Embed Size (px)
Citation preview
درسنامه ها و جزوه هاي دروس رياضيات
دانلود نمونه سواالت امتحانات رياضي
نمونه سواالت و پاسخنامه كنكور
دانلود نرم افزارهاي رياضيات
و...
www.riazisara.ir سايت ويژه رياضيات
:سایت ریاضی سرا در تلگرامکانال
https://telegram.me/riazisara (@riazisara)https://telegram.me/riazisara (@riazisara)
1
: عباس اسدی امیرآبادی ولفم
𝐴اگر سوال: = [0 1 10 0 10 0 0
𝐴باشد، حاصل جمع درایه های [ + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4 .را به دست آورید
𝐴3است پس 3ی مثلثی اکید از مرتبه Aچون پاسخ: = o̅ و در نتیجه𝐴4 = o̅ بنابراین کافیست𝐴2 را
محاسبه نمائیم.
𝐴2 = 𝐴 × 𝐴 = [0 1 10 0 10 0 0
] × [0 1 10 0 10 0 0
] = [0 0 10 0 00 0 0
]
𝐴 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4 = 𝐴 + 𝐴2 = [0 1 20 0 10 0 0
] → مجموع درایه ها = 2 + 1 + 1 = 4
ماتریس
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛⋮ ⋮ ⋮ … ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛
] = [𝑎𝑖𝑗]𝑚×𝑛
آرایشی از اعداد در یک جدول مستطیلی که شامل سطرها و ستون هایی باشد یک ماتریس نامیده می شود.
می دانیم اگر در ماتریس مثلثی درایه های قطر اصلی نیز صفر باشند، ماتریس مثلثی اکید است و کته:ن
و توان 𝐴𝑛است )یعنی nی پوچ توان از مرتبه Aیک ماتریس مثلثی اکید باشد آن گاه 𝐴𝑛×𝑛اگر
هستند(. o̅حتماً nهای باالتر از
www.riazisara.irاز سايت رياضي سرادانلود
2
: عباس اسدی امیرآبادی ولفم
𝐴 اگر ماتریس سوال: = [0 𝑚 + 1 𝑥2
1 0 𝑛 + 1−𝑥2 𝑚 + 1 𝑛2 − 1
پادمتقارن باشد آن گاه [
𝐵 ماتریس = [5 𝑛 − 1 𝑚0 7 𝑏−3 𝑏 𝑥2
چه نوعی است؟ [
در ماتریس پادمتقارن درایه های روی قطر اصلی صفر هستند و درایه های نظیر باال و پایین قطر اصلی پاسخ:
قرینه اند.
𝑛2 − 1 = 0 ⟹ 𝑛2 = 1 ⟹ 𝑛 = ±1
𝑚 + 2 = −1 ⟹ 𝑚 = −3 ⟹ 𝑛 = 1 ,𝑚 =
−3 𝑛 + 1 = −(𝑚 + 1) ⟹ 𝑛 + 1 = −𝑚 − 1 ⟹ 𝑛 =
3 − 1 − 1 = 1
قابل قبول است. در نتیجه داریم: n = 1باید در دو شرط صدق کند پس nمقدار
𝐵 = [5 0 −30 7 𝑏−3 𝑏 𝑥2
] = 𝐵𝑡 ⟹ ماتریس 𝐵 متقارن است
نکته:
ی یک ماتریس مربعی با خودش برابر باشد به آن ماتریس متقارن گوئیم. الف( اگر ترانهاده
خودش برابر باشد به آن ماتریس پادمتقارن گوئیم.ی ی یک ماتریس مربعی با قرینهب( اگر ترانهاده
www.riazisara.irاز سايت رياضي سرادانلود
3
: عباس اسدی امیرآبادی ولفم
𝐴 ماتریس سوال: = [2 1 34 −1 5−2 6 1
را به صورت مجموع دو ماتریس، یکی متقارن و دیگری [
پادمتقارن بنویسید.
𝐴 + 𝐴𝑡 = [2 1 34 −1 5−2 6 1
] + [2 4 −21 −1 63 5 1
] = [4 5 15 −2 111 11 2
]
𝐴 − 𝐴𝑡 = [2 1 34 −1 5−2 6 1
] − [2 4 −21 −1 63 5 1
] = [0 −3 53 0 −1−5 1 0
]
𝐴 =1
2(𝐴 + 𝐴𝑡) +
1
2(𝐴 − 𝐴𝑡) =
[ 2
5
2
1
25
2−1
11
2
111
21 ]
+
[ 0 −
3
2
5
23
20 −
1
2
−5
2
1
20 ]
𝐴 =1
2(𝐴 + 𝐴𝑡) +
1
2(𝐴 − 𝐴𝑡)
𝐴 =1
2(𝐴 + 𝐴𝑡) +
1
2(𝐴 − 𝐴𝑡)
را می توان به صورت مجموع دو ماتریس، یکی Aیک ماتریس مربعی باشد، ماتریس Aاگر نکته:
𝐴متقارن و دیگری پادمتقارن نوشت که + 𝐴𝑡 متقارن و𝐴 − 𝐴𝑡 .پادمتقارن است
در ماتریس پادمتقارن درایه های روی قطر اصلی صفر هستند. نکته:
www.riazisara.irاز سايت رياضي سرادانلود
4
: عباس اسدی امیرآبادی ولفم
] از تساوی تست(𝛼 −𝛼𝛽 0 ] + 3𝐼2 = [
𝛼 + 𝛽 + 1 −1𝛽 − 𝛾 𝛾 + 3𝜃
ی مجهوالت کدام ، مجموع همه [
است؟
1 )1 2 )3 3 )3 4 )4
پاسخ:
𝐼2 = [1 00 1
]
[𝛼 −𝛼𝛽 0 ] + 3 [
1 00 1
] = [𝛼 + 𝛽 + 1 −1𝛽 − 𝛾 𝛾 + 3𝜃
] ⟹
[𝛼 + 3 −𝛼𝛽 3
] = [𝛼 + 𝛽 + 1 −1𝛽 − 𝛾 𝛾 + 3𝜃
] ⟹ {
𝛼 + 3 = 𝛼 + 𝛽 + 1 ⟹ 𝛽 = 2 −𝛼 = −1 ⟹ 𝛼 = 1 𝛽 = 𝛽 − 𝛾 ⟹ 𝛾 = 0 𝛾 + 3𝜃 = 3 ⟹ 3𝜃 = 3 ⟹ 𝜃 = 1
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 𝜃 = 1 + 2 + 0 + 1 = 4
نسبت به خط 'Aبه دست آید سپس 'Aی قرینه شده تا نقطه oxابتدا نسبت به محور Aی نقطه سوال:
y = -x ی قرینه شده تا نقطهA'' ی به دست آید. چه ماتریسی نقطهA را بهA'' تبدیل می کند؟
ox ،𝐴1ماتریس تقارن نسبت به محور پاسخ: = [1 00 −1
y = -x ،𝐴2و نسبت به خط [ =
[−1 00 −1
است پس داریم: 𝐴2𝐴1می باشد، ماتریسی که هر دو تقارن را با هم انجام می دهد [
𝐴2𝐴1 = [−1 00 −1
] [1 00 −1
] = [0 1−1 0
]
, 𝑥𝑛−1به 𝐴2، با تبدیل 𝑥2به 𝐴1با تبدیل 𝑥1اگر نکته: … , 𝑥3 با تبدیل𝐴𝑛−1 به𝑥𝑛 تبدیل
تبدیل کند. 𝑥𝑛را به 𝐴𝑛−1𝐴𝑛−2… 𝐴2𝐴1 ،xشود، ماتریس
www.riazisara.irاز سايت رياضي سرادانلود
5
: عباس اسدی امیرآبادی ولفم
]با توجه به ماتریس دوران در صفحه، حاصل تست(
√2
2−√2
2
√2
2
√2
2
]
4
کدام است؟
1 )[0 −11 0
] 2 )[−1 00 1
] 3 )[−1 00 −1
] 4 )[0 −1−1 0
]
پاسخ:
𝑅𝜋4=
[ √2
2−√2
2
√2
2
√2
2 ]
⟹
[ √2
2−√2
2
√2
2
√2
2 ] 4
= 𝑅𝜋4
4 = 𝑅4×(𝜋4) = 𝑅π = [
𝑐𝑜𝑠π −𝑠𝑖𝑛π𝑠𝑖𝑛π 𝑐𝑜𝑠π
]
= [−1 00 1
]
𝑅θ = [𝑐𝑜𝑠θ −𝑠𝑖𝑛θ𝑠𝑖𝑛θ 𝑐𝑜𝑠θ
]
در جهت مثلثاتی، حول مبدأ مختصات به صورت زیر است: θی ماتریس دوران به اندازهنکته:
[𝑐𝑜𝑠α −𝑠𝑖𝑛α𝑠𝑖𝑛α 𝑐𝑜𝑠α
]𝑛
= [𝑐𝑜𝑠𝑛α −𝑠𝑖𝑛𝑛α𝑠𝑖𝑛𝑛α 𝑐𝑜𝑠𝑛α
]
است ای بیان به زبان ریاضی به صورت 𝑛αی، همان دوران به اندازه α ی بار دوران به اندازه n نکته:
𝑅𝛼𝑛 = 𝑅𝑛𝛼 :قابل نمایش است. که شکل ماتریسی آن به صورت زیر است
www.riazisara.irاز سايت رياضي سرادانلود
6
: عباس اسدی امیرآبادی ولفم
]حاصل تست(1 −√3
√3 1]
720
کدام است؟
1 )−2360𝐼 2) 2720𝐼 3 )−2720𝐼 4 )2360𝐼
پاسخ:
[1 −√3
√3 1] = 2
[ 1
2
−√3
2
√3
2
1
2 ]
= 2𝑅𝜋3
[1 −√3
√3 1]
720
= (2𝑅𝜋3)720 = 2720𝑅720×𝜋
3= 2720 [
𝑐𝑜𝑠240π −𝑠𝑖𝑛240π𝑠𝑖𝑛240π 𝑐𝑜𝑠240π
] =
2720 [1 00 1
] = 2720𝐼
𝐴اگر تست( = [|𝐴| − 2 14 −1
کدام است؟ A، مقدار دترمینان [
1 )1 2 )1- 3 )2 4 )2-
|𝐴| پاسخ: = (|𝐴| − 2)(−1) − 4 ⟹ |𝐴| = −|𝐴| + 2 − 4 ⟹ 2|𝐴| = −2 ⟹ |𝐴| = −1
دترمینان
دترمینان یک تابع است که فقط روی ماتریس های مربعی اثر می کند و حاصل اثر آن روی ماتریس
نمایش می دهیم. |𝐴|را با نماد Aهای مربعی یک عدد حقیقی است، دترمینان ماتریس مربعی
www.riazisara.irاز سايت رياضي سرادانلود
7
: عباس اسدی امیرآبادی ولفم
|سه عدد متمایز باشند حاصل دترمینان a , b , 2اگر تست(
1 3 4(𝑎 + 𝑏)
1 𝑎 + 1 𝑎2(𝑏 + 2)
1 𝑏 + 1 𝑏2(𝑎 + 2)
کدام است؟ |
(89)سراسری خارج
1 )0 2 )4ab 3 )(a-2)(b-2) 4 )2(a-2)(b-2)
کنیم: ی ستون اول را به ستون دوم اضافه میابتدا قرینه پاسخ:
|
1 2 4(𝑎 + 𝑏)
1 𝑎 𝑎2(𝑏 + 2)
1 𝑏 𝑏2(𝑎 + 2)
|
𝑎 در سطر اول از 2، در سطر دوم از
و در سطر سوم از 𝑏 فاکتور می گیریم→ 2𝑎𝑏
|
|
1
21 2(𝑎 + 𝑏)
1
𝑎1 𝑎(𝑏 + 2)
1
𝑏1 𝑏(𝑎 + 2)
|
|
2𝑎𝑏 را در ستون
اول ضرب می کنیم→
|𝑎𝑏 1 2𝑎 + 2𝑏2𝑏 1 𝑎𝑏 + 2𝑎2𝑎 1 𝑏𝑎 + 2𝑏
|
ستون اول+ستون
سوم در ستون سوم می نویسیم→ |
𝑎𝑏 1 2𝑎 + 2𝑏 + 𝑎𝑏2𝑏 1 2𝑎 + 2𝑏 + 𝑎𝑏2𝑎 1 2𝑎 + 2𝑏 + 𝑎𝑏
| = (2𝑎 + 2𝑏 + 𝑎𝑏) |𝑎𝑏 1 12𝑏 1 12𝑎 1 1
|
= 0
𝐴، دترمینان ماتریس 2× 2در ماتریس نکته: = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑
|با [𝑎 𝑏𝑐 𝑑
نمایش داده می شود و به |
تعریف می شود. ad - bcصورت
دترمینان ماتریسی که دو سطر یا ستون مساوی داشته باشد صفر است. نکته:
www.riazisara.irاز سايت رياضي سرادانلود
8
: عباس اسدی امیرآبادی ولفم
𝐴𝐴𝑡اگر تست( = [4 1 𝑥𝑦 1 12 𝑧 2
کدام می تواند باشد؟ |𝐴| باشد آن گاه 3× 3ماتریس A، و [
1 )4 2) √2 3 )8 4 )1
همواره یک ماتریس متقارن است پس درایه های باال و پایین قطر اصلی نظیر به نظیر 𝐴𝐴𝑡ماتریس پاسخ:
برابرند در نتیجه داریم:
𝑥 = 2 , 𝑦 = 1 , 𝑧 = 1 ⟹ 𝐴𝐴𝑡 = [4 1 21 1 12 1 2
]
|𝐴𝐴𝑡| = |4 1 21 1 12 1 2
| = |𝐴||𝐴𝑡| = |𝐴|2 ⟹ |𝐴|2 = 4(2 − 1) − 1(2 − 2) + 2(1 − 2)
⟹ |𝐴|2 = 4 − 2 = 2 ⟹ |𝐴| = ±√2
در گزینه ها است. 2√فقط
|حاصل دترمینان تست(0 𝑎2 −4−𝑎2 0 𝑦2 − 𝑥2
4 𝑥2 − 𝑦2 0
را به دست آورید. |
است پس حاصل آن صفر است. 3ی دترمینان فوق دترمینان یک ماتریس پادمتقارن از مرتبه پاسخ:
(𝐴𝐴𝑡)t = (𝐴𝑡)𝑡𝐴𝑡 = 𝐴𝐴𝑡
متقارن است زیرا: 𝐴𝐴𝑡یک ماتریس دلخواه باشد آن گاه Aاگر نکته:
صفر است. 3× 3ی دترمینان ماتریس پادمتقارن از مرتبه نکته:
www.riazisara.irاز سايت رياضي سرادانلود
9
: عباس اسدی امیرآبادی ولفم
|سوم دترمینان ی سطر به هر درایه تست(5 6 7−2 3 49 1 2
واحد 8کدام عدد افزوده شود تا مقدار دترمینان |
(91بیشتر گردد ؟ )سراسری
1 )2- 2 )18 3 )30 4 )40
پاسخ:
|5 6 7−2 3 49 + 𝑘 1 + 𝑘 2 + 𝑘
| − |5 6 7−2 3 49 1 2
| = 8
⟹ |5 6 7−2 3 4𝑘 𝑘 𝑘
| = 8
قرینه ی ستون اول را
به دو ستون دیگر اضافه می کنیم→ |
5 6 7−2 3 4𝑘 0 0
|
= 8 بسط نسبت به سطر سوم→ 𝑘(−1)3+1 |
1 25 6
| = 8 ⟹ −𝑘(6 − 10) = 8
⟹ −4𝑘 = 8 ⟹ 𝑘 = −2
𝐴 پادمتقارن = 𝐴𝑡 = −𝐴 ⟹ |𝐴𝑡| = |−𝐴| = (−1)𝑛|𝐴|𝑛=2𝑘+1⇒ (−1)2𝑘+1|𝐴|
⟹ |𝐴𝑡| = −|𝐴| |𝐴𝑡|=|𝐴|⇒ |𝐴| = −|𝐴|⟹ |𝐴| = 0
ی فرد برابر صفر است زیرا: در حالت کلی می توان گفت دترمینان هر ماتریس پادمتقارن از مرتبه نکته:
www.riazisara.irاز سايت رياضي سرادانلود
10
: عباس اسدی امیرآبادی ولفم
𝐴 ، دترمینان ماتریس mبه ازای چند مقدار تست( = [2 𝑚 3𝑚 0 01 1 1
و دترمینان معکوس آن برابر [
است؟
1 )0 2 )1 3 )2 4 )4
|𝐴−1|باید داشته باشیم: پاسخ: = |𝐴|
|𝐴−1| = |𝐴| ⟹ 1
|𝐴|= |𝐴| ⟹ |𝐴| 2 = 1
|𝐴| = −𝑚(𝑚) + 3𝑚 = −𝑚(𝑚 − 3) ⟹ |𝐴| 2 = (−𝑚(𝑚 − 3)2⟹ |𝐴| 2
= 𝑚2(𝑚 − 3)2 = 1 ⟹ 𝑚(𝑚 − 3) = ±1
⟹ {𝑚(𝑚 − 3) = 1 → 𝑚2 − 3𝑚 − 1 = 0 ⟹ ∆= 9 − 4(1) > دو ریشه دارد 0
𝑚(𝑚 − 3) = −1 → 𝑚2 − 3𝑚 + 1 = 0 ⟹ ∆= 9 − 4(1)(1) = 5 > دو ریشه دارد 0
ریشه دارد. 4بنابراین در کل
|2𝐴|𝐴𝑡||مفروض است اگر 𝐴2×2ماتریس مربعی تست( = برابر کدام است؟ |𝐴|باشد آن گاه 128
1 )3 2 )4 3 )2 4 )2-
عدد است |2𝐴|ی ماتریس مربعی می رسد چون عدد از دترمینان خارج می شود و به توان مرتبه پاسخ:
داریم:
||2𝐴|𝐴𝑡| = 128 ⟹ |2𝐴|2|𝐴𝑡| = 128 ⟹ (4|𝐴|)2|𝐴𝑡| = 128
|𝐴|از طرفی داریم: = |𝐴𝑡| :پس می توان نوشت
|𝐴−1| همواره داریم: نکته: = 1
|𝐴|
www.riazisara.irاز سايت رياضي سرادانلود
11
: عباس اسدی امیرآبادی ولفم
(4|𝐴|)2|𝐴𝑡| = 128 ⟹ 16|𝐴|2|𝐴| = 128 ⟹ |𝐴|3 =128
16= 8 ⟹ |𝐴| = 2
𝐵اگر سوال: = [3 4 14 2 05 0 0
] , 𝐴 = [2 0 00 3 00 0 −1
را به دست آورید. |2𝐴2𝐵3| ، آن گاه حاصل [
پاسخ:
|2𝐴2𝐵3| = 23|𝐴2𝐵3| = 23|𝐴2||𝐵3| = 8|𝐴2||𝐵3|
|𝐴| = 2(3)(−1) = −6 |𝐵| = 1(−10) = −10
|2𝐴2𝐵3| = 8|𝐴2||𝐵3| = 8|−6|2|−10|3 = 8 × 36 × (−1000) = −288000
| مجموع دو دترمینان سوال:0 𝑥 0𝑦 0 00 𝑡 −𝑧
| + |𝑥 0 𝑥0 𝑦 0𝑧 0 𝑡
را به دست آورید. |
نکته:
|𝑘𝐴|یک عدد حقیقی خواهیم داشت: kباشد و n ×nیک ماتریس A( اگر 1 = 𝑘𝑛|𝐴|
|𝐴𝑡|( ترانهاده کردن ماتریس حاصل دترمینان را عوض نمی کند یعنی: 2 = |𝐴|
نکته:
, 𝐵𝑛×𝑛( اگر 1 𝐴𝑛×𝑛2 :باشند آن گاه داریم |𝐴𝐵| = |𝐴||𝐵|
|𝐴𝑘| یک عدد طبیعی باشد آن گاه داریم: k( اگر 2 = |𝐴|𝑘
( دترمینان ماتریس های قطری، باال مثلثی و پایین مثلثی برابر ضرب درایه های روی قطر اصلی است. 3
www.riazisara.irاز سايت رياضي سرادانلود
12
: عباس اسدی امیرآبادی ولفم
ی صورتی به دست می آوریم که بتوان از قاعدهجایی ستون های ماتریس اول، دو دترمینانی را به با جابه پاسخ:
تفکیک، مجموع آنها را به صورت یک دترمینان بنویسیم:
|0 𝑥 0𝑦 0 00 𝑡 −𝑧
| + |𝑥 0 𝑥0 𝑦 0𝑧 0 𝑡
| = − |0 𝑥 0𝑦 0 00 𝑡 −𝑧
| + |𝑥 0 𝑥0 𝑦 0𝑧 0 𝑡
|
= |0 0 𝑥0 𝑦 0−𝑧 0 𝑡
| + |𝑥 0 𝑥0 𝑦 0𝑧 0 𝑡
|یقاعده تفکیک⇒ |
𝑥 0 𝑥0 𝑦 00 0 𝑡
| = 𝑥𝑦
|ی معادله سوال:𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥 11 𝑥 𝑥
| = چند ریشه دارد؟ 0
پاسخ:
|𝐴| = 0 ⟹ |𝑥 1 𝑥 𝑥 1𝑥 𝑥 1 𝑥 𝑥1 𝑥 𝑥 1 𝑥
⟹ |𝐴| = (𝑥3 + 1 + 𝑥2) − (𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥2) =
0
⟹ 𝑥3 + 𝑥3 + 1 − 3𝑥2 = 0 ⟹ 2𝑥3 − 3𝑥2 + 1 = 0
جمع ضرایب صفر است پس یکی از ریشه ها یک است.
2𝑥3 − 3𝑥2 + 1 = 0 ⟹ (𝑥 − 1)(2𝑥2 − 𝑥 − 𝑥) = 0
1
1- 1- 2 0
1 0 3- 2
0 1- 1- 2
ی تفکیک( هر دو دترمینان را می توان به صورت مجموع یا تفاضل دو دترمینان دیگر )قاعده نکته:
ستون آنها برابر باشند و مجموع یا تفاضل سطر یا ستون بافی مانده n-1سطر یا n-1نوشت به طوری
برابر با سطر یا ستون دترمینان اول باشد.
www.riazisara.irاز سايت رياضي سرادانلود
13
: عباس اسدی امیرآبادی ولفم
⟹ (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) = 0 ⟹ {
𝑥 = ریشه مضاعف 1
𝑥 = −1
2 ساده
𝑀تحت ماتریس °120ی ی یک لوزی با زاویهاگر تبدیل یافته سوال: = [4 07 1
یک متوازی االضالع [
ی یک ضلع لوزی را بیابید. باشد اندازه 3√24به مساحت
ن دوشکل ایاست در ضمن بین مساحت 𝑎2𝑠𝑖𝑛120°ضلع لوزی باشد آن گاه مساحت آن برابر aاگر پاسخ:
ی روبرو برقرار است: رابطه
𝑆′ = ||𝑀|𝑆|
24√3 = ||4 07 1
| 𝑎2𝑠𝑖𝑛120°| ⟹ 24√3 = |4𝑎2𝑠𝑖𝑛120°| ⟹ 24√3 = 4𝑎2 ×
√3
2 ⟹ 𝑎2 = 12 ⟹ 𝑎 = 2√3
و پیروز باشیدموفق
اسدی امیرآبادیعباس
می 3× 3ی دترمینان ماتریس های ی دترمینان( فقط برای محاسبه)روش ساروس برای محاسبه نکته:
توان از روش ساروس استفاده کرد در این روش یکبار درایه های ستون اول و دوم ماتریس را جلوی آن
نوشته و سپس مجموع حاصل ضرب درایه های روی قطر اصلی را منهای مجموع حاصل ضرب درایه
ی روی قطرهای فرعی می کنیم. ها
باشد آن گاه داریم: Mی آن تحت ماتریس مساحت تبدیل یافته 'Sمساحت یک شکل Sاگر نکته:
𝑆′ = ||𝑀|𝑆|
www.riazisara.irاز سايت رياضي سرادانلود
