- 57 -

r w' n' / \ —r = — = — (2) Es decir: los radios son r' w n '

inversamente proporcionales a las velocidades angulares y estas están en razón directa del número de revoluciones por minuto.

CALCULO DE LOS RADIOS EN FUNCIÓN DEL NUMERO DE REVOLUCIONES POR MINUTO Y

= DE LA DISTANCIA ENTRE EJES.

, /

A'

a \

^

^ ^

->

s^^ ^*\^^

í"^

. - ^ • • ; . ' - ^

• • • • : - • • - •

^ \ ^

• -

tff- - . ;".

, . . • : ; •

r ' *

\ ^

^ \ ^

o'

n

r/á ^. _ a

Gráficamente: Pa­ra ello Llevamos a escala la dis­tancia 00' = ó . Luego tomamos so­bre esta recta y en O n' igualmen­te a «scala. (Fiof,2 j Finalmen­te,

Llevcimos n, en sentido contra -rio al anterior Uniendo los pun­tos B y A corta­mos a o en C ,

Punto de tangencia de los cilindros o ruedas de fricción, 00' = ^ . Frecuentemente se fija la distancia 00' de los ejes de las ruedas y de la relación del número de vueltas por minuto K = nj_ , calculemos los radios r y r' según (l) se puede escribir. n

K = n n n r- r X

rr = T' • •• v3;

K ^ r^ K 4 1 r' 4 r 1 r ' 1 "" r

í y como ¿j = 00' == OC 4 CO' = r -j. r' (4)

Se tiene:

d K \ . . . i T = (5) r k 4 1

que Já el valor de r, _ . -

r'=0-r = 0 - ¿ = k Q k 4 1 k 4 1

(6)

- 58 -

que expresa el radio de la menor conocidos o y la relación K,

Los r<adios en función de n y n' valen; sustituyendo en (5)

r =

r' =

b

n r n' 0

X n-n 4 n '

n r f 1 n 4 n'

La fuerza üangencial P debida ul rozamiento, que se desarrolla en la generatriz de contacto de los rodillos depende de la potencia Nc que debe transmitirse, de modo que si Nc, se expresa en CV, P en kg y v en m/seg, se tiene

75 Nc = P.V. 75 Me

Por otra parte si P es la presión normal que un rodillo ejerce sobre el o-tro debe verificarse que

P ^ fP o bien F f

Siendo f el coeficiente de rozamiento cuyos valores dependen de ia natura­leza de los cuerpos en contacto,

f = 0'l a O'15 = Fundición sobre fundición

f = 0'2 a O'30 Cuero sobre cuero

f = 0'2 a O'50 Madera sobre madera

LAS DOS RUEDAS DEBEN GIRAR EN EL MISMO SENTIDO.

^ ^ ríG 3 _ . y^ En este caso hay que adoptar una v ^ , disposición como la de la (figu­

ra 3),

O = 00 = OA - AO' = r - r'

!_ = £_; 1-k = r-r I _ 2- 5

í^ 1 - k

- 59 -

í = r

,

-y 1

¿ ^

k

n

k

n' - n

r = í

1 - k

r = n' ó

n' - n

Para transmitir movimiento a otro árbol paralelo se emplean también las ruedas acanaladas con las que se disminuyen los esfuerzos radiales, pe­

ro se tiene el inconveniente de que si la velocidad tangencial de las ruedas en la recta xx es la misma, el punto a de la rueda A tiene una velocidad mayor que el punto A de la rueda B, En cambio el punto b de la rueda A tiene velocidad menor que el b de la rueda B, hay un deslizamiento re­lativo en la generatriz de contac­to que es la causa de pérdidas por frotamiento, (Fig, 4)

RUEDAS Q\ FRICCIÓN - ARBOLES QUE SE CORTAN - CONOS DE FRICCIÓN.

c*

\

\

'ti , ' / 4J / \

Cuando se tiene que transmitir el movimiento de rotación de un árbol de e;Je OA a otro de eje OB, que corta a OA en O se utilizan los conos de fricción CDD'C y CDD''C'', (Fig.5), Dos troncos de los conos de fricción arras -trando una de las ruedas en su mo­vimiento a la otra por el roza -miento desarrollado por la presión rodar lo sin deslizamiento con las notaciones de la figura para el punto D la velocidad lineal, como perteneciente a la rueda citlada en el árbol motor OA es V = r n

30 y como perteneciente a la rueda conducida, calada en el árbol OB

- 60 -

es V = r, . n' 30

r nj n

rn = r, D'

Para las circunferencias CC' y CC'' se tiene:

— , generalizando n

K = n_ n'

r, r

= r.

O sea^que el número de revoluciones es inversamente proporcional a los ra­dios cualesquiera correspondientes de las circunferencias en contacto.

La elección de los radios es arbitraria.

CALCULO DE LOS RADIOS EN FUNCIÓN DEL ÁNGULO DE CORTE DE LOS EJES Y DE LA

RELACIÓN DE TRANSMISIÓN,

6 r

r I

I

\y--

n_ K n ' ^

(1)

(2)

(3)

O B = O

O A = a = OC

r = a Sen -©•,

O = a Cos ü',

r , = a Sen -^^

. , ^ C

Fi6 6

a= i^

(4) r ^ = K r

• . - • " . (5 ) ^ , * ^ 2 = ^

Reemplazando.

Sen ^ 2

r

^ 2

- 61 -

Sen • , = r

Sen ^

Cos -Q-, - ( Sen ^

r ,

%

= K

+ ^ 2 =

r

^

í . ' ••

K r Sen -Q7 = Sen

K r Sen

^ 2

' " -

^

Cos -Q-, = /

«,1-^2 = ®

Teniendo en cuenta (l) , (3) , (4) -

Sen -»7 Sen ^ ^

^ , ^ % = ^

1 K

^ 5 = ^ - ^ ,

desarrollando la df, de Senos

Sem -Qj_ 1 n.

Sen ». Sem(-Q-- , ) ~ n. Sen - ^ cos -Q-, - Sen -Q-, .eos -^

dividiendo el primer miembro,

1 = 1 Cos -Q- k

= 1 K

Sen -Q- Ctg % -

Sen ^. ctg -Q- - cos -Q- = K

Cotg -Q-, = K f cos -Q-

Sen-Q-

C2) f (t) ^ ° ^ ^ = 7 .

. í sen -Q-

r_-X k 4 cos -Q-

Sen -Q-n + cos -Q-

n'

Pero de (l) y (2)

_ = k 4 cos -Q-r Sen -Q-

</ sen -Q-K 4 eos -Q—

^ n' Sen-Q-n f n' cos - ^

62 -

y de (4) tenemos:

r, = ó k Sen __ 6 n' Sen -^ _ ó n sen -Q-k f cos "^ ~ n -f- eos -Q- n f n' cos -

5•2 ENGRANAJES.

Tienen por objeto la transmisión del movimiento de rotación de un ár -. bol iQf a otro ^^ paralelóla diferencia de los rodillos de fricción que se emplean para débiles esfuerzos y grandes velocidades aún con bandas de cuero o de caucho, que en parte logran aumentar la adherencia, pero para grandes potencias la resistencia a vencer es considerable, las ruedas de fricción deslizarían, no pudiendo anular este deslizamiento mas que ejer -ciendo una presión considerable en los cilindros, lo cual originaria gran­des reacciones en los cojinetes y pérdida de energía,

- En estos casos las superficies en contacto van provistas de entrantes y salientes, DIENTES de manera que al girar la rueda celada en O los dien­tes de esta rueda, encajan en los entrantes, o huecos, de la otra calada en

• O' ejerciendo sobre estos una presión que obliga a girar a la rueda O' y al árbol O' evitando asi los deslizamientos de las ruedas de fricción y obte -niendo LAS RUEDAS DENTADAS, en las cuales los dientes ruedan sobre las cir-

• cunferencias de los dos cilindros de transmisión, sustituidos ahora por las ruedas dentadas, circunferencias llamadas ahora PRIMITIVAS, cuyo radio y diámetro reciben el nombre de Primitivos, La rueda de menor número de dien­tes se llama piñón. El conjunto de ruedas dentadas se denomina engranaje, mecanismos de gran aplicación en las construcciones mecánicas, principalmen­te en la industria del automóvil y las máquinas herramientas. Todo este incremento en su demanda ha hecho progresar de una manera notoria todo lo relacionado con ruedas dentadas, hasta el punto de que se ha llegado al des­cubrimiento y adopción de muy deversos tipos de engranajes atendiendo a la resistencia del material, a su suavidad y rendimiento, llegando hasta la creación de máquinas especiales para gex. c'ion jj/e ¡ o s pfíiLP^o^

5'3 CLASIFICACIÓN, : * • •

j .- .

La transmisión entre ejes puede ser: " ~_

a) EJES PARALELOS:

Que dan lugar a la transmisión del movimiento mediante ENGRANAJES

ínGí-, Eéctoí lornfilo óU\'¡n

O'

Fí<3 ¿ Tlü 2*

linón yCor'crvtí. hÍPoídfii _

Ti*6 4 -

DE DIb:rrSS RECTOS Y H E L I C O I D A L E S ( F i g , 1)0

b) EJES QUE SE CRUZAN.

La transmisión se efectúa entonces mediante ruedas helicoidales (Fig, 2 y 2') o sistema de rueda helicoidal y su tornillo sinfin.

c) EJES QUE SE CORTAN.

Los que dan origen a la transmisión mediante ruedas cónicas (Fig,3)

Dentro de los engranajes cuyos ej- J se cruzan se puede considera el llamado acoplamiento HIPOIDE que 5 ün tfpo ^f>ec]o,t 6 ^ Gn£)rú.nei|d CoaíCC

én €áp?ra(. C O ^ Í O Í , ajea ^^ crü-ccLO.-,X'lg, t/c

Según lo anteriormente (ypuesto se pueden consider los siguientes tipos.' de ruedas dentadas.

- 54 -

1, Ruedas cilindricas con dientes rectos,

2, Ruedas cilindricas con dientes Helicoidales,

3, Ruedas Glt dicas para engranar con tornillo sinfin,

4, Ruedas cónicas con diente recto,

5, Ruedas cónicas con diente espiral o inclinado»

5, Ruedas hipoidales,

7. Ruedas Chevron o de espina.

5*4. ELEMENTOS DE UN ENGRANAJE RECTO.

f i e 5 . ^

manecen tangentes (Pig, 6),

ESPESOR DEL DIENTE,

CIRCUNFERENCIA EXTERIOR o DE CABEZA.

(Fig, 5) Es la CC, con -céntrica con la primitiva PP. y que limita el diente en su parte superior o ex-teriormente.Su diámetro o radio lo representaremos por: De, Re,

CIRCUNFERENCIA DE RAÍZ,

De pie o interior es la C C concéntrica con la primitiva y que limita al diente por su parte interi­or o 'raíz, o sea, interior­mente, su diámetro o radio los representaremos por Dr Rr,

CIRCUNFERENCIA PRIMITIVA RODANTE O POLARES.

Son las que siempre per-

Es el arco ee' = s medido sobre la circunferencia primitiva comprendi­do en la parte maciza del diente (Fig, 5').

HUECO DEL DIENTE,

- 65 -

f i G e

Llamando Z y Z' nes por minuto y

n y n' Rp ,y rp el número

o intervalo w = e'h es el arco medido sobre la circunferencia pri­mitiva y comprendido entre dos dientes con­secutivos. Juego 0'l63m

PASO DEL DIENTE,

Paso circunferencial o circular t = eh es el arco de circunferen­cia primitiva suma del espesor s = ee' y del hueco w es decir: t = eh = s - w , también puede ser la distancia entre los e-jes de los dientes con­secutivos, medido so­bre la circunferencia primitiva (Fig, 7), t = ee' 4 e'h = s4w (l)

de dientes, revolucio -

radios primitivos de las dos ruedas que constituyen un en-

f'' 7

granaje, como el paso t es el mismo para los dientes de ambas ruedas, se verifica para estas:

- 66 -

2 ir Rp =

2 Itrp =

t z

t z' - - - - ( 2 )

_ .

•'

RE _ rp dp

t = 2 IjRp z

t = 2 F rp Z '

(3A)

F D I

TdT

2'

_z z'

El número de dientes, de dos ruedas que engrana, está en razón direc­ta de sus radios o diámetros, PRIMITIVOS.ahora bien como: n rp + V, n' " Rp '

tenemos. ^

ÍL _ ££ _ IE _ 11 o ~ Rp " Dp " Z

El número de revoluciones por minuto, de las ruedas dentadas esta en razón inversa del número de dientes y de los diámetros (o radios) primiti -vos.

Si dos ruedas engranan el producto del número de dientes por el de re­voluciones por minuto es constante tenemos

ITDp = tz » DE _ z t " T

DE z

t T

JUEGO DEL DIENTE,

Para el mejor engrane, el espesor es menor que el hueco, evitando así, en parte la rotura de los dientes, la diferencia entre ambas medidas es el juego.

Si Dp es el diámetro de la circunferencia primitiva de una rueda y z el número de dientes de la rueda se tiene;

F i LJ I - - I •

t = TDp = TT M

Siendo M = Dp/j" el módulo o paso diametral, expresando el diámetro primitivo en m,m. Definiendo el módulo M, diremos: que es la relación del diámetro primitivo Dp al número de dientes,

^tras habíamos visto que D£ _ t tomando el T- miembro hacemos: z " TT '

- 67 -

t = M 5 t = TT, M (7) -.. - _

TT el paso es por tanto múltiplo de TT , Dos ruedas del mismo módulo (M) tie­nen el mismo paso circunferencial, cualesquiera que sea el diámetro primi -vo y le número de dientes para que puedan engranar.

De la (7) deducimos

,,. P - ^ - ;_ M _ i _ 2xRp _ Dp *• t " ir " 2TrRp ~ 2TTRP - ^'•.^

O sea: La relación del módulo al paso es la misma que la del diámetro pri­mitivo a la longitud de la circunferencia primitiva.

Para t se adopta un múltiplo de TT, con lo cual Dp (y De) será un número exacto de milímetros

El módulo 1 corresponde a un j s s o de 3'14 mm,

el Módulo 2 corresponde a un paso de 2 x 3'14 = 6'28rnii

El módulo 3 corresponde a un paso de 3 x 3'14 = 9'42 nn El módulo 2o correspondea un paso de 20 x 3'14 = 62'& ntrn

ALTURA DEL DIENTE, -•

h; es la distancia entre las circunferencias de cabeza y pie,

h = d i j

CABEZA DEL DIENTE,

Es la porción de dientp comprendida entre la circunferencia primitiva y la exterior o sea er. ^ ^ ' ^ ^ « " 9 ' L Q ' Y l g S " ) .

La superficie lateral de la cabeza es la FRENTE del diente. 'J '. _ f .'7 5

VÉRTICE DEL DIENTE,

Es la superficie n 1 g e'' que limita la superficie exterior del dien­te o la cabeza. TíC». 5 , -

PIE DEL DIENTE.

Es la porción del diente comprendida entre la circunferencia primi­tiva y la interior o de raíz, o sea la porción inferior a la cabeza g_i. e' q^^<]> p'f" fie,. 5" L'l superficie later? del pie se llama FLAWO DEL DIENTE habiendo por

- 68 -

tanto dos flancos en cada pié del diente; p''f*|.CP'v| qH ^ *^ y^'<^. ^

BASE,

Es el apoyo del diente. Superficie fi'W"^'f'{i'L T''<í.

PERFIL DEL DIENTE; \.

Es la intersección de los flancos con un plano normal al eje de la rueda, r'Cj. 7

ANCHURA O LAR60 DEL DIENTE,

es la longitud n e'' comprendida entre los dos planos normales al

eje de la rueda, F>"L- 5" .. , . . . ,. -

RELACIÓN DE TRANSMISIÓN, ' ' • ' "

Sean W' y n' la velocidad angular y el número de vueltas por minu­tos deipfñón (rueda de menor número de dientes); y W i] la velocidad an­gular y el número de vueltas por minuto de la rueda (la de mayor número de dientes) se tiene.

i - wi ^ nj. „ . " , -"" •• •"• ' " W n ^

Siendo que el número de dientes que se ponen en contacto en un minuto tanto de rueda como de piñón son iguales, escribimosí

n Z = n' Z' Luego i = n_|_ = _z__ n z'

o también i = n£ _ D^ _ Z_ • • " nr ~ dp ~ z'

NORMALIZACIÓN DE ENGRANAJES

Casi la totalidad de las ruedas que se fabrican son talladas a máqui­na, estando nonnalizadas sus dimensiones. Se hace:

• a = M d = 1'25 M h = 2'25 M e = 1'57 , M;

b = <p M. suele tomarse:

^ = 5 a 6 para flancos en bruto con grandes fuerzas y pocas revolu-^ ciones.

Cp = 10, para flancos trabajados y carga mediana

U/ = 15- a 30 para flancos trabajados con exactitud con buen asien-

- 69 -

tü de cojinetes. Potencias elevadas. Estas son las dimensiones del siste* ma moderno.

El Juego entre las dos ruedas que engranan es; d - a = 0'25 M.

CASO ENGRANAJES FUNDIDOS.

e = 19 . = 1'491 M. a = M. d = 7/6M = 1'167 M 40 *

h = 2'167 M b = 3t = 9'32 M -^ 10 M

Los Módulos Normales son los siguientes:

M M M M M M M

= =

= = = = =

0'3 l'OO 4'0 7'0 16 24 45

0'4 1'25 4'5 8'0 18 27

; 50

0'5 1'5 5

9'0 20 30 55

hasta hasta hasta hasta

, hasta hasta

; hasta

1» 4. 7 16 24 45 70

00 00

mm mm mm mm mm mm mm

aumentando aumentando aumentando aumentando aumentando aumentando aumentando

O'l 0'25 0'50 1 2 3 5

mm mm mm WIHI

mm nun mm

5'5 DISTANCIA ENTRE LOS EJES.

5iendo Ó la distancia entre ejes (intereje ) M = módulo y z, = nú­mero de dientes tenemos;

Ó = R., + r „ = De_ -f d£

Sustituyendo los diámetros primitivos por los valores obtenidos cuando defi­níamos al módulo de la (5)

Dp = MZ

dp = M,Z'

¿ = M zJL

Si los engranajes son interiores la distancia entre los ejes de las dos rue­das es (Fig, €),

^ = 00' = R - f = i (D - d ) = M (z - z') P P P P

- 70 -

5'6 CALCULO DEL MODULO EN FUNCIÓN DEL DIÁMETRO EXTERIOR (O DE CABEZA) Y

- ' • ' EL NUMERO DE DIENTES.

Tenemos que:

De = D 4 2a P *

Como veíamos Qtias a = M

De = D 4 2M P

De = Mz f 2M = M(Z42) (ll)

el diámetro de cabeza es el producto del módulo por el número de dientes aumentando este número en 2 unidades. Despejando en esta última fórmula M tenemos

M = Dt -• ^

z 4 2

que nos da el módulo en función del número de dientes y el diámetro exterior

5'7 CALCULO DEL PASO, EN FUNCIÓN DEL ESFUERZO TANGENCIAL P, DEL NUMERO (]

"í DE C V Y DEL NUMERO Z DE DIENTES.

Para su cálculo consideramos el diente como un solido empotrado en

P un extremo y con una carga concen­trada P, en el otro extremo (vola­dizo) (Figs, 9 y 10),

El momento fleotor máximo en el em­potramiento será

p h = ^ / I y ^ ( ^ 12

2 i -y b e (A)

FTCi 9. _ Prácticamente, la altura h y la an­chura b están expresados en función del espesor e por las relaciones

- 71 -

b = m e. y h = n, e por tanto

Pne = m e , g, 6

e = \ j a,m V (1)

ordinariamente n = l'¿ a 1'5

rr\=^ 5 - 6 - velocidades ordinarias

6 -10 para velocidades altas

m = 5 obtenemos Para n = 1'34 y

e = 0'9YP~~ (fundición) ; e = Q ' 6 \ I T ' (acero)

Tomando Q| = 2 y (i= 5 kg/mm respectivamente^estando expre­sado e en cm

• En la mayor parte de los casos se da la potencia N a transmitirse, da C V y el número de R, P, M. necesitando determinar P,

Para ello hallamos el trabajo la fuerza en su camino, es de­cir en una vuelta trayectoria Mo' ' A B C' MO - Toman­do arcos elementales y tenien­do encuenta que Pm (esfuerzo máximo) es constantemente tan­gente a la circunferencia, el

trabajo será

T = Pmx , 2 r R

y en n , v u e l t a s e l t r a b a j o e s :

T = Pmx , 2 ITR n . P • ,

y en un segundo, obtendremos la potencia,

N = Pm 2fr» Rp Jl ; que será en Kgm/seg,

si r = m y P = kg,-

Si queremos obtener N en CV,

- 72 - _' =;

. ' I

N = Pm». 2 TT.R p n y como la velocidad 60 X 75

tangencial \ P = 2]Tr.n •:, . .... . 60

nos quedará:

N/ s = Pm»V^ " y despejando Q_ ;

PiT)X! ds estas fórmulas tenemos : '

716'2 N (cv) (2) n. Rp

(3)

Nótese que: [ = cv, , n = r,p,m, - r = m, 1/= m/seg.

Sustituyendo en la (l) el valor de Pm de la (2)

P w = 75 X 5C 2 ÍT

Pmx. = 75 Ncv

ff nRp

_\ 76 n \ i 716'2 M CY _ 65'2 \ / n <3 rfl \ nx Rp Y CL m

M /fw n Rp X r

Sustituyendo en la (l), el valor de Pm hallído) en (3) tenemos

vamos a relacionar todo con el paso to llamando h = o(t ; e =

= Bt b = Ijlt. de la fórmula (A) Ph = (jí be , (Ecuación de

resistencia CL Flex.)

P .oCt = (íj ^ t , p^t^ (B)

P = <\ ^ j i

2.2

6

2

Llamando C = Of ;í

- 73 -

queda

vamos a estalbecer las fórmulas en función de o¿ , B, ^

. i

m e =

e =

h = <^t

h = ne

Vüt d i v i d i e n d o ,

n e = í < t

Fórmulas

e = SoC \A \/<q-vV

despe jando en ( l ' )

t --

pero; t = e

B

t =

e = 65,2 y

e = 21'2 \ l

t = 65'2

e = Bt

b = me

B

n = ^^^

n

b

pe

=

= 4 ' t

ir t a n t o

(2') despejando en B^t

(1'') equivale a 1'

( l - M )

N n .Rp .

( 3 ' )

(4)

= 6 5 ' 2 \ / 1 6 C t

TT n RI

_ 2 6 ' 6

í n R|

t = 2 1 ' 2 o O

f^f Tf

8 '65

ih

(5)

= 21 '2 \ 6Cf

(6)

- 74 -

Vamos a relacionar el número de dientes Z teniendo en cuenta que:

S u s t i t u y e n d o en

2 — 2 y = 26'6'^

. t = 1 6 ' 4 3

\l^

t = 2 "TT Rp 2

l a ( 5 )

t _ 26-6

2]rN . ; n . t . Z

; V ^

5 Rp = _

\ / "

A' = 26'6' cO)

• (7)

+

t z 2T

)

2 6 ' 6 \

2fr l n z

X

/ 2 1 T H Y n ."t tZ

Teniendo en cuenta que M = •==- podemos sacar estas otras rela-

J Clones.

déla 1"' M = O' 318 \/ P (8)

de la 5 - M = 8'48 1 / N

"x \ (5) M =

M =

M =

V^f. 8 ' 4 8

2 '76

5 '22 \ - Z í

de la 6 ' '- M = 2'76 '1 / 2L (lO)

de la 7 M = 5'22 A^/ jl "'••'•

\Fr D A T O S P R Á C T I C O S

- 75

jimites oC JL

FUNDICIONES I ACEROS

^ kg/iA C kg/m^ ^Y^^/A kg/m'

PE FORJADO

(Jlkg/n kg / i m

Máximo

Mínimo

Normal

(Base de l a C )

O'70

O'70

0 ' 7

0 ' 5 5

O'50

0 ' 5 2 5

O'40x10

O'25x10^

O '3 xlO^

0 ' 2 9 _ x l 0

O'149x10^

0'197xlO^

O'6x10 0 '435xlO l ' 5 x l O 1 '08 xlO

O'5x10 O'297x10

O'5x10 0 '327x lO

O'9x1O

l ' 2x lO^

0 '535xlO

O'785x10

p =

c =

cJ>/e/)¿£^ Tre^cs Jos • z'-^pe^or. <S^ ez'^$7^~é;

h u e c o UJ 1 e/)úl ArPMer caso Q-^J'^fC PZ) vV/ " c l ¿^^ C Ó I S O Q ' S I 2 P ( J

Constante e independiente del material • • -

Varía según unos límites debidos al juego del engranaje

Fatiga de flexión (tablas) =• .•

Calculado del siguiente modo

max 1 ¿ ^ C max = 7 Bma x __ ^ Iji.

o6 Cmin. = _1 B min ^ (ji min

6 oC ^

C n. = 1 B normal fijnormal 6 ^ o<L ^

En fueooáde fuerza y cargas intermitentes U*- ¿

Ul= 2'5 a 3

(J;- 3 a 5

En transmisiones normales

En grandes transmisiones

- 76 -

o6 0'5

0'5 - 0'55

El cálculo debe empezar por la rueda pequeña que es la más peligrosa. La fatiga CL la flexión debe considerarse con sumo cuidado ya que el ma­terial estará sujeto a choques y vibraciones tanto en su montaje como en la ejecución de su trabajo, además hay que tener en cuenta al desgaste de los flancos, deformaciones etc..

Otra fórmula para calcular el módulo en función de la potencia y del nú­mero z de dientes es:

^ ( \ ^^.„\ /lOOO N (c v ) ! M (mm) = 35'7\/ ^ j j n

(12)

n =

10 para flancos fresados y carga mediana

vueltas por minuto.

10'31 - dientes tallados por fresa,factor deforma.

5'8 DIMENSIONES DE LAS RUEDAS,

Las formas más corrientes de las ruedas rectas son: Rueda maciza, (Fig, w). La rueda de plato. La de Brazos de sección elíptica, Ia de brazos de sec­ción en cruz- e t c ,.

d

f/6. ñ

77 -

DIMENSIONES GENERALES, , ' , ..;

Las ruedas de plato y de brazos tiene las dos partes comunes siguien -teí-j: La llanta o corona sobre la que va la dentadura, y el cubo que es la parte en la que se introduce el eje. Sean Dp, el diámetro primitivo de la rueda; M, el módulo; de,diámetro del eje en mm. de diámetro del cubo I = largo del cubo, c, la corona o llanta; b, el ancho de la rueda, Ncv = la potencia en caballos y n, el número de vueltas por minuto. Se hacen*.

<>/ \l\ de = 122 \ / N(cv) de ' ^ 2de 1 = b 4 Djp

b ^ ^ \0l^ C = 1'65 M 4 2 mm

NUMERO DE BRAZOS.

Las ruedas suelen tener 4, 6, 8, 10 brazos, según que el diámetro pri­mitivo de la rueda este comprendido entre 0 ' 5 a l - l ' 5 a 4 - 4 a 6 y 6 a 8 metros pueden eraplarse las siguientes fórmulas;

' V "^ = i \/ Dp(mm) (X i \/Di

nb =^ Dp : 2 de

Nb = número de brazos ' Dp y de = en mm<

Corrientemente el número de brazos suele ser de 6

RUEDA DE PLATO. ^ -'-••. > J r ' . • /

El espesor del olato suele hacerse:

<f s 1'9 M FORMA DE LOS BRAZOS.

La sección puede ser elíptica u oval, para ruedas pequeñas, en forma ^e I, para cilindricos, C o 3C para grandes ruedas, y T para cónicas. Cuando la rueda no precise brazos por ser pequeña, puede tomarse para grueso del platoá

1 ' 9 M a 2M

- 78 -

RUEDAS DE BRAZOS DE SECCIÓN ELÍPTICA.

Aplicamos la fórmula vista arriba, es decÍTo (Fig. 12)

1

r. -. Fíe J¿ • -' ' - X, T

Las dimensiones junto a la llanta serán:

Nb Dp - 2 , de^

Sean: a, y b, los ejes mayor y menor de la elipse, junto al cubo respectivamen­te. Se hace:

3 a, - 2 •32 \/£OJ

y 2nb

b, = 0'4 a,

Siendo Ft = esfuerzo tan­gencial.

Q', = O'75 b'„ 0'75 b,

RUEDAS DE BRAZOS DE SECCIÓN EN CRUZ.

h, = de Y nb

e. = h,

6 Las dimensiones del brazo junto a la llanta serán:

I r:í O'S h. ({ = o'8 e, h¿ = 0'8 hg e'2 = 0'8 e^

CORONA 0 LLANTAo

El espesor s = O'^t b = anchura o longitud del diente.

5'9 NUMERO DE DIENTES. VELOCIDAD TANGENCIAL Y RELACIÓN DE TRANSMISIÓN.

El número de dientes se deduce de la fórmula z = TT Dp , General­mente resulta para Z un número no entero, debiéndose tomar el en­tero más próximo: Supongamos que este sea z, ; de el se saca un nuevo paso

y conocido t, , se hacen las corre-

- 79 -

ciones en los demás elementos del diente como mínimo se tomarán 10 en rueda de fuerza y 25 - 40 en las de transmisión.

El número de dientes también puede calcularse por la expresión:

M

En la práctica se acoplan las ruedas de manera que los números de dientes sean primos entre sí, para evitármenos desgaste.

Cuando la velocidad es grande existen choques y vibraciones considera­bles - por cuyo motivo no debe T>asar la velocidad de un cierto limite, para la fundición de 6 m/s y casi del doble para lo.s tallados.

Para miedas accionadas a mano, la relación de transmisión debe ser _1„ 10

Con pocas R„ P. M, la relación del transmisión será = !_ 7

Con muchas R. P, M. la relación del transmisión será = ^ l/5

A veces se fija de un modo arbitrario el número de dientes Z de la rueda mayor o el radio primitivo de esta, entonces es conveniente guiarse por las siguientes relaciones.

Z i-Ví 60 f 22 n

Rp = (5 4 n )de n*

áe = 4 eje

n>n' 5'10 RENDIMIENTO DE UN ENGRANAJE.

Para una posición cualquiera, siendo a el punto de contacto de dos dientes actúan en la rueda 0 P. y F (Fuerza de rozamiento y N reacción de la presión que para su equilibrio tendremos que hacer cero los momentos de dicha^ fuerzas respecto del punto O, es decir, siendo R el radio de la

W circunferencia primitiva: (Figura 13), fencmoS %

FÍ6 13. _

PR - FA - NR = O

(1) P = FA I N , , R

Para las fuerzas que actú­an en la rueda Q' ^^® son;

- 80 -

P', F' y N' • .*. P'r 4 F'A - N'r = 0

- - P' = - F'A f N' = - F A f N (2) ya que F = P' y

La fuerza Q que se ha perdido debido al rozamiento por deslizamiento, y diferencia entre P y P' óeríL ;

Q = P - P' F A

Q = F I * i\

R * r

(3)

tomando: A-o t

Sabemos que R = jtz y r = tz' , siendo z y z' el número de 2r 2T

dientes de las ruedas O y o' respectivamente. Reemplazando en (3) tenemos

Q =

y siendo p = iM

2F 4- 2ir t z t z '

4 ^ ^ ( ¿ ' ^ j - Í>n|^-X

X : CceX. <0JÍH. nuíntc

Como la pérdida de trabajo por segundo es QlJ*y el trabajo útil por segun­do ess 75N kgm el rendimiento será '. |\|-. 1 Je ¿,V.-

f = 1 - Qj>l \ 75Ncy

Para engranajes interiores :

Para cremallera, como z' - ce

'p\í-Ai 4

= pfi>.

5'11 DIAMETRAL PICH,

En los países que todavía no han adoptado el sistema métrico decimal en vez del paso t que expresamos en mm, usan EL CIRCULAR PICH, que se ob­tiene dividiendo por z (# dientes) la circunferencia primitiva expresada en pulgadas.

- 81 -

t = TrD"p z

En lugar del módulo usado por nosotros, ellos utilizan el DIAMETRAL PICH que es el resultado de dividir el número de dientes Z por el diámetro primitivo expresado en pulgadas

Diametral Pich P = »? Z ; t" = TrD"p = n_ P z P

Las dimensiones de los dientes son:

Q" 1. p

h". 2'166 e" = t^ = T_ 2 2P

Una pulgada = 25'4 rniT>,«

5'12 RUEDAS INTERMEDIARIAS Y TRENES

Si se desea transmitir ei movimiento de rotación de un árbol O., a

n.

^="=1

it,

^3 ;

'^^

flj

^£

/ ) ^

o t r o Cu' fijando previamente la relación de velocidades, i, entre el árbol conducido y el conductor (Relación de transmisión) no siempre será práctico emplear un par de ruedas, sino que a veces resulta conveniente recurrir a

- 82 -

varios pares de ruedas bien porque la relación de transmisión sea excesiva­mente débil o grande, bien porque los árboles tengan que girar en sentido opuesto, ya para evitar el empleo de ruedas de gran diámetro al ser la dis­tancia entre ejes muy grande. En estos casos se emplean ruedas intermedia­rias y árboles intermediarios (trenes de Engranaje). De acuerdo a la Fig, (14) tenemos como árboles intermediarios 0^ 0^ paralelos a los O, y 0^ ca­

ra lando en O una rueda dentada que engrane con la calada en O, y en O ot que engrane con las caladas en los árboles O y O „

Llamando n,, n , n " a los números de vueltas por minuto de los ejes O, 0 0 O respectivamente • "

_1 = £x ? _3 ^ X l ; -i = ll multiplicando ^2 "2 r3 , "3 ., Í4

M, Tenemos

N 4 _ \ j _ y en general para M„ árboles •.

4

H ^ r.

Es decirá que la relación de transmisión del árbol conducido al motor es la misma que si engranasen directamente, independiente del número y ra­dio de las tuedas intermediarias.

In (

( 2

" 3

"2

-' -

^

- •

-

3

Tenemos r

"2

"3

"2

' 3 '

' \'~

1

• -

»

ri Tz

• •

¿2 n,

"4

z ,

^2

(1 . *

= 2 ,

^2

"3

"4

^3

= 4

5 \

0

" '

"4 " I

i

podemos

•• -

z ,

y en general;

- 83 -

nm n.

La relación es independiente del número de dientes de las ruedas inter­mediarias. - • • - . .

5'12 A RUEDAS INTERMEDIAS.

En el tren de engranajes que representa la (Fig. 14) anterior^ el árbol O tiene dos ruedas, la conducida B que es movida por la A y la con­ductora C que mueve a la D, Algunas veces en lugar de dos ruedas en un mismo árbol, solo se pone una la cual funciona a la vez como conducida y conductora, "sta rueda se llama intermedia, cambia el sentido de la rotación de la terceía pero no la velocidad transmitida.

^

M

^

-<y.. E - ^ . f l "

o. ' \ ' f

La Fig, adjunta indica el modo de disponer de una rueda intennedia. El movimiento se origina en la rueda conductora M, esta transmite el movi -miento a la rueda intermedia I a su vez esta actúa como conductora de la rueda C Tenemos entonces que la rueda I es conducida y conductora a la vez si n, y n es el número de RoPoM» de las ruedas M y C y D, d d los diámetros de las tres ruedas respectivamente (Recuérdese que en lugar de 105 diámetros pueden usarse los radios primitivos o los números de dientes según convenga).

Aplicando lo ya conocido en engranajes tenemos;

^2, ^3 _ ProJuc&o Je. ef>, Tp, z..~ FueJeLS y£>/)c/ucfd^s

- 84 -

n.,

d n, I

1 = Zm ¿f jSÍ.Zc

Zm Zl

Esta expresión demuestra que C, da exactamente el mismo número de re­voluciones que daría si no hubiese rueda intermedia, o sea si engranase con la motriz M directamente.

Generalmente para variar la velocidad de la transmisión se reemplaza la rueda M o la C con una de distinto tamaño. La rueda intermedia gira so­bre un eje o^ puede correrse en una ranura para que la rueda engrane con las distintos tamaños de ruedas que se colocan bien en el eje O, o en el

5'13 TREN DK ENGRANAJES.

El sistema de ruedas intermediarias visto otras constituye un tren de engranajes cilindrico, destinado a producir un trabajo de rotación en el eje 4.

Vamos a suponer un tren sencilloi

- 85 -

Suponiendo que el eje X, de la rueda A sea el del motor, l'a.s ruedas A, C,E son llamadas Conductoras y las B D F Conducidas, si una rueda es simul­táneamente conductora y conducida, como sucede con la z = I de la Fig, B. Se denomina Rueda Parásita o intermedia, ya hemos visto qu^ la inclusión de una rueda parásita no varía la relación, de transmisión, pero sirve para cambiar el sentido de rotación del árbol conducido final,

RELACIÓN DE TRANSMISIÓN.

Atendiendo a la figuraJ6ftLlamando n, , n„ , n , n , a los números de vueltas por minuto de los ejes x,, x , x , x respectivamente y Za, Zb, Zc, Zd, Ze, Zf, a los números de dientes de las ruedas A, B, C, D, E, F se tiene:

Zf

1 =

"2

"4

" I

Za Zb

"2

" 3

'' " 2

^ 3

" 2

=

" 4

" 3

Zc Zd

=

« 9

Za Zb

"4

" 3

Zc Zd

=

Ze Zf 0^)

La relación de transmisión del tren se obtiene dividiendo el producto de los números de dientes de las ruedas conductoras, por el producto de los números de dientes de las ruedas conducidas.

Para la relación de transmisión deben tomarse valores enteros ( —) o fracciones sencillas jL , _2 , _3 , ¿ y si este último caso no es posible y

2 3 4 5 los términos del quebrado son primos entre sí, y para evitar la construcción de ruedas especiales si no se precisa gran exactitud, se recurre al empleo de fracciones continuas obteniendo una solución tan aproximada como se quie­ra.

La relación de transmisión es positiva cuando los dos árboles extremos giran en el mismo sentido, es negativa en caso contrario obsérvese además que la relación negativa (13) (Pig, A) es el producto de un número impar (Tres) de relaciones simples . En cambio para la figura 8 se tiene:

"" • i = !k _ .2a _Zc .L. , .2e ' " . ., n, ~ Zb * Zb * Zd * Zf • •

es decír^el producto de un número par de relaciones simples.

Se advierte que la regla anterior es válida solo para cuando las rue -das s'on de dentado EXTERIR pues si una rueda es de dentado interior el en­granaje formado con ella conserva el sentido de rotación.

- 86 -

Conviene, pues en cada caso hacer un esquema para ver el sentido de rotación de los árboles extremos y ver que signo debe atribuirse a la rela­ción de transmisión.

Cuando el valor absoluto de i es mayor que uno i > 1 , el tren se llama multiplicador, caso p.e.de los relojes. Si el valor absoluto de 1 es menor que 1 i<l el tren se llama reductor, siendo este el caso de los tornos, cajas de cambios etc. ^ ~-

USO Y CALCULO DB TRENES DE ENGRANAJE,

Ya hemos visto la necesidad del empleo de trenes de engranajes en los automóviles para conseguir cambios de velocidades y la variación del senti­do de la marcha. Este idéntico problema se presenta en muchos aparatos de elevación, máquinas herramientas etc,.^ El empleo de trenes de engranaje es preciso en general en los siguientes casos:

1, Cuando la relación de transmisión i, difiere mucho de la unidad p.E cuando i = 250 o i = 1:40

2, Cuando i es una fracción irreductible, cuyos términos tienen un gran número de cifras tal como 601/740, pues no es práctico el empleo de ruedas de número de dientes tan grandes,

3. Cuando i es inconmesurable, tal i = \ J 2 o i =ll » pues si se resol­viera con dos ruedas de un número prudencial de dientes la aproximación obtenida en la transmisión sería insuficiente,

4. Cuando los ejes conductor y conducido están distantes el*'uno del otro. Existe además una limitación del número de dientes de cada rueda por las razones siguientes:

a) El número de dientes no puede ser inferior a cierto valor que de­pende del destino del mecanismo. En relojería P E. el número mí­nimo es 6 y excepcionalmente, de 4, En los aparatos de gran sen-cibilidad no conviene bajar de 8 a 10 dientes. En los mecanismos

" . que transmiten esfuerzos de consideración, no conviene bajar de 20 dientes, sin embargo en casos aislados se adoptan piñones de 7 a 9 dientes. Como sucede en los engranajes GLEASON empleados en algunos diferenciales de automóviles,

M ) . El número de dientes tampoco puede ser superior a un cierto limi­te, pues el diámetro de las ruedas no conviene que sea excesivo,

•, - En la construcción de máquinas no es recomendable superar los 200 dientes.

- 87 -

Finalmente es norma constructiva que las relaciones de transmisión par­ciales de los pares de ruedas del tren, no sean superiores a un cierto ll -mite superior es U max = 5. Si el tren se compone de m pares idénticos la relación de transmisión es:

: ^ i - ( | ) " • -

NUMERO DE EJES MÍNIMO,

Una relación de transmisión i, puede ser realizada teóricamente por infinitos trenes. Supongamos, sin embargo que empleamos"m" pares de ruedas idénticos, cuya relación de transmisión parcial sea la máxima admisible jjmíyf^ = Z que depende del máximo y del mínimo número de dientes admisibles

para las ruedas. En estas condiciones según (l?) íT) será el número mínimo de pares de ruedas y tendremos que:

i = Ü max, ; m = log i ^

=/( log//max

El número mínimo de ejes es pues nfl si el valor de m, dado por la fórmula anterior, fuera fraccionario, sc tomaría el número entero inmedia­to superior. El criterio acabado de exponer no es norma general en la práo­tioa que aveces se toma un número de ejes superior al cálculo antes,

CALCULO EXACTO DE UN TREN DE ENGRANAJES.

Dada la relación de transmisión i, se procura ponerla en forma de fracción irreductible. Se descompone esta en el producto de otras parcia­les, de modo que resulten estas últimas dentro de los límites admisibles. Finalmente se multiplican los términos de estas fracciones parciales por factores adecuados, de modo que resulten ruedas de número de dientes dis -ponibles.

Ejemplo: Ejecutar un tren cuya relación de transmisión sea:

i = 78/180

= 7 8 = 1 3 180 30

iongamos que i

= 1 , 13 --3 10

= - 78 18

= 1x20 < 3x20

. 13x5 = 10x5

= 20 . 60

. 65 50

Para que resulte negativa la relación del ejemplo lo. basta interponer

- 88 -

una rueda parásita - .- - -

P. E, Z = 30 dientes,

- - Ejemplo 3o. Supongamos que i = 48 J¡J = 2

Admitimos que Z = 150 z = 30 WMmax = 30 = 5 \ 150

. m = Ig 48 = 2'4 m = 3 log 5

Se ha elegido z = 30 por ser 30 = 2 x 3 x 5

-1 .'•• 7 4 3 Podemos poner: i = _48 = 48x30x30x30 = 2 x3 x5

1 30x30x30 30x30x30

Y descomponer el numerador de esta fracción en los 3 factores siguien­tes:

2^ X 3 X 5 = 120 2^ X 3 X 5 = 120

2 2 x 3 X 5 = 90 con lo que: '.,

120 , _120 , 90 30 30 30

quedando definido el tren de ruedas, constituido por tres ruedas de 120, 120 y 90 dientes y 3 piñones de 30 dientes.

El cálculo aproximado de un tren (casos 2o, y 3o. del ejemplo anterior) puede utilizarse el método de fracciones continuas que nos da una solución satisfactoria.

CLASES DE TRENES, ', ' í / Plano = ejes intermedios

Esférico ... 1. TREN EPICICLOIDAL

2. TREN HIPOCICLOIDAL

3. TREN REDUCTOR DE AVIACIÓN

4. TREN HUMPAGE

5. TREN PECQUEUR

- 89 -

CURVAS Y SUPERFICIES DE RODADURA.

El modo más corriente de transmití..' el movimiento de un órgano de má -quina a otro, es por contacto directo. Para ello una cara o superficie de uno de los órganos se pone en contacto con una semejante del otro, y al «o» verse aquel mueve a e'ste. El ejemplo adjunto representa dos levas a y b que se tocan en el punto P ; si a gira en el sentido de la flecha, b girará en el mismo sentido (Fig. l) _ •

Pi6 i

El movimiento relativo de dos cuerpos en contacto puede ser por resba» lamiente, por lodadura, y por resbalarQiento y rodadura.

Cuando el punto de contacto P m ae halla en la recta que une los centros instantáneos de rotación, so produce resbalamiento, Pero ai, como en la (Fig. 2), está P en ella, los dos cuerpos ruedan uno sobre otro sin resbalar, la condición para que haya rodadura entre dos cuerpos es pues.que el punto de contacto este en la recta que une los centros de rotación.

h'G ¿

- 90 -

Para que dos curvas puedan rodar una sobre otra al girar alrededor de puntos fijos, debe dárseles la forma necesaria al movimiento requerido. Las dos curvas de la Fig, 2, rodarán una sobre otra, si puestas en contacto se les hace girar alrededor de los puntos M y N, respectivamente. Pero es­tas curvas no son cerradas, es decir, si partiendo de cualquier punto se sigue el contorno en una misma dirección es imposible volver al punto de partida. Por lo tanto las curvas E P C no podrá transmitir un movimiento de rotación continuo a la D P F, sino solo durante la fracción de vuelta, Er\ la Fig, 1, trazamos por P la perpendicular n a la tangente común a las dos ^rvas, tal recta denominada normal a las curvas en aquel punto, corta en Q

la recta que une los centros de rotación M y O , Se demuestra que los seg -mentos MA y NQ están en razón inversa de las velocidades angulares de a y b. Llamando Wa y Ws , estas velocidades, se tiene: ^

. , , - : Wb _ MQ Wa " Nq

Esta es una regla general que se aplica a todos los casos de transmi -sión de movimiento por contacto directo,

CICLOIDE, fio 6 . .

Ecuaciones Paramétricas, -

X = r(t - sent) y = r(l - cos t) ^ . '''•

Se denomina así a la curva plana descrita por un punto C de una circunferen­cia que rueda sin resbalar sobre una recta. La base y la ruleta son en este caso, la recta ox y la circunferencia móvil respectivamente.

Para su trazado, dividimos la circunferencia en partes iguales, ocho, por ejemplo, y por los puntos de división 1,2,3,4, tracemos paralelas a la base XX tomemos además, sobre esta recta, los segmentos Col^ = I,Ip = ^o^^ ~ " • ' iguales al arco O'l, Cuando el centro instan­táneo de rotación es I, el punto de la circunferencia que estaba en Co esta­rá en C, punto de intersección de la circunferencia de centro O, con la rec­ta 1-7 pues el arco C,I = Are O'l, Del mismo modo, la circunferencia del centro O y la recta 1-7 se cortan en C que es otro punto de la cicloide

Los puntos C^ , C^ , C_, C^, C, han sido obtenidos de un modo análogo, ¿ D 3 5 4

- 91 -

EPICICLOIDE

Es la curva engendrada por un punto de una circunferencia que rueda sin resbalar sobre otra circunferencia fija que esta en el plano de la pri­mera, siendo la circunferencia móvil exterior con relación a la fija. La circunferencia fija es la base y la móvil la RULETA

Ecuaciones Paramétricas:

X = (R -r) cos t - r cos R 4 r t, • V • • • ^ •• r

y = (R 4 r)Sen t - r sen R 4 i t, ' " ' • ' • ' . r

R = Radio base •;•• _' H-j.

r = Radio ruleta, . ,_:

Para su trazado, se divide la ruleta. O, en partes iguales y sobre la base se toman los arcos Co I|, I,I„ , ^o^-z ••• Iguales al Col, con lo que

tendremos los centros instantáneos de rotación. I,, I-, I.,, correspondien­tes a las posiciones O,, O , O ,,, de la ruleta. Por los puntos de divi -sión, 1,2,3 de la ruleta O, se trazan circunferencias concéntricas con la base cuyas intersecciones con las circunferencias O,, 0^, O, ,,, darán los puntos C,, C , C ,„. de la epicicloide. ptCi * ,-.

HIPOCICLOIDE.

Es la curva engendrada al rodar una circunferencia sobre otra pero interiormente. La circunferencia base es exterior con relación a la rule-

- 92 -

ECUACIONES:

X = (R-r) cos t .|. r cos R-r t , r

y = (R-r) sen t - r sen R-r t , r

Si r = R 2 • '

R X = (R-R) cos t f. R cos R - 2 ^ t,

2 2 R/2

R Y = (R-R) Sen t f R sen R ~ 2 t.

2 2 R72

X = R cos t \ ^ eos t = R cos t 2 2

Para su trazado se divide la circunferencia ruleta en partes iguales en la fig, 8. Se toma el arco Co I,, 1,1.... , = Co 1, se trazan por O, , O-, O - las ruletas y se hallan los puntos C, C-, C_, C... etc. piQ. 5

Fí6 0 - t=¡Ci 5

EVOLVENTE DE CIRCULO - Fi<á 6 .

- 93 -

Es la curva engendrada por un punto M de una recta M.C que se mueve permaneciendo constantemente tangente a una circunferencia. En este movi­miento la recta hace el papel de ruleta y la circunferencia de base

Las ecuaciones paramétricas son;

X = r ( c o s t 4 t sen t )

Y = r (sent — t cos t )

Para su trazado se divide la circunferencia base en un cierto número de partes iguales (8 en la Fig/Jse trazan las tangentes en los puntos de di-visión y se toman las longitudes siguientes

MC = orC A C = T_r ; M,B = Ar AB =irr 4 2

M D = are AD = 3.F r 5 Los puntos M M, M„ así obtenidos 4

son la evolvente de la circunferencia

^ _ _