http://jnrm.srbiau.ac.ir دسترسي در سايت

۱۳۹۵ تابستان، ششمسال دوم، شماره

۱۶۸۲-۰۱۹۶: شماره شاپا

جبرها - *Cهاي جمعي حافظ طيف روييادداشتي بر نگاشت

*تقوي علي

گروه رياضي، دانشگاه مازندران، بابلسر، ايران دانشيار

۲۰/۶/۱۳۹۵: تاريخ پذيرش مقاله ۵/۳/۱۳۹۵: تاريخ دريافت مقاله

چکيده

اند که اگر ثابت کرده ]۱۴[متيو و رادي :A B ايزومتري طيفي يکاني ازC*- جبر يکدارA به رويC* - جبردر اين يادداشت نشان . جردن ايزومورفيزم است آل هاسدورف و کالً ناهمبند باشد، آنگاه با فضاي ايده Iاز نوع Bيکدار

دهيم که اگر مي :A B يک نگاشت جمعي پوشا و حافظ طيف باشد، آنگاهفرض جردن ايزومورفيزم است بدون .اينکه کالً ناهمبند باشد

جبر، همريختي جردن، طيف - *C ، جبر باناخ،نگاشت جمعي :هاي کليدي واژه

* . taghavi@umz.ac.ir

هاي نوین در ریاضیپژوهش دانشگاه آزاد اسالمی، واحد علوم و تحقیقات

۶ ۱۳۹۵ تابستان، ششمسال دوم، شماره / هاي نوين در رياضيپژوهش

مسئله و مقدماتبيان - ۱و براي eدو جبر باناخ يکدار با يکه Bو Aفرض کنيد

aهر A نمادهاي( )a وr(a) به ترتيب نشانگوييم. باشند aدهنده طيف و شعاع طيفي :A B

aنگاشت حافظ طيف است اگر به ازاي هر A داشته باشيم ( ( )) ( )a a و حافظ معکوس پذيري

)است اگر )a معکوس پذير باشد وقتي کهa معکوس يکاني است اگر .پذير باشد ( )e e.

هاي خطي نگهدارنده اولين بار توسط فروبينيوس نگاشتاو ثابت کرد که هر نگاشت خطي . مطالعه شد ]۶[

فنگهدارنده طي � �: ( ) ( )n nM M به يکي از

فرم هاي 1( )T ATA يا 1( ) tT A TA

]۸[در . Aپذير است به ازاي يک عنصر معکوسر ثابت کردند که اگر يک نگاشت خطي جعفريان و سرو

)از فپوشاي حافظ طي )B X بهB(y) يا ايزومورفيزمفضاهاي Yو Xايزومورفيزم است که در آن -يا آنتي Xجبر باناخ همه عملگرهاي خطي روي B(X)باناخ و

.است :رسد هنوز باز باشدحدس زير به نظر مي

يکاني حافظ طيف از يک جبر هر نگاشت خطي پوشاي ) غيرجابجايي(ساده - باناخ يکدار بروي يک جبر باناخ نيم

). حدس کاپالنسکي(يک جردن ايزومورفيزم است اند که يک ادعا کرده ]۱۲و۹[گليسون، کاهان و زالسکو

تابعک خطي يکاني روي يک جبر باناخ ضربيست اگر ضيه با يک بحث ساده از ق. پذيري باشدحافظ معکوس

توان نشان داد که نگاشت گليسون، کاهان و زالسکو مياز يک جبر باناخ بتوي خطي يکاني حافظ معکوس پذيري

نتايجي . ساده ضربي است-يک جبر باناخ جابجايي نيم ]۱۱ و۳-۷ و۱[که در اين راستا بدست آمده در مقاالت

.تنظيم شده استجبر و - *Cيک Aدهيم که اگر در اين مقاله نشان مي

B يکC* - جبر نوعI باشند به طوري کهPrim(B) فضاي هاسدورف و :A B يک نگاشت جمعي

جردن ايزومورفيزم پوشاي حافظ طيف باشند، آنگاه . است Aآل اوليه فضاي ايده Prim(A)است که در آن - *Cاز يک Pآل سازيم که يک ايده-خاطر نشان مي

اوليه است اگر و فقط اگر يک نمايش تحويل Aجبر

)ناپذير غيرصفر , )H ازA وجود داشته باشد به طوريکه ker( )P.

يکي . نتايج زيادي پيرامون حدس کاپالنسکي وجود دارد ]۱.۳، قضيه ۲[از مشهورترين اين نتايج متعلق به اوپتيت

.است

دو جبر فون نويمن Bو Aفرض کنيد ]۲[: ۱.۱قضيه باشند و :A B نگاشت خطي پوشاي نگهدارنده

.جردن ايزومورفيزم است طيف باشد، در اين صورت الرنس و هريس قضيه زير رو که مربوط به اين موضوع

. است، ثابت کردندجبر باناخ مختلط يکدار، Aفرض کنيد ]۷[: ۱.۲قضيه

B ساده يکدار و -جبر باناخ جابه جايي نيم :A B

پذيري باشد، در اين صورت نگاشت نگهدارنده معکوسپيوسته و ضربي است. نتايج اصلي - ۲

يک B را توسعه دهيم به حالتي که ۱.۲قصد داريم قضيه C* - در واقع پاسخي به .جبر که لزوماً جابه جايي نيست

دهيم در حالت خاص پاسخي به حدس کاپالنسکي مي :سوال هريس

دو Bو Aفرض کنيد ) ]۷[کاديسون - هريس( حدسC* - جبر با همانيe باشند و :A B يک نگاشت

خطي دوسويي يکاني حافظ طيف باشند، در اين صورت يک جردن ايزومورفيزم است.

جبر با هماني -*Cدو Bو Aفرض کنيد : ۲.۱قضيه e باشند و :A B يک نگاشت جمعي پوشاي حافظ

آنگاه. طيف باشد( ) ( ) ( ), z ( )za z a a A Z A

يک Z(A)توان نشان داد که به سادگي مي. اثبات

C* - زير جبرA فرض کنيد. استz عضو دلخواهي ازZ(A) ۴.۴، نتيجه ۱۳[بنا به . باشد از Z(A)مرکز ]

A را به روي مرکزZ(B) ازB البته، بايد . نگاردميخطي است در متذکر شد که در قضيه اشاره شده

با نگاهي به اثبات قضيه . حالي که نگاشت ما جمعي است

۷ جبرها -*Cيف رويحافظ ط يجمع يهابر نگاشت يادداشتي/ تقویعلي

)۲(

)۱(

)۳(

بينيد که فرض جمعي بودن براي اين نتيجه مذکور مي ).اثبات قضيه مذکور را ببينيد(کافيست

Bيک حالت محض دلخواه روي حال فرض کنيد بنا به قضيه طيفي. باشد

( ) ( ( )) ( ( )) ( )z z z z

(0)همچنين داريم 0 قضيه ۱۰[بنابراين بنا به ،۲.۱[ رويZ(A) است خطي و ضربي.

)چون . باشد Z(A)عنصر مثبتي از zفرض کنيد )z

)نرمال است و ( )) ( )z z R لذا( )z)داريم . باشدمثبت مي ( )) ( ) {1}e e که از

)شود آن نتيجه مي )e e ،يعني ،يکاني است)بنابراين ) 1e از اين رو يک حالت رويZ(A) هاي خطي هاي محض تابعکچون حالت. است

توانيم جبرهاي جابجايي هستند، مي - *cضربي روي نتيجه بگيريم

2 2 2( ( ) } ( ( )) ( ( )) , ( )z z z z Z A

الحاق و يک عنصر خود zفرض کنيد ( ) ( ( ))u z z e در اين صورتu عنصري

2داريم ) ۲(الحاق است و بنا به خود keru r )دهد شوارتز نتيجه مي -نامساوي کوشي ) 0ub براي

bهر B و بنابراين( ( ) ) ( ( )) ( )z b z b بابه و به طور مشابه براي استفاده از آن براي

.آوريمدست مي ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )),za z a z a

)الحاق براي تمام عناصر خود )z Z A و براي تمام

a A براي هر ) ۳(به وضوح( )z Z A وa A شوداز آن نتيجه مي. برقرار است

( ( ) ( ) ( )) 0za z a هاي محض چون حالت آوريم کهکنند باالخره به دست مينقاط را جدا مي

( ) ( ) ( ), ( )za z a a A z Z A

هاي حافظ در قضاياي زير براي مشخص کردن نگاشتآل گليم احتياج داريم که به صورت زير طيف به ايده

.شودتعريف مي

آل ايده Mجبر و - *Cيک Aکنيد فرض: ۲.۲تعريف آل گليم را ايده I. باشد Aاز Z(A)ماکزيمال در مرکز ، يعنيI=AMگويند اگر Aدر Mتوليد شده به وسيله

1{ , ( ), }n

i i i ii

AM a z a A z Z A n N

سازي کوهن نشان کاربرد صريحي از قضيه فاکتور .بسته است Iدهد که مي

قضيه اصلي بپردازيم، الزم است از نتيجه پيش از آنکه به .زير آگاه باشيم

جبر يکدار - *Cدو Bو Aفرض کنيد که : ۲.۳نتيجه

:و A B يک نگاشت جمعي پوشا و حافظ طيف :در اين صورت احکام زير برقرارند. باشند

۱- کندجهت حفظ مي هاي جابجايي را در دوايده آل. ۲- کندهاي گليم را در دو جهت حفظ ميايده آل.

.اثباتو Aآل جابجايي در يک ايده Iفرض کنيد که -۱

( )I I اوالً، داريم( )I Z B ۱۳[، زيرا بنا به ،-مي Z(B)را به روي مرکز Z(A)مرکز ]۴.۴نتيجهZثانياً، اگر . نگارد I وb B آنگاه وجود دارد( )z Z A وa A طوري که به( )a b و

( )z z چون( )I Z A داريم ۲.۱بنا به قضيه: ( ) ( ) ( ) ( )z b z a za I

با استفاده . است Bآل جابه جايي در يک ايده Iيعني،

شود که نتيجه مي 1از يک استدالل مشابه براي آل يک ايده Bآل جابجايي در تصوير عکس هر ايده

.است Aجابجايي در باشد که Aآل گليم در يک ايده I=AMفرض کنيد -۲

آل يک ايده Mتوليد شده که در آن Mبه وسيله چون بنا به . است Z(A)يعني Aماکزيمال در مرکز

- *يک Z(A)به تحديد ]۴.۴ ، نتيجه۱۳[توان است، به آساني مي Z(B)ايزومورفيزم به روي

. است Bآل ماکزيمال در نيز يک ايدهM نشان داد که

۸ ۱۳۹۵ تابستان، ششمسال دوم، شماره / هاي نوين در رياضيپژوهش

۲.۱بنا به قضيه ( ) ( ) ( ) ( ) ( )I AM A M B M

)از اين رو )I يک ايده آل گليم درB با استفاده . است

که هر شود نتيجه مي 1از يک استدالل مشابه براي . به اين فرم است Bآل گليم در ايده

.اندمتيو و رادي قضيه زير را ثابت کرده ]۱۴[اخيراً در

T:فرض کنيد ]۱۴[. ۲.۴قضيه A B يکبه Aجبر يکدار - *Cايزومتري طيفي يکاني از يک

-باشد که فضاي ايده Bيکدار Iجبر نوع - *Cروي يک در اين . اش هاسدورف و تماماً ناهمبند باشدآل اوليه .جردن ايزومورفيزم است Tصورت

جبر - *Cهومومورفيزم -nکاپالنسکي نشان داد که هر Aناپذير ، يعني هر نمايش تحويلA که روي يک فضايn عدي عمل مي۱۶[کند، داراي طيف هاسدورف است ب ،

يکدار باشد در اين حالت Aاگر . ]۴.۴.۱۰گزاره Prime(A) فضاي هاسدورف است، بنابراين

اين موارد شامل جبرهاي نوع . هاسدورف و فشرده است( ) nA C X M آورد خواننده به ياد مي. شودنيز مي

اش که حدس هريس يک پاسخ مثبت دارد، اگر هم دامنهC(X) ياnM دورف استفاده از فرض هاس. ]۱۴[باشد

قضيه زير . بودن طيف براي مسائل عمومي مرسوم استجبر - *B ،Cپاسخ مثبتي است براي سوال هريس اگر

.اش هاسدورف استآل اوليهباشد که فضاي ايده Iنوع در قضيه زير فرض کالً ناهمبندي به کار رفته در قضيه

البته در اينجا به جاي ايزومتري . حذف شده است ۲.۴شت جمعي، حافظ طيف فرض شده طيفي خطي، نگا

براي تکميل بحث الزم است قسمتي از اثبات . است .قضيه مذکور در اينجا آورده شود

جبر يکدار و - *Cيک Aفرض کنيد که : ۲.۵قضيه

B يکC* - جبر يکدار نوعI آل باشد که فضاي ايده:اش هاسدورف و اوليه A B يک نگاشت جمعي

يک جردن در اين صورت . پوشاي حافظ طيف باشد .ايزومورفيزم است

بنا به . باشد Aآل گليم در يک ايده Iفرض کنيد . اثبات) ۲.۳نتيجه )J Iآل گليم در يک ايدهB است و آن

:ي دهد که نگاشت توليد شدهنتيجه مي / /A I B J چون . ]۹، گزاره ۱۵[يک ايزومتري طيفي يکاني است

]۹، لم ۱۴[هاسدورف است، بنا به Bآل اوليه فضاي ايدهJ يک ايده آل ماکزيمال درB جبر خارج قسمت . است

B/J ساده است و چونB نوعI شود است، نتيجه مياز .عملگرهاي فشرده روي فضاي هيلبرت است B/Jکه

به ازاي يک nMبايد B/Jيکدار است، Bآنجايي که از اين رو، بنا به . ايزومورفيک باشد nعدد طبيعي چون

چون . يک جردن ايزومورفيزم است ]۴، قضيه ۱۴[کنند، ما نقاط را جدا مي) Bو Aدر (هاي گليم آلايده

خودش يک جردن ايزومورفيزم گيريم که نتيجه مي . جبري است

، قضيه ۱۶[توجه داشته باشيد بنا به : ۲.۶تبصره

اش با طيف Iجبر نوع - *Cآل اوليه فضاي ايده ]۶.۱.۵بنابراين در حقيقت فرض در قضيه باال . همريخت است

. است" طيف هاسدورف"همان فرض

توانيم بدون فرض طور مشابه، ما ميبه: ۲.۷تبصره کالً ناهمبند باشد نتايج زير را به دست Bاينکه طيف

.]۱۴رجوع شود به [اند ثابت شده ]۱۴[بياوريم که در

قضيه باال برقرار است اگر هم دامنه، يک : ۲.۸نتيجه C* - پذير يکدار با طيف هاسدورف باشد جبر جدا.

ار است اگر هم دامنه، يک قضيه باال برقر: ۲.۹نتيجه

C* - جبر با اثر پيوسته باشد.

۹ جبرها -*Cيف رويحافظ ط يجمع يهابر نگاشت يادداشتي/ تقویعلي

Referenc: [1] Arveson, W. (1976). An invitation to C*-algebras (Vol. 39). Springer Science & Business Media. [2] Aupetit, B. (2000). Spectrum-preserving linear mappings between Banach algebras or Jordan–Banach algebras. Journal of the London Mathematical Society, 62(3), 917-924. [3] Aupetit, B. (1991). A primer on spectral theory. Springer Science & Business Media. [4] Aupetit, B., & Mouton, H. D. T. (1994). Spectrum preserving linear mappings in Banach algebras. Studia Mathematica, 109(1), 91-100. [5] Brešar, M., & Šemrl, P. (1996). Linear maps preserving the spectral radius. Journal of Functional Analysis, 142(2), 360-368. [6] Frobenius, F. G. (1897). Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch lineare Substitutionen. [7] Harris, L. A. (2004). Invertibility preserving linear maps of Banach algebras. Contemporary Mathematics, 364, 59-66. [8] Jafarian, A. A., & Sourour, A. R. (1986). Spectrum-preserving linear maps. Journal of functional analysis, 66(2), 255-261.

[9] Kahane, J., & Żelazko, W. (1968). A characterization of maximal ideals in commutative Banach algebras. Studia Mathematica, 29(3), 339-343. [10] Kowalski, S., & Słodkowski, Z. (1980). A characterization of maximal ideals in commutative Banach algebras. Studia Math, 67, 215-223. [11] Lin, Y. F., & Mathieu, M. (2007). Jordan isomorphism of purely infinite C*-algebras. The Quarterly Journal of Mathematics, 58(2), 249-253. [12] Gleason, A. M. (1967). A characterization of maximal ideals. Journal d'Analyse Mathématique, 19(1), 171-172. [13] Mathieu, M., & Schick, G. J. (2002). First results on spectrally bounded operators. Studia Mathematica, 152, 187-199. [14] Mathieu, M., & Ruddy, C. (2007). Spectral isometries, II. Contemporary Mathematics, 435, 301-310. [15] Mathieu, M., & Sourour, A. R. (2004). Hereditary properties of spectral isometries. Archiv der Mathematik, 82(3), 222-229. [16] Pedersen, G. K. (1979). C*- algebras and their automorphism groups (Vol. 14). Academic Pr.

۱۰ ۱۳۹۵ تابستان، ششمسال دوم، شماره / هاي نوين در رياضيپژوهش