II. FUNGSI

8/17/2019 II. FUNGSI

1/26

KALKULUS I

STT Migas Balikpapan

FUNGSI

Ir. Manaseh,M.Eng


2/26

2

FUNGSI

FUNGSI DAN GRAFIKNYA

Sebuah fungsi (f) adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan

tiap objek (x) dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan

sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh

secara demikian disebut daerah nilai (jelajah) fungsi tersebut.

Misalkan A dan B dua buah

himpunan. Fungsi dari A ke B

adalah aturan memasangkan

(memadankan) setiap elemen di

A dengan satu elemen di B.

Sebuah fungsi disebut fungsi

real bila B R.⊂

“ “⊂ dibaca himpunan bagian dari

•

•

•

•

•

•

•

daerah nilai Asal daerah Nilai hasil

x )( x f

f

B

A


3/26

3

FUNGSI


Setiap input yang masuk selalu menghasilkan satu harga tertentu

ila input berubah umumnya output berubah

!roses

"x# $ %x f(x)

%

#

input output

&

%"

Notasi fungsi

'ntuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf fungsi sperti f (atau

g atau F ). Maka f (x), yang dibaca f dari x atau f pada x,

menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x.*ontoh+

2)( 4 −= x x f ?)1( =− f

12)1()1( 4 −=−−=− f

4)( 2 −=aa f

424)()( 222 −++=−+=+ hahahaha f


4/26

4

FUNGSI


Grafi fungsi

ilamana daerah asal dan daerah nilai sebuah fungsi merupakan

bilangan real, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan

menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat. an grafi

fungsi (f) adalah grafik dari persamaan y - f(x).

*ontoh +

ambarkanlah sketsa grafik dari +

2)(). 2 −= x x f a

x x x g b 2)(). 3 −=

1

2)().−

=

x xhc

1 2

1−

2

4

6

1−2−

genap fungsi

x

y

2)( 2 −== x x f y


5/26

5

FUNGSI


1 2

1−

2

4

6

1−2−

ganjil fungsi

x

y x x x g y 2)( 3 −==

1 2

2−

2

4

6

1−2−

genap ganjil fungsibukan /

x

y1

2)(−

==

x xh y

3 43−4−

6−

4−

Fungsi Daerah

asal

Daerah nilai

1

2)(

2)(

2)(

3

2

−

=

−=

−=

x xh

x x x g

x x f

{ }1: ≠∈ x x

R

R { }

{ }0:

2:

≠∈

−≥∈

x R y

R

y R y


6/26

6

FUNGSI


Fungsi enap dan anjil

Fungsi genap adalah fungsi (f) yang simetri terhadap sumbu (y) f(x) - f(/x)

Sebagai contoh + f(x) - cos x, f(x) - 0 x 0, dan f(x) -x1

genap fungsi

x

y

x x f cos)( =

genap fungsi

x

y

x x f =)(

genap fungsi

x

y

2)( x x f =


7/267

FUNGSI



Fungsi ganjil adalah yang simetri terhadap titik asal (titik (2,2)) f(/x) - /f(x)

*ontoh + f(x) - x3 f(x)- x4 dan f(x) - sin x

ganjil fungsi

x

y

x x f =)(

ganjil fungsi

x

y

x x f sin)( =

ganjil fungsi

x

y

3)( x x f =


8/268

FUNGSI



5tau dapat dikatakan juga ('ntuk dapat mengingat fungsi genap atau ganjil)

pada fungsi genap dilihat dari pangkat (pangkat genap). Misalkan

an sebaliknya fungsi ganjil (pangkat ganjil)

dst x x x f x x f ;4)(;)( 242 ++==


9/269

FUNGSI


*ontoh +

5pakah merupakan fungsi genap atau ganjil 6

;44

2)(

23

4

+−

+=

x x

x x x f

4)(4)(

)(2)()(

23

4

+−−−

−+−=−

x x

x x x f

)(44)(

)2()(

23

4

x f x x

x x x f −=

++−

−=−

erada di fungsi ganjil


10/2610

FUNGSI


ari soal diba7ah ini manakah fungsi yang dapat diberikan8dinyatakan

fungsi genap maupun ganjil atau bukan fungsi keduanya.

9a7ab +

13)().

23)().

4)().

24+−=

−=

−=

x x x f c

x x f b

x f a

ganap fungsi x x x f c

ganjil fungsi x x f b

ganjil atau genap fungsitidak x f a

→+−=

→−=

→−=

13)().

23)().

4)().

24


11/2611

FUNGSI

!"#RASI FUNGSI

0)(;)(

)()(

)().())(.(

)()())((

)()())((

≠=

= −=−

+=+

x g x g

x f x g

f

x g x f x g f

x g x f x g f

x g x f x g f


12/2612

FUNGSI

!"#RASI FUNGSI

*ontoh +

:erdapat fungsi dan

:entukanlah rumus fungsi tersebut (f$g)3 (f/g)3 (f.g)3 (f8g) dengan

anggapan bah7a f dan g memiliki nilai asal

2

3)(

−

=

x x f x x g =)(

),0(2

3

)(

)()(

),0(.2

3)().())(.(

),0(

2

3)()())((

),0(2

3)()())((

∞

−

==

∞−

==

∞−−

=−=−

∞+−

=+=+

asal Daerah x

x

x g

x f x

g

f

asal Daerah x x

x g x f x g f

asal Daerah x x

x g x f x g f

asal Daerah x x

x g x f x g f


13/26


14/2614

FUNGSI

K!$"!SISI FUNGSI

*ontoh +

Misalkan dan tentukanlah fog(%#) dan

fog(x), berikan daerah asalnya.

)9(

6)(

2−

=

x

x x f x x g 3)( =

9a7ab

( ) ( )3

4

)96(

)6(6)6(36)12(3))12(()12)((

2 =

−

===== f f f g f fog

( )3

32

93

363))(())((

−

=

−

=

==

x

x

x

x x f x g f x fog

aerah asal (fog) adalah ;2,"< ' ;",=


15/2615

FUNGSI

FUNGSI %RIG!N!$#%RI

θ

M i r i n

g

h a d a p a n

Dekatan

mrg

hdp=θ sin

mrg

dkt =θ cos

dkt

hdp=θ tan

(ambar lingkaran berjari/jari satu di sebelah kiri.

!osisi titik !-( x, y). Sudut t-positif dihitung

berdasarkan arah yang berla7anan jarum jam dengan

satuan radian. %> - %8%?2π rad.

Sudut t + 2π dan (t) menentukan posisi titik yangsama, sehingga, sin(t + 2π) ! sint dan "os(t + 2π) !

"os (t).

ikatakan fungsi tersebut periodik dengan periode #π.

0 x

y

P

y

x

t 1

Definisi & Andaian (t) 'enentuan titi " (*)

'aa f(t) = sin t = y dan g(t) = cos t = x.


16/2616

FUNGSI

FUNGSI %RIG!N!$#%RI

0 x

y

),( y x•

t

)0,1(•

),( y x −• t −

t t

t t

cos)2(cos

sin)2(sin

=+

=+π

π

ikatakan bah7a sinus dan kosinus periodik

dengan periode #@. Suatu fungsi (f) dikatakan

periodik jika terdapat suatu bilangan positif (p)

sedemikian sehingga f(t $ p) - f(t) untuk semua (t)

dalam daerah asal (f). an bila (p) terkecil yangmemenuhi disebut periode (f).

:itik ! yang berpadanan dengan (t) dan (/t) simetri

terhadap sumbu x (gambar), sehingga koordinat (x)

nya akan sama, hanya berbeda tanda.

SAF5:/SAF5: :BACDCME:BA


17/2617

FUNGSI

FUNGSI %RIG!N!$#%RI

0 x

y

t

t

)0,1(•

),( y x•

),( x y•)1,0(•

x y =

x x

x x

x x

tan)(tan

cos)(cos

sin)(sin

−=−=−−=−

Sinus adalah fungsi ganjil sedangkan kosinus

adalah fungsi genap.

t t

t t

t t

cos

2

tan

sin2

cos

cos2

sin

=

−

=

−

=

−

π

π

π

:itik ! yang berpadanan dengan (t) dan (@8# t) simetri

terhadap garis y - x (gambar), sehingga koordinat/

koordinat saling bertukar. Ani berarti bah7a +



18/2618

FUNGSI

FUNGSI %RIG!N!$#%RI

Sehingga sebuah kesamaan yang menghubungkan fungsi/fungsi sinus dan

kosinus , adalah +

t t

t

t t

t t

t

t t

sin

1csc

sin

coscot

cos

1sec

cos

sintan

==

==

1cossin 22

=+ t t t t 22

sectan1 =+ t t 22

csccot1 =+



19/2619

FUNGSI

FUNGSI %RIG!N!$#%RI



20/2620

FUNGSI

FUNGSI %RIG!N!$#%RI

*ontoh +

uktikan bah7a tangen adalah fungsi ganjil.

9a7ab +

t t

t

t

t t tan

cos

sin

)cos(

)sin()(tan −=

−=

−

−=−

+ontoh &

"erisa ebenaran esa'aan,esa'aan beriut-

t t 22sectan1 =+ t t

22csccot1 =+


21/26

.a/ab &

t t t

t t

t

t t

2

22

22

2

22

seccos

1

cos

sincos

cos

sin1tan1

==+

=

+=+

t t t

t t

t

t t

2

22

22

2

22

cscsin

1

sin

cossin

sin

cos1cot1

==+

=

+=+

21

FUNGSI

FUNGSI %RIG!N!$#%RI


22/2622

FUNGSI

FUNGSI %RIG!N!$#%RI

H''D5D ED5D :BACDCME:BA S'':

radianradian 1415927,31800

≈=π

Sudut diukur dalam derajat atau dalam radian.

rt s =

s

r

rad t !anjang (s) dari potongan busur sebuah lingkaran

radius (r) dengan sudut pusat (t) radian

memenuhi (gambar).

yakni,

π π 22

t

r

s= rt s =


23/26

23

FUNGSI

FUNGSI %RIG!N!$#%RI


Derajat Radian

0

30

45

60

90

120

135

150

180

0

π/6

π/4

π/3

π/2

2π/3

3π/4

5π/6

π


24/26

24

FUNGSI

FUNGSI %RIG!N!$#%RI


*ontoh +

Badius roda mobil sebesar &2 cm dan berputar %G2 putaran, tentukanlah

jarak tempuh roda mobil tersebut.

9a7ab +

cm s 1124,3769912000)2(150.40 === π π


25/26

25

FUNGSI

FUNGSI %RIG!N!$#%RI


),( y x

x

t

r

θ

9ika adalah sudut berukuran (t)

radian (gambar), maka.

t

t

coscos

sinsin

=

=

θ

θ

y

)0,1(

xt

yt

====

coscos

sinsin

θ

θ


26/26

SEKI!

D!"ERI# KSI$

Documents

II. FUNGSI