Hydrostatics (1) - KNTU (Hydrostatics-1).pdf · وﺮﯿﻧ ﻊﯾزﻮﺗ (force distribution) يﺎﻨﺒﻣ ﺮﺑ و هﺪﺷ ﯽﺷﺎﻧ فاﺮﻃا ﻂﯿﺤﻣ ﺎﺑ ﻢﺴﺟ

Hydrostatics (1)

Mohsen SoltanpourEmail: [email protected]

URL: http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/

(Stress): تنش

) quantity(کمیت

نظیر درجه حرارت،. کمیت مشخص می شود مقدارتنها با ):scalar(اسکالر ...زمان، جرم،

ه س. ي کمیت نیز باید مشخص گرددراستاعالوه بر مقدار ): vector(بردار ردار براي تعریف ب) مولفه هاي بردار در سه راستاي متعامد( کمیت اسکالر

...نظیر سرعت، شتاب، نیرو،. الزم است

. یا بیشتر نیاز داردمولفه اسکالر 9توصیف این کمیتها به ): tensor(تانسور ...نظیر تنش، کرنش، ممان اینرسی،

.دانست) 13=3(و مرتبه یک ) 03=1(کمیات اسکالر و برداري را می توان به ترتیب تانسور مرتبه صفر

continuous( اي پیوسته توزیع )field( میدان distribution( با که است تانسوري یا برداري اسکالر، کمیت یک از :مثال.شود بیان )x,y,z,t( زمان و فضا مختصات از اي پیوسته توابع

),,,( tzyxTدما

ktzyxhjtzyxgitzyxftzyxv

),,,(),,,(),,,(),,,( سرعت

تنش رمولفه اسکال 9

http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/

توزیع نیرو

)force distribution (

surface( سطحی force(: مبناي بر و شده ناشی اطراف محیط با جسم تماس از .شود می بیان کند می اثر آن به که اي ماده سطح واحد

body( حجمی force(: بیان کند می اثر آن بر نیرو که اي ماده جرم واحد مبناي بر .)مغناطیس و ثقل نظیر( نیست نیاز مستقیم تماس ماده روي بر تاثیر براي و شود می

),,,( tzyxT

),,,( tzyxB


:(Nonviscous flow)و جریان غیر لزج (Stationary fluid)تنش در سیال ساکن

برشی نشت نیوتن لزجت قانون طبق )دارند یکسان سرعت المانها تمام( یکنواخت جریان داراي سیال و ساکن سیال در

:است صفر

2

dxdydzg

x

y

znn

yy

xx

0

0cos

0

dydzdydz

dsdzdydz

F

nnxx

nnxx

x

nnxx

02

0sin2

0

dy

dsdzdxdydz

dxdz

F

nnyy

nnyy

y

g

g

nnyy )dy کوچک است (

dx

dsdy

dz


اسکالر و لذا کمیتی( ) بنابراین در سیال ساکن و داراي حرکت یکنواخت تنش مستقل از جهت بوده نیز نامیده ک تنش هیدرواستاتیاین تنش همان فشار ترمودینامیکی با جهت مخالف می باشد که ). قانون پاسکال(است

:در حال حرکتغیر لزج در سیال .می شود

xnnxx

xnnxx

xx

adx

adxdydz

dsdzdydz

maF

2

2cos

xxnn

)(2

2sin

2

ynnyy

ynnyy

yy

ady

adxdydz

dsdzdxdydz

dxdz

maF

g

g

yynn )dy کوچک است (

)dx کوچک است (


zzyyxx

. نیز تنش کمیتی اسکالر استغیر لزج بنابراین در سیال

سیارب برشی تنش بدلیل( است کردن صرفنظر قابل لزجت تاثیرات سیال از اي عمده بخشهاي در که آنجایی از

.کرد استفاده حاالت اغلب در کننده ساده فرض این از توان می ،)کوچک


: (Properties of stress)خواص تانسورتنش

x

y

z

zx

zz

zy

ij i که تنش اعمال می شود) یا صفحه اي(راستاي عمود بر سطحی .

j راستاي تنش

xx

xz

xy

yx

yz

yy

zx

zz

zy

yxyz

yy

xx

xy

xz

با برابر )رنگ قرمز( مکعب پشت وجوه تنشهاي آنها جهت خالف در و مکعب روبروي سطوح تنشهاي

.*)است کوچک المان ابعاد( هستند

dxdydzg


dy

dz

zzzz

zy

yz

yz

zy

yy

yy :Xدید در جهت مثبت y

z

*0 OM

0)()( dzdydxdydzdx zyyz

dxdydzgO

zyyz

:گربه همین ترتیب با لنگرگیري در جهات دی

yxxy zxxz

باالتر یلبدل حجمی نیروي نظیر اما شود می وارد رابطه در نیز اینرسی جمله باشد، نداشته وجود تعادل حالت اگر * تانسور همواره جامدات نظیر نیز )نیوتنی غیر نیوتنی،( سیاالت در بنابراین .گردد می حذف دیفرانسیل مرتبه بودن

.دارد مستقل مولفه 6 تنها تنش


قائم هايتنش نتیجه در و شده ایجاد برشی تنش سیال در ها الیه نسبی حرکت وجود صورت در متحرك لزج سیال در - میحج تنش( :قائم تنشهاي حسابی میانگین از استفاده صورت در .بود نخواهد یکسان معموال مختلف جهات در

Bulk stress(

)(3

1zzyyxx

:در سیال غیر لزج. *است اسکالرتنش حجمی بستگی به جهت نداشته و کمیتی

zzyyxx

عدم و تعادل حالت کمیت( تنش جاي به )تعادل حالت به مربوط کمیت( ترمودینامیکی فشار از استفاده صورت در

:)تعادلp

با توجه به منفی بودن تنش

قائم سیاالت در اکثر حاالت


:تنش هاي عمومی وارد بر یک وجه مایل

zx

zz

zy

yxyz

yy

xx

xy

xz

x

y

z

dy

A

C

B

dx

dz

n

s

:n راستاي عمود بر سطح مایل

:s یکی از دو راستاي متعامد تنش برشی وارده بر سطح مایل

ABC

nx a: کسینوس هادي راستايn نسبت بهi

ny a: کسینوس هادي راستايn نسبت بهj

nz a: کسینوس هادي راستايn نسبت بهk

nxABCOCB aSS )()(

O

iو nیا کسینوس زاویه بین

nzABCOAC aSS )()(

nyABCOAB aSS )()(

(I)

nn

ns

),cos( xnanx


y

z

C

B

A

H

O

)(OAHBC

),cos( xnanx

2)(BCOHS OCB

α

OHBC

)(zOyAO

x

n

OHxAHn &

cos),cos( OHAHanx

nxABC

ABCOCB

aS

SS

)(

)()( cos2)(

BCAHS ABC

cos AHOH


BCAO

AOBC

یا BCAH

: ( )عمود شده است BCبر Oاز نقطه OHخط

از طرف دیگر

OHBC

):حذف جمالت اینرسی و نیروي ثقل( nقانون تعادل در راستاي

)( ABCnnS

0)()()(

)()()(

)()()(

nzOACzznyOACzynxOACzx

nzOAByznyOAByynxOAByx

nzOCBxznyOCBxynxOCBxx

aSaSaS

aSaSaS

aSaSaS

:(I) با جایگذاري از معادالتnznxxznynxxynxxxnn aaaaa 2

)(2222

2

2

nznyyznznxxznynxxynzzznyyynxxx

nzzznynzzynxnzzx

nznyyznyyynxnyyx

aaaaaaaaa

aaaaa

aaaaa

:بدست آورد ’x’y’zمی توان تنش را در سیستم متعامد nبه جاي ’zو’x’ ،yبا جایگذاري

)(2

)(2

)(2

''''''2'

2'

2'''

''''''2

'2

'2

'''

''''''2'

2'

2'''

zzyzyzzzxzxzyzxzxyzzzzyzyyxzxxzz

zyyyyzzyxyxzyyxyxyzyzzyyyyxyxxyy

zxyxyzzxxxxzyxxxxyzxzzyxyyxxxxxx

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa


:را بر روي سطح عمود بر بدست آورد s دلخواهبه طریق مشابه می توان تنش برشی در راستاي

)( ABCnsS

0)()()(

)()()(

)()()(

szOACzzsyOACzysxOACzx

szOAByzsyOAByysxOAByx

szOCBxzsyOCBxysxOCBxx

aSaSaS

aSaSaS

aSaSaS

:(I) با جایگذاري از معادالت

sznxxzsynxxysxnxxxns aaaaaa

)()()( synzsznyyzsxnzsznxxzsxnysynxxy

sznzzzsynyyysxnxxx

sznzzzsynzzysxnzzx

sznyyzsynyyysxnyyx

aaaaaaaaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa


:بدست آورد z’y’x’را در سیستم متعامد z’xτ’میتوان تنش sبه جاي z ’و nبه جاي x ’با جایگذاري

)()()( ''''''''''''

''''''''

yzzxzzyxyzxzzxzzxxxzxzyxyzxxxy

zzzxzzyzyxyyxzxxxxzx

aaaaaaaaaaaa

aaaaaa

:نیز روابط مشابهی بدست آورد z’yτ’و y’xτ’میتوان براي تنشهاي

)()()( ''''''''''''

''''''''

yyzxzyyxyzxyzxzyxxxzxyyxyyxxxy

zyzxzzyyyxyyxyxxxxyx

aaaaaaaaaaaa

aaaaaa

)()()( ''''''''''''

''''''''

yzzyzzyyyzxzzyzzxyxzxzyyyzxyxy

zzzyzzyzyyyyxzxyxxzy

aaaaaaaaaaaa

aaaaaa

x مختصات در تنش دوم مرتبه تانسور مولفه 9 بودن معلوم با بنابراین y z دوران سیستم در را تنش تانسور میتوان .آورد بدست ’x’y’z یافته


ضرائب 3I و 1I ، 2I (دارند وجود تنش تانسور هاي مولفه مابین و بوده مختصات سیستم دوران از مستقل زیر ثابت 3:)هستند pσ اصلی تنشهاي تعیین جهت معادله

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

xzyzxyzzyyzzxxyyxx

zzyyxx

I

I

I

3

2222

1

0322

13 III ppp

:به عنوان نمونه

)(2

)(2

)(2

)()()(

''''''

''''''

''''''

2'

2'

2'

2'

2'

2'

2'

2'

2'

''''''1

zzyzzyyyzxyxyz

zzxzzyxyzxxxxz

yzxzyyxyyxxxxy

zzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx

zzyyxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaaaa

I


( ):اما با توجه به خواص ماتریس کسینوس هادي

0

0

0

1

1

1

''''''

''''''

''''''

2'

2'

2'

2'

2'

2'

2'

2'

2'

zzyzzyyyzxyx

zzxzzyxyzxxx

yzxzyyxyyxxx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaa

aaa

aaa

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

aaa

aaa

aaa

R

'''

'''

'''

cte

I

zzyyxx

zzyyxx

''''''1


:در حالت دو بعدي

:13و 11با جایگذاري در روابط اسالیدهاي . می باشد که همان ماتریس دوران به اندازه

cossin

sincos

cos)2

cos(

)2

cos(cos

''

''

yyxy

yxxx

aa

aaR

2

2

'x

y

'y

x

)sin(coscossin)(

)(

22

''''''''''

xyxxyy

xyyxyyxxxyyyyxyyxyxxxxyx aaaaaaaa

cossin2cossin2

cossin2sincos2

22''

2'

2'''

22''

2'

2'''

xyyyxxyyxyxyyyyyxyxxyy

xyyyxxyxxxxyyxyyxxxxxx

aaaa

aaaa


:بود خواهد 2 درجه اصلی تنشهاي بر حاکم معادله و بوده صفر 3I ثابت بعدي دو درحالت

03

22

1

I

I

I

xyyyxx

yyxx

22

22

22

2,1

22

212

)2

(2

)(

2

4)()(

2

)(4)()(

0)(

0

xy

yyxxyyxx

xyyyxxyyxx

xyyyxxyyxxyyxx

xyyyxxpyyxxp

pp II


.*است صفحه در المان حرکت در اصلی تنشهاي تعیین روابط همان که

(Fluid statics): استاتیک سیاالت

x

y

z

dxdzdy

y

Pp )

2(

حالت ینا در .دارد استاتیکی تعادل سیال باشند، یکسانی ثابت سرعت داراي یا و بوده ساکن سیال ذرات تمام اگر.دارد وجود سیال در فشار اسکالر کمیت تنها و نداشته وجود برشی تنش

مرکز در p فشار گرفتن نظر در با .شوند می اعمال المان بر )ثقل نیروي صرفا اینجا در( حجمی و سطحی نیروهاي:] [ تیلور بسط از استفاده با و المان

dxdydzg

dy

dx

dzdxdz

dy

y

Pp )

2(

dydzdx

x

Pp )

2(

dydzdx

x

Pp )

2(

dxdydz

z

Pp )

2(

dxdydz

z

Pp )

2(

dxxzyxfzyxfzydxxf )),,((),,(),,(


: zو x ،yاز معادالت تعادل در راستاهاي

dxdydzz

PdF

dxdydzy

PdF

dxdydzx

PdF

z

y

x

:با برابر استجزء نیروي وارد بر جزء حجم بنابراین بردار

dxdydzkkz

Pj

y

Pi

x

P

kdFjdFidFFd zyx

)(

g

( ):در نظر گرفته شود نیروي وارد بر واحد حجم اگر

kP

kkz

Pj

y

Pi

x

P

dv

Fdfd

g

g

)(

dxdydzdv

:به شکل زیر تعریف می شود) Operator) (del(که عملگر

kz

jy

ix

grad


:برآیند نیروي فشار وارد بر یک نقطه می باشد که در سیال بدون شتاب باید صفر باشد

0 kPfdg

g

z

P

y

P

x

P

0

0

y و x از تابعی P .کند می تغییر )است شده فرض جاذبه خالف آن مثبت جهت که( z راستاي در تنها فشار بنابراین:لذا نیست،

gdz

dP

atmP

P

z

zdPdz

0

g

atmP

P

z

z Pz 0g

PPzz atm )( 0g

)ثابت γ -با فرض سیال تراکم ناپذیر(

dP

zzPP

atm

atm

g

g

)( 0

z=z

z=z0

P=Patm

d

dPP atm g

(datum) تراز مبنا


fd

: بنامیم) Gage pressure(را فشار نسبی atmP-Pاگر

dPPP atmg g

gP آن مقدار کمترین ( است منفی اتمسفر فشار از کمتر فشارهاي در atmP- چنین در .)مطلق صفر یا کامل خال در Vacuum( خال فشار شود می منفی نسبی فشار که وضعیتهایی pressure( شود می تعریف:

extra( زمین از بیرون فضاي در فشار terrestrial( است صفر )absolute zero(. شده گیري اندازه فشارهاي تمام absolute( شود می نامیده مطلق فشار که فشار این به نسبت pressure( شوند می سنجیده.

. بسیاري از تجهیزات مهندسی فشار نسبی را اندازه گیري می کنند

PPPP atmgvac


Absolute Pressure, Gage Pressure and Vacuum (example)


مطلق صفر فشار

ینسب صفر فشار

رفشا افزایش

. را نشان می دهداختالف فشار مانومترها وسایلی هستند که با توجه به ستونهاي مایعات

A Hg v

B atm

A B

P h P

P P

P P

g

خلیه شده و در بارومتر انتهاي لوله بسته بوده، از هوا ت. استفاده می شودتعیین فشار مطلق هوا بارومتر جیوه اي براي

. آب بندي میشود

(Manometers): مانومترها

(Pressure measurement-Manometery): مانومتري-اندازه گیري فشار

(Barometer): بارومتر

pv~0 pressure of Hg vaporsat normal temperature

PB=Patm


فشار بخار جیوه

Aatm HgP hg

و

B

PiezometerhgP

hPP

A

atmA

g

g

)(

است، مثبت نسبی فشار که هنگامی سیاالت فشار گیري اندازه براي که هستند اي ساده مانومترهاي پیزومترها فشار بودن یمنف صورت در که است بدیهی .باشد می باز لوله انتهاي پیزومترها در بارومتر، خالف بر .شوند می استفاده

.کرد گیري اندازه را فشار توان نمی و شده آب وارد لوله راه از هوا نسبی،

(Piezometer): پیزومتر

P=Patm

A

در این حالت امکان . شکل استفاده کرد Uبراي اندازه گیري فشارهاي نسبی منفی یا مثبت کوچک می توان از لوله . قرارگیري مایع لوله در ترازي کمتر از تراز متوسط ظرف نیز وجود دارد


اولیه سیال با دبای مایع این .شود می استفاده بیشتري چگالی داراي مایع از بزرگتر، مثبت یا منفی نسبی فشارهاي در

:باشد اختالط قابل غیرp2=p3 (same elevation)

p2=p1+ gm Δh= gm Δh

p3= p4+gl

p4=p1+ gm Δh- gl در مثال فوق با حرکت از نقطه 1 به سمت 4:

= gm Δh - gl

و کرده شروع n نقطه از( آورد بدست را دلخواه نقطه هر فشار کرده استفاده نیز زیر رابطه از توان می کلی حالت در منتهی فشار کاهش به باال به حرکت و فشار افزایش به پایین سمت به حرکت کنیم، می حرکت m نقطه سمت به

:)شود می

i higupΣ-ihigdown+Σnp=mp

p4 + gl = gm Δh

p4= gm Δh - gl


Differential) تفاضلی مانومترهاي manometer) فشار که حالی در دهند می نشان را نقاط بین فشار اختالف :آورد بدست توان نمی را سیستم از نقطه هیچ در واقعی

p2= p1+ gw(Δy+Δh) – gmΔh - gw(Δy+z2-z1)

) Differential manometer(تفاضلی مانومترهاي


(Pressure variation for a static compressible fluid) :تغییرات فشار در سیال قابل تراکم

:اگر بحث را به گازهاي کامل محدود کنیم. در سیال تراکم پذیر، وزن مخصوص ثابت نیست

RT

p

T

p

11

1

(Isothermal perfect gas): گاز کامل ایزوترمال -الف

cteT

cpp

1

1

c

gppg

1

11

ggو یا

'1

1 cpp

gg

gdz

dp )م ناپذیرمعادله اصلی تغییر فشار در سیال تراکم پذیر و تراک(

1

1

P

p

dz

dp g

dzPP

dp

1

1g Z

Z

P

Pdz

PP

dp

111

1g z

z

P

P zP

P

1

1

1

1ln

g

)(exp[ 1

1

11 zz

PPP

g

)(ln 1

1

1

1

zzPP

p

g

یر کند،با فرض اینکه محدوده تغییرات ارتفاع به گونه اي نباشد که شتاب ثقل تغی

، فشار 1zدر ارتفاع 1γو وزن مخصوص 1Pبا استفاده از این رابطه معلوم بودن فشار .بدست می آید z در ارتفاع


kzTT 1

:رابطه دما و ارتفاع خطی است -ب

T

T

kR

g

T

T

kR

g

p

p 1

11

lnlnln

Lapse(نرخ تنزل rate(k

dTdz

gdz

dp

)1T 0دماي مبنا در=z(

k

dT

RT

pg

dzdp

g

T

dT

kR

g

P

dp

T

T

P

P T

dT

kR

g

P

dp

11

T

T

P

P TkR

gP

1

1lnln

: ( ) در معادله اصلی فشار سیال) II(و )I(با قرار دادن معادالت

1T 1وp 0به ترتیب دما و فشار در تراز مبناz=

و یا

RT

p

RT

pg

g RT

pgg

)I(

)II(

و یا

kRg

kRg

kzT

Tp

T

Tpp )()(

1

11

11


U.S.National Weather Service: 45oN latitude in July

تغییرات دماي اتمسفر زمین با افزایش ارتفاع

رابطه خطی در

مقدار تقریبا ثابت درجه حرارت در


شود، اعمال خارجی فشار ساکن و )confined( محبوس )تراکم قابل غیر یا تراکم قابل( سیالی مرز از قسمتی به اگر عدم به توجه اب اثبات، براي .)پاسکال قانون( می شود منتقل سیال نقاط تمام به فشار این حرکات کردن فروکش از پس

وجه یک رب وارده فشار که گرفت نظر در سیال در قائم و افقی المانهایی می توان ساکن سیال در برشی تنش تحمل قائم فشار ییرتغ از بیشتر مراتب به شده اعمال فشار اغلب که آنجایی از .شود می منتقل المان انتهاي به مستقیما آنها

.تگرف نظر در یکسان تقریبا نقاط تمام در را سیال داخلی فشار مقدار توان می می باشد، سیال وزن از ناشی

(Pressure transmission): انتقال فشار

F1

:تاین اصل اساس کار ترمز و جک هیدرولیکی اس

1

2

1

2

1

2

A

A

AP

AP

F

F

)P∆ افزایش فشار اعمال شده به سیال است(

.ودمشاهده می شود که مزیت مکانیکی باالیی ایجاد می ش

1212 FFAA

∆P

∆P


Documents

Hydrostatics (1) - KNTU (Hydrostatics-1).pdf · وﺮﯿﻧ ﻊﯾزﻮﺗ (force distribution) يﺎﻨﺒﻣ ﺮﺑ و هﺪﺷ ﯽﺷﺎﻧ فاﺮﻃا ﻂﯿﺤﻣ ﺎﺑ ﻢﺴﺟ