Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Advanced Numerical Methods 78
هاي تکراريحل دستگاه معادالت به روشIterative methods
Advanced Numerical Methods 79
هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروشهستندتکرارمبنايبرروش هااین.امهادشوند،همگراشده ايتعیینپیشازخطايبهجواب هاوقتیتامحاسبات
.می یابدهستندتقریبیروش هادستهاین.می شونداستفادهبزرگدستگاه هايبراي.
Advanced Numerical Methods 80
هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروش
یکبرايمعادلههرxمی شودحل.
تخمینسادهحدسیک(.می شودشروعمجهوالتازتخمینیکبامحاسبات)مجهوالتتمامیبرايصفر
Advanced Numerical Methods 81
هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروش
تمامیبرايxمی گرددتکرارحلاینومی شوندحلمعادالتاینها.
رصد خطاي نسبی تقریبی در انتهاي هر مرحله براي تمام دxها محاسبه می شود.براي همه مجهوالت خطا باید کمتر از خطاي از پیش تعیین شده باشد.
Advanced Numerical Methods 82
هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروش
x2=x3=0
x3=0
Advanced Numerical Methods 83
هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروش
قبلرحلهمتکراربهتوجهباخطابنابرایننیست،مشخصدقیقمقدارواقعی،مسائلدر:شودمیمحاسبه
روش ممکن است واگرا شود.
باشدهمگرایی ممکن است کند.
Advanced Numerical Methods 84
هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروش) :واگرایی(1مثال
2558.106 32
1aa
a−−
=
8642.177 31
2aa
a−−
=
1121442.279 21
3aaa −−
=
=
521
3
2
1
aaa :حدس اولیه
8.106525 321 =++ aaa
2.177864 321 =++ aaa
2.27912144 321 =++ aaa
Advanced Numerical Methods 85
هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروش
تکرار a1 %Error a1 a2 %Error a2 a3 %Error a3
1
2
3
4
5
6
3.6720
12.056
47.182
193.33
800.53
3322.6
72.767
69.543
74.447
75.595
75.850
75.906
–7.8510
–54.882
–255.51
–1093.4
–4577.2
–19049
125.47
85.695
78.521
76.632
76.112
75.972
–155.36
–798.34
–3448.9
–14440
–60072
–249580
103.22
80.540
76.852
76.116
75.963
75.931
29048.01 =a 690.192 =a 0857.13 =a:جواب صحیح
Advanced Numerical Methods 86
هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروش):سرعت هم گرایی پائین(2مثال
144122.279 32
1aaa −−
=
8642.177 31
2aa
a−−
=
15258.106 21
3aaa −−
=
=
521
3
2
1
aaa :حدس اولیه
8.106525 321 =++ aaa
2.177864 321 =++ aaa
2.27912144 321 =++ aaa
Advanced Numerical Methods 87
هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروش
تکرار a1 %Error a1 a2 %Error a2 a3 %Error a3
1
2
3
4
5
6
۱.7375
1.1282
0.9085
0.8062
0.7419
0.6923
42.446
54.006
24.183
12.689
8.667
7.164
7.625
9.9696
11.2890
12.2452
13.0371
13.7285
73.770
23.517
11.687
7.809
6.074
5.036
25.2375
28.7466
27.6435
25.4197
23.0663
20.8506
80.188
12.207
3.990
8.748
10.202
10.626
29048.01 =a 690.192 =a 0857.13 =a:جواب صحیح
Advanced Numerical Methods 88
هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروش15312):همگرایی سریع(3مثال 321 xx x =−+
2835 321 x x x =++
761373 321 =++ x x x
=
101
3
2
1
xxx
:حدس اولیه
Advanced Numerical Methods 89
هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروش:3مثال
تکرار a1 %Error a1 a2 %Error a2 a3 %Error a3
1
2
3
4
5
6
0.50000
0.14679
0.74275
0.94675
0.99177
0.99919
100.00
240.61
80.236
21.546
4.5391
0.74307
4.9000
3.7153
3.1644
3.0281
3.0034
3.0001
100.00
31.889
17.408
4.4996
0.82499
0.10856
3.0923
3.8118
3.9708
3.9971
4.0001
4.0001
67.662
18.874
4.0064
0.65772
0.074383
0.00101
=
431
3
2
1
xxx
:حل صحیح
Advanced Numerical Methods 90
)Jacobi iteration method(روش تکرار ژاکوبی
Advanced Numerical Methods 91
روش تکرار ژاکوبی
Residual
)Diagonally Dominant(مسلط قطري : شرط همگرایی
ژاکوبیتکرارروشدرباقیماندهمحاسبه
∑≠=
≥n
ijj
ijii aa1
باشدبرقرارسطرهاتمامیبرايروبروشرطاگر:
باشدبرقرارسطریکبرايحداقلروبروشرطاگریا:∑≠=
>n
ijj
ijii aa1 اسکاربوروشرط
Scarborough Criterion
Advanced Numerical Methods 92
)Gauss-Seidel method(سایدل -روش گوس
سایدل-گوستکرارروشدرباقیماندهمحاسبه
Advanced Numerical Methods 93
هاي تکرارچند نکته در خصوص روش سایدل واگرا -باشند، از روش گوس) واگرا(اگر از طریق روش ژاکوبی، معادالت همگرا
. خواهد شد) همگرا( سرعت همگرایی کدام روش بیشتر است؟براي همگرایی، باید حداقل یکی از معادالت شرط مسلط قطري را برآورده نماید .سایدل، مزیت روش ژاکوبی چیست؟ -با وجود روش گوس
Advanced Numerical Methods 94
مقایسه همگرایی در دو روش
4X1 + 2X2 = 2
2X1 + 10X2 + 4X3 = 6
4X2 + 5X3 = 5
Solution: (X1 , X2 , X3 ) = (0.41379, 0.17241, 0.86206)
=
7.05.06.0
3
2
1
xxx :حدس اولیه
مثال
Advanced Numerical Methods 95
مقایسه همگرایی در دو روشژاکوبیتکرارروشدرهمگرایینمودار
0
0/1
0/2
0/3
0/4
0/5
0/6
0/7
0/8
0/9
1
0 2 4 6 8 10
یرتغ
ر مدا
مق
تعداد تکرار
X1 X2 X3
Advanced Numerical Methods 96
مقایسه همگرایی در دو روشسایدل-گوستکرارروشدرهمگرایینمودار
0
0/1
0/2
0/3
0/4
0/5
0/6
0/7
0/8
0/9
1
0 2 4 6 8 10
یرتغ
ر مدا
مق
تعداد تکرار
X1 X2 X3
Advanced Numerical Methods 97
)SOR)Successive Over Relaxationروش
ω =1 ⟹ Gauss-Seidelω<1 ⟹ Under Relaxation1<ω<2 ⟹ Over Relaxationω>2 ⟹ System Diverge
جلوگیري از واگرائی و میرایی نوسانات در تکرار می شودضریب زیر تخفیف باعث.باالبردن سرعت همگرایی می شودضریب فوق تخفیف باعث.
افزایش سرعت همگرائی با استفاده از ضریب تخفیف)Relaxation(
Advanced Numerical Methods 98
λ Number of λ Number ofIterations Iterations
0.7 33 1.25 120.8 27 1.3 140.9 22 1.4 171 17 1.5 22
1.1 13 1.6 301.15 10 1.7 431.2 10
مقایسه همگرایی در دو روش
4X1 + 2X2 = 2
2X1 + 10X2 + 4X3 = 64X2 + 5X3 = 5
Solution: (X1 , X2 , X3 ) = (0.41379, 0.17241, 0.86206)
تخفیفضریبتاثیربررسی:مثال
ω ω
Advanced Numerical Methods 99
دستگاه حل معادالت غیرخطیدستگاه معادالت غیرخطی زیر را در نظر بگیرید:
:تیلوربسطازاستفادهباورافسون-نیوتنروشمشابه
.باشدمیمعادلهریشهزیرااست،صفرfk,i+1مقدار.هستندمجهولمقادیرi+1وحاضرمقادیرiباالرابطهدرkاستمجهولیامعادلهشمارهدهندهنشانهم
Advanced Numerical Methods 100
دستگاه حل معادالت غیرخطی
فرم.استحلقابلشده،گفتههايروشازیکهرباخطیمعادالتدستگاهاین:معادلهماتریسی
Advanced Numerical Methods 101
حل دستگاه معادالت: 3تمرین سري
شماره تمرین شماره صفحه
9.9 2729.11 2729.12 27210.6 293
10.25 29511.3 312
11.12 31311.13 313
هاي مشخص شده از کتاب فوقتمرین
Numerical Methods for EngineersSteven C. Chapra, Raymond P. CanaleISBN: 978–0–07–340106–5Publisher: McGraw-HillPub. Date: 2010
Advanced Numerical Methods 102
حل دستگاه معادالت: 2پروژه معادالتکهکنیدسعی.نماییدانتخابرامجهول30ومعادله30حداقلبامعادلهدستگاه
.باشدداشتهفیزیکیمفهومشدهانتخاببنویسیدزیرهايروشازیکهرازاستفادهباراکامپیوتريبرنامه.
گوسحذفروشتجزیهروشLUژاکوبیتکرارروشسایدلگوستکرارروشکنیدحلراانتخابیمعادلهدستگاهشده،نوشتهبرنامهازاستفادهبا.استشدهنوشتهادامهدرهاخواستهسایر.
Advanced Numerical Methods 103
حل دستگاه معادالت: 2پروژه کنیدرسممعادالت،دستگاهحلتکراريهايروشدرراهمگرایینمودار.تخفیفضریبتاثیر)Relaxation Factor(کنیدبررسیهمگراییسرعتبررا.نماییدبررسیهمگراییسرعتنظرازراهاروشازیکهر.رفتاربدمعادالت،ضرایبماتریسدهیدنشان)ill-condition(رفتارخوشیا)Well-
condition(است.کهکنیدبررسیPivotingداردتاثیريچهگوسی،حذفروشهمگراییسرعتدر.
Advanced Numerical Methods 1
باسمه تعالی
Advanced Numerical Methods 2
روش هاي عددي حل معادالت دیفرانسیل معمولیOrdinary differential equations
Advanced Numerical Methods 3
مقدمهتیمدر بسیاري از مسایل فیزیکی و مهندسی با معادالت دیفرانسیل معمولی روبرو هس.بع و متغیر یک معادله دیفرانسیل معمولی رابطه اي بین یک تابع یک متغیره، مشتق هاي تا
.مستقل می باشد
شوندمیبنديمعادالت دیفرانسیل معمولی بر اساس مرتبه مشتق موجود در معادله، تقسیم.باالترین مرتبه مشتق موجود در معادله نشان دهنده مرتبه معادله است.
dy/dx = f(x,y)d2y/dx2=f(x,y,dy/dx)
لاومرتبهدیفرانسیلمعادله
ومدمرتبهدیفرانسیلمعادله
Advanced Numerical Methods 4
مقدمهبا استفاده از تغییر متغیر، امکان کاهش مرتبه معادالت مرتبه باال وجود دارد.
دستگاه معادالت دیفرانسیل معمولی
:داریمباال،دوممرتبهدیفرانسیلمعادلهدرمتغیرتغییراعمالبا
11 1 2 n
22 1 2 n
nn 1 2 n
dy f (x, y , y , , y )dxdy f (x, y , y , , y )dx
dy f (x, y , y , , y )dx
= = =
بهدستگاهاینحلnداردنیازمرزيشرط.
Advanced Numerical Methods 5
مقدمهحل تحلیلی یک نمونه معادله دیفرانسیل
Cچگونه محاسبه می شود؟
dydx
x
dy x dx
y x C
=
=
= +
∫∫
4
4
43
2
2
3
شرط اولیه؟y(0)=?
( ) ( ) 1C;C3041;10y
3
=⇒+=⇒=
13x4y
3
+=
جواب عمومی معادله
جواب خصوصی معادله
جوابتنهابلکه.آوردبه دسترامعادلهیکعمومیجوابنمی توانعدديروش هايطریقاز.می آیدبه دست)اولیه(مرزيشرطاعمالبامعادلهخصوصی
Advanced Numerical Methods 6
)شرایط مرزي و اولیه(مقدمه براي حل معادله دیفرانسیل مرتبهn بهn نیاز است) اولیه(شرط مرزي.
معادالت دیفرانسیل معمولی
مسائل مقدار اولیه )Initial Value Problems(
مسائل مقدار مرزي )Boundary Value Problems(
ولیارددتأثیرآیندهبرگذشتهمسائلایندرواقعدر.دارندراههیکسیستماولیه،مقدارمسائلمیدانايانتهوابتدامقادیر.استراههدوسیستممرزي،مقدارمسائلدر.نیستدرستآنبالعکس
.دارداثرنتایجبرحل،
X=0 X=Li
Advanced Numerical Methods 7
)شرایط مرزي و اولیه(مقدمه مسئله مقدار مرزي(تغییر شکل یک تیر دو سر درگیر(
مسئله مقدار اولیه(در اثر اعمال نیرو در لحظه صفر ) سیم(ارتعاش یک تیر(
مسئله مقدار مرزي(انتقال حرارت یک بعدي پایا(
a
yo
P
T1=200K dT/dx=0X
Advanced Numerical Methods 8
مقدمهچند نمونه از مسایل فیزیکی که معادالت دیفرانسیل معمولی را به دنبال دارد:
:استزیرکلیشکلبامعمولیدیفرانسیلمعادلهحلهدفادامه،در
Advanced Numerical Methods 9
حل عددي معادالت دیفرانسیل معمولی مرتبه اول عادي مرتبه اول زیر را در نظر بگیریددیفرانسیلمعادله:
dy/dx= f(x,y)xi+1داده شده است، مطلوب است تخمین شرایط در نقطه xiدر نقطه ) اولیه(شرایط
تابعحلyتیلربسط(می زنیمتقریبخطیکبارانقطهایندر(.
تفاوت روش هاي عددي به چگونگی .تخمین شیب بر می گردد
yi+1 = yi + slope × step size
yi+1 = yi + φ h
i 1 i i ny y (dy / dx) * x R+ = + ∆ +
Advanced Numerical Methods 10
)Euler Method(روش اولر
جدیدمقدارروشایندرواقعدر)yi+1(مرتبهتقریبفرضباحلگاموقبلمقداربهتوجهبا.شودمیمحاسبهاول،
Advanced Numerical Methods 11
)Euler Method(روش اولر مطلوب است حل معادله مرتبه اول زیر در فاصلهx=0-4 و با شرط اولیه 0.5با گامy(0) = 1
:تحلیلیحلازاستفادهبا
:اولرروشازاستفادهبا
:تحلیلیحلبهتوجهباواقعیمقدار
Advanced Numerical Methods 12
)Euler Method(روش اولر
875.5)5.0(*)25.5,5.0(f25.5
h*)y,x(fyy 1112
=+=
+=
i xi yi f(xi,yi)
0 0 1 8.5
1 0.5 5.25 1.25
2 1 5.875 -1.5
3 1.5 5.125 -1.25
4 2 4.5 0.5
5 2.5 4.75 2.25
6 3 5.875 2.5
7 3.5 7.125 -0.25
8 4 7 -7.5
25.5)5.0(*5.81
)5.0(*)1,0(f1h)y,x(fyy 0001
=+=+=+=
Advanced Numerical Methods 13
)Euler Method(روش اولر
مقایسه مقادیر حل عددي به روش اولر و حل تحلیلی براي مثال
به نظر شما دلیل خطاي مشاهده شده در حل عددي و تحلیلی چیست؟توان این خطا را کاهش داد؟چگونه می
Advanced Numerical Methods 14
تحلیل خطا در روش اولرمعادالتعدديحلODEمی باشدخطانوعدوشامل:
کردنقطعخطاهاي(Truncation Errors):گسسته سازينوعنتیجهکه.می باشدمربوطگسسته سازيروشطبیعتبهخطااین.می باشند
کردنگردخطاهاي(Round of Errors):درارقامتعدادمحدودیتبهمربوطکه.باشدمیکامپیوتر
Advanced Numerical Methods 15
تحلیل خطا در روش اولر:را زیر در نظر بگیریدمعادله دیفرانسیل مرتبه اول به فرم
:نوشتزیربه صورتتوانمیراiنقطهحول،yتابعتیلوربسط
Truncation Error
روش اولر
:داریمفوق،رابطهدومقایسهبا
Advanced Numerical Methods 16
تحلیل خطا در روش اولر شوددر روش اولر، به صورت زیر حساب می) خطاي محلی(بدین ترتیب، مرتبه خطا:
:کلینتیجهچندیینتعخطاواقعیمقداروشودمیمشخصروشخطايمرتبهواقعدرتیلورسريازاستفادهبا-
.شودنمی:آیدبوجوداستممکنطریقدوازروشایندرقطعخطاي-
Local(گامیکمحاسبهبراياولمرتبهروشازاستفاده- Truncation Error(Propagation(قبلمراحلازخطاانتقال- Truncation Error(
یابد؟در چه حالتی خطا کاهش می) رابطه فوق(با توجه به مرتبه خطا
hمقدارکاهش-1.دهدمیرادقیقجواباولرروشباشد،خطیتابعصورتی کهدر-2
Advanced Numerical Methods 17
خطاي قطع محلی و کلیمجموع خطاي قطع محلی و خطاي قطع انتشاري را خطاي قطع کلی(Global) می نامند.
x
y
o xi xi+1
yi
yi+1
Local error
xixi+1 xi+2
yi
yi+1
Global error
x
y
o
Advanced Numerical Methods 18
بررسی اثر اندازه گام محاسباتی در روش اولرکنیماي که در حالت قبل بررسی شد، اثر گام حل را بررسی میبراي مساله: مثال.
مقایسه دو حل عددي با روش اولر با اندازه گام هاي متفاوت