16/09/2019

III – Signal et rayonnement

III.2 : Régime sinusoïdal forcé

Chapitre III.2.1 : Outils pour le RSF

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Problématique

Toute fonction périodique peut être décomposée en une somme de fonctions sinusoïdales ➔ Comportement de circuits forcés par

tension sinusoïdale Résolution d’équation différentielle beaucoup plus difficile ➔ Introduction d’une notation

simplificatrice

→ Notation complexe

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Plan du cours

1 – Description d’un signal sinusoïdal

• Expression mathématique

• Déphasage entre deux signaux

• Notation complexe

2 – Régime sinusoïdal forcé

• Exemple du circuit RC

• Généralisation

• Résolution d’équa. diff. avec la notation complexe

3 – Impédance complexe d’un dipôle

• Dipôles classiques

• Théorèmes utiles

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1. Description d’un signal sinusoïdal

1.1. Expression mathématique

• Représentation

• Notions :

o Amplitude o Grandeur crête-à-crête o Période/Pulsation/Fréquence o Grandeur efficace :

▪ Intérêt ▪ Relation avec l’amplitude

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1.2. Déphasage entre deux signaux

• Deux signaux de même fréquence :

o 𝑠1(𝑡) = 𝑆1,𝑚cos(𝑡 + 1)

o 𝑠2(𝑡) = 𝑆2,𝑚cos(𝑡 + 2)

• Déphasage de s2(t) par rapport à s1(t)

o Définition : ∆ = 2 - 1 o Signe :

▪ 2 > 1 : s2 est en avance de phase sur s1

▪ 2 < 1 : s2 est en retard de phase sur s1 o Vocabulaire :

▪ Signaux en phase ▪ Signaux en quadrature de phase ▪ Signaux en opposition de phase

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• Comment mesurer un déphasage sur un oscillogramme ?

o Déterminer la valeur absolue :

Demi-période Angle = π

Distance entre signaux Angle = |Δ|

o Trouver le signe en identifiant le signal en avance de phase

Doc 1 – Représentation de deux signaux sinusoïdaux

Exemple 1 Exemple 2

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1.3. Notation complexe

• Nombre complexe associé :

o Grandeur réelle : 𝑠(𝑡) = 𝑆𝑚cos(𝑡 + )

o Grandeur complexe : 𝑠 = 𝑆𝑚𝑒𝑗(𝑡+)

• Manipulation :

o Passage au module -> Amplitude Sm o Passage à l’argument -> Phase

• Intérêts :

o Dérivation o Intégration

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Doc 2 – Rappels sur les nombres complexes

Expressions d’un nombre complexe :

• Forme algébrique : 𝑧 = a + 𝑗. 𝑏

o a = Re(z) : partie réelle o b = Im(z) : partie imaginaire

• Forme géométrique :

𝑧 = |𝑧|𝑒𝑗 = |𝑧|[cos() + 𝑗. 𝑠𝑖𝑛()]

o |𝑧|: module positif

o : argument

• Equivalence des représentations :

o |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2

o cos() = 𝑎

√𝑎2+𝑏2 et sin() =

𝑏

√𝑎2+𝑏2

o tan() = 𝑏

𝑎

▪ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑏

𝑎) si Re(z) > 0

▪ = 𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑏

𝑎) si Re(z) < 0

Opérations sur les nombres complexes :

• Conjugué : 𝑧∗ = a − 𝑗. 𝑏

• Produit par le conjugué : 𝑧. 𝑧∗ = 𝑎2 + 𝑏2

• Produit : 𝑧 = 𝑧1. 𝑧2

o Module : |𝑧| = |𝑧1| . |𝑧2|

o Argument : 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 𝐴𝑟𝑔 (𝑧1) + 𝐴𝑟𝑔 (𝑧2)

• Rapport : 𝑧 =𝑧1

𝑧2

o Module : |𝑧| =|𝑧1|

|𝑧2|

o Argument : 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 𝐴𝑟𝑔 (𝑧1) − 𝐴𝑟𝑔 (𝑧2)

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2. Régime sinusoïdal forcé

2.1. Exemple du circuit RC

• Expérience :

o R et C en série

o Générateur de tension sinusoïdale 𝑒(𝑡) = 𝐸𝑚cos(𝑡) o Branchement oscillo pour observer e(t) et uC(t)

• Equation différentielle

• Recherche de solution :

o Solution « homogène » : Ae-t/

o Solution « particulière » : 𝑈𝐶𝑚cos(𝑡 + ) o Durée du temps caractéristique

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2.2. Généralisation

• Définition « régime sinusoïdal forcé »

• Conséquence sur les grandeurs électriques :

o Format mathématique o Même pulsation que le forçage o Eventuellement, un déphasage

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2.3. Résolution d’équation différentielle

• Déterminer uC(t) en RSF :

o Amplitude o Déphasage par rapport au signal de forçage o Pulsation : déjà connue

• Retour à l’ED du circuit RC

o Amplitude o Phase

o Dépendance de UCm et vis-à-vis de la pulsation de forçage

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3. Impédance complexe d’un dipôle

3.1. Dipôles passifs classiques

• Obtention de l’expression

o Relations entre i et u en grandeurs réelles o Passage aux complexes o Impédance / Admittance

• Intérêt -> « loi d’Ohm »

• Equivalents HF/BF des dipôles

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3.2. Théorèmes utiles

• Lois d’association :

o Série o Dérivation

• Pont diviseur de tension

• Pont diviseur de courant

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Exercice d’application – Circuit à étudier en RSF

Dans le montage représenté ci-dessous, alimenté par une source idéale de tension délivrant une tension sinusoïdale 𝑒(𝑡) = 𝐸𝑚𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡), déterminer l’expression de l’intensité I.