≤ j ≤ n.Використовуючи рiвностi, отриманi в попередньому параграфi,

E (Cin|G) = Ci,n+1−ifn+1−i · · · · · fn−1 =

= Ci,n+1−1E(fn+1−i · · · · · fn−1

∣∣∣Bn+1−i

)= E

(Cin

∣∣∣Bn+1−i

)

отримаємо(E (Cin|G)− Cin

)2=(Cin −

(Cin

∣∣∣Bn+1−i

))2.

Останнiй вираз, так же як i ранiше D (Cin|Gi,n+1−i), можна обчислити рекурсивно.Спочатку розглянемо перетворення

E

((Ci,j+1 − E

(Ci,j+1

∣∣∣Bn+1−i

))2∣∣∣∣Bn+1−i

)= D

(Ci,j+1

∣∣∣Bn+1−i

)=

= E(D(Cij fj

∣∣∣Bj

)∣∣∣Bn+1−i

)+D

(E(Cij fj

∣∣∣Bj

)∣∣∣Bn+1−i

)=

= E(C2

ijD(fj

∣∣∣Bj

)∣∣∣Bn+1−i

)+D

(Cij

∣∣∣Bn+1−i

)f2j =

= E(C2

ijD(fj

∣∣∣Bj

)∣∣∣Bn+1−i

)+ E

((Cij − E

(Cij

∣∣∣Bn+1−i

))2f2j

∣∣∣∣Bn+1−i

).

Вiдкинувши оператор умовного математичного сподiвання при заданному Bn+1−i в першому i остан-ньому виразах, отримаємо наближену рекурсивну формулу

(Ci,j+1 − E

(Ci,j+1

∣∣∣Bn+1−i

))2≈ C2

ijD(fj

∣∣∣Bj

)+(Cij − E

(Cij

∣∣∣Bn+1−i

))2f2j .

Використовуючи цю формулу та враховуючи рiвностi

C2i,j+1 = C2

ijf2j ,

Ci,n+1−i = Ci,n+1−i

та(Ci,n+1−i − E

(Ci,n+1−i

∣∣∣Bi,n+1−i

))2= 0,

отримаємо

(Cin − E (Cin|G)

)2=(Cin − E

(Cin

∣∣∣Bn+1−i

))2≈

n−1∑

j=n+1−i

C2ijD

(fj

∣∣∣Bj

)f2j+1 · · · · · f2n−1,

де

D(fj

∣∣∣Bj

)=

σ2j∑n−j

i=n Cij

.

Звiдси, пiсля замiни fj на fj i σ2j на σ2

j та враховуючи рiвнiсть Cij fj+1 · · · · · fn−1 = Cin/fj , i випливаєсправедливiсть твердження.

Позначимо через R = R2+· · ·+Rn – сукупний резерв. Очевидно, що вiн оцiнюється як: R = R2+· · ·+Rn.Стандартну помилку величини R не можна розраховувати як суму квадратiв стандартних помилок резервiвRi окремих рокiв настання збиткiв, бо самi величини Riне є незалежними.

Теорема 9.5. Нехай виконуються припущення 2, 3 i 4. Тодi середньо квадратична помилка сукупного ре-зерву оцiнюється величиною

mse(R)=(s.e.

(R))2

=

n∑

i=1

(s.e.

(Ri

))2+ Cin

(n∑

k=i+1

Ckn

)n−1∑

j=n−i+1

2σ2j /f

2j∑n−j

m=1 Cmj

.

Доведення. Враховуючи отриманi ранiше формули для mse(Ri

), маємо

112

mse

(n∑

i=2

Ri

)= E

(

n∑

i=2

Ri −n∑

i=2

Ri

)2∣∣∣∣∣∣G

= E

(

n∑

i=2

Cin −2∑

i=1

Cin

)2∣∣∣∣∣∣G

=

= D

(n∑

i=2

Cin

∣∣∣∣∣G)

+

(E

(n∑

i=2

Cin

∣∣∣∣∣G)

−n∑

i=2

Cin

)2

.

ПозначимоGi = Cin, . . . , Ci,n+1−i.Враховуючи друге припущення про незалежнiсть рокiв подiї, величиниCin i Ckn при i 6= kумовно

некорельованi:

E (CinCkn|G) = E (CinCkn|Gi, Gk) = E (E (CinCkn|Gi, Gk, Cin)|Gi, Gk) == E (CinE (Ckn|Gi, Gk, Cin)|Gi, Gk) = E (CinE (Ckn|Gk)|Gi, Gk) == E (Cin|Gi, Gk) · E (Ckn|Gk) = E (Cin|G) · E (Ckn|G)

Звiдси випливає, щоD (∑n

i=2 Cin|G) =∑n

i=2D (Cin|G).Доданки D (Cin|G) були обчисленi при доведенi попередньої теореми. Тому зразу будемо розглядати

другий доданок у виразi для mse(R).

(E (∑n

i=2 Cin|G)−∑n

i=2 Cin

)2=(∑n

i=2

(E (Cin|G)− Cin

))2=

=∑n

i=1

(E (Cin|G)− Cin

)2+∑

2≤i<k≤n 2(Cin − E (Cin|G)

)(Ckn − E (Ckn|G)

).

В результатi отримаємо, що

mse

(n∑

i=2

Ri

)=

n∑

i=2

mse(Ri

)+∑

i<k

2(Cin − E (Cin|G)

)(Ckn − E (Ckn|G)

).

Як i в попередньому доведеннi, для пiдрахунку подвоєної суми скористаємося рiвнiстю

E (Cin|G) = E(Cin

∣∣∣Bn+1−i

),

де Bj = Cik |i+ k ≤ n+ 1, k ≤ j , 1 ≤ j ≤ n.Розглянемо спочатку умовне математичне сподiвання при заданомуBn+1−i

E((

Cin − E(Cin

∣∣∣Bn+1−i

))·(Ckn − E (Ckn|G)

)∣∣∣Bn+1−i

)=

= E((

Cin − E(Cin

∣∣∣Bn+1−i

))·(Ckn

∣∣∣Bn+1−i

)∣∣∣Bn+1−i

)= Cov

(Cin, Ckn

∣∣∣Bn+1−i

),

де врахована рiвнiсть

E((

Cin − E(Cin

∣∣∣Bn+1−i

))·(E(Ckn

∣∣∣Bn+1−i

)− E (Ckn|G)

)∣∣∣Bn+1−i

)= 0,

яка справедлива внаслiдок скалярностi другого множника при заданомуBn+1−i.

Застосовуючи послiдовно рекурсiю при j ≥ n+1−i з початковим значенням Cov(Ci,n+1−i, Ck,n+1−i

∣∣∣Bn+1−i

)=

0:

Cov(Ci,j+1, Ck,j+1

∣∣∣Bn+1−i

)=

= E(Cov

(Ci,j+1, Ck,j+1

∣∣∣Bj

)∣∣∣Bn+1−i

)+ Cov

(E(Ci,j+1

∣∣∣Bj

), E(Ck,j+1

∣∣∣Bj

)∣∣∣Bn+1−i

)=

= E(Cov

(Ci,j+1, Ck,j+1

∣∣∣Bj

)∣∣∣Bn+1−i

)+ Cov

(Cij , Ckj

∣∣∣Bn+1−i

)f2j ,

отримаємо:

Cov(Cin, Ckn

∣∣∣Bn+1−i

)=

n−1∑

j=n+1−i

E(Cov

(Ci,j+1, Ck,j+1

∣∣∣Bj

)∣∣∣Bn+1−i

)f2j+1 · · · · · f2n−1.

Отже,

E(Cin − E (Cin|G)

)·(Ckn − E (Ckn|G)

)=

= E(∑n−1

j=n+1−i Cov(Ci,j+1, Ck,j+1

∣∣∣Bj

)f2j+1 · · · · · f2n−1

∣∣∣Bn+1−i

).

Вiдкинувши додатково введений оператор умовного математичного сподiвання при заданомуBn+1−i,отримаємо наближену рiвнiсть

113

(Cin − E (Cin|G)

)·(Ckn − E (Ckn|G)

)≈∑n−1

j=n+1−i Cov(Ci,j+1, Ck,j+1

∣∣∣Bj

)f2j+1 · · · · · f2n−1 =

=∑n−1

j=n+1−i Cij · Ckj ·D(fj

∣∣∣Bj

)· f2j+1 · · · · · f2n−1 =

∑n−1j=n+1−i Cij · Ckj · σ2

j · f2j+1 · · · · · f2n−1/∑n−j

n=1 Cnj .

Тут була використана формула для D(fj

∣∣∣Bj

), доведена в попереднiй теоремi.

Зробивши замiну параметрiв їх оцiнками i враховуючи рiвнiсть

Cin = Cij fj · · · · · fn−1,

отримаємо оцiнку для mse(R), вказану у теоремi.

II. Практичне застосування методу ланцюгових сходiвУ цьому роздiлi ми розглянемо, як застосовувати метод ланцюгових сходiв на практицi. Розрахуємо

необхiднi резерви та оцiнимо точнiсть наших пiдрахункiв для конкретного прикладу.Також в даному роздiлi ми покажемо, як перевiряти припущення методу, розглядаючи метод ланцю-

гових сходiв з точки зору регресiйної моделi.II.1. Постановка задачiРозглянемо наступну таблицю:Данi в таблицi є наростаючими i iлюструють сумарну величину виплачену до кiнця кожного року

розвитку. Наше завдання полягає в тому, щоб, застосовуючи метод, описаний в попередньому роздiлi, спро-гнозувати величину виплат, вiдсутню в таблицi.

Для того щоб ми мали змогу застосувати метод ланцюгових сходiв, для початку потрiбно перевiритивиконання припущень, на яких цей метод базується.

В наступних двох параграфах показано, як перевiряти (i перевiрено для даного прикладу) виконаннятретього i четвертого припущення за умови виконання першого та другого припущень.

II.2. Перевiрка третього припущення.

Розглянемо рiвняння з припущення 3 для довiльного фiксованого j та i = 1, n. Оскiльки значення Cijпри 1 ≤ i ≤ n вiдомi, то наше припущення є лiнiйною регресiйною моделлю вигляду:

Yi = a+ bxi + εi, де a = 0, b = fj , Yi = Ci,j+1 в точках xi = Cij при 1 ≤ i ≤ n− j.εj – випадкова помилка для якої E (εi) = 0 та D (εi) = D (Yi) = D (Ci,j+1|Ci1, . . . , Cin) = Cijσ

2k, що

випливає з припущення 4.За методом найменших квадратiв коефiцiєнт b = fj визначається з умови:

n−j∑

i=1

(Ci,j+1 − Cijfj)2

Cij→ min .

Доведемо, що розв’язок цiєї задачi мiнiмiзацiї дiйсно приводить до оцiнки за методом ланцюговихсходiв. Справдi:

n−j∑

i=1

(Ci,j+1 − Cijfj)2

Cij=

n−j∑

i=1

(C2

i,j+1 − 2Ci,j+1Cijfj + C2ijf

2j

)

Cij=

=

n−j∑

i=1

C2i,j+1

Cij−

n−j∑

i=1

2Ci,j+1CijfjCij

+

n−j∑

i=1

C2ijf

2j

Cij= f2j

n−j∑

i=1

Cij − 2fj

n−j∑

i=1

Ci,j+1 +

n−j∑

i=1

C2i,j+1

Cij.

Мiнiмум досягається, коли fj =∑n−j

i=1Ci,j+1

∑n−ji=1

Cij.

Отже, ми отримали змогу застосовувати iнструменти регресiйного аналiзу для перевiрки припущеньметоду ланцюгових сходiв.

Зазвичай досить розглянути графiки даних та нев’язок. Для початку будуємо графiк точок (Cij , Ci,j+1)

для 1 ≤ i ≤ n − j. Дивимося, чи вiдповiдає розташування точок прямiй з кутовим коефiцiєнтом fj , якапроходить через початок координат.

В даному випадку оцiнка fj набуває наступних значеньДля кожного фiксованого j будуємо графiк точок (Cij , Ci,j+1) i вiдповiдну пряму з кутовим коефiцiєн-

том fj .Тут ми наведемо тiльки першi два графiки (iншi див. у додатку А). Суцiльною червоною лiнiєю на

малюнках показано лiнiйну залежнiсть точок, а синiм пунктиром побудована нами пряма.Маємо, що загалом побудована нами пряма точно описує лiнiйну залежнiсть мiж точками. Бiльше того,

майже завжди вона спiвпадає з пунктирною лiнiєю. Отже, можемо зробити висновок, що третє припущеннявиконується.

Зауваження. В деяких випадках картина стає бiльш ясною, якщо замiсть Ci,j+1 розглядати Si,j+1 =

Ci,j+1 − Cij . В цьому випадку лiнiя регресiї має кутовий коефiцiєнт fj − 1.II.3. Перевiрка четвертого припущення.

114

Для перевiрки четвертого припущення будуємо залежнiсть нев’язок Ci,j+1−Cij fj√Cij

, зважених вiдповiдно

до припущення 4, вiд Cij . Причому Ci,j+1−Cij fj√Cij

=Si,j+1−Cij(fj−1)√

Cij

. Якщо припущення 4 виконується, то

нев’язки розсiюються випадковим чином.Порахуємо нев’язки для нашого випадку. Отримаємо:Тепер побудуємо для кожного фiксованого j графiки залежностей нев’язок вiд Cij .(див. додаток В)Видно, що величини дiйсно розсiюються випадковим чином. Отже, можемо зробити висновок, що при-

пущення 4 виконане.Зауваження. При малiй кiлькостi спостережень досить важко розпiзнати випадковiсть нев’язок, тому

iнколи разом з моделлю четвертого припущення корисно розглядати альтернативнi моделi. Наприклад,

D(

Ci,j+1

Cij

∣∣∣Ci1, . . . , Cij

)= α2

j або D(

Ci,j+1

Cij

∣∣∣Ci1, . . . , Cij

)=

β2j

C2ij

.

Тобто розглядаються графiки залежностi вiд Cijнев’язок Ci,j+1−Cijfj0Cij

або Ci,j+1 − Cijfj2, де fj0 i fj2мiнiмiзують вiдповiдну суму квадратiв нев’язок, тобто

fj0 =1

n− j

n−j∑

i=1

Ci,j+1

Cij,

fj2 =

∑n−ji=1 C

2ij

Ci,j+1

Cij∑n−ji=1 C

2ij

=

∑n−ji=1 CijCi,j+1∑n−j

i=1 C2ij

.

Для того, щоб вибрати одну з трьох моделей порiвнюємо графiки залежностi вiд Cij трьох стандарти-зованих квадратичних нев’язок:

(Ci,j+1−Cij fj)2

Cij σ2j

, (Ci,j+1−Cijfj0)2

C2ij α

2j

, (Ci,j+1−Cijfj2)2

β2j

, де i+ j ≤ n+ 1.

Перевагу вiддаємо тiй моделi, графiк якої бiльш розсiяний при великих значеннях ординати.II.4. Оцiнка резервуОтже, з отриманого вище маємо, що припущення методу виконуються. А, значить, ми можемо засто-

сувати метод ланцюгових сходiв до нашого прикладу.Невiдомi данi розрахуємо за формулою, яка була наведена в першому роздiлi: Cin = Ci,n−i+1fn−i+1 ·

· · · · fn−1, де значення fj вже пораховано для нашого прикладу i були приведенi ранiше.Отже, послiдовно застосовуючи формулу, отримаємо розв’язок:Оцiнка резервуRi для 2 ≤ i ≤ 18 буде наступною:I, загалом, R= 5.971.296.II.5. Середньо квадратична помилкаРозрахуємо тепер середньоквадратичну помилку для нашого прикладу. Нагадаємо, що з теореми 1.3

вона розраховується за наступною формулою:

mse(Ri

)=(s.e(Ri

))2= C2

in

∑n−1j=n−i+1

σ2j

f2j

(1

Cij+ 1

∑n−jk=1

Ckj

), (??)

де

σ2j =

1

n− j − 1

n−j+1∑

i=1

Cij

(Ci,j+1

Cij− fj

)2

.

Порахуємо спочатку σ2j для кожного j. Отримаємо:

Проблема полягає в тому, що ми не можемо розрахувати σ217 за наведеною формулою. Отже, нам треба

екстраполювати послiдовнiсть з вже вiдомих σ2j до σ2

17.Для цього можемо скористатися лiнiйною регресiйноюмоделлю у вiдношеннi до ln

(σ2j

).

Зауваження.1) Якщо fn−1 = 1 i всi збитки вважаються урегульованими пiсля n− 1-го року, то можна покласти, що

σn−1 = 0.

2) Якщо σn−2 < σn−3, то покладають σ2n−1 = min

(σ4n−2

σ2n−3

, σ2n−3

).

Покажемо спочатку, що ln(σ2j

)дiйсно майже всюди лiнiйна по j (бiльше того - лiнiйно спадає).

З малюнка видно, що дiйсно ln(σ2j

)майже лiнiйно спадає по j. Тодi побудуємо лiнiйну регресiйну

модель залежностi ln(σ2j

)вiд j. Отримаємо:

Бачимо, що коефiцiєнт детермiнацiї R2 = 0, 916 досить великий, що добре для прогнозування. Прицьому p = 0, 0000.

Значить, прогноз даних можна здiйснювати за формулою:

ln(σ2j

)= 6, 9865− 0, 4533 · j

Отже, отримаємо спрогнозоване значення ln(σ217

)= −0, 7196 i звiдси σ2

17 = 0, 49.Тепер ми можемо скористатися формулою (??) i отримаємо:

115

Порахуємо тепер середньо квадратичну помилку для сукупного резерву R. За теоремою 1.4 маємоформулу для розрахунку:

mse(R)=(s.e.

(R))2

=

n∑

i=1

(s.e.

(Ri

))2+ Cin

(n∑

k=i+1

Ckn

)n−1∑

j=n−i+1

2σ2j /f

2j∑n−j

m=1 Cmj

.

Пiсля пiдрахункiв отримаємо:

s.e.(R)=

√mse

(R)= 131134.

II.6. Корекцiя на iнфляцiюЩе одне припущення, яке роблять, застосовуючи метод ланцюгових сходiв, стосується iнфляцiї. Ранiше

ми не зважали на iнфляцiю, тобто вважали, що рiчний iндекс iнфляцiї однаковий для всiх рокiв i зваженесереднє значення минулої iнфляцiї залишається без змiн i у майбутньому.

В цьому параграфi покажемо, як розраховувати резерв, зважаючи на iнфляцiю минулих рокiв, а та-кож, з урахуванням майбутньої iнфляцiї. Та розрахуємо точнiсть методу за новими даними, якi отримали зурахуванням iнфляцiї.

Для початку розглянемо таблицю сумарних виплат для кожного року окремо, тобто складемо таблицюзi значень: Sij = Cij − Ci,j−1.

Отримаємо:Нехай для кожного календарного року k маємо коефiцiєнт iнфляцiї r рiвний:Тепер обчислимо коефiцiєнти iнфляцiї, за допомогою яких ми будемо конвертувати виплати в цiни для

останнього року збиткiв. Отримаємо новi коефiцiєнти p:Скорегуємо данi в таблицi вiдповiдно до iнфляцiї. Зауважимо, що корекцiю на iнфляцiю розглядає-

мо для виплат протягом календарного року (кожному календарному року вiдповiдає дiагональний елементтрикутника).

Отримаємо:Тепер знову повернемося до таблицi з сукупними витратами на кiнець кожного року. Тобто маємо

таблицю:Застосуємо для даного трикутнику метод ланцюгових сходiв. Матимемо:I, вiдповiдно, спрогнозованi данi:Розрахуємо резерви:Оцiнка резерву в цьому випадку буде рiвна: R= 7.055.995Аналогiчно до попереднього параграфу можемо порахувати точнiсть. Маємо:Побудуємо лiнiйну регресiйну залежнiсть ln (σj) вiд року j:Отже, маємо залежнiсть: ln (σj) = 7, 2793− 0, 429 · j.Звiдси отримуємо: σ17 = 0, 9864Тепер можемо обчислити середньо квадратичну помилку для кожного року:

I, вiдповiдно, s.e.(R)= 124449

Тепер розглянемо корегування на майбутню iнфляцiю. Вiзьмемо рiчну норму iнфляцiї, наприклад, 5%.Для початку перейдемо в останнiй таблицi спрогнозованих з урахуванням минулої iнфляцiї витрат, до

щорiчних приростiв виплат. Отримаємо трикутник даних:Для даного трикутнику врахуємо майбутню iнфляцiю. Домножимо данi в таблицi на вiдповiднi коефi-

цiєнти. Отримаємо:Тепер сукупнi виплати будуть:Вiдповiдно резерви:Оцiнка сукупного резерву дорiвнює: R= 8.553.261Порахуємо середньо квадратичну помилку для скорегованих даних.Всi σj залишаться такими ж як i ранiше. Оцiнка точностi для кожного року:

s.e.(R)= 90836.

Отже, ми розв’язали поставлену задачу: розрахували збитки та резерви i скорегували їх у випадкуiнфляцiї. А, також, встановили помилку методу для заданих у задачi даних.

III. Вивiд методу ланцюгових сходiв з методу, заснованого на модифiкованому розподiлiПуассона

В даному роздiлi ми продемонструємо взаємозв’язок мiж методом ланцюгових сходiв та моделлю, за-снованою на модифiкованому розподiлi Пуассона.

Також у другому параграфi розв’язано приклад двома методами i показано, що резерви, розрахованiрiзними способами, не вiдрiзняються.

III.1. Метод на основi модифiкованого розподiлу Пуассона

Означення 3.1. Будемо казати, що величина ξ має неперервний розподiл Пуассона з параметром λ,якщо:

116

dFξ (x) =

λxe−λ

(x+1) , x > 0

1−r ∞0

(λxe−λ

(x+1)

)dx, x = 0

Означення 3.2. Випадкова величина ξ має модифiкований розподiл Пуассона з параметром λ i скаляр-ним параметром w, якщо величина ξ

w має неперервний розподiл Пуассона з параметром λ.Тодi для такої величини ξ маємо щiльнiсть:

dFξ (x) =λ

xw e−λ

w(xw + 1

) , x > 0

Розглянемо Sij , 1 ≤ j ≤ n – сумарна виплата в j-ому роцi розвитку за збитками, якi вiдбулися в i-омуроцi настання збиткiв. Тобто Sij = Cij − Ci,j−1 при j > 1 та Si1 = Ci1.

Аналогiчно до припущень методу ланцюгових сходiв, введемо припущення:1. Роки настання збиткiв Si1, . . . , Sin незалежнi.2. Кожне з Sij має модифiкований розподiл Пуассона з параметром xiyj та скалярним параметром w.З другого припущення можемо сказати, що E (Sij) = xiyj i D (Sij) = wxiyj , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n− 1, де

параметриxi > 0i yi > 0невiдомi.Запишемо функцiю вiрогiдностi:

L =∏

i,j

(xiyj

w

)Sijw exp

(−xiyj

w

)

w(

Sij

w + 1) .

Знайдемо оцiнки найбiльшої вiрогiдностi параметрiв xi i yj .

ln (L) =∑

i,j

(Sij

wln(xiyjw

)− xiyj

w− lnw

(Sij

w+ 1

))

∂ ln (L)

∂xi=∑

j

(Sij

xiyj· yjw

− yjw

)=∑

j

(Sij

wxi− yjw

)=

1

wxi

∑

j

(Sij − yjxi) = 0

∂ ln (L)

∂yj=∑

i

(Sij

xi· xiw

−w

)=∑

i

(Sij

wyj− xiw

)=

1

wyj

∑

j

(Sij − yjxi) = 0

Тодi, з двох попереднiх рiвнянь, маємо:

n−j+1∑

i=1

Sij =

n−j+1∑

i=1

xiyj , 1 ≤ j ≤ n,

n−i+1∑

j=1

Sij =

n−i+1∑

j=1

xiyj , 1 ≤ i ≤ n.

Звiдки маємо, що

xi =

∑n−i+1j=1 Sij

∑n−i+1j=1 yj

, yj =

∑n−j+1i=1 Sij∑n−j+1i=1 xi

.

Оцiнимо тепер резерв: Ri = Si,n−i+1 + · · ·+ Si,n.

Ri = Si,n−i+1 + · · ·+ Si,n = xiyn−i+2 + · · ·+ xiyn = xi (yn−i+2 + · · ·+ yn) .

III. 2. Вивiд методу ланцюгових сходiв

Теорема 3.1. Оцiнка резерву в моделi, заснованiй на модифiкованому розподiлi Пуассона, спiвпадає зоцiнкою резерву за методом ланцюгових сходiв, якщо Sij > 0 при i+ j ≤ n+ 1.

Доведення.Оскiльки рiвностi

xiym =(∑n+1−i

k=1 sik

)· fn+1−i · · · · · fm−2 ·

(fm−1 − 1

),m > n+ i− 1,

fk−1 − 1 + fk−1

(fk − 1

)= fk−1fk − 1,

де

117

fk =

(∑n−kj=1

∑k+1n=1 Sjn

)

(∑n−kj=1

∑kn=1 Sjn

) , j = 1, . . . , n− 1,

приводять до формули методу ланцюгових сходiв

Ri = xi (yn+2−i + · · ·+ y1) =

(n+1−i∑

k=1

Sik

)(fn+1−i · · · · · fn−1 − 1

),

то достатньо встановити вирази для xiym з умов∑n+1−ik=1 xiyk =

∑n+1−ik=1 Sik, i = 1, . . . , n, (??)∑n+1−k

i=1 xiyk =∑n+1−k

i=1 Sik, k = 1, . . . , n. (??)

Нехай zik =∑k

n=1 xiyn i Cik =∑k

n=1 Sin, i+ j ≤ n+ 1 - вiдповiдно очiкуванi та спостережуванi сумарнiзбитки i-го року подiї через kрокiв розвитку.

Тодi умови (??) можна коротко записати у виглядi zi,n+1−i = ci,n+1−i. При m > n + 1 − i отримаємо,що

zim = zi,n+1−i ·zi,n+2−i

zi,n+1−i· · · · · zim

zi,m−1

i, вiдповiдно,

xiym = zim − zi,m−1 = zi,n+1−i · zi,n+2−i

zi,n+1−i· · · · · zi,m−1

zi,m−2·(

zimzi,m−1−1

)=

=(∑n+1−i

k=1 Sik

)· zi,n+2−i

zi,n+1−i· · · · · zi,m−1

zi,m−2·(

zimzi,m−1

− 1).

Залишається переконатися, щоzik/zi,k−1 = fk−1. Використовуючи рiвностi

zikzi,k−1

=

∑kn=1 yn∑k−1n=1 yn

=

(∑n+1−kj=1 xj

)(∑kn=1 yn

)

(∑n+1−kj=1 xj

)(∑k−1n=1 yn

) =

∑n+1−kj=1 zjk

∑n+1−kj=1 zj,k−1

i

fk−1 =

∑n+1−kj=1 Cjk

∑n+1−kj=1 Cj,k−1

,

потрiбно тiльки довести, що

n+1−k∑

j=1

zjk =n+1−k∑

j=1

Cjk (9.10)

i

n+1−k∑

j=1

zj,k−1 =n+1−k∑

j=1

Cj,k−1 (9.11)

при j = 2, . . . , n.Проведемо доведення за допомогою рекурсiї вiдj = n до j = 2. Умоваz1n = c1nочевидна. Далi:

∑n+1−kj=1 (zjk − xjyk) =

∑n+1−kj=1 zjk −∑n+1−k

j=1 xjyk =

=∑n+1−k

j=1 Cjk −∑n+1−kj=1 Sjk =

∑n+1−kj=1 (Cjk − Sjk) =

∑n+1−kj=1 Cj,k−1.

Нарештi:

n+2−k∑

j=1

zj,k−1 = zn+2−k,k−1 +

n+1−k∑

j=1

zj,k−1 = Cn+2−k,k−1 +

n+1−k∑

j=1

Cj,k−1 =

n+2−k∑

j=1

Cj,k−1.

III.3. ПрикладРозглянемо наступну таблицю даних:Данi в таблицi мають розподiл Пуассона з параметром λ = 10 i скалярним параметром ω = 17.

1. Порахуємо спочатку резерв методом, заснованим на розподiлi

Пуассона:

xi =

∑n−i+1j=1 Sij

∑n−i+1j=1 yj

, yj =

∑n−j+1i=1 Sij∑n−j+1i=1 xi

,

118

Ri = xi (yn−i+2 + · · ·+ yn) .

Невiдомi параметри xi, yjбудемо рахувати послiдовно. Представимо xi у виглядi

xi =

∑n−i+1j=1 Sij

1−∑nj=n−i+2 yj

.

Отримаємо:I в результатi матимемо:Отже, в результатi отримаємо, що R = 9288.

2. Тепер порахуємо резерв методом ланцюгових сходiв за формулою Ri =(∑n+1−i

k=1 Sik

)(fn+1−i · · · · · fn−1 − 1

).

(??)Для цього спочатку складемо таблицю, зiставлену з Cij =

∑jk=1 Sik. Вона матиме вигляд:

У цьому випадку матимемо таку оцiнку для fj :I тодi за формулою (??) знайдемо оцiнку резерву:В результатi отримаємо, що R = 9288.Очевидно, що оцiнка резерву за методом ланцюгових сходiв повнiстю спiвпадає з оцiнкою, отриманою

за методом, заснованим на розподiлi Пуассона, що пiдтверджує на практицi теорiю, описану вище.

IV. Мюнхенськi ланцюговi сходиЯк уже зазначалося ранiше, зазвичай використовують два рiзних види даних у формi трикутника

розвитку: трикутник сплачених збиткiв i трикутник заявлених збиткiв. Майже завжди прогнози суми зби-ткiв, побудованих на рiзних трикутниках, не збiгаються, незважаючи на те, що в реальностi має мiсце збiгпiдсумкових рiвнiв заявленого та сплаченого збиткiв в кiнцi перiоду розвитку.

В цьому роздiлi ми покажемо, що рiзниця прогнозiв зумовлена iгноруванням залежностi мiж двоматрикутниками та з’ясуємо, як враховувати цю залежнiсть, щоб наблизити два прогнози один до одного.

Мюнхенськi ланцюговi сходи є узагальненням методу ланцюгових сходiв: за вiдсутностi залежностi мiжспостережуваними даними автоматично виходить такий же прогноз, як i за звичайним методом ланцюговихсходiв.

IV.1. Проблема неузгодженостi оцiнок

Введемо позначення:Cij– рiвень сплачених збиткiв,Aij – рiвень заявлених збиткiв,fj i hj– вiдповiднi множники розвитку.

Будемо позначати С/З – вiдношення Cij

Aijсплаченого збитку до заявленого.

Розглянемо приклад.Нехай маємо трикутник сплачених збиткiв:I трикутники заявлених збиткiв:На наступному графiку показано залежнiсть вiдношень С/З по роках настання збиткiв:Суцiльна лiнiя показує середнє С/З вiдношення. Видно, що при збiльшенi кiлькостi рокiв, зменшується

дiапазон розсiювання точок. А вже на сьомому роцi розвитку, лiнiя досягла майже ста вiдсоткiв.Застосуємо до обох трикутникiв метод ланцюгових сходiв.Трикутник сплачених збиткiв:Трикутник заявлених збиткiв:Зобразимо вiдношення С/З прогнозованих збиткiв.Недолiк методу одразу стає очевидним: вiдношення спрогнозованих даних не збiгається до ста вiдсоткiв.

Бачимо, що середнє значення трохи бiльше 100%, а найбiльше значення вiдношення С/З взагалi близько110%.

Бiльше того, видно, що вiдстань вiд спрогнозованих збиткiв до середньої лiнiї завжди однакова. Тобто,якщо в деякому роцi настання збиткiв вiдношення С/З з’явилося на деякiй вiдстанi нижче чи вище середньоїлiнiї, то i для наступних рокiв воно залишиться на тiй же вiдстанi нижче чи вище лiнiї.

IV.2. Вивiд i опис мюнхенського методу ланцюгових сходiв

Теорема 9.6. При прогнозуваннi методом ланцюгових сходiв на основi сплачених збиткiв i заявлених зби-

ткiв, вiдношення мiж Cij

Aij, j ≥ n − i + 1 та вiдповiдним даному року розвитку середнiм по всiм рокам

настання збиткiв∑n

k=1Ckj

∑

nk=1

Akjє сталим для ∀i, тобто має мiсце рiвнiсть:

Cij/Aij∑nk=1 Ckj/

∑nk=1 Akj

=Ci,n−i/Ai,n−i∑n

k=1 Ck,n−i/∑n

k=1 Ak,n−i

(9.12)

для всiх j ≥ n− i+ 1.

Доведення. Позначимо Cij := Cij при i+ j ≤ n+ 1. Тодi

119

n∑

i=1

Cij =

n−j+1∑

i=1

Cij +n∑

i=n−j+2

Cij =

(n−j+1∑

i=1

Ci,j−1

)fj +

n∑

i=n−j+2

(Ci,j−1fj

)=

(n∑

i=1

Ci,j−1

)fj .

Таким чином отримали, що

fj =

∑n−j+1i=1 Cij∑n−j+1

i=1 Ci,j−1

=

∑ni=1 Cij∑n

i=1 Ci,j−1

.

Аналогiчну формулу можна вивести i для оцiнки gj , тобто маємо

gj =

∑n−j+1i=1 Aij∑n−j+1

i=1 Ai,j−1

=

∑ni=1 Aij∑n

i=1 Ai,j−1

.

Розглянемо тепер вiдношення С/З для деякого року j > n− i+ 1:

Cij

Aij=Ci,n−i+1 · fn−i+2 · · · · · fjAi,n−i+1 · gn−i+2 · · · · · gj

=Ci,n−i+1 ·

∑ni=1 Cij

/∑ni=1 Ci,j−1

Ai,n−i+1 ·∑n

i=1 Aij

/∑ni=1 Ai,j−1

=Ci,n−i+1 ·

∑ni=1 Cij

/∑ni=1 Aij

Ai,n−i+1 ·∑n

i=1 Ci,j−1

/∑ni=1 Ai,j−1

.

Звiдки i випливає твердження теореми.

Теорема, наведена вище, дає зрозумiти, як уникнути розбiжностi вiдношення С/З. Якщо значенняCi,n−i+1

Ai,n−i+1нижче середньої лiнiї, то для її досягнення вiдношення С/З має рости швидше, нiж в середньо-

му, тобто чисельник має зростати швидше або (i) знаменник повiльнiше, нiж у середньому. I навпаки длявiдношень С/З, якi перевищують лiнiю.

Як i метод ланцюгових сходiв, цей метод базується на деяких припущеннях. Перше з них:

(1) Роки настання збиткiв Ci1, . . . , Cin, Ai1, . . . , Ain незалежнi.

З роздумiв, наведених ранiше, випливає, що модель методу ланцюгових сходiв має бути модифiкованатак, щоб множники Fij i Hij лiнiйно залежали вiд Ai,j−1

Ci,j−1або, вiдповiдно, вiд Ci,j−1

Ai,j−1.

Таким чином визначимо наступнi припущення:

(2) E(

Cij

Ci,j−1

∣∣∣Gi,j−1

)= aCj + bCj · Ai,j−1

Ci,j−1

або

E (Cij |Gi,j−1) = Ci,j−1aCj +Ai,j−1b

Cj .

E

(Aij

Ai,j−1

∣∣∣∣Gi,j−1

)= aAj + bAj · Ci,j−1

Ai,j−1,

або

E (Aij |Gi,j−1) = Ai,j−1aCj + Ci,j−1b

Cj .

де

Gij = Ci1, . . . , Cij ∪ Ai1, . . . , Aij .

(3) D(

Cij

Ci,j−1

∣∣∣Gi,k−1

)=

(σCj )

2

Ci,j−1

i

D

(Aij

Ai,j−1

∣∣∣∣Gi,j−1

)=

(σAj

)2

Ai,j−1.

Тут, за методом найменших квадратiв, оцiнки для невiдомих параметрiв мають вигляд:

aCj+1 = fCj+1 − bCj+1 ·QCj , bCj+1 =

∑n−ji=1 Ci,j+1

(Aij

Cij−QC

j

)

∑n−ji=1 Cij

(Aij

Cij−QC

k

)2 ,

(σCj+1

)2=

1

n− j − 2

n−j∑

k=1

Ckj

(Ck,j+1

Ckj− fCj+1 − bCj+1

(Dkj

Ckj−QC

j

))2

,

120

де QCj =

∑n−ji=1

Ci,j

AijCij

∑n−ji=1

Cij, а fCj+1 = fj+1.

Аналогiчний вигляд мають i оцiнки для невiдомих параметрiв aAj+1, bAj+1, σ

Aj+1.

На основi другого припущення отримаємо:

Ci,j+1 = Cij aCj+1 + Aij b

Cj+1 = Cij

(aCj+1 +

Aij

Cij

bCj+1

)= Cij

(fCj+1 − bCj+1Q

Cj +

Aij

Cij

bCj+1

)=

= Cij

(fCj+1 − bCj+1Q

Cj +

Aij

Cij

bCj+1

)= Cij

(fCj+1 + bCj+1

(Aij

Cij

−QCj

)).

Ai,j+1 = Aij aAj+1 + Cij b

Aj+1 = Aij

(aAj+1 +

Cij

Aij

bAj+1

)= Aij

(hAj+1 − bAj+1Q

Aj +

Cij

Aij

bAj+1

)=

= Aij

(hAj+1 − bAj+1Q

Aj +

Cij

Aij

bAj+1

)= Aij

(hAj+1 + bAj+1

(Cij

Aij

−QAj

)).

IV.3. Приклад

Повернемося до нашого прикладу. Нагадаємо, що ми мали два трикутники з даними:

1) трикутник сплачених збиткiв;

2) трикутник заявлених збиткiв.

Було показано, що якщо до обох трикутникiв застосувати метод ланцюгових сходiв, то остаточнi данiбудуть сильно вiдрiзнятися. Тому застосуємо тепер описаний вище метод.

Отримаємо:Трикутник сплачених збиткiв:Трикутник заявлених збиткiв:Зобразимо тепер вiдношення С/З:Бачимо, що дiапазон розсiювання точок зменшується при збiльшенi кiлькостi рокiв i на сьомому роцi

розвитку, середня лiнiя досягла майже ста вiдсоткiв. Отже, даний метод усунув недолiки наведенi ранiше.

9.2. Метод Борнхуеттера-Фергюсона

Важливим напрямком актуарної дiяльностi є розрахунок резервiв необхiдних для ефективної роботистрахової компанiї та забезпечення її платоспроможностi. В данiй роботi розглядається один з методiв роз-рахунку резервiв у випадку так званих IBNR (incurred but not reported) даних, тобто даних вiдносно збиткiв,якi виникли, але не заявленi, а саме метод Борнхуеттера-Фергюсона.

У 80-90 рр. минулого столiття методологiя розрахунку резервiв для забезпечення платоспроможностiстрахової компанiї детально вивчалася Британською робочою групою з проблем платоспроможностi (BritishSolvency Party).

На сьогоднiшнiй день розроблено ряд методiв визначення резервiв, кожен з яких має специфiчнi обме-ження, рiзнi припущення шодо математичної моделi i, вiдповiдно, дає рiзнi прогнознi оцiнки.

Протягом останнiх рокiв актуарiї запропонували велике число методiв резервування збиткiв, що викори-стовують трикутники розвитку (run-off triangles). В кожному з них припускається, що усi позови вирiшуютьсяпротягом фiксованого числа рокiв (так званих рокiв розвитку), i що розвиток додаткових (наростаючих) iнакопичених вимог вiдомий до поточного календарного року включно, а отже, цi данi можуть бути зображенiза допомогою трикутника розвитку.

Найбiльш давнiми i вiдомими з цих методiв є метод ланцюгових сходiв ( chain-ladder method , ЛС метод)та метод Борнхуеттера-Фергюсона (БФ метод).

Зображення даних

Ми розглядаємо портфель ризикiв i припускаємо, що кожен позов у портфелi буде врегульований або в рiкнастання страхової подiї або в один з n наступних рокiв розвитку. Важливим моментом є те, що позовивiдносять до року настання страхового випадку, а не до року, коли вiдбувається повна виплата за позовом.Очевидно, що страховiй компанiї необхiдно знати скiльки треба буде заплатити за позовами, щоб мати змогурозрахувати вiдповiдний резерв. Проте може пройти декiлька рокiв, поки стане вiдомим точне значення су-марних позовiв, тому цю величини необхiдно оцiнювати за наявними даними, якi здебiльшого зображуютьсяу виглядi трикутника розвитку. Портфель ризику може бути змодельований як приростами збиткiв, так iнакопиченими (кумулятивними) збитками.

121

Прирости збиткiв

Для моделюванню портфелю за допомогою приростiв збиткiв ми розглядаємо сiм’ю випадкових величинZi,k, i, k = 0, n

та iнтерпретуємо випадкову величину Zi,k як збиток iроку настання страхової подiї, який

врегульований iз затримкою в k рокiв, а отже в k роцi розвитку та в i+k календарному роцi. Будемо називатиZi,k приростом збитку в iроцi настання страхової подiї та k роцi розвитку.

Ми вважаємо, що у страховика є iнформацiя про прирости збиткiв Zi,k для календарних рокiв i+k ≤ n,i немає iнформацiї про Zi,k для рокiв i+k ≥ n+1. Вiдомi прирости збиткiв зображуються у формi трикутникiврозвитку:

V : @ > 728B : CV : = 0AB0 == OAB@0E > 2 > W ? > 4VW 0 1 . . . n− 1 n

0 Z0,0 Z0,1 . . . Z0,n−1 Z0,n1 Z1,0 Z1,1 . . . Z1,n−1...

......

......

...n− 1 Zn−1,0 Zn−1,1n Zn,0

Накопиченi збитки

Для моделювання накопичених збиткiв розглядаємо сiм’ю випадкових величинSi,k, i, k = 0, n

та iнтерпре-

туємо Si,k як збитки iроку настання страхової подiї, якi врегульованi з затримкою не бiльше нiж k рокiв,а отже, не пiзнiше нiж у k роцi розвитку. Будемо називати Si,k накопиченими збитками iроку настаннястрахової подiї i k року розвитку, Si,n−i накопиченими збитками поточного календарного року або поточнимнакопиченим збитком, i Si,nостаточними збитками.

Аналогiчно попередньому випадку, ми маємо данi для календарних рокiв i + k ≤ n i не маємо данихдля рокiв i+k ≥ n+1. Вiдомi значення накопичених збиткiв так само зображуються трикутником розвитку:

V : @ > 728B : CV : = 0AB0 == OAB@0E > 2 > W ? > 4VW 0 1 . . . n− 1 n

0 S0,0 S0,1 . . . S0,n−1 S0,n1 S1,0 S1,1 . . . S1,n−1...

......

......

...n− 1 Sn−1,0 Sn−1,1n Sn,0

Зрозумiло, що цi способи зображення даних цiлком еквiвалентнi, оскiльки знаючи виплати в кожномуроцi розвитку (прирости збиткiв) , можна знайти накопиченi збитки, просто додавши вiдповiднi приростизбиткiв, i навпаки, по накопичених збитках шляхом вiднiмання сусiднiх по рядку значень, отримаємо при-рости збиткiв. Також очевидним є той факт, що прогнози, отриманi за цими трикутниками розвитку задопомогою одного i того ж методу, також будуть еквiвалентними.

Коефiцiєнти рiвня збитковостi

Вiдношення величини заявлених позовiв до величини отриманих премiй називають коефiцiєнтом рiвня зби-тковостi. Коефiцiєнти збитковостi зазвичай заснованi на премiях, але можливе використання iнших величин,таких як обiг або фонд заробiтної плати. Коефiцiєнти рiвня збитковостi зазвичай досить стiйкi та стабiль-нi для кожного року розвитку, за умови вiдсутностi кардинальних змiн, зокрема помiтних змiн у розмiрахпремiй або катастроф.

Таким чином, коефiцiєнт збитковостi, заснований на трендах попереднiх даних, оцiнках андерайтерiв чиданих ринку, може використовуватись для оцiнки остаточного розмiру збиткiв, а отже i розмiру несплаченихзбиткiв.

Якщо для пiдрахунку резервiв планують використовувати коефiцiєнт рiвня збитковостi, головним пи-танням є спосiб його вибору. Джерелами iнформацiї для нього можуть бути:

1) попереднi данi за даним видом страхування;

2) припущення, зробленi при визначеннi страхового тарифу;

3) думка андерайтера або iншої особи;

4) статистика ринку для однорiдних видiв страхування.

Але цими даними треба користуватись з обережнiстю: навiть якщо данi за останнi 5 рокiв по цьомувиду страхування демонстрували стабiльне значення коефiцiєнта збитковостi, це не гарантує, що це значеннябуде таким самим в поточному роцi, а це може привести до невiрного визначення розмiру резерву IBNR.

122

9.2.1. Основнi припущення та концепцiя базового методу Борнхуеттера-Фергюсона

Ключовим припущенням методу Борнхуеттера-Фергюсона є те, що незаявленi ( або несплаченi претен-зiї) доводяться до остаточного рiвня на пiдставi очiкуваних позовiв. Iншими словами, позови, що заявленiстаном на останню дату, не мiстять iнформацiї про суму претензiй, якi будуть заявленi. У цьому полягає вiд-мiннiсть вiд метода розвитку, в якому початковим припущенням є те, що незаявленi (або несплаченi) позовидоводяться до остаточного рiвня на пiдставi заявлених (або сплачених) претензiй станом на поточну дату.Також суттєво використовується припущення, що наростаючi виплати за позовами, спричиненi страховимиподiями, якi виникли протягом кожного року настання збиткiв, зростають однаково (стовпчики в трикутни-ку розвитку пропорцiйнi). Iншими словами, для прогнозу майбутнiх виплат для всiх рокiв настання збиткiвзастосовують однi й тi самi коефiцiєнти розвитку.

Концепцiя даного методу полягає в тому, що:

• Як би не розвивались позови конкретного року настання страхової подiї до теперiшнього часу, майбутняструктура розвитку буде вiдповiдати досвiду iнших рокiв настання страхових подiй.

• Для заданого року настання страхової подiї, минулий розвиток не обов’язково є кращим показникоммайбутнiх позовiв, анiж загальний рiвень збитковостi.

Найпростiша форма методу Борнхуеттера-Фергюсона має такi етапи.

1. Визначити коефiцiєнт рiвня збитковостi λ з будь-якого з вищевказаних джерел.

2. Використовуючи коефiцiєнт рiвня збитковостi λ, знайти початковi оцiнки величини сумарних остато-чних збиткiв BULi (вiд benchmark ultimate loss) для кожного перiоду iнастання збиткiв за формулою

BULi = λPi, (9.13)

де Pi – зароблена премiя для i-го року настання збиткiв.

3. Знаходження коефiцiєнтiв прогнозу fi за даними трикутника розвитку. Як правило fi - це фактор роз-витку, що отримується застосуванням методу ланцюгових сходiв, але можливi й iншi варiанти. Зокрема,визначивши ρ(l) - фактори розвитку для прогнозу на один крок вiд l до l+1 року розвитку, покладаємо

fi =

n∏

l=i

ρ(l). (9.14)

4. Знаходження ефективних оцiнок виплат/збиткiв для кожного року розвитку iшляхом дiлення поча-ткових оцiнок BULi на визначений коефiцiєнт прогнозу fi. Отже, оновленi оцiнки збиткiв для кожногороку настання збиткiв мають вигляд

RULi =BULi

fi. (9.15)

5. Знаходження оцiнок розвитку майбутнiх виплат для i року настання збиткiв як рiзницi мiж вiдповiд-ними початковими i оновленими оцiнками сумарних остаточних збиткiв.

Таким чином, величину резерву для кожного року настання збиткiв розраховують за формулою

Vi = BULi −RULi = BULi

(1− 1

fi

)= λPi

(1− 1

fi

). (9.16)

Розглянемо приклад застосування методу. У таблицi 9.3 наведено трикутник розвитку та допомiжнiрозрахунки для знаходження факторiв розвитку згiдно з методом ланцюгових сходiв.

Табл.9.3

Рiк настання збиткiв Рiк розвитку

0 1 2 3 4 50 2866 3334 3503 3624 3712 37171 3359 3889 4033 4231 43192 3848 4503 4779 49463 4673 5422 56764 5369 61425 5818

Суми 25933 23290 17991 12801 8031 3717Суми без останнього даного 20115 17148 12315 7855 3712

Коефiцiєнти розвитку ρ 1.158 1.049 1.039 1.022 1.001 1Коефiцiєнти розвитку f 1.29 1.115 1.063 1.023 1.001 1

У таблицi 9.4 наведено обсяг зароблених премiй. Коефiцiєнт рiвня збитковостi λ оцiнений за даними 0року настання збиткiв: λ =

S0,5

P0= 0.83.

123

Табл.9.4

AY 0 1 2 3 4 5Pi 4486 5024 5680 6590 7428 8502

BULi = 0.83Pi 3723 4170 4714 5470 6210 7057

Тут AY (accident year) – рiк настання страхової подiї.Наступний крок – застосування факторiв розвитку для оцiнювання майбутнiх збиткiв та додавання

позовiв, що виникли i вже заявленi.

Табл.9.5

AY 0 1 2 3 4 5fi 1.29 1.115 1.063 1.023 1.001 1

1− 1fi

0.225 0.103 0.059 0.022 0.001BULi 7057 6210 5470 4714 4170 3723

Резерв Ri = BULi

(1− 1

fi

)1588 640 323 104 4 0

Заявленi вимоги 5818 6142 5676 4946 4319 3717Очiкуванi вимоги 7406 6782 5999 5050 4323 3717

Сумарнi очiкуванi збитки за всi цi 6 рокiв складуть 33277.

Вправа 9.1. (i) Запишiть загальну форму статистичної моделi для трикутника розвитку позовiв, визначив-ши всi вжитi термiни.

(ii) У таблицi нижче наведено накопиченi позови, якi надiйшли з портфелю страхових полiсiв.

Рiк подiї Рiк розвитку2010 2748 3819 39912011 2581 40142012 3217

Компанiя вирiшила застосувати метод Борнхуеттера–Фергюсона для обчислення резервiв, припуска-ючи, що коефiцiєнт рiвня збитковостi дорiвнює 85 %. Обчислiть величину резерву для 2012 р., якщозароблена премiя дорiвнює 5012, а сплаченi позови склали 1472.

Вiдповiдь. (ii) 3232.

Вправа 9.2. Студент-актурiй опрацьовувала данi про надходження позовiв, але деякi листки з її розрахунка-ми було загублено. Данi з накопиченими величинами позовiв та спрогнозованими остаточними величинамипозовiв подано у таблицi:

Рiк Рiк розвитку Остаточнiподiї 0 1 2 3 величини

1 1001 1485 1762 W X2 1250 Y 1820 1862.33 1302 1805 2122.54 Z 2278.8

Усi позови було сплачено до кiнця третього року розвитку. Вiдомо, що остаточнi величини позовiв булооцiнено, використовуючи метод ланцюгових сходiв.

(i) Обчислiть значення W , X та Y .

(ii) Для четвертого року розвитку студент застосувала метод Борнхуеттера-Фергюсона, використавши зна-чення заробленої премiї 2500 та коефiцiєнту рiвня збитковостi 90 %.

Обрахуйте значення Z.

(iii) Обчислiть величину резерву майбутнiх виплат для всiх рокiв настання подiй за повнiстю вiдновленоютаблицею.

Вiдповiдь. (i) W = 1803, X = 1803, Y = 1632; (ii) Z = 1410; (iii) 1228.6.

Вправа 9.3. Величини позовiв, сплачених за полiсом автомобiльного страхування, є такими (числа у тис. £)

Рiк Рiк розвиткуполiсу 0 1 2 32009 1256 945 631 3782010 1439 1072 7232011 1543 11332012 1480

124

Iнфляцiя за 12 рокiв усерединi кожного року була такою:

2010 2011 20122,10 % 1,20 % −0, 80 %

Рiчнi премiї, записанi в 2012 р., становлять £5 250 000. Майбутню рiчну iнфляцiю iз середини 2012 р. оцiню-ють, як 2,5 %. Коефiцiєнт рiвня збитковостi (ґрунтуючись на цiнах середини 2012 р.) оцiнили в 75 %.

Припускають, що позови повнiстю буде сплачено до кiнця третього року розвитку. Оцiнiть майбутнiпозови, що надiйдуть вiд полiсiв, укладених лише в 2004 р. (вважаючи статистичнi значення показникiвiнфляцiї точними в обох випадках), використовуючи:

(i) Метод ланцюгових сходiв.

(ii) Метод Борнхуеттера-Фергюсона.

Вiдповiдь: (i) 2357,4; (ii) 2482,2.

9.2.2. Моделi розвитку

Використання трикутникiв розвитку в резервуваннi збиткiв може бути виправдане тiльки за припу-щення, що розвиток збиткiв в кожному роцi настання страхової подiї пiдкоряється однiй i тiй самiй моделiрозвитку для кожного року настання збиткiв.

В даному роздiлi розглянуто 3 класичнi моделi, якi формально рiзнi, але можуть бути елементарнимчином перетворенi одна в одну, а також кiлька альтернативних моделей.

Припущення про iснування моделi розвитку може розглядатись як найпростiша стохастична модель iдає змогу порiвнювати методи резервування збиткiв.

Частки наростання

Вектор ν = (ν0, . . . , νn),∑n

l=0 νl = 1 називається моделлю розвитку для часток наростання, якщо рiвнiстьνk =

EZi,k

ESi,nвиконується ∀k = 0, n, ∀i = 0, n.

У випадку трикутника розвитку для оплачених збиткiв або кiлькостi позовiв є доцiльним також припу-скати, що νk > 0 ∀k = 0, n. У випадку понесених збиткiв, таке припущення може бути недоречним, оскiлькивнаслiдок помiркованого резервування збиткiв, очiкуваний прирост збитку може бути вiд’ємним.

Частки накопичення

Вектор γ = (γ0, . . . , γn), γn = 1 називається моделлю розвитку для часток накопичення, якщо рiвнiсть γk =ESi,k

ESi,nвиконується ∀k = 0, n, ∀i = 0, n. Очевидними є формули зв’язку мiж моделями розвитку:

νk =

γ0, k = 0,γk − γk−1, iнакше та γk =

k∑

l=0

νl.

У випадку трикутника розвитку для оплачених збиткiв або кiлькостi позовiв є доцiльним також припускати,що 0 < γ0 < · · · < γn.

Фактори розвитку

Вектор ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) називається моделлю розвитку для факторiв розвитку, якщо рiвнiсть ϕk =ESi,k

ESi,k−1

виконується ∀k = 1, n, ∀i = 0, n. Вiдповiднi формули зв’язку:γk =

∏nl=k+1

1ϕl

та ϕk = γk

γk−1. У випадку трикутника розвитку для оплачених збиткiв або кiлькостi

позовiв є доцiльним також припускати, що ϕk > 1∀k = 1, n.

Рiвнi наростання

Вектор β = (β0, . . . , βn), β0 = 1 називається моделлю розвитку для рiвнiв наростання, якщо рiвнiсть βk =EZi,k

EZi,0виконується ∀k = 0, n, ∀i = 0, n. Вiдповiднi формули зв’язку:

νk =βk∑nl=0 βl

, βk =νkν0, γk =

∑kl=0 βl∑nl=0 βl

, βk =

1 , k = 0γk−γk−1

γ0, V = 0 : H5 .

У випадку трикутника розвитку для оплачених збиткiв або кiлькостi позовiв є доцiльним також при-пускати, що βk > 0 ∀k = 0, n.

125

Наростаючi рiвнi збитковостi

Моделi розвитку, що розглянутi ранiше, повнiстю визначались очiкуваними наростаючими або накопиченимизбитками. Проте, якщо вiдомий вектор π = (π0, . . . , πn) певних кiлькiсних показникiв, можна визначити iншумодель розвитку, яка також залежить вiд π.

Вектор ζ(π) = (ζ0(π), . . . , ζn(π)) називається моделлю розвитку для наростаючих рiвнiв збитковостi,якщо рiвнiсть

ζk(π) = E

(Zi,k

πi

)(9.17)

виконується для будь-яких k = 0, n та i = 0, n.У випадку трикутника розвитку для оплачених збиткiв або кiлькостi позовiв є доцiльним також при-

пускати, що ζk(π) > 0, k = 0, n.

9.2.3. Оцiнювання моделей розвитку

Для кожного з методiв резервування збиткiв, що описанi нижче, прогноз остаточних збиткiв може бутиобґрунтований у припущеннi, що вiдповiдна модель розвитку iснує.

Взагалi кажучи, оцiнювання моделi розвитку може ґрунтуватись на одному або двох з наступних дже-рел iнформацiї:

1. Внутрiшня iнформацiя. Це будь-яка iнформацiя, яка повнiстю мiститься в трикутнику розвитку дослi-джуваного портфелю ризикiв.

2. Зовнiшня iнформацiя. Це будь-яка iнформацiя, яка повнiсть не залежить вiд даних трикутника роз-витку. Зовнiшня iнформацiя може бути отримана з статистики ринку або з iнших схожих портфелiв;також кiлькiснi показники, такi як розмiр премiй або кiлькiсть контрактiв є зовнiшньою iнформацiєю,бо вона не мiститься в трикутнику розвитку.

Розглянемо оцiнки, що будуть потрiбнi для подальшого розгляду:

1. Припустимо, що ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) - модель розвитку для факторiв розвитку. Тодi для кожного рокурозвитку k = 0, n кожен з окремих емпiричних факторiв розвитку:

ϕi,k =Si,k

Si,k−1, i = 0, n− k є оцiнкою для ϕk, i це також буде справедливим i для

ϕk =∑n−k

j=0 Wj,kϕj,k, 45∑n−k

j=0 Wj,k = 1. Найбiльш вiдомою оцiнкою з цiєї сiм’ї є фактор розвитку

ланцюгових сходiв: ϕCLk =

∑n−kj=0

Sj,k∑n−k

j=0Sj,k−1

=∑n−k

j=0Sj,k−1

∑n−kh=0

Sh,k−1

ϕj,k, який використовується в методi ланцюгових

сходiв. Позначимо через ϕCL =(ϕCL1 , . . . , ϕCL

n

)випадковий вектор коефiцiєнтiв розвитку методу ланцюгових

сходiв. За формулами зв’язку отримуємо оцiнки для часток накопичення: γCLk =

∏nl=k+1

1ϕCL

l

i позначимо

вектор оцiнок: γCL =(γCL1 , . . . , γCL

n

). Вiдмiтимо, що оцiнки методу ланцюгових сходiв повнiстю базуються

на внутрiшнiй iнформацiї.

1. Нехай β = (β0, . . . , βn) - модель розвитку для рiвнiв наростання. Тодi для кожного року розвиткуk = 0, n кожен з окремих емпiричних рiвнiв наростання: βi,k =

Zi,k

Zi,0, i = 0, n− k є оцiнкою для βk i це

також буде справедливим i для

βk =

n−k∑

j=0

Wj,kβj,k, деn−k∑

j=0

Wj,k = 1.

До цiєї сiм’ї належать частки Пенiнга:

βPanningk = βP

k =

∑n−kj=0 Zj,kZj,0∑n−k

j=0 Z2j,0

=

n−k∑

j=0

Z2j,0∑n−k

h=0 Z2h,0

βj,k.

Аналогiчно попередньому пункту визначаємо βP та γP . Вiдмiтимо, що частки Пенiнга також повнiстювизначаються внутрiшньою iнформацiєю.

2. Нехай π = (π1, . . . , πn) вiдомий вектор певних кiлькiсних показникiв , а ζ(π) = (ζ0(π), . . . , ζn(π)) мо-дель розвитку для рiвнiв збитковостi. Тодi для кожного року розвитку k = 0, n окремi емпiричнi рiвнiзбитковостi:

ζi,k(π) =Zi,k

πi, i = 0, n− k

є оцiнками для ζk(π) i це також буде справедливим i для

ζk(π) =

n−k∑

j=0

Wj,k ζj,k(π), деn−k∑

j=0

Wj,k = 1.

126

Найбiльш вiдомою з цiєї сiм’ї є адитивний рiвень збитковостi (additive loss ratio):

ζADk (π) =

∑n−kj=0 Zj,k∑n−k

j=0 πj=

n−k∑

j=0

πj∑n−kh=0 πh

ζj,k(π),

який використовується в адитивному методi (additive method). Аналогiчно попереднiм пунктам визначаємоζAD i γAD. Вiдмiтимо, що данi оцiнки базуються як на внутрiшнiй, так i на зовнiшнiй iнформацiї.

9.3. Прогнозування остаточних збиткiв за допомогою моделей розвитку

9.4. Розширений метод Борнхуеттера-Фергюсона

Розширений метод Борнхуеттера-Фергюсона базується на припущеннi, що iснують вектори α = (α0, . . . , αn)та γ = (γ0, . . . , γn), γn = 1, такi, що рiвнiсть

ESi,k = γkαi

виконується для будь-яких k = 0, n, та i = 0, n. Тодi, ми маємо ESi,n = αi, а отже,

γk =ESi,k

ESi,n,

що означає, що γk – модель розвитку для часток накопичення.Розширений метод Борнхуеттера-Фергюсона також базується на додатковому припущеннi, що вектори

γ = (γ0, . . . , γn), γn = 1 оцiнок часток накопичення та α = (α0, . . . , αn) оцiнок очiкуваних остаточних збиткiввже вiдомi. Зазначимо, що у цих припущеннях має мiсце рiвнiсть

ESi,k = ESi,n−i + (γk − γn−i)αi.

Прогнози методу Борнхуеттера-Фергюсона накопичених збиткiв Si,k, i+ k ≥ n визначаються як

SBFi,k = Si,n−i + (γk − γn−i)αi.

Позначимо через

SBF (γ, α) =SBFi,k (γ, α)

i+k≥n

(9.18)

трикутник всiх прогнозiв методу Борнхуеттера-Фергюсона. Розглядаючи рiзницю мiж прогнозом i поточнимизбитками маємо:

SBFi,k (γ, α)− Si,n−i = (γk − γn−i)αi.

У випадку k = n це дає виразSBFi,n (γ, α)− Si,n−i = (1− γn−i)αi,

який є прогнозом для резерву Si,n − Si,n−i для i-го року настання страхової подiї i має вигляд прогнозурезерву, який був запропонований Борнхуеттером i Фергюсоном в 1972 р. Проте, у початковiй формi методуБорнхуеттера-Фергюсона припускалось, що оцiнки очiкуваних остаточних збиткiв базуються на премiях,i що очiкуванi рiвнi збитковостi отримуються з трикутника розвитку. Обидва цi припущення вiдкинутi врозширеному методi Борнхуеттера-Фергюсона.

9.5. Iтерований метод Борнхуеттера-Фергюсона

У випадку, коли данi про поточнi збитки є надiйними, може бути бажаним модифiкувати прогнози ме-тоду Борнхуеттера-Фергюсона з метою збiльшити вагу поточних збиткiв, i зменшити вагу оцiнок очiкуванихостаточних збиткiв. Ця мета може бути досягнута шляхом iтерування.

Наприклад, якщо в правiй частинi формули для прогнозу розширеним методом Борнхуеттера-Фергюсоназамiнити αi на SBF

i,n (γ, α). Тодi остаточнi прогнози накопичених збиткiв Si,k, i + k ≥ n будуть прогнозамиБенктандера-Ховiнен:

SBHi,k (γ, α) = Si,n−i + (γk − γn−i)S

BFi,n ,

якi у випадку 0 < γ0 < · · · < γn збiльшують вагу поточних збиткiв i зменшують вагу апрiорних оцiнокочiкуваних остаточних втрат.

Бiльш загально, прогнози накопичених збиткiв Si,k, i + k ≥ n iтерованим методом Борнхуеттера-Фергюсона порядку m ∈ N0 визначаються таким чином:

S(m)i,k (γ, α) =

Si,n−i + (γk − γn−i)αi, m = 0,

Si,n−i + (γk − γn−i)S(m−1)i,n , iнакше.

Тодi ми маємо S0i,k(γ, α) = SBF

i,k (γ, α) та S1i,k(γ, α) = SBH

i,k (γ, α).Позначимо через

S(m)(γ, α) =S(m)i,k (γ, α)

i+k≥n

трикутник прогнозiв iтерованого методу Борнхуеттера-Фергюсона порядку m. Поклавши

α(m)i (γ, α) =

αi, m = 0

S(m−1)i,n , iнакше

,

127

прогнози iтерованого методу Борнхуеттера-Фергюсона можуть бути записанi як

S(m)i,k (γ, α) = Si,n−i + (γk − γn−i)α

(m−1)i ,

тодi зα(m)(γ, α) = (α

(m)0 (γ, α), . . . , α(m)

n (γ, α))ми отримаємо:

S(m)(γ, α) = SBF (γ, α(m)(γ, α)).Таким чином, iтерований метод Борнхуеттера-Фергюсона порядку m є нiчим iншим як розширеним методомБорнхуеттера-Фергюсона з γ та α(m)(γ, α).

9.6. Метод розвитку збиткiвМетод розвитку збиткiв (loss-development method) базується на припущеннi, що iснує вектор γ =

(γ0, . . . , γn), γn = 1такий, що рiвнiсть γk =ESi,k

ESi,nвиконується ∀k = 0, n, ∀i = 0, n. Тодi γ - модель розви-

тку для часток накопичення.Метод розвитку збиткiв також базується на припущеннi, що вектор апрiорних оцiнок часток накопиченняγ =

(γ0, . . . , γn), γn = 1 заданий.Вiдмiтимо, що виконується рiвнiсть ESi,k = γk

Si,n−i

γn−i, i визначимо прогнози для Si,k, i + k ≥ n методу

розвитку збиткiв у наступний спосiб: SLDi,k (γ) = γk

Si,n−i

γn−i.

Позначимо через SLD(γ) =SLDi,k (γ)

i+k≥n

- трикутник прогнозiв методу розвитку збиткiв. З визначен-

ня прогнозiв негайно випливає SLDi,k (γ) = Si,n−i+(γk− γn−i)S

LDi,n (γ). Поклавши αLD

i (γ) = SLDi,n (γ), бачимо, що

метод розвитку збиткiв є розширеним методом Борнхуеттера-Фергюсона з параметрами γ i αLDi (γ). Бiльш

того, можна довести, що прогнози методу розвитку збиткiв є граничними для прогнозiв iтерованого методуБорнхуеттера-Фергюсона.

9.7. Метод ланцюгових сходiвМетод ланцюгових сходiв базується на припущеннi, що iснує векторϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) такий, що рiвнiсть

ϕk =ESi,k

ESi,k−1виконується ∀k = 1, n, ∀i = 0, n. Тодi ϕ - модель розвитку для факторiв розвитку. Нагадаємо,

що оцiнки для ϕk мають вигляд:

ϕCLk =

∑n−kj=0

Sj,k∑n−k

j=0Sj,k−1

, i зазначимо, що має мiсце рiвнiсть ESi,k = ESi,n−i

∏kl=n−i+1 ϕk.

Визначимо прогнози методом ланцюгових сходiв накопичених збиткiв Si,k, i+k ≥ n як SCLi,k = Si,n−i

∏kl=n−i+1 ϕ

CLk .

Позначимо через SCL =SCLi,k

i+k≥n

- трикутник прогнозiв методу ланцюгових сходiв. Оскiльки γCLk =

∏nl=k+1

1ϕCL

l

, то прогнози методу ланцюгових сходiв записуються у виглядi SCLi,k = γCL

kSi,n−i

γCLn−i

. Ми, таким чи-

ном, отримуємо SCL = SLD(γCL) i, використовуючи результат попереднього пункту SCL = SBF (γCL, αLD(γCL)).Таким чином, метод ланцюгових сходiв також вкладається в загальну схему розширеного методу Борнхуеттера-Фергюсона .

9.8. Cape Cod методCape Cod метод базується на припущеннi, що iснують:

1. Векторγ = (γ0, . . . , γn), γn = 1 такий, що рiвнiсть γk =ESi,k

ESi,nвиконується ∀i, k = 0, n

2. Вектор π = (π0, . . . , πn)вiдомих показникiв обсягу.

3. Параметр κ такий, що рiвнiсть κ = E

(Si,n

πi

)виконується ∀i = 0, n

Тодi γ – модель розвитку для часток накопичення, а останнє припущення означає, що окремi остаточнi

рiвнi збитковостi κi = E

(Si,n

πi

)однаковi для кожного року настання страхової подiї, тодi параметр κ нази-

вається остаточним рiвнем збитковостi. Cape Cod метод також базується на додатковому припущеннi, щовектор оцiнок γ = (γ0, . . . , γn), γn = 1 вже заданий.

Прогнози Cape Cod методу для накопичених збиткiв Si,k, i+ k ≥ n визначаються як

SCCi,k (π, γ) = Si,n−i + (γk − γn−i)πiκ

CC(π, γ),

де κCC(π, γ) =∑n

j=0Sj,n−j

∑

nj=0

γn−jπj– оцiнка для κ.

Позначимо через SCC(π, γ) =SCCi,k (π, γ)

i+k≥n

– трикутник прогнозiв Cape Cod методу. Вiдмiтимо,

що SCC(cπ, γ) = SCC(π, γ) ∀c > 0, тобто прогнози Cape Cod методу залежать лише вiд вiдносного розмiру по-казникiв обсягу. Поклавши αCC

i = πiκCC(π, γ), ми бачимо, що Cape Cod метод також є формою розширеного

МБФ.

128

9.9. Адитивний методАдитивний метод базується на припущеннi, що iснує вектор π = (π0, . . . , πn) вiдомих показникiв обсягу

i вектор ζ(π) = (ζ0(π), . . . , ζn(π)) такий, що рiвнiсть EZi,k = πiζk(π) виконується для всiх k = 0, n та i = 0, n.Тодi вектор ζ(π) – модель розвитку для наростаючих рiвнiв збитковостi, а вектор γ(π) = (γ0(π), . . . , γn(π)),

де γk =∑k

l=0ζl(π)

∑

nl=0

ζl(π), – модель розвитку для часток накопичення.

Зауважимо, що має мiсце рiвнiсть

ESi,k = ESi,n−i + πi

k∑

l=n−i+1

ζl(π),

та нагадаємо формулу ζADk (π) =

∑n−kj=0

Zj,k∑n−k

j=0πj

. Тодi прогнози адитивного методу для Si,k, i+k ≥ n визначаютьсяяк

SADi,k (π) = Si,n−i + πi

k∑

l=n−i+1

ζADl (π).

Позначимо через SAD =SADi,k

i+k≥n

– трикутник прогнозiв адитивного методу. Поклавши γADk =

∑kl=0

ζADl (π)

∑

nl=0

ζADl

(π)

та αADi = πi

∑nl=0 ζ

ADl (π), отримаємо

SADi,k (π) = Si,n−i + (γAD

k − γADn−i)α

ADi .

А отже, адитивний метод також є розширеним МБФ. Крiм того, можна показати αAD = αCC(π, γAD(π)), щодає SAD = SCC(π, γAD(π)).

9.10. Метод МакаМетод базується на припущеннях розширеного МБФ та на припущеннi, що iснують вектори π =

(π0, . . . , πn) i κ = (κ0, . . . ,κn) такi, що рiвнiсть αi = πiκi виконується для будь-якого i = 0, n. Визначи-мо

ρMi =

∑n−il=0 Zi,l∑n−i

l=0 πiζADl (π)

, ζMk =

∑n−kj=0 Zj,k

∑n−kj=0 πj ρ

M

j(π),

κM

i (π) = ρMi (π)

n∑

l=0

ζMl (π), γMk(π) =

∑kl=0 ζ

M

l (π)∑nl=0 ζ

M

l (π).

Прогнози накопичених збиткiв Si,k, i+ k ≥ n за методом Мака визначають так:

SM

i,k(π) = Si,n−i +(γMk(π)− γMn−i(π)

)πiκ

M

i (π). (9.19)

Позначивши αM

i (π) = πiκM

i (π), ми бачимо, що цей метод є частковим випадком розширеного МБФ. Можнапоказати, що

γM(π) = γAD(αLD(γAD(π))) та αM(π) = αAD(αLD(γAD(π))).

9.11. Помилка прогнозу методу Борнхуеттера-ФергюсонаТрохи змiнимо позначення для зручностi. Нехай тепер Ci,k, 1 ≤ i, k ≤ n позначають накопиченi збитки

в i роцi настання страхової подiї та k роцi розвитку, πi – величину отриманих премiй в i роцi настаннястрахової подiї. Тодi Ci,n+1−i – вiдомi поточнi збитки в i роцi настання страхової подiї.

Нехай Si,k = Ci,k−Ci,k−1 прирости збиткiв, а Ui – невiдома величина остаточних втрат в i роцi настаннястрахової подiї. Тодi Ri = Ui − Ci,n+1−i – величина невiдомого справжнього резерву в i роцi, а Si,n+1 =Ui − Ci,n- прирiст збиткiв пiсля n року розвитку ( хвостовий розвиток).

Прогноз методу Борнхуеттера-Фергюсона визначається як:

RBFi = Ui(1− zn+1−i),

де

Ui = πiqi

(qi – апрiорна оцiнка остаточного рiвня збитковостi), а zk ∈ [0, 1] – оцiнена частка остаточних збиткiв, якаочiкується бути вiдомою пiсля k року розвитку. В класичному варiантi методу qi брались з зовнiшньої iн-формацiї, а zk знаходились методом ланцюгових сходiв.

Розглянемо стохастичну модель: припускаємо, що виконується рiвнiсть

ECi,k = xizk,

або, що еквiвалентно,ESi,k = xiyk, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ n+ 1.

Оскiльки, xk, yk визначенi з точнiстю до сталого множника, можемо вважати, що∑n+1

i=1 yi = 1. Це дає

EUi = E(Si,1 + . . .+ Si,n+1) = xi

129

i показує, що xi може розглядатись як мiра об’єму для i року настання страхової подiї. Таким чином, маємотакi припущення для Si,k:

1. усi Si,kнезалежнi;

2. iснуютьxi, yk такi, що

ESi,k = xiyk,

n+1∑

i=1

yi = 1;

3. iснують s2k такi, що DSi,k = s2kxi.

З цього легко отримати

ERi = xi(yn+2−i + . . .+ yn+1) = xi(1− zn+1−i),

де zk = y1 + . . . + yk, а це означає, що очiкуванi резерви спiвпадають з оцiнкою Борнхуеттера-Фергюсонарезерву. Також

DUi = D(Si,1 + . . .+ Si,n+1) = xi(s21 + · · ·+ s2n+1)

iDRi = xi(s

2n+2−i + · · ·+ s2n+1).

Перейдемо до оцiнювання параметрiв моделi.Припускаємо, що оцiнка xi походить з цiноутворення i можемо вважати, що Ui є оцiнкою для xi, i в

подальшому будемо писати Ui замiсть xi. Таким чином, нам залишилось знайти оцiнки для yk та s2k. Головнапроблема в тому, що ми маємо мало спостережень для останнiх рокiв розвитку. Так як у нас нема спосте-режень пiсля n-го року розвитку, ми не можемо оцiнити залишкову (хвостову) частку yn+1 без додатковихприпущень. У цьому випадку, ми можемо скористатись зовнiшньою iнформацiєю зi схожих портфелiв. Безподiбної iнформацiї, ми можемо отримати оцiнку yn+1 шляхом екстраполяцiї з y1, . . . yn (якi поки невiдомi).Аналогiчно, оцiнка для s2n не може бути отримана з єдиного спостереження в n-му стовпцi, але також можебути отримана шляхом екстраполяцiї.

Тому, для iтеративної процедури спочатку розглянемо для визначеностi випадок, коли у нас вже єоцiнки для yn+1, s

21, . . . , s

2n. Тодi ми можемо отримати оцiнки зважених найменших квадратiв для y1, . . . , yn,

мiнiмiзуючи

Q =

n∑

i=1

n+1−i∑

k=1

(Si,k − Uiyk)2

Uis2kз обмеженням y1 + · · ·+ yn = 1− yn+1. Як початковi наближення можна взяти

ˆyk =

n+1−k∑

i=1

Si,k/

n+1−k∑

i=1

Ui,

але цi значення зазвичай не задовольняють обмеженню. Далi можна визначити

ˆs2k =1

n− k

n+1−k∑

i=1

(Si,k − Uiyk)2

Ui

, 1 ≤ k ≤ n− 1.

Для отримання правдоподiбних оцiнок може знадобитися згладжування. Нехай ми отримали оцiнкиy∗1 , . . . , y

∗n+1

, s2∗1 , . . . , s2∗n , s

∗n+1, з яких ми оцiнюємо резерв МБФ:

RBFi = Ui(y

∗n+2−i + · · ·+ y∗n+1) = Ui(1− z∗n+1−i),

де z∗k= y∗

1+ . . .+ y∗

k.

Властивостi отриманих оцiнок є такими.

• y∗1 , . . . , y∗n+1

попарно вiд’ємно корельованi.

• y∗1 , . . . , y∗n+1

, а отже, i z∗1 , . . . , z∗n+1

не залежать вiд U1, . . . , Un.

• RBFi та Riнезалежнi.

• EUi = EUi = xi, 1 ≤ i ≤ n.

• Ey∗k = yk i, вiдповiдно, Ez∗k = zk, 1 ≤ k ≤ n+ 1.

• Es2∗k = s2k, 1 ≤ k ≤ n+ 1.

Звiдси випливає незмiщенiсть оцiнок резервiв RBFi :

ERBFi = E(Ui)E(1− z∗n+1−i) = xi(1− zn+1−i) = ERi.

Перейдемо тепер безпосередньо до оцiнки похибки прогнозу.

130

Середньоквадратична похибка прогнозу будь-якої оцiнки резерву Ri визначається як

σ2p(Ri) = E((Ri −Ri)

2|Si,1, . . . , Si,n+1−i).

За припущеньRi = Si,n+2−i + · · ·+ Si,n+1

не залежить вiд Si,1, . . . , Si,n+1−i. Також, оцiнку резерву МБФ можна взяти незалежною вiд Si,1, . . . , Si,n+1−i.Тодi ми маємо

σ2p(R

BFi

) = E(RBFi

−Ri)2 = D(RBF

i −Ri) + (ERBFi − ERi)

2 = DRBFi

+ DRi.

Тобто, середньоквадратична похибка прогнозу є сумою середньоквадратичної похибки оцiнки DRBFi та

похибки методу DRi. Для похибки методу маємо:

DRi = DSi,n+2−i + · · ·+ DSi,n+1 = xi(s2n+2−i + · · ·+ s2n+1),

яка буде оцiненою виразомDRi = Ui(s

2∗n+2−i + · · ·+ s2∗n+1).

Для оцiнки похибкиRBF

i = Ui(1− z∗n+1−i)

скористаємось загальною формулою DXY = (EX)2DY + DXDY + (EY )2DX для незалежних в.в. X та Y .Маємо

DRBFi = (x2i + DUi)Dz

∗n+1−i + DUi(1− z∗n+1−i)

2.

Зауважимо, що в той час, як ми вже маємо оцiнки для xi та zn+1−i, нам все ще необхiднi оцiнки для DUi iDz∗n+1−i.

Стандартна помилка σ(Ui) не може бути отримана з похибки σ(RBF (n−1)i ) резервiв останнього року,

тому що це iгноруватиме мiнливiсть Ci,n−i, яка має бути врахована. Як i Ui, σ(Ui) краще за все отримуватиз переоцiнки бiзнесу (зовнiшньої iнформацiї).

У випадку некорельованостi U1, . . . , Un, можна використовувати формули:

(σ(Ui))2 =

πin− 1

n∑

j=1

πj

(Uj

πj− q

)2

та

q =n∑

j=1

Uj/n∑

j=1

πj .

Тепер треба визначитись зi способом оцiнки

D(1− z∗n+1−i) = Dz∗n+1−i = D(y∗1 + . . .+ y∗n+1−i) = D(y∗n+2−i + . . .+ y∗n+1).

Iз властивостей оцiнок видно, що можна замiнити D(y∗1 + . . . + y∗n+1−i) на Dy∗1 + . . . + Dy∗n+1−i. Але, тодi якостання сума збiльшується з кожним доданком, цього не можна сказати про попередню, оскiльки D(y∗1+ . . .+y∗n+1) = D(1) = 0.

Тодi будемо замiнювати Dz∗k величиною min(Dy∗1 + . . .+ Dy∗k,Dy∗k+1 + . . .+ Dy∗n+1). Так як

y∗k ≈ ˆyk =

n+1−k∑

j=1

Sj,k/

n+1−k∑

j=1

xj ,

то

Dy∗k ≈ D

n+1−k∑

j=1

Sj,k/

n+1−k∑

j=1

xj

=

s2k∑n+1−kj=1 xj

, 1 ≤ k ≤ n.

Таким чином, ми оцiнюємо Dy∗k, як

Dy∗k =s2∗k∑n+1−k

j=1 Uj

, 1 ≤ k ≤ n.

Але значення σ(y∗n+1) має бути визначено iз зовнiшньої iнформацiї. Iнакше вiдповiдним вибором буде σ(y∗n+1) =0.5y∗n+1. Загалом, наша оцiнка для Dz∗k буде такою:

(σ(z∗k))2 = min((σ(y∗1))

2 + . . .+ (σ(y∗k))2, (σ(y∗k+1))

2 + . . .+ (σ(y∗n+1))2).

У будь-якому випадку матимемо σ(z∗n+1) = σ(1) = 0. Зрозумiло, що необхiдно буде перевiрити правдоподi-бнiсть цих оцiнок, так само як i для σ(Ui), i скоригувати їх в разi необхiдностi.

Остаточно отримуємо оцiнку для середньоквадратичної похибки прогнозу

σ2p(R

BFi ) = Ui(s

2∗n+2−i + · · ·+ s2∗n+1) + (U2

i + (σ(Ui))2)(σ(z∗n+1−i))

2 + (σ(Ui))2(1− z∗n+1−i)

2.

У випадку необхiдностi перевiрити значимiсть вiдмiнностi мiж рiзними оцiнками або для побудови довiрчого

131

iнтервалу для EUi достатньо помилки оцiнювання

(σ(RBFi ))2 = (U2

i + (σ(Ui))2)(σ(z∗n+1−i))

2 + (σ(Ui))2(1− z∗n+1−i)

2.

Аналiз даної формули показує, що σ(RBFi )/Ui ≈ σ(z∗n+1−i) при z∗n+1−i близьких до 1, i σ(RBF

i )/Ui ≈σ(Ui)/Ui при z∗n+1−i близьких до 0.

Для загального резерву R = R1 + · · · + Rn ми маємо незмiщену оцiнку RBF = RBF1 + · · · + RBF

n . Йогосередньоквадратична похибка прогнозу

σ2p(R

BF ) = DRBF + DR.

Для DR маємо оцiнку (внаслiдок незалежностi рокiв):

DR =

n∑

i=1

Ui(s2∗n+2−i + · · ·+ s2∗n+1).

Оцiнка для DRBF бiльш складна внаслiдок корельованостi величин RBF1 , . . . , RBF

n . Маємо

DRBF =n∑

i=1

DRBFi + 2

∑

i<j

cov(RBFi , RBF

j ).

Дляcov(RBF

i , RBFj ) = cov(Ui(1− z∗n+1−i), Uj(1− z∗n+1−j))

використаємо загальну формулу

cov(XY,WZ) = cov(X,W )EY EZ + cov(X,W )cov(Y,Z) + EXEW cov(Y,Z),

де в.в. X,W та Y,Z незалежнi.Ми опустимо середнiй член, оскiльки вiн має нижчий порядок i отримаємо

cov(Ui(1− z∗n+1−i), Uj(1− z∗n+1−j)) = ρUij

√DUiDUjE(1− z∗n+1−i)E(1− z∗n+1−j) ++ρzij

√Dz∗n+1−iDz

∗n+1−jEUiEUj ,

де коефiцiєнти кореляцiї ρzij = cov(1− z∗n+1−i, 1− z∗n+1−j)/√

Dz∗n+1−iDz∗n+1−j та ρUij = cov(Ui, Uj)/

√DUiDUj .

Тепер нам потрiбно лише оцiнити цi коефiцiєнти кореляцiї. Якщо в нас немає можливостi оцiнити цiкоефiцiєнти за допомогою наявних даних, то можна використовувати наступнi апроксимацiї: ρUij = 1√

nабо

ρUij =1

1+|i−j| та ρzij =

√z∗

n+1−j(1−z∗

n+1−i)

z∗

n+1−i(1−z∗

n+1−j), де i < j, z∗1 ≤ · · · ≤ z∗n+1.

Остаточно маємо

(σ(RBF ))2 =n∑

i=1

(σ(RBFi ))2 + 2

∑

i<j

cov(RBFi , RBF

j ),

деcov(RBF

i , RBFj ) = ρUijσ(Ui)σ(Uj)E(1− z∗n+1−i)E(1− z∗n+1−j) + ρzijσ(z

∗n+1−i)σ(z

∗n+1−j)EUiEUj .

9.12. Вибiр оптимальної оцiнки резервуДля спрощення позначень розглянемо один рiк настання страхової подiї. На кiнець фiксованого року

розвитку k < n резерв Борнхуеттера-Фергюсона такий:

RBF = (1− zk)U0 = qkU0,

де U0 – очiкувана остаточна величини позовiв. Нехай Ck – величина оплачених позовiв, тодi фiнальна оцiнкаостаточних позовiв

UBF = Ck +RBF .У методi ЛС ми мали

UCL =Ck

zkта RCL = UCL − Ck.

Помiтимо, що RCL = qkUCL.

Зазначимо, що метод БФ повнiстю iгнорує iнформацiю про поточнi збитки в даному портфелi; в тойчас як у методi ЛС вважається, що поточнi збитки є цiлком достовiрними для прогнозування та iгноруютьсяочiкуванi остаточнi збитки. Таким чином, можна сказати, що цi методи представляють двi крайнi позицiї.Тому Берктандер в 1976 роцi запропонував замiнити апрiорне U0 на довiрчу сумiш

Uc = cUCL + (1− c)U0.

Оскiльки фактор довiри c має зростати з розвитком збиткiв, вiн запропонував взяти c = zk й оцiнюватирезерви як

RGB = RBFUpk/U0.

Помiтимо, щоRGB = qkUpk

та Upk= zkU

CL + qkU0 = Ck +RBF = UBF ,

132

тобто RGB = qkUBF .

Це означає, що резерв Бенктандера RGB отримується застосуванням методу БФ на другому кроцiдо апостерiорної остаточної величини позовiв UBF , яка отримується зi звичайної процедури Борнхуеттера-Фергюсона. Тому цей метод iнодi називають повторним методом Борнхуеттера-Фергюсона. Обчислимо

UGB = Ck +RGB = (1− q2k)UCL + q2kU0 = U1−q2

k.

Ховiнен у 1981 роцi застосував довiрчу сумiш безпосередньо до резервiв, тобто запропонував оцiнкурезерву

REH = cRCL + (1− c)RBF =: Rc

також з c = zk. Але резерв Ховiнена

REH = zkqkUCL + (1− zk)qkU0 = qkUpk

= RGB .

Можна довести, що для довiльної початкової точки U (??) = U0 iтерацiйне правило R(m) = qkU(m) i

U (m+1) = Ck + R(m),m ≥ 0 дає довiрчi сумiшi U (m) = (1 − qmk )UCL + qmk U0 i R(m) = (1 − qmk )RCL + qmk RBF

мiж резервами БФ i ЛС, якi починаються з резерву БФ i прямують до резерву методу ЛС при m→ ∞.Для порiвняння RCL, RBF i RGB використовуватимемо середньоквадратичну похибку σ2(Rc) = E(Rc−

R)2 як критерiй точностi оцiнки резерву Rc. Так як Rc є лiнiйною по c, то σ2(Rc) досягає мiнiмуму. Надалiми вважаємо, що U0 оцiнена незалежно вiд Ck, U , R та має математичне сподiвання EU0 = EU i дисперсiюDU0.

Теорема 9.7. Оптимальний фактор довiри c∗, який мiнiмiзує середньоквадратичну похибку σ2(Rc)знаходитьсяза формулою:

c∗ =zkqk

cov(Ck, R) + zkqkDU0

DCk + z2kDU0.

Доведення. E(Rc −R)2 = E(c(RCL −RBF ) +RBF −R)2 = c2E(RCL −RBF )2 − 2cE((RCL −RBF )(R−RBF )) +E(RBF −R)2. Тодi

0 =∂

∂cE(Rc −R)2 = 2cE(RCL −RBF )2 − 2E((RCL −RBF )(R−RBF )) ⇒

c∗ =E((RCL −RBF )(R−RBF ))

E(RCL −RBF )2=zkqk

E((Ck − zkU0)(R− qkU0))

E(Ck − zkU0)2

=zkqk

cov(Ck − zkU0, R− qkU0)

D(Ck − zkU0)=zkqk

cov(Ck, R) + zkqkDU0

DCk + z2kDU0.

Тут використано ECk = zkEU0, що є наслiдком моделi.

Для знаходження c∗, нам потрiбна модель для DCk i Cov(Ck, R). Наступна модель є трохи вдоскона-леним визначення моделi розвитку:

1. E(Ck

U

∣∣U)= zk.

2. D(Ck

U

∣∣U)= zkqkβ

2(U).

З припущень 1), 2) та з α2(U) = U2β2(U)маємо такi спiввiдношення:

E (Ck|U) = zkU ; D (Ck|U) = zkqkα2(U);

E (Ck) = zkEU ;

DCk = zkqkEα2(U) + z2kDU = zkEα

2(U) + z2k(DU − Eα2(U));

cov(Ck, U) = cov(E(Ck|U), U) = zkDU ;

cov(Ck, R) = cov(Ck, U)− DCk = zkqk(DU − Eα2(U));

ER = EU − ECk = qkEU

DR = DU − 2cov(Ck, U) + DCk = DU(1− 2zk + z2k) + zkqkEα2(U) = qkEα

2(U) + q2k(DU − Eα2(U))

Пiдставивши усi цi вирази маємо, що оптимальний фактор довiри c∗ = zkzk+t , де

t =Eα2(U)

DU0 + DU − Eα2(U).

Теорема 9.8. За припущень 1), 2) мають мiсце рiвностi

σ2(RBF ) = E(α2(U))qk

(1 +

qkt

), σ2(RCL) = E(α2(U))

qkzk, σ2(Rc) = E(α2(U))

(c2

zk+

1

qk+

(1− c)2

t

)q2k.

133

Доведення.

σ2(RBF ) = E(RBF −R)2

= D(RBF −R) = DRBF + DR = q2kDU0 + q2k(DU − Eα2(U)) + qkEα2(U) = Eα2(U)

(qk +

q2kt

).

σ2(RCL) = E(RCL −R)2 = D(RCL −R)

= DRCL − 2cov(RCL, R) + DR = q2kDCk/z2k − 2qkcov(Ck, R)/zk + DR = E(α2(U))qk/zk.

σ2(Rc) = E(cRCL + (1− c)RBF −R)2 = E(c(RCL −R) + (1− c)(RBF −R))2

= c2σ2(RCL) + 2c(1− c)E((RCL −R)(RBF −R)) + (1− c)2σ2(RBF )E((RCL −R)(RBF −R))

= cov(RCL −R,RBF −R) = −cov(RCL, R) + DR = DR− qkcov(Ck, R)/zk = qkEα2(U),

а з цього i маємо потрiбне твердження.

З цiєї теореми маємо σ2(RBF ) < σ2(RCL) ⇔ zk < t, σ2(RGB) < σ2(RBF ) ⇔ t < 2 − zk, σ2(RGB) <σ2(RCL) ⇔ t > zkqk/(1 + zk).

134

Роздiл 10

Процеси ризику в страхуваннi

10.1. Процеси

Основна вiдмiннiсть мiж цим роздiлом i попереднiми полягає в тому, що тепер нас цiкавить, як розви-вається портфель упродовж часу.

Процес, неперервний у часi, позначатимемо Xt; t ≥ 0. Якщо вiн мiстить випадковi елементи, то длявизначення процесу досить вказати сумiсний розподiл (Xt1 , . . . , Xtn) для всiх t1, . . . , tn i всiх n.

Зауважимо, що загалом недостатньо вказати лише розподiл Xt для довiльного t, оскiльки в багатьохпроцесiв значення, якi спостерiгають у рiзний час, є корельованими.

Приклад 10.1.1. Нехай St; t ≥ 0 – загальнi втрати вiд часу вiд 0 до t. Вкажiть, як можна використатимодель колективного ризику з роздiлу 3.1 для описання цього процесу.

Розв’язання. Припустимо для простоти, що t1 < · · · < tn. Нехай Wj = Stj − Stj−1, де St0 = S0 = 0.

Нехай Wj незалежно розподiленi з розподiлами, заданими моделлю колективного ризику. Розподiлиiндивiдуальних втрат можуть бути однаковими, коли розподiл частот має середнє, що пропорцiйнетривалостi перiоду tj − tj−1. Приклад реалiзацiї цього процесу (яку називають траєкторiєю) наведенона рис. 12, а).

Як правило, легше описати процес, якщо вiн не дуже змiнюється упродовж часу.Кажуть, що процес має незалежнi прирости, якщо в.в. Xt−Xs i Xu−Xv є незалежними для будь-яких

s < t ≤ v < u.Ця властивiсть вказує на те, що прирости процесу в одному промiжку часу не залежать вiд приростiв

процесу в iншому, що не перетинається з ним, промiжку.Кажуть, що процес має стацiонарнi прирости, якщо розподiл Xt−Xs залежить лише вiд рiзницi t− s.Ця властивiсть означає, що прирости не залежать вiд конкретного моменту часу. Iншими словами,

спостерiгаючи за приростами процесу, ви не можете сказати, у який момент часу вони вiдбувалися.

5 10 15t

500

1000

1500

St

5 10 15t

500

1000

1500

St

a) б)

Рис. 12. Процес загальних втрат St: а) неперервний; б) дискретний

Бiльшiсть органiзацiй, веде не постiйний монiторинг їхнього стану. Тому доцiльно буде розглядатитакий вид процесiв.

Дискретний процес позначають через Хt; t = 0, 1, 2 . . . . Якщо вiн мiстить випадковi елементи, доситьвказати сумiсний розподiл (Xt1 , . . . , Xtn) для цiлих ti та всiх n.

Дискретний процес може бути отриманим iз неперервного процесу, просто записуючи значення Xt уцiлi моменти часу. У цьому роздiлi всi процеси з дискретним часом вимiрюватимуть в кiнцi кожного перiодуспостереження, наприклад, мiсяця, кварталу або року.

Приклад 10.1.2. (приклад 6.1 продовження) Перетворiть процес у дискретний час зi стацiонарними,незалежними приростами.

Розв’язання. Нехай X1, X2, . . . вiдображають загальнi втрати за кожен перiод, причому в.в. Xjн.о.р., i кожен Xj має складний розподiл. Тодi загальний процес втрат матиме вигляд St = X1 +X2+ · · ·+Xt. Цей процес має стацiонарнi прирости, оскiльки прирiст St−Ss = Xs+1+Xs+2+ · · ·+Xtзалежить тiльки вiд кiлькостi Xj, яка дорiвнює t − s. Приклад такого процесу зображено на рис.12, б).

135

10.2. Модель у страхуваннiВищенаведенi приклади вже, загалом, проiлюстрували модель, яку ми будемо використовувати для

страхового процесу. Нас цiкавитеме процес залишкiв Ut, t ≥ 0 (або, можливо, його дискретний варiантUt, t = 0, 1, 2, . . . , який вимiрює величину, що залишається в портфелi на момент часу t. Ми починаємо внульовий момент часу з початковим залишком (капiталом) u = U0.

Залишок в момент часу t становить

Ut = U0 + Pt − St,

де Pt, t ≥ 0 – це процес надходження премiй, який пiдраховує величину всiх премiй (за вирахуваннямвитрат), зiбраних до моменту t i St, t ≥ 0 – це процес втрат, який пiдраховує всi витрати, сплаченi намомент t. Зауважимо, що

1) Pt може вiдображати записанi або заробленi премiї.

2) St може вiдображати сплаченi або заявленi збитки.

3) Pt може залежати вiд Su при u < t. Наприклад, величина дивiдендiв, яка ґрунтується на помiрних втратахминулих рокiв, може призвести до зниження поточної премiї.

Можливо, хоча й не обов’язково, вiдокремити частотну компоненту St. Нехай Nt, t ≥ 0 – процес вимог,який записує кiлькiсть позовiв на момент часу t. Тодi St = X1+X2+· · ·+XNt

. Якщо послiдовнiсть X1, X2, . . .складається з однаково розподiлених в.в., хоч це й необов’язково мусить бути так, i вони не залежать вiдусiх Nt, тодi St матиме складний розподiл.

Тепер розглянемо два особливих випадки процесу залишкiв.

10.2.1. Модель iз дискретним часом

Нехай прирiст у процесi залишкiв за t-ий рiк визначено так:

Wt = Pt − Pt−1 − St + St−1, t = 1, 2, . . . .

Тодi залишки можна подати у виглядi

Ut = Ut−1 +Wt, t = 1, 2, . . . .

Iз цього представлення вiдносно легко дiзнатися про розподiл Ut, t = 0, 1, 2, . . . за умови, що випадковавеличина Wt не залежить вiд iнших в.в. Wt, а залежить лише вiд Ut−1.

Залежнiсть Wt вiд Ut−1 дозволяє виплачувати дивiденди вiдповiдно до залишку на кiнець попередньогороку (бо Wt залежить вiд Pt).

10.2.2. Неперервна модель

У бiльшостi випадкiв дуже важко аналiзувати неперервнi моделi, тому що треба визначити сумiснийрозподiл у будь-який момент часу, а не лише для скiнченної множини моментiв. Одна iз моделей, яка буладобре проаналiзована – складний процес Пуассона надходження вимог, у якому премiї надходять зi сталоюнеперервною невипадковою iнтенсивнiстю

Pt = (1 + θ)E(S1)t

i загальним процесом втратSt = X1 +X2 + · · ·+XNt

,де Nt, t ≥ 0 – пуассонiвський процес. Цей процес докладно розглянуто в роздiлi 5.

Досить зараз вiдзначити, що кiлькiсть втрат за будь-який перiод має розподiл Пуассона iз середнiм,пропорцiйним тривалостi перiоду часу.

Оскiльки цi моделi є важчими для розрахункiв, кiлька параграфiв iз цього роздiлу буде присвячено їханалiзуванню.

10.2.3. Банкрутство

Основна мета побудови моделi процесу є оцiнка виживання портфеля з плином часу. Iмовiрнiсть вижи-вання може бути визначена чотирма рiзними способами.

(1) Iмовiрнiсть виживання для неперевного часу й нескiнченого горизонту визначають так:

φ(u) = P(Ut ≥ 0 для всiх t ≥ 0|U0 = u). (10.1)

Тут ми постiйно перевiряємо залишок i вимагаємо, щоб портфель завжди був платоспроможним. Обидвiвимоги: неперевне перевiряння та “вiчнiсть” портфелю є нереалiстичними. На практицi, iмовiрнiше, приростиперевiрятимуть у регулярнi моменти часу. I хоча б нам хотiлося, щоб портфель “жив вiчно”, але постаєзапитання, чи здатна така модель робити прогноз на нескiнченнiсть.

Сформулюємо таке визначення.

(2) Iмовiрнiсть виживання для дискретного часу i скiнченного горизонту визначають, як

φ(u, τ) = P(Ut ≥ 0 для всiх t = 0, 1, . . . , τ |U0 = u). (10.2)

У цьому випадку нашому портфелю необхiдно не набувати вiд’ємних значень протягом τ перiодiв (як пра-вило, рокiв), i ми робимо перевiрку лише в кiнцi кожного перiоду.

Видiлимо з наведених визначень два промiжнi випадки.

136

(3) Iмовiрнiсть виживання для неперевного часу i скiнченного горизонту визначають, як

φ(u, τ) = P(Ut) ≥ 0 для всiх 0 ≤ t ≤ τ |U0 = u), (10.3)

(4) а ймовiрнiсть виживання для дискретного часу й нескiнченного горизонту – як

φ(u) = P(Ut ≥ 0 для всiх t = 0, 1, . . . |U0 = u). (10.4)

Очевидно, що мають мiсце такi нерiвностi:

φ(u, τ) ≥ φ(u) ≥ φ(u)

iφ(u, τ) ≥ φ(u, τ) ≥ φ(u),

та граничнi переходи:limτ→∞

φ(u, τ) = φ(u)

ilimτ→∞

φ(u, τ) = φ(u).

Нарештi, визначимо ймовiрнiсть банкрутства.Iмовiрнiсть банкрутства в неперервному часi з нескiнченним горизонтом визначають, як

ψ(u) = 1− φ(u).

Iншi три ймовiрностi банкрутства визначають i записують аналогiчно.

10.3. Ймовiрнiсть банкрутства в дискретному скiнченому часi10.3.1. Процеси з дискретним часом

Нехай Pt – це премiї, зiбранi за t-ий перiод часу, а St – виплати, здiйсненi протягом цього перiоду. Додамоодне узагальнення. Нехай Ct будуть будь-якими iншими грошовими потоками, нiж збирання страхових премiйi виплачування збиткiв.

Найважливiшим є грошовий потiк доходу вiд iнвестування залишку, наявного на початку кожногоперiоду. Тодi залишок на кiнець кожного перiоду має вигляд

Ut = u+

t∑

j=1

(Pj + Cj − Sj) = Ut−1 + Pt + Ct − St (10.5)

Останнє припущення полягає в тому, що за даного значення Ut−1 в.в. Wt = Pt+Ct−St залежить лишевiд Ut−1, а не вiд будь-якого iншого попереднього стану процесу. Ця особливiсть робить Ut; t = 1, 2, . . . маркiвським процесом.

Для оцiнки ймовiрностi банкрутства, розглянемо другий процес який визначається наступним чином.Спершу визначимо

W ∗t =

0, U∗

t−1 < 0Wt, U∗

t−1 ≥ 0(10.6)

iU∗t = U∗

t−1 +W ∗t , (10.7)

де новий процес стартує з U∗0 = u. В цьому випадку ймовiрнiсть виживання для скiнченного горизонту

дорiвнюєφ(u, τ) = P(U∗

τ ≥ 0).Пiсля цього досить перевiрити U∗

t в момент часу τ , оскiльки в разi банкрутства йому не дозволяють набутиневiд’ємних значень. Наступний приклад iлюструє це.

Приклад 10.3.1. Розглянемо процес з початковим залишком 2,i фiксованою щорiчною премiєю 3, атакож витратами 0 або 6 з iмовiрнiстю 0,6 i 0,4 вiдповiдно. Нiяких iнших грошових потокiв в цьому прикладiне передбачено. Визначити φ(2, 2).

Розв’язання. U1 може набувати тiльки двох значень: 5 i −1 з iмовiрностями 0,6 i 0,4. У кожномуроцi, Wt набуває значень 3 i −3 з iмовiрностями 0,6 i 0,4. Для 2-го року, є чотири можливi шляхирозвитку подiй цього процесу, якi наведено в таблицi нижче.

Випадок U1 W2 W ∗2 U∗

2 Ймовiрнiсть1 5 3 3 8 0, 362 5 −3 −3 2 0, 243 −1 3 0 −1 0, 244 −1 −3 0 −1 0, 16

Отже, φ(2, 2) = 0, 36 + 0, 24 = 0, 60. Зазначимо, що, продовжуючи для U2 процес у випадках 3 i 4,отримаємо значення 2 i −4. Але наш процес не може вiдновитися пiсля банкрутства, а тому втретьому випадку має зберiгатися вiд’ємне значення.

137

10.4. Обчислення ймовiрностi банкрутстваIснують три способи для обчислення ймовiрностi банкрутства. Один iз способiв, який завжди доступний

– це моделювання. Так само, як може бути змодельований сумарний розподiл витрат, можна змоделювати iпроцес залишкiв. Для дуже складних моделей (наприклад, для медичного страхування, яке включає госпi-талiзацiю, виписанi лiки, вiдвiдування пацiєнтiв, а також i випадкову iнфляцiю, вiдсотковi ставки та рiвнiутилiзацiї), такий шлях може виявитися єдиним. Для бiльш скромних налаштувань iншi два методи даютьгарнi результати.

10.4.1. Метод згорток

Для практичного застосування цього методу розподiл всiх в.в. має бути дискретним зi скiнченнимносiєм. Якщо це не так, то повиннi бути побудованi деякi дискретнi наближення. Обчислення роблятьсярекурсивно, використовуючи (10.6)–(10.7). Для простоти позначень, припустимо, що ми отримали законрозподiлу U∗

t−1. Тодi ймовiрнiсть банкрутства

ψ(u, t− 1) = P(U∗t−1 < 0),

а розподiл невiд’ємних залишкiвfj = P(U∗

t−1 = uj), j = 1, 2, . . . , n,де uj ≥ 0 для всiх j, un є максимальним можливим значенням U∗

t−1. Ми припустили, що для кожногододатного значення U∗

t−1 розподiл Wt вiдомий. Нехай gj,k = P(Wt = wj,k|U∗t−1 = uj). Залишимо вiдкритою

можливiсть того, що значення Wt можуть залежати вiд uj . Тепер можна обчислити ймовiрностi U∗t через

згортку. Спершу визначимо

ψ(u, t) = ψ(u, t− 1) + P(Ut−1)∗ ≥ 0 та Ut−1)

∗ +Wt < 0)

= ψ(u, t− 1) +

n∑

j=1

P(Ut−1)∗ +Wt < 0|Ut−1)

∗ = uj)P(U∗t−1 = uj)

= ψ(u, t− 1) +

n∑

j=1

P(uj) +Wt < 0|Ut−1)∗ = uj)fj

= ψ(u, t− 1) +

n∑

j=1

∑

wj,k<−uj

gj,kfj .

Тодi,P(U∗

t = x) = P(U∗t ≥ 0 та U∗

t−1 +Wt = x

=n∑

j=1

P(U∗t−1 ≥ 0 та U∗

t−1 +Wt = x|U∗t−1 = uj)P(U

∗t−1 = uj)

=

n∑

j=1

P(uj +Wt = x|U∗t−1 = uj)fj

n∑

j=1

∑

wj,k+uj=x

gj,kfj .

Розглянемо такий приклад.

Приклад 10.4.1. Припустимо, що щорiчнi втрати можуть набувати значень 0, 2, 4 i 6 з iмовiрностями0,4, 0,3, 0,2 i 0,1 вiдповiдно. Далi припустимо, що початковий залишок дорiвнює 2, а премiю завбiльшки2,5 збирають на початку кожного року. Вiдсоткову прибуток у 10% отримують вiд будь-якого залишку,доступного на початку року, оскiльки виплати здiйснюють в кiнцi кожного року. Крiм того, у будь-який рiк,у якому немає втрат, нараховують знижку в розмiрi 0,5. Визначити ймовiрнiсть виживання в кiнцi кожногоз перших двох рокiв.

Розв’язання. Насамперед зауважимо, що знижку не може бути застосовано до премiї в насту-пному роцi, оскiльки для цього, треба не лише починати рiк, знаючи величину залишку, а й знати,чи буде знижку нараховано.

У нульовий момент часу ψ(2, 0) = 0 i f1 = P(U∗0 = 2) = 1. Можливi значення w1,k, наведе-

но в таблицi 6.1 разом з iмовiрностями. Наприклад, значення w1,1 отримано на основi премiї 2, 5,вiдсоткiв 0, 45 (на залишок пiсля збору премiї), виплати рiвнi 0, i знижка 0,5.

Таблиця 6.1. w i g для прикладу 10.4.1

k w1,k g1,k1 2, 45 0, 42 0, 95 0, 33 −1, 05 0, 24 −3, 05 0, 1

138

Для оцiнки ψ(2, 1), зауважимо, що єдине значення w1,k, менше за u1 = −2, це w1,4, а томуψ(2, 1) = 0, 1. Неважко бачити, що єдине значення , яке матиме додатну ймовiрнiсть, дорiвнює2 + w1,k. Звiдси отримуємо значення розподiлу U∗

1 , якi наведено в таблицi 6.2.

Таблиця 6.2. U∗1 для прикладу 10.4.1

j uj fj1 0, 95 0, 22 2, 95 0, 33 4, 45 0, 4

Остання ймовiрнiсть дорiвнює P(U∗1 = −1, 05) = 0, 1.

Один iз способiв подання другого року є побудова таблицi, яка мiстить усi комбiнацiї uj i wj,k.У таблицi 6.3 записано значення uj + wj, k та gj,k.

Таблиця 6.3 u+ w та g для прикладу 10.4.1

j uj fj 1 2 3 41 0, 95 0, 2 3, 295; 0, 4 1, 795; 0, 3 −0, 205; 0, 2 −2, 205; 0, 12 2, 95 0, 3 5, 495; 0, 4 3, 995; 0, 3 1, 995; 0, 2 −0, 005; 0, 13 4, 45 0, 4 7, 145; 0, 4 5, 645; 0, 3 3, 645; 0, 2 1, 645; 0, 1

Сумiсна ймовiрнiсть для будь-якої клiтинки є добутком fj з вiдповiдного рядка на ймовiрнiстьу цiй клiтинцi. Додавання до ψ(2, 1) дає ймовiрнiсть для всiх клiтинок таблицi з вiд’ємними значе-ннями, тобто

ψ(2, 2) = 0, 1 + 0, 2(0, 2) + 0, 2(0, 1) + 0, 3(0, 1) = 0, 19.Повторнi значення для wi,k вiдсутнi, тому найкраще, що можна зробити, це впорядкувати значенняi перепозначити їх як новi uj на початку третього року. Їх наведено в таблицi 6.4.

Таблиця 6.4 u для прикладу 10.4.1

j uj fj

1 1, 645 0, 042 1, 795 0, 063 1, 995 0, 064 3, 295 0, 085 3, 695 0, 086 3, 995 0, 097 5, 495 0, 128 5, 645 0, 129 7, 145 0, 16

Сума всiх iмовiрностей становить 0, 81 – доповнення до ψ(2, 2). За визначенням, решта 0, 19вiдповiдає подiї U∗

2 < 0.

10.4.2. Метод iнверсiї

Однiєю iз сильних сторiн методу iнверсiї є те, що процес обчислення згортки зводиться до кiлькох опе-рацiй множення. Це справедливо за умови, що в.в. незалежнi. У нашому випадку це означає, що значенняWt не залежить вiд Ut−1. Використаємо iнший пiдхiд для вiдстеження банкрутства (ранiше було використа-но заморожування величини U∗

t пiсля банкруства). Цей пiдхiд також може бути застосований i до методузгортки.

Нехай U∗∗t i Ut визначенi при Ut ≥ 0. В кiнцi кожного перiоду всi ймовiрностi, що вiдповiдають бан-

крутству, перерозподiляють серед невiд’ємних залишкiв. Послiдовний аналiз має такий вигляд.

1. Визначають ϕ1,t(z) = E(eizU∗∗

t−1) – характеристичну функцiю U∗∗t−1.

2. Визначають ϕ2,t(z) = E(eizWt) – характеристичну функцiю Wt.

3. Тодi ϕ3,t(z) = ϕ1,t(z) · ϕ2,t(z) – це характеристична функцiя суми U∗∗t−1 +Wt.

4. Використовуючи iнверсiю (обернене перетворення Фур’є), визначають щiльнiсть f1(u) суми U∗∗t−1 +Wt.

5. Позначимо через rt = P(U∗∗t−1 +Wt < 0) iмовiрнiсть банкрутства в момент часу t за умови виживання в

момент часу t− 1. Тодi f∗∗t (u) = ft(u)/(1− rt) при u ≥ 0 – щiльнiсть в.в. U∗∗t .

139

6. Iмовiрнiсть банкрутства в момент часу t дорiвнює ψ(u, t) = ψ(u, t− 1) + rt[1− ψ(u, t− 1)].

Зауважимо, що щiльнiсть розподiлу U1 можна отримати безпосередньо з рiвностi U1 = u+W1.

Приклад 10.4.2. Сукупнi витрати на один рiк складають 0, 2, 4 або 6 з ймовiрностями 0,4, 0,3, 0,2 i 0,1вiдповiдно. Премiї в розмiрi 2,5 надходять на початку року, i початкове значення 2. Позначимо ймовiрнiстьбанкрутства протягом перших двох рокiв з використанням перетворення Фур’є (FFT).

Щiльнiсть Wt - протягом усiх рокiв наведена в таблицi 6.6 При початковому значенi 2, легко отриматирозподiл U1. Вiн наведений в таблицi 6.7

Це дає змогу записати оцiнку ψ(2, 1) = 0, 1 i розподiл U∗∗1 , який наведений в таблицi 6.8 Для того, щоб

FFT працював в простiй формi, необхiдно щоб всi суми, були не вiд’ємними. Цього можна досягти шляхомдодавання 3,5 до кожної змiнної.

Таблиця 6.6 щiльнiсть Wt для прикладу 6.6

w Pr(W = u)

-3,5 0,1-1,5 0,20,5 0,32,5 0,4

Таблиця 6.7 щiльнiсть U1 для прикладу 6.6

u Pr(U1 = u)

-1,5 0,10,5 0,22,5 0,34,5 0,4

Зсуви розподiлу наведенi у другiй i третiй колонках таблицi 6.9. Передбачаючи, що зсув U∗∗1 +W2 буде

приймати значення вiд 0 до 14 з кроком 2, можна помiтити, що 8 значень не можуть бути прийнятi процесом.У таблицi 6.9 четверта i п’ята колонки зображають FFT вiд двох вхiдних змiнних. Вони слiдують з добуткудвох характеристичних функцiй. Остання колонка у таблицi щiльнiсть. Звичайно, в цьому випадку ми малитривiальнi перетворення для згортки, таким чином, ми можемо переконатися, що FFT i iнверсiя роблять тещо нам необхiдно. Слiд зазначити, що ймовiрностi в останньому стовпчику змiщенi на 7. Фактичний розподiлсуми наведений в таблицi 6.10. Оскiльки 9/90 = 1/10 ймовiрнiсть пов’язана з вiд’ємними значеннями i тодiψ(2, 2) = 0, 1 + 0.9(0, 1) = 0, 19. Умовний розподiл U∗∗

2 наведений в таблицi 6.10.

Таблиця 6.8 щiльнiсть U∗∗1 для прикладу 6.6

u Pr(U∗∗1 = u)

0,5 2/92,5 3 /94,5 4 /9

Таблиця 6.10 розподiл залишкiв пiсля 2-ох рокiв для прикладу 6.6

u Pr(U∗∗1 +W2 = u) Pr(U∗∗

1 = u)

-3 2/90 0-1 7 /90 01 16 /90 16/813 25 /90 25/815 24 /90 24/817 16 /90 16/81

10.5. Неперервна модельУ цiй частинi глави ми повернемося до моделi, в якої розглядаються залишки неперервно протягом часу

на якому визначений процес. Оскiльки цi моделi, як правило, важко аналiзувати, ми почнемо розглядатиiнтервали, на яких кiлькiсть виплат має розподiл Пуассона.

У неперервному випадку знаходимо, що точнi аналiтичнi розв’язки можуть бути отриманi в частковихвипадках – наближеннями, а верхня межа може бути обчислена у багатьох ситуацiях. У цьому роздiлi мирозглянемо процес Пуассона i неперервний пiдхiд до обчислення ймовiрностi банкрутства.

140

10.5.1. Складностi неперервної моделi

За основу моделi для кiлькостi виплат вiзьмемо процес Пуассона. Сформулюємо наступне визначення.Нехай процес числа подiй Nt; t ≥ 0 є процесом Пуассона з iнтенсивнiстю λ. Припустимо, що iнди-

вiдуальнi виплати X1, 2, . . . – н.о.р. невiд’ємнi в.в., незалежнi вiд Nt, iз функцiєю розподiлу F () i середнiмµ < ∞. Нехай St – загальна сума виплат на iнтервалi (0, t]. Вiдповiдно, St = 0, коли Nt = 0 i St =

∑Nt

j=1Xj ,якщо Nt > 0. При фiксованому t St має складний розподiл Пуассона. Процес St; t ≥ 0 назвемо складнимпроцесом Пуассона. Оскiльки Nt; t ≥ 0 – стацiонарний процес iз незалежними приростами, то й St; t ≥ 0має такi самi властивостi. Крiм того, E(St) = E(Nt)E(Xj) = (λt)(µ) = µλt.

Будемо вважати, що премiї сплачуються неперервно зi сталою iнтенсивнiстю в одиницю часу. Це озна-чає, що загальна нетто-премiя за час (0, t] становить ct. Ми iгноруємо вiдсоткову ставку для математичноїпростоти. Припустимо, що нетто-премiї мають невiд’ємне навантаження, тобто ct > E(St), звiдки випливає,що c > λµ. Отже, нехай

c = (1 + θ)λµ, (10.8)де параметр θ > 0 називають вiдносним навантаженням на безпеку.

Пiсля визначення процесу витрат i премiй, можемо перейти до процесу залишкiв. Вiн має вигляд

Ut = U0 + ct− St > 0, t ≥ 0.

10.6. Пiдладжений коефiцiєнт i нерiвнiсть Лундберга

У цьому роздiлi ми визначимо спецiальний параметр, а потiм покажемо, як можна його використатидля отримання верхньої межi величини ψ(u).

10.6.1. Пiдладжений коефiцiєнт

Нехай κ – єдиний додатний розв’язок рiвняння

1 + (1 + θ)µκ = E(eκX). (10.9)

Якщо таке значення iснує, то його називають пiдладженим коефiцiєнтом або коефiцiєнтом Крамера–Лундберга.Щоб побачити, чи може бути розв’язок, розглянемо двi кривi на площинi (t, y): y1(t) = 1 + (1 + θ)µt та

y2(t) = E(etX). Припустимо, що генератриса моментiв iснує для всiх невiд’ємних t. Тодi y′2(t) = E(XetX) > 0i y′′2 (t) = E(X2etX) > 0. Оскiльки y1(0) = y2(0) = 1, то двi кривi перетинаються при t = 0. Але

y′2(0) = E(X) = µ < (1 + θ)µ = y′1(0).

Таким чином, зi зростанням t, починаючи вiд 0, функцiя y2(t) спочатку лежить нижче y1(t), але оскiлькиy′2(t) > 0 i y′′2 (t) > 0, зрештою y2(t) перетне y1(t) в точцi κ > 0.

Зауважимо, що рiвняння (10.9) може не мати додатних розв’язкiв. Наприклад, якщо розподiл iндивi-дуальних втрат не має генератриси моментiв (розподiл Парето, логнормальний та iн.).

Приклад 10.6.1. (Експоненцiйний розподiл) Нехай X має експоненцiйний розподiл iз середнiм µ. Визна-чте пiдладжений коефiцiєнт.

Розв’язання. Отже, маємо F () = 1− e−x/µ, x > 0. Тодi E(etX) = (1− µt)−1, t < 1/µ. Таким чином,з рiвностi (10.9) маємо рiвняння

1 + (1 + θ)µκ = (1− µκ)−1. (10.10)

Як i передбачалося, κ = 0 є одним iз розв’язкiв, додатний розв’язок дорiвнює κ = θ/[µ(1 + θ)]. Графiкна рис. вiдображає лiву i праву частини (10.10), коли θ = 0, 2 i µ = 1. Вони перетинаються в точцi0 i в точцi, рiвнiй пiдладженому коефiцiєнтi κ = 0, 2/1, 2 = 0, 1667.

Приклад 10.6.2. (Гамма-розподiл) Припустимо, що θ = 2, а величини iндивiдуальних позовiв маютьгамма-розподiл iз параметрами α = 2 та β. Визначити пiдладжений коефiцiєнт.

Розв’язання. Запишемо щiльнiсть

f(x) = β−2xe−x/β , x > 0.

Для гамма-розподiлу µ = 2β i

E(etX) =

∞w

0

etxf(x)dx = (1− βt)−2, βt < 1.

Тодi з (10.9) отримуємо рiвнiсть1 + 6κβ = (1− βκ)

−2,

яку можна переписати у виглядi

6β3κ3 − 11β2κ2 + 4βκ = 0.

Отриманий виразлегко розкласти на множники

κβ(2κβ − 1)(3κβ − 4) = 0.

141

Пiдладжений коефiцiєнт – це єдиний корiнь, який задовольняє початкове рiвняння, а саме κ = 1/(2β).Бiльший корiнь 4/(3β) треба вiдкинути, оскiльки генератриса моментiв iснує лише для значень,менших за 1/β.

У загальному випадку для довiльного розподiлу iндивiдуальних втрат неможливо знайти явний вигляд пiд-ладженого коефiцiєнта так, як це було зроблено у двох попереднiх прикладах. Зазвичай для розв’язання(10.9) застосовують чисельнi методи, багато з яких вимагають початкове припущення про значення κ. Щобзнайти таке значення, запишемо

1 + (1 + θ)µκ = E(eκX) = E(1 + κX + κ2X2/2 + . . . )

> E(1 + κX + κ2X2/2) = E(1 + kµ+ k2E(X2)/2).Вiднявши 1 з обох частин нерiвностi i роздiливши на κ, отримаємо нерiвнiсть

k <2θµ

EX2. (10.11)

Права частина (10.11) зазвичай є задовiльним початковим значення для κ. Iншi нерiвностi для κ наведеноу вправах.

Приклад 10.6.3. Припустимо, що загальнi втрати – це в.в. з дисперсiєю, що втричi бiльша за середнє.Знайти межу для пiдладженого коефiцiєнта.

Розв’язання. Для складного розподiлу Пуассона E(St) = µλt, D(St) = λtEX2, звiдки E(X2) = 3µ.Таким чином, з (10.11) випливає, що κ < 2θ/3.

ВизначимоH(t) = 1 + (1 + θ)µt− EetX . (10.12)

Тодi пiдладжений коефiцiєнт κ > 0 задовольняє H(κ) = 0. Для знаходження розв’язкiв цього рiвняннявикористаємо метод Ньютона–Рафсона

κj+1 = κj −H(κj)

H ′(κj),

деH ′(t) = (1 + θ)µ− E(XetX),

стартуючи з початковим значенням κ0. Оскiльки H(0) = 0, треба слiдкувати, щоб шукане значення незбiгалося до 0. Також зауважимо, що може бути простiше отримати E(XetX), диференцiюючи генератрисумоментiв, нiж обчислити очiкуване значення.

Приклад 10.6.4. Нехай iнтенсивнiсть в процесi Пуассона λ = 4 i ставка премiї c = 7. Далi припустимо,що розподiл суми витрат задано так

P(X = 1) = 0, 6,P(X = 2) = 0, 4.

Визначити пiдладжений коефiцiєнт.

Розв’язання. Маємоµ = EX = 1 · 0, 6 + 2 · 0, 4 = 1, 4

iEX2 = 12 · 0, 6 + 22 · 0, 4 = 2, 2.

Тодi θ = (λµ)−1 − 1 = 75, 6−1 = 0, 25. З (10.11), ми знаємо, що κ повинно бути менше нiж κ0 =

2 · 0, 25 · 1, 4/2, 2 = 0, 3182. Далi,E(etX) = 0, 6et + 0, 4et

та з (10.12)H(t) = 1 + 1, 75t− 0, 6et + 2e2t · 0, 4.

Крiм того,E(XetX) = 0, 6et + 0, 8e2t,

а томуH ′(t) = 1, 75− 0, 6et − 0, 8e2t.

Наше початкове наближення κ0 = 0, 3182. Тодi (κ0) = −0, 02381 i (κ′0) = −0, 5865. Таким чином,

оновленою оцiнкою для κ є

κ1 = 0, 3182− (−0, 02381)/(−0, 5865) = 0, 2776.

Тодi H(0, 2776) = −0, 003091, H ′(0, 2776) = −0, 4358, i κ2 = 0, 2776 − (−0, 003091)/(−0, 4358) = 0, 2705.Продовжуючи далi, обчислимо κ3 = 0, 2703, κ4 = 0, 2703, i, таким чином, пiдладжений коефiцiєнтκ = 0, 2703.

Iснує ще одна форма для рiвняння (10.9), яка буває корисною. Проiнтегрувавши частинами, матимемо∞w

0

eκxdF (x) = −eκx[1− F (x)]∣∣∞0

+ κ

∞w

0

eκx[1− F (x)]dx.

142

Далi

0 ≤ eκx[1− F (x)] = eκx∞w

0

dF (y) ≤∞w

0

eκydF (y)

i limx→∞r ∞xeκydF (y) = 0, бо E(eκX)

r ∞xeκydF (y) <∞. Таким чином, limx→∞

r ∞xeκy[1− dF (y)] = 0 i тому

E(eκX)

∞w

0

eκxdF (x) = 1 + κE(eκX)

∞w

0

eκy[1− dF (x)]dx.

Врахувавши рiвнiсть (10.9), сформулюємо наступне альтернативне визначення для κ:

1 + θ =

∞w

0

eκxfe(x)dx, (10.13)

де щiльнiсть fe(x) дорiвнює

fe(x) =1− F (x)

µ, x > 0. (10.14)

10.6.2. Нерiвнiсть Лундберга

Основне використання пiдладженого коефiцiєнта наведено в такiй теоремi.

Теорема 10.1. Нехай κ > 0 – розв’язок (10.9). Тодi ймовiрнiсть банкрутства ψ(u) задовольняє нерiвнiсть

ψ(u) ≤ e−ku, u ≥ 0. (10.15)

Доведення. Нехай ψn(u) – ймовiрнiсть того, що банкрутство настане не пiзнiше n-ї вимоги для n = 0, 1, 2, ....За допомогою методу математичної iндукцiї за n доведемо таку нерiвнiсть: ψn(u) ≤ e−κu.

Очевидно, що ψ0(u) = 0 ≤ e−κu. Далi припустимо, що ψn(u) ≤ e−κu i нам необхiдно показати, щоψn+1(u) ≤ e−κu. Розглянемо, що трапиться пiсля настання першої вимоги. Час до першої вимоги є експо-ненцiйно розподiленим зi щiльнiстю λe−λt. Якщо позов надходить у момент t > 0, то залишок для оплативимоги в час t буде u+ ct. Тобто банкрутство наступить пiсля першої вимоги, якщо величина капiталу рiвнаu + ct. Ймовiрнiсть настання такої подiї 1 − F (u + ct). Якщо величина вимоги буде x, де 0 ≤ x ≤ u + ct, тобанкрутство не настане пiсля першої вимоги. Пiсля виплати першої вимоги залишок буде u+ ct− x. Звiдсипроцес ризику має стацiонарнi та незалежнi прирости, тобто це те саме, якби процес стартував з початковимкапiталом u+ ct− x та було n вимог. За формулою повної ймовiрностi одержимо рекурcивну рiвнiсть

ψn+1(u) =

∞w

0

[1− F (u+ ct) +

u+ctw

0

ψn(u)dF (x)

]λe−λtdt.

Звiдси, використовуючи припущення iндукцiї та те, що −κ(u+ ct− x) > 0 при x > u+ ct, маємо

ψn+1(u) =

∞w

0

[ ∞w

u+ct

dF (x) +u+ctw

0

ψn(u+ ct− x)dF (x)

]λe−λtdt

≤∞w

0

[ ∞w

u+ct

e−κ(u+ct−x)dF (x) +u+ctw

0

e−κ(u+ct−x)dF (x)

]λe−λtdt.

Додавши внутрiшнi iнтеграли, отримаємо

ψn+1(u) =

∞w

0

[∞w

0

e−κ(u+ct−x)dF (x)

]λe−λtdt

= λe−κu∞w

0

e−κct

[∞w

0

eκxdF (x)

]λe−λtdt

= λe−κu∞w

0

e−(λ+κc)t[E(eκX)

]dt

= λE(eκX)e−u∞w

0

e−(λ+κc)tdt

=λE(eκX)

λ+ κce−κu,

але з (10.9) та (10.8)λE(eκX) = λ[1 + (1 + θ)κµ] = λ+ κ(1 + θ)λµ = λ+ κc,

тобто ψn+1(u) ≤ e−κu.

143

Отже, ми довели, що для довiльного n виконується ψn(u) ≤ e−κu, а також, що

ψ(u) = limn→∞

ψn(u) ≤ e−κu.

Зауважимо, що отриманий результат є дуже важливим, оскiльки може бути використаний для вивченнявзаємодiї мiж рiвнем залишку u та iнтенсивнiстю надходження премiй θ – обох параметрiв, якi контролюєстраховик. Припустимо, що йому потрiбно забезпечити ймовiрнiсть банкрутства α = 0, 01 для вiдомогозалишку u. Тодi навантаження

θ =u

E

[exp

(− logα

u X)]

− 1

−µ logαгарантує, що (10.9) задовiльняється при κ = (− logα)/u

Тодi за теоремою 10.1ψ(u) ≤ e−κu = elogα = α.

Нерiвнiсть (10.15) дозволяє довести такий факт:

ψ(∞) = limu→∞

ψ(u) = 0. (10.16)

Оскiльки ψ(u) – це ймовiрнiсть, то0 ≤ ψ(u) ≤ e−κu, (10.17)

i тому0 ≤ lim

u→∞ψ(u) ≤ lim

u→∞e−κu = 0,

що доводить рiвнiсть (10.15). Тодi ймовiрнiсть виживання, тобто ймовiрнiсть того, що банкрутство не настане,дорiвнює

φ(∞) = 1. (10.18)

10.7. Iнтегрально-диференцiйне рiвнянняОтже, ми знайшли явну формулу для оцiнки ймовiрностi настання банкрутства. Цей результат можна

використати для оцiнки бiльш загальної функцiї.Позначимо через G(u, y) ймовiрнiсть того, банкрутство настає за умови, що початковий капiтал рiвний

u, а дефiцит одразу пiсля настання банкрутства не перевищує y, u ≥ 0, y ≥ 0.Таким чином, залишок зразу пiсля настання банкрутства лежить мiж 0 та y. Тодi

ψ(u) = limy→∞

G(u, y), u ≥ 0. (10.19)

Маємо такий результат.

Теорема 10.2. G(u, y) задовiльняє рiвняння

∂

∂uG(u, y) =

λ

cG(u, y)− λ

c

uw

0

G(u− x, y)dF (x)− λ

c[F (u+ y)− F (u)] , u ≥ 0. (10.20)

Доведення. Розглянемо, що станеться в першi h одиниць часу, де h мале. Оскiльки кiлькiсть вимог є пуа-сcонiвським процесом, то трапиться 0 чи 1 вимога (ймовiрнiсть того, що буде бiльше одної вимоги дорiвнюєo(h)). Якщо не трапиться жодної вимоги (з iмовiрнiстю 1 − λh (плюс o(h))), тодi зi стацiонарностi й неза-лежностi приростiв, банкрутство з дефiцитом, що не перевищує y, настане з iмовiрнiстю G(u+ ch, y). Якщонадходить вимога на суму x, де 0 ≤ x ≤ u+ ch, банкрутство з дефiцитом, що не перевищує y, ще не настало,але може настати згодом з iмовiрнiстю G(u + ch − x, y), якщо ж u + ch < x ≤ u + ch + y, банкрутство на-стане iз дефiцитом не бiльше нiж y (коли x > u+ ch+ y дефiцит перевищить y). Отже, за формулою повноїймовiрностi

G(u, y) = (1− λh)G(u+ ch, y) + λh

u+chw

0

G(u+ ch− x, y)dF (x)+

+λh [F (u+ ch+ y)− F (u+ ch)] + o(h).Це можна переписати у виглядi

cG(u+ ch, y)−G(u, y)

ch= λG(u+ ch, y)− λ

uw

0

G(u+ ch− x, y)dF (x)− λ [F (u+ ch+ y)− F (u+ ch)] +o(h)

h.

Нехай h→ 0, тодi, подiливши на c, отримаємо

∂

∂uG(u, y) =

λ

cG(u, y)− λ

c

uw

0

G(u− x, y)dF (x)− λ

c[F (u+ y)− F (u)] .

Визначимо явну формулу для G(0, y).

Теорема 10.3. G(0, y) задовiльняє рiвняння

G(0, y) =λ

c

yw

0

(1− F (x))dx, y ≥ 0. (10.21)

144

Доведення. Спочатку зауважимо, що

0 ≤ G(u, y) ≤ ψ(u) ≤ e−κu.

Спрямувавши u→ ∞, отримаємо 0 ≤ G(∞, y) = 0. Також∞w

0

G(u, y)du ≤∞w

0

e−κudu = κ−1 <∞.

Нехай τ(y) =r ∞0G(u, y)du, i ми знаємо, що 0 < τ(y) < ∞. Тодi, проiнтегрувавши (10.20) по u вiд 0 до

∞ та врахувавши вищевикладенi результати, отримаємо

G(0, y) = −λcτ(y) +

λ

c

∞w

0

uw

0

G(u− x, y)dF (x)du+λ

c

∞w

0

[F (u+ y)− F (u)] du.

Змiнивши порядок iнтегрування в подвiйному iнтегралi, отримаємо

G(0, y) = −λcτ(y) +

λ

c

∞w

0

∞w

x

G(u− x, y)dudF (x) +λ

c

∞w

0

[F (u+ y)− F (u)] du

Змiнивши змiнну iнтегрування u на v = u− x в подвiйному iнтегралi, матимемо

G(0, y) = −λcτ(y) +

λ

c

∞w

0

∞w

0

G(v, y)dvdF (x) +λ

c

∞w

0

[F (u+ y)− F (u)] du

= −λcτ(y) +

λ

c

∞w

0

τ(y)dF (x) +λ

c

∞w

0

[F (u+ y)− F (u)] du

Оскiлькиr ∞0

dF (x) = 1, отримаємо

G(0, y) =λ

c

∞w

0

[F (u+ y)− F (u)] du

=λ

c

∞w

0

[1− F (u)] du− λ

c

∞w

0

[1− F (u+ y)] du.

Тодi, змiнивши змiнну iнтегрування в першому iнтегралi u на x = u, а в другому u на x = u + y,отримаємо

G(0, y) =λ

c

∞w

0

[1− F (x)] dx− λ

c

∞w

y

[1− F (x)] dx =λ

c

yw

0

[1− F (x)] dx.

Зауважимо, що (10.21) справедливе, навiть якщо пiдладжений коефiцiєнт не iснує. До вивчення вла-стивостей функцiї G(0, y) ми повернемось пiзнiше, а зараз розглянемо декiлька спiввiдношень для функцiїφ(u).

Теорема 10.4. Ймовiрнiсть виживання без початкового капiталу

φ(0) =θ

1 + θ. (10.22)

Доведення. Нагадаємо, що µ =r ∞0

[1− F (x)] dx та скористаємось рiвнiстю (10.21).

ψ(0) = limy→∞

G(0, y) =λ

c

∞w

0

[1− F (x)] dx =λµ

c=

1

1 + θ.

Звiдси φ(0) = 1− ψ(0) = θ/(1 + θ).

Теорема 10.5. Ймовiрнiсть остаточного виживання φ(u) задовiльняє таке рiвняння

φ′(u) =λ

cφ(u)− λ

c

uw

0

φ(u− x)dF (x), u ≥ 0. (10.23)

Доведення. З (10.20) при y → ∞ та (10.19)

ψ′(u) =λ

cψ(u)− λ

c

uw

0

ψ(u− x)dF (x)− λ

c[1− F (u)] , u ≥ 0. (10.24)

145

У термiнах ймовiрностi виживання φ(u) = 1− ψ(u), (10.24) може бути переписано

−φ′(u) = λ

c[1− φ(u)]− λ

c

uw

0

[1− φ(u− x)] dF (x)− λ

c[1− F (u)]

= −λcφ(u)− λ

c

uw

0

dF (x) +λ

c

uw

0

φ(u− x)dF (x) +λ

cF (u)

= −λcφ(u) +

λ

c

uw

0

φ(u− x)dF (x),

що i потрiбно було довести.

10.8. Аналiтичний пiдхiд до оцiнювання певних розподiлiв величини вимогУ цьому роздiлi ми одержимо аналiтичнi вирази для ймовiрностi банкрутства. Для цього нам потрiбно

виключити iнтегрування з правої частини (10.23). У цьому випадку ми отримаємо диференцiйне рiвняння,яке легше буде розв’язати нiж iнтегрально-диференцiйне. Вищесказане можливо зробити для випадку, колив нас вiдомий розподiл кiлькiстi всiх вимог, якi надiйдуть.

Приклад 10.8.1. (Експоненцiйний розподiл) Припустимо, що в прикладi 10.6.1 F (x) = 1− e−x/µ, x > 0.Визначити φ(u).

Розв’язання. У цьому випадку (10.23) набуває вигляду

φ′(u) =λ

cφ(u)− λ

µc

uw

0

φ(u− x)e−x/µdx.

Змiнивши змiнну iнтегрування з x на y = u− x, отримаємо

φ′(u) =λ

cφ(u)− λ

µce−u/µ

uw

0

φ(y)ey/µdy. (10.25)

Щоб позбавитися iнтегрування в цiй рiвностi, продиференцiюємо її по u.

φ′′(u) =λ

cφ′(u) +

λ

µ2ce−u/µ

uw

0

φ(y)ey/µdy − λ

µcφ(u).

Виразивши iнтеграл iз (10.25) i пiдставивши в останню рiвнiсть, одержимо

φ′′(u) =λ

cφ′(u)− λ

µcφ(u) +

1

µ

[λ

cφ(u)− φ′(u)

].

Спростивши її i роздiливши на φ′(u), отримаємо

φ′′(u)

φ′(u)=

(λ

c− 1

µ

)= − θ

µ(1 + θ).

Проiнтегруємо по u, матимемо

log φ′(u) =θµ

µ(1 + θ)+K1.

Скористаємось (10.25) та (10.22) за умови u = 0.

φ′(0) =λ

c

θ

1 + θ=

λ

λµ(1 + θ

θ

1 + θ

=θ

µ(1 + θ)2.

Звiдси

K1 = log

[θ

µ(1 + θ)2

].

Тодi

φ′(u) = θ

µ(1 + θ)2exp

[− θu

µ(1 + θ)

].

Проiнтегруємо по u. Тодi

φ(u) = − 1

1 + θexp

[− θu

µ(1 + θ)

]+K2.

Використавши (10.22), отримаємо φ(0) = θ/(1 + θ), звiдси K2 = 1. Тому шукана ймовiрнiсть набудевигляду

φ(u) = 1− 1

1 + θexp

[− θu

µ(1 + θ)

].

146

Теорема 10.6. Припустимо, що функцiя k(x) задовiльняє

k′′(x) + bk′(x) + ck(x) = 0. (10.26)

Тодi, якщо квадратне рiвнянняr2 + br + c = 0 (10.27)

має дiйснi, рiзнi коренi r1 та r2, тодi розв’язок (10.26) має вигляд

k(x) = A1er1x +A2e

r2x, (10.28)

де A1 та A2 – довiльнi сталi.

Доведення. Введемо нову функцiю m(x), яка задовiльняє k(x) = er1xm(x). Тодi

k′(x) = r1er1xm(x) + er1xm′(x)

ik′′(x) = r21e

r1xm(x) + 2r1er1xm′(x) + er1xm′′(x).

Пiдставивши в (10.26), отримаємо

0 = er1xm′′(x) + 2r1er1xm′(x) + r21e

r1xm(x)+

+b[er1xm′(x) + r1er1xm(x)] + cer1xm(x).

Подiливши на er1x, отримаємо

0 = m′′(x) + (b+ 2r1)m′(x) + (r21 + br1 + c)m(x). (10.29)

Оскiльки r1 – корiнь рiвняння (10.28), то r2 + br + c = 0, тому коефiцiєнт бiля m(x) зникає. Такожr2 + br + c = (r − r1)(r − r2) = r2 − (r1 + r2)r + r1r2, i тому b = −r1 − r2. Тодi (10.29) можна переписати увиглядi

m′′(x) + (r1 − r2)m′(x) = 0.

Звiдсиm′′(x)/m′(x) = r2 − r1.

Проiнтегрувавши, отримаємоlogm′(x) = (r2 − r1)x+ logC1

чиm′(x) = C1e

(r2−r1)x.Ще раз проiнтегрувавши,

m(x) = A1 +A2e(r2−r1)x,

де A2 = C1(r2 − r1)−1. Оскiльки k(x) = er1xm(x), то отримаємо (10.28).

Для зручностi позначень введемо для довiльного n > 0 функцiю

rn(u) =

uw

0

enuφ(y)dy. (10.30)

Продемонструємо метод розв’язування на прикладi.

Приклад 10.8.2. (Сумiш експоненцiйних розподiлiв) Нехай θ = 4/11 та щiльнiсть розподiлу числа вимог

F ′(x) = e−3x +10

3e−5x, x > 0.

Визначити φ(u).

Розв’язання. У цьому випадку F ′(x) = 13 (3e

−3x) + 23 (5e

−5x) i середнє µ = 13 (

13 ) +

23 (

15 ) = 11/45. Тодi

c/λ = µ(1 + θ) = 1/3.

А (10.23) набуває вигляду

φ′(u) = 3φ(u)− 3

uw

0

φ(u− x)e−3x +10

3e−5xdx == 3φ(u)− 3e−3ur3(u)− 10e−5ur5(u) (10.31)

Тут ми змiнили змiнну iнтегрування з x на y = u − x та використали (10.30). Для того, щобвиключити невiдомi функцiїї r3(u) та r5(u) продиференцiюємо (10.31).

φ′′(u) = 3φ′(u) + 9e−3ur3(u)− 3φ(u) + 50e−5ur5(u)− 10φ(u).

Виключимо 10e−5ur5(u) з останньої рiвностi скориставшись (10.31). Отримаємо

φ′′(u) = 3φ′(u)− 13φ(u) + 9e−3ur3(u)+

+5[−φ′(u) + 3φ(u)− 3e−3ur3(u)]

φ′′(u) = −2φ′(u) + 2φ(u)− 6e−3ur3(u). (10.32)

147

Продиференцiюємо (10.32)

φ′′′(u) = −2φ′′(u) + 2φ′(u) + 18e−3ur3(u)− 6φ(u)

Виразимо 6e−3ur3(u) з (10.32)

φ′′′(u) = −2φ′′(u) + 2φ′(u)− 6φ(u)+

+3[−φ′′(u)− 2φ′(u) + 2φ(u)].Спростивши отримаємо

φ′′′(u) + 5φ′′(u) + 4φ′(u) = 0. (10.33)Рiвняння (10.33) може бути розглянене як рiвняння (10.26) вiдносно функцiїї φ′(u). Коренi

характеристичного рiвняння r2 + 5r + 4 = 0, r1 = −1 та r2 = −4. Тодi

φ′(u) = A1e−u +A2e

−4u. (10.34)Пiдставимо u = 0 в (10.34) та (10.31) та скориставшись (10.22) отримаємо

A1 +A2 = φ′(0) = 3φ(0) = 3θ(1 + θ)−1 = 4/5. (10.35)Проiнтегрувавши (10.34),

φ(u) = A1e−u − (A2/4)e

−4u +A3. (10.36)Але з (10.18) φ(∞) = 1, тому A3 = 1. I пiдставивши в (10.36) u = 0 та скориставшись (10.22),

отримаємо

A1 +A2/4 = 1− φ(0) = (1 + θ)−1 = 11/15. (10.37)

Константи A1 та A2 повиннi задовiльняти (10.35) та (10.37). Тому A1 = 32/45 i A2 = 4/45.Тодi (10.36) набуде вигляду

φ(u) = 1− 32

45e−u − 1

45e−4u, u ≥ 0.

Приклад 10.8.3. (Гама-розподiл) Як i в прикладi 10.6.2 , припустимо, що θ = 2 i щiльнiсть розподiлукiлькостi вимог

F ′(x) = β−2xe−x/β , x > 0Визначимо φ(u).

Розв’язання. Середнє µ = 2β i c/λ = µ(1 + θ) = 6β. Тодi (10.23) набуде вигляду

6βφ′(u) = φ(u)− β−2uw

0

φ(u− x)xe−x/βdx. (10.38)

Змiнимо змiнну iнтегрування з x на y = u− x

uw

0

φ(u− x)xe−x/βdx = eu/βuw

0

φ(y)(u− y)e−y/βdy.

Проiнтегруємо по частинам i скористаємось (10.30)

uw

0

φ(y)(u− y)e−y/βdy = (u− y)r1/β(y)|uy=0 +

uw

0

r1/β(y)dy =

uw

0

r1/β(y)dy.

Тодi (10.38) можна переписати у виглядi

6βφ′(u) = φ(u)− β−2e−u/βuw

0

r1/β(y)dy. (10.39)

Для виключення з цiєї рiвностi iнтеграла продиференцiюємо її

6βφ′′(u) = φ′(u) + β−3e−u/βuw

0

r1/β(y)dy − β−2e−u/βr1/β(y).

Виразивши β−2e−u/βr u

0r1/β(y)dy, з (10.39) отримаємо

6βφ′′(u) = −5φ′(u) + β−1φ(u)− β−2e−u/βr1/β(u). (10.40)Для того, щоб виключити r1/β(y), продиференцiюємо (10.40)

6βφ′′′(u) = −5φ′′(u) + β−1φ′(u) + β−3e−u/βr1/β(u)− β−2φ(u).

Виразимо beta−2e−u/βr1/β(u) iз (10.40) та одержимо

148

6βφ′′′(u) = −5φ′′(u) + β−1φ′(u)− β−2φ(u)+

+β−1[−6βφ′′(u)− 5φ′(u) + β−1φ(u)].Це можна переписати у виглядi

φ′′′(u) +11

6βφ′′(u) +

2

3β2φ′(u) = 0. (10.41)

Рiвняння (10.41) – це (10.26) вiдносно функцiї φ′(u).Тодi

0 = r2 +11

βr +

2

3β2=

(r +

1

2β

)(r +

4

3β

)

За теоремою 10.6

φ′(u) = A1e−u/(2β) +A2e

−u4/(3β). (10.42)Пiдставимо u = 0 в (10.42) та (10.39) i використаємо (10.22)

A1 +A2 = φ′(0) = φ(0)/(6β) = 1/(9β). (10.43)Проiнтегруємо (10.42)

φ(u) = −2βA1e−u/(2β) +

3

4βA2e

−u4/(3β) +A3 (10.44)

Оскiльки з (10.18) φ(∞) = 1, то A3 = 1. Пiдставивши u = 0 в (10.44) та скориставшись (10.22),отримаємо

2βA1 +3

4βA2 =

1

3. (10.45)

З (10.43) та (10.45) отримаємо A1 = 1/(5β) та A2 = −4/(45β). Тодi

φ(u) = 1− 2

5e−u/(2β) +

1

15e−4u/(3β), u ≥ 0.

В обох прикладах основна iдея полягає в тому, що ми виключали iнтегрування за допомогою дифере-нiювання. Ця технiка може бути застосована не тiльки для певного типу щiльностi розподiлу вимог, але iдля комбiнацiй експоненцiйних.

10.8.1. Асимптотчна формула Крамера для ймовiрностi банкрутства

У цьому роздiлi виведено ще декiлька рiвностей для φ(u) за допомогою iнтегрально-диференцiйного рiв-няння, але на вiдмiну вiд попереднього роздiлу будемо його iнтегрувати, а не диференцiювати. Для початкупокажемо, що

tw

0

uw

0

ψ(u− x)dF (x)du =

tw

0

ψ(t− x)F (x)dx. (10.46)

Для початку змiнимо порядок iнтегрування в лiвiй частинi (10.46)

tw

0

uw

0

ψ(u− x)dF (x)du =

tw

0

tw

x

ψ(u− x)dudF (x).

та змiнимо змiнну iнтегрування з u на y = u− x

tw

0

tw

x

ψ(u− x)dudF (x) =tw

0

t−xw

0

ψ(y)dydF (x).

Для зручностi введемо нову функцiю

Λ(x) =

xw

0

ψ(y)dy.

Тодi

tw

0

t−xw

0

ψ(y)dydF (x) =tw

0

Λ(t− x)dF (x).

Проiнтегруємо останню рiвнiсть по частинах

tw

0

Λ(t− x)dF (x) = Λ(t− x)F (x)∣∣∣t

0+

tw

0

ψ(t− x)F (x)dx =

149

=

tw

0

ψ(t− x)F (x)dx,

що i доводить (10.46).Проiнтегруємо (10.24) по u вiд 0 до t та використаємо (10.46) в результатi одержимо

ψ(0)− ψ(t) =λ

c

tw

0

[1− F (u)] du− λ

c

tw

0

ψ(t)dt+λ

c

tw

0

ψ(t− x)F (x)dx.

Перейшовши вiд змiнної u до x в першому iнтегралi та вiд u до x = t− u в другому, одержимо

ψ(t) =λ

c

tw

0

ψ(t− x) [1− F (x)] dx+ ψ(0)− λ

c

tw

0

[1− F (x)] dx.

Зауважимо, що

ψ(0) = (1 + θ)−1 =λµ

c=λ

c

∞w

0

[1− F (x)] dx.

Тодi

ψ(t) =λ

c

tw

0

ψ(t− x) [1− F (x)] dx+λ

c

∞w

t

[1− F (x)] dx. (10.47)

Рiвняння (10.47) має рiзноманiтне застосування. У загальному випадку F (·), його можна розв’язатинаближено для визначення ψ(x), цю проблему ми розглянемо бiльш детально в наступному роздiлi.

Теорема 10.7. Нехай k > 0 задовiльняє (10.9). Тодi ймовiрнiсть банкрутства

ψ(u) ∼ Ce−κu, u→ ∞, (10.48)де

C =θµ

E(XeκX)− µ(1 + θ). (10.49)

Доведення. Для початку доведемо одне допомiжне твердження. Нехай g(x) щiльнiсть додатньої випадковоївелечини, а a(x) задовiльняє рiвняння

a(x) =

xw

0

a(x− y)g(y)dy + b(x), x > 0. (10.50)

Тодi

limx→∞

a(x) =

r ∞0b(y)dyr ∞

0yg(y)dy

. (10.51)

Використавши (10.14), (10.51) можна переписати у виглядi

ψ(t) =1

1 + θ

tw

0

ψ(t− x)fe(x)dx+1

1 + θ

∞w

t

fe(x)dx. (10.52)

Помножимо обидвi частини (10.52) на eκt, отримаємо

ψ∗(t) =tw

0

ψ∗(t− x)g(x)dx+eκt

r ∞tfe(x)dx

1 + θ,

де ψ∗(t) = eκtψ(t) та g(x) = eκtfe(x)/(1 + θ).Тут ψ∗(t) задовiльняє (10.50) з b(t) = eκt

r ∞tfe(x)dx/(1 + θ). Тодi з (10.51)

limx→∞

ψ∗(x) =

r ∞0b(y)dyr ∞

0yg(y)dy

. (10.53)

∞w

0

b(y)dy =1

1 + θ

w0∞eκy

∞w

y

fe(x)dx

dy =

=1

1 + θ

1

κeκy

∞w

y

fe(x)dx|∞y=0 +1

κ

∞w

0

eκyfe(y)dy

,

де 0 ≤ eκyr ∞yfe(x)dx ≤

r ∞yeκxfe(x)dx та права частина прямує до 0 при y → ∞ з (10.13), тодi

150

∞w

0

b(y)dy =1

1 + θ

(− 1

κ+

1 + θ

κ

)=

θ

κ(1 + θ).

Також ∞w

0

yg(y)dy =1

1 + θ

∞w

0

yeκyfe(y)dy.

Проiнтегрумо по частинах

∞w

0

yeκyfe(y)dy =y

κeκyfe(y)|∞y=0 −

1

κint∞0 eκyfe(y)dy +

1

µκ

∞w

0

yeκydF (y).

Оскiльки E(XeκX) =r ∞0xeκxdF (x) <∞, тодi limy→∞ yeκyfe(y) = 0, тому

0 ≤ yeκyfe(y) =yeκy

µ

∞w

y

dF (x) ≤ 1

µ

∞w

y

xeκxdF (x).

Першi три iз вище вказаних членiв 0 i другий за (10.13), тому

∞w

0

yg(y)dy =1

1 + θ

[−1 + θ

κ+

E(XeκX)

µκ

]=

E(XeκX)− µ(1 + θ)

µκ(1 + θ).

Тодi (10.53) можна переписати

limu→∞

eκuψ(u) =θ/[κ(1 + θ)]

[E(XeκX)− µ(1 + θ)]/[µκ(1 + θ)]=

=µθ

E(XeκX)− µ(1 + θ).

Що доводить теорему.

Отриманий результат є додатком до нерiвностi, наведеної в теоремi 10.1 для великих u.

Приклад 10.8.4. У прикладi 10.8.3 доведено, що ймовiрнiсть банрутста задовiльняє спiввiдношення

ψ(u) =2

5e−u/(2β) − 1

15e−4u/(3β), u ≥ 0.

Визначимо величини κ та C за допомогою границi при u→ ∞.

limu→∞

eu/(2β)ψ(u) =2

5− 1

15limu→∞

e−5u/(β) =2

5Тодi κ = 1/(2β) ( з прикладу 10.6.2) та C = 2/5.

Приклад 10.8.5. (Експоненцiйний розподiл)Якщо F (x) = 1− e−x/µ, x > 0, визначимо асимптотичну формулу ймовiрностi банкрутстваУ прикладi 10.6.1 ми отримали, що k = θ/µ(1 + θ) та E(etX) = (1− µt)−1. Таким чином,

E(XeXt) =ddt(1− µt)−1 = µ(1− µt)−2.

Також

E(XeXκ) = µ(1− µκ)−2 = µ1− θ(1 + θ)−1−2 = µ(1 + θ)2.Тодi з (10.49)

C =µθ

θ(1 + θ)2 − µ(1 + θ)=

θ

(1 + θ)(1 + θ − 1)=

1

1 + θ.

Асимптотична формула (10.48) набуває вигляду

ψ(u) ∼ 1

1 + θexp

[ −θµµ(1 + θ)

], u→ ∞.

151

152

Вiдповiдi та вказiвки

До роздiлу 1

Вправа 1.7 20; 600; 24000. Вправа 1.8 i) MX(t) = 4(5 − et)−1; ii) 0,25. Вправа 1.9 ii) 0,1247. Вправа 1.10 ii)0,2014. Вправа 1.11. 1,375. Вправа 1.12. i) 0; ii) −4; iii) 48. Вправа 1.13. ii) (α1 + α2, λ). Вправа 1.14. ii) нi; iii)нi; iv) N(λ, λn ). Вправа 1.15. ii) 108. Вправа 1.16. ii) 2; 4.

До роздiлу 2Вправа 2.1. £20 000, £7 071. Вправа 2.2. ii) 480. Вправа 2.3. ii) 8200. Вправа 2.4. £480, £277. Вправа 2.5.£200 000, £45 607. Вправа 2.6. i) fX(x) = fY (x) =

23 (2−x), 0 < x < 1. iii) 4

9 . Вправа 2.7. ab , a

b +ab2 +

a2

b2 . Вправа

2.8. £10 000, £20 000. Вправа 2.9. i) £250, £530; ii) £250, £433. Вправа 2.10. eµ+σ2/2, eµ+σ2/2+e2µ+σ2

(eσ2 −1).

Вправа 2.12. i) Складний пуассонiвський; ii) 50 000, 7 211, 10. Вправа 2.13. ii) θ1−e−θ . Вправа 2.14. ii) 0,92.

Вправа 2.15. i) 3θ; 12θ2; 60θ3; ii) X3 . Вправа 2.16. i) 1

α−1 ; ii) α = 1 + 1X

. Вправа 2.17. 1 − θ; θ(1 − θ); θ2; ii)x2+2x3

x1+2x2+2x3.

До роздiлу 3Вправа 3.1. i) £30 000; £4 960; ii) 0,0219.

До роздiлу 4Вправа 4.1. i) A: 3200, B: 2218,227, C: 2300; ii) A: 0,06681, B: 0,34082, C: 0,30854. Вправа 4.2. ii) 2750; v) 250−0, 15×25(m+100) exp−m

50; vi) 43,1. Вправа 4.3. i) EXi = 1+k(1−α), DXi = k2α(1−α). Вправа 4.4. i) e−λM ;iii) n та pe−λM . Вправа 4.5. ii) (a) 0,0574; 0,0376; (b) 30; (c) 25. Вправа 4.6. i) £202, 14; iii) £527. Вправа 4.7. ii)E(XR|X > 8 000) = £3 656, 14; iii) E(X ′

R|X ′ > 8 000) = £3 3 711, 51. Вправа 4.8. ii) (b) 94,28; 172,39. Вправа 4.9.Mλ−1 ;

(1−

(λM

))6α4λ4α

(∏4i=1 xi

)−α−1

. Вправа 4.10. i) 250; ii) очiкувана величина позову бiльша внаслiдок

важкого хвосту розподiлу. Вправа 4.11. 0,0453. Вправа 4.12. 26 log λ − 144, 457λ + 5 log(1 − e−500λ). Вправа4.13. i) µ = 6, 197, σ2 = 1, 911; ii) α = 5, 51013, λ = 4934, 5; iii) γ = 0, 81022, c = 0, 00481; iv) логнормальний:0,09527; Парето: 0,073011; Вейбулла: 0,047542. Вправа 4.14. i) 202,14; ii) страховик платитиме премiю, що на48,4% бiльша нiж очiкувана величина вiдповiдного цедованого ризику. Це може бути прийнятним залежно вiдсхильностi страховика до ризику; iii) 527; iv) приймати пропозицiю. Вправа 4.15. ii) µ = 6, 095, σ2 = 1, 1787;iii) k = 0, 3; iv) DXпроп

I = 705600, DXексцI = 158530; v) середнi значення однаковi, внаслiдок важкого хвосту

логнормального розподiлу дисперсiя для ексцеденту збитку менша.

До роздiлу 5Вправа 5.1. i) 0,44933; 0,35946; 0,14379 та 0,04742; ii) £157, 86; iii) £286, 66. Вправа 5.2. i) 0,60653; ii) 0,434;iii) 0,368. Вправа 5.3. i) 0,2119; ii) 0,6915. Вправа 5.4. ii) a) 125000; 355000000; 0,153; b) 149000; c) 0,0014.Вправа 5.5. 0,1323. Вправа 5.6. i) 4000; 1280000; ii) θ = −0, 035 – компанiї не потрiбне навантаження длязабезпечення необхiдної надiйностi; iii) фiксоване λ зменшить мiнливiсть, а тому значення θ зменшиться.Вправа 5.7. i) ES = 170 000, DS = 1, 21×109; ii) u = 63922; v) чим бiльше навантаження на премiю встановлюєперестраховик, тим менше зменшення початкового капiталу, потрiбного страховику, тобто перестрахуваннястає менш ефективним у зменшеннi ймовiрностi банкрутства й вiдповiднiй замiнi капiталу.

До роздiлу 6

Вправа 6.1. i) π = (q, 1−q); ii) 111 . Вправа 6.2. i) (360; 600; 720; 420; 420); ii) (0, 814; 0, 710; 0, 603; 0, 787; 0, 787); iii)

π(1) = (0, 04374; 0, 2153; 0, 1854; 0, 1867; 0, 3685). Вправа 6.3. iii) π = (0, 1211; 0, 0909; 0, 0698; 0, 7182); iv) 467,59.Вправа 6.4. iii) π = (0, 0043; 0, 0724; 0, 9234); iv) π = (0, 0161; 0, 1181; 0, 8658). Вправа 6.5. i) 400; 600; 200; ii)0,1027; 0,0736; 0,1433; iii) £430, 85. Вправа 6.6. ii) π = (1−p, p(1−p), p2); iii) (a) A = c(1−0, 3p(1+p)); (b) 0, 487c;0, 568c; (c) d = 0, 444. Вправа 6.7. ii) π = (0, 0140; 0, 0252; 0, 0983; 0, 08625). Вправа 6.8. ii) 154, 63. Вправа 6.9.ii) π = (0, 48p2/(1 − 1, 2p + 0, 68p2); 0, 6p(1 − p)/(1 − 1, 2p + 0, 68p2); (1 − p)(1 − 0, 8p)/(1 − 1, 2p + 0, 68p2)); iii)A(p, c) = c(0, 5− 0, 48p+ 0, 46p2)/(1− 1, 2p+ 0, 68p2); iv) c = 1471.

До роздiлу 7Вправа 7.1. ii) базова; iii) люкс. Вправа 7.2. i) d3; ii) d3. Вправа 7.3. ii) костi; iii) карти. Вправа 7.4. ii) a2, 90; iii)a3. Вправа 7.5. i) 0,06681; ii) (a) N (281, 54; 12, 402), (b) 0,1759. Ймовiрнiсть того, що справжнє середнє значенняменше £270 зросла, оскiльки спостереженi значення вказують на те, що справжнє середнє значення меншенiж середнє значення апрiорного розподiлу. Однак, розмiр вибiрки порiвняно малий та малою є дисперсiяапрiорного розподiлу, тому розумно буде продовжувати зважати на апрiорну iнформацiю. Вправа 7.6. i) B;ii) A. Вправа 7.7. Beta(66,85;5023,15). Вправа 7.8. i) Beta(11;31); ii) 1

4 . Вправа 7.9. iii) B. Вправа 7.10 i) d3;ii) d1; iii) d1. Вправа 7.11. P(p = 0.4) = 0, 411436, P(p = 0, 75) = 0, 588564. Вправа 7.12. 62,62. Вправа 7.13.

153

i) параметри розподiлу α + 1 та maxβ, y1; ii) параметри розподiлу α + n та maxβ, y1, . . . , yn. Вправа7.14. i) 30

52 ; ii) 3256 . Вправа 7.15. ii) (a) Апрiорнi уявлення протилежнi мiж собою: А робить наголос на малих

значеннях θ, а В – на великих. Звернiть увагу на апрiорнi середнi значення. (b) A: E(θ|X = x) = 0, 0817,B: E(θ|X = x) = 0, 0846. Результати дуже подiбнi. Вибiрка має великий розмiр, тому отримана з вибiркиiнформацiя переважає апрiорнi уявлення. Вправа 7.16. i) Beta(11; 51); ii) (a) 0,1774; (b) 0,1667.

154

Список рекомендованої лiтератури

[1] Базилевич В.Д., Базилевич К.С. Страхова справа. – К.: Знання, 2005.

[2] Де Гроот М. Оптимальные статистические решения. – М.: Мир, 1974.

[3] Зiнченко Н.М. Математичнi методи в теорiї ризику. – К.: ВПЦ “Київський унiверситет”, 2008.

[4] Карташов М.В. Iмовiрнiсть, процеси, статистика. – К.: ВПЦ “Київський унiверситет”, 2008.

[5] Кельберт М.Я., Сухов Ю.М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. I: Основные понятиятеории вероятности и математической статистики. – М.: МЦНМО, 2007.

[6] Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. М.: Наука, 1970.

[7] Королёв В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска: Учебн. пособ. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2007.

[8] Леоненко М.М., Мiшура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовiрнiснi та статистичнiметоди в економетрицi та фiнансовiй математицi. – К.: Iнформтехнiка, 1995.

[9] Моклячук М.П., Ямненко Р.Є. Дослiдження операцiй. – К.: ВПЦ “Київський унiверситет”, 2008.

[10] Моклячук М.П., Ямненко Р.Є. Лекцiї з теорiї вибору та прийняття рiшень. – К.: ВПЦ “Київськийунiверситет”, 2007.

[11] Пономаренко О.I. Моделi страхування та теорiя ризику. – К.: ВПЦ “Київський унiверситет”, 2008.

[12] Фалин Г.И., Фалин А.И. Теория риска для актуариев в задачах. – М.: Мир, Научный мир, 2004.

[13] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. – М.: Мир, 1964.

[14] Ширяев А.Н. Вероятность. В 2-х кн. – М.: МЦНМО, 2004.

[15] Чжун Кай-лай. Однородные цепи Маркова. – М.: Мир, 1964.

[16] Lundberg F. Approximated framstalling av sannolikhetsfunktionen. Afterforsakring av kollektivrisker. Akad.Afhandling. Almqvist och Wiksell, Uppsala, 1903.

[17] Klugmann S., Panjer H., Willmot G. Loss models. From data to desicions. – John Wiley & Sons, Inc., 1998.

[18] Meyn S.P. and Tweedie R.L. Markov chains and stochastic stability. – Springer-Verlag, 2005.

[19] Mikosch T. Non-life insurance mathematics. An introduction with stochasctic processes. – Springer-Verlag,2004.

[20] Schmidli H. Lecture notes on risk theory. – Aarhus, 2000.

[21] Subject CT3 “Probability and Mathematical Statistics”. – Exam papers of British Institute and Faculty ofActuaries, 2005-2011 (http://www.actuaries.org.uk/students/pages/past-exam-papers).

[22] Subject 106 “Actuarial mathematics 2”. – Exam papers of British Institute and Faculty of Actuaries, 2000-2004(http://www.actuaries.org.uk/students/pages/past-exam-papers).

[23] Subject CT6 “Statistical methods”. – Exam papers of British Institute and Faculty of Actuaries, 2005-2011(http://www.actuaries.org.uk/students/pages/past-exam-papers).

155

Documents

Змiст · математика, оскiльки це припущення зроблено задля математичної зручностi i легкостi обробляння