I modelli fondati sul mercato dei capitali - lumsa.it 12.pdf · fattore di montante di tipo esponenziale . ... •La probabilità di default marginale durante l’anno T ( ) è data

Slides tratte da:

Andrea Resti

Andrea Sironi

Rischio e valore nelle banche

Misura, regolamentazione, gestione

Egea, 2008

I modelli fondati sul mercato dei capitali


2

AGENDA

• L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds

• L’approccio basato sulle quotazioni azionarie •Il modello di Merton

• Il modello KMV

•Esercizi

© Resti e Sironi, 2008


Rischio e valore nelle banche I modelli fondati sul mercato dei capitali

3

• I modelli analizzati in questo capitolo (capital market approaches) ricavano

la probabilità di insolvenza dell’emittente partendo dai prezzi di azioni e obbligazioni

• Lo spread richiesto dal mercato ai titoli obbligazionari rischiosi (rispetto al rendimento di titoli di uguale scadenza privi di rischio di insolvenza) riflette le aspettative del mercato circa la probabilità di insolvenza degli emittenti

• Gli input di questi modelli sono:

L’approccio basato sugli spread dei corporate bonds


la curva degli spread tra i rendimenti zero-coupon dei corporate bond di una certa

impresa e i rendimenti zero-coupon dei titoli risk-free

una stima del tasso di recupero atteso, sui corporate bond, in caso di insolvenza


4

• I tassi di interesse (i) saranno espressi come tassi composti continui

• Indicando con C il valore corrente di un investimento e con M il valore finale:

• É sempre possibile passare da un tasso semplice o composto periodale is al corrispondente tasso composto continuo ic, imponendo che conducano entrambi allo stesso montante:

Premessa: i tassi composti continui


iCeM

lnM

iC

(1 )ci

sCe M C i 1 ci

s ei sc ii 1ln

montante di un debito a fine anno capitale iniziale

fattore di montante di tipo esponenziale


5

Supponiamo:

PD= p LGD=100% i= tasso di rendimento dei titoli di Stato a un anno d= spread fra titolo rischioso e titolo risk-free. i*=i+d tasso di rendimento a un anno del titolo rischioso

• Per un investitore neutrale al rischio è indifferente investire un euro nel titolo

obbligazionario rischioso o nel titolo di Stato quando:


La stima della probabilità di insolvenza ad un anno


montante investito nel titolo risk free = montante investito nel corporate bond,

ponderato per la probabilità che questo venga restituito

dii epe 1 dep 1funzione crescente di d


6

• Maggiore è lo spread d richiesto dal mercato, maggiore è la probabilità di default

• Supponendo che i*= 5% e i= 4%:

• Supponiamo ora più realisticamente che i creditori recuperino, in caso di

insolvenza, una quota R del capitale prestato più i relativi interessi al tasso i*:


La stima della probabilità di insolvenza ad un anno


%995,01 01,0 ep

didii eRpepRpe 111

LGD

e

R

ep

dd

1

1

1

%99,15,01

1 01,0

ep Ipotizzando tasso di recupero R = 50%


7

• Consideriamo la curva dei tassi zero-coupon, dei corporate bond di un certo emittente e dei titoli privi di rischio e i relativi spread.


La stima della probabilità di insolvenza su orizzonti superiori all’anno


0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

1 2 3 4 5

Scadenza

Tasso sulle obbligazioni societarie

Tasso sui titoli privi di rischio

Spread (d)

Scadenza

(T, anni)

Rendimento

su titoli privi

di rischio

(iT)

Ritorno su

obbligazioni

societarie

rischiose

(i*T)

Spread

(dT)

pT p'T condizionata

all’assenza di

default nei

periodi

precedenti

1 4,00% 5,00% 1,00% 2,49% 2,49%

2 4,10% 5,20% 1,10% 5,44% 3,03%

3 4,20% 5,50% 1,30% 9,56% 4,36%

4 4,30% 5,80% 1,50% 14,56% 5,52%

5 4,50% 6,20% 1,70% 20,37% 6,80%


8

• pT è la probabilità di default cumulata relativa a un periodo di T anni

Probabilità che l’emittente fallisca tra oggi e la fine del T-esimo anno • Se l’investitore è neutrale al rischio, il montante atteso di un euro investito nel

corporate bond dovrà essere uguale al montante di un euro investito nel titolo risk free:

• Da ciò è possibile ricavare le probabilità di default cumulate associate alle diverse scadenze, come si osserva nella quinta colonna della tabella della slide 7 (R=60%)




Tdi

T

Tdi

TT

Ti TTTTT eRpeRppe

111

LGD

e

R

ep

TdTd

T

TT

1

1

1

al crescere dell’orizzonte temporale crescono anche le PD cumulate


9

• sT1-pT probabilità che il debitore sopravviva tra oggi e la fine del T-esimo

anno

• probabilità di sopravvivenza marginale durante il T-esimo anno

• Per qualsiasi T




Ts

probabilità (condizionata alla sopravvivenza del debitore fino alla fine dell’anno T-1) che il debitore non fallisca nel corso dell’anno T

TTT sss 1

1

T

TT

s

ss

La probabilità di sopravvivenza tra 0 e T è data dal prodotto tra la probabilità di sopravvivenza tra 0 e T-1 e la probabilità (marginale) di sopravvivenza il T-esimo anno


10

• La probabilità di default marginale durante l’anno T ( ) è data dal complemento

a uno della relativa probabilità di sopravvivenza marginale:

• Riferendoci sempre all’esempio di slide 7, la probabilità di default marginale nel secondo anno sarà:




Tp

11 1

1111

T

T

T

T

TTp

p

s

ssp

%03,3%49,21

%44,511

1

11

1

22

p

pp


11

• Le PD marginali possono essere calcolate anche utilizzando i tassi di

rendimento zero-coupon a termine, ossia i tassi forward impliciti nella curva spot:




1111 TiTii TTT

Data di

decorrenza

(T-1)

Data di

scadenz

a (T)

Tasso forward

su titoli privi di

rischio

(T-1i1 )

Tasso forward

su obbligazioni

societarie

(T-1i*1)

Spread

forward

(T-1d 1)

p'T

condizionata

all’assenza di

default

precedenti

pT

0 1 4,00% 5,00% 1,00% 2,49% 2,49%

1 2 4,20% 5,40% 1,20% 2,98% 5,40%

2 3 4,40% 6,10% 1,70% 4,21% 9,38%

3 4 4,60% 6,70% 2,10% 5,20% 14,09%

4 5 5,30% 7,80% 2,50% 6,17% 19,39%

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

1 2 3 4 5

Scadenza

Spread a termine

Spread a pronti


12

• Gli spread fra i tassi spot relativi alle due categorie di titoli (inclinati

positivamente) si riflettono negli spread (più elevati) fra i tassi a termine




Spread a pronti crescenti, spread a termine sopra a quelli a pronti

É possibile stimare le probabilità di

insolvenza relative agli anni successivi al primo usando lo stesso criterio con cui si è ricavata la

probabilità di insolvenza a un

anno


13

• Richiamando l’equivalenza tra i montanti per un investitore neutrale al rischio:

• Ipotizzando un tasso di recupero R del 60%, si possono ottenere le varie

probabilità di insolvenza (quinta colonna della tabella di slide 11)




1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1T T T T Ti i d i d

T T Te p p R e p R e

LGD

e

R

ep

dd

T

TT 1111 1

1

1

%98,2%601

1 %20,1

2

ep secondo anno

montante di un’operazione a termine priva di rischio

montante atteso da un’operazione a termine sul corporate bond


14

• Utilizzando la relazione tra PD marginali e cumulate, possiamo calcolare anche le

PD cumulate associate alle PD marginali:

• In alternativa, dato che la probabilità di sopravvivenza cumulata è la produttoria di tutte le probabilità di sopravvivenza marginali per gli anni da 1 a T (ultima colonna della tabella di slide 11) :




1111 TTT ppp

%40,5%)49,21%)(98,21(1111 122 ppp PD cumulata a due anni

T

t

t

T

t

tT pss11

1

T

t

tTT psp1

11

Funzione delle sole PD marginali

%38,9%21,41%98,21%49,211111 321

3

1

3

pppppt

t

probabilità di un default tra oggi e la fine del terzo anno


15


Pregi e limiti


1. sono utilizzati dati di mercato oggettivi

2. è un modello “forward looking”, capace cioè di stimare i tassi di insolvenza attesi dal mercato per i futuro

1. lo spread viene tutto attribuito al rischio di credito Spesso in realtà una parte dello spread sui corporate bond riflette

semplicemente la minore liquidità

2. ipotesi di neutralità al rischio Nella realtà per scambiare un investimento certo con uno rischioso gli investitori richiedono un premio

dii eRpPe 1*1p* è più basso rispetto ai p calcolati precedentemente

Le PD sono distorte verso l’alto (PD risk-neutral)

VANTAGGI

LIMITI


16


Pregi e limiti


LIMITI DI TIPO OPERATIVO

Il modello è inapplicabile per le imprese che non emettono titoli obbligazionari quotati

Anche le imprese con debito quotato hanno spesso carenza

di dati relativi ai tassi di rendimento zero-coupon

associati alle diverse scadenze

Ottenibili con il bootstrapping dai titoli con cedola; l’impresa deve aver emesso titoli di diversa scadenza

per poter ricavare l’intera curva degli spread


17

• Questo approccio si basa sul modello di pricing delle opzioni da Black e Scholes nel 1973

• Il primo ad applicare questo modello al rischio di insolvenza è stato Merton (1974)

• Gli azionisti detengono l’opzione di dichiarare insolvenza, cioè di cedere l’azienda ai creditori anziché rimborsare il debito, quando il valore delle passività verso terzi è superiore al valore dell’attivo

I modelli basati sulle quotazioni azionarie


L’insolvenza di un’impresa avviene nel momento in cui il valore delle attività risulta inferiore al valore delle passività verso terzi

Il valore del capitale è azzerato e gli azionisti avranno la convenienza a dichiarare l’insolvenza e

lasciare l’azienda in mano ai creditori


18

• È un modello strutturale

• Il modello ipotizza una struttura finanziaria dell’impresa semplificata: Una sola forma di passività verso terzi (rimborso del capitale F alla scadenza

T) con valore di mercato pari a B Attivo dell’impresa a valore di mercato = V Equity E = V - B B0, V0 e E0 sono i valori correnti


Il modello di Merton


Si concentra sulle caratteristiche strutturali che determinano la PD: il valore dell’attivo, il valore del debito e la volatilità dell’attivo.

dtdtdzdtV

dVvv

Variazioni istantanee percentuali dell’attivo

rendimento istantaneo atteso dagli attivi disturbo casuale

tasso di variabilità del moto browniano geometrico


19

• Le variazioni percentuali dell’attivo (“rendimento dell’attivo”) si muovono in

modo stocastico e l’incertezza aumenta al crescere dell’orizzonte temporale

• Rischio di credito: la possibilità che alla scadenza del debito (T) il valore dell’attivo dell’impresa, VT, sia inferiore al valore di rimborso del prestito, F




Questa possibilità è tanto maggiore quanto maggiore è:

la leva finaziaria B0/V0

la volatilità del rendimento delle attività dell’impresa V

la scadenza del debito


20

• La probabilità di insolvenza di un’impresa è data dalla probabilità che VT < F ,




Lo

gar

itm

o d

el v

alo

re d

ell’

atti

vo

Al tempo T (ad es. tra un anno)

Valore del debito (logaritmo)

Possibili evoluzioni futureEvoluzione passata

Oggi

Distribuzione di

probabilità di tutti

i possibili valori

futuri

Probabilità

di default

p

cioè l’area sottostante alla distribuzione normale, contenente tutti i rendimenti negativi che determinano un VT a scadenza inferiore al valore di rimborso del debito


21

• L’area (probabilità di default) é tanto maggiore quanto

minore è V0

maggiore è F

maggiore è V

Maggiore è la scadenza del debito




Queste variabili racchiudono tutti i fattori rilevanti per la determinazione della PD

Le prospettive di evoluzione dell’impresa, del settore economico di appartenenza e della congiuntura macroeconomica

Financial risk, determinato dalla leva finanziaria

Business Risk, considerato nella volatilità del rendimento dell’attivo


22

• L’opzione detenuta dagli azionisti nei confronti dei creditori è un’opzione put




Put sull’attivo dell’impresa con strike F e scadenza T – posizione corta

Valore dell’attivo(VT)F

Pa

yo

ff d

ei d

ete

nto

ri d

el d

eb

ito

V2V1

Per valori di VT> F, come V2, il valore dell’attivo è tale da poter rimborsare totalmente i creditori V2 – F va a beneficio degli azionisti Per VT < F , come V1, l’impresa è insolvente e la banca riceve solo parte del pagamento dovuto


23

• Per coprirsi i creditori potrebbero a loro volta acquistare un’opzione put sul

valore dell’attivo dell’impresa (V), con scadenza T e strike F.

La combinazione delle due posizioni produce un payoff garantito

• Il valore delle due posizioni (B0+P0) deve esse pari a quello di un titolo privo di

rischio che a scadenza paga F




iTFeBP 00

Payoff al tempo 0 Payoff al tempo T

se VT<F se VT>F

Concessione prestito -B0 VT F

Acquisto put -P0 F-VT 0

Totale -(B0+P0) F F


24

• Il valore dell’opzione put, P0, può essere determinato utilizzando il modello di

Black e Scholes

È possibile a questo punto determinare:




0120 )()( VdNdNFeP iT

T

LT

T

TFe

V

T

TiF

V

d

V

V

V

ViT

V

V

ln2

121ln

21ln 2

2020

1

TdT

LTd V

V

V

1

2

2

)ln(2

1

VFeL iT

il valore corrente del prestito B0

il rendimento richiesto dai creditori sul prestito e il relativo spread

la probabilità di insolvenza (risk neutral) dell’impresa debitrice


25

• Sostituendo l’equazione della put (slide 24) nella formula di slide 23, otteniamo:

• Il rendimento di equilibrio del prestito è i* che rende uguale il valore attuale del rimborso finale F a B0


Il modello di Merton: il valore del prestito e lo spread di equilibrio


)(

1)()()(1 120120 dN

LdNFeVdNdNFeB iTiT

Il valore del prestito è tanto maggiore quanto minore è la leva finanziaria

0

*

BFe Ti

T

F

PFe

T

F

B

i

iT

00

*

lnln


26

• Sostituendo all’interno dell’ultima equazione della slide 25 il valore P0 (slide 24)

si può ricavare i*, nonché lo spread d i* - i :

• Esempio: consideriamo un impresa con:

• Con questi dati è possibile stimare B0, e d




L

dNdN

TdN

Fe

VdN

Tiid

iT

)()(ln

1)()(ln

1 121

02

*

V0 = 100.000 euro V =10% F = 90.000 euro T = 1 anno i = 5% L = / V = 85,61%

TiFe*


27

• Si ottiene quindi:

• All’impresa sarà applicato un tasso attivo del 5,28%, pari al risk free più d.




1,604

ln2

1 2

V

1

T

LTd

V

1,50412 Tdd V 0,054)( 1 dN 0,934)( 2 dN

85,371)(

)( 120

L

dNdNFeB iT

0,280%)(1

)(ln1

12

dN

LdN

Td


28

• Nella tabella seguente vengono calcolati i valori dello spread di equilibrio in

corrispondenza di vari livelli di L e diverse volatilità.

Lo spread è tanto maggiore quanto maggiore è, a parità di altre condizioni, L e quanto maggiore è la volatilità dell’attivo




V 5% 10% 15% 20% 25% 30%

L

50% 0,000% 0,000% 0,000% 0,002% 0,029% 0,149%

60% 0,000% 0,000% 0,002% 0,044% 0,243% 0,700%

70% 0,000% 0,001% 0,052% 0,355% 1,032% 2,063%

80% 0,000% 0,050% 0,506% 1,494% 2,873% 4,519%

90% 0,033% 0,795% 2,272% 4,070% 6,036% 8,112%

100% 2,015% 4,069% 6,165% 8,301% 10,478% 12,696%


29

• Probabilità di insolvenza dell’impresa:

• Tale probabilità equivale alla probabilità di esercizio dell’opzione put implicita nel prestito. Usando il modello di Black e Scholes, la probabilità di esercizio è:

• Riferendosi all’esempio precedente:

• Le PD così ottenute rappresentano probabilità neutrali al rischio (il tasso di

rendimento atteso sull’attivo viene sostituito, per comodità, con il tasso risk free)


Il modello di Merton: la probabilità di default


FVprp T

)(1)( 22 dNdN

)(1)( 22 dNdNFVprpPD T

%63,6)()(1Pr 22 dNdNFVp T


30

• La curva per scadenza degli spread è crescente per le imprese con PD contenuta è decrescente per le imprese con PD elevata


Il modello di Merton: la struttura a termine degli spread e delle PD


Scadenza

T (anni)

L = 90%, V = 20% L = 75%, V =10%

p (PD

cumulata)

d (spread) p (PD

cumulata)

d (spread)

1 33,48% 4,07% 0,24% 0,01%

2 40,86% 3,69% 2,48% 0,06%

3 44,79% 3,37% 5,77% 0,13%

4 47,47% 3,12% 9,04% 0,19%

5 49,52% 2,93% 12,00% 0,24%

6 51,19% 2,77% 14,64% 0,28%

7 52,61% 2,64% 16,98% 0,31%

8 53,85% 2,53% 19,06% 0,33%

9 54,95% 2,44% 20,93% 0,35%

10 55,95% 2,36% 22,61% 0,36%

• ESEMPIO:

• Probabilità di insolvenza cumulate (slide 29) e corrispondenti spread composti continui annui (slide 26) per due imprese con leva e volatilità degli attivi diverse

• Si ipotizza un tasso risk free del 5%

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

3,5%

4,0%

4,5%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sp

rea

d

Scadenza (anni)

Bassa qualità, PD

elevata

Alta qualità, PD ridotta


31

• Dalla tabella della slide precedente si nota che:

scadenze più lunghe conducono a premi al rischio annui più ridotti quando la probabilità di insolvenza è considerevole


Il modello di Merton: la struttura a termine degli spread e delle PD


Le imprese con PD elevata hanno un alto rischio di non “sopravvivere” al primo anno

Dopo il primo anno, la probabilità di divenire insolventi negli anni successivi si riduce

La curva delle PD marginali decresce al crescere dell’orizzonte temporale (inclinazione negativa della struttura per scadenza degli spread)


32


Il modello di Merton: pregi e limiti


Variabilità del valore dell’attivo business risk

1. Mostra efficacemente le variabili rilevanti per determinare la PD di un’impresa

Leva finanziaria financial risk

2.Consente di ricavare PD e spread in un modo oggettivo, chiaro ed elegante

VANTAGGI


33




1. Ipotesi semplificatrice di un’unica passività, che prevede il rimborso del capitale e degli interessi in unica soluzione a scadenza. In realtà la struttura finanziaria delle imprese è complessa e il default può avvenire in qualsiasi momento, non solo al rimborso del debito

2. L’ipotesi che la distribuzione dei rendimenti dell’attivo sia normale potrebbe rivelarsi irrealistica

3. Alcune delle variabili di input del modello, come V0e V, non sono direttamente osservabili nel mercato

LIMITI


34




4. Ipotesi di tassi di interesse privi di rischio costanti

5. Logica arbitrage-free, ossia di assenza di opportunità di arbitraggio. In realtà non è possibile procedere a continui arbitraggi sull’attività

sottostante l’opzione (“l’attivo del debitore”), come il modello richiederebbe

6. Il modello si concentra sul solo rischio di insolvenza, senza considerare il rischio di migrazione (deterioramento del merito creditizio dell’emittente)

(continua) Limiti:


35

• I limiti 1-3 vengono affrontati dal modello sviluppato da KMV

• Il modello di KMV parte dalla constatazione che il valore del capitale azionario

(E) è equivalente al valore di un’opzione call sul valore dell’attivo dell’impresa, con scadenza T e prezzo F.


Il modello KMV per la stima di V0 e V


Payoff al

tempo 0

Payoff al tempo T

se VT<F se VT>F

Azionista -E0 0 (VT -F)

Acquisto di una call -C0 0 (VT-F)


36

Se VT<F, l’impresa è insolvente e l’attivo residuo

viene interamente utilizzato per rimborsare il debito. Gli azionisti perdono dunque l’intero

valore del proprio investimento iniziale

Se VT>F, VT - F rappresenta la ricchezza degli azionisti




Valore dell’attivo(VT)F

Pa

yo

ff p

er

gli

azi

on

isti

V2V1

Profilo del payoff per gli azionisti (opzione call sull’attivo dell’impresa)


37

• Se le due posizioni sono equivalenti in termini di payoff, anche il costo iniziale

deve essere uguale. Utilizzando la formula di Blacke Scholes:

• E0 è dato dal valore della capitalizzazione di borsa. V0 non è osservabile: si deve determinare un valore coerente con E0

• Anche V non è noto e deve essere determinato

• É necessaria una seconda equazione che leghi tra loro V0 e V, tale equazione è

ricavata con il lemma di Ito:




)()( 2100 dNFedNVE iT

VE dNE

V )( 1

0

0Volatilità del valore di mercato del capitale (osservabile)


38

• Si può quindi costruire un sistema:

• La risoluzione non può essere svolta per via diretta, ma solo con un processo iterativo.

• Esempio: dati impresa




VE

iT

dNE

V

dNFedNVE

1

0

0

2100

E0 = 10 milioni di euro E = 50%. T = 1 anni F = 90 milioni di euro. i = 5%.


39

• Procedimento iterativo:




Assegnamo alle due incognite due valori iniziali, V0=100 milioni e V=10% Con questi valori otteniamo:

Sono valori superiori a quelli osservati empiricamente, riproviamo con due valori più bassiV0=90 e V=2%:

In questo caso i risultati sono troppo bassi. Si deve modificare V0 e V

fino a ottenere valori di E0 e E corrispondenti ai valori empirici.

%65

63,140

E

E

%41

39,40

E

E


40

• La seguente tabella mostra i risultati del processo iterativo automatizzato:

• I valori di V0 e V possono essere utilizzati per calcolare le equazioni di Merton

per stimare i valori della PD e dello spread di equilibrio (terza parte della tabella). KMV però segue una procedura diversa




Input

Valore di mercato del capitale azionario (E) 10.000.000

Deviazione standard del rendimento azionario (E) 50%

Valore nominale di rimborso del debito (F) 90.000.000

Tasso di interesse privo di rischio (i) 5%

Scadenza del debito (T) 1

Output

Valore di mercato dell’attivo (V0) 95.576.493

Deviazione standard annua del rendimento dell’attivo (V) 5,33%

Ulteriori output ottenibili con il modello di Merton

Valore di mercato del debito (B0), equazione 85.576.495

Spread d di equilibrio 0,04%

Tasso (i*=i+d) di equilibrio 5,04%

Probabilità di insolvenza risk-neutral (p) 2,07%


41

• KMV segue un approccio a due stadi:

• KMV riconosce che le imprese si finanziano con una combinazione di debito a breve termine e di debito a lungo termine.

• È importante che il valore degli attivi non scenda al di sotto di quello del debito a breve mentre è possibile che gli attivi scendano al di sotto del debito totale senza che si abbia insolvenza


L’approccio di KMV alla stima delle PD


1. Viene stimato un indice di rischio chiamato “distanza dall’insolvenza”

(distance to default – DD) 2. DD viene convertito in una

probabilità di default sulla base di una legge empirica


42

• La soglia critica per l’insolvenza è il default point (DP), data da tutto il debito a breve termine (b) più il 50% del debito a lungo termine (l)

• Formalmente la DD è:




lbDP2

1

VV

DPVDD

0

0

Differenza fra valore dell’attivo

e livello del default point, espressa come multiplo della

deviazione standard dell’attivo


43

Default point in milioni di euro




debiti a breve termine = 6 milioni di euro debiti a lungo termine = 2 milioni di euro

722

16 DP

• Esempio: dati dell’impresa

3%1010

710

DD Distance to default

La differenza tra il valore dell’attivo e il default point viene correttamente standardizzata per la volatilità,

che misura il rischio di oscillazione di valore dell’attivo.

Maggiore la volatilità, minore la protezione dal default

0,01%

0,10%

1,00%

10,00%

0 1 2 3 4 5 6

Fre

qu

en

za d

i d

efa

ult

Distance to Default


44




• Dopo aver stimato la DD di un ampio campione di imprese in passato, si valuta la corrispondenza empirica tra DD e tassi di default empiricamente registrati (un esempio di analisi è riportato in tabella)

• I dati suggeriscono un legame abbastanza preciso tra DD e frequenza di default (“EDF” expected default frequency). Data la DD, verrà assegnata la PD corrispondente

DD

(valore

approssi

mato)

(a)

n. di

società

(b)

n. di società

insolventi

(c ) = (b) / (a)

Frequenza di

default

1 9000 720 8%

2 15000 450 3%

3 20000 200 1%

4 35000 150 0,4%

5 40000 28 0,07%

6 42000 17 0,04%


45


Pregi e limiti del modello KMV


1. Le EDF (le PD del modello KMV) si adeguano rapidamente alle mutevoli condizioni economico-finanziarie delle imprese valutate, dato che si fondano su dati di mercato forward looking

2. Le EDF non subiscono variazioni significative al variare del ciclo economico, diversamente dai tassi di insolvenza associati alle classi di rating (aumentano nelle fasi recessive, diminuiscono in quelle espansive)

3. Mentre tutte le imprese assegnate da un’agenzia ad una certa classe di rating condividono la stessa stima della PD, nel modello KMV l’EDF è calcolata specificatamente per ogni impresa

VANTAGGI


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• Approfondiamo il secondo vantaggio: Le EDF relative alle singole classi di merito di KMV

non cambiano nelle diverse fasi del ciclo

In una recessione le PD associate alle classi di rating delle agenzie aumentano, mentre la composizione della classe rimane stabile

Nel modello KMV in caso di recessione il peggioramento del merito creditizio di un’impresa si traduce in una diminuzione della DD e in un cambio di classe verso una EDF peggiore. La corrispondenza tra classe e PD (EDF) non cambia

Nel modello KMV le migrazioni sono più frequenti, come si può notare nelle tabelle della slide successiva

Rating alla fine dell’anno (%)

AAA AA A BBB BB B CCC Default

Rating iniziale

AAA 90,81 8,33 0,68 0,06 0,12 0,00 0,00 0,00

AA 0,70 90,65 7,79 0,64 0,06 0,14 0,02 0,00

A 0,09 2,27 91,05 5,52 0,74 0,26 0,01 0,06

BBB 0,02 0,33 5,95 86,93 5,30 1,17 1,12 0,18

BB 0,03 0,14 0,67 7,73 80,53 8,84 1,00 1,06

B 0,00 0,11 0,24 0,43 6,48 83,46 4,07 5,20

CCC 0,22 0,00 0,22 1,30 2,38 11,24 64,86 19,79

Fonte: Standard and Poor’s.


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Rating alla fine dell’anno (%)

AAA AA A BBB BB B CCC Default

Rating iniziale

AAA 66,26 22,22 7,37 2,45 0,86 0,67 0,14 0,02

AA 21,66 43,04 25,83 6,56 1,99 0,68 0,20 0,04

A 2,76 20,34 44,19 22,94 7,42 1,97 0,28 0,10

BBB 0,30 2,80 22,63 42,54 23,52 6,95 1,00 0,26

BB 0,08 0,24 3,69 22,93 44,41 24,53 3,41 0,71

B 0,01 0,05 0,39 3,48 20,47 53,00 20,58 2,01

CCC 0,00 0,01 0,09 0,26 1,79 17,77 69,94 10,13

Fonte: Crouhy, Galai e Mark 2000:


48




1. Il modello non può essere utilizzato per la stima della probabilità di insolvenza delle imprese non quotate, per cui non è disponibile il valore di mercato e la volatilità del capitale azionario, ed è rilevante perché le banche finanziano molto spesso imprese non quotate

Possibili soluzioni

Private firm model: utilizzo dei dati di mercato di imprese quotate simili all’impresa non quotata che si desidera valutare

RiskCalc : si calcola uno score basato principalmente su dati di bilancio, ma tra le variabili indipendenti è inserita la DD media

di un peer-group di imprese quotate simili

Score maggiormente forward looking

2 LIMITI


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(continua) Limiti:

2. Il modello KMV, come tutti i modelli basati sull’approccio contingent claim, si fonda sull’ipotesi di efficienza dei mercati azionari

In presenza di mercati inefficienti, poco liquidi e incapaci di riflettere tutte le informazioni disponibili, simili input divengono scarsamente affidabili


50 © Resti e Sironi, 2008

Esercizi/1 1. La seguente tabella riporta i rendimenti (composti continui)

sulle obbligazioni di una società con rating A e sui titoli di Stato (tasso risk free), entrambi con vita residua di uno o due anni. Calcolate i tassi di perdita attesa impliciti per le obbligazioni rischiose e mettete in evidenza le principali ipotesi sottese all’approccio basato sugli spread obbligazionari.

Scadenza

1 anno 2 anni

Titoli di Stato (risk free) 4,50% 4,70%

Obbligazioni societarie con rating A 4,75% 5,00%




Esercizi/2

2. La società Alfa paga – sulle sue obbligazioni zero coupon a un

anno – uno spread del 2% sul rendimento dei titoli di Stato con identica struttura e scadenza. Sulle sue obbligazioni zero coupon a due anni, il differenziale rispetto ai titoli di Stato con identica scadenza è il 2,5%. Sapendo che gli investitori si attendono, in caso di default di Alfa, un tasso di recupero pari a un terzo del valore nominale a scadenza, calcolate la probabilità di default (neutrale al rischio) che il mercato sta implicitamente assegnando ad Alfa, per il solo secondo anno.




Esercizi/3

3. Una società, che dispone di attivi del valore di 100 milioni di euro, con una volatilità del 15%, sta sostituendo tutti i suoi debiti con un unico, grande prestito del valore nominale a scadenza di 85 milioni di euro e una durata di due anni. I tassi privi di rischio sono, attualmente, al 6% (composti continuamente). Usando il modello di Merton, controllate se il tasso “equo” da applicare al prestito dovrebbe essere maggiore del 6,5%. Inoltre, immaginate che la società stia emettendo 20 milioni di euro di nuovo capitale, che verrà investito in maniera tale da lasciare invariata la volatilità dell’attivo. Pensate che, in conseguenza di questo nuovo capitale, il tasso “equo” sul prestito dovrebbe scendere? Pensate possa scendere al di sotto del 6,1%?


Documents

I modelli fondati sul mercato dei capitali - lumsa.it 12.pdf · fattore di montante di tipo esponenziale . ... •La probabilità di default marginale durante l’anno T ( ) è data