i, med og om Metode...I denne tekst vil vi forholde os til matematik som et fag, der har nogle metoder og en basal videnskabsteori. Vi vil kun i begrænset omfang forholde os til andre

1

Metoder og

Videnskabsteori

i, med og om

Matematik

Et begrebsapparat til brug i

forberedelsen til SRP med matematik.

2019

Jens Christian Larsen

og

Kasper Bjering Søby Jensen

For Fagkonsulenten i Matematik, Undervisningsministeriet

2

Om forfatterne til denne tekst

Jens Christian Larsen

Cand.scient. i Matematik og Filosofi

Eksamineret matematikvejleder.

Lektor ved Sorø Akademis Skole.

Kasper Bjering Søby Jensen

Cand.scient. i Matematik og Fysik

Ph.d. i matematikkens didaktik.

Lektor ved Roskilde Katedralskole

Indholdsfortegnelse:

1. Indledning ......................................................................................... 3

2. SRP med matematik – hvordan? ....................................................... 7

3. Metoder til at arbejde i matematik .................................................. 12

4. Metoder til at arbejde med matematik ............................................. 33

5. Metoder til at arbejde om matematik............................................... 42

6. Basal videnskabsteori ...................................................................... 51

7. Litteraturliste og materialeoversigt ................................................. 58

3

1. Indledning

»The typical “working mathematician” is a Platonist on weekdays and a

formalist on Sundays. That is, when he is doing mathematics, he is convinced

that he is dealing with an objective reality whose properties he is attempting to

determine. But then, when challenged to give a philosophical account of this

reality, he finds it easiest to pretend that he does not believe in it after all.«

- Reuben Hersh

Denne tekst handler om metoder og basal videnskabsteori i studieretningsprojekter med matematik

på STX og beslægtede uddannelser. Teksten er skrevet til matematiklærere der har brug for en

afklaring af hvilken betydning begreberne ”metode” og ”basal videnskabsteori” konkret kan have i

matematikfaget, når man skal undervise og vejlede gymnasieelever.

Problemet med at skrive en sådan tekst rammes ind af det indledende citat fra den amerikanske

matematikfilosof Reuben Hersh om, at matematematikeren er ”platonist til hverdag og formalist i

weekenden”. Én ting er hvordan matematikere udlægger deres fag i skåltaler og højtragende

diskussioner, noget andet hvad vi foretager os, når vi faktisk arbejder med vores fag.

I denne tekst forstår vi ”metoder i matematik” som det vi foretager os, når vi arbejder med

matematikken. Den efterrationalisering som oftest fremstilles i lærebøger, er ikke en direkte

afspejling af den måde der faktisk arbejdes fagligt med matematik. Ambitionen er et begrebsapparat

som gør eleverne i stand til faktisk at tale om det de har gjort, som metoder.

Denne tilgang afspejler også en afstandtagen til den form for snak om metoder og videnskabsteori

som vi mener glimtvis dominerede i det tidligere Almen Studieforberedelse (AT), hvor det

resulterede i metasnak med fine begreber uden konkretiseret indhold. Ambitionen her er at

elevernes metoder først og fremmest er den konkrete faglige handling, sekundært noget eleven skal

have begreber til at kunne beskrive.

Teksten er bygget op i 5 kapitler. Kapitel 2 indeholder en karakterisering af matematik som et fag

der kan spille tre forskellige roller i SRP. I kapitel 3, 4 og 5 vil de typer af metoder som knytter sig

til hver af de tre roller blive gennemgået én rolle ad gangen. Endeligt vil der i kapitel 6 blive

præsenteret en forståelse af og et begrebsapparat knyttet til ”basal videnskabsteori”.

4

Teksten er et samlet bud på forståelsen. Den er naturligvis hverken udtømmende eller autoritativ, så

faglærere og faggrupper på landets gymnasiale uddannelser opfordres til at tænke videre og ud over

rammen. Omvendt er den et bud på en fælles national kerne for alle de lokale diskussioner der måtte

opstå om, hvordan metoder og basal videnskabsteori skal forstås i matematik.

Hvorfor en tekst om metoder og basal videnskabsteori?

I forbindelse med studieretningsprojektet (SRP) i 3.g har man med gymnasiereformen af 2017

indført, at eleven skal forholde sig til faglige metoder, metodiske overvejelser og basal

videnskabsteori. Men før vi kan komme derhen vil vi give en generel beskrivelse af de tre begreber.

Hermed sætter vi scenen for den specifikke beskrivelse om matematik.

Vi begynder med metoder. For at tage noget som de fleste matematiklærere kan forhold sig til kan

vi se på tilvejebringelse af kaffe1. Man kan frembringe kaffe på mange måder. En måde er at hælde

vand på en kaffemaskine og indsætte et filter med formalet kaffe, trykke på knappen og vente. En

anden måde kræver, at man maler bønnerne først. En tredje måde er at man køber en kop kaffe.

I alle tre tilfælde kan vi opstille en række konkrete handlinger som, hvis udført korrekt, vil

tilvejebringe kaffe. Dette er hvad der kendetegner en metode. At vi kan beskrive en række

handlinger, der bør give et bestemt resultat. Så vi laver en definition:

En metode er en konkret handlingsanvisning.

Selvfølgelig er den ovenstående definition ikke uden problemer, men den inkluderer det der som

minimum må være i en metode, nemlig handlinger som er konkrete.

For at vende tilbage til de tre kaffemetoder, så har de alle tre det samme resultat, nemlig kaffe. Men

metoderne er ikke identiske. Den første metode laver en kop standardkaffe, den anden hvor

bønnerne bliver malet, giver en mere frisk kop kaffe, mens den sidste metode hvor kaffen bliver

købt, kan have meget varierende resultater alt efter hvor kaffen bliver købt.

Dette giver anledning til at vi kan diskuterer metoder i forhold til hinanden. Men en sådan diskus-

sion forudsætter, at vi er enige om målet, og hvordan vi kan afgøre om vi har nået målet. Det kan

være man foretrækker sin kaffe frisk, hvorfor man vil have bønnerne malet, det kan være man er

ligeglad med smagen og derfor enten drikker standardkaffe eller køber kaffen et underlødigt/billigt

1 ” A mathematician is a machine for turning coffee into theorems” Alfréd Rényi.

5

sted. Under alle omstændigheder vil der kunne være en diskussion af målet og hvordan man bedst

når derhen.

Når vi laver en sådan diskussion, så har vi forladt metoderne og betragter dem så at sige udefra. Vi

er i gang med metodiske overvejelser. Vi giver en foreløbig definition:

Metodiske overvejelser er diskussion af en eller flere metoders evne til at nå et bestemt mål, samt

kvaliteten af det/de mål der opnås.

Nu mangler vi at sige noget om videnskabsteori. Dette emne må siges at være ganske stort og

indeholder mange forskellige problemstillinger. I forbindelse med SRP nævnes basal

videnskabsteori, men der angives ikke nogen klar definition af begrebet, hverken i læreplanen eller

vejledningen. En ting videnskabsteori kan anvendes til i forhold til det ovennævnte er, at der gives

en række begreber/nomenklatur om metoder og metodiske overvejelser, samt en klassifikation af

samme. Dermed bliver en del af den basale videnskabsteori det der kaldes metodologi - læren om

metoder. Her vil overvejelser om metoderne og deres anvendelse være fremtrædende snarer end

overvejelser af mere generel karakter.

Basal videnskabsteori kan opfattes som summen af de metodiske overvejelser og de metoder der

konkret indgår i projektet. Således er den basale videnskabsteori hele den figur, der vises oven for.

Enkeltfaglig eller flerfaglig?

I forbindelse med gymnasiereformen i 2017 blev muligheden for at skrive en enkeltfaglig opgave

styrket. I den sammenhæng bliver metoderne, overvejelserne og videnskabsteorien fagspecifik,

fordi den knytter sig til faget matematik og ingen andre fag. Lærerplanen forudsætter at elevens

problemstilling egner sig til et enkeltfagligt projekt, mere end til et flerfagligt. Samt at der skal være

mulighed for inddragelse af metoder og videnskabsteori.

Metode 1 Metode 2 Metode 3

Metodiske overvejelser

6

Hvis man skriver i to fag bliver det nødvendigt at forholde de to fag til hinanden. Idet det må

antages, at metoderne er forskellige, men målet for metoderne kan også være ganske forskellige

grænsende til det inkommensurable. Her er det klart, at eleven kan komme på arbejde i forhold til at

sammentænke de to fag.

Generelt kan overvejelser over de indgående fags metoder ses som metodiske overvejelser, men de

kan også give anledning til videnskabsteoretiske diskussioner, idet andre fag har et andet grundlag

end matematik.

Det der afgør om et studieretningsprojekt egner sig til en enkeltfaglig eller flerfaglig behandling er

selv emnet eller det problem, der søges besvaret. Men det typiske enkeltfaglige projekt vil være

internt matematisk, selvom man kan forstille sig andre muligheder. Eksempelvis er

modelleringsprojekt hvor det modellerede ikke passer ind gymnasiets øvrige fag eller et historisk

projekt med et så snævert teoretisk fokus, at historiefaget ikke ville passe ind.

I denne tekst vil vi forholde os til matematik som et fag, der har nogle metoder og en basal

videnskabsteori. Vi vil kun i begrænset omfang forholde os til andre fag. Dette valg skyldes, at

antallet af kombinationsmuligheder er alt for stort til at det giver mening at beskrive dem alle, og at

flerfaglighed er beskrevet i mange andre tekster. Der hvor der mangler noget er i forbindelse med

matematik som fag.

Et treårigt undervisningsforløb

Hvis eleverne skal være klar til at arbejde med fagets metoder og basale videnskabsteori til SRP,

kræver det at de jævnligt igennem hele deres gymnasieforløb er blevet præsenteret for dette. Det er

næppe tilstrækkeligt at introducere ideen om ”metoder” og ”basal videnskabsteori” i forbindelse

med selve SRP-vejledningen.

Derfor bør man overveje allerede ved opstarten af et hold – særligt på A-niveau – hvordan der

løbende på langs af det samlede matematik-forløb sker en løbende introduktion til metoder og basal

videnskabsteori. Grundlæggende bør begreber inden for metoder og basal videnskabsteori omtales i

de fleste forløb i undervisningen og også gerne være genstand for behandling i selvstændige forløb.

Et sådan fokus vil samtidig bidrage til at opfylde de krav om supplerende stof om metoder og

videnskabsteori, som matematikfagets egne læreplaner forlanger. Der er således tale om at slå flere

fluer med et smæk. Ligeledes vil forløb om matematisk modellering og matematikkens historie

som opfylder krav i det supplerende stof, bidrage til udviklingen af elevernes begreber om metoder

og basal videnskabsteori.

7

2. SRP med matematik – hvordan?

Dette kapitel vil forsøge at sætte nogle begreber på hvordan matematik indgår i en

opgaveformulering. Faget kan spille forskellige roller og en høj grad af bevidsthed om disse hjælper

til at stille skarpt på de rigtige metoder.

En helt central erkendelse om faget matematik er dets duale natur. Matematikken har en ren eller

teoretisk side og en anvendt eller praksisorienteret side. Når vi diskuterer naturen af matematik som

fag, kan vi ikke se bort fra den ene af disse sider, selvom man godt kan i nogle konkrete

matematiske aktiviteter.

Når vi beskæftiger os med den rene matematik har vi vores fokus på studiet af matematiske

strukturer. En matematisk struktur er et abstrakt objekt som på den ene side kun eksisterer i kraft af

vores evne til at tænke. Og på den anden side klart synes at have objektive og absolutte træk som

eksisterer uafhængigt af vores tanker.

En struktur er en samling af relationer mellem nogle objekter. Strukturen har fokus på relationerne

og objekternes deltaljerede egenskaber er for strukturen underordnet, hvorfor vi tænker på

strukturen som en samling relationer mellem positioner, hvor objekter kan placeres.

Vi kan f.eks. tale om at man i Danmark har en politisk struktur med en række positioner, som f.eks.

en statsministerposition. Vi kan diskutere hvilken relation denne position har til de andre positioner,

uden at vi dermed behøver at interessere os for navn, køn, alder, parti, mv. på den der indtager

positionen.

Matematiske strukturer har det særlige kendetegn, at de objekter som indtager positionerne selv er

strukturer. Hvor en politisk struktur trods alt skal udfyldes fra en grundlæggende samling af

objekter – menneskene – så har vi ikke i matematik på samme måde en samling af grundlæggende

objekter. I matematik arbejder vi altså med ”strukturer af strukturer”.

Da matematiske strukturer er abstrakte objekter, har de fleste mennesker brug for at de

materialiseres for at vi kan holde styr på dem. Det gør vi med det matematiske symbolsprog som er

særligt udviklet til netop at kunne beskrive og bearbejde abstrakte strukturer.

Når vi beskæftiger os med den anvendte matematik har vi vores fokus på opstilling og omgang med

matematiske modeller. En matematisk model er en forbindelse mellem et udsnit af den

ekstramatematiske virkelighed og en matematisk struktur, således at analysen af strukturen

forventes at sige noget om virkelighedsudsnittet.

8

Eksempel

En variabel er et eksempel på en matematisk struktur. En variabel er en størrelse der kan antage

værdier og som henter disse værdier fra et velafgrænset domæne. For at kunne tale om den

navngiver vi den med et symbol – almindeligvis et bogstav, f.eks. 𝑥.

En funktion er er matematisk struktur der involverer (mindst) to variable og som beskriver at der

findes en bestemt type relation mellem disse to variable. Relationen præciserer en uafhængig og en

afhængig variabel. De to variable står altså på forskellige positioner i strukturen.

Som vi ved er der mange forskellige strukturer, som alle har det til fælles at de opfylder funktions-

strukturen. Strukturen er den samme, men den kan fyldes forskelligt ud. Ligesom at den politiske

struktur i Danmark er den samme, selvom den kan udfyldes med mange forskellige mennesker.

En relation mellem variablene 𝑦 og 𝑥 som kan beskrives ved udtrykket 𝑦 = 𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑏 opfylder den

relation som funktionsstrukturen beskriver. Der er derfor tale om en funktion. En funktion hvis

relation kan beskrives ved førnævnte udtryk, er i sig selv den struktur vi kalder en lineær funktion.

Relationen mellem 𝑦 og 𝑥 beskrevet ved 𝑦 = 2𝑥 + 50 er et eksempel på en struktur, der udfylder

relationerne i strukturen ”en lineær funktion”. Vi har altså et hierarki af strukturer. 𝑦 = 2𝑥 + 50 er

et eksempel på en struktur der opfylder strukturen 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 som er et eksempel på den

generelle funktionsstruktur. Vi skelner altså ikke skarpt mellem strukturer og objekter, men laver

derimod strukturer af strukturer.

Hvis vi derimod ønsker at modellere et bestemt virkelighedsudsnit bliver øvelsen at udvælge

objekter og relationer fra virkeligheden og matche dem med objekter og relationer i en velvalgt

matematisk struktur.

Vi kan f.eks. lade variablen 𝑥 repræsentere antallet af en bestemt vare lastet på en bestemt vogn og

𝑦 være den samlede vægt af den lastede vogn. Sammenhængen mellem antal lastede varer og

vognens vægt kan da (måske) beskrives ved funktionen 𝑦 = 2𝑥 + 50.

En matematisk struktur der på denne måde bruges til at beskrive et forhold uden for matematikken

vil vi her kalde for en matematisk model. Vi skelner altså mellem på den ene side et objekt fra den

rene matematik (en struktur), som kan undersøges og teori-beskrives. Og på den anden side et

objekt fra den anvendte matematik (en model) som kan bruges til at anvende matematikken på

problemstillinger uden for matematikken.

9

Matematikkens tre roller

Når elever skal skrive SRP og når læreren skal stille en opgaveformulering, så bør man være sig

bevidst om at matematikfaget spiller forskellige roller. Vi vil her skitsere tre grundlæggende roller,

som almindeligvis sameksisterer i opgaveformuleringen og opgavebesvarelsen.

Vi vil tale om at arbejde i matematik, med matematik og om matematik. Denne skelnen kan hjælpe

til at stille skarpt på hvilke typer af metoder der skal bringes i spil i opgaven.

Når vi arbejder i matematik, har vi fokus på fagets rene teoretiske side. Vi arbejder altså med

matematiske strukturer. Metodisk set ligger fokus i en i-rolle på at anvende matematikkens egne

metoder på at undersøge matematikkens egne objekter – de matematiske strukturer.

I afsnit 3 vil der blive gennemgået en række af disse metoder hentet indefra.

Når vi arbejder med matematik, har vi fokus på fagets anvendte side. Vi arbejder altså med

matematiske modeller. Metodisk set kan vi i denne rolle opfatte matematikken som en metode

anvendt til at undersøge objekter fra et ikke-matematisk aktivitetsfelt – ofte et af de andre fag i den

gymnasiale fagrække.

I afsnit 4 vil der blive gennemgået en række af de metodiske overvejelser vi gør i matematikfaget,

når det skal anvendes som ekstramatematisk metode.

Endelig kan vi arbejde om matematik. Her gør vi matematikfaget selv til genstand for vores

undersøgelse, som oftest vil blive udført med metoder hentet fra andre fag i den gymnasiale

fagrække.

I afsnit 5 vil vi diskutere en række metodiske overvejelser fra matematikfaget knyttet til

undersøgelser af faget selv.

Det er dog helt afgørende for forståelsen af de tre roller at man husker, at faget næsten altid vil

spille mindst to og oftest alle tre roller i løbet af en opgave. I det følgende vil der blive givet en

række konkrete eksempler på de tre roller.

10

Eksempel på rollen ”i matematik”

Det er vanskeligt at forestille sig en SRP-opgave, hvor matematik ikke optræder i denne rolle. Dels

fordi den kan være nødvendig som grundlag for at indtage en af de andre roller. Dels fordi det er i

denne rolle at vi som fagpersoner typisk vil identificere fagets egen kernefaglighed.

Vi kan godt forestille os SRP-problemstillinger der alene bevæger sig i denne rolle, men det vil i

hovedreglen kun finde sted i et-faglige-projekter. Eksempler på sådanne emner kunne være:

Komplekse tal og fraktaler.

Keglesnit – grafisk og analytisk.

Gödels sætning og matematikkens grundlag

Lineær algebra og systemer af lineære differentialligninger.

Ikke-euklidisk geometri.

Man kan lave listen længere ved at uddybe de emner i læreplanen som adskiller A-niveauet fra B-

niveauet, f.eks. vektorfunktioner og funktioner af to variable, eller ved at kigge i pensum fra

opstarten på matematikstudiet. En anden inspirationskilde kan være emner fra den tidligere større

skriftlige opgave før 2005-reformen. En rent enkeltfaglig matematik-SRP kan naturligvis kun

skrives på A-niveau og skal opfylde læreplanens krav om at eleven skal demonstrere evne til at

benytte ”forskellige faglige tilgange og metoder” i besvarelsen af opgaveformuleringen.

Eksempel på rollen ”med matematik”

Det mest almindelige er at matematik deltager i med-rollen i samspil med andre fag. Det sker i

udgangspunktet ved at der opbygges en matematisk model til beskrivelse af genstande fra det andet

fags genstandsfelt og således bliver matematik til en metode for dette andet fag. Almindeligvis vil

der i samme SRP være en forudgående redegørelse med matematik i en i matematik-rolle, hvor

metoder knyttet til denne rolle anvendes til fremstilling af den senere anvendte matematiske teori.

Eksempler på problemstillinger der involverer rollen med matematik i samspil med

Fysik: Det skrå kast, arbejdsprocesser, bevægelse i væsker, relativitetsteori, mv.

Kemi: Reaktioners forløb, kortlægning af koncentrationer, mv.

Biologi: Populationer, kredsløb, udveksling af stoffer i organismer, mv.

Astronomi: Beskrivelse af solsystemet, effekter af meteornedslag, mv.

Idræt: Kast, hop, spring, løb, spilteoretiske modeller over strategier, mv.

Samfundsfag: Nationalregnskabsligningen, ulighed, meningsmålinger, mv.

11

Historie: Spilteoretisk model af beslutningsforløb, epidemimodel over sygdomsforløb, osv.

Listen kan laves længere ved at søge i matematisk formulerede teorier inden for de andre fag, ved at

finde eksisterende modeller der allerede er anvendt i de andre fag eller ved på egen hånd at finde et

fænomen i et andet fag, som man ønsker at opstille og anvende en model på.

Eksempel på rollen om matematik:

Om-rollen er ligesom med-rollen mest oplagt i samspil med andre fag, hvor det er det andet fags

opgave at anvende sine metoder til at studere matematikken som et objekt. Det kan enten være et

direkte studie af matematikfaget, et studie af en situation hvor faget spiller en særlig rolle eller en

sammenligning mellem en forståelse af et bestemt begreb i matematikken og i det andet fag.

Eksempler på problemstillinger om matematik der studerer matematikken direkte:

Historie: Sandsynlighedsregningens historie, hvem opfandt differentialregningen, osv.

Dansk: Formidling af matematiske emner, f.eks. ”uendelighed”, ”fraktaler”, mv.

Filosofi: Er matematikken opfundet eller opdaget, findes matematikken – f.eks. tallene, m.v.

Psykologi: Matematik som kognitivt fænomen (læring af matematik, matematikangst, mv.).

Eksempler på problemstillinger om matematik der studerer matematikkens rolle:

Historie: Matematikken i oldtidssamfundene, brydningen af Enigma, kvinder og matematik, mv.

Sprog: Matematikken i litterære værker, fx. Alice i Eventyrland, kulturhistorisk betydning, mv.

Samfundsdag: Matematikkens betydning ved indkomstdannelse, socialisering, mv.

Religion: Gudsbeviser, Er Gud matematiker (altså arkitekten bag en beregnelig verden)?

Eksempler på problemstillinger om matematik der sammenligner matematik og andet fag:

Dansk: Betydningen af begreber som metafor og tautologi i sprog og matematik.

Filosofi: Logik brugt som argumentation i matematik og filosofi.

Oldtidskundskab: Hvad er sandhed – Platon vs. Hilbert, Frege, Russel, Gödel, m.fl.?

Et åbent spørgsmål til om-rollen er, om vi kan kredse et egentligt sæt metoder i matematik ind som

knytter sig til denne rolle. Eller om metoderne knyttet til rollen hører til det andet fag, mens

matematik må spille i- og/eller med-roller for at kunne gøres til genstand for det påkrævede

studium. Præmissen her er, at det giver mening at tale om at matematikkens metoder må tilpasse sig

at der er tale om en om-situation.

12

3. Metoder til at arbejde i matematik

Den klassiske forståelse af arbejdet med matematikkens rene teori er ofte farvet af den såkaldte

DSB-matematik bygget op over ”Definition-Sætning-Bevis”. Afsnittet her vil forsøge at nuancere

denne opbygning.

Nuanceringen er ikke påkrævet fordi DSB-konstruktionerne er overflødige. Tværtimod udgør disse

selve kernen i arbejdet med matematisk teori og vil have en vigtig plads afsnittet igennem. Men det

at kunne udfolde sig kompetent inden for matematisk teori indeholder meget mere, end blot at

kunne opstille disse klassiske bevisskemaer.

Matematikkens teori beskriver egenskaber ved matematiske strukturer. Hovedkomponenterne i

beskrivelsen af disse egenskaber er definitioner og sætninger. Beviserne derimod er ikke i sig selv

en del af teorien, men er derimod netop en metode til at retfærdiggøre teorien.

Beviser er dog ikke den eneste måde at retfærdiggøre udsagn fra matematikkens teori. Derfor vil

afsnittet behandle også andre typer af matematiske ræsonnementer samt en sammenlignende

fremstilling af arbejdet med analytiske, numeriske og grafiske metoder til undersøgelser.

Matematikkens metoder bør dog ikke afgrænses alene til det man kan gøre for at retfærdiggøre

teoriens indhold. Det at fremstille teorien som et sammenhængende system af udsagn (herunder

især sætninger) kræver i sig selv udfoldelse af matematisk kompetence som her regnes for metode.

Til sådanne fremstillinger hører omgangen med matematiske begreber, herunder deres formelle

definitioner. Det er en særlig egenskab ved det matematiske objekt at det i praksis først opnår sin

eksistens i kraft af den begrebslige præcisering af objektets egenskaber. Det opfattes derfor her som

en særskilt matematisk metode at kunne afklare begreber og anvende denne afklaring.

Endeligt hører omgangen med det særlige matematiske symbolsprog, der ofte fremstår som en

forudsætning for overhovedet at kunne begrebsliggøre matematiske objekter og deres egenskaber,

også til i begrebet metode.

Med ”metoder til at arbejde i matematik” forstås altså her en forholdsvis bred samling af ”de ting vi

gør”, når vi undersøger matematiske objekter (strukturer).

Det er helt afgørende at metoderne ikke tænkes som noget der alene præsenteres i et sent SRP-

forberedende forløb. Tværtimod er alle metoderne centrale aspekter af den daglige undervisning og

bør her allerede fra starten i 1.g behandles, så det forbereder eleverne på at kunne anvende disse

som eksplicitte artikulerede metoder og ikke blot som en underforstået praksis.

13

3.1 Notation

Matematikkens særlige symbolsprog er formentlig en næsten uomgængelig forudsætning for at

kunne gøre matematiske objekter til genstand for undersøgelse. Og helt sikkert uundværlig for at vi

kan kommunikere med hinanden om objekterne og vores resultater af at undersøge dem.

At kunne formulere ting skarpt og præcist med matematisk symbolsprog udgør således i sig selv en

vigtig metode for arbejdet i matematik. Arbejdet med at lære dette symbolsprog starter i den

almindelige undervisning i grundforløbet og varer helt frem til udgangen af 3.g – herunder ved

udarbejdelsen af SRP i matematik eller matematikholdige fag.

Fra den daglige undervisning forventes eleverne at kunne udtrykke regneoperationer og løsning af

ligninger i et korrekt symbolsprog. At kunne opstille, omskrive og reducere udtryk med bogstaver

(oftest i kombination med tal). At kunne beskrive og bearbejde objekter som vektorer og funktioner

i et standardsymbolsprog.

Den daglige træning fra timerne og de skriftlige afleveringer skal forberede eleverne til en stringent

og korrekt brug af symbolsprog. I denne henseende også til en passende dokumentation af

symbolanvendelse der trækker på programsprog fra et elektronisk hjælpemiddel.

Det er således en del af forberedelsen til SRP-arbejdet, at eleverne løbende i undervisning og

afleveringer trænes i korrekt anvendelse af standard-symbolsproget. Når der i arbejdet med

kernestoffet indføres nyt symbolsprog, bør det præsenteres på en måde, så eleverne træner det at

indføre symbolsprog som et nødvendigt metodisk greb for at kunne arbejde med matematik.

Når SRP-processen nærmer sig sin kulmination, bør fokus på den bevidste indførelse af notation til

beskrivelse af matematiske objekter tage til. En mulighed er at lave forløb der har arbejdet med

notation som sit eget særskilte formål. Et velegnet emne til et sådan forløb kunne være mængdelære

og eventuelt formel logik (se Didaktisk idé 3.1.1). Emnet har endvidere den styrke, at den kan være

forberedende specifikt til en række matematikholdige SRP-problemstillinger.

En mulighed er også at der i arbejdet med typiske 3.g-emner som funktioner af to variable og

differentialligninger arbejdes meget bevidst med den notation der må tilpasses og indføres for at

kunne arbejde med disse for eleverne ret nye klasser af matematiske objekter.

Endeligt er der også den mulighed, at man i forbindelse med træning i forberedelsesmaterialer til

skriftlig eksamen har et særligt fokus på den notation der indføres i disse.

14

Eksempel 3.1.A:

I en SRP om uendelige følger og rækker må der indføres en notation for sådanne. Det kan f.eks.

involvere indføring af symboler som (𝑎𝑛) og ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 . Her bliver det at lave en præcis præsentation

af et symbolsprog og efterfølgende anvende dette stringent, et særligt greb, der muliggør at disse

nye og for eleverne ret komplicerede objekter overhovedet kan tilgås. Det bliver altså et

selvstændigt metodisk greb at indføre og anvende ”ny” notation.

Eksempel 3.1.B:

I en SRP om dobbeltintegraler bliver udvidelsen af den velkendte notation ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎 til den

lignende men alligevel nye ∫ (∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)ℎ(𝑥)

𝑔(𝑥)𝑑𝑦)

𝑏

𝑎𝑑𝑥 afgørende for at dobbeltintegraler som

matematisk objekt kan gøres til genstand for undersøgelse. Altså et metodisk greb.

Eksempel 3.1.C:

I en SRP om talteori bliver indførelsen af symboler som 𝑀𝑂𝐷, ≡, 𝑠𝑓𝑑, [𝑋]𝑛 samt | og ∤ til vigtige

værktøjer for at kunne tale om tallene som objekter i sig selv der kan undersøges dybere.

Didaktisk idé 3.1.1:

På et dygtigt og interesseret A-niveau-hold kunne et forløb på tværs af alle 3 år med jævnlige

nedslag i mængdelære og formel logik være med til at sætte et vedvarende fokus på matematisk

symbolsprog som metode. Forløbet kan dels bestå af kortere eksplicit introduktion til begreber og

symboler i mængdelære og logik, dels at disse inddrages som en del af de øvrige forløb.

Et skitse til en progressionsplan kunne være:

1.g: Mængdelærens grundbegreber baseret på Venn-diagrammer. Kan anvendes i forløb om

deskriptiv statistik, kombinatorik og sandsynlighed, introduktion til funktioner, mv.

Udsagnslogik: Fokus på betydningen af logiske konnektiver (f.eks. ∨, ∧, ⇒ og ⇔) via

sandhedstabeller. Kan f.eks. inddrages i ligningsløsning, andengradsligninger, mv.

2.g: Formel mængdelære med mængde-klammer og logiske udsagn. Kan anvendes i forløb

om analytisk geometri (punktmængde), trigonometriske funktioner, mv.

Prædikatslogik: Fokus på betydningen af kvantorer (∀ og ∃) og disses anvendelse i

opskrivningen af matematiske definitioner og sætninger. Kan inddrages i videregående

arbejde med funktioner (f.eks. grænseværdi, kontinuitet og differentiabilitet).

15

3.g: Avanceret mængdelære: Mængdeprodukt, potensmængde, relationer. Overvejelser om

metriske rum, f.eks. begrebet ”omegn”, til anvendelse i infinitesimalregning.

For hold med mindre potentiale kan man stoppe progressionen tidligere og strække den tilsvarende

ud. Man kan også holde sig til mængdelæren eller den formelle logik. Endeligt er et samlet SRP-

forberedende forløb i første halvdel af 3.g med eksempler fra det kendte kernestof også en

mulighed. Det vigtigste er at der hele vejen igennem er fokus på ideen om notation som en metode.

I de fleste lærebøger fra perioden 1960-1985 behandles mængdelære og logik dybdegående. Det

kan f.eks. dreje sig om Kristensen og Rindung eller de tidligste bøger af Carstensen og Frandsen.

3.2 Begrebsafklaring

I forrige afsnit blev det matematiske symbolsprog fremhævet som en væsentlig forudsætning for

overhovedet at kunne tilgå matematikkens objekter. En anden væsentlig betingelse for at kunne

tilgå og kommunikere om disse, er den præcise afklaring af begreber.

I 1981 introducerede David Tall og Schlomo Vinner i Educational Studies in Mathematics ideerne

om begrebsbillede (“concept image”) og begrebsdefinition (“concept definition”). Et begrebsbillede

er den samlede kognitive struktur der hos det enkelte individ er forbundet med begrebet, herunder

mentale billeder, egenskaber og processer. Modsat står ideen om den formelle begrebsdefinition.

Hos elever der starter i 1.g eksisterer der ofte stærke begrebsbilleder, men meget få

begrebsdefinitioner. Eksempelvis har eleverne meget svært ved at forklare hvad en cirkel er. Typisk

vil de forklare det som ”noget rundt”, men vil samtidigt have nemt ved at se på runde (f.eks. ovale)

figurer hvis de ikke er cirkler. Eleverne kan genkende en cirkel når de ser den, fordi de har et stærkt

og veludviklet begrebsbillede, men kan ikke forklare hvad en cirkel er, for de har ingen

begrebsdefinition.

Tilsvarende kan opleves i forholdet mellem begrebet rektangel og begrebet kvadrat. Eleverne har et

klart billede af at et kvadrat er en firkant med ”lige lange sider”, men kan omvendt godt se at en

rombe ikke behøver at være et kvadrat. Tilsvarende kan de godt se at et rektangel ikke bare er et

parallelogram, men må være en firkant med rette vinkler (som ordet ”rekt angel” jo dybest set

antyder). Men få elever vil ved ankomsten til gymnasiet anerkende, at et kvadrat er et rektangel.

16

Der kan gives mange andre eksempler på begreber som eleverne har mere eller mindre tydelige

billeder af, men kun meget svage definitioner på. F.eks. funktion, ligning, brøk, sandsynlighed, mv.

Det skaber derfor usikkerhed når man som lærer stiller grundlæggende ”hvad er…” spørgsmål.

Et klassisk eksempel på en effekt af svage begrebsdefinitioner, kan være når eleverne i 2.g skal

optimere arealet af et rektangel med en bestemt omkreds. Svaret ”det kan ikke lade sig gøre”

optræder ofte, fordi eleven er kommet frem til at siderne skal være lige lange. Altså et kvadrat.

Det viser alt sammen behovet for at arbejde systematisk med afklaring af begreber, herunder

formelle definitioner. Og det viser at begrebsafklaring ikke kan overlades til den rene intuitive

induktion og generalisering. Der må arbejdes med at opstille præcise begreber, herunder særligt

formelle definitioner, og derudover med rækkevidden af en definition.

Samtidig er den præcise begrebsdefinition et helt afgørende metodisk greb i matematikken. Det

matematiske objekt kan ikke sanses. Den eneste ”materialisering” af objektet vi har mulighed for at

bearbejde, er således en formulering inden for et præcist sprog (typisk en formel definition).

Den præcise begrebsafklaring er altså i en vis forstand for matematikken, hvad tilrettelæggelsen af

et forsøg er for fysikken. Det er forudsætningen for at kunne påbegynde indhøstningen af indsigter.

Fra et metode-synspunkt altså en meget vigtig ting. Og det fremhæves også af at begrebsafklaringen

optræder som D’et i den klassiske DSB-konstruktion (Definition-Sætning-Bevis).

Eksempel 3.2.A:

I en SRP om fraktaler er det for dygtige elever relativt simpelt at opbygge et begrebsbillede om

fraktaler, mens den præcise definition kan volde mange vanskeligheder. Ikke desto mindre er

afklaringen af begrebet fraktal et nødvendigt metodisk greb for at kunne få en egentlig indsigt i

denne klasse af objekter. Det samme gælder de forskellige dimensionsbegreber der knytter sig til

fraktaler.

Eksempel 3.2.B:

I en SRP om keglesnit vil eleven nemt kunne opnå et begrebsbillede om figurer som parabel og

hyperbel fra graferne for 𝑥2 og 1

𝑥 samt cirkler og ellipser fra almindelig skolegeometri og

fysikundervisningens omtale af planetbaner. De præcise definitioner som er forudsætningen for en

stringent dybdegående undersøgelse af disse figurer er imidlertid fjern for mange elever. Den

præcise begrebsafklaring vil være forudsætningen for at kunne begynde de egentlige undersøgelser.

Altså et nødvendigt metodisk greb.

17

Eksempel 3.3.C:

I en SRP om trigonometriske og hyperbolske funktioner vil eleven have brug for meget præcise

begreber for at afgrænse ikke bare sinus og cosinus, men også tangens, secant, sinushyperbolsk,

cosinushybolsk, arcus- og arealfunktioner, mv. Fortolkningen af argumentet i de hyperbolske

funktioner vil f.eks. kræve særlig fokus på begrebsafklaring.

Didaktisk idé 3.2.1

Der kan tænkes i en samlet plan på tværs af de 3 år for hvordan der arbejdes med begrebsdefinition

som bevidst aktivitet i arbejdet på tværs af de tre år, f.eks. inden for fagets tre søjler:

Geometri: På et tidligt tidspunkt kan man arbejde med definitioner der bygger oven på

skolegeometrien og ved samme lejlighed repetere simple plane figurer. Spørgsmål til eleverne

kunne f.eks. være:

Hvad er en cirkel? Er en cirkel en ellipse?

Er en ligesidet trekant ligebenet?

Et rektangel er en firkant med fire rette vinkler. Er et kvadrat et rektangel?

Hvorfor er en rombe et parallelogram?

Er der forskel på et rektangel med lige lange sider og en rombe med rette vinkler?

Er et kvadrat et trapez?

Der kan her dykkes yderligere ned i f.eks. hierarkiet af firkanter, med komplekse, konkave og

konvekse firkanter, pseudotrekanter, mv.2

På et senere tidspunkt kan man f.eks. i forbindelse med den analytiske geometri tage fat på mere

stringente definitioner af cirkler og parabler som eleverne ”kender godt” og ellipser og hyperbler

som de formentlig har et mere løst forhold til.

Funktioner: Begrebet ”funktion” har en definition der gør det muligt at se funktioner rigtigt mange

steder omkring sig. Det er således ganske velegnet til at træne ideen om ”rækkevidde” af en

begrebsdefinition. I den forbindelse kunne begreber som voksende, aftagende, monoton, injektiv,

surjektiv, bijektiv, mv. lægges oven på. Spørgsmål til eleverne kunne indledningsvis være:

Hvorfor er 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 7 en funktion? Er 𝑦 = −3𝑥 + 2 også en funktion?

2 https://en.wikipedia.org/wiki/Quadrilateral

https://en.wikipedia.org/wiki/Quadrilateral

18

Er en liste over dine karakterer en funktion? Hvad med en liste over dit fravær?

Er relationen ”har som mor” en funktion? Er relationen ”bror til” en funktion?

Er arealet af en cirkel en funktion af dens omkreds? Samme spørgsmål for et rektangel.

På et senere tidspunkt kan man inddrage en stringent behandling af definitionen på begrebet

differentialkvotient baseret på en typisk intuitiv forståelse af begreberne grænseværdi og kontinuitet,

blot for at vende tilbage til disse begreber og arbejde med en stringent definition.

Statistik og sandsynlighedsregning: I det indledende arbejde med deskriptiv statistik støder man

ofte på forhåndsideer om begreber der strider mod gymnasiets definition. Et eksempel er begrebet

outlier i forbindelse med boksplots, som mange elever opfatter som noget der ligger ”udenfor”

boksplottet, hvilket kan betyde at de misser definitionen ”1,5 kvartilbredde under nedre/over øvre

kvartil”. Den slags modstrid bør ses som anledning til at arbejde med begrebsafklaring.

På et senere tidspunkt vil eleverne have et stærkt begrebsbillede af sandsynlighed, mens de typisk

mangler en begrebsdefinition. De vil forklare betydningen ved at henvise til ækvivalente begreber

som risiko og chance. Det er en god anledning til at diskutere umuligheden af at definere begreber

alene ved at henvise til ækvivalente begreber.

En plan for hvordan der gennemgående arbejdes med fokus på vigtigheden og rækkevidden af

præcise begrebsafklaringer kan således forberede eleverne på begrebsafklaring som metode i SRP.

3.3 Teorifremstilling

Når vi med matematiske symboler og matematiske begreber bliver i stand til at gøre matematiske

objekter til genstand for undersøgelse, kan vi begynde at opbygge matematisk teori. Matematisk

teori er som udgangspunkt opbygget af sætninger der udsiger sandheder om matematiske objekter.

For elever er det ikke sikkert at begrebet ”sætning” står centralt i omgangen med teorien. Her vil det

fremstå som f.eks. formler, gode ideer og ting der skal huskes uden ad. Elever vil ofte også besidde

mere fejlagtige forståelser, f.eks. at teorien udtrykker besluttede konventioner, noget læreren påstår

eller slet og ret selvindlysende sandheder.

Den nystartede gymnasielev har typisk en lav bevidsthed om sit kendskab til formler som en

egentlig teori, men opfatter det snarer som løsrevne regler. Ofte har eleven ikke hørt ordet sætning

brugt om andet end ”Pythagoras læresætning”, der tit blot omtales ”Pythagoras”.

19

Et eksempel på elevernes svære skelnen opleves i arbejde med retvinklede trekanter, hvor elever

ofte ankommer med forestillingen om at definitionen på tangens er ”modstående divideret med

hosliggende”. Eleven har her ikke lært at skelne definition fra sætning og kan ikke se at en sådan

”definition” bygger på en antagelse om at dette forhold er konstant for en given vinkel.

Der påhviler altså matematikundervisningen en stor opgave i at få etableret ideen om sætninger som

byggeklodsen i den matematiske teori hos eleven. Her bliver det særligt vigtigt at få det hverdags-

sproglige begreb ”sætning” kendt fra danskfaget adskilt fra det matematiske sætnings-begreb.

Når eleverne skal lære at forstå grundtanken i matematisk teori er det ligeledes vigtigt at få kædet

sætningerne sammen. For eleverne fremstår sætninger nemt som isolerede enkeltstående regler,

mens det for læreren er byggeklodser i en sammenhængende teori om et matematisk objekt.

Meget matematisk arbejde bygger på anvendelse af eksisterende teorier. Det bliver således en ofte

anvendt metode i matematisk arbejde at kunne sætte sig ind i en sammenhængende matematisk teori

omkring de objekter der arbejdes med.

Til dette hører forståelsen af hvordan teorien er bygget op af mange sætninger, hvordan sætninger

kan bringes i anvendelse i arbejdet med objekterne og evnen til at præsentere den teori – eller det

udsnit af teorien – som ens arbejde bygger på. Samlet set vil vi her kalde en sådan metode for en

teorifremstilling.

For matematiklæreren bliver sætninger ofte til et redskab for at lave det vi egentlig er på jagt efter,

nemlig beviset for sætningen (som omtales afsnit 3.6). Men langt det meste matematiske arbejde der

udføres er ikke at bevise sætninger, men derimod at anvende dem til konkrete undersøgelser.

Det er således et helt nødvendigt metodisk greb i meget matematisk arbejde, at man kan læse sig til

teoretisk viden i en pålidelig kilde for derefter selvstændigt at fremstille det udsnit af teorien som er

relevant for undersøgelsen. Herunder en anvendelse af sætnings-begrebet som muliggør at inddrage

teorien aktivt i det videre arbejde.

Eksempel 3.3.A

I en SRP om komplekse tal vil der være brug for som indledning at fremstille ikke bare begreber og

symbolsprog, men også et passende udvalg af sætninger om komplekse tal. Nogle af disse

sætninger vil almindeligvis blive bevist, men det vil sjældent være alle.

20

Eksempel 3.3.B

I en SRP om sfærisk geometri vil der være brug for en fremstilling af den teori der knytter sig til

arbejdet med eksempelvis trigonometriske problemstillinger på overfladen af en kugle. F.eks. de

formler der knytter sig til bestemmelse af sider, vinkler og arealer i sfæriske trekanter.


Det at fremstille matematisk teori kan trænes gennem hele gymnasieforløbet og vil typisk samtidig

træne eleverne i bevidsthed om brug af begrebsafklaring og symbolsprog. En mulighed er at arbejde

med matematik-stile med opgaver af typen ”Skriv to sider om…”. Emnerne opbygges måske bedst

efter klassiske stofområder som ”eksponentialfunktioner”, ”andengradspolynomier” og

”vektorfunktioner”, og stilen kan afleveres som afslutning på forløb om disse områder. En central

pointe kunne være, at der ikke skal indgå beviser i stilen, for øvelsen handler om at fremstille

teorien, ikke om at bevise den.


I forbindelse med repetition ved årsafslutningen (før årsprøve eller eksamen) kan et hold blive sat til

i grupper at lave en samlet oversigt over det gennemgåede stof, hvor grupperne udarbejder en

fremstilling af teorien inden for hvert sit emne. Det samlede produkt kan sættes sammen som en

anvendelig oversigt til efterfølgende prøve eller eksamen. Der kan arbejdes med såvel klassisk

”papir”-tekst som elektroniske formater, f.eks. Wiki. Men det bør nok være et skriftligt produkt.

3.4 Problemløsning: Analytisk, numerisk og grafisk

Når man i matematik har bragt symboler, begreber og teori i spil ved en konkret matematisk

analyse, ender man ofte ud i mere konkrete matematiske problemstillinger, som skal løses. Det kan

f.eks. være løsning af en ligning, bestemmelse af et integral eller beregning af et volumen. Også her

bliver der tale om anvendelse af metoder.

Generelt kan vi opdele sådanne konkrete problemløsningsmetoder i mindst tre kategorier, som vi

her vil kalde for analytisk, numerisk og grafisk. Det er vigtigt at eleverne i løbet af den daglige

undervisning lærer at kende forskel på disse tre typer af metoder, samt deres styrker og svagheder.

Når problemer løses analytisk sker det ved at man slutter sig frem fra udgangspunktet til løsningen.

Et klassisk eksempel er løsning af en ligning ved lovlige omskrivninger. Men analytiske metoder

bruges også når der f.eks. bestemmes afledet funktion eller stamfunktion med ”papir og blyant”.

21

Styrken ved en analytisk metode er, at den almindeligvis er fuldstændig og eksakt. Vi overser ikke

mulige svar på et spørgsmål og de svar vi opnår er præcise. Ulempen er, at der ikke altid findes

analytiske metoder som kan bruges eller at de som kan bruges er for komplicerede.

Når problemer løses numerisk sker det ved at udføre beregninger som forventeligt giver en brugbar

løsning på det opstillede problem. En konkret numerisk metode kan enten være velvalgte ad hoc

beregninger eller gennemafprøvede metoder, som f.eks. Newton-Raphson-metoden til løsning af

ligninger eller Euler-metoden til bestemmelse af løsningskurver for en differentialligning.

Styrken ved numeriske metoder er, at selv meget komplicerede problemer oftest kan findes en

rimelig løsning (evt. med hjælp fra et computerprogram). Ulempen er at en numerisk metode kan

overse mulige løsninger og at den fundne løsning ikke behøver at være præcis. I visse tilfælde ikke

engang brugbar. I nogle situationer kan man estimere præcisionen, mens det i andre situationer kan

være umuligt at afgøre om et svar er brugbart.

Endeligt kan problemer løses grafisk. Det sker almindeligvis ved at en passende tegning konstrueres

og en mere eller mindre præcis løsning af problemet aflæses fra tegningen. Tegningerne kan være

grafer for funktioner, skitser af geometriske figurer og andre visualiseringer af et problem.

Styrken ved grafiske metoder er deres umiddelbare overskuelighed der gør det nemt at se

eksempelvis eksistens af en løsning. Ulempen kan være manglende præcision, den nødvendige

afgrænsning til endelige størrelser og begrænset opløsning på figuren.

Der kan ikke formuleres en præcis afgrænsning mellem de tre typer af problemløsningsmetoder. Og

ofte vil løsning af et problem trække på metoder af mere end én type. Til gengæld er det godt for en

SRP-elev at kunne anvende disse tre begreber til at beskrive sin konkrete løsningsmetode, ikke

mindst som afsæt til en diskussion af styrker og svagheder ved samt rækkevidden af disse. Dette

understreger behovet for at alle tre løsningsmetoder optræder fra starten af 1.g til slutningen af 3.g.

Eksempel 3.4.A

I en SRP om differentialligningssystemer kan det være relevant at arbejde med både analytiske,

numeriske og grafiske metoder. En kombination af de tre kan i sig selv være med til at belyse

præcisionen af numeriske tilnærmelser over for eksakte analytiske svar.

Eksempel 3.4.b

I en SRP om logaritmer kan numeriske metoder anvendes til at bestemme tilnærmede værdier af

tabelværdier for bestemte logaritmer, eksempelvis for den naturlige logaritme ved numerisk

integration (f.eks. ved over- og undersummer) på grafen for 1

𝑥.

22


Tidligt i 1.g kan eleverne forsøge på undersøgende vis at bestemme tilnærmelser til kendte

transcendentale tal som √2, e og 𝜋 med numeriske metoder.


I slutningen af 1.g kan, når eksponential- og logaritmefunktioner er behandlet, gennemføres et mere

grundlæggende forløb om løsning af ligninger med forskellige metoder. Her kan eleverne uden

”solve”-funktioner eksperimentere med at bestemme løsninger til f.eks. ligningen 2𝑥 = 3𝑥 samt

argumentere for at der ikke er løsninger til 2𝑥 = 𝑥. Begge dele kan understøttes af grafiske metoder

hvor skitser af grafer bruges til at opstille formodninger om i hvilken retning der skal gås. Forløbet

kan udvides med analytiske undersøgelser af ligningen, når differentialregning er indført.


I forbindelse med et forløb om differentialligninger kan der arbejdes med et projekt hvor

komplicerede differentialligninger eller systemer af differentialligninger undersøges dels med

analytiske og grafiske metoder (f.eks. faseplan, nulhældningslinjer, ligevægtspunkter, separatrix,

mv.) dels med numeriske metoder (gerne med fuld kontrol – f.eks. i et regneark).

3.5 Det matematiske ræsonnement

En af de helt centrale metoder når vi arbejder med den matematiske teoris anvendelse er det

matematiske ræsonnement. Begrebet ræsonnement rækker ud over det klassiske bevis-begreb (som

omtales særskilt i afsnit 3.6).

Matematisk ræsonnement er således et paraplybegreb for en række argumentationsformer i

matematik. Den form vi kalder et bevis knytter sig til retfærdiggørelsen af de matematiske

sætninger, mens mange andre ræsonnementer bygger på anvendelsen af sætningerne.

Det der kendetegner et ræsonnement er, at der fra nogle indledende præmisser laves en kæde af

individuelle argumenter frem mod en konklusion. Det typiske argument er en implikation (hvis …

så…) eventuelt med en kvantor (for alle, hvis … så…).

Dette har nogle indbyggede komplikationer i forbindelse med undervisning. Studier (Hoyles &

Küchemann (2002)) har vist, at elever generelt har svært ved implikation i forbindelse med

matematik, men ikke nødvendigvis har det i forbindelse med almindelige emner. Således opfatter de

fleste elever følgende to sætninger som udsigende det samme:

23

1. ”Hvis trekant ABC har en ret vinkel C, så gælder 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2”

2. ”Hvis 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 gælder om trekant ABC, så er vinkel 𝐶 ret”

Formelt er der tale om to væsensforskellige udsagn. Elever har dog ofte svært ved at se formålet

med at bevise sætning 2. Der er således god grund til at arbejde grundigt med forskellene på udsagn

af typen ”hvis A så B”, ”hvis B så A” og ”A hvis og kun hvis B”.

Et eksempel på en anvendelse af matematisk ræsonnement er optimeringsproblemer. Et eksempel

kunne være at der skal findes en mindste afstand mellem en funktions graf og et punkt. Her vil

kræves et ræsonnement for at udlede et udtryk der beskriver afstanden og derpå et ræsonnement ud

fra teori om sammenhæng mellem funktion og afledet funktion for at finde minimum.

Proceduren med at opstille en ligning til videre behandling er typisk for matematik. Det kan være at

man opstiller en differentialligning som man vil gøre til genstand for en nærmere matematisk

undersøgelse. I selve opstillingen af differentialligningen vil der ofte være brug for et ræsonnement

i form af en kæde af teoriunderbyggede argumenter.

I forhold til definitioner og sætninger er det ofte således, at man skal vise, at det specielle tilfælde

opfylder definitionen eller de præmisser en sætning baserer sig på. Det kan være at man skal vise, at

en funktion er differentiabel eller at en bestemt vinkel er ret. Typisk kan man komme ud for at

skulle argumenterer for at en sætning er relevant i den sammenhæng man ser på.

Ofte kan ræsonnementer også anvendes til at indkredse om et problem kan løses, hvor mange

løsninger det eventuelt må have samt visse karakteristika ved løsningen. For eksempel kan den

transcendente ligning 2𝑥 = 𝑥 ikke umiddelbart løses med de almindelige værktøjer til

ligningsløsning. Vi kan imidlertid ræsonnere os frem til at ligningen ingen løsning har. På samme

vis kan forskellige ræsonnementer indkredse de to løsninger til 2𝑥 = 3𝑥.

Problemstillingen med manglende forståelse af implikation medfører, at elever typisk har tendens til

at tro at kontinuerte funktioner er differentiable og lignende falske påstande. Således er det

nødvendigt at arbejde med implikation allerede i 1.g. Og her må man ikke forfalde til at tro at

undervisning i beviser i sig selv giver elever en forståelse for implikation. Det er der ikke belæg for

at hævde.

Eksempel 3.5.A

I en SRP om avancerede differentialligninger kan ræsonnementer af forskellig art være med til at

karakterisere centrale egenskaber ved løsninger til en given differentialligning eller klasse af

differentialligninger, f.eks. gennem analyse af hældningsfelter, fasediagrammer, ligevægtsløsninger,

24

mv. Her anvendes teoretiske resultater i differentialregningen til at ræsonnere sig frem til viden om

differentialligningen.

Eksempel 3.5.B

I en SRP om matematisk logik vil det være muligt at dykke helt ned i ræsonnementets inderste

væsen og formalisere dette efter præcise regler. Konkrete ræsonnementer kan hentes fra forskellige

områder af matematikken.

Eksempel 3.5.C

I en SRP om patologiske eksempler kan eleven dykke ned i funktioner som på forskellig vis har

kontraintuitive egenskaber. F.eks. Weistrass’ monster-funktion der er alle steder kontinuert og ingen

steder differentiabel.


Allerede i 1.g bør der arbejdes med implikation som gyldig og ikke-gyldig slutningsform. F.eks.

kan man bede eleverne lave definitioner for en lang række geometriske begreber (f.eks. firkant,

parallelogram, rhombe, kvadrat…) og ordne dem i et hierarki på baggrund af udsagnet ”alle x er y”.

På tilsvarende vis kan der arbejdes med begreber og sætninger i andre emner.


I 2.g og 3.g kan man studere patologiske eksempler af passende kompleksitet, f.eks. for at udfordre

begreber som kontinuitet og differentiabilitet. Med stykkevise funktioner er der mulighed for at

opstille patologiske eksempler, der udfordrer elevernes forforståelse af at matematik er et pænt og

velordnet fag, samt indse at definitioner kan have uventede konsekvenser som må accepteres.

Det er oplagt, at differentiabilitet for en funktion implikerer kontinuitet, mens det er nemt at lave et

eksempel på at det modsatte ikke er tilfældet. Det kan på samme måde virke indlysende for en elev

der i øvrigt kan overskue spørgsmålet, at hvis 𝑓 er differentiabel i 𝑥0, så må 𝑓′ også være det – eller

i det mindste at 𝑓′ må være kontinuert i 𝑥0.

Et patologisk eksempel der kan studeres for at indse at det ikke forholder sig er følgende funktion:

𝑓(𝑥) = {𝑥2 ∙ sin (1

𝑥) , 𝑥 ≠ 0

0, 𝑥 = 0

25

Funktionen 𝑓 er differentiabel alle steder, men dens afledte er ikke kontinuert i 𝑥 = 0. Hermed har

vi et eksempel på en funktion hvor den afledte ikke opfører sig som forventet. Funktionen i sig selv

har endvidere den egenskab at for alle omegne omkring 𝑥 = 0, så er funktionen ikke-monoton. Det

vil sige, at vi har et modeksempel til den forkerte opfattelse at differentiable funktioner er monotone

tæt på punktet hvor de differentieres.

Et andet eksempel er følgende funktion hvis globale minimum ikke kan bestemmes ved

fortegnsundersøgelse:

𝑓(𝑥) = {𝑥4 (2 + sin (1

𝑥)) , 𝑥 ≠ 0

0, 𝑥 = 0

3.6 Beviser i matematik

Det tredje og sidste element i den klassiske DSB-konstruktion er selve beviset. For mange

matematikere udgør beviset selve kernen i matematikfagets identitet. Som tidligere fremført er det

næppe retvisende hvis man ser på hvad fagets udøvere gør, når faget udøves. Men at beviset har en

helt særlig stilling i faget er uomgængeligt.

Ved et bevis vil vi her forstå et ræsonnement (jf. afsnit 3.5) der godtgør at en sætning kan kaldes

sand. Den grundlæggende struktur for et bevis vil vi illustrere på følgende vis:

Med forudsætninger menes det som går forud for sætningen. Her tænkes på definitioner, aksiomer,

antagelser og tidligere beviste sætninger. Beviset er det ræsonnement som med afsæt i

forudsætningerne slutter at sætningen er sand, fordi forudsætningerne er sande.

Sådanne metoder kaldes ofte for aksiomatisk-deduktive og udgør de centrale metoder i matematik-

fagets arbejde med at godtgøre at matematikkens teori er gyldig. Beviset fortjener derfor en særlig

26

plads i enhver snak om matematikkens metoder. Samtidig er der dog god grund til at understrege, at

det at arbejde i matematik består af langt mere end det at lave beviser.

Det vil metodisk set være fornuftigt at kunne skelne mellem forskellige typer af beviser. F.eks.

direkte bevis, baseret på en kæde af ”hvis… så…” slutninger der leder frem til at sætningen gælder.

Bevis ved kontraposition, hvor det udnyttes at hvis 𝑝 medfører 𝑞, så vil ikke-𝑞 med føre ikke-𝑝.

Bevis ved modstrid, hvor 𝑝 bevises ved at se, at ikke-𝑝 fører til en modstrid. Og endeligt

induktionsbeviser, hvor det vises at hvis 𝑝 gælder for 𝑛 gælder det også for 𝑛 + 1 og derefter vise at

𝑝 gælder for en bestemt 𝑛-værdi, f.eks. 1.

Hvis der skrives SRP i matematik vil beviser ofte være et nødvendigt indhold, hvor flere elementer

skal overvejes. Der kan eksempelvis være forskellige beviser for samme sætning, hvor af et skal

vælges. Ofte vil rollen som forudsætning og sætning kunne ombyttes. Og hvis flere sætninger skal

indgå i beviset, skal der gennemtænkes en logisk rækkefølge for præsentationen.

I SRP er det typisk sådan, at eleven præsenterer et bevis andre allerede har nedskrevet. Det vil sige,

at eleverne har en eller flere forfatteres opfattelse af hvad rækkefølgen skal være og eleven benytter

forfatterens valg af bevismetode. Så det forudsætter hos eleven evnen til at udvælge.

Den største fare er at eleven ender med en reproduktion, der nærmer sig plagiat. En løsning på dette

problem er at eleven laver sin egen fremstilling og forklaring af den anvendte bevismetode. Mange

beviser i litteraturen er skrevet med ”huller” læseren selv må udfylde, f.eks. fordi de bygger på

”triviel teknik”. Det giver eleven mulighed for at lave sit eget bidrag til fremstillingen. Ligeledes

bør eleven søge at gøre teksten til sin egen ved at lære bevisets grundtræk og selv skrive

fremstillingen uafhængigt af kilden, samt ensrette symbolsprog hentet fra forskellige kilder.

For at kunne lave sådanne overvejelser på en fornuftig måde må man have en idé om hvilken rolle

det enkelte bevis spiller for den fremstilling man laver. Michael de Villiers (1990) har givet nogle

bud på hvilke roller et bevis kan spille i matematik.

Verifikation (At vise at sætningen er sand)

Forklaring (At vise hvorfor sætningen er sand)

Systematisering (At opbygge et aksiomatisk system)

Opdagelse (opfindelse af nye resultater)

Kommunikation (overførelse af viden)

Når en elev skriver i matematik, så er målgruppen en lærer, hvorfor det oftest er et bevis som

forklaring og som kommunikation, der er de relevante bevisformer.

27

I undervisningen bør man gennem det samlede forløb have fokus på at læse og forstå beviser

afpasset niveau og hold. Dette foregår ofte i den daglige undervisning og bør inkludere tekster hvor

alt ikke bliver forklaret, herunder tekster hvor der er forskellige beviser, som på forskellig vis

afhænger af hinanden. Det kunne på A-niveau være et fuldt bevis for differentiation af sin(𝑥).

Elevers tilgang til beviser kan være meget forskelligt. Didaktikerne Harel og Sowder (2007) har

indført begrebet bevisskemaer, som kort fortalt er hvad der konstituerer overbevisende argumenter

for f.eks. elever. Overordnet skelnes mellem eksterne, empiriske og deduktive bevisskemaer.

De eksterne bevisskemaer er dem hvor det f.eks. er nok at en autoritet siger, at noget er rigtigt, man

behøver som elev ikke gøre noget selv. De empiriske bevisskemaer er dem hvor eleven mener at det

er nok med nogle (tal)eksempler for at være overbevist om at en sætning er rigtig. De deduktive

bevisskemaer, er dem hvor eleven har forstået, at der kræves et deduktivt argument.

Langt de fleste elever har når de begynder i gymnasiet bevisskemaer af de to førstnævnte typer. I

begge tilfælde er problemet at eleven ikke ser noget behov for det matematiske bevis, ud fra

forforståelser som ”kan vi ikke bare regne med formlen” eller ”jeg har lavet et taleksempel og det

passer”. Det er dette problemfelt man skal navigere i hvis eleverne skal lære hvad det vil sige at føre

et matematisk bevis.

Eksempel 3.6.A

I en SRP om summer og rækker kan et udsagn af typen ∑ 𝑘𝑛𝑘=0 =

𝑛(𝑛+1)

2 søges bevist ved et

induktionsbevis, som søges understøttet med brug af en grafisk metode:

Eksempel 3.6.B

I en SRP om tal kan man ved brug af et modstridsbevis vise at tallet √2 ikke er rationalt, mens man

ved direkte bevis kan vise at hvis 𝑥 er lige, så er 𝑥2 ulige og dermed ved kontraposition have vist, at

hvis 𝑥2 er ulige, så må 𝑥 være ulige.

28

Eksempel 3.6.B

I en SRP om det gyldne snit kan der arbejdes med problemet med at fremstille et bevis fra en

eksisterende tekst på sin egen måde. En typisk faldgrube her vil være at teksten anvender en

notation, der anvender symboler i en sammenhæng som eleven er vant til at se i en anden

sammenhæng. Således er der ofte et behov for at oversætte mellem forskellige notationsformer.

Om det gyldne snit står der typisk 𝑎+𝑏

𝑎=

𝑎

𝑏. Dette er udgangspunktet for at bevise at ratioen er

løsning til andengradsligningen 𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0, hvor 𝑥 =𝑎

𝑏. Nu skal ligningen løses og en elev

ville f.eks. bruge rodformlen: 𝑥 =−𝑏±√𝑑

2𝑎. Men her er der et problem idet 𝑎 og 𝑏 i rodformlen

betyder noget andet end 𝑎 og 𝑏 i formlen for det gyldne snit. For at kunne kommunikere beviset

skal en elev være opmærksom på denne forskel og skrive sig ud af det. Her kommer det

kommunikative aspekt af beviser frem.


De franske matematikdidaktikere Alibert (1988) og Legrand (2001) har ved universitetet i Grenoble

fundet på ideen om den videnskabelige samtale. Tanken er den, at for at kunne argumenterer

matematisk, så må man som elev øve sig. En videnskabelig samtale er konstrueret, så der er et emne

hvor om eleverne finder på hypoteser. Lærerens arbejde er at gengive hypoteserne på tavlen uden at

angive sin egen holdning til sandheden af udsagnene. Når der er et passende antal hypoteser, går

man videre til næste fase hvor læreren er ordstyrer og eleverne prøver at argumentere for eller i mod

de forskellige hypoteser. Læreren holder god ro og orden, men angiver ikke nogen holdning. Det vil

være praktisk, at indlægge noget tid til at eleverne i f.eks. grupper danner sig en holdning til

hypoteserne. Ligeledes bør læreren være meget tydelig omkring sin rolle. En videnskabelig samtale

kan placeres i begyndelsen af et forløb f.eks. ved lineære funktioner eller deskriptiv statistik, for at

aktivere eksisterende viden fra eksempelvis grundskolen. Midt i et forløb, for at styrke processen,

eller som afslutning. Der er evidens for at videnskabelig debat øger elevernes evne til at genkende

implikationer og modeksempler.


Problemet med at udfylde andres beviser med forklaringer kan angribes ved at anvende et ordløst

bevis. Et ordløst bevis er en samling tegninger og formler der er knyttet til dem. Men der er ingen

forklaring, den skal man selv levere. Man kan give eleverne et grafisk bevis for f.eks. Pythagoras’

sætning og så bede dem levere argumentationen som tekst. Det kan f.eks. laves i grupper.

29


I løbet af undervisningen får eleverne præsenteret en række beviser. En øvelse, der hjælper til

forståelsen af beviserne, er at få eleverne til at gennemgå dem for hinanden. Her kan man udstyre

dem med noget A3-papir eller små whiteboards. Ideen er at eleverne igennem arbejdet med beviser

bliver opmærksomme på hvor deres huller i forståelsen er. Fordelen ved at arbejde i grupper er at

eleverne kan hjælpe hinanden.

3.7 Eksperimenter

Man kan blandt matematikere godt finde det synspunkt, at matematikken er renset for induktive og

eksperimenterende metoder. At vi taler om en ren aksiomatisk-deduktiv videnskab. Men ikke meget

tyder på at denne forestilling vil holde til et virkelighedstjek af, hvad arbejdende matematikere

faktisk foretager sig når de udfører deres arbejde.

Eksperimentet er en udbredt metode for enhver der ønsker at åbne et nyt matematisk emne for

nærmere undersøgelser. Tit vil de aksiomatisk-deduktive ideer i praksis være efterrationaliseringer

af et eksperimentelt-induktivt forarbejde. Det vil således være misvisende ikke at omtale

eksperimentelle metoder som en vej til indsigt i matematikkens teori.

I matematik vil vi her opfatte et eksperiment som en serie af enkeltstående situationer hvor én eller

flere parametre systematisk varieres fra situation til situation med det formål enten at kunne

30

sandsynliggøre en formodning om parameterens betydning eller simpelthen at finde på en

formodning. Således er resultaterne af et eksperiment ofte ikke kendt af eleven i forvejen eller også

lader de sig vanskeligt forudsige.

Med computerprogrammer er det muligt at udføre matematiske eksperimenter hurtigt og effektivt.

Et af de bedste og mest effektive eksempler er såkaldte ”skydere”, som giver mulighed for at

undersøge betydningen af en parameter i en konkret situation.

Computerprogrammer har også muliggjort det der samlet kaldes simuleringer. Vi kan skelne

mellem to typer af simuleringer: Stokastiske og fysiske. De stokastiske simuleringer er kendetegnet

ved at der genereres et stort antal tilfældige udfald, som bruges til at undersøge f.eks. en

nulhypotese. De fysiske simuleringer er kendetegnet ved at man forsøger at beskrive et fysisk

system, som vanskeligt lader sig forestille. Her kræves der dog et vist teknisk niveau hos eleven.

Det er metodisk set vigtigt at understrege, at eksperimenter almindeligvis ikke giver os endelige

indsigter i den matematiske teori. Og det er næsten lige så vigtigt at gentage, at fravær af

eksperimenter almindeligvis vil afholde os fra at opnå endelige indsigter i matematisk teori.

Eksempel 3.7.A

I en SRP om talteori kan man anvende matematiske eksperimenter til at sandsynliggøre

eksempelvis ”Goldbachs formodning” og ”Fermats sidste sætning”.

Eksempel 3.7.B

I en SRP om dobbeltpenduler kan en simulering af bevægelsen være den eneste måde at få fremvist

pendulets kaotiske opførelse.


Arbejdet med matematiske eksperimenter bør indgå i stort set alle forløb gennem gymnasieforløbet.

Eksempelvis bør elever kende til styrker og svagheder ved at opstille og afprøve formodninger om

betydningen af parametre i simple vækstfunktioner, andengradspolynomier, normalfordelingens

tæthedsfunktion, osv. ved brug af kontrollerede variationer af indgående parametre.


I matematiks læreplan er simuleringer af nulhypoteser angivet som supplerende stof, der skal

undervises i. Dermed bør der i denne undervisning lægges vægt på, at den simulering, der foretages

faktisk har karakter af at være et eksperiment. Monty hall problemet er et eksempel på noget der

giver anledning til en ikke-triviel simulering.

31

3.8 Eksempler

I matematik er en ofte benyttet metode i forbindelse med andre metoder, at opstille et godt

eksempel på den notation, definition, sætning, mv. som lige er præsenteret. I SRP-regi vil dette rent

metodisk ofte kunne være en elevs selvstændige bidrag i et teoretisk arbejde, som er præget af at

eleven har hentet sin teori fra detaljerige kilder.

Eksempler bruges især to steder. Det første er i forbindelse med definitioner. Grunden til at

fremvise et eksempel på en struktur, der opfylder en definition er at sikre at definitionen ikke er

tom, eller kun giver anledning til trivielle eksempler. Det andet er i forbindelse med anvendelse af

sætninger. Vi fremviser en struktur som skal opfylde betingelserne i sætningen. Hermed bliver

eksemplet en måde at vise hvordan en sætning virker.

Eksempler i SRP giver eleven mulighed for at vise forståelse for teori. Men eksempler som ”bare”

er skrevet af fra bogen bør undgås. Derfor er der et behov for at eleverne i løbet af

matematikforløbet opøves i at opstille egne korrekte eksempler. Her bliver sammenhængen mellem

teori og eksempel vigtig. Yderligere kan man også holde sig for øje, at ikke alle eksempler er lige

gode. Her menes ikke om de er korrekte, men om den kraft hvormed de viser de egenskaber, der er

blevet postuleret. Her bør der skelnes mellem trivielle eksempler. Dem som helt automatisk

opfylder en definition eller sætning. Og ikke-trivielle eksempler som kræver en argumentrække og

som ikke automatisk ”falder” ud af definitioner og sætninger.

Eksempel 3.8.A

I en SRP om 𝐶1-funktioner, kunne definitionen passende følges af nogle eksempler.

𝑓(𝑥) = sin (𝑥), for en funktion, der er 𝐶1, men også er mere end det.

𝑔(𝑥) = ∫ |𝑥|𝑑𝑥, for en funktion, der netop er 𝐶1, men ikke mere end det.

ℎ(𝑥) = {𝑥2 · sin (

1

𝑥) , 𝑥 ≠ 0

𝑥, 𝑥 = 0, for en funktion der er differentiabel men ikke 𝐶1.

Eksempel 3.8.B

I en SRP om integralregning og normalfordeling (f.eks. på matematik B-niveau) kan eleven have

en sætning der siger at hvis 𝑓(𝑥) > 0 for alle 𝑥, så er ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 en voksende funktion. Et passende

eksempel kunne da være 𝑓(𝑥) =1

√2𝜋𝐞

−𝑥2

2 , som er tæthedsfunktion for standardnormalfordelingen.

Her er det relevant at

32

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥

−∞

netop er voksende og dermed giver anledning til en fordelingsfunktion.

Eksempel 3.8.C

En række definitioner har grænsetilfælde. F.eks. skelner standard definitionen af en cirkel

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 ikke mellem et punkt 𝑟 = 0 og en cirkel 𝑟 > 0. Således bliver det vigtigt

at være opmærksom på den fulde rækkevidde af en definition.


Grænsetilfælde og rækkevidden af en definition kan opøves ved brug af CAS. Bed f.eks. eleverne

undersøge andengradspolynomiet 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 med skydere. Spørgsmålet man stiller er

om der er værdier for 𝑎, 𝑏, 𝑐, hvor grafen for andengradspolynomiet ophører med at være en

parabel. Herefter kan man så prøve i samarbejde med klassen af definere begrebet

andengradspolynomium.


Inden for de fleste emner er det muligt at give en definition, som eleverne skal finde eksempler på.

Det samme kan gøres med sætninger: Find et eksempel, der opfylder præmisserne i sætningen. Og

det svære spørgsmål, find et eksempel på noget, der næsten opfylder definitionen eller præmisserne

i sætningen.

33

4. Metoder til at arbejde med matematik

I mange SRP-problemer skal matematik arbejde sammen med et andet fag om at løse en

problemstilling inden for det andet fags genstandsfelt med matematik som metode. I langt de fleste

situationer foregår dette arbejde ved hjælp af en matematisk model. Ideen om en model samt

anvendelsen af sådanne står derfor helt centralt når vi taler om metoder med matematik.

Modeller kommer ikke ud af den blå luft. Den proces hvor en matematisk model bliver skabt kalder

vi for modellering. Vi vil her opfatte modellering som en metode der bruges når man selv bygger

den model der bringer matematikken i anvendelse til løsning af problemstillinger i andre fag.

Det kan også ske at afsættet for anvendelsen er en model som andre har opstillet. I så fald kan det

være nødvendigt at kunne kortlægge modellens måde at beskrive situationen på. Hvilke tilvalg og

fravalg er der truffet, hvilke antagelser baserer den sig på, hvor kommer den fra? Vi vil kalde et

sådan arbejde for modelanalyse.

Endeligt er det – uanset om en model er hjemmelavet eller overtaget fra andre – helt afgørende at

kunne vurdere modellens anvendelighed og udsætte den for kritik. Vi vil her skelne mellem

modelvurdering, hvor det vurderes om en model er i stand til at levere brugbare svar på stillede

spørgsmål, og modelkritik der forholder sig mere principielt til de logikker som modellen bygger på.

4.1 Matematisk model

I litteraturen (fx Blum og Niss, 1989) betragtes en model ofte som en triple (𝑆, 𝑀, 𝑅), hvor 𝑆 er et

udsnit af den ekstramatematiske virkelighed, 𝑀 er en matematisk struktur og 𝑅 er en relation

mellem 𝑆 og 𝑀, som kæder objekter og relationer i 𝑆 sammen med objekter og relationer i 𝑀.

I denne definition ligger et ret klart synspunkt om, at en model ikke eksisterer uden at være koblet

til et konkret (evt. forestillet) virkelighedsudsnit. Man kan så at sige ikke tale om en model, uden at

have noget konkret denne er en model af.

I matematik arbejder vi ofte med vækstmodeller, hvor vi i virkelighedsudsnittet 𝑆 har identificeret

to målbare størrelser (hvoraf den ene ofte er tid) som i 𝑀 relateres til hver sin variabel, som der

beskrives en funktions-relation mellem. Modeller givet ved funktioner betegnes generelt

deterministiske modeller, fordi de baserer sig på en antagelse om entydig forudsigelighed.

34

Vi arbejder dog også med geometriske modeller, hvor objekter i typisk et rummeligt fænomen i

virkeligheden relateres til abstrakte geometriske figurer som rektangler, cirkler, linjer, vektorer, mv.

I den analytiske geometri kan vi tillige udnytte grafer for funktioner, mv. Geometriske modeller vil

i udgangspunktet også være af deterministisk karakter.

Endeligt arbejder vi også med stokastiske modeller, hvor fænomener fra virkeligheden relateres til

stokastiske variable givet på et bestemt sandsynlighedsfelt. Sådanne modeller vurderer

sandsynligheder for bestemte hændelser og er således ikke deterministiske.

Når udgangspunktet for at arbejde med matematik er en forhåndenværende model af en vilkårlig

oprindelse, så er vores væsentligste metodiske greb at stille spørgsmål til og få svar fra modellen.

Det involverer tre processer som ofte kaldes matematisering, matematisk analyse og fortolkning.

Vi kan beskrive processen i nedenstående principielle skitse (med inspiration fra Jensen 2007).

Udgangspunktet er et spørgsmål i ”virkeligheden” som vi ikke umiddelbart kan besvare ”i

virkeligheden”. Vi oversætter derfor det virkelige spørgsmål til et matematik-spørgsmål

(matematisering), som herefter kan besvares med metoder i matematik (matematisk analyse). Vores

matematik-svar oversættes herefter tilbage til et virkeligt svar (fortolkning).

Anvendelsen af en matematisk model bliver altså her til en metode der kan besvare spørgsmål i

andre fag. Altså matematik anvendt som metode i dette andet fag. I en refleksion over denne metode

kan det være en styrke at kunne bruge begreber som matematisering og fortolkning.

Det er ligeledes vigtigt at eleverne vedvarende fra grundforløbet og frem trænes i den tankegang

som afspejler sig i figuren ovenfor. Dette træner vi blandt andet når vi skriver forklaringer og

fortolkninger i skriftlig besvarelse af matematikopgaver med foreliggende modeller.

35

Eksempel 4.1.A

I en SRP med naturgeografi anvendes foreliggende logistiske vækstmodeller over verdens befolk-

ningsudvikling med henblik på at vurdere forskellige menneskeskabte aftryk på det globale miljø.

Modellerne anvendes til at svare på spørgsmål af typen ”hvor mange mennesker bor der på jorden i

år 2100”. Svaret bruges måske som input i en selvskabt model for menneskeskabt CO2-udslip.

Eksempel 4.1.B

I en SRP med fysik anvendes Johannes Kepplers velkendte geometriske model for planternes

bevægelser omkring solen med henblik på at vurdere hvilken bane et rumskib der skal flyve til Mars

skal følge.

Eksempel 4.1.C

I en SRP med samfundsfag om unges politiske synspunkter bruges stokastiske modeller over

sandsynligheden for at opnå bestemte svarfrekvenser i et spørgeskema under antagelse af en

underliggende sandsynlighedsfordeling. Modellen bruges til at vurdere om der med rimelighed kan

drages bestemte konklusioner i undersøgelsen.


I forbindelse med skriftlig besvarelse af matematikopgaver med modeller skal eleven med

farvekoder angive hvor i besvarelsen eleven udfører matematisering, hvor der udføres matematisk

analyse og hvor der udføres fortolkning. Alle tre processer skal således være synlige i besvarelsen

og eleven tvinges til at være bevidst om de tre processer.

Ideen kan bruges generelt i alle afleveringer, det kan anvendes i særlige afleveringer hvor man har

fokus på netop fremstilling af modelanvendelse eller det kan trænes i særskilte seancer uden for de

almindelige afleveringer. Træningen vil udover at pege frem mod SRP også i almindelighed ruste

eleverne til at opfylde de krav som gælder ved fremstillingen af besvarelsen til skriftlig eksamen.


Fra starten af det samlede matematikforløb lægges en plan for hvordan der arbejdes med anvendelse

af modeller i alle forløb. Herunder forskellene på modellerne i fagets tre søjler om funktioner,

geometri og sandsynlighedsregning, men samtidig med et klart fokus på hvordan de tre processer

om matematisering, matematisk analyse og fortolkning går igen, uanset hvilken type model der

arbejdes med.

36

4.2 Modellering

I forgående afsnit var fokus på anvendelsen af en foreliggende model. Her vil den proces som

tilvejebringer en model blive præsenteret. Vi kalder processen for modellering. I de fleste

beskrivelser af modelleringbegrebet fremstilles processen cirkulær.

I den danske matematikdidaktiske litteratur tages ofte afsæt i følgende figur (med inspiration fra

Blomhøj 2006). Der eksisterer en lang række andre måder at beskrive processen på (f.eks, Blum og

Leiss 2007), som dog ikke præsenteres her.

Figuren kaldes ofte modelleringscirklen og opdeler frembringelsen af en matematisk model i seks

stadier forbundet af seks processer.

Udgangspunktet for modellering er en oplevet virkelighed. Her taler vi om virkeligheden i al dens

kompleksitet og mangfoldighed. Det er med afsæt i den oplevede virkelighed at vi i processen

motivering afgrænser et udsnit af virkeligheden – et undersøgelsesområde - som vi ønsker at gøre

til genstand for undersøgelse. I en SRP-proces kan motivering sidestilles med problemformulering.

Fra undersøgelsesområdet er man nødt til at lave en ganske nøje udvælgelse af hvilke konkrete

egenskaber ved det undersøgte objekt, som skal medtages i modellen. Vi kalder processen en

systematisering og resultatet et system.

Litteraturen taler her om at modelbyggeren her konstruerer det objekt, som efterfølgende gøres

matematisk. Erkendelsesmæssigt er det en interessant diskussion hvad det betyder for resultatet af

37

modellering og modelanvendelse, at det modellerede og undersøgte i sig selv er en menneskeskabt

konstruktion og ikke en direkte undersøgelse af virkeligheden.

Når nødvendige afgrænsninger er lavet, skal systemets objekter og relationer forbindes med objekter

og relationer i et velvalgt matematisk system i en proces vi kalder matematisering. Det er her vi

sætter matematik på den grovkornede afspejling af virkeligheden vi har afgrænset os til.

Det matematiske system udgør her vores model og kan nu gøres til genstand for matematisk analyse.

Det er her at vi med metoder til arbejde i matematik forsøger at kortlægge forskellige relevante

egenskaber ved det matematiske system.

I forlængelse af begreberne i afsnit 4.1 kan vi her tænke på, at spørgsmål til modellen matematiseres

fra system til matematisk system, hvor efter spørgsmålet besvares i den matematiske analyse. Men

analysen kan også gå på modellens indbyggede egenskaber.

Analysen leder os frem til resultater eller erfaringer med den matematiske model som i en

fortolkning leder os til handling eller erkendelse om det system og undersøgelsesområde vi har haft

som genstand for arbejdet.

Tilbage udestår en procesevaluering hvor vores handlinger og/eller erkendelser må testes op imod

den oplevede virkelighed. Modeller er netop ikke virkeligheden, men grovkornede afspejlinger af

denne. Og kun ved at evaluere modellen op mod virkeligheden kan vi vurdere om den giver

relevante og brugbare svar på vores problemstilling.

Modelleringscirklen er i sig selv en model af en proces. Den søger at indfange processens

væsentligste træk og sætte metodiske begreber på det arbejde der udføres. Men i virkeligheden

forløber processen naturligvis ikke i kontinuerte cirkler. Derimod springes der mellem stadier og

processer efter behov og noget af det der gøres, kan formentlig dårligt indfanges af begreberne.

Der skelnes ofte mellem teoribaserede og databaserede modeller. De teoribaserede bygger på

antagelser hentet fra mere eller mindre solide teoretiske forventninger til vores system, mens den

databaserede model opbygges ud fra indsamlet empiri.

I den daglige undervisning, f.eks. i grundforløbet, kender vi den teoribaserede lineære model

baseret på en antaget fast tilvækst pr. tidsskridt og en startværdi, mens vi kender den databaserede

lineære model skabt ved regression på en serie af datapunkter.

38

Eksempel 4.2.A

I en SRP med biologi søges sygdomsudbrud og efterfølgende smitteforløb analyseret for at

lokalisere mulige handlemuligheder til begrænsning af epidemien. I en systematisering afgrænses

situationen til alene at afspejle samspillet mellem modtagelige, inficerede og immuniserede

individer og der opstilles et matematisk system i form af en såkaldt SIR-model.

Modellen er databaseres ud fra indsamlet data om udbredelse og dødsfald. Indgående parametre

estimeres og der opnås på den måde et billede af epidemiens dynamik. En række simuleringer med

andre parameterværdier kan give et indblik i hvad der kunne have haft begrænsende effekt.

I procesevalueringen vurderes op mod data om modellen har givet et retvisende billede af

udviklingen og det diskuteres hvad der med fordel kunne have været taget højde for. Måske

migration? Om muligt kan modellen justeres i et andet gennemløb og evalueres på ny.

Eksempel 4.2.B

I en SRP med fysik søges det beskrevet hvordan et skråt kastet objekt bevæger sig i et tyngdefelt

med luftmodstand. I afgrænsningen af systemet ses der måske bort fra objektets præcise form, fra

vind og lignende. På baggrund af systemet kan der, baseret på fysikkens velkendte teorier og

antagelser om luftmodstanden, opstilles en teoribaseret matematisk model.

Ud fra modellen kan der skabes en forventning om objektets banekurve, hastighed, mv. Disse

forudsigelser kan afprøves i et efterfølgende eksperiment og på den baggrund kan modellen

evalueres og eventuelt justeres i et andet gennemløb af cyklen.

Eksempel 4.2.C

I en SRP med historie modelleres en politisk beslutningsproces med en spilteoretisk model. I

opstillingen af modellen indgår en afgrænsning af processen til nogle få trin og på hvert trin

reduceres den komplekse valgsituation til få muligheder. Dette system kan matematiseres ved f.eks.

at tillægge de forskellige valgmuligheder forskellige værdier og herefter underkaste modellen

forskellige former for analyse, herunder sandsynlighedsteoretiske.

En model af denne art vil måske falde mellem det teori- og det anvendelsesbaserede. På den ene

side har vi ingen data at vurder modellens parametre ud fra, på den anden side heller ikke noget

teori fra samarbejdsfaget. Der er således her tale om en model baseret på vurderinger (eller

antagelser). Et forhold der bør indgå i refleksionen over den valgte metode.

39


Gennem hele gymnasieforløbet bør elever jævnligt udsættes for aktiviteter hvor de på egen hånd

skal bygges modeller ud fra givne forudsætninger. Dette kan meget vel ske i samarbejde med andre

fag, f.eks. som del af det 3 årige flerfaglige forløb.

Eksempler kunne være:

- Simple klimamodeller i samspil med fysik eller naturgeografi

- Differentialligningsmodeller over epidemier, krigsforløb, kemiske reaktioner, mv.

- Befolkningsmodeller i samspil med samfundsfag.

- Ad hoc modellering over simpelt forståelige problemstillinger som ”hvor langt væk er

horisonten”, ”hvad er den samlede beskatning når der tages højde for både indkomstskat og

moms”, ”hvor tidligt står Venus op” og mange andre muligheder.


Som optakt til SRP kan gennemføres et regulært modelleringsforløb hvor modellering som

matematisk metode sættes foran de konkrete stofområder der måtte indgå. Her kan eleverne

præsenteres for de forskellige metodiske begreber som knytter sig til modelleringsprocessen.

4.3 Modelanalyse

Man kan groft sagt have den model der arbejdes med to steder fra. Enten kan man have lavet den

selv ved at udføre modellering eller også kan man have overtaget den fra andre. I det første tilfælde

har man selv styret de valg og afgrænsninger som modellen er blevet til ud fra. I det andet tilfælde

har andre foretaget disse valg og afgrænsninger, som derfor almindeligvis kan være svære at se.

Når man arbejder med en given model befinder man sig som udgangspunkt nederst i modellerings-

cirklen (se afsnit 4.2) i stadiet matematisk system. Herfra kan man behandle modellen i to retninger.

For det første kan man ”gå til venstre” i processen og gennemføre modelleringens anden halvdel

som peger frem imod resultater/erfaring og procesevaluering. Målet her kan være vurderingen af

om den foreliggende model er godt valgt. Vi kan metodisk kalde det en modelvurdering.

En modelvurdering adskiller sig ikke voldsomt fra den tilsvarende del af processen når man selv

modellerer. Forskellen ligger i at det kan være svært at gå videre rundt i cirklen, når man ikke selv

har bygget den vurderede model. Øvelsen handler derfor oftere om hvor vidt virkeligheden passer

på modellen eller om en anden model skal vælges, end om den foreliggende model skal justeres.

40

For det andet kan man forsøge at kortlægge modellens tilblivelse ved at gå ”baglæns mod højre” i

modelleringscirklen. Det vil sige at man ud fra det matematiske system forsøger at kortlægge det

system det blev matematiseret fra og herefter hvilke afgrænsninger modelløren har foretaget i den

systematisering der er sket af det oprindelige undersøgelsesområde, samt hvilken motivation der

kan have drevet modelbyggeren fra den oplevede virkelighed til undersøgelsesområdet.

Et sådan forsøg på at grave ned i en foreliggende models grundlag og bagvedliggende antagelser vil

vi her kalde for en modelanalyse og opfatte som et vigtigt metodisk greb til at kunne diskutere

rækkevidden ved og rimeligheden af brug af en foreliggende matematisk model.

Ved diskussionen af en foreliggende model kan det endvidere være oplagt at diskutere modellens

samlede funktion i forhold til modelbyggerens intention, i forhold til hvordan den bliver brugt i

argumentationer og generelt den rolle den spiller i en udadvendt kontekst. Vi vil metodisk kalde en

sådan diskussion for en modelkritik.

I forhold til at diskutere modeller, kan det være fornuftigt at skelne mellem deskriptive og

preskriptive modeller. En deskriptiv model forsøger at beskrive hvordan virkeligheden faktisk tager

sig ud. En preskriptiv model foreskriver hvordan virkeligheden ser ud. En deskriptiv model skal

altså relatere sig til en virkelighed, mens den preskriptive model skaber virkeligheden.

Et eksempel kan findes i den samfundsmæssige diskussion af ghettoer. I 2010 udsendte den danske

regering en liste over ghettoer baseret på en matematisk model. En ghetto er et boligområde med

mindst 1000 beboere som opfylder 2 af tre 3 kriterier, nemlig at mindst 40% af beboerne i alderen

18-65 år er uden job eller igangværende uddannelse, at mindst 50% af beboerne har ikke-vestlig

baggrund samt at 2,7% af beboerne er dømt for overtrædelse af visse love.

I modelleringen er en oplevet virkelighed med arbejdsløshed og kriminalitet blevet afgrænset til et

undersøgelsesområde bestående af boligområder. Derpå er dette systematiseret til nogle målbare

makrostørrelser og endeligt er alle boligområder blevet reduceret til et ordnet sæt af fire tal hvor

efter brugen af modellen kan begynde.

Her kan man opfatte modellen deskriptivt. Altså at den faktisk kortlægger hvor der findes ghettoer

og hvor de ikke findes. Den kan også opfattes preskriptivt. Altså at der ikke eksisterer ghettoer før

modellen har fastlagt hvad en ghetto er. I forhold til hvad modellen kan anvendes til metodisk, er

det ikke ligegyldigt om den læses som det ene eller det andet.

For model-kritikeren kan en skelnen mellem deskriptive og preskriptive modeller altså være særdeles

nyttig. Men der indgår naturligvis også andre aspekter. F.eks. om de afgrænsninger modelbyggeren

har foretaget er sagligt begrundet eller begrundet i særlige hensyn til hvad modellen skal vise.

41

Eksempel 4.3.A

I en SRP med biologi undersøges populationsmodeller. Et eksempel kan være udbrud af såkaldt

spruce budworm i canadiske fyrskove, som rammer med en nogenlunde fast periode på ca. 35-40 år.

I en klassisk model fra den matematiske biologi beskrives populationen ved differentialligningen:

𝑑𝐵

𝑑𝑡= 𝑟𝑏𝐵 (1 −

𝐵

𝐾𝐵) − 𝛽 ⋅

𝐵2

𝛼2 − 𝐵2.

I en SRP kan en modelanalyse være med til at kortlægge hvad de indgående størrelser i modellen

hver især repræsenterer og hvorfor udtrykket ser ud som det gør. Særligt det andet led som adskiller

modellen fra en klassisk logistisk model, vil her være interessant.

I en modelvurdering vil det hurtigt kunne konstateres at modellen ikke forudsiger periodiske

opblomstringer af populationen. I stedet kan vælges en udvidet model, f.eks. Donald Ludwigs

model med tre koblede differentialligninger, som kan løses med numeriske metoder og har

egenskaber der kan undersøges med analytiske metoder (Se Nielsen og Jensen 2011a, 2011b).

Eksempel 4.3.B

I en SRP med samfundsfag optræder måske det samfundsfaglige begreb bruttonationalprodukt

(BNP), som indeholder en kvantificering af et samfunds samlede velstand målt i en valutaenhed.

BNP kan ikke måles direkte. Der er intet BNP-meter man kan stikke ind i et samfund for at måle

dets BNP, som man kan måle temperatur med et termometer.

I stedet er BNP-tallet et udkomme af en ganske avanceret model, hvor der indsættes en lang række

informationer om det samfund hvis BNP skal bestemmes. Spørgsmålet er om en sådan model er

deskriptiv, altså om den opmåler en faktisk eksisterende størrelse. Eller om den er preskriptiv,

således at modellen foreskriver hvad størrelsen overhovedet er. Det vil sige at der ikke eksisterer

noget BNP, før modellen er skabt og har fortalt os hvad et BNP er.

Eleven kan anvende en sådan modelkritik til at diskutere rækkevidden af BNP-begrebet i faglige og

politiske diskussioner og dermed ramme en spændende videnskabsteoretisk diskussion.

42

5. Metoder til at arbejde om matematik

I forbindelse med SRP er det muligt at beskæftige sig med problemstillinger om matematik. Det kan

være hvordan matematikken har været udført, anvendt eller udviklet i fortiden. Det kan være den

rolle matematik har spillet i en bestemt situation. Det kan også være hvordan matematik optræder i

litteratur eller kunst. Eller hvordan man formidler matematik til andre. Det grundlæggende ved

arbejdet om matematik er at metoder fra et andet fag bringe i spil til en undersøgelse af

matematikken eller forhold omkring den.

Det er naturligvis vanskeligt at arbejde om matematik uden også at arbejde i matematik eller med

matematik. Hvis der f.eks. skrives om matematik i det antikke Grækenland, vil eleven skulle

forholde sig til dennes indre opbygning, f.eks. ved analyse af konkrete beviser. Her vil man nok

anvende metoder som beskrives i kapitlet om at arbejde i matematik.

Arbejde om matematik adskiller sig således fra arbejde i matematik ved at have et fokus på

matematikken i en særlig kontekst. Det kan være matematikken som historisk objekt, som

formidlingsobjekt, som element i litteratur og kunst, osv.

På samme måde adskiller arbejde med matematik sig fra arbejdet om matematik ved, at vi i

førstnævnte har rent fokus på at anvende matematikken til at besvare spørgsmål i et andet fag, mens

vi i sidstnævnte studerer selve det at anvende matematik i en særlig kontekst. Det kan være et studie

af en historisk anvendelse af matematik eller af den rolle matematikken historisk spillede i

udviklingen af videnskab, teknologi eller samfund.

I begge ovennævnte tilfælde vil der dog helt oplagt optræde arbejder som karakteriseres som enten i

matematik eller med matematik – eller begge dele – samtidigt med at der arbejdes om matematik.

Metoderne til at arbejde om matematik afhænger af hvilken type SRP eleven har tænkt sig at skrive.

Her vil vi skelne mellem tre typer af problemstillinger som alle spiller en om matematik-rolle:

1. Studier af selve matematikken med andet fags metoder.

2. Studier af matematikkens rolle med andet fags metoder.

3. Sammenlignende studium af matematikken og et andet fag.

I de følgende tre afsnit vil hver af disse tre tilgange blive udfoldet, med forsøg på at formulere

metoder som vi kan sige hører hjemme i matematikfaget. Dette er dog ikke lige så let, som hvis vi

taler om de to andre roller.

43

5.1 Studier af selve matematikken

Når vi studerer matematikken i sig selv, vil vi opfatte matematikken som en genstand i et andet fag,

stille spørgsmål om matematikken der hører hjemme i dette fag og bruge dette andet fags metoder

til at besvare de stillede spørgsmål om matematikken.

Ud fra den definition kan vi ret hurtigt udelukke en række fag fra at indgå i en sådan type

samarbejde. Det er f.eks. ikke muligt at lave naturvidenskabelige studier af matematikfaget og det

er formentlig også ret svært at stille samfundsfaglige spørgsmål til selve matematikken.

Det mest almindelige eksempel på en sådan type af om-problemstillinger der kan lade sig gøre, er

samarbejder med faget historie, hvor matematikkens egen historie studeres. Det er her vigtigt at

skelne mellem matematikkens egen historie og så den rolle matematikken kan spille i historien.

Sidstnævnte hører til i næste afsnit.

Problemstillinger omhandlende matematikkens historie vil vi herefter kalde matematikhistoriske.

Matematikhistorikeren og -didaktikeren Michael N. Fried (2001) har i den sammenhæng peget på et

vigtigt modsætningsforhold mellem matematikundervisning og matematikkens historie. I

matematikundervisning søger vi som udgangspunkt at formidle den aktuelle matematik, mens

matematikhistorien søger at afdække den historiske. Disse to målsætninger understøtter ikke

nødvendigvis hinanden og må overvejes når der formuleres en matematikhistorisk problemstilling.

Hvis der skal skrives matematiskhistorisk er det således ikke muligt at komme uden om historiske

kilder. Selvom disse snævert betragtet hører til i historiefaget, så er det nødvendigt, at man

forholder sig til dem. Man inddeler litteraturen om matematikhistorien i kilder og i fremstillinger

(historikere har også et begreb om levn, men det inddrages ikke her).

En kilde er et historisk dokument, der forholder sig til det der bliver undersøgt og som ikke er

behandlet af andre (med undtagelse af oversættelse). I modsætning hertil er fremstillinger andres

behandling af et emne, med fortolkning og analyse af kilder, de har udvalgt. Eksempelvis er Euklids

”Elementerne” kilden til den antikke (euklidiske) geometri og Eulers artikel ”Solutio problematis ad

geometriam situs pertinentis” fra 1736 en kilde til hans løsning af problemet om Königsbergs syv

broer, der regnes for en del af begyndelsen på den moderne graf-teori.

Når der skrives matematikhistorisk, så er der en række elementer, som man skal forholde sig til. For

det første bør man forholde sig til om det er matematisk teori, der ønskes beskrevet eller om det er

en konkret anvendelse af matematik, der er i fokus. I det første tilfælde er det metoder fra afsnittet

”i matematik”, der er relevante, mens det i det andet tilfælde er metoder fra afsnittet ”med

matematik” man skal se på.

44

Når det er gjort kan man overveje om man laver et nedslag i historien eller om man beskriver en

udvikling. Hvis man beskriver et enkelt tidspunkt f.eks. anden verdenskrig så laver man en synkron

beskrivelse, hvis man ser på en udvikling over tid, så laver man en diakron beskrivelse. En diakron

tilgang gør det ofte vanskeligt at komme helt i dybden med, hvordan et emne fremstod på et bestemt

tidspunkt, ligesom en synkron læsning, ikke giver adgang til et overblik over udviklingen.

Til sidst kan man overveje om det matematikhistoriske emne egner sig til et samarbejde med

historiefaget eller om det er mere egnet som enkeltfaglig problemstilling. Historiefaget kræver ofte

at problemstillingen forholder sig til samfund, kultur eller menneske. Det er ikke sikkert at en SRP

om grænseværdibegrebets udvikling med fordel kan opfylde et sådan krav og måske er den derfor

bedre skrevet enkeltfagligt.

Det er dog ofte muligt at forene de to ting, f.eks. ved at bruge historiefaget dels som redskab til at

analysere den konkrete matematikhistoriske udvikling, dels som anledning til at undersøge de

samfundsmæssige forhold som matematikhistorien udfolder sig indenfor, med det formål at netop

diskutere betydningen af de fundne forhold.

Et andet klassisk eksempel på en type af problemstillinger om matematik, hvor et andet fags

metoder anvendes direkte på matematikfaget, er samarbejder med faget dansk om formidling af

matematik. Her anvendes danskfaglige metoder til formidling på et udsnit af matematikken med

henblik på at formidle denne til en udvalgt målgruppe.

Formidlingsprojekter er kendetegnet ved, at et matematisk emne søges præsenteret for et bestemt

publikum. Der skal i den forbindelse vælges et medie hvormed formidlingen kan foregå. Mediet kan

være f.eks. en artikel til ”Illustreret Videnskab”, ”Aktuel Naturvidenskab”, ”Weekendavisen” eller

lignende. Men det kan også være en videnskabelig artikel eller et kapitel i en lærebog.

Selvom formidlingsopgaver almindeligvis laves i samarbejde med dansk, kan det også ske med

andre humanistiske fag, f.eks. sprogfag eller mediefag. Samarbejdet er nødvendigt, fordi vi i

matematik ikke internt har teorier om formidling, selvom vi kan have holdninger til hvordan noget

bør formidles. Et eksempel på at formidling vil kunne skrives enkeltfagligt er den videnskabelige

artikel, som dog må betegnes som en særdeles svær genre, kun egnet for de aller dygtigste elever.

I forhold til at lave formidling er der to processer. Den første er udvælgelse og den anden er

organisering. Udvælgelse består i første omgang af at finde det emne, der skal formidles. Der efter

bliver det nødvendigt at udvælge de dele, der skal med. Her bør der skeles til valg af medie. For

ikke alle dele giver samme mening for ethvert medie. Nogle dele af et emne er tekniske, andre er

perifære, og så videre. Fremstillingen af udvælgelsen i SRP-rapporten vil ofte trække på metoder fra

arbejde i matematik og/eller arbejde med matematik.

45

Når materialet er udvalgt, så skal det organiseres. Her er det igen mediet, der er bestemmende. Hvis

der skrives en populærvidenskabelig artikel, må den logiske rækkefølge brydes op til fordel for en,

der passer med strukturen for en populærvidenskabelig artikel.

Når der formidles, kan eksempler være et fint greb at have med. Dog er der ofte tale om andre typer

af eksempler end rent matematiske, i hvert fald hvis der skrives en artikel. Her er det nødvendigt

med en oversættelse af matematikken til noget konkret, som er umiddelbart tilgængeligt. Dermed

bliver det nødvendigt at finde eksempler ude i virkeligheden. De kan selvfølgelig være mere eller

mindre realistiske. Når der laves eksempler på denne måde, bør der være en tanke for om eksemplet

faktisk lever op til det matematikken foreskriver, eller om der er særtilfælde der ikke tages højde

for. Dermed kræves en udtrykt bevidsthed om eventuelle mangler ved et eksempel.

Ud over de klassiske eksempler med matematikhistorie og matematikformidling, kan man også

forestille sig andre problemstillinger hvor der besvares spørgsmål om matematikken som objekt

med metoder fra andre fag.

Man kan f.eks. forestille sig at man med metoder fra psykologi undersøger forskellige kognitive

spørgsmål omkring matematikfaget. Det kan f.eks. være matematiklæring, hvor pædagogiske og

didaktiske metoder kan anvendes. Eller måske undersøgelser af begrebet matematikangst, hvis man

kan få det koblet sammen med et for SRP relevant matematisk emne.

Man kan også forestille sig at man med filosofiske metoder stiller principielle videnskabsteoretiske

spørgsmål til matematikfaget. Det kunne være om karakteren af fagets objekter, f.eks. om disse er

opdaget eller opfundet, eller det kan være om karakteren af den viden vi opnår i matematikfaget. I

hvilken forstand kan matematiske sætninger med rette siges at være ”sande”.

Eksempel 5.1.A

I en SRP om komplekse tals historie kan emnet tilgås synkront med nedslag hos Del Ferro,

Tartaglia, Bombelli, Descartes, Wessel, Gauss, Hamilton, mv. Det bliver således muligt ud fra

overfladisk læsning af en række kilder og fremstillinger at se udviklingen i ideen.

Emnet kan også tilgås synkront, f.eks. ved at fordybe sig i den norske matematiker Caspar Wessels

afhandling ”Om Directionens analytiske Betegning” fra 1797 (skrevet på dansk – dele af den er

bestemt læsbar for en dygtig gymnasieelev). Her kan man f.eks. diskutere Wessels bidrag til den

analytiske hhv. geometriske forståelse af komplekse tal.

Begge tilgange har et klart fokus på at se arbejde i matematik, hvorfor metoder knyttet til denne

rolle naturligt vil indgå i arbejdet med at forstå den historiske udvikling.

46

Eksempel 5.1.B

I en SRP om vækstmodellernes historie kan emnet tilgås diakront ved at kigge på nedslag hos

eksempelvis Malthus (lineær og eksponentiel vækst), Gompertz (gormpertz-vækst), Verhulst

(logistisk vækst) og moderne iterative modeller baseret på stor regnekraft.

Emnet kan også tilgås synkront ved at kigge grundigt på f.eks. Verhulsts arbejde med at udvikle den

logistiske vækstmodel. Her kan undersøges hvilke historiske betingelser modellen blev udviklet

indenfor. Et tilsvarende arbejde kan formentlig laves om Gompertz’ vækstmodel, som har sine

rødder i den tidlige forsikringsmatematik.

Begge tilgange har et klart fokus på arbejde med matematik, hvorfor metoder fra denne rolle

naturligt vil indgå sammen med metoder til at forstå den matematikhistoriske udvikling. Også

metoder fra arbejde i matematik vil kunne indgå, f.eks. ved at fortolke de historiske fremstillinger af

vækstbegrebet ind i en moderne forståelse baseret på eksempelvis differentialligninger.

Eksempel 5.3.C

I en SRP om formidling af uendelighedsbegrebet er der meget stof at vælge mellem. Som minimum

bør der gives en forklaring på hvad uendelighed er og nogle eksempler på hvordan den kan forstås,

f.eks. ved brug af Hilberts hotel. Materialet skal så organiseres, der kan være nogle bevæggrunde

uden for matematik til at gøre noget i en bestemt rækkefølge, men denne rækkefølge bør i et eller

omfang diskuteres i forhold til en matematisk organisering.


Eleverne bør i det samlede forløb jævnligt præsenteres for nedslag i matematikkens historie.

Sådanne nedslag kan bidrage med flere ting. F.eks. kan en historisk tilgang medvirke til at ændre de

forestillinger elever har om matematik (Jankvist (2015)). En del elever opfatter matematikere som

nogle kloge personer, der bare sidder og regner hele dagen. Det sidste er forkert og en måde at vise

det på kunne være ved at finde eksempler fra matematikhistorien på hvordan matematik faktisk er

blevet udviklet. Professor ved DPU, Uffe Jankvist (2008a, 2008b, 2012a, 2012b), har udviklet fire

forløb til undervisning i matematikkens historie og filosofi med et sådant perspektiv.


For ældre tekster, er det ofte nødvendigt at lave en oversættelse til moderne matematik, for at

tydeliggøre den tankegang der fandtes i fortiden ud fra et nutidigt perspektiv. Et internt matematisk,

diakront forløb, kunne handle om udviklingen af algebraisk notation. Man kunne begynde med et

udpluk af Cardannos ”Ars Magna” for at vise fraværet af algebraisk notation. Derefter kunne man

47

tage indledningen fra Descartes ”Geometri”, hvor han føler sig nødsaget til forklare den notation

han bruger. Den ligner næsten den vi kender i dag. Man kunne så slutte med Euler eller en mere

morderne matematiker. Det er muligt at finde originale tekster på internettet.


I stedet for at afslutte et forløb med en tavlegennemgang, kan man bede eleverne om at lave en

populærvidenskabelig fremstilling af emnet – gerne i mindre grupper.

5.2 Studier af matematikkens rolle

En anden type arbejde om matematik er de problemstillinger, hvor vi for et andet fag udvælger et

objekt fra fagets genstandsfelt, som matematikken spiller en rolle i. Vi stiller nu spørgsmål til dette

objekt og ønsker at besvare dem med fagets metoder, men må aktivere matematikfaglige

undersøgelser af den indgående matematik, for at kunne diskutere matematikkens rolle.

Vi stiller altså i denne type samspil ikke spørgsmål direkte til matematikken, men må omvendt have

matematikken med som understøttende fag, for at kunne lave en fyldestgørende besvarelse af det

stillede problem, fordi det andet fag ikke selv besidder viden og metoder til at kunne undersøge den

særlige rolle matematik spiller i situationen.

Et eksempel på en problemstilling af denne art er de klassiske undersøgelser af matematikkens rolle

i brydningen af den tyske Enigma-kodemaskine under 2. verdenskrig. Her er det ikke

matematikkens historie vi studerer direkte, men den rolle som matematikken spillede i en bestemt

historisk situation.

Et eksempel på en problemstilling der lander mellem matematikkens historie og matematikkens

historiske rolle er undersøgelser af matematikken i oldtidens Egypten og Babylonien. Her taler vi på

den ene side om at studere de tidligste historiske kilder til matematisk aktivitet og på den anden side

om en aktivitet der er svær at løsrive for den særlige rolle den havde i de pågældende samfund.

Ud over samspil med historie, kan der laves en lang række samspil med sproglige og kunstneriske

fag over de mange eksempler på at matematik optræder i skønlitteratur, digte, skuespil, film,

kunstværker, arkitektur, mv. I nogle tilfælde er matematikken meget centralt placeret, i andre er

matematik en baggrund for værket. Dog må det kræves i SRP-sammenhænge, at matematik

optræder på en måde som er relevant for opgaven.

48

Det er de færreste litterære værker, der udfolder en fuldstændig matematisk teori. Det er her, at der

typisk kan lægges noget matematisk arbejde med at uddybe den teori, der er nødvendig for at forstå

matematikkens rolle i teksten. Det er dog ikke nok at fremvise en teori, den bør også forholdes

tilbage til teksten i den forstand, at teorien og teksten sammenlignes. Ikke nødvendigvis for at finde

fejl, men for at tydeliggøre den konkrete rolle som teorien spiller.

Matematik kan også optræde som et tema i et kunstværk eller en arkitektoniske konstruktion. Når

dette er tilfældet bliver der ikke præsenteret en matematisk teori. Det kunne f.eks. være i forbindelse

med et kunstværk. Hvis værket er tænkt matematisk, så er der en teori, der skal uddybes. Men

teorien ligger implicit i værket, og arbejdet bliver så at fremvise hvori matematikken består.

Vi kan også forestille os problemstillinger hvor matematik sammen med faget religion undersøger

matematikkens rolle i religionen eller sammen med samfundsfag undersøger matematikkens

samfundsmæssige rolle. Derimod vil et samarbejde med et naturvidenskabeligt fag om

matematikkens rolle i denne ikke være i denne kategori, da vi her ikke vil anvende det

naturvidenskabelige fags metoder til at studere rollen.

Eksempel 5.2.A

I en SRP med engelsk om bogen ”Zombies and Calculus”, kan man fokusere på en scene, hvor en

person flygter fra en zombie, og hvor hovedpersonen forklarer dynamikken i jagten ved at henvise

til matematikken bag forfølges. At hovedpersonen er professor i matematik, gør at der gives en hel

del oplysninger, men ikke alt. Hele teorien, der er et variationsproblem i en variabel, bliver ikke

forklaret i teksten. Men det er her at teorien må uddybes. Hvordan opstilles og løses problemet? Når

det er gjort, bør den konkrete situation i scenen forholdes til teorien. Giver det mening? Hvordan

kunne scenen ellers have udspillet sig?

Eksempel 5.2.B

I en SRP om skuespillet ”Proof” sammen med engelsk eller drama, kan det undersøges hvilken

rolle det matematiske bevis spiller. Skuespillet handler om en ung kvindelig matematikstuderende,

der har droppet ud af sit studium for at passe sin demente far, som er en berømt matematikker.

Skuespillet begynder umiddelbart efter faderens død. Beviser er et gennemgående tema i

skuespillet, og således giver det mening at skrive om, hvad et matematisk bevis er. Men også at

forholde sig til formålet med beviser.

Eksempel 5.2.C

I en SRP om den spanske kirke Sagrada Família sammen med spansk eller arkitektur og design,

kan det undersøges hvordan en del af konstruktionen er lavet ud fra matematiske flader. Som sådan

49

er der ikke noget i konstruktionen, der tilvejebringer nogen form for teori, hvorfor den må uddybes

fra bunden. Der bør laves et passende udvalg. Når teorien er forklaret, bør der være en fremvisning

af rigtige eksempler på fladerne i kirken.


I forhold til undervisning er det en mulighed at inddrage kravet om at der læses på et andet sprog

end dansk. Således kan man vælge et kort afsnit fra et skønlitterært værk som afslutning på et

forløb. Elevernes opgave bliver at anvende den teori de har lært til at uddybe teorien fra værket.

Derefter kan de så forholde sig til hvordan teorien bliver præsenteret, og hvordan de selv er blevet

præsenteret for den.


Hvis man ønsker at se på et kunstværk kan man f.eks. tage udgangspunkt i homomonumentet i

Amsterdam, der består af en stor trekant, med nogle små trekanter lagt i hjørnerne. Her bør der være

anledning til at undersøge forskellige egenskaber ved de trekanter monumentet består af: Er de

ensvinklede, ligesidet, ligebenet, er der et forhold mellem deres arealer? Dette kan undersøges med

et computerprogram f.eks. Geogebra. Når undersøgelsen er lavet, kan man forholde sig til, hvilken

måde de matematiske objekter er benyttet på i udformningen af monumentet.


I den almindelige undervisning i matematikkens historie bør der ikke kun tænkes i at vise eleverne

eksempler på matematikkens egen indre historie, men også eksempler på hvordan matematikken har

spillet en rolle i den almindelige udvikling af videnskab, teknologi og samfund. Gerne i samspil

med andre relevante fag.

5.3 Sammenlignende studie af matematik og andet fag

Den tredje og sidste type af samspil om matematik er den hvor man sammenligner et eller flere

elementer fra matematik og et andet fag. Her er fokus ikke på at anvende det andet fags metoder,

men at udføre en refleksion over noget ensartet i de to fag. Fokus er altså fortsat på at arbejde om

matematik, men på en måde som eleven selv må tilvejebringe.

Det typiske sammenlignende studie tager afsæt i et begreb fra hvert af de to fag, som på den ene

side er samme ord, men som ikke har (eksakt) samme betydning i begge fag. I studiet kan man ud

fra definitioner og eksempler diskutere ligheder og forskelle mellem fagenes brug af begrebet.

50

Andre muligheder kan være metoder, teorier, synsmåder, mv. som i første omgang har en sproglig

fremstilling til fælles og som også i sit indhold har berøring nok med hinanden til, at det giver

mening at lave to selvstændige fremstillinger af betydningen i hvert sit fag, for herefter at diskutere

ligheder og forskelle mellem de to nedslag i de to fag.

I modsætning til de to andre typer af om-problemstillinger, kan denne type i princippet finde sted i

kombination med alle andre fag, da typen ikke forudsætter et særligt fokus på det ene fags metoder.

Man kan altså godt forestille sig sammenlignende studier af matematik og et naturvidenskabeligt

fag eller samfundsfag.

Eksempel 5.3.A

I en SRP om begrebet metaforer med dansk, kan man sammenligne det gængse metafor-begreb fra

almindeligt sprog med metaforbegrebet hos lingvisten og matematikfilosoffen George Lakoff.

Eksempel 5.3.B

I en SRP om begrebet sandhed med oldtidskundskab, kan man sammenligne sandhedsbegrebet hos

Platon/Sokrates i hulelignelsen med det almindelige matematiske sandhedsbegreb. Diskussionen

kan tage afsæt i spørgsmålet om hvor vidt tallet 𝜋 bedst kan siges at være opdaget eller opfundet.

Eksempel 5.3.C

I en SRP om begrebet differentialkvotient med fysik, kan man sammenligne hvordan dette begreb

anvendes i hvert af de to fag, samt hvordan man tillader sig at regne forskelligt med disse. Centralt

kan stå en diskussion af om 𝑑𝑦

𝑑𝑥 kan og må opfattes som en brøk mellem to størrelser, der herefter

kan regnes med.


Sammenligning mellem to fag er svære at holde inden for rammerne af en enkeltfaglig

undervisning, så denne type af sammenspil hører oplagt hjemme i flerfaglige forløb, hvor

matematik mødes på lige vilkår med andre fag. Til gengæld er det ofte et fint afsæt for mikro-

arbejder mellem to fag, som optakt til den egentlige SRP-proces.

51

6. Basal videnskabsteori

Emnet videnskabsteori hører ind under filosofien. Her interesserer man sig for frembringelsen af

viden. Området er meget stort og der stilles overordnet mange spørgsmål. Eksempelvis hvornår

noget er viden? Hvad adskiller videnskab fra pseudovidenskab (det der kaldes

demarkationskriteriet)? Hvordan tilvejebringes viden? Og en lang række yderligere spørgsmål.

Videnskabsteorien kan også have fokus på et (eller flere) fag og således forsøge at beskrive faget

eller opstille kriterier for faget i forhold til udøvelsen. Hvis man ser snævert på faget matematik, så

er der også en række spørgsmål der kan stilles, f.eks. hvornår er noget matematik og noget andet

ikke (et matematisk demarkationskriterium)? Hvordan tilvejebringes matematisk viden

(epistemologi)? Hvad er matematikkens objekter/strukturer (ontologi)? Og mange flere interessante

spørgsmål. Som dog ligger uden for den obligatoriske SRP-ramme.

Når basal videnskabsteori beskrives, så må det bemærkes, at det er et begreb, der er opfundet til

SRP og der gives reelt ingen entydig definition af begrebet. I vejledningen kan man læse:

"I arbejdet med basal videnskabsteori lærer eleverne på grundlæggende niveau at reflektere over,

hvordan forskellige fag og hovedområder arbejder, således at fagene og de anvendte metoder

betragtes i et mere overordnet perspektiv. Arbejdet med basal videnskabsteori kan fx dreje sig om,

hvordan metoder er udtryk for forskellige hovedområders videnskabelige tilgange, hvilke typer af

viden der opnås med forskellige metoder, eller hvordan det enkelte fag arbejder sammenlignet med

andre fag. Arbejdet med basal videnskabsteori kan desuden indeholde grundlæggende overvejelser

om videnskabsetik og videnskabelige idealer, som er fælles for alle fag, fx objektivitet og

uafhængighed.” (side 7)

Den ene del af den basale videnskabsteori for matematik handler altså om hvad der adskiller mate-

matik fra andre fag, den anden del handler om at forholde sig til hvordan der arbejdes i matematik.

Førstnævnte diskuteres i det følgende ved at pege på centrale særkendetegn ved matematikken.

Som skrevet i kapitel 2, er matematikkens stofområde matematiske strukturer. Det der er særligt ved

matematikkens strukturer er, at de ikke har en fysisk virkelighed. De kan så at sige ikke findes ved

at kigge ud af vinduet. Det har indflydelse på hvordan vi behandler strukturerne. Der findes mange

kendetegn ved matematik som adskiller det fra andre fag og nedenfor præsenteres tre af disse.

Det første kendetegn ved matematik er opbygningen af den måde hvor på vi argumenterer om

strukturer. Vi benytter os af en mere eller mindre stringent logik, samt et symbolsprog andre fag har

lånt. Ud af denne omgang med strukturer udspringer noget som er helt unikt for matematik, og ikke

52

findes i noget andet fag: Muligheden for blandt uendelige mange muligheder at udelukke dem alle.

Således ved vi med sikkerhed, at kvadratroden af et vilkårligt primtal aldrig kan være rationelt. Hvis

vi havde lavet biologi kunne vi blot have sagt at noget tilsvarende var usandsynligt. Så det første

kendetegn er at viden om matematiske strukturer er mere ”sikker” end andre fags viden.

Det andet kendetegn for matematik er systematisering af viden. Det findes også i andre fag, men

ikke på samme måde som i matematik. Det klassiske eksempel er Euklid og hans systematisering af

den græske geometri. Euklid indsamlede den kendte viden om geometri, tilføjede noget selv, og

organiserede materialet. Undervejs fandt han på de aksiomer han ville basere sin geometri på. Dette

dannede forbillede for andre, også uden for matematik, og har medført systematiseringer af mange

dele af matematikken. Det har også medført at måden hvor på matematiske tekster er opbygget er

helt speciel, og teksten skjuler ofte hvordan forfatteren rent faktisk kom frem til sit resultat.

Det tredje kendetegn for matematik er anvendelser. Det er imponerende hvor mange steder

matematisk teori har fundet vej ind. Og ofte har matematik vist sig at være så effektiv, at det har

medført filosofisk debat om hvordan det kan lade sig gøre? Særligt bemærkes det at alle natur-

videnskabelige fag har matematik som et element i sig, f.eks. notation fra matematik.

De tre kendetegn oven for er overordnede, men kan genfindes i nogle af de metoder som er beskre-

vet tidligere. Diskussionen af kendetegn ved matematik optræder som sagt som den ene del af basal

videnskabsteori og giver bedst mening i direkte sammenligning med et andet fag der indgår i SRP.

Den anden del af den basale videnskabsteori beror på et overordnet blik på metoderne i faget

matematik. Her kan det være nødvendigt med et begrebsapparat til at tale om matematikkens

metoder. Vi er her i gang med det der kan kaldes metodologi (læren om metoder).

Når vi ser på metoder overordnet eller ude fra, så vil man bemærke at hver metoder har nogle

styrker - situationer hvor metoden virker godt, og nogle svagheder - situationer hvor metoden enten

fejler eller er uhensigtsmæssig. Således bør et begrebsapparat om metoder i matematik også

indeholde en diskussion af hvilke muligheder og begrænsninger metoder af en bestemt type har.

I det følgende opstilles nogle begrebspar som i et eller andet omfang står i modsætning til hinanden.

Det forklares hvad hvert begrebspar beskriver og der gives eksempler på dem i forhold til SRP.

Begrebsparrene kan bruges til at karakterisere de konkrete metoder. Vi kan således tale om typer af

metoder. De metoder som er beskrevet i tidligere kapitler kan dog ikke udelukkende betegnes som

værende en bestemt type metode. Det hele afhænger af hvilken rolle metoden udfylder. Således kan

ræsonnementer opfattes som hørende under mange af de begreber som nævnes neden for, mens

beviser og beregninger har et mere begrænset antal begreber de hører under. Det afgørende er

hvilken sammenhæng metoden anvendes i.

53

6.1 Analytisk-empirisk

Modstillingen mellem at arbejde analytisk og at arbejde empirisk handler først og fremmest om

hvilken type videnskilde vi arbejder med. Hvis man arbejder analytisk henter man sin viden fra

mentale konstruktioner (teori), mens man ved empirisk arbejde henter sin viden fra erfaringer gjort

ved omgang med virkeligheden.

Matematik omtales ofte som et formelt fag, der alene arbejder analytisk. Dette tager sit afsæt i en

forestilling om matematikken som en ren tankekonstruktion der opstilles, udvikles og undersøges

alene ved tankekraft. Denne forståelse af faget passer meget godt til den moderne måde at arbejde i

matematik på, som er rent analytisk. Man bør dog have blik for at matematikkens historie byder på

eksempler på at matematikkyndige personer har hentet den faginterne viden fra empiri. I historiske

studier af arbejde i matematik vil empiriske metoder altså godt kunne optræde.

Når vi arbejder med matematik, f.eks. ved at opstille, anvende og evaluere modeller, er det klart at

arbejdet kan få empirisk karakter. Så at udelukke det empiriske som irrelevant for matematikkens

basale videnskabsteori ville være temmelig misvisende. Vi kan imidlertid sagtens arbejde både

analytisk og empirisk når vi laver modellering, så her har begrebsparret i høj grad en berettigelse.

En analytisk opstillet model baserer sig på teori. En model over et skråt kast med luftmodstand vil

således være en analytisk (eller teoribaseret) model. En model baseret på eksempelvis regression på

data vil være en empirisk (eller databaseret) model. Hvis vi evaluerer en model ved at teste dens

resultater op mod virkeligheden, vil vi arbejde empirisk med modelvurdering. Hvis vi undersøger en

given model for dens grundlag, vil vi arbejde analytisk med modelanalyse.

I naturvidenskabelige fag deles empiriske metoder ofte op i eksperimentel og observationel. I

eksperimentet er der kontrol over indgående parametre i situationen og vi kan derfor designe

eksperimentet til at levere en ønsket empiri. I observationen er parametrene i omgivelserne som de

er og indgående parametre kan alene påvirkes ved valget af omgivelser.

Skelnen mellem eksperimentel og observationel kan være meget nyttig når vi taler om databaserede

matematiske modeller. Har vi tilvejebragt data med fuld kontrol eller begrænset kontrol.

I samfundsfag vil empiriske metoder ofte blive opdelt i kvantitative eller kvalitative, som siger

noget om sammenligneligheden af data. Kvantitative data er let sammenlignelige, ofte fordi de

måles ud i tal. Kvalitative data er sværere at sammenligne, fordi de ofte formuleres med ord.

Også denne skelnen kan være nyttig når der arbejdes med matematiske modeller. Hvorfor er det

f.eks. let at lave en matematisk model over udviklingen af et menneskes højde eller variationen i

højde mellem mennesker, men svært at gøre det samme med udvikling i eller variation af lykke.

54

Eksempel 6.1.A

I en SRP om ray-tracing i matematik og informatik, kan det være nødvendigt at vide om en pixel på

skærmen ligger i skyggen af f.eks. en kugle. Med andre ord skal man finde ud af om en linje

beskrevet ved en parameterfremstilling rammer en kugle. Dette skal gøres generelt, men under

hensyntagen til den måde matematikken allerede er implementeret i ray-traceren. Det kræver en

analyse af hvilken generel form, der giver bedst mening i situationen. Således arbejdes der

analytisk.

Eksempel 6.1.B

I en SRP hvor en meningsmåling indgår og hvor der er flere variable end blot partivalg, kan eleven

lave en undersøgelse af korrelation, uafhængighed og lignende. Arbejdet er behandling af data og

betragtes som empirisk i konteksten af matematik. Eleven bør diskutere repræsentativitet af

stikprøven.

Eksempel 6.1.C

I en SRP om 100 meter løb med eksempelvis idræt, vil det give mening for eleven at indsamle data

for et antal konkrete løb. Disse data skal så underkastes en undersøgelse i forhold til den model, der

er blevet opstillet for 100 meter løb. Her arbejder eleven empirisk. I arbejdet med at opstille model-

len for 100 meter løb, kan man vælge to tilgange, enten anvende data til at finde et bud på en model,

eller analysere 100 meter løbet uden data og dermed ud fra en tænkt situation, hvor relevante

parameter inddrages, opstille modellen. I det første tilfælde arbejdes der empirisk, i det andet

analytisk. Særligt har empirien en forskellig rolle i de to tilfælde. Enten som datagrundlag for

modellen eller til vurdering af modellen.


Det er nødvendigt at man i den daglige undervisning er klar i mælet om hvornår man arbejder

analytisk eller empirisk. Således bør teoretisk arbejde markeres som analytisk. Og når der arbejdes

med modeller af virkeligheden, bør man være klar på hvornår man er i en fase hvor der arbejdes

empirisk. Særligt bør man være varsom med at gøre al statistik empirisk. Den teoribygning, der

ligger bag statistikken er ikke empirisk. Statistikkens grundlag er altså analytisk. Således er det kun

i mødet med virkelige data, at der i statistik arbejdes empirisk.

55

6.2 Deduktiv-induktiv

Hvor begrebsparret analytisk-empirisk forholder sig til vores videnskilde, så forholder begrebsparret

deduktiv-induktiv sig til vores slutningsmåde. Hvordan slutter vi fra opnået viden til ny viden.

Deduktiv betyder groft sagt at vi udleder ny viden fra generel viden, mens induktiv betyder at vi

udleder ny viden fra konkret viden.

Ofte siges deduktion at være at slutte fra det generelle til eksemplet, mens induktion betyder at

slutte fra eksemplet til det generelle. I matematik tillader vi os dog også at tale om deduktion som

det vi gør, når vi fra én generel viden slutter os til en ny generel viden. Det er altså alene det vi

slutter fra, som afgør om vi taler om deduktiv eller induktiv slutning.

I meget litteratur om matematik kan man læse, at matematikken er en rent deduktiv videnskab.

Dette stemmer overens med den rene teoris almindelige fremstilling, hvor man ud fra et sæt af

aksiomer deduktivt udleder alle de sætninger der gælder. Ofte kalder vi således matematik for en

aksiomatisk-deduktiv videnskab.

Det stemmer imidlertid dårligt overens med hvordan man i praksis arbejder med matematik i såvel

matematisk forskning, som i daglig matematikundervisning. Ofte vil vi anvende vores analytiske

viden til at opstille en række konkrete eksempler ud fra hvilke vi opstiller formodninger om en mere

generel sammenhæng. En sådan slutning er induktiv.

Det er korrekt at vi ikke opnår sikker viden på denne måde. Men det gør man heller ikke i nogen

andre fag. Induktion giver aldrig ”sikker viden”. Det afholder dog ikke videnskaben fra at lave

kvalificerede formodninger på baggrund af induktion, vel vidende at det en dag kan vise sig at være

en viden med begrænsninger.

Når vi arbejder empirisk med matematiske modeller, vil vi som udgangspunkt altid arbejde

induktivt. Empiri er som udgangspunkt altid en endelig mængde af data (eksempler), ud fra hvilke

vi kan opstille en formodet generalisering.

I naturvidenskabelig videnskabsteori arbejder man dog med begrebet hypotetisk-deduktiv, hvor man

ud fra en hypotese deduktivt udleder konsekvenser af hypotesen, som afprøves ved indsamling af

empiri. Hvis empirien modsiger den udledte konsekvens, vil man typisk slutte at hypotesen har

været forkert – eller i hvert fald upræcis. Hvis empirien omvendt følger den udledte konsekvens, vil

den blive opfattet som endnu et eksempel på, at hypotesen har sin berettigelse.

De to situationer kaldes ofte falsifikation hhv. verifikation. I matematik og eksakt naturvidenskab

vil falsifikation kunne opfattes som en empirisk-deduktiv afvisning af en hypotese. Ud fra empiri

kan vi slutte at hypotesen i sin afprøvede form er forkert. Falsifikationen er i den henseende

56

beslægtet med modeksemplet inden for ræsonnement og bevisførelse. En verifikation vil derimod

blive opfattet som empirisk-induktiv i de fleste tilfælde, fordi den blot føjer endnu et empirisk

eksempel til mængden af konkrete eksempler, som hypotesen er en generalisering over.

Eksempel 6.3.A

I en SRP om SIR-modellen, kan forskellige eksempler på løsninger i de forskellige tilfælde (epidemi

eller ikke epidemi) anvendes induktivt til at motivere en definition, en sætning eller til at sige noget

om strukturen af løsninger til den generelle SIR-model. Eksempler kan også anvendes deduktivt

idet den viser en instans af noget allerede defineret eller beskrevet.

Eksempel 6.3.B

I en SRP om modellering hvor modelleringscirklen gennemløbes flere gange, vil de forskellige

modelleringer være udtryk for en induktiv tilgang. Hvis der således skrives om f.eks. penduler, så

kan en model være en potensmodel hvor svingningstiden afhænger af snorlængden, en anden model

kan være en harmonisk svingning, og til sidst en dæmpet harmonisk svingning. Hver modellering

giver et forskelligt billede af emnet penduler, og derfor arbejdes der induktivt. Dog vil der være

deduktive elementer i opstillingen og undersøgelsen af de forskellige modeller. Idet, der må

forventes at der laves udregninger og problemløsning undervejs.

Eksempel 6.3.C

I et historisk projekt om udviklingen af grænseværdibegrebet vil en kronologisk gennemgang

medføre at der arbejdes induktivt. Hver version af grænseværdibegrebet op gennem historien vil

være en viderebygning eller i modsætning til en tidligere version. I den sammenhæng bliver

beskrivelserne af de forskellige versioner og deres forskelle og ligheder en induktiv metode, der

peger hen mod det moderne begreb.


Det er muligt at arbejde induktivt med den deduktive side af matematikken. Øvelsen

”selvmordskulten” går ud på at man skal overleve en syg kults idé om kollektivt selvmord. Deres

idé er den at alle (f.eks. eleverne) stiller sig op i en cirkel. Alle får et nummer, nr. 1 slår personen til

venstre ihjel, så nr. 2 er ude, nr. 3 slår nr. 4 ihjel, nr.5 tager nr. 6, Så i første omgang dør alle med et

lige nummer. Men man fortsætter til der kun er én tilbage. Hvis der f.eks. er et ulige antal deltagere

bliver nr.1 elimineret i begyndelsen af anden runde. Så spørgsmålet er hvilket pladsnummer man

skal stå på for at overleve?

57

Det er nu elevernes tur til at finde et system i øvelsen. Måske starter de med at notere pladserne for

vinderen ved 1, 2, 3… op til 16 deltagere. Så kan de se om de kan findes et system. Der vil

eksempelvis være noget særligt ved de antal som kan skrives som 2𝑛. Øvelsen giver anledning til at

bevise en sætning om overlevelsesnummeret. Hele tanken bag øvelsen er, at eleverne arbejder

induktivt med noget der til sidst kan præsenteres deduktivt. Faktisk kommer de tæt på den

arbejdsmetode som bruges af professionelle matematikere.


Da rigtig meget af det der laves i matematik er deduktivt, vil det være meget passende at være

opmærksom på, hvornår der arbejdes induktivt. Således bliver det nødvendigt at være eksplicit om

at det er det man gør.

6.4 Videnskabsteorien i SRP

Det forventes, at elever til den mundtlige eksamen som minimum siger noget om metoder og basal

videnskabsteori. Her er det nødvendigt at gøre klart for eleverne, at de ikke kun gør én ting, men

næsten altid anvender flere metoder, men også flere overordnede arbejdsformer. Således kan en

SRP begynde formelt med gennemgang af den teori, der søges anvendt. Efterfulgt af en analyse af

problemet. Eller en analyse af et problem, efterfulgt af en modellering, eller en simulering, eller…

Kombinationerne er mangfoldige og der er ikke én tilgang, der er den rigtige matematiske tilgang.

Det hele afhænger af det problem, der skal løses i SRP’en, som oftest med et andet fag.

Det er i den sammenhæng nødvendigt at eleven kan sige hvorfor en bestemt videnskabsteoretisk

tilgang eller metode bliver anvendt som den nu gør. Dette forudsætter, at eleven har hørt om

metoderne og har en forståelse af hvad de hver især kan og ikke kan.

58

7. Litteraturliste og materialeoversigt

7.1 Litteratur anvendt i teksten

Kapitel 3

Tall, D. & Vinner, S (1981); Concept Image and Concept Definition in Mathematics with Particular

Reference to Limits and Continuity. Educational Studies in Mathematics vol. 12, pp. 151-169.

de Villiers, M. (1990). The role and function of proof in mathematics. Pythagoras, 24, 17-24.

Harel, G. & Sowder, L. (2007). Toward comprehensive perspectives on the learning and teaching of

proof. In: F. K. Lester Jr. (ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and

Learning (pp. 805-842). Charlotte, NC: Information Age Publishing.

Hoyles, C. & Küchemann, D. (2002). Students’ understandings of logical implication. Educational

Studies in Mathematics, 51(3), 193–223.

Hanna, G. (1990). Some pedagogical aspects of proof. Interchange, 21(1), 6-13.

Alibert, D. (1988); Towards New Customs in the Classroom. In For the learning of Mathematics 8,

2 (June 1988). FLM Publishing Association, Montreal, Quebec, Canada.

Legrand, M. (2001); Scientific Debate in Mathematics Courses. In Derek Holton (Ed.), The

Teaching and Learning of Mathematics at University Level: An ICMI Study, pp. 127-135, Kluwer

Academic Publishers, Netherlands.

Kapitel 4

Blum, W. og Niss, M. (1989): "MATEMATICAL PROBLEM SOLVING MODELLING,

APPLICATIONS AND LINKS TO OTHER SUBJECTS" - State, trends and issues in mathematics

instruction. Imfufa-tekst 183 http://milne.ruc.dk/imfufatekster/pdf/183.pdf

Blomhøj, M. 2006; Mod en didaktisk teori for matematisk modellering (s.88), i ”Kunne det tænkes?

– Om matematiklæring” (2006). Malling Back

http://milne.ruc.dk/imfufatekster/pdf/183.pdf

59

Blum, W., & Leiß, D. (2007). How do students and teachers deal with modelling problems? In C.

Haines, W. Blum, P. Galbraith, & S. Khan (Eds.), Mathematical modelling (ICTMA 12): Education,

engineering and economics (pp. 222–231). Chichester: Horwood.

Jensen, Thomas Højgaard (2007): Udvikling af matematisk modelleringskompetence som

matematikundervisningens omdrejningspunkt - hvorfor ikke? Imfufa–tekst 458.


Nielsen, K.H.M. & Jensen, K.B.S. (2011a): En-dimensionel model af Spruce-Budworm udbrud, i

LMFK-bladet 1/2011: http://lmfk.dk/artikler/data/artikler/1101/1101_15.pdf

Nielsen, K.H.M. & Jensen, K.B.S. (2011b): Tren-dimensionel model af Spruce-Budworm udbrud, i

LMFK-bladet 2/2011: http://lmfk.dk/artikler/data/artikler/1102/1102_17.pdf

Kapitel 5

Fried, M. N. (2001): Can Mathematics Education and History of Mathematics Coexist?, i Science &

Education, vol. 10, s. 391-408

Jankvist, U. T. (2015). Changing students’ images of “mathematics as a discipline”. Journal of

Mathematical Behavior, 38, 41-56.

Jankvist, U. T. (2008a). RSA og den heri anvendte matematiks historie - et undervisningsforløb til

gymnasiet. Imfufa-tekst 460 http://milne.ruc.dk/imfufatekster/pdf/460.pdf

Jankvist, U. T. (2008b). Den tidlige kodningsteoris historie - et undervisningsforløb til gymnasiet.

Imfufa-tekst 459 http://milne.ruc.dk/imfufatekster/pdf/459.pdf

Jankvist, U. T. (2012a). Historisk fremkomst og moderne anvendelse af Boolsk algebra – et

matematikfilosofisk undervisningsforløb til gymnasiet. Imfufa-tekst 487

http://milne.ruc.dk/imfufatekster/pdf/487web.pdf

Jankvist, U. T. (2012b). Historisk fremkomst og moderne anvendelse af grafteori – et

matematikfilosofisk undervisningsforløb til gymnasiet. Imfufa-tekst 486


Adams, C. (2014); Zombies and Calculus; Princeton University Press

Auburn, D. (2001); Proof; Dramatists Play Service inc.


http://lmfk.dk/artikler/data/artikler/1101/1101_15.pdf






60

Kapitel 6

Numberphile (2016); The Josephus Problem https://youtu.be/uCsD3ZGzMgE

7.2 Materialesamling

I materialesamlingen optræder ikke tekster som findes på litteraturlisten.

Styredokumenter:

UVM (2017); Studieretningsprojektet – stx, august 2017, Bilag 129

https://www.uvm.dk/-/media/filer/uvm/gym-laereplaner-2017/stx/studieretningsprojektet-stx-

august-2017.pdf

UVM (2019); Studieretningsprojektet, stx Vejledning

https://www.uvm.dk/-/media/filer/uvm/gym-laereplaner-2017/stx/studieretningsprojektet-stx-

vejledning-marts-2019.pdf

Overordnet om fag, videnskabsteori og metode

Tekster tilgængeligt online:

Andersen, J.H. (2001); Hilberts matematikfilosofi, specialerapport, Roskilde Universitetscenter;


Axelsen, J., Danielsen, K. og Sørensen, H.K. (2016); Kildecentreret matematikhistorie: Reportage

fra et forløb og en konference. LMFK-bladet 4-5/2016;


Bie, M. og Bolvinkel, H. (2018); Begrebsafklaring og struktur som metode. LMFK-bladet 1/2018;


Carter, J. (2019); Matematikkens metoder - illustreret med eksempler fra ligningernes historie.

LMFK-bladet 1/2019; https://www.lmfk.dk/artikler/data/artikler/1901/1901_08.pdf

https://youtu.be/uCsD3ZGzMgE

https://www.uvm.dk/-/media/filer/uvm/gym-laereplaner-2017/stx/studieretningsprojektet-stx-august-2017.pdf

https://www.uvm.dk/-/media/filer/uvm/gym-laereplaner-2017/stx/studieretningsprojektet-stx-august-2017.pdf

https://www.uvm.dk/-/media/filer/uvm/gym-laereplaner-2017/stx/studieretningsprojektet-stx-vejledning-marts-2019.pdf

https://www.uvm.dk/-/media/filer/uvm/gym-laereplaner-2017/stx/studieretningsprojektet-stx-vejledning-marts-2019.pdf




https://www.lmfk.dk/artikler/data/artikler/1901/1901_08.pdf

61

Dræby, C., Hansen, J.S., Johansen, R.U., Meibom, P. og Nielsen, J.K. (1993); Patologiske

eksempler. Om sære matematiske fisks betydning for den matematiske udvikling. Projektrapport fra

Roskilde Universitetscenter; http://milne.ruc.dk/imfufatekster/pdf/240.pdf

Grøn, B. et.al. (2010); Matematikkens elementære videnskabsteori;

https://www.uvmat.dk/matviden/index.htm

Hansen, B. (2009); Didaktik på tværs af matematik og historie – en prakseologisk undersøgelse af

de gymnasiale studieretningsprojekter. IND’s Studenterserie nr. 10;

https://www.ind.ku.dk/publikationer/studenterserien/studenterserie10/Britta-Hansen2009-

Didaktik_matematik_historie.pdf

Hermannsson, M. (1999); Bevisets stilling - beviser og bevisførelse i en gymnasial matematik-

undervisning; Specialrapport fra Roskilde Universitetscenter;


Jensen, A.K.S, Jensen, G.M., Thrane, J., Wille, K.L.A.W og Wulff, P. (2000); Beviser i matematik.

Projekrapport fra Roskilde Universitetscenter; http://milne.ruc.dk/imfufatekster/pdf/383.pdf

Jensen, K.B. (2010); Tværfaglige samspil mellem matematik og historie i gymnasiets

studieretningsprojekt (SRP). MONA 2010-1.

https://rucforsk.ruc.dk/ws/portalfiles/portal/32979218/mona.pdf

Jensen, K.B.S. (2010); Matematik og tværfaglighed – et teoretisk blik. LMFK-bladet 4/2010;


Jensen, K.B.S. (2012); Anvendelse og modellering i matematik – et teoretisk blik. LMFK-bladet

2/2012; http://lmfk.dk/artikler/data/artikler/1202/1202_27.pdf

Jensen, K.B.S. (2016); Gymnasiematematikfagets fagidentitet, ph.d-afhandling, Roskilde

Universitet; www.bjering.dk/phd/AFHANDLING.pdf

Larsen, C. (1987); Intuitionistisk matematiks metoder og erkendelsesteoretiske forudsætninger.

Specialerapport fra Roskilde Universitetscenter; http://milne.ruc.dk/imfufatekster/pdf/135.pdf

Larsen, J.C. og Jensen, Kasper B.S. (2019); Metoder og basal videnskabsteori i matematik, LMFK-

bladet 3/2019; http://lmfk.dk/artikler/data/artikler/1903/1903_26.pdf

Lützen, J. & Kiming, I. (2008); Matematisk metode; http://web.math.ku.dk/noter/filer/matm09.pdf


https://www.uvmat.dk/matviden/index.htm

https://www.ind.ku.dk/publikationer/studenterserien/studenterserie10/Britta-Hansen2009-Didaktik_matematik_historie.pdf

https://www.ind.ku.dk/publikationer/studenterserien/studenterserie10/Britta-Hansen2009-Didaktik_matematik_historie.pdf



https://rucforsk.ruc.dk/ws/portalfiles/portal/32979218/mona.pdf



http://www.bjering.dk/phd/AFHANDLING.pdf



http://web.math.ku.dk/noter/filer/matm09.pdf

62

Niss, M. (1999); Er matematik en naturvidenskab? – en udspænding af diskussionen”.

Projektrapport fra Roskilde Universitetscenter; http://milne.ruc.dk/imfufatekster/pdf/362.pdf

Pedersen, S.A. (20??) ; Matematikkens filosofi; http://matematikfilosofi.ruc.dk/FilMat_ny.pdf

Sørensen, H.K. (2013); En dialog mellem matematikkens historie og videnskabsteori. LMFK-bladet

6/2013; http://lmfk.dk/artikler/data/artikler/1604/1604_22.pdf

Bøger, artikler mv. ikke tilgængelig online:

Kjeldsen, T.H. (2015); Hvad er matematik? Akademisk forlag

Johansen, M.W. & Sørensen, H.K. (2014); Invitation til matematikkens videnskabsteori;

Samfundslitteratur

Skovsmose, O. og Ravn. O (2011); Matematikfilosofi, Systime.

Overordnet om didaktik

Niss, M. & Jensen, T. H. (Eds.). (2002). Kompetencer og matematiklæring – Ideer og inspiration til

udvikling af matematikundervisning i Danmark. Undervisningsministeriet. Uddannelsesstyrelsens

temahæfteserie nr. 18. http://static.uvm.dk/Publikationer/2002/kom/hel.pdf

Blomhøj, M. (2016); Fagdidaktik i matematik; Frydenlund


http://matematikfilosofi.ruc.dk/FilMat_ny.pdf


http://static.uvm.dk/Publikationer/2002/kom/hel.pdf

Documents

i, med og om Metode...I denne tekst vil vi forholde os til matematik som et fag, der har nogle metoder og en basal videnskabsteori. Vi vil kun i begrænset omfang forholde os til andre