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IA841 – Modelagem de Sólidos
Representações
Hoffmann: Capítulo 5
Curvas e Superfícies Algébricas
● Curvas algébricas: lugar geométrico das funções polinominais do tipo f(x,y)=0
● Superfícies algébricas: lugar geométrico das funções polinominais do tipo f(x,y,z)=0
http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicSurface.html
http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicCurve.html
Pontos em coordenadas cartesianas: (x,y,z)
Funções
Domínio: pontos espaciais
= 0
Transformações Afins e Projetivas em Rn
● Afins
● Projetivas
(y1y2⋮yn
)=(a11 a12 a13 ⋯ a1na21 a22 a23 ⋯ a2n⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮an1 an2 an3 ⋯ ann
)(x1x2⋮xn
)
(y0y1y2⋮yn
)=(a00 a01 a02 ⋯ a0na10 a11 a12 ⋯ a1na20 a21 a22 ⋯ a2n⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮an0 an1 an2 ⋯ ann
)(x0x1x2⋮xn
) (y1y0y2y0⋮yn
y0
)no plano projetivo
Suprfícies Impícitas
http://xahlee.info/surface/gallery.html
f (x , y , z)=81( x3+ y3+ z3)−189( x2 y+ x2 z+ y2 x+ y2 z+ z 2 x+ z2 y )
+54( xyz)+126( xy+ xz+ yz )−9(x2+ y2+ z2)−9( x+ y+ z)+1=0
f ( x , y , z)<0
Quando se trata de uma superfície fechada● Pontos interiores
● Pontos exteriores
f ( x , y , z )>0
Redutibilidade
● f(x,y,z) é redutível, se existem h(x,y,z) e k(x,y,z), tal que f(x,y,z)=h(x,y,z) k(x,y,z). ● Uma superfície algébrica pode ter mais de uma componente.● Superfície redutível: x2+y2= (x+iy)(x-iy)=0● Superfície irredutível: x2+y2-1=0
Gradiente
● Direção a partir de (x,y,z) na qual se obtém o maior incremento em f(x,y,z)
● Vetor normal
∇ f =(∂ f∂ x
,∂ f∂ y
,∂ f∂ z
)
n⃗=∇ f
∣∇ f ∣
Singularidade● Pontos singulares são aqueles em que o gradiente se anula.
Cone de tangentes
Plano de tangentes
http://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_conehttp://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_space
n⃗=(n x , n y , nz)
h( x , y , z)=nx x+n y y+nz z−(nx x x+ny x y+nz x z)=0
q=(ta , tb , tc)
p=(a ,b , c )
h(x , y , z )=0
Ponto singularPonto não-singular
Grau● Maior grau (n) dentre todos os termos
●Grau n → quantidade máxima de termos LI = (m+1)
● Dimensão: número de termos linearmente independentes
m=(n+33 )−1=n(n2+6n+11)6
8x2−xy2+ xz2+ y2+ z2−8=0
2 2 23 3
Unicidade● Há somente uma única representação algébrica para cada superfície?
● Espaço projetivo de (funções) de m dimensões: a superfície é representada de forma única por um conjunto de funções cf(x,y,z), se f for irredutível.
● Pertinência
f (x , y , z )=cf (x , y , z)=0,∀ c≠0
f ( x , y , z )=0∈g ( x , y , z ) f (x , y , z )=0,∀ g (x , y , z)
Forma Homogênea● Domínio no espaço projetivo
● Formas distintas no espaço (finito) afim 3D
f ( x , y , z)=F (x 'w
,y 'w
,z 'w
)=F (x ' , y ' , z ' , w)=0
x2+2 x w+ y2+ z2−w2=0
( xw )
2
+2xw
ww
+( xw )
2
+( yw )
2
+( zw )
2
−(ww )2
=0
( xz )2
+2xzwz+( xz )
2
+( yz )2
+( zz )2
−(wz )2
=0
w=1:
z=1:
Curvas Implícitas
● Intersecção de superfícies implícitas
● Uma solução
1) Obter a solução
2) Substituí-la em
g ( x , y , z)= f 1(x , y , z )∩ f 2( x , y , z )∩…∩ f n( x , y , z)
g (x , y , z )∈u1 f 1(x , y , z )+u2 f 2(x , y , z )+…+un f n(x , y , z )=0
∑ ui f i (x , y , z)=0
∀ f i(x , y , z)
Teorema de Bezout● “Let f and g be two algebraic curves of degree m and n, respectively.If f and g intersect in more than mn points,then they have a common component.”
h( x , y , z )=x2+ y2+ z2−2
g ( x , y , z)=x3− y2− z2
h(x,y,z) → 2g(x,y,z) → 3
2x3 = 6 interseções
componente
Teorema de Bezout● “Let f and g be two algebraic curves of degree m and n, respectively.Then f and g intersect in exactly mn points,or they have a common component.”
h(x , y)=(x2+ y 2−1)(x 2+ y2−4)
g (x , y)= y (x 2− y2)
h(x,y,z) → 4g(x,y,z) → 3
4x3 = 12 interseções
Multiplicidade
h(x , y)=2 x5+7 x4 y−5 x 2 y3−3 y5
g (x , y)=9 x3+ x y2+ y3
h(x,y,z) → 5g(x,y,z) → 3
5x3 = 15 interseções
Ponto múltiplo
Aplicação em Curvas e Superfícies Algébricas
“An algebraic space curve of degree m intersects an algebraic surface of degree n in nm points unless a curve component is contained in the surface. Two algebraic surfaces of degree m and n, respectively, intersect in an algebraic curve of degree mn unless they have a common component.”
Curvas Paramétricas
● Coordenadas em função de um parâmetro.
x(t )=1−t 2
1+t 2
y(t )=2t1+t 2
(-1,0)Parametrização afim: Correspondência 1:1 entre t e (x(t),y(t))
Parametrização Projetiva
● Contornar singularidades
x (t 'r)=
1−( t 'r )2
1+( t 'r )2
y (t 'r)=
2t 'r
1+( t 'r )2
⇒
x (r , t ' )=r2−t ' 2
r2+t ' 2
y (r , t ' )=2r t '
r2+t ' 2
Conjunto de valores (r,t') leva a mesmo ponto
do valor t!
t→∞⇔(r , t ' )=(0,1)
Comprimento de Arco
dP=(∂ x (t )∂ t
∂ y (t )∂ t
)dtPara cada unidade dt:
dP=√(∂ x (t )∂ t )
2
+(∂ x (t )∂ t )
2
comprimento de arco
x(t )=1−t 2
1+t 2
y(t )=2t1+t 2
dP=1
1+t2
Superfícies Paramétricas● Coordenadas em função de um conjunto de parâmetros.
●Número de parâmetros igual ao “grau de mobilidade” sobre a superfície no espaço afim → 2
● Nem todas superfícies algébricas são parametrizáveis
x=h1(s , t)y=h2 (s , t)z=h3(s , t)
x (s , t )=sen (s) sen(t)+0.05cos(20t)y (s , t )=cos (s) sen(t)+0.05cos(20s)
z (s , t )=cos(t )
s∈⟦−π ,π⟧ , t∈⟦−π ,π⟧
http://reference.wolfram.com/language/ref/ParametricPlot3D.html
Curvas Isoparamétricas
http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/surface/basic.html
Vetor Normal
∂ P∂ s
=(∂ x∂ s
,∂ y∂ s
,∂ z∂ s
)
∂ P∂ t
=(∂ x∂ t
,∂ y∂ t
,∂ z∂ t
)
n⃗P=
∂ P∂ s
×∂ P∂ t
∣∂ P∂ s
×∂ P∂ t
∣
http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/surface/basic.html
Singularidades● Pontos não “alcançáveis” pelos valores do domínio de parametrização.
x( s , t)=1−s2−t 2
1+ s2+t 2
y (s , t )=2s
1+s2+t2
z (s , t )=2t
1+ s2+t 2
x (s , t)=1−s2−t 2
y (s , t )=2sz (s , t)=2t
w (s , t )=1+ s2+t 2
OU
Parametrização Projetiva● Domínio de parametrização no espaço projetivo
● Forma homogênea, ou racional, com parametrização projetiva
x (r , s ' , t ' )=r2−s ' 2−t ' 2
r2+ s ' 2+t ' 2
y (r , s ' , t ' )=2r s '
r 2+ s ' 2+t ' 2
z (r , s ' , t ' )=2r t '
r2+s ' 2+t ' 2
x (r , s ' , t ' )=r2−s ' 2−t ' 2
y (r , s ' , t ' )=2r s 'z (r , s ' , t ' )=2r t '
w (r , s ' , t ' )=r2+s ' 2+t ' 2
Implícitas → Paramétricas● Superfícies quadráticas (quádricas)
● Idéia básica: reduzir a função numa das formas acima, através de rotações rígidas, e utilizar a tabela acima para obter uma representação paramétrica.
Redução em forma padrão● Notação matricial de uma função quadrática
● Autovalores de A, tal que a função característica de A● Autovetores de A, tal que● Diagonalização
( x y w )(a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
)(xyw)= p⃗T A p⃗=0
A v⃗=λ v⃗
det (A−λ I )=0
A=(v⃗1v⃗2v⃗3
)(λ1 0 00 λ2 00 0 λ3
) ( v⃗1 v⃗2 v⃗3 )⇒X 2
λ1+Y 2
λ2+1λ3
=0
Paramétricas → Implícitas
● Explicitar os parâmetros em função das coordenadas → técnica de eliminação da variável → x(t) e y(t) tem uma raiz em comum
● Substituir os parâmetros nas funções paramétricas
x (t )=p(t )r (t )
y (t )=q(t )r (t )
⇒x (t )r (t )− p(t )=0y (t )r (t )−q (t )=0
Matriz de Sylvester
http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/6689/000533491.pdf?sequence=1
●Se o determinante da matriz de Sylvester (resultante de Sylvester) de dois polinômios f=sum(aiti) e g=sum(bjtj) é nulo (det(Syl(f,g))=Resn,m(f,g)=0), então existe uma raiz comum de f e g.