MOMENTO DE INERCIA

UNIVERSIDAD CATLICA DE SANTA MARA DE AREQUIPA

FACULTAD DE ARQUITECTURA Y CIENCIAS E INGENIERAS CIVIL

Y DEL AMBIENTE

PROGRAMA PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL

DOCENTE: ING. ENRIQUE ALFONSO UGARTE CALDERN

Mide la resistencia de un cuerpo a la aceleracin

angular.

Definimos el momento de inercia como la

integral del segundo momento alrededor del

eje de todos los elementos de masa dm los

cuales comparten el cuerpo.

MOMENTO DE INERCIA

Mide la resistencia de un cuerpo a la aceleracin angular.

Definimos el momento de inercia como la integral del segundo momento alrededor del eje de todos los elementos de masa dm los cuales comparten el cuerpo.

MOMENTO DE INERCIA

Si el cuerpo se compone de material de densidad

variable = (x, y, z), la masa elemental dm del cuerpo puede expresarse en funcin de su

densidad y volumen como dm = dV.

Luego:

MOMENTO DE INERCIA

I = 2

En el caso especial en que sea una constante, este trmino se saca de la integral y la

integracin es entonces puramente una funcin

de geometra.

Luego:

MOMENTO DE INERCIA

I = 2

Para obtener el momento de inercia por

integracin, consideraremos slo cuerpos de

volmenes generados al hacer girar una curva

alrededor de un eje.

MOMENTO DE INERCIA

Si para la integracin se selecciona un elemento

en forma de casquillo de altura z, radio r = y,

espesor dy, entonces el volumen es:

dV = (2y)(z) dy

MOMENTO DE INERCIA

Si para la integracin se selecciona un elemento

en forma de disco de radio y y espesor dz,

entonces el volumen es:

dV = ( y2) dz

MOMENTO DE INERCIA

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS

De acuerdo al grfico, el eje z pasa por el centro

de masa G, mientras que el eje z paralelo

correspondiente queda a una distancia d.

Al seleccionar el elemento de masa diferencial

dm, localizado en el punto (x, y) y utilizar el

Teorema de Pitgoras: r2 = (d + x)2 + y2,

podemos expresar el momento de inercia del

cuerpo con respecto al eje z como:

MOMENTO DE INERCIA

MOMENTO DE INERCIA

I = 2

I = + 2+ 2

I = 2+ 2 + 2d + 2

Dado que r 2 = x 2 + y 2, la primera integral

representa IG.

La segunda es igual a cero, puesto que el eje z

pasa por el centro de masa del cuerpo, es decir:

= = 0

Puesto que = 0.

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS

La tercera integral representa la masa total m del cuerpo.

Por tanto, el momento de inercia con respecto al eje z

puede escribirse como:

= + 2

Donde:

IG = momento de inercia con respecto al eje z que pasa

por el centro de masa G.

m = masa del cuerpo.

d = distancia perpendicular entre los ejes paralelos z y

z.

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS

El momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje especificado se reporta por medio del radio de giro, k.

Es una propiedad geomtrica que tiene unidades de longitud.

Cuando se conoce el radio de giro (k) y la masa m del cuerpo, el momento de inercia del cuerpo se determina con:

RADIO DE GIRO

I = 2 k =

Si un cuerpo se compone de formas simples

como esferas, barras, discos, su momento de

inercia se determina por la suma algebraica de

los momentos de inercia de todas las formas

compuestas calculadas con respecto al eje.

La adicin algebraica es necesaria puesto que

una parte compuesta debe considerarse como una

cantidad negativa si ya se cont como una pieza

de otra parte, as por ejemplo un agujero restado

de una placa slida.

OBSERVACIN

La adicin algebraica es necesaria puesto que

una parte compuesta debe considerarse como una

cantidad negativa si ya se cont como una pieza

de otra parte, as por ejemplo un agujero restado

de una placa slida.

El Teorema de los ejes paralelos se requiere para

los clculos si el centro de masa de cada parte

compuesta no queda en el eje.

OBSERVACIN

Para el clculo, entonces:

I = (IG + md2)

Aqu el IG de cada una de las partes compuesta

se determina por integracin.

OBSERVACIN

(17.1) Determine el momento de inercia Iy de la

barra esbelta. Su densidad y rea de seccin transversal A son constantes. Exprese el

resultado en funcin de su masa total m.

MOMENTO DE INERCIA

MOMENTO DE INERCIA

(17.2) Un cono circular recto se forma al hacer

girar el rea sombreada alrededor del eje x.

Determine el momento de inercia Ix y exprese el

resultado en funcin de su masa total m. El cono

tiene una densidad constante .

MOMENTO DE INERCIA

MOMENTO DE INERCIA