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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
LICENCIATURA EN PEDAGOGÍA UNIDAD AJUSCO
“IDENTIFICACIÓN Y CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS ADITIVOS EN LOS LIBROS DE TEXTO DEL SEGUNDO CICLO
DE EDUCACIÓN PRIMARIA DE 1960, 1972 Y 1993”
T E S I NA QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
LICENCIADA EN PEDAGOGÍA
P R E S E N T A N:
AGUILLÓN SÁNCHEZ MARIANA PAOLA
RESENDIZ BELTRAN ALEJANDRA
ASESOR: PROFR. ARTURO BAZÁN ZURITA
MÉXICO, D.F. 2012
INDICE
INTRODUCCIÓN 1
CAPÍTULO I. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA, JUSTIFICACIÓN Y OBJETIVOS 4
CAPÍTULO II. MARCO REFERENCIAL Y REVISIÓN DE LA LITERATURA 10
II.1 MARCO REFERENCIAL PLANES Y PROGRAMAS DE ESTUDIO DE EDUCACIÓN PRIMARIA 11
II.1.1 PLANES Y PROGRAMAS DE ESTUDIO DE EDUCACIÓN PRIMARIA 11
II.2 REVISIÓN DE LA LITERATURA 18
II.2.1 ANALISIS DE LOS LIBROS DE TEXTO. 19
II.2.2 MÉTODOS PARA LA ENSEÑANZA DE LOS ALGORITMOS EN LOS LIBROS DE TEXTO 22
II.2.3 PROBLEMAS ARITMETICOS Y SUS CLASIFICACIONES 24
CAPÍTULO III. PRESENTACIÒN Y ANALISIS DE RESULTADOS 34
III.1 COMPARACIÒN ENTRE PLANES Y PROGRAMAS DE ESTUDIO 34
III. 2. LIBROS DE TEXTO 40
III.2.1 TEMAS DE SUMA Y RESTA EN LOS LIBROS DE TEXTO DE 3º Y 4º GRADO 41
III.2.1.1.- Libros de texto de aritmética y geometría de 1960 42
III.2.1.2.- Libros de texto de matemáticas 1972 46
III.2.1.3.- Libros de texto de matemáticas 1993 49
III.2.2 MÉTODO DE ENSEÑANZA DE LOS ALGORITMOS DE SUMA Y RESTA EN LOS LIBROS DE TEXTO 55
III.3 PROBLEMAS ADITIVOS 63
III.3.1 CLASIFICACIÒN DE PROBLEMAS ADITIVOS 65
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 71
BIBLIOGRAFÍA 77
ANEXO LISTA DE PROBLEMAS ADITIVOS ENCONTRADOS EN LOS LIBROS DE TEXTO 80
1
INTRODUCCIÓN
Si bien es cierto que a lo largo de la historia de la educación primaria se han
realizado reformas como la de 1960, 1972 y 1993, todas con la finalidad de
mejorar la educación, ellas no han mejorado significativamente la calidad de la
educación que se imparte en el sistema escolar, es decir, lo que debería ser
aprendido no se aprende o se olvida inmediatamente después de los
exámenes respectivos, lo anterior está sustentado en los resultados que
arrojan todas las evaluaciones del sistema educativo con que contamos, los
cuales son poco halagüeños hasta hoy.
La enseñanza de las matemáticas es una de las tantas áreas, asignaturas o
materias que también sufrió dichas reformas, ha evolucionado a través de
distintas propuestas pedagógicas que han dado sentido a los planes y
programas oficiales; así mismo se han logrado diseñar diversos materiales de
apoyo curricular y didáctico. Desde hace varias décadas la Secretaría de
Educación Pública ha propuesto diferentes formas de enseñar las matemáticas
en todos sus ejes temáticos, para el caso del presente trabajo de investigación
nos interesa los contenidos vinculados con la aritmética, en especifico los
relacionados con la suma y la resta.
Cabe señalar que este órgano oficial siempre se ha inclinado a incorporar los
ideales como nación con las necesidades de cada estado, por lo tanto tales
avances se sustentan en fundamentos de la psicología, de la pedagogía, de la
sociología y del conocimiento matemático universal, lo que ha dado lugar a que
los paquetes curriculares sean modificados de modo que se adapten a las
nuevas formas de enseñar y que estén apegados al discurso psicopedagógico
oficial.
A menudo escuchamos a madres de familia y a profesores acerca del problema
que presentan los niños para aprender los algoritmos de la suma y la resta, los
cuales son contenidos imprescindibles en su forma básica a partir del tercer
bimestre del primer grado hasta el segundo año. Conforme el niño avanza de
grado estos algoritmos adquieren una mayor complejidad para su aprendizaje,
2
tal complejidad se refiere al orden de las cantidades a sumar o restar y a la
comprensión de problemas con sus respectivas resoluciones.
El punto central es que los niños enfrentan diversas dificultades para
comprender tales operaciones y por consiguiente para resolver ejercicios y
problemas que son planteados dentro del aula con apoyo del libro de texto.
Ahora bien también es importante señalar que la labor del docente en su
mayoría se limita a enseñar las reglas para resolver una suma o una resta. Sin
embargo, existen pruebas de que esto no es así porque para resolver un
ejercicio o un problema los alumnos se apoyan en el uso de palabras clave
con el propósito de que las asocien con los algoritmos para la resolución del
problema, tales palabras pueden ser “juntar, combinar, agregar, quitar, perder”,
etc. Se asume que saber un algoritmo basta para su adecuada aplicación.
Algunos estudios han puesto de manifiesto la necesidad de proponer
actividades que le permitan al alumno una mayor comprensión de esta clase de
problemas y que los algoritmos tengan algún significado para ellos.
Nos proponemos analizar los cambios curriculares en el tratamiento de la
suma y la resta, así como el tipo de problemas aditivos que son presentados en
los libros de texto correspondientes a las reformas de 1960, 1972 y 1993 para
el caso particular del segundo ciclo de educación primaria.
La revisión aborda los antecedentes históricos en la creación de los libros de
texto oficiales en México; posteriormente se presenta una explicación acerca
de la importancia que posee el análisis de textos y aunado a ello se hace
mención de la tipología de los problemas relacionados con los algoritmos de la
suma y la resta contenidos en los libros de texto oficiales a partir de la década
de los 60’s hasta la década de los 90´s.
Las principales fuentes de información para el desarrollo de esta tesina son
documentos oficiales expedidos por la Secretaría de Educación Pública, como
son los Planes y Programas de las tres reformas retomadas en este trabajo, así
como los libros de texto gratuito de tercero y cuarto grado correspondientes a
estas reformas, además de la consulta bibliográfica referente a nuestro tema
de estudio.
3
El trabajo está conformado por tres capítulos y un apartado que presenta las
conclusiones y recomendaciones derivadas del trabajo. El primer capítulo
presenta el planteamiento del problema que se aborda, su relevancia y
pertinencia para estudiarlo así como los objetivos que se propuso alcanzar en
esta tesina.
En el segundo capítulo “Marco referencial y revisión de la literatura”
presentamos investigaciones sobre los planes y programas de estudio de
Educación Primaria en México y estudios referentes al análisis de los libros de
texto y en particular a los métodos de enseñanza de los algoritmos que nos
servirán para analizar los libros de texto de matemáticas, además se hace una
revisión de la literatura respecto a las clasificaciones propuestas por distintos
autores sobre los problemas aditivos.
El tercer capítulo se encuentra integrado por la metodología que hace mención
a la forma en que fueron abordados los temas que conforman este trabajo de
investigación y la presentación y análisis de resultados en la que se muestran
las deducciones a las que se llegó en cuanto a la comparación de los planes y
programas, contenidos de suma y resta dentro de los libros de texto, método de
enseñanza de ambos temas dentro de los libros de texto y clasificación de los
problemas aditivos encontrados en los libros de texto gratuitos relacionados
específicamente con la suma y la resta.
Para finalizar, en este trabajo se exponen las conclusiones que son resultado
del análisis y del estudio de la bibliografía consultada, así como
recomendaciones para realizar trabajos afines o complementarios sobre el
tema abordado.
4
CAPÍTULO I
Este capítulo tiene como propósito la exposición del planteamiento del
problema referente al tema que se aborda en este trabajo, mediante el apoyo
de información que proporciona el Instituto Nacional para la Evaluación de la
Educación (INEE), así como la justificación de la necesidad de un trabajo de
esta naturaleza y los objetivos que se pretenden alcanzar con este trabajo
recepcional.
I.1.- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Dos de las cuatro operaciones básicas que están presentes en la curricula
desde hace décadas han tenido diferentes acercamientos de acuerdo a las
distintas reformas que se han generado. Las reformas pretenden cambios
sustantivos y tienen diferentes perspectivas de la matemática, su enseñanza, el
tratamiento de los temas y de las operaciones en general.
Los problemas aditivos que involucran los algoritmos de la suma y la resta,
han tenido diferentes enfoques en las tres reformas de los planes y programas
pero siempre ha estado presente dicha resolución jugando distintos papeles
Al revisar la base de datos del (INEE) el 24 de mayo del 2010 en la página de
internet http://www.inee.edu.mx/explorador/ muestraDificultad.php actualizada
en 2009 con respecto a la prueba de ENLACE; los datos obtenidos a nivel
nacional relacionados con el tema de este trabajo en el caso específico del
tercer grado de primaria son:
5
ASPECTO EVALUADO % DE ACIERTOS
A NIVEL NACIONAL
Resolver problemas aditivos de cambio con la incógnita en el estado inicial
77
Resolver problemas aditivos de combinación con la incógnita en el conjunto total
76
Resolver problemas aditivos de cambio con la incógnita en la transformación
70
Resolver problemas aditivos de cambio con la incógnita en el estado final
68
Resolver problemas aditivos de cambio con la incógnita en el estado inicial y con apoyo gráfico
65
Resolver problemas aditivos de comparación con la incógnita en la diferencia
63
Resolver problemas aditivos de comparación con la incógnita en la cantidad de referencia
55
Identificar la operación que resuelve un problema aditivo de comparación
46
Identificar el problema que puede ser resuelto con una operación utilizando números de tres cifras
45
Resolver problemas aditivos de comparación con la incógnita en la cantidad comparada
42
Resolver problemas aditivos de combinación con la incógnita en una de las partes
37
Los datos de la tabla anterior reflejan que en el examen de ENLACE para la
asignatura de matemáticas los problemas que más se manejan de acuerdo a la
tipología de Carpenter y Moser 1 son: los de cambio, comparación y
combinación incluyendo sus subtipos.
1 Ramírez Marcial Gabriela, Cayatena Rivero. Tesis para obtener el título de Lic. en Pedagogía.
Procedimientos de resolución de problemas aritméticos que implican la operación de la resta. Exploración del conocimiento intuitivo em niños de 5 a 7 años de edad. México: UPN ,1996.p. 39.
6
Ejemplos de estos tipos de problemas presentados en la prueba ENLACE son:
CAMBIO: En una sala de cine había 162 personas. Al empezar la película
llegaron otras 55 ¿Cuántas personas hay ahora en la sala de cine?
COMPARACIÓN: ¿Por cuánto es más caro el muñeco que la pelota? (Se
muestra la imagen de la pelota con un precio de $19 y el muñeco con el precio
de $53)
COMBINACIÓN: Joel y Antonio coleccionan estampas. Joel tiene 240 y
Antonio tiene 80 ¿Cuántas estampas tienen entre los dos?
Si bien es cierto que la información obtenida por el INEE es de gran utilidad
para tratar de verificar en qué tipo o tipos de problemas los alumnos presentan
un bajo desempeño en la resolución de estos tipos de problemas aditivos,
encontramos dos dificultades dentro de este reporte: una de ellas es que no se
menciona cuántos reactivos de cada tipo de problema se manejaron en la
prueba ENLACE y la segunda es que la terminología en la que dan la
explicación de los resultados obtenidos no es del todo entendible para algunos
profesores y por lo tanto menos para los padres de familia.
De los problemas de cambio fueron planteados tres de sus seis subtipos; estos
tuvieron un porcentaje de aciertos mayor al 65%, considerando que esto se
debe a que en los libros de texto gratuito estos problemas son los más
comunes, así como en el trabajo del aula.
De los problemas de combinación solo se menciona uno de sus dos subtipos
con un 76%, consideramos que ello se debe a que es uno de los subtipos de
problemas más sencillo ya que se maneja desde el primer grado de educación
primaria.
Los de comparación se presentan con dos de sus seis subtipos con un
porcentaje apenas de un 55% considerándose que esto se debe a que su
grado de dificultad es mayor debido al lugar en el que se encuentra la
incógnita. Dos subtipos de problemas que son: Comparación (cuando la
7
incógnita está en la cantidad comparada) el cual tiene un 42% de aciertos; así
como Combinación (con la incógnita en una de las partes) con un 37% de
aciertos son les que tienen un porcentaje mínimo.
Los resultados de esta prueba son preocupantes por lo que nos han surgido
ciertas interrogantes que consideramos son algunas de las razones principales
por las cuales subsiste el gran problema del bajo rendimiento de los alumnos
en la resolución de los diferentes tipos de problemas el cual es multifactorial
Los resultados estimados por la prueba ENLACE respecto al desempeño de los
alumnos en los distintos tipos de problemas aditivos hacen suponer que tanto
planes y programas como libros de texto gratuito incluyendo los libros del
maestro actuales, contienen la tipología completa de los problemas aditivos.
Esto nos hace cuestionar respecto a que si dicha tipología no era conocida en
las décadas anteriores y por ende tampoco incluida en los libros de texto.
¿Esto significa que no se manejaban toda la variedad de problemas aditivos en
los libros de texto gratuitos de las décadas anteriores o por otro lado, se
planteaban y consideraban todos los tipos de problemas de manera implícita
incluso sin conocer dicha clasificación?
Algunas de las interrogantes a las que hemos llegado y queremos dar
respuesta con este trabajo son:
¿Presentarán los libros de texto gratuito anteriores una variedad de
problemas aditivos como se consideran en la prueba ENLACE?
¿Ha habido un avance en la incorporación de más tipos de problemas a
lo largo de las tres reformas en los libros de texto gratuito?
¿Cómo han evolucionado, cuáles, cuántos y cuándo los problemas de
suma y resta en los libros de texto gratuito en las últimas tres reformas?
8
I.2.-RELEVANCIA Y PERTINENCIA DEL PROBLEMA A TRATAR
En este trabajo daremos a conocer los diferentes tipos de problemas aditivos
que se manejan dentro de los libros de texto respecto a los temas de suma y
resta de las décadas de los 60`s, 70`s y 90`s debido al poco conocimiento que
se tiene respecto a esta tipología de problemas entre los involucrados en la
educación.
Lo anterior nos ha impulsado a realizar una investigación de tipo documental
acerca de la enseñanza de estos algoritmos, particularmente para el segundo
ciclo de educación primaria, el cual abarca el tercer y cuarto grado, ya que en
este ciclo es donde el aprendizaje y la aplicación de estos algoritmos es central
ya que se propone que la formación de los alumnos les permita explicar y
resolver situaciones de contexto real y práctico a las que el niño se enfrenta de
forma cotidiana.
Al realizar el análisis de los libros de texto correspondientes a 1960, 1972 y
1993, en este trabajo se pretenden recuperar todos aquellos elementos
importantes tales como el tratamiento del algoritmo así como el tipo de
problemas aditivos planteados al alumno con el objetivo de que los profesores
se auxilien de esto para formular nuevas propuestas o no incurrir en los
mismos errores.
Este trabajo proporcionará un acercamiento distinto respecto al tratamiento de
los algoritmos así como el planteamiento de problemas aditivos en las tres
reformas analizadas, exponiéndose así sus fortalezas y debilidades.
9
I.3.-OBJETIVOS
Lo descrito en los apartados anteriores ha dado lugar a plantear como objetivo
general de este trabajo de investigación: Realizar una comparación de la
tipología de los problemas aditivos sugeridos en los libros de texto gratuitos del
segundo ciclo de educación primaria para la enseñanza de la suma y la resta
en las reformas de 1960, 1972 y 1993 y el planteamiento de ambos algoritmos
en dichos libros. Así mismo de este se desprenden los siguientes objetivos
específicos:
Identificar los principales cambios curriculares realizados en los planes y
programas de estudio oficiales correspondientes al segundo ciclo de
educación primaria para la asignatura de matemáticas.
Analizar el tratamiento de los algoritmos de la suma y resta en los libros
de texto gratuitos.
Identificar y clasificar los problemas aditivos contenidos en los libros de
texto gratuitos de acuerdo a su estructura.
10
CAPÍTULO II
MARCO REFERENCIAL Y REVISIÓN DE LA LITERATURA
Este capítulo está integrado por dos apartados, el primero hace referencia a los
planes y programas de estudio de educación primaria de las tres reformas
consideradas en este trabajo, y el segundo apartado hace referencia a la
revisión de la literatura relacionada con tres aspectos, uno es el análisis de los
libros de texto, otro los métodos para la enseñanza de los algoritmos de suma y
resta y el ultimo incluye la revisión de las clasificaciones que realizaron
diferentes autores Greeno, Heller y Riley en 1978, Carpenter y Moser
en1982, Vergnaud en 1991, Bermejo en 1990 y Blanco en 1994 respecto a la
tipología de problemas aditivos.2
II.1.- MARCO REFERENCIAL PLANES Y PROGRAMAS DE ESTUDIO DE
EDUCACIÓN PRIMARIA
Existen escasos estudios sobre la evolución de planes y programas de estudio,
sobre todo de los cambios en asignaturas específicas. Un trabajo que
consideramos relevante es el realizado por Alicia Ávila3 en 1988 sobre las
diferentes propuestas para la enseñanza de las matemáticas en la escuela
primaria en México de 1944 a 1980. Cada reforma, 1944, 1960, 1972 y 1980,
va de acuerdo con el surgimiento de una nueva propuesta curricular. Organiza
cada una de las reformas a partir de los siguientes aspectos:
La política educativa: En este aspecto se presenta el contexto histórico
político que da surgimiento a la propuesta educativa, se describe el
objetivo general de la educación y las capacidades que el alumno debe
desarrollar a lo largo de la educación primaria.
El plan de estudio: Se describe la estructura del plan, es decir, cuántas
materias o áreas de conocimiento lo conforman
2 Op.cit. pp. 34- 44
3 Ávila Alicia. La enseñanza oficial de las matemáticas elementales em México; su psicopedagogía y
transformación (1944-1986). México: SEP, 1988.
11
Los programas de matemáticas: Se muestran los objetivos propuestos
para el área de las matemáticas y los contenidos de estas para trabajar
en la educación primaria.
La didáctica y modelo de enseñanza: En cuanto a la didáctica se
menciona lo expuesto en los planes y programas de estudio y se lleva a
cabo el contraste con el modelo de enseñanza que se presenta en los
libros de texto.
Siguiendo los lineamientos del trabajo de Ávila, en este capítulo incluimos una
tabla que pretende cubrir los aspectos de los planes y programas
correspondientes a 1993.
II.1.1.- PLANES Y PROGRAMAS DE ESTUDIO DE EDUCACIÓN PRIMARIA
A continuación presentaremos la descripción de los planes y programas de
estudio de educación primaria en México de 1960, 1972 y 1993, tomando en
cuenta los siguientes aspectos: objetivos de la educación, estructura del plan,
concepción de las matemáticas, organización de las matemáticas, enfoque
didáctico de las matemáticas, contenidos de aritmética o del eje de los números
y en particular objetivos y contenidos de los temas de suma y resta.
Plan y programas de estudio de 1960
Durante el mandato del presidente Adolfo López Mateos se realizó un cambio
en el plan y programas de estudio el cual fue elaborado por el Consejo
Nacional Técnico de la Educación, durante la gestión como Secretario de
Educación Jaime Torres Bodet, esta modificación entró en vigor en 1961.
12
OBJETIVO DE EDUCACIÓN
El objetivo enunciado en este plan es proteger la integridad física, mental y
moral, tanto como la salud y el desenvolvimiento armónico de los niños y
jóvenes. Ayudarlos a descubrir su mundo y sentirse inclinado a resolver sus
problemas, los de su familia, los de la escuela, los de la localidad, los de
México y los de la humanidad.
ESTRUCTURA DEL PLAN
En este plan no se encuentran asignaturas o materias, sino áreas de trabajo
que engloban un conjunto organizado de actividades y experiencias educativas
que están encaminadas a un mismo fin. Dichas áreas son las siguientes:
1. Protección de la salud y el mejoramiento del vigor físico
2. Investigación del medio y aprovechamiento de los recursos naturales
3. Comprensión y mejoramiento de la vida social
4. Actividades creadoras
5. Actividades prácticas
6. Adquisición de los elementos de la cultura
Esta última área se encuentra dividida en dos: lenguaje y cálculo. Dentro del
cálculo se encuentran contenidos de aritmética y geometría divididos en:
1. Capacidad para apreciar conjuntos
2. Habilidades para resolver problemas cotidianos
3. Destreza para medir y pesar
4. Prácticas de trazo y construcción
5. Capacidad para elaborar proyectos
6. Habilidad y actitud para registrar hechos y fenómenos
MATEMÁTICAS
Las matemáticas se consideran como herramienta de aplicación en la
resolución de problemas así como un instrumento para desarrollar ciertos
hábitos y facultades mentales.
13
Las metas generales de la aritmética y geometría son:
Desarrollar el pensamiento cuantitativo y la actitud de relacionar
Precisar el lenguaje
Fomentar el espíritu de análisis e investigación
Afirmar la disciplina mental 4
ENFOQUE DIDÁCTICO DE LAS MATEMÁTICAS
El problema es el punto de partida y de llegada a todo estudio matemático. La
perspectiva de las matemáticas es instrumental, es decir, se debe aplicar a la
vida cotidiana.
Plan y programas de estudio de 1972
Este plan es la modificación realizada al plan y programas de estudio de 1960 durante
el sexenio del presidente Luis Echeverría Álvarez.
OBJETIVOS DE EDUCACIÓN
1. Encauzar el proceso natural de desarrollo del niño para lograr el
desenvolvimiento integral de su personalidad.
2. Propiciar el conocimiento del medio en que vive para que esté en posibilidad de
transformarlo de acuerdo con las necesidades de su sociedad.
3. Favorecer su proceso de socialización que le permita ser factor activo de los
diversos grupos a que pertenece para llegar a serlo de la sociedad de que
forma parte.
4. Lograr que el educando, por medio del desarrollo de sus capacidades
mentales, de la formación de actitudes objetivas, científicas y criticas,
comprenda e interprete hechos y principios para estar en aptitud de registrar y
utilizar informaciones de acuerdo con sus intereses vitales.
5. Proporcionar al niño medios para aprender eficazmente por sí mismo.
6. Ofrecer al educando alternativas para aprender lo que tenga valor intrínseco
para él y por lo mismo le sea placentero.
4 SEP. Programas 1964. México, p. 39
14
7. Lograr que el alumno emplee la expresión oral y escrita para comunicar con
claridad, sencillez y exactitud sus pensamientos y que desarrolle habilidades y
hábitos para interpretar los signos gráficos, comprender el contenido de lo que
lee, y permitir así el desarrollo de su capacidad de investigación y recreación.
8. Iniciar al niño en las conceptualizaciones formales de la matemática y de la
manipulación de situaciones, expresiones y objetos.
9. Iniciar al niño en la comprensión y utilización de los conceptos y principios
básicos de las ciencias naturales y sociales. Estos fundamentos permitirán, a
su vez, la adquisición coherente de informaciones y de técnicas.
10. Encauzar la observación y la experiencia hacia el conocimiento,
aprovechamiento y conservación de los recursos naturales.
11. Fomentar actividades encaminadas a la conservación de la vida y la salud
física y mental del niño, para garantizar su desarrollo en plenitud.
12. Crear condiciones que permitan y estimulen las diversas expresiones estéticas
del niño.
13. Fomentar la participación del niño en las actividades de su familia, su escuela,
su comunidad y su nación, despertándole así el sentido de la responsabilidad y
de la cooperación.
14. Fomentar el juicio crítico del niño para que participe en los cambios de los
grupos sociales en que se desarrolla, buscando que estos respondan al bien
de la colectividad.
15. Procurar que la comunidad escolar establezca formas de convivencia armónica
y constructiva, haciendo que se tomen decisiones compartidas, se asuma la
responsabilidad que ellas implican y se ejerza la libertad personal en un marco
de respeto hacia los demás y hacia sí mismo.5
ESTRUCTURA DEL PLAN
En este plan se establecieron siete áreas programáticas llamadas también
materias, en este plan las matemáticas son consideradas un área programática
a diferencia del plan de 1960 donde recibían el nombre de “Aritmética y
Geometría”.
5 SEP. Plan y Programas de Educación Primaria 1972. México, p. VIII. IX, X
15
Las áreas son:
1. Lenguaje
2. Matemáticas
3. Ciencias Naturales
4. Ciencias Sociales
5. Educación Física
6. Actividades Artísticas
7. Actividades Tecnológicas 6
Cada una de las áreas comprende tres apartados: unidades de aprendizaje,
objetivos generales y específicos, así como, actividades que se sugieren para
alcanzar los objetivos.
El área de las matemáticas está constituida por: Aritmética, Geometría, Lógica,
Probabilidad y Estadística. En los grados de primero a quinto se desglosan de
la forma siguiente:
El sistema decimal y sus algoritmos
Números enteros. Operaciones y propiedades
Las fracciones y sus operaciones
Lógica y conjuntos
Geometría
Probabilidad y Estadística
En sexto grado además de los puntos anteriores también se agrega Variación
Funcional.
MATEMÁTICAS
Son consideradas como un cuerpo estructurado de conocimientos y conceptos
que el niño debe conocer, así como un instrumento que favorece la capacidad
de formalización y, en segundo término, la capacidad de interacción con el
medio ambiente.
6 SEP. Plan y Programas de Educación Primaria 1972. México, p. X
16
ENFOQUE DIDÁCTICO DE LAS MATEMÁTICAS
Está fundamentado en el método del descubrimiento. Los niños deben de ir
descubriendo las ideas, no se debe basar en la memorización. La didáctica a
seguir es flexible y depende de la creatividad y experiencia del docente. Dentro
de este programa se mencionan nueve postulados didácticos que son:
1. Formación integral del educando
2. Aprendizaje activo
3. Adecuación
4. Contenidos integrados
5. Objetivación
6. Motivación
7. Interrelación afectiva alumno- maestro
8. Vivencias de éxito
9. Ejercitación
También se menciona que la evaluación es un proceso continuo y se hará a
base de cuestionarios, fichas y encuestas.
Plan y programas de estudio de 1993
Durante la presidencia del Lic. Carlos Salinas de Gortari, en 1993 entra en
vigor una nueva reforma educativa a nivel primaria con el Acuerdo Nacional
para la Modernización de la Educación Básica.
OBJETIVO DE LA EDUCACIÓN
“Estimular las habilidades que son necesarias para el aprendizaje permanente. Por
esta razón, se ha procurado que en todo momento la adquisición de conocimientos
esté asociada con el ejercicio de habilidades intelectuales y de reflexión” 7
7 SEP. Plan y Programas. Educación Primaria 1993.México, p. 13
17
ESTRUCTURA DEL PLAN
Los programas de enseñanza cambian con respecto a los de 1960 que se
dividían en áreas de trabajo y los de 1972 que estaban estructurados en áreas
programáticas; ahora en los programas de 1993 se dividen en asignaturas y
estas a su vez se encuentran divididas en ejes temáticos los cuales contienen
el enfoque didáctico que se debe seguir en cada uno de ellos.
Las asignaturas y su carga horaria anual, se encuentran estructuradas para
cada grado de la siguiente manera:
1º y 2º 3º, 4º, 5º y 6º
*Español 360 hrs
*Matemáticas 240 hrs
*Conocimientos del medio 120 hrs
*Educación Artística 40 hrs
*Educación Física 40 hrs
*Español 240 hrs
*Matemáticas 200 hrs
*Ciencias Naturales 120 hrs
*Historia 60 hrs
*Geografía 60 hrs
*Educación Cívica 40 hrs
*Educación Física 40 hrs
*Educación Artística 40hrs
Los contenidos de las matemáticas se encuentran organizados dentro de los
siguientes seis ejes temáticos:
1. Los números, sus relaciones y operaciones
2. Medición
3. Geometría
4. Procesos de cambio
5. Tratamiento de la información
6. Predicción y azar
Dentro de este plan son eliminados temas de lógica y conjuntos. Otros temas
también son suprimidos pero agregados a los programas de educación
secundaria como: números negativos, multiplicación y división de fracciones,
18
esto se debe a “… la dificultad que tiene los niños para comprender las fracciones y
sus operaciones en los grados que se proponían anteriormente.” 8
MATEMÁTICAS
Son vistas como un producto del quehacer humano y su proceso de
construcción está sustentado en abstracciones sucesivas. Su conocimiento
debe partir de experiencias concretas y en la medida en que se logre la
abstracción ir prescindiendo de objetos físicos.
Los objetivos generales de las matemáticas dentro de este programa son:
1. La capacidad de utilizar las matemáticas como un instrumento para reconocer, plantear y resolver problemas
2. La capacidad de anticipar y verificar resultados 3. La capacidad de comunicar e interpretar información matemática 4. La imaginación espacial 5. La habilidad para estimar resultados de cálculos y mediciones 6. La destreza en el uso de ciertos instrumentos de medición, dibujo y calculo 7. El pensamiento abstracto por medio de distintas formas de razonamiento, entre
otras, la sistematización y generalización de procedimientos y estrategias. 9
ENFOQUE DIDÁCTICO DE LAS MATEMÁTICAS
Pone énfasis en la formación de habilidades para la resolución de problemas y
el desarrollo del razonamiento matemático a partir de situaciones prácticas.
II.2.- REVISIÓN DE LA LITERATURA
En este apartado se presentan algunos trabajos e investigaciones referentes
al libro de texto utilizado por los alumnos en especial a los que se refieren a la
asignatura de matemáticas, dichos trabajos sirvieron de apoyo para realizar el
análisis de los libros de texto de 3º y 4º grados de las tres reformas. Además se
presentan las clasificaciones hechas por distintos autores sobre las tipologías
de problemas de las cuales seleccionamos la de uno de ellos para clasificar los
problemas aritméticos encontrados en los libros de texto de matemáticas.
8 SEP. Plan y Programa. Educación Primaria 1993.México, p. 54 9 Ibídem. p. 57
19
II.2.1.- ANÁLISIS DE LOS LIBROS DE TEXTO
José Villela realizó una investigación donde analiza la relación entre enseñar
matemáticas y la selección de los libros de texto para dicha disciplina. Al
analizar los libros de texto el autor afirma que existen varios aspectos
estructurales de importancia, por ejemplo:
Qué visión desarrolla el autor Creencias que los autores tienen de las matemáticas Forma de presentación de los temas Formas en las que los alumnos y los docentes son ayudados o no en el
desarrollo de los temas La autoridad que se les da a los libros en tanto legitimadores de los contenidos
que deben desarrollarse en el aula y que la sociedad válida como necesarios para aprender
El rol determina que en su implementación refleja la actividad del docente, actuando como mediador ya que es el que selecciona y determina la forma de utilizar el libro de texto 10
Los libros de texto tienen un efecto sobre los enfoques de enseñanza y las
estrategias de aprendizaje de los alumnos ya que “… han construido desde
siempre uno de los materiales educativos más empleados en el ámbito escolar
y a veces, incluso el único”11
Este autor menciona que los libros de texto deben cumplir las siguientes
funciones didácticas:
Propiciar el primer impacto con textos expositivos Servir de mediadores entre el docente y sus alumnos y entre el docente y el
currículo Servir de fuente de información y consulta Favorecer la integración de conocimientos y experiencias sin crear falsos
objetos de conocimiento y producir con ellos una sustitución patológica del conocimiento erudito
Favorecer la formación de valores 12
José Villela en su libro menciona también que un libro de texto se puede
evaluar tomando en cuenta los siguientes aspectos:
10
Villela José. Matemática escolar y libros de texto. Buenos Aires: UNSAM, 2007 pág. 79 11 Ibídem p. 80 12 Ibídem p. 81
20
1. Lengua escrita ¿El vocabulario es acorde a la edad? ¿La redacción es clara? ¿Las ideas se expresan en lenguaje sencillo y preciso?
2. Lenguaje gráfico: las ilustraciones, mapas, fotos ¿ayudan a comprender las ideas del texto? ¿Son suficientes? ¿Son claras?
3. Contenidos de la obra ¿Son relevantes dentro del tema y para la Matemática escolar? ¿Son actuales? ¿La proporción de contenidos definidos, explicados corresponden con los conocimientos previos de los estudiantes? ¿Están bien organizados? ¿Favorecen la transferencia y el uso de conocimientos nuevos? ¿Promueven procesos de atención, comprensión y lectura reflexiva? ¿La información esta contextualizada?
4. Tratamiento de los valores: ¿Se solicitan opiniones personales? ¿Se atiende a las experiencias y el contexto del lector? ¿Se estimula al lector a asumir responsabilidad personal, expresar sus opiniones y sentimientos dentro de los grupos de trabajo? ¿Llevan a los alumnos a comprender la importancia de la diversidad y el desacuerdo? ¿Propician el análisis de una misma situación desde diferentes perspectivas? ¿Invitan a la lectura de otros libros? ¿Estimulan el análisis de los fundamentos de las proposiciones enunciadas? 13
Dicho autor alude a la labor del docente ya que es quien determina el libro de
texto que será utilizado en la clase de matemáticas, para ello el docente debe
tomar en cuenta la influencia que tiene el libro en los procesos de enseñanza y
aprendizaje.
Otro autor que hace un análisis sobre los libros de texto, en este caso los
gratuitos, creados en 1960 es González Pedrero en 1982, en el cual describe
la evolución de estos libros con las siguientes reformas educativas de 1972 y
1978. Dice que los primeros “empiezan a editarse a partir de 1960 de acuerdo
con los programas de enseñanza de 1957(…) por lo que las reformas de 1960
no tuvieron su correspondencia pedagógica en los libros de texto que siguieron
imprimiéndose hasta 1972”14
Según Pedrero con la reforma educativa de 1972 se pretendía actualizar y
mejorar los libros de texto, en dichos textos se destacan algunas
modificaciones en cuanto al método y contenido, además en 1960 el plan se
funda en la concepción del mexicano al que aspira formar, mientras que en
13 Op.cit. pp. 84- 85 14 González Pedrero Enrique. Los libros de texto gratuitos. México: SEP- Conaliteg, 1982, p. 5
21
1972 el educando es concebido “con la idea básica de que una vez que haya
aprendido a aprender, adquiera una capacidad de reflexión crítica”15
Con respecto a los libros de texto gratuitos destinados a la enseñanza de las
matemáticas Pedrero incluye en su trabajo un análisis detallado sobre todos los
contenidos de cada grado escolar de las tres reformas educativas
mencionadas, indicando los objetivos o metas establecidas en los planes y
programas de estudio para la enseñanza de esta disciplina.
Este investigador proporciona una visión amplia de la evolución de los libros de
texto gratuito, toma en cuenta todas las asignaturas que corresponden a cada
plan de estudio, además proporciona datos como el número de ejemplares que
se editó para cada reforma educativa, el tipo de papel utilizado, en qué talleres
se hicieron los libros de textos y quiénes participaron en la elaboración de los
libros.
Alicia Ávila en su texto La enseñanza oficial de las matemáticas elementales en
México; su psicopedagogía y transformación (1944- 1986), presenta un análisis
de la evolución de las propuestas que la Secretaría de Educación Pública ha
planteado para la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria, dicho
análisis fue guiado por los siguientes puntos:
Filosofía educativa del sexenio correspondiente
Estructura general de los planes de estudio
Programas y planes de estudio de matemáticas
El último de los puntos anteriores lo desarrolló con la finalidad de hacer un
análisis interno más o menos amplio de las matemáticas.
15
Op.cit, p.5
22
II.2.2.- MÉTODOS PARA LA ENSEÑANZA DE LOS ALGORITMOS EN LOS
LIBROS DE TEXTO
La presentación en los libros de texto gratuito de matemáticas sobre la
enseñanza de los algoritmos no ha sido la misma ya que han existido varias
reformas que han modificado tanto los planes y programas como a los mismos
libros, por ello, a lo largo de la historia se distinguen seis métodos
predominantes según la descripción de Bernardo Gómez Alfonso16 que son:
Método reglado: es aquel que enfatiza el aprendizaje sobre ejemplos
ilustrativos sin hacer mención o argumentación que se parezcan a lo que
hoy entendemos por justificaciones o fundamentos.
Método razonado: es aquel que pone de manifiesto la lógica de las
reglas y hace el análisis de los principios que las sustentan. No hay
demostraciones en el sentido formal, sino reglas con justificación
correspondiente y prácticas de estas con ejemplos concretos.
Método de repeticiones: es aquel que busca el aprendizaje mecánico,
los temas se presentan como una secuencia de pequeños pasos y no
como una totalidad, la atención se dirige a estos pasos o elementos del
proceso, antes que a comprender los principios aritméticos y las
relaciones propias del proceso en su totalidad
Método intuitivo: es aquel apoyado en imágenes concretas que huye
del formalismo abstracto; subyace la idea de que la matemática escolar
no debe ser una cosa típicamente abstracta sino que debe convertirse
en ciencia experimental, se sustenta en la incapacidad del niño para
hacer abstracciones y en que, en el último término, los conocimientos
matemáticos son hijos de la experiencia. Para ello se defiende que se
debe empezar por medir, recortar, dibujar, etc. para no prescindir del
16 http://www.sinewton.org/numeros/numeros/43-44/Articulo14.pdf (Bernardo Gómez A.) 15 de Mayo
de 2011
23
elemento intuitivo, y sobre todo, que la matemática es una cuestión de
comprender, ya que se considera que no tiene valor alguno lo que se
aprende de memoria.
El método intuitivo debe ser cíclico, es decir, una operación o una regla
no es dominada de una vez por el alumno, sino que se presenta primero
en forma concreta y sensible y es abandonada después por cierto
tiempo; también debe ser dinámica, es decir, no darle al alumno los
conocimientos matemáticos como cosa hecha, sino hacerle ver su
proceso, capacitarlo para el descubrimiento de nuevas verdades lo cual
tiene más interés que enseñarle lo fundamental.
Método de las actividades: es aquel que introduce actividades que no
son complementarias sino que forman parte del proceso de aprendizaje.
Enseñanza orientada a la estructura: Bajo este método se enfatizan
los conceptos básicos de los procedimientos y las relaciones
estructurales, se pretende situar al niño en un entorno rico que le
permita investigar, descubrir y construir a partir de su propia actividad,
porque sólo así puede apropiarse de sus conocimientos; en lugar de
empezar con definiciones y seguir con ejemplos que los alumnos harán
como ejercicio, se propone que se empiece por las aplicaciones sobre
las cuales ellos experimentarán y progresarán hacia la forma
matemática que las resume y expresa.
Tomando como base estos seis métodos de la enseñanza de los algoritmos,
clasificaremos los libros de texto gratuito de matemáticas de 3º y 4º grados de
primaria de las reformas de 1960, 1972 y 1993, únicamente en relación al
contenido de la suma y la resta.
24
II.2.3.- PROBLEMAS ADITIVOS Y SUS CLASIFICACIONES
Los autores Cerdán y Puig en su obra Problemas Aritméticos Escolares
mencionan que los problemas aritméticos son “un problema de encontrar: se
nos pide que, bajo ciertas condiciones, se determine una cantidad a partir de
otra que nos proporciona y que, por tanto son conocidas” 17
Por lo tanto, consideramos que un problema matemático es una situación
didáctica que debe ser modelada para encontrar la respuesta a una pregunta
que se deriva de la misma situación.
Ahora bien su solución implica un proceso de enseñanza-aprendizaje basado
en los conocimientos lógico matemáticos previos sin perder de vista la
practicidad de su entorno y el hecho de que somos sujetos activos.
El problematizar una situación y la búsqueda de una solución propician en el
individuo una serie de acciones y actitudes que lo conducen a construir
conocimientos idóneos y necesarios para dicha solución. El propósito básico de
la resolución de un problema es precisamente la adquisición del hábito de
plantearlos y resolverlos como una forma de construir conocimientos.
Varios investigadores han diseñado diversas clasificaciones de los problemas
aditivos de acuerdo a su estructura semántica o a la relación que tienen los
enunciados y los números dentro del problema para su comprensión y su
relación.
Algunos autores son mencionados en la tesis Procedimientos de resolución de
problemas aritméticos que implican la operación de la resta. Exploración del
conocimiento intuitivo en niños de 5 a 7 años de edad, elaborada por: Graciela
Ramírez Marcial y Cayetana Rivera Mauricio en la Universidad Pedagógica
Nacional (UPN)
17
Cerdàn, F. y Puig, L. Problemas Aritméticos Escolares. Matemática: Cultura y aprendizaje. Madrid: Síntesis,
1991, p. 92.
25
En esta tesis se presentan las siguientes clasificaciones:
Clasificación realizada por Greeno, Heller y Riley
CAMBIO O TRANSFORMACIÓN: Hay una relación de cambio o
transformación de un conjunto. Interrelación estática entre dos cantidades. Dos
conjuntos que se alteran al resolver el problema, se reúnen o cambian.
COMBINACIÓN: Ninguna cantidad se modifica. Ya sea que la cantidad que se
desconoce se haya creado a partir de dos cantidades dadas; o una de las
cantidades dadas se haya transformado a través de la otra cantidad dada de la
desconocida.
COMPARACIÓN: Una cantidad de los conjuntos está separada de las otras
dos. Es la diferencia de las dos cantidades dadas.
IGUALACIÓN: Implica incrementar o decrementar el conjunto inicial para
igualar los dos conjuntos.
Clasificación realizada por Carpenter Y Moser
REUNIÓN: Dos cantidades son un subconjunto de la tercera. Incluye una
cantidad inicial y una acción que implica el incremento o decremento de una
cantidad.
SEPARACIÓN: Contiene características similares a las de reunión pero la
acción solamente involucra un decremento. Dos cantidades son un subconjunto
de la tercera.
PARTE-PARTE-TODO: Describe una relación estática entre una entidad y sus
dos partes. Dos de las cantidades son un subconjunto de la tercera.
COMPARACIÓN: Describe dos cantidades separadas. Busca la diferencia
entre las dos cantidades.
26
IGUALACIÓN AUMENTANDO: Cambiar una de las entidades para que sean
las dos iguales. Se incrementa la cantidad más pequeña.
IGUALACIÓN QUITANDO: Cambia una de las entidades para que sean iguales
en algún atributo. Decrementa la cantidad más grande.
Clasificación realizada por Vergnaud
DOS MEDIDAS SE COMPONEN PARA DAR UNA TERCER MEDIDA: Da
lugar a dos clases de problemas:
- Conociendo las dos medidas elementales, encontrar su composición
- Conociendo la composición y una medida elemental, hallar la otra.
UNA TRANSFORMACIÓN OPERA SOBRE UNA MEDIDA PARA DAR OTRA
MEDIDA: Da lugar a tres clases de problemas:
- Conociendo el estado final y la transformación, encontrar el estado final.
- Conociendo el estado inicial y el estado final, encontrar la transformación.
- Conociendo el estado final y la transformación, hallar el estado inicial.
UNA RELACIÓN REUNE DOS MEDIDAS PARA DAR UNA TERCERA:
- Conociendo las dos transformaciones la compuesta y una elemental,
encontrar la otra.
DOS TRANSFORMACIONES SE COMPONEN PARA DAR UNA
TRANSFORMACIÓN: Relación entre elementos de diferente naturaleza. No
hay modificación de ninguna de las medidas. Es una relación estática.
UNA TRANSFORMACIÓN OPERA SOBRE UN ESTADO RELATIVO PARA
DAR OTRO ESTADO RELATIVO.
DOS ESTADOS RELATIVOS QUE SE COMPONEN EN UN TERCERO: La
composición de dos estados, la aplicación de dos transformaciones., la
27
aplicación de una transformación inversa a un estado., la búsqueda de la
diferencia entre dos.
Otros autores que también realizan una tipología de problemas y que no son
retomados por la autora anterior son:
Clasificación realizada por Bermejo
La clasificación que hace Bermejo distingue los problemas de suma y resta sin
embargo la tipología para ambas operaciones es la misma.
1. PROBLEMAS DE CAMBIO
Se caracterizan por la presencia de una acción explícita o implícita, que
modifica una cantidad inicial, dando como resultado el incremento o
decremento de esa cantidad
2. PROBLEMAS DE COMBINACIÓN
Este tipo de problemas implican relaciones estáticas, en las que se
proponen dos cantidades disjuntas, que pueden considerarse
aisladamente o como parte de un todo, sin que haya ningún tipo de
acción.
3. PROBLEMAS DE COMPARACIÓN
Suponen la relación de dos cantidades disjuntas para determinar la
diferencia existente entre ellas o para averiguar una de las cantidades
conociendo la otra y la diferencia entre ellas
4. PROBLEMAS DE IGUALACIÓN
Constituye una mezcla de los problemas de comparación y cambio, ya
que hay una acción implícita que tiene que aplicarse a uno de los
conjuntos
28
Clasificación realizada por Blanco
1. PROBLEMAS DE CAMBIO
DEFINICIÓN: Son aquellos en los que un suceso cambia el valor de una
cantidad. Blanco plantea definiciones separadas para este tipo de problema:
CAMBIO- UNIÓN: Son aquellos en los que la acción realizada, origina un
incremento de la cantidad por la acción.
CAMBIO- SEPARACIÓN: La cantidad inicial se ve disminuida debido a la
acción realizada.
SUBTIPO 1: Sitúa la incógnita en el estado final y está relacionado con un
problema de cambio- unión afectando a la cantidad inicial. Ejemplo:
Concha tenía 3 cromos, encontró 4 más. ¿Cuántos tiene ahora?
SUBTIPO 2: Sitúa la incógnita en el estado final y está relacionado con un
problema de cambio- separación afectando a la cantidad inicial. Ejemplo:
Manolo tenía 7 bolas perdió 3 jugando. ¿Cuántos tiene ahora?
SUBTIPO 3: Se plantea la incógnita en la acción que se realiza y está
relacionado con un problema de cambio- unión. Ejemplo:
Daniel tenía 3 lápices, encontró algunos más y ahora tiene 7. ¿Cuántos
encontró?
SUBTIPO 4: Se plantea la incógnita en la acción que se realiza y está
relacionado con un problema de cambio- separación. Ejemplo
Raúl tenía 7 lápices, perdió algunos y ahora tiene 3. ¿Cuántos perdió?
SUBTIPO 5: La incógnita se plantea en la cantidad inicial y está relacionado
con problemas de cambio- unión. Ejemplo:
Martha tenía algunos lápices, encontró 5 y ahora tiene 8. ¿Cuántos tenía al
comienzo?
29
SUBTIPO 6: La incógnita se plantea en la cantidad inicial y está relacionado
con problemas de cambio- separación. Ejemplo:
Javi tenía algunos lápices, perdió 5 y ahora tiene 3. ¿Cuántos tenía al
principio?
2. PROBLEMAS DE COMBINACIÓN
DEFINICIÓN: Representan una situación estática donde dos cantidades son
consideradas separadamente o en combinación.
SUBTIPO 7: Se conoce la cantidad de los dos subconjuntos para determinar el
conjunto unión. Ejemplo: Beatriz tiene 3 fichas y Miguel tiene 4. ¿Cuántas
tienen entre los dos juntos?
SUBTIPO 8: Se conoce la cantidad de un subconjunto y la del conjunto unión,
se desconoce la cantidad del otro subconjunto. Ejemplo:
Mari y Javi juntaron 7 fichas, 3 son de Mari. ¿Cuántas son de Javi?
3. PROBLEMAS DE COMPARACIÓN
DEFINICIÓN: Presenta situaciones en las que dos cantidades son comparadas
para establecer las diferencias cuantitativas entre ellas.
SUBTIPO 9: La cantidad de referencia es mayor que la cantidad comparada.
Ejemplo: David tiene 13 bolas, Jesús tiene 28 bolas. ¿Cuántas bolas tiene más
Jesús que David?
SUBTIPO 10: La cantidad de referencia es menor que la cantidad comparada.
Ejemplo: David tiene 17 bolas, Jesús tiene 12. ¿Cuántas bolas menos tiene
Jesús que David?
SUBTIPO 11: Se conoce la cantidad de referencia la cual es menor, así como
la diferencia que se establece entre esta y la cantidad comparada. Ejemplo:
30
Emilio tiene 17 estampas, Lucía tiene 5 más que Emilio. ¿Cuántas estampas
tiene Emilio?
SUBTIPO 12: Se conoce la cantidad de referencia la cual es mayor, así como
la diferencia que se establece entre esta y la cantidad comparada. Ejemplo:
Emilio tiene 18 estampas, Lucía tiene 7 menos que Emilio. ¿Cuántas tiene
Lucia?
SUBTIPO 13: Se desconoce la cantidad de referencia que es menor, pero se
conoce tanto la cantidad comparada como la diferencia que se establece.
Ejemplo: Jaime tiene 18 lápices, tiene 5 más que Rocío. ¿Cuántos tiene Rocío?
SUBTIPO 14: Se desconoce la cantidad de referencia que es mayor, pero se
conoce tanto la cantidad comparada como la diferencia que se establece.
Ejemplo: Jaime tiene 9 lápices, tiene 7 menos que Rocío. ¿Cuántos tiene
Roció?
4. PROBLEMAS DE IGUALACIÓN
DEFINICION: Son problemas híbridos de comparación y cambio; en donde la
comparación que se establece entre las dos cantidades viene determinada por
una acción de cambio.
SUBTIPO 15: Se conoce el valor de las dos cantidades que son comparadas,
en donde la cantidad de referencia es mayor que la cantidad comparada, pero
se desconoce la diferencia que se establece entre ellas, dando lugar a una
situación de cambio – unión. Ejemplo: Beatriz tiene 9 estampas y Miguel
tienen3. ¿Cuántas tiene que ganar Miguel para tener tantas como Bety?
SUBTIPO 16: Se conoce el valor de las dos cantidades que son comparadas,
en donde la cantidad comparada es mayor que la cantidad de referencia, pero
se desconoce la diferencia que se establece entre ellas, dando lugar a una
situación de cambio – separación. Ejemplo: Miguel tiene 9 estampas y Bety
tiene 3. ¿Cuántas tiene que perder Miguel para tener tantas como Bety?
31
SUBTIPO 17: Se conoce la cantidad comparada y la cantidad que se modifica,
mientras que se desconoce la cantidad de referencia; dando lugar a una
situación de cambio- unión. Ejemplo: En un estacionamiento hay 33 coches, si
entran 15 coches habrá tantos como motos. ¿Cuántas motos hay?
SUBTIPO 18: Se conoce la cantidad comparada y la cantidad que se modifica,
mientras que se desconoce la cantidad de referencia; dando lugar a una
situación de cambio- separación. Ejemplo: En un estacionamiento hay 33
coches, si retiran 15 coches habrá tantos como motos. ¿Cuántas motos hay?
SUBTIPO 19: Se conoce la cantidad de referencia así como la cantidad que
varía a consecuencia de la acción, se desconoce la cantidad comparada lo cual
da lugar a unja situación de cambio – unión. Ejemplo: Antonio tiene en su casa
9 canarios, si a Juan le regalan 5 tendrá tantos como Antonio. ¿Cuántos tiene
Juan?
SUBTIPO 20: Se conoce la cantidad de referencia así como la cantidad que
varía a consecuencia de la acción, se desconoce la cantidad comparada lo cual
da lugar a unja situación de cambio – separación. Ejemplo: Antonio tiene en su
casa 9 canarios, si a Juan se le escapan 5 le quedan tantos como Antonio.
¿Cuántos tiene Juan?
Los anteriores son la clasificación de problemas de una etapa, pero en este
trabajo también hablaremos de los problemas en dos etapas.
5. PROBLEMAS DE DOS ETAPAS
DEFINICIÒN: Son aquellos cuyo planteamiento es más complejo que los
anteriores y contiene más de una situación de las señaladas anteriormente,
implican la realización de dos operaciones; por lo cual se establecen 4
posibilidades:
32
1. (+,+) Ejemplo:
Don Chano vendió la semana pasada 25 cajas de huevo, esta semana
solo vendió 18 ¿Cuántas cajas de huevo vendió Don Chano en estas
dos semanas? Si la próxima semana vende 24 ¿cuántas cajas abra
vendido en total?
2. (+,-) Ejemplo:
David se ha gastado $234.00 el sábado y $457.00 el Domingo. ¿Cuánto
se ha gastado el fin de semana? Si tenía $1000.00, ¿cuánto le queda?
3. (-, +) Ejemplo:
Jorge tiene en el banco $5000.00, ayer saco $350.00 y hoy deposito
$800 ¿cuánto dinero tiene en el banco Jorge?
4. (-, -) Ejemplo:
Susana tenía $100.00, compró un paquete de colores de $25.00 y después
compré $15.00 de chocolates ¿cuánto dinero le sobró?
Con base en los datos anteriores se realizo la siguiente tabla comparativa
referente a los tipos de problemas y la definición de cada uno de acuerdo a los
autores donde los tipos de problemas tienen una relación directa.
33
*El autor maneja este tipo de problema en dos casos distintos
**No hay una relación
No se excluyó en la tabla a Vergnaud por ser otra su extensa clasificación
Como se puede observar en la tabla anterior existe cierta congruencia entre
los tipos de problemas que proponen los distintos autores con relación a la de
Lorenzo Blanco pero como se puede advertir él aporta una clasificación más
detallada al presentar subtipos de problemas razón por la cual se ocupará su
clasificación para caracterizar los problemas de los libros de texto que nos
hemos propuesto analizar.
34
CAPÍTULO III
PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS
El perfil de esta investigación es documental y de carácter descriptivo lo cual
condujo a la búsqueda, recopilación y revisión de diferentes materiales en
distintas fuentes que proporcionaran información correspondiente a las
reformas de 1960, 1972 y 1993. Los materiales bibliográficos que fueron una
herramienta primordial y permanente para la realización de esta investigación
fueron los Planes y Programas de educación primaria así como los libros de
texto gratuitos de matemáticas del segundo ciclo de educación primaria.
En este tercer capítulo los aspectos metodológicos se desarrollan al inicio de
cada uno de los apartados que integran el capitulo que son: Comparación
entre planes y programas de estudio, Libros de texto gratuitos y Tipología de
problemas aditivos.
III.1.- COMPARACIÒN ENTRE PLANES Y PROGRAMAS DE ESTUDIO
Para realizar esta investigación, en un principio se llevó a cabo la revisión de
planes y programas de estudio de las reformas de 1960, 1972 y 1993, con el
objetivo de retomar algunos aspectos necesarios para esta tesina.
La primera información que se obtuvo de los planes y programas sirvió para
complementar el trabajo de la autora Alicia Ávila referente a una tabla
comparativa sobre distintos aspectos de los planes y programas ya que
coincidimos con ella en que los aspectos relevantes a considerar son los
siguientes: organización del plan de estudios, objetivo de la educación, plan de
estudios, concepción de las matemáticas y enfoque didáctico de cada una de
las tres reformas estudiadas dentro de esta tesina; esta tabla proporciona de
35
manera más especifica la visión que se tenía de la educación en las tres
reformas y en particular de las matemáticas.
De los planes y programas se obtuvieron datos de lo general a lo particular, es
decir, primero se retomaron todos los temas relacionados la división de la
asignatura de matemáticas ya sea en áreas o ejes, de allí retomamos el eje o
área de los números ya que el tema que se aborda en esta tesina está
relacionado con él, de este eje se obtuvieron todos los temas que lo integran y
de ellos se seleccionaron exclusivamente los que tenían relación con la suma y
resta, y en particular con los problemas aditivos que se resuelven empleando
alguna de estas dos operaciones o en ocasiones ambas, con los datos
obtenidos se realizaron tablas comparativas las cuales se muestran a
continuación.
En la primera tabla comparativa tomamos en cuenta los siguientes aspectos
de cada uno de los planes y programas de estudio expuesto en el Capítulo II:
Organización del plan, Objetivo de educación, Plan de estudios, Concepción de
la matemática y Enfoque didáctico. En la segunda tabla mencionamos los
contenidos relacionados con los números en dichos planes y programas y en la
tercera tabla nos enfocamos únicamente a los contenidos de suma y resta.
ASPECTOS GENERALES DE LOS PLANES Y PROGRAMAS
1960 1972 1993
Organización del plan
La presentación de los planes y programas se encuentra en un solo libro en donde se incluyen todos los grados escolares. Este plan y programa contiene los siguientes apartados: *Orientación *Estructura del programa *metas de las áreas *Recomendaciones sobre el método de cada área *Programas para los seis grados
Los planes y programas son presentados en seis libros uno por cada grado escolar. Contienen los siguientes elementos: *Doctrina *Criterios *Objetivos generales *Diseño del plan de estudio *Organización de los programas *Características de los programas *Postulados didácticos
La presentación de los planes y programas se encuentra en un solo libro en donde se incluyen todos los grados escolares. Está conformado de la siguiente manera: * Presentación, Introducción, Antecedentes del plan, plan de estudios y el fortalecimiento de de los contenidos básicos, organización del plan de
36
*Objetivos de las áreas programáticas *Evaluación
estudios, etapas de aplicación del plan de estudios. *Programas de contenidos por asignatura y enfoque didáctico.
Objetivo de la educación
Desarrollar la integridad física, mental y moral del alumno, así como la participación en la resolución de problemas individuales y sociales.
Se presentan quince objetivos, se propone el desenvolvimiento integral así como la socialización del educando involucrando todas las áreas de aprendizaje.
Se propone estimular habilidades intelectuales y reflexión del alumno.
Plan de estudios
Se encuentra dividido en seis áreas de aprendizaje, una de ellas llamada “adquisición de los elementos de la cultura” dentro de la cual se encuentran los contenidos de matemáticas en la subárea llamada “aritmética y geometría”
Se divide en siete áreas programáticas o materias dentro de las cuales se encuentra una con el nombre de “matemáticas”
Está conformado por ocho asignaturas, una de estas asignaturas recibe el nombre de “matemáticas”
Concepción de las matemáticas
Instrumento para resolver problemas cotidianos. Pretende desarrollar hábitos como orden, disciplina y destreza, así como también ciertas actitudes mentales como memoria, razonamiento y precisión que deben ser instrumento para resolver problemas en distintos campos.
Instrumento que desarrolla habilidades de pensamiento como razonar, comunicar, explicar y describir. Intenta desarrollar el pensamiento cuantitativo como instrumento de comprensión., pone en segundo término la destreza y la mecanización de la estructura matemática.
Son consideradas un proceso que tiene como fin comprender y explicar el universo y las cosas que ocurren en él. Propone utilizar a las matemáticas como un instrumento para plantear y resolver problemas.
Enfoque didáctico
Al alumno se le dan los conocimientos los cuales debe aprender de forma memorizada y aplicarlos para resolver problemas de la vida cotidiana
Se basa en el método del descubrimiento sin caer en prácticas de memorización. El alumno construye los conocimientos de forma guiada.
La resolución de problemas es un proceso de construcción de conocimientos. Es decir aprender matemáticas vía la Resolución de Problemas
A continuación presentamos una tabla en donde se muestran los contenidos
del tratamiento de los números de las tres reformas educativas 1960, 1972 y
1993. Todos los temas fueron tomados de los programas de estudio
37
En los planes y programas de 1960, el tema de números se trabaja dentro de la
meta “Capacidad de apreciar juntos”, en ella se muestran los diferentes tipos
de números que se van a trabajar a lo largo del ciclo escolar
En los Programas de 1972, existen tres aspectos relacionados con el estudio
de los números que son: El sistema decimal y sus algoritmos, Números
enteros, Operaciones y propiedades, y Las fracciones y sus operaciones.
Dentro de los programas de 1993 la enseñanza de las matemáticas como ya se
mencionó anteriormente comprende seis ejes temáticos de los cuales el
primero corresponde a: “Los números, sus relaciones y operaciones”
CONTENIDOS RELACIONADOS CON NÚMEROS
GRADO 1960 1972 1993
3ERO.
Órdenes de unidades decimales hasta milésimos Números romanos hasta C
(centenas) Números ordinales hasta 30º Lectura y escritura de
números y cantidades hasta diez mil Sumas y Restas Multiplicaciones División con divisor de dos
cifras Relaciones cuantitativas Suma y resta de fracciones de
igual denominador.
Agrupamientos en decenas Escritura de números de dos
cifras Escritura de números hasta
centenas Problemas de suma hasta
decenas (propiedad conmutativa) Problemas de resta hasta
decenas (de igualación) Problemas de suma y resta
hasta centenas con reagrupación. Escritura de números hasta
UM (notación desarrollada) La multiplicación.
Combinaciones. Relación con la suma. Propiedad conmutativa. Problemas. La tabla de multiplicar. Propiedad asociativa de la
multiplicación Multiplicación de números
hasta centenas por un dígito Multiplicación de números
hasta centenas por 10. Múltiplos de 10 Propiedad distributiva de la
multiplicación. Uso de paréntesis Multiplicación por números
de dos y tres cifras Lectura, escritura y orden
de números hasta CM Problemas de división con
residuo, de números de dos
Números naturales Los números de cuatro cifras Conteos Agrupamiento y desagrupamiento
en millares, centenas, decenas y unidades Lectura y escritura El orden de la serie numérica Antecesor y sucesor de un número Valor posicional
Lectura escritura de números
ordinales Planteamiento y resolución de
problemas más complejos de suma y resta con números hasta de tres cifras, utilizando diversos procedimientos Planteamiento y resolución de
problemas diversos de multiplicación con números hasta de dos cifras, mediante distintos procedimientos. Algoritmo convencional de la
multiplicación Multiplicación de números
terminados en cero Planteamiento y resolución de
diversos problemas de división, con números hasta de tres cifras mediante procedimientos no convencionales Algoritmo de la división con números
de dos cifras entre una cifra Números fraccionarios Introducción de la noción de fracción
38
cifras entre un solo divisor. Relación con la multiplicación División en la recta
numérica División con cociente de dos
cifras Las fracciones ½…1/10.
Relación de orden Problemas de división de
números hasta UM entre un solo divisor Suma y resta de fracciones
de igual denominador. Problemas (de igualación) Estimación de resultados
(calculo mental) Las fracciones en la recta
numérica Fracciones mayores a un
entero Números mixtos Los números naturales como
fracciones La división como resta
iterada
en casos sencillos mediante actividades de reparto medición de longitudes. Comparación de fracciones sencillas
representadas con material concreto, para observar la equivalencia entre fracciones Representación convencional de las
fracciones Planteamiento y resolución de
problemas que impliquen suma de fracciones sencillas, mediante manipulación de material
4TO.
Numeración hasta el millón Lectura- escritura de números
romanos hasta M (mil) Números ordinales hasta 40º Conversión de unidades
monetarias (dólar y quetzal) Sumas y Restas Calculo de porcentajes Multiplicación y división con
enteros Multiplicación y división
abreviada (10, 100, 1000) Multiplicación con fracciones Números mixtos, fracciones
propias e impropias División con fracciones Sistema monetario mexicano
(conversiones) Las cuatro operaciones con
decimales hasta diez milésimos Cuadrado y cubo de un entero
(potencias)
Lectura, escritura y orden de números hasta millón Problemas de suma y resta Multiplicación de números
hasta C Propiedad distributiva de la
multiplicación. Uso de paréntesis Problemas diversos Fracciones ½… 1/9 Fracciones decimales Suma y Resta de fracciones
con igual denominador. Problemas División de números de
números hasta decenas entre un digito Multiplicación de tres
números de tres cifras Fracciones en la recta Equivalencia de fracciones.
Algoritmo División de números de tres
cifras en la recta Suma y resta de fracciones
con diferente denominador División entre 10, 100 y
1000 Algoritmo convencional de
la división Suma y resta de decimales Algoritmo para la obtención
de fracciones equivalentes con igual denominador
Números naturales
Números de cinco cifras - lectura y escritura - antecesor y sucesor - construcción de series numéricas - valor posicional - los números en la recta numérica. Reglas para la escritura de números
ordinales y su uso en diferentes contextos Planteamiento y resolución de
problemas de suma y resta con números hasta DM Planteamiento y resolución de
problemas de multiplicación y división Algoritmo de la división con divisor
de dos cifras
Números fraccionarios Fraccionamiento de longitudes para
introducir tercios, quintos y sextos. Equivalencia de fracciones Fracciones decimales Comparación de fracciones con
numerador o denominador constante Ubicación de fracciones en la recta
numérica Planteamiento y resolución de
problemas de suma y resta de fracciones con igual denominador Algoritmo convencional de suma y
39
Los números naturales expresados como fracciones Números mixtos
resta de fracciones con igual denominador
Números decimales Lectura y escritura hasta centésimos
en contexto de dinero y medición Planteamiento y resolución de
números decimales en contexto de dinero y medición
SUMA Y RESTA
Las sumas y restas se encuentran presentes en los contenidos de los planes y
programas de las tres diferentes reformas ya que son temas de gran
relevancia que forman parte del contenido de los números y son utilizados en
diferentes contextos sobre todo para resolver problemas cotidianos.
A continuación presentamos los contenidos de suma y resta en los tres
diferentes planes y programas.
CONTENIDOS RELACIONADOS CON SUMA Y RESTA DE ACUERDO A LOS PLANES Y PROGRAMAS DE ESTUDIO
Grado 1960 1972 1993
3ero. Sumas Restas
Problemas de adición de tres dígitos o de dos números de dos cifras (propiedad conmutativa)
Problemas de sustracción de dos dígitos, o de un número de dos cifras un dígito, con la idea de “completar”
Problemas de adición con números de 2 y 3 cifras, con reagrupación.
Problemas de sustracción con números de 2 y 3 cifras, con reagrupación.
Planteamiento y resolución de problemas de suma y resta con números hasta de tres cifras, utilizando diversos procedimientos.
4to. Sumas Restas
Problemas de adición y sustracción.
Planteamiento y resolución de problemas diversos, más complejos de suma y resta con números hasta de cinco cifras
40
III.2.- LIBROS DE TEXTO
En relación a este apartado, se identificaron las lecciones relacionadas con los
temas de suma y resta en cada uno de los libros de texto del segundo ciclo de
educación primaria y de las tres reformas, en el caso de los libros de 1960 fue
más fácil identificar las lecciones que abordaban ambos temas ya que las
lecciones tenían el nombre del tema que en ellas se trataba; de los de 1972,
esta selección fue menos fácil en el caso de los libros de 4º ya que las
lecciones no tenían título solo número, por tal motivo se recurrió al índice el
cual sí proporcionaba el nombre la de lección; y por último los libros de 1993
fueron los más complejos ya que ni en las lecciones ni en el índice se
especifica el tema que aborda cada una de las lecciones por lo que tuvimos
que leer las lecciones para saber dentro de cual se abordaban temas de suma
y resta.
Después de realizado lo anterior, se obtuvieron en orden los temas en el caso
de los 1960 y 1972 relacionados con la suma y la resta y en el de 1993 las
lecciones que hablan de ellas, tanto de tercero como de cuarto grado en las
tres reformas. En una tabla se menciona la estructura de cada uno de los libros
en donde se toman en cuenta los siguientes aspectos: el número de páginas y
temas o lecciones que lo conforman así como los temas o lecciones y páginas
que abordan en específico los temas de suma y resta.
Una vez concentrados esos datos en tablas, elaboramos gráficas de pastel en
las cuales tomamos en cuenta le relación existente entre el número total de
páginas de cada libro con relación al número de páginas que abordan los
temas de suma y resta, dichas gráficas se elaboraron para los libros de las tres
reformas y de los dos grados que se analizan en este trabajo de investigación.
De ellas se hacen comentarios.
Al igual que esas gráficas de pastel se elaboraron otras pero ahora tomando en
cuenta el número total de lecciones o temas que contenía el libro con relación
al número de lecciones o temas que abordaban la suma y la resta, de dichas
gráficas también se presentan conclusiones.
41
Después se realizaron dos tablas comparativas, una relacionada a la
frecuencia con que los temas de suma y resta se presentaban en determinada
cantidad de páginas de los libros de texto, comparando ambos grados en
relación con las tres reformas, y la otra tabla compara el total de lecciones o
temas que abordan la suma y resta igual en relación con los dos grados a las
tres reformas.
En relación al tratamiento de la suma y la resta en los libros de texto, esto se
analizó tomando como base los métodos propuestos por el autor Bernardo
Gómez, citados en el capitulo anterior; se realizó una tabla donde se señalan
qué métodos se empleaban para el tratamiento de la suma y resta, se resaltó
con otro color el método que más destacaba ya que se detecto que para el
tratamiento de ambas operaciones dentro de los libros no existe un método
puro pero si un método dominante. Los autores de los libros de texto gratuitos
usan diversos métodos pero en las actividades, en el tipo de problemas o en
las secuencias, sí se destaca uno de los métodos en cada reforma de los libros
de texto para el tratamiento de la suma y la resta.
III.2.1.- Temas de suma y resta en los libros de texto de 3º y 4º grados
Este apartado pretende dar a conocer los contenidos de suma y resta
abordados en los libros de texto de las reformas educativas de 1960, 1972 y
1993; para ello se elaboraron dos tablas para cada una de las reformas. En la
primera tabla se mencionan los temas de suma y resta abordados en cada uno
de los libros de texto tanto de las tres reformas como de los dos grados
educativos que se trabajan dentro de esta investigación que son 3º y 4º. En la
segunda tabla se muestra el total de lecciones y número de páginas que
contiene cada libro y en particular el total de lecciones y páginas destinadas al
estudio de los temas de suma y resta.
42
III.2.1.1.- Libros de texto de aritmética y geometría de 1960
Dentro de los libros de texto de 1960 los temas de suma y resta están
registrados en la siguiente tabla de acuerdo al orden en el que se muestran en
los libros:
TERCER GRADO CUARTO GRADO
Suma
Resta
Suma y resta de números decimales
Adición o Suma
Adición y Comparación
Sustracción o Resta
Comprobación de la Sustracción
Otro caso de Sustracción
Adición de números decimales
Sustracción de números decimales
A partir de la tabla anterior y análisis de los datos podemos decir que los
temas de suma y resta son vistos de una manera más compleja en cuarto
grado donde se manejan más cantidades de subtemas referentes a ambos
temas y se introducen los contenidos de comprobación de la adición y
sustracción.
Estructura de los libros de texto de 1960
Ambos libros presentan diferente organización ya que el de tercer grado está
conformado por lecciones y el de cuarto año solo está estructurado por el
nombre de los temas
La siguiente tabla muestra el total de lecciones para el caso de tercer grado y el
número total de temas mencionados en el libro de cuarto grado, otros
elementos de la tabla serán: el número de páginas de cada libro así como las
páginas dedicadas exclusivamente a los temas de suma y resta.
43
TERCER GRADO CUARTO GRADO
Total de lecciones: 22
Total de páginas: 115
Páginas relacionadas con los temas de
suma y resta: 12
Lecciones de suma y resta: 3
Lección IX Suma
Lección X Resta
Lección XV Suma y resta de
fracciones
Total de temas: 70
Total de páginas: 115
Páginas relacionadas con los temas de suma y
resta: 9
Temas de suma y resta: 7
Adición o Suma pág. 21 y 22
Adición y Comparación pág. 23
Sustracción o Resta pág. 24
Comprobación de la Sustracción pág. 25
Otro caso de Sustracción pág. 26
Adición de números decimales pág. 61 y 62
Sustracción de números decimales pág.62
y 63
Con los datos de esta tabla se realizó una gráfica tomando la relación del
número de páginas totales de cada libro con el número de páginas destinadas
exclusivamente a los temas de suma y resta de lo cual se obtienen los
siguientes resultados. Para el tercer grado: 10.44% y en cuarto grado: 7. 83 %
10%
90%
PÁGINAS DEL LIBRO DE 3º
dedicados al tema de suma y resta
dedicados a otros temas
44
8%
92%
PÁGINAS DEL LIBRO DE 4º
dedicados al tema de suma y resta
dedicados a otros temas
Las gráficas muestran que en los libros de texto gratuito de tercer grado hay
más cantidad de páginas que abordan los temas de suma y resta que en el de
cuarto grado. La tabla anterior a esta grafica nos señala que en cuarto grado
hay un número mayor de temas que abarcan tanto al tema de suma como al de
la resta.
En los libros de tercer año ocupan más cantidad de hojas para cada una de las
lecciones que abordan los temas de suma y resta porque a los alumnos les
explican las partes de la suma y la resta, para qué sirven cada una de estas
operaciones, así como la forma de resolverlas de manera horizontal y vertical,
mientras que en cuarto grado por cada tema de suma y resta solo redactan un
problema y la forma en cómo se resolvería utilizando una de estas operaciones
básicas.
Retomando de la misma tabla anterior el total de lecciones o temas que se
encuentran en los libros de texto relacionados con los temas de suma y resta
se obtuvieron los siguientes resultados, en tercer grado: 13.63% y en cuarto
grado: 10%
45
14%
86%
PORCENTAJE DE LECCIONES EN EL LIBRO DE 3º
dedicados al tema de suma y resta
dedicados a otros temas
10%
90%
PORCENTAJE DE TEMAS EN EL LIBRO DE 4º
dedicados al tema de suma y resta
dedicados a otros temas
Las gráficas anteriores muestran el porcentaje diferencial entre ambos libros
aunque este porcentaje no es muy notorio si implica que en el cuaderno de
trabajo de 3º haya una mayor cantidad de ejercicios sobre estos temas para
que el alumno desarrolle a diferencia del cuaderno de trabajo de 4º.
46
III.2.1.2.- Libros de texto de matemáticas 1972
Dentro de los libros de texto de 1972 los temas de suma y resta están
registrados en la siguiente tabla de acuerdo al orden en el que se muestran en
los libros:
TERCER GRADO CUARTO GRADO
Repaso de la Suma
Suma y Resta con la recta
numérica
Resta
Algoritmo de la Suma
Algoritmo de la resta
Aplicaciones de la suma y la resta
Lección 4. Suma y Resta
Lección 22. Problemas de suma y
resta
Lección 61. Sumas con números
decimales
Estructura de los libros de texto de 1972
Ambos libros, tanto el de tercero como el de cuarto grado de este periodo, se
encuentran estructurados de la misma forma que es por lecciones.
A continuación presentamos una tabla en donde fue registrada la cantidad de
lecciones por cada grado que abordan los temas de suma y resta en los libros
de texto, el número de páginas que tratan ambos temas, el número total de
lecciones de cada libro, así como el número total de páginas que contiene cada
libro.
47
TERCER GRADO CUARTO GRADO
Total de lecciones: 106 Total de páginas: 293 Páginas relacionadas con los temas de suma y resta: 20 Lecciones de suma y resta: 6
Lección 10. Repaso de la Suma Lección 11. Suma y Resta con la
recta numérica Lección 12. Resta Lección 16. Algoritmo de la Suma Lección 17. Algoritmo de la Resta Lección 18. Aplicación de la Suma y
de la Resta
Total de lecciones: 92 Total de páginas: 255 Páginas relacionadas con los temas de suma y resta: 7 Lecciones de suma y resta: 3
Lección 4. Suma y Resta Lección 22. Problemas de suma y resta Lección 61. Sumas con números
decimales
La tabla nos muestra que en tercer grado hay un mayor número de lecciones
destinadas a los temas de suma y resta en comparación con cuarto grado en
donde las lecciones dedicadas al estudio de estos temas son escasas.
Con ayuda de la tabla anterior a continuación mostraremos una gráfica en
donde se muestra la frecuencia del número de páginas destinadas a los temas
de suma y resta con relación al número de páginas que contiene cada uno de
los libros de texto. Los resultados fueron los siguientes, en tercer grado: 6.83 %
y en cuarto grado: 2.75 %
7%
93%
PORCENTAJE DE PÁGINAS EN EL LIBRO DE 3º
dedicados al tema de suma y resta
dedicados a otros temas
48
3%
97%
PORCENTAJE DE PÁGINAS EN EL LIBRO DE 4º
dedicados al tema de suma y resta
dedicados a otros temas
Con el apoyo de esta gráfica podemos observar que en tercer grado hay mas
paginas destinadas al estudio de la suma y la resta, mientras que en cuarto
grado no se tratan estos temas ni la mitad de lo que se abordan en los libros
de tercer grado.
6%
94%
PORCENTAJE DE LECCIONES EN EL LIBRO DE 3º
dedicados al tema de suma y resta
dedicados a otros temas
3%
97%
PORCENTAJE DE LECCIONES EN EL LIBRO DE 4º
dedicados al tema de suma y resta
dedicados a otros temas
Con estas gráficas podemos observar que la cantidad de lecciones destinadas
a ambos temas es el doble en tercer grado que en cuarto. Además en ambos
grados el número de lecciones destinadas a los temas de suma y resta son
mínimas comparadas con el total de lecciones que integran cada libro.
49
III.2.1.3.- Libros de texto de matemáticas 1993
En los libros de texto gratuito de tercero y cuarto grado, las lecciones que
abordan los temas de suma y resta fueron registradas en la siguiente tabla de
acuerdo al orden en el que se presentan en los libros:
TERCER GRADO CUARTO GRADO
Juguemos a los dados
¿Quién ganó?
Colocamos papel picado
Retrocedemos
El banquito
Reunimos dinero para ir al
zoológico
La enciclopedia
En la tienda del zoológico
Los animales de la granja
Cuentas y cambios
¡Otra vez el banquito!
Cambiamos billetes
Cambios y prestamos
Grandes y pequeños
La rueda de la fortuna
Países, deportes y medallas
El catálogo
La máquina de escribir
Algo sobre animales
El material escolar
Frutas y verduras
Observando la tabla anterior podemos decir que en tercer grado es en donde
hay un número mayor de lecciones referentes a los temas de suma y resta ya
que en los primeros cuatro bloques hay por lo menos tres lecciones de ambos
temas.
Estructura de los libros de texto de 1993
Los libros de texto gratuitos de 1993 están conformados por 5 bloques y dentro
de cada uno de estos se encuentra un cierto número de lecciones. Cada una
de estas lecciones aborda 2 páginas del libro.
50
A continuación presentamos una tabla en donde fueron registradas la cantidad
de lecciones por cada grado que abordan los temas de suma y resta en los
libros de texto, el número de páginas que tratan ambos temas, el número total
de lecciones de cada libro, así como, el número total de páginas que contiene
cada libro.
TERCER GRADO CUARTO GRADO
Total de lecciones: 89
Total de páginas: 207
Paginas relacionadas con los temas de suma
y resta: 28
Lecciones de suma y resta: 14
BLOQUE 1
Lección 5. Juguemos a los dados
Lección 10. ¿Quién ganó?
Lección 15. Colocamos papel picado
Lección 18. Retrocedemos
BLOQUE 2
Lección 25. El banquito
Lección 26. Reunimos dinero para ir al
zoológico
Lección 27. La enciclopedia
Lección 30. En la tienda del zoológico
BLOQUE 3
Lección 41. Los animales de la granja
Lección 48. Cuentas y cambios
Lección 50. ¡Otra vez el banquito!
BLOQUE 4
Lección 59. Cambiamos billetes
Lección 61. Cambios y prestamos
Lección 63. Grandes y pequeños
Total de lecciones: 81
Total de páginas: 188
Paginas relacionadas con los temas de suma
y
resta: 12
Lecciones de suma y resta: 6
BLOQUE 1
Lección 5. La rueda de la fortuna
BLOQUE 2
Lección 5. Países, deportes y
medallas
BLOQUE 3
Lección 2. El catálogo
BLOQUE 4
Lección 11. La máquina de escribir
BLOQUE 5
Lección 1. Algo sobre animales
Lección 3. El material escolar
Lección 4. Frutas y verduras
Con esta tabla podemos observar que en tercer año hay mas lecciones
dedicadas al estudio de la suma y la resta aunque en el último bloque del libro
ya no se maneja ninguna lección sobre ambos temas, mientras que en cuarto
51
aunque son pocas las lecciones que abordan estos temas, estas si se
encuentras distribuidas a lo largo de los cinco bloques.
Con ayuda del número total de páginas de cada libro y el número de páginas
destinadas a los temas de suma y resta se elaboró la siguiente gráfica.
14%
86%
PORCENTAJE DE PÁGINAS EN EL LIBRO DE 3º
dedicados al tema de suma y resta
dedicados a otros temas
6%
94%
PORCENTAJE DE PÁGINAS EN EL LIBRO DE 4º
dedicados al tema de suma y resta
dedicados a otros temas
Como se puede observar en las gráficas anteriores y en la tabla, en tercer
grado hay más del doble de páginas destinadas a los temas de suma y resta
que en el libro de cuarto grado. No obstante como en los periodos anteriores
los porcentajes indican un mínimo de páginas que abordan ambos temas
dentro de los libros de texto.
De la tabla de la cual se obtuvieron los anteriores gráficos también se pudieron
extraer datos para graficar el porcentaje de lecciones dentro de los libros que
abordan ambos temas.
52
16%
84%
PORCENTAJE DE LECCIONES EN EL LIBRO DE 3º
dedicados al tema de suma y resta
dedicados a otros temas
7%
93%
PORCENTAJE DE LECCIONES EN EL LIBRO DE 4º
dedicados al tema de suma y resta
dedicados a otros temas
Estas gráficas muestran que el total de lecciones que abordan ambos temas
en cuarto grado es menos de la mitad de las lecciones vistas en tercer grado.
Dentro de estos libros de texto, comparados con los de las décadas anteriores,
existió un mayor número de lecciones que abordaban el tema de suma y resta,
aun con este número de lecciones incrementado en esta última década sigue
existiendo una cantidad mínima de lecciones dedicadas a ambos temas
comparadas con el total de lecciones que integran estos libros de texto.
53
COMPARACIÓN DE FRECUENCIAS DE TODOS LOS LIBROS DE TEXTO
TOTAL DE PÁGINAS DEDICADAS A LOS TEMAS DE SUMA Y RESTA
GRADO
1960 1972 1993
Pág. % Pág. % Pág. %
3º 12 10.44% 20 6.82% 28 13.52%
4º 9 7.83% 7 2.74% 12 6.38%
0
5
10
15
20
25
30
1960 1972 1993
3º
4º
Con la tabla y gráfica anteriores podemos decir que en tercer grado las páginas
que abordan los temas de suma y resta fueron aumentando en cada una de las
reformas proporcionalmente (8 páginas por reforma), ya que en 1960 se
contaban con 12 páginas, en 1972 eran 20 páginas y para 1993 ya eran 28
páginas las que abordaban ambos temas. Cabe destacar que el porcentaje de
los 70´s es menor al de las otras dos décadas debido a que el número de
páginas que conforman este libro es mayor lo cual no significa que ambos
temas se hayan visto en menor proporción.
54
En lo que respecta a cuarto grado las páginas que tratan ambos temas en las
tres reformas muestran una desproporción ya que en 1960 había 9 páginas
que abordaban los temas de suma y resta, en 1972 disminuyeron a solo 7
páginas, pero en 1993 hubo un mayor número de páginas comparando con las
dos reformas anteriores (12 páginas).
Es importante resaltar que el porcentaje destinado a 1993 es menor que el de
1960 porque el total de páginas que integran el libro de 1993 es mayor al total
de páginas de 1960 por tal motivo a pesar de ser menor su porcentaje el total
de lecciones que abordan ambos temas en el libro de los 1993 es mayor.
TOTAL DE LECCIONES O TEMAS DEDICADOS A LOS TEMAS DE SUMA Y RESTA
GRADO
1960 1972 1993
Pág. % Pág. % Pág. %
3º 3 13.63% 6 5.66% 14 15.73%
4º 7 10% 3 3.26% 6 7.4%
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1960 1972 1993
3º
4º
55
En la tabla y gráfica anteriores se puede observar que las lecciones que
abordan los temas de suma y resta en las tres reformas para el caso de tercer
grado van aumentando, es decir, en la reforma de 1960 solo tres lecciones
retomaban ambos temas, para 1972 el número de lecciones aumentó al doble
(seis lecciones) y en 1993 los libros de texto ya retomaban ambos temas en
catorce lecciones.
En el caso de cuarto grado se nota una diferencia en donde disminuyen las
lecciones de la primera reforma a la segunda y de la segunda a la tercera
aumentan pero quedan aún por debajo de las lecciones de 1960. En los libros
de texto de 1960 eran siete las lecciones, en 1972 solo tres lecciones
abordaban ambos temas y en 1993 seis lecciones.
III.2.2.- MÉTODO DE ENSEÑANZA DE LOS ALGORITMOS DE SUMA Y
RESTA EN LOS LIBROS DE TEXTO
La revisión de los libros de texto gratuito de los periodos y grados analizados en este
trabajo con respecto a los temas de suma y resta y tomando en consideración la
clasificación propuesta por Bernardo Gómez presentada en el Capítulo II de este
trabajo se pudo desarrollar la siguiente tabla:
MÉTODOS DE ENSEÑANZA EN EDUCACIÓN PRIMARIA
LIBROS REGLADO RAZONADO DE
REPETICIONESDE LAS
ACTIVIDADESINTUITIVO
ORIENTADO A LA
ESTRUCTURA
1960
1972
1993
Método más dominante dentro del libro de texto
56
Como se puede advertir en la tabla anterior podemos decir que no existe un
método puro en cada uno de los libros de texto, es decir, que dentro de cada
uno de ellos, existen distintos métodos para enseñar en este caso los temas de
suma y resta.
Los libros de texto de 1960 presentan el método reglado, ya que se introducen
los algoritmos sin hacer mención de argumentaciones o justificaciones; a través
del análisis de los libros de texto se observó que las reglas de los algoritmos se
introducían después de un problema en cuya solución se utilizaba una de las
operaciones, después de ese ejemplo se daba una breve definición sobre cada
uno de los algoritmos así como el nombre de cada una de sus partes
Dentro de los Cuadernos de trabajo de esta misma década también se puede
encontrar el método de repeticiones ya que se observa una gran cantidad de
ejercicios que el alumno tiene que resolver tanto de operaciones como de
problemas cuya solución requiere de dichas operaciones; se pretende destreza
para resolver las operaciones, lo que conduce a un aprendizaje mecánico.
El método razonado también se presenta en los libros de texto de esta década
ya que justifican ambos algoritmos mediante ejemplos.
Dentro de este libro de texto gratuito el método más dominante es el reglado
como se puede apreciar en las páginas siguientes las cuales fueron
escaneadas de dicho libro
57
58
59
En 1972 los libros presentaban el método de actividades, ya que dichas
actividades formaban parte del proceso de aprendizaje, pues se observa que
para los temas de suma y resta se plantean ejercicios y preguntas que van
guiando al alumno para llegar al conocimiento y que él pueda establecer la
conclusión de ambos temas.
En este libro también se presentaba el método intuitivo, ya que al alumno no
se le presentan los conocimientos matemáticos como algo establecido, sino
que en base a las actividades él debe adquirir los conocimientos en base al
descubrimiento.
Otro de los métodos que se encontraba en estos libros es el razonado ya que
los algoritmos se justifican mediante imágenes.
El método más dominante en estos libros de texto es el de las actividades
como se puede apreciar en las siguientes páginas seleccionadas de dichos
libros
60
Los libros de texto de 1993, presentan el método orientado a la estructura,
ya que los alumnos son los que construyen sus conocimientos en base a las
recomendaciones que se hacen dentro de las lecciones como el trabajo en
equipo, comprobar resultados, expresar sus respuestas, tomar en cuenta
errores, llevar a cabo trabajo de estimación; esto produce que el alumno sea
activo en el proceso de enseñanza- aprendizaje.
61
El método intuitivo también se encuentra dentro de estos libros de texto ya
que al alumno no se le presentan los conocimientos matemáticos como algo
establecido, sino que con base en las actividades que se proponen y que el
alumno desarrolla, él adquiero dichos conocimientos en base al descubrimiento
y en algunos casos en la manipulación de material concreto.
El método que mas predomina en estos libros es el orientado a la estructura,
ejemplo de esto son las siguientes paginas obtenidas de dichos libros.
62
Para concluir con base en nuestro análisis de los libros de texto de
matemáticas en relación con los temas de suma y resta, podemos decir que la
visión de las matemáticas ha cambiado a través del tiempo, porque en los años
sesenta su concepción era instrumental, algo que se debe aplicar directamente
a lo cotidiano o al trabajo, donde la enseñanza se basa en la destreza para
resolver operaciones.
63
En los años setenta su concepción pretende ser más formativa que
instrumental, se deja a un lado la destreza y se pretende una enseñanza
guiada para lograr la construcción del conocimiento. En los años noventa las
matemáticas son formativas porque el alumno debe construir sus
conocimientos a través del diálogo, confrontar ideas e interactuar. Dichos
cambios se ven claramente ejemplificados en la forma en cómo se abordan
ambos temas en los libros de texto de las tres décadas estudiadas dentro de
este trabajo de investigación.
Así como existió un cambio en la visión de las matemáticas también hubo
transformaciones en los roles que desempeñan el profesor y el alumno en el
proceso enseñanza- aprendizaje ya que en los años sesenta el papel del
profesor es el de transmitir los conocimientos mientras que el alumno es mero
receptor. En los años setenta el profesor es guía y el alumno es activo y
adquiere los conocimientos bajo el descubrimiento. En los años noventa el
profesor tiene varios papeles como el de coordinador de las actividades,
orientador en las dificultades, como fuente de información y apoyo adicional
cuando sea necesario, el alumno debe construir sus conocimientos mediante
factores como: conocimientos previos, diálogo, trabajo en equipo, diversos
materiales, etc.
Con relación al tratamiento del algoritmo se observa que se pretende el avance
en los libros de texto ya que se intenta dejar el método reglado que es el más
dominante de 1960 y el método de las actividades de 1972, para llegar al
método orientado a la estructura en 1993.
III.3.- PROBLEMAS ADITIVOS.
Con respecto a este tema lo que se investigó fue la tipología que proponen
diversos autores sobre los problemas aditivos en relación a las operaciones de
suma y resta, se menciona la tipología que cada uno de ellos propone y se hizo
una tabla comparativa en donde se observó que muchos de los tipos de
problemas que proponen los autores tienen relación con las tipologías de otros,
de estas clasificaciones seleccionamos la de Blanco ya que él propone una
64
división de los tipos de problemas más detallada pues subdivide a cada uno de
los tipos de problemas en subtipos, esta clasificación nos ayudo a ordenar los
problemas encontrados en los libros de texto de forma mas detallada.
Después de los libros de texto gratuitos de las tres reformas estudiadas dentro
de este trabajo, de 3º y 4º año se extrajeron todos los problemas que para
solucionarlos se requiere de una suma o una resta ya que estos son los temas
que se abordan en este trabajo, se realizó una lista de ellos y con base en la
lista se fue clasificando cada uno de acuerdo a la tipología de Blanco, dicha
información fue almacenada en una tabla comparativa.
Cabe mencionar que con los problemas manejados en los libros de texto de
1960 y 1972 se observó que en el desarrollo de los temas, se manejaba la
mayoría de las veces el mismo tipo de problema, rara era la ocasión que
pudieran existir dos tipos de problemas dentro de cada tema en el libro de
texto. En cambio, en el caso de los libros de texto de 1993 dentro de una
misma lección se podía encontrar una variedad de tipos y subtipos de
problemas. Un ejemplo de lo anterior se encuentra presente en la siguiente
lección del libro de matemáticas de tercer grado de 1993:
65
De la lección anterior algunos de los problemas que se presentan podemos
clasificarlos de la siguiente manera:
CAMBIO: Adentro del establo hay 16 vacas ¿Cuántos hay en total? (6 afuera)
COMPARACIÓN: El tío de Paco dijo que le gustaría tener más conejos
¿Cuántos conejos deberá comprar para completar 26? (tiene 12)
Como se mencionó anteriormente los problemas encontrados en los libros de
texto fueron clasificados de acuerdo a la tipología de Lorenzo Blanco y los
resultados obtenidos de dicha clasificación fueron almacenados en tablas con
la finalidad de comparar los tipos y subtipos de problemas que se manejaban y
la cantidad de ellos de acuerdo a cada una de las reformas así como el grado,
la última tabla presentada respecto al tema de los problemas aditivos es la que
contiene la secuencia de cómo fueron apareciendo los distintos tipos de
problemas en cada uno de los libros de las tres reformas analizadas de todas
las tablas se obtuvieron determinados resultados. Todo lo anterior ayudó a
alcanzar los objetivos de esta tesina.
III.3.1.- CLASIFICACIÒN DE PROBLEMAS ADITIVOS
La clasificación propuesta por Bermejo18 es manejada en los cursos de
actualización docente, pero la que se utilizará en este trabajo es la de Blanco19
que no es una negación o contraposición a la clasificación de Bermejo pero
consideramos que se encuentra más detallada y con mas subtipos de
problemas lo cual nos permitirá elaborar una clasificación de los problemas
propuestos en los libros de texto de las reformas de 1960, 1972 y 1993 de una
manera más profunda. A continuación se muestra una tabla de los tipos y
subtipos de dicha clasificación desarrollada ya en el Capítulo II de esta tesina:
18 Bermejo Vicente.El niño y la aritmética. Instrucción y construcción de las primeras nociones artméticas. La operación de sumar. Barcelona: Paidós educador, 1990 19
Blanco N. Lorenzo J. y Manuel A. Calderón Trujillo. Los problemas de sumar y restar. Badajoz: Ed.Servicio de Publicaciones 1994.
66
En las siguientes tablas se concentraron los problemas aditivos relacionados
con los temas de suma y resta encontrados en los libros de texto gratuito de las
tres décadas y los dos grados analizados en este trabajo de acuerdo a la
clasificación de Blanco.
NÚMERO DE SUBTIPOS DE PROBLEMAS DE 3ERO.
TIPO DE PROBLEMA
SUBTIPO DE PROBLEMA
1960 1972 1993
CAMBIO
1 2 0 13
2 6 1 10
3 0 0 3
COMBINACIÓN
7 9 6 3
8 0 0 0
COMPARACIÓN
9 2 0 16
10 2 0 3
IGUALACIÓN
15 0 4 0
16 6 0 3
DOS ETAPAS
(+,+) 0 3 2
(+,-) 2 3 10
(-,+) 0 3 0
(-,-) 0 2 2
TIPO SUBTIPOS
CAMBIO 1, 2, 3, 4, 5 y 6
COMBINACIÓN 7 y 8
COMPARACIÓN 9, 10, 11, 12, 13 y 14
IGUALACIÓN 15, 16, 17, 18, 19 y 20
DOS ETAPAS (+,+) (+,-) (-,+) (-,-)
67
En las tablas anteriores podemos observar que no todos los subtipos de
problemas son empleados en los libros de texto de las tres reformas estudiadas
en este trabajo de investigación, solo uno o dos subtipos de problemas son los
que se manejan. La mayoría de los tipos de problemas son abordados en los
tres libros de texto.
En el caso del libro de 1960, el tipo de problema que más se presenta es el de
COMBINACIÒN subtipo 7, y los problemas que menos hay son los de DOS
ETAPAS, a diferencia de los problemas encontrados en este libro, en el de
1972 el tipo de problema que más predomina es el de DOS ETAPAS
encontrando un par o más de cada uno de sus subtipos, el tipo de problema
que no es abordado en este libro es el de COMPARACIÓN.
En el libro de texto de 1993 la mayoría de los problemas son de CAMBIO, los
menos presentes dentro de este libro son los de COMBINACIÓN e
IGUALACIÓN, en este libro existe una mayor cantidad de problemas de todos
los tipos de problemas aunque no de todos los subtipos.
NÚMERO DE PROBLEMAS DE 3ERO.
TIPO DE PROBLEMA
1960 1972 1993
CAMBIO 8 1 26
COMBINACIÒN 9 6 3
COMPARACIÓN 4 0 19
IGUALACIÒN 6 4 3
DOS ETAPAS 2 11 14
TOTAL 29 22 65
68
NÚMERO DE PROBLEMAS DE 4TO.
TIPO DE PROBLEMA
1960 1972 1993
CAMBIO 0 13
COMBINACIÒN 0 0 0
COMPARACIÓN 0 0 3
IGUALACIÒN 0 1 3
DOS ETAPAS 3 10 5
Considerando las tablas anteriores podemos decir que en los libros de 4º de
las tres reformas no se manejaban todos los tipos de problemas como los de
COMBINACIÓN de los cuales en ninguna de ellas se introduce por lo menos
uno de este tipo.
NÚMERO DE SUBTIPOS DE PROBLEMAS DE 4TO.
TIPO DE PROBLEMA SUBTIPO DE PROBLEMA
1960 1972 1993
CAMBIO
1 0 1 9
2 0 0 4
COMBINACIÒN
7 0 0 0
8 0 0 0
COMPARACIÓN
9 0 0 0
10 0 0 3
IGUALACIÒN
15 0 1 0
16 0 0 3
DOS ETAPAS
(+,+) 0 5 0
(+,-) 3 4 1
(-,+) 0 1 0
(-,-) 0 0 4
TOTAL 3 12 24
69
Dentro de los libros de 4º del 1960 solo se maneja un tipo de problema y uno
solo de sus subtipos que es DOS ETAPAS subtipo (+,-) el planteamiento de
problemas en este libro es casi nula solo se plantean 3 problemas referentes a
los temas de suma y resta en todo el libro. Los libros de 1972 no manejan dos
tipos de problemas que son los de COMBINACIÒN e IGUALACIÓN, el mayor
número de problemas son de DOS ETAPAS subtipo (+,+) y de los tipos de
CAMBIO e IGUALACIÒN solo se presentan uno de uno de sus subtipos, la
cantidad de problemas planteados en este libro es escasa.
Los libros de 1993 presentan mayor cantidad de problemas y más variedad, el
tipo de problemas que más se plantea es de CAMBIO subtipo 1, y de los tipos
que menos se presentan son los de COMPARACIÓN e IGUALACIÓN.
Las secuencias en la presentación de los tipos de problemas en las tres
reformas también fue variando a continuación se presenta una tabla sobre qué
tipo de problemas se abordaban primero cuales después y así sucesivamente
en los libros de texto de las tres décadas estudiadas en este trabajo de
investigación.
SECUENCIAS DE TIPO DE PROBLEMA
1960 1972 1993
COMBINACIÓN COMBINACIÒN CAMBIO
COMPARACIÓN IGUALACIÒN IGUALACIÓN
IGUALACIÓN CAMBIO COMPARACIÓN
2 ETAPAS 2 ETAPAS COMBINACIÓN
CAMBIO 2 ETAPAS
Como se puede observar en la tabla anterior la presentación de los tipos de
problemas en los libros de texto de las tres décadas son diferentes en el caso
de las reformas de los 60´s y 70´s comienzan con los de combinación y en
los 90`s comienzan con los de cambio los cuales para distintos autores como
Carpenter y Moser 1982, 1983, 1984, Bermejo y Rodríguez, 1998, Vergnaud,
1981, 1982, etc. en sus trabajos mencionan que resultan más fáciles,
70
siguiéndoles en dificultad los de combinación y comparación, y por último los
de igualación los cuales resultan más complejos.
Algo muy importante que mencionan estos autores es que así como existe un
grado de dificultad entre cada uno de los tipos de problemas también lo hay en
cada uno de los subtipos ya que el éxito de los niños es mayor, cuando la
incógnita o término desconocido se sitúa en el resultado, independientemente
del tipo de problema planteado.
Consideramos que como dichas investigaciones se realizaron después de las
primeras 2 reformas de los libros de texto, por tal motivo la organización de la
tipología en ambos periodos no se ve jerarquizada por el grado de dificultad de
los tipos de problemas; sin embargo para la reforma de 1993 ya existían estos
trabajos y parece ser que no se tomaron en cuenta para el diseño de los
problemas dentro de los libros de texto ya que se menciona que los problemas
de igualación tienen un grado de dificultad más complejo que los de
combinación y comparación pero dentro de estos libros se presentan primero
algunos de igualación y después de comparación y combinación.
Los problemas de dos etapas no son manejados dentro de las clasificaciones
de los autores anteriormente mencionados por lo tanto dentro de sus trabajos
no se hace una investigación para saber que tan difícil es para los alumnos
contestar este tipo de problemas sin embargo, consideramos que su grado de
dificultad es mayor a los otros tipos de problemas ya que son más complejos.
71
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
En este apartado final se presentan los resultados relevantes en relación a los
objetivos de la tesina los cuales se estructuran de acuerdo con los siguientes
aspectos: Planes y Programas de estudio, el tratamiento del algoritmo de la
suma y la resta dentro de los libros de texto gratuitos así como la tipología de
problemas aditivos, específicamente de suma y resta, más frecuente dentro de
estos materiales, así como las recomendaciones para la elaboración de otros
trabajos de investigación relacionados con esté.
En relación a las tres reformas de Planes y Programas revisadas se obtuvo
que fueron diseñadas y organizadas de distinta forma de las que cabe
destacar la estructura, concepción de las matemáticas, rol del profesor y el
alumno, enfoque didáctico y contenido de matemáticas.
Con respecto a la estructura podemos decir que los planes y programas de
1960 estaban estructurados en seis áreas, cuya finalidad era formar hábitos y
destrezas, una de estas áreas era “Adquisición de los elementos de cultura”, la
cual se divide en dos subáreas llamadas Lengua Nacional y Aritmética y
Geometría.
En la reforma de 1972, el Plan y Programas de estudio conservan la estructura
de la áreas sólo que se ampliaron a siete áreas, una de ellas son las
matemáticas, integradas por seis aspectos entre los cuales se encuentra la
aritmética.
En lo que refiere al Plan y Programas de estudio de 1993, los contenidos están
estructurados en cinco asignaturas para primer ciclo, mientras que para el
segundo y tercer ciclo se consideran ocho asignaturas, entre las cuales se
encuentra la de matemáticas. Esta última se articula en base a seis ejes
temáticos, en los que se incluye el correspondiente a los números, sus
relaciones y operaciones.
72
En lo concerniente a la concepción de las matemáticas se encontró que para
1960 es considerada como una herramienta de tipo instrumental que sirve para
resolver problemas cuyo propósito es formar al individuo en el trabajo o en el
mercado laboral, además de que favorece el desarrollo de hábitos de orden,
disciplina y limpieza así como las facultades de la memoria, la destreza y la
precisión.
En 1972, las matemáticas son consideradas como un instrumento que sirve
para desarrollar habilidades tales como razonar, explicar y descubrir, por lo que
son un cuerpo estructurado de conocimientos y conceptos, los cuales se
adquieren mediante el descubrimiento. Mientras que en el Plan y Programas de
estudio de 1993 las matemáticas eran concebidas como una herramienta
funcional flexible ya que permite resolver problemas en diversos ámbitos y
pone en juego la reflexión, comprensión y explicación de lo que sucede en el
entorno.
Con respecto al enfoque didáctico de las matemáticas en 1960 y 1993 se basa
en la resolución de problemas pero concebidos los problemas de manera
distinta. En el caso concreto de 1960 se da prioridad a la ejercitación de
operaciones y en segundo plano queda la resolución de problemas, los cuales
se caracterizaban por ser rutinarios y similares a los ejemplos resueltos en el
mismo libro, además es importante mencionar que distaban de la realidad
práctica. A partir de 1993, la situación es la inversa ya que primero se introduce
el tema mediante una situación problema de la cual se desprenden preguntas,
con lo que se pretende que el alumno sea capaz de explicar y obtener
resultados, por lo que la ejercitación queda en último término; en esta reforma
el problema presentado no es similar a los planteados en el texto, el alumno no
cuenta con un método preestablecido para abordar el problema como pasa en
la reforma de 1960.
En relación a la reforma de 1972, la propuesta se basaba en el descubrimiento
de conceptos y algoritmos, para lo cual se planteaban preguntas cuya finalidad
era guiar al alumno en este proceso. La resolución de problemas dentro de
esta reforma se caracteriza por poner en juego el razonamiento y la creatividad
del alumno para resolverlos, pero no promovía el trabajo independiente.
73
Los cambios en los contenidos de las matemáticas para la reforma de 1960 no
tenían un orden o secuencia lógica y de hecho algunos contenidos eran de un
nivel avanzado tal como la conversión de unidades monetarias, por mencionar
un ejemplo, esto provoco que muchos de estos contenidos fueran excluidos
para la reforma de 1972, para esta reforma se agregaron contenidos como
probabilidad, lógica, teoría de los conjuntos y propiedades de las operaciones,
los cuales no estaban en 1960. Por otro lado en 1993 se excluyen la teoría de
conjuntos y la lógica, así como otros contenidos que por considerarlos
complejos y poco accesibles para los alumnos de educación primaria fueron
transferidos al nivel de educación secundaria.
Otros de los aspectos que fueron modificados es el rol que desempeña el
profesor y el alumno, en el caso de los 60’s el profesor es un transmisor de
conocimientos y por ende el alumno es un mero receptor; en los años 70’s, el
profesor asume el papel de guía ya que el alumno ser convierte en un ser
activo cuyo propósito es adquirir conocimientos bajo el principio del
descubrimiento. Ahora bien, para la reforma de 1993, se determina que el
profesor sea un coordinador, orientador y fuente de información por lo cual el
alumno continua siendo un ser activo capaz de construir sus conocimientos
desarrollando a la par sus habilidades de diálogo, trabajo en equipo y
manipulación de materiales.
En cuanto a la presentación de la suma y la resta en los libros de texto, para
1960 en los libros de tercer año se encuentran 12 páginas divididas a su vez
en tres lecciones relacionadas con los temas de suma y resta, en el libro de
cuarto grado, en nueve páginas se distribuyen siete temas de suma y resta. Se
puede decir que en el cuarto grado se tratan más temas relacionados con la
suma y la resta en menos páginas.
En el caso de 1972, el libro de tercer grado en 6 lecciones que abordan ambos
temas se encuentran distribuidas en 20 páginas, para el caso del libro de texto
de cuarto grado, dentro de 7 páginas divididas a su vez en 3 lecciones se
tratan ambos temas. Es notorio que en esta reforma, el libro de tercer grado
aborda más temas relacionados con la suma y resta que el libro de cuarto
74
El libro de texto de tercer grado de la reforma de 1993 contiene 14 lecciones
relacionadas con los temas de suma y resta distribuidas en 28 páginas,
mientras que el libro de cuarto grado aborda estos temas en 6 lecciones
distribuidas en 12 páginas. Se puede observar que en esta reforma, también el
libro de tercer grado dedica más lecciones al tema de suma y resta.
Es notorio que en 3º en 1972 y 1993, se trata un mayor número de temas a
diferencia que en 1960, y también la proporción de páginas de 1960 es inferior
a diferencia de 1972 y 1993.
Cabe señalar que lo anterior no es un indicador de la importancia que se le
proporciona a los temas ya que no se puede afirmar que si más páginas tratan
ambos temas eso significa que hay más lecciones o temas dentro de ellas, ya
que en algunos casos hay más temas en menos páginas.
También fue propósito de este trabajo el análisis de los métodos de enseñanza
de los algoritmos de suma y resta en los libros de texto del cual se desprenden
los siguientes resultados
De acuerdo al tratamiento del algoritmo de la suma y la resta, la clasificación
de los libros de texto no es pura ya que no presenta un solo método sino que
se encuentran presentes varios métodos. Sin embargo, se puede decir que en
cada reforma si hay un método predominante.
Los libros de texto de 1960 se guiaron bajo los siguientes tres métodos: el
método reglado, el método razonado y el método de repeticiones, de los cuales
el método razonado predominó. En los libros de 1972, los métodos que se
detectaron son el método razonado, el método de las actividades y el método
intuitivo, pero el predominante es el método de las actividades. Finalmente en
los libros de 1993, se identificaron solo dos métodos, el intuitivo y el orientado a
la estructura, en estos libros el método que predominó fue el segundo.
Con relación a la tipología de problemas aditivos, en este trabajo se consideró
la propuesta por Lorenzo Blanco (1994) cuyo análisis aplicando dicha tipología
arrojó los siguientes resultados; en 1960, el tipo de problemas que
predominaron tanto en el libro de texto como en el cuaderno de trabajo
correspondientes al tercer grado son de tipo de combinación; mientras que en
75
1972, el tipo de problemas más presentes pertenecen a la clasificación de dos
etapas; en 1993, en este mismo grado el tipo de problema que predomina es el
de cambio.
Para el cuarto grado, en 1960, los únicos problemas que se emplean son los de
dos etapas; en el libro de 1972, predominan los problemas de dos etapas; y
finalmente, en los libros de 1993 de este mismo grado, al igual en el los de
tercero, predominan los de cambio.
En relación a la secuencia de los tipos de problemas que se encontraron en los
libros de texto es distinta en las tres reformas, incluso en la propuesta realizada
en 1993 no se justifica el orden en que son presentados.
Consideramos que este trabajo trató dos temas específicos dentro de la gran
variedad de temas que integran la asignatura de matemáticas y haciéndolo aún
más particular seleccionando el segundo ciclo de educación primaria el cual lo
componen los grados de tercero y cuarto, esto se hizo con la finalidad de que el
tema que en este trabajo se desarrolló fuera más específico y por lo tanto más
profundo.
Lo que proporciona este trabajo es un panorama de cómo se ha llevado a cabo
la enseñanza de los temas de suma y resta en los libros de texto gratuitos de
matemáticas de educación primaria de las reformas de 1960, 1972 y 1993, así
como la tipología de problemas aditivos empleados dentro de los mismos libros
relacionados con ambos temas.
76
RECOMENDACIONES
El contenido de esta tesina podría ser retomado por un grupo de expertos que
validen y ubiquen los problemas aditivos de los libros de texto gratuitos de
acuerdo a la clasificación de Blanco así como ampliar la investigación
considerando desde el primero hasta el tercer ciclo de Educación Primaria.
Consideramos que esta tesina puede ser de utilidad ya que proporciona
información acerca de la cantidad y variedad de problemas aditivos abordados
dentro de los libros de texto gratuitos en el segundo ciclo de Educación
Primaria; la información que se presenta creemos que genera una serie de
cuestionamientos y de hipótesis para investigaciones o trabajos de campo
(experiencias áulicas) respecto a la pertinencia sobre la variedad, cantidad y
secuencia de cada uno de los tipos de problemas las cuales deriven en
propuestas didácticas.
Un tema de investigación que no se abordo en este trabajo y que consideramos
relevante es el análisis de las estrategias de solución de los tipos de problemas
aditivos propuestas en los libros de texto que podría derivar en el diseño de
propuestas didácticas de intervención para resolver los diferentes tipos de
problemas y así orientar a los alumnos a la construcción de diversas
estrategias para resolver una mayor diversidad de problemas de tipo aditivo.
77
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78
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Mi libro de Tercer año. Aritmética y Geometría. Estudio de la Naturaleza, 5ª ed.
México: CNGLT, 1964.
Mi libro de Cuarto año. Aritmética y Geometría. Estudio de la Naturaleza, 5ª ed.
México: CNGLT, 1964.
Mi cuaderno de trabajo de Tercer año. Aritmética y Geometría. Estudio de la
Naturaleza, 5ª ed. México: CNGLT, 1963.
Mi cuaderno de trabajo de Cuarto año. Aritmética y Geometría. Estudio de la
Naturaleza, 5ª ed. México: CNGLT, 1963.
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Matemáticas. Cuarto grado. México: CNLTG, 1998.
79
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http://www.observatorio.org/colaboraciones/vazquez.html
http://www.sinewton.org/numeros/numeros/43-44/Articulo14.pdf (Bernardo Gómez)
80
81
A continuación enlistaremos los problemas aditivos encontrados en los libros de texto gratuitos de tercero y cuarto grado en los tres periodos de objeto de estudio en este trabajo recepcional.
PROBLEMAS DEL CUADERNO DE TRABAJO DE 3º DEL AÑO 1960
Lección IX
1. Jorge tiene tres bolsas de canicas. En una bolsa hay 36, en otra 26 y en la otra
17. ¿Cuántas canicas tiene en total? (combinación subtipo 7)
2. Carolina rompió sus dos alcancías. En una tenía 64 centavos, y en la otra, 33
centavos. ¿Cuántos tenía en las dos alcancías? (combinación subtipo 7)
3. Juanito tiene un puesto de fruta. En un racimo de plátanos hay 37 y en otro 16
¿Cuántos plátanos suman en total? (combinación subtipo 7)
4. Para ir de excursión los niños de la escuela tomaron cuatro camiones; en uno
iban 85 niños, en otro 92, en otro 74 y en otro 87. ¿Cuántos niños fueron a la
excursión? (combinación subtipo 7)
5. Unos niños fueron de visita y llevaron de regalo cajas de caramelo. En una
había 343, en otra 218 y en otra 508. ¿Cuántos caramelos había en las cajas?
(combinación subtipo 7)
6. Para adornar la casa Juanito trajo 38 farolitos verdes, 39 azules y 48 rojos
¿Cuántos faroles hay en total? (combinación subtipo 7)
7. Para las posadas, Carmela compró 32 canastitas; Luisa 64 y Hermelinda 62.
¿Cuántas canastas se reunieron? (combinación subtipo 7)
8. También llevaron luces de Bengala: Juan 36, Luis 62 y Pablo 64 ¿Cuántas
luces había? (combinación subtipo 7)
9. A la posada llegaron 34 convidados. En la casa vivían 7 personas ¿Cuántas
personas eran en total? (cambio- unión subtipo 1)
Lección X
10. Carmelita tenía 9 años y su mamá 35 ¿Cuántos años es mayor su mamá?
(comparación subtipo 9)
11. En agosto de 1967 Jorge cumple 11 años. ¿En qué año nació? (cambio-
separación subtipo 2)
12. El Popocatépetl tiene 5450 metros de altura y el Iztaccíhuatl 5280 ¿Cuántos
metros más tiene el Popocatépetl? (comparación subtipo 10)
82
13. Un edificio mide 51 metros de alto y otro 37 metros ¿Cuántos metros hay de
diferencia? (comparación subtipo 10)
14. La gran Tenochtitlán fue fundada en el año de 1325 ¿Cuántos años han
pasado? (igualación subtipo 16)
15. La caída de la gran Tenochtitlán fue en el año de 1521. Al caer ¿Cuántos años
tenia de fundada? (igualación subtipo 16)
16. Colón llegó a América en 1492 ¿Cuántos años hace? (igualación subtipo 16)
17. La carretera México- Juárez tiene 2028 kilómetros. Si nos detenemos a cargar
gasolina en el kilómetro 989, ¿Cuántos kilómetros nos faltan para llegar al
final? (cambio- separación subtipo 2)
18. Una bicicleta nueva vale $875 y una motocicleta $5000 ¿Cuanto menos cuesta
la bicicleta? (comparación subtipo 9)
19. El pico más alto del mundo mide 8848 metros de altura y el más alto de la
República Mexicana mide 5510 metros ¿Cuántos metros menos tiene este
último? (igualación subtipo 16)
20. Tengo 102 corcholatas y quiero la muñeca (150) y la pelota (90) ¿Cuántas
corcholatas me faltan? (dos etapas (+,-) )
21. Miguel quiere el carrito (125) y el avión (200), pero solo tiene 98 corcholatas
¿Cuántas le faltan? (dos etapas (+,-) )
22. Cambie mis corcholatas por una lavadora (134). Tenía 200 corcholatas.
¿Cuántas me quedan? (cambio- separación subtipo 2)
23. Teresita tiene 39 corcholatas y quiere una estufa (75). ¿Cuántas corcholatas
más necesita? (igualación subtipo 16)
24. Lupe quiere una muñeca (150), una casita (350) y una estufa (75) ¿Cuántas
corcholatas necesita? (combinación subtipo 7)
25. Para llenar un álbum se necesitan 182 estampas. Ya tengo 76 ¿Cuántas me
faltan? (igualación subtipo 16)
26. Un radio costaba $420. Le rebajaron $48 ¿Cuánto cuesta ahora? (cambio-
separación subtipo 2)
27. En mi escuela hay 630 alumnas. Hoy asistimos 542 ¿Cuántas alumnas
faltaron? (cambio- separación subtipo 2)
28. Compre una bicicleta usada en $375. Gaste en compostura $89 ¿Cuánto me
costo la bicicleta? (cambio- unión subtipo 1)
29. Se sembraron 364 lechugas. Se helaron 24 ¿Cuántas plantas se lograron?
(cambio- separación subtipo 2)
83
PROBLEMAS DEL CUADERNO DE TRABAJO DE 4º DEL AÑO 1960
ADICIÒN Y SUSTRACCIÒN
1. Roberto tenía 32 canicas, Juan 25 más que Roberto y Federico 12 menos que
Juan. ¿Cuántas canicas tienen en total? (dos etapas (+,-) )
2. María compro una pluma fuente de $30, un portafolio de $40, 5 cuadernos de
$3 cada uno y 4 libretas de $2 cada una ¿Cuánto le dieron de cambio si pago
con un billete de $100? (dos etapas (+,-) )
3. La mamá de Pepe le dio $10 para que comprara 6 estampillas de $0.50, 10 de
10 centavos y 10 de $0.30. Le trajo de cambio $3 ¿Hizo bien su compra? (dos
etapas (+,-) )
PROBLEMAS DEL LIBRO DE 3º DEL AÑO 1972
Lección 10
1. ¿Cuántos lápices tiene Rosa (6) y Jorge (5) juntos? (combinación subtipo 7)
2. A Eva y a Lupe les tocó llevar las tortas para la excursión. Eva llevo 9 tortas y
Lupe llevó 11 ¿Cuántas tortas llevaron entre las dos? (combinación subtipo
7)
3. Laura y Pedro juntaron sus canicas. Laura tenía 23 canicas y Pedro 15
¿Cuántas canicas tienen Laura y Pedro? (combinación subtipo 7)
Lección 11
4. Verónica va a lavar sus 3 pañuelos y los 6 calcetines de su hermano ¿Cuántas
prendas va a lavar? (combinación subtipo 7)
5. Florencio tiene 5 lápices azules y 3 rojos ¿Cuántos lápices tiene Florencio?
(combinación subtipo 7)
6. Para ir de la ciudad de México a Toluca tardo 1 hora; de Toluca a Querétaro 3
horas ¿Cuántas horas tardo en total? (combinación subtipo 7)
7. Javier tenía una caja de 8 colores, Gustavo le regalo otra caja igual y 3 colores
sueltos ¿Cuántos colores tenia al final Javier? (dos etapas (+,+) )
84
Lección 12
8. Gilberto tiene 9 canicas; quiere tener 16 ¿Cuántas canicas más necesita?
(igualación subtipo 15)
9. La mamá de León tiene un pastel en el horno. El pastel tiene que estar 35
minutos en el horno. Ahora lleva 20 minutos ¿Cuántos minutos le faltan?
(igualación subtipo 15)
10. Amparo fue a la tienda y compro varias cosas que le costaron 11 pesos, pagó
con un billete de 20 pesos ¿Cuánto le tenían que dar de cambio? (cambio-
separación subtipo 2)
Lección 16
11. Mario tiene 53 canicas, Marcela tiene 4 canicas más que Mario y Ricardo 7
más que Mario ¿Cuántas canicas tienen entre los 3? (dos etapas (+,+) )
12. Yolanda tiene 8 lápices más que Saúl, que tiene 17¿Cuántos lápices tiene
Yolanda?
¿Cuántos lápices tienen entre Yolanda y Saúl? (dos etapas (+,+) )
Lección 17
13. Un camión sale de México rumbo a Uruapan. El recorrido es de 472km. Si lleva
recorridos 283 km. ¿Cuántos km. le faltan para llegar a Uruapan? (igualación
subtipo 15)
14. Ponciano ganó la semana pasada 250 pesos. De ese dinero tomó 125 para la
comida y 35 para la luz. ¿Cuánto dinero le quedo a Ponciano? (dos etapas (-,-) )
Lección 18
15. José tenía 23 lápices; perdió 7, pero su papá le regalo 48 para su cumpleaños
¿Cuántos lápices tiene ahora? (dos etapas (-,+) )
16. En un camión iban 53 personas. Al llegar a Toluca, se bajaron 17 personas y
subieron 9 ¿Cuantos pasajeros quedaron en el camión? (dos etapas (-,+) )
17. Doña Concha mando a sus cuatro hijas a diferentes mandados. A Luis le dio
un billete de cinco pesos para que comprara dos pesos de tortillas, a Carlos un
billete de diez pesos para comprar tres pesos de jitomate, a Eugenio diez
pesos para comprar 4 pesos de papas y a Adalberto un billete de 50 pesos
85
para comprar trece pesos de carne. ¿Cuánto le dieron de cambio entre los
cuatro? (dos etapas (+,-) )
18. Ernesto trabaja en un taller. Ahí caben 37 coches. Ayer había 13 y hoy
entraron 8. ¿Cuántos coches más pueden recibir? (dos etapas (-,-) )
19. Alfonso contó los pupitres de su clase. En la primera fila conto 9 pupitres. Si en
la segunda fila encontró que había 2 pupitres menos que en la primera,
¿Cuántos pupitres hay en las dos filas? (dos etapas (-,+) )
20. Cristina tiene un álbum para 75 fotografías. Si ha pegado 42 fotografías,
¿Cuántas fotografías le faltan para llenar su álbum? (igualación subtipo 15)
21. Encuentra dos números que sumen 8 y cuya diferencia es 4 (dos etapas (+,-) )
22. Alicia compró 24 globos. María tenía 48 globos. Iban a hacer una fiesta juntas y
necesitaban 146 globos ¿Cuántos más compraron? (dos etapas (+,-) )
PROBLEMAS DEL LIBRO DE 4º DEL AÑO 1972
Lección 4
1. Mi abuelita tiene 2 hijos. Uno de ellos es mi papá, el otro es mi tío Alberto que
tiene 6 hijos. Yo tengo 3 hermanas ¿Cuántos nietos tiene mi abuelita? (dos
etapas (+,+) )
2. Mi papá llega hoy de un viaje a las 12 de la noche; estoy comiendo y son las 2
de la tarde. ¿Cuántas horas debo esperar a mi papá? (igualación subtipo 15)
3. En el pueblo van a instalar un lavadero público. Los costos son: $475 de los
fregaderos, $260 de tuberías, $176 del tinaco, $530 de piso y techado, $ 1150
de mano de obra. ¿Cuál es el costo total del lavadero? (cambio- unión
subtipo 1)
4. Para pagar el lavadero del problema anterior, el municipio pone $1000 y el
pueblo dispone de $500 ¿Cuánto dinero falta? (dos etapas (+,-) )
86
5. Un autobús lleva 42 pasajeros; en la primera parada bajan 8 y suben 12, en la
siguiente bajan 10 y suben 3 ¿Cuantos pasajeros van ahora en el autobús?
(dos etapas (-,+) )
6. Un caracol está al fondo de un pozo de 5m de profundidad; si cada día sube
3m, y durante la noche baja 2m, ¿en cuántos días puede salir del pozo? (dos
etapas (+,-) )
Lección 22
7. En un grupo de cuarto grado se recibieron una caja de libros de Español, otra
de Matemáticas, otra de Ciencias Naturales y otra de Ciencias Sociales. Cada
caja tiene 50 libros. Si en el grupo hay 45 alumnos ¿Cuántos libros deben
regresarse? (dos etapas (+,-) )
8. Tú respiras un promedio de 18 veces cada minuto ¿Aproximadamente cuántas
veces respiras durante un día? (dos etapas (+,+) )
9. En un certamen de oratoria el tercer premio recibe $570, el segundo recibe tres
veces lo que el tercero, y el primero cinco veces lo que el segundo ¿Cuánto
recibe cada premio? (dos etapas (+,+) )
10. En su bicicleta nueva, Carlos paseó el primer día 27km, el segundo día 5 km
más que el primero, el tercer día 12km menos que el segundo, el cuarto día
recorrió 18 km y el quinto día 7 km más que el tercero ¿Cuántos kilómetros
recorrió en total? (dos etapas (+,+) )
11. Como premio a su buen comportamiento e3n la escuela, los padres de Juan
José le permitieron ir a pasear a Saltillo. El primer día gasto $154, el segundo
$287 y el tercero $581. Si regreso a su casa con $948 ¿Cuánto dinero le
habían dado sus padres? (dos etapas (+,+) )
12. En un taller trabajan cinco obreros. Uno gana $64 diarios, otro $37 diario, otro
$53 diario, otro $42 diario, y entre los cinco $275 diarios ¿Cuánto gana el
quinto obrero? (dos etapas (+,-) )
87
PROBLEMAS DEL LIBRO DE 3º DEL AÑO 1993
Bloque 1
Lección 5
1. Luis está en la casilla 7, lanza el dado y cae así: (6) ¿Es cierto lo que dice
Luis? (¡Llegare a la casilla 13!) (cambio- unión subtipo 1)
2. Toño está en la casilla 9, tira el dado y cae así: (3) ¿A qué casilla llegará?
(cambio- unión subtipo 1)
3. Mónica estaba en la casilla 11, tira y llega a la 17. ¿En qué numero cayó el
dado? (cambio subtipo 3)
4. Toño estaba en la casilla 12, ahora está en la 15 ¿En qué numero cayó en
dado? (cambio subtipo 3)
5. Itzel lanzó 2 dados y avanzó 8 casillas. Un dado cayó en el 3 ¿En qué numero
cayó el otro dado? (cambio subtipo 3)
Lección 10
6. ¿Cuál es el total de puntos que ganó Mónica? (14) y (8) (cambio- unión
subtipo 1)
7. ¿Cuál es el total de puntos que ganó Toño? (7) y (11) (cambio- unión subtipo 1)
8. ¿Es cierto que Mónica ganó? Luis (13) y (8), Itzel (12) y (9) (comparación
subtipo 10)
9. ¿Quiénes empataron? (comparación subtipo 10)
10. ¿Quién gano menos puntos? (comparación subtipo 9)
11. Tenía 6 fichas, puse otras 15. Ahora tengo (cambio- unión subtipo 1)
12. Tengo 15 fichas si saco 6, me quedan (cambio- separación subtipo 2)
13. Tengo 15 fichas, para tener 21 me faltan (igualación subtipo 16)
Lección 15
14. Si caben 10 hojas de papel picado en cada lazo ¿Cuántas hojas de papel
picado tiene que agregar Mónica para llenar el lazo (lleva 4)? (comparación
subtipo 9)
15. ¿Cuántas hojas le falta a Luis para llenar su lazo (lleva 3)? (comparación
subtipo 9)
88
16. ¿Cuántas hojas tiene que agregar Itzel para llenar el lazo (lleva 5)?
(comparación subtipo 9)
17. Si ahora en cada lazo se van a poner 25 y yo puse 19, me falta agregar
(comparación subtipo 9)
18. Yo puse 17, me falta agregar (comparación subtipo 9)
19. Puse 12, tengo que agregar (comparación subtipo 9)
20. Toño ya colocó 15, ¿Cuántas le faltan? (deben ser 25 hojas) (comparación
subtipo 9)
21. Luis ya colocó 18, ¿Cuántas más debe colocar? (deben ser 25 hojas)
(comparación subtipo 9)
22. Mónica a colocado 19 ¿Cuántas más le faltan? (deben ser 25 hojas)
(comparación subtipo 9)
Lección 18
23. Luis está en la casilla 25 y sus dados caen así: (3) y (6) ¿En qué casilla
quedará Luis si tiene que retroceder? (dos etapas (-,-) )
24. Mónica está en la casilla 33 y los dados caen así: (5) y (6) ¿En qué casilla
quedara si tiene que avanzar? (dos etapas (+,+) )
25. Itzel está en la casilla 38 y los dados caen así: (5) y (1) ¿En qué casilla quedara
si tiene que retroceder? (dos etapas (-,-) )
26. Mónica tuvo que retroceder 12 casillas y ahora está en la 5 ¿En qué casilla
estaba? (cambio subtipo 5)
27. Luis estaba en la casilla 7. Lanzó 2 dados y en total avanzo 8 lugares. En la
siguiente tirada retrocedió 4 ¿En qué casilla esta ahora? (dos etapas (+,-) )
Bloque 2
Lección 26
28. ¿Cuánto dinero se ha reunido para el alquiler del autobús? ( la semana pasada
se juntaron $125 y esta semana $353) (combinación subtipo 7)
29. El alquiler de cada autobús cuesta $450 ¿Qué grupo ya completo esa
cantidad? (los de cuarto año reunimos $120 el lunes y 156 el viernes. Los de
quinto año reunimos $355 y luego $124) (dos etapas (+,-) )
89
Lección 27
30. ¿Cuántos metros más mide la jirafa que el elefante? (jirafa 6 m., elefante 4 m.)
(comparación subtipo 10)
31. ¿Cuántos centímetros menos mide la ardilla que el chimpancé? (ardilla 30 cm.,
chimpancé 80 cm.) (comparación subtipo 9)
Lección 30
32. Pepe tiene ($26) ¿Cuánto le falta para comprar 3 bolsas de animalitos? (cada
bolsa cuesta $11) (dos etapas (+,-) )
33. Leti tiene este dinero ($25) ¿Le alcanza para comprar un rompecabezas y una
bolsa de chocolates? (rompecabezas $14 y bolsa de chocolates $5) ¿Cuánto le
sobra o cuanto le falta? (dos etapas (+,-) )
34. Paco tiene este dinero ($24) ¿Le alcanza para comprar una pelota y dos
plumas? (pelota $13, pluma $1) ¿Cuánto le sobra o cuanto le falta? (dos
etapas (+,-) )
35. Leti tiene $18, quiere un changuito de tela de $25, ¿Cuánto le falta?
(igualación subtipo 16)
36. Paco tiene $15, compra una pluma y una pelota, ¿Cuánto le queda? (pelota
$13, pluma $1) (dos etapas (+,-) )
37. Paco compra 3 bolsas de chocolates y 4 plumas. Paga con $50 ¿Cuánto le
sobra? (chocolates $5 y pluma $1) (dos etapas (+,-) )
38. La maestra de Paco compró 5 pelotas, 4 rompecabezas y 5 bosas de
animalitos ¿Cuánto pagó por todo? (pelotas $13, rompecabezas $14 y bolsa
de animalitos $11) (dos etapas (+,+) )
Bloque 3
Lección 41
39. Adentro del establo hay 16 vacas ¿Cuántas hay en total? (afuera 6) (cambio-
unión subtipo 1)
40. Dentro del gallinero hay 14 pollos amarillos y 16 pollos cafés ¿Cuántos pollos
hay dentro del gallinero? (cambio- unión subtipo 1)
41. ¿Cuántos pollos hay en total en la granja? (gallinero 30, afuera 15) (cambio-
unión subtipo 1)
42. ¿Cuántos animales hay en total en toda la granja? (pollos 45, vacas 22 y
conejos 12) (cambio- unión subtipo 1)
90
43. El tío de Paco dijo que le gustaría tener más conejos, ¿Cuántos conejos deberá
comprar para completar 26? (tiene 12) (comparación subtipo 9)
44. ¿Cuántos pollos amarillos deberá comprar el tío de Paco para tener la misma
cantidad que de pollos cafés? (amarillos 6 y cafés 9) (comparación subtipo 9)
45. Paco midió un pollito recién nacido y media 8 cm., cuando el pollito tenía 5 días
de nacido lo volvió a medir y ahora media 12 cm ¿Cuantos cm. Creció el pollito
en esos 5 días? (comparación subtipo 9)
Lección 48
46. ¿Cuánto dinero junto Mónica en total? (36) y (25) (cambio- unión subtipo 1)
47. ¿Cuánto dinero junto Itzel en total? (27) y (38) (cambio- unión subtipo 1)
48. ¿Quién ganó? (Mónica 61 e Itzel 65) (comparación subtipo 9)
49. Mónica tiro los dados y sacó 48 y 54. Itzel tiro los dados y saco 65 y 46 ¿Quién
gano esta vez? (dos etapas (+,-) )
50. ¿Quién ganó en el juego del banquito, Mónica o Luis? (Luis 465 y 246. Mónica
166 y 471) (dos etapas (+,-) )
51. Luis puso sobre la mesa 5 monedas de $10, 4 billetes de $100 y 3 monedas de
$1. Se le cayeron 2 monedas de $10 y un billete de $100 ¿Cuánto dinero
quedo sobre la mesa? (dos etapas (+,-) )
52. Luis tenía $875. Mónica le pagó $190 ¿Cuánto dinero tiene ahora Luis?
(cambio- unión subtipo 1)
Lección 50
53. ¿Cuánto dinero ganó Mónica en total? (gané $375 y luego gané $417)
(cambio- unión subtipo 1)
54. En un costal hay 98 naranjas y en otro costal hay 135 naranjas, ¿Cuántas
naranjas hay en total en los dos costales? (combinación subtipo 7)
55. Mónica abrió otro costal y sacó 86 naranjas. En el costal quedaron 58 naranjas.
¿Cuántas naranjas había en el costal? (combinación subtipo 7)
Bloque 4
Lección 59
56. ¿Cuánto dinero le quedo a Ana si le dio a Paco $125? (Ana tenía $542)
(cambio- separación subtipo 2)
91
57. Pos $616 sobre la mesa, luego dale a un compañero $450 ¿Cuánto te queda?
(cambio- separación subtipo 2)
58. ¿Cuánto dinero le quedo a Ana si le dio a Paco $419? (Ana tenía $436)
(cambio- separación subtipo 2)
59. ¿Cuánto dinero le quedo a Ana si le dio a Paco $145? (Ana tenía $315)
(cambio- separación subtipo 2)
Lección 61
60. ¿Cuánto dinero le quedo a Paco si le dio a Martin $250? (Paco tenía $523)
(cambio- separación subtipo 2)
61. Paco tenía $671 y le va a prestar a Martín $432 ¿Cuánto le quedará? (cambio-
separación subtipo 2)
62. Ana tiene $245, le da a Paco $136 ¿Cuánto le queda? (cambio- separación
subtipo 2)
63. Hay $391, si gastan $175 ¿Cuánto queda? (cambio- separación subtipo 2)
64. Había $528, se gastaron $433 ¿Cuánto le quedó? (cambio- separación
subtipo 2)
65. Luis está juntando una colección de 35 estampas. Ya tiene 19 ¿Cuántas
estampas le faltan? (igualación subtipo 16)
Lección 63
66. ¿Cuántos kilos más pesa el hipopótamo anfibio que el rinoceronte indio?
(hipopótamo 4000 kilos, rinoceronte 3000 kilos) (comparación subtipo 9)
PROBLEMAS DEL LIBRO DE 4º DEL AÑO 1993
Bloque 1
Lección 5
1. ¿Cuántas personas más podrían haber subido a la rueda de la fortuna? (hay 17
y caben 32) (igualación subtipo 16)
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2. ¿Cuántos lugares se quedaron vacios cuando Flor se subió a la rueda de la
fortuna? (iban 23 personas) (igualación subtipo 16)
3. ¿Cuántos niños subieron contando los tres turnos? ( primer turno 14, segundo
13 y tercero 23) (cambio- unión subtipo 1)
4. ¿Cuántos adultos subieron contando los tres turnos? ( primer turno 5, segundo
4 y tercero 6) (cambio- unión subtipo 1)
5. ¿Cuántas personas subieron en total contando los tres turnos? ( primer turno
19, segundo 17 y tercero 29) (cambio- unión subtipo 1)
6. ¿Cuántos lugares quedaron vacios contando los tres turnos? ( caben 96 en los
tres turnos y subieron 65) (igualación subtipo 16)
7. ¿Cuántas personas caben en el látigo al que se subió Rosa? (iban 25 personas
y 19 lugares vacios) (cambio- unión subtipo 1)
8. Un señor llevó a vender 240 refrescos, ha vendido 97 ¿Cuántos refrescos le
quedan? (cambio- separación subtipo 2)
Bloque 2
Lección 5
9. ¿Cuántas medallas ganó en total Puerto Rico? (oro 22, plata 54 y bronce 73)
(cambio- unión subtipo 1)
10. ¿Cuántas medallas menos ganó Jamaica que Cuba? (Jamaica 11, Cuba 361)
(cambio- separación subtipo 2)
11. ¿Cuántas medallas más ganó México que Colombia? (México 243, Colombia
99) (cambio- separación subtipo 2)
12. ¿Cuántas medallas de oro ganó la Republica Dominicana? (total 49, plata 19,
bronce 24) (cambio- unión subtipo 1)
13. ¿Cuántas medallas de oro ganó Guatemala? (total 46, plata 9, bronce 34) (dos
etapas (-,-) )
14. ¿Qué país ganó más medallas de oro, Nicaragua o Bahamas? (Nicaragua total
6, bronce 5. Bahamas total 5, bronce 4) (dos etapas (-,-) )
15. ¿Qué país ganó más medallas de plata, México o Cuba? (México total 243, oro
65, bronce 72. Cuba total 361, oro 227, bronce 58) (dos etapas (+,-) )
93
Bloque 4
Lección 11
16. ¿En cuál de las 6 máquinas se descontó una cantidad mayor? (A de $699 a
$519. B de $539 a $399. C de $1499 a $1149. D de $589 a $439. E de $999 a
$749. F de $1249 a $949) (dos etapas (-,-) )
17. ¿En cuál de las máquinas se descontó una cantidad menor?(A de $699 a $519.
B de $539 a $399. C de $1499 a $1149. D de $589 a $439. E de $999 a $749.
F de $1249 a $949) (dos etapas (-,-) )
Bloque 5
Lección 1
18. ¿Cuál es la diferencia entre la altura de la jirafa y la del gorila con las piernas
flexionadas? (jirafa 8.5 m de altura, gorila 1.75m) (comparación subtipo 10)
19. ¿Cuál es la diferencia entre la altura de la jirafa y la que alcanza el gorila con
las piernas extendidas? (jirafa 8.5, gorila 1.75m + .25m) (comparación
subtipo 10)
Lección 3
20. La mamá de Raúl compró un frasco de cajeta de cada tamaño ¿Cuánto pagó?
(1200g $14.30, 640g $7.95 y 320 g $4.20) (cambio- unión subtipo 1)
21. ¿Cuánto le devolvieron de cambio a la mamá de Raúl si pago con un billete de
$500? (gasto $26.45) (cambio- separación subtipo 2)
22. ¿Qué conviene más pagar un frasco de 640g o dos de 320g? (640g $7.95 y
320 g $4.20) (comparación subtipo 10)
23. Jaime participo en un sorteo con dos boletos, en uno quedo en cuarto lugar y
en el otro en quinto lugar. ¿Cuánto ganó en total? (4º lugar $65.57. 5º lugar
$15.00) (cambio- unión subtipo 1)
24. ¿Cuántos ganadores hubo en total en este sorteo? (1º lugar 1 ganador, 2º lugar
4 ganadores, 3º lugar 167 ganadores, 4º lugar 6514 ganadores y 5º lugar 7325
ganadores) (cambio- unión subtipo 1)
![[2016.08.24][aditivos] Proyecto Aditivos - informe final](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5a6565ca7f8b9a6b498b484f/20160824aditivos-proyecto-aditivos-informe-final.jpg)
