Upload
vankhanh
View
220
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ÜÇGEN ‹LE ‹LG‹L‹ TEMEL KAVRAMLAR
Tan›m (Çokgen) : n > 2 olmak üzere, bir düzlemde A1, A2, A3,...,An gibi birbirinden farkl›,herhangi üçü do¤rusal olmayan n nokta verilsin. Uç noktalar› d›fl›nda kesiflmeyen [A1A2], [A2A3],[A3A4], ... , [AnA1] n›n birleflimine çokgen denir.
Verilen n noktaya çokgenin köfleleri, do¤ru parçalar›na çokgenin kenarlar›, kenarlar›noluflturdu¤u aç›lara da çokgenin aç›lar› denir.
Kenarlar d›fl›nda köfleleri birlefltiren do¤ru parçalar›na çokgenin köflegenleri denir.
Tan›m : Konveks bölge oluflturan çokgenlere konveks (d›flbükey) çokgen denir. Konveks çokgende, bütün kenarlar ve köfleler her bir kenar›n ayn› taraf›nda bulunur.
Tan›m : Konkav bölge oluflturan çokgenlere konkav (içbükey) çokgen denir.
Tan›m : Üç kenarl› çokgene üçgen denir.A, B ve C do¤rusal olmayan üç nokta olsun. [AB], [BC] ve [CA] n›n birleflimine ABC üçgeni denir.
A¿BC = [AB] ∪ [BC] ∪ [CA]fiekildeki üçgen üç köfle yan yana yaz›larak ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA gibi 6 de¤iflik flekildeadland›r›labilir.
A, B ve C noktalar› üçgenin köfleleri, [AB], [BC] ve [CA] kenarlar›, |BC| = a, |AC| = b ve |AB| = c
kenar uzunluklar›, BéAC, AéBC ve B éCA aç›lar› üçgenin iç aç›lar›, iç aç›lar›n komflu bütünleri olanaç›lar da d›fl aç›lar› olarak adland›r›l›r.Üçgenin kenar uzunluklar› a, b ve c ile gösterildi¤i gibi kenarlar› da k›saca a, b ve c ile gösterilebilir.
BéAC, AéBC ve B éCA üçgenin iç aç›lar›d›r.
EéAB, FéBC ve DéCA üçgenin d›fl aç›lar›d›r.
E
DCB
F
A
A
B Ca
bc
E D
C
B
A
A
B
C
DE
Konveks çokgen Konkav çokgen
A
B C
BD
C
A A
B
C
D
A
B
C
D
E A
B C
D
E
Üçgen Dörtgen Beflgen
III. BÖLÜM ÜÇGENLER
63
ÜÇGEN ÇEfi‹TLER‹1. Kenarlar›na Göre Üçgen Çeflitleria. Çeflitkenar üçgen: Kenar uzunluklar› farkl› olan üçgenlere çeflitkenar üçgen denir.
|AB| ≠ |BC| ≠ |AC| ise ABC üçgeni çeflitkenar üçgendir.b. ‹kizkenar üçgen: ‹ki kenar› efl olan üçgenlere ikizkenar üçgen denir. Efl olan kenarlara
üçgenin yan (ikiz) kenarlar›, di¤er kenara taban, taban›n karfl›s›ndaki köfleye üçgenin tepesi,köflesi tepe noktas› olan aç›ya tepe aç›s›, di¤er aç›lara da taban aç›lar› denir.
|AB| = |AC| ≠ |BC| ise ABC üçgeni ikizkenar üçgendir. [AB] ve [AC] yan kenarlar›, [BC] taban›, B éAC
tepe aç›s›, AéBC ve AéCB da taban aç›lar›d›r.c. Eflkenar üçgen: Bütün kenarlar› efl olan üçgenlere eflkenar üçgen denir.
[AB] ≅ [BC] ≅ [AC] ise ABC üçgeni eflkenar üçgendir.
2. Aç›lar›na Göre Üçgen Çeflitleria. Dar aç›l› üçgen: Bütün aç›lar› dar aç› olan üçgenlere dar aç›l› üçgen denir.b. Dik üçgen: Bir aç›s› dik aç› olan üçgenlere dik üçgen denir. Dik aç›n›n karfl›s›ndaki kenara
hipotenüs, di¤er kenarlara da dik kenar ad› verilir.
m(ëA) = 90° ise ABC üçgeni dik üçgendir. [BC] kenar› üçgenin hipotenüsü, [AB] ve [AC] kenarlar› dadik kenarlard›r. Üçgenin di¤er aç›lar› dar aç›d›r. Niçin?
m(ëA) < 90°, m(ëB) < 90° ve m( ëC) < 90° ise ABC üçgeni dar aç›l› üçgendir.c. Genifl aç›l› üçgen: Bir aç›s› genifl aç› olan üçgenlere genifl aç›l› üçgen denir.
m(ëA) > 90° ise ABC üçgeni genifl aç›l› üçgendir. Üçgenin di¤er aç›lar› dar aç›d›r. Niçin?
ÜÇGEN‹N YARDIMCI ELEMANLARI1. Kenarortay: Bir üçgenin bir köflesini karfl› kenar›n orta noktas›na birlefltiren do¤ru parças›na
o kenara ait kenarortay› denir.A
B D C
A
B D C
GEF
|BD| = |DC| ise |AD| = Va
|EC| = |EA| ise |BE| = Vb
|AF| = |FB| ise |CF| = Vc
|BD| = |DC| ⇔ [AD], [BC] kenar›naait kenarortay
[AD] ∩ [BE] ∩ [CF] = {G} iseG, ABC üçgeninin a¤›rl›k merkezidir.
A B
C
A B
C
A B
C
A B
C
A B
C
A B
C
A B
C
A B
C
A B
C
Dar aç›l› üçgen
m(ëA) < 90°, m(ëB) < 90°
m(ëC) < 90°
Dik üçgen
m( ëA) = 90°, m( ëB) < 90°
m(ëC) < 90°
Genifl aç›l› üçgen
m(ëA) > 90°, m( ëB) < 90°
m(ëC) < 90°
A
B C
A
B C
A
B C
A
B C
A
B C
A
B C
A
B C
A
B C
A
B C
|AB| ≠ |BC| ≠ |AC|Çeflitkenar üçgen
|AB| = |AC| ≠ |BC|‹kizkenar üçgen
|AB| = |BC| = |AC|Eflkenar üçgen
64
ABC üçgeninin a, b ve c kenar›na ait kenarortaylar›n›n uzunluklar› s›ras›yla Va, Vb ve Vc ile gösterilir.Bir üçgenin üç kenarortay› üçgenin içinde bir noktada kesiflirler. Bu noktaya üçgenin a¤›rl›k merkezidenir.
2. Aç›ortay: Bir üçgenin bir aç›s›n›n aç›ortay›n›n karfl›s›ndaki kenar› kesti¤i nokta ile aç›n›nköflesini birlefltiren do¤ru parças›na üçgenin o aç›s›na ait aç›ortay› denir.Bir üçgenin iç aç›lar›n›n aç›ortaylar›na iç aç›ortay, d›fl aç›lar›n›n aç›ortaylar›na da d›fl aç›ortay denir.
m(BéAE) = m(C éAE) ise [AE], BAC aç›s›n›n iç aç›ortay›, m(CéAD) = m(DéAF) ise [AD], BAC aç›s›n›nd›fl aç›ortay› olur. Üçgenin A, B ve C aç›lar›na ait iç aç›ortaylar›n›n uzunluklar› nA, nB ve nC ilegösterilir. Bir üçgenin üç iç aç›ortay› üçgenin içinde bir noktada kesiflir. (Bu nokta üçgenin iç te¤etçemberinin merkezidir.) Bir üçgende herhangi iki d›fl aç›ortay ile di¤er köfledeki iç aç›ortay da birnoktada kesiflir.
3. Yükseklik: Bir üçgenin bir köflesinden, karfl› kenar do¤rusuna indirilen dikmenin, karfl›kenar› kesti¤i nokta ile köfleyi birlefltiren do¤ru parças›na, üçgenin o kenar›na ait yüksekli¤i denir.
Bir ABC üçgeninin a, b ve c kenarlar›na ait yüksekliklerinin uzunluklar› s›ras›yla ha, hb ve hc ile
gösterilir. Üçgende üç yükseklik bir noktada kesiflir. Bu noktaya üçgenin diklik merkezi ad› verilir.
ÜÇGENDE AÇILAR ARASINDAK‹ BA⁄INTILARTeorem : Bir üçgende, bir d›fl aç›n›n ölçüsü, kendisine komflu olmayan iki iç aç›n›n ölçüleri
toplam›na eflittir.Hipotez : ABC bir üçgen ise
Hüküm : m(AéCD) = m(ëA) + m(ëB) dir.‹spat : [CE // [AB] çizelim.
1. m(DéCE) = m(ëB)
2. m(EéCA) = m(ëA)
3. m(DéCE) + m(EéCA) = m(ëB) + m(ëA)
4. m(AéCD)=m(ëA)+m(ëB)
Sonuç : Bir üçgende bir d›fl aç›n›n ölçüsü, kendisine komflu olmayan iç aç›lar›n her birininölçüsünden daha büyüktür.
A
B C D
E
A
B D C
A
BD C
A
B C
L
D
K
H
[AD] ⊥ [BC]
m(ëB) < 90°, m(ëC) < 90°
[AD] ⊥ [CB
m(ëB) > 90°[AD] ∩ [BL] ∩ [CK] = {H}
|AD| = ha, |BL| = hb, |CK| = hc
A
B E C D
F A
B D C
IEF |AD| = nA
|BE| = nB
|CF| = nC
KA
B C
[AE] ⊥ [AD] [AD] ∩ [BE] ∩ [CF] = { I } [BK ∩ [CK ∩ [AK = {K}
65
Teorem : Bir üçgenin iç aç›lar›n›n ölçüleri toplam› 180° dir.Hipotez : ABC bir üçgen ise
Hüküm : m(ëA) + m(ëB) + m(ëC) = 180° dir.‹spat : [BC ›fl›n›n› çizelim.
1. m(AéCD) = m(ëA) + m(ëB)
2. m(AéCD) + m(ëC) = 180°
3. m(ëA) + m(ëB) + m(ëC) = 180°
Örnek : ABC üçgeninde; m(AéBC) = x, m(EéAC) = y, m(D éCA) = z ve x + y + z = 256° oldu¤una göre, x kaç derecedir?
Çözüm : ABC üçgeninde;1. y + z + 180° − x = 360° (Üçgenin d›fl aç›lar›n›n ölçüleri
toplam›)2. y + z = 180° + x3. x + y + z = x + 180° + x = 256°⇒ 2x = 76° ⇒ x = 38° bulunur.
Örnek : Yandaki flekilde;
m(ëA) = a , m(ëB) = b
m(ëC) = c , m(ëD) = x isex = a + b + c oldu¤unu gösteriniz.
Çözüm : [AD n› çizelim.
1. m(BéDE) = m(ëB) + m(B éAD)
2. m(EéDC) = m(ëC) + m(CéAD)
3. m(BéDE) + m(EéDC) = m(ëB) + m(ëC) + m(CéAD) + m(BéAD)
4. m(BéAC) = m(CéAD) + m(BéAD)
5. m(BéDC) = m(ëB) + m(ëC) + m(ëA)6. x = a + b + c olur.
Örnek : Yandaki flekilde; A, B ve C noktalar› do¤rusal
[AE] // [CD], |AE| = |AB| ve |BC| = |CD| ise
m(EéBD) kaç derecedir?
Çözüm : B noktas›ndan [BF // [AE] çizelim.
1. m(EéBF) = m(A éEB) = α
2. m(FéBD) = m(BéDC) = β
3. m(AéEB) = m(AéBE) = α
4. m(BéDC) = m(DéBC) = β
5. 2α + 2β = 180°
6. m(EéBD) = α + β = 90° dir.A B C
D
EF
αα
α
ββ
β
A B C
D
E
A
BC
D
a
b cx
E
A
BC
D
a
b cx
A
B C D
z
y
x
E
A
B C D
66
Örnek : fiekildeki ABC üçgeninde;[BE] ve [CF] iç aç›ortay,
m(KéDC) = x, m(A éEL) = y
ve m(BéFM) = z ise x + y + z = 270° oldu¤unu gösteriniz.
Çözüm : Bir üçgende iç aç›ortaylar ayn› noktadakesiflti¤inden [AD], A köflesinden geçen içaç›ortayd›r. Bundan dolay›;
m(BéAD) = m(CéAD) = a,
m(AéBE) = m(CéBE) = b ve
m(BéCF) = m(AéCF) = c olsun.ABC üçgeninde, 2a + 2b + 2c = 180°⇒ a + b + c = 90° ve
DAC üçgeninde, m(KéDC) = x = 2c + a
ABE üçgeninde, m(AéEL) = y = 2a + b
BCF üçgeninde, m(M éFB) = z = 2b + c olur.x + y + z = 2c + a + 2a + b + 2b + c = 3(a + b + c) = 3.90 = 270° bulunur.
Teorem : Bir ikizkenar üçgende tabana ait kenarortay, ayn› zamanda yükseklik ve aç›ortayd›r.Hipotez : ABC ikizkenar üçgeninde; |AB| = |AC| ve [AD] kenarortay iseHüküm : [AD] hem yükseklik hem de aç›ortayd›r. ‹spat : 1. |AB| = |AC|
2. m(ëB) = m( ëC)3. |BD| = |DC|
4. A¿BD ≅ A¿CD
5. m(BéAD) = m(CéAD) olur ve [AD] aç›ortayd›r.
6. m(BéDA) = m(CéDA) = 90° olur ve [AD] yüksekliktir.
Sonuç : Bir eflkenar üçgenin bütün kenarlar›na ait kenarortay, aç›ortay ve yüksekliklerininuzunluklar› eflittir.
Teorem : Bir üçgende herhangi bir kenara aitkenarortay uzunlu¤u, ait oldu¤u kenar›n uzunlu¤ununyar›s›na eflit ise bu üçgen dik üçgendir.
Hipotez : ABC üçgeninde; |AD| = |DB| = |DC| ise
Hüküm : m(ëA) = 90° dir.
‹spat : |AG| = |GG'| olacak flekilde [AD] n› uzatal›m.Bu durumda BG'CG paralelkenar olur.
A
B D C
A
B D C
A
B D C
a
E
F
a
bb
LM
Kx
yz
cc
I
A
B D C
E
FLM
Kx
yz
67
CGG' üçgeninde kenarortay teoremine göre;
Yani, |AD| = |DB| = |DC| bulunur.
Teorem : Bir dar aç›s›n›n ölçüsü 30° olan dik üçgende bu aç› karfl›s›ndaki dik kenar›nuzunlu¤u hipotenüsün uzunlu¤unun yar›s›na eflittir.
Hipotez : ABC dik üçgeninde;
m(ëA) = 90° ve m( ëB) = 30° ise
Hüküm : dir.
‹spat : [AD] kenarortay›n› çizelim. |AD| = |DB| = |DC| ve
m(ëC) = 60° oldu¤undan ACD eflkenar üçgendir. Buradan, bulunur.
Sonuç : Bir dik üçgende dar aç›lardan birisi 60° ise bu aç›n›n karfl›s›ndaki dik kenar
uzunlu¤u, di¤er dik kenar uzunlu¤unun ñ3 kat›d›r. Niçin? Siz bulunuz. Örnek : Yandaki ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AC],
m(AéBC) = 30°, |BC| = 4 cm ise|AC| ve |AB| nu bulunuz. Çözüm : ABC dik üçgeninde;
|AB| = |AC| . ñ3 oldu¤una dikkat ettiniz mi?
AC =BC
2=
42
= 2 cm olur. Bu üçgende Pisagor teoreminden de
BC2
= AB2
+ AC2
⇒ 42 = AB2
+ 22 ⇒ AB2
= 16−4 = 12 ⇒ AB = 2 3 cm bulunur.
A
B C430°
AC = CD =
BC
2
AC =
BC
2
A
B CD30°
B
A
C
E
F
c2
c2
2t
a2
a2
2p
2t
2p
p
2k
t
k
G
D
k
b2
b2
′G
(2t)2 + (2p)2 = 2. a2
2
+(2k)2
2
4.(t2 + p2) = 2.a2
4+
4k2
2
4.5a2
36=
a2
2+ 2k2
5a2
9−
a2
2= 2k2
10a2 −9a2
18= 2k2
a2 = 36k2
a = 6k
a2
= 3k olur.
ABE üçgeninde
AFC üçgeninde
olur.
c2 + b2
4= 9p2
b2 + c2
4= 9t2
+_______________
5. a2
4= 9(p2 + t2)
p2 + t2 = 5a2
36
68
Örnek : Yandaki flekilde; |AB| = |AC||CE| = |CD|, |BD| = |BC|
ve m(AéBD) = 25° ise
m(D éCE) kaç derecedir?
Çözüm : m(DéBC) = x olsun.
m(AéBC) = m(AéCB) = x + 25° (|AB| = |AC|)
m(BéDC) = m(BéCD) = m(DéEC)= 90°
m(D éCE) = x
m(BéCD) = 90° = x + 25° + x
⇒ x = 26° dir.
Örnek : fiekildeki ABC üçgeninde;
m(AéBC) = 45° ve m(AéCB) = 15° ise
oran›n› bulunuz.
Çözüm : [CH] yüksekli¤ini çizelim.
m(H éAC) = 45°+15° = 60° ve m(AéCH) = 30° olur.
AHC dik üçgeninde, |AC| = 2x ise |HC| = ñ3x veBHC ikizkenar dik üçgeninde de
|BC| = ñ2.|HC| = ñ6x dir.
bulunur.
Örnek : Yandaki flekilde;[AD] ⊥ [BC], |BD| = |EA| = |EC| ve
m(EéBC) = 26° iseDAC aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz.
Çözüm : [DE] n› çizelim.|DE| = |EA| = |EC||BD| = |DE| ve
BDE üçgeninde; m(EéBD) = m(DéEB) = 26°
m(AéDE) = 90° − (26° + 26°) = 38° olup
ADE ikizkenar üçgeninde, m(D éAE) = m(AéDE) = 38° bulunur.
A
B CD26°
F 26°
E
A
B CD26°
F
E
AC
BC=
2x
6x=
2
6=
63
A
B Cñ6x
45°
H
60°
30°
15°
2x
ñ3xx
AC
BC
A
B C45° 15°
– x
2
– x
2
A
D
E
B C
25°x 25°+x
x
A
D
E
B C
25°
UYGULAMALAR
69
Örnek : Yandaki flekilde; [AB] ⊥ [BC], |AD| = |DC|
ve ise
AED aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz.
Çözüm : [DF] ⊥ [AB] çizelim. |BE| = x olsun.|AE| = 3x, |DE| = 2x ve |AB| = 4x dir.
EFD dik üçgeninde |DE| = 2.|EF| oldu¤undan
m(EéDF) = 30° ve m(FéED) = 60° bulunur.
Örnek : Yandaki flekilde;[AB] ⊥ [AC], |BD| < |DC|,
|BC| = 2.|AD| ve m(BéAD) = 15° iseACB aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz.
Çözüm : ABC dik üçgeninin [AE] kenarortay›n› çizelim.
d›r.
AEC ikizkenar üçgeninde, m(AéCE) = m(EéAC) = α
|AD| = |AE| ve m(AéDE) = m(AéED) = 2α ve
ABC dik üçgeninde, m(AéBC) = 90° − α olur.ABD üçgeninde;
m(AéDE) = m(BéAD) + m(AéBC) ⇒ 2α = 1 5° + 9 0 ° − α ⇒ 3α = 105° ⇒ α = 35° bulunur.
Örnek : Yandaki ABC üçgeninde;|BD| = |DC|, |AB| = |EC|,[ED] ⊥ [BC] ve
m(AéED) = 125° iseABC aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz.
Çözüm : [BE] n› çizelim.|BD| = |DC|, [ED] ⊥ [BC] verildi¤inden|EB| = |EC| = |AB| olupBEC ve BAE ikizkenar üçgenlerdir.
m(EéBC) = m(EéCB) = α
m(BéED) = 90° − α ve m(BéAE) = m(BéEA) = 2α ve
m(AéED) = 2α + 90° − α = 90° + α = 125° ⇒ α = 35° olur.
ABC üçgeninde, m(AéBC) = 180° − 3α = 180° − 3.35° = 75° bulunur.
2α2α
α α
A
B CD
90°–αE
A
B C
125°
D
E
A
B C
15°
D
2α
90°–α2α
α
E
α EC = AE =
BC
2= AD
A
B C
15°
D
AF = FB =
AB
2= 2x
A
CB
D
Ex
x
2x
2x
F
BE =
AE
3=
DE
2
A
CB
E
D
70
Örnek : Yandaki flekilde; m(CéAB) = 60°[DC] ⊥ [AC], [DB] ⊥ [AB], |DB| = 7 cmve |DC| = 4 cm ise |AB| nu bulunuz.
Çözüm : [BD ve [AC ›fl›nlar› E noktas›nda kesiflsin.
ECD ve EBA üçgenlerinde m(ëE) = 30° olur.|ED| = 2.|CD| = 2.4 = 8 cm ve
cm bulunur.
Örnek : Yandaki flekilde, P noktas›n›n[OA ve [OB ›fl›nlar›na göre simetrikleri
s›ras›yla C ve D noktalar› ve m(CéPD) = 150° ise OCD üçgeninin eflkenar oldu¤unu gösteriniz.
Çözüm : [OP] n› çizelim.
m(AéOB) = 180° − m(CéPD) = 180° − 150° = 30°|OP| = |OC| = |OD|
m(D éOB) = m(BéOP) = α ve m(AéOC) = m(AéOP) = 30° − α olur.
m(C éOD) = 2.m(BéOP) + 2.m(AéOP) = 2α + 2.(30° − α) = 60° bulunur ve COD ikizkenar üçgeninin eflkenar oldu¤u görülür.
Örnek : Yandaki flekilde;|AB| = |AC|, P ∈ [BC]B, A, F do¤rusal,P, E, F do¤rusal,[PF] ⊥ [BC] ve [AH] ⊥ [BC] ise|PE| + |PF| = 2.|AH| oldu¤unu gösteriniz.
Çözüm : m(ëB) = m(ëC) = α olsun.
BPF üçgeninde, m(ëF) = 90° − α
EPC üçgeninde, m(PéEC) = 90° − α = m(AéEF)
m(ëF) = m(AéEF) ve |AE| = |AF| olur.[AK] ⊥ [EF] çizelim.|FK| = |KE| ve |AH| = |PK| d›r.2.|AH| = 2.|PK| = 2.|PE| + 2.|EK| = |PE| + (|PE| + |EK| + |KF|)2.|AH| = |PE| + |PF| bulunur.
A
B CH
E
P
F
90°–α
90°–α
90°–α
αα
K
A
B CH
E
P
F
αα
150°
O
A
B
C
D
P
150°
O
A
B
C
D
P
AB =
EB
3=
15
3= 5 3
8
E
AB
CD
4
7
60°
30°
A B
CD
4
7
60°
71
1. Yandaki flekilde; E, B ve C noktalar› ileE, F ve D noktalar› do¤rusal,
m(ëA) = y, m(ëE) = x, m(ëB) = z ve m(ëD) = aoldu¤una göre a = y + z − x oldu¤unu gösteriniz.
2. Yandaki flekilde; [AB] // [CD],
[AD] // [BC], m(ëD) = 80°, m(BéAE) = 35° ve
m(BéCE) = 25° oldu¤una göre m(AéEC)kaç derecedir?
3. Yandaki flekilde verilenlere göreb + c + d − a = 360° oldu¤unu gösteriniz.
4. Yandaki flekilde; [BE], ABD aç›s›n›n[CE], ACD aç›s›n›n aç›ortaylar›d›r.
m(ëA) = z, m(ëE) = x ve m(ëD) = yoldu¤una göre 2x = y + z ba¤›nt›s›n›ndo¤rulu¤unu gösteriniz.
5. Yandaki flekilde; m(ëE) = 100°
m(ëA) = a, m(ëB) = b, m(ëC) = c
m(ëD) = d oldu¤una görea + b + c + d toplam› kaç derecedir?
6. Yandaki ABC üçgeninde; [BD] ve [CE]
aç›ortaylar, m(AéEC) = 72° ve m(AéDB) = 60°oldu¤una göre A aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
7. Yandaki ABC üçgeninde; [BD] ve [CD]iç aç›ortaylard›r. A, D, E ve F noktalar› do¤rusal,
m(BéDE) = 80° ve m(EéDC) = 70° oldu¤una göreBEF aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
A
B C
80° 70°
EF
D
A
B C
72° D60°E
100°
EA
B
DC
A
B C
z
x
y
E
D
c
da
b
C
A
B
DE
F
C
A D
B
E
25°
80°
35°
A
B C
y
E
F
D
x z
a
ALIfiTIRMALAR
72
8. Yandaki ABC üçgeninde; [BE ve [CI] iç aç›ortay,[CE d›fl aç›ortayd›r.
m(CéEB) = 25° oldu¤una göre m(BéIC) kaçderecedir?
9. Yandaki ABC üçgeninde [AD] aç›ortay ve|AB| > |AC| ise
m(AéDB) = 90° + oldu¤unu gösteriniz.
10. Yandaki ABC üçgeninde; [BK ve [CKd›fl aç›ortaylard›r.
m(BéKC) = 40° oldu¤una göre m(BéAK) = xkaç derecedir?
11. Yandaki ABC üçgeninde;[BD] ⊥ [AC] ve [CE] ⊥ [AB] dir.[BF] ve [CF], HBC üçgeninin iç
aç›ortaylar› ve m(BéAC) = 70° iseBFC aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
12. Yandaki ABC üçgeninde; |AB| = |AC|,
m(ëA) = 40° ve [DF] ⊥ [AB] oldu¤una göre
m(ëD) kaç derecedir?
13. Yandaki flekilde; A, C ve D noktalar› do¤rusald›r.[DA ⊥ [DE], [CB ⊥ [CE] ve
m(ëE) = 44° ise m(AéCB) = x kaç derecedir?
14. Yandaki ABC üçgeninde;[AD] ⊥ [BC] ve [CE] ⊥ [AB]
ve m(BéCE) = 40° oldu¤una göre
m(BéAD) + m(AéFC) kaç derecedir?
A
B C
E
F
D40°
A
B
CD
E
44°
x
A
B C
F 40°
D
E
A
B C
D
70°
E
F
H
x
B C
K
A
m(C)−m(B)2
A
B D C
A
BC
E
25°
I
73
15. Bir ABC üçgeninin iç aç›lar›n›n ölçüleri 3, 4 ve 8 ile do¤ru orant›l›d›r. Bu üçgenin aç›lar›n›n ölçülerini hesaplay›n›z.
16. Yandaki ABC üçgeninde; [AD] aç›ortay ve
m(ëB) − m(ëC) = 24° oldu¤una göre
m(AéDC) kaç derecedir?
17. Yandaki fleklin A, B, C, D ve Eköflelerindeki aç›lar›n ölçüleri toplam›n›n180° oldu¤unu gösteriniz.
18. Yandaki flekilde; m(AéCD) = m(DéCE),
m(BéAC) = x, m(DéBE) = y, m(BéDC) = zve x − y = 80° oldu¤una göre z kaç derecedir?
19. Yandaki flekilde; [AE ⊥ [BE,
[BC ⊥ [AC, m(PéAE) = m(PéAC) ve
m(PéBE) = m(PéBC) oldu¤una göre
m(AéPB) kaç derecedir?
20. Yandaki flekilde; m(AéDF) = m(DéFE),
m(AéBE) = m(BéEF) ve m(DéAB) = 80°
oldu¤una göre, m(BéCD) kaç derecedir?
21. Yandaki ABC üçgeninde; [AD] ve [CD] iç aç›ortaylar,[AE ve [CE d›fl aç›ortaylard›r.
m(AéDC) = 3x + 50° ve m(AéEC) = x − 10° ise
m(AéEC) kaç derecedir?
A
B C
D
E
A
C
B
80°
D
E
F
A
E
BP
C
A
B C
D
y
x
E
z
E
A B
D
C
A
B D C
74
22. ABC üçgeninde; [AD] ve [CF] iç aç›ortaylar,
m(AéDC) = 100° ve m(A éEB) = 85° iseCFB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
23. Yandaki ABC üçgeninde;[AD] ve [BD] aç›ortaylar ve
m(AéCD) = 40° iseADB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
24. Yandaki ABC üçgeninde;[AD] ve [BD] aç›ortaylar ve
m(AéDB) = 7.m(BéCD) iseADB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
25. Yandaki ABC üçgeninde;[BD] ve [CE] aç›ortaylar [AK] ⊥ [BD] ve [AL] ⊥ [CE] dir.
m(KéAL) = α ise BAC aç›s›n›nölçüsünü α cinsinden bulunuz.
26. Yandaki ABC üçgeninde;[BD] aç›ortay,
m(BéAC) = 2.m(BéDC) ve
m(AéCD) = 50° iseACB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
27. Yandaki ABC üçgeninde;
m(AéBE) = m(CéBE), m(BéCF) = m(EéCF),
m(EéFC) = m(BéAC) ve m(CéDK) = 70° iseAFB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
28. Bir ABC üçgeninin d›fl aç›lar›n›n ölçüleri 3, 4 ve 6 ile ters orant›l›d›r. Bu üçgenin en küçük iç aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz.
A
B CD
E
F
70°K
A
B C
D
50°
A
B C
DE
L K
α
I
A
B C
D
A
B C
D
40°
E
A
B C
85°
D100°
EF
75
29. Yandaki ABC üçgeninde; |BF| = |BD|,
|EC| = |CD| ve m(FéDE) = 50° iseA aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz.
30. Yandaki ABC üçgeninde; |AC| = |BC| ve|AB| = |AD| = |DC| oldu¤una göre
m(ëC) kaç derecedir?
31. Yandaki ABC üçgeninde; |AB| = |BC|, |AC| = |DC| ve
m(BéAD) = 24° oldu¤una göre m(ëB) kaç derecedir?
32. Yandaki ABC üçgeninde; m(DéAE) = x,|AD| = |DB| ve |AE| = |EC| oldu¤una göreBAC aç›s›n›n ölçüsünü x cinsinden hesaplay›n›z.
33. Yandaki ABC eflkenar üçgeninde; [AH] ⊥ [EC],|AD| = |DC| ve |AH| = |EB| oldu¤una göre
m(ëE) kaç derecedir?
B‹R ÜÇGEN‹N AÇILARI ‹LE KENARLARI ARASINDAK‹ BA⁄INTILARTeorem : Bir üçgenin iki kenar› efl de¤ilse, bunlar›n karfl›lar›ndaki aç›lar da efl de¤ildir ve
daha uzun olan kenar karfl›s›ndaki aç› daha büyüktür.
Hipotez : ABC üçgeninde; |AC| > |AB| ise
Hüküm : m(AéBC) > m(AéCB) dir.‹spat : [AC] do¤ru parças› üzerinde |AB| = |AD|
olacak flekilde bir D noktas› alal›m.
1. m(AéBD) = m(AéDB) (ikizkenar üçgen özelli¤i)
2. m(AéBD) + m(D éBC) = m(AéBC)
3. m(AéBC) > m(AéBD)
4. m(AéDB) = m(ëC) + m(DéBC)
5. m(AéDB) > m(ëC)
6. m(AéBC) > m(AéBD) > m(ëC) olur.
Sonuç : 1.Bir ABC üçgeninde; a < b <c ⇔ m(ëA) < m(ëB) < m(ëC) olur.2. Bir ABC üçgeninde; A, B ve köflelerindeki d›fl aç›lar› A1, B1 ve C1 ise
a < b < c ⇔ m(ëA1) > m(ëB1) > m(ëC1) olur.
A
B
D
C
A
B CE H
AA
D
A
B CD E
x
A
B CD
24°
A
B CD
A
B CD
50°
FE
76
Örnek : ABC üçgeninde;|AB| = 10 cm, |AC| = 12 cm ve|BC| = 9 cm ise iç aç›lar›n›n ölçüleriaras›ndaki s›ralamay› bulunuz.
Çözüm : 9< 10 < 12 ⇒ |BC| < |AB| < |AC| oldu¤undan yukar›daki
sonuç 1 gere¤ince; m(ëA) < m(ëC) < m(ëB) bulunur.
Örnek : Yandaki ABC üçgeninde; m(BéAD) = m(EéAC) = 26°,
m(AéBD) = 36° ve m(AéCE) = 32° ise ADE üçgenininkenarlar›n›n uzunluklar› aras›ndaki s›ralamay› bulunuz.
Çözüm : m(AéDE) = m(AéBD) + m(BéAD) = 36° + 26° = 62°
m(AéED) = m(AéCE) + m(CéAE) = 32° + 26° = 58°
m(D éAE) = 180°−[m(AéDE)+m(AéED)] = 180°−(62° + 58°) = 60° bulunur. O hâlde ADE üçgeninin kenar uzunluklar› aras›ndaki s›ralama |AD| < |DE| < |AE| olur.
ÜÇGEN Efi‹TS‹ZL‹⁄‹
Teorem : Bir üçgenin herhangi iki kenar›n›n uzunluklar› toplam›, üçüncü kenar›nuzunlu¤undan büyüktür.
Hipotez : ABC bir üçgen ise
Hüküm : |AC| + |AB| > |BC| olur.
‹spat : [CA] n›n uzant›s›nda |AD| = |AB|olacak flekilde bir D noktas› alal›m.
1. m(AéDB) = m(AéBD)
2. m(CéBD) = m(AéBD) + m(AéBC)
3. m(CéBD) > m(AéBD) = m(AéDB)4. |DC| > |BC|5. |DC| = |AD| + |AC|6. |AD| + |AC| > |BC|7. |AB| + |AC| > |BC| olur.
Kenar uzunluklar› a, b ve c olan ABC üçgeninde; Teorem den b < a + c ⇒ a > b − c vea < b + c ⇒ b > a − c veya c > a − b ba¤›nt›lar› yaz›labilir.
O hâlde bir ABC üçgeninin kenar uzunluklar› aras›nda;
1. |b − c| < a < b + c2. |a − c| < b < a + c3. |a − b| < c < a + b eflitsizlikleri vard›r.
Sonuç : Bir üçgende herhangi bir kenar›n uzunlu¤u, di¤er iki kenar›n uzunluklar›toplam›ndan küçük, fark›n›n mutlak de¤erinden büyüktür. (üçgen eflitsizli¤i)
A
B
b
Ca
c
A
B
D
C
A
B CD E
36° 32°
26° 26°
A
B
9
C10
12
77
Örnek : Yandaki dörtgende;|AB| = 12 cm, |BC| = 7 cm,|CD| = 8 cm ve |DA| = 6 cm ise|AC| nun alabilece¤i de¤erleri bulunuz.Çözüm : ABC üçgeninde üçgen eflitsizli¤inden;
12 − 7 < |AC| < 12 + 7 ⇒ 5 < |AC| < 19 veDAC üçgeninde üçgen eflitsizli¤inden;8 − 6 < |AC| < 8 + 6 ⇒ 2 < |AC| < 14 olur. Buradan 5 < |AC| < 14 bulunur.
Örnek : Yandaki ABC üçgeninde; |BC| = 12 cm,|AB| = 2x + 3 cm, |AC| = x + 6 cm oldu¤una göre,x in alabilece¤i kaç tam say› de¤eri vard›r?
Çözüm : ABC üçgeninde üçgen eflitsizli¤inden;2x + 3 − (x + 6) < 12 < 2x + 3 + (x + 6) ⇒ x − 3 < 12 < 3x + 9
⇒ x < 15 ∧ x > 1 ⇒ 1 < x < 15 olur.O hâlde x in alabilece¤i 13 tam say› de¤eri vard›r.
1. Yandaki flekildeki A¿BC nde; |BD| = |AD|, |AE| = |EC|
m(AéBD) = 32° ve m(AéCE) = 30° ise A¿DE nin kenarlar›n› küçükten büyü¤e do¤ru s›ralay›n›z.
2. Yandaki flekilde; m(BéAC) = 60°, m(C éAD) = 63°
m(BéCA) = 58° ve m(AéCD) = 59° ise a, b, c, d ve e uzunluklar› aras›ndaki s›ralamay› yap›n›z.
3. Yandaki flekildeki A¿BC nde; m(ëA) < 90°|AB| = 7 cm ve |AC| = 9 cm ise |BC| = a n›nalaca¤› tam say› de¤erlerini bulunuz.
4. Yandaki flekildeki; m(ëA) >90°|AB| = 5 cm, |AC| = 6 cm, |BD| = 7 cm ve|DC| = 10 cm ise |BC| nun alabilece¤i tam say›de¤erlerinin toplam›n› bulunuz.
5. Yandaki flekildeki; |AB| = 4 cm, |AD| = 5 cm ve|DC| = 6 cm ise |BD| nun alabilece¤i en küçüktam say› de¤erini karfl›l›k |BC| = x in alabilece¤ien büyük tam say› de¤eri nedir?
6. Yandaki A¿BC nde; |AB| = 3x cm, |AC| = 5x cmve |BC| = 14 cm ise x in alabilece¤i tam say›de¤erlerini bulunuz.
A
B C
3x 5x
14
A
B
D
C
5
4
6
x
7
C
D
B
A
5
10
6
A
B Ca
97
b
D
C
B
A
e
a
58°c
d
59°
60° 63°
A
B CD E32° 30°
ALIfiTIRMALAR
A
B
x + 6
C12
2x + 3
6
D
C
B
A
8
12 7
78
1. Yandaki flekilde; D, B ve C noktalar› do¤rusald›r.
2|AD| = |BC|, m(BéAC) = 90° ve m(DéAB) = 18°
ise m(AéBC) = α kaç derecedir? A) 45 B) 46 C) 56 D) 65 E) 66
2. Yandaki flekilde; [BE ile [CE aç›ortaylar, |CE| = |CD| ve
m(BéAC) = 80° ise m(C éDE) kaç derecedir? A) 50 B) 55 C) 60 D) 65 E) 70
3. Yandaki flekilde; |AB| = |BE|, [AC] aç›ortay
m(AéBC) = 90° ve m(AéDB) = 108° ise
m(DéBC) kaç derecedir? A) 46 B) 48 C) 50 D) 52 E) 54
4. Yandaki flekilde; |AB| = |AE|, |BD| = |DC|
ve m(EéBC) = 18° ise m(AéBD) = x kaç derecedir? A) 30 B) 32 C) 34 D) 36 E) 38
5. Yandaki flekilde; [DF], BDE aç›s›n›n aç›ortay›
[DE] // [AB], |AB| = |BD| ve m(BéCA) = 34° ise
m(DéFE) = x kaç derecedir? A) 66 B) 64 C) 62 D) 56 E) 54
6. Yandaki flekildeki; m(BéED) = 80°, m(DéFC) = 50°
m(EéBD) = m(BéAD) = x ve m(DéAC) = m(DéCF) = y ise
m(BéAC) kaç derecedir?A) 50 B) 45 C) 40 D) 35 E) 30
7. Yandaki flekilde; |AB| = |AC|, [AH] ⊥ [BC][AH] // [FD], |ED| = 5 cm ve |EF| = 8 cm ise|AH| kaç cm dir?A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6
A
B CH
E
D
F
8
5
A
B C
50°
80° yx
x y
D
E
F
A
B
D
CE34°x
F
A
B
D
C
E
18°
x
A
B C
E
D108°
A D
E
B C
80°
A C
BD
α
18°
TEST
79
8. fiekildeki ABC eflkenar üçgeninde; [DE] ⊥ [AC]2|EC| = 3|BD| ve |AD| = 6 cm iseABC üçgeninin çevresi kaç cm dir?A) 27 B) 30 C) 33 D) 36 E) 39
9. Yandaki flekilde; m(FéCA) = 60°, [DF] ⊥ [AC][AB] ⊥ [FC], |AE| = 3 cm ve |EF| = 5 cm
oldu¤una göre, oran› kaçt›r?
A) B) C) D) E)
10. Yandaki flekilde; m(ëA) = 90°, m(ëC) = 30°[NH] ⊥ [BC], [BN] aç›ortay ve |BC| = 18 cmoldu¤una göre, |NH| = x kaç cm dir?
A) 3 B) 4 C) 3ñ3 D) 6 E) 4ñ3
11. fiekildeki ABC üçgeninde; |AB| = |AC|
|DB| = |DC|, [BE] ⊥ [AC] ve m(CéAD) = 25°
oldu¤una göre, m(BéDE) kaç derecedir?A) 115 B) 120 C) 125 D) 130 E) 135
12. Yandaki flekilde; |AB| = 7 cm, |AD| = 5 cm ve|BC| = 6 cm dir. |BD| nun en küçük tam say› de¤eriiçin |CD| = x in alabilece¤i en büyük tam say› de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
1-E 2-E 3-E 4-D 5-D 6-D 7-B 8-D 9-D 10-C 11-D 12-B
6
D
C
B
A
7
x
5
A
B D C
E
25°
A
B
N
CH
x
30°
32
43
1315
1615
1813
32
43
1315
1615
1813
32
43
1315
1615
1813
32
43
1315
1615
1813
32
43
1315
1615
1813
CD
BF
A
B C
y
F
5
60°
E
3D
A
B
D
C
E6
80
1. Yandaki flekilde; m(AéBL) = m(DéBL)
m(AéCK) = m(EéCK), [BL] ⊥ [AL]
[CK] ⊥ [AK] ve m(BéAC) = 80° oldu¤una göreLAK aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 115 B) 120 C) 125 D) 130 E) 135
2. Yandaki flekilde; |FC| = |AC| − |AB|,
|BD| = |DC|, [ED] ⊥ [BC] ve m(AéBE) = 30° iseFBC aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30
3. Yandaki ABC dik üçgeninde; [AB] ⊥ [AC],
|BD| = |DC| ve |AB| = |AE| = oldu¤una göre
DEC aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) 60
4. fiekildeki ABC dik üçgeninde; [AB] ⊥ [BC]
m(BéAD) = m(DéAC) ve |DC| = |EC| ise ADE aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 25 B) 30 C) 40 D) 45 E) 60
5. fiekilde, C noktas›n›n [OA ve [OB›fl›nlar›na göre dik simetrikleri s›ras›ylaD ve E dir.
m(EéCD) = 130° oldu¤una göreOED aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40
6. fiekildeki ABC ikizkenar üçgeninde;[AD] ⊥ [AC], |AB| = |AC| ve
|BD| = |AD| ise oran› kaçt›r?
A) ñ2 B) C) ñ3 D) 2 E) ñ5
7. Yandaki flekilde; ABC eflkenar üçgen, [DE] ⊥ [AB], |AE| = 7 cm ve |DC| = 3 cm ise |AC| = x kaç cm dir? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
A
B D C
E
7x
3
2 3
2 3 5
AC
BD
A
B CD
130°
O
E
B
C
A
D
A
CB D
E
EC
2
A
B
E
CD
A
B CD
EF
30°
A
B C ED
L K
80°
TEST
81
8. Yandaki flekilde; ABC eflkenar üçgen,
m(CéAD) = 15° ve |AD| = ñ6 cm ise |BC| = x kaç cm dir?
A) 1 B) ñ2 C) ñ3 D) 2 E) ñ5
9. Yandaki flekilde; ABC eflkenar üçgen, [DH] ⊥ [AC], [EK] ⊥ [AC], |AE| = |EB| ve
|DB| = 2|DC| ise oran› kaçt›r?
A) B) C) D) E)
10. Yandaki flekilde; [DE] ⊥ [BC] [BD] ve [AD] aç›ortay,|AB| = 9 cm, |BE| = 5 cm ve|EC| = 8 cm ise |AC| = x kaç cm dir? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
11. Yandaki flekilde; |AH| = |HB||AK| = |KC|, [DH] ⊥ [AB][KE] ⊥ [AC] ve |BC| = 10 cm iseADE üçgeninin çevresi kaç cm dir? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
12. Yandaki A¿BC nde; |DB| = |DF|,
|AF| = |AE| ve m(AéCB) = 48°, E, F ve D noktalar›do¤rusal ise ABC aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 36 B) 38 C) 40 D) 42 E) 44
13. Yandaki A¿DC nde; |AB| = |AC||DA| = |BC| ve [AB] ⊥ [AC] iseBAD aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 10 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24
1-D 2-B 3-C 4-D 5-E 6-C 7-B 8-D 9-A 10-B 11-D 12-E 13-B
A
D CB
E
D CB48°
F
A
A
B CD E
H K
A
B
D
C
x9
5 8E
57
47
13
35
37
AK
KH
A
B
E
C
K
H
D
A
B DC
ñ6
x
15°
82
D‹K ÜÇGENDE METR‹K BA⁄INTILAR
Teorem : Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, üçgeni birbirine ve kendisine benzer ikiüçgene ay›r›r.
Hipotez : ABC üçgeninde m(ëA) = 90° ve[AH] ⊥ [BC] ise
Hüküm : A¿BH ~ C¿AH ~ C¿BA dir.
‹spat : 1. m(ëB) = m(ëB)
2. m(BéAC) = m(BéHA) = 90° (Hipotezden)
3. A¿BH ~ C¿BA olur. (1, 2. ve A.A. benzerlik teoreminden)
4. m(ëC) = m(ëC)
5. m(CéHA) = m(CéAB) = 90° (Hipotezden)
6. C¿AH ~ C¿BA (4, 5. ve A.A. benzerlik teoreminden)
7. A¿BH ~ C¿AH ~ C¿BA (3. ve 6. dan)
ÖKL‹D TEOREMLER‹
Teorem : Bir dik üçgende; hipotenüse ait yüksekli¤in uzunlu¤u, hipotenüsten ay›rd›¤› do¤ruparçalar›n›n uzunluklar›n›n geometrik ortas›d›r.
Hipotez : ABC üçgeninde m(ëA) = 90° ve [AH] ⊥ [BC] ise
Hüküm : |AH|2= |BH|.|HC| dir.
‹spat : A¿BH ~ C¿AH
bulunur.
ABC üçgeninde |AH| = h, |BH| = p ve |HC| = k ile gösterilirse h2 = p.k yaz›l›r.
Teorem : Bir dik üçgende, bir dik kenar›n uzunlu¤u, hipotenüsün uzunlu¤u ile hipotenüse aityüksekli¤in hipotenüsten ay›rd›¤› parçalardan kendisi taraf›nda kalan parças›n›n uzunlu¤unungeometrik ortas›d›r.
Hipotez : ABC üçgeninde m(ëA) = 90° ve [AH] ⊥ [BC] ise
Hüküm : |AB|2= |BC|.|BH| ve |AC|
2= |BC|.|HC| dur.
‹spat : Teoremden; A¿BH ~ C ¿BA
ve
C¿AH~C¿BA olur.
Sonuç : ABC üçgeninde; |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c, |BH| = p ve |HC| = k ise
c2 = p.a ve b2 = k.a ⇒ olur.
b2
c2=
kp
⇒ CA
CB=
CH
CA ⇒ AC
2= BC . CH
BH
BA=
AB
CB ⇒ AB
2= BC . BH
c b
A
B CHp k
BH
AH=
AH
CH ⇒ AH
2= BH . HC
A
B CHp k
h
A
B CH
83
Örnek : Yandaki flekilde;ABC dik üçgen[AB] ⊥ [AC], [AD] ⊥ [BC],|BD| = 2 cm, |DC| = 6 cm oldu¤una göre,[AB], [AD] ve [AC] n›n uzunluklar›n› bulunuz.
Çözüm : |AD| = ha ⇒ ha2
= |BD| . |DC|
ha
2= 2 . 6 = 12
ha = = cm bulunur.
|AB|2
= |BD| . |BC| |AC|2
= b2 = 6.8
c2 = 2.8 = 16 b =
|AB| = c = 4 cm bulunur. |AC| = b = cm bulunur.
Örnek : Yandaki ABC dik üçgeninde;
m(ëA) = 90°, [AH] ⊥ [BC],|AB| = 12 cm ve |HC| = 7 cm oldu¤una göre, |BH|, |AC| ve |AH| uzunluklar›n› bulunuz.
Çözüm : ABC üçgeninde Öklid ba¤›nt›lar›ndan;
|AB|2= |BC|.|BH| ⇒ 122 = p.(p+7) ⇒ p2 + 7p − 144 = 0 ⇒ p = 9 cm,
|AC|2= |BC|.|CH| ⇒ b2 = 7.16 ⇒ b = 4ñ7 cm ve
|AH|2= |BH|.|HC| ⇒ h2 = 9.7 ⇒ h = 3ñ7 cm bulunur.
Örnek : Bir dik üçgende;1. Dik kenarlar›n uzunluklar› çarp›m›, hipotenüs uzunlu¤u ile hipotenüse ait yüksekli¤in
uzunlu¤u çarp›m›na eflit,2. Hipotenüse ait yüksekli¤in uzunlu¤unun karesinin tersi, dik kenarlar›n uzunluklar›n›n
karelerinin tersleri toplam›na eflit oldu¤unu gösteriniz.
Çözüm : ABC dik üçgeninde (m(ëA) = 90°)ve [AH] ⊥ [BC] ise1. |AB|.|AC| = |BC|.|AH| veya b.c = a.h
2.
oldu¤unu gösterelim.
C¿AH ~ C ¿BA dir.
1. (Üçgenin benzerli¤inden)
2. olur. (Öklid ba¤›nt›lar›ndan)
1b2
+1c2
=1
p.a+
1k.a
=k + pk.p.a
=a
k.p.a=
1k.p
=1
h2
CA
CB=
AH
BA ⇒ AB . AC = BC . AH veya b.c = a.h olur.
1
AH2
=1
AC2
+1
AB2
veya 1
h2=
1b2
+1c2
A
B CHp 7
bh
c
A
B CHp 7
b12h
4 3
48
2 3 12
2
A
B C6D
84
Örnek : ABC üçgeninde;[AB] ⊥ [BC], [BH] ⊥ [AC],
|AB| = 2ñ5 cm ve |BC| = 4ñ5 cm ise|BH|, |AH| ve |HC| uzunluklar›n› bulunuz.
Çözüm :
P‹SAGOR TEOREM‹
Teorem : Bir dik üçgende; hipotenüsün uzunlu¤unun karesi, dik kenarlar›n uzunluklar›n›nkareleri toplam›na eflittir.
Hipotez : ABC üçgeninde; [AB] ⊥ [AC] ise
Hüküm : |BC|2= |AC|
2+ |AB|
2dir.
‹spat : [AH] ⊥ [BC] çizelim.
1. |AC|2= |CH|.|CB| (Öklid ba¤›nt›s›ndan)
2. |AB|2= |BH|.|BC| (Öklid ba¤›nt›s›ndan)
3. |AC|2+ |AB|
2= |CH|.|CB| + |BH|.|BC| (1. ve 2. den)
4. |AC|2+ |AB|
2= (|CH|+|BH|).|BC| = |BC|.|BC| = |BC|
2olur.
Örnek : fiekildeki ABC üçgeninde;[AH] ⊥ [BC], |AB| = 10 cm,|BH| = 6 cm ve |HC| = 15 cm ise |AC| uzunlu¤unu bulunuz.
Çözüm : ABH dik üçgeninde Pisagor teoreminden;
|AB|2= |BH|
2+ |AH|
2⇒ 102 = 62 + |AH|
2⇒ |AH|
2= 64 ⇒ |AH| = 8 cm dir.
AHC dik üçgeninde Pisagor teoreminden;
|AC|2= |AH|
2+ |HC|
2⇒ |AC|
2= 82 + 152 ⇒ |AC|
2= 289 ⇒ |AC| = 17 cm bulunur.
6
10
15
A
B CH
A
B CH
4. BC
2= CH . AC ⇒ 80 = CH .10 ⇒ CH = 8 cm bulunur.
3. AB
2= AH . AC ⇒ 20 = AH .10 ⇒ AH = 2 cm,
2. AB . BC = BH . AC ⇒ 2 5.4 5 = 4. AC ⇒ AC = 10 cm,
1. 1
BH2
=1
AB2
+1
BC2
⇒ 1
BH2
=1
20+
180
=1
16 ⇒ BH = 4 cm,
A
B C4ñ5
H2ñ5
85
Örnek : Yandaki flekilde; d1 // d2
m(FéBP) = m(AéBP), m(EéAP) = m(BéAP)
|AB| = 10 cm ve |AP| = 4ñ5 cm ised1 ve d2 do¤rular› aras›ndaki uzakl›k kaç cm dir?
Çözüm : P noktas›ndan [PH] ⊥ [AB][PD] ⊥ [AE] ve [PK] ⊥ [BF] dikmelerini çizelim.[BP] ve [AP] aç›ortay oldu¤undan
|PH| = |PD| = |PK| ve m(BéPA) = 90° olur. APB dik üçgeninde;
d1 ve d2, do¤rular› aras›ndaki uzakl›k;|KD| = |PD| + |PK| = 2.|PH| = 2.4 = 8 cm dir.
Örnek : Yandaki ABC üçgeninde; [AB] ⊥ [AC][DE] ⊥ [BC], |AD| = |DB|, |BE| = 5 cmve |EC| = 13 cm ise |AC| uzunlu¤u kaç cm dir?
Çözüm : DEB ve DEC üçgenlerinde Pisagor teoreminden;
|DE|2= |BD|
2− |BE|
2= |DC|
2− |EC|
2
⇒ |DC|2− |BD|
2= 132− 52 = 144 olur.
DAC dik üçgeninde Pisagor teoreminden de;
|AC|2= |DC|
2− |DA|
2= |DC|
2− |BD|
2= 144 ⇒ |AC| = 12 cm dir.
1. Yandaki flekilde; [AB] ⊥ [AC], [AH] ⊥ [BC]
|AB| = 2ò13 cm ve |AC| = 3ò13 cmoldu¤una göre, |AH| uzunlu¤u kaç cm dir?
2. Yandaki ABC dik üçgeninde; [AD] kenarortayd›r.
[AH] ⊥ [BC] ve oldu¤una göre kaçt›r?
AB
AC
AH
AD=
45
A
B CH D
A
B CH
2ò133ò13
ALIfiTIRMALAR
A
B CE5 13
D
ve AB . PH = PA . PB ⇒ 10. PH = 4 5.2 5 ⇒ PH = 4 cm bulunur.
PB
2= 102 − (4 5)2 = 100− 80 = 20 ⇒ PB = 2 5 cm
H
Ad2
d1F
E
B
P
4ñ5
Ad2
d1F
E
B
P10
4ñ5
86
3. Yandaki ABC dik üçgeninde; m(ëA) = 90°,
[AH] ⊥ [BC], |AB| = 2ñ5 cm ve
|HC| = 8 cm oldu¤una göre |BH|, |AH| ve
|AC| nu bulunuz.
4. fiekildeki ABC üçgeninde; [AB] ⊥ [BC] |AD| = |DC| = 5 cm, |BE| = 1 cm ve|EA| = 7 cm ise BED aç›s›n›n ölçüsükaç derecedir?
1. Yandaki flekilde; [AD] ⊥ [BC] |AB| = |DC|, |BD| = 1 cm ve |AC| = 7 cm ise |AB| kaç cm dir?
A) 4 B) C) 5 D) E) 6
2. Yandaki flekilde; [EF] // [BC][BD] ve [CD] aç›ortay,|AB| = 20 cm, |BC| = 16 cm ve|AC| = 28 cm ise |EF| kaç cm dir?A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
3. Yandaki flekilde; |AB| = |AC||BC| = |BD|, |AB| = 9 cm ve |AD| = 5 cm ise BCD üçgeninin çevresi kaç cm dir?A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19
4. Yandaki flekilde; |AB| = |AC|
m(AéDB) = 60°, |AD| = 6 cm ve|DC| = 7 cm ise |BD| = x kaç cm dir?A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
A
B CDx 760°
6
A
B C
D9
5
A
B C16
DE F
20
28
92
112
92
112
A
B CD
7
1
TEST
A
B C
D7
1
5
5
E
A
B CH 8
2ñ5
87
5. Yandaki flekilde; [AB] ⊥ [AC]
m(AéDB) = 45°, |AD| = 6ñ2 cm ve |CD| = 2 cm ise |BC| = x kaç cm dir?A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11
6. Yandaki flekilde; [AB] ⊥ [AC]|AB| = |AD| = 15 cm ve |BD| = 18 cm ise |AC| = x kaç cm dir?A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24
7. Yandaki flekilde; m(AéBD) = m(AéDB)|AC| = 9 cm ve |BD| = |DC| = 4 cm ise |AB| = x kaç cm dir?
A) 6 B) C) 7 D) E) 8
8. Yandaki flekilde; |AB| = |AC|
m(AéDB) = 60°, |BD| = 8 cm ve |AD| = 5 cm ise |DC| = x kaç cm dir?
A) 1 B) 2 C) D) 3 E)
1-C 2-D 3-B 4-E 5-C 6-A 7-C 8-E
52
72
52
72
A
B C8 D
5
x60°
132
152
132
152
A
B C4 D
9
4
x
A
B C18 D
1515
x
A
B45°
Dx
6ñ2
2C
88