1

ابعیتوزیع تاي کامپوزیتی تقویت شده با تحلیل غیر خطی خمش پوسته استوانه

در راستاي محیطی هاي کربنینانولوله

محمد اسماعیل گلمکانی1*، الناز رحیمی2

مشهد ،ازاداسالمی واحد مشهداستادیار گروه مکانیک، دانشگاه -1

دانشجوي کارشناسی ارشد،دانشگاه ازاد اسالمی واحد مشهد، مشهد -2

m.e.golmakani@mashdiau.ac.ir، 9187144123مشهد ، صندوق پستی *

چکیده

هاي لولهاي کامپوزیتی تقویت شده با توزیع تابعی نانوهاي استوانهپوسته متقارن محوري خطی خمشدر این تحقیق تحلیل غیر

هاي کربنی در راستاي ضخامت پوسته در گیرد. چهار نوع توزیع براي نانولولهکربنی در راستاي محیطی مورد بررسی قرار می

باشند. خواص کامپوزیت تقویت شده با نانووزیع تابعی مینظر گرفته شده است، که شامل یک توزیع یکنواخت و سه نوع ت

معادالت حاکم بر اساس تئوري برشی مرتبه اول و یین شده است. تعها هاي کربنی با استفاده از قانون اصالح شده مخلوطلوله

هاي بدست آمده با استفاده از ترکیب روش درگیرخطی دستگاه معادالت غیر اند.هاي غیرخطی دانل استخراج شدهکرنش

اند. براي نیل به این هاي مختلفی از شرایط مرزي ساده و گیردار حل گشتهعددي رهایی پویا و اختالف محدود براي چیدمان

هدف از برنامه کامپیوتري فرترن استفاده شده است. به منظور اعتبار سنجی دقت روش حاضر، نتایج حل حاضر با مقادیر

ي حالت همسانگرد یک پوسته تابعی مقایسه شده محدود آباکوس و همچنین گزارشی مشابه برا اجزابدست آمده از نرم افزار

باشد. در مطالعه پارامتري انجام شده نیز است. مطابقت خوب بدست آمده حاکی از صحت و دقت روش عددي بکار رفته می

2

کربنی، ضخامت و طول به شعاع پوسته، شرایط مرزي و تغییر کسر حجمی هايلولهتأثیر پارامترهایی همچون توزیع نانو

هاي تنش و لنگر بررسی شده است. برخی از نتایج بدست آمده حاکی از این ها بر جابجایی شعاعی پوسته و منتجهنانولوله

بترتیب UDو O ار چیدمان هاي مرزي ساده و گیردبراي پوسته با لبه هاي کربنیلولهنانو است که با افزایش کسر حجمی

.را خواهند داشتبیشترین و کمترین درصد کاهش خیز

انواژگدکلی

پوسته نانوکامپوزیتی، نانولوله کربنی، خمش غیرخطی، رهایی پویا

Nonlinear bending of functionally graded carbon nanotube reinforced

composite shells with curved morphology

Mohamad Esmaeel Golmakani1, Elnaz Rahimi2

1- Department of Mechanical Engineering, Islamic Azad University, Mashhad branch, Mashhad, Iran

2- Department of Mechanical Engineering, Islamic Azad University, Mashhad branch, Mashhad, Iran

* P.O.B. 9187144123 Mashhad, Iran m.e.golmakani@ mashdiau.ac.ir

Abstract

In this study, nonlinear axisymmetric bending analysis of functionally graded carbon nanotube reinforced

composite (FG-CNTRC) cylindrical shell is investigated. The shell is reinforced along the circumferential

direction. A uniform and three kinds of functionally graded distributions of carbon nanotubes along the thickness

direction of shells are considered. The material properties of FG-CNTRC shells are determined according to the

modified rule of mixture. The equilibrium equations are derived based on first-order shear deformation shell

theory (FSDT) and nonlinear donnell strains. The coupled nonlinear governing equations are solved by Dynamic

Relaxation (DR) method combined with central finite difference technique for different combinations of simply

supported and clamped boundary conditions. For this purpose, a FORTRAN computer program is provided to

generate the numerical results. In order to verify the accuracy of the formulation and present method, the results

are compared with those available in the literatures and ABAQUS finite element package. Finally, a parametric

study is carried out to study the effects of distribution of carbon nanotubes (CNTs), shell radius and width-to-

thickness ratios, boundary conditions and volume fraction of CNTs on the deflection, stress and moment

3

resultants in detail. The results show that with increase of CNTS, the O and UD distributions have the most and

the least decrease of deflection, respectively, in both clamped and simply supported boundary conditions.

Keywords

Nano-composite shell, Carbon nanotubes, Nonlinear bending, Dynamic relaxation

واحد رابطه م التینئعال

u0 m 8 تغییر مکان شعاعی در صفحه میانی 𝑤𝑤0 m 8 تغییر مکان در راستاي ضخامت در صفحه میانی

x 𝜑𝜑𝑥𝑥 - 8چرخش حول محور 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 m 9 کرنش برشی صفحه میانی x 𝜀𝜀𝑥𝑥0 - 9 کرنش صفحه میانی در راستاي

𝑉𝑉CN - 1 کسر حجمی مربوط به نانولوله هاي کربنی 𝑉𝑉m - 3 کسر حجمی مربوط به ماتریس

E22CN E11CN, 𝑁𝑁 مدول االستیسیته ، مربوط به خواص نانولوله هاي کربنی m2� 5،4

𝐸𝐸22,𝐸𝐸11 𝑁𝑁 مدول االستیسیته طولی و عرضی m2� 5،4

,𝑖𝑖 سفتی هاي کششی 𝑗𝑗 = 1,2,6 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁 m� 11

,𝑖𝑖 عرضی و سفتی هاي برشی 𝑗𝑗 = 4,5 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁 m� 11 ,𝑖𝑖 کشش -سفتی هاي اتصال خمش 𝑗𝑗 = 1,2,6 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁 11

,𝑖𝑖 هاي خمشی سفتی 𝑗𝑗 = 1,2,6 𝐷𝐷𝑖𝑖𝑖𝑖 m 𝑁𝑁. 11 K - 11 ضریب تصحیح برشی

𝐺𝐺13,𝐺𝐺23,𝐺𝐺12 𝑁𝑁 هاي االستیک برشی مدولm2� 6

R cm 9 شعاع میانی h cm 1 ضخامت پوسته و پنل

q N 15 بار یکنواخت شعاعی 𝑀𝑀 kg 28 ماتریس جرم

𝐶𝐶 kg/s 28 استهالكماتریس

𝑘𝑘 𝑁𝑁 ماتریس سفتی m� 26

𝑥𝑥 m 24 بردار جابجایی

�̇�𝑥 m/s 21 بردار سرعت

�̈�𝑥 m بردار شتاب s2� 20

𝑡𝑡 - 20∆ گام زمانی

𝑘𝑘𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁 اجزا ماتریس سفتی m� 25

4

یونانیم ئعال

υ𝟏𝟏𝟏𝟏 ، ضریب پواسوني کربنی ضریب پواسون نانولوله𝐂𝐂𝐂𝐂،υ𝟏𝟏𝟏𝟏 − 7

,هاي کربنی نانولولهضرایب تاثیر 𝑗𝑗 = 1,2,3 𝜂𝜂𝑖𝑖 − 4

𝝆𝝆𝑪𝑪𝑪𝑪 𝒌𝒌𝒌𝒌 چگالی نانولوله کربنی 𝐦𝐦𝟑𝟑� 2

𝝆𝝆𝒎𝒎 𝒌𝒌𝒌𝒌 چگالی ماتریس𝐦𝐦𝟑𝟑� 2

مقدمه -1

اند. در دهه گذشته به دلیل خواص ویژه و منحصر که از صفحات کربن به ضخامت یک اتم ساخته شده 1هاي کربنینانو لوله

ها داراي مدول نانولوله .اندبه فرد آنها از جمله مدول یانگ و استحکام کششی باال، مورد توجه بسیاري از محققین قرار گرفته

بسیار خوبی براي در جهت محوري مقاومت کششی بسیار زیادي دارند و این مزیت آنها هستند.برابر فوالد 6یانگی تقریباً

دلیل بهبود در ها به این مواد به عنوان تقویت کننده در کامپوزیت .هایی با مقاومت باال در جهت خاص استساخت سازه

هاي اخیر کاربرد این مواد در صفحات و . به طوري که در سال]1[مقاومت کششی و مدول االستیک آنها، کاربرد بسیاري دارند

اي داشته است. همچنینهاي دریایی رشد قابل توجهاي و سازهفضا، راکتورهاي هستهدر صنعت هواهاي کامپوزیتی پوسته

ها در لولهتوزیع نانو هاي کربنی به اقتضاي شکل هندسی خود داراي حالت رسانایی و نیمه رسانایی هستند.نانولوله

حقیقات نشان داده است که توزیع یکنواخت این مواد به تواند به دو صورت یکنواخت و مدرج تابعی باشد. تها میکامپوزیت

شود. این در حالی است که توزیع مدرج تابعی عنوان تقویت کننده در ماتریس باعث بهبود متوسطی در خواص مکانیکی می

پلیمرهاي حل دینامیک مولکولی کالسیک را براي] 3 [. هان و ایلیوت]2[تواند تأثیر بهتري روي خواص مواد داشته باشدمی

1. Carbon Nanotubes (CNTs)

5

کرنش را براي کامپوزیت تقویت شده با ˚و رفتار تنش دادند) ارائه 10×10کامپوزیتی تک جداره با خواص ماتریس (

تقویت شده با هاي کامپوزیتنانو مکانیکی -حرارتیخواص ]4[وهمکارانش هاي کربنی بدست آوردند. فدیلوس نانولوله

هاي کربنی را در تغییر شکل نانولوله] 5[نش را مطالعه کردند. باور و همکاراهاي کربنی تک جداره و چند جداره نانولوله

خمش خالص تیرهاي کامپوزیتی ]6[هاي کربنی بررسی کردند. وادینچاروا و همکارانش هاي تقویت شده با نانولولهکامپوزیت

هاي کربنی را اي تقویت شده با نانولولههاي استوانهکمانش پوسته ]7[دند. شن هاي کربنی را تحقیق کرتقویت شده با نانولوله

به تحلیل رفتار غیر خطی خمش صفحات کامپوزیتی ]8[در دو حالت اعمال محیط حرارتی و بار فشاري بررسی کرد. شن

توان با توزیع مدرج خطی خمش را میهاي کربنی در یک محیط حرارتی پرداخت. او دریافت رفتار غیر لولهتقویت شده با نانو

اي تقویت شده رفتار ارتعاشاتی یک پنل استوانه ]9[تابعی نانولوله هاي کربنی در ماتریس بهبود بخشید. سبحانی و همکارانش

تحلیل کمانش مکانیکی ]10[نش هاي کربنی را مطالعه کردند. مهرآبادي و همکاراهاي مختلف تابعی نانولولهبا توزیع

هاي کربنی تک جداره را انجام دادند. آنها براي تعیین خواص پوسته کامپوزیتی اي باز تقویت شده با نانولولههاي استوانهپوسته

ها استفاده کردند و تأثیر مشخصات هندسی پوسته و خواص فیزیکی را بر بار تقویت شده از قانون اصالح شده مخلوط

سیلندر جدار مکانیکی-حرارتیهاي مغناطیسی و به بررسی رفتار تنش] 11[کارانش قربانپور و هم بحرانی بررسی کردند.

به تحلیل ارتعاشات آزاد ]12[هاي کربنی تحت یک میدان حرارتی پرداختند. پینگ و همکارانش لولهضخیم تقویت شده با نانو

ش المان محدود و تئوري برشی مرتبه اول هاي کربنی با استفاده از روبر روي صفحات کامپوزیتی تقویت شده با نانولوله

هاي کربنی خطی صفحات کامپوزیتی تقویت شده با نانولولهپاسخ دینامیکی غیر ]13[صفحات پرداختند. وانگ و همکارانش

-حرارتیبه تحلیل رفتار ]14[را با استفاده از توابع االستیک در محیط حرارتی مطالعه کردند. علی بیگلو و همکارانش

هاي کربنی با استفاده از حل االستیسیته سه بعدي پرداختند. مرادي و صفحات کامپوزیتی تقویت شده با نانولوله مکانیکی

6

هاي کربنی تک جداره تحت فشار را با استفاده از روش تقویت شده با نانولولهتحلیل دینامیکی یک سیلندر ]15[همکارانش

اي کامپوزیتی تقویت شده با ارتعاشات آزاد خطی یک پنل استوانه] 16[هدایتی و بررسی کردند. عراقی شبکهبدون

هاي کربنی را مطالعه کردند.نانولوله

اي ي استوانهرفتار خمش پوستههاي انجام شده حاکی از این است که در تمامی مطالعات انجام شده تا کنون، بررسی

ها، در این تحقیق رفتار غیرخطی لولهبا توجه به این نوع چیدمان نانوتحقیق نشده است. هاي کربنیلولهنانوتقویت شده با

هاي کربنی تحت فشار داخلی در حالت متقارن محوري بررسی شده اي کامپوزیتی تقویت شده با نانولولهخمش پوسته استوانه

ستخراج ا 1یر مکان بر اساس تئوري غیرخطی دانلتغی -است. معادالت حاکم بر اساس تئوري برشی مرتبه اول و روابط کرنش

پوسته راستاي محیطیدر )FG-Vو FG-X،FG-O() و مدرج تابعی UDهاي کربنی به صورت یکنواخت (لولهاند. نانوشده

شود. تعیین می 1با استفاده از قانون اصالح شده اختالطکامپوزیتی اند. خواص مکانیکی پوسته نانوکامپوزیتی توزیع شده

هاي عددي رهایی پویا و اختالف محدود مرکزيبدست آمده با استفاده از ترکیب روش درگیردستگاه معادالت غیر خطی

نویسی منظور کدي عددي در محیط برنامهبدین اند.شرایط مرزي ساده و گیردار حل گشته درهاي مختلفی براي چیدمان

جزااي مشابه در این زمینه براي حل پوسته همسانگرد و همچنین نرم افزار اهنتایج حل حاضر با مقال نوشته شده است. فرترن

باشد. در و دقت روش عددي بکار رفته میمحدود آباکوس مقایسه شده است و مطابقت خوب بدست آمده حاکی از صحت

شعاع پوسته، طول به شعاع، هاي کربنی، ضخامت بهلولهمطالعه پارامتري انجام شده تأثیر پارامترهایی همچون توزیع نانو

هاي تنش و لنگر بررسی شده است.ها بر جاجایی شعاعی پوسته و منتجهشرایط مرزي و تغییر کسر حجمی نانولوله

1.Donnell 2.rule of mixture

7

معادالت حاکم -2

هاي کربنی لولهکی کامپوزیت تقویت شده با نانوخواص مکانی -1 -2

تقویت شده از قانون اختالط استفاده شده است. روابط مربوط به کسر در این تحقیق براي تعیین خواص مواد نانو کامپوزیت

اند، براي دو حالت چیدمان یکنواخت امتداد ضخامت محور طولی پوسته توزیع شدهکه در 𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶هاي کربنی لولهحجمی نانو

)UD( و مدرج تابعی)FG-X، FG-OوFG-V( 12[باشندبه صورت زیر می :[

𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶∗ UD

𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑥𝑥) = 2 �2 |𝑥𝑥|ℎ�𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶∗ FG− X )1 (

𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑥𝑥) = �2𝑧𝑧ℎ

+ 1� 𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶∗ FG− V

𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑥𝑥) = 2�1 − 2|𝑧𝑧|ℎ �

𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶∗ FG − O

𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶∗ = 𝑤𝑤𝐶𝐶𝐶𝐶

𝑤𝑤𝐶𝐶𝐶𝐶+�𝜌𝜌𝐶𝐶𝐶𝐶𝜌𝜌𝑚𝑚

�−�𝜌𝜌𝐶𝐶𝐶𝐶𝜌𝜌𝑚𝑚�𝑤𝑤𝐶𝐶𝐶𝐶

)2 (

𝑉𝑉𝑚𝑚 = 1 − 𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶 )3 (

باشند. همچنین هاي کربنی تک جداره و ماتریس میلولهبترتیب مربوط به نانو mو CNهاي در معادالت باال اندیس

هستند. طبق و ضخامت پوسته در امتداد شعاع دانسیته ،به ترتیب بیانگر کسر حجمی، کسر جرمی z و ρ,W,Vکمیت هاي

:]10[پواسون روابط زیر پیشنهاد شده است ها براي مدول االستیسیته طولی، عرضی، برشی و ضریب قانون مخلوط

𝐸𝐸11 = η1𝐸𝐸11𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶𝐸𝐸𝑚𝑚 )4(

8

η2𝐸𝐸22

= 𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶𝐸𝐸22𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑉𝑉𝑚𝑚

𝐺𝐺𝑚𝑚 )5(

η3𝐺𝐺12

= 𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶𝐺𝐺12𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑉𝑉𝑚𝑚

𝐺𝐺𝑚𝑚 )6(

υ12 = 𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶∗ υ12𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑉𝑉𝑚𝑚 υ𝑚𝑚 )7(

η𝑖𝑖 (𝑗𝑗در روابط باال = به االستیسیته مدولهاي تطبیق طریق از و شوندنامیده می کربنی هاي نانولوله تاثیر ضرایب (1,2,3

-دست می به اختالط، قانون از آمده دست به نتایج با دینامیک مولکولی سازي شبیه طریق از کامپوزیت نانو براي دست آمده

و مدرج تابعی )UD(هاي یکنواخت اي متقارن محوري براي چیدمانپوسته استوانهدر ها لولهگیري نانوحوه قرارن .]10[ آیند

) FG-X، FG-O وFG-V( در راستاي محیطی) همانطور که در شکل نشان داده شده است ) نشان داده شده است.1در شکل

(راستاي yبترتیب در در جهت لیافا 2و1جهت در راستاي محیطی

9

𝜀𝜀𝑥𝑥 =𝑑𝑑𝑢𝑢0𝑑𝑑𝑥𝑥

+12�𝑑𝑑𝑤𝑤𝑑𝑑𝑥𝑥

�2

+ 𝑧𝑧(𝑑𝑑𝜑𝜑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

)

𝜀𝜀𝜃𝜃 = 𝑤𝑤𝑅𝑅

𝜀𝜀𝑥𝑥 = 0 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑤𝑤𝑑𝑑𝑥𝑥

+ 𝜑𝜑𝑥𝑥 )9 (

𝛾𝛾𝑥𝑥𝜃𝜃 = 𝛾𝛾𝜃𝜃𝑥𝑥 = 0

شوند: هاي داخلی وابسته میهاي نیرو و گشتاور نیز توسط معادالت زیر به تنشمنتجه

(𝑁𝑁𝑥𝑥,𝑁𝑁𝜃𝜃,𝑄𝑄𝑥𝑥) = � (𝜎𝜎𝑥𝑥,𝜎𝜎𝜃𝜃, 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥)ℎ/2

−ℎ/2𝑑𝑑𝑧𝑧

(𝑀𝑀𝑥𝑥,𝑀𝑀𝜃𝜃, ) = ∫ (𝜎𝜎𝑥𝑥,𝜎𝜎𝜃𝜃)𝑧𝑧𝑑𝑑𝑧𝑧ℎ/2−ℎ/2 )10(

شوند:هاي تنش بواسطه ماتریس سفتی مطابق با رابطه زیر تعریف میها و منتجهرابطه بین کرنش

�𝑁𝑁𝑥𝑥𝑁𝑁𝜃𝜃𝑁𝑁𝑥𝑥𝜃𝜃

� = �𝐴𝐴11 𝐴𝐴12 𝐴𝐴16𝐴𝐴21 𝐴𝐴22 𝐴𝐴26𝐴𝐴16 𝐴𝐴26 𝐴𝐴66

� �𝜀𝜀𝑥𝑥0

𝜀𝜀𝜃𝜃0

𝜀𝜀𝑥𝑥𝜃𝜃0� + �

𝐵𝐵11 𝐵𝐵12 𝐵𝐵16𝐵𝐵21 𝐵𝐵22 𝐵𝐵26𝐵𝐵16 𝐵𝐵26 𝐵𝐵66

� �𝑘𝑘𝑥𝑥𝑘𝑘𝜃𝜃𝑘𝑘𝑥𝑥𝜃𝜃

�

�𝑀𝑀𝑥𝑥𝑀𝑀𝜃𝜃𝑀𝑀𝑥𝑥𝜃𝜃

� = �𝐵𝐵11 𝐵𝐵12 𝐵𝐵16𝐵𝐵21 𝐵𝐵22 𝐵𝐵26𝐵𝐵16 𝐵𝐵26 𝐵𝐵66

� �𝜀𝜀𝑥𝑥0

𝜀𝜀𝜃𝜃0

𝜀𝜀𝑥𝑥𝜃𝜃0� + �

𝐷𝐷11 𝐷𝐷12 𝐷𝐷16𝐷𝐷21 𝐷𝐷22 𝐷𝐷26𝐷𝐷16 𝐷𝐷26 𝐷𝐷66

� �𝑘𝑘𝑥𝑥𝑘𝑘𝜃𝜃𝑘𝑘𝑥𝑥𝜃𝜃

�

�𝑄𝑄𝑥𝑥𝑄𝑄𝜃𝜃� = �𝐾𝐾𝐴𝐴44 𝐾𝐾𝐴𝐴45

𝐾𝐾𝐴𝐴45 𝐾𝐾𝐴𝐴55� �𝜀𝜀𝑥𝑥𝑥𝑥0

𝜀𝜀𝜃𝜃𝑥𝑥0� )11(

ضریب تصحیح تنش K همچنینباشند. میصفحه میانی پیچشی انحنا 𝑘𝑘𝑥𝑥𝜃𝜃وهاي خمشی انحنا 𝑘𝑘𝑥𝑥 ،𝑘𝑘𝜃𝜃در رابطه باال

-اتصال خمش هاي سفتی کششی، سفتیدر نظر گرفته شده است. در روابط باال ماتریس 5/6برشی بوده و مقدار آن برابر با

:آیندکشش و سفتی خمشی و ماتریس ضرایب نیروهاي برشی به ترتیب با روابط زیر بدست می

10

�𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 ,𝐵𝐵𝑖𝑖𝑖𝑖,𝐷𝐷𝑖𝑖𝑖𝑖� = ∫ 𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖h2

−h2(1, 𝑧𝑧, 𝑧𝑧2)𝑑𝑑𝑧𝑧 (i,j=1,2,6)

�𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖� = ∫ 𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖h2

−h2𝑑𝑑𝑧𝑧 (i j = 44,55) )12(

بطوریکه

Q11 = 𝐸𝐸111−υ12υ21

Q22 = 𝐸𝐸221−υ12υ21

Q12 = 𝐸𝐸11υ211−υ12υ21

Q66 = 𝐺𝐺12 )13(

-باشند، منتجهاي در حالت تقارن محوري میتغییر مکان پوسته استوانه -) که بیانگر معادالت کرنش9با توجه به رابطه (

گردند: میتنش و لنگر بر حسب میدان جابجایی به صورت ذیل تعریف هاي

𝑁𝑁𝑥𝑥 = 𝐴𝐴11 �𝑑𝑑𝑢𝑢0𝑑𝑑𝑥𝑥

+12�𝑑𝑑𝑤𝑤𝑑𝑑𝑥𝑥

�2

�+𝐴𝐴12 �𝑤𝑤𝑅𝑅� + 𝐵𝐵11

𝑑𝑑𝜑𝜑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑁𝑁θ = 𝐴𝐴12 �𝑑𝑑𝑢𝑢0𝑑𝑑𝑥𝑥

+ 12�𝑑𝑑𝑤𝑤𝑑𝑑𝑥𝑥�2� + 𝐴𝐴22 �

𝑤𝑤𝑅𝑅� + 𝐵𝐵12

𝑑𝑑𝜑𝜑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑀𝑀𝑥𝑥 = 𝐵𝐵11 �𝑑𝑑𝑢𝑢0𝑑𝑑𝑥𝑥

+ +12�𝑑𝑑𝑤𝑤𝑑𝑑𝑥𝑥

�2

� + 𝐵𝐵12 �𝑤𝑤𝑅𝑅� + 𝐷𝐷11

𝑑𝑑𝜑𝜑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑄𝑄𝑥𝑥 = 𝐾𝐾𝐴𝐴44 �𝑑𝑑𝑤𝑤𝑑𝑑𝑥𝑥

+ 𝜑𝜑𝑥𝑥� )14(

معادالت تعادل -2-3

]:18[کرد فیتعر ریز روابط توسط اول مرتبهی برشي تئور اساس بري انرژي سازحداقل قیطر از توانیم را تعادل معادالت

𝑅𝑅 𝑑𝑑𝐶𝐶𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

= 0

11

𝑅𝑅𝑑𝑑𝑄𝑄𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑

− 𝑁𝑁𝜃𝜃 − 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 0

𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑀𝑀𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

+ 𝑅𝑅𝑄𝑄𝑥𝑥 = 0 )15(

شوند: )، معادالت تعادل برحسب میدان جابجایی به صورت ذیل نوشته می15) در (14با جایگذاري معادالت (

𝐴𝐴11 �𝑑𝑑2𝑢𝑢0𝑑𝑑𝑥𝑥2

� + A11 �𝑑𝑑𝑤𝑤𝑑𝑑𝑥𝑥

� �𝑑𝑑2𝑤𝑤𝑑𝑑𝑥𝑥2

� +𝐴𝐴12R�𝑑𝑑𝑤𝑤𝑑𝑑𝑥𝑥

� +

B11 �𝑑𝑑2𝜑𝜑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥2

� = 0

KA44 �𝑑𝑑2𝑤𝑤𝑑𝑑𝑥𝑥2

+𝑑𝑑𝜑𝜑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

� −𝐴𝐴12𝑅𝑅�

12� �𝑑𝑑𝑤𝑤𝑑𝑑𝑥𝑥

�2

−𝐴𝐴12R�𝑑𝑑

2𝑢𝑢0𝑑𝑑𝑥𝑥2

� − A22R2

w − 𝐵𝐵12R�𝑑𝑑𝜑𝜑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥� − 𝑅𝑅 = 0

B11 �𝑑𝑑2𝑢𝑢0𝑑𝑑𝑥𝑥2

� + B11 �𝑑𝑑𝑤𝑤𝑑𝑑𝑥𝑥

� �𝑑𝑑2𝑤𝑤𝑑𝑑𝑥𝑥2

� +𝐵𝐵12R�𝑑𝑑𝑤𝑤𝑑𝑑𝑥𝑥

� +

D11 �𝑑𝑑2𝜑𝜑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥2

�+ A44 �𝑑𝑑𝑤𝑤𝑑𝑑𝑥𝑥�+ K A44𝜑𝜑𝑥𝑥 = 0 )16(

شرایط مرزي –2-4

این .شوندیم همراه گاه ساده و گیرداربه صورت تکیه يمرز طیشرا با تعادل معادالت ،بندي فرمول کردن منظورکامل به

است: ) در نظر گرفته شدهx=0,L( اياستوانه پوستهابتدا و انتهاي در شرایط مرزي

تکیه گاه ساده

𝑢𝑢0 = 𝑤𝑤 = 𝑀𝑀𝑥𝑥 = 0 )17 (

12

گیردارتکیه گاه

𝑢𝑢0 = 𝑤𝑤 = 𝜑𝜑𝑥𝑥 = 0 )18(

روش رهایی پویا-3

هاي عددي در هاي تحلیلی در اکثر مواقع دشوار است. بنابراین استفاده از روشحل معادالت غیر خطی با روش

خطی استفاده در این تحقیق از روش رهایی پویا براي حل دستگاه معادالت غیر ري از موارد پیشنهاد شده است. بسیا

فرایندروش رهایی پویا یک گردد.بیستم باز میي اول قرن استفاده از روش عددي رهایی پویا به دهه شده است.

تکراري است که هدف آن بطور کلی، انتقال یک سیستم استاتیک به فضاي دینامیکی براي بدست آوردن حالت

پایدار استاتیکی می باشد. این روش بطور خاص، براي تحلیل مسائل با رفتارهاي غیرخطی مناسب است. عالوه بر

کرده و با توجه به الگوریتم ساده آن، فضاي کمی را در حافظه کامپیوتر اشغال این به علت فرمول سازي صریح

بسیار مناسب براي کد نویسی است. بخاطر این مزایا، بسیاري از محققان از روش رهایی پویا براي حل معادالت

هاي فرضی رهایی پویا یک سیستم استاتیکی با افزودن نیروبر اساس روش خطی و غیرخطی استفاده کرده اند.

لذا با توجه به صریح بودن روش حل . ] 19[یابدبه یک فضاي ساختگی و دینامیکی انتقال می استهالكاینرسی و

لی با مقدار ئمسا شکلباشند، باید به ل با مقدار مرزي مشخص میئ) را که از نوع مسا15حاضر، معادالت تعادل (

) 19زیر به سمت راست معادله ( را به صورت استهالكاینرسی و جمالتاولیه معین در آورد. براي انجام این کار

افزاییم.می

𝑅𝑅𝑑𝑑𝑁𝑁𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

= 𝑚𝑚𝑢𝑢𝑑𝑑2𝑢𝑢0𝑑𝑑𝑡𝑡2

+ 𝐶𝐶𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢0𝑑𝑑𝑡𝑡

13

𝑅𝑅𝑑𝑑𝑄𝑄𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

− 𝑁𝑁𝜃𝜃 − 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑚𝑚𝑤𝑤𝑑𝑑2𝑤𝑤𝑑𝑑𝑡𝑡2

+ 𝐶𝐶𝑤𝑤𝑑𝑑𝑤𝑤𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑀𝑀𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

+ 𝑅𝑅𝑄𝑄𝑥𝑥 = 𝑚𝑚𝜑𝜑𝑥𝑥𝑑𝑑2𝜑𝜑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑2

+ 𝐶𝐶𝜑𝜑𝑥𝑥𝑑𝑑𝜑𝜑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑

)19(

توان به صورت زیر در با استفاده از روش تفاضل محدود، بردارهاي سرعت و شتاب را میدر سمت راست معادله باال

:] 19[نظر گرفت

{�̈�𝑥}𝑛𝑛 = {�̇�𝑥}𝑛𝑛+12−{�̇�𝑥}𝑛𝑛−

12

∆𝑑𝑑 )20(

{�̇�𝑥}𝑛𝑛−12 = (𝑥𝑥)𝑛𝑛−(𝑥𝑥)𝑛𝑛−1

∆𝑑𝑑 )21(

−x=u,w, 𝜑𝜑𝑥𝑥 ،( {�̇�𝑥}𝑛𝑛( بردار جابجایی 𝑥𝑥𝑛𝑛که در رابطه باال 1بیانگر گام زمانی 𝑡𝑡∆بیانگر شتاب و 𝑛𝑛{�̈�𝑥} سرعت، 2

:] 19[توان به شکل زیر بیان کردباشد. بر طبق مقدار میانگین، سرعت را میساختگی می

{�̇�𝑥}𝑛𝑛 = {�̇�𝑥}𝑛𝑛−12+{�̇�𝑥}𝑛𝑛+

12

2 )22(

و جابجایی در گام ) n+1/2() و ساده سازي آن سرعت در گام 22) در معادله (21) و (20با جایگذاري معادله (

)n+1( تعریف است:آید که به صورت زیر قابل بدست می

�̇�𝑢0𝑖𝑖𝑛𝑛+12 =

(2∆𝑡𝑡𝑛𝑛)(2 + ∆𝑡𝑡𝑛𝑛𝑐𝑐𝑖𝑖)

(𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛)−1 + �𝑅𝑅

𝑑𝑑𝑁𝑁𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

�𝑖𝑖

𝑛𝑛

+(2 − ∆𝑡𝑡𝑛𝑛𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛)(2 + ∆𝑡𝑡𝑛𝑛𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛) �̇�𝑢0𝑖𝑖

𝑛𝑛−12

�̇�𝑤𝑖𝑖𝑛𝑛+12 = (2∆𝑑𝑑𝑛𝑛)

(2+∆𝑑𝑑𝑛𝑛𝑐𝑐𝑖𝑖)(𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑛𝑛)−1 + �𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑄𝑄𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

− 𝑁𝑁𝜃𝜃 − 𝑅𝑅𝑅𝑅�𝑖𝑖

𝑛𝑛 + (2−∆𝑑𝑑𝑛𝑛𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛)

(2+∆𝑑𝑑𝑛𝑛𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛) �̇�𝑤𝑖𝑖𝑛𝑛−12

𝜑𝜑�̇�𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛+12 = (2∆𝑑𝑑𝑛𝑛)

(2+∆𝑑𝑑𝑛𝑛𝑐𝑐𝑖𝑖)(𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑛𝑛)−1 � 𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑀𝑀𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

+ 𝑅𝑅𝑄𝑄𝑥𝑥�𝑖𝑖

𝑛𝑛+ (2−∆𝑑𝑑𝑛𝑛𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛)

(2+∆𝑑𝑑𝑛𝑛𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛)𝜑𝜑�̇�𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛−12 )23(

14

شود.) محاسبه می24ي (جابجایی در پایان هر گام زمانی با استفاده از رابطه

{𝑥𝑥}𝑛𝑛+1 = {𝑥𝑥}𝑛𝑛 + ∆𝑡𝑡𝑛𝑛+1{�̇�𝑥}𝑛𝑛+12 )24(

و گام زمانی انتخاب استهالكروش رهایی پویا به طور کلی ناپایدار است. بنابراین بایستی مقادیر مناسبی براي جرم،

ن شود. براي داشتن معادالت تکرار صریح، ماتریس جرمی ساختگی باید شود تا نتایج همگرایی این روند تکراري تضمی

:] 19[گرددبر اساس رابطه زیر تعریف می [𝑀𝑀]قطري در نظر گرفته شود. طبق تئوري گرشگورین، ماتریس

𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥14∆𝑡𝑡2 ∑ �𝑘𝑘𝑖𝑖𝑖𝑖�𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 )25 (

عبارتند از: 𝑘𝑘هاي ماتریس سفتی که در آن درایه

𝑘𝑘 = 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥

)26(

x=u ي باالدر رابطه 𝜑𝜑𝑥𝑥 19[نیز طبق ایده ژانگ استهالك باشد. براي ضریبسمت چپ معادله تعادل می و [

رابطه زیر مورد استفاده قرار گرفته است:

𝑐𝑐𝑛𝑛 = 2 � {𝑥𝑥𝑛𝑛}𝑇𝑇{𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑛𝑛)}{𝑥𝑥𝑛𝑛}𝑇𝑇{𝑀𝑀𝑛𝑛}{𝑥𝑥𝑛𝑛}�

12 )27(

].19[به ماتریس جرمی وابسته خواهد شد استهالك) ماتریس 28همچنین طبق رابطه (

𝐶𝐶 = 𝑐𝑐[𝑀𝑀] )28(

:] 19[ارائه گردیده استالگوریتم حل با روش رهایی پویا است. در ادامه استهالكضریب ي باال در رابطه

15

کنیم.را اعمال می qها را صفر داده و بار اولیه تمام متغیرمقدار -1

کنیم.را تعیین می [𝑀𝑀] و [𝐶𝐶] مقادیر -2

کنیم.) تعیین می23( ها را از رابطهسرعت-3

آوریم.) بدست می24ها را با رابطه (جابجایی-4

کنیم.شرایط مرزي جابجایی را اعمال می -5

آوریم.ها را بدست میها و تنشکرنش-6

کنیم.هاي تنش و گشتاور صفحه را حساب میمنتجه-7

کنیم.همگرایی محاسبات را حساب می -8

گردیم و محاسبات را دوباره میبر 2 کنیم و در غیر اینصورت به مرحله قرار باشد، نتایج را چاپ میاگر معیار همگرایی بر -9

دهیم.انجام می

نتایج و بحث -4

اي براي تحلیل خمش خطی براي یک پوسته سنجی دقت معادالت و روش حل بکار گرفته شده، مقایسهابتدا براي اعتبار

n=0باشد و مقایسه انجام شده براي تحقیق مورد نظر در ارتباط با مواد هدفمند میانجام شده است. ]18[همسانگرد با مرجع

ورت پذیرفته است. نتایج براي مقدار خیز در امتداد طول باشد، صخالص می(توان تابعی مواد هدفمند) که نشان دهنده فلز

از جمالت گفتنی است بدین منظور نشان داده شده است. 3که درشکل بدست آمده با شرایط مرزي گیردار در دو انتها پوسته

غیر خطی معادالت تعادل در حل حاضر صرفنظر شده است.

16

گاهی گیردار و ساده در اثر بارگذاري ي کربنی تحت شرایط تکیهنانولولهي کامپوزیتی تقویت شده با نتایج براي پوسته

هاي لولهبدست آمده است. خواص نانو VوX ، O و توزیع مدرج تابعی UDاخت فشار داخلی، در دو حالت توزیع یکنو

ه کامپوزیتی به شرح باشد. مشخصات هندسی و خواص مادکلوین می 300و در دماي اتاق )10×10( کربنی تک جداره از نوع

باشد:زیر می

r= 50cm, h= 1cm , L= 100cm

:]7[ي ماتریس پلی متا کلریت داریمبراي خواص ماده

𝐸𝐸m = 2.5 Gpa, υ𝑚𝑚 = 0.34 , 𝐺𝐺𝑚𝑚 = 0.933 Gpa,

𝐸𝐸11𝐶𝐶𝐶𝐶 = 5.6466 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇,𝐸𝐸22𝐶𝐶𝐶𝐶 = 7.0800 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇

𝐺𝐺12𝐶𝐶𝐶𝐶 = 1.944 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇

𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶∗ =0.12 η1 = 0.137 η2 = 1.022

𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶∗ =0.17 η1 = 0.142 η2 = 1.626

𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶∗ =0.28 η1 = 0.141 η2 = 1.585

𝑁𝑁𝑥𝑥���� = 𝐶𝐶𝑟𝑟𝑟𝑟𝑖𝑖2

𝐸𝐸ℎ3 , 𝑀𝑀𝑥𝑥���� = 𝑀𝑀𝑟𝑟𝑟𝑟𝑖𝑖2

𝐸𝐸ℎ4 ,𝑅𝑅� = 𝑞𝑞𝑟𝑟4

𝐸𝐸mℎ4

𝑅𝑅�د، بعبار بی𝑀𝑀𝑥𝑥���� بعد ومنتجه گشتاور بی 𝑁𝑁𝑥𝑥���� با توجه به اینکه این نوع هندسه و توزیع تقویت . باشدبعد میبیمنتجه تنش

بترتیب 2و 1ها براي اولین بار در حال بررسی است. لذا بمنظور اطمینان از صحت و دقت نتایج بدست آمده، در جدول کننده

با براي دو شرط مرزي گیردار و ساده به مقایسه خیز بیشینه حل حاضر با مقادیر بدست آمده از مدلسازي مسأله مورد نظر

راستاي ضخامت به در پوسته تابعی، ماده مدلسازي منظور به .ام شده استانج نرم افزار اجزا محدود آباکوس 10.6نسخه

17

یک از طور تدریجی به ضخامت راستاي در پواسون ضریب و االستیسیته مدول طوریکه به گردد.تقسیم می همگن چندین الیه

خواص . یابدمی افزایش تابعی مدلسازي ماده در دقت ها الیه تعداد افزایش با که است بدیهی .کندمی تغییر دیگر الیه به الیه

پوسته بنديشبکه براي مواد در هر الیه نیز با استفاده از مدل ریاضی بکار رفته در هر ضخامت مورد نظر قابل محاسبه است.

ها در راستاي طول پوسته برابر تعداد گره ،شبکهبر اساس نتایج بدست آمده از حساسیت .است شده استفاده S4Rالمان از نیز

پیداست تطابق نسبتأ خوبی بین نتایج 2و 1مانطور که از جداول ه .در نظر گرفته شده است 30و در راستاي ضخامت 20

برقرار است.

رهایی پویا بدست برنامه نویسی فرترن به روش محیطکد عددي نوشته شده در تحقیق با استفاده از نتایج پارامتري در این

در دو حالت گیردارجابجایی عمودي را بر حسب افزایش بار براي شرط مرزي حداکثرتغییرات 4شکل در آورده شده است.

دهد. با توجه به شکل نشان می 17/0کسر حجمی و R=50cm , h=2cm,L=100cm خطی براي پوسته با ابعادخطی و غیر

هاي تغییر شکل ، اهمیتانجام شده بر اساس روش رهایی پویا خطیحالت خطی و غیربا افزایش بار و اختالف خیز بین دو

اختالف خیز بین q = 100 GPaباشد. براي مثال در هاي کربنی بیشتر نمایان میبزرگ و بررسی اثرات واقعی توزیع نانولوله

بود. بنابراین بیشترین خواهد %83و %72، %76ترتیب به FG-Vو UD ،FG-Xهاي دو حالت خطی و غیر خطی براي چیدمان

باشد.می UDو کمترین اختالف خیز مربوط به چیدمان Vخطی مربوط به چیدمان ختالف خیز بین دو حالت خطی و غیرا

براي پوسته با ابعاد گیردار وساده گاه را بر حسب تغییر بار در دو حالت شرط مرزي تکیه حداکثرتغییرات خیز 6و 5شکل

r=50cm , h=2cm,L=100cm ي توزیع نانولولهدهد. با توجه به شکل براي یک پوسته متقارن محوري که نحوهنشان می-

براي هر . ها تغییر شرط مرزي بر مقدار خیز تأثیر چندانی نخواهد داشتباشد، در تمام چیدمانها در آن به صورت محیطی می

مربوط به چیدمان حداکثرو کمترین مقدار خیز UDمربوط به چیدمان رحداکثبیشترین مقدار خیز دو حالت شرط مرزي

18

FG-V هاي کربنی نقش مهمی در افزایش سفتی خمشی پوسته توان گفت استفاده از توزیع تابعی نانولولهلذا می. باشدمی

ر مقدار خیز بیشتر خواهد شد. ها بنانولولهي توزیع فشار داخلی تاثیر نحوهشود با افزایش میمشاهده همچنین خواهد داشت.

ها لولههاي مختلف توزیع نانوضخامت بر تغییرات جابجایی شعاعی را بر حسب طول براي حالتتأثیر 14تا 7شکل هاي

تحت فشار داخلی r=50cm دهد. ابعاد پوسته مورد نظرنشان می گیردارگاه ساده و براي هر دو شرط مرزي تکیه

0.2GPa q= در نظر گرفته شده است. تغییرات خیز براي حالتی که 17/0ها با کسر حجمی توزیع نانولوله باشد،میr شعاع

) بدست آورده شده است. h/r=0.02,h/r=0.03,h/r=0.04هاي (کند، براي نسبتتغییر می hپوسته ثابت و فقط ضخامت

باشد بلکه در در وسط پوسته نمی حداکثران خیز شود براي هر سه ضخامت و هر چهار چیدمها مشاهده میبا توجه به شکل

براي هر دو شرط مرزي، در h/r=0.04به h/r=0.02باشد. با افزایش ضخامت ازاز ابتدا و انتهاي پوسته می 2/0فاصله

توان افت خیز را خواهیم داشت. لذا می %86و %61/84،%60/84، %94/78ترتیب به FG-Oو UD ،FG-X ،FG-Vچیدمان

بیشترین افت خیز و کمترین مقدار افت خیز مربوط به حالت Oبا افزایش ضخامت براي هر دو شرط مرزي ، چیدمانگفت

UD باشد. با افزایش ضخامت از میh/r=0.02 به h/r=0.03 افت خیز نسبت به حالتی که ضخامت ازh/r=0.03 به

h/r=0.04 باشدمی برابر بیشتر 75/2یابد، حدودافزایش می.

هاي توزیع یکنواخت و مدرج هاي مختلف براي حالتتغییرات خیز را بر حسب طول براي کسر حجمی 18تا 15هاي شکل

r=50cm L=100cm، h=2cmبراي یک پوسته متقارن محوري با ابعاد گیردارتکیه گاه ساده و تابعی براي دو شرط مرزي

یابد و این امر ها افزایش میکسر حجمی، مدول االستیسیته نانولوله دهد. با افزایشنشان می q=0.1GPaو تحت فشار داخلی

از 2/0ي شود در فاصلهباعث افزایش استحکام پوسته در مقابل تغییر شکل و کاهش خیز خواهد شد. همانطور که مشاهده می

قدار ه در سطح میانی طول پوسته مباشد. این در حالی است کمی گیرداربیشتر از ساده هاي پوسته مقدار خیز با شرط مرزي لبه

19

توان فهمید که براي هر دو شرط مرزي با هم منطبق خواهد شد. از مقایسه این نمودارها میخیز براي هر دو شرط مرزي بر

، %34ترتیب به FG-Oو UD ، FG-X ، FG-Vها به صورت براي چیدمان نانولوله 17/0به 12/0ز افزایش کسر حجمی ا

-ها بهبراي چیدمان نانولوله 28/0 به 17/0کاهش خیز را خواهیم داشت و براي افزایش کسر حجمی از %31و 32%، 34%

توان گفت که با افزایش کسر حجمی براي هر دو شود. بنابراین میکاهش خیز مشاهده می %36و %42، %43، %42ترتیب

کمترین درصد کاهش خیز را خواهند داشت. همچنین Vو Oبیشترین درصد کاهش خیز و چیدمان X شرط مرزي چیدمان

ها استحکام پوسته در برابر تغییر شکل بیشتر توان فهمید با افزایش کسر حجمی و افزایش تراکم نانولولهاز مقایسه نمودارها می

یابد.هاي مختلف کاهش میبه همین دلیل اختالف خیز بین چیدمان ،خواهد شد

براي شرایط مرزي متفاوت یک پوسته متقارن محوري با را برحسب نسبت طول به شعاع بی بعد تغییرات خیز 6تا 3 جدول

ونتایج بدست آمده مشاهده با توجه به جدول دهد.نشان می q=0.2 GPaو تحت فشار داخلی r=50cm ، h=2cmابعاد

%1تا %1/0داشت و اختالف خیز بین افزایش نسبت طول به شعاع پوسته تاثیر چندانی بر مقدار جابجایی نخواهدشود می

هاي بعمل آمده حاکی از این بررسی همچنین. تار چیدمان با هر شرط مرزي صادق اسباشد که این نتیجه براي هر چهمی

در باشدمی 27/0 حدوداز لبه هاي پوسته خیز ماکزیمم فاصله بی بعد محلباشد 1اگر نسبت طول به شعاع برابر است که

شود. می قوع جابجایی از لبه پوسته کمتربه شعاع پوسته محل و با افزایش طولکه حالی

،r=50cm L=100cmبعد در امتداد طول براي یک پوسته متقارن محوري با ابعاد منتجه تنش بی 20تا 19هاي شکل

h=2cm و تحت فشار داخلیq=0.1GPa ي تنش شکل مقدار منتجه دهد. با توجه بهنشان می گیردارساده و و شرط مرزي

بیشترین نیروي گیردارگاه باشد. براي شرط مرزي تکیهدر توزیع یکنواخت و مدرج تابعی در طول پوسته یکنواخت می

این در حالی است که براي شرط مرزي .است V و کمترین مقدار مربوط به چیدمان Oو UD شعاعی مربوط به چیدمان

20

باشد. همچنین براي می Vو کمترین مقدار مربوط به چیدمان UDشعاعی مربوط به چیدمان بیشترین نیروي سادهگاه تکیه

و براي شرط %54و%54،%25ترتیب به O و UD,Xهاي با چیدمانV درصد اختالف نیروي شعاعی چیدمان گیردارشرط مرزي

باشد. می %52و %52،%1به ترتیب ساده مرزي

باشد. در شرط مرزي می گیردارساده و بعد در امتداد طول پوسته براي دو شرط مرزي بیبیانگر گشتاور 22تا 21هاي شکل

که بر هم FG-O و FG-X و کمترین مقدار گشتاور مربوط به چیدمان UDبعد مربوط به چیدمان بیشترین گشتاور بی گیردار

چیدمان منطبق بر هم خواهند بود. براي شرط باشد. گفتنی است در وسط پوسته لنگر خمشی در هر چهار نوع منطبقند، می

باشد. می UDو Vترتیب مربوط به چیدمان بعد بهبیشترین و کمترین گشتاور بیساده گاه مرزي تکیه

جمع بندي نتیجه گیري و -5

هاي لولهواخت نانواي کامپوزیتی تقویت شده با توزیع تابعی و یکنهاي استوانهخطی خمش براي پوستهدر این تحیق رفتار غیر

کربنی تک جداره در حالت متقارن محوري با استفاده از روش حل عددي رهایی پویا مورد بررسی قرارگرفت. معادالت حاکم

اند. به منظور اعتبار سنجی دقت روش حاضر، خطی دانل استخراج شدههاي غیربر اساس تئوري برشی مرتبه اول و کرنش

محدود آباکوس و همچنین گزارشی مشابه براي حالت همسانگرد یک اجزا دست آمده از نرم افزار نتایج حل حاضر با مقادیر ب

باشد. در پوسته تابعی مقایسه شده است. مطابقت خوب بدست آمده حاکی از صحت و دقت روش عددي بکار رفته می

به شعاع پوسته، طول به شعاع، شرایط مرزي هاي کربنی، ضخامتلولهثیر پارامترهایی همچون توزیع نانوأي پارامتري تمطالعه

هاي تنش و لنگر بررسی شده است. برخی از مهمترین نتایج ها بر جاجایی شعاعی پوسته و منتجهو تغییر کسر حجمی نانولوله

باشد: مده به شرح زیر میآبدست

21

و گیرداربنابراین براي هر دو شرط مرزي ثیر چندانی بر مقدار خیز نخواهد داشت.تغییر شرط مرزي تأ براي هر چهار چیدمان

دهند.از خود نشان می را کمترین مقدار خیز در برابر اعمال فشار داخلی Vچیدمان بیشترین مقدار خیز و UDچیدمان ساده

هاي -شکل نانولوله Vها مربوط به توزیع تابعی بیشترین سفتی خمشی پوسته هاي نسبتأ نازكدر پوسته توان گفت-لذا می

کربنی است.

UDبیشترین افت خیز و کمترین مقدار افت خیز مربوط به حالت O با افزایش ضخامت براي هر دو شرط مرزي، چیدمان

.ها بر مقدار خیز کمتر خواهد شدي توزیع نانولوتر شدن پوسته تاثیر نحوهگردد با ضخیم عالوه بر این مالحظه می .باشدمی

.گرددکمتر تابعی با افزایش ضخامت پوسته حساسیت انتخاب چیدمان ن گفتتوالذا می

UDو کمترین اختالف خیز مربوط به چیدمان Vبیشترین اختالف خیز بین دو حالت خطی و غیرخطی مربوط به چیدمان

کمترین Vو Oبیشترین درصد کاهش خیز و چیدمان X با افزایش کسر حجمی براي هر دو شرط مرزي چیدمان باشد.می

و Oو UD بیشترین نیروي شعاعی مربوط به چیدمان گیرداربراي شرط مرزي تکیه گاه درصد کاهش خیز را خواهند داشت.

بیشترین نیروي شعاعی براي سادهاست این در حالی است که براي شرط مرزي تکیه گاه Vکمترین مقدار مربوط به چیدمان

بعد براي چیدمان ، بیشترین گشتاور بیگیردارگاهی در شرایط تکیه باشد.می Vه چیدمانو کمترین مقدار مربوط بUD چیدمان

UD چیدمانبه گشتاور مربوط و کمترین مقدار FG-X و FG-Oسادهگاه تکیه باشد. براي شرط مرزي که بر هم منطبقند، می

باشد. براي هر چهار چیدمان تغییر شرط مرزي می UDو Vترتیب مربوط به چیدمان بعد بهنیز بیشترین و کمترین گشتاور بی

UDها به صورت براي هر دو شرط مرزي بیشترین خیز مربوط به چیدمان نانولولهتأثیر چندانی بر مقدار خیز نخواهد داشت.

است. Vو کمترین مقدار خیز مربوط به چیدمان

22

مراجع-6

1. Thostenson, E. T., Ren, Z. H., and Chou, T.W., “ Advances in the Science and Technology of Carbon

Nanotubes and their Composites: A Review”, , Vol. 16, No. 13, pp.

1899-1912, 2001.

2. Dseldel, G. D., and Agodas, G. D. C., “ Micromechanical Analysis of the Effective Elastic Properties of

Carbon Nanotube Reinforced Composites, , Vol .38, pp. 884-907, 2006.

3. Han, Y., and Elliott, J., “ Molecular Dynamics Simulations of the Elastic Properties of Polymer/Carbon

Nanotube Composites”, , Vol. 39, pp. 315-323, 2007.

4. Fidelus, J. D., Wiesel, E., Gojny, F. H., Schulte, K., and Wagner, H. D., “ Thermo-Mechanical Properties of

Randomly Oriented Carbon/Epoxy Nanocomposites”, , Vol. 36, pp. 1555-1561, 2005.

5. Bower, C., Rosen, R., and Jin, L., “ Deformation of Carbon Nanotubes in Nanotube-Polymer Composites”,

, Vol. 74, No. 22, 1999.

6. Vodenitcharova, T., and Zhang, C., “ Bending and Local Buckling of Nano-Composite Beam Reinforced by a

Single-Walled Carbon Nanotube”, , Vol. 43, pp. 3006-3024,

2006.

7. Shen, H. S., “ Postbuckling of Nanotube-Reinforced Composite Cylindrical Shells in Thermal Environments,

Part I: Axially-Loaded Shells”, , Vol. 93, pp. 2096-2108, 2011.

8. Shen, H. S., “ Nonlinear Bending of Functionally Graded Carbon Nanotube Reinforced Composite Plates in

Thermal Environments”, , Vol. 91, pp. 9-19, 2009.

9. Sobhani aragh, B., Barati, N., and hedayati, H., “ Eshelby-Mori Tanaka Approach for Vibrational Behavior of

Continuously Graded Carbon Nanoube Reinforced Cylindrical Panels”, , Vol. 43, pp.

1943-1954, 2012.

10. Mehrabadi, S. J., Karimi Samar, R., and Bohluli, M., “ Mechanical Buckling Analysis of Open Circular

Cylindrical Shells Reinforced with Single Walled Carbon Nanotubes”, , Vol.

9, No. 4, pp. 51-59, 2012.(in Persian)

11. Ghorbanpour Arani, A., Mozdianfar, M. R., Sadooghi, V., Mohammadimehr, M., and Kolahchi, R.,

“ Magneto-Thermo-Tlastic Behavior of Cylinder Reinforced with FG-SWCNTs under Transient Thermal

Field”, , Vol. 3, No. 1, pp. 9-18, 2011.

23

12. Ping, Z., Lei, Z. N., and Liew, K. M., “ Static and Free Vibration Analyses of Carbon Nanotube-Reinforced

Composite Plates using Finite Element Method with First order Shear Deformation Plate Theory”,

, Vol. 94, pp. 1450-1460, 2011.

13. Wang, Z. X., and Hui shen, Sh., “ Nonlinear Dynamic Response of Nanotube-Reinforced Composite Plates

Resting on Elastic Foundations Thermal Environment”, , Vol. 32, pp. 123-132, 2012.

14. Alibeigloo, A., and Liew, K. M., “ Thermoelastic Analysis of Functionally Graded Carbon Nanotube-

Reinforced Composite Plate using Theory of Elasticity”, , Vol. 106, pp. 873-881, 2013.

15. Dastjerdi, M., Foroutan, M. R., and Pourasghar, M. A., “ Dynamic Analysis of Functionally Graded

Nanocomposite Cylinders Reinforced by a Mesh-Free Method”, , Vol. 44, pp. 258-266,

2013.

16. Aragh, B. S., and Hedayati, H., “ Eshelby-Mori-Tanaka Approach for Vibrational Behavior of Continuously

Graded Carbon Nanotube Reinforced Cylindrical Panels”, , Vol. 43, pp. 1943-54, 2012.

17. Obrush, D., and Almorth, B. O. , Newyork, Mograw-Hill, 1975.

18. Dai, H. L., and Dai, T., “ Analysis for the Thermoelastic Bending of a Functionally Graded Material

Cylindrical Shell”, , Vol. 49, pp. 1069-1081, 2013.

19. Golmakani, M. E., and Kadkhodayan, M., “ Large Deflection Analysis of Circular and Annular Fgm Plates

under Thermo-Mechanical Loading with Temperature-Dependent Properties, , Vol. 42, pp.

614-625, 2011.

24

y )1(

X)2(

FG-Xب)چیدمان UDالف)چیدمان

FG-V د) چیدمان FG-Oج)چیدمان

نانولوله هاي کربنی در راستاي محیطی.ي توزیع ): نحوه1شکل (

25

.اي متقارن محوريي استوانههندسه پوسته ):2(شکل

.هاي گیرداربراي حل خطی خمش یک پوسته همسانگرد با تکیه گاه ]18[مرجع مقادیر گزارش شده و حاضر حلمقایسه 3شکل

.انجام شده بر اساس روش رهایی پویا بر حسب تغییر بار بین دو تحلیل خطی وغیرخطیبعد بی حداکثرمقایسه خیز 4 شکل

0.00

0.06

0.12

0.18

0.24

0.30

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00

W×1

00(m

)

x(m)

=0.25=10Mpa

CC

]18[هونگ

تحقیق حاضر

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

0 100 200 300

Wm

ax/h

q×0.0621

CCUdخطیFG-XخطیFG-VخطیUdغیر خطیFG-Xغیر خطیFG-Vغیر خطی

W

26

VCN 0.17 با گیردار گاهبعد با شرط مرزي تکیهبعد بر حسب تغییر بار بیبی حداکثرخیز 5شکل

∗ = .

VCN 0.17 باساده گاهبعد با شرط مرزي تکیهبعد بر حسب تغییر بار بیبی حداکثرخیز 6شکل

∗ = .

VCN 0.17با گیردارشرط مرزي وUD تاثیر ضخامت برتغییرات خیز بر حسب طول براي چیدمان 7شکل

∗ = .

0.00

0.40

0.80

1.20

1.60

2.00

2.40

100 200 300 400 500

Wm

ax/h

q×0.0615

CCud

FG-X

FG-V

FG-0

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

100 200 300 400 500

Wm

ax/h

q×0.0615

SSUD

FG-X

FG-V

FG-O

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

W/h

x/L

UDCC h/r=0.02

h/r=0.03

h/r=0.04

27

VCN 0.17با گیردارشرط مرزي و FG-X تاثیر ضخامت برتغییرات خیز بر حسب طول براي چیدمان 8شکل

∗ = .

VCN 0.17با گیردارشرط مرزي و FG-V تاثیر ضخامت برتغییرات خیز بر حسب طول براي چیدمان 9شکل

∗ = .

VCN 0.17با گیردارشرط مرزي و FG-Oتاثیر ضخامت برتغییرات خیز بر حسب طول براي چیدمان 10شکل

∗ = .

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

W/h

x/L

FG-XCC

h/r=0.02

h/r=0.03

h/r=0.04

0.00

0.50

1.00

1.50

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

W/h

x/L

FG-VCC

h/r=0.02

h/r=0.03

h/r=0.04

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

W/h

x/L

FG-OCC

h/r=0.02

h/r=0.03

h/r=0.04

28

VCN 0.17با سادهشرط مرزي و UD تاثیر ضخامت برتغییرات خیز بر حسب طول براي چیدمان 11شکل

∗ = .

VCN 0.17با سادهشرط مرزي و FG-X تاثیر ضخامت برتغییرات خیز بر حسب طول براي چیدمان 12شکل

∗ = .

VCN 0.17با سادهشرط مرزي و FG-V تاثیر ضخامت برتغییرات خیز بر حسب طول براي چیدمان 13شکل

∗ = .

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

W/h

x/L

UDSS

h/r=0.02

h/r=0.03

h/r=0.04

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

W/h

x/L

FG-XSS

h/r=0.02

h/r=0.03

h/r=0.04

0.00

0.50

1.00

1.50

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

W/h

x/L

FG-VSS

h/r=0.02

h/r=0.03

h/r=0.04

29

VCN 0.17با سادهشرط مرزي و FG-O تاثیر ضخامت برتغییرات خیز بر حسب طول براي چیدمان 14شکل

∗ = .

.ها و کسر حجمی مختلف نانولوله UDتغییر خیز بر حسب طول براي چیدمان 15شکل

.ها و کسر حجمی مختلف نانولوله FG-Xتغییر خیز بر حسب طول براي چیدمان 16شکل

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

W/h

x/L

FG-OSS

h/r=0.02

h/r=0.03

h/r=0.04

0

0.2

0.4

0.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

W/h

x/L

UD

Vcn*=0.12c-cVcn*=0.12s-sVcn*=0.17c-cVcn*=0.17s-sVcn*=0.28c-cVcn*=0.28s-s

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

W/h

x/L

FG-X

Vcn*=0.12c-cVcn*=0.12s-sVcn*=0.17c-cVcn*=0.17s-sVcn*=0.28c-cVcn*=0.28s-s

30

.ها و کسر حجمی مختلف نانولوله FG-Vتغییر خیز بر حسب طول براي چیدمان 17شکل

.ها نانولولهو کسر حجمی مختلف FG-Oتغییر خیز بر حسب طول براي چیدمان 18شکل

VCN 0.17با گیردارمنتجه تنش بی بعد در امتداد طول پوسته تکیه گاه 19شکل

∗ = .

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

W/h

x/L

FG-V

Vcn*=0.12c-cVcn*=0.12s-sVcn*=0.17c-cVcn*=0.17s-sVcn*=0.28c-cVcn*=0.28s-s

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

W/h

X/L

FG-O

Vcn*=0.12c-cVcn*=0.12s-sVcn*=0.17c-cVcn*=0.17s-sVcn*=0.28c-cVcn*=0.28s-s

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

x/L

Nxcc

UD

FG-X

FG-V

FG-O

𝑁𝑁𝑥𝑥���

31

VCN 0.17منتجه تنش بی بعد در امتداد طول پوسته تکیه گاه ساده با 20شکل

∗ = .

VCN 0.17 گیردار منتجه گشتاور بی بعد در امتداد طول پوسته تکیه گاه 21شکل

∗ = .

VCN 0.17 ساده با منتجه گشتاور بی بعد در امتداد طول پوسته تکیه گاه 22شکل

∗ = .

VCN 0.17و CCبعد بدست آمده از تحلیل غیرخطی حاضر و نرم افزار آباکوس براي شرط مرزي خیز بی بیشینهمقایسه بین 1 جدول∗ =

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/L

Nxss

UDFG-XFG-VFG-O

-0.005

-0.003

-0.001

0.001

0.003

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/L

Mxcc

UD

FG-X

FG-V

FG-O

-0.0005

0.0005

0.0015

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/L

MxSS UD

FG-X

FG-V

FG-O

𝑀𝑀𝑥𝑥����

𝑀𝑀𝑥𝑥����

𝑁𝑁𝑥𝑥���

32

𝑅𝑅� x 0621/0

UD FG-X FG-V

آباکوس پزوهش حاضر آباکوس پزوهش حاضر آباکوس پزوهش حاضر

100 3826/0 3924/٠ 2911/0 2692/0 2385/0 2328/0

150 5733 /0 5887/0 4380/0 4389/0 3583/0 3492/0

200 0761/0 3780/0 5886/0 5481/0 4777/0 6467/0

VCN 0.17و SS تحلیل غیرخطی حاضر و نرم افزار آباکوس براي شرط مرزي آمده ازخیز بی بعد بدست بیشینهمقایسه بین 2 جدول∗ =

𝑅𝑅� x 0621/0

UD FG-X FG-V

آباکوس پزوهش حاضر آباکوس پزوهش حاضر آباکوس پزوهش حاضر

100 3880/0 4398/٠ 1296/0 2717/0 2410/0 2349/0

150 5825 /0 3590/0 4400/0 1448/0 3628/0 3352/0

200 1776/0 7933/0 5934/0 2578/0 1483/0 1477/0

UD 0.17 VCN (نسبت طول به شعاع براي چیدمان بر حسب افزایش بی بعد بیشینه خیز 3 جدول∗ = ،r=50cm ، h=2cm (

L/R= 5/1 = L/R 2= L/R 5/2 = L/R 1 شرایط مرزي

CC 7783/0 7638/0 7561/0 7554/0

SS 7779/0 7657/0 7665/0 7653/0

CS 7784/0 7682/0 7668/0 7659/0

FG-X )0.17 VCNطول به شعاع براي چیدمان بر حسب افزایش نسبت بی بعدبیشینه خیز 4 جدول∗ = ،r=50cm ، h=1cm (

L/R= 5/1 = L/R 2= L/R 5/2 = L/R 1 شرایط مرزي

33

CC 5980/0 5982/0 5965/0 5947/0

SS 6071/0 6056/0 6033/0 8 602/0

CS 6075/0 6055/0 6032/0 6020/0

FG-V )0.17 VCNافزایش نسبت طول به شعاع براي چیدمان بر حسب بی بعد بیشینه خیز 5 جدول∗ = ،r=50cm ، h=1cm (

L/R= 5/1 = L/R 2= L/R 5/2 = L/R 1 شرایط مرزي

CC 4214/0 4209/0 4202/0 4190/0

SS 4283/0 4261/0 4243/0 4247/0

CS 4282/0 4268/0 4244/0 4241/0

FG-O )0.17 VCNافزایش نسبت طول به شعاع براي چیدمان بر حسب بی بعدبیشینه خیز 6 جدول∗ = ،r=50cm ، h=1cm (

L/R= 5/1 = L/R 2= L/R 5/2 = L/R 1 شرایط مرزي

CC 5015/0 5001/0 4950/0 4934/0

SS 5035/0 5002/0 4986/0 4972/0

CS 5026/0 5014/0 4989/0 4997/0

34