II UNIDAD: PROBABILIDADES Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.

OBJETIVOS DE LA UNIDAD.

1. Interpretar el concepto de probabilidad.2. Describir los enfoques de probabilidad clásica a priori, clásica empírica y

probabilidad subjetiva.3. Calcular probabilidades aplicando reglas de adición, multiplicación y teorema de

Bayes.4. Construir la distribución de probabilidad y la función de distribución acumulada de

una variable aleatoria discreta.5. Calcular el valor esperado y la varianza de una variable aleatoria discreta.6. Explicar las características de la distribución binomial, poisson y normal.7. Calcular probabilidades mediante la distribución: binomial, poisson y normal8. Aplicar las distribuciones anteriores en la resolución de problemas.

CONTENIDO:

1 Introducción. Conceptos básicos de probabilidad 2 Enfoques de probabilidad 3 Reglas de probabilidad (Probabilidad en condiciones de independencia y

dependencia estadística 4 Distribución de probabilidad5 La media y la varianza de una distribución de probabilidad6 Técnicas de conteo. 7 Distribución de probabiliadad Binomial8 Distribución de probabilidad Poisson9 Distribución de probabilidad Normal.

2.1.1 Introducción:

Históricamente, la teoría de la probabilidad se originó en las investigaciones que llevaron a Blaise Pascal y a Pierre de Fermat a mediados del siglo XVII, los primeros trabajos, en los que tuvieron origen los conceptos fundamentales de la teoría de probabilidades, se redujeron a las tentativas de crear la teoría de juegos de azar (Cardano, Huygens, Pascal, Fermat y otros en los siglos XVI – XVII), y con el tiempo se aplicó a otros problemas socioeconómicos, la industria, la ingeniería, meteorología, cálculo actuarial, administración, economía, ciencias experimentales y de seguros, que nació en el siglo XIX, requería un conocimiento exacto del riesgo de perder, pues de lo contrario no se podían calcular las pólizas.

La etapa siguiente de desarrollo de la teoría de probabilidades está vinculada con el nombre de Jacobo Bernoulli (1654 – 1705). El teorema por él demostrado que ulteriormente tomará el nombre de “Ley de los grandes números”, fue la primera base teórica de los hechos acumulados antes.Los progresos ulteriores de la teoría de probabilidades se deben a Moivre, Laplace, Gauss, Poisson, etc.

1

El nuevo período el más fructífero, está relacionado con los nombres de P.L. Chebishev (1821 – 1894) y sus alumnos A. A. Markov (1856 – 1922) y A. M. Liapunov (1857 – 1918). En este período la teoría de las probabilidades se convierte en una ciencia matemática ordenada. Su desarrollo posterior se debe, en primer término a los matemáticos rusos y soviéticos ( S. N. Bernshtein, V.I.Romanovski, A. N. Kolmogorov, A. Ya, Jinchin, B.V. Gnedenko, N. V. Smirnov, etc.)

Los métodos de la teoría de probabilidad se utilizan ampliamente en las distintas ramas de las ciencias naturales y de la técnica; en la teoría de fiabilidad, la teoría de servicio de masas, en física teórica, geodesia, astronomía, teoría del tiro, teoría de errores de observaciones, teoría del mando automático, teoría general de las comunicaciones y en muchas otras ciencias teóricas y aplicadas. La teoría de las probabilidades sirve también como base de la estadística matemática y aplicada, la que, a su vez, se emplea en la planificación y organización de la producción, al analizar procesos tecnológicos, el control preventivo y de recepción de la calidad de la producción y para muchos otros fines.

En la actualidad, la teoría matemática de la probabilidad constituye el fundamento de las aplicaciones estadísticas, tanto en la investigación social como en la toma de decisiones.

2.1.2 Conceptos básicos de probabilidad

En el estudio de la teoría de la probabilidad es preciso saber utilizar con exactitud la comunicación. El lenguaje exacto que en general se emplea para enunciar y resolver problemas de probabilidades es la teoría de conjuntos; en base a ella pueden realizarse operaciones relacionadas con la probabilidad.

1.1.1 Experimento Aleatorio (E): Es aquel que al repetirse bajo condiciones aproximadamente idénticas el resultado no es necesariamente el mismo.

EJEMPLO 1: E1: Lanzar una moneda al aire E2: Lanzar un dado E3: El encargado de control de calidad revisa 10 camisas producidas,

luego cuenta el No. de camisas con algún defecto. E4: De un alista tomada de todas las cuentas de ahorro en un banco seleccionar al azar una y luego anotar su vida actual (vida máxima 15 años).

1.1.2 Espacio Muestral (S): Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Cada elemento de este conjunto se denomina un punto muestral.

EJEMPLO 2: S1 = {Lado A, lado B}= {cara, sol} S2 = {1,2,3,4,5,6}S3 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}S4 = (0,15]

2

EJEMPLO 3: Determinar los espacios muéstrales asociados con los siguientes experimentos:

a) Sea E: lanzar dos dados y observar los números de las caras superiores.

Solución: Hay 36 pares ordenados de la formaS = {(1,1), )1,2),...(1,6), (2,1), (2,2),...(2,6),...(6,6)}

b) Sea E: Lanzar tres monedas y contar el número de carasSolución: S = {0,1,2,3}

c) Sea E: Lanzar dos dados y contar los números de las caras superiores.Solución: S = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

d) Sea E: de una urna que contiene 7 bolas blancas y 3 negras se sacan 2 bolas en forma consecutiva y sin reposición y se observan. Hacer diagrama de árbol.

Solución: S = {BB, BN, NB, NN}

e) Sea E: De un lote que contiene 3 artículos malos y 17 buenos sacar uno por uno y sin reposición hasta sacar todos los malos

Solución: S = {3,4,5,6,7,.........,20}

1.1.3 Un evento o suceso: Conjunto de uno o más resultados de un experimento. Son subconjuntos del espacio muestral. Los eventos serán simbolizados con letras mayúsculas, A, B, C……

EJEMPLO 4: Si lanzamos una moneda, el hecho que salga el lado B sol será un evento y conseguir que salga el lado A cara será otro evento.

EJEMPLO 5: Si estamos extrayendo naipes de una baraja, seleccionar un as de corazones constituirá un evento.

EJEMPLO 6: Si lanzamos un dado, un evento será obtener un número impar, es decir, A ={1,3,5}.

2.2.4 Tipos de eventos

1) Evento imposible (Ø): es aquel que nunca ocurre. Cumple con la característica de ser un subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo si nos interesa el evento de que aparezca un as verde en la baraja común. Es claro que esto nunca sucederá porque ninguna carta de la baraja cumple con esas características. Este conjunto es Ø.

2) Evento seguro (S): es aquel que siempre ocurre. Es un subconjunto del mismo. Por ejemplo el evento que un número par o impar de puntos aparezca al tirar un dado es el conjunto S = {1,2,3,4,5,6}.

3

3) Evento simple: es el describe solamente una característica. Por ejemplo el evento simple será obtener un número impar, es decir, A ={1,3,5}.

4) Evento conjunto: describe dos o más características. Por ejemplo: el número de camisas defectuosas menor de 5 y es impar. (Hay dos eventos).

5) Unión de dos eventos: El evento unión de A y B denotado por AUB (A o B) es aquel que ocurre si A ocurre o B ocurre o si ocurren ambos. Por ejemplo, el No. de camisas defectuosas es ninguna o menor que 3. A = {0}; B={0,1,2}; → AUB = {0,1,2,}.

6) Evento complementario de A (A´ ): es aquel que ocurre cuando A no ocurre.

7) Eventos mutuamente excluyentes:

Se dice que dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir juntos (simultáneamente), es decir, la ocurrencia de A excluye automáticamente la ocurrencia de B, esto es A∩B = Ø Por ejemplo, en el lanzamiento de la moneda, hay dos resultados posibles: lado A y lado B. En cualquier lanzamiento, ambos lados pueden salir, pero no los dos simultáneamente.

8) Eventos colectivamente exhaustivos: si por lo menos uno de ellos debe ocurrir durante el experimento. Estos eventos al ser unidos forman el espacio muestral. Los eventos A1, A2,

A3,…….. An son exhaustivos si A1U A2U A3U……..U An= S. por ejemplo al lanzar un dado y sea los eventos A caiga No. par y B caiga No. impar, A= {2,4,6,} y B= {1,3,5,}; AUB = S= {1,2,3,4,5,6,}, A y B son exhaustivos.

2.2.5 Definición de probabilidad

Con cada suceso o evento A asociamos un número real designado por p(A), y lo llamamos probabilidad de que A ocurra. La probabilidad simple se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un evento simple, a ésta probabilidad se le llama probabilidad marginal. La probabilidad de ocurrencia de A, la definimos por

P ( A ) = xn= Número decasos favorablesde A

Número totalde casos

La probabilidad es la posibilidad de que ocurra algo. Las probabilidades se expresan como fracciones ( 1/6, ½, 8/9) o como decimales (.167, .500, .889) o como porcentaje 16.7%, 50%, 88.9%. Asignar una probabilidad de 0 significa que algo nunca ocurrirá; una probabilidad de 1 significa que algo ocurrirá siempre. En resumen, de que algo ocurra, jamás será mayor que 1 ni menor que 0.

Utilizando este lenguaje formal, podríamos formular la siguiente pregunta: “En un experimento consistente en lanzar una moneda, cuál es la probabilidad del evento lado A?.

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Si es una moneda legal con igual probabilidad de que salga uno u otro lado, contestaremos ½, o sea 0.5”.

EJEMPLO 7: Determinar la probabilidad de obtener un número par cuando se lanza un dado.

Solución: S = {1,2,3,4,5,6} ; A = {2,4,6}

Luego p(A) =36=1

2=0.5

EJEMPLO 8: Determinar la probabilidad de obtener al menos una cara en dos lanzamientos de una moneda.

Solución: Como S = {CC, CS, SC, SS}, sólo los 3 primeros casos son favorables al suceso, es decir:A = {CC, CS, SC}, luego p(A) = ¾ = 0.75

EJEMPLO 9: Hallar la probabilidad de obtener la suma 7 cuando se lanzan dos dados.

Solución: Cada una de las caras de un dado puede estar asociada con las 6 caras del otro dado, de manera que el número total de casos que puede surgir, todos igualmente probables es 6x6 = 36 : S = {(1,1), (2,1), (3,1),...(6,6)}.

Hay 6 maneras de obtener la suma 7, denotadas por{(1,6), (2,5),(3,4 ) ,(4,3) ,(5,2),(6,1) , } ;luego p = 6/36 = 1/6.

EJEMPLO 10: En una hacienda ganadera con 500 cabezas de ganado, 30 de ellas están afectadas con ANTRAX. Si se selecciona aleatoriamente una de ellas, cuál es la probabilidad de que tenga ANTRAX?

Solución: p = 30/500 = 3/50 = 0.06

En la figura 1. Se ilustran algunos ejemplos Espacios Muestrales. En la figura 2 se presenta de Diagramas de Venn. En la figura 3. se presenta el uso de diagramas de Venn para ilustrar el complemento, eventos que son mutuamente excluyentes y que no lo son, así como eventos que son mutuamente excluyentes a la vez que colectivamente exhaustivos.

5

Figura 1. Espacios muestrales.

Figura 2. Ejemplos de diagrama de Venn

Figura 3. Ejemplos de diagramas de Venn

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1.2 Enfoque de probabilidad

1.2.1 Probabilidad Clásica a priori: Todos los resultados de un experimento son igualmente probables => Resultados favorables entre resultados posibles. El experimento no se ha realizado.

p( A ) = N úmer o deveces que puede ocurrir A

N ú mero deresultados posibles del experimento=

xn

EJEMPLO 1: Determinar la probabilidad de que ocurra el evento A: El naipe es rojo

P( A )=2652

=12=0.5

1.2.2 Concepto Empírico a posteriori: Basado en las frecuencias relativas. La probabilidad de que un evento ocurra a largo plazo se determina observando en qué fracción de tiempo ocurrieron eventos semejantes en el pasado. Ya se realizó el experimento.

Número de veces que el evento ocurrió en el pasado entre el número deobservaciones :

P( A )= N ú merode veces queocurri ó AN ú mero deveces que serepiti ó el experimento

= xn

EJEMPLO 2: Antes de incluir la cobertura para ciertos tipos de problemas dentales en pólizas de seguros médicos para adultos con empleo. Una compañía de seguros desea determinar la probabilidad de ocurrencia de esa clase de problemas, para que pueda fijarse la prima de seguros de acuerdo con esas cifras. Por ello, se recopila datos para 10,000 adultos que se encuentran en las categorías de edad apropiadas y encuentra que 100 de ellos han experimentado el problema dental específico durante el año anterior.

La probabilidad de ocurrencia es: P( A )= 10010,000

=0.01

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1.2.3 Probabilidad Subjetiva: Posibilidad de que suceda un evento específico, asignado por una persona en base a cualquier información de que se disponga: Experiencia, Opinión personal, Análisis de la situación particular.

EJEMPLO 3. Debido a los impuestos y a los posibles usos alternativos de sus fondos, un inversionista ha determinado que la compra de terreno vale la pena sólo si existe un aprobabilidad de cuando menos 0.90 de que el terreno obtenga plusvalía por 50% o más en los en los próximos 4 años. Al evaluar un determinado terreno, el inversionista estudia los cambios de los precios en el área en años recientes, considera los niveles corrientes de precios, estudia el estado corriente y futuro probable de los proyectos de desarrollo inmobiliarios y revisa las estadísticas referentes al desarrollo económico del área geográfica. Con base en esta revisión, concluye que existe una probabilidad de aproximadamente 0.75 de que se dé la plusvalía que requiere. Como esta probabilidad es menor que la mínima que requiere (0.90), no debe llevarse a cabo la inversión.

2.4. Reglas básicas de probabilidad

1)

2)

3)

4)

5) donde A΄ se lee: complemento de A.

1.4.1 Regla de la Adición : si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces :

; Si no lo son, entonces

(Pr. De que ocurra A o B o ambos)

2.4.2 Probabilidad condicional

P( A ∩ B )=Probabi lidad conjunta de A y B

8

P( A )≥0

P( S )=1

P(φ )=0

P( A )+ P( A )=1

P( A )=1−P ( A )

P( AyB)=φP( AóB )=P ( A )+P( B)≡P ( A∪B )=P( A )+P (B );

P( AóB)=P ( A )+P( B)−p ( AyB )≡P( A∪B)=P ( A )+P( B)−P( A∩B )

P( A /B )=p ( AyB )

p( B)≡P ( A / B)=

P( A∩B )P( B)

P( B )=probabilidad marginal de B

Y al suceso B se le llama suceso condicionante, se utiliza esta fórmula cuando los sucesos son dependientes y P(A/B) se lee la Pr. De que ocurra A dado que ya ocurrió B.

2.4.3 P ( A ´ ∩B )=P (B )−P ( A ∩ B )

P ( A ´ ∩B )=P (B )−P ( A ∩ B )

2.4.4P ( A ∩B ´ )=P ( A )−P ( A ∩ B )

2.4.5 P ( A ´ ∩B )U ( A ∩ B ´ )=P ( A )+P ( B )−2 P ( A ∩ B ) ( la Pr. De que ocurra A o B pero no ambos a la vez)1.4.6 Regla de la Multiplicación

Cuando los sucesos son dependientes:P ( A ∩B )=P ( A ) × P (B / A ) (Sin Sustitución)

2.4.7 Independencia estadística

1)2)

Tabla de clasificación cruzadaCon frecuencia es deseable examinar en forma simultánea las respuestas categóricas a dos variables cualitativas. Por ejemplo, se podría estar interesado en examinar si existe relación entre el sexo y la preferencia de los consumidores por productos importados o nacionales. En la Tabla 1 se ilustra esta información para el ejemplo 1. A estas tablas de clasificación cruzada en dos sentidos se les conoce también como tablas de contingencia. Para elaborar la tabla 1, se clasifican las respuestas conjuntas para los 500 entrevistados con respecto al sexo y a las preferencias de los consumidores, en una de 4 posibles celdas de la tabla. Así, el número de hombres que prefieren productos nacionales se ubica en la primera celda (Fila 1, Columna 1) , el número de mujeres que prefieren productos importados se coloca en la cuarta celda (Fila 2, Columna 2), el resto de respuestas se ubican de manera similar, los totales se encuentran en los márgenes de la tabla.

EJEMPLO 1.

En una ciudad se seleccionó una muestra de 500 personas para determinar diversas informaciones relacionadas con el comportamiento del consumidor. Entre las preguntas hechas, se encontraba "¿Prefiere comprar productos nacionales o importados?"De 240 hombres, 136 contestaron que preferían productos importados, de 260 mujeres 36 contestaron que preferían productos nacionales.

a) Elabore una tabla de contingencia en donde las variables cualitativas son sexo y preferencia por productos.

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P( A /B )=P( A )p( AyB)≡P ( A∩B )=p( A )⋅p (B )

Los eventos se pueden definir de la siguiente forma: A : El entrevistado es hombre B = El entrevistado prefiere comprar productos nacionales.A´: El entrevistado es mujer B´= El entrevistado prefiere comprar productos importados.

a) Determinar la probabilidad de que el entrevistado seleccionado en forma aleatoria sea hombre:

P ( A )= Número dehombres entrevistadosNúmero total de entrevistados

=240500

=0.48

b) Sea mujer: P ( A ´ )=260500

=0.52

c) Prefiera comprar productos importados:

P (B ´ )=360500

=0.72

d) Prefiera productos nacionales:

P (B )=140500

=0.28

Note que: P(A) + P(A´ ¿=0.48+0.52=1.00 P (B )+P ( B ´ )=0.72+0.28=1.00

e) ¿Cuál es la probabilidad de que un entrevistado seleccionado aleatoriamente sea hombre y prefiere comprar productos importados? Represente la situación en un diagrama de Venn.

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SexoTipos de productos de

origenTotal

Nacionales ImportadosHombre 104 136 240

Mujer 36 224 260

Total 140 360 500

P ( A ∩B ´ )=No . dehombres que pr efieren comprar productos importadosNo . total deentrevistados .

=136500

=0.272

136

f) Sea mujer y prefiera comprar productos nacionales?

P ( A ´ ∩B )= 36500

=0.072

g) Cuál es la probabilidad de que un entrevistado seleccionado sea mujer o prefiera productos importados?

P ( A ´ UB´ )=P ( A ´ o B ´ )=P ( A ´ )+ P ( B ´ )−P ( A ´ ∩ B ´ )

P ( A ´ UB´ )=P ( A ´ )+P ( B ´ )−P ( A ´ ∩ B ´ )=260500

+360500

−224500

=0.792

h) Sea hombre o prefiera productos nacionales?

P ( AUB )= 240500

+ 140500

−104500

=276500

=0.552

i) Sea hombre o mujer?Como A y A´ son eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos se tiene que, P ( A ∩ A ´ )=P (∅ )=0

P ( A UA´ )=P ( A )+P ( A ´ )=240500

+260500

=500500

=1

11

P

P

P

P

j) Supóngase que el entrevistado seleccionado sea mujer, ¿cuál es la probabilidad de que prefiera comprar productos nacionales.

A´: el entrevistado es una mujerB´: el entrevistado prefiere comprar productos nacionales.

Por tanto la probabilidad de que el entrevistado prefiera comprar productos nacionales,

dado que es una mujer es: P( BA ´ )=(B∩ A ´ )

P( A ´ )=

36500260500

=36500

×500260

=0.138

k) Suponga que el entrevistado seleccionado prefiere comprar productos importados, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?

P( AB´ )= P( A ∩ B ´ )

P (B ´ )=

136500360500

=136500

×500360

=0.378

l) Determine si la preferencia por productos importados es estadísticamente independiente del sexo. P ( A ∩B )=P ( A ) × P (B )

P(A) = 0.48 y P( B )=0.28; 0.21 ¿0.48 × 0.28

P( A ∩ B )=104500

=0.21 0.21 ≠ 0.13 por tanto la preferencia por

productos importados y el sexo no son estadísticamente independientes, se concluye son dependientes.

EJEMPLO 2:

Diagrama de árbolUna forma alternativa de análisis de las probabilidades en cuatro celdas es mediante el uso de un árbol de decisión.

Grupo de Entrevistados

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EJEMPLO 3.

Si A es el evento de que el precio de cierta acción se mantenga sin cambios en cierto día de negociaciones y B es el evento de que suba su precio, P(A) = 0.64 y P(B) = 0.21, determine:

b) P ( A ' )=1−P ( A )=1−0.64=0.36

c) P ( AUB ) ; como A y B son mutuamente excluyentes, P ( AUB )=P ( A )+P ( B )=0.64+0.21=0.85

d) P ( A ∩B ); como A Y B son mutuamente excluyentes, A ∩ B=∅ y se deduce que P ( A ∩B )=P (∅ )=0

2.5 Teorema de Bayes

La probabilidad condicional toma en cuenta información sobre la ocurrencia de un evento para predecir la probabilidad de otro. Este concepto se puede ampliar para "revisar" las probabilidades en base a nueva información y determinar la probabilidad de que un efecto en particular se deba a una causa especifica.

El procedimiento para revisar estas probabilidades se conoce como teorema de Bayes desarrollado por el Reverendo Thomas Bayes (1702-1761).

El teorema de Bayes se puede desarrollar a partir de las definiciones de la probabilidad condicional y marginal en la forma siguiente:

Teorema de la probabilidad total.

Supongamos un experimento aleatorio con su correspondiente espacio muestral, S, decimos que los eventos A1 , A2 ,…… .. , An forman una partición del espacio muestral S, si se cumple que:

i) Ai ∩ A j=∅ para todo i≠ j (Excluyentes)

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ii) A1∪A2∪…… ..∪ An=S (Exhaustivos)

Y que B es otro evento respecto a S, entonces:

P (B )=P ( A1 ) P ( BA1

)+P ( A2 ) P ( BA2

)+…….+P ( An ) P( BAn

)=∑i=1

n

P ( A i ) P ( BA i

) S

Teorema de Bayes

Queremos saber ahora, cuál es la probabilidad de que Ai sea la causa de la ocurrencia de B.

La P( B ) se definecom o :

P (B )=P ( A1 ) P ( BA1

)+P ( A2 ) P ( BA2

)+…….+P ( An ) P( BAn

) por lo que el teorema de Bayes

está dado por la expresión :

P( Ai

B )=P ( Ai ) P( B

Ai)

P ( B )=

P ( Ai ) P( BA i

)∑i=1

n

P ( A i ) P ( BA i

)Donde Ai es el evento número i de n eventos mutuamente excluyentes.

EJEMPLO 1A un consultor en Administración se le pide su opinión acerca de la razón por la cual la secretaria de un ejecutivo, insatisfecha, renunció a su trabajo. Sin poder obtener ninguna información directa acerca de la secretaria, toma los siguientes datos de un estudio de motivación corporativos a gran escala: entre todas las secretarias insatisfechas, el 20% lo están porque les desagrada su trabajo, el 50% porque sienten que están mal pagadas y el 30% porque les desagrada su jefe. Además, las probabilidades correspondientes dé que renuncien son 0.60, 0.40 y 0.90. Con base en estas cifras, ¿cuáles son las probabilidades de que la secretaria haya renunciado debido al trabajo, al sueldo o al jefe?

0.60 B

A1 0.20 0.40 B' A1= Le desagrada su trabajo = 0.20

0.40 B A2= Está mal pagada = 0.50

0.50 A2 A3= Le desagrada el jefe = 0.30

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0.60 B' Sea B= Renuncia al trabajo 0.30 0.90 B

A3

0.10

B'

Diagrama de árbol del ejemplo de las secretarias

Las probabilidades asociadas con las tres ramas del árbol son: (0.20) (0.60) = 0.12(0.50) (0.40) = 0.20 y(0.30) (0.90) = 0.27 y su suma: P (B )=¿ 0.12 + 0.20 + 0.27 = 0.59 (Probabilidad total)

En consecuencia, las probabilidades de que la secretaria insatisfecha haya renunciado debido al trabajo es:

P( A1

B )=P ( A1 ) P( B

A1)

P ( B )=

(0.20 ) (0.60 )(0.20 ) (0.60 )+(0.50 ) (0.40 )+ (0.30 ) (0.90 )

=0.120.59

=0.20,

Debido al sueldo es:

P( A2

B )=P ( A2 ) P( B

A2)

P ( B )=

(0.50 ) (0.40 )(0.20 ) (0.60 )+(0.50 ) (0.40 )+ (0.30 ) (0.90 )

=0.200.59

=0.34

Debido al desagrado por su jefe

: P( A3

B )=P ( A3 ) P( B

A3)

P ( B )=

(0.30 ) (0.90 )(0.20 ) (0.60 )+ (0.50 ) (0.40 )+(0.30 ) (0.90 )

=0.270.59

=0.46

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Guía de auto aprendizaje No. 3

1.) Suponga que existen 8 aspirantes a ocupar un empleo y hacemos que a, b, c, d, e, f, g y h representen los eventos de que el empleo se ofrezca a Arturo, Beatriz, Clara, David, Enrique, Franco, Jorge o Hilda. SiA = {b, d, f, h}, B = {c, g, h}, C = {a, b, d}, cite los elementos del espacio muestral que comprenden cada uno de los siguientes eventos y expréselos con palabras:a) C '

b) B U C

c) C A

d) B' C

2.) Para construir espacios muéstrales de experimentos en los cuales trabajamos con datos categóricos, a menudo codificamos las diversas alternativas asignándoles números. Por ejemplo, un contador podría codificar los elementos relacionados con el activo fijo de una empresa como: 1, 2, 3, 4 o 5 según si el elemento se debe adjudicar a efectivo, bienes comerciales, cuentas por cobrar, inventario o gastos pagados por adelantado. Exprese cada uno de los eventos en palabras.a) K = {1, 5}b) L = {3, 5}c) M = {1, 2, 3}

3.) Para cada una de las situaciones siguientes señale cuál sería el enfoque más apropiado (clásico a priori, de frecuencia relativa o subjetivo) para determinar la probabilidad que requierea) La probabilidad de que aparezca un "uno" o un "seis" en un solo lanzamiento de un

dado de seis lados.b) La probabilidad de que haya recesión el próximo año.c) La probabilidad de que, de un envío de 20 repuestos que se sabe contiene uno

defectuoso, uno elegido al azar resulte defectuoso.

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d) La probabilidad de que una persona elegida al azar de las que entran a una tienda grande realice una compra.

e) La probabilidad de que los bonos a indemnizados se cotizen a 50 centavos de córdobas en los próximos seis meses.

4.) Determine el valor de probabilidad en cada una de las situaciones siguientes:a) La probabilidad de lesiones industriales en una industria específica, en términos

anuales. Una muestra aleatoria de empresas que tiene en total 8000 empleados reportó 400 lesiones de trabajo en un período reciente de 12 meses.

b) La probabilidad de apostar a un número ganador en el juego de la ruleta. Los números de la ruleta incluyen un "O", "00" y de "1 hasta 36".

c) La probabilidad de elegir al azar una cuenta por cobrar morosa, dado que el 5% de las cuentas son morosas.

5.) De 600 empleados, 300 participan en un plan de reparto de utilidades de la compañía, 400 tienen una cobertura gastos médicos y 200 empleados participan en ambos programas. Presente estos datos en una tabla de contingencia.

a. De un ejemplo de un evento simple.b. De un ejemplo de un evento conjunto.c. ¿Cuál es el complemento del suceso: “Empleado participa en cobertura de

gastos médicos”?d. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar:

Participe por lo menos en uno de los programas? No participe en ninguno de los programas? Participe en el plan de reparto de utilidades considerando que tiene

seguro de gastos médicos? Determine si los dos eventos son independientes o dependientes?

6.) A los 500 clientes de crédito de Crédito, S.A. están categorizados según el número de años que han tenido cuenta de crédito con Crédito S.A. y por su promedio de saldo de crédito. De estos clientes 210 han tenido saldo menores de $100; otros 260 han tenido cuenta de crédito cuando menos 5 años y otros 80 han tenido saldos mayores de $100 y han tenido cuenta de crédito por menos de 5 años. Si se selecciona al azar un cliente de crédito, ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) Tenga un saldo de crédito mayor de $100?b) Tenga un saldo de crédito menor de $100 o haya tenido una cuenta de crédito

cuando menos de 5 años?c) Tenga un saldo de crédito menor de $100 y haya tenido cuentas de crédito por

menos de 5 años?d) Suponga que sabe que un cliente ha tenido cuentas de crédito cuando menos 5

años ¿cual es la probabilidad de que tenga un saldo inferior a $100?e) Muestre si tener un saldo de crédito superior a $100 y poseer cuenta de crédito

cuando menos 5 años, son estadísticamente independientes.Sugerencia: Elabore un tabla de clasificación cruzada para evaluar probabilidades.

17

7.)Una compañía ha puesto a disposición a sus empleados (sin costo) amplias instalaciones

de un club deportivo que pueden usarse antes del trabajo, durante la hora de almuerzo, después del trabajo y durante los fines de semana. Los registros del último año indican que de 250 empleados, 110 usaron instalaciones en algún momento. De los 170 hombres empleados por la compañía, 65 usaron las instalaciones. Presente estos datos en una tabla de contingencia.

a) Dé un ejemplo de evento simple.b) Dé un ejemplo de un evento conjunto.c) ¿Cuál es el complemento del suceso “ usar las instalaciones del club deportivo?

Y cuál es la probabilidad?d) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar sea mujer o haya

utilizado las instalaciones del club. Represente en un diagrama de Venn.e) Suponga que elegimos a un empleado de la compañía ¿Cuál es la probabilidad que

no haya utilizado las instalaciones del club?f) Suponga que elegimos a una empleada de la compañía ¿Cuál es la probabilidad que

haya utilizado las instalaciones del club?g) Determine si los dos eventos ¿el género del individuo y el uso de las instalaciones

del club son estadísticamente independientes? Explique.

8.) Se ha recibido un cargamento de toronjas, con las siguientes características, 20 son rosadas sin semillas, 40 son blancas sin semillas, 15 son rosadas con semillas y 25 son blancas con semillas. Presente estos datos en una tabla de contingencia.Se selecciona una toronja del cargamento en forma aleatoria. ¿Cuál es la Probabilidad de que sea:

a) Sin semilla.b) Blanca con semilla. c) Con semilla dado que es blanco.d) Rosada o sin semilla.e) Determine si los dos eventos son estadísticamente independientes. Explique.

9.) Se estima que la probabilidad de que un nuevo método de comercialización tenga éxito es 0.65. La probabilidad de que los gastos para el desarrollo del método puedan mantenerse dentro del presupuesto original es 0.45. Se estima que la probabilidad de alcanzar ambos objetivos es de 0.30. Presente estos datos en un diagrama de Venn y en una tabla de contingencia.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que se logre cuando menos uno de los objetivos?b. ¿Cuál es la probabilidad de que el nuevo método de comercialización tenga éxito, dado que el costo de su desarrollo se ha mantenido dentro del presupuesto original?

10.) Una fábrica que produce varillas, debe sacar radiografías de cada varilla e inspeccionarla antes de embarcarla. Uno de los inspectores, ha notado que por cada 1000 varillas que revisa 10 tienen fallas en el interior, 8 presentan fallas en la envoltura

18

y 5 tienen ambos tipos de defectos. En su informe trimestral, debe incluir la probabilidad de fallas de las varillas ¿cuál será esa probabilidad?

11.) El gerente de una tienda de ropa para dama desea determinar la relación entre el tipo de cliente y la forma de pago. Ha recopilado la información siguiente:

Cliente Pago TotalCrédito Contado

Habituales 70 50No habituales 40 40

a) Dé un ejemplo de evento simple.b) Dé un ejemplo de evento conjunto.c) ¿Por qué es un evento conjunto el "cliente habitual que paga de contado "?d) Dibuje el diagrama de Venn.e) Si el cliente es seleccionado en forma aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que :

e.l. sea un consumidor habitual ? e. 2. pague a crédito ?

e.3. pague de contado? e.4. no sea un consumidor habitual ? e.5. sea un consumidor habitual y compre a crédito? e,6. sea un consumidor habitual y pague de contado ? e.7. no sea un consumidor habitual y pague de contado ? e.8. sea consumidor habitual o pague de contado ? e.9. no sea consumidor habitual o pague crédito ?f) Suponga que se conoce que el cliente ha pagado de contado, ¿cuál es la probabilidad de

que sea un cliente habitual?g) ¿Son estadísticamente independientes los dos eventos, ser un cliente habitual y pagar a

crédito? Explique.

12.) Dos divisiones de productos distintos de una empresa grande son productos marinos (M) y artefactos eléctricos (E). Se estima que la probabilidad de que los productos marinos tengan un margen de utilidad de cuando menos 10% en este año fiscal es de 0.30, la probabilidad de que la división de artefactos eléctricos tenga un margen de utilidad de cuando menos 10% es 0.20 y la probabilidad de que ambos tengan un margen de utilidad de cuando menos 10% es 0.06.

a) Determine la probabilidad de que la división de artefactos eléctricos tengan un margen de utilidad de cuando menos 10%, dado que la división de productos marinos alcanza ese criterio de utilidad.

a) Aplique una prueba apropiada para determinar si el logro de la meta de utilidades de las dos divisiones es estadísticamente independientes.

13.) Durante una semana determinada se estima que la probabilidad de que el precio de una acción específica aumente (A), permanezca sin cambio (C) o se reduzca (R) es de 0.35, 0.20 y 0.45 respectivamente.

19

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de la acción aumente o permanezca sin cambio?b. ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de la acción cambie durante la semana?c. ¿Cómo son los sucesos A, C y R?

14.) Se estima que la probabilidad de que aumenten las ventas de automóviles en el siguiente mes de 0.40. Se estima que la probabilidad de que aumenten las ventas de refacciones es de 0.50. Se estima que la probabilidad de que ambas industrias experimenten un aumento en ventas es de 0.10. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a. Hayan aumentado las ventas de automóviles durante el mes, dado que existe información de que han aumentado las ventas de refacciones?b. Hayan aumentado las ventas de refacciones, dado que existe información de que aumentaron las ventas de automóviles durante este mes?

15.) Durante un período determinado, aumentó el valor de mercado de las acciones comunes en una industria, que incluye solamente 12 acciones. Si un inversionista escoge dos de esas acciones al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hayan experimentado un aumento en su valor de mercado durante ese período, si se sabe que 8 aumentaron su valor?

16.) La proporción general de artículos defectuosos en un proceso continuo de producción es de 0.08. ¿Cuál es la probabilidad de que

a. Dos artículos elegidos al azar ninguno tenga defecto?b. Dos artículos escogidos al azar tengan defecto?

17.) La siguiente tabla de contingencia representa la clasificación de 150 compañías muestreadas de acuerdo con cuatro grupos industriales, y respecto a si su rendimiento sobre la inversión está por encima o por debajo del rendimiento promedio.

CategoríaIndustrial

Rendimiento sobre el capitalTotalSuperior al promedio

(S)Inferior al promedio (I)

A 20 40B 10 10C 20 10D 25 15Total

a. Construya una tabla de probabilidad conjunta en base a estos datos muéstrales. b. Determine las siguientes probabilidades: P(A y S) P(I) P(C/I) P(S) P(D) P(C)

P(S/B) P(B/S)

20

P(B o I) P(D y S)

18.) La probabilidad de que haya escasez de cemento es 0.28 y la probabilidad de que no habrá escasez y que una obra de construcción se termine a tiempo es 0.64. ¿Cuál es la probabilidad de que la obra se termine a tiempo dado que no habrá escasez de cemento?

19.) En una fábrica de zapatos, se sabe por experiencia que la probabilidad es 0.82 de que un trabajador que ha asistido a un programa de capacitación de la fábrica cumplirá con la cuota de producción y que la probabilidad correspondiente es 0.53 para un trabajador que no asistió al programa de capacitación. Si el 60% de los trabajadores asisten al programa de capacitación de la fábrica. Si se selecciona a un trabajador y se sabe que ha cumplido con la cuota de producción, ¿Cuál es la probabilidad de que haya asistido al curso?

20.) Tres máquinas M1, M2 y M3 producen respectivamente 50%, 30% y 20% del total de artículos de una fábrica. Las máquinas producen artículos defectuosos en un porcentaje de 7%, 6% y 4% respectivamente. Al colocar la producción de las tres máquinas en fila y escoger un artículo. Si el artículo escogido es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producido en cualquiera de las tres máquinas? Tome como decisión el elemento mayor probabilidad de producir artículos defectuosos.

21.) En cierta empresa el 6% de los empleados varones y el 4% de los empleados mujeres tienen salarios mayores de C$ 3000. Además el 60% de los empleados son hombres. Se despide a un empleado al azar que gana más de C$ 3000.

a. ¿Cuál es la probabilidad que sea varón?b. ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer?

22.) Un comerciante de parte para automóviles tiene 4 empleados K, L, M y N, que cometen errores al llenar un pedido una vez en cien, cuatro veces en cien, dos veces en cien y seis veces en cien respectivamente. De todos los pedidos llenados, K, L, M y N llenan respectivamente el 20, 40.30 y 10%. Si se encuentra un error en un pedido ¿Cuál es la probabilidad de que fue llenado por K, L, M o N? ¿Cuál de los empleados tiene mayor probabilidad de cometer errores?

23.) El gerente de crédito de una empresa, sabe que la compañía emplea (3) métodos para alentar el cobro de cuentas atrasadas. Al consultar los archivos de la cobranza, descubre que el 70% de las cuentas se cobran en forma personal (P), el 20% se cobran por teléfono (T), y el 10% se les envía cartas de cobro; La probabilidad de cobrar una cuenta vencida con los (3) métodos es de 0.75, 0.6 y 0.65, respectivamente. El gerente recibe el pago de una cuenta vencida; ¿Cuál es la probabilidad de que a ese cliente lo hayan llamado por teléfono.

24.) El gerente de comercialización de una compañía fabricante de juguetes está planeando introducir un nuevo juguete en el mercado. En el pasado, 40% de los juguetes introducidos por la compañía han tenido éxito y 60% no lo han tenido. Antes

21

de que se comercialice el juguete, se lleva a cabo un estudio de mercado y se compila un informe, ya sea favorable o desfavorable. Anteriormente, 80% de los juguetes exitosos recibieron favorables y 30% de los juguetes no exitosos también recibieron informes favorables. Suponga que el estudio de mercado da un informe favorable sobre un nuevo juguete. ¿Cuál es la probabilidad de que el nuevo juguete tenga éxito?

25.) Un comprador de ropa femenina de una gran tienda departamental compra anualmente 20% de los vestidos a un fabricante A, 30% a un segundo fabricante B, y el 50% restante a un fabricante C. De los vestidos comprados a A se vende el 80%; 75% de los de B y 90% de los de C. ¿Cuál es la probabilidad de que un vestido que se vendió al final de la temporada, provenga del fabricante C?

2.5 Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias

2.5.1 Variable aleatoria: Sea S el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Una función X que asigna a cada uno de los elementos de S un número real x, se llama variable aleatoria.

Definición 1Una variable aleatoria discreta es aquella que toma, a lo más una cantidad numerable de valores distintos. Por ejemplo:

1) El número de unidades vendidas por una tienda determinada en un mes.2) El número de clientes esperando servicio en la caja de un supermercado.3) El número de accidentes ocurridos en una determinada semana en una planta

manufacturera.etc.

Definición 2 Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor de entre todos los contenidos de un intervalo de una recta. Por ejemplo:

1) El tiempo para completar el ensamblaje de un artículo de una planta.2) La cantidad de petróleo bombeado cada hora en un pozo.3) La cantidda de energía eléctrica producida en un día. etc.

Distribución probabilísticaEnumeración de todos los resultados de un experimento junto con la probabilidad asociada a cada uno.

MEDIA O VALOR ESPERADO:

VARIANZA:

DESVIACION ESTANDAR:

EJEMPLO 1.

22

μ=E ( X )=∑ [ X⋅P ( X ) ]σ 2=∑ [ ( X−μ )2 P ( X ) ]

σ=√σ2

P

P

P

P

Una empresa recibe un lote de 100 discos de clutch. El historial de la empresa muestra que el 10% de discos recibidos es defectuosa . Saquemos al azar 2 discos uno a uno de dicho lote ( sin reposición) y anotamos el número de discos defectuosos.

a) Construya la distribución de probabilidad de X.b) Obtenga la esperanza y la varianza (comente el resultado).

Solución:Sea X : Número de discos defectuosos, 0,1 y 2D : DefectuosoD' : No defectuoso.

S = {D 1 D2 , D1 D2' ,D '1 D2 , D '1 D' 2}

10100

×9

99= 90

9900=0.0091

10100

×9099

= 9009900

=0.091

90100

×1099

= 9009900

=0.091

90100

×8999

=80109900

=0.8091

X P(X) X [ P ( X ) ] (X-µ)2 (X-µ)2P(X)

0 0.8091 0 0.04 0.0323641 0.182 0.182 0.64 0.116482 0.0091 0.0182 3.24 0.029484µ=E ( X )=∑X [ P ( X ) ]=0.2002 ∑= 0.1783

E(X)= 0.200 ≅0

=0.1783, σ = √0.1783=0.4221E ( X )± σ=¿0.200 +0.4221= 0.6221 Límite superior

0.200-0.4221= -0.2221 límite inferior; (0,1)

23

σ 2=∑ [ ( X−μ )2 P ( X ) ]

En proceso repetido se espera que ninguno, salga defectuoso, pero el resultado puede variar entre 0 y 1, lo más probable es 0.

2.6 Técnicas de Conteo

Al estudiar los resultados de experimentos, frecuentemente se encuentran dos conceptos adicionales que son las permutaciones y combinaciones.

2.6.1 Regla de la multiplicación.

Si una operación se puede llevar a cabo n1 formas y si para cada una de éstas se puede realizar una segunda operación en n2 formas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar juntas de n1n2 formas.

EJEMPLO 1.

¿Cuántos puntos muestrales hay en el espacio muestral cuando se lanza una vez un par de dados?

Solución: 1º dado cae de 6 maneras n1 = 6, para cada una de esas 6 maneras el 2do dado también puede caer en n2 =6 maneras por tanto el par de dados puede caer en n1n2=

(6 ) (6 )=36 formas posibles .

EJEMPLO 2.Un cliente desea instalar un teléfono Trinline y puede elegir entre n1=10 colores decorativos que supondremos disponibles en cualesquiera de n2=3 longitudes opcionales de cordón con n3=2 tipos de marcado, a saber, de disco o por tonos. Estas 3 clasificaciones tienen como resultado n1 n2 n3= (10 ) (3 ) (2 )=60diferentes formas para que un cliente ordene uno de estos teléfonos n1 n2 n3……………. nk formas.

EJEMPLO 3.¿Cuántos almuerzos que asisten en una sopa, emparedados, postre y una bebida son posibles si podemos seleccionar 4 sopas, 3 tipos de emparedados, 5 postres y 4 bebidas.Solución: n1 n2 n3……………. nk formas. = (4 ) (3 ) (5 ) ( 4 )=240 maneras para elegir un almuerzo.

2.6.2 PermutaciónUna permutación es un arreglo de un conjunto de objetos en el cual se tiene en cuenta el orden. Diferentes ordenaciones determinan diferentes permutaciones.

El número de permutaciones de n objetos distintos es nn!=n (n−1 ) (n−2 ) (n−3 )……… .1

EJEMPLO 4.¿Cuántas permutaciones (arreglos) pueden darse en las letras A, B y C.

3!=3×2×1=6 arreglos distintos .

B C = ABC 1

24

A

C B= ACB 2

A C= BAC 3B

C A = BCA 4 A B = CAB 5

C B A= CBA 63 x 2 x 1 = 6

En general, n objetos distintos tomados r a la vez se pueden arreglar en n (n−1 ) ( n−2 ) ……. (n−r+1 )

nPr= n!(n−r ) !

elnúmero de permutaciones .

EJEMPLO 5.Se sacan dos billetes de lotería de 20 para un primer y un segundo premio. Encuentre el número de puntos muestrales en el espacio S.

20P2 = 20 !

(20−2 ) !=20 !

18 !=20 ×19 ×18 !

18 !=20 ×19=380 puntosmuestrales enel espacio S

Ejercicio propuesto.

De cuántas formas puede una organización de relaciones, programar a tres conferencistas para 3 reuniones diferentes si todos están disponibles en cualquiera de cinco fechas posibles. R/60

2.6.3 CombinaciónUna combinación de objetos es un conjunto diferente de objetos en el cual no se considera el orden. Cuando de n objetos se escogen n, no hay sino una combinación. Si entre n objetos se selecciona uno existen n combinaciones. El problema consiste en determinar una expresión general para el número de combinaciones cuando se seleccionan r objetos a la vez entre n objetos.

(nr )= n!r ! (n−r ) !

,

donde (nr ) denota el <número de combinaciones de r objetos tomados de n objetos totales.>

EJEMPLO 6

25

Considérense cuatro entidades, A, B C y D. ¿Cuántas combinaciones pueden hacerse en este conjunto seleccionando dos letras a la vez? Seis. AB, AC, AD, BC, BD y CD.

(42)= 4 !

2! (4−2 ) != 4 !

2!2 !=4 ×3×2 !

2!× 2× 1=6 combinaciones .

1!=10!=1 por definición.

B AB A C AC

D AD

B C BC D BDC D CD

DEjercicio propuesto

Hay 10 candidatos para un comité que no puede estar integrado sino por siete miembros. ¿Cuántos comités diferentes pueden formarse con estos diez candidatos? 2.7 Modelos de probabilidad

2.7.1 Distribución de Probabilidad Binomial

La distribución binomial es una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta que será aplicable cuando estemos en un proceso de Bernoulli.

Proceso de BernoulliEs un proceso de muestreo, esto es una muestra de tamaño n que resulta de repetir un mismo experimento aleatorio (que llamaremos ensayo) n veces y que cumple las siguientes condiciones:

1) Los resultados posibles de cada ensayo se clasifica en una de dos categorías mutuamente excluyentes y exhaustivos que llamaremos: éxito o fracaso2) La probabilidad de éxito y fracaso permanece igual en todos los ensayos. 3) Cualquier serie de eventos éxitos y fracaso obtenidos en los n ensayos constituyen eventos independientes.

26

Modelo BinomialSupongamos que estamos en un proceso de Bernoulli con n ensayos donde uno de los dos eventos será éxito y la probabilidad de que exista un éxito se representará por p, y un fracaso por q=1-p.Sea X: el número de éxitos en la muestra, donde el objetivo principal será una expresión matemática que defina a la distribución de probabilidad de X.

Probabilidad de éxito

El valor esperado µ = E(X) = np y la Varianza σ2= npq.

EJEMPLO 1: En un archivo hay 5 documentos de la empresa A y 15 documentos de la empresa B. Seleccionar al azar y con reposición 4 documentos anotando la empresa de cada uno.

a) Determine la probabilidad de que 3 documentos sean de la empresa B.b) Menos de 3 documentos sean de Bc) La esperanza de xd) La varianza de x

Solución:Empresa A = 5 n= 4 ensayos

Empresa B= 15 x= No. de documentos de B; P ( x )=1520

=0.75;

20 q = 1-p =1-0.75=0.25 No. de documentos de A

a)

P ( x=3 )=(43 )(0.75 )3 (0.25 )4−3= 4 !

3 ! (4−3 ) !(0.421875 ) (0.25 )=4 (0.10546875 )=0.4219 .

Es la probabilidad que al sacar 4 documentos 3 sean de la empresa B.b) Menos de 3 documentos sean de B

P ( x<3 )=P ( x=0 )+P ( x=1 )+P ( x=2 )=¿

P ( x=0 )=(40) (0.75 )0 (0.25 )4=0.0039

P ( x=1 )=(41) (0.75 )1 (0.25 )3=0.0469

P ( x=2 )=(42 )(0.75 )2 (0.25 )2=0.2109 .

P ( x<3 )=0.0039+0.0469+0.2109=0.2617

27

P( X=x )= n !x ! (n−x )!

p x qn−x

P( X=x )= n !x ! (n−x )!

p x qn−x

La forma límite de la distribución binomial cuando la probabilidad de éxito es muy pequeña y n es grande se denomina distribución probabilística de Poisson.

c) La esperanza de de x es lo mismo que el valor esperado: µ = E(X) = np = (4 ) (0.75 )=3 se espera que en promedio 3 documentos sean de B.

d) σ2=: npq= (4 ) (0.75 ) (0.25 )=0.75 la varianzaσ= √0.75=0.8660 la desviación estándar.E( x )± σ=3± 0.86601) 3+0.8660 = 3.86602) 3−0.8660=2.1340 ; (2,4 ) quiere decir que al sacar los cuatros documentos, 3

sean de B aunque este valor puede variar entre 2 y 4.

2.7.2 Distribución Probabilística de Poisson

Propiedades fundamentales de una distribución de Poisson.

Se da un proceso de Poisson si se pueden observar eventos discretos en un intervalo continuo (de tiempo, de duración, de área) en forma tal que si se acorta el intervalo lo suficiente:

1) La probabilidad de observar dos o más éxitos en un intervalo es 0.2) La probabilidad de observar exactamente un éxito en un intervalo es estable.3) La ocurrencia de un éxito en cualquier intervalo es estadísticamente independiente

de que suceda en cualquier otro intervalo.

Modelo matemático

Probabilidad de éxito

µ= np el parámetro µ se refiere al número promedio o esperado de éxitos por unidad.e= constante matemática, e= 2.71825x = el número de éxitos por unidad.

Características

1) Forma:Cada vez que se especifica el parámetro µ se puede producir una distribución de Poisson particular. La distribución de Poisson estará sesgada hacia la derecha cuando µ es pequeña y se acercará a la simetría (con su punto más alto en el centro) según aumenta µ.

2) La media y la desviación estándar:Una propiedad importante de la distribución de Poisson es la µ y la varianza.

28

P( x )= μx e−μ

x !

µ = E(x) ; varianza σ2= µ y la desviación estándar es: σ=√μ

EJEMPLO 1:Supóngase que en un momento cualquiera del día, el número promedio de llamadas telefónicas recibidas por minuto en una central es de 5. Sea X el número de llamadas recibidas en un minuto dado.

a) Hallar la probabilidad de que se reciban exactamente 3 llamadas en un minuto dado.

b) Hallar la probabilidad de que se reciban más de 3 llamadas en un minuto dado.c) Hallar la probabilidad de que se reciban menos de 3 llamadas en un minuto

dado.

Solución: X= el número de llamadas recibidas en un minuto dado.

µ = 5 llamadas por minuto en promedio.

a) P(X=3) = = P ( X=3 )=53 e−5

3 !=0.14042

b) P ( X>3 )=1−P ( X ≤3 )=1−P [ ( X=0 )+( X=1 )+( X=2 )+( X=3 ) ]=¿

1−[ 50e−5

0 !+ 51 e−5

1 !+ 52 e−5

2!+ 53 e−5

3! ]=1−¿[0.00674+0.0337+0.08425+0.14042]=

1−¿0.26511=0.7349= 73.49% es la probabilidad de recibir 3 o más llamadas.

b)P ( X<3 )=P ( X=0 )+P ( X=1 )+P ( X=2 )=0.00674+0.0337+0.08425=0.1247=12.47 %

la probabilidad de recibir menos de tres llamadas en un minuto dado.

EJEMPLO 2.

Una fábrica de cerillos sabe que 0.1% de su producción tiene algún defecto. Encuentre la probabilidad de que en un paquete de 50 cerillos, ninguno de ellos tenga defecto.

Solución: n= 50 , p = 0.1% =0.001 ; X = No. de cerillos defectuosos.

µ= np = (50 ) (0.001 )=0.05

29

P( x )= μx e−μ

x !

P( x )= μx e−μ

x !

P( x=0 )= μx e−μ

x !=

(0 . 05 )0e−0 .05

0!=

(1 ) (0 .9512 )1

=0. 9512=95 .12 %

Tiene forma de campana y la media la moda y la mediana coinciden. Es simétrica. Es asintótica con respecto al eje x Está completamente descrita por su media y su desviación estándar No existe una, sino una familia de distribuciones normales. Cada vez que

la media o la desviación estándar cambia se crea una nueva distribución.

2.7.3 Distribución Normal de Probabilidad.

Es una distribución continua de probabilidad que tiene las siguientes características

CURVA SIMETRICA DE CAMPANA QUE MUESTRA LAS RELACIONES ENTRE DESVIACION ESTANDAR Y MEDIA

30

FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES NORMALES.

Modelo NormalDecimos que la variable aleatoria X, tiene una distribución normal con parámetro µ y σ2, lo cual denotamos por X~N(μ , σ2), si la función de densidad de probabilidad de x está definida por:

f ( x )= 1σ √2 π

e (−1 /2 )( x−μσ )

2

; −∞ ≤ x ≤+∞ ; e= 2.71828

Distribución Normal estándar

Es una distribución normal particular de probabilidad que tiene las siguientes características:

EJEMPLO 1:

Una fabrica usa una máquina para llenar cajas con polvo facial. En un informe de parte del control estadístico de la calidad se afirma que los pesos netos de las cajas están distribuidos uniformemente con una media igual a 15 onzas y desviación estándar 0.8 onzas.Se selecciona una caja al azar:

a) ¿cuál es la probabilidad de que tenga peso neto mayor de 14.5 onzas?b) De que tenga entre 12.8 y 16.5 onzasc) Que tenga peso neto menor de 15.8 onzasd) Si cierto día máquina llena 1500 cajas ¿cuántas cajas tendrán pesos netos menores

que 14.5 onzas?

31

Su media es 0 y su desviación estándar es 1. Cualquier distribución normal puede ser convertida a normal

estándar por la fórmula z= x−μ

σ Al estandarizar una distribución normal, la distancia desde la

media está expresada en unidades de la desviación estándar.

Solución:

µ= 15 onzasσ=0.8 onzas

a¿ P ( X>14.5 )=1−F ( 14.5−150.8 )=1−F (−0.63 )=1−0.2643=0.7357=73.57 %

X=14.5 µ=15 Z 0.63 0

b)

P (12.8 ≤ X ≤ 16.5 )=P( 12.8−150.8

≤ Z16.5−15

0.8 )=F (1.88 )−F (−2.75 )=0.9700−0.0030=0.9670=96.70 %

X= 12.8 µ=15 X=16.5 Z -2.75 0 1.88

c ¿P ( X<12.8 )=P(Z< 12.8−150.8 )=F (−2.75 )=0.0030=0.30 %

x=12.8 µ= 15 Z-2.75

d ¿ P (x<14.5 )=P(Z< 14.5−150.8 )=F (−0.63 )=0.2643

Total de cajas = 0.2643×1500=396.45=396 cajas.

32

EJEMPLO 2.El gasto promedio mensual por alimentos para familias de cuatro personas en una gran ciudad es de C$1420, con una desviación estándar de C$180. Suponiendo que los gastos mensuales por alimentos estén distribuidos en forma normal,

a) ¿Qué porcentaje de estos gastos son inferiores a C$1350?

µ= 1420 ; σ= 180

P ( X<1350 )=P(X< 1350−1420180 )=F (−0.39 )=0.3483= 34.83%

El 34.83% de los gastos son inferiores a C$1350

b) ¿Qué porcentaje de esos gastos se encuentran entre C$1280 y C$1350

P (1250<X<1350 )=P( 1250−1420180

<Z< 1350−1420180 )=F (−0.39 )−F (−0.94 )=¿

0.3483−0.1736=0.1747=17.47 %c) ¿Qué porcentaje de estos gastos son mayores que C$1500?

P ( X>1500 )=1−P ( X ≤1500 )=1−P( z≤1500−1420

180 )=1−F (0.44 )=1−0.6700=0.33=33 % .

el 33 % de los gastos son mayoresque C $ 1500.

EJEMPLO 3:

Algunos estudios muestran que el rendimiento de gasolina de los autos compactos vendidos por Japón se distribuyen normalmente con una media de 45 km por galón y una desviación estándar de 8 km por galón. Si un fabricante desea diseñar un auto compacto más económico que el 95% de los autos compactos actuales, ¿cuál debe ser el rendimiento del nuevo auto?

Como primer paso se calcula: z0= X0−μ

σ=

X 0−45

8

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Y la probabilidad requerida correspondiente al área izquierda de z0 en la distribución normal estándar. Por tanto, P(Z≤ z0¿=0.95, este valor se encuentra en el cuerpo de la tabla normal, buscamos la probabilidad de 0.9500, ésta probabilidad no se encuentra pero si los valores cercanos: 0.9495 que corresponde a z=1.64, también está 0.9505 cuya z=1.65. Note que el área de 0.95 está exactamente a la

mitad entre las áreas z=1.64 y z= 1.65, 1.64+1.65

2=1.645 ,entonces z0= 1.645.

En segundo lugar se sustituye z0 en la fórmula: 1.645=x0−45

8,despejando x0 se

tiene que:x0=(1.645 ) (8 )+45=58.16

De lo anterior se deduce que el nuevo auto compacto debe tener un rendimiento de 58.16 km por galón para ser mejor que el 95% de los autos compactos que actualmente vende Japón.

Guía de Ejercicios N˚4

Modelos de Probabilidad

1) El número de barcos que llegan a un puerto en un día determinado es una variable aleatoria representada por X. Su distribución de probabilidad es:

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X 10 11 12 13 14 P(X) 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1

a. Encuentre la probabilidad de que en un día cualquiera: Lleguen al menos 12 barcos. Lleguen cuando mucho 11 barcos.

b. En promedio, ¿Cuántos barcos se espera que lleguen?

2) Una escuela primaria ha programado cuatro fechas de reunión al año con los padres de familia. Los registros de la escuela indican que la probabilidad de que los padres de un niño (uno o ambos) asistan desde 0 hasta 4 de las reuniones son las indicadas en el cuadro siguiente:

Número de reuniones a las que asisten 0 1 2 3 4 Probabilidad 0.13 0.37 0.29 0.14 0.08

a. ¿Cuál es la probabilidad de que los padres de un niño en particular asistan al menos a una de esas reuniones?b. ¿En promedio a cuántas reuniones asiste un padre de familia y con que variabilidad lo

hace?

3) Un inspector encargado del control de calidad de los camiones de juguete producidos por una fábrica ha observado que cierto defecto en las llantas se presenta en el 5% de los vehículos. En cada uno se colocan seis llantas. ¿Cuál es la probabilidad de que en un conjunto de seis llantas seleccionadas aleatoriamente no se presente el defecto?

4) Una organización especializada en encuestas afirma que el 90% de los votantes registrados nunca ha escuchado acerca de Carmelo García, quien fue candidato a un puesto público. Si esto es correcto, ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 15 votantes seleccionada aleatoriamente, 2 o menos de ellos hayan escuchado algo acerca de éste señor?

5) Un banco en promedio recibe 6 cheques sin fondos por día. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba cuatro cheques sin fondo en un día dado?

6) Los registros muestran que la probabilidad es 0.0012 de que una persona ingiera comida envenenada al pasar un día en cierta feria agropecuaria. Obtenga la probabilidad de que en 1000 personas que asisten a la feria, cuando mucho dos ingieran comida envenenada, ¿Y por lo menos dos?

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7) Una fábrica de cerillos sabe que 0.1% de su producción tiene algún defecto. Encuentre la probabilidad de que en un paquete de 50 cerillos, ninguno de ellos tenga defecto.

8) El 0.5% de las piezas producidas por una máquina son defectuosas. La máquina se lleva a reparación si al tomar una muestra aleatoria de 10 piezas se encuentra dos o más defectuosa. Obtenga la probabilidad de que la máquina sea cometida a reparación con este esquema de muestreo.

9) Las observaciones durante un largo período muestran que un vendedor determinado puede concluir una venta en una sola entrevista con una probabilidad de 0.30. Suponga que el vendedor entrevista a 6 prospectos (o compradores prospectivos).

a) ¿Cuál es la probabilidad que exactamente dos prospectos compren el producto?b) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los prospectos compren el producto?c) ¿Cuál es la probabilidad que al menos dos prospectos compren el producto?

10) Una empresa compra determinado componente electrónico en grandes cantidades. La decisión de aceptar el lote o de rechazarlo se basa en una muestra de 1000 productos. Si alguno de los 1000 productos resulta defectuoso el lote se rechaza de otro modo se acepta, suponga p = 0.0002

a) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el lote?b) ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el lote?

11) Periódicamente se suspende el servicio de una computadora para darle mantenimiento, instalar nuevo equipo, etc. El tiempo que permanece inactiva una computadora en particular, está distribuida normalmente con media igual a 1.5 horas y desviación estándar de 0.4 horas ¿Cuál es el porcentaje de período de inactividad

a) mayores de 2 horas?b) entre 1 y 2 horas?c) menos de 1 hora?

12) Una compañía de transporte premia con un bono especial a aquellos empleados que venden 300 o más boletos durante una jornada de 8 horas. El número de boletos vendidos por empleado en dicha jornada está distribuido de manera aproximadamente normal, con μ = 270 y σ = 16. ¿Cuál es la probabilidad que un vendedor seleccionado aleatoriamente no reciba el premio?

13) El tiempo de espera en cierto banco está distribuido en forma normal, aproximadamente, con media y desviación estándar iguales a 3.7 y 1.4 minutos, respectivamente. Encuentre la probabilidad de que un cliente seleccionado aleatoriamente tenga que esperar:

a) Menos de 2 minutos.b) Más de 2.5 minutos.c) Entre 3 y 5 minutos.

14) Una máquina llenadora está ajustada para llenar botellas con una media de contenido de 32 onzas y una varianza de 0.0016. Periódicamente se verifica la cantidad de cerveza contenida en la botella. Suponiendo que la cantidad contenida está distribuida

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normalmente ¿Cuál es la probabilidad que la próxima botella que se seleccione aleatoriamente para ser inspeccionada, contenga más de 32.02 onzas?

15) La distribución de los salarios semanales de 10000 trabajadores del campo es normal y tiene una media de C$ 110 y varianza de C$ 64 (en miles). ¿Cuántos trabajadores tienen salarios

a) Iguales o inferiores a C$ 110?b) Entre C$ 100 y C$ 125 inclusive?c) Iguales o superiores a C$ 90?

16) El propietario de una panadería dijo que la producción semanal promedio de su compañía fue de 11,398 panes con una varianza de 49,729. Si los datos usados para calcular los resultados fueron recogidos durante 32 semanas, ¿en cuántas semanas estuvo el nivel de producción por debajo de los 11,165?, ¿y por arriba de 11, 844?, grafique sus respuestas.17) El número de días entra la facturación y el pago de las cuentas de crédito de un almacén tiene una distribución aproximadamente normal con una media de 18 días y desviación estándar de 4 días.a) ¿Qué proporción de las cuentas serán pagadas

a.1 entre 12y 18 días?a.2 entre 20 y 23 días?a.3 en menos de 8 días?a.4 en 12 días o más?

b) ¿dentro de cuántos días serán pagadas el 99.5% de las cuentas? 18) suponga que el tiempo necesario para que germine una variedad de semillas de una

planta está normalmente distribuido con una media de de 15 días y desviación estándar de 4 días.

a) ¿Qué proporción de las semillas deben germinara.1 dentro de 19 días?a.2 después de 23 días?

b) Después de cuántos días deben haber germinado las ¾ partes de las semillas?

19) El editor de una casa editorial calcula que transcurren en promedio 11 meses antes de terminar el proceso de publicación, desde la elaboración del manuscrito hasta terminar con el libro, con una desviación de 2.4 meses. Piensa que la distribución normal describe bien los tiempos de publicación. De 19 libros que tendrá a su cargo este año, ¿aproximadamente cuántos finalizarán el proceso de menos de un año?

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