Tarea 1

Licenciatura en Fısica AplicadaMecanica Estadıstica

Brayan Estyardo Lemus Salgado 2008-17916

28 de noviembre de 2015

1La constante de Boltzmann (k o kB) es la constante fısica que relaciona temperatura absoluta yenergıa. Se llama ası en honor del fısico austriaco Ludwig Boltzmann, quien hizo importantes contribucio-nes a la teorıa de la mecanica estadıstica, en cuyas ecuaciones fundamentales esta constante desempenaun papel central.

1. *Experimento 1

En este experimento hemos de determinar la constante de Boltzmann de las caracterısticas de voltaje-corriente de un transistor. Un transistor consta de tres piezas de material semiconductor en un sandwich;el emisor, la base, y el colector. El emisor emite electrones, la base controla esta corriente de electrones,y el colector recoge la corriente. Se encuentra que la corriente de colector, I c , depende de la tension debase, V b (el voltaje entre la base y el emisor), de una manera exponencial. La relacion es:

Ic = I0e(eVbkT

) (1)

donde o es una constante, e es la carga del electron (1.602x10 -19 C), V b es la tension de base,T es la temperatura absoluta en grados Kelvin, y k es la constante de Boltzmann. Si una baterıa V oesta conectado a traves de un transistor y una resistencia en serie R, la tension en la resistencia sera V o- V c V donde c es la tension de colector (la tension entre el colector y la base del transistor). A partir dela ley de Ohm, este voltaje es igual a I c R, donde c es la corriente de colector, de manera que

Ic =(V0 − Vc)

R= I0e

(eVbkT

) (2)

Tomando el logaritmo natural de ambos lados:

ln(V0 − V c) = ln(I0R) + (eVb/kT ) (3)

La ecuacion (3) es una relacion lineal entre ln (V o - V c ) y V b con una pendiente igual a e / kT.El valor de la constante de Boltzmann puede entonces determinarse.

Figura 1: Diagrama de Circuito( Experimento 1)

1 Constante de Boltzmann: Wikipedia inc.∗ Constante de Boltzmann: FIZIKS.

1

2. Graficas Ejercicio 4.3

La energıa promedio dada por el ejemplo 4.3.

〈E〉 =ε

eε

KBT + 1, 〈E〉 =

ε

en + 1(4)

Eligiendo

n =ε

KbT

donde n es un numero real.

ε = 1,38× 10−21

Para una visualizacion hasta n = 2,5

Figura 2: Marcas en T = 50K, n = 2 y T = 1× 106, n = 0,0001

ε/2 = 6,9× 10−22

3. Ejercicio 5

Usando como referencia el ejemplo 4.2 del libro de texto, escribir un programa de computadora que (i)simule una distribucion de quantos en un tablero de 1000× 1000 casillas. Asumir que en el estado inicialcada casilla contiene por lo menos un quanto. Como lo muestra en el libro, luego en el siguiente estadoun quanto es removido de una casilla para ser agregado a otra casilla. Con el programa de computadora,elaborar un histograma del numero de cuantos vs le estado ( i = 1,2,3,...,N con N ¡10,000) de cada quantoa medida que se hacen 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1,000,000 iteraciones.

Mostrar cualitativamente, con sus histogramas que para un numero grande de repeticiones de esteproceso, la distribucion se parece a una distribucion de Botlzmann.

3.1. Reproduccion de Resultados del ejemplo 4.2

(a)

2

(b)

3

(c)

(d)

Figura 1.1 La energıa esta distribuida en un enrejado de 20x20. (a) En en estado inicial, un cuantoes colocado en cada casilla. (b) Una casilla es elegida al azar y el cuanto es removido de esa casilla ycolocado en una segunda casilla, tambien elegida al azar. (c) Luego de 1x107 iteraciones de este proceso,el resultado asemeja a una distribucion de Boltzmann. (d) luego de 1x108 iteraciones con 2 cuantos porcasilla como distribucion inicial. Cada Histograma representa la cantidad de casillas con determinadonumero de cuantos.

4

4. Funcion N(n)

Para valores de N = 1000 y 1000 iteraciones, con 1 cuanto por casilla como distribucion inicial.

Cuantos Casillas

0 500000,00

1 250000,00

2 125000,00

3 62500,00

4 31250,00

5 15625,00

6 7812,50

7 3906,25

8 1953,13

9 976,56

10 488,28

11 244,14

12 122,07

13 61,04

14 30,52

15 15,26

16 7,63

17 3,81

18 1,91

19 0,95

20 0,48

Tabla 1:Funcion

Cuantos Casillas

0 500207

1 249674

2 125501

3 61992

4 31358

5 15590

6 7787

7 3943

8 1960

9 989

10 490

11 237

12 138

13 57

14 39

15 21

16 5

17 4

18 5

19 1

20 2

Tabla 2: Salida de programa

Histograma de salida de Funcion Histograma de salida de Programa

Los resultados fueron obtenidos utilizando la funcion

N(n) ' 2−(n+1)N (5)

en correccion de la ecuacion (1), ası mismo, efectivamente puede visualizarse la correspondencia entreambos resultados.

5

Para visualizar la correspondencia de manera lineal, podemos mostrar los valores en escalas logarıtmi-cas; donde

log10(N) = −(n− 1)log10(2) + log10(N) (6)

y utilizando el log10 de los datos de la Tabla (2).

Por lo tanto, dando que existe concordancia entre los valores esperados y los obtenidos. Para valo-res discretos, de 1 cuanto por casilla como distribucion inicial la ecuacion (2) se comporta como unadistribucion de Boltzmann.

6

5. Generalizacion

De manera mas general, podemos usar la distribucion de Boltzmann planteada como:

P ∝ e−βε (7)

La constante de proporcionalidad sera el numero de casillas que podamos asignar, por lo tanto:

N(n) =N3e−β(n+1) (8)

Podemos observar la validez de la ecuacion incrementando el numero de Q (cuantos) en cada casilla;por ejemplo: Para Q = 3 y Q = 4 , por casilla, y N = 1x106.

Q = 3 Q = 4 Q = 5

Estas graficas se encuentran ajustando (2) con los datos obtenidos en del programa por medio deβ donde β ∝ Q, el desfase incrementa debido al numero de iteraciones requeridas para obtener unadistribucion apropiada, cuando Q aumenta, tambien deben incrementarse el numero de iteraciones paraobtener los resultados de una distribucion de Boltzmann. La dispersion de los puntos con mas cuantos eslo que desfasa el ajuste.Tambien podemos comparar los valores obtenidos utilizando (2) en una tabla y visualizarlo en histogramas.

Programa Q = 3 Ecuacion Q = 3

7

Cuantos Casillas

0 250185

1 187192

2 141102

3 105400

4 78937

5 59512

6 44232

7 33558

8 24793

9 18673

10 14074

11 10510

12 8037

13 5833

14 4456

15 3402

16 2474

17 1952

18 1400

19 1091

20 786

21 580

22 465

23 290

24 260

25 193

26 145

27 105

28 99

29 70

Tabla 3: Salida de Programa

Cuantos Casillas

0 250383,60

1 188823,77

2 142399,16

3 107388,61

4 80985,82

5 61074,48

6 46058,58

7 34734,52

8 26194,62

9 19754,36

10 14897,51

11 11234,78

12 8472,57

13 6389,49

14 4818,56

15 3633,86

16 2740,43

17 2066,66

18 1558,55

19 1175,36

20 886,38

21 668,46

22 504,11

23 380,17

24 286,70

25 216,21

26 163,05

27 122,96

28 92,73

29 69,93

Tabla 4: Salida de Funcion

De esta manera podemos concluir que nuestra generalizacion es valida; de tal manera que para unamatriz de 1000× 1000 con Q = 3 inicialmente por casilla, y realizando 1× 107 iteraciones, se demuestraque efectivamente se comporta como una distribucion de Boltzmann.

8

6. Codigo del programa

#inc lude <s t d i o . h> /∗ L i b r e r i a s Genera les ∗/#inc lude <s t d l i b . h> /∗ L i b r e r i a s Ad i c i ona l e s ∗/#inc lude <math . h> /∗ L i b r e r i a s de Matematica ∗/#inc lude <time . h>

void imprimir ( i n t lado , i n t tab la [ lado ] [ lado ] ){

i n t a , b ;FILE ∗out ;out = fopen (” tab la . dat ” ,”w” ) ;

f o r ( a = 0 ; a < lado ; a++ ){

f o r ( b = 0 ; b < lado ; b++){

f p r i n t f ( out , ” %d ” , tab la [ a ] [ b ] ) ;}

f p r i n t f ( out , ”\n ” ) ;}

f c l o s e ( out ) ;}

i n t genrand ( l i m i t e ){

i n t n ;n = random ( ) % l i m i t e ;r e turn (n ) ;

}

void contar ( i n t c , i n t lado , i n t tab la [ lado ] [ lado ] ){

i n t a , b , contador ;FILE ∗ cont ;cont = fopen (” contado . dat ” ,” a ” ) ;

contador = 0 ;f o r ( a = 0 ; a < lado ; a++){

f o r ( b = 0 ; b < lado ; b++){

i f ( tab la [ a ] [ b ] == c ) contador = contador +1;}

}

f p r i n t f ( cont ,” %d %d\n” , c , contador ) ;f c l o s e ( cont ) ;

}

9

main ( ){

i n t lado = 1000 ;i n t p laca [ lado ] [ lado ] ;double c a s i l l a s = lado ∗ lado ;// c o n t r o li n t i , j ; // i : F i la , j : Columna

// Genera l o s v a l o r e s i n i c i a l e sp r i n t f (” LLenando e s p a c i o s \n ” ) ;f o r ( i =0; i < lado ; i++){

f o r ( j = 0 ; j < lado ; j++){

placa [ i ] [ j ] = 4 ;}

}

// Aleatoreamente re−ordena l o s cuantosp r i n t f (”Re−ordenando Valores \n ” ) ;i n t a , b , n ;double i t e r a c i o n e s = 1e7 ;t ime t t ;n = 1 ;srand ( ( unsigned ) time(&t ) ) ;f o r ( i = 0 ; i < i t e r a c i o n e s ; i ++ ){

a = genrand ( lado ) ;b = genrand ( lado ) ;i f ( p laca [ a ] [ b ] − 1 < 0){

whi le ( p laca [ a ] [ b ] −1 < 0 ){

a = genrand ( lado ) ;b = genrand ( lado ) ;

}}

placa [ a ] [ b ] = placa [ a ] [ b ] −1;a = genrand ( lado ) ;b = genrand ( lado ) ;p laca [ a ] [ b ] = placa [ a ] [ b ] +1;

i f ( i == n∗( i t e r a c i o n e s /10)){

p r i n t f (” Completado : %d\% \n” ,n ∗1 0 ) ;n=n+1;

}

}

10

imprimir ( lado , p laca ) ;

// Ordena y Cuenta cuantos r e p e t i d o s

p r i n t f (” Ordenando\n ” ) ;

i n t c o n t r o l [ lado ] ;f o r ( i = 0 ; i < lado ; i++) { c o n t r o l [ i ] = lado ; }

i n t dato , p ;f l o a t por = 0 ;i n t peso , repe ;repe = 0 ;f o r ( i = 0 ; i < lado ; i++){

f o r ( j = 0 ; j < lado ; j++){

peso = 0 ;dato = placa [ i ] [ j ] ;f o r ( a = 0 ; a < lado ; a++){

i f ( dato == c o n t r o l [ a ] ){ peso = peso +1;}}

i f ( peso == 0 ){c o n t r o l [ repe ] = dato ;i f ( repe > 0){

i n t ver = 0 ;whi l e ( ver != repe ){

ver = 0 ;f o r ( a = 0 ; a < repe ; a++){

i f ( c o n t r o l [ a+1] < c o n t r o l [ a ] ){

p = c o n t r o l [ a +1] ;c o n t r o l [ a+1] = c o n t r o l [ a ] ;c o n t r o l [ a ] = p ;

}e l s e ver = ver +1;

}}

}repe = repe + 1 ;por = (1−((( lado ∗ lado )−( i ∗ j ) ) / c a s i l l a s ) ) ∗ 1 0 . 0 0 ;p r i n t f (” Completado : %.3 f \n” , por ) ;}

}}

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p r i n t f (” Contando\n ” ) ;n=1;f o r ( i = 0 ; i < repe ; i++){

contar ( c o n t r o l [ i ] , lado , p laca ) ;i f ( i == n∗( repe /10)){

p r i n t f (” Completado : %d\% \n” ,n ∗1 0 ) ;n=n+1;

}

}

}

Fuentes de consulta

[1] Fundacion Wikimedia, Inc.Constante de Boltzmann [En linea]Disponible en:http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Boltzmann

[2] F I Z I K S, Dr. John Askill, 1999..Constante de Boltzmann [En linea][09 Dic 2007]. Disponible en:http://fiziks.net/lifesciencese/exp63.htm

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