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III. CONDUTORESIII. CONDUTORES (Modelo de Sommerfeld(Modelo de Sommerfeld))
3.1 Distribuições Estatísticas3.1 Distribuições Estatísticas
Tk
EMB
Be
TEf 1
,,
Maxwell-Boltzmann
1
1,,
Tk
EFD
Be
TEf
Fermi-Dirac
Em equilíbrio: = EF0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
Energia [eV]
Pro
babi
lidad
e
Distribuições
Fermi-Dirac
Maxwell-Boltzmann
PotencialEletroquímico
Energia [eV]
dETEfn FD ,,(*)
3.2 Fermi-Dirac3.2 Fermi-Dirac
0.5 1 1.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Energia [eV]
Pro
babi
lidad
eDistribuiçao de Fermi-Dirac
T1 > T2 > T3 > T4 = 0 K
kBT
Energia de Fermi
/ Energia de Fermi [eV]
3.3 Equação de Schrödinger3.3 Equação de Schrödinger
02
22
rE
m
• Condição de contorno de Born-von Karman: Todos elétrons estão contidos no sólido:
Busca soluções da forma: rkiAer
Rrr
Lâx
Lây
Lâz
R =
Rrkirki AeAe
1Rkie
L
Ck
2 ; = x, y, z
• Substitui de volta na equação de Schrödinger:
m
kkE
2
22 ; k = |k|
3.4 Nível de Fermi3.4 Nível de Fermi
m
kE
2
22Energia de um elétron livre:
k
E
EF
00.
51
1.5
0
0.51
1.5
Ene
rgia
[eV
]
Probabilidade
Max
wel
l-Bol
tzm
ann
Fer
mi-D
irac
Exemplo 3.1Exemplo 3.1
• Qual energia de Fermi de um sistema sabendo que o vetor de onda equivalente tem módulo de 5.12 109
[Kg/Js]½. Qual a probabilidade de se encontrar um elétron com energia de 1.2 eV neste sistema?
eV
m
kE
F
F 11011.92
1012.510055.1
2 31
2923422
%04.01
1
1,,
1
3001063.8
12.15
e
e
TEfTk
EFD
B
3.5 Efeito Seebeck3.5 Efeito Seebeck
3.6-1 Não-Equilíbrio3.6-1 Não-Equilíbrio
1
1,0,, 0
rTk
kE
Be
krgtkrg
',,'
',, 0 ttPkrg
t
dttkrdg
t
ttPtkrgt
dttkrg ',,,
'
',, 0
'',
'
',
t
ttP
t
ttP
t
t
ttPtkrgdttkrg
'
',,,',, 0
• Integra por partes:
t
t
tkrgttPdttkrgtkrg
'
,,',',,,,
00
3.6-2 Não-Equilíbrio3.6-2 Não-Equilíbrio
''''
, 0000
t
r
r
g
t
r
r
T
T
g
t
k
k
E
E
g
t
krg
vt
r
vt
r
rT
r
T
1
0 1,
rTk
kE
Bekrg
E
fef
TkE
g Tk
E
B
B
2
0 1
E
fef
Tk
g Tk
E
B
B
2
0 1E
f
T
E
Tk
Eef
TkT
g
B
Tk
E
B
B
22
0 1; ;
v
m
p
m
k
m
k
k
E
m
kE
222
2
qEFma
t
vm
t
p
t
k
1
(a) =
(a)
vqE
3.7-1 Condutividade Fora-de-Equilíbrio3.7-1 Condutividade Fora-de-Equilíbrio
t
TT
qEvf
ttPdtkrgtkrg
',',,, 0
'',
'
',
t
ttP
t
ttP
'
',tt
ettP
fkkvqEkgkg
0
• Campo estático, sem gradientes de potencial eletroquímico e temperatura:
Equilíbrio Não-Equilíbrio
kgkvkd
qJ
34Sommerfeld
dkf
kkvkvq
3
2
4
Com c.c.: P(t,t) = 1.
3.7-2 Condutividade Fora-de-Equilíbrio3.7-2 Condutividade Fora-de-Equilíbrio
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Energia/Energia de Fermi
f,
dkf
kkvkvq
3
2
4
3.8 Condutividade Termoelétrica3.8 Condutividade Termoelétrica
t
TT
qEvf
ttPdtkrgtkrg
',',,, 0
kgkvkd
qJ
34
T
E
LL
LL
J
JT
2221
1211
2
22
22
22
2112
11
3
3
q
TkL
Tkq
LTL
L
B
B
TJ
J
LL
LL
T
E1
2221
1211
T
J
J
ET
: Resistividade: Potência termoelétrica: Coeficiente Peltier: Condutividade térmica
3.9 Efeito Seebeck rvst’d3.9 Efeito Seebeck rvst’d
T
J
J
ET
TE
LT0
T1
x
L
TT
x
TE xxx
010
TVSeebeck 0
Material Al Cu Ag W (Bi,Sb)2Te3 Bi2(Te,Se)3 ZnSb InSb Ge TiO2
Seebeck voltage [µV/K](Vhot - Vcold)
-0,20 +3,98 +3,68 +5,0 +195 -210 +220 -130 -210 -200
700 oCRT
Exemplo 3.2Exemplo 3.2
• Qual a diferença de potencial elétrico gerada em um transdutor de ZnSb, sabendo que existe uma diferença de 20oC nas suas duas extremidades separadas por 10 cm ?
mVTTV 4.42010220 612
3.10-1 Termopares (3.10-1 Termopares (ThermocouplesThermocouples))
t
TT
qEvf
ttPdtkrgtkrg
',',,, 0
Fios tem que ser diferentes!
Fio A
Fio B
T0T1
Tipos mais comuns:
K (níquel-cromo/níquel-alumínio ou cromel/alumel), E: cobre/níquel = constantan.
1
0
T
T
dTVTxEx
TE
ooT
T
TTdTTTV21
2
1
1221
3.10-2 Termopares3.10-2 Termopares
Exemplo 3.3Exemplo 3.3
• Um termopar constituído de uma junção Cu-Al tem seu lado quente submetido a 500oC em relação ao seu lado frio. Qual a tensão medida entre seus terminais?
mVTTV oo 1.2500102.098.3 61221
• Se ambos coeficientes dependessem linearmente da temperatura(oT) que tensão seria gerada entre 500K e 300K?
ooT
T
TTdTTTV2112
2
1
2221 2
1
mVV 3342.098.33005002
1 22
3.11 Efeito Peltier3.11 Efeito Peltier
T
J
J
ET
JJ T
Module Imax
[A]
Qmax
[W]
Uma
x
[V]
dTma
x
[K]
Dimensions
Unit Price[Euro] A [mm] B [mm] C [mm] D [mm] H [mm]
TECM-4-4-1b/69 1,4 0,7 0,9 69 4,3 4,3 4,3 4,3 2,95 28,75
TECM-4-5-1/67 0,7 0,4 1,0 67 3,4 3,4 3,4 5,0 2,30 29,50
TECM-5-7-1/67 0,7 0,9 2,2 67 5,0 5,0 5,0 6,6 2,30 38,50
TECM-7-8-2/67 0,7 1,7 3,9 67 6,6 6,6 6,6 8,3 2,30 52,50
TECM-9-12-4/67 0,7 3,5 8,0 67 9,1 9,9 9,1 11,5 2,30 66,25
TECM-12-6-4/69 1,7 4,4 4,3 69 6,0 12,0 6,0 12,0 2,75 57,50
T;
Relação de Kelvin